Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Представленные методические рекомендации к решению задач по физике к разделу «Механика» предназначены для того, чтобы помочь в самостоятельной работе учащегося со школьным учебником 9-го класса. После разбора теоретического материала по учебнику надо проверить себя по приведенным в книге контрольным вопросам. Составлены разные контрольные вопросы: простые — на проверку основных формулировок и законов — и более сложные — для ответа на них надо применить полученные знания. Для самопроверки приведены подробные ответы на все вопросы.
После овладения теоретическим материалом и формулами можно переходить к решению задач, что является хорошим средством творческого применения теории на практике. Задачи разнообразны по содержанию, но можно выделить группы типовых задач, методика и способы решения которых приведены в пособии. Даются задачи разного уровня трудности, начиная с простых и кончая довольно сложными. Таким же образом подобраны и задачи для самостоятельного решения. Кроме того, приводятся и нестандартные задачи повышенной трудности.
Следует отметить, что вопросы статики твердого тела и гидродинамики (часть III) школьники изучают в 8-ом классе, когда им еще трудно понять фундаментальную роль законов Паскаля и Архимеда. Часть III данного пособия способствует более глубокому пониманию этих разделов механики.
Методические рекомендации к решению задач по физике также могут быть использованы педагогами для работы с учениками на уроках и для домашних заданий.
Основной структурный раздел книги — часть. Нумерация разделов, формул и задач в каждой части своя.
КИНЕМАТИКАМАТЕРИАЛЬНОЙ
ТОЧКИ
ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Решение задач всех разделов удобно начинать с краткой записи условия, где необходимо отразить не только данные числовые значения, но и все дополнительные условия, которые следуют из текста задачи: неизменность или кратность каких- либо параметров, их граничные значения, условия, которые определяются физическим содержанием задачи (например, отсутствие трения, постоянство ускорения и т. и.).
Очень важно правильно поставить вопрос к задаче. Возможны следующие варианты:
найти значение какого-либо параметра (при постановке такого вопроса трудностей не возникает);
на сколько одна величина больше другой (здесь надо найти разность двух значений одного параметра — скорости, силы ит. д., то есть Дж = ж 2 — жх);
во сколько раз одна величина больше или меньше другой (надо найти отношение Ж2/Ж1 или Ж1/Ж2);
если стоит вопрос: «Как изменился какой-либо параметр?», то можно выбрать второй или третий вариант вопроса в зависимости от данных задачи; если в условии дана кратность ряда параметров, то надо найти отношение искомых величин.
Надо проверить, все ли заданные величины в задаче находятся в одной системе единиц. Если величины даны в разных системах, их следует выразить в единицах системы, принятой для решения. Предпочтение отдается системе СИ, но не всегда.
Обязательно надо нарисовать рисунок к задаче, на котором следует обозначить те параметры (расстояния, силы, размеры тел и прочее), которые даны, и те, которые нужно найти. Рисунок особенно необходим, если используемые уравнения заданы в векторной форме. В этом случае надо нарисовать систему координат, относительно которой следует записать векторное уравнение в проекциях. Рисунок в большинстве случаев сильно облегчает процесс решения задачи.
Необходимо обдумать физическое содержание задачи, выяснить, к какому разделу она относится и какие законы в
ней надо использовать. Задачи могут быть комбинированные, решение их требует использования законов нескольких разделов физики. В задачах механики обычно первый вопрос, который надо поставить перед собой: каков характер движения?
Далее следует записать формулы, соответствующие используемым в задаче законам, не следует сразу искать неизвестную величину; надо посмотреть, все ли параметры в формуле известны. Если число неизвестных больше числа уравнений, надо добавить уравнения, следующие из условия и рисунка, то есть свести задачу от физической к математической.
Решение задачи чаще всего следует выполнять в общем виде, то есть в буквенных обозначениях. Решение «по действиям» может не получиться, так как некоторые неизвестные побочные параметры могут сократиться лишь при решении до конца в общем виде. Поэтому не надо бояться вводить параметры, не фигурирующие в условии задачи. Если же преобразования очень громоздки, то можно произвести промежуточные числовые расчеты.
Получив решение в общем виде, нужно проверить размерность полученной величины. Для этого в формулу подставить не числа, а размерности входящих в нее величин. Ответ должен соответствовать размерности искомой величины (смотрите в примерах).
После проверки формулы на размерность следует подставить численные значения входящих в нее величин и произвести расчет.
Далее нужно проанализировать и сформулировать ответ.
ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ
Физическая величина, которая характеризуется только положительным или отрицательным числом, называется скалярной. Примером являются время, длина, площадь, масса, температура и т. д. Значение скалярной величины зависит от выбора системы единиц. Над скалярными величинами можно производить любые алгебраические действия. Полученные в результате таких операций новые величины всегда будут скалярными.
Физическая величина, которая характеризуется не только численным значением, но и направлением в пространстве, называется векторной величиной или вектором. Над векторной величиной ставится стрелочка (например, а или V). В расчет-
ных задачах обычно требуется найти численное значение вектора (модуль его), модуль вектора обозначается: |а| или просто «а».
На чертеже вектор представляется отрезком прямой со стрелкой в конце; длина вектора пропорциональна его численному значению.
В задачах механики приходится складывать векторы, вычитать или находить составляющие вектора по заданным направлениям, то есть найти векторы, сумма которых равна данному вектору.
Сложение векторов. Пусть требуется сложить два вектора а и 6, расположенных под некоторым углом друг к другу (рис. 1.1а), то есть найти вектор с = а + Ь. Для этого вектор b перенесем параллельно самому себе так, чтобы его начало совпадало с концом вектора а, и соединяем начало вектора а с концом вектора Ь. Получившийся отрезок и есть вектор суммы: с = = а + Ь (рис. 1.15). Векторы а и b можно сложить и по правилу параллелограмма (рис. Lie). В этом случае вектор b переносим параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом вектора а. На векторах а и b строим параллелограмм. Диагональ, проведенная через точку совмещения векторов а и b является результирующим вектором или вектором суммы: с = а + Ь. Векторы а и b называются составляющими векторами.
Для нахождения результирующего вектора надо воспользоваться теоремой косинуса или теоремой Пифагора, если а = 90° (рис. 1.1 г). Предпочтительнее второй способ сложения, так как здесь удобнее отметить угол а между векторами.
Вспомним теорему косинуса: квадрат
длины любой стороны в треугольнике равен сумме квадратов длин двух других сторон минус удвоенное произведение длин этих сторон на косинус угла, лежащего против искомой стороны (рис. 1.2):222 о
% —х + у —2x?/cos7.
абабРис. 1.2 Рис. 1.3Рис. 1.2 Рис. 1.3Если два вектора а и b параллельны и направлены в одну сторону (рис. 1.3 а), то результирующий вектор с направлен в ту же сторону и модуль его равен сумме модулей составляющих векторов |с| = |а| + \Б\ (рис. 1.3 б).
аб
аб
Рис. 1.2 Рис. 1.3
Рис. 1.2 Рис. 1.3
Вычитание векторов. Пусть в пространстве заданы век
торы а и 6, надо найти с, равный разности векторов а и Б; с = а —Б (рис. 1.4а). Перенесем вектор b параллельно самому себе и совместим его начало с началом вектора а (рис. 1.4 5). Концы векторов соединим. Вектор, начало координат которого в конце вектора 6, а конец — в конце вектора а, и есть вектор с: с = а — Ь.
Вычитание вектора b из вектора а можно заменить сложением вектора а с вектором (—Б): с — а — (—Б). Вектор (—6) равен по величине вектору 6, но направлен противоположно (рис. 1.4 в). Используя правило параллелограмма, построим вектор с. Его величину можно найти, воспользовавшись теоремой косинуса или теоремой Пифагора (если а = 90°).
Если два вектора антипараллельны, то
есть направлены в противоположные сторо-рИс. 1.4
ны (рис. 1.5 а), то результирующий вектор
направлен в сторону большего вектора и модуль его равен разности модулей векторов Б и а (рис. 1.5 б): |с| = \Б\ — |а|.
Ьс
j1'<1
б
Рис. 1.5
Проекции точки и вектора на координатную ось. Проекцией точки на некоторую прямую или координатную ось называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на ось (рис. 1.6 а).
св ^А
О *
\ хв сх :жл
Рис. 1.6
Основанию перпендикуляра соответствует некоторое число, определяющее расстояние от начала координат до точки А. Данное значение хд называется координатой точки А.
На рис. 1.6 б-ж изображен вектор с, лежащий в одной плоскости с осью Ох. Для того, чтобы найти проекцию вектора с на ось, надо поступить следующим образом: из начала (т. Л) и конца (т. В) вектора с опускаем перпендикуляры на ось, точки Аж и Вж — это проекции точек Л и В на ось Ох. Длину отрезка АЖВЖ между проекциями начала и конца вектора с называют проекцией этого вектора на ось Ох. Обозначается проекция вектора той же буквой, что и вектор, но без стрелки над ней и с индексом, соответствующим оси, т. е. сж.
Величина проекции вектора сж равна разности координат начала (жд) и конца (ж#) вектора: сж = хв — хд.
Пусть вектор с составляет некоторый угол а с положительным направлением оси.
Тогда, если 0° < а <90°, то сх >0 (так как ж в >жа) (рис. 1.6 б). Если же 90° < а < 180°, то сж < 0 (так как ж в < ж а) (рис. 1.6 в). То есть если вектор направлен вдоль оси, то проекция этого вектора положительна, если против оси — проекция отрицательна. Величина проекции вектора в первом случае сж = с-cosо, а во втором случае: сж = с • cos (180° — о).
Если вектор с перпендикулярен оси, то величина проекции вектора на ось равна нулю (рис. 1.6 г, д\
Если же вектор параллелен оси и направлен вдоль нее (рис. 1.6 е), то величина его проекции равна величине вектора с: сж = с. В том случае, когда вектор параллелен оси и направлен против нее (рис. 1.6 эю^ то сж = —с.
Разложение вектора на составляющие. Пусть тело движется на юго-запад в направлении, составляющем некоторый угол к меридиану, г — вектор перемещения тела (рис. 1.7 а). При таком движении тела оно одновременно перемещается и в западном и в южном направлениях: гю и г3 (рис. 1.7 б\
Рис. 1.7
Другой пример: тело лежит на наклонной плоскости (рис. 1.7 в), на него действует сила тяжести F (F = тд^ направ-
ленная вертикально вниз. Сила тяжести, с одной стороны, оказывает давление на опору, а с другой стороны, способствует скатыванию тела вниз по наклонной плоскости. Поэтому можно выделить составляющие силы тяжести в направлении Ох — вдоль наклонной плоскости (эта составляющая обеспечивает движение вниз — Fж), и в направлении Оу. перпендикулярном к опоре тела (эта составляющая обеспечивает давление тела на опору — FyY Из рис. 1.7 б и г видно, что векторная сумма составляющих векторов равна данному вектору: г ю + г 3 = г; Fx + Fy — F.
Оси, по которым надо разложить заданный вектор с, могут быть ориентированы произвольно, и начало координат не обязательно совпадает с началом вектора. На рис. 1.7 д сх и су — составляющие вектора с по направлениям х и у. Для нахождения составляющих векторов по двум взаимоперпендикулярным направлениям надо найти проекции начала и конца вектора с. Затем построить векторы, направленные по оси от проекции начала вектора с к проекции его конца (на рис. 1.7 д) (это векторы сж и су\
Величины составляющих векторов можно выразить через величину вектора с с помощью тригонометрических функций угла cv. II I I *
|сж| — -cos а; |с^| = - sinа.
Бывают задачи, когда надо найти составляющие вектора по двум направлениям, между которыми угол ср не равен 90° (рис. 1.7 в). Для удобства начало координат совместим с началом вектора с, а оси обозначим ОХ и OY (в отличие от прямоугольной системы координат). На прямых ОХ и OY построим параллелограмм, диагональю которого является вектор с; с% и су — составляющие вектора по направлениям ОХ и OY. Величины составляющих векторов в таких случаях находятся по теореме косинуса.
. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Содержание теоретического материала
Механическое движение. Поступательное движение тел. Материальная точка. Определение положения тела в пространстве: тело отсчета и система координат. Система отсчета. Траектория. Перемещение и путь. Равномерное прямолинейное движение. Скорость. Единица скорости. Уравнение координаты при равномерном прямолинейном движении. Графическое представление движения: графики зависимости от времени скорости, координаты, пути и перемещения. Относительность механического движения. Теорема сложения скоростей.
Вопросы к теоретическому материалу
Что называется механическим движением? Приведите примеры механического движения.
Какие объекты могут быть названы материальной точкой?
Перед конструктором космической лаборатории поставлены три задачи: какова вероятность попадания в лабораторию метеорита? За какое время лаборатория переместится с Земли на орбиту? Как сильно может разогреться оболочка от движения воздуха? Какие из этих вопросов он может решить, считая лабораторию материальной точкой?
Можно ли сваю принять за материальную точку, если подъемный кран ее: а) поднимает с земли за один конец; б) перемещает горизонтально?
Что называется телом отсчета? Как определить положение тела: а) на плоскости, б) в пространстве? в) в каком случае положение движущегося тела можно определить одной координатой?
Кладоискатели нашли записку: монеты зарыты на расстоянии 5 шагов от старого дуба, глядя на заходящее солнце; копать на 7 штыков лопаты. Нарисуйте план и укажите на нем положение клада. Что в данном случае является телом отсчета и как удобно направить оси координат?
Объясните, верны ли в известном мультфильме «33 попугая» слова удава: «...Ав попугаях я длиннее!»
Какие элементы включает в себя система отсчета?
Что такое траектория движения?
Нарисуйте траекторию падающего в движущемся вагоне тела в системах отсчета, связанных: а) с пассажиром, сидящим в вагоне, б) с электрическим столбом у дороги.
Нарисуйте траекторию конца винта самолета относительно а) другой точки винта, б) летчика, в) наблюдателя на Земле.
Нарисуйте траекторию точки на ободе колеса движущегося автомобиля в системе отсчета, связанной а) с осью колеса, б) с наблюдателем на Земле.
Что собой представляет любая запись в тетради?
Что такое длина пути (путь)? Что такое перемещение?
Траектории центров двух тел пересекаются. Столкнутся ли тела?
Траекторией тела является окружность радиуса R (рис. 1.8). Чему равна длина пути и модуль вектора перемещения, если: а) тело переместилось из точки А в точку В7 б) из точки А в точку (7? в) вернулось в точку А?
В каком случае величина пути численно равна модулю вектора перемещения?
Постройте проекции вектора перемещения г на оси Ох и Оу и найдите их величины во всех случаях (рис. 1.9).
Рис. 1.9Рис. 1.9
Рис. 1.9
Рис. 1.9
Какое движение называется равномерным прямолинейным?
Что называется скоростью равномерного движения?
Как определяются координаты тела при прямолинейном равномерном движении?
Нарисуйте графики скорости, координаты и пути (или перемещения) в зависимости от времени при равномерном прямолинейном движении для двух тел, движущихся из одной точки в противоположных направлениях с разной скоростью (например, fi > ^2)-
В чем заключается относительность механического движения? Приведите примеры. Как понимать относительность покоя?
Сформулируйте теорему сложения скоростей. Приведите примеры.
Человек на ходу должен спрыгнуть с подножки движущегося поезда. Как ему надо прыгнуть: по ходу поезда или против, чтобы уменьшить последствия падения? Куда должно быть обращено лицо? Ответ обоснуйте.
По реке плывет весельная лодка и рядом с ней плот. В каком направлении надо грести, чтобы расстояние между лодкой и плотом быстрее стало равным 10 м? Скорость лодки относительно воды неизменна при движении по течению и против течения.
Опытный игрок в бадминтон, принимая быстро летящий волан, стремительно пятится. Почему в этом случае ему удается точнее парировать удар?
Ответы
Механическим движением называется изменение положения данного тела относительно других тел или изменение положения одних частей тела относительно других его частей.
Тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи. Примеры: а) в одной задаче рассматривается движение поезда через мост, в другой — тот же поезд движется из Москвы в Санкт-Петербург; в первом случае поезд нельзя считать материальной точкой, во втором случае — можно; б) в одной задаче рассматривают движение спутника Земли, в другой — движение Земли вокруг Солнца; во втором случае Землю можно считать материальной точкой, а в первом — нет.
Кроме того, при поступательном движении тела все его точки движутся одинаково. Поэтому для изучения движения в этом случае достаточно проследить за движением какой-либо одной точки тела, которую тоже можно рассматривать как геометрическую точку, обладающую некоторой массой.
2 С. В. Трубецкова
Во втором случае. В первом и третьем существенны размеры и форма траектории.
В первом случае нельзя, так как движение сваи является поступательным. Напомним, что поступательным называется
движение, при котором все точки тела движутся по одинаковым параллельным траекториям. Во втором случае движение сваи будет поступательным. Поэтому ее движение в целом можно определить, рассмотрев любую точку сваи.
1.6.1.6.Тело, которое мы принимаем за неподвижное при изучении какого-либо движения. Надо с телом отсчета связать систему координат: а) двумерную, в) трехмерную, в) при движении тела вдоль прямой.
1.6.
1.6.
Основание
дуба - 12345 Запад
:i>
; Расстояние
] (в шагах)
4;
КладКлад6
Клад
Клад
8
Глубина(в штыках лопаты)
Рис. 1.10
Нет, так как при измерении длины удава попугаями, мартышками и слоненками берутся разные эталоны (или единицы) длины.
Тело отсчета, связанная с ним система координат и указание начала отсчета времени представляют собой систему отсчета.
Непрерывная линия, по которой перемещается материальная точка в выбранной системе отсчета называется траекторией.
Выделенные слова в данном определении обычно забывают сказать, а они очень существенны. Это будет ясно, если вы обдумываете ответы на три последующих вопроса.
абабРис. 1.11Рис. 1.11
аб
аб
Рис. 1.11
Рис. 1.11
1.11.1.11.аТочкааТочкаОкружностьОкружностьРис. 1.12Рис. 1.12ШГ5ШГ5вСпиральвСпиральОкружностьОкружностьЦиклоидаЦиклоидаРис. 1.13Рис. 1.13
1.11.
1.11.
а
Точка
а
Точка
Окружность
Окружность
Рис. 1.12
Рис. 1.12
ШГ5
ШГ5
в
Спираль
в
Спираль
Окружность
Окружность
Циклоида
Циклоида
Рис. 1.13
Рис. 1.13
Траектория конца ручки в системе отсчета, связанной с тетрадью.
Путь — длина траектории, описанной материальной точкой за некоторый промежуток времени. Если ниточку выложить вдоль траектории, а затем растянуть и померить, то получим величину пройденного пути.
Путь — величина скалярная. Величина
пройденного пути относительна, то естьД
зависит от выбора системы отсчета.д /\ в
Перемещением называется вектор, соединяющий начальную и конечнуюрис jдд
точки движения, начало вектора — в
исходной точке Л, конец вектора — в конечной точке В (рис. 1.14). Модуль вектора перемещения равен расстоянию между точками А и В.
В
Однозначно ответить нельзя, пока неизвестны параметры тел и время /X \ их прихода к точке пересечения траек-//;\
торий.^ Т *^>7 0
а) 31 = 2тг/?/4 = 0,57гН; \гг\=\/
= г • V2 (по теореме Пифагора из
^ABOY б) S2 = ^R^ = 77R; |f2| =Рис L15
= 2/?: в) дз = 2тг/?; |гз| = 0 (рис. 1.15).
При прямолинейном движении в одном направлении s = |г|. 2*
а) гж = г • cos о; гу = г • sin о; б) гж = г; гу = 0; в) гж — — ^ • cos ас гу = —г • sin а: г) гж = 0; гу = —г (рис. 1.16).
Рис. 1.16Рис. 1.16
Рис. 1.16
Рис. 1.16
Равномерным прямолинейным движением называют такое движение, при котором материальная точка, двигаясь вдоль прямой, за любые равные промежутки времени проходит пути равной длины.
Строго говоря, следует отличать скорость перемещения тела в пространстве и скорость движения тела вдоль траектории. Скоростью перемещения при равномерном прямолинейном движении называют векторную величину, равную отношению перемещения тела г к промежутку времени, в течение которого было совершено перемещение:
v = r/t.
Направление вектора скорости перемещения совпадает с направлением вектора перемещения (рис. 1.17 а).
1 г 21 г 2аа
1 г 2
1 г 2
а
а
Рис. 1.17
Скоростью движения тела вдоль траектории (иногда говорят — путевая скорость) называется отношение пути, пройденного телом, ко времени, за которое данный путь пройден:
V = s/t.
Выше мы отметили, что величина вектора перемещения и пройденный путь совпадают при прямолинейном движении в одном направлении. Поэтому в таком случае и значение скорости перемещения совпадает со скоростью движения.
Пусть тело движется по криволинейной траектории и из точки 1 в точку 2 перемещается за 2 с (рис. 1.17 б\ В приведенном масштабе величина вектора перемещения равна 3 м, а путь — 6 м. В соответствии с этим значение скорости перемещения — 1,5 м/с, а скорость движения вдоль траектории — 3 м/с. Для рис. 1.17 а значения той и другой скорости совпадают и равны 2 м/с (t = 2 с).
Из рис. 1.17 б видно, что величина вектора перемещения и его направление меняются от точки к точке, и соответственно величина скорости перемещения тела и направление ее вектора также меняется. Поэтому можно говорить о средней скорости перемещения тела за данный промежуток времени. О средней скорости будем еще говорить ниже при рассмотрении неравномерного движения.
В большинстве задач, если нет никаких специальных оговорок, речь идет о скорости движения вдоль траектории.
Пусть тело движется прямолинейно и равномерно со скоростью v (рис. 1.18). В момент времени, когда за телом начали наблюдать, тело находилось в точке Л, на расстоянии жд от тела отсчета (т. О). С телом отсчета связана одномерная система координат — ось Ож, направленная вдоль скорости. Координата тела в начальный момент времени — жд — называется начальной координатой. За время t тело в направлении оси пройдет путь s = v • t. Координата возрастает и в момент времени t станет равной (рис. 1.18 а)
Ж = Жд + S = Жд + Ж • t.
Если вектор скорости б направлен противоположно оси Ож, то в этом случае (рис. 1.18 б)
X = Жд — 8 = Жд — |ж | • t.
Объединив оба случая, уравнение координаты для равномерного прямолинейного движения можно записать так:
Ж = Жд±5 ИЛИ Ж = Ж()±|ж|-£.
Знак « + » или « —» определяется направлением скорости по отношению к оси Ох.
Если скорость направлена под углом к осям ж и ^ то перемещения, совершенные точкой в направлении осей зж = |?7Ж| -t, зу = 1^1 * ^ и уравнения координат для этого случая будут (рис. 1.18 в) иметь вид
ж = ж0±|уж|-#, у = уо±|^|-Л
Движение равномерное прямолинейное, поэтому скорость с течением времени не меняется. Из рис. 1.19 а видно, что |щ| > |??21; проекция вектора скорости щ положительна, следовательно, тело движется вдоль выбранного направления Ох (во втором случае — против оси Ох).
Рис. 1.19
Уравнение координаты: х = х^ ± |?7Ж| • t. В соответствии с уравнением график координаты представлен на рис. 1.19 б. Прямая 1 соответствует знаку « + » в уравнении, а прямая 2 — знаку « —». Координата первого тела возрастает, так как оно движется вдоль оси Ох. Координата второго тела убывает, так как скорость его направлена против оси Ох. В момент времени t1 второе тело проходит мимо тела отсчета.
Пройденный телом путь является скалярной величиной и определяется формулой s = |?7| • t, он может быть только положительным, независимо от направления движения тела. В соответствии с формой графики пути представлены на рис. 1.19 в.
Величина проекции вектора перемещения определяется формулой г = ж — жд, где х — координата конечной точки перемещения. Нетрудно понять, что при движении тела вдоль оси г > 0, а против оси — г < 0 (рис. 1.19 г). Обратите внимание, что угол наклона графиков 1 и 2 к оси абсцисс (см. рис. 1.19 5) не одинаков; величина угла наклона зависит от скорости, большей скорости соответствует больший угол наклона.
Описания движения тел относительно разных систем отсчета отличается в том случае, когда эти системы движутся относительно друг друга. В системе отсчета, связанной с Землей, сидящий в движущемся вагоне пассажир движется, а относительно системы, связанной с вагоном, тот же пассажир будет неподвижным. Всякий предмет, неподвижный относительно Земли, движется вместе с ней относительно Солнца.
Два движущихся относительно Земли тела можно считать неподвижными относительно друг друга, если расстояние между ними и взаимное их расположение не меняются. Пример: два автомобиля, движущиеся по дороге в одном направлении с одной скоростью, относительно друг друга находятся в относительном покое. Таким образом, абсолютного покоя нет: одно и то же тело одновременно совершает различные движения относительно разных тел, то есть говорить и движении или покое можно тогда, когда указано и тело отсчета.
Скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчета (f) равна векторной сумме скорости этого тела относительно подвижной системы отсчета (щ) и скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы (fo):
v f = f i + f2-
Примеры: 1) скорость самолета относительно Земли (f) равна векторной сумме скорости самолета относительно воздуха (fi) и скорости воздуха (ветра) (#2) относительно Земли;
скорость лодки относительно берега (f) равна векторной сумме скорости лодки относительно воды (собственная скорость лодки — fi) и скорости воды (скорость течения — #2) относительно берега.
Ответ начнем с цитаты из книги бывшего разведчика В. Суворова «Аквариум»: «По нашему заказу Академия наук разработала методику прыжков с поезда... Математические формулы тебе не нужны, пойми только вывод: из стремительно несущегося поезда надо прыгать задом и назад; приземляться на согнутые ноги, стараясь сохранить равновесие и не коснуться земли руками. В момент касания земли надо мощно оттолкнуться и несколько секунд продолжать бег по ходу поезда, постепенно снижая скорость. Тренированность и физическая сила при этом должны быть отменными». Прыгать надо «задом и назад» для того, чтобы уменьшить в момент приземления свою скорость относительно Земли (f). Поэтому при отталкивании скорость человека (щ) должна быть направлена противопо-
ложно скорости поезда (^2). По теореме сложения скоростей v = гц + V2 (в векторной форме), а
^^^в проекциях на ось Ох для данного
У2 >случая v = г^2 — х\ (рис. 1.20), то есть
скорость человека относительно Зем- Ох ли меньше скорости поезда на вели-
рис j 20чину скорости человека относительно
поезда щ. Лицо при прыжке должно быть обращено в сторону возможного падения, так как для избежания падения человек должен бежать по ходу поезда.
Быстрее лодка и плот удалятся друг от друга на 10 м в случае, если грести против течения так как их относительная скорость (скорость удаления) будет равна сумме их скоростей относительно Земли.
Движение игрока по ходу волана уменьшает скорость волана относительно ракетки. Поэтому увеличивается время движения волана до ракетки и игрок имеет возможность лучше приготовиться к удару.
Основные формулы
Скорость перемещения
Скорость равномерного движения телавдольтраектории (путевая СКОРОСТЬ)s/1х
и =(1.1)
При прямолинейномдвижениителаводномнаправлении
значения этих скоростей совпадают.
Уравнения координаты для равномерного движения ж = жо±г-Т(1-2)
х — координата в момент времени Т ж о — начальная координата. Путь при прямолинейном движении в одном направлении (или модуль вектора перемещения)
5 = |Ж-ЖО|.(1.3)
Аналогично находится расстояние г между точками с заданными координатами жх и х^
г=|®1-ж2|.(1.3')
Теорема сложения скоростей:
V = Щ +Ж2^(1-4)
ж — скорость движения тела относительно неподвижной системы координат, 5^ — скорость тела относительно подвижной системы координат, 5^ — скорость подвижной системы координат относительно неподвижной.
Методика решения задач
Задачей кинематики является определение параметров, характеризующих движение тела, без рассмотрения причин, вызывающих движение (сил). Кинематическими параметрами являются скорость, координата, путь (или перемещение) и время, при равнопеременном движении еще и ускорение.
В большинстве задач кинематики движущееся тело можно рассматривать как материальную точку. Если же размеры тела сравнимы с величиной пройденного пути, то это надо учесть при решении задачи.
Если после анализа условия задачи установлено, что тело движется равномерно и прямолинейно, то число используемых формул невелико: (1.1)-(1.3).
Законом движения (уравнением движения) материальной точки является зависимость координаты от времени, заданная уравнением или графиком.
По заданному уравнению движения, сравнивая его с уравнением (1.2) в общем виде, можно найти значение скорости, направление скорости по отношению к направлению оси ж, начальную координату. Можно построить график зависимости координаты от времени. Так как график — прямая, то для его построения достаточно двух точек. Надо задать два произвольных, но удобных для расчета момента времени £х и ^ и вычислить значения соответствующих координат жх и Ж2. Затем надо поставить точки на заготовленную систему координат с нанесенным на оси масштабом. Через эти точки (Ч — жх, t^ — Ж2) провести прямую, которая и представит нужный нам график.
Задачи, в которых рассматривается независимое движение нескольких тел относительно друг друга или относительно некоторого тела отсчета, решать удобно с помощью уравнения для координаты. Для того, чтобы записать уравнение для координаты для первого и второго тела, надо сделать следующее:
сделать к задаче рисунок и определить систему отсчета: выбрать тело отсчета, с ним связать начало системы координат; при прямолинейном движении достаточно одномерной системы
координат; ось координат удобно направить параллельно скорости тела;
определить начальные координаты первого и второго тела;
выбрать начало отсчета времени и записать фактическое время движения каждого тела;
в уравнение (1.2) подставить значение начальной координаты тела и скорости. Если вектор скорости направлен вдоль оси, то в уравнении (1.2) берется знак « + », если против оси, то « —». Время t оставляют аргументом. Получаем законы движения для первого и второго тела;
использовать специальные условия задачи, если они есть. Например, если требуется найти место встречи, то, следовательно, надо приравнять координаты двух тел; если задана разность времен движения двух тел, то выразить ti и t^ в общем виде и найти их разность и т. д.;
решить уравнение или систему уравнений относительно искомого параметра, получить формулу в общем виде.
Задачи такого типа можно решить и графически, что будет сделано ниже на конкретных примерах.
Затруднения обычно вызывают задачи на относительность движения с использованием теоремы сложения скоростей. Надо отметить, что значения скоростей различных тел, которые даются в условиях задачи, являются обычно скоростями тел относительно Земли (если нет специальных оговорок).
Рассмотрим сначала задачи, где тела движутся параллельно в одном направлении или навстречу друг другу.
а) Найдем относительную скорость движения (то есть скорость сближения) двух тел, движущихся со скоростями х\ и ^ относительно Земли в одном и том же направлении.
Скорость первого тела щ относительно Земли равна векторной сумме скорости этого тела относительно второго Щ-2 и скорости второго тела 5^ относительно Земли:
#1 = щ_2 + i?2-
Запишем полученное векторное уравнение в проекциях на ось х (рис. 1.21 а):,
7 щ = щ_2+ г>2.
Отсюда относительная скорость двух движущихся в одном направлении тел
щ_2 = щ-г>2.
Найдем относительную скорость движения двух тел, движущихся со скоростями Xi и х^ относительно Земли навстречу ДРУГ Другу.
Рис. 1.21
Векторное уравнение, соответствующее данному случаю, по теореме сложения скоростей точно такое же, как и в предыду
щем случае:щем случае:#1 = Щ-2 + f2.#1 = Щ-2 + f2.
щем случае:
щем случае:
#1 = Щ-2 + f2.
#1 = Щ-2 + f2.
ось ж (рис. 1.21 б\.ось ж (рис. 1.21 б\.Х\ = fl-2 — f2-Х\ = fl-2 — f2-Запишем полученное векторное уравнение в проекциях на
ось ж (рис. 1.21 б\.
ось ж (рис. 1.21 б\.
Х\ = fl-2 — f2-
Х\ = fl-2 — f2-
Тогда скорость сближения тел, движущихся навстречу друг другу (относительная скорость)
fl-2 = fl + f2.
Отсюда можно сделать вывод, что при движении тел навстречу друг другу их относительная скорость равна сумме их скоростей относительно Земли, а при движении тел в одном направлении их относительная скорость равна разности этих тел относительно Земли.
Представьте себе, что вы идете со скоростью 1 м/с навстречу трамваю, скорость которого относительно Земли 2 м/с. Расстояние между вами и трамваем каждую секунду уменьшается на 3 м, то есть относительная скорость (или можно сказать — скорость трамвая в системе отсчета, связанной с идущим человеком, то есть скорость их сближения) равна 3 м/с. С точки зрения относительности движения для решения задачи можно считать, что трамвай стоит, а вы к нему приближаетесь со скоростью 3 м/с, или наоборот, вы стоите на остановке, а трамвай приближается с той же скоростью.
Используя понятие относительной скорости, решение задачи, где рассматривается движение двух тел, можно упрощать следующим образом: одно тело можно считать неподвижным, а другое движется по отношению к нему со скоростью, равной их относительной скорости.
Пусть тело движется со скоростью щ, которая направлена под углом а к скорости другого тела f2 (с которым связывается подвижная система координат).
Те скорости, которые даются в условии задачи, обычно есть скорости относительно Земли. Из вашего рисунка, используя тригонометрические соотношения в треугольнике, теорему Пи-
фагора или теорему косинуса, можно найти связь между заданными величинами с неизвестными.
Часто в таких задачах удобным может быть и следующий подход: с движущимся телом или с Землей связывается прямоугольная система координат. Направление осей координат выбирают так, чтобы удобнее было находить проекции скоростей. Из одного векторного уравнения получают два уравнения в проекциях, из которых получают нужную величину.
В некоторых задачах можно обходиться без теоремы сложения скоростей, а использовать принцип независимости движений: если тело одновременно участвует в нескольких движениях, то каждое из них совершается независимо от остальных. Например, лодка, переплывающая реку, участвует в двух движениях: одно — под действием тяги мотора поперек реки, другое — под действием течения вдоль реки. Причем время движения от берега к берегу не зависит от скорости течения реки, а зависит только от составляющей скорости лодки в направлении, перпендикулярном берегу.
Примеры решения задач
поезда.Ч = 8 с ^2 — 18 с /м = 200 м f — ?поезда.Ч = 8 с ^2 — 18 с /м = 200 м f — ?Поезд движется мимо наблюдателя на земле в течение 8 с, а мост длиной 200 м он проезжает за 18 с. Определите скорость
поезда.
Ч = 8 с ^2 — 18 с /м = 200 м f — ?
поезда.
Ч = 8 с ^2 — 18 с /м = 200 м f — ?
Движение поезда относительно Земли равномерное, прямолинейное. В первом случае наблюдатель является материальной точкой по сравнению с поездом, поэтому при движении мимо наблюдателя поезд проходит путь si = = /п — ^ * t (рис. 1.22 а). /п длина поезда. Во
втором случае мост нельзя считать материальной точкой, поэтому поезд проходит путь д2 =/п +/м = ^ • ^2 (рис. 1.22 5).
Начало гнаблюдения ; v
i-111-I
Конец ^ i1।11ж наблюдения !
■ ^1 = /п
Через мост /м — длина мостаЧерез мост /м — длина мостаббМимо наблюдателя (т. О) 1п — длина поезда
Через мост /м — длина моста
Через мост /м — длина моста
б
б
а
Рис. 1.22
Тогда7,
In + 1м — V * ^2- Отсюда
^ = ^м/(^2~й);[f] = м/(с — с) = м/с; ж = 20 м/с.
Уравнение движения велосипедиста имеет вид: жх = = (510 — 5/), м, а движение по той же дороге мотоциклиста: ж2 = 12^ м. На каком расстоянии они находились в начальный момент времени? С какими скоростями и в каком направлении они двигались? Где и в какой момент они встретились? Ответ получите аналитически и графически. Уравнения записаны в системе СИ.
жх = (510 — 5t), мЖ2 = 12^ мг — ? жх — ? Ж2 — ?ж — / — 2жх = (510 — 5t), мЖ2 = 12^ мг — ? жх — ? Ж2 — ?ж — / — 2Сопоставляя законы движения для велосипедиста и мотоциклиста с уравнением координаты (2), можно найти значения жо и ж:
жх = (510 — 5t), м
Ж2 = 12^ м
г — ? жх — ? Ж2 — ?
ж — / — 2
жх = (510 — 5t), м
Ж2 = 12^ м
г — ? жх — ? Ж2 — ?
ж — / — 2
ж = жо ±ж£;
жх = 510 — 5?: ж 2 = 12t;
жох = 510 м; Ж02 = 0; жх = 5 м/с; Ж2 = 12 м/с.
Начальная координата мотоциклиста равна нулю, поэтому
начало координат совместим (рис. 1.23); Ж2 > 0, вектор Ж2начало координат совместим (рис. 1.23); Ж2 > 0, вектор Ж2направлен вдоль оси ж, а жх < 0, поэтому жх направлен против оси ж. Расстояние в начальный момент времени г = 510 м.направлен вдоль оси ж, а жх < 0, поэтому жх направлен против оси ж. Расстояние в начальный момент времени г = 510 м.с его начальным положениемЖ02^010500Рис. 1.23с его начальным положениемЖ02^010500Рис. 1.23
начало координат совместим (рис. 1.23); Ж2 > 0, вектор Ж2
начало координат совместим (рис. 1.23); Ж2 > 0, вектор Ж2
направлен вдоль оси ж, а жх < 0, поэтому жх направлен против оси ж. Расстояние в начальный момент времени г = 510 м.
направлен вдоль оси ж, а жх < 0, поэтому жх направлен против оси ж. Расстояние в начальный момент времени г = 510 м.
с его начальным положением
Ж02^01
0500
Рис. 1.23
с его начальным положением
Ж02^01
0500
Рис. 1.23
В момент встречи координата велосипедиста и мотоциклиста одинакова, что является дополнительным условием для нахождения места жв и времени встречи tB:
жв = жх = ж2;
510 —5/в = 12/;
tB = 30 с.
Координата места встречи жв = 12t; жв = 360 м.
Найдем для построения каждого графика по две точки:
t = 0; жх = 510 м;Ж2 = 0.
t = 40 с; жх = 310 м;Ж2 = 480 м.
По этим точкам построим графики движения велосипедиста и мотоциклиста (рис. 1.24). Местом встречи является точка пересечения графиков жх и Ж2. Ей соответствуют значения, полученные аналитически: tB = 30 с; хв = 360 м.
^1 = 20, м/с^2 = 5, м/с г = 100, м At = ^2 — ti = 1, схв - ? tB - ?х’ = 50 м; At' — ? в) яд = 20 м; яд = ? г) М” = 2 с; ж2 — ?t2 = 4 с: г = ?^1 = 20, м/с^2 = 5, м/с г = 100, м At = ^2 — ti = 1, схв - ? tB - ?х’ = 50 м; At' — ? в) яд = 20 м; яд = ? г) М” = 2 с; ж2 — ?t2 = 4 с: г = ?
^1 = 20, м/с
^2 = 5, м/с г = 100, м At = ^2 — ti = 1, с
хв - ? tB - ?
х’ = 50 м; At' — ? в) яд = 20 м; яд = ? г) М” = 2 с; ж2 — ?
t2 = 4 с: г = ?
^1 = 20, м/с
^2 = 5, м/с г = 100, м At = ^2 — ti = 1, с
хв - ? tB - ?
х’ = 50 м; At' — ? в) яд = 20 м; яд = ? г) М” = 2 с; ж2 — ?
t2 = 4 с: г = ?
По прямолинейному шоссе движется велосипедист со скоростью 5 м/с. В некоторый момент времени он находился на расстоянии 100 м от автомобиля, который спустя 1 с поехал навстречу велосипедисту со скоростью 20 м/с. Графически и аналитически определите: а) место и время движения велосипедиста до встречи; б) кто из них раньше пересек среднюю точку между исходными пунктами движения и на сколько раньше; в) где находился велосипедист, когда автомобиль был на расстоянии 20 м от своего исходного пункта; г) какую точку автомобиль пройдет на 2 с раньше велосипедиста; д) какое будет расстояние между ними спустя 4 с после выезда велосипедиста.
Движения велосипедиста и автомобиля равномерные, прямолинейные. За тело отсчета примем точку Л, из которой выехал автомобиль. Совместим с ней начало координат, ось х направим в сторону движения автомобиля (рис. 1.25). На чертеже обозначим направления скоростей х-^ и х^.
мени их встречи удобно использовать уравнение координаты (1.2).мени их встречи удобно использовать уравнение координаты (1.2).В подобных задачах, где рассматривается одновременное движение двух тел, при нахождении места и вре
мени их встречи удобно использовать уравнение координаты (1.2).
мени их встречи удобно использовать уравнение координаты (1.2).
Определим кинематические параметры автомобиля и вело
сипедиста.
Координаты автомобиля и велосипедиста в любой момент времени t (текущие координаты)
Рис. 1.25Рис. 1.25обозначим Ж1 икоординаты в®>
Рис. 1.25
Рис. 1.25
начальный момент времени: дляж
автомобиля жох — 0, велосипедиста
Ж02 = р; знаки fi и f2 определя
ются их направлением по отноше-Рис‘ 1,25
нию к оси ж: щ > 0, a f2 < 0 (рис. 1.25); время начинаем отсчитывать от начала движения велосипедиста (в соответствии с вопросом задачи): ^2 — ^ так как автомобиль вышел позже, то ti = t — М. Все это можно обобщить в следующей форме записи:
xv жо1 = 0; f 1 = 0; ti = t — М\
П. ж2; ж02 = г; f2 < 0; t2 = t.
велосипедиста:велосипедиста:Или в числах:Или в числах:Теперь запишем уравнение координаты для автомобиля и
велосипедиста:
велосипедиста:
Или в числах:
Или в числах:
Ж1 = v 1 • (t — At), ж2 = т-х^ -t.
жх = 20-(t-1), 1
Х2 = 100 — 5 • t. J
а) Так как в момент встречи Ж) = Ж2 = жв. то
fl • (tB - At) = s - f2 -tB;
tB = (s + fi • At)/(fX + f2) = t2;
И
м + м-с/с M, л o
=V- = — = c: tB = 4,8 c. м/с м/с
Для нахождения места встречи найденное время подставим в любое из уравнений — для Ж1 или х^:
жв = Ж1 = f 1 • (tB — At); [ж] = ^ • с = м; жв = 76 м.
Графическое решение осуществляется с помощью графика зависимости координаты обоих тел от времени. Для равномерного движения такая зависимость представляется прямой. Для ее построения достаточно задать две точки:
t = 0;Ж1 = —20 м;Ж2 = 100 м;
t = 6 с;Ж1 = 100 м;Ж2 = 70 м.
По полученным данным ставим точки а и b для построения первого графика, а также точки тип для второго графика
(рис. 1.26). Точка с пересечения двух графиков даст место и время встречи tB = 4,8 с, жв = 76 м).б) Зная координату точки (ж7 = 50 м), найдем время ее прохождения автомобилем ti и велосипедистом t2 из системы уравнений (а):(рис. 1.26). Точка с пересечения двух графиков даст место и время встречи tB = 4,8 с, жв = 76 м).б) Зная координату точки (ж7 = 50 м), найдем время ее прохождения автомобилем ti и велосипедистом t2 из системы уравнений (а):М = ^2 — ti = 6.5 с.М = ^2 — ti = 6.5 с.Рис. 1.26Рис. 1.26
(рис. 1.26). Точка с пересечения двух графиков даст место и время встречи tB = 4,8 с, жв = 76 м).
б) Зная координату точки (ж7 = 50 м), найдем время ее прохождения автомобилем ti и велосипедистом t2 из системы уравнений (а):
(рис. 1.26). Точка с пересечения двух графиков даст место и время встречи tB = 4,8 с, жв = 76 м).
б) Зная координату точки (ж7 = 50 м), найдем время ее прохождения автомобилем ti и велосипедистом t2 из системы уравнений (а):
М = ^2 — ti = 6.5 с.
М = ^2 — ti = 6.5 с.
Рис. 1.26
Рис. 1.26
Следующие вопросы за
дачи постарайтесь выполнить самостоятельно, проверив пра
вильность по приведенному решению.
В условии задачи координата некоторой точки жх = 20 м.
Из первого уравнения системы (а) найдем время движения автомобиля до момента, когда жх = 20 м:
жх = гд • (tx — At); tx = ^ + At.
Теперь найдем координату точки, в которой в это время был велосипедист — Ж2:
ж2 = s -Ж2(Ж1/Ж1 + At);ж2 = s -Ж2(Ж1/Ж1 + At);г 1М / М ,\ж2 = м - - —— + с = м; с \м/с /г 1М / М ,\ж2 = м - - —— + с = м; с \м/с /
ж2 = s -Ж2(Ж1/Ж1 + At);
ж2 = s -Ж2(Ж1/Ж1 + At);
г 1М / М ,\
ж2 = м - - —— + с = м; с \м/с /
г 1М / М ,\
ж2 = м - - —— + с = м; с \м/с /
Ж2 = 90 м.
Автомобиль проходит некоторую точку хм на ^tH = 2 с раньше, чем велосипедист:
В этом случаеВ этом случаеt2-ti = At".ж" = гд • (tx — At),t2-ti = At".ж" = гд • (tx — At),(б)(в)(б)(в)
В этом случае
В этом случае
t2-ti = At".
ж" = гд • (tx — At),
t2-ti = At".
ж" = гд • (tx — At),
(б)
(в)
(б)
(в)
ХН = 8 -f2 • t^.(г)
Из (в) и (г) выразим t] и t2:
Подставим найденные выражения в (б) и найдем хн\
f — + At) = М"-,
1)2 К D1 /
// 1)1 • (б — 1)2 1 М*' — 1)2 1 At)
Dl + V2
[ж"! = /у/_/у11/М/1^1/М^ = (м/с) ■м _ м. жп = eg м
L Jм/с + м/см/с ’*
Координаты автомобиля и велосипедиста в момент вре
мени t2:/I л i\.
Xi = fi • (t2 - Му $2 = з
По формуле (3'):
г = |яд — ж2| = |щ • (t2 — М) — s + f2 • t2|; г = 20 м.
Решение пунктов б, в, г, д можно проверить по графику.
На рис. 1.27 приведены графики зависимости координат
от времени для двух тел в системе отсчета, связанной с Землей. Напишите уравнения для координат I и II тел в системе отсчета, связанной с Землей, и уравнение координаты первого тела в системе отсчета, связанной со вторым телом, и постройте соответствующий график.
Из рис. 1.27 видно, что жох = 400 м, жо2 = 0. Для того, чтобы найти скорос
ти fi и f2, надо найти координаты тел через некоторое время после начала движения и воспользоваться уравнением (1.2):
t = 60 с; Ж1 = 1000 м; ж2 = 1200 м.fl = (ж1 — xoi)/t;fi = 10 м/с.
^2 = (ж2 -x^!t*,V2 = 20 м/с.
3 С. В. Трубецкова
Уравнения I и II тела в системе координат, связанной с Землей, будут иметь следующий вид:
Ж1 = (400 + 10-ty м; Ж2 = 20+ м.
Из рис. 1.27 и результатов подсчета видно, что оба тела движутся в одном направлении (vi > 0, ??2 > 0). Из теоремы сложения скоростей мы ранее получили, что если два тела движутся в одном направлении, то их относительная скорость равна разности их скоростей относительно Земли:
Щ-2 = ^2 — ^15^1-2 = Ю м/с.
Расстояние между телами в начальный момент времени
400 м, поэтому и ж о = 400 м. Следовательно, уравнение движения I тела в системе отсчета, связанной со II телом, запишется:
жх_2 = (400 —10£), м.
Знак « —» перед скоростью соответствует тому, что тела сближаются, то есть координата первого тела уменьшается при выборе вто
рого тела за начало отсчета. Найдем координаты двух точек графика зависимости Ж1~2 от времени:
t = 0; Ж1-2 = 400 м; t = 60 с; Ж1-2 = 200 м.
По этим точкам построим график (рис. 1.28).
Из графиков I и II (рис. 1.27) видно, что спустя 40 с тела поравнялись (сравните с рис. 1.28).
По двум параллельным путям равномерно движутся два поезда: грузовой, длиной 500 м, со скоростью 36 км/ч и пассажирский, длиной 250 м, со скоростью 72 км/ч. Какова относительная скорость движения поездов, если они движутся в одном направлении? в противоположных направлениях? В течение какого времени один поезд проходит мимо другого в обоих случаях?
/г = 500 м/п = 250 мжг = 36 км/ч = 10 м/сжп = 72 км/ч = 20 м/с/г = 500 м/п = 250 мжг = 36 км/ч = 10 м/сжп = 72 км/ч = 20 м/сПусть жг и жп — скорости грузового и пассажирского поездов относительно Земли, жп-г — скорость пассажирского относительно грузового поезда. Используем теорему о сложении скоростей (формула (1.4)): скорость движения относительно неподвижной системы координат (жп)
/г = 500 м
/п = 250 м
жг = 36 км/ч = 10 м/с
жп = 72 км/ч = 20 м/с
/г = 500 м
/п = 250 м
жг = 36 км/ч = 10 м/с
жп = 72 км/ч = 20 м/с
равна векторной сумме скорости данного тела относительно подвижной системы координат (Яп-г) и скорости самой подвижной системы относительно неподвижной (#г):
Ур = Яп-г + ^г.
Выше мы уже разобрали, что при движении двух тел в одном направлении относительная скорость равна разности их скоростей относительно Земли:
Уп-г = уп-«г; = 10 м/с.
Исходя из принципа относительности движения, можно считать, что первый поезд стоит, а второй движется к нему со скоростью fn-r5 ПРИ обгоне второй поезд проходит путь, равный сумме длин поездов: s = /г + /п (рис. 1.29). Поэтому время обгона
<'= (/г + УАп-г; ^ = 75 с.
Начало обгонаНачало обгонаКонец обгона бКонец обгона б
Начало обгона
Начало обгона
Конец обгона б
Конец обгона б
Рис. 1.29
Если два поезда движутся навстречу друг другу, то скорость их сближения (относительная скорость) равна сумме их скоростей относительно Земли:
^_г = fn + ^г; fn-r = 30 м/с.
Аналогично тому, как и в случае (а), путь, пройденный при этом, s = 1Г + /п и время прохождения товарного поезда мимо пассажирского
^ = (/г + /п)/^_г; t" = 25c.
Скорость движения теплохода вниз по реке 21 км/ч, а вверх — 17 км/ч. Определите скорость течения воды в реке и собственную скорость теплохода.
гд = 21 км/ч ??2 = 17 км/чгд = 21 км/ч ??2 = 17 км/чПусть гв — скорость течения воды относительно Земли, гд — скорость теплохода относительно воды, то есть собственная скорость теплохода, vi и V2 - скорости теплохода
гд = 21 км/ч ??2 = 17 км/ч
гд = 21 км/ч ??2 = 17 км/ч
з*
относительно Земли при движении вверх и вниз по течению.
В соответствии с законом сложения скоростей:
a) iZx = iZT + iZB; б) iZ2 = iZT + iZB.
(уравнения в векторной форме одинаковы). В проекциях на
^В Vt^В VtРис. 1.30Рис. 1.30хха
^В Vt
^В Vt
Рис. 1.30
Рис. 1.30
х
х
ось ж (рис. 1.30 а и б) эти уравнения запишутся следующим об
разом:разом:жх = жт + жв;
разом:
разом:
^2 = ^Т-Жв.
(а)(б)(а)(б)Решая совместно уравнения (а) и (б), получаем
(а)
(б)
(а)
(б)
жт = (^i + ^2)/2;жт = 19 км/ч;
жв = (^1 -^2)/2;жв = 2 км/ч.
Моторная лодка имеет скорость относительно воды 10 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. В каком направлении будет перемещаться лодка и с какой скоростью, если она держит курс перпендикулярно берегу?
жл = 10 км/ч жт = 2 км/ч /м = 200 ма — ? ж — ?жл = 10 км/ч жт = 2 км/ч /м = 200 ма — ? ж — ?Рис. 1.31Рис. 1.31В соответствии с теоремой сложения скоростей скорость лодки относительно Земли (ж) равна векторной сумме ее скорости относительно воды (жл) и скорости течения воды относительно Земли (жт) (рис. 1.31):
жл = 10 км/ч жт = 2 км/ч /м = 200 м
а — ? ж — ?
жл = 10 км/ч жт = 2 км/ч /м = 200 м
а — ? ж — ?
Рис. 1.31
Рис. 1.31
ж = жл + жт. (а)
Из рис. 1.31 видно, что ж = V^ + ^т) ^ = 10^2 км/ч.Из рис. 1.31 видно, что ж = V^ + ^т) ^ = 10^2 км/ч.Направление зададим величиной угла между результирующей скоростью и скоростью течения:
Из рис. 1.31 видно, что ж = V^ + ^т) ^ = 10^2 км/ч.
Из рис. 1.31 видно, что ж = V^ + ^т) ^ = 10^2 км/ч.
tgci = жл/жт = 5; ct = arctg 5 « 79°.
Решим задачу с помощью проекций векторов на оси системы координат хОу. Напишем векторное уравнение (а) в проекциях на оси координат:
хж = ^т = ^ • cos а; ху = жл = ж • sin а. (б)
Из полученных уравнений найдем ж, возведя в квадрат и сложив эти уравнения:
^т + ^л — ^ (cos2 а + sin2 а = 1); f = V^t + ^ю = 10,2 км/ч.
Разделив уравнения (б) одно на другое, найдем tgn = г^л/^т = 5:ct = arctg 5 « 79°.
Капли дождя на окнах неподвижного трамвая оставляют полосы, наклоненные под углом 30° к вертикали. При движении трамвая со скоростью 18 км/ч полосы от дождя вертикальны. Найдите скорость капель дождя в безветренную погоду и скорость ветра.
а = 30°г>т = 18 км/ч = 5 м/с/3 = 90°^к-з - ? ^в - ?трамвая, и дует ветер ва = 30°г>т = 18 км/ч = 5 м/с/3 = 90°^к-з - ? ^в - ?трамвая, и дует ветер вПри движении трамвая капли на стекле оставляют вертикальные полосы, так же как в безветренную погоду. Это значит, что скорость трамвая относительно воздуха равна нулю. То есть скорость ветра равна скорости направлении движения трамвая, гв =
а = 30°
г>т = 18 км/ч = 5 м/с
/3 = 90°
^к-з - ? ^в - ?
трамвая, и дует ветер в
а = 30°
г>т = 18 км/ч = 5 м/с
/3 = 90°
^к-з - ? ^в - ?
трамвая, и дует ветер в
= vT = 5 м/с.
По теореме сложения скоростей можно записать (рис. 1.32) Як-3 = Як + Яв, скорость капель относительно Земли Як_3 равна векторной сумме скорости капель относительно воздуха Як и скорости воздуха (ветра) относительно Земли Яв.
Из рис. 1.32 можно найти скорость капель:
fK = ^в * ctgce; fK = 8,66 м/с.
Вертолет держит курс на северо-восток под углом 15° с направлением на север, но перемещается точно на север. Найдите скорость восточного ветра,
теме отсчета, связанной с движущимся воздухом равна 90 км/ч.
а = 13° щ = 90 км/ч^2 -?а = 13° щ = 90 км/ч^2 -?щ — собственная скорость вертолета, или его скорость относительно воздуха.
а = 13° щ = 90 км/ч
^2 -?
а = 13° щ = 90 км/ч
^2 -?
Из рис. 1.33 видно, что
1)2 = ^i -sina; 1)2 = 23,4 км/ч.
Лодочник, переправляясь через реку шириной 400 м из пункта Л в пункт В, все время направляет лодку под углом 30°
к берегу (рис. 1.34 а). Найдите скорость лодки относительно воды, если скорость течения реки 2 м/с, а лодку снесло ниже пункта В на расстояние 50 м.
d = 400 м а = 30° fp = 2 м/с / = 50 мНайдем и Оу;d = 400 м а = 30° fp = 2 м/с / = 50 мНайдем и Оу;Нарисуем прямоугольную систему координат с началом в точке А (рис. 1.34 б). Лодка движется равномерно. Результирующая скорость лодки относительно берега равна векторной сумме: ^ — ^л + ^р- Координаты лодки х и у меняются с течением времени по закону
d = 400 м а = 30° fp = 2 м/с / = 50 м
Найдем и Оу;
d = 400 м а = 30° fp = 2 м/с / = 50 м
Найдем и Оу;
x = x$-t, y = vy-t.
составляющие скоростей в направлении осей Ох
Хж = — ^лж+^рж = ^р-^л -cos а,
ху = ™ХЛу + Хру = гл • sinQ.
За время t лодочник переплыл реку, то есть координаты стали равными__, .
х — /,у — а.
С учетом вышесказанного система уравнений (а) перепишется следующим образом:
I = (^р — ^л * cos а) • t,d = хл • sin а • t.
В полученной системе уравнений две неизвестных величины: ул и L Исключив t, найдем хл;
хл = d- Хр/(I • sin ci + d • cos ci);
К] = (м-м/с)/м = м/с; хл = 2,2 м/с.
На рис. 1.35 изображены лодка и бревно, движущиеся по реке со скоростями 3 м/с и 0,5 м/с соответственно. Лодка держит курс под углом 30° к течению реки. Запишите уравнения координат для движущейся лодки в системе, связанной: 1) с де-
Рис. 1.35
ревом на берегу; 2) с плывущим бревном. Рассмотрите случаи, когда лодка движется по течению и против течения. Время отсчитывается от момента, соответствующему чертежу. Сила тяги мотора против течения больше, чем по течению, что обеспечивает лодке одинаковую скорость относительно Земли по течению и против течения.
г^ = 0,5 м/сЩ = ^2 = 3 м/с а = 30°г^ = 0,5 м/сЩ = ^2 = 3 м/с а = 30°
г^ = 0,5 м/с
Щ = ^2 = 3 м/с а = 30°
г^ = 0,5 м/с
Щ = ^2 = 3 м/с а = 30°
Нарисуем схематично вид сверху (рис. 1.36): щ — вектор скорости лодки при ее движении по течению, 5^ — против течения, ^ — скорость бревна по течению
ж(£)-? y(t)-? реки'
С деревом на берегу связана система координат хОу. Из рис. 1.36 видно, что начальные координаты лодки в этой системе будут: жо = 35 м, у^ = 20 м. а составляю-
щие вектора скорости по осям х и у можно найти, используя тригонометрические функции угла а;
^1ж — ^1 • coso = 2.55 м/с;х\у = щ • sin о = 1,5 м/с.
^2ж — ^2 -COSO = —2,55 м/с;^ = —^2 -sinо = —1,5 м/с.
Уравнения координат х и у с учетом данных задачи запишутся следующим образом:
ж = 35±2,55-Д?/ = 20±l,5-t
Знак « + » в уравнениях соответствует движению лодки по течению, « —» — против течения.
Движение лодки относительно бревна можно рассматривать с помощью теоремы сложения скоростей. В таком случае с Землей связана неподвижная система координат, а с бревном — подвижная. Поэтому можно записать
vi = ^ + v6,(1)
«2 = ^ + «6,(2)
то есть скорость лодки относительно Земли равна векторной сумме скорости лодки относительно бревна и скорости бревна относительно Земли; х\ и #2 — скорости лодки относительно бревна при ее движении по течению и против течения.
В проекциях на ось О’ х! векторные уравнения (1) и (2) запишутся следующим образом:
^1Ж = «;ж + «б;-^ = vL + ^б-
Отсюда получим
^ = ^-^65 ^Х = 2,05 м/с.
- «б; vL = -з,°5 м/с-
Из рис. 1.36 видно, что начальная координата х^ = 30 м. Запишем уравнение координаты по оси О1 х1 движения лодки относительно бревна для первого и второго случая:
^ = 30 + 2,05 • t*х'^ = 30 - 3,05 • t.
В проекциях на ось О’у’ уравнения (1) и (2) запишутся следующим образом:
^ = ^11/;^1^ = 1,5 м/с; V2y = V2y; г>2у =-1,5 м/с.
(так как х^ = 0).
Начальная координата лодки по оси О’у’ равна нулю ^у^ = 0). Поэтому уравнения координаты вдоль этой оси будут следую
щие:щие:у'^г.ы-у'^-г.ы.у'^г.ы-у'^-г.ы.
щие:
щие:
у'^г.ы-у'^-г.ы.
у'^г.ы-у'^-г.ы.
НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕМАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
ПО ПРЯМОЛИНЕЙНОЙИ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАЕКТОРИИ
Содержание теоретического материала
Понятие неравномерного движения. Средняя и мгновенная скорости. Равнопеременное движение. Ускорение, его физический смысл, размерность и единица измерения. Перемещение при равнопеременном движении. Уравнение для координаты при равнопеременном движении. Вывод формулы, связывающей перемещение и скорость. Свободное падение тел. Кинематика движения тел, брошенных под углом к горизонту и горизонтально.
Вопросы к теоретическому материалу
Какое движение называется неравномерным?
Что показывает средняя скорость неравномерного движения? Как ее найти?
Дайте определение мгновенной скорости. Как найти эту скорость?
Какое движение называется равнопеременным? равноускоренным? равнозамедленным?
Что называется ускорением?
Как направлен вектор ускорения и вектор скорости в случае возрастания скорости и убывания скорости?
Запишите уравнение скорости при прямолинейном равноускоренном движении в векторной форме и в проекциях на некоторую ось.
От чего зависят знаки проекций при записи уравнения в скалярной форме?
Скорость тела — величина относительная. Является ли ускорение величиной относительной?
Как определяется средняя скорость равнопеременного движения?
Напишите формулу зависимости проекции вектора перемещения от времени (закон равнопеременного движения).
Напишите уравнение координаты для равнопеременного движения.
Получите связь между величиной пути и скоростью при равнопеременном движении.
Какое движение называется свободным падением?
Запишите формулы скорости, перемещения и координаты тела, падающего свободно для случаев: а) начальная скорость направлена вертикально вниз; б) начальная скорость направлена вертикально вверх; в) начальная скорость отсутствует.
Тело брошено вертикально вверх. Как найти время подъема и максимальную высоту подъема?
Нарисуйте графики зависимости от времени ускорения, скорости, координаты, перемещения и пути при равнопеременном движении.
На рис. 1.37 точками отмечены положения пяти движущихся слева направо тел через равные промежутки времени. Интервалы времени между двумя отметками на всех полосах одинаковы. Охарактеризуйте каждое движение и отметьте, на какой полосе зарегистрировано равномерное движение с наибольшей скоростью.
Рис. 1.37Рис. 1.38
Сравните ускорения для каждого из графиков скорости, изображенных на рис. 1.38. Какому графику соответствует наибольшее ускорение?
Два поезда идут навстречу друг другу: один — ускоренно на север, другой — замедленно на юг. Как направлены ускорения поездов?
Как движутся тела 1, 2, 3, графики для которых даны на рис. 1.39?
Рис. 1.39Рис. 1.39аа
Рис. 1.39
Рис. 1.39
а
а
По графику ускорения (рис. 1.40) постройте график зависимости скорости от времени. (Тело имело начальную скорость.)
По графику скорости (рис. 1.41) постройте график зависимости ускорения от времени.
Ответы
Движение называется неравномерным, если за равные промежутки времени тело совершает неодинаковые перемещения.
Средняя скорость показывает, чему равно перемещение, совершенное телом в среднем за единицу времени fcp = |r|/t; при прямолинейном движении величина перемещения равна пройденному телом пути, поэтому величина средней скорости fcp = s/t, где 8 — весь путь, пройденный телом, t — все время,
затраченное на прохождение данного пути, даже если тело в пути останавливалось.
Если весь путь можно разбить на участки si, s^ 8^ то на прохождение этих отрезков пути затрачено время Ч, t^ ..., tn. В таком случае средняя скалярная скорость
^ср — (^1 + ^2 + ••• + ^п)/(й + ^2 + ••• + ^п)«
Величина средней скорости не зависит от характера движения на всем пути и на отдельных его участках.
Мгновенной скоростью переменного движения называют скорость, которую тело имеет в данный момент времени (и следовательно, в данной точке траектории). Мгновенная скорость — предел, к которому стремится средняя скорость, когда промежуток времени стремится к нулю:
р Asd = пт .
At—>0 At
Из математики известно, что предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, является производной данной функции. Если задан закон зависимости пути от времени, то мгновенную скорость можно определить, взяв первую производную пути по времени:
ds / / / dsr
d = — = s Is и — — одно и то же, то есть разное ооозначе- U/V\v U/V
ние производной).
Движение называется равнопеременным, если за любые равные промежутки времени скорость изменяется на одну и ту же величину.
Движение называется равноускоренным, если за равные промежутки времени скорость возрастает на одну и ту же величину, равнозамедленным — если убывает на одну и ту же величину.
Ускорением называется векторная величина, равная отношению изменения скорости тела к времени, за которое это изменение произошло. Численно ускорение равно изменению скорости за единицу времени:
а = (v — б^ (t*.[а] = м/с2,
П^ — начальная скорость, v — скорость спустя время t.
При равноускоренном движении вектор ускорения а направлен так же, как и вектор скорости (рис. 1.42 а), а при равнозамедленном движении — направлен противоположно скорости (рис. 1.42 б).
VQVQ^v = у — у0^v = у — у0XAv < 0 a < 0XAv < 0 a < 0
VQ
VQ
^v = у — у0
^v = у — у0
X
Av < 0 a < 0
X
Av < 0 a < 0
Рис. 1.42
В векторной форме v = iZg + a • t. В проекциях ^ = = ^^Qj; it Clxt.
Знаки определяются направлением векторов П^ и а по отношению к выбранной оси координат. Если ось координат направить вдоль начальной скорости (рис. 1.43), то уравнение для скорости запишется так: v = жд ± а • Z. « + » перед ускорением соответствует равноускоренному движению, « —» — равнозамедленному.
аа
Рис. 1.43
При переходе от одной системы координат к другой, движущейся относительно первой равномерно и прямолинейно, изменяется и начальная скорость г^ и конечная — v на одну и ту же величину. Если Яс — скорость одной системы относительно другой, то
^о = ^о + ^с;^ = 5+^
АV = Ж — Жд}^^ = ж' — Жд = Ж — Жд.
AiZ и Аж7 — изменение скорости в той и другой системе координат. Мы показали, что изменение скорости, а следовательно и ускорение, не меняются при переходе от одной системы к другой, то есть ускорение абсолютно.
vcp = (v0 + v)/2.
г = vq ■ t + а£2/2. Это векторное уравнение. Если его записать в проекциях на некоторую ось ж, то оно примет вид
?"ж—и^х • t + аж • t /2,ждж, ах — величины проекций векторов жд и а на ось ж.
Если вектора Яо и а направлены параллельно оси, то г = ±fot ± at2/2, знак « + » соответствует направлению векторов Яо и а вдоль оси ж, а знак « —» — против оси ж.
Рассмотрим зависимости г от времени (рис. 1.44).
бб
б
б
Рис. 1.44
Знаки перед первым и вторым членом формулы одинаковы:2/о
г = Dot + at /2
или9 .
т = —Dot — at /2.
В данных случаях график является положительной (для знаков « + ») или отрицательной (для знаков « —») ветвями параболы. Из графиков видно, что модуль перемещения в обоих случаях возрастает с течением времени. Это значит, что тело не меняет направления движения.
Мы уже говорили выше, что при движении тела в одном направлении величина вектора перемещения равна пройденному пути. Поэтому путь при равнопеременном движении в одном направленииs = VotW/2.
Знаки перед первым и вторым членом формулы (а) разНЫе*г = Dot — at2 / 2(б)
или9z х
г =—Dot + at2/2.(в)
Уравнению (б) соответствует график 3 на рис. 1.44 Я, а уравнению (в) — график 4. Из графиков видно, что величина перемещения сначала возрастает по величине, а затем с момента Я начинает убывать, так как тело меняет направление движения. В момент времени tM перемещение стало равно нулю: значит,
тело вернулось в исходную точку. Обратите на это внимание: тело все время двигалось, а перемещение стало равно нулю; путь, пройденный телом, сколько бы времени оно не двигалось, не может уменьшаться и стать равным нулю. Величина пройденного пути возрастает и может быть только положительной.
Из рис. 1.45 видно, что координата точки х в конце движения описывается уравнением х = жд±гж, х^ — координата в начальный момент времени (начальная координата), тж — величина проекции вектора перемещения на ось ж; выбор знака « + » или « —» определяется направлением вектора перемещения по отношению оси х. Используя формулу (а), запишем:
ж = Жож-t±ax-t2/!.
Рис. 1.45
Путь при равнопеременном движении можно найти через среднюю скорость:
S = Vcp-t= (v0 + v)-t/2-
Из формулы ж = жд ±at найдем время движения:
t = (v —v0)/(±a).
ТогДа22
_ f g + f f — fо _ ^ ~ g
2 ia tia или
V2 — Жд = ±2as.
Знак « + » соответствует равноускоренному движению, знак « —» — равнозамедленному.
Свободным падением называют падение тел в безвоздушном пространстве (вакууме) из состояния покоя (то есть без начальной скорости) под действием притяжения Земли. Свободное падение является прямолинейным равнопеременным движением с ускорением д « 9,8 м/с2.
Вектор ускорения свободного падения всегда направ- вниз. Поэтому движение вниз является равноускоренным, вверх — равнозамедленным (рис. 1.46). Если ось ж направить вдоль начальной скорости, то требуемые уравнения будут vзаписаны следующим образом:-а) ж = жо + gt; s = D^t + gt2/2;v2-«o =2gs;66) v = vo — gt; s = vot - gt2/2;v2 — «о = -2gs, (формула для пути в случае (б)Вектор ускорения свободного падения всегда направ- вниз. Поэтому движение вниз является равноускоренным, вверх — равнозамедленным (рис. 1.46). Если ось ж направить вдоль начальной скорости, то требуемые уравнения будут vзаписаны следующим образом:-а) ж = жо + gt; s = D^t + gt2/2;v2-«o =2gs;66) v = vo — gt; s = vot - gt2/2;v2 — «о = -2gs, (формула для пути в случае (б)лен вертикальнолен вертикально^о д^о даа^о^оРис. 1.46Рис. 1.46
Вектор ускорения свободного падения всегда направ- вниз. Поэтому движение вниз является равноускоренным, вверх — равнозамедленным (рис. 1.46). Если ось ж направить вдоль начальной скорости, то требуемые уравнения будут vзаписаны следующим образом:
-а) ж = жо + gt; s = D^t + gt2/2;
v2-«o =2gs;
66) v = vo — gt; s = vot - gt2/2;
v2 — «о = -2gs, (формула для пути в случае (б)
Вектор ускорения свободного падения всегда направ- вниз. Поэтому движение вниз является равноускоренным, вверх — равнозамедленным (рис. 1.46). Если ось ж направить вдоль начальной скорости, то требуемые уравнения будут vзаписаны следующим образом:
-а) ж = жо + gt; s = D^t + gt2/2;
v2-«o =2gs;
66) v = vo — gt; s = vot - gt2/2;
v2 — «о = -2gs, (формула для пути в случае (б)
лен вертикально
лен вертикально
^о д
^о д
а
а
^о
^о
Рис. 1.46
Рис. 1.46
справедлива только для подъема — то есть при движении тела в одном направлении; если тело, достигнув верхней точки, начало двигаться вниз, то уже используется соответствующая формула из пункта а);
в) если начальная скорость отсутствует, то тело падает:
v = gt; s = gt2/2; v2 = 2as.
В точке наибольшего подъема скорость становится равной нулю, и при таком условии можно найти время и высоту наибольшего подъема:
О — Жо р^тах? ^тах ~ ^о/д^
^0 = 2p/lmax; ^тах ~ ^о/2д.
Если ось х направить вдоль начальной скорости жд, то графики для ускорения (рис. 1.47 а) 1 и 2 соответствуют равноускоренному движению («1 > 0, «2 > 0), график 3 — равнозамедленному («з < 0). Графики скорости представлены на рис. 1.47 б*. скорости в случаях 1 и 2 возрастают, причем график 2 возрастает круче, так как |«21 > 1^11 • В случае 3 скорость сначала убывает, в момент t* становится равной нулю, затем тело меняет направление движения, скорость становится отрицательной, а величина ее теперь возрастает (вспомните, как движется тело, брошенное вертикально вверх). Этому же случаю соответствует график координаты (рис. 1.47 г).
Графики 47 д и е — графики перемещения; легко понять, как они получаются, если вспомнить, что г = х — жд; графики 1 и 2 соответствуют прямолинейному движению в одном направлении, график 3 — направление движения в момент времени t1 — меняется, в момент времени tM тело возвращается в исходную точку (г = 0), а затем движется дальше.
2121
2
1
2
1
Рис. 1.47
Для случаев 1 и 2 графики пути совпадают с графиками перемещения (рис. 1.47 эю\ Для случая 3 графики пути и перемещения совпадают до момента времени t1 (рис. 1.47 з). Затем перемещение уменьшается, а путь продолжает увеличиваться. Пройденный путь может быть рассчитан как сумма: s = si + s^ 3i — путь, пройденный от начала движения до момента времени tr при равнозамедленном движении, 32 — путь, пройденный телом от момента времени t* и далее — равноускоренно.
4 С. В. Трубецкова
На рис. 1.37 а, г, д — равномерное движение, на рис. 1.37 г — скорость наибольшая; на рис. 1.37 б — движение замедленное, на рис. 1.37 в — ускоренное.
«2 > ^45 ^4 — ^55 а1 — 0; аз < 0. Графику 3 соответствует наибольшее по величине ускорение.
Север2.19. Одинаково, на север (рис. 1.48).
А°22.20. 1 — тело покоится, 2 — движется
равномерно, 3 — равноускоренно.
Юг "22.21. Рис. 1.49.
Рис. 1.482.22. Рис. 1.50.
Основные формулы
Средняя скорость неравномерного движения
^ср — S/^(2.1)
t — время, затраченное на прохождение пути s, независимо от характера движения на данном пути.
Средняя скорость равнопеременного движения
vCp = («о + О/2-(2.2)
Путь при равнопеременном движении
« =(2.3)
« = р0-4±^.(2.4)
Ускорение равнопеременного движения
Из (2.5)Из (2.5)а = (и — г>о)Д-(2-5)
Из (2.5)
Из (2.5)
f = fo ± at.(2-5')
f = ^v^Zas,(2.6)
илиo o
f2 — fg = ±2as.(2-6')
Знак перед ускорением в этих формулах определяется видом движения: « + » — равноускоренное движение, « —» — равнозамедленное.
Величина перемещения
Г = ±уо<±^.(2.7)
Если задача решается координатным методом, то используется уравнение координаты
х = xo±fot±at2/2,(2.8)
и формула для скорости
v = ±fo±at.(2-5")
В формулах (2.5"), (2.8) знак перед v и а определяется направлением соответствующих векторов по отношению к оси координат, а перед х^ — положением начальной координаты по отношению к телу отсчета.
Для свободного падения справедливы все эти формулы, только надо учесть, что а = у = 9.8мс2.
Высоту наибольшего подъема тела, брошенного вертикально вверх, и время подъема можно найти из (2.5) и (2.6), положив, что в точке максимального подъема v = 0:
^max — ^0/2^^(2-9)
^max = ^0/9 •(2.10)
Методика решения задач
Перед началом решения любой задачи по кинематике первый вопрос, на который надо ответить, каков характер движения — равномерное, неравномерное или равнопеременное.
При решении задач на неравномерное движение весь пройденный путь надо разбить на участки, в пределах которых тело двигалось либо равномерно, либо с постоянным ускорением. Найти время прохождения телом этих участков, либо наоборот, зная время прохождения каждого участка, найти пути. Обычно
в таких задачах требуется найти среднюю скорость. Тогда надо воспользоваться формулой
s Si + S2 + ... + Sn
СР tti + £2 + • • • + tn ’
п — число участков.
В формулах, характеризующих равнопеременное движение, используются 5 кинематических параметров: s, fg, Щ a, t. Все основные формулы (2.3)-(2.7) содержат по 4 параметра в разных комбинациях. Поэтому перед решением задач полезно потренироваться в выборе нужной формулы при разных комбинациях данных. Для этого можно воспользоваться таблицей.
Последние два задания решаются только в два этапа. Таблица все возможные варианты не исчерпывает. Поэтому можно поступить следующим образом: нарезать 5 карточек, написать на них по одному параметру (s, fg, Щ a, t). Вытягивая одну из карточек, подобрать формулу, объединяющую оставшиеся величины. Из выбранной формулы выразить поочередно все параметры.
Таблица
Данные задачи
Неизвестная величина
Формула
Выражение
d; t7g; t
a-?
a = (D-D0)/t
d; 17g; а
s-?
у2 — Уд = ‘las
s = (v2 — ид)/(2в)
D; Уд; 8
t-?
s = (y + Уд) V2
t = 2 • s/(d + Do)
а] у; t
vg-?
D = Уд ± at
Do = d — at
Уд; s; t
a — ?
s = Dot + at2/2
a = 2(s — Dot)/t2
s; t; Уд
v — ?
s = (yg + y)t/2
D = Is/t — Do
s; t; a
fg —?
s = Dot + at2/2
y0 = (s — at2/l)/t
y; s; a
t-?
