Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ВВЕДЕНИЕ
Физический практикум является неотъемлемой частью курса физики. Ясное и глубокое усвоение основных законов физики и ее методов невозможно без работы в физической лаборатории, без самостоятельных практических занятий. В физической лаборатории учащиеся не только проверяют известные законы физики, но и обучаются работе с физическими приборами, овладевают навыками экспериментальной исследовательской деятельности, учатся грамотной обработке результатов измерений и критическому отношению к ним.
Данное пособие представляет собой попытку создания единого руководства по экспериментальной физике для ведения занятий в физических лабораториях профильных физико-математических школ и лицеев. Оно рассчитано на учащихся, не обладающих опытом самостоятельной работы в физической лаборатории. Поэтому описания работ выполнены подробно и обстоятельно. Особое внимание уделено теоретическому обоснованию применяемых экспериментальных методов, вопросам обработки результатов измерений и оценки их погрешностей.
Описание каждой экспериментальной работы начинается с теоретического введения. В экспериментальной части каждой работы приводятся описания экспериментальных установок и задания, регламентирующие последовательно сть работы учащихся при проведении измерений, образцы рабочих таблиц для записи результатов измерений и рекомендации по методам обработки и представления результатов. В конце описаний предлагаются контрольные вопросы, ответы на которые учащиеся должны подготовить к защите работ.
В среднем за учебный год каждый учащийся должен выполнить 10 ——12 экспериментальных работ в соответствии с учебным планом.
Учащийся заранее готовится к выполнению каждой работы. Он должен изучить описание работы, знать теорию в объеме, указанном в описании, порядок выполнения работы, иметь предварительно подготовленный лабораторный журнал с конспектом теории и таблицами, а также, если это необходимо, иметь миллиметровую бумагу для выполнения прикидочного графика.
Перед началом выполнения работы учащийся получает допуск к работе.
Примерный перечень вопросов для получения допуска:
Цель работы.
Основные физические законы, изучаемые в работе.
Схема установки и принцип ее действия.
Измеряемые величины и расчетные формулы.
Порядок выполнения работы.
Учащиеся, допущенные к выполнению работы, обязаны следовать порядку выполнения строго в соответствии с описанием.
Работа в лаборатории заканчивается выполнением предварительных расчетов и обсуждением их с преподавателем.
К следующему занятию учащийся самостоятельно заканчивает обработку полученных экспериментальных данных, построение графиков и оформление отчета.
На защите работы учащийся должен уметь ответить на все вопросы по теории в полном объеме программы, обосновать принятую методику измерений и обработки данных, вывести самостоятельно расчетные формулы. Выполнение работы на этом завершается, выставляется окончательная итоговая оценка за работу.
Семестровая и годовая оценки выставляются при успешном выполнении всех работ в соответствии с учебным планом.
母рс "Экспериментальная физикаппрактически реализован на комплексном лабораторном оборудовании, разработанном Учебно-методической лабораторией Московского физико-технического института, включающем в себя лабораторные комплексы по механике материальной точки, механике твердого тела, молекулярной физике, электродинамике, геометрической и физической оптике. Такое оборудование имеется во многих специализированных физико-математических школах и лицеях России.
Коллектив авторов с благодарностью примет конструктивные замечания и предложения по улучшению курса в техническом и методическом планах.
ПОГРЕШНОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.
ОБВ4БОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Измерить физическую величину А——значит узнать, сколько раз в А (значение физической величины) содержится единица измерения а . Тогда А можно представить как па . Измерения могут быть прямыми и косвенными.
прямыекосвенные
В прямых измерениях значение физической величины считывается непосредственно со шкалы прибора. Например, измерение длины с помощью линейки, измерение силы тока амперметром.
При косвенных измерениях значения физической величины определяются по формулам, выражающим какие-то законы. Например, для измерения площади круга необходимо сделать прямые измерения диаметра, тогда
площадь вычисляется косвенно по известной формуле S = .
Измерения, проводимые в физической лаборатории с целью проверки физических законов и определения физических величин и характеристик, дают, как правило, только приближенные значения.
В результате однократного измерения физической величины х получается значение х эксп , отличающееся от истинного значения, которое неизвестно.
Величина отклонения Дж называется абсолютной погрешностью измерения.
Погрешности прямых измерений
Самыми распространенными являются сист ем ат ич еские погрешности, которые при повторных измерениях остаются постоянными или изменяются по определенному закону. При этом результаты измерений оказываются во всех опытах либо завышенными, либо заниженными.
Они могут быть инструментальными, связанными, например, со сдвигом или перекосом приборной шкалы, изгибом стрелки у стрелочных приборов, изменением физических параметров приборов, и методическими,
возникающими из-за выбора неточной методики измерений или неоправданного использования приближенных расчетных формул (неучет сил трения, масс нитей и блоков и т.д.)
Систематические погрешности должны быть выявлены и устранены.
Приборные погрешности связаны с ограниченной точностью приборов (нельзя, например, абсолютно точно изготовить одинаковые деления приборной шкалы).
Для простейших приборов погрешность совпадает с ценой деления их шкалы, но не всегда ей равна. Например, для деревянных линеек △力吨而= =1 мм, а для металлических ДжПрНб = 0, 5 мм, хотя цена деления у них одинаковая ——1 мм; для штангенциркуля с ценой деления 0,1 мм целесообразно полагать ДжПрНб = 0,1 мм.
Обычно в паспорте прибора указана относительная погрешность
—при6
где А ——максимальное значение физической величины на шкале. Величина Джприб = 4 £цриб называется классом точности прибора.
Случайные погрешности возникают из-за действия на установку большого количества случайных факторов: колебания температуры, электромагнитный фон, неоднородность измеряемого образца и т. д. Это погрешности, принимающие при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях различные значения.
Промахи ——результаты, которые очень сильно отклоняются от всех остальных полученных результатов (чаще всего из-за небрежности экспериментатора во время проведения опыта). Промахи отбрасываются.
После устранения систематических причин появления погрешностей и отбрасывания промахов основными погрешностями являются случайные и приборные.
Расчет случайных погрешностей прямых измерений
Поскольку истинное значение физической величины неизвестно, за наиболее близкое к истинному принимается среднее значение величины
х (среднее значение ж)х (среднее значение ж)NNNi = lNNi = lN(1)(1)
х (среднее значение ж)
х (среднее значение ж)
N
N
N
i = l
N
N
i = l
N
(1)
(1)
Абсолютные погрешности прямых измерений в силу случайного характера могут с равной вероятностью принимать положительные и отрицательные значения.
△化1 = Ж1 - ш,
△化2 =化 2 — ^,
△化3 =化3 一遇
△力4 =力4 — Ж, И Т. Д.
При большом числе измерений среднее арифметическое случайных погрешностей отдельных измерений стремится к нулю.
NNт 0,т 0,
N
N
т 0,
т 0,
△若 + △* + • • • + △*△若 + △* + • • • + △*△^"слун△^"слун^(^ — i)^(^ — i)поэтому за оценку абсолютной случайной погрешности при N измерениях х принимают
△若 + △* + • • • + △*
△若 + △* + • • • + △*
△^"слун
△^"слун
^(^ — i)
^(^ — i)
^(^ — 1)
Из математической теории погрешностей следует, что при небольшом числе измерений необходимо ввести так называемый коэффициент Стьюдента 力@ , зависящий от числа измерений N и надежности а . Например, значение а = 0,95 предполагает, что 95% измерений окажутся в найденном нами интервале значений измеряемой величины. В этом случае можно пользоваться приближенной формулой
△^слун =力а△^слун =力аNN(2)(2)
△^слун =力а
△^слун =力а
N
N
(2)
(2)
Коэффициенты ta для а = 0,95 приведены в таблице 1.
Полная абсолютная погрешность. Относительная погрешность. Полная абсолютная погрешность прямого измерения включает в себя
△力случ К △；"при6 "
⑶⑶△力полная = △；" =，(△力случ)~ + (△力приб)- ・
⑶
⑶
Таблица 1
Число измерений N
力а
2
12,7
3
4,3
4
3,2
5
2,8
6
2,6
7
2,4
8
2,4
9
2,3
10
2,3
Можно также использовать несколько завышенную оценку полной абсолютной погрешности
Дж и АжслучДж и Ажслуч+ △；七 приб"+ △；七 приб"Относительная погрешность считается какОтносительная погрешность считается как(4)(4)(Функция, относительная или абсолютная погрешность которой вычисляется, чаще всего пишется в скобках после соответствующего значка е или △.)Пример. Микрометром измеряют диаметр проволоки. Получены следующие результаты:(Функция, относительная или абсолютная погрешность которой вычисляется, чаще всего пишется в скобках после соответствующего значка е или △.)Пример. Микрометром измеряют диаметр проволоки. Получены следующие результаты:1234567.& мм2,352,372,332,382,312,362,301234567.& мм2,352,372,332,382,312,362,30/ — (2, 35 + 2,37 + 2, 33 + 2,38 + 2, 31 + 2,36 + 2, 30)7/ — (2, 35 + 2,37 + 2, 33 + 2,38 + 2, 31 + 2,36 + 2, 30)7=2,342 (мм),=2,342 (мм),луч = 2,4луч = 2,4，⑵ 35 — 2, 342)2 + …” + ⑵ 36 — 2, 342)2，⑵ 35 — 2, 342)2 + …” + ⑵ 36 — 2, 342)2770,041 (мм),0,041 (мм),△.с/приб = 0,01 мм.△.с/приб = 0,01 мм.
Дж и Ажслуч
Дж и Ажслуч
+ △；七 приб"
+ △；七 приб"
Относительная погрешность считается как
Относительная погрешность считается как
(4)
(4)
(Функция, относительная или абсолютная погрешность которой вычисляется, чаще всего пишется в скобках после соответствующего значка е или △.)
Пример. Микрометром измеряют диаметр проволоки. Получены следующие результаты:
(Функция, относительная или абсолютная погрешность которой вычисляется, чаще всего пишется в скобках после соответствующего значка е или △.)
Пример. Микрометром измеряют диаметр проволоки. Получены следующие результаты:
1
2
3
4
5
6
7.
& мм
2,35
2,37
2,33
2,38
2,31
2,36
2,30
1
2
3
4
5
6
7.
& мм
2,35
2,37
2,33
2,38
2,31
2,36
2,30
/ — (2, 35 + 2,37 + 2, 33 + 2,38 + 2, 31 + 2,36 + 2, 30)
7
/ — (2, 35 + 2,37 + 2, 33 + 2,38 + 2, 31 + 2,36 + 2, 30)
7
=2,342 (мм),
=2,342 (мм),
луч = 2,4
луч = 2,4
，⑵ 35 — 2, 342)2 + …” + ⑵ 36 — 2, 342)2
，⑵ 35 — 2, 342)2 + …” + ⑵ 36 — 2, 342)2
7
7
0,041 (мм),
0,041 (мм),
△.с/приб = 0,01 мм.
△.с/приб = 0,01 мм.
△d 0, 041 + 0,01 = 0, 051 (мм).
Окончательный результат округляется по приведенным ниже правилам и записывается как d = 2,34 ± 0,05 мм, E(d) = 0,022 2% . Значение d — любое из интервала d ± Ас/.
Погрешности косвенных измерений
Пусть / = /(/, д) — косвенно измеряемая физическая величина, где х и у ——прямые измерения. Покажем как находить абсолютную погрешность функции / в двух важных случаях.
Абсолютная ошибка суммы (разности) физических величин. Пусть / = / + д (/ = х — у). В отличие от приращений погрешности складываются (накапливаются).
万一△〃а〃+△〃万一△〃а〃+△〃Покажем, что абсолютная погрешность суммы физических величин равна сумме абсолютных погрешностей этих величин.
万一△〃а〃+△〃
万一△〃а〃+△〃
В-аь ь ь+аьРис. 1.В-аь ь ь+аьРис. 1.Пусть Р 一 полупериметр прямоугольника Р = а + b, где а и 6 ——прямые измерения с абсолютными погрешностями Да и △Ь, т. е. в серии из N измерений можно найти а, Ь, Да, Д6, т. е. значения а и 6 лежат
В-аь ь ь+аь
Рис. 1.
В-аь ь ь+аь
Рис. 1.
в интервалах [а + Да, а — Да] ; [6 + АЬ, 6 — △" (рис.1).
Для максимальных значений
^тах 二。+ Aft, Ьщах 二 ° + АЬ, ■Дпах 二 F + Ртах 二 а +、а + Ь + Д6 = (а + b) + (Zka + Zkb).
Очевидно, F = а + 方 * a AF = Да + Д6 , отсюда
Правило 1. Абсолютная погрешность суммы и разности (погрешности накапливаются) равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.
Относительная ошибка произведения (частного) физических величин. Пусть f = ху (f = х/у).
Покажем на примере произведения величин, что относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей этих величин.
Пусть S ——площадь прямоугольника S = ab, где а и b измерены линейкой с абсолютными погрешностями Да и Д6 соответственно.
S =政
Отах 二。+ Дл, Ьтах 二 Ь + АЬ, ^тах 二 S +
Smax = (△◎ + А。)。+ Ab) = ab + 6Да + аД6 + ДаДЬ,
т. к. ДаДЬ мало по сравнению с 6Да и аД6, им можно пренебречь и
Smax = ab + 6Да + аД6.
Очевидно Д5 = 6Да + аД6, и для относительной погрешности получим
/с、△$а/ХЬ +办, Аа /, /工、
E(S)==-=—=三 + ==式0)+式》
babо a
Отсюда следует
Правило 2. Относительная погрешность произведения (частного) равна сумме относительных ошибок сомножителей.
Только этих двух правил достаточно для вычисления абсолютных и относительных погрешностей наиболее часто встречающихся функций.
Примеры.
Пусть /(ж) = ахп , где а и п ——постоянные величины.
Применяя правило для подсчета относительной погрешности произведения, получим
€(/) = Е(а) + Е(/广=Е(а) + £(/) + …+ £(/) = Е(а) + пе(х) = пе(х).
Вычисляем абсолютную погрешность как
△ (/) = €(/)/ = ne(x)f = 2е(х)ахп == пах Ах.
1. Пусть /(ж, д) = а/ + %2 .
Применяя правило для подсчета абсолютной погрешности суммы
Д/(ж, у) = Д(аж) + Д(%2) = £(ах)ах^£(Ьу2)Бу2 = £(х)ах^2е(у)1)у2 = =—аж + ?^，ь 歹 2 = аДж + 2b歹△仇 у
/— А/ — аАж + 2ЬуАу
e ⑺十—二一；一二 5■Jax +/
В таблице 2 приведены формулы определения погрешностей наиболее часто встречающихся функций.
Таблица 2
№
£(/)
1.
ж + а
△ж
Аж ж + а
2.
аж
«△ж
Аж ж
3.
ахп
Аж n—— ж
4.
с尸
/△ж 1п (а)
△ж 1п (а)
5.
111 ж
△(寫) ж
Аж ж In ж
6.
sill ж
△ж cos ж
△ж ctg ж
7.
cos ж
△ж sin ж
△ж tg ж
Для строгого определения абсолютных погрешностей функций необходимо познакомиться с основами дифференциального исчисления.
Абсолютная погрешность для функции /(ж, у, z, ...) вычисляется как
△不)2 +得)… +(" …
-尸⑺△/ + /"(Qg + /"(%)△% +
где ж, у, z,... ——средние значения прямых измерений, Дж и Дж —— полные абсолютные погрешности.
Построение графиков. При построении графиков необходимо учитывать, что для экспериментального результата мы получаем не точку, а прямоугольник со сторонами 2Дж и 2Ау, где к Ад откладываются от точки, изображающей среднее значение величины («прямоугольник ошибок»).
Поэтому при построении графиков необходимо проводить плавную линию так, чтобы примерно одинаковое количество точек оказалось по разные ее стороны (рис. 2 а).
При сравнении экспериментальных результатов 力 и 〃，они считаются совпадающими, если интервалы ж 土 Дж к g 土 Ay имеют область Пересе™ чения (рис. 2 6).
Рис. 2.
Если известно табличное значение физической величины, критерием достоверности измерения считается | / — /табл | W ЗА/ .
Правила округления
На практике числа всегда округляют, т. е. отбрасывают десятичные знаки, начиная с некоторой цифры.
Значащими цифрами в числе, записанном в десятичном виде, называются все цифры, кроме первых нулей.
В следующем примере все значащие цифры подчеркнуты:
0,027010; 3,1415; 624,0*
Округлить число до п значащих цифр ——значит оставить в нем п первых значащих цифр в соответствии с известными правилами округления.
Примеры.
Округление до одной значащей цифры:
0,0123^0,01; 0,375 «0,4; 8,97^9;
Округление до двух значащих цифр:
0,0123 ^ 0,012; 0,375 ^ 0,38; 8,97 ^ 9,0;
Округление до второй цифры после запятой:
0,0127 0,01; 0,375 0,38; 8,97 = 8,97.
Окончательный результат измерений всегда округляется.
Сначала округляется абсолютная погрешность окончательного результата до первой значащей цифры, если она не единица и до двух цифр, если единица.
Затем округляется среднее значение до той же позиции, что и округленная абсолютная погрешность.
Так же округляется и относительная погрешность окончательного результата.
Таким образом окончательный результат записывается как
/ = 7±М е(/) = ...%.
Примеры.
Пусть ж = 0,647; △/ = 0,143 ; е(/) = 0, 231.
Окончательный результат: ж = 0,65 ± 0,14 ;，/) = 0, 2 = 20%.
Пусть ж = 0,0008396;= 0,0000974; е(/) = 0,126.
Окончательный результат:
ж = 0,0008 土 0,0001, е⑺=13%,
или
ж = (8±1)-10^4, е(/) = 13%"
Правилами подсчета погрешностей можно пользоваться также для нахождения малых приращений функций, что находит применение в различных физических задачах.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 1
ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛ ПВ4ВИЛЬНОЙФОРМЫ
Целью работы является ознакомление с простейшими методами физических измерений, овладение навыками обработки результатов измерений.
Определяются объемы цилиндра и шара. Непосредственно штангенциркулем и микрометром измеряются линейные размеры тел, по которым определяется объем.
Теоретическое введение
Масштаб. Перед началом измерений определяется цена деления шкалы прибора — число единиц измерения данной физической величины, приходящихся на одно деление. Простейший пробор для измерения линейных размеров ——линейка или масштаб. На масштабах нанесены сантиметровые и миллиметровые деления, позволяющие измерить длину с точностью до 1 мм.
Нониус. Для измерения небольших линейных размеров с точностью до 0,1 мм пользуются нониусом (рис. 1).
Нониус ——маленькая линейка, которую можно двигать вдоль масштаба.
масштаб
112| з| 4|5 I 6 I 7 I 8|9| 10
нониус
Рис. 1.
На нониусе нанесены 10 делений общей длиной 9 мм, цена деления —— 0,9 мм. На рис. 2 видно, что число целых миллиметров в измеряемой длине
Рис. 2.
равно 3. Оставшаяся часть ЕС = АВ — CD = 2 — 1,8 = 0, 2 мм. Длина тела равна следовательно 3,2 мм.
Число десятых долей миллиметра можно найти быстрее и проще, если обратить внимание на то, что 2-й штрих нониуса совпал с одним из штрихов масштаба (у нас — с 5-м), следовательно, сверх целого числа миллиметров будет две десятых миллиметра.
При такой цене деления нониуса можно пользоваться практическим правилом:
Число десятых долей миллиметра равно порядковому номеру того штриха нониуса, который совпадает с каким-нибудь штрихом масштаба.
Штангенциркуль. Штангенциркуль служит для измерения внешнего размера тела (рис. 3 а), измерения внутреннего диаметра отверстия (рис. 3 6), измерения глубины отверстия (рис. 3 е). Чаще всего штангенциркуль имеет точность 0,1 мм. Существуют также штангенциркули с точностью измерения 0,05 мм.
Микрометр. Микрометр способен измерять линейные размеры с точностью 0,01 мм (рис. 4). Один оборот барабана передвигает винт микрометра на 0,5 мм. Барабан, связанный с винтом, разбит на 50 делений. Поворот на одно деление соответствует смещению винта на 0,01 мм.
Рис. 4.
На стержне нанесена линейная миллиметровая шкала (нижняя) и сдвинутая относительно нее на 0,5 мм вторая миллиметровая шкала (верхняя). Бли™ жайший к барабану штрих показывает целое число миллиметров. К нему нужно прибавить число сотых долей миллиметров, которое соответствует делению на барабане.
На рис. 4, например
L = 7,00 + 0,30 = 8,30 мм*
Барабан снабжен специальной рукояткой — «трещоткой» (В), позволяющей создавать при измерении небольшое давление на измеряемый предмет. Момент сжатия предмета сопровождается слабым треском. После этого вращение барабана А недопустимо. Вращать барабан следует только с помощью трещотки!
Экспериментальная часть
Учащиеся определяют объемы двух тел небольших размеров: цилиндра и шара.
Каждый размер измеряют пять раз. Высота цилиндра, диаметр шара измеряются штангенциркулем, а диаметр цилиндра микрометром. Результаты записываются в две таблицы для цилиндра и шара соответственно.
Цилиндр
№
d爲мм
△%, мм
△d：, мм2
耳，мм
△九змм
△九：,мм2
1.
2.
3.
4.
5.
С Р е д н и е
d =
h =
Шар
№
di, мм
△&, мм
△d；, мм2
С Р е д н и е
d =
Обработка результатов измерений
Все вычисления средних и погрешностей следует проводить с одной™ двумя запасными цифрами с тем, чтобы не накапливать ошибки округления. Только в окончательном результате следует проводить округление согласно правилам, описанным во вводном материале по обработке погрешностей экспериментальных результатов.
Вычисления удобно проводить в следующем порядке:
Вычислить средний диаметр d и высоту h цилиндра, случайные и полные ошибки. За погрешность штангенциркуля принять ДПриб = 0,1 мм, а микрометра 0,01 мм.
—2—
и 久— 7rdh
Вычислить средний объем цилиндра:. Относительную
ошибку вычисляют по формуле e(V) = 2e(d) + ”); абсолютную 一 по формуле ДУ = e(F)F;
— 7rz3
Средний объем шара вычисляют по формуле ¥ш = —^. Относи- о
тельную ошибку вычисляют по формуле e(V) = 3e(d), а абсолютную как
ДУ = 6(У)К
Представляются окончательные результаты измерений.
К = к 土 ду, 6(F)=…％.
% = 1/ш 土 ДУ, б(у)=
Контрольные вопросы
Как устроен нониус? Чему равна точность нониуса?
Как производятся измерения штангенциркулем?
Как производятся измерения микрометром?
Вывести формулу для вычисления абсолютной погрешности объема прямоугольной пластинки с размерами а, Ь, с с круглым отверстием в ней радиуса г.
Вычислить абсолютную погрешность плотности железного шара ра- дртусом 10,0 ± 0,1 см с концентрической полостью в нем радиуса 5,0 ± 0,1 см, если m = 50, 5 ± 0, 5 г.
h = 1мh = 1м> 0,45 с. Такой проме> 0,45 с. Такой проме⑴⑴
h = 1м
h = 1м
> 0,45 с. Такой проме
> 0,45 с. Такой проме
⑴
⑴
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 2
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГОДВИЖЕНИЯ ТЕЛ В ПОЛЕ ЗЕМНОГОТЯГОТЕНИЯ НА МАШИНЕ АТВУДА
Целью работы является установление на опыте равноускоренного характера движения грузов на машине Атвуда, а также расчет ускорения свободного паденияg
Теоретическое введение
Если считать, что сила сопротивления воздуха пренебрежимо мала, то для падения любого тела второй закон Ньютона выглядит как
mg = ma.
Отсюда независимо от массы g = а. Это свободное падение. Все тела таким образом свободно падают с одним уско
рением.
Время свободного падения тела с высоты
жуток очень трудно измерить. Организовать
большие высоты падения в лаборатории прак
тически невозможно. Эти трудности позволяет избежать машина Атвуда. Она замедляет движение до «удобных скоростей». Конструкция ее следующая: через легкий блок перекинута нить, на которой закреплены грузы массой М каждый. На один из них кладется перегрузок массой т (рис. 1). Грузы движутся равноускоренно с одинаковыми ускорениями. Согласно второму закону Ньютона имеем
(Ma — Т — Mg,
[(М + т)а = (М + m)g — Т,
Отсюда
т
а = g
2М + т
При m = 0,1 М (так фактически в эксперименте) а в 0,05 g, т. е. ускорение а существенно меньше g.
Экспериментальная часть
Экспериментально а определяется так: измеряется секундомером время 力 за которое груз М проходит перемещение h вниз, которое измеряется обычной миллиметровой линейкой.
Далее по формуле равноускоренного движения с начальной скоростью ^о = О
В эксперименте для пяти различных высот h производятся пять измерений времениt
Так как h =——，обозначая у = /г, ①=— при а = const получим
Рис. 2.
На графике в осях хну это прямая линия. По этому графику (рис. 2) для произвольной точки М определяются ①м, дм и ускорение а, как
Далее, используя (1), можно определить
—(2М + т.)а
т
Данные для построения графика g(①)заносятся в таблицу:
/г, м
й, с
^2, С
^3, с
力4 5 С
必С
J, с
△力c
At, с2
Примечание. При проведении эксперимента необходимо учесть и исключить силу трения в оси блока. Поэтому сначала определяют наибольшую величину «страгивающего перегрузка» т, еще не вызывающего движение системы.
Обработка результатов измерений
Для каждой строки таблицы вычисляется точка с « координатами» х иу по следующей схеме:
Вычисление t
7 打 力2 + 力3 + 力4 +J（打-£）2 + …— £）2 —
55
△力=\/△3^лун + △力:риб 2 △力с лун + △力приб 二.* .
За △力ПрИб следует принять 0, 2 с （реакция на включение-выключение секундомера）.
точки г рафика.
一 , 一 语
У = h） ж = ^, e（g） = 3 ,巾）=2e⑴
△д = △九=1 мм.
^^ , Дж = £（/） х = t At
Записывается окончательное значение для точки графика:
Ж = Ж ± Дж ；£（z） = ...%,
g 二歹土 Ag;£（g） = ...%.
Построение графика. Вычисление а.
Линия графика проводится так, чтобы она пересекала «прямоугольники» ошибок оптимальным образом （рис. 2）. Для произвольной точки графика определяются значения сиди вычисляется значение ускорения а:
а =у
Далее вычисляются относительная и абсолютная погрешности и записывается окончательный результат:
£（&） = £（д） + £（/）, Да = е（а） а,а = а ± Да, £（а） = ...%.
Вычисление g.
gg2京+浜一一=一a,
g
g
m
£（g）=£（g）=2AM2M + m，2AM2M + m，2MAm.m（2M + m）2MAm.m（2M + m）+ £（a）,+ £（a）,
£（g）=
£（g）=
2AM
2M + m，
2AM
2M + m，
2MAm.
m（2M + m）
2MAm.
m（2M + m）
+ £（a）,
+ £（a）,
△g = £（g） R
Средние значения масс и их погрешности должны быть известны.
Окончательный результат: g = g ± Ag = ...,£（g） = ...%.
Выводы
Если I g - Мтабл I W 3Ag, результат достоверный.
Контрольные вопросы
Какое движение называется свободным падением?
От чего зависит и чему равно ускорение свободного падения?
Оцените массу Земли.
В чем преимущество предложенного метода исследования движения тел в поле земного тяготения?
При каких упрощающих предположениях выведена формула （1）?
Чем обусловлены случайные погрешности в данной экспериментальной работе?
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 3
СУХОЕ ТРЕНИЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕКОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЛ СКОЛЬЖЕНИЯ
Целью работы является исследование поведения силы сухого трения при движении тела по наклонной плоскости, а также расчет коэффициента трения скольжения 从 в этом случае.
Теоретическое введение
Трение ——неизбежное следствие молекулярного строения тел и обусловлено образованием и разрывом молекулярных связей в зонах микроконтактов тела и поверхности. Возникающие при этом на молекулярно - атомном уровне многочисленные явления существенно затрудняют создание общей теории трения.
Тело на горизонтальной плоскости. В случае сухого трения сила трения возникает не только при скольжении одной поверхности по другой, но и при попытке вызвать такое скольжение. В последнем случае она называется силой трения покоя.
Сила трения покоя равна силе, пытающейся вызвать скольжение, до момента начала скольжения (рис. 1 а).
° ПОКОЯ° ПОКОЯ=R=RРис. 1.Рис. 1.
° ПОКОЯ
° ПОКОЯ
=R
=R
Рис. 1.
Рис. 1.
Опыт показывает, что максимальное значение силы трения покоя пропорционально силе, прижимающей тело к плоскости (а значит равной ей силе нормальной реакции плоскости) и макроскопической характеристике соприкасающихся тел, называемой коэффициентом трения:
Frp. покоя maxFrp. покоя max
Frp. покоя max
Frp. покоя max
Перед самым началом скольжения сила трения покоя несколько возрастает (явление застоя) и при дальнейшем скольжении остается практически
равной максимальной силе трения покоя (рис. 1 б).
-^тр. скольжения = -^тр. покоя max = ^N.(1)
График зависимости силы трения от вынуждающей скольжение силы приведен на рис. 2. Резкий выступ на графике при переходе к скольжению отражает явление застоя.
