Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ГЛАВА I
МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕКИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
КИНЕМАТИКА
Основные понятия
Механическое движение — изменение взаимного расположения тел или их частей относительно друг друга в пространстве с течением времени — простейшая из форм движений. Любое механическое движение относительно. В природе нет неподвижных тел и, значит, нет такого «удобного» тела, относительно которого можно было бы рассматривать все движения. Мы в качестве наблюдателей вправе пользоваться любым из тел, условно считать его неподвижным и с этой точки зрения рассматривать движение других тел. Тело, которое в условиях данной задачи может быть принято за неподвижное, носит название тела отсчета. Для описания механического движения с телом отсчета связывают систему координат. Ею может быть пространственная прямоугольная система координатных осей XYZ. Если же движение происходит в одной плоскости или вдоль одной прямой, то достаточно ввести, соответственно, только две координатные оси или одну.
Совокупность тела отсчета и связанной с ним системы координат часто называют системой отсчета, хотя содержание этого понятия в современной физике оказывается более широким.
Сама система отсчета «слепа», она не регистрирует положений движущегося тела или их изменений, но она помогает это сделать наблюдателю, находящемуся в ней, т. е. наблюдателю, использующему данную систему отсчета. Наблюдателем является экспериментатор, изучающий, измеряющий то или иное движение. Иногда роль наблюдателя выполняет какой-либо прибор, например кинокамера.
Любое движение совершается в пространстве и во времени, Значит, для исследования движения необходимо располагать эталонами, которые позволяли бы достаточно точно измерять пространственные и временные промежутки. Коротко такие эталоны называют масштабом и часами, хотя первый из них не обязательно должен быть сантиметровой линейкой или рулеткой, а второй — будильником или секундомером. Говоря о часах, имеют в виду устройство, в котором совершаются какие-то строго периодические процессы. Их периодичность определяет эталонный промежуток времени. Момент начала отсчета времени по часам для данной системы отсчета должен быть, конечно, указан.
Измерение линейных размеров тела или расстояний может быть связано не с непосредственным прикладыванием масштаба к измеряемому отрезку, а с использованием в качестве промежуточных звеньев каких-либо приборов, например акустических или оптических (типа звукового локатора, радиолокатора или теодолита).
В специальной теории относительности доказывается, что пространственные и временные промежутки не являются абсолютными, они могут изменяться при переходе от одной системы отсчета к другой. Это значит, что масштаб и часы оказываются зависимыми от выбора системы отсчета и должны считаться элементами системы отсчета (помимо тела отсчета и системы координат).
Еслй между движущимся телом, телом отсчета, масштабом, часами и наблюдателем не будет установлено «двухсторонних связей», то описать или рассчитать механическое движение не удастся. Крайне редко случается такое, чтобы движущееся тело непосредственно контактировало во время движения с масштабной линейкой и само включало и выключало секундомер. Каким образом в большинстве случаев устанавливаются связи между изучаемым движущимся объектом, упомянутыми элементами системы отсчета и наблюдателем? С помощью каких посредников наблюдатель может судить о местонахождении объекта? Ими являются различные сигналы — звуковые, световые, тепловые. Информацию об объекте наблюдения могут принести радиоволны, рентгеновское и радиоактивное излучение, потоки заряженных или нейтральных частиц. В этом списке наиболее универсальны те сигналы, которые распространяются со скоростью света в вакууме. Ведь эта скорость остается неизменной — огромной, но конечной и предельной — в любой системе отсчета. Скорости распространения всех 26
иных сигналов в разных системах отсчета могут быть неодинаковыми. Все это дает возможность считать сигнал одним из элементов системы отсчета.
Если не делается особых оговорок о скорости распространения сигналов в данной системе отсчета, то эта скорость считается равной скорости распространения света в вакууме.
Еще раз напомним читателю и подчеркнем, что при решении каждой задачи о механическом движении какого-то тела должна быть выбрана та или иная система отсчета. Без указания системы отсчета разговор о механическом движении становится беспредметным. Без системы отсчета о механическом движении судить невозможно!
Часто при решении задач механики за тело отсчета принимают Землю или связанные с нею тела (стены здания, лабораторный стол и т. д.). Такой выбор удобен для многих задач в земных условиях. Он не противоречит нашим представлениям, так как движения самой Земли мы не замечаем. Но не забудем, что пользоваться системой отсчета, связанной с. Землей, удобно далеко не всегда. Так, если в задаче рассматривается несколько тел, движущихся относительно друг друга (например, брусок соскальзывает с наклонно расположенной доски, которая сама движется по поверхности стола, и т. п.), то удобно бывает воспользоваться в качестве тела отсчета одним из этих тел, а вовсе не Землей.
Иногда при решении подобных задач вводят не одну, а несколько систем отсчета (или переходят от одной системы отсчета к другой) и учитывают характер их относительного движения. Чтобы различать системы отсчета в таких случаях, либо конкретно указывают, с каким телом отсчета связана каждая из систем, либо одну из них называют неподвижной (например, в упомянутой выше задаче неподвижной будет система отсчета, связанная со столом), а другие — подвижными или движущимися (например, система отсчета, связанная с наклонной доской), причем указывают характер движения последних относительно неподвижной системы отсчета.
Все тела имеют определенные конечные размеры, но иногда эти размеры можно не учитывать. Например, мы решаем задачу о том, сколько времени находится в пути поезд, вышедший из Москвы в Ленинград. Все характеристики движения (момент отправления, начальная скорость и т. д.) заданы. Стоит ли нам интересоваться в этой задаче размерами поезда (числом вагонов, длиной каждого из них
и т. д.)? Конечно, нет. Передняя и задняя точки состава практически одновременно прибудут в Ленинград. Другое дело, если бы речь шла о движении того же поезда на пути в 200 метров!
Когда отпадает необходимость учитывать конечные размеры тел, говорят о материальных точках — телах бесконечно малых размеров. Этой моделью пользуются в тех случаях, когда линейные размеры рассматриваемых тел во много раз меньше всех прочих расстояний в данной задаче, или в тех, когда размеры тела хотя и соизмеримы с пройденным расстоянием, но структуру тела, расположение или движение отдельных его частей не стоит учитывать.
Второй моделью является абсолютно твердое тело — тело, форма и размеры которого в данной задаче считаются неизменными, т. е. расстояние между любыми двумя произвольно выбранными точками тела может считаться постоянным. Такая модель используется, когда нельзя пренебречь размерами тела, но можно для упрощения пренебречь их изменениями. Абсолютно твердое тело можно считать совокупностью жестко связанных материальных точек.
Кинематика движения материальной точки
Радиус-вектор и координаты. Положение материальной точки М в пространстве в данный момент времени может быть задано радиус-вектором г, соединяющим начало координат выбранной системы отсчета с рассматриваемой точкой (рис. 1.1). Поскольку в современной литературе по физике векторы чаще всего обозначаются полужирными буквами, мы будем придерживаться именно таких обозначений.
Ясно, что данному положению точки соответствуют три координаты (х, у, 2) конца ра
диус-вектора (координаты начала радиус-вектора принимаются равными нулю).
В дальнейшем, чтобы не усложнять изложения, мы будем
рассматривать не произвольные движения точек или тел в пространстве, а движения, происходящие в одной пло-
скости,— так называемые плоские движения, или движения, происходящие вдоль одной прямой линии,— так называемые одномерные движения. В иных случаях будут сделаны соответствующие оговорки. Для описания плоского движения достаточно одной координатной плоскости (например, XOYY Положение точки при этом определяется лишь двумя координатами (х и у), а изменение положения точки при движении описывается изменениями этих координат. Для определения положения точки на заданной прямой линии требуется лишь одна координата, по изменению которой судят об одномерном движении.
Траектория. Линия, которую описывает движущаяся материальная точка в пространстве, называется траекторией. Разным положениям точки на траектории соответствуют различные радиус-векторы (п, г2 и т. д.) или различные наборы координат (хъ уг> zt; х2, Уг, 22 и т. д.).
По форме траектории движения классифицируются на прямолинейные и криволинейные. Движение по окружности (или по дуге окружности) является простейшим из криволинейных.
Различные виды движений и способы их описания мы более подробно рассмотрим в дальнейшем, но уже здесь следует напомнить читателю, что форма траектории данного движения материальной точки зависит от выбора системы отсчета и в этом смысле оказывается относительной. Если маленький шарик выпал из окна поезда, движущегося равномерно по горизонтальному участку, то в системе отсчета, связанной с поездом, шарик опишет вертикальную прямолинейную траекторию. Движение того же шарика с точки зрения наблюдателя на железнодорожной насыпи (система отсчета, связанная с Землей) будег казаться происходящим по криволинейной (параболической) траектории.
О символе А. Следует обратить внимание на символ А, который используется весьма часто. Этот символ имеет двоякий смысл. Во-первых, он обозначает конечное изменение (приращение или убыль от одного определенного значения до другого определенного значения) стоящей за ним переменной величины: Аг — изменение радиус-вектора; Ах, Ау, Аг — изменения координат движущейся точки; Аф — разность потенциалов в двух точках электростатического поля и т. п. Во-вторых, он применяется для обозначения малого элемента, «малого кусочка» какой-то переменной величины: А^ — малый промежуток времени, AS — малый элемент площади (или так называемая «элементарная
площадка»), AV — малый элемент объема («элементарный объем») ит. п.
Трудности нередко возникают в тех случаях, когда одно и то же по форме обозначение может иметь и тот, и другой смысл. Например, через АУ можно обозначить и изменение объема газа в сосуде с поршнем при расширении (объем газа увеличился от одного литра до двух; при этом АУ= = 1 л), и элементарный объем, выделенный где-то внутри этого сосуда (нас мог интересовать состав газа в пределах каждого кубического миллиметра вблизи дна сосуда и вбли
зи поршня; теперь А У = 1 мм3). Чтобы избежать подобной неоднозначности, приходится всякий раз пояснять, в каком смысле употребляется символ А.
Вектор перемещения. Движение материальной точки характеризуется вектором перемещения (иногда для краткости его называют просто перемещением), который равен
изменению радиус-вектора движущейся точки за рассматриваемый промежуток времени. При переходе точки из положения 1 в положение 2 (рис. 1.2) вектор перемещения Аг связан с радиус-векторами начального и конечного положений точки соотношением
Дг=г2—гь(1.1)
которому в общем случае эквивалентна система трех уравнений для проекций соответствующих векторов*
^я^Г^х fix, ^у^^^у ^1уэ ^Г x=T^x ^iz- (1*2)
Напомним, что проекцией Ьх вектора b на координатную ось ОХ называется скалярная величина, связанная с модулем вектора и углом ориентации равенством
bx= |b]cosa=&cosa,
где а — угол между координатной осью и вектором Ь, отсчитываемый от положительного направления координатной оси против часовой стрелки. Проекция вектора может быть величиной положительной, отрицательной и равной нулю (рис. 1.3).,
30
В согласии с этим правилом проекции радиус-вектора г на координатные оси OX, 0Y и 0Z выражаются просто через соответствующие координаты его конца:
Гх^Х, Гу—у,Гх=2,
а система уравнений (1.2) для проекций вектора перемещения принимает вид
Агх=х2—а, Агу=у2—уъ Arz=22—гъ(1.3)
или
Дг^Ах, &гу—ку, Nrx=Nz.(1-3')
Правые части уравнений в системах (1.3) или (1.3')— это разности координат движущейся точки, соответствующих ее конечному и начальному положениям. Поэтому очень
Рис. 1.3.
часто проекции вектора перемещения Дгх, Дг^ и Дг2 называют перемещениями (или смешениями) точки вдоль соответствующих координатных осей.
Вектор перемещения движущейся точки соединяет начальное положение точки с конечным и характеризует, насколько точка сместилась в пространстве, а также куда, в какую сторону она двигалась. Может показаться, что только с этим последним обстоятельством и связан векторный смысл перемещения (вместо того, чтобы пояснять словами: «точка двигалась на северо-запад» и т. п., мы на схеме изображаем так или иначе ориентированную стрелку- вектор).
В действительности же все векторные величины (и вектор перемещения в частности) вводятся не ради экономии слов. Общим свойством векторных величин является то, что сложение или вычитание однородных векторных величин производится не по арифметическим или алгебраическим правилам. Векторы складываются и вычитаются
геометрически! Тот опытный факт, что результат нескольких последовательных перемещений всегда находится как геометрическая сумма этих перемещений, говорит о векторном характере перемещений, о необходимости й целесообразности введения перемещения как векторной величины.
Попутно отметим, что геометрическое суммирование векторов может производиться по правилу многоугольника, которым удобно пользоваться, когда слагаемых векторов больше двух. При таком суммировании слагаемые векторы пристраиваются последовательно один к другому (второй вектор совмещается своим началом с концом первого, начало третьего — с концом второго и т. д.). Геометрической суммой является замыкающий вектор, проведенный от
начала первого слагаемого к концу последнего. На рис. 1.4 вектор R является суммой пяти слагаемых (ах, а2, а3, а4 и а5), в чем можно убедиться, последовательно применяя правило параллелограмма.
Путь. Еще одной кинематической характеристикой движения является путь (S или AS) — скалярная величина, равная расстоянию от начального пункта движения до конечного, измеренному вдоль траектории. Подчеркнем, что путь не может быть величиной отрицательной. Путь — это, если так можно сказать, суммарный километраж, пройденный точкой, независимо от того, в каком направлении происходило движение и изменялось ли это направление.
Из такого определения следует, что для криволинейного движения путь никогда не может равняться модулю вектора перемещения. При движении точки из пункта / в пункт 2 (рис. 1.5) путь S12 равен длине криволинейного участка траектории 1—2. Модуль вектора перемещения Аг12 в том же масштабе равен длине прямой 1—2 и, конечно, оказывается меньшим, чем путь.
Не совпадает путь с модулем вектора перемещения и в случае прямолинейного движения, если направление движения с какого-то момента изменяется на обратное. Например, точка начала двигаться из пункта 1, достигла пункта 2, а потом изменила направление движения и остановилась в пункте 3 (рис. 1.6). В выбранном масштабе путь
Рис. 1.6.Рис. 1.6.XX
Рис. 1.6.
Рис. 1.6.
X
X
точки S13 будет равен сумме длин отрезков 1—2 и 2—3, а ^модуль вектора перемещения Аг13 при этом будет равен длине отрезка 1—3.
Равенство пути и модуля вектора перемещения имеет место только в одном частном случае: когда прямолинейное движение происходит в одном направлении.
Средняя и мгновенная скорость. Для оценки быстроты изменения положения точки в пространстве с течением времени вводится средняя скорость (vcp) — физическая величина, равная отношению перемещения Аг к тому промежутку времени А#, в течение которого это перемещение произошло:
По этому уравнению вводится единица измерения средней скорости. В системе единиц СИ:
~1 еД Длины СИ 1 м 1.
ед. скорости СИ =.= 1— =1 м/с.
r1 ед времени СИ 1 с '
В системе СГС единицей скорости является 1 см/с.
Напомним, что по такому же общему рецепту вводятся производные единицы измерения и для других величин. Значение новой величины ставится в зависимость от других величин, введенных ранее, единицы измерения которых уже известны. Подставляя в уравнение связи единичные значения известных величин, получают единичное значение вновь вводимой величины.
Вместо векторного уравнения (1.4) может быть написана эквивалентная система уравнений для проекций на оси координат:
(уср)х = д7» (уср)у = д7’ (уср)ж= д7 •0-5)
Ю. А. Селезнев33
Бесконечно уменьшая промежутки времени А/, в течение которых наблюдается движение, получают мгновенную скорость (или скорость в данный момент):
(1.6)(1.6)v — lim ^.
(1.6)
(1.6)
ы -+ оа*
Легко показать, что вектор мгновенной скорости v всегда совпадает с касательной к траектории движения в рассматриваемой точке и направлен в сторону движения. Находя значение мгновенной скорости по уравнению (1.6), мы должны рассматривать перемещения за бесконечно малые промежутки времени (А/->0). Для этого всю траекторию дви- - ужения придется разбить на
малые криволинейные участки В#ГSjV, NK и т. д. (рис. 1.7). Век-
\тор перемещения для каждого
\такого участочка будет сов-
\. М пЗДать с секущими BN, NK и т. д. При увеличении числа ^ участков, на которые разби- рис< и#вается траектория движения,
* * *длины секущих будут при
ближаться к длинам участков траектории, а направление каждой из них будет в пределе приближаться к направлению касательной к траектории в рассматриваемой точке, соответствующей определенному моменту времени. На рис. 1.7 показаны векторы мгновенных скоростей для точек R и М, их длины (в выбранном масштабе) соответствуют модулям скоростей vR и vM*
Скалярная средняя скорость» Для решения некоторых задач представляет интерес так называемая скалярная средняя скорость (vcp)s, которая определяется отношением отрезка пути AS, пройденного за промежуток времени Af, к этому промежутку:
(1.7)(1.7)/ a AS(ycp)s — д7
(1.7)
(1.7)
Например, если точка, двигаясь по окружности (или по любой другой замкнутой траектории), возвратилась через промежуток времени М в исходное положение, то ее полное перемещение равно нулю. Средняя векторная скорость, подсчитываемая по уравнению (1.4), также окажется равной нулю. Средняя скалярная скорость при этом будет 34
какой-то вполне определенной, отличной от нуля величиной, характеризующей быстроту движения по траектории.
Если движение по замкнутой траектории происходит без остановок, то в любой точке траектории модуль вектора мгновенной скорости должен отличаться от нуля. Такое очевидное заключение подтверждается не только уравнением (1.6), но и согласуется с понятием средней скалярной скорости. Если в уравнении (1.7) перейти к пределу при Д^О, то придется рассматривать такие малые участки пути AS, которые не отличаются от модуля элементарного вектора перемещения Аг. Тогда на основании уравнения (1.7) можно получить значение мгновенной скалярной ско-
рости
r ASУс= hm -— ,5 д^о ^
которое совпадает с модулем векторной мгновенной ско
У—I V]У—I V]lim ^А/ -> 0lim ^А/ -> 0рости
У—I V]
У—I V]
lim ^
А/ -> 0
lim ^
А/ -> 0
lim — lim ,At -> о а/ -> о ш
так как Ar=AS.
Поскольку четко разграничивать понятия о перемещении и пути в школьном курсе физики стали сравнительно недавно, многие абитуриенты допускают ошибки, стремясь выразить скорость движения «через путь», а не через перемещение. Чтобы понятие о средней скалярной скорости не способствовало такому соблазну, подчеркнем, что эта скорость имеет более узкий смысл, чем вектор средней скорости. Скалярная средняя скорость совпадает с модулем вектора средней скорости в одном-единственном частном случае: для прямолинейного движения в одном направлении (когда путь равен модулю вектора перемещения).
Среднее и мгновенное ускорение. При произвольном движении материальной точки вектор скорости с течением времени может изменяться как по модулю, так и по направлению. Для оценки быстроты этих изменений вводят среднее ускорение движения
й мгновенное ускорение
а=ИтЙ-О-9)
Уравнению (1.8) эквивалентна система уравнений для проекций на оси координат:
(flcp)x—~^»(^ср)^ —"дТ"»<а^г=ы*(1-8)
Аналогично может быть записана система уравнений и для проекций вектора мгновенного ускорения.
Единицы измерения ускорения (1 м/с2 и 1 см/с2) получают по уравнениям (1.8) или (1.9).
направления различны, тонаправления различны, тоЧасто забывают, что ускорение характеризует не только изменение модуля скорости (например, скорость движения какого-то тела за 5 с изменилась от 5 м/с до 30 м/с, тогда в среднем за каждую секунду она изменялась на 5 м/с, т. е. модуль ускорения равен 5 м/с2). Ускорение характеризует и изменение направления вектора скорости. Например, равномерное движение точки по окружности является ускоренным из-за изменения направления вектора скорости с течением времени, хотя модуль скорости остается неизменным.
направления различны, то
направления различны, то
Если модули нескольких векторов одинаковы, а их такие векторы нельзя считать равными. Так (рис. 1.8, а), векторы скоростей точки, движущейся равномерно по окружности, в положениях 1 и 2 не равны. Для того чтобы получить вектор v2, к вектору vj нужно прибавить вектор Av, который и будет характеризовать изменение направления вектора скорости за какой-то промежуток времени А/ (рис. 1.8,6). Отнеся Av к А/, мы оценим быстроту изменения направления вектора скорости во времени, т. е. ускорение, среднее за промежуток времени А/. В рассматриваемом движении мгновенное ускорение иногда называют центростремительным ускорением, а его модуль подсчитывают по известной формуле
7)2
^цс^"^ >(1*10)
где о — модуль скорости движения, R — радиус описываемой окружности,
36
Чтобы можно было отдельно учитывать изменения вектора скорости по модулю и по направлению, вводят две составляющие вектора полного ускорения движения тела: тангенциальное, или касательное, ускорение ат, характеризующее изменение модуля скорости (насколько скорость возросла или уменьшилась за 'единицу времени), и нормальное ускорение ап, характеризующее изменение направления вектора скорости с течением времени.
Если за промежуток времени А£ скорость точки изменилась от Vi до v2 (рис. 1.9, а), то полное изменение скорости в выбранном масштабе определяется вектором Av
Рис. 1.9.
(рис. 1.9, б). Отложим на векторе ОК» равном у2, отрезок 0D, равный модулю вектора vle Отрезок DК характеризует изменение модуля скорости (О/С=у2—Vi=Av), и модуль среднего ускорения, измеряющего это изменение, за промежуток времени А/ будет равен
Wcp — д/ — д/ •
Отрезок CD позволяет оценить изменение направления вектора скорости, и модуль среднего ускорения, характеризующего это изменение, можно найти как
— д/ • Х
Переходя в этих выражениях к пределам при бесконечном уменьшении промежутка времени (А£->0), можно определить модули тангенциального и нормального ускорений.
Тангенциальное ускорение является составляющей вектора полного ускорения вдоль направления касательной 37
к траектории в данной точке. Оно направлено в сторону движения, если скорость движения по модулю возрастает (рйс. 1.10, а), и в противоположную сторону, если модуль скорости уменьшается (рис. 1.10, б). Нормальное ускорение представляет собой составляющую вектора полного ускорения вдоль нормали к траектории в данной точке и всегда направлено к центру кривизны траектории (рис. 1.10).
Модуль а вектора полного ускорения очень просто выражается через ат и ап:
По характеру поведения скорости и ускорения движения классифицируются на равномерные и неравномерные
(или переменные). Если вспомнить классификацию движений по форме траектории, то для всевозможных видов движения можно составить следующую таблицу, в которой отражен характер поведения всех компонент ускорения и скорости: ' v
Равномерное движение
Переменное движение
Прямолинейное движение
ат = 0,#„=0;
а = 0,а = 0;
и=const, v = const
от 5^ 0,дЛ = 0j
а~а^а #0;
У ^ const, V ^ const
Криволинейное движение
ат=0, ап ф 0;
а=^, а^О;
у=const, V £ const
6ZT ^ 0,CLn ^ Oj
a=V"aT+4 a^0;
У + const >v ^ const
Обратим внимание на то, что признаком равномерности движения является постоянство модуля вектора скорости, а не самого вектора скорости.
38
В элементарном курсе физики рассматриваются наиболее простые виды механического движения точки. Из прямолинейных — равномерное (v=const, а=0) и равнопеременное (частный случай переменного движения, когда а=const). Из криволинейных — равномерное движение по окружности (частный случай криволинейного движения, когда v=const и a^t^lRY И только колебательные движения (происходящие по прямолинейной траектории или по дуге окружности) представляют собой более сложный вид движения, при котором не только скорость, но и ускорение оказываются величинами переменными. 4
Общие соотношения между кинематическими величинами для прямолинейного движения. При анализе и расчете прямолинейного движения можно, конечно, выбрать систему отсчета таким образом, чтобы одна из координатных осей совпала с траекторией движения материальной точки. Мы же рассмотрим сначала соотношения для случая, когда прямолинейная траектория движущейся точки не совпадает ни с одной из координатных осей. Это позволит нам прийти к некоторым общим выводам о преобразовании векторных уравнений.
При равнопеременном прямолинейном движении вектор мгновенного ускорения не изменяется во время движения ни по направлению, ни по модулю и совпадает с вектором среднего ускорения: a=acp=const. Используя это равенство и уравнение (1.8), можно получить выражение для определения изменения скорости движения в течение произвольного промежутка времени Ы: ,
Av=aA^, (1.11) или
vt—v0=a Ы. , (1.12)
если договориться, что моменту начала отсчета интервала времени М (так называемому начальному моменту времени) соответствует скорость v0 (начальная скорость), а ронцу интервала времени — скорость vt. Последнее уравнение может быть преобразовано для определения мгновенной скорости vf в любой момент времени, отделенный от начального момента промежутком А^.
v^=Vo+a М» (1.13)
Начальная скорость v0, ускорение а и момент начала отсчета времени должны быть при этом заданы. z
Следует заметить, что начальный момент времени не обязательно соответствует началу движения, выходу тела или точки из состояния покоя. Начальный момент времени произвольно выбирается наблюдателем. Это момент, с ко* торого наблюдатель начал следить за данным движением, начал исследовать движение. Это момент времени, в который был включен секундомер или иное устройство для измерения промежутков времени.
Векторному уравнению (1.13) соответствует система трех скалярных уравнений для проекций на оси координат:
Щх " ^OX ~b ^Х^ 1 ^ty ^^ау “Ь ^у^ , ^tg Vq^ “Ь ^А/, (1.13) причем, как уже отмечалось выше, выражая проекции v^, Vox, ах и Т. д. через модули соответствующих векторов, нужно учитывать знаки (плюсы и минусы) и числовые коэффициенты, которые появляются в зависимости от направления проецируемого вектора и выбора положительного направления координатной оси.
Так, при равнопеременном прямолинейном движении, происходящем вдоль оси ОХ, вместо уравнения (1.13) (или первого уравнения системы (1.13')) можно написать соотношение
у^ = у0 + «А/
только для случая, когда направления векторов v0 и а совпадают с положительным направлением координатной оси. Например, положительное направление координатной оси мы сами выбрали совпадающим с направлением вектора начальной скорости v0, положительный знак у а соответствует ускоренному (а не замедленному!) движению, положительный знак у vtx будет при этом говорить о том, что вектор конечной скорости vt направлен в ту же сторону, что и вектор начальной скорости v0. Если при той же договоренности о совпадении положительного направления координатной оси с направлением вектора v0 будет рассматриваться движение, при котором вектор а противоположен по направлению вектору v0, то придется написать
ytx = »6—aM.
В зависимости от того, какие конкретные значения будут иметь интервал времени М, а также модули у0 и а, результат расчета для ytx может привести как к положительному, так и к отрицательному значению.
Пусть, для примера, материальная точка совершает прямолинейное равнопеременное движение с начальной скоростью 20 м/с, модуль ускорения равен а=5,0 м/с2, но направления векторов а и v0 противоположны. Нас интересуют скорости этой точки через 3,0 и 10 секунд после начала движения. Проецируя на координатную ось, положительное направление которой совпадает с направлением вектора v0, и выражая проекции векторов через их модули, мы получим, что через 3 секунды
У/1Л. = 20—5,0-3,0 = 5 м/с,
а через 10 секунд
v/aX = 20—5,0-10 = —30 м/с.
Проекция вектора скорости v^2 имеет знак минус. Это значит, что через 10 секунд после начала движения материальная точка движется в противоположную сторону. Легко определить, что в данном примере направление движения изменяется спустя 4,0 секунды после начала движения (в этот момент направление вектора скорости изменяется на противоположное).
Мы задержали внимание читателей на вопросе о переходе от векторного уравнения к уравнению в числах для того, чтобы подчеркнуть и напомнить, что такой переход лучше всегда проводить в три этапа. Сначала записывается векторное уравнение связи между величинами. Таким уравнением может быть уравнение физического закона или уравнение, по которому одна из физических величин вводится, определяется через другие величины. (Рассмотренное выше уравнение (1.13) получается при определенных условиях из уравнения (1.8), по которому вводится понятие среднего ускорения.)
На втором этапе записывают уравнение (или систему уравнений) для проекций соответствующих векторов. Для этого непременно должна быть выбрана координатная ось (или оси) и должно быть указано, какое ее направление принимается за положительное. Обозначения проекций векторов следует обязательно снабжать индексами, указывающими, на какую именно координатную ось производилось проецирование.
На третьем этапе выражают проекции векторов через модули соответствующих векторов, учитывая ориентацию векторов по отношению к положительному направлению координатной оси. На этом этапе члены уравнения могут
приобрести не только тот или иной знак, но и различные числовые коэффициенты, так как угол между положительным направлением координатной оси и векторов может в общем случае отличаться от 0 или л радиан.
Возвращаясь к анализу равнопеременного прямолинейного движения, рассмотрим, как могут быть выведены уравнения, связывающие перемещение или координаты движущейся точки с остальными кинематическими характеристиками (иногда эти уравнения называют кинематическими уравнениями движения).
При выводе так называемой формулы пути для равнопеременного прямолинейного движения
используется понятие средней скорости, которую подсчитывают по формуле
Vc₽ = (Vo + ^)/2. (1.14) как среднее арифметическое начальной и конечной скоростей на данном участке. Существенной при этом оказывается оговорка о том, что в случае равнозамедленного движения формула (1.14) справедлива только до момента изменения направления движения. Такое же ограничение накладывается и на полученную формулу пути. Понятно, что при таком выводе фактически используется средняя скалярная скорость, о которой упоминалось выше.
Но как следует поступить, если мы хотим получить выражение для вектора перемещения? Вот если бы вместо формулы (1.14) можно было использовать аналогичную формулу для векторов
vCp = (Vo + vt)/2, (1.15) то и дальнейшие рассуждения при выводе уравнения для вектора перемещения, очевидно, строились бы по известной схеме.
Мы надеемся, что читатели самостоятельно смогут доказать справедливость формулы (1.15) для случая прямолинейного равнопеременного движения. Обратите внимание, что эта формула оказывается пригодной и в случае равнопеременного движения с изменением направления движения!
На основании уравнений (1.4), (1.15) и (1.13) получают уравнение перемещения движущейся точки:
Дг^УрАН5^. (1.16)
Поскольку начальное положение движущейся точки обычно задается радиус-вектором г0 или координатами х0, у0, ?е, а ее положение на траектории через промежуток времени А/ определяется радиус-вектором г или координатами х, у, z, вместо уравнения (1.16) можно написать уравнение'
'г = г0 + у0Д/ + ^,(1.17)
которое при заданных v0 и а и при выбранных начале отсчета времени и г0 описывает характер изменения радиус- вектора движущейся точки с течением времени.
Систему уравнений для определения перемещений точки вдоль координатных осей можно получить на основании уравнения (1.16):
Аг„ = Дх = х—х0 = оехМ +,
Дгу==Ду = у—уо = аоуД/ + ^~,(1.18)
Дгг= Дг = 2 —го = иогД< +
откуда получают уравнения для координат движущейся точки:
x = x6-Vv0XM
у^уЛ^АН2^,(1-19)
г=г0 + Ц>гД* + 5Ц^.
Система уравнений (1.19) может быть получена и на основании уравнения (1.17).
Не забудем, что уравнения (1.16) — (1.19), так же как и формула (1.15), справедливы только для прямолинейного равнопеременного движения.
Не будем останавливаться на рассмотрении очевидных упрощений приведенных выше уравнений для случаев равномерного прямолинейного движения, когда а=0, а также упрощений для случая прямолинейного равнопеременного движения вдоль одной из координатных осей, когда вместо систем уравнений (1.13'), (1.18) и (1.19) достаточно будет взять только по одному уравнению. Но еще раз обратим внимание читателей на то, что не рекомендуется записывать
уравнения для проекций векторов без соответствующих индексов. Ведь эти индексы как раз позволяют отличить уравнение для проекций от уравнения для модулей и напоминают, что снятие индексов соответствует операции выражения проекций векторов через модули векторов, при выполнении которой у некоторых слагаемых уравнения могут появиться знаки минус.