D2 — Do = las 1 D = Уд + at J
Do = Vd2 — las | t = (d - Do)!a J
a — ?
s = (^g + v) -t/11
17g = Is/t — D )
D = Уд + atJ
a = (d - Do)jt J
При решении задач на равнопеременное движение надо обращать внимание на «скрытые данные». Например: «поезд, отходя от станции...», «тело от начало движения...», «свободно
падающее тело...» — во всех таких случаях в условие надо записать, что г>о = 0. Или: «тормозной путь...», «пуля застревает...» и т. д. — в этих случаях конечная скорость равна нулю (v = 0). Следует отметить одновременность начала движения тел (ti = = ^2 = ty равенство координат, если тела встретились (жх = Ж2) и пр.
Обязательно следует сделать рисунок, на котором отметить отрезки путей, которые даны и которые требуется найти: надо иметь в виду, что в точках, разделяющих два соседних участка, конечная скорость одного участка является начальной скоростью другого.
Во многих задачах, особенно в которых рассматривается одновременно движение двух тел, удобно пользоваться уравнением координаты (хотя иногда можно решить не координатным методом). Для того, чтобы записать уравнения координаты, надо сделать следующее:
на чертеже указать траекторию движения тела, обозначить направления скоростей и ускорений;
выбрать точку отсчета — обычно либо в начальной точке движения, либо на поверхности Земли; начало координат совместить с этой точкой, а ось координат (так как движение прямолинейное, то достаточно одной оси) направляют параллельно векторам скорости и ускорений;
охарактеризовать все параметры движения тел в выбранной системе отсчета: обозначить текущие координаты, начальные координаты, знаки скоростей и ускорений, определить время движения каждого тела, записать уравнения координаты для обоих тел;
записать в виде уравнений дополнительные условия задачи, при необходимости добавить кинематические уравнения.
Если формулы получаются громоздкими, то можно произвести вычисления вспомогательных параметров, чтобы подставить их значение в окончательное выражение.
6. Особую группу представляют задачи, в которых рассматривается движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту, причем на тело действует только сила его притяжения к Земле — сила тяжести. В таких случаях тело участвует одновременно в двух движениях: равномерном движении в горизонтальном направлении и равнопеременном движении с ускорением д = 9,8 м/с2 в вертикальном направлении. Рассмотрим данный вопрос более детально.
Пусть тело брошено со скоростью П^ под углом а к горизонту (рис. 1.51). Вектор скорости 9^ нужно разложить на составляющие вектора в горизонтальном, Ож, и вертикальном, Оу. направлениях:
^Ож = ^0 • COS о0,
^0у = ЖО -sinoo.
Так как горизонтальная составляющая скорости жж не меняется (ждж = щж = г>2Ж = const), то путь, пройденный телом в горизонтальном направлении за любое время, и координата определяются по следующим формулам:
S = Ждж • t; Ж = Жд Т Ждж • t.
Вертикальная составляющая скорости по мере подъема тела убывает, уменьшается угол наклона результирующей скорости к горизонту; результирующая скорость также меняется по величине и направлена вдоль касательной к траектории тела (рис. 1.51). Величина результирующей скорости для каждой точки определяется через составляющие скорости по теореме Пифагора:,
У = V^+^-
Так как в вертикальном направлении скорость меняется с ускорением д = 9,8 м/с2, то при подъеме тела до наивысшей точки 2 ее можно определить по формуле
^у = v^y-gt.
Угол наклона результирующей скорости в каждой точке может быть найден через любую из тригонометрических функций данного угла:
а = arctg {vy/vx) = arcsin(vy/v) = arccos (vx/v).
Высота подъема и координата у определяется по формулам h = i)0yt-gt2/2; у = у0 +vOy ■ t - gt2/2.
Примечание: знаки перед х^у и д будут другими, если сменить направления осей координат.
В точке наивысшего подъема вертикальная составляющая скорости равна нулю, а горизонтальная составляющая остается той же самой, что и в начале движения. Из этого условия можно найти время движения тела до точки наивысшего подъема:
vy = 0; t = v^y/g.
Далее тело начинает одновременно падать и продолжает двигаться горизонтально, вертикальная составляющая и результирующая скорости возрастают; причем значения ху будут отрицательными, что соответствует смене направления движения.
Нетрудно показать, что время подъема на высоту h равно времени падения.
Подобным же образом движется тело, брошенное горизонтально с высоты h (рис. 1.52): начальная скорость х^ направ- 1^ ленная горизонтально, не ме-|
няется по величине во время движения тела. В вертикальном направлении тело движется равноускоренно с ускорением д = 9,8 м/с2 без начальной скорости (проекция вектора х^ -у на ось Од равна нулю).
Для выбранной (рис. 1.52)
системы координат уравнения для координат х и у запишем следующим образом:
ж = г0£, y = gt2/2.
В момент падения на Землю координата х = s = x^t^ а координата у = h = д£2/2.
Примеры решения задач
На второй половине пути автомобиль двигался со скоростью, в два раза большей, чем на первой. Средняя скорость движения равна 40 км/ч. Найдите скорости на первом и втором
участках пути.
f 2 = 2f хsi = з2 = з/2 fCp = 40 км/чfl — ?f2 -?f 2 = 2f хsi = з2 = з/2 fCp = 40 км/чfl — ?f2 -?Движение в целом неравномерное, хотя на каждом участке автомобиль двигался равномерно (рис. 1.53). Поэтому
f 2 = 2f х
si = з2 = з/2 fCp = 40 км/ч
fl — ?
f2 -?
f 2 = 2f х
si = з2 = з/2 fCp = 40 км/ч
fl — ?
f2 -?
уср = (si + s2)/(ti + t2)- (а)
В уравнении (а) неизвестны все 5 параметров и нет скоростей vi и ^2, которые надо найти. Используя данные задачи,
получим следующие уравнения:
si = s/2;S2 = s/2;
11 = 811^t-l = S-llv-l-,
V2 = 2«1.
Получили 6 уравнений, в которых 7 неизвестных величин. Если числитель и знаменатель формулы (а) выразим через одну переменную s, то сократив ее, можно решить задачу:
si + s2 = s; й = sx/fi = s/2fX; t2 = s2/f2 = s/2f2;
Й + ^2 —Й + ^2 —s^h-h^)2171 • 172s^h-h^)2171 • 172
Й + ^2 —
Й + ^2 —
s^h-h^)
2171 • 172
s^h-h^)
2171 • 172
С учетом условия задачи
ti + 72 = 3s/(4vi); vCp = 4vi/3.
Отсюда
fl = 3fcp/4;fi = 30 км/ч;
^2 — 2fi;f2 = 60 км/ч.
Велосипедист ехал из одного города в другой. Половину пути он проехал со скоростью 12 км/ч. Далее половину оставшегося времени он проехал со скоростью 6 км/ч, а затем до конца пути шел пешком со скоростью 4 км/ч. Определите среднюю скорость велосипедиста на всем пути.
fl = 12 км/чS1 = 8/2S2 + S3 = s/2 h = Сз f 2 = 6 км/ч f з = 4 км/ч^ср — ?fl = 12 км/чS1 = 8/2S2 + S3 = s/2 h = Сз f 2 = 6 км/ч f з = 4 км/ч^ср — ?Движение на всем пути неравномерное. Весь путь можно разбить на три участка, на каждом из которых движение равномерное (рис. 1.54). Средняя скорость
fl = 12 км/ч
S1 = 8/2
S2 + S3 = s/2 h = Сз f 2 = 6 км/ч f з = 4 км/ч
^ср — ?
fl = 12 км/ч
S1 = 8/2
S2 + S3 = s/2 h = Сз f 2 = 6 км/ч f з = 4 км/ч
^ср — ?
= S1+S2 + S3 =8
СР С+^2+^3С+^2+^3
Добавим к этому уравнению уравнения, следующие из условия и чертежа:
#l=si/vi; Si=s/2;
Так же, как и в предыдущей задаче, выразим знаменатель через s. ТогдаЧ = з/2щ; f2 • t2 + f3 • t3 = s/2.He забудьте, что ?2 = Ch^2 ^2 +^3^2 = s/2;Так же, как и в предыдущей задаче, выразим знаменатель через s. ТогдаЧ = з/2щ; f2 • t2 + f3 • t3 = s/2.He забудьте, что ?2 = Ch^2 ^2 +^3^2 = s/2;s/2s/2s/2s/2sisiS2S2S3S382 + 83 = 8/2; S2 = V2-t2; s3 = v3-£3;#2 = *з-
Так же, как и в предыдущей задаче, выразим знаменатель через s. Тогда
Ч = з/2щ; f2 • t2 + f3 • t3 = s/2.
He забудьте, что ?2 = Ch
^2 ^2 +^3^2 = s/2;
Так же, как и в предыдущей задаче, выразим знаменатель через s. Тогда
Ч = з/2щ; f2 • t2 + f3 • t3 = s/2.
He забудьте, что ?2 = Ch
^2 ^2 +^3^2 = s/2;
s/2
s/2
s/2
s/2
si
si
S2
S2
S3
S3
5(2^1 + ^2 + ^3)214(^2 + ^3)5(2^1 + ^2 + ^3)214(^2 + ^3)_ ^Щ(у2_+^3)_. cp 2щ + ^2 + ^3 ’_ ^Щ(у2_+^3)_. cp 2щ + ^2 + ^3 ’[»ср]=км/ч; уср«7км/ч.[»ср]=км/ч; уср«7км/ч.
5(2^1 + ^2 + ^3)214(^2 + ^3)
5(2^1 + ^2 + ^3)214(^2 + ^3)
_ ^Щ(у2_+^3)_. cp 2щ + ^2 + ^3 ’
_ ^Щ(у2_+^3)_. cp 2щ + ^2 + ^3 ’
[»ср]=км/ч; уср«7км/ч.
[»ср]=км/ч; уср«7км/ч.
t2 = s/(2(f2 + f3));Рис- L54
Й + ^2 + ^3 — 5— + 2 ———- 2г?12(^2+ ^3)
С учетом этого
Через сколько секунд от начала движения поезд достигнет скорости 50 км/ч при ускорении 0,5 м/с2? Какой путь он пройдет при разгоне?
f0 = о
f = 72 км/ч = 20 м/с
а = 0,5 м/с2
f = fo + «С так как v0 = 0, то t = f/а;
2
м = = t = 400 с • м
t-? S-?
s = —:
2а ’
г2 — fg = 2as;
[s] = м2 с = м;5 = 400 м.
с • м
Пуля вылетает из ствола винтовки длиной 80 см со скоростью 800 м/с. Считая движение внутри ствола равноускоренным, определите время движения пули внутри ствола и ускорение.
^о = о
1 = ^-^
t = 2l/v
х = 800 м/с
1 = 0,8 м
(так как г>о = 0);
t-Ча — Ч
И = ^ = с; м/с
t = 0,002 с;
[а] = — = а = 4000 м/с2, с • с с2
Первый вагон трогающегося поезда проходит за 3 с мимо наблюдателя, находящегося у начала вагона. За сколько времени пройдет мимо наблюдателя весь поезд, состоящий из 9 вагонов? Движение считайте равноускоренным.
^о = 0? 1 = 3 с si = I §2 = 9/*2-?^о = 0? 1 = 3 с si = I §2 = 9/*2-?Так как ускорение постоянно, то по данным задачи можно записать дважды уравнение (2.4):
^о = 0
? 1 = 3 с si = I §2 = 9/
*2-?
^о = 0
? 1 = 3 с si = I §2 = 9/
*2-?
51 = at2/2;52 = at^/2.
Если / — длина вагона, то
I = at2/2;9/ = at^/2.
Поделив одно уравнение на другое, получим
9 = ^/^;*2 = 3^; t2 = 9 с.
Лыжник спускается с горы длиной 56 м. Сколько времени займет спуск, если ускорение будет 0,4 м/с2, а начальная скорость равна 1,2 м/с?
/ = 56 ма = 0,4 м/с2 г>о = 1,2 м/с/ = 56 ма = 0,4 м/с2 г>о = 1,2 м/сI = x^t + at2/2.
/ = 56 м
а = 0,4 м/с2 г>о = 1,2 м/с
/ = 56 м
а = 0,4 м/с2 г>о = 1,2 м/с
Относительно времени данная формула является квадратным уравнением. Приведем это уравнение к стандартному виду:
ах2 + Ьх + с = 0.
ПолучимПолучимat2 + 2г>о • t — 21 = 0.at2 + 2г>о • t — 21 = 0.
Получим
Получим
at2 + 2г>о • t — 21 = 0.
at2 + 2г>о • t — 21 = 0.
Решать квадратное уравнение удобно, подставив численные значения известных параметров: 0,4t2 + 2,4t — 112 = 0; поделив все члены уравнения на 0,4, получим
t2 + 6t- 280 = 0;й,2 =t2 + 6t- 280 = 0;й,2 =-6± V36 + 1120 _ -6 ±34-6± V36 + 1120 _ -6 ±342222
t2 + 6t- 280 = 0;й,2 =
t2 + 6t- 280 = 0;й,2 =
-6± V36 + 1120 _ -6 ±34
-6± V36 + 1120 _ -6 ±34
2
2
2
2
ti = 14 с; ^2 = —20 с; tcn = й = 14 с.
Отрицательное значение корня физического смысла не имеет.
Автомобиль движется равномерно по горизонтальному
участку дороги, а затем начинается спуск, длина которого 562,5 м. Ускорение автомобиля при спуске составляет 20 см/с2, скорость в конце спуска равна 90 км/ч. Сколько времени длился спуск?
s = 562,5 ма = 20 см/с2 = 0,2 м/с2и = 90 км/ч = 25 м/сs = 562,5 ма = 20 см/с2 = 0,2 м/с2и = 90 км/ч = 25 м/сt-?t-?Формулы, связывающей данные задачи с искомой величиной, нет. Поэтому сначала по данным задачи найдем начальную скорость по формуле (2.6):
s = 562,5 м
а = 20 см/с2 = 0,2 м/с2
и = 90 км/ч = 25 м/с
s = 562,5 м
а = 20 см/с2 = 0,2 м/с2
и = 90 км/ч = 25 м/с
t-?
t-?
fo = аА 2 — 2as*^fo = 20 м/с.
А теперь по одной из формул (2.3), (2.4) или (2.5) найдем время:t = (г — fo)A; t = 12,5 с.
Шарик скатился с уклона длиной 7 м за 2 с, а затем прокатился по горизонтальному участку еще 4 м. Найдите ускорение на каждом участке пути. Нарисуйте график зависимости скорости от времени.
f 1 = 0/х = 7 м£ 1 = 2 с/2 = 3,5 м^з = 0f 1 = 0/х = 7 м£ 1 = 2 с/2 = 3,5 м^з = 0аг - Г а 2 -?аг - Г а 2 -?Перед записью условия изобразим траекторию шарика и обозначим граничные точки первого и второго участков пути (рис. 1.55).
f 1 = 0
/х = 7 м
£ 1 = 2 с
/2 = 3,5 м
^з = 0
f 1 = 0
/х = 7 м
£ 1 = 2 с
/2 = 3,5 м
^з = 0
аг - Г а 2 -?
аг - Г а 2 -?
По параметрам, известным для 1-го участка, можно найти ау.
,2
так как f 1 = 0, то
«1 = 2Д/£2;[а] = м/с2;«1 = 3,5 м/с2.Для нахождения ускорения а^ на«1 = 2Д/£2;[а] = м/с2;«1 = 3,5 м/с2.Для нахождения ускорения а^ на/1 = ait2/2;
«1 = 2Д/£2;[а] = м/с2;
«1 = 3,5 м/с2.
Для нахождения ускорения а^ на
«1 = 2Д/£2;[а] = м/с2;
«1 = 3,5 м/с2.
Для нахождения ускорения а^ на
втором участке недостаточно данных.рис j 55
Скорость в точке 2 является конечной
для 1-го участка и начальной скоростью 2-го участка (рис. 1.55).
Найдем
1 _ V1+V2 2 _ «2'Й.I. .
Н — ^—2—’772 “
1)2 = 7 м/с.1)2 = 7 м/с.И = м/с;
1)2 = 7 м/с.
1)2 = 7 м/с.
Теперь можно найти а^*.
«з-«2 =-2а2/2;«2 = 2«2/2;
Voг 1 М2 М/ 2
«2 = ^; Ы = ^— = ^;«2 = 7 м/с.
С • М С
Для построения требуемого графика надо найти t^:
V3 = V2-a2t2;0 = l)2-a2-t2-,<2 = —;
2
[t2] = —= с; t2 = lc.
с • м
Построение графика (рис. 1.56) не требует особых пояснений.
Заданы уравнения движения двух тел:
Ж1 = (2 — 2-t2 + 3-ty м, х^ = (2-t2 — 4 — ty м.
Найдите начальные координаты тел, начальные скорости и ускорения. В какой момент и в каком месте встретятся тела? Какое перемещение совершит первое тело от начала движения до встречи, и какой при этом оно пройдет путь? Нарисуйте график зависимости скорости от времени для обоих тел.
Сравнивая данные уравнения с уравнениями координаты (2.8), можно найти требуемые параметры движения. Для удобства сравнения поменяем местами слагаемые в заданных уравнениях:
х = жд ± x^t ± at2[^
жх = 2 + 3t — 2t2, м;
Ж2 = —4 —t + 2t2, м;
■4 м; foi = 3 м/с; Ж02 = —1 м/с;
жх = (2 —2t2 + 3t), мЖ2 = ^t2 — 4 — ty мЖ01-? Ж02-?Ж01 — ? Ж02 — ? ai-? 0^-7 х-? t-?ж01 = 2 м; ж02 = -«1 = -жх = (2 —2t2 + 3t), мЖ2 = ^t2 — 4 — ty мЖ01-? Ж02-?Ж01 — ? Ж02 — ? ai-? 0^-7 х-? t-?ж01 = 2 м; ж02 = -«1 = -4 м/с2;«2 — 4 м/с2.
жх = (2 —2t2 + 3t), м
Ж2 = ^t2 — 4 — ty м
Ж01-? Ж02-?
Ж01 — ? Ж02 — ? ai-? 0^-7 х-? t-?
ж01 = 2 м; ж02 = -
«1 = -
жх = (2 —2t2 + 3t), м
Ж2 = ^t2 — 4 — ty м
Ж01-? Ж02-?
Ж01 — ? Ж02 — ? ai-? 0^-7 х-? t-?
ж01 = 2 м; ж02 = -
«1 = -
Ж02#01
*1111!*!> -4-3-2-1012 ж ^02 4>01
> а2а\ <
Рис. 1.57
Нарисуем ось координат х^ обозначим на ней начальные координаты 1 и 2 тела, укажем направления скоростей и ускорений (рис. 1.57).
Из анализа рисунка видно, что тела начали двигаться в противоположные стороны, оба равнозамедленно (так как направления скоростей и ускорений противоположны). Значит, в какие-то моменты времени они должны остановиться и поменять направления движения, начав двигаться равноускоренно навстречу
ДРУГ Другу.
Чтобы лучше понять характер движения, нарисуем график для координаты 1 и 2 тела (рис. 1.58), либо используя производную, либо по точкам.
Судя по графику, тела встретятся в момент времени t ~ 1,8 с в точке с координатой х « 0,8 м. Это можно проверить математически, найдя время встречи из условия равенства коор
динат, Х\ = Х^Х
2 + 3#-2#2 = -4-Л-2#2;
4#2 —4# —6 = 0;
#1 « 1,82 с; #2 = -0,82 с.
Место встречи можно найти, подставив значение Ч в уравнение координаты жх или х^. Вычисления дадут значение х ~ 0,8 м, что соответствует точке пересечения графиков 1 и 2. Второй момент времени соответствует встрече, которая могла быть до начала наблюдения за телами.
Как подсчитать перемещение и путь в случае, если тело меняет направление движения, подробно рассмотрено при ответе
на вопрос 2.16. Проекция вектора перемещения равна разности координаты места встречи и начальной координаты:
ri = ж — жд = 0,8 — 2 = —1,2 м.
Знак « —» говорит о том, что к данному моменту времени тело сместилось в направлении, противоположном оси ж (рис. 1.58).
Величина пройденного пути з равна сумме пути si вдоль оси ж и пути 52, который пройдет тело после смены направле
ния движения до встречи:
s = 5i + 52;
Si = |жтах Жо11 ~ |3,1 2| = 1,1 м;
52 = |ж-жтах| « |0,8 — 3,1| = 2,3 м;
5 = 3,4 м.
Запишем уравнения зависимости скорости от времени:
ж = ±жд ± at*^
Ж1 = (3 — 4/), м/с;
ж2 = (-1 + 4/), м/с.
Для построения графиков вычислим значения скоростей для двух моментов времени:
t = 0;Ж1=3м/с;Ж2= —1м/с;
Поставим эти точки на системеПоставим эти точки на системекоординат и проведем прямые, соответствующие графикам (рис. 1.59).10. На рис. 1.60 даны графики зависимости скорости движения двух тел от времени. Запишите уравнения зависимости скорости и координаты от времени для 1-го и 2-го тела. Первое тело находится в начальный момент там же, гдекоординат и проведем прямые, соответствующие графикам (рис. 1.59).10. На рис. 1.60 даны графики зависимости скорости движения двух тел от времени. Запишите уравнения зависимости скорости и координаты от времени для 1-го и 2-го тела. Первое тело находится в начальный момент там же, гдеи тело отсчета, второе — на расстоянии 5 м от него в направлеи тело отсчета, второе — на расстоянии 5 м от него в направлеt = 2 с; Ж) =—5 м/с: Ж2 = 7м/с.
Поставим эти точки на системе
Поставим эти точки на системе
координат и проведем прямые, соответствующие графикам (рис. 1.59).
10. На рис. 1.60 даны графики зависимости скорости движения двух тел от времени. Запишите уравнения зависимости скорости и координаты от времени для 1-го и 2-го тела. Первое тело находится в начальный момент там же, где
координат и проведем прямые, соответствующие графикам (рис. 1.59).
10. На рис. 1.60 даны графики зависимости скорости движения двух тел от времени. Запишите уравнения зависимости скорости и координаты от времени для 1-го и 2-го тела. Первое тело находится в начальный момент там же, где
и тело отсчета, второе — на расстоянии 5 м от него в направле
и тело отсчета, второе — на расстоянии 5 м от него в направле
нии оси ж.
ж01 = 0Жд2 = 5 мж01 = 0Жд2 = 5 м®i(0 -?Ж2(Й -?®i(0 -?Ж2(Й -?По графикам можно вычислить ускорение, найдя изменение скорости за произвольно выбранный промежуток времени At:
ж01 = 0
Жд2 = 5 м
ж01 = 0
Жд2 = 5 м
®i(0 -?
Ж2(Й -?
®i(0 -?
Ж2(Й -?
At = 0,5 с; жох = 1 м/с; жх = 2 м/с;
ж02 = 2,5 м/с; ж2 — 2 м/с.
Воспользовавшись формулой (2.5), найдем ускорения:
«1 = 2 м/с2;«2 = — 1 м/с2.
Подставим полученные значения в уравнение для скорости (2.5') и координаты (2.8), время остается аргументом:
жх = (1 + 2^, м/с;ж2 = (2,5-^, м/с;
жх = (t + t2), м;Ж2 = (5 + 2,5t — 0,5t2), м.
Два велосипедиста едут навстречу друг другу. Один, имея скорость 18 км/ч, поднимается в гору равнозамедленно с ускорением 20 см/с2, другой, имея скорость 5,4 км/ч, опускается равноускоренно с тем же по величине ускорением. Через какое время велосипедисты встретятся и в каком месте? Расстояние между велосипедистами вначале — 130 м.
8 = 130 мжох = 18 км/ч = 5 м/с^02 = 5,4 км/ч = 1,5 м/с^1 — ^2 — 0,2 м/с2Жх = ж28 = 130 мжох = 18 км/ч = 5 м/с^02 = 5,4 км/ч = 1,5 м/с^1 — ^2 — 0,2 м/с2Жх = ж2t-? ж-?t-? ж-?Вспомним, что такое система
8 = 130 м
жох = 18 км/ч = 5 м/с
^02 = 5,4 км/ч = 1,5 м/с
^1 — ^2 — 0,2 м/с2
Жх = ж2
8 = 130 м
жох = 18 км/ч = 5 м/с
^02 = 5,4 км/ч = 1,5 м/с
^1 — ^2 — 0,2 м/с2
Жх = ж2
t-? ж-?
t-? ж-?
отсчета; тело отсчета, связанная с
ним система координат и задание
момента, от которого отсчитываем время. Определим систему отсчета в нашей задаче. Телом отсчета выберем точку на Земле, где был 1-й велосипедист в начале наблюдения.
Ось координат направим вдоль скорости 1-го тела. 2-й велосипе
Рис. 1.61Рис. 1.61дист находится на расстоянии з в начале наблюдения, то есть начальная координата 1-го велосипедиста жох — 0, начальная координата второго равна Ж02 = з (рис. 1.61). Начали велосипедисты движение одновременно, то есть время движения у них одинаково. Обозначив координаты велосипе-
Рис. 1.61
Рис. 1.61
дистов жх и Ж2, можно все параметры уравнений их координат охарактеризовать следующим образом:
жх; жох = 0; жох > 0; ах < 0; t.
ж2; ж02 = s; ж02 < 0; а2 < 0; t.
Знаки проекций скоростей и ускорений на ось х зависят от направления векторов скоростей и ускорений по отношению к выбранной оси. Запишем теперь уравнения координат (учтем, что «1 = а^ = а):2
Ж1 = у01*—;(а)
,2
®2 = s-v02-t- ^-;(б)
Так как х\ = х^ то , а • t.at
Найдем отсюда время, спустя которое велосипедисты встретятся:
t = ---;[#] = — = с;# = 120 с.
(fOl+^02)М
Чтобы найти координату места встречи, подставим время t = 20 с в уравнение (а) или (б). Получим ж = 60 м.
Тело двигается прямолинейно с постоянным ускорением. За первую секунду оно прошло 1 м, за вторую — 2 м. Какова его начальная скорость?
а — const ,5'1 = 1 М Ati = 1 с ,5'2 = 2 М At2 = 1 С«0-?а — const ,5'1 = 1 М Ati = 1 с ,5'2 = 2 М At2 = 1 С«0-?Вычислим среднюю скорость за первую секунду, за вторую и за две секунды:
а — const ,5'1 = 1 М Ati = 1 с ,5'2 = 2 М At2 = 1 С
«0-?
а — const ,5'1 = 1 М Ati = 1 с ,5'2 = 2 М At2 = 1 С
«0-?
Рср1 = д^;«Ср1 = 1м/с;
vcp2 = д^’vcp2 = 2 м/с;
Si + S21 г /
^Р1-2 = д^ + дг/ ^Р1"2 = т’5 м/с-
Запишем формулы для средних скоростей через скорость начальную жо, скорости в конце первой и второй секунды — щ и ^2 (рис. 1.62):Запишем формулы для средних скоростей через скорость начальную жо, скорости в конце первой и второй секунды — щ и ^2 (рис. 1.62):^cpi —^cpi —f о + щ .2’f о + щ .2’Рис. 1.62Рис. 1.62^ср2 —^ср2 —fl + f2 .2’fl + f2 .2’(а)(б)(а)(б)^cpl—2 =^cpl—2 =fO + f22fO + f22(в)(в)
Запишем формулы для средних скоростей через скорость начальную жо, скорости в конце первой и второй секунды — щ и ^2 (рис. 1.62):
Запишем формулы для средних скоростей через скорость начальную жо, скорости в конце первой и второй секунды — щ и ^2 (рис. 1.62):
^cpi —
^cpi —
f о + щ .
2’
f о + щ .
2’
Рис. 1.62
Рис. 1.62
^ср2 —
^ср2 —
fl + f2 .
2’
fl + f2 .
2’
(а)
(б)
(а)
(б)
^cpl—2 =
^cpl—2 =
fO + f22
fO + f22
(в)
(в)
Получим систему трех уравнений с тремя неизвестными: го- ^ь ^2- Решим ее, чтобы найти х^. Результат получим быстро, если поступим следующим образом: сложим уравнения (а) и (в) и вычтем уравнение (б). Тогда получим:
_ У0 + Щ , ^0 + ^2 Щ + ^2.
^cpl + ^cpl—2 — ^cp2 — 2+2~2’
^cpl + ^cpl-2 — ^cp2 — ^05
Жд = 0,5 м/с.
Тело, имея начальную скорость 4 м/с, прошло за шестую секунду 15 м. Определите ускорение тела.
I способ
г>о — 4 м/сРешим сначала задачу с помощью уравнения
△^ — 1с координаты. Начало координат совместим с точ- з = 15 м кой, из которой вышло тело (рис. 1.63): жх, Ж2, ”жз, Ж4, Ж5, ж6 — координаты тела спустя 1 с, 2 с,
'и т. д. от начала движения тела. Путь, пройден
ный за шестую секунду, найдем так:
.д = Жб-ж5.(а)
ООРис. 1.63Рис. 1.63
О
О
Рис. 1.63
Рис. 1.63
Запишем уравнение для координаты движущегося тела, определив сначала кинематические параметры в выбранной системе отсчета: ж — текущая координата; ж о = 0; жд > 0; а > 0; t.
, . atж = ж0-£+ —.
Найдем координаты тела в конце 5-й и 6-й секунды движения:2
^5 = ^0 ^5 +^5(б)
(в)(в)Жб = «0-<б + ^-
(в)
(в)
(очевидно, что ^ = 5 с. tg — 6 с).
Имеем 3 уравнения с неизвестными Ж5, жд, а. Найдем ускорение а;
8 = Vo(t6-<5) + |(^6-^);
2[s - v0(t6 - <б)]. te-ts ’2[s - v0(t6 - <б)]. te-ts ’м — (м/с) • с22с — См — (м/с) • с22с — См .“2 ’ см .“2 ’ са = 2м/с2.а = 2м/с2.
2[s - v0(t6 - <б)]. te-ts ’
2[s - v0(t6 - <б)]. te-ts ’
м — (м/с) • с
22
с — С
м — (м/с) • с
22
с — С
м .
“2 ’ с
м .
“2 ’ с
а = 2м/с2.
а = 2м/с2.
5 С. В. Трубецкова
II способ
По формуле (2.5') можно найти скорости в конце 5-й и 6-й
(б)(б)уНД"v5 = v0 + a<5;(а)
(б)
(б)
«6 = vo + a<6-
Имеем 2 уравнения с неизвестными 175, ^6, а. поэтому добавим еще уравнение (2.3):+
s = ^L_»At(в)
Решая эту систему, получим формулу для ускорения: / 2s~\1г 1/мм\ 1м/ 2
а = — — 2^о • -—; Щ= - — -•- = -?; а = 2 м/с .
\М и/t5 + ^6L JVcс/ с с2’7
Покажем, что формула, полученная при решении первым способом, такая же, как и во втором:
а = 2s-2^o(t6-t5) = 2£-2М£б22М .1= ( 2s _ ^ \1
(^6 - ^б) 1 (^6+ ^б)^6 — ^5^б + ^5vAt °/ £5+^6
Тело, имея некоторую начальную скорость, движется равноускоренно. За время t тело прошло путь s, причем его скорость увеличилась в п раз. Найдите ускорение тела.
I способ
^о т^ 0Запишем формулу зависимости пути от вре-
tмени:+ , at2
8S = v0.£ +
f = П • fo2
~? К этому уравнению добавим еще два:
f = fg + at^ v = tivq.
Получим 3 уравнения с неизвестными a, щ ^о-
Решение даст формулу для ускорения а:
а_ 2s(n-l) ,t2 • (n + 1)
Можно решить эту задачу и с помощью других уравнений кинематики. Без пояснений приведем их.
II способ
f = fo + at^ '
S = (f + fo)-t/2- >
V = n-VQ.
П^о = ^0 + ^^8 = (n-^o + ^о) * V2*П^о = ^0 + ^^8 = (n-^o + ^о) * V2*fo(n — 1) = at^ Do(n +1)- 2/2 = s.fo(n — 1) = at^ Do(n +1)- 2/2 = s.
П^о = ^0 + ^^
8 = (n-^o + ^о) * V2*
П^о = ^0 + ^^
8 = (n-^o + ^о) * V2*
fo(n — 1) = at^ Do(n +1)- 2/2 = s.
fo(n — 1) = at^ Do(n +1)- 2/2 = s.
о ।,\vo(^-l)2s(n —1)
d0 = 2s/((n H^tya =—Цa = v / .
HI способ
d = Do + at^ ' d2 — Dq = 2as; >D = Tl-Do- , a • t ^0 = 7?n — 1d = Do + at^ ' d2 — Dq = 2as; >D = Tl-Do- , a • t ^0 = 7?n — 1(n — 1) • fo = a • t; (n2 — 1) • Dq = 2as. a_ 2s(n —1) .(n+ !)•?’(n — 1) • fo = a • t; (n2 — 1) • Dq = 2as. a_ 2s(n —1) .(n+ !)•?’
d = Do + at^ ' d2 — Dq = 2as; >
D = Tl-Do- , a • t ^0 = 7?
n — 1
d = Do + at^ ' d2 — Dq = 2as; >
D = Tl-Do- , a • t ^0 = 7?
n — 1
(n — 1) • fo = a • t; (n2 — 1) • Dq = 2as. a_ 2s(n —1) .
(n+ !)•?’
(n — 1) • fo = a • t; (n2 — 1) • Dq = 2as. a_ 2s(n —1) .
(n+ !)•?’
Тело брошено вертикально вверх со скоростью 19,6 м/с. Найдите высоту наибольшего подъема и время подъема. Найдите скорость при падении в ту же точку и время падения.
fo = 19,6 м/с г = 0 д = 9,8 м/с2Л-? Й-?^2 - ? ^2 - ?fo = 19,6 м/с г = 0 д = 9,8 м/с2Л-? Й-?^2 - ? ^2 - ?В наивысшей точке скорость тела равна нулю, что и записано в условии задачи (у = 0): D2 — Do = —2gh^ h = Do/2g\ h = 19,6 м. D = Do-gtv, G = Do~gt^ ti = Do/g = 2 с. (знак « —» определяется тем, что движениеВ наивысшей точке скорость тела равна нулю, что и записано в условии задачи (у = 0): D2 — Do = —2gh^ h = Do/2g\ h = 19,6 м. D = Do-gtv, G = Do~gt^ ti = Do/g = 2 с. (знак « —» определяется тем, что движениевверх равнозамедленное).При падении начальная скорость равна нулю, движение рав-вверх равнозамедленное).При падении начальная скорость равна нулю, движение рав-ноускоренное. Высота, h = vo-t^+gt^/^-, -u^-^ = 2gh"ноускоренное. Высота, h = vo-t^+gt^/^-, -u^-^ = 2gh"сскоторой падает тело, найдена выше.которой падает тело, найдена выше.Получили, что времяПолучили, что времяh = gtl/2\V2 = V^gh, подъема равноh = gtl/2\V2 = V^gh, подъема равно7 2 = y/^h/g = 2 с.г^2 = 19,6 м/с.времени падения, ско-7 2 = y/^h/g = 2 с.г^2 = 19,6 м/с.времени падения, ско-рость при падении равна скорости, с которой было брошено тело (если нет сопротивления воздуха).рость при падении равна скорости, с которой было брошено тело (если нет сопротивления воздуха).
fo = 19,6 м/с г = 0 д = 9,8 м/с2
Л-? Й-?
^2 - ? ^2 - ?
fo = 19,6 м/с г = 0 д = 9,8 м/с2
Л-? Й-?
^2 - ? ^2 - ?
В наивысшей точке скорость тела равна нулю, что и записано в условии задачи (у = 0): D2 — Do = —2gh^ h = Do/2g\ h = 19,6 м. D = Do-gtv, G = Do~gt^ ti = Do/g = 2 с. (знак « —» определяется тем, что движение
В наивысшей точке скорость тела равна нулю, что и записано в условии задачи (у = 0): D2 — Do = —2gh^ h = Do/2g\ h = 19,6 м. D = Do-gtv, G = Do~gt^ ti = Do/g = 2 с. (знак « —» определяется тем, что движение
вверх равнозамедленное).
При падении начальная скорость равна нулю, движение рав-
вверх равнозамедленное).
При падении начальная скорость равна нулю, движение рав-
ноускоренное. Высота, h = vo-t^+gt^/^-, -u^-^ = 2gh"
ноускоренное. Высота, h = vo-t^+gt^/^-, -u^-^ = 2gh"
с
с
которой падает тело, найдена выше.
которой падает тело, найдена выше.
Получили, что время
Получили, что время
h = gtl/2\
V2 = V^gh, подъема равно
h = gtl/2\
V2 = V^gh, подъема равно
7 2 = y/^h/g = 2 с.
г^2 = 19,6 м/с.
времени падения, ско-
7 2 = y/^h/g = 2 с.
г^2 = 19,6 м/с.
времени падения, ско-
рость при падении равна скорости, с которой было брошено тело (если нет сопротивления воздуха).
рость при падении равна скорости, с которой было брошено тело (если нет сопротивления воздуха).
16. При свободном падении первое тело находилось в полете в 2 раза меньше времени, чем второе. Сравните скорости тел и их перемещения.16. При свободном падении первое тело находилось в полете в 2 раза меньше времени, чем второе. Сравните скорости тел и их перемещения.^01 = ^02 = 0= t2/2^2/^1 -?S2/S1 -?^01 = ^02 = 0= t2/2^2/^1 -?S2/S1 -?Запишем формулы (2.5') и (2.4) для каждого тела с учетом того, что начальная скорость того и другого тела равна нулю:Vi=gtr, -Ui = gt^ ^2 = ^ = 2.Запишем формулы (2.5') и (2.4) для каждого тела с учетом того, что начальная скорость того и другого тела равна нулю:Vi=gtr, -Ui = gt^ ^2 = ^ = 2.
16. При свободном падении первое тело находилось в полете в 2 раза меньше времени, чем второе. Сравните скорости тел и их перемещения.
16. При свободном падении первое тело находилось в полете в 2 раза меньше времени, чем второе. Сравните скорости тел и их перемещения.
^01 = ^02 = 0
= t2/2
^2/^1 -?
S2/S1 -?
^01 = ^02 = 0
= t2/2
^2/^1 -?
S2/S1 -?
Запишем формулы (2.5') и (2.4) для каждого тела с учетом того, что начальная скорость того и другого тела равна нулю:
Vi=gtr, -Ui = gt^ ^2 = ^ = 2.
Запишем формулы (2.5') и (2.4) для каждого тела с учетом того, что начальная скорость того и другого тела равна нулю:
Vi=gtr, -Ui = gt^ ^2 = ^ = 2.
$1 =$1 =,22 ’,22 ’,2 = Д22 ,,2 = Д22 ,И = 11 =4 «1И = 11 =4 «1
$1 =
$1 =
,2
2 ’
,2
2 ’
,2 = Д
22 ,
,2 = Д
22 ,
И = 11 =4 «1
И = 11 =4 «1
Два тела брошены вертикально вверх с начальной скоростью 19,6 м/с с промежутком во времени 0,5 с. Через какое время после бросания второго тела и на какой высоте встретятся тела?
Движение тел равнопеременное с ^01 — Ж02 — 19,6 м/сускорением д = 9,8 м/с. За начало
М = 0,5 сотсчета примем точку бросания тел —
точку О. Ось координат направим вер- в * в *тикально вверх (рис. 1.64). Для решения
воспользуемся уравнением координаты (2.8).
Охарактеризуем параметры движения каждого тела, отсчитывая время от начала движения второго тела — Д жх, х^ —
координаты тел.
xv, жОх = 0; жОх > 0; д < 0; Ч = ^ + АД
xv, ж02 = 0; ж02 > 0; д < 0; t2 = t.
Знаки скоростей и ускорений определяются х а . направлением соответствующего вектора по от-
Тело, находящееся в точке В на высоте 45 м от Земли, начинает свободно падать. Одновременно из точки Л, расположенной на расстоянии 21 м ниже точки В, бросают другое тело вертикально вверх. Определите начальную скорость второго тела, если известно, что оба тела упали на Землю одновременно.
h = 45 мг = 21 м ti=t2 = t ^oi = 0^02 — ?h = 45 мг = 21 м ti=t2 = t ^oi = 0^02 — ?Движение тел равнопеременное. За начало отсчета примем точку падения тел на Землю. Ось направим вертикально вверх (рис. 1.65).
h = 45 м
г = 21 м ti=t2 = t ^oi = 0
^02 — ?
h = 45 м
г = 21 м ti=t2 = t ^oi = 0
^02 — ?
Для решения воспользуемся уравнением координаты. Время отсчитываем от момента бросания тел. Охарактеризуем параметры движения каждого тела:
Рис. 1.65Рис. 1.65жх; жох = ^;^01 = 0; д < 0; t.
Рис. 1.65
Рис. 1.65
ж2; ж02 = ^ - г; ^01 > 0; д < 0; t.
С учетом этих параметров запишем уравнения координаты 1-го и 2-го тел:
жх = h — gt2, (^
х^ = h-r+v^ -t —gt2/2.
В условии задачи сказано, что тела
упадут на Землю одновременно, то есть
тел станут равнытел станут равнынулю:нулю:спустя время t координаты обоих
тел станут равны
тел станут равны
нулю:
нулю:
,2
0 =(а)
,2
О = h-r + v02 - ^-.(б)
Из уравнения (а) найдем время:
,г, I/м•с, о
V дV м
Из уравнения (б) найдем ^02^ /gt2, \ 1
^02 =
г 1/ м о ।\1 м/
[^02] = I — • с+м — м I • - = —:^02 = 7 м/с.
/ с с
Свободно падающее тело через время t после начала падения находится на высоте 1100 м, а еще через 10 с на высоте 120 м над поверхностью Земли. С какой высоты падало тело?
V0 = 0Н2 = 1100 мМ = 10 сН3 = 120 м д = 9,8 м/с2Hi-?Запишем его:V0 = 0Н2 = 1100 мМ = 10 сН3 = 120 м д = 9,8 м/с2Hi-?Запишем его:I способ
V0 = 0
Н2 = 1100 м
М = 10 с
Н3 = 120 м д = 9,8 м/с2
Hi-?
Запишем его:
V0 = 0
Н2 = 1100 м
М = 10 с
Н3 = 120 м д = 9,8 м/с2
Hi-?
Запишем его:
Место падения тела выберем за точку отсчета, ось Ох направим вертикально вверх (рис. 1.66). Время начнем отсчитывать от начала падения тела. Исходя из чертежа и условия задачи, можно охарактеризовать параметры, входящие в уравнение координаты: ж; жо = Ях; гд = 0; д < 0; t.
По условию в некоторый момент времени t тело будет в точке 2 с координатой ж 2 = Н^ а спустя время At = 10 с — в точке 3 с координатой жз = Н3. В соответствии с этим урав
нения координаты для указанных точек запишутся следующим образом:
Н2 = Hi - gt2^- Н3 = Нг- 9^+^ .
В полученных уравнениях две неизменные величины: t и Ну. Вычтем из первого уравнения второе и найдем t: t_H2-H3 At.
д • At 2 ’
Из первого уравнения найдем
,2
Ну = Я2 + ^|-; Ну = 1222,5 м.
II способ
Для участка 2-3 известны 3 кинематических параметра: д. М и длина участка 2-3, равная (Ну — Н2\ Для этих данных запишем формулу (2.4), в которую входит еще начальная скорость для участка 2-3, то есть скорость в точке 2:
H2-H3 = v2-A# + ^C
Отсюда найдем Ж2:
( тт тт 9(^) А 1 .
У2_^Н2-Н3-^—
/2 X !
М • С \1 М/
= м —м ——-Ж2 = 49м/с.
\/ с с
Скорость в точке 2 является начальной для участка 2-3 и конечной для участка 1-2. Поэтому для участка 1-2 известны теперь 3 параметра: щ = 0, f2, д. Отсюда можно записать (2.6'):
«2= 2gh,
где h — длина отрезка 1-2. Найдем его:
2
Л = ^-; h = 122,5 м.
Из рис. 1.66 видно, что
Hx^h^H^ Ях = 1222,5 м.
Тело, свободно падая, за последние 2 с прошло 100 м. С какой высоты упало тело и сколько времени оно падало?
fi = 0/г-2 = ЮО м^2 = 2 ск-?t-?fi = 0/г-2 = ЮО м^2 = 2 ск-?t-?I способ
fi = 0
/г-2 = ЮО м
^2 = 2 с
к-?
t-?
fi = 0
/г-2 = ЮО м
^2 = 2 с
к-?
t-?
Начало координат выберем в точке падения тела, ось ж направим вертикально вверх (рис. 1.67). Время начнем отсчитывать от момента падения тела. Кинематические параметры движения тела следующие:
ж; жо = к;vо = 0; д < 0; t.
Запишем уравнение координаты: ,2
В точку 2, координата которой равна нулю (ж2 = 0), тело попадает спустя время t, а в точку 1 с координатой кс — спустя время ^t — t^Y Поэтому уравнения координаты для этих точек запишем так:
,2
для точки 2: 0 = к —
для точки 1: к% = к — 9^.
Имеем два уравнения с неизвестными к
КК^2^2Рис. 1.67Рис. 1.67и t. Решение ихи t. Решение их^2 । £2 .^22 ’^2 । £2 .^22 ’и =и =ммt = 6 С.t = 6 С.к =к =,2gt .2 ’,2gt .2 ’к = 180 м.к = 180 м.даст следующие выражения:
К
К
^2
^2
Рис. 1.67
Рис. 1.67
и t. Решение их
и t. Решение их
^2 । £2 .
^22 ’
^2 । £2 .
^22 ’
и =
и =
м
м
t = 6 С.
t = 6 С.
к =
к =
,2gt .
2 ’
,2gt .
2 ’
к = 180 м.
к = 180 м.
II способ
Известны параметры, характеризующие второй участок пути: д. t2, ^2- Отсюда можно найти скорость в точке 1:
Д2 = гх • t2 + ^;
fl = (h^ ~[fl] = ("м -• с2У - = -: щ « 40 м/с.
\2 7 t2 L J/ с с'
Скорость в точке 1 является конечной скоростью первого участка пути, тогда для 1 участка теперь известны 3 параметра: fg = 0, fi, д. Можно найти hv.
Vi-Vv^Sghr, hl=vl/2g-, [/i^ = ^y^- = м; hi « 80 м; с • м
h = h\ + h^ h = 180 m.
Время падения с высоты h найдем из формулы:
,2/г = у0-Л-^-;,2/г = у0-Л-^-;,/2Г йt = \ — ^ 6 сV 9,/2Г йt = \ — ^ 6 сV 9
,2
/г = у0-Л-^-;
,2
/г = у0-Л-^-;
,/2Г й
t = \ — ^ 6 с
V 9
,/2Г й
t = \ — ^ 6 с
V 9
h^0®(<)-? у(<)-?у(®)-?f — ? а — ?h^0®(<)-? у(<)-?у(®)-?f — ? а — ?
h
^0
®(<)-? у(<)-?
у(®)-?
f — ? а — ?
h
^0
®(<)-? у(<)-?
у(®)-?
f — ? а — ?
Тело брошено с высоты h горизонтально со скоростью fg- Как зависят от времени координаты тела и его полная скорость? Получите уравнение траектории движения. Найдите скорость тела при его падении на Землю и угол па
дения.
Выберем начало координат в точке бросания тела, ось Ох направим горизонтально, ось Од — вертикально вниз (рис. 1.68 а). Так как движение по горизонтали является равномерным и жд = 0, то уравнение координаты (2.8) для этого случая запишем следующим образом:
х = fg * t.
В вертикальном направлении тело движется
без начальной скорости равноускоренно с ускорением д (до = 0):
Уа =9^/2.
Если же начало координат выбрать на поверхности Земли (рис. 1.68 5), то начальная координата в таком случае равна высоте h (жд = h) и уравнение для координаты д запишется в виде
y6=h-gt1/2.
Рис. 1.68
Уравнение для координаты х в данной системе координат такое же, как и на рис. 1.68 а.
Величина горизонтальной составляющей скорости остается неизменной, равной х^;
Хж — ^0 — const.
Вертикальная составляющая для системы координат на рис. 1.68 а.
1vya = gt,
а для рис. 1.68 б
vy6=~9t-
(Знак определяется направлением вектора д по отношению к оси Оу.)
Результирующая скорость в любой момент времени t определится через составляющие хж и ху по теореме Пифагора:
и, исключив время г, по-и, исключив время г, по-Уравнение траектории тела на плоскости хОу должно дать зависимость координаты у от х: запишем уравнения координат для обоих рассматриваемых случс лучим искомую зависимость:
и, исключив время г, по-
и, исключив время г, по-
9 ■ ж22^о9 ■ ж22^оX =1_ х .
9 ■ ж22^о
9 ■ ж22^о
ya=gtz/2.)vo
l 9 • ж2U6=h-^-2^оl 9 • ж2U6=h-^-2^оХ = Хо^ 1, X
l 9 • ж2U6=h-^-2^о
l 9 • ж2U6=h-^-2^о
видно, что траектория явля-видно, что траектория явля-уб = h-gtz/2.)vo
видно, что траектория явля-
видно, что траектория явля-
По виду полученной формулы ется параболой.
Для того, чтобы найти скорость в момент падения d^ надо найти время падения тела с высоты к.
и воспользоваться полученной зависимостью v(t);
v = Vvo + 2gh
(можно найти Dy по формуле (2.5') и сложить векторно с d^ получится то же самое).
Угол падения тела на Землю можно найти через составляющие СКОрОСТеЙ Dx И Dy\
tga = —; и = arctg — = arctg — .
«х\VX/К^О/
Под каким углом к горизонту надо бросить тело, чтобы дальность полета была наибольшей?
Для того, чтобы ответить наДля того, чтобы ответить навопрос задачи, надо найти зависимость пути от угла бросания а; з(а\ Путь в горизонтальном направлении определим по формуле равномерного движения (рис. 1.69):
Для того, чтобы ответить на
Для того, чтобы ответить на
S = 2'Сдж • t,
t — время подъема тела до наивысшей точки. В этой точке вертикальная составляющая скорости равна нулю:
^у — ^^у 9^*i0 — ^ОуТак как^Ож = ^о -cosa;s (а) = 2^о • cos а • sin а/дили^у — ^^у 9^*i0 — ^ОуТак как^Ож = ^о -cosa;s (а) = 2^о • cos а • sin а/дилиgt- t='^.
^у — ^^у 9^*i0 — ^Оу
Так как
^Ож = ^о -cosa;
s (а) = 2^о • cos а • sin а/дили
^у — ^^у 9^*i0 — ^Оу
Так как
^Ож = ^о -cosa;
s (а) = 2^о • cos а • sin а/дили
9
= fo - sin ct,
s(a) = fg • sin (2a) /g
(в соответствии с тригонометрической формулой: sin 2a = = 2 sin a • cos ci).
При заданной скорости t>o максимальному пути будет соответствовать максимальное значение sin (2а), которое равно 1.
sin2a = 1; arcsinl = тг/2; 2а = тг/2:а = тг/4.
Получили, что максимальная дальность полета при любой скорости fo будет при угле бросания тг/4.
Вопрос о максимальной дальности полета можно решить и с помощью производной, которая равна нулю при smax. Найдем производную от пути по а;
s\a) = 2fg • cos (2d)/g; ^'(d) = 0.
Найдем, при какой величине угла а производная равна нулю:
cos (2d) = 0;2d = тг/2;cos (2d) = 0;2d = тг/2;arccosO = тг/2; d = тг/4.
cos (2d) = 0;
2d = тг/2;
cos (2d) = 0;
2d = тг/2;
Артиллерийское орудие расположено на горе высотой Н. Снаряд вылетает из ствола со скоростью гщ направленной под углом d к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите дальность полета в горизонтальном направлении.
h^о а8-7h^о а8-7Начало координат выберем в точке выстрела, оси координат направим по вертикали и горизонтали (рис. 1.70).
h
^о а
8-7
h
^о а
8-7
I способ
Снаряд движется равномерно в горизонтальном направлении, при подъеме он проходит путь si, при
падении — s^.
Если время подъема снаряда до высшей точки ti, а время падения — ^ то
^1 — ^0ж * ^1
^2 = ^0ж ’^2-
Найдем время подъема до наивысшей точки t] из условия, что вертикальная составляющая скорости в этой точке равна нулю:
^у = ^0у9^15
0 = ^oy-gti;
ti = vOy/g.
Достигнув высшей точ
ки, тело начинает падать
с высоты (Н + h,y где h — высота подъема снаряда над орудием.
Найти h можно по формуле
ь = ^l^gY
Найдем время падения с высоты (Н + h):
^H + h)=gt^2- t2 = ^2(H + h^.
Учитывая, что
^Ож — ^о * cos а ^о^ = ^о • sin а
найдем s, s = si + $2-
. sin а . cos а^0 • cos a 2д Н +• sin2 а
99
s = fg • cos a (fg • sin а + \^2дН -\-х^ - sin2 о) /д.
II способ
Уравнения для координат ж и у снаряда в выбранной системе координат выглядят следующим образом:
ж = жож*^ж = жож * cos а • t, '
,2,2>
, at., at
у = ^.1-^. у = ж0 • sin а • t -.
В момент падения тела на Землю ж = s, у = —Н.
С учетом этого уравнения координат запишем следующим образом:
5 = жо • cos а • t; '
,2 ►
— Н = жо - sin а • t — ^-.
Из второго уравнения найдем время Т а затем путь з: gt1 /2 — жо sin а • t — Н = 0;
gt2, — 2жо sin а • t — 2Н = 0;
й,2 = (^о sinct ± у ^ой,2 = (^о sinct ± у ^о•sm2 а + 2дН ^ 9-•sm2 а + 2дН ^ 9-
й,2 = (^о sinct ± у ^о
й,2 = (^о sinct ± у ^о
•sm2 а + 2дН ^ 9-
•sm2 а + 2дН ^ 9-
Из формулы видно, что одно значение времени, соответствующее знаку « + », будет положительным, а другое, соответствующее знаку « —», отрицательным. Так как по смыслу нам подходит положительное значение, то дальность полета снаряда
з = focosctlfo sin аз = focosctlfo sin а-vJvoSAx^aA-^gH ) д.-vJvoSAx^aA-^gH ) д.
з = focosctlfo sin а
з = focosctlfo sin а
-vJvoSAx^aA-^gH ) д.
-vJvoSAx^aA-^gH ) д.
КИНЕМАТИКА РАВНОМЕРНОГОДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИПО ОКРУЖНОСТИ
Содержание теоретического материала
Определение криволинейного движения, направления перемещения, скорости и ускорения при криволинейном движении. Движение по окружности. Единица измерения угла — радиан. Угловая скорость — физический смысл, размерность. Частота и период равномерного движения по окружности, связь между ними. Связь между угловой скоростью, периодом и частотой. Линейная скорость вращательного движения, ее связь с периодом и частотой. Центростремительное ускорение, его величина и направление.
Вопросы к теоретическому материалу
Какое движение называется криволинейным?
Каково направление скорости тела при криволинейном движении?
Почему равномерное движение по криволинейной траектории является ускоренным?
Движение по окружности является частным случаем разных криволинейных движений. Почему криволинейное движение можно описать с помощью закономерностей вращательного движения?
Какое движение называется равномерным движением по окружности?
Что называется угловой скоростью вращения?
Что за единица измерения угла — радиан? Выразите в радианах углы, заданные в градусах.
Какова размерность угловой скорости?
Что называется периодом и частотой вращения? Как они связаны между собой?
Как связана угловая скорость вращения с периодом и частотой?
Что называется линейной скоростью равномерного вращения? Как она связана с периодом и частотой?
Как связана линейная скорость вращения материальной точки с угловой скоростью?
Как определить центростремительное ускорение при равномерном движении тела по окружности? Как направлено центростремительное ускорение?
Получите связь между центростремительным ускорением, периодом, частотой и угловой скоростью.
При разработке измерительного стрелочного прибора конструкторы решили удлинить его стрелку и сделать шкалу дальше от центра. Как должно повлиять это на чувствительность прибора?
На рис. 1.71 линия МN — траектория движения тела с постоянной скоростью. Укажите направления векторов скоростей и ускорений в точках 1, 2, 3.
Для того, чтобы подальше забросить донную удочку или начало аркана, рыбаки и ковбои раскручивают их над головой, постепенно удлиняя враща
ющуюся часть. Почему они так делают?
3.21. Как3.21. КакГде на поверхности Земли находятся точки, в которых линейная и угловая скорости равны нулю?
3.21. Как
3.21. Как
Сравните линейные и угловые скорости точек на поверхности Земли, расположенных на широте Москвы и на широте Волгограда.
При каком условии искусственный спутник Земли будет казаться неподвижным?
Траектория ватора.движется тело,Траектория ватора.движется тело,спутника лежит в плоскости эк-
Траектория ватора.
движется тело,
Траектория ватора.
движется тело,
имеют неодинаковые скоростиимеют неодинаковые скоростиесли его точки А и В' (рис. 1.72) (t)A > ^в)?
имеют неодинаковые скорости
имеют неодинаковые скорости
Ответы
Движение, происходящее по криволинейной траектории, называется криволинейным.
В каждой точке траектории скорость тела направлена вдоль касательной к траектории в выбранной точке (рис. 1.73).
Рис. 1.73Рис. 1.73Следовательно, при криволинейном движении направление скорости постоянно меняется.
Рис. 1.73
Рис. 1.73
Скорость — величина векторная, то есть характеризуется величиной и направлением. При криволинейном движении вектор скорости все время меняет свое направление (рис. 1.73). На рис. 1.74 изображена часть траектории тела. Значение скорости при движении по криволинейной траектории не меняется, то есть для обозначения точек 1 и 2 можно записать: |i7i| = |^2|. Ускорение определяется формулой а = AiZ/At, где AiZ = Я2 — ^1- На рис. 1.74 найдена разность векторов ^2 и щ. Из рисунка видно, что даже при постоянном значении скорости разность AiZ отлична от нуля, следовательно, и ускорение не равно нулю: |а| /0.
Движение по любой криволинейной траектории можно приближенно представить как совокупность движений по дугам окружностей разных радиусов (рис. 1.75).
При таком движении величина скорости считается неизменной, а траекторией движения является окружность.
Пусть материальная точка равномерно вращается по окружности радиусом R (рис. 1.76). При перемещении точки из положения 1 в 2 радиус, соединенный с движущейся точкой, повернется на угол <р за время t. Угловой скоростью ш называется отношение
(а)(а)W = <p)t.
(а)
(а)
Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса, связанного с вращающейся точкой, за единицу времени.
Угол в 1 радиан есть центральный угол, стороны которого ограничивают дугу длиной в 1 радиус (рис. 1.77). Чтобы
найти значение угла в радианах, надо длину дуги /, заключенную между сторонами угла, поделить на величину радиуса R
(рис. 1.77):ф =
В полной окружности содержится
^^ = 2тг = 6,28 радиусов.
Следовательно угол в 360° содержит 2тг радиан.
Этим можно воспользоваться для пе
ревода значения угла, заданного в градусах, в радианы:
2тг — 360°;= 2^° = ^°
х рад. —Ж ~ 360° “ 180° '
Радиан — безразмерная единица измерения угла.
[си] = рад/с. Так как радиан — безразмерная величина, то можно записать, что [си] = 1/с = с-1.
Время, за которое материальная точка совершает один полный оборот, называется периодом (обозначается Т). Если за время t материальная точка совершает п оборотов, то
Т = t/n.(б)
Количество оборотов, совершенных точкой за единицу времени, называется частотой (z/):
и = п/t.(в)
Сравнивая формулы (б) и (в), можно найти связь между периодом и частотой:
За время, равное периоду (t = Т), радиус, связанный с вращающейся точкой, поворачивается на угол <р = 2тг. Поэтому в соответствии с формулой (а) угловая скорость может быть вычислена по формуле
си = 2л/77. или cu = 2тги. (г)
Скорость движения материальной точки по окружности называется линейной скоростью. Она равна отношению длины / дуги окружности, пройденной точкой, ко времени прохождения t; v = l/t. За время, равное периоду (t = Т), точка совершит один полный оборот, то есть пройдет путь
I = 2тг/?, поэтому линейная скорость
ъ = 2т^/Т или v = 2tvRu.(д)
Сравнивая формулы (д) и (г), можно получить связь между линейной и угловой скоростями:
(е)(е)f = wR.
(е)
(е)
При равномерном движении тела по окружности вектор ускорения в любой точке траектории направлен перпендикулярно вектору скорости (рис. 1.78). Так как в этом случае
проекция вектора ускорения на направление движения равна нулю, то величина скорости не будет изменяться, но постоянно меняется направление движения. Поскольку скорость направлена вдоль касательной к окружности, а касательная перпендикулярна к радиусу, то ускорение направлено вдоль радиуса к центру окружности (рис. 1.78). Поэтому ускорение при движении матери
альной точки по окружности называется центростремительным. Строгий вывод, приведенный в учебнике, дает выражение
мительного ускорения:мительного ускорения:как длина дуги конца стрелкикак длина дуги конца стрелкидля величины центростре
мительного ускорения:
мительного ускорения:
как длина дуги конца стрелки
как длина дуги конца стрелки
о 1 , 4тг2Я л о
а = —= 4тг2х xR-v^^R. Т
Чувствительность прибора возрастает (рис. 1.79), так как при любом угле поворота стрелки перемещения ее вдоль шкалы II будут больше, чем по шкале I (так пропорциональна радиусу).
6 С. В. Трубецкова
Обратите внимание (рис. 1.80), что вектор ускорения во
всех точках различен, так как он уменьшается с увеличением радиуса (|#| — const).
При удлинении веревки возрастает линейная скорость вращения груза, находящегося на конце веревки. Линейная скорость при забрасывании будет являться начальной скоростью, а дальность полета возрастает с увеличением начальной скорости.
На полюсах, так как в этом случае точки находятся на
оси вращения.
точка на поверхности Земли вращается по круговым орбитам в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Из рис. 1.81 видно, что радиус траектории Волгограда больше, чем у Москвы, а следовательно, и линейная скорость больше. Угловые скорости определяются только периодом суточного вращения Земли.
3.19. Каждая3.19. КаждаяЕсли угловая скорость спутника равна угловой скорости Земли (то есть одинаковы периоды), траектория спутника лежит в плоскости, перпендикулярной оси Земли, и направлены скорости в одну сторону (рис. 1.82).
3.19. Каждая
3.19. Каждая
Тело вращается вокруг точки, лежащей на прямой АВ за точкой В (рис. 1.83).
Основные формулы
T^tjn-(3.1)
Т = \(и*(3.2)
w =ф jt = ^ = 2тг^;(3.3)
v = ^^^ttRp^R-(3.4)
w2 4тг2Я л 2 2 d 2d
«ц = — = ^2 = 4?Г V R — Ш R.(3.5)
В этих формулах Т — период; п — число оборотов за t секунд; v — частота; и) — угловая скорость; ср — угол поворота радиуса, связанного с вращающейся точкой, за время t^ и — линейная скорость движения точки вдоль окружности; ац — центростремительное ускорение; R — радиус вращения.
Методика решения задач
Для решения задач раздела 3 надо понять, как получаются формулы, тогда их легко записывать для любого случая, для любой комбинации данных.
При вращении абсолютно твердого тела все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной неподвижной прямой, называемой осью вращения. Кроме того, все точки твердого тела совершают вращение с одинаковой частотой, периодом и угловой скоростью; линейная скорость точек тела пропорциональна расстоянию от оси, то есть радиусу их вращения.
При решении задач полезной может оказаться информация, полученная при разборе некоторых вопросов к данному разделу.
В ряде задач без указания условия надо самим записать периоды вращения в следующих случаях:
-60 с, — 1 час, — 12 часов, — 24 часа.-60 с, — 1 час, — 12 часов, — 24 часа.секундная стрелка часов минутная стрелка часов часовая стрелка суточное вращение Земли
-60 с, — 1 час, — 12 часов, — 24 часа.
-60 с, — 1 час, — 12 часов, — 24 часа.
Примеры решения задачПримеры решения задачНайдите радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса (рис. 1.84).Найдите радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса (рис. 1.84).f 1 = 2,5^2 Л/ = 5 смR-?f 1 = 2,5^2 Л/ = 5 смR-?Точки 1 и 2, лежащие на одном радиусе, имеют одинаковые периоды вращения и разные линейТочки 1 и 2, лежащие на одном радиусе, имеют одинаковые периоды вращения и разные линейные скорости:2тгЯ ^1 = —;ные скорости:2тгЯ ^1 = —;_ 27г(Я-AQ_ 27г(Я-AQрадиус R:радиус R:Используя соотношение, данное в условии задачи, запишем:Используя соотношение, данное в условии задачи, запишем:2kR г 2tv^R — M^Т" ’ Т2kR г 2tv^R — M^Т" ’ ТПроизведя сокращения, можно найтиПроизведя сокращения, можно найти/? = 5Д//3;/? = 5Д//3;\R"\ = м;\R"\ = м;R ^8,33 м.R ^8,33 м.Во сколько раз угловая скорость часовой стрелки меньше угловой скорости минутной стрелки?Во сколько раз угловая скорость часовой стрелки меньше угловой скорости минутной стрелки?71 = 12 чТ2 = 1 чШ1 С^2'71 = 12 чТ2 = 1 чШ1 С^2'С учетом формулы (3.3), запишем:С учетом формулы (3.3), запишем:^1 =^1 =2тг.7V2тг.7V2тг^2 =122тг^2 =12Ш1 Т2 1 ^74 “ 12*Ш1 Т2 1 ^74 “ 12*
Примеры решения задач
Примеры решения задач
Найдите радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса (рис. 1.84).
Найдите радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса (рис. 1.84).
f 1 = 2,5^2 Л/ = 5 см
R-?
f 1 = 2,5^2 Л/ = 5 см
R-?
Точки 1 и 2, лежащие на одном радиусе, имеют одинаковые периоды вращения и разные линей
Точки 1 и 2, лежащие на одном радиусе, имеют одинаковые периоды вращения и разные линей
ные скорости:
2тгЯ ^1 = —;
ные скорости:
2тгЯ ^1 = —;
_ 27г(Я-AQ
_ 27г(Я-AQ
радиус R:
радиус R:
Используя соотношение, данное в условии задачи, запишем:
Используя соотношение, данное в условии задачи, запишем:
2kR г 2tv^R — M^
Т" ’ Т
2kR г 2tv^R — M^
Т" ’ Т
Произведя сокращения, можно найти
Произведя сокращения, можно найти
/? = 5Д//3;
/? = 5Д//3;
\R"\ = м;
\R"\ = м;
R ^8,33 м.
R ^8,33 м.
Во сколько раз угловая скорость часовой стрелки меньше угловой скорости минутной стрелки?
Во сколько раз угловая скорость часовой стрелки меньше угловой скорости минутной стрелки?
71 = 12 ч
Т2 = 1 ч
Ш1
С^2'
71 = 12 ч
Т2 = 1 ч
Ш1
С^2'
С учетом формулы (3.3), запишем:
С учетом формулы (3.3), запишем:
^1 =
^1 =
2тг.
7V
2тг.
7V
2тг
^2 =
12
2тг
^2 =
12
Ш1 Т2 1 ^74 “ 12*
Ш1 Т2 1 ^74 “ 12*
Угловая скорость часовой стрелки в 12 раз меньше угловой скорости минутной стрелки.
Радиус кривизны колодезного ворота в 3 раза больше радиуса вала, на который наматывается трос (рис. 1.85). Какова линейная скорость конца рукоятки при поднятии ведра с глубины 10 м за 20 с?
R1 = 3/?2 h = 10 м t = 20 сR1 = 3/?2 h = 10 м t = 20 сЛинейная скорость конца рукоятки (формула (З-4))2тгЯ1/ х
R1 = 3/?2 h = 10 м t = 20 с
R1 = 3/?2 h = 10 м t = 20 с
(а)
а точек на поверхности вала
щ — ?щ — ?^2 =^2 =2тгЯ2Т *2тгЯ2Т *(б)(б)
щ — ?
щ — ?
^2 =
^2 =
2тгЯ2
Т *
2тгЯ2
Т *
(б)
(б)
Период вращения вала и рукоятки одинаков, поэтому, подеПериод вращения вала и рукоятки одинаков, поэтому, поделив (а) на (б), получим:£1 _ Я1^2^2Отсюдащ = d^R^I R^.Линейная скорость точек на поверхности вала равна скорости равномерного подъема ведра:f2 = h/t.Тогдаh • Ri h • 3/^2 ЗД fi = = = —•t • R^ t- R^ tлив (а) на (б), получим:£1 _ Я1^2^2Отсюдащ = d^R^I R^.Линейная скорость точек на поверхности вала равна скорости равномерного подъема ведра:f2 = h/t.Тогдаh • Ri h • 3/^2 ЗД fi = = = —•t • R^ t- R^ tH = ^;H = ^;fl = 1,5 м/с.fl = 1,5 м/с.4. Какова линейная скорость точек поверхности Земли, соответствующая широте г. Минска при суточном вращении Земли, если город расположен на широте 54°, а радиус Земли 6400 км.4. Какова линейная скорость точек поверхности Земли, соответствующая широте г. Минска при суточном вращении Земли, если город расположен на широте 54°, а радиус Земли 6400 км.а = 54°й = 6,4-106 мГ = 24 ч = 8,64 -104 сv — ?а = 54°й = 6,4-106 мГ = 24 ч = 8,64 -104 сv — ?рость рассматриваемойрость рассматриваемойИз рис. 1.86 видно, что радиус окружности, по которой вращается рассматриваемая точка земной поИз рис. 1.86 видно, что радиус окружности, по которой вращается рассматриваемая точка земной поверхности, г = R cos а.Линейная ско-точкиверхности, г = R cos а.Линейная ско-точки2тгЯсо8а .
Период вращения вала и рукоятки одинаков, поэтому, поде
Период вращения вала и рукоятки одинаков, поэтому, поде
лив (а) на (б), получим:
£1 _ Я1
^2^2
Отсюда
щ = d^R^I R^.
Линейная скорость точек на поверхности вала равна скорости равномерного подъема ведра:
f2 = h/t.
Тогда
h • Ri h • 3/^2 ЗД fi = = = —•
t • R^ t- R^ t
лив (а) на (б), получим:
£1 _ Я1
^2^2
Отсюда
щ = d^R^I R^.
Линейная скорость точек на поверхности вала равна скорости равномерного подъема ведра:
f2 = h/t.
Тогда
h • Ri h • 3/^2 ЗД fi = = = —•
t • R^ t- R^ t
H = ^;
H = ^;
fl = 1,5 м/с.
fl = 1,5 м/с.
4. Какова линейная скорость точек поверхности Земли, соответствующая широте г. Минска при суточном вращении Земли, если город расположен на широте 54°, а радиус Земли 6400 км.
4. Какова линейная скорость точек поверхности Земли, соответствующая широте г. Минска при суточном вращении Земли, если город расположен на широте 54°, а радиус Земли 6400 км.
а = 54°
й = 6,4-106 м
Г = 24 ч = 8,64 -104 с
v — ?
а = 54°
й = 6,4-106 м
Г = 24 ч = 8,64 -104 с
v — ?
рость рассматриваемой
рость рассматриваемой
Из рис. 1.86 видно, что радиус окружности, по которой вращается рассматриваемая точка земной по
Из рис. 1.86 видно, что радиус окружности, по которой вращается рассматриваемая точка земной по
верхности, г = R cos а.
Линейная ско-
точки
верхности, г = R cos а.
Линейная ско-
точки
[f] = -; f = 274-.
L J сс
С какой скоростью и в каком направлении должен лететь самолет над экватором (рис. 1.87) на высоте 10 км над Землей, чтобы Солнце летчику казалось неподвижным, то есть находилось все время на одной
и той же высоте над горизонтом? Радиус Земли — 6400 км.
h = 7 кмТ = 24 ч /?3 = 6400 кмf — ?Поэтому линейнаяh = 7 кмТ = 24 ч /?3 = 6400 кмf — ?Поэтому линейнаяv = 2тг(Я3 + /г),v = 2тг(Я3 + /г),Солнце будет находиться в покое относительно самолета, если их скорости относительно Земли будут направлены одинаково (с востока на запад) (рис. 1.87) и период обращения самолета равен периоду суточного вращения Земли — 24 часам, скорость самолета
h = 7 км
Т = 24 ч /?3 = 6400 км
f — ?
Поэтому линейная
h = 7 км
Т = 24 ч /?3 = 6400 км
f — ?
Поэтому линейная
v = 2тг(Я3 + /г),
v = 2тг(Я3 + /г),
[v] = —; v = 1677,3 км/ч = 465,9 м/с.
Велосипедист едет с постоянной скоростью по прямолинейному участку дороги. Найдите мгновенные скорости точек
ВВРис. 1.88Рис. 1.88Л, В, С, В, лежащих на ободе колеса (рис. 1.88), относительно земли.
В
В
Рис. 1.88
Рис. 1.88
При качении колеса по земле все его точки участвуют одновременно в двух движениях: вдоль земли с постоянной скоростью iZ, направление которой все время горизонтально, и вокруг оси с линейной скоростью Ял. Скорость каждой точки определится как векторная сумма поступательной скорости колеса 5
и вектора линейной скорости в данной точке Ял (рис. 1.89 а). Надо иметь в виду, что при качении без проскальзывания величины iZ и Ял равны: |#л| = |iZ|.
Рис. 1.89
В точке Л скорости 5 иВ точке Л скорости 5 иг>л направлены в противоположные
В точке Л скорости 5 и
В точке Л скорости 5 и
стороны, поэтому ^ _ ^_ g
в точке В составляющие скорости направлены в одну сторону:^в = ^л + ^ = 2v.
В точке С векторы v и бл расположены под углом 90°, поэтому для нахождения результирующей скорости в этой точке воспользуемся теоремой Пифагора:
= ^л + 'у2 —
Для подсчета результирующей скорости точки D вынесем часть дуги с данной точкой отдельно (рис. 1.89 б). Значение угла Р = 90 — а. Величину вектора бо можно найти по теореме косинуса:
vd = У^ + f2 — 2г>л • f • cos (90 — а) =
7. Волчок, вращаясь с частотой 360 об/мин, свободно падает с высоты 19,6 м. Сколько оборотов он сделает за время падения?7. Волчок, вращаясь с частотой 360 об/мин, свободно падает с высоты 19,6 м. Сколько оборотов он сделает за время падения?^о = 0^о = 0V = 360 — = 6 —МИНсh = 19,6 мV = 360 — = 6 —МИНсh = 19,6 мп — ?п — ?Волчок участвует одновременно в двух независимых движениях: свободно падает и вращается. Время падения вычислим по формуламВолчок участвует одновременно в двух независимых движениях: свободно падает и вращается. Время падения вычислим по формуламЗа это время волчок совершает число оборотовЗа это время волчок совершает число оборотов
7. Волчок, вращаясь с частотой 360 об/мин, свободно падает с высоты 19,6 м. Сколько оборотов он сделает за время падения?
7. Волчок, вращаясь с частотой 360 об/мин, свободно падает с высоты 19,6 м. Сколько оборотов он сделает за время падения?
^о = 0
^о = 0
V = 360 — = 6 —
МИНс
h = 19,6 м
V = 360 — = 6 —
МИНс
h = 19,6 м
п — ?
п — ?
Волчок участвует одновременно в двух независимых движениях: свободно падает и вращается. Время падения вычислим по формулам
Волчок участвует одновременно в двух независимых движениях: свободно падает и вращается. Время падения вычислим по формулам
За это время волчок совершает число оборотов
За это время волчок совершает число оборотов
п = 12 оборотов.п = 12 оборотов.
п = 12 оборотов.
п = 12 оборотов.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГОРЕШЕНИЯ
Равномерное движение
Движущийся равномерно автомобиль делал разворот, описав половину дуги окружности. Сделайте чертеж, на котором укажите пути и перемещения автомобиля за все время разворота и за треть этого времени. Во сколько раз пути, пройденные за указанные промежутки времени, больше модулей векторов соответствующих перемещений?
Человек последовательно прошел на север 3 км, на восток 4 км, на север 1 км и на запад 1 км. Найдите пройденный путь и величину перемещения.
Какому виду движения соответствует каждый график на рис. 1.90? С какой скоростью двигались тела, для которых зависимость пути от времени изображается этими графиками?
Рис. 1.90 Рис. 1.91Рис. 1.90 Рис. 1.91
Рис. 1.90 Рис. 1.91
Рис. 1.90 Рис. 1.91
Какому виду движения соответствуют графики на рис. 1.91? Какой физический смысл имеет точка пересечения графиков? Какой из графиков соответствует движению с большей скоростью? Можно ли по данным графикам определить направление движения?
На рис. 1.92 показана траектория ABCD движения материальной точки из А в D. Найдите координаты точки в начале и конце движения, пройденный путь, перемещение, проекции перемещения на оси координат.
У, м А10 -8 “6 -4 -2 -У, м А10 -8 “6 -4 -2 -В СВ СA *DA *D2468 х, м2468 х, мРис. 92Рис. 92
У, м А
10 -
8 “
6 -
4 -
2 -
У, м А
10 -
8 “
6 -
4 -
2 -
В С
В С
A *D
A *D
2468 х, м
2468 х, м
Рис. 92
Рис. 92
Охарактеризуйте движения тел, графики которых изображены на рис. 1.93. Каковы скорости движения этих тел? На каком расстоянии находились они в начальный момент? На сколько второе тело вышло позже первого и третьего? Может ли второе тело догнать первое? На каком расстоянии находи
лись 1-е и 3-е тело, когда начало двигаться второе тело? Напишите уравнения координат для всех тел.
График прямолинейного движения изображен на рис. 1.94. Что можно сказать о I, II и III частях графика? Определите весь путь и величину перемещения на каждом участке и за все время движения.
Поезд длиной 120 м, идущий
со скоростью 18 км/ч, проезжает мост за 100 с. Какова скорость автомобиля, если он проходит тот же мост за 38 с?
Вагон шириной 3,6 м, движущийся со скоростью 15 м/с, был пробит пулей, летевшей перпендикулярно направлению движения вагона. Смещение отверстий в стенах вагона относительно друг друга равно 9 см. Определите скорость движения пули, считая ее постоянной.
Автомобиль, двигаясь со скоростью 54 км,ч, проезжает мост за 1 мин. Товарный поезд проезжает тот же мост за 40 с. Какова длина поезда, если его скорость 117 км/ч?
За сколько времени поезд пройдет туннель длиной 200 м, если длина поезда 100 м, а скорость 36 км/ч? Допустимо ли в этой задаче рассматривать поезд как материальную точку?
Пассажирский поезд длиной 120 м проходит туннель за 40 с, двигаясь со скоростью 21,6 км/ч. Товарный поезд длиной 180 м проходит тот же туннель за 1 мин 40 с. Какова скорость товарного поезда?
Вдоль оси Ох движутся две точки: первая — по закону ху = (4 + 2t), м, вторая — по закону х^ = (24 —3t), м. На каком расстоянии тела находились в начальный момент времени? С какими скоростями и в каком направлении они двигались? Где и в какой момент встретятся точки? Решите задачу аналитически и ответы проверьте графическим способом.
Два тела движутся вдоль оси Ох. Уравнение координаты для первого тела — ху = (20+ t), м, для второго тела — х2 = (5t — 20), м. На каком расстоянии тела находились в начальный момент времени? С какими скоростями и в каком направлении они двигались? Через сколько времени и в каком месте 2-е тело догонит 1-е? Решите задачу аналитически и ответы проверьте графическим способом.
Со станции вышел товарный поезд, идущий со скоростью 36 км/ч, через 30 мин. по тому же направлению вышел экспресс, скорость которого 72 км/ч. Через какое время после выхода товарного поезда и на каком расстоянии от станции экспресс нагонит товарный поезд? Решите задачу аналитически и графически.
Над пунктом А пролетел самолет со скоростью 300 км/ч. Через 1 час в том же направлении пролетел второй самолет со скоростью 400 км/ч. Какой самолет раньше прилетит в пункт В, если расстояние АВ = 1200 км?
Автомобиль и велосипедист движутся навстречу друг другу со скоростями, соответственно, 20 и 5 м/с. Расстояние между ними в начальный момент времени равно 250 м. Напишите уравнение координаты для автомобиля и велосипедиста, х = х^\ Изобразите эти зависимости в виде двух прямых на одном чертеже. Систему отсчета свяжите с Землей. Считайте, что положение автомобиля при t = 0 совпадает с началом отсчета, а ось х направлена в ту же сторону, что и скорость движения автомобиля. Графически и аналитически определите: а) место и время их встречи; б) расстояние между ними через 5 с; в) кто из них раньше пройдет сотый метр и на сколько раньше; г) где находился автомобиль в тот момент, когда велосипедист проходил точку с координатой 225 м; д) когда велосипедист проходил точку, в которой автомобиль был через 7,5 с после начала движения; е) в какие моменты
времени расстояние между ними было 125 м; ж) какую точку автомобиль прошел раньше велосипедиста на 12,5 с?
По прямому шоссе движется мотоциклист со скоростью 15 м/с. В некоторый момент времени он находился на расстоянии 250 м от пункта ГАИ. Спустя 10 с от пункта вдогонку выехал другой мотоциклист со скоростью 90 км/ч. Напишите уравнения движения мотоциклистов в системе отсчета, связанной с Землей, приняв за начало координат пункт ГАИ. Ось координат направьте вдоль направления движения мотоциклистов. Время отсчитывайте от момента выхода второго мотоциклиста. Постройте на одном чертеже графики движения обоих мотоциклистов. Найдите аналитически и проверьте графически следующее: а) через сколько времени после выезда и в каком месте второй мотоциклист догонит первого? б) расстояние между ними через 20 с; в) спустя какое время второй мотоциклист будет на расстоянии 50 м от первого?
На рис. 1.95 приведены графики движения двух тел в системе отсчета, связанной с Землей. По графикам найдите скорости тел, напишите уравнения зависимости их координат от времени. Когда тела находились в одной точке и где находилась эта точка? Чему равна относительная скорость тел? Напишите уравнение движения второго тела относительно первого.
Рис. 1.95Рис. 1.95
Рис. 1.95
Рис. 1.95
На рис. 1.96 приведены графики движения двух тел в системе отсчета, связанной с Землей. По графикам найдите скорости тел, напишите уравнения зависимости их координат от времени. Чему равна относительная скорость движения тел? Напишите уравнения движения второго тела в системе отсчета, связанной с первым телом.
Когда два тела равномерно движутся навстречу друг другу, то расстояние между ними уменьшается на 16 м за каждые 10 с; если тела с прежними по величине скоростями будут двигаться в одном направлении, то расстояние будет между ними увеличиваться на 3 м за каждые 5 с. Каковы скорости тел?
Колонна войск во время похода движется со скоростью 5 км/ч, растянувшись по дороге на расстояние 400 м. Командир, находящийся в хвосте колонны, посылает велосипедиста с поручением к головному отряду. Велосипедист отправляется и едет со скоростью 25 км/ч, и, на ходу выполнив поручение, сразу же возвращается обратно с той же скоростью. Через сколько времени после получения поручения он вернулся обратно?
Скорость течения реки 3 км/ч. Моторная лодка едет против течения со скоростью 10 км/ч. С какой скоростью двигалась бы она по течению реки?
Скорость велосипедиста 36 км/ч, а скорость встречного ветра 4 м/с. Какова скорость ветра в системе отсчета, связанной с велосипедистом?
Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями 36 км/ч и 54 км/ч. Пассажир, находящийся в первом поезде, замечает, что второй поезд проходит мимо него в течение 6 с. Какова длина второго поезда?
По двум параллельным путям идут товарный поезд длиной 600 м со скоростью 48,6 км/ч и электропоезд длиной 160 м со скоростью 102,6 км/ч. В течение какого времени один поезд проходит мимо другого в случаях: а) поезда движутся навстречу друг другу; б) электропоезд обгоняет товарный состав.
Между двумя пунктами, расположенными на расстоянии 100 км один от другого, курсирует катер, который, идя по течению, проходит это расстояние за 4 ч, а идя против течения — за 10 ч. Определите скорость течения реки и скорость катера относительно воды.
Пароход идет от Нижнего Новгорода до Астрахани 5 суток, а обратно 7 суток. Как долго будет плыть плот от Нижнего Новгорода до Астрахани? Рассмотрите идеальный случай, когда стоянки и задержки в движении исключены.
Теплоход длиной 300 м движется равномерно по прямому курсу в неподвижной воде. Катер, имеющий скорость 90 км/ч, проходит расстояние от кормы движущегося теплохода до его носа и обратно за 37,5 с. Определите скорость теплохода.
Пассажирский катер проходит 150 км между двумя пристанями по течению за 2 ч, а против течения — за 3 ч. Определите скорость катера в стоячей воде и скорость течения.
Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира в течение 3 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за 6 мин. Сколько времени будет подниматься пассажир по движущемуся эскалатору?
С катера, идущего по течению, спустили спасательный круг, когда он проплывал под мостом. Через 0,5 ч катер повернул обратно и встретил круг на расстоянии 1,5 км от моста. Определите скорость течения реки, считая, что при движении в обоих направлениях мотор катера работал одинаково.
Шар-зонд поднялся за 4 мин. на высоту 900 м, при этом был отнесен боковым ветром в сторону на расстояние 600 м. Найдите: а) перемещение шара относительно точки запуска; б) скорость ветра, считая ее постоянной.
Трактор движется со скоростью 18 км/ч. С какой скоростью относительно земли движутся: а) верхняя часть гусеницы; б) нижняя часть ее; в) точка, которая в данный момент движется вертикально вверх.
Человек шагает по плоту со скоростью щ относительно шалаша, на нем находящегося. Плот движется равномерно со скоростью г^2 относительно дерева на берегу. Найдите перемещение человека относительно дерева за время t в случаях, когда: а) человек движется вдоль плота по направлению его движения; б) человек движется по плоту перпендикулярно течению реки.
По реке плывет плот шириной 10 м со скоростью 3,6 км/ч. По плоту перпендикулярно к течению реки идет человек. За 20 с он проходит от одного края плота до другого и обратно. Каковы скорость, перемещение и путь, пройденный человеком: а) относительно плота; б) относительно берега?
С высоты 1 км равномерно опускается на землю парашютист со скоростью 4 м/с при отсутствии ветра. С какой скоростью он будет двигаться относительно земли при горизонтальном ветре, скорость которого равна 3 м/с? На какое расстояние отклонится от точки приземления парашютист под действием ветра?
Ширина реки 100 м. На что потребуется больше времени: проплыть вниз по течению 100 м и вернуться обратно или
переплыть реку туда и обратно перпендикулярно к берегам? Скорость пловца в неподвижной воде 50 м/мин, а скорость течения реки 30 м/мин.
От бакена отошли две лодки во взаимно перпендикулярных направлениях. Одна лодка движется вдоль реки, другая — поперек. Удалившись на одинаковое расстояние от бакена, лодки возвращаются обратно. Как отличаются времена движения лодок, если собственная скорость каждой лодки в 1,2 раза превышает скорость течения?
Самолет летит относительно воздуха со скоростью 800 км/ч. С запада на восток дует ветер со скоростью 15 м/с. С какой скоростью будет двигаться самолет относительно Земли и под каким углом к меридиану надо держать курс, чтобы перемещение было: а) на юг; б) на север; в) на запад; г) на восток?
Рыбак переплывает на лодке реку шириной 300 м. Скорость течения реки 1,2 м/с, скорость лодки 1,6 м/с. На какое расстояние относит лодку вниз по течению? Какой путь пройдет лодка относительно берега?
На какой угол надо отклониться от перпендикуляра к течению реки и сколько времени нужно плыть на лодке, чтобы переплыть реку по кратчайшему пути, если скорость лодки относительно воды 3 м/с, скорость течения 1,5 м/с, а ширина русла реки 400 м?
Пловец переплывает реку шириной 400 м. Под каким углом к направлению течения он должен плыть, чтобы переправиться на противоположный берег в кратчайшее время? Где он в этом случае окажется и какой путь пройдет, если скорость течения реки 0,5 м/с, а скорость пловца относительно воды 1м/с?
По прямолинейному шоссе со скоростью 108 км/ч движется автомобиль. Пешеход находится на расстоянии 40 м от шоссе и 400 м от автомобиля. С какой минимальной скоростью и в каком направлении он должен бежать, чтобы встретить автомобиль?
Неравномерное и равнопеременное прямолинейное движение
По графикам, приведенным на рис. 1.97, охарактеризуйте соответствующие движения (вид движения, начальную скорость, ускорение, сравните скорости для графиков 1 и 2).
Рис. 1.97Рис. 1.97Рис. 1.98Рис. 1.98
Рис. 1.97
Рис. 1.97
Рис. 1.98
Рис. 1.98
Графики зависимости ускорения тела от времени имеют форму, изображенную на рис. 1.98 а и б. Начертите графики зависимости скорости тел от времени. Начальная скорость тела равна нулю.
Мотоциклист проехал 108 км со скоростью 72 км/ч, затем произошла поломка и он занимался починкой 2,5 часа.
После этого оставшиеся 300 км пути он проехал со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость, с которой пройден весь путь.
Велосипедист проехал 21 км со скоростью 7 км/ч, 20 км со скоростью 10 км/ч и 18 км со скоростью 12 км/ч. Определите среднюю скорость велосипедиста за все время движения.
Поезд движется на подъеме со скоростью 25 м/с. Какова средняя скорость поезда на всем пути, если длина спуска в 2 раза больше длины подъема?
Один поезд прошел половину пути со скоростью 90 км/ч, а другую половину со скоростью 40 км/ч; другой поезд шел половину времени со скоростью 60 км/ч, а половину времени со скоростью 40 км/ч. Какова средняя скорость каждого поезда?
Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью 10 м/с, а вторую — 15 м/с. Найдите среднюю скорость на всем пройденном пути.
Автомобиль проехал половину пути со скоростью 60 км/ч, оставшуюся часть пути он половину времени шел со скоростью 15 км/ч, а последний участок со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем пути.
Первую треть пути автомобиль проехал со скоростью 10 км/ч, вторую треть — со скоростью 20 км/ч, а последний участок пути — со скоростью 60 км/ч. Определите среднюю скорость на всем пути.
Велосипедист начал свое движение из состояния покоя и в течение первых 4 с двигался с ускорением 1 м/с2, затем в течение 0,2 мин он двигался равномерно и последние 8 м- равнозамедленно до остановки. Найдите среднюю скорость за все время движения. Постройте график зависимости скорости от времени.
Один автомобиль движется равноускоренно с начальной скоростью 3 м/с с ускорением 0,25 м/с2, а другой — равнозамедленно с начальной скоростью 15 м/с и ускорением 1,25 м/с2. Постройте графики их движения и по графикам определите, через сколько времени они будут иметь одинаковую скорость и какую именно. Проверьте ответ расчетом. Какой путь пройдет каждый автомобиль за это время?
Поезд через 10 с после начала движения приобретает скорость 0,6 м/с. Через сколько времени от начала движения скорость поезда станет 3 м/с? Какой путь при этом пройдет поезд?
Скорость поезда за 20 с уменьшилась с 72 до 54 км/ч. Найдите ускорение и путь, пройденный за это время.
Тело движется равномерно со скоростью 3 м/с в течение 5 с, после чего получает ускорение 20 см/с2. Какую скорость будет иметь тело через 15 с от начала движения? Какой путь оно пройдет за это время?
Поезд, достигнув скорости 54 км/ч, стал двигаться равнозамедленно с ускорением 0,4 м/с2. Через сколько времени скорость его уменьшится в 3 раза и какой путь он пройдет за это время?
Камень брошен по гладкой поверхности льда со скоростью 12 м/с. Сколько времени будет двигаться камень до остановки, если ускорение при его движении равно 0,6 м/с2? Какое расстояние пройдет камень до остановки и какова средняя скорость его движения? Движение считать равнопеременным.
Груз поднимают лебедкой с поверхности земли. Первые 2 с груз движется ускоренно без начальной скорости с ускорением 0,5 м/с2, следующие 11 с — равномерно, последние 2 с- замедленно с ускорением 0,5 м/с2. На какую высоту был поднят груз?
Тело начало двигаться равноускоренно и в течение пятой секунды от начала движения прошло 45 м. С каким ускорением оно двигалось? Какова скорость в конце пятой секунды? Какой путь прошло тело в первую секунду своего движения?
Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, попадает в земляной вал и проникает в него на глубину 36 см. Сколько времени двигалась пуля внутри вала? С каким ускорением? Какова была ее скорость на глубине вала 18 см?
Реактивный самолет в течение 20 с увеличил свою скорость с 240 до 1300 км/ч. С каким ускорением летел самолет и какое расстояние он пролетел за это время?
При посадочной скорости 180 км/ч длина пробега самолета равна 2,5 км. Определите ускорение и время пробега на посадочной полосе аэродрома, считая движение самолета равнопеременным.
7 С. В. Трубецкова
Шарик, скатываясь с наклонного желоба из состояния покоя, за первую секунду прошел путь 10 см. Какой путь он пройдет за 3 с?
Ружейная пуля при вылете из ствола длиной 60 см имела скорость 300 м/с. С каким ускорением и сколько времени двигалась пуля?
Тормозной путь автомобиля при скорости 36 км/ч оказался равным 20 м. Найдите ускорение при торможении и время, в течение которого он останавливается.
Автомобиль, двигаясь по шоссе, начинает тормозить с ускорением 1 м/с2. Через сколько времени после начала торможения скорость станет равной 18 км/ч, если путь, пройденный при торможении 187,5 м.
Мальчик съехал на санках с горы длиной 40 м за 10 с, а затем проехал по горизонтальному участку еще 20 м до остановки. Найдите скорость в конце горы, ускорения на каждом из участков, общее время движения.
Тело трогается с места с ускорением 1 м/с2 и проходит расстояние 12,5 м; затем оно движется равномерно в течение 15 с, после чего до полной остановки равнозамедленно проходит 20 м. Найдите скорость и путь равномерного движения, время всего движения, ускорение на последнем участке.
Тело, двигаясь прямолинейно из состояния покоя с ускорением 2 м/с2, достигло скорости 10 м/с, затем, двигаясь замедленно, через 10 с от начала движения остановилось. Определите путь, пройденный телом за время движения.
Реактивный самолет летит со скоростью 720 км/ч. С некоторого момента самолет движется с ускорением в течение 10 с и в последнюю секунду проходит путь 295 м. Определите ускорение и конечную скорость.
За вторую секунду от начала движения автомобиль прошел 1,2 м. С каким ускорением он двигался? Какой путь пройдет автомобиль за десятую секунду от начала движения? За 10 с?
Тело движется прямолинейно с ускорением 0,6 м/с2. Какой путь оно пройдет в первую и пятую секунды, если начальная скорость была равна нулю?
Зависимость скорости от времени задана уравнениями: а) щ = (4t — 2), м/с; б) ^2 = (5 — 3t), м/с;
в) ?’з=4м с: г) ^4 = (10 + 5/), м/с.
Какой вид движения соответствует каждому уравнению? Чему равны начальная скорость и ускорение? Нарисуйте графики зависимости скорости от времени для всех случаев. Напишите уравнение координаты для всех случаев, считая, что в начальный момент времени тело находилось на расстоянии 3 м от тела отсчета в направлении оси координат (для всех четырех случаев). Нарисуйте графики пути, перемещения и координаты.
На рис. 1.99 а-г изображены зависимости скорости от времени. По графикам определите, каков характер движения тел, найдите значения начальных скоростей и ускорений. Напишите уравнение координаты для всех случаев, считая, что тела начинают движение от точки отсчета. Нарисуйте графики координат, пути и перемещения тел.
Зависимость координат от времени для четырех тел задана уравнениями:
а) х = (11 +t2 — 6t), м; б) х = (t2 + 3t — 4), м;
в) х = (5 — t2 — 2t), м; г) ж = (3 + ^), м.
По уравнениям найдите начальные координаты всех тел, скорости и ускорения. Каков характер движения в каждом случае? Напишите уравнения зависимости скорости от времени. Нарисуйте графики зависимости скорости от времени.
Заданы уравнения движения двух тел: xi = (t2 — — 2/— 2), м и Х2 = /(4 —/), м. Найдите начальные координаты тел, начальные скорости и ускорения. В какой момент времени и в каком месте встретятся эти тела? Напишите уравнения зависимости скорости от времени и постройте соответствующие графики. Постройте графики координаты, пути и перемещения.
Ответьте на все вопросы задачи 79 для следующих пар уравнений координат:
Xi = (t2 + 8 + 6Z), м; х^ = (5 — 6t +t2), м;
Ж1 = /(/ + 3),м; ^2 = (t2+ 2t+ 2), м.
Первый вагон трогающегося поезда проходит за 3 с мимо наблюдателя, находящегося до отхода поезда у начала этого вагона. За сколько времени пройдет мимо наблюдателя весь поезд, состоящий из 9 вагонов? Движение считать равноускоренным, промежутками между вагонами пренебречь.
82 . Тело движется прямолинейно с постоянным ускорением. За первую секунду оно прошло 2 м, за вторую — 3 м. Какова его начальная скорость?
83 . По наклонной доске шарик пустили снизу вверх. На расстоянии 0,3 м от основания наклонной плоскости шарик побывал дважды: через 1 с и 2 с после начала движения. Определите начальную скорость и ускорение шарика, считая его постоянным.
Человек бежит со скоростью 18 км/ч. Когда он поравнялся с велосипедистом, тот начал двигаться. Какова скорость велосипедиста в тот момент, когда он догонит бегуна? Движение велосипедиста равноускоренное.
По одному направлению из одной точки одновременно начали двигаться два тела: одно равномерно со скоростью 25 м/с, а другое равноускоренно без начальной скорости с ускорением 10 м/с2. Через какое время второе тело догонит первое?
Два автомобиля вышли с остановки через время с интервалом в 1 мин, и шли с ускорением 0,4 м/с2 каждый. Через какое время после выхода первого автомобиля расстояние между ними станет 4,2 км?
. С какой начальной скоростью двигалось тело, если при равноускоренном движении на половине пути оно имело скорость 5 м/с, а в конце этого пути — 7 м/с?
88 . Два бегуна стартуют так, что один из них запаздывает на 6 с. Первую половину дистанции они преодолевают одновременно. Определите, на какое время один из бегунов опередит другого в конце дистанции, если в течение первой половины
Звездочкой обозначены задачи повышенной трудности.
дистанции они двигались равноускоренно, а вторую половину — равномерно.
89 . Тело начинает движение и, двигаясь прямолинейно с постоянным ускорением, проходит п одинаковых участков. Первый участок тело пройдет за время ti. За какое время тело проходит n-й участок?
90 . Мимо наблюдателя, стоящего на платформе, проходит поезд с длиной вагонов по 12 м. Первый вагон прошел мимо наблюдателя за 1 с, второй за 1,5 с. Найдите скорость поезда в начале и в конце наблюдения, а также ускорение поезда, считая его равнопеременным.
Свободное падение тел
На Луне ускорение свободного падения примерно в 6 раз меньше, чем на Земле. Сравните время падения и конечные скорости тел при падении с одной и той же высоты.
При свободном падении первое тело находилось в полете в 2 раза больше времени, чем второе. Сравните конечные скорости тел и их перемещения.
Тело брошено вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Определите время и высоту подъема тела, скорость, с которой тело упало на Землю и время падения.
Тело свободно падает в течение 5 с. С какой высоты оно падает и какую скорость будет иметь при падении на Землю?
Сколько времени будет падать тело с высоты 4,9 м? Какую скорость будет иметь тело при падении? Какова средняя скорость движения тела?
Свободно падающее тело в момент удара о землю достигло скорости 39,2 м/с. С какой высоты тело упало? Сколько времени оно падало?
Одно тело падает с высоты в 4 раза меньшей, чем другое тело. Во сколько раз скорость падения на землю второго тела больше скорости падения первого тела? Во сколько раз время падения второго тела больше времени падения первого тела?
С крыши дома высотой 28 м брошен вверх камень со скоростью 8 м/с. Определите скорость падения камня на землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Стрела, пущенная из лука вертикально вверх, упала на землю через 6 с. Какова начальная скорость стрелы и максимальная высота подъема?
Во сколько раз надо увеличить начальную скорость брошенного вверх тела, чтобы высота подъема увеличилась в 4 раза?
Мяч был брошен вертикально вверх два раза. Во второй раз ему сообщили скорость в 3 раза большую, чем в первый раз. Во сколько раз выше поднимался мяч при втором бросании?
С балкона, находящегося на высоте 25 м над поверхностью земли, бросили вертикально вверх мяч со скоростью 20 м/с. Напишите формулу зависимости координаты от времени, выбрав за начало отсчета: а) точку бросания; б) поверхность земли. Через сколько времени мяч упадет на землю?
С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью 5 м/с. Через 2 с мячик упал на землю. Определите высоту балкона над землей и скорость мячика в момент удара о землю.
Упругий шар, падая с высоты 78,4 м, после удара о землю отскакивает вертикально вверх со скоростью, равной 3/4 скорости его при падении. На какую высоту поднимется шар? Сколько времени пройдет от начала движения шара до второго его удара о землю?
Аэростат поднимается вертикально вверх с ускорением 2 м/с2. Через 5 с от начала его движения из него выпал предмет. Через сколько времени этот предмет упадет на землю? Ускорение силы тяжести принять 10 м/с2.
Падающее тело в некоторой точке имело скорость 19,6 м/с, а в другой точке 39,2 м/с. Определите расстояние между этими точками и время прохождения данного расстояния.
Два тела упали с разной высоты, но достигли земли в один и тот же момент времени, причем первое тело падало 1 с, а второе — 2 с. На каком расстоянии от земли было второе тело в тот момент, когда первое тело начало падать?
Камень падает в шахту. Через 6 с слышен стук камня о дно шахты. Определите глубину шахты, если скорость звука равна 330 м/с.
Звук выстрела и пуля одновременно достигают высоты 650 м. Какова начальная скорость пули? Выстрел произведен вертикально вверх, скорость звука 340 м/с.
Какую начальную скорость надо сообщить камню при бросании его вертикально вниз с моста высотой 20 м, чтобы он достиг поверхности воды через 1 с? На сколько дольше длилось бы падение камня с этой же высоты при отсутствии начальной скорости?
Какова высота телевизионной башни в Останкино, если шарик, падая с башни без начальной скорости, последние 185 м пути пролетел за 2 с? Сопротивление воздуха не учитывать.
Тело падало с некоторой высоты и последние 196 м пути прошло за 4 с. Сколько времени падало тело? С какой высоты оно падало? Сопротивление воздуха не учитывать.
Тело падает с высоты 100 м без начальной скорости. За какое время тело проходит первый метр, последний метр своего пути? Какой путь проходит тело за первую, за последнюю секунду своего движения?
Сколько времени падало тело, если за последние 2 с оно прошло 60 м?
В последнюю секунду свободного падения тело прошло путь вдвое больший, чем в предыдущую секунду. С какой высоты оно падало?
Определите, на сколько путь, пройденный свободно падающим телом в п-ю секунду, будет больше пути, пройденного в предыдущую секунду.
С башни бросают тело со скоростью 1м/с вертикально вверх. Через 2 с бросают другое тело со скоростью 1м/с вертикально вниз. На каком расстоянии будут друг от друга тела через 5 с с момента бросания первого тела?
Из точек А и В, расположенных по вертикали (точка А выше) на расстоянии 100 м друг от друга, бросают одновременно два тела с одинаковой скоростью 10 м/с: из А — вертикально вниз, из В — вертикально вверх. Через сколько времени и в каком месте они встретятся?
Тело свободно падает с высоты 10 м. В тот же момент другое тело брошено с высоты 20 м вертикально вниз. Оба тела
упали на землю одновременно. Определите начальную скорость второго тела.
Тело, находящееся на высоте 46 м от земли, начинает свободно падать. Одновременно из точки, расположенной на расстоянии 21 м ниже исходного положения первого тела, бросают второе тело, вертикально вверх. Определите начальную скорость второго тела, если известно, что оба тела упадут на землю одновременно.
С высоты 10 м без начальной скорости начинает падать камень. Одновременно с высоты 5 м вертикально вверх бросают другой камень. С какой начальной скоростью брошен второй камень, если известно, что камни встретились на высоте 1 м над землей?
Одно тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью ^о, другое падает с высоты Н без начальной скорости. Движения начались одновременно и происходят по прямой. Найдите зависимость расстояния между телами от времени.
Два тела брошены вертикально вверх из одной точки, одно вслед за другим с интервалом в 2 с с одинаковыми начальными скоростями 20 м/с. Через сколько времени встретятся тела?
Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 3 м/с. Когда оно достигло верхней точки полета, из того же пункта с начальной скоростью 4 м/с бросили вверх второе тело. Определите, на каком расстоянии от точки бросания встретятся тела.
С крутого берега реки бросают вертикально вверх камень со скоростью 15 м/с. Найдите координату камня, когда его скорость будет направлена вниз и станет равной 25 м/с.
Из одной точки без начальной скорости свободно падают два предмета с интервалом в 3 с. Через какое время после начала движения первого предмета расстояние между ними будет в 3 раза больше, чем оно было в момент начала движения второго предмета?
Движение тела, брошенного под углом к горизонту и брошенного горизонтально
С крутого берега реки высотой 20 м бросают горизонтально камень со скоростью 15 м/с. Через сколько времени камень упадет в воду? С какой скоростью он упадет в воду?
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА, БРОШЕННОГО ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ 105 Какой угол составит вектор конечной скорости камня с поверхностью воды?
С башни высотой 19,6 м в горизонтальном направлении брошено тело со скоростью 10 м/с. Запишите уравнение траектории тела. Чему равна скорость в момент падения? Какой угол образует эта скорость с горизонтальным направлением?
Самолет летит горизонтально на высоте 8 км со скоростью 1800 км/ч. За сколько километров до цели летчик должен сбросить на землю груз, чтобы попасть в нужное место? Как изменится это расстояние, если высота полета будет вдвое больше?
Мяч, брошенный горизонтально с высоты 2 м над землей, упал на расстоянии 7 м. Найдите начальную и конечную скорости мяча.
Камень брошен в горизонтальном направлении. Через 3 с направление скорости составило угол 45° с горизонтом. Какова начальная скорость камня?
Дальность полета тела, брошенного горизонтально со скоростью 10 м/с, равна высоте бросания. С какой высоты брошено тело?
Пуля вылетает из горизонтально расположенного ружья со скоростью 300 м/с. На каком расстоянии от места выстрела упадет пуля, если высота ружья над землей 1,2 м?
Мальчик бросил горизонтально мяч из окна, находящегося на высоте 20 м. Сколько времени летел мяч до земли и с какой скоростью он был брошен, если он упал на расстоянии 6 м от основания дома?
Камень бросают горизонтально с вершины горы, имеющей уклон а. С какой скоростью должен быть брошен камень, чтобы он упал на гору на расстоянии L от вершины?
Камень брошен с горы горизонтально со скоростью 15 м/с. Через сколько времени его скорость будет направлена под углом 45° к горизонту?
Пуля, выпущенная горизонтально в тонкий фанерный лист (вплотную к нему), пробивает второй такой же вертикальный лист, расположенный на расстоянии 20 м от первого. Пробоина на втором листе оказалась на 5 см ниже, чем в первом. Определите скорость пули.
Тело бросили со скоростью гд под углом а к горизонту. Запишите уравнение траектории тела в прямоугольной системе координат. Начало координат расположите в точке бросания, ось х — горизонтальная, ось у — вертикальная.
Тело бросили со скоростью г>о под углом а к горизонту. Найдите: а) зависимость скорости от времени; б) время полета; в) зависимость от времени угла между вектором скорости и горизонтом; г) максимальную высоту полета; д) дальность полета; е) убедитесь, что время подъема равно времени спуска.
Мяч брошен со скоростью 10 м/с под углом 30° к горизонту. Определите высоту наибольшего подъема, время полета, дальность полета.
Под каким углом к горизонту надо бросить тело, чтобы высота его подъема была равна дальности полета?
Тело брошено с начальной скоростью г>о под углом а к горизонту. Найдите скорость тела в высшей точке подъема х\ и в точке его падения на землю х^. Под каким углом к горизонту упадет тело?
. Тело падает с высоты 4 м. На высоте 2 м оно ударяется о закрепленную площадку, расположенную под углом 30° к горизонту. Найдите полное время движения тела и дальность его полета, если считать, что после удара скорость тела не меняется.
С высоты h над поверхностью земли брошено тело под углом а к горизонту со скоростью х^. С какой скоростью тело упадет на землю?
Под углом 60° к горизонту брошено тело с начальной скоростью 20 м/с. Через сколько времени оно будет двигаться под углом 45° к горизонту?
Камень бросили под углом 30° к горизонту со скоростью 10 м/с. Через какое время камень будет на высоте 1 м?
147 . Тело брошено со скоростью 20 м/с под углом а = 45° к горизонту. На какой высоте скорость будет направлена под углом Р = 30° к горизонту?
Тело брошено со скоростью 20 м/с под углом а = 60° к горизонту. Через сколько времени скорость будет иметь направление под углом Р = 30° к горизонту?
Камень брошен с башни под углом 30° к горизонту со скоростью 10 м/с. Каково кратчайшее расстояние между местом бросания и местом нахождения камня спустя 4 с после бросания?
. Маленький шарик начинает свободно падать и, пролетев расстояние 9,8 м, сталкивается с поверхностью наклонной плоскости. Сразу после удара направление движения становится горизонтальным, а величина скорости не изменилась. На каком расстоянии от места падения шарик вновь ударится о наклонную плоскость?
151 . С башни высотой 1,7 км под углом 30° к горизонту вниз бросают тело со скоростью ??i. Одновременно с поверхности земли под углом 30° к горизонту бросают второе тело со скоростью Г2 навстречу первому. Определите, на каком расстоянии от подножия башни находится место бросания второго тела, если оба тела столкнулись в воздухе?
Равномерное движение по окружности
Угловая скорость приводного шкива 65,5 рад/с. Найдите период вращения шкива и число его оборотов в минуту.
Найдите угловые скорости: а) суточного вращения Земли; б) часовой стрелки на часах; в) минутной стрелки на часах; г) секундной стрелки часов.
За какое время колесо, имеющее угловую скорость 8 рад/с сделает 40 оборотов?
Угловая скорость лопастей вентилятора 20 рад/с. Найдите число оборотов за 30 мин.
Во сколько раз угловая скорость часовой стрелки больше угловой скорости суточного вращения Земли?
Минутная стрелка часов в 3 раза длиннее секундной. Каково соотношение между линейными скоростями концов этих стрелок?
Шкив диаметром 30 с делает 600 оборотов в 0,5 мин. Определите период вращения, угловую и линейную скорости точек на окружности шкива.
Сколько оборотов в секунду делают ведущие колеса локомотива диаметром 1,5 м при скорости движения 72 км/ч?
За 10 с точка прошла равномерно половину окружности, радиус которой 100 см. Определите линейную скорость.
Какова линейная скорость точек земной поверхности на широте Санкт-Петербурга (60°) при суточном вращении Земли? Радиус Земли — 6400 км.
Мальчик вращает камень, привязанный к веревке длиной 0,5 м, в вертикальной плоскости, делая 3 об/с. На какую высоту взлетел камень, если веревка оборвалась в тот момент, когда скорость была направлена вертикально вверх?
Цепь, на которой висит колодезное ведро, наматывается на вал диаметром 20 см. При подъеме из колодца рукоятка совершает 10 оборотов. Какова глубина колодца?
Ось с двумя дисками, расположенными на расстоянии 0,5 м друг от друга, вращается с частотой 600 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска, при этом отверстие от пули во втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на угол 12°. Найдите скорость пули.
. Горизонтально летевшая пуля пробила вертикальный барабан, вращающийся с частотой 100 с-1, по его диаметру, который равен 1 м. Какова скорость пули внутри барабана, если расстояние по окружности между пробоинами в нем оказалось равным 0,942 м.
Определите радиус маховика, если при вращении скорость точек на его ободе — 6 м/с, а скорость точек, находящихся на 15 см ближе к оси вращения — 5,5 м/с.
К валу, радиус которого 10 см, прикреплена нить. Через 5 с от начала равномерного вращения на вал намоталось 3,14 м нити. Определите частоту вращения вала.
Линейная скорость точек окружности вращающегося диска равна 3 м/с, а точек, находящихся на 10 см ближе к оси вращения, 2 м/с. Сколько оборотов делает диск в минуту?
Ультрацентрифуга для исследования крови человека совершает 6-104 оборотов в минуту. Определите частоту, период, угловую и линейную скорости вращения.
При увеличении в 4 раза радиуса круговой орбиты искусственного спутника Земли период его обращения увеличится в 8 раз. Во сколько раз изменится скорость движения спутника по орбите?
Колесо велосипедиста имеет радиус 40 см. С какой скоростью едет велосипедист, если колесо велосипедиста делает 120 об/мин? Какова угловая скорость вращения колеса при этом движении?
Две материальные точки движутся по окружности, радиусы которых отличаются в 5 раз. Сравните их центростремительные ускорения в случаях: а) равенства линейных скоростей; б) равенства их частот.
Определите центростремительное ускорение точек земной поверхности на экваторе, на широте 45° и на полюсе, вызванное суточным вращением Земли.
Период вращения одного колеса вдвое меньше периода вращения другого колеса, а его радиус втрое больше радиуса вращения другого колеса. Сравните центростремительные ускорения для точек обода обоих колес.
Радиус одного колеса 20 см, другого — 40 см, а линейные скорости точек на ободе колес, соответственно, равны 5 м/с и 10 м/с. Во сколько раз центростремительное ускорение на ободе одного колеса больше, чем на ободе другого?
Найдите центростремительное ускорение точек колеса автомобиля, соприкасающихся с дорогой, если автомобиль движется со скоростью 72 км/ч и частота вращения колеса 8 с-1.
Найдите центростремительное ускорение точки, если угловая скорость ее вращения 3 рад/с, а линейная — 2 м/с.
Как изменится линейная скорость и центростремительное ускорение при движении точки по окружности, если угловую скорость увеличить в 2 раза, а расстояние от точки до оси вращения уменьшить в 4 раза?
Шарик подвешен на нити длиной 1 м. Шарик раскрутили так, что он начал двигаться равномерно по окружности в горизонтальной плоскости с периодом 1,57 с. Угол, образованный нитью с вертикалью, равен 30°. Определите линейную скорость и центростремительное ускорение при движении шарика по окружности.
Маленький шарик, привязанный к нити длиной 50 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность, имея постоянную скорость. Частота вращения шарика 4 с-1, скорость движения вдоль окружности 6,28 м/с. Определите, на какой угол нить при вращении отклонена от вертикали.
181 . Стержень длиной 0,5 м вращается вокруг перпендикулярной к нему оси, при этом один его конец движется с линейной скоростью 0,314 м/с. Найдите линейную скорость другого конца стержня, если частота вращения 0,5 с-1. Сравните центростремительные ускорения концов стержня.
На вал намотана нить, к концу которой подвешена гирька. При равномерном движении гирьки за 10 с с вала размоталось 1,2 м нити. Каков радиус вала, если частота его вращения 6 с-1? Определите величину ускорения точки.
Волчок свободно падает с высоты 4,9 м, вращаясь с периодом 0,02 с. Сколько оборотов сделает волчок за время падения?
Автомобиль при торможении начинает скользить так, что колеса продолжают вращаться. Верхняя точка одного из колес имеет относительно земли скорость ПО км/ч, нижняя точка — скорость 10 км/ч (направлена вперед по движению). Каковы скорость автомобиля и линейная скорость вращения колеса?
Ответы
В тг / 2 раз; в тг / 3 раз.
9 км; 5 км (на второй вопрос легко ответить, если сначала найти проекции вектора перемещения на оси координат, направленные на восток и на север, а затем по теореме Пифагора найти величину вектора перемещения).
Равномерное движение: vi= 1 м/с; ?’2=2 м с: 1'3 = 1 м с: Ж4 = 0.
Равномерное; место встречи I и II тела; щ = 20 км/ч, Ж2 = 40 км/ч; тело I движется вдоль оси Ож, тело II — против оси Ох.
ха = 2 м; у а = 2 м; xd = 6 м; уо = 2 м; s = 20 м; |г| = 4 м; гж = 2 м; ту = 0.
Движение равномерное; ^ = 1 м/с; Ж2 = 1 м/с; жз = = —0,5 м/с; 8 м; 3 с; нет; 3,5 м; жх = Д Ж2 = (^ —3),м; жз = = (8-0,5t), м.
I — движение равномерное вдоль оси Ож; II — тело покоится; III — движение равномерное против оси Ож; s = sx + + s3 = 4 + 7 = 11 м; г1ж=4м; г2ж = 0; г3ж = -7 м; г = -3 м.
10 м/с. 9. 600 м/с. 10. 400 м.
30 с; нет. 12. 3 м/с.
20 м; гд = 2 м/с, вдоль оси Ож; Ж2 = 3 м/с против оси Ож; 12 м от начала координат, через 4 с от начала наблюдения.
40 м; гд = 1 м/с, Ж2 = 5 м/с, оба вдоль оси Ож; через 10 с в точке с координатой 30 м.
60 мин; 36 км.
Самолеты в пункт В прилетят одновременно.
жх = 20/, м; Ж2 — (250 — 5/), м; а) 10 с; 200 м; б) 125 м; в) автомобиль; на 25 с; г) ж = 100 м; д) спустя 20 с после начала движения; е) через 5 с и 15 с после начала движения; ж) ж = 150 м.
жх = (250 + 15(/+ 10)), м; Ж2 = 25/. м: а) через 10 с на расстоянии 1 км; б) 200 м; в) через 35 с.
жх = 1 м/с; Ж2 = 4 м/с; жх = (1 +t^ м; Ж2 = (4 + 4/), м; тела были в начале координат за 1 с до начала наблюдения за ними; 3 м/с; ж = (3 + 3/),м.
жх = 2,5 м/с; Ж2 = —5 м/с; жх = (5 + 2,5/), м; Ж2 = (25— —5/), м; Ж2-1 = 7,5 м/с; Ж2-1 = (20 — 7,5/), м.
21.
23.
25.
1,1 м/с; 0,5 м/с.
16 км/ч.
150 м.
2 мин.
14 м/с.
Юс; 56с.
27.
7,5 км/ч; 17,5 км/ч.
28. 35 суток.
29.
15 м/с.
30. 62,5 км/ч; 12,5 км/ч.
31.
2 мин.
32. 1,5 км/ч.
33.
1000 м; 2,5 м/с.
34.
а) 36 км/ч; б) 0; в)
« 25,4 км/ч.
35.
a) гх = (жх + ж2)/; б)
Г2 = #'+^ + v^.
36.
а) 1 м/с; 0 м; 20 м; б)
~ 1,4 м/с; 20 м; 28 м.
37.
5 м/с; 750 м.
38.
/х = 6,25 мин; /2 — 6 мин; /х > /2.
39.
Двигаться вдоль берега в 1,8 раза дольше, чем поперек
реки.
а), б) 798 км/ч; а = arcsin 0,0675 = 3°52'; в) 746 км/ч; 90°; г) 854 км/ч; 90°.
225 м; 375 м.
Путь лодки будет кратчайшим, если перемещение ее перпендикулярно берегу; 30°; 155 с.
Начало координат поместим в том месте, где пловец входит в реку, ось Ох направим по течению, Оу — перпендикулярно берегу, а — угол между направлением скорости пловца Яп и скорости течения хт (рис. 1.100 а). Результирующую
скорость пловца находим по теореме сложения скоростей: х = = i?n + ^T- Координаты пловца меняются с течением времени по закону,,/х
x = x$-t, y = Vy-t.(а)
Из рис. 1.100 а видно, что
сж = ст — ^пж = гт — гп * cos а, Ху = fn • sin а
(^пж = Ьп • cos (180 —а) | = |fn • (—cosci)| = fn - cosа).
Когда пловец попадает на другой берег, его координаты станут равными у = d, х = I (I — расстояние, на которое течение снесет пловца, d — ширина реки). Поэтому систему уравнений (а) можно записать следующим образом:
I = (^т — ^п • cos Cl) • t, d = fn • sin ci • t.
Время переплывания найдем из второго уравнения: t = = dj^Xyy • sin ci). Оно будет минимальным, когда sin а будет максимальным, то есть при а = тг/2 (рис. 1.100 б):
^min — ^/^п?^min = 400 С.
Течение за это время снесет пловца на расстояние I = v^ -1 = = 200 м. При этом величина пройденного пути s = V^-H^; s ~ 447 м.
Примечание: найти, при каком угле а время переплывания будет минимальным, можно, взяв производную t*a и приравняв ее нулю:
t'a = d- cosa/(vT • sin2 о) = 0; cos о = 0: a = к/2.
44. %3м с: перпендикулярно к дороге.44. %3м с: перпендикулярно к дороге.Рис. 1.101Рис. 1.101
44. %3м с: перпендикулярно к дороге.
44. %3м с: перпендикулярно к дороге.
Рис. 1.101
Рис. 1.101
40,8 км/ч. 48. 9 км/ч.
17 м/с.50. 53,3 км/ч; 60 км/ч.
12 м/с.52. 40 км/ч.
18 км/ч.
3,2 м/с; зависимость скорости велосипедиста от времени представлена на рис. 1.102.
Рис. 1.102Рис. 1.102
Рис. 1.102
Рис. 1.102
8 с; 5 м/с; 32 м; 80 м; зависимости скоростей от времени представлены на рис. 1.103.
8 С. В. Трубецкова
50 с; 75 м.57. 0,25 м/с2; 350 м.
5 м/с; 55 м.59. 25 с; 250 м.
20 с; 120 м; 6 м/с.
13 м.
10 м/с2; 50 м/с; 5 м.
1,8 10-3 с; -2,22-Ю”5 м/с2; 282 м/с.
13,3 м/с2; 4000 м.
0,5 м/с2; 100 с.
90 см.67. 75 км/с2; 0,004 с.
2,5 м/с2; 4 с. 69. 15 с.
8 м/с; 0,8 м/с2; —1,6 м/с2; 15 с.
5 м/с; 75 м; 28 с; 0,625 м/с2.
50 м.73. 10 м/с2; 300 м/с.
0,8 м/с; 7,6 м; 40 м.
0,3 м; 2,7 м.81.9 с.
1,5 м/с.83.0,45м/с; 0,3 м/с2.
36 км/ч.85.5 с.
205 с.87.1 м/с.
Зс.
Ai = #i (^/п —— 1).
3,2 м/с2 (движение равнозамедленное).
На Луне время падения в 2,4 раза больше, а конечная скорость в 2,4 раза меньше.
г1/г2 = 2; 1ц/Ь?2 = 4.
2 с; 20,4 м; 20 м/с; 2 с.
122,5 м; 49 м/с.
1 с; 9,8 м/с; 4,9 м/с.
78,4 м; 4 с.
В 2 раза больше и скорость, и время падения второго тела.
24,8 м/с.99. 30 м/с; 45 м.
100.
В 2 раза.101. В 9 раз.
102.
а) х = (20■ t — 5£2), м; б) ж = (25 + 20£ — 5£2), м; 5 с.
103.
10 м; 15 м/с. 104. 44,1 м; 10 с.
105.
21 с.106. 58,8 м; 2 с.
107.
14,7 м.108. 165 м.
109.
350 м/с.110. 15 м/с; на 1 с.
111.
533 м.112. 7 с; 240 м.
«0,45; «0,023; «4,9 м; «40 м.
4с.115. 30,6м.
116. 9,8 м.117. 165 м.
118. 5 с; на 75 м ниже точки В.
119. «7,2 м/с.
121. «3,7 м/с.
123. Зс.
7 м/с.
r = \vot-H\.
0,4 м.
ж = — 20 м (начало координат совпадает с точкой, из которой брошено тело, и ось направлена вертикально вверх).
6 с.127. 2 с; 20 м/с; 53°.
?/ = р-ж2/(2^); 22 м/с; ^63°.
20 км; увеличится в 2 раза.
« 11 м/с; « 13 м/с.
^29 м/с. 132.20 м.
^150м.134. 2 с; 3 м/с.
жо = VL* д * cos2 а/ (2 • sin а).
1,5 с.137. ^ 200 м/с.
д = х - Iga — дх211(2жд • cos2 а).
а) х = \ро!^-2^б) t = (2жд • sma^/g^
в) а = arctg (tga — gtj(2x^ • cos а)); г) h = Xq • sin2 a/(2g); д) s = ^-sin(2a)/2p.
140.
1,2 м; 1 с; 8,7 м/с.
141.
а = arctg 4 « 76°.
142.
гд = жо • cos а; х^ = х^; а
10,1с; 5,64 м.
v = \j2gh + Vg.
0,75 с.
0,28 с; 0,75 с.
h = Vg(tg2 а — tg2 0)" C0SQV(2g); /г ~ 6,8 м.
£ = vo-cosa ■ (tga — tg/3)/g; t = 1,2 c.
« 68 м.
/ = 4HV2; / « 54,9 м (примечание: так как после удара о плоскость скорость шарика меняет направление на 90°, то угол наклона плоскости к горизонту равен 45°).
1 = Н^ / = 2,89 км.
0,096 с; 625 с.
153. а) 7,3 • 10"5 рад/с; б) 14,5 • 10"5 рад/с; в) 1,74 х х 10-3 рад/с; г) 0,1 рад/с.
154.
31,4 с.155. 1,8 • 104 оборотов.
156.
В 2 раза. 157. /с//м = 20.
158.
0,05 с; 125,6 м/с; 18,8 м/с.
159.
4,2об/с.160. 0,314 м/с.
161.
230 м/с.162. 4,5 м.
163.
12,56 м.164. 400 м/с.
165.
v = 7г£>2г//(тг7?2 ±/); 125 м/с; 500 м/с.
166.
1,8 м.167. 1с"1.
168.
96 оборотов.
169.
1000 об/с; 0,001с; 6,28 • 103 рад/с; 1256
170.
Уменьшится в 2 раза.
171.
« 5 м/с; « 25 с"1.
172.
а) 1/5; б) 5.
173.
3,4-10"2 м/с2; 2,33 ■ 10-2 м/с2; 0.
174.
В 12 раз. 175. В 2 раза.
176.
1 км/с2.177. 6 м/с2.
178. Уменьшится в 2 раза; не изменится.
2 м/с; 8 м/с2.
30°.
1,256 м/с; а2/ах=4.
6,4-10"3м; 9 м/с2.
50 оборотов.
60 км/ч; 50 км/ч.
Часть II
ДИНАМИКАМАТЕРИАЛЬНОЙ
ТОЧКИ
ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
Содержание теоретического материала
Взаимодействие тел. Первый закон Ньютона. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета. Ускорение тел при взаимодействии. Инертность и масса тел. Сила как мера интенсивности взаимодействия тел. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона. Виды сил: сила тяжести, сила упругости, сила трения. Закон всемирного тяготения. Вес тела и сила тяжести. Динамика тела, движущегося по окружности.
Контрольные вопросы
Что означают слова: «относительный покой» и «относительное движение»?
В чем заключается содержание I закона Ньютона?
Какие системы отсчета называются инерциальными?
Что такое инерция?
Почему при сплаве леса бревна часто выбрасываются на берег на поворотах рек?
Как объяснить опускание столбика ртути при встряхивании термометра?
Почему при сборе корнеплодов их надо вытаскивать из почвы без рывка, постепенно?
Что такое сила? Какие бывают силы по характеру взаимодействия?
Какой величиной — векторной или скалярной — является сила?
Как измерить силу?
Какая сила называется равнодействующей?
Используя понятие силы, сформулируйте I закон Ньютона.
Что такое масса тела?
Назовите основную единицу измерения массы тела в системе СИ.
Сформулируйте II закон Ньютона.
Почему нагруженный автомобиль движется по неровной дороге более плавно, чем такой же автомобиль без груза?
Сформулируйте III закон Ньютона.
Два резиновых мяча лежат на гладком полу, прижатые друг к другу. Когда их отпустили, они раскатились, причем за одно и то же время один мяч откатился на большее расстояние. Какой отсюда можно сделать вывод? Обоснуйте его.
Всегда ли сила реакции опоры равна по величине силе тяжести? Всегда ли сила реакции опоры равна по величине силе давления?
В чем содержание закона всемирного тяготения?
Какой физический смысл гравитационной постоянной?
Что такое сила тяжести? Где находится точка приложения этой силы?
Что такое ускорение свободного падения и от чего оно зависит?
Какая сила называется весом тела?
Какими силами скомпенсирована сила тяжести, если тело находится на опоре или подвешено?
Мы обращаемся к продавцу: «Взвесьте нам...» независимо от того, какие перед ним весы — чашечные или пружинные. Если говорить строго, верен ли наш вопрос в обоих случаях?
В чем заключается состояние перегрузки?
Когда наступает невесомость?
Человек стоит на горизонтальной платформе пружинных весов. Что покажут весы в начале быстрого приседания человека? При его остановке? При быстром распрямлении?
Мальчик высоко подпрыгнул. На каких этапах прыжка (при отталкивании от пола, подъеме, в верхней точке, движении вниз, торможении в момент приземления) предметы, находящиеся в карманах его костюма, находятся в состоянии невесомости?
Какие бывают виды деформаций?
Какие силы называются упругими? Какова их природа?
В чем заключается содержание закона Гука?
Когда возникает сила трения? Какова природа этой силы?
Когда возникает сила трения покоя? От чего зависит величина этой силы?
Когда возникает сила трения скольжения?
Нарисуйте график зависимости силы трения от величины внешней, приложенной к телу, силы тяги.
Рис. П.1
На рис. П.1а изображены силы тяготения, действующие между двумя телами одинаковой массы т. Одно из тел заменили другим, масса которого вдвое больше. Верно ли на рис. П.15 изображены силы, действующие на каждое из тел?
Ответы
Тела находятся в состоянии относительного покоя, если не меняется их взаимное расположение и расстояние между ними. Это может быть, если: а) тела покоятся относительно Земли и любых тел, закрепленных на Земле; б) тела движутся равномерно с одинаковой скоростью в одном направлении; в) тела движутся с одинаковым ускорением в одном направлении (начальные скорости тел также должны быть одинаковыми).
Из кинематики мы должны помнить, что тело может по отношению к одним телам находиться в покое, по отношению к другим — двигаться равномерно, а по отношению к третьим — двигаться с ускорением. Например, стоящий на остановке автобуса человек находится в покое относительно деревьев, домов ит. д.; он же удаляется или сближается с постоянной скоростью с любым проходящим мимо него человеком или автомобилем; он же с переменной скоростью удаляется или сближается с
транспортом, тормозящим перед остановкой или, наоборот, отходящим от остановки с ускорением.
Существуют такие системы отсчета, относительно которых тело находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно, если на него не действуют другие тела или действие других тел компенсируется.
Системы отсчета, относительно которых тело при компенсации на него внешних воздействий покоится или движется прямолинейно и равномерно, называются инерциальными. I закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчета. В примере, рассмотренном в ответе 1.1, на человека, стоящего на земле, действует притяжение Земли и реакция опоры, которая не дает ему падать вниз. Данные два действия скомпенсированы. При этом человек относительно деревьев, домов и т. д. находится в покое, а с равномерно проходящим транспортом также равномерно сближается или удаляется. То есть системы отсчета, связанные с Землей, деревьями, домами, а также с движущимися равномерно телами, являются для человека инерциальными. Очевидно, что для каждого тела можно подобрать множество инерциальных систем.
Инерция проявляется в том, что тело сохраняет неизменным состояние движения или покоя по отношению к некоторым (инерциальным) системам отсчета. Если же воздействия других тел не скомпенсированы, то свойство инерции проявляется в том, что изменение скорости происходит постепенно, а не мгновенно.
Двигаясь по инерции прямолинейно, бревна на повороте выбрасываются на берег.
Капелька ртути по инерции стремится сохранить состояние покоя, опускаясь в конец термометра.
Потому, что возможен обрыв стебля, а корнеплод по инерции остается в почве, и нужно некоторое время действия силы, чтобы сообщить ему ускорение (правда, нельзя здесь забывать еще и о силе трения).
Все окружающие нас тела находятся во взаимодействии. Взаимодействие является причиной ускорения тел. Так тела, падающие свободно, движутся с ускорением, причиной которого является нескомпенсированное взаимодействие с Землей. Шайба, лежащая на льду, приобретает ускорение в результате взаимодействия с клюшкой. При своем движении по льду скорость шайбы уменьшается, но уже за счет взаимодействия с шерохо-
ватой поверхностью льда. При падении тело находится на некотором расстоянии от Земли (бесконтактное взаимодействие), а шайба находится в непосредственном контакте и с клюшкой, и со льдом (удар и трение). Вам хорошо известно взаимодействие магнита с железными предметами на расстоянии. Итак, взаимодействия бывают бесконтактными, посредством силовых полей разной природы (гравитационного поля, магнитного поля и других полей, о которых речь пойдет позже), и контактными при соприкосновении взаимодействующих тел.
Таким образом, силы бывают разного вида:
силы, возникающие при непосредственном контакте тел, в результате чего тела могут изменять форму и размеры (удар клюшки о шайбу — должны происходить кратковременные деформации); такие силы называются упругими;
силы, возникающие при движении одного тела по поверхности другого; это тоже контактные силы — силы трения;
бесконтактные силы — то есть возникающие при взаимодействии тел на расстоянии, за счет полей разной природы, окружающих тела.
Количественную меру действия материальных тел друг на друга, в результате которого взаимодействующие тела приобретают ускорения, называют силой.
Сила характеризуется не только величиной, но и направлением. Изменяя взаимодействие тел, можно изменять не только величину скорости, но и направление движения. Следовательно, сила — векторная величина, обозначается обычно как F.
Возьмем упругую пружину. При ее одинаковом растяжении она всегда создает одну и ту же упругую силу. Если
*F1
Рис. П.2
на тело, связанное с пружиной, подействовать внешней силой, (рис. П.2), то пружина растянется (или сожмется) на определен-
ную величину. В положении, когда тело остановилось, действие внешней силы F скомпенсировано силой упругости пружины Fynp (в соответствии с I законом Ньютона). То есть величины сил равны, но направлены они в противоположные стороны (l^ynpl = \FV но ^упр — — Fy
Пользуясь этим, можно сравнить с силой упругости эталонной пружины силы другого вида.
Если на тело действуют несколько сил (Fi, F2, ..., Fny то можно подобрать одну силу F эквивалентную по воздействию совокупности сил. Такая сила называется равнодействующей. Величина равнодействующей силы равна векторной сумме всех действующих на тело сил:
п
F = Fi + А + ■ ■ ■ + Fn,или F = '^Fi.
г=1
Существуют системы отсчета, относительно которых тело движется прямолинейно и равномерно или находится в покое, если равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю:п
£А = о.
г=1
Если брать тележки с разными грузами, а воздействие оказывать сжатой до определенных размеров пружиной (то есть действующая на тележку сила одна и та же), то приобретаемые тележками ускорения будут разными (рис. П.З).
Ускорения, получаемые телами, зависят от некоторого свойства, присущего самому телу. Это свойство называется инертностью. Инертность — свойство тел препятствовать изменению скорости под действием силы (то есть способность тела к проявлению инерции — см. вопрос 1.4). Чем меньше ускорение под действием определенной силы, тем больше инертность тела.
Если теперь на тележку с одним и тем же грузом действовать разными силами Fi, F2, ..., Fn, то тележка получит разные
тела является ве-тела является ве-ускорения: «i, а^ ..., ап (рис. II.4). Отношение модуля силы к модулю сообщенного ускорения для да! личиной постоянной:
тела является ве-
тела является ве-
Так как для данного тела это отношение является величиной постоянной, то оно может служить характеристикой данного тела. Величина, равная отношению модуля силы, действующей на тело, к модулю ускорения, вызванного этой силой, называется массой, которая и является мерой инертности тела. Обозначается масса буквой т:
т = |F|/|a|.
Из формулы видно, что чем больше
Рис. П.4ускорение тела при не-Рис. П.4ускорение тела при не-которой заданной силе, тем меньше масса тела.
Рис. П.4
ускорение тела при не-
Рис. П.4
ускорение тела при не-
В период принятия метрической системы (конец XVIII в.) была определена основная единица массы — килограмм — как масса 1 кубического дециметра чистой воды при 4° С в вакууме. В 1799 г. был изготовлен эталон килограмма — платиновая цилиндрическая гиря, высота которой равна ее диаметру. Сейчас существующим эталоном является платиново- иридиевая гиря, высота и диаметр которой равны 39 мм. Хранится эталон в Международном бюро мер и весов в Париже.
Широко используется тысячная доля килограмма (кг) — грамм (г): 1 г = 10-3 кг.
При изучении свойств атомов и молекул пользоваться килограммом как основной единицей массы неудобно, так как массы частиц очень малы. Поэтому в качестве эталона выбрана 1/12 часть массы атома углерода, которая называется атомной единицей массы (а. е. м.):
1 а. е. м. « 1,66 • 10-27 кг.
Ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей приложенных к нему сил и обратно пропорционально его массе. Тело приобретает ускорение, направление которого совпадает с направлением равнодействующей приложенных сил:
а = F/т.
При решении задач часто II закон Ньютона записывают в виде
F = та.) или ^ ^ — т^-
г=1
В правой части равенства находятся величины, относящиеся к движущемуся телу (т, а\ а в левой — силы, определяющие действие окружающей среды.
Увеличение массы автомобиля уменьшает ускорения, сообщаемые ему толчками со стороны неровности дороги.
Все действия тел друг на друга являются двусторонними. Пытаясь сдвинуть какой-либо тяжелый предмет, мы испытываем ответное действие; растягивая пружину, мы чувствуем, что она тянет руку в противоположную сторону; пуля, пробивая углубление в стенке, одновременно деформируется сама за счет ответного действия стенки. Многочисленные опыты приводят к заключению:
при взаимодействии двух тел всегда возникают силы, приложенные к каждому из тел;
эти силы направлены в противоположные стороны;
они равны по величине.
Изложенное выше сформулировано в III законе Ньютона: если какое-то тело действует на другое с силой Fi, то второе тело действует на первое с ответной силой F^ равной по величине силе Fi и противоположно ей направленной:
Кратко III закон Ньютона можно сформулировать так:
сила действия равна по величине и противоположна по направлению силе противодействия.
Надо помнить, что сила «действия» и сила «противодействия» приложены к разным телам.
По III закону Ньютона силы, действующие на каждый из мячей при расталкивании, одинаковы (Fi = F2), а ускорения, которые они приобретут по II закону Ньютона, обратно пропорциональны массам.
Пусть mi > т2, тогда ai < а^ (mi/m^ = а^/а^). В результате этого скорости мячей в конце взаимодействия будут разные: f2 > щ (f = at\ а путь, пройденный мячом с большей массой, будет меньше.
Нет, только на покоящейся или движущейся равномерно горизонтальной опоре;
да, в соответствии с III законом Ньютона.
Между всеми без исключения материальными телами действуют силы взаимного притяжения, которые названы гравитационными силами, или силами всемирного тяготения. Закон всемирного тяготения был сформулирован Ньютоном следующим образом:
два тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:
1^1 = 7™,г
где mi,m2 — массы тел, г — расстояние между телами, 7 — коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной. Гравитационная постоянная была измерена экспериментально и для всех тел имеет одно и то же численное значение. В системе СИ
7 = 6,67-Ю-11 Н-м2/кг2.
Взаимное притяжение тел является следствием того, что каждая частица одного тела притягивает каждую из частиц другого тела. Любое протяженное тело можно рассматривать как совокупность частиц, и сила, действующая на тело, является геометрической суммой сил, действующих на все частицы тела. Ньютон показал, что для двух однородных сфер формула правильно описывает силу взаимодействия, если г — расстояние между центрами сфер. Кроме того, если размеры тел малы по сравнению с расстоянием между ними, то формула закона всемирного тяготения также хорошо выполняется.
Силы притяжения действуют на каждое из взаимодействующих тел (рис. II.5) и направлены вдоль прямой, соединяющей центры этих тел. Силы Fi и F^ равны по величине и противоположны по направлению (в соответствии с III законом Ньютона).
Ш1Ш2
Рис. П.5
Взаимодействие тел, обладающих массой, находящихся на расстоянии друг от друга, осуществляется посредством поля,
называемого гравитационным. Гравитационное поле создается любым материальным телом, окружает его и заполняет все пространство. Любое другое тело испытывает действие силы со стороны гравитационного поля первого тела.
Гравитационная постоянная выражается формулой 7 = \F\г2 / (mim^y
Отсюда виден ее физический смысл: гравитационная постоянная численно равна силе, с которой два тела массой по 1 кг взаимодействуют на расстоянии 1 м.
Сила тяжести — это сила притяжения всех тел к Земле в результате действия закона всемирного тяготения:
„ тМ
где т — масса тела, М — масса Земли, Нз — радиус Земли, К — высота подъема тела над поверхностью Земли, (R3 + h) — расстояние от центра Земли до тела (рис. П.6)
Если тело находится вблизи Земли (h << НзУ т° сила тяжести FT = ^тМ / R3.
Силу тяжести можно рассматривать как равнодействующую сил тяжести, действующих на все частицы тела. Сила тяжести тела приложена к точке, неизменно связанной с твердым телом, в которой приложена равнодействующая сил тяжести, действующая на все частицы тела. Эта точка называется центром тяжести.
Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз к Земле. Будем подвешивать тело на нити, прикрепляемой к разным точкам тела, и отмечать каждый раз направление нити (рис. П.7 а, б).
Так как подвешенное тело покоится, то сила тяжести FT равна по величине и противоположна по направлению силе натяжения подвеса. То есть каждый раз сила тяжести будет направлена вдоль подвеса. Если подвешивать тело за разные точки, то направление силы тяжести относительно тела меняется, но точка приложения остается неизменной. Она совпадает с точкой пересечения направления нитей при разных положениях тела. Центр тяжести однородного тела симметричной формы совпадает с центром симметрии тела.
Если на тело действует только сила тяжести, то оно совершает свободное падение. Величину ускорения свободного падения д можно найти по II закону Ньютона:
|^| = |#т|/т = 7МДЛ3 + Kf.
имеет не строгоимеет не строгоИз этой формулы видно, что ускорение свободного падения не зависит от массы падающего тела и, следовательно, одинаково для всех тел в данном месте. Ускорение свободного падения уменьшается при подъеме тела над Землей. Вблизи поверхности Земли = 0) \д\ = ^М/Fg. Кроме того, ' сферическую форму, она несколько сжата вдоль оси вращения, поэтому ускорение свободного падения зависит от географической широты. Так, у полюсов д ~ 9,83 м/с2, на экваторе — 9,78 м/с2.
имеет не строго
имеет не строго
ббРис. П.8Рис. П.8Таким образом, сила тяжести тела FT = тд.
б
б
Рис. П.8
Рис. П.8
Весом тела называется сила, с которой тело вследствие его притяжения к Земле действует на горизонтальную опору или вертикальный подвес, удерживающие тело от свободного падения (на рис. II.8 Р — вес тела).
Вес тела — это сила, приложенная не к телу, а к опоре или подвесу.
Тело, лежащее на опоре или подвешенное, оказывает воздействие на опору или подвес. По III закону Ньютона опора и подвес должны действовать на тело с такой же силой, с
9 С. В. Трубецкова
какой тело действует на опору или подвес. Это так называемые сила нормальной реакции опоры jV a n ////// (нормальной — то есть направленной А Fh вдоль нормали к поверхности соприкосновения) и сила натяжения подвеса FH 77777X7 х9 (рис. П.9).
▼ т9v т- 1.26. На чашечных весах (рис. И.10 а)
рис п gсравнивается масса груза с массой эта' 'лона — гирей. На пружинных весах оп
ределяется вес тела — по растяжению пружины (рис. И. 10 б) или ее сжатию (рис. И.10 в). Правда, проградуированы весы в двух последних случаях в единицах массы, которая пропорциональна определяемому весу (т = Р/д).
Рис. П.10Рис. П.101.27. В системе1.27. В системетдтдотсчета, связанной с Землей, движется лифт с ускорением а, направленным вверх (это равноускоренный подъем или равнозамедленный спуск — в зависимости от направления скорости) (рис. И.11). На полу лифта лежит груз массой т. По II закону Ньютона для тела можем записать уравнение _тд + N = та.отсчета, связанной с Землей, движется лифт с ускорением а, направленным вверх (это равноускоренный подъем или равнозамедленный спуск — в зависимости от направления скорости) (рис. И.11). На полу лифта лежит груз массой т. По II закону Ньютона для тела можем записать уравнение _тд + N = та.Рис. И.11Рис. И.11В проекциях на ось Од это уравнеВ проекциях на ось Од это уравнение запишется следующим образом: N — тд = та.ние запишется следующим образом: N — тд = та.Отсюда найдем силу реакции опоры N;Отсюда найдем силу реакции опоры N;N = тд + та = т(д + а).N = тд + та = т(д + а).
Рис. П.10
Рис. П.10
1.27. В системе
1.27. В системе
тд
тд
отсчета, связанной с Землей, движется лифт с ускорением а, направленным вверх (это равноускоренный подъем или равнозамедленный спуск — в зависимости от направления скорости) (рис. И.11). На полу лифта лежит груз массой т. По II закону Ньютона для тела можем записать уравнение _
тд + N = та.
отсчета, связанной с Землей, движется лифт с ускорением а, направленным вверх (это равноускоренный подъем или равнозамедленный спуск — в зависимости от направления скорости) (рис. И.11). На полу лифта лежит груз массой т. По II закону Ньютона для тела можем записать уравнение _
тд + N = та.
Рис. И.11
Рис. И.11
В проекциях на ось Од это уравне
В проекциях на ось Од это уравне
ние запишется следующим образом: N — тд = та.
ние запишется следующим образом: N — тд = та.
Отсюда найдем силу реакции опоры N;
Отсюда найдем силу реакции опоры N;
N = тд + та = т(д + а).
N = тд + та = т(д + а).
По III закону Ньютона сила давления тела на опору (вес тела) равна по величине силе реакции опоры:
Р = N = тд + та = т(д + а).
Из последней формулы видно, что вес тела Р больше силы тяжести на величину (та). В таких случаях говорят, что тело испытывает перегрузку. Если ускорение в к раз больше ускорения свободного падения (а = кд), то
Р = т(д + кд) = тд(к + 1).
Вес тела на Земле Рз = тд.
Перегрузка показывает, во сколько раз вес тела при равноускоренном подъеме или равнозамедленном спуске больше веса тела на Земле:
п — ^±l) = t+l.
тд
В системе отсчета, связанной с Землей, движется лифт с ускорением а, направленным вниз (это равноускоренный спуск или равнозамедленный подъем — в зависимости от направления скорости (рис. П.12)).
Для тела запишем уравнение по II закону Ньютона:
тд + N = та.
В проекциях на ось Од это уравнение запишется следующим образом:
тд — N = та.
Отсюда сила реакции опоры N = тд — та = т(д — а).
По III закону Ньютона вес тела найдем\°
по формуле
Р = N = тд-та = т(д - а).^ |▼ тд
Из последнего соотношения видно, что в
.Рис. 11.12
лифте, движущемся с ускорением, направ
ленным вниз, вес тела меньше силы тяжести на величину (та).
Если лифт свободно падает, то есть а = д, то
Р = т(.д-д) = 0.
При таком условии опора с телом не взаимодействует. Это состояние называется невесомостью.
Используя рассуждения, аналогичные приведенным в ответах 1.27 и 1.28, можно показать, что в первом случае вес тела
9*
будет меньше силы тяжести человека тд^ во втором случае — равен, в третьем случае — больше.
При движении вверх и вниз.
Любые изменения формы и размеров тел при действии сил называются деформациями. Упругие деформации полностью исчезают после прекращения действия внешней силы (мячик, стальная линейка, пружина и пр.). Неупругие или пластические деформации полностью или частично сохраняются после прекращения действия внешних сил (медная и алюминиевая проволока, пластилин и пр.).
Силы, действующие внутри деформированного тела, приводящие к восстановлению его формы и размера, называются упругими силами.
Появление упругих сил объясняется наличием между атомами тела сил взаимодействия. При сжатии тела атомы сближаются, силы отталкивания между ними преобладают, что заставляет атомы разойтись и занять прежние места; это приводит к восстановлению формы тела. При растяжении тела преобладают силы притяжения между атомами, которые также приводят к восстановлению прежней формы и размеров тела. Силы притяжения и отталкивания между атомами имеют электрическую природу.
Упругими по природе являются рассмотренные ранее сила натяжения подвеса и сила реакции опоры.
Все упругие деформации подчиняются закону Гука: сила упругости, возникающая при деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации и направлена в
Рис. ПЛЗРис. ПЛЗсторону, противоположную деформирующей внешней силе (рис. 11.13, FBH — внешняя сила, Fynp — сила упругости):
Рис. ПЛЗ
Рис. ПЛЗ
|^упр| = — А:|Д/|.
Д/ — вектор перемещения конца деформированного тела (пружины) по величине равен удлинению: |Д/| = р2 —hh h — начальная длина, /2 ~ длина
деформированного тела, к — коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью. Знак минус указывает на противоположность направлений векторов Fynp и Д/ (рис. 11.13).
Размерность жесткости в СИ:
—|^упр/^^Ь[&] = Н/м.
Силы трения возникают при движении одного тела по поверхности другого или при попытке вызвать движение. Если поверхности тел шероховатые, то при движении выступы одного тела зацепляются за неровности другого. При этом возникают упругие деформации тел. Кроме того, в местах, где расстояния между частицами обоих тел оказываются малыми, проявляется действие сил межмолекулярного взаимодействия. И силы упругости, и силы межмолекулярного взаимодействия имеют электрическую природу. Кроме того, силы трения (или сопротивления) возникают при движении твердых тел в жидкостях или газах. Эти силы действуют по всей поверхности тела, направлены вдоль касательных к его поверхности и зависят от скорости движения тела.
Сила сопротивления, возникающая при движении тел в жидкостях и газах, сильно зависит от формы тела и структуры его поверхности.
Трение покоя возникает при отсутствии относительного движения соприкасающихся тел прп попытке вызвать двшисенпе.
Пусть на тяжелое тело, находящееся в соприкосновении с другим телом, действуют постепенно возрастающей силой F,
Рис. П.14Рис. П.14параллельной плоскости соприкосновения (рис. П.14). При изменении этой силы от нуля до некоторого значения движения тела не возникает. Следовательно, по I закону Ньютона на
Рис. П.14
Рис. П.14
тело, кроме внешней силы, все время
должна действовать другая сила, равная по величине силе F и противоположно ей направленная. Такой силой является сила
трения покоя, которая неоднозначна по величине: при попытке вывести тело из состояния покоя сила трения покоя меняется от нуля до некоторого максимального значения FTp.max так же, как и внешняя сила.
Таким образом, сила трения покоя всегда равна по величине и направлена противоположно силе, приложенной к телу, и действует вдоль поверхности соприкосновения с опорой.
Величина максимальной силы трения покоя пропорциональна силе нормального давления тела на опору
|^тр.тах| — /^|^|-
На рис. 11.15 сила нормального давления JV равна составляющей силы тяжести на нормаль к поверхности соприкосновения тела.
аа
а
а
Рис. 11.15
Из рис. 11.15 а видно, что в случае наклонной плоскости сила нормального давления N = тд cos о; если тело лежит на горизонтальной поверхности, то ^ = тд (рис. П.15 б). Надо помнить, что сила нормального давления действует на опору, а не на тело. Коэффициент пропорциональности д называется коэффициентом трения. Его величина зависит от состояния соприкасающихся поверхностей, от материала, качества обработки, наличия между ними инородных веществ. Коэффициент трения д — величина безразмерная.
Сила трения скольжения — это сила, возникающая при
скольжении одногоскольжении одногог)г)РтрРтрV W = тдРис. П.16V W = тдРис. П.16рение. Кроме того,рение. Кроме того,тела по поверхности другого; направлена она вдоль поверхности соприкасающихся тел в сторону, противоположную перемещению (рис. И.16).При решении задач вводят упрощения, считая, что максимальная сила трения покоя примерно равна силе трения скольжения. На самом деле максимальная сила трения несколько больше силы трения скольжения. Так для того, чтобы тело сдвинуть, надо сначала сообщить ему уско- величина силы трения скольжения незна-тела по поверхности другого; направлена она вдоль поверхности соприкасающихся тел в сторону, противоположную перемещению (рис. И.16).При решении задач вводят упрощения, считая, что максимальная сила трения покоя примерно равна силе трения скольжения. На самом деле максимальная сила трения несколько больше силы трения скольжения. Так для того, чтобы тело сдвинуть, надо сначала сообщить ему уско- величина силы трения скольжения незна-чительно зависит от скорости. Этой зависимостью обычно пренебрегают. Силу трения скольжения находят по формулечительно зависит от скорости. Этой зависимостью обычно пренебрегают. Силу трения скольжения находят по формуле
скольжении одного
скольжении одного
г)
г)
Ртр
Ртр
V W = тд
Рис. П.16
V W = тд
Рис. П.16
рение. Кроме того,
рение. Кроме того,
тела по поверхности другого; направлена она вдоль поверхности соприкасающихся тел в сторону, противоположную перемещению (рис. И.16).
При решении задач вводят упрощения, считая, что максимальная сила трения покоя примерно равна силе трения скольжения. На самом деле максимальная сила трения несколько больше силы трения скольжения. Так для того, чтобы тело сдвинуть, надо сначала сообщить ему уско- величина силы трения скольжения незна-
тела по поверхности другого; направлена она вдоль поверхности соприкасающихся тел в сторону, противоположную перемещению (рис. И.16).
При решении задач вводят упрощения, считая, что максимальная сила трения покоя примерно равна силе трения скольжения. На самом деле максимальная сила трения несколько больше силы трения скольжения. Так для того, чтобы тело сдвинуть, надо сначала сообщить ему уско- величина силы трения скольжения незна-
чительно зависит от скорости. Этой зависимостью обычно пренебрегают. Силу трения скольжения находят по формуле
чительно зависит от скорости. Этой зависимостью обычно пренебрегают. Силу трения скольжения находят по формуле
|^тр.ск| — /^|^|-
На рис. 11.17 представлена зависимость величины силы
равна величине возни-равна величине возни-трения от величины внешней силы. При возрастании внешней силы F от 0 до FTp.max тело покоится, затем начинает двигаться. При F = = ^тр.тах тело движется равномерно, а при F > FTp.max — равноускоренно. Угол наклона начальной части графика к горизонтальной оси равен 45° (так как пока тело не на
равна величине возни-
равна величине возни-
чало двигаться, величина внешней силы кающей силе трения покоя).
Неверно, так как для сил тяготения справедлив III закон Ньютона: силы, приложенные к каждому из тел, равны по величине и противоположны по направлению. Нетрудно с помощью формулы закона всемирного тяготения
показать, что силы, действующие на каждое из тел, возрастут
в 2 раза (рис. 11.18).
Основные формулы
Условие, соответствующее состоянию покоя или равномерного прямолинейного движения (I закон Ньютона), п
Е^ = ° (или A + A + ... + Fn = 0).(1.1)
г=1
Условие, соответствующее движению с ускорением (II закон Ньютона),
'^Fi, = ma (или Д + #2 + + Fn = ma\ (1.2) г=1
Равномерному движению вдоль окружности также соответствует II закон Ньютона, причем ускорение в этом случае является центростремительным:
п
^F^ma^,(1.3)
г=1
п в (1.1), (1.2) и (1.3) — число действующих на тело сил.
III закон НьютонаIII закон НьютонаА = -А,А = -А,(1-4)(1-4)
III закон Ньютона
III закон Ньютона
А = -А,
А = -А,
(1-4)
(1-4)
Fi и F^ — силы, приложенные к каждому из двух взаимодействующих тел.
Сила всемирного тяготения, действующая межу двумя точечными телами массами mi и т^ находящимися на расстоянии г
|А = 7™,(1.5)
Г
у = 6,67 • 10"иН • м2/кг2.
Сила трения скольжения (или максимальная сила трения покоя)_
\Ртр\ = ц\И(1.6)
Закон Гука:Закон Гука:|^упр| — &|Д/|,|^упр| — &|Д/|,(1-7)(1-7)/1 — коэффициент трения, N — сила нормального давления тела (по модулю равна силе нормальной реакции опоры в соответствии с III законом Ньютона).
Закон Гука:
Закон Гука:
|^упр| — &|Д/|,
|^упр| — &|Д/|,
(1-7)
(1-7)
к — коэффициент жесткости (или просто жесткость), |Д/| = — R2 — h| — величина перемещения конца деформированного тела (пружины, троса, стержня), которая равна его удлинению: li — исходная длина тела, /2 — конечная. Часто величину удлинения называют деформацией тела.
Методика решения задач
Решение задач на использование законов Ньютона складывается в основном из следующих этапов.
Нужно кратко записать условие задачи, отобразив все его детали и скрытые данные.
Выбрать систему единиц (как правило — СИ) для решения задачи и перевести все численные данные в эту систему единиц.
Сделать рисунок, поясняющий условие задачи, обозначить векторы скоростей и ускорений; нарисовать векторы всех сил, действующих на тело или систему взаимодействующих тел в рассматриваемый момент времени.
При поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые траектории и поэтому реальное тело можно считать материальной точкой. Все силы, действующие на тело, рисуют приложенными к выбранной точке (часто это центр симметрии или центр тяжести тела).
На любое тело действуют силы со стороны тел, его окружающих: со стороны Земли действует сила тяжести тд (или она же выражается в соответствии с законом всемирного тяготения (1.5)), со стороны опоры всегда действует сила нормальной реакции опоры и сила трения, со стороны подвеса — сила натяжения (если подвес изменил свою длину, то величина силы натяжения может быть определена по закону Гука (1.7)).
В случае, если имеется система связанных тел, то со стороны связи действуют силы натяжения на каждое из тел. Таким образом, надо помнить, что к рассматриваемому телу приложено столько сил, сколько имеется других взаимодействующих с ним тел.
Выяснить, каков характер движения тела, и записать в векторной форме соответствующий закон Ньютона:
I закон Ньютона: ^2 F; = ^ равномерное прямолинейное г=1
движение или покой, и = const или и = 0.
II закон Ньютона: ^2 F^ = та — движение тела с ускорением. г=1
Надо отметить, что в объеме школьного курса рассматривается равнопеременное движение (а = const), то есть когда векторная сумма всех действующих на тело сил остается неизменной. Если равнодействующая сила меняется, то меняется и ускорение тела.
Если тело движется равномерно по окружности или по дуге окружности, то также используется II закон Ньютона, где ускорение — центростремительное.
Перейти от векторной формы записи уравнения динамики к скалярной. Для этого надо выбрать систему координат, которую чаще всего связывают с Землей, поместив начало координат для удобства проектирования сил в место, где в данный момент находится материальная точка или центр тяжести тела. Направления осей выбирают так, чтобы уравнения в проекциях были максимально простыми. В случае покоящегося относительно Земли тела одну из осей направляют вдоль поверхности соприкосновения его с другим телом, другую ось — перпендикулярно ей. При равномерном движении тела одну из осей направляют вдоль траектории движения (вдоль скорости), а другую — перпендикулярно ей. При движении тела с ускорением по прямолинейной или круговой траектории одна ось направляется вдоль вектора ускорения, другая ось — опять же перпендикулярно ей.
Записать уравнение динамики в проекциях на оси Ох и Оу. Вместо одного уравнения в векторной форме получаются два уравнения в скалярной форме (в некоторых случаях для решения достаточно одной координатной оси):
пп
^ Fix ~ таж ^ ^ F%y — ТШ1у.
i=li=l
При этом надо помнить, что если вектор перпендикулярен оси координат, то его проекция на эту ось равна нулю; если вектор совпадает по направлению с осью, то его проекция равна модулю вектора; если вектор направлен противоположно оси, то его проекция на ось отрицательна по знаку, а величина равна модулю вектора; если вектор направлен под некоторым углом к оси координат, то с помощью тригонометрических функций этого угла надо выразить значение проекции вектора через этот модуль.
В случае, если в задаче рассматривается движение системы связанных тел, то пункты 3-6 надо выполнить для каждого из тел системы. Чаще всего в задачах такого типа делаются следующие допущения:
нить невесома — это значит, что ее массой пренебрегают при составлении уравнений;
нить нерастяжима — следовательно, связанные тела имеют одинаковые ускорения.
Если число неизвестных окажется больше числа записанных уравнений в проекциях, то недостающие уравнения берут из кинематики.
Решить систему уравнений в общем виде, получить формулы для искомых величин.
Проверить размерность.
Подставить численные значения в формулы для искомых величин и произвести расчет.
Сформулировать и обосновать ответ.
В задачах, связанных с нахождением веса тела, необходимо помнить, что вес тела Р в соответствии с III законом Ньютона по модулю равен силе нормальной реакции горизонтальной опоры или силе натяжения вертикального подвеса (\Р\ = |7V| или \Р\ = |FH|), но направлен в противоположную сторону и приложен не к телу, а к опоре или подвесу (Р = —N или Р = — FH) (см. ответы на вопросы 1.24, 1.25 и рис. П.8, И.9). Поэтому при
нахождении веса тела надо составить векторное уравнение, соответствующее состоянию тела (по I или II закону Ньютона). Найти из уравнений JV или FH и вспомнить про III закон Ньютона.
Если в задаче стоит вопрос, с какой силой тело давит на опору или растягивает подвес, — это тоже соответствует нахождению веса тела.
Если тело находится в системе, движущейся с ускорением, то оно может испытывать перегрузки. Перегрузка — это состояние, когда вес тела в данной системе больше веса тела на Земле. Если вес тела в системе Р = т(д + а), а на Земле Рз = тд^ то перегрузка п = р/рз = (fl + a)/g
(см. ответ на вопрос 1.27).
В ряде задач требуется найти условия, при которых тело будет находиться в невесомости. Невесомость — это состояние, при котором тело не взаимодействует с опорой и, следовательно, величина силы реакции опоры равна нулю. При этом в уравнении закона Ньютона положить /V = О или FH = 0 и решить задачу относительно интересующего параметра (см. ответ на вопрос 1.28).
Задачи на использование закона всемирного тяготения бывают двух типов.
В задачах, связанных с вычислением ускорения свободного падения на некоторой высоте К от поверхности планеты массой М и радиусом R^ используется то, что сила тяготения является силой тяжести:
тМm9h=W
дь = ^М1^КА-Н^.(а)
Для вычисления ускорения д на поверхности планеты в этой формуле полагаем h = 0, то есть
g^M/R2. (б)
Эти же соотношения используются и в обратных задачах (то есть нахождение высоты по известному значению ускорения свободного падения).
В задачах, связанных с вычислением линейной скорости вращающихся космических тел и с определением параметров их вращательного движения (периода вращения Т, частоты v^ круговой частоты и, линейной скорости вращения ^У исполь-
зуется то, что сила тяготения в этом случае играет роль цент
ростремительной силы:ростремительной силы:„ тМ„ тМ
ростремительной силы:
ростремительной силы:
„ тМ
„ тМ
(в)(в)ОтсюдаОтсюдатМта^ = 4——.
(в)
(в)
Отсюда
Отсюда
ац = уМ/г2,
йц — центростремительное ускорение, г — радиус орбиты. Параметры, характеризующие вращательное движение, вводятся в последнюю формулу из кинематики.
В ряде задач на вращение спутников около Земли дается ее радиус, но не дается масса Земли. В таких случаях удобно для расчетов из соотношения (б) выразить произведение:
^М = дНз1 (г)
д — ускорение свободного падения на поверхности Земли (д « « 9,8 м/с2, Нз — радиус Земли).
Примеры решения задач
Тело массой 2 кг лежит на горизонтальной поверхности. Какую по величине горизонтальную силу надо приложить к телу, чтобы оно стало равномерно двигаться? Коэффициент трения равен 0,01.
т = 2 кг и = const /1 = 0,01F —?тяжести телат = 2 кг и = const /1 = 0,01F —?тяжести телаНа тело действуют силы: сила тяжести тд^ сила нормальной реакции опоры N внешняя сила F, сила трения FTp (рис. П.19).
т = 2 кг и = const /1 = 0,01
F —?
тяжести тела
т = 2 кг и = const /1 = 0,01
F —?
тяжести тела
В этой и последующих задачах (если нет специальных оговорок) систему координат свяжем с Землей, а начало координат с положением центра в начальный момент времени. То есть с течением
времени движущееся тело меняет свое положение относительно системы координат. Ось Ох направим вдоль вектора скорости, ось Од — вертикально вверх.
Так как скорость постоянна, то I закон Ньютона для данной задачи имеет вид _ _ _
Рис. П.19Рис. П.19mg + N + F + FTp = 0.
Рис. П.19
Рис. П.19
Запишем это векторное уравнение в проекциях на оси Ох и Од:
на ось Ох; 0 + 0 + F — FTp = О,
илиилина ось Од; —тд + /V + 0 + 0 = 0.
или
или
(а)(б)(а)(б)F FTp — О,N — тд = 0.
(а)
(б)
(а)
(б)
Из уравнения (а) следует, что F = FTp. Так как FTp = yN, то F = gN. Найдем N из уравнения (б): N = тд. Следовательно
F = gmg- [F] = кг-(м/с2) = Н; F = 0,196 Н.
Магнитный брусок массой 400 г прилип к вертикальной железной стенке. Коэффициент трения бруска при перемещении по этой стенке — 0,098. Найдите величину силы магнитного притяжения.
т = 0,4 кг /1 = 0,098 FM-?т = 0,4 кг /1 = 0,098 FM-?На брусок действуют силы: сила магнитного притяжения FM, сила тяжести тд^ сила трения FTp, сила нормальной реакции опоры N (рис. П.20). Так как брусок покоится, то запишем
т = 0,4 кг /1 = 0,098 FM-?
т = 0,4 кг /1 = 0,098 FM-?
I закон Ньютона:
тд + FM + FTp + N = 0.
В проекциях на оси выбранной системы координат это уравнение запишем следующим образом:
на ось Ox; FM — N = 0,
на ось Од; FTp — тд = 0.
Добавим к этим двум уравнениям, которые содержат неизвестные FM, N FTp, выражение для силы трения:
FTp = yN.
Решив систему уравнений, получим
FM = mg!p,-1 [FM] = кг-м/с2 = Н;
FM = 40H.
Трамвайный вагон движется по горизонтальному пути со скоростью 6 м/с. Каков должен быть коэффициент трения, чтобы остановить вагон на расстоянии 10 м?
l’o = 6 м сг = 0s = 10 мl’o = 6 м сг = 0s = 10 мНа вагон действуют силы: сила тяжести тд^ сила нормальной реакции опоры N сила трения FTp (рис. 11.21).
l’o = 6 м с
г = 0
s = 10 м
l’o = 6 м с
г = 0
s = 10 м
Ось Ох направим вдоль вектора ускорения, ось Од — вертикально вверх.
Так как вагон перед остановкой движется равнозамедленно, то применим II закон Ньютона. Для данной задачи в векторной
форме он имеет вид
mg + N + FTp = та.
Запишем это уравнение в проекциях:
на ось Ox: FTp = та^
на ось Од: N — тд = 0.
рис jj 2|Добавим к имеющимся уравнения
формулу для силы трения, FTp = = gN. и формулу из кинематики, связывающую данные задачи и ускорение:
х2 — Cq = ±2аз.
С учетом условий задачи получим
—х^ = — 2as, или ^Q=2as.
Теперь имеем систему четырех уравнений:
' ^тр = нш.N = тд.
FTp = м^,. Xq = 2as.
При решении этой системы масса сократится, и получится формула для коэффициента трения:
2
Д = v2/VlgsY [д] = М = 1;
с • м/с ) • м
Получили, что д — безразмерная величина, как и должно быть: /1 = 0,18.
С какой силой надо тянуть сани массой 50 кг за веревку, которая расположена под углом 60° к горизонту, если коэффициент трения полозьев о снег 0,1? Движение равномерное.
т = 50 кг а = 60° /1 = 0,1т = 50 кг а = 60° /1 = 0,1На сани действует сила тяжести тд. сила реакции опоры N, внешняя сила F, сила трения FTp (рис. П.22).
т = 50 кг а = 60° /1 = 0,1
т = 50 кг а = 60° /1 = 0,1
Ось Ох направим вдоль вектора скорости, ось Оу — вертикально вверх.
Так как скорость постоянна, то используем I закон Ньютона. В векторной форме для данной задачи запишем его следующим образом:mg + N + F + FTV = 0.
Это уравнение запишем в проекциях:
на ось Ох; 0 + 0 +Fж — FTp = 0,
на ось Оу; —mg + N + Fy + 0 = 0,
Fж и Fy — проекция силы F на соответствующие оси. Из рис. И.22 видно, что Fж = F cosa и Fy = F sin а; кроме того, FTp = p,N. Тогда. .
( Feos а — yN = 0,(а)
\ F sm а — mg + N = 0.(б)
Решив полученную систему уравнений, найдем силу F;
F = —J^L[F] == Н; F = 83,5 Н.у sin а + cos асF = —J^L[F] == Н; F = 83,5 Н.у sin а + cos асРис. И.22Рис. И.23Рис. И.22Рис. И.23
F = —J^L[F] == Н; F = 83,5 Н.
у sin а + cos ас
F = —J^L[F] == Н; F = 83,5 Н.
у sin а + cos ас
Рис. И.22Рис. И.23
Рис. И.22Рис. И.23
т = 1 т = 103 кгF = 7kH = 7103 Н а = 30°;М^ОД а — ?т = 1 т = 103 кгF = 7kH = 7103 Н а = 30°;М^ОД а — ?
т = 1 т = 103 кг
F = 7kH = 7103 Н а = 30°;
М^ОД а — ?
т = 1 т = 103 кг
F = 7kH = 7103 Н а = 30°;
М^ОД а — ?
Автомобиль массой 1 т поднимается по шоссе с уклоном 30° под действием силы тяги 7 кН. Коэффициент трения между шинами автомобиля и поверхностью шоссе равен 0,1. Найдите ускорение автомобиля.
На автомобиль действует сила тяжести тд^ сила реакции опоры N сила тяги F, сила трения FTp (рис. И.23).
Ось Ох направим вдоль вектора ускорения, то есть вдоль наклонной плоскости, ось Оу — перпендикулярно ей.
Запишем II закон Ньютона в векторной форме:
mg + N + F + FTp = та.
Запишем это уравнение в проекциях на оси Ох и Од:
на ось Ох: — (тд)ж +0 + F — FTp = та.
на ось Од: — (тд)у + N + 0 + 0 = 0,
(ш^)ж и (тэ)у — проекции силы тяжести на оси Ох и Од.
Надо помнить, что составляющая силы тяжести на нормаль к поверхности (тд)у равна силе нормального давления тела на поверхность. Сила реакции опоры N ^ которая действует на тело, равна по величине в соответствии с III законом Ньютона силе нормального давления и противоположно ей направлена.
Из рис. 11.23 видно, что (тд)ж = mgsina и (тд)у = mgcosa. Кроме того, FTp = gN.
С учетом этого система уравнений (а) будет иметь вид
Г F — mgsma — gN = та.
N — mg cos а = 0.
Решая эту систему уравнений, найдем ускорение автомобиля: F — m^sino + /zcoso) а =;
т
г 1 Н — КГ -м/с2 КГ-М/ 2
а ='— = = м/с ; а = 1,2 м/с2,
кгС • кг
Тяжелый шарик, подвешенный на длинной нити, прикреплен к потолку вагона, движущегося с ускорением 0,98 м/с2 относительно Земли. Найдите угол наклона нити к вертикали.
а = 0,98 м/с2 а — ?а = 0,98 м/с2 а — ?I способ
а = 0,98 м/с2 а — ?
а = 0,98 м/с2 а — ?
Решим задачу в инерциальной системе отсчета хОд, связанной с Землей, относительно
которой точка подвеса и сам шарик движутся с ускорением. На шарик действуют две силы: сила тяжести тд и сила натяжения нити FH (рис. 11.24). Равнодействующая этих сил должна быть
направлена вдоль ускорения.
Запишем II закон Ньютона для данной задачи:
FH + тд = та.
Ось Ох направим вдоль ускорения а^ ось Од — вертикально вверх.
Запишем это уравнение в проекциях на оси системы коор
динат:пгь От- F
Hcl ОСЬ Vv . Р нж —
(а)
на ось Оу; FHy — mg = 0.
Из рис. 11.24 видно, что Fнж = FHsma^ FHy = FHcosa.
Система уравнений (а) с учетом этого запишется следующим образом:, ,7 .
J гп sum = пш.
[ FHcosci = тд.
Поделив первое уравнение системы на второе, получим tgci = a/^ = 0,l; n = arctgO,! « 6°.
II способ
Решим задачу в системе отсчета, связанной с вагоном х’О’у’ (рис. 11.25). Эта система уже не является инерциальной, так как она движется относительно Земли с ускорением.
I и II законы Ньютона выполняются в инерциальных системах отсчета. В школьном курсе физики рассматриваются только
10 С. В. Трубецкова
силы взаимодействия тел, то есть всегда можно указать, со стороны каких тел оказывается воздействие на рассматриваемое материальное тело.
При подобном разборе вопросов о перегрузке и невесомости мы говорили, что вес тела может быть больше или меньше силы тяжести (см. ответы к вопросам 1.27 и 1.28). Тело, находящееся в движущемся с ускорением лифте, относительно лифта покоится (то есть силы, действующие на него, должны быть равны). Но сила тяжести, действующая на тело, не равна силе реакции опоры, приложенной к тому же телу (если ускорение направлено вверх, то N > тд\ если же ускорение направлено вниз, то N < < mg — см. рис. П.11 и И.12). Это значит, что в неинерциальной системе в первом случае к силе тяжести надо прибавить какую- то силу, а во втором — вычесть. Такой силой является сила инерции. Мы ранее разбирали вопрос о том, что тело препятствует изменению скорости (инертность тела), и эта способность зависит от свойства тела, называемого массой.
Сила инерции FHH = —ma, m — масса тела, а — ускорение системы, относительно которой рассматривается движение тела; направлена сила инерции противоположно ускорению системы.
В соответствии с вышеизложенным для нашей задачи надо считать, что к шарику приложена, кроме силы тяжести и силы натяжения, еще сила инерции: FHH = -ma, которая стремится сохранить неизменным положение шарика относительно системы у'О'х', связанной с вагоном (рис. И.25).
Шарик относительно вагона покоится, поэтому векторная сумма всех сил, в том числе и силы инерции FHH, должна быть равна нулю:
Fh + Fhh +W = 0.
В проекциях на оси системы координат х'О'у' это уравнение запишется следующим образом:
на осьна осьПолучаем бом:на осьна осьПолучаем бом:Ох; Fнж —FHH = 0,(F^sma^ma,
на ось
на ось
Получаем бом:
на ось
на ось
Получаем бом:
или <
Оу; F^-my^O*,\^исо$а = mg.
тот же результат, что и при решении первым спосо- tgQ = - = 0,1; а = arctgO,l ~ 6°.
9
Брусок массой 2 кг скользит по горизонтальной поверхности под действием груза массой 5 кг, прикрепленного к концу
нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный блок. Коэффициент трения бруска о поверхность 0,1. Найдите ускорение движения тела и силу натяжения нити. Массами блока и нити, а также трением в блоке пренебречь.
mi = 2 кг Ш2 = 5 кг/1 = 0,1а-?F-?mi = 2 кг Ш2 = 5 кг/1 = 0,1а-?F-?Имеем систему двух связанных тел. Запишем уравнения движения для каждого тела отдельно.
mi = 2 кг Ш2 = 5 кг
/1 = 0,1
а-?
F-?
mi = 2 кг Ш2 = 5 кг
/1 = 0,1
а-?
F-?
На брусок действуют сила тяжести т^д^ сила нормальной реакции опоры N FHi — сила натяжения нити, FTp — сила трения (рис. П.26). Так как система движется с ускорением относи
тельно Земли, то можно записать II закон Ньютона для бруска:mg + ^ + FHi + FTp = туау.
Систему координат свяжем с Землей, ось Ох направим вдоль вектора ускорения Si, ось Од — вертикально вниз.
Запишем для бруска систему уравнений в проекциях на оси:
на ось Ox; FHi — FTp = mi^i, на ось Од; т^д — N = 0,
где FTp = gN-
FHi- gN = miau
N — m^g = 0,
или
FHi- gmig
На груз действуют сила тяжести т^д^ сила упругого натяжения нити FH2. Векторное уравнение для груза имеет вид
m2g + FH2 = т^.
В проекциях на ось Од это уравнение запишем следующим образом (на ось Ох проекции векторов д. F^ и а^ равны нулю): m^g-F^ = т^а.(б)
Так как по условию задачи нить является нерастяжимой, то |«i| = |S2| = а.
Также по условию задачи пренебрегаем массами блока и нити, следовательно,
|Fh1| = |Fh2| = Fh.
систему:систему:В последующих задачах можно учитывать сразу, что ускорения одинаковы для обоих грузов и одинаковы силы натяжения каждой нити. Учитывая это, объединим уравнения (а) и (б) в
систему:
систему:
FH-p,m1g = mia,т^д- FH = т^а.
Сложив почленно уравнения системы, можно найти а:
(m2- gmFg = (mi+m2)a, а = -—;
mi+m2
г I КГ • М,2q / 2
= 2 — м/с 5 а — м/с •
кг • с
Найдем величину FH из уравнения (б):
FH = т^д - а^ [FH] = ^ = Н; FH = 4,3 Н.
Два груза массами 3 и 6,8 кг висят на концах нити, перекинутой через блок. Первый груз находится на 2 м ниже второго. Грузы пришли в движение без начальной скорости. Через какое время они окажутся на одной высоте?
mi = 3 кг Ш2 = 6,8 кг / = 2 м ^о = 0t-?= |Fh2| = FH, екциях на осьmi = 3 кг Ш2 = 6,8 кг / = 2 м ^о = 0t-?= |Fh2| = FH, екциях на осьНа каждый из грузов действует кроме силы тяжести сила натяжения нити (рис. П.27).
mi = 3 кг Ш2 = 6,8 кг / = 2 м ^о = 0
t-?
= |Fh2| = FH, екциях на ось
mi = 3 кг Ш2 = 6,8 кг / = 2 м ^о = 0
t-?
= |Fh2| = FH, екциях на ось
Запишем уравнения по II закону Ньютона для обоих грузов:
FH1 + mig = miab Рн2 + т2д = m^.
Учитывая, что |ai| = |«2| = & и |FHi| = можно записать эти векторные уравнения в проОт/:
Рис. П.27
жима.mi = 0,1 кг m2 = 0,3 кгFH-?жима.mi = 0,1 кг m2 = 0,3 кгFH-?Рис. И.28Рис. И.28Решая с учетом последнего соотношения систему уравнений,Решая с учетом последнего соотношения систему уравнений,получаемполучаемFH = 3mim2^/(4mi + m2);FH = 3mim2^/(4mi + m2);
жима.
mi = 0,1 кг m2 = 0,3 кг
FH-?
жима.
mi = 0,1 кг m2 = 0,3 кг
FH-?
Рис. И.28
Рис. И.28
Решая с учетом последнего соотношения систему уравнений,
Решая с учетом последнего соотношения систему уравнений,
получаем
получаем
FH = 3mim2^/(4mi + m2);
FH = 3mim2^/(4mi + m2);
FH — mig = niya.
F^-m^g = -m^a.
Решая эту систему, можно получить формулу для ускорения: а = д^т^ — mi)/(mi + m2);[а] = м/с2; а = 3,8 м/с2.
Из рис. 11.27 видно, что до момента, когда грузы окажутся на одной высоте, каждый из них пройдет путь з = //2 = 1 м. Учитывая, что г>о = 0, найдем искомое время:
s = at2/2; t = ^2s / a, t = 0,7 с.
Найдите силу натяжения нити в устройстве, изображенном на рис. П.28, если массы тел 100 и 300 г. Найдите ускорения каждого груза. Пусть блоки и нити невесомы, а нить нерастя
Данная система представляет собой совокупность неподвижного А и подвижного В блоков. Так как m2 > mi, блок В равноускоренно опускается вместе с грузом. Запишем уравнения по II закону Ньютона для первого
и второго тел:
FH + mig = тгаь
2Fn + m2g = т^а^.
В проекциях на ось Од эти уравнения запишутся следующим образом:
( F^ — m^g = т\а\.
12FH - m^g = -m^a^.
Ускорения ai и a^ неподвижного и подвижного блоков разные, так, если первое тело поднимается на высоту h-^ то второе тело опускается за то же время на расстояние h^*. h^ = h\/2. Так как пройденные пути пропорциональны ускорениям (s = at2/2), то h\/h2 = = «1/^2 — 2, то есть «1 = 2^2-
FH = 1,26 Н;FH = 1,26 Н;[FH] = кг • кг • м/(с2 • кг) = Н;
FH = 1,26 Н;
FH = 1,26 Н;
Ы = м/с2;Ы = м/с2;ах = 5,6 м/с2;а^ = 2,8 м/с2.ах = 5,6 м/с2;а^ = 2,8 м/с2.т = 70 кгт = 70 кгГц-?П-?Гц-?П-?На человека действуют сила тяжести тд и сила нормальной реакции опоры N (рис. 11.29). Ускорение направлено вверх. Запишем для человека уравнение II закона Ньютона в вектор-На человека действуют сила тяжести тд и сила нормальной реакции опоры N (рис. 11.29). Ускорение направлено вверх. Запишем для человека уравнение II закона Ньютона в вектор-ной форме:ной форме:тд + N = та.тд + N = та.
Ы = м/с2;
Ы = м/с2;
ах = 5,6 м/с2;
а^ = 2,8 м/с2.
ах = 5,6 м/с2;
а^ = 2,8 м/с2.
т = 70 кг
т = 70 кг
Гц-?
П-?
Гц-?
П-?
На человека действуют сила тяжести тд и сила нормальной реакции опоры N (рис. 11.29). Ускорение направлено вверх. Запишем для человека уравнение II закона Ньютона в вектор-
На человека действуют сила тяжести тд и сила нормальной реакции опоры N (рис. 11.29). Ускорение направлено вверх. Запишем для человека уравнение II закона Ньютона в вектор-
ной форме:
ной форме:
тд + N = та.
тд + N = та.
ах = 2(m2 — 2mi) ^/(4mi + ш2);
а2 = (m2 -2mi)^/(4mi + ш2);
Человек массой 70 кг поднимается в лифте, движущемся вертикально вверх с ускорением 1 м/с2. Определите силу давления человека на пол кабины. Какую перегрузку испытывает человек?
Ось д свяжем с Землей, направим вертикально вверх (для данного случая достаточно одномерной системы координат).
В проекциях это уравнение запишет-
УУся так:ся так:N — тд = та^N — тд = та^г) аг) аNNтдтдоткудаN = тд + та = т(д + а).Но в задаче требуется найти силу давления человека на пол. Эта сила равна по величине, противоположна по направлению силе нормальной реакции опоры N и приложена к опоре (по III закону Нью-откудаN = тд + та = т(д + а).Но в задаче требуется найти силу давления человека на пол. Эта сила равна по величине, противоположна по направлению силе нормальной реакции опоры N и приложена к опоре (по III закону Нью-тона):тона):Е^Л =Е^Л =Рис. П.29Рис. П.29РД = N = т(д + а);^ = Н; Ед = 770 Н.РД = N = т(д + а);^ = Н; Ед = 770 Н.Если бы в задаче требовалось найтиЕсли бы в задаче требовалось найтивес человека в лифте, то она решалась бы точно так же, поскольку вес тела — это сила, с которой оно действует на горизонтальную опору или вертикальный подвес в результате притяжения к Земле. То есть вес человека в данном случае Р = F^ = 770 Н. Сравнивая с величиной силы тяжести (тд = 700 Н), видим, что при данном движении вес больше силы тяжести, то есть человек испытывает перегрузку:вес человека в лифте, то она решалась бы точно так же, поскольку вес тела — это сила, с которой оно действует на горизонтальную опору или вертикальный подвес в результате притяжения к Земле. То есть вес человека в данном случае Р = F^ = 770 Н. Сравнивая с величиной силы тяжести (тд = 700 Н), видим, что при данном движении вес больше силы тяжести, то есть человек испытывает перегрузку:тдтд— = 1,19— = 1,19
У
У
ся так:
ся так:
N — тд = та^
N — тд = та^
г) а
г) а
N
N
тд
тд
откуда
N = тд + та = т(д + а).
Но в задаче требуется найти силу давления человека на пол. Эта сила равна по величине, противоположна по направлению силе нормальной реакции опоры N и приложена к опоре (по III закону Нью-
откуда
N = тд + та = т(д + а).
Но в задаче требуется найти силу давления человека на пол. Эта сила равна по величине, противоположна по направлению силе нормальной реакции опоры N и приложена к опоре (по III закону Нью-
тона):
тона):
Е^Л =
Е^Л =
Рис. П.29
Рис. П.29
РД = N = т(д + а);
^ = Н; Ед = 770 Н.
РД = N = т(д + а);
^ = Н; Ед = 770 Н.
Если бы в задаче требовалось найти
Если бы в задаче требовалось найти
вес человека в лифте, то она решалась бы точно так же, поскольку вес тела — это сила, с которой оно действует на горизонтальную опору или вертикальный подвес в результате притяжения к Земле. То есть вес человека в данном случае Р = F^ = 770 Н. Сравнивая с величиной силы тяжести (тд = 700 Н), видим, что при данном движении вес больше силы тяжести, то есть человек испытывает перегрузку:
вес человека в лифте, то она решалась бы точно так же, поскольку вес тела — это сила, с которой оно действует на горизонтальную опору или вертикальный подвес в результате притяжения к Земле. То есть вес человека в данном случае Р = F^ = 770 Н. Сравнивая с величиной силы тяжести (тд = 700 Н), видим, что при данном движении вес больше силы тяжести, то есть человек испытывает перегрузку:
тд
тд
— = 1,19
— = 1,19
Определите силу давления летчика на сиденье в верхней и нижней точках петли Нестерова, если масса летчика т, а
тR vF2-?«0-?тR vF2-?«0-?Рис. П.30Рис. П.30чине силе реакции опоры и противоположна ей по направлению:чине силе реакции опоры и противоположна ей по направлению:ОтсюдаОтсюдатд = та^ или д = ац.тд = та^ или д = ац.
т
R v
F2-?
«0-?
т
R v
F2-?
«0-?
Рис. П.30
Рис. П.30
чине силе реакции опоры и противоположна ей по направлению:
чине силе реакции опоры и противоположна ей по направлению:
Отсюда
Отсюда
тд = та^ или д = ац.
тд = та^ или д = ац.
радиус петли R. Скорость самолета считать постоянной и равной d. При какой скорости г>о летчик в верхней точке будет находиться в невесомости?
На летчика действуют сила тяжести тд и сила реакции опоры N (рис. 11.30). Траекторией движения является окружность; запишем II закон Ньютона (формула (1.3)):
mg + N = ma^ (а)
где 5ц — центростремительное ускорение. Ось Од направим вертикально вниз. Уравнение (а) в проек
циях на эту ось запишется следующим образом:
/Vi -\-тд = тащ.
Для нижней точки 2 уравнение (а) в проекциях имеет вид
-N2 + тд = -та^.
Выразим 7Vi и N2 учитывая, что |ащ| = |«ц2| = ^[R, Ny = m(w2/R—g);
N2 = m(y2 / R + g\
Сила давления летчика на сиденье по III закону Ньютона равна по вели-
Fi = \Ni\ = m(^--g\ F2 = \N2\ = т^ + д).
Так как в состоянии невесомости /V = 0. то из уравнения динамики для верхней точки 1 получим:
д = — и v0 = VgR.it
Небольшой тяжелый шарик подвешен на нерастяжимой и невесомой нити, длина которой 50 см. Шарик движется равномерно по окружности в горизонтальной плоскости, при этом нить отклоняется от вертикали на угол 30°. Найдите время одного оборота шарика.
Z = 0,5 м о = 30°Z = 0,5 м о = 30°т — ?т — ?На шарик действуют сила тяжести тд и сила натяжения нити FH (рис. 11.31). Движение по окружности соответствует II закону Ньютона:
Z = 0,5 м о = 30°
Z = 0,5 м о = 30°
т — ?
т — ?
FHFmg = ma. (а)
Систему координат, как иСистему координат, как иИз рисунка видно, чтоИз рисунка видно, чтов предыдущих задачах, свяжем с Землей, начало координат совместим с каким-либо мгновенным положением шарика (например, как на рис. 11.31).
Систему координат, как и
Систему координат, как и
Из рисунка видно, что
Из рисунка видно, что
Ось Ох направим вдоль центростремительного ускорения, т. е. вдоль радиуса к центру, ось Од — вертикально вверх. Запишем векторное уравнение (а) в проекциях: на ось Ох: ^ж+0 = т&ц,
(б) на ось Од: FHX — тд = 0.
FнЖ = FHsina, F^y = FHcosa.
Перепишем с учетом этого систему (б): FHsina = та^ F^msa = тд.
Поделим почленно первое уравнение на второе: tga = ац/д.
Выразим центростремительное ускорение через период и подставим в полученную формулу:
tga = 4ir2R/(T2g),
R — радиус окружности; из чертежа видно, что R = Isin а. Тогдаtg = 4тг2/ sin а/ (Т2^).
Т = 2тгТ = 2тг/sin а ^tgo/sin а ^tgoОтсюда
Т = 2тг
Т = 2тг
/sin а ^tgo
/sin а ^tgo
Конькобежец движется со скоростью 10 м/с по окружности радиусом 40 м. Под каким углом к горизонту он должен наклониться, чтобы сохранить равновесие?
f = 10 м/сНа конькобежца действуют силы: сила тя-R = 40 мжести тд^ сила нормальной реакции опоры N^сила мышечной тяги конькобежца, сила тре'ния скольжения и сила трения, препятствующаяскатыванию конькобежца с траектории, FTp (рис. 11.32). Еслиf = 10 м/сНа конькобежца действуют силы: сила тя-R = 40 мжести тд^ сила нормальной реакции опоры N^сила мышечной тяги конькобежца, сила тре'ния скольжения и сила трения, препятствующаяскатыванию конькобежца с траектории, FTp (рис. 11.32). Еслисила трения мала, то конькобежец падает и скатывается с траектории по направлению от центра; поэтому для движения по окружности сила трения, направленная к центру, должна иметь достаточное значение. Сила мышечной тяги и сила трения скольжения взаимно уравновешивают друг друга, так как движение конькобежца вдоль траектории равномерное. Поэтому в дальнейшем мы их рассматривать не будем. Угол наклона конькобежца к земле должен быть таким, чтобы равнодействующая FTp и N проходила через центр тяжести тела (точка О). При этом условии конькобежец не будет поворачиватьсясила трения мала, то конькобежец падает и скатывается с траектории по направлению от центра; поэтому для движения по окружности сила трения, направленная к центру, должна иметь достаточное значение. Сила мышечной тяги и сила трения скольжения взаимно уравновешивают друг друга, так как движение конькобежца вдоль траектории равномерное. Поэтому в дальнейшем мы их рассматривать не будем. Угол наклона конькобежца к земле должен быть таким, чтобы равнодействующая FTp и N проходила через центр тяжести тела (точка О). При этом условии конькобежец не будет поворачиватьсяотносительно точкиотносительно точкиопоры. То есть, если угол наклона больше,опоры. То есть, если угол наклона больше,чем нужно при данчем нужно при данной скорости, конькобежец упадет, если меньше, то уменьшится скорость, если выпрямится, то поедет прямолинейно. Из рис. П.32ной скорости, конькобежец упадет, если меньше, то уменьшится скорость, если выпрямится, то поедет прямолинейно. Из рис. П.32видно, чтовидно, чтоN^трN^тр(а)(а)Перенесем все силы, действующие на конькобежца, в центр его тяжести и запишем II закон Ньютона:Перенесем все силы, действующие на конькобежца, в центр его тяжести и запишем II закон Ньютона:N + FTp + тд = тацN + FTp + тд = тац(б)(б)
f = 10 м/сНа конькобежца действуют силы: сила тя-
R = 40 мжести тд^ сила нормальной реакции опоры N
^сила мышечной тяги конькобежца, сила тре
'ния скольжения и сила трения, препятствующая
скатыванию конькобежца с траектории, FTp (рис. 11.32). Если
f = 10 м/сНа конькобежца действуют силы: сила тя-
R = 40 мжести тд^ сила нормальной реакции опоры N
^сила мышечной тяги конькобежца, сила тре
'ния скольжения и сила трения, препятствующая
скатыванию конькобежца с траектории, FTp (рис. 11.32). Если
сила трения мала, то конькобежец падает и скатывается с траектории по направлению от центра; поэтому для движения по окружности сила трения, направленная к центру, должна иметь достаточное значение. Сила мышечной тяги и сила трения скольжения взаимно уравновешивают друг друга, так как движение конькобежца вдоль траектории равномерное. Поэтому в дальнейшем мы их рассматривать не будем. Угол наклона конькобежца к земле должен быть таким, чтобы равнодействующая FTp и N проходила через центр тяжести тела (точка О). При этом условии конькобежец не будет поворачиваться
сила трения мала, то конькобежец падает и скатывается с траектории по направлению от центра; поэтому для движения по окружности сила трения, направленная к центру, должна иметь достаточное значение. Сила мышечной тяги и сила трения скольжения взаимно уравновешивают друг друга, так как движение конькобежца вдоль траектории равномерное. Поэтому в дальнейшем мы их рассматривать не будем. Угол наклона конькобежца к земле должен быть таким, чтобы равнодействующая FTp и N проходила через центр тяжести тела (точка О). При этом условии конькобежец не будет поворачиваться
относительно точки
относительно точки
опоры. То есть, если угол наклона больше,
опоры. То есть, если угол наклона больше,
чем нужно при дан
чем нужно при дан
ной скорости, конькобежец упадет, если меньше, то уменьшится скорость, если выпрямится, то поедет прямолинейно. Из рис. П.32
ной скорости, конькобежец упадет, если меньше, то уменьшится скорость, если выпрямится, то поедет прямолинейно. Из рис. П.32
видно, что
видно, что
N^тр
N^тр
(а)
(а)
Перенесем все силы, действующие на конькобежца, в центр его тяжести и запишем II закон Ньютона:
Перенесем все силы, действующие на конькобежца, в центр его тяжести и запишем II закон Ньютона:
N + FTp + тд = тац
N + FTp + тд = тац
(б)
(б)
Начало системы координат поместим в центр тяжести О, ось Ох проведем вдоль вектора центростремительного ускорения, ось Од — вертикально вверх. Запишем векторное уравнение (б) в проекциях на оси:
(в)(в)на ось Ox; FTp = та^
(в)
(в)
на ось Од; N — тд = 0.
Из первого уравнения системы (в) видно, что сила трения является центростремительной силой (FTp = та^ = F^. Она направлена по радиусу к центру дуги и не дает конькобежцу соскользнуть в сторону, противоположную его наклону. Из вто-
рого уравнения системы получим: N = тд. Подставим все это в
уравнение (а): tgo = та^
—. Так как а Ац
[tga] =
м • м • с
2 2
CM
.2
- = i;
tga = 4;
а = arctg 4 « 76°.
14. На каком расстоянии от поверхности Земли ускорение свободного падения равно 1 м/с2? Радиус Земли 6400 км, ускорение свободного падения у поверхности Земли 9,8 м/с2.
9h = 1 м/с2
R3 = 6400 км = 6,4 • 106 м д = 9,8 м/с2
Сила тяжести есть сила, с которой тело притягивается к Земле вследствие действия закона всемирного тяготения:
h-ч
т — масса тела, М — масса Земли,
mgh = 4
тМ
(R3W
9h = 7^/№ + /i)2-(а)
В условии задачи не дана масса Земли. Ее можно найти следующим образом. Силу тяжести тела на поверхности Земли (h = 0) также можно записать, как силу тяготения (с. 139, 140): mg = ^тМ / R3.
Отсюда можно найти сразу произведение (^М);^М = дНз-
Тогда соотношение (а) запишется так:
дн = дНз/^з + Ь,)2.
Отсюда // 2
h = Кзи/д/дн-^ И = м-v ^2^ = м;
vV с м
h = 13600 км.
15. Средняя высота спутника над поверхностью Земли — 1700 км. Определите его скорость и период обращения. Радиус Земли — 6400 км.
h = 1700 км
R3 = 6400 км
v — ?
Т — ?
том формулы для
В соответствии с предложенной методикой (с. 140) запишем:
тМ
ц(Яз + Л)2
т — масса спутника, М — масса Земли, (R3 + h) — радиус орбиты спутника. С уче- центростремительного ускорения получим
г2Мо 7^4
гт = 7 гили г = —.
(1?з + Л) (^зТ^)7?з + ^
Так как масса Земли в условии не дана, воспользуемся тем же приемом, что и в предыдущей задаче для нахождения произведения (лМ¥.о
чМ = дН^,
д — ускорение свободного падения на поверхности Земли. Тогдаv2 = gR3/(R3 + h) и V = R3a/9 KR3 + h.y
[г>] = м-7 „М = м/с; v = 7,1 • 103 м/с. у м • м
Для нахождения периода воспользуемся связью между v и Т: f = 2л (/?з + h^/T] Т = 2тг(Нз + h)/t);
[Tj= мT~ 7 2-103 c.
м/с
Время обращения Юпитера вокруг Солнца в 12 раз больше времени обращения Земли. Каково расстояние от Юпитера до Солнца, если расстояние от Земли до Солнца 150 • 106 км? Орбиты считать круговыми.
Тю = Тс = 12 кг R3 = 150 ■ 106 км = = 1,5 • 1011 мДю-?Тю = Тс = 12 кг R3 = 150 ■ 106 км = = 1,5 • 1011 мДю-?Так как в условии дана связь между периодом Юпитера и Земли, то запишем для каждой из планет соотношение (в) (с. 140):
Тю = Тс = 12 кг R3 = 150 ■ 106 км = = 1,5 • 1011 м
Дю-?
Тю = Тс = 12 кг R3 = 150 ■ 106 км = = 1,5 • 1011 м
Дю-?
Мз^З _ М3МСМю^к)_ ^ю^с
о2 — 7^2’d2— 7
яз язяю
Произведем сокращения:
v2 =7МС/Дз,
«ю = 7МС/Дю-
Выразим скорость через период: и = 2tvR/T^ тогда 4^R23/T^ = ^MC/R3, 41^ю1Т^ = чМс^ю.
Поделим первое уравнение на второе:
Т2) д2 _ дю
Ч R^ R3 •
Отсюда (Дз/Дю)3 = (Т3/Тю)2;
Лю = Лз ^ (Тю/Тз)2;Лю = Лз ^ (Тю/Тз)2;[Лю] = м;[Лю] = м;Лю «7,86-Ю11 м.Лю «7,86-Ю11 м.17. Космическая ракета летит на Луну. В какой точке траектории, соединяющей центры Земли и Луны, ракета будет притягиваться Землей и Луной одинаково? Масса Луны — 7,3 • 1023 кг, масса Земли — 5,96 • 1024 кг, расстояние между центрами Земли и Луны — 3,84-105 км.17. Космическая ракета летит на Луну. В какой точке траектории, соединяющей центры Земли и Луны, ракета будет притягиваться Землей и Луной одинаково? Масса Луны — 7,3 • 1023 кг, масса Земли — 5,96 • 1024 кг, расстояние между центрами Земли и Луны — 3,84-105 км.F3 = FлМл = 7,3-1023 кг М3 = 5,96-1024 кг г = 3,84-105 кмж — ?(т — масса ракеты).F3 = FлМл = 7,3-1023 кг М3 = 5,96-1024 кг г = 3,84-105 кмж — ?(т — масса ракеты).Пусть х — расстояние от ракеты до центра Луны. Тогда расстояние от ракеты до центра Земли равно (г — ж) (рис. П.ЗЗ).Сила притяжения ракеты Землей F3 = ^тМз/ {г — ж)2, а ЛунойЛд = ^тМл/х2Пусть х — расстояние от ракеты до центра Луны. Тогда расстояние от ракеты до центра Земли равно (г — ж) (рис. П.ЗЗ).Сила притяжения ракеты Землей F3 = ^тМз/ {г — ж)2, а ЛунойЛд = ^тМл/х2Рис. П.ЗЗРис. П.ЗЗ
Лю = Лз ^ (Тю/Тз)2;
Лю = Лз ^ (Тю/Тз)2;
[Лю] = м;
[Лю] = м;
Лю «7,86-Ю11 м.
Лю «7,86-Ю11 м.
17. Космическая ракета летит на Луну. В какой точке траектории, соединяющей центры Земли и Луны, ракета будет притягиваться Землей и Луной одинаково? Масса Луны — 7,3 • 1023 кг, масса Земли — 5,96 • 1024 кг, расстояние между центрами Земли и Луны — 3,84-105 км.
17. Космическая ракета летит на Луну. В какой точке траектории, соединяющей центры Земли и Луны, ракета будет притягиваться Землей и Луной одинаково? Масса Луны — 7,3 • 1023 кг, масса Земли — 5,96 • 1024 кг, расстояние между центрами Земли и Луны — 3,84-105 км.
F3 = Fл
Мл = 7,3-1023 кг М3 = 5,96-1024 кг г = 3,84-105 км
ж — ?
(т — масса ракеты).
F3 = Fл
Мл = 7,3-1023 кг М3 = 5,96-1024 кг г = 3,84-105 км
ж — ?
(т — масса ракеты).
Пусть х — расстояние от ракеты до центра Луны. Тогда расстояние от ракеты до центра Земли равно (г — ж) (рис. П.ЗЗ).
Сила притяжения ракеты Землей F3 = ^тМз/ {г — ж)2, а Луной
Лд = ^тМл/х2
Пусть х — расстояние от ракеты до центра Луны. Тогда расстояние от ракеты до центра Земли равно (г — ж) (рис. П.ЗЗ).
Сила притяжения ракеты Землей F3 = ^тМз/ {г — ж)2, а Луной
Лд = ^тМл/х2
Рис. П.ЗЗ
Рис. П.ЗЗ
По условию задачи F3 = Fл. Поэтому
тМзтМд
^ 772
(г-ж)ж
Произведя сокращение, получим:
М3 _ Мл
(r — х)2 ж2
Найдем ж:
ж2Мд = (г —ж)2Л4л;ж2Мд = (г —ж)2Л4л;л/ж^Му = У (г - ж)2 Мл;л/ж^Му = У (г - ж)2 Мл;
ж2Мд = (г —ж)2Л4л;
ж2Мд = (г —ж)2Л4л;
л/ж^Му = У (г - ж)2 Мл;
л/ж^Му = У (г - ж)2 Мл;
х =х =и =и =
х =
х =
и =
и =
ж VМ3 = (r — x) VМд;х (VМ3 + VМд) = г VМл;
М Vi<r
= м;
Укг
ж« 0,99-108 миЮ5 км.
Какова первая космическая скорость для планеты с такой же плотностью, как у Земли, но вдвое меньшим радиусом? Радиус Земли — 6400 км, ускорение силы тяжести у поверхности Земли взять равным 9,8 м/с2.
Ри = рзRn — ^?з/2 /?з = 6400 км д = 9,8 м/с2 ^1п — ?Ри = рзRn — ^?з/2 /?з = 6400 км д = 9,8 м/с2 ^1п — ?Первой космической скоростью называется скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно превратилось в спутник Земли или другой планеты и двигалось по окружности, центр которой совпадает с центром планеты. Радиус орбиты примерно предполагается равным радиусу планеты (то есть h <^ Rn).
Ри = рз
Rn — ^?з/2 /?з = 6400 км д = 9,8 м/с2 ^1п — ?
Ри = рз
Rn — ^?з/2 /?з = 6400 км д = 9,8 м/с2 ^1п — ?
Центростремительной силой в этом случае является сила тяго
тения:2_
„тль тм/ , , ,
тац = Етяг; ==
к, кv
где т — масса тела, М — масса планеты.
Как показано в задачах 12, 13, произведение ^М^ = gR2- С учетом этого получим выражение для I-й космической ско
рости:рости:
рости:
рости:
Запишем полученное выражение для указанной планеты и
Земли:
^1п = УЯтЛ; ^13 = у 93^3-
Поделим щп на щз и произведем преобразования:
^1п 9и Rrу13 у 93 ^3
В соответствии с предложенной выше методикой (с. 140) запишем формулы для ускорения свободного падения на поверхности планеты и Земли:
дп = ^Мп) R^ дз = ^М3/Нз.
С учетом этого получим
fi М R3
?ЙЗ У Мз R
Выразим массу планеты и Земли через плотность и радиус:
Мп = Рп|тг7?3; М3 = рз^тгН!.
Произведя преобразования и учтя условия задачи, получим: - = -^- = 0,5.
«13
Отсюда первая космическая скорость планеты
«in = 0,5vI3 = 0,5^53^3;
[«in] = Vm2/c2 = м/с> win ~ 4000 м/с.
Содержание теоретического материала
Импульс силы и импульс тела. Закон сохранения импульса. Механическая работа. Мощность. Кинетическая энергия. Потенциальная энергия тела, поднятого над землей. Потенциальная энергия деформированного тела. Закон сохранения механической энергии.
Контрольные вопросы
Какие тела представляют собой систему?
Какие силы называются внутренними, какие внешними?
Какая система тел называется замкнутой?
Что такое «импульс силы»?
Что такое «импульс тела» или «количество движения»?
Получите из II закона Ньютона связь между импульсом силы и импульсом тела.
Какое взаимодействие тел называется ударом?
Какой удар называется абсолютно неупругим, какой абсолютно упругим?
Получите закон сохранения импульса.
В чем заключается принцип реактивного движения? Как он следует из закона сохранения импульса?
Усилий нескольких человек достаточно, чтобы сдвинуть с места автобус (увеличить его импульс). Почему этот же автобус не сдвигается с места от попадания снаряда, пробивающего его навылет, то есть действующего с силой, значительно большей, чем сила, прилагаемая людьми?
Как может человек, стоящий на идеально гладкой ледяной горизонтальной площадке, сдвинуться с места, не упираясь острыми предметами в лед?
Что произойдет, если надутый резиновый шар, не завязывая отверстие, выпустить из рук?
Герой книги Э. Распе барон Мюнхгаузен рассказывает: «Схватив себя за косичку, я изо всех сил дернул вверх и без большого труда вытащил из болота себя и своего коня, которого крепко сжал обеими ногами, как щипцами». Можно ли таким образом поднять себя?
Что называется механической работой? Какая формула выражает смысл этого понятия? Какова единица работы в СИ?
Какова работа силы тяжести при одном полном колебании маятника?
Тело свободно падает с некоторой высоты. Одинаковую ли работу совершает сила тяжести за равные промежутки времени?
Представим себе, что к центру Земли прорыли шахту. Какую работу надо совершить, чтобы вытащить тело массой 1 кг из центра Земли на поверхность? Радиус Земли — 6400 км. Чему равна работа силы тяжести?
Что такое мощность? Единицы ее измерения.
Как связана мощность механизма с величиной развиваемой силы тяги?
Что характеризует коэффициент полезного действия?
Единицу какой физической величины выражают в киловатт-часах?
Если на тело действует нескомпенсированная сила, то оно движется с ускорением, то есть изменяет свою скорость. Как связана работа внешней силы с изменением скорости?
Чему равна работа силы тяжести при движении тела в результате ее действия (движении по вертикали)?
Чему равна работа силы тяжести, если тело движется не по вертикали, а, например, вдоль наклонной плоскости или по более сложной траектории?
Чему равна работа силы тяжести при движении тела по замкнутой траектории?
Чему равна работа силы упругости при ее действии на деформированную пружину или другое упругое тело?
Что называют энергией?
Какие виды энергии входят в понятие механической энергии?
В чем заключается закон сохранения механической энергии? При каком условии он выполняется?
Что происходит с механической работой тела при действии на него внешних сил?
Выполняется ли закон сохранения энергии в случаях абсолютно упругого и абсолютно неупругого удара?
Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью fg. Начертите на одной координатной плоскости графики зависимости от времени кинетической, потенциальной и полной механической энергии (силами сопротивления воздуха пренебречь).
Два автомобиля с одинаковыми массами движутся со скоростями f и 2f относительно Земли. Чему равна кинетическая энергия второго автомобиля в системе отсчета, связанной с первым автомобилем, если они: 1) движутся в одном направлении; 2) навстречу друг другу?
Может ли совершать работу сила трения скольжения? Сила трения покоя?
Тело массой т равномерно поднимают по путям I, II, III на высоту Н (рис. 11.34). По какому пути совершается большая работа? Какая энергия изменилась в процессе подъема? Чему равна величина совершаемой работы?
Ледокол колет только тонкий лед. В иных случаях он вползает на ледяное поле и проваливает его. За счет какого вида энергии в этом случае разрушается лед?
За счет какой энергии увеличивается скорость стрелы, вылетающей из лука?
С вышки бросают большой надувной шар так, что один раз ему сообщают начальную скорость, направленную вертикально вверх, а другой раз — такую же скорость, но направленную вертикально вниз. В каком случае в момент удара шара о Землю его вертикальная скорость будет больше?
11 С. В. Трубецкова
Можно ли поднять с Земли тело, приложив к нему силу, равную силе тяжести?
Ответы
Группа тел, движение которых рассматривается одновременно и взаимосвязанно, называется системой. Например, Солнце и планеты образуют солнечную систему; любое тело вблизи Земли и Земля составляют систему; любые два или больше взаимодействующих тел также образуют систему.
Тела, составляющие систему, могут подвергаться действию различных сил. Силы, создаваемые телами, принадлежащими к одной системе, называются внутренними силами системы. Силы, действующие со стороны тел, не принадлежащих к рассматриваемой системе, называются внешними силами.
Если на систему тел не действуют никакие внешние силы, или действие внешних сил скомпенсировано, то такая система тел называется замкнутой или изолированной.
Импульсом силы называется временная характеристика ее действия, равная произведению силы на время ее действия: F • t.
Импульсом тела (или количеством движения) называется произведение массы на скорость тела: т • 5.
Используя основную формулу для ускорения (а = = (^ — ^1)/^) и II закон Ньютона, можно получить
F = т(#2 - #1)Л,
#1 — скорость тела массой т в начале действия силы, 5^ — скорость тела спустя время t после начала ее действия:
Ft = mi)^ — т^х, Ft = A(mi7).
Получили, что импульс действующей на тело силы равен изменению импульса тела и имеет одинаковое с ним направление. Это соотношение иногда называют законом изменения импульса; оно является просто другой формой записи П-го закона Ньютона.
Столкновением, или ударом называется любое кратковременное взаимодействие тел. При этом не обязательно, чтобы тела касались друг друга. Так, например, говорят о соударении молекул, хотя они взаимодействуют, находясь на достаточно большом расстоянии, и это взаимодействие осуществляется пос-
редством электрических полей. При столкновении предполагается, что силы взаимодействия между телами так велики, что можно пренебречь всеми другими силами.
При ударе оба тела деформируются, скорости тел изменяются под действием сил упругости. Когда скорости тел сравняются, их взаимодействие, а следовательно, и деформации прекращаются. Неупругий удар на этом заканчивается. Абсолютно неупругим называется удар, в результате которого возникшие в телах деформации полностью сохраняются и после удара тела движутся как единое целое (с одинаковой скоростью).
Если же взаимодействуют два упругих тела, то возникшие при ударе силы упругости восстанавливают полностью форму и размеры тел; при этом силы упругости сообщают ускорения телам. После окончания взаимодействия тела опять приходят в движение. Скорости тел после упругого удара могут измениться по величине и по направлению, каждое тело движется независимо от другого.
Рассмотрим изолированную систему из двух упругих тел с массами mi и т^. Эти тела движутся со скоростями щ и 5^ (рис. И.35 а). При столкновении тела действуют друг на
Рис. П.35
друга с силами Fi и F2 в течение времени t (рис. П.35 5). Сначала под действием сил тела движутся равнозамедленно, пока
скорости тел не сравняются (относительная скорость тел равна нулю). Затем тела начинают двигаться равноускоренно под действием сил Fi и F^. Запишем формулу для импульса силы, действующей на каждое из тел:
_(а)
F^t = 7712^2 — m^fi^.
^i и й, скорости тел после взаимодействия (рис. П.35 в).
По III закону Ньютона силы упругости Fi и F2 связаны соотношением Fi = — F^. Время взаимодействия t — одно и то же, поэтому можно записать
Fit = —F^t.
Так как левые части уравнений (а) равны по величине и противоположны по знаку, то такому соотношению подчиняются и правые части этих уравнений:
mi^ — тубу = —(777 2^2 — 7772^2).
Раскрыв скобки и переставив местами члены выражения, можно получить
77717?! + 777 2^2 = ^1^1 + 777 2^2.(б)
Отсюда видно, что геометрическая сумма импульсов тел остается постоянной при любых взаимодействиях изолированной системы тел.
При неупругом ударе оба тела движутся после окончания взаимодействия вместе (рис. 11.35 а), то есть ^ = т?2 = Щ общая скорость тел после удара. Поэтому соотношение (б) можно записать для неупругого взаимодействия следующим образом:
7771Г1 + 777 2^2 = (т771 + 777 2) б.
Принцип ракетного движения вытекает из закона сохранения импульса.
Любой реактивный двигатель (рис. 11.36) состоит из головной отделяемой части ракеты 1 и части 2, где находится запас топлива. Топливо поступает в камеру сгорания 3. Один конец камеры снабжен насадкой с отверстием особой формы — реактивным соплом 4. При сгорании топлива в камере образуются газы, имеющие высокую температуру и давление. Вследствие разности давлений внутри камеры сгорания и вне ее газы с огромной скоростью вырываются из сопла.
При запуске ракеты с Земли перед поджиганием топлива
✓д\\Рис. П.36✓д\\Рис. П.36общий импульс системы топливо-оболочка относительно Земли равен нулю. Вытекающая струя газа имеет большую скорость Уг и большую величину импульса (тг#г). При этом оболочка приобретает импульс, равный т^У^. Закон сохранения импульса в этом случае запишем следующим образом:
✓д\\
Рис. П.36
✓д\\
Рис. П.36
О = тгЯг + тоб?Уоб.
Отсюда можно получить скорость оболочки ракеты при выбросе струи газа массой тг:
_ тг _^об = -—^г-
Знак минус показывает, что направление скорости реактивного двигателя противоположно
направлению скорости вытекания газов; величина скорости двигателя зависит от скорости истечения газа и от соотношения тг и т0^. Реально соотношение для расчета скорости должно быть сложнее, так как не все топливо сгорает мгновенно, не учтена сила сопротивления воздуха.
В реактивном двигателе происходит преобразование химической энергии топлива в энергию движения газовой струи. Реактивный двигатель — единственное транспортное средство, которое может двигаться, не взаимодействуя ни с какими другими телами, кроме как с продуктами сгорания топлива.
Снаряд действует с большей силой, но очень кратковременно. Поэтому он сообщает очень малый импульс,
Ft =
Люди же действуют длительное время и могут сообщить автобусу больший импульс.
Надо отбросить от себя какой-либо тяжелый предмет.
Шарик полетит в сторону, противоположную скорости выброса сжатого воздуха из отверстия (по принципу реактивного движения).
Импульс тела может изменяться только за счет действия внешних сил. Силы, возникающие между рукой и косичкой, являются внутренними силами и они не могут изменить скорости тела ни по величине, ни по направлению.
Feos аFeos аРис. П.37Рис. П.37Работа постоянной силы определяется произведением Л = |#||51 COSO,
Feos а
Feos а
Рис. П.37
Рис. П.37
88а — угол между направлением силы F и перемещением тела з. Работа является пространственной характеристикой действия силы.
8
8
Произведение |F|coso дает величину проекции силы на направление перемещения (рис. 11.37).
При изменении угла а работа меняется по величине и знаку (Таблица).
Таблица. Изменение характера работы в зависимости от величины угла
Угол, а
Рисунок
cos а
Работа
Характеристика работы
0
1
Fs
Работа силы положительна
0 < а < 90°
F
0 < cos а < 1
А > 0
90°
0
0
Сила работы не совершает
90° < а < 180°
Ха 8
— 1 < cos а < 0
А < 0
Работа силы отрицательна
180°
а
8
-1
-Fs
Из таблицы видно, что если вектор силы или его проекция на направление перемещения совпадают с вектором перемещения, работа положительна, а если противоположны — отрицательна.
Например, при равномерном движении автомобиля по дороге на него действуют сила тяги мотора, сила трения, сила тяжести и сила реакции со стороны дороги. Работы двух последних сил равны нулю, так как обе силы перпендикулярны направлению
перемещения. Работа силы тяги положительна (о = 0°), а силы трения отрицательна (о = 180°). Так как при равномерном движении эти силы равны по величине, то и их работы равны по величине и противоположны по знаку.
За единицу работы в системе СИ принимается работа силы в 1 Н на пути в 1 м, если направление силы совпадает с направлением перемещения. Называется единица работы в СИ — джоуль (Дж). Получим размерность этой единицы:
г Л1 Т Т КГ • М 9/9 тт [Л] = Н • м = —— = кг • м/с = Дж.
Положительная работа силы тяжести при его движении вниз равна отрицательной работе при движении вверх (за один период). Поэтому в сумме за период работа силы тяжести равна нулю.
Нет, так тело движется равноускоренно и за равные промежутки времени проходит разные пути. С помощью формул кинематики можно показать, что si:s2:s3 = 1:3:5. В таком же соотношении будут работы силы тяжести на этих участках.
Сила тяги при равномерном подъеме тела вдоль шахты изменяется от 0 в центре Земли до тд на ее поверхности. Поэтому при подсчете работы надо взять среднюю силу: F = тд/2. Путь равен радиусу Земли R. Поэтому работа силы тяги равна:
А = {mgR/2) cos 0°; А = 31 МДж.
Работа силы тяжести при этом будет равна:
Д = -31 МДж.
Часто бывает важно знать не только величину совершенной работы, но и скорость ее выполнения. Величина, численно равная работе, выполняемой в единицу времени, называется мощностью. Для подсчета мощности N надо величину совершенной работы поделить на время ее выполнения:
N = A/t.
В СИ за единицу мощности принята такая мощность, при которой в 1 секунду совершается работа в 1 Дж. Называется единица мощности — ватт (Вт):
[.V] =
Для выражения мощности сильных механизмов используются кратные единицы:
киловатт (кВт) — 1 кВт = 103Вт;
мегаватт (МВт) — 1 МВт = 106Вт.
Так как работа силы тяги равна А = Fs. то мощность можно выразить следующим образом:
A Fs
N = — = — = Fu.t t
Здесь направление скорости совпадает с направлением силы.
Если тело движется равномерно, то скорость d — неизменна. Если же тело движется с ускорением, то для подсчета мощности по этой формуле следует подставлять среднюю скорость:
vo + уvo + уN — F ^cp-N — F ^cp-
vo + у
vo + у
N — F ^cp-
N — F ^cp-
Двигатель любого механизма выполняет работу не только по прямому назначению механизма, но и работу по преодолению сил трения в частях двигателя, трение о почву, сопротивление воздуха и т. и.
Работа, совершаемая по прямому назначению механизма, называется полезной работой Лп, а вся работа, совершенная двигателем или устройством, называется затраченной работой — Л3. Коэффициент полезного действия равен отношению:
Ап
Коэффициент полезного действия (КПД) показывает, какую часть полезная работа составляет от затраченной. Обычно КПД выражают в процентах:
7, = Ф1 100%.
Аз
КПД можно выразить через мощность, так как полезная и затраченная работы совершаются в течение одного и того же
времени:времени:NntNnNntNn
времени:
времени:
NntNn
NntNn
Совершенную механизмом работу можно вычислить через мощность. Если механизм работает долго, то работа, выраженная в джоулях, представляет большое число. Поэтому используются внесистемные единицы работы, называемые Вт-час,
кВт-час, МВт-час. Найдем связь этих единиц с основной — джоулем:
1 Вт • ч = 1 Вт • 1 ч = 1 Вт • 3600 с = 3600 Дж;
1 кВт -ч = 1 кВт • 1 ч = 103 Вт • 3600 с = 3,6 • 106 Дж;
1 МВт-ч = 1 МВт-1 ч = 106 Вт-3600 с = 3,6-109 Дж.
Пусть на тело массой т действует сила F, которая вызывает перемещение тела на расстояние з в направлении действия силы. Работа в этом случае равна: А = Fs. Используя П-й закон Ньютона и формулу из кинематики равнопеременного движения,
можно получитьможно получитьWW
можно получить
можно получить
W
W
Величину, представленную половиной произведения массы тела на квадрат скорости, называют кинетической энергией тела.
Обозначим кинетическую энергию буквой WK. тогда выражение (а) будет иметь вид
Л = И/к2-1Гк1.(б)
Из последнего выражения видно, что работа внешней силы равна изменению кинетической энергии тела. Это утверждение называется теоремой о кинетической энергии.
Из выражений (а) и (б) видно, что если работа силы положительна, то кинетическая энергия тела возрастает Г2 > ^1- Если же работа силы отрицательна (то есть сила действует в противоположном перемещению направлении), то кинетическая энергия убывает.
_ 1
Пусть тело массой т движется в поле тяготения Земли, то есть на него действует сила тяжести. При этом тело перемещается из положения 1 в 2 (рис. П.38). В этом случае работа силы тяжести равна:
А = т\д\s = m|g|(/ii - /i2),
где s — перемещение, совершенное телом под действием силы тяжести, hi и h^ — высоты точек 1 и 2 над уровнем МN (напри-
мер, это стол). Если же высоту тела отсчитывать относительно другого уровня KL (например, пола), то работа силы тяжести
равна:равна:А = т\д\s = mlgK^ - h^YА = т\д\s = mlgK^ - h^Y
равна:
равна:
А = т\д\s = mlgK^ - h^Y
А = т\д\s = mlgK^ - h^Y
h,^ и h,^ — высоты точек 1 и 2 над уровнем КL (например, пола).
Сравнивая два последних выражения, можно прийти к выводу: работа силы тяжести не зависит от того, от какого уровня отсчитываются высоты. Работа силы тяжести равна:
А = m|5|/ii -m|g| h2.
на высоту к:на высоту к:и/п = m\g\h.и/п = m\g\h.Произведение массы тела на модуль ускорения свободного падения и на высоту к. относительного некоторого уровня, называется потенциальной энергией (обозначим Wn) тела, поднятого
на высоту к:
на высоту к:
и/п = m\g\h.
и/п = m\g\h.
За изменение любой величины принимают разность между ее конечным значением и исходным. Поэтому
А = -(m\g\h.2-m\g\h,iY А = -(И/П2 - И/П1).
Вывод: работа силы тяжести равна взятому с противоположным знаком изменению потенциальной энергии тела.
Из соотношений и вывода следует, что при положительной работе силы тяжести (тело опускается) потенциальная энергия убывает и, наоборот, при отрицательной работе силы тяжести (тело поднимается) потенциальная энергия возрастает. Уровень, от которого отсчитывается высота, называется нулевым уровнем потенциальной энергии: к = 0, следовательно, и Wn = 0.
Пусть тело массой т поднялось по наклонной плоскос-
щегося тела вдоль вертикали.щегося тела вдоль вертикали.ти, совершив перемещение s (рис. П.39). Работа силы тяжести в этом случае равна
щегося тела вдоль вертикали.
щегося тела вдоль вертикали.
А = т\д\ |?| cos а, а — угол между направлением векторов тд и 8.
Из рис. И.39 видно, что к = | s | cos а где а — расстояние между положениями 1 и 2 движу- С учетом этого работа силы
тяжести при движении тела вдоль наклонной плоскости равнатяжести при движении тела вдоль наклонной плоскости равна
тяжести при движении тела вдоль наклонной плоскости равна
тяжести при движении тела вдоль наклонной плоскости равна
А = m\g\h, = m\g\(Jii —h^) =
= -(m |g| Ai -m|g| A2) = -(IVn2 - Ibn).
Пусть тело движется по криволинейной траектории (рис. 11.40).
Ее можно представить в виде малых участков, каждый из которых является маленькой наклонной плоскостью. Сложив работы по всем участкам, можно получить выражение, аналогичное тем, которые получены в ответах к вопросам 2.23 и 2.24:
Л = Л1 + Л 2 +... + Ап = т \д\ (А/ц + А/а 2 + • • • + А^п) —
= m\g\h = m \g\(hi - А2) = IVni - И/П2 = -(И-п2 -
Л = -(^П2-^П1).
Вывод: работа силы тяжести не зависит от формы траектории движения тела, а всегда равна произведению модуля силы тяжести на разность высот в исходном и конечном положениях относительно нулевого уровня.
Силы, работа которых не зависит— ^
от траектории движения тела, назы-у\
вают консервативными, а поле, соз-I|
дающее такие силы — потенциальным.7J
Сила тяжести является консервативной,(
а поле тяготения — потенциальным.
Пусть тело движется по ._.._.hi =
произвольной замкнутой траектории |
(рис. П.41) из точки А и возвращается
в ту же точку. Работа в этом случаеи ' '
будет равна нулю, так как высота начальной точки относительно любого выбранного уровня одна и та же (hi = h^*.
A = m\g\(h1-h2) = 0.
Кроме того это можно понять, если вспомнить, что работа силы тяжести вверх (от точки А к В) отрицательна, но равна по величине положительной работе силы тяжести от точки В к А. Поэтому можно записать:
-Ад-в + АВ-а = 0.
2.27. Если пружину растянуть действием внешней силы F,2.27. Если пружину растянуть действием внешней силы F,упругости, препятствующая ее растя-
2.27. Если пружину растянуть действием внешней силы F,
2.27. Если пружину растянуть действием внешней силы F,
то в ней возникает силато в ней возникает силарасстояние s надо взятьрасстояние s надо взятьжению (рис. И.42 а). Величина деформации (удлинения) пружины равна Д/x. Если отпустить тело, связанное с пружиной, то оно будет двигаться под действием силы упругости (пружина сжимается). В какой-то момент времени величина деформации станет Д/2 (рис. П.42 бв). По закону Гука сила упругости при этом изменяется и равна
то в ней возникает сила
то в ней возникает сила
расстояние s надо взять
расстояние s надо взять
F^ = — kAl^ F^ = — k^l^-
Сила упругости меняется при сокращении пружины. Поэтому для вычисления работы силы упругости при перемещении тела на среднее значение силы упругости Fcp:
_ I Fi + F2 I _ I&(Д/1 + Д/2) I _ , Д/i + Д/2
^Ср -I I 2 I 2
Путь 5, пройденный телом при сокращении пружины, 8 = Д/1 — Д/2 •
Найдем работу силы упругости:
А = Fcps = к ^1±^А (Д/х _ Д/2) =
_ , [(Д^МД^)2] _ ^(Д^)2^(ДУ2
222'
Выражение —-— называется потенциальной энергией упруго деформированного тела.
Работа силы упругости равна взятому с обратным знаком изменению (приращению) потенциальной энергии пружины:
V 2 2 /
В трех рассмотренных выше случаях (2.23, 2.24, 2.27) речь шла о переходе тел из одного состояния в другое: в первом случае под действием внешней силы изменялась скорость тела, во втором случае под действием силы тяготения изменялось положение тела, в третьем — то же самое, но под действием силу упругости. При переходе тела из одного состояния в другое совершается работа сил, причем величина этой работы однозначно связана с характеристикой состояния тела, которую называют энергией. Сравнивая полученные выражения, видим, что величина совершенной работы численно равна изменению энергии тела. Таким образом, энергия — это физическая величина, характеризующая способность тела совершить работу при переходе из одного состояния в другое.
Кинетической энергией обладают только движущиеся тела (v ^ 0). Понятие потенциальной энергии относится к тем системам, у которых способность совершать работу зависит от взаимного расположения взаимодействующих тел или частиц. В случае 2.24 мы рассмотрели вопрос о потенциальной энергии гравитационного взаимодействия тела с Землей, интенсивность которого зависит от расстояния тела от Земли. В случае 2.27 разобран вопрос о потенциальной энергии упругого деформированного тела. Здесь уже надо говорить о взаимодействии атомов и молекул тела. Интенсивность взаимодействия зависит от расстояния между частицами и обуславливает появление силы упругости при деформации тела.
Обратите внимание, что при разном виде взаимодействия в случаях 2.24 и 2.27 окончательные выражения для работы совершенно идентичны: работа силы взаимодействия равна взятому с противоположным знаком изменению энергии. Об этом надо будет вспомнить, когда речь пойдет о работе сил, действующих на заряженные тела в электрическом поле: будет получено точно такое же соотношение между работой и энергией. Это говорит о единстве общих закономерностей для различных по природе процессов.
Механической энергией системы тел называют сумму потенциальной энергии упругого или гравитационного взаимодействия и кинетической энергии тел системы.
Рассмотрим изолированную систему: какое-либо тело — Земля. Если тело обладает кинетической энергией, то оно
может подняться. При этом кинетическая энергия убывает (уменьшается скорость), а потенциальная энергия возрастает по мере подъема. В точке наивысшего подъема кинетическая энергия равна нулю, потенциальная — максимальна, то есть вся кинетическая энергия перешла в потенциальную. При падении тела наоборот — потенциальная энергия убывает, кинетическая — возрастает.
Аналогично происходит и при действии на тело силы упругости: при деформации, например, пружины тело, связанное с ней, обладает потенциальной энергией. При исчезновении деформаций возникает перемещение и потенциальная энергия деформированного тела переходит в кинетическую.
Для изолированной системы можно записать:
A = wK2-wK1,
A = -(Wn2-Wnl),
А — одна и та же работа силы тяжести или упругости. Поэтому можно сказать, что приращение кинетической энергии равно убыли потенциальной энергии или наоборот: убыль кинетической энергии равна приращению потенциальной энергии:
^к2-^к1 = -(^п2-^п1).
Это выражение можно переписать следующим образом:
^к1 + И^п! = И^к2 + И^п2,
ИЛИ
W = И/к + VEn = const,
W — полная механическая энергия системы.
Закон сохранения механической энергии формулируется следующим образом:
сумма кинетической и потенциальной энергии тел остается постоянной, если тела составляют замкнутую систему и взаимодействуют друг с другом силами всемирного тяготения и упругости (или другими консервативными силами, см. ответ 2.25).
Закон сохранения механической энергии выполняется только в замкнутых (изолированных) системах.
Если на тела системы действуют внешние силы (например, сила тяги, сила трения и т. д.) или взаимодействуют неупругие тела, то механическая энергия не остается постоянной. Если на тело действует сила тяги, то тело движется с уско-
рением, возрастает механическая энергия тела. Действие силы трения уменьшает механическую энергию тела: уменьшается скорость тела или, если тело падает, и сопротивлением среды нельзя пренебречь, ускорение меньше д = 9,8 м/с2. Это приводит к тому, что полная механическая энергия тела уменьшается: она необратимо затрачивается на нагревание и деформацию тел. При нагревании тел происходит увеличение кинетической энергии молекул, при деформациях изменяется расположение частиц, что изменяет потенциальную энергию, связанную с взаимодействием частиц. Таким образом, действие сил сопротивления или деформации тел приводит к тому, что часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию этих тел — то есть энергию частиц, из которых состоят тела. При этом работа внешних сил равна изменению механической энергии тела:
A = W2-W1 = (WK2 + Wn2) - (Жк1 + Wni).
При неупругом ударе часть механической энергии безвозвратно переходит во внутреннюю энергию тел — на совершение деформаций и нагревание. Поэтому закон сохранения механической энергии не выполняется, и можно записать сле-
Wi — исходная механическая энергия системы тел, W2 — в некотором конечном состоянии после взаимодействия тел, А — работа, затраченная на нагревание и деформацию тел.
Если же взаимодействуют упругие тела, то возникшие силы упругости восстанавливают полностью форму и размеры тел, после окончания взаимодействия тела опять приходят в движение. При этом работа сил упругости увеличивает механическую энергию тел до прежней величины. Или, иначе сказать, внутренняя энергия частиц тел переходит в механическую. При абсолютно упругом ударе соблюдается закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия тел до взаимодействия равна полной механической энергии после их взаимодействия:
WT = ЕЕ2, или
^к1 + Wni = 1Ук2 + И^п2-
С помощью кинематических формул выразим зависимость кинетической, потенциальной и полной механической энергии от времени:
ТТЛ1
И/к = —^-;г = г^-дГ.
.2
Wn = mgh; h = vQt-^
w^^^-gt?-.w^^^-gt?-.И/п = mgl vQt- —И/п = mgl vQt- —Найдем полную механическую энергию тела:
w^^^-gt?-.
w^^^-gt?-.
И/п = mgl vQt- —
И/п = mgl vQt- —
w = wK + wn = ^.
Алгебраические преобразования, которые приведут к этому результату, проделайте сами. Из последнего выражения видно, что полная механическая энергия тела от времени не зависит, остается неизменной, равной начальной кинетической энергии тела. Из выражений для WK и Wn видно, что графики той и другой зависимости — параболы, так как аргумент t — во второй степени.
Анализируя эти формулы, можно построить графики, приведенные на рис. П.43.
Скорость второго автомобиля в системе отсчета, связанной с первым автомобилем, в первом случае равна щ а во втором случае 3f. Поэтому кинетическая энергия второго автомобиля в этой системе отсчета равна: 1) mf2/2; 2) 4,5mf2.
Сила трения скольжения работу совершает, причем она отрицательна, так как угол между направлением этой силы и направлением перемещения равен 180°, cos 180° = — 1. Работа силы трения покоя равна нулю, так как в этом случае нет перемещения.
Во всех трех случаях работа одинакова; при равномерном подъеме возрастает только потенциальная энергия; А = тдН.
За счет потенциальной энергии, которую он приобретает при вползании на лед.
За счет потенциальной энергии упругой деформации корпуса натянутого лука и тетивы.
При сообщении скорости, направленной вертикально вниз, скорость при падении будет больше, так как на меньшем пути совершается работа сил сопротивления воздуха.
Нет. Чтобы тело начало двигаться вверх, ему вначале надо сообщить ускорение. Поэтому сила должна быть равна: F = тд + та. Затем, при достижении нужной скорости, тело будет двигаться равномерно при равенстве внешней силы и силы тяжести.
Основные формулы
Закон изменения импульса:
Ft = mv2 — mvi,(2-1)
#1 — скорость в начале действия силы на тело массой т, iZ2 — спустя время t после начала ее действия.
Закон сохранения импульса:
для абсолютно упругого удара —
т^х + т2г72 = т^ + т^^(2.2)
для абсолютно неупругого удара —
шхщ + т^^ = (W + m2) F(2.3)
при разделении (например, взрыв) тела (или системы тел) на части —
(mi + ш2)г = mi^ + m2V2i(2-4)
щ, ?У2 — скорости тел до взаимодействия, ^^ П^ — скорости тел после взаимодействия, iZ — общая скорость двух тел до их разделения или, наоборот, после их слипания при абсолютно неупругом ударе.
Механическая работа
А = \F\ |s| cosci,(2.5)
F — сила, действующая на тело, з — перемещение тела, а — угол между направлением перемещения и направлением действия силы.
12 С. В. Трубецкова
МощностьМощностьN = -N = -(2-6)(2-6)
Мощность
Мощность
N = -
N = -
(2-6)
(2-6)
t — время, за которое совершается работа Л,
(2-7)(2-7)N = Ffcoso.
(2-7)
(2-7)
Если эта формула используется для равномерного движения, тогда d = const, а если для мгновенной мощности равнопеременного движения, тогда d — мгновенная скорость. Если же надо рассчитать среднюю мощность при равнопеременном движении,
тотоNcp = Fvcpcosa,Ncp = Fvcpcosa,(2.7а)(2.7а)
то
то
Ncp = Fvcpcosa,
Ncp = Fvcpcosa,
(2.7а)
(2.7а)
^0 + У где ^ср = —^—
.4П.4ПКоэффициент полезного действия
.4П
.4П
(2-8)
Лп — полезная работа, то есть работа механизма по его назначению; Л3 — затраченная работа. Из этой формулы можно получить
„ = (2.8а)
Кинетическая энергия движущегося тела
(2-9)(2-9)mt)2
(2-9)
(2-9)
WK = —,
т — масса тела, и — его скорость.
Потенциальная энергия тела, поднятого над Землей
Wn = mgh,(2.10)
h — высота тела над поверхностью Земли (или над условно выбранным в задаче «нулевым» уровнем потенциальной энергии).
Работа внешней силы, действующей на движущееся тело,
Л = 1^2 - IVK1 = AWV(2.11)
Работа силы тяжести
Д = -(Иф2-1КП1) = Д1Кп.(2.12)
Закон сохранения механической энергии:
W = И^к + И^п = const,
или
WKl + Wnl = ^K2 + Wn2,(2.13)
W — полная механическая энергия изолированной системы. Работа всех внешних сил над телом или системой тел
А = Д1Е = 1Е2-Ж,(2.14)
Wi и W2 — начальная и конечная механическая энергия тела. Потенциальная энергия деформированной пружины
= Ц^(2Л5)
к — жесткость пружины, Д/ — величина деформации. Работа силы упругости деформированной пружины
. _ ^(Д/2)2 £(Д/1П _ ^[(Д/1)2-(Д/2)2] у 22/2
Методика решения задач
При решении задач, где удобно использовать понятие импульса силы и импульса тела, следует придерживаться следующей методики.
Определить систему взаимодействующих тел и выяснить, какие силы для них являются внутренними, какие внешними. Если внешние силы нескомпенсированы, то система не является изолированной, и нужно использовать закон изменения импульса (формула (2.1)).
Закон сохранения импульса (2.2)-(2.4) используется в случае изолированной системы, а также при следующих условиях:
внешние силы малы по сравнению с внутренними;
система не является изолированной, но можно выбрать направление (ось), на которое сумма проекций внешних сил равна нулю. Вдоль этого направления выполняется закон сохранения проекции импульса.
Выбрать систему отсчета. В большинстве случаев ее связывают с Землей. Если же речь идет о скорости относительной, то бывает удобно связывать систему отсчета с одним из движущихся относительно Земли тел.
Сделать к задаче рисунок:
если система неизолированная, то нарисовать условно тело, обозначить внешние силы, приложенные к телу, показать 12*
направления скоростей до начала действия сил и после окончания их действия;
если система тел изолированная, то удобно сделать два рисунка: на первом обозначить тела и их скорости до взаимодействия, на втором — после взаимодействия тел.
Нарисовать систему координат. Направления осей координат удобно выбрать следующим образом:
если система неизолированная, то одну из осей удобно направить вдоль внешней силы (ее чаще всего в задачах и требуется найти);
если система тел изолированная, то оси направляют вдоль скоростей тел или так, чтобы проекции скоростей находились просто через функции углов, о которых в задаче идет речь;
если система тел неизолированная, но надо применить закон сохранения импульса, то ось выбирают так, чтобы проекция внешних сил на эту ось была равна нулю.
Записать в некоторой форме уравнения, соответствующие условию: закон изменения импульса (2.1) для неизолированной системы, закон сохранения импульса (2.2)-(2.4) для изолированной системы.
Записать векторные уравнения в скалярной форме — в проекциях на выбранные оси. К уравнениям в проекциях при необходимости можно добавить кинематические уравнения.
Если из условия задачи не ясно, в каком направлении после взаимодействия двигалось одно из тел, то направление можно выбрать произвольно. Если при вычислении скорость этого тела получилась со знаком минус, то это значит, что при выборе направления мы ошиблись: истинное направление скорости противоположно выбранному.
Если требуется вычислить работу, то рекомендуем следующие этапы решения задач.
Выяснить, какая сила совершает работу и какой угол она составляет с направлением движения.
Далее нужно решить динамическую задачу по определению величины силы. Если движение равномерное, то надо записать 1-й закон Ньютона, из которого чаще всего получается, что FTHr = FTp, при движении тела по поверхности другого, и FTHr = тпд при равномерном подъеме тела. Если тело движется равноускоренно, то сила тяги находится по П-му закону Ньютона.
Решить кинематическую задачу по определению величины перемещения.
Подставить все величины в формулу для работы; проверить размерность и вычислить значение работы.
В задачах, связанных с вычислением мощности, пользуются формулами (2.6), (2.7), (2.7 а), (2.8 а).
Если мощность вычисляется по формуле (2.6), то работа определяется в соответствии с пунктами 1-4, время вычисляется из кинематических формул; если же — по формулам (2.7) и (2.7 а), то сила тяги находится по Ему или по П-му закону Ньютона (в соответствии с характером движения), скорость по кинематическим формулам. Так же решаются и обратные задачи: по известной мощности находится сила, время, скорость, ускорение.
В задачах, где дан КПД или его требуется найти, сначала выяснить, какая работа является затраченной, исходной, какая полезной. Полезной является работа по прямому назначению механизма, затраченная работа — та, за счет чего механизм приходит в действие. Записать выражения для полезной и затраченной работы, подставить их в формулу (2.8) или (2.8а), если найдена мощность, и решить относительно неизвестной величины.
Если тело равномерно изменяет свое положение относительно Земли и сила сопротивления отсутствует, то работа внешней силы равна по модулю работе силы тяжести относительно исходного положения.
Так же решаются задачи по вычислению работы силы тяжести. Надо помнить, что если тело поднимается, то работа силы тяжести отрицательна; если же тело опускается, то работа силы тяжести положительна (в первом случае а = 180°, а во втором а = 0°).
С использованием понятия энергии многие задачи динамики, решаемые с помощью законов Ньютона, математически получаются много проще. Однако сложнее анализировать те процессы, которые рассматриваются в энергетических задачах. Рекомендуем использовать следующие этапы при анализе условия и решении.
При решении задач, связанных с вычислением энергии тела, прежде всего надо ответить на вопрос: является ли рассматриваемая система тел изолированной или нет. Если система тел изолированная, то механическая энергия системы во
всех ее состояниях неизменна (формула (2.13)); если на систему тел или тело действуют внешние силы, то изменяется механическая энергия: работа внешней силы равна изменению механической энергии системы — формулы (2.11), (2.12), (2.14).
Выбрать ту систему отсчета, относительно которой даны скорости тел.
Выбрать «нулевой» уровень потенциальной энергии — тот горизонтальный уровень, относительно которого отсчитываются высоты расположения тел. Чаще всего это уровень, на котором находится тело в наинизшем своем состоянии. Для маятника — это уровень его положения равновесия. Если же тело может находиться в положении ниже «нулевого» уровня, то потенциальная энергия в этих состояниях отрицательна.
Выбрать два или более таких состояний системы, чтобы в число их параметров входили как известные, так и искомые величины.
Записать значение энергии в каждом состоянии относительно выбранного нулевого уровня.
Формула (2.11) используется, если тело движется по горизонтали под действием внешних сил, изменения потенциальной энергии не происходит.
Если тело изменяет свою высоту над поверхностью Земли и при этом движется равномерно под действием внешних сил, то используется формула (2.12).
Если же под действием внешних сил изменяются и кинетическая и потенциальная энергии, то надо воспользоваться формулой (2.14).
Для изолированной системы тел можно записать закон сохранения механической энергии (2.13). Его можно использовать для математического маятника, так как работа внешней силы натяжения подвеса при его колебаниях равна нулю (а = 90°), а сила тяжести является внутренней для системы тело — Земля.
В одной задаче могут быть выделены участки движения тела, где система изолированная, а на других участках начинают действовать внешние силы.
При решении задач на вычисление сил упругости и их работы при деформации пружины используется формула (2.16) и, при необходимости, закон Гука (1.7).
В задачах, в которых рассматривается преобразование механической энергии во внутреннюю (при неупругих взаимо-
действиях), вопросы могут быть сформулированы следующим образом:
на сколько изменилась механическая энергия тела или системы тел?
какая часть механической энергии потеряна (или перешла во внутреннюю)?
какая часть механической энергии осталась?
В этих случаях искомую величину следует искать следующим образом:
Wi — механическая энергия системы тел до неупругого взаимодействия, W2 — после взаимодействия.
В задачах, связанных с преобразованием энергии, может идти речь о КПД. Так же, как в пункте 6, надо четко выяснить, какая работа является полезной, то есть по прямому назначению, какая полной, затраченной. Работа вычисляется по формулам (2.5), (2.6), (2.11), (2.12), (2.14). Подставить найденные выражения для Лп и Л3 в формулу для КПД и найти неизвестный параметр.
Примеры решения задач
Шарик массой 200 г падает вертикально без начальной скорости с высоты 5 м. Найдите импульс силы, действующей при ударе, в случаях: а) абсолютно неупругого удара (пластилиновый шарик); б) если после удара шарик подпрыгнул на высоту 50 см; в) в случае абсолютно упругого удара.
^о = 0т = 0,2 кгНу = 5 мг2 = 0Н^ = 0,5 мf2 = Щ(Ft) — ? или A(m^) — ?^о = 0т = 0,2 кгНу = 5 мг2 = 0Н^ = 0,5 мf2 = Щ(Ft) — ? или A(m^) — ?Шарик движется в поле тяготения Земли и до падения система «шарик-Земля» представляет собой изолированную систему. В момент падения возникают внешние по отношению к данной системе силы: сила сопротивления опоры, силы упругости, которые изменяют характер движения шарика. Поэтому в момент удара система не является изолированной.
^о = 0
т = 0,2 кг
Ну = 5 м
г2 = 0
Н^ = 0,5 м
f2 = Щ
(Ft) — ? или A(m^) — ?
^о = 0
т = 0,2 кг
Ну = 5 м
г2 = 0
Н^ = 0,5 м
f2 = Щ
(Ft) — ? или A(m^) — ?
На рисунке к задаче обозначим направления скоростей щ и й^ высоты Ну и Н^. Начало координат
свяжем с Землей. Ось у направим вертикально вверх — вдоль
силы, действующей в момент удара на шарик со стороны Земли (рис. 11.44).
Так как система не является изолированной, то используем формулу (2.1): Ft = тб^ — тб^.
Для случая неупругого удара (а) скорость шарика после его падения на опору равна нулю (рис. П.44 а). С учетом этого запишем уравнение (2.1) в проекциях на ось у:
(Ft) = 0 — m(—Di) = mui.
Из кинематики следует, что щ = V^ghi- Тогда Ft = mV^ghi. Размерность импульса силы — (Н-с). Проверим размерность полученной формулы:
[Ft] = кг • J • м ==2— — Н • с; (Ft) = 1-98 Н • с.
Примечание: при проверке размерности мы умножили числитель и знаменатель на единицу времени секунду (с), чтобы получить размерность единицы силы — ньютон (Н).
В случае (б) уравнение в проекциях на ось у будет иметь вид (рис. И.44 б)
(Ft) = mv*} — т(—fi) = mf2 + ^^i = m(f2 + ^i)«
Так как f2 — V^gh^^ то
(Ft) = 771(1/2^2 +а/2#М-
г , кг • м кг • м • с,.
[Ft] = —— = 2— = Н - с;(Ft) = 2,6 Н• с;
В случае (в), так как |fi| = |f2| = ^2gh^ (рис. И.44 в), то
(Ft) = mv2 + mv 1 = 2m\/2gh;(Ft) = 9,9 H • c.
Молекула массой 5 • 10-26 кг, летящая со скоростью 500 м/с, ударяется о стенку под углом 30° к перпендикуляру и упруго отскакивает от нее под тем же углом и с той же по величине скоростью. Найдите импульс силы, полученный стенкой при ударе.
m = 5 • 10 26 кгfl = f 2 = Vf = 500 м/са = 30°m = 5 • 10 26 кгfl = f 2 = Vf = 500 м/са = 30°По III закону Ньютона сила, действующая на стенку при ударе молекулы, равна по величине и противоположна по направлению силе, действующей на молекулу и изменившей направление ее движения. Найдем эту силу, используя формулу (2.1):
m = 5 • 10 26 кг
fl = f 2 = V
f = 500 м/с
а = 30°
m = 5 • 10 26 кг
fl = f 2 = V
f = 500 м/с
а = 30°
FMt = mFa — m^Y = т^^ — fi).
на ось у^ связанную сона ось у^ связанную соЗапишем это уравнение в проекциях стенкой и направленную перпендикулярно к ней (рис. 11.45):
на ось у^ связанную со
на ось у^ связанную со
(FMt) = m(v2y - (-fly)) =
= m(v2y + «iy);
fi^ = ^2у = f cosa; (FMt) = 2mf cosct;
Fct — FMt:
(FCZ) = (FMt) = 4,35 ■ IO"23 H ■ c.
Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с песком массой Юти застревает в нем. Какую скорость получит вагон, если он двигался со скоростью 7,2 км/ч в направлении, противоположном движению снаряда?
mi = 100 кгf 1 = 500 м/с Ш2 = 10 т = 104 кг f2 = 7,2 км/ч = 2 м/сf — ?mi = 100 кгf 1 = 500 м/с Ш2 = 10 т = 104 кг f2 = 7,2 км/ч = 2 м/сf — ?реакции опоры, но ониреакции опоры, но ониСистема «снаряд-вагон с песком» является изолированной, между телами этой системы действуют внутренние силы: сила давления со стороны снаряда на песок и сила трения со стороны песка на снаряд. Внешними силами являются сила тяжести и сила
mi = 100 кг
f 1 = 500 м/с Ш2 = 10 т = 104 кг f2 = 7,2 км/ч = 2 м/с
f — ?
mi = 100 кг
f 1 = 500 м/с Ш2 = 10 т = 104 кг f2 = 7,2 км/ч = 2 м/с
f — ?
реакции опоры, но они
реакции опоры, но они
скомпенсированы. Движение в системе
происходит только по горизонтали, и проекция силы тяжести
и силы реакции опоры на горизонтальное направление равна нулю.
На рис. П.46 обозначим скорости тел до взаимодействия и после. Систему координат свяжем с Землей, ось х направим вдоль х^.
Hif?2
Рис. 11.46Рис. 11.46ЖЖ
Рис. 11.46
Рис. 11.46
Ж
Ж
Так как удар неупругий, то используем формулу (2.3): т^Х^ + 7712^2 = (mi + m2) X
х — скорость платформы вместе со снарядом после удара.
Предположим, что после удара направление движения платформы не изменилось, то есть направление х совпадает по направлению с х^. Ось х направим вдоль вектора х^ (рис. И.46), тогда уравнение (2.3) запишем в проекциях на ось х
—mi^i +m2^2 = (mi -Vm^x\г п кг • м м[г] == —:х—mi^i +m2^2 = (mi -Vm^x\г п кг • м м[г] == —:хт^х^ — W1
—mi^i +m2^2 = (mi -Vm^x\
г п кг • м м
[г] == —:х
—mi^i +m2^2 = (mi -Vm^x\
г п кг • м м
[г] == —:х
х =;
mi + т2
—3 м/с.
Знак минус означает, что скорость движения платформы после удара снаряда имеет направление, противоположное выбранному.
Охотник стреляет с покоящейся в стоячей воде лодки. Выстрел произведен с кормы под углом 60° к горизонту. Масса лодки вместе с человеком 250 кг, масса вылетевшего снаряда 10 г, скорость снаряда 600 м/с. Найдите скорость лодки после выстрела.
f = О а = 60° mi = 250 кг Ш2 = 10 г = 0,01 кг f2 = 600 м/сf = О а = 60° mi = 250 кг Ш2 = 10 г = 0,01 кг f2 = 600 м/сщ — ?щ — ?Система «лодка-охотник-ружье- снаряд» представляет собой изолированную систему, взаимодействие осуществляется посредством сил, возникающих внутри этой системы в момент выстрела. Проекция внешних для этой
f = О а = 60° mi = 250 кг Ш2 = 10 г = 0,01 кг f2 = 600 м/с
f = О а = 60° mi = 250 кг Ш2 = 10 г = 0,01 кг f2 = 600 м/с
щ — ?
щ — ?
системы сил — силы тяжести и силы Архимеда — на любую ось в горизон
тальном направлении равна нулю. Для данного случая исполь
Рис. И.47Рис. И.47х запишем следующимх запишем следующимзуем формулу (2.4):
Рис. И.47
Рис. И.47
х запишем следующим
х запишем следующим
(mi + m2)f = т^^ + m2f2-
образом:образом:0 = mifi -т^х^х,0 = mifi -т^х^х,На рис. П.47 представлены скорости снаряда и лодки после выстрела. Ось х свяжем с землей и ориентируем вдоль xv До взаимодействия импульс системы относительно воды равен нулю (лодка покоится). Поэтому уравнение (2.4) в проекциях на ось
образом:
образом:
0 = mifi -т^х^х,
0 = mifi -т^х^х,
где f23? — проекция f2 на ось х. Из рис. И.47 видно, что f2ж = f2COSQ.
Тогда
„7712^2 COS О
0 = mifi — ?TZ2f2 cos ct; щ =;
7711
[fl] = КГ M = м/с; fi = 0,012 м/с.
с • кг
Третья ступень ракеты состоит из ракеты-носителя массой 500 кг и головного конуса массой 10 кг. Между ними помещена сжатая пружина. При испытаниях на Земле пружина сообщила конусу скорость 5,1 м/с по отношению к ракете- носителю. Каковы будут скорости конуса и ракеты, если их отделение произойдет на орбите при движении со скоростью 8000 м/с?
Шр = 500 кг шк = Ю кг fK-p = 5,1 м/с f = 8000 м/с хк - ? хр - ?Шр = 500 кг шк = Ю кг fK-p = 5,1 м/с f = 8000 м/с хк - ? хр - ?Система «конус-ракета» является изолированной, так как в момент отделения действует только внутренняя сила — сила упругости сжатой пружины. Проекция силы тяжести на направление взаимодействия равна нулю.
Шр = 500 кг шк = Ю кг fK-p = 5,1 м/с f = 8000 м/с хк - ? хр - ?
Шр = 500 кг шк = Ю кг fK-p = 5,1 м/с f = 8000 м/с хк - ? хр - ?
Ось координат х свяжем с Землей и направим вдоль вектора v (рис. 11.48). В системе координат, связанной с Землей, запишем закон сохранения импульса:
(шр + тк) ж = т^ + трХр,
ДоотсоединенияДоотсоединенияПослеотсоединенияПослеотсоединения
Доотсоединения
Доотсоединения
Послеотсоединения
Послеотсоединения
ж
Рис. 11.48
Пк и Хр — скорости конуса и ракеты относительно Земли после отделения. Так как скорость конуса после отделения относительно ракеты-носителя дана и равна fK-p = 5.1 м/с, то в соответствии с теоремой сложения скоростей можно записать: fK-p = ^к — ^р- Отсюда хк = ^к-р + fp. С учетом этого запишем векторное уравнение в проекциях на ось х:
(mp + mK) V = mK(vK-p + Vp) + mpVp.
Отсюда
(mp + mK) v -mKvK-p
^P = —:;
mp + mK
1Тр] =— = м/с; ^р = 7999,9 м/с.
Найдем скорость конуса: fK = ^к-р + ^р = 8005 м/с.
Можно решить эту задачу по-другому, записав закон сохранения импульса в системе отсчета, связанной с ракетой до отделения, то есть движущейся со скоростью ж в направлении полета ракеты относительно Земли. В этой системе отсчета до отделения конус и ракета покоились, а после отделения будут двигаться со скоростями х^ и 5р. Поэтому
0 = ШрЯр + шк^.
По условию х^ = ^к-р + ^р- С учетом этого векторное уравнение можно записать в проекциях:
о = mpVp + mK (vK-p + Vp). Отсюда
fp = —0,1 м/с; ж^ = 5,1 — 0,1 = 5 (м/с).
В соответствии с теоремой сложения скоростей можно вычислить скорости конуса и ракеты в системе координат, связанной с Землей:
жр = Жр + ж = 7999,9 м/с; ^к = ^к + ^ — 8005 м/с.
Человек массой 80 кг переходит с носа на корму в лодке длиной 5 м. Какова масса лодки, если она за время этого перехода переместилась в стоячей воде в обратном направлении на 2 м? Начальная скорость лодки относительно воды равна нулю.
тч = 80 кг/ = 5 м8 = 2 мж = 0тл -?тч = 80 кг/ = 5 м8 = 2 мж = 0тл -?Систему «лодка-человек» можно считать изолированной; во время движения человека возникают внутренние силы (силы взаимодействия ступни с дном лодки). Внешние силы скомпенсированы (см. задачу 7).
тч = 80 кг
/ = 5 м
8 = 2 м
ж = 0
тл -?
тч = 80 кг
/ = 5 м
8 = 2 м
ж = 0
тл -?
Ось ж свяжем с Землей и направим вдоль жч (рис. П.49).Ось ж свяжем с Землей и направим вдоль жч (рис. П.49).Рис. И.49Рис. И.49Вначале система находилась в покое, и, следовательно, сумма импульсов равнялась нулю.
Ось ж свяжем с Землей и направим вдоль жч (рис. П.49).
Ось ж свяжем с Землей и направим вдоль жч (рис. П.49).
Рис. И.49
Рис. И.49
Запишем закон сохранения импульса в векторной форме: 0 = m4v4 + тлжл,
ж ч и ж л — скорости человека и лодки относительно Земли.
Человек участвует в двух противоположных по направлению движениях: вдоль оси ж он движется со скоростью жч_л относительно лодки, и вместе с лодкой движется в противоположном
направлении со скоростью г>л. В соответствии с теоремой сложения скоростей его скорость относительно Земли равна: f4 = = г’ч-л — ^л. С учетом этого запишем векторное уравнение в проекциях на ось х:
0 = тч^ч_л--ил)-тл'ил.
Так как
^ч-л = р и ^л = ^
(t — время перехода человека по лодке), то
или 0 = тч(1 — s) — тл8.или 0 = тч(1 — s) — тл8.s\ S
или 0 = тч(1 — s) — тл8.
или 0 = тч(1 — s) — тл8.
U = тч— тп \t tJ л t
Отсюда
тл =тл =m4(J — з)8m4(J — з)8[тл] =[тл] =кг • м = ммкг • м = ммтл = 120 кг.тл = 120 кг.
тл =
тл =
m4(J — з)
8
m4(J — з)
8
[тл] =
[тл] =
кг • м = м
м
кг • м = м
м
тл = 120 кг.
тл = 120 кг.
тл = 100 кг «л = 1 м/с шм = 50 кг гм = 2 м/сf — ? а — ?тл = 100 кг «л = 1 м/с шм = 50 кг гм = 2 м/сf — ? а — ?взаимодействия формулу (2.3):взаимодействия формулу (2.3):
тл = 100 кг «л = 1 м/с шм = 50 кг гм = 2 м/с
f — ? а — ?
тл = 100 кг «л = 1 м/с шм = 50 кг гм = 2 м/с
f — ? а — ?
взаимодействия формулу (2.3):
взаимодействия формулу (2.3):
Лодка массой 100 кг плывет без гребца вдоль пологого берега со скоростью 1 м/с. Мальчик массой 50 кг переходит с берега в лодку со скоростью 2 м/с так, что векторы скорости лодки и мальчика составляют прямой угол. Определите скорость лодки с мальчиком и направление ее движения.
Когда мальчик шагнул в лодку, происходит взаимодействие между ступней мальчика и дном лодки — это внутренние силы. Внешними являются сила тяжести лодки с мальчиком и сила Архимеда, действующая на лодку, которые компенсируют друг друга.
Так как рассматриваемое взаимодействие можно отнести к разряду неупругих (после оба объекта движутся вместе), то запишем
mMvM + тл гл = (тм + тл) v,
v — вектор общей скорости, направленной под углом а к берегу.
Запишем это векторное уравнение в проекциях на оси двумерной системы координат хОу (рис. П.50):
(а)(а)ось Ож: тл«л = (тм + тл)г>ж, ось Оу: mMvM = (тм + тл)уу.
(а)
(а)
Из рис. И.50 видно, что скорость лодки вместе с мальчиком х можно найти через составляющие этой скорости хж и ху по теореме Пифагора: х = Jx^ +^^.
Найдем dx и Dy из системы уравнений (а):
Шл^лшмгм
; ^У =;
тм + шл ’тм + шл ’5/кг2 • м2/с2мкгс ’5/кг2 • м2/с2мкгс ’d « 0,93 м/с.d « 0,93 м/с.тм + шлтм + тл
тм + шл ’
тм + шл ’
5/кг2 • м2/с2м
кгс ’
5/кг2 • м2/с2м
кгс ’
d « 0,93 м/с.
d « 0,93 м/с.
Найдем величину угла а через одну из функций этого угла,например, через тангенс:tga = vy/vx'
dx и Dy найдены выше из системы уравнений (а):
ШМУМо
tgn =; tgn = l; п = arctgl = 45 .
тлул
D = 12 м/с mi = 10 кг 777-2 = 5 кг Dy = 25 м/с сц = 30°^2 -? «2-?D = 12 м/с mi = 10 кг 777-2 = 5 кг Dy = 25 м/с сц = 30°^2 -? «2-?
D = 12 м/с mi = 10 кг 777-2 = 5 кг Dy = 25 м/с сц = 30°
^2 -? «2-?
D = 12 м/с mi = 10 кг 777-2 = 5 кг Dy = 25 м/с сц = 30°
^2 -? «2-?
Снаряд, летевший горизонтально со скоростью 12 м/с, разорвался на две части, массы которых 10 и 5 кг. Скорость большего осколка 25 м/с и направлена под углом 30° к горизонту вниз и вперед. Найдите величину и направление меньшего осколка.
В результате внутренних сил снаряд разрывается на две части. Поэтому запишем закон сохранения импульса в виде (2.4):
(mi +m^D = miDi + тД. (а)
Направление скорости меньшего осколка выберем произвольно: вверх и вправо (рис. 11.51). Численное решение покажет, правильно ли мы сделали выбор.
Прямоугольную систему координат свяжем с Землей, ось Ох направим горизонтально. Запишем векторное уравнение (а) в проекциях на оси выбранной системы координат:
ось Ox; (mi + m^^x ^miXix + m^x^x.
(б)
ось Оу;0 = —mixiy + т^х^у.
xiy = х\ sin од; х^у = f2sino2-xiy = х\ sin од; х^у = f2sino2-Из рис. П.51 видно, что
xiy = х\ sin од; х^у = f2sino2-
xiy = х\ sin од; х^у = f2sino2-
щж — ^1 cos од;
^2ж = ^2 008 0 2 5
Из системы уравнений (б) найдем г^ж и х^у*.
( 777-1 +7712) X — ШуХух (mi +7712) X — miXi C0SO1
ттотцуTTii-risinoi
^у ==5
777-27712
что направление скоростичто направление скоростих^ нах^ наЗнак минус говорит о том,Знак минус говорит о том,^2ж = —8,3 м/с; х^у = 25 м/с.
что направление скорости
что направление скорости
х^ на
х^ на
Знак минус говорит о том,
Знак минус говорит о том,
+^;+^;рис. И.51 выбрано ошибочно: составляющая г>2Ж < 0, значит, вектор х^ должен быть направлен против оси Ох (рис. И.52). Из рис. И.52 видно, что величину х^ можно найти по теореме Пифагора:
+^;
+^;
^2 ~26 м/с.
Х^хХ\х х
рис jj 52Угол наклона меньшего
осколка к горизонту найдем, вычислив одну из тригонометрических функций угла а^;
tg«2 = — = 3,4;«2 = arctg 3,4 « 74°.
Х^х
Груженая шахтная клеть массой 10 т поднимается с ускорением 0,5 м/с2. Определите работу по подъему клети за первые 10 с движения.
ш = 1 От = 104 кг а = 0,5 м/с2 ^о = 0t = 10 сЛ-?ш = 1 От = 104 кг а = 0,5 м/с2 ^о = 0t = 10 сЛ-?Работу по подъему шахтной клети совершает сила натяжения троса FH (рис. 11.53), которая составляет угол а/ = 0° с направлением движения, следовательно, cos о = 1 и
ш = 1 От = 104 кг а = 0,5 м/с2 ^о = 0
t = 10 с
Л-?
ш = 1 От = 104 кг а = 0,5 м/с2 ^о = 0
t = 10 с
Л-?
Л = FHs.
Запишем П-й закон Ньютона в векторной форме:
FH + тд = та.
В проекциях на ось Оу. сонаправленную с вектором ускорения а он будет иметь вид
FH — тд = та.
Отсюда
FH = т(д + а).
Найдем величину перемещения з за первые 10 с движения:
s = — (так как vg = 0).
Найдем величину работы:
л = FHs = m(g + a)^-;
гММ 9 КГ • М2 КГ • М„
И = кг---*с =—- = —•м = Дж: с сс с
А = 26,25 • 105 Дж = 2,625 МДж.
Рис. И.53Рис. И.53
Рис. И.53
Рис. И.53
Найдите, какую работу совершает человек за 2 часа, если тянет сани (рис. П.54) общей массой 300 кг со скоростью 3,6 км/ч. Коэффициент трения полозьев о снег 0,1. Веревка составляет угол 30° с направлением движения.
13 С. В. Трубецкова
т = 300 кг
Работу совершает сила натяже-
t = 2 ч = 7200 с
ния веревки FH, которая составляет
// = 0,1
угол а = 30° с направлением переме
v = 3,6 км/ч = 1 м/с
щения. Тогда
а = 30°
А = FHscos а.
А — ?
Так как сани движутся равномер
но, то можно записать (рис. П.54) 1-й
закон Ньютона:
mg + FH + N + FTp — 0.
Запишем это векторное уравнение в проекциях на оси Ох ось Ох: 0 +Fнж+0 — FTp = О, ось Оу: —mg + FHy + N + 0 = 0.
Так как Fнж = FHcoso, FHy = FHsino, FTp = yN^ то система уравнений в проекциях будет иметь вид
f
FHcoso — gN = 0,
FH sin а — mg + N = 0.
В этих уравнениях два неизвестных: FH и N. Выразим из второго уравнения N и подставим в первое:
N = mg — FH sin о;
FHcoso — у(тд — FHsino) = 0.
Найдем отсюда силу натяжения FH:
_ утд; : •cos о + /ismo
Найдем перемещение при равномерном движении: s = vt. Работа равна
А =;—vt cos о;
COSO + д sin о
г кг-(м/с2) м кг-м2 „
И = \— = Дж;
А = 2400000 Дж = 2,4 МДж.
Учебный самолет должен иметь для взлета скорость 108 км/ч. Время разгона для достижения этой скорости равно 12 с. Масса самолета 2000 кг. Коэффициент трения при разгоне равен 0,05. Определите среднюю мощность двигателя самолета, нужную для разгона.
х = 108 км/ч = 30 м/с
I способ
«о = О
Средняя мощность
# = 12 с
^ср — ^/^5А = FTs
m = 20 ■ 103 кг
FT — сила тяги мотора, s — переме
/^ = 0,05
щение.
Найдем FT (рис. 11.55):
N + mg + FT + FTp = та.
Wcp-?
Запишем это уравнение в проекциях на оси Ох и Оу;
X2'X2'ось Ох; 0 + 0 + FT — FTp = та^
X
2'
X
2'
ось Оу; N — mg + 0 + 0 = 0, или
!FT — yN = та^
FT — утд = та^
N = тд^
FT = т(а + уд) = т^ + уд^ так как гд = 0.
А = х ^s = ту- + удА = х ^s = ту- + удvtТ’vtТ’^ср —^ср —8 = (xo + x)t/2 = xt)^
А = х ^s = ту- + уд
А = х ^s = ту- + уд
vt
Т’
vt
Т’
^ср —
^ср —
II способ
Средняя мощность
^ср — Fr'Pcp.
Сила тяги найдена при первом способе решения, а средняя скорость равнопеременного движения равна
vcp = v/2(«о = О).
Тогда
^Р = т^- + цд)-;
мм \ мкг • ммкг • м2Н • мДж „
1 у ) ' — = 9— * "" = Ч = = = Вт;
с • сс / с сс сс с
N = 90000 = 9■104 Вт.
КПД двигателей электровоза и передающих механизмов равен 0,8. Электровоз движется со скоростью 54 км/ч, и при этом двигатели развивают мощность 900 кВт. Определите силу тяги электровоза.
77 = 0,8v = 54 км/ч = 15 м/с N3 = 900 кВт = 9 • 105 Вт1 гр.траченную работу:77 = 0,8v = 54 км/ч = 15 м/с N3 = 900 кВт = 9 • 105 Вт1 гр.траченную работу:КПД равенКПД равенРазвиваемая двигателем мощность характеризует полную, за-Развиваемая двигателем мощность характеризует полную, за-v43 — N3t.v43 — N3t.
77 = 0,8
v = 54 км/ч = 15 м/с N3 = 900 кВт = 9 • 105 Вт
1 гр.
траченную работу:
77 = 0,8
v = 54 км/ч = 15 м/с N3 = 900 кВт = 9 • 105 Вт
1 гр.
траченную работу:
КПД равен
КПД равен
Развиваемая двигателем мощность характеризует полную, за-
Развиваемая двигателем мощность характеризует полную, за-
v43 — N3t.
v43 — N3t.
Полезная работа — та, которая идет на перемещение электровоза:
Ап = Nnt = FTvt; v = -— = _- FT = —;
[E] = -^ == — = H; Ft = 3,2 104H.
м/с c • M M
Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину длиной 10 см и жесткостью 500 Н/м вдвое?
/1 = 10 см = 0,1 м к = 500 Н/м Д/ = /) = 0.1 м/1 = 10 см = 0,1 м к = 500 Н/м Д/ = /) = 0.1 мПри деформации пружины направление силы совпадает с направлением перемещения (а = 0°), поэтому
/1 = 10 см = 0,1 м к = 500 Н/м Д/ = /) = 0.1 м
/1 = 10 см = 0,1 м к = 500 Н/м Д/ = /) = 0.1 м
А = Fs = FAL
Так как по мере удлинения пружины возрастает сила упругости, то в соответствии с III законом Ньютона внешняя сила тоже должна возрастать пропорционально удлинению, и при подсчете работы в этом случае надо брать среднее значение силы:
A = FcpM = ^^M.
Сила упругости возрастает от Fi = 0 до F^ = к AL Тогда
л = —д/= 4^4
22’
[Л] = — • м2 = Н ■ м = Дж; А = 2,5 Дж. м
Какую работу надо совершить, чтобы лежащий на земле однородный стержень длиной 6 м и массой 100 кг поставить вертикально?
/ — g мЗадачу решаем в соответствии с пунктом 7
т = 100 кг методики данного раздела. На рис. 11.56 видно, —— что высота подъема центра тяжести равна:
h = 1 и А = тд ^ = 3000 Дж.
Й2" f " " 1 1
™7/)//////'///
Жп =0
Рис. И.57
С какой начальной скоростью надо бросить вниз мяч с высоты Ь^ чтобы он подпрыгнул на высоту 2Л? Удар упругий. Сопротивлением воздуха пренебречь.
hi = hhz = 2hhi = hhz = 2hТак как мяч движется только под действием силы тяготения (сопротивлением воздуха пренебречь), то систему «мяч-Земля» можно считать изолированной. Кроме того, в момент удара о Землю не происходит потери механической энер
hi = h
hz = 2h
hi = h
hz = 2h
гии (удар упругий). Поэтому для любых положений мяча можно применить закон сохранения механической энергии (2.13). Уровень «нулевой» потенциальной энергии выберем у поверхности Земли (рис. П.57):
Для точки 1
Для точки 2 наивысшего подъема
Нк2 = 0; ИМ2 = mg2h = 2mgh.
Так как И/к i + И^П1 = И/К2 + И/П2. то
+mgh = 2mgh.
Делаем преобразования:
у = 9^ v0 = V^gh-1у = 9^ v0 = V^gh-1м = м/с.м = м/с.
у = 9^ v0 = V^gh-1
у = 9^ v0 = V^gh-1
м = м/с.
м = м/с.
Найдите кинетическую и потенциальную энергии тела массой 300 г, упавшего с высоты 50 м, на высоте 30 м от поверхности Земли. На всем пути на тело действует сила сопротивления воздуха, равная 2 Н.
т = 300 г = 0,3 кгНу = 50 м^о = 0Д2 = 30 мFC = 2Hт = 300 г = 0,3 кгНу = 50 м^о = 0Д2 = 30 мFC = 2H^к2-? Шп2-?^к2-? Шп2-?Так как на тело действует не только сила притяжения Земли, но и сила сопротивления воздуха, то система «тело- Земля» не является изолированной и закон сохранения механической энергии не выполняется. Используем соотношение (2.14):
т = 300 г = 0,3 кг
Ну = 50 м
^о = 0
Д2 = 30 м
FC = 2H
т = 300 г = 0,3 кг
Ну = 50 м
^о = 0
Д2 = 30 м
FC = 2H
^к2-? Шп2-?
^к2-? Шп2-?
v } A = W2-Wy.
А — работа силы сопротивления (рис. П.58). Найдем Л, Wy и W2:
А = Fcscosl80° = — Fcs;
ИД = ЖК1 + ШП1 = 0 + тдНу = тдНу^
Ш2 = ШК2 + ШП2.
Потенциальную энергию в точке 2 можно вычислить по данным задачи:
ШП2 = тдН2 = 90 Дж.
Подставим все это в соотношение (2.14) и найдем ГКк2:
-Fcs = WK2 + Wn2-Wnl;
И//К2 — ИД) — ИД 2 ~ Fcs — mghy — ИД2 — Fcs;
[ИДД = кг • ^ • м — Дж — Н • м = Дж; ШК2 = 20 Дж.
Груз массой 25 кг висит на шнуре длиной 2,5 м. На какую наибольшую высоту можно отвести в сторону груз, чтобы при дальнейших свободных качаниях шнур не оборвался? Шнур может выдержать натяжение в 550 Н.
т = 25 кг / = 2,5 м FH = 550 Нт = 25 кг / = 2,5 м FH = 550 НДанную систему можно считать изолированной (см. с. 182, п. 5). Уровень «нулевой» потенциальной энергии совместим с наинизшим положением тела (рис. И.59).
т = 25 кг / = 2,5 м FH = 550 Н
т = 25 кг / = 2,5 м FH = 550 Н
Запишем закон сохранения энергии:
ГГк1 + ИДх = шк2 + шп2.
В положении 1: ИД1 = 0; ИД1 = mgh.
В положении 2: ИД2 = ти2/2; Wn2 = 0.
Следовательно mgh = mv2/2, и h = ^[^2д\
Скорость можно найти из II закона Ньютона для вращательного движения:
FH + mg = та^ FH — тд = тощ;
„mFF^-mg = ——„mFF^-mg = ——/ — длина нити, она равна радиусу дуги,
„mF
F^-mg = ——
„mF
F^-mg = ——
груз. Отсюда
^2 _ (FH-mg)l т
Найдем h:
_ (FR-mg)l.
2т д'
Н-м Нс кг-м-с2
=тз = — = —— = м;
кг-м/с кг с -кг
h = 1,5 м.
Примечание: в задачах на свободно отклоняющееся тело можно
по которой движетсяпо которой движетсяприменить закон сохраприменить закон сохранения механической энергии, если отсутствуют какие-либо внешние силы, или работа внешних сил равна нулю.
по которой движется
по которой движется
применить закон сохра
применить закон сохра
Пуля, масса которой 10 г, ударяется о доску толщиной 4 см со скоростью 600 м/с, а вылетает из доски со скоростью 400 м/с. Найдите среднюю силу сопротивления доски.
т = 10 г = 0,01 кг s = 4 см = 0,04 м щ = 600 м/сг 2 = 400 м/ст = 10 г = 0,01 кг s = 4 см = 0,04 м щ = 600 м/сг 2 = 400 м/сТак как а = 180°, то Л = — Fcs,Так как а = 180°, то Л = — Fcs,В данной задаче закон сохранения энергии не применим, так как на пулю действует внешняя сила сопротивления со стороны доски (рис. П.60).
т = 10 г = 0,01 кг s = 4 см = 0,04 м щ = 600 м/с
г 2 = 400 м/с
т = 10 г = 0,01 кг s = 4 см = 0,04 м щ = 600 м/с
г 2 = 400 м/с
Так как а = 180°, то Л = — Fcs,
Так как а = 180°, то Л = — Fcs,
ну 20 см. Определите среднюю силу сопротивления почвы, если масса тела 2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.
hi = 250 м ^о = 20 м/с ho = 0,2 м т = 2 кг Fci = 0Fc2"?hi = 250 м ^о = 20 м/с ho = 0,2 м т = 2 кг Fci = 0Fc2"?На первом участке пути hi на тело действует только сила тяготения, являющаяся внутренней силой для системы «тело-Земля». На втором участке h2 начинает действовать внешняя сила сопротивления почвы (рис. П.61). Поэтому для всего пути движения воспользуемся формулой (2.11): работа сил сопротивления почвы равна изменению механической энергии тела.
hi = 250 м ^о = 20 м/с ho = 0,2 м т = 2 кг Fci = 0
Fc2"?
hi = 250 м ^о = 20 м/с ho = 0,2 м т = 2 кг Fci = 0
Fc2"?
«Нулевой» уровень потенциальной энергии выберем в горизонтальной плоскости, содержащей конечную точку движения — 2.
A = W2-Wi.
Найдем Л, Wi, IT2:
Л = Fc2h2cosa = -Fc2h2
(так как а = 180°)
W1 = -^- + mg(hi + /12); ИУ = 0.
Тогда2
—Fc2h2 = 0— ( ^ ° + т9(^1 + /12))-
Отсюда
Рис. П.61Рис. П.61Рс2 = у (у ту^х + М);
Рис. П.61
Рис. П.61
П2 X 2/
кюк^ = кг м = н.F^ = 26900 н
м • с с
С башни высотой 25 м горизонтально брошен камень со скоростью 15 м/с. Найдите потенциальную и кинематическую энергии камня спустя 1 с после начала движения, если масса камня 200 г. Сопротивлением воздуха пренебречь.
//у = 25 мfr = 15 м/сt = 1 сm = 200 г = 0,2 кгFc = 0//у = 25 мfr = 15 м/сt = 1 сm = 200 г = 0,2 кгFc = 0VKn2-? ^2"?VKn2-? ^2"?В соответствии с условием систему «камень-Земля» можно считать изолированной, так как сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Поэтому к данной задаче можно применить закон сохранения механической энергии. «Нулевой»
//у = 25 м
fr = 15 м/с
t = 1 с
m = 200 г = 0,2 кг
Fc = 0
//у = 25 м
fr = 15 м/с
t = 1 с
m = 200 г = 0,2 кг
Fc = 0
VKn2-? ^2"?
VKn2-? ^2"?
7ТТ7Т777Т7Т7777Т7Т77Т7777Т777Т77^^ _
Wn = 0
Рис. И.62
Ж-И^ ИЛИ Wk1 + ИДл — И^К2 + И^п2•
Найдем ИДл и ИДл-
^1 = -^; Wni = mghi.
Найдем ИД 2:
РИП2 = mgh2 = mg^hx - s),
где s — путь, пройденный камнем за 1 с,
(так как в вертикальном направлении камень падает с ускорением д без начальной скорости). Поэтому
ИД2 = mg^hi-— у
гТтл 1м /М-С2\ кг-м
[И/n2j = кг • — •— J = —— ■ м — Н • М = Дж;
1Уп2 = 39,4 Дж.
ИД2 найдем из закона сохранения энергии:
НД2 = ИДХ + жп1 - ИД2 = ^ + mgh1 - W^-
[1^к2] = Дж; IVk2 = 32,1 Дж.
Найдите величину работы, которую надо совершить, чтобы втащить на гору с уклоном 30° груженые сани массой 30 кг. Коэффициент трения полозьев о снег 0,05. Высота горы 20 м.
^ = 30° т = 30 кг /1 = 0,05 Л = 20 м^ = 30° т = 30 кг /1 = 0,05 Л = 20 мЛ-?Л-?I способ
^ = 30° т = 30 кг /1 = 0,05 Л = 20 м
^ = 30° т = 30 кг /1 = 0,05 Л = 20 м
Л-?
Л-?
Считаем, что сани тянут равномерно, поэтому для нахождения силы тяги запишем I закон Ньютона (рис. П.63):
mg + F + N + FTp = 0
(F — внешняя сила тяги, N — сила реакции опоры, FTp — сила трения).
Запишем это векторное уравнение в проекциях на оси системы координат хОд:
ось Ox: F — FTp — (тд)ж = 0,
ось Од: N — (mg)^ = 0.
Так как
Рис. И.63Рис. И.63Угол между силой тяги F вен нулю: а = 0, поэтому при что cos а = 1. Работа силы тягУгол между силой тяги F вен нулю: а = 0, поэтому при что cos а = 1. Работа силы тягто систему уравнений (а) можно переписать следующим образом:{F — gN — mg sm p = 0.(6)N — mg cos p = 0.Решая систему (б), найдем величину силы тяги:F = mg(smP + д cosPYПуть, пройденный санями при подъеме, равен: s = h/smp.и направлением перемещения ра- вычислении работы надо учесть, I равна А = Fs;то систему уравнений (а) можно переписать следующим образом:{F — gN — mg sm p = 0.(6)N — mg cos p = 0.Решая систему (б), найдем величину силы тяги:F = mg(smP + д cosPYПуть, пройденный санями при подъеме, равен: s = h/smp.и направлением перемещения ра- вычислении работы надо учесть, I равна А = Fs;FTp = gN, (тд)ж = mgsm Р^(mg)у = mg cos Р^
Рис. И.63
Рис. И.63
Угол между силой тяги F вен нулю: а = 0, поэтому при что cos а = 1. Работа силы тяг
Угол между силой тяги F вен нулю: а = 0, поэтому при что cos а = 1. Работа силы тяг
то систему уравнений (а) можно переписать следующим образом:
{F — gN — mg sm p = 0.
(6)
N — mg cos p = 0.
Решая систему (б), найдем величину силы тяги:
F = mg(smP + д cosPY
Путь, пройденный санями при подъеме, равен: s = h/smp.
и направлением перемещения ра- вычислении работы надо учесть, I равна А = Fs;
то систему уравнений (а) можно переписать следующим образом:
{F — gN — mg sm p = 0.
(6)
N — mg cos p = 0.
Решая систему (б), найдем величину силы тяги:
F = mg(smP + д cosPY
Путь, пройденный санями при подъеме, равен: s = h/smp.
и направлением перемещения ра- вычислении работы надо учесть, I равна А = Fs;
А = mg(sm Р + geos Р) -J^ = mgh(l + gctgPY
[Л] = кг ^ м = Н м = Дж; А = 6,35 кДж. с
II способ
Решим эту задачу, используя понятие энергии.
На сани действует сила притяжения к Земле (внутренняя сила), и внешние силы — сила тяги и сила трения. В соответствии с формулой (2.14) можно записать, что
Л + Лтр = А^(в)
Л — работа силы тяги, Лтр — работа силы трения.
Систему отсчета свяжем с Землей; уровень нулевой потенциальной энергии выберем у основания горы. Относительно этого уровня, при перемещении саней из точки 1 в точку 2, изменение энергии равно:
^W = mgh\ И/j =0; W^^mgh.(г)
Найдем работу силы трения:
Лтр = FTOscosl80° = -u,N^—.h hsin р
Из рис. П.63 N = тдсо^р. Поэтому
лтр = -p,mgct^0.(д)
Подставив (г) и (д) в формулу (в), получим такое же, как при решении первым способом, выражение:
А = mgh(l + pctg^Y
Очевидно, что решение вторым способом получается проще.
С горы высотой 2 м и основанием 5 м съезжают санки, которые останавливаются, пройдя горизонтальный путь 35 м от основания горы. Найдите коэффициент трения.
Система неизолированная, внешней силой яв- — 2 м ляется сила трения. Сани, обладая потенциальной / = 5 м~
энергией в начале движения, останавливаются в 5 — 35 м результате работы силы трения Лтр (рис. И.64).
Уровень нулевой потенциальной энергии выберем у основания горы. Тогда
Ж = mgh* Wz = 0.(б)
Работа сил трения складывается из работы на двух участ
ках si и S9:А
Лтр = Л1 + Л2.
Работа силы трения на наклонном участке равна
Лх = FTpiSicosl80° = — FTpiSi = —gN^sx^
угол 180° — между направлением перемещения и силой трения, 7Vi — сила нормального давления на склоне горы, равная составляющей силы тяжести на нормаль (численно равна силе реакции опоры), sx — длина склона горы. Из рис. П.64 видно, что
Ml = mg cos cosp> = —.
si
С учетом этих соотношений получим формулу для работы силы трения на первом участке:
Ai = —дтд — si = —gmgl.
si
Работы силы трения на горизонтальном участке равна
^2 — FTp2S2 cos 180° = —FTp2S2 = —gN^s^-
На горизонтальном участке сила нормального давления равна силе тяжести. Поэтому
Л2 = -gmgs^.
Работа силы трения на всем пути равна сумме:
А = Лх + Л2 = -gmg(H-s2).(в)
Подставим формулы (б) и (в) в (а) и найдем коэффициент трения д:
-gmg(l + s2) = -mgh-, д = А—-,[^ = - = 1; д = 0,05.
t + S2м
В неподвижный маятник, имеющий массу М^ попадает пуля массой т, летящая горизонтально со скоростью fX. Определите, на какую высоту поднимется маятник и какая часть механической энергии летящей пули превратится в энергию маятника с пулей?
М, т^ fiМ, т^ fiWoh - ? _ - ?’ Wi 'Woh - ? _ - ?’ Wi 'Колебания маятника, происходящие под действием силы тяжести и силы натяжения нити, подчиняются закону сохранения механической энергии (см. с. 182, и. 5). Поэтому
М, т^ fi
М, т^ fi
Woh - ? _ - ?
’ Wi '
Woh - ? _ - ?
’ Wi '
высоту подъема маятника можно найти из закона сохранения энергии. Относительно обозначенного «нулевого» уровня можно записать (рис. П.65):
f7x ^2 = 0f7x ^2 = 0До попаданияДо попаданияПосле попаданияПосле попаданияРис. П.65Рис. П.65
f7x ^2 = 0
f7x ^2 = 0
До попадания
До попадания
После попадания
После попадания
Рис. П.65
Рис. П.65
ТТЛТТЛ,х ,
W1 = И2, Wi = —-—,И'2 = (M + m)gh,
где d — скорость маятника после попадания пули, h — высота наибольшего подъема. Следовательно
откуда
Найдем скорость маятника вместе с пулей — d. Удар пули с маятником является неупругим ударом. Поэтому можно записать закон сохранения импульса (в проекции на направление взаимодействия):
mf i + Md^ = (m + М) v.
fl — скорость пули, f2 — скорость маятника перед ударом. Так как f2 = 0, тоmVi
^ =—.
т + М
Тогда 2 2222
,т v 1г, п кг • м • с
ш —9— — м-
^тА-М^дс2-кг2-м
Механическая энергия маятника с пулей равна
m + M)r2 _ (m + M)m2vl _ m2v2
2”” 2(m + M)'
Кинетическая энергия пули
поэтому
И/2 _ т d1 . m^ _ т
Wo2(т + М)2 тЛМ
Два одинаковых свинцовых шарика подвешены на длинных нитях, причем li = l2 = I. Один шарик отклонили так, что нить составила угол 60° с вертикалью. На какую высоту поднимутся шарики после абсолютно неупругого удара? Как изменится механическая энергия шаров после удара?
mi = m2 = т h = h = l о = 60°mi = m2 = т h = h = l о = 60°Woh^-i 1L2_?21 WiWoh^-i 1L2_?21 WiИспользуя закон сохранения механической энергии (см. задачу 23), найдем скорость отклонения шарика непосредственно перед ударом гц (рис. 11.66 а):
mi = m2 = т h = h = l о = 60°
mi = m2 = т h = h = l о = 60°
Woh^-i 1L2_?21 Wi
Woh^-i 1L2_?21 Wi
mghi = ^-; «i = (а)
Найти hi можно, используя тригонометрическую связь между /, ж и углом а (рис. 11.66 а): ж =/cos ас
hi = l — x = /(1 — cos а).(б)
В момент неупругого удара шарики деформируются и дальше движутся вместе. Запишем для этого взаимодействия закон сохранения импульса (рис. П.66 б):
Ш1Щ = (w + ^2) ^^
v — скорость шаров после удара. Так как mi = т^ = ш, то в проекциях это уравнение запишется следующим образом:
mui = 2mv‘ гд = 2щ d = di/2.(в)
Найдем теперь высоту подъема слипшихся шариков после удара по закону сохранения энергии (рис. П.66 в):
2mv2у2
—— = 2mgh2; h2 = —.zzg
Подставим соотношения (в), (б) и (а) в последнюю формулу для h2. Получим
h2 = 0,25/(1 - cos а) = 0,25/(1 - cos 60°); h2 = 0,125/.
При ударе свинцовых шариков они деформируются, нагреваются. Эти изменения необратимы: часть механической энергии переходит во внутреннюю. Найдем, во сколько раз уменьшилась механическая энергия:
Ж = mghi = mgl(l — cosq) = 0,5mgZ;
ИД = 2mgh2 = 2шд^Л2Ы = ОДбшд/;
Механическая энергия шаров после удара уменьшится в 2 раза.
Два стальных шарика подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются друг с другом. Масса одного шарика в два раза больше, чем другого. Тяжелый шарик отвели от положения равновесия так, что нить составляет угол 60° с вертикалью. Затем его отпустили. На какую высоту отклонится каждый шарик после их упругого столкновения?
mi = 2m2 h = /2 = 1 а = 60°
Шарик массой mi при отклонении на угол од приобретает потенциальную энергию
ШП1 = migh = migl(l — cos од)
/ii-? /г2 —?
(см. рис. И.66 а; подробно это выражение получено при разборе задачи 24 этого раздела).
Когда шарик отпустили, потенциальная энергия переходит в кинетическую. Из закона сохранения энергии можно получить
скорость первого шарика в наинизшем положении, то есть перед взаимодействием с более легким вторым шариком (рис. 11.67 а):
Рис. 11.67
VCni = VCKi; miy/(l-cosa) =
vi = ^^gl^l — cos а).(a)
Теперь можно записать закон сохранения импульса для упругого взаимодействия шариков. Второй шарик после удара будет двигаться вправо, а первый шарик может либо сменить направление своего движения (рис. П.67 б\ либо с меньшей скоростью двигаться в прежнем направлении (рис. 11.67 в). Рассмотрим подробно первый случай. Запишем закон сохранения импульса в векторной форме для упругого удара, а затем в проекциях на ось х (второй шарик перед ударом покоится: v^ = 0): т^х = 7721^ +7712^2,
^1 > ^2 — скорости шариков после удара, тыц = —т^х’у +7712^2.
В это уравнение входят две неизвестных величины: т^ и у^ Поэтому для их нахождения нужно еще одно уравнение, которое запишем, используя закон сохранения механической энергии:
2 “2+2’
Г mi«i = m2^-miv^
]О/ I/ i \ ОХ^/
( 77717ф = 7711+7712(^2) .
Полученная система приведет к квадратному уравнению. Произведем преобразования, которые дадут более простое второе уравнение:
mi(vi + v'J = т2«2, mi^i - W2) = m2(f2)2;
J т^ + Щ = т2'и^(mitvi-v'iXvi + v'i) = m2(v2)2-
Поделим второе уравнение на первое. Произведя сокращения, получим//
^1 -^1 = ^2’
Используя полученное уравнение и первое уравнение системы (б), можно найти Vy и г^
miDi = 7712^2 — mil)^ t>i -^ = ^2-
мы (в) упростится:мы (в) упростится:2^1 = 772 — 2?;^2^1 = 772 — 2?;^Так как по условию mi = 2т^^ то первое уравнение систе
мы (в) упростится:
мы (в) упростится:
2^1 = 772 — 2?;^
2^1 = 772 — 2?;^
ОтсюдаОтсюда£i з ’£i з ’^1 -^i = ^2*
Отсюда
Отсюда
£i з ’
£i з ’
/4171
Г9 =
23
Знак минус говорит о том, что направление движения шарика массой mi выбрано неверно; после удара он движется в прежнем направлении, т. е. соответствует рис. П.67 в.
Рекомендуется самостоятельно произвести решение и получить те же ответы (но без « —» перед v^), записав закон сохранения количества движения для рис. И.67 в.
Теперь, опять используя закон сохранения энергии и соотношение (а), получим высоты hi и h^ на которые поднялись шарики после соударения (рис. И.67 г):
hi = ^ = ^- = /(1 У"^ га0,11/(1 —cos60°) = 0,055/;
2g 18g9’'’’’
тг^г)2 г—= m2gh2;
h2 == ^ = 16/(1"-cosa) ~ 1 77/(1 —Cos60°) = 0,88/.
^9 9д9’'у ’
14 С. В. Трубецкова
Если положить на верхний конец спиральной пружины гирю, то она сожмет пружину на величину /о- На сколько сожмет пружину та же гиря, брошенная вниз с начальной скоростью г>о с высоты Н?
Когда гиря положена на пружину, ее сила тяжести скомпенсирована упругой силой (рис. 11.68 а). Поэтому цможно записать, что
——mg = Fynp, или mg = kl0.(а)
После падения гири пружина сжимается. Уровень отсчета потенциальной энергии расположен в горизонтали, где находится центр тяжести гири в наинизшем ее положении (рис. 11.68 в). Относительно этого уровня механическая энергия гири для ситуации, соответствующей рис. П.68 5, равна
W6=mg(H + х) + ^~.
абв
Рис. П.68
Когда гиря сжала пружину, вся ее энергия превратилась в потенциальную энергию деформированной пружины (рис. И.68 в):
We=—.
На гирю действует сила тяжести и упругая сила. Так как трение отсутствует, то можно записать закон сохранения механической энергии:
w6=we-тд(Н + х) + ^ = ^.
Найдем жесткость пружины из уравнения (а) и подставим в последнюю формулу. После преобразований получим квадратное уравнение относительно деформации ж:
дж2 - 2д/ож - 1о(2дН + Vq) = 0.
Решая его, найдем требуемую величину:
ж — /о + ^о + ^1оН + ^10/9.
(второе значение корня отрицательно и физического значения не имеет).
Проверим полученное выражение по размерности:
г -I/оо
[ж] = М + \ М2 + М2 н2 = м + м = м.
Vс • м
Поезд массой 600 т, отойдя от станции на 2,5 км, приобретает скорость 60 км/ч. Какую среднюю мощность развивает локомотив, если коэффициент трения равен 0,005?
m = ouu т = о • iu кгs = 2,5 km = 2,5-IO3 м^o = 0ж = 60 км/ч = 16,7 м/с g = 0,005m = ouu т = о • iu кгs = 2,5 km = 2,5-IO3 м^o = 0ж = 60 км/ч = 16,7 м/с g = 0,005В данном случае на поезд действуют две внешние силы: сила тяги FT и сила трения FTp. Работа этих сил равна изменению энергии:
m = ouu т = о • iu кг
s = 2,5 km = 2,5-IO3 м
^o = 0
ж = 60 км/ч = 16,7 м/с g = 0,005
m = ouu т = о • iu кг
s = 2,5 km = 2,5-IO3 м
^o = 0
ж = 60 км/ч = 16,7 м/с g = 0,005
Лт + Лтр = 1Т2-1Т1.(а)
Лт = FTscos0° = Fps;
Л^р ~ FTpscosl80 — —FTps;
m-и2/2-Wi = 0.
Подставим все это в основное соотношение (а):
FTs FTpS — - .(б)
Мощность локомотива можно найти по формуле
Nep — FтжСр.
Силу тяги FT найдем из соотношения (б), учитывая, что FTp = цтд (так как поверхность горизонтальная):
„„ж г 2/v2\
FT = FTp + —— = gmg + —— = m kgg + — .
18ISX 18/
ТогдаТогда-To + v v
Тогда
Тогда
Vcp-^—- 2"
[^ср] —[^ср] —кг • мскг • мсм2с2 • мм2с2 • мкг • м мДж- == Вт:сс Скг • м мДж- == Вт:сс С
[^ср] —
[^ср] —
кг • м
с
кг • м
с
м2с2 • м
м2с2 • м
кг • м мДж
- == Вт:
сс С
кг • м мДж
- == Вт:
сс С
^р-5,2-105 Вт.
Найдите работу, которую надо совершить, чтобы растянуть пружину, коэффициент жесткости которой равен 30 Н/см, на 20 см из недеформированного состояния.
А; = 30 Н/см = 30 102 Н/мДД = 0ДД = 20 см = 0,2 мД-?Знак «—» определяетсяА; = 30 Н/см = 30 102 Н/мДД = 0ДД = 20 см = 0,2 мД-?Знак «—» определяетсяРабота силы упругости
А; = 30 Н/см = 30 102 Н/м
ДД = 0
ДД = 20 см = 0,2 м
Д-?
Знак «—» определяется
А; = 30 Н/см = 30 102 Н/м
ДД = 0
ДД = 20 см = 0,2 м
Д-?
Знак «—» определяется
[Л'] = — • м2 = Н • м = Дж, м
Д' = -0,6 Дж.
тем, что при растяжении пружи
ны сила упругости совершает отрицательную работу, а работа внешней силы положительна и равна А = 0,6 Дж.
ки на высоту 50 м груза вен 75 %?N = 10 кВт = 103 Вт/г = 50 мm = 2 т = 2 • 103 кг^ = 75 % = 0,75ки на высоту 50 м груза вен 75 %?N = 10 кВт = 103 Вт/г = 50 мm = 2 т = 2 • 103 кг^ = 75 % = 0,75Подъемный кран приводится в действие двигателем мощностью 10 кВт. Сколько времени понадобится для достав- массой 2 т, если КПД двигателя ра-
ки на высоту 50 м груза вен 75 %?
N = 10 кВт = 103 Вт
/г = 50 м
m = 2 т = 2 • 103 кг
^ = 75 % = 0,75
ки на высоту 50 м груза вен 75 %?
N = 10 кВт = 103 Вт
/г = 50 м
m = 2 т = 2 • 103 кг
^ = 75 % = 0,75
КПД определяется по формуле
где Ап — работа по подъему груза на высоту h,. равная изменению потенциальной энергии груза. Если уровень «нулевой» потенциальной энергии выбрать на поверхности Земли, то Ап = mgh] А3 — работа двигателя: А3 = Nt. Тогда
Отсюда
8 = ^;[8] = ^^ = ^ = ^ = ^ г = 1зос
T)Nс2-Вт Вт Дж
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГОРЕШЕНИЯ
Применение законов Ньютона к поступательному движению
Во всех нижеприведенных случаях (рис. 11.69) охарактеризуйте движение тела по действию нескольких сил: равномерное или равнопеременное; укажите направление ускорения. Дополнительные построения к задаче произведите, предварительно перерисовав чертеж в тетрадь.
А А<•>А А<•>ааРис. П.69Рис. П.69
А А
<•>
А А
<•>
а
а
Рис. П.69
Рис. П.69
Мяч после удара футболиста летит вертикально вверх. Укажите и сравните силы, действующие на мяч: а) в момент удара; б) во время полета мяча вверх; в) во время полета мяча вниз; г) при ударе о землю.
Коэффициент трения между бруском и горизонтальной поверхностью равен 0,2. Масса бруска 5 кг. Какая сила трения
возникает, если на брусок подействовать горизонтальной силой а) 7 Н? б) 10 Н? в) 15 Н? Каков характер движения бруска во всех этих случаях?
Укажите и сравните силы, действующие на шарик в следующих случаях: а) шарик лежит на горизонтальном столе; б) получает толчок от руки; в) катится по столу; г) летит со стола.
С какой силой надо подействовать на тело массой 500 г, чтобы оно начало двигаться с ускорением 1 см/с2?
Какой силой надо подействовать на тело массой 2 кг, чтобы из состояния покоя оно прошло за 5 с путь в 25 м?
Какой силой надо подействовать на тело массой 5 кг, движущееся равномерно со скоростью 0,5 м/с, чтобы за 5 секунд действия силы скорость тела стала равной 35 м/с?
Под действием какой силы тело массой 7 кг может равномерно подниматься?
Какова должна быть сила сопротивления воздуха, чтобы воздушный шар массой 5 г равномерно опускался?
Какую массу должно иметь тело, чтобы под действием силы 4,9 Н оно двигалось равномерно по горизонтальной поверхности? Коэффициент трения равен 0,01.
Найдите величину тормозящей силы, действующей на автомобиль массой 3 т, если при скорости движения 20 м/с тормозной путь был равен 40 м.
На покоящееся тело массой 0,2 кг действует в течение 5 с сила 0,1 Н. Какую скорость приобретает тело и какой путь оно пройдет за указанное время?
Под действием силы в 5 Н тело движется с ускорением 1 м/с2. С каким ускорением будет двигаться это тело под действием силы в 15 Н?
Поезд массой 2000 т, движущийся со скоростью 36 км/ч, остановился; время торможения равно 80 с. Определите величину тормозящей силы и тормозной путь.
Под действием некоторой силы тело массой 2 кг движется с ускорением 0,5 м/с2. Каково будет ускорение тела массой 0,5 кг под действием той же силы?
Масса легкового автомобиля равна 2 т, а грузового 8 т. Сравните ускорение автомобилей, если сила тяги грузового автомобиля в 2 раза больше, чем легкового.
Магнитный брусок массой 500 г прилип к вертикальной стальной плите. Найдите силу магнитного притяжения, если коэффициент трения бруска о плиту 0,098.
Магнитный брусок массой 1,5 кг лежит на горизонтальной стальной плите. Сила магнитного притяжения бруска к плите 100 Н. Коэффициент трения бруска о плиту 0,2. Какую силу надо приложить для равномерного передвижения бруска по плите?
Магнит массой 50 г прилип к вертикальной стальной плите. Для равномерного скольжения магнита вниз прикладывают силу 1,5 Н. С какой силой магнит притягивается к плите? Какую силу надо приложить, чтобы равномерно перемещать магнит вертикально вверх? Коэффициент трения равен 0,2.
Лодку массой 50 кг тянут к берегу двумя канатами, расположенными в горизонтальной плоскости. Угол между канатами 60°. Силы, приложенные к канатам, по 100 Н каждая. С каким ускорением лодка приближается к берегу?
С каким ускорением летит самолет, если на него действуют четыре силы: по вертикали — сила тяжести 200 кН и подъемная сила 210 кН; по горизонтали — сила тяги двигателя 20 кН и сила лобового сопротивления воздуха 10 кН. Как направлено ускорение?
Человек, стоя в лодке, тянет к себе с помощью веревки вторую лодку. Определите пути, пройденные первой и второй лодками за 5 с, если масса первой лодки 200 кг, второй — 100 кг, а сила натяжения веревки 100 Н. Силами трения пренебречь, воду считать покоящейся, а движение лодки равноускоренным.
Мальчик, стоя на тележке, тянет к себе с помощью веревки вторую тележку с постоянной силой 100 Н. Определите скорости первой и второй тележек через 2 с после начала движения, если масса тележки с мальчиком 100 кг, а масса второй тележки 80 кг. Трением пренебречь.
. Один шар-зонд, когда его отпускают, движется с ускорением «1, другой — с ускорением а^. Подъемная сила у них
Звездочкой обозначены задачи повышенной трудности.
одинаковая. Найдите ускорение в том случае, если они соеди
нены вместе.
На рис. 11.70 дан график зависимости скорости движения автомобиля массой 3 т. Определите силу трения.
По данным рис. П.71 напишите уравнения координат для 1-го и 2-го тел, взяв за точку отсчета по-
Рис. И.70Рис. И.70mi = 2 кгmi = 2 кгА = io нА = io н2 м2 мm2 = 3 кгm2 = 3 кгW = ^02 = ОW = ^02 = Оложение 1-го тела в данный момент. Через сколько времени тела столкнутся?
Рис. И.70
Рис. И.70
mi = 2 кг
mi = 2 кг
А = io н
А = io н
2 м
2 м
m2 = 3 кг
m2 = 3 кг
W = ^02 = О
W = ^02 = О
Рис. 11.71
На рис. И.72 дан график скорости движущегося тела. Что можно сказать о действующих на это тело силах?
Рис. 11.72 Рис. П.73Рис. 11.72 Рис. П.73
Рис. 11.72 Рис. П.73
Рис. 11.72 Рис. П.73
На рис. И.73 дан график изменения скорости тела массой 2 кг. Найдите силу, действующую на тело, на каждом участке пути.
Электровоз на участке пути длиной 600 м развивает силу тяги 150 кН. Скорость поезда при этом возрастает от 36 до 54 км/ч. Определите силу сопротивления движению, считая ее постоянной. Масса электровоза равна 1000 т.
На горизонтальном участке пути длиной 225 м скорость автомобиля возросла с 10 до 15 м/с. Определите силу сопротивления движению, если масса автомобиля 9340 кг, а сила тяги двигателя равна 15700 Н.
Электровоз двигает с места состав массой 1600 т. С каким ускорением движется поезд, если коэффициент сопротивления равен 0,005, а сила тяги 400 кН?
Автомобиль массой 14 т, трогаясь с места, проходит первые 50 м за 10 с. Найдите силу тяги, если коэффициент сопротивления равен 0,05.
Поезд массой 1000 т отходит от станции. Какой скорости достигнет этот поезд на расстоянии 1 км, если паровоз развивает силу тяги в 220 кН, а коэффициент трения 0,005? Через сколько времени будет достигнута эта скорость?
Камень, скользящий по горизонтальной поверхности льда, остановился, пройдя расстояние 48 м. Определите начальную скорость камня, если коэффициент трения скольжения камня о лед равен 0,06.
Тело массой т движется прямолинейно с ускорением а по горизонтальной плоскости под действием некоторой силы, образующей с горизонтом угол а. Определите величину этой силы, если коэффициент трения между передвигаемым телом и плоскостью равен /1.
Груз массой 100 кг перемещают равноускоренно по горизонтальной поверхности, прилагая силу 200 Н, направленную под углом 30° к горизонту. С каким ускорением движется тело, если коэффициент трения равен 0,1?
Груз массой 100 кг равномерно тянут по горизонтальной поверхности с силой 300 Н, направленной под углом 30° к горизонту. Найдите коэффициент трения скольжения.
Груз массой 100 кг перемещают равномерно по горизонтальной поверхности, прилагая силу, направленную под углом 30° к горизонту. Определите ее величину, если коэффициент трения о поверхность равен 0,3. Что выгоднее — тянуть или толкать этот груз с той же силой?
Тело массой 10 кг тянут по горизонтальной поверхности силой 40 Н. С каким ускорением будет двигаться тело, если сила приложена под углом 30° ? Коэффициент трения о поверхность равен 0,1. Каким будет ускорение, если тело толкать той же силой под углом 30° к горизонту?
40 . Тело массой 12 кг под действием силы 80 Н, придавливающей его к горизонтальной поверхности и действующей под
углом 30° к горизонту, движется равномерно. Определите, с каким ускорением будет двигаться то же тело, если его тянуть, а не толкать с той же силой, действующей под тем же углом к горизонту.
Грузовик взял на буксир легковой автомобиль массой 2 т и, двигаясь равноускоренно, за 50 с проехал 400 м. Найдите удлинение троса, соединяющего автомобили, если его жесткость 2 106 Н/м. Трение не учитывать.
При помощи динамометра поднимают груз массой 2 кг с ускорением 2,5 м/с2, направленным вверх. Найдите удлинение пружины динамометра, если ее жесткость 1000 Н/м.
Деревянный брусок массой 2 кг тянут равномерно по деревянной доске с помощью пружины жесткостью 10 Н/м. Коэффициент трения 0,3. Найдите удлинение пружины.
Жесткость пружины 500 Н/м. Если с помощью этой пружины равномерно тянуть по полу брусок массой 5 кг, то пружина удлиняется с 10 до 15 см. При этом пружина образует с горизонтом угол 60°. Каков коэффициент трения бруска о пол?
Два груза, массы которых равны 0,98 и 0,2 кг, связаны нитью и лежат на гладком столе. К первому грузу приложена сила 5 Н, ко второму в противоположном направлении 3 и. Чему равно натяжение нити?
Два груза массами 3 кг и 5 кг лежат на гладком горизонтальном столе, связанные шнуром, который разрывается при натяжении 24 Н. Какую максимальную силу можно приложить к первому грузу? Ко второму грузу? Как изменится ответ, если учесть трение? Коэффициенты трения грузов о стол одинаковы.
Два груза массами 0,2 кг и 4 кг связаны нитью и лежат на гладком столе (трением пренебречь). К первому грузу приложена сила 0,2 Н, ко второму в противоположном направлении — сила 0,5 Н. С каким ускорением будут двигаться грузы и какова сила натяжения соединяющей их нити?
Два тела с массами 50 кг и 100 кг связаны нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности. С какой силой можно тянуть первое тело, чтобы нить, способная выдержать силу натяжения 5 Н, не оборвалась? Изменится ли результат, если силу приложить ко второму телу?
Три одинаковых бруска связаны нитью и положены на гладкий стол. К первому бруску приложена сила 100 Н. Определите силу натяжения нитей, соединяющих первый и второй бруски и второй с третьим. Силой трения пренебречь.
Тело массой 1 кг падает с ускорением 9 м/с2. Чему равна средняя сила сопротивления воздуха?
Тело массой 100 г, падая с высоты 9 м, приобрело скорость 12 м/с. Найдите среднюю силу сопротивления воздуха.
Парашютист массой 85 кг при раскрытии парашюта опускается с постоянной скоростью. Чему равна сила сопротивления воздуха?
Камень массой 1 кг при падении с высоты 30 м имел скорость в момент падения 23 м/с. Чему равна средняя сила сопротивления воздуха при падении камня?
Тело, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью 30 м/с, достигло высшей точки подъема спустя 2,5 секунды. Определите среднее значение силы сопротивления воздуха, действовавшей на тело во время полета, если масса тела 40 г.
Тело массой 0,1 кг, брошенное вертикально вверх со скоростью 40 м/с, достигло высшей точки подъема через 2,5 с. Определите среднее значение силы сопротивления воздуха.
Какой массы балласт надо сбросить с равномерно спускающегося аэростата, чтобы он мог равномерно подниматься с той же скоростью? Вес аэростата с балластом 16 кН, подъемная сила аэростата 12 кН. Силу сопротивления воздуха считать одинаковой при подъеме и спуске.
При каком ускорении разорвется трос, прочность которого на разрыв равна 15 кН, при подъеме груза массой 500 кг?
Подвешенное к тросу тело массой 10 кг поднимается вертикально вверх. С каким ускорением оно движется, если сила натяжения троса 118 Н?
Шахтная клеть массой 3 • 103 кг поднимается с ускорением 0,5 м/с2. Определите натяжение каната, при помощи которого поднимается клеть. Каково будет натяжение каната в начале спуска клети с тем же ускорением и при ее движении с постоянной скоростью?
С каким максимальным ускорением можно поднимать с помощью веревки тело массой 200 кг, если веревка выдерживает неподвижный груз массой 240 кг?
Какой груз можно поднять равноускоренно за 10 с силой 1000 н на высоту 10 м? Каково будет натяжение веревки, если этот груз с таким же ускорением будет опускаться вниз?
Максимальная нагрузка, которую выдерживает веревка, равна 80 Н. Какой наибольший груз можно опустить с ее помощью вниз с ускорением 4,9 м/с2?
При помощи троса можно поднять груз массой 1 т с максимальным ускорением 0,2 м/с2. Какой наибольший груз можно опустить с ускорением 0,8 м/с2?
Груз массой 15 т опускают в трюм парохода. График из-
22Рис. 11.74Рис. 11.74и, м/с3и, м/с3менения скорости дан на рис. 11.74. Определите силу натяжения троса в следующие промежутки времени: а) от начала движения до конца пятой секунды; б) от начала шестой секунды до конца тринадцатой; в) от конца тринадцатой секунды до конца пятнадцатой.
2
2
Рис. 11.74
Рис. 11.74
и, м/с
3
и, м/с
3
Определите вес груза, поднимаемого в лифте, если его масса 150 кг, а лифт поднимается с ускорением 0,66 м/с2. Какое давление оказывает груз на пол кабины при опускании лифта с тем же ускорением?
Космический корабль массой 103 т при вертикальном подъеме за 10 с набрал высоту 3 км. Определите силу тяги двигателей. Как отличается вес космонавта при подъеме от его веса на Земле (т. е. найти перегрузку)?
На определенных участках пути при вертикальном взлете космическая ракета движется с ускорением 49 м/с2. Какую перегрузку испытывает при этом космонавт?
Шахтная клеть в покое весит 2500 Н. С каким ускорением опускается клеть, если ее вес уменьшился до 2000 Н?
Груз массой 150 кг лежит на дне кабины спускающегося лифта и давит на его дно с силой 1800 Н. Определите величину и направление ускорения лифта.
В лифте находится груз массой 100 кг. Каков будет вес этого груза, если лифт: а) поднимается вертикально вверх с ускорением 0,3 м/с2; б) движется равномерно; в) опускается с ускорением 0,4 м/с2; г) свободно падает?
Веревка выдерживает груз массой 200 кг при подъеме его с некоторым ускорением по вертикали и груз массой 800 кг при опускании его с таким же по величине ускорением. Какой груз можно поднять на этой веревке с постоянной скоростью?
Какое ускорение нужно сообщить космическому кораблю, чтобы космонавт испытывал четырехкратное увеличение своего веса? Разберите случаи вертикального взлета и вертикального спуска.
В лифте установлены пружинные весы, на которых подвешено тело массой 1 кг. Что будут показывать весы, если:
лифт движется вверх ускоренно с ускорением 4,9 м/с2;
лифт движется вверх замедленно с ускорением 4,9 м/с2;
лифт движется вниз ускоренно с ускорением 2,45 м/с2;
лифт движется вниз замедленно с ускорением 2,45 м/с2?
Три тела массами 1,96 кг, 3,92 кг и 0,98 кг связаны нитями. Какую силу надо приложить к первому телу, чтобы равномерно поднимать все тела вертикально вверх? Чему равны при этом натяжения нитей?
Две гири массами 2 кг и 1 кг соединены нитью и перекинуты через неподвижный блок. Найдите ускорение, с которым движутся гири, и натяжение нити. Трением в блоке пренебречь. Нить считать невесомой и нерастяжимой.
Через неподвижный блок перекинута нить с двумя грузами, масса одного из которых в два раза больше массы другого. С каким ускорением движутся грузы, чему равны их массы, если сила натяжения нити равна 26,15 Н?
К концам шнура, перекинутого через неподвижный блок, подвешены гири массами 7 и 11 кг; гири находятся на одной высоте. Через какой промежуток времени после начала движения более легкая гиря поднимется на 10 см? Массой блока и весом нити пренебречь.
На концах нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены тела, каждое из которых имеет массу 240 г. Какую
массу должен иметь добавочный груз, положенный на одно из тел, чтобы каждое из них прошло за 4 с путь, равный 160 см?
Через блок переброшена нить, к концам которой подвешены гири массой по 200 г каждая. Какую вертикальную силу надо приложить к одной из гирь, чтобы система начала двигаться с ускорением 50 см/с2?
Одинаковые грузы массой по 120 г прикреплены к нити, переброшенной через блок. На один из грузов положили кусочек проволочки массой 4,8 г. Какой путь пройдет каждая из гирь за 2 с и какую приобретет скорость?
На концах нити, перекинутой через блок, висят на одинаковой высоте две гирьки массой по 96 г каждая. Если на одну из гирек положить перегрузок, вся система придет в движение и через 3 с расстояние между гирьками станет 1,8 м. Определите ускорение тел, массу перегрузка, силу натяжения нити, силу давления перегрузка на гирьку при движении и силу давления на ось блока.
. Через неподвижный блок перекинута нить с двумя грузами, масса одного из которых в 2 раза больше другого. С каким ускорением движутся грузы, чему равны их массы и какова сила натяжения нити, если сила давления на ось блока равна 52,3 Н?
83 . Через неподвижный блок перекинута веревка, к одному из концов которой привязан груз массой 60 кг. На другом конце повис человек массой 65 кг, который, выбирая веревку,
поднимает груз, оставаясь при этом на одном и том же расстоянии от пола. Через сколько времени груз будет поднят на вы
соту 12 м?
84 . Маляр массой 60 кг работает в подвесном кресле, масса которого 10 кг. Ему понадобилось срочно подняться вверх. Он принимается тянуть за веревку с такой силой, что сила его давления на кресло уменьшается до 300 Н. Найдите ускорение маляра.
85 . Определите ускорения, с которы
ми движутся грузы mi и m2, и силы натяжения нитей (рис. П.75). Трением и массой блоков пренебречь.
Нить считать невесомой и нерастяжимой, масса первого груза больше.
Два груза массами 3 кг и 2 кг, лежащие на горизонталь
ном столе, соединены нитью, параллельной плоскости стола. На нити, прикрепленной ко второму грузу (рис. П.76) и перекинутой через неподвижный блок, подвешен груз 2 кг. Определите ускорение системы грузов, силу натяжения обеих нитей. Коэффициент трения грузов о горизонтальную поверхность равен 0,2.
Через неподвижный блок перекинута нить, к концам которой подвешены два груза, масса меньшего из них 150 г. На него поставлен перегрузок 50 г. Грузы движутся с ускорением 2 м/с2, причем больший из грузов опускается. Определите массу большего груза, силу натяжения нити, давление перегрузка на меньший груз. Трением в блоке, сопротивлением воздуха, массами блока и нити пренебречь.
Тело скользит равномерно по наклонной плоскости с углом наклона 30°. Определите коэффициент трения тела о плоскость.
Тело соскальзывает с трением по наклонной плоскости. Угол наклона плоскости равен 45°, ее длина 11,2 м, а коэффициент трения равен 0,2. Начальная скорость тела равна нулю. Найдите время спуска тела с наклонной плоскости.
Деревянный брусок находится на наклонной плоскости с углом наклона к горизонту 45°. С какой наименьшей силой, направленной перпендикулярно наклонной плоскости, нужно прижать брусок, чтобы он оставался в покое? Масса бруска 1 кг, коэффициент трения покоя между бруском и наклонной плоскостью равен 0,2.
Какую силу нужно приложить к автомобилю, чтобы удержать его на наклонной плоскости длиной 8 м и высотой 3 м, если масса автомобиля с грузом равна 5 т, а коэффициент трения равен 0,02? Направление силы параллельно наклонной плоскости.
Какую силу нужно приложить к автомобилю параллельно основанию наклонной плоскости, чтобы удержать его на наклонной плоскости? Данные взять из предыдущей задачи.
На тело массой 100 г, лежащее на наклонной плоскости, которая образует с горизонтом угол 40°, действует горизонтальная сила 1500 Н. Определите: а) силу, прижимающую тело к плоскости; б) силу трения тела о плоскость; в) ускорение, с которым поднимается тело. Коэффициент трения равен 0,1.
Груз массой 1,5 кг поднимается по наклонной плоскости под действием силы 12 Н, направленной параллельно наклонной плоскости. Наклонная плоскость составляет угол 30° с горизонтом. Коэффициент трения равен 0,25. Найдите ускорение груза.
Вагонетка массой 2 т равномерно поднимается по эстакаде, угол наклона которой 30°. Чему равна сила натяжения троса, с помощью которого поднимают вагонетку, если коэффициент трения равен 0,05?
Грузовик взял на буксир легковой автомобиль массой 2 т и, двигаясь равноускоренно, за 50 с проехал 400 м. Найдите удлинение троса, соединяющего автомобили, если его жесткость равна 2 • 106 Н/м. Трение не учитывать.
Деревянный брусок массой 2 кг тянут равномерно по деревянной доске с помощью пружины жесткостью 10 Н/м. Коэффициент трения равен 0,3. Найдите удлинение пружины.
98 . Невесомый блок укреплен на вершине наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом. Две гири массой по 1 кг соединены нитью и перекинуты через блок (рис. П.77). Одна гиря движется по поверхности плоскости, другая опускается. Найдите ускорение, с которым движутся гири, и натяжение нити. Трением в блоке,
а также трением гири о наклонную плоскость пренебречь.
. Решите предыдущую задачу при условии, что коэффициент трения гири о наклонную плоскость равен 0,1.
100*. Тело массой 2 кг тянут вверх с ускорением 0,1 м/с2 по наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом,
с помощью пружины жесткостью 100 Н/м. Коэффициент трения между телом и плоскостью равен 0,3. На сколько удлинится пружина? Ось пружины параллельна наклонной плоскости.
На тело массой 10 кг, лежащее на наклонной плоскости, образующей угол 30° с горизонтом, действует сила 1,5 кН, направленная вверх под углом 30° к наклонной плоскости. Определите силу трения тела о плоскость и ускорение, с которым поднимается тело. Коэффициент трения равен 0,1.
Применение законов Ньютона к вращательному движению
Тяжелый танк массой 50 т движется по мосту со скоростью 45 км/ч. Определите силу давления танка на мост, если под его тяжестью мост прогибается, образуя дугу радиусом 600 м.
Автомобиль массой 1000 кг движется по выпуклому мосту, имеющему радиус кривизны 50 м, со скоростью 36 км/ч. С какой силой давит автомобиль на середину моста? С какой наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль для того, чтобы в верхней точке он перестал оказывать давление на мост?
Сколько весит мальчик массой 40 кг, катящийся на санках, при движении в положении А и В (рис. П.78), если Ri = 20 м, щ = 10 м/с, R^ = 10 м, ^2 = 5 м/с?
Лыжник массой 50 кг движется со скоростью 10 м/с по вогнутому, а затем по выпуклому участкам дороги с радиусом кривизны 20 м. Определите вес лыжника в средней точке каждого участка.
Трактор массой 10 т проходит по мосту со скоростью 10 м/с. Какова сила давления трактора на середину моста, ес- 15 С. В. Трубецкова
ли мост: а) плоский; б) выпуклый с радиусом кривизны 100 м; в) вогнутый с таким же радиусом кривизны?
Найдите наименьший радиус дуги для поворота автомашины, движущейся со скоростью 36 км/ч, при коэффициенте трения скольжения колес о дорогу равном 0,25.
Гиря массой 500 г прикреплена к концу стержня длиной 100 см, который вращают в вертикальной плоскости с частотой 3 об/с. Какова сила натяжения стержня, когда гиря проходит самую высокую и самую низкую точки траектории?
Шар массой 4 кг прикреплен к концу стержня длиной 0,5 м, который вращают в вертикальной плоскости. Стержень разрывается при силе натяжения 90 Н. При какой угловой скорости произойдет разрыв стержня?
Камень, привязанный к веревке длиной 50 см, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найдите, при каком числе оборотов в секунду веревка разорвется, если известно, что она разрывается при нагрузке, равной десятикратному весу камня.
Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найдите массу камня, если известно, что разность между максимальным и минимальным натяжением веревки равна 10 Н.
На горизонтальной вращающейся платформе на расстоянии 1,25 м от оси вращения лежит груз. Коэффициент трения между грузом и платформой равен 0,2. При каком числе оборотов груз начнет скользить?
С какой максимальной скоростью может двигаться по окружности радиуса 12 м велосипедист при коэффициенте максимального трения покоя 0,5? Под каким углом к вертикали наклонится при этом велосипедист?
Вычислите угол наклона самолета, совершающего в горизонтальной плоскости разворот радиусом 5 км при скорости 200 м/с.
Шоссе имеет вираж с уклоном 10° при радиусе закругления дороги, равном 100 м. На какую скорость рассчитан вираж?
Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью 72 км/ч, делая поворот радиусом с кривизны 100 м. На
сколько при этом он должен наклониться, чтобы не упасть при повороте?
Мальчик вращает камень, привязанный к веревке длиной 1 м в вертикальной плоскости так, что скорость его движения минимально возможная. В момент подъема, когда веревка располагается горизонтально, мальчик выпускает ее. На какую максимальную высоту поднимется камень, если ось вращения находится на расстоянии 1,5 м от поверхности Земли?
Камень массой 0,5 кг, привязанный к веревке длиной 50 см, вращается в вертикальной плоскости. Натяжение веревки в низшей точке окружности 44 Н. На какую высоту поднимется камень, если веревка обрывается в тот момент, когда скорость направлена вертикально вверх?
Ведерко с водой вращают в вертикальной плоскости на веревке длиной 0,5 м. С какой наименьшей скоростью нужно его вращать, чтобы при прохождении ведерка через высшую точку дном вверх вода из него не выливалась?
Самолет, летящий со скоростью 360 км/ч, описывает «мертвую петлю» радиусом 200 м в вертикальной плоскости. Как велика сила, прижимающая летчика к сиденью, в наивысшей и наинизшей точке петли, если масса летчика 70 кг?
Самолет описывает «мертвую петлю» в вертикальной плоскости. Определите наименьшую скорость самолета, при которой летчик в верхней части петли испытывает невесомость. Радиус петли 250 м.
С каким максимальным периодом можно равномерно вращать в вертикальной плоскости шарик, привязанный к нити длиной 2,45 м?
Шарик, привязанный к подвесу, описывает в горизонтальной плоскости окружность, имея постоянную скорость. Определите скорость шарика и период его обращения, если длина нити 1 м, а угол ее с вертикалью составляет 60°.
Шарик подвешен на нити длиной 50 см и, равномерно вращаясь в горизонтальной плоскости, образует с вертикалью угол 60°. Сколько оборотов сделает шарик за 10 с?
Камень массой 40 г, прикрепленный к резиновому шнуру длиной 50 см, вращаясь в горизонтальной плоскости, удлинил шнур на 10 см. Найдите жесткость шнура, если частота вращения 60 об/мин.
15*
Тело массой 50 г, прикрепленное к пружине длиной 30 см, вращается в горизонтальной плоскости. При какой частоте вращения пружина удлинится на 5 см, если жесткость пружины 300 Н/м?
При каком периоде вращения Земли вокруг своей оси тела на экваторе находились бы в невесомости? Радиус Земли 6400 км.
Закон всемирного тяготения
Найдите силу притяжения между двумя протонами, находящимися на расстоянии 10-10 м друг от друга. Масса протона 1,67 • 10"27 кг. Протоны можно считать точечными зарядами.
Во сколько раз планета Плутон притягивается к Солнцу слабее Земли, если Плутон удален от Солнца на расстояние, в 40 раз большее, чем Земля? Массы Земли и Плутона примерно одинаковы.
Во сколько раз уменьшится сила притяжения тела к Земле при удалении его от поверхности Земли на расстояние, равное радиусу Земли?
С какой линейной скоростью будет двигаться спутник Земли по круговой орбите: а) у поверхности Земли? б) на высоте 200 км? Найдите период обращения спутника при этих условиях. Радиус Земли равен 6400 км.
Луна движется вокруг Земли со скоростью 1 км/с. Расстояние от Земли до Луны около 384000 км. Определите по этим данным массу Земли.
На каком расстоянии от поверхности Земли сила притяжения космического корабля к ней станет в 100 раз меньше, чем на поверхности Земли?
Расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке прямой, соединяющей их центры, тело будет притягиваться ими с одинаковой силой?
Найдите ускорение свободного падения на поверхности малой планеты радиусом 200 км, если плотность вещества планеты равна8-103 кг/м3.
Вычислите ускорение свободного падения тела, находящегося на расстоянии 100 км от поверхности Земли. Ускорение свободного падения у поверхности Земли принять равным 9,8 м/с2; радиус Земли равен 6400 км.
Подлетев к неизвестной планете, космонавты придали своему кораблю горизонтальную скорость 11 км/с. Эта скорость обеспечила полет корабля по круговой орбите радиусом 9100 км. Каково ускорение свободного падения у поверхности планеты, если ее радиус равен 8900 км?
Во сколько раз сила тяжести на Земле больше силы тяжести на Луне? (М3 = 5,96 • 1024 кг, Мл = 7,3 • 1023 кг, R3 = = 6,4 ЛО6 м, Rn = 1,74 ЛО6 м).
Радиус планеты Марс составляет 0,53 радиуса Земли, а масса — 0,11 массы Земли. Найдите ускорение свободного падения на Марсе.
Определите массу земного шара, приняв радиус Земли равным 6400 км, а ускорение силы тяжести — 9,8 м/с2. Чему равна средняя плотность Земли?
Радиус планеты Марс примерно в два раза меньше радиуса Земли, а масса Марса составляет примерно 0,1 массы Земли. Сравните вес тела одинаковой массы на Земле и на Марсе.
Радиус малой планеты 250 км, средняя плотность 3 г/см3. Определите ускорение свободного падения на поверхности планеты.
Во сколько раз больше средняя скорость движения Венеры по круговой орбите вокруг Солнца, чем Земли? Радиус орбиты Земли равен 1,5 • 108 км, радиус орбиты Венеры равен 1,1 • 108 км.
Определите среднюю плотность Земли, если ее радиус равен 6370 км, а ускорение свободного падения — 9,8 м/с2.
Искусственный спутник Земли движется на высоте 670 км по круговой орбите. Найдите скорость спутника и его период. Радиус Земли равен 6400 км.
Определите массу Солнца, зная, что средняя скорость Земли по орбите равна 30 км/с, радиус орбиты Земли равен 1,5 • 108 км.
Определите массу планеты, вблизи поверхности которой ускорение свободного падения 7 м/с2. Радиус планеты равен 4-106 км.
Чему равен вес человека массой 70 кг на высоте 600 км от поверхности Земли? Радиус Земли равен 6400 км.
Определите расстояние от поверхности Земли до точки, в которой ускорение силы тяжести в 4 раза меньше, чем на Земле. Радиус Земли равен 6400 км.
Вычислите продолжительность года на Марсе. Расстояние от Марса до Солнца на 52% больше радиуса орбиты Земли.
На экваториальной орбите вокруг Земли вращается спутник с периодом обращения 24 часа. Какова высота орбиты над поверхностью Земли? Радиус Земли равен 6400 км.
Определите радиус круговой орбиты искусственного спутника Земли, период обращения которого равен Т. Радиус Земли R.
Ракета поднялась на высоту 800 км. На сколько уменьшилась сила тяжести корпуса ракеты по сравнению с силой тяжести на поверхности Земли, если ее масса равна 8,1 • 106 кг?
Радиус Луны приблизительно в 3,7 раза меньше, чем радиус Земли, а ее масса в 81 раз меньше массы Земли. Чему равно ускорение силы тяжести на поверхности Луны?
Чему равно ускорение силы тяжести на поверхности Солнца, если его радиус примерно в ПО раз больше радиуса Земли, а средняя плотность Солнца относится к средней плотности Земли как 1 : 4?
Какой путь пройдет свободно падающее тело на Марсе за 10 с падения, если масса планеты Марс равна 0,64-1021 т, а его радиус равен 3400 км?
Определите радиус круговой орбиты искусственного спутника Земли, если он, вращаясь в плоскости земного экватора с запада на восток, кажется с Земли неподвижным. Радиус Земли равен 6400 км.
Вычислите первую космическую скорость ракет, стартующих с Земли. Радиус Земли равен 6400 км.
Какова первая космическая скорость для планеты, масса и радиус которой в два раза больше, чем у Земли?
. Найдите среднюю плотность планеты, у которой на экваторе пружинные весы показывают вес тела на 10 % меньше, чем на полюсе. Сутки на планете составляют 24 часа.
. На экваторе некоторой планеты тело весит вдвое меньше, чем на полюсе. Плотность вещества этой планеты равна 3 г/см3. Определите период обращения планеты вокруг своей оси.
. Спутник движется по круговой орбите в плоскости экватора на высоте, равной радиусу Земли. С какой скоростью должен перемещаться наземный наблюдатель, чтобы спутник появлялся над ним каждые 5 часов? Направление движения спутника и вращения Земли совпадают. Радиус Земли равен 6400 км.
Импульс тела
Два тела с одинаковыми объемами — стальное и свинцовое — движутся с одинаковыми скоростями. Сравните импульсы этих тел. Плотность стали равна 7,8-103 кг/м3. Плотность свинца равна 11,3 • 103 кг/м3.
Поезд массой 2000 т, двигаясь прямолинейно, увеличил скорость от 36 до 72 км/ч. Найдите изменение импульса.
Шарик массой 100 г свободно упал на горизонтальную площадку, имея в момент удара скорость 10 м/с. Найдите изменение импульса при абсолютно неупругом и абсолютно упругом ударах.
Шарик массой 100 г движется с постоянной скоростью 1,5 м/с; после удара о преграду он движется обратно, не меняя скорости по модулю. Определите изменение импульса шарика.
Мяч массой 150 г ударяется о гладкую стенку под углом 30° к ней и отскакивает без потери скорости. Найдите силу, действующую на мяч со стороны стенки, если скорость мяча 10 м/с, а продолжительность удара равна 0,1 с.
Падающий вертикально шарик массой 200 г ударился об пол со скоростью 5 м/с и подпрыгнул на высоту 46 см. Найдите изменение импульса шарика при ударе.
Молекула массой 4,65 • 10-26 кг, летящая перпендикулярно к стенке сосуда со скоростью 600 м/с, ударяется о стенку
и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Найдите изменение импульса молекулы за время удара.
Шарик массой т. летящий со скоростью d^ ударяется о стенку под углом а к ней и отскакивает под тем же углом без потери скорости. Определите направление и модуль вектора изменения импульса шарика за время удара.
Тело массой 1 кг равномерно движется по окружности со скоростью 10 м/с. Найдите изменение импульса: а) за четверть периода; б) половину периода; в) целый период.
Футболист, ударяя мяч массой 700 г, сообщает ему скорость 15 м/с. Считая продолжительность удара равной 0,02 с, определите силу удара.
Молоток массой 10 кг свободно падает на наковальню с высоты 1,25 м. Сила удара равна 5 кН. Какова длительность удара? Удар абсолютно неупругий.
Через сколько времени остановится автомобиль массой 1000 кг, движущийся со скоростью 72 км/ч, если выключить двигатель? Средняя сила сопротивления движению равна 0,2 кН.
Снаряд массой 6,2 кг вылетает из орудия со скоростью 680 м/с. Чему равна средняя сила давления пороховых газов, если время движения снаряда внутри ствола орудия принять равным 0,008 с?
Два тела, массы которых 2 и 6 кг, движутся навстречу друг другу со скоростями 2 м/с каждое. С какой скоростью и в какую сторону будут двигаться эти тела после неупругого удара?
Два тела, массы которых 4 и 6 кг, движутся навстречу друг другу со скоростями 7 м/с и 2 м/с соответственно. С какой скоростью и в каком направлении будут двигаться эти тела после неупругого столкновения?
Вагон массой 20 т, движущийся со скоростью 0,3 м/с, нагоняет вагон массой 30 т, движущийся со скоростью 0,2 м/с в том же направлении. Какова скорость вагонов после взаимодействия, если удар неупругий?
Пуля из винтовки вылетает со скоростью 865 м/с. Какова скорость винтовки при отдаче, если ее масса в 470 раз больше массы пули?
Два человека на роликовых коньках стоят друг против друга. Масса первого человека 75 кг, второго 70 кг. Первый бросает груз массой 10 кг со скоростью, горизонтальная составляющая которой равна 3 м/с относительно Земли. Определите скорость первого человека после бросания груза и скорость второго после того, как он поймает груз.
Вагон массой 25 т движется со скоростью 2 м/с и сталкивается с неподвижной платформой массой 15 т. Какова скорость совместного движения вагона и платформы после того, как сработает автосцепка?
Неупругий шар движется со скоростью d и сталкивается с таким же по массе шаром. Какова будет скорость их совместного движения, если второй шар перед столкновением: а) был неподвижен; б) двигался навстречу с такой же по модулю скоростью, что и первый; в) двигался в том же направлении, что и первый шар, но в 2 раза медленнее?
Вагон массой 50 т движется со скоростью 12 км/ч и встречает стоящую на пути платформу массой 30 т. Вычислите расстояние, пройденное вагоном и платформой после сцепления, если коэффициент трения равен 0,05.
Из орудия в горизонтальном направлении вылетает снаряд со скоростью 500 м/с. Определите скорость орудия в начале отката и расстояние, на которое откатится орудие, если сила трения равна 4500 Н, масса орудия — 1500 кг, масса снаряда — 12 кг.
Граната, летящая со скоростью 10 м/с, разорвалась на два осколка. Большой осколок, масса которого составляла 60 % массы всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью 25 м/с. Найдите скорость меньшего осколка.
Снаряд, имеющий скорость 100 м/с, в верхней точке траектории на высоте 100 м разорвался на две части массами 1 и 1,5 кг. Скорость большего осколка равна 250 м/с и совпадает по направлению с начальной скоростью. Определите расстояние между точками падения обоих осколков. Сопротивление воздуха не учитывать.
Железнодорожная платформа движется со скоростью 9 км/ч. Из орудия, закрепленного на платформе, производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда равна 25 кг, его скорость
относительно орудия равна 700 м/с. Масса платформы с орудием равна 20 т. Определите скорость платформы после выстрела, если выстрел произведен: а) в направлении движения платформы; б) в противоположном направлении.
Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в платформу с песком массой Юти застревает в нем. Какую скорость получит платформа, если она: а) стояла неподвижно; б) двигалась со скоростью 36 км/ч в том же направлении, что и снаряд; в) двигалась со скоростью 36 км/ч в направлении, противоположном движению снаряда.
Вагон массой Юте автоматической сцепкой, движущийся со скоростью 12 м/с, догоняет такой же вагон массой 20 т, движущийся со скоростью 6 м/с, и сцепляется с ним. Двигаясь дальше вместе, оба вагона сталкиваются со стоящим на рельсах третьим вагоном массой 10 т. Найдите скорости движения вагонов на разных участках.
На вагонетку массой 800 кг, катящуюся по горизонтальному пути со скоростью 0,2 м/с, насыпали сверху 200 кг щебня. На сколько при этом уменьшилась скорость вагонетки?
Человек, стоящий на неподвижном относительно Земли плоту массой 5000 кг, пошел со скоростью 5 м/с относительно плота. Масса человека 100 кг. С какой скоростью начал двигаться плот по поверхности воды?
Человек массой 70 кг находится на корме лодки, длина которой равна 5 м и масса — 280 кг. Человек переходит на нос лодки. На какое расстояние лодка передвинется относительно воды?
К свободно висящему аэростату массой М привязана веревочная лестница длиной /, на нижнем конце которой находится человек. Какова масса человека, если, поднявшись до конца лестницы, он сместился относительно земли вверх на 0,9/?
Орудие, стоящее на гладкой горизонтальной площадке, стреляет под углом 30° к горизонту. Масса снаряда 20 кг, его начальная скорость равна 200 м/с. Скорость орудия в начале отката равна 7 м/с. Какова масса орудия?
Охотник стреляет с легкой надувной лодки. Какую скорость приобретает лодка в момент выстрела, если масса охотника с лодкой равна 70 кг, масса дроби — 35 г, начальная скорость
дроби равна 320 м/с. Ствол ружья во время выстрела направлен под углом 60° к горизонту.
С судна массой 750 т произведен выстрел из пушки в сторону, противоположную его движению, под углом 60° к горизонту. На сколько изменилась скорость судна, если снаряд массой 30 кг вылетел со скоростью 1 км/с относительно судна?
Охотник стреляет из ружья с движущейся лодки по направлению ее движения. Какую скорость имела лодка, если она остановилась после двух быстро следующих друг за другом выстрелов? Масса охотника с лодкой равна 200 кг, масса заряда — 20 г. Скорость вылета дроби и пороховых газов равна 500 м/с.
Мальчик, бегущий со скоростью 4 м/с, догоняет тележку, движущуюся со скоростью 3 м/с, и вскакивает на нее. Масса мальчика равна 50 кг. Масса тележки — 80 кг. Найдите скорость тележки в тот момент, когда мальчик вскочил на нее. Чему будет равна скорость тележки, если она двигалась навстречу мальчику?
Тележка массой 120 кг движется по горизонтальной плоскости со скоростью 5 м/с. С тележки соскакивает человек массой 80 кг под углом 60° к направлению ее движения в горизонтальной плоскости. Скорость тележки при этом становится равной 4 м/с. Какова была скорость человека во время прыжка относительно Земли?
Конькобежец массой 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой 3 кг со скоростью 8 м/с. Найдите, на какое расстояние откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед равен 0,02.
Какую скорость относительно ракетницы приобретает ракета массой 600 г, если газы массой 15 г вылетают из нее со скоростью 800 м/с?
В ракете общей массой 600 г содержится 350 г взрывчатого вещества. На какую высоту поднимется ракета, если выход газов произойдет со скоростью 300 м/с мгновенно? Сопротивление воздуха уменьшает высоту подъема в 6 раз.
Ракета, масса которой вместе с зарядом равна 250 г, взлетает вертикально вверх и достигает высоты 150 м. Опреде-
лите скорость истечения газов из ракеты, считая, что сгорание заряда происходит мгновенно. Масса заряда равна 50 г.
. Бильярдный шар, движущийся со скоростью 10 м/с, ударился о такой же покоящийся шар. После удара шары разошлись. Линии их движения после удара образуют с первоначальным направлением движения первого шара следующие углы: а) первый 45°, второй 45°; б) первый 60°, второй 30°. Найдите скорости шаров после удара в каждом случае.
205 . Два абсолютно неупругих шара с массами 0,6 кг и 0,4 кг, движущиеся по горизонтальной плоскости со скоростями 5 м/с и 10 м/с, направленными перпендикулярно друг другу, сталкиваются и после удара движутся как единое целое. Определите: а) импульс системы после удара; б) скорость системы после удара; в) угол между первоначальным направлением движения первого шара и новым направлением движения системы. Сопротивлением движению системы пренебречь.
206 . Метеорит и ракета движутся под углом 90° друг к другу. Ракета попадает в метеорит и застревает в нем. Масса метеорита т, масса ракеты т/2, скорость метеорита d^ скорость ракеты равна 2f. Определите скорость метеорита после попадания ракеты, направление его движения и общий импульс.
Снаряд массой 50 кг, летящий вдоль рельсов со скоростью 600 м/с, попадает в платформу с песком массой Юти застревает в песке. Вектор скорости снаряда в момент падения образует угол 45° с горизонтом. Определите скорость и направление движения платформы после попадания в нее снаряда, если платформа двигалась навстречу снаряду со скоростью 10 м/с.
208 . Граната брошена под углом 45° к горизонту со скоростью 20 м/с. Через 2 с после момента бросания граната разрывается на два осколка, масса одного из них в 2 раза меньше массы другого. Меньший осколок в результате взрыва получил дополнительную скорость 50 м/с, направленную горизонтально вдоль направления бросания гранаты. Определите дальность полета большего осколка, если известно, что меньший осколок упал на расстоянии 83 м от места бросания.
. С высоты Н без начальной скорости падает шар массой М. На высоте Н/2 в шар попадает пуля массой т << М^ имеющая в момент удара скорость d^ направленную вниз под
углом а к горизонту. Полагая, что пуля застревает в центре шара и продолжительность импульса ничтожно мала, определите, с какой скоростью шар упадет на землю.
Работа, мощность, коэффициент полезного действия
Подъемный кран равномерно поднимает бетонную плиту размером 320 х 100 х 10 см3 на высоту 10 м. Вычислите работу, совершаемую при подъеме плиты, если плотность бетона равна 2400 кг/м3.
Тело массой 2 кг движется равномерно по горизонтальной поверхности под действием силы тяги, направленной под углом 60° к горизонту. Коэффициент трения между телом и плоскостью равен 0,2. Определите, какую работу совершает сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения, сила тяги, когда тело пройдет расстояние 1 м.
По графикам зависимости силы от перемещения (рис. П.79) найдите работу этой силы при перемещении тела на 5 и 10 см.
Рис. П.79
Вычислите работу силы трения, при торможении поезда массой 1200 т до полной остановки, если его скорость в момент выключения двигателя была равна 72 км/ч.
Под действием двух взаимно перпендикулярных сил 3 Н и 4 Н тело равномерно переместилось на 20 м по направлению равнодействующей. Найдите работу каждой силы в отдельности и их совместную работу.
Лифт массой 1500 кг начинает подниматься с ускорением 1 м/с2. Вычислите работу двигателя лифта в течение первых 2 с подъема.
Груз массой 50 кг поднят при помощи каната вертикально вверх за 2 с на высоту 10 м. Вычислите работу, совер-
шенную силой натяжения каната, если движение: а) равномерное; б) равноускоренное.
При вертикальном подъеме груза массой 2 кг на высоту 1 м с помощью постоянной силы была совершена работа 80 Дж. С каким ускорением поднимали груз?
На пружине длиной 30 см висит груз массой 4 кг. При увеличении нагрузки до 10 кг пружина растягивается до 36,5 см. Определите работу по растяжению пружины.
Определите работу силы упругости при сжатии на 5 см буферной пружины железнодорожного вагона, если для сжатия ее на 0,5 см требуется сила 1,5 • 104 Н.
Найдите работу, которую надо совершить, чтобы сжать пружину, жесткость которой равна 29,4 Н/см, на 20 см.
Для растяжения пружины на 4 мм надо совершить работу 0,02 Дж. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть эту пружину на 4 см?
При подвешивании к пружине груза в 4 кг длина ее равна 30 см. При увеличении нагрузки до 10 кг пружина растягивается до 36,5 см. Определите работу по растяжению пружины.
Какую работу совершает человек при поднятии предмета массой 2 кг на высоту 1 м с ускорением 3 м/с2?
Сани массой 60 кг, скатившись с горы, проехали по горизонтальному участку дороги 20 м. Вычислите работу силы трения на горизонтальном участке, если коэффициент трения полозьев о снег равен 0,02.
Тело массой 50 кг скользит с трением по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту 30°. Двигаясь с постоянной скоростью, тело проходит путь длиной 6 м. Вычислите работу силы тяжести при этом движении и работу силы трения, действующей на тело.
Какую работу надо совершить при равномерном поднятии грузов массой 500 кг до верхнего края наклонной плоскости длиной 4 м, если угол ее наклона к горизонту равен 30° ? Трение не учитывать.
Вагонетку с рудой массой 300 кг поднимают равномерно по наклонной эстакаде длиной 20 м и высотой 5 м. Коэффициент
трения равен 0,05. Вычислите работу силы тяги, силы тяжести и силы трения.
Какую работу совершит подъемный кран, чтобы столб длиной 7 м поставить вертикально? Кран поднимает столб, зацепив его за один из концов. Масса столба равна 100 кг.
Какую минимальную работу надо совершить, чтобы кубик с длиной ребра 10 см и плотностью 2-103 кг/м3 перевернуть с одной грани на другую?
Ящик массой 100 кг перемещают равномерно по горизонтальной поверхности на расстояние 50 м. Коэффициент трения равен 0,3. Веревка, с помощью которой тянут ящик, составляет с горизонтальной поверхностью угол 30°. Какая работа затрачивается на перемещение ящика?
Ящик тянут равномерно по горизонтальной поверхности. Веревка, с помощью которой тянут ящик, образует с горизонталью угол 30°. Сила натяжения веревки равна 25 Н. Какая работа проделана при перемещении ящика на расстояние 52 м?
Какую работу нужно совершить для равномерного перемещения по горизонтальной поверхности на расстояние 500 м тела массой 200 кг? Коэффициент трения равен 0,02, направление силы совпадает с направлением движения.
Какую работу совершает человек, везущий по горизонтали санки массой 50 кг за 0,5 часа, если угол между горизонтом и веревкой равен 30°, коэффициент трения саней о лед — 0,02? Скорость саней — 3 км/ч.
Во время тяжелой физической работы сердце сокращается до 150 раз в минуту. При каждом своем сокращении сердце совершает работу, равную поднятию груза массой 0,5 кг на высоту 0,4 м. Определите развиваемую сердцем мощность.
Тяжелоатлет поднимает штангу массой 150 кг с груди на вытянутые руки (/л = 65 см) в течение 1,5 с. Какая средняя мощность при этом развивается?
Подъемный кран равномерно поднимает гранитную глыбу массой 3 т на высоту 15 м в течение 2 минут. Какова полезная мощность двигателя подъемного крана?
Электромолоток делает 2400 ударов в минуту. Определите мощность электромолотка, если за каждый удар совершается 5 Дж работы.
Автомобиль массой 1500 кг начинает разгоняться из состояния покоя по горизонтальному пути с ускорением 1 м/с2. Коэффициент сопротивления движению равен 0,02. Определите: а) работу, совершенную за 10 с движения; б) среднюю мощность, развиваемую за этот промежуток времени; в) мгновенную мощность, развиваемую в конце 10-й секунды; г) расстояние, пройденное автомобилем до остановки после выключения двигателя в конце 10-й секунды.
Поезд массой 500 т поднимается со скоростью 30 км/ч по уклону высотой 10 м на 1 км пути. Коэффициент трения равен 0,002. Определите мощность, развиваемую тепловозом.
Подъемный кран приводится в действие двигателем мощностью 10 кВт. Сколько времени потребуется для доставки на высоту 50 м груза массой 2 т, если КПД двигателя равен 75 %.
При помощи подвижного блока груз массой 75 кг поднимают на высоту 10 м. КПД блока равен 60%. Определите полезную и затраченную работу.
Самолет для взлета должен иметь скорость 25 м/с. Длина пробега перед взлетом равна 100 м. Какова должна быть мощность мотора при взлете, если масса самолета равна 100 кг и коэффициент сопротивления равен 0,02? Движение самолета считать равноускоренным.
Поезд, отходя от станции, за 5 мин развил скорость 64,8 км/ч. Определите мощность локомотива при этой скорости, если масса поезда равна 600 т, а коэффициент трения равен 0,004.
Поезд массой 2000 т, двигаясь с места с ускорением 0,2 м/с2, достигает нужной скорости через 1 минуту. Определите мощность тепловоза при разгоне и при установившемся движении, если коэффициент сопротивления равен 0,005.
Мотор с полезной мощностью 1,5 кВт, поставленный на автомобиле, может сообщить ему при движении по хорошей дороге скорость 90 км/ч. Тот же мотор, поставленный на моторной лодке, может сообщить ей скорость не выше 15 км/ч. Определите сопротивление движению автомобиля и моторной лодки при данных скоростях.
Два автомобиля одновременно трогаются с места и движутся равноускоренно. Массы автомобилей одинаковы. Во сколько раз средняя мощность первого автомобиля больше
средней мощности второго, если за одно и то же время первый автомобиль развивает скорость, вдвое большую, чем второй? Сопротивлением движению пренебречь.
Моторы электровоза при движении со скоростью 54 км/ч развивают мощность 9 • 105 Вт. Определите силу тяги моторов, если КПД моторов и передающих механизмов равен 80 %.
Мощность мотора электровоза равна 10 МВт, КПД передающих механизмов равен 80%. Определите, с какой скоростью он может двигаться, если коэффициент трения равен 0,005, а масса состава электровоза равна 8 • 103 т.
Кинетическая и потенциальная энергии
На какой высоте над поверхностью Луны тело будет обладать такой же потенциальной энергией, как на высоте 80 м над поверхностью Земли? Ускорение силы тяжести на Луне равно 1,6 м/с2.
Как надо изменить скорость тела, чтобы его кинетическая энергия увеличилась в 4 раза?
На тело массой 20 кг в течение 10 с в горизонтальном направлении действовала сила 4 Н. Определите кинетическую энергию тела в момент прекращения действия силы, если в начале действия тело находилось в покое.
На балконе третьего этажа, расположенного на высоте 12 м от земли, находится тело массой 5 кг. Найдите его потенциальную энергию относительно поверхности Земли, относительно пятого этажа, высота которого 18 м, и относительно дна котлована глубиной 4 м.
Тело свободно падает с высоты 50 м. На какой высоте от поверхности Земли кинетическая энергия и потенциальная энергия тела окажутся равными?
Определите полную механическую энергию космического тела массой 2 т, движущегося на высоте 300 км со скоростью 8 км/с.
Найдите потенциальную и кинетическую энергии тела массой 3 кг, падающего свободно с высоты 5 м, на расстоянии 2 м от поверхности Земли.
16 С. В. Трубецкова
С какой скоростью надо бросить мяч с высоты 5 м, чтобы он подпрыгнул на высоту 10 м? Удар о землю считайте абсолютно упругим.
Камень брошен вертикально вверх со скоростью 10 м/с. На какой высоте кинетическая энергия камня будет равна потенциальной энергии?
Тело массой 1 кг брошено вертикально вверх с начальной скоростью 30 м/с. Определите кинетическую и потенциальную энергии тела через 2 с после броска.
Тело массой 5 кг свободно падает вниз. Определите скорость тела перед ударом о поверхность Земли, если в начальный момент оно обладало потенциальной энергией 490 Дж.
Какой кинетической энергией обладает свободно падающее тело массой 1 кг по истечении 5 секунд от начала падения? На сколько и как изменилась при этом его потенциальная энергия?
Тело, брошенное вертикально вверх, упало обратно через 4 секунды после начала движения. Определите кинетическую энергию в момент падения и потенциальную энергию в верхней точке, если масса тела равна 200 г.
Камень массой 2 кг упал с некоторой высоты. Падение продолжалось 1,43 с. Найдите потенциальную и кинетическую энергии камня в средней точке пути. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Брошенное вертикально вверх тело упало на Землю спустя 1,44 с. Найдите кинетическую энергию тела в момент падения на Землю и потенциальную энергию в верхней точке траектории. Масса тела равна 200 г.
К телу, масса которого равна 4 кг, приложена направленная вертикально вверх сила 49 Н. Определите кинетическую энергию тела в момент, когда оно окажется на высоте 10 м над Землей. В начальный момент тело покоилось на поверхности Земли.
Определите кинетическую энергию тела массой 1 кг, брошенного горизонтально со скоростью 20 м/с, в конце четвертой секунды его движения.
Какую работу надо совершить, чтобы заставить движущееся тело массой 2 кг: а) увеличить свою скорость от 2 м/с до 5 м/с; б) остановиться при начальной скорости 8 м/с?
Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью 2 м/с, прошел до полной остановки 20,4 м. Найдите коэффициент трения льда, считая его постоянным.
Какой путь пройдут сани по горизонтальной поверхности после спуска с горы высотой 15 м, имеющей угол наклона 30°? Коэффициент трения саней о поверхность равен 0,2.
269 . Шайбу бросают снизу вверх по ледяной горе, составляющей с горизонтом угол а. За время t шайба поднимается по горе на высоту h,. после чего соскальзывает вниз. Каков коэффициент трения скольжения между льдом и шайбой?
Шофер автомобиля начинает тормозить в 25 м от препятствия на дороге. Сила трения в тормозных колодках постоянна и равна 3840 Н. Масса автомобиля 1 т. При какой предельной скорости автомобиль успеет остановиться перед препятствием? Трением колес о дорогу пренебречь.
Тело массой 1,5 кг, брошенное вертикально вверх с высоты 4,9 м со скоростью 6 м/с, упало на Землю со скоростью 5 м/с. Определите работу сил сопротивления воздуха.
Хоккейная шайба, имея начальную скорость 5 м/с, скользит от удара о борт площадки 10 м. Удар считать абсолютно упругим, коэффициент трения шайбы о лед равен 0,1, сопротивлением воздуха пренебречь. Определите, какой путь пройдет шайба после удара о борт площадки.
Пуля, летящая с определенной скоростью, углубилась в стенку на 10 см. На сколько углубится в ту же стенку пуля, которая будет иметь вдвое большую скорость?
Действуя постоянной силой 200 Н, поднимают груз массой 10 кг на высоту 10 м. Какую работу совершает сила? Какой потенциальной энергией обладает поднятый груз? Чему равна кинетическая энергия тела на этой высоте?
Камень массой 500 г, падая с высоты 10 м, имел у поверхности Земли в момент падения скорость 12 м/с. Какая была совершена работа по преодолению силы сопротивления воздуха?
Тело массой 100 г, брошенное вертикально вниз с высоты 20 м со скоростью 10 м/с,, упало на Землю со скоростью 20 м/с. Найдите работу по преодолению силы сопротивления воздуха.
Тело массой 500 г, брошенное вертикально вверх со скоростью 20 м/с, упало на Землю со скоростью 16 м/с. Определите работу по преодолению сопротивления воздуха.
Тело массой 2 кг падает с высоты 240 м и проникает в грунт на глубину 0,2 м. Сила сопротивления грунта при движении в нем тела равна 10 кН. Выясните, совершало ли тело свободное падение.
Камень массой 50 г, брошенный с высоты 5 м над землей со скоростью 18 м/с под углом к горизонту, упал на землю со скоростью 24 м/с. Найдите работу силы сопротивления воздуха.
Тело брошено с поверхности Земли под углом а к горизонту со скоростью гд- Найдите его скорость на некоторой высоте h,. если сопротивление воздуха пренебрежимо мало.
Пуля массой 10 г летит горизонтально и попадает в дерево толщиной 10 см, имея скорость 400 м/с. Пробив дерево, пуля вылетает со скоростью 200 м/с. Определите силу сопротивления, которую испытывает пуля, пробивая дерево.
Самолет массой 5 т при горизонтальном полете двигался со скоростью 360 км/ч. Затем он поднялся на высоту 2 км. При этом скорость самолета уменьшилась до 200 км/ч. Найдите работу, затраченную мотором на подъем самолета.
Самолет поднимается в воздух и на высоте 5 км достигает скорости 360 км/ч. Во сколько раз работа, совершаемая при подъеме против силы тяжести больше работы, затраченной на увеличение скорости?
С вершины наклонной плоскости высотой h и длиной I толкают тело, сообщая ему скорость fg. Найдите скорость тела в конце наклонной плоскости в случаях: а) трение пренебрежимо мало; б) коэффициент трения тела о наклонную плоскость равен /1.
Сани массой т, скатившись с горы высотой h,. остановились. Какую работу надо совершить, чтобы поднять их опять на гору?
С наклонной плоскости высотой 1 м и длиной 10 м скользит тело массой 1 кг. Найдите кинетическую энергию у основания плоскости, скорость тела у основания плоскости, расстояние, пройденное телом по горизонтальной части пути до остановки. Коэффициент трения на всем пути равен 0,07.
Санки скатываются с горки высотой 3 м и углом наклона 30°. В конце горки санки ударяются о препятствие и откатываются назад. До какой высоты по наклонной плоскости поднимутся санки, если коэффициент трения равен 0,05? Удар санок о препятствие считать абсолютно упругим.
Определите работу силы тяжести при отклонении маятника длиной 30 см на угол 60°, если его масса равна 100 г.
На нити длиной I подвешен шарик. Какую горизонтальную скорость надо сообщить шарику, чтобы он отклонился до высоты точки подвеса? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Груз массой 10 кг, подвешенный на нити, отклоняют на угол 60°. Найдите натяжение нити в момент прохождения грузом положения равновесия.
К нити длиной 1 м подвешен груз массой 1 кг. На какую высоту нужно отвести груз от положения равновесия, чтобы при прохождении груза через положение равновесия нить испытывала натяжение 15 Н?
. Математический маятник длиной I и массой т раскачивают так, что каждый раз, когда маятник проходит положение равновесия, на него в течение короткого промежутка времени t действует сила F, направленная параллельно скорости. Через сколько колебаний маятник отклонится на 90°?
На нити, разрывающейся при силе натяжения 25 Н, подвешена гиря массой 1 кг. В натянутом состоянии нить с гирей из вертикального положения была переведена в горизонтальное и отпущена. Уцелеет ли нить при движении гири через положение равновесия?
Пуля, летевшая горизонтально со скоростью 400 м/с, попадает в брусок, подвешенный на нити длиной 4 м, и застревает в нем. Определите величину угла, на который отклонится брусок, если масса пули равна 20 г, а бруска — 5 кг.
Для определения скорости пули используют баллистический маятник. Определите скорость горизонтально летевшей пули перед попаданием в маятник, если он после попадания пули отклонился на угол 15°. Длина нити подвеса равна 4 м. Масса пули равна 20 г, баллистического маятника — 5 кг.
Шарик массой mi, двигавшийся поступательно со скоростью щ, налетает на неподвижный шарик массой т^.
Определите скорости шариков после абсолютно упругого центрального удара. Проанализируйте зависимости скоростей шариков от соотношения их масс.
Покажите, что в случае абсолютно упругого удара о массивное тело направление скорости меняется на противоположное.
Два шара массами 1 кг и 2 кг движутся поступательно вдоль горизонтальной прямой в одном направлении со скоростями 7м/си1м/с, соответственно. Определите скорости шаров после абсолютно упругого удара.
Частица массой т, движущаяся со скоростью d^ налетает на покоящуюся частицу массой т/2 и после упругого удара отскакивает под углом 30° к направлению своего первоначального движения. С какой скоростью начнут двигаться обе частицы? Какой угол будет между направлением движения обеих частиц?
Два груза массами 10 и 15 кг подвешены на нитях длиной 2 м так, что они соприкасаются друг с другом. Меньший груз отклоняется на 60° и отпускается. На какую высоту поднимутся оба груза после удара? Удар считать неупругим. Какое количество механической энергии перейдет при этом во внутреннюю энергию грузов?
300 . Два упругих шарика одинаковых размеров подвешены на параллельных нитях одинаковой длины / так, что они соприкасаются друг с другом. Масса одного шарика в 3 раза меньше массы другого. Легкий шарик отклонили так, что нить составляет угол 45° с вертикалью, и затем отпустили. На какие высоты отклонятся шарики после их упругого соударения? Как отклонятся после удара шарики, если массы у них одинаковы?
Два шара подвешены на тонких параллельных нитях так, что они касаются друг друга. Меньший шар отводится на 90° от первоначального положения и отпускается. После удара шары поднимаются на одинаковую высоту. Определите массу меньшего шара, если масса большего равна 0,6 кг, а удар абсолютно упругий.
Пуля массой 10 г, летевшая горизонтально, попадает в подвешенный на нити шар массой 2 кг, а пробив его, вылетает со скоростью 400 м/с, причем шар поднимается на высоту 0,2 м.
Определите: а) с какой скоростью летела пуля; б) какая часть кинетической энергии пули при ударе перешла во внутреннюю?
Пуля массой 10 г, летящая со скоростью 300 м/с, ударяет в подвешенный на нитях деревянный брусок массой 6 кг и застревает в нем. Определите высоту подъема бруска; сколько механической энергии перейдет во внутреннюю?
С помощью копра массой 200 кг, падающего с высоты 3 м, забивают сваю массой 100 кг. Определите среднюю силу сопротивления грунта, если при одном ударе свая погружается на 2 см. Сопротивлением воздуха пренебречь, удар считать неупругим.
Вагон массой 20 т, движущийся по горизонтальному пути со скоростью 2 м/с, догоняет вагон массой 40 т, движущийся со скоростью 1 м/с и сцепляется с ним. На сколько изменится механическая энергия вагонов при сцепке?
Человек стоит на неподвижной тележке и бросает горизонтально камень массой 8 кг со скоростью 5 м/с относительно Земли. Определите, какую при этом человек совершает работу, если масса тележки вместе с человеком равна 160 кг.
Свинцовый шар массой 500 г, движущийся со скоростью 10 см/с, сталкивается с неподвижным шаром из воска, имеющим массу 200 г, после чего оба шара движутся вместе. Определите кинетическую энергию шаров после удара и изменение внутренней энергии шаров.
Тело массой 3 кг движется со скоростью 4 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар неупругим, найдите, какое количество механической энергии переходит во внутреннюю энергию тел.
Тело массой 5 кг ударяется о неподвижное тело массой 2,5 кг, которое после удара начинает двигаться с кинетической энергией 5 Дж. Считая удар упругим, найдите кинетическую энергию первого тела до и после удара.
Какая энергия пошла на деформацию двух столкнувшихся шаров одинаковой массы в 4 кг, если они двигались навстречу друг другу со скоростями 3 м/с и 8 м/с, а удар был неупругий?
На горизонтальной плоскости лежит кубик массой 100 г. Его пробивает летящая вертикально пуля массой 10 г. При этом
ее скорость меняется от 100 до 95 м/с. Определите, на какую высоту подпрыгнет кубик.
Шарик массой т скатывается без трения по рельсам, образующим круговую петлю радиусом г (рис. П.80). Какую работу совершает сила тяжести к моменту, когда шарик достигает высшей точки петли В, если в начальный момент он был на высоте h над нижней точкой петли Л?
Рис. И.80
Так же как и в предыдущей задаче, шарик скатывается без трения по рельсам, образующим круговую петлю радиусом г. С какой высоты шарик должен начать движение, чтобы не оторваться от петли в верхней точке?
314 . Веревка длиной 4 м наполовину свешивается с отвесного ледяного обрыва высотой 3 м, затем соскальзывает без трения. Найдите скорость горизонтального движения веревки по дну обрыва.
. На горизонтальном столе лежит однородная веревка длины /, один конец которой свешивается со стола. Веревка начинает скользить без начальной скорости по столу. Определите скорость веревки, когда она полностью соскользнет со стола. Коэффициент трения скольжения веревки о стол равен р. Веревка нерастяжима.
. Небольшое тело соскальзывает без трения с вершины полусферы радиусом 3 м. На какой высоте тело оторвется от поверхности полусферы?
Пружина жесткостью к имеет длину /о и расположена вертикально. На нее из состояния покоя падает тело массой т, сжимая ее до длины I. С какой высоты упало тело?
Пружина детского пистолета имеет в свободном состоянии длину 15 см. Жесткость пружины пистолета равна 980 Н/м. Какова будет высота взлета шарика массой 10 г при вертикальном выстреле, если им зарядить пистолет, сжав пружину до 5 см?
. Между двумя шарами, лежащими на гладкой горизонтальной поверхности, находится сжатая пружина. Когда пружине дали возможность распрямиться, один шар покатился со скоростью 2 м/с, а другой — 0,5 м/с. Чему равна масса каждого из шаров, если энергия сжатой пружины равна 3 Дж?
320 . Зажатая между двумя телами пружина обладает энергией 100 Дж. Масса одного тела равна 900 г, другого — 100 г. Как распределится энергия после освобождения пружины, если пружина передает телам всю энергию? Тела движутся без трения.
Определите полезную мощность водяного двигателя, КПД которого 80%, если вода поступает в него со скоростью 3 м/с и вытекает со скоростью 1 м/сна уровне, находящимся на 1,5 м ниже уровня входа. Секундный расход воды равен 0,3 м3.
Вагон массой 40 т, движущийся со скоростью 2 м/с, в конце запасного пути ударяется о пружинный амортизатор. Насколько он сожмет пружину, если ее коэффициент жесткости равен 2,25 • 105 Н/м?
С какой скоростью двигался вагон массой 20 т, если при ударе о стенку пружина буфера сжалась на 10 см? Жесткость пружины равна 9,8 • 105 Н/м?
Найдите мощность двигателя, приводящего в действие насос, подающий 270 т воды в час на высоту 15 м, если КПД установки равен 60%.
Посредством неподвижного блока груз массой 100 кг поднят на высоту 1,5 м. Определите полезную и затраченную работу, если КПД блока равен 90%.
Самолет, мощность двигателей которого равна 3 МВт, при силе тяги 4,5 кН пролетел 600 км за 0,5 ч. Определите КПД самолета.
Мощность гидроэлектростанции равна 73,5 МВт, коэффициент полезного действия равен 75%. Определите, на какой уровень плотина поднимает воду, если расход воды равен 1000 м3 в 1 секунду.
Ответы
а) 7 Н, покоится; б) 10 Н, движется равномерно; в) 10 Н, движется равноускоренно.
5. 0,005 Н.
7. ЗН.
6. 4Н.
8. 68 Н.
9. 0,049 Н.
11. 15 кН.
10. 50 кг.
12. 2,5 м/с; 6,25 Н.
13. 3 м/с2.
15. 2 м/с2.
14. 2,5-105 Н; 400 м.
16. У легкового в 2 раза больше.
17. 50 Н.
18. 230 Н.
19. 10 Н; 2,5 Н.
20. « 3,4 м/с2.
21. %0.7мс2: под углом 45° к горизонту.
22. 6,25 м; 12,5 м.
23. 2 м/с; 2,5 м/с.
24. а — (2(21(22 + р(&1 + ^2))/(^1 + (22 + 2^).
25. 1,2-103 Н.
26. ®i = (2,5f2) м;
®2 = (2 + 2t2) м; 2 с.
28. 4Н; 0; -2 Н.
29. 46 кН.
30. 13 кН.
31. 0,2 м/с2.
32. 21 кН.
33. 18 м/с; 108 с.
34. 7,5 м/с.
35. F = 772(а + дд)/(cos а + /zsin о).
0,82 м/с2.
300 Н; 428 Н.
«2,4 м/с2.
2,5 см.
44. 0,46.
0,3.
«2,6 м/с2; 2,2 м/с2.
1,6 мм.
6 см.
3,94 Н.
46. 38,4 Н; 64 Н.
48. 7,5 Н; 15 Н.
50. 0,8 Н.
47. 0,12 м/с2; 0,22 Н.
49. «67Н; «33 Н.
51. 0,18 Н.
833 Н. 53. 1 Н.
0,088 Н. 55. 0,6 Н.
800 кг. 57. 20 м/с2.
2 м/с2.
31 кН; 28 кН; 29,4 кН.
2,2 м/с2.61. 100 кг; 960 Н.
16,3кг.63. ШОН.
141 кН; 150 кН; 172,5 кН.
1569 Н; 1371 Н.
69,8-106 Н; в 7 раз больше.
6.68. 2 м/с2.
2 м/с2; ускорение направлено вверх.
1010 Н; 980 Н; 940 Н; 0.
320 кг. 72. Зу; 3g.
14,7 Н; 4,9 Н; 7,35 Н; 12,35 Н.
68,6 Н; 49 Н; 9,8 Н.
3,27 м/с2; « 13 Н.
3,27 м/с2; 2 кг; 4 кг.
0,21с.78. Юг.
0,2 Н. 80. 40 см; 40 см/с.
0,2 м/с2; 4-10“3кг; 0,96 Н; 3,8 10"3H; 1,92 Н.
3,27 м/с2; 4 кг; 2 кг; 26,15 Н.
5,42 с. 84. 2 м/с2.
F = ^т^т^д ) У^т^т-Уу «1 = 2(2mi — m2)д/(4mi + m2); а2 = (2mi -m2)g/(4mi +т2).
1,4 м/с2; « 16,8 Н; «6,72 Н.
0,3 кг; 2,4 Н; 0,6 Н.
0,58.89. «2 с.
27,7 Н.91. 17,5 103Н.
18,6 кН.
1,7 кН; 0,17 кН; 3,4 м/с2.
94. 1,1 м/с2.
96. 1,6 мм.
95. 11 кН.
97. 6 см.
2,45 м/с2; 7,35 Н.
2,02 м/с2; 7,77 Н.
14 см.
11,6 Н; 7,9 м/с2.
520 кН.
7800 Н; «22,3 м/с.
600 Н; 300 Н.
740 Н; 240 Н.
100 кН; 95 кН; 105 кН.
107. «40 м.
108. 173 Н; 182 Н.
109. 5 рад/с.
111. 0,5 кг.
110. 2,1 об/с.
112. « 12 об/мин.
113. «7,7 м/с; а = arctg 0,5 « 27°.
а = arctg 0,8 «
47 км/ч.
117. 2 м.
>39°.
116. 22°.
118. 2 м.
119. 2,2 м/с.
121. 50 м/с.
123. 3,8 м/с; 1,4 с.
125. «9,5 Н/м.
127. «1,41 час.
129. В 1600 раз.
120. 2,9 кН.
122. «3,14 с.
124. 10 оборотов.
126. «4,7 с-1.
128. 1,88-10-4Н.
130. В 4 раза.
131. 8 км/с; 7,75 км/с; 1 час 24 мин; 1 час 28 мин.
132. « 6 • 1024 кг.
133. 9Я3.
134. 67?з от центра Луны.
135. 0,47 м/с2.
137. 14 м/с2.
3,8 м/с2.
6,08-1024 кг; ;
136. 9,65 м/с2.
138. В 6 раз.
у 5,5-103 кг/м3.
Р3/^м = 2,5.142.0,209 м/с2.
гв = 1,17^3.144.5500 кг/м3.
7,5 км/с; « 1,6 часа.
2-1Озокг.147.16,8-1029 кг.
574 Н.149.6400 км.
В 1,87 раза больше земного года.
8300 км.
R =
На 1,67 107 Н. 154. 1,65 м/с2.
270 м/с2.156. 200 м.
42400 км.158. «7,9 км/с.
«7,9 км/с.160. 180 кг/м3.
9,7-103с.
162. At = 5 часов; Т = 24 часа; fH = /^-2тгЯ(^±1); ?;^ « 104 м/с; ?^ « 1100 м/с.
163.
Импульс свинцового тела больше в 1,5 раза.
164.
2 • 107 кг • м/с.
165.
1 кг • м/с; 2 кг • м/с.
166.
0,Зкг-м/с.167. 15 Н.
168.
1,6 кг - м/с.
169.
5,6 • 10"23 кг • м/с.
170.
2mt)sma.
171.
14кг-м/с; 20кг-м/с; 0.
172.
525 Н.173. 0,01с.
174.
100 с.175. 583 кН.
176.
1 м/с; в направлении движения большего тела.
177.
1,6 м/с; в направлении движения меньшего тела.
178.
0,24 м/с.179. 1,84 м/с.
180.
0,4 м/с; 0,375 м/с.
181.
1,25 м/с.182. 0,5?;; 0; 0,75?;.
183.
^4,3 Н.184. 4 м/с; 2,7 м.
12,5 м/с. 186. 1695 м.
1,625 м/с; 3,375 м/с.
5 м/с; 15 м/с; —5 м/с.
8 м/с; 6 м/с.
На 0,04 м/с. 191. « 0,1 м/с.
1 м.193. т = М/д.
500 кг.195. 0,08 м/с.
0,02 м/с. 197. 0,1 м/с.
3,4 м/с; 0,3 м/с.
13 м/с.200. 0,3 м.
20 м/с.202. 1470 м.
«217 м/с.
а) 7,1 м/с; 7,1 м/с; б) 5 м/с; 8,7 м/с.
а) 5 кг-м/с; б) 5 м/с; в) а = arccos 0,6 « 53°.
2V2v/3; 45°; V2mv.
7,8 м/с; направление движения платформы сменилось на противоположное.
19 м. /777 / 71 \ 2
\2дН + 2 — vV^/f sina+ ( —— ) . Vм va V м J
77 кДж.
0; 0; -2,9 Дж; 2,9 Дж.
а) 0,1 Дж; 0,2 Дж; б) 50 мДж; 0,2 Дж; в) 50 мДж; 0,125 Дж.
-2,4-108Дж.
36 Дж; 64 Дж; 100 Дж.
33 кДж.
216. « 5 кДж; « 7,5 кДж.
217.
30 м/с2.
218.
4,8 Дж.
219.
-375 кДж.
220.
60 Дж.
221.
0,2 Дж.
222.
«4,5 Дж.
223.
26 Дж.
224.
-240 Дж.
1500 Дж; -1500 Дж.
« 9,8 кДж.
227. 18 кДж; —15 кДж; —3 кДж.
228. 3,5 кДж.
230. 12,5 кДж.
232. 19,6 кДж.
234. « 5 Вт.
0,41 Дж.
1,1 кДж.
« 8,8 кДж.
0,64 кВт
3,7 кВт.
а) «90 кДж;
к 500 кВт.
237. 0,2 кВт.
б) 9 кВт; в) 18 кВт; г) 260 м.
240. «130 с.
«7,5 кДж; «
83,1 кВт.
12,5 кДж.
243. 1080 кВт.
244. 3-106Вт; 1,2-106Вт.
245. 589 Н; 3533 Н.
246. В 4 раза.
248. 20 м/с.
247. 48 кН.
249. 490 м.
250. Увеличить в 2 раза.
40 Дж.
600 Дж; -300 Дж; 800 Дж.
25 м.254. «7-107кДж.
60 Дж; 90 Дж. 256. 10 м/с.
2,5 м.258. 50 Дж; 400 Дж.
14 м/с.
125 Дж; уменьшилась на 125 Дж.
40 Дж; 40 Дж. 262. 96 Дж; 96 Дж.
5 Дж; 5 Дж. 264. 98 Дж.
1 кДж.
а) 21 Дж; б) -64 Дж.
0,01.268. 49 м.
/z = (2/i)/(g£2sin2a) — 1) tga.
13,8 м/с.271. -80,2 Дж.
2,7 м. 273. 40 см.
2 кДж; 1 кДж; 1 кДж.
14 Дж. 276. « 5 Дж.
-36 Дж.
Нет. Ускорение тела при движении в воздухе равно 4,16 м/с2. Это может быть при действии на тело внешних сил, препятствующих падению: силы натяжения подвеса или силы сопротивления.
—3,8 Дж. 280. v = ^Vq — 2gh.
6 кН. 282. 8,1-107 Дж.
В 10 раз.
а) п = \Jl^~+2gh'. б) и = ^Уд + 2gh — pgVI2 — h-2-
2mgh.
2,94 Дж;2,2 м/с;4,3 м.
2,53 м.288.-0,15 Дж.
v = V2gl-290.200 Н.
0,25 м.292.п = mV^I^FtY
Нет, так как сила натяжения в нижнем положении равна 30 Н.
а = arccos 0,97 « 13°.
410 м/с.
a) f^ = (mi — m2)fi/(mi+ т2); ^2 = 2mifi/(mi + m2); б) если m2 mi, то = —fi-
—1 м/с; 5 м/с.
y1 = y/V3; v2 = 2v/V3; 60°.
«0,16 м; «58,8 Дж.
/ii = /i2 = 0,25/(1 — cosa) « 0,07/; если массы равны, то скорость первого шарика станет равна нулю, а второй шарик поднимется на высоту h = /(1 — cos а) « 0,29/.
0,2 кг.
а) 800 м/с; б) 0,56.
0,0125 м; 449,25 Дж.
304. 203 кН.305. 6,7 кДж.
306.
105 Дж.
307.
308.
1,8-10~3Дж; 0,7-10~3Дж.
12 Дж.309. 5,62 Дж; 0,62 Дж.
310.
312.
313.
120 Дж.311. 1,25 см.
Л = mg(h — 2г).
h = 2,5г.314. ~7 м/с.
315.
т = ^ (9 А: +15) gl/^.
316.
317.
318.
2 м.
«49 м.319. 0,8 кг; 3,2 кг.
320. 80 Дж; 20 Дж. 321. 4,4 кВт.
322. 0,83 м.323. 0,7 м/с.
324. 18,4 кВт.325. 1500 Дж; 1670 Дж.
326. 25%.327. Юм.
17 С. В. Трубецкова
Часть III
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИКИТВЕРДОГО ТЕЛАИ ГИДРОДИНАМИКИ
Содержание теоретического материала
Сложение сил. Разложение сил на составляющие. Момент силы. Условия равновесия тел. Виды равновесия. Простые механизмы.
Вопросы к теоретическому материалу
Какие вопросы рассматриваются в разделе физики, называемом статикой?
Какая сила называется равнодействующей, какие — составляющими?
Какая сила называется уравновешивающей?
Какое тело называется абсолютно твердым?
Как найти равнодействующую двух сил, приложенных к телу? Рассмотрите случаи, когда две силы приложены к одной точке и направлены: а) в одну сторону; б) в противоположные стороны; в) под углом друг к другу; когда две силы приложены к разным точкам тела и направлены: г) под углом друг к другу; д) параллельно в одну сторону; е) параллельно в противоположные стороны (антипараллельно).
Как найти составляющие заданной силы по известным направлениям?
В чем заключается условие равновесия невращающе- гося тела?
Как ведет себя тело с закрепленной точкой под действием силы?
Какая физическая величина называется моментом силы?
В чем заключается условие равновесия тела, имеющего неподвижную ось?
Что такое «пара сил»?
Рис. Ш.1Рис. Ш.1
Рис. Ш.1
Рис. Ш.1
Для чего гайку-барашек снабжают лопастями (рис. III. 1)?
У теплохода два двигателя. Как будет двигаться теплоход, если будет подана команда: «правый двигатель — полный вперед, левый двигатель — полный назад!»? Силы тяги обоих двигателей одинаковы.
Какая точка тела является его центром тяжести?
Какое равновесие тел называется неустойчивым? Устойчивым? Безразличным?
На рис. III.2 изображены простейшие аптекарские весы. Почему подвижная система этих весов имеет положение устойчивого равновесия сил?
В каком положении яйцо будет находиться в состоянии устойчивого равновесия и почему?
В чем заключается условие равновесия тела, имеющего площадь опоры?
Почему трудно ходить на ходулях?
Что собой представляет рычаг?
Отличаются ли работы приложенных к рычагу сил друг от друга при его равномерном вращении?
В каком направлении будет вращаться рычаг с осью, проходящей через точку О (рис. Ш.З) под действием приложенных сил Fi и F^. Во всех случаях плечо силы Fi в два раза больше плеча силы F^. Какого рода этот рычаг?
1^11 = 2|^з| б1^11 = 2|^з| б1^11 = 1*21 а1^11 = 1*21 а= 3|Г2|в= 3|Г2|в№1№1|Ai = iAi/2г|Ai = iAi/2г
1^11 = 2|^з| б
1^11 = 2|^з| б
1^11 = 1*21 а
1^11 = 1*21 а
= 3|Г2|
в
= 3|Г2|
в
№1
№1
|Ai = iAi/2
г
|Ai = iAi/2
г
Рис. Ш.З
В каком направлении будет вращаться рычаг с осью в точке О (рис. Ш.4 а-г) под действием приложенных сил Fi и F2? Какого рода этот рычаг? Во всех случаях плечо силы Fi в два раза меньше плеча силы F2.
|А| = 2|А||А| = 2|А||А| = з|А||А| = з|А|Fi|А| = |А|Fi|А| = |А|ааFi|А| = |А|/2Fi|А| = |А|/2
|А| = 2|А|
|А| = 2|А|
|А| = з|А|
|А| = з|А|
Fi
|А| = |А|
Fi
|А| = |А|
а
а
Fi
|А| = |А|/2
Fi
|А| = |А|/2
Рис. Ш.4
В каком направлении будет вращаться тело, закрепленное в точке О (рис. Ш.5), под действием каждой из действующих сил? Перерисовав чертеж в тетрадь, найдите плечи всех сил.
Рис. Ш.6Рис. Ш.6
Рис. Ш.6
Рис. Ш.6
Бревно уравновешено на тросе (рис. Ш.6). Какая часть бревна окажется тяжелее, если его распилить в месте подвеса?
Ответы
Статика — это раздел механики, в котором изучаются условия равновесия твердых тел. Равновесием называют такое состояние тела, когда оно находится в покое, движется равномерно прямолинейно или равномерно вращается вокруг какой- либо неподвижной оси.
Методы статики применяются в самых различных областях деятельности человека. При различных инженерных и архитектурных проектах необходимо рассчитать силы, действующие на фундамент и отдельные элементы зданий, мостов, станков, автомобилей, самолетов и пр. Это объясняется тем, что любой материал может деформироваться и разрушаться, если воздействия окажутся слишком большими. Знание сил, действующих в мышцах и суставах человека, важно для медицины — при лечении травм, при протезировании различных органов, в частности, конечностей; не менее важно использование методов статики для научного подхода к занятиям спортом.
Действие нескольких сил на тело можно заменить одной силой, называемой равнодействующей. Силы, которые эта равнодействующая заменяет, называются составляющими.
Пусть равнодействующая нескольких сил, действующих на тело, отлична от нуля, и тело не находится в равновесии. Можно приложить еще одну силу, которая уравновесит совокупность всех сил. Такая сила называется уравновешивающей. Она равна по величине равнодействующей силе и направлена противоположно ей.
Абсолютно твердым называется тело, размеры и форма которого не меняются, какие бы силы на него не действовали.
В вопросах а-е требуется найти равнодействующую силу /? = Fi + F2. Для первых трех случаев нахождение равнодействующей приведено на рис. Ш.7 a-в. Если забыты правила сложения векторов, то можно обратиться к I части, «Кинематика материальной точки», где приведены соответствующие правила;
прямая, проведенная через точку приложения силы в направлении действия этой силы, называется ее линией действия (прямая на рис. Ш.8 а).
Опыт показывает, что действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если точку приложения силы перенести
ДДАА|л| = |А| + |А||л| = |А| + |А||Я| = \/|А|2+Жр^2|КПЖсо^(Т80°^|Я| = \/|А|2+Жр^2|КПЖсо^(Т80°^|я| = |А|-|А||я| = |А|-|А|
Д
Д
А
А
|л| = |А| + |А|
|л| = |А| + |А|
|Я| = \/|А|2+Жр^2|КПЖсо^(Т80°^
|Я| = \/|А|2+Жр^2|КПЖсо^(Т80°^
|я| = |А|-|А|
|я| = |А|-|А|
Рис. Ш.7
вдоль линии ее действия (рис. III.8 в). Для сложения любых двух сил, приложенных к одному телу, их надо перенести в одну точку — точку пересечения линий их действия ( на рис. Ш.8 б это прямые MiNi для силы Fi и M^N^ для силы F^ точка О — точка пересечения линий действия). В точке О производится векторное сложение сил по правилу параллелограмма, находится равнодействующая сила R. Полученную равнодействующую можно перенести в любую точку тела вдоль линии ее действия.
Рис. Ш.8Рис. Ш.8
Рис. Ш.8
Рис. Ш.8
Величина равнодействующей, так же как и в случае в), определяется по теореме косинуса;
сложить так, как рассмотрено выше, параллельные силы Fi и F2 не удастся, поскольку линии их действия параллельны. Поэтому поступают следующим образом.
Если к телу приложить две силы F*^ F" равные по величине и противоположные по направлению, то это не изменит состояния тела, так как F* + FH = 0 (рис. Ш.9).
F* О F"
Рис. Ш.9
Найдем две равнодействующие силы: Ri = F\ + F', R^ = = Л 2 + FH. Из рис. Ш.9 видно, что Ri и R^ не параллельны, и поэтому можно найти равнодействующую /? = /?1 + /?2 методом, рассмотренным выше. Очевидно, что R = Fi + F^ так как Fr + F” = 0. Точка О приложения равнодействующей может оказаться за пределами тела. Перенесем полученную равнодействующую R вдоль линии ее действия в любую точку тела, например, в точку С. Разложим в точке О силу Ri на составляющие ее силы Pi и F, а силу R^ на F2 и FN^ F’ и F” — взаимно компенсируются, а силы Fi и Fa направлены вдоль прямой, параллельной линиям их действия. Следовательно, равнодействующая сил Fi и F2 равна их сумме и направлена в ту же сторону: |7?| = |^1| + |^|.
Найдем соотношение между отрезками di и da на которые точка приложения равнодействующей делит расстояние между точками приложения сил — Л и В. Рассмотрим две пары заштрихованных треугольников, которые подобны (рис. Ш.9). Напишем соотношения между сторонами треугольников:
ю=а (а)
Ml = М.
d2 \F”V
Поделив уравнение (а) на уравнение (б), получим
d2 = |А|
di |А|’
Таким образом, равнодействующая двух параллельных, одинаково направленных сил, параллельна им, направлена в ту же сторону и равна их сумме; точка приложения равнодействующей делит расстояние между точками приложения сил на части, обратно пропорциональные величинам сил;
в случае сложения антипараллельных сил F^ и F^ рассуждения аналогичны тем, что приведены в предыдущем случае. Поэтому построение равнодействующей без объяснений приведем на рис. Ш.10.
Рис. ШЛО
Вывод может быть сделан следующий: равнодействующая двух параллельных сил, направленных в противоположные стороны, параллельна им, направлена в сторону большей силы, равна по величине разности этих сил. Расстояние от точки, где приложена равнодействующая до точек, где приложены силы Fi и F^ обратно пропорциональны величинам этих сил:
\R\ = \Fi\-\M
d2 _ |А|
di |F2|'
Для того чтобы найти составляющие заданной силы F на два направления А^Ву и А^В^ надо поступить следующим образом: через начало и конец вектора F надо провести по две прямых, параллельных каждому из направлений разложения (пунктирные линии на рис. III.11 а).
Каждая пара линий ограничит на прямых А\В\ и А^В^ составляющие векторов F^ и F^. Проще найти составляющие вектора F, если его начало совместить с точкой пересечения прямых (рис. III.11 5). Величины составляющих векторов находят, используя тригонометрические соотношения в треугольниках, образованных векторами F, Fi и F^.
В соответствии с I законом Ньютона любое вращающееся тело будет находиться в равновесии, если векторная сумма всех сил, приложенных к телу, равна нулю: 52 F^ = 0 (п — число г=1
действующих на тело сил). При этом условии сумма проекций этих сил на любую ось координат также равна нулю. Если выберем прямоугольную систему координат, то имеем два условия равновесия для проекций действующих на тело сил:
пп
г=1г=1
Тело, имеющее одну закрепленную точку, не может двигаться поступательно. В этом случае тело под действием силы может прийти во вращательное движение вокруг оси, проходящей через закрепленную точку О (рис. III.12 а). Тело будет поворачиваться до тех пор, пока линия действия силы MN не пройдет через закрепленную точку (рис. III.12 б).
Рис. Ш.12
Часто на практике мы сталкиваемся с телами, которые имеют закрепленными совокупность точек, лежащих на одной прямой (оси вращения). Таковы все двери, окна, колеса, различные механизмы и пр.
Пусть на тело, имеющее закрепленную ось, действует произвольно направленная сила F. Спроектируем эту силу на оси прямоугольной системы координат: ось Ох лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, ось Оу лежит в плоскости, проходящей через ось вращения (рис. III. 13). Вращение диска
вокруг оси вызывает только составляющая Fж, перпендикулярная оси вращения. Поэтому дальше мы будем говорить только о силах, лежащих в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Составляющая Fy, параллельная оси вращения, должна была бы перемещать саму ось вращения. Но мы ее считаем закрепленной, поэтому сила Fy будет скомпенсирована силой реакции опоры в местах закрепления оси.
Если открывать дверь, прикладывая силу Fi так, как указано на рис. Ш.14а, можно убедиться, что чем больше величина силы Fi, тем быстрее открывается дверь.
Рис. III.14
Если теперь прикладывать силу F2 той же величины, что и Fi, но в точке, расположенной ближе к косяку с петлями, то дверь будет открываться уже не так быстро (угловая скорость двери станет меньше): то есть эффект действия силы стал меньше (рис. 111.14 б).
На рис. Ш.14в на дверь поочередно действуют одинаковыми по величине, но направленными по-разному силами Fi, F3, F4. При действии силы F4 дверь не открывается совсем (линия действия силы проходит через ось вращения. Под действием силы F3 дверь открывается медленнее, чем при действии силы Fi.
Таким образом, вращающее \действие силы зависит не только
® от величины этой силы, но и от величины, называемой плечом силы.
Плечом силы называется кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы (на F3 рис. 111.14 a-в для всех сил обозна- ^2 (^2 = 0)чены их плечи di-6/4). Для того,
~ ттттгчтобы найти плечо силы, надо из
центра вращения опустить перпендикуляр на линию действия силы. Расстояние от центра вращения до основания перпендикуляра и есть плечо силы (на
рис. III.15 плечи сил обозначены: di^ d^ d^ d^ = 0, так как линия действия силы F4 проходит через ось вращения).
Таким образом, вращающее действие силы зависит от величины силы и ее плеча.
Моментом силы относительно оси вращения называется произведение модуля силы на плечо:
М = \F\d.
Специальной единицы для момента силы нет, его размерность в системе СИ есть
[М] = Н-м.
Таким образом, чтобы получить нужный нам момент вращения при минимальном усилии, надо стараться приложить силу как можно дальше от оси вращения, увеличивая тем самым плечо силы.
Примечание. В вопросе 1.5 говорилось, что силу можно переносить вдоль линии ее действия. Такой перенос не изменяет плеча силы и, следовательно, ее момента, поэтому тело не меняет своего состояния.
Условились считать моменты сил, вращающих тело по часовой стрелке (рис. Ш.16а), отрицательными, а против часовой стрелки — положительными.
Рис. Ш.16
Условие равновесия тела, имеющего закрепленную ось вращения, заключается в следующем (правило моментов): тело, имеющее закрепленную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело относительно закрепленной оси, будет равна нулю:
Mi + М^ +... + Мп = О
(п — число действующих на тело сил). Или
п
г=1
Изложенное выше условие вместе с условием, приведенным в 1.7, составляют два условия равновесия тел.
Две одинаковые по величине антипараллельные силы, приложенные к телу в разных точках, называют парой сил (рис. 111.17 а).
Под действием пары сил тело поворачивается вокруг закрепленной точки. Если направление сил не меняется, то поворот происходит до тех пор, пока линии действия сил не совпадут: в этом случае обе силы окажутся действующими противоположно друг другу вдоль прямой, проходящей через ось вращения тела (рис. 111.17б). Найдем величину момента пары сил. Для рис. 111.17 в на тело действуют два момента силы:
М^ = F±di и М^ = F^d^.
Учитывая, что
1^11 = 1^1 = И,
суммарный момент пары сил М равен
м = Ml + М2 = F(di + d^ = Fl^0,
I = (di + d^ — плечо пары сил.
Следовательно, тело не находится в равновесии под действием пары сил.
Для увеличения момента силы при закручивании путем увеличения плеча силы.
Теплоход будет поворачиваться против часовой стрел
ки.
В части II, «Динамика материальной точки», центр тяжести был определен как точка, в которой приложена равнодействующая сил тяжести, действующих на все частицы тела. Если тело подперто так, что линия действия силы реакции опоры проходит через центр тяжести (рис. Ш.18а), то тело будет находиться в равновесии. В этом случае выполняются оба условия равновесия (см. ответы к вопросам 1.7 и 1.10):
векторная сумма действующих на тело сил равна нулю: N + тд = 0;
через точку опоры пройдет ось, вокруг которой может повернуться тело, если выйдет из состояния равновесия.
Поэтому справедливо второе условие равновесия: алгебраическая сумма моментов всех действующих на тело сил равна нулю. В данном случае равны нулю моменты силы тяжести и силы реакции опоры (так как равны нулю плечи этих сил). Но вопрос можно рассмотреть и по-другому. Любое тело можно условно разбить на несколько частей; на каждую часть действует сила тяжести. При равновесии тела алгебраическая сумма моментов сил тяжести, действующих на отдельные части тела, равна нулю относительно точки опоры (рис. III.18 5). Поэтому центр тяжести тела можно определить как точку, относительно которой сумма моментов сил тяжести, действующих на отдельные части тела, равна нулю.
15. На любое тело действует сила тяжести, и оно может находиться в равновесии, если она будет скомпенсирована какой- либо силой. Это может быть сила реакции опоры. Рассмотрим разные случаи равновесия.
Шарик находится на вершине выпуклой поверхности (рис. III.19 а). Сила тяжести тд и сила реакции опоры N, действующие на шарик, равны по величине и противоположны по направлению, равнодействующая в этом положении равна нулю. Если шарик немного сместить, то равнодействующая R будет уже отлична от нуля и направлена в сторону от равновесного положения; шарик, предоставленный себе, не вернется в исходное положение.
Рис. Ш.19
Состояние равновесия, в котором находился шарик на вершине выпуклой поверхности, называется неустойчивым.
Если же шарик находится на дне вогнутой поверхности (рис. III.19 5), то он самопроизвольно займет положение, где он находится в равновесии (N + тд = 0). Если шарик немного сместить, то равнодействующая сил N и тд окажется направленной к положению равновесия. Под действием равнодействующей R шарик вернется в положение равновесия. Такое положение называется устойчивым.
При смещении шарика по горизонтальной поверхности в любом положении он будет находиться в равновесии (рис. III.19 в). Такое состояние равновесия называется безразличным.
Пусть однородная прямоугольная пластинка имеет закрепленную ось вращения (точка О на рис. III.20 а-в\
Тело, имеющее закрепленную ось вращения, находится в равновесии, когда линия действия силы тяжести проходит через ось вращения тела. В этом случае плечо силы тяжести равно нулю и равен нулю вращающий момент силы тяжести. Момент силы реакции опоры в точке закрепления всегда равен нулю (так как плечо силы реакции опоры равно нулю).
Если пластинку вывести из положения равновесия, то момент силы тяжести уже станет не равным нулю (так как d ф 0,
абв
Рис. Ш.20
рис. Ш.20а, б\ В случае, соответствующем рис. Ш.20а, пластинка повернется так, что точка подвеса окажется наверху, то есть пластинка не вернется в исходное равновесное положение. В случае, изображенном на рис. Ш.20 5, под действием силы тяжести пластинка, выведенная из положения равновесия, сама вернется в исходное положение.
Закрепим пластинку в точке, где находится центр ее тяжести (рис. Ш.20в). Пластинка может сколь угодно долго находиться в любом положении. Это объясняется тем, что плечи силы тяжести и силы реакции опоры равны нулю, поэтому пластинка поворачиваться не будет.
Аналогично тому, как в предыдущем примере (с шариком), положение равновесия, соответствующее рис. Ш.20а, будет неустойчивым, рис. 111.20 б — устойчивым, рис. III.20 в — безразличным.
Обобщая разобранное в обоих случаях, можно сформулировать следующее.
Равновесие, при котором незначительное отклонение тела в любую сторону приводит к опусканию центра тяжести тела (рис. 111.19 а и Ш.20а), будет неустойчивым. Тело само не может вернуться в положение с большей потенциальной энергией (то есть в положение, где центр тяжести расположен выше).
Равновесие, при котором незначительное отклонение тела в любую сторону приводит к подъему центра тяжести (рис. 111.19 б и Ш.20 5), будет устойчивым. В этом случае тело, обладая потенциальной энергией относительно исходного уровня, переходит в положение, где его потенциальная энергия минимальна.
18 С. В. Трубецкова
Если при отклонении тела в любую сторону высота расположения центра тяжести не меняется, положение равновесия является безразличным (рис. III. 19 в и III.20 в).
Ось вращения (точка О) коромысла должна быть расположена выше центра тяжести (точка (7) коромысла с чашками (рис. III.21).
Рис. Ш.21
Центр тяжести яйца расположен ближе к его тупому концу (точка О, рис. III.22). В положении «на боку» центр тяжести расположен в низшем из возможных положений, поэтому такое положение равновесия будет устойчивым.
Рис. Ш.23
Тело, имеющее площадь опоры, также может находиться в состоянии неустойчивого и устойчивого равновесия. Пусть однородный брусок наклонили на малый угол а (рис. III.23).
В этом случае он будет поворачиваться относительно одного из ребер. Поэтому можно рассматривать брусок как тело, имеющее закрепленную ось. При повороте центр тяжести поднимается. Если брусок отпустить, то под действием пары сил (N и тд) он вернется к исходному положению равновесия, перейдя в положение с меньшей потенциальной энергией (рис. III.23 а, б). Поэтому положение равновесия, соответствующее рис. III.23 а, является устойчивым.
Если брусок отклонить на угол Р такой, что линия действия силы тяжести пройдет через точку опоры, то брусок будет также находиться в положении равновесия. Но это положение будет неустойчивым. Из положения, соответствующего рис. Ш.23в, брусок при малейшем смещении в любую сторону перейдет в положение, где центр тяжести расположен ниже и, соответственно, величина потенциальной энергии меньше.
При отклонении бруска на угол, больший /0, линия действия силы тяжести вышла за пределы площади опоры. Брусок в этом случае под действием пары сил (N и тд) повернется и упадет (рис. III.23 г, д). Сравнив рис. III.23 б и г, можно сказать, что тело, выведенное из положения равновесия, не упадет, пока линия действия силы тяжести проходит через площадь опоры тела.
Степень устойчивости тел зависит от величины угла р. Чем больше площадь опоры тела и ниже центр тяжести тела, тем больше угол Р^ при повороте на который тело перейдет из устойчивого положения равновесия в неустойчивое. Это видно из сравнения рис. III.24 а, б и рис. III.25 а, б.
18*
Из примеров, рассмотренных в ответах 1.15 и 1.18, можно сделать важный вывод: самым устойчивым состоянием тела является то, в котором его потенциальная энергия минимальна.
Подъем человека на ходули сильно поднимает точку центра тяжести над землей и уменьшает площадь опоры, поэтому положение на ходулях не является устойчивым.
"F2"F2* А* АААРычагом называют твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения. На рычаг обычно при его использовании действуют силы, стремящиеся повернуть его вокруг оси. Различают три вида рычагов, в зависимости от того, где помещается точка опоры (закрепленная ось). Рычаги I рода имеют точку опоры между точками приложения сил, а силы направлены в одну сторону (рис. Ш.26а). Примерами рычагов I рода могут служить равноплечные лабораторные весы, коромысло, железнодорожный шлагбаум и т. д.
"F2
"F2
* А
* А
А
А
О
VА
А
абв
Рис. Ш.26
В рычагах второго и третьего родов ось вращения находится по одну сторону от точек приложения сил (рис. 111.26 б, в), а силы направлены противоположно друг другу. Обычно с помощью таких рычагов минимальным усилием Fi преодолевают действие большей силы F^. Это рычаги II рода (рис. III.26 5). Примерами являются гаечные ключи, щипцы для орехов и пр. В рычагах III рода, наоборот, достаточно большим усилием Fi надо оказать очень нежное воздействие на какой-либо объект (рис. Ш.26в). К рычагам III рода относятся пинцеты различного назначения.
Для равновесия рычага необходимо, чтобы момент силы, вращающий рычаг по часовой стрелке, был равен моменту силы, действующей против часовой стрелки:
^1^1 — Fyd^
или
(a)(a)Fi _ F2di d^
(a)
(a)
Из последнего соотношения видно, что при равновесии рычага величины приложенных сил обратно пропорциональны длинам плеч соответствующих сил.
Пусть рычаг под действием приложенных сил придет в равномерное движение (считаем, что сила трения отсутствует). При этом точки приложения сил Fi и F2 пройдут пути si и s2, соответственно (рис. 111.27 а, б). Из подобия треугольников А^В^О и А^В^О можно записать, что
Рис. Ш.27Рис. Ш.27
Рис. Ш.27
Рис. Ш.27
Сравнивая это выражение с формулой (а) из предыдущего ответа (1.20), можно записать
F2 si
Отсюда видно, что приложенная к рычагу сила F2 во столько раз меньше преодолеваемой силы Fi, во сколько раз пройденный ею путь s2 больше пути si. Или иначе: при действии на длинное плечо рычага мы выигрываем в силе, но во столько
же раз проигрываем в расстоянии (это утверждение называется «золотым» правилом механики). При этом работы, совершаемые силами Fi и F2, равны друг другу (если пренебречь силами трения):
1.22. а) Против часовой стрелки; б) не будет вращаться;1.22. а) Против часовой стрелки; б) не будет вращаться;Fi.si = F2.s2; Лх = Л2.
1.22. а) Против часовой стрелки; б) не будет вращаться;
1.22. а) Против часовой стрелки; б) не будет вращаться;
Рис. Ш.28Рис. Ш.28в) по часовой стрелке; г) против часовой стрелки; рычаг I рода.
Рис. Ш.28
Рис. Ш.28
а) Против часовой стрелки; б) не будет вращаться; в) против часовой стрелки; г) по часовой стрелке. В случаях (а, в) — рычаг II рода, (б, в) — III рода.
Сила F2 вращения не вызовет; F3 — по часовой стрелке; Fi, F4 — против часовой стрелки.
Плечи сил обозначены на рис. III.28.
Правая часть окажется тяжелее; моменты сил правой и левой частей равны, но у правой части короче плечо силы тяжести, поэтому величина силы тяжести правого куска больше.
Основные формулы
Два условия равновесия тела:
геометрическая сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю:
п
£А = ° (А + А+...+А+-+Я = о); (ci) г=1
алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно любой точки тела равна нулю:
У^=0(М1 + М2 + ... + М^+... + М„ = 0).(1.2)
г=1
Момент силы F равен
М = \F\d,(1.3)
где d — плечо силы.
Методика решения задач
При решении задач на определение равнодействующей нескольких произвольно направленных сил нужно следовать изложенным ниже правилам:
сделать рисунок, обозначить на нем все силы, действующие на тело; путем параллельного переноса вдоль линии действия все силы свести в одну точку;
геометрически сложить силы по правилам сложения векторов; если на тело действуют больше двух сил, то складывать их поочередно;
вычислить модуль равнодействующей силы.
В некоторых задачах, наоборот, надо найти составляющие силы по заданным направлениям. В этих случаях:
сделать рисунок, обозначить на нем все силы, действующие на тело; путем параллельного переноса вдоль линии действия все силы свести в одну точку (удобно в центр тяжести тела);
записать первое условие равновесия в векторной форме (1.1);
выбрать начало прямоугольной системы координат в центре тяжести тела или в другой удобной точке; направления осей координат расположить таким образом, чтобы углы между силами и осями были известны, а часть проекций обратилась бы в нуль;
записать векторное уравнение (1.1) в проекциях на оси выбранной системы координат, используя нужные тригонометрические функции;
решить полученную систему уравнений относительно неизвестных сил.
Если тело под действием совокупности сил находится в равновесии (силы приложены в разных точках тела), и при исчезновении какой-либо из сил тело может повернуться, то надо использовать условие равновесия (1.2).
Поступать в таких случаях можно следующим образом:
сделать рисунок, обозначив на нем все силы, действующие на тело; особенно надо обратить внимание не только на количество и направление сил, но и на то, в каких точках тела эти силы приложены, как проходят линии действия сил;
при равновесии тела правило моментов можно записать относительно любой оси (то есть проходящей через любую
точку тела), так как относительно любой оси сумма моментов действующих сил должна быть равна нулю. Обычно ось вращения выбирают в точке, через которую проходит линия действия одной из неизвестных сил (очевидно, если не надо найти величину этой силы). Момент этой силы относительно выбранной точки будет равен нулю, что уменьшит число неизвестных в уравнении.
Выбирая разные центры вращения тела, можно составить столько уравнений, сколько необходимо для решения задачи.
Кроме того, можно кроме условия равновесия (1.2), использовать условие равновесия (1.1);
решить полученную систему уравнений относительно неизвестных величин.
4. При решении задач на определение положения центра тяжести тела сложной формы необходимо помнить: центром тяжести тела произвольной формы называется точка внутри тела (или вне его), относительно которой сумма моментов сил тяжести, действующих на отдельные части тела, равна нулю. Таким образом, если закрепить тело в центре его тяжести, то оно будет находиться в равновесии.
При решении задач такого типа тело сложной формы надо представить в виде нескольких простых частей (правильной геометрической формы). Центр тяжести однородного тела симметричной формы находится в центре симметрии. Нужно выбрать точку внутри тела, где ориентировочно может быть расположен центр тяжести (она должна находиться ближе к силе большей величины, так как плечо ее относительно центра тяжести должно быть меньше). Положение центра тяжести можно отсчитывать от какой-либо точки тела, обозначив расстояние как х. Относительно предполагаемой точки надо записать моменты всех сил тяжести, действующих на отдельные части тела, и записать второе условие равновесия (1.2). Далее нужно решить уравнение моментов относительно х.
Примеры решения задач
На парашютиста массой 90 кг в начале прыжка действует сила сопротивления воздуха, вертикальная состаляющая которой равна 500 Н, а горизонтальная — 300 Н. Найдите равнодействующую всех сил.
т = 90 кгFB = 500 НЕг = 300 НR-?т = 90 кгFB = 500 НЕг = 300 НR-?На парашютиста действуют силы: сила тяжести тд и сила сопротивления воздуха, вертикальная и горизонтальная составляющие которой даны в условии задачи (рис. III.29).
т = 90 кг
FB = 500 Н
Ег = 300 Н
R-?
т = 90 кг
FB = 500 Н
Ег = 300 Н
R-?
Для нахождения равнодействующей нес
кольких сил их складывают поочередно: для данного случая сначала сложим силы, действующие вдоль одной прямой: тд И ^ R' = mg + FB.
Их равнодействующая R’ направлена в сторону большей силы тд и равна по величине разности:
R' = тд — FB; R* = 400 Н.
Теперь R’ сложим с Fr:
R = Rr + Fr.
Поскольку угол между R и Fr равен 90°, то для нахождения их суммы пользуемся правилом параллелограмма и теоремой Пифагора:
R = ДгДЦ^; [Я] = Н; R = 500 Н.
|#1| = |#2| = FF = 8 кН a = 60°Fb-*?|#1| = |#2| = FF = 8 кН a = 60°Fb-*?
|#1| = |#2| = F
F = 8 кН a = 60°
Fb-*?
|#1| = |#2| = F
F = 8 кН a = 60°
Fb-*?
Баржа удерживается двумя канатами. С какой силой ветер действует на баржу, если каждый канат натянулся с силой 8 кН? Канаты составляют угол 60° по отношению к берегу (рис. Ш.30).
I способ
Перенесем силы Fi и F^ вдоль линий действия в точку их пересечения. По правилу параллелограмма найдем их равнодействующую R: R = F^ + Fa
(рис. Ш.31а). Величину равнодействующей можно найти по теореме синуса (угол, противолежащий R. равен 120°):
Я2 = F2 + F2 _ 2F . F cos 120° = 2F2 + 2F2 cos 60° = 3F2;
R^FV^- R = 13,85 кН.
Поскольку баржа находится в равновесии, то сила давления ветра должна уравновешивать силы натяжения канатов, то есть она равна по величине R, приложена в той же точке и противоположно направлена:
|FB| = |F| = 13,85 кН.
II способ
При действии на баржу сил FB, Fi, F^ она остается в равновесии. Поэтому запишем условие равновесия (1.1):
А + А + А = 0.
Выберем систему координат (рис. III.31 5), направив ось Оу вдоль вектора искомой силы FB. В проекциях на эти оси уравнение (а) запишем следующим образом:
ось Ox; F2x - Flx = 0;
ось Оу; FB - Fiy - F2y = 0.
Из рис. III.31 б видно, что Fiy = F2y = Feos (а/2). С учетом этого из второго уравнения системы найдем FB:
FB = Fiy + F2y = 2F2y = 2Fcos («/2^
FB = 2Fcos30° = FV3; Fb = 13,85 кН.
По окружности диска вдоль радиусов к центру действуют шесть сил под углом 60° друг к другу. Определите величину и направление равнодействующей этих сил, если они последовательно равны 1 Н, 2 Н, 3 Н, 4 Н, 5 Н и 6 Н.
Fx = 1 Н;F3 = 3 Н;F5 = 5H;F-?Fx = 1 Н;F3 = 3 Н;F5 = 5H;F-?F2 = 2HF4 = 4HF6 = 6 HF2 = 2HF4 = 4HF6 = 6 HВ задаче требуется найти равнодействующую всех сил:
Fx = 1 Н;
F3 = 3 Н;
F5 = 5H;
F-?
Fx = 1 Н;
F3 = 3 Н;
F5 = 5H;
F-?
F2 = 2H
F4 = 4H
F6 = 6 H
F2 = 2H
F4 = 4H
F6 = 6 H
R = А + F% + A + F4 + F^ + Fq .
Перенесем все шесть сил вдоль линии их действия в центр тяжести
диска (рис. Ш.32а, б). Удобно складывать попарно силы, дейст
Ад = А + А;Ад = А + А;Ад = А + А; Ад = А + А-Ад = А + А; Ад = А + А-Рис. Ш.32Рис. Ш.32вующие вдоль прямой, то есть найти равнодействующие:
Ад = А + А;
Ад = А + А;
Ад = А + А; Ад = А + А-
Ад = А + А; Ад = А + А-
Рис. Ш.32
Рис. Ш.32
Так как каждая пара сил направлена вдоль прямой в противоположные стороны, то эти равнодействующие направлены в сторону большей силы и равны (рис. III.32 в)
К1Л = F4 - Fi = 3 Н, R^b = F5 - F2 = 3 Н,
F3,6 = F6-F3 = 3H.
Получили, что найденные равнодействующие равны между собой, и углы между соседними векторами равны 60°.
Теперь полную равнодействующую можно найти как следующую сумму:----
К+ ^2,5 + ^3,6-
По правилу параллелограмма можно сложить крайние силы:
R' = F3;6 + Fi4.
Равнодействующая R будет направлена вдоль диагонали ромба, острый угол которого равен 60°, и значение ее равно
R' = F3;6 = Fi;4 = 3 Н.
Из рис. III.32 г видно, что R* направлена вдоль R^^- Поэтому полная равнодействующая равна
R — R + ^2,5? R — R F ^2,5 = 6 Н.
Направлена равнодействующая всех сил вдоль вектора F^.
На гвоздь, вбитый в стену перпендикулярно к ней, действует сила в 200 Н под углом 30° к стене. Найдите составляющие этой силы, из которых одна вырывает гвоздь, а вторая изгибает его.
F = 200 Н а = 30°Fi-? F2-?F = 200 Н а = 30°Fi-? F2-?С точкой приложения силы свяжем начало прямоугольной системы координат. Горизонтальная составляющая силы Fi вырывает гвоздь из стены, а вертикальная составляю
F = 200 Н а = 30°
Fi-? F2-?
F = 200 Н а = 30°
Fi-? F2-?
щая F2 изгибает гвоздь (рис. Ш.ЗЗ). Из рисунка видно, что
Fi = /sina = 100 Н; F2 = Fcosa = 170 Н.
Рис. Ш.ЗЗРис. Ш.ЗЗРис. Ш.34Рис. Ш.34
Рис. Ш.ЗЗ
Рис. Ш.ЗЗ
Рис. Ш.34
Рис. Ш.34
Определите натяжение в тросах АВ и СВ, на которых висит груз массой 10 кг, если угол ZABC между тросами равен 120° (рис. Ш.34а). Массой тросов пренебречь.
т = 10 кг ZABC = 120°Fi-? F2-?т = 10 кг ZABC = 120°Fi-? F2-?На груз действует сила тяжести, которая уравновешена силами натяжения тросов Fi и F2 (рис. III.34 б). Так как груз находится в состоянии равновесия, то
т = 10 кг ZABC = 120°
Fi-? F2-?
т = 10 кг ZABC = 120°
Fi-? F2-?
Fx + F2 + тд = 0.
Силу тяжести груза перенесем в точку В, где он подвешен. Совместим с этой же точкой начало прямоугольной системы координат хОу.
Запишем условие равновесия в проекциях на оси выбранной системы координат:
(на ось Ox; — F^ + F^ = О,
(на ось Од; F^y — тд = 0.
Из рисунка видно, что а = 120° — 90° = 30°, F^x = F^sma и F^y = F2cosct. С учетом этого запишем полученную систему уравнений:Г F2shm - Fx = 0,
I F^cosa — mg = 0.
Отсюда
F2 =[F2] = H;F2 = 115,6 H;
cos a
Fi = F2sina;[FJ = H;Fx = 57,8 H.
равен 0,4.т = 10 кг / = 1 м h = 0,6 м /1 = 0,4 F-?равен 0,4.т = 10 кг / = 1 м h = 0,6 м /1 = 0,4 F-?Деревянный брусок лежит на наклонной плоскости. С какой силой, направленной перпендикулярно наклонной плоскости, надо прижать брусок, чтобы он оставался на ней в покое? Масса бруска равна 2 кг, длина наклонной плоскости 1 м, высота 60 см. Коэффициент трения бруска с наклонной плоскостью
равен 0,4.
т = 10 кг / = 1 м h = 0,6 м /1 = 0,4 F-?
равен 0,4.
т = 10 кг / = 1 м h = 0,6 м /1 = 0,4 F-?
На брусок действуют: тд — сила тяжести, N — сила реакции наклонной плоскости, FTp — сила трения, F — сила, прижимающая брусок к наклонной плоскости (рис. Ш.35). Так как брусок не может вращаться, то для его равновесия достаточно выполнения первого ус
ловия равновесия:
mg + N + F + FTp = 0.(а)
Начало координат свяжем с центром тяжести тела, оси Ох и Од направим вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно ей. Запишем уравнение (а) в проекциях на оси Ох и Од;
ИЛИИЛИна ось Ох: (тпд)ж — FTp = О, на ось Од:— (тд)у + N — F = О,
ИЛИ
ИЛИ
mg sin а — FTp = О, N — mg cos а — F = 0.
Так как FTp = gN, то, решая систему, получим
откудаоткудаF = N — mg cos а, mgsma — gN = 0, „ /sin а г = тдуcosoF = N — mg cos а, mgsma — gN = 0, „ /sin а г = тдуcosoИз рис. Ш.35 видно, что sin о =Из рис. Ш.35 видно, что sin о =hhcoso =coso =
откуда
откуда
F = N — mg cos а, mgsma — gN = 0, „ /sin а г = тдуcoso
F = N — mg cos а, mgsma — gN = 0, „ /sin а г = тдуcoso
Из рис. Ш.35 видно, что sin о =
Из рис. Ш.35 видно, что sin о =
h
h
coso =
coso =
F4vРис. Ш.36каждом из случаев?F4vРис. Ш.36каждом из случаев?/ = 2 мFi = 2 НF2 = 3HF3 = 2,8 НF4 = 5 НF5 = l НМА-? Мв-7Мс — 7 Мв — 7/ = 2 мFi = 2 НF2 = 3HF3 = 2,8 НF4 = 5 НF5 = l НМА-? Мв-7Мс — 7 Мв — 7
F4v
Рис. Ш.36каждом из случаев?
F4v
Рис. Ш.36каждом из случаев?
/ = 2 м
Fi = 2 Н
F2 = 3H
F3 = 2,8 Н
F4 = 5 Н
F5 = l Н
МА-? Мв-7
Мс — 7 Мв — 7
/ = 2 м
Fi = 2 Н
F2 = 3H
F3 = 2,8 Н
F4 = 5 Н
F5 = l Н
МА-? Мв-7
Мс — 7 Мв — 7
F=р\
I \ д/
гкг • м //—«х кг • м1 тт
F =у(м-Ум2) = —^ = Н:F«13,7H.
м • с2с2
К плоскому телу, имеющему форму квадрата, приложе
ны пять сил:
Fi = 2H, F2 = 3H, F3 = 2,8H, F4 = 5H, F5 = 1 H
(рис. Ш.36). Стороны квадрата — 2 м. Определите моменты указанных сил относительно осей, проходящих через вершины квадрата перпендикулярно плоскости рисунка. В каком направлении будет поворачиваться тело под действием всех пяти сил в
Найдем плечи всех сил, действующих на плоский квадрат, относительно оси, проходящей через точку А:
dl = \AD\ = l-, d2 = \AB\ = l-
ds = \AO\ = l/V2
(по теореме Пифагора из АЛОВ); d4 = 0; б/5 = 0 (линии действия двух последних сил проходят через точку Л).
Мысленно «вбив гвоздик» в вершину Л квадрата, будем по очереди действовать каждой силой.
Можно представить, что под действием силы Fi квадрат повернется по часовой стрелке, а под действием сил F2 и F3 против часовой стрелки. Силы F4 и F5 воздействия не окажут, так как 64 = d^ = 0. Поскольку моменты сил, вращающие тело по часовой стрелке, считаются отрицательными, а против часовой стрелки — положительными, то можно записать, что
Mi =-Fidi= -Fi/;Mi = -4 H • м;
М^ —F2d2=F2/;М2 — 6 Н • м;
М3 =F3F3=F3//V2;М3 = 4Н-м;
М^ =0;М5 = 0.
Сумма моментов всех сил относительно точки Л равна 5
52 Mi = 6 Н ■ м.
г=1
Так как результирующий момент положителен, значит тело повернется против часовой стрелки.
Без подобных объяснений приведем анализ для точки В. Постарайтесь предварительно решить самостоятельно, проверив затем ход своих рассуждений по приведенному решению. Для точек С и D дадим только ответы.
Найдем моменты сил, действующих на тело, относительно оси, проходящей через точку В;
di = /; d2 — 0; d^ = 0;</4 = 0; d^ = /;
Mi =-Fil- Mi = -4H-m;
M2 = 0; M3 = 0; M4 = 0; Mb = F^ A45 = 2Hm;
5
52 Mi = -2 h-m.
2 = 1
Тело будет вращаться по часовой стрелке.
5
Относительно точки С ^ Mi = —8 Н м.
г = 1
5
Относительно точки D 52 ^г = 16 Н • м.
г=1
8. Стальной вал длиной 2,4 м и массой 48 кг лежит на ящике, выступая за края ящика с правой стороны на 0,8 м, а с левой — на 0,6 м. Какие силы нужно приложить, чтобы поднять вал с правой или с левой стороны?8. Стальной вал длиной 2,4 м и массой 48 кг лежит на ящике, выступая за края ящика с правой стороны на 0,8 м, а с левой — на 0,6 м. Какие силы нужно приложить, чтобы поднять вал с правой или с левой стороны?ш = 48 кг/ = 2,4 м/1 = 0,6 м/2 — 0,8 мFi-? F2-?ш = 48 кг/ = 2,4 м/1 = 0,6 м/2 — 0,8 мFi-? F2-?Если вал будем поднимать за левый конец, то кроме силы тяжести тд будет действовать внешняя сила Fi, и вал будет вращаться вокруг точки О2 (рис. III.37). Воспользуемся условием равновесия (1.2):Л/т -|- Mi = о,Если вал будем поднимать за левый конец, то кроме силы тяжести тд будет действовать внешняя сила Fi, и вал будет вращаться вокруг точки О2 (рис. III.37). Воспользуемся условием равновесия (1.2):Л/т -|- Mi = о,Mi — момент силы Fi, который действует по часовой стрелMi — момент силы Fi, который действует по часовой стрелке, МТ — момент силы тяжести, который вращает вал противке, МТ — момент силы тяжести, который вращает вал противчасовой стрелки;часовой стрелки;m^-f^i-^Im^-f^i-^I(/ — /2) — плечо силы Fi отно(/ — /2) — плечо силы Fi относительно точкисительно точкиО2, (I - ^2) —О2, (I - ^2) —плечо силы тяжести относительплечо силы тяжести относительно точки О2.Подставим Mi и Мт в уравнение (а):но точки О2.Подставим Mi и Мт в уравнение (а):w(|-^) -^(/-/2) = 0;w(|-^) -^(/-/2) = 0;F1=mg(l ^кг^м-м = кг м/?1 = 117,6 Н.2(/-/2)с -м сF1=mg(l ^кг^м-м = кг м/?1 = 117,6 Н.2(/-/2)с -м сСилу F2 найдем, записав уравнение моментов относительно центра вращения Ох: д^ д^ q.M2 = F2(/-/i); Мт = -тд^_1^.Силу F2 найдем, записав уравнение моментов относительно центра вращения Ох: д^ д^ q.M2 = F2(/-/i); Мт = -тд^_1^.F2(l-h)-mg^-l^ = 0;F2(l-h)-mg^-l^ = 0;= m^(/-2/i)22(/-/х) ’= m^(/-2/i)22(/-/х) ’F2 = 156,8 Н.F2 = 156,8 Н.
8. Стальной вал длиной 2,4 м и массой 48 кг лежит на ящике, выступая за края ящика с правой стороны на 0,8 м, а с левой — на 0,6 м. Какие силы нужно приложить, чтобы поднять вал с правой или с левой стороны?
8. Стальной вал длиной 2,4 м и массой 48 кг лежит на ящике, выступая за края ящика с правой стороны на 0,8 м, а с левой — на 0,6 м. Какие силы нужно приложить, чтобы поднять вал с правой или с левой стороны?
ш = 48 кг
/ = 2,4 м
/1 = 0,6 м
/2 — 0,8 м
Fi-? F2-?
ш = 48 кг
/ = 2,4 м
/1 = 0,6 м
/2 — 0,8 м
Fi-? F2-?
Если вал будем поднимать за левый конец, то кроме силы тяжести тд будет действовать внешняя сила Fi, и вал будет вращаться вокруг точки О2 (рис. III.37). Воспользуемся условием равновесия (1.2):
Л/т -|- Mi = о,
Если вал будем поднимать за левый конец, то кроме силы тяжести тд будет действовать внешняя сила Fi, и вал будет вращаться вокруг точки О2 (рис. III.37). Воспользуемся условием равновесия (1.2):
Л/т -|- Mi = о,
Mi — момент силы Fi, который действует по часовой стрел
Mi — момент силы Fi, который действует по часовой стрел
ке, МТ — момент силы тяжести, который вращает вал против
ке, МТ — момент силы тяжести, который вращает вал против
часовой стрелки;
часовой стрелки;
m^-f^i-^I
m^-f^i-^I
(/ — /2) — плечо силы Fi отно
(/ — /2) — плечо силы Fi отно
сительно точки
сительно точки
О2, (I - ^2) —
О2, (I - ^2) —
плечо силы тяжести относитель
плечо силы тяжести относитель
но точки О2.
Подставим Mi и Мт в уравнение (а):
но точки О2.
Подставим Mi и Мт в уравнение (а):
w(|-^) -^(/-/2) = 0;
w(|-^) -^(/-/2) = 0;
F1=mg(l ^кг^м-м = кг м/?1 = 117,6 Н.
2(/-/2)с -м с
F1=mg(l ^кг^м-м = кг м/?1 = 117,6 Н.
2(/-/2)с -м с
Силу F2 найдем, записав уравнение моментов относительно центра вращения Ох: д^ д^ q.
M2 = F2(/-/i); Мт = -тд^_1^.
Силу F2 найдем, записав уравнение моментов относительно центра вращения Ох: д^ д^ q.
M2 = F2(/-/i); Мт = -тд^_1^.
F2(l-h)-mg^-l^ = 0;
F2(l-h)-mg^-l^ = 0;
= m^(/-2/i)
22(/-/х) ’
= m^(/-2/i)
22(/-/х) ’
F2 = 156,8 Н.
F2 = 156,8 Н.
Двое рабочих несут бревно длиной 3 м и массой 120 кг. Один поддерживает конец бревна, другой — на расстоянии 0,5 м от другого конца. Какая нагрузка приходится на каждого рабочего?
/ = 3 м т = 120 кг Г = 0,5 м/ = 3 м т = 120 кг Г = 0,5 мНа бревно действуют сила тяжести тд и силы реакции опоры со стороны первого и второго рабочего: Ny и N2 (рис. Ш.38).
/ = 3 м т = 120 кг Г = 0,5 м
/ = 3 м т = 120 кг Г = 0,5 м
F1-? f2_?
I способ
Так как бревно находится в равновесии, то сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю. Выберем сначала центр вращения в точке Ох:
м2 + мт = о
(момент силы TVi относительно точки Ох равен нулю);
M2 = N2(l-l'y М^-тд1-
г Л r ТКГ • М • М т т№ = —= Н;с • мг Л r ТКГ • М • М т т№ = —= Н;с • м
г Л r ТКГ • М • М т т
№ = —= Н;
с • м
г Л r ТКГ • М • М т т
№ = —= Н;
с • м
/V2 = 705,6 Н.
Теперь выберем центр вращения в точке О2: относительно этой точки момент силы N2 равен нулю:
Мт + Mi = 0;
МТ = тд^-1'У Mi = -N1(<l-Vyi
mail-2/')
Гаг п кг • м • м
М = —= Н; М = 470,4 Н. с • м
По III закону Ньютона силы Fy и F2, действующие на рабочих, равны по абсолютной величине и противоположны по направлению силам реакции опоры ^ и ^2, которые действуют на бревно.
II способ
Выберем центр вращения в точке О — точке приложения силы тяжести. Относительно этой точки равен нулю момент силы тяжести:
19 С. В. Трубецкова
М2 + Мх = 0;
м2 = ^_^.m^-n^
w2(1-/')-m| = o.
Получили уравнение с двумя неизвестными, поэтому надо добавить сюда 1-е условие равновесия:
Ni + тд + N^ = 0, или
М — тд + /V2 = 0.
Получим
[^(^-/О-М^о,
^1 + ^2 = тпд.
Решая эту систему, получаем
ту(/-2/')Л1 = щ-п •ту(/-2/')Л1 = щ-п •N± = 470,4 Н;N± = 470,4 Н;
ту(/-2/')
Л1 = щ-п •
ту(/-2/')
Л1 = щ-п •
N± = 470,4 Н;
N± = 470,4 Н;
mi = 3 кгШ2 = 5 кг m3 = 2 кг 7?i = 0,05 м Я2 = 0,07 мI = 0,3 мж — ?тяжести, то оноmi = 3 кгШ2 = 5 кг m3 = 2 кг 7?i = 0,05 м Я2 = 0,07 мI = 0,3 мж — ?тяжести, то оно
mi = 3 кг
Ш2 = 5 кг m3 = 2 кг 7?i = 0,05 м Я2 = 0,07 м
I = 0,3 м
ж — ?
тяжести, то оно
mi = 3 кг
Ш2 = 5 кг m3 = 2 кг 7?i = 0,05 м Я2 = 0,07 м
I = 0,3 м
ж — ?
тяжести, то оно
N^mg-Nv, ^2 = 705,6 Н.
Получили тот же самый результат:
|А| = |А| = 470,4 Н; |F2| = |^2| = 705,6 Н.
Два шарика массами 3 кг и 5 кг скреплены стержнем массой 2 кг. Определите положение общего центра масс, если радиус первого шара 5 см, второго 7см, длина стержня 30 см.
Эту систему можно представить как совокупность трех простых тел: два шара и цилиндрический стержень. Центр тяжести каждой из частей находится в ее центре симметрии (точки Ox, О2, Оз) (рис. Ш.39а).
Центр тяжести системы — это точка, относительно которой сумма моментов сил тяжести всех частей тела равна нулю. То есть, если закрепить сложное тело в центре его будет находиться в равновесии. Очевидно, эта
точка будет находиться между т^д и т^д^ так как т^д —
самая большая по величине сила, и для равновесия ее плечо должно быть самым малым.
Рис. Ш.39Рис. Ш.39
Рис. Ш.39
Рис. Ш.39
Пусть х — расстояние от поверхности большего шара до центра тяжести системы. Тогда относительно точки С на систему действуют следующие моменты сил: М^ М2 и М^
Mi = mig\OiC\ = mig(Ri + / — ж);
М2 = —т2д1О2С\ = -т2д(К2 + х1
М3 = т3д\О3С\ = m3g(l - ж);
Mi + М2 + М3 = 0.
(Внимательно по рис. Ш.39 б рассмотрите, как находятся плечи сил — кратчайшие расстояния от центра вращения до линий действия соответствующих сил.)
Моменты Mi и М3 вызывают вращение против часовой стрелки относительно точки С, М^ — по часовой. Следовательно^
mig^Ri + /-ж) -т2д(Я2 + х) + тзд^- - х^ = 0;
mi(Ri + /) -m2R2 + m3^ = x(mi + т2 + m3).
Найдем ж:
2(mi(/Zi + /) -т^2) + тз1, 2(mi + m2 + m3)’2(mi(/Zi + /) -т^2) + тз1, 2(mi + m2 + m3)’г 1 кг-мж == м; ж = 0,1 м.кгг 1 кг-мж == м; ж = 0,1 м.кг
2(mi(/Zi + /) -т^2) + тз1, 2(mi + m2 + m3)’
2(mi(/Zi + /) -т^2) + тз1, 2(mi + m2 + m3)’
г 1 кг-м
ж == м; ж = 0,1 м.
кг
г 1 кг-м
ж == м; ж = 0,1 м.
кг
темы./ = 2 мmi = 1 кг;тз = 5 кг; т^ = 2 кг;ж — ?темы./ = 2 мmi = 1 кг;тз = 5 кг; т^ = 2 кг;ж — ?Шесть шаров размещены вдоль стержня длиной 2 м. Центры шаров находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Массы грузов равны: mi = 1 кг, т^ = 4 кг, тз = 5 кг, т4 = 1 кг, т^ = 2 кг, т^ = 3 кг (рис. 111.40). Масса стержня пренебрежимо мала. Найдите положение центра тяжести сис-
темы.
/ = 2 м
mi = 1 кг;
тз = 5 кг; т^ = 2 кг;
ж — ?
темы.
/ = 2 м
mi = 1 кг;
тз = 5 кг; т^ = 2 кг;
ж — ?
Мы не можем без расчетов сказать, где расположен центр тяжести этой системы. Поэтому поступим следующим образом.
Предположим, что центр тяжести этой системы грузов находится между третьим и четвертым грузом
777-2 = 4 кг т4 = 1 кг т^ = 3 кг777-2 = 4 кг т4 = 1 кг т^ = 3 кгРис. Ш.41Рис. Ш.41на расстоянии ж от левого края (рис. III.41 а).
777-2 = 4 кг т4 = 1 кг т^ = 3 кг
777-2 = 4 кг т4 = 1 кг т^ = 3 кг
Рис. Ш.41
Рис. Ш.41
Если в точке, где расположен центр тяжести, стержень подпереть, то система грузов будет находиться в равновесии; сила реакции опоры N будет силой, уравновешивающей равнодействующую всех сил тяжести.
Пусть ось вращения проходит через точку опоры Oi. Относительно этой оси силы тяжести 1-го, 2-го и 3-го грузов будут
вызывать вращение системы против часовой стрелки (следовательно, Mi > О, М2 > О, М3 > 0), а силы тяжести остальных грузов — по часовой стрелке (М4 < 0, М^ < 0, М^ < 0). Учитывая, что расстояния между каждой соседней парой грузов одинаковы и равны //5, можно записать моменты всех действующих сил относительно точки Oi:
М2 = т2дМ2 = т2дМ3 = тзд ж- — к \ о /М3 = тзд ж- — к \ о /М4 = —т4д\^—— жМ4 = —т4д\^—— жМьМьм6 = —m6g(/ —ж);м6 = —m6g(/ —ж);Mx = migx^
М2 = т2д
М2 = т2д
М3 = тзд ж- — к \ о /
М3 = тзд ж- — к \ о /
М4 = —т4д\^—— ж
М4 = —т4д\^—— ж
Мь
Мь
м6 = —m6g(/ —ж);
м6 = —m6g(/ —ж);
MN = 0 (плечо силы реакции опоры равно нулю).
Запишем второе условие равновесия для этой системы грузов:
/1\/2/\/3/\
migx + т2д I ж — - 1 + тзд I ж — — 1 — т4д I — — ж 1 —
-т5д — -ж) — m6g(/ —ж) = 0.
Сократив на д и произведя алгебраические преобразования, найдем ж:
/(m2+ 2шз+ЗШ4+4?7l5+5Шб) г 1 М'КГ.
ж = -7—^ ж == м; ж = 1 м.
5т1+т2 + тз+т4 + т5 + т6кг
Получили, что центр тяжести системы находится в середине стержня, и наше предположение о примерном расположении центра тяжести верно.
Ответ не изменится, если предположим, что он находится в любом другом месте, например, между 5-м и 6-м грузами (рис. 111.41 б). Положение центра тяжести будем отсчитывать от правого конца стержня. Ось вращения выберем проходящей через точку О2. Без подробных пояснений приведем решение для этого случая:
Mi = mig(l — ж);Mi = mig(l — ж);М3 = тзд(--х\\ 5/Мь = -т5д --ЖМ3 = тзд(--х\\ 5/Мь = -т5д --ЖМ2 = т2р — - ж к
Mi = mig(l — ж);
Mi = mig(l — ж);
М3 = тзд(--х\
\ 5/
Мь = -т5д --Ж
М3 = тзд(--х\
\ 5/
Мь = -т5д --Ж
М4 = т4д^—-х)-
М^ = —т^дх; Mn = 0.
т1дЦ-х) + т2д^—т1дЦ-х) + т2д^—-ж + т3д — — х/\ 5-ж + т3д — — х/\ 5/2/\
т1дЦ-х) + т2д^—
т1дЦ-х) + т2д^—
-ж + т3д — — х
/\ 5
-ж + т3д — — х
/\ 5
-т^д — — х +
\ 5/
+ /7^— xj — т^дх = 0;
/(5Ш1 +4ш2 +Зшз + 2?7l4 + Шб) г п м-кг.
х = —-; ж == м; х = 1 м.
5(т1+т2 + тз+т4 + т5 + тб)кг
Нашли, что центр тяжести системы расположен в середине стержня (1 м от правого конца). Попробуйте сами выбрать положение центра тяжести в любом другом месте. Отсчитывать расстояние х можно не от края, а от любого тела системы. Ось вращения можно выбрать также в любом месте, а не обязательно в точке предполагаемой опоры. Правда, в этом случае не будет равен нулю момент силы реакции опоры. И поэтому придется добавить уравнение, соответствующее первому условию равновесия.
Однородная плоская пластинка имеет форму круга (диск) радиусом R. из которого вырезан круг вдвое меньшего радиуса, касающийся первого круга. Определите положение центра тяжести пластинки с отверстием.
Rг = R/2 х — ?Rг = R/2 х — ?Пусть х — расстояние от центра тяжести сплошного диска радиусом R (точка О) до центра тяжести диска с отверстием — точка О2 (рис. III.42 а).
R
г = R/2 х — ?
R
г = R/2 х — ?
Если вставить вырезанную часть пластинки на прежнее место, то силу тяжести сплошного диска тд можно представить
как равнодействующую двух сил: силы тяжести т^д вырезанной части и силы тяжести т^д оставшейся части (рис. Ш.42 5). Центр тяжести сплошного диска находится в центре его сим-
метрии — точке О. Относительно этой точки запишем второе условие равновесия:
Л/| + Л/2 = 0:Mi = -migr =-—;М^т^дх;
+m2^ = 0; ж = .
22 m 2
Пусть р — плотность материала однородной пластинки, S — площадь всей пластинки, Si — площадь выреза, h — толщина пластинки. Тогда
т = pV = pSh = puR^h^
mi = pVi = pS\h = pivr^h = pivR^hl^
m^ = m — m\ = pivR^h — pivR^h^^^pivR^h^.
Учитывая это, найдем x; x = RJ^.
Следовательно, центр тяжести расположен на расстоянии R/6 от центра пластинки.
Под каким наименьшим углом к горизонту может стоять прислоненная к стене лестница, если известно, что коэффициент трения между лестницей и соприкасающимися с ней поверхностями равен 0,25?
/1 = 0,25 а — ?/1 = 0,25 а — ?На лестницу действуют силы: сила тяжести тд^ силы реакции опоры со стороны пола N^ и вертикальной стенки A^i, силы трения в местах сопри
/1 = 0,25 а — ?
/1 = 0,25 а — ?
косновения с полом FTp2 и со стенкой FTpi (рис. Ш.43).
Так как лестница находится в равновесии, то можно записать 1-е условие равновесия:
тпд + Ж + FTpi + TV2 + FTp2 = 0.
Запишем это векторное уравнение в проекциях на оси прямоугольной системы координат Ох и Оу;
на ось Ox; N± — FTp2 = 0,
на ось Оу; FTpi + ^2 — nig = 0.
Так как
Frp2 — /^^2? FTpi = /1А^х,
то проекции уравнения равновесия перепишем в виде системы:
(а)(а)^l — /1N^ = 0, gNi + Ж — mg = 0.
(а)
(а)
В этих уравнениях нет искомого угла а. Для того чтобы его ввести, запишем 2-е условие равновесия, например, относительно точки Ох. Относительно этой точки равны нулю моменты сил 7Vi и FTpi (плечи этих сил равны нулю — рис. Ш.43).
Найдем моменты силы тяжести М^ силы реакции опоры в точке О2 — Мр^ и силы трения в этой точке — Л/Тр2; плечи всех сил обозначены на рис. Ш.43:
А/т = TTtgdrp^ ^d N‘l = ^2^7V2^ TfTp2 = Frp2^Tp2*
Из рис. Ш.43 можно найти тригонометрическую связь между плечами всех сил и длиной лестницы:
dT = 0,5/cos ci; d^2 = lco^a\ d^^ = Ism a.
С учетом этого моменты сил равны
Мт = —O^mglcosa^ М nz = N^lcos а^
МТр2 = —FTp2/sinci = —gN^lsma.
Теперь можно записать 2-е условие равновесия:
Ж1 cos а — 0,5mgZ cos а — gN^l sin a = 0.
Преобразуем это выражение и найдем tgci:
tga =tga =F2 - 0,5m^F2 - 0,5m^
tga =
tga =
F2 - 0,5m^
F2 - 0,5m^
Найдем величину силы Ж из системы уравнений (а):
^2 =^2 =тд1 + д2 ‘тд1 + д2 ‘
^2 =
^2 =
тд
1 + д2 ‘
тд
1 + д2 ‘
Используя последнее выражение, найдем tgci:
tga =tga =i~Ai~A2^2^tgci = 1,875; a = arctg 1,875 « 6 2°.tgci = 1,875; a = arctg 1,875 « 6 2°.
tga =
tga =
i~A
i~A
2^
2^
tgci = 1,875; a = arctg 1,875 « 6 2°.
tgci = 1,875; a = arctg 1,875 « 6 2°.
ДАВЛЕНИЕ. ЖИДКОСТИ. ГАЗЫ
Содержание теоретического материала
Давление. Единицы давления. Гидростатическое давление. Закон Паскаля. Гидравлический пресс. Действие жидкости и газа на погруженное в них тело. Закон Архимеда. Условие плавания тел в жидкости и в воздухе. Давление атмосферы. Опыт Торичелли.
Вопросы к теоретическому материалу
Что называют давлением? Какая формула определяет эту физическую величину?
Векторной или скалярной величиной является давление?
Какова единица давления в СИ?
Как формулируется закон Паскаля?
Чему равно давление жидкости на дно и стенки сосуда?
Сила давления на дно сосуда может быть больше или меньше веса жидкости в сосуде. В каких случаях это бывает и чем объясняется?
Какие сосуды называются сообщающимися? Сформулируйте законы сообщающихся сосудов для однородных и разнородных несмешивающихся жидкостей.
Сделав пояснительный рисунок, объясните принцип действия гидравлического пресса. Установите формулу, связывающую силы, приложенные к поршням гидравлического пресса, с площадями этих поршней.
Отличается ли работа силы F^ гидравлического пресса от работы приложенной силы Fi?
Получите формулу для силы, действующей на тело, погруженное в жидкость или газ. Сформулируйте закон Архимеда.
Где находится точка приложения силы Архимеда?
Как ведет себя неоднородное тело при погружении в жидкость? Рассмотрите случаи, если: а) плотность неод-
ббааРис. Ш.44Рис. Ш.44нородности больше плотности тела; б) плотность неоднородности меньше плотности тела (рис. IIL44).
б
б
а
а
Рис. Ш.44
Рис. Ш.44
При каком положении тело будет находиться в состоянии устойчивого равновесия?
Рис. III.45Рис. III.45При каком условии тело, погруженное в жидкость или газ и предоставленное самому себе, поднимается? опускается? плавает внутри жидкости или газа?
Рис. III.45
Рис. III.45
Прибор для измерения плотности жидкостей называется ареометром. Он представляет собой стеклянный запаянный сосуд (рис. 111.45), на дно которого насыпана дробь.
В жидкости ареометр будет плавать; значение плотности жидкости можно узнать по шкале, имеющейся в узкой части сосуда, напротив границы раздела жидкость — воздух. Объясните, почему значения плотностей на шкале увеличиваются сверху вниз?
Как изменяется осадка судна при переходе из реки в море? Меняется ли при этом величина силы Архимеда?
КакКакКакКакобеспечивается устойчивость плавающих судов?
Как
Как
Как
Как
впервые было экспериментально показано су
ществование атмосферного давления?
Назовите внесистемные единицы давления.
Как должна измениться высота столба ртути в опыте Торичелли при переносе места опыта от подножия горы на ее вершину?
Что собой представляют приборы для измерения давления — ртутный и металлический барометры?
Ответы
Взаимодействие между слоями жидкостей (или газов), их взаимодействие с твердыми телами, а также взаимодействие твердых тел друг с другом происходит по всей поверхности соприкосновения. Для характеристики этого взаимодействия вводится физическая величина, называемая давлением.
Давлением называется величина, равная отношению силы, действующей перпендикулярно к поверхности, к площади этой поверхности (рис. Ш.46а), формулы (2.1), (2.Г).
Если сила направлена под углом к площадке, то для подсчета давления надо взять составляющую силы на перпендикуляр к поверхности Fn (нормальную составляющую) (рис. Ш.46 5).
Сила давления всегда направлена перпендикулярно площадке независимо от ее расположения. Поэтому давление характеризуется только численным значением и является скалярной величиной.
За единицу давления в СИ принимают давление, оказываемое силой в 1 Н в направлении, перпендикулярном к данной площадке, если величина площадки равна 1 м2.
Называется единица давления в СИ — паскаль (Па). Размерность этой единицы: о
[р] = Н/м2 = Па.
Пусть на твердое тело оказывается давление некоторой силой F. Это давление передается телом другим телам, находящимся с ним в контакте в направлении действия силы. Например, ящик, лежащий на столе, оказывает на стол давление действием силы тяжести. Это давление стол передает полу (вертикально вниз). Пол давит на стеновые блоки также вертикально вниз и т. д. То есть твердые тела передают производимое
на них давление по направлению действия силы, вызывающей это давление.
В жидкостях и газах дело обстоит иначе. Рассмотрим изолированный сосуд с газом, закрытый с одной стороны подвижным поршнем. Давление газа создается хаотическими ударами молекул о стенки сосуда. При действии внешней силы поршень вдвигается в сосуд, объем газа уменьшается, при этом плотность молекул в замкнутом объеме возрастает. В результате большой скорости и хаотичности движения молекул плотность возрастает равномерно по всему объему газа. Поэтому по всем направлениям возрастает число ударов о стенки сосуда и, соответственно, возрастает давление.
То же самое происходит и в жидкостях, частицы которой обладают большой подвижностью.
Закон Паскаля был сформулирован в XVII веке и его содержание следующее.
Неподвижные жидкость или газ, находящиеся в замкнутом сосуде, передают производимое на них внешнее давление по всем направлениям одинаково (то есть без изменения).
Если на поверхность жидкости оказывается давление внешней силой, например, равное 5 Па, то на такую же величину 5 Па возрастает давление на все стенки сосуда по всем направлениям.
2.5. С увеличением глубины внутри жидкости увеличива2.5. С увеличением глубины внутри жидкости увеличива
2.5. С увеличением глубины внутри жидкости увеличива
2.5. С увеличением глубины внутри жидкости увеличива
ется давление, созданное силой тяжести вышележащего столба жидкости.
Давление р на некоторую площадку S, созданное силой тяжести лежащего выше площадки столба жидкости высотой h^ равно (рис. III.47)
тд
Массу жидкости можно выразить через плотность и объем:
т = pV = phS.
h, S — высота и площадь основания столба жидкости, соответственно. Используя это, получим формулу давления жидкости (так называемого гидростатического давления):
p = pgh.
Гидростатическое давление на боковую стенку сосуда увеличивается с глубиной. Если взять сосуд с отверстиями на боковой стенке (рис. III.48), то напор струи увеличивается при увеличении высоты столба жидкости h.У самой поверхности давление жидкости равно нулю (h = 0), у дна сосуда — pgh. Поэтому давление на боковую стенку определяют как среднее давление (если речь не идет о давлении на боковую стенку на указанном уровне):Гидростатическое давление на боковую стенку сосуда увеличивается с глубиной. Если взять сосуд с отверстиями на боковой стенке (рис. III.48), то напор струи увеличивается при увеличении высоты столба жидкости h.У самой поверхности давление жидкости равно нулю (h = 0), у дна сосуда — pgh. Поэтому давление на боковую стенку определяют как среднее давление (если речь не идет о давлении на боковую стенку на указанном уровне):Рб =Рб =^^pgh _ pgh^^pgh _ pgh2222Давление на дно не зависит ни от формы, ни от площади дна сосуда, в котором содержится жидкость. Для одной и той же жидкости оно полностью определяется высотой вышележащего столба h. График зависимости гидростатического давления р (рис. III.49) от глубины h в одной и той же жидкости одинаков для сосудов любой формы.Давление на дно не зависит ни от формы, ни от площади дна сосуда, в котором содержится жидкость. Для одной и той же жидкости оно полностью определяется высотой вышележащего столба h. График зависимости гидростатического давления р (рис. III.49) от глубины h в одной и той же жидкости одинаков для сосудов любой формы.Рис. Ш.49Рис. Ш.49Рис. III.50Рис. III.50
Гидростатическое давление на боковую стенку сосуда увеличивается с глубиной. Если взять сосуд с отверстиями на боковой стенке (рис. III.48), то напор струи увеличивается при увеличении высоты столба жидкости h.
У самой поверхности давление жидкости равно нулю (h = 0), у дна сосуда — pgh. Поэтому давление на боковую стенку определяют как среднее давление (если речь не идет о давлении на боковую стенку на указанном уровне):
Гидростатическое давление на боковую стенку сосуда увеличивается с глубиной. Если взять сосуд с отверстиями на боковой стенке (рис. III.48), то напор струи увеличивается при увеличении высоты столба жидкости h.
У самой поверхности давление жидкости равно нулю (h = 0), у дна сосуда — pgh. Поэтому давление на боковую стенку определяют как среднее давление (если речь не идет о давлении на боковую стенку на указанном уровне):
Рб =
Рб =
^^pgh _ pgh
^^pgh _ pgh
2
2
2
2
Давление на дно не зависит ни от формы, ни от площади дна сосуда, в котором содержится жидкость. Для одной и той же жидкости оно полностью определяется высотой вышележащего столба h. График зависимости гидростатического давления р (рис. III.49) от глубины h в одной и той же жидкости одинаков для сосудов любой формы.
Давление на дно не зависит ни от формы, ни от площади дна сосуда, в котором содержится жидкость. Для одной и той же жидкости оно полностью определяется высотой вышележащего столба h. График зависимости гидростатического давления р (рис. III.49) от глубины h в одной и той же жидкости одинаков для сосудов любой формы.
Рис. Ш.49
Рис. Ш.49
Рис. III.50
Рис. III.50
Так как давление жидкости не зависит от формы сосуда, то оно не должно зависеть от силы тяжести жидкости, налитой в сосуд. Этим объясняется так называемый «гидростатический парадокс»: сила давления на дно может быть и меньше, и больше веса жидкости в сосуде (рис. Ш.бОав). Это объясняется тем,
что жидкость действует на боковую стенку силой давления, которая перпендикулярна плоскости боковой стенки. По III закону Ньютона стенка действует на жидкость равной по величине и противоположной по направлению ответной силой F, также перпендикулярной плоскости стенки. В сосуде (а) эти силы сжимают жидкость. В сосуде (б) эти силы имеют горизонтальную и вертикальную составляющие: горизонтальная составляющая Fr сжимает жидкость, а вертикальная составляющая FB направлена вверх и уравновешивает частично действие силы тяжести. В этом случае сила давления на дно сосуда будет меньше силы тяжести налитой жидкости. В сосуде (в) вертикальные составляющие сил F направлены вниз и увеличивают действие силы тяжести на дно сосуда.
Система из двух (или больше) сосудов, соединенных в нижней части так, что жидкость может свободно перетекать из одного сосуда в другой, называется сообщающимися сосу_дами. Если лить однородную жидкость в
5Родин из сообщающихся сосудов, то она рас-
РРпределится между ними (рис. III.51). При
ОЖ/этом выполняется закон сообщающихся со
СУДОВ для однородной жидкости: свободные поверхности покоящейся жидкости в
Рис. III.51сообщающихся сосудах любой формы нахо
дятся на одном уровне, и давления во всех точках, расположенных в одной горизонтальной плоскости, одинаковы.
Рис. III.52
Нальем в сообщающиеся сосуды жидкость с плотностью pi, уровень свободной поверхности в обоих коленах будет одинаков (а-а7) (рис. III.52). Дольем в одно из колен трубки жидкость другой плотности р2 (Р2 < ж)- Уровень первой жидкости
в правом колене понизится, а в левом — повысится относительно исходного уровня аа'. Граница раздела жидкостей установится на уровне bbf.
Высоты столбов первой и второй жидкостей относительно границы их раздела bb' обозначим hi и h^. Граница раздела жидкостей устанавливается так, что гидростатические давления в обоих коленах относительно уровня bbf одинаковы:
pighi = p^gh^ pihi = p^h^
hi h2
Получили закон сообщающихся сосудов для разнородных жидкостей:
в сообщающихся сосудах высоты столбов разнородных жидкостей над уровнем границы раздела обратно пропорциональны плотностям жидкостей.
Гидравлический пресс представляет собой два сообщающихся сосуда разного диаметра с жидкостью (рис. Ш.53). Сосуды закрыты поршнями с площадью Si и S^ (Si < S2). Если
на малый поршень действует сила Fi, то в жидкости возникает давление р = F1/S1, которое по закону Паскаля передается во все стороны, в том числе и на больший поршень. На большой поршень действует давление
p = f2/s2.
По закону Паскаля Fi/ Si = F2/S2, или
Fi Si'
Во сколько раз S2 > Si, во столько же раз сила F2 > Fi. Таким образом, гидравлический пресс представляет собой ма-
шину, преобразующую сравнительно малые силы, действующие на малый поршень пресса, в значительную сжимающую силу большого поршня.
При действии силы Fi малый поршень опускается, и жидкость перетекает в широкий сосуд. Так как жидкость практически несжимаема, то объем жидкости, вытесненной из малого колена, равен объему жидкости, поступившей в широкое колено (рис. Ш.53):
Vi = V2, или Sihi = S^h^
где h\ и /г,2 ™ перемещения малого и большого поршней, соответственно. Последнее соотношение можно переписать так:
Si
Сравнивая полученное соотношение с формулой (а) из ответа на вопрос (2.8), можно записать, что
-^ = ^- ИЛИ F2h2 = Fihi.
Fi h2
Из последнего соотношения видно, что величины работ, совершаемых большим и малым поршнями, одинаковы. При работе гидравлического пресса выполняется «золотое» правило механики: во сколько раз выигрываем в силе, во столько раз проигрываем в расстоянии.
С помощью гидравлического пресса можно создать очень большие силы, используемые для прессования различных изделий из металлов и пластмасс.
В жидкости, плотность которой рж, находится тело
объемом V и плотностью рт. Для простоты допустим, что тело имеет форму прямоугольного параллелепипеда (рис. Ш.54).
На все его грани действуют силы гидростатического давления. Силы, действующие на две пары боковых граней равны по величине и взаимно компенсируют друг друга.
Силы, действующие на верх
нюю и нижнюю грани, противоположны по направлению и не равны по величине:
FB — PbS — p^ghBS
FH — PrS = p^gh^S^
hB, hR — высота столба жидкости, лежащего над верхней и нижней стенкой погруженного тела (рис. III.54). Так как hH > hB^ то FH > FB. Результирующая сила, действующая на тело, направлена вверх и по величине равна
F = FH — FB = р^д S ^Нв — hBY
Из рис. III.54 видно, что hB — hB = h^ — высота тела; произведение (ShT) есть объем тела V.
С учетом этого получим формулу для силы, выталкивающей тело из жидкости (направлена сила Архимеда вертикально ВВерх): F = p„gV;
Произведение (p^gV) есть вес жидкости, вытесненной телом. Эти рассуждения справедливы и для тела, находящегося в воздухе или другом газе.
Закон Архимеда; на тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости или газа, вытесненного телом. Если в жидкость погружена только часть тела, то выталкивающая сила равна весу жидкости, вытесненной погруженной частью тела.
Точка приложения силы Архимеда совпадает с центром тяжести вытесненного объема жидкости. Она совпадает с центром тяжести тела только в том случае, если тело однородное и погружено в жидкость полностью.
Если тело неоднородное, то точка приложения силы тяжести и силы Архимеда не совпадают. На рис. 111.55 а изоб-
Рис. Ш.55
ражено тело, которое имеет неоднородность, плотность которой больше плотности тела, на рис. 111.55 б — наоборот, неоднород-
20 С. В. Трубецкова
ность представляет собой воздушную полость. Поэтому центр тяжести шара не совпадает с центром симметрии. В результате этого в обоих случаях возникает вращающий момент, и тело поворачивается до тех пор, пока сила тяжести и сила Архимеда не расположатся вдоль вертикали. При таком положении момент обеих сил равен нулю. Кроме того, занятое положение будет устойчивым, так как центр тяжести расположен в наинизшем положении.
Проведенные выше рассуждения применимы к решению вопроса об устойчивости, например, подводной лодки и других водоплавающих и воздухоплавающих устройств.
В зависимости от соотношения величин силы тяжести и силы Архимеда тело, погруженное в жидкость или газ, ведет себя по-разному:
если сила Архимеда больше силы тяжести (Fa > тд^ рис. Ш.56а, 5), то тело равноускоренно поднимается вверх (конечно, если силами трения можно пренебречь). По мере того, как тело выходит из жидкости, уменьшается объем погруженной части тела. Следовательно, уменьшается величина выталкивающей силы. Тело прекращает свое движение вверх и плавает на поверхности, если величина выталкивающей силы станет равной силе тяжести: Fa = тд.
Рис. III.56
То есть тело плавает на поверхности жидкости, если вес жидкости, вытесненной погрумсенной в жидкость частью тела, равен силе тяжести тела.
Тело будет подниматься в жидкости или газе, если Fa > тд. Выразим Fa и т через плотности жидкости и тела (рж и рт, соответственно):
p^gV > p^gV, или p^> p^.
При этом условии тело будет подниматься вверх в жидкости или газе, а в жидкости затем плавать на ее поверхности;
если тело полностью погружено в жидкость и может бесконечно долго находиться на любой глубине в состоянии безразличного равновесия, то это возможно только тогда, когда Fa = тд (при полностью погруженном теле — рис. III.56 г):
рждУ = p^gV,отсюда_
Рж — Рт*-)
тело будет опускаться в жидкости или газе, если mg > Fa (рис. III.56 в). По аналогии с предыдущим, это будет при следующем соотношении между плотностями жидкости и тела:
Рт > рж-
Средняя плотность ареометра должна быть несколько
меньше плотности измеряемой жидкости — поэтому ареометр плавает, верхняя его часть выступает наружу. Центр тяжести ареометра находится довольно низко, так как основная его масса расположена в нижней части, там где насыпана дробь (рис. 111.57). Точка приложения силы Fa расположена выше, поэтому ареометр находится в состоянии устойчивого равновесия. При любой глубине погружения прибора выполняется условие плавания: Fa = тд, или РждЬюгр = mg (ш — масса ареометра, рж — плотность жидкости, Цюгр ™ объем погруженной части ареометра). От
сюда видно, что во сколько разаб
больше плотность жидкости, во
'Рис. 111.57
столько раз должен быть мень
ше объем погруженной части ареометра, чтобы выполнялось условие плавания. Поэтому в жидкости меньшей плотности глубина погружения прибора должна быть больше (то есть больше должен быть объем погруженной части УПогр5 рис. Ш.57а).
При увеличении плотности жидкости сила тяжести ареометра компенсируется весом меньшего объема вытесненной жидкости, поэтому он погружается на меньшую глубину (рис. Ш.57 5). Так как значение плотности отсчитывается по шкале ареометра напротив уровня поверхности жидкости, то, очевидно, между числами М и Nотсчитанными по шкале напротив границы раздела в обоих случаях, должно выполняться соотношение М < N.
Осадка судна уменьшится, так как плотность морской воды больше, и сила тяжести судна будет скомпенсирована весом меньшего объема вытесненной жидкости (как и в предыдущем случае, это видно из соотношения: тд = Рж^^погр^ ^ ™ масса судна). Величина силы Архимеда при переходе из реки в море не меняется, так как неизменна масса судна.
Из ответа на вопрос 2.11 видно, что при плавании судно будет находиться в состоянии устойчивого равновесия, если центр его тяжести находится ниже точки приложения выталкивающей силы. На кораблях это условие обеспечивают низким расположением двигателей и грузов. На яхтах, у которых, кроме всего, нужно уравновесить момент силы, приложенной к парусу, ставят тяжелый низко расположенный киль. На парусных судах, у которых нет тяжелых двигателей, днище заливают цементом.
Земля окружена атмосферой — воздушной оболочкой,
Рис. III.58Рис. III.58состоящей из смеси различных газов. Молекулы газов в соответствии с законом всемирного тяготения притягиваются к Земле. Вследствие этого верхние слои атмосферы оказывают давление на нижележащие, и в результате этого на поверхность Земли действует давление, называемое атмосферным.
Рис. III.58
Рис. III.58
Атмосферное давление впервые измерил итальянский ученый Торичелли (в XVII веке). Опыт Торичелли состоял в следующем: запаянную с одного конца стеклянную трубку длиной около 1 м заполняют ртутью. Предварительно закрыв второй конец трубки, переворачи
вают ее и опускают в чашу с ртутью. Если теперь открыть отверстие, то часть ртути выльется в чашу, а оставшийся в трубке столбик ртути имеет высоту h ~ 760 мм (рис. III.58).
Над ртутью в трубке образуется безвоздушное пространство с парами ртути. Чаша с трубкой представляют собой сообщающиеся сосуды. Так как ртуть находится в равновесии, то на свободной поверхности АВ давление в чаше и трубке одинаково. Давление в трубке создается столбом ртути высотой h,. а на свободную поверхность в чаше действует атмосферное давление. Отсюда вывод, что давление столба ртути высотой h уравновешивает атмосферное давление. Наблюдения показали, что высота столба ртути зависит от погодных условий и от высоты местности.
Атмосферное давление, уравновешивающее давление столба ртути высотой 760 мм, условно принимают за нормальное и называют физической или нормальной атмосферой.
В соответствии с опытом Торичелли используется единица давления — 1 мм ртутного столба (мм рт. ст.).
Физическая (или нормальная) атмосфера (атм) равна давлению, производимому столбом ртути высотой 760 мм:
1 атм = 760 мм рт. ст. = 1,013 • 105 Па;
1 мм рт. ст. « 133,ЗПа.
Иногда используется единица, называемая технической атмосферой (ат):
1 ат = 9,8-104 Па.
У подножия горы высота столба ртути в трубке Торичелли должна быть больше, чем на вершине. Это объясняется тем, что при подъеме уменьшается давление атмосферы на свободную поверхность ртути в чаше.
Ртутный барометр состоит из двух параллельных, расположенных вертикально и соединенных внизу трубок, наполненных ртутью. Конец одной из трубок запаян и не содержит воздуха (рис. 111.59). Под действием атмосферного давления
ртуть опускается в открытой трубке и поднимается в закрытой до тех пор, пока столб ртути высотой h не уравновесит атмосферное давление.
Металлический барометр состоит из камеры с эластич
ной крышкой-мембраной, которая герметически ее закрывает (рис. Ш.60). В камере К воздух разрежен. Мембрана М оттягивается наружу пружиной. При изменении давления атмосферы прогиб мембраны меняется, и приходит в движение стрелка, которая передвигается вдоль шкалы прибора, програ
дуированной в каких-либо единицах давления.
Основные формулы
илиFnFcos аилиFnFcos а(2-1)(2Т)(2-1)(2Т)Давление, оказываемое силой F на площадь S,
или
FnFcos а
или
FnFcos а
(2-1)
(2Т)
(2-1)
(2Т)
а — угол между нормалью к поверхности и силой (рис. 111.61).
Давление жидкости на дно сосуда (гидростатическое давление)
p = pgh,(2.
р — плотность жидкости, К — высота столба жидкости.
Среднее давление жидкости на боковую стенку сосуда
Рис. Ш.61
$2. и Si — площади малого и большого поршней, соответственно; F^ — внешняя сила, действующая на малый поршень, F^ — сила давления, развиваемая большим поршнем; h\ и hz ™ перемещения малого и большого поршня,
соответственно.
разнородных жидкостейразнородных жидкостей(2-6)(2-6)(рис. Ш.62):(рис. Ш.62):^1 = £2^1 = £2Закон сообщающихся сосудов для
разнородных жидкостей
разнородных жидкостей
(2-6)
(2-6)
(рис. Ш.62):
(рис. Ш.62):
^1 = £2
^1 = £2
^1^2 ™ высоты столбов жидкостей относительно границы раздела.
Сила Архимеда
^А — Рж(г)Р^т^(2.7)
рж(г) плотность жидкости или газа, в котором находится тело, VT — объем тела, если
оно погружено полностью, или объем погруженной части тела,
если оно плавает на поверхности жидкости.
Методика решения задач
При решении задач, связанных с вычислением давления, пользуются формулами (2.1)—(2.3). В задачах вопросы формулируются двояким образом:
вычислить давление жидкости (гидростатическое давление) на дно, боковую стенку..., или
вычислить давление на дно, боковую стенку или полное давление.
В первом случае надо вычислить только давление жидкости, а во втором учесть атмосферное давление, действующее на поверхности жидкости: р = Ратм + Рж-
Давление на боковую стенку на определенном уровне также зависит от высоты лежащего выше столба жидкости (формула (2.2)). Если требуется найти силу гидростатического давления или просто силу давления, то ее находят из формулы (2.1): F = pS.
При решении задач на гидравлический пресс пользуются формулами (2.4) и (2.5). Надо помнить, что работа, совершенная при перемещении большого поршня А 2 = F^h^ является полезной работой, а работа малого поршня Ai = F\h\ — затраченной работой. Коэффициент полезного действия гидравлического пресса поэтому равен
Задачи, связанные с движением тела в жидкости или плавании, решаются так же, как задачи динамики и статики, только необходимо учитывать выталкивающую силу.
Если тело плавает на поверхности жидкости или находится внутри ее в состоянии безразличного равновесия, то используется первое условие равновесия:
п
£А = о.
г=1
Если при равновесии на тело в жидкости действуют только сила тяжести и Архимеда, то
РкА-тд = 0,(2.9)
или Fa = тд.
В случаях, когда тело не полностью погружено в жидкость, точка приложения силы тяжести (центр тяжести) не совпадает с точкой приложения силы Архимеда (рис. Ш.бЗа). Напомним, что точка приложения силы Архимеда находится в центре тяжести вытесненного объема жидкости. Кроме того, при равновесии сила Архимеда и сила тяжести действуют вдоль одной вертикали. При ответе на вопросы 1.5 и 1.9 отмечалось, что действие силы на тело не изменится, если ее перенести вдоль линии ее действия в любую другую точку тела. Поэтому для удобства на рисунках к задачам такого типа точку приложения силы Архимеда можно перенести к центру тяжести (рис. Ш.63 б).
Если тело всплывает или погружается в жидкость с ускорением, то используется II закон Ньютона:
п
F\ = та.
г=1
Если в задаче говорится о весе тела в жидкости, то тело удобно изображать лежащим на дне или подвешенным к пру-
жинному динамометру. При этом сила реакции опоры или сила упругости пружины численно равны весу тела.
Сравним вес тела в жидкости и вес тела в воздухе.
Запишем условие равновесия для тела в воздухе (рис. III.64 а):
Fi+mg = 0;
F1-mg = 0; Fi = mg,
Fi — сила упругости пружины в воздухе, которая по третьему закону Ньютона равна силе, с которой тело растягивает пру
Рис. III.64Рис. III.64жину, то есть весу тела Pi* Pi = = тд.
Рис. III.64
Рис. III.64
Запишем условие равновесия тела в жидкости (рис. 111.64 б):
F^ + Fx + mg = 0;
F2 + Fa - mg = 0;
F2 = mg-Fx,
F^ — сила упругости пружины в жидкости, равная весу тела в жидкости Р2, Fa ™ выталкивающая сила Архимеда,
F2 = mg-Fx.
Из сравнения выражений для Pi и Р2 видно, что вес тела в жидкости меньше веса тела в воздухе на величину выталкивающей силы:
Pi-P2 = Fx. (2.10)
Все сказанное выше для жидкостей относится к воздуху или газам. Обычно для тел в воздухе сила Архимеда очень мала по сравнению с силой тяжести, так как мала плотность воздуха. Сила Архимеда начинает сказываться для тел очень больших объемов, имеющих малую среднюю плотность, например, для аэростатов, воздушных шаров.
Примеры решения задач
Какую силу давления испытывает плотина длиной 150 м и высотой 8 м, если вода имеет такую же высоту? Атмосферное давление нормальное.
/ = 150 мЛ = 8 м р = 103 кг/м3 Рат = Ю5 Па/ = 150 мЛ = 8 м р = 103 кг/м3 Рат = Ю5 ПаF-?F-?[Г] = Па-[Г] = Па-Полное давление на плотину складывается из гидростатического давления и давления атмосферы: ,
/ = 150 м
Л = 8 м р = 103 кг/м3 Рат = Ю5 Па
/ = 150 м
Л = 8 м р = 103 кг/м3 Рат = Ю5 Па
F-?
F-?
[Г] = Па-
[Г] = Па-
Сила давления F равна
Рат + ^“
м-м = ^-м2 = Н; F = 1,68-108 Н.м
В сосуд цилиндрической формы диаметром 20 см налита жидкость. Определите высоту жидкости в сосуде, при которой сила гидростатического давления на дно равна силе гидростатического давления на стенку.
г/ = 20 см Ffl = FCT h-?г/ = 20 см Ffl = FCT h-?Сила гидростатического давления на стенку равнаСила гидростатического давления на стенку равнаСила гидростатического давления на дно равна = Рд^д = pgh^ = irpghd2p, 5Д — площадь дна, рд — гидростатическое давление на дно.
г/ = 20 см Ffl = FCT h-?
г/ = 20 см Ffl = FCT h-?
Сила гидростатического давления на стенку равна
Сила гидростатического давления на стенку равна
FCT = Рст^ст = ^— ^dh = ^pg^d^
Рст ™ гидростатическое давление на боковую стенку цилиндра, SCT ™ площадь боковой поверхности цилиндра, соприкасающейся с жидкостью. По условию Рд = FCT:
ivpghd? _ Kpgh2d
4“2'
После сокращения получим
h = d)^ h = 10 см.
Для подъема груза на высоту 0,45 м воспользовались гидравлическим прессом с КПД 75%. Сколько ходов сделает малый поршень, ход которого 0,2 м, а площадь меньше площади большого поршня в 100 раз?
Н^ = 0,45 м ту = 0,75 Ыц = 0,2 м S2/Si = 100 п — ?Н^ = 0,45 м ту = 0,75 Ыц = 0,2 м S2/Si = 100 п — ?КПД гидравлического пресса q = Л2/Лх, где Лх — работа по перемещению малого поршня, Л2 — работа, совершенная большим поршнем:
Н^ = 0,45 м ту = 0,75 Ыц = 0,2 м S2/Si = 100 п — ?
Н^ = 0,45 м ту = 0,75 Ыц = 0,2 м S2/Si = 100 п — ?
Л1 = Fihi = FinA/ii,hi — полное перемещение малого поршня,
Д/г,х — перемещение при совершении одного хода малого поршня, п — число его ходов.
Л2 = F^h^ — работа большого поршня по подъему груза на высоту Л2- Подставим Лх и Л2 в формулу для КПД:
ОтсюдаОтсюдаF^h^
Отсюда
Отсюда
F2 Я2п = ———.
Fi T)^hi
Используя формулу (2.4) для гидравлического пресса, полу-
чаем _s2 М . П Si rj&hiчаем _s2 М . П Si rj&hiГ 1 м2 мп = — - = Гм мГ 1 м2 мп = — - = Гм мп = 300.п = 300.
чаем _s2 М . П Si rj&hi
чаем _s2 М . П Si rj&hi
Г 1 м2 мп = — - = Г
м м
Г 1 м2 мп = — - = Г
м м
п = 300.
п = 300.
Vi = V2; 81Мг = S2M2,Vi = V2; 81Мг = S2M2,
Vi = V2; 81Мг = S2M2,
Vi = V2; 81Мг = S2M2,
Диаметр одного из сообщающихся сосудов в 2 раза больше диаметра второго. В эти сосуды налили ртуть, а затем в узкий сосуд налили столб воды высотой 50 см. Определите, насколько изменится уровень ртути в обоих сосудах.
di = 2d2 h^ = 50 cm = 0,5 м Pl = 13,6-103 кг/м3
P2 = Ю3 кг/м3
Из закона сообщающихся сосудов (2.6) следует, что
Ai _ Р2
h2 pi *
Так как hi = ^hi-V^h^ (рис. IIL65),
А/ц-?
A/i2 —?
тоД/ч + Д/^р^
h.2Pi'
В этом уравнении
два неизвестных: A/ii и А/г2. Второе
уравнение получим, приравняв объем ртути, вытесненной из тонкого колена, к объему ртути, поступившему в широкое ко
лено:
S\ и S2 площади сечений трубок; Si = ird^/4^ 8^ = ivd^l 4^
7ГС/? А , 7ГсЙ л ,
d^^hi = d^Aliz-
Так как di = 2dz^ то 4^ А/н = d^^hz^ или 4АЛ1 = /Xhz- Подставим это выражение в закон сообщающихся сосу
дов (2.6). AA1+4AAi _ pz е 5AAi _ pz
^2Pi ’^2 Д1
Отсюда
_^Р^. ГДЬ 1 _ М«(кг/м3) _
кг/м
Д^1 = 0,037 м = 3,7 см; ^hz = 4А/ц = 14,8 см.
В море плавает льдина, часть которой объемом 195 м3 находится над водой. Определите объем всей льдины и ее подводной части.
Ут = 195м3Рл = 0,8 • 103 кг/м3 рв = 1^03 • 103 кг/м3Ут = 195м3Рл = 0,8 • 103 кг/м3 рв = 1^03 • 103 кг/м3V — ? Vz-?В соответствии сV — ? Vz-?В соответствии сНа льдину действует выталкивающая сила и сила тяжести. Так как льдина погружена не полностью, то точка приложения силы Архимеда не совпадает с точкой приложения силы тяжести (рис. 111.66 а).
Ут = 195м3
Рл = 0,8 • 103 кг/м3 рв = 1^03 • 103 кг/м3
Ут = 195м3
Рл = 0,8 • 103 кг/м3 рв = 1^03 • 103 кг/м3
V — ? Vz-?
В соответствии с
V — ? Vz-?
В соответствии с
методикой решения подобных задач
(с. 311, 312) перенесем силу Архимеда в точку приложения силы тяжести (рис. 111.66 б). В дальнейшем на рисунках к зада
чам такого типа выталкивающую силу будем сразу изображать приложенной к центру тяжести тела.
Запишем условие плавания: Fa = тд, Рх = рвдУ^ т = рлУ;
РвдУ2 = рлдУ,
РвУ2 = РлУ.(а)
В уравнении (а) две неизвестные величины: V2 и У- Поэтому добавим к уравнению (а) следующее равенство: У = У1 + У2. Получим систему уравнений:
Рв^2 — РлУ^
v = v1 + v2.
Решив систему уравнений, найдем р2:
Г2 = ^ ;[у2] = (^ALb^ = М3.v2 = 1350 м3
(Рв-Рл)кг/м^
V = Vi + V2; У = 1545 м3.
С каким ускорением всплывает тело с плотностью 0,95 • 103 кг/м3 в жидкости с плотностью 1,15 • 103 кг/м3? Силой трения при движении тела в жидкости пренебречь.
рТ = 0,95 • 103 кг/м3 рж = 1,15 • 103 кг/м3а — ?рТ = 0,95 • 103 кг/м3 рж = 1,15 • 103 кг/м3а — ?В проекциях на осьВ проекциях на осьТак как тело всплывает с ускорением, то запишем II закон Ньютона (рис. III.67):
рТ = 0,95 • 103 кг/м3 рж = 1,15 • 103 кг/м3
а — ?
рТ = 0,95 • 103 кг/м3 рж = 1,15 • 103 кг/м3
а — ?
В проекциях на ось
В проекциях на ось
Рк-Vmg = та.
Од это уравнение будет иметь вид
Рис. III.67Рис. III.67а « 2,1м/с2.а « 2,1м/с2.Fa — тд = та.
Рис. III.67
Рис. III.67
а « 2,1м/с2.
а « 2,1м/с2.
Отсюда
F^-mgа,
m(а)
Fa = рждУ, т = рТУ,
V — объем тела.
Подставим выражения для F\ и m в формулу (а):
_ рждУ - РтдУ _ g(pj-pi). г л _ м_.
Вес куска стекла в воздухе 1 Н, а в воде 0,8 Н. Найдите плотность стекла.
Pi = 1 H P2 = 0,8 H pB = 103 кг/м3
В соответствии с и. 4 методических указаний к данному разделу запишем:
Р1-Р2 = рм F^pgV.
Учитывая, что Pi = mg^ найдем V:
Pct — ?
v — — — P1
Тогда
рст Рст9
Р1-Р2 =
Отсюда
_ PbPi p^- P1_p2’
Рст
г 1кг • НКГ_ . „ q кг
[рст] — з ,m — з,Рст — 5 ■ 103.
м •— Н) мм
Полый стеклянный шар плавает в воде, наполовину погруженный. Наружный объем шара 200 см3. Найдите объем полости шара. Плотность стекла 2,5-103 кг/м3.
Vn = V/2V = 200 см3 = 2 • 10"4 м3 рст = 2,5 • 103 кг/м3 рв = 103 кг/м3И)-?Vn = V/2V = 200 см3 = 2 • 10"4 м3 рст = 2,5 • 103 кг/м3 рв = 103 кг/м3И)-?На шар действуют сила тяжести и выталкивающая сила, точки приложения которых не совпадают (рис. 111.68). Но для удобства, так как и при разборе задачи 5, мы можем силу Архимеда перенести в центр
Vn = V/2
V = 200 см3 = 2 • 10"4 м3 рст = 2,5 • 103 кг/м3 рв = 103 кг/м3
И)-?
Vn = V/2
V = 200 см3 = 2 • 10"4 м3 рст = 2,5 • 103 кг/м3 рв = 103 кг/м3
И)-?
тяжести шара. Шар плавает, следовательнотяжести шара. Шар плавает, следовательноFa = тд,
тяжести шара. Шар плавает, следовательно
тяжести шара. Шар плавает, следовательно
FA = pBgVn = ^,
ТП = Рст VCT — Рст ( V Vo ).
Так как наружный объем шара равен сумме объема полости Vo и объема стекла VCT, то V = Vo + VCT; отсюда
VCT = v-v0.
С учетом приведенных выражений запишем условие плавания:
^ = Pct9(V-VoY^ = Pct9(V-VoYОтсюдаVo = V(1ОтсюдаVo = V(1-^Y [Vo] = m3; Vb = 1,65-IO"4 m3. 2pcT/
^ = Pct9(V-VoY
^ = Pct9(V-VoY
Отсюда
Vo = V(1
Отсюда
Vo = V(1
Какой массы камень нужно положить на плоскую льдину толщиной 20 см, чтобы он вместе с льдиной полностью погрузился в воду, если площадь льдины равна 1м2? Плотность льда равна 0,9 • 103 кг/м3, плотность камня — 2,2 • 103 кг/м3, плотность воды — 103 кг/м3. С какой силой давит камень на льдину в воде?
d = 0,2 мS'= 1 мрл = 0,9 • 103 кг/м3рк = 2,2-103 кг/м3рв = Ю3 кг/м3тк — ? F — ?d = 0,2 мS'= 1 мрл = 0,9 • 103 кг/м3рк = 2,2-103 кг/м3рв = Ю3 кг/м3тк — ? F — ?В данной системе действуют силы тяжести на камень ткд и на лед т^д^ а также сила Архимеда на лед F^-^ и на камень F^_K (рис. III.69).
d = 0,2 м
S'= 1 м
рл = 0,9 • 103 кг/м3
рк = 2,2-103 кг/м3
рв = Ю3 кг/м3
тк — ? F — ?
d = 0,2 м
S'= 1 м
рл = 0,9 • 103 кг/м3
рк = 2,2-103 кг/м3
рв = Ю3 кг/м3
тк — ? F — ?
Так как система находится в равновесии, то
Fa-л + FA-k + ткд + т^д = 0;
Fa-л + ^А-к - ткд - т^д = 0.(а)
^А-л — P^gV^ — pBgSd^ Fx-kPbOVk — —-;
Рк
тл = рлТл = pnSd.
Рис. Ш.69Рис. Ш.69Рис. III.70Рис. III.70Подставим полученные выражения в условие плавания (а) и выразим затем массу камня:
Рис. Ш.69
Рис. Ш.69
Рис. III.70
Рис. III.70
_ (Рл - Рв) SdpK .Рв — Рк_ (Рл - Рв) SdpK .Рв — Рккг • м2 • м • кг • м3
_ (Рл - Рв) SdpK .
Рв — Рк
_ (Рл - Рв) SdpK .
Рв — Рк
33^^’
м • м • кг
тк = 36,7 кг.
На камень действуют силы: сила тяжести ткд^ сила Архимеда Рд-ь сила реакции опоры, действующая на камень со стороны льдины, N (рис. Ш.70). Запишем условие равновесия:
N + FA_k + т^д = 0;
N + Fx_k — ткд = 0;
N = ткд - F^-k = mKgV - pBgV = ткд - Рв9тк-Рк
N = ткд(1-^[^] = ^^ = Н; N = 196,2 Н.
По III закону Ньютона сила, с которой камень давит на лед, равна численно силе реакции опоры N, действующей на камень, но противоположно ей направлена и приложена к льдине:
F = N = 196,2 Н.
Однородный стержень шарнирно укреплен одним концом на вертикальной стенке сосуда с жидкостью. Другой конец стержня находится в жидкости. Стержень отклоняется от стенки на некоторый угол так, что погруженная часть составляет половину объема стержня, равного 20 см3 (рис. III.71). Плотность жидкости равна 960 кг/м3. Определите плотность материала стержня и силу реакции в шарнире.
Vn = 0,5 VV = 20 см3 = 2-10"5 м3 рж = 960 кг/м3Рст-? N-?Vn = 0,5 VV = 20 см3 = 2-10"5 м3 рж = 960 кг/м3Рст-? N-?На стержень действуют следующие силы: сила тяжести тд^ приложенная в центре симметрии стержня; выталкивающая сила Fa, которая приложена в центре погруженной части стержня (или в
Vn = 0,5 V
V = 20 см3 = 2-10"5 м3 рж = 960 кг/м3
Рст-? N-?
Vn = 0,5 V
V = 20 см3 = 2-10"5 м3 рж = 960 кг/м3
Рст-? N-?
центре вытесненного объема жидкости); сила реакции опоры в шарнире N (рис. III.72).
Стержень имеет закрепленную ось вращения в точке С и находится в равновесии. Запишем второе условие равновесия относительно указанной оси:
(а)(а)МА -|- Мт — о,
(а)
(а)
Мт — момент силы тяжести, М\ — момент выталкивающей си-лы. Момент силы N относительно точки С равен нулю (так какплечо силы N равно нулю). Найдем моменты указанных сил:Мт = — mgd^ M^^F^d^.
.3 .
Из рис. IIL72 видно, что di = -sinct, d^ = -Isma (I — длина стержня).
С учетом этого запишем условие равновесия:
_ 3 , .I . п
Ьx-lsma — mg - sinci = U,илиz x
1,5Fa-W = 0.(6)
ности:ности:Выразим величины Fa и m через соответствующие плот
ности:
ности:
Fa = рж.Лп = 0,5ржрУ;m = рст V.(в)
Подставляя Fa и m в уравнение (б), получим: 0,75рж^У — p^gV = 0.
Отсюда найдем плотность стержня:
Рст — 0,75рж; [Рст] — з 5 Рст — 720 з.мм
Для нахождения силы реакции N запишем первое условие
равновесия:равновесия:N + mg + Fa = 0.N + mg + Fa = 0.
равновесия:
равновесия:
N + mg + Fa = 0.
N + mg + Fa = 0.
В проекциях на ось Од это уравнение будет иметь следую-
щий вид: Отсюдащий вид: ОтсюдаN — mg + Fa = 0.N — mg + Fa = 0.N = mg — Fa-N = mg — Fa-
щий вид: Отсюда
щий вид: Отсюда
N — mg + Fa = 0.
N — mg + Fa = 0.
N = mg — Fa-
N = mg — Fa-
Используя выражения (в), можно записать
= gV(pCT — 0,5рж) = ^У(0,75рж -0,5рж);^ = 0,25ржрУ;
ГКГ М О КГ • М_ _w т Т
RV = ^ ^ • м3 == Н; N и 0,047 Н.
м3 с2с2
Примечание. Силу реакции в шарнире можно найти, используя второе условие равновесия относительно точек приложения сил тд или выталкивающей силы Fa- Проделайте это самостоятельно и сравните ответы.
21 С. В. Трубецкова
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГОРЕШЕНИЯ
Статика твердого тела
Две силы 10 и 25 Н приложены к одной точке и действуют по одной линии в противоположных направлениях. Чему равны равнодействующая и уравновешивающая силы и в какую сторону они направлены?
На самолет действуют сила тяги мотора 1500 Н, сила сопротивления воздуха 1100 Н и сила давления бокового ветра, направленная под углом 90° к курсу и равная 300 Н. Найдите равнодействующую этих сил.
Найдите графически и вычислите равнодействующую и уравновешивающую двух сил Fi = 6 Н и F2 = 8 Н, приложенных к телу под прямым углом друг к другу. Определите угол между равнодействующей силой и силой F2.
Произведите сложение двух сил по 50 Н каждая, направленных друг к другу под углами 0°, 30°, 45°, 90°, 135°, 180°.
Найдите равнодействующую сил: Fi = 100 Н, F2 = 50д/3 Н и F3 = 50 Н. Величины углов указаны на рис. III.73.
= 40/V3 Н, F3 = 50 Н (рис. III.74).
К абсолютно жесткому диску приложены радиально три силы под углом 30° друг к другу. Средняя сила равна 100 Н,
крайние по 50 Н (рис. IIL75). Найдите величину, направление и точку приложения уравновешивающей силы.
На лодку, привязанную к дереву на берегу веревкой длиной 5 м, действует сила течения реки 160 Н и сила давления ветра, дующего с берега перпендикулярно к нему, в 120 Н. Определите силу натяже
ния веревки и расстояние от берега, на котором находится лодка.
Две силы по 5 Н приложены к одной точке тела под углом 90°. Под каким углом надо приложить две силы по 4 Н, чтобы они уравновесили первые две силы?
Под каким углом на тело должны действовать две силы по 5 Н, чтобы их равнодействующая также равнялась 5 Н?
К кольцу приложены три равные силы, направленные по радиусам под углом 120° друг к другу. Как будет двигаться кольцо под действием этих сил?
. На материальную точку О (рис. III.76) действуют четыре силы: Fi = 20 Н, F2 = 20д/З Н, F3 = 30 Н, F4 = ЗОдЛ Н. Определите величину равнодействующей силы.
ААА АА АF3F3VAРис. Ш.76VAРис. Ш.76
А
А
А А
А А
F3
F3
VA
Рис. Ш.76
VA
Рис. Ш.76
13 . На материальную точку О (рис. III.77) действует пять сил, которые направлены по двум сторонам и трем диагоналям правильного шестиугольника. Величина наименьшей силы равна F. Определите величину и направление равнодействующей силы.
Самолет тянет на буксирах два планера с постоянной скоростью. Полет самолета и планеров происходит в одной горизонтальной плоскости, причем углы между линией полета и
F^kF^kРис. Ш.78Рис. Ш.78буксирными тросами одинаковы и равны 30°. Сила натяжения каждого буксирного троса 500 Н. Сила сопротивления воздуха движению самолета при данной скорости равна 400 Н. Найдите силу тяги двигателя.
F^k
F^k
Рис. Ш.78
Рис. Ш.78
15 . Найдите равнодействующую сил F4 = = 50 Н, F2 = 50 Н, F3 = 135 Н и F4 = 100 Н. Величины углов показаны на рис. 111.78.
Найдите вертикальную и горизонтальную составляющие силы 10 Н, направленной под углом 37° к горизонту.
Груз под действием силы перемещается горизонтально при помощи каната, образующего угол 30° с горизонтальным направлением. Определите горизонтальную и вертикальную составляющую силы, если сила натяжения каната равна 50 Н.
Горизонтально натянутая антенна AD и оттяжка АС
действуют на мачту АВк которой они прикреплены, с силой F = 1,6 кН. С какой силой натянута оттяжка и какова сила натяжения антенны? Высота мачты |ЛВ| = 12 м, длина отрезка |ЛС| = 15 м (рис. III.79).
Мальчик толкает садовую косилку с силой 180 Н. Рукоятка образует с землей угол 45°. Найдите составляющие силы, тол
кающие косилку вперед и прижимающую ее к земле.
Груз массой 10 кг подвешен к кронштейну АВС^ у которого |Л(7| = 150 мм, |В(7| = 250 мм. Определите силы упругости, возникающие в стержне А С и укосе ВС (рис. III.80).
Рис. Ш.80Рис. Ш.80Рис. Ш.81Рис. Ш.81
Рис. Ш.80
Рис. Ш.80
Рис. Ш.81
Рис. Ш.81
К кронштейну АВС подвешен фонарь массой 5 кг. Определите силы, действующие на брус АВ и проволоку ВС (рис. III.81).
Груз массой 5 кг удерживается с помощью тросов АВ и ВС. Найдите натяжение тросов, если а = 60° (рис. III.82).
Рис. Ш.82 Рис. Ш.83
Фонарь массой 20 кг подвешен на двух одинаковых тросах, угол между которыми равен 120°. Найдите силу натяжения тросов (рис. Ш.83).
Вертикальную силу 180 Н разложите на две составляющие, одна из которых — горизонтальная — должна быть 100 Н. Найдите величину и направление другой составляющей.
Горизонтальную силу, равную 200 Н, разложите на две силы, одна из которых, направленная вертикально вверх, должна быть равна также 200 Н. Найдите величину и направление другой составляющей.
С какой минимальной силой, направленной горизонтально, нужно прижать плоский брусок к стене, чтобы он не соскользнул вниз? Масса бруска 5 кг, коэффициент трения между стеной и бруском 0,1.
Груз массой 50 кг прижат к вертикальной стене силой 118 Н. Какую минимальную силу необходимо приложить к грузу, чтобы удержать его в покое? чтобы поднимать равномерно вверх? Коэффициент трения скольжения равен 0,3.
. Какой угол должно составлять направление силы с горизонтом, чтобы при равномерном перемещении груза по горизонтальной плоскости сила тяги была наименьшей? Сила приложена в центре тяжести груза, коэффициент трения равен р.
Тело массой 5 • 103 кг находится на наклонной плоскости длиной 8 м и высотой 3 м. Какую силу надо приложить к телу, чтобы удержать его на плоскости, если она направлена: а) параллельно наклонной плоскости; б) параллельно основанию наклонной плоскости? Коэффициент трения покоя принять равным 0,02.
Деревянный брусок лежит на наклонной плоскости. С какой силой, направленной перпендикулярно к плоскости, необходимо прижать брусок, чтобы он не соскользнул с нее? Масса бруска 2 кг, коэффициент трения бруска о плоскость равен 0,4, угол наклона плоскости к горизонту равен 60°.
Деревянный брусок лежит на наклонной плоскости. С какой силой нужно прижать к ней брусок, чтобы он оставался в равновесии? Масса бруска 2 кг, длина наклонной плоскости 1 м, высота 60 см, коэффициент трения равен 0,4.
Тело скользит равномерно по наклонной плоскости с углом наклона 30°. Чему равен коэффициент трения?
Какой груз можно удержать на наклонной плоскости длиной 1 м и высотой 0,5 м силой 49 Н, направленной параллельно наклонной плоскости, коэффициент трения равен 0,4? Как изменится ответ, если силу приложить перпендикулярно наклонной плоскости?
. На столе стоит цилиндр, высота которого вдвое больше его диаметра. Один край стола постепенно поднимают. Что произойдет раньше: опрокидывание цилиндра или его соскальзывание? Коэффициент трения покоя равен 0,6.
На наклонной плоскости, которая составляет угол а с горизонталью, стоит цилиндр радиусом г. Какая наибольшая высота цилиндра, при которой он еще не опрокинется, если он сделан из однородного металла?
Автомобиль массой 1 т с включенными тормозами спускается по склону холма с постоянной скоростью. Уклон составляет 1 м на каждые 10 м пути. Определите силу трения.
Рис. Ш.84
Перерисуйте рис. 111.84 а, б, в. Найдите плечи всех сил относительно указанной оси вращения О. В каком направлении
(по часовой стрелке или против) щение?
К пластинке, расположенной в горизонтальной плоскости и свободно вращающейся вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О, приложены силы так, как изображено на рис. IIL85. Силы равны: Fi = = 3H,F2 = 2H,F3 = 3H,F4 = = 10 Н. В каком направлении будет вращаться пластинка?
Рис. Ш.86Рис. Ш.86Рис. Ш.87Рис. Ш.87Пользуясь рисунком, определите момент силы F = 50 Н, если |ОЛ| = 1,2 м и а = 150° (рис. III.86).
Рис. Ш.86
Рис. Ш.86
Рис. Ш.87
Рис. Ш.87
По данным, указанным на рис. 111.87, определите момент пары сил, если каждая сила равна 20 Н, расстояние между точками приложения сил равно 0,8 м и угол а = 30°.
Передняя колесная пара трактора давит на почву силой 7,5 кН, а задняя — с силой 2,8 кН. Какова сила тяжести трактора и где находится его центр тяжести, если расстояние между осями равно 217 см?
Масса автомобиля 3,6 т. Его центр тяжести делит расстояние между осями колес на отрезки, находящиеся в отношении 1:3. Найдите силу давления каждой колесной пары на Дорогу.
Найдите величину и точку приложения равнодействующей двух параллельных противоположно направленных сил 20 и 5 Н, если расстояние между точками их приложения равно 45 см.
Какую силу надо приложить, чтобы поднять за один конец брус массой 70 кг?
Железную балку начинают поднимать с земли, зацепив трос подъемного крана за один из концов балки. Сила натяжения троса оказалась равной 1200 Н. Оцените массу балки.
Железный лом массой 10 кг и длиной 15 м лежит на ящике, выступая за его края слева на 0,4 м, справа на 0,6 м. Какая потребуется сила, чтобы приподнять его левый конец? правый конец?
Однородная балка массой 10 кг подперта на расстоянии 1/4 ее длины. Какую силу, перпендикулярную балке, надо приложить к ее короткому концу, чтобы удержать балку в равновесии?
Балка весом 8000 Н имеет длину 4 м и подперта на расстоянии 1,9 м от ее левого конца. На каком расстоянии от правого конца на балку должен встать человек массой 80 кг, чтобы балка осталась в равновесии?
Рельс длиной Юми массой 900 кг, расположенный горизонтально, поднимают на двух параллельных тросах. Найдите силу натяжения тросов, если один из них укреплен на конце рельса, а другой — на расстоянии 1 м от второго конца.
На стержень действуют две параллельные силы 10 Н и 20 Н. Расстояние между линиями действия сил равно 1,2 м. Определите, в каком месте и какую силу надо приложить к стержню, чтобы он находился в равновесии.
На стержень действуют две антипараллельные силы 15 Н и 60 Н. Расстояние между линиями их действия равно 90 см. Найдите равнодействующую и точку ее приложения.
Какие грузы уравновешены на концах рычага, если плечи их равны 50 см и 70 см, а сила давления на точечную опору равна 78 Н?
Двое рабочих несут за концы шест длиной 3 м, к которому подвешен груз. На долю одного рабочего приходится вдвое большая нагрузка. Где подвешен груз?
Две параллельные силы 20 Н и 30 Н приложены к концам твердого стержня длиной 1,5 м. Определите величину равнодействующей силы и точку ее приложения.
Груз массой 400 кг лежит на балке на расстоянии 1/4 ее длины от конца. С какой силой давит груз на обе опоры балки?
На балке, лежащей на двух опорах, необходимо подвесить груз 14000 Н. Длина балки 7 м. Где следует подвесить данный груз, чтобы на одну из опор он давил с силой 5000 Н?
К стержню длиной 120 см приложены три параллельные силы одинакового направления: у левого конца стержня 30 Н, в середине 80 Н и у правого конца 90 Н. Чему равна равнодействующая этих сил? Где лежит точка ее приложения?
Концы балки, длина которой Юми масса 10 т, лежит на двух опорах. На расстоянии 2 м от левого конца на балке лежит груз массой 5 т. Определите силу давления на опоры.
Труба длиной Юми массой 2100 кг лежит на двух подкладках, расположенных на расстоянии 4 м и 2 м от ее концов. Какие силы надо приложить поочередно к каждому концу трубы, чтобы приподнять ее?
Два однородных шара массами 10 кг и 12 кг и радиусами 4 см и 6 см соединены однородным стержнем массой 2 кг и длиной 10 см. Центры шаров лежат на продолжении оси стержня. Найдите центр тяжести системы.
Штанга состоит из цилиндра длиной 50 см и массой 2 кг и двух скрепленных с ним шаров радиусами 3 см и 6 см и массой 1,5 кг и 12 кг. Найдите центр тяжести штанги.
Два шара одинакового объема, цинковый и алюминиевый, скреплены в точке касания. Радиусы шаров равны R. Найдите положение центра тяжести системы.
Стержень цилиндрической формы длиной 40 см состоит наполовину своей длины из свинца и наполовину — из железа. Найдите центр тяжести стержня.
Стержень цилиндрической формы длиной 40 см состоит на 1/4 своего объема из свинца и на 3/4 — из железа. Найдите положение центра тяжести стержня.
На конец стержня длиной 30 см прикреплен шар, радиус которого 6 см, а центр лежит на продолжении оси стержня. Где находится центр тяжести этой системы, если массы стержня и шара одинаковы?
На концах однородного стержня массой 1 кг и длиной 60 см подвешены грузы массой 1 кг и 2 кг. Где нужно подпереть этот стержень, чтобы он остался в равновесии?
На доске длиной 4 м и массой 30 кг качаются два мальчика массой 30 кг и 40 кг. Где должна быть у доски точка опоры, если мальчики сидят на концах доски?
От однородного вала отрезали конец длиной 40 см. Куда и на сколько переместится центр тяжести?
Бревно длиной 12 м можно уравновесить в горизонтальном положении на подставке, отстоящей на 3 м от его толстого конца. Если же подставка находится в 6 м от толстого конца и на тонкий конец сядет рабочий массой 60 кг, бревно снова будет в равновесии. Определите массу бревна.
Доска, масса которой 8 кг, прислонена к стене под углом а = 17° (рис. III.88). Человек тянет доску в горизонтальном направлении с силой, приложенной к ее середине и направленной горизонтально. Какой величины должна быть эта сила, чтобы человек смог отодвинуть верхний конец от стены?
Стержень шарнирно закреплен одним концом. Для того чтобы отклонить его от положения равновесия на угол 30°, на нижний конец подействовали перпендикулярно к стержню силой 2,5 Н (рис. III.89). Какова масса стержня?
. У стены стоит лестница. Коэффициент трения лестницы о стенку /11 = 0,4, коэффициент трения лестницы о землю /12 = 0,5. Центр тяжести лестницы находится на середине ее длины. Определите наименьший угол, который лестница может образовать с горизонтом, не соскальзывая.
На какую максимальную высоту может подняться человек по лестнице длиной 4 м, приставленной к гладкой стене под углом 60° ? Коэффициент трения между лестницей и полом равен 0,33. Массой лестницы пренебречь.
На нити длиной 1 м висит шар радиусом 27 см, опираю
щийся на вертикальную стенку. Нить образует со стенкой угол 30° и касается шара в точке С (рис. III.90). Определите коэффициент трения покоя шара со стенкой.
. Шар, сила тяжести которого 1 кН, а радиус 0,5 м, необходимо перекатить через вертикальную ступеньку высотой 0,1 м. Какую наименьшую силу необходимо приложить к шару и в какой точке, чтобы оторвать шар от пола?
. Для вкатывания тяжелого цилиндри-
Рис. Ш.90Рис. Ш.90ческого катка радиусом R на прямоугольную ступеньку пришлось приложить к его оси горизонтальную силу F^ равную силе тяжести Р, действующей на каток. Определите максимальную
Рис. Ш.90
Рис. Ш.90
высоту ступеньки.
78. Определите положение78. Определите положениецентра тяжести однороднойцентра тяжести однороднойОпределите положение центра тяжести однородной пластинки с квадратным отверстием. Размеры пластинки и отверстия указаны на рис. III.91.
78. Определите положение
78. Определите положение
центра тяжести однородной
центра тяжести однородной
пластинки, размеры которой указаны на рис. III.92.
Найти центр тяжести однородной пластинки с вырезом, размеры которой указаны на рис. III.93.
Определите положение центра тяжести однородного дис
ка радиусом R. из которого вырезан круг радиусом R/3.
Центр круга находится на расстоянии 2R/3 от центра большого диска.
. Определите положение центра тяжести диска, радиус которого R^ в котором сделаны два круговых отверстия (рис. 111.94). Радиусы вырезанных отверстий равны R/2 и R/^.
Рис. Ш.94Рис. Ш.95Рис. Ш.94Рис. Ш.95
Рис. Ш.94Рис. Ш.95
Рис. Ш.94Рис. Ш.95
Определите положение центра тяжести однородной квадратной пластинки со стороной а, в которой вырезано круглое отверстие радиусом а, 4 так, как показано на рис. III.95.
Пять шаров, массы которых равны m, 2m, 3m, 4m и 5m укреплены на стержне так, что их центры расположены
т 2m 3m 4m 5mт 2m 3m 4m 5mРис. Ш.96Рис. Ш.96
т 2m 3m 4m 5m
т 2m 3m 4m 5m
Рис. Ш.96
Рис. Ш.96
Рис. Ш.97Рис. Ш.97
Рис. Ш.97
Рис. Ш.97
на расстоянии I друг от друга. Пренебрегая массой стержня, найдите центр тяжести системы (рис. 111.96).
Давление. Жидкости. Газы
Какое давление на дно и боковую стенку сосуда ока-
зывает слой керосина высотой 0,5 м? Чему равно полное давление на дно? Найдите силу давления керосина на дно и боковую стенку. Сосуд представляет собой цилиндр с диаметром основания 10 см.
Высота воды в сосуде 5 м. Стенка сосуда имеет ширину 1,5 м и наклонена под
углом 30° к вертикали (рис. 111.97). Найдите силу давления на боковую стенку. Атмосферное давление нормальное.
Высота воды в стакане 8 см. Какое давление на дно стенки и на его боковую стенку оказывает вода? До какого уровня надо налить ртуть, чтобы она оказывала такое же давление?
На какой глубине в море гидростатическое давление равно 4,12 • 105 Па? Чему равно полное давление на этой глубине? Атмосферное давление нормальное.
Напор воды в водокачке создается насосами. На какую высоту поднимается вода, если давление, созданное насосом, равно 400-103 Па?
В аквариум высотой 32 см, длиной 50 см и шириной 20 см налита вода, уровень которой ниже края на 2 см. Рассчитайте: а) давление жидкости на дно; б) силу гидростатического давления на дно. Найдите полное давление на боковую стенку.
На какой глубине в пресной воде гидростатическое давление в 2 раза больше атмосферного, которое равно 105 Па?
В высокий цилиндрический сосуд до уровня 10 см налита ртуть, сверху — такие же объемы воды и керосина. Каково давление жидкостей на дно сосуда?
В цилиндрический сосуд диаметром 25 см налито 12 л воды. Каково давление воды на стенку сосуда на высоте 10 см от дна?
Водолаз в жестком скафандре может погружаться на глубину 250 м, искусный ныряльщик — на 20 м. Определите давление воды в море на этих глубинах. Чему равна сила гидростатического давления на поверхность скафандра, если площадь его поверхности 2,5 м2?
Стеклянная трубка диаметром 5 см, нижний конец которой закрыт пластинкой, опущена вертикально в воду на глубину 80 м. Какого веса груз надо положить на пластинку, чтобы она отпала? Весом самой пластинки пренебречь.
Стеклянная трубка с одной стороны закрыта пластинкой и опущена этим концом вертикально в воду на глубину 0,68 м. Какой высоты надо налить в трубку ртуть, чтобы пластинка отпала?
Сосуд кубической формы наполнен жидкостью весом Р. Определите полную силу гидростатического давления на дно сосуда и все его боковые стенки.
В полый куб с ребром а налита доверху жидкость плотностью р. Определите силу гидростатического давления на все грани куба.
До какого уровня надо налить жидкость в цилиндрический сосуд, диаметр дна которого равен 20 см, чтобы сила гидростатического давления на дно сосуда была в 2 раза больше силы гидростатического давления на боковую стенку?
В сосуд с квадратным дном, длина стороны которого а, и с вертикальными стенками налита жидкость. Какова высота уровня жидкости в сосуде, если сила давления на дно равна силе давления на боковую поверхность сосуда?
В прямоугольную банку, площадь дна которой 100 см2, налита вода. Высота уровня воды 20 см. На поверхность воды опущен плотно прилегающий к стенкам поршень, на котором стоит гиря массой 2 кг. Определите давление на дно банки. Атмосферное давление нормальное.
В баке, наполненном керосином, имеется отверстие, площадь сечения которого равна 10 см2. Центр отверстия находится на 2 м ниже уровня жидкости. Определите силу давления на пробку, закрывающую отверстие.
С какой силой выталкивается вода из иглы медицинского шприца, если на поршень действует сила 6 Н? Площадь поршня равна 3 см2, площадь отверстия иглы равна 2 мм2. Гидростатическим давлением пренебречь.
Давление воды в кранах водопровода ( на уровне пола) на втором этаже шестиэтажного дома равно 250 кПа. Определите высоту уровня воды в баке водонапорной башни над уровнем земли, а также давление воды у пола шестого этажа. Высоту одного этажа принять равной 4 м.
У основания здания давление в водопроводе равно 0,05 Па. Под каким давлением вытекает вода из крана на четвертом этаже здания на высоте 15 м от основания? С какой силой давит вода на отверстие крана площадью 0,5 см2?
В сосуд, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, налиты в равных весовых количествах ртуть и вода. Высота слоя ртути равна 6 см. Определите: а) высоту слоя воды; б) давление жидкостей на дно сосуда; в) гидростатическое давление на стенку сосуда на высоте 4 см от дна.
В цилиндрический сосуд налита ртуть, а сверху масло. Вес масла в два раза меньше веса ртути, а общая высота жидкостей равна 30 см. Определите давление жидкостей на дно сосуда.
В высокий цилиндрический сосуд налит слой ртути высотой 1 см, сверху — такая же масса воды, а затем — такая же масса керосина. Каково давление жидкостей на дно сосуда?
В цилиндрический сосуд налиты равные по массе количества воды и ртути. Общая высота столбов жидкости в сосуде Н. Чему равно гидростатическое давление на дно сосуда?
Барометрическая трубка наклонена под углом 30° к горизонту. Какова длина ртутного столбика в ней при нормальном атмосферном давлении?
110 . Барометрическая трубка сечением 1 см2 опущена в чашку со ртутью. Как изменится уровень ртути в чашке, если, не вынимая конца трубки из ртути, наклонить ее под углом 45° к вертикали? Диаметр чашки равен 6 см, атмосферное давление нормальное.
Из отверстия в крышке бака цилиндрической формы выходит вертикальная трубка длиной 6 м. Высота бака равна 0,6 м. Бак и трубка наполнены водой. Во сколько раз давление на дно бака больше нормального атмосферного давления?
Объем цилиндрического бака равен 314 литров, диаметр дна равен 1 м. Через отверстие в его верхней крышке заливают вертикальным шлангом воду. При полном заполнении бака в шланге остался столб воды высотой 2 м. Найдите давление воды на дно бака.
В [/-образную трубку налита ртуть. Когда в одно из колен трубки налили воду, уровень ртути в этом колене опустился на 1 см. Какова высота столба налитой воды?
[/-образная трубка с коленами равной длины наполнена до некоторой высоты ртутью. В длинную часть трубки наливают масло плотностью 900 кг/м3, причем ртуть в короткой части поднимается на 1,5 см относительно первоначального уровня. Определите высоту столба масла.
В два колена [/-образной трубки налиты вода и масло, разделенные ртутью. Поверхности раздела ртути и жидкостей в обоих коленах находятся на одинаковой высоте. Определите массу столба воды, если высота столба масла равна 20 см.
В сообщающихся сосудах налиты вода, ртуть и керосин. Какова высота слоя керосина, если высота столба воды равна 20 см, и в правом колене уровень ртути ниже, чем в левом, на 0,5 см?
Ртуть находится в [/-образной трубке, площадь сечения левого колена которой в 3 раза меньше площади правого. Уровень ртути в узком колене находится на расстоянии 30 м от верхнего конца трубки. На сколько поднимется уровень ртути в правом колене, если левое доверху залить водой?
. В сообщающихся сосудах находится ртуть. Диаметр одного сосуда в 4 раза больше диаметра другого. В узкий сосуд налили воду, при этом уровень ртути в узком сосуде понизился на 4,8 мм, а в широком повысился на 3 мм. Определите высоту столба налитой воды.
В сообщающиеся сосуды налита ртуть, а поверх нее в один сосуд — столб масла высотой 48 см, в другой — столб керосина высотой 20 см. Определите разность уровней ртути в обоих сосудах.
В сообщающиеся сосуды налита ртуть, а поверх нее в один сосуд налит столб воды высотой 0,8 м, в другой — керосин. Разность уровней ртути в сосудах — 5 см. Определите высоту столба керосина.
В сообщающихся цилиндрических сосудах одинаковых диаметров и высоты находится ртуть. В одном из сосудов поверх ртути налит столб воды высотой 32 см. Как будут расположены относительно друг друга уровни ртути в обоих сосудах, если они доверху залиты керосином?
В двух сообщающихся трубках разного сечения налита сначала ртуть, а потом в широкую трубку сечением 8 см2 налито 272 г воды. Найдите разность уровней ртути в трубках.
С какой силой надо подействовать на малый поршень гидравлического пресса, площадь которого равна 40 см2, чтобы давление на прессуемую деталь было равно 250 кПа?
Большой поршень гидравлического пресса площадью 189 см2 действует с силой 18 кН. Площадь малого поршня равна 4 см2. С какой силой действует малый поршень на масло в прессе?
Малый поршень гидравлического пресса под действием силы 500 Н опустился на 15 см. При этом большой поршень поднялся на 5 см. Какая сила действует на большой поршень?
Большой поршень гидравлического пресса, площадью 100 см2, должен действовать на деталь с силой 2 кН. Каково должно быть давление малого поршня на масло в прессе?
При подъеме груза массой 2 т с помощью гидравлического пресса совершена работа 400 Дж. При этом малый поршень сделал 10 ходов, перемещаясь за один ход на 10 см. Во сколько раз площадь большого поршня больше площади малого поршня, если КПД пресса равен 1?
При подъеме с помощью гидравлического пресса груза массой 2 т была совершена работа 4,9 кДж. Найдите число ходов малого поршня, перемещающегося за один ход на 10 см, если КПД пресса равен 90%, а площадь большого поршня больше малого в 100 раз.
На малый поршень гидравлического пресса сила давления передается с помощью рычага, плечи которого равны 1,35 м и 0,15 м. К концу длинного плеча рычага приложена сила 200 Н. Площади поршней равны 4 см2 и 400 см2. КПД пресса равен 85 %. Определите силу давления большого поршня.
Какая сила давления может быть получена на гидравлическом прессе, если к длинному плечу рычага, передающему давление на малый поршень, приложена сила 100 Н. Соотношение плеч рычага равно 9. Площадь большого поршня в 100 раз больше площади малого. КПД равен 0,8.
Выталкивающая сила Архимеда
Вычислите выталкивающую силу, действующую на гранитную глыбу при полном погружении в воду, если ее объем равен 0,8 м3.
Гранитная глыба имеет объем 1,6 м3, а бетонная плита — 0,8 м3. Сравните выталкивающие силы, действующие на них при полном погружении в воду.
Определите объем куска меди, который при погружении в бензин выталкивается с силой 1,4 Н.
Кусок железа весит в воде 1,67 Н. Найдите его объем.
22 С. В. Трубецкова
Железобетонная плита размером 4 • 0,3 • 0,25 м3 погружена в воду наполовину своего объема. Какова архимедова сила, действующая на нее?
Один брусок имеет размеры 2-5-10 см3, а другой — 0,2-0,5-1 м3. Как отличаются выталкивающие силы, действующие на эти бруски при их полном погружении в керосин?
Как изменится натяжение троса при поднятии из воды железобетонной плиты объемом 2,4 м3?
На тело, погруженное в воду, действует выталкивающая сила, составляющая седьмую часть его веса. Чему равна плотность тела?
Бак наполнен доверху водой. Если положить кусок дерева в воду, то выливается 200 литров воды. Чему равна масса куска дерева?
Кусок льда равномерной толщины плавает в воде, выступая наружу на 2 см. Какова масса куска льда, если площадь его основания равна 200 см2.
В море плавает льдина, часть которой объемом 1350 м3 находится под водой. Найти объем всей льдины и ее надводной части.
Айсберг плавает в море, выступая на 200 м3 над поверхностью воды. Чему равны объем всего айсберга и его масса?
Полый медный шар плавает в воде во взвешенном состоянии. Чему равен вес шара в воздухе, если объем воздушной полости равен 17,75 см3? Выталкивающей силой воздуха пренебречь.
Медный шар с внутренней полостью весит в воздухе 2,59 Н, а в воде — 2,17 Н. Определите объем внутренней полости шара.
Полый шар (внешний радиус R^ внутренний — г), сделанный из материала с плотностью pi, плавает на поверхности жидкости с плотностью р2- Какова должна быть плотность вещества, которым следует заполнить внутреннюю полость шара, чтобы он находился в безразличном равновесии внутри жидкости?
Железный брусок плавает в ртути. Какая часть его объема погружена в ртуть?
Плавающий в ртути куб погружен на 1/4 своего объема. Какая часть объема будет погружена в ртуть, если поверх нее налить слой воды, полностью закрывающей куб?
Куб, плавая в жидкости плотностью щ, погрузился в нее на глубину 20 см, а в жидкости плотностью р^ — на 30 см. На какую глубину он погрузился, плавая в жидкости, плотность которой равна среднему арифметическому плотностей двух первых?
Сплошной однородный куб плавает на границе раздела ртути и масла так, что он наполовину находится в ртути, наполовину — в масле. Определите плотность материала куба.
Сплошной однородный кусок железа плавает на границе воды и ртути, полностью погрузившись в жидкость. Какая часть объема куска железа находится в воде и какая — в ртути?
Плавающий на воде деревянный брусок вытесняет объем воды, равный 0,72 м3, а будучи погруженным в воду целиком — 0,9 м3. Найдите плотность бруска.
Вес тела в воде в 5 раз меньше, чем в воздухе. Какова плотность вещества тела?
Кусок стекла весит в воздухе 1,4 Н, а в воде — 0,8 Н. Найдите плотность стекла.
Тело плавает в керосине, погрузившись до 2/3 своего объема. Найдите плотность вещества тела.
Какую работу надо совершить при медленном подъеме камня объемом 0,5 м3 в воде с глубины 1 м? Плотность камня равна 2,5 • 103 кг/м3.
Льдина, площадь основания которой равна 1 м2, и толщина равна 0,4 м, плавает в воде. Какую наименьшую работу нужно совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду? Трением о воду пренебречь.
Шар радиусом 6 см удерживается внешней силой в воде так, что его верхняя точка касается поверхности воды. Плотность материала шара 500 кг/м3. Какую работу произведет выталкивающая сила, если отпустить шар и предоставить ему свободно плавать?
Тело, имеющее массу 2 кг и объем 1000 см3, находится в озере на глубине 5 м. Какая минимальная работа должна быть 22*
совершена при его подъеме на высоту 5 м над поверхностью воды?
Какую силу надо приложить, чтобы поднять под водой камень весом 3000 Н, объем которого равен 0,015 м3?
Какую силу нужно приложить, чтобы удержать в воде камень массой 10 кг? Плотность вещества камня равна 2,6-103 кг/м3.
Пароход после отгрузки опустился в воду на 1 м. Каков вес груза, принятого пароходом, если площадь поперечного сечения парохода на уровне ватерлинии равна 1800 м2, а борта на этом уровне вертикальные?
Сколько весит пароход с грузом, имеющий площадь поперечного сечения на уровне ватерлинии 1200 м2, если при переходе его из реки в море глубина осадки уменьшилась на 0,15 м?
Пароход массой 6,18-106 кг переходит из моря в реку. Какой груз надо снять, чтобы глубина осадки не изменилась?
Морская вода на 3% тяжелее речной. Чтобы пароход при переходе из моря в реку не изменил своей осадки, с него сняли 90 т груза. Определите вес парохода вместе с оставшимся на нем грузом.
Бревно, имеющее длину 3,5 м и диаметр 30 см, плавает в воде. Какова масса человека, который может стоять на бревне, не замочив ноги? Плотность дерева равна 700 кг/м3.
Какое наименьшее число бревен длиной Юми площадью поперечного сечения 300 см2 надо взять для плота, на котором можно переправить через реку грузовую машину массой 5 т? Плотность дерева — 600 кг/м3.
Определите массу пробкового пояса, способного удержать человека массой 60 кг в воде так, чтобы голова и плечи (это примерно 1/8 объема человека) не были погружены в воду. Плотность тела человека принять равной 1007 кг/м3. Плотность пробки — 200 кг/м3.
168 . Кусок железа массой 11,7 кг, связанный с куском пробки, масса которой 1,2 г, вместе с пробкой полностью погружен на нити в воду. Определите плотность пробки и ее объем, если сила натяжения нити равна 0,064 Н.
Прямоугольная коробочка из жести массой 76 г с площадью дна 38 см2 и высотой 6 см плавает в воде. Определите высоту надводной части коробочки.
. В цилиндрический сосуд с водой опустили железную коробочку, из-за чего уровень воды в сосуде поднялся на 2 см. На сколько опустится уровень воды, если коробочка утонет?
Алюминиевый шарик весит в воздухе 0,52 Н, в воде 0,32 Н, в растворе медного купороса 0,29 Н. Определите плотность раствора медного купороса.
Для определения плотности неизвестной жидкости однородное тело подвесили на пружинных весах в этой жидкости, а затем в воздухе и в воде. Вес тела в жидкости оказался равным 1,66 Н, в воздухе 1,8 Н, в воде 1,6 Н. Найдите плотность жидкости и тела. Силой Архимеда в воздухе пренебречь.
Гранитный камень весит в воде 3,2 Н, в бензине 3,8 Н, в растворе медного купороса 2,9 Н. Определите плотность бензина, раствора медного купороса и вес камня в воздухе. Плотность гранита равна 2,6-103 кг/м3.
Деталь отлита из сплава железа и никеля. Определите, какой процент по объему составляет железо и никель, а также объем всей детали, если деталь в воздухе весит 33,4 Н, а в воде - 29,4 Н?
Пузырек газа поднимается со дна озера с постоянной скоростью. Найдите силу сопротивления воды, если объем пузырька равен 1 см3.
Стеклянный шарик падает в воде с ускорением 5,8 м/с2 Найдите плотность стекла, если вода пресная. Сопротивлением воды пренебречь.
Шарик, плотность которого 400 кг/м3, падает в воду с высоты 9 см. На какую глубину шарик погрузится в воду? Силой сопротивления воздуха и воды пренебречь.
С какой высоты должно падать тело, плотность которого 400 кг/м3, чтобы оно погрузилось в воду на глубину 6 см? Силы сопротивления воды и воздуха не учитывать.
С каким ускорением всплывает тело плотностью р в ЖИДКОСТИ С ПЛОТНОСТЬЮ Ро?
Кусок льда погрузился в воду на глубину 0,9 м. На какую высоту над поверхностью воды подпрыгнет кусок льда после того, как всплывет? Сопротивлением воздуха и воды пренебречь.
Тонкая однородная палочка шарнирно укреплена за верхний конец. Нижняя часть палочки погружена в воду, причем равновесие достигается тогда, когда палочка расположена наклонно к поверхности воды и в воде находится половина палочки. Какова плотность материала, из которого сделана палочка?
Деревянная палочка длиной 20 см закреплена шарнирно на одном конце, а свободный конец опущен в воду. Плотность дерева 800 кг/м3. Какая часть длины палочки будет находиться при равновесии в воде? Определите силу реакции в шарнире. Площадь сечения палочки равна 0,5 см2.
183 . На стержне длиной183 . На стержне длинойприкреплены на нитях дваприкреплены на нитях два
183 . На стержне длиной
183 . На стержне длиной
прикреплены на нитях два
прикреплены на нитях два
разных по размеру шара радиусом R. Правый шар опустили в сосуд с жидкостью плотностью р (рис. III.98). Материал левого шара имеет плотность pi, а правого — Р2 (pi > PsY Масса стержня
Рис III 98равна т. Где нужно подпе
реть стержень, чтобы он находился в равновесии? Как изменится положение точки приложения равнодействующей, если жидкость постепенно выливать?
Определите минимальный объем шара, наполненного водородом, который может поднять человека массой 70 кг на высоту 100 м за 30 с. Масса оболочки и корзины 20 кг, плотности воздуха и водорода равны 1,3 и 0,1 кг/м3. Сопротивлением воздуха пренебречь, подъем считать равноускоренным.
Воздушный шар объемом 600 м3 находится в равновесии. Какое количество балласта нужно выбросить за борт, чтобы шар начал подниматься с ускорением 0,1 м/с2? Сопротивлением воздуха пренебречь. Плотность воздуха 1,29 кг/м3.
Аэростат объемом 4000 м3 наполнен гелием. Вес конструкции, оборудования и экипажа равен 30 кН. Плотность воздуха 1,2 кг/м3, гелия — 0,18 кг/м3. Найти полезную грузоподъемность аэростата.
Аэростат, наполненный водородом, поднимается с уровня земли с ускорением 1 м/с2. Вес аэростата с оборудованием, экипажем и грузом равен 7 кН. Определите объем аэростата. Плотность воздуха равна 1,29 кг/м3, водорода — 0,09 кг/м3.
Аэростат объемом 2500 м3 содержит перед подъемом 2000 м3 водорода. Масса всего оборудования с командой равна 2750 кг. Определите ускорение, с которым начнет подниматься аэростат.
. Два аэростата поднимают вверх одинаковые грузы. Первый движется вверх с ускорением а = д/2, а второй — с постоянной скоростью. Плотность газа в аэростатах одинакова и равна половине плотности воздуха р. Объем первого аэростата Vi. Чему равен объем второго аэростата? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответы
15 Н; 15 Н; равнодействующая направлена в сторону большей силы, а уравновешивающая сила — противоположна ей.
500 Н.
ЮН; ЮН; а = arctgO, 75 « 37°.
100 Н; «97Н; 92 Н; « 71 Н; « 38 Н.
0.6. «25 Н.
« 185 Н; противоположно F^.
200 Н; Зм.9. «58°.
120°.
Кольцо будет находиться в равновесии — состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
20 Н.
6F; вдоль средней диагонали.
1266 Н.15.« 85 Н.
~ 6 Н; « 8 Н.17.43,3 Н; 25Н.
2 кН; 1,2 кН.19.127,3 Н;127,3 Н.
75 Н; 80 Н.21.170 Н.
28,8 Н; 57,7 Н.23.200 Н.
24. 206 Н; под углом 29° к вертикали.
25. « 283 Н; под углом 45° (вниз) к горизонтальной силе.
26.
490 Н.
27.
455 Н; 525 Н.
28.
а = arctg^.
29.
17,5 кН; 18,8 кН
30.
«32 Н.
31.
14 Н.
32.
«0,58.
33.
312 Н; 127 Н.
Опрокидывание произойдет при <^i > arctg0,5 « 27°, а соскальзывание произойдет при ср^ > arctg0,6 « 31°. Таким образом, опрокидывание произойдет раньше.
h = 2г ctga.36. 1 кН.
Пластина находится в состоянии покоя.
-30 Н м.40. -8 Н м.
10,3 кН; « 66 см от передней оси.
^9 кН; ^27 кН.
15 Н; 9 см за большей силой.
343 Н.45. « 240 кг.
27 Н; 32 Н.47. 100 Н.
3,1 м.49. 4 кН; 5 кН.
ЗОН; 0,4м от точки приложения большей силы.
45 Н; на расстоянии 2,7 м от большей силы.
45,5 Н; 32,5 Н.
На расстоянии 1 м от рабочего, которому тяжелее.
50 Н; 60 см от большей силы.
3000 Н; 1000 Н. 56. 4,5 м; 2,5 м.
200 Н; на 18 см вправо от середины.
90 кН; 60 кН. 59. 7 кН; 9 кН.
1,75 см от середины стержня в сторону большего шара.
10 см от центра большого шара.
(0,537?) от центра цинкового шара.
« 1,8 см от середины стержня в свинцовой части.
« 8,5 см от границы раздела внутри железной части.
Внутри стержня на расстоянии 4,5 см от поверхности шара.
37,5 см от конца с грузом в 1 кг.
0,2 м от середины доски.
На 20 см к другому концу.
120 кг.
25 Н.
1 кг.
а = arctg [(1 — /11/12)/(2/12)] = arctg 0,8 « 39°.
%0,4м.
0,96.
296 Н; на конце диаметра, проведенного через точку касания со ступенькой.
0,297?.
На расстоянии 0,27 см влево от центра большого квадрата.
0,7 см от центра большого квадрата.
На 2,5 см влево от центра пластинки.
На расстоянии RjYl от центра диска.
На расстоянии 377/22 справа от центра диска.
На расстоянии х = 0,25тгс/л/2/(16 — тг) « 0,086 а от центра квадрата влево.
На расстоянии 8//3 от тела массой т.
4 кПа; 2 кПа; 104,3 кПа; 31,4 Н; 314 Н.
1887 кН.86. 800 Па; 400 Па; 6 мм.
40 м; 5,13 105 Па. 88. 40 м.
3 кПа; 300 Н; 102,8 кПа.
20 м.
15,092 кПа.92. 2 кПа.
93. 2,52-106 Па; 2,02-105 Па; б,3 106Н.
94. 15,4 Н.
95.
5 см.
96. Зр.
97.
Зрда3.
98. 5 см.
99.
h, = 2а.
100. 1,05 105 Па.
101
. 16 Н.
102.
0,04 Н.103. 29 м; 90 кПа.
104.
3,5 Па; 17,5 Н.
105.
81,6 см; 16,3 кПа; 13,6 кПа.
106.
7,197 кПа.107. 4,08 кПа.
108.
^Рв р^ртдН ({ръ + Ррт)-
109.
1,52 м.
110.
Понизится примерно на 11 см.
111.
В 1,54 раза.112. 24 кПа.
113.
0,272 м.114. 45,3 см.
115.
0,18 м.116. 33,5 см.
117.
0,58 м.118. 0,7 м.
119.
2 см.120. 0,15 м; 1,85 м.
121.
0,5 см.122. 2,5 см.
123.
1 кН.124. 400 Н.
125.
1,5 кН.126. 200 кПа.
127.
50.128. 225.
129.
ю 150 кН.130. 72 кН.
131.
8 кН.
132. В 2 раза (или на 8 кН) выталкивающая сила, дейст
вующая на гранитную глыбу, больше.
133.
200 см3.134. 25 см3.
135.
1,5 кН.136. В 1000 раз.
137.
Увеличится на 23,5 кН или в 1,8 раза.
138.
7-Ю3 кг/м3.139. 20 кг.
140.
4,6 кг.141. 1545 м3; 195 м3.
142.
1584,6 м3; 1426,14 т.
143.
1,96 Н.144. 13 см3.
145.
р= R3(p2~Pi)/r3 + pi.
146.
«0,57.147. 0,19.
148.
24 см.149. 7,25 ■ 103 кг/м3.
150.
0,45V; 0,55V.151. 800 кг/м3.
1,25-103 кг/м3. 153. 2,5 ■ 103 кг/м3.
530 кг/м3.155. 73,5.
~ 7.84 Дж. Примечание. При равномерном по
гружении льдины равномерно возрастает выталкивающая сила
внешней
силы.
157.
0,17 Дж.
158.
150 Дж.
159.
2850 Н.
160.
61,5 Н.
161.
1,8-107 Н.
162.
~6,2-107 Н.
163.
180 т.
164.
3000 т.
165.
« 74 кг.
166.
42.
167.
2,7 кг.
168.
235 кг/м3;
5 -10“6 м3.
169.
4 см.
170.
Уровень опустился на «
1,74 см.
171.
ю 1,15-103
кг/м3.
172.
700 кг/м3;
9000 кг/м3.
173.
700 кг/м3;
1,13-103 кг/м3; 5,2 Н.
174.
25%; 75%
.175.
9,8 мН.
176.
2450 кг/м3
.177.
6 см.
178.
9 см.
179.
0- = 9<ро- рМ Р-
180.
10 см.
181.
750 кг/м3.
182.
0,55; 25 мН вертикально вверх.
183.
Стержень
надо подпереть влево от центра
расстоянии
2тг/Я3(р + р1 -р2)
х =
3m — 4тгЯ
kp-pi-piY
стержня на
и, следовательно, должна возрастать величина внешней силы. Поэтому при подсчете работы надо взять среднее значение
Если жидкость постепенно выливать, то точка опоры должна смещаться вправо.
184. 77 м3.186. 10 кН.« 1 м/с2.184. 77 м3.186. 10 кН.« 1 м/с2.7,82 кг.645 м3.У2 = Ц/37,82 кг.645 м3.У2 = Ц/3
184. 77 м3.
186. 10 кН.
« 1 м/с2.
184. 77 м3.
186. 10 кН.
« 1 м/с2.
7,82 кг.
645 м3.
У2 = Ц/3
7,82 кг.
645 м3.
У2 = Ц/3
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица 1. Плотности твердых веществ и жидкостей
Вещество
Плотность, х103 кг/м3
Вещество
Плотность, х103 кг/м3
Алюминий
2,7
Медь
8,9
Гранит
2,6
Олово
7,3
Дерево
0,8
Свинец
11,3
Железо
7,9
Серебро
10,5
Железобетон
2,2
Сталь
7,8
Лед
0,9
Стекло
2,5
Латунь
8,5
Цинк
7,4
Вода пресная
1,0
Нефть
0,8
Вода морская
1,03
Ртуть
13,6
Бензин
0,7
Спирт
0,79
Керосин
0,8
Масло
0,9
машинное
Таблица 2. Значения тригонометрических функций
Угол
sin
tg
ctg
COS
0°
0,0000
0,0000
1,0000
90°
1
0,0175
0,0175
57,29
0,9998
89
2
0,0349
0,0349
28,64
0,9994
88
3
0,0523
0,0524
19,08
0,9986
87
4
0,0698
0,0699
14,30
0,9976
86
5
0,0872
0,0875
11,43
0,9962
85
6
0,1045
0,1051
9,514
0,9945
84
7
0,1219
0,1228
8,144
0,9925
83
8
0,1392
0,1405
7,115
0,9903
82
9
0,1564
0,1584
6,314
0,9877
81
COS
ctg
tg
sin
Угол
Таблица 2 (окончание)
Угол
sin
tg
ctg
COS
10°
0,1736
0,1763
5,671
0,9848
80°
11
0,1908
0,1944
5,145
0,9816
79
12
0,2079
0,2126
4,705
0,9781
78
13
0,2250
0,2309
4,331
0,9744
77
14
0,2419
0,2493
4,011
0,9703
76
15
0,2588
0,2679
3,732
0,9659
75
16
0,2756
0,2867
3,487
0,9613
74
17
0,2924
0,3057
3,271
0,9563
73
18
0,3090
0,3249
3,076
0,9511
72
19
0,3256
0,3443
2,904
0,9455
71
20
0,3420
0,3640
2,747
0,9397
70
21
0,3584
0,3839
2,605
0,9336
69
22
0,3746
0,4040
2,475
0,9272
68
23
0,3907
0,4245
2,356
0,9205
67
24
0,4067
0,4452
2,246
0,9135
66
25
0,4226
0,4663
2,145
0,9063
65
26
0,4384
0,4877
2,050
0,8988
64
27
0,4540
0,5095
1,963
0,8910
63
28
0,4695
0,5317
1,881
0,8829
62
29
0,4848
0,5543
1,804
0,8746
61
30
0,5000
0,5774
1,732
0,8660
60
31
0,5150
0,6009
1,664
0,8572
59
32
0,5299
0,6249
1,600
0,8480
58
33
0,5446
0,6494
1,540
0,8387
57
34
0,5592
0,6745
1,483
0,8290
56
35
0,5736
0,7002
1,428
0,8192
55
36
0,5878
0,7265
1,376
0,8090
54
37
0,6018
0,7536
1,327
0,7986
53
38
0,6157
0,7813
1,280
0,7880
52
39
0,6293
0,8098
1,235
0,7771
51
40
0,6428
0,8391
1,192
0,7660
50
41
0,6561
0,8693
1,150
0,7547
49
42
0,6691
0,9004
1,111
0,7431
48
43
0,6820
0,9325
1,072
0,7314
47
44
0,6947
0,9657
1,036
0,7193
46
45
0,7071
1,0000
1,0000
0,7071
45
COS
ctg
tg
sin
Угол
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Балаш В. А. Задачи по физике и методы их решения. — М.: Просвещение, 1983.
Бендриков Г. Л., Буховцев Б.Б., Керженцев В.А.^ Мяки- шев Г. Я. Задачи по физике для поступающих в вузы. — М.: Физматлит, 2000.
Гладкова Р.А.^ Добронравов В.Е., Жданов Л. СД Додиков Ф. С. Сборник задач и вопросов по физике. — М.: Наука, 1988.
Гольдфарб Н. И. Сборник вопросов и задач по физике. — М.: Высшая школа, 1988.
Гурский И. П. Элементарная физика с примерами решения задач. — М.: Наука, 1989.
Гутман В. ИМещанский В. Н. Алгоритмы решения задач по механике в средней школе. — М.: Просвещение, 1988.
Гуща А. МПутан Л. А. Пособие по физике для подготовительных отделений. — Минск: Вышейшая школа, 1984.
Джанколи Д. Физика. — М.: Мир, 1989.
Кашина С. И Сезонов Ю. И. Сборник задач по физике. — М.: Высшая школа, 1996.
Кемеровский Г. С Галко С. И Ткачев Л. И. Пособие по физике для поступающих в вузы. — Минск: Изд-во БГУ, 1972.
Коган Л. М. Учись решать задачи по физике. — М.: Высшая школа, 1998.
Мустафаев Р.А.^ Кривцов В. Г. Физика. — М.: Высшая школа, 1989.
Мякишев Г. Я. Физика (механика). — М.: Дрофа, 2002.
Мясников С. П.. Осанова Т. Н. Пособие по физике. — М.: Высшая школа, 1989.
Рымкевич А. ГЦ Рымкевич П. А. Сборник задач по физике. — М.: Просвещение, 1994.
Тарасов Л.В.^ Тарасова А. Н. Вопросы и задачи по физике. — М.: Высшая школа, 1990.
Тульчинский М.В. Качественные задачи по физике. — М.: Просвещение, 1972.
Фурсов В. К. Задачи-вопросы по физике. — М.: Просвещение, 1977.
Цедрик М.СЦ Китунович Ф.Г.^ Микулин А. СКачинс- кий А. И. Пособие по физике для поступающих. — Минск: Вышейшая школа, 1978.
Учебное издание
ТРУБЕЦКОВА Софья Васильевна
ФИЗИКА.
Вопросы — ответы.Задачи — решения
Ч. 1, 2, 3. Механика
Редактор М. Б. КозинцоваОригинал-макет Л. К. ПопковойОформление переплета: А. Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 21.05.2003.
Формат 60 X 90/16. Бумага типографская. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 22. Уч.-изд. л. 22. Заказ №
Отпечатано с готовых диапозитивовв ФГУП «Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ».140010, г. Люберцы, Московская обл., Октябрьский пр-т, 403
ISBN 5-9221-0316-4
I 9 ношению к оси ж, причем |жо1| = 1^021 = жо-
А А первого и второго тел запишем так:
1. Ж1 = Уо.(# + ДО-^Ц^;
О ?01 "°2„.2
2. $2 = D0't-^.
Рис. 1.64
В полученных уравнениях 3 неизвестных величины: жх, Ж2, t. Поэтому добавим уравнение, следующее из условия задачи: жх = ж2 (так как надо найти место встречи). Решив уравнения, найдем tB:
ж, = ж2 = жв;
+ At) -= Vo.tB-^
tB = --^;[t] = ^-c = c; tB = l,75c.
g 2 L J c • м
Подставив время в уравнение координаты для 2-го тела (или 1-го), получим координату места встречи:
,2
жв = ж0 • tB — ^; жв = 19,05 м.
Воспользуемся соотношением (2.11): А = ТТК2 — ^кь В соответствии с (2.5) выражение для работы: А = Fcs cos а.
И/К1 = ^; Wk2 = ^L
Подставим все в (2.11): mF mF — Fcs = —-—-.
УДК 530.10(075.4)
ББК 22.3я7
Т77
Трубецкова С. В. Физика. Вопросы — ответы. Задачи — решения. Ч. 1, 2, 3. Механика: Учеб, пособие. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 352 с. - ISBN 5-9221-0316-4.
Представлены первые три части выпускаемой серии методических рекомендаций к решению задач по физике. Пособие призвано помочь усвоить основные законы механики. Контрольные вопросы в сочетании с приведенными ответами являются дополнением к основному учебнику физики. Приведены алгоритмы решения большого количества типовых задач. Кроме того, для самостоятельной работы подобраны задачи различной трудности, которые могут быть использованы учителем для работы с учениками.
Пособие предназначено учащимся 9-го класса для самостоятельной работы, для подготовки к единому государственному экзамену, а также может быть использовано абитуриентами для подготовки к вступительным экзаменам.
Ил. 281. Библиогр. 19 назв.
ISBN 5-9221-0316-4ISBN 5-9221-0316-4© ФИЗМАТЛИТ, 2003
ISBN 5-9221-0316-4
ISBN 5-9221-0316-4
© С. В. Трубецкова, 2003
Предисловие 6
Часть I. Кинематикаматериальной точки7
Общие рекомендации по решению задач 8
Действия с векторами 9
Равномерное движение 15
Содержание теоретического материала 15
Вопросы к теоретическому материалу 15
Ответы 17
Основные формулы 24
Методика решения задач 25
Примеры решения задач 28
Неравномерное движение материальной точки по прямолинейной и криволинейной траектории 41
Содержание теоретического материала 41
Вопросы к теоретическому материалу 41
Ответы 43
Основные формулы 50
Методика решения задач 51
Примеры решения задач 56
Кинематика равномерного движения материальной точки по окружности 77
Содержание теоретического материала 77
Вопросы к теоретическому материалу 77
Ответы 78
Основные формулы 83
Методика решения задач 83
Примеры решения задач 84
Задачи для самостоятельного решения 88
Равномерное движение 88
Неравномерное и равнопеременное прямолинейное движение 94
Свободное падение тел 99
Движение тела, брошенного под углом к горизонту и брошенного горизонтально 102
Равномерное движение по окружности 105
Ответы 108
Часть II. Динамика материальной точки 118
Законы движения 119
Содержание теоретического материала 119
Контрольные вопросы 119
Ответы 121
Основные формулы 135
Методика решения задач 136
Примеры решения задач 140
Законы сохранения в механике 159
Содержание теоретического материала 159
Контрольные вопросы 159
Ответы 162
Основные формулы 177
Методика решения задач 179
Примеры решения задач 183
Задачи для самостоятельного решения 213
Применение законов Ньютона к поступательному движению 213
Применение законов Ньютона к вращательному движению 225
Закон всемирного тяготения 228
Импульс тела 231
Работа, мощность, коэффициент полезного действия .. .237
Кинетическая и потенциальная энергии 241
Ответы 250
Часть III. Элементы статики твердого тела и гидродинамики 258
Основы статики 259
Содержание теоретического материала 259
Вопросы к теоретическому материалу 259
Ответы 262
Основные формулы 278
Методика решения задач 279
Примеры решения задач 280
Давление. Жидкости. Газы 297
Содержание теоретического материала 297
Вопросы к теоретическому материалу 297
Ответы 299
Основные формулы 310
Методика решения задач 311
Примеры решения задач 313
Задачи для самостоятельного решения 322
Статика твердого тела 322
Давление. Жидкости. Газы 332
Выталкивающая сила Архимеда 337
Ответы 343
Приложение 348
Список литературы 350