Рис. 2.
Тело на наклонной плоскости. Рассмотрим брусок на плоскости в момент начала скольжения. Ускорение равно нулю. На брусок действуют в этот момент три силы: mg, FTp и N. Удобно в этом случае mg представить суммой двух составляющих сил: вдоль плоскости mg и (скатывающая сила) и перпендикулярной ей mg丄(прижимающая сила). Из рис. 3 видно, что
mg^ I = mg sin а ,
mg丄=mg cos а *
В проекциях на направления ж и у второй закон Ньютона для бруска выглядит как
mg sin а = FTp ,mg cos а = ^ .
Поскольку J；p покоя max =从 ПОЛуЧИМ
mg sin а = // mg cos а , 从=tg а .(2)
По формуле (2), казалось бы, просто найти //, меняя угол а наклона плоскости и измерив его в момент начала скольжения. Однако явление застоя практически делает этот способ непригодным. На практике скольжение начинается при различных углах наклона. Поэтому коэффициент трения возможно измерить только для скольжения бруска по плоскости.
Рассмотрим скольжение бруска по наклонной плоскости при достаточно большом угле наклона (скольжение начинается сразу). Ускорение в этом случае направлено вниз вдоль плоскости. В проекциях на направления сид:
mg sin а —从 N = та ,mg cos а = ^ .
Далее
mg sin а — “mg cos а = та ,а = g(sin а — /1 cos а).
отсюда имеем
sin а从=cos аsin а从=cos аgeos аgeos а⑶⑶
sin а
从=
cos а
sin а
从=
cos а
geos а
geos а
⑶
⑶
Необходимо отметить, что сила трения для бруска на наклонной плоскости до начала скольжения (сила трения покоя) равна FTp = mg sin а, а при скольжении 兄卩 =从 mg cos а, т. e. зависит от угла а. При этом коэффициент трения // должен оставаться постоянным. Теоретический график на рис. 4 не отражает явление застоя (невозможность на практике точно измерить угол а。).
Экспериментальная часть
Наклонная плоскость и брусок выполнены из стали, следовательно в работе измеряется коэффициент трения между стальными поверхностями.
Наклонная плоскость устанавливается под минимальным углом а, при котором обеспечивается хорошее скольжение бруска.
На практике функции sin а и cos а измеряются по линейным размерам h и d. Для этого на наклонной плоскости делается заметка, отстоящая на 30 см от основания плоскости, т. е. I тем самым фиксируется (рис. 5) и
Рис. 5.
d
Таким образом (3) можно записать как
(4)(4)h al
(4)
(4)
从=-———
d gd
Для трех различных углов а измеряются h и d. Для каждого угла пять раз измеряется время скатывания бруска t. Перемещение по наклонной плоскости L меньше ее фактической длины на длину бруска (рис. 5).
Результаты заносятся в три одинаковые таблицы для трех различных углов О] , &2 и «з，
№
3 с
△ 3 с
△ С, С2
& м
h, м
1.
2.
3.
4.
5.
С
Р е
Д н и
е
冇=
Обработка результатов измерений
Вычисление t:
7 — ti + is + t3 + t4 + is — д ,— , у (ti t)2 + • • • + (is i)2 —
55
За △力 ПрИб следует принять 0, 2с (время реакции на включение и выключение секундомера).
△力=、/△已 лун + △片 риб 2 △方с лун + △方 приб =
Далее записывается окончательный результат с округлением:
Вычисление а:
Все линейные размеры имеют абсолютную погрешность 1 мм.
a —而，в (а) — e(工)+ 2 £ ⑴—+,
△ а = £ (а) ■ а .
Окончательный результат:
а = а ± А а, в (а) = ... %.
Вычисление 从:
— h al
а ==—=呻
d gdJ
+ △+ △…+У+…+У+
+ △
+ △
…+У+
…+У+
0 = 2
(Погрешностью e(g) в данной работе можно пренебречь.) Окончательный результат:
/1 = /1 ± △ /1, £ (/1) = ...%.
Выводы
Коэффициент трения в пределах погрешностей измерений не должен зависеть от угла а. В этом случае интервалы, в которых получены значения для трех углов (см. окончательные результаты для 从)должны пересекаться. Если есть некоторые расхождения, их необходимо объяснить, анализируя условия эксперимента.
Контрольные вопросы
Причины возникновения силы сухого трения ?
От чего зависят сила трения покоя и сила трения скольжения ?
Почему нельзя считать 从 экспериментально по формуле (2)?
Вывести формулу для ускорения тела, скользящего по наклонной плоскости.
Как определяются в работе значения функций sin а и cos а ?
Вывести формулу для расчета погрешностей определения //.
От каких факторов зависят случайные погрешности в данной экспериментальной работе?
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕК РАБОТАМ ПО КОЛЕБАНИЯМ
Колебанием мы называем вид движения, при котором параметры системы (координаты, скорости и др.) многократно повторяются через равные промежутки времени.
Для количественного описания колебаний системы необходимо описать колебания отдельных ее точек.
Будем рассматривать только одномерное движение, когда положение можно описать одной координатой х как функцией времени 力⑴.
Периодическим называется движение, при котором любая возможная координата точки повторяется через строго определенное время Т, называемое периодом:化(力)= x(t 十 Т), где t —— любой момент времени. (Под периодом понимается минимальное Т, удовлетворяющее этому условию).
Для характеристики колебаний введем частоту р, как число полных колебаний за 1 с.
где N ——число полных колебаний за время 力.Поскольку период ——это время одного полного колебания, можно записать
Наиболее распространенным в природе видом колебаний являются гармонические колебания, происходящие по закону:
化⑴ =Хm cos (上力十夕0))(3)
где хт ——амплитуда колебаний, т. е. наибольшее отклонение от положения равновесия,卫力十夕о ——фаза колебаний,夕° ——начальная фаза колебаний, ш ——циклическая (круговая) частота. Найдем связь между ш и р.
При изменении времени на период Т фаза колебания получит приращение 2», равное периоду косинуса:
w(t 十 Т)十夕° = s力十夕° 十 2») или шТ = 2тг.
Окончательно получим:
2тг q
卫=—=27ГР
Модель, характеризующая основные свойства гармонических колебаний. Основные свойства, присущие одномерным колебаниям получим с помощью модели материальной точки, равномерно вращающейся по окружности радиуса 『с постоянной скоростью v (рис. 1).
Радиус-вектор г, проведенный к материальной точке, образует с осью х угол 夕)который при равномерном вращении с угловой скоростью ш меняется по закону
夕=上方十夕0)
где 夕° ——начальный угол между осью х и вектором г. Координата х изменяется как
X = Г COS 夕=Хт COS (wf 十夕о)"(5)
Найдем проекцию ускорения а на ось х. Вектор а направлен к центру окружности, т. е. противоположно вектору г, поэтому, используя формулу для центростремительного ускорения, запишем
а =—卫2r(а =匚)и = шг).
Следовательно
ах = — cd?化 или ж + ш2ж = 0,(6)
где х ——вторая производная по времени смещения от положения равновесия. Проекция ускорения ах также меняется по гармоническому закону:
ах = х = ^жтш2 cos (wf 十夕о).
Непосредственной подстановкой можно проверить, что решением уравнения (6) является функция, меняющаяся по гармоническому закону (3). Формула (6)——уравнение свободных колебаний.
Покажем, что и проекция скорости vx также меняется по гармоническому закону:
vx = х = V cossin 夕=—шхт sin十夕°)"(7)
Заметим, что уравнения (6) и (7) могут быть получены и непосредственным дифференцированием (3) по времени.
Частота и период колебаний. Рассмотрим движение горизонтального пружинного маятника состоящего из невесомой пружины жесткости к, скрепленной с неподвижной стенкой, и тела массой т, способного двигаться вдоль оси пружины без трения. Начало оси х выбрано в положении равновесия (рис. 2).
Уравнение движения тела в проекциях на направление х в любой момент времени
ma% = Fy11P х =—友土,
тах 十 kx = 0. (8)
Если положить k/m = то (8) по форме совпадает с уравнением (6). Это значит, что тело на пружине совершает гармонические колебания с частотой ш = у/к/т.
Частота колебаний ш (а значит и период Т = 2тг/ш) зависят только от «материальных» характеристик колеблющейся системы.
Роль начальных условий. Для того, чтобы система начала колебания, необходимо:
отклонить грузик от положения равновесия и отпустить;
не выводя из положения равновесия, мгновенно сообщить телу скорость;
скомбинировать эти условия.
При f = 0 уравнения (5) и (7) выглядят как
化(0) = Жо = хт cos 夕о,(9)
坛(0) = vo = -a^wsin^o-(W)
Поделив уравнения (10) и (9) получим
tggo = —旦.(И)
Возведя уравнения (9) и (10) в квадрат и сложив их, находим
十^*(12)
Из (11) и (12) видно, что амплитуда смещения от положения равновесия и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий 化(0) =化。и 以(0)=伙).
Пример 1. Начальные условия: 化(0) = Л, vx(0) = 0. (Тело m отклонено от положения равновесия на Л, скорость его при этом равна нулю). Тогда из (11) tg 夕о = 0 今夕о = 0)из (12) хт = л/Л^ = 4 к уравнение (5) выглядит как
х = Л coswt
Начальное отклонение Л и будет амплитудой колебаний.
Пример 2. Начальные условия:化(0) = 0, vx (0) = и. (Тело m имеет скорость и и находится в положении равновесия). Из (И) tg 夕о = — оо 今夕 = —7г/2. Из (12) хт = 少/s. Уравнение (5) в этом случае выглядит как
х = (2)cos (卫方— С)= (巴)sinwf = хт sin (wf).
Амплитуда равна хт = u/s.
Пример 3. Начальные условия:方° = 0)化(0) = Л, vx(0) = 匕 (Тело т отклонено от положения равновесия на Л и имеет скорость и). Тогда из (11) tg 夕о = —V/сиА, из (12) хт =，?Р 十 侦/J, и уравнение (5) выглядит как
х = cos (wf 十 arctg(-少/g4)).
Амплитуда, начальная фаза колебаний и вид уравнения (5) зависят от начальных условий.
Все сказанное в этом теоретическом введении является основой для исследования колебаний пружинного, математического, физического, крутильного маятников, а также колебательных процессов в электрических цепях.
Конкретные колебательные системы подробно обсуждаются в теоретических введениях к экспериментальным работам.
Контрольные вопросы
Что такое колебательное движение? Что «колеблется», когда мы говорим о колебаниях?
Какие условия должны быть выполнены для того, чтобы движение было колебательным?
Как с помощью модели гармонических колебаний вывести уравнение свободных колебаний, уравнение для смещения, для проекций скорости и ускорения?
От чего зависит период гармонических колебаний? Вывести формулу для периода колебаний пружинного маятника.
Что такое начальные условия? Какие характеристики колебательных систем зависят от начальных условий?
Вывести уравнения для определения амплитуды и начальной фазы колебаний.
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННОГОМАЯТНИКА
Целью работы является изучение гармонических колебаний пружинного маятника, проверка справедливости формулы для периода гармонических колебании 7 = для периода колебании, проверка независимости Т от начальных условий колебаний, связь амплитуды колебаний с начальными условиями.
Теоретическое введение
Пружинный маятник в данной работе представляет из себя груз подвешенный на пружине, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой груза. Покажем, что как и в случае горизонтальным пружинным маятником без трения, период колебаний определяется формулой
Схема колебаний приведена на рис. 1.
пружина деформированапружина деформированаРис. 1.Рис. 1.
пружина деформирована
пружина деформирована
Рис. 1.
Рис. 1.
Пружина без груза (не деформирована).
Пружина с подвешенным грузом в положении равновесия.
Маятник в произвольный момент времени.
В положении равновесия
kxQ = mg.(1)
В произвольный момент времени
таX = mх = -友(化 十 化0)十 mg,
или, учитывая (1),
тх = —кх.
Это уравнение свободных гармонических колебаний с частотой ш = /к/т и периодом
(2)
Частота и период колебаний не зависят от амплитуды, а только от конструктивных характеристик маятника.
Первая часть работы состоит в экспериментальной проверке этого свойства гармонических колебаний.
Вторая часть работы посвящена проверке формулы (2). При ее выводе использовались законы динамики Ньютона и упругих деформаций Гука. Поэтому целью работы можно считать проверку этих законов.
Экспериментальная часть
Упражнение 1. Проверка независимости периода колебаний от амплитуды.
К пружине подвешивают груз массой m = 200 г. Измеряется время 20 полных колебаний при смещении груза на 1,0, 2,0, 3,0, 4,0 и 5,0 см от положения равновесия.
Результаты заносят в таблицу 1. По расчетам делается вывод о независимости периода колебаний от амплитуды в пределах погрешностей (см. стр. 14).
Таблица!
№
ж, см
Зс
Т^КСП》С
ЭКСП -八丁，L
Nk
1.
20
2.
3.
4.
5.
Период маятника экспериментально находится путем измерения Жк полных колебаний маятника. Приборная погрешность измерения △方 в основном определяется временем реакции человека, которое у большинства людей приблизительно равно 0,2 с.
⑶
где t ——время Nk колебаний.
=巨=兰
(4)(4)T t
(4)
(4)
ксп = —•
Упражнение 2. Проверка формулы (1) для периода колебаний пружинного маятника.
Сначала определяется жесткость пружины. Метод понятен из рис. 2.
mi = 200 г, т2 = 300 г, kx()= m^g кх± = m2g,
k(xi _ to) = (m2 _ mi)g, к = 一汽
Ж1 — Xq/2 一 ^1
А -IWWWW 一■AZQI上 -А -IWWWW 一■AZQI上 ->>>>\^с<?>>>>\^с<?^ig^ig
А -I
WWWW 一
■AZQI上 -
А -I
WWWW 一
■AZQI上 -
>>>>\^с<?
>>>>\^с<?
^ig
^ig
U团2g
Рис. 2.
Сначала подсчитывается относительная погрешность, затем абсолютная. Записывается окончательный результат измерения к.
十 AZi +?2 - ?1十 AZi +?2 - ?1е（£） = E（g）十 e（m2 一 mi）十 £«2 — /i） = £（g）十△艺+ 必2
十 AZi +
?2 - ?1
十 AZi +
?2 - ?1
Абсолютные погрешности Ami = △m? = Am = 0,5 д △厶 = A/2 = = △2 = 1 мм. Абсолютной погрешностью g можно по сравнению с ними пренебречь. （В таблицах для нашей местности g = 9,81 ± 0,01 м/с.）
Поэтому
m2 - mi 匕2 - %im2 - mi 匕2 - %i△友=e（友）а к = к ± △"△友=e（友）а к = к ± △"
m2 - mi 匕2 - %i
m2 - mi 匕2 - %i
△友=e（友）а к = к ± △"
△友=e（友）а к = к ± △"
После того как жесткость определена, порядок выполнения упражнения следующий.
Результаты заносят в таблицу 2.
Таблица 2
№
ш, г
ж, см
t, см
=m С
△Т^КСП? С
Ттеор = 2?Г ^у^~ , С
△Ттеор》С
1.
2.
3.
Теоретически период рассчитывается по формуле (1). Относительная погрешность теоретического периода равна
е(Т) = |е(т)十:£(к)"
Так как Е(т) мала по сравнению с Е(к), ей можно пренебречь. Действительно, при m = 100 г, Ат = 0, 5 г, е(т) = 0,005. Для фактических измерений ?2 — А ^ 100мм, m2 — mi ^ 100 г, и Е(к) ^ 0,03. Поэтому
Е(爲 eop) = gE(k) = -^,△爲 eop = ^(^теор)^теор-
Обработка результатов измерений
По результатам упражнения 1 рассчитать периоды колебаний для различных амплитуд. Рассчитать погрешность A7^KCn.
Убедиться, что в пределах точности измерений период не зависит от амплитуды колебаний.
По результатам упражнения 2 рассчитать периоды колебаний £жсп и Тгеор для различных масс и начальных смещений (амплитуд). Рассчитать погрешности. Проверить совпадение периодов в пределах погрешностей измерений.
Контрольные вопросы.
Какие фундаментальные законы физики проверяются в работе?
Вывести уравнения колебаний груза на горизонтальной и вертикальной пружинной подвеске.
Почему периоды колебаний таких маятников одинаковы?
Почему период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды?
Как выбирается количество колебаний маятника для измерения его периода?
Вывести уравнение колебаний тела массой m на двух пружинах разной жесткости при их по с ледовательном соединении тем же методом, что и в работе. Чему равен период колебаний?
Вывести уравнение колебаний тела массой т на двух пружинах различной жесткости при их параллельном соединении. Чему равен период колебаний?
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙМАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА.ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГОПАДЕНИЯ
Целью работы является исследование малых колебаний математического маятника. Проверяется справедливость использования модели математического маятника, вычисляется ускорение свободного падения на основе этой модели.
Теоретическое введение
Модель мате матического маятника —— шарик подвешенный на нита, длина которой намного больше диаметра шарика, т* е」》d (рис. 1). Нить считается невесомой, т. е. тшарИка》шнити
Выведем уравнение колебаний математического маятника и определим частоту и период колебаний.
Шарик будет двигаться по дуге окружности, и его положение можно задать, например, углом а отклонения /нити от положения равновесия или длиной дуги ж, от
считываемой от положения равновесия (рис. 2 а). Между ними имеется простая связь
1,
單一х = al.
d
Уравнение движения для тангенциального уско-
I рения ах (т. е. проекции полного ускорения на направление касательной к траектории) имеет вид Рис. 1.
тах = — mg sin а"
Будем рассматривать только малые отклонения от положения равновесия, для которых можно положить sin а и tga и а (рад). Это с большой точностью справедливо для углов порядка 5 — 10°*
тах = —mg а*
Сделав замену, & = 土，получим уравнение малых колебаний
% + % = 0 или 宕 + ш2ж = 0.
Общее решение этого уравнения z (力)=хт cos (g力 + 夕о).
Очевидно, чтоОчевидно, что(1)(1)
Очевидно, что
Очевидно, что
(1)
(1)
аб
Рис. 2.
маятника. Это обстоятельство позволяет очень просто найти ускорение свободного падения:
g = 4^ 今，(2)
Период можно измерить достаточно точно как Г = —, где Nk — количество колебаний за время t
Если время t измерено с погрешностью △力，то погрешность периода ДТ = — может быть уменьшена за счет увеличения числа колебаний Жк-
Иначе обстоит дело с точностью измерения /. Конечные размеры колеблющегося тела и невозможность точного определения точки подвеса не позволяют точно определить длину маятника. Таким образом погрешность измерения g ограничивается в основном точностью измерения /. В работе используется весьма остроумный способ, позволяющий вообще избежать таких измерений.
В работе измеряют периоды колебаний Ti и Т2 для двух различных длин /1 и %2・ Разность длин ^ — ^ измеряется линейкой по уровню нижней точки шарика (рис. 2 б) с погрешностью не более 1 мм. Используя (2), получим
gT：=4产小 gTl=4n2l^
Из этих уравнений находим выражение для определения ускорения свободного падения g в виде зависимости от разности длин:
22(3)
2
2
Вычислим относительную погрешность g, считая абсолютные погрешности длины △，и периода ДТ известными. Используя формулы для расчета ошибок частного, разности и степенной функции, найдем
e(g) = 口2]—切 +е(Т：—穹)=+ 4#^?=
—+ AZ227ГАТ1 + 2 電
Учитывая, что △%] = Д/2 = △% и считая, что АТ] и ДТ2 = ДТ, получим для относительной погрешности
e(g)=e(g)=2△/2АТ(71 + 码片一及 n2 —笃22△/2АТ(71 + 码片一及 n2 —笃2⑷⑷
e(g)=
e(g)=
2△/2АТ(71 + 码
片一及 n2 —笃2
2△/2АТ(71 + 码
片一及 n2 —笃2
⑷
⑷
Первое слагаемое в формуле (4) не зависит от числа колебаний, а второе обратно пропорционально 7VK： АТ 〜一 .
N к
При большом количестве колебаний погрешность измерения периода уменьшается. Но здесь уже необходимо учитывать, что при этом возможно значительное затухание. Разумный компромисс достигается, если использовать для определения периода 30 — 40 колебаний.
Экспериментальная часть
Вначале выполняются грубые измерения Г и грубое измерение / с помощью секундомера и приборной линейки. Оценивается число колебаний, необходимое для проведения эксперимента. Выполняются грубые измерения g по формуле (2).
Расчитывают погрешности:
e(g) = £«) + 2е(Т) = у + 宁 Ag = 〃g)g"
Сравнивают полученное значение с табличным значением g. Если |g9KCn — gTa6tJ11 > 3Ag, устраняют систематические ошибки.
При расчетах целесообразно принимать Д^приб = 0, 2 с, А/ = 1 мм.
Далее для двух различных длин нити /1 и h пять раз измеряют время Жк колебаний. Результаты заносят в таблицу.
№
й,с
Ай, с
△后d
力2, С
△力2, e
△力id
/1 — ^2,M
△（/1 — ^2）, М
1.
2.
3.
4.
5.
C P e Д H и е
й =
力2 =
Обработка результатов измерений
Вычисление ti.
〃 =△力 1случ = •…С, △力ириб = 0）2 С,
△力1 =/у （△^1случ）" + （△力Гфиб）"（△力 1слун） + （△力Гфиб） =е（力 1）二
Окончательный результат округляется и записывается как
Вычисление 力2 проводится так же, как и вычисление 力i.
Вычисление Ti.
T1 =乙=ATi =…
Окончательный результат :
Вычисление 2э проводится так же, как и вычисление Ti.
Вычисление g.
Окончательный результат:
g = g ± Ag, e(g) =
Выводы
Если \g — gTa6tJ11，3Ag, результат достоверен. Если это не так, нужны объяснения по поводу расхождений результатов.
Контрольные вопросы
Опишите модель математического маятника.
Выведите уравнение малых колебаний для мате матического маятника.
Чем определяются период и частота колебаний?
Как в работе «обходится» необходимость измерения длины подвеса маятника?
Как можно оценить величину необходимого количества колебаний?
Выведите формулы для оценки погрешностей вычисления ускорения свободного падения.
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ФИЗИЧЕСКОГОМАЛТНПКА
Целью работы является изучение колебательного движения физического маятника, экспериментальная проверка зависимости периода колебаний от расстояния между точкой подвеса и центром масс, определение приведенной длины математического маятника.
Теоретическое введение
Модель абсолютно твердого тела. Момент инерции. Рассмотрим систему трех материальных точек mi, m2 и m3, вращающихся вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О, по орбитам радиусов r2, *з с одинаковыми угловыми скоростями (рис. 1). При вращении расстояния между материальны ми точками будут оставаться неизменными. Это простая модель абсолютно твердого тела. (Реальное твердое тело состоит из огромного количества точек (атомов), колеблющихся около положения равновесия.)
Кинетическая энергия системы:
22扌 + Ш2Ш27'| + m.3W27；|扌 + Ш2Ш27'| + m.3W27；|2222
2
2
扌 + Ш2Ш27'| + m.3W27；|
扌 + Ш2Ш27'| + m.3W27；|
2
2
2
2
Здесь 厶 =m〃T ——моменты инерции материальной точки т% относительно оси О, / = mi*? + Ш2г| + тзг| ——момент инерции системы. Эта физическая величина характеризует распределение масс относительно оси вращения.
Формула (1) показывает, что момент инерции абсолютно твердого тела величина аддитивная, т. е. складывающаяся из моментов инерций частиц тела. Для деформируемого в процессе движения тела это, конечно, несправедливо.
Рис. 2.Рис. 2.Уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси. Пусть материальная точка вращается вокруг неподвижной оси О с переменной по модулю скоростью, но с постоянным угловым ускорением (рис. 2). Второй закон Ньютона в проекциях на направление скорости частицы в данный момент времени выглядит как
Рис. 2.
Рис. 2.
таТ = F sin а.
Так как ат = ДЛ 今 m/ЗЛ = F sin а, где Д — угловое ускорение, ат 一 тангенциальная составляющая полного ускорения. Умножив последнее уравнение на R, получим
m3R‘ = FR sin а,
или
/0 = Л/с(2)
Здесь Мр ——известное выражение для мо
мента силы F относительно оси О. Формула (2) 一 это уравнение вращения материальной точки вокруг неподвижной оси.
Так как момент инерции величина аддитивная, такое же уравнение справедливо и для твердого тела, как системы материальных точек. Действительно, твердое тело состоит из атомов, находящихся в среднем в одних и тех же местах, т. е. расстояние между их средними положениями неизменны при движении. Угловые характеристики вращения ——угловые скорость и угловое ускорение ——одинаковы относительно параллельных осей, проходящих через любую точку тела.
Физический маятник. Физический маятник ——твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси в поле силы тяжести. Положение тела в любой момент времени будем задавать углом отклонения линии, соединяющей точку подвеса О и центр масс С от положения равновесия (рис. 3).
Относительно оси О отличным от нуля будет только момент силы тяжести, поэтому уравнение вращения тела выглядит как
la = —mga sin а.
Здесь / ——момент инерции относительно О, 0 = G ——угловое ускорение в данный момент, а ——расстояние от точки подвеса до центра масс. Знак
«минус» соответствует тому, что угол поворота и проекция момента на ось О имеют разные знаки, т. к. при повороте от положения равновесия по часовой стрелке сила mg будет пытаться повернуть тело против часовой стрелки. На практике рассматриваются малые колебания, когда tg а и sin а и а (в радианах). Тогда уравнение колебаний будет выглядеть как
а + 7 а = 0* (3)
Это уравнение свободных колебаний (см. стр. 32). с 9 mg a Imga / . Здесь w = Л / (круговая частота).
«КООМОИМ.ЛЛ OKS^Onoe«КООМОИМ.ЛЛ OKS^OnoeРис. 3Рис. 3Математический маятник —— частный случай физического маятника, где / = m/2 n а = I. Подставляя в (4) получим известную формулуМатематический маятник —— частный случай физического маятника, где / = m/2 n а = I. Подставляя в (4) получим известную формулу(5)(5)Сравнивая (4) и (5), находим при равенстве периодов Г и ТоСравнивая (4) и (5), находим при равенстве периодов Г и Тотата⑹⑹Здесь /прив ——приведенная длина, т. е. длина нити мате матиче ского маятника, имеющего такой же период колебаний, как и физический маятник с расстоянием от точки подвеса до центра масс а и моментом инерции / относительно оси О, проходящей через точку подвеса.В работе в качестве физического маятника используется однородный метровый стержень с сантиметровыми делениями (рис. 4). Ось вращения ——ребро опорной призмы, котоЗдесь /прив ——приведенная длина, т. е. длина нити мате матиче ского маятника, имеющего такой же период колебаний, как и физический маятник с расстоянием от точки подвеса до центра масс а и моментом инерции / относительно оси О, проходящей через точку подвеса.В работе в качестве физического маятника используется однородный метровый стержень с сантиметровыми делениями (рис. 4). Ось вращения ——ребро опорной призмы, котокко⑪MOHMBd OKS^OnoKкко⑪MOHMBd OKS^OnoKрая может быть закреплена в любом месте стержня. Перемещением призмы вдоль стержня меняется расстояние а от опорного ребра до центра, масс С. Согласно теореме Штейнера момент инерции маятника относительно оси Орая может быть закреплена в любом месте стержня. Перемещением призмы вдоль стержня меняется расстояние а от опорного ребра до центра, масс С. Согласно теореме Штейнера момент инерции маятника относительно оси Ог mZ2 21 = + та ,12г mZ2 21 = + та ,12Период колебаний
«КООМОИМ.ЛЛ OKS^Onoe
«КООМОИМ.ЛЛ OKS^Onoe
Рис. 3
Рис. 3
Математический маятник —— частный случай физического маятника, где / = m/2 n а = I. Подставляя в (4) получим известную формулу
Математический маятник —— частный случай физического маятника, где / = m/2 n а = I. Подставляя в (4) получим известную формулу
(5)
(5)
Сравнивая (4) и (5), находим при равенстве периодов Г и То
Сравнивая (4) и (5), находим при равенстве периодов Г и То
та
та
⑹
⑹
Здесь /прив ——приведенная длина, т. е. длина нити мате матиче ского маятника, имеющего такой же период колебаний, как и физический маятник с расстоянием от точки подвеса до центра масс а и моментом инерции / относительно оси О, проходящей через точку подвеса.
В работе в качестве физического маятника используется однородный метровый стержень с сантиметровыми делениями (рис. 4). Ось вращения ——ребро опорной призмы, кото
Здесь /прив ——приведенная длина, т. е. длина нити мате матиче ского маятника, имеющего такой же период колебаний, как и физический маятник с расстоянием от точки подвеса до центра масс а и моментом инерции / относительно оси О, проходящей через точку подвеса.
В работе в качестве физического маятника используется однородный метровый стержень с сантиметровыми делениями (рис. 4). Ось вращения ——ребро опорной призмы, кото
кко⑪MOHMBd OKS^OnoK
кко⑪MOHMBd OKS^OnoK
рая может быть закреплена в любом месте стержня. Перемещением призмы вдоль стержня меняется расстояние а от опорного ребра до центра, масс С. Согласно теореме Штейнера момент инерции маятника относительно оси О
рая может быть закреплена в любом месте стержня. Перемещением призмы вдоль стержня меняется расстояние а от опорного ребра до центра, масс С. Согласно теореме Штейнера момент инерции маятника относительно оси О
г mZ2 2
1 = + та ,
12
г mZ2 2
1 = + та ,
12
где первое слагаемое ——момент инерции однородного стержня относительно оси проходящей через центр масс.
Представим а в долях /: а = 加) где п = 0,1; 0, 2; 0,3;...
Тогда
/ =+ 7a(丄 + 簿
V12/\12/12
Подставляя в (4), получим
Г = 27гГ = 27гmZ2(l + 12n2)12т gnlmZ2(l + 12n2)12т gnl⑺⑺
Г = 27г
Г = 27г
mZ2(l + 12n2)12т gnl
mZ2(l + 12n2)12т gnl
⑺
⑺
Экспериментальная часть
Формула (7) справедлива, если справедливо уравнение вращения (2) и теорема Штейнера. Если ее справедливость в результате эксперимента будет подтверждена, тем самым будет подтверждена и справедливость этих законов. Для экспериментальной проверки (7) следует измерить периоды малых колебаний маятника при различных положениях опорной призмы и построить экспериментальные и теоретические кривые зависимости Т от п (т. е. от а).
Амплитуда колебаний должна быть такой, чтобы выполнялось соотношение sin а и а, колебания должны быть изохронными, т. е. период не должен зависеть от амплитуды. На практике это все справедливо с большой степенью точности для уптов отклонения до ^ 10°.
Результаты измерений записываются в следующую таблицу:
№
й, с
Ай, с
^2,С
△力 2)С
力3,С
△力3)с
й, С
△力4)0
力5, С
△力5)e
1.
2.
3.
4.
5.
С Р е д н и е
й =
方2 =
方3 =
力4 =
方5 =
Целесообразно измерять время для JVK = 15—20 колебаний в каждом опыте, поскольку затухание при данном количестве колебаний незначительно.
Обработка результатов измерений
Вычисление й -ts. (Производится для каждого из 5~ти измеряемых t при соответствии:力i f п = 0,10;力2 f n = 0, 20;力3 f n = 0, 25; 力4 f 几二 0,30;力5 f 几二 0,45.)
Погрешность Д^приб = 0,2 с определяется только реакцией человека на включение и выключение секундомера.
△力=\/△力^лун + △力^рй6△力слун + △力при6 =…a е.
Окончательный результат:
力二力士 At, e(力)=...%.
Вычисление экспериментальных значений Ti — Т^.
Т = —,АТ == ^ =
Окончательный результат
T =个土 AT, e(T) = ...%.
Вычисление теоретических значений Г по формуле (7).
Значение длины стержня указано изготовителем: / = 1000 土 1 мм. Оче™ видно погрешности теоретических значений Г значительно меньше экспе™ риментальных. Их можно не учитывать.
Построение «экспериментального» и «теоретического» графиков. В пределах экспериментальных погрешностей два графика должны сов™ падать.
Рассчитать для каждого значения п соответствующую «приведен™ ную длину» математического маятника.
Контрольные вопросы
Вывести формулу для кинетической энергии вращения твердого тела.
Что такое момент инерции? Для каких систем момент инерции величина аддитивная?
Вывести уравнение малых колебаний твердого тела вокруг неподвижной оси.
Что такое приведенная длина?
Рассчитать приведенную длину для п = 0,15; 0,35. Показать с и с™ пользованием физического и математического маятников справедли™ вость расчетов.
Вывести теоретическую зависимость Т (п).
Доказать теорему Штейнера.
Вывести формулы для расчета погрешностей экспериментального определения периода колебаний.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛптвильной формы методомКРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы ——определение моментов инерции относительно оси, проходящей через центр масс для квадратной пластинки и круглого диска из стали на крутильном маятнике и с помощью прямых геометрических измерений.
Теоретическое введение
Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через центр масс. Пусть длина однородного стержня /, его масса m . Вычислим момент инерции стержня при вращении его вокруг оси О, проходящей через центр масс.
Известно, что момент инерции материальной точки / = тг2 , где г —— радиус вращения. Разобьем мысленно стержень на малые участки dx , которые можно считать «точечными». Для участка на расстоянии z от оси вращения (рис. 1) момент инерции d/ = у ж2 dx . Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей (см. стр. 48), поэтому, суммируя (интегрируя) моменты инерции всех dm , получим
,/24/,/24/Рис. 1.Рис. 1.ml2
,/24/
,/24/
Рис. 1.
Рис. 1.
12
Аналогично вычисляется момент инерции однородного круглого диска относительно оси вращения проходящей через центр масс.
Крутильный маятник, период свободных колебаний. Крутильный маятник ——рамка, колеблющаяся вокруг вертикальной оси, образован
Рис. 2.Рис. 2.ной тонкими стальными проволоками, к которым она подвешена. В рамку помещается тело, момент инерции которого относительно этой оси желают определить (рис. 2).
Рис. 2.
Рис. 2.
При повороте крутильного маятника нить закручивается, возникает момент сил, стремящийся вернуть рамку в положение равновесия
М = —Dy
где D ——коэффициент пропорциональности между моментом сил и углом закручивания 夕.
Уравнение вращения твердого тела вокруг оси О:
，8 = /0 =—。夕）
По аналогии с уравнением свободных колебаний пружинного маятника тх + kz = 0 (см. стр. 32), имеем
Период колебаний рамки без предмета (пустой рамки)
Период колебаний рамки с зажатой в ней телом
Здесь / + /о ——момент всей системы в силу его аддитивности.
Возводя в квадрат эти уравнения и деля друг на друга, получаем:
i(1)
Зная /0 ——момент инерции пустой рамки, можно найти / ——момент инерции тела, помещенного в рамку.
Экспериментальная часть
Периоды колебаний пустой рамки и рамки с предметом определяются как
ioioГ，Г，
io
io
Г，
Г，
где 力о к 力 ——время Nk колебаний пустой рамки и рамки с предметом соответственно.
Количество колебаний выбирается равным 15—20, пока затухание не слишком сильное.
Заполняют таблицу 1.
Таблица 1
Пустая рамка
С квадратной пластинкой
С круглым диском
№
方0, с
△to, С
△С С2
力e
△九e
с2
t с
△九e
△代e2
1.
2.
3.
4.
5.
С Р е
Д н и е
С помощью рулетки с миллиметровыми делениями делают однократные измерения линейных размеров квадратной пластины и круглого диска (рис. 3). Заполняют таблицу 2.
Рис. 3.Рис. 3.
Рис. 3.
Рис. 3.
Квадратная пластинка ——то же самое, что и однородный стержень, момент инерции которого был вычислен в теоретическом введении, поэтому для нее
(2)(2)г та2
(2)
(2)
/пл =
12
Приведем также формулу расчета момента инерции относительно нашей оси вращения для круглого диска:
厶1H ска厶1H скат〃216т〃216⑶⑶
厶1H ска
厶1H ска
т〃2
16
т〃2
16
⑶
⑶
Моменты инерции, рассчитанные по формуле (1) из данных, полученных из таблицы 1, и моменты инерции, полученные по измерениям линейных размеров (формулы (2) и (3)), должны совпадать в пределах погрешности (см. стр. 14). Такое совпадение дает экспериментальное подтверждение формулы (1), а значит и законов вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
Обработка результатов измерений
Вычисление 力° из таблицы 1:
tg = . . . , С △力0 =△左луч + △力加覧6△力случ + △力приб = ■ • ■ С,
△力приб = 0)2 С, £(力0)= . •.
Окончательный результат:
力0 =力0 ± △力0 е, е(力0) = " . -
Вычисление t для пластины и диска производится аналогично.
Вычисление Zb .
2Ъ = — = • ■ - с, £(2Ь) = £(%))
△т0 = e优)笈=当包=浊=…c. to Nk Nk
Окончательный результат:
2o = 2o ± A2o, £(% = • • ■ %
Аналогично вычисляются Г для пластины и круга.
Вычисление / для пластинки по формуле (1):
?=e(/) = .(Io) + 。(/ - 硯 + ё(硯=争 + 2(亍^+暮砲；
Значение 厶 известно :/0 = /0 ± Д/о = (100 土 1) • 102 г • см2.
Окончательный результат:
/ = / 土 △/г " см?, £（/） = ... %
Аналогично вычисляется / для диска.
Вычисление / пластинки по измерениям （таблица 2）:
/ == •竺.…•包=...г • см2, р = （7 8 ± 0,1） г/см3.
1212
e（/） = £（p） + 4口仪）+ £（由）=包 + 4 3 + 吧， pa di
где Да = Ad = 0,5 мм.
Окончательный результат:
/по измерениям/по измерениям=7± А/,=7± А/,
/по измерениям
/по измерениям
=7± А/,
=7± А/,
Аналогично вычисляется момент инерции / диска.
Выводы
В пределах вычисленных погрешностей результаты, полученные дву™ мя способами должны совпадать. Причины расхождений необходимо объ™ яснить.
Контрольные вопросы
Как вычисляется момент инерции точечной массы, вращающейся от™ носительно неподвижной оси?
Вычислить момент инерции системы материальных точек, вращаю™ щихся с одинаковой угловой скоростью относительно неподвижной оси.
Получить уравнение свободных крутильных колебаний.
В чем состоит идея эксперимента по определению момента инерции твердого тела?
Получить формулу для расчета погрешностей вычисления момента инерции для крутильных колебаний.
Получить формулу для расчета погрешностей вычисления момента инерции круглого диска из непосредственных измерений.
Что означает в нашей работе «совпадение результатов в пределах погрешности»?
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВК4ЩЕНИЯТВЕВДОГО ТЕЛА
НА КРЕСТООБК43НОМ МАЯТНИКЕОБЕРБЕКА
Цель работы ——изучение законов вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, проверка формул расчета моментов инерции, определение массы груза на спице маятника Обербека с применением законов вращения.
Теоретическое введение
Маятник Обербека. Маятник Обербека представляет из себя четыре спицы с грузиками массами то, устанавливаемыми на разлртчных расстояниях от оси вращения. Спицы завальцованы в цилиндрический вал, который может вращаться с малым трением вокруг оси О. На вал навита нить с грузом массы т. Если груз опускается вниз, вал со спицами вращается вокруг О по часовой стрелке (рис. 1).
Рис. 1.
К Mg
Уравнение вращения вала со спицами относительно оси О записывается как
1/3 = Мт - Мртр или 1/3 = Tr - MFtp.(1)
Уравнение поступательного движения груза m на нити записывается как
та = mg — Т.(2)
Ускорение а груза m является тангенциальным для точки вала, поэтому связано с угловым ускорением /3 известным соотношением:
а = /3几(3)
Из (1), (2), (3) следует, что
Т = mg 一 m,8?\ /,8 = mgr 一 mr2 ^ —
,8(/ + m户)=mgr — MFtp, ,8 = ? -.
На практике mr2 《/, t. k. r《R. Тогда
(4)
Если мы введем обозначения: z = m.gr, /3 = g, то получим уравнение прямой в осях ж, у
⑹⑹При х = Мртр у = 0, следовательно, строя график прямой у = /(х) , можно найти Мртр, как точку пересечения прямой с осью х. Момент инерции / характеризует наклон этой прямой
⑹
⑹
у
Экспериментальная часть
В данной экспериментальной работе масса m опускается с высоты %80 cMe нулевой начальной скоростью.
При двух различных, симметричных относительно О положениях грузов то на спицах для пяти разлртчных масс m определяют угловые ускорения /1 По пяти точкам для этих двух случаев строятся два графика у = /(ж) по формуле (5). По графикам определяются моменты инерции маятника Д и /2, момент силы трения Мртр в оси О. Графики имеют вид, представленный на рис. 2.
В каждом из двух случаев можно вычислить момент инерции
I = 1о + 4тоя2,
где Jq — момент инерции вала со спицами, R 一 расстояние от центра масс грузика mg от оси вращения О. Расположения грузов на спицах представлено на рис. 3.
Рис. 3.
При первом расположении (/) получаем/1=4+ 4nliо 抵,
при втором расположении (2):
『2 = /о + 4nlо 病*
Вычитая эти уравнения, получим
Отсюда формула для расчета массы грузика mg:
⑺⑺m0 = 'if 琢4(Я^Я2)
⑺
⑺
Масса грузика на спице mg «105 г, поэтому, определив по графикам Д и /2, можно по формуле (7) определить то и убедиться при совпадении в пределах погрешности в справедливости всех написанных ранее уравнений, описывающих законы вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, всех допущений и предположений, сделанных в их приложении к конкретному случаю, ведь формула (7) получена путем их применения.
Экспериментальные данные записываются в две одинаковые таблицы для измерений с различными моментами инерции 厶 и /2.
Момент инерции 厶(厶)・
№
т, г
й, с
力2, С
力3, С
力4, с
力5, С
f, С
jR-2 М
1.
2.
3.
4.
5.
Обработка результатов измерений
Вычисление точки г рафика.
1. Вычисление 力
力1 + 力2 +力3 + 力4 +力5 _ Л+J(力1 一 £)2 + "…(力5 — £)2
55
△力= J△力^луч + △力JipH6 △力случ + △力при6 = • ■ •
За △力приб следует принять 0, 2 с （реакция на включение-выключение секундомера）.
Вычисление х = mgr.
ж = mgr.
£（ж） = £（m） + £（g） + £（г） И £（m） + £（r） =,△①=£（X）X.
m r
За погрешность массы следует принять Am и 1 г.
Вычисление g 三仪
£（/） = e（h） + 2e⑴ + £（『）=学 + 出 + 汇，△。二 £（/）区 h t г
где г = （12, 5 ± 0,1） мм, А/г = 1 мм.
Для каждого графика вычисляются пять точек и представляются в виде окончательных результатов:
①1 =①I土 △/]=...写（①1） = ...%；
% = % 土 = - . -£切）= .-.%；
①5 =出5 土 △①5 = - - ■£（①5）= -•-%；
婚=yh 土 △婚=…e（婚）= •■•%■
По графикам определяются значения 厶 и 厶 н оценивается момент силы трения MFtp.
Вычисляется масса то по формуле （7）. Делаются выводы о совпадении результатов эксперимента и справедливости применяемых законов.
Контрольные вопросы
Что такое аддитивность момента инерции?
Вывести основное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
Написать уравнения движения для маятника Обербека.
Как графически определить момент инерции маятника Обербека? Какие графики необходимо для этого построить?
Как в работе определяется Мртр ?
Вывести формулы для расчета погрешностей mg.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ МОЛЯРНЫХТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ВОЗДУХА
Целью работы является проверка справедливости уравнения состояния идеального газа, экспериментально определяется отношение молярных теплоемкостей ср и су для воздуха.
Теоретическое введение
Первый закон термодинамики. Как известно, изменение внутренней энергии U физической системы складывается из двух частей: она возрастает за счет полученного количества теплоты Q и убывает за счет произведенной системой работы А. Можно таким образом написать
△U 二 Q —или Q = AU + Л.(1)
Здесь А ——работа, совершаемая системой над внешними телами. Это важное соотношение выражает закон сохранения энергии при тепловых процессах. Иначе его называют первым законом термодинамики.
Необходимо подчеркнуть, что работа и количество теплоты зависят не только от начального и конечного состояний системы, но и от пути, по которому происходило изменение состояния системы.
В каждом определенном состоянии система обладает лишь определенной внутренней энергией U. Поэтому лишь она является функцией состояния. Полученное тепло Q и совершенная работа А 一 функции процесса.
Теплоемкость. Если при поглощении теплоты Q температура тела повышается на АТ , то отношение
(7 =(7 =АТАТ
(7 =
(7 =
АТ
АТ
называют теплоемкостью тела.
Различают также молярную и удельную теплоемкости.
Молярная теплоемкость —— это количество теплоты, необходимое для нагревания одного моля вещества на 1 К.
с = —^—, где 〃 — количество молей; [с]= —旦^— моль • К
Удельная теплоемкость ——это количество теплоты, необходимое для нагревания тела массой 1 кг на 1 К.
Д水
кг " К
Определение отношения молярных теплоемкостей воздуха
При необходимости всегда можно перейти от одной теплоемкости к другой, поэтому чаще используют в расчетах молярную теплоемкость.
Для процессов с газом важным фактором является изменение объема газа, а значит совершение им работы над внешними телами, поэтому существенно говорить о теплоемкости при постоянном давлении ср и при постоянном объеме су.
Внутренняя энергия идеального газа зависти только от температуры: для одноатомного газа она вычисляется как U = ВТ. для двухатомного
газа как U = -uRT.
Получим молярную теплоемкость при постоянном объеме (изохорный процесс) для одноатомного газа. Работа газа при неизменном объеме равна нулю, поэтому
Q = AU = ^ yRAT.
2
отсюда
Для двухатомного газа
При постоянном давлении (изобарный процесс) работа идеального газа выражается как Л = РАУ = i/RAT, поэтому для одноатомного газа
Q = ? 〃冗АТ + РАУ = ? 〃冗АТ + 〃冗АТ =纟 uRAT,
(4)
Для двухатомного газа
Отсюда следует известное соотношение Майера для молярных теплоемкостей:
= Су + Я.
Так как △(/ = су〃/ХТ, первый закон термодинамики для политропных процессов (с постоянной теплоемкостью) можно для бесконечно малых приращений записывать как
Q = cyvdT + PdV = cyvdT + vRdT.
Из (2) и (4) для одноатомного газа получим
⑹⑹纟=1,67.
⑹
⑹
Для двухатомного газа из (3) и (5)
⑺⑺7
⑺
⑺
7 = g = 1"
Так как в состав обычного воздуха входят в основном двухатомные газы, формула (7) должна для него выполняться с высокой степенью точности.
Адиабатический процесс. Это процесс без теплообмена с внешней средой. На практике адиабатическим процессом можно считать процесс протекающий достаточно быстро, так что система не успевает обменяться теплом с окружающей средой за время процесса. Поскольку Q = 0, то первый закон термодинамики выглядит как
ycvAT + PAV = 0.
Из уравнения состояния PV = pRT, следует соотношение
//△Т = (РАУ + У АР) / 冗
Исключая АТ, получим
△Р I AV псР
——+ 7 ——=0 , где 7 =--.
Р V
Решением этого уравнения является произведение РУ7 = const. Используя уравнение состояния PV =項RT, можно получить также уравнение адиабатического процесса в переменных Р и Т:
=const.(8)
Т'7
Обоснование и методика эксперимента
Прибор для измерения отношений теплоемкостей представляет собой сосуд, который с помощью вентиля может поочередно соединяться с атмосферой, с насосом или закрыт герметично. Давление в сосуде измеряется с помощью водяного манометра (рис. 1).
Накачайте в сосуд некоторое количество воздуха, чтобы разность уровней воды в манометре была 20 — 25 см. Делайте это осторожно и медленно, чтобы вода не выплеснулась из манометра. При этом давление и температура воздуха в сосуде повысятся. Если теперь сосуд закрыть, то через некоторое время температура в нем станет равной температуре окружающей среды То, а давление примет некоторое значение R. Этому значению будет соответствовать разность уровней в манометре
Можно измерять давление в мм водяного столба, тогда Д =伉 + РЬ, где fo — атмосферное давление, измеренное в мм водяного столба.
Рис. 1.Рис. 1.= = - = = - = = - = = - = = - = == = - = = - = = - = = - = = - = =
Рис. 1.
Рис. 1.
= = - = = - = = - = = - = = - = =
= = - = = - = = - = = - = = - = =
На некоторое время соедините сосуд с атмосферой. Воздух будет со свистом выходить из сосуда, давление сравняется с атмосферным, а температура понизится до некоторого значения Т. Кран следует закрыть сразу же при изменении тональности звука, производимого выходящим воздухом. Процесс выравнивания давления может быть описан уравнением адиабаты в переменных F и Т (8):
т^т 7厶7г 7т^т 7厶7г 7⑼⑼
т^т 7厶7г 7
т^т 7厶7г 7
⑼
⑼
Через некоторое время температура в сосуде снова станет равной температуре окружающей среды 1Ь, а давление примет значение Р2 = Ро + +%2, где /12 — показание манометра. Этот процесс описывается уравнением изохоры (У = const):
РотРот「2「2или --или --Ро + %2ТоРо + %2То(Ю)(Ю)
Рот
Рот
「2
「2
или --
или --
Ро + %2
То
Ро + %2
То
(Ю)
(Ю)
Возведем уравнение (10) в степень 7:
(И)(И)
(И)
(И)
Разделим уравнение (11) на уравнение (9):
(1 +
(R+hl)0，
(12)(12)
(12)
(12)
Так как — <С 1 и — <С 1, получим по формуле бинома Ньютона
Уравнение (12) принимает вид
1 + 7^ = 1 +(7 - 1)；,
отсюда ?%2 = 7^1 — hi, и
СрС г,'СрС г,'=7 ==7 =hih］一h2hih］一h2(13)(13)
Ср
С г,'
Ср
С г,'
=7 =
=7 =
hi
h］一h2
hi
h］一h2
(13)
(13)
Таким образом, для нахождения величины 7 необходимо снять два показания манометра /〃 и %2. Опыт необходимо повторить не менее пяти раз. Результаты занести в таблицу.
№
%1, мм
%2, ММ
1.
2.
3.
4.
5.
Обработка результатов измерений
Поскольку очень сложно создать одинаковое давление Д на первом этапе эксперимента, оно должно устанавливаться существенно различным в каждом из пяти опытов. Для каждого опыта подсчитывается по формуле （13） значение 7, и окончательный результат является средним значением. Поэтому погрешности измерений h приборные. Целесообразно считать △%приб = 2 мм （с учетом мениска в трубках манометра）. Относительная ошибка 7 в каждом опыте
e（?） = e（加）+ e（自一坛）=—+ △…坛）=* + hi hi — h2 hi hi — h2
Абсолютная ошибка
△（7）= £（7）7"
Среднее значение
Окончательный результат записывается в виде:
7 = 7 =Ь △?,£（?） = •.. %.
Контрольные вопросы
Как выглядит первый закон термодинамики для изопроцессов?
Что называется теплоемкостью процесса? Что такое теплоемкости ср И Су ?
Что такое адиабатический процесс?
Почему в таблицах теплоемкостей для газов даются два значения ср и су, а для жидкостей и твердых тел только одно?
Каковы теплоемкости газов при адиабатическом и изотермическом процессах?
Почему температура газа на первом этапе эксперимента повышается?
Почему различаются молярные теплоемкости для одноатомных и двухатомных газов?
СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ. ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИВОЛНЫ В УПРУГОЙ СТРУНЕ
В работе исследуются условия образования стоячих волн в упругой струне. Для различных натяжений струны и конфигураций стоячих волн измеряется скорость поперечной волны в упругой струне.
Теоретическое введение
Скорость поперечной волны. Относительно системы отсчета, движущейся с фазовой скоростью волны и, гармоническая волна представляется «застывшей синусоидой» (рис. 1). В этой системе отсчета материал
струны движется с такой же скоростью в противоположную сторону. Рассмотрим малый элемент △/ струны, примыкающий к точке максимального подъема струны (рис. 2). Относительно нашей системы отсчета его
Рис. 2.
скорость направлена влево. Запишем второй закон Ньютона для этого элемента в проекциях на направление ж перпендикулярное скорости:
2Т sin——=——шр,
2 R
где р ——масса единицы длины струны. Так как △/ = Ra (а ——в радианах),
и для малого можно положить sin — и , то Т = и2р. Тогда
22
⑴
Таким образом скорость бегущей волны зависит только от натяжения струны и линейной плотности материала струны.
Стоячие волны. Как известно, уравнение гармонической волны, движущейся в сторону положительного направления
У1 = ут cos (wt 一 kx).
а для волны, движущейся в противоположную сторону
42 = Ут cos(G力 + kx).
Действительно, в системе отсчета, движущейся со скоростью волны, фаза будет оставаться постоянной. Для первого случая
cut — kx = const, g△力一kAx = О
ии△ж—=w«△ж—=w«
и
и
△ж
—=w«
△ж
—=w«
Для второго случая
ut + kx = const,ut + kx = const,g△力 + kAx = Оg△力 + kAx = О
ut + kx = const,
ut + kx = const,
g△力 + kAx = О
g△力 + kAx = О
△ж= ux△ж= ux
△ж
= ux
△ж
= ux
В результате сложения таких волн получим
у = У1 + У2 = 2gm COS kx cos wt(2)
Амплитуда 2nm cos kx ——функция от координаты. В точках, где | cos kx | = =1, колебания максимально усилены, там пучности.
Там, где cos kx = 0, колебаний нет. Это узлы. Выражение (2) определяет стоячую волну.
Характер колебаний точек струны в стоячей волне показан на рис. 3. Расстояния между двумя соседними пучностями или двумя соседними узлами составляют половину длины бегущей волны, т. е. Л/2.
Рис. 3.
Граничные условия для струны. На закрепленных участках струна неподвижна ——там находятся узлы, поэтому в струне возможны только такие стоячие волны, когда на длине струны укладывается целое число полуволн (рис. 4).
Рис. 4.
Из этого условия вычисляются возможные длины волн:
т. е. Лп == 1, 2, 3 ...,
2п
Отсюда
"?"?1=u 今"?"?1=u 今ип — n2/2/ип — n2/2/ТТРР⑶⑶
"?"?1=u 今
"?"?1=u 今
ип — n
2/2/
ип — n
2/2/
Т
Т
Р
Р
⑶
⑶
Экспериментальная часть
Для наблюдения стоячих волн в струне и измерения их характеристик используется установка, приведенная на рис. 5.
магнитмагнитРис. 5.Рис. 5.
магнит
магнит
Рис. 5.
Рис. 5.
Струна закреплена между двумя вертикальными стойками: правый конец фиксируется на ребре правой стойки. Натяжение струны через неподвижный блок обеспечивается грузом т. От генератора между концами струны подается переменное напряжение U = Um cos wt, поэтому по струне протекает переменный ток I = Im cos g力 Частота напряжения устанавливается соответствующей настройкой звукового генератора и может быть измерена. В магнитном поле, создаваемом постоянным магнитом, на струну действует переменная сила Ампера, которая вынуждает струну колебаться с той же частотой: J\ = ImBl cos 必左
Регулировкой частоты генератора в струне получают стоячие волны с п = 1, п = 2, п = 3.
Заполняются две одинаковые таблицы для двух различных натяжений струны при одинаковой длине струны. Далее вычисляются длины волн и скорости распространения волн в струне.
п%гцЛ, ми, м/с[23п%гцЛ, ми, м/с[23Т1Т1п1", ГцЛ, м〃,м/с123п1", ГцЛ, м〃,м/с123丁2丁2
п
%гц
Л, м
и, м/с
[
2
3
п
%гц
Л, м
и, м/с
[
2
3
Т1
Т1
п
1", Гц
Л, м
〃,м/с
1
2
3
п
1", Гц
Л, м
〃,м/с
1
2
3
丁2
丁2
Обработка результатов измерений
Вычисление Ап.
入?1 = 一, △入=,£（入）=， △/ири6 = 1мм*
Для трех значений п = 1, п = 2, п = 3 вычисляют три соответствующих значения Ап, которые записывают в виде окончательного результата:
入1 =入1 士 AAi, £（》i）=…%,
入2 =入2 士 △入2,?（入2）= ■ • ■ %,
入3 =入3 士 △丸，£（入3）= … %-
Вычисление ип.
Un = *入2£（&??） = — + —, Aw =
Окончательный результат:
士 Awi,
£（U1）=.
a2 = U2 士 A^2,
e（U2）=-
u3 = из 士
e（U3）= • .
Приборная погрешность измерения частоты зависит от конструкции генератора и определяется в документации.
Скорость поперечной волны зависит от ее натяжения и линейной плотности материала （формула （1））, поэтому в пределах погрешностей
(см. стр. 14) значения скоростей ип для одинаковых натяжений должны совпадать.
Делаются выводы об экспериментальной зависимости и от параметров колебаний, параметров струны и о соответствии с теорией.
Контрольные вопросы
Вывести формулу для скорости поперечной бегущей волны в струне.
Как образуются стоячие волны?
Почему в струне могут быть только стоячие волны определенного вида? Как они «выглядят»?
Какой вид имеют стоячие волны в струне с одним закрепленным концом?
Каким образом возбуждаются вынужденные колебаши в струне в нашем эксперименте?
От чего зависит скорость волны в струне?
Предложите альтернативный метод определения скорости бегущей волны в струне.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ cp/cvДЛЯ ВОЗДУХА В СТОЯЧЕЙЗВУКОВОЙ ВОЛНЕ
Теоретическое введение
Рис. 1.Рис. 1.Скорость продольных волн в упругом стержне. Если волна распространяется со скоростью и, то фронт волны за малое время △力 продви™ нется на и At. Все частицы в объеме Su At будут двигаться со скоростью м.
Рис. 1.
Рис. 1.
vAt 1
За время △力 частицы в сечении ж сдвинутся на 鏡△力(рис. 1). Масса, вовне- ченная в колебательный процесс: Am = pSuAt. Закон изменения импульса для этой массы:
^△т =储 pSnZ = FAt,
где F ——сила деформации, подчиняющаяся закону Гука:
F = —^
Здесь Е ——модуль Юнга, S ——площадь сечения упругого стержня. Если положить / = и△力， Д/ =。△力 получим
F = — ^5 =上 ES, vpSuAt = ^ESAt,и Atии
отсюда выражение для скорости продольной волны:
⑴
Скорость продольных волн в газе. Звук в газе (в воздухе)——распространение продольной волны изменения давления ДР.
Чтобы вычислить скорость продольных волн в газе, необходимо выяснить, что является в этом случае аналогом модуля Юнга 石「, затем воспользоваться формулой (1).
Запишем закон Гука:
(Знак «—» потому, что когда ДР > 0, ^ < 0). Умножая на S числитель и знаменатель левой части этого уравнения, получим
—” —"г—” —"г(2)(2)
—” —"г
—” —"г
(2)
(2)
Так как изменения давления в областях разрежения и сжатия в звуковой волне происходят быстро, можно связать давление и объем известным уравнением адиабаты РУ7 = const, где 7 = ср/су. Из уравнения адиабаты в приращениях — +)= и (см. стр. 66) выразим
△尸尸
——=-)—
△УV
Подставляя в (2), получим для газа
⑶⑶ЕТ =仍
⑶
⑶
Подставив (3) в (1), найдем выражение для скорости продольной волны
в газе:
⑷
и =и =Воспользовавшись связью плотности и давления идеального газа р = =PM/RT, получим
и =
и =
(5)
Стоячие волны. Уравнения гармонических волн с равными амплитудами, распространяющихся в положительном и отрицательном направлениях оси х:
yi = a cos (g力一kx), и ,2 = a cos (g力 + kx).
(Так распространяются волны, идущие к преграде и отраженные от нее.)
Результат сложения этих волн
У1 十 42 =厶 cos (kx) COS(G力),
где Л = 2а. Очевидно, амплитуда результирующей волны является функцией х. В точках, где | cos kx\ = 1 ——амплитуда максимальна (пучности), там где | cos kx\ = 0 — колебаши отсутствуют (узлы) (рис. 2). Это стоячая волна. Если расстояние между соседними узлами (пучностями)——Дж, то соответствующая разность фаз △夕=—Дж = тг и
⑹⑹Дж =-
⑹
⑹
2
Рис. 2.Рис. 2.
Рис. 2.
Рис. 2.
Экспериментальная часть
Для определения длины звуковой волны используется установка, приведенная на рис. 3.
Частота звука устанавливается соответствующей настройкой звукового генератора (/). Излучатель волны расположен в левом торце трубы- резонатора (2). Звуковая волна отражается от противоположного торца, таким образом в трубе-резонаторе образуется стоячая волна как суперпозиция одинаковых волн, бегущих в разных направлеших. В торец-отражатель вмонтирован приемник-преобразователь звуковых колебаний в колебания электрического напряжения (3). Сигнал с преобразователя подается на вход осциллографа (4). При движении торца с приемником вдоль трубы, сигнал имеет максимальное значение, когда попадает в область пучности, координату которой можно фиксировать по линейке на подвижной части трубы (5). Разность координат соседних пучностей равна половине длины звуковой волны.
Определить скорость звука в воздухе можно по известной формуле, связывающей ее с частотой колебаний и длиной волны:
u =1幺
где Л ——удвоенное расстояние между двумя пучностями, 〃 ——частота колебаний, установленная на генераторе.
Вычислив и, можно определить отношение ср/су для воздуха из (5):
и2 Ми2 М⑻⑻7 =7 =Рис. 3.Рис. 3.
и2 М
и2 М
⑻
⑻
7 =
7 =
Рис. 3.
Рис. 3.
Длина волны вычисляется четырежды по пяти отсчетам на подвижной части трубы для пяти пучностей при фиксированной частоте генератора.
a：i =..., 欠2 ="…， а：з = ... , а：4 = ... , а：5 =...
入1 = 2(工:2 -~ 2*1) •) 入2 = 2(工:3 - 2*2 ) •) A3 = 2(工:4 - 2*3) ,Al = 2(工:5 - 2*4).
Вычисляется среднее значение длины волны:
4
Л =
4
Температура измеряется обычным спиртовым термометром.
Обработка результатов измерений
Вычисление скорости звука.
и = Ху, (〃 определяется по шкале генератора);
△и =(6(Л) + £(〃))》〃△и =(6(Л) + £(〃))》〃Л 〃*Л 〃*
△и =(6(Л) + £(〃))》〃
△и =(6(Л) + £(〃))》〃
Л 〃*
Л 〃*
Окончательный результат:
U = U 士 △& = . . . ,£(u) = . . . %
Вычисление 7.
—2——
一 П m
7 =
£(7)= 2e(u) + е(Т) + s(M) = 2营十亨十 ^, △) = £())不
Окончательный результат:
7 = 7 ± △)= ...,£()) = ... %
За погрешность отсчета g целесообразно взять Дж = 1 мм; вполне реально положить ДА = 4Дж = 4 мм; AT = 1К; приборная погрешность измерения частоты зависит от конструкции генератора и определяется в документации; М = 2,9 ± 0,1 г/см3.
Контрольные вопросы
Вывести формулу для скорости звука в однородной упругой среде.
Когда справедлив закон Гука? Что такое модуль Юнга?
Почему процессы «сжатия» и «растяжения» газа в звуковой волне можно считать адиабатиче скими?
Вывести уравнения адиабаты в приращениях (переменные F, У и ГТ)
Вывести формулу для скорости звука в идеальном газе.
Написать уравнения гармонических волн, распространяющихся в положительном и отрицательном направлениях х.
Когда образуется стоячая волна? Каковы ее отличия от бегущей волны?
ИЗУЧЕНИЕ В4БОТЫ ЭЛЕКТРОННОГО
ОСЦИЛЛОГВ4ФА
Целью настоящей работы являются знакомство с принципами работы электронного осциллографа и получение практических навыков работы с осциллографом.
Теоретическое введение
Осциллограф, позволяющий не только оценить амплитуду сигнала, но и исследовать его форму, является универсальным и потому наиболее широко применяемым измерительным прибором, используемым при настройке и ремонте электронной теле- и радиоаппаратуры, а так же в научных исследованиях.
Осциллографы используются для
исследования изменения напряжения или тока быстропеременных периодических и однократных процессов;
измерения амплитуды напряжений или токов;
определения частот электрических колебаний;
определения частотно-фазовых соотношений двух и более сигналов.
Элементами электронного осциллографа являются: блок питания,электронно-лучевая трубка, генератор развертки, делители, блок синхронизации, усилители.
. Блок питания. Блок питания преобразует сетевое напряжения (220 В, 50 Гц) в постоянные напряжения, обеспечивающие работу всех узлов осциллографа.
. Электронно-лучевая трубка (ЭЛТ). Электронно-лучевые трубки различают по способу фокусировки и отклонения луча, по длительности послесвечения экрана и по некоторым электрическим и конструктивным параметрам (чувствительность ЭЛТ, размеры и т. д.)
По способу фокусировки и отклонения луча электронно-лучевые трубки делятся на
трубки с электростатическим управлением, в которых для фокусировки и отклонения луча используется электрическое поле;
трубки с магнитным управлением;
трубки с комбинированным управлением лучом: электростатическая фокусировка и магнитное отклонение луча (телевизионные трубки).
Под длительностью послесвечения экрана понимают время, в течение которого яркость экрана после исчезновения луча уменьшается до 1% от первоначальной. Для современных ЭЛТ длительность послесвечения лежит в пределах от 1 • 10-5 до 100с.
ЭЛТ состоит из трех основных элементов:
электронной пушки, создающей узкий электронный луч, направленный вдоль трубки;
一 отклоняющей системы (устройства для отклонения электронного луча от оси трубки);
一 флуоресцирующего экрана для индикации положения электронного луча.
На рис. 1 показано устройство ЭЛТ с электростатическим управлением.
Рис. 1.
Электронная пушка. Электронной пушкой называется часть трубки, формирующая пучок электронов. Сюда входят подогреваемый катод, управляющий электрод, первый и второй аноды.
Катод ——источник электронов. Обычно применяется оксидный подогреваемый катод, изготовленный в виде небольшого никелевого цилиндра, внутри которого находится подогреватель.
Управляющий электрод (или модулятор) предназначен для регулировки яркости светящегося пятна на экране (количества электронов) посредством небольшого отрицательного потенциала на нем. Выполнен в виде никелевого цилиндра, окружающего катод.
Первый анод (фокусирующий) представляет собой цилиндр с двумя или тремя диафрагмами.
Второй анод (ускоряющий) выполнен также в виде цилиндра и обычно имеет одну диафрагму.
К первому аноду подводится напряжение порядка 300— 1000 В (относительно катода). На второй анод подается более высокое напряжение 1-50 кВ.
Диафрагмы внутри анодов способствуют сужению луча электронов, т. к. они перехватывают электроны, сильно отклоняющиеся от оси трубки.
Отклоняющая система. Чтобы перемещать светящееся пятно по экрану, между вторым анодом и экраном расположена отклоняющая система, состоящая из двух пар взаимно-перпендикулярных пластин XX к YY. Пластины XX горизонтально отклоняющие, пластины YY ——вертикально отклоняющие.
Флуоресцирующий экран. Экран ЭЛТ трубки покрывается специальным веществом, обладающим способностью флуоресцировать, т. е. светиться в местах бомбардировки его электронами. Светящиеся покрытия экранов, называемые люминофорами, определяют также цвет и длительность свечения экрана. Человеческий шаз имеет наибольшую чувствительность к желто-зеленой части спектра, поэтому ЭЛТ для визуального наблюдения, чаще всего делают с желто-зеленым свечением.
При эксплуатации ЭЛТ нельзя длительное время оставлять луч неподвижным, т. к. длительное воздействие электронного луча на одно и тоже место экрана вызывает ослабление яркости 一 «утомление» люминофора в этом месте и его выгорание!!!
Из тех же соображений рекомендуется также ограничивать яркость луча, что помимо прочего увеличит точность измерений за счет уменьшения толщины луча.
При падении электронного луча на экран часть кинетической энергии электронов переходит в световую энергию люминофора экрана в месте соударения, остальная часть энергии расходуется на нагревание экрана и на выбивание из него вторичных электронов.
Большая часть вторичных электронов улавливается проводящим графитовым материалом ——аквадагом, нанесенным на внутреннюю поверхность баллона. Поэтому, несмотря на то, что во время работы трубки на экран поступают первичные электроны, между количеством первичных и вторичных электронов устанавливается динамическое равновесие и потенциал экрана остается почти постоянным примерно на 100 В и ниже потенциала второго анода. Кроме того аквадаг выполняет роль электростатического экрана и предохраняет электронный поток трубки от воздействия внешних электрических полей, т. к. он соединен со вторым анодом трубки.
Фокусировка электронов электрическим полем. В трубках с электро статическим управлением в состав фокусирующей системы входят все элементы электронной пушки. Фокусировка производится подбором напряжений на управляющем электроне и первом аноде.
Управляющий электрод. При изменении напряжения на управляющем электроде электронный луч расширяется или сужается. При этом чем больше отрицательный потенциал на управляющем электроде, тем уже лучи и тем ближе к катоду будут сходиться в одной точке —— фокусе F1 (рис. 2). Это — «электрическая линза».
Фоку сирующ ая система двух анодов. На рис. 3 показан вид силовых линий электрического поля (сплошные тонкие линии) и эквипотенциальные поверхности (штриховые линии) между анодами. Потенциал второго анода А2 выше, чем потенциал первого анода А> Поэтому между анодами образуется электрическое поле, направленное от второго к первому. На электрон, попадающий в это электрическое поле, действует сила, направленная в каждой точке поля по касательной к силовой линии.
Разложив эту силу по направлениям вдоль и перпендикулярно оси системы (рис. 4), легко убедиться, что при описанной структуре поля на
электрон, отклонившийся в движении от оси системы, действует помимо ускоряющей, сила, направленная на участке первого анода к оси, а на участ™ ке второго ——от оси системы.
Рис. 2.
В рассматриваемой системе собирательное действие электрического поля преобладает над рассеивающим из-за того, что
—напряженность электрического поля (густота силовых линий) на участке первого анода больше, чем на участке второго анода;
—электроны двигаются ко второму аноду с ускорением, т. е. проходят рассеивающий участок с большей скоростью, чем собирательный, следовательно, на рассеивающем участке траектории искривляются меньше;
一 первый анод имеет меньший диаметр, чем второй, следовательно, изгиб силовых линий вблизи оси трубки больше на участке первого. Поэтому поперечная составляющая поля всегда больше на участке первого анода.
Описанная конструкция как бы «сводит» траектории электронов, группируя их вдоль оси симметрии системы. Она получила название электрической линзы.
Генератор развертки. Чтобы с помощью осциллографа исследовать изменение величины сигнала (напряжения) как функцию времени, необходимо подать исследуемый сигнал на пластины вертикального отклонения ЭЛТ. Тогда, если на пластины горизонтального отклонения луча мы подадим напряжение, линейно возрастающее во времени, то перемещающееся по экрану световое пятно изобразит в координатах g = /(①) график зависимости сигнала от времени U = /(力).К сожалению, через несколько секунд или долей секунд изображение на экране исчезнет, т. к. луч покинет пределы экрана, а время послесвечения люминофора ограничено. Но если сигнал периодический, т. е. повторяющийся во времени, мы можем получить на экране устойчивое неподвижное изображение. Для этого будем подавать на пластины горизонтального отклонения ЭЛТ так называемое «пилообразное» напряжение (рис. 5 а). Очевидно, что если при этом между периодом сигнала Тс (рис. 5 б) и периодом пилообразного напряжения развертки Тр будет выполняться соотношение Тр = п ^ £, где п ——целое число, на экране появится неподвижное изображение, т. к. луч при движении будет повторно попадать в одни и те же точки поверхности экрана. Невозможно, однако, мгновенно изменить напряжение на отклоняющих пластинах, поэтому реально пилообразное напряжение на них имеет вид, приведенный на рис. 5 в.
Оказывается, что только часть времени (耳)луч перемещается в нужном для нас направлении, «разворачивая» сигнал по экрану (рабочий ход). Время АТ необходимо для возврата луча в исходное положение (обратный ход). Луч на это время гасится; на управляющий электрод подается запирающее напряжение. Очевидно, что и в этом случае достаточно удовлетворить равенству Тр + АТ = п • Т^ и мы получим на экране стабильное изображение (правда, на экране мы увидим не п периодов сигнала, а немного меньше ——на АТ). Таким образом, для получения неподвижного изображения на экране ЭЛТ нам достаточно иметь возможность плавно изменять в достаточно широких пределах частоту генератора развертки, чтобы подобрать период непрерывно следующих друг за другом импульсов развертки кратным периоду исследуемого сигнала.
Такой способ синхронизации развертки (периодическая автоматическая развертка) используется в ряде простейших электронных осциллографов, но для точных измерений он мало применим.
Дело в том, что построить генератор пилообразного напряжения, частота которого плавно изменялась бы в 106 раз и при этом гарантировать высокую (до 1%) линейность переднего (рабочего) фронта импульса развертки и высокое постоянство (так же до 1%) длительности нарастания напряжения ——задача технически весьма сложная.
Гораздо проще сделать высоко стабильный генератор развертки на несколько фиксированных частот. Как же в этом случае согласовать во времени (синхронизировать) работу генератора развертки с частотой исследуемого сигнала, чтобы получить на экране осциллографа не беспорядочное мелькание, а неподвижное изображение?
В этом нам поможет принцип «ждущей» развертки (рис. 6). Представим, что напряжение на пластинах горизонтального отклонения начинает возрастать не сразу по окончании очередного цикла, а по определенному сигналу запуска, который будет подаваться в тот момент, когда напряжение исследуемого сигнала достигнет заранее заданной величины, называемой уровнем запуска.
Время развертки Тр задается режимом работы самого генератора и не связано с длительностью сигнала. Таким образом, «ждущая» развертка позволяет детально изучить осциллограмму сигнала и более точно определить амплитуду и временные характеристики сигнала.
Схема синхронизации. В режиме ждущей развертки схема синхронизации следит за мгновенным значением напряжения сигнала, сравнивает его с заданным уровнем запуска и выдает запускающий импульс на генератор развертки. Сигналом, с которым синхронизируется работа осциллографа, может быть как сам исследуемый, так и любой другой сигнал, что иногда более удобно.
Делитель и входной у сил итель напряжения. Чувствительность ЭЛТ (отношение смещения светового пятна по экрану к вызвавшему его напряжению) —величина постоянная и определяется конструкцией ЭЛТ. На выход же осциллографа может подаваться исследуемый сигнал амплитудой от 1 мкВ до десятков вольт. Исследуемый сигнал может быть ослаблен с помощью входного делителя или усилен усилителем. На рис. 7 приведена функциональная схема осциллографа.
Исследуемый сигнал подается на вход «У» (основной вход) осциллографа и далее через переключатель на вход усилителя с делителем, либо непосредственно («открытый» вход, гальваническая связь,《и») либо через разделительный конденсатор (емкостная связь, «закрытый» вход, «^»).
Чувствительность усилительного тракта осциллографа изменяется с помощью входного переключателя, ручка которого проградуирована в В/дел (под делением поднимается ячейка измерительной сетки экрана ЭЛТ), в некоторых моделях может указываться предел измерений, соответствующий всей высоте экрана.
Усиленный либо ослабленный сигнал подается затем на пластины вертикального отклонения ЭЛТ, куда поступает также напряжение с потенциометра «вверх-вниз» блока регулировок. Как и в обычном телевизоре здесь же расположены регулировки яркости и фокусировки (см. описание работы ЭЛТ) и регулятор смещения луча «вправо-влево», напряжение с которого подается на пластины горизонтального отклонения ЭЛТ.
На них же поступает сигнал со входа «X» осциллографа при работе осциллографа с отключенным генератором и разверткой от внешнего сигнала или сигнал генератора развертки при работе в обычном режиме.
Органами управления генератором развертки является переключатель скорости развертки и переключатель режима работы. Скорость развертки обычно задается как время, за которое луч проходит по горизонтали клетку измерительной сетки (например, «50 мкс/дел»). Иногда скорость может задаваться как «время/дел», тогда должен быть переключатель, определяющий, в каких единицах это время измеряется (с/мс/мкс/нс).
Положение переключателя режима работы определяет, будет ли генератор развертки запускаться сразу же по окончании предыдущего цикла работы («периодический», «автоматический» режим) либо по получении запускающего импульса от схемы синхронизации.
Работа схемы синхронизации, в свою очередь, определяется положением ручки потенциометра («уровень», «синхронизация», «стабильность»), задающего величину напряжения на выходе самой схемы, при котором происходит ее срабатывание т. е. формирование импульса на запуск генератора развертки).
На входе схемы установлен переключатель, позволяющий синхронизировать работу осциллографа либо с сигналом, поступающим на его основной вход «У» («внутренний запуск»), либо с каким либо другим сигналом, подающимся на специальный вход «запуск», «синхронизации» («внешний запуск»).
Так как область применения электронных осциллографов весьма обширна (с их помощью производятся измерения сигналов с амплитудой от десятков микровольт до сотен вольт и длительностью от наносекунд до десятков секунд, периодических сигналов и одиночных импульсов) очевидно, что осциллографы какого-либо одного типа вряд ли могут обеспечить все виды измерений. Поэтому существует несколько видов осциллографов (например, С1... —универсальные осциллографы, С8..., С9... — осциллографы запоминающие и т. п.) Запоминающие осциллографы, в частности,
позволяют запомнить и исследовать однократно воспроизведенный сигнал.
В некоторых случаях, например, для исследования фазо-частотных соотношений двух гармонических сигналов, достаточно иметь простейший (даже без генератора развертки!) осциллограф.
Экспериментальная часть
Измерение амплитуды переменного напряжения.
Подайте на вход 1 МП 30 пФ одного из каналов синусоидальный сигнал с генератора.
Установите переключатель режима работы усилителя на требуемый канал.
Поставьте переключатель «В/дел» в такое положение, чтобы амплитуда изображения составляла около шести делений.
Поставьте переключатель «^2,丄)^» в положение «^».
Ручкой «УРОВЕНЬ» установите устойчивое изображение. Поставьте переключатель «время/дел» в положение, при котором наблюдаются несколько периодов колебаний.
Установите ручку «ф» вертикального перемещения так, чтобы минимальный уровень сигнала совпадал с одной из нижних линий, а максимальный находился в пределах экрана (рис. 9 а). Ручкой «^» горизонтального смещения сместите изображение таким образом, чтобы один из пиков находился на вертикальной средней линии шкалы.
Измерьте количество делений между точками амплитудного отклонения.
Умножьте количество делений на показание переключателя «В/дел».
Измерение длительности и частоты.
Подайте на вход 1 МП 30 пФ одного из каналов синусоидальный сигнал с генератора.
Установите переключатель «В/дел» в такое положение, чтобы амплитуда изображения составляла около шести делений.
Установите переключатель «время/дел» в такое положение, в котором расстояние между измеряемыми точками будет меньше 10 делений.
Установите ручкой «УРОВЕНЬ» устойчивое изображение.
Установите ручку «ф» вертикального перемещения так, чтобы точки, между которыми измеряется время сигнала находились на горизонтальной центральной линии (рис. 9 б).
Измерьте горизонтальное расстояние между измеряемыми точками.
Умножьте это расстояние на коэффициент развертки.
Для измерения частоты периодического сигнала необходимо измерить расстояние по горизонтали между точками отстоящими на период Т.
Далее по известной формуле 〃 = 亍 вычислите частоту сигнала.
В работе учащимся предлагается провести вышеуказанные измерения с сигналами сложной формы, которые получены путем наложения нескольких синусоид с различными фазовыми сдвигами.
максимум расположен на градуированной вертикалимаксимум расположен на градуированной вертикали
максимум расположен на градуированной вертикали
максимум расположен на градуированной вертикали
Рис. 9.
Контрольные вопросы
Перечислить основные узлы осциллографа, их назначение.
Рассказать об основных режимах работы осциллографа.
Объяснить назначение основных органов управления осциллографа.
Как на осциллографе измеряется напряжение сигнала?
Как с помощью осциллографа измерить частоту периодического сигнала?
ИЗМЕРЕНИЕ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙПУТЕМ ИССЛЕДОВАНИЯ ФИГУР ЛИССАЖУ
Целью работы является изучение сложения взаимно перпендикулярных колебаний, измерение частоты колебаний путем исследования фигур Лиссажу.
Теоретическое введение
Допустим, что материальная точка может совершать колебания как вдоль оси ж, так и вдоль перпендикулярной ей оси у. Если возбудить оба колебания, точка будет двигаться по некоторой, вообще говоря, криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаз обоих колебаний. Если начало отсчета времени выбрать так, чтобы начальная фаза колебаний вдоль оси ж была равна нулю, уравнения запишутся как
(1)(1)х — a cos у = 6 cos (wf + а),
(1)
(1)
(2)(2)где q ——разность фаз обоих колебаний. Чтобы получить уравнение траектории, нужно исключить из (1) время. Из первого уравнения следует, что
(2)
(2)
coscut = 一а
sin公力=±sin公力=±Поэтому
sin公力=±
sin公力=±
⑶
Развернув косинус во втором уравнении по формуле для косинуса суммы, подставляя при этом вместо coscut и sin cut их значения из (2) и (3), получим
- = - cos а 士 sin а J1 - —.
а аV ft2
Последнее уравнение после несложных преобразований можно привести к виду
ж2 ,• 2
——+ — — —- cos a = sin a.
a2 b2 ab
Определим форму траектории для некоторых частных случаев.
Разность фаз а равна нулю. В этом случае
Это уравнение прямой
У = — ка
Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой (рис. 1 а).
Разность фаз а равна ±тг. В этом случае уравнение (4) имеет вид
и
у = - - X.а
Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой (рис. 1 6)
При а = ±7г/2 уравнение (4) переходит в
a2 b2
Это уравнение эллипса. При равенстве амплитуд а и 6 эллипс вырождается в окружность.
Когда частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы,
Рис. 1.
точка в своем движении будет описывать сложную замкнутую кривую, которую называют фигурой Лиссажу (рис. 2).
Если провести линии, касательные полученной фигуре Лиссажу и параллельные осям координат, то отношение числа точек касания вдоль линии параллельной оси ж к числу точек касаний вдоль линии параллельной оси у будет равно отношению частот ——.
Из приведенного примера становится ясно, что подавая два синусоидальных сигнала соответственно на пластины горизонтального и вертикального отклонения ЭЛТ (при этом генератор развертки отключен), мы
можем получить на экране осциллографа при выполнении указанных выше условий фигуры Лиссажу. При этом вид полученных фигур будет зависеть от соотношения частот и фаз подаваемых сигналов. При этом, если частота одного из сигналов известна (опорная частота), то получив на экране осциллографа устойчивое изображение фигуры Лиссажу, можно найти частоту исследуемого сигнала. При этом точность оценки определяется, в основном, точностью определения частоты опорного сигнала и существенно выше других методов определения частоты.
Экспериментальная часть
Отключив генератор развертки, выставьте луч в центр экрана.
Подключите сигнал опорной частоты 50 Гц (выход «» ЛИП-90 ко входу «У», а исследуемый сигнал с выхода генератора к входу «X» осциллографа.
Изменяя частоту генератора, добейтесь устойчивого изображения на осциллографе, зарисуйте в тетради 2 — 3 формы фигур Лиссажу, определите соответствующую частоту сигнала генератора.
Несколько практических советов по работе с осциллографом.
Внимательно изучите описание прибора, или (при отсутствии описания) надписи на панели осциллографа. Если вы представляете принципы работы осциллографа, то сможете понять назначение органов управления, которые, как правило, группируются на панели поблочно, в соответствии со своими функциями.
Включив прибор, и не подавая внешнего сигнала, настройте луч осциллографа. Для этого прежде всего «найдите» его, т. е. выведите пинию на середину экрана (развертка — автоматическая, яркость — максимальная, ручки фокусировки «вправо-влево», «вверх-вниз», в среднем положении. Плавно вращая поочередно ручки регулировки положения луча, добейтесь среднего на экране положения линии. Отрегулируйте яркость и фокусировку.
Не злоупотребляйте яркостью луча. Это приводит к быстрому старению люминофора и понижает точность измерений.
Измерение параметров неизвестного сигнала начинайте, максимально загрубив чувствительность входа осциллографа.
В большинстве случаев правильное воспроизведение сигнала на экране прибора зависит от правильности соединения общей точки («земли») осциллографа с общей точкой («землей») исследуемой схемы. На осциллограф сигнал подается чаще всего по входному коаксиальному кабелю, имеющему два одинаковых штеккера, присоединенных короткими проводами с центральной жилой кабеля и его оплеткой, всегда соединяемой с «землей» прибора.
При этом земляной штеккер маркируется:
——либо знаком «+»;
——либо цветом темного тона: черный, синий, коричневый;
——либо длиной провода; «земляной» провод немного длиннее; при любых подключениях первым должно подключаться заземление.
Если все-таки не удается по маркировке распознать «земляной» и «сигнальный» провода, ——-можно сделать это, используя себя как генератор и поочередно «подключаясь» к входным проводам. При этом, чтобы не попасть самому под напряжение и не вывести из строя прибор, нельзя касаться, проводящей части штеккера! Достаточно взяться рукой за изоляцию подходящего к штеккеру провода. Если на экране осциллографа было заметно присутствие небольшого сигнала наводки, то при касании земляного провода его амплитуда уменьшится. Если же Вы коснетесь другого провода, то будет заметно увеличение амплитуды сигнала.
Контрольные вопросы
Вывести формулу результирующего колебания при сложении взаимно перпендикулярных колебаний.
Как будет выглядеть результирующее колебание, если отношение частот равно 1:2 и разность фаз двух взаимно перпендикулярных колебаний равна 7г/2 ?
Как определить частоту по «фигурам Лиссажу», зная частоту одного из складываемых колебаний?
Объяснить назначение основных органов управления осциллографа.
Как найти «земляной» и «сигнальный» провода входного кабеля?
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГОСОПРОТИВЛЕНИЯ НИХРОМОВОЙ
ПРОВОЛОКИ
Целью работы является проверка законов постоянного тока, приобретение навыков измерения «электрических » физических величин, усвоение понятий, используемых при описании электрических явлений, измерение удельного сопротивления нихромовой проволоки.
Теоретическое введение
Сила тока. Током называется упорядоченное движение частиц. Так, например, молекулы воды движутся вполне упорядоченно по водопровод™ ным трубам. Если частицы заряжены, мы имеем дело с электрическим током.
Для существования электрического тока необходимы и достаточны два условия:
—наличие свободных зарядов.
— наличие электрического поля, заставляющего эти заряды упорядо™ ченно двигаться.
Сила тока определяется как количество заряда, протекающего через некоторое сечение за 1 секунду
△t△t(1)
△t
△t
Пример 1. Пусть по проводу сечения S упорядоченно слева направо движутся электроны (рис. 1 а). Если за время △力 сечение S пересекут N электронов, очевидно сила тока
/ = m龔 I
△t
Пример 2. Рассмотрим электрон на орбите атома водорода (рис. 2 6). Произвольное сечение S за время А方 электрон пересечет 沙△方 раз, поэтому заряд, перенесенный за это время q = pAt\qe\. Сила тока
△t At△t At=沙1蚤1,=沙1蚤1,
△t At
△t At
=沙1蚤1,
=沙1蚤1,
е. электрон на орбите создает ниточку тока. Это очень важный факт, лежащий в основе классической теории «магнетизма» вещества.
Заряд электрона в примерах берется по модулю, т. к. по определению ток ——упорядоченное движение положительных зарядов.
Электрическое напряжение. Силы электрического поля, заставляющие заряды перемещаться упорядоченно, совершают над ними работу ЛРэл.
Рис. 1.
Работа электрической силы по перемещению положительного заряда + 1 Кл между двумя точками пространства называется разностью потенциалов или электрическим напряжением.
夕1 —32 = U12 =生马"
При протекании тока по однородному проводнику напряжение на нем по закону Г. Ома вычисляется как
U = /R,(2)
где Я ——электрическое сопротивление проводника.
Природа электрического сопротивления. Известно, что ток в металлическом проводнике создают упорядоченно движущиеся электроны, утратившие свою связь с атомами, т. е. свободные. Атомы, потерявшие электроны, становятся положительно заряженными ионами. Они хаотично колеблются вокруг положений устойчивого равновесия в узлах кристаллической решетки.
«Столкновения» электронов с ионами в классическом объяснении становятся причиной сопротивления электрическому току.
Чем длиннее проводник, тем столкновений больше, тем больше сопротивление. Чем больше сечение проводника, тем меньше столкновений при прочих равных условиях. Чем сильнее заряжены ионы, тем сильнее они притягивают движущиеся электроны, тем вероятнее столкновения —— тем больше сопротивление, т. е. сопротивление зависит также от материала проводника.
⑶⑶Все это учитывает эмпирическая формула для расчета сопротивления однородного проводника длиной / и сечением S，сделанного из материала с удельным сопротивлением /?уд.
⑶
⑶
S
Из этой формулы очевидно, что удельное сопротивление численно равно сопротивлению проводника сечением 1 м2 м длиной 1 м. В этом состоит его физический смысл.
В настоящей работе измеряется удельное сопротивление нихромовой
,приравнивая это выра,приравнивая это вырапроволоки небольшого диаметра. Так как R =
,приравнивая это выра
,приравнивая это выра
жение к (3) и учитывая, что S =——,получим окончательную расчетную
4 ■
формулу
⑷⑷7rd2 U
⑷
⑷
Руд =ш
Экспериментальная часть
Измеряя микрометром диаметр нихромовой проволоки, можно рассчитать площадь ее поперечного сечения S. Измерения делают пять раз на различных ее участках. Заполняют таблицу 1.
Таблица 1
№
(1г, мм
△&, мм
△d ； ? мм2
1.
2.
3.
4.
5.
Средние
d =
Вычисляют значение абсолютной погрешности диаметра d.
△d11PH6 = 0, 01 мм,
△d =случ 十△d：pH6 ^ △&луч 十△&1рн6 = " . " ММ.
Окончательный результат:
d = d ± Ad, £(d) = ...%.
Вычисляют значение площади сечения проволоки S.
S = —, £(S) = 2〃d),4
△ S = £(S)豆
Окончательный результат: S = S ± AS, e(S) = ...%.
Собирают электрическую схему эксперимента (рис. 3).
Рис. 3.
Проволока с подвижным контактом, положение которого определяет деление проволоки на два участка (два сопротивления), называется реохордом.
Для семи различных значений длин проволоки, которые устанавливают передвижением подвижного контакта реохорда, измеряют силу тока / и напряжение U. Заполняют таблицу 2.
Таблица 2
№
Д.А
ргуд,Ом-м
р, Ом-м
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Напряжение источника не должно превышать 1,5 В. В противном случае произойдет значительный нагрев вольфрамовой проволоки и сопротивление ее будет изменяться.
Удельное сопротивление для каждой длины проволоки рассчитывается по формуле （4）, а затем вычисляется среднее значение удельного сопротивления как
Так как （4） является произведением физических величин, удобнее сначала вычислить относительную погрешность для семи полученных значений Дуд, а затем абсолютную:
£（〃уд） = 2<s（d） + £（/） + £（U） + £（/） = 2<s（d） + -у + £（U） + £（/） ■
△"уд = руд в （руд）.
Погрешности для U и / ——приборные и определяются в документации на измерительные приборы; Д/ = 1 мм.
Принимая за абсолютную погрешность максимальную из семи вычисленных абсолютных погрешностей, получим окончательный результат:
Руд = Руд ±£（"уд） = ■ • ■ %*
Если
J Руд — Руд.табличное | < 3 А/?уД, результат можно считать достоверным.
Контрольные вопросы
Почему не стали исправлять историческое заблуждение о направлении электрического тока в металлах?
Что такое электрическое напряжение?
Почему сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна нулю?
Из-за чего возникает сопротивление электрическому току?
Какой физический смысл удельного сопротивления?
Почему нельзя вместо нихромовой проволоки взять медную в данной работе?
Почему напряжение источника не может быть достаточно большим?
Вывести формулу для рачета погрешностей измерения рУД.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯПРОВОДНИКОВ
КОМПЕНСАЦИОННЫМ МЕТОДОМ
УИТСТОНА
Цель работы — научиться измерять сопротивления с помощью мостика Уитстона, убедиться на эксперименте в справедливости законов постоянного тока.
Теоретическое введение
Закон Ома. Сопротивление проводника. Если через некоторую поверхность переносится суммарный заряд, отличный от нуля, говорят, что через поверхность течет электрический ток.
Ток может протекать в твердых телах (металлы, проводники), в жидкостях (электролиты), в газах и в вакууме.
Необходимые и достаточные условия для электрического тока ——наличие свободных зарядов и наличие электрического поля.
Свободные заряды обычно совершают хаотическое (тепловое) движение со скоростью и. При включении электрического поля на это движение накладывается упорядоченное движение со скоростью v. Таким образом, результирующая скорость носителей тока равна v + и в любой момент времени. Среднее значение этой скорости
v + u = v + u = v,
так как средняя скорость хаотического движения и = 0.
Если за время dt (бесконечно малый промежуток времени) через поверхность переносится заряд dq, то
Z = ^ = g(1)
dt
называется силой тока. Размерность силы тока [Z] = — = ^ = А (ампер).
Немецкий ученый Г. Ом экспериментально установил закон, согласно которому сила тока текущего по однородному проводнику из металла, пропорциональна падению напряжения U на проводнике
/ = 3(2)
Коэффициент 1/R называется проводимостью проводника. Вводится также вектор j, равный по модулю силе тока di через малую поверхность dS,
расположенную «в данном месте» перпендикулярно к направлению движения зарядов
⑶⑶. di
⑶
⑶
]=——dS
Величина R (сопротивление проводника) зависит от формы и размеров проводника, от свойств металла
SS⑷
S
S
где / ——длина однородного проводника, руд ——удельное сопротивление, S ——площадь сечения. Получим теоретическую связь] и Е (напряженность поля, которое «движет» заряды упорядоченно).
Возьмем элементарный цилиндрический объем с образующими параллельными векторам j и Е (рис. 1). Через сечение течет ток силой I = /△$* Напряжение, приложенное к цилиндру, равно U = ЕМ. Сопротивление проводника 冗 = . Подставим эту формулу в (2) и получим
/△S 二/△S 二ASEMASEMJ =——ЕРудJ =——ЕРуд
/△S 二
/△S 二
ASEM
ASEM
J =——Е
Руд
J =——Е
Руд
Векторы j и Е имеют одинаковое направление в изотропном проводнике (физические свойства такого проводника не зависят от направления), поэтому
j = —Е.(5)
Руд
Формула (5) выражает закон Ома в дифференциальной форме.
Плотность тока можно записать также как] = enu, где п ——концентрация зарядов. Сопоставляя эту формулу с (5), можно сказать, что скорость и
△/△/Рис. 1.Рис. 1.упорядоченного движения пропорциональна Е. Но Е ——это сила действующая со стороны электрического поля на положительный единичный заряд. Она должна быть пропорциональна не скорости, а ускорению. Значит обязана быть и сила, направленная противоположно Е, т. е. сила сопротивления. Эта сила вызвана взаимодействием носителей тока с частица
△/
△/
Рис. 1.
Рис. 1.
ми, из которых состоит вещество проводника (в металлах это ионы, колеблющиеся около положений равновесия в узлах кристаллической решетки).
Мостик Уитстона. Схема мостика изображена на рис. 2. Здесь 冗 —— эталонное сопротивление, значение которого известно, Rx ——измеряемое сопротивление, R± и R^ ——сопротивления участков проволоки с длинами /1 и h соответственно. Скользящий по проволоке движок определяет точку D. Такое устройство называется реохордом. Перемещая движок реохорда, добиваются, чтобы ток через гальванометр G стал равным нулю (баланс
схемы). Тогда в точках С и D (узлы схемы) ток не разветвляется: через 冗 и Rx идет ток Zi , через проволоку ——Z2, т. е. ^рс = Згь Между точками
Рис. 2.
А и D включено сопротивление R± (участок проволоки длиной 厶工 Между точками D и В 一 сопротивление 冗2 (длина /2) По закону Ома
厶冗=厶冗1 =厶叶，
ARx ="冗2 =""；二•
Разделив второе из этих уравнений на первое и сокращая на общие множители, получим
Экспериментальная часть
В качестве источника питания используется блок питания «Марс», который должен давать напряжение не более 3 В. При большем напряжении вольфрамовая проволока сильно нагревается, и ее сопротивление заметно меняется.
Необходимо собрать схему мостика Уитстона, используя макетную плату с навесными элементами. В качестве вольтметра используется точный цифровой прибор, что исключает неточность фиксирования положения стрелки при использовании зеркальной шкалы. В работе измеряются 4 неизвестных учащимся сопротивления, в качестве эталонного сопротивления используется сопротивление номиналом 300 Ом. Плечи реохорда /1
и /2 определяются с помощью встроенной в установку миллиметровой линейки. Схема сборки представлена на рис. 3.
RdoxoCDdRdoxoCDdИ R»И R»
RdoxoCDd
RdoxoCDd
И R»
И R»
Рис. 3.
Порядок выполнения работы:
Собрать схему установки, включив в нее эталонное сопротивление 300 Ом и неизвестное сопротивление.
Передвигая подвижный контакт, добиться баланса схемы.
Измерить как можно точнее /1 и /2 в этом положении. Рассчитать Rx по формуле （6）.
Рассчитать погрешности измерения Rx:
金（凡）=£（冗）+ £«1）+ £a2）= £（冗）十一十-，△（国）=凡金（%）,
приняв △/ = 1 мм, £（冗）=10 % （паспортные данные используемых приборов）.
Окончательный результат: Rx = Rx ± △冗况, £（冗况）= ...%.
Измерения и расчеты повторяются для четырех предложенных учащимся неизвестных сопротивлений. При защите экспериментальной работы рассчитанные сопротивления сравниваются с их действительными значениями, которые заранее не известны учащимся. В пределах погрешностей эти значения должны совпасть, что будет означать качественное проведение эксперимента.
Контрольные вопросы
Чем обусловлено электрическое сопротивление проводника? Что утверждает закон Ома?
Для чего вводится понятие плотности тока? Как написать закон Ома в дифференциальной форме?
Как рассчитывается сопротивление проволоки?
Из-за чего на микроскопическом уровне возникает сопротивление прохождению тока в металле?
Как сопротивление проводника зависит от его материала? Дайте качест™ венное объяснение.
Показать, как скорость упорядоченного движения зависит от Е. Почему это так?
В чем сущность балансного метода Уитстона?
Почему в качестве напряжения источника используется напряжение и < ЗВ?
Почему проволока реохорда сделана из нихрома, а не из алюминия?
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В КОНДЕНСАТОРЕ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕМКОСТИ
В работе исследуются процессы заряда и разряда конденсатора в электрической цепи с помощью осциллографа. Определяется емкость конденсатора.
Теоретическое введение
Конденсатор ——система двух изолированных проводников, пространство между которыми может быть заполнено диэлектриком. Эти проводники называются обкладками.
Чтобы внешние тела не оказывали влияния на конденсатор, его обкладки располагают друг относительно друга так, чтобы поле, создаваемое накапливающимися на них зарядами, было сосредоточено практически полностью внутри конденсатора. Это означает, что линии вектора напряженности Е, начинающиеся на одной обкладке, должны заканчиваться на другой, т. е. заряды на обкладках должны быть одинаковы по модулю и противоположны по знаку (q и —q). Обкладки могут быть плоской, сферической и цилиндрической формы. На рис. 1 показан плоский воздушный конденсатор.
V Е+d
и Е— I Е
1 г
Рис. 1.
Между обкладками заряженного конденсатора образуется напряжение U. Заряд прямо пропорционален напряжению между обкладками:
q = OU,
где С —коэффициент пропорциональности, называемый емкостью конденсатора.
Найдем выражение для емкости плоского воздушного конденсатора. По принципу суперпозиции (рис. 1)
Е = Е+ 十 Е—.
Так как заряды пластин одинаковы по модулю, одинакова и поверхностная плотность зарядов пластан о = g Известно, что Е+ = Е_ = Тогда поле вне конденсатора отсутствует, а внутри конденсатора определяется выражением
По определению напряжения
отсюдаотсюдаU = Ed =U = Ed =adad0 =g=型'и и0 =g=型'и иаа(1)(1)
отсюда
отсюда
U = Ed =
U = Ed =
ad
ad
0 =g=型'и и
0 =g=型'и и
а
а
(1)
(1)
Если пространство между обкладками заполнено диэлектриком с диэлек-
Рис. 2.Рис. 2.
Рис. 2.
Рис. 2.
трической проницаемостью £, поле внутри конденсатора уменьшается в £ раз, поэтому емкость такого конденсатора
О =О =eeqSeeqS(2)(2)
О =
О =
eeqS
eeqS
(2)
(2)
Рассмотрим схему с переключателем (рис. 2).
При замкнутом ключе К ток идет по цепи: «плюс» источника,冗， 冗mA, «минус» источника. Его установившееся значение /о = —
(сопротивлением амперметра можно пренебречь). Напряжение на конденсаторе в этом случае
Rl + {2Rl + {2Uc = £ — IqRi = £
Rl + {2
Rl + {2
До этого напряжения конденсатор заряжается так, как показано на рис. 3 а.
При размыкании ключа конденсатор разряжается через 冗2 по цепи (рис. 3 6): «плюс» конденсатора,冗2, ?簡，А, «минус» конденсатора. Можно показать, что зарядка и разрядка конденсатора происходят по экспоненте, в частности разрядка описывается формулами
q = qme^\ U = UQe^\(3)
где 丁 = RC ——постоянная времени цепочки разряда, qm и Uo ——максимальные значения заряда и напряжения конденсатора.
Процессы зарядки и разрядки конденсатора называются переходными процессами.
Рис. 3.
Экспериментальная часть
Наглядно увидеть процессы зарядки и разрядки конденсатора можно на осциллографа, собрав схему (рис. 4).
В качестве 冗2 должно быть выбрано очень большое сопротивление 〜1 МП.
Генератор вырабатывает прямоугольные импульсы напряжения и имитируют работу ключа.
На I канале двухканального осциллографа наблюдают изменение напряжения на генераторе. Это изображение используется только для наглядного представления переходного процесса «по этапам».
На II канале осциллографа наблюдают изменение напряжения на конденсаторе и делают измерения.
Диод «пропускает» только положительные импульсы напряжения. В это время конденсатор заряжается через сопротивление 冗i.
Рис. 4.
При отрицательном импульсе напряжение «отключается» от конденсатора, и он разряжается через 冗2 - На экране двухлучевого осциллографа можно наблюдать следующую картину (рис. 5).
В промежутке времени △力i =片一力2 конденсатор заряжается, в промежутке △力2 =力4 -力3 ——разряжается.
На экране осциллографа выбирают интервал времени разрядки, например △力=力2 —力 1 (желательно, чтобы он занимал целое число клеток по горизонтали).
По двум значениям напряжения, интервал времени между которыми △力 (см. рис. 3 6), получаем:
и(力 1) = 006f 片，。2 = U(力 1 + △力)=Ujt—"1 旦=£‘△〃「
м 包=a т = __=冗 е
(4)(4)U2 丁In U1/U2
(4)
(4)
'—(In Ui/U2)jf
Так вычисляется емкость конденсатора по графику разрядки на осциллографе. .
Порядок проведения эксперимента.
Поворотом ручки выбора входного напряжения на осциллографе устанавливают уровень «О» (положение 丄)"Его совмещают с центральной горизонтальной линией сетки шкалы. Напряжение измеряют по количеству вертикальных клеток шкалы, умножая затем это количество на цену деления одной клетки (положение ручки «В/дел» соответствующего канала).
Длительность сигнала измеряют по количеству горизонтальных клеток, умножая это количество на цену деления одной клетки (положение ручки «время/дел» соответствующего канала).
Обработка результатов измерений
Среднее значение О =——.
(In U1/U2)五
Измерения Ui и。2 о △力 на экране осциллографа проводятся с точностью не менее 15%.
Сопротивление R выбирается равным 〜1 МП. Относительная погрешность £ (冗Приб) определяется паспортными данными.
Погрешности косвенных измерений С вычисляются по формулам (см. таблицу 2 на стр. 13):
£(С)=£(Д)+£(А^)+£(1п С/")=
= в(Д)+ 仪△力)+ 生乌生,AC = £(0)0*
Окончательный результат:
(7 = c ± Ae,仪6=…%.
Контрольные вопросы
Вывести формулу для емкости плоского конденсатора с диэлектриком.
Что такое переходные процессы?
Вывести формулу для емкости воздушного сферического конденсатора.
Как рассчитать заряд по графику 1(f)?
Почему выбирается достаточно большим сопротивление, через которое конденсатор разряжается?
Нарисовать изменение напряжения на конденсаторе при подаче с генератора импульсного прямоугольного напряжения. Объяснить, что происходит в различные промежутки времени.
Что такое постоянная времени зарядки и разрядки конденсатора?
Вывести формулу для вычисления емкости, используемую в экспериментальной работе.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННОСТИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ПРОВОДНИКЕС ТОКОМ
Целью работы является проверка законов постоянного тока, определение напряженности электрического поля в цилиндрическом проводнике с током, оценка скорости упорядоченного движения электронов.
Теоретическое введение
В теоретическом введении мы ограничимся только выводом формулы для скорости упорядоченного движения электронов в однородном проводнике цилиндрической формы, поскольку вопросы протекания тока в проводниках подробно изложены в работах по определению удельного сопротивления (стр. 95) и измерению сопротивления компенсационным методом (стр. 101).
Связь плотности тока и напряженности электрического поля внутри однородного изотропного проводника устанавливает закон Ома в дифференциальной форме'.
j = —Е.(1)
Руд
С другой стороны, исходя из определения j следует, что
j = env.(2)
Здесь е ——заряд носителя тока, п ——концентрация носителей тока, v —— скорость упорядоченного движения.
Зная руд, можно рассчитать напряженность в цилиндрическом проводнике. Так как для изотропного проводника 7 =—=——В,
S Руд
石(3)
Поскольку в металле носителями тока являются электроны, направления тока и упорядоченного движения электронов противоположны (рис. 1).
За промежуток времени △方 через поперечное сечение проводника S пройдут электроны, находящиеся в объеме цилиндра сечением S и высотой d△九 Их количество
N = m?SAt
Рис. 1.Рис. 1.
Рис. 1.
Рис. 1.
Через сечение S за это время будет перенесен заряд
q = \e\nvSAt.
По определению силы тока
『_ q _ \e[nvSAtAt At *
Отсюда получим формулу для определения скорости упорядоченного движения электронов:
Используя (1) и (2) можно переписать ее в виде
= •(5)
Рудеп
Вычислим концентрацию п. Количество молей материала проводника можно определить как т/М, где ш ——масса проводника, М ——молярная масса, и как Ж/TVa, где N ——количество атомов в проводнике
⑹⑹т，^mN а^mN azpN\
⑹
⑹
——=——今= ,n = г——=N=上——
МЖМVMV м
где n ——валентность, р ——массовая плотность, 7vA — число Авогадро.
Экспериментальная часть
Схема установки приведена на рис. 2.
Рис. 2.
Измеряя микрометром диаметр нихромовой проволоки, вычисляют площадь ее поперечного сечения S (см. стр. 97).
Окончательный результат записывают в виде
S = S ± AS, e(S) = .*.%*
Собирают электрическую схему эксперимента.
Изменяя сопротивление Я, измеряют семь значений тока в цепи. Измерения проводят равномерно по всему диапазону изменения Я. Результаты помещают в таблицу экспериментальных данных.
Различные Н
1
2
3
4
5
6
7
Л,А
Ег, В/м
Для каждого значения 厶 вычисляют Ei из (3), а затем погрешности:
门石)=门 S) + 口/) + 6(руд) = ^+ 6(1) + 三,△石=门石)石
SРуд
Относительная погрешность измерения тока определена в паспорте прибора. Для удельного сопротивления нихрома руд = (1,10±0,05) • 10一$ Ом-м.
По окончательным результатам делают выводы об экспериментальной зависимости 石 от / к о порядках величин Ei при различных токах.
Используя значения 厶,по формуле （4） вычисляют скорости з упорядоченного движения электронов в проводнике при протекании в нем электрического тока и погрешности:
= Е（厶）+ E（S） = Е（厶）+ 号） Av = 6（V）Vi-
Расчет концентрации n по формуле （6） делают с учетом того, что нихром двухвалентен.
Делают выводы о величине скорости упорядоченного движения, о зависимости скорости от напряженности 石 в проводнике.
Контрольные вопросы
Вывести формулу закона Ома в дифференциальной форме.
Как связана плотность тока и скорость упорядоченного движения носителей тока?
Почему скорость упорядоченного движения носителей тока невелика, а ток возникает мгновенно после включения ключа К?
Почему при вычислении погрешностей мы пренебрегаем погрешностями измерений е?
Как рассчитать погрешность вычислений Е, d?
ИССЛЕДОВАНИЕ РАБОТЫ ИСТОЧНИКАВ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Целью работы является изучение работы источника тока в цепи постоянного тока, определение его ЭД Си внутреннего сопротивления, полезной мощности, коэффициента полезного действия.
Теоретическое введение
Источник тока. Постоянный ток течет по замкнутой цепи, схема которой изображена на рис. 1; здесь 1-2 ——полюса источника, г ——внутреннее сопротивление (сопротивление среды внутри источника).
Поскольку за направление тока принимается упорядоченное движение
2 +2 +положительных зарядов, ясно, что во внешней цепи их движение о существ- + 2 ляет электрическое поле. Действительно, положительные заряды отталкиваются от положительного полюса источника и притягиваются к отрицательному. По определению работа электрических сил по переносу заряда +1 кулон между двумя точками электрической цепи это разность потенциалов (напряжение) между этими точками.
2 +
2 +
На участке 2 — / внутри источника электрические силы не могут переместить положительные заряды. Это делают силы неэлектрического проис-
хождения (сторонние), возникающие, например, в результате химических реакций.
По определению, работа сторонних сил по переносу заряда +1 Кл от 2 к / 一 электродвижущая сила источника 8.
Отсюда следует, что
U12 =夕1 —夕2 = 2 — /Л, Ui2 = 2* если 1 = 0.
Цепи постоянного тока всегда замкнуты и содержат как потребители (лампы, бытовые приборы), так и источники.
Иногда возникает необходимость соединять источники в батареи и использовать эти батареи как эквивалентные источники тока. Расчет батареи источников можно произвести с помощью законов Кирхгофа.
Соединения источников в батареи. При по с ледовательном соединении (левая часть рис. 2 а)
I = & - &
『1 + г 2
Здесь учтено, что ЭДС & имеет положительное значение, а ЭДС & — отрицательное при данном выборе направления тока I.
Для эквивалентного источника 29Klз (правая часть рис. 2 а):
?'экв?'экв
?'экв
?'экв
Отсюда получим &кв = & 一 & , гэкв = гх + г2 .
При параллельном соединении (левая часть рис. 2 6)
U12 = £i + Ди, 11 =U12 = £i + Ди, 11 =U12 — £1Т1U12 — £1Т1U12 = —& + I?丫2}『2 =U12 = —& + I?丫2}『2 =U12 + &U12 + &『2『2
U12 = £i + Ди, 11 =
U12 = £i + Ди, 11 =
U12 — £1
Т1
U12 — £1
Т1
U12 = —& + I?丫2}『2 =
U12 = —& + I?丫2}『2 =
U12 + &
U12 + &
『2
『2
По первому закону Кирхгофа / =厶 + 厶,и
丄+丄）一包+包=九
\门r 2 / п г 2
+丄г 2+丄г 2Для эквивалентного источника £ЭКв (правая часть рис. 2 6):Для эквивалентного источника £ЭКв (правая часть рис. 2 6):今今今今66?'экв?'эквТаким образом получим 11Таким образом получим 11U12U12
+丄
г 2
+丄
г 2
Для эквивалентного источника £ЭКв (правая часть рис. 2 6):
Для эквивалентного источника £ЭКв (правая часть рис. 2 6):
今
今
今
今
6
6
?'экв
?'экв
Таким образом получим 11
Таким образом получим 11
U12
U12
Знаки ЭДС выбраны в соответствии с направлением тока I.
Полезная мощность, КПД источника. Ток в цепи нашей схемы (рис. 1) вычисляется по формуле
Я + г
По закону Джоуля-Ленца на сопротивлении при протекании по нему электрического тока выделяется тепло.
Полезная мощность выделяется на потребителе (внешнем сопротивлении).
Исследуем поведение P(R), преобразовав (1):
£2 冗£2£2 冗£2
£2 冗£2
£2 冗£2
При Я ^ ос, Р т 0 " При Я = О, F = 0 . Где-то график должен иметь максимум (рис. 3 а). Это легко вычислить, взяв производную от F по Я или преобразовав (1) следующим образом:
(К + г)2 R + ^r + r^/R
Это выражение будет максимальным, когда знаменатель будет минимальным.
Преобразуем знаменатель: Л - 2г + 彳 + 4r =丿 + 4г .
Это выражение минимально, когда выражение в скобках равно 0, то есть при冗=『*
Итак, максимум полезной мощности достигается, когда внутреннее сопротивление равно сопротивлению потребителя.
Потерянная мощность Рп выделяется на внутреннем сопротивлении. Избежать этих потерь невозможно, т. к. внутреннее сопротивление ——характеристика источника.
Коэффициент полезного действия источника определяется как отношение Р к полной выделяемой источником мощности Pq = EI:
⑵
При Я = 0 7? = 0; при 冗 т ос ‘〃 т 1; при Я = г ，〃 = 0)5 (рис. 3 б).
Рис. 3.
Экспериментальная часть
В работе определяются £ и г источника тока (батарейка для карманного фонарика). С целью получения устойчивых результатов, внутреннее сопротивление батарейки увеличено присоединением к ней достаточно большого сопротивления Ядоб- Рабочая схема представлена на рис. 4.
Рис. 4.
Изменяя сопротивление Я, измеряют семь значений напряжения на источнике и тока в цепи. Измерения проводят равномерно по всему диапазону изменения R . Результаты помещают в таблицу экспериментальных данных.
Обработка результатов измерений
Для двух значений U (лучше для максимального и минимального) получаем
lh=£-厶几 u2 = 2 - hr. U1 - 5 =("-h)r.
⑶⑶(4)(4)U1 — U2r =『2 — h
⑶
⑶
(4)
(4)
g=厶u1 一八u2 h —『1
№
1ЛВ
I.mA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Погрешности для г, вычисляемого по формуле (3):
e(『)=e(Ui —U2)+ e(，2—厶)=e(『)=e(Ui —U2)+ e(，2—厶)=△& + + △△ +△& + + △△ +Ur — U2Ur — U2『2 — Д『2 — Д, Ar = «『)『., Ar = «『)『.
e(『)=e(Ui —U2)+ e(，2—厶)=
e(『)=e(Ui —U2)+ e(，2—厶)=
△& + + △△ +
△& + + △△ +
Ur — U2
Ur — U2
『2 — Д
『2 — Д
, Ar = «『)『.
, Ar = «『)『.
Погрешности прямых измерений е((/) и е(/) указаны в документации на соответствующие приборы.
Окончательный результат
Г = Г ± Дг, Е(『)=...%.
Погрешности для ЭДС £ , вычисляемой по формуле （4）:
£（£） = £（"6 —厶。2）十 £（"—厶）=△5-5 十 ДЬ + Ай =
=△（/2u1）+△（/1u2）+=
-/2u1一-
="2u1"2u1 +"1u2"102 +=
=（£（/2）+ £（u1）"2u1 +（£（/1） + £（U2）"1u2 +
Окончательный результат
£ = 3±А£,〃£） = _%*
Для построения графиков полезной мощности P（R） и коэффициента полезного действия 〃（冗）для каждой точки нужно записать значения R, P（N） и 7/（Я）, а также погрешности АД, ДР и △〃，предварительно рассчитав их:
Д= p £（n）=£（U）十 后（/）,=后（n）足
Р=「р £（Р） = 2е（£）十 £（冗）十 2〃冗十『）=
=2〃2）十 后（区）十 29竺土22 Лf = £（p）~R + г
〃 =, £（〃）= £（区）十 后（区十『）=£（区）十= £（〃）小 R + rR + г
Запись для каждой точки графика должна выглядеть как
R = ... Ом,AJ? = ...,e（R） = ...%,
Р =…Вт,ДР = ...,е（Р） = ... %,
〃 = ..., △〃 = . . . , £（〃）= . . . %.
Графики Р , т/(Я) необходимо построить на миллиметровой бумаге по точкам с изображением «прямоугольников ошибок» .
Необходимо сделать выводы о согласовании графиков с теорией.
Контрольные вопросы
Что такое электрическое напряжение между двумя точками цепи?
Что такое Э Д С, как связаны Э Д С и напряжение между двумя точками?
Чему равно напряжение на полюсах источника?
Что такое полезная, потерянная и полная мощность, выделяемая в цепи?
При каком значении внешнего сопротивления достигается максимальная полезная мощность? Вывести формулу максимальной полезной мощности.
Вывести формулу для определения 〃 источника.
Как рассчитать погрешности определешта Р , 〃(冗)?
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ
ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА
Целью работы является проверка основных законов геометрической оптики. Определяется угол полного внутреннего отражения и абсолютный показатель преломления стекла.
Теоретическое введение
Длины воспринимаемых глазом световых волн очень малы (порядка 10 —7 м). Поэтому распространение видимого света можно в первом приближении рассматривать, отвлекаясь от его волновой природы и полагая, что свет распространяется вдоль некоторых линий, называемых лучами. Под лучом в физическом смысле этого слова понимают достаточно узкий световой пучок.
Когда луч света достигает плоской границы раздела двух прозрачных сред (рис. 1), он частично проходит во вторую среду (преломляется), частично возвращается обратно (отражается).
Закон отражения света. Этот закон был известен еще грекам и упоминается в сочинении Евклида (III век до н. э.) Установление его связано с применением полированных металлических поверхностей (зеркал), известных уже в очень отдаленную эпоху. Этот закон утверждает, что падающий луч АО и отраженный луч ОА' лежат в одной плоскости с нормалью MN, проведенной к границе раздела сред через точку О падения луча (эта плоскость называется плоскостью падения), причем угол отражения 夕 равен углу падения а (рис. 1 а):
(3 = а. (1)
аа66
а
а
6
6
Закон преломления света. Закон был установлен экспериментально в 1621 г. голландским ученым Снеллиусом (15 80- 1626) и опубликован только после его смерти. Согласно закону преломления, преломленный луч ОА “ (рис. 1 а) лежит в плоскости падения, причем отношение синуса угла падеши а к синусу угла преломления 7 для рассматриваемых сред зависит только от относительного показателя преломления и не зависит от угла падения:
sin а+
=^21 = const.(2) sin 7
Постоянная величина П21 называется относительным показателем преломления второй среды относительно первой. Показатель преломления среды относительно вакуума называют абсолютным показателем преломлеши этой среды. Для абсолютного показателя преломления среды п волновая теория дает: п = c/v, где с и 3 • 108 м/с —— скорость света в вакууме, а V —— скорость света в среде. Относительный показатель преломления 几21 выражается через показатели преломления сред nx и п2 соотношением
П2
几21 =——,
поэтому закон Снеллиуса можно записать как
Hi sin а = 几2 sin 7.(3)
Полное внутреннее отражение света. Если луч АО падает из более оптически плотной среды на границу раздела с менее плотной (п2 > 几 1), преломление происходит обычным образом (падающий луч АО, преломленный луч ОА “ (рис. 1 б))
При угле падения а0 таком, что 7 = тг/2, преломленный луч скользит по поверхности раздела сред (падающий луч А10, преломленный луч
Если угол падения становится больше угла Q© , луч не проникает в менее плотную среду, происходит явление полного внутреннего отражения (падающий луч А 2О, отраженный луч ОА $ ).
Угол падения а0 , при котором оно возникает, называется предельным углом полного внутреннего отражения, причем
П2 Sin Од = П1 8Ш7г/2, Sin Од = 竺 =В12-(4)
П2
Величина а。называется предельным углом полного отражения.
В настоящей работе экспериментально проверяются соотношения (1), (2)——законы отражения и преломления света, а также наблюдается явление полного отражения (4).
Экспериментальная часть
Для изучешта законов отражения и преломления света в работе используется стеклянный полуцилиндр с матовой нижней поверхностью. Полуцилиндр помещают на горизонтальный оптический столик, имеющий форму диска так, чтобы середина плоской поверхности полуцилиндра совпала с центром диска (рис. 2). Узкий пучок света (луч лазера) направляют на боковую поверхность полуцилиндра перпендикулярно его поверхности. На плоской поверхности луч частично преломляется и частично отражается.
Оптический столик настраивают так, чтобы луч лазера скользил по его поверхности. В эксперименте измеряют углы отражения 夕 и преломления 7 . Изменение угла падешта а о суще ствляется путем поворота
Рис. 2.
столика вокруг вертикальной оси, перпендикулярной его поверхности. Для измерения углов на диске нанесены делешта (цена делешта 1°).
Измеренные значешта углов а и 夕 сравнивают, и тем самым проверяют соотношение (2)——закон преломления света. По измеренным значениям углов а и 7 вычисляют отношение sin а/ sin 7. Если эти отношения одинаковы при различных значениях угла падешта, то закон преломления (2) подтверждается.
В данном эксперименте можно наблюдать явление полного отражешта. Увеличивая угол падения а можно заметить, что яркость отраженного луча растет, в то время как яркость преломленного луча падает. Начиная с некоторого угла падения а。преломленный луч исчезает.
Включите лазер и отрегулируйте оптический столик так, чтобы луч лазера скользил по его поверхности.
Поместите на оптический столик стеклянный полуцилиндр так, как это описано выше. Поворачивая столик вокруг вертикальной оси, измерьте углы отражения 夕 и преломления 7 при разных углах падения а Результаты измерений занесите в таблицу.
№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
а?
/Я
sin а/ sin 7
Определите показатель преломления стекла и оцените погрешности полученного результата. Оцените скорость распространения света в стекле.
Экспериментально определите угол а。полного отражения на границе раздела «стекло-воздух». Полученное значение а。сравните с рассчитанным по формуле (4).
Обработка результатов измерений
Показатель преломления воздуха можно принять равным единице, поэтому для экспериментального расчета показателя преломления получим (см. таблицу 2 на стр. 13)
п = —-, е(п) = e(sina0) = ctgao^tt? = 1°, An = £(п)п. sin Qo
Показатель преломления стекла п = 1,30 ± 0,05 . В пределах погрешности вычисленное значение п должно с ним совпадать.
Контрольные вопросы и задачи
Что такое «геометрическая оптика»? Сформулируйте основные законы геометрической оптики.
В чем состоит явление полного внутреннего отражения? При каких условиях оно возникает?
Под каким углом 夕 к горизонту следует расположить плоское зеркало, чтобы солнечными лучами осветить дно вертикального колодца? Высота солнца над горизонтом составляет угол а = 30°.
Плоское зеркало наклонено под углом а = 45° к горизонтальной поверхности стола, на котором лежит книга. В какой плоскости находится изображение книги?
Какова должна быть минимальная высота плоского зеркала, висящего вертикально на стене, чтобы человек высотой 180 см мог видеть свое изображение в полный рост?
Почему палка, частично погруженная в воду кажется изломанной в том месте, где она входит в воду?
Под каким углом световой луч падает на плоскую поверхность стекла, если отраженный и преломленный лучи образуют между собой прямой угол? Скорость света в стекле v = 2 ■ 108 м/с.
В дно озера вбита свая высотой Л = 4 м, выступающая из воды на Л = 1 м. Найти длину L тени сваи на дне озера, если лучи Солнца падают на поверхность воды под углом а = 45°. Показатель преломления воды n = 1,33 .
Пловец, нырнувший с открытыми глазами, рассматривает из-под воды светящийся предмет, находящийся над его головой на расстоянии h = 75 см от поверхности воды. Каково будет кажущееся расстояние Н от поверхности воды до предмета?
На дне водоема глубиной Л = 2 м находится точечный источник света. На поверхности воды плавает деревянный диск так, что центр диска находится над источником света. При каком минимальном радиусе диска ни один луч не выйдет через поверхность воды?
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОКУСНЫХ РАССТОЯНИЙСОБИРАЮЩЕЙ И РАССЕИВАЮЩЕЙ ЛИНЗ
Теоретическое введение
В большинстве реальных оптических систем содержится несколько преломляющих сферических поверхностей. Оптическую систему называют центрированной, если центры всех поверхностей лежат на одной прямой, которую называют главной оптической осью системы.
Простейшей центрированной оптической системой является линза. Она представляет собой прозрачное, обычно стеклянное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. В частном случае одна из поверхностей может быть плоской (рис. 1).
Точки пересечения поверхностей линзы с ее главной оптической осью
собирающая лннзасобирающая лннзарассеивающая лннзарассеивающая лннзасхематичное изображениесхематичное изображение
собирающая лннза
собирающая лннза
рассеивающая лннза
рассеивающая лннза
схематичное изображение
схематичное изображение
Рис. 1.
называются вершинами преломляющих поверхностей. Расстояние между вершинами именуется толщиной линзы. Если толщиной линзы можно пренебречь по сравнению с меньшим из радиусов кривизны, ограничивающих линзу поверхностей, линза называется тонкой. Рассмотрением тонких линз мы и ограничимся.
В тонкой линзе вершины преломляющих поверхностей можно считать совпадающими в одной точке О (рис. 2), которую называют оптическим центром линзы. Прямая, проходящая через оптический центр и не совпада-
Рис. 2.
ющая с главной оптической осью, называется побочной или вспомогательной оптической осью.
Различают два типа линз: собирающие и рассеивающие. Параллельные лучи, идущие через собирающую линзу, отклоняются к ее главной оптической оси, а через рассеивающую линзу ——в сторону от оси. В воздухе линзы имеющие большую толщину в середине, чем по краям, являются собирающими, а более толстые у краев, чем в середине,——рассеивающими. (Линзу можно представить как совокупность большого числа призм, а каждая призма отклоняет лучи к своему основанию).
Точка F, в которой пересекаются после преломления лучи, падающие на линзу параллельно ее главной оптической оси, называется форсом, а плоскость, проходящая через фокус и перпендикулярная главной оптической оси——фокальной плоскостью. В случае собирающей линзы фокус действительный (рис. 3 а), для рассеивающей линзы фокус мнимый (рис. 3 б), так как в точке F пересекаются не сами лучи, а их продолжения.
Если линза находится в однородной среде, то у нее имеются два фокуса по разные стороны линзы, расстояния до которых от оптического центра линзы (фокусные расстояния) одинаковы. Фокусные расстояния часто обозначают той же буквой F, что и фокусы. Фокусное расстояние тонкой линзы, как показывают расчеты, определяется соотношением
(1)
F no \/
где n ——абсолютный показатель преломления вещества линзы, а п0 —— показатель преломления среды, в которой линза находится. (Если линза
находится в воздухе, то по и 1). При этом знаки перед членами, содержащими радиусы кривизны J?i и 冗2, берутся положительными для выпуклых поверхностей, отрицательными ——для вогнутых. Линза, изображенная на рис. За,——собирающая, для этой линзы (в воздухе)
а линза на рис. 3 6 ——рассеивающая. Для нее
丄=5(一丄一< 0.
Двояковыпуклая линза, помещенная в оптически более плотную среду (по > п), как показывает формула (1), становится рассеивающей, и, наоборот, двояковогнутая линза превращается в собирающую.
Рис. 3.
Величину, обратную фокусному расстоянию, называют оптической силой линзы. Ее обозначают буквой D:
Оптическую силу D выражают в дкоптриях (Дптр). Оптической силой в 1 Дптр обладает линза с фокусным расстоянием в 1 м. Для собирающих линз D > 0, для рассеивающих линз D < 0.
Если известно положение линзы и ее фокусов, изображение А' предмета А может быть найдено путем простых геометрических построений.
Чтобы построить изображение светящейся точки в линзе, нужно из нее провести два луча, падающие на линзу. Изображение точки лежит на пересечении этих лучей (или их продолжений) после прохождения линзы.
Обычно проводят лучи через оптический центр линзы (они не преломляются) и параллельно главной оптической оси (они после преломления в линзе пересекают фокус). Рис. 4 иллюстрирует эти построения для собирающих и рассеивающих линз.
Если определять положение предмета и изображения по их расстояниям d х /, соответственно, от линзы, то легко установить соотношение между этими расстояниями и фокусным расстоянием линзы. Это соотношение называется формулой тонкой линзы и имеет вид
причем величины & / и F могут быть как положительными, так и отрицательными. Для собирающей линзы F > 0, для рассеивающей линзы F < 0.
Если изображение действительное, то / > 0, если мнимое, то / = —1/| < < 0. Наконец, d〉0 в случае действительно го предмета и d = — |d| < 0 —— в случае мнимого предмета, т. е. когда на линзу падает сходящийся пучок лучей.
Измеряя расстояния \d\ и |/| и применяя формулу тонкой линзы (2) можно экспериментально определить фокусное расстояние \F\ линзы. Определению фокусных расстояний собирающей и рассеивающей тонких линз и посвящена настоящая экспериментальная работа.
Экспериментальная часть
Экспериментальная установка состоит из оптической скамьи с набором рейтеров и приспособлений, собирающей и рассеивающей линз, экрана, осветителя с матовым стеклом, рисунок на котором при измерениях играет роль предмета.
Определение фокусного расстояния собирающей линзы. На одном конце оптической скамьи устанавливают осветитель с матовым стеклом, а на другом ——экран. Между экраном и предметом помещают исследуемую линзу с неизвестным фокусным расстоянием F. Если расстояние между предметом и экраном превышает 4f то всегда найдутся два таких
1 d /
££Рис. 5.Рис. 5.
£
£
Рис. 5.
Рис. 5.
положения линзы, при которых на экране получаются отчетливые изображения предмета, в одном случае уменьшенное S', в другом ——увеличенное S" (рис. 5).
Для первого и второго положений линзы имеем
11++11I，成+f=工；I，成+f=工；
1
1
+
+
1
1
I，成+f=工；
I，成+f=工；
d^d = L
Из первых четырех уравнений следует, что d и /, так же как d‘ и /; являются корнями уравнения ж2 — Lx + LF = 0, т. е.
Второе положение линзы является обратным первому. Следовательно ?2 =4(£2/4 —工尸)и
万(3)
Для определения фокусного расстояния собирающей линзы достаточно, таким образом, измерить расстояние L между предметом и экраном и расстояние / между двумя положениями линзы, при которых на экране получаются четкие изображения.
Отметим, что фокусное расстояние линзы можно рассчитать и непосредственно по формуле (2) по измеренным значениям d и f В этом случае оказывается существенным, чтобы указатель на рейтере линзы был расположен против ее середины. В описанном выше методе измерений положение указателя не сказывается на результате измерений.
Определение фокусного расстояния рассеивающей линзы затрудняется тем, что изображение предмета получается мнимым при действительном источнике (рис. 4 в) и поэтому не может наблюдаться на экране. Эту трудность легко обойти, используя вспомогательную собирающую линзу.
В начале опыта на оптической скамье помещают одну только собирающую линзу и получают на экране действительное изображение предмета. По линейке, расположенной на оптической скамье, отмечают положение Si этого изображения (рис. 6). Затем на пути лучей, выходящих из собирающей линзы, располагают исследуемую рассеивающую линзу. На нее падает
Рис. 6.
пучок сходящихся лучей. Точка Si пересечения лучей играет по отношению к рассеивающей линзе роль мнимого источника.
Действительное изображение источника S переместится теперь в точку So. Передвигая экран и отмечая по линейке положение So и координату
рассеивающей линзы, определяют расстояния d и /, и вычисляют фокусное расстояние F в соответствии с формулой (2):
(4)(4)Порядок выполнения и обработка результатов измерений
(4)
(4)
Ознакомьтесь с устройством экспериментальной установки и назначением приспособлений.
Включите осветитель. Поместите исследуемую собирающую линзу в держатель и получите на экране четкое изображение предмета. Убедитесь, что изображение на экране получается при двух положениях линзы. Проведите необходимые измерения при различных значениях L. Результаты измерений и расчетов занесите в таблицу, определите фокусное расстояние линзы для различных L и оцените погрешность.
Собирающая линза
№
1.
2.
3.
Li, мм
〃，мм
К,М
Погрешности Fi из (3) можно рассчитать следующим образом:
Приборные погрешности AL = А/ = 1 мм.
£用/3” Для окончательного£用/3” Для окончательногорезультатарезультатавычисляютвычисляютззВычисляют среднее значение как F =
£用/3” Для окончательного
£用/3” Для окончательного
результата
результата
вычисляют
вычисляют
з
з
Окончательный результат:
戸士
Расположите экран от предмета на минимальном расстоянии, при котором еще получается изображение при помощи собирающей линзы, используемой как вспомогательной для определения фокусного расстояния рассеивающей линзы. Поместите исследуемую рассеивающую линзу между собирающей и экраном. Удаляя экран от предмета снова получите четкое изображение. Проведите необходимые измерения, результаты измерений занесите в таблицу, определите фокусное расстояние линзы и оцените погрешность при трех различных положениях собирающей линзы.
Расссеивающая линза
№
1.
2.
3.
%, мм
Л, ММ
К,М
△ К,М
Погрешности F из (4) можно рассчитать следующим образом:
〃£) = “&) +“右)+"& —右)=М + 过 + ^ + ^,= "£)£•
di fi 办-fi
Приборные погрешности Ad = А/ = 1 мм.
Вычисляют среднее значение как F = ££/3* Для окончательного
результата вычисляют = ta .
Окончательный результат:
尸=戸士
Контрольные вопросы
Что такое линза? Какую линзу называют тонкой?
Что называют главным фокусом линзы? Выведите формулу для фокусного расстояния тонкой линзы.
Выведите формулу тонкой линзы.
Что называют оптической силой линзы? Оцените оптические силы собирающей и рассеивающей линз, исследованных в работе.
Может ли двояковыпуклая линза иметь отрицательную оптическую силу, а двояковогнутая ——положительную?
Точечный источник света находится на главной оптической оси собирающей линзы. Построить его изображение.
Точечный источник света находится в главном фокусе рассеивающей линзы. Построить его изображение.
На каком расстоянии от собирающей линзы надо поместить предмет, чтобы расстояние между предметом и его действительным изображением было минимальным? Оптическая сила линзы Р = +2 дптр.
Тонкая собирающая линза создает прямое изображение предмета высотой /г = 0, 5 см. Найдите высоту Н изображения, если известно, что оно находится в фокальной плоскости линзы.
Докажите, что оптическая сила системы двух тонких линз, вплотную прижатых друг к друту, равна сумме оптических сил этих линз.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 21
ЯВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙИНДУКЦИИ.
ИССЛЕДОВАНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯСОЛЕНОИДА
Целью работы является изучение законов электромагнитной индукции на конкретном примере образования и изменения магнитного поля внутри и вне соленоида.
Теоретическое введение
Поток вектора В через поверхность. Для графического изображения магнитного поля используют магнитные линии. Эти линии могут быть проведены через каждую точку пространства, в котором существует магнитное поле, при этом вектор магнитной индукции В направлен по касательной к магнитной линии в любой ее точке.
Договорились проводить линии гуще там, где поле сильнее, т. е. В больше. Если принять густоту (количество линий, пересекающих поверхность площадью 1 м2 перпендикулярно к ней) равной модулю вектора В, то можно определить численно поток вектора В через любую поверхность как количество линий пересекающих эту поверхность.
На рис. 1 магнитные линии пересекают две плоские площадки S丄 и S, угол между которыми равен а (этот угол образуется также между нормалью п и вектором В). Пусть эти площадки пересекает одинаковое количество магнитных линий.
Поток через поверхность S± равен численно Ф = N = 3 = ВПоток через поверхность S равен ①=N = 3 = BS cos а (рис. 1 а). На рис. 1 6 изображен вид со стороны магнитных линий.
ааВВбб
а
а
В
В
б
б
Электромагнитная индукция. Закон Фарадея. В 1831 г. М. Фарадей впервые обнаружил, что при изменении потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную проводящим контуром, в нем возникает электрический ток. Это явление называют электромагнитной индукцией, а ток ——индукционным.
Явление электромагнитной индукции св идетельствует о том, что при изменении магнитного потока в контуре возникает ЭДС индукции £〃, причем она не зависит от способа изменения магнитного потока (изменение В, изменение S, поворот контура).
Закон Фарадея имеет вид
8 6 (1) dt
Знак «—» учитывает, что индукционный ток всегда направлен так, чтобы создаваемое им магнитное поле препятствовало изменению потока через поверхность контура (правило Ленца).
Для вычисления & необходимо знать конкретный вид зависимости В ⑴. Для вычисления В можно воспользоваться законом Био- С авара - Лапласа. Для отдельных случаев специальной симметрии удобнее пользоваться теоремой о циркуляции вектора В.
Циркуляция В определяется как интеграл по контуру от скалярного произведение вектора В в произвольной точке и бесконечно малого перемещения dl от этой точки и обозначается как § В dl.
г
Теорема о циркуляции вектора В (для магнитного поля постоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по замкнутому контуру 广 равна произведению До 〃о алгебраическую сумму токов, пересекающих поверхность контура Г.
()Bdl = 〃o£ 厶" (2)
Причем токи берутся со знаком «+», если их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта и со знаком «—», если имеют противоположное направление (рис. 2).
厶＞0
Поле прямого тока. Используя теорему о циркуляции, вычислим
поле прямого тока на расстоянии г от него.
Магнитные линии поля прямого тока представляют собой окружности в
плоскости перпендикулярной проводу с током (рис 3). Поэтому в точках на этих окружностях поле одинаково по величине. Для контура, совпадающего с магнитной линией имеем:
о В dl = 2тггВ =仰
石=A
2тгг
Поле соленоида. Используя
Рис. 3.Рис. 3.теорему о циркуляции, вычислим поле
Рис. 3.
Рис. 3.
внутри соленоида. «Разрез соленоида» изображен на рис. 4. Из симметрии ясно, что поле внутри бесконечного (или тонкого по сравнению с длиной) соленоида однородно, а поле вне соленоида равно нулю. Взяв прямоугольный контур со сторонами / и а, охватывающий области внутри и вне соле
ноида, напишем для него теорему о циркуляции
()В dl = В/ + Ba cos 7г/2 + 0 • / + Ba cos Зтг/2 = р()п11, г
В = /iquI.
Здесь п ——число витков на единице длины.
Экспериментальная часть
1. Схема экспериментальной установки. Схема позволяет с помощью коммутатора подключить один из трех витков, находящихся на торцевой поверхности тубуса, помещаемого внутрь соленоида и один из трех внешних витков, смонтированных на круглой пластинке, надеваемой на соленоид. Генератор вырабатывает синусоидальное напряжение, поэтому через соленоид протекает синусоидальный ток. Возникает переменное магнитное поле, создающее переменный поток через виток. В витке возникает переменный ток индукции, который создает переменное напряжение на резисторе Я. Это напряжение (равное ЭДС индукции) подается на вход «У» осциллографа (см. рис. 5,6). Таким образом можно исследовать поле внутри и вне соленоида.
витками
Пусть ток в катушке / (力) =Im cos g力 тогда поток через виток Ф = =до^^витка = ДоП7п^1то cos wt. (Здесь ：——радиус витка.) Возникаю™ щая в витке ЭДС индукции в любой момент времени имеет вид
£ = —^оптгг^ш1т sinwt, (3)
где 8т = ^П7[г1ш1т ——амплитудное значение ЭДС индукции. Очевидно амплитудное значение ЭДС индукции, возникающей во внутреннем витке прямо пропорциональна квадрату радиуса витка.
На экране осциллографа амплитуда напряжения на Я возрастает с пере™ ходом на витки большего радиуса. Это является доказательством однород™ ности магнитного поля внутри соленоида в любой момент времени.
Для внешних витков весь поток (так же, как и все его изменения) нахо™ дится только внутри соленоида т. к. поле вне соленоида равно нулю. Поэто™ му ЭДС индукции во внешнем витке не должна зависеть от радиуса. Это хорошо видно на экране осциллографа при коммутации внешних витков.
Измерения и обработка результатов измерений
Измеряют непосредственно диаметры трех внутренних витков с точ™ ностью △" = 1 мм и амплитуды ЭДС для внутренних витков на экране осциллографа с точностью, указанной в документации на прибор.
Согласно (3) отношение квадратов радиусов витков при одинаковой частоте равно отношению соответствующих ЭДС:
^ — £i吗&
Г1 = £2
Вычисление отношения квадратов радиусов:
Среднее значение:Среднее значение:Окончательный результат:Окончательный результат:
Среднее значение:
Среднее значение:
Окончательный результат:
Окончательный результат:
Точно так же вычисляются экспериментальные результаты для м^ /м^.
Среднее значение:Среднее значение:Окончательный результат:Окончательный результат:
Среднее значение:
Среднее значение:
Окончательный результат:
Окончательный результат:
Так же вычисляются экспериментальные результаты для 82/£з-
Экспериментальным доказательством однородности поля внутри соленоида является пересечение интервалов экспериментальных данных для соответствующих отношений квадратов радиусов внутренних витков и амплитуд ЭДС индукции в них (см. стр. 14).
Контрольные вопросы
Что такое густота магнитных линий?
Что такое поток вектора через поверхность (геометрическая интерпретация)?
Что такое циркуляция вектора по контуру?
Вывести уравнение для магнитной индукции поля прямого тока.
Вывести уравнение для магнитной индукции поля соленоида.
Как записать уравнение для потока через виток внутри соленоида?
Как записать уравнение для потока через виток вне соленоида?
Как проверить однородность поля в любой момент времени внутри соленоида?
Почему поток вектора В вне соленоида не зависит от площади внешнего витка?
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАТУХАЮЩИХКОЛЕБАНИЙ
Цель работы ——исследование затухающих колебаний в колебательном контуре с активным сопротивлением, определение характеристик затухающих колебаний.
Теоретическое введение
1. Незатухающие колебания в идеальном колебательном контуре. Если заряженный конденсатор С соединить с катушкой индуктивности Ь, то в образовавшемся колебательном контуре
(рис. 1) возникнут электрические колебания тока
в цепи и напряжения на конденсаторе. (Конден
сатор перезаряжается через индуктивность.) При丿
отсутствии сопротивления проводов эти колеба- 丄 《_£
ния будут незатухающими.С—
Найдем уравнение колебаний напряжения наС
конденсаторе. В любой момент в контуре по закону Кирхгофа
Uc =—工以*(1)Рк* L
dt
Так как
q = UcC q = I = UcC. q = I=^ = UcC.dt
Подставив все это в (1), получим
Uc + LCUc = 0, или Uc + ^= 0.
LC
Обозначив . = Wq (частота Томсона), приведем это уравнение к виду
t…孟 Uc = b(2)
Это уравнение свободных колебаний напряжения на конденсаторе. Такое же уравнение можно получить для колебаний тока.
Общее решение уравнения (2) представим в виде
Uc = A cos wt + В sin g力Uc = A cos wt + В sin g力⑶⑶
Uc = A cos wt + В sin g力
Uc = A cos wt + В sin g力
⑶
⑶
где Л и В ——постоянные, зависящие от начальных условий.
Продифференцировав (3) по времени, получим
Uc = ^Auj sin wt + Bw cos
I = g = UcC = —AuC sin wt + cos wt(4)
Уравнения (3) и (4) описывают значения U。 и / в контуре в любой момент времени.
Покажем как найти значения Л и В при различных начальных условиях колебаний.
Пусть в начальный момент на конденсаторе максимальное напряжение и тока в контуре нет, т. е. при 力=0 Uc = Um, Iq = 0.
Из (3) получим Um = Л • 1 + 0 = Л. Из (4) получим 0 = Вш В = Q.
Тогда
Uc = Um cos I = —UmcuC sin = UmuC cos (g力 + ；).
(Заряжающий ток опережает напряжение на конденсаторе на тг/2.)
Пусть в начальный момент времени конденсатор разряжен, а ток в ко- туре максимален, т. е при 力=0 I = Im^Uc = 0.
Из (3) получим Л = 0, из (4) получим Im = BujC и В =
Тогда
UG = — sinwt = ^cosUG = — sinwt = ^cos/ = Im COS Ujt./ = Im COS Ujt.
UG = — sinwt = ^cos
UG = — sinwt = ^cos
/ = Im COS Ujt.
/ = Im COS Ujt.
(Заряжающий ток отстает напряжеши на конденсаторе на тг/2.) Постоянные Л и В определяются начальными условиями колебаний.(Заряжающий ток отстает напряжеши на конденсаторе на тг/2.) Постоянные Л и В определяются начальными условиями колебаний.2. Затухающие колебания в колебательном контуре. В реальном2. Затухающие колебания в колебательном контуре. В реальномколебательном контуре всегда есть активное сопротивление Я (рис. 2). В любой момент времени по закону Кирхгофа имеемUc + Ur = -RdtUc + IR + Li = 0,Uc + UcCR + LCUc = 0,生+ 弋+ 7=0.(5)колебательном контуре всегда есть активное сопротивление Я (рис. 2). В любой момент времени по закону Кирхгофа имеемUc + Ur = -RdtUc + IR + Li = 0,Uc + UcCR + LCUc = 0,生+ 弋+ 7=0.(5)Если положить = — (это, как мы видели, частота свободных коле- LCбаний), 2/3 = 工，то уравнение (5) примет видЕсли положить = — (это, как мы видели, частота свободных коле- LCбаний), 2/3 = 工，то уравнение (5) примет вид
(Заряжающий ток отстает напряжеши на конденсаторе на тг/2.) Постоянные Л и В определяются начальными условиями колебаний.
(Заряжающий ток отстает напряжеши на конденсаторе на тг/2.) Постоянные Л и В определяются начальными условиями колебаний.
2. Затухающие колебания в колебательном контуре. В реальном
2. Затухающие колебания в колебательном контуре. В реальном
колебательном контуре всегда есть активное сопротивление Я (рис. 2). В любой момент времени по закону Кирхгофа имеем
Uc + Ur = -R
dt
Uc + IR + Li = 0,
Uc + UcCR + LCUc = 0,
生+ 弋+ 7=0.(5)
колебательном контуре всегда есть активное сопротивление Я (рис. 2). В любой момент времени по закону Кирхгофа имеем
Uc + Ur = -R
dt
Uc + IR + Li = 0,
Uc + UcCR + LCUc = 0,
生+ 弋+ 7=0.(5)
Если положить = — (это, как мы видели, частота свободных коле- LC
баний), 2/3 = 工，то уравнение (5) примет вид
Если положить = — (это, как мы видели, частота свободных коле- LC
баний), 2/3 = 工，то уравнение (5) примет вид
Uc + 2爪% 十忐Uc = 0.Uc + 2爪% 十忐Uc = 0.⑹⑹
Uc + 2爪% 十忐Uc = 0.
Uc + 2爪% 十忐Uc = 0.
⑹
⑹
Это уравнение затухающих колебаний напряжении на конденсаторе в реальном контуре. Можно показать, что такому же уравнению удовлетворяет и ток / в контуре.
Непосредственной подстановкой в (6) можно проверить, что его решением является
Uc = UCoe^^ cos (wt + a) ,(7)
где
Очевидно, что w < wq и при увеличении активного сопротивления контура Я, g уменьшается, т. е. период колебаний увеличивается.
Уравнение (7) можно представлять как колебание с убывающей по экспоненте амплитудой.
3. Характеристики затухания. Очевидно, величина р — — увеличивается с ростом активного сопротивления R контура. Она называется коэффициентом затухания.
Изменение напряжения на конденсаторе в реальном контуре изображено на рис. 3.
Найдем отношение амплитуд колебаний «отстающих» друг от друга на период Т =空：
и ⑴=и^^\ и(力 + Т) = Uoe^^t+T\ и；［т)= е°т,
АА=附=附⑻⑻
А
А
=附
=附
⑻
⑻
Величину А называют логарифмическим декрементом затухания. Физический смысл этой величины нетрудно выяснить, введя величину Ne —— количество колебаний, за которое амплитуда убывает в е‘ раз и г ——время, за которое это происходит (за время г совершается Ne = колебаний).
户丁 = 1,户=L 入=з*т = jтNe
Таким образом логарифмический декремент затухания обратно пропорционален количеству колебаний Ne, за которое амплитуда убывает в е‘ раз.
Еще одна характеристика реального колебательного контура—добротность ——определяется как
Лено, что большей добротностью обладает контур с меньшим активным сопротивлением.
Экспериментальная часть
Схема установки приведена на рис. 4.
Генератор вырабатывает прямоугольные импульсы напряжения, отрицательные значения которых «срезаются» диодом 匕］"При положительных
ШГ1ШГ1doHEdoHaldoHEdoHal££22
ШГ1
ШГ1
doHEdoHal
doHEdoHal
£
£
2
2
Рис. 4.
значениях происходит заряд конденсатора С через диод 匕［и сопротивление Я1. При нулевых значеших происходят затухающие колебаши в колебательном контуре С 凡 厶 必.На первом канале осциллографа можно увидеть, как изменяется напряжение на 丑2 (а значит и ток в контуре) На втором канале изображаются колебания напряжении на конденсаторе С.
Напряжеши на различных элементах цепи могут выглядеть как на
Порядок выполнения и обработка результатов измерений
Собирают схему (рис. 4).
На экране осциллографа получают устойчивую картину затухающих колебаний (например график напряжения Uc на участке от й до 力2 (рис. 5))* Изменяя Я, по графику на экране выясняют пределы его значений для самого сильного и слабого затухаши. В этих пределах будут производится измерения.
Для семи различных значений Я (они не измеряются) по графику на экране осциллографа измеряют две соседние амплитуды колебаний, соответствующие периоды, частоты и записывают в таблицу.
Различные R
и⑴,В
и(力+ Т),В
г, с
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Вычисляют логарифмический декремент затухаши для каждого Я.
Делают рисунки с экрана осциллографа для сильного и слабого затухания при наибольшем и наименьшем значеших Я в эксперименте.
Оценивают погрешности измерений логарифмического декремента затухания.
Делают выводы о совпадении экспериментальных результатов с теорией.
О том, как измерять амплитуды напряжения и периоды на осциллографе, подробно описано в работе, посвященной изучению осциллографа (см. стр. 81)*
Вычисление погрешностей измерений логарифмического декремента затухания производится по данным прямых измерений двух амплитуд затухающих колебаний из (8):
=£ (U ⑴)+ “(力 + Т)) = ZU ⑴)+ △(и« + т)).
и ⑴U(t + Г)
Погрешности прямых измерений зависят от конкретного прибора и указаны в его документации.
Для каждого из семи измерений записывают окончательный результат
Делают выводы о соответствии полученных экспериментальных данных % , периодов и частот для различных сопротивлений контура с теорией.
Контрольные вопросы
Вывести уравнение колебаний напряжения на конденсаторе в идеальном контуре. Какое общее решение имеет это уравнение? От чего зависят конкретные решения? Привести примеры.
Вывести уравнение колебаний для контура с активным сопротивлением.
Как меняется амплитуда затухающих колебаний со временем? Как зависит частота колебаний от величины активного сопротивления?
Как определяется коэффициент затухаши в колебательном контуре? Как меняется коэффициент затухания при изменении 工？
Что такое логарифмический декремент затухаши? Каков его физический смысл?
Что такое добротность? Как она зависит от активного сопротивлеши и индуктивности контура?
Нарисовать картину изменения напряжении на конденсаторе в схеме эксперимента. В какие моменты происходит заряд конденсатора от источника питания?
Как вычислить логарифмический декремент затухаши, измеряя амплитуды, отстоящие на несколько периодов друг от друга?
ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В ЦЕПИПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Целью работы является изучение вынужденных колебаний в колебательном контуре, исследование явлении «резонанса напряжений», измерение индуктивности L.
Теоретическое введение
Физические процессы, происходящие в цепях переменного гармонического тока, представляют собой вынужденные колебания, полный анализ которых очень сложен.
Однако наиболее важный для применений установившийся режим колебаний, когда собственные колебаши в цепи уже прекратились, может быть исследован с помощью достаточно простых методов.
Любой реальный контур наряду с реактивными элементами С и L (емкость и индуктивность) содержит также и активное сопротивление R. Зависимость тока в этих элементах от напряжении вынуждающего источника можно легко получить.
Сопротивление в цепи переменного тока. Схема включения изображена на рис. 1 а. В любой момент времени U(力) =I(t)R. Если U = =Um cos то I = —. Амплитуда тока 1т = — т. е. Я = —. Колеба-
RR
ния тока и напряжения находятся в одной фазе.
Емкость в цепи переменного тока. Схема включения изображена на рис. 1 & В любой момент времени
uо⑴=牛=u⑴，q⑴=1;⑴ e, I = q = UC,
где g, U — производные по времени.
U = Um cosU = — 3九 g sin g力
/ = —Um Cg sin = Um Cg cos (wt + ^),
3。
где X。— емкостное сопротивление, Im = UmCw — амплитуда тока. Ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе на -. Действительно, для того, чтобы на конденсаторе возникло напряжение, необходимо его зарядить, а это делает ток заряда.
Индуктивность в цепи переменного тока. Схема включения изображена на рис. 1 с. В любой момент времени в цепи
и = UL. UL = — £сам =L^ = LI.
dt
Um cos 上力=+上以, di = cos g力 dt,dtL
/ =『—cos 卫力 dt = — sin 卫力=—cos (卫力一,
0
где 卜 = Lu = Xl — индуктивное сопротивление. Ток отстает по фазе на N от напряжения. Это понятно, т. к. прежде, чем в катушке пойдет ток, на ней по правилу Ленца должно возникнуть напряжение.
Рис. 1.Рис. 1.
Рис. 1.
Рис. 1.
4. Последовательный колебательный контур. Элементы соединены4. Последовательный колебательный контур. Элементы соединенылюбой момент одинаков в каж-любой момент одинаков в каж-Рис. 2.Рис. 2.
4. Последовательный колебательный контур. Элементы соединены
4. Последовательный колебательный контур. Элементы соединены
любой момент одинаков в каж-
любой момент одинаков в каж-
Рис. 2.
Рис. 2.
последовательно, поэтому ток в дом элементе (рис. 2).
В любой момент времени
Uz•⑴+ Uc⑴+0区⑴=u⑴.
Поэтому для того, чтобы вычислить U в любой момент времени, необходимо решить достаточно сложное уравнение:
XLI(t)+XcI(t) + RI(t),
UmL cos G力—；)+ Umc COS G力 + ；) + UmR cos wt = U(t) .(1)
Сложности аналитического решения очевидны.
5. Метод векторных диаграмм. Мгновенное значение изменяющейся по гармоническому закону величины можно представить как проекцию вектора на некоторое заранее выбранное направление х. Сам вектор вращается с угловой скоростью ш, его модуль равен амплитудному значению величины, начальная фаза равна углу вектора с направлением ж (рис. 3 а).
В любой момент времени
х = A cos 夕,(^(фаза)=卫力 + 夕。)
т. е. х = A cos (卫力 + 夕о).
Вычислим сумму (Г) методом векторных диаграмм. Выбранное направление ж совместим с вектором тока. Перепишем (1) в виде
U =勺 cos (g力—力 + cos (g力 + 力 + M笈 cos (卫力)
и изобразим каждое слагаемое как вектор на векторной диаграмме (рис. 3 6.)
66Рис. 3.Рис. 3.
6
6
Рис. 3.
Рис. 3.
Сложим векторы, изображенные на диаграмме в начальный момент времени, по правилу геометрического сложения векторов (для определенности считаем Ul > Uc)* Результирующее напряжение равно напряжению источника, поэтому
+ (U九-
U(t) = Um cosU(t) = Um cos卫力+ arctg卫力+ arctg^mL 一 ^mC^mL 一 ^mCUmRUmR
U(t) = Um cos
U(t) = Um cos
卫力+ arctg
卫力+ arctg
^mL 一 ^mC
^mL 一 ^mC
UmR
UmR
Экспериментальная часть
Цепь включает в себя генератор, емкость С, два сопротивления R± и R^ (рис. 4). Генератор вырабатывает синусоидальное (гармоническое) напряжение. Процессы наблюдаются на экране осциллографа, первый канал которого показывает напряжение на 笈2, второй ——напряжение на генераторе, частота которого может плавно меняться.
генераторгенераторСС££осциллографосциллограф&&
генератор
генератор
С
С
£
£
осциллограф
осциллограф
&
&
Рис. 4.
В любой момент времени для мгновенных значений
U = U 丛 + Uc + UL +。丛.
/ одинаков во всей цепи. Векторная диаграмма приведена на рис. 5.
Существует сдвиг по фазе 夕 между током / и напряжением U.
Если амплитуда Ul меньше амплитуды Uc, сдвиг фаз отрицательный, т. е. ток, а значит и напряжение на R?> опережает по фазе напряжение на генераторе. Общее сопротивление цепи преимуществешо емкостное. (Напомним, что сопротивление конденсатора переменному току Z = —, сопротивление катушки Z = wL, и при изменении частоты они изменяются).
Из векторных диаграмм:
и =，(и丛 ++ (Uc —=
U 二 y/2(Я1 + 冗2产 + /2=
八.(区1+区2产+ (；一
и
Видно, что амплитудное значение тока 1т достигается при ——= 0, т. е. при томсоновской частоте
1
W =甜
Vlc
В этом случае
R1 + 冗 2
и сопротивление цепи чисто активное
Z = J?i + Я2 , Ul = Uc •
Как видно из векторной диаграммы рис. 6 〃, напряжение U находится в фазе с током (это означает отсутствие реактивных компонент в сопротивлении цепи). Амплитуда напряжения на R? при этом рассчитывается как
= /М =亠匚 *(2)
Это резонанс напряжений.
Если увеличивать частоту ш генератора, то амплитуда Ul становится больше Uc и, как видно из векторной диаграммы на рис. 6 6, напряжение опережает по фазе ток на угол(^ , т. е. сопротивление в цепи преимущественно индуктивное.
Порядок выполнения и обработка результатов
Собрать схему, установив переменное сопротивление в таком положении, что амплитуды исследуемых напряжений были достаточно велики (2-2,5 деления по вертикали).
Измерить цифровым измерителем сопротивления RinR^. Записать результат. Принять точность измерения е(Я) = 5 % (паспортные данные).
Установить переключатель множителя частоты на генераторе в положение «102».
Изменяя частоту сигнала генератора от min до max в этом диапазоне, определить частоту резонанса шрез по резкому возрастанию амплитуды колебаний.
Записать положение переключателей «В/дел» на 1 и 2 каналах осциллографа.
Зарисовать три картинки с экрана при ш < шрез,卫=шрез,卫 > шрез.
Вычислить амплитуду напряжения при резонансе по формуле (2) и по зарисованным картинкам. Сравнить, объяснить возможные расхождения.
Вычислить индуктивность контура, зная его резонансную частоту и значение емкости С контура
^рез^резLC/СLC/С
^рез
^рез
LC/С
LC/С
Оценить погрешность измерения, считая погрешности по формулам
= 2e（g） + £（С）, △上=Le（L）,
Погрешность измерения емкости £（С） = 10 %, приборная погрешность измерения частоты зависит от генератора и указана в его документации.
Записать окончательный результат, как
ь = Ьизм 土 △上, £（L） = ...%.
Контрольные вопросы
Какие сдвиги фаз в цепи переменного тока между напряжением и током на активном сопротивлении, на индуктивности, на емкости?
Что изображается на векторных диаграммах?
Сложить с помощью векторных диаграмм два колебания g = =5 cos 卫力 и 囂2 = 4 sin wt
Что такое резонанс напряжений в последовательном колебательном контуре?
Каким становится сдвиг фаз между током и напряжением при ш < шрез, g = шрез, g > шрез в последовательном колебательном контуре?
Как можно вычислить индуктивность контура при резонансе напряжений?
Как измерить частоту и период колебаний непосредственно на осциллографе?
ДИФВ4КЦИЯ ФВ4УНГОФЕВ4 НА ЩЕЛИ.
ИЗМЕРЕНИЕ ШИРИНЫ ЩЕЛИ«ВОЛНОВЫМ МЕТОДОМ»
Целью работы является изучение волновых явлений света, методов описания явления дифракции, измерение ширины узкой щели с помощью дифракции лазерного излучения.
Теоретическое введение
Уравнение волны. Как известно, волной называется процесс распространения колебаний в пространстве. Независимо от природы волн
(механические, электромагнитные, гравитационнные) математическое описание их одинаково.
Получим уравнение волны на простом примере волн на воде и выясним смысл ее характеристик (рис. Г). Пусть источник S (поплавок) колеблется гармонически в неподвижной воде. Рассматривая волны в небольшой области пространства (несколько длин волны), пренебрежем затуханием.
Введем систему координат с началом в точке, где находится поплавок. Ось у направлена «на нас» пер
пендикулярно плоскости чертежа.
Колебания распространяютсяL
вдоль оси ж со скоростью и. Каж
дая частица поверхности воды колеблется вдоль оси у. Пусть колебания поплавка в точке О гармонические:
У = ут coswt
В произвольной точке N колебания будут точно такими же, как колебания в точке О в более ранний момент времени 力/ = t — r.T.e. фаза колебаний отстает на величину шт = ——,где г ——время распространения волны от
V
точки О до точки N. Поэтому
9n 三 g(X 力)=Ут cos (ut 一 宁)
Преобразуем это уравнение к более удобному виду. Так как ш = 2冗沙= 27r27rl7
У = УЩ COS (g力一下) = ym cos (g力一kx).(r)
Эта функция от tux называется ур авн ен и ем гармонической волны. Здесь 27r27r
卫циклическая (круговая) частота колебаний, к = волновое число. Оно определяется длиной волны.
Выясним физический смысл ш и /с.
Пусть ж = const (наблюдатель находится в определенной точке пространства), и в данный момент в этой точке «горб» волны. За время △力=可 фаза изменяется на =亍豆=тг, т. е. за это время в этой точке «горб» сменится «впадиной».
Пусть t = const (мгновенный снимок волновой картины), и пусть в какой-то точке ж пространства находится «горб» волны. Пройдя вдоль ж
. Л1. 2тг Л
расстояние Дж =豆,получим изменение фазы колебаний на = — ^ = =7г, т. е. «горб» сменится «впадиной».
Отсюда понятно, что
27r
ш = —— ——скорость изменения фазы со временем,
к = —— ——скорость изменения фазы в пространстве.
Принцип Гюйгенса-Френеля. Каждая точка {бесконечно малый элемент)】)волнового фронта является воображаемым источником вторичных волн. Интенсивность колебаний в произвольной точке N ——результат сложения этих вторичных волн от всех источников, расположенных на волновом фронте.
Все элементы волновой поверхности колеблются в одинаковой фазе, но расстояния от элементов поверхности до N различны (рис. 2, о), поэтому колебания от элементов поверхности в точке N будут иметь различные фазы. Интенсивность колебаний зависит от того, будут колебания усиливать или гасить друг друга. Если волновые поверхности сферические, то говорят о дифракции Френеля, если волна плоская — о дифракции Фраунгофера.
* В пределах элемента расстояния от любой его точки до N можно считать одинаковыми.
Рис. 2.Рис. 2.Дифракция на щели. Пусть на щель шириной Ъ падает плоская волна. Волновой фронт, совпадающий с плоскостью щели, разбиваем на большое количество бесконечно малых полосок (элементы волновой
Рис. 2.
Рис. 2.
поверхности или зоны Френеля.) Параллельные лучи, распространяющиеся под углом а к вертикали, собираются линзой в фокальной плоскости (точка N). Экран совпадает с этой плоскостью (рис. 2,6). Разность хода между соседними зонами 8 одинакова для всех соседних зон. Разность хода между крайними зонами △= = £ А — сумма всех разностей хода от соседних зон.
△ = bsina, △夕=——bsina.
Воспользуемся методом векторных диаграмм для получения результирующего колебания в точке N (рис. 3).
. При а = 0 разность фаз колебаний от соседних зон равна нулю. Если А 一 амплитуда колебаний от каждой зоны (ам-
А\ = 24 /ЗтгА\ = 24 /ЗтгРис. 3.Рис. 3.плитуды для всех зон почти одинаковы при малых а), Лрез = Ло = NА, где N ——количество зон. Это центральный максимум (рис. 3 а).
А\ = 24 /Зтг
А\ = 24 /Зтг
Рис. 3.
Рис. 3.
. При △ = bsina = ^ и △夕=7г ——колебания от крайних зон находятся в противофазе. Общая длина всех Л приблизительно равна Ло.
Поэтому Арез = меньше, чем в первом случае (рис. 3 о).
4рез = 0-4рез = 0-. Если △ = Л, то колебания от крайних зон отличаются по фазе
4рез = 0-
4рез = 0-
на 27r —— векторы А образуют замкнутую фигуру
Это первый минимум (рис. 3 в).
. Следующий максимум будет, когда векторы, «обернутся» полтора "2Л0
раза (рис. Зе)" Арез =
Как известно, интенсивность / пропорциональна Лрез, поэтому распределение интенсивности будет иметь вид, такой как на (рис. 4).
Рис. 4.Рис. 4.
Рис. 4.
Рис. 4.
Из всего сказанного ясно, что при значениях а, удовлетворяющих условию
△ = Ь sin а = 土m入(т = 1, 2, 3, ...)(3)
амплитуда обращается в нуль. Таким образом, условие (3) определяет положение минимумов интенсивности на экране.
Отметим, что △ представляет собой разность хода от краев щели.
Экспериментальная частьЭкспериментальная установка состоит из оптической скамьи с набором рейтеров и приспособлений, источника монохроматического излучения (лазера), калиброванной щели и экрана. Схема установки изображена на рис. 5.Экспериментальная частьЭкспериментальная установка состоит из оптической скамьи с набором рейтеров и приспособлений, источника монохроматического излучения (лазера), калиброванной щели и экрана. Схема установки изображена на рис. 5.m = 3т = 2ж = 1m = 3т = 2ж = 1Рис. 5.Рис. 5.HpdwcHpdwcПри условии L ^ Ъ (что соответствует условиям эксперимента),При условии L ^ Ъ (что соответствует условиям эксперимента),sin а 弋：tga =sin а 弋：tga =хтгде хтхтгде хт—— расстояние до m-го минимума. Подстав—— расстояние до m-го минимума. Подставляя в (3), получим формулу для вычисления ширины щели в виделяя в (3), получим формулу для вычисления ширины щели в видеb = тЛ(т = 1, 2, 3,...)b = тЛ(т = 1, 2, 3,...)(4)(4)
Экспериментальная часть
Экспериментальная установка состоит из оптической скамьи с набором рейтеров и приспособлений, источника монохроматического излучения (лазера), калиброванной щели и экрана. Схема установки изображена на рис. 5.
Экспериментальная часть
Экспериментальная установка состоит из оптической скамьи с набором рейтеров и приспособлений, источника монохроматического излучения (лазера), калиброванной щели и экрана. Схема установки изображена на рис. 5.
m = 3
т = 2
ж = 1
m = 3
т = 2
ж = 1
Рис. 5.
Рис. 5.
Hpdwc
Hpdwc
При условии L ^ Ъ (что соответствует условиям эксперимента),
При условии L ^ Ъ (что соответствует условиям эксперимента),
sin а 弋：tga =
sin а 弋：tga =
хт
где хт
хт
где хт
—— расстояние до m-го минимума. Подстав
—— расстояние до m-го минимума. Подстав
ляя в (3), получим формулу для вычисления ширины щели в виде
ляя в (3), получим формулу для вычисления ширины щели в виде
b = тЛ(т = 1, 2, 3,...)
b = тЛ(т = 1, 2, 3,...)
(4)
(4)
Изменяя расстояние L три-четыре раза, измеряют значения хт для одинакового т. Заполняют таблицу.
№
Д, м
Хт, М
т
1.
2.
3.
4.
Обработка результатов измерений
По полученным из （4） значениям 仇 вычисляют среднее значение 6:
N
Для каждого вычисленного значения bj оцениваются погрешности:£（仇）=Е（* + Е（厶）+ в（Хш） = ^В + — + 生也△（% = Е（Ь）М
При оценке погрешностей считать, что △£ = 1 мм, △（岔演） =1 мм.
Длина волны лазерного излучения Л = （630 土 30） нм.
Для окончательного результата вычисляют Аб = ta — как по
грешность прямых измерений.
Окончательный результат записывается в виде:
Контрольные вопросы
Какие волны называются когерентными?
Написать уравнение волны. Физический смысл s и к?
Принцип Гюйгенса - Френеля в объяснении явления дифракции.
Получить с помощью метода векторных диаграмм распределение интенсивности от щели.
Как зависит количество интерференционных полос от ширины щели, от длины волны падающего излучения?
дифракция фмунгофем.
ДИФтКЦИОННАЯ РЕШЕТКА какОПТИЧЕСКИЙ ПРИБОР
Целью работы является изучение волновых явлений света, методов описания явления дифракции, измерение длины волны монохроматического излучения с помощью дифракционной решетки.
Теоретическое введение
Когерентные волны. Интерференция. Рассмотрим явление интерференции на примере волн в неподвижной воде. Пусть два источника Si и 62 (два поплавка) колеблются гармонически с одинаковой частотой ш. От каждого из них пойдут круговые волны с одной и той же скоростью. Длины этих волн также будут одинаковы. Такие волны называются когерентными.
Более наглядной картина сложения колебаний в любой точке становится при одинаковой амплитуде колебаний источников (пренебрегаем затуханием колебаний). На рис. 1, представляющем собой мгновенный снимок волн, видно, что в точках К и N «впадина» от одной волны совпадает с «впадиной» от другой волны. В этих точках вода опуститься в два раза ниже, чем от одной волны. Поскольку каждая точка колеблется так же, как источник, через период колебаний в этих точках окажутся
горбгорбвпадинавпадина
горб
горб
впадина
впадина
«горбы» волн. В них происходит усиление колебаний. Такая же картина будет наблюдаться в точке М.
В точке L горб от одной волны совпадает с впадиной от другой волны, поэтому вода вообще находится в невозмущенном состоянии (полное ослабление колебаний). Если волны когерентны, то разность фаз не будет меняться со временем, картина сложения колебаний будет иметь устойчивый характер.
Это явление называется интерференцией. Картина интерференции наблюдается для когерентных волн любого характера.
Уравнение гармонической волны имеет вид
⑴⑴g = ут cos (s力一千)=ym cos (wt — kx).
⑴
⑴
Ясно, что условие постоянства разности фаз сводится к равенству для таких волн циклических частот колебаний ш и волновых чисел к.
Дифракционная решетка. Дифракционная решетка — набор N щелей. Суммарная величина щели и промежутка между щелями ——постоянная или период решетки d. Обычно решетки «на просвет» с достаточно большим количеством периодов изготавливаются фотоспособом. В качестве фронта волны будем рассматривать волновую поверхность плоской волны, совпадающей в данный момент с плоскостью решетки. Так как щели очень узкие, можно каждую щель считать зоной Френеля, на которые разбивается волновая поверхность (см. стр. 158).
Экран находится в фокальной плоскости линзы. Параллельные лучи от каждого зоны (щели) под углом а к вертикали собираются в точке N на экране (рис. 3).
Максимумы интенсивности будут наблюдаться там, где
dsina = ±Лт m = 0, 1, 2, ...(2)
Интенсивность главных максимумов. Каждая щель в данном направлении а дает амплитуду &, и колебания от соседних щелей сдвинуты
.a A 27r
по фазе на △夕=А •—.
Для произвольного угла а имеем векторную диаграмму (рис. 4). Общий сдвиг по фазе от первой до последней щели
N△夕=TV— dsin а,
4реш = 2Яsin (N；“)) & = 2Яsin (手).
Отсюда
Как известно, интенсивность колебании пропорциональна квадратуКак известно, интенсивность колебании пропорциональна квадратуамплитуды колебанийамплитуды колебанийI(интенсивно сть)〜4；I(интенсивно сть)〜4；⑶⑶Из (3) видно, что интенсивность колебаний от одной щели 4； модулирует функциюИз (3) видно, что интенсивность колебаний от одной щели 4； модулирует функциюsin2sin222(практически модулирует только(практически модулирует толькоинтенсивность главного максимума от одной щеинтенсивность главного максимума от одной щели.) В отсутствии такой модуляции все главные максимумы были бы одинаковы по интенсивноли.) В отсутствии такой модуляции все главные максимумы были бы одинаковы по интенсивности. Реальная картина распределения интенсивности от дифракционной рести. Реальная картина распределения интенсивности от дифракционной решетки такая, как на рис. 5. На практике поэтому наблюдается всего несколько видных максимумов (максимально 4 — 5). Поэтому очень критично надошетки такая, как на рис. 5. На практике поэтому наблюдается всего несколько видных максимумов (максимально 4 — 5). Поэтому очень критично надоотносится к задачам, предлагаемым в некоторых задачниках, в которыхотносится к задачам, предлагаемым в некоторых задачниках, в которыхопределяют максимальный порядок видимого максимума т, считая, что онопределяют максимальный порядок видимого максимума т, считая, что он«виден» под углом а =«виден» под углом а =7Г27Г2Там реально ничего нельзя увидеть.Там реально ничего нельзя увидеть.
Как известно, интенсивность колебании пропорциональна квадрату
Как известно, интенсивность колебании пропорциональна квадрату
амплитуды колебаний
амплитуды колебаний
I(интенсивно сть)〜4；
I(интенсивно сть)〜4；
⑶
⑶
Из (3) видно, что интенсивность колеба
ний от одной щели 4； модулирует функцию
Из (3) видно, что интенсивность колеба
ний от одной щели 4； модулирует функцию
sin2
sin2
2
2
(практически модулирует только
(практически модулирует только
интенсивность главного максимума от одной ще
интенсивность главного максимума от одной ще
ли.) В отсутствии такой модуляции все главные максимумы были бы одинаковы по интенсивно
ли.) В отсутствии такой модуляции все главные максимумы были бы одинаковы по интенсивно
сти. Реальная картина распределения интенсивности от дифракционной ре
сти. Реальная картина распределения интенсивности от дифракционной ре
шетки такая, как на рис. 5. На практике поэтому наблюдается всего несколько видных максимумов (максимально 4 — 5). Поэтому очень критично надо
шетки такая, как на рис. 5. На практике поэтому наблюдается всего несколько видных максимумов (максимально 4 — 5). Поэтому очень критично надо
относится к задачам, предлагаемым в некоторых задачниках, в которых
относится к задачам, предлагаемым в некоторых задачниках, в которых
определяют максимальный порядок видимого максимума т, считая, что он
определяют максимальный порядок видимого максимума т, считая, что он
«виден» под углом а =
«виден» под углом а =
7Г
2
7Г
2
Там реально ничего нельзя увидеть.
Там реально ничего нельзя увидеть.
Рис. 5.Рис. 5.
Рис. 5.
Рис. 5.
Экспериментальная часть
Принципиальная схема эксперимента изображена на рис. 6. Углы а очень небольшие, поэтому sin а ее а, где угол а измеряется в ради
анах. Из рисунка видно, что tga =彳 и т. к. d sin а = mA
лазерлазер2 1 о 一一 一一 一一 mmm2 1 о 一一 一一 一一 mmm
лазер
лазер
2 1 о 一一 一一 一一 mmm
2 1 о 一一 一一 一一 mmm
Рис. 6.
Отсюда следует, что
、 dx
Л =
Lm
Обработка результатов измерений
Для семи различных значений L измеряют значения хт для m = 2 или 3, результаты заносят в таблицу.
№
т
Д,м
△%,м
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Вычисляют среднее значение Л как
7
Л =
7
Очевидно, легче сначала подсчитать относительную погрешность % из формулы （4）, а затем абсолютную:
二 E（d） + Е（冗）+ Е（£） = — + — + —, △尢二 d хт L{
Разумно, учитывая способ измерения длин линейкой, принять △£ = 1 мм, △ж = 1 мм. В данной работе используется решетка с постоянной d= （63 土 1） * 10—6 м.
Для окончательного результата вычисляют АЛ = ta 上как по- N
грешность прямых измерений.
Окончательный результат записывают как
Л = Л±АЛ; е(Х) = ...%.
Контрольные вопросы
Какие условия должны быть выполнены для того, чтобы картина интерференции двух волн была устойчивой.
С помощью векторных диаграмм получить распределение интенсивности для дифракционной решетки.
Почему на дифракционной картинке видны только несколько максимумов интенс ивности?
Как наиболее точно измерить расстояние х на экране?
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯПРЕЛОМЛЕНИЯ СТЕКЛА«ВОЛНОВЫМ» МЕТОДОМ
Целью работы является изучение волновых свойств света на примере схемы получения двух когерентных волн из одного светового пучка (бипризма Френеля) и их интерференции, картина которой позволяет измерить показатель преломления вещества бипризмы.
Теоретическое введение
Известно, что свет представляет собой сложное явление: с одной стороны он ведет себя как электромагнитная волна, но при излучении и поглощении веществом ——как поток частиц (фотонов). Волновые свойства света наиболее наглядно проявляются в явлениях интерференции и дифракции. Отличие между ними весьма условно. При сложении двух когерентных волн говорят об интерференции, при сложении большого количества когерентных волн ——о дифракции. Известно, что две волны когерентны, если разность их фаз в любой точке остается постоянной, а т. к. фаза определяется величинами s и 用= —,то когерентными будут волны с одинаковыми з и к. Проблемами получения таких волн занимались физики Юнг и Френель. Схемы получения двух когерентных волн из одного светового пучка рассматриваются в настоящей работе.
Почти точного равенства длин волн от двух источников добиться нетрудно. Для этого достаточно использовать хорошие светофильтры, пропускающие свет в очень узком интервале длин волн. Но невозможно осуществить постоянство разности фаз от двух независимых источников. Атомы источников излучают свет независимо друг от друга отдельными «обрывками» (цугами) синусоидальных волн протяженностью около двух метров. И такие цуги волн от обоих источников накладываются друг на друга. В результате амплитуда колебаний в любой точке пространства хаотически меняется со временем в зависимости от того, как в данный момент цуги волн от различных источников сдвинуты друг относительно друга по фазе.
Волны от различных источников некогерентньт из-за того, что разность фаз волн не остается постоянной. (Исключение составляют квантовые источники света ——лазеры, созданные в 1960 г). Никакой устойчивой картины с определенным распределением максимумов и минимумов освещенности для некогерентных волн не наблюдается.
Интерференционная схема Юнга. Если две очень узкие светящиеся щели излучают когерентные волны, на экране должна наблюдаться характерная интерференционная картина. Рассчитаем положения
максимумов и минимумов интенсивности на экране, расстояния между соседними максимумами и соседними минимумами (рис. 1).
Пусть Si и S2 ——когерентные источники (светящиеся щели), △=力1 —力2 ——разность хода двух лучей. Очевидно, что △ = 2m - для максимума интенсивности в произвольной точке N, поэтому разность фаз △夕 = = 27rm, где m = 0, ±1, ±2, Для минимума интенсивности необходимо: △ = (2m + 1) Если луч распространяется не в вакууме, то Д = п(хо —岔i), где п ——показатель преломления среды.
Рис. 1.Рис. 1.
Рис. 1.
Рис. 1.
Расстояние между щелями d очень мало по сравнению с расстоянием от щелей до экрана d^L, поэтому sin а е а, tg а е а (в радианах). Поэтому
△ = d sin а е da, tg а = ^ рй а, △=—.
Положение максимумов на экране:
d хтLd хтL=шЛ,=шЛ,mALdmALdm = 0, 1,...m = 0, 1,...
d хт
L
d хт
L
=шЛ,
=шЛ,
mALd
mALd
m = 0, 1,...
m = 0, 1,...
Расстояние между соседними максимумами интенсивности (ширина полосы интерференции)
一△— ALdd一△— ALdd(Am = 1).(Am = 1).⑴⑴
一△— AL
dd
一△— AL
dd
(Am = 1).
(Am = 1).
⑴
⑴
Расстояние между соседними минимумами оказывается таким же.
Бипризма Френеля. Изготовленные из одного куска стекла две приз™ мы с малым преломляющим углом Д имеют одну общую грань (рис. 2). Параллельно этой грани на расстоянии а от нее располагается источник света S.
Можно показать, что в случае малого угла преломления р, все лучи отклоняются на одинаковый угол равный & = (п — 1)仇 где п ——показатель преломления стекла, из которого изготовлена призма. В установке, используемой в работе /3 и 10'. Из сравнения рис. 1 и рис. 2 видно, что L = а + Ь, d = а2а,
Дж =迎D土纟_.(2)
2аа 2а(п — 1)/3
В случае плоской волны нужно положить а оо и Дж = —. Ширина 2a
HEd^G-HEd^G-зоны интерференции 2&儿 Максимальное число интерференционных полосзоны интерференции 2&儿 Максимальное число интерференционных полос^тах^тахж△жж△жИз (2) имеемИз (2) имеем4a2 abА(а + Ь)4a2 abА(а + Ь)入(а + Ь) + ]2a入(а + Ь) + ]2a⑶⑶
HEd^G-
HEd^G-
зоны интерференции 2&儿 Максимальное число интерференционных полос
зоны интерференции 2&儿 Максимальное число интерференционных полос
^тах
^тах
ж
△ж
ж
△ж
Из (2) имеем
Из (2) имеем
4a2 ab
А(а + Ь)
4a2 ab
А(а + Ь)
入(а + Ь) + ]2a
入(а + Ь) + ]2a
⑶
⑶
Экспериментальная частьЭкспериментальная частьСхема установки приведена на рис. 3. Собирающая линза с фокуснымСхема установки приведена на рис. 3. Собирающая линза с фокусным△ хт = хт/т|О|II1«—篤一2△ хт = хт/т|О|II1«—篤一2Рис. 4.Рис. 4.расстоянием F = 20 мм фокусирует параллельный пучок лучей лазера в фокусе, «образуя» точечный источник света S. Для увеличения точности измеряют расстояние не между соседними максимумами (минимумами), а ширину области, включающей в себя несколько интерференционных максимумов; далее, деля ее на количество полос, получают ширину одной интерференционной полосы (рис. 4).Измерения делают для пяти различных значений а,расстоянием F = 20 мм фокусирует параллельный пучок лучей лазера в фокусе, «образуя» точечный источник света S. Для увеличения точности измеряют расстояние не между соседними максимумами (минимумами), а ширину области, включающей в себя несколько интерференционных максимумов; далее, деля ее на количество полос, получают ширину одной интерференционной полосы (рис. 4).Измерения делают для пяти различных значений а,результаты заносят в таблицу.результаты заносят в таблицу.№а, мxm, мм1.2.3.4.5*№а, мxm, мм1.2.3.4.5*а + Ь, ма + Ь, м
Экспериментальная часть
Экспериментальная часть
Схема установки приведена на рис. 3. Собирающая линза с фокусным
Схема установки приведена на рис. 3. Собирающая линза с фокусным
△ хт = хт/т
|О|I
I1«—篤一2
△ хт = хт/т
|О|I
I1«—篤一2
Рис. 4.
Рис. 4.
расстоянием F = 20 мм фокусирует параллельный пучок лучей лазера в фокусе, «образуя» точечный источник света S. Для увеличения точности измеряют расстояние не между соседними максимумами (минимумами), а ширину области, включающей в себя несколько интерференционных максимумов; далее, деля ее на количество полос, получают ширину одной интерференционной полосы (рис. 4).
Измерения делают для пяти различных значений а,
расстоянием F = 20 мм фокусирует параллельный пучок лучей лазера в фокусе, «образуя» точечный источник света S. Для увеличения точности измеряют расстояние не между соседними максимумами (минимумами), а ширину области, включающей в себя несколько интерференционных максимумов; далее, деля ее на количество полос, получают ширину одной интерференционной полосы (рис. 4).
Измерения делают для пяти различных значений а,
результаты заносят в таблицу.
результаты заносят в таблицу.
№
а, м
xm, м
м
1.
2.
3.
4.
5*
№
а, м
xm, м
м
1.
2.
3.
4.
5*
а + Ь, м
а + Ь, м
Обработка результатов измерений
Для каждого а вычисляют погрешности (см. (3)):
2аАж/32аАж/32аАж/32аАж/32аАж/32аАж/3
2аАж/3
2аАж/3
2аАж/3
2аАж/3
2аАж/3
2аАж/3
=к(л) + 门。+ » + £(«) +“
\ 2a丿
\ А а + Ь а/\ 2a
Так как бипризма Френеля изготовлена прецизионно точно, погрешностью /3 можно пренебречь.
Для всех измеренных п вычисляют среднее значение как п = 乙 ".
5
Для окончательного результата вычисляют An = ta .
5
Окончательный результат: п = п 士 An, s(n) == ... %.
п
Контрольные вопросы
В чем состоит явление интерференции волн?
Почему не наблюдается интерференция световых волн, излучаемых двумя электрическими лампочками накаливания?
При каких условиях наблюдается интерференция световых волн от двух источников? Что такое когерентность?
Выведите формулы для положения максимумов и минимумов на интерференционной картине в схеме Юнга.
Какую роль играет бипризма Френеля в получении интерференционной картины?
Выведите формулу для ширины интерференционной полосы в схеме Френеля.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАДИУСА КРИВИЗНЫЛИНЗЫ В ЭКСПЕРИМЕНТЕ С КОЛЬЦАМИНЬЮТОНА
В работе изучается явление интерференции в опыте с кольцами Ньютона, определяется радиус кривизны плоско-выпуклой собирающей линзы, являющейся частью установки для получения интерференционных колец.
Теоретическое введение
При падении световой волны на тонкую прозрачную пластину (или пленку) происходит отражение от обеих поверхностей пластинки. В результате возникают две когерентные световые волны, которые при известных условиях могут интерферировать.
В интерференционном опыте Ньютона роль тонкой пленки, от поверхности которой отражаются когерентные волны, играет воздушный зазор между соприкасающимися друг с другом плоскопараллельной толстой стеклянной пластиной и плоско-выпуклой линзой с большим (порядка 20 см) радиусом кривизны (рис.1).
Рис. 1.
При нормальном падении света интерференционная картина, наблюдаемая в отраженном свете, представляет собой систему концентрических
светлых и темных колец, получивших название колец Ньютона. Центры колец находятся в точке касания выпуклой поверхности линзы с плоскопараллельной пластиной, причем в центре интерференционной картины наблюдается темное пятно (рис. 2).
Найдем радиусы г колец Ньютона в случае падения света по нормали к плоской поверхности линзы и пластинке. В этом случае оптическая разность хода До отраженных волн 1 и 2 равна удвоенной толщине h воз™ душного зазора (рис. 1).
Л2 =(笈一/г)? + 戸 и J?? — 2ЛА + 戸*(1)
Здесь R ——радиус кривизны линзы, г ——радиус окружности, всем точкам которой соответствует одинаковый зазор h.
Ввиду малости h мы пренебрегли величиной А2 по сравнению с величиной 2Rh. В соответствии с (1) h = г2/2Л.
Чтобы учесть возникающее при отражении от пластины изменение фазы на тг при вычислении разности хода △, надо к величине До = 2Д прибавить А/2. В результате получится :
R 2
В точках, для которых △ = mA, возникаютрис 2
максимумы, а в точках, для которых Д =* *
=(ш — 1/2)Х, воз пикают ми нимумы интен
сивности света. С учетом этого и формулы (1) для радиусов светлых гт и
темных г 1m интерференцио иных колец получим
⑵
⑶⑶4 =，m? 一 1从说
⑶
⑶
где m = 1, 2, 3,...——порядковый номер кольца.
Соотношения (2) и (3) позволяют в эксперименте определить радиус кривизны R линзы по измеренным значениям радиусов светлых и темных колец при известной длине волны А света.
Экспериментальная часть
Экспериментальная установка состоит из бинокулярного микроскопа МБС-10, осветителя со светофильтром, оправки с закрепленными в ней пло скопараллель но й пластиной и исследуемой плоско-выпуклой линзой, прижатых друг к другу.
Один из окуляров микроскопа вывернут и на его месте стоит насадка с осветителем и светофильтром. Таким образом, включая осветитель, мы освещаем рабочий столик микроскопа квазимонохроматическим светом перпендикулярно его поверхности. Источником света служит лампочка накаливания. Используемый красный светофильтр пропускает свет, длина волны которого Л = 630 士 10 нм. Оправка с пластиной и линзой помещается на рабочем столике микроскопа под его объективом. Перемещая по столику оправку и настраивая микроскоп, добиваются наблюдения четкой интерференционной картины. Измерение радиусов светлых и темных колец производится при помощи измерительной шкалы, цена деления которой зависит от установленного увеличения микроскопа.
По измеренным значениям радиусов гт и г'т и известному значению длины волны Л рассчитывается радиус кривизны линзы. В соответствии с соотношениями (2) и (3) для радиуса кривизны R получаем расчетные формулы:
R =——脸——;R = —”(4)
(m — 1/2) Л(m — 1)A
Порядок выполнения и обработка результатов измерений
Ознакомьтесь с устройством микроскопа и его настройкой.
Поместите на столик микроскопа оправку с пластиной и линзой.
Включите осветитель.
Настройте микроскоп и добейтесь наблюдения четкой интерференционной картины. Перемещая оправку с пластиной и линзой совместите центр измерительной шкалы с центром интерференционной картины.
Проведите измерения радиусов светлых (или темных) интерференционных колец. Для каждого измеренного значения радиуса гт рассчитайте по формулам (4) значение Rm радиуса кривизны линзы. Результаты измерений и расчетов занесите в таблицу.
т
[
2
3
4
5
Гщ, ММ
Rm, ММ
N
Рассчитайте среднее значение радиуса кривизны линзы R = г=1
N
Для каждого вычисленного по (4) значения Ri оценивают погрешности:
金（必）=2s（rm） + 金（入） = 21 + a，△必=仪用）必.Гт Л
При оценке погрешностей считать, что Д(гт) = 1 мм.
Для окончательного результата вычисляют ЛЯ = ta как по-
N грешность прямых измерений.
Окончательный результат запишите в виде: J? = J? ± AJ?,.
Контрольные вопросы
В чем состоит явление интерференции волн?
Какую роль играет воздушный зазор между выпуклой поверхностью линзы и стеклянной пластиной в проделанном эксперименте?
Как возникают кольца Ньютона?
Почему в центре исследованной Вами интерференциоонной картины наблюдается темное пятно ?
При каких предположениях выведены формулы (2) и (3)? Вывести эти формулы.
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЯРИЗОВАННОГОСВЕТА
Целью работы является исследование поперечной поляризации световых волн, экспериментальное подтверждение закона Малюса.
Теоретическое введение
Как известно, плоская электромагнитная световая волна является поперечной и представляет собой распространение взаимно перпендикулярных колебаний: вектора напряженности электрического поля Е и вектора индукции магнитного поля В. Колебания векторов Е и В происходят в плоскости, перпе ндикуляр ной направлению распространения света, которое задается волновым вектором к (рис. 1 а). Вектор Е называется световым вектором, и все рассуждения мы ограничим рассмотрением этого вектора. Наличие вектора В подразумевается.
Рис. 1.
Световой пучок, в котором различные направления вектора Е в поперечной к направлению распространения световой волны плоскости равновероятны, называется естественным или иеполяризованным. В естественном свете колебания различных направлений быстро и беспорядочно сменяют друг друга (рис. 1 б).
Свет, в котором направления колебаний вектора Е упорядочены каким- либо образом и подчиняются некоторой закономерности, называется поляризованным.
Если колебания вектора Е могут совершаться лишь в одном определенном направлении е, то свет называется плоскополяризованным (рис. 1 в). Плоскостью поляризации называется плоскость, проходящая через вектор поляризации е и волновой вектор к.
Обычные источники излучают неполяризованный свет, который может быть преобразован в поляризованный при взаимодействии с веществом. Оптические устройства, служащие для получения поляризованного света, называются поляризаторам и. Принцип действия поляризаторов
может быть основан на явлениях отражения, преломления или поглощения света. Например, у некоторых кристаллов коэффициенты поглощения для двух взаимно перпендикулярно поляризованных волн отличаются настолько сильно, что даже при небольшой толщине кристалла одна из волн практически полностью поглощается. В результате из кристалла выходит плоскополяризованный свет. Зависимость величины поглощения света от его поляризации носит название дихроизма. Пластинки из таких кристаллов используются для изготовления поляризаторов специального вида —— поляроидов.
Через поляроид проходит почти без поглощения только тот свет, у которого плоскость поляризации совпадает с плоскостью пропускания колебаний вектора Е для данного поляроида.
Если на поляроид падает свет, плоскость поляризации которого повернута относительно разрешенной плоскости колебаний на угол а, то вектор Е падающего света можно разложить на две составляющие Е工 и Е2:
Е = Е 工 + Е)2 •
Здесь вектор Е工 лежит в разрешенной плоскости колебаний, а вектор Е2 перпендикулярен этой плоскости (рис. 2).
Рис. 2.Рис. 2.лнооиоопклнооиоопк
Рис. 2.
Рис. 2.
лнооиоопк
лнооиоопк
Компонента падающего света, описываемая вектором Е2, практически полностью поглотится в поляроиде. Поляроид пропустит компоненту
падающего света, которая описывается вектором Ei. Принимая во внимание, что
Ei = Е cos а,
для интенсивности / света, прошедшего через поляроид получим
I = Io cos2 а*(1)
Здесь 1о ——интенсивность падающего на поляроид света. (Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды колебаний светового вектора).
Соотношение (1) носит название закона Малюса. Экспериментальной проверке закона Малюса и посвящается настоящая практическая работа.
Экспериментальная часть
Экспериментальная установка состоит из оптической скамьи с набором рейтеров и приспособлений, источника монохроматического излучения (лазера), двух поляроидов в оправах, фотометрия еского датчика и цифрового микроамперметра.
Принципиальная оптическая схема установки представлена на рис. 3. Световой пучок, излучаемый лазером Л, проходит через поляризатор П1, становится шюскополяризованным и падает на поляризатор П2. При помощи поляризатора П2 исследуется падающий на него поляризованный свет. (Используемый для исследования поляризованного света поляризатор называют анализатором^) Свет, прошедший через два поляризатора падает на
Рис. 3.
фотометрический датчик Ф. При помощи микроамперметра измеряется фототок /, являющийся пропорциональным интенсивности света, падающего на фотометрический датчик.
В экспериментальной работе измеряется фототок / в зависимости от угла & между разрешенными плоскостями колебаний поляроидов. Результаты измерений изображаются на графике зависимости /(cos2 а). Если в
пределах погрешности экспериментальные результаты ложатся на прямую (рис. 4), то можно сделать вывод об экспериментальном подтверждении закона Малюса.
Измерения. Обработка результатов измерений
Соберите на оптической скамье установку по схеме, показанной на рис. 3.
Включите лазер и, регулируя положения поляризаторов и фотодатчика, добейтесь попадания светового пучка на фотодатчик.
Включите микроамперметр и, вращая поляризаторы, убедитесь, что микроамперметр реагирует на эти вращения. (Сила тока пропорциональна интенсивности света.)
Установите анализатор (поляризатор По, на оправе которого нанесена шкала с ценой деления в 1°) в положение «90» и, вращая поляризатор П1, добейтесь полного непрохождения светового пучка через анализатор. (Визуально видно, что при некотором положении поляризатора П1 освещенность фотодатчика практически пропадает. Показание микроамперметра при этом обращается в нуль.) В соответствии с законом Малюса (1), этому взаимному расположению поляризаторов соответствует значение угла q равное 90°.
Установите анализатор в положение «О» и, вращая его, снимите зависимость /(а). Измерения проведите в диапазоне изменения а от 0° до 240°. Диапазон 0° < а < 30° исследуйте более подробно. Результаты измерений и расчетов занесите в таблицу.
№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
0°
18°
30°
42°
54°
60°
72°
90°
120°
150°
180°
210°
240°
I, мкА
cos а
1.0
0.95
0.87
0.74
0.59
0.50
631
0.0
ж = cos2 а
1.0
0.90
0.75
0.55
035
025
0.10
0.0
Оцените погрешности измерений. Погрешности измерений I —— приборные и указаны в документации на прибор, погрешность измерения △а = 1°.
По результатам эксперимента на миллиметровой бумаге постройте график зависимости /(cos2 а).
Сделайте соответствующие выводы.
Контрольные вопросы
Что такое поляризованный свет?
Что такое естественный свет?
Какие вещества могут являться поляризаторами?
В чем состоит закон Малюса?
Объяснить, как может быть устроен фотодатчик.
ЛИТЕРАТУРА
Бутиков Е. И., Кондратьев А. С. Физика. Кн. 1. Механика.——М.: Физматлит, 2000. 3 52 с.
Бутиков К Ж, Кондратьев А. С. Физика. Кн. 2. Электродинамика. Оптика. —М.: Физматлит, 2000. 336 с.
Бутиков К 〃.，Кондратьев А. С, Уздин В. М Физика. Кн. 3. Строение и свойства вещества.——М.: Физматлит, 2000. 336 с.
Иродов И. К Основные законы механики.——М.: Высшая школа, 1978. 240 с.
Иродов И. £. Волновые процессы. Основные законы.——М.: Лаборатория базовых знаний, 1999. 256 с.
Иродов И. £. Электромагнетизм. Основные законы.——М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. 3 52 с.
Иродов И. £. Физика макросистем. Основные законы.——М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. 200 с.
Калашников С. Г. Электричество.——М.: Наука, 1983. 608 с.
Кикоин А. К., Кикоин И. К. Молекулярная физика.——М.: Наука, 1979. 448 с.
Кроуфорд Ф. Волны. —М.: Наука, 1976. 528 с.
Парселл Э. Электричество и магнетизм. —М.: Наука, 1975. 440 с.
Рейф Ф. Статистическая физика.——М.: Наука. 1975. 440 с.
Сивухин Д. А Общий курс физики. Т. I. Механика. —М.: Наука, 1979. 560 с.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. —М.: Наука, 1979. 560 с.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. IV Оптика.——М.: Наука, 1980. 752 с.
Тамм 〃. Е. Основы теории электричества. —М.: Наука, 1961. 326 с.
Учебное издание
ШУТОВ Владимир ИвановичСУХОВ Вячеслав ГригорьевичПОДЛЕСНЫЙ Дмитрий Владимирович
ЭКСПЕРИМЕНТ В ФИЗИКЕ.
ФИЗИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ
Редактор Т.Б. БарышеваОригинал-макет автора
Подписано в печать 29.06.05. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Ус л. печ. л. 11,5. Уч.-изд. л. 12,7. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивовв ФГУП «Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ»140010, г. Люберцы, Московская обл., Октябрьский пр-т, 403
ISBN 5-9221-0632-5
1. К пружине подвешивают груз mi = 100 г. Растягивают ее на расстояние 化1 от положения равновесия. Измеряют время 20 колебаний.
3. К пружине подвешивают груз тз = 300 д пружину растягивают на расстояние 化з > 出 от положения равновесия. Измеряют время 20 колебаний.
ШУТОВ В. Н, СУХОВ BI, ПОДЛЕСНЫЙ д. в.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯФИЗИКА
ФИЗМАТЛИТ 2005
УДК 53(07.07)
ББК 22.317я 721
Ш97
Шутов В. И., Сухов В. Г., Подлесный Д. В. Эксперимент в физике. Физический практикум. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 184 с.— ISBN 5-9221-0632-5.
Описаны экспериментальные работы, входящие в программу физикоматематических лицеев в рамках физического практикума. Пособие представляет собой попытку создания единого руководства для проведения практических занятий в классах и школах с углубленным изучением физики, а также для подготовки к экспериментальным турам олимпиад высокого уровня.
Вводный материал традиционно посвящен методам обработки экспериментальных данных. Описание каждой экспериментальной работы начинается с теоретического введения. В экспериментальной части приводятся описания экспериментальных установок и задания, регламентирующие последовательность работы учащихся при проведении измерений. Приводятся образцы рабочих таблиц для записи результатов измерений, рекомендации по методам обработки и представления результатов и требования к оформлению отчетов. В конце описаний предлагаются контрольные вопросы, ответы на которые учащиеся должны подготовить к защите работ.
Для школ и классов с углубленным изучением физики.
ISBN 5-9221-0632-5ISBN 5-9221-0632-5© ФИЗМАТЛИТ, 2005© В. И. Шутов, В. Г. Сухов,© ФИЗМАТЛИТ, 2005© В. И. Шутов, В. Г. Сухов,Д. В. Подлесный, 2005Д. В. Подлесный, 2005
ISBN 5-9221-0632-5
ISBN 5-9221-0632-5
© ФИЗМАТЛИТ, 2005
© В. И. Шутов, В. Г. Сухов,
© ФИЗМАТЛИТ, 2005
© В. И. Шутов, В. Г. Сухов,
Д. В. Подлесный, 2005
Д. В. Подлесный, 2005
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ......................................5
Погрешности физических величин. Обработка результатов измерений .7
Практическая работа 1. Измерение объема тел правильной
формы .................................... 16
Практическая работа 2. Исследование прямолинейного движения тел в поле земного тяготения на машине Атвуда ............ 21
Практическая работа 3. Сухое трение. Определение коэффициента трения скольжения ........................... 25
Теоретическое введение к работам по колебаниям ............. 31
Практическая работа 4. Изучение колебаний пружинного маятника36
Практическая работа 5. Изучение колебаний математического
маятника. Определение ускорения свободного падения ........ 42
Практическая работа 6. Изучение колебаний физического маятника47
Практическая работа 7. Определение моментов инерции тел пра
вильной формы методом крутильных колебаний ........... 53
Практическая работа 8. Изучение законов вращения твердого тела на крестообразном маятнике Обербека ................. 59
Практическая работа 9. Определение отношения молярных тепло
емкостей воздуха .............................. 64
Практическая работа 10. Стоячие волны. Измерение скорости волны в упругой струне ............................ 70
Практическая работа 11. Определение отношения cplcv для воздуха в стоячей звуковой волне ........................ 76
Практическая работа 12. Изучение работы электронного осциллографа81
Практическая работа 13. Измерение частоты колебаний путем исследования фигур Лиссажу ....................... 91
Практическая работа 14. Определение удельного сопротивления нихромовой проволоки ........................... 95
Практическая работа 15. Определение сопротивления проводников компенсационным методом Уитстона ................ 101
Практическая работа 16. Переходные процессы в конденсаторе.
Определение емкости ............................ 106
Практическая работа 17. Определение напряженности электрического поля в цилиндрическом проводнике с током ........... 112
Практическая работа 18. Исследование работы источника в цепи постоянного тока .............................. 116
Практическая работа 19. Изучение законов отражения и преломления света123
Практическая работа 20. Определение фокусных расстояний со
бирающей и рассеивающей линз ..................... 128
Практическая работа 21. Явление электромагнитной индукции.
Исследование магнитного поля соленоида ................ 137
Практическая работа 22. Исследование затухающих колебаний . . 143
Практическая работа 23. Изучение явления резонанса в цепи переменного тока .............................. 150
Практическая работа 24. Дифракция Фраунгофера на щели.
Измерение ширины щели «волновым методом» ............ 157
Практическая работа 25. Дифракция Фраунгофера. Дифракционная решетка как оптический прибор ................... 163
Практическая работа 26. Определение показателя преломления стекла «волновым» методом ........................ 169
Практическая работа 27. Определение радиуса кривизны линзы в
эксперименте с кольцами Ньютона .................... 174
Практическая работа 28. Исследование поляризованного света . . 178
Литература183