Например, перемещение точки при одномерном движении вдоль оси ОХ всегда может быть представлено в виде
Но уравнения
Дх = о.Д( + ^^‘, Дл: = о,Л1—1S2,
соответствуют трем различным случаям движения. Первое — равноускоренному движению в сторону положительного направления оси ОХ (допустим, слева направо). Второе — равнопеременному движению, которое сначала происходит вправо (и на этом этапе является равнозамедленным), а далее, в зависимости от конкретных значений v0, а и А/, может происходить как вправо, так и влево (может случиться, что Ах<0, т. е. точка в результате движения окажется левее своего первоначального положения на траектории). В третьем случае движение сначала будет равнозамедленным (вектор начальной скорости v0 направлен влево, а вектор ускорения а—вправо) и в течение какого-то промежутка времени будет происходить справа налево, а далее движение может измениться по направлению и стать равноускоренным (векторы v и а будут направлены одинаково — слева направо).
Два последних примера позволяют внести некоторые уточнения для тех случаев классификации переменных движений, когда ускоренные и замедленные движения разграничиваются (при детальном анализе характера движения такое разграничение оказывается весьма полезным). Прямолинейное движение может называться замедленным (или равнозамедленным) только на тех участках траектории, в пределах которых векторы скорости и ускорения имеют противоположные направления. Если же направления этих векторов совпадают — движение ускоренное.
О некоторых ошибках, встречающихся при расчете средней скорости. Часто забывают, что введенная по формуле (1.4) средняя скорость характеризует движение на всем участке перемещения Аг в целом за промежуток времени А^=/2—tv Она ничего не дает для описания движения до момента tk и после момента f2, она не характеризует движения и на отрезках перемещения внутри участка Аг.
Например, из пункта А в расположенный от него на расстоянии 5000 метров пункт В тело двигалось по прямолинейной траектории в течение 1000 секунд. Можно ли, зная модуль средней скорости этого движения (5 м/с), определить, за какое время пройдены первые 100 метров пути или какое расстояние тело проходит за последние 10 секунд своего движения?
На такие вопросы, зная только среднюю скорость движения на участке АВ, ответить не удается. Средняя скорость является характеристикой движения на всем участке, она скрадывает детали движения.
Даже при рассмотрении прямолинейного движения без изменения направления скорости забывают еще об одном важном обстоятельстве. Пусть, например, тело движется прямолинейно вдоль координатной оси ОХ. В начальный момент времени тело имело скорость v0, а по истечении промежутка времени А/ — скорость vt. Чему равна средняя скорость за данный промежуток времени А/?
Очень часто при ответе на такой вопрос используют формулу (1.14) для связи модулей искомой и заданных скоростей: vcp=(vo+vt)/2. Если не оговаривают всех условий применимости формулы (1.14), то создается впечатление, что она применима во всех случаях, если известны модули начальной и конечной скоростей на участке. (Аналогичная ошибка может быть допущена и при использовании формулы (1.15).)
Попробуем применить формулу (1.14) к решению следующей задачи: точка начинает двигаться по прямой (v0= =0), за 50 секунд перемещается на 250 метров и, достигнув конечного пункта, останавливается (vt—0y, найти среднюю скорость движения точки.
По формуле (1.14) получается, что vcp=0, но это явно противоречит условию. Точка двигалась, а результат vcp=0 соответствует случаю покоя.
Если воспользоваться формулой (1.7), которая в данном случае справедлива, так как путь точки равен модулю ее
перемещения, получится совсем иной ответ: AS 250 м гл, иср ~"аГ ~ЗоТ~ $’$ М/Се
Почему же первый вариант решения приводит к ошибке?
Дело в том, что универсальным уравнением для определения средней скорости является выражение (1.4) (или эквивалентная ему система (1.5)). Ведь otto и появилось в кинематике как уравнение, определяющее, вводящее среднюю скорость. Для того чтобы можно было воспользоваться формулой (1.14), движение на участке должно происходить не только в одном направлении (без изменения направления вектора скорости), но и быть только равноускоренным или только равнозамедленным на всем участке. Рассмотренная задача этому последнему условию не удовлетворяет. Точка начала двигаться из состояния покоя, значит, какое- то время она двигалась ускоренно. В дальнейшем она могла двигаться как угодно — продолжать двигаться ускоренно или равномерно, но перед остановкой в конечном пункте ее движение непременно должно было быть замедленным. Для такого движения, когда происходит изменение направления вектора ускорения, формулу (1.14) применять нельзя.
Основываться на уравнении (1.4) нужно и при решении задач, подобных следующей.
Задача. Автомобиль в течение 50 секунд (А/]=50 с) двигался со скоростью 10 м/с, следующие 30 секунд (А/2=30 с) — со скоростью 15 м/с и затем 120 секунд (А/3=120 с) — со скоростью 11 м/с. На всех этапах движение происходило в одну и ту же сторону по прямой. Определить среднюю скорость автомобиля за время движения на всех этапах.
Часто дают ответ для такой задачи в виде ~ ^+^2 + ^310 м/с +15 м/с-[-11 м/с
уср —2™3" 12 м/с,
т. е. находят среднюю скорость как среднее арифметическое заданных скоростей, а это в данном случае неверно.
Средняя скорость за все время движения должна определяться отношением суммарного перемещения к промежутку времени, затраченному на все движение в целом. Выбрав координатную ось ОХ совпадающей с направлением движения, можем написать
Уср—(^ср)х — д7 ’
где А/=А/1+А/2+А/3, а Ах— суммарное перемещение вдоль оси ОХ, равное сумме Axx+Ax2+Ax3 перемещений на каждом этапе. Так как движение на каждом этапе считается равномерным (это прямо не сформулировано, но подразумевается), то Ах1=у1Л А/1=у1А/1, Ах2=у2^ А/2= 46
=v2A/2 и Ах3=у3л А^3=и3А/3. Окончательно
УгА^+УгА^г + УзА^зСР А+ + А/2 + Д^зУгА^+УгА^г + УзА^зСР А+ + А/2 + Д^з10.50 + 15; 30+у-120 ^б^^о+ТЗг-10.50 + 15; 30+у-120 ^б^^о+ТЗг-И м/с.И м/с.
УгА^+УгА^г + УзА^з
СР А+ + А/2 + Д^з
УгА^+УгА^г + УзА^з
СР А+ + А/2 + Д^з
10.50 + 15; 30+у-120 ^б^^о+ТЗг-
10.50 + 15; 30+у-120 ^б^^о+ТЗг-
И м/с.
И м/с.
Анализируя последнее выражение, замечаем, что трлько при условии равенства промежутков врёмени движения на р^ДеЛьйых этапам (А/1=Д/а=А^) для подсчета средней скорости будет справедлива фор< мула
Движение материальной точки по окружности. При описании движения точки по окружности можно, конечно* воспользоваться всеми теми кинематическими характера*
стиками, которые вводятся для описания движения материальной точки по произвольной траектории (радиус-вектор, вектор перемещения и т. д.). Но поскольку этот вид движения характеризуется периодической повторяемостью значений величин, описывающих движение, некоторые из характеристик движения точки оказываются неудобными: например, за один полный оборот точки по окружности век
тор перемещения и вектор средней
скорости равны нулю. В связи с этим вводят некоторые
новые кинематические характеристики.
Положение точки на траектории — окружности зада
ется не только радиус-вектором, но и углом ф между координатной осью и радиус-вектором (рис. 1.11). Иногда этот угол называют угловой координатой точки. Изменении) положения точки на траектории, например, при переходе из положения 1 в положение 2, соответствует изменение Аф этого угла, которое называют углом поворота. Ясно, что угол поворота является пространственной характеристикой движения, аналогичной перемещению (или пути) точки по произвольной траектории.
Аналогия усматривается и при введении других кине
матических характеристик движения по окружности:
(1.21)(1.21)средняя угловая скорость соср = —2» f; с j, (1.20)
(1.21)
(1.21)
мгновенная угловая скорость <d= Нш а/ -> о
среднее угловое ускорение eC9 = -^\J^\ c~*j,(1.22)
мгновенное угловое ускорение s= Нш ^-.(1.23)
Нужно подчеркнуть, что в строгом смысле угол поворота, средняя и мгновенная угловые скорости, среднее и мгновенное угловые ускорения являются величинами векторными, но в элементарном курсе физики ограничиваются лишь оценкой их модулей (см. стр. 67—69).
Учитывая периодичность этого вида движения, вводят также величины:
период обращения Т — продолжительность одного полного оборота по окружности;
частота обращения v (или п) — число оборотов в единицу времени (или величина, обратная периоду обращения, v=l/73;
круговая (или циклическая) частота о — число оборотов за промежуток в 2л единиц времени (to=2nv=2n/7).
Можно показать, что между модулями вектора мгновенной скорости точки и и угловой скорости <0 существует простая связь:
o = mR,(1.24)
где R — радиус окружности, по которой движется точка.
Колебательное движение материальной точки. Еще одной разновидностью движений материальной точки, рассматриваемой в элементарном курсе физики, является движение с периодически изменяющимися скоростями, ускорениями и другими характеристиками — колебательное движение (или колебание).
Примером колебательного движения может служить движение грузика, прикрепленного к концу подвешенной витой пружины (так называемый пружинный маятник). Если, например, рукой сместить грузик из положения равновесия вниз и отпустить, то он будет совершать периодическое, колебательное движение по вертикальной прямой (рис. 1.12, а). Колебательное движение совершает маленький шарик, подвешенный на нити (рис. 1.12, б). Такую систему иногда называют нитяным маятником. Отклоненный из положения равновесия какой-то внешней причиной (например, мы рукой толкнули шарик вправо) и предоставленный самому себе, такой маятник совершает колебательное движение, при котором шарик перемещается по дуге 48
окружности. Еще одним примером такого рода колебательных движений является движение физического маятника — любого тела, имеющего точку подвеса или ось вращения, лежащую выше центра тяжести (рис. 1.12, в) (более подробно о центре тяжести мы напомним читателю в § 3).
б)
Рис. 1.12.
Часто рассматривают упрощенную модель нитяного маятника — так называемый математический маятник (тело пренебрежимо малых размеров по сравнению с длиной нити), который при малых по сравнению с длиной нити смещениях от положения равновесия совершает гармонические колебания.
Колебания называются гармоническими в том случае, когда смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.
Уравнения, связывающие кинематические характеристики гармонического колебательного движения, можно получить, если рассмотреть движение проекции точки, равномерно обращающейся по окружности, на координатную ось, проходящую через центр окружности. Пусть, например, точка равномерно движется по окружности радиуса Л в плоскости XOY (рис. 1.13, а) с постоянной угловой скоростью со. При переходе точки из положения В в положение С ее проекция на ось ОХ перемещается на расстояние Ах, которое, как видно, связано с углом поворота Аф радиус-вектора и его модулем А простым соотношением:
Ах=Л sin Аф.
Если рассматриваемое перемещение происходит в течение промежутка времени Af, то Аф=соА^ и
Ах=Л sin (со АО»(1.25)
Аналогично может быть получено уравнение для смещения точки вдоль оси 0Y..
Уравнение (1.25) получено в предположении, что моменту начала отсчета промежутка времени А/ соответствовала угловая координата движущейся точки, равная нулю. В общем случае, когда в начальный момент времени начальная угловая координата точки -равна <р0, уравнение для смещения вдоль оси ОХ записывают в виде
Ах—Asin (со АН-<Ро). (1.26)
Оказывается, что это уравнение описывает смещение какой-то точки любой системы, совершающей гармонические колебания вдоль координатной оси ОХ; Например, оно позволяет определить пе-, ремещение грузика нитяного маятника, совершающего ко-1 лебания в плоскости XOZ от положения равновесия О до положений Е и D, грузика горизонтального пружинного маяТника, колеблющегося вдоль линии ED (рис. 1.13, а), и т. д. Кроме того, такое же по форме уравнение описывает не только изменение координат точки при гармоническом колебании, но и изменения других «колеблющихся», изменяющихся по гармоническому закону > физических величин.
В уравнении (1.26) величина Л называется амплитудой смешения (или амплитудным значением смеи^ения). Она равна модулю наибольшего смещения точки от положения равновесия вдоль данной координатной оси. Величина (со А/+ф0) носит название фазы колебания и позволяет при заданной амплитуде определить в любой момент времени модуль и знак смещения колеблющейся точки, а также характер дальнейшего изменения смещения. Величина ср0 — так называемая начальная фаза колебания — выражает 50
связь смещения точки с амплитудой в начальный момент времени, когда А/=6.,
Вернемся к рис.х 1.13 и получим выражения для скорости и ускорения точки, совершающей гармоническое колебательное движение вдоль оси ОХ. Из рис. 1.13,6 видно, что yx=ycosАф. Так как Аф—соА^ и у=соД, то
ox—toA cos (о) А/)
или в общем случае
юА cos (со А/+фо),(1.27)
где toA определяет амплитудное значение скорости.
На основании рис. 1.13, в легко установить, что ах= =—a sin Аф, но поскольку а=-оЧА — а^А и Аф=соА/, то яж=—сйМ sin (со AZ) или в более общем виде
ах——о)2Д sin (со А/+фо),(1.28)
где сйМ — амплитуда ускорения.
Сравнивая уравнения (1.28) и (1.26), замечаем, что
ах=—сй^Ах,(1.29)
т. е. проекция вектора ускорения на ось ОХ пропорциональна смещению точки от положения равновесия вдоль этой оси, а вектор ускорения направлен к положению равновесия (знак минус как раз и свидетельствует о том, что вектор ускорения направлен противоположно смещению точки от положения равновесия). Иногда эти. факты используют в качестве признака, определяющего гармоническое колебательное движение точки.
Поскольку гармоническое колебательное движение — это движение периодическое, для его описания, так же как и в случае движения точки по окружности, вводят дополнительные кинематические характеристики. Наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих данное колебание, называется периодом колебаний (7), а величина, обратная периоду (или, что то же самое, число колебаний в единицу времени),— частотой колебаний (v). Величина ю, входящая в уравнения (1.25) — (1.29), носит название циклической частоты колебаний; она связана с частотой колебаний v простым соотношением:
(o=2лve
Графики зависимости между кинематическимивеличинами для прямолинейного движения
Как известно из математики, функциональная связь двух или нескольких величин может быть представлена тремя способами: аналитически (т. е. с помощью уравнений), с помощью таблиц и графически.
Желанной целью большинства научных исследований в области естествознания является получение уравнений связи между величинами, описывающими тот или иной факт или явление. Часто решение такой задачи затруднено из-за того, что интересующая величина является сложной функцией многих аргументов, и подготовительным шагом на пути составления уравнений является получение графиков зависимостей между величинами. Вспомним осциллограммы, получаемые с помощью электронного или шлейфового осциллографов. Ведь это не что иное, как графики зависимостей одних величин от других. Например, преобразуя при помощи специального устройства давление в электрический сигнал, посылаемый на вертикально отклоняющие пластины осциллографа, можно получить график изменения давления пороховых газов в пушечном стволе с течением времени, несмотря на то, что продолжительность выстрела занимает малые доли секунды.
Во многих случаях графический способ является единственным для выражения связи между величинами из-за сложного характера их зависимостей, он всегда достаточно нагляден, и в этом его немаловажное значение.
В кинематике часто приходится иметь дело с графиками зависимости скорости или перемещения от времени движения. Если ограничиться рассмотрением равномерных и равнопеременных прямолинейных движений материальной точки вдоль координатной оси ОХ, то можно представить девять различных типов графиков скорости, которые изображены на рис. 1.14. Все эти графики построены в согласии с первым уравнением системы (1.13').
Можно заметить, что при одинаковых масштабах по соответствующим осям график а является суммой графиков биг, график в — суммой графиков б и е, график ж — суммой графиков г и з и, наконец, график и может быть получен в результате сложения ординат, соответствующих одним и тем же моментам времени на графиках е и з.
Следует обратить внимание на графики в и ж, которые относятся к случаям движения с изменением направления 52
вектора скорости. В случае в движение сначала совершается в положительном направлении оси ОХ и на этом этапе является замедленным. Через промежуток времени AZn вектор скорости изменяет направление на противоположное и точка движется ускоренно в отрицательном направлении оси ОХ.
В случае ж точка сначала движется замедленно в отрицательном направлении реи ОХ (вектор v скорости движения направлен в сторону отрицательного направления
Рис. 1.14.
координатной оси, а вектор ускорения а — в сторону положительного направления). Через промежуток времени А£п точка меняет направление и характер движения — она ускоренно движется в положительном направлении оси ОХ.
Заметна и еще одна закономерность. Если начальные скорости движения Vox (когда они не равны нулю) во всех случаях одинаковы (случаи а, б, в, ж, з, и) и одинаковы модули ускорений во всех случаях равнопеременных движений (случаи а, г, ж, в, е, и\ то переход от первого графика к последующим в пределах каждого столбца на рис. Ы4 связан с параллельным переносом графика вниз на расстояние, численно равное модулю начальной скорости vOx.
Графики скорости дают наглядные представления о поведении скорости с течением времени, но по ним можно
судить и о перемещении точки за какой-то промежуток времени, и о пути, и об ускорении.
Часто говорят, что перемещение за промежуток времени Ы численно равн^ площади, ограниченной графиком скорости, осью времени и ординатами, соответствующими начальному и конечному моментам времени движения на рассматриваемом участке, а ускорение численно равно тангенсу угла наклона графика скорости к оси абсцисс. Хорошо, если не забывают добавить, что ординаты при этом
должны численно равняться скорости движения, а абсциссы — численно равняться соответствующим промежуткам времени движения. Необходимость таких громоздких оговорок вызывается тем, что в графических решениях подобного рода используется не равенство, а соответствие математических величин (площади и тангенса угла наклона) некоторым физическим величинам (перемещению и ускорению).
Попробуем разобраться в этом вопросе на примерах простейших графиков равномерного движения (рис. 1.15) и равноускоренного движения без начальной скорости вдоль координатной оси ОХ (рис. 1.16). Пусть точки, отмеченные цифрами, соответствуют сантиметровым делениям на осях абсцисс и ординат. Площадь заштрихованного прямоугольника на рис. 1.15, очевидно, равна произведению отрезков /у и lt, т. е. Цг=4 см-5 см=20 см2. Но означает ли это, что перемещение точки вдоль оси ОХ равно 20 см, 20 м или 20 км? Ясно, что результат зависит от того, какие масштабы выбраны при построении графика скорости. Если, например, каждому сантиметру длины оси ординат соответствует скорость 5 м/с (иными словами, мы
выбрали для оси ординат масштаб ^“^^У а каждому сантиметровому отрезку оси абсцисс соответствует интервал времени в 3 секунды (масштаб для этой оси р^ ”8^), то речь идет о нахождении перемещения точки вдоль оси ОХ за промежуток времени в 15 секунд при движении с постоянной скоростью, модуль которой равен 20 м/с. Понятно, что искомое перемещение равно 300 метрам и по графику скорости может быть получено таким только при учете масштабов pv и pt:
^ = W М = (4 см-5^) (5 см-3^) = 300 м.
Точно так же следует поступать и в том случае, когда мы находим значение проекции вектора ускорения на координатную ось по графику скорости движения точки вдоль той же координатной оси. На рис. 1.16 значение тангенса угла наклона графика скорости к оси абсцисс равно единице (например, tga= =-| = 1),;но если ^=8^, а ^ = 2^ , то модуль ускорения равен
а = аха = ах1у руUv-t1у руUv-ta QM/C 6 см-8 — см6 см • 2 — смa QM/C 6 см-8 — см6 см • 2 — см= 4 м/с2,= 4 м/с2,
а = ах
а = ах
1у руUv-t
1у руUv-t
a QM/C 6 см-8 — см
6 см • 2 — см
a QM/C 6 см-8 — см
6 см • 2 — см
= 4 м/с2,
= 4 м/с2,
т. е. и здесь нужно учитывать масштабы по осям графика скорости.
Вернемся к анализу различных типов прямолинейного движения материальной точки вдоль координатной оси ОХ, графики скоростей которых представлены на рис. 1.14.
Для случаев а, б и г площади заштрихованных фигур (с учетом масштабов ру и р*) позволяют найти перемещения Ах точки вдоль оси ОХ за промежутки времени М. Эти перемещения положительны, т. Q. точка перемещается из начального положения вдоль положительного направления оси ОХ. Поэтому и значения заштрихованных площадей (лежащих выше осей абсцисс) принято считать положительными (это следует и из того, что в пределах этих площадей все ординаты положительны). Пути, пройденные точкой за промежутки времени А/, определяются теми же заштрихованными площадями,
В случае д точка вдоль оси ОХ не движется (Ах=0 и Зж=0).
В случаях е, з, и модули перемещений Ах и пути определяются также площадями заштрихованных фигур. Поскольку во всех трех случаях Дх<0, заштрихованные площади (лежащие под осями абсцисс) при определении перемещений считаются отрицательными (им соответствуют ординаты/о<0), а при определении путей — положительными.
Аналогично следует поступать и при анализе более
сложных случаев, когда направление движения за рассматриваемый промежуток времени изменяется. На рис. 1.17
представлен график скоростипредставлен график скоростиодного из видов такого движения (он соответствует случаю в на .рис. 1.14). Если нас интересует перемещение Ах движущейся точки вдоль оси ОХ за промежуток времени М, то нужно взять алгебраическую сумму площадей заштрихованных треугольников, причем площадь тре
представлен график скорости
представлен график скорости
угольника, лежащего под осью абсцисс, следует брать со знаком минус. С учетом масштабов pD и р, ответ для рассматриваемого случая получится отрицательным (Ах<0). Это означает, что по истечении промежутка М от начального момента времени
точка окажется левее своего первоначального положения на оси ОХ (если положительным считалось направление оси ОХ вправо).
Для определения пути, пройденного точкой за промежуток времени М, площади тех же заштрихованных треугольников нужно суммировать арифметически (путь не может быть величиной отрицательной!).
Для обоих этапов рассматриваемого движения проекция ах вектора ускорения на ось ОХ оказывается отрицательной: ускорению на первом этапе, до изменения направления движения (за промежуток времени Ау, соответствует тангенс угла аъ а ускорению на втором этапе — тангенс угла а2, причем tg at<0 и tg а2<0, т. е. вектор ускорения в течение всего времени движения был ориентирован в сторону отрицательного направления оси ОХ.
Подобный анализ можно провести и в случае равнопеременного движения, которому на рис. 1-.14 соответствует
график ж. В зависимости от конкретных значений цОх, аж и М суммарное перемещение Ах вдоль оси ОХ может оказаться как положительным, так и отрицательным.
По графику скорости произвольного переменного движения можно найти среднюю скорость для заданного интервала времени. Если, например, на рис. 1.18 в определенных масштабах ро и щ представлен график скорости автомобиля, о котором шла речь в задаче на стр. 46—47, то
средняя скорость такого движения равна высоте прямоугольника ОАВС, равновеликого
фигуре ODLMNSFC под ^р
графиком скорости.
Различные типы графиков перемещений точки, движущейся вдоль оси ОХ, представлены на рис. 1.19. Все эти графики построены на основании первого уравнения системы (1.18) в предположении, что в начальный момент времени начальная координата х0 равна нулю. Сравнительный анализ всех девяти
А
D
В
О
-а
Рис. 1.18.
*t
М N
графиков мы предлагаем провести читателям самостоятельно. Обратите внимание, что
графики в и ж относятся к равнопеременным движениям с изменением направления скорости. Точки 1 на этих графиках как раз соответствуют моментам изменения направления движения, а точки 2 — моментам возврата движущейся материальной точки к начальному положению.
По графику перемещения точки вдоль данной координатной оси (например, ОХ) можно судить о скорости движения точки вдоль этой оси. Масштабы |лх и pf по осям графика перемещения при этом, конечно, должны быть заданы. Рис. 1.20 иллюстрирует определение скорости по графикам перемещения при равномерном движении. В случае a
т. е. скорости движения соответствует тангенс угла а. - В случае б способ определения скорости тот же:
^Л2
^хаР-х 4^1 ’
но теперь ух2<0, так как Zx2<0 (график описывает равномерное движение вдоль отрицательного направления оси ОХ). Скорости движения ух2 соответствует тангенс угла р.
Можно определить скорость по графику перемещения и в случае равнопеременного прямолинейного движения. Для этого через точку, соответствующую тому, моменту времени, для которого определяется скорость, проводят
а)'Я
Рис. 1.20.
касательную к графику перемещения. Можно доказать, что тангенс угла между осью абсцисс и касательной к графику перемещения (угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки) и в этом случае соответствует искомой скорости.
На рис. 1.21 приведены характерные примеры определения скорости равнопеременных прямолинейных движений материальной точки вдоль координатной оси ОХ. В момент времени ti (рис. 1.21, а) скорость движения точки вдоль оси ОХ равна
^xiPx
*1 ~ ltdH ’
ей соответствует тангенс угла а. В момент времени t2 (рис. 1.21, б) проекция скорости уж2 отрицательна, так как
^хаРх
и ^з<0 (этой скорости соответствует tgp). Точно так же могут быть найдены скорости для моментов времени t3 и <4 (рис. 1.21,в и г):
^хзРххз~ I*
(ясно, что ух3>0 и ей соответствует tg у), „ ^х«Рх
(этой скорости соответствует tgS; ух4<0, так как ^4*^0) •
Обратим внимание на некоторые особенности графического определения скоростей для случаев д и е* В момент времени t5 проекция скорости v^g отрицательна. Поскольку отрезки /х5 и 1и на осях графика положительны, следует написать
Появление знака минус в этом выражении связано с тем, что скорости их5 соответствует тангенс угла е, а отношение lxJlt3 определяет тангенс угла et, дополняющего угол е до 180°. Аналогично, знак минус должен быть введен в выражение для скорости vx3 в момент времени /6:
£хвРх
так как здесь 1хв<0, lt3>0, но должно быть ух6>-0 (этой скорости соответствует tg£, а отношение 1ХЗЩ3 определяет тангенс угла £1).
Следует помнить, что горизонтальный участок графика перемещения соответствует состоянию покоя, отсутствию движения вдоль данной координатной оси, а точка пересечения графиков перемещения двух (или нескольких) тел— моменту их встречи или моменту, когда одно тело догнало другое (в случае, если тела двигались друг за другом в одном направлении). Кроме того, график перемещения нельзя отождествлять с траекторией движения.
Для примера попытаемся охарактеризовать движения нескольких тел, которые можно «принять за материальные точки.
На рис. 1.22 графики перемещений этих тел вдоль осн ОХ пронумерованы арабскими цифрами.
Тела 1 и 2 начали двигаться из одного и того же пункта О, но имеют разные скорости: y2x>^ix- Тело 3 в начальный момент времени находилось на расстоянии Дхх от пункта О, далее оно двигалось с такой же скоростью, что и тело 1 (рзх=915с). Пройдя расстояние Дх2 за промежуток времени Д/ъ тело 3 остановилось. К месту остановки тела 3 тело 1 прибыло через промежуток времени Д<2.
Движения 4 и 5 начались из разных пунктов, расположенных на расстоянии Дх4. Скорости движений неодинаковы (v5X>y4x). Через промежуток времени Д£3 тело 5 догнало тело 4 (в этот момент оба тела находятся на одном и том же расстоянии Дх5 от пункта О). Тело б в начальный момент времени находилось на расстоянии Дх7 от тела 5, далее тела двигались навстречу друг другу и через М4 встретились в точке, расположенной на расстоянии Дх6 от пункта О.
Движения 7 и 8 характеризуются разными скоростями (у8х>^х), оба тела выходят из пункта О, но движение 8
начинается на Д/6 позже, чем движение 7. Через промежуток времени Д/6 от начала движения тела 7 оно догнало тело 8 (оба тела в этот момент находятся на расстоянии Дх8 от начального пункта О).
Перемещение и скорость в различных системах отсчета. Принцип независимости движений
Мы уже говорили, что форма траектории точки зависит от того, в какой системе отсчета рассматривается движение. Перемещение щ скорость точки также оказываются зависимыми от выбора системы отсчета.
Большой практический и принципиальный интерес представляет анализ какого-то конкретного движения
в двух системах отсчета, одна из которых считается неподвижной, а другая движется относительно первой равномерно и прямолинейно. Обе такие системы являются инерциальными (см. § 2).
Рассмотрим простой пример: поезд движется прямолинейно и равномерно (со скоростью u=const), пассажир равномерно перемещается поперек вагона из положений'/ в ИбИожение 2 в течение времени Д/ (рис. 1.23). Требуется получить связь перемещений и скоростей пассажира в двух системах отсчета: неподвижной системе отсчета, связанной с Землей (ей соответствует система координатных осей XYZ), й подвижной системе, связанной с вагоном (на рис. 1.23 система координатных осей X'Y'Z' соответствует положению вагона в начальный момент, а система X"Y”Z"—положению вагона через время Д/). Только ради упрощения построений и расчета предположим, что вагон движется вдоль оси ОХ. Смысл остальных обозначений понятен из рисунка.
Нетрудно прийти к заключению, что вектор перемещения Аг пассажира в неподвижной системе отсчета связан с вектором перемещения Аг' в подвижной системе и перемещением AR самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной простым соотношением:
Ar-Ar' + AR,(1.30)
которое иногда называют законом сложения перемещений при переходе от одной системы отсчета к другой. Этот закон подтверждает различие перемещений одного и того же тела в различных системах отсчета и требует учета движения одной системы отсчета относительно другой.
Разделив почленно выражение (1.30) на промежуток времени, в течение которого происходили рассматриваемые движения, можно было бы получить связь между их скоростями. Но нужно иметь в виду, что такой пересчет связан с одной тонкостью. При переходе к соотношению между скоростями следовало бы написать
где А/ — продолжительность какого-то события (в нашем примере — продолжительность перехода пассажира из положения 1 в положение 2), измеренная в неподвижной системе отсчета, a АГ— продолжительность того же события, измеренная в движущейся системе отсчета.
В специальной теории относительности доказывается, что в общем случае M^=\f, т. е. продолжительности одного и того же события, измеренные по часам в неподвижной и в подвижной системах отсчета, оказываются неодинаковыми. Это связано с тем, что протекание периодических процессов в любых устройствах, используемых для измерения временных промежутков, зависит от скорости движения этих устройств вместе с системой отсчета. Различия между М и АГ становятся ощутимыми при скоростях, близких к скорости света в вакууме.
' Значит, только для движений, скорости которых много меньше скорости света в вакууме, вместо уравнения (1.31) 'можно написать А А , АП
Аг Ar . AR
откуда вытекает связь между средними за промежуток времени А/ скоростями:
VCp = V^p + Ucp.
Для равномерных и прямолинейных движений, которые мы. договорились рассматривать, справедливы равенства v=' =vcp, v'=Vcp и u=ucp, т. е. уравнение связи для мгновенных скоростей можно представить в виде
v=v'+u. (1.32)
В этом уравнении v — скорость тела (пассажира) в неподвижной системе отсчета, v' — скорость того же тела в подвижной системе, и — скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной.
Уравнение (1.32) выражает так называемый классический закон сложения скоростей при переходе от одной системы отсчета к другой в случае движений с малыми (по сравнению со скоростью света в вакууме) скоростями. Оно оказывается справедливым и вне тех упрощающих условий, о которых мы договорились выше (относительно направлений движений вагона и пассажира).
В общем случае вместо уравнения (1.32) может быть записана система скалярных уравнений для проекций на оси координат
ох = ох^их, оу = о'и-\-иу, vx^vz + ux, (1.33) которая для приведенного выше примера* упрощается:
+ Vu = Vu, yz = yz = 0,
так как рассматривались движения, происходящие в плоскости XOY, и подвижная система отсчета перемещалась вдоль оси ОХ (иу=0, иг=0\
Для движений со скоростями, близкими к скорости света в вакууме, в специальной теории относительности выводится иной, так называемый релятивистский закон сложения скоростей. Если (в принятых выше обозначениях) все три вектора v, v' и и направлены вдоль одной прямой (например, вдоль положительного направления оси ОХ), то связь проекций ух, х)х и их описывается выражением
i i
С2
где с — скорость света в вакууме. Видно, что это уравнение превращается в первое уравнение системы (1.33) при у'^с и их<^с.
64
Уравнение (1.34) согласуется с важнейшим принципом специальной теории относительности о предельном характере скорости света в вакууме. Ни при каких условиях скорость ух не получается большей, чем скорость с! Даже равенство уж=с может быть получено лишь в трех предельных случаях: если их=с, но ох<.с; если ух—с, но иж<с и, наконец, если их=ох=с. Таким образом, в природе не существует систем отсчета, в которых тела (или материальные точки) двигались бы со скоростями, превосходящими скорость света в вакууме.
Тот факт, что движения данного тела относительно различных тел отсчета (или систем отсчета) не зависят друг от
ГаГаРис.Рис.1.24.1.24.
Га
Га
Рис.
Рис.
1.24.
1.24.
друга, является выражением принципа независимости движений. В приведенном выше примере перемещение пассажира Аг' между точками / и 2 не зависит от того, движется вагон относительно Земли или покоится. Точно так же перемещение пассажира вместе с вагоном вдоль оси ОХ не зависит от его перехода между положениями / и 2.
Можно считать, что при тех же оговорках, при которых справедлив классический закон сложения скоростей (1.32), закон сложения перемещений (1.30) является следствием принципа независимости движений.
Этот принцип фактически используют при проециро- нии вектора перемещения какого-то движущегося тела на координатные оси. Например, при движении в плоскости XOY вектор перемещения Аг заменяют независимыми перемещениями Дгж и Агу вдоль соответствующих координатных осей (рис. 1.24, а). Физический смысл такой замены связан с тем, что в данном случае, по сути дела, пользуются двумя системами отсчета (рис. 1.24, б): в подвижной системе
65658 Ю. А, Селезне®
65
65
отсчета* X'O'Y' тело движется только по вертикали и за какой-то промежуток времени М смещается вдоль оси O'Y' на Агу, но в течение того же промежутка времени подвижная система смещается на Аг^ вдоль оси ОХ неподвижной системы отсчета XOY и оказывается в положении XйО"Y". При этом оба движения считаются независимыми: движение тела относительно подвижной системы отсчета никак не влияет на ее движение относительно неподвижной системы, а характер движения тела относительно системы X'O’Y' не зависит от ее движения по отношению к системе XOY.
Кинематика движения абсолютно твердого тела
Такие кинематические характеристики, как траектория, вектор перемещения, путь, средняя и мгновенная скорости, среднее и мгновенное ускорения, могут быть использованы для описания самых произвольных механических движений материальной точки. Этих же характеристик вполне достаточно и для описания поступательного движения абсолютно твердого тела конечных размеров. В этом случае движение происходит таким образом, что любая прямая, соединяющая две произвольно выбранные точки тела, остается параллельной самой себе (поступательно движется выдвигаемый ящик письменного стола, ступени эскалатора метро на том участке, где мы их видим, и т. п.). При поступательном движении кинематические параметры (Ar, AS, v, а и др.) одной точки тела будут полностью характеризовать его движение в целом, так как у любой другой точки они будут точно такими же.
Подчеркнем, что условием поступательности движения абсолютно твердого тела является требование того, чтобы любая произвольно проведенная в теле прямая перемещалась параллельно самой себе. Например, движение автомобиля по выпуклому мосту нельзя считать поступательным, так как ось задних колес автомобиля или другие параллельные ей линии действительно перемещаются параллельно, но любые иные линии движутся не параллельно.
Еще одной важной разновидностью движения абсолютно твердых тел является вращательное движение (или вращение). При вращательном характере движения точки тела описывают окружности. Центры всех окружностей лежат на одной прямой линии, называемой осью вращения, а плоскости окружностей параллельны одна другой. Ось вра- 66
щения может проходить внутри или вне тела, может быть неподвижной или подвижной.
В случаях, когда рассматривается вращательное движе- z ние тела относительно неподвижной оси вращения, эта ось связывается с каким-то телом отсчета, т. е. ось вращения является элементом неподвижной системы отсчета. Иногда в таких случаях говорят, что неподвижная система отсчета связана с осью вращения.
В более сложных задачах, когда приходится учитывать движение в пространстве самой оси вращения, бывает удобно использовать не одну, а две системы отсчета (или даже большее их число). Например, так поступают при описании движения одной из точек боковой поверхности цилиндра, скатывающегоря с доски, наклонно расположенной на лабораторном столе. В системе отсчета, связанной со столом, точка движется по весьма замысловатой траектории (по циклоиде), и рассчитать кинематические параметры движения в этой системе не так-то просто.
В согласии с принципом независимости движений скатывание цилиндра можно представить как совокупность двух движений, происходящих одновременно: цилиндр вращается вокруг оси, совпадающей с его геометрической осью, а ось вращения поступательно движется параллельно наклонной доске. Такое расчленение движения цилиндра фактически основывается на введении двух систем отсчета и учете их относительного движения: одна система отсчета (подвижная) связывается с осью вращения, другая (неподвижная) — с наклонной доской или столом.
Для кинематического описания вращательного движения вводят те же величины, что и для описания движения точки по окружности. Мы уже отмечали аналогии между кинематическими характеристиками произвольного движения материальной точки (или поступательного движения абсолютно твердого тела) и характеристиками движения точки по окружности. Аналогия распространяется и на уравнения связи кинематических величин. Так, если рассматривается вращение тела с постоянным по модулю угловым ускорением, то 8=ecp=const. Изменение угловой скорости за промежуток времени А/ при этом будет равно
или
Асо = ±е А#,
0)|—О)о = ±е А/,
(1.35)
(1.36)
67
если toe — угловая скорость в начальный момент времени, a mt — угловая скорость через промежуток времени А/. Таким образом, мгновенная угловая скорость в любой момент времени, отделенный от начального момента промежутком А/, может быть выражена через начальную угловую скорость to» и угловое ускорение е:
(1-37)(1-37)toz=too±e АЛ
(1-37)
(1-37)
Видно, что уравнения (1.35) — (1.37) аналогичны уравнениям (1.11)— (1.13).
Кинематические уравнения равнопеременного вращательного движения можно получить тем же способом, что и
аналогичные им уравнения (1.16) и (1.17):
ДФ = ±(ооД/±^,. (1.38)
Ф = ±Ф0±®0А/±^-2. (1.39)
Обратим внимание на знаки в правых частях уравнений (1.35) — (1.39) и договоримся о правилах их расстановки.
Предположим, что мы смотрим на вращающееся тело вдоль его оси вращения. Пусть, например, тело вращается вокруг оси 0Z. На рис. 1.25 представлено сечение тела плоскостью рисунка; Гк — радиус-вектор произвольной точки К этого сечения в начальный момент времени, О — ,точка пересечения оси вращения с плоскостью рисунка. Понятно, что знак начальной угловой координаты <р0 (так же как и ее модуль) выбирается произвольно. Будем считать угловые координаты положительными, если они отсчитываются от положительного направления оси ОХ против часовой стрелки. Подобную же договоренность примем и для углов поворота (если тело вращается против часовой стрелки, угол поворота положителен, при вращении тела по часовой стрелке угол поворота отрицателен). Начальная угловая скорость to0 берется со знаком плюс, если в начальный момент времени тело вращается против часовой стрелки, и со знаком минус, если в начальный момент времени вращение происходит по часовой стрелке. Наконец, если угловая скорость вращения тела против часовой стрелки возрастает (или уменьшается угловая скорость враще-
ния по часовой стрелке), то угловое ускорение е подставляется со знаком плюс. Знак минус перед е ставится в том случае, если уменьшается угловая скорость вращения против часовой стрелки (или увеличивается угловая скорость вращения по часовой стрелке).
После прочтения этих строк утомленный читатель вправе спросить: да заслуживают ли такого внимания все эти плюсы и минусы? И если уж они так важны, то нельзя ли обойтись без таких громоздких правил? ,
На оба вопроса можно дать положительные ответы.
Учет знаков в кинематических уравнениях для вращательного движения помогает рассчитывать более общие случаи движений, например такие, когда направление вращения в процессе движения изменяется.
Путь ухода от громоздких словесных правил известен. Но он связан с векторной записью уравнений (1.20) — (1.23) и (1.35) — (1.38), при которой не только угловая скорость и угловое ускорение, но и угол поворота должны считаться векторньГми величинами. Такие представления пока выходят за рамки программы элементарного курса физики, а приведенные правила знаков хотя и громоздки, но по существу просты и обладают преимуществом наглядности.
Не забудем отметить, что уравнения (1.35) — (1.39) позволяют решать кинематические задачи о равнопеременном движении точки по окружности.
Заключительные замечания -
Несмотря на обилие и разнообразие кинематических задач, с которыми приходится иметь дело на практике, следует иметь в виду, что при кинематическом описании любых движений привлекается сравнительно небольшое число физических величин (перемещение, путь или угол поворота, средние и мгновенные скорости и ускорения) и уравнений связи между ними.
Из приведенных в этом параграфе соотношений уравнения (1.4), (1.6) — (1.9), (1.20)z—(1.23) являются наиболее общими или основными, так как по ним вводятся важнейшие кинематические характеристики движения. Некоторые из остальных уравнений являются либо следствиями из первых, ,либо вспомогательными соотношениями. Лишь уравнения (1.32) и (1.34) имеют силу физических законов, действующих при соответствующих условиях.
Общность кинематического подхода к любым механическим движениям состоит в том, что довольно часто при описании движения можно не интересоваться, какое именно тело движется — шарик, самолет, атом или планета. Движение любого тела описывается с .одних и тех же позиций.
В определении положения движущейся точки или тела в любой момент времени по известному начальному положению, начальной скорости и ускорению заключается так называемая основная задача кинематики. Решить такую задачу для всех рассмотренных выше типов движений позволяют уравнения (1.19), (1.39) и (1.26).
Система уравнений (1.19) решает основную задачу кинематики для случаев прямолинейного (равномерного или равнопеременного) движения материальной точки и прямолинейного (равномерного или равнопеременного) поступательного движения абсолютно твердого тела.
Уравнение (1.39) служит решению основной задачи кинематики при равномерном или равнопеременном движении точки по окружности, а также при равномерном или равнопеременном вращательном движении абсолютно твердого тела. '
Уравнение (1.26) позволяет найти для любого момента времени смещение точки от начального положения при гармоническом колебательном движении, если известны амплитуда смещения Л, начальная фаза ф0 и циклическая частота со (или частота v, или период 7) колебаний.
В кинематике решается, конечно, не только эта основная задача. В ней рассматривается решение многих других вопросов: определение ускорения движения тела по перемещению (задача, обратная основной*задаче кинематики), определение средней скорости произвольного переменного движения, определение продолжительности движения на определенном участке траектории и т. д.
Поскольку при решении физических задач (и кинематических задач в частности) учащиеся подчас испытывают большие затруднения, хочется завершить этот параграф несколькими советами.
Если после пристального изучения условий предложенной задачи (какое движение 'или движения рассматриваются? какие кинематические величины характеризуют эти движения? какие уравнения связи между кинематическими величинами справедливы в условиях данной задачи?) путц 70
к решению наметить не удается, то причиной этого часто является недостаточный навык в составлении и решении алгебраических уравнений или систем уравнений.
Всякий раз, когда пишется какое-либо уравнение связи между физическими величинами, не нужно жалеть времени на труд вспомнить, при каких условиях это уравнение справедливо.
Обращаем внимание читателей еще на одно требование, руководствоваться которым полезно при решении любой (не только кинематической) задачи. Следует записать известные по условию задачи величины в общепринятых обозначениях и с заданными числовыми значениями, а затем отдельно записать искомые величины. Настоятельно рекомендуем при этом в числе известных отразить и те физические величины, которые не заданы явно в виде чисел, оговариваются только на словах или даже не оговариваются, а только подразумеваются. Иногда это бывает трудно сделать перед началом решения задачи, но в ходе анализа, рассуждений и при составлении уравнений такие записи обязательно должны появиться.
Например, если сказано, что прямолинейное движение равномерно, а модуль скорости не задан и может не фигурировать в данном случае, запишите все-таки: v=const, а=0. Если в условии задачи ничего не говорится о силе трения, видимо, ею можно пренебречь, и тогда следует записать: FTp=0. Общий рецепт таких записей на все случаи дать, конечно, невозможно.
. Ясно, что это наше требование не формально. Дело не в том, чтобы записать все константы, все величины, равные нулю, и т. д. Наша рекомендация основана на необходимости глубокого, полного анализа и понимания условий задачи. Если поставить перед собой цель коротко, сокращенно записать эти неявно заданные величины и условия, то, как видите, придется сделать это не механически, а глубоко задумываясь и, так сказать, беря на себя ответственность за ту или иную запись. «Сила трения не задана. А почему? В данном случае сила трения вообще не действует или она очень мала по сравнению с другими силами и ею можно пренебречь?»... «На каком основании можно считать, что движение равнопеременно? А не изменяется ли в данном случае не только скорость точки, но и ее ускорение? Почему?»...
Хочется заметить, что «Сто тысяч почему» — это не только название хорошей книжки для любознательных,
но и принцип, которым следует руководствоваться в любом исследовании и, в частности, при анализе физических явлений и решении задач. Не бойтесь задавать себе вопрос «Почему?» на каждом шагу!
2. ДИНАМИКА
Основные понятия динамики и законы Ньютона
Кинематическое рассмотрение движений не отвечает на вопрос о том, почему осуществляются эти движения или их изменения.
Динамика является основным разделом механики. Объясняя причины движений или их изменений с помощью нескольких динамических характеристик и законов, она, кроме того, устанавливает связь динамических величин с кинематическими. При этом расчет любого механического движения становится исчерпывающим.
Первый закон Ньютона. Исследователи древнего мира и средневековья считали, что любое механическое движение происходит под воздействием внешних факторов, внешних причин. Труды Галилея и Ньютона внесли существенные уточнения в эти воззрения.
Равномерные прямолинейные движения (движения по инерции, или инерциальные движения} могут происходить сами собой. Это положение устанавливается первым законом Ньютона (законом инерции): в отсутствие внешних воздействий тела могут находиться или в< состоянии покоя, или в состоянии равномерного и прямолинейного поступательного движения.
Свойство тел сохранять в отсутствие внешних воздействий состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инерцией.
Все другие разновидности движений (неинерциальные движения) сами по себе происходить не могут. Легко заметить, что любое из неинерциальных движений является движением ускоренным. Каково направление вектора ускорения, мал или велик модуль ускорения — все это не меняет неинерциального характера движения. Таким образом, если имеется движение с ускорением, отличным от нуля, можно говорить о1 внешней причине такого движения.
Поскольку первый закон Ньютона иногда истолковывается неверно или неполно, обратим внимание на следующее.
Этот закон говорит о том, каким может быть движение материальной точки или поступательное движение абсолютно твердого тела в отсутствие внещних воздействий. К вращательному движению абсолютно твердых тел этот закон не относится.
Далее. Первый закон Ньютона говорит о состояниях покоя или равномерного прямолинейного движения, но оценивать любое механическое состояние мржно, только выбрав систему отсчета (ведь механическое движение й его частный случай — покой — относительны!). Система отсчета должна быть связана с каким-то телом отсчета, а тела, как мы уже отметили, могут совершать инерциальные или неинерциальные движения. Значит, и система отсчета может быть инерциальной (условно неподвижной или движущейся равномерно и прямолинейно) или неинерциальной (движущейся ускоренно относительно какой-то другой, инерциальной системы). Первый закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчета.
Можно привести много подтверждений того, что в неинерциальных системах отсчета этот закон не выполняется. Например, на полу неподвижного вагона поезда лежит мячик. Как только поезд начнет двигаться, мячик придет в ускоренное движение к задней стенке вагона, хотя ничто не воздействует на него в этом направлении. Единственной причиной ускоренного движения мячика в этом случае будет ускоренное, неинерциальное движение вагона.
Таким образом, смысл первого закона Ньютона состоит не только в констатации инерциальных свойств тел и равноправия покоя и инерциального движения, но и в установлении факта существования инерциальных систем отсчета— таких, в которых без внешних воздействий тела или покоятся, или совершают равномерные прямолинейные движения.
Понятие силы. Анализ неинерциальных движений приводит к заключению, что внешней причиной неинерциального движения тела в инерциальной системе отсчета всегда является воздействие на него со стороны других объектов.
Сила является физической величиной, оценивающей и измеряющей эти воздействия, является количественной мерой этих воздействий.
Отвлекаясь от конкретного указания, какие именно тела воздействуют на рассматриваемое тело (поверхность опоры,
по которой оно скользит, пружина, Земля или др»), мы заменяем их воздействия силами, действующими на тело. Любой силе всегда соответствует какой-то материальный объект — источник этой силы.
Из сказанного следует, что, рассматривая любое тел© в динамической задаче, мы прежде всего должны поинтересоваться, какие (реально приложенные со стороны других объектов) силы действуют на него. Нужно выявить все объекты, действующие на данное тело, и оценить их воздействия силами.
Поскольку в результате действия определенной силы на тело изменяется движение этого тела в целом (или отдельных его частей, если тело не абсолютно твердое) и это изменение характеризуется вектором ускорения, то сила должна вводиться как векторная величина. Такая необходимость подтверждается опытным фактом векторного сложения сил. При этом имеется в виду, что практический способ измерения сил известен (например, с помощью пружинного динамометра).
Классификация взаимодействий и сил. Все кажущееся разнообразие взаимодействий в природе с точки зрения современной физики сводится всего лишь к четырем типам взаимодействий.
Между всеми телами имеются гравитационные взаимодействия, подчиняющиеся закону всемирного тяготения. Эти взаимодействия оказываются существенными для больших тел космического пространства (взаимодействие планет между собой, взаимодействие между Землей и Луной и т. п.). С ними приходится считаться и в тех случаях, когда хотя бы одно из взаимодействующих тел имеет космические размеры (например, взаимодействие самолета с Землей).
Весьма обширна сфера электромагнитных взаимодействий между телами и частицами, характеризующимися электрическими зарядами. Эти взаимодействия определяют поведение макроскопических тел, молекул, атомов или ионов внутри макроскопического тела, а также частиц, составляющих атомы и атомные ядра.
Гравитационные и электромагнитные взаимодействия мы рассмотрим в дальнейшем более подробно.
Ядерные взаимодействия связывают частицы, составляющие ядра атомов, а так называемые слабые взаимодействия фигурируют в процессах взаимного превращения ряда элементарных частиц.
Для оценки двух первых типов взаимодействий вводят, соответственно, гравитационные и электромагнитные силы, а два последних типа взаимодействий силами в юбычном смысле характеризовать невозможно. Уж в о^нь малых областях пространства происходят эти взаимодействия, подчиняются они специфическим законам микромира, в котором такие понятия, как координата, перемещение, линия действия, точка приложения и др., во многих случаях неприменимы.
В задачах механики явно учитываются силы гравитационные (силы тяготения) и три вида сил, сводящихся к электромагнитным: силы упругости, возникающие между слоями или частицами тела при упругой деформации, силы сухого (или внешнего) трения, действующие между частицами соприкасающихся поверхностей твердых тел, и силы вязкого (или внутреннего) трения, действующие между частицами соприкасающихся слоев жидкостей или газов.
Характерной особенностью гравитационных сил и сил упругости является их зависимость от координат относительного расположения взаимодействующих тел или частиц. Силы вязкого и сухого трения зависят от скоростей относительного движения соприкасающихся слоев или поверхностей.
Часто при решении конкретных задач бывает удобно использовать еще один признак классификации сил (независимо от их природы и от того, являются ли они функциями координат или скоростей): различают внутренние силы, действующие между отдельными частями рассматриваемой системы взаимодействующих тел или частиц, и внешние силы, действующие на данную систему в целом или на отдельные части системы со стороны тел или объектов, не включенных в эту систему.
Второй закон Ньютона. Принцип независимости действия сил. При решении основной задачи кинематики ускорение рассматриваемого тела считается заданной величиной. Динамика устанавливает причинную и количественную связь ускорения с действующей на тело силой. Важнейшим законом динамики произвольного движения материальной точки или поступательного движения абсолютно твердого тела является второй закон Ньютонах ускорение а, приобретаемое телом в инерциальной системе отсчета под действием силы F, пропорционально этой силе, а направления векторов а и F совпадают.
Уравнение второго закона Ньютона может быть записано в виде
а=& — (2.1')
где к — коэффициент пропорциональности, зависящий только от выбора единиц измерения остальных величин; m — величина, характеризующая рассматриваемое тело, которая носит название массы, тела.
Если величины a, F и m выражаются в единицах одной системы, то коэффициент к принимает значение, равное безразмерной единице (&=1), и вместо уравнения (2. Г) можно написать
, а=—. (2.1) т х 7
Важным положением динамики является принцип независимости действия сил; сила, действующая на тело, сообщает ему ускорение, подсчитываемое по уравнению (2.1), независимо от того, действуют на него другие силы или нет, двигалось оно или покоилось до начала ее действия. Если на тело действует несколько сил, то каждая из них сообщает ему «свое» ускорение.
Возможность геометрического сложения векторов сил согласуется с этим принципом.
Следует подчеркнуть, что сила F в выражении (2.1) является результирующей всех сил, приложенных к данному телу. Любое тело испытывает воздействие со стороны множества других, и при расчете его неинерциального движения нужно учитывать все существенные в данной задаче внешние влияния. Например, по горизонтальной поверхности стола' мы рукой перемещаем какое-то тело. Тело движется ускоренно. Но только ли силой воздействия руки определяется ускорение тела? Конечно, нет. Ускорение зависит и от силы трения тела о поверхность стола, и от силы трения тела о воздух. Этими силами можно пренебречь, если только они много меньше силы воздействия на тело со стороны руки.
Если в течение промежутка времени М действия силы F тело с массой т изменяет скорость на Av, то второй закон Ньютона для этого тела можно записать в иной форме, очень часто используемой при расчетах: так как F=ma, но а= =\nI\1 (по определению среднего ускорения для интервала АО, то
F = m™, или ¥ M — m\v. (2.2)
Выразив Av через начальную (v0) и конечную (v^) скорости тела до и после действия силы, получим
F M — mvt—mv0. (2.3)
Произведение массы тела на скорость его движения (mv) называют импульсом (или количеством движения) тела.
В связи с этим формулировка второго закона Ньютона может быть дана в таком виде: изменение импульса тела за промежуток времени А/ действия на него силы равно произведению силы на время ее действия и направлено в сторону действия силы.
Понятие массы. Масса как динамическая характеристика тела или частицы впервые появляется в уравнении второго закона Ньютона. Эта величина всегда доставляет много хлопот только из-за того, что смысл ее вскрывается недостаточно полно. К сожалению, неясность и нечеткость введения и использования понятия массы встречается очень часто. Иногда говорят о перетекании определенной массы жидкости из одного сосуда в другой, о подвешенной на нитке или лежащей на столе массе и пр. Подобные выражения не имеют никакого физического смысла и в немалой степени способствуют затуманиванию содержания понятия массы.
Масса тела — это прежде всего его свойство откликаться определенным ускорением на действие определенной силы. Утверждение, что масса тела — мера его инертности, имеет тот же смысл.
Попутно заметим, что созвучные термины «инерция» и «инертность» не.одинаковы по смыслу.
Инерция — это свойство всех тел, проявляющееся а инерциальных системах отсчета. Заключается это свойство в том, что тела при отсутствии внешних воздействий сохраняют скорость своего движения неизменной (включая и частный случай v=0). Инерцией обладают любые тела, но для нее не вводится никакой количественной меры. Инерция является неизмеряемым свойством!
Инертность — тоже свойство, и оно тоже проявляется в инерциальных системах отсчета, но состоит оно как раз в изменении скорости тел (в появлении ускорений!) под воздействием внешних сил. Разные тела по-разному изменяют свои скорости под действием одной и той же силы, т. е. свойства инертности у них неодинаковы. Инертность — свойство измеряемое. Масса и является мерой, количественной характеристикой этого свойства.
Если масса — определенное свойство тела, то, как любое другое свойство, она не может «висеть», «лежать» или «перетекать», ее нельзя потрогать или положить в карман. Никому не приходит в голову подвешивать на нитке белизну снега или прозрачность воды, а массу почему-то «подвешивают»!
Отметим, что для использования приведенных выше в качестве примеров выражений или им подобных имеется только одно оправдание — экономия слов в предложении. Можно, конечно, пользоваться такими сокращенными выражениями, но при этом никогда нельзя забывать об их истинном значении, о смысле, который в них явно не высказывается, а лишь подразумевается. (Далее, в гл. V, мы еще раз обратим внимание читателей на подобные сокра-* щенные условные словесные конструкции.)
Как вводилась в динамике масса? Прежде всего она появилась как коэффициент пропорциональности в уравнении связи силы, действующей на тело, с ускорением, приобретаемым телом под действием этой силы. Затем оказалось, что, какими бы силами ни действовали на данное тело, приобретаемое им ускорение всегда определялось по уравнению (2.1), причем для данного тела коэффициент пропорциональности т оставался одним и тем же. И так как сначала все опыты подтверждали постоянство формального коэффициента пропорциональности т в уравнении (2.1) для данного тела, то стало возможным усмотреть в нем объективный смысл, усмотреть свойство, неотделимое от данного тела, свойство, ему присущее.
при определенных условиях, скорости его движения в тойпри определенных условиях, скорости его движения в тойБолее поздние опыты показали, что масса данного тела остается постоянной, только Она оказалась зависящей от или иной системе отсчета:
при определенных условиях, скорости его движения в той
при определенных условиях, скорости его движения в той
В этой формуле т — масса тела в системе отсчета, относительно которой оно движется со скоростью v,— так называемая релятивистская масса; т0 — масса того же тела в системе отсчета, относительно которой оно неподвижно,— так называемая собственная масса (или масса покоя); с — скорость света в вакууме.
Подчеркнем, что уравнение второго закона Ньютона в форме (2.1) применяется только при условии, что масса рассматриваемого тела не меняется. При скоростях, много 78
меньших скорости света, этими изменениями пренебрегают, но если скорость движения соизмерима со скоростью света, то с изменением массы приходится считаться.
Уравнение (2.4) приводит к очень важному выводу. Представим, что какое-то тело движется с возрастающей скоростью, приближающейся к скорости света. При этом масса тела в системе отсчета, не связанной с самим движущимся телом, увеличивается и при *о—с должна сделаться бесконечно большой (т->оо). Значит, по мере увеличения скорости тело пришлось бы ускорять всё большими силами. Можно показать, что и при малых силах, действующих на тело весьма продолжительное время, его скорость не может превысить скорость света в вакууме. Таким образом, заставить тело двигаться со скоростью большей, чем скорость света, принципиально невозможно.
Мы сказали о массе как о мере инертности тела, которая может быть введена в связи со вторым законом Ньютона (поэтому ее называют инертной массой). Но масса фигурирует и еще в одном законе природы — в законе всемирного тяготения (§ 4), который независим от второго закона Ньютона. Если вводить понятие массы на основании закона всемирного тяготения, то она предстает как мера тяготения, как мер,а взаимного притяжения тел (ее называют гравитационной массой). В настоящее время физика располагает экспериментальными подтверждениями того, что для данного тела значения инертной и гравитационной масс тождественны. Однако смысл понятия массы тела остается двойственным: масса — и мера инертности, и мера тяготения. ,
Наконец, у понятия массы есть и еще один смысл. Он особенно отчетливо проявляется, когда речь идет о таких, например, представителях микромира, как фотоны. Массу фотонов нельзя истолковать как меру инертности или тяготения, так как фотоны вообще не обладают никакой инертностью, они не могут ни ускоряться, ни замедляться. Они либо движутся со скоростью, равной скорости света в вакууме, либо прекращают свое существование, порождая какие-то новые частицы или процессы. Поэтому масса фотона предстает как следствие наличия у него каких-то иных, более общих и универсальных характеристик или мер движения. Масса оказывается мерой энергии (или мерой импульса).
Такой же смысл имеет масса и тогда, когда ею характеризуют поля (так называемая полевая масса).
Современной физике известны две разновидности, две формы материи: тела или системы тел, частицы или системы частиц — все те материальные образования, которые объединяются общим названием вещество, и различные поля— поле тяготения, электрическое, магнитное и др., о которых нам еще предстоит поговорить. Обе эти формы неразрывно связаны, одна существует благодаря существованию другой, обе формы являются двумя проявлениями одной и той же, единой материи.
Понятие массы подчеркивает это единство: масса вводится как мера важнейших, неотъемлемых свойств материи в обеих формах. Массой характеризуются и вещество, и поля.
Таким образом, понятие массы оказывается достаточно общим и многогранным, но вместе с тем далеко не простым для понимания.
С подобными же трудностями в физике встречаются всякий раз, когда приходится давать смысловые определения наиболее общим, фундаментальным понятиям. К таким трудным понятиям относится не только масса, но и поле, электрический заряд и некоторые другие.
Следует обратить внимание на еще одно иногда встречающееся толкование массы — как меры количества вещества в теле. При этом допускается необоснованное отождествление совершенно разнородных физических понятий.
Само название величины, которую теперь принято измерять молями,— «количество вещества»,— возможно, не совсем удачно. Эта величина введена для описания таких явлений и решения таких задач, в которых какими-то способами может быть достоверно .определено, подсчитано количество некоторых частиц. В подобных случаях может идти речь о количестве молекул, атомов, ионов, гидроксильных групп, кислотных остатков и т. п., фигурирующих, например, в той или иной химической реакции, имеющихся в данном сосуде.
каждая из этих частиц в отдельности и весь коллектив, состоящий из определенного числа частиц, могут, конечно, характеризоваться массой. Но масса и число частиц при этом не должны отождествляться, одно понятие не должно подменять другое, ибо они представляют разные сущности, они характеризуют частицу или группу частиц с различных сторон, по неодинаковым признакам.
Масса выступает как физическая величина,-отражающая определенное свойство одиночной частицы или коллектива 80
частиц. У тысячи атомов кислорода масса будет в тысячу раз больше, чем масса одного атома кислорода при тех же условиях. Но масгса будет характеризовать коллектив атомов кислорода только потому, что массой обладает каждый одиночный атом.
Число же атомов или других частиц, с которыми мы имеем дело в той или иной задаче, свойством этих частиц не является.
К сказайному следует добавить, что «поштучный пересчет» некоторых частиц в ряде случаев в принципе невозможен. Это относится, например, к элементарным частицам, из которых состоят ядра атомов. Одним из свойств этих частиц является их взаимная превращаемость. Этот факт не позволяет с полной определенностью утверждать, какие именно элементарные частицы и в каком количестве содержатся в данный момент времени в данном теле, хотя масса продолжает характеризовать эти частицы, их коллективы и тело в целом.
Плотность вещества. Часто в расчетах используется важная характеристика вещества — плотность (р); это физическая величина, определяемая отношением массы данного однородного вещества к занимаемому им объему:
тр— V *
Если вещество по плотности неоднородно, то ее нужно определять для каждого элементарного объема отдельно:
АУ
Здесь Д/и — масса такого малого объема ДУ вещества, в пределах которого плотность может считаться постоянной.
Единицы-измерения плотности устанавливаются в согласии с этими формулами: 1 кг/м8 в СИ и 1 г/см3 в системе СГС.
Третий закон Ньютона. Этот закон устанавливает равноправие взаимодействующих тел и парность возникновения сил взаимодействия в инерциальной системе отсчета: силы, р которыми взаимодействуют два тела, равны по модулю и противоположны по направлению.
Поскольку эти силы приложены к разным телам, ни о - каком их сложении или о нахождении их равнодействующей не может быть и речи. Практически в любой задаче динамики мы должны учитывать третий закон Ньютона, так как
всегда приходится иметь дело не с одиночным, изолированным телом, а с системой взаимодействующих тел или частиц.
Уравнение третьего закона Ньютона для взаимодействия двух тел (1 и 2) может быть записано в виде .
F =Р'
1 121 21>
где F12 — сила, действующая на первое тело со стороны второго, a F2i — сила воздействия на второе тело со стороны первого.
Знак минус в этом уравнении говорит о противоположном направлении векторов сил, а не о том, что одна сила положительна, а другая отрицательна. Ведь сила, как векторная величина, характеризуется модулем, направлением, точкой приложения, но не знаком. (Вот если мы будем проецировать вектор силы на координатную ось выбранной системы' отсчета, договорившись о положительном направлении этой оси, то перед модулем вектора силы придется поставить тот или иной знак в зависимости от ориентации вектора по отношению к координатной оси.) Можно сказать, что в уравнении третьего закона Ньютона знак минус относится не к одной из сил, а сразу к обеим.
Обратим внимание на то, что в приведенной «ньютоновской» формулировке третьего закона используется понятие силы. В связи с этим и с учетом замечаний, которые были приведены выше при классификации взаимодействий в природе, вырисовываются дополнительные условия применимости этого закона.
Третий закон Ньютона в данной формулировке справедлив лишь для гравитационных и электромагнитных взаимодействий. Поскольку скорость передачи этих взаимодействий велика, но конечна (она равна скорости распространения света), то закон применим для промежутков времени не меньше тех, в течение которых между рассматриваемыми телами успевает установиться сгационарное взаимодействие. Если взаимодействующие тела находятся в непосредственном контакте (с такими задачами мы имеем дело при учете сил упругости или сил трения), последнее ограничение, конечно, снимается.
Проблема измерения масс и сил. Особо следует остановиться на выяснении роли второго и третьего законов Ньютона при количественном определении, измерении двух важнейших динамических величин — массы и силы ’ Вводя ту или иную физическую величину, определяя ее по смыслу, обязательно следует указывать практический 82
способ ее измерения. У нас же пока сила и масса введены «на словах». Сила — мера воздействия, масса — мера инертности. Но как и чем они измеряются?
Вот здесь-то и возникает некоторая неопределенность. Она начинается с того, что две величины (масса и сила), способ измерения которых пока не указан, входят в одно и то же уравнение второго закона Ньютона. Ускорение, содержащееся в этом уравнении, нас не пугает: эта величина известна из кинематики, мы знаем способ ее измерения (например, с помощью линейки и секундомера) и единицы ее измерения. Значит, в нашем распоряжении имеется одно уравнение, относящееся к какому-то одному конкретному телу, с двумя неизвестными величинами
Привлекая уравнение еще одного важнейшего опытного закона, уравнение третьего закона Ньютона, мы как будто не улучшаем положения, так как вводим в рассмотрение второе тело, взаимодействующее с первым. Если, как и ранее, пометить величины, относящиеся к этим двум взаимодействующим телам, индексами 1 и 2, то можно написать систему трех уравнений:
аг = F12//n1 (уравнение второго закона Ньютона ^ для тела 1), ,
а2 = F21/m2 (то же для тела 2), I ^5) F12 =—F21 (уравнение третьего закона Ньютона (
для оценки взаимодействия обоих |тел); )
эта система имеет две пары разнородных величин (mt и т^ F12 и F2i), способ измерения которых не установлен.
Попытки замкнуть эту систему в математическом отношении какими-то дополнительными уравнениями не приводят к успеху. Вводить новые тела (кроме тех двух, взаимодействие которых мы рассматриваем) бессмысленно, так как это только увеличит число неизвестных, а уравнений, в которых кроме указанных четырех не содержалось бы каких-то других неизвестных величин, нам не дано. Просто никому не известны подходящие законы, уравнения которых не содержали бы новых неизвестных!
Может возникнуть вопрос: а не стоит ли при решении задачи об измерении масс и сил отказаться от учета третьего закона Ньютона? Ведь именно этот закон довел число неизвестных до четырех! Давайте рассматривать только одно тело. Уравнение второго закона Ньютона, записанное
для этого тела, будет содержать только две неизвестные величины. Лучше иметь дело с двумя неизвестными, чем с четырьмя...
Оказывается, не лучше. Рассматривая одиночное изолированное тело, мы, так сказать, нарушаем естество взаимодействий, мы отбрасываем источник силы, который при измерении масс и сил может пригодиться. Ведь если тело в полном смысле изолировано, то на него вообще не действуют никакие силы, оно совершает инерциальное движение и к нему бесполезно применять второй закон Ньютона. Значит, остается решать задачу с четырьмя неизвестными.
Понятно-, что если бы. мы знали, как измерить хотя бы одну из этих четырех величин, то система уравнений (2.5) подсказала бы способ измерения всех остальных. Но если законы природы не дают нам однозначного указания об измерении массы и силы, то следует, очевидно, воспользоваться произвольным выбором одной из них в качестве эталонной. Пользоваться эталонной силой менее удобно, чем эталонной массой. Поэтому при измерении масс различных тел принято ориентироваться на тот самый платино-ири- диевый цилиндр, который был выбран в качестве эталона единицы массы.
Итак, в нашем распоряжении имеется эталонное тело, масса которого тэ считается известной и принимается за единицу измерения массы. Если нам нужно измерить массу т какого-то другого тела (например, стального шарика), то можно поступить следующим образом. Подвесим оба тела на очень длинных нитях так, чтобы тела соприкасались (рис. 2.1, а). Далее обеспечим такое взаимодействие этих тел, чтобы в результате него скорости обоих тел изменились. Например, отведем шарик на небольшое расстояние влево и отпустим (рис. 2.1, б). В момент соударения тела изменят свои скорости, т. е., иными словами, получат ускорения. После соударения тело с массой т3 начнет двигаться вправо. Движение шарика после удара может происходить и вправо (но с меньшей скоростью, чем перед ударом), и влево (шарик может отскочить, изменив направление скорости движения), шарик после удара может и остановиться. О всех этих деталям мы можем узнать, проведя опыт. Но, пожалуй, и без опыта ясно одно: векторы ускорений а и аэ при взаимодействии будут иметь направления, указанные на рис. 2.1, в. Рассматривая малые (по сравнению с длиной нитей) отклонения тел от положения равновесия, можно считать, что движения обоих тел 84
происходят вдоль горизонтальной линии, проходящей через точку их касания в состоянии покоя или в момент удара.
На основании системы уравнений (2.5) для данного случая можем записать уравнение
та =— ^эаэ,'
которое п)эи проецировании на координатную ось ОХ дает
тах =— т3аэх.
Выражая проекции ах и аэх через модули соответствующих векторов, получаем
т(—=или =
откуда,
m = m5. —.
а
Теперь мы располагаем способом измерения массы шарика (и любых других тел), так как масса тэ известна, а
а) 6)6)
Рис. 2.1.
модули ускорений а и аэ можно определить из рассмотренного опыта'или ему подобных.
Описанный способ измерения масс фактически основывается на третьем законе Ньютона (уравнение которого следует записывать в виде т.хал =—m2a2). При таком подходе считается, что третий закон Ньютона содержит определение массы (и смысловое определение, и метод измерения), а сила определяется в согласии со вторым законом Ньютона (F=ma) как физическая величина, равная произведению массы данного тела на ускорение его движения. Поскольку масса тела т измерена с помощью третьего закона Ньютона, уравнение F=ma дает возможность
измерить силу и ввести единицы измерения силы: ньютон (Н) в СИ, дина (дин) в системе СГС. Напомним, что
1 Н = 1 кг-1 м/с2, 1 дин=1 г-1 см/с2.
Только что описанный метод введения pi измерения масс и сил принят в последние годы в школьном курсе физики, но он не является единственно возможным. Выше мы заметили, что эталонной может быть выбрана не только масса определенного тела, но и какая-то сила. При такой договоренности определение силы будет содержаться в третьем законе Ньютона, а определение массы — во втором.
Мы задержались на обсуждении принципов определения и измерения масс и сил, чтобы обратить внимание на ту неопределенность, которая содержится в двух важнейших законах динамики, и на те трудности, которые приходится преодолевать при выполнении измерений.
Некоторые читатели могут сказать, что на практике не часто увидишь, чтобы массу измеряли, заставляя тела сталкиваться, а силу подсчитывали по ускорению, что для этих целей имеются специальные приборы (весы различных конструкций, динамометры), которыми совсем нетрудно пользоваться. Таких читателей следует предостеречь от чрезмерных упрощений. Им следует напомнить, что массу электрона, протона или Луны измеряли не с помощью весов, что силу удара ноги футболиста по мячу динамометром не измеришь и что измерения с помощью весов и динамометров основаны не только на законах Ньютона, но и на некоторых других.
Силы упругости. Закон Гука. Измерение силы динамометром. Вследствие действия на тело внешней силы оно может деформироваться, т е. изменять свои размеры или форму. Так называемые упругие деформации замечательны не только тем, что после прекращения действия внешней силы тело в ряде случаев полностью восстанавливает свои первоначальные размеры, но и тем, что деформация тела пропорциональна действующей на него внешней силе.
Силы, возникающие между частицами деформируемого тела и стремящиеся восстановить его первоначальные размеры и форму, называются силами упругости. Эти силы имеют электромагнитную природу и оказываются пропорциональными деформации, т. е. являются функциями координат частиц (или частей) тела в выбранной системе отсчета. Последнее обстоятельство, - установленное опытным путем, является содержанием закона Гука*
Силы упругости возникают при различных деформациях: при растяжении, сжатии, изгибе, при скручивании тела и т. д. В простейших задачах элементарного курса физики учитываются лишь одномерные‘растяжения и сжатия тел (продольное растяжение нити или проволоки, сжатие или растяжение витой пружины вдоль ее оси и т. п.). Уравнение закона Гука для этих случаев может быть записано в виде .
Гупр^(/-/0) = Ж (2.6)
где Гупр — модуль силы упругости, /0 — начальная длина тела, / — длина тела в деформированном состоянии, А/ — изменение длины тела при растяжении или сжатии (эту величину обычно и называют линейной деформацией тела или, просто, деформацией тела), к — коэффициент упругости (или коэффициент жесткости) — величина, определяемая силой, вызывающей единичную деформацию (например, А/=1 м или А/= 1 см) данного тела.
Если тело деформируется вдоль одной из координатных осей (например, вдоль ОХ), то уравнение закона Гука записывают в виде
FynPx = —(2-7)
Знак минус в этом выражении указывает на то, что сила упругости направлена в сторону, противоположную деформации.
Определив на опыте коэффициент упругости данного тела, мы получаем возможность использовать это тело для измерения сил. На этом принципе основано действие пружинных динамометров, причем, заметим, независимо от того, какой из двух рассмотренных выше подходов выбран в качестве определяющего при введении масс и сил. Если масса определяется в согласии с третьим законом Ньютона, а сила — по второму закону Ньютона, то цену деления шкалы динамометра (или коэффициент упругости пружины) можно в принципе определить следующим образом. Тело известной массы т нужно привести в ускоренное движение, воздействуя на него данной пружиной. Измерив на опыте ускорение тела и деформацию пружины, можно рассчитать коэффициент упругости.
Если же используется второй способ введения масс и сил, то коэффициент упругости пружины определяют, измеряя ее деформацию под воздействием известной силы»
Сила тяжести. Измерение массы тела в статических условиях. Движение различных тел под воздействием притяжения к Земле в данном пункте на земном шаре происходит с одним и тем же ускорением (ускорение силы тяжести» или ускорение свободного падения g). Этот факт (напомним, что он осуществляется только при движении без сопротивления, при движении в вакууме) можно использовать для того, чтобы на основании второго закона Ньютона ввести еще одну динамическую характеристику тела — силу тяжести Р:
P=mg.
Какое-то тело имеет массу как свое неотъемлемое свойство, ибо она характеризует поведение этого тела в любой динамической задаче, но тело само по себе силы тяжести не имеет. Силой тяжести мы характеризуем фактически не данное изолированное тело, а это тело вблизи Земли, при воздействии на данное тело силы притяжения со стороны Земли. Если бы не былодругого, притягивающего тела—Земли, то не пришлось бы говорить и о силе тяжести первого.
Обращаем внимание на то, что сила тяжести тела вызвана притяжением его Землей, цо не всегда равна силе притяжения к Земле. Дальше мы поясним это (см. п. 4.2).
Располагая весьма точными способами измерения ускорения свободного падения (для этих целей используются различные маятники или другие устройства), мы получаем возможность измерять силу тяжести любого тела, так как массу тела мы можем измерить без измерения силы. Определив силу тяжести тела, мы можем воспользоваться ею как эталонной силой для градуировки пружинного динамометра.
Итак, мы знаем, как на опыте определить коэффициент упругости любой пружины или любого другого упруго деформируемого тела независимо от того, в связи с каким из законов Ньютона вводятся масса и сила. Для этого кроме законов Ньютона приходится учитывать закон Гука и факт постоянства ускорения свободного падения тел в данном пункте Земли.
Не следует забывать, что с помощью пружинного-дина- мометра можно измерять не только силы, но и массы различных тел. Подвесив к концу пружины неподвижного динамометра какое-то тело, мы, конечно, непосредственно узнаем силу тяжести этого тела, но, если известно ускорение свободного падения для того пункта, в котором мы про-, водим измерение, то без большого труда мы определим и 88
значение массы тела. Можно даже шкалу динамометра проградуировать в единицах массы, но при этом, правда, придется указать, для каких пунктов на земном шаре она справедлива без дополнительных поправок, учитывающих изменение ускорения свободного падения.
Таким образом, статический способ измерения масс с помощью пружинного динамометра (или пружинных весов) оказывается не универсальным, но все же приемлемым для многих практических задач и заменяющим тот динамический способ, о котором говорилось выше.
Есть и еще один способ измерения масс тел в статических условиях — с помощью рычажных весов. При равновесии весов можно утверждать, что сила тяжести тела Рт, лежащего на одной чашке весов, равна силе тяжести гирь Рг, которые положены на другую чашку: РТ=РГ. Выражая силы тяжести через массы соответствующих тел, имеем: mTg=mrg, йли mT=mr. Если на гирях, используемых при взвешивании, указаны значения их масс, то рычажные весы позволяют измерить непосредственно массу тела независимо от того, где производится взвешивание. Поправки приходится вводить только при особо точных измерениях для учета различия выталкивающих сил воздуха, действующих на взвешиваемое тело и гири, если тело и гири изготовлены из разных веществ.
Закон сохранения импульса
Одним из важнейших законов физики является закон сохранения импульса (или закон сохранения количества движения). Уравнение этого закона можно получить на ।\ v,
основании второго и третьего законов Ньютона, применив их к взаимодейству
ющим телам.рис 22
Рассмотрим простейший* ' *
пример взаимодействия двух тел в какой-то инерциальной системе отсчета. Пусть шарик А с массой тг движется горизонтально в вакууме со скоростью vOi вдогонку за шариком В, который имеет массу т2 и движется по той же горизонтальной прямой со скоростью vO2<Voi (рис. 2.2). Возникающие при ударе шаров силы взаимодействия Ft и F2 по третьему закону Ньютона будут равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Сила Fx действует на
шарик Л со стороны шарика В, а сила F2 — на шарик В ха стороны шарика А. Пусть шарики абсолютно упруги, т. е. если при ударе они сначала несколько деформируются, то сразу же вслед за этим восстанавливают свою форму. Из-за взаимодействия при ударе шарики изменят своц скорости. В самом деле, шарик А, получив встречный толчок, должен замедлить свое движение. Шарик В получает толчок в направлении своего движения и во время взаимодействия при ударе должен двигаться ускоренно.
Обозначим скорости шаров после удара через v^ и v^2. Если продолжительность удара равна А/, то для ускорений шаров имеем
Записывая уравнение второго закона Ньютона для каждого шара,
Д/ ’ Г2Д/
и учитывая, что продолжительность удара А/ одинакова для обоих шаров, a Fi =—F2 в согласии с третьим законом Ньютона, получаем
^(v^—VO1) = — m2(vt2—v02),(2.8)
или
m^tl—mtvw = — m^vto + m2voa, или, наконец,
++(2.9)
На основании (2.8) можно заключить, что изменения импульсов двух взаимодействующих тел одинаковы по модулю, но противоположны по направлению, а на основании (2.9) — что суммы импульсов тел до взаимодействия и после взаимодействия равны, т. е. суммарный импульс тел в результате взаимодействия не изменяется.
Обратим внимание на то,.что рассмотренные шары изменяли свои движения только в результате взаимодействия между собой и никаких других, внешних воздействий не испытывали.
Только для замкнутых, изолированных систем применим закон сохранения импульса.
Вообще под замкнутой, или изолированной, системой понимается такая система взаимодействующих тел, на которую не действуют никакие внешние силы. Поскольку таких систем в действительности не существует, мы с достаточной
для практики степенью точности принимаем в качестве замкнутой систему, для которой сумма внешних сил (со стороны тел или объектов, не включенных в эту систему), действующих на каждое из тел этой системы, равна нулю или пренебрежимо мала по сравнению с силами взаимодействия между телами системы. >
Примером замкнутой системы могут служить две тележки, связанные пружиной. Кроме силы взаимодействия через посредство пружины с другой тележкой, на каждую тележку действует сила тяжести (результат взаимодействия с Землей), но она уравновешивается так называемой силой реакции опоры (результат взаимодействия с еще одним внешним телом), если опора горизонтальна. Ясно, что замкнутость системы тележек будет нарушена, если их движение будет происходить с трением и силу трения, действующую на каждую из тележек, ничто уравновешивать не будет. Это говорит о том, что анализ замкнутости системы должен проводиться с большой тщательностью.
Система может состоять из нескольких взаимодействующих тел или частей, их число в результате взаимодействий может изменяться (например, некоторые тела системы сливаются, объединяются, а другие разделяются на части), тела системы могут совершать движения в самых различных направлениях, но если все это не нарушает замкнутости системы, то к ней применим закон сохранения импульса.
Более того, закон сохранения импульса оказывается справедливым и в тех случаях, для которых законы Ньютона неприменимы (например, в физике элементарных частиц, где проявляются ядерные и так называемые слабые взаимодействия).
Учет сил внешнего трения в динамических задачах
Все реальные движения тел происходят, как уже отмечалось, при воздействии множества других окружающих тел. В местах контакта рассматриваемого твердого тела с другими твердыми телами возникают силы сцепления между их частицами, или силы внешнего трения. Эти силы имеют электромагнитную природу и обнаруживаются как при относительном покое, так и при относительном движении соприкасающихся тел. Как известно, модуль силы трения FTp зависит от модуля силы Nn, действующей на рассматриваемое тело по нормали к трущимся поверхностям, от их материала и качества обработки (силу Nn часто называют
нормальной реакцией опоры). Влияние материала и качества обработки определяется опытным путем и учитывается коэффициентом трения к;
FTp = kMn. (2.10)
Вообще говоря, сила трения зависит и от относительной скорости движения соприкасающихся поверхностей, но этим обстоятельством в элементарном курсе физики обычно пренебрегают. Отметим только, что для выведения из состояния покоя твердого тела, соприкасающегося с другим твердым телом (в отличие от выведения из состояния покоя соприкасающихся слоев жидкостей или газов), необходимо приложить отличную от нуля внешнюю силу, чтобы преодолеть так называемую силу трения покоя. Обычно в элементарном курсе физики под силой трения покоя' подразумевают силу трения в момент начала движения, т. е. ту максимальную силу сцепления между соприкасающимися поверхностями, которую преодолевает внешняя сила, выводящая тело из состояния покоя. Сила трения, действующая на тело при движении, может быть меньше силы трения покоя.
Следует обращать особое внимание на выяснение того, какими силами обеспечивается взаимодействие по нормали, что является силой Nn в каждом конкретном случае.
Задача. Определить модуль горизонтально направленной силы F, которой нужно прижать деревянный брусок к вертикальной*деревянной стенке (£—0,50), чтобы он не упал (рис. 2 3, а). Масса бруска щ=2,0 кг. - Будем решать задачу в системе отсчета, связанной со стенкой. Нас интересует случай, когда брусок не падает, случай его покоя. При каких условиях возможен покой бруска? Чтобы под действием силы тяжести P=/wg брусок не двигался вниз, на него должна действовать вертикально вверх какая-то сила, уравновешивающая силу Р. В нашем случае такой силой может быть только сила трения FTp. Несмотря на силу F, брусок не должен двигаться
влево, ее должна уравновесить сила реакции стенки R. Под действием этих четырех сил (рис. 2.3, б) брусок должен быть неподвижным.
Уравнение второго закона Ньютона для покоящегося бруска (а=0) можно записать в следующем виде:
P + F + Frp + R-0, или в проекциях на оси координат:
^ + ^х + ^тр л;4"^л; = 0,Ру+ Fy + ^тр у + ^ = 0.
Учитывая, что Рх=0, FTp х=0, ^=0 и Ry=0, получаем
^+Я*=0, py+FTpp=o:
Выражая проекции через модули соответствующих векторов, имеем
-F + /? = 0, -P + F =0, или
'R = F,Flp=P.(а)
Силой нормальной реакции N„ в данном случае является сила R, т. е.
'F1p=kN„=kR.
С учетом (а) получаем: P=kF, или mg=kF, откуда в mg'2,0 9,8
или , = "о>~~39Н-
Задача. Ящик, масса которого т~-12 кг, перемещают равномерно по горизонтальному полу, действуя на него силой F, направленной под углом а=л/6 радиан к горизонту. Определить модуль этой силы, если коэффициент трения равен 0,48.
Под действием нескольких сил тело может двигаться равномерно# если геометрическая сумма всех приложенных к нему сил равна нулю. В данном случае на ящик действуют четыре силы: сила тяжести P—mg, сила реакции пола R, движущая сила F и сила трения FTp. Поскольку имеется в виду поступательное движение ящика по горизонтали (ящик не опрокидывается и т. п.), все действующие на него силы можно считать
приложенными в его центре тяжести. Направления действия сил Р, R и FTp ясны. Но в каком направлении действует сила F^ Заданный угол наклона ее к горизонту допускает неоднозначное толкование. Здесь мы встречаемся с примером того, что физическая задача (подобно большинству задач практики) сформулирована, поставлена не очень строго.
В задаче возможны два варианта приложения силы F (рис. 2.4, а). На рис. 2.4, б даны схемы приложения сил к центру тяжести ящика в обоих случаях.
Вводя все» действующие на ящик силы в уравнение второго закона Ньютона и учитывая, что ящик движется равномерно и прямолинейно, имеем
Fi+Ri+FTpl + P = 0,F2+R2 + FTp 2 + Р = 0.
Выбрав систему отсчета, связанную с неподвижным полом, запишем системы уравнений для проекций векторов сил на координатные оси;
Fix+^i# + FTp ix + ^x — 0, )F2x + ^2x + FTp 2х + ^х = 0, )
FiyH- Piy*H FTp iy4~ Ру = 0; JF2y4~ ^2y*H Fip 2y*H Py ~ 0, J
после этого можно записать уравнения связи модулей соответствующих вектров:
Fx cos а — FTp х = 0,(а)
— Рг sin a+Rt — P = 0,(б)
F2cosa —FTp2=0,(в)
F2 sin а + Р2 —Р = 0.(г)
Сравнивая выражения (б) и (г), можно заметить, что силы реакции пола в двух рассматриваемых случаях будут неодинаковыми по модулю*
#1= р+ ft sin a,Р2= P—F^ sin a,(д)
т. e. Rt> R2. Это объясняется тем, что в первом случае вертикальная составляющая силы Ft вместе с силой тяжести Р прижимает ящик к полу, а во втором случае вертикальная составляющая уменьшает силу воздействия ящика на пол (при условии F2 sin а^Р ящик может быть даже оторван от пола)
Система четырех уравнений (а) — (г) содержит шесть неизвестных величин, и поэтому следует использовать какие-то дополнительные уравнения В согласии с уравнением (2.10) модули сил трения можно выразить через модули сил нормальных реакций
FTpi = ^?zi,/ ^тр2=АМп2,(е)
причем силами Nnl и Nrt2, действующими на ящик по нормали к трущимся поверхностям, в данной задаче являются силы реакции пола Rt и R2. Учитывая это, на основании (д) можем записать выражения
jV^-P + F^ina, Nn2 = P — F2 sin a,
которые вместе с уравнениями (а), (в), (е) приводят к двум уравнениям с двумя неизвестными.
Fx cos а—к (Р+^ sin a),F2 cos a—к (P—F2 sin a).
После простых преобразований получаем
1 cos a —Asina’ 2 cosa + Asina* или
AA
Fi = mgг—]— ,F^-mg—7—— .(ж)
6 cos a —Asinacos a+A sin a x '
Выражения эти отличаются только знаками у вторых слагаемых в знаменателях. Видно, что Ft>F2
Оказывается, толкать или тащить (силой, действующей под углом к горизонту!) какое-то тело с постоянной скоростью — не одно и то же’ Чем это объясняется? Да только наличием силы трения. В самом деле, если трение отсутствует (^=0), то по формулам (ж) получаем для обоих рассмотренных вариантов Рг=Р2=0 В таком случае ящик мог бы двигаться равномерно по инерции, а любая сила, отличная от нуля, приводила бы ящик в ускоренное движение.
Различие ответов для рассмотренных вариантов исчезает и при наличии трения, если приложенная к ящику сила горизонтальна. Тогда а=0 и по формулам (ж) получаем: F^F^—kmg,.
Наконец, в первом варианте возможен случай, когда никакая сила Fx не сдвинет ящик с места. Это случится, если cos а^к sin а, т. е. если сила Ft приложена к ящику под углом a^arcctg к. При этом горизонтальная составляющая Ft cos а недостаточна для преодоления возникающей силы трения.
Дроби в выражениях (ж) безразмерны, и если масса ящика т измерена в кг, а ускорение свободного падения — в м/с2 то Fx и Рй будут получены в ньютонах. Подставляя значения величин, находим
f*~ 12-9,8 0,87 - 0,48-0,50 % 90 Н*
f2 12 9,8 0 87 + 0 48 0 50 я 51 Н.
Задача. Как зависит модуль силы F, необходимой для равномерного подъема тела по наклонной плоскости, от угла наклона а плоскости к горизонту? Масса тела т, коэффициент трения к. Сила направлена параллельно наклонной плоскости.
На рис. 2.5 дана схема сил, которые будем считать приложенными к центру тяжести тела, и оси координат ОХ и OY системы отсчета, свя* занной с наклонной плоскостью.
Для равномерного движения тела должно выполняться условие p+f+R + ftp=o, которому эквивалентна система уравнений
^х + ^х + ^х + ^тр л = 0,Р^ + Р^ + Рр + FTp у = 0,
или
— Р sin a + F —FTp = 0,(а)
— Pcosa + 7? = 0.(б)
Модуль силы трения в данном случае зависит от модуля силы реакции наклонной плоскости:
F^ = kR.(в)
Решая систему уравнений (а) -— (в), получаем искомую зависимость:
F=P (sin a+& cos a), или
F=mg(sin a^k cos a).
При a=0 будет P=kmgy а при а=л/2 радиан получим F—mg (сила F будет поднимать тело вертикально, преодолевая силу тяжести, а наклонная плоскость перестанет поддерживать тело).
Предлагаем читателю самостоятельно проанализировать случаи, когда 0<а<л/2 (обязательно рассмотрите несколько углов а в окрестности значения a=arcctg&).Предлагаем читателю самостоятельно проанализировать случаи, когда 0<а<л/2 (обязательно рассмотрите несколько углов а в окрестности значения a=arcctg&).Рис. 2.5.Рис. 2.6.Рис. 2.5.Рис. 2.6.
Предлагаем читателю самостоятельно проанализировать случаи, когда 0<а<л/2 (обязательно рассмотрите несколько углов а в окрестности значения a=arcctg&).
Предлагаем читателю самостоятельно проанализировать случаи, когда 0<а<л/2 (обязательно рассмотрите несколько углов а в окрестности значения a=arcctg&).
Рис. 2.5.Рис. 2.6.
Рис. 2.5.Рис. 2.6.
Задача. На горизонтальном столе лежит прямоугольная доска АВ, а на ней — тело с массой т (рис 2,6). Будем приподнимать край доски так, чтобы она поворачивалась Вокруг левой стороны (наклонная плоскость с меняющимся углом наклона). При каком значении угла наклона а плоскости доски к горизонту тело начнет с нее соскальзывать? Коэффициент трения к.
На рисунке показана схема приложения сил к центру тяжести тела и координатные оси ОХ и OY системы отсчета, связанной с доской.
До того как тело начнет соскальзывать с доски, оно будет находиться в состоянии покоя, которому соответствует условие
P + FTp + R = 0.
Проецируя векторы сил на оси координат, получаем
Ру+^тр у 4" Ry—О,— Р cos « + Р —О, R — Р cos a.Ру+^тр у 4" Ry—О,— Р cos « + Р —О, R — Р cos a.^Х "4" ^тр X 4“ ^х — О» а переходя к модулям, имеем
Ру+^тр у 4" Ry—О,
— Р cos « + Р —О, R — Р cos a.
Ру+^тр у 4" Ry—О,
— Р cos « + Р —О, R — Р cos a.
*-Р sin a+FTp==0, или
Ртр = Р sin a,
Понятно, что составляющая Рх силы тяжести тела (сила, которая обеспечивает соскальзывание тела) с ростом угла а увеличивается, а модуль силы реакции R, который определяет модуль силы трения в момент начала скольжения (F^=kR—kP cos а), при этом уменьшается. Соскальзывание начнется, как только модуль Рх чуть-чуть превысит модуль силы трения Ртр, но для решения задачи достаточно рассмотреть «критический случай» равенства этих величин:
Р sin а=кР cos a.
Сократив на Р и почленно разделив на cos а, получим , sin a ,, ,
^со-йх^®’ илиa = ar<Agk.
Результат не зависит от силы тяжести или массы тела и замечателен тем, что подсказывает очень простой путь опытного определения коэффициента трения для лары материалов, из которых изготовлены тело и доска. Тело начнет соскальзывать с доски, когда тангенс угла ее наклона к горизонту сравняется со значением коэффициента трения или чуть превысит его. При таком способе определения к не потребуется даже динамометра!
2.4. Динамика движения системвзаимодействующих тел
рI т^т^т^тз *»Рис. 2.7. рI т^т^т^тз *»Рис. 2.7.Затруднения при решении задач этого раздела механики возникают обычно из-за того, что не учитываются конкретный характер движения каждого из тел и характер взаимодействий между ними. Второй закон Ньютона в форме (2.1), (2.2) или (2.3) применим к любому телу с постоянной массой. Под этим телом в некоторых случаях может мыслиться и целая система, состоящая из нескольких тел. Но такая замена возможна, если нас не интересуют детали взаимодействий тел внутри системы или если все части системы движутся совершенно одинаково, т. е. имеют одинаковые векторы скоростей (не только по модулю, но и по направлению!), ускорений и т. д.
р
I т^т^т^тз *»
Рис. 2.7.
р
I т^т^т^тз *»
Рис. 2.7.
Так, например, система трех взаимодействующих (свя-
' занных нитями) тел с массами mn т2 и т3 при движении без трения по горизонтальной поверхности под действием внешней силы F (рис. 2.7) может быть заменена одним телом с массой т—т^Шз+тиз, если мы интересуемся только ускорением этой системы. В самом деле, если нити нерастяжимы (см. ниже) и в задачу не входит определение сил их натяжения, то ускорения всех тел системы будут одинаковыми по модулю и по направлению. Система в целом будет иметь такое же ускорение. Сила F в этом случае может рассматриваться как единственная сила, сообщающая ускорение одному телу с массой т..<
Попытки найти одну силу, сообщающую ускорения различным частям системы взаимодействующих тел, во многих иных случаях приводят к неудачам.
Если всегда помнить, что уравнение (2.1) имеет вектор-' ный характер (направления векторов а и F совпадают!), то уже одно это часто наталкивает на правильный ход мысли.
97974 Ю. А. Селезнев
97
97
Проанализируем характер и причины движения тел в следующем случае.
На горизонтальной поверхности стола лежит тело I с массой mv К нему нерастяжимой невесомой нитью, перекинутой через блок, привязано тело // с массой т2, на которое действует сила F, направленная вертикально вверх (рис. 2.8, а) Каково натяжение нити? Какие силы (без учета сил трения) будут являться причиной ускоренного движения каждого из тел?
Нить в этом случае является третьим телом системы, осуществляющим взаимодействие между двумя другими, является, как говорят, связью между ними. Гибкая нить позволяет осуществить горизонтальное движение тела I за
Рис. 2.8.
счет вертикального подъема тела II. Связь задает возможный характер движения составных частей системы.
Нерастяжимая нить — еще одна модель, часто используемая в динамике. Мы учитываем изменение формы нити, но пренебрегаем изменением ее длины, несмотря на то, что к концам нити приложены силы со стороны прикрепленных к ним тел (в согласии с третьим законом Ньютона) и в каждом сечении нити действуют силы упругости.
Имеет ли эта нерастяжимость какое-нибудь значение в данной задаче? Да, имеет. Она определяет равенство модулей скоростей и ускорений тел / и //, так как на сколько тело II за какой-то промежуток времени переместится вверх, на столько же тело I переместится за то же время по горизонтали. Если бы нить могла изменять свою длину, модули скоростей (и ускорений) обоих тел могли быть разными.
Понятием невесомая нить часто пользуются в тех случаях, когда массой нити (или отдельных ее частей) можно пре-
небречь по сравнению с массами тех тел, которые она связывает. Это обстоятельство, так же как и нерастяжимость нити, приводит к некоторым упрощениям при решении задач.
Мысленно выделим из горизонтального и вертикального участков нити рассматриваемой задачи малые элементы нити, массы которых равны Ami и Ат2 (рис. 2.9). Ясно, что на концы выделенных элементов со стороны остальных частей нити должны действовать силы Fr, Fr, Fb и Fb. Составляя уравнение второго закона Ньютона для каждого элемента и переходя, как обычно, к уравнениям для проекций (на
AP2V
Рис. 2.9.
оси координат, изображенные на рис. 2.8) и к уравнениям для модулей, получим
АРх + Fr + Fr = Am1a1,АР2 + f;+ F; = Am2a2;
F'rx + F'„ = Лтд,, AP2y + FBy + Fay = Am2<z2y;
—Fr + Fr = Дтдр — AP2—FB + F"B = Am2a2.
Но если можно пренебречь массой всей нити, то уж, конечно, можно считать; что Ami«0, Ат2~0, АР^О и КРг«й. Тогда Fr=Fr и Fa=FB, т. е. независимо от значения ускорения, с которым движутся части невесомой нити, между любыми соседними сечениями нити действуют равные по модулю силы упругости. Имея в виду эти силы, и говорят обычно о постоянной силе натяжения, действующей в любом сечении невесомой нити. Направление вектора силы натяжения каждый раз должно указываться в зависимости от того, какое именно сечение нити рассматривается, в какую сторону оно движется и т. д.
После установления направлений возможных по условию задачи перемещений тел становится ясным факт неравенства их ускорений. Модули ускорений тел одинаковы, но направления их различны. В векторном смысле (учитывая различие в направлениях) ускорения этих тел различны, а тогда и причины их возникновения не могут быть одинаковыми.
В этой задаче, как и во многих других, ей подобных, ускоренное движение каждого из тел Системы будет обеспечиваться разными силами.
Рассмотреть отдельно каждое тело системы; выявить все другие тела или объекты, действующие на него (в том числе и связи!); оценить их воздействия соответствующими силами; применяя для каждого тела системы второй закон Ньютона, ввести все действующие на тело силы в уравнение этого закона (сила F в уравнении (2.1) и есть герметрическая сумма всех этих сил!) — такой общий подход всегда должен использоваться при решении подобных задач. Связь сил взаимодействия при этом можно установить, применяя третий закон Ньютона к каждой паре взаимодействующих тел.
Какие тела непосредственно действуют на тело / рассматриваемой задачи? Таких тел три (если не учитывается сопротивление воздуха при движении): Земля, поверхность стола, по которой тело движется, и нить. Оценим их воздействия силами, приложенными к телу / (рис. 2.8, б): Pt — сила тяжести тела, результат воздействия Земли; R — сила реакции со стороны стола; 1\ — сила воздействия нити. (При учете трения между поверхностями тела I и стола пришлось бы приложить еще силу трения.)
Обозначим на том же рисунке стрелкой направление возможного ускорения ai..
Составим уравнение второго закона Ньютона для тела /:
Pi+R+Ti-miBi;
спроецируем все его слагаемые на оси ОХ и OY неподвижной системы отсчета, связанной со столом:
Переходя к уравнениям для модулей, имеем
711=/?21<21, Р=Рг, -•
на основании чего заключаем, что причиной ускоренного движения тела I в горизонтальном направлении является только сила Тх воздействия на него нити, а силы R и Рг
взаимно уравновешиваются и не влияют на ускорение движения тела в горизонтальном направлении.
На рис. 2.8, в представлена схема сил, действующих на тело IL Проецируя уравнение второго закона Ньютона
F+P2+T2=/n2a2
на координатную ось 0Y, получим
7*уН- Р 2^4"Тгу—^г^гу»
или, переходя к модулям,—
F—P^—Т^т^
т. е. ускорение телу // сообщает результирующая трех сил, F, Р2 и Т2.
Учитывая, что а^а^ (так как нить нерастяжима) и 7*1=Т2 (вследствие невесомости нити), можно определить ускорения обоих тел и силы воздействия на тела со стороны нити (или силу натяжения нити):
F — p^р_—т0
а — а.^а» — —;—- = —
2 ^1 + ^2 тг + w2 *
прт пр т^2^
21/«1 + ^21 + /П2//И/
Подчеркнем еще раз, что ускорения тел / и // равны по модулю, но, поскольку массы тел неодинаковы, эти ускорения не могут сообщаться даже равными по модулю силами.
Обратим внимание на то, что характер взаимодействия тел системы в некоторых случаях может зависеть от такого, казалось бы, незначительного фактора, как направление движения системы.
Задача. Зависит ли модуль ускорения движения системы, изображенной на рис. 2.10, а, оттого, к какому из тел приложена внешняя сила F? Зависит ли модуль силы натяжения нити от направления движения системы? Условимся, что поверхность, по которой движутся тела, горизонтальна и идеально гладкая (считаем отсутствующими силы трения), сопротивлением воздуха при движении пренебрежем, нить, которой связаны грузы, будем считать нерастяжимой и невесомой. Два варианта приложения сил к движущимся телам системы представлены на рис. 2.10, бив.
Уравнения второго закона Ньютона для обоих тел в обоих случаях Движения
Р14-Ь4- Ri4” F = /7?1ai,Р24- R24"Ti = m2ai,
Pi4-T24- Ri — т^,Р24^Р4-R2 4~^2 = m2a2
не имеет смысла проецировать на координатную осьО/, так как движение тел происходит по горизонтали и интересующие нас величины дают
на ось 0Y проекции, равные нулю Поэтому запишем уравнения в про* екциях на ось ОХ.
Рlx + Tix-\- Rlx + ^х = пг1а1х»Р2x4" Рах^Тчх — ^2Й1Х»
Р1х + ^^х4т R1X = т1а^Х» Р*1хА"РхА"РъхА"Тах = ГПаС1<Ьх> или, переходя к уравнениям для модулей,
Тх — Е = — т^ь — Т1 — — m2aL(а)
Т2 = m^VF—T^ пг^.(б)
Нерастяжимость нити приводит к равенствам ai=ai (обозначим эти равные величины через а^ и а2=а2 (обозначим через а2), а невесомость нити позволяет написать равенства Л^^^Л и ^2“ ^2“ ^2.
Рис. 2.10.
С учетом этих равенств системы уравнений (а) и (б) приводят к одинаковым результатам для ускорений:
и к неодинаковым — для сил натяжения нити:
Тг = Р —,Тг=Р —^ .(г)
v jnY-Vm^m^m^'
Если тг>т^ то Т2> Тг В самом деле, сила натяжения нити в двух рассматриваемых случаях должна сообщать одно и то же ускорение разным по массе телам. Почленно разделив выражения (г), находим, что
Т1 ^2 т2
т. е. сила натяжения нити пропорциональна массе того тела, для которого эта сила является единственной, сообщающей ускорение в заданном направлении (как и должно быть при определении силы в согласии со вторым законом Ньютона).
Можно показать, что при учете трения, характеризующегося для обоих тел коэффициентом трения Л, системы уравнений приводятся
102
к виду
F — T\ —kmYg = mtat>Tt — km^g = m^at(д)
и
Т^ — кт^ — т^F— T\ — km2g — m2a2t(e)
откуда сноваоткуда сноваT —F m“1тх + т2T —F m“1тх + т2T =F mt2 т^т/T =F mt2 т^т/
откуда снова
откуда снова
T —F m“
1тх + т2
T —F m“
1тх + т2
T =F mt
2 т^т/
T =F mt
2 т^т/
т. e. силы натяжения нити по-прежнему определяются формулами (г) и не зависят от наличия сил трения, если только коэффициенты трения для обоих тел при их движении по одной и той же опорной поверхности равны.
Решая системы уравнений (д) и (е) относительно ускорений, для случаев движения тел и вправо и влево получаем
F
а1 = а2 =:kg.
пцАпч
Как и следовало ожидать, ускорения рассматриваемых тел при движении под воздействием одной и той же силы F при наличии трения оказываются меньшими, чем в его отсутствие
Воздействие тела на движущуюся опору. Вес тела. Пусть, например, к потолку кабины лифта на пружине подвешено тело, масса которого равна т^ а на полу кабины лежит тело, масса которого т2 (рис. 2.11, а). С какой силой
первое тело растягивает пружину и второе действует на пол кабины, если лифт движется: 1) с ускорением ai вверх и 2) с ускорением а2 вниз в неподвижной системе отсчета, связанной с Землей?
Схемы воздействия сил на тела в двух вариантах движения по* форме совершенно одинаковы" (рис. 2.11,6 и в): на первое тело действуют сила тяжести Pi и сила натяжения пружины Т1 или Т2, а на второе — сила тяжести Р2 и сила
реакции пола Ri или R2. Под действием этих сил тела в первом случае должны двигаться вверх с ускорением ап а во втором случае — с ускорением^ вниз. Запишем уравнения второго закона Ньютона для обоих тел в первом случае:
Ъ+Р^^аь Ri+Pa^^ax.
Уравнения для проекций на координатную ось OY ^’ly+^ly^^l^lytRly~V* Рау ^2^1^
позволяют получить уравнения для модулей:
Тх— Px=m,iauRx— P^tn^ix*
Выразив Тх и Rx в явном виде:
T1=Px+m1ax1 Rx=P2+m2ai, заключаем, что искомые силы воздействия со стороны первого тела на пружину и со стороны второго на пол кабины (в согласии с третьим законом Ньютона равные силам Тх и Ri по модулю, но по направлению им противоположные) будут больше сил тяжести соответствующих тел; так как ТС>Рх и 7?1>Р3. Тела становятся как бы тяжелее. Равенства Тх^Рх и Rx—Ра выполняются только при условии равномерного прямолинейного движения системы или покоя (^=0). ,
Составив уравнения второго закона Ньютона для обоих тел во втором случае:
Pi+ Т2=т!а2,Р2+ R2=m2a2l
и выполнив, как обычно, соответствующие математические операции, получим
и
Р ly^Piy ^1^2 у,
Р1—Тг^/Ит^г,
Р 2y~VRay Ш2^2у
Ра—Ra==tri2a2t -
откуда
Т а^^Р1 171x^29
Ra^Pa—^ 2^2,
т. е. силы воздействия тел на пружину и пол теперь меньше сил тяжести этих тел. Переписав последние выражения в виде
- T2-=mrg—mxa2=mx^g—я2) и
R^m2g—m2a2=m2(g—a2^
легко заметить, что первое тело перестает растягивать пружину (Т2=0), а второе — давить на пол (Т?2=0), если лифт движется вниз с ускорением свободного падения (я2= =g). В подобных случаях говорят о невесомости тела (или о состоянии невесомости).
В связи с этим остановимся на определении понятия веса тела, которое в последнее время потребовало некоторых уточнений.
Весом тела называется сила, с которой это тело вследствие притяжения его к Земле действует на горизонтальную опору или вертикальный подвес. Такой опорой может быть горизонтальная поверхность, на которой тело лежит, а подвесом — нить^ прикрепленная к потолку, на которой данное тело висит, или какие-то другие тела, удерживающие рассматриваемое тело от свободного падения.
В согласии с этим определением вес (или сила веса) рассматриваемого тела действует не на само тело, а на горизонтальную опору или на вертикальный подвес. Кроме того, вес данного тела может быть равным его силе тяжести, но может быть и меньше, и больше силы тяжести, и даже равняться нулю. Это будет зависеть от того, покоится опора (или подвес) относительно Земли или движется, и если движется, то как: равномерно и прямолинейно (инерциально) или ускоренно. При ускоренном движении опоры (подвеса) вес тела будет зависеть и от модуля, и от направления ускорения.
В только что рассмотренном нами примере силы, действовавшие со стороны тел на пружину и на пол кабины лифта, как раз и представляли собой силы веса тел. Вес равнялся силе тяжести тела только в случае покоя или равномерного и прямолинейного движения опоры (подвеса). Если же опора или подвес двигались с ускорением, сила воздействия на них со стороны тела — вес тела — могла отличаться от силы тяжести этого тела. При движении опоры (подвеса) вертикально .вниз с ускорением, рацным ускорению свободного падения g, вес тела становился равным нулю: тело переставало взаимодействовать с «уходящей из-под него» опорой или с «набегающим на него» подвесом.
Задача. На одной чашке рычажных весов находится очень легкий блок с перекинутой через него нерастяжимой невесомой нитью, к концам которой подвешены грузы, массы которых равны ^=1,0 кг и /п2= =2,0'кг. Сначала блок застопорен и вторая чашка уравновешена с первой гирями (рис. 2.122 а). Нарушится ли равновесие весов2 если грузы начнут двигаться?
Здесь, как и ранее, невесомость нити означает, что массой (силой тяжести или весом) нити можно пренебречь по сравнению с массами (силами тяжести или силами веса) других тел. Вес нити мал, но не равен нулю! (Не путать с невесомостью в смысле отсутствия силы воздействия нити на свободно падающую опору, когда вес нити в точности равен нулю1)
В случае покоя грузов на правую чашку весов через нить, блок и кронштейн передается сила, равная сумме сил тяжести Рх и Р2 грузов, т. е. сила, приблизительно равная 29 Н. При равновесии весов на левую чашку должна действовать такая же сила, т. е. сила тяжести гирь также равна 29 Н. (Ясно, что при неподвижных чашках весов можно говорить
Рис. 2.12.Рис. 2.12.
Рис. 2.12.
Рис. 2.12.
о равенстве силы веса гирь, действующей на левую чашку, и суммарного веса грузов, действующего на правую чашку )
При движении грузов силы натяжения левой и правой частей нити уже не будут равны силам тяжести грузов В этом можно убедиться, применив к обоим телам второй закон Ньютона Воспользовавшись неподвижной системой отсчета, связанной, например, со столом, на котором стоят весы (на рис. 2 12, б изображены координатные оси ОХ и ОУ х этой системы отсчета), приходим к системам уравнений
71у + ^ly — ^l^lyi71у + ^ly — ^l^lyiР2у -j- Тгу — tn^a^yiР2у -j- Тгу — tn^a^yiТ^Р^т^, 'Р2 + Т2 = т2а2;
71у + ^ly — ^l^lyi
71у + ^ly — ^l^lyi
Р2у -j- Тгу — tn^a^yi
Р2у -j- Тгу — tn^a^yi
(а)(а)Т1 — Р1 = пг1а11Р2 — Т2 = пг2а2.
(а)
(а)
Так как нить нерастяжима, то а^а^ или, обозначая эти величины через а,
a=av=a2.(б)
Невесомость блока позволяет заключить, что
71 = Т2,(в)
а для невесомой нити на основании третьего закона Ньютона
7Т = т'ъ T2 = TV
Вводя обозначение Т, с учетом равенств (в), (г) имеем
Т^Т1==Т1 = Т2 = Т2.
Теперь система уравнений (а) может быть представлена в виде
Т—Р^т^,Р2—Т=т2а,
или
Т—mTg= т^сцm^g— Т=п^а,
откуда
— mx-VmV
При движении грузов на правую чашку весов через блок и кронштейн передается сила, равная 2Tt т. е. сила приблизительно в 26 H# меньшая, чем при неподвижных грузах. Значит, равновесие весов нарушится: чашка с гирями перетянет
Динамика движения материальной точки по окружности
Для того чтобы материальная точка могла двигаться по окружности заданного радиуса R, совершенно обязательным является наличие такой силы, которая смогла бы сообщить ей необходимое центростремительное ускорение ацс. Эту силу часто называют центростремительной силой. Но это не какая-то особая сила, подчиняющаяся каким-то особым законам.
Даже равномерное движение по окружности, как мы помним, представляет собой пример ускоренного движения, так как вектор скорости должен все время менять свое направление. Это изменение характеризуется центростремительным ускорением ацс, которое ничем не отличается от любого другого ускорения, входящего в уравнение второго закона Ньютона. Смысл центростремительного ускорения — оценка изменения вектора скорости с течением времени по направлению. По второму закону Ньютона причиной такого изменения может быть только какая-то сила.
Часто совершенно ошибочно центростремительную силу наделяют качествами, ей не присущими, рассматривают ее как самостоятельную силу, действующую на точку, движущуюся по окружности. Например, считают, что на маленький шарик, обращающийся по окружности, действуют: сила тяжести, сила натяжения нити и центростремительная Ьила.
Центростремительной силы, взявшейся ниоткуда, не существует. Она является мерой воздействия на данную материальную точку всех тех внешних тел или объектов, которые
обеспечивают движение точки по окружности. Ведь сама по себе точка может двигаться только равномерно и прямолинейно, а движение по окружности — это ускоренное движение (хотя бы в смысле изменения направления вектора скорости), невозможное без действия сил, а значит, и без действия других тел или объектов.
Такими телами, внешними по отношению к движущейся по окружности материальной точке, могут быть: Земля (тогда функции центростремительной силы берет на себя сила тяжести), нить, удерживающая точку на окружности (тогда центростремительной силой является сила воздействия нити), рельсы или другая опора (тогда сила реакции этой опоры является причиной центростремительного ускорения) или одновременно несколько тел (тогда центростремительной силой может быть результирующая сила от воздействия всех этих тел).
Динамический расчет движения точки (или тела, принимаемого за материальную точку) по окружности не требует какого-либо специального подхода, кроме обычного динамического. И если так, то никаких других законов, кроме законов Ньютона, не следует применять для описания причин таких движений.
Опять нужно выявить все материальные объекты^ действующие на данную точку, и оценить их воздействия силами, приложенными к точке. Если равнодействующая F2 всех этих сил (или ее составляющая) будет направлена по радиусу траектории точки к центру, вокруг которого точка должна двигаться, можно анализировать достаточность этих воздействий для интересующего нас движения.
Пусть, например, материальная лючка должна двигаться по окружности в какой-то инерциальной системе отсчета. Необходимое для такого движения центростремительное ускорение легко подсчитать по формуле (1.10). Обозначим вектор этого ускорения через ajc. Если сила F2 удовлетворяет условию Fs/m—йцс, будет возможным устойчивое движение точки по окружности. Если же Р2/т>ацС или Р2/т<ацС, точка не сможет двигаться по заданной окружности с заданной скоростью, она будет или впадать» с окружности к ее центру, или «слетать» с окружности, удаляясь от ее центра.
Заметим, что равенство Р2/т=ацС будет являться не чем иным, как уравнением второго закона Ньютона для равномерно движущейся по окружности материальной точкц. Учитывая, что векторы F2 и ацС Для любого момента време- 108
ни совпадают по направлению (они направлены вдоль радиуса к центру окружности), уравнение второго закона Ньютона можно записать в скалярной форме:
где Fs — проекция результирующей всех действующих на материальную точку сил на направление радиуса окружности.
Задача. Определить силу, действующую на мост со стороны автомобиля, масса которого т= 1000 кг, движущегося равномерно (о= = 10,0 м/с) по плоскому горизонтальному мосту (Z); по выпуклому мосту (ZZ); по вогнутому мосту (ZZZ) (рис. 2.13, а)» В случаях ZZ и III
1^31^3Рис» 2.13.Рис» 2.13.IF б)IF б)
1^3
1^3
Рис» 2.13.
Рис» 2.13.
IF б)
IF б)
считать радиус кривизны моста равным г= 100 м и рассмотреть момент прохождения автомобилем верхней или нижней точки.
Будем рассматривать движение автомобиля в инерциальной системе отсчета, связанной с мостом (координатные оси ОХ и OY этой системы показаны на рис. 2.13, а).
Силы, действующие на автомобиль во всех трех случаях (при отсутствии сил сопротивления), показаны на рис. 2.13, б.
Случай 1. Автомобиль движется равномерно и прямолинейно по горизонтали. При этом на него действуют две силы: сила тяжести Р и сила реакции моста Ri. На основании второго закона Ньютона имеем
Ri+? = 0,Fly+P^ = 0,Fi-P=O,
откуда
Fi—Pg
т. е. сила воздействия автомобиля на моет (в согласии с третьим законом Ньютона по модулю равная силе Ri, но противоположно ей направленная) будет равна силе тяжести автомобиля (^9810 Н).
Случай II. Необходимое для движения по дуге окружности центростремительное ускорение а2 может быть обеспечено результирую-
щей двух сил, действующих на автомобиль: силы тяжести Р и силы реакции R2. Тогда
Р+ R2=ma2, Py+R^ma^y. —P+R^—ma* откуда
R^= Р—тоу= mg—ma^ т (g—a^.
Модуль центростремительного ускорения, как всегда, может быть выражен через модуль скорости движения и радиус кривизны траектории a^—xj-jr, т. е.
( и2 \
R^mg\\ — — y(а)
Подставляя численные значения, получаем
/10 О2 \
R^ 1000-9,81 1) « 8810 II.
уУ ,01 • 1 ии /
Значение искомой силы воздействия автомобиля на мост будет равно R^ (по третьему закону Ньютона). Как видим, при движении по выпуклому мосту сила воздействия на мост оказывается меньше силы тяжести автомобиля.
Неравенство R^<P как раз и говорит о том, что «избыток» силы тяжести по сравнению с силой реакции моста и обеспечивает в данном случае центростремительное ускорение. Земля притягивает автомобиль сильнее, чем его отталкивает мост.
Случай III. Теперь центростремительное ускорение должно быть направлено вертикально вверх и может возникнуть только из-за неравенства модулей сил R3 и Р, действующих на автомобиль. Для этого случая движения имеем
Rs + P = ^a3,^3y+^y = ^3j>Re — Р = та^
откуда
R3=P-V~ma3
Учитывая снова, что а3=ий/г, имеем R3=P-Vm^kY или
( и2 \
#3 = mg^l+—(б)
Подставляя числа, получаем
/10 О2 \
R3= 1000-9,81 1+-^_ ) « 10 800 Н
Таким же будет значение силы воздействия автомобиля на мост, т. е> теперь эта сила будет больше силы тяжести автомобиля.
Анализ выражений (а) и (б) представляет практический интерес Кстати, заметим, что если будет рассматриваться движение автомобиля не в верхней точке выпуклого и не в нижней точке вогнутого моста, то центростремительное ускорение будет обеспечиваться силами реакции моста R2 и R3 и радиальными составляющими силы тяжести автомобиля Р2 и Р3 (рис. 2.14). Рассмотрим точки мостов, характеризующиеся углом а наклона к вертикали радиусов, проведенных в эти точки. Выбирая координатную ось для проецирования векторов сил и вектора центростремительного ускорения совпадающей с любым из этих радиусов,
можно получить выражения для сил реакции моста (или сил воздействия автомобиля на мост) в произвольных точках:
(в)(г)(в)(г)/?2 = mg \ cos а,\ йг /
(в)
(г)
(в)
(г)
/?3 = m4cosa+-j.
Видно, что эти выражения переходят в выражения (а) и (б) при а=0.
Сравнение выражений (в) и (г) показывает, что при заданных т и о и при нахождении автомобиля в точках моста, характеризующихся одним и тем же углом а, на вогнутый мост действует большая сила, чем на выпуклый. Поэтому вогнутых мостов и не строят
Строить такие мосты действительно невыгодно. Но с вогнутостью приходится считаться, даже если мост плоский, так как он прогибается, если по нему движутся тяжелые тела. При этом радиус кривизны моста г
Рис. 2.14.Рис. 2.14.
Рис. 2.14.
Рис. 2.14.
может быть значительным, но все же не бесконечно большим. В некоторых точках такого моста сила воздействия со стороны автомобиля не будет превышать силу тяжести Р (эти точки можно найти из условия cos а+и2/^г=1), но в самой нижней точке прогнувшегося моста сила воздействия будет наверняка больше силы тяжести автомобиля (при а—О и г<оо значение суммы cos а+и2/^ в формуле (г) будет больше единицы и, следовательно, R^>PY
Из выражения (г) видно, что уменьшение скорости движения автомобиля уменьшает силу воздействия на вогнутый (или прогибающийся плоский) мост. Дорожные знаки, ограничивающие скорость при въезде на мосты, вывешиваются неспроста!
Для выпуклого моста дела обстоят как будто иначе: рост скорости движения автомобиля уменьшает силу воздействия на мост (см. выражения (а) или (в)). Но здесь имеется новая неприятность. Если скорость движения автомобиля по выпуклому мосту равна величине VЙг cos а> то выражение, стоящее в скобках в формуле (в), обращается в нуль. Тогда сила реакции моста становится равной нулю, а это будет соответствовать тому, что автомобиль перестал действовать на мост, т е. «оторвался» от моста и движется, не касаясь его, в воздухе. Обычные транспортные средства, для таких «полетов» не приспособленные, вынуждены сбавлять скорость ниже определенной предельной. Эта предельная скорость зависит от геометрии моста — от радиуса его кривизны, от значений углов а между радиусами, проведенными в начальную и конечную
точки моста, и вертикалью (если не считать зависимости от g) — и не зависит от массы движущегося тела, так что знак ограничения скорости при въезде на выпуклый мост относится и к легковым автомобилям, и к многотонным грузовикам.
Задача. Рассмотрим условия, при которых возможно движение мотоцикла в аттракционе «мотогонки по вертикальной стене». В этом случае мотоцикл должен двигаться по внутренней поверхности вертикального цилиндрического помоста. Для простоты будем считать, что движение происходит по горизонтальной окружности. Предельная скорость, развиваемая мотоциклом, равна у, радиус цилиндра г (рис. 2.15, а).
Приняв мотоцикл за материальную точку, рассмотрим, какие силы должны действовать на нее в положении S (рис. 2.15, 6).
Снизу мотоцикл не имеет никакой опоры, и, чтобы он не падал, его сила тяжести Р должна быть уравновешена какой-то силой, направленной вертикально вверх. Такой силой в нашем примере может быть только
Рис.Рис.2.15.2.15.сила трения FTp, возникающая между шияамй колес мотоцикла и опорной цилиндрической поверхностью. Чтобы ввести эту силу в наш анализ, зададимся коэффициентом трения между колесами и стенкой. Пусть он равен ^. Центростремительное ускорение, которое должен иметь Мотоцикл, чтобы двигаться по окружности, в данном случае обеспечивает стенка, действуя на мотоцикл с силой реакции R.
Рис.
Рис.
2.15.
2.15.
Итак, на мотоцикл действу
ют три силы: Р, FTp и R. Обратим внимание, что введенная сила трения FTp — это не сила трения качения, направленная горизонтально против движения по касательной к траектории. Силу трения качения будет преодолевать двигатель, создавая силу тяги, и, поскольку характеристики двигателя не заданы,*этой силой интересоваться, очевидно, не стоит. Не она определяет условия устойчивого движения мотоцикла. Введенная нами сила FTp— это сила трения покоя, удерживающая мотоцикл от вертикального сползания по стенке. Она должна быть достаточной, чтобы уравновесить силу тяжести мотоцикла Р.
Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с цилиндрической стенкой (на рис. 2.15 указаны координатные оси ОХ и ОК этой системы отсчета). -
Проецируя все векторы, входящие в уравнение второго закона Ньютона '
FTp+R + P = ma,
на обе координатные оси, получаем откуда
R — ma, FTp—P = 0.(а)
Учитывая, что в данном случае a=&lr, F^~kR (и, как всегда, P—mg), вместо уравнений (а) можем написать'
R=m — и kR = mgt
откуда
1 и2
При заданных г и у останется только подобрать такой материал настила, который в паре с материалом колесных шин обеспечил бы значение коэффициента трения, определяемое из соотношения
k—grlxK(б)
Заметим, что при устройстве такого аттракциона, конечно, придется считаться и с географической широтой места его расположения (учет ускорения силы тяжести g)
Анализируя формулу (б) в любой системе единиц, легко убедиться, что величина к безразмерна.'
Динамика гармонических колебательных движений
Для возникновения любых колебательных движений необходимы некоторые воздействия. Для пружинного, нитяного, физического маятников и других систем, совершающих колебания, такими возбуждающими причинами являются какие-то внешние силы (например, нитяной маятник мы выводим из положения равновесия,, пружину сжимаем или растягиваем). Эти силы возбуждают колебания даже при однократном воздействии на систему, а далее колебания поддерживаются какими-то внешними или внутренними силами, действующими в течение всего того времени, пока система совершает колебательное движение.
Свободные незатухающие колебания маятников. Колебания системы, выведенной из состояния равновесия и не подверженной действию периодически изменяющихся внешних сил, называют свободными колебаниями. Если можно пренебречь силами сопротивления движению системы (силами трения о воздух и т. п.), то говорят о свободных незатухающих колебаниях (иначе такие колебания называются собственными^. Если бы какая-то материальная точка могла совершать свободные незатухающие колебания, то амплитудные значения ее смещения, скорости и ускорения, определенные из начальных условий, должны были бы сохраняться неизменными в течение неограниченного времени. В реальных условиях собственные колебания получить, конечно, не удается, но в некоторых случаях такой идеализацией с успехом пользуются.
В качестве примеров рассмотрим собственные гармонические колебания некоторых простейших систем й выясним, какими силами эти колебания поддерживаются.
Пусть к пружине прикреплено тело, которое может* скользить по идеально гладкому стержню (рис. 2.16); масса тела т, коэффициент упругости пружины к (такая система называется горизонтальным пружинным маятником). Стержень и левый конец пружины жестко закреплены в неподвижной стенке, с которой мы свяжем инерциальную систему отсчета.
Стержень в данном случае предотвращает движение тела в вертикальном направлении (сила реакции стержня R уравновешивает силу тяжести тела Р).
Когда тело находится в положении 1. пружина не деформирована. В положении 2 на тело со стороны растянутой ^пружины действует сила упру-
=. * гости Fynp> сообщая телу ускоре- 0 и и и ipние> направленное к положению
I^оравновесия. Составив уравнение
I Fynp ‘( 2второго закона Ньютона для те-
ла в положении 2
Г а^ vpFynp + R + Р = ma
I [> и спроецировав его на коорди-
^P^^J х натную ось ОХ. получим
Рис. 2.16.F^x = maxi
откуда видно, что ускоренное движение тела обеспечивается только лишь силой упругости пружины.
Проекция вектора ускорения тела на ось ОХ с учетом (1.29) может быть представлена в виде
ах = -— о) о Ах,
где через а>0 обозначена циклическая частота собственных колебаний пружинного маятника.
На основании уравнения (2.7) имеем
^упр X 1^ АХ,
т. е. для рассматриваемого маятника выполняется равенство —к kx = m (— too Ах), откуда можно получить формулу для определения циклической частоты собственных колебаний пружинного маятника:
(2.Н)(2.Н)to0 = Кк/т.
(2.Н)
(2.Н)
Учитывая, что Т^л/ю, имеем формулу для расчета периода свободных незатухающих колебаний пружинного маят
ника:
(2.12)
Математический маятник (материальная точка массой т, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной /), выведенный из положения равновесия OD (рис. 2.17, а), может совершать колебательное движение, при котором материальная точка движется по дуге окружности CN.
В произвольном положении В на точку действуют две силы: сила тяжести Р и сила натяжения нити Q. Здесь, как и во многих других случаях, мы для упрощения анализа
считаем нить нерастяжимой, т. е. пренебрегаем деформа цией нити по сравнению с ее длиной или по сравнению с модулем Аг смещения точки от положения равновесия, но не можем пренебречь силой упругости, силой натяжения нити, так как без воздействия силы Q точка не будет двигаться по дуге окружности с центром в точке D.
Колебания математического маятника в строгом смысле не являются гармоническими (см. стр. 49). Это следует из того, что материальная точка совершает неравномерное криволинейное движение, при котором и нормальное, и тангенциальное ускорения не равны нулю При этом вектор а полного ускорения точки не может быть направлен к положению равновесия О, как это бывает при гармонических колебаниях пружинного маятника (угол между векторами а и Аг отличается от л рад), и величины, характеризующие движение маятника (смещение Аг, скорость, ускорение), с течением времени изменяются не гармонически (синусоидально или косинусоидально), а по более сложному закону.
В элементарном курсе физики .рассматривают простейший случай колебаний математического маятника, который имеет место при малых углах отклонения а маятника от положения равновесия (или при условии Дг-^/). В этом случае проекции векторов перемещения, скорости и ускорения конца маятника на горизонтальную координатную ось ОХ (рис. 2.17, а) изменяются практически по гармоническому закону. Инерциальная система отсчета выбирается при этом связанной с той подставкой, к которой прикреплен маятник.
Поскольку ни модуль, ни направление вектора а для произвольного положения маятника DB нам не известны векторное уравнение второго закона Ньютона
P+Q=ma
следует проецировать на координатные оси Вт\ и Bt„ ориентация которых показана на рис. 2.17, б:
Р^та^, (2.13)
P^+Q^ = mav (2.14)
При малых углах отклонения маятника от положения равновесия, очевидно, можно считать, что Дгч=Дгж= Дх, аг=ах и sin a=tg а=Дх//. Учет этих равенств и соотношения (1.29) позволяет на основании уравнения (2.13) и рис. 2.17, б считать, что —Psina=m(—®^Дх), или mg ^-= тю^Дх, где <оо — циклическая частота свободных незатухающих колебаний математического маятника, которая теперь может быть выражена явно:
®о = У1Гк (2.15)
С такой частотой будут изменяться смещение конца маятника Ах вдоль оси* ОХ, а также проекция скорости иж и проекция тангенциального ускорения ах.
Вспоминая известную связь периода колебаний с циклической частотой, получаем формулу для определения периода собственных колебаний математического маятника:
Т0 = 2лК/^. (2.16)
В уравнении (2.14) величина а^ является проекцией вектора нормального ускорения ап движущейся материальной точки на координатную ось Bt, (см. рис. 2.17, б). При малых углах отклонения маятника эту проекцию можно 116
выразить как
а^ап^^хЦ.
Если смещение конца маятника Ах вдоль оси ОХ описывается уравнением
Ах=Л sin(to0A/+q)0),то проекция скорости ух должна описываться уравнениемvx=to0A cos (о)0А^+ф0)
(см. уравнения (1.^6) и (1.27)). Для модуля нормального ускорения при этом получаем выражение
а„ = ^-COS» (togА/ + Фо) = ^- . l -cos(2^0A/+2<p0)^
C0S (2й)оД^ + 2(fo)’
откуда видно, что нормальное ускорение с течением времени изменяется не с частотой ®0, с которой изменяются смещение Ах, проекция скорости ух и тангенциальное ускорение ах, а с частотой, в два раза большей.
Теперь, зная характер изменения величины а^, на основании уравнения (2.14) можно выразить модуль силы натяжения нити математического маятника:
Q = m jg cos а + -^^^^- cos (2<в0 А/ + 2<р0) .
Видно, что закон изменения силы натяжения нити достаточно сложен.
Величина Р^ в уравнении (2.13) может быть истолкована и как проекция силы тяжести Р материальной точки на координатную ось Вк\, и как проекция на ту же координатную ось силы Р^, являющейся одной из составляющих силы тяжести Р (на рис. 2.17, в показаны два возможных варианта разложения вектора Р: на составляющие Р^ и Pj или на составляющие Рж и Pg). С учетом высказанных выше оговорок о малом угле отклонения а маятника от положения равновесия без дополнительного ущерба для точности нашего анализа можно считать, что РХ=Р,, РХ=РЧ и, наконец,
Рх^— (^J Ах, илиРх =—(то)^) Ах.
В этих двух уравнениях выражения, заключенные в скобки, равны' между собой и для данного математического
маятника, находящегося в данном пункте на земном шаре, постоянны. Вводя обозначение k'^mgH^m^, приходим к уравнению
А'Дх, (2.17)
аналогичному уравнению (2.7) закона Гука.
Теперь мы можем заключить, что силой, поддерживающей колебания математического маятника и периодически возвращающей маятник к положению равновесия, является составляющая Рх (или Р^) силы тяжести маятника.
Не следует думать, что колебания маятников и других систем поддерживаются только силами упругости или силами тяжести. Так бывает только в простейших случаях, когда отсутствуют воздействия других факторов.
Иногда приходится встречаться с силами, которые по своей природе не являются силами упругости, но для которых могут быть составлены уравнения вида (2.17), аналогичные по форме уравнению (2.7) для сил упругости. Такие силы называются квазиупругими, а коэффициент к* — коэффициентом квазиупругой силы. Составляющая Рх силы тяжести математического маятника — пример квазиупругой силы (эта сила возникает из-за гравитационного воздействия Земли на материальную точку математического маятника, а не из-за воздействия нити или каких-то других тел).
Рассмотренные примеры движения пружинного и математического маятников говорят о том, что динамический анализ колебательного движения не требует какого-либо особого подхода Исходным законом, который позволяет объяснить и описать движение этих маятников, является второй закон Ньютона. Многие соотношения для обоих типов маятников аналогичны по форме (сравните, например, формулы (2.11) и (2.15), (2 12) и (2.16), уравнения второго закона Ньютона в проекциях на координатную ось ОХ\ Все это, наряду с другими аналогиями в теории колебаний, свидетельствует об общем методе исследования любых колебаний.
Теория физического маятника в элементарном курсе не рассматривается, но расчет его движения может быть сведен к расчету математического, если известна приведённая длина физического маятника (Znp)— длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического. Можно представить, что, вводя приведенную длину, мы заменяем данный физический маятник (какое-то физическое тело) математическим маятником с массой, равной массе физического
маятника. Очень приближенно приведенную длину можно мыслить как расстояние от точки подвеса (или оси вращения) физического маятника до его центра тяжести. (В действительности приведенная длина отличается от этого расстояния, но такое ее представление имеет преимущество наглядности.)
Если после этого мы будем решать вопрос о периоде колебаний ведерка с водой, подвешенного на веревке, причем вода может вытекать из отверстия в его дне, то легко дать ответ об увеличении периода колебаний такого физического маятника. Это увеличение нужно будет объяснить не изменением массы (физический маятник уподоблен математическому, а период колебаний последнего от массы не зависит’), а увеличением приведенной длины (из-за опускания центра тяжести системы «ведро — вода» при вытекании воды) в формуле '
т=2лГ/„р/г.
Задача. На основании опытов известно, что период собственных колебаний математического маятника Тм зависит только от его длины I и от значения ускорения силы тяжести g в том пункте, где проводится опыт - Известно также, что период собственных колебаний пружинного маятника Тп зависит только от массы пг прикрепленного к пружине грузика и от коэффициента упругости к этой пружины Пользуясь только уравнениями связи наименований (размерностей) указанных величин, установить с точностью до безразмерного постоянного множителя вид этих зависимостей
Установление вида зависимости между несколькими величинами по уравнениям связи их размерностей — очень интересный метод, применяемый не только физикой. Нельзя думать, что «теория размерностей» позволяет устанавливать и открывать закономерности явлений природы, является универсальным «рецептом, как делать открытия». Но важным приемом проверки правильности полученной зависимости величин она, безусловно, служит.
Как мы проверяем правильность решения любой физической задачи? Прежде всего по размерности окончательной расчетной формулы. Если размерности правой и левой частей ее неодинаковы, значит, по ходу решения была допущена какая-то ошибка Поэтому-то обязательным является требование йолучить решение любой задачи сначала в общем, буквенном виде. Символы физических величин «подсказывают», какие единицы измерения вместо них нужно подставить в уравнение размерностей. Если же решение с самого начала проводится в числах, очень трудно бывает найти допущенную ошибку и проверить правильность результата.
Условия нашей задачи могут быть записаны в следующем виде:
Гп = С2Лв,Гп = С2Лв,Тм = Сг1а8\ (а)
Гп = С2Лв,
Гп = С2Лв,
(б)
119
где а, ₽, 7,6 — неизвестные показатели степени у соответствующих множителей, Q и С2 — безразмерные коэффициенты пропорциональности.
В СИ величины, входящие в уравнение (а), измеряются в следующих единицах: Тм — в секундах, / — в метрах, g — в м*с~2. Подставим эти размерности вместо соответствующих величин в уравнение (a)i с=ма.мр.С-2Р.
Условием выполнимости этого равенства будет являться равенство показателей степени у одинаковых единиц измерения в левой и правой частях:
а+р=0 и —2р= 1,откуда Р=—1/2 и а=1/2.
Подставляя эти значения в уравнение ^а), получаем интересующий нас вид зависимости для математического маятника:
T^c^g-^c,. VUg.
Это выражение совпадает с формулой (2.16) при условии, что Ct=2л. Такой же подход используется при решении второй части задачи. Величина Тп должна измеряться в секундах, пг — в кг, к — в Н/м или в кг*с~2 (так как на основании (2.6) коэффициент упругости измеряется в Н/м, а 1 Н=1 кг-м-с-2). Подставляя размерности в уравнение (б), получаем
V 6 —26 С = КГ -КГ *С , откуда
"7+6=0 и —26=1, т. е. 6=—1/2 и 7=1/2.
Следовательно, для периода колебаний пружинного маятника можно написать выражение "
Тл = С^п1/3&-1/а = С2 У^к,
которое совпадает с теоретически выведенной формулой (2.12) при С2=2л.
Затухающие и вынужденные колебания. При механиче- скйх колебаниях всех реальных систем, кроме прочих влияний, всегда имеются силы трения, приводящие к затуханию Свободных колебаний. Динамический расчет всех характеристик затухающих свободных колебаний пружинного и математического маятников снова начинается с привлечения второго закона Ньютона, уравнение которого для обоих типов маятников принимает вид
Fn + Fip = ma,(2.18)
где F„—сила, поддерживающая колебания, a FTp—сила трения. Силой F„ для пружинного маятника будет служить сила упругости пружины, а для математического — квази- упругая сила (составляющая силы тяжести). Заметим, что в обоих случаях сила F„ является силой, зависящей от координат.
Сложность расчета затухающих колебаний связана с тем, что должна учитываться зависимость силы трения от скорости движения грузика пружинного или математического маятника:
= (2.19)
В этом выражении Ъ — коэффициент сопротивления (или коэффициент трения), зависящий от формы колеблющегося тела и от среды, в которой происходит колебательное движение. Знак минус указывает на то, что сила трения в любой момент времени направлена в сторону, противоположную направлению скорости тела.
Можно показать, что циклическая частота со свободных затухающих колебаний пружинного и математического маятников оказывается меньшей, чем циклическая частота to^ собственных колебаний этих маятников:
(2.20)
а смещение вдоль оси ОХ описывается уравнением
Ax=/li~2m- sin (со А/+ фо), (2.21)
где А — так называемая начальная амплитуда (амплитудное значение смещения в начальный момент времени, когда Д/=0). Выражение Ае^^м позволяет определить мгновенное значение амплитуды смешения в любой момент времени (по истечении времени Nt от момента начала отсчета времени). Мгновенное значение амплитуды смещения системы, совершающей затухающие колебания, с течением времени уменьшается.
Для осуществления продолжительного колебательного цроцесса приходится компенсировать влияние трения воздействием каких-то внешних вынуждающих сил, причем эти силы могут периодически изменяться с течением времени, например, по закону синуса или косинуса:
FB = Fo sin Й Nt, FB = Fo cos Й AL (2.22) В таких случаях говорят о вынужденных колебаниях.
(2.23)121(2.23)121Fn + FTp + FB = /na.Fn + FTp + FB = /na.Уравнение второго закона Ньютона для пружинного или математического маятников, совершающих вынужденные колебания, будет содержать теперь в левой части три слагаемых:
(2.23)
121
(2.23)
121
Fn + FTp + FB = /na.
Fn + FTp + FB = /na.
Кроме упругой или квазиупругой поддерживающей силы Fn и силы трения FTp на систему действует вынуждающая сила FB. В простейшем случае, когда система колеблется вдоль координатной оси ОХ и вынуждающая сила направлена вдоль этой же оси ^FBX=±iF^, уравнение для смещения может быть получено, например, в таком виде:
Дх= Лв8Й1(ЙД/ + ф01) + Ле 2m sin (ю Д/+ ф02). (2.24)
С течением времени второе слагаемое уменьшается до нуля, и смещение системы, совершающей установившиеся вынужденные колебания, описывается уравнением
' Дх = Лвзш(ЙД/ +ф01), (2.25)
где Лв — амплитуда смещения при установившихся "вынужденных колебаниях, a Q — циклическая частота изменения вынуждающей силы.
Таким образом, спустя некоторое время после начала действия вынуждающей силы колебания совершаются с частотой Q независимо от того, с какой частотой а>0 могут происходить свободные незатухающие колебания данной системы. Вынуждающая сила «навязывает» системе колебания с частотой Q.
- Амплитуда смещения Лв оказывается пропорциональной амплитуде вынуждающей силы Fo (в рассматриваемом нами случае F03C=F0):
m КМ - Й2)2 + № Q2 ’
(2.27)(2.27)и достигает наибольшего значения д fo
(2.27)
(2.27)
в м а кс1 /—
bV ti>a — (b2/4m2)
при условии, что циклическая частота Q изменений вынуждающей силы, действующей на данную колеблющуюся систему с неизменными характеристиками т, к (или k'Y со» и Ь, удовлетворяет соотношению
Q - У^»—^Q - У^»—^(2 28)(2 28)
Q - У^»—^
Q - У^»—^
(2 28)
(2 28)
Обычно в элементарном курсе физики, рассматривая вынужденные механические колебания (на примерах пружинного, математического или физического маятников), огра-
ничиваются лишь анализом возрастания амплитуды смеще- ййя вдоль одной из координатных осей. При этом говорят о явлении резонанса, вкладывая в это понятие не всегда один и тот же смысл.
Иногда резонансом называют явление максимального возрастания амплитуды смещения колеблющейся системы, а иногда — факт совпадения частоты Q вынуждающей силы с частотой to0 собственных колебаний данной системы (величины т, к, tog и Ь, характеризующие, колебания системы, считаются при этом неизменными).
Путаница возникает, когда оба смысла понятия отождествляются или ставятся в прямую зависимость друг от друга, независимо от уточнения механизма происходящих колебаний. Например, считают, что максимальное возрастание амплитуды смещения наблюдается при непременном условии равенства частот Q = to0.
Анализируя выражение (2.28), приходим к заключению, что условие Q=to0 могло бы иметь место, если бы на систему не действовали силы трения (6=0). При этом на основании (2.27) для наибольшей амплитуды смещения получили бы Лвмакс=°°.Это означает, что колеблющаяся система обязательно должна была бы разрушиться. Такие случаи мы не рассматриваем в элементарном курсе физики не только из-за их нереальности (6=0), но и потому, что колебания при больших амплитудах смещения от положения равновесия перестают быть гармоническими и многие из тех соотношений, которыми мы пользовались, теряют смысл.
Во всех реальных системах действуют силы трения (6>0) и максимальное (но не бесконечно большое) возрастание амплитуды смещения имеет место при условии Q<to0 (см. соотношение (2.28)). Если же выполняется равенство Q=to0, то амплитуда смещения имеет не самое большое значение из возможных. С этим нужно считаться, давая то или иное определение явлению резонанса.
Понятно, что для реальных систем оба приведенных выше определения становятся равнозначными, если силы трения малы по сравнению с другими силами, действующими на систему (при этом можно считать, что 6^0 и Лв=Лвмакс при Q^too).
Не рассматривая условий, при которых в реальных механических системах максимально возрастают амплитудные значения скорости и ускорения, следует упомянуть о возможности достижения максимальной амплитуды смещения при точном выполнении равенства, to0=Q. Это
наблюдается в тех случаях, когда за счет изменения параметров системы (например, изменяется масса т грузика пружинного маятника, длина нити I математического маятника и т. п.) изменяется частота свободных незатухающих колебаний системы о>о и система «настраивается» на частоту вынуждающей силы й. С подобной настройкой системы на определенную частоту внешних воздействий мы встречаемся и 4 в случае электромагнитных колебаний, когда параметры колебательного контура радиоприемника изменяются с таким расчетом, чтобы он наилучшим образом реагировал на частоту радиосигналов передатчика.
СТАТИКА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК И ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Условия статического равновесия
Задачей статики является рассмотрение условий равновесия сил, под действием которых материальная точка, тело или система тел могут находиться в состоянии покоя или инерциального движения.
Иногда говорят о том, что точка, тело и т. д. находятся в состоянии равновесия при воздействии на них сил, имея. в виду покой точки, тела или системы тел в заданной инерциальной системе отсчета. Действительно, такие случаи имеют место довольно часто и их рассмотрение представляет практический интерес. Но не следует забывать, что условия равновесия, изучаемые статикой, описывают не только покой или полную неподвижность точек, тел или систем тел.
Предположим, что в некоторой инерциальной системе отсчета находится покоящееся тело. В какой-то момент времени на тело начинает действовать система нескольких сил (Ръ Р2, ..., Гп). Может ли тело при воздействии на него всех этих сил остаться в состоянии покоя? Легко себе представить и проверить на опыте, что это возможно при условии равенства нулю геометрической суммы всех "приложенных к телу сил:
•F^Fi+.-.+F^O.(3.1)
Вместо этой векторной суммы можно записать эквивалентную ей систему уравнений для проекций сил на оси координат OX, OY, OZ:
^Ix+^xH-- • •+^’пх==О»
№,+•••■№,=0,(3.1')
fiz+^zzH".. .+^пг=0«
При выполнении условия (3.1) отсутствуют причины для изменения состояния покоя тела. Очевидно, это же условие будет относиться и к случаю сохранения неподвижности материальной точки под воздействием системы п сил, если точка до начала действия сил покоилась. ,
Кроме того, ясно, что если система сил, удовлетворяющая условию (3.1), подействует на тело, движущееся в данной системе отсчета поступательно, равномерно и -прямолинейно, или на инерциально движущуюся материальную точку, снова не появится причин для изменения указанных состояний движения тела или точки.
Таким образом, выполнение условия статического равновесия (3.1) в общем случае гарантирует сохранение неизменности инерциального движения материальной точки или равномерного и прямолинейного поступательного движения твердого тела, включая как частный случай и их покой.
При анализе статического равновесия тела, которое может вращаться вокруг какой-либо оси, условия (3.1) недостаточно. В самом деле, если на тело действует, например, пара сил (две равные по модулю, но противоположно направленные силы, точки приложения которых не совпадают), то условие (3.1) выполняется, но при этом состояние покоя или движения тела в данной инерциальной системе отсчета может измениться. Пара сил, приложенная к покоящемуся телу, приведет его во вращательное движение. Если же тело до приложения к нему пары сил уже вращалось, то она так или иначе изменит его вращательное движение (сообщит телу то или иное угловое ускорение).
Подобно тому как причиной ускоренного движения материальной точки или ускоренного поступательного движения твердого тела в инерциальной системе отсчета может быть только приложенная к ним сила, причиной начала, изменения или прекращения вращательного движения твердого тела (угловое ускорение в не равно нулю) относительно какой-либо оси является момент силы (Л4) относительно этой оси.
Пусть имеется тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси ОО, и к нему в какой-то точке приложена сила F (рис. 3.1). Найдем проекцию F^ приложенной к телу силы F на плоскость, проходящую через точку приложения силы перпендикулярно к оси вращения, а также кратчайшее расстояние г от оси вращения до линии этой проекции, которое носит название плеча силы. Момент силы F относительно оси 00 определяется как физическая величина,
М1+М2+...+Л1п=0.М1+М2+...+Л1п=0.(3.2)(3.2)
М1+М2+...+Л1п=0.
М1+М2+...+Л1п=0.
(3.2)
(3.2)
равная произведению проекции F^ действующей на тело
силы на длину плеча г;
М = Р^г.
Единицами измерения момента силы являются: 1 Н-м в СИ и 1 дин-см в системе СГС.
Если проекция приложенной к телу силы F на плоскость, перпендикулярную к оси вращения, равна нулю (fi=0), что возможно, когда сила F параллельна оси вращения, или если линия действия силы F пересекает ось вращения, то такие силы не смогут изменить вращательного движения
тела, не смогут явиться причинами отличного от нуля углового ускорения.
Таким образом, сила не является величиной, достаточной для описания и расчета вращательного движения тела. Не любая сила может явиться причиной изменения вращательного движения тела!
, Условием равновесия твер
дого тела, которое может совершать вращательное движение вокруг какой-либо неподвижной (закрепленной) оси, является равенство нулю суммы моментов сил относительно этой оси:
При этом моменты сил, вращающие тело вокруг данной оси по часовой стрелке и против часовой стрелки, берутся с разными знаками.
Если на тело действует пространственная система сид (векторы сил Fx, F2, ... Fn имеют различные направления) и тело имеет произвольно ориентированную неподвижную ось вращения OvOt (ни одна из координатных осей не совпадает с осью вращения) или неподвижный центр вращения О^ (рис. 3.2), то условие равновесия тела можно записать в виде равенств нулю сумм моментов всех действующих на тело сил относительно трех координатных осей:
(3.3)(3.3)Afix+M2x+.. .+Мпж=0,М1у+М2у + . . .А"МПу=0,МцАсМ»^- . .-|-Alnz=0.
(3.3)
(3.3)
Подобно тому как условие (3 1) в общем случае не исключает равномерного и прямолинейного движения тела -или точки, условие (3.3) не исключает возможности равномерного вращательного движения тела. Если относительно какой-либо оси сумма моментов всех приложенных к телу сил равна нулю, то тело может вращаться вокруг этой оси «само по себе» с постоянной угловой скоростью.
В какой-то инерциальной системе отсчета полностью неподвижное тело (не совершающее ни поступательного, ни вращательного движения) сохранит состояние покоя, если
на него начнет действовать система сил, одновременно удовлетворяющая условиям. (3.1) и (3.3).
Как видим, условия статического равновесия (3.1) и (3.3) описывают не только покой материальных точек или тел, но и их движения с линейными и угловыми ускорениями, равными нулю. Поэтому в общем случае следует говорить о статическом равновесии не только неподвижных материальных точек или тел, нои о равновесии инерциально движущихся точек или тел (например, они находятся внутри прямолинейно и равномерно движущегося вагона). К блокам, рычагам и другим твердым телам с осью вращения можно применять анализ статического равновесия, когда рассматривается не только их полная неподвижность, но и равномерное вращение. Но напомним еще раз, что чаще приходится слышать и читать о равновесии покоящихся точек, тел или систем тел.
Задача. Иногда тяжелый увязший в грязи автомобиль удается вытащить с помощью длинного троса, привязанного к автомобилю и к какому-нибудь неподвижному предмету (дереву, пню, стене дома и т. п.)(
воздействуя на трос небольшой силой, например силой веса одного человека. На чем основан такой способ?
На рис. 3.3, a D — точка крепления троса к автомобилю, В •—» точка крепления к дереву, в точке С приложен вес человека Р. Для удобства чертежа провисание троса показано сильно преувеличенным. Пусть провисшие левая и правая ветви троса составляют с горизонталью углы а и р.
Выделим мысленно точку троса С й рассмотрим ее статическое равновесие в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Нй рис. 3 3, а изображены координатные оси этой системы отсчета. В точке С приложены три внешние силы: вес человека Р, сила Tf, действующая со
Рис. 3.3.
стороны левой ветви троса, и сила Т2, действующая со стороны правой ветви троса. Условие (3.1) для точки С может быть записано в виде
Ti+T2+P=0, откудаt
Л*+^+рх=о, Tty+T2y+Py=o и —Tt cos а+ Т2 cos р=0,(а)
Тг sin «+ Т2 sin р—Р—0.(б)
Решая систему уравнений (а) и (б), при заданных а, Р и Р можно найти Т^ и, таким образом, определить силу, действующую на автомобиль со стороны троса в точке D (в согласии с третьим законом Ньютона значение этой силы равно Т^).
Чтобы не усложнять математические выкладки, предположим, что точка С находится на середине троса (рис. 3.3, б). Тогда а=р и на основании уравнения (а) Тг=Т^г=Т. Из уравнения (б) получаем 2Т sin а—Р и отсюда
2 sin а *(в)
Теперь понятно, что при малых углах а сила воздействия троса на автомобиль может во много раз превышать вес человека. Очевидно, угол а наклона ветвей троса будет тем меньше, чем длиннее будет трос.
Итак, план спасения автомобиля ясен: нужно взять по возможности длинный трос, натянуть его горизонтально и повиснуть на нем. При этом сила воздействия на автомобиль может быть значительной и достаточной,, чтобы сдвинуть его с топкого места.
Для практического выполнения этой задачи нам потребуется трос достаточно прочный: он должен выдерживать значительные усилия натяжения Т. Поскольку механическая прочность даже стали ограничена, трос придется взять значительной толщины, а значит, и достаточно тяжелый.
При выводе формулы (в) сила тяжести троса не учитывалась. Сила тяжести троса равномерно распределена по его длине, и если ее учитывать, то числитель выражения (в) должен увеличиться.
Ну, а теперь сделаем последний шаг нашего анализа. Пусть трос своими концами в точках В hD прикреплен к каким-то опорам (столбам, стенам и т. п.) и никакие искусственно приложенные силы на него не действуют. При этом силы натяжения троса в различных его сечениях будут различными и определить их не так-то просто. Но некоторые полезные сведения можно получить, если рассмотреть статическое равновесие малого участка троса (например, длиной в 1 см) вблизи его середины (рис. 3.3, ву Нетрудно сообразить, что значения Т_сил натяжения, действующих на выделенный участок троса со стороны соседних2 могут быть найдены по формуле, аналогичной формуле (в):
- т_
2 sin а ?
где АР — значение силы тяжести выделенного участка троса.
Возможно ли строго горизонтальное расположение натянутого троса’* При этом угол а в формуле (г) должен равняться нулю. АР имеет какое-то определенное конечное (не равное нулю) значение. Значит, в горизонтально натянутом тросе должна возникнуть бесконечно большая сила натяжения (7=оо). Такую силу не выдержат ни сам трос, ни поддерживающие его опоры. Так что же, выходит, трос, веревку, проволоку и т. д. натянуть горизонтально невозможно? Да, это принципиально невыполнимая задача. Если даже тонкую, но достаточно длинную (длиной, скажем, 20 м) проволоку, привязанную одним концом к неподвижной опоре, тянуть рукой за другой конец, горизонтального (без провисания) ее расположения достичь нс удается. Недостаточными окажутся и усилия двух рук или нескольких человек. Провисание будет заметным даже на глаз. „
По тем же самым причинам любая прямая балка, свободно лежащая на опорах или с жестко заделанными в опоры концами, не может оставаться прямой. Мост, даже если он строится как плоский, не может быть таковым из-за прогиба под действием собственной силы тяжести, не говоря уже о дополнительном прогйбе под действием находящихся на нем тел. Провисание короткой проволоки заметить трудно, оно не очевидно, но оно всегда имеется.
В повседневном опыте от человека многое скрывается, не все из достигнутого укладывается в рамки очевидности. Физические методы исследования тем и ценны, что, вскрывая принципы поведения объектов окружающего мира, они всегда учат правильному подходу к изучению фактов и явлений, учат, куда надо смотреть.
Если уравнения (3.1) — (3.3) применяются к абсолютно твердому телу, то ничто в них не изменится, если переносить любую из сил по линии ее действия. Иными словами, точка приложения силы при оценке статического равновесия абсолютно твердого тела не имеет существенного значения.
JO А. Селезнев 129
Имея это в виду, говорят о возможности переноса точки
приложения силы. \
Мы уже отмечали, что в инерциальной системе отсчета тело может сохранять состояние покоя, если на него действуют силы, одновременно удовлетворяющие условиям (3.1) и (3.3). При этом оси, относительно которых рассчитываются моменты сил, могут выбираться совершенно произвольно. Ведь какую бы мысленную ось вращения мы ни рассматривали (проходящую внутри или вне тела), покоящееся тело
не должно совершать относительно нее вращательного движения. Этот факт очень часто используется при решении
задач.
Например, требуется определить силы реакции RA и RB
двух опорных призм, на которых лежит стержень (рис. 3.4).
На стержень по вертикали вниз кроме силы тяжести Р действует сила Q.
Условие (3.1) приводит к уравнению~
Ra+R в—Р—Q—О,
Рис. 3 4.которое содержит две неизве
стные величины. На помощь может быть привлечено уравнение моментов сил относительно любой оси. В данном случае удобно воспользоваться осью, перпендикулярной к плоскости рисунка и проходящей через точку А или через точку В. При таком выборе оси в уравнение моментов не войдет момент одной из искомых сил, что упростит решение задачи. Выбирая ось, проходящую через точку А, и соблюдая правило знаков для моментов сил, получаем
RB(aWW-Q ^А-ЬУ-Ра-^
откуда может быть определена величина RB, после чего на основании предыдущего уравнения находим и вторую неизвестную.
С таким же успехом для составления уравнения моментов сил можно было выбрать оси, проходящие через какие-то другие точки, но, конечно, проще использовать точки, координаты которых в данной задаче известны.
Расчет статического равновесия тела или системы тел с неподвижной, жестко закрепленной осью вращения (рычаг, неподвижный блок, ворот и т. д.) может производиться только на основании уравнений (3.2) или (3.3). Условие (3.1) 130
в этом случае выполняется автоматически: не равную нулю результирующую внешних сил уравновешивает реакция оси.
Анализ всех воздействий на тело, статическое равновесие которого мы исследуем, должен всегда производиться тщательнейшим образом.
Задача. На горизонтальном полу на своих основаниях стоят две одинаковые по массе цилиндрические болванки / и 2 из одного материала. Расстояние между ними невелико Чтобы отодвинуть их подальше друг от друга, мел<ду ними закладывают доску и пользуются ею в качестве рычага, прикладывая рукой к ее концу К силу F, направленную горизонтально и под прямым углом к плоскости доски (на рис. 3.5, а изображена схема такого опыта в плане) Одновременно ли при этом сдвинутся с места болванки?
С первого взгляда кажется, что обе болванки сдвинутся одновременно Силе воздействия руки F в точках В и С будут противодействовать
Рис. 3 5.
перпендикулярные к доске силы, равные силам трения FTpl и FTp2, обусловленным взаимодействием болванок с полом (рис. 3 5, б). Поскольку силы веса болванок, вызывающие силы нормальных реакций пола, равны, материал болванок одинаков и стоят они на одном и том же полу, должны быть равными модули сил трения в момент, когда болванки начнут сдвигаться* /^pi—^трз—^тр
Считая вращение доски равномерным, можно воспользоваться условием равновесия (3 2), которое должно выполняться при произвольном выборе оси вращения Понятно, что в данном случае ось вращения должна быть вертикальной Но в каком именно месте ее стоит выбрать? Ведь в зависимости от положения оси будут разными плечи сил F, FTp и моменты этих сил Здесь можно руководствоваться двумя соображениями. Во-первых, нужно попытаться выбрать положение оси с таким расчетом, чтобы выражения для моментов сил были наиболее простыми. Это приводит к заключению, что вертикальная ось вращения должна быть выбрана где-то в пределах длины доски или на продолжении продольной оси доски Во вторых, выбор положения оси вращения не должен противоречить условиям задачи. Если ось вращения будет расположена между точками К и В, то доска в процессе вращения перестанет касаться болванки 1 Болванка 2 при этом, может быть, и отодвинется от болванки /, но для практического осуществления такого вращения доска должна будег опираться в месте расположения оси вращения на какое-то Тело, не заданное по условиям задачи. Точно так же противоречит реаль-
5* 131
ному осуществлению опыта выбор оси вращения за точкой С (при этом доска перестанет касаться болванки 2 и снова потребуется дополнительная опора). Следовательно, ось вращения должна располагаться между точками В и С. При этом доска в процессе вращения будет касаться обеих болванок.
Предположим, что ось вращения проходит через точку О, находящуюся на расстоянии х от точки приложения силы F (рис, 3.5, б). Обозначим расстояния между точками К и В через 1Ь а между В и С — через /2. Для простоты анализа рассмотрим такой малый угол поворота доски, при котором она продолжает касаться болванок по образующим, проходящим через точки В и С (тогда расстояния Ц и /2 можно считать неизменными).
Условие равновесия (3.2) с учетом знаков моментов сил, действующих на доску, можно записать в виде уравнения
fipOi + U—*)+^тр(я —11)— ^*=0, (а) откуда
Fx = F тр!^ (б)
При практическом осуществлении такого опыта модуль силы F будет возрастать постепенно: мы будем прикладывать к концу доски все возрастающее усилие руки до тех пор, пока не сдвинутся обе болванки или одна из них.
Величины FTp и /2 в правой части уравнения (б) постоянны. Чтобы не нарушить условий задачи, величина х может принимать значения, лежащие в пределах Ц^х^Ц-^к Ну, а теперь ясно, что наименьшая сила F будет достигаться при наибольшем х, т. е. когда x=/i+/2. Это соответствует повороту доски вокруг оси, проходящей через точку Ct что возможно при неподвижной болванке 2. Значит, сначала будет сдвигаться болванка 1.
Если мы хотим ^ чтобы сначала сдвинулась болванка 2, рычаг нужно применять, как показано на рис. 3 5, в.
Казавшееся вначале правдоподобным предположение об одновременном сдвигании болванок после детального анализа условий равновесия рычага оказалось несостоятельным.
Центр тяжести. Центр масс
Важным понятием механики является центр тяжести тела или системы тел — единственная точка, относительно которой сумма моментов сил тяжести всех частиц тела или системы тел при любом расположении тела или системы равна нулю.
В некоторых случаях такая точка может находиться вне геометрических пределов тела. Часто силу тяжести тела, как результирующую сил тяжести частиц, из которых оно состоит, мы считаем приложенной в центре тяжести. Если тело абсолютно твердое и центр тяжести находится внутри тела, то прикладывать силу тяжести можно в любой точке вертикали, проходящей через центр тяжести (ведь мы можем переносить точку приложения силы в абсолютно твер- 132
дом теле вдоль линии ее действия!). Таким образом, определение центра тяжести как точки, в которой приложена сила тяжести, нельзя считать полным.
Оказывается, что центр тяжести замкнутой системы тел (о которой шла речь в п. 2.2) обладает очень интересным свойством.
Задача. Тележка может катиться по горизонтально расположенным 1 рельсам. У одного края тележки укреплена пружинная пушка, заряженная шариком (рис. 3.6, ау Пренебрегая силами трения между шариком и тележкой, а также между тележкой у.
и рельсами, определить, насколько откатится тележка при выстреле за промежуток времени А/, в течение которого шарик переместится до другого края тележки. Изменится ли положение центра тяжести этой системы тел
относительно инерциальной системы отсчета в результате происшедших перемещений? Масса тележки с пушкой М, масса шарика т, длина тележки L
Для упрощения расчетов условимся, что шарик до выстрела находился у самого переднего края тележки. Инерциальную систему отсчета свяжем с неподвижными рельсами. Начало координатной оси ОХ совместим с начальным положением шарика, а время будем отсчитывать от момента выстрела. Схема приложения сил тяжести
к телам системы для начального и конечного положений даны на рис. 3 6, б и в, где через Рт, Рш и Р обозначены
е)е)si °- у^2РУ hsi °- у^2РУ hVPРис. 3.6.VPРис. 3.6.соответственно силы тяжести тележки, шарика и всей системы, а через Ахт и Ахш — смещения тележки и шарика вдоль оси ОХ.
е)
е)
si °- у^2
РУ h
si °- у^2
РУ h
VP
Рис. 3.6.
VP
Рис. 3.6.
Первую часть задачи можно рйпать, используя второй и третий законы Ньютона или закон сохранения импульса. Система «тележка —• шарик» в данном случае может считаться замкнутой, так как воздействие Земли на тележку и шарик уравновешивается в конечном счете реакцией рельсов, а силами трения мы пренебрегаем. Применение закона сохранения импульса быстрее приводит к ответу.
Пружина в данном случае может считаться посредником взаимодействия между тележкой и шариком в момент выстрела. В начальный момент суммарный импульс тележки и шарика равен нулю. В результате взаимодействия тележка приобретает скорость vT, а шарик — скорость уш. Суммарный импульс тележки и шарика после выстрела равен Мут+ + апуш. Значит, на основании закона сохранения импульса имеем
Л1ут4-/72¥ш —0,'
^Мут4-/пуш = О,^Мут4-/пуш = О,(а)133(а)133откуда Митх+тишх=0 и
^Мут4-/пуш = О,
^Мут4-/пуш = О,
(а)
133
(а)
133
так как скорость тележки направлена влево, а скорость шарика —
вправо
тельно,тельно,Поскольку силами трения мы пренебрегаем, движения тележки и шарика после выстрела должны считаться равномерными, и, следова
тельно,
тельно,
ит"~АГит"~АГАхш / — Ахт И ^"“ДГ^ А/ *
ит"~АГ
ит"~АГ
Подставляя эти выражения в уравнение (а), получаем
Ахт , I — Ахт А— М -гт-Ут ——-2=0,А/ 1 А/
откуда определяем искомое перемещение тележки:
а , т
^ХТ=1 г—(б)
1 туМ' '
Будем для простоты считать, что центр тяжести тележки находится на середине ее длины. Для системы «тележка — шарик», исходя из определения центра тяжести, можно написать
Рша = Рт6,(в)
где а — расстояние от центра тяжести системы до переднего края тележки или до линии с координатой х=0, а b — расстояние между центрами тяжести тележки и системы. Ясно, что
а-уь-U^(г)
и на основании (в) и (г) можно определить положение центра тяжести системы в начальный момент (до выстрела)*
_ I РТ _ I М
°2 Рш + Рт 2m+AfW
Легко сообразить, что в конечном положении центр тяжести системы будет находиться на расстоянии а от заднего края тележки, *а его расстояние с от линии с координатой х=0 можно определить как
с=1 — Ахт — а.
С учетом (б) и (д) получаем
_; . тI ММ
С т-\-М 2 туМ2 т + М *
т. е. с=а, а это означает, что .центр тяжести системы «тележка — шарик» в выбранной инерциальной системе отсчета не переместился.
Итак, если в инерциальной системе отсчета центр тяжести замкнутой системы тел был неподвижен в какой-То момент времени, то он будет оставаться в покое, несмотря на движение отдельных частей системы в результате их взаимо-' действия. Можно показать, что если центр тяжести замкнутой системы тел в какой-то момент времени двигался инер- циально (равномерно и прямолинейно), то и в последующие моменты он сохранит скорость движения неизменной;
(К этому выводу можно прийти, решая предыдущую задачу при условии, что тележка до выстрела двигалась с какой-то скоростью.) Таким образом, центр тяжести замкнутой системы тел является ее характерной точкой, поведение которой подчиняется первому закону Ньютона.
Пусть у внимательного читателя не вызовут недоумения те выводы, к которым мы пришли. Вспомним, что ведь сперва мы ввели понятие центра тяжести для тела или системы тел, не говоря о замкнутости последней. Потом мы заговорили о центре тяжести замкнутой системы тел. Но в полном смысле система будет замкнутой, если на нее вообще не действуют никакие внешние силы. Значит, чтобы силы тяжести тел рассматриваемой системы не оказались внешними силами, в замкнутую систему непременно нужно включать Землю и учитывать не только ее взаимодействие с остальными телами, но и движение Земли под воздействием этих тел. Конечно, при решении всех практических «земных» задач мы этого движения Земли не учитываем, а потому и системы взаимодействующих тел, которые мы рассматриваем, лишь приближенно могут считаться замкнутыми.
К замкнутым системам, как уже отмечалось выше, можно относить также системы, на отдельные т^ла или части которых действуют уравновешивающиеся внешние силы. С таким случаем мы и имели дело в только что разобранной задаче. Но здесь появляется новая неприятность использования понятия центра тяжести, связанная уже не с тем, что система тел «не совсем замкнута», а с тем, что силы тяжести отдельных частей системы «совсем ничего не делают». Взаимодействие тележки и шарика осуществлялось силами упругости. Силы тяжести можно было не учитывать и отбросить (вместе с уравновешивающими их силами реакции рельсов). А как же тогда быть с определением понятия центра тяжести, которое при «отсутствии» силы тяжести теряет смысл?
Все дело в том, что характерная точка системы взаимодействующих тел, о которой говорилось выше, существует. Без воздействия внешних сил на систему эта точка совершает инерциальное движение. Ее положение и .поведение не зависит от природы сил взаимодействия в системе и, в частности, не зависит от того, действуют ли в системе силы тяжести в качестве внутренних сил (как в случае включения в систему Земли) или нет. Характерная для данной системы взаимодействующих тел точка, положение которой зависит от внутренней структуры системы и не зависит от внешних факторов и обстоятельств, называется центром масс.
Для всех задач элементарного курса физики центр масо системы тел совпадает с ее центром тяжести. Можно сказать, что центр масс «становится» центром тяжести, если поведение ограниченной по размерам системы тел .рассматривается вблизи Земли, при учете сил тяжести. Но введение понятия о центре масс оказывается целесообразным и в том случае, когда система тел находится в какой-то области космического пространства, где не сказывается притяжение Земли и других космических тел. С большим успехом понятием центра масс пользуются при изучении поведения систем микрочастиц, силы тяжести которых оказываются во много раз' меньше сил, осуществляющих взаимодействия между частицами.
Понятие центра масс относится и к одиночному телу. Центр масс тела может быть определен как точка (находящаяся внутри или вне тел а),/в которой пересекаются линии действия сил, приводящих данное тело в поступательное движение. Система сил, линии действия которых не проходят через центр масс, будет приводить незакрепленное тело во вращательное движение вокруг оси, проходящей через центр масс.
Если система взаимодействующих тел не является замкнутой, то ее центр масс в инерциальной системе отсчета не может оставаться неподвижным или двигаться равномерно и прямолинейно. Его движение будет происходить с ускорением под воздействием результирующей внешних сил в согласии со вторым законом Ньютона.
Задача. Два тела, которые можно принять за материальные точки с массами тх и тй1 прикреплены к концам невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через блок радиуса R (рис. 3.7). Сначала тела покоятся на одном уровне в положениях / и 2, а затем, предоставленные воздействию сил натяжения нити и сил тяжести, они перемещаются. Показать# что центр тяжести (центр масс) системы этих двух тел при их движении ускоренно перемещается вниз.
Свяжем инерциальную систему отсчета с Землей. Ординаты будем отсчитывать от первоначального уровня расположения тел, а промежутки времени — от момента начала движения тел.
Невесомость нити, как и в других подобных задачах, позволяет не считать ее третьим телом системы и исключить из рассмотрения. Система не является замкнутой, так как на каждое тело действуют неуравновешенные силы — сила тяжести и сила упругости растянутой нити.
Учет следующих трех фактов быстро приводит к заключению о том# что покоившийся сначала центр тяжести (центр масс) системы тел приходит в движение по вертикали вниз.
Во-первых, на основании определения центр тяжести системы двух тел должен находиться на линии NN, отстоящей на расстояниях b и d от линий действия сил тяжести Pi и Р2 обоих тел. Условие равенства 136
(Д)(Д)
(Д)
(Д)
моментов сил тяжести
(а)(а)Pxb=P2d
(а)
(а)
и условие постоянства расстояния между линиями действия сил Рх и Р2
(б)(б)b-Yd^R
(б)
(б)
должны выполняться при любых положениях движущихся тел. Из (а) и
) можно получить выражения для величин b и d:
d^p^pr2R^ (в)
Во-вторых, по правилу сложения двух параллельных сил Pt и Р2, направленных в одну сторону ), линия действия их равнодействующей должна делить линию, соединяющую точки приложения сил Pt и Р25 как раз согласно соотношению (а). Отсюда следует, что центр тяжести (центр масс) системы должен находиться на пересечении линии NN и одной из линий (например, /—2 или Г—2'), соединяющих центры тяжести тел при любом их расположении.
В-третьих, из равенства нулю начальных скоростей обоих тел и равенства модулей их ускорений следует, что линия,
соединяющая центры тяжести тел, должна
при движении тел все время проходить через точку О. Это и доказывает понижение центра тяжести (центра масс) системы тел при движении* если при расположении тел в точках / и 2 он находился В точке С, то при расположении тел в точках Г и 2' он уже будет находиться в точке С > и т. д.
Теперь уточним характер движения центра масс системы двух тел. Рассматриваемые тела движутся равноускоренно, модули их ускорений одинаковы (из-за нер астяжимости нити) и могут быть найдены из уравнения "
m2 — mta=g —^—-5 тх-ут2
которое мы предлагаем читателям получить самостоятельно.
На рис. 3.7 стороны СС и 22’ в подобных треугольниках С ОС' и 202' представляют в принятом масштабе перемещение центра масс CAt/cb и* перемещение второго тела (|А#]>вдоль оси 0Y за какой-то промежуток времени А/ от момента начала движения.
Из сказанного выше вытекает, что отношение перемещений ^yc и A# за любые промежутки времени, измеренные от начала движения тел, будет оставаться неизменным и равным отношению сходственных сторон ОС и 02:
= const. (е)
Но если перемещение тела с массой т2 описывается в данной задаче
уравнением
(ж)(ж)л * (АО2
(ж)
(ж)
то для соблюдения условия (е) перемещение центра масс должно^ описываться таким же по форме уравнением
(з)(и)(К)(з)(и)(К)л ^с (А/)2
(з)
(и)
(К)
(з)
(и)
(К)
На основании (ж) и (з) получаем равенство отношений
а ™ ky ’
которое с учетом (е) и (в) приводит к уравнению асR"—d_^ 2mt пц — т1 a R щх + ^2 ^1 + /и2*
Воспользовавшись уравнениями (и) и (д), получаем
Но как этот результат можно согласовать с приведенным выше утверждением о том, что в инерциальной системе отсчета ускорение движения центра масс незамкнутой системы тел под воздействием результирующей всех приложенных к системе внешних сил подчиняется второму закону Ньютона? Ведь если силы воздействия растянутой нити на оба тела рассматривать как внутренние силы, то результирующая внешних сил будет равна Рх+Р2. Центр масс можно считать точкой, в которой сосредоточена масса все^ тел системы (для нашего случая суммарная масса тел равна т^т^ Тогда, учитывая, что векторы Рх и Р2 направлены вертикально вниз, для модуля ускорения центра масс получается результат ac=gt не совпадающий с выражением (к).
Легко сообразить, что центр масс системы двух тел может двигаться с ускорением g, если оба тела (пусть даже связанные нитью) будут двигаться вертикально вниз с ускорением g Условия анализируемой задачи такое движение тел не предполагают.
Поскольку в формуле (к) величина ^ррр^ ) меньше единицы, то о c<g и, чтобы ускорение движения центра масс можно было найти 138
по второму закону Ньютона, видимо, следует считать, что результирующая внешних сил, действующих на систему двух тел, меньше суммы сил тяжести Pi+P2 Кроме сил тяжести на тела системы действуют только силы натяжения нити, причем, как нетрудно убедиться,
(л)(л)т_2тгт^
(л)
(л)
«1 + «V
Остается предположить, что в данной задаче силы воздействия на тела со стороны растянутой нити должны считаться внешними силами! Если это так, то результирующая всех внешних сил будет равна Fs—Р1+Р2+ +2Т Тогда можно выразить ее проекцию на координатную ось OY:
Fzy=PlB+Piy+^
и получить выражение для ее модуля: *
^ = Л + Р2-27, откуда с учетом (л) имеем
F — то-4-та .4тгт^ (т^-т^
Сила, имеющая такой модуль и действующая вертикально вниз на материальную точку с массой ^H-^ в согласии со вторым законом Ньютона может сообщить точке ускорение, модуль которого определяется выражением (к)
Итак, мы пбказали применимость второго закона Ньютона к неинерциальному движению центра масс незамкнутой системы тел. Но некоторая неясность возникла в связи с необходимостью считать силы, действующие со стороны нити на тела, внешними силами, а не внутренними. Нить в только что разобранной задаче являлась связью и служила посредником взаимодействия между телами системы. Невесомость нити позволила не считать ее третьим телом системы. В приведенной ранее задаче о взаимодействии тележки с шариком (см. стр. 133—134} тоже фигурировала связь (пружина), она тоже служила посредником взаимодействия тел, тоже не считалась третьим телом системы, однако силы ее воздействия на тележку и шарик считались внутренними силами, не нарушающими инерциального характера движения центра масс системы тел. -
Так как же учитывать силы воздействия связей на тела системы в различных случаях? Когда их можно относить к внутренним, а когда к внешним? '
Если продолжить сопоставление ролей двух упомянутых связей (пружины и нити), то можно заметить существенное различие в их воздействиях на «связываемые» тела. Пружина
действовала на тележку и шарик с силами, равными по модулю и противоположными по направлению. Такие силы при других условиях могли бы возникнуть и в отсутствие пружины (например, при ударе шарика о тележку), они не требуют включения в систему каких-то иных тел, кроме взаимодействующих, и поэтому должны считаться внутренними силами.
В последней задаче со стороны нити на оба тела действовали силы, равные по модулю и одинаковые по направлению. Такие силы ни при каких условиях не могли бы возникнуть между телами при их непосредственном взаимодействии. Такие силы могли действовать на оба тела только потому, что нить была перекинута через блок, а блок через кронштейн, подставку и т. д. был в конечном счете связан с Землей. Поэтому на систему двух движущихся тел со стороны Земли действовала сила Fi = Pi+P2+2T. Поскольку нас интересовало поведение незамкнутой системы двух тел, в которую Земля не включалась, нам и пришлось считать внешними силами не только силы тяжести тел Pi и Р2, но и силу натяжения нити Т.
. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ
4.L Основные понятия
Явление взаимного притяжения тел называют гравитационным взаимодействием или гравитацией.
На основе работ своих предшественников и на основе собственных исследований в области механики Ньютон установил характер взаимодействия материальных точек в согласии с законом
(4.1)
т. е. сила взаимного притяжения материальных точек про* порциональна их массам тх и т2 и обратно пропорциональна квадрату расстояния г между ними. Коэффициент пропорциональности у носит название гравитационной постоянной и определяется силой притяжения двух точек, имеющих единичные массы и находящихся на единичном расстоянии;
у=6,67-10~8 см®/(г-с2) в системе СГС,
у=6,67-10~п м®/(кг-с2) в СИ.
Астрономические наблюдения подтверждали справедливость этого закона. Он позволял вычислять орбиты движения планет, сравнивать планеты по массе, но значение гравитационной постоянной у в астрономических опытах не могло быть измерено. Оно было определено в лабораторных условиях.
Гравитационные силы действуют и при непосредственном контакте взаимодействующих тел (например, тело лежит на поверхности Земли), и при отсутствии такого контакта (например, взаимодействие Луны и Земли и т. п.). Направление этих сил всегда совпадает с линией, соединяющей взаимодействующие точки (поэтому гравитационные силы называют центральными). В форме (4.1) закон справедлив не только для материальных точек, но и для однородных тел сферической формы, расположенных неконцентрично. В последнем случае величина г в уравнении (4.1) представляет собой расстояние между центрами взаимодействующих сферических тел. Если же вычисляется взаимодействие тел иной конфигурации, то нужно оценивать попарное взаимодействие всех их точек. Приемлемая для практических расчетов точность часто достигается, если под г в формуле (4.1) понимать расстояние между центрами масс тел (если центры масс тел не совпадают).
Во многих механических задачах с сравнительно малыми по массе телами мы пренебрегаем гравитационным взаимодействием из-за его малости. Если подсчитать силу притяжения между двумя товарными вагонами с массами по 6Q ООО кг, расстояние между центрами масс которых равно 20 м,ло получится значение порядка 6-10”4 Н. Легкое дуновение ветерка окажет на такой вагон более сильное воздействие!
4.2. Тяготение и сила тяжести тела
Тела, находящиеся вблизи земного шара, испытывают притяжение к нему. Это притяжение и обусловливает силу тяжести тел. Но, как отмечалось, сила гравитационного притяжения тела к Земле не всегда равна силе тяжести этого тела. .
Рассмотрим тело с массой т, лежащее на поверхности Земли (или на подставке, связанной с ней) в точке В, характеризующейся широтным углом а (рис. 4.1). Для простоты будем считать полярную ось Земли вертикальной и неподвижной (отвлечемся от годичного движения Земли вокруг
Солнца), а форму Земли — идеально сферической. Пусть /?з — радиус Земли. Инерциальную систему отсчета свяжем с Солнцем.
Учитывая суточное вращательное движение Земли вокруг собственной оси, придется сказать, что точка В земной поверхности описывает в пространстве окружность радиуса r=j?3cosa. Тело, неподвижное относительно точки В, вместе с ней должно двигаться по окружности. Такое движение без ускорения невозможно. '
Откуда же возьмется сила, обеспечивающая ускорение, если тело ничем к Земле не привязано и свободно лежит на ее поверхности? Почему тела, не прикрепленные к земной
поверхности, не отрываются от нее? Предоставленные самим себе, они могли бы двигаться, подчиняясь первому закону Ньютона, только прямолинейно и равномерно. Значит, что-то их к Земле все-таки «привязывает». Этой связью является притяжение тел к Земле по закону всемирного тяготения, или, лучше сказать, поле тяготения (или гравитационное поле, или поле силы тяжести) Земли.
Современная физика широ
ко пользуется понятием поля (гравитационное, электростатическое, магнитное, электромагнитное и др.), связывая его с материальным носителем того или иного взаимодействия. Под гравитационным полем понимают тот материальный объект природы, который осуществляет взаимодействие тел по закону всемирного тяготения; под электростатическим полем — тот, который осуществляет взаимодействие между заряженными телами по закону Кулона, и т. д Без различных полей физика теперь обойтись просто не может, прочно утвердился их объективный характер. Частицы (или тела, предметы как совокупности частиц) и поля — две формы единой материи, известные физике настоящего времени.
Поле — самостоятельная форма материи, не сводимая ни к каким другим. Какими бы простыми или сложными ни
показались поначалу представления о полях, к ним нужно привыкнуть, помня, что без них не удается объяснить целый ряд физических фактов.
Поля, как все другие материальные объекты, существуют в пространстве и во времени, т. е. пространство й время являются формами существования полей как разновидности материи. Любое поле как-то распределено в пространстве, но не сводится к пространству. Поле, так же как атом, электрон и другие материальные объекты, смешивать с пространством никак нельзя. Поэтому такие определения поля тяготения, электростатического поля и других полей, как пространство, в котором действуют силы притяжения к Земле или силы электрического взаимодействия и т. д., не могут считаться правильными. Давая такие определения, мы утверждаем, что поле — это пространство, а это принципиальная ошибка.
Возвращаясь к анализу движения тела вместе с Землей, мы скажем теперь, что ускорение а в рассматриваемом примере телу может обеспечить результирующая F двух сил, действующих на него: силы тяготения FT и силы реакции N земной поверхности или подставки. Для движения тела по окружности радиуса г со скоростью v необходимо центростремительное ускорение '
а-сЧт;
если выразить широтный радиус г через радиус земной поверхности Rs и широтный угол а, а у — через угловую скорость со вращательного движения Земли, то получим
a—^r—^Rs cos а.
Уравнение второго закона Ньютона в проекциях на направление широтного радиуса г при этом может быть записано в виде
’ Fr = тап откуда
F = пга — mx^RsCos а. (4.2)
Теперь понятно, что сила реакции земной поверхности N уравновешивает не силу тяготения FT, а только ее составляющую Р. Последняя и носит название силы тяжести.
Для всех точек земной поверхности, не принадлежащих экватору и полюсам, вектор силы тяжести тела не будет направлен к центру ЗемЛи и будет составлять с земным радиусом угол р. Сила тяготения FT и сила тяжеети тела Р в полном смысле равны друг другу только в двух точках земного шара — на полюсах. Это легко показать, анализируя рис. 4.1 и известную на основании теоремы косинусов связь
между модулями векторов Р, FT и F:
Р — ^Ft + F2—2FTF cos а, откуда с учетом формулы (4.2) следует:
Р = УF| + m2co4/^ cos2 a—2Ртто?Рз cos2 a, или
Р = V F^ + (ту? R3—2FT) m«?R3 cos2 a.(4.3')
Для полюсов a=n/2 рад и, следовательно, P=F^ при совпадении направлений этих векторов.
Поскольку угловая скорость вращения Земли вокруг собственной оси имеет малое значение: ®='8g4oo рад/с, модуль Р силы тяжести тела/При различных широтных углах а, не равных л/2 рад, очень мало отличается от модуля РТ силы тяготения. Угол 0 отклонения вектора Р от направления к центру Земли тоже мал (на полюсах и экваторе 0=0).
Поэтому для упрощения многих практических расчетов можно пренебречь отличием Р от РТ из-за его малости. Но не забудем, что в принципе такое совпадение справедливо только для полюсов. На экваторе различие-между Р и РТ наибольшее.
Значит, только пренебрегая вращением Земли, можно использовать соотношение
„ тМч
(4.3)
из которого, учитывая, что P—mg, можно получить
Если вращением Земли вокруг собственной оси не пренебрегать, то на основании (4.3') и (4.1) будем иметь
= mV^ + (о^з- 2? ^) ®2Я3 cos2 a , Г «3'лз /= mV^ + (о^з- 2? ^) ®2Я3 cos2 a , Г «3'лз /откудаоткудаР = 1/^Т2?2^+(/пю2Я3—2у^^) Щй)2Я3со^^ ГАЗАЗ /
= mV^ + (о^з- 2? ^) ®2Я3 cos2 a , Г «3'лз /
= mV^ + (о^з- 2? ^) ®2Я3 cos2 a , Г «3'лз /
откуда
откуда
(4.4')(4.4')g=V^^^Нз-^V) со2ЯзСоз2а.Г А3 \/
(4.4')
(4.4')
Реальные изменения ускорения силы тяжести на уровне моря при переходе с экватора к полюсам от 978,030 см/с2 до 983,216 см/с2 объясняются двумя причинами: наличием вращения Земли вокруг собственной оси (при со#=О вклад второго слагаемого под радикалом в выражении (4.4') будет неодинаковым при различных значениях широтного угла а) и неодинаковыми значениями Нз Для различных широт (учет сплюснутости Земли — экваториальный радиус Земли больше полярного).
В последнее время очень часто приходится считаться с
изменением ускорения силы тяжести при подъеме ракет, спутников и космических кораблей на большие высоты над уровнем моря. Введя высоту Н расположения точки над земной поверхностью в уравнение (4.4), получим значение
gH ускорения силы тяжести на этой высоте:
Л^ ~у (4.5)Л^ ~у (4.5)
Л^ ~у (4.5)
Л^ ~у (4.5)
Рис. 4.2.Рис. 4.2.
Рис. 4.2.
Рис. 4.2.
Первая космическая скорость. Первой космической скоростью vK1 называют скорость, с которой должно двигаться тело, являющееся спутником Земли. В простейшем случае
рассматривают равномерное движение спутника по окружности, плоскость которой прдходит через центр Земли и точки которой располагаются на постоянной высоте Н над поверхностью Земли (рис. 4.2). Если при этом не делается особых оговорок, то имеют в виду инерциальную систему отсчета, связанную с Землей (т. е. вращением самой Земли пренебрегают!). ' -
Получим выражение для первой космической скорости.
. Спутник имеет размеры много меньшие, чем Н и Нз, и, Конечно, может быть принят за материальную точку. Для
того чтобы спутник мог двигаться по окружности, ему какими-то внешними силами должно быть сообщено ускорение а, направленное к центру Земли. Если пренебречь достаточно слабыми силами притяжения к Луне, Солнцу и другим небесным телам, а также малыми силами сопротивления
при движении в околоземном пространстве, то останется только одна сила, обеспечивающая движение спутника по
траектории,— сила FT гравитационного притяжения Земли. Если масса спутника т, то для его равномерного движения по окружности должно выполняться равенство
откудаоткудаFT = та,илиFT = та,илитМз ту яTCVW”^+^’тМз ту яTCVW”^+^’Ук1Ук1^зR3+H*^зR3+H*(4.6)(4.6)
откуда
откуда
FT = та,или
FT = та,или
тМз ту я
TCVW”^+^’
тМз ту я
TCVW”^+^’
Ук1
Ук1
^зR3+H*
^зR3+H*
(4.6)
(4.6)
Теперь можно подсчитать ик1, так как у, М3 и R3 — известные постоянные, а Н — заданная высота полета."
Полезно помнить о возможном преобразовании уравнения (4.6) с учетом уравнений (4.-^ и (4.5). Почленно разделив (4.5) на (4.4), получим выражение
(4.7)(4.7)вн Ra
(4.7)
(4.7)
g ^з+нУ’
справедливое в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. В нем g — модуль ускорения свободного падения у поверхности Земли. Числитель правой части выражения (4.6) можно преобразовать с учетом (4.5):
^з+Я)2
R3+H 1
Если подставить сюда gH из (4.7), то у2 _^23'(^з+^)2
Kl ~ ну R3+ н ’
Ук1 = ^з|/ Д34-27 • ’(4.8)
Иногда считают, что значение «около 8 км/с» является, так сказать, универсальным значением первой космической скорости. Это мнение ошибочно. Из формулы (4.8) видно, что первая космическая скорость зависит от высоты Н траектории над поверхностью Земли. Значение ук1^7,93 км/о справедливо только для случая полета тела в непосредственной близости от поверхности Земли (при Я=0). Подстановка в формулу (4.8) значений ^^9,81 м/с2, /?з^6370 км и заданной высоты Н траекторйи полета или высоты точки запуска, в которой телу сообщается скорость vK1, достаточная для того, чтобы оно превратилось в спутник Земли,
позволяет получить значение первой космической скорости для любой высоты Н.
Иногда говорят о различии модулей скоростей, необходимых для запуска спутников или других космических аппаратов в восточном и в западном направлении (например, по орбите, лежащей в экваториальной плоскости Земли). При этом имеют в виду различие «горизонтальных» составляющих стартовых скоростей непосредственно у поверхности Земли в инерциальной системе отсчета, не связанной с Землей.
Невесомость тел, находящихся на искусственном спутнике Земли. В наши дни все знают о состоянии невесомости предметов или человека, находящихся на борту искусственного спутника или космического корабля. Но не всегда дается правильное объяснение этого явления, не всегда при анализе этого состояния учитывается необходимость внесения уточнений в определение понятия веса.
Для простоты будем рассматривать движение спутника по окружности, центр которой совпадает с центром Земли. Любая деталь конструкции спутника Земли, любое тело, находящееся внутри него, тоже являются искусственными спутниками: ведь все они получили (неважно, за счет чего) скорость, достаточную для движения по орбите вокруг земного шара под действием его притяжения.
Орбиты различных точек спутника и тел, находящихся . внутри него, вообще говоря, различны, так как дальняя от Земли точка и ближайшая к ней находятся на различных высотах Н над земной поверхностью, или на разных расстояниях от центра Земли. Но, поскольку размеры спутника ничтожно малы по сравнению с расстоянием до центра его траектории, практически все эти точки движутся по орбите одного радиуса с одинаковыми скоростями и ускорениями.
Воспользовавшись формулой (4 8), а также соотношениями (4.4) и (4.5), можно найти значения ускорений этих точек:
Как видим, они равны ускорению свободного падения на высоте полета спутника над Землей.
Такое ускорение и корпус спутника, и любое тело, внутри него находящееся, получают только под действием своих «собственных» сил тяготения к Земле, без воздействия каких-либо иных сил. Движение этих тел, как ни странно на первый взгляд, является свободным падением с ускоре-
нием g#. Поэтому все те соотношения, которые имели место в примере свободного падения лифта и находящихся в нем тел (стр. 105), имеют место и в условиях полета искусственного спутника Земли.
Вес тела внутри спутника, как сила воздействия тела на корпус или на любую скрепленную с корпусом опору, при этом, конечно, будет равен нулю. Таким образом, невесомость будет заключаться в отсутствии взаимодействия между телом и корпусом спутника при их движении под действием лишь одних сил тяготения к Земле по орбите, плоскость которой проходит через центр Земли.
Если же на космический аппарат помимо силы тяготения будут действовать какие-то иные силы (это возможно, например, при работе двигателя ракеты-носителя, при включении тормозной двигательной установки и т. д.), условий для невесомости тел внутри этого аппарата уже не будет.
ЭНЕРГИЯ, РАБОТА, МОЩНОСТЬ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯИ ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ В МЕХАНИКЕ
Механическое состояние тела и системы тел. Импульс — функция механического состояния .
В механике часто используется представление о механическом состоянии тела. Это состояние определяется координатами (%, у, г) и скоростью (v) движения тела в выбранной инерциальной системе отсчета. Если изменяется хотя бы одна из этих величин, говорят об изменении механического состояния тела. Аналогично поступают, рассматривая систему, состоящую из нескольких тел. Таким образом, механическое состояние тела или системы тел характеризуют как раз теми величинами, которые могут изменяться при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, и поэтому совершенно обязательным является указание на используемую в том или ином случае систему отсчета. Кроме того, как мы помним, именно от координат и скоростей зависят различные типы сил, с которыми мы встречаемся в задачах механики. "
Понятно, что если в идеальном случае рассматривается одиночное, изолированное тело или система невзаимодействующих тел, то может идти речь только о таких изменениях их состояний, которые связаны с изменением координат при неизменных скоростях движения. Когда мы переходим к анализу изменений состояний, связанных с изменением ско- 148 '
ростей, мы вынуждены рассматривать системы взаимодействующих тел, учитывать характер воздействий на каждое тело. При этом говорят о консервативных и неконсервативных системах взаимодействующих тел. К первым относятся системы, взаимодействие между телами которых осуществляется лишь силами, зависящими от коордийат. В неконсервативных системах наряду с силами, зависящими от координат, действуют еще силы, зависящие от скоростей движения тел в выбранной инерциальной системе отсчета.
Одной из важнейших задач физики как науки о природе является не только определение вида зависимостей между изменяющимися физическими величинами, но'и поиски сохраняющихся при некоторых условиях величин и соотношений между ними, установление «законов сохранения». Об одном из таких законов — о законе сохранения импульса для замкнутой системы тел — мы уже упоминали. Но для того, чтобы оценить роль и место этого закона в системе законов физики, и прежде чем перейти к разговору еще об одном из важнейших законов сохранения, давайте вернемся к основным законам динамики, которые описывают изменения состояний тел, связанные с изменением скоростей этих тел. Таковыми являются второй и третий законы Ньютона.
Как только мы начинаем учитывать неинерциальный характер движения какого-то тела в инерциальной системе отсчета и для этого используем второй закон Ньютона, мы фактически имеем дело с'системой тел, мы начинаем учитывать воздействия других тел (или полей) на данное тело. Если эти внешние по отношению к данному телу воздействия попытаться связать с их источниками, то приходится учитывать третий закон Ньютона.
Пусть, для примера, имеется система, состоящая из п взаимодействующих тел. Будем считать ее замкнутой. Составляя уравнение второго закона Ньютона для каждого тела, мы приходим к системе уравнений
m1ai=F12+F13+.. »+Fln, m2a2=F21+F23+., .+F3n, (5.1)
Fni4~Fn2"i" • • .+Fn(7l_i).
Максимальное суммарное число слагаемых в правых частях Всех уравнений этой системы будет равно п (п—1), т. е. будет обязательно числом четным при любом п>\. Если в рассматриваемой системе тел какие-то пары тел взаимодействовать между собой не будут, то это приведет к исключению
из правых частей уравнений (5.1) «парных» слагаемых (если, например, F34=0, то и F43=0 и т. п ), но общее число слагаемых все равно будет оставаться четным. Учитывая третий закон Ньютона, в согласии с которым Тктп=—FmA, и суммируя правые и левые части уравнений (5.1), получаем уравнение
2^ = 0, (5-2)
справедливое для любой замкнутой системы взаимодействующих тел в течение 'Промежутка времени действия сил. В этом можно усмотреть достаточно общее утверждение о постоянстве, о сохранении некоторой функции: сумма произведений масс тел на ускорения, получаемые от воздействий со стороны всех остальных те;/, для замкнутой системы тел равняется нулю.
Уравнение (5.2) не считают уравнением какого-то закона сохранения, но можно обратить внимание на его общность. Это уравнение справедливо для замкнутой системы/состоящей из любого числа тел. Взаимодействие между телами системы может осуществляться силами любого типа (гравитационными, силами упругости и силами трения), т. е. система может быть как консервативной, так и неконсервативной. Обстоятельствами, ограничивающими применимость этого уравнения, являются: замкнутость системы тел, использование инерциальной системы отсчета и постоянство массы каждого из тел системы.
Более детально воздействие на тело учитывается вторым законом Ньютона в импульсной форме:
FA^mAv, (5.3)
в которой отражен процесс действия силы во времени и тот факт, что скорость тела (или его механическое состояние) не может измениться мгновенно. Применение второго закона Ньютона в форме (5.3) к каждому из тел замкнутой системы вместе с учетом третьего закона Ньютона приводит (тем же путем, который был использован при получении уравнения (5.2)) к закону сохранения импульса:
2 = const, или А 2 = 0. t=i i = i
Общность этого закона связана не только с возможностью применения его к замкнутым консервативным и не* 150
консервативным системам, но и с тем, что он позволяет учитывать изменение масс взаимодействующих тел или частей одного тела, принимаемого за замкнутую систему. В связи с этим уравнение закона сохранения импульса записывают в виде
п
2 A(m,vz) = 0, i = l
где п — число тел или частей системы, число частиц системы — может изменяться в результате происходящих взаимодействий. Общий характер и важность закона сохранения импульса усматриваются еще и в том, что его значение выходит за рамки «обычной» механики, ибо он оказывается справедливым при любых взаимодействиях (гравитационных, электромагнитных, ядерных и слабых).
Понятие импульса тела, введенное при учете действия силы во времени, оказывается важным и при рассмотрении поведения незамкнутых систем тел. Учитывая воздействия внешних сил на отдельные тела системы, можно судить об изменениях их импульсов, а значит, и об изменении суммарного импульса системы. ,
Импульс тела является функцией механического состояния тела. В самом деле, импульс тела в данной инерциальной системе отсчета в данный момент времени однозначно определяется скоростью движения тела независимо от того, за счет чего эта скорость получена, изменялась ли она ранее и будет ли изменяться в дальнейшем. Если за счет каких-то причин скорость тела изменяется, то тело переходит в другое механическое состояние, которому соответствует новое значение импульса. Импульс одиночного тела, не взаимодействующего с другими телами и, значит, совершающего инерциальное движение, с течением времени не изменяется. Точно так же ведет себя суммарный импульс системы невзаимодействующих тел. При Наличии взаимодействий между телами импульсы отдельных тел изменяются, но таким образом, что суммарный импульс системы тел, которая может быть представлен^ как замкнутая, снова сохраняется с течением времени неизменным. Все это говорит о целесообразности применения понятия импульса не только к отдельным телам, но и к системам взаимодействующих тел, причем суммарный импульс системы тел может также рассматриваться как функция механического состояния этой системы.
Несмотря на все достоинства таких функций механического состояния, как импульс тела или импульс системы тел^ ,у этих функций имеется существенный недостаток: они нёхртражают изменений механического состояния тела или системы тел, связанных с изменением координат. А ведь такие изменения практически всегда имеются. Получается ситуация, похожая на ту, с которой мы столкнулись бы, применяя к замкнутой системе взаимодействующих тел уравнение (5.2): при взаимодействии тел изменяются и координаты их расположения, и скорости их движения в выбранной инерциальной системе отсчета, но эти величины явно не фигурируют в уравнении (5.2), так что для определения механического состояний тела после взаимодействия пришлось бы воспользоваться какими-то дополнительными уравнениями.
К возможности оценки изменения импульса тела как одной из функций его механического состояния мы пришли, введя физическую величину F Д/ — произведение силы на промежуток времени ее воздействия на тело. Иногда эту величину называют импульсом силы. Она оценивает последствия, к которым приводит воздействие силы на тело в течение промежутка времени М, и, следовательно, может считаться мерой действия силы во времени, мерой изменения импульса тела.
Работа силы
Еще одной мерой действия силы, но уже оценивающей действие силы в пространстве, при учете изменения координат движущегося тела, является физическая величина, называемая работой силы. Если элементарное перемещение тела равно Дг, и на тело при этом действует сила F, то элементарная работа силы F определяется как
ДА =FArz cos (F, Arz). (5.4)
Существенным здесь оказывается выбор такого малого вектора перемещения Дг, (иногда его называют элементарным перемещением точки приложения силы), в пределах которого сила F не успевает измениться ни по модулю, ни по направлению.
Из такого определения элементарной работы следует, что она может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Работа силы положительна, если угол между векторами силы F и элементарного перемещения Дг, 152
острый (при этом cos(F, Arz)>0), и отрицательна, если этот угол тупой (cos(F, Arz)<0). Не исключает определение (5.4) и значения работы, равного нулю. Это может иметь место в трех случаях:
^=0 — никакая сила на тело не действует, и оно совершает инерциальное движение;
_ 2) Arz=0 — несмотря на действие данной силы, тело не перемещается (это, очевидно, возможно при наличии каких- то иных сил, действующих на тело);
cos(F, Arz)=0 — сила, перпендикулярная к перемещению тела; работы не совершает.
Следует особо подчеркнуть, что перемещение тела Arz, модуль которого входит в формулу (5.4), вовсе не обязательно вызывается действием силы F! Это, например, отчетливо проявляется в тех случаях, когда мы находим работу так называемых сил сопротивления, которые никак не могут способствовать перемещению тела в заданном направлении (при Arz>0 работа силы сопротивления Fc оказывается отрицательной из-за того, что cos (Fc, Arz)<0). Следовательно, выражение (5.4) определяет элементарную работу силы F независимо от того, под действием каких причин тело совершает перемещение Arz.
Формула (5.4) является исходной для введенйя единиц измерения работы:
1 Дж=1 Н*1м (в СИ);
I эрг=1 дин*1 см (в системе СГС),
Совпадение размерностей работы и момента силы имеет формальный характер и не указывает ни на какую смысловую связь этих (совершенно разнородных!) физических величин. Для того чтобы подчеркнуть это различие, единицу момента силы в СИ 1 Н-м не называют джоулем, а единицу момента силы в системе СГС 1 дин-см не называют эргом»
Суммарную работу А силы F при перемещении тела из положения / в положение 2 можно найти суммированием элементарных работ АД на всех п элементарных перемещениях Arz:
2
Д = 2^Аг/соз(Р, Arz).(5.5)
Подсчитать такую сумму в самом общем случае без привлечения высшей математики не удается. Поэтому мы остановимся на рассмотрении только тех частных случаев, которые пред* ставляют интерес в задачах элементарного курса физики,
Случай I. Тело, которое может быть принято за материальную точку, движется по произвольной траектории 1— 2, и на него действует сила F, неизменная по модулю и по направлению (рис. 5.1).
Формула (5.5) для этого случая упрощается, так как из- под знака суммы может быть вынесен постоянный множитель F:
2
A =^F^ Arzcos(F, Arz).i *
Легко показать, что сумма в этом выражении представляет собой проекцию Ar12jF суммарного вектора перемещения Аг12 на направление действующей силы F:
Рис. 5.1.Рис. 5.1.2
Рис. 5.1.
Рис. 5.1.
2 Arzcos(F, Arz) =
= Ar12cos(F, ArJ-
= Ar12 cosa — A/'12,f.
Таким образом, суммарная работа силы F может быть выражена как
X-FAr^, (5.6)
е. она равна произведению модуля силы на проекцию суммарного вектора перемещения Ki\^F.
Если учесть, что F \гХй огаа=1\гд^гх^ где Р^ГДй— проекция вектора силы F на направление суммарного’ вектора перемещения Ari2, то работа может быть подсчитана и по формуле
Х=^аг.12Аг12.(5.7)
Формулы (5.6) и (5.7) позволяют определить суммарную работу постоянной силы Рив тех случаях, когда движение тела происходит по той же траектории, но с изменением направления скорости на противоположное. Так, если тело перемещается сначала из пункта 1 в пункт 2, а затем изменяет направление движения и достигает пункта 3 (рис. 5.1), то суммарная работа Xi3 силы F будет равна
Ахз = F ^г 13>f F cos р Аг 1з — F^ГДз ^гi3.
Случай II. Точка приложения силы перемещается по произвольной траектории 1—2 (рис. 5.2), вектор силы F
J54
имеет неизменный модуль F и в любой точке траектории составляет один и тот же угол а с вектором элементарного перемещения Arz.
Формула (5.5) для этого случая снова упрощается, так как множители F и cos(F, Arz) оказываются постоянными:
.2
(5.8)(5.8)Л =Fcos а 2 Arz
(5.8)
(5.8)
1
Обратите внимание на то, что в случае криволинейной траектории движения тела (или точки приложения силы) сумма в выражении (5.8) представляет собой не модуль Art2 сум
марного вектора перемещения Аг12, а суммарный путь Sl2, пройденный телом!
Таким образом, в рассматриваемом случае суммарная работа определяется произведением
A=FXSW (5.9)
причем 7?T=Fcosa является проекцией силы F на направление элементарного вектора перемещения и остается постоянной для каждой точки траектории.
Формулами (5.8) и (5.9) можно пользоваться и в тех случаях, когда тело по той же траектории движется в обратную сторону: например, достигнув пункта 2, тело по дуге 2—3 перемещается в пункт 3 (рис. 5.2). Но так как при получении формулы (5.8) угол а считался постоянным, то и при возвращении тела сила F должна по-прежнему составлять с вектором элементарного перемещения угол а, т. е. в какой-то промежуточной точке на дуге 2—3 сила должна быть направлена так, как показано пунктиром на рис. 5.2. Суммарная работа силы F на пути S123 будет равна 4123=^5123.
В отличие от случая I, где вектор силы F оставался неизменным и «безучастным» к форме траектории, в случае II вектор силы как бы следит за формой траектории, оставаясь неизменным только по модулю.
Понятно, что расчет суммарной работы силы в случаях I и II упрощается, если тело движется по прямолинейной траектории. Еще более просто рассчитать работу, если траектория движения тела прямолинейна и рассмотренные выше углы а равны нулю или л радиан.
Случай III. Тело малых размеров движется по криволинейной траектории 1—2. На тело действует сила F, зависящая от его координат и всегда направленная к началу отсчета координат О (рис. 5.3).
С такими задачами мы встречаемся, если на движущееся тело действует, например, сила упругости, пружины (один конец пружины прикреплен к телу, а другой — к неподвижной точке О) или сила тяготения (точка О при этом совпадает с центром Земли).
Сложность расчета работы в подобных случаях заключается в том, что в правой части формулы (5.5) все величины оказываются переменными. Положение спасает довольно простая зависимость модулей двух указанных видов сил от модуля г радиус-вектора точки нахождения тела, на которое они действуют:
^упр = ^(Г-/о).(5.10)
где /0 — длина недеформированной пружины, и
FTaI = ^mM3-^.(5.11)
Еще одно упрощающее обстоятельство возникает в связи с тем, что работа силы упругости и работа силы тяготения (как и работа некоторых других сил, зависящих от коорди
нат, например сил электростатического взаимодействия) не зависят от формы траектории тела, на которое они действуют, а определяются лишь координатами начального и конечного положений тела в выбранной системе отсчета. В задачах, подобных той, схема которой изображена на рис. 5.3 (когда направление вектора силы все время проходит через начало отсчета координат), работа зависит не от радиус-векторов начального и конечного положений тела (14 и г2) и углов их ориентации, а только от разности их модулей (г2— п), т. е. от разности расстояний конечной и начальной точек от начала отсчета координат.
Подчеркивая это важное свойство, силы, работа которых зависит от координат начального и конечного положений тела и не зависит от формы траектории тела, называют консервативными или потенциальными силами. Работа таких сил при перемещении тела по замкнутой траектории всегда равна нулю.
■ Если зависимости (5.10) и (5.11) представить графически (рис. 5,4 а и б) и учесть только что отмеченное свойство работы силы упругости и силы тяготения, то станет ясным, что работе силы упругости при перемещении тела из положения 1 в положение 2 (на рис. 5.3) соответствует площадь трапеции, заштрихованной на рис. 5.4, а, а работе силы тяготения — площадь заштрихованной криволинейной трапеции на рис. 5.4, б.
Рис. 5.4.Рис. 5.4.
Рис. 5.4.
Рис. 5.4.
Можно показать (для силы тяготения это достаточно просто выполнить графически), что средние значения модулей сил (Fynp) ср и (Етяг) ср на интервале расстояний г2—гг равны ,р . ^ynpl + ^ynp а ^ бЧ ^о)~Ь^(Га Mt zg 12) V упр/ ср2*2*
(5.13)(5.13)(Г )
(5.13)
(5.13)
V тяг! ср — Г1Га •
После этого получить формулы для расчета работы двух указанных видов- сил не составляет большого труда:
(5.14)(5.15)(5.14)(5.15)_: A^-Zol + A^—Zo) , _ ..упр2V 2'1/>
(5.14)
(5.15)
(5.14)
(5.15)
Тяг Va ' 211
Появление знаков минус в формулах (5.14) и (5.15) неизбежно. В рассматриваемом примере (рис. 5.3) Г2<гъ или г2— Г1<0, но сила упругости или сила тяготения совершают положительную работу (тело приближается к точке О). Если бы тело удалялось от начала отсчета координат О (т. е. /"2>Г1 и г2— Г1>0), то сила упругости или сила тяготения совершали бы отрицательную работу.
Теорема о кинетической * энергии. Работа силыкак мера изменения кинетической энергии тела
Тело, движущееся в данной инерциальной системе отсчета, может, как уже отмечалось, изменять свое механическое состояние так, что при этом изменяются координаты тела, но вектор его скорости остается постоянным. Если же на движущееся тело действует сила, то в общем случае изменение его механического состояния будет таким, что наряду с координатами будет изменяться и скорость тела Мы уже говорили о том, что импульс силы, действующей на тело, позволяет оценивать изменения такой важной функции ме-
Рханического состояния, как у/7Iимпульс тела (mv). Работа си-
।лы оказывается связанной с
д ^/^ х1 -о —>- изменением некоторой дру-
F* 2 f Xгой функции механического рис 5 5состояния тела.
Пусть тело неизменной массы т перемещается прямолинейно из положения 1 в положение 2 вдоль положительного направления координатной оси ОХ какой-то инерциальной системы отсчета (рис. 5.5) в течение промежутка времени М. На тело действует постоянная сила F, составляющая с направлением перемещения угол а. Скорости движения тела в положениях 1 и 2 равны Vi и v2.
Первое уравнение системы (1.18) для данного случая можно записать в виде
Дх = п1хД/ + ^^-,
откуда, учитывая заданное направление движения, получаемкх = V] Д/ + —^ ' •,
причем на основании второго закона Ньютона
Fx F cos аа = ~ = —!,
т т ’
так как ускорение тела вдоль рассматриваемого направления движения обеспечивается не силой F, а только ее составляющей Fx. Следовательно,
А А , , F cos а (А/)2
Дх = У! д/н—
Подставим в это уравнение выражение для М, определенное по изменению импульса движущегося тела:
?xM = mva—mvu FXM =ти2х—mvlx,
Feos a M = mv„—тииЫ = ^r—^,
211F cos a ’
» mv2 — тиг , F cos a (mv2— moj)2
X У1 F cos a 2m (F cos a)2 ’
откуда после несложных преобразований получаем
FAxcosa=-^--^i.(5.16)
Видно, что левая часть полученного выражения представляет собой суммарную работу А силы F при перемещении тела на Ах из положения 1 в положение 2. На основании определения механического состояния, которое было дано выше, дроби в правой части выражения (5.16) являются функциями механического состояния рассматриваемого тела в конечном и начальном положениях, зависящими только от массы тела и от квадратов скоростей тела в этих положениях. Физическая величина
№к=~(5.17)
называется кинетической энергией тела. Уравнение (5.16) теперь может быть записано в более краткой форме:
Л = гк2-гк1(5.18)
или
Л = АГК,(5.19)
т. е. работа силы, действующей на тело, равна изменению кинетической энергии этого тела. В этом утверждении и заключается смысл теоремы о кинетической энергии.
На основании (5.16) заключаем, что кинетическая энергия тела возрастает, если действующая на него сила имеет составляющую, совпадающую с направлением его перемещения. Если сила имеет составляющую, направленную противоположно перемещению тела, то кинетическая энергия тела уменьшается. Наконец, если сила перпендикулярна к перемещению тела (или сила вовсе отсутствует), то его кинетическая энергия изменяться не будет.
Очень часто приходится встречаться с ошибочным утверждением о том, что работа силы трения всегда отрицательна и, следовательно, при воздействии силы трения кинетическая энергия тела уменьшается. Однако это справедливо только в тех случаях,.когда сила трения является-силой сопротивления, силой, препятствующей движению тела в заданном направлении (этому соответствует случай II на стр. 154, 155 при а=л радиан). В некоторых задачах работа силы трения положительна и воздействие силы трения на тело приводит к увеличению его кинетической энергии.
Можно привести*такой пример: на неподвижную тележку положим брусок и будем тянуть -его по поверхности тележки. Если сила трения, действующая со стороны бруска
' 2' 211XXДа?Рис, 5.6.Да?Рис, 5.6.на тележку, будет больше силы трения, действующей на колеса тележки, то тележка покатится, значит, сила трения, действующая со стороны бруска на тележку, совершит положительную работу.
' 2
' 2
1
1
X
X
Да?
Рис, 5.6.
Да?
Рис, 5.6.
Такой более общий случайТакой более общий случайИногда возникает вопрос: не усложнится ли выражение (5.16), если направление перемещения тела не будет совпадать с координатной осью? представлен на рис. 5.6. Чита-
Такой более общий случай
Такой более общий случай
тели, мы надеемся, смогут самостоятельно показать, что при проецировании уравнений-
Ar = V1A/ + i^,(5.20)
Fr А/ =mv2—mv1(5.21)
на направление вектора перемещения тела Аг можно получить уравнение, аналогичное уравнению (5.16):
Г Ar cos а = -^—^-.(5.22)
где работа определяется модулем действующей силы, модулем перемещения тела в заданном направлении и косинусом угла между векторами F и Аг.
Но получим ли мы уравнение (5.22), если уравнения (5.20) и (5.21) будем проецировать не на направление век-
тора Аг, а, например, на координатную ось ОХ> Приведем соответствующие выкладки без подробных пояснений. Проецируем уравнение (5.20) наг ось ОХ:
&гх = ^х^^- ^^, или Ах = ^ cos р At + асо®^Л-^ , причем
~ Fr F cos аа = —~ = ,
т т 1
ч. е.
Ах = У1 cos р М + £^£21ЁМ2.* г ।2m
(Обратите внимание на то, что в числителе последней дроби стоит F cos a cos р, а не /’cos(a+P) )'
Проецирование уравнения (5.21) на ось ОХ дало бы
FrxM = mulx—mvlx,
на основании чего
F cos a cos р А/ = mv2 cos р —ти1 cos р, откуда
д^ то2—mt/jF cos a *
Теперь имеем
Л г - „ пос R тУ2—«г»! , F cos a cos £ (mo2—т^)21 P f cos a ' 2m (F cos a)2 *
Ax F cos a moj moicos p - 22 ’
но поскольку Ax/cosp—Ar, получаем и для этого случая уравнение, полностью совпадающее с уравнением (5.22).
Универсальность уравнения (5.22), его независимость от выбора направлений координатных осей вытекает, конечно, из определений (5.4) и (5.17), в согласии с которыми и рабо- та, и кинетическая энергия являются скалярными физическими величинами, не зависящими от расположения координатных осей выбранной инерциальной системы отсчета. В частности, следует подчеркнуть, что работа зависит от угла между вектором силы и вектором перемещения, а не от угла между вектором силы и координатной осью.
В уравнениях (5.16), (5.18), (5.19) и (5.22) работа силы выступает как мера изменения кинетической энергии тела,
6 Ю. А. Селезнев161
на которое эта сила действует. Значение кинетической энергии тела Ц7К зависит от выбора системы отсчета и при переходе к другой инерциальной системе отсчета может измениться. В этом смысле кинетическая энергия тела оказывается величиной относительной. Но изменение кинетической энергии Д№к данного тела на данном перемещении под воздействием данной силы в любой инерциальной системе отсчета будет одним и тем же. Этот факт подтверждает, что кинетическая энергия является функцией механического состояния тела.
Потенциальная энергия. Закон сохранениямеханической энергии замкнутой консервативной системывзаимодействующих тел
С замкнутыми консервативными системами в механике элементарного курса физики мы встречаемся, когда взаимодействие между телами системы осуществляется силами упругости или силами тяготения.
Вернемся к риС. 5.3, на котором представлена схема такого взаимодействия. Пусть в точке О находится одно из тел системы, его мы примем за тело отсчета и свяжем с ним инерциальную систему отсчета. Второе тело системы, которое может быть принято за материальную точку, имеющую массу т, перемещается из положения 1 в положение 2. Невесомая пружина с коэффициентом упругости к является посредником взаимодействия между двумя указанными телами. Формулу (5.14) для расчета работы силы упругости можно преобразовать следующим образом:
^упр = — М (tVs — 2/0г2 + Г^—^ + 2/огг — г^^) =
=- (6/2) WX-tU»+^-И-г/дг, + /?)] =
= -(6/2) [(r2—Z0)8—(гх—/0)=].
Если деформации пружины (гх—/0) и (г2—1^, соответствующие начальному и конечному положениям перемещающегося тела, обозначить через Мт и Л/2, то работа силы упругости будет равна
„^(д/а2 £(д/2)2
^упр“ 2 х 2(5.23)
Величину
№л=-^(5.24)
называют потенциальной энергией системы тел, взаимодействие между которыми осуществляется силами упругости (иногда ее называют потенциальной энергией упругого взаимодействия). На основании (5.23) и (5.24) получаем
4пр —(Гп2-У7п1), (5.25) или
Дупр = -А^п, (5.26) т. е. работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии системы взаимодействующих тел, взятому с обратным знаком. («Изменение» здесь, как и во всех других случаях, когда не дается дополнительных уточнений, имеет смысл разности между конечным и начальным значениями изменяющейся величины.) -
Таким образом, потенциальная энергия упругого взаимодействия оказывается функцией механического состояния системы. При переходе системы из одного состояния в другое ее потенциальная энергия изменяется, и это изменение равно работе силы упругости.
Поскольку энергия, определяемая формулой (5.24), не зависит от того, какие именно тела связаны данной пружиной, эту энергию часто называют потенциальной энергией пружины. При отсутствии внешних воздействий сама пружина может считаться системой взаимодействующих частиц (частей, слоев или витков), относительное расположение которых задается обычно смещением одного конца пружины в системе отсчета, связанной с другим ее концом. Иногда говорят о потенциальной энергии одиночного тела (например, тела с массой т), находящегося в том или ином положении относительно другого тела (тела в точке О на рис 5.3), принятого в качестве тела отсчета. Но независимо от используемой терминологии потенциальная энергия всегда имеет смысл физической величины, зависящей от относительного расположения взаимодействующих тел или частиц. Одно из тел (или одна из частиц) системы при этом принимается за тело отсчета и с ним связывается система отсчета. Выбор начала отсчета координат (смещений, деформаций или нулевого уровня отсчета потенциальной энергии) производится из соображений удобства и простоты. В нашем примере за начало отсчета координат могла'быть принята не только точка О закрепления неподвижного конца пружины или точка, в которой находился другой конец пружины, когда пружина не была деформирована, но и любая другая.
Если на рассматриваемую систему тел никакие другие силы, кроме внутренних сил упругого взаимодействия, не действуют, то работа сил упругости определяет изменение потенциальной энергии системы в согласии с (5.25). С другой стороны, на основании теоремы о кинетической энергии эта же работа определяет изменение кинетической энергии тела с массой т в системе отсчета, связанной с телом, находящимся в точке О. Таким образом, можно написать, что
ИЛИ
^К2 + ^П2 = Гк1 + ГП1 = const.(5.27)
Поскольку в рассматриваемой нами системе взаимодействующих тел одно из тел выбрано в качестве тела отсчета, величины 1ГК2 и Ц7К1 могут считаться не только кинетическими энергиями перемещающегося тела с массой т, но и кинетическими энергиями всей системы в двух различных механических состояниях.
Сумму кинетической и потенциальной энергий системы тел называют механической энергией этой системы:
№M-rKwn.
Следовательно, уравнение (5.27) является выражением закона сохранения механической энергии для замкнутой системы тел, взаимодействие между которыми осуществляется силами упругости. *
Важнейшим свойством механической энергии Ц7М замкнутой консервативной системы тел является ее сохранение при переходе системы из одного механического состояния в другое (при этом кинетическая энергия может возрастать за счет убыли потенциальной, и наоборот). Механическая энергия оказывается более общей функцией механического состояния системы тел по сравнению с импульсом этой системы, ибо механическая энергия зависит не только от скоростей тел системы в выбранной инерциальной системе отсчета, но и от относительного расположения взаимодействующих тел.
Примером замкнутой системы, взаимодействие в которой осуществляется только силами упругости, может служить горизонтальный пружинный маятник, изображенный на рис. 2.16 (стр. 114). Если коэффициент упругости пружины равен к, а масса тела, прикрепленного к ее концу, равна т, то, воспользовавшись уравнениями (1.26) и (L27), можно 164
получить выражения для потенциальной и кинетической энергии такого маятника к концу промежутка времени Ы от начала отсчета времени:
Ц7п=А^ = 1ы25ш2(й)Д/ + ф0),(5.28)
И7К —~^* — y/n®242cos2(® A/-|-q>0).(5.29)
Учитывая, что в данном случае имеют место свободные незатухающие колебания (циклическую частоту таких колебаний мы ранее обозначали через ®0), и вспоминая формулу (2.11), получаем
Fn=-i-M2sin2(coo A# + q>0),(5.30)
1^к = у М2 cos2 (to0 А^ + фо).(5.31)
Суммируя эти уравнения, убеждаемся, что механическая , энергия пружинного маятника, совершающего гармонические колебания, для любого момента времени указывается величиной постоянной:
^М = ^П + WK =4 М2 lsin2(®0 А/+ф0)+соз2(®в ДНфо)] =
(5.32)
Механическая энергия пружинного маятника зависит лишь от его характеристик (& или tri) и от начальных условий (от этих условий, как мы помним, зависит амплитуда Д смещения маятника). Обращает на себя внимание и еще одна характерная особенность: для пружинного маятника, совершающего гармонические колебания, величины №„, WK и 1ГМ пропорциональны квадратам амплитудных значений смещения (Д2) или скорости (ю^Д2).
В качестве второго примера замкнутой консервативной системы рассмотрим систему, состоящую из земного шара (будем считать, что в точке О на рйс. 5.3 расположен его центр масс) и тела массы т, перемещающегося из положения / в положение 2, причем точки / и 2 располагаются над по4 верхностью Земли (пЖз и г2>Яз). На основании (5.15) имеем
' А.Г —т'^+т^3-(5.33»
'1
Для рассматриваемой системы взаимодействующих тел величину
= — у^(5.34)'
называют потенциальной энергией гравитационного взаимодействия. Расстояние г в этой формуле отсчитывается от центра масс земного шара.
Учитывая (5.33) и (5.34), заключаем, что работа силы тяготения равна изменению потенциальной энергии взаимодействия тела с массой т и Земли, взятому с обратным знаком:
Лтяг = - (^-^щ),(5.35)
или
Лтяг = -Д117п,(5.36)
т. е. здесь мы опять встречаемся с ситуацией, аналогичной той, которая имела место при взаимодействии тел замкнутой системы посредством сил упругости. Потенциальная энергия и в этом случае оказывается функцией механического состояния.
На основании (5.35) и теоремы о кинетической энергии снова приходим к выводу о выполнимости закона сохранения механической энергии и в этом случае:
^W^^KiWni-Const,
ИЛИ
^2 = ^1== const.
Строго говоря, при перемещении тела массы т из положения 1 в положение 2 земной шар из-за взаимодействия с этим тел’ом тоже изменяет свое местоположение и скорость своего движения, но эти изменения оказываются практически неощутимыми, что и позволяет проводить расчеты в неподвижной инерциальной системе отсчета, связанной с земным шаром. При этом условии допустимо считать величину, определяемую формулой (5.34), потенциальной энергией тела с массой т, находящегося в поле тяготения Земли на расстояние г от ее центра или на высоте Н над ее поверхностью (тогда r=R3 +//).
Поскольку потенциальная энергия гравитационного взаимодействия (так же как и потенциальная энергия упругого взаимодействия) зависит от относительного расположения взаимодействующих тел, а ее изменение — от изменения их
относительного расположения, нулевой уровень отсчета потенