НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

Введение

Одним из наиболее плодотворных направлений в исследовании проблемы многих тел является метод квантовых статистическх функций Грина. В частности, при изучении явлений переноса он успешно заменяет более элементарные приемы, исходящие из обычных кинетических уравнений.

Мы не будем здесь останавливаться на всех аспектах применения этого метода и его сравнительных достоинствах. Этим вопросам посвящена довольно многочисленная литература как советских, так и зарубежных авторов (см., например, [lj —[4]). Отметим только некоторые особенности метода, непосредственно имеющие отношение к нашим исследованиям.

Прежде всего, интересуясь кинетическими явлениями в статистических системах, мы сосредоточим свое внимание на временных функциях Грина, оставляя в стороне основанную на использовании безвременных функций Грина чисто температурную технику.

Далее, при построении временного формализма возможны различные варианты введения зависимости от времени и самих конструкций функций Грина. В частности, причинные (каузальные) функции Грина строятся как статистические средние от хронологических произведений операторов динамических величин, взятых в гейзенберговском представлении, в то время как опережающие или запаздывающие функции Грина задаются только для определенных соотношений временных аргументов как термодинамические средние от коммутаторов

этих операторов. Так как исследование статистических систем при конечных температурах представляется более желательным, то это практически однозначно решает вопрос о целесообразности выбора функций Грина в пользу конструкций последнего типа1. Это обусловливается, например, следующими обстоятельствами: запаздывающую и опережающую функции Грина можно представить в виде граничных значений одной функции, которая имеет в некоторых отношениях «более удобные» аналитические свойства; временная статистическая теория связана с использованием именно запаздывающих и опережающих функций Грина, и, наконец, эти функции Грина (в отличие от причинных) допускают непосредственный переход к классическому рассмотрению статистической системы.

Для нахождения этих функций Грина обычно используют или диаграммную технику (при работе с каузальными функциями Грина), или систему зацепляющихся уравнений вместе с соответствующими спектральными представлениями типа Лемана—Челена [5], [6].

При диаграммном подходе основным является вопрос о том, какие диаграммы надо просуммировать для получения требуемого приближения. При рассмотрении же системы уравнений основной проблемой является разработка приемов эффективного расцепления системы уравнений с целью получения замкнутых уравнений для определения функций Грина. Исследование последних, какими бы сложными они ни были, представляет уже чисто техническую задачу. Естественно, что при этом нам приходится прибегать к приближенным способам выражения функций Грина высшего порядка через низшие, а поэтому основное внимание должно быть уделено тому, чтобы используемый вариант расцепления обеспечил надлежащую точность рассмотрения статистиче- ких свойств данной конкретной физической системы.

Заметим, что в настоящее время для ряда типичных модельных задач квантовой статистики вопросы этого рода уже решены и разработаны эффективные методы получения первых приближений как на основе диаграммной техники, так и на основе расцепления системы уравнений.

Используемый нами метод основывается на рассмотрении систем зацепляющихся уравнений. В качестве граничных условий выбираются соответствующие представления типа Лемана — Чел ена.

Мы рассмотрим здесь также вопрос о распространении «гринистического» подхода и для задач статистической механики классических систем и установим связь между уравнениями для двухвременных температурных опережающих и запаздывающих как квантовых, так и введенных нами «классических» функций Грина [7], [8] и кинетическими уравнениями статистической механики [9].

Глава I

ДВУХВРЕМЕННЫЕ ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА

В СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ

В этой главе мы кратко остановимся на необходимых нам в дальнейшем общих сведениях о двухвременных квантовых статистических функциях Грина. При этом основное внимание будет уделено получению общих спектральных представлений, конкретизирующих тот или иной тип функций Грина. Важное значение в наших исследованиях будет играть излагаемая здесь же теорема о вариации средних значений динамических величин при воздействии адиабатического бесконечно малого приращения гамильтониана, позволяющая, например, установить связь уравнений для двухвременных температурных функций Грина с кинетическими уравнениями статистической механики, что оказывается весьма важным для выяснения физического смысла и возможностей производимых аппроксимаций при рассмотрении конкретных задач. Варьируя уравнения для одновременных статистических корреляционных функций [10] по формально вводимому бесконечно малому дополнительному внешнему полю, мы сразу получаем уравнения для соответствующих двухвременных функций Грина (в энергетическом представлении). Этот прием тем более привлекателен, так как структура уравнений для одновременных корреляционных функций может оказаться нам известной по каким-либо другим соображениям.

Функции Грина и их спектральные представления

Рассмотрим динамическую систему с гамильтонианом Н, явно не зависящим от времени. Условимся обозначать через (и) среднее значение некоторого динамического оператора по большому гиббсовскому ансамблю. Пусть, например, эта система состоит из частиц одного сорта и их число N сохраняется, т. е. для оператора числа частиц N имеем

HN-NH — 0.

Тогда гамильтониан для большого ансамбля будет Нх=Н — XN, где X — химический потенциал, и

<м) -Q^Sp \и ехр [ — (// — W]},

Q = Sp ехр [ —- (Я — ХЛ^)/9].

В нашей работе мы будем иметь дело с двух временными функциями Грина:

б„Д/, т) = 0(/-т)([Л(О; В(т)]),

God1l (t, т) = - 0 (т - О ([Л (0; В (т)]),'

где

дппд( 1, t 2> 0

а причинная функция Грина имеет вид

Gc(t, t) = (T(A ^B^HH=

= {0 (/ — т) (Л ^ В (т)) + 0 (т - 0 <В (т) Л ^\ЦП.

Обозначим фурье-образы этих функций Грина в £-представлении через

/<«)(£) = «Л (0; В^)))^ (a = ret, adv, с),(12)

так что

Ga (£ т) =/(а) (£) ехР [~1Е V ~ т^ dE 1

— ОО

Приведем сейчас некоторые известные результаты, относящиеся к спектральным представлениям, которые в дальнешем будут использованы. Отметим прежде

всего, что эти результаты относятся к тому случаю, когда Л (/) и В (/) являются операторами в гейзенберговском представлении, т. е. в представлении, соответствующем гамильтониану большого ансамбля, например H — XN.

Иными словами, мы считаем, что Л (/) и В (/) определяются уравнениями:

Ш ^-= Л (о кН - XN) -кН- XN) Л (О

и начальным условием Л (0), соответствующим шредин- геровскому представлению. В частном случае, когда операторы сохраняют число частиц, т. е. коммутируют с N, можно написать: И1^=АН-НА;

01

ihd^ = BH-НВ,

т. е. брать гейзенберговское представление с гамильтонианом Н.

Подчеркнув это обстоятельство, получим вначале спектральные представления для временных корреляционных функций типа (В(т)Л(/)), (Л (/)В (т)), где (...) обозначает статистическое усреднение. Операторы Л (/), В (т) взяты в гейзенберговском представлении:

Л (/) = ехр (JHxt№) Л exp (— гНхЦНу,

В (т) = ехр (ДК^/й) В ехр (-— Шх^/й)

(далее индекс ((X» будем опускать, если это не приводит к путанице).

Пусть далее Cv и Ev — собственные функции и собственные значения оператора гамильтониана Нх, причем Cv — полная система собственных функций для Нх*. НхСм = Е^С^. Тогда из определения статистического усреднения

(В (т) А (0> = Q-151С*В (т)А (0 cv} ехР (— ЕА-

Используя полноту системы собственных функций Cv, будем иметь

<В (т) А кФ = Q-15 № (т) С^ {СМ (0 Cv} ехр (- E„R = V, ц

= Q"1 У, {С* ехр kiH^/H) В ехр (— /Ят/Й) Сц} х V, ц.

X {Сц ехр (ДИ^ А ехр (— ШЦк) Cv} ехр (— Е^/6);

поскольку

exp (— IHUh) Су = exp (— lEyt[H) Cv, C^ exp (iHt/ft) =

= C£exp (IEVM);

Cy exp (1Нт/й) = Cv exp (lEyT/K)-, exp (— iHtlh) Cp =

=exp (— iE^/H) Сц, получим

<B (т) А (/)) = Q-1 2 (СуВСр) (С^АСу) exp (- Ev/9) х

хехр [— i (Еу — Е^ (i — т)/Й];

с другой стороны,

(А (О В (т)) = Q~i 2 (С*ЛСЙ) (С^ВСу) ехр (- Еу/9) х

X exp [— I (Еу — Е^ (т — /)/Й].

Заменяя в последней формуле v->pi, p-^v и сравнивая с предыдущим, находим

(Л (/) В (т)> = Q-12 (QАС у) (С*ВСи) ехр (- Е^ х

X ехр [— i (Е^ - Еу) (т - ад = Q-1 5 (С^ВСи> (С^ЛСу) х

хехр (— Еу/й) ехр [— i (Ev — Ер) (t — т)/й] х

Хехр [(Еу-Е^/Э].

Положим

(ю) =

= Q-i У (CMQ (С*иВСу) ехр (- Ev/9) 6 (^^ - с») =

= ^АВ^).(L3)

Тогда **

+=°

(В (т) Л (/)) = J ^ав (!^) ехр [— Im (i — т)] d®,

— ОО

+ оо

(Л (/) В (т)) = $ ^дв (о) ехр (шЙ/9) ехр [— йв (/ — т)] dt».

— ОО

(1.4)

#) При получении соотношений (1.4) можно было бы и не переходить к собственным функциям оператора Н^- Достаточно заметить, что (В (т) А (0), кА (0 В (т)) из-за перестановочности операторов под знаком шпура зависят лишь от разности (/-—т), поэтому (1.3) есть просто определение фурье-образа.

Выражения (1.4) представляют искомые спектральные представления для корреляционных функций (В (т) А (/)), (Л (О В (т)), ^ав (<о) — спектральная интенсивность.

К соотношениям (1.4) полезно добавить

1 <А (О В^-В (т) А Ю) = ([ Л (Z); В (т)]> =

=^ав (to) ^ ^^ - exp [— im (t - т)] dto. (1.5)

— ОО

Теперь, исходя из полученных формул, найдем соответствующие спектральные представления для запаздывающей и опережающей функций Грина (1.1). Вернемся к их определениям (1.1), которые можно записать в виде

<^-~т) = 0(/-т)<[Л(/); В(т)]>,

С»^(^т)=© (т —О <[Л (0; Жт)]>.(1.1а)

Разрывную функцию 0 (/) представим в виде

^^ = J exp (s/') $ (О ^/' (в>0, в—>0), — ОО

Принимая во внимание полученные соотношения, согласно определениям (1.1) найдем спектральные представления для запаздывающей и опережающей функций Грина:

+ 00

G«/(<-t)=^ § ехр[—/<»(/-т)]х

— 00

х/Тdto,

+ оо

Godv V — т) = ^ \ exp [— I® (I — т)] х

Обозначим фурье-образы Gret (I — т) через

adv

«Л; В^.^-.

Н-СО

Gret kt — т)= J ехр[— zo> (^ — т)] «Л; В»"*-а4е йт, adv_ оо

(1.6)

тогда

«А • BWe* = 1 Y (v) ^W®)-1

2л J W ti (o-v+te’

— 00

((A- B}}ad0 = — ^ е^Ст)—g (уй/6)—1dv

w1* °//ш 2л J 09 йи—v—ie‘

— 00

Согласно сказанному, приведем здесь некоторые полезные соотношения, которые нам могут потребоваться в дальнейшем. Воспользовавшись в полученных формулах известным тождеством

—=Р (± ins (Е - (й),

Е—m+ie\Е — ш)' п

можем записать:

Fet^=^ 5 ^И^^-1 — 00Fet^=^ 5 ^И^^-1 — 00£ ^ (£) ехр(5Й/6)—I.£ ^ (£) ехр(5Й/6)—I.

Fet^=^ 5 ^И^^-1 — 00

Fet^=^ 5 ^И^^-1 — 00

£ ^ (£) ехр(5Й/6)—I.

£ ^ (£) ехр(5Й/6)—I.

$ ^(to)^№llp(^)dto +

+ £^(Е) ^Р-^У"1 ;(1.7)

-£[exp(W)+ 1]^(Р),

откуда следует, что

^adT (£) _ yet ^ = ^ (£) [ехр (£й/9) - 1]/Й,

зс (рх ехр (ЕЙ/6) ^' (E)-^d” (Е)

< ^1-ехр(ЕЙ/0)-1

т. е. спектральная интенсивность определяется через фурье-образы функций Грина.

Заметим, что причинные функции Грина в случае 6 Ф 0 не могут быть голоморфно продолжены в комплексную ^-плоскость. Подчеркнем, что во всех выше- написанных формулах величина Е вещественна.

Введем теперь функцию комплексного переменного Е:

№=«A, В»Е=±\

— ОО

(1.8)

Можно показать**, что ^ (Е) — аналитическая функция, регулярная во всей комплексной плоскости Е, за возможным исключением линии разреза — вещественной оси. Ясно также, что

и поэтому для вещественной оси можем написать:

(«^; b>W - «Л; в»Е_„) 5-^-т_й/ (Е);

_ еХР (Eti№ ЯЕ +18) ~ > (Е -18), 1 m

<—ехр (Вй/0)—11

§ 2. Теорема о вариации средних значений

Закончив нужную нам сводку результатов, относящихся к спектральным представлениям, приведем теперь формулировку теоремы о вариации средних значений **\

Рассмотрим систему с гамильтонианом//', явно зависящим от времени, который отличается от # на бесконечно малый оператор 6//, причем, так как в первом приближении временной теории возмущений поправки к средним значениям динамических величин аддитивны по отношению к отдельным слагаемым в 6//, то можно выбрать в качестве 6Н отдельную гармонику 67/ =

*' Аналитичность функции ((А; В))Е следует из теоремы, доказанной Н. Н. Боголюбовым и О. С. Парасюком [11].

= exp (— iEt) Z?6£. Считая, что возмущение 8H включается адиабатически, будем полагать, что £ = Q±ze (Q и бесконечно малое положительное е вещественны), 6£ — бесконечно малое комплексное с-число, 5 —оператор, явно не зависящей от времени.

Предположим, что в случае Im£>0 система находится в статистическом равновесии при I — —оо (возмущение 677—^0 при /-> — со), а в случае 1ш£<0— при / = оо (здесь 6Я—>-0 при /->оо). Пусть А будет динамической величиной, которая в представлении Шредингера не зависит явно от времени. Обозначим через А (/) ее представление Гейзенберга {Л(0) = Л}.

Тогда в обоих упоминавшихся случаях *^

6 <Л (0> = <Л ^Нк+6Н-(А (0>нх=

= 2л{«Л;В»£ехр(—/ЕОб^Ц-с. с. (МО)

Глава II

ДВУХВРЕМЕННЫЕ ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА

В СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ КЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Говоря о распространении гринистического подхода на задачи статистической механики классических систем, необходимо заметить, что в классической механике произведение динамических величин коммутативно, ввиду чего введение каузальных функций Грина, т. е. средних от упорядоченных произведений, нам представляется затруднительным. С другой стороны, коммутатору квантовой механики соответствуют (с точностью до множителя) классические скобки Пуассона, поэтому для статистической механики классических систем естественно вводить именно опережающие и запаздывающие двухвременные температурные функции Грина, принимающие теперь смысл «упорядоченных скобок Пуассона», а вместо операторов динамических величин вводить функции динамического состояния изучаемой системы, выполняя соответствующие усреднения по классическому ансамблю [7]. Для таких функций Грина, исходя из

*> Входящая здесь функция Грина в ^-представлении относится к системе с гамильтонианом Н^.

рассмотрения только «классической задачи», устанавливаются спектральные представления, аналогичные соответствующим представлениям в квантовомеханическом случае, и устанавливается классический аналог квантовомеханической теоремы о вариации средних значений (по классическому ансамблю) динамических величин.

В этой же главе построена цепочка зацепляющихся уравнений для определения двухвременных температурных классических функций Грина. Такие уравнения удается получить, варьируя известную цепочку уравнений Боголюбова для одновременных функций распределения [9] по бесконечно малому внешнему полю. Мы считаем, что это обстоятельство позволит использовать для разработки приемов расцепления способы, аналогичные тем, которые применялись для получения кинетических уравнений из цепочки уравнений для функции распределения [8].

Заметим, что понятие «классических» гриновских функций в указанном здесь смысле оказалось полезным при изучении некоторых модельных задач классической статистической механики и использовалось рядом авторов (см., например, [12]— [14]).

§ 3. «Классические» функции Грина и их спектральные представления

Введем понятие двухвременных функций Грина в статистической механике классических систем и установим для них соответствующие спектральные представления, не выходя за рамки классической механики.

Рассмотрим квантовомеханические функции Грина:

Gret U, п=e(t-n< [Л (0; в (Г)] >,

Gody (t, n = - 0 (f - 0 < [Л (/); В (/')] >,1 1 '

где [Л; В] = (ЛВ — BA^ih — квантовые скобки Пуассона, а

Л (0 и В (/')*'—динамические величины (операторы) в гейзенберговском представлении, еймвол (...) обозна-

*’ Шредингеровское представление этих операторов не зависит явно от времени.

чает статистическое усреднение. Рассматривая формулы (2.1) для классического случая, естественно ввести функции Грина теми же соотношениями (2.1), в которых выражение [Л; В] будем понимать как классическую скобку Пуассона.

Вместо операторов Л и В мы будем рассматривать функции динамического состояния изучаемой системы:

Л (0 = Л {<7! (О, ...,qN <t^; PiWPn (0},

В (П = В \qt (Г)qN (f); Pi (Г)Pn (Г)}.1 • '

Координаты и импульсы в момент времени t qi(^=Qi(t\qiqN; PiPn), Pi(t) = git(t; qu ..., qN; pipN)

(i = l,2N)

определяются уравнениями движения и начальными значениями:

qi(0) = qb pt (0) = Рь

Qi(Miq^, pipN)=qr, ^i^, qiqN, PlPn) = Pl. Усреднение (...) выполняется с помощью интегрирования по переменным qu ..., qN\ ръ ..., pN с соответствующей весовой функцией.

Таким образом, мы вводим двухвременные запаздывающие и опережающие функции Грина для статистической механики классических систем.

В квантовомеханическом случае кроме запаздывающих и опережающих функций рассматривают также «причинные» функции Грина, например

Gc (/, f)=—i<T (Л (/) В (/')) > =

= — i < В (/') Л (0 > + Л < [Л (0; В (Г)] > 0 (/ - Г).

Эта функция для классического случая вырождается просто в среднее от произведения: — К А (0В(П> = — КВ^А (0>, поскольку в этом случае умножение динамических величин коммутативно. Если же мы определим Gc (/, /') как

то вообще нельзя будет перейти к пределу классической механики й-*0.

Итак, для классической механики естественно вводить лишь запаздывающие и опережающие функции Грина.

Переходя к вопросу о спектральных представлениях, возьмем сначала соответствующие квантовомеханические выражения (1.5), (1.7) и совершим в них формальный предельный переход при fi-ч-О к классической механике.

Как уже указывалось в гл. I, соотношения (1.5) и (1.7) имеют место, когда усреднение ведется по большому ансамблю Гиббса; но если рассматривать такие операторы А и В, которые сохраняют число частиц (коммутируют с N), то усреднение можно вести по обычному ансамблю Гиббса.

Теперь среднее будет вычисляться по классическому ансамблю:

,j_u«cp(-///6)d^^

j exp (— Н^ dqT dpT... dqN dpN ’'

а спектральную интенсивность e7 (о) вводим опять с помощью фурье-представления (1.4). В результате получаем:

.4-°°

([Л (/); В (/')]) = — у \ S (о) о ехр [— ito (t — f)] do,

— ОО

«Л; В»='-^ S^-g^;.(2.4)

— ОО

— ОО

Это и есть искомые спектральные представления, полученные из соответствующих представлений для квантовых систем путем предельного перехода к классической механике. Но так как соотношения (2.4) верны для классических систем, проведем их доказательство, не выходя за рамки классической механики.

Рассмотрим выражение (Л (/) В (Г)) = (В (f) Л (0), в котором Л (0 и В (f) являются динамическими величинами типа (2.2) и где среднее (...) берется по формуле (2.3) с не зависящим явно от времени гамильто-

нианом Н. Совершим в выражении

(А ^ ВО = (В(ПА^) =

= Q-^ А ^ В (Г) exp (- Н/^ dqt dpi... dqN dpN (2.5) преобразование переменных qi~^qi{—О, Pt-* Pit.— t') так, что

qAt’^qu qM-^qAt-t v

рЛП-*рь рДГ)-*рА<-0

(i=l, 2, ... , N).

Тогда ввиду инвариантности гамильтониана Н и фазового объема Лиувилля по отношению к такому преобразованию получим

(А (/) В (/')) = <Л (/ — Л В (0)) = ср (/ — п.

Будем исходить из представления Фурье

Н-ОО

(Л(/)В(И) = $ е7(®)ехр[-ш (/-/')] do (2.6)

— ОО

и найдем среднее от скобки Пуассона ([Л (/); В (/')]). Согласно определению,

мт. ним- V rM(0<W) дЛ(о 65(/')]_ [Л(0, В(О]- 2 1^757^7]-

1 <«N

- 2 №^)-4>п^>)].

Теперь, обращаясь к формуле (2.5) и интегрируя по частям, имеем

<М(П; в«')]>=е-> 2 Onv)-

< (^ N

—(в и'}д^ ^1 Xdq, \° V > др, Д Х

X ехр (— Я/в) dqidp,... dqNdpN =

X^i^N

+ BvnM«a«,i-№^ dqidpi _ dq„dpN =

№'^.-

Y^t^N

- В (/') ^ ^) exp (- B/9) dqxdpx ... dqNdpN =

=Q-19-1 ^B (/')[Л (0; //]exp( — H№>dqxdpx ...dqNdpN = = ^{B(t')[A{t)-, H^,

где

Q = J exp (— /7/0) dpxdqA ... dpNdqN.

Но, с другой стороны,

[Л (Л; ^1=т-

Поэтому, принимая во внимание (2.6), имеем

<М (0; В (/')]) =4 /^ В(П\ =

. 4-00

= | ^ <Л (О в (/')) = — у Х^ (<в)ехр[ - № (/ - О] dm.

— ОО

(2.7)

Отсюда на основании (2.1) мы получим для функций Грина в ^-представлении выражения (2.4). Итак, эти соотношения полностью доказаны.

Установленная здесь формула (2.7) потребуется нам в дальнейшем.

Целесообразно ввести в рассмотрение функцию Грина для комплексных значений Е:

— ОО

Эта функция определена везде на комплексной плоскости £, за исключением вещественной оси, которая является, вообще говоря, линией разреза. Выражения ^Л; Ву^ adv будут соответственно предельными нижним и верхним значениями этой функции на вещественной оси. При этом

/ (со + /в) — /(о — /е) = — Й1)9~ W (о) (ш ^ 0).(2.8)

Теорема о вариации среднего значения динамической величины

Выведем классический аналог известной теоремы квантовой статистики о вариации среднего значения динамической величины при воздействии адиабатического бесконечно малого приращения гамильтониана [7].

Пусть при / = — оо наша система находится в состоянии статического равновесия и ее гамильтонианом

будет Н {р, qY Включим бесконечно малое приращение гамильтониана

Н^Н^р, qH^H^Y

которое запишем в форме

6Н ^) = ^ехр(-1Е1)биа^1qN; pN), g

E = Q-\-to (e>0, e-^0).(2.9)

Рассмотрим динамическую переменную A (/) вида

Л(0=Л(^(0qN(t); pitt)PnV))

и попытаемся вычислить приращение 6 (А (/)), обусловленное вариацией гамильтониана (2.9). Среднее значение А, по определению,

<Л(о>=$Л(^qN; pt,.... pn)p(i, qi,.... qw;

Ръ • • •, Pn) dqidp} ... dqndpNi

где р(/, qu ..., qN; pb pN) = pz удовлетворяет уравнению движения

T=№ M.

или

9-^-^-==lH(p, 9) + ^exp(-iQ/)exp (еП6170 (^, p);

p(t, q, p)](2.10)

и начальному условию

p(0U—=o=Q'1exp[-^(p, ^)/e].

Для удобства обозначим qiqN^q\ piPn^P- Полагая в (2.10) p, = p4-6pz и ограничиваясь линейным приближением, получим

9^—VHtp, q); SpA^expt-iQt + iDVSUatq, р); р],

6р/ 1/==_оо=0>

или

^-[Я(р, q); u^=^expt-iQt-\-et)fQtp, q),

Ut |/=—oo = 0.

Решение этого уравнения имеет вид (см. [9])

и^^ $ ехр( —i£2T + tT)S-(,_t)f0 (9, p)dT, Q —оо

где 5г —оператор сдвига, заменяющий начальные значения координат q (0) и импульсов р (0) их значениями через момент времени — г: q (— г); р (— г), которые определяются с помощью канонических уравнений dq = dH_. dp = _дН_ dt др ’ dt dq ’

где Н — неварьированный гамильтониан.

Таким образом, для произвольной функции S' (р, q) динамических состояний можно написать:

S^(^(0), р(0))=^ (q(z), p(z)) = S(z, q, р);

S-^Wt, Р^. z)=^q(-z), р( —г), 0) = = ^(<7 (-г), р(-г^у поэтому

6р< = 5 $ exp (-И2т+it) $_«-<) [61/0(р, 9)1 p]dT. Q —оо

(2.11)

Используя инвариантность скобок Пуассона относительно канонического преобразования

S-AAkP. 9); В(р, q)]=[(S.zA(q, р», (S_2B(q, р))], свойство мультипликативности оператора S-«-t) = S-t • St» а также законы сохранения энергии S_,H=H и плотности S-zP = P» имеем t

6p/=S $ ехр( —Шт + ет)5^[5т(6(/а(^, р)); pjdr.

“(2.12)

С помощью выражения (2.12) определим вариацию среднего значения динамической величины, которую запишем

(2.13)(2.13)в виде

(2.13)

(2.13)

6 (Л (Z)) = $ A6p,dqdp. — ОО

Подставив (2.12) в (2.13), получим

6<Л(ф=5 $ drexp( — /Пт + ет) $ A (q, p)S-,X Q —оо

X [ST6UQ(q, р); p]dqdp = ^ J dt exp (— ZQt + ет) x Q —oo

X^(g(Z), P (Z))[6(/Q (qW, p(^y, p]dqdp.

Преобразуем выражение, стоящее в последней строке. Интегрируя по частям, получим $Л№(т);р№р= 5 $ А (ОХ

(дВ_(т) др _ д5_(т) др | . .Х1 dq, др, др, dq,rpa<<(дВ_(т) др _ д5_(т) др | . .Х1 dq, др, др, dq,rpa<<= $р[Л (Z); B^dqdp.= $р[Л (Z); B^dqdp.

(дВ_(т) др _ д5_(т) др | . .

Х1 dq, др, др, dq,rpa<<

(дВ_(т) др _ д5_(т) др | . .

Х1 dq, др, др, dq,rpa<<

= $р[Л (Z); B^dqdp.

= $р[Л (Z); B^dqdp.

Вводя разрывную функцию

0 (Z — т) =0 (Z — т) =1, Z>T,О, Z<t,1, Z>T,О, Z<t,

0 (Z — т) =

0 (Z — т) =

1, Z>T,

О, Z<t,

1, Z>T,

О, Z<t,

запишем соотношение для 6 (Л (Z)) в форме

6 (Л (Z)) = У exp (— ZQZ + eZ) J exp [ZQ (t — т) —

— e (Z — т)] <[Л (/); 6Ua (t)J) dT = 2 exp (— 1Ш + e/) x

Q + co

X J 0 (Z — t) exp [ZQ (Z - t) — e (Z — t)] <[A (/); 6UQ (t)]><Zt.

Используя теперь выражение для фурье-образа запаздывающей функции Грина, получим

6 <Л (Z)) = 2л 2 exp (- iQZ + eZ) «Л; SZ/q»^,

при е->0

6 (Л (0) = 2л 5 exp (- iQO «Л; SUq»^.

Аналогично показывается, что если при / = оо рассматриваемая система находится в состоянии статистического равновесия, то при включении бесконечно малого возмущения вида

6/7(0 = 5ехР(-ш/-8/)6с,й^ Р) (е^-0, е>0)

изменение среднего значения А (/) будет

6 <Л (0> = 2л 5 ехр (- 1Ш - st) «Л; 6UQ »q

Объединяя полученные результаты, найдем

6 <Л (0> = 2л S exp (- iEt^ «Л; 6f/a»£,

где

„ (Q + ^> retarded л —

£ = L,, (8-^0, 8>0).

—re, advanced

Заметим также, что для практических приложений удобно будет брать два первых члена в сумме для 6// (/):

6// (/) = ехр ( - /£/) ВбЕ + ехр ( £/) В *6^*.

Изменение среднего значения динамической величины А -под влиянием этого возмущения будет

6 <Л (0> = 2л «Л; В»Е exp (- 1ЕП 6g +

+ 2л«Л; B^-Eexp^iEt)^*. (2.14)

Таким образом, мы установили в классической статистической механике теорему о вариации среднего значения динамической переменной при воздействии адиабатического бесконечно малого приращения гамильтониана, которая будет использована при построении уравнений для функций Грина, исходя из цепочки уравнений для корреляционных функций распределения.

§ 5. Цепочки уравнений для «классических» функций Грина. Связь с функциями распределения

Рассмотрим систему из N одинаковых частиц, находящихся в макроскопическом объеме V. Пусть динамическое состояние каждой из этих частиц характеризуется совокупностью (г, р) — радиуса-вектора г, определяющего ее положение, и импульса р.

Гамильтониан системы Н, явно не зависящий от времени, возьмем в форме

(2.15)

где Ф (г, -т- Гу) — потенциальная энергия взаимодействия пары частиц.

Введем динамические величины аддитивного, бинарного и вообще s-кратного типа:

Л„(0 = 5 б^-^НО), 1 ^ i С N

(2.16)(2.16)АХ1хДП= X 6(х,-^(0)6(х2-^(0), 1 <f</<^

(2.16)

(2.16)

АХ1Х,... х ^) =2б^-^Х

1 < к < к < • •. < 1$ < N

x6(x2-^(Z))...6(x,-^s(0).

Здесь £<(/) = {гг(0; Pz (0}- Состояние Z-й частицы в момент t определяется уравнениями движения и начальными значениями ^(0) = {гг(0); Р/(0)}; 5г (0 можно рассматривать как функцию / и переменных £1? ..., ^N:

Ы^ХДЬ ^Ы.

В формулах (2.16) х; = {г<; рг} — независимые переменные, выполняющие роль параметров, 6 (х — g) — шестимерная 6-функция:

б(х-9= П Нг»-^ П 6(ра-р;). 1<а^3 1<а<з

Отметим, что всякая величина s-кратного типа, т. е.

us 1М)=.2(2-17)

1 ^ к < ... < i$ ^ N

может быть выражена через АХхй...х:

usU\ b = V (*ixs)AX1...xs (i) dxt ... dxs. (2.18)

Введем теперь систему запаздывающих и опережающих функций Грина:

Grset (t — f; хъ .... х,; </) = ©(/ —/')х

Х<[ЛХ1...,$(/); Ая (/')]>, (2.19)

^V-t'; Х1х$; у^-^Ц'-^х

Х<ХАХ1...хД1у, АиГО и обозначим через

«Л^...^; Аи^Е(2.20)

соответствующие функции Грина в 5-представлении. Как уже говорилось, они будут аналитическими функциями комплексной переменной 5, регулярными на всей комплексной плоскости, за возможным исключением вещественной оси, являющейся линией разреза. В соответствии со сказанным

Grset (t-t'; хгх$; у) =

= $ «Л^ ... ^; Ая))Е+1б exp [— IE у - Г)] dE, — ОО

хгxs; у) =

+ ОО

= J ((Л^ ... х$» Ay^E-ie ехР [ lE (t t )] dE, — oo

где е — положительная бесконечно малая величина.

Построим теперь для функций Грина в 5-представлении (2.20) соответствующую цепочку уравнений. Для этой цели воспользуемся известными уравнениями, связывающими обычные функции распределения [9]:

Fs (t; ХЪ ..., xs) =V'S^D (t, хъ ..., xs, xs+i, ..., xN) x

Xdxg-n ... dxN, (2.21)

где D (t, x,, ..., x^ — плотность вероятности распределения динамических состояний Xi, .... Xn исследуемой системы.

Возьмем полный гамильтониан в форме

Н'= 2 H(t, xz)+ 5Ф^-Г/),(2.22)

1 ^ I с N\^i< i^N

в котором индивидуальные гамильтонианы Н (t, х^ могут явно зависеть от времени. Тогда цепочка уравнений для Fs будет иметь вид

IHU, xy, F^t, Х)] +

+ « ^ [Ф (г, - r2); F2 и, хъ х2)] dx2, (2.23)

?F^'x>™xs) = [Я V, х.У, Fs U. х,)] +

+2 [Ф(П-г/); ^(Л хь .... xs)] +

1 ^ i < / С s

+ П 5 $ [ф 0"i - rs+l); ^+1 (^*s+l)l ^5+1,

1 < i < s

где n = N!V — плотность числа частиц.

Заметим, с другой стороны, что для динамических величин (2.17), (2.18) можно написать

(usV;—iv) ••• (* лГ")х

х $ / (х^ ..., х^) Fs и, х;Xs) dx{ ... dx's,

или, пренебрегая, как всегда, величинами порядка l/Af, (us (Л /)) = - J § / «ха Л и* х'ь ..., Xs) dx'x ... dx's. Положив здесь

f (xj, .... Хз) = 6 (Хг—xi) ...6 (Xs —Xs), найдем

<АЧ ...xs (i)) = -^-FsU, xt,..., x$).(2.24)

Воспользуемся теперь результатами (2.14), для чего выберем «индивидуальный гамильтониан» в форме

Н U, х) = р^Ът + / (х) ехр (— iEt) 6Е + /* (х) х

X exp U-Et) 6|*, (2.25)

где Im Е ^ О, 6g, 6g* — комплексно сопряженные бесконечно малые постоянные. Тогда гамильтониан (2.22) будет иметь вид

Н' = Н + ЬН,

где Н определяется выражением (2.25), а

ЬН = exp (— iEt) 2 f to) S? +

+ exp(ZEO 5 /* (x<) 6g* = «(/) exp (-ZEZ) 6g +

1 < I < N

А-и^Нехр^ЕГ^*. (2.26)

В соответствии с задачей о включении бесконечно малого возмущения рассмотрим ситуацию, когда наша динамическая система находится в состоянии статистического равновесия при /-> —оо (в случае Im£’>0) или при /-> + °° (в случае Imf^O). Тогда на основании (2.26) и теоремы о вариации среднего значения видим, что

+ 2л{«A,t ...х$; и (/)»£exp(- iEf)6g +

+ «Л^ . x$; и {Ш-Е^? {iE№*}, (2.27) где обозначение ( ... /°’ показывает, что среднее берется для состояния статистического равновесия с гамильтонианом (2.15).

В силу общего соотношения (2.24) заключаем, что

Fs (/, хь ..., xs) = FT (хь ..., xs) + 6FS,(2.28)

где Fs°* (Xi, ..., x.s)—функция распределения для состояния статистического равновесия в рассматриваемой динамической системе с гамильтонианом (2.15) и где ввиду (2.27)

6/75=2л51 n^V^Ax' ... xs; и (f)})E exp (— iEt) 6g +

+ «^...xs; и e*W-E exp (iEO 6g*}. (2.29)

Подставляя выражения (2.28), (2.29) в варьированные уравнения (2.23) и выделяя коэффициент при 6g, получим

следующие выражения:

-IE «А;, и(Ь»в=№п; «Л„; ы(Л»Б] +

+ 2 $ [Ф (г, - г2); «А,^, и Ше\ dx. +

+ ^l/W; ^'(хх)]; (2.30)

— IE «Л^ ... х$; и ЦТАе—ЦА (х^х5); ((Л^.. х$*

U Ш + (s + 1) S $ [Ф (Г/ - г,+1); «Л Xj ... v ;

^ / < S

u(D»e] ^i + i 2 и^У, Г5ЧХ1х$)],

1 С / С $ где

НДхи х$)= У, p^m-V У Ф^ —гх).

К i ^ s1 ^ i < / с S

(2-31)

В качестве функции / (х) возьмем 6-функцию: / (х) = — 8 (у — х), тогда

Я(/) = ЛУ; «Л^....^; ы(/)>)Б=((Л^ . х^; АяАе-

Поэтому из (2.30) получим искомую цепочку уравнений для определения функции Грина (2.20) в виде:

— iE«ЛХ1; АуУ)Е=1Р1/2т; ((ЛХ1; Лу))е]-|-

+ 2 [Ф (rj — г2); ((Лхл; АуАе] dx2 +

+ ^lMx-z/); Е^ (xt)],(2.32)

—^^(^^ • • *5> Au)')e=V^»(^1>^);

«Лх ,s; Лу»е] + (5+1) 5 $[Ф(г,-гт);

к / ^ S

«ЛХ1... х#+1; АуУ)в ] dxs+i + 2^f 2 М (У — XjY,

1 < / ^ S

Ps4XlХ$)].

Полезно отметить, что спектральные представления для корреляционных функций (A*t ... xs (0 Лу (т)) имеют вид <ЛХ1...х$(0Лу(т)> = 4-00

= $ exp [— № (t — т)] 6^ (св; xv ..., xs; у) dto, (2.33а) — ОО

где ^(ю; хгх$; у) — спектральная интенсивность, определяемая соотношением

^(®; Xixs; у) =

= i6m-1 {«Ач ... ,S (0; Л, (T)»£+ie -

-«AXl...x#(0; АВШВ_^ (2.336) при со=#О. Таким образом, спектральные представления от среднего значения динамических величин .аддитивного и s-кратного типа примут вид

+ оо

<US (t; fs) и (т, А)> = 5 exp [— Ito (t - т)] ^ (to) dto, (2.34) — 00

где

(<b) = iQ®-1 J fs to, ..., xj А (y) X

X {(( AXj ... x$ (0» Ay (т)))г+;е

— «Ax,... Xs (0; Ay (t)»e-/b} dx^.. dxsdy (при to ^ 0).

Заметим, что в цепочке уравнений (2.32) неизвестные функции Грина s-порядка связаны с соответствующими функциями Грина (s+1)-порядка, поэтому и нахождение ее приближенных решений весьма затруднительно и требует расцепления связанной цепочки, например, с помощью разложений по степеням некоторого малого параметра.

Вместо того чтобы производить расцепление в уравнениях для функций Грина «Л^.,.^; Ау^в» можно непосредственно провести расцепление в цепочке уравнений для корреляционных функций (2.23) с помощью приемов, введенных Н. Н. Боголюбовым [9] для получения кинетических уравнений, а затем уже посредством «теоремы о вариации» перейти к функциям Грина.

Глава III

РАСЦЕПЛЕНИЕ ЦЕПОЧКИ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ КЛАССИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ГРИНА

Для иллюстрации, разработанной в предыдущей главе общей методики, .предложим несколько способов расцепления цепочки уравнений для введенных нами классических функций Грина.

В качестве одного из примеров получения замкнутого уравнения для определения функций Грина мы рассмотрим простейшее расцепление, эквивалентное приближению самосогласованного поля [15]. С помощью полученного решения найдемявные выражения для спектральной интенсивности и корреляционных функций. При этом для отдельных фурье-компонент плотности может быть получена известная формула колебательного типа с плазменной частотой и затуханием Ландау [16].

Далее на основе той же цепочки уравнений для классических функций Грина предложен иной способ расцепления, который приводит к приближенному замкнутому уравнению для основной функции Грина, и, как мы увидим, это уравнение будет аналогом классического уравнения Больцмана в методе функций Грина [17]. На основе этого уравнения строится система «акустических» уравнений в приближении Навье—Стокса, решения которой определяют асимптотические выражения для фурье-компонент запаздывающих и опережающих функций Грина, непосредственно связанных с физическими характеристиками рассматриваемой системы [18], [19]. Следуя Н. Н. Боголюбову [20], мы назвали это приближение «вязким гидродинамическим приближением».

Разработанная методика позволяет учесть эффекты затухания, а коэффициенты затухания естественным образом выражаются через коэффициенты вязкости и теплопроводности.

Расцепление, соответствующее приближению самосогласованного поля

Возьмем в качестве примера первое из уравнений (2.23) и воспользуемся в нем простейшим расцеплением: М, хь xa) = F1(t1x1)F1Vt,x^(3.1)

соответствующим известному приближению самосогласованного поля, используемому в случае дальнодействую- щих, например, кулоновских сил. В таком приближении уравнение для определения Ft (t, аД будет иметь вид WL^-=VH хх\, Fx U, XJJ +

+ n $ [Ф (гх - r2); fl V. Xx) FxV, x2)] dxa, (3.2) где x1 = (r1, pi), x2 = (r2, p2).

Это уравнение было впервые получено и исследовано А. А. Власовым [15].

Положим в (3.2)

Н kt, х) = р/2т + / (х) exp (— i E t) 6 | +

+Hx)exp(fE0 6r. (3.3)

В силу (2.28), (2.29) имеем:

Fdt.xW’i’^-W!^,(3.4)

6 Л a, x) = 2ПП-1 {«л„; и ^»в exp (- i Е f) 6 £ +

+ «Л„; «(P)»_£exp(z E ОбГЬ (3.5)

где Г]’(x) —выражение F^x) для случая статистического равновесия с гамильтонианом Н = ргГ2т. Подставив (3.4) в (3.2), найдем соответствующее уравнение в вариациях: 9АМ1^=у1 kt, Хх); 6 Л (/, Хх)] +

+ П $ [Ф (Гх - r2); Ft (Хх) 6 Ft kt, х^ +

+ Ft (х2) 6 Fv kt, Хх)] dx2 + [6 Я kt, Xi); Ft (Xx)].

Отсюда на основании (3.3) и (3.5) для фурье-образов функций Грина в 5-представлении получим

-15«Л„; ц(/)»£ = [^; «Л„; « Ш»£]+

+ ^ [/ кХ1У, Ft (Хх)] + п § [Ф (Гх - r2); Ft (хх) X

X «Л„; и ki^E^Ft (х2) «Л„; и kf^dx^.

Положим теперь / = 6 (х — у) (тогда тождественно и (/) == = Л у) и представим это уравнение в виде

-15«Л„; Лу»£ = [5; «Л„; Л,»£] +

+ ^ [6 (Хх - у); Ft (хх)] + п $ [Ф (гх - г2);

Ft (Хх) «ЛXs; А^в + Ft кх^ «Л,.; Л^>£] dx2 (3.6) (Хх = (Гх, Р1), Х2 = (г2, р2), У=к^, р'), dx2 = dr2dp2).

3333Сравнив это уравнение с точным уравнением — первым из системы (2.32), отметим, что приближенное уравнение (3.6) мы получим из точного (2.32), если в нем

33

33

использовать расцепление

2«ЛЗД; Лу»£=<Л„)«Л,2; Л„»£+<Л„> «Л„; Лй»£.

(3.7)

Действительно, поскольку согласно (2.24) (ЛХ1) = = nF®’ (xi), из (3.7) будем иметь нужное выражение под знаком интеграла:

пР^х^А,- Ay^nF?^)^, Ау^в.

Займемся теперь решением уравнения (3.6). Заметим, что в рассматриваемом случае пространственно однородного состояния статистического равновесия с гамильтонианом (2.15)

F?' (х) — С ехр (— р2/2/п6), где постоянная С определяется условием нормировки

С $ ехр (— p2/2m6) dp = 1,

откуда

С=(2/пл6)-3/2.

Обозначим «Л*; Лу))£=У (Е; г, р; V, р') и учтем, что

дФ^—г2) дг^дФ^—г2) дг^dr2 = —dr2 = —5Ф(Г! —r2)дг^5Ф(Г! —r2)дг^<^= S ^®dr==o’<^= S ^®dr==o’

дФ^—г2) дг^

дФ^—г2) дг^

dr2 = —

dr2 = —

5Ф(Г! —r2)дг^

5Ф(Г! —r2)дг^

<^= S ^®dr==o’

<^= S ^®dr==o’

г^*), НтП. «= 1,2,3,

\ —^гЗ^Е-, r2, p2; F, p')dp2 = 0, a=l, 2, 3.

Тогда после несложных преобразований из (3.6) получим V Pi"*

-iEJ(E; гъ рй F, р)=- 2, ~х

1 ^а^З

аV р<а)

хехр(-м) S"^^5a^',l£: Г11 р,: ’’’ p">*«\dr*"

1 V Р$а) ^(Г! —Г')

- ^ с", Хз ^ "Ч^ “Р 1" ":' (Р* " Р

Решение этого уравнения ищем в виде

Д£; г, р; г', р') = -^- $ ехр [Z (кг-kr')J х хЦЕ; к, р; p')dk. (3.8) Тогда для /(Е; к, р; р') имеем ЦЕ; к, р; р') =

«С2 -7^^ v (к) ехр [ — (р2+р,2)/2тб]

(е ркЩ р,кУч 2fe™№ ( ^ехрН^,

\т)\ т Л /2т0л ^Е-У^^т/

.1 я (рк) С exp (— pV2mO) д (р—р')

2л0тЕ — рк/т’

где +оо

v (к) = J Ф (г) ехр [ — f (кг)] dr, —00

С W«p(=l>W d д ^^^ jexp(-^

J Е — рк/т r_", E~&*K2eAn

Таким образом, искомая функция Грина полностью определяется формулой (3.8). В частности, для функций Грина вида <(р(г); р(И))£ найдем:

«р (г); Р (г')»5= J (Е; г, р; f, р') dp dp' =

= w S ехр [Zk (г- r')]f (£; k) d^,(3.9)

f(E; к) = \ЦЕ; k, p; p')dpdp'=

nkB (E, k)/n V2т6л-о iq. — 1 — 2knv(k)B(E, к)/^2тбИ ’1 ‘ ’

B(E, k^= ( Eexp(-^.e

^-^V^!m

Определим теперь соответствующие корреляционные функции, для чего воспользуемся спектральными представлениями (2.33 а). Найдем, например,

+оо

(р(/, г)р(т, 1/))= § о^ (со, г —г')ехр[ —/<о(^ — x)]d(o,

—00

(3.11)

где

^(m; г—r') = z9®-1 {((р (г); pfr')»^-

— «Р(Г); р(г')»ю-<е}=^,(ю; г-1/)+д(й)С1(г-П = 4-оо

= T^F $ ехр tzk (г"" ^1 “^ ^ (ю+г8> к^ ~

— / (ю — ie, 6)] dk + 6 (to) С] (г — г').

Здесь Ci —некоторая функция, зависящая от разности (г—г'). Для ее определения заметим, что при (/ —т)-*оо

J ^ (ю; г —1^) ехр [ —/и (/— т)] </и —>• О

и двухвременная средняя разбивается на произведение одновременных средних:

<р (/, г) р (т, /)> (р (/, г)> (р (т, /)>.

Для пространственно однородного распределения

<Р (/, г)> = <р(т, W/ = n=NlV,

и мы получим

(р(/, г) р (т, И> =

4-о°

= J е7(ш; г —f)exp[—im (Z —т)] dto-V^«(3.12)

—00

Отметим, что в случае одновременной средней (/ = т) соотношение (3.12) принимает вид

4-оо

(р(/, г)р(т, г'))= J <^(<о; г —f)d(o + n2 =

—00

= «6 (Г - г') + П2 - -g^ j -1+ь^9 exp[Zk (г - njdk.

(3.13)

Учитывая (2.24), легко видеть, что

(p(Z, г)р(/, О>= 2 <6(r-rZ1)6(r,-riJ> =

= 2 <6(r-nl)6(r'-ri8)> + S<6(r-r,)6(r-H> =

ii Ф la1

— п8 (г — fj + n^a (г — /).(3.14)

Здесь FaV-1 dr df представляет вероятность того, что две молекулы находятся соответственно в объемах dr, dr'.

Сравнивая (3.13) и (3.14), находим известное выражение для корреляционной функции Fa (г, г'):

F^r« ^"w S T+3)/6 exp[zk(r-H]rfk,

—ОО

которое в частном случае для кулоновских сил v (&) = = ^т^]к переходит в форму Дебая:

^2 (г, Г') = 1 - ^ ехр (— г/го),

где rD=V^!^^^ —дебаевский радиус; Ъ = кТ.

Напомним, что для получения приближенного уравнения для Рг мы сделали предположение об отсутствии корреляции, положив Fa(x^ Xi)=F1(xi)F1(xa). В связи с этим интересно заметить, что уравнения для функций Грина, полученные из такого кинетического уравнения, оказались более точными, позволяющими учесть эффект корреляции. Дело в том, что приближению (3.1) в уравнениях для функций распределения, не учитывающему корреляцию, соответствует в уравнениях для функций Грина приближенное выражение (3.7), учитывающее бинарные корреляции.

Возвратимся теперь к формуле (3.12) для двухвременной корреляционной функции и напишем ее для отдельных фурье-компонент плотности числа частиц. Используем квазидискретное представление:

р (t, г) = V-V2 2 exp [z (kr)] р6 (О,

и(3.15)

Р* (Л г)=р(/, г); р_6(0 = рб(0.

тогда двухвременная средняя может быть записана как

<р(/, Г)р(т, /)> =

= 2 V"1 exp [z (kr + k'r')] <р» (О рг (т)) + л2.(3.16)

к, к’

В результате, сравнивая выражения (3.12) и (3.16), находим

<Рй (О pl (т)> = +°°

= <9 J (о*1 [/ (<о+is; k)~f(a) — ie; &)] х —ОО

хехр[—io) (I — т)] d<o.(3.17)

В нашем случае, как нетрудно проверить,

or1 [f (<о + ie; k) — f(e> — ie; 6)] =

in Vт/2л б-3^"1 exp [— <в2/и/26й2] (1 — 2knv (k) F (co; fy/p^mS л)2 + (2tov (k) G (co; &)/К2/п6л)2

(3.18)

Здесь F(o; &) и G(<o; 6) представляют соответственно вещественную и мнимую части интеграла (3.10):

В (о ± ie; k) = F (<о; й) ± iG (со; 6);

+С°/IX

F(®» k)= \ ехр(-^Р~)с%;

G (<о; ^) = — (л/и<о/20^2) ехр (— о^т^бк?).

При малых к интегралы в (3.18) вычисляются обычными приемами, и для временной корреляции между фурье- компонентами плотности числа частиц имеет место известная формула колебательного типа с частотой Власова и затуханием Ландау:

(о2 = (Оо + 3№/т; <о§ = 4леи/иг;

у = )/"л/8 (ййк ^г"п ехр (—1/2А2гЬ).

Малость затухания Ландау при малых к указывает на то, что для получения более точной информации о величине затухания необходимо обратиться к вычислению высшего приближения, которое в терминах функций распределения соответствовало бы учету члена столкновения.

§ 7. Аналог классического уравнения Больцмана в методе функций Грина

Рассмотрим типичную задачу статистической механики и возьмем классическую систему, состоящую из весьма большого числа N одинаковых частиц, находящихся в макроскопическом объеме V, с бинарным взаимодействием короткодействующего типа.

Предложим способ расцепления цепочки уравнений для функций Грина (2.32), который приводит к приближенному уравнению для основной функции Грина с точностью до величин порядка малости (w*8)3, где г* — эффективный радиус сил взаимодействия. Это уравнение будет аналогом классического уравнения Больцмана [21] в методе функций Грина.

Итак, запишем два первых уравнения из цепочки (2.32), которыми и будем пользоваться при решении поставленной задачи:

-1Е«АХ- A^E-Wm; «Ах- Лу»£] +

+ 2 ^[Ф(гх~ r2); ^AX1x,i Лу))с] dx2 + ^ X x[6(xi-//);/T(xi)],(2.32а)

— IE ^Axtx», Ау')')Е=\Нй^Хъ х^; ((Ллл; Лу))г] +

+ £ 2 ^-уУ, Е^Чхь х2)] + 15/52

+ 3 5 5[Ф(Г/-г8); «ЛХ1ЗД; AyY^dx», (2.326) 15/52

где

xi=(rlt рх), г/=(Л р'),

Я2 (Хх, х2) = (рХ!^ + (р|/2т) + Ф (Гх - г2), а равновесные функции распределения запишем в форме [9]:

Р?’^—Р1?' (рх)=С ехр (— р$/2тв), С=(глтб)-8/2,

Р'»кхъ х2) = С2ехр[— Н2(хъ х2)/6]4-п....

Из написанных уравнений для функций Грина (2.32а, б) ясно, что величина (,(АХ;, Ау^в пропорциональна п, а ((ЛХ1ха; Ау^в пропорциональна//2 ^n = N/Vy

Примем за единицу длины эффективный радиус сил взаимодействия г*, тогда фактически малым параметром будет \пг*‘у Чтобы получить замкнутое уравнение для первой функции Грина ^А*^ Ау^в с точностью до величин порядка малости (w£")3> необходимо найти приближенное выражение для ^АХ1Х1\ Ау^в с точностью до величин того же порядка. Чтобы найти выражение для ((АХ1Х1; А у}) с заданной точностью, заметим, что если расстояние | гх — г21 будет достаточно большим, то 2«ЛОД; Лу»е-*п{«Л„; Ау^вР? (Р2) +

+ «Л,2; Л^трО} [см. формулу (3.7)], а корреляционное отклонение «АХ1Х$; Ау))в~(п/2){^АХ1-, Ау^вРГ^А-

+ «Л„; Л^е^ЛрО}-^.(3.19)

В частности, будем рассматривать ситуацию, когда частицы имеют некоторый «радиус непроницаемости», например случай «упругих шаров», где Ф(|г|) = оо, |г|<г0 (/"о —Диаметр шарика). Тогда очевидно, что ((AXlX$; Ау))в = ^ при |гх — г2|<г0, так как частицы не могут сближаться на расстояние, меньшее г0.

Таким образом, представляется удобным рассматривать корреляционное отклонение вида

«АХ1Х1; Ay))B-(n/2){^AXt; Ау^вРГ (р2) +

+ «АХ1; Ау»в P‘i' (pi)} ехр [— Ф (гх - г2)/в], исчезающее как при | гх — г21 < г0> так и на достаточно больших (|гх — г21 ^г0) расстояниях. Представим это корреляционное отклонение в виде

D (.Е; хх, х2; у) = ((Л*,*,; Ау^в—

— (п/2) С2 ехр [— Н» (хх, х2)/6] {Ge (хх, у^ + Ge (х2, у\,

(3.20а) где

«Л,.; Лу»е=СМХ1, ^^"’(Pi),ч

«Л,2; Ау^в=Ое (х4, у)РГ (р2).0)

Составим уравнение для величины ЩЕ; хх, х2; у). Для этого из (2.326) вычтем составленное в соответствии с (2.32а) уравнение для величины

(п/2) {«Л,,; AyWlt (р2) + «Л,2; Лу»е7?1° (рх)}х

Хехр (—Ф 01 - г2)/6);

в результате получим

- IE К<Ах,х,; Av»e - (n/2) С2 № (хь у) +

+ G'e (х2, z/)) ехр [— На (хь х2)/6]} =

= [//2(Xi, х2); «Ах,хг; Ау^в —

— (п/2)С2ехр[—Я2(хь х2)/в] {[pi/2m; О'Е(хъ z/)] ++ [pV2m; G'e (x2, z/)]} +

4*3 2 $1^ (r/~ rs); «AX1X1X;, Ay))E]dxa +■

l^/^2’

WN 5 [^(x/-//); F14X1, x2)J —

— (n/2) exp [— Ф (rx - r2)/9] F)” (x2) x

х{2^[Ф(Г1—r3); AAX1Xa; Лу))е] dxa +

+ (п/2л) [6 (Xi - yY Ff (xi)]} —

— (n/2) exp [— Ф (rx - r2)/6] Fi” (xi) {2 J [Ф (r2 - r3);

«АХгХ,; Ay»E] dx8 + (п/2л) [6 (x2 - yy F^ (x2)]}.

Группируя и ограничиваясь членами порядка п2, будем иметь

— iED(E\ xi, х2; //)=[Я2(хь х2); D(E; хъ х2; ^)] ++ (п/2) С2 ехр (— Я2/9) (Ф (гх - г2);

зG'e (хъ у) +<?е (х2, y)HR; (3.21)

R = (п2/4л) 5 [6 (х, - у); F^»- (хъ х2)] -

1 </<2

— (п2/4л)ехр[—Ф(г!-г2)/е] 5 [6(xy-z/);

1^/<2

F)"' (Р1)^”(р2)].

Заметим теперь, что с принятой степенью точности нетрудно вычислить выражения для D^E; хъ х2; у) и G'e 1.x, у) при Е=0.

В самом деле, приведем выражения (2.1), определяющие функции Грина:

GreAt, т)=0(/-т)<[Л(/); В(т)Р,

Gret. аа. V, т) =+f ехр [- IE Ц - т)] «Л; В^’ °d" dE,

— ОО

«Л; В»^’ adv = ^ +f Gret, adv kt. X) exp [zE(/ - t)] dt.

-°0(3.22)

Запишем последнее выражение при т=0, например, в случае retarded:

«Л; В^ = ^ ^ 0 ^ «Л (/): В (0)]> ехр № dt = — 00

^i^71^ S(0)]>exp(tT/)d/. о

Далее, воспользовавшись формулой (2.7), можем запи-

<[Л(0; В(0)Р=1^<Л(/)В(0)>,

тогда для «Л; ВуГЕ при Е=0 получим «Л; B»^Lo = 2L.(^><B>-^B>).

Полагая здесь А = А„ В = АУ, имеем:

«Л„; Л,»£_о=2^ WW ~ W»

«Лх^,; Лг/))Е_о = 2^ {(Лх^ (Л^) <Лх,х2Лу)},(3.23а)

^AxvХУ АяУ)е-о=^{(^i - ^) <А^~ (Л*1...^Л^,)}.

Таким способом можно вычислить все функции Грина при Е — 0. Пользуясь формулой (2.24), найдем ^v..xs(0)>=J/Y(0, х5).

Легко видеть, что

«Л„; A^^W'^Fy^-n^yx!, у)— пру (xi) 6 (xi — уУ^,

«Л,,,,; Лу»Е_о=2^{у А” (хп х^ Ру (у) -

— ^Р»'(Х1. Х4, у) — ^[6(Х1-1/)+6(х2—УУ, FTV.X1, х2)]}; (3.236) здесь аналогично

^’’(хь у)=С»ехр(-Я2/6) + «..., ^’’(xi, х2, z/)=C3exp(— Н^ + п ....

Формулы (3.23) были получены из предположения об исчезновении корреляции при |/~ т|->оо. Однако нетрудно проверить эти формулы, непосредственно подставив их в уравнения (2.32а, б) при 5 = 0, и убедиться, что они тождественно им удовлетворяют, если учесть, что 5s” (хх, ..., х$) удовлетворяет соответствующей равновесной цепочке уравнений.

Подставляя полученные выражения для функций Грина «Л,,; ЛУ»Б_О, «Лхл; А^в^» при 5 = 0 в формулу (3.20а), находим, что

5(5 = 0; хъ х2; y)~n9(Q).

Для исключения R запишем уравнение (3.21) при 5 = 0. Тогда с принятой точностью

(n/2) С2 ехр (— Н2/6) [Ф (и — г2); СБ = о(хъ у)-V

+ ОЕ = о(х4, у)]+5 = 0.

Отсюда, вычитая из уравнения (3.21) то же уравнение при 5 = 0 и обозначая

Се^Хъ У) — Се=о(хъ У) = Ge (xlt у),

GE (х2, у) — G'e=о (х2, у) = Ge (х2, у),

D(E; хъ х2; y) — D(E = 0; хх, х2; у) =(3.24)

= А (5; хь х2; у)

[ясно, что с принятой точностью D (Е; хх, х2; у) = = А (5; Хь х2; у)], получим

— t'5A(5;,Xi, х2; у) = [Я2(хь х4у, &(Е; хь х2; у)] +

+ (п/2) С2 ехр [— Н4 (х:х2)/6] [Ф (ri - г2);

СЕ(хъ у) + ОБ(х2, у)]. (3.25)

Положим в этом уравнении:

А (5; хь х4; y) = ^E(x1, х2, у),

(n/2) С2 ехр (— Н4^ [Ф (гх - r2); GE (хь у) + GB (х2, у)] =

=f(E; хь х4, у)

и заметим, что f является аналитической функцией 5 в верхней и нижней комплексных полуплоскостях, причем бесконечность не является особой точкой. По своему определению АБ(хх, х2, у) также должна обладать этим свойством.

Для решения полученного уравнения (3.25) сформулируем следующую лемму.

Лемма. Пусть дано уравнение

(а)(а)— iE^E = [H2(xlt х2); Ае] + /(£, хъ х2),

(а)

(а)

заданное на комплексной плоскости Е, а функция ЦЕ, х,, х2) — аналитическая функция Е в верхней комплексной полуплоскости, Im£>0, или в нижней комплексной полуплоскости. 1тЕ<0. Тогда единственным регулярным решением уравнения (а) в верхней комплексной полуплоскости будет

ОО

оо(а>0, E = to-Vie, е>0), (б)(а>0, E = to-Vie, е>0), (б)А5 = $ exp (iaE) S-af (Е; хъ х2) da

о

о

(а>0, E = to-Vie, е>0), (б)

(а>0, E = to-Vie, е>0), (б)

а в нижней комплексной полуплоскости

Д£= $ exp (iaE) 8ТаЦЕ; хг, x2)da о

(а>0, Е = й—1г, е>0).

Здесь Sa' —операция замены аргументов хг, х2 нах^а), х2 (а), определяемая решением задачи «двух тел» с гамильтонианом Н2 (xi, х^ и начальными условиями Xi (0)=Xi, х2(0)=х2, где х обозначает совокупность координат и импульсов {г, р}.

Проверим теперь, что выражение типа (б) действительно является решением уравнения (а) в верхней комплексной полуплоскости Е (Im£>0). В самом деле,

[Я; мЦехр(1аЕПН; S_af(£)]da = О

exp ЦаЕ^ ^ S-af da = exp ЦаЕ^ S_af (E) —)о

— IE $ exp (iaE) S_af da = — f — iE\E \ о

Подставляя полученное выражение в уравнение (а), убеждаемся, что оно удовлетворяется формой (б).

Аналогично проводится проверка в случае Im Е < 0.

Допустим теперь, что существуют два различных решения (указанного типа) уравнения (а): Ав и Ав. Покажем, что

фв = Ав — Д ^ = 0.

Поскольку А£ и Ав удовлетворяют уравнению (а), можем записать

— 1Е^е^Н2/^еУ

Положим теперь

§ фв ехр (— iEf) dE = A (t\ — ОО

где £■ = <» +Ze, е>0, 1т£>0.

Так как подынтегральная функция не имеет особенностей в верхней комплексной полуплоскости, то, по теореме Коши, Л(Z)=O при Z<0. Покажем, что это справедливо для произвольного момента времени t. Действительно,

[Д2; Я (Oj= S°°№; ^]exp(-z£Z)d£ = — ОО

= —Z $ £ф£ехр(—iEt) dE =^^2. — ОО

тогда

^Ц^=[Я2; A (t, г, р)],

откуда согласно [9]

A(t, г, p) = S_z+M(Z, г, р) = Л (т, р(— Z + т), г(—Z + t)), а потому

Л (/, г(0, р(0) = 0 для любых I.

Таким образом, мы показали, что существует единственное решение уравнения (а).

Аналогичные рассуждения можно провести и в случае 1тЕ<0. Итак, решением уравнения (3.25) единственным и регулярным в верхней комплексной полуплоскости (ImE>0) будет

Ав = (и/2)С2ехр[— Н^Хъ x^i^x

X $ S—а exp (zaf) [Ф (Fj - r2); 6E (xu y) + GB (x2, y)] da.

а в нижней комплексной полуплоскости (1т£<0)

Ад=(п/2) Са ехр [Я2 (хх, х2)/6] х

х $ S-« exp (ia£) [Ф (гх — r2); GE (хх, у)+G£(x2, y)]da. о

Напомним, что согласно принятым обозначениям (3.206), (3.24)

Ае=«^*1*2? АнУ)е ^.Axtxv Ау^в-о— — (п/2) С2 exp (— f/2/9) ^GE (хх, у) + GE (х2, у)}.

Теперь, подставляя выражение для «Л*,^; Ау^в в уравнение (2.32а), получаем замкнутое уравнение для определения первой функции Грина:

— iEGE(rlt р,; г', p')Fi°'(pi) = iEG0(r1, рх; г', р') ^i0 (Pi)++ [^/2т; ОЕ^Ъ рх; г', рЭ^Чр^Ч-

+ пС2 $ dx2 [Ф (гх — г2); ехр(— //2/6) (СБ (гь рх; г', р') +

4- J 52’оехр(/аЕ)[Ф(гх-г2); Ов^, рх; г', p')]da)] + о

+ пС^хДФОч-Ге); ехр(— Я2/6)(С£(г2, р2; г', р')+

+ $ S^aexpG'aE)^^-^);G£(r2, р2; г', p')]da)]

о

[знак «+» соответствует ret, «—» соответствует adv]. Беря фурье-представление

GE(r, р; г', p') = $Gev(p, р') exp [iv (г — г')] dv, запишем полученное уравнение в фурье-компонентах: I (piv/tn — Е) GEv (рь р')^0 (Pi) = t£G0V(pi, Р^^ЧрОЧ- + пС2 ехр (— tvri) $ dx2 [Ф (гх — г2);

ехр (— Я2/6) (GEv (Рь р') ехр (tvrx) +

+ $ 32аехр(/аЕ)[Ф(гх — r2); G£v(px, p')exp(ivrx)]da)]+ о

+ пС2 ехр (— Zvrx) $ dx2 [Ф (гх — г2);

ехр (— Я2/6) (G£v (р2, р')ехр (ivr2) +

+ ^ S-a ехр (ta£) [Ф (гх — г2); GEv (р2, Р') X о

хехр(— tvr2)]da)], (3.26)

где

dx2 = drг dp2,

Gov (P, p') = (2^j0 {«2C exp (— p'72m6) x

X $ [ 1 — exp (— Ф (r)/9)] exp (— zvr) dr — n6 (p — p')}

(вывод этой формулы дан в приложении к гл. III).

Преобразуем теперь уравнение (3.26); начнем с членов вида

пС^[Ф (rx — г2); ехр (— Я2/6) (6£v (Рь р') ехр (ivrx) +

+ $ S2a ехр (taf) [Ф (rx - r2); G£v(p1, р')Х о

X exp (tvr х)] da)] dx2. (а)

Положим

Gev (Pi, р') ехр (т^ = А.

Заметим теперь, что если А не зависит явно от а, то имеет место следующее соотношение:

52'а[Ф(Г1-г2) + Т1 + Т2; Л] = ^Л (T=pW),

отсюда

9S'2'

S2a [Ф (гх-г2); Л] = -^Л-52а[Л + Т2; Л]=

58 2,„ . р, +(б)

поскольку [Т; Л] = — ^^- Теперь, подставляя (а) в (б) и интегрируя внутри (а) по частям, можем записать, например, в случае retarded:

ОООО

J ехр (faE) -^ Ada = — Л — J IE ехр ЦаЕ) STaA da; оо

так как в этом случае Е = ш + /е, то

exp(iaE)|^-^~l (S03,==l).

В результате исходное выражение (а) примет вид

пС? ^ Ф (1"1 — г2); ехр (— Я2/0) I i $ S2'a exp ЦаЕ^х

L\ о

xV^lm — E)GEv(Pi, p') expfivrjda) dx2. (в)

Введем оператор равномерного прямолинейного движения Sa. Он заменяет гх(0) на гх (0)4-2^ а и не изменяет импульса рх(0), причем Sa 'S-a= 1. Обозначим далее

£u> = lim ЗЗД!’; £<2' = lim S^S^. a-* oo a-> — oo

Этот оператор, действуя на гь г2 и pi, р2, преобразует их соответственно в Qt, Qa и Ръ Ра, которые зависят лишь от разности (гх — г2), (рх — р2) и не зависят от а. Таким образом,

S")r1>2= lim 31\дах,2=гх>2(-a) 4-21=5^ «-►оо, т х

(а -* оо)

S<2'r1>2= lim $2Xri,2 = r1|2(-a)4^a=® «-►-оо(а->оо)

£Ч) pi 2 = ito S^’p^=р1(2 (- а) = Р^;

2'2»р1>2= lim S^’pi^pi^-oO^Pft. «-► -00(а-* — оо)

С помощью введенных операторов выражение в круглых скобках, входящее в (в), можно переписать в форме ехр (— Я2/6) (i $ S-a exp (iaE) Sa’S'l’a (pxv/m — £) х

\ о

X Ge» (Р1. р') ехр (tvrx) da j=ехр (— Н^ (i ^ S'1'aSH' х

I\ о

X (PiV/m — £) ехр [i (£ — pi^/m) a] X

x(?£V(pi, p')exp(tvrx)daj. (г) Запишем очевидное соотношение:

Sl’aS'i^Sl-aS'cL' + SU) - SW.

Тогда выражение (г) принимает вид

ехр (- Я2/6) J (S2aS^“ - Su>) -^ ИФ-Р^/т)»] х

X GEv (Pl, р') exp (ivr^ da = exp (— Я2/6) х

X £“> 5gEv (P1, p') exp (т^ da.

0

С другой стороны, по определению оператора V](1), имеем

s,„ ^=,№-,,*.1^ p,)exp(lvri)rfa =

= —6BV(P;", p'jcxpO'vQ,1), поскольку

exp [z (E — piv/m) a] |a=00 -> 0.

Поэтому окончательно для членов типа (в), (г) получим следующее выражение:

nC^-S [Ф (и - г2); ехр (- Я2/6) (G£v (Р?1, р') ехр W) -

— 5 (S—aS'd — 2Ш) {z (5 — PiV/m) exp [z (E — piv/zn) a] x 0

xGEv (pb p') exp (zv^)} da)] dx2.

Таким образом, после указанных преобразований из уравнения (3.26) находим **

i (р1У/т - Е} GEv (рь р') = IEGW (р,, р') +

+ пС ехр (Pi/2/иб) ехр (— zvrx) J {Ф (гх — г2);ехр [- ^±IW] (g£v (Р- р') ехр №-) ++ GEv (РГ1, Р') ехр (zvQV’2’)) -ехр (- Я2/6) х

X $ (S-aS'a— ^’ЖЕ—p2v//n)exp[+t(E—P2v/zn)a]x о

X GEv (р2, р') ехр (tvr2) А-ЦЕ — pxV/m) х хехр [z (Е — Piv/m) a] GE^ (рь р') ехр (zvri)} da} dr2 dp2. (3.27)

*} Здесь использовано то обстоятельство, что

Положим

,={е,р[- №МЭ]} |Obv(P;™, И х хехр (ZvQJ1’®’) 4* GEv ^Р^", р') exp (ivQ^8)}.

Тогда в силу (*) (см. [9])

Гт Гг г t д. Pi _l Pi . оу\ - Г^1’2’)2 . №1,г')2. Ог1 [Ф(Г1-г2)+^ + ^; й/{ = [т + ^Г>в/{- Поэтому

J dr2 dp2 [Ф (гх — г2); ^] = - ^ dr2dp2 Ц + й: ^ ~ - J dr2dp2tv {exp [- ^44^]} {^exp kixQ\^ х

X GEv (РГ-\ р') + 5 exp (ivQr") GEv <РГ\ Р')}. (3.28) Как следует из рассмотрения проблемы двух тел, движение можно разбить на относительное и движение центра инерции. При этом центр инерции будет двигаться равномерно и прямолинейно. Таким способом нетрудно найти зависимость б?^2’, PV;^ от rlt2, pi,2. Действительно, полагая для относительного движейия

Гз-П^г; p2~Pi = p

и для движения центра инерции

r2 + ri=q; p2 + pi=k,

из определения Q2“ имеем

Q^= lim (гИ-^ + Ц^'а!.

a-^oo

Выражая r2 (— a), p2 (— a) через координаты и импульсы относительного движения и движения центра инерции, находим, что

na)_Jr(~a) + d(-~a) , р( —a) + k(-a) )

(21

но поскольку q( — a) = q — — a; k( — a) = k, то

^-T{r(-a) + tl-^a + Pj^«4-^a} = lq +

+ 2- {r(- a)+P-^ al =4 Ci+r=) + ^ Qw С» P)- (a-» oo)

Аналогично для Q', получим (r/'-lfr.+rO-l^fr, р).

Повторяя указанные рассуждения, после несложных преобразований будем иметь:

од^Е^Да^Ь у Q(r2 —rt; p2-Pi),

р,ь21 = ^+Pi ± | р(Гз _ Г1. р2 _ pi)

Здесь Q и Р соответствуют координате и импульсу относительного движения. Знак плюс или минус согласуется с нижними значками QJ^2' или Р^2'.

Далее введем для сокращения записи следующие обозначения:

К^ = Qi12 - г,; КГ1 = &*2 - г2;

1Г' = А1’" - Рь 1з121 = ^Ь2' - р2-

Дифференцируя функцию ^" сначала по гъ а затем по Га, получим:

(А)(Б)(А)(Б)Д7 _ ^ _ Д^ dr, — dr, д§ *

(А)

(Б)

(А)

(Б)

^ = ^ , ^ dr2 dr2 "т" д§ ’

где |=r2 — г,.

Умножая (А) на pi//n, а (Б) на р2/т и складывая, имеем

Рг—Pi I ^ । ^. ^ । Рг ^ (3 29) т I dg "* т <5г1 ‘ т дг2 **

Подставим (3.29) в выражение (3.28) и введем для точки г2 цилиндрическую систему координат. За цилиндрическую ось g возьмем прямую, проходящую через точку гх параллельно вектору р2 — pi. Полярный радиус и полярный угол обозначим соответственно через а, у.

Тогда уравнение (3.27) примет вид

i {^ - Е} GEv (Р1, р') = iEGw (pi, р') + 2л 4-004-00

+«С exp (p|/2m0) exp (— tvri) J d<p J a da J dp., $ d^x 00(p2)— oo

х|р^ШехЛ (W±(Wlb ,p,i.2> _,)x X | m I d^ t6 P L 2m6 J [ £v ’ P 'X

X exp [zv ^КГ + Г1)] + GEv (P^', p') exp [tv (^- + r2)]] -

- zv exp [^j ym uEv (Hl , p) x

xexpfzv^^rO^^^'.P^PW^^

+ nC exp (pi/2m6) exp (— zv^) ^ dr2 ^ dp2 [Ф (r, — r2);exo Г (^''’P+W-51)2! T ,SI1> ™ V11.s« xeXPL2m6] ) ^-«^ 2j )X

o

x {t ^E — p2v/m) exp [z (E — p2v/m) a] GEx (p2, p') exp (zvr2)+ + i (E — ptv/zn) exp [z (E — Piv/zn) a' x

xGBv (Pi, p') exp (vn)} da]. (3.30)

Преобразуем уравнение (3.30) для модели упругих шаров. Чтобы включить этот случай в нашу схему, будем сначала рассматривать ситуацию, когда

Ф(Г1-Г2) = 0, |Г! —г2]>г0 + 6,

Ф(Г1-г2) = (/, ]ri —г2|<г0,

а затем уже перейдем к пределу при

6_>0, U->oo.

Вычислим интеграл:

5 dr2 dp2 [Ф (г! — r2); ^= d<p^ ada $ dp2 $ d^x О 0(р2)— оо

X|P^I2^_.V[_(2W+(W-|

х| т |dg <vexp^2mg jx

X {Ь- 0Е^РГ-’, P') exp (wQ^ + b- GEv (РГ, p') X

xexp(zvQy"')}. (3.31)

Рассмотрим плоскость относительного движения | г2 — — Г1| = г0- Ясно, что интеграл, стоящий в левой части

написанного выражения, отличен от нуля только в небольшой области шарового слоя 6. Теперь, поскольку имеют место законы сохранения энергии и импульса, можно записать

№2)2(Р21.2>)2 р2 р|

2т ‘ ~2m2m + 2m ‘ ^Г1Га^

Р7’2, + Р^2)=Р1 + р2.

Ясно, что в момент соударения 6->0, Ф = и ->ооэ

Pi, Р2^оо, а функция ехр[—^~р]-^0.

Совершенно аналогичным образом преобразуются выражения, содержащие оператор {З^За* — Sll,2)}. Существенно отметить, что

^М || = ОО = Р*,2*, Р1Х || = —оо = Рм,

^М ||=оо = Р1,2; Р'*Л || = -оо=Р1,2»

Используя общепринятую терминологию классической теории газов, будем говорить, что

Рм(Р1, Рг; ^ ф) —импульсы до соударения, рь р2 —импульсы после соударения.

В результате сделанных преобразований, непосредственно учитывая динамику парного столкновения, можем записать уравнение (3.30) в более удобной форме:

i {^ - е} GEv (Р1, р') F^ (Р1) = IEGW (Р1, Р') ГГ (Р1) ± ± nr? § ^ $ dJ (^' О ^°' ^ F" ^ х

(Ps) (gj)>0

x{G£v(Ph p') + GBv(Pt( р') exp [tr0 (vj)]-

-GBv(Pi, P')-G£v(P2, P') exp [—Zr0 (vj)]}. (3.32a)

Здесь j —единичный вектор вдоль прямой, соединяющей центры двух сталкивающихся сфер, направленный от центра одной из молекул. Первый знак соответствует случаю Im Е > 0, второй знак — Im Е < 0, а величина пг^ обратно пропорциональна длине свободного пробега X.

Полученное уравнение является аналогом классического уравнения Больцмана с учетом конечности размеров частиц в .методе функций Грина. В этом можно убедиться, если применить к уравнению Больцмана

в форме Н. Н. Боголюбова [9] разработанную нами методику [22], [23].

Исследование уравнения (3.32) составит содержание следующих параграфов этой главы.

§ 8. Исследование уравнения Больцмана в функциях Грина методом’

последовательных приближений.

Построение корреляционных функций

Выпишем снова уравнение (3.32) в форме

(^-e)g£v(P1, p')Fr(Pi)=£Gov(p1, PW(Pi) +

-Firing dpa J dj(eri.j)F-o'(pl)/7.o(p2)x

(P«)(gj)> о

X{G£v(pr, p') + G5v(p*, p') exp [tr0 (vj)] - G£v (P1, p')-

-Gbv(P2, p')exp[-/r0(vj)]}. (3.326)

Подчеркнем еще раз, что это у равнение можно рассматривать как уравнение, заданное на комплексной плоскости £, причем знак минус относится к запаздывающей функции Грина Ge^ а знак плюс — к опережающей функции Грина, соответственно £ = ш±/8, е>0, 8->0.

Интегральный член уравнения (3.326) можно представить в виде

ir^n \йрг t djf^^^-jWtpijFr^X

(Рв) (gj)>0а А

Х{— G£v(pb p')} + $dpG£v(p, р')х

X Йф J dp2 J dj (^^ • j) РГ (P1) F^ (p2) x

I (p«) (gj)>o

X [6 (p? - p) + 6 (pt - p) exp [ir0* (vj)] -

- 6 (p2 - p) exp [— ir0 (vj)]]}.

Положим здесь:

A (Pi) = § dp2 ^ di (^Й^' j) ^i0' (Pa)»

M (gj)>0

Ш. p)=Up2 < dj^.Mh)№x

(P«)(gj)>0

X [6 (p? - p) + 6 (pt - p) exp [i>0 (vj)] -

- 6 (p2 - p) exp [— ir0 (vj)]].

Тогда уравнение (3.326) примет форму

^-£}G£v(P1i p')^i° (Pi) = 5Gov(Pi, pWVpi)- - /фД (рх) Gem (Pi, р')/Т (Pi)} нй гр Ir^ $ dpK (Рх, p)G£v(p, р')>

откуда следует, что

Г n'X_ ^ovCPi-P') _

UfivlPl, Р / —(P1V//n)_E т (Г2ПД (Р1)

_ ir^n [F^ (рх)П J dpK (px. p) GEv (p, p')

+(pxV^-E + ir^Cp,)1^’^

Для иллюстрации полученного уравнения рассмотрим простейший случай, когда

Уср луср , с

Го<-^-<^ ИЛИ 17 <Е’

где X~1 [nr^, Vt^V^lm, % —длина свободного пробега.

Введем в уравнение (3.32в) безразмерные параметры:

тогда очевидно, что интегральный член уравнения (3.32в) пропорционален величине усрД. Следовательно, в рассматриваемом случае (£>5срД) находим

Gem (pi, Р') =Gem (pi, Р') =gO0v(Pi. Р')^—Е + /гДЛ(рх)

Gem (pi, Р') =

Gem (pi, Р') =

Таким образом, уравнение (3.32) может быть решено последовательными приближениями.

В качестве примера использования этого решения определим корреляционную функцию вида

<nv(pi, Р', 0»v(pi. р'. т)>, v^O.

Для этой цели обратимся к разработанному в этой главе способу нахождения корреляционных функций. Заметим, что среднее от произведения двух динамических величин

типа (2.16) выражается формулой (2.33а)

(^г,, pt (О ЛГ', р' (т)) =

+ СО

$ ^(or, гь Рь г', р')ехр[—1аЦ — т)] da,

— ОО

где для спектральной интенсивности ^(о; гх, рх; г', р') согласно определениям (2.336), (2.20) и соотношению (3.11) имеем

^(а; п-г'; рь р') = “’1г0Л°'(Pi) {<5®+<е, v (pi, р')-

Gto_ts, v (Pt, р')} exp [tv (rt - r')] dv +

+ 6(<в)7И(Г1 —г', pi, р')=^(о; п —г') + 6(й))Л1(г1 —г').

Здесь М — некоторая функция, зависящая от разности (гх — г'). Для ее определения заметим, что при (/ — т) ->со

+ °° _

S (о; г — г') ехр [— ia Ц — т)] da -> 0,

— ОО

двухвременная средняя разбивается на произведения одновременных средних:

(^ri, pt (0 ^4г', р* (т))(ЛГ1, pt) (Лг*, р').

Для пространственно однородного распределения согласно (2.24) имеем:

<^г„ Р1) =nF^ ^=пС exp (— pV2m6),

(Лг\ р') =пР^ (р') =пС ехр (— р^^тВ).

Таким образом, выражение для корреляционной функции примет вид

(^П, Р1 (0 ^r'.p' W) =

+ 00

= 19^0,(Р1) $ da $ dva-1 [G<o+fet v (pi, p')-

- 0ш_18, v (Pi, p')] exp [— la (/ - t) 4- tv (rx - r')] +

+ (^r,. Pl) (.dr', p').

Используя полученное решение для Gev(Pi, р'), будем иметь

® * [^<o + te> v (pl, Р ) G<s> — is, v (Pl, Р )] =

_ . 2г§пЛ (pi) GOv (pt, рЭ

— f (Piv/m—а>)г+(фЛ(Р1))* "

Теперь найдем корреляционную функцию, предложенную в качестве примера: («v(pi, р'; 0«v(pi, р'; т)> =

ОО

= ISF^ ' (Pl) ^ Ф1 [^®4"*8, V (Р1, р ) — G® — ie, V (Рь Р )] X — ОО

X ехр [—ко (/ — т)] do, v =/= 0. Подставляя сюда найденное значение для подынтегрального выражения, получим (nv(Pi, р'; OMpi, р'; т)) =

= — №?' (рг) 2Д (рх) r^GOv (pi, р') X

4-оо

С exp [-|ю(/-т)] dmл,^т

J (р1Т/т-ш)2 + (фгЛ(Р1)Г ^^^- — 00

Вычислим интеграл, стоящий в правой части. Совершим замену переменных, положив piV/m —o> = Q;

тогда dm =—dQ и интеграл может быть представлен в виде

+°° ехр £—I ~~- (/—T)j exp р’Й (t — т)] d^

J^WoHA (P1))2=

—oo

= exP [-z^ ^ - т)] фТ(й) exP I - <T - о An A (P1) |.

Таким образом, получаем

<nv(pi. p'; OMpi, p'; t)>=

=—гле/71!0' (px) Gov (Pl, p') exp [— i (pjV//n) У — т)] x

X exp I - (т - /) r>A (pl) I -Vn^’ (Pl) Ft0’ (p'), V =/= 0, или учитывая, что в нашем приближении Gov(Pi, Р') =“(2^9 6 (Pl”Р')» находим

<»v(pi, р'; O«v(pi, р'; т)>=

= ^^w^ f"(Р1) ехр [- iP-$V- т)]х

Xехр I - (т - /) r>A (Pi) I + п^0 (Pi) л0' (р'),V =/= 0.

Этим способом можно вычислить корреляционные функции.

§ 9. Асимптотика классических функций Грина в «вязком гидродинамическом» приближении

В этом параграфе, исходя из уравнения (3.32), будут построены асимптотические выражения для фурье-компонент классических опережающих и запаздывающих функций Грина в приближении Навье — Стокса.

Исследуем уравнение (3.32) в случае, когда уср/£^>Х, X —длина свободного пробега. Это соответствует гидродинамическому приближению. Положив

<Pev (p) = /7i0> (р) $ Gev (р, р') (р') dp', уравнение (3.32) можно привести к форме

— ^VEv(pl) 4-— ^VEv(pl) 4-“TEv (Pi) =“TEv (Pi) =

— ^VEv(pl) 4-

— ^VEv(pl) 4-

“TEv (Pi) =

“TEv (Pi) =

=£<Pov(Pi) + ^№o,|<Pev),=£<Pov(Pi) + ^№o,|<Pev),(3.33)(3.33)

=£<Pov(Pi) + ^№o,|<Pev),

=£<Pov(Pi) + ^№o,|<Pev),

(3.33)

(3.33)

где 35 — оператор столкновений, соответствующий интегральному члену правой части уравнения (3.32), помноженному на (—/), а ^(р') —регулярная функция, конкретизация которой будет сделана позднее.

Пользуясь обычным приемом, применяемым при выводе уравнений гидродинамики, умножим (3.33) на 1, Рю> Pi/2m и проинтегрируем по фр Результат интегрирования оператора 35 равен нулю, что можно непосредственно показать, используя те же самые преобразования, которые обычно делаются при доказательстве И-теоремы [24], а также приняв во внимание законы сохранения. Поэтому окончательно будем иметь (вместо рх будем писать р):

’a^^4>Ev(p)dp == E p^ov (p) dp, (3.34)2. 3)’a^^4>Ev(p)dp == E p^ov (p) dp, (3.34)2. 3)(«=1.(«=1.— Е ^ <Pev (р) dp + 5 m 5 P^ev (р) dp=E^ <pov(p)dp, !<a<3

’a^^4>Ev(p)dp =

= E p^ov (p) dp, (3.34)

2. 3)

’a^^4>Ev(p)dp =

= E p^ov (p) dp, (3.34)

2. 3)

(«=1.

(«=1.

-E^^eApW^ 2 v“$ m£ TEv(p)dp =l<a<3

n2

2m Tov (P) dp.

Введем в эти уравнения следующие обозначения:

P£v=m$<P£v (р) dp,

$paq)£v(p)dp=PoUa(£; v), p0=mN/V,

(a= 1,2,3)(3.35)

$ ^4>Ev(p)dp = eE-e,

^^-<P£v(p)dp=Aa№; v) (a, z = l, 2, 3), ^£<P£v(P)dp = 9Z№ v) (/=1, 2, 3).

Таким образом, из (3.33) следуют пять уравнений типа уравнений переноса в форме:

fp£v + po У, V°«a(5, V) = Em 5 <Pov (р) dp,

l^a^3

Ер^иЦЕ; v)+ У vaPta(E; v) = E^Pi<pov(p)dp, l<a<3

(i= 1,2,3)(3.36)

EeEv + 2 v“9a (5; v)=E ( ^ Vov (p) dp.

l<a<3

Подчеркнем, что система (3.36) не замкнута, поскольку нам пока неизвестно, как выражаются величины Aa(£; v) и аДЕ\ v) через p£v; иКЕ; v) и 8Ev.

Чтобы получить аналог уравнений гидродинамики в функциях Грина, воспользуемся идеями Чепмена — Эн- скога [24]. Положим

<P£v (Р) = <P£v (Р) + ф& (Р)

и потребуем, чтобы

$ <Pev (Р) dp = раЧ>’& (Р) dp = $ р2<ря v (р) dp = О, (а=1, 2, 3).

т. е. чтобы введенные величины p|v, м«(Е; v) и вЕ» определялись только с помощью функции ФеИр)- Фактически это требование вместе с (3.36) обеспечивает существование и единственность решения уравнения (3.33).

Следует подчеркнуть, что для получения искомой асимптотики функций Грина нам будет достаточно в соот-

ветствии с самой конструкцией исходного уравнения ограничиться только акустическим приближением. Поэтому, используя аналогию с соответствующими выражениями расчета гидродинамического приближения, можно усмотреть, что функцию ФеИр) следует взять в форме

<pfe%(p) = /o(p)/po1plv+ 5 Q^PaUa (Е; V) + I1^а<3

+ (8~’-S--MeM' (3'37>

где /0 (р) = ро (2n0)~3/2 т-5/2 ехр {— р2/2те} представляет обычное максвелловское распределение, a plv, Ua(E; v), 0£V —пока формально введенные величины.

Теперь, подставляя выражение (3.37) в определения (3.35) и производя необходимое интегрирование, получаем соотношения для e£V, Pta^E', v) и ga(f; v) в «нулевом» приближении:

e£v — 2 т. P£v+ 2 m U£v’

Р^ (Е; V) = 6ia (1 plv -ь g 0SV),(3.38)

ЙЧЕ; ^=^и*(Е; v) (i, a=l, 2, 3).

Подставляя эти выражения в уравнения (3.36), мы получим уравнения, в которых непосредственно видна аналогия с линеаризованными уравнениями Эйлера, но в отличие от последних они будут уже неоднородными.

В самом деле, подставляя (3.38) в (3.36), получим:

— fpsv + Po 5 ^иакЕ\ ^=Ет\<^^^,

1<а<3

- Ерои? (Е, V) + 2 v" (Ip£v + m ®Ц ^а = 1<а^3

=£ ^ p^tpov (р) dp, (3.39)

г А Д-АРо«л*\|

^ ^ 2 m P£v + 2 tn UEv) +

+ 2 I^^E; v)=E 5 ^-Tov(p) dp. l^a^3

Вопрос о построении уравнений «первого приближения эквивалентен нахождению функции ф'^(р). Для

этого при построении «первого» приближения положим <Ре* (р)=/о(р)Феу(р);

тогда можно показать, что уравнение для определения функции ip^v (р) сводится к интегральному уравнению типа Чепмена — Энскога.

Действительно, сохраняя в интеграле столкновений члены, линейные по ip£V (т. е. по cp^i), а в левой части пренебрегая градиентами введенных величин p|v, и^Е; v), ©Ем (имея в виду гидродинамическое приближение), т. е. считая Ф^(Р)^ФяИр), получим (например, для Im5>0) 4-5+ 2 \1<а<3/

= i5Vov (р) + ^ (М W(3.40)

Следуя обычной процедуре, выразим левую часть этого уравнения с помощью уравнений «нулевого» приближения (3.39). Для этого составим выражение

112 ^)«(p)=2 ^)«(p)=1 (дф^(р)1 (дф^(р)fo ( dP$v л дф^у (P) й du^E\ v)fo ( dP$v л дф^у (P) й du^E\ v)— iE^ + i— iE^ + i2РаУа \ I2РаУа \ I-iEu^E; v) + z 2 ^«H5;v)U-iEu^E; v) + z 2 ^«H5;v)U

1

1

2 ^)«(p)=

2 ^)«(p)=

1 (дф^(р)

1 (дф^(р)

fo ( dP$v л дф^у (P) й du^E\ v)

fo ( dP$v л дф^у (P) й du^E\ v)

— iE^ + i

— iE^ + i

2РаУа \ I

2РаУа \ I

-iEu^E; v) + z 2 ^«H5;v)U

-iEu^E; v) + z 2 ^«H5;v)U

Р^а сь*т ^Ех

Учитывая форму функции q>^ (p) (3.37), имеем

\i^a^3/

-^/—/£piv+/ 2 ^рф

- iEu* (E; v) + z 2 ^ “/ (5; v/) +

V Ра^а /а* \ т Evi*

Выражения, стоящие в круглых скобках, мы преобразуем через уравнения «нулевого» приближения (3.39),

которые запишем в виде:

— iEpEM = iEtna — ip^^ V4ia(E; v),(3.39а)

1 ^а^з

— iEut (Е; v) = iEbl-i У б^а(-^-р^+1б^)

I ^а<3

(3.396)

(/ = 1, 2. 3),

а умножив третье уравнение (3.39) на т/р06, с помощью (3.39а) приведем его к форме

® 4 А' - -Е 4 4 ®«+iE 4 р” - -1Е »=•(Э■39в,

Здесь

0=$<Pov(P)dp;

bj= J p/<Pov (p) dp; c=\ (p^m) <pov (p) dp.

В результате после несложных алгебраических операций находим

V-£+ 2 2?)^(р)=

\10^3)

/о(р)р , ^ т 0 \2rn62/°Ev +

+ ^ 2 V“U₽(£; ^(раРр-^б^р^Ч-+ ^ 2 V“U₽(£; ^(раРр-^б^р^Ч-( |_1 <а<з

+ ^ 2 V“U₽(£; ^(раРр-^б^р^Ч-

+ ^ 2 V“U₽(£; ^(раРр-^б^р^Ч-

Теперь, поскольку нас интересуют медленные (гидродинамические) процессы, т. е. случай малых Е и v, можно пренебречь членом, пропорциональным Е (как будет видно из дальнейшего, его вклад практически не влияет на окончательные результаты). В этом случае уравнение для определения функции ф£у(р) сводится к уравнению, исследованному Чепменом — Энскогом. Поэтому, следуя процедуре, разработанной Чепменом и Энскогом, после соответствующих операций находим выражения для qa (£; v) и P/a(£; v) в первом при-

ближении:

Ча (Е; v) = — zxva0^v,

Р/а(Е; V) = — 2p |(l/2) (zvazz* (E; v) + zv,zz£ (E; v))

— (l/3)6/az 2 ^(E; v)l (a, /=1, 2, 3), i^3^3)

причем коэффициенты вязкости p и теплопроводности х имеют стандартную форму.

Здесь мы не проводим подобных выкладок, поскольку аналогия с указанной методикой очевидна (см. гл. VII в книге [24]).

Подставляя в уравнения (3.36) выражения для qa(E; v) и P/a(E; v), приходим к системе неоднородных линейных алгебраических уравнений в приближении Навье — Стокса для введенных величин Pev, и«(Е; v) и ©ev:

— Epk + ро У vau2(E; V) = Ema,

1 ^a^3

-ЕроиЦЕ; vj + vj^p^-^-v^&^-i^uKE-, v)-

—zpvz У v“zz2(E; v) +(2/3) zpvz У vazza(E; v)=E6, l^a^3l<a^3

(/=1. 2. 3),

-4^р$.-4£йвб.+4?5- 2 v'“№^- l^a^3

.— Iw2©ev = Ec.

Положим здесь

5= У vazzS(E; v);

1 <a<3

тогда умножив второе уравнение на vz и просуммировав по /, получим:

— Eplv + pol=Ema,

- Ер0^+1 v2p£v + v2@Bv - z | р ^ ='

= Е У b,^h (3.41)

'l^/^З

- 4Е б pgv - 4 е ^ ©gv+4 р41 - <™^Ev=ес.

Если через 0(E) обозначить детерминант системы уравнений (3.41), а через О0*^(Е), О^(Е) и Dp^(E)— детерминанты, в которых соответствующий столбец заменен правой частью (3.41), то решения системы имеют вид отношений двух детерминантов:

Ое£ №) D * (5) ОЦЕ)

U£v —, PEv — d^ , 6— D^Ey

Вычислим определитель системы:

тогда решения системы (3.41) могут быть представлены в форме:

ое —^i ^

£V — £2 _ф>2 + lTo (CoV) + Q ,

PEv = £2_C2V2 +2<r0 (cov) + Q ’(3.42)

tМД)

s~ Е=«-сМ-НГо(Соу) + Й’

/5 9 \i/2

где Cf^vs'inj ~ СК0Р0СТЬ распространения звука; Г0(Е; v)^r(cov), поскольку затухание существенно вблизи резонанса Е = с^; Q(E; v) включает поправки к тривиальному результату.

Поскольку используемая нами процедура- построения решений (3.42) справедлива лишь для медленных (гидродинамических) процессов, т. е. в случае малых значений Е и v, то полученные выше решения определяют асимптотические (Е ^ 1/Т, | v | ^ 1Д, Т — время релаксации, X —длина свободного пробега) выражения для целого набора функций Грина, непосредственно связанных с физическими характеристиками системы. Полюсная структура этих функций Грина определяется формами (3.42).

Действительно, используя введенные нами определения, полагая в них, например, ^(рг)=1, ^ (р') = р«, соответственно для функций Грина типа «поток —плот- 64

ность» находим

«/а (Г); п(г')»£=$Ра«Лх; Ay))Bdpdp' =

= $exp[iv(r —r')]pa{G£v(p, P^+GovtP.P^HP^vdpdp'.

Заметим, что в силу формы функции Gov (р, р') (см. приложение к гл. III) интегралы типа

\paFi’ (Р) Gov (Р, p')dpdp', $ p«fi01 (Р) Gov (р,. p')dpdp'

равны нулю. Поэтому

<</a(r); n(r')»B=p0Jdvexp[iv(r-r')]uS(E; v|eT(p') = 1).

Аналогично могут быть построены функции Грина типа «плотность — поток», «энергия — поток» и т. д.:

«п(гу, fa(r')»E=l J dvexp[/v(r-r')]plv H(p') = pi), «е (г); /о (г')»£=9 «п (г); /а (г')»е -

~4m $ dvexp[zv(r — г')]©К(«^(р') = Ра) и т. д.

В этих формулах

е(г) = 2 ^ 6 (q, — г) — локальная плотность энергии, с

п (г) = 2 6 (Ч/ — г) — плотность числа частиц,

/а (г) = 2 Р/8 (q/ — г) — плотность потока.

Выражения для соответствующих корреляционных функций можно получить непосредственно согласно разработанной в § 6 общей процедуре.

Кроме того, мы видим, что нули знаменателей этих функций Грина определяют дисперсию акустических возбуждений в системе, а коэффициенты затухания выражаются естественным образом через кинетические коэффициенты вязкости р и теплопроводности х.

Таким образом, предложенная здесь методика позволяет учесть эффекты затухания.

Обобщение полученных результатов на случай статистической механики квантовых систем составит содержание следующей главы.

65653 Боголюбов, Садовников

65

65

Приложение к главе III

Определение ^OV (Ръ р')-

Будем исходить из выражения (3.236)

«Лх,; Л»»Е-о = 2Й6 {п^1” W ^'^-W^i. У)-

Здесь (как уже отмечалось)

Л” (*i. У) = ^ М ^Т (у) ехр (- Ф (г, - гЭ/9) +

6 (xi—у) = 6 (г,—г') 6 (р,—р'); X] -* (г,, рО; у — (г', р').

Тогда

ДеСгп Pi; г', РЭ=«»х,; лу»е-0 =

= (2л6)-1 V№«- (xt) Ff (у) [1 - ехр (— Ф (rt—rs)/e>] -

— nF1^ ^) 8 (xt — у)}.

Совершим преобразование Фурье:

^в(Г1, Pf, Г', p')=^£v(Pi' P^expPvtrj—Hldv.

Обратное ему преобразование будет

4£v(Pi- Р'ЭНЗлГ3^ ехр [— Мп — г')] л£(г„ р,; rz, p')dr', откуда

^e-o.v (Pi- Р') = (2лР8-1 {/12С2 exp [— (р"т+р'2)/2т6]х

X$[1 —ехр (—Ф (r)/9)] ехр(—ivr)dr —пСехр(—р^/пЭ^ф, —р')}.

Поэтому согласно принятым в § 6 обозначениям, получим

Gov (Pi- Р')“^Г49"г {^/Т (РЭ J [ 1 -ехр (- Ф (r)/9)] X

X ехр (— tvr) dr — пб (pi — р')}. Преобразуем полученное общее выражение G0v (рр р') для модели «упругих шаров», когда

Г ОО, I Г I,

Ф(г) = < п I I(г0—диаметр шарика).

k V, I г I > г0

В этом случае

Gov (Pi- Р') = (2л)"4trW?’(Р') J ехр (—Ivr) dr — n (2л)-«9^6 (р, — р').

Вычислим входящий сюда интеграл:

Го л

(ехр (— tvr) dr = 2л ( ( ехр (— Nr cos *0*) sin *0* d^r2 dr,

|r|<r00 6

Л+1

\ exp (— tvr cos v) sin v d^= \ exp (— ivrx)=—■ v .^—-, =

0— 1

_ exp (tvr) — exp (— Nr) _ 2 sin vr ~Nrvr ’

где x = cos^,

^ ( r8invrrfr=^^^-^cosvr0U^

V J\ V2 V/V2

о

Здесь мы воспользовались соотношением Гог0

5 С д С • д sin vr0.r0

— ч- \ cos vr dr = \ r sin vr dr = —- cos vr0,

dv JJv2v•

оо

Го C , sin vr0 о.

так как \ cos -vr dr=—-—Заметим, что при vr<l о

С4

I exp (— Zvr) dr=y л | r0 I3- |r|<r0

Таким образом, в случае модели «упругих шаров» будем иметь ~/х 1 (sin vr0)/v— r0cosvr0 п

Gov (Pv Р')=^Л0’ (р')^L^—(W 6(Р*“Р h

Глава IV

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ДВУХВРЕМЕННЫХ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ФУНКЦИЙ ГРИНА

В СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ

Теперь мы займемся обобщением разработанной в предыдущих главах методики на случай статистической механики квантовых систем. Как и ранее, мы прежде всего установим связь между уравнениями для обычных квантовых одновременных функций распределения, введенных Н. Н. Боголюбовым [10], и уравнениями для двухвременных квантовых функций Грина рассматриваемого нами типа [28]. При этом оказывается, что уравнения для двухвременных функций Грина могут быть получены с помощью варьирования уравнений для одновременных квантовых функций распределения по бесконечно малому внешнему полю и последующего использования теоремы о вариации среднего значения динамической величины. В качестве «граничных» условий, как и ранее, выбираются соответствующие спектральные представления функций Грина.

Построенная таким образом цепочка уравнений, так же как и исходная, имеет «зацепляющуюся» структуру,

поэтому чтобы получить с ее помощью замкнутую приближенную систему уравнений для определения функций Грина, нужно произвести надлежащего типа расцепление, т. е. выразить функции Грина высшего порядка через низшие. Например, это можно сделать, прибегая к асимптотическим разложениям по степеням малого параметра до того порядка, который обеспечивает требуемую точность приближения.

Указанную процедуру можно было бы осуществить из соображений теории возмущений, т. е. используя разложения по степеням интенсивности взаимодействия частиц системы друг с другом. Однако этот путь практически ограничивается большей частью рассмотрением простейших аппроксимаций первого порядка, так как получение высших приближений в температурно-временной технике оказывается весьма сложным.

Заметим, что необходимое нам «расцепление» можно проводить как в цепочке уравнений для двухвременных функций Грина, так и в уравнениях для одновременных функций распределения, расцепление которых приводит к соответствующим кинетическим уравнениям [26].

Таким образом, используя этот путь, мы имеем возможность непосредственно оценить степень приближения и физическое значение производимой аппроксимации в терминах функций Грина.

§10. Связь между уравнениями для обычных квантовых «одновременных функций распределения» и уравнениями для двухвременных квантовых функций Грина

Рассмотрим динамическую систему из N одинаковых ферми-частиц со спином а, находящихся в объеме V, с бинарным взаимодействием Ф (rZy), для которой полный гамильтониан в представлении вторичного квантования будет

Н = -кН = -к^(г, о)ЛТ(г, o)dr +^(г, о)ЛТ(г, o)dr +

Н = -к

Н = -к

^(г, о)ЛТ(г, o)dr +

^(г, о)ЛТ(г, o)dr +

(4.1)(4.1)+ у 2 ф (г> “ т^ Т+ (Г1’ О1) Т+ <Гз* а^ х О1, Оз

(4.1)

(4.1)

х'Г(г2, Oa) V (гь GOd^dFa.

Здесь at — спиновый индекс; полевые операторы Т (г, а), V4- (г, а) выражаются известными «квазидискретными суммами»:

V (г, а) = V-V2 2 а*. а exp (i (kr)), к

T* (г, а) = V-1/2 у а^ о ехр (— / (кг)),

4.

в которых

к= {(2 л/Л) пх, ^Щп#, (2n/L)nz\, La=V;

пх, пд, nz — положительные и отрицательные целые числа; at, о, ah, а — квантовые амплитуды рождения и уничтожения частиц с импульсом йк и спином а, обладающие обычными перестановочными соотношениями:

Й4, оа4',а' + dy. a'dh, а = 0,

tit, odt'.a' 4" tit', c'tit, a = 0,

tit. o«t'. c + dy, o-at, o=А (к — к') A (a — a'),

где

Д(к —k') =Д(к —k') =1, k=k',0, к ^ к',1, k=k',0, к ^ к',A (a — a') =A (a — a') =a = a'a ^£ a'.a = a'a ^£ a'.

Д(к —k') =

Д(к —k') =

1, k=k',

0, к ^ к',

1, k=k',

0, к ^ к',

A (a — a') =

A (a — a') =

a = a'

a ^£ a'.

a = a'

a ^£ a'.

Иногда будет удобно для сокращения записи обозначать совокупность (г, а) одной буквой х или у и положить ${•••} dx = £ ${•••}dr. о V

Введем двухвременные функции Грина: 0%Н/—т; хь ..., xs; х{х'; у, /), Gadvit — т; Xi, .xs; xlt .xs; yt y'^(4.2)

Gc (t t; Xj, ..., xSt Xj, ..., x$; y^ у ), вычислив их с помощью формул (1.1), в которых положено

В(т) = ^(т, у^^ у\

А (/) = Т4 (/, хЭ... Т+ (/, х^ ^^t, xsy..^ {t9 xxY (4.3)

Здесь Т^, х), Т+(/, х) определяются уравнениями движения с гамильтонианом «большого ансамбля» (Н — XN) с начальными условиями

У (О, х) = Т(х),

Y (х) — соответствующий оператор в представлении Шредингера.

Поскольку операторы А (/), В (т) коммутируют с оператором числа частиц N, то Т(/, х), ^(Z, х) можно определить уравнениями движения с гамильтонианом Н: ih^^=V(t, x)H-HW(t, x)=-~^(t, r) +

+ $ф(г-г')Чг+(/, V)^^, xW‘H X).

Дело в том, что Т (/, х) для (Н — XN) и Т^, х) для Н отличаются лишь фазовым множителем ехр(—ГЩ, который в выражениях (4.3) компенсируется (так как в Л и В содержится одинаковое число операторов рождения и уничтожения).

Обозначим через

Ss^E\ Xi, ..., xs\ хп ..., xs; z/, z/)

функцию комплексного переменного £, определенную по формуле (1.8), через которую выражаются фурье- образы в £-представлении введенных функций Грина (4.2). Свяжем теперь эти функции с обычными одновременными функциями распределения или, лучше сказать, с матричными элементами статистических операторов комплексов s-частиц:

<^(/, х;)...^(^ ^W, хЛ...^^, хг)>.

Рассмотрим для этого вспомогательную задачу о системе, гамильтониан которой явно зависит от времени:

н*= S гД0 + 5 ф(гу-п), K/^jV1</<«АГ

или в представлении вторичного квантования

Н* = ^+ (х)Г (t, х, х') Т (х') dx dx' +

+ Т 2 S Ф(|‘1-г2)ЧГ+(гь ст1) (г2.стг) х

х Y (г2, а2) V (ri, Qi) dr^. (4.4)

Введем «функции распределения»:

DiV; хи x;) = <V+(O x^Y^, хг)>,

D^t; хм x;x^ = ^(.t, x;)^(t, x'^^tt, xW, xO),

В отличие от предыдущего средняя здесь может браться сейчас по произвольному статистическому оператору

р(хь xN\ х'ь x'n), т. е.

(9l> = Sp9lp,

a V^, х), ^и> х) — гейзенберговские представления операторных полевых функций, определяемых уравнениями движения с гамильтонианом Н'.

Заметим, что введенные функции Ds отличаются от функций Fs, рассматриваемых в монографии [10], лишь нормировкой: с точностью до членов порядка малости 1/N имеем

Ds = nsFs(s=l, 2, ...),

где n = N!V. Подчеркнем, что цепочка уравнений для корреляционных функций распределения была выведена в упомянутой монографии в случае, когда индивидуальный гамильтониан Г не зависит явно от времени. Это ограничение, однако, оказывается совершенно несущественным, и те же самые уравнения получаются и в случае, когда Г = Г(/).

Учитывая принятую нормировку для Ds, имеем:

th ^=Г, (0 Dt - ад (0 + Sp [Ф12О2 - Р2ФИ], (2)

/Л^={Г1(0 + Г2(0+Ф12}Р2-

-Р2{Г1(0+Г2(0+Фм} +

+ Sp [{Ф18 + Ф2з} О3 — О3 {Ф13 + Ф23}], (3)

или в более развернутой форме:

ift^V^v^^ J |Г(/, хь x'^D^t, х", хЭ-

-Ох^, xlf х")Г(/, х", xi)}dx" +

+ ${Ф(гж — г2) — Ф(г{ — r^D^t, Хх, х2, xi, x2)dx2,

(4.5)

№ дВ2«, х^Ч, х(, хй = J {Г (/> ^ ^ D^ ^ х^ ^ ^_ — Da(t, xt, x2, x”, х2)Г(/, x", хЭ + Г^, x2, x")X xDaijt, Xi, x", xi, xi) —

— Da^t, Xx, x2, xi, Z)F(Z, x", xi)}dx" +

+ {Ф(Г!-г2)-Ф(г;-г2)}Р2(/, Xi, x2, xi, xi) +

+ J {Ф (r2 - r3) + Ф (r2 — rs) — Ф (ri — r3) — Ф (ri - r3)} x xD3(t, Xx, x2, xs; xi, xi, x3)dx3.

Воспользуемся теоремой о вариации средних значений (1.10). Чтобы применить эту теорему к нашей задаче, фиксируем произвольное комплексное число £(1т£т^0) и рассмотрим ситуации, когда

Г = р2/2/п + 6Г,.

6Г (/, х, х')=ехр (— iEi) Q (х, х') 6| +

+ exp (iEZ) Q* (х, х') 6^*,

где Q(x, х') — произвольная с-функция, б| — бесконечно малое с-число. Тогда

ЬН=Н'-Н =

= ехр (— iEt) $ ^(у) Т (у) Q (у, у') dy dy’^-\-c.c.

Для Ds(t; xixs; x{x$) введем следующие граничные условия:

1°. Если Im£>0, то при t = — со

Ds<t\ хь ...» xs; х{ x^ = Dvs4Xb •••, xs; xiэ...эх^, где Ds0) —значение Ds, соответствующее статистическому равновесию системы с гамильтонианом Н.

2°. Если 1шЕ<0, то при / = + оо

D$ (t\ Xi, • •,> xS) Xi, ••.) Xsl=Ds (xi, .,,, x5; Xi, . ,,,xs). 72

Тогда, воспользовавшись теоремой о вариации (1.10), напишем:

D^t; хгxs; xix's) = D” + 6D$, 6DS = 2лexp(— iEt) J ^s(E; хг,.... xs; х[х’$, у, у1)x х£Цу, y')dy dy'^-Vc.c.

С другой стороны, варьируя уравнения (4.5) в рассматриваемых условиях, получаем:•

« аад.^. 9.дг;) 6D, № ,„ *;) +

+ ${Ф(г1-г2) + Ф(г1-г2)}6О2(/; xlt х2; xi, x2)dx2 +

.ьд60гУ; хъ Xi; х{, xQ

= — 2m (^5 "^ ^r2 — ^T ~ ^s) 6^2 V' хь *г! хь xi) ++ {Ф(Г1-г2)-Ф(г;-г2)}6Р2(/; хъ xa; х'ь xi) +

+ $ {Ф (ri - rs) + Ф (г2 - г8) - Ф (г; - г8) - Ф (ri - Гз)} х x6Ds(/; хъ х2, х3; х'ь х2, xs) dxa + ^ 6и2,

Здесь

6ы!=ехр(— 1ЕМЦ^Цх1, x^Drix", xD-

-Q(x", x^DrCx!, x")}dx" + ~exp(z£0 ==exp (— iEt) 6| J {6 (Xi - y) D;0' (y, x,') -

-6(xi — y'^Dt (xb y)}Q(y, y'^dydy’А-^ех^ЦЕЦ, 6 (xi - x2)=6 (ri - r2) 6 (a! - a2),

6u2 = exp(—iEt) 6g J {Q (xj, x")D2” (x", x2, х'ъ x2) —

— Q(x", x^Da1” (xi, x2, x", x2) +

4-Q(x2, x")D'2° (xi, Z, xi, xi) —

— Q(x", xi)Di°'(xi, x2, xi, x")} dx" + ~exp (iEt) = =exp(—iEt)6l\{6(x1 — y)Dli° (y', x2, xi, xi) — -6(xi-y')Di0,(xi, x2, y, xi) + + 6 (x2 — y) D£ (Xi, y', xi, xi) —

— 6(xi —y')Di°'(xi, x2, x$, y)\Q(y, y'^dydy'-V

+ ~exp (iEt),

Подставим теперь выражения для 6DS в уравнения в вариациях, тогда, приравнивая коэффициенты при exp (— iEt) й (у, у') 6g dy dy', окончательно находим:

tlE3-i(E; xi, xV, у, y')=—^(Art-Ar,) x

x^i(£; x1( xi; у, /) + ${Ф(Г1-г2)-Ф(г;-г2)}хX^^E; Xi, x2; xi, x2; y, y')dx2 +

+ 2^ t8 (X1 “ ^ D1°* ^'> XD -8 to ~ у') Di‘ to, ^)J, (4.6) hES^ (E; хъ x2; xi, xi; y, y') =

= {“ 2^( Дг1 + Ar2 “ Ari “ ArD + Ф (fl - r2) -

— Ф (ri — r2)| ^2 (£; xlt x2; xi, xi; y, t/') +

+ 5{Ф(Г1-г8) + Ф(г2-г8)-Ф(^-г3)-Ф(^-г8)}х

X^3(E; Xi, x2, x8; xi, xi, x8; y, y’)dxs +

+ (1/2л)[6 (xi — y)DT(y', хй, xi, xi) — 6 (xi — y') x xD^*(xi, x2, y, xi) + 6(x2 —^D^^Xn y, xi, xi)-

-6(xi-y)D'2° (x1, x2, xi, /)],

Эти же уравнения (4.6) можно получить непосредственно, без применения теоремы о вариации средних значений, например следующим путем: взять выражения Gret и продифференцировать их по 1, появившиеся х) dT+ U

производные —^—~, —^—’ полевых функций выразить через сами полевые функции с помощью уравнений движения, в полученной таким образом цепочке уравнений для G перейти к ^-представлению.

Уравнения (4.6) имеют «зацепляющуюся» структуру: в уравнения для ^s входит также ^s+1. Чтобы получить теперь из (4.6) замкнутую приближенную систему уравнений для определения функций Грина, необходимо тем или иным приближенным способом произвести «расцепление», например, предположить, что функции Грина высшего порядка выражаются через низшие таким образом, чтобы обеспечить при этом надлежащую точность.

Удобно провести расцепление непосредственно в уравнениях (4.5) для одновременных функций распределе-

ния DSl используя приемы вывода кинетических уравнений, а затем, применяя «теорему о вариации», получим замкнутую приближенную систему уравнений для определения рассматриваемых функций Грина.

Уравнения Хартри—Фока в методе функций Грина

Одним из эффективных методов исследования систем многих частиц является хорошо известный метод самосогласованного поля.

Возникший в квантовой механике для расчета спектров атомов метод самосогласованного поля Хартри—Фока нашел свое применение также и в теории плазмы, кристаллического состояния, где этим методом был получен целый ряд важных результатов.

Довольно плодотворным оказывается соединение метода самосогласованного поля с аппаратом двухвременных статистических функций Грина, которые содержат достаточно полную информацию о системе и непосредственно связаны с физическими характеристиками, что существенно усиливает результаты, исходящие, например, из обычных кинетических уравнений. При этом структура уравнений для функций Грина допускает значительное упрощение. Поэтому в качестве примера использования результатов, полученных в § 10, проанализируем простейшее расцепление, соответствующее «первому приближению».

Рассмотрим вспомогательную задачу с гамильтонианом Н' и возьмем первое из уравнений (4.5). Под знаком интеграла в это уравнение входит функция

О2 (/; хь х2; х^ х2) = <¥+ (/, хЭ Т+ (/, х2) Y (/, х2) Y (/, х^).

(4.7)

В силу перестановочных соотношений для полевых операторов:

Ч^, Х1)Т(/, х^ + Ч^/, х^Ч^, х1) = 0,

Т+(Л хх)Т+(Л х2) + Чг+(/, х2)Т+(/, хх) = 0,

ТЧ^ хОУ(/, x^ + V^, х^*<1, х1) = 6(х1-х2)

можем написать: D2 (Л Xi, х2; х{, х2) = (Ч^ (/, xj) Ч1" (/, Xi) х X 4f+ (/, х2) Ч1" (/, х2)) при Xi ^ х2 или О2 (/; хъ х2; xl, х2) = = (Чг+ (/, х2) Чг (/, х2) Чг+ (/, х[) Чг (/, Xi)) при х{ Ф х2.

Рассмотрим случай, когда эффективный радиус взаимодействия достаточно велик, что может практически иметь место при кулоновском взаимодействии. Тогда основное значение интеграла, входящее в изучаемое уравнение, происходит от области положений г2, удаленных от Гх или Гр В такой ситуации для получения первого приближения пренебрежем корреляцией между операторами ^(Л г^Т^, г[) и ^(t, г^Т^, г2) и положим приближенно

D2(Z; хъ х2; xi, х2) = (Чг+(/, хЭ^СЛ Хх))х

X<^(t, x^^V, x^-D^t; хъ x^Dx (/; x2, x^Y (4.8)

В этом приближении наше уравнение примет вид /й^1№_ма = J |Г(/; Хъ ^D1{t. ^, х^_

- Г (/; Z, х,Э Dv (t, хи х")} dx" + $ {Ф (гх - г2) -

— Ф (г; - г2)} {Dx (/; Xi, х[) D1 (Л х2, х2)} dx2 или

^^у^ = J |Г(/; Х1) х^о^ х», х^-

— Г(/; х", x^D^t; хъ х")} dx"+{t/(/, гх) -U(t, г;)} х

X Dt (/; Xi, хЭ, (4.9) где

U (t, г) = ^Ф (г —r')Dx (/; х', x')dx' =

= $Ф (г - г') 2 (Y+ (/; г', о) ¥ (/; г', a)) dr'.

О

Как видно, это и есть известное приближенное уравнение самосогласованного поля Хартри. Заметим, что

2 <Y+ (/, г, а) Т V, г, а)> = < ^ 6 (г - г, (0)>

Оx^i^N

представляет среднюю плотность числа частиц, a U (/, г) — потенциальную энергию, обусловленную этой средней плотностью.

Таким образом, в уравнении Хартри эффект взаимодействия частиц учитывается средним полем U — к индивидуальному гамильтониану Г добавляется эта потенциальная энергия U»

Проанализируем сейчас наше исходное приближение (4.8), которое запишем в несколько более общей форме:

ОД1; хь х2; х^ х2) =£>!(/; хъ x^Dt (/; х2, х2).(4.10)

Весьма существенным дефектом этого приближения является то, что оно не учитывает принципа Пауля, т. е. в данном случае оно не учитывает свойств антисимметрии:

D2(/; хь х2; xj, x^ = — Da(t; х2, Хь х{, х2) =

= — D2 (/; хь х2; х2, хЭ, непосредственно следующих из перестановочных соотношений.

Усовершенствуем сейчас формулу (4.10) так, чтобы учесть эти свойства антисимметрии. Пусть взаимодействие в рассматриваемой динамической системе является слабым, так что Ф (г) можно считать пропорциональной некоторому малому параметру X. При нулевом значении этого параметра, т. е. при полном отсутствии взаимодействия, уравнения (4.5) теряют зацепляющуюся структуру: члены с Ds+1 в уравнении для Ds отсутствуют.

Таким образом, нетрудно проверить, что выражение

D2(/; хь х2; х^ хй = Вг^; хь x'^D^t; х2, х2) —

— Dx^t; х2, x'^Dx^t; хъ х^, (4.11)

и в общем случае

Ds(t, xtxs; х’хх’^ =

= 5 (-1)р Р № V; *ь хЭ ... Ds (/; xs, xs')} р

(где сумма берется по всем перестановкам Р аргументов хь ..., xs) точно удовлетворяют всем уравнениям (4.5), а также свойствам антисимметрии. Поэтому в реальном случае, когда малый параметр X отличен от нуля, можем считать формулу (4.11) приближенной с ошибкой порядка малости X.

Возьмем первое из уравнений (4.5). Так как член, содержащий О2, пропорционален X, то, подставляя в него выражение (4.11), получаем приближенное уравнение, точное до величин второго порядка малости. Это

приближенное уравнение

№ dD^t;^, х^ = $ {г (/. x,f) ^ (^ ^ ^ _

- Г (/; х\ х^ Dt (/; хъ х")} dx" + $ {Ф (h - г2) -

— Ф(г£ —г2)} {Dx(/; хъ x^D^t; х^ х^-

— DT (/; х2, х[) Dy (/; хь *2)} dx2 (4.12)

впервые было выведено и исследовано В. А. Фоком.

До сих пор мы занимались рассмотрением хорошо известных* приближенных уравнений Хартри и Фока. Воспользуемся сейчас этими уравнениями для получения приближенных уравнений для функций Грина. Для этого, как и в работе [22], рассматривающей случай классической механики, применим теорему о вариации средних величин. Используем как раз ту ее форму, о которой говорилось выше. Положим опять

г-£+6Г№

6Г(/; х, х') = ехр(— 1Е1)£Цх, х')6£ + с. с.,

где Im Е Ф 0, и наложим на Dt (/; Xi, х^ граничные условия 1°, 2° из § 10. Тогда

D^t; хъ xj)=D1°'(x1, ^)+6Dx,

(4.13)

6^! = 2л exp (— lEf^^E; хъ х?; у, у') Q (у, у')х

xdydy'6g4-е. с., где Dl”(xi> х[) — выражение Du соответствующее статистическому равновесию в системе с не зависящим от времени гамильтонианом Н.

Воспользуемся теперь уравнением Хартри (4.9). Варьируя его, найдем

А= ~^ д _ д ) 6D1 (/. Х1>+

+ S {Ф (Г1 - г2) - Ф (г; - г2)} {£>!"* (хь Xi) 6Di (/; хь х2) +

+ D)0' (х2, х2) 6Di (/; Xi,, х!)} dx^ + ^ быь где

8ui=ехр (— iEt) 6g ^ {6 (xi — у) D*i' (у', х?) —

-S^-y'^D^Xu y)\Q(y, y'^dydy'-Vc. с.

Подставляя в полученные уравнения в вариациях формулы (4.13) и приравнивая коэффициенты при

exp (— iEt) 6|й (у, у') dy dy',

придем к следующему приближенному уравнению для определения функции ^:

ПЕ^ (Е; хь xj; у, у^ = — ^ (АГ] - Аг;) х •

X ^ (Е; хь xi; у, у') + $ {Ф (п - г2) - Ф (г! - г2)} х

X {Di01 (хь xi)^(E; х2, х2; у, y') + Di° (х2, х2)хХ^^Е; хь xi; у, у'^ dx2 + (l/2n) {6 (хх — у)х

XD^ (у’, xj) - 6 (xi - у’"» D^' (xi, у)}- (4.14)

Возьмем теперь вместо уравнения Хартри уравнение Фока (4.12) и применим к нему теорему о вариации. Тогда вместо (4.14) получим несколько более сложное приближенное уравнение для определения функции ^

ЯЕ^Е-, хь xj; у, у') = —^(АГ1-ДГ')Х

X Л (Е; хь xi; у, у') + $ {Ф (г2 - г2) - Ф (ri - г2)} хX^Di ixt, xiPi(£; ха, х2; у, y') + D'”(x2, ха)х

X St(E; хи xi; у, y') — D't(xa, х'^^Е; хъ х2; у, у') — — D"1 (хь х2) ^i (Е; х2, xi; у, у')} dxa + (1/2л) {6 (хх — у) х

ХОГ (у', Xi) - 6 (Xi - /) Df (хъ у)}. (4.15)

Займемся сейчас определением Di0^, xi). Имеем

Di” (х, х') = (Т+ (х') Y (х)) —

= V'1 у (at., о.ак, „> exp (— i (k'r' — kr)), fe, к*

где средняя ( ... ) берется для состояния статистического равновесия с гамильтонианом (4.1). Ограничимся рассмотрением только тех случаев, когда это состояние не вырождено. Тогда, поскольку в нашей системе имеют место законы сохранения импульса и спина, имеем, как известно, (а,к1Оак* о»х) = 01 если к Ф kr или а^а'. Далее, поскольку направление спина не выделено, среднее число частиц (Ок, о^к, а) с импульсом кк и спином о не зависит от а. Следовательно,

^к, оак. о) = Пк!^

где пк — среднее число частиц с импульсом Йк. Отсюда найдем

D^' (х, х') = V-12 (»»/2) ехр (— ik (г' — г)) А (а — а') = к

= 27^)3 $ пк ехР (— Л <г' - 0) dk А (О' - а) =

= D(r' —г) А(а'— а), (4.16)

где D (г)="2^з- J пк ехр (— i (кг)) dk.

Заметим теперь, что для гамильтониана (4.1) уравнение Хартри, написанное для равновесной функции Di', будет

+ $ {Ф 01 - г2) Ф (г; - r2)} Di” (Xi, Xi) Dj” (х2, х2) dx2.

Ясно, что это «неварьированное» уравнение тождественно удовлетворяется выражением (4.16) при любой форме функции D. В самом деле,

(Ari-Ar,)D(r'-r) = 0,

J {Ф (Г! - г2) - Ф (rj - r2)} Di” (х2, х2) dx2 =

= s D" (°) 5 <ф to - гз) - ф (ri - r2)} dr2 = 0. о»

Покажем далее, что варьированное уравнение Хартри позволяет определить D.

То же самое и с уравнением Фока. Неварьированное уравнение Фока, написанное для равновесной функции

0=- £ (АГ1 - Ar;) Di” (Хь х{) +

+ $ {Ф 01 - г2) - ф (г; - r2)} {Di” (Хь Xi) Di” (х2, х2) - - Di” (х2, х{) Di” (хь х )} dxa,

тождественно удовлетворяется выражением (4.16) при любой форме функции D. Соответствующее же уравнение (4.15), как мы увидим, определяет полностью эту функцию.

Займемся прежде всего уравнением (4.14). Обозначим

и (Г1) = J Ф (Г1 — r2) Di° (х2, х2) dx».

Тогда мы можем написать это уравнение в следующей форме:

НЕ^ (Е; хь xV, у, у') = {- ^ (Аг, - Ar{) + U (гх) -

— U (ri)} ^ (Е; хи xV у, y'j + EfV'tXi, xi) $ {Ф (гх - г2) —- Ф (ri - r2)} ^х (Е; х2, х2; у, у') dx2 +

AA\l2nWxx-yW^xti-^x^^ (хху)}. (4.17)

Рассмотрим теперь двухвременные функции Грина (4.2) при s = l и их фурье-представления:

[ОДв^-тХ^, xiW, ха^Хт, у)Т(т, у’)

- У (т, у) Т V, у') Т+ (/, xi) Т (I, хх)> ='

=Grtel (t — т; хи xi; у, у') =

ОО

= $ ^V1^* х1> х1> У’ y')exp(—iE(t — x))dE,

[l/(-M)]0(T-O(V<-(t, xi)T(/, ха^Хь уУ^, У')-

-УЧт, у)^, y')^4t, ОТ хх)> =

=Gad°y-v, хь xi; у, у') =

ОО

= $ З^о (Е; хъ xi; у, у') ехр (—1ЕЦ — x^dE, (4.18) — ОО

[i/zsje^-TXTx/, xiw, хач^т, yw, у^н

+ [\Htl\ 0 (т - 0 <4* (т, у) ¥ (т, у') Т+ (a Xi) ¥ (/, ха> =

+ ОО

= 0^ (/-т; хь Xi; у, у')= $ ^' (Е; хь xi; у, у'^Х

х ехр (— iE (/ — т)) dE.

Воспользуемся теперь общими соотношениями (1.7). Перейдем в уравнении (4.17) на вещественную ось Е из верхней комплексной полуплоскости. Заметим тогда, что yet должно удовлетворять (4.17) для вещественных Е. Переходя в (4.17) на вещественную ось из нижней комплексной полуплоскости, убедимся, что и ^^ удовлетворяет (4.17) для вещественных Е. Наконец благодаря (1.7) можем заметить, что и ^с удовлетворяет тому же уравнению для вещественных Е.

Итак, из вещественной оси Е мы должны иметь: hE^f (Е; XV, x'v, у, у')={- ~ (Дг, - Дг,)+

+ и (rL) - и (ri)} 3-^ (Е; хь x'v, у, у1) +

+ОГ (хи xi) (Ф (п - г2) - Ф (г,' - г2)} х

Х^ЧЕ; х2, х2; у, y')dx2 +

+ (1/2л) {6 (хх - у) О? (у', х?) - 6 (xi - у') Dr (хь у^, a —ret, adv, с.

Умножим обе части этого уравнения на ехр(— IE (t — т)) и проинтегрируем по всей вещественной оси. Получим:

тdt2«(Лг1 Дг;) +

+ и (Г1) - и (г;)} с;а) (t - т; хь X'v, у, у') +

+ Of (хь х^ J {Ф (г^ - г2) - Ф (г; - г2)} Xхб}а)(/ —т; х2, х2; у, y')dx +

+ 6 (/ - т) {6 (xi - у) ОГ (у*, х{) - 6 (xi - у’) Dr (хъ </)}, a=ret, adv, с.(4.19)

С другой стороны, из (4.18) видим, что

<W. У)^^, у') ^41, xiW, хх^-гца;-^.

Поэтому, вычтя из уравнения (4.19) для а=с то же уравнение для a=ret, найдем

_ d(Y+(T, у)Т(т, д'^^у, x'^tt, х^ _(№ ...

1Пdt— 12/п(Дг1 Лг{) +

+ и (Г1) - и (г;)} (^ (Т, у) V (т, у') У+ (Л XI) У (/, XJ) 4-

+ ОГ (хь х}) J {Ф (q - r2) - Ф (ri - r2)} X

x (V+ (т, y) Y (t, y’) V+ (/, x2) V (t, x2)> dx2. (4.20) Обозначим:

Х1 = (Г1, аг), x2 = (r2, a2), y=(r, a), y' = (r', a'), xi=(ri, oi).

Будем неограниченно увеличивать расстояние между парами точек гх, г и г^ г'. Тогда благодаря ослаблению

корреляции выражение

<Т+(т, z/)V(T, у'^Ц, W X,))

будет распадаться на произведение

(^(т, yW, хОХ^Ст, y'^it, xi)>.

Далее, поскольку 1^ —гЦ->оо,

D?’ (хь х!) = <Т+ (xj) V (xi)> -> <Т+ (xD> <V (хх)) = 0.

Таким образом, асимптотическая форма (4.20) будет

Х<Т+(т, «W хО)}^, y'^4t, xi)) ++ ^(ЧЧт, «'У^ *Э> _

* [£Аг1 * ^W- «'М х;»}^(т, у^Ц, Xi)>=0, откуда

rt<WhjW^+ g^^X,)>

<¥+(*■ y)^^ x^:

iH-^№^L (^.д^Д ^(т.у'^.хЭ)

(4.21)

Хотя это соотношение и установлено нами только как асимптотическое равенство, справедливое в пределе при неограниченном увеличении расстояний между двумя группами точек: (г, гх), (г^ г'), нетрудно заметить, что оно имеет место везде.

Итак,

X (T»MV(l,ti)+A(l, т)<Т*(т, № х», (4.22)

X <Т(т. /)Т*((, х;» — Л«, т) <Т (т, иУИЩ, х®.

Как уже отмечалось, операторы

W, tiW, хО, Т+(т, ^(т, у'),(4.23)

сохраняющие число N, не меняются, возьмем ли мы в качестве

Т(/, х^ Т+(/, х)(4.24)

представления Гейзенберга с гамильтонианом Н или H — XN. Мы могли бы даже взять гамильтониан в форме H — f(t)N или даже квантовый оператор, только коммутирующий с Т(/, х),Т+(/, х), где f (/) — произвольная с-функция. Все равно появляющиеся у Т, Т+ лишние фазовые множители в выражениях типа (4.23) скомпенсируются. Такая ситуация, однако, уже не возникает для «однофермионных» операторов (4.24), не сохраняющих N, и здесь фазовые множители являются существенными.

Чтобы воспользоваться спектральными представлениями в случае, когда Л=ЧГЧГ+, В = ЧГЧГ+, условимся определять операторные полевые функции как представления Гейзенберга с гамильтонианом большого ансамбля H — XN.

Тогда можно показать, что в равенствах (4.22)

Л (/, т) = const = — X.

Для этого рассмотрим положение, когда в некоторой сколь угодно малой и сколь угодно далекой области D точек г взаимодействие между частицами системы выключено. Иначе говоря, заменим в наших формулах бинарную потенциальную энергию Ф (п — г2) на и (гх) х X и (г2) Ф (ri — г2), где функция и^ равна единице всюду вне области D, а внутри ее и = 0. Тогда, если х лежит внутри D, имеем

«J. , 4-]_ Л (Т1 Й т (/, Х1)>.

Uv\4111/

Но в уравнениях (4.22), написанных для взаимодействия и (п) и (г2) Ф (п — г2), имеем и(гт)=0 и потому

X (Ч^Т, y^t, Х!)>.

Отсюда вытекает, что

Л(/, x) = const = —к(4.25)

Это равенство установлено для «вспомогательной» задачи фиктивной динамической системы, у которой потенциальная энергия пары частиц равна и (гх) и (г2) Ф (гх — г2). Однако если область D стянуть в точку и удалить на бесконечность, то тогда в пределе фиктивная система, очевидно, переходит в рассматриваемую нами систему с взаимодействием Ф(гх —г2). Поэтому равенство (4.25) имеет место и для нее. Таким образом, из (4.22) получим:

= {_Дг1 _ и (Г1) _ Х| х

X <т+ (т, у) Т (/, Xi)>,

«УЗЦЩУ» _ _ {_ " дг. + и (г;) - X} X

х (V (т. y'^V. ^')>-

Рассматривая случай пространственной однородности (случай, когда изучаемое состояние статистического равновесия не вырождено), имеем:

IX^. x2) = 2<4f+(r2, a2)T(r2, a2)> = n

Ga^2

И

U(г) = п$Ф (r — rx) drx = n $Ф (r)dr=const.

Заметим, в частности, что для случая плазмы, когда мы имеем кулоновское взаимодействие с компенсирующим полем, это постоянное поле U вообще равно нулю.

Положим

К = Х — п^Ф ^r) dr.(4.26)

Мы видим, что для изучаемых средних получаются уравнения:

^<Ч"(т,.^= {_ g дг< _ X'} (^(т, у)ЧЦ, х^,

X (V(T, y')^(t, xD>, (4.27) совпадающие по своей форме с уравнениями для средних при полном отсутствии взаимодействия. Роль взаимодействия сказывается здесь лишь в возможном сдвиге (4.26) химического потенциала X (и то, например, в указанном случае плазмы этот сдвиг равен нулю). Естественно поэтому, что для данных средних мы получим те же формулы, что и для идеального газа.

Действительно, заметим, что

<Т+ (т, у) ¥ (Л Xi)) = V-1 2 <4, „ (т)(/)) х

k, kt

х exp (— I (kr — k^)),

<T (Т, у”) ^ V, xD> = V-1 5 <ak., о- (T) at. ,; (0) x k', ki

X exp (i(k'r' — k;r;)).

Подставив эти выражения в (4.27), найдем:

откуда

(at, о (т) ак1, а, (0> = ехр {- ^ ^ № - X') (/ - т)} х

X (at, о (т) а61, о, (т)>=ехр { - ^ (^ № - X') Ц - т)} X

X <4, о (0) abt. а, (0)>=ехр {- i (g № - X') (/ -т)} х

X <4, оакъ О1)(4.28)

и также

(aks о- Wat;i о; (0> =exp(i (g й2 - X') (/ -т)} х

X ^к*, с'й^ ар»

Заменив здесь az->аъ а?-^а, т->/, /->т, к’х-^к\ к’-^к, получим

(“к, а, (0 at., о (Т)> =ехр {- ^ (^ № - X') (/ - т)} х х (ак, а,4', а).(4.29)

Воспользуемся теперь спектральными формулами. Имеем:

-|- оо

(ак-, о (т) ак. О1 (0> = $ ^(ro.&'.a.&.ojexpt—itoV — T))d©, — ОО

(йк, а, (О at, о (т)> =

+ ОО

= j ^ (ю, к'ока^ exp ^- — t© (/ — т)) d©.

— ОО

Сравнивая их с (4.28), видим, что

^к', о (т) Clk, ot (0^ = 0, к ^ к ,

<ак, 01 (0 а^, о (т)> = О, к=£к\

(ак, Olat о> = ехр ((^ Й2 — Х')/8) (at аак, а,>.(4.30)

Но в силу перестановочных соотношений

(ак, <3tat а) + <а^. oQ-h, Oi) = А (а — Oj).(4.31)

Из (4.30), (4.31) найдем окончательно:

(а^, айк, at> = А (a — Oi) [ 1 + ехр {е-1 (кг№/2т. — X')}]-1,

<ак, О1ак) o') = А (о — ax) ехр {6*1 (ка№)2т. — X')} X

X [1 +ехр {6-1 <к?№12т - Х')}]*1.(4.32)

Итак,

пк=^ (at оак. а) = 2 [1 +ехр {e-i W2m - X')}]"1. а

(4.33)

Отсюда плотность

n^lV^-^n^

= (2л)5 J П*аК = ’(2л)5 J Н-ехр {0~i №Wm— X')}’(4,d4)

и мы можем определить К через среднюю плотность числа частиц п. Далее с помощью полученных соотношений

найдем:

№ yW, x1»=^^x

X «6 exp |— i ^l^-^ (/ _ т) _|_ /к (Г1 _ r)| ^ (4.35) ^(ь y'^v.x'^^^x

X ^ (2 — n6/) exp {— i ^l^-^ ,ц — t) + ik' (r' — rj)| dk'.

Следовательно, асимптотическая форма

<Т+(т, у^Ц, x))^, ОТ, xl)> средней

ф+(т, у^у, х^т, ОТ, 4)>

при неограниченном увеличении расстояния между парами точек (ri, г), (rj, г') имеет вид

A^-gJ A(q'-al) С „ „ ,

4 (2л)в J «Кик Мд (2 fife') X

(.(№,2т) — (к'г№,2т),.. . .. . х ,

X ехр | — 11—^-—^ (/ — т) + tk (гх —г) +

+ tk'(r'-r;)}. (4.36)

Таким образом, выражение (4.36) этой асимптотической формы имеет тот же вид, что и для идеального газа. Ее фурье-компоненты с фиксированными к, к' имеют характер незатухающих колебании с частотой -^ j^— 2т V

Эту частоту можно интерпретировать как соответствующие энергии квантового возбуждения, когда фермион с импульсом йк' переходит в состояние с импульсом йк. Интегрируя (4.35), видим, что энергия возникновения фермиона с импульсом Йк будет (йЙ)2/2/тг —X'.

Отсюда мы заключаем, что приближенное уравнение (4.14), полученное из уравнения Хартри, из которого мы исходили в рассматриваемом случае пространственной однородности, не учитывает влияния взаимодействия между частицами на изменение зависимости от импульса энергии элементарного возбуждения и на появление у него конечной ширины (эффект затухания). Чтобы учесть эти эффекты, нам следует работать с более точными уравнениями.

Проводя рассмотрение уравнения Фока в функциях Грина (4.15), найдем, что в этом случае эффективная энергия фермиона будет

^ - ^ Sф (R) ехр (/ (qR)) D (R) dR-

Указанная добавка получается за счет взаимодействия фермионов с соседями.

Полученное приближение для уравнения. Фока еще не учитывает эффекта затухания.

Заметим, что уравнения в функциях Грина (4.14), (4.15) кроме тривиального спектра Е^ — Е^ имеют еще спектр коллективных колебаний. Возьмем, например, уравнение (4.14). Решая его, найдем для фурье-пред- ставления

£(£;Xi,xi;0,/) = $<Mpi» Рп аь °ь Р. р', о. И X X ехр {— t (pin + pi ri - pr - p'r')} dp^pidpdp'.

Решение этого уравнения удобно выразить через функцию Р (<?) =

= р(9. Р. Р*. »> «^^.SS^M^? —^ Ст1’ аь г»г’о'а^ X хехр{—i (pr+p'r')} dkdrdr', для которой найдем

/ х _ а (о—ИЙЕ —(ft2/m)((p —9/2)9)

2 (2л)7 у(д) Г nh + q/2 — nh-q/2 „'

■^лр } SE-(#2/m)(kq)

Отсюда видно, что искомый энергетический спектр системы взаимодействующих фермионов определяется уравнением

1 I С "б + <7/2 —rtA-<?/2_ л

(2л)3 J ПЕ—(№/т) (kq) “-

Это уравнение было получено и детально исследовано в работе [27].

Заметим, что обычный способ приближенного нахождения энергетического спектра для классических систем, предложенный А. А. Власовым, состоит в следующем. Рассматривается равновесное решение уравнения самосогласованного поля D(0) и изучаются бесконечно близкие решения D = D^ + 6D,

у которых 6D зависит от t как ехр (— lEty Полученное «секулярное» уравнение и определяет энергетический спектр.

В методе функций Грина мы, естественно, получим то же уравнение, поскольку оно определяется только однородной частью уравнения (4.14), которая, в сущности, есть не что иное, как варьированное уравнение самосогласованного поля. С другой стороны, в методе функций Грина, пользуясь спектральными представлениями, мы можем не только найти энергетический спектр, но и построить выражения для корреляционных средних и функций распределения.

§ 12. О функциях Грина для кристаллической системы в приближении самосогласованного поля

В этом параграфе на примере кристаллической системы будет показано, что полученные с помощью приближения самосогласованного поля функции Грина удовлетворяют теореме Н. Н. Боголюбова об особенностях типа 1/<?2 (см. ч. III).

Поскольку при рассмотрении кристаллической системы можно приближенно полагать, что частицы фиксированы в узлах решетки, будем исходить из уравнения Хартри в функциях Грина, которое запишем в форме

i-^-bD^t, х, х') =—(1/2/и) (Ах—A,.) 6D (/, х, х') +

+ {(/(0,(x)-t/(0,(x')}6D(/, х, х') +

+ {6(7 (/, х)-6(/(/, х')}О'°'(х, х') +

+ {6q((, x)-6ri(Z, x')}Dl0>(x, х'). '(4.37)

Здесь D((, х, х') — одночастичный оператор плотности в х-представлении, D10’(х, х') —его равновесное значение, (/t0, (х) = ^ Ф (х — х')р(0’ (x')dx', р'0'(x) = D(0, (х, х); Ф (х) — потенциал парного взаимодействия, &U (I, х) = = $ Ф (х — х') 6р ((, x')dx', 6р ((, х') = 6О ((, х', х'). «Источники» возьмем в форме 6q (/, х) = ехр (— <£20 6г| (х), 6r|(x)=exp(z(q, х))6с, 6с — бесконечно малое с-число, при этом

6D((, х, х') = ехр(—O)6D(x, х'),

6р (/, х) = ехр (— iQt) 6р (х).

Тогда, если вариация гамильтониана в представлении вторичного квантования имеет вид

6Н = $ dx Т* (х) 6т) (х) У (х) ехр (— iQt) = р.^ ехр (—IQf) 6с9

где

Р»=$ Р (х) ехр (— i (kx)) dx, р (х) = V"1 У, р6 ехр (/ (кх)), к

то согласно теореме о вариации средних значений [8] функция Грина «плотность — плотность» определяется следующим образом:

2л «р6; р-?»а =2л «р6; р-?»а =^С^СJ 6р (х) ехр (—/ (kx)) dxJ 6р (х) ехр (—/ (kx)) dx(4.38)(4.38)

2л «р6; р-?»а =

2л «р6; р-?»а =

^С

^С

J 6р (х) ехр (—/ (kx)) dx

J 6р (х) ехр (—/ (kx)) dx

(4.38)

(4.38)

Таким образом, уравнение (4.37) можно переписать в форме

Q6D(x, х') =— (1/2т) (Дх —AX')6D(x, х') +

+ {С71о> (х) - Uw (х')} 60 (х, х') + {60 (х) - W (х')} х xD(0>(x, х')+{6т](х)-6т)(х')}О(0>(х, х'). (4.39)

Введем в рассмотрение

^акх^^-^гУО^Х, X')}.

zиха /)х=х*

Заметим далее, что имеют место следующие соотно

шения:

зз

* VI / d2 d2 \ VI / д . д \/ д д \ - ^' - aZ ^ - ^ - Д [дГа + д^)^ - д^).

{(А,-Ах,) 60 (х,{(А,-Ах,) 60 (х,

{(А,-Ах,) 60 (х,

{(А,-Ах,) 60 (х,

Тогда, полагая в (4.39) х=х', приходим к уравнению для 6/а(х):

з

йбр (х) + 4г 2б/“ W = °-(4 Л°)

а= I а

Умножим теперь уравнение (4.39) на -4V44—,4г Y v ^а

а затем положим х = х\ заметив при этом, что

1 / 5^ \ , ААх

"п— I 3""7 3— ) (Ax' — А у) = 2т \дх^ дха]v х х)

з

= 1 у /_д_ . _д_\ /_дд\ /_дд\ 2т у^Хр ‘ дХрДдл:^ д*аДд*з дхру

Первый член правой части уравнения (4.39) удобно представить в виде

в где

Заметим также, что для произвольной функции F (х)

((gp - й т^ W - F ^ 8D ^l = ^ОХа OXaj z)х=х'

. dF (х) „ , . = ~1-д^Г8Р^-

Учитывая эти соотношения, получаем из (4.39)

Q6i- W—hIf, ^ « - ‘ Т^ 6» W - в

. 96U (х) (о, / \■ дбг) (х) ,п| . .

Умножив это уравнение на й и используя соотношение (4.40), найдем

й 6/« w=2 аг,8Т^ ^ —^ -^ 2—

ВВ

- ^ р(0) w 21^ $ф (^ -х') 6/р ^')dx' -

_zQpW(x)^W. (4.42)

Представим 6D(x, х') в виде разложения по полному набору некоторых ортонормированных функций <Pv (х):

6D (х, х') = У, фу (х) фц (х') 6cvu,(4.43)

Ц, V

причем в качестве фv (х) удобно взять собственные функции одночастичного уравнения.

{- ^+ Uw (*)} Tv (х) = Еvфv (х);

$ фу(х)фц(хМх=6уц, V

при этом

О^Цх, х') = У ^фу(х)ф*(х'),

V

где wv — числа заполнения одночастичных состояний. Тогда уравнение (4.39) может быть приведено к форме

2 (й - Ev + Е^) фу (х) ф^ (х') 6суц=

= {(6(7 (х) - 6(7 (х')) + (бт) (х) - бт) (х'))} 5 ^Ф? (х) ф? (х'). V

(4.44)

Используя свойство полноты системы функций ф(х): 5фv(x,)фv(x") = 6 (х'-х"), последний член уравнения V

представим в виде

{61/ (х) - bU (х')} 5 аУуФт W Фт (*') =

= У, (аУц - ayv) $ 6(7 (х") ф? (х") фv (х) фц (х") ф^ (х') dx".

V, ц

Умножим теперь уравнение (4.44) на Ф?(х)фц(х') и, интегрируя по х и х*, получим

(Q Е^ ~Ь Еу) бс-уу, =

= (W^ - ХУ^ $ {6(7 (х") + 6Т] (х»)} фц (х") ф* (х") dx”,

откуда

6cvtl= Q^^ 5 ^8U W + 611 W} W Т* W dX-

Учитывая, что

6U(х) = ^ Ф (х — х') 6р СИ dx' = =Ф (х — V) У ^? 6/в ^ dx',

имеем для коэффициентов 6^ц следующее выражение:

лЮн—twv1 р дФ(х—х'),

6с^= — i Q_£v+£(1 ^q 2 J dx& ^₽ ^ ^ Ф*1 ^ X

X Ф? (x) dx dx' + ■ Шц ^ ' t 6n (*) Фи (*) Ф* to dx.

Умножая это уравнение на <pv to Фи СИ и суммируя по v, р, возвращаемся снова к функции

Q+£3дхрх

v, ц, р

X ф (Х1 — х2) 6/р (х2) dxT dx2 <pv to Фи (^') +

+ 2 Ф» to Фц to) Ti^e^-f; $ 6t1 ^^ Ф*1 ^ Ф* ^ dXv (4.45)

f 1 / d d \ Применяя к уравнению (4.45) операцию |TldF — аГ/ х Х№-^;),,Ъ г- и Учитывая определение (4.41),

получаем

67“Р ^ = i 2 S дК^ц^ ф (^ _ ^ ^ Wydy, + + $ Кар to у I й) 6я to dy, (4.46) где

Кар (X, У | Q) = -4 2 Q + E^-fv Ф*1 ^ Фу ^ (^ ~ Ч^) Х V, ц

Подставим теперь выражение (4.46) в уравнение (4.42):

П26/о(х) + 2^2 $ --^’ду^+

■ в, V

т дха дха "т"

+^ 2 а^ $ф (х -х') &ь м dx' =

=-Шр’0’ W^+^2^ $ К* yW^dy*1.

15(4.48)

Положим здесь

A 6ja (х) = 6Ja (х),

тогда для 6Jо(х) получим следующее уравнение:

Q26Ja (х) + „ 2 )^^^y-yW^ (у') dy dy' + В. т

д1Г»> (X) у дб/р (х) m дха дхв "г"

В

+^2 -d^V^x-xW»Wx,== в

i Ш/х^ I 1 VC ^«В^. У1Й) s

= -m P ’ W -^T + ^ 2 ) d^^ ^ d«-

(4.49)

Легко установить связь между введенными функциями 6Ja(x) и функциями Грина «плотность — плотность». Действительно, учитывая соотношения (4.38) и (4.40), получим

з

«Рь Р-»»й = —(^ $ exp (- z (кх)) 2 ^ ^^ dx. a== 1

(4.50)

Установим теперь некоторые тождества.

ш> Аналогичное уравнение рассматривалось в работе [28] в связи с изучением спектра коллективных колебаний кристалла.

Напомним, что равновесная функция распределения О'0) (х, х') удовлетворяет уравнению

— (1/2т) (Дх—Дх,)/)(01 (х, х') +

+ Ww to - ^(0) (х')} О(°' (х, х') = О,

Uw (х) = J Ф (х — г) р(0) (г) dz.

„/ д . д \

Подействуем на это уравнение операцией Idx^"’-^)’ Тогда, обозначая через Га(х, х') величину ^- + ^-j х xDw (х, х'), получим:

-^(Д^-Д^ГЛ*, х') +

+ {t/(°)to-(/<0)to)}rtnx, х') +

+-’^^В^Чх, V) = 0,(4.51)

dU™> (х) С ^ .. др'<» (г) .

Поскольку

уравнение (4.51) принимает вид

-А-^-МПЧх, х') +

+ {(/(0) (х) - Z7<°> (х')} Г^‘ (х, х') +

+ ^ Ф (х — г) Г«0'(г, г) dz — $ Ф (х' — г) Г^' (г, г) dz}х xDW(z, г') = 0. (4.52)

Сравнивая это уравнение с уравнением (4.39), видим, что 6D(x, х')=Га'(х, х') (а=1, 2, 3) является решением уравнения (4.39) при £2 = 0, 6т|(х) = 0, т. е. 6D(x, x')|q==o = (^- + ^D«»(x, х'). 6г) = 0 \и*а и*а/

Напомним, что уравнение для 6D (х, х') мы получили в форме

6D (х, х') = 2 Tv to Фц to) Й+Ец.^, $ dxi Фи to) X

“,vхф5 to) {5^ to)+6n to)}-

Полагая в этом уравнении Q = 0, 6т) (х) = 0 и подставляя решение для 6D(x, х') = Га’(*, *'), получим тождество

1а’ (х, ХЛ) = 2 Tv W фц (V) ^zr^J 5 dX1 йх» Ф ^ — х1>х

X Фц (Х1) ф? (Х1) Г^’ (х2, х2),

или, представляя Г^'(х, х) в виде

г^(х, *)4^ + ^D(0)(x,x%=^=-^^. (4.53)

будем иметь

Га (х, х') = ^ Фv (*) фц (х') g'1^ § dxt dx2 Ф (Х1 - Х2) X

X Фц (Xi) ф? (Хх) -^^-.(4.54)

Введем еще одно обозначение:

Sa₽(x) = T|^ —^^— ^d0)(x, х')}. (4.55)

Из тождества (4.54) при условии (4.47) следует, что

Sa₽(x)= ^Ка₽(х, У\^ = ^О>^-у^9-^^1йуйу' =

= - J ^^-^ Ф кУ - у') Р(о) (у') dy dy'.(4.56)

Применим к уравнению (4.52) операцию {(^-, —

— ^-^...}, тогда, заменив индекс а на X, будем

^а/)х=х*

иметь

у^х,_Ц^_^Лг^(х, х')}

I\иха оха/)х=х*

+ {(Д - ^ kUW (х) - UW (х')) rk"> (X, х')^ +

+ {(^ * ^\ [ф <х * г^ * ф (х' * г>1х

хП0)(г, 2)dzDW(x, =0.

)х=хе

97974 Боголюбов, Садовников

97

97

Это тождество с учетом (4.53) и (4.55) можно переписать в виде

V д ок ,.А dUw (х) др,0) (х) mZdxp^WдХадХк

0

или, принимая во внимание соотношение (4.56), получаем окончательно основное тождество в форме Т 2 $ ^XV"1 ф ~ S') Р’"’)-/') «W + Vl^ffi+^^^w (4.57)

Сопоставляя тождество (4.57) с уравнением (4.48) для 6/а(х), заключаем, что при Q = 0, 6т](х) = 0 существует решение 6/а(х) = Сар(0>(х), обращающее уравнение (4.48) в тождество (4.57).

Рассмотрим решения, бесконечно близкие к 6Ja (х) = = Сар<»> (х), полагая 6Ja(x) = Cap(0)(x)exp(z(kx)), где к мало. Умножим уравнение (4.49) на ехр (— i (kx)) и проинтегрируем его по х по объему элементарной ячейки, причем § р(0) (х) dx= 1; в результате получим

^са+i 2 $ехр (— 1 (кх)) ^ (х* у iQ)х

Р. v

X (— «М ^а^ }- CvP(0) (У') ехР Мку'))dx dy dy' + + ^2С₽^ S ехр(—z(kx))^^p<0>(x)exp(Z(kx))dx— - 4 2с» Sехр (_ 1 (кх)) кж Sф (х -х')р(о) ^d/}х р

X Р(о) (х) ехр (z (kx)) dx+12 СР $ ехР (~z (кх))х

Р

х S {^W ф (х -х,)}р(0) ^р(0) (х) ххехр (z(kx'))dx'dx—^6с ^ ехр{—z((k —q)x)}p(0)(x)dx—“ £ 2 ^ $ ^ap ^’91Q) ехр ^z <чу) ~ z^kx^dydx* (4,58)

Заметим, что, поскольку Ф (х —х') = Ф (х'— х), третий член левой части уравнения (4.58) равен нулю. Полагая в этом уравнении q = G-(-k, где G —вектор обратной решетки, перепишем его в форме

^са+^1су ^ $ ^р <х- У ।Q) т^2 р(0) (у') хр. vv

X exp {z (к (у' — x))} dx dy dy* + ’

X {—2 sin2 ^^} dx dx' = ^±2“ p^ 6c -~S2^P S ^“H*’ ^1Q) exP {f (k (У — x))} exp (toy) dx dy.

P

(4.59)

Замечаем, что при малых к третий член левой части этого уравнения имеет порядок 62, а в правой части мы можем пренебречь вторым членом по сравнению с первым.

Более подробно рассмотрим второй член левой части уравнения (4.59). Нетрудно показать, что для кристалла, имеющего центр симметрии,

Ка»(— X, — У\ЭД=Ка?Лх, у\ — Й).

Принимая во внимание это свойство, видим, что

$ К а» (X, y\&)d-5^^p^4y')ex^^

- - $ Ка^х, z/l-Q)^^^^) (/)х

Xexp {— i (к (у' — x))} dx dy dy'.

В случае малых значений k и Q перепишем это выражение в виде

5 Кар U, у 10) дФ ^р™ Р(о) (у') 2zsin {£ (у' - х)} dxdydy' + + й ^ Кар (X, у|0)^|=^- р<0) (у') 2z sin \k (у' - х)} X

X dx dy dy' = Aa^yk + BaPv£2;

9?9?4е

9?

9?

здесь

Л opY=21 J К а» (х, У^^^г^- Р(0) (у') (у' - х) dx dy dy',

Ва^=2 J Ка^х, yW^^-pW^dxdydy',

^a₽(x, y|0)— dQ |q=().

Система трех уравнений (4.59) с учетом введенных обозначений принимает вид

Й2СО 4"^ 2 ^^ Ma₽Y^ + ^apY^} +

У. v

. ^2 V П-П а ^а + ^а п'»1Кл+ m Z ^^~ рс ЪС*

(&-»0, Q-»0)

Dap4 J ^^p^Hx^Hx'Hx-x'Ydxdx'.W

Система уравнений (4.60) определяет спектр коллективных колебаний акустического типа.

Полагая в уравнениях (4.60) Q = 0 и используя определение (4.50) для функций Грина типа «плотность-плотность» «pk+о; Р—к-с))й=о, получаем, что при Ь-^0 эта функция имеет особенность вида 1/&2. Такая особенность была получена нами на основе строгих неравенств для корреляционных функций и функций Грина [29] (см. гл. III, ч. III). Этот результат указывает, в частности, на отсутствие кристаллического упорядочения в одно- и двухмерных системах.

Проиллюстрируем полученные результаты на примере приближения, аналогичного приближению сильно связанных электронов.

Для того чтобы конкретизировать входящие в уравнения величины р(0) (х) и Ка^ (я, У | й), заметим, что функции q)vW представляют собой собственные функции одночастичной задачи

{- ^ А, + D(o) (х)} <pv (х) = £v<pv (х),

а самосогласованный потенциал (/(0) (х) как периодическая функция может быть представлен в виде

t/W(x) = S^(x-x„),

где х„ — координаты узлов решетки, W (х) — некоторая функция, которая в простейшем случае, когда р10) (х) = = 2 6 (х — хл), представляет собой потенциал парного п

взаимодействия Ф(х):

U^ (х) = ф (Х _ /) р«» (/) d^ = 2 Ф (X - х„). п,

В нашем приближении мы будем полагать, что функция <pv(x) (v=k, X) может быть представлена в виде фк, х (х) = 2 ехР О' (кх„))Фх (х - хп).(4.61)

п

где фх(х — х^ есть собственная функция уравнения {-^ ^Х + (х - Х„)| фх (х - х„) = ехфх (х - х„).

Поскольку можно считать, что в кристалле отклонения атомов от своих равновесных положений невелики, существенным является вид потенциала вблизи точек минимума, где он может быть приближенно представлен как

U^ (х) = const + 2 (^ш2/2) (х — хл)2.п

Если рассмотреть расщепление в периодическом поле только самого нижнего уровня ex-о, которому соответствует волновая функция ф0 (х — хл) х

\ Л /

хехр|—^(х —х„)2|, т. е. считать, что в сумме (4.61) блоховских функций индекс к принимает одно значение Х=0 и волновая функция кристалла может быть представлена в виде

, х 1 / та) \з/4 v Ь \ ^^^wIt) Zexp r^-”^-^ г

то такое приближение можно назвать «однозонным».

Дисперсионная зависимость энергии Е как функции квазиимпульса к определяется в соответствии с обычной схемой приближения сильной связи:

Ек = ®о 4- 2 cos (kxm) ^ dx Г (x - x„) ф^ (x) ф0 (x - x„). zi, m

Vi^m, xro^0)

Для близких значений квазиимпульса q и k+q (А-*0) разность fq + k —£q имеет порядок к1.

£k+q —£q = —2^sin^-sinfq + ^p)$ ^x

dпфЪ

X № (x - x„) ф0 (x) фо (x - 6), где 6 — совокупность векторов ближайших соседей; перекрытия волновых функций, относящихся к узлам, не являющимся ближайшими соседями, не учитываются. Нетрудно получить в нашем приближении выражение для р(0) (х), следует, однако, заметить, что, поскольку вид <pv (х) зависит от р(0) (х) (через Uk^ (х)), соответствующие приближения должны быть согласованы. Поэтому в дальнейшем будем полагать

p^(x) = ^6(x-xn),(4.62)

п

оставляя всю температурную зависимость в выражении для Хе (х, у|й):

/<eP(x,y|Q)=—(_)2^

X 5 ехР ltk (х" - Хт) “ ^ (х"' “ Хт')1 х

п, п' т, т*

X exp [- -^- ((х - х„)2 + (х - Хп-У + (у - ут)2 +

+ (у - Ут')2)] {2«®6а9 + (т<о)2 (Х„а - x„.J (х„3 - х„,р)}.

Опуская в правой части уравнения (4.59) источники, принимая во внимание (4.62), а также периодичность ядра ^р(х, y|Q) [по аргументу (x + y)/2J:

£аР(х + хл, у + хп|й)=/<ар(х, у|й), получаем уравнения для С„ вида ^“-i 2 с^ $ К»^х» У1д)-^х 3. v

X exp (—Z (kx)) dx dy + ^2с»2^|-.„х

х{— 2 sin2 ^ =0.(4.63)

Для интеграла во втором члене левой части этого уравнения в рамках нашего приближения следует выражение ^«р (х, у | Q) 2^- exp (— I (kx)) dx dy =

= 4ЛГ (~)g + Eq+k-£q J dx ехр (кх^ х

X2ехр {— t ((к + q) 6)} ехр {- -^ [х + (х - 6)2]} х д

X {(/Пй))2 (6)а (6)р - 2/ио6ар} 5 dy ехр (i (ку)) Ф* Цк^ х

X 2ехр {* ((к + q) 6')} ехр {- ^ [у2 + (у - 6')2]}. (4.64) в'

В случае малых к сохраняем в интеграле только члены первого порядка по к. Суммирование по 6 представим в виде ^/(М» где индекс X у векторов 6 принимает значения ±1, ±2, ±3, причем 6+i = ±ae^, 6±2 = ±аеу, 6+з=±аег.

Выражение (4.64) принимает вид (ФО = $Ф (x)dx):

Равенство нулю детерминанта системы (4.65) определяет спектр коллективных колебаний акустического характера, а полученные в рамках используемого приближения функции Грина вида ((pk + о; р_к-б))о = о удовлетворяют теореме Н. Н. Боголюбова об особенностях типа 1/&2.

§13. Уравнения обобщенного метода самосогласованного поля в функциях Грина

В связи с работами по сверхпроводимости Н. Н. Боголюбовым был сформулирован более общий метод самосогласованного поля [30], существенно обобщающий метод Хартри —Фока.

Представляет интерес вопрос о связи этого метода с методом функций Грина, поскольку такой подход весьма плодотворен при изучении коллективных эффектов в слабовозбужденных системах.

В этом параграфе мы построим обобщенные уравнения Хартри —Фока, используя технику двухвременных температурных квантовых функций Грина и теорему о вариации средних значений операторов динамических величин.

Рассмотрим динамическую систему ферми-частиц с гамильтонианом общего вида

Н^Т^^-Ц 2 G^’ f»' f»’ ^а^а^, (4-66)

'2

в котором взаимодействие G антисимметрично по индексам 1 и 2. Чтобы получить обычные уравнения Хартри — Фока, введем величины типа а^а^ и построим для них уравнения движения с гамильтонианом (4.66):

d (ata

^^^°^Л^ f. fi) atatfif.a^ —

+ 7 2 G ^’ ^’ g’ ® a^af,1as’ -

~ y2G^’ ^: & ^at.aKat^8'.

Здесь и далее суммирование проводится, как обычно, по дважды повторяющимся индексам.

Заметим, что для получения замкнутой системы уравнений необходимо «расцепить» входящие сюда произведения четырех ферми-операторов. В обобщенном методе самосогласованного поля рассматриваются не только уравнения для средних типа (а^), но и уравнения для квазисредних типа (a,g*agY Запишем теперь точные уравнения движения для величин указанного типа:

I 4f <аМ = I7 (^ ~ Т (§)} «ag-> +

Ч-у^0^’ ^: ^’ to-<*kf. £* to /1}<а№^;>4-

+ 12^^’ ^' 81 ^-°^ ^ ^ 5)} ««W-ag);

.(4.67)

z -^- (ag-ag) = {Т (g) + Т (g')} (ag-ag) +

Ч-у^0^ ^ to ^-G^’ §' to А)}<а^)Ч-+ ^2^G^’ 8’ to ^-°kg. ft ft, fi)\ «а8'арар) +

+ г2^^’ ^’ to to-6If. g’-. to !Жа«арар).

(4.68)

Теперь мы должны «линеаризовать» эти уравнения, т. е. выразить члены, содержащие среднее от произведения четырех ферми-операторов, через произведения бинарного типа. Для этого предположим, что мы ввели новые переменные а&. и оф с помощью обобщенного канонического преобразования типа

% = 5 Ugg*a,g* + х^оф, которые диагонализуют главную часть гамильтониана. Тогда, используя теорему Вика, можем записать: (afwat; > = «ag') - «ар) (agaf; > + «ар) «ар), (a«apapt >=<а«) (apat.x) + «а{;) «ар$ > -

-«at) «ар),(4.69)

«.auayag) = ««) «ag) + «а6) «га{. > -

-«A-)«.ag).

В результате из точных уравнений (4.67), (4.68) мы получаем приближенные замкнутые уравнения обобщенного метода самосогласованного поля, которые могут быть решены для целого ряда конкретных физических систем.

Следуя работе [30], положим:

f te.

Тогда обобщенные уравнения Хартри —Фока принимают вид *>:

i^T-^VT^-T^F^g, g'H

+ S G (g', f; to to {Ф* (g, П Ф (fl. /Э + F (g, fl) F ^ to - ’ -F(g, n)F(f, т£0№. к g. f)X

X {Ф* (fi, f2) Ф (g', n + F(f, g') F(ft,n-

-F(h, № g')^L(F, Ф),(4.71)

^ У HHgHTtg'Wg. §') +

+S°(g> g'1- f^ fWu /;)+1Ж §; n. mx

X VF(f, g-) ф (ft, /;> - f (f, to ф (fig)+f q, to Ф V». m + £G(g', h to to{F(f, g)Ф(to n)-F(f, to^Qv g)+

-Wf, to Ф №. 5)} = 21 (F, Ф).(4.72)

В случае низкой плотности второй член правой части уравнения (4.72) представляет обычное двухчастичное взаимодействие. Поскольку величина F пропорциональна плотности частиц, оставшиеся члены правой части уравнения (4.72) представляют перенормировку двухчастичного взаимодействия вследствие конечности заполнения других состояний.

*} При выводе уравнений • (4.71) и (4,72) использовано, что

G* fh к to = Gylt h\ П> К)-

В состояний статистического равновесия во многих случаях решение уравнений (4.71) и (4.72) имеет форму:

(4.73)(4.73)FoU. g’)=F0(g) ^(g-g^,

(4.73)

(4.73)

Фо (g, g’)=Фо (g) A (g + g'),

что значительно упрощает их структуру.

Для расчета энергетического спектра мы воспользуемся техникой двухвременных температурных функций Грина и теоремой о вариации средних значений операторов динамических величин, изложенных в предыдущих параграфах.

Согласно разработанной ранее методике перейдем в уравнениях (4.71) и (4.72) к функциям Грина. Включим в гамильтониан (4.66) дополнительные члены вида

(4.74)(4.74)6Н=a^dg, exp (— iEf) 6g+с. с.

(4.74)

(4.74)

Тогда уравнения движения для F и Ф получат дополнительный вклад, обусловленный этой вариацией гамильтониана:

I ^Т"=Г(Р,Ф)^^- g^ Ф (g. g^ -

-A(g,-g2)Ф(g, gi)]exp(— iEt^-Vc.c., (4.75)

i™^^^’ ^^(g-giUtg'-g^-

— A(g,-gi)A(g-g$) + F(g1, g'^Mg-g^- .

-Pkg», ^^kg-g^-VF^go. g^Mg'-gi)-

- F (gu g)A(g'- g2)J exp (— iE<) 6g +c.c.(4.76)

Варьируем теперь уравнения (4.75), (4.76) около равновесных значений F и Ф, т. е. считая

F=F0 + 6F; Ф = Ф0 + 6Ф.

(4.77)

При этом согласно теореме о. вариации средних значений

8F=2пи exp (— iEf) 6g, и = «а^ае-; а^Ое^в, . -„. 6Ф = 2ли ехр (— iEf) 6g, и=(^ag-dg, dg^g^s»

Полагаем далее

6L(E, Ф) = МЕ, Ф|6Ф, 6F),

691 (Е,Ф) = М (F, Ф|6Ф, 8F),'

где Л и М нелинейны по F и Ф и линейны по 6F и 6Ф.

Подставляя выражения (4.77) —(4.79) в уравнения движения (4.75), (4.76), приходим к системе уравнений для определения функций Грина и и о:

Eu = X(F0, Ф0|ы, v)-V^^(g-g'^oU.ga')—

— A(g,-g2)Фo(g, gi)}, (4.80)

Ev=M(F0, Ф0|ы, и) + ^{Alg-gJ Mg'-ge) —

— X(g'~ gi) A(g- g^ + ^o (gi. g') A (g - g2) —— Mg^ g') A(g-g1) + F0(g2, g)A(g'-g1) —

-^(gi. g)A(g'-g2)}. (4.81)

Уравнения (4.80) и (4.81) представляют неоднородные уравнения для функций Грина и и v. Если мы опустим источники, то получим систему однородных уравнений, и условием существования их нетривиального решения будет равенство нулю детерминанта системы. Значения Е, определенные таким образом, дают спектр двухчастичных возбуждений. Такая методика позволяет с единой точки зрения рассмотреть целый ряд физических моделей и представляет ряд преимуществ. Так, например, если использовать обобщенный метод самосогласованного поля при изучении сверхпроводимости, то мы получим не только спектр типа щели, но и спектр коллективных возбуждений.

Заметим, что обобщенный метод самосогласованного поля широко применялся в работе [31] к задачам теории ядра.

Вернемся к уравнениям (4.75) и (4.76), которые будет удобно записать относительно величин 6Ф и 6F, понимая их как функции Грина, определяемые соотно- 108

шениями (4.78):•

i £ 6Ф (А. А)=SIIVa, к) 6Ф (A. to -

-КА. А)«ф(А. А)}+2 2 W^htoto-

-ukf, к; to к)}{Рокк to^kto A)++ Фо(А. to^Fkf, А) + Фо(А. to 6F kf, to-

-ф»кк, kW.k)}-^ 2 W^'htoto-

h f;. r2

- и kk to to A)} }F0 kf, А)6Ф(А. to+Фо kk, to^Fkf, fi) +

+ Фо (A. A) 6F kf, к) - Фо (A. A) 6F kf, A)} +

+ 6 kt -1') { a (A - gi) a kfa - ga) - A kk - gi) A (A - g2) + + Fo kgi, fa) A (A - ga) ~ Fo kga, k) Mi™ gi) + Fokga, fi) X

X A kfa - gi) - Fo kgi, fi) A (A - g2)}. (4.82) i^bFkk, A) = £{KA. k)6Fkk, to-lkk, k)6Fx

Xkfk A)}+4.2 ^^- h to tou^ to to A)}X

■f. Vv n

xkFokh, k)bFkf, to-Fokk, tobFkf, A) +

+ Фо*(А. А«Ф(А. k) +

+ Ф«(А, to^kfi, f)}-^ 2 W^ktokk)-

- и kk, to fi, f)} {Fo kk, fa) SF kf'„ f)-Fo kk, fa) ^F kk,f) +

+ ФИк, к)бФкк, А+Фо(А. АбФ*№. А)} ++ б(/-П{Фо(/1. g2)A(A-A)-

- Фо kfV gi)A(A-g2)}, (4.83) где введено следующее обозначение:

КА Г)=Ткк П+ 5 {Ukk, к к, к)-

-ukk, h к, f)}Foкк, к).

Структура уравнений для функций Грина 6F kf. Г) и 6Ф(А Г) такова, что при Фо=О они «не зацепляются», т. е. уравнение (4.82) будет замкнутым относительно 6Ф, а это обстоятельство, в свою очередь, позволяет сделать

заключение о неустойчивости тривиального решения, поскольку функция Грина, полученная из решения уравнения (4.82), имеет особенность вне вещественной оси.

Рассматривая нормальный случай, т. е. когда (а^) = 0, из уравнения (4.79) можно получить Ф'ЧЛ.гНЙ-Й)6'^-' « +

+ 2 Uik Г; Г,. fa\F«Vfi. ntFir,fs> +

+ F0(f', to ^F (fu f{) -Fo (fi, K)SF (f', to -

-F6(to to^F(fi, Д)}+ ^ U(f, to f'x, toX

X{F0(f, todF(f, to + Fo(f', to^tf, to-

-F0(f, to^F(f, to-F»(to to&F(f, f{)} + + неоднородный член. (4.84)

Положим здесь, как обычно, f^-(p, а):

U(fi, fa, to to — V-^pi-p^b^px-Yp^-pi-p'^X X А (ах — а!) А (а2 — а2),

v (р) = $ Ф (г) ехр.(— i (pr)) dr,

Fo (fi, to = F (Pi) A ^ - /2)=^ A (Pi - p2) A (ox - a2);'

тогда, вводя новые переменные q = p2 — p1, k = (p2 + Pi)/2 и считая, что a1==a2=s, уравнение (4.84) в приближении Хартри можно записать в форме

(^ - 5) 6^$ (к» Ч) = у («к _q/2 - пк + q/2) v (q) X

Х^ 6Fss(p, q) + неоднородный член. (4.85) Р, S

Аналогично в приближении Фока получаем

{^ —^ — 2p2"p[V(k-p — ^-)”V(k—Р + -|")]} х р

х 2 6F$S (к, q) = у (nk - q/2 - П6 + ?/2) v (q) X

S

^22 ^^ао (Р ’ ^ 2р ^к —q/2 ^к + <1/2) X Р о

X^*v(p — k)^1bFss(p, q) + неоднородный член. (4.86)

РS

Обозначая У, 6Faa (р, q) = <р9 (р) и переходя от сум- О

мирования к интегрированию, видим, что (4.85) и (4.86) представляют собой неоднородные интегральные уравнения относительно <р9 (р), для исследования которых воспользуемся идеями теории интегральных уравнений, а именно построим знаменатель Фредгольма:

00

dw= 2<4-87>

п —О

b

где Со = 1, С„ = JBn_i (х, х) dx, п>0, Во(х, s) = К(х, s), а

К(х, s) —ядро уравнения,

6 ь

Ва(х, s) = $...$ А„(х, s, tit^dti ... dtn, n>0, a a

K(x, S), K(x, h)K(x, t„) ц = КЦ^.К^.Ь)К (tu tn)

К (tn, S), K(i„, it)K(tn, tn)

Обращаясь к уравнению (4.85), замечаем, что ядро уравнения зависит только от k, а потому А„ = 0, т. е. в разложении (4.87) для рассматриваемого случая отличны от нуля только Со и Ср Со=1 и Ci = ^K(x, x)dx. Поэтому из условия разрешимости нашего интегрального уравнения D (%=!) = О определяем значения Е (q), при которых существует нетривиальное решение:

1+^1 ^(2л)з1+^1 ^(2л)зяк + д/2~ Пк — <7/2£ —kq/mяк + д/2~ Пк — <7/2£ —kq/mdk=O.dk=O.(4.88)(4.88)

1+^

1 ^(2л)з

1+^

1 ^(2л)з

як + д/2~ Пк — <7/2£ —kq/m

як + д/2~ Пк — <7/2£ —kq/m

dk=O.

dk=O.

(4.88)

(4.88)

Аналогичные построения для уравнения (4.86) приводят к следующему уравнению для спектра:

y(g)—v(Q)/2 у

(2дЗ) л

С”k — q/2~ ”k + q/2 dk = O

' J £-(kq/m) -(1/2И) У (V-q/2-V+q/2) v (p'~k)p*

(4.89)

которое может быть значительно упрощено для малых значений q.

Заметим, что соотношения (4.88) и (4.89) совпадают с результатами, полученными в § 11.

Асимптотическая форма двухвременных температурных квантовых функций Грина в вязком гидродинамическом приближении

В заключение этого раздела сделаем ряд замечаний о построении асимптотики двух временных температурных квантовых функций Грина в вязком гидродинамическом приближении.

Отметим прежде всего, что основные принципы построения гидродинамического приближения для квантовых систем многих тел были разработаны Н. Н. Боголюбовым [20] на основе исследования общих квантовых уравнений движения. Некоторые вопросы получения уравнений двухжидкостной гидродинамики были рассмотрены также в работе [32] в связи с исследованием простейших возможностей расцепления цепочки уравнений для функций Грина.

Предложенную в гл. III методику построения асимптотических выражений для фурье-компонент классических функций Грина в вязком гидродинамическом приближении распространим теперь на случай квантовой статистики.

Будем исходить из квантовомеханического аналога уравнения Больцмана [33], [34] в форме

дг+ 2 ^=7зд.$^р^рлф(1р£-р;|)+

1<а<3

+ ф (I Pl - Р' |)р б (Р1+ р2 - р; - р') х /о2 л2 л'2

-WdlWiH^W (4.90)

Здесь А=А(гь pi, 0, К=М*ь Рь 0 и т. д.; й=—1 в случае статистики Ферми; Q = 1 в случае статистики Бозе; при Q = 0 (4.90) включает уравнение Больцмана

классической статистики. Выражение в квадратных скобках соответствует выбору сечения процесса рассеяния в борновском приближении.

Функции /(р, г) связаны с квантовыми корреляционными функциями F(q, q'), введенными в монографии Н. Н. Боголюбова [10], соотношением

/ (Р. г) = ^з ^ f (г+1/2, г - g/2) exp (ДО) d^.

Применяя процедуру, разработанную в гл. III, и следуя обозначениям § 9 этой главы, исходное уравнение (4.90) можно записать в функциях Грина:

- ЕКЕм (р) + 2^ Л^ ^ ~ Е^ (Р) =L М’ (4-91) а

где

Kem=F^\Gem^. pWpW,

F (/?') — регулярная функция, конкретизация которой будет сделана ниже:

Gem (Р, Р') = Gem (р, р') - G^ (Р, р');

^о) ф^^хр (р2/2т6 — р,/6) — Q]^1 — равновесная функция распределения; L — оператор столкновений, соответствующий интегральному члену правой части (4.90).

Рассмотрим ситуацию, соответствующую гидродинамическому приближению, т. е. случай малых Е и v («медленные» процессы).

Так же как и в классическом случае, из (4.91) можно непосредственно получить пять уравнений типа уравнений гидродинамики:

— £Pev + PoS'’«“‘И5» v)=a>

-EpoUt^E; v) + SvoAo(£; v)^ (/=1, 2, 3), (4.92) a

— EeEa + 2 voq„ (f, v) = d,

в которых введены следующие обозначения*.

^/n A£v(p)dp = pJv, g=(2s+l), s-спин;

^ PaA£v(p)dp = p0M$(£, v), p0=my; рнр ^^.(p^p-to-;

^-(Д^л^ир)*.

S«№; V) = pL 5 ^A£,(p)dp;(4.93)

a=Em-j^ $ Aov(p)dp;

bl=El^ $ P<Aov(p)dp; d=El^ $ ^Aov(p)^p.

Далее воспользуемся идеями Гильберта и Чепмена — Энского. Положим

A£v (р)=Л^ (р) + Afv (р) и потребуем, чтобы введенные величины p£v, «£(£; v), e£v определялись только с помощью функций Л£^(р); именно

л& (р) </р=$ paA& (р) dp=$ р2л& (р) dp=о.

Имея в виду, что в дальнейшем нам потребуются уравнения гидродинамики только в «акустическом» приближении, возьмем функцию Л£^(р) в форме л^ (р) =Р> (1+Q /(0)) {у и *+4 2 Ра и^ ф, V)+^т - “ -и)4®Ц; (4.94) р*, и», ®e,v — пока формально введенные величины. Подставляя (4.94) в определения (4.93), получаем:

8£v — 2 39 /o°Ev ’ 2 \ dp }op£v’

v)=4(P)o«S(S, V),(4.95)

РЙ(Е. ')-Ч^У=' + ®.вЧ:

в этих формулах Р — обычное термодинамическое давление, символ (...)0 обозначает равновесное состояние.

Выражения (4.95) определяют уравнения нулевого приближения, соответствующие линеаризованным уравнениям Эйлера.

Теперь, представляя левую часть уравнения (4.91) через уравнения нулевого приближения и учитывая то обстоятельство, что нас интересуют «медленные» (гидродинамические) процессы, т. е. малые Е и v, нетрудно убедиться, что уравнение для определения функции Afv (р) простой заменой переменных приводится к уравнению, подробно исследованному Юлингом и Уленбеком [33]. В результате получаем выражения для Qa1^, v) И p'/a (5, v):

qa’^; V)=-ZXVa0>v,

pja <E, V) = - 2l] I у V^aU* (E, v) + 1ч#и£, (E, V)] —

-y6/az ^vpMp^, V)},

где коэффициенты вязкости т) и теплопроводности х имеют стандартную форму.

Подставляя значения qa(f, v) и P/a(f, v) в уравнения (4.92), приходим к системе линейных неоднородных уравнений в приближении Навье — Стокса, решения которой могут быть представлены в виде:

<а»At №■ v)

VEv— (E2_C2V2) + ,T (Co v> v)+D'(E, V) '

Р^ = (Ё^ф2НТГ^Г^(4196)

T:_"A3(E.v)

5(£2 —C2V2) _p/r (Co v> v) _|_£)'^^ v) >

Г5 fP\ 11/2

где Со = щ-^о] —скорость звука, а коэффициенты затухания выражаются естественным образом через кинетические коэффициенты вязкости т] и теплопроводности X.

Используя теперь наши обозначения и полагая, например, F (р') = 1, F (р') = Ра» видим, что полученные

решения определяют асимптотические (поскольку наши рассуждения справедливы в случае Е ^ 1/Т, v ^ 1Д, X —длина свободного пробега, Т — время релаксации) выражения для целого набора функций Грина типа <<п(г); п(г')»е (плотность —плотность), «п(г); /а(г')»Е (плотность — поток), <(/а (г); /а (r')»g (поток — поток) и т. д., полюсная структура которых определяется знаменателями соотношений (4.96). Соответствующие корреляционные функции могут быть построены на основе разработанной ранее методики [35].

Часть вторая

МОДЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

Раздел I

КВАЗИСРЕДНИЕ В ЗАДАЧАХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Понятие вырождения хорошо известно в квантовой механике и связано с существованием нескольких волновых функций, соответствующих какому-либо собственному значению [10,36]. В статистической механике среднее значение (В) физической величины В определяется однозначно, так что с первого взгляда кажется, что не существует возможности для вырождения. Однако, как мы сейчас покажем, введение инфинитезимальных членов в гамильтониан системы может коренным образом изменить значения средних. Следовательно, мы должны ввести понятие «квазисредних» . Чтобы обнаружить, существует ли в системе вырождение или нет, следует добавить к соответствующему гамильтониану Н нарушающие симметрию члены W и вычислить

н+ w — (В)н>

Если lim UB^h-vw- (В)н\ отличен от нуля, то это V -со,

означает, что система с гамильтонианом Н статистически вырождена.

Для иллюстрации понятия вырождения рассмотрим ряд примеров, заимствованных из задач статистической физики, и далее дадим общие определения.

Рассмотрим случай кристаллической структуры и возьмем гамильтониан

Я = 2 W2™ — И) °р°р + р

+ ^2 аР>°Р2аР'а flp^CPi+Pa-pi-pOvCpj-pf).

Pit Pit Pit Pa

(1)

Здесь v (p) — фурье-образ потенциальной энергии взаимодействия Ф (г) пары частиц. Пусть энергия взаимодействия такого типа, что наша динамическая система находится в кристаллическом состоянии при достаточно низких температурах 8 < 8кр.

Гамильтониан (1) путем несложных преобразований можно записать и через операторы плотности р?, pj [38].

В самом деле, второй член (1) можно преобразовать:

^2 «PiaPA>'aP;A(Pi + p2-pi-p2)vX

Pt* Pit Pit Pa

Pi-P^—q^Pi-*PiA-q

X^Pi~ pi^ = 2V /. ^Pi^Pi^PiA-q^Pi—q^ (9)=

Pit Pit q

= 2p 2 ^P1 *^ ^P2^P2 “^ ^p^ (?)= 2P 2 ^pi + ^pfipi X Pit Pit qPit Pit q

X^+^v^')-gp 2 aP>+»aP2-K?A(Pi-p2)v(<7).(2)

Pi. Pm q

Нетрудно заметить, что второй член равен нулю, если потенциальную энергию взаимодействия Ф (г) положить равной Ф(г) = 0 при г=0, т. е.

1>(<?) = 0. q

Следовательно, система (1) преобразуется к виду

(^) ^р^р 4" 2р ^2 ^'PfVq^'Pi^'pa^'pfVq^ Vh* (^) РPit Pit q

Вводя фурье-компоненты операторной плотности р^ - р гамильтониан (3) можно переписать в виде

Н=2 Т (Р) а*ар + 4 2 v (-7) Р^-(4)

рq

Здесь вектор q принимает квазинепрерывные значения. Однако в теории кристаллов [39] работают с более простым гамильтонианом, а именно ограничиваются случаем, когда q принимает конечное число дискретных значений, соответствующих векторам обратной решетки кристалла:

q = 2 л (пг1Ь1 + иг2Ь2 + /и3Ь3),

mi, m2f m3 — целые числа, \m\^ const.

Рассмотрим операторную плотность числа частиц р (г): р(г)=Т+(г)Т(г),

где Т(г) =^2ехр 1*(kr)}«6.

* v k

Р (Г) = у 2 ехр {г (г (к - к'))} Ок-ак = &'(kb-k'zbq’>

= v 2ехр ^ (qr^ ^^е- к. q

Очевидно, она должна быть периодической функцией г с периодом решетки кристалла и естественно полагать ее равной обычному среднему от операторной плотности т+ (г) Т (г), т. е.

Р (г)=V 2 ехР {‘ (V)} Wh^H.(5)

^, q

Это предположение, однако, неверно. Учитывая закон сохранения полного импульса Р = ^рарарэ в системе р

можно установить правило отбора для средних:

<4ал+?>я = 0, если 9^=0.

Следовательно,

Р (г) = (¥+ (г) ¥ (г»я=У (а^н = 7 = const.

к

Обычное среднее значение операторной плотности не может быть равно периодической функции р (г) (5). Ясно, что такая ситуация вызвана вырождением рассматриваемого состояния статистического равновесия. В самом деле, кристаллическая решетка, как целое, может быть произвольно расположена в пространстве. Поскольку эта система (4) обладает трансляционной инвариантностью, то решетке можно всегда дать произвольную трансляцию. Какое-либо специальное положение красталли- ческой решетки в пространстве ничем не выделено, и, когда вычисляем среднее, мы усредняем по всем возможным расположениям этой решетки в пространстве.

Эта трудность будет устранена, если при рассмотрении кристалла закрепить его положение в пространстве. Математически это выражается тем, что к системе (4) можно добавить малый трансляционно неинвариантный член:

а V (г) ¥+(г) ¥ (г) dr,

соответствующий бесконечно малому внешнему полю aV (г).

В качестве V (г) возьмем периодическую функцию с периодичностью решетки так, чтобы внешнее поле aV (г) снимало вырождение, фиксируя положение кристалла в пространстве. Поскольку мы рассматриваем только физически стабильные случаи, ясно, что добавление члена с бесконечно малым внешним полем может лишь бесконечно мало изменить физические свойства изучаемой динамической системы. Следовательно, вычисляя среднюю от операторной плотности Т+ (г) Т (г) для гамильтониана На с бесконечно малым а, получим среднюю для системы с первоначальным гамильтонианом Н, но без дополнительного усреднения по расположениям (как целого) кристаллической решетки в пространстве, поскольку ее положение теперь закреплено.

Таким образом, усредняя по гамильтониану На в (5), видим, что квазисредние

{4а*+^(6)

могут быть отличны от нуля при ^ ^^ 0. Отметим, что квазисредние зависят, вообще говоря, от ряда произвольных параметров, например от произвольного вектора |.

В самом деле, если мы заменим V (г) на столь же допустимую функцию V(r + |), то нетрудно убедиться, что квазисредние (6) заменятся на

^ак+<Дехр {/ (qg)}.

Квазисредние будут однозначно определенными, когда мы фиксируем функцию V (г).

Перейдем сейчас к рассмотрению бозе-эйнштейнов- ского идеального газа, для которого вырождение связано с законом сохранения полного числа частиц.

Запишем гамильтониан в форме

Н = — Ха*а6+ ^ Wm-^a*kak.(7)

|к|>88>0

Величину е будем устремлять к нулю после совершенного предельного перехода ^->оо. Для средних чисел заполнения с импульсами ^ = 0 и й^О запишем

Wo = [exp (— Х/6) — I]-1,

^ = [ехр(кР^тЯ — Х/9) — I]-1,|к|>е, е>0.

Отсюда видно, что Х<0.

Обозначая полное число частиц N, имеем

N _ М) j_ 1 V } (R\

V — V V А ехр (/г2/2т6-х/6)—1 ’w

|к| >е

Х=— 9 In (1 4* 1/Nо).

Рассмотрим случай бозе-эйнштейновсной конденсации, когда число частиц с импульсом р = 0, равное п0 = = lim^/V, —конечная, отличная от нуля величина. Тогда, переходя к пределу в (8), найдем

.. N 1 1 С dk

П — 11ГП у — Ио + (2я)з j ехр ^2/2тб) — 11

|к|>8

Устремляя в этой формуле величину е к нулю, получим

_1 С dk

П — «о Г (2л)з J exp (A2/2m6) -1 *

Тем самым приходим к условию конденсации в обычной форме

С dk

(2л)3 J ехр (63/2т6) — 1П<

Нетрудно заметить, что оператор ^^- асимптотически равен С-числу:

Рассмотрим операторыРассмотрим операторыДо 4До 4, коммутирующие со всеми, коммутирующие со всеми

Рассмотрим операторы

Рассмотрим операторы

До 4

До 4

, коммутирующие со всеми

, коммутирующие со всеми

операторами afe, а^ (^^=0). Поскольку коммутатор

■ «о «5 1 _ 1 yv’ Ки~Т

является бесконечно малым, У->оо, то можем считать рассматриваемые амплитуды С-числами, причем ввиду (9)

^=~Уп0 exp (za), ^ ~ К»о ехр (— za),

где a — произвольная вещественная величина. Такая ситуация связана с градиентной инвариантностью первого рода, обусловлена законом сохранения числа частиц и указывает на появление вырождения.

Возьмем обычные средние

°0 \/ ао \

и заметим, что благодаря правилам отбора они точно равны нулю. Тем самым находим, что обычные средние включают еще дополнительное усреднение по а.

Для устранения вырождения и введения квазисредних включим в гамильтониан Н (7) члены

— V [^ ехр (/ф) + а0 ехр (— /ф)] V~V, (v > 0).

Положим

Н^ ф = Н — v [^ ехр (/ф) + а0 ехр (— /ф)] К V,(10)

где ф — некоторый фиксированный угол.

Чтобы привести гамильтониан (10) к диагональной форме, совершим каноническое преобразование с ампли-

тудами а0, Оо» не меняя остальных ак, at*. Об=— (v/X) exp (/ф) V V + йо, aS = (v/X) exp (— i<p) V V + aj'.

Получим

H = — XaS'a'o + 2 (fe2/2m - X) atak + (v2/X) V. к

Положим теперь X = —v/Упо- Тогда имеем:

(йо)яу-ф = О, <a$')Hv> ф=0,

<ao'o6>Hv> ф = [ехр (v/0 У^) - IГ1, (4ak)HVi ф = [exp (v/б У«о+&2/2m0) — 1 ]Л а также

^0 = ^0/+ [ехр (v/0 Vn^- I/1, Nk = [exp (v/0 ]/n0 + k2/2m6) — 1 J"1

и

VVexp (v/0/no +№m6) — 1 ’

Переходя здесь к термодинамическому пределу Д/_>оо, будем иметь

п==по-^-—- \ Jk#

(2л)3 J exp (v/0/п0 +/?2/2/тг0) — 1

Заметим далее, что

<(j77 - ^”® ехр (~ /<Р)) (^ ~ ^° ехр (z<p))^Hv = <^)н= lim 1

н-\?, ф У-*с» v ехр (v/0 /по)

(Н)(12)/ -> ОО,(13)ф— = 0.-1имеем(Н)(12)/ -> ОО,(13)ф— = 0.-1имеемСледовательно, асимптотически при V->oo представления для амплитуд: р^~Упоехр(/<р), ^~/noexp(—i<p).

(Н)

(12)

/ -> ОО,

(13)

ф

— = 0.

-1

имеем

(Н)

(12)

/ -> ОО,

(13)

ф

— = 0.

-1

имеем

Таким путем для системы с гамильтонианом //v, ф (10) амплитуды конденсата асимптотически являются фиксированными С-числами.

Найденные выше формулы (11) —(13) показывают, что, совершая сначала предельный переход V->oo, а затем v->0, мы приходим к обычным результатам теории конденсации идеального бозе-газа.

Введем квазисредние:

Тогда

^\=V^oexp(i<p), ^^=р^ехр(—1ф).

Видим, что правила отбора, обусловленные законом сохранения частиц, не выполняются для квазисредних. Замечаем, что квазисредние зависят от фазы ф, которую можно фиксировать произвольно. Возьмем ф = 0, тогда квазисредние • становятся определенными величинами. Иначе говоря, вырождение снимается добавлением к гамильтониану Н бесконечно малого члена

-v(a0 + 4)rV.

В рассматриваемом случае квазисредние отличаются от обычных средних только для амплитуд конденсата благодаря тому, что мы имеем идеальный газ без взаимодействия. При наличии взаимодействия это отличие распространяется и на остальные амплитуды. Появляются, например, отличные от нуля квазисредние ^afea_fe^. В самом деле, рассмотрим в качестве примера слабо неидеальный бозе-газ, состоящий из одинаковых бесспиновых частиц с гамильтонианом вида

H=Ho + Htot,

где Но — гамильтониан идеального бозе-газа в форме (7), a Hint в представлении вторичного квантования имеет вид'

tfint =1 $ dxdx'Oflx-x'^tx)^^^(14)

Здесь Ф (| х |) — вещественная функция расстояния, обозначающая энергию взаимодействия пары частиц, а опе-

раторные волновые функции Т+ (х), V (х) выражаются обычными квазидискретными суммами:

2 а+р ехр ^~1 (рХ»'

р

^^^^^“рехр (z ^х))»О5)

р

Ор, Ор — бозевские операторы рождения и уничтожения. Подставляя (15) в (14) и полагая

v (р) = ^ ф (| х i) ехр (— i (рх)) dx, найдем

Г=2(^~ ^)аР°р +

р

4" 2V 2 v (Pi Pl) °piop,op'°p'' (16) / р,.р2;р;.р' \ Vi+p8”Pi+pU

Заметим, что v (р) — вещественная функция импульса р. Нетрудно видеть, что полученный • гамильтониан (16) — сложная операторная форма и точная его диагонализация невозможна. Чтобы иметь возможность как-то упростить гамильтониан (16), мы воспользуемся методикой известных работ [10, 40] и предположим, что взаимодействие v (р) пропорционально малому параметру Л ^ 1 (случай слабого взаимодействия). Предположим, что температура 6 близка к нулю. В отсутствие взаимодействия (Л = 0) почти все частицы бозе-газа находятся в состоянии с .импульсом, равным нулю. Для малых значений к можно считать, что ситуация будет аналогичной, как и в отсутствие взаимодействия, т. е. большинство частиц находятся все еще в состоянии с импульсом, равным нулю, и лишь небольшая их часть будет иметь ненулевые значения импульса.

Рассматривая коммутационные соотношения

W-^o=L(17)

видим, что для данного состояния системы оператор b^bo имеет макроскопическое значение.

Поэтому можно пренебречь единицей в правой части (17) и рассматривать «операторы» Ьо, Ь» как классические величины.

Положим

bo=Г^ exp (i<p), b^=VN0 exp (— ?<p),

где Nq имеет значение числа частиц в конденсате.

В гамильтониане Г выделим члены с импульсом р = 0 от членов с импульсом р #= 0, из-за того что амплитуды Ьр малы по сравнению с Ьо. Удерживая только члены квадратичные по Ьр и пренебрегая всеми другими, найдем

Г^^(О)-ИУо+2(£ + уМр) + ^(О^^

+ # 2 v (Р) ЬрЬ-р + ^ 2 V (р) b_pbp. рр

В первом приближении энергия основного состояния E1 = -^o + v(O)^-, где р определяется из условия

=о dN0 U1

Таким образом, в первом приближении

P=^v(0).(18)

Подставляя выражение для р из (18) и совершая преобразование:

bp->bpexp (ир), b^-^b^exp (— нр), имеем второе приближение: г=4^*(0)+ 2 [£+v'’w]w+ рфО

+ т2 vM№p+M,)-(19)

Р^о

Этот гамильтониан диагонализируется с помощью преобразования

Bp = upbp + Vp^ip, ^-ирЬН^-р.’

где Up и Up — действительные функции р. Если положим и2р-^р=1,(21)

то нетрудно проверить, что преобразование (20) каноническое, т. е. операторы ^р, ^р удовлетворяют тем же коммутационным правилам, что и операторы bp, Ьр.

Принимая во внимание, что гамильтониан (19) должен быть диагональным по операторам £р, Ц, а также условие (21), найдем вид функций и0, ир:

,Ep+pW-^No/V)»^)

Up —2Ер’

^р = 2Ep^Ep+pW-K.NoIV^(p')P

где

Теперь гамильтониан Г (19) представится в новых операторах %р, ^:

Г=Я0+£ВД^(23)

где

2И 2\2m + V V(24)

рф^

Итак, мы опять имеем гамильтониан (23) идеального бозе-газа. Однако этот газ состоит из квазичастиц, описываемых операторами |р, ^ у которых зависимость между энергией и импульсом определяется формулой (22).

Заметим, что в рассмотренном подходе «аппроксимирующий гамильтониан» системы (19) автоматически учитывает, что число частиц в такой системе не сохраняется. В этом примере, таким образом, имеем вырождение состояния статистического равновесия, связанное с законом сохранения числа частиц. Члены, нарушающие инвариантность гамильтониана по отношению к закону сохранения числа частиц, получаются в этом подходе совершенно естественно. Система (16) при соответствующих предположениях, как мы выяснили, «аппроксимируется» модельной системой (19).

Интересно отметить, однако, что среднее (b_pbp\ подсчитанное с помощью гамильтониана (16), равно нулю, в то время как то же среднее, но вычисленное по «аппроксимирующему» гамильтониану (19), нарушающему закон сохранения числа частиц, отлично от нуля.

В самом деле, вычислив по гамильтониану (19), имеем

<bptb-P1) — х_РВр (ехр(Е(р)/6)-1 + Х\ где Вр=В«р=-^\е^ -АеГ-^^.

Нетрудно убедиться также, что, вычисляя по гамильтониану (16), имеем:

<&Р>г=<&»г = 0,

/к к \—о I если Р1 + р2^0.

Рассмотрим теперь случай идеального изотропного ферромагнетика.

Возьмем динамическую систему, характеризуемую гамильтонианом Гейзенберга:

н— 42 ^i-^XSfA),fl» feн— 42 ^i-^XSfA),fl» fe(25)(25)

н— 42 ^i-^XSfA),fl» fe

н— 42 ^i-^XSfA),fl» fe

(25)

(25)

где S/ — векторы спина с обычными перестановочными соотношениями, {/} — пространственные точки, соответствующие узлам кристаллической решетки (принадлежащие объему V), llfi— /2) —обменный интеграл, предполагаемый неотрицательным, / (А — /2) > О (например, когда узлы fT и /2 — «ближайшие соседи»). Компоненты суммарного спина S = 2 Sf коммутируют с гамильто- f

нианом системы (25) и поэтому являются интегралом движения.

Компоненты вектора суммарного спина удовлетворяют обычным перестановочным соотношениям;

S1S2 — S2Sj = iSq^

828з — S3S2 fSii

S3S1 — 81S3 = IS^.

Термодинамическое «среднее» от компоненты оператора S3 будет

/О \ _Sp (S3exp (— Я/9)} _

— Sp ехр я/6) —

1 Sp (S1S2 exp (— Н/6) —S2St exp (— Я/9)) — iSp exp (— H/9)

Учитывая, что Si, S2 коммутируют с гамильтонианом H, найдем (для всех температур 9)

<58>я=0.(26)

Однако мы знаем, что это не соответствует правильной физической картине, поскольку при температуре 6 ниже некоторой критической температуры 6кр среднее значение вектора намагничения будет отлично от нуля, т. е.

<^l> = HmSp®-^^ о, v->oo Sp ехр (—/7/0)

где У1 = р8У-1.

Рассмотрим сейчас этот случай. Как известно, величина вектора намагничения отлична от нуля, направление его может быть взято произвольно. В этом смысле состояние статистического равновесия в данном случав является вырожденным.

Включим в систему магнитное поле ve (v> О, е2= 1), тогда гамильтониан (25) заменится на

(27)

Вычисляя с таким гамильтонианом среднее значение S3/N:

L/Sx=L Sp {exp [ - (Я+у (ей) V) Qi] S3}

N^ 8' N Spexp[— 9-i(fl+v(eSOV)] ’

где N — общее число спинов, подсчитаем предел

lim (S^N),

N —*oo

тогда для этого выражения мы получим конечное значение, даже когда v->0.

Таким образом, введение инфинитезимального внешнего поля (например, в z-направлении) обусловливает конечное отличное от нуля значение величины -^ (Sz)

1291295 Боголюбов, Садовников

129

129

(S2=S3). Равенство нулю выражения (26) обусловлено инвариантностью гамильтониана (14) по отношению к группе вращений. Введение же инфинитезимального внешнего поля нарушает симметрию по отношению к группе вращений, и вычисляемое среднее значение i ($*) оказывается конечным (отличным от нуля). Назовем такие средние «квазисредними»..

Возьмем некоторую динамическую величину В, которая является линейной комбинацией из произведений S^b.-S?;^), и определим квазисреднее (В} от этой величины, положив

{В} = lim <B>ve. v-*0

где (В)ve —обычное среднее от В с гамильтонианом Н^.

Наличие вырождения непосредственно отражается на квазисредних их зависимостью от произвольного орта е. Легко видеть, что

<B) = $(B>de.

Естественно, что для описания вырожденного состояния статистического равновесия квазисредние более удобны, более «физичны», чем обычные средние. Обычные средние представляют собой те же «квазисредние», только усредненные по всем направлениям вектора е.

Заметим, что обычные средние

(S^.-S^o

должны быть инвариантны по отношению к группе вращений спина. Соответствующие квазисредние {S^.-.S^M^(28)

будут обладать лишь свойством ковариантности: при вращении спинов надо подвергнуть такому же вращению и вектор е, чтобы выражение (28) не изменилось.

Как видно, орт е — направление вектора намагничения характеризует вырождение рассматриваемого состояния статистического равновесия. Чтобы устранить вырождение, надо зафиксировать направление вектора е. Возьмем за это направление ось г, тогда все квазисред-

ние станут определенными числами. С такого рода квазисредними обычно имеют дело в теории ферромагнетизма.

Перейдем к модели сверхпроводимости и увидим, как появляются «квазисредние» в теории сверхпроводимости.

При изучении явлений сверхпроводимости иногда исходят из динамической модели, предложенной Фрелихом:

Г — 2 (^ (р) и) аР. оар, о 4“ 2 ® (^) b^bq 4- Нint> Р, а

^int = g (~2^) аР» obq -VC. См (29) q = P — р'

где aPtO> а^1О и bq, bq — операторы рождения и уничтожения электронов и фононов, спиновый индекс а принимает два значения, g — константа связи. Если g мало, то для изучения этой системы можно применять теорию возмущений.

Как хорошо известно, обычная теория возмущений по степеням константы связи неприменима, поскольку электрон-фононное взаимодействие, несмотря на свою малость, оказывается весьма существенным вблизи поверхности Ферми.

Роль фононов в системе (29) заключается в том, что они вызывают эффективное притяжение между электронами. Вместо того чтобы рассматривать полный гамильтониан (29), можно взять приближенный гамильтониан с прямым взаимодействием «притяжения» между электронами [41, 42]. В такой ситуации оказывается несущественным рассмотрение некоторой заданной системы электронов или других фермионов, поскольку в этом случае мы имеем возможность изучать любую фермионную систему.

Начнем с физической идеи, что сверхтекучесть в системе ферми-частиц обусловливается образованием «бозе-конденсата», состоящего из «квазимолекул» — пар частиц. Когда такая «пара» покоится, импульсы образующих ее частиц должны быть равны и противоположны. Их спины также должны быть противоположны, поскольку мы не рассматриваем здесь ферромагнитных случаев. Таким образом, мы ожидаем, что пары в конденсате должны быть вида (/, —/), где / обозначает совокупность импульса р и спина о. В первом приближении (в случае, когда конденсат покоится) мы можем

удержать в гамильтониане взаимодействия Н^ только «парные члены» и записать

H=^T{f)ata(-^^ F (/, -/; -f^ Пф£-1а-раг.

Для простоты здесь мы возьмем сепарабельное ядро F = = X(f) Xtf'), где, не ограничивая общности, можно считать

хт=—М-П.

Мы приходим таким путем к гамильтониану типа БКШ, изучаемому в теории сверхпроводимости.

Итак,

Н=^Т^аГа#-^ X^.k^nataLta-par, (30)

где T (f) = рЧ^пг — р, р>0; для простоты положим

/g(s), если |p2/2zn —р|< А

0, если | p^Sm — р | > А

(однако и более сложные случаи также могут быть рассмотрены). Последовательное и математически корректное исследование этой системы содержится в разд. II (гл. I —III). Здесь мы сделаем лишь ряд общих замечаний в связи с вычислением квазисредних для такой системы.

Эта система является весьма интересной в том отношении, что уравнения движения с гамильтонианом (30) точно не интегрируются. Вместе с тем асимптотически точные формулы (при V ->- оо) могут быть получены для корреляционных функций всех порядков.

Забегая вперед, прокомментируем некоторые результаты разд. II.

Для модельной системы (30) мы строим «аппроксимирующий гамильтониан»:

//(0=2 Ttataf — 2 Х </> VCa-faf + С*а^\ + 2 VCC*,

(31)

в котором С является с-числом (вообще говоря, комплексным), определяемым из решения уравнения

С = ^к^<ача^су,(32)

здесь обозначено

/ \<у) _ SP (• • • ехР (— # (Q/6))

V. ./н (о Sp ехр (_ н ^^ •

Напомним, что обычное среднее (.. .)я определяется как предел Нт (.. .)^>. Поскольку Н (С) с точностью до V ->оо

константы представляется квадратичной формой по отношению к операторам ду, af, мы можем привести Н (С) к диагональному виду посредством линейного канонического преобразования. Введем новые ферми-амплитуды aj, а^э положив

ai=ajUj-Vdi-^b ^=a^Uf^a4vf9(33)

где

«^^ГТ+tWW; vf=^-^-V\-T№^ гг I 1

(34) е (h=V1WWF.

Тогда

И^-^Е^Ф^О,(35)

г

где постоянная о=чгу(\ср-^^Еф-тЦ.

Отсюда имеем:

^“/^н (С) = ехр(Е(/)/6) + 1 •

„ \(У) AML

(С) — 2Е (f)\ 29 )е

Раскрывая соотношение (32), имеем уравнение для определения «нетривиального решения С»:

1 = ± V^г(о . th ft^SW+rai (36)

гу^^^^р+т2^ I 29 г '

или, переходя к пределу V->oo,

!—С. th (£^Ш£Е±ПМ1 =о

(2л)8 J КХ8(Р)|С|8 + Т2(р)I 29 J *

’ '(37)

•133

Как известно, это уравнение имеет решение для температур 6, меньших некоторой критической 9кр. Этот случай, т. е. 9<9вр, мы и будем рассматривать.

Видим, что уравнения (36), (37) определяют только модуль | С |, фаза же С остается произвольной.

Возьмем среднее

<...^,(6)...а^---№ (З)

от произведения любого числа операторов «у, ats (в любом порядке следования). Поскольку ферми-операторы а^ at линейно выражаются через

af = ufaf — vfat.f1 at= ufat — vfa^9

в которых гамильтониан Н (С) имеет диагональную форму (35), видим, что для вычисления выражения (38) применимы правила Вика — Блоха. С их помощью эти выражения представятся в виде суммы произведений «простейших спариваний».

Нетрудно усмотреть, что выражение (38) может зависеть не только от модуля С, но и от фазы ф. Действительно, гамильтониан Н (С) инвариантен по отношению к замене:

aj -> ехр (/ф) at, at -> exp (— г*ф) at, С -> exp (2/ф) С,

в которой ф — произвольный (вещественный) угол. В связи с этим

(... а)г (t.) ---ttfs (is) • • -Ун (о =

= (...at. (h)...afs (ts)...)^^exp(— m/2), где n — разность между числами операторов рождения и операторов уничтожения в рассматриваемом произведении. Понятно, что п здесь может считаться четным, так как при нечетном п имеем тождественно:

Если для произведения

^=...«^^...0^^...(39)

число и = 0, то

lim (Ж’-Ш^)=0.

V->oo

С другой стороны, совершенно просто устанавливается существование предела

Нт <..at (t^...а$ (ts)...>£>(C)(40)

V ->oo '

для любого произведения (39). Это соотношение нетрудно установить как для гамильтониана Н (С), так и для Н.

В самом деле, поскольку для системы Н справедлив закон сохранения полного числа частиц

# = 2^, т. е. [Я, Я] = 0, f

можно записать

H = IFHU,

где Я=ехр(/фЯ), ф — произвольная величина.

Видим, что гамильтониан Н инвариантен по отношению к градиентному преобразованию первого рода: а, ->- lTatU = exp (гф) а$.

Следовательно, имеем

Sp ({... al (0... ар (Г) J..} exp (— Я/6)) =

= Sp ({... a^O • • • а$. (/')} U* ехр (— Я/б) Щ =

= Sp (Я {... al (0...ар V')...} и*ехр (— Я/б)) =

=ехр (— /<рп) Sp ({... al (0... ар (i')...} ехр (— Я/б)), где п — разность между числами операторов а^ и а^ в рассматриваемом произведении:

...aHtY..ap^....(41)

Отсюда находим

— ехр (— /фп) (... al (I)... ар (f).. ?)н = 0

и тем самым убеждаемся, что <...аН1у..ар^..>/н = 0,

если в произведении (41) число операторов рождения не равно числу операторов уничтожения.

Поскольку функции Грина выражаются линейными формами из обычных средних, то эти же правила отбора справедливы и для функций Грина. Кроме того, если соответствующее п Ф 0, то в силу правил отбора в связи с законом сохранения числа частиц для системы с гамильтонианом Н (С)

-4 (t)...ap (/')•••)# (С) = 0. Таким образом,

(0, если

Следовательно, можно вычислить обычные средние (42) любого порядка, а также функции Грина для рассматриваемой модели с гамильтонианом Н. Больше того, доказывается, что при любом значении числа п ^^=^^(С).(43)

Здесь символ ^...^ обозначает квазисредние. Как уже отмечалось, вторая часть (43) содержит фактор ехр(/иа/2), поэтому 2л о

т. е. обычная средняя получается из квазисредней после дополнительного усреднения по углу а.

Как и в уже рассмотренных случаях, квазисредние можно ввести, дополнив гамильтониан (30) бесконечно малыми, снимающими вырождение членами.

Вместо Н введем гамильтониан

н^=н - ^ 2х V4«f+<№№ > °).(44)

f

содержащий члены, снимающие вырождение по отношению к градиентной инвариантности первого рода, или, иначе, уничтожающие закон сохранения полного числа частиц. Для этого гамильтониана (44) запишем «аппроксимирующий гамильтониан» в виде

Н^ (C)=HW (С) - (v/2) ^Х (/) {а_/й/ + Ш t

Входящая сюда величина С определяется уравнением

f

т. е.

с = (C4-V) уth {/£(/)(С+у)2+Г2(/)/29}

2И ^ V V X2 0 (C+v^ + T2 (/)"

или после предельного перехода

(C+v) С 22 (ПХ th {^(pXC+vP + T2^)^} .

С-(2л)з)Л^ уХЧрИС^ + ТЧр) dp.

Мы выберем за С тот корень этого уравнения, который при v->0 приближается к положительному корню уравнения (36). Тогда можно доказать, что <2l>Hv=<3l>wv(C).

С другой стороны, нетрудно заметить

<91)hv(C) -> (ЗОжс).

v-^О С=|С|

Следовательно,

^я=Нш<И>нг(С) = <Я)^ (С = |С|).(45)

У>0

Если вместо HV(C) выбрать гамильтониан

HV,V=H - v 2^ (f) {ехР (»ф) aTa-t + ехР (— Zy)a_fat\ f

(v>0),

то у нас возникли бы дополнительные трудности, связанные с корректностью пределов переходов (подробно см. разд. II и [43]).

Заметим, что наш результат не изменится, если члены с источниками написать в более общей форме:

— v 5 ^ (/) {«-/«/ + Ф<Ц (V > 0),

где W (/) — вещественная, достаточно регулярная функция.

Мы рассмотрели здесь ряд примеров вырождения состояния статистического равновесия. Во всех случаях

особые состояния статистического равновесия осуществляются при температурах 0<0кр. При переходе через 0кр происходит фазовый переход к «нормальному», не вырожденному состоянию. В наших примерах вырождение в системах было связано с наличием аддитивных законов сохранения, или, иначе, с наличием инвариантности по отношению к соответствующим группам преобразований.

Отметим, что не все имеющиеся в данной системе законы сохранения вызывают вырождение. Так, во втором и четвертом примерах вырождение состояния статистического равновесия было связано только с законом сохранения числа частиц. В соответствующих квазисредних нарушились только те правила отбора, которые обусловливались именно этим законом; правила отбора, обусловленные другими аддитивными законами сохранения, например законом сохранения импульса и спина в четвертом примере, оставались в силе. В первом примере вырождение было связано только с законом сохранения импульса. Правила отбора, обусловленные законом сохранения числа частиц, здесь не нарушались.

Перейдем теперь к общему рассмотрению, введя соответствующие общие определения.

Возьмем некоторую макроскопическую систему с гамильтонианом Н. Добавим к Н бесконечно малые члены, соответствующие внешним полям или источникам, нарушающие аддитивные законы сохранения, и получим в результате некоторый гамильтониан /7V (v->0). Тогда, если все средние значения

(B>hv, B = ..^4tb х^.^, xsV* (46) получают лишь бесконечно малые приращения, будем говорить, что рассматриваемое состояние статистического равновесия не вырождено. Напротив, если некоторые из средних (46) получают конечные приращения при переходе от Н к бесконечно близкому гамильтониану Н^, будем говорить, что имеет место вырождение состояния статистического равновесия. Отметим, что мы, естественно, ограничиваемся рассмотрением лишь стабильных систем, поскольку только они имеют физический смысл.

Поэтому бесконечно малая вариация гамильтониана 8Н =HV — H может вызвать бесконечно малое изменение тех величин, которые характеризуют реальные физические свойства системы.

Для изучения случаев вырождения целесообразно вводить вместо обычных средних квазисредние, положив

<5) = lim {B^v. v->0 v

Как мы видели на ряде примеров, для квазисредних не обязательно выполнение всех правил отбора, обусловленных аддитивными законами сохранения. Отметим, что, определяя квазисреднее, мы должны сперва выполнить предельный переход V -> оо, а затем устремить v -> 0.

Как было отмечено, бесконечно малые члены, образующие разность Н^-Н, выбираются таким путем, чтобы нарушать аддитивные законы сохранения. Вообще, однако, нет необходимости нарушения всех таких законов, чтобы получить гамильтониан Н^ снимающий вырождение. Пусть, к примеру, инфинитезимальные члены, вызывающие нарушение некоторых из законов сохранения, приводят лишь к бесконечно малым добавкам к средней (B)^v- Ясно, что такие законы сохранения нет необходимости нарушать и что Н^ содержащий только члены, нарушающие остальные законы сохранения, уже будет снимать вырождение. В таком случае для квазисредних не будут выполняться как раз те правила отбора, которые обусловлены этими последними.

Рассмотрим динамическую модель для теории сверхпроводимости, в которой мы имеем дело с континиумом и не учитываем непосредственно наличия кристаллической решетки. У такой модели при отсутствии внешних полей естественно ожидать полной пространственной однородности и считать, что все средние

(..•Ж, XaV^Us Х^..^ ’

являются трансляционно инвариантными. В такой ситуации закон сохранения импульса будет выполняться и для квазисредних нет надобности нарушать его, чтобы снять вырождение.

Предположим также наличие полной спиновой однородности, когда законы сохранения суммарного импульса выполняются для квазисредних. Тогда у нас «остается для нарушения» только закон сохранения числа частиц.

В таком случае положим

HV=H-H £ W ^ ^а^А-а.^,

где F (f) = £ (а) V (р), V (р) — вещественная функция импульса.

Если мы хотели бы исследовать случай, когда спиновая однородность может и не иметь места, целесообразно исходить из более общей формы:

НХ=Н -V^\W (.р, a, or) a^,oat-p,o*-V ,

+ W (р, а, а'^а-р.о'ар^ + Цр, а, o') ap>oaPiO»}.

Раздел II

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ МОДЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

ВВЕДЕНИЕ

В этом разделе мы предложим новые методы асимптотически точного (при V->oo, N ->оо, N(V = const) исследования модельных динамических систем типа БКШ (Бардина, Купера, Шриффера), применяемых в теории сверхпроводимости [41]-[43], и дадим примеры вычисления свободных энергий, корреляционных функций и функций Грина таких систем.

В связи с этим мы упомянем ряд работ, в которых обсуждалась проблема асимптотически точного вычисления свободной энергии и функций Грина.

Одной из важнейших проблем статистической физики является рассмотрение точно решаемых моделей. Дело в том, что такое рассмотрение вносит существенный вклад в наше понимание весьма сложных задач статистической физики и, в частности, для обоснования используемых там приближенных методов.

До сих пор к классу точно решаемых динамических модельных систем относились главным образом одномерные и двумерные системы [44].

В чеории сверхпроводимости большое значение имеет так называемая модель парных взаимодействий, учитывающая взаимодействия частиц с противоположными импульсами и спинами, характеризуемая гамильтонианом Н = 2 Т Щ ata, - ^ 21 ^ ^at-ta-paf..(1)

fUf

Здесь Т(/) =p2/2m — |i, p. — химический потенциал, V — объем системы, который в дальнейшем устремляется к бесконечности, а^, at — операторы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям статистики Ферми, f = = (Р. о) — совокупность импульса р и спина а. Компоненты импульса ра(«= 1,2,3) принимают, как обычно, квазидискретные значения: р(а) = 2лп(а)/£, где п^х пробегают все числа при фиксированном значении L,L^ — V. Спиновый индекс принимает два значения: о = ± 1/2.

В работах [45], [46] был сформулирован приближенный прием, основанный на введении так называемых «аппроксимирующих гамильтонианов», и были приведены основания, позволяющие считать, что полученное решение обладает асимптотической точностью в процессе предельного перехода статистической механики. В них рассматривалась модельная система вида (1), и разработанная в них процедура не была связана с конкретной формой ядра I (M'Y Этот метод непосредственно применялся для получения асимптотически точного выражения для свободной энергии. В указанных работах вводится так называемый «аппроксимирующий гамильтониан» Н^ (С), который представляет квадратичную форму из ферми-операторов, зависящую от некоторых произвольных постоянных С.

Понятно, что такой «аппроксимирующий гамильтониан» можно диагонализовать и затем вычислить соответствующую свободную энергию на единицу объема Fo (С).

Аппроксимирующее значение Fo для свободной энергии F, соответствующей гамильтониану (1), находится с помощью выбора таких значений С, которые минимизируют Fq^C):

F0=nYinF0(Q.

(С)

В этих работах были приведены основания, позволяющие считать, что свободная энергия F0(C) становится асимптотически равной F при V -> оо. В работе [45] это было показано с помощью теории возмущений. Однако поскольку вопрос о сходимости рядов теории возмущений там не был исследован, то соответствующий результат нуждался, естественно, в более строгом обосновании.

Поэтому в работе [46] поставленная задача была рассмотрена без применения теории возмущений; в ней

была изучена цепочка зацепляющихся уравнений для функций Грина и было показано, что функции Грина для «интегрируемой задачи» с гамильтонианом //(0) удовлетворяют цепочке уравнений для точного гамильтониана Н с ошибкой порядка 1/1/.

Однако, разумеется, с чисто математической точки зрения такого рода рассуждения не являются вполне законченными. Строго говоря, здесь надо было бы показать, что функции Грина для системы с гамильтонианом //(0) асимптотически равны соответствующим функциям Грина для системы с гамильтонианом Н, а это свойство не вытекает непосредственно из того факта, что функции Грина для Я(0) удовлетворяют всем уравнениям функций Грина для Н с ошибкой порядка 1/У.

В этой связи полезно отметить, что два рассматриваемых там решения для функций Грина —«тривиальное», соответствующее С = 0, и нетривиальное, соответствующее С # О,— асимптотически точно 0(1/У) удовлетворяют системе уравнений для функций Грина, однако отсюда не следует, что они «асимптотически близки». Таким образом, строгое обоснование асимптотической точности результатов работ [45] представляет существенные математические трудности.

Ввиду важности рассмотрения модельной системы (1) с возможно большей полнотой для теории сверхпроводимости и, с другой стороны, ее относительной простоты она заслуживает того, чтобы ее изучение провести на строгом математическом уровне.

В математически строгой постановке задача была решена в работах [46] академика Н. Н. Боголюбова в случае нулевой температуры, где и было показано, что, действительно, система с аппроксимирующим гамильтонианом //(0) дает асимптотически точный результат для системы с гамильтонианом Н. При этом, однако, предполагалось, что ядро имеет простую факторизующуюся форму

KbD-gXtfmn, g>0. (2)

Оказалось, что при стремлении объема к бесконечности такую задачу можно решить асимптотически точно, т. е. построить энергию основного состояния, функции Грина и корреляционные функции, характеризующие динамическое поведение системы при V -> оо.

Отметим, что в статистической физике нас всегда интересуют предельные (при У->оо) значения изучаемых динамических величин и функций. В этой работе также применительно к рассматриваемому случаю было показано, как следует вводить квазисредние; к введенному гамильтониану (1) добавлялись члены с источниками, пропорциональные двум операторам рождения и уничтожения пар. После проведения основного предельного перехода V -> оо интенсивность источников устремлялась к нулю и тем самым строилось определение квазисред- них*\

Надо отметить, что с физической точки зрения чистая факторизация ядра (2) описывала так называемое взаимодействие в s-состоянии и, когда требовался учет высших состояний (например, р-, d-состояний и т. д.), следовало рассматривать ядро в форме [48]:

т

1^,П=Ц &^ (Л^а (П. ga > 0. (3) а=1

Некоторые модельные системы такого типа были рассмотрены в случае нулевой температуры, т. е. для основного состояния системы, причем удалось только асимптотически точно определить энергию основного состояния. Например, модельная система (1), в которой (3) представляется в виде суммы сферических гармоник с фиксированным значением /, изучалась Андерсоном и Морелем [49] и Горьковым и Галицким [50]. Они, применяя различную методику, получили существенно различные результаты. Возникла дискуссия, в процессе которой выдвигались возражения против того или иного решения, но эти возражения не были достаточно убедительны, поскольку не основывались на математически строгих рассуждениях. Эта проблема математически корректного рассмотрения модельного гамильтониана (1) с ядром типа (3) в дальнейшем была решена на основе подхода работ [46], [51], при этом была установлена правильность решения Андерсона и Мореля.

В ряде наших работ [52] рассматривалась модельная система (1) в случае ядра /(/,/') в форме (3) при температурах, отличных от нулевой, когда все константы

*’ Отметим, что возможен и другой подход — сразу иметь дело с бесконечным объемом. Для модели БКШ это было осуществлено в работах Д. Я. Петрины [47].

ga положительны. Заметим, что с физической точки зрения положительные константы ga соответствуют взаимодействию типа «притяжение», при этом нам удалось асимптотически точно найти выражение для свободной энергии. Для случая модельной системы (1) с ядром /(/,/') в форме (3) мы вычислили бинарные корреляционные средние простейшего типа [53]. В серии наших работ [54] мы разработали новый метод, позволивший рассматривать системы (1) с ядром / (Л/') типа (3) при любых температурах в случаях, когда параметры ga положительны, отрицательны или принимают разные знаки. При этом нам удалось построить асимптотически точные выражения не только для свободных энергий, но и для многовременных корреляционных функций и функций Грина, которые полностью характеризуют динамическое поведение системы. Попутно выяснилась необходимость во введении нового определения квазисредних, поскольку общепринятое до сих пор определение оказалось в рассматриваемых нами случаях недостаточным. В этом разделе мы подробно остановимся на исследовании гамильтониана (1) с ядром (3) в случае, когда все g*a>0. В гл. I развит новый метод, позволяющий установить для системы с гамильтонианом (1) и ядром типа (2), что выражение для свободной энергии, вычисленное по способу аппроксимирующего гамильтониана, обладает асимптотической точностью при температурах, отличных от нуля.

В гл. II показано, что этот метод может быть расширен и для случая систем с ядром (3). В этой же главе сформулирована и доказана важная теорема об асимптотической близости свободных энергий, построенных на основе модельного и соответствующего аппроксимирующего гамильтонианов, причем она справедлива для широкого класса модельных систем, в частности систем, обобщающих модель БКШ. Как мы увидим, она с успехом используется в гл. III и IV для асимптотически точного вычисления корреляционных функций.

В гл. III на основе результатов первых глав исследуются вопросы об оценке разности двух корреляционных функций и разности двух функций Грина, построенных на основе модельного и аппроксимирующего гамильтонианов. ’

В гл. IV мы рассмотрим общие случаи и приемы исследования модельных систем. В § 11, 12 при некото- 144

рых достаточно общих условиях будут сформулированы теоремы, обеспечивающие асимптотически точное при V -> со вычисление многовременных корреляционных средних, функций Грина. Обращается внимание на возможность получения равномерных по температуре мажорационных оценок. Развиваемая в этой главе методика оказывается справедливой для широкого класса модельных систем, характеризуемых гамильтонианом с четырехфермионным взаимодействием. Будут рассмотрены трудности, связанные с определением квазисредних для модельных систем. В § 13 развивается новый способ введения вспомогательной системы и определения квазисредних для широкого класса систем, содержащих отрицательное четырехфермионное взаимодействие. Попутно решается вопрос о предельных выражениях для свободной энергии при У->оо.

Глава I

АСИМПТОТИЧЕСКИ ТОЧНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ СВОБОДНОЙ ЭНЕРГИИ ДЛЯ МОДЕЛЬНОГО ГАМИЛЬТОНИАНА БКШ

§ 1. Постановка задачи

В этой главе мы приступим к рассмотрению задачи с гамильтонианом (1) и ядром /(/, /') типа (2), т. е.

^=2 W/-2v2 MhMn4atfa_rap.(1.1)

ff.r

Для обычной модели Бардина

(1.2)(1.2)О для | р2/2т — р | > О,О для | р2/2т — р | > О,/ е (о) для | р2/2т — р | ^ О,

(1.2)

(1.2)

О для | р2/2т — р | > О,

О для | р2/2т — р | > О,

где 7 = const, g(a) = |

В предлагаемом исследовании, основанном на результатах работы [52], нам не придется использовать эти конкретные свойства Т}=рй12т — р и Х(Л- Вполне достаточным является выполнение следующих общих условий:

функции Х^ и Ту вещественны,

T_, = Tb Xk-h=-X^(1.3)

Й^№ У£\ТгХф\^, -L^l^),^

где ^, ^2, &з — константы при V->oo.

Свободная энергия на единицу объема, соответствующая системе невзаимодействующих частиц, конечна.

Эти условия заведомо выполняются в случае (1.2).

В работах [45] был предложен способ вычисления свободной энергии такой динамической системы, основанный на введении аппроксимирующего гамильтониана //(о) = ^ т^а, - £ Mf) (Ca_,af + C*4aLr) + 2VC*C.

ff

(1.4) где С и С* — комплексные переменные, имеющие смысл с-чисел.

Поскольку Я(о) является квадратичной формой из ферми-операторов, то такой аппроксимирующий гамильтониан можно привести к диагональной форме и непосредственно вычислить свободную энергию на единицу объема:

f№o-=-ylnSpexp(-H^W(1.5)

Входящую в Я(о) комплексную постоянную С мы должны определить, следуя указанным работам [45], из условия минимальности (С):

/яо>(С) = тт, откуда получим'

аст. е.

р/ т\ Sp J exp ( Я(О)/0)/1

Sp ехр (—Я<0)/0) •

Здесь

f

Целью настоящей главы является построение нового метода, позволяющего доказать, что вычисленная таким

образом f^o, отличается от истинной свободной энергии /^ (построенной на основе гамильтониана (1) на единицу объема) на величины, исчезающие при V -> оо при 0^0.

Для этого нам будет удобнее исходить из гамильтониана более общего вида, содержащего комплексный параметр v:

P=T-2VJ- J+-(vJ + v*/*) V,(1.7)

где 7 = ^7,^^.

t

Этот гамильтониан при v = 0 совпадает с гамильтонианом (1). Соответственно аппроксимирующий гамильтониан будет

ГО) = 7—2 V (CJ+ + С* J) — V (vJ + v*J+) + 2 С*С V. (1.8)

Отсюда видно, что

Г = Р°)-рЛ,(1.9)

2l = —2V(J-C)(J+-C*).(1.10)

§ 2. Основные неравенства для свободной энергии

Найдем сейчас оценку для (/г«» — /г) разности свободных энергий на единицу объема через посредство средних от величины типа (1.10). Для этого нам удобнее будет ввести вспомогательный промежуточный гамильтониан

Р = Р°» 4-^

(Р=Р0) при / = 0; Р = Г при /=1). Входящая в Р постоянная С считается фиксированной (не зависит от /).

Рассмотрим конфигурационный интеграл *> и свободную энергию для промежуточного гамильтониана:

Q,=Spexp(-P/9); /ДС) = —^InQ,; Qt=exp(-Vft/6).

(1.П)

** Замечание. Математические вопросы существования и свойства аналитичности конфигурационного интеграла были изучены в работе [55]. Дальнейшее обобщение доказанных там теорем было проведено в работе [56].

Заметим, что /i(C)=fr и потому не зависит от С: fr.0,=minf0(C).

Дифференцируя равенство (1.11) два раза по t, получим

^У_У1о Л-У1(дМП11121

С другой стороны, учитывая, что

Sp {21 exp (- тП/0) 21 exp (— (1 — т) Р/0)} dr, о

(1.13)

и сравнивая с предыдущей формулой, имеем

Y-^tA-YLPM^

в дР ^ в2 \dt)

= 0^ S Sp{91 exp(—тР/0)21ехр(— (1 -T)r'/6)}dT; (1.14) о

принимая во внимание

^ _ 1 Sp 91 ехр (—ГУ0) _ _1_

dt ~ V Sp exp (— Г/0) V w’ находим

д2/ tА

дР" = 07 к j $Р ^ ехР ( ^Z®) X 1 о)

X 21 ехр (— (1 — т) П/0) dT - <21)4 =

= gj7^ § Sp {8 exp (—тП/0) 23 exp (— (1 - т) Р/0)} dr,

23 = 21-(21).

Используя представление, в котором Р диагоналей, получим

дР

O^Q^ 5 2 ^nnv^mn exp [ ^Em w Ец) T$ fn/e] ^Т = 0 nt m

=ойЛ 2 |®ят i2 exp i- ^m - E‘^ t/q - £ii/8JdT ^ °- 0 ntm

Таким образом, мы показали, что

Из этого неравенства следует, что ^ = —^ уменьшается с увеличением параметра t.

Имеем далее 11

If- ^-tT = - $ ^dt — — ^d/^0. оо

Поскольку это соотношение верно для всех С, имеем также

mmf^o. (C^fy, т. е. 1г-оЛС)^1т. Проинтегрируем неравенство W^Wr (0^<^1).

Подставляя вместо 31 выражение (1.10), убеждаемся, что для любого С справедливо

О^/Г,о. (C)-fr^2((J-C)(J-C*))r.

В частности, возьмем с=У)г . и заметим, что frw = minfp<oi (С) ^/Г(о) (</>г);

таким образом, fr- ~ ^Г ^ М^г) -fr^^J- < J>p) (Л - < J+>p))p и окончательно

0 ^/р«, - /р ^ 2 <( J - <J>p) (Л - </+>р)>р*).(1.15)

Напомним сейчас нашу основную задачу: показать, что разность /г<о-— fr является асимптотически малой при V->oo. Как видно из полученного неравенства, эта задача была бы решена, если бы мы смогли уста-

новить асимптотическую малость среднего ((J — (J)) х X(J+ —(J+))). Наметим в общих чертах схему для оценки этого среднего. Заметим прежде всего, что

|Г/-/Г|^/<, где

^=| v | Л3 + ^2 + 2^з = const.

Принимая во внимание, что (Г) — энергия всей системы — должна быть пропорциональна V, естественно считать операторы Г и J, Л асимптотически коммутирующими.

Замечание. Далее везде |... | будем обозначать обычную норму соответствующих операторов в представлении вторичного квантования в пространстве Гильберта 8.

Напомним, что волновые функции в представлении вторичного квантования являются совокупностями комплексных чисел ’

Т = Т(...Пу...), (1А) каждая из которых нумеруется последовательностью {...И/...} чисел Пу = 0, 1, причем в каждой последовательности {...Пу...} только конечное число Пу равно единице. Допустимыми волновыми функциями являются выражения (1А), удовлетворяющие условию сходимости

ОО

|Т|2=£ S |^(...п/...)Р<оо. (1Б) -орг,

Скалярное произведение (Tt, Y2) определяется равенством

№, ^)=f s .„/...)• (1В)

Таким образом, множество рассматриваемых волновых функций Y образует пространство Гильберта, которое обозначим 8.

Можно показать, вводя специальную нумерацию последовательностей {.. .Пу...}, что пространство 8 можно рассматривать вместо (1А) как обычное сепарабельное

пространство последовательностей комплексных чисел Т = (Со, Сь ...).

Соотношение (1Б), (1В) перепишем в форме:

;тр=2 (c*cv)<oo, v = 0

Т2) = 2 с^1^'. v = 0

Если бы вообще пренебречь некоммутативностью операторов Г и J, J*, то получили бы, дифференцируя ПО V И V*,

с 84 lzSp(JJ+exp(-r/e)) _

dvdv*- к Sp exp (— Г/6)

_ у (Sp J exp (— Г/6)) (Sp J* exp (— Г/6))(Sp exp (—Г/6))2

t. e.

-Т5^=<(/-</»(/+-<^»>.(1.16)

При этом наша задача была бы решена, если бы нам удалось установить ограниченность второй производной

дЧ dvdv*'

Однако, к сожалению, мы этого показать не умеем. Мы располагаем только тем, что первые производные от f по v и v* ограничены:

где &! = const при V->oo. К тому же, как указано выше, операторы Г и J, J+ некоммутативны и потому равенство (1.16) нуждается в уточнении.

Итак, поставленную задачу — показать асимптотическую малость разности (^ —/г) — осуществим в два этапа.

Сначала найдем точную оценку для среднего <(/ — </» (J+ —</))>, выраженного через вторые производные от / с учетом некоммутируемости операторов Г и 7, J+. Далее, основываясь на полученной оценке

для среднего и не используя того факта, что вторые производные ограничены, разработаем способ, с помощью которого покажем асимптотическую малость искомой разности (fr°>—/г) при V~>oo.

Совершим для этого преобразования, аналогичные (1.12)—(1.14), только с гамильтонианом Г:

t=h-^j-vv*J4 V,

H-T — 2VJJ+.

Дифференцируя выражение Q = exp(—Vf/9) по v:

dQ_

dv 0 dv4’

а затем no v*, имеем

^Л-^о + ЭД^л(1 17)

dv*dv 6 dVdv4^ №\^e)w)4’^a/^

где

£ Sp Jexp(—Г/6) _ , ,x

dv Spexp(—Г/6)'

df _ Sp J* exp (— Г/6) _ , ,+.

dv* — Sp exp (— Г/0)'

С другой стороны,

§ = - у Spexp (— Г/9) = у Sp J exp (— Г/9);

далее, дифференцируя это равенство соответственно по v*, находим

1

Э^^Т8? J^exp^Г/9) = ^ Sp J Jexp(—тГ/9)х

о

xJ+exp(—(1 — т)Г/9)</т. (1.18)

Сравнивая формулы (1.17) и (1.18), приходим к равенству

1 5V _ И С Sp (D exp (— тГ/6) D* exp (— (1 -т) Г/0)) .

6 dvdv* 62 JSpexp(—Г/6)^

О

(1.19)

где D = J — (J).

Переходя к матричному представлению, в котором гамильтониан Г диагоналей, найдем

Г dvdv — 62 2 ^ 1 5 ^пт ехР ( ^Emj^ Dmn exp X n, m 0 1

X (— (1 — т) E„/6) dr=2 I D™ I2 Q-1 ^ exp [— %ErJQ — n, m0

- (1 -T) £„/T] dT=^|2 (exp (—Em/6) - П’т — exp (—£„/0)); (1.19a) таким образом, всегда

^f у V I^nm I2 /exP ( E-m№ exp ( E^X /i qqx d^*”V L QEn—Em V

n, m

Для дальнейших оценок будем пользоваться неравенством Гельдера*, которое применительно к нашему случаю удобно записывать в виде

21 “• г - 2 (^) <| “• I8'w < f2 ’йТх

кк\ к I

(1.21)(1.21)x№ub\aplW,

(1.21)

(1.21)

\ А/

здесь рк^0,здесь рк^0,Uk_ WkUk_ Wkконечно, р = \Еп — Ет\,конечно, р = \Еп — Ет\,

здесь рк^0,

здесь рк^0,

Uk_ Wk

Uk_ Wk

конечно, р = \Еп — Ет\,

конечно, р = \Еп — Ет\,

I «а Р = I Dnm р | exp (- EJ^ - exp (- Е^ | VQ-1.

Подставляя в неравенство (1.21) выражения для р и Iик Р, получим

^ 2 I Dnm РI ехр (— Ет/9) - ехр (— Еп/^ | ^ п, т

^/V у п(-«м/. х

\ п, т/

Х!^- 2 lDnmP |^-£«p lexpt-V)-

\ п, т

-ехр (—Е„/9)|у/3,

или с учетом (1.20)

21 Dnm |21 ехр (_ Ет^ ~ехр (~ Е^155

2 1 D"m |2 1 Е „ - Ет I" । еХР (- Е гг.М + + ехр(-£„/6)|у/3.

Произведем несложные преобразования:

(V№ S I Dnm Р | Еп - £тР(ехр(- EJ^ +ехр ^-Е.^=

= (У/Q) Sp ехр (— Г/6) {(ГР - РГ) (Р+Г - ГР+) +

+ (Р+Г - ГР+) (ГР - РГ)} = V ((ГУ - УГ) (ГУ - УГ)+ + + (ГУ - УГ)+ (ГУ - УГ)) ^ 2Г№.

Учитывая эти преобразования, получим

(V^ ^^^^(-Е^)- ехр (- Ej^ | ^ п,т

Далее запишем *^

21 I2 ехр (-Е^ 21 Dnm |2 х

/ехр (— Em/0)—ехр (— Е^Х , V у . п ..

Х(Еп — Ет)-VQ^\L,nm\X

X | ехр (— Е^ - ехр (— £„/6) |, где

(V№ S I Dnm Р ехр (- Еп!^ = (V^ Sp РР+ ехр (- Г/6) =

Таким образом, окончательно имеем неравенство

, (2/<2)1/з/ дЧ \2/з уг/з dvdv*/ е

§ 3, Доказательство асимптотической малости разности свободных энергий

Заметим, что если сравнить полученную точную оценку для среднего (1.21а) с предварительным равенством (1.16), то видно, что точная оценка (1.21а) отличается от указанного равенства лишь дополнительным членом, возникшим в результате учета некоммутативности оператора гамильтона Г с операторами J, J+. [Если операторы Г и J, J+ коммутируют, ясно, что (1.21а) автоматически переходит в (1.16).]

Отметим, что /(v, v*) зависит лишь от модуля r = V v • v* и не зависит от фазы, т. е.

/(v, v*) = /(]/vv*).

Отсюда, дифференцируя f по v и v* и используя (1.19а), найдем:

£ = 1-1/5 ПИ, dv* 2 V v*1 х 1

dvdv*\ i г j 4r dr \ dr j

Далее, учитывая, что

|IV-JT\^K, /С=const, и обозначая

перепишем неравенство (1.21а):

(is,

В этом неравенстве для нас неудобны вторые производные от /, ограничить которые мы не умеем. Чтобы от

них избавиться, проинтегрируем (1.22) по г и покажем, что

$ гФ ^ dr-^0 при V->oo. Го

Имеем в самом деле

f А / \95/ ко . К2/3 С 1/Q /д / df\\2/3 ,

У Ф (Г) dr4V Г дг + 2У2/з' у ( дг\Г дг)) dr*

ГоГо

Применяя к второму члену, стоящему в правой части, неравенство Гельдера в интегральной форме

J | и • v | dr | и |3 dr^ ^ | и |3/2 dr^^

и учитывая, что

1^1^,(1.23)

найдем

^ гФ (г) dr ^^М^М 4- ^ (2^ (г0 + Г1))2/3 X

х(^),/3. (1.24)

Хотя мы и показали, что этот интеграл асимптотически убывает при V->oo, однако отсюда нельзя сделать вывод о том, что и подынтегральная функция убывает. Обратимся к неравенству (1.15)

о ^/го) - /г^ 2 <(/ - </» и* - </+»>.

Обозначая

а (г)=/г«>> — /г

и учитывая (1.24), имеем

С (A dr ^1 (го+^1) , (г^Сго+г!))2/3^?-^)!/3

i ru yr) агуу2/з

Го

Так как первая производная^ ограничена (1.23), то и

Положим r0 = r-]-Z,^ = ^4-2/ и воспользуемся

«теоремой о среднем»

г-^21г-^-21

a® j rdr = $ га (г) dr, г-Нг-Н

где r-Yl^^^r-V^l- Принимая во внимание равенство

а^ = а^)- J yfdr,

Г

имеем

r+2Z f га (г) dr

| а (г) | ^ -j—^+4^2/ ^ 8М 4-

2.[(г + 2/)2_(,+/)2]

,6^(2r+3Z),(2^/<)2/8(2r + 3/)2/3

■*" 1/2V [(r+2Z)2—(r+Z)2j + [l/2(r + Z)-(r + Z)2]2/372/3^

<8Ь / i 2toi)W)2/3

Выберем I из условия

qm_(W/3.К*/6

р/3уЧз » 121/2/5&}/&‘

Таким образом, окончательно получим

46 W5

О^/го> fr^ уг/5 + уз/5 ^1/2/5’ const.

(1.25)

Можно отметить, что полученная оценка может быть усилена, но для нас это не играет роли, поскольку мы хотели лишь установить, что

(/го> — г)->0 при У->оо.

Заметим, с другой стороны, что правая часть (1.25) стремится к нулю равномерно по отношению к r = | v |, поэтому она справедлива для v = 0. В этом случае имеем

0^/№0, —L = const.(1,26)

Более того, оценка равномерна и по отношению к 6 5г О, и мы можем положить 8 = 0. Таким образом, результат имеет место как при 8>0, так и при 6=0.

В заключение покажем, что рассматривавшиеся выше задачи с гамильтонианами Г (1.7) и Г° (1.8) могут быть сведены к исследованию гамильтонианов

T = T-2VJJ*-r(J-VJ^, (1.27)

Г w = Т - 2VC (J+ + J) + 2 VCa - г (J + J+) V, (1.28)

в которых г является положительным, а С —вещественным. В самом деле, положив в (1.7)

v = rexp(—t<p), v* = rexp (i<p), совершим градиентное преобразование: а{ ->- af exp (— i<p/2), a^ -> tf exp (iy/2).

Тогда, очевидно,

</->-.7exp(i‘<p), J+ ->- J* exp (—i<p)

и, следовательно, выражение (1.7) переходит в (1.27). Полагая далее в (1.8)

С С exp (t<p), С* -► С* ехр (—t<p), преобразуем Г10) к виду rw = T-2V(CJ+ + C*J)-rV(J + J+) + 2|C|8V. (1.29) По нашей схеме значение С мы определяем из условия абсолютного минимума функции:

fTl01 (С) = — у In Sp exp (— Г°/6).

Положим

C4-r/2 = Sexp(iu); S = |C + r/2|.

Тогда, очевидно,

fr.o, (С) = — у In Sp exp (— D/6) +

+ 2 |(s — ^f Ц- rS (1 — cos u)k

где

0=2 Т^а / — 2 ^ (exP (IU) a-faf + exP (—t0) ata- i)' tt

Но градиентное преобразование

а, ->■ 04 ехр (— Zu/2)

переводит Ь в выражение, не зависящее от угла и:

frl0> (С) = F (S) + 2 {(S - у)2 + rS (1 - cos и)},(1.30)

где F (S) = — (6/V) In Sp exp (— Z>/6),

0=5 Т* - 5X Щ S ^a, + a^.

Вместо С можем определить S и фазу о. Из выражения (1.30) следует, что в точке минимума необходимо, чтобы

(1.31)(1.31)C + r/2 = S>0.

(1.31)

(1.31)

Таким образом, в точке минимума С должно быть вещественным. Итак, мы показали, что можно сузить область возможных комплексных значений С и рассматривать аппроксимирующие гамильтонианы только с вещественными С. Следовательно, вместо аппроксимирующего гамильтониана (1.29) с комплексными значениями С можно рассматривать аппроксимирующий гамильтониан (1.28) с вещественными значениями С.

В гл. III мы как раз на основе модельного гамильтониана (1.27) и соответствующего аппроксимирующего (1.28) исследуем асимптотические свойства функций Грина.

Глава II

ВЫЧИСЛЕНИЕ СВОБОДНОЙ ЭНЕРГИИ ДЛЯ МОДЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

§ 4. Обобщенная постановка задачи

В настоящей главе мы продолжим исследование модельных систем на основе предложенного в гл. I метода.

Изучая вопросы получения асимптотически точного решения для модельного гамильтониана (1) с ядром вида

Uf. П- s WW (2.1)

1 <а ^s

(здесь и далее значение s фиксировано), мы будем следовать работам [52].

Напишем гамильтониан для данного ядра (2.1) в виде

H = T-2V S JJ^,(2.2)

1 ^a^s

где

Т-^Т^а,; J^^X^dtaLf.(2.3)

/f

На функции Xa(f) наложим следующие условия:

М-Г)=-ь<Ж

^211. (П?^1=..(2.4)

(1 ^a ^s)

где kx> k^ k3 — постоянные при V->oo.

В конце главы мы укажем, как снять ограничение, связанное с конечностью s-членов суммы (2.1).

Заметим, что в силу условий (2.4) будем иметь

Pal^Kl, \TJ6-J6T\^Ka, we-w\^,

(2.5) \JaJ6-W = 0,

(l^a^s, l^P^s)

где Къ K^ Лз — постоянные, несложно выражаемые через къ к^ к3. Здесь, как обычно, символом | J | обозначается норма оператора J..

Для проведения всех наших рассуждений нам даже не потребуется явное выражение (2.3) операторов Т, Ja, т. е., вообще говоря, мы не ограничиваемся этим конкретным видом операторов Т, 7а. Поэтому развиваемый метод пригоден и для более общих модельных систем.

В связи с этим наложим достаточно общие условия: |М^Ко,(2.6)

Ral^Ki, \TJ»-J»T\^Ka, \jy6-J»r«\^, \JaJ»-J^a\^,(2.7)

где Ko. Ki, Кг, K3 — некоторые постоянные при V ->- оо; /г — свободная энергия, вычисленная на единицу объема для гамильтониана Н = Т: fT=(—B/V) In Sp exp (— T/в).

Как видно, для случая (2.3) условия (2.7) выполняются в силу (2.5). Условие (2.6) тривиально выполняется, поскольку Т(=рЧ2т — р.

Итак, будем рассматривать гамильтониан (2.2) при условиях (2.6), (2.7). Соответствующий аппроксимирующий гамильтониан, следуя работе [45], возьмем в обычной форме:

HW = T-W ^ (СаД + С*/а) + 2У 5 |Сар.

^ а ^ s1 ^ а С s

Входящие сюда постоянные Со определяются из условия абсолютного минимума функции:

/я,о, (С) = - (9/ V) In Sp exp (- tW)(2.8)

в области всех комплексных C = (Clf ..., Cs). Это комплексное s-мерное пространство точек С = (Ci, ..., Cs) будем обозначать {С5}. Воспользовавшись минимизирующими значениями, вычисляем свободную энергию на единицу объема по способу аппроксимирующего гамильтониана:

/я,о> =min/H,o> (С).(2.9)

(с$)

Возьмем также соответствующую свободную энергию для рассматриваемого гамильтониана (2.2):

fH= — (9/V) In Sp exp (— Я/9).(2.10)

Целью настоящей главы будет доказать, что разность (/я<о> — fH) стремится к нулю при V -> со. Для этого

161161б Боголюбов, Садовников

161

161

нам будет удобно рассмотреть сперва вспомогательную задачу с гамильтонианом

Г = Н — У 5 (vaJa + vS/i),(2.11)

1 ^a^s

где vb v2, ..., vs — произвольные комплексные параметры, отличные от нуля.

В этой задаче соответствующий аппроксимирующий гамильтониан будет

Г^=Н^-У X ^aJa + W.(2.12)

^ а ^ s

Входящие сюда комплексные величины С=(Clf ..., С$) определяются также из условия абсолютного минимума функции

frtm (С) = — (9/V) In Sp exp (- Г^/9).(2.13)

Будем получать мажорационную оценку разности (/р«» — /г), показывающую ее асимптотическую малость при V—> оо. Здесь

fp<o> =min/r(o> (С),

{с5}

a fr — свободная энергия на единицу объема для гамильтониана Г.

Хотя эта оценка для /г<0) — /г будет проводиться в случае |va|>0, окажется, что она будет равномерна по отношению va -> 0 и мы сможем перейти здесь к пределу va = 0 (1 ^oKs). Тем самым получим оценку для (/н<°>—/н), устанавливающую 66 асимптотическую малость при V -> оо.

Абсолютный минимум для свободной энергии, построенной на основе аппроксимирующего гамильтониана

Итак, начнем рассмотрение аппроксимирующего гамильтониана Г«». Покажем прежде всего, что задача абсолютного минимума функции (2.13) имеет решение и что такой минимум реализуется для конечных значений Cb = Ck (X^k^s). В самом деле, учитывая выражение для аппроксимирующего гамильтониана Г(о/ (2.12),

а также условие ограниченности операторов Ja (2.5), имеем неравенство

T-4VK^\Ca\W^M-W^

^ro^T + 4VK1S|Ce| + 2VS|CeP + 2V2:ive|Xi; ааа

(1 ^а ^s)

производя несложные преобразования, найдем

£{Кат|Са1+2ад-4/<^+у+Л-^

^ /г<0, (С) ^ 5 {I с-12+(I Са I - ад\ -

- 4K|s - у + fT ^ 51 Са |2 - 4Kls - у+/ г,(2.14)

C = (Ci, ..., С$);у = 2Кх У / va I (Is^OC^S).

Положим здесь Са = 0 (l^a^s), тогда

у + /7^/г,0) (0)

и потому

inf/г<0, (С)^,», (O)^v + fr,(2.15)

где inf /г<о) (С) — точная нижняя грань функции /г(0> (С)

для всех комплексных значений С=(СП ..., Cs\ Рассмотрим гипершар (S) значений Со (l^a^s),

для которого

S|Ca|2^4^s+2y. a

Ясно, что вне этого шара по неравенству (2.14)

/г< о > (С) > у + /р для С ё 2.

Поэтому

inf /г<о>(С)^у + /г.

(ces)

Отсюда в силу (2.15) имеем

inf L<o, (С) = inf /г<о, (С).(2.16)

{с$}1

Но поскольку (S) гипершар есть замкнутое, ограниченное в {С5} множество, и функция fr(W (С) везде непрерывна, то существует такое С10) г 5, для которого /г«» (С<0)) = inf / (С).

Отсюда в силу (2.16) fr<e, «?«»)= inf на. {с*}

Значит, для любых C=(CiС$) /г„, (С)^/Г,о, W.

Таким образом, функция /г<0> (С) имеет в точке Gw абсолютный минимум, и он реализуется при значениях С = (СЪ ..., С,), лежащих внутри (S).

Так как fr«» (С) непрерывно дифференцируема, то в точке С10'

д/Г(о> (QдСа =°д/Г(о> (QдСа =°(1 ^a^s),(1 ^a^s),

д/Г(о> (Q

дСа =°

д/Г(о> (Q

дСа =°

(1 ^a^s),

(1 ^a^s),

т. е. получено уравнение для определения Са:

Со — (^а)г'О.Со — (^а)г'О._ Sp Ja exp (— Г"»/6) Sp exp (— Г|0|/6) ‘

Со — (^а)г'О.

Со — (^а)г'О.

Учитывая условие (2.5) ограниченности операторов Ja, имеем

jCal^^l! К1 = const.

Построение мажорационных неравенств для свободной энергии

Перейдем теперь к построению неравенств, ограничивающих разность свободных энергий (/го—/г)на единицу объема, через посредство средних от величин вида | = -2 2 (^-Са)(^-^).(2.17)

1 ^a<s

Для этого заметим, что Г = Г10’ + 81, и введем «промежуточный» гамильтониан

П = Г(0' + т,(2.18)

(Р=Р01 при / = 0; Р = Г при /=1). Входящие вР постоянные (Ci, ... , С^ полагаются фиксированными, не зависящими от параметра t.

Рассмотрим конфигурационный интеграл и свободную энергию для промежуточного гамильтониана Р:

Qt=Sp exp (- Р/0), ft (Сь ..., С4) = — (0/ V) In Qb

Qt = ^<-Vft№Y(2.19)

Дифференцируя равенство (2.19) два раза по t, получим

^Ql_ -L^Ilo д-Yl(УАао,22m

дР —002 ^J(2.20)

С другой стороны, учитывая, что

^ = е4 j Sp {81 exp (- тР/0) 81 exp (- (1 - т) Р/0)} dx,

и сравнивая с предыдущей формулой, видим, что

V д*Ч# V2 (df\*1 р

Г ”5/2” + б5" \57/ ^ W j $Р ^ ехР ^/0) 81Xо

X ехр(—(1 — т)Р/0} dx;(2.21)

принимая во внимание

d/v — J_ $РехР rz/6) __ 1 /^ч|2 22)

di V Sp exp (- Г'/6) V VV 1

находим

- %" = 0F {^ j SP 91 exP <- тГ'/0) 81 X

x exp(— (l-T)P/6)dT-<8l>4 =

= -^ ^ Sp {53 exp (— tP/6) 53 exp (— (1 - t) P/0)} dx,

(2.23)

53 = 81-<8(>.(2.24)

Переходя к матричному представлению, в котором гамильтониан Р диагоналей, имеем

1

-^ = W S О т.п 1

X (к=-^ ^ 2 l^nmPexpl—(£« — £«) Т/6 — £„/9] X О п, т

xdr^O. (2.25)

Таким образом, мы показали, что

5/2 dft Wf из этого следует, что = —— уменьшается с увеличением параметра L

Имеем далее, учитывая, что /г не зависит от С,

11

fr1®* (С) - /г=- $ $ & = - $ ^ ^ ^ 0; оо

поскольку это соотношение верно для всех C = (Ci, ...

..., CSV имеем также

min^w (С)^/г, т. е. frt»>^fr.

{с»}

Проинтегрируем неравенство (Sl^^^r (0^/^1). Подставляя вместо Я выражение (2.17), убеждаемся, что для любых С = (СЬ ..., Cs) справедливо /г<о,(С)-/г^2 5 (Ua-CaHJS-C^)r;

1 <a^s

в частности, возьмем

Ca = ( Jа^Г(10^ s)

и заметим, что

/р(о> = min/р(о> (С) ^/р<о) ((*^»р*

{с5}

Таким образом,

/Г(О>/р^/г<0) (^^г)/г^^2^(^о^а^

^ а ^ s

X (J£ — (</£)г))г

и окончательно

о^/г,О)-/г^2 5 ((/Н'Ж-О*’;

1 ^a ^ s

(2.26) здесь

fr(0) (C) = min/r(0) (С).(2.27)

'{сЧ

Напомним нашу основную задачу: мы хотим показать, что разность (/Г(0)—/г) является асимптотически малой при У->оо. Как видно из полученного неравенства, эта задача была бы решена, если бы удалось установить асимптотическую малость среднего в правой части (2.26).

Используя основную идею работ [52], попытаемся выразить эту правую часть через^™. Дифференцируя, имеем _ д2/ = dVVa

1

_ V С Sp (D(a) exp (—тГ/О) D+<a) exp (— (1— т) Г/0) «

” т 3Sp exp (— Г/6)

о

где D'a> = Ja-(Ja> (Ka^s).

Переходя к матричному представлению, в котором Г диагоналей, найдем

- 15^ = ^ 2 $ °™ ехР (-т^/0) ^Г ехР х

х (_(l_T)£„/0)dT.Q-i = ^ 2 |^Гх n, m

1

X $ехр[-тЕ^ен1-We]dT.Q-i=-^X

0nt m

X ?lP(- £m/9)-exp(-E„/6) ^ 02

Для дальнейших оценок будем использовать неравенство Гельдера, которое применительно к нашему случаю

^ См. сноску на стр. 149.

удобно записать в форме (1.21), в которой положено

I «d2 = ID^ ГI exp (- £m/9) - exp (- £я/9) | VQ-i. (2.29)

Подставляя в неравенство (2.29) выражения для рк и | «d2> имеем

21D^ ГI exp (- £т/6) - ехр (- £я/9) |

‘/ V V I П(а) р I exp (- Ет№ - exp (- Ея/6) I V/3

х ^ 21D™ i21 -Ет I21 ехр £-/9) -

— ехр (—£я/9) | )1/3,

ИЛИ

^ 21D^ I21 ехр (- Ет^ - ехр (- Е^ |< п, т

(- §^)2/3 ("S' 2 № Г I £« - Ет I2 (ехр [- EmW + ’+ ехр (-Ej^y.

Произведем несложные преобразования:

2 | D^m |21 Ея - Ет |2 (ехр (- £„/9) + ехр (- £т/9)) =’ = (V/Q) Sp ехр (— Г/9) {(Г/Р - ОТ) (Р+“Г - ГОТ) ++ (О^Г - Г£+“) (ГО“ - ОТ} =

= V ((ГУ“ - У“Г) (ГJ“ - ЛГ)+ 4- (ГJ" - У“Г)+ X

X (ГУ“-7“Г)>^2Л12У, где

М = /(2 + 4К17<з8 + 2/<з 5 |v«|.

1 <a<s

Учитывая эти преобразования, получим

^ 21D^ ГI ехР (— Ет!^ ~ ехр (—£я/9) | ^

п, т

Далее запишем

21^ Г ехр (- £„/0) 6 2 I °^ I2 х

х ехР <~ Sm/e) —ехр (— £„/6) | И у |р№ I» х

х | ехр (— £„/6) - ехр (— £т/0) |,

где

^ 2 | D^ |2 ехр (- EJ9) = ^ Sp Dw D^exp (- Г/6) = П’т = V<D<“>D+<a>) = V<(J“-(/“))(J+a-<^^^

таким образом, окончательно имеем

<U№ _ W) (J+ (a) _ <J+ (a))» Ц-^LX £ +

’у 2/3 ^ dvadv* /*

Подставляя это неравенство в (2.26), найдем

2(2Л12)1/3У / йг/ \2/з

+^2/3^ dvadv*

Отсюда видно, что наша задача была бы решена, если бы нам удалось установить ограниченность вторых производных . ' (1 ^ a ^ s) при V -> со.

uva и а

Однако, к сожалению, мы этого показать не умеем. Мы располагаем лишь тем, что первые производные |g~-|<^i (l^a^s) ограничены.

Разработаем теперь способ, в котором не нужно было бы учитывать ограниченность вторых производных и с помощью которого можно показать асимптотическую малость разности (/г<о> — fr) при V->oo.

Отметим, что существенным отличием этой главы от задачи, рассматриваемой в гл. I, является то обстоятельство, что теперь f^, v*, v2, vj, ..., v5, v*) зависит не только от величин | ух |,... , |v5 [, но и от соответствующих угловых переменных фх, ... , <р5. В связи с этим нам

придется видоизменить развиваемую методику для рассмотрения этого способа.

Для дальнейшего нам удобнее будет в неравенстве (2.30) перейти к переменным га, фа:

Га = Га^а1 vg), фа —фа^а» V^) (l^a^s).

Соответственно

f(Vi, V*. ... , Vs, 'Vs')-*f(r1, фь ... , rs, фД

тогда

^t _ 1 ( 1 d f $\ , d^f 1 )

^a^S ~ 4 Va dra V" draP d<p^ r^J-(2-30

Теперь воспользуемся неравенством

I a (/i, ... , rs; фь ... , ф$) | ^ | a (rb ... , rs; фп ... , ф$) — -a(116»; 111,..., i)s)| + |«(6i,..., 6s, 1)1i)s)|^

_ V I da I ।, I да I ..

!)+

+ 1«(61,..., 6s; m11s)I (2.32) и возьмем в нем

Га ""Ь ^ ^= 6a Л14* 2^1 фа ^ Т]а ^ фа + 6О, 6а = —- 'а (1 ^а s£s)

так, чтобы

а(61,6s; П1, .... i|s) =

Г1 + 2/ rs + 2/Vj + e, ф$ + 65

j ... j d^-.-drs j ... j dtp,... d<ps X— r,+<'s+<<₽1 q>s

— xa (n, ... . rs, Ф1<P5) Ц {ra}

=2*/« J} {(ro + 2/)2-(ra + 0Mo}• <2-33>

1 ^a^s

Отметим, что

I II °та II a II I

(2.34)

(1 ^a ^s);

поэтому два первых члена в неравенстве (2.32) можно оценить:

2 |dra|''^a "а1+ 2 |дфа |'|<Ро ^^

1 ^a^s1 ^а ^s

(2.35)(2.35)<5 4K1S • 2/ + 4Kils = \2Kisl.

(2.35)

(2.35)

Выражение а^gs, t)ir)s) ограничим, исходя из формулы (2.33).•

Подставим (2.31) в правую часть неравенства (2.30). Умножим (2.30) на произведение г^... rs и проинтегрируем по всем значениям переменных гъ ..., rs, фх<ps в следующих пределах:

Га + ^/'а^Га + 2/, фо^фа^фа + ба. ?а = 1/Га (1 ^а ^s).

Тогда получим

0 ^5... 5 О (л, ..., Ts, ф!ф,) dri... drs dq>!... d<ps ^ 2p{^1 (r2r3 • • -rs) 4" F-l krlr2 • • • rs) + • • • +

+ ^s (n • • • ^-i)} ^i • •• drs d^... d(ps +

+^- ^. J и- (,;'’,„. .„)+гГ1 (r.ry=...,,)+...+

+ fs/3 (r^ • • • d/3)} drt... drs d^... dcps;

(2.36)

здесь

г 5 f^a — dr" Va ora \г 5 f^a — dr" Va ora \d(-h\ dr a /d(-h\ dr a /1 dra 5фа1 dra 5фа(1HL\ \ ^фа /(1HL\ \ ^фа /^o^o(1 ^a^s).(1 ^a^s).

г 5 f

^a — dr" Va ora \

г 5 f

^a — dr" Va ora \

d(-h\ dr a /

d(-h\ dr a /

1 dra 5фа

1 dra 5фа

(1HL\ \ ^фа /

(1HL\ \ ^фа /

^o

^o

(1 ^a^s).

(1 ^a^s).

Рассмотрим отдельные члены суммы, стоящей перед множителем 9/2V правой части неравенства (2.36). Возьмем, например, первый член этой суммы и, используя условия ограниченности первых производных (2.34), найдем оценку для этого члена:

S - S^i П кв}^1-..^4йф1...йф4= 2^a<sS - S^i П кв}^1-..^4йф1...йф4= 2^a<sхr2r3 ...r4 dra d<p2 ...drsd(fs.хr2r3 ...r4 dra d<p2 ...drsd(fs.

S - S^i П кв}^1-..^4йф1...йф4= 2^a<s

S - S^i П кв}^1-..^4йф1...йф4= 2^a<s

хr2r3 ...r4 dra d<p2 ...drsd(fs.

хr2r3 ...r4 dra d<p2 ...drsd(fs.

Выделенную в фигурных скобках часть нетрудно оценить:

ri + 2/Ф1 + 61

31 3^^ \ Ц drt М^^У дф, //^

rt + ^ Ф1-

(2r + 3/) 2^ + (2гг + 3/) 4Кг.

Оставшаяся часть легко факторизуется:

S--S П Va\ dradq>2... drsd<ps=

2^a^s

= ^Г П [('•« + 202-(ra + 02]6a.

^a^s

Повторяя аналогичные вычисления для всех членов этой суммы, найдем

2 (2^31)21^6^-2) к l^P^S

xi П [('■a+2/)2-(ra + 02]8a =

l^a ^ sкроме

= ^ 2 ^^Г П [('■a + 2/)2-(ra + /)2]6o

(2.37)

Для доказательства ограниченности членов второй суммы неравенства (2.36), стоящих перед множителем М2,3/У2/3, применим неравенство Гельдера в интегральной форме*) и условие (2.34)

$... $ F3/3rJ/3 П V^dr1...drsd4>1...d<p$=

2^a^s

2/Ф1 + 61

Ф1Ф1г 1/3 dr 1 ( £

Ф1

Ф1

2/3

^ ((r1+2Z)2-(,1+/)2y/3 б 1/3((2ri + 3/) (6j + 2) 2К1)2/3 _^_ х X П {('•a + 2/)2-(ra + /)2}6a.

2<a^s

*} Неравенство Гельдера в интегральной форме:

$ г1/31F112/3 dr! d(fi«($ Г1 dri а<?1У,э ($ IF11 dri Д<?1У'3; F1>°-

Аналогично для всех членов этой суммы найдем

l^P^s

XCSp + ^^/C^gL]Д {('« + 2/)2-(ra+Wa =

1 ^a<s

кроме а^Р

_ м?!3у ((бр+згед2/3

1/2/з21/зL 25~^2/362/3 Х

х П {(Га + 2/)2-(г„ + /)2}6а. (2.38)

Учитывая (2.33), (2.36) — (2.38), находим следующую оценку для a (Bi, g2&, Яь Л») в (2.35):

а (116»; Пь 11»)^

^2К,еv(6р+2)М2/3v(4V/3 (6р + 2)2/3

V^ Z6e+ v2f3L 62/3z2/3■

1<P<S Р'<₽<S

Итак, окончательно [принимая во внимание (2.32), (2.35), атакже/г(о)—/г=а >0] получаем оценку для а\гхг$;

ф1, ..., ф$)=/г|0'/г"

0 ^/рго, — /г ^ 12Ki/s+

62Ki у бр+2 Л12/3(4^)2/3 у (6р + 2)2/3

+ V 2j Z6r +V2/3 L &f3l213 *

Имеем в виду, что 6р = //гр, поэтому, взяв /?>гр, ^>b = l(R

[за R можно взять max(|vi|, ..., |v^|), правая часть этого неравенства только увеличится], мы найдем

/г,0,-fp^ 12K1/s + ^S(/ + 27?) +

Л12/3(4/(1)2/3(Z + 2/?)2/32 oq

Учитывая

(/ + 2Rp3 =s$ /2/з 4- (2/?)2/з,

перепишем неравенство (2.39) еще past

о < f^, - ;г «; 12К,к+-^ s (1 + 2R) +

+ ^'3-^ + ^-«27^-2”'Ящ- (2.39*)

Выберем теперь произвольное I так, чтобы

12/^/12/^//И2/3 (4KJ2/3K2/3z2/3/И2/3 (4KJ2/3K2/3z2/3

12/^/

12/^/

/И2/3 (4KJ2/3

K2/3z2/3

/И2/3 (4KJ2/3

K2/3z2/3

тогда

D М2/5,

1/2/5 ’1/2/5 ’Р = "ЧлйТТ/ч^" = const •

1/2/5 ’

1/2/5 ’

33/5^ 1/5 е 22/5

Подставляя это выражение для / в неравенство (2.39*), найдем

U^^O) tr^Z^lS у2/5 + уЗ/5р + у\/5р2 + м2/3

при |v„|<^ (l^a^s). Как видно, (f^o. — fr) исчезает при У->со.

Заметим, что в полученной оценке можно перейти к пределу va=0 (l^a^s) и окончательно доказать сделанное ранее утверждение об асимптотической малости (fH.o, -fHy.

0«Sf„™-f„^24K1s-^r + ^

при V->oo, Р = const.(2.40)

Ясно также, что полученная оценка имеет место равномерно по отношению к 9->0, поэтому неравенство (2.40) справедливо при 0^0.

Отметим, что дополнительный вопрос существования предельного выражения для свободной энергии, т. е. Нт/(77) при V->oo, специально рассмотрен в § 12.

Обобщение на случай $ = со.

До сих пор в наших рассуждениях s было фиксировано.

Пусть теперь

(2.41)(2.41)H = T — 2V 5 JaJ*.

(2.41)

(2.41)

I ^а^оо

Будем рассматривать случай, когда имеет место сходимость входящего сюда операторного ряда по норме, т. е. когда

(2.42)(2.42)1^ -^-^«(W^0. s -> ОО

(2.42)

(2.42)

где

HS=T — 2V 2 JaJt l^a^s

Кроме того, предположим, что неравенства (2.6), (2.7) выполнены для всех входящих в них индексов.

Покажем, что в рассматриваемом случае также можно утверждать, что

Vh-Ih^A-*0 пРи

Здесь /^ — минимальное значение свободной энергии на единицу объема, ^.о.С.. Са ...) — ее значение для соответствующего аппроксимирующего гамильтониана Д(о) = 7_2уJ] (Ca^+W + 2V ^ 1С«12-

l^a^ool^a^oo

Для этого установим вспомогательное утверждение, т. е. покажем, что из условия (2.42) следует \fH-fHs':^eW^ПРИ s—>оо.(2.43)

Введем промежуточный гамильтониан Нь.

Ht = Hs + t(H-Hs\O^/^l

(H^Hs при / = 0; № = Н при /= 1).

Свободную энергию на единицу объема, вычисленную по промежуточному гамильтониану Н*, обозначим

h = -WV) InSpexp (-W).

Дифференцируя по t, найдем

df( {H-Hs}t dt V ‘

Проинтегрируем no t (O^/^l), имеем

fi - fo=fH- fH$= $ <^=^ dt e (1/s), 0

t. e.

\fH-fHs\^eWsV

Так как

?н^?н'° ^fn^S

то ввиду (2.43)

О/я(0' “ fn ^ ?н^0> “ f н^ (^s° * “ fн ^ + (Jhs “ /я) ^

^Qh^0’ —/я5) +8(1/s)-

Отметим, что в этом неравенстве величина ^/я'0'~"/я ) уже ранее была оценена —см. (2.40). Здесь мы просто поменяли обозначения H-^HS1 //(0)->//$0>, ввиду того что s фиксировано. Имеем поэтому из (2.40)

g(s, 1/V) есть правая часть неравенства (2.40). Как видно, при любом фиксированном s:

g(s, l/V)->0 при V-^oo.

Таким образом,

O^f^o.-fH^^ l/V) + e(l/s).

Поскольку оцениваемая величина (/я'о —/я) не зависит от s, можно выбрать s произвольно. Выберем s так, чтобы

g(s, l/V) + e(l/s)^6(l/V)-^0 при V-^oo.

Тогда окончательно

0^/Я(0) —/н^6 (l/^-^O при У-^оо, что и доказывает сделанное утверждение. 176

В качестве приложения рассмотрим следующий пример. Возьмем гамильтониан (1) с ядром вида

l(f,n= S ^тхап,(2.44)

1 ^а^оо

в котором функции Ха(/) удовлетворяют всем условиям

Допустим, кроме того, что ряд

сходится равномерно по отношению к V-*oo. Тогда нетрудно заметить, что в рассматриваемом случае выполняется условие (2.42):

|« _ "^.eetl/sl^O,

S -> ОО и поэтому наш метод оказывается пригодным к гамильтониану (1) с ядром типа (2.44).

В заключение заметим, что полученная методика может быть применена к модели кристалла, рассмотренной в работе [28]:

Н = fafaf 2F 2 ^РчР-4* fQ

где pq=5«hq«f- f

Вектор q принимает дискретные значения, соответствующие периодам обратной решетки с основными векторами bb b2, Ь3:

q = 2л (т^! + т,Ь2 + m3b3),

где mi, /и2, т3 — целые числа (|m|^const).

Нетрудно видеть, что такая модель включена в нашу общую форму модельного гамильтониана (2.2). Поэтому сразу можно подтвердить результат работы [39], относящейся к свободной энергии такой системы.

Глава III

О ФУНКЦИЯХ ГРИНА

ДЛЯ МОДЕЛЬНЫХ ГАМИЛЬТОНИАНОВ

Выбор гамильтонианов и уравнения движения

В двух первых главах ' было установлено, что для модельных гамильтонианов типа Бардина при достаточно общих условиях свободная энергия системы на единицу объема может быть вычислена с асимптотической точностью с помощью введения так называемых аппроксимирующих гамильтонианов, являющихся квадратичными формами из ферми-амплитуд. Однако при этом оставался совершенно открытым вопрос о том, как будет с функциями Грина. Метод, изложенный ранее, не позволяет установить, будет ли разность между функциями Грина для модельного и аппроксимирующего гамильтонианов асимптотически малой при V->oo. Сейчас мы и хотим подойти к решению этой более трудной задачи [53].

В работах [46] было показано, что функция Грина для данного модельного и соответствующего аппроксимирующего гамильтонианов близки. Этот результат был получен, однако, только для случая нулевой температуры.

Целью настоящей главы является его обобщение на случай температуры, большей нуля.

Совершенно естественно, что корреляционные функции или функции Грина дают значительно более детальную характеристику динамической системы, однако вопрос, связанный с их нахождением, существенно более сложный, чем вопрос о вычислении свободной энергии.

Поэтому мы максимально упростим постановку задачи и будем рассматривать гамильтониан бардиновского типа с факторизующимся ядром и условиями (2.5):

Г = Т - 2 V JJ^g- г У + J^ V\(3.1)

здесь Tf = p*l2m — р, T = ^T^aj, р —химический по- f

тэнциал,

(3-2)

g — положительный параметр, характеризующий интенсивность взаимодействия, г — положительный параметр, снимающий статистическое вырождение, который в окончательных формулах мы устремим к нулю.

Для упрощения положим:

(3.3)(3.3)непрерывная функция для | р2/2т — р. | < А, Одля | р2/2т — р | > А.

(3.3)

(3.3)

При этом и более общие случаи, рассматриваемые в гл. II, также могут быть исследованы.

Соответствующий аппроксимирующий гамильтониан будет

По) = 7 _ 2у Cg (/+ + /) + 2 УС2^ - г (J + J+) V.(3.4)

Здесь вещественная величина С определяется из условия абсолютного минимума выражения

— (6/Ю InSp ехр(—П°)/6),

ввиду чего имеем

С = </>г<о>,(3.5)

где вообще

/д\. Sp Л ехр (— Я/6)

Spexp(—Я/6) *

Запишем уравнения движения для гамильтониана (3.1): ^ = ^-^,(2^+г),

+(3.6)

i^F = -Tf4+Xf (2 Jg + г) а_}.

Отметим, что так как все коммутаторы J, J+ между собой и с операторами а^ of являются бесконечно малыми величинами порядка 1/V, то возможно ожидать, что квантовый операторный характер величин J, 7+ становится в пределе V->oo несущественным.

Заменяя эти величины их средним значением С = = (<0г«п, мы и приходим к задаче с аппроксимирующим гамильтонианом (3.4).

Укажем также, что уравнения движения с аппроксимирующим гамильтонианом (3.4) отличаются от уравнений движения (3.6) тем, что в правой части (3.4)

вместо операторов J, J* стоит С. С другой стороны, операторы а/, al в обоих уравнениях совпадают при / = 0, так как тогда мы имеем для них обычное шре- дингеровское представление.

Очевидно поэтому, если мы хотим установить близость корреляционных функций (Л (/) В (т))г и (Л (/) В (т))Г(0>, где Л, В = йр a_f, а^ а^, то нам будет желательно установить близость оператора J к его среднему значению C=(J)r<o>.

Мы приступим поэтому к оценке средних

<(j_C)(^-C)>r, ^-C)U-C))t. (3.7)

Основные неравенства, устанавливающие «асимптотическую близость» оператора J к его среднему значению С

Рассмотрим разность

й = /р(0> fp

свободных энергий на единицу объема для гамильтонианов Г(о) и Г и заметим, что

^= < J + /+> - 2С, ^ = 2 « J Л> - С2).(3.8)

Следовательно,

((J - С) (J+ + С)>г = < JЛ>г - С «J + 7+>г) + С2 = 1 да да р

С другой стороны, ясно, что

| J^J - J J+1К/ V, где к = const.

Таким образом,

|<(/*-C)(/-C))r|«s|l^-^c| + 4.

установ- da да dg* "dr*установ- da да dg* "dr*Как видно, малость отклонения (/ — С) будет лена, если мы покажем малость производных В предыдущих главах было показано, что

установ- da да dg* "dr*

установ- da да dg* "dr*

| а | ^е (1/V) ->0 при V->oo.

Усилим теперь этот результат, установив малость производных (3.8). Заметим для этого, что

(3.9)

поэтому

д^а ,0, 52»ОТ,0)

dg2 > l^a dr2 •(3.10)

Приступим теперь к нахождению явных выражений 5Чгк» д=/

для -g-д- и д(,2 -. Для этого приведем аппроксимирующий гамильтониан Г(о) к диагональному виду посредством канонического и, ^-преобразования.

Введем новые ферми-амплитуды a/t a/":

af=afuf-Vatjy#1 at=aluf-Va_fU{,(3.11)

где

и^-^УХ-тп/Еф; 0,=-^-У1-Тф/Еф,

(3.12)

Е(/)=КЖ7ЖЙ> u_,=uh 0-, = -^.

Тогда найдем

Г«» = ^Е (Л а^/ + 42 (Т (Л - Е ф) + 2 VC^g.(3.13)

Выражение для свободной энергии на единицу объема будет

/г,„ = 2C^g-^(Еф-Тф)- f

-^^\п(1+ехр(-Еф/^. (3.14)

Исходя из (3.13), запишем уравнение для С. В самом деле, имеем

<a/+a/>r.o> = [exp(£(/)/6+l)]-i;

совершая обратное преобразование

а} = и^ — У#а-1, di—Ujay — v^a-f,

найдем

(а-уО^о) = (а, ау — а-/а^/>г<о> ufuf —

-\ехр(Ефт1 1+ exp (Е 0/9)+1/“^“

1 -exp (Е 0/9) _ Ху (2Cg+л>/ £ 0 \

— “/у/ 1+ехр(Е0/9) 2Е(П ™ \ 29 /*

Таким образом,

С = («7)р(0) = ~2у- 2 ^/ (^-/^/)pfo> и окончательно

сL У tee+o. thf )/3 15)

G — 41/ Е (f)20 /*(dJb)

Так как в силу сказанного в конце гл. I [см. (1.31)] Cgf + ^^O,

мы видим, что С^О,

Обратимся теперь к аппроксимирующему гамильтониану (3.4) и составим производную от свободной энергии по параметру g;

/А)1

^ = -1- (- 2УС (Л + J) + 2 УС2>г,0, 2С2.

производная от свобод-(3.16)производная от свобод-(3.16)Соответственно искомая вторая ной энергии будет ^рю)дС

производная от свобод-

(3.16)

производная от свобод-

(3.16)

dg^dg>

где выражение для dC/dg определим из уравнения (3.15). Дифференцируя его, имеем:

X)(2Cg + r)2^g+c)Е» (f) • 29 ch2 (Е (f)/29) ’X)(2Cg + r)2^g+c)Е» (f) • 29 ch2 (Е (f)/29) ’дС dg

X)(2Cg + r)2^g+c)Е» (f) • 29 ch2 (Е (f)/29) ’

X)(2Cg + r)2^g+c)Е» (f) • 29 ch2 (Е (f)/29) ’

5 Em '^'’^^L ' ^ £ (/) = £^ ^b

2Cg+rV 2($«+С)№+г>2(258+2=)

. £0 )g- Е^ЕЧП

Введем функцию 5" (С, г, в):

7(Г г m 1 У Х^ !th £№ Е^ 1 21/ А^ЧОГ 2626 ch2 (Е (/)/26)J

” 2 V ^ 2E3 (f) I ch2 (£ (/)/26) J u’ здесь

Е(/) = Г№+7Й^+Т^(3.17)

Отметим, что после совершения предельного перехода

У->оо выражение 5" (С, г, 6) будет

-1p4(p){sh(Ep/6)-(Ep/6)}

еГ (С, Г, о) — (2л)8 J 2£3 ch2 (Ер/26) dp‘

Учитывая теперь уравнение (3.15) для С, а также (3.17), напишем

(3.18) отсюда

8g 1 -57^7 + (С' г’ е> (2cS+^)a 8 ' ~г г

Таким образом,

^ <0, дс 27^7- 4(?2 ^(С- г- 6) ^С8 + г^

-^=^65=^455• <3-19>

Итак, имеем оценку: 8сз

^ <^=4+^в;»<;^,6<,.(3.20)

dg2 ~ . 2Cg г 6 ’v 1

2Cg+r

Напомним, что |J|^Ki, Ki = const, и потому («7)р(0)=С ^S Ki.

Аналогичным образом находим выражение для -5^-.

Дифференцируя (3.4), получим

^г,01d=f ,01 дС

_r_=_<J + J+)rl0) = _2C и -^ = -2^, (3.21)

производную дС/dr определим из уравнения (3.15):

дС _ 1 yv[d /'2Cg+'-\hh£^j_

dr ~4У Zi '[dr \ £(/) Л№ 26 +

1 V X)(2Cg+rP(2c;g+l) .

+ 4 И ^ £2 У) 26 ch= (Е (/)/26) ’

,Xh2Cg+r)(2^g+l,Xh2Cg+r)(2^g+l(3.22)(3.22)

,Xh2Cg+r)(2^g+l

,Xh2Cg+r)(2^g+l

(3.22)

(3.22)

д /2Cg+r\"Зг\ёЖ"1д /2Cg+r\"Зг\ёЖ"1= $«+'№ + ,)-(2^г+1)

д /2Cg+r\

"Зг\ёЖ"1

д /2Cg+r\

"Зг\ёЖ"1

E (f)E« 0^"

Упрощая эти выражения с применением (3.15), (3.17),

запишем

S-'-^+ro+^^tc.е)£-

= 2C^F7 - Т <с’ г- ®) № +(3.23)

Отсюда имеем:

^г,0> п дСдгй дг^г,0> п дСдгй дг_|C__(2Cg+r)2Sr(C, г, 6)1-2§7 + g(2Cg+r)a^(C- г’ ®)

^г,0> п дСдгй дг

^г,0> п дСдгй дг

(3.24)

^ р(0)^ р(0)U 2Cg+rI 12С§2Cg+rU 2Cg+rI 12С§2Cg+r2£-<2^1г 6 *2£-<2^1г 6 *(3.25)(3.25)

^ р(0)

^ р(0)

U 2Cg+r

I 12С§

2Cg+r

U 2Cg+r

I 12С§

2Cg+r

2£-<2^1

г 6 *

2£-<2^1

г 6 *

(3.25)

(3.25)

(3.26)(3.26)

(3.26)

(3.26)

где г ^6. Выбирая далее

\ /О'

видим, что

<D(6)(r^6>0),(3.27)

где D (6) ограничена равномерно по отношению к V оо при любом фиксированном значении 6 > 0.

Таким образом, из (3.10) и (3.27) следует

^-D^, ^^-D(6).(3.28)

После этих предварительных замечаний сформулируем и докажем следующую лемму.

Лемма. Пусть | а (х) | ^ е (1/V), е (1/V) ->0 при У->оо в области х^6>0, а |-^| — ограниченная функция х, причем

^^ —D(6),

тогда справедлива оценка

|^|^2}/2е(1/У)Р(6)(х^6>0).(3.29)

Доказательство. Рассмотрим отрезок (а, Ь), а*<х*<Ь. Произвольным образом выберем на нем некоторую точку х. Отложим от точки х равные отрезки /, такие что х>а + /, х-\-1<Л, a-\-l<C.x<b— L Согласно условию леммы,

| а (х) — а (х + /) | 2е (1/V), или

|-^dx|^2e(l/V).

X

Применим теорему о среднем на промежутке x^Xi^ ^хД-Ь.

х-Н

dx^ I J дх их‘

X

видим, что производная да/дх ограничена в некоторой средней точке промежутка x^xi^x + /:

^# I / 2е(1/У)

Аналогично, рассматривая промежуток х — 1^хв^х, найдем, что

Idol ^ЗМУЮ

I дх к ^ I

Далее,

да (х^ да (х)дх дхда (х) да (х0)дх дхда (х^ да (х)дх дхда (х) да (х0)дх дх^-(xx-x^D^^-D^ I,^-(xx-x^D^^-D^ I,^-(x-xe)D(6)^-D(6)l,^-(x-xe)D(6)^-D(6)l,

да (х^ да (х)дх дх

да (х) да (х0)дх дх

да (х^ да (х)дх дх

да (х) да (х0)дх дх

^-(xx-x^D^^-D^ I,

^-(xx-x^D^^-D^ I,

^-(x-xe)D(6)^-D(6)l,

^-(x-xe)D(6)^-D(6)l,

т. е.

^^-D(6)/^^^<D(6)/+^^,

дх х ' дх х ' х дх ’

ИЛИ

l^l^^ea/n+p^)/.(331)

Выберем теперь / из условия р 2е(1/П

Подставляя это значение / в предыдущее неравенство, находим искомую оценку для производной: |^|^2)/2e(WD(6j(x^6>0, х^1\(3.32)

На основании этой леммы нетрудно написать оценки для производных (3.8):

|g|^2/2iWjDT6j; |||^2]/2e(l/V)D(6);(r^6).

(3.33)

Таким образом, возвращаясь к корреляционным функциям (3.7), имеем неравенства:

W-С)(Л-С))г|^81(1/У, б),

(3.34)

|<(^-C)(J-C))r|^81(l/V, 6)(г^б);

здесь e1(l/V, б)->0 при V—> оо для любого фиксированного значения б>0.

Совершим теперь переход к новым ферми-амплиту- дам аъ а/- с помощью формул (3.11) и (3.12). Диффе-

da^t da / ренцируя (3.11) по t и выражая производные -^, -^- через правые части уравнений движения (3.6), имеем . dat е dai е da$

1 dF = “/t dr + y/t-dr =

= и/ {— TyOf -V-Xj (2Jg-Vr) a-y} + v/ {Tza_z +

+ ^faf (2«/+g + r)} =— af \Tftif — XyVy ^^gAr^ +

+ \UfXj (2Jg + ^) + VyT*y} a_^ =

= — a/ \T fUj — XjUy (SCg’+H} 4* ^Д/ (^CgA*^ ++ vzTz} a_f + u^ 12 Jg - 2Cg)a4 + x)fXfat (2J^g - 2Cg).

Принимая во внимание наличие тождеств

T,uf -Х/У/ ^Cg + г)=/(Щ^ТН!up

TtVf + Vi ^g + r) = - V№+ry X) + T) Vp

приходим к уравнениям движения в новых ферми-ампли- тудах:

id-3 + M = R#.

(3.35)

1^_Е,а# = -КП

где

Rf = Rf' 4- Rf, Rr=ufx, (2Jg - 2Cg) a_p

Rf'=vfXfat k2.bg - 2Cg), (3.36)

Ef=Vk2CgA-rYX^TV(3.37)

Нетрудно проверить, что решением уравнений (3.35) будут операторные выражения:

а^ (/) = af (0) exp ^lE^ — i exp (iEft) x

X $ exp (— iEff) Rt (f) df, о

az (/) = az (0) exp (— lEft) + / exp (— iEft) x

X 5 exp (1Е^) R^t^dV. о

Найдем сейчас оценки величин, связанных с Rf, Rf. Имеем

(RI (С) R, (С))г^ 2 (Rt'R^r-V 2 (RF^r ^ ^ Sg^Ff < а^ (J* -С) (J- С) a_f) +

+ 86ЗД <( J - С) a,al (J* - С))г.

Полагая

b = sup | X | = const

и принимая во внимание оценки (3.34), запишем

| (RI (0) R, (0))г | ^ 16^&Ч (1/У, 6).(3.38)

Приступим теперь к нахождению оценки для корреляционного среднего:

(Ajh(OAz(O>r,

где

A, (t) = af(t)-9f(t).

Операторы az (/) и az (/) удовлетворяют уравнениям движения соответственно для исходного (3.1) и аппроксимирующего (3.4) гамильтонианов:

с начальным условием

^до^с.

Решением этого и сопряженного ему уравнения будут:

t

^f <t) = i exp (— IEft) $ Rf (/J exp (iEfti) dtu (3.39) о

^t V) = — i exp <iEft) $ Rt (Z2) exp (— iEtt^ dt^. (3.40) о

Составим произведение из операторных выражений (3.39), (3.40) и усредним его по гамильтониану (3.1), далее, применяя неравенство

| (АВ) | V\WO№\>(3.41)

18а

получим

| <А/ (О А, (0)г | < $$ | (Rf (t2) RI (W)r I dMt. 0 0

^ $ J VI (R# (W Ri (М>г I • \(Rf &) Ri &»jr| dkdt. ^

00^K^(O)^(O))r||/p.

Принимая во внимание оценку (3.38), находим

| <Af (/) Az (0>r | ^ IGgW^ (1/1/, 6) • 1112.(3.42)

Аналогично,

| <A; ^ A/" (0>r I ^ 16g2&4 (1/1/, 6). 1t p.(3.43)

§ 10. Асимптотическая близость корреляционных функций и функций Грина

Здесь на основании предыдущих оценок (3.42) покажем асимптотическую близость корреляционных функций, построенных на основе исходного (3.1) и аппроксимирующего (3.4) гамильтонианов.

Начнем с рассмотрения простейшего случая. Покажем, например, что корреляционная функция (а/" (/) az (т))г близка к (af (/) az (т))г=ехр (iEj (/ — т)) (af (0) af (0))г- Имеем

| (ai (0 az (т))г - <ai (t)af (т)>г | =

= | (a) (l) а, (т))г - <(a/ (/) - A; (0) (a, (т) - А, (т)))г | = = | (ai (0 Az (T))r - (^ (0 a, (т)>г - <А/ (/) А, (т)>г |.

С помощью неравенств (3.41), (3.42) находим:

I <ai (()А/ (т))г I <=V I <aiaf) | • | <A^ (t) Az (т))г | ^

^4gb|T|}/e1(l/l/, 6),

| (A/" (0 az (T))r | ^ У| <AH0 Az (/)> | • | (al (t) az (т)>г | < ^4gb|/|Kei(l/K, 6j,

| <AZ+ (0 Az (T))r j ^ /| <Af (0 Az (/)>r | -1 <АГ (т) Az (т))г | ^IGg^e^l/l/, 6)|^|-|t|.

Итак,

| (al ^at (т)>г - (at (О а, (т)>г | <

^gbV4WV, 6) (R| + |T|)+16g2&2ei(l/V, 6)U|.|t|.

(3.44)

Совершенно аналогично получим следующие оценки:

I <«/ (т) «М0>г-<а/ (т) at (0>г |

^ 4gb V^MV, 6) (| t1 +1 т I) + 16g262S1 (1/V, 6) | /1 • | т I;

(3.45)

| <az (/) a-z (т))г-ехр (— IE, (t + t) (a} (0) a_f (0))r | < ^WeiAMV, 6) (U| + M+16g2&2ei(l/V, 6)|/|.|t|,

(3.46)

| <ay (т) а/(0>г-ехр (— iEf (t + t) (af (0) a, (0)>r|^

^ 4gb V^WV, 6) (| t1 +1 т I) + 16g26261 (1/V, 6) 1t1 • | т |.

(3-47)

Положим в неравенствах (3.44) и (3.45) т=0 и заметим, что все рассматриваемые здесь корреляционные функции, в частности (а/ (/) а} (т)), зависят от t и т лишь через посредство разности (/ —т). Поэтому

(at (0 а, (т)>г=(at [t - т) af (0))г;

таким образом, окончательно имеем:

IW (/) а, (т))г - exp(iEf kt - т)) <af (0) а, (0)>г | < ^4gbye(l/V, 6) |/-т],

|<az (т) at (t))r - exp (iEf (t -T))<az (0)af (0)>r | ^ ^4gb"yei(W, 6)|/ — t|.(3.48)

Положим в неравенстве (3.46) т = 0, тогда

| (a, (t) а-^г - ехр( - 1Е^ (а, (0) а_, (0)>г | ^ ^4gbVsikX!V, 6)|/|.(3.48а)

Пусть теперь в (3.46) / = 0, а т заменим на —Л Имеем

| (а} (0) а_$ к,— t)) - exp (iE^ (af (0) a_{ (0)>r | ^ ^4gby,e1kl/V> 6)|/|.(3.486)

Из (3.48а), (3.486) получим

|2i sin Eft 11 (az (0) o_z (0))r | ^ 8gb К^Ц/И, 6) 111.

Это неравенство справедливо для всех значений t, поэтому, полагая здесь t = n!2Ef, найдем

| <az (0) а_, (0)>г |.

Следовательно, из (3.46) получим

| (af (t) a_f (т)>г | <5 4gb Vг (1/ V, 6) | / — т | +

Но, очевидно,

(az (0 а_у (т)>Г(о) = О, и поэтому можем написать

| <af (/) a_z (т))г - <az (/) a_z (т)>гп» | <

4gb VaikMV, 6) 1t - т | + ^ У^ДЖТ). (3.49) *’

Стоящие под знаком средних (...) операторы az (/), a_z (/) удовлетворяют уравнениям движения для гамильтонианов Г и Г(о).

Перейдем теперь к рассмотрению корреляционных функций (af (/) az (т))г, (az (т) af (фг и покажем, что они асимптотически близки (У->оо) к (af (t) az (т))Г10>, («/ (т) af (0>iw.

*’ Замечание. Неравенство, сходное с (3.49), можно было получить и так: положим в (3.46) т = /, тогда

| (az (0) a_z (0))г |. |1 -exp (— 2iE/)|

8gb 111 V^kW, 6) +16^8, (1/V„ 6) 11 p.

Выбирая t^nftEj, имеем

| (az (0) a_z (0) >r | ^ ^ V^WT^ + 2^ex (1/^, 6) • ^ и, следовательно,

| (az (/) a_z (т))г — <az (0 a_z (т)>г, 0, | ^

Agb J/8, (1/v, d)fl /-ТI+^- + Й21!^!М|.

Напишем спектральные представления для («/"(/) а,(т))г, <«/ (т) а; (Z))r:

4-го

(а/- (Z) az (т))г = J ^+а (<в) exp (Zm (Z — т)) dto,

(3.50)

(ay (Z) a/" (Z))r = J ^aa+ (<b) exp (Zw (Z — t)) dm, — 00

где

^аа+ (to) =exp (to/9) ^а+а (to) = exp (to/9) ^V> (to).(3.51)

Положим в неравенствах (3.48) т=0, тогда имеем

| <а/ (Z) а, (0)>г - ехр ^ <а? (0) а, (0)>г | ^

^4^]/81(1/У, 6)|Z|,(3.52)

| <а/ (0) а/" (Z)>r - ехр ЦЕ^ (af (0) ^ (0)>г | <

^^gbVedl/V, 6) | Z |,(3.53)

4-го

(af (Z) а/(0))г = J ^^ (<») ехр (ZtoZ) dm,(3.54)

— 00

Н-СО

(af (0) af (0>г= $ ^(/) (®) exp (ш/0) exp (itot) da). (3.55) — 00

Определим функцию

M) = i $ |F(^)exp(-ZtoZ)dto,

(3.56)

, p ^"^^ = ^ hp (Z) exp (ZtoZ) dZ, — 00

где

F(z) = O, |z|^l

Р^ = ^\-хг>й, |z|<l.

Умножим неравенство (3.52) на функцию hp (Z) и проинтегрируем по Z в бесконечных пределах. Принимая во 192

внимание спектральные представления (3.54), имеем

р/со—ЕД

) ^ (о) F (—^) d® ~ <«f (0) a, (0)>г — 00

(3.57)(3.57)^pg^/e^l/V, 6)+$ lAp(0|-l/|d^

(3.57)

(3.57)

— 00

Нетрудно показать интегрированием по частям, что стоящий в правой части этого неравенства интеграл

+$”|М0НП^(3.58)

— 00

конечен. Оценим его, принимая во внимание равенство

оо

Y° 1/ю—£А

М^ = ^ \ TF ~^— exp (— itoO d<o =

</ р \ р / — 00

+ оо

= ^ $ 7f W exp (— IEft - zpxO dx = exp (—lE^ ^F (p/), — 00

где

i v°

F(pO=2H J F (z) exp (—zz (pt)) dz.

— 00

Поэтому имеем

Ч-ооЧ-°°

J |Ap(/)|.|/|d^l J |F(pO 1-1^1^ =

— 00—00

1 v°

= ^ ) iWl'Wdx,

— 00

где

F^ = ^ $ (l-z^exp(-zzx)dz, |F(x)|<^. (3.59) — 1

Понятно, что при | х | ~> oo |F(x) | убывает согласно (3.59), поэтому интеграл (3.58) оказывается конечным, т. е.

4-00

$ |Г(х)|- \x\dx = Bu где Bx=const. — 00

1931937 Боголюбов, Садовников

193

193

Обратимся теперь к неравенству (3.53) и, совершая те же преобразования, что и при выводе (3.57), найдем

\ g7V) (©) ехр (to/6)F ^—^j dm — <af (0) а) (0))г «с

”<82(1/У, 6)/ра,(3.60)

где

^(l/V, 6) = 4g6j/ ех (1/V, б)->0 при У->оо*

для любого значения 6>0.

4-со

Преобразуем сейчас выражение § ^(/’ (о) ехр (©/9) х

— ОО

(to —ЕД(to — EA

xFy—^^dto, которое вследствие выбора г^— отлично от нуля только в области Еу — р<ш<Еу+ р.

Замечая, что ^^ (о) ^ 0, и применяя теорему о сред

нем, имеем

^^} (со) ехр (ш/9) F ^—^) dm =

Е^р

= ^ <=7(/) (со) ехр (ш/9) Е^- р ^ do =

Ej-P

/ /со — ЕД

= ехр ((£/ 4- gp)/9) ^ ^(/) (©) Fy—^j dm =

Ej—p

V , (Ю-ЕЛ = ехр((£/ + |р)/9) ^ ^i^F^—^-jdto. (Oss^l) ”

Учитывая это преобразование, перепишем неравенство (3.60):

exp^ + W) $ ^Чю)Р^_^а(й_<аД0-)а1^> ^e2(l/V, 6)/р2. (3.61

Неравенства (3.57) и (3.61) запишем следующим образом:

Ito— ЕД

^ (о) F ^—^) dto = <a^az)r + ^, — 00

где |t]i|<s2(1/V, р);

V0 , /о-ЕЛ exp^ + W) $ ^h^F^—l^dto^

— 00

где | т]а | s^ е2 (1/1^, б). Отсюда получим

. +11 Пз-^ехраЕу+^/б)

<«/«/2 - 1 +ехр «Е, + gp)/9) + р^ 1 +ехр ((Еу+^р)/9) ’

(3.62)

<aza^> = _ exp ((Ey+gp)/9)1 П2-П1 exp ((Ez+£p)/O)

- 1+exp ((E/+5p)/9) p2 l-pexp ((E/+gp)/6) * ^-^

Выберем теперь за p>0 величину

p = /e2(l/V, 6),

т. e. p -> О при J/ -> oo при любом фиксированном значении 6 > 0.

Таким образом, формулы (3.62), (3.63) всегда можно

представить как

Wr-.+e^+fMW. »)-(3.64)

<»/“^-[^W“b(l/l',6),(3.65)

где Pi(l/V, б)—>0, p2(l/V, б)->0 при V->oo при любом фиксированном значении 6 > 0. Принимая во внимание (3.52), (3.53), (3.64), (3.65), найдем:

| (at (t) af (т))г - (at (/) а. (т)>г<0> | =5

^ 4^6/М17УГ6) | / - т | +p2 (1/V, б), | <ay (t) at (Or - <az (t) antt)Tw I <

^4gb КмТТКб) 11-t|+p2(i/y,6).

Возвращаясь к первоначальным ферми-амплитудам а/, at, видим, что вообще [59]

|(Д(ОВ(т)>г-<Л(/)В(т))г,о,|^

^т) (1/V, 6) | / — тЦ-т)'(1/V, 6), (3.66)

где

A, B=af, at, a-f, at-f и r)(W, 6)->0, tj'(1/V, 6)->0

при V -*- co для любого фиксированного значения 6>0. Подчеркнем, что соотношение (3.66), как и все предыдущие аналогичные соотношения, справедливо, когда гЗз6>0.

Заметим, что выражение вида (Л (/) В (т))г«» вычисляется элементарно. Имеем, например,

<а/(0а/(т)>г«>’ =

= ((«/«/" exp (IEjt^ — yza_z exp (— IEft)) x

X (Mfaf exp (— iE^ — yfa+ f exp (i£fT)))r(0) =

= u^ (a^af)r<0> exp (iEf (/ — t)) + y) <a_fa^f)r«» x

1 /TA exp (IE At —t))

X«-*»=у(1+г;) ^5ht +

I 1 /i T^ exp (£z/8) exp (— iE^t—-^ /o ^ + 2 V E,) exp <Et/6) +1*

£/=/W+W+n.

Напомним, что положительное С определяется из условия абсолютного минимума функции:

frl0)(C) = 2C»g-l?^Ef-TfV

~^\n(l+exp(-Ef/B)). (3.68)

f

Эта функция при V -> со переходит в предельную:

^(C)=2C2g-^ $ (Ep-Tp)dp-

~ §)5 $ ln ^ + ехР (—£р/9)) dP-

Значение С, минимизирующее функцию (3.67), вообще говоря, зависит от V и г, g:

С=СуН; |Су(/-)-Сю(')|^е(1/У), л^О,(3.69)

|Сю(г)-Со=(0)|^п(/-),(3.70)

где е(1/У)->0, т](г)-»-0 при У-^-оо, r->0.

Из (3.69) видим, что выражение (3.67) имеет предел У—>оо [получающийся заменой С на С» (г)]. Можем получить также

| (af (0 а} (т))г«» — Jim (af (0 at W)^ |

”^е1(1/У) + е2(1/У)|/-т|,

где 81(1/У)—>0, е2 (1/У)->0 при У->оо, и, в частности, при г = 0

| (а^ (0 а, (т))нго> — Jim (а^ (/) af (т))д(0> |

1е1(1/У) + е2(1/У)|/-т|. (3.71)

Заметим также, что существует предел

lim Jim (а^ (0 af (т))г,0> = Jim (af (/) af (т))н«»,

так как оба этих выражения получаются из (3.67) заменой Су на Соо(0).

Обратимся теперь к неравенству (3.66).

На основании только что сказанного видим, что существует предел

lim lim (at^a, (т))г= lim (af (/) а. (т))Н(0>.(3.72)

г—» 0 V —> ооV -* 00

Но lim lim (af (/) a^ (т))г есть не что иное, как квази- г-» 0 V -»оо

средняя в смысле работы [37]

W^/Wk,(3.72')

так как для исходного гамильтониана Н = Г при г = 0. Итак, видим, что квазисредняя (3.72') асимптотически равна квазисредней для аппроксимирующего гамильтониана, т. е.

Игл to (/) af (т)[7 = lim {ш (/) а (т)^ н^>(3.73)

У-»оо '1‘ V -*со 1

или ввиду (3.71), (3.72)

| (а; (0 а{ (т))н<0, - {а| (О af (т)}н | С

^(im + Ml/W-Tl.

Совершенно аналогично можно рассуждать и в случае средних (йу (/) o_f (т)), (aLi (т) а!^). Таким образом, вообще

I (А (О В W)HW -М (О В (т)}я | ^

<П1(1/Ю + П2(1/ЮМ—г|, (3.74)

где T]i(1/V)->0, т]2(1/У)^-0 при V->oo. Здесь, каки раньше, ^ . . Дн означает квазисреднюю, т. е.

Ит/ Пт (А (^В (т))г).

г-*0\У->оо/

Подчеркнем, что существенно важным обстоятельством является порядок совершения предельных переходов: сначала устремляем V -> оо, а затем г -> 0. Это как раз и совпадает с определением квазисредних, данных в работе [37].

Если бы мы поменяли порядок предельных переходов, т. е. сначала г->0, а затем V->oo, то получили бы заведомо неверный результат.

В самом деле, исходя из закона сохранения числа частиц в системе

VH, N] = 0, N = ^atab f

мы имеем (а_^)я=0. Но, с другой стороны, элементарно находим X^Cg /£А =\20/ ’

где Ef=V4CVWn-

Таким образом, видим, что вообще предельные соотношения (3.74) не справедливы, если изменить указанный порядок предельных переходов.

Итак, мы показали, что соответствующие корреляционные средние, вычисленные с помощью исходного гамильтониана Н (// = Г, г = 0) и соответствующего аппроксимирующего #(0) (//(0) = Г(0), г = 0), асимптотически близки при V —> оо.

Распространим теперь эти выводы на функции Грина, построенные на основе этих корреляционных средних.

Введем обычные двухвременные запаздывающие и опережающие функции Грина [1], [7], [8]:

G^ (/ - т, Л, В) = — z'0 (/ - т) <Л (/) В (т) - В (т) Л (фя G* (/ - т, Л, В) = I© (т - О <Л (О В (т) - В (т). Л ^Нэ ’ (3.75) построенные на основе соответствующих квазисредних для гамильтониана Н. Условимся называть их точными функциями Грина. Введем также «приближенные» функции Грина, построенные на основе средних, взятых для аппроксимирующего гамильтониана Н^°\ Эти функции будем отмечать буквой V сверху:

Gvrd (/ — т, Д, В) = — ^ V - т) (Д (/) В (т) - В (т) A (t))H^,

Gaavit-r, A, B)=i9HKA(W-BWA(t})H»>.

(3.76)

Здесь 0(7^ —обычная ступенчатая функция:

( 1, Т>0,

^Но, 7<0,

A, B=af, а_(, at, a-f.

Соответствующее Е-представление определим с помощью интегралов Фурье:

Ge 11 odD(A, B) = +$ Gret> ada U-^A.BV

xexp (IE (t — ^dt,

Qret.adv (/— T, A, B)=^‘^

+ oo

= 2^ $ Gr^ad4A, B)exp(-iE(t-r))dE.

— 00

Из (3.74) видим, что точные (3.75) и приближенные (3.76) функции Грина асимптотически близки при У->оо.

Рассматривая Е-представление в комплексной плоскости с помощью формул (3.74) — (3.77), получим

неравенства

|С£(Л, B) — Ge(A, B)|^^^ + 2t]2(1/V)1/P (3.78)

для | ImE j^p.

Таким образом, сходимость в комплексной плоскости вне полосы, окружающей вещественную ось, является равномерной. На самой вещественной оси аппроксимационные соотношения имеют место в смысле теории обобщенных функций.

Напомним здесь, что означает соотношение

(3.79)(3.79)С£(Л, В)-»-Ge (А, В)

(3.79)

(3.79)

при У->оо на вещественной оси, или

ОДА, В) = lim Gve (Л, В). ОО

Следуя работе [37], рассмотрим класс 2 (^, г) (^, г — положительные числа) непрерывных и неограниченно дифференцируемых функций hE, таких, что во всем пространстве 8

, const I dsh Iconst

II । |а » I dEs I| E |a ’

a = 0, 1, ...» r; s = 0, 1, .... q.

Тогда, если можно фиксировать положительные числа q, г таким образом, что для всякой НЕ из класса 2 (q,г) будет

Н-00

$ hE(GE(A, В)-ОИА, B))dE^0 при V^oo,

—ОО

будем говорить, что имеет место обобщенное предельное соотношение (3.79).

Умножим соотношение (3.78) на функцию НЕ и проинтегрируем по Е. Учитывая, что 4-00

$ (Ge (Л, B)-GHa, B))hEdE =

4-00

= 5 (О(/-т,Л,В)-С1,(/-т, A, B^h^—^dt,

где

4-00

А« -о = ^ кв exp ЦЕ Ц — т)) dE,

\0Ц — х, A, B) — Gv (/— т, А, В)|^

^З^ (1/1/) | / — т|4-2г)2 (1/У), имеем

+$ ^GeU: B^-G^A, B)}hEdE = —00

4-00

= 5 |G(/-t, A, B) — Gv(i—t, A, B)Mh(_tU^ —00

4-004-00

^2ih(l/F)$ |/|-|A,| ^ + 2t)2(1/K) J \ht\dt.

—CO—co

Взяв числа q и г в классе ? (9, г), к которому принадлежит Не» мы можем добиться того, чтобы НЕ убывала при |/|->оо быстрее любой степени 1/|/|. Здесь нам достаточно лишь обеспечить, чтобы интегралы 4-004-00

$ \ht\dt, ^ lh<HH^ были конечны. Таким образом, видим, что для рассматриваемых hE

+f ^Ge(A, В)-ОЦа, B^\hEdE-^ при V ->oo. —00

Такое «слабое» предельное соотношение обусловлено тем, что на вещественной оси функции Грина содержат сингулярности.

Глава IV

ПОСТРОЕНИЕ

ПРЕДЕЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ МНОГОВРЕМЕННЫХ СРЕДНИХ

В гл. IV мы предложим общий подход к модельным системам, характеризующимся гамильтонианом с четырехфермионным взаимодействием. В отличие от гл. III, где исследовался вопрос об оценках бинарных корреляционных средних для системы (1) с простейшим ядром (2), здесь будет решена гораздо более сложная задача:

при некоторых достаточно общих дополнительных условиях будут сформулированы теоремы, обеспечивающие вычисление многовременных корреляционных средних, а также построенных на их основе Т-произведений и функций Грина. Будут приведены трудности, связанные с определением квазисредних для модельных систем. Предлагается новый способ введения вспомогательных систем и определения квазисредних для широкого класса модельных систем, содержащих отрицательное четырехфермионное взаимодействие. При этом изложение материала в отличие от гл. III, где приводятся почти все необходимые рассуждения и оценки, дано сжато. К сформулированным теоремам предлагаются лишь краткие пояснения. В изложении этой главы будем основываться на важных результатах, полученных в работах [43].

§ 11. Постановка проблемы и основные теоремы

В работах [53, 59, 60] были построены асимптотически точные оценки для нахождения корреляционных функций, функций Грина для модельных систем, содержащих положительное и отрицательное четырехфермионное взаимодействие. Оказалось, однако, возможным реализовать эту программу и для более широкого класса модельных систем и в связи с этим сформулировать и доказать ряд новых теорем, относящихся к асимптотически точному вычислению квазисредних и построенных на их основе Т-произведений и функций Грина.

Заметим, что во многих случаях гамильтониан модельной системы удается привести к форме

Г = Га + Яь(4.1)

в которой

Го=2 71 (f) а^й/ -12 {Л* (f) a"ft + л (Л afa-f} + const, ff

TtfHW-Ц,(4.2)

Ht = -V ^(Ja-C^-CS),(4.3)

a

J^^V^athala-f.(4Л)

Здесь af, ^ —ферми-операторы, V — объем системы, f=f(P» а) — совокупность импульса р и спина а. Суммирование по / происходит по «квазидискретному» множеству, которое назовем множеством Фу.

Примем во внимание следующие условия:

Функции Xa(f), Л(/) определены и ограничены во всем пространстве Ф точек f = (p, a).

Ряд

SlGHMfllW'tf)) a

сходится равномерно в Ф и представляемая им функция удовлетворяет неравенствам

Р^) ■^М1 = const, y^^O) ^М2=const. t

Выполняется неравенство

<5 I G« I ^a - Ca) (J* - C^r 6F, a

причем 8y->0 при V ->oo.

Функции Л(/) и постоянные Ca удовлетворяют неравенствам

4-2|Л0|<Мл, 2|Ga||Ca|2<^a. fа

Функции Ха(—f), A(f) антисимметричны по отношению к отражению *>:

Ха (-П = - Ха Ф, ^H = -^№.

При наличии этих условий сформулируем ряд теорем об асимптотической близости средних, взятых соответственно по гамильтонианам Г и Га.

*’ Это последнее условие не является по существу ограничительным. Всякая сумма вида ^F (f) а^а^ У F (f) a^a^ всегда ft

может быть приведена к форме

Пусть мы имеем средние от произведения s ферми- операторов, взятых соответственно для гамильтонианов Г и Г„:

УУ ^A4^...Ats^T =УУ ^A4^...Ats^T =Sp А^ (t^ • ••А^ (ts) exp (-Г/0)Sp exp (— Г/0)Sp А^ (t^ • ••А^ (ts) exp (-Г/0)Sp exp (— Г/0)

УУ ^A4^...Ats^T =

УУ ^A4^...Ats^T =

Sp А^ (t^ • ••А^ (ts) exp (-Г/0)Sp exp (— Г/0)

Sp А^ (t^ • ••А^ (ts) exp (-Г/0)Sp exp (— Г/0)

(Л^ (/i)... A[$ (Q)ra(Л^ (/i)... A[$ (Q)ra_ Sp Д^ (У ... Д^ (Q exp (-r„/9)

(Л^ (/i)... A[$ (Q)ra

(Л^ (/i)... A[$ (Q)ra

—Sp exp (— Го/0)

Здесь А}^=аД1) или «/"(/). Ферми-операторы, входящие под знак средних (.. .)г, (.. .)го, определяются соответственно уравнениями движения для гамильтонианов Г, Га. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если выполнены условия I —V, тогда имеет место неравенство

| <Л?1 (/i)... А^ (t^ - (А^ (tt) ...Afs (1^гв |

= 2<. ++ Mi (/- ц. s-l уX

х 5 / 16- - //+11 + ^гК V ^vA-M^Ve(4.5)

/ = 1

Здесь для К всегда можно взять значение

k=WMi№.

В случае, когда справедливы неравенства

5(fi)^V, E(f2)^VЕ(Л)>у,

где E^ = V(р21^т — р)2 +1Л (/) |2 V — некоторое положительное число, для постоянной К можно принять выражение

К = ^WWWM^.

Эта теорема доказывается на основании приемов, установленных в работах [54], [59]. Сначала рассматриваем средние, в которых /1 = /2 = ... = /5 (т. е. случай одновременных средних). По общей методике составляем уравнения движения в «новых» ферми-операторах ау, а/", связанных со «старыми» ферми-операторами каноническими соотношениями

af = u(f) a^-v^aLf,

в результате находим

da#

1-йГ = Е^а!^^Ь

где

Rt—uW'-oMW, R’f'^^G^that^-CS),

Rf^^G^ihUa-C^a-,. а

Далее, на основании условий I — V доказываем малость средних при V -»- оо:

(RfRhr, <RTR,)r.

<рЛ ... ^fsRIR^s ...^)г, <₽G ... fr,R,R№,... ?/,>,.

(Pf. = af/af*)

Затем рассматриваются «одновременные» средние и оценки для разностей типа

в которых s принимает четные значения.

При нахождении оценок для этих разностей основное значение имеют спектральные представления для двувременных средних [1]. [2], [7], [8]:

Н-оо

<Л (О В (т))г= 5 ^АВ (<») exp (г® (/ — т)) d®,

—ОО +оо

{В (т) А (0)г= J ^ав (to) exp (ш/0) exp (im (t — т)) dm, -—00

где Л (/), В (т) — некоторые операторы в представлении Гейзенберга, определенные как функции времени уравнениями движения с гамильтонианом Г и начальными условиями, соответствующими шредингеровскому представлению. Эти спектральные представления используются при фиксированном значении объема V.

В качестве Л (/), В(т) при построении оценок берем операторы

а/э a/"; af, az; Rh R^; R^ Rf.

В результате получаем оценки для разности одновременных средних, составленных из произведений ферми- операторов, построенных на основе модельного Г и аппроксимирующего Га гамильтонианов. Эти оценки строятся сначала при некотором фиксированном, а далее и при произвольном расположении операторов а^ а^ в средних. Затем последовательно методом индукции рассматриваем случаи двувременных, трехвременных, ..., s-временных средних. Таким путем приходим к неравенству (4.5).

Заметим, что поскольку аппроксимирующий гамильтониан является квадратичной формой из ферми-операторов, то для вычисления выражений

0fx (^i) ••• Л^(/5))га

можно воспользоваться обобщенной процедурой Вика (см. [61]), в соответствии с которой такая средняя равна сумме произведений бинарных средних:

^ = ±\, fq=±ff. (4.6)

Суммирование здесь происходит по всем возможным способам спаривания операторов в произведении Л^ (Z^... . ..Л^(^). Входящие в (4.6) бинарные средние легко вычисляются. Таким образом, эту среднюю можно представить полиномом

PQ1. ^^fs\ кts),

Определенным во всем пространстве Ф^, т. е. для всех точек (Д, /2f5), поскольку везде в Ф^ заданы

функции А(/), Т E(f). Если функция Л(/) не зависит от V, то и рассматриваемый полином тоже от V не зависит.

С другой стороны, равенство

<^ (У ... Л^ М)га-Р (Аfst кts) (4.6а) имеет место, разумеется, только для квази дискретных индексов

f=(p, а), р = ^тигг!Ьэ 2nn2lL9 2m3lL)t

т. е. только на множествах Ф^\ поскольку только для таких индексов (/) имеют смысл сами операторы Л у = = ay, af. Итак, зависимость рассматриваемых средних

по гамильтониану Го от V [в случае, когда Л(/) не зависит от V] обусловлена лишь тем, что за fu f2fs принимаются точки множества Ф^.

Введем понятие сходимости для функций

Fv^i, ..., Л) (V^oo),

заданных на множествах Ф^. Будем говорить, что функция Fv (/i, ..., fs) равномерно сходится к некоторой функции F(fu ..., fs), определенной во всех Ф^, если можно указать последовательность чисел ^^->0 (V ->оо) так, что везде на множестве Ф^ выполняется неравенство

Мь ...JsW^Л)|^6„

Заметим, что благодаря (4.5), (4.6а) имеем

1 0^ (У ... Af$ (У >г - Р (А, . ...fs; /ь ..., ts) | ^

+ 2s+1/(/eF+Al2/4V

везде на множествах Ф^. Таким путем в соответствии с только что введенным определением сходимости убеждаемся в справедливости следующего примечания к теореме 1. Если выполнены условия I—V и, кроме того, функция Л(/) не зависит от V, то существует предел

lim (Аг (У ... At (ts))r = P(fafs; tits).

Перейдем теперь к операторным полевым функциям:

^(г, ^^^р- a(0exp(z(pr)), р

(r* =vv 2а^ ° ехр 1 <рг)) •р

Суммирование здесь происходит по рассматриваемому множеству квазидискретных р.

Будем иметь дело со средними, составленными из произведения операторных полевых функций, построенных на основе модельного и аппроксимирующего

гамильтонианов Г, Го:

(ф^ (к, 0 • • • Tas (Ts, Q>r. га,

где s —четное число (при нечетном s они тождественно равны нулю) и где

Фо^, О — Ч'оС'', О или ^(г, /).

При рассмотрении таких средних предельный переход V->oo будем понимать в смысле, принятом в теории обобщенных функций. Напомним понятие обобщенной сходимости:

(4.7)(4.7)^kir^Ff/xг,), F kirs)= lim Fy^xr^. V-*co

(4.7)

(4.7)

Возьмем класс C (q, v) (q, v — положительные числа) непрерывных и неограниченно дифференцируемых функций h (rlf ..., rs) таких, что во всем пространстве точек (гхг$)

{kil + .-. + ksD^’IAki, .... т^)]^ const,

{kll+...+kЛ,,,{kll+...+kЛ,,,^ const.^ const.

{kll+...+kЛ,,,

{kll+...+kЛ,,,

^ const.

^ const.

(/ = о, 1, ..., а)

Здесь 9i+^24-... + ^3s=0> 1q; az=l,2,3;

kz.i,xz,2,xz,s) = rz.

Тогда если мы можем фиксировать положительные числа q, v таким образом, что для всякой функции к(гг, ..., rs) из класса С (q, v) справедливо соотношение

$ h ^ъ ...»rs)Fv (rir^ drtdrs

-> $ h (rtrs) F (rxr^ drv.. drs,

то говорят, что имеет место обобщенная сходимость (4.7). Для нашей цели ограничимся рассмотрением класса 8 = = С (q, v), в котором числа q^ vT подобраны так, чтобы фурье-образ функции к(г1э...э rs)

h(Рх,...,ps) = Jh (гь..., rs)exp(t (j^x +... + psrs))drx...dr.s

был непрерывной функцией параметров (рхps) во всем

P-пространстве и удовлетворял неравенству

IЛ (PiР$Н^ —;—.

П(|р/Р+Л1А) /=1

/(A = const>0, Mh =const >0.

Введем теперь следующие обозначения. Пусть выражение (31) соответствует корреляционной средней, составленной из произведения полевых операторов типа (фа, (П, У... Фа, (г», кУ),(4.8)

или средним, взятым от Т-произведений,

<Т {<ра, Vu к) -. Фа, Vs, /,)}),(4.9)

или двувременным функциям Грина

6 V, Т I /Чг к, ГМг,)=0 (/ - т) X

х<[Фа. Vl, 0 ... ф„6 (гь /); <раб+1 Vk, Т) ... <ра$ Vs, т)1).

(4.10)

Сформулируем теорему об обобщенных предельных соотношениях.

Теорема 2. Если выполнены условия I—V, то на классе 8 функций h (гь г^ .... rs) имеем обобщенные предельные соотношения для корреляционных функций и функций Грина

{<8l)r~<8l>rJ^O при V^ оо.(4.11)

Нетрудно видеть, что доказательство обобщенных предельных соотношений (4.11) в случае, когда (Я) соответствует (4.9) или (4.10), вытекает из рассмотрения (4.8).

Доказательство этой теоремы в случае (4.8) основывается на результатах теоремы 1 с применением специальных правил отбора [60], благодаря которым s-кратные суммы по (/), сопровождаемые фактором 1/У8/2, приводятся к суммам s/2 кратности по (/). Таким путем с использованием условий I—V строятся мажорацион- ные неравенства, которые при V->oo переходят в обобщенные предельные соотношения (4.11).

Можно отметить, что здесь удается получить равномерные в температурном интервале О<0<0о мажо- рационные оценки, даже если условия Еф^ч не

выполняются. Отсюда вытекает, что для доказательства существования обобщенных пределов lim(...) у рас-

V -*со сматриваемых здесь средних достаточно доказать существование обобщенных пределов у соответствующих средних Пт(...)Го для аппроксимирующего гамильто-

V-»oo

ниана Га.

Для этого кроме условий I—V наложим еще следующие дополнительные условия

Функции Л(/) = Л(р, а), а = ±^, определены и ограничены во всем пространстве Е точек (р) и не зависят от V.

Множество точек разрыва этих функций имеет меру, равную нулю.

Теперь убеждаемся в справедливости следующей теоремы.

Теорема 3. Если выполнены условия I—VII, то на классе 8 функций h(rb ...,rs) существуют обобщенные пределы для корреляционных функций, функций Грина, Т-произведений:

Пт (31)г = Пт (MV..

V —► соУ—оо

Как нетрудно видеть, выражения вида (Ш)га могут быть вычислены с применением правил К. Блоха и де Доми- нициса [61] и заменой суммирования соответствующими интегралами [60].

Доказательство вышеотмеченных теорем можно, например, получить, если воспользоваться результатами работ [54].

Теорема существования и некоторые свойства свободной энергии

В этом параграфе будем заниматься вопросом определения квазисредних для модельных систем, содержащих отрицательное четырехфермионное взаимодействие.

*’ Смысл этих условий состоит в том, что в результате предельного перехода V со мы от сумм переходим к интегралам Римана. Интегрируемость же некоторой ограниченной функции по Риману обеспечивается равенством нулю множества ее точек разрыва.

Приведем некоторые вспомогательные результаты, относящиеся к свойствам свободных энергий.

В работе [54] была разработана общая методика асимптотически точного вычисления одновременных и многовременных корреляционных функций, Т-произве- дений и функций Грина.

Имея в виду приложения этих общих результатов к конкретным модельным системам и, в частности, вычисления квазисредних, возьмем систему с «отрицательным взаимодействием», характеризуемую гамильтонианом H = T-2V^gaJaJi(4.12)

^a^s

(здесь ga — положительные параметры).

Будем специально рассматривать здесь те случаи, когда операторы Т, Ja имеют следующий конкретный вид:

Т^Т^а^, Tih=pW-\x,1Д 1Q,

f(4.13)

*^a — ^a (Л ^ti—f» ^а ( Л~—^a(f)> 0t= 1, 2, ,..., S. f

Перед тем как перейти к новому определению квазисредних, сформулируем две вспомогательные теоремы. Начнем с теоремы, относящейся к общему гамильтониану, которая была доказана нами в работе [52].

Теорема 1. Пусть операторы Т, Ja в гамильтониане (4.12) удовлетворяют следующим условиям:

Т = Т+, |Ja|^Mb

I TJa -JaT\^ М2, I J^p - JpJa I ^Мз/V, (4.14) ЦаД — ^аА^Мз/У, Мъ M2, M3 — константы.

(1 ^a^s, 1 ^ p^s)

Пусть, кроме того, свободная энергия, вычисленная на единицу объема для гамильтониана Т, ограничена постоянной

\НТ)\^М01(4.15)

а аппроксимирующий гамильтониан имеет операторную форму

Нв (С) = Т - 2V ^ ga (CJ* + СУа - СаС$Ь(4.16)

a

где С=(СЪ С2, ..., Cs), а Ci, ..., С$ —комплексные числа.

(4.17)(4.17)Тогда справедливы неравенства

(4.17)

(4.17)

О ^ min f (Н6 (С)) - f (Н) ^ 8 (1/Ю, (С)

причем 8(l/V)->0 при V —> оо равномерно по отношению к 6 в интервале 0 < 9 ^ 60, где 90 — произвольная фиксированная температура.

Свободную энергию на единицу объема —^ In 5ре-л/е для какого-либо гамильтониана А будем обозначать /(Л), или, если желаем подчеркнуть ее зависимость от объема V, — fy(Л). Условимся везде обозначать min /(С) абсолютный минимум функции / (С) в про- (С)

странстве всех точек С.

Заметим, что из неравенств (4.17) не следует еще существования предельного выражения для свободной энергии, построенной на основе гамильтониана (4.12), т. е. lim f(H).

V-»oo

Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда операторы Т, Ja в гамильтониане (4.12) имеют вид (4.13).

Как это указывалось в [52], условия теоремы 1 будут выполнены, если

у 2 (Р) Х“(р’ 6) 1 ^ Qo=const,(4.18)

р

На(Р> а)| ^Qi=const *\ а= 1s; а=±у. (4.19)

Сформулируем теорему, которая раскроет некоторые свойства свободной энергии, построенной на основе (4.12), (4.13), и решит вопрос о существовании lim f(H).

V—со

Теорема 2. Пусть в гамильтониане (4.12) операторы имеют вид (4.13), а функции Т (f), Ха (р, ст) удовлетворяют условиям (4.18) и (4.19). Предполагается еще, что функции Ха(р, ст) для всех точек р пространства Е везде непрерывны, за возможным исключением множества точек разрыва меры нуль. Тогда \tv\H^\-UVHkC^\^v

для |Са|^2ЛГ1, а=1, 2, ..., s, где бу->-0 равномерно по отношению к 9 в интервале О<9^ 9о, До {Я (С)} обладает непрерывными частными производными по переменным CiCs, С*, ..., С* всех порядков для всех комплексных значений этих переменных. Эга функция имеет абсолютный минимум в просгранстве всех точек (С), который реализуется в некоторых точках

С=С:

т1п/оо{Я(С)}=/оо{Я (С)}.

(С)

Далее имеет место неравенство

ЫН)ЧоЛН(С)\\^у,(4.20)

где

S^=(e(l/y) + 6^)^0

равномерно по отношению к 6 в интервале 0 < 6 ^ 60.

В рассматриваемом случае операторов (4.13) аппроксимирующий гамильтониан (4.16), упоминающийся в теореме 1, имеет вид

Но (С) =^T^ata,- 1/2^ {Q* (/) a_faf + Q (/) а^А + ff

+ Ж^аСаС£, a

ГДе Q* (/) = 2 ^ gaCa^a* a

Переходя к новым ферми-амплитудам ay, aj^, связанным co старым каноническим преобразованием

aj = Ujaj — Vyal/,

в котором

u(f)=J=VHT№(h;

°= ЙТ^Т V1-T№®-

e^vwt-hW)?.

найдем

н0 (С)=2 M^t+*Ф 2 ^с“с“ - 2р 2 ^ - ТА •

Выражение для свободной энергии на единицу объема, построенной на основе этого гамильтониана, будет f V = 2 2 gaPaCa - А ^ (Е (f) - Т (f)) +

af

+^21п[1+ехр(—^^>/0>т<4-21>

Исходя из теоремы 2 можно показать, что выражение (4.21) надлежащим образом при V->oo аппроксимируется предельным выражением

- W S {£ 0 “ Т Ф - 28 1П [ 1 + ехр (- Е (Z)/8)]} ^ ’

§ 13. Вычисление квазисредних для модельных систем

Займемся сейчас вопросом об определении квазисредних. Пусть 91 будет каким-либо оператором того типа, для которого в [54] были сформулированы предельные теоремы, например, произведением из ферми-амплитуд, полевых функций и т. д. Высказывалось мнение [54], [59], что квазисредняя (81)# такого оператора для рассматриваемого гамильтониана (4.12) определяется как предел

<91>я=lim (Пт <91>г)(4.22)

обычных средних (9()г, взятых по гамильтониану Г, получающемуся из Н добавлением «членов с источни-

ками»:

Г=Н — VS(veJ£+vVa) =

= T — 2V SgA^-^M+v^. (4.23) aa

Мы хотим обратить внимание на некоторые трудности, связанные с (4.22): так, в данном определении не указывается, например, в какой области должны лежать параметры va и каким образом следует их стремить к нулю, чтобы обеспечить сходимость в определении (4.22).

Покажем, что даже в простейших случаях при произвольном стремлении |v| к нулю предела в выражении (4.22) может и не существовать.

Возьмем, например, гамильтониан (4.12) при s=l, рассмотренный нами в работе [54]. При этом Т и J имеют вид

7’ = 27’(/)afa/» Т(Г) = Р^т-ц,

(4.24)

а функции X (/) удовлетворяют всем перечисленным в [53] условиям. В качестве Г был взят гамильтониан с вещественным положительным v:

r = r„=T-2VgJJ*-vV(JA-J*V(4.25)

Как было показано, Г приводится к виду

Г = Го - 2Vg (J - С (v)) (J* - С* (V)),

г»=г -12й ^a-f+а-^+2 VgC2*

Qm = 2gK(nVCM + v/2g^,

где C(v) + v/2g>0, а величина С = С (v) реализует абсолютный минимум функции и {Г„ (С)} = 2gC*C-^ 5 di l£^ - Т^ + + (^ $ df in [1+exp (-£ (П/в)Т

min/ю {Га (С)} = /ю{Г(СМ)}.

Кроме того, <(J-C(v))(./+-C(v)))r^e^0 при V-*oo. (4.26)

Ясно, что гамильтониан (4.25) принадлежит к классу [43, 62], а благодаря условиям, наложенным на Х(/), и неравенству (4.26) выполняются условия применимости сформулированных в [43, 62] предельных теорем. В силу этого можем воспользоваться упоминавшимися там предельными теоремами и установить существование пределов типа

Ит <91>г= Ит (91)г .(4.27)

к-юоV—.со °

Заметим далее, что, как указывалось в [53],

C(v)-^C(0) = C (v>0, v->0).(4.28)

С другой стороны, выражение Пт (91)г раскрывается

V —оо°

в явной форме с помощью правил К. Блоха и де Доми- нициса, и совершенно элементарно можно установить, что предельный переход v->0 (v>0) выполним и сводится просто к замене в этом выражении С (v) на С, т. е. к замене усреднения по Гв усреднением по гамильтониану Н (С).

Тем самым устанавливается существование квазисредних:

(21)=Иш Ит <Я>Г= Ит (ЗГ)»™.(4.29)

V>0V-*ooV-*cov '

v-*0

Посмотрим теперь, как изменится ситуация с определением (4.13) в случае, когда С#=0, если перейдем к комплексным значениям v и вместо гамильтониана (4.25) возьмем

Гу,у.=т - 2VgJ J* - V (vJ* 4- V* J).(4.30)

Положив v = | v ] exp (гф), заметим, что Гу,у« приводится к виду Г = Г|у| (т. е. к гамильтониану Г, в котором вместо v подставлено | v |) посредством градиентного преобразования:

«У -> aj exp (i<p/2), at ->■ at exp (— ф/2).

Таким образом, получим, например *\

(at (0 atf (r)>rv-v.=ехр (—z<p) (at (/) atf (т))Г|v( =

= ^<а,+ (0а^(т)>Г|у|.(4.31)

Предел нетрудно вычислить: lim lim (а/" (/)olf (т)>Г | =

= u,v, {exp (IE if) V - T)) T^^^ -

- exp (— tE (f) (t — t)) 1+exp(_£(/)/6)|, u)=l=V\-T№^\

^ (/) (^ ~b v/2g) -.yi rp m

E (h -VT^-H^mg^C-HW, (4.32) где в выражениях Uf, u^ E (f) вместо С поставлено значение С. При этом в рассматриваемом случае С выражение (4.32) не обращается тождественно в нуль. Следовательно, хотя

lim (at (0 ai_f (т))Гу v. V-»oo*

существует всегда при | v | > 0, но предела

lim lim (at (О atf (т))г ,(4.33)

V^O V->oo’

не существует по тривиальной причине: при v->0 отношение v/| v | не стремится ни к какому пределу. Предел в (4.33) существует лишь тогда, когда мы стремим v к нулю таким образом, чтобы отношение v/| v | оказалось конечным.

Естественно, что в общем случае (4.23) ситуация с предельным переходом v->0 оказывается еще более сложной. Кроме градиентной инвариантности (обусловленной градиентной группой) могут появиться и другие группы преобразований, например группа вращений.

#) Предельный переход У->оо будем понимать в смысле понятия сходимости, введенной для функций Fv(flt ..., /Д заданных на дискретных множествах Ф^ [43, 62].

Обратим еще внимание на трудность, специфичную для s > 1. Возьмем гамильтониан

Н = Т- 2VgJtJt - 2VgJ^X1

Г=Н - V {Vx (Ji + Ji) + v2 ( J2 + Л)},

причем vi, v2 берем вещественными и положительными. Положим

jl = j/y2, Ja = —J/y2,

где операторы J, Т имеют вид (4.24). Таким образом, в данном случае Н будет тем же гамильтонианом, который только что рассматривался.

Возьмем vi = v2, тогда члены с источниками полностью выпадают, Г = //, и, поскольку оператор Н сохраняет число частиц, имеем тождественно (а^>г = 0.

Как видно, в такой ситуации мы не можем вообще правильно определить квазисредние.

Чтобы избежать такого рода трудностей, выдвинем предположение взять v пропорциональными С с положительными коэффициентами пропорциональности:

^а = гиС^ га>оэ а=1, 2, ..., s.(4.34)

Рассмотрим в таком случае аппроксимирующий гамильтониан

го = Т - 2 V5 ga {Са Jt + СУа\ - а

- V 2 Га (CaJ* + Oja) + Const. (4.35) а

Постоянный член здесь не выписываем, поскольку он не влияет ни на вычисление средних (.. .)г, ни на уравнения движения. Как видно, мы получили аппроксимирующий гамильтониан для Н с измененными параметрами ga-*ga-V-ra/2:

H^T^V^ga + r^JaJi. а

Для того чтобы Га из (4.35) оказался аппроксимирующим гамильтонианом не для Нг, а для первоначаль- нсго Н, следует в выражении Г из (4.23) [в котором v взято согласно (4.34)] заменить ga на (ga —^«/2),

положив тем самым

T-T-W^g»- rj^ J JI - Г £ Г» ( J*CO + JaC^. aa

Ясно, что здесь кроме добавления «источников» мы провели некоторую «ренормировку» параметров ga. К этому выражению для Г можно добавить любой постоянный член, поскольку он не окажет влияния ни на средние (. ..)г, ни на уравнения движения.

В качестве такого постоянного члена возьмем V ^гаСаСа. Тогда гамильтониан Г представится фор- a

МОЙ

г~ Т - 2 V 5 (ga - ra/2) Ja J* -V^r» (JiCa + Jj^ +

+ V 2 raCaCl=H + V^ra(Ja- Ca) (Ji - Ci). (4.36) aa

Подчеркнем, что здесь, как всегда, С обозначает точку, в которой достигается абсолютный минимум функции

f«\H (C)} = 2£goCaCi- a

— 6/(2л)8 J In [ 14-exp (— E (/)/6)l df.

Для удобства обозначений положим в (4.36)

r„ = 2Toga, где то>0(l^a^s).

Таким образом, условимся иметь дело с гамильтонианом, имеющим вид

г=Н + 2 V 2 Togo (J„ - Со) (Ji - Cl) =

= T - 2 V 5 gaJaJi + 2 V ^Taga (Jo - Ca) (Ji - Cl), aa

(4.37)

(to > 0, a= 1, 2, ..., s)

Покажем, что при сделанном выборе Г у нас не возникает трудностей с определением квазисредних

(9l) = lim lim (зМ)г.

т-^0 V -►оо

Для этого заметим прежде всего, что при Т! = 1,..., ts = 1 из (4.37) будем иметь

Г = Т - 2 V 2 ga даа + J,^ + 2 V ^аСаС*а = Н (С), аа

Поскольку

(7 а Св) У а Са) О,

видим отсюда, что

Я(С)-Г^0, Г-Я^О для 0<та<1, а=1,2s.

(4.38)

Следовательно, справедливы неравенства tv\H^^Wk^tvW(4.39)

при 0<та< 1, а= 1, 2, ..., s. Однако

О < fv{H (С)} - fv№ ^ I /со {Я (С)} - Ь W | + + |/=о{Я(С)}-/НЯ(С)}|.

Поэтому на основании теоремы 2 получим

откуда, учитывая (4.39), находим:

О^/у(Г) — /у (Я) бу+бу,(4 40)

О^/у{Я(С)}-/у(Г)^бу+бу.

Чтобы связать эти неравенства с корреляционными средними, приведем вывод соответствующих мажора- ционных неравенств.

Рассмотрим системы, определяемые гамильтонианом, линейно зависящим от некоторого параметра т:

Ят=Г0 + тГ1.

Определим формально выражение

fv (Ят) = - (6/17) In Sp exp (- Ят/6), которое назовем свободной энергией на единицу объема для модельной системы Яг. Дифференцируя это выра- 220

жение, имеем

^ £ ( U \ J_ ^Р ^1 6ХР ( ^тДО 1 /р \

dT / V №) — у Sp ехр ^^^— у

^У^ =

d^

г Sp {Г, exp (- H^TY ехр (- Ят (1 -^)/9)} ^

“ 0VJSp ехр (- Нт/6)’

(4.40*)

где Г^Г^ (Г^я- Но, как следует из (4.40*),

ввиду чего

^V^tK ^dfv(Hx)^dfv(H)y .

I dT /т = 1 di \ dT /т = о’

потому для разности

1

tv (Го + ГО - fV (Го) = ^Ь VM dT,

где 0^т^1, получим неравенство рМЯгП (Г^ra-f^r»)^^^} .

I dT Jr = l7dj )r = o

Таким образом, на основании (4.40*) мы установили следующее важное для нас неравенство:

V-1 <Г1>Го+Г1 ^ fv (Го + Гх) - fv (Го) ^ 17-1 <Г1>Го- Воспользуемся теперь этим неравенством, положив в нем Г0 = Я, Г1 = Г-^ = 2У2^«(^-^а)(^-С$).

а

Тогда, основываясь на первом из неравенств (4.40), получим

5 %aga <(^а ~ Са) (J^ - С«>г ^ 6f+ 6^.(4.41)

а

Таким образом, мы доказали следующую теорему [63, 64].

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 и Г представляется выражением (4.37), в котором 0 <та < 1, а=1, 2, ..., s, тогда имеют место следующие неравенства при V -> оо:

O^b^-hW^v-V^v-*^(4.42)

S ga <Ма - С^ (Л - С^г(6И+ 6К)/2т0,

а

где т0 — наименьшая из величин (ть т2, ..., т5).

Заметим еще, что доказанная теорема 3 в случае конкретного вида оператора (4.13) и при выполнении условий теоремы 2 дает возможность непосредственно преобразовать гамильтониан Г к форме (4.1) —(4.3), при этом окажутся выполненными условия I—V (см. [43], [62]). Действительно, имеем

H = T-2V^ga^Ca + JaC^ +2VXgaC*aCa-

-W^gaUa-CaH^-C^ а

и потому *>

Г = Н (С) - 2V S ga (1 - та) (Ja - Са) № - С*).(4.43)

а

Как видно, этот гамильтониан имеет здесь вид гамильтониана, рассмотренного в работах [43], [62] — [61], в котором положено:

Го = Я(С), Й (f) = 2 2 gaXa If) С*а,

К = 2 V 2 gaCSCa, Ga=2ga (1 - Te) > 0,(4.44)

Са — Са (l^tt^S).

В силу теоремы 3 выполняется неравенство

^Ga^Ja-CaHJ^-C^r^ev,(4.45)

а

где еу=(6у + 6[/)/То уТоо^ равномерно по отношению к температуре 6 в любом интервале О<9^6о.

Н (,C) = T-2V^ga^Ca-V-JaC^-V^V %gaCaC% (1 ^a^s). aa

Из (4.45), неравенств (4.18) — (4.20) и условий (4.21), а также из конечности числа s в суммах по (а) и независимости величин С от V следует справедливость условий I—VII. Поэтому можно воспользоваться всеми предельными теоремами, доказанными в работах [43, 62]._

Так как Га = //оо(С), запишем теоремы о существовании пределов

lim <31)г= Пт <91>г_

У — ооУ->оо

в виде

lim <Я>Г= lim <^)H(cV V-юоV-^oo v '

Однако H (С) не зависит от параметров т в рассматриваемом случае, когда

0<та<1, а=1, 2, ...,$.(4.46)

Поэтому и выражение lim (81)г не зависит от т, лежа-

V—>оо

щих в области (4.46).

Следовательно, когда все ть т2, ..., т5 стремятся к нулю, оставаясь положительными, имеем тривиально lim lim <2I)P = lim <Й>„/ЛЬ т_>0 V->ooV->oo

Квазисредние в данной ситуации можно определить соотношениями

(4.47)(4.47)(•»}„- lim <«>г= lim <it>„e).

(4.47)

(4.47)

в которых т могут принимать любые значения из области (4.46).

Подчеркнем еще раз, что главным пунктом наших рассуждений было установление неравенства (4.41), основанного на неравенстве (4.40).

Как видно, из неравенства (4.40) следует предельное соотношение

(4.48)(4.48)lim /v (Г) = lim fv^H).

(4.48)

(4.48)

Данное предельное соотношение, вообще говоря, перестает быть справедливым для отрицательных значений т.

Заметим также, что ограничение случаем ga > О не является для нашего метода необходимым. Можно рассмотреть также случай, когда константы ga имеют разные знаки. В этом случае также удается привести гамильтониан к форме, рассмотренной в работах [62], [63].

Определение квазисредних без введения источников

Здесь остановимся на способе вычисления квазисредних для модельной системы с четырехфермионным взаимодействием. В ряде работ [65], [66] такая проблема изучалась с помощью методики, основанной на введении некоторых вспомогательных гамильтонианов, содержащих «члены с источниками». В результате были получены выражения для асимптотически точного вычисления корреляционных функций, функций Грина.

Представляет интерес определение квазисредних для гамильтониана, содержащего отрицательное четырехфермионное взаимодействие без дополнения его «вспомогательными членами с источниками», поскольку введение источников является, вообще говоря, «искусственным приемом», нарушающим инвариантные свойства системы. В отличие от работ [65], [66] рассмотрим здесь другой подход к исследованию такой проблемы. Будем рассматривать модельные системы и динамические переменные в представлении вторичного квашования при фиксированном значении объема V и исследовать вопросы асимптотического точного (при У->аэ) нахождения корреляционных функций и квазисредних.

Заметим, что существует также другой подход — сразу иметь дело с бесконечным объемом и исследовать соответствующие модельные системы. Математические аспекты такого подхода в связи с изучением равновесных свойств модельных систем изучались в работах [67], [68] с помощью методики С*-алгебры. В работах Д. Я. Петрины в пространстве трансляционно инвариантных функций изучалась модель БКШ [47], при этом рассматривался бесконечномерный случай.

В работе [69] с помощью С*-алгебры проволилось рассмотрение некоторых точно решаемых систем. В частности, была подтверждена методика работ Н* Н. Боголюбова [40] и Хаага [71] о возможности замены основного гамильтониана аппроксимирующим — билинейной

формой с операторами, отождествляемыми при «некоторых условиях» с С-числами. В ней было показано, что уравнения движения, построенные для основного гамильтониана, будут совпадать в термодинамическом пределе с уравнениями движения, полученными с помощью аппроксимирующего гамильтониана. Эта методика в смысле построения термодинамического предела для уравнений движения распостранялась далее на молекулярные модели Ван-дер-Ваальса, Гейзенберга и Изинга. Однако оценок разности корреляционных функций, построенных на основе модельного и аппроксимирующего гамильтонианов, автором проведено не было. В этой связи полезно отметить работы [72] и [73] по математически строгому обоснованию модельных систем Гейзенберга и Изинга, в которых была доказана асимптотическая эквивалентность корреляционных средних, построенных с помощью модельных и аппроксимирующих гамильтонианов.

В работах [64], [65] были рассмотрены так называемые модельные задачи статистической физики, допускающие асимптотически точные решения (при V->oo). При этом асимптотически точные выражения были получены не только для свободной энергии, но и для функций Грина и многовременных корреляционных функций. Существенно отметить, что исследование проводилось на математически строгом уровне и для установления факта асимптотической близости была построена специальная мажорационная техника. При исследовании функций Грина и многовременных корреляционных функций нам пришлось воспользоваться понятием квазисредних и ввести в рассматриваемый гамильтониан так называемые члены с источниками, которые устремлялись к нулю после проведения предельного перехода V->oo.

Поясним сказанное на одном из простейших примеров изученных нами модельных систем —на системе, характеризуемой гамильтонианом БКШ:

H = T-V^, Т=ът^аь (4.49)

L= V-^K^af.

Здесь а,}, а^—ферми-операторы, V—объем системы, /=(р, а) — совокупность импульса р и спина о, импульс р принимает обычные квазидискретные значения, Т^ =

2252258 Боголюбов, Садовников

225

225

= p2/2m —|i, р, —химический потенциал. На Ху наложены некоторые весьма общие условия, обеспечивающие достаточно быстрое убывание Ху к нулю при | р | -> оо. Если составить для гамильтониана (4.49) уравнения движения

=(4.50)

то из определения L нетрудно заметить, что операторы L, L+ коммутируют с операторами ау, а^ с точностью до величины порядка 1/V. Поэтому казалось бы естественным предположить, что оператор L есть почти С-число. Но в таком случае (£)я = С, где через (. ..)н обозначено обычное среднее по гамильтониану Н*.

= £р{^хр(-^^

Однако ввиду того что гамильтониан Н является инвариантным по отношению к градиентным преобразованиям: ау->ехр(/ф)йу, ф = const, легко видеть, что все (а_уау)я = 0; так что и (Л)я = 0, и выходит, что даже сам оператор L нельзя приближенно считать С- числом. Для того чтобы избавиться от этой трудности, мы воспользовались методом квазисредних и ввели в гамильтониан члены с источниками, рассмотрев вместо Н гамильтониан

Г = Н — rV^L-^L^, г>0,(4.51)

Квазисредние по Н мы определили как обычные средние по гамильтониану Г в которых переход г -> 0 совершается после предельного перехода V->oo. Тогда нам удалось строго доказать, что при любом г>0 ^L-CXL+-C))rv^0,

где С —некоторая положительная величина. Взяв вместе с точными уравнениями движения (4.50) «приближенные уравнения» движения

i^ = Tfa,-aLAf,(4.52)

которые, кстати, соответствуют гамильтониану

Н (С) = Т - (V/2) (CL+ + CL- С2),(4.53)

называемому нами аппроксимирующим, нам удалось с помощью специально разработанной мажорационной

техники доказать, что корреляционные функции, составленные из произведения ферми-операторов, построенные на основе (4.51), асимптотически близки к корреляционным функциям, построенным на основе гамильтониана (4.53) в смысле квазисредних, т. е. сначала совершается предельный переход У-^оо, а затем г ->0. В результате были получены мажорационные оценки для разности корреляционных функций, построенных на основе гамильтонианов (4.49), (4.53).

Соответствующие оценки приближения для корреляционных функций и функций Грина при У->оо были неравномерны по отношению кг-^Ои поэтому весьма существенным был порядок предельных переходов: сначала 7->оо, а затем г->0. Это как раз и соответствовало определению квазисредних [37].

Возникает, однако, вопрос, как определить квазисредние для данного гамильтониана, не вводя членов с источниками, поскольку квазисредние, с физической точки зрения, характеризуют рассматриваемую систему и введение источников в каком-то смысле является искусственным приемом, нарушающим инвариантные свойства системы. Такая программа определения квазисредних является вполне реальной, хотя мажорационные оценки становятся при этом существенно более сложными. Дело в том, что в этом случае мы не можем доказать, что ((Л —С)(Л+ —С))^ — малая величина, поскольку эта средняя оказывается совсем не малой величиной, а, напротив, даже большей, чем С2! Однако все же можно строго доказать, что малой будет величина ((L+L —С2)2)н^Нг->0 (при V->oo)(4.54)

и, кроме того, что

^^н5^-^ (ПРИ ^^J'<4-55)

К особой важности этого доказательства мы, естественно, приходим, если рассматриваем гамильтониан без источников (4.49) и вводим вспомогательные операторные конструкции: a.^Uf^-VVfdLf^, I

L+(4.56)

a)=Ujal-V-Uj-^ а_#, J

где Е^УСЧНТ^

Ut=^V\-YT1IEb Vf = -^y\-TfIEf.

Можно отметить, что эти операторные конструкции (4.56) лишь «приближенно удовлетворяют» (при / ^ f') коммутационным соотношениям статистики Ферми. Если бы оператор L был С-числом и L — C, то тогда эти конструкции точно совпадали бы с новыми ферми-операто- рами [37], связанными со старым каноническим и, ^-преобразованием.

(4.57)(4.57)Записывая уравнения движения относительно операторных конструкций (4.56) с учетом уравнений (4.50), можно после ряда громоздких преобразований представить их в виде

(4.57)

(4.57)

где среднее, т. е. (RfRf^H^ как раз и выражается через средние (4.54), (4.55).

Займемся поэтому оценками для этих средних. Для доказательства неравенств (4.54), (4.55) применим теорему о близости свободных энергий [43], которая в свое время была доказана для гамильтонианов типа БКШ. Очевидно, что эта теорема о близости свободных энергий [52], [62] имеет более общий характер. Например, она была использована для асимптотически точного (V->oo) вычисления простейших бинарных корреляционных средних. Далее было сделано обобщение этой теоремы на некоторый более широкий класс модельных систем, в связи с чем область применимости ее существенно расширилась. Мы покажем, что результаты этой теоремы достаточно сильные и обеспечивают доказательство указанных выше неравенств (4.54), (4.55).

Сформулируем теорему 1.

Теорема 1. Пусть операторы Т, L, L* в гамильтониане //[см. (4.49)] удовлетворяют некоторым общим условиям [43], и пусть свободная энергия, вычисленная на единицу объема для гамильтониана Т, ограничена постоянной

\ЦТ) |^А1о = const.

Аппроксимирующий гамильтониан для системы (4.49) имеет форму (4.53). Тогда справедливы неравенства

О ^ abs min Ло (Я (С)) - f v (Я) ^ е' (1 /Ю,(4.58)

(С)

причем величина e'(l/V)->0 равномерно по отношению к 6 в интервале О^0^0о, где 0О — произвольная температура, а

foo ^Н (С)) = у — 2 (2л)3 $ ^f —

-20 ln(l+exp (—^/6))}^.

Чтобы применить эту теорему к доказательству неравенств (4.54), (4.57), проведем следующие рассуждения. Рассмотрим системы, определяемые гамильтонианом, линейно зависящим от некоторого параметра т:

//т = Го + тГ1.

Определим формально выражение

fv (Ят) = - (0/V) In Sp exp (H^), которое назовем свободной энергией на единицу объема V для модельной системы Нх.

Можно доказать справедливость неравенства

^т2

Обозначая

^TiV\ т) у Spexp(—Нх,^ — V

придем к неравенствам, справедливым для любых операторов Го, Гх:

у (Г^Го+г, ^/у(Г0+ Гх) — ^(Го) ^у (Г1)Го.(4.59)

Для оценки (4.54) положим

Я = Го + Гь Г0^//-Гх, Г1 = р6 = р1/(ЛМ-С2)2, тогда из (4.59) имеем

^ <G)H^fv(H)-fv(H-pG)

и, следовательно,

<(L+L - С^н ^ (1/Р) {fr (Я) -fv(H- Vp (L+L - С2)2)}.

(4.60)

Теперь к правой части (4.60) применим сформулированную выше теорему и покажем, что эти свободные энергии в пределе V->co совпадают.

Введем следующее «сокращение»: говоря, что система с гамильтонианом

H' = VH-Vp(L*L-Ca^

будет аппроксимироваться системой

Н (3) = {Я - Vp (23 [L+L - С2] - S2)},(4.61)

мы имеем в виду, что соответствующие свободные энергии, построенные на их основе, будут близки в смысле теоремы 1.

Учитывая, что

H = T-^-LU,(4.62)

запишем (4.61) в виде

{Г — V(2Sp + 1/2) L+L + (S2 + 2SC2) Vp}.(4.63)

Используя теорему 1, видим, что (4.63) будет аппроксимироваться формой, квадратичной поферми-опграторам: Я (3, С') = {Т - V (23р + 1/2) (c'L+ + C'L - С'С) +

+ Vp(S24-2SC2)}. (4.64)

Напомним, что система (4.62) будет аппроксимироваться формой (4.53). Заметим, что в общем случае в (4.53) С — комплексное число, но можно показать, что абсолютный минимум функции f(H(C)) реализуется при вещественном С. Поэтому в аппроксимирующем гамильтониане Я (С) можно считать С вещественным. Сравнивая аппроксимирующие формы гамильтонианов (4.64) и (4.53), видим, что, для того чтобы правая часть неравенства (4.60) была порядка т| (1/V) -*0 при V-»-oo, следует выбрать решение

С = С и 3 = 0.

Оказывается, нетрудно проверить, что такое решение существует на самом деле, кроме того, можно указать

такое р = Ро>О, при значении которого существует единственно возможное решение проблемы абсолютного минимума свободной энергии, построенной на основе формы (4.64). Иными словами, на основании этой теоремы находим, что

((^-(^^^(l^etl/tO-^O при У-^оо. (4.65)

Сходным же способом доказывается неравенство (4.55). В результате этих рассуждений приходим к оценке (Wh^MW),(4.66)

где ё(1/У)->0 при У—>со.

Основываясь на уравнениях движения (4.57) и учитывая оценку (4.66), можно провести рассуждения, аналогичные работе [59], и получить соответствующие оценки для разности корреляционных функций, построенных на основе гамильтониана (4.49) и соответствующего аппроксимирующего (4.53). При этом важное значение имеет лемма.

Лемма. Пусть уравнения движения для операторов «у, где |ay|^&i = const, имеют вид

где

</?/£/"-ЬЯ/^я^ёу-^О при V-*со, и пусть В — ограниченный оператор:

В | ^&2 = const.

Тогда справедлива оценка для разности корреляционных средних

D=<atB')H ~ exp (— Е ф/9) (Ва^н, \D\^b2VTv.

Доказательство. Учитывая спектральные представления для двухвременных средних [1]. [7], [8], представим средние разности D в виде:

4-СО

(af (О В (т))я = $ ^а+в (to) exp (ito (/ — т)) dm,

— ОО

-1-00

<В(т)аП0)я = $ е? «лв (ю) exp (ю/в) exp (t© ^ — t)) dto.

— oo

Рассматривая безвременные средние, положим ? = т, тогда выражение для D запишем в форме

D= $ ^«/-в (®) {1 — exp [(<в — £ (/))/9][ dw. (4.67) — ОО

Замечая, что

11 - ехр [(го - Е (/))/9] | ^ (| и - £ (/) |/9) (1 + ехр (ю/9)), имеем оценку

|D|^y ^ |^a+B(to)|.|to-£(/)|.(l+exp(to/9))dto,

— ОО

откуда

l^l^yl^ § ^а+а(®)(® —£(/))4I + exp(to/9))dtoX

• —ОО

х 1/ $ g^s+s (со) (1 +exp (oVQ)) dto- (4.68)

I —00

Но в силу условия леммы |В|<62» поэтому

(В+В + ВВ+)Я^26|

и

(B^B-VBB^H = ^ ^s+b(g)) (1+ехр(ш/9))б/ш^2&1.

— ОО

(4.69)

С другой стороны,

-f-oo

5 ^«+« (to) (to - Е фУ (14- ехр (ю/9)) do = <RfRf + RfRhH.

(4.70)

Здесь, по условию леммы,

(RTRf + RfRn^2-£v.

Таким образом, подставляя (4.69), (4.70) в неравенство (4.68), получим окончательно

\О\^У^Гу.уЖ =ЛьгУТу,(4.71)

что и доказывает нашу лемму.

При рассмотрении средних, построенных на основе гамильтониана (4.49) и составленных из произведения ферми-операторов, отличными от нуля будут те средние, которые содержат одинаковое число операторов рождения и уничтожения. Поясним это на примере вычисления средней

<аНн.(4.72)

Запишем выражения операторов аь а^ через ah af:

af = ufaf — vfaLf-^ +46 a]=utaj —

(4.73)

с2 )— V Z_?^a-fat*

Подставляя (4.73) в (4.72), найдем

№/)н =(u^at~ a^a^aL f ^ 4-^0^ -

- ur vz^ a_ta, + v) ^ a_fat ^-^“-^Ч- +'nA^fa,-azat/^+ г]/)>н.(4.74)

Для оценок членов в правой части (4.74) учтем оценку (4.65). Обозначая (-^—11=v и учитывая оценку (4.74), видим, что

(v2)h^t]V'->0 при У-^оо.(4.75)

Отметим, что члены в (4.74), содержащие операторы т^ ,т)_р могут быть оценены с помощью неравенства I (^f^H I < {('П/'П^н (w^hV'(4.76)

и далее с помощью оценки (4.75).

В членах, где оператор гь зажат с двух сторон операторами L, аИсм., например, случаи (a-fQf -^/н)» можно переставить его, пользуясь асимптотической коммутируемостью, и затем оценить по указанной схеме. Во всех случаях для этих членов строится оценка, которая мажорируется величиной еу->0 при У->оо

Укажем, что оценки следующих средних удобно найти с помощью доказанной леммы:

(af+a±.f^->„, ^а-^н» <ataf>H, (^)н-

Оценим, например, среднюю (а|а^/-^-)н- При этом еле- дует заметить, что операторы ay, а/- (при / # П «приближенно удовлетворяют» коммутационным соотношениям статистики Ферми, т. е.

। + + , +1 const I ,I const

| ара; + a]at1—, | av af + afaP |.

Воспользуемся леммой и положим B = a^^-, тогда имеем оценку

| (tfalf 1)н- (atfat^Hexp (-Е0/9) | ^b»VTv^, (4.77)

откуда

|<a;atf^|^|62j/^ + v. г-const.(4.77')

Аналогично получаем

|(а../а/^>д|<|б2Г^ + у.(4.77")

Применяя эти оценки, видим, что йервый и пятый члены дадут здесь основной вклад, т. е.

N {^^н + ^(^ « -/ a-/-g >«;

второй член преобразуется перестановкой операторов L+ с а_у, а/- и далее с помощью неравенства (4.75). Его можно приближенно представить в виде «главного члена»

у2 (а_;а+/)я +{«малые члены» (при V->oo)}.

Учитывая далее тождество

ataj-Vajat— l = of2 ^- — 1) + р-,

где G —- ограниченный оператор, 161 ^ const при V -> оо, и лемму (В = ау), найдем оценку для средней (а/"ау)я.

В результате этих замечаний придем к неравенству

I W" - {т+^т+а1lh ® 11»»'-(4-78>

(4.78')(4.78')где ^’->0 при V-^-oo, откуда

(4.78')

(4.78')

Пт° (а^а^н j +ехр (£//6) + У/ th 26Л

Заметим еще, что средние, содержащие только комбинации ферми-операторов вида

(4.79)(4.79)а_(а^at,a-h

(4.79)

(4.79)

и построенные на основе гамильтониана (4.49), будут равны нулю в связи с правилами отбора, например (а_уйу)н = 0. Поэтому при определении квазисредних от таких произведений ферми-операторов по гамильтониану (4.49) следует дополнить их операторами вида ^. £. (4.80)

Физический смысл добавления к парным произведениям (4.79) операторов (4.80) состоит в том, чтобы получаемая в результате операторная комбинация была бы гра- диентно инвариантна. Поясним это на примере вычисления квазисредней:

^a_faf^H> где 7->со.(4.81)

Подставляя (4.73) в (4.81), имеем

(a_faf ^н=<«)«-!«# £ - ufufa_,at ^^^а,^ ^ +

+ щ^-с at -с-и^С a-fC2" + y/aiГ с1!/ С" + + П -fufaf ^ - r)-fyf«- f ^- + П-/П-/ ^>я.

Применяя оценки предыдущего примера, видим, что второй и четвертый члены дадут здесь основной вклад, т. е. слагаемые вида:

- u,vf {a-fotf ^н, u^af ^- af £^,

в результате находим

{й-fO/ с"}я — «/У/ 1 _рехр (Еу/0)^v •

где выражение ^’->0 при V->oo, откуда квазисредняя по гамильтониану Н определяется как

i . г х L+l-exp^/O)

* Jf Tf И+ехр(Е//0)

Применяя этот способ, можно вычислять не только бинарные средние, но и более сложные конструкции средних.

Таким образом, мы видим, что можно вычислять квазисредние для гамильтониана Н, не прибегая к дополнению гамильтониана Н членами с источниками. Однако при этом мажорационная техника несколько усложнилась, что выразилось в том, что в данном случае не оператор L «приближенно» при V -> эо будет С-числом, а лишь только оператор LL+ оказывается «приближенно» С-числом. Предложенное рассмотрение может быть обобщено и на более сложные случаи модельных систем.

В заключение этого раздела остановимся на возможном распространении метода аппроксимирующих гамильтонианов на другие классы модельных систем.

Определенная аналогия в математической формулировке [58] модельных задач сверхпроводимости и магнитных систем, содержащих инфинитезимально малое дальнодействующее взаимодействие между спинами, указывает на возможность применения развитых методов к спиновым гамильтонианам.

Так, например, в ряде работ [72]—[74] рассматривались модели ферромагнетиков типа Гейзенберга и Изинга со взаимодействием вида I/N, где / — постоянная взаимодействия, N — число частиц в системе. В соответствии с общей методикой [62] была доказана асимптотическая близость в термодинамическом пределе соответствующих функций свободной энергии, вычисляемых для таких моделей. Кроме того, для таких моделей с помощью развитой в [62] мажорационной техники удается исследовать вопрос о поведении производных от плотности свободной энергии по температуре и внешнему полю и таким образом изучить предельное поведение соответствующих термодинамических величин [73]. Полученные оценки позволили исследовать также предельное поведение бинарных корреляционных функций [72], [74].

Результаты этих работ выявляют [74] важность понятия квазисредних [37] при изучении механизма появления особенностей у физических характеристик системы в процессе перехода к пределу при N-^oo.

В рамках данного подхода в работе [75] показано, что вклад от ферромагнитного дальнодействия в термодинамические величины произвольной N-частичной спиновой системы, удовлетворяющей условию термической стабильности, может быть учтен при помощи специальным образом выбранного эффективного поля.

В порядке математического обобщения модельных систем с отрицательным взаимодействием [52], [53], [57], [72]—[74] с помощью метода аппроксимирующих; гамильтонианов в ряде работ [76]—[79] был изучен широкий класс нетривиальных точно решаемых задач, описываемых гамильтонианом вида

H = T-2V ^gj^,(I)

а=1

динамические операторы Т, Ja (1 ^ а ^ /) при этом не конкретизируются, но требуется выполнение следующих условий:

Т = т*, раКЛь \\TJa-JaT\\^A„(ID

Wn-Wy- p^p-Jp^K^,

где 1^а^/; l^P^/; At (t=l, 2, 3, 4) —некоторые постоянные; ^а^0.

Аппроксимирующий гамильтониан для такой системы может быть выбран в виде

^а(С) =

= T-2V 5 8акСаГаА-СУ^А-2У 5 gaCaCt (Ill) а=1а=1

В работе [76] доказана следующая

Теорема. Пусть гамильтониан системы о%^ имеет вид (I) и выполняются условия (II). Если для любых конечных С = {СЬ Са,...» С^ плотность свободной энергии для аппроксимирующего гамильтониана (III) сходится при У->оо и функция ^[^«(С)] достигает абсолютного минимума в единственной точке С = С, то

((«^ct Ca)^Ja Са^Н “^ 0.

V ->- со

Поскольку Величины С = {СЬ С2, ..., Cz} определяются из условия

ттМ^а(С^М^Га^А

(С)

и, следовательно, удовлетворяют уравнениям самосогла- сования

Са=\*Л1)^а(с)^оо(1 ^a^/),

то эта теорема устанавливает асимптотическую близость средних от операторов Ja по исходному о%^ и аппроксимирующему <2%^ (С) гамильтонианам для системы (I).

Некоторые особенности предельного поведения функции свободной энергии и корреляционных функций для такой системы исследовались в работах [77], [78].

Для несколько упрощенного варианта системы (I) можно установить рассмотренные в [77] асимптотические соотношения для свободных энергий и в случае добавления в гамильтониан положительного взаимодействия [79]. Заметим, что проблема точного вычисления функции свободной энергии для модельной системы, аналогичной рассмотренным в [64], [76]—[79], исследовалась с помощью иной математической техники в работах [80].

Вопросам применения развитого метода к системам, в гамильтониан которых входят члены, содержащие произведения операторов фермиевского и бозевского типа, посвящен цикл работ [81], [85], [86], [88]. Метод, используемый для изучения таких систем, основан на обобщении мажорационной техники [52], первоначально развитой для гамильтонианов, построенных на ограниченных операторах.

В работе [81] исследована обобщенная модель Дикке [82], описывающая систему N двухуровневых атомов, взаимодействующих с конечным числом мод электромагнитного излучения. Эта модель представляет интерес в связи с развитием теории лазера. В такой системе при определенных условиях происходит фазовый переход второго рода в так называемое «сверхизлучающее» состояние [83]. Применение метода аппроксимирующих гамильтонианов позволило показать [81], что исходная система термодинамически эквивалентна системе эффективно взаимодействующих между собой спинов. При этом была исследована отдельно термодинамика бозонной и спиновой подсистем и с микроскопической точки зрения объяснен фазовый переход. Развитая мажора-

ционная техника позволила получить асимптотически точное решение для модели Маттиса — Лангера [84], описывающей фазовый переход металл — диэлектрик [85], и для модели однозонного металла при одновременном учете куперовского и электрон-дырочного спаривания [86]. В случае наполовину заполненной зоны найдена область сосуществования диэлектрической и сверхпроводящей фаз.

С помощью аналогичной методики в рамках метода аппроксимирующих гамильтонианов получено точное (в термодинамическом пределе) решение для модели ферроэлектриков с водородными связями, предложенной в работах [87], [88], и показано, что в такой системе существует фазовый переход, при котором одновременно возникает спонтанная поляризация как в протонной подсистеме, так и в подсистеме тяжелых ионных комплексов. Математически строго обосновано, что все вычисления должны при этом проводиться в смысле квазисредних [37], что с физической точки зрения соответствует включению бесконечно малого внешнего электрического поля, фиксирующего направление спонтанной поляризации [89].

Следует отметить, что в работах [81], [85], [86], [89] доказательство термодинамической эквивалентности модельного и аппроксимирующего гамильтонианов потребовало некоторого обобщения условий, необходимых для применения известной мажорационной техники [52], [62]. Это проявляется в замене условия ограниченности нормы коммутатора гамильтониана системы с динамическими операторами, которое в случае работ [81], [85], [86], [89] не выполняется из-за наличия не ограниченных по норме операторов бозонного поля, на более слабое условие вида

где индекс v означает, что в данные формулы входит гамильтониан «с источниками» [43, 62]. Здесь ^ — гамильтониан системы с источниками, «7— динамический оператор.

С точки зрения развития метода аппроксимирующих гамильтонианов и дальнейшей разработки его применений особый интерес представляет установление новых классов точно решаемых модельных систем.

Часть третья

ПЕРЕХОД

К «РЕАЛИСТИЧЕСКИМ» СИСТЕМАМ

ВВЕДЕНИЕ

В этой части рассматриваются некоторые свойства статистических систем, связанные с наличием в них вырождения состояния статистического равновесия.

Тот факт, что в ряде задач статистической механики мы имеем дело с состояниями равновесия, вырожденными по отношению к некоторым макроскопическим параметрам, был впервые выявлен Н. Н. Боголюбовым в его фундаментальной работе [37]. Это вырождение связано с инвариантностью гамильтониана рассматриваемой модели по отношению к некоторой непрерывной группе преобразований и может быть снято включением в гамильтониан членов, соответствующих внешним полям или источникам, нарушающим указанную симметрию гамильтониана.

Известно, что инвариантность гамильтониана системы многих частиц по отношению к некоторой непрерывной группе преобразований связана с соответствующими аддитивными законами сохранения, которые приводят к определенным правилам отбора для квантовостатистических средних (см. разд. I, ч. II). Между тем изучение ряда моделей, описываемых гамильтонианами указанного типа, показало, что при температурах ниже некоторой критической возможно существование ненулевых средних, которые согласно правилам отбора должны были бы быть тождественно равны нулю. Это означает, что состояние статистического равновесия, характеризуемое такого типа ненулевыми средними, обла-

дает более низкой симметрией, чем гамильтониан системы, по отношению к тем преобразованиям, инвариантность относительно которых обусловила правила отбора для средних.

В этой ситуации чрезвычайно плодотворным оказалось введение Н. Н. Боголюбовым понятия «квазисредних». В гамильтониан системы включаются члены, соответствующие внешним полям или источникам, нарушающим исходную симметрию гамильтониана и тем самым аддитивные законы сохранения. Эти дополнительные члены содержат в качестве множителя некоторый параметр v>0*). Средние величины, вычисленные для системы, гамильтониан которой включает дополнительные члены такого рода, уже не удовлетворяют первоначальным правилам отбора, обусловленным аддитивными законами сохранения. Оказывается, что если после вычисления средних устремить параметр v к нулю, то в результате этого не все средние будут иметь то значение, которое они имели бы при усреднении для системы с исходным гамильтонианом. Можно сказать, что в таком случае средние величины оказываются нестабильными по отношению к введению бесконечно малых полей или источников, нарушающих аддитивные законы сохранения. Поскольку имеет смысл рассмотрение лишь физически стабильных систем, ясно, что бесконечно малое изменение гамильтониана может вызвать лишь бесконечно малое изменение тех величин, которые действительно характеризуют реальные физические свойства системы.

Средние, вычисленные по бесконечно мало проварь- ированному гамильтониану системы (предельный переход v->0 выполняется всегда после предельного статистического перехода), Боголюбов назвал «квазисредними» [37]. Если квазисредние совпадают с обычными средними (т. е. если обычные средние получают лишь бесконечно малые приращения при включении в гамильтониан бесконечно малых членов, нарушающих его исходную инвариантность), то состояние статистического равновесия является невырожденным. В противном случае мы говорим о вырождении. Очевидно, вырожденное состояние целесообразно описывать именно с помощью квазисред-

♦> О принципе выбора параметров v в гамильтониане, содержащем члены с источниками, для конкретных систем с четырехфермионным взаимодействием см. гл. IV, ч. II.

них, которые в этом случае являются более физичными, чем обычные средние. Квазисредние зависят от некоторого параметра, характеризующего степень произвольности выбора внешнего поля или источника, нарушающего аддитивный закон сохранения. (Смысл этих параметров будет установлен ниже при рассмотрении конкретных моделей.) При этом обычные средние представляют собой квазисредние, усредненные по всем возможным значениям соответствующего параметра.

Предложенная в [37] математическая схема представляет алгоритм установления нетривиальных неравенств для равновесных средних (квазисредних), позволяет исследовать вопросы о специфическом упорядочении в моделях статистической механики и рассмотреть структуру энергетического спектра низколежащих возбужденных состояний при ^->0. Спонтанное нарушение симметрии в нерелятивистской теории проявляется в ненулевом значении некоторого макроскопического параметра (спонтанной поляризации, плотности сверхтекучей компоненты и т. п.), тесно связано с проблемой фазовых переходов и в последнее время интенсивно обсуждается с различных точек зрения. В частности, широкое обсуждение вызвала гипотеза о том, что спонтанному нарушению симметрии при определенном ограничении на характер взаимодействия отвечает ветвь коллективных возбуждений «бесще- левого типа»: Итш(^) = 0.

/г->0

Заметим, что некоторые идеи здесь были перенесены из теории элементарных частиц, где основное состояние ( = вакуум) неинвариантно относительно группы непрерывных преобразований, оставляющих инвариантными уравнения поля, и переход от одного вакуума к другому можно описать в терминах возбуждения бесконечного числа частиц нулевой массы (бозоны Голдстоуна). Теорема Голдстоуна [90] утверждает, что с нарушаемой непрерывной симметрией связано существование бозонов нулевой, массы. Мы не будем останавливаться на различных аспектах доказательства этой теоремы и отметим лишь, что метод двухвременных температурных функций Грина является наиболее естественным при исследовании характера спектра элементарных возбуждений системы.

В работе [37] Н. Н. Боголюбовым было установлено неравенство для двухвременных температурных функций 242

Грийа в энергетическом представлении и на его основе доказана фундаментальная теорема об особенности типа 1/д2 в теории сверхтекучих бозе- и ферми-систем, согласно которой, например, плотность непрерывного распределения бозе-частиц по импульсам q при q->0 стремится к бесконечности не медленнее, чем \/q\ В данном случае вырождение связано с законом сохранения полного числа частиц, но аналогичные особенности появляются у корреляционных функций определенного типа, характеризующих системы с другими видами вырождения.

Существенным моментом явилось использование результатов, полученных Н. Н. Боголюбовым, в качестве источника получения сгрогих доказательств об отсутствии специфического упорядочения в одномерных и двухмерных системах многих частиц, взаимодействующих посредством парных потенциалов с определенным ограничением на взаимодействие. Проблема наличия или отсутствия фазовых переходов в системах с близкодействием обсуждается довольно давно, физическая причина невозможности специфического упорядочения в одномерных и двухмерных системах достаточно очевидна: создание макроскопической области разупорядочения с характерным размером ~ L требует пренебрежимо малой энергии (~Z/“2, если взаимодействие характеризуется конечным радиусом). Однако единый подход к данной проблеме отсутствовал, и строгих результатов здесь было получено немного. Так, в частности, в 50-х годах Ван Хову удалось строго доказать, что в одномерном классическом газе непроницаемых сфер с конечным радиусом взаимодействия фазовые переходы отсутствуют.

Весьма эффективным оказалось использование теоремы о 1/g2 Н. Н. Боголюбова применительно к проблеме специфического упорядочения в изотропном гей- зенбергском ферромагнетике и в системах сверхтекучего и сверхпроводящего типов. Использование теоремы о 1/д2 для получения строгих доказательств отсутствия специфического упорядочения в одно- и двухмерных системах [TV->оо, V->oo ^V = LdY N/Ld-+const], в которых спонтанное нарушение симметрии проявляется совершенно различным образом: ферро-, ферри- и антиферромагнетики, системы, моделирующие сверхтекучесть и сверхпроводимость и т. п., поивело к построению общего алгоритма и оказалось чрезвычайно плодотворным.

Отметим, в частности, что свои особенности имеет применение развитой математической схемы к вопросам пространственно-периодического упорядочения.

Неравенства Боголюбова дают нам универсальный метод исследования систем, обладающих вырожденными состояниями статистического равновесия, и будут положены нами в основу настоящего исследования.

Нашей целью является построение метода исследования некоторых фундаментальных свойств систем многих частиц, связанных с наличием в них вырождения. При этом основнсе внимание будет уделено вопросам, касающимся самой возможности существования в некоторых моделях одного, двух и трех измерений вырождения состояния сгатистического равновесия (при ненулевых температурах), связанного с эффектами «дальнего порядка», а также выяснению структуры зависимости энергии низколежащих возбужденных состояний системы от волнового числа.

ГЛАВА I

НЕРАВЕНСТВА Н. Н. БОГОЛЮБОВА

В СИСТЕМАХ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ МНОГИХ ЧАСТИЦ

С НАРУШЕННОЙ СИММЕТРИЕЙ

Основные неравенства для функций Грина и корреляционных функций в статистической механике квантовых систем

Рассмотрим статистическую систему и операторы динамических величин Л, В, которые могут быть выражены с помощью операторных волновых функций или операторов рождения и уничтожения. Определим средние от произведений таких операторов:

(Л, B> = Sp{exp(-^/0) Л ^}/Sp ехр ( —27/6).(1.1)

Усреднение, обозначаемое угловыми скобками (...), производится по каноническому или большому каноническому распределению Гиббса, причем оператор Н представляет собой гамильтониан рассматриваемой статистической системы, или соответственно гамильтониан минус

оператор числа частиц N, умноженный на химический потенциал Л. Температуру 6 здесь и в дальнейшем мы предполагаем выраженной в энергетических единицах.

Так как среднее введенного выше типа связано с каким-либо свойством статистической системы, представляющая интерес его величина согласно общей постановке статистической механики соответствует главной асимптотике по числу частиц N (или объему системы V) в предельном статистическом переходе N ->оо, 1/->оо, A(/y=const. Будем полагать эту статистическую предельную процедуру всегда выполненной.

Как упоминалось во «Введении», вырожденное состояние статистического равновесия велссообразно описывать с помощью квазисредних. Так как предельный переход v->0, фигурирующий в определении квазисредних, совершается после статистического предельного перехода и соответствует макроскопическому выключению дополнительного внешнего поля или источника, то характерные свойства, которые мы будем устанавливать в этой главе для средних (Л В), не чувствительны к тому, фигурирует в процедуре усреднения гамильтониан Н или гамильтониан, включающий дополнительный член v Н' с последующим предельным переходом v->0. Это позволяет нам в дальнейшем не вводить специального символа для квазисредних, обозначая их теми же угловыми скобками (...), как и обычные средние (1.1).

Введем зависимость от времени рассматриваемых нами операторов с помощью процедуры, аналогичной введению гейзенберговского представления в квантовой механике:

А (/) = ехр ЦН /) A exp ( — i Н /), (1.2а) /^=[Л(О;^Ъ (1.2б)

где в качестве оператора Н фигурирует гамильтониан Н, либо оператор Н — KN, либо оператор Н + vH'. (Через v//' обозначен дополнительный член, снимающий вырождение.)

Рассмотрим теперь некоторые характерные свойства временных средних или так называемых корреляционных функций (А (/) В (т)). Как следует непосредственно из (1.1)

й (1.2а),

<Л (/) В (т)) = (Л « - т) В) = (А В (т - /)>,(1.3а)

(Л+(/) В+(т)) = <5 (т) Л (/))*,(1.36)

<Л (О Л+ (О) = <ЛЛ+>=<ЛЛ+>* 2а 0.(1.3в)

Используем далее хорошо известные спектральные представления для корреляционных функций (Л (/) В (т)):

4 оо

(Л(/)В(т)) = б7дВ(й>)ехр(о/6)ехр( — i<a(t — T))dto, (1.4а) — ОО

4-00

(В (т) Л (0) = ^ав (<») exp (— z о (/ — т)) do, (1.46) — 00

где q^ab^ — так называемая спектральная функция, представляемая билинейной формой по операторам Л, В:

ав (®) =

= {Sp exp (- Я/6)}-15 (С* В Q (С* Л Cv) exp (- ev/6) X

X6(ev —e^ —co),(1.5)

где sv, Cv — собственные значения и собственные функции оператора Н:

(//-ev)Cv = O.(1.6)

Аналогичные спектральные представления справедливы для квазисредних.

Из спектральных представлений (1.4) и свойств (1.3) следует

(1.7)(1.7)^^(«43=0.

(1.7)

(1.7)

Покажем это, используя основные идеи работы [37]. Возьмем произвольную регулярную, достаточно быстро убывающую на бесконечности функцию /(м). Тогда можно построить функцию

1 Т

М0=2л J f (®) exp (— zro/) dm,(1.8)

— ОО

причем

(1.9)(1.9)4-00

(1.9)

(1.9)

/ (о) = $ h (/) exp (ZcoZ) dt.

— 00

Если для всякой такой функции

5 ^AA^HfWdto^O,(1-Ю)

— ОО

то справедливо и (1.7), так как мы можем локализовать | / (ю) |2 в сколь угодно малой окрестности произвольной ТОЧКИ too.

Рассмотрим

5 ^лл^®)!^)!^^ $ л л+(»)/(<»)/* (го) dm = — ОО—ОО

4-004-00

= 5 ^^дд+С®) $ ^ (0 exp (zW) d/х— 00—00

х J h* (т) exp (— itot) dt = J dt J duh (t)h* (r) x

X (Л+(т)Л (/)> = <zzzz+>, (1.11) где введено следующее обозначение:

и= $ Л+ (т) h* (т) dr, и* = $ A^h^dt. (1.12) — 00—00

Согласно (1.36), (шг^^О, т. е. справедливо (1.10) и тем самым (1.7).

Докажем теперь, что

^АВ (to) = ^в+д+ (to).(113)

Действительно, ^в+лН®) определяется соотношением

4-оо

<Л+ (т) В+ (/)) = $ ^в+д+(to) ехр (—Zto(/ —r))dto (1.14а) — 00

ИЛИ

4-00

(Л+(/)В+(т))= $ <& в+а+ (о)exp (zgd (/ — т)) do.(1.146)

— 00

С другой стороны, согласно (1.36)

(Л+(/) В+(т)) = <В (т) Л (/))* =

{

4-00^ *

$ ^лв(ю)ехр(—ito^t — T))doz =— 00/

4- 00

= $ ^s(to)exp(za>(/ —T))do. (1.15)

— 00

Сравнивая (1.15) и (1.146), убеждаемся в том, что справедливо соотношение (1.13). Таким образом, билинейная форма е7дв (со) обладает свойствами скалярного произведения.

Воспользуемся тем, что для произвольной билинейной формы 7(Л, В), обладающей свойствами:

(1.16)(1.17)(1.16)(1.17)Z(A, Л+)^0,

(1.16)

(1.17)

(1.16)

(1.17)

Z (A*, B*) = {Z(B, А)}*,

справедливо неравенство (типа неравенства Шварца)

Z^A, A^Z^ B^\Z^A, В) |2.(1.18)

Поэтому для спектральной интенсивности имеем ^АА^ (to) ^В+В (®) I АВ (®) |2‘(1 • 18а)

Если рассмотреть билинейную форму вида

7(Л, В) = ^^(G))^^"-^,(1.19)

— ОО

то нетрудно убедиться в том, что в силу неотрицательности функции [ехр (ш/9) — 1]/ш и свойств плотности ^ав V^ Для нее также справедливы соотношения (1.16) и (1.17).

Форму (1.19) можно непосредственно связать с функциями Грина с помощью спектральных представлений. Введем, следуя работе [1], запаздывающую и опережающую двухвременные функции Грина:

«Л(/); B(T)»^ = -j0(/-T)<M(O; В(т)]>,(1.20)

«Л (0; В(т)»^=/0(т-О<[Л(О; В(т)]).(1.21)

Их энергетическое представление определяется с помощью интеграла Фурье:

«Л (0; В(т))Уе<-а^= 5 «Л; В»^-^0 х

X ехр (— IE (t — т)) dE.(1.22)

Функции Грина ((Л; ВУ^. ((Л; ВУ^ могут быть представлены в виде единой функции комплексного переменного, имеющей особенности только на вещественной оси. Так как для этой функции имеет место сле-

дующее спектральное представление:

(1.23)(1.23)«Л;to.

(1.23)

(1.23)

то билинейная форма (1.19) совпадает со взятой с обратным знаком функцией Грина (1.23) в точке Е = 0. Вследствие этого мы получаем характерное неравенство для функций Грина:

|«Л; Л^оП«В+; В»£.о|^|«л; В»£.0|2. (1.24)

Для удобства дальнейших приложений придадим этому неравенству другую форму. Пусть фигурирующий у нас оператор А представляет собой коммутатор некоторого оператора Q с оператором Н, т. е.

Л(0 = /^ = [(Ж Я], (1.25а) л+(0=-<^^ = -[<т я]. (1.256)

Заметим, что Л(/) = 0, если Q(t) является интегралом движения (коммутирует с гамильтонианом).

Спектральная функция ^qb^Y определяемая соотношением

4-оо

(1.26)(1.26)(В (т) Q (0) = $ <^qB (to) exp (Zo (т — 0) dto, — 00

(1.26)

(1.26)

довольно просто связана со спектральной функцией ав (®), введенной ранее. Действительно, используя определение (1.25а), имеем

<В(т)Л(О> = /^(В (t)Q(/)> = + со

= $ (o^qb (ю) exp (io (т — t^dto. (1.27) — 00

Сравнивая это равенство со спектральным представлением (1.46), получаем соотношение для спектральных интенсивностей:

(1.28)(1.28)^ ав (to) = to27qB (о).

(1.28)

(1.28)

Опираясь на это соотношение, нетрудно показать, что

«Л; В))Е_0 = - (2л) • ([Q, В]>.(1.29)

Действительно, для одновременного коммутатора имеем представление

+ оо

<[Q (0; 5(0]) = $ ^QB(<»)[exp (о/в) — l]dm =

— 00

+ 00

= J ^лв(®)[ехр(®/0)-1]^, (1.30) — 00

откуда, сравнивая с (1.23) при Е = 0, получаем (1.29). Напомним, что в формуле (1.29) операторы А (/) и Q(i) связаны соотношениями (1.25), а В может быть выбрано произвольно. Полагая, в частности, В = А*=— [Q+, Я], получаем

«Л; Л%_0 = (2Л)-1ДО; [Q+; Я]]).(1.31)

Неравенство (1.24) с учетом (1.31) и (1.29) можно записать как оценку для величины | ^В*; В))в_0|:

|«В+; В»Е-о 1^ 2л I <[QHQ+; ЯП) I’С1-32)

правая часть которой включает, по существу, произвольный оператор Q, выбором которого можно распорядиться по своему усмотрению.

Заметим, что из спектрального представления

«В+; В»£_о=^- J ^B+B(®)^^-d<B = — 00

= - i 5 ^в*в ^ texp ^^+ц ^5?"й® — 00

и из того, что th х)х ^ 1, следует

(«В+; В»Е_о1^(4ле)'1<ВВ+ + В+В>.(1.33)

Таким образом, получаем неравенство для корреляционной функции (ВВ+ + В^ВУ

<ВВ* +3*6^26^*^^(1.34)

Неравенства (1.32) и (1.34) носят общий характер и могут быть использованы при исследовании различных физических систем.

§ 2. Классические аналоги

Неравенства, аналогичные (1.32) и (1.34), справедливы также и для классических коммутаторных функций Грина [22], [92].

Как было показано выше, двухвременные температурные запаздывающие и опережающие функции Грина для статистической механики классических систем можно определить следующим образом:

Gret(t, /') = ©(/-/') <{Л(/); ВО).

Gad^t, П=-0(Г-О<М(О; ВО).

Здесь выражение {Л (/); В^О представляет классическую скобку Пуассона для функций динамического состояния изучаемой системы:

Л (0 = Л (^ (0^ (0; Pi (0. • • •. P^ (0),

В(О = В(<МП<МП; р^ПPnO. (л d) V ( дА дВ дВ дА\ 1 1<У^' dPi

Координаты и импульсы в момент времени / определяются уравнениями движения и начальными значениями #(0) = ф, р/(0) = р;. Усреднение (...) выполняется по гиббсовскому ансамблю

(.. .> =Q^...exp {— Н (q, р)/^ dqtdpi... dqNdpN, где Q —интеграл состояний. В таком случае среднее (А(Д В ^O будет зависеть от разности (/ — /')• При этом имеют место следующие спектральные формулы:

+<»

(Л (0 В О= S ^АВ (to) exp (—ia(t — Г)) da,

— ОО . 'h00

<[Л (/); В (/')]) = — у ^ ^лв (ю) го exp (— ia(f— t'^da.

— ОО

(1.35)

Для соответствующих функций Грина в £-представ- лении можем записать

«Л;Е1»_„ ;

— ОО

для комплексных значений Е функция ((Л; В» задается формулой

«Л; 8»=—^ *$ “^«W^-(1.35')

— ОО

Докажем классический аналог неравенства Н. Н. Боголюбова, для чего воспользуемся основными положениями работы [91].

Рассмотрим средние типа (Л (/) B(t')) как билинейные формы из Л и В. Заметим, что для введенных средних

(ЛЛ*)^0, (ЛВ>* = (Л*В*>,

<ЛВ>* = (В*Л*>.;

Покажем, что для спектральных функций ^ав (®) имеет место следующее соотношение:

^В ^—^В*А* (to).

Принимая во внимание инвариантность гамильтониана и фазового объема Лиувилля по отношению к каноническим преобразованиям и считая, что в классической механике произведение динамических величин коммутативно, убеждаемся в справедливости этого утверждения:

+ ОО

$ <В* (О Л * (0)) exp (tW) dt = — ОО + 00

= 5 <Л(ЛВ(0)>*ехр(—iW)d/. — ОО

Докажем, что

^лд.(о)^0.(1.37)

Для этого возьмем любую достаточно регулярную функцию /(со), убывающую достаточно быстро на бесконечности, и покажем, что для всякой функции из этого

класса

+f ^.(®)|f(to)|2dto^0.(1.37')

— ОО

Введем функцию

4-004-00

А (0 = ^ § / (®) ехР W d®, причем f (со) = ^ h (t) x — OO— 00

X exp (— tW) dt.

Тогда левую часть (1.37') можно записать в виде

4-оо4-оо 4-о° 4-о°

$ ^ аа* (<о) | f (to) |2 dm = J di ^ dr J dto^AA*(to)x — 00—OO —OO —oo

X h (t) h* (t) exp (— io (/ — t)) = J dt J (/т(Л*(т)х

X Л (/)) h(t)h* (т) = (ы*ы), где

ы= J Д* (t) h* (t) dr, u*= A (/) h (t) dt. — oo—oo

Отсюда на основании (1.36) следует неравенство (1.37'). Таким образом, справедливость неравенства (1.37) установлена, поскольку всегда можно локализовать |/(®)12 в сколь угодно узкой окрестности любой точки to0.

Пусть далее / (Л, В) есть произвольная билинейная форма по отношению к функциям Л и В такая, что f(A, Л*)^0, {/(Л, В)}*=/(В*, Л*).(1.38)

Покажем, что

|f(Л, В)|2^/(Л, А^ЦВ*, В).(1.39)

Заметим, что согласно (1.38)

f(xA-Vy*B*, x*A-VyB*)^O

(где х и у — произвольные с-числа), или, раскрывая, |хр7(Л, А*Нх*уНВ*. А*НхуЦА, В)+

+ |у|2/(В*, В)^0.(1.40)

Положим

х* = — f(A, В), Х = — ^(А, B) = — f(B*, Л*),

тогда

— |/(Л, В)\ЧкА, A*) + {fkA, Л*)}2^*, В)^0,

откуда получим неравенство (1,39), если /(Л, Л*) 5^0.

Теперь следует показать, что если f(A, Л*) = 0, то и / (Л, В) —0. Для доказательства положим в (1.40) /(Л, Л*) = 0, х* = — ЦА, B)R, x= — fkB*, A*)R,

У=У* = \Э

где R — любое положительное число. В этом случае найдем

—27? |/(Л, В)|2 + /(^*, В)^0.

При R->oo видим, что левая часть этого неравенства при /(Л, В)#=0 стремится к —оо, что невозможно. Таким образом, неравенство (1.39) доказано.

Заметим, что условиям (1.38) удовлетворяют билинейные формы

/(Л, В^^лвк^У

Следовательно, для них можно записать

I АВ к^ I2 ^ АА* к^ ^В* В к^У

С другой стороны, условиям (1.38) удовлетворяют также и билинейные формы вида

1 v°КА, В) = ^ $ ^лвН^.

— ОО

Поэтому на основании спектральных представлений (1.35') для фурье-образов, введенных функцией Грина, получим

|«Л; В»£_о|8^«Л; Л*»е_0«В*; В»£_о.(1.41)

Неравенство (1.41) представляет аналог неравенства Н. Н. Боголюбова [37] для функций Грина, введенных в статистической механике классических систем.

Приведем один из возможных вариантов неравенства (1.41), который требуется для дальнейших исследований. Будем исходить из спектральных представлений (1.35), в которых положим

А^ = ф;Н\, Л*=^ = {О*; Я}.

Тогда спектральная формула (1.35) примет вид + оо

(В(/')Щ0> = $ <^DB ^) exp (—иЦ1 — И) dto. — со

С другой стороны,

(В (/') А (0> = — / J ^db (<») ехр (— ia (t — f^ da, — ОО

откуда заключаем, что ^лвС^)^— ito^DB^Y Далее, используя спектральные представления (1.35) при t = f в случае Е = 0, получим

<{О(/); В Ш = - 2л «А; В»Е_0.

Аналогично, ((Л; Л*»е_0 = — (2л)-1 ({D (Z); А* (0}). Заметим также, что в силу спектральных теорем - (2л0)-1 (В* (0 В (П) = «В*; В»Б_0.

Поэтому окончательно для формулы (1.41) получим /М,АД,А\>.Й । О® (0! 5(0}) I2/1 дох

<В (0 В (0) В —.(1.42)

Таким образом, в классической статистической механике все три неравенства (1.24), (1.32), (1.34) совершенно эквивалентны и выбор того или иного из них является вопросом удобства.

Возвращаясь к использованию (1.32), (1.34) в квантовой статистике, сделаем предварительно следующие замечания. Выбор операторов В и Q, входящих в неравенства (1.32) и (1.34), определяется теми конкретными свойствами рассматриваемой модели, которые нас интересуют. При этом ясно, что неравенство будет тем более эффективным, чем большей будет его правая часть. Если нас интересует поведение корреляционной функции (BkBt + BkBk) в длинноволновом пределе Л->0 ^B = B^t то следует стремиться к возможной малости по к знаменателя правой части. Для этого в качестве оператора Q следует выбрать «почти интеграл движения»—оператор, который при к = 0 коммутирует с гамильтонианом системы. При этом коммутатор в числителе правой части отражает трансформационные свойства операторов Вк при бесконечно малых преобразованиях непрерывной группы симметрии, генератором которой является оператор Qk_0.

При этом, как мы увидим ниже, если симметрия (в упорядоченной фазе) нарушена, то среднее от этого коммутатора при надлежащем выборе оператора Вк будет отличным от нуля.

Таким образом, ясно, что неравенства (1.32), (1.34) особенно интересны при рассмотрении систем с нарушенной симметрией, когда входящие в него средние представляют собой квазисредние величины. Очевидно, что в качестве оператора Q/^o мы выбираем именно тот характерный интеграл движения, который связан с симметрией, нарушенной в упорядоченной фазе.

В свете этого замечания представляется, что форма (1.42) «классического» аналога неравенства обладает определенным преимуществом: изучая, скажем, коллективные возбуждения классической системы при й->0 целесообразно выбрать D (&) «квазиинтегралом» движения: lim {D; //} = 0. £ о

§ 3. Неравенства в модели Гейзенберга

Рассмотрим модель сильно магнитного вещества, представляемого системой спинов, расположенных в узлах кристаллической решетки и связанных обменным взаимодействием. Это известная модель Гейзенберга, гамильтониан которой имеет вид

н--^1^"^8^-<L43>

fl.

Здесь /(А~ А) = ф( | A — A1)—величина обменного интеграла, описывающего взаимодействие между спинами в узлах А и А, причем ферромагнетику соответствует /0^0, антиферромагнетику 1 (f) ^0, а 1 (0) = 0. Суммирование в (1.43) проводится по всем узлам кристаллической решетки, Sy = {Sf, Sf, S*} —- операторы спина с обычными перестановочными соотношениями:

Sf 8^ - S^ = iSzfk(f-f').(1.44)

Представление о сильно магнитных веществах как о системе спинов, закрепленных в узлах решетки и связанных обменным взаимодействием, несмотря на простой вид гамильтониана (1.43), позволило получить ряд важ-

ных результатов, относящихся к магнитным явлениям, которые подтверждаются на опыте (см., например, [93]).

Гамильтониан (1.43) инвариантен относительно трехмерных вращений спина. Между тем при температурах ниже некоторой критической (температуры Кюри для ферромагнетиков) в рассматриваемой системе имеется преимущественная ориентация спинов, приводящая к отличной от нуля средней намагниченности на.узел. Направление вектора намагниченности для системы (1.43), однако, совершенно произвольно, что и выражает вырождение состояния статистического равновесия относительно поворотов в трехмерном пространстве. Согласно представлениям, развитым во «Введении», можно снять это вырождение включением в гамильтониан (1.43) бес* конечно малого члена, соответствующего внешнему полю, задающему направление спонтанной намагниченности. Направление этого поля можно выбрать за ось г: vH'=-Vh^S^-VhVNSt S2-^^. (1.45)

Средние величины, вычисленные для системы с таким бесконечно мало проварьированным гамильтонианом, будут, по определению, квазисредними. Это именно те средние, которые представляют интерес для теории магнетизма. Заметим, кстати, что обычные средние будут в таком случае квазисредними, дополнительно усредненными по всем возможным направлениям внешнего поля.

Очевидно, что все направления спонтанной намагниченности эквивалентны, и поскольку каждое фиксированное значение ее отвечает некоторому фиксированному выбору основного состояния (в этом смысле конкретный выбор М означает совершенно определенный выбор «вакуума»), а повороты вектора спонтанной намагниченности приводят к другим основным состояниям, энергия которых одинакова, то можно интерпретировать генератор группы непрерывных вращений, оставляющих инвариантным гамильтониан, 8 = ^8/ как «оператор, f

вращающий основное состояние». Это преобразование можно рассматривать как возбуждение над основным состоянием колебаний нулевой энергии (поскольку при этом изменяется макроскопический параметр, то возбуж-

2572579 Боголюбов, Садовников

257

257

дается бесконечное число частиц), оставляющих систему трансляционно инвариантной. Отвечает ли этим «бозонам нулевой массы» ветвь коллективных колебаний «бес- щелевого» типа ( lim о (q) = 0) — вопрос до сих пор, вообще говоря, открытый. В ряде случаев (изотропный ферромагнетик, системы сверхтекучего типа) это так. В этой связи упомянем обратную теорему Андерсона, утверждающую, что при наличии в системе ветви спектра колебаний «бесщелевого» типа основное состояние является вырожденным.

Обсуждение этих вопросов проводится в работах [91], [94], [95], [97], [84]. Мы покажем, как неравенство Боголюбова может быть использовано для выяснения характера спектра [96].

Поскольку мы будем интересоваться поведением различных величин в длинноволновом пределе (&->0), удобно перейти к фурье-компонентам спиновых операторов:

S^=p^2 S^ ехр (t (kf))’ г = ±х, у, z;

[St; sr]=^-sUn [st; st]= + pLst+^.

Если мы рассмотрим состояние, в котором спин в узле / направлен вверх вдоль оси г, то под действием оператора

(1.46а)(1.46а)SF=S^-fSf

(1.46а)

(1.46а)

это состояние превратится в состояние с перевернутым спином в узле f, а под действием сопряженного оператора

st=s;+»sf,

(Sn+=SF,(1.466)

спин вернется в исходное положение. Оператору

s;=^2exP(i(kf))S7<L47a)

будет соответствовать «спиновая волна», распространяющаяся с импульсом к в плоскости х, у, и этот опера-

тор мы назовем оператором рождения спиновой волны над основным состоянием (в котором все спины ориентированы одинаково вдоль оси г).

Сопряженный (1.47а) оператор соответственно «уничтожает» спиновую волну с импульсом к:

(Sfe)+=:Slfc = p^2eXP (- 1 ^ ^(L476)

Рассмотрим неравенство (1.32) для функции Грина ^St-k; Si^E-o. т- е. выберем в качестве оператора В* оператор

Вк=8к, Bt=SLk.(1.48)

Роль «почти интеграла движения» Qk играет оператор

Qa = S—й! Qt=Sk.(1.49)

Коммутатор

Ш B»]> = <[S±ft; S»]>=22<Sp = 2<Sf2>(1.50)

содержит «параметр упорядочения» (Sp (от f не зависит)—среднюю намагниченность на один узел, отличную от нуля в упорядоченной фазе.

Вычисляя коммутаторы, входящие в знаменатель (1.32) и (1.34), получаем:

№ Я]=гsk; -121 Q-g) (SA)" =

= - 2^ ' 21 ^ - ^ texp (i (kg)) - exp (— i (kf))] x

x (sf2sg+sgsf2); (i.5i)

[<2ъ [Qt; /fJHsl»; - * ^(f-gH^PW)-

- exp (-i (kf))] (SA + SgSf)] = - JL £ 7 (f - £) X

f,g

X (1 - cos (k, f - g)) {4S A + SgS; + S7Sg},

где мы воспользовались тем, что I (f — g) = I (g — f) и /(0)=0.

Неравенство (1.32) с учетом (1.49)—(1.51) принимает

вид

]«Srft; St»£_0|^]«Srft; St»£_0|^2211cos (к, f —g)) хcos (к, f —g)) х

]«Srft; St»£_0|^

]«Srft; St»£_0|^

2

2

1

1

cos (к, f —g)) х

cos (к, f —g)) х

x (4 <s?s£+<sX>+<s;sg>) | p1. (i.52)

Соответственно для (1.34) получаем

^86j<Sf> |2^86j<Sf> |2f.sf.s(S— kSk + SftS_ ft) 2s

^86j<Sf> |2

^86j<Sf> |2

f.s

f.s

X (4 (S^> + <SgS7> + <S^)) I}"1. (1.53)

К неравенству (1.53) мы вернемся в дальнейшем, а сейчас остановимся на неравенстве (1.52). Функция Грина «Si/?; Sk^E-o имеет в окрестности ^=0 особенность вида 1/&2. Это позволит нам сделать некоторые выводы относительно спектра элементарных возбуждений. При этом мы будем интересоваться не деталями длинноволновой части спектра, а лишь существованием или отсутствием бесщелевой ветви. Сначала упростим (1.52), используя соотношения:

(4S/Sg + Sf Sg + SgSf) =

jv 2 ^ ^kSL^) + <S^S_ k) + (S— kSk)} X к

X exp {i (k (f - g))} ^ 12 {4 <5*31 ft) + (SK ft) +к

+ <S- ftSt)} = 4 <Sf2SP + 2 <S?Sf) + 2 <srsp ^ ^4<(S/S/))^4S(S+1).(1.54)

Будем далее считать, что обменный интеграл отличен от нуля только для ближайших соседей. Векторы, соединяющие данный узел с ближайшими соседями, обозначим через 6, и будем считать решетку простой кубической (шесть ближайших соседей). Однако заметим, что для сходимости коэффициента при № в знаменателе (1.52) во всяком случае достаточно, чтобы схо-

дился ряд £ 7 0 Л Итак, учитывая (1.54), получаем

^N^I (f-g)(l-cos(k, f-g))(4<Sfoz) + he

+ <StS"g-V 8,8^48 (S+1) j 2 7 <6) <! - cos <k6» ^ d

6$ 48 (S + 1) у I • 2 f 2 62=4S (S + 1) / W2,

(1.55)

где 1 = 1 (6).

Неравенство (1.52) принимает вид

„141 (Sf) I2

|«S—»; 5а))в_0|^2л 4S(S+1)Zfe262/2 •(1.56)

Неравенство (1.56) позволяет непосредственно выяснить качественное поведение зависимости энергии низколе- жащих возбуждений типа спиновых волн от квазиимпульса. Действительно, если предположить, что состояние В^о — долго живущее в низкоэнергетической области возбужденное состояние системы (над основным состоянием То), то, пренебрегая затуханием, т. е. считая, что гамильтониан системы в области малых к в операторах Вк и Вк представляет собой диагональную квадратичную форму ^аЦк) В^Вк, мы должны были бы к

иметь для малых к следующую полюсную структуру функции Грина G*(B) = ((B*; Вь^е на плоскости энергии в области В^О:

I(В) I ~ fg^wW

Предполагая непрерывность функции Gb (В) по В и к, получим

1°-<0)|~^.

Для этой же величины будем иметь оценку снизу (1.52), согласно которой

|С6(О)|^Д/^.

Поэтому мы сразу получаем оценку для энергии элементарных возбуждений типа B^o как функции

квазиимпульса к:

со (&) const h?,

т. е. дисперсионная зависимость низколежащих возбуждений (если они, конечно, существуют) при к->0 имеет вид

со (&) ~ &2+а, где а ^ 0.

Естественно, здесь существенно использовано предположение, что величина Д =# 0 [см. (1.56)]. Если же Д = 0, т. е. в нашем конкретном примере квазисреднее (S/) = 0, и дальний порядок в системе отсутствует, то подобного заключения о спектре низколежащих возбуждений мы сделать уже не можем.

Этот же вывод относительно характера поведения энергии возбуждения системы можно сделать, используя понятие «средней энергии элементарного возбуждения», которое возбуждено над основным состоянием оператором Вк. Для этого обратим внимание на то, что плотность таких состояний (их энергия отсчитывается от энергии основного состояния) с импульсом к и энергией со дается следующим выражением:

И, v

= ТГ^в*в (®).

V BhBbX '.

т. е. пропорциональна введенной в гл. I функции спектральной интенсивности ^ вХвк^* ПРИ этом Q = Spexp (—H^Y

Определим среднюю энергию элементарных возбуждений как

ю^з+в (to)d<0

toB(&) = ^ (1.57)

$ ^BtBb^dto

— ОО R R

и средний квадрат этой энергии

+ ОО

$ to2^BfB (to) d<0

<-W) = ^"•О-58)

Из этих соотношений, в частности, следует

^)-(М^))2^0.(1.59)

Можно интерпретировать ®в(^) как среднюю энергию низколежащих возбуждений, если при Л->0 обе величины (1.57) и (1.58) стремятся к нулю. Для того чтобы ®в(^) и шв(^) обращались в нуль при к-^0э очевидно, необходимо, чтобы основной вклад функции ^в^в (ф) в соответствующие интегралы происходил от малых значений о, (со/9<П). Будем исходить именно из такого предположения, что до некоторой степени оправдано, если полученные результаты для ов(&) и ©в (6) ему соответствуют.

Для оценки знаменателя в (1.57) и (1.58) заметим, что функцию Грина «В^; В^е-о в соответствии со сделанным предположением относительно функции спектральной интенсивности ^в^вк (°) можно представить в виде

«Bt; Bk))E^ =

= * Г d^B+B

2л Jх 7 СО

— оо + оо

= -Я S ^s^M^- <1-60) — ОО

Аналогично для коммутатора <\Вь S^]> получаем, 4-го

<[Я6; ВХ])= S d®^B+B (®)[1-ехр(—©/0)]^

— ОО"

+оо

^^ — — \ dto^^r+r 6 J ВкВк 7

— ОО

т. е.

-1-00

5 и^вЛ®)^—-9^; Bi]>.(I 6o

— ооR

Далее заметим, что в силу соотношений, аналогичных (1.28) и (1.25),

^В^Вк^= ^в^увк< Н]^)»(1.62)

и мы можем оценить числитель в (1.58):

$ ®2^B6(®)da) = -J ®^в|(рЛ;Н]

“^6 <[[SA; Щ; Bt])б№ [Вд; НЦ), (1.63)

где мы воспользовались соотношением, аналогичным (1.61).

В нашем рассмотрении гейзенберговского ферромагнетика согласно (1.48) соотношение (1.61) принимает вид

S “^sL^ (®) dto^-9 <[S-; SI J) = — ОО

= - £ £<- 2Sf> = 20 <Szf). (1.64) f

Для числителя правой части (1.58) получаем

— ОО

= ^£/(/-S)(l-cos(k, f-g))x f. g

x {4 (SfSg) + (Sf Sg) 4* (S, Sg)}

<ey /4S(S + 1)№ (1.&)

Здесь мы использовали полученное ранее соотношение (1.51) и оценку (1.55).

Используя (1.64), (1.60) и неравенство (1.52), получаем для средней энергии (1.57)

-г20 (S1>/WS(S + 1)

‘1,- 4KSSI та

2л (l/2)/W4S(S+D

используя (1.65), (1.60) и (1.52),—для среднего квадрата

-^П^ГЗ (S+l) /W12

">k(k,<;L—та—J •

Таким образом, когда средняя намагниченность на узел (S,) (от f не зависит) отлична от нуля, мы имеем tos-(k)~^2; ®^00~^;

lim (to2 — (to)2) = О, /г->0

что, как мы и ожидали, представляет собой известный закон дисперсии спиновых волн. Таким образом, эта бесщелевая ветвь элементарных возбуждений существует в упорядоченной фазе (т. е. при отличном от нуля (S/)). Заметим в заключение, что «оператор, вращающий основное состояние», So представляет собой предельное значение (при ^->0) оператора, возбуждающего нормальные колебания. Последнее, очевидно, обусловлено высокой симметрией системы.

Неравенство Боголюбова (1.53) позволяет дать простое и строгое доказательство отсутствия ферромагнетизма в одно- и двухмерной моделях [98]. Перепишем (1.53) с учетом оценки (1.55) в форме

46 I I2

<S»SL6 + S±6S^ ^(^^ •(1.53')

Просуммируем это неравенство по всем к, лежащим в первой зоне Бриллюэна:

14 (8^У11

jv 2($*$-* +^0 s (8+1) /б2 ¥ 2^’(1.66)

кк

Оценим левую часть:

L=N~1 5 2 {<3, >2 + (Sf>2} < 23 (3 + 1). f

В пределе бесконечного объема, заменяя суммирование в правой части интегрированием, получаем

4 ^s2fy 1 Ld р dk

#= 8 8 (8 + 1)/62 N (2л)3 J F ’

где d=l, 2, 3 — размерность системы. Неравенство (1.66) принимает вид

(1.66')(1.66')4 <S^1 Ld 1 е dkS(S+ 1) /53 TV (2л/ } №*

(1.66')

(1.66')

Левая часть его ограничена, а интеграл по к в правой части расходится на нижнем пределе в случае одного и двух измерений. Поэтому очевидно, что неравенство (1.66), а вместе с ним и (1.66'), и (1.53'), может выполняться (при О У= 0) только в том случае, если входящая в правую часть квазисредняя (Sp тождественно равна нулю. Таким образом, отличная от нуля спонтанная намагниченность не возникает в системах одного и двух измерений. Мы исходим из предположения, что в рассматриваемой модели взаимодействуют лишь ближайшие соседи, но результат не изменится, если мы откажемся от этого предположения. Как указано ранее, достаточно, чтобы сходился ряд УI (f) р.

f

Мы так подробно остановились на этой достаточно простой модели по той причине, что очерченный подход с минимальными модификациями применим для доказательства отсутствия специфического упорядочения ферро- и антиферромагнитного типа (в последнем случае «зеемановский» член выбирается в виде¥//' = — v/z^exp (Zx f

X(kf))S/, exp[Z(kf)]=l для f, пробегающих одну из подрешеток (I), и exp[(z(kf)] =—1 для /, нумерующих узлы другой подрешетки (II), причем 0 = 01—011 для весьма широкого класса спиновых моделей). В частности, в работе [99] доказано, что система электронов (в периодическом потенциале решетки), локально взаимодействующих с ядрами, не обладает при d=l, 2 специфическим упорядочением в случае бу=0. Сходный результат получен в работе [100], где рассматриваются волны спиновой плотности в электронном газе. Выше- очерченный подход может быть использован для доказательства отсутствия ферро- и антиферромагнитного упорядочения при d — 1, 2 в системах с «сопряженными» связями (полиены и полиацены).

Подобного рода результаты по спиновым системам были в определенном смысле подытожены работой [101], в которой рассматривается гамильтониан такого вида:

^v = —v/z^cos^S/2-5 ^(/, Пх

I1фГ

х Г 2St Sp + 2 ^is^psl *VHei,

часто используемый для изучения магнетизма металлов. Здесь

Hei = '^\Tr^R — R') atoa^-V^K (/, V^ п^п^о^ / = R, г,

R — радиус-вектор узла, г —индекс зоны, a nls и St обычным образом строятся из операторов рождения и уничтожения «ванье-состояний» ato, сца* п1о = а^а1(51 St = а^ац. Si = а^ац, s —- спиновый индекс . (s = ± 1 /2). Можно поставить вопрос о ненулевом значении квазисредней (Si), Szi =(пц — т^/2 при v->0 и d = 1, 2. Отметим, что (чЮ = 2ли отвечает ферромагнитному упорядочению, (чЮ = ли —антиферромагнитному, а при других выборах (tjR) приходим к более сложным типам упорядочения (ферромагнитного типа). В качестве «почти интегралов движения» здесь целесообразно выбрать Qt = S"k, а в качестве Вк взять В^ = (S^—n + S^+ti)/2 — фурье-компоненты операторов спина, определяемые обычным образом (при т) = 2лС, где G —вектор обратной решетки, мы приходим к ситуации, сходной с той, что разобрана выше).

В данном случае мы интересуемся состояниями с ненулевым значением избыточной намагниченности на спин на узел:

q=¥s^ cos(4R)<Sr, ,>.

R, г

Вычисляя соответствующие средние в (1.53), получаем теорему типа 1Д?2 в данном случае:

/Г Д • Д+1 \26 а2

Ч q> QAw (а+6) +v/ia*

а = 2 ^тг Ф-k ь = 6 S \Ri-R^kk, к) (1.67) R, ггъ r8, R

для q, лежащих в первой зоне Бриллюэна. Полагая, что общее число зон ограничено и a<oo, b < со — последнее означает определенное ограничение на возможные потенциалы, — приходим при v -> 0 к выводам, вполне аналогичным сформулированным выше: для выполнения (1.67) при d = 1,2 необходимо, чтобы а(6=^0)=0.

Заметим, что результат (1.66) относится к системам бесконечного объема. Нам удалось показать, что нера-

венство Боголюбова может иметь применение к конечным системам. К рассмотрению этого вопроса мы и переходим.

Применение неравенства для конечных систем

Будем рассматривать неравенство (1.53') для системы, содержащей конечное число N спинов. Периодические граничные условия приводят к следующим значениям квазиимпульса:

*(а) = ^«1а).(1-68)

где а=х, у, г, а п(а* принимает У(а) последовательных целых значений /W = IJAM“>, У=]^[£(“Л. Напомним, \ аа /

что в силу инвариантности системы относительно трансляций на шаг решетки квазиимпульс к определен с точностью до произвольного вектора обратной решетки. Удобно выбрать к в первой зоне Бриллюэна, т. е. положить

n<a> = 0, 1, 2ЛМа>-1.

Когда мы рассматриваем конечную систему, понятие квазисредней, очевидно, не имеет непосредственного смысла. Однако если имеется преимущественное направление в расположении спинов, то средняя (S/) для системы с конечным объемом V будет также отлична от нуля и составлять конечную часть от максимальной намагниченности S.

Как мы увидим, неравенство (1.53') можно использовать для оценки размеров такой области преимущественной ориентации.

Рассмотрим одномерную цепочку N спинов, помещенных в узлах с расстоянием а между ними. Тогда неравенству (1.53) с учетом (1.54) можно придать форму

264

+(L69)

где, как и ранее, взаимодействие между ближайшими соседями дается обменным интегралом /=/(а).

Просуммируем неравенство (1.69) по всем к, кроме 6 = 0. В одномерном случае, как видно из (1.68), 6 = ^{1^-l},L = Na.

Оценим левую часть (эта оценка от размерности системы не зависит):

^-1 s <s±Asi+sis±ft>=

6 + 0

= ^ 2 <S?S7 4- SfSt) - ^ 2 <$№+SgSf) < ff.g

< N-1 5 (SrSf+SfSt) ^ 23 (8 +1). (1.70)

Таким образом, из (1.69) и (1.70) получаем

ГЗ(5+1)12 /1 у 1

(5?)6 NW X—cosha' ' '

Как мы видели в предыдущем параграфе, это неравенство не выполняется в бесконечной одномерной системе (когда <StW^Y Следовательно, для каждого заданного значения (Sf), S и //6 можно указать такое Nmax» что для N > Nmax неравенство не выполняется. Оценим это Nmax. Рассмотрим правую часть (1.71). Очевидно, что

1 у 1= 1 у 1

"N V—cos ка — 2N £ sin2 (Z?a/2)

кфОk^O

2л/а — 2л/ЛГа

1 NaСdk 1 j , л . /л\)

2АГ 2лJsin^^ ~ 2л (Ctg W ~ Clg \Л ~ О —

2л/ЛГа

= лГ ctg N = л5 = ПУ О-72)

Оценка возможной длины одномерной цепочки, составленной из спинов, связанных обменным взаимодействием /, принимает вид

(1.73)(1.73)л)<101Г^±£)12. е L <sf> J

(1.73)

(1.73)

Обменный интеграл / является феноменологической величиной, характеризующей интенсивность взаимодействия соседних спинов. Это взаимодействие может быть

причиной упорядочения спинов, когда температура системы (в энергетических единицах) меньше, чем некоторая температура порядка величины обменного интеграла. В случае бесконечных систем мы можем говорить о температуре фазового перехода. В нашем случае введение такой «критической» температуры делает более наглядными проводимые оценки. Очевидно также, что интенсивность взаимодействия зависит от величины спинов. Итак, считая, что «критическая» температура

9с^/8(3+1),

получаем

^<10^51^+0

6 (s^ •

Для температур 9~9с/1О и намагниченности (Sp^ /^3/10 имеем ^^104.

Аналогичную оценку нетрудно построить для двухмерной модели ферромагнетика. Из (1.53') и (1.70) находим (для квадратной решетки с шагом а)

2[S(S + l)PaV1 у 1

W(L74)

Если заменить суммирование по первой зоне Бриллюэна интегрированием по кругу, содержащемуся в ней, то неравенство только усилится. Получаем для правой части (1.74)

(2л/Ь) N

111С kdk 1 1 А7 1 21 А7

Ж £2 > (2л)2 n 2л j £2 — 2л v InW — 2я a In Ж.

к ф О2л/Ь

Тогда (1.74) принимает вид

!ny<MS£+_Wl.

<sp2 0

Вводя аналогично тому, как это было сделано выше, 9С=/3(3+1), имеем

1пМ<л^^^

и для (Sf)~S/4, 9~8c/4 ^<ехр200^ 1080, что, очевидно, указывает на возможность существования макроскопических ферромагнитных пленок.

Классический аналог модели Гейзенберга

Для иллюстрации использования классического аналога неравенства Н. Н. Боголюбова уместно теперь рассмотреть некоторые его применения.

Возьмем классический аналог модели Гейзенберга, гамильтониан которой имеет вид

я=- S^A-AHSy.Syj-pSSy3,я=- S^A-AHSy.Syj-pSSy3,fl, иfl, иff(1.75)(1.75)

я=- S^A-AHSy.Syj-pSSy3,

я=- S^A-AHSy.Syj-pSSy3,

fl, и

fl, и

f

f

(1.75)

(1.75)

и исследуем вопрос о возможности существования спонтанной намагниченности в одно- и двухмерных системах такого типа. Здесь {/} — пространственные точки, соответствующие N узлам решетки Бравэ, 0 — малое магнитное поле, Sy —- векторы момента, ^ (fr — А) — неотрицательные числа [предполагается, что (А-А) положительны, когда А и А будут ближайшими соседями].

Фиксируем величину каждого момента. Тогда наша система будет описываться 2N каноническими переменными: 0у и Sf\ где 0у —угол между проекцией Sy в плоскости /, 2 и осью /, a Sy3’ —проекция Sy на ось 3. При этом

Sy1* = (Sy2 - (S^3У)1/2 cos 0у; S^ = (Sy2 - (SH2)1/2 sin0y.

(1.76)

Скобки Пуассона для функций динамического состояния изучаемой системы в этом случае имеют, вид , д V (дА дВ дА дВ \

{ДdS(^ ^ d0^ j,

или с учетом (1.76)

И; я)-2$, ^^].(1.77)

ГдА 651

La^ ds^J- вектор

/ дА дВ _ дВ дА \.

\dSf8’dS'f»' dS^dSf3’)'

с компонентами:

/ дА дВ _ дА дВ \.

^dS^' dS^»'dS)»1 dS}11) ’

/ дА дВ дВ дА \

dSfdS1^ dS^' dS^)e

Основываясь на неравенстве (1.42), покажем, что в одно- и двухмерном случаях в рассматриваемой

системе отсутствует спонтанная намагниченность. Существенно подчеркнуть, что для большей эффективности неравенства (1.42) при исследовании конкретных задач функцию D следует выбирать «квазиинтегралом» движения, для чего положим в (1.42)

B = S%, B* = SV', D = ST> В* = 8^э

где

Sf = 2 S^ exp (- i (kf)), S)°° =

-l^S^exp^kf)), a=l, 2, 3,

к

N —-число узлов. Тогда в наших обозначениях неравенство (1.42) примет вид

(1.78)

Остается вычислить скобки Пуассона, входящие в это неравенство, для чего, пользуясь (1.77), можно показать, что з

К*; «И=А(/-Г) Цбар^Р,

Y=1

где

( L f = 0.

A(f) =’ '’ a, 0 = 1, 2, 3,

v/ ( О, /V О, м

€apy — единичный, абсолютно антисимметричный тензор третьего ранга, в котором Gm=€231 = 6312= 1; €321= = 6213=6132 =—1, а все прочие элементы равны нулю. В таком случае для числителя правой части (1.78) находим

|(№ S-4>|2= ^(8И\

а для знаменателя после соответствующих преобразований получим

|<{5^'; {S2’6; Я}}>| =

= 2 5 <2? (f-g) (1 - cos (f - g) k) I • I (З'^Зк1’ + 3№) + f,gI

+ PS <s>3 >

f

Таким образом, неравенство (1.78) принимает вид

| <S2W) I ^ 615 <8)$'> Г/ 2^^ (f-g) х If I I f. g

xW-costf-g^tSWSi'+Sf’SnA-^^^^ O-79)

Суммируя полученное неравенство по к (лежащим в первой зоне Бриллюэна), заметим, что в' силу трансляционной инвариантности средние типа (S/a)S^v)) не зависят от / и поэтому

s W)=N 2 <sp>sr>=№ (s№), k f

где /0 — некоторое число.

Для случая малых к положим 1 — cos (f — g) k <Zzi^!

и пусть R=f — g. Тогда после обычного предельного перехода статистической механики для неравенства (1.79) получим

1№>

+ S^goS£-miSz|}"\ (1.80)

Здесь S^=<S/3') соответствует предельному значению намагниченности на частицу в однородном поле 0; и — удельный объем, d — число измерений, а интегрирование проводится по первой зоне Бриллюэна.

Вычисляя интеграл в правой части (1.80) для одно- и двухмерного случая, можно показать, что для спонтанной намагниченности справедливы следующие оценки, сходные с оценками работы [98]:

const 17^ * I In I Э I I1/2const 17^ * I In I Э I I1/2двухмерный случай,двухмерный случай,

const 1

7^ * I In I Э I I1/2

const 1

7^ * I In I Э I I1/2

двухмерный случай,

двухмерный случай,

| S^ | <^^ | 0 |1/3— одномерный случай.

Таким образом, в рассмотренной модели с взаимодействием конечного радиуса отсутствует спонтанная намагниченность при отличных от нуля температурах в исчезающе малых полях р.

Оценки

для структурного фактора классической равновесной однокомпонентной плазмы

Отметим, что неравенства Н. Н. Боголюбова, а также их классические аналоги могут применяться и для весьма нетривиального характера оценок. В качестве иллюстрации получим оценки для статического структурного фактора классической равновесной однокомпонентной плазмы [102].

Выберем наиболее простую модель рассматриваемой системы, а именно будем считать, что плазма представляет собой газ заряженных частиц, которые двигаются в среде, имеющей ' противоположный заряд, так что в целом система нейтральна (выбор такой модели не ограничивает общности задачи). Таким образом, мы рассматриваем классическую динамическую систему, состоящую из весьма большого числа одинаковых частиц N, находящихся в макроскопическом объеме V, гамильтониан которой имеет форму

Имея в виду, что статический структурный фактор системы определяется выражением

2 exp{i(kra} \2 exp{i(kra} \5(1.)= Шп 1( У->оо, N/V-* const

2 exp{i(kra} \

2 exp{i(kra} \

обратимся к неравенству (1.42).

Введем локальную плотность заряда п(г)=е58(г<-г),

*’ При этом всегда имеется в виду предельный переход статистической механики: N—^оо, V—►оо, N(V = n = const.

или, переходя к представлению Фурье, п^е^ехр {t (kry)}.

i

Отсюда ясно, что оценку для статического структурного фактора S (&) можно получить, конкретизируя величины, входящие в неравенство (1.42), следующим образом: в = пк=е 2 ехр {/ (kry)}. /

Для выбора Q = Qu заметим, что в рассматриваемой системе выполняется закон сохранения суммарного заряда.

Введем вектор потока иг)=2^р/б (r<-r)>

или в представлении Фурье

J»=^2p'exptt(kr')}’ 7

который и будет в нашей задаче «квазиинтегралом» движения, т. е.

[/о; я]=о.

Положим теперь

Q^^^D/expi-/^)}, ^=i-*-

/

Тогда после несложных вычислений получим выражения скобок Пуассона для числителя и знаменателя правой части неравенства (1.42):

l<№ В}>|^5|кр^,

№ {Q*; н^ = ^з^« + ^^(l-cosk^-r^^M.

7^7

Усредняя здесь первую сумму, имеем у 3 ^ (kpi)= 3 £11 к |2 W6.

\Z-i т? т / т2 1 1

Для усреднения второй суммы заметим, что среднее значение любой величины s-кратного типа

A- S Кчч)

можно вычислить при помощи s-частичной функции распределения:

(Л) = AFS dt!... drs =

siy$ j / (r^, ris)Fsdr1...drs, или, пренебрегая, как всегда, величинами порядка 1/N > <л>=5 § / (г<1 *\)Fsdri drs- Тогда

^(l-coskfr,-^^^..

= 'f 5 dr ( dR (1 - cos kr)(r, R),

V V

где Г2 (r, R) — двухчастичная функция распределения в переменных г=п — Г/, R = n.

Теперь, подставляя полученные выражения в неравенство (1.42), написанное для структурного фактора S (к), имеем

S(k)>

52= Ит -^я—Д2-..г.

N -» со, I3WV +" к dr \ dR (1 -cos kr) ^^f 2(r, R)l V —> co, |(

N/V = const vv v)

Это выражение моя^но существенно упростить в рамках метода самосогласованного поля, полагая приближенно

F^R, r)=F2(r) = l-^exp(— ar),

Ф (г) = у exp (—ar), a2 = ——, что справедливо в частном случае кулоновских сил. При этом

S(k)^^2/(3^2 + a2),

т. е. статический структурный фактор равновесной однокомпонентной плазмы точно ограничен снизу.

Обращаясь к неравенству (1.34) для статистической механики квантовых систем, заметим, что аналогичная оценка может быть получена для статического структурного фактора S ^ = ^ (р^р-^), построенного на операторах фурье-компонент плотности числа частиц в импульсном представлении. Более подробно мы обсудим этот вопрос ниже при рассмотрении кристаллической системы.

Неравенства для корреляционных функций в модели Изинга

Простейшим гамильтонианом квантовой статистики, позволяющим получить нетривиальную информацию о таком интересном свойстве системы многих частиц, как фазовый переход второго рода, является гамильтониан Изинга:

Яо = -(7/2) 5 S^Sfz8, 7 = const.(1.81)

Он инвариантен относительно дискретной группы отражений (Sz -► — Sz), и если добавить «зеемановский член» Я$ = —v^Sf. У = рЯ, то полный гамильтониан

Hl=Hs + H0 = -^^S2f-U0/2) £S^2(1.82)

позволяет изучать поведение различных средних при v->0, фазовые переходы в модели Изинга. Если ограничиться случаем S2 = ±1/2> то аппарат гриновских функций и спектральные теоремы удобнее использовать здесь, переформулировав модель Изинга на язык операторов спиновых отклонений п^ полагая последние построенными на операторах Ферми [103]:

Sf = V2 ~ ^/, ^/ = afaf> ajar + aTaf = ^z^.

При этом Hi из (1.82) дается формулой

H^E^ + L ^-L^k. L = v + ^-,

£0=-4(v + t)-<h83)

В работе [103] было показано, что для спектральных интенсивностей в модели Изинга ^qp (о), определенных на Q = a,R и Р = a^N, где R и N — операторы, построенные из произведения произвольно выбираемых операторов иА (Л у= f, gt; gi — какой-либо из ближайших соседей /), имеет место точная формула

г

^aAatN= S C^Nk6 ^-Ebb (1.84) где Af* = [exp (Е*/б) + I]1, Ek=L — kI, c£1/Z2—• некоторые комбинации равновесных средних (корреляторов в модели Изинга):

г—к

^ (—0 р^М о

Суммирование во второй формуле ведется по всем перестановкам п^ ... ngp со всевозможными выборами р из г ближайших соседей. Формулы сходного типа имеют место и для случая, когда Q = ajOv (ngl... nglt) R, P = = a^O^ (ngl... n^ N, где Oi и O2 строятся как комбинации операторов ng_, a R и N по-прежнему являются произвольными комбинациями n^h^f, gi). Отличие здесь лишь то, что суммирование в выражениях типа (1.84) идет не до k=z, а до к = г — max (и, т), и индексы суммирования у Ск и Nk несколько «сдвигаются», однако существенная черта выражения (1.84): 6-образная структура спектральных интенсивностей остается. Это обстоятельство приводит к системе точных алгебраических уравнений для корреляционных функций в модели Изинга и позволяет, использовав непосредственно основное неравенство Н. Н. Боголюбова в форме (1.24), получить неравенства для корреляционных функций для любых v и 6 [104]. Нам представляется в этой связи, что неравенство Н. Н. Боголюбова представляет наиболее удобный алгоритм для установления строгих неравенств в модели Изинга. Ниже мы проиллюстрируем это, использовав наряду с спектральными представлениями лишь (1.84), что приведет к весьма нетривиальным неравенствам для различных корреляторов. Естественно, можно использовать для этой цели и спектраль-

ные интенсивности, построенные на Q = afOiR, Р = = а?О2М, но схема рассуждений будет отличаться лишь вычислительными подробностями.

Выберем в качестве операторов Л и В в (1.24)

Л = iafM, В=a^R,

где М и R — некоторые операторы, построенные на операторах nh(h^f, gf, напомним, что g: нумерует узлы, соседние с /). При этом в силу уравнения движения в модели Изинга имеем

16, = (L - / S п^ at^L-lbah F =%.

Представление (1.84), известные соотношения

в (®)=б7л,-IB W-^iA. в (®)

и спектральные теоремы приводят к следующим точным выражениям для всех трех сомножителей в (1.24):

- «Л, Л *»г_о = (1/2л) {L <ЛР> - 2 (п,М^ -

-«В*, B»E_o = (.lW 2 С^ (thxM, xh=Eb№

-«Л, В»Е_0=(1/2л)<(1-2п/)/?Л4>.(1.85)

Подстановка (1.85) в (1.24) приводит к следующему весьма общему неравенству:

\[1 —г ^ ] "Z^2/ (2 С*М2) -^) 53 Т" VPtRM^,

(1.86)

которое при том или ином выборе R и М является источником получения целого ряда неравенств. Так, выбирая R = M=1 и учитывая, что thx/x^l, получаем из (1.86)

'+;w№i*^2+tN+t-. ‘—w-

(1.87)

Неравенство (1.87) уточняет и обобщает известное неравенство Гриффитса. Тот факт, что (1.87) справедливо для любых vS^O и 9>0, позволяет на его базе установить новое неравенство для критических индексов (индексов порядка при v->0+, Т-^Т^.

Заметим, что особый интерес, вызываемый моделью Изинга в последнее время, обусловлен надеждой построить на основе результатов, полученных в ее рамках для свободной энергии и корреляционных функций, микроскопическую теорию фазовых переходов второго рода. Эта надежда подкрепляется, с одной стороны, точными результатами Онзагера —Янга для первого и второго корреляторов в нулевом магнитном поле (v->0+) для двухмерных решеток, с другой стороны, экспериментальными данными по фазовым переходам ферромагнетик-парамагнетик, конденсации, порядок — беспорядок в сплавах, адсорбции на двухмерные структуры. Усилия многих исследователей в последнее время направлены на выяснение поведения термодинамических величин (намагниченности М, восприимчивости Хт, теплоемкости Ся) в непосредственной окрестности точки фазового перехода | Т —• Тс | < Тс • 1/z, характеризуемое термином «критический индекс». Строгое определение этого понятия основывается на сравнении In W и Ing*, где g = = (1—0/0с) х. Критический индекс X в низкотемпературной области (6 ^ 6С) дается следующим образом:

Х= lim (1п|Г (0+, 6) 1/1П5Г), №(0+, 6) = lim Г (v, 6). е-+е~v-*o.

(1.88)

Мы видим, что здесь существенно пользоваться именно квазисредними (v^O), рассматривая их поведение при 0-*6с, v-*0+. Естественно, можно ввести критические индексы X' как индексы порядка, выбрав в качестве функции сравнения g' = 1/Х (v > 0) и определяя X' следующим образом:

X'= lim (In | W (v, 9c) | Ing'), IT (v, 9ё) = lim W (v, 9);

v-o+e-»c

но мы здесь детальнее остановимся на более привычных критических индексах X, даваемых (1.88). При этом Х = 0 означает, что № (0+, 9С) конечна, а Х=0 отвечает логарифмической особенности. Первое равенство (1.88) записывается и так:

Г(0+, 0)-^.

В модели Изинга можно ввести критические индексы: «я, ам> Ро, Yr, Ys, определяющие поведение теплоемкости при постоянных магнитном поле и намагничен-

ности, а также намагниченности, изотермической и адиабатической восприимчивости:

CH~gaH, CM-gaM, M~g"\ Хт^е^.Хз^8.

(1.89)

При этом из термодинамики следует

ан^ам^0, Yr^Ys^O, р0>0,ан^ам^0, Yr^Ys^O, р0>0,(1.90)(1.90)

ан^ам^0, Yr^Ys^O, р0>0,

ан^ам^0, Yr^Ys^O, р0>0,

(1.90)

(1.90)

/ дМ \ тн = — \ дТ)н’/ дМ \ тн = — \ дТ)н’(1.91)(1.91)

/ дМ \ тн = — \ дТ)н’

/ дМ \ тн = — \ дТ)н’

(1.91)

(1.91)

а аналог связи между Ср и Cv в этом случае:

р р ।1^Б^-т\

^н = ^м + ^н\Q—,

позволяет совместно с (1.90) сразу заключить, что

полученное неравенство существенно «термодинамической природы». Воспользовавшись (1.89), мы приходим к неравенству Рашбрука — Гриффитса для критических индексов

ая + 2Ро + Yr 2.(1.92)

Вопрос о знаке равенства до сих. пор является открытым, хотя и экспериментальные данные, и точное решение для d = 2, и приближенные расчеты (для d = 3) свидетельствуют в пользу равенства. Перегруппировав члены в (1.87) и отбросив термодинамически несущественное последнее слагаемое в правой части (что, впрочем, мажорирует неравенство), имеем

^^G, ^=2zlf^ G = zlf1-L^~2f1),

fi = <nt\ ^ = <ntngy (1.93)

Использовав определения См и М, не сложно доказать, что из (1.93) следует сравнимость ^ и G до первого порядка, откуда

См^тнМ №УХ.

Из определений (1.89) совместно с (1.93) немедленно следует

ам + 2Р0 + Yr 1 •(1 -94)

Уместно подчеркнуть, что при выводе неравенства (1.94) существенно использовались динамика системы [гамильтониан (1.83), представления (1.84) и общие свойства

билинейных форм (неравенство Н. Н. Боголюбова (1.24)]. В том случае, если ан = аМэ неравенство (1.92) мажорирует (1.94); если же ан^аМэ то полученное новое неравенство наряду с (1.92) и (1.90), дополненное условием термодинамической устойчивости, позволяет провести некоторую классификацию типов фазовых переходов.

Другие выборы операторов М и /? в (1.86) позволяют получить нетривиальные оценки высших корреляторов через низшие.

Поскольку в данном случае налицо инвариантность гамильтониана Но относительно дискретной группы преобразований, то «бесщелевой» ветви спектра коллективных возбуждений нет.

Глава II

ТЕОРЕМЫ ОБ ОСОБЕННОСТЯХ

ТИПА 1/д2 В ТЕОРИИ СВЕРХТЕКУЧИХ БОЗЕ- И ФЕРМИ-СИСТЕМ

§ 8. Конденсация Бозе—Эйнштейна. Принцип ослабления корреляций

Следуя работе [37], рассмотрим динамическую систему из одинаковых бесспиновых бозе-частиц с гамильтонианом вида

Я = — ^ ^ Т+ (г) AT (г) dr-X J Y+ (г) Т (г) dr + VV

+ у $ Ф (П - r2) Т+ (rx) Т+ (r2) V (r2) V (rx) drx dr2; (2.1) V

здесь т — масса частиц, Л,—химический потенциал, V — объем системы, Ф (г) — потенциал парного взаимодействия, зависящий только от модуля г. Полевые операторы Y+ (г) 4е (г) связаны с бозевскими операторами рождения и уничтожения а^ ак (в импульсном представлении) обычными соотношениями:

^г)=г^ 2йа ехр (* ^kr))’

(г)=^2а^ехр (—z (rk))- (2-2)

Известно, что система, описываемая гамильтонианом (2.1), может при достаточно низких температурах обнаруживать свойство сверхтекучести, которое связывается с макроскопическим значением среднего числа заполнения состояния с нулевым импульсом: величина No — = (ноПо) становится сравнимой с полным числом N частиц системы (составляет конечную долю от него). Как было показано Боголюбовым [103], последнее означает, что оператор ^~ асимптотически равен с-числу:

а^арVа^арVПо = "у-.По = "у-.(2.3)(2.3)

а^арV

а^арV

По = "у-.

По = "у-.

(2.3)

(2.3)

Так как коммутатор

(2.4)(2.4)ар at 1 = J_

(2.4)

(2.4)

Vv » VvJ v

является бесконечно малым (V->oo), то операторы ^о/К^ и atlVV также асимптотически являются с-чис- лами. Тогда из (2.3) следует, что

у=- ~ Упй exp (za), yL ~ Vп» exp (— za) (2.5)

и соответственно

/—= -^=-=]/n0 exp (z'a),

Wv / Vv r

<y^> = ^-=/n0 exp (-z a),(2.6)

где a — произвольный фазовый угол.

Обратим теперь внимание на тот факт, что гамильтониан (2.1) коммутирует с оператором полного числа частиц системы:

У = 2 с&ак = $ Ф+ (г) У (г) dr, к

1N; Н^О.(2.7)

Это эквивалентно утверждению, что гамильтониан (2.1) инвариантен относительно градиентных преобразований первого рода:

H = U^HU,(2.8)

где U — унитарный оператор:

(/=ехр (<ф^), 17+=ехр (—1фЛ^),(2.9)

N — оператор (2.6), а ф —некоторое число, причем (/+а^ = ехр(<ф)а6, U^atU = exp (— /ф) at.

Нетрудно показать, что симметрия системы относительно группы градиентных преобразований (2.9) обусловливает равенство нулю всех средних произведений операторов рождения и уничтожения, если число тех и других не совпадает. В частности, средние, содержащие один оператор, равны нулю:

(2.11)(2.11)/-^^^О; /-^\=0: \ Vv /\ Vv /

(2.11)

(2.11)

что противоречит (2.6). Очевидно, в нашем случае мы опять встречаемся с вырождением состояния статистического равновесия, обусловленным на этот раз законом сохранения числа частиц. Это вырождение может быть снято введением в гамильтониан (2.1) бесконечно малых градиентно неинвариантных членов (нарушающих закон сохранения полного числа частиц):

vH' = — v VV (я0 exp (— /ф) + ^о exp (/ф)). (2.12)

Квазисредние, вычисленные для системы с гамильтонианом (2.1), дополненным (2.12), содержат произвольный угол ф [угол а в формуле (2.6)]. Обычные средние получаются усреднением квазисредних по всем значениям ф:

2лWV/ 2л j \/v/v.<p2лWV/ 2л j \/v/v.<p2л= — VПо \ dtp exp (ёф) = 0.2л J2л= — VПо \ dtp exp (ёф) = 0.2л J

2л

WV/ 2л j \/v/v.<p

2л

WV/ 2л j \/v/v.<p

2л

= — VПо \ dtp exp (ёф) = 0.

2л J

2л

= — VПо \ dtp exp (ёф) = 0.

2л J

Произвольность фазового угла ф в (2.12) характеризует вырождение: конкретизируя ф, мы фиксируем величину квазисредних. Полагая Ф = 0, мы обеспечиваем вещественность квазисредних:

Заметим, что источник частиц (2.12) не обладает таким ясным физическим смыслом, как внешнее магнит-

ное поле в гл. II. Поэтому уместно здесь напомнить, как можно использовать для введения квазисредних принцип ослабления корреляции.

Рассмотрим одночастичную матрицу плотности в г- представлении:

ЛОь r2) = ^(ri)V(r2)>,(2.13)

которая в силу пространственной однородности системы зависит только от абсолютной величины разности (гх — г2). Это означает, что в импульсном представлении одночастичная матрица плотности диагональна:

Л (Г1 - Г2> = V" 2 ^“^ еХр ^“ * ^k ^ - Г^'^И)

Поэтому в интеграле Фурье

Fi (г) = J (k) exp (— i (кг)) dk.(2.15)

Произведение w (к) dk выражает плотность числа частиц с импульсами из бесконечно малого импульсного объема (к, k + dk):

Ф (к) = "(2Sp" 5 F1 (Г) еХр (‘ (kr)) dr(2115')

Из определения (2.13) также следует, что ^w($dk=N/V=n.

Предположим, что при бесконечном раздвижении пространственных аргументов функция Ft (гь г2) не обращается в нуль, а стремится к некоторому конечному пределу п0 (существует так называемый «дальний порядок»). Тогда, очевидно,

ау (к)=и06 (к) + -^ § {Л (г) - n0} exp (z (кг)) dr =

sn^W). (2.16)

где Wi (к) характеризует непрерывное распределение частиц по ненулевым импульсам, а и0 — плотность числа частиц конденсата:

«0=V <4«0> = V $ <^+ (г1) V (r2)> dridr2. (2.17)

Заметим, что в силу принципа ослабления корреляции среднее (^ (и) ¥ (г2)) при бесконечном раздвиже-

нии аргументов п, г2 распадается на произведение .('F+ (Гх)) (¥ (г2)) и, как мы предположили, стремится к конечному пределу п0. Поскольку в (2.17) перед интегралом есть множитель 1/V2, его значение происходит от бесконечно удаленных областей rlf r2i и можно написать:

По = у <аоао) = 4 $ (^ (ri)> dH ( <Т (r2))dr2 = VV

=(2.18)

Очевидно, средние, входящие в (2.18), —это квазисредние, и мы опять видим, что (-^=) = (-^=)="угп.о«

Мы показали, что «дальний порядок» lim ^ (г) = п0

Г —» ОО

связан с существованием квазисредних (^=) = (-^=) = = ]/n0 и макроскопическим заполнением основного со- стояния:(-^5-) = п0^=0, обусловливающим появление свойства сверхтекучести.

§ 9. Неравенство для функций Грина и массового оператора

сматриваем пространственно-однородную систему, где закон сохранения импульса выполняется.)Введем, следуя [37], матричную функцию Грина:сматриваем пространственно-однородную систему, где закон сохранения импульса выполняется.)Введем, следуя [37], матричную функцию Грина:Наличие взаимодействия в системе приводит к тому, что кроме (-^=) и (р^> появляются и другие ненулевые «аномальные» средние: (айа_*), (а^а^). (Мы рас

сматриваем пространственно-однородную систему, где закон сохранения импульса выполняется.)

Введем, следуя [37], матричную функцию Грина:

сматриваем пространственно-однородную систему, где закон сохранения импульса выполняется.)

Введем, следуя [37], матричную функцию Грина:

G(E, k) = Pu °А ||и12 О22 И

(2.19)(2.19)Оц=((а*; йа))в; G2i=((at.fc; а^в, бм^^^Чк*, Ч-кУ^Е» ^22=((^—А» Ч-кУ^Е*

(2.19)

(2.19)

Полный массовый оператор 2 (£> к) удовлетворяет уравнению

(2.20)(2.20)^(Е, к) = (2л) 1G ЦЕ, к).

(2.20)

(2.20)

Из определения функций Грина в энергетическом представлении следует

(2.21)(2.21)«Л; В»£ = «В; Л»_£.

(2.21)

(2.21)

Из инвариантности гамильтониана (2.1) по отношению к каноническому преобразованию

а^а2_к(2.22)

следуют равенства:

<4 (О ак (т)) = <ai.ft (0 а_к (т)>, (ак (О at (т)) =

= (a_b^aLk^, (2.23)

^ак (т) а_к ^ = (а_к (т) ак ЦУ), (aLk (0 at (т)> = = (at^a*_k^.

Из (2.23) и (2.21) мы заключаем:

G22(E, k) = Gu(— Е, —k), G41(E, k) = Ga(E, -к),

(2.24)

G12(E, k) = G12(E, -к).(2.25)

Так как все коэффициенты гамильтониана H + vH’, определяемого (2.1) и (2.12), вещественны (<р = 0), то уравнения движения для операторов ак (О, at (0 инвариантны по отношению к инверсии /-* — /, сопровождаемой заменой i на — i. Поэтому средняя

+со

<a_ft (0 а* (т)) = $ ^к (<в) exp (— ia (т - /)) da (2.26)

не изменяется при замене (/ — т) ->- (т — /), i -> — I, ввиду чего

$ ^*(<о)ехр(—ia Ц — т)) da= § ^(®)Х

хехр (гю (т — 0) da. (2.27)

Отсюда следует, что спектральная функция ^(о) вещественна:

^к(.а)=^1^.(2.28)

Это, в свою очередь, приводит к соотношению

(at (т) at_k (/)) = (а.к (т) ак (Z)>,(2.29)

откуда следует, что

G21(£, k) = G12(£, k).(2.30)

Для элементов массового оператора 2 (£, к) остаются справедливыми те же соотношения симметрии (2.24), (2.25) и (2.30), что и для функции Грина:

S«p (5, k) = Sap(-£, -k) = Sap(£, -k) (а=^Р),

S12(£, k)=SM(E, k),(2.31)

522(5, k) = Su(-E, k).

Используя эти свойства симметрии и определение матрицы 2(5, к), получаем выражения для функций Грина:

би №. К) = «ак; 4»е = 2^2и(£, ^^(Le, к)—£22(е, к)’

(2.32)

Ga(E, к) = <<^ 4»д = _ 1S12 к) /О ООХ

~ 2л Ен (Е, к) Ен (-Е, k)-E*s (Е, к) *^'°^

Далее мы рассмотрим неравенство Боголюбова (1.32) для функций Gu(0, k) = ((aft; at»£-o и для ^ak — aLk; at — а-^в-о» т. е. полагаем

BT=at, BT=at-a.k.(2.34)

Выбор оператора Qk в неравенстве (1.32) связан с характерным интегралом движения задачи — полным числом частиц:

N=^ ^k^k— §(г) ^р* (г) ^/с— р (г) ^ге(2,35)

кVV

Введем фурье-компоненту рЛ плотности числа частиц р(г):

p<r)=v2p*exp^(kr^’

*(2.35')

Р»=$ Р (г) ехр {— i (kr)} dr = 5 4a?+*- q

В дальнейшем полагаем:

Qh=Pfe. Qt=pi=p /=.(2.36)

Оператор р* имеет следующие соотношения коммутации с операторами ак, at:

[а*-; р*]=а*.+*,

[^; pkA=-at._fe.( • '

Используя (2.37), получаем знаменатель (1.32):

(2.38)(2.38)[Q- Я] = [р-А; Я]=2 ^W а*ад_к, [Q; [Q+; #]]=[рИр-»; ЩА=-№^.

(2.38)

(2.38)

Числители неравенств для ((ак; акУ)в-0 и для «а* —at.*; at — a-k^E-o будут содержать коммутаторы: [р*; 4] = «о. (2.39) [р*; a* —a_*] = 2a0, (2.40) и мы приходим к неравенствам:

I «а»; 4»е-0 1^2л7*2/^У = 2л "п" ""№’ t2,41) |«a*-at.*; aj-a_*»£-ol> ^^£, (2.42)

где n0 = N0/V, ^о = (4ао) = <^о) <«о) = <^о)2.

Если в неравенстве (2.41) фигурируют «нормальные спаривания», то в (2.42) вошли и «аномальные»: (aqa_q), (OqOt-q'').

Результат, даваемый формулами (2.41), (2.42), «георема о 1/д2», был впервые установлен Н. Н. Боголюбовым в [37] методом градиентных преобразований. При этом учитывалась градиентная инвариантность потенциала взаимодействия в (2.1) и использовался тот факт, что вычисление средних от произведений операторов at, ak по «градиентно преобразованному» гамильтониану Н^ (^, ^ = Н^ ф'+, Т), где Т (г) = ехр [—fy (г)]Т (г), эквивалентно вычислению средних по гамильтониану Н^, но соответствующие операторы при этом должны быть подвергнуты преобразованию, обратному к градиентному. Это дает возможность рассчитать вариацию средних от оператора В любого вида:

(*)

28928910 Боголюбов, Садовников

289

289

С другой стороны, по известной теореме о вариации средней от некоторого оператора при бесконечно малом приращении гамильтониана 6Н [это дает возможность рассматривать лишь бесконечно малые градиентные преобразования: Т'~(1 — 4% (г)) Т], имеем

8 <5> = (5>яу+бя — <В>ну = 2л((В; 6/7))hJe-0.(**)

Выбирая В тем или иным образом и представляя 6HV в виде 6Hv=Ab^„ где Д —генератор соответствующего градиентного преобразования. А* = А, находим прямым расчетом по формуле (*) с использованием выражения (**) как <(Д; В^Е-0, так и ((Д+; Д»в-о, что в итоге позволяет оценить по (2.24) функцию Грина ((В+; В»£_о. Данная схема расчета чрезвычайно четко показывает, что теорема о 1/^2 справедлива для градиентно инвариантных потенциалов взаимодействия.

Принимая во внимание, что согласно (2.25) и (2.30) <(^й "” ^—-А» ^^—кУ^Е—О=== 2 ^фкг О-кУ/Е-О

- 2 «а1»; 4»r-o=2Gn (0, k) - 2G12 (0, k), (2.43)

получаем в силу (2.32) и (2,33)

((aft —ai.ft; ai —a_ft»B-0=

_ П 1 EujOJO+SiHOJO J2

— In EL (0, k)-EL (0, k) 2л £n (0, k)-£12(0, k) ’

(2.44) откуда с учетом (2.42) следует, что

I Su (0, k) - 2u (0. k)|(2.45)

Из (2.45) следует в общем виде так называемое соотношение Гугенгольца — Пайнса, полученное ими для случая 0 = 0:

2и(0, 0)-212(0, 0) = 0.(2.46)

Неравенство (2.45) дает нам возможность исследовать спектр элементарных возбуждений системы в длинноволновом пределе (й->0).

Рассмотрим «секулярное» уравнение

2н (В, к) 222 (В, к) - 212 Ф, к) 221Ф, к) =

= 211 Ф. к) 211 (- Е, к) - 2?2 Ф, к) = 0,(2.47)

которое, очевидно, дает нам полюса функции Грина G^E, к). Предположим, что массовый оператор 2 Ф, к)

регулярен в окрестности точки Е = 0, к = 0 (т. е. может быть разложен в ряд по степеням Е и к в окрестности этой точки). Представим (2.47) в виде

[4 (2иФЛ) + Su (- Е, к))]2 - а цз, к)=

= [у (211 (5, к) -£ц (-Е, к))]2.(2.47)

Ввиду радиальной симметрии задачи 2 Ф> Ю =

= S(£, ^).

Левая часть (2.47') обращается в нуль при Е = 0э & = 0 в силу соотношения (2.46) и, очевидно, четна по Е. Выражение в квадратных скобках правой части (2.47') по Е нечетно. В результате при малых Е, к, пренебрегая более высокими по к членами, можно написать

(2.47")(2.47")0^ + 7£2 = а2£2.

(2.47")

(2.47")

Считая Р#=0, а2 — у^ 0 и учитывая, что полюса функций Грина не могут лежать вне вещественной оси, получаем:

E = Vsk, т. е. «акустическую» бесщелевую зависимость энергии элементарного возбуждения от импульса.

Отсутствие сверхтекучести в одно- и двухмерных моделях

Вернемся к неравенству (2.41). Согласно (1.33), (^аи + (Да^) ^ 4л6 | ^а^ Д^е-о Ь и мы получаем

<aft4 + 4aft>^29^-g-,<aft4 + 4aft>^29^-g-,(2.49)(2.49)

<aft4 + 4aft>^29^-g-,

<aft4 + 4aft>^29^-g-,

(2.49)

(2.49)

или, используя коммутационные соотношения,

(2.49')(2.49')<«^-4 + 9^-f.

(2.49')

(2.49')

Просуммируем обе части этого неравенства по всем к (^^0). При этом |к| ограничен сверху некоторым мак-

симальным значением &max порядка дебаевского импульса:

k^O

^-4(1-—)л + 6 —m4г. (2.50)

I k | < ^тах

Здесь т] порядка единицы, d — размерность системы, а от квазидискретной суммы по к мы перешли к интегралу:

1 VI2 Ld С

— 7 ...— \ ... dk.•

N Ы(2л)^ N 5

Левая часть неравенства (2.50) ограничена для системы любой размерности, а интеграл по к в правой части расходится в одно- и двухмерном случаях. Это означает, что неравенство (2.50) выполняется в одно- и двухмерной бесконечных системах при 0^0, только если и0 = (■——) = -^ (рр) ~ 0, Те е> если бозе-конденсат («дальний порядок») в системе отсутствует. Укажем еще на одно возможное применение неравенства Боголюбова.

Размытие бозе-конденсата

Известно, что при 6 = 0 все частицы идеального бозе- газа обладают нулевым импульсом и и0 = п. При повышении температуры частицы начинают «выпадать» из конденсата. Степень теплового размытия конденсата определяется при этом известной формулой [106]

1-по/п = (6/6О(ид))3/2>(2.51)

где

00 (ид) = 2л [С (3/2)]-2/з (1/иг) (N/V)^ = 3,3 (1/иг) и2/3

— температура вырождения идеального бозе-газа.

Покажем, как с помощью неравенства (2.50) можно оценить степень температурного размытия конденсата, не предполагая идеальности системы. Считая для простоты, что

у 11 v С

NN (2л)3 JNл ’

к ^= 0|к I < ^тах

I к I < kmax

получаем

Атах = [6л2 (П — П0)]1/3,

откуда из (2.50) имеем

4(1 .ij^^i^.. <„-„,)]'/•.

Окончательная оценка после упрощения принимает вид

(2.51')(2.51')1^° > f ^° ^ у^ п п 0о /

(2.51')

(2.51')

где обозначено

60 = (1/т) п3/2[(3/К2)л2]2/3 ^ 7,6 (п2/3//п).(2.51")

Этот результат справедлив для температур, отличных от нуля.

В случае 6 = 0 соотношение (1.33) несправедливо и неравенство (2.49) не имеет места. Для нулевой температуры спектральные представления для функции Грина <(^; ^»£-о и корреляционной функции ((а^ + а^)) имеют вид:

-°°(2.52)

+ ОО

(а»аН<Й) = $ ^*(<») dm,.

— ОО

где ^к (го) 2а 0.

Естественно предположить, что при малых к спектральная интенсивность практически равна нулю для ш<Е(к), где Е (к) — минимальная энергия элементарного возбуждения с импульсом к. Тогда вместо (1.33) можно из (2.52) получить соотношение

| ((^А, ^kV/E-ti | ^ 2д £ ^ ^ ^^ ($0 d(0 =

(2.53)(2.53)_ 2_(М+Ф^>”

(2.53)

(2.53)

2л Е (k)*

Отсюда и из (2.41) следует неравенство для корреляционной функции при нулевой температуре:

<акак + akafe) ^Ey^^L.(2.54)

Спектр слабонеидеального бозе-газа известен из работы [106]. Для малых к энергия элементарного возбуждения

Е^^у^к, где Фо = §O(r)dr.

v

Подставляя это выражение в (2.54) и суммируя обе части полученного неравенства по всем к ^ 0, | к | < &тах> ^тах = [6л2(п — По)]*/3, имеем

1-T^)’*llW®'(М5>

Для сравнения укажем, что точный расчет динамического размытия конденсата при 6 = 0 дает следующий результат (см., например, [107]):

1 _ 2Ь_ = фЗ/2п1/2тЗ/2' П 0оЛ2 ’

что согласуется с (2.55).

§12. Сверхтекучие ферми-системы. Введение квазисредних

Рассмотрим модельный гамильтониан Бардина—Купера—Шриффера, изучавшийся в связи с теорией сверхпроводимости:

Н=2 Т (f) а^а, - -^ 2 X (h X (Г) а№_гаг, (2.56)

где

f-(p, S), S = ±l, T(f) = (pW)-p, p>0,

/€(S), W^-plCA,i 1, S>0,

0,|p2/2m—-p|> A,l-l, S<0,

t. e. величина Хф отлична от нуля в слое (—А, А) около ферми-сферы, определяемой соотношением р^т = р, at> <2/— фермиевские операторы.•

Гамильтониан (2.56) описывает взаимодействие пар частиц с противоположными импульсами и спинами, находящихся вблизи поверхности ферми-сферы. Это соответствует идее Купера о том, что в сверхпроводнике

взаимодействие электронов с фононами решетки (описываемое гамильтонианом Фрелиха) может быть заменено эффективным притяжением между указанными парами.

Гамильтониан (2.56) инвариантен относительно градиентного преобразования первого рода:

н-и^ни,

где унитарный оператор [7 = ехр (i^N), ф — произвольное число, N = ^01^ —полное число частиц системы. Это f

означает, что гамильтониан (2.56) сохраняет полное число частиц системы:

[Я, ^] = 0.

Между тем изучение модели (2.56) с помощью аппроксимирующего гамильтониана показывает, что при температуре ниже некоторой критической в системе появляются отличные от нуля «аномальные средние» типа (а^а^) и (alatf\ которые согласно правилам отбора, обусловленным законам сохранения полного числа частиц, должны обращаться в нуль. Эти аномальные средние оказываются зависящими от произвольной фазы ф. Это указывает на появление вырождения в системе: правила отбора не выполняются, градиентная инвариантность системы нарушена. Вырождение характеризуется произвольной фазой ф, от которой зависят аномальные средние, представляющие собой в нашей задаче фактически квазисредние.

Вырождение снимается введением в гамильтониан бесконечно малых градиентно неинвариантных членов: vH' =^^W ф {exp (/ф) фГ,+exp (— /ф) а^ф,

1(2.57)

где W (f)—вещественная, достаточно регулярная функция.

Фиксируя угол ф, мы превращаем квазисредние в обычные числа. Выбор ф = 0 обеспечивает вещественность одновременных квазисредних.

Квазисредние могут быть введены с помощью принципа ослабления корреляции. Следуя работе [37] будем рассматривать пространственно-однородную систему ферми-частиц. Введем парную корреляционную функцию / (хн х2; Хь х2) = (^ (Х1) ¥+ (х2) Т (х2) Т (xj)),

представляющую собой двухчастичную матрицу плотности в г-представлении. Этот оператор является эрмитовым:

F* (xj, х2; хь x2) = F(xb х2; xj, х2), и поэтому может быть разложен по ортонормированному набору собственных функций:

^(Хь х2; Хь ^) = 2^^(^ь ^YvW, *2)(2.58)

V

с нормировкой:

5 I Tv (*ь ^2) I2 dxt dx2 = 1, v

где $ ... dx=^ ...dr. vо

Очевидно, если ферми-частицы взаимодействуют слабо, то в первом приближении Y (хь х2) представляет собой волновую функцию задачи двух тел. Основываясь на такой аналогии, назовем собственные функции Tv (хх, х2) оператора F (хь х2; х^, х2) волновыми функциями пар частиц. Будем интерпретировать соответствующие собственные значения N^ оператора F (хь х2; х^ х2) как средние числа пар в состояниях ^(Хь х2). Действительно,.

V

дает нам полное число пар системы.

Функции ^(х,, х2) антисимметричны по отношению к перестановке частиц:

^v (Хъ Х2) = —(Х2, Xi),

что следует из определения F (хь х2; х^ х2).

Выделим в волновой функции Tv (хх, х2) фактор, соответствующий движению центра масс пары с импульсом q:

Tv (Xi, Ха)=Тю,д (Г1 - г2; аь а2) ехр {/ (q ^4^)} •

Заметим, что если бы пары не взаимодействовали с остальными частицами системы, вся зависимость Tv (хх, х2) от q

содержалась бы в экспоненте:

Р(хъ х2; х], х2) =

= 2 exp {, (q ^Г^~Л~Гг)} X

X^q^x-ra, Oi, о^Ч^-Га', oi, Ga).

В силу (2.58)

2 ^^.q^ax, Oa)Pdr=^.

alfa2 V

Рассмотрим ^q (r; ab a2) для фиксированного q. В силу принципа ослабления корреляции при r-^oo^q (г; о^, и2) либо исчезает, либо представляет собой плоскую волну, соответствующую относительному свободному движению с некоторым импульсом р. В первом случае будем говорить, что волновая функция соответствует связанному состоянию пары с импульсом q, и положим:

^(г; оь ^г)=^Ф<».ч (г; Ох, а2),

так что

У, $|ф<»)Ч(г; аь о2)|Чг=1.

alfa2 V

Во втором случае положим о = (р; /);

^<о,ч (г; Ох, о2) = ^Фр.д./Сг; оъ а2)

с обычной при этом нормировкой:

2 4" S IVp.q./Cr; сть О2)|Мг=1.

<Ч» 02

Разложение (2.58) принимает вид

VI N

F^xi, х2; х1, х2) = 2 J>-^ч4ч(гх — г2; сть ajx

Xфи>ч (г? - г2; о;, a2) exp jt (q£L±£L=Iiri£?)| 4.

+ 2 -Т^Фр-о./^!-^: аь °2)Х

Хфр.ч./ (г; — г2; о;, а9 exp {i (q£L±lL=iziL2^.

В пределе V->oo переходим от квазидискрегных сумм по импульсам к интегралам:

F (хи х2; xl, х2) = 52 5dq^(to, q) <Р®. q Oi-r2; оь а2)х

X Фа.ч (г' - г2; а;, О0 exp ^i (q£1±1^=11Г^)| 4.

+ 2 2 $ dp dq^/ (р, q) фр.ч. / (rx - r2; аь а2) х

X Фр, q, / (г; - г2; а;, а2) exp |t (q (£d2«r21Z^)|. (2.59)

Здесь w^to, q) dq — плотность числа связанных пар с импульсом из бесконечно малого объема dq; Wj (р, q) dp dq — плотность числа несвязанных пар с импульсами р, q из бесконечно малых объемов dp, dq.

Как известно, согласно микроскопической теории явление сверхпроводимости обусловлено возникновением в системе конденсата из квазимолекул, образованных из пар электронов. Представим себе, что в нашей системе фермионов со спином х/2 имеется конденсат из квазимолекул, находящихся в s-состоянии. Тогда ^(<о, q) из формулы (2.59) имеет вид

ку (со, q) = р0А (со — соо) 6 (q) + wT (со, q).

Здесь р0 —плотность числа связанных пар, находящихся в конденсате. Функция ^ (со, q) описывает обычное непрерывное распределение пар частиц по импульсам.

Волновая функция связанного состояния в конденсате

Фйо.о (г, Оь о)=е (aj Д (^ + а2) у= Ф (И, где ф (г) —вещественная, радиально-симметричная функция с нормировкой: ^2(r)dr=l.

Формула (2.59) принимает вид

F (хи х2; xl, х2) = р0 е (Oi) б (°D А (ai + о2) А (о; + а2) х

X Ф (гх - г2) ф (г; - г2) + 2 2 5 dq ®1 (to, q) X

ХФ^,ч(Г1-г2; аь о2)фю,д(г;-г^; а'ь а^х

Xexpji ^q —££=Iri)| + 225dp dq Wj (p, q) x

Хфр,д,/(Г1-г2; аь а^фр.д./^-г^; а!, о2)х

X exp |i ^q£1^^1222^1(2 60)

В нашей модельной системе с гамильтонианом (2.56) взаимодействия имеются лишь между теми парами частиц, суммарный импульс которых равен нулю. Это означает, что связанных состояний, не находящихся в конденсате, нет, и wx (со, q) = 0, а несвязанные парные состояния фр,д,, будут обычными плоскими волнами; Поскольку w, (р, q) — обычная интегрируемая функция, то при бесконечном раздвижении групп пространственных аргументов гх, г2 и г{, г2 последний интеграл в (2.60) обращается в нуль. В этом пределе

F (хь х2; х;, хЭ = ро е fai) б W)А (ai + а2) X

X А (^ + ог2) ф (гх - г2) ф (г; - г2). (2.61)

То, что двухчастичная матрица плотности не обращается в нуль при указанном раздвижении пространственных аргументов, характеризует «дальний порядок» в нашей системе аналогично тому, как это имеет место для одночастичной матрицы плотности в случае бозе- конденсата.

Согласно принципу ослабления корреляции, функция Р^хъ х2; Xi, х^ при бесконечно далеком раздвижении групп пространственных аргументов гх, г2 и rj, г2 распадается на произведение средних:

(v+^a^C^VM^to))-»-

^(ТХ^Хха^х^м)).

Поэтому согласно (2.61)

(^ (ха т+ (х8)>=<т (ха т to»=

= /ро 6 to) А to + °2) Ф (I Г1 - r21),(2.62)

т. е. с помощью принципа ослабления корреляции мы получили квазисредние (2.62), обладающие явным физическим смыслом: они пропорциональны волновой функции квазимолекул, находящихся в конденсате. Их нормировка дает плотность числа таких квазимолекул:

5 $ I (^ to) V to)> |2 d^ = p0.

01

§ 13. Отсутствие дальнего порядка в одно- и двухмерной моделях

При получении неравенств (1.32) и (1.34) нам будет удобнее непосредственно исходить из локального гамильтониана электрон-фононного взаимодействия Фрелиха. Опуская несущественный для нас член, соответствующий энергии фононов, который не содержит операторов фермионного поля, выпишем этот гамильтониан

Н = 2 (^ - atsftfes + g 2 (^)1/2 (pq^q + р- q6q), k, sq

(2.63)

где at, s, Ok, s —обычные ферми-операторы; pq —оператор Фурье-компоненты плотности электронов:

Pq = 2 ^' s®k+q, s» Pq = P—q>

k, s

индекс s принимает два значения: ± 1/2; bq, gq — бозе- операторы рождения и уничтожения фононов; со (q) — энергия фононов; X — химический потенциал; g—константа связи; V — объем системы; суммирование по q в (2.63) ограничено: |q|<^max.

Как показали исследования [41], [42], свойство сверхпроводимости в модели (2.63) согласно микроскопической теории связано с появлением отличных от нуля аномальных средних (^а.у), (ai./^). Гамильтониан (2.63) сохраняет полное число частиц (мы имеем в виду градиентную инвариантность по отношению к преобразованиям ферми-амплитуд), и тем самым очевидно, что и в этом случае мы имеем вырождение состояния статистического равновесия, аналогичное рассмотренному в предыдущем параграфе для модельной системы.

В настоящем параграфе мы рассмотрим неравенство (1.34) для корреляционной функции <Р^ + ЙР^)> гДе ^=Г? 2 6(^1) А(°1 + а2) X

X § Т (х2) Т (^) 0 (Гг - г2) ехр {— i (к^Ц^} drxdr2, V

где 0 (г) — некоторая радиально-симметричная, вещественная функция г, достаточно быстро убывающая на

бесконечности (например, гауссова). В импульсном представлении:

Ра VV 2 (s) aq. -sa-g+k, 5® ^Ч * <7, s

^ = 7г2 e(s)^+ft,X,-»®(-q + y)’(2.64)

<7, 8

0 (q) = J 0 (г) exp (i (qr)) dr=0 (— q) = 0 (q).

Характерным интегралом задачи является полное число частиц N = ^ait sak_ $, поэтому в качестве опера-

S

тора Qb мы выберем Фурье-компоненту плотности числа частиц р-к.

Коммутаторы в знаменателе и числителе (1.34) соответственно имеют вид:

№; №; Я]]Чр-а; Ь; //]]=-№)/V,(2.65)

К>»; в*]=[р-*; М=—^^ €(°)®(р-^ор,_оа_РеО.

(2.66)

Последний коммутатор обладает важным свойством: lim<[p_ft; рЛ]> = —2<р0>. fe-»0

Неравенство (1.34) с учетом (2.65) и (2.66) принимает вид

26л I (2/^5еИв(Р-к/2)<ар, -а°-Р, с>|2

М+ГО^-1^^L,

'(2.67)

где согласно (2.64)

<Mw^>=42@2(q Ч) - 7 2 ®2(q -I)х 7q. s

X «sOq, s> + p2€($)€(CT)®(q — I)® (p -4) x q. s P.O

^ ^Pi—о ^—p-f-k&a ^—q-f-k^s ^q,—s)»(^>.67 )

Просуммируем неравенство (2.67) по всем к. Рассмотрим левую часть:

L=N-^<№A-W к

и покажем, что эта величина является ограниченной величиной, имеющей статистический порядок №.

Выражение (2.67') содержит три слагаемых. Первое из них от к не зависит и благодаря нашему выбору 0 (г) ограничено:

р^®2^-!)^ v2®2(q)=4 S @2(r)dr-

<7<7

Второе слагаемое в L;

/V 21— v 2®2(^ ~ ^) ^а^&а^ s>l

к I q, SJ

к*q, s

= ~4202(4) = - |2202(q) = -8 ^ ®2(r)dr.

Итак, вклад двух первых слагаемых в L дается выражением — 4$ 02 (г) dr /считаем, что N-1 J^ 1 = 1\ \к Г

Ограниченность последнего слагаемого непосредственно усматривается из его характерной структуры. Изменяя индексы суммирования: p->pi + x; q~>Pi; k->px + p2, имеем

L=-4$02(r)dr+^<#i>, где

^=27 2 2€(«)е(а)©(^)©(^+и)х х, Pl, р2 S, О

X ^PiH~X, — сДр^— X, O^Pi, S^pu —s представляет собой записанный в обычной форме гамильтониан нелокального нецентрального прямого парного взаимодействия ферми-частиц [42]. Интенсивность этого взаимодействия определяется гауссо-подобными факторами 0, причем взаимодействуют только частицы с про- 302

тивоположными спинами. Для нас является существенным то обстоятельство, что в статистическом предельном случае среднее значение (H^-Nh^ где ^ — ограниченная функция термодинамических параметров, имеющая статистический порядок W°=l. Отсюда следует, что и сама величина L ограничена и имеет статистический порядок

К этому же выводу можно прийти с помощью непосредственного рассмотрения вклада третьего слагаемого (2.67') в L. Для этого перепишем его в координатном представлении:

р^бМеО7)®^-^©^ -5) х

<7, s

X (<2р# — atzi-p-j-k, qCL— q + k, s^q, —s)

= у 26("i)€(si)A(a1 + a2)A(s1 + sa) X

X $ drxdr2dridri (¥+ (sb r2) ¥+(s2, г2)¥(ст2, ri) ¥ (an ri)) x V

X 0 (n — r2) 0 (ri — ri) exp {/ ^кГ1+Га~Г1—Гг)|.

Просуммируем это выражение по всем к (поделив его на Ny.

2 V 2 6 ^ 6 ^ S dridr2dridra 0 (*1 - гз) 0 (ri - гз) X к о, sV

X ехр|г^Г1+Гз~г‘~г^| X

х (¥+ (s, rj ¥+ (— 8Р r2) ¥ (— a, ri) ¥ (ст, rj)> =

= у 2 6 (®) € W § dridr2dridri 0 (гх - г2) 0 (ri - ri) х о, sV

X <¥+ (s, п) ¥+(—$, г2) ¥ (— о, ri) ¥ (ст, г()> 6 х

X ((ri + Г2 + ri + ri)/2).

Заметим далее, что согласно основным принципам статистики корреляционная функция

<¥+ (з, rx) ¥+ (— s, г2) ¥ (— ст, ri) ¥ (ст, ri)> =

= ^dRN-W (s, п; —s, r2; RN~2)x

хФ(— ст, ri; ст, ri; RN~2>),

где Ф — полная волновая функция системы, а через RN~2 обозначены координаты и спины W — 2 частиц, отличных от тех, чьи координаты выписаны явно. Этот интеграл обладает свойством скалярного произведения, и для него справедливо неравенство Шварца:

K^s, rOY^-s, r^f-a, ^(a, rj)>|2^ ^dRN-21 Ф (s, Г1; — s,r2; ^^pjx X {^"-^(-a, ri; g, ri; ^-2)p} = = <¥+(S, Гг)¥+(—S, Г2)¥(8, Г1)Т(— s, r2)) X X (¥+ (-=• a, ri) ¥+ (a, ri) ¥ (— a, ri) ¥ (a, ri)) = = <Ps (Г1) p-5 (r2)> <pa (ri) p_CT (ri)), где pj (r) = ¥+ (s, r) ¥ (s, r).

Таким образом, имеем

^2<№ + №>^-4 S 02 (г) dr+ к

+ ^ 2 е ^ е ^ S d^d^dridri 0 (Г! - г2) 0 (ri - ri) х

X 6((Г! + г2 —ri —ri)/2) хX {(р5 (гг) Р-$ (r2)> <pa (ri) p-a (ri))}>/2 == — у § ^(Hdr + ^-^G^GC0) 5 drdr'dR'dRO (г) х

X0(r')6(R-R9/7q7)F^,

где Fs (гг — r2) = <р5 (n) р-5 (г2)>, очевидно, в силу пространственной однородности задачи зависит лишь от разности (^ — г г) и где под знаком интеграла произведена замена: гг — r2 = г; R = (^ 4- г2)/2.

Окончательно получим

к

- 4 $ 02 (г) dr+2У р 5 dr© (г) Г<рДг)р-5(0))|\

°$(2.68)

Выражение в фигурных скобках, очевидно, конечно, так как корреляционная функция плотности (р$(г)р_5(О)) не может иметь неинтегрируемых особенностей.

2и {£ $ dr© (г) К<р$ (г) р_$ (0)>|22и {£ $ dr© (г) К<р$ (г) р_$ (0)>|2Далее просуммируем правую часть неравенства (2.67) по всем к, поделив его на N. Учитывая (2.68), имеём

2и {£ $ dr© (г) К<р$ (г) р_$ (0)>|2

2и {£ $ dr© (г) К<р$ (г) р_$ (0)>|2

so2

;(2л)3 Jпе

(2.69)

Интеграл в правой части (2.69) расходится в случаях одного и двух измерений на малых к. Противоречия не возникает, только если числитель подынтегрального выражения в (2.69) обращается в нуль при к->0;

v 2е ® (р - т) <йр> °а-р' L о= р,а

=v 26 (а) ®(р) ^ °а~р- =а, р

=S € ^ S dr 0 (г) <Та (г) Т_а (0)>=0.

О

Так как0(р) произвольна, отсюда следует, что для всех р

(ар, оа_ р, - о) = 0; <Та (г) T_G (0)> = 0

в бесконечных одно и двухмерных системах при 6=^0.

Существование отличной от нуля квазисредней (ар>оа-р,-о) или (То (г) Т_а (0)) связано, как это уже было рассмотрено выше, с существованием сверхпроводимости в системе. Корреляционная функция (Та(г)Т_а(0)) пропорциональна волновой функции парных квазимолекул, находящихся в конденсате. Поэтому из равенства нулю (aq, oa-q,-о) мы делаем вывод об отсутствии сверхпроводимости в бесконечных системах одного и двух измерений при 9=#0.

В заключение заметим, что при определенных предположениях о поведении ^q^ (^ и характере спектра элементарных возбуждений, если воспользоваться спектральными представлениями для нулевой температуры, можно разобрать вопрос и о специфическом упорядочении при 6 = 0 (здесь уместно использовать подход,

развитый в [37], где анализируется характер особенности плотности непрерывного распределения частиц по импульсам при ^->0 и 6 = 0).

Глава III

ТЕОРЕМЫ ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ТИПА 1/д2 И КРИСТАЛЛИЧЕСКОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ

14. Постановка задачи

В настоящей главе будут рассмотрены пространственно упорядоченные системы, описываемые гамильтонианом общего вида с парным взаимодействием:

Я =— ^Д Т+ (г) ДТ(г) dr-к J Т+ (г) Т (г) dr+ VV

+ т $ V+ W Т+ W Ф (I ri—г21) Ч^ (г2) Т (Г1) drt dr2; (3.1).

V

здесь т — масса частиц, А, — химический потенциал, Ф (г) — потенциал парного взаимодействия, V=Ld — объем системы, d — ее размерность. Полевые операторы Y (г), ^(г) представляются обычными квазидискрет- ными суммами:

¥ (r)=VF 2 а№ tz (kr^’

i v<312)

(r)=w 2^ехр z <kr»>

в которых операторы ah, at удовлетворяют бозевским или фермиевским перестановочным соотношениям, к = = 2лД-1{п„ пд, пг}, пх, пи, пг — целые числа. (Мы предполагаем наличие периодических граничных условий для волновой функции.)

Форма (3.1) инвариантна относительно непрерывной группы трансляций. Между тем при температурах ниже некоторой критической рассматриваемая система, по предположению, находится в состоянии кристаллического упорядочения. Это состояние обладает более низкой симметрией, чем гамильтониан (3.1), по отношению к группе трансляций и тем самым является вырожденным. Это вырождение снимается включением в гамиль-

тониан (3.1) некоторого бесконечно малого дополнительного члена, описывающего взаимодействие системы с внешним полем, обладающим симметрией решетки:

мН*=v $ U (г) Т+ (г) Y (г) dr,(3.3)

V

где v > 0, v -> О, U (г) = U (г + а) — периодическая функция с шагом решетки. Такой выбор U (г) фиксирует положение кристаллической решетки в пространстве. Отметим, однако, произвольность выбора внешнего поля в том смысле, что вырождение снимается также введением дополнительного члена вида v § U (г+ 4) ^ (г) X X^^dr, где т) принимает произвольные значения внутри элементарной ячейки решетки. Эта неоднозначность аналогична произвольному выбору фазы в гл. II или направления внешнего поля в гл. I. При этом обычные средние могут представлять собой квазисредние, усредненные по всем положениям т]. В дальнейшем мы не будем выписывать явно дополнительный член (3.3), понимая, однако, соответствующие средние в смысле квазисредних.

Перейдем к рассмотрению критерия существования кристаллического упорядочения в системе. Плотность числа частиц определяется как среднее от оператора р(г)=у+(г)^(г),(3.4а)

нормированного на полное число частиц:

$p(r)dr=W.(3.46)

v

Введем оператор фурье-компоненты плотности числа частиц:

р (r)=v2p9exp^(qr)^

С ///< хХл<3-5а>

Р9 = } Р(г) ехр {—z (qr)} dr.

V

В импульсном представлении получаем

Ро ^j ^^-кА-о*(3.56)

к

Плотность числа частиц (р(г)> (понимаемая в смысле квазисредней величины) является в кристалле перио-

дической функцией с шагом решетки. Известно (см., например, [108]), что в этом случае ее можно разложить в ряд Фурье по векторам обратной решетки (G):

(3.6)(3.6)<р (г»=2 vvy ехр v (Gr>}- G

(3.6)

(3.6)

Это означает, что существует некоторый вектор G у= 0 из набора векторов обратной решетки, для которого квазисредняя \^у/ отлична от нуля. (В противном случае (р (г)) = const.) Таким образом, эта величина играет в нашей задаче роль «параметра упорядочения» (см. [97]). Она термодинамически сопряжена с внешним полем, снимающим вырождение, что легко видеть из записи (3.3) в виде

^^^UgPg; Ug = § t/(r)exp{— z(Gr)}dr. G V

Вследствие периодичности (p (г)) получаем представ- /Ро\ ление у в виде

\v/ = v S<р <г)>ехр {~1 (Gr^ dT=

V

=” $ <Р (r)> ехр {— i (Gr)} dr, (3.7)

где v=l/n=V/N представляет собой объем элементарной ячейки простой решетки. Мы выписываем явно объем системы V, подразумевая, однако, как и ранее, что предельный статистический переход N -> со, V -> оо, N!V-> const совершается прежде, чем предельный переход v->0.

Трансляционная симметрия, как известно, приводит к закону сохранения полного импульса. Таким образом, «интегралом движения» в нашей задаче является оператор полного импульса

P = $j(r)dr,(3.8)

V

где плотность потока задается известным из квантовой механики выражением

j (г) = 4 {^ (Г) VY (Г) - (VY+ (г)) Т (г)}.(3.9)

Введем фурье-компоненту jq соотношением j (0=4-^ jq ехр {z (qr)}.

, q ,,(3.10а)

jq =) J (r) exp {— I (qr)} dr.

V

В импульсном представлении имеем

+(3J06)

k

Легко видеть, что этот оператор представляет в нашей задаче «почти интеграл движения», так как при q->0 он превращается в оператор полного импульса Р, коммутирующий с гамильтонианом (3.1).

. Неравенства для функций Грина и структурного фактора

Представляет интерес рассмотреть в кристалле неравенства (1.32) и (1.34) для корреляционной функции <pqp-q) и функции Грина «pq; P-q»E_0, т. е. выбрать в качестве оператора B = BS оператор p_q. Корреляционная функция <pqp-q) непосредственно связана с парной корреляционной функцией ^ (гь г2), которая определяется соотношением

F, (гъ r2) = <V+ (rx) Т+ (r2) Т (r2) V (Г1)>.(3.11)

Усреднение в правой части (3.11) мы понимаем как усреднение для системы, гамильтониан которой содержит бесконечно малую добавку (3.3), нарушающую трансляционную инвариантность. Квазисредняя F2 (Н, г2) в отличие от пространственно-однородного случая зависит от двух аргументов: гх и г2. Очевидно, она не меняется при сдвиге обоих аргументов на шаг решетки (обозначаемый а):

^2 (ri, r2) = ^2 Oi + a, г2 + а).(3.12)

Будучи записана в переменных R = (гх + Гг)/2 и г = = гх — г2 (что всегда возможно в силу невырожденности этого преобразования), она, очевидно, является периодической по аргументу R с периодом решетки:

A(R, r)s^a(ri, r2)=^*2 Oi + a; r2 + a) = F2(R + а, г).

(3.13)

Свяжем (PqP-q) С фуНКЦИвЙ of 2 (гь г2) [см. (3.5а) И (3.4а)]:

<pqp-q> = $ d^ dr2 exp {— i (q (n - r2))} x v

х(Тда(Г1)¥Чг,)ад=

= $ dq dr2 exp {— zq (h - r2)} (^(rj T+ (r2) У (r2) V (rj) + V

+ N = N\ dr^dRaf2(R, r) exp {—z* (qr)}^-^, (3.14) V v

где мы воспользовались периодичностью ^(R, г) по R.

Функция ^2^"jy является диагональным элементом статистического оператора комплекса двух частиц в координатном представлении (см. [10]). С помощью этого оператора, как известно, можно вычислить квантовостатистические средние от величины бинарного типа. Нетрудно заметить из предыдущей формулы, что <pqp-q) = / 2 ехр{— z(q(n-r7))}\ + ^(3.15)

NW/

Корреляционная функция ^ (pqp.q) носит также название «статического структурного фактор а» и обозначается s (q)=-^<pqp-q>;

S (q) связан с «динамическим структурным фактором» Sq(to) (введенным Ван Ховом [109]) соотношением S(q)=4" Ss^dto.

Как видно из (3.46), в принятых нами обозначениях Sq^—^p^pg, т. е. Sq(to) представляет собой спектральную плотность состояний возбужденных операторов pq над основным состоянием. Как можно показать (например, [108]), функция Sq((o) определяет рассеивающие свойства системы в борновском приближении, а именно пропорциональна дифференциальному сечению рассеяния (q имеет смысл передаваемого импульса о — энергия). Фактор S (q) является мерой одновременных корреляций плотности в системе и поэтому описывает рассеяние «быстрой» частицы, которая взаимодействует с системой за время, очень малое по сравнению с характерным периодом системы. Эксперимент указывает на

резкое увеличение сечения рассеяния на кристалле для передаваемых импульсов q^G, G — вектор обратной решетки, т. е. когда k = q — G очень мало, причем для таких направлений, что (у, G)=#0.

Из всего вышесказанного следует важность рассмотрения неравенства (1.34) для корреляционной функции (po+kP-c-k) при малых к такого направления, что

В качестве оператора Q = Q* в (1.32) и (1.34) мы выберем проекцию «почти интеграла движения» jk на направление к:

Qk = (y,jk); Qt=(y, j-k).(3.16)

Вычисляя коммутаторы в числителе и знаменателе неравенства (1.34), находим:

[Qa; 5*]=[^> ^к)* Р~0-к] = (т* G"bk)p-<i=

= (у, G + к) N J ф (r)> exp V (Gr)} dr, (3.17)

№ Я]=[(|, j-k);^] =

= “*2^(т’ k-2q)2^aq_k +

+ 2У ^Фд (Ч, "£j {P-k-qPq — P-qP-k+q}, (3.18) q

[ft: № «]]=[(!, h); [(у. i-k); я]]-

p

+ 2p ^ ®q (т ’ ^) ^ Ф~яРч) ““ <P-k-qPk+q) — фк -qP-k+q)}.

4(3.19)

Здесь формально введен фурье-образ потенциала взаимодействия Фд:

Фд = $ Ф (г) ехР {—' (V)}dr» v

1 а1(3.20а)

ф(г)=т 2Фчехр^(чг)^

q

откуда следует

- (4 v)2 ф (г>=42 (4 •q)2 ехр ^ (qr)i ф1-(3-206)

Это позволит нам переписать последнее слагаемое (3.19), используя (3.14), в виде

-2р2Фч(т’ «^J dR$ drA(R, г) (1 - cos (kr)) х

q '1 v V

Хехр {/ (qr)} = ^ ^R ^ ^Га^г (R, г) (1 — cos (kr))x

х(4?)2ф(г)- (3.21)

При малых к это выражение является величиной порядка кг.

Отметим, что введение Фд было обусловлено соображениями удобства, а конечный результат справедлив безотносительно к тому, имеют ли смысл формулы (3.20а).

Неравенства (1.32) и (1.34) с учетом (3.17) — (3.19) принимают вид [после деления обеих частей неравенства на N, с тем чтобы при предельном статистическом переходе обе части неравенства имели нулевой порядок по N (V)]:

4l«PG + k; P- G - k»B-0 I

^ (4- °+k)2 $ <p (r)> exp t‘ (°r)}dr 2 x x{^+r2^-<a^>+^rSdR^<R’r)x X (1 - cos (kr)) (4 V? ф (r)}"1,(3.22)

1<ро + кр-о-к> = <^2ехР{— ‘t^1

2х2хC2 /к

2х

2х

^ 6 ^ <p (r)) exp {i (Gr)} dr ^, V

v Р* I 1 У 3 (рк)2 , + х ,X)to+lvZ т WaP/ +

Iр

+ § dr J- dR/a (R, г) (1 - cos (kr)) (^ v)2 Ф (r)!"1 • (3.23)

VoJ

Полученное неравенство будет теперь использовано для исследования пространственно-периодических систем одного и двух измерений.

§ 16. Доказательство отсутствия кристаллического упорядочения в одно- и двухмерных системах

Доказательство отсутствия кристаллического упорядочения в одно- и двухмерных системах аналогично проведенным для случая ферромагнетизма, бозе-эйн- штейновской конденсации, сверхпроводимости. Знаменатель в правой части (3.23) при малых к является величиной порядка к?. Однако прямое суммирование обеих частей неравенства по к приводит к тому, что левая часть становится неограниченной. Поэтому мы поступим следующим образом. Помножим обе части неравенства (3.23) на положительную, регулярную, достаточно быстро убывающую на бесконечности функцию h (к), локализованную в окрестности к = 0. Тогда ее фурье- образ ^Г(г) будет, очевидно, положительной, убывающей монотонно функцией г:

h ^=т^ S (г) ехр {—1 (kr)}dr •

С (3.24) s^ (г) = J Л (k) exp {i (кг)} dk.

Заметим, что е%" (0) = J h (к) dk — конечная величина. Суммируя порученное неравенство по всем к, имеем

L = ( dkh (к) /(12 ехР {‘ (° + к. П - ry)}> + 11 ^

G+k)2 xG+k)2 xdkh(k)^dkh(k)^<р (r)> ехр {Z Gr)} dr<р (r)> ехр {Z Gr)} drIJ

G+k)2 x

G+k)2 x

dkh(k)^

dkh(k)^

<р (r)> ехр {Z Gr)} dr

<р (r)> ехр {Z Gr)} dr

x (£+у2Чг^<ар°р>+ $dr $ ^AtR, и x

Ipv v

X (1 — cos (kr)) ^ v)2® (r)| 1 г R. (3.25)

Обратимся к левой части неравенства. Рассмотрим одномерный случай. Очевидно, мы можем говорить о кристаллическом упорядочении в системе, если отклонения атомов от равновесного положения таковы, что

во всяком случае соседние атомы не могут сблизиться на расстояние, меньшее некоторого произвольно малого, хотя и фиксированного расстояния а>0, которое можно выбрать в несколько раз меньшим шага решетки. В квантовом случае это условие эквивалентно граничному условию обращения в нуль волновой функции системы Y(Гь ..., Гу), как только разность между любыми двумя аргументами п, г,- становится меньшей или равной а. Иными словами, мы считаем, что ответственная за притяжение часть потенциала • Ф (г) содержит потенциал твердых сфер радиуса а/2. В одномерном случае это устанавливает «порядок» в расположении узлов вдоль прямой (их можно занумеровать), а из нашего условия

I П - гм I > а(3.26)

следует, что

| г,- —Гу |>а| t —/|.(3.27)

Это позволяет нам оценить левую часть неравенства:

4дномерв = (^ 2 еХР 1* (°* Г* - r/)}( I Г/ - Гу I) > 4-

со

<^■2®^" (aif_/i)+^ (О)5^ ^ ^ («^)^+ i*iо

+ ^ (0) = 2л^ + ^ (0). (3.28)

Вернемся теперь к рассмотрению интеграла в знаменателе правой части (3.23). Очевидно, что

/ s ^ dr С dRA (R, г) (1 - cos (kr)) (^ v)2 Ф (И =^

^ к^ dr J dR/g (R, г) 4 | (у v)2 Ф (г) |. (3.29) V v

Функция q^2 (R, г) = 0 для |r|<a в силу нашего условия. При гоо о^2 (R, г) распадается на произведение средних плотностей (р (R + г/2)) (р (R — г/2))

(в силу принципа ослабления корреляции), т. е. имеет первый порядок по N. Следовательно, для сходимости коэффициента при к2 в (3.29) достаточно сходимости на бесконечности интеграла \ аг г2 -^2- '. Если {—Ф(г)} убывает на бесконечности как 1/гл, то условиями этого будут:

п > 1 в случае одномерном,

и>2и>2» двухмерном,» двухмерном,(3.30)(3.30)я> 3я> 3» трехмерном.» трехмерном.

и>2

и>2

» двухмерном,

» двухмерном,

(3.30)

(3.30)

я> 3

я> 3

» трехмерном.

» трехмерном.

Эти условия являются достаточными [в той части, что касается поведения Ф (г) при г -> со] условиями существования свободной энергии системы как экстенсивной функции объема (см., например, [ПО], [111]). В силу этого коэффициент при № в знаменателе правой части неравенства (3.23) ограничен для всех систем, рассмотрение которых имеет смысл. Заметим, что для сходимости интеграла (3.29) достаточно, чтобы выполнялись условия: п > — 1 в одномерном, и> 0 в двухмерном и n> 1 в трехмерном случаях, так как подынтегральный фактор (1—cos (кг)) ограничен для всех к и г, и сходимость интеграла (3.29) определяется сходимостью на _ С J д2Ф (г) тт О бесконечности интеграла \ аг—Но этих условии недостаточно для того, чтобы можно было сделать под знаком интеграла предельный переход ^->0 и утверждать, что интеграл (3.29) является величиной порядка &2. Достаточными условиями этого являются как раз выписанные выше условия (3.30).

В одномерном случае соотношение (3.26) представляет собой естественное условие отсутствия в кристалле «точек сгущения». В двухмерном случае это условие можно обобщить следующим образом. Как известно, рассмотрение кристаллической решетки при подходе, основанном на теории возмущений (гармоническое приближение), предполагает отклонения атомов от равновесного положения малыми. Мы используем более слабое предположение, полагая, как и в одномерном случае, что соседние атомы не могут сблизиться на расстояние, меньшее некоторого фиксированного а = а/х, где а— постоянная решетки (для простоты —квадратной), а х может быть велико.

Будем считать, что в вычисление средних дадут вклад только те конфигурации атомов, в которых произвольные атомы i, j не могут сблизиться больше чем на величину равновесного расстояния между ними, поделенного на х. Хотя отдельный атом в квадратной решетке в отличие от линейной цепочки имеет вероятность «пройти» сквозь кристалл как угодно далеко от первоначального положения, можно сохранить это условие, изменив нумерацию атомов, что в силу неразличимости последних будет означать только перестановку аргументов волновой функции.

Естественно, нумеруя атомы квадратной решетки 2 индексами 1=(1ХЭ /у), записываем наше условие в виде In-r/l-lri^-r/,.^

3s 1V к^х— aixY 4- kab - aj^ =

= а У (i, - UY + kb - bY • (3.31)

Это соотношение, как и (3.27) в одномерном случае, позволяет нам показать, что левая часть (3.25) ограничена и в двухмерном случае:

^двухмерн =<^^ехр к— iG (г, - Г/)} s5T (I гг - Гу I )> + i*i

‘х- Ч

+ ^* (0) С § s9T (а У х2 + У2) dx dy 4- ^ (0) = о

= №^^к^.(3.32)

Поскольку при малых к знаменатель подынтегрального выражения правой части неравенства (3.25) является величиной порядка й2, то интеграл R расходится в одномерном (dk->d£) и двухмерном (dk->£d&) случаях.

Неравенство (3.25), таким образом, не приводит к противоречию лишь в том случае, когда квазисредняя <^>= ^ (p(r))exp{i(Gr)}dr, входящая в правую У

часть (3.25), тождественно равна нулю. Это, как мы показали выше, означает отсутствие кристаллического

упорядочения в системах одного и двух измерений (при 9=#0) [112].

Заметим здесь, что аналогичный результат может быть получен и для классической пространственно-периодической системы [113] на основе использования аналога неравенства Н. Н. Боголюбова [92] для функций Грина, введенных нами в статистической механике классических систем [22].

В заключение этой главы покажем, что длинноволновые флуктуации плотности в упорядоченной фазе, в которой непрерывная симметрия относительно трансляций понижена до симметрии относительно трансляций на шаг решетки, представляют собой «фононы переброса» — бесщелевую ветвь спектра элементарных возбуждений, «восстанавливающих симметрию» в системе. Появление фононов переброса аналогично появлению спиновых волн в ферромагнитной фазе (см. гл. I), представляющему собой прямое следствие нарушения непрерывной симметрии в упорядоченной фазе, как это показывается в [97].

§ 17. Бесщелевой спектр элементарных возбуждений

Мы используем в этом параграфе представление о средней энергии низколежащих состояний, возбуждаемых оператором Вк над основным, введенное в гл. I.

Используя соотношения (1.57), (1.58), получаем (i5^^)2 ^;^(G+lo=lj^

i ^P-G-kPG + k^

= —2ле | «pG + k; p_0_k»£_o| -

Прямое вычисление дает:

<[[р_о-к; НА; рс+к])=<^М.(3.34)

Подставляя (3.34) в (3.33) и используя неравенство (3.22) для функции Грина ((pc + kl P-G-k))s_0, получаем (®p(G + k))2^f(G + k) < —1^№_ =

^(у, G+kj / ^

= »(“)/* (3.35)

где а зависит от угла arccos^y, у— некоторая постоянная, зависящая от вида потенциала взаимодействия.

Соотношение (3.35) указывает на то, что в длинноволновом пределе к-> 0 флуктуации плотности, возбуждаемые оператором ро-ьк, соответствуют ветви элементарных возбуждений с характерным законом дисперсии фононов переброса:

со (G+k) ~ck, с=У"ау,

где, напоминаем, G —вектор обратной решетки.

Таким образом, мы рассмотрели целый ряд физических явлений, связанных с вырождением состояния статистического равновесия, положив в основу метода исследования концепцию квазисредних и строгие неравенства для корреляционных функций и функций Грина, что позволило установить теоремы об особенности типа 1/д2 в некоторых статистических системах. Отметим еще раз, что неравенства Н. Н. Боголюбова, а также их классические аналоги могут применяться и для установления весьма нетривиального характера оценок, в частности, они позволяют показать, что дебаевские значения свободной энергии и структурного фактора являются точно ограниченными снизу для соответствующих величин классической однокомпонентной плазмы; с их помощью можно получить интересные оценки средней кинетической энергии частицы в равновесной статистической механике [114, 115]. Эти неравенства можно использовать для оценки развития бозе-конденсата (как при 0=5^0, так и при 6 = 0, — последнее обусловлено наличием взаимодействия).

Отметим наконец возможность использования неравенств (1.32), (1.34), (1.42) применительно к конечным системам. В этом случае &тт^2л/£ (L — характерный размер) и оказывается возможным оценить максимальные размеры системы, совместимые с некоторой степенью специфического упорядочения. Естественно, что при рассмотрении этот вопрос необходимо обсудить с учетом конкретного механизма создания таких состояний и их затухания, однако эффект может быть макроскопическим.

Приложение

К ТЕОРИИ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Н. Н. Боголюбов

Кинетические уравнения *>

Выводятся уравнения, связывающие функции распределения различных порядков в динамическом случае, на основе уравнений классической механики (§ 1). Изучаются обычные разложения по степеням плотности. При этом устанавливается наличие двух процессов «медленного» и «быстрого» в эволюции корреляционных распределений (§ 2). Наблюдается особый метод разложений по степеням плотности, позволяющий получать кинетические уравнения, обобщающие кинетическое уравнение Больцмана (§ 3).

Целью настоящей статьи является изложение метода, позволяющего получить кинетические уравнения на основе механики совокупности молекул.

Ограничимся здесь простейшей схемой и рассмотрим с точки зрения классической механики систему из N одинаковых одноатомных молекул, находящихся в некотором конечном микроскопическом объеме V. Предположим, что динамическое состояние каждой молекулы полностью определяется ее положением q и импульсом р. Декартовы координаты q, р условимся обозначать соответственно через да, ра, где а=1, 2, 3. Фазовое пространство одной молекулы представляем как шестимерное пространство фазовых точек (q, р), соответствующих различным возможным динамическим состояниям молекулы. При это& импульс р совершенно произволен, а положение q должно находиться в объеме V. Фазовые точки (q, р) условимся далее обозначать одной буквой х, сопровождая ее иногда различными индексами. *

Как обычно, мы будем предполагать, что полный гамильтониан системы Н является суммой индивидуальных энергий молекул и взаимных потенциалов пар:

(1)(1)н- S

(1)

(1)

(K<<W)

•' См.: ЖЭТФ. 16, 8, 1946.

В случае отсутствия внешнего поля индивидуальная энергия молекулы должна равняться ее кинетической энергии:

TW- У №.

2т

(1 ^а^З)

но, для того чтобы учесть конечность объема V, мы введем дополнительную потенциальную функцию Uv (g), постоянную внутри V и резко возрастающую к бесконечности при приближении точки q к граничной поверхности. Положим, таким образом,

HW = T(p) + Uv(q).

Рассмотрим теперь функцию распределения вероятности динамических состояний всей системы D = D(t. хг ..., х. ^ — симметричную функцию фазовых точек хх, ..., xN. зависящую от /, определенную так, что выражение

Dit. хх. .... xN)dxx ... dxN

представляет вероятность того, что в момент времени t динамические состояния 1-й, ..., Af-й молекул находятся соответственно в элементарных фазовых объемах dxT. .... dxN. около фазовых точек хг. .... xN.

Как хорошо известно, закон эволюции распределения дается уравнением со скобками Пуассона:

(2)

определяющим D в любой момент времени t, если только выражение D известно для начального момента / = 0.

Это динамическое уравнение и будет положено нами в основу нашей теории кинетических процессов. Так как непосредственное изучение самой функции D весьма неудобно из-за громадного числа ее аргументов (61V + 1), целесообразно ввести более простые функции распределения.

Рассмотрим функции распределения Fs (t, х. .... xN). s = = 1, 2, 3, ..., симметричные функции хг. .... xN. зависящие от t. нормированные таким образом, что выражение

xv .... xs) dxx ... dx*o' ЛV

дает вероятность того, что в момент времени t динамические состояния данной группы s молекул находятся соответственно в бесконечно малых фазовых объемах dxx. .... dxs. около точек хх. .... .... xs. Имеем, очевидно,

Fs (/, xv .... xs) = Vs J ... j D y, X1 ... xN) dxs+1 ... dxN. (3) Q у Q у

Заметим сейчас, что кинетические уравнения составляются обычно для функции распределения динамических состояний одной моле-

культ, т. е. для Ft(i, хгу В некоторых случаях представляет интерес также выражение F^ (t, ri, х2) — корреляционной функции распределения динамических состояний пар молекул. Изучению этих простейших функций и будет уделено нами основное внимание.

Чтобы получить уравнение для определения введенных функций Fs, умножим обе части уравнения (2) на Vs и проинтегрируем по переменным х5+1, ..., xN, причем интеграцию по каждой из них совершим по всему фазовому пространству Qy. Тогда ввиду (1), (3) после элементарных упрощений получим

= 2 (t/V КиУ ^ + VHS; Fs] +

d^^s)

+ ^Г“П 2 ф(1^-^+11): Md^+b (4) Qy (!«<<$)

где o=V/N-, Hs = 5 Т(р;)+ 5 Ф(1 <Z/—<7/l).

(l^i <s)(1^^</<S)

Так как в случаях, представляющих интерес для статистической механики, число N чрезвычайно велико, возникает задача нахождения асимптотических выражений для Fs при N -> со. Имея в виду изучение объемных процессов, мы совершим этот предельный переход обычным образом, предполагая, что, когда N -» со, граничная поверхность уходит на бесконечность, V -> со, а плотность числа частиц M/V-X/v остается постоянной.

Тогда, замечая, что члены \UV (q^; F5] отличны от нуля, лишь когда qt находятся вблизи граничной поверхности, уходящей на бесконечность, из уравненйй (4) с помощью формального перехода к пределу можем получить

^t" = VHs; ^J + y J[ 2 ф(1^-^+11); ^J^+1. (5)

Q 1 ^1<s

где Q представляет уже неограниченное шестимерное пространство точек x(q, рУ

Функции FSl определенные этими уравнениями, и должны представлять искомые асимптотические выражения функций распределения для реальных систем с конечным весьма большим числом молекул N, находящихся в конечном микроскопическом объеме V.

Ограничимся здесь рассмотрением того случая, когда взаимный потенциал Ф (г) соответствует короткодействующим силам обычного типа и концентрация частиц является малой. В этом случае для фактического решения уравнений (5) целесообразно воспользоваться разложениями по степеням плотности числа частиц Х/и: элементарные соображения метода подобия показывают, что в действительности такие разложения совершаются по степеням «безразмерной» плотности г^и, которая, во всяком случае для газов, может считаться малым параметром.

32132111 Боголюбов, Садовников

321

321

(6)(6)Попробуем сначала рассмотреть обычную форму степенных разложений, положив

(6)

(6)

Тогда, представляя эти разложения в обе части уравнений (5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра, получим:

dF°dF\

+ ^П 2 ф<1‘7'—^D? ^4-11^- а (1 ^fcs)

Как видно, все эти уравнения будут уравнениями типа

d^t, хг, ..., х5)

—^—— = [#»(*!» .... xs); q> W, хх, ..., x,)J +

W. хх, ...,xs).(8)

Для построения их решений рассмотрим вспомогательную «задачу s тел». Возьмем s материальных точек с массой т, свободно движущихся в неограниченном пространстве и взаимодействующих посредством сил, происходящих от взаимного потенциала Ф (г). Мы имеем здесь, следовательно, динамическую систему с гамильтонианом Hs. Интегрируя соответствующие канонические уравнения с гамильтонианом HS1 мы можем определить динамические состояния X^t, X], ..., xs) рассматриваемых s материальных точек, которые они принимают в момент времени t при условии, что в начальный момент они находились в динамических состояниях хь ...., xs.

Введем оператор Sp\ заменяющий хи ..., xs соответственно на Хъ ..., Xs:

S^f^, .... х$)=/№X,),

и заметим, что с помощью этого оператора уравнение (8) решается квадратурой:

ф(/, хъ .... х$) = 5^ф(0, хх, .... xJ+Js^^^t, хъ .... x^dx.

Определяя таким образом коэффициенты разложений (6), из уравнений (7) можем получить следующие формальные выражения для функций распределения:

Fs<t, хх.Fs<t, хх..... *») = 8^Л(0, хъ ...» х$) +

Fs<t, хх.

Fs<t, хх.

t

Us%_T)U 2 ф(1^-7$+11)5

ОО, <1 ^ i ^ S)

(9)(9){S^+’^s+itO, хх, ..., xs+1) ]dxi+1| «т+...

(9)

(9)

Заметим, что эти разложения имеют простой физический смысл. В первом приближении

FSV> *1*s)=s-A(°’хь —• X$V(10)

Эволюция распределения вероятности динамических состояний комплекса s молекул, совершается так, как будто этот комплекс движется независимо от остальных молекул совокупности. Поправочный член в (9), пропорциональный 1/и, учитывает здесь влияние, причем это влияние составляется аддитивно из влияний каждой из них на рассматриваемый комплекс.

Рассмотрим сейчас вопрос о пределах применимости изложенного способа степенных разложений. Для того чтобы составить себе некоторое представление о порядках величин по методу подобия, целесообразно ввести соответствующие единицы длины и времени, при переходе к которым функции, входящие в наши уравнения, принимали бы значение ~ 1 и основные значения интегралов по фазовому пространству происходили бы от областей аргументов ~ 1. За такие единицы измерения в рассматриваемом случае, очевидно, следует взять г0 и г^и^, где иср обозначает среднюю скорость молекул. Тогда нетрудно убедиться, что поправочные члены в формулах (9) имеют порядок величины главных членов, умноженных на г§/и [// (г0/мср)]. Таким образом, основным условием применимости асимптотических приближенных формул, которые мы получаем для малых значений г^/и, оставляя в разложенных (9) один-два члена, является условие

Рассмотрим функцию распределения импульсов одной молекулы: wy, р) = lim ( Fxy,x)dq = lim — С ^ (/, q, р) dq

У-юн JV-*oo У J

VV

и заметим, что в первом приближении эта функция не изменяется со временем:

и(/, р)= lim -^ С S^P,^, q, p)dq=

V ОО V J

=„lim тЛ ^(0> ч-^;^ p)d(i==w (°, р).

У-»оо у Jт

V

и потому зависимость данного распределения от времени может появиться лишь при учете поправочного члена. Таким образом формулами (9) можно пользоваться лишь в том промежутке времени, в течение которого распределение импульсов одной молекулы не успеет еще заметно отойти от своего начального распределения, и потому, для того чтобы получить кинетическое уравнение, которое позволило бы исследовать эволюцию распределения импульсов в течение времени, достаточно длительного для того, чтобы заметить приближение к некоторому стационарному распределению,

например к максвелловскому, следует отказаться от принятого нами элементарного способа разложения и разработать более эффективный метод.

Заметим, что совершенно аналогичные трудности встречались в самых разнообразных вопросах, приводившихся к решению дифференциальных уравнений с малым параметром.

Так, например, при исследовании движения планет в астрономии, при исследовании нелинейных колебательных процессов в нелинейной механике непосредственное разложение решений соответствующих дифференциальных уравнений в ряды, расположенные по степеням малого параметра, приводит к приближенным формулам, непригодным для достаточно длительного изучения процесса.

Характерной особенностью всех формул этого типа является наличие в них так называемых секулярных членов, интенсивность которых увеличивается с возрастанием времени, вследствие чего степень точности получаемого приближения ухудшается. Нетрудно установить наличие подобных членов и в наших формулах (9).

Заметим, однако, что теперь для указанного круга вопросов уже существует целый ряд методов, позволяющих получить более эффективные разложения, не содержащие секулярных членов. Упомянем, например, о методах нелинейной механики, разработанных автором настоящей статьи совместно с акад. Н. М. Крыловым. Для решения поставленной проблемы построения кинетического уравнения мы и воспользуемся здесь основной идеей этих методов.

Прежде чем приступить к этому, рассмотрим поведение корреляционных функций распределения Es ($ ^ 2), исходя из формул первого приближения (10). Ограничимся для дальнейшего теми случаями, в которых потенциал Ф (г) будет монотонно убывающей функцией г, в которых, следовательно, между молекулами действуют лишь силы отталкивания. Тогда во вспомогательной задаче s тел все материальные точки разлетаются в бесконечность:

| ^хЧ-^% | -> со; / -» ± со.

Далее, поскольку потенциал Ф (г) и обусловленные им силы взаимодействия весьма быстро исчезают при г > г0» эти материальные точки движутся практически равномерно и прямолинейно, когда все расстояния между ними велики по сравнению с г0; к тому же при увеличении этих расстояний движение быстро приближается к полной равномерности.

Таким образом, импульсы S^tpt приближаются к определенным предельным импульсам:

S^p, -» Рр> (ххxsy, /-»+<»,(11)

причем быстрота приближения обеспечивает справедливость соотношений: /оо

Л -> j {Рр’-зЭД dv,

t {p}s) - S^pJ -> 0; t-> cd, (12)

из которых следует, что

d(S)1 Л

S-^+-^-^»/+^-$ И”-8ЭД dt^ QV\ О

$(s)s^+^>Q^:/->+co,(13)

где 00

Q$S) ftх5^ = ^1+^ $ И”-5ЭД dT.(14)

0

Заметим теперь, что, поскольку движение в упомянутой задаче тел отличается от равномерного, лишь пока расстояния между материальными точками будут ~ г0, а длительность их пребывания в такой окрестности будет ~ rQlu^ видим, что когда | qt — ^/|~г0, то эффективная длительность процессов приближения (11), (13) будет иметь порядок величины rQju^.

После этих предварительных соображений о свойствах оператора Sp) обратимся сейчас к исследованию корреляционных функций распределения (10). Разумеется, с чисто математической точки зрения начальное распределение вероятности может быть задано произвольно, однако, для того чтобы оно соответствовало реальным физическим условиям, необходимо учесть при его выборе свойство ослабления корреляции между динамическими состояниями молекул, удаленных друг от друга.

Возьмем s фазовых точек х, ..., х$, для которых | qt — qj | ^ г0, и заметим, что для т>г0/мср будем иметь | S^/. — S^fy | > гОф Напомним также, что в первом приближении комплекс s молекул совокупности, т. е., так же как в нашей вспомогательной задаче, s тел. Длительность приложимости первого приближения обусловливается, как мы видели, неравенством т << (и/г^) (г0/^ср). и так как v/r^ > 1, то первое приближение может быть использовано на отрезке времени, большом по сравнению с г^и^.

* Рассмотрим теперь комплекс s молекул, которые в начальный момент /=0 находятся в динамических состояниях S^^., где (у/го) (го/^ср) >> т ^ го/^^ Так как эти молекулы не только далеко удалены (далеко по сравнению с г^ в начальный момент, но и длительный период перед этим моментом (длительный по сравнению с г0/^ср) не находились в интенсивном взаимодействии, не сближались на дистанции порядка г0, то, очевидно, корреляцией между ними в рассматриваемый начальный момент можно пренебречь и соответствующее корреляционное отклонение

Fs (0. S^S2VS)- П F1 (°’ 8ЭД=

(1 ^i^s)

= sW|f$(o,xpП ^ift ^П

1(l<t<s)J

должно практически исчезать.

Наложим поэтому на начальное распределение вероятности такие формальные условия*’:

S^jF^O, xv .... xj- П Fx(0, хг)1-.°; т^+со; (15)

I(1 ^ i ^ s)J

s = 2, 3, ....

Тогда в соответствии с (10), (11), (13), 15) можем написать:

^(^1^)~ П F^t.Q^P^-

(1 ^i^s)

= /S) Fs (°- *1*J - П Fi (°' ^$) * ? (' P'*1(l^i^s)

= S^lF$(0,x1х$)— П F^O, ^)| +

I(l<t^S)J

+ П ^(o- S^. S-tPiV (1 < i c s)

- П W- П Wt, P<s) 1-^0, ^+oo.t, P<s) 1-^0, ^+oo.p(s)

- П W

- П W

t, P<s) 1-^0, ^+oo.

t, P<s) 1-^0, ^+oo.

Итак, в главных членах (10) корреляционных функций распределения совершается процесс их синхронизации с функцией Ft; они приближаются к выражениям

П F^t, Q^, Р^, (l^l^s)

которые в каждый момент времени полностью определяются формой распределения Ft для этого же момента. Заметим здесь, чю из вышеприведенных соображений следует, что эффективная длительность этого процесса приближения по порядку величины определяется временем г0/иср.

*’ Очевидно, эти условия в рассматриваемом случае эквивалентны условиям:

^К(°’*1х,)-П F^O, х.)ро; т^+со; (15')

I1 ^ i ^ sJ

Таким образом, в эволюции исследуемых распределений мы замечаем наличие двух процессов: «медленного» процесса изменения функции распределения импульсов одной молекулы с эффективной длительностью порядка и/г§ • г^/и^ и «быстрого» процесса синхронизации корреляционных функций распределения с эффективной длительностью порядка г^и^.

Этот «быстрый» процесс можно проследить с помощью наших формул разложения, поскольку они пригодны для ^>г0/иср1 а «медленный» процесс описывается ими, так сказать, лишь в самом его начале, так как они пригодны, только пока t <<v/r^ • г0/иср.

3. Перейдем теперь к нашей главной задаче *’, к получению кинетического уравнения, дающего возможность изучать «медленный» процесс на протяжении достаточно длительных отрезков времени, и для этого возвратимся к основным соотношениям (5).

Заметим прежде всего» что кинетическое уравнение есть уравнение типа

(16)

где A (xlt F^ представляет выражение, которое, в любой момент времени / полностью определяется формой распределения Г, для этого же момента.

Таким образом, начальное распределение FT должно определять распределения Fx для />0. Но, с другой стороны, основные уравнения (5) показывают, что для определения какой-либо функции распределения, например Ft, для />0 необходимо задать при / = 0 не только Fv но и все корреляционные функции F^, F3, .... Ясно поэтому, что, для того чтобы прийти к кинетическому уравнению, нам следует рассматривать такое частное решение уравнений (5), у которого корреляционные функции Fs для произвольного t > 0 оказываются полностью определенными формой распределения Ft для этого же момента:

FSV, *1xs) = Fs(x,xs: F^; s^2.(17)

Как видно, Fs зависит здесь от t лишь через посредство Ft. Разумеется, такое решение не является общим, ибо начальные распределения вероятности динамических состояний комплексов s молекул Fs(0, xlt ..., xs) не могут задаваться произвольно, поскольку они полностью определены заданием начального распределения Fv т. е. заданием одной функции Fx (0, х), которая одна только и будет играть роль «произвольной постоянной интеграции». Тем не менее ввиду ранее изложенных соображений можно ожидать, что и при общих физически допустимых начальных распределениях

*> Заметим, что для изучения стационарных, в том числе и неравновесных распределений, можно пользоваться обычным приемом степенных разложений, не переходя к кинетическим уравнениям. Мы можем получить таким путем определенные выражения, если наложим «граничные условия» вида (15).

Интересно отметить, что распределения, соответствующие статистическому равновесию, удовлетворяют «обратимому» условию:

s (*1х») -П F1 (zl)}0; <± ОО.

I(1 ^ ^ S))

корреляционные функции будут быстро приближаться к выражениям (17), соответствующим рассматриваемому частному решению.

Итак, поставим задачу об определении выражений, стоящих в правых частях (16), (17), таким образом, чтобы выражения Flt ^2(^1, ^2? Л), •••, в которых Ft представляет решение уравнения (16), удовлетворяли уравнениям (5). Будем решать эту задачу с помощью разложений по степеням плотности 1/у, подбирая их коэффициенты так, чтобы выражения

Fr, Fs (t, xi, ..., x$^=Fs (xi, ..., xs; Fi) ^- X

X^iVfi)+.... (s^2) (18) в которые вместо Ft подставлено решение уравнения

-^ = A0(xi; F^-V—Аг (xt; fj-j—— A2(xv, F^-^-...,(19)

формально удовлетворяли уравнениям (5). Написав (5) для s= 1, видим сразу же, что

До(^; F^^VTM; Л];

Дг (х,; F1)= j [Ф (Iqt — q^y, F^~ 1 (xv x2; Ft)] dx2.(20)

Q

Далее, пусть Ф (хь ..., xs; F^) будет каким-то выражением, которое для каждого t полностью определяется формой распределения Fx для этого же самого t. Тогда ввиду (19) можем написать

1

^ = DoY+-D14r+^D2'F+...,

где Dr обозначает оператор дифференцирования по / (которое входит в Y через F^) с последующей заменой dFjdt на Ar (Fj). Заметив это, подставим формальные разложения (18) в обе части уравнений (5) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях параметра. Получим:

[Я,; ^]-^ = 0 (s^2);

[Я$; F:]-D0F;-DiFS+ ( Г 5 Ф (l^-^+il); ^ + 11 X qL(1«Z^s)J

Xd*s+1=0 (s^2).(21)

Чтобы решить эти дифференциальные уравнения относительно Fs, Fs, ..., нам необходимо задаться соответствующими граничными условиями.

Для этого будем исходить из условий ослабления корреляции в форме (15), налагая их на всякое начальное распределение Fs> совместимое с рассматриваемым частным решением. Так как все такие распределения получаются, то, подставляя в Fs (xlt ..., xs; F^ различные распределения /\, мы напишем граничные условия в следующей форме:

предполагая, что они выполняются для произвольного распределения Fv

Ограничимся здесь для простоты опять тем случаем, в котором взаимный потенциал монотонно убывает с увеличением расстояния.

Тогда условие (22) можем заменить условием вида

S^^(xr...,xs;S^)- П (S^H-Ojt^+oo.

I(1 < i< s) )

Таким образом, приходим к следующим граничным условиям для коэффициентов разложений (18):

8^ ^ ViЧ- S^) - П №)1 -» 0; г ^+сэ,

I(l<i<s))

S?’ ^s (xr • • •, V' S^) 0; т -» + oo.(23)

Приступим теперь к решению уравнений (21) с граничными условиями (23). Заметим, что переменная / сюда не входит и наша задача состоит в определении выражений F°s как функционалов от произвольной функции Fv Решив эту задачу, мы найдем в явной форме и кинетическое уравнение (19) и корреляционные распределения (18). Разумеется, в правые части (18), (19) мы должны подставить вместо Ft выражение Fx (t, х^ зависимость которого от параметра t определяется кинетическим уравнением.

Итак, возьмем первое из уравнений (21), заменив в выражении Fs ее произвольный «функциональный аргумент» FA на и заметив, что по определению £)0 благодаря (20) имеем тождество PofsUi, •••.8^-тЛ)=^-^ к*!, .... XS; SlfJ.

Поэтому

xs-, SLxfJ = Vhs; ^Ui, ...>xs; StTFt)], откуда

. v- slaMM^^ Л)

И

^(^f ..., xs; F^^S^^ (xr ..., xs\ S^).(24)

Так как это равенство имеет место для произвольного т и его левая часть не зависит от т, то, принимая во внимание граничное условие (23), мы можем написать

^s№» Л) =

Но, с другой стороны,

s^ П №м)=

= п г1(^+^т’8-л)-

(1 <i^s)

Поэтому ввиду (Н), (13) имеем окончательно

^(^1V>^1)= П Fi№F^,(25)

(1 ^^S)

откуда в силу (20) находим:

Л1 to; fl) = J [ф ( ki - »21); п Fi (<?<*’. f <2,Л ^(26)

Q(l^t^2)

Совершенно аналогично решаются и следующие уравнения. Так, например, можем получить выражение

s (xixs* ^1)= 5 $— т {“ ^i^o V°v • • • ’ ^i) +

+ J Г S ^ (I 4l"~4s*i I)» ^s+1 (xv ••• > xs+i*» St/7)! dxs+1| dx, QLl^t^sJ J

(27)

в котором

D1FUX1XS- Fl) =

= 2 M^^Vi) П F1W.P^- (1</^S)/l^t^s\

Зная это выражение, мы можем написать в явной форме выражение для коэффициента при квадрате плотности в кинетическом уравнении:

а2 to; fi) = ^ [ф (19i—9s I); fs to. *2; f J] ^8-(28)

Заметим теперь, что если мы возьмем стационарное максвелловское распределение

Р- = Сехр {— Т(р)/6}; C=const,

то разложение (18) с найденными коэффициентами (25), (27) вырождается в известное формальное выражение теории Урселла— Майера для стационарных корреляционных функций распределения. Таким образом, наше разложение (18) может рассматриваться как обобщение разложений этой теории на случай неравновесных состояний.

Заметим также, что кинетическое уравнение (19) имеет всегда «пространственно-однородные» решения Рг (t, x) — w (t, р). Благодаря наличию тождества *}

( [Ф (I Р1~Рг I); w (/, РП w (t, Р^)] dx^

5 И I (Р2—Р1)/”11 {“> (Л Р1) т У, P^—w (t, Pi) W (t, Рг)} x о О р2

X dp2 adad^ (29) кинетическое уравнение первого приближения, получаемое из (19) при отбрасывании в его правой части членов, начиная с членов, пропорциональных квадрату плотности, будет совпадать с классическим кинетическим уравнением Больцмана.

SFidtSFidtДля общего случая пространственно неоднородных распределений кинетическое уравнение первого приближения будет

SFidt

SFidt

?i—Psi);

Fi V. Q?', РГ) Л (/, Qr- ^’)] dx,.

Рассмотрим обычные распределения с малыми пространственными

градиентами:

Тогда, поскольку потенциальные функции Ф(|^1 —^[) практически отличаются от нуля лишь в окрестности | qi — q^ | ~ г0, в которой Ql2,—^i^r0; Ог2^^! ^ го. мы получим, разлагая по степеням Q^—qi; Q^ — qv-

dtт dq^ ‘

(1 ^ а ^ 3)1

+ у J I® (I Pi-Ps I); fl V, Qi. РГ) Fl V, qv 7™)] dx2 +

+ 1$[ф(|Р1-Р2 1);2 {(^'-^“^(^r^^x

Q(1<а^3)1

X Ft (t, р^ P^ + ^-qJ F ^ (t, q^ P^ Ft Q, q^ P-^X

X dx^. (30)

Это уравнение, кроме первого «конвекционного» члена и второго члена, который благодаря тождеству (29) представляет собой

*’ В этом тождестве pt = Pt (я, ф, Ръ Р*)» Р* = Р* (а. ф. Рг» Р^ представляют те импульсы, с которыми в задаче двух тел выходят из бесконечности эти два тела в том их движении, в котором они удаляются на бесконечность с импульсами ръ р2. Величина а представляет здесь прицельное расстояние, ф — соответствующий угол. Указанное тождество доказывается с помощью введения для точки д2 цилиндрической системы координат с началом в точке qt и осью, параллельной вектору p^—pv, в этой системе а, ф являются соответственно полярным радиусом и углом.

больцмановский член «бинарных соударений», содержит еще необычный третий член, соответствующий «интерференции» конвекции и соударения. Его физический смысл выясняется при переходе к уравнениям гидродинамики. Как известно, уравнения гидродинамики, получающиеся из обычного уравнения Больцмана, не содержащего интерференционного члена, соответствуют среде с уравнением состояния идеального газа. Можно показать, что учет упомянутого члена приводит к поправкам в уравнении состояния в значениях коэффициентов вязкости, теплопроводности и т. п.

В заключение заметим, что методы классической кинетической теории не могут быть непосредственно усовершенствованы так, чтобы с их помощью можно было учитывать высшие степени плотности или взаимодействие между инерциальным движением и соударениями. Эти классические методы, восходящие к Больцману, построены на полном пренебрежении корреляцией между динамическими состояниями пары молекул (Stosszahlansatz, гипотеза молекулярного хаоса) и к тому же рассматривают динамический процесс инерциального движения молекул и стохастический процесс их соударений как не интерферирующие, ввиду чего в кинетическом уравнении к конвекционному члену просто приписывают член соударений.

Итак, изложенный нами метод не только позволяет получать кинетические уравнения с единой последовательной точки зрения исходя из основных уравнений механики, но и уточнять формулы классической кинетической теории наподобие того, как для случая статистического равновесия это делается в теории Урселла—Майера.

Недавно в работе «Микроскопические решения уравнения Больцмана —Энскога в кинетической теории для упругих шаров» (Н, Н. Боголюбов, препринт ОИЯИ Е-4— 8789, Дубна, 1975) было показано, что уравнение Больцмана—Энскога, которое всегда рассматривалось как приближение малой плотности, имеет также микроскопические решения, соответствующие точному движению частицы.

Н. Н. Боголюбов

Метод функциональных производных в статистической механике •>

Изучение различных функций распределения значительно облегчается с помощью введения некоторого функционала, рассматриваемого в настоящей статье.

Для определения этого функционала и соответствующих функций распределения выводятся уравнения, содержащие функциональные производные.

В случае короткодействующих для решения этих уравнений применяются разложения по обратным степеням объема, причем показывается, что они приводят к обычным формальным выражениям теории реальных газов Урселла—Майера.

Теория стационарных состояний. Рассмотрим системы, которые состоят из N одноатомных молекул, находящихся внутри некоторого объема У, причем конфигурационное положение каждой молекулы условимся считать вполне определенным, если дана совокупность q значений ее трех декартовых координат q1, q3, q3. Допустим, что эти молекулы принадлежат к М различным клас-

*) См.: Сб. трудов Института математики АН УССР, № 6, 1946.

сам *’ и что все молекулы одного и того же класса полностью идентичны. Число молекул а-го класса обозначим Ма.

Исследуем те обычно рассматриваемые случаи, когда потенциальная энергия всей системы может быть представлена в виде суммы взаимных потенциалов различных пар молекул:

Фа, 6 (| qa. l-qb,i\Y(1)

Здесь символ qa, ^ определяет точку q i-й молекулы а-го класса, причем /=1, 2, ..., Na, а = 1,..., М, Фа, b (I Qa* ir-qb* ^ — симметричные функции расстояния \qa,i~qb*j\ между (а, 1)-й и (Ь, /)-й молекулами. Сумма (1) распространяется по всем

-^ N (N — 1) различным парам.

Введем теперь функции распределения ’ Fa $а (qv^»9qs)9 нормированные таким образом, что выражение

(•/Vs) F^ , 0$ (qv ...,qs)dq1... dqs

является вероятностью того, что координаты системы s фиксированных молекул alf ..., as классов находятся соответственно в бесконечно малых объемах dqv ..., dqs, вблизи точек qT, ..., qs. Будем исходить из обычной теории стационарных состояний, построенной на каноническом распределении Гиббса, и поэтому выразим эти функции через взаимные потенциалы пар молекул. Возьмем функцию канонического распределения в виде

Dn = ^- exp {- ит, Q=hT,(2)

где Q^—конфигурационный интеграл:

Q^=exp{-C//9}.

Черта над выражением обозначает интеграцию по всем переменным qa i (i=l, ..., Na\ a=l,..., NT), причем по каждой из них интеграция проводится по всему объему V.

Функции Dn является плотностью вероятности распределения координат всех молекул нашей системы и согласно определению (2) тождественно:

5^=1.(3)

Функции распределения F могут быть выражены через DN и, следовательно, через взаимные потенциалы с помощью очевид-

*’ Мы рассматриваем здесь общий случай системы молекул различных типов, имея в виду главным образом применение к теории электрически нейтральных систем частиц противоположных зарядов.

ных соотношений

4-zi=?iЧЛ“^

в которых символ q^. < »•••» qa , I — Qs используется для обозначения интеграции по всем переменным ^qa J, кроме qa^ .^... ..., qa t, значения которых фиксированы и соответственно равны qlt ..., qs.

Благодаря симметрии потенциальной энергии U по отношению к любой перестановке между молекулами одного и того же класса значения индексов iv ..., is в формуле (4) можно выбрать совсем произвольно с тем естественным ограничением, чтобы в ряде (alt Zx), ..., (as, Zs) не было ни одной пары (ад, i^t (аг, Ц, относящейся к одной и той же молекуле.

Заметим теперь, что изучение функций распределения F можно значительно облегчить, введя некоторый функционал L. Для определения функционала L рассмотрим произвольные регулярные функции иг^\ ..., uM(q), заданные во всем бесконечном трехмерном пространстве и достаточно быстро стремящиеся к нулю с возрастанием | q | так, чтобы обеспечить сходимость интегралов, с которыми мы будем иметь дело.

Введем функционал LN=LN^up ..., и^, определим его с помощью соотношения вида

ln=dn п р+том^а].ln=dn п р+том^а].(5)(5)

ln=dn п р+том^а].

ln=dn п р+том^а].

(5)

(5)

Для исследования этого функционала нам придется постоянно йспользовать понятие функциональной производной, которая является естественным обобщением частной производной. Известно, что частная производная некоторой функции переменных хъ ..., хп может быть определена как коэффициент при dx^ в сумме

df= 5 A{dxb(6)

(l^i<«)

являющейся дифференциалом этой функции.

Пусть теперь у нас есть некоторый функционал / (и), для которого вариация 6/ (и), определенная как главная часть приращения I (a + du) —Z (а), может быть представлена интегралом вида

д/ (и) = f Abu (q) dp.

где Л—функционал ut зависящий от положения точки q в области G,

А = А(р; и).

аналогично тому, как в сумме (6) Д/—функция х1У ... , хл, зависящая от индекса I. Тогда, по аналогии с приведенным выше определением частной производной, введем понятие функциональ- нои производной функционала I по и в точке q, определив ее с помощью соотношения

Таким же образом можно ввести и функциональные производные высших порядков, при этом нетрудно заметить, что функциональные производные обладают основными свойствами обыкновенных частных производных.

Возвратимся теперь к функционалу LN, зависящему от нескольких функций uv ..., и^. Варьируя (5), находим

=3 (^ЧО^АТ П [1+(^»)"»М’

/ Y^a^MX/ Y^b^M \

\(Ь, Ь#Да, 0/

откуда ввиду симметрии функции распределения DN по отношению к перестановкам между молекулами одного и того же класса 6tN=V S \ Ea(q; a^u^da, (l^a^M) V

где для краткости положено

EJq-,u^ = DNП ['+(^МО(7)

/ Y^b^M \v

1^/^Ь

Vb,n^(a3V а поэтому

” = VFa(q;u).(8)

Ouaq

Далее аналогично получаем

6^-=V6Eo(q; и)=

OUat q ЯаЛ = д

= V 5 iyi«№bMDN П I’+WM^-OJ / Y^b^M \/ l^c^Al \

( Y^j^Nc ]Y^k^Nc\

Vb.n^Ca.YY/1)/

4^. к)ф(Ь, h' и поэтому

гдегде1, а = Ь0, а =# b11, а = Ь0, а =# b1

где

где

1, а = Ь

0, а =# b1

1, а = Ь

0, а =# b1

Ла» 1 — ^> Qb, 2 — д'

E«,bVb q'\ u^ = DnE«,bVb q'\ u^ = DnVxWiNcVclM"\.VxWiNcVclM"\.

E«,bVb q'\ u^ = Dn

E«,bVb q'\ u^ = Dn

VxWiNcVclM"\.

VxWiNcVclM"\.

{с, к^фка» 1)Ас» к)ф(Ь, 2\

Следовательно, = 1/2 1 ^а» к &ub, q' VСледовательно, = 1/2 1 ^а» к &ub, q' V^а, b \ с // хдг j Еа, ь (q^ q \ uY^а, b \ с // хдг j Еа, ь (q^ q \ uY(Ю)(Ю)

Следовательно, = 1/2 1 ^а» к &ub, q' V

Следовательно, = 1/2 1 ^а» к &ub, q' V

^а, b \ с // х

дг j Еа, ь (q^ q \ uY

^а, b \ с // х

дг j Еа, ь (q^ q \ uY

(Ю)

(Ю)

однако на основании (4), (7), (9)

^а, b \ ^(-м— Га.ЬЩ, lN а /^а, b \ ^(-м— Га.ЬЩ, lN а /q”).q”).Fo^ = VEoVi; 0), FOlb(q, q'^V^E^b^q, q'; 0), и, таким образом, благодаря (8), (10) убеждаемся, что

^а, b \ ^(

-м— Га.ЬЩ, lN а /

^а, b \ ^(

-м— Га.ЬЩ, lN а /

q”).

q”).

— I — * a \q)i I с с q jo\ ОМд, q би^, q

где символ (...)о означает, что в выражении, стоящем в скобках, функции ис, ..., им заменены нулями. Продолжая функциональное дифференцирование, нетрудно убедиться, что вообще

/ ^sLm \// 1

^.-^■v^rK-а’■)■ <">

-ту-. Как NM-ту-. Как NMгде \М") °б°значают величины порядка ^г-,

-ту-. Как NM

-ту-. Как NM

видно, с помощью этих формул, вопрос об изучении функций распределения сводится к вопросу об изучении введенного функционала Ln.

Построим теперь уравнение в функциональных производных, которому должен удовлетворять функционал LN. Заметим, что

функция распределения DN в соответствии с (2) удовлетворяет

уравнению вида

dPN4,1dPN4,11 dUtDn'4‘11 dUtDn'4‘10.0.

dPN

4,1

dPN

4,1

1 dU

tDn'4‘1

1 dU

tDn'4‘1

0.

0.

Полагая здесь /=1 и подставляя вместо U сумму (1), получаем

dDN , 1 nV^.Ml^, 1-96./I) п

•т«—+ v Л'Lд^

4,1/1<ь<л1 \41

1</<лг6

\(6, ПФ (а, 1)/

a 6lndq» ^а,дa 6lndq» ^а,дЧа. 1 — Ч"' 4b,» — Ч*Ча. 1 — Ч"' 4b,» — Ч*NN«с«сV=°-V=°-

a 6lndq» ^а,д

a 6lndq» ^а,д

Ча. 1 — Ч"' 4b,» — Ч*

Ча. 1 — Ч"' 4b,» — Ч*

N

N

«с

«с

V=°-

V=°-

Умножаем теперь обе части этого уравнения на произведение

V П П+OW “с <Чс,М

/Х^с^М \ I X^l^Nc ) \(е, Ь^ (а, Хн

и интегрируем с помощью операции qa> 1 = #. Тогда в силу (7), (8) записываем

д81^1у

dq» 6u„,q6^

/ Х^Ь^М \ X^i^Nb\

\Ф* ЬФ<Д» 1)/

^/О0,6^96’71^ И [1+(^с)«с(<?с.01=0’

/ 1<с^М \

\(с, Z)^(a, 1)/

или, учитывая симметрию по отношению к молекулам одного и того же типа,

(М)±(аЛ)(с, 1)^(Ь, 2)

С другой стороны, благодаря (9), (10)

4а» 1 = 4*' 4b» 2~4'

V (Nb-6a, е) Dn П t + ТО) % (яс,b) =

/ 1«KNC \ l(c, 1)ф(а 1)/ \(c, 6^(6, 2)/

Nh 6»LM

= V(Nb-6„.b)Ea.b(4, 4". ^-^.-ё^_

и, таким образом, приходим окончательно к следующему уравнению в функциональных производных*

^ 6Ln 1 у СдФо-6(|9-(7'|)

дч® 6и„о + 0 Zi J дф

(1<Ь<М)У

6»LM IN Nh \ х5^^'т+-‘<«'')‘‘«,-°- <12>

Установим теперь еще одно важное соотношение, которому должен удовлетворять функционал LN. Для этого умножаем равен- V

ство (7) на 1+тг- иа (q) и интегрируем по q. Тогда вследствие N а

определения (5) рассматриваемого функционала находим

Ео (q; «) [1 + (У/WJ ио (<?)] dq= LN

V

и благодаря (8)

1 С

(13)(13)V\^VX^<yiNa^a^A^ = LN.

(13)

(13)

V 4

'д^ ^N (м1 + ^у1>'д^ ^N (м1 + ^у1>vb dq.vb dq.^2L Sub, q^2L Sub, qОднако, по определению вариации и функциональной производной, мы можем написать при производных vx (q) ... vM(q)

'д

^ ^N (м1 + ^у1>

'д

^ ^N (м1 + ^у1>

vb dq.

vb dq.

^2L Sub, q

^2L Sub, q

В частности, полагая

ud = 0, b#=a, va = ut

находим(^ Ln [“i’находим(^ Ln [“i’..., 0+У ua...., 0+У ua.C ^lnJ S^a. qC ^lnJ S^a. qua (q) dq.ua (q) dq.

находим

(^ Ln [“i’

находим

(^ Ln [“i’

..., 0+У ua.

..., 0+У ua.

C ^ln

J S^a. q

C ^ln

J S^a. q

ua (q) dq.

ua (q) dq.

Таким образом, подставляя это тождество в соотношение (13), убеждаемся, что

1 г» &LN1 ( д)

V 3 &H^7dq=LN-Tr;V"<LN^U1’ — * О+У^. . “Л1]д_о-

К(14)

(15)(15)Наконец, вследствие (3) должно удовлетворяться условие вида

(15)

(15)

(^)o=L

В наших рассуждениях нигде не учитывался тот факт, что в системах, представляющих интерес с точки зрения статистической механики, число молекул N должно быть очень большим. Поэтому поставим проблему нахождения асимптотических выражений при ^ —> оо. Этот предельный переход, очевидно, необходимо выполнить так, чтобы сохранялись основные физические свойства рассматриваемой системы. Для того чтобы изучить объемные свойства и исключить влияние поверхностных эффектов, выполним указанный предельный переход обычным способом *}.

Предположим, что при N -»оо граничная поверхность, расширяясь, уходит в бесконечность, У—>оо, причем отношение V/N, являющееся объемом для одной молекулы, остается постоянным: V N -У'

Далее, пусть при этом число различных классов Л4, а также относительные числа заполнения остаются постоянными:

N ~па-

Обозначая буквой L предел функционала LN и переходя к пределу в соотношениях (12), (14), (15), получаем > упрощенные уравнения вида

д 6£1

dq» диа„ 1 9 (1 =

^Ь^М)

х6ддд:е+"«<«-> д--°. (,е>

vlim Аг\^йЧ=и (£)0=1.(17)

V -*оо V J OUa, q

В уравнении (16) интеграл берется по всему бесконечному трехмерному пространству. На основании (11) запишем теперь

Fax, ....a, fa’Fax, ....a, fa’6SL6SL(18)(18)ОО

Fax, ....a, fa’

Fax, ....a, fa’

6SL

6SL

(18)

(18)

О

О

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: решить уравнения в функциональных производных (16) при условиях (17) и вычислить по формулам (18) функции F. Полученные выражения (18) и должны представлять собой искомые асимптотические приближения для корреляционных функций распределения в реальных системах с конечным, но очень большим значением N.

Прежде всего рассмотрим поставленную задачу в наиболее простом случае, когда все молекулы системы одинаковы, так что число классов М равно единице. В этом случае уравнения (16) и (17) дают:

д &L , 1 СдФ(|д-/|) 62Д/1 ,п /1ОХ

д9« 6ы? + 6 ) дер. 6ugduq, \ v +u('q^)dq

J™ ^r\"i^dq=L' ^=1'(20)

V —*оо V J OUn

V

и формулы (18) можно записать в виде

F$(qiq$)=F$(qiq$)=(21)(21)6SL \би ... би )«1»$ 'о

F$(qiq$)=

F$(qiq$)=

(21)

(21)

Пусть теперь потенциальная функция Ф (г) соответствует обычным в реальных системах короткодействующим силам с отталкиванием на малых расстояниях. Для эффективного построения выражений корреляционных плотностей используем разложение по степеням «плотностей» 1/и:

Ци^Ц („)+-!-£,(„)+..(«)+...,(22)

Fs (qi<Ь)=Ъ° fa, ..., q$)4~ Fs (qt. - , qs)+-..(23)

Чтобы выяснить, по степеням какого параметра фактически проводятся эти разложения, необходимо перейти к безразмерным величинам. Поскольку в рассматриваемом случае величина Ф (г)/6 практически отлична от нуля и имеет порядок единицы только при г^г0, где г0 — эффективный радиус молекулы, естественно взять в качестве единицы длины именно этот радиус. Тогда плотность 1/и равна безразмерной величине ЫгЦУу которая может считаться малым параметром, во всяком случае для газов. Таким образом, указанным способом разложения мы получаем ряды по степеням отношения суммарного объема молекул к общему объему всей системы. Заметив это, перейдем к фактическому определению коэффициентов разложений (22), (23).

Как обычно, подставляем (22) в (19), (20) и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях плотности. Получаем:

d 6£p dqa Ыд lim A- (V-*oo V JVДалее d 6LT dqa &ugd 6£p dqa Ыд lim A- (V-*oo V JVДалее d 6LT dqa &ugdq® 6uq 6uq, w 1dq® 6uq 6uq, w 1^-dq = L0, £,(0)=l.^-dq = L0, £,(0)=l.■V бйдби-и^^-■V бйдби-и^^-£J£JдФ^-?']) №ЦдФ^-?']) №Цdq®dq®6uq6uq,6uq6uq,dq',dq',116Ц6ЦV 6uqV 6uqdq=Li, Li(0) = 0.dq=Li, Li(0) = 0.(24)(24)(25)(25)(26)(26)

d 6£p dqa Ыд lim A- (

V-*oo V J

V

Далее d 6LT dqa &ug

d 6£p dqa Ыд lim A- (

V-*oo V J

V

Далее d 6LT dqa &ug

dq® 6uq 6uq, w 1

dq® 6uq 6uq, w 1

^-dq = L0, £,(0)=l.

^-dq = L0, £,(0)=l.

■V бйдби-и^^-

■V бйдби-и^^-

£

J

£

J

дФ^-?']) №Ц

дФ^-?']) №Ц

dq®

dq®

6uq6uq,

6uq6uq,

dq',

dq',

1

1

6Ц

6Ц

V 6uq

V 6uq

dq=Li, Li(0) = 0.

dq=Li, Li(0) = 0.

(24)

(24)

(25)

(25)

(26)

(26)

Замечаем также, что

fs(^,

Fs (qv

Приступая к нахождению Lo путем функционального дифференцирования (24), (25), последовательно получаем:

дд<7«дд<7«62L06“<7.6“<7»62L06“<7.6“<7»1дФ(|91~9г|) 6Ч.О6д<^ 6uq, 6uq.1дФ(|91~9г|) 6Ч.О6д<^ 6uq, 6uq.дФ(|91 —<7'1)дФ(|91 —<7'1)83Lq6«ffi би^.83Lq6«ffi би^.u (q') dq'= 0u (q') dq'= 0d бзд0dq^ Su_ 6uo 6ua^1<7i<7г<7зd бзд0dq^ Su_ 6uo 6ua^1<7i<7г<7з+ -^ {Ф ( I 91 ~ 9”. I ) + Ф < 191 - <?31 ) } ~™8 д^б^.6^6"»,+ -^ {Ф ( I 91 ~ 9”. I ) + Ф < 191 - <?31 ) } ~™8 д^б^.6^6"»,1 f ^(hi-/!) 6 3 dq»1 f ^(hi-/!) 6 3 dq»64L064L0биа бип би би , <71<7 2<?3 Ябиа бип би би , <71<7 2<?3 Я“(/) dq' = 0,“(/) dq' = 0,d 6SLOd 6SLO1 6f£o1 6f£oддd^u^-du^ e duqi...8uq$d^, 1 f dOd^-ZI) d^u^-du^ e duqi...8uq$d^, 1 f dOd^-ZI) 2 ф(1»1-<7а)+2 ф(1»1-<7а)+6S«£O6S«£Od^d^^...bu^U.,,^...bu^U.,,«to')^'=o,«to')^'=o,

дд<7«

дд<7«

62L0

6“<7.6“<7»

62L0

6“<7.6“<7»

1дФ(|91~9г|) 6Ч.О

6д<^ 6uq, 6uq.

1дФ(|91~9г|) 6Ч.О

6д<^ 6uq, 6uq.

дФ(|91 —<7'1)

дФ(|91 —<7'1)

83Lq

6«ffi би^.

83Lq

6«ffi би^.

u (q') dq'= 0

u (q') dq'= 0

d бзд0

dq^ Su_ 6uo 6ua

^1<7i<7г<7з

d бзд0

dq^ Su_ 6uo 6ua

^1<7i<7г<7з

+ -^ {Ф ( I 91 ~ 9”. I ) + Ф < 191 - <?31 ) } ~™

8 д^б^.6^6"»,

+ -^ {Ф ( I 91 ~ 9”. I ) + Ф < 191 - <?31 ) } ~™

8 д^б^.6^6"»,

1 f ^(hi-/!) 6 3 dq»

1 f ^(hi-/!) 6 3 dq»

64L0

64L0

биа бип би би , <71<7 2<?3 Я

биа бип би би , <71<7 2<?3 Я

“(/) dq' = 0,

“(/) dq' = 0,

d 6SLO

d 6SLO

1 6f£o

1 6f£o

д

д

d^u^-du^ e duqi...8uq$d^

, 1 f dOd^-ZI)

d^u^-du^ e duqi...8uq$d^

, 1 f dOd^-ZI)

2 ф(1»1-<7а)+

2 ф(1»1-<7а)+

6S«£O

6S«£O

d^

d^

^...bu^U.,,

^...bu^U.,,

«to')^'=o,

«to')^'=o,

а также

..1 C 62/,0st»

V™co V J 6u 6u ql 6u

C 6sЦ ^_6*-!£о

Д™) 6uqi...duqsd%- 6uq4...6uq$

Заменяя в полученных соотношениях функцию и нулем и принимая во внимание (27), находим:

(28)(28)6Л(<7) л

(28)

(28)

dq® ’

^FUqi, 9$)+-^-/;s(9i,

’^А 5 ф(1»1 —<7$1) = 0,

дла

(2<i<s)

(29)

lim -^-^ Fi(q) dq=l, V —co V J

lim -1-Fs (»i,

V-oo v .)

, 9s) dq^Fs-1 (q2,

1 . . . . 9s)-

(30)

Из (28) видим, что f? (^ — постоянная величина. Тогда из (30) следует, что значение этой постоянной равно единице:

FUq)=i-(31)

Далее, полагая

FI(Qu —. qs)=As(qti ... -, ?s) exp I— у ^®(l9i“9/l)

I (Ki</«s)

и подставляя в (29), получаем

dAs(qv .... ^) р

так что As (qlt ..., ^ — постоянная по отношению к qv Но Fs, а тем самым и As симметричны. Поэтому Д5 = сопз1 и тогда, учитывая (30), можем убедиться, что As = As_t = ...= 1, поскольку Ф (г) -> 0 при г -» оо.

Таким образом, для нулевых приближений корреляционных плотностей получаем классические больцмановские выражения

FUqt. .... ^)=ехр|-уф(1^-^1)1<32)

I (Ki^/^S)J

Переходим теперь к рассмотрению уравнений (26). Сначала можем заметить, что

f} (g) = 0.

Чтобы определить функцию F^, находим, функционально дифференцируя (26) и заменяя и (^) нулем,

d\ 1 1ч ЗФ( I <71 —<7*21)

-г^ F» (91, 9г) + — F^ (qu q^^Ьг1^ =

dq^6д»“

If ] qi ^з |) ро /п п п X Л- /ОО\ = А \ r~z 'з wi, <7г> ^з) “<7з, (33) 6 6 dqx

lim Jr ^3(91, q^dqi=O.(34)

V ->-oo V J

Положим для краткости

/(г) = ехр{-Ф(г)/9}-1(35)

и заметим, что на основании (32)

д Г^3^ ■/г°8(91. 9з, q8')dqs =

J dq»

=ехр {— уФ(|91 — 9г1)| ^ -^-^Г^-11 +К 19г — 9з1)}^9з-

Однако в связи с предположениями о характере потенциальной функции Ф(г) функция /(г) достаточно быстро убывает при воз-

растании г, так что все рассматриваемые интегралы абсолютно сходятся и мы можем написать:

^ —-^ о/3^ ^^А ^ /(|91-9з1)^з = -^ ^ /([ 9 [) d9 = 0,

J deft deft Jft# J

С ^IL^KzMl/d^—^D^g^A С f^—93|)/(| 9г~<?з1М9з-

J dq»deft J

Таким образом, уравнение (33) можно записать в виде

-^Г F^ (q. .92) + ^ Fl fa qd -Ф(1^а ^ 1 *d9“6deft-^Г F^ (q. .92) + ^ Fl fa qd -Ф(1^а ^ 1 *d9“6deft= exp/--^-Ф(| 91-92 1)1 “Al 6) dq»= exp/--^-Ф(| 91-92 1)1 “Al 6) dq»f(l9i — 9з!Ш|92—9з I) dq3.f(l9i — 9з!Ш|92—9з I) dq3.

-^Г F^ (q. .92) + ^ Fl fa qd -Ф(1^а ^ 1 *d9“6deft

-^Г F^ (q. .92) + ^ Fl fa qd -Ф(1^а ^ 1 *d9“6deft

= exp/--^-Ф(| 91-92 1)1 “Al 6) dq»

= exp/--^-Ф(| 91-92 1)1 “Al 6) dq»

f(l9i — 9з!Ш|92—9з I) dq3.

f(l9i — 9з!Ш|92—9з I) dq3.

Положим здесь

Fl fa q2) = C fa q^ exp {— у Ф (| qt — q31)|.

Тогда

Sr = ^F Vd^-* I)f (I 92-93 l)d%.

69“ deft J

Так как C (qv q^ должна быть симметричной функцией, мы видим отсюда, что

с(91. 9г) = $/(I 91-9з|)/(|92—9з1)^з+К.

где К=const. Однако, с другой стороны,

5^(191—9з1)/(|92—9з|)^9з-»0,I qrr I-» оо,

ехр {- уФ (|91 —9г 1)}-* 1> ki|->oo,

и поэтому, учитывая (34), убеждаемся, что /С = 0. Таким образом,

FUqi. 92) = ехр{—уФ(|9! —92|)}/ (|91 —9г I)/(|9г —9з1) <%з-

Аналогично можно было бы найти и остальные коэффициенты наших разложений.

Рассмотрим отдельно выражение бинарной плотности. На основании установленного выше можем написать ^(^i* ^2)=

= ехр {—уФ(| ^1—^2 njf^ + v ^/(1^1’*^з|)/(И2—^з|)^з+«--^.

Как видим, бинарная плотность зависит только от расстояния l^ — ^l между рассматриваемыми молекулами:

Р»<Л. <7e) = f (| <71 ~»8 I).

(36)(36)ц(|<7|)=Сехр[-Ф(|<?|)/0г|1 + 1 J /(^-/Dx Х/(|<?'|)^, + -}.

(36)

(36)

Имея выражение бинарной плотности, нетрудно получить уравнение состояния. Действительно, по теореме Клаузиуса,

— 1 1660v— 1 1660v\q\<$>r<\q\)p.(\q\)dq1\q\<$>r<\q\)p.(\q\)dq1

— 1 1

660v

— 1 1

660v

\q\<$>r<\q\)p.(\q\)dq1

\q\<$>r<\q\)p.(\q\)dq1

где Р—давление. Подставляя сюда р из формулы (36)1 приходим к известному разложению

Рц 1 Pi ^Рг

6 ~" 2и Зи2 ••*

с «неприводимыми интегралами»

01= § ftiq^dq, ₽S = 4 ^ f (I q-q' I) f (I q I) f (| q' |) dq dq'.

Таким образом, с помощью решения нашего функционального уравнения получаются известные формальные выражения теории Урселла—Майера *J.

ЛИТЕРАТУРА

Н. Н. Боголюбов, С. В. Тябликов. ДАН СССР 126, 53 (1959).

Д. Н. Зубарев. Усп. физ. наук 71, 71 (1960).

В. Л. Б о н ч-Б р у е в и ч, С. В. Тябликов. Метод функций Грина в статистической механике. М., Физматгиз, 1961.

Л. К а д а н о в, Г. Б е й м. Квантовая статистическая механика. М., «Мир», 1964.

G. Kallen. Helv. Phys. Acta., 25, 417 (1952).

H. Lehman. Nuovo Cimento, 11, 342 (1954).

H. H. Боголюбов (мл.), Б. И. Садовников. Вестник МГУ, сер : Физика, № 5, 54 (1962).

Н. Н. Боголюбов (мл.), Б. И. Садовников. ЖЭТФ 43 вып. 8, 667 (1962).

Н. Н. Боголюбов. Проблемы динамической теории в статистической физике. М., Гостехиздат, 1946.

Н. Н. Боголюбов. Избранные труды, т. II «Лекции по квантовой статистике». Киев, «Наукова Думка», 1970.

Н. Н. Боголюбов, О. С. Парасюк. ДАН СССР 109, 717 (1956).

J. С. Herz el. J. Math. Phys. 8, № 8 (1967).

M. J. Smith. Phys. Rev. Lett. 24, 1398 (1970).

Y S о u 1 e t. J. de P h у s i q u e 31, № 4, 231 (1970).

А. А. Власов. ЖЭТФ 8, 291 (1938).

Л. Д. Ландау. ЖЭТФ 16, 574, 611 (1946).

Б. И. Садовников. ДАН СССР 164, № 4, 65 (1965).

Б. И. С а д ов н и ков. ДАН СССР 164, № 5, 71 (1965).

Б. И. Садовников. Сб. «Проблема многих тел и физика плазмы». М., «Наука» (1967), стр. 106.

Н. Н. Боголюбов. К вопросу о гидродинамике сверхтекучей жидкости. Препринт ЛТФ ОИЯИ, Р— 1395, Дубна, 1963

Е. G. Cohen. Physica 27, 163 (1961).

N. N. Bogoliubov (Jr.), В. I. Sadovnikov. Selected Papers in Physics, published by the Physical Society of Japan, p. 108, Tokyo, 1968.

В. I. Sadovnikov. Physica 32, 123 (1966). Препринт ИТФ — 67 — 2, Киев, «Наукова Думка», 1967.

С. Чепмен, Т. К а у л и н г. Математическая теория неоднородных газов. М., ИЛ, 1960.

Н. Н. Боголюбов (мл.), Б. И. Садовников. Вестник МГУ, сер.: Физика, № 1, 74 (1963).

Н. Н. Боголюбов (мл.), Б. И. Садовников. Там же, № 2, 47 (1963).

Ю. Л. Климонтович, В. П. Силин. ЖЭТФ 23, 151 (1952).

И. П. Б а з а р о в. Вестник МГУ, сер.: Физика, № 4, 3 (1965).

Б. И. Садовников, Е. М. Сорокина. ДАН СССР 188, 788 (1969); Б. Й. Садовников. Сообщения ОИЯИ, Р4—7384. Дубна, 1973.

Н. Н. Боголюбов. Усп. физ. наук 67 , 549 (1959).

В. Г. С о л о в ь е в. Сб. «Проблемы теоретической физики». М., «Наука», 1969; стр. 365; Теория сложных ядер, М., «Наука», 1971.

L. Kadanoff, Р. Mar t in. Ann. of Phys. 24, 419 (1963).

E. A. U e h 1 i n g, G. E. U 1 e n b e c k. Phys. Rev. 43, 552 (1933).

H. H. Боголюбов, К. П. Гуров. ЖЭТФ 17, 614 (1947).

Б. И. Садовников. ДАН СССР 169, № 1, 66 (1966).

П. А. М. Дирак. Принципы квантовой механики, М., Физматгиз, 1960.

Н. Н. Б о г о л ю б о в. Квазисредние в задачах статистической механики. Препринт ОИЯИ, Д — 781, Дубна, 1961; II изд. ОИЯИ, Р— 1451, Дубна, 1963.

И. П. Базаров. Статистическая теория кристаллического состояния. Изд-во МГУ, 1972.

И. П. Б а з а р о в. ДАН СССР 140, 85 (1961); 1. Р. Bazarov. Physica 28, 479 (1962).

Н. Н. Боголюбов. Изв. АН СССР, сер. физ., 11, 77 (1947).

Н. Н. Боголюбов, В. В. Толмачев, Д. В. Ширков. Новый метод в теории сверхпроводимости. М., Изд. АН СССР, 1958.

Н. Н. Боголюбов. Доклады высшей школы, № 1, 3, 1958; L. N. Cooper, Phys. Rev. 104, 1189 (1956); J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schriffer, Phys. Rev. 106, 162 (1957); Phys. Rev. 108, 1175 (1957).

H. H. Боголюбов, мл. Teop. и мат. физика 4, № 3, 418 (1970); 5, № 1, 136 (1970).

J. D. Lee, С. N. Yang, Phys. Rev. 87, 410 (1952); С. N. Yang, С. P. Yang, Phys.- Rev. 151, 258 (1966); E. H. Lieb, W. Liniger, Phys. Rev. 130, 1605 (1963).

H. H. Боголюбов, Д. H. Зубарев, Ю. А. Церковников. ДАН СССР 117, 788 (1957); ЖЭТФ 39, 120 (1960).

N. N. В о g о 1 i u b о v. Physica, 26, 51 (1960); H. H. Боголюбов. Препринт ОИЯИ, P—511, Дубна, 1960.

Д. Я- Петрина. Препринт ИТФ—70—36, Киев, 1970; Теор. и мат. физика 4, № 3 (1970); Д. Я. Петрина, В. П. Яцишин. Препринт ИТФ—71—60Е, Киев*, 1971.

К- А. В г и с k n е г, А. М. S о d а, Р. W. A n d е г s о n, Р. М о- rel. Phys. Rev. 118, 1442 (I960); D. J. Thou less. Ann. Phys. 10 , 553 (1960). L. N. Cooper, R. L. Molls, A. M. Sessler. Phys. Rev. 114, 1377 (1959).

P. W. Anderson, P. Morel. Phys. Rev. 123, 1911 (1961).

Л. П. Г о p ь к о в, В. М. Г а л и ц к и й. ЖЭТФ 90, 1124 (1961).

Е. Е. Та реев а. ДАН СССР 159, 2 (1964); Физика металлов и металловедение, 16, 161 (1963).

Н. Н. Б о г о л ю б о в, мл. Укр. мат. журн. 17, № 3, 3 (1965); Вестник МГУ, сер.: Физика, № 1, 1965; препринт ИТФ—67—1, Киев, 1967.

Н. Н. Боголюбов, мл. ДАН СССР 168, 4 (1966).

Н. Н. Боголюбов, мл. ПрепринтИТФ—68—67,

ИТФ—68—65, ИТФ—68—86, Киев, 1968; ИТФ—70—58Р, 1970.

N. N. Bogoliubov (Jr). Physica 41, 601 (1969).

Н. D. Maison. Preprint Ref. Th 1299—CERN, Geneva, 1971.

N. N. Bogoliubov (Jr), A. S. Shumovky. Indian J. of Pure and Appl. Phys. .8, 121 (1970)..

W. T h i r r i n g. Preprint Institute for Theoretical Physica, Viena University, Austria, 1968; Commun. Math. Phys. 7, 181 (1968).

H. H. Б о г о л ю б о в, мл. Препринт ОИЯИ, P4—4184, Дубна, 1968.

N. N. Bogoliubov (Jr). A Method for Studying Model Hamiltonians, Pergamon Press, Oxford—New-York, 1972.

С. В 1 о c h, C. De D о m i n i c i s. Nucl. Phys. 7, 459 (1958).

H. H. Боголюбов, мл. Метод исследования модельных гамильтонианов. М., «Наука», 1974.

Н. Н. Боголюбов, мл. Препринт ИТФ—71—126Р, Киев, 1971.

Н. Н. Боголюбов, мл. «Ядерная физика», 2, 425 (1969).

N. N. Bogoliubov (Jr). J. Math. Phys. 14, № 1, 79 (1973).

H. H. Боголюбов, мл. Teop. и мат. физика 13, №4, 131 (1972).

D. К as tier, D. W. Robinson. Comm. Math. Phys. 3, 151 (1966).

R. Haag, N. M. Hugenholtz and M. W i nn i k. Comm. Math. Phys, 5, 215 (1967).

A. S. de Vries. The calculation of translationally invariant equilibrium states, Thesis, University of Groningen (Netherlands), 1973.

G. Vertogen, A. S. deVries. Physica 59, 634 (1972).

R. Haag. Nuovo Cim. 25, 287 (1962).

Й. Г. Бранков, А. С. Шумове кий. Препринт ОИЯИ, Р4—6899, Дубна, 1973.

Й. Г. Бранков. Препринт ОИЯИ, Р4—6998; Р4—7000, Дубна, 1973.

В. А. Загребнов, Й. Г. Бранков. Препринт ОИЯИ, Р4—7097, Дубна, 1973.

J. G. Brankov, A. S. Shumovsky. V. A. Zagrebnov. Preprint JINR, Е4—7150, Dubna, 1973.

H. H. Боголюбов (мл.), Й. Г. Бранков. Препринт ОИЯИ, Р4—7426, Дубна, 1973.

А. М. Kurbatov, S. S. La push k in. Препринт ОИЯИ, Е4—7746, Дубна, 1974.

А. М. Курбатов. Теор. и мат. физика 25, № 1 (1975).

С. С. Л а п у ш к и н. Препринт ОИЯИ, Р4—7738, Дубна (1974).

Р. A. J. Tindemans and Н. W. Capel. Physica 72, 433 (1974); 75, 407 (1975).

Й. Г. Бранков, В. А. Загребнов, Н. С. Тон чев. Препринт ОИЯИ, Р4—7735, Дубна, 1974.

R. Н. Dicke. Phys. Rev. 93, 99 (1954); Н. На ken. Handbuch der Physik, vol. XXV/2C, Springer, Berlin^ 1970.

К. Hepp, Е. Н. Lieb. Ann. of Phys. 76, 360 (1973).

D. C. Mattis, W. D. Langer. Phys. Rev. Lett. 25, 376

Й. Г. Бранков, В. A. 3 а г p e б н о в, H. С. Т о н чев. Препринт ОИЯИ, Р4—7917, Дубна, 1974.

Й. Г. Бранков, Н. С. Тончев. Препринт ОИЯИ, Р4—8150, Дубна, 1974.

J Villain, S. S. Stamenkovic. Phys. Stat. Sol. 15, 585 (1966).

К- Kobayashi, T. Phys. Soc. Jap. 24, 497 (1968).

A. M. Курбатов, В. H. Плеч ко. Препринт ОИЯИ, Р4—8403, Дубна, 1974.

J. Goldstone. Nuovo Cimento 19, 154 (1961).

Б. И. Садовников, К. Букли. Вестник МГУ, сер.: Физика, № 1, 35 (1970).

Б. И. Садовников. Применение метода функций Грина к описанию систем многих частиц. В кн.: «Труды конференции по теории плазмы». Киев, Изд-во АН УССР, 1971.

С. В. Тябликов. Методы квантовой теории магнетизма. М., «Наука», 1965.

J. Goldstone, A. Salam, S. Weinberg. Phys. Rev.

965 (1962); R. V. Lange. Phys. Rev. 146, 301 (1966); H. Stern. Phys. Rev., 147, 94 (1966).

Б. И. Садовников, В. К. Федянин. Теор. и мат. физика 16, № 3, 386 (1973).

Н. Wagner. Z. Physik 195, 273 (1966).

Р. Б р а у т. Фазовые переходы. М., «Мир», 1967.

N. D. Mermin, Н. Wagner. Phys. Rev. Lett. 17,1133(1966).

F. Wagner. Phys. Lett. 24A, 131 (1967).

D. C. Hamilton. Phys. Rev. 157, 472 (1967).

M. B. Walker, Th. W. Ruijgrok. Phys. Rev. 171, 513 (1968).

Б. И. Садовников, M. X. Каррасов. ДАН СССР 216, № 3, 513 (1974).

С. В. Тябликов, В. К. Федянин. Физика металлов и металловедение, 23, 2 (1967).

В. К. Федянин. Физика металлов и металловедение 28, 117 (1969); Phys. Lett. 29А, 40 (1969).

Н. Н. Боголюбов. Усп. физ. наук, 93 (2), 552 (1967).

Н. Н. Боголюбов. Изв. АН СССР, сер. физ., 11, 1, 77 (1947).

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Статистическая физика. М., «Наука», 1964.

Ч. Китте ль. Квантовая теория твердых тел.М.,«Мир», 1967.

L. Van Hove. Phys. Rev. 95, 249 (1954).

ПО. M. Е. Fisher. Arch. Rational Meeh. Anal. 17, 377 (1964).

D. Ruelle. Helv. Phys. Acta, 36, 183, 789 (1963).

В. I. Sadovnikov, E. M. Sorokina. Ind. J. of Pure and Appl. Physic 8, 61 (1970).

E. M. Сорокина. ДАН СССР 190, 1 69 (1970); Ind. J. of Pure and Appl. Physic 8, 64 (1970).

N. D. M e r m i n. Phys. Rev., 171, 272, (1968); J. of the Phys.

Soc. of Japan, v. 26, Suppl. (1969).

Б. И. Садовников, M. X. Харрасов. Препринт ИТФ—74—11 IP, Киев, 1974.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 3

Предисловие авторов 5

Часть первая

Нормальные системы

Введение 7

Глава I. Двухвременные температурные функции Грина в статистической механике квантовых систем . .9

Функции Грина и их спектральные представления 10

Теорема о вариациях средних значений . .15

Глава IL Двухвременные температурные функции Грина в статистической механике классических систем .16

«Классические» функции Грина и их спектральные представления 17

Теорема о вариации среднего значения динамической величины 21

Цепочки уравнений для «классических» функций Грина. Связь с функциями распределения .26

Глава III. Расцепление цепочки уравнений для классических функций Грина 31

Расцепление, соответствующее приближению самосогласованного поля 32

Аналог классического уравнения Больцмана в методе функций Грина 39

Исследование уравнения Больцмана в функциях Грина методом последовательных приближений. Построение корреляционных функций. .54

Асимптотика классических функций Грина в «вязком гидродинамическом» приближении. .58

Приложение к главе III wе 66

Глава IV. Уравнения для двухвременных температурных функций Грина в статистической механике квантовых систем 67

Связь между уравнениями для обычных квантовых «одновременных функций распределения» и уравнениями для двухвременных квантовых функций Грина 68

Уравнения Хартри—Фока в методе функций Грина 75

О функциях Грина для кристаллической системы в приближении самосогласованного поля 90

Уравнения обобщенного метода самосогласованного поля в функциях Грина 104

Асимптотическая форма двухвременных температурных квантовых функций Грина в вязком гидродинамическом приближении 112

Часть вторая

Модельные системы

Раздел [. Квазисредние в задачах статистической механики. 117 Раздел II. Асимптотические методы исследования модельных систем 140

Введение —

Глава I. Асимптотически точное вычисление- свободной энергии для модельного гамильтониана БКШ . .145

Постановка задачи 145

Основные неравенства для свободной энергии 147

Доказательство асимптотической малости разности свободных энергий 155

Глава II. Вычисление свободной энергии для модельных систем 159

Обобщенная постановказадачи 159

Абсолютный минимум для свободной энергии, построенной на основе аппроксимирующего гамильтониана 162

Построение мажорационных неравенств для свободной энергии 164

Обобщение на случай s = oo 175

Глава Ш. О функциях Грина для модельных гамильтонианов 178

Выбор гамильтонианов и уравнения движения. 178 § 9. Основные неравенства, устанавливающие «асимптотическую близость» оператора J к его среднему значению С 180

Асимптотическая близость корреляционных функций и функций Грина 189

Глава IV. Построение предельных соотношений для многовременных средних 201

Постановка проблемы и основные теоремы .202

Теорема существования и некоторые свойства свободной энергии 210

Вычисление квазисредних для модельных систем 214

Определение квазисредних без введения источников 224

Часть третья

Переход к «реалистическим» системам

Введение 240

Глава I. Неравенства Н. Н. Боголюбова в системах взаимодействующих многих частиц с нарушенной симметрией 244

Основные неравенства для функций Грина и корреляционных функций в статистической механике квантовых систем 244

Классические аналоги 251

Неравенства в модели Гейзенберга256

Применение неравенства для конечных систем 268 § 5. Классический аналог модели Гейзенберга . .271

Оценки для структурного фактора классической равновесной однокомпонентной плазмы . . .274

Неравенства для корреляционных функций в модели Изинга 277

Глава II. Теоремы об особенностях типа 1/д2 в теории сверхтекучих бозе- и ферми-систем 282

Конденсация Бозе — Эйнштейна. Принцип ослабления корреляций 282

Неравенство для функций Грина и массового оператора 286

Отсутствие сверхтекучести в одно- и двухмерных моделях 291

Размытие бозе-конденсата 292

Сверхтекучие ферми-системы. Введение квазисредних 294

Отсутствие дальнего порядка в одно- и двухмерной моделях 300

Глава III. Теоремы об особенностях типа 1/^2 и кристаллическое упорядочение 306

Постановка задачи 306

Неравенства для функций Грина и структурного фактора 309

Доказательство отсутствия кристаллического упорядочения в одно- и двухмерных системах .313

Бесщелевой спектр элементарных возбуждений 317

Приложение. К теории кинетических уравнений

Н. Н. Боголюбов. Кинетические уравнения 319

Н. Н. Боголюбов. Метод функциональных производных в статистической механике . 332

Литература 345

НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ БОГОЛЮБОВ (МЛ.)БОРИС ИОСИФОВИЧ САДОВНИКОВ

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Редактор Е. С. Гридасова

Художник С. А. Кравченко

Художественный редактор В. И. Пономаренко

Технический редактор 3. А. Муслимова

Корректор Г. И. Кострикова

Сдано в набор 13/III-75 г. Подп. к печати 8/VII-75 г. Формат 84Х108У32. Бумага тип. № 1. Объем 11 печ. л. Усл. п. л. 18,48. Уч.-изд. л. 16,95. Изд. № ФМ—546. Тираж 14000 экз. Заказ 1923. Цена 75 коп.

План выпуска литературы издательства «Высшая школа» (вузы и техникумы) на 1975 г. Позиция № 87

Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14, Издательство «Высшая школа»

Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственнотехническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Гатчинская ул., 26#

**• Подробное доказательство этой теоремы для статистической механики квантовых систем содержится в обзоре Д. Н. Зубарева [2].

*} Замечание. Исходя из равенства

ехр( £^/6) ехр( Еп(9^г <р it #р р \\/ni

1VViM А , С дФо,6(|^—/1)

Г2V^b-6a.b^^

(1<6^М)V

Н. Н. БОГОЛЮБОВ (МЛ.), Б. И. САДОВНИКОВ

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ

МЕХАНИКИ

Допущено

Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов физических и математических специальностей университетов

531

Б 74

УДК 531. 19(075)

Рецензенты: кафедра теории ядра и элементарных частицКРУ им. Т Г. Шевченко (зав. кафедрой В. К- Тартаков-ский) и профессор Я. П. Терлецкий.

Боголюбов Н. Н. (мл.). Садовников Б. И.

Б 74 Некоторые вопросы статистической механики. Учеб, пособие для университетов М., «Высш, школа», 1975.

352 с.

Книга посвящена актуальным вопросам теории систем многих частиц. В ней разработан метод построения асимптотически точны:. решений для модельных систем, содержащие четырехфермионное взаимодействие, при стремлении объема к бесконечности и развиты приближенные методы исследования «реалистических систем» статистической механики, основанные на использовании техники двухвременных температурны функций Грина.

Предназначается для студентов физических и математических специальностей университетов. Может быть использована научными работниками, специализирующимися в области теоретической и математической физики.

_ 20301—366_531

Б 87—75

001 (01)—75

Книга Н. Н. Боголюбова (мл.) и Б. И. Садовникова «Некоторые вопросы статистической механики» посвящена ряду актуальных вопросов теории многих тел и в значительной степени основана на собственных результатах авторов, которые получили дальнейшее развитие как у нас в стране, так и за рубежом.

В этом издании в основном содержится разработка проблем, принадлежащих к двум важным направлениям статистической физики — построение точных решений для модельных систем при стремлении объема к бесконечности и развитие некоторых новых приближенных методов для исследования «реалистических систем».

Интерес к упрощенным, так называемым модельным, системам обусловливается тем, что их изучение вносит существенный вклад в наше понимание весьма сложных задач статистической физики и, в частности, для обоснования используемых там приближенных методов. В книге исследуется широкий класс модельных систем, являющихся обобщением систем, рассматриваемых в теории сверхпроводимости. Это исследование, проведенное на строгом математическом уровне, привело в последнее время к постановке ряда трудных математических проблем, среди которых особое место занимают вопросы асимптотического поведения (при стремлении объема к бесконечности) физически важных величин, таких, как свободная энергия, корреляционные функции, функции Грина. Решение этих асимптотических проблем представляет одно из направлений рассматриваемых в книге вопросов.

Другое направление, получившее значительное развитие в последнее время, связано с изучением применимости формализма метода двухвременных температурных функций Грина к случаю «реалистических систем».

Органически вытекающий из самих задач статистической механики, этот метод оказался и результативным, и достаточно гибким при рассмотрении широкого круга вопросов статистической теории. Указанное направление посвящено разработке гринисти- ческого подхода к основным задачам статистической механики, причем основное внимание уделено не столько прикладным вопросам, сколько выявлению предельных особенностей рассматриваемых в теории величин и физическим следствиям таких особенностей.

При гаком подходе удалось рассмотреть с единой точки зрения целый ряд проблем, начиная с вопросов постановки

статистических задач и кончая объяснением чрезвычайно тонких вопросов, связанных с существованием эффектов «дальнего порядка» в системах при наличии вырождения.

В книге предложена методика’ построения систем уравнений как для квантовых, так и для введенных авторами классических функций Грина с помощью теоремы о «вариации среднего значения динамической величины», применение которой при изучении явлений переноса существенно усиливает результаты исходящие из обычных кинетических уравнений.

Обращает на себя внимание метод исследования некоторых свойств систем многих частиц, связанных с вырождением состояния статистического равновесия в основу которого положены неравенства для функций Грина и корреляционных средних и фундаментальная концепция «квазисредних». При этом основное внимание уделено вопросам существования в системах одного, двух и трех измерений эффектов «дальнего порядка», а также выяснению структуры зависимости энергии низколежащих возбужденных состояний от волнового числа.

Следует отметить, что интересные результаты в этом направлении были также получены рядом зарубежных авторов (Мермин, Вагнер, Хоэнберг).

Предлагаемое издание содержит ряд новых, оригинальных результатов и может служить гакже дополнительными главами к университетскому курсу «Статистическая физика» Оно, несомненно, будет представлять интерес для широкого круга читателей: студентов физических и математических факультетов, аспирантов и научных работников, специализирующихся в области теоретической и математической физики.

Академик, Н Н. Боголюбов

Значительный прогресс статистической механики за последнее время явился следствием применения новых формальных методов, основанных на использовании математического аппарата теории квантованных полей. Это связано, например, с тем что основные задачи в обеих областях формулируются в терминах вторичного квантования совершенно эквивалентным образом.

Ввиду значительной сложности реальных задач теории многих тел исследование физических моделей, отражающих их основные свойства, является одной из центральных проблем статистической механики.

Интерес к «упрощенным», модельным системам обусловливается следующими обстоятельствами. Модели квантовой статистической механики (гейзенберговский ферромагнетик, бозе- и ферми-системы сверхтекучего и сверхпроводящего типов, пространственно-периодические системы и т. п.) занимают важное место в развитии общих идей и методов; на них можно, отвлекаясь от усложнений, неизбежных в реальных системах, оцробовать различные приближения, выясняя результат той или иной аппроксимации. Далее, эти модели зачастую могут предоставить в наше распоряжение теоретическое описание, адекватное в весьма существенных деталях реальной физической ситуации (например, фазовые переходы второго рода).

Поэтому для изучения модельных систем весьма важно развитие математических методов, позволяющих получать точные результаты.

В 1957 г. академиком Боголюбовым, а также Бардиным, Купером и Шриффером была построена микроскопическая теория сверхпроводимости, открывшая новую, бурно развивающуюся область в квантовой статистической физике. Существенным в теории сверхпроводимости явилось изучение модели парных взаимодействий, учитывающей взаимодействие частиц с противоположными импульсами и спинами. Нами предложены новые методы асимптотически точного (при V -»со) вычисления свободной энергии и корреляционных функций для модельных систем типа Бардина, Купера, Шриффера, а также для модельных систем, содержащих положительное и отрицательное четырехфермионное взаимодействие. Исследуемая модель с отрицательным четырехфермионным взаимодействием в частном случае обобщает модельные системы,

применяемые в теории сверхпроводимости. При некоторых общих условиях сформулированы теоремы, обеспечивающие вычисление многовременных корреляционных средних, а также построенных на их основе Г-произведений, функций Грина. Развивается способ введения вспомогательной системы и определения квазисредних для широкого класса модельных систем, содержащих отрицательное четырехфермионное взаимодействие.

Достаточное внимание в книге уделяется развитию гринисти- ческого подхода к задачам статистической механики как квантовых, так и классических систем.

Изложен также метод исследования некоторых фундаментальных свойств систем многих частиц, связанных с вырождением состояния статистического равновесия.

Здесь прежде всего следует отметить фундаментальную концепцию Н. Н. Боголюбова о квазисредних и замечательное неравенство для фурье-образов статистических функций Грина в энергетическом представлении и корреляционных средних, положенные в основу известной теоремы Н. Н. Боголюбова об особенностях типа 1/^2 в теории бозе- и ферми-систем, согласно которой, например, для сверхтекучих бозе (или ферми)-систем плотность непрерывного распределения частиц по импульсам q при ^->0 стремится к бесконечности не медленнее чем 1/^2. (В данном случае вырождение связано с законом сохранения полного числа частиц, но аналогичные особенности появляются у корреляционных функций определенного типа, характеризующих системы с другими видами вырождения.)

На этом пути с единой точки зрения получен целый ряд интересных результатов при исследовании ферромагнетизма, антиферромагнетизма и пространственно-периодической структуры (кристалла), где неравенство Н. Н Боголюбова используется для доказательства невозможности соответствующих фазовых переходов в одно- и двухмерных системах.

Представленный в данной книге материал был предметом лекций, прочитанных авторами в Московском государственном университете, а также в Центре перспективных исследований Делийского университета (Индия), где авторы работали в качестве экспертов ЮНЕСКО.

Считаем своим приятным долгом выразить глубокую благодарность академику Н. Н. Боголюбову за постоянное внимание и непосредственное руководство.

Пользуясь случаем, мы благодарим участников теоретических семинаров Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР, кафедры квантовой статистики физического факультета МГУ и лаборатории теоретической физики ОИЯИ за полезное обсуждение некоторых результатов.

Н Н. Боголюбов (мл.), Б. И. Садовников

Часть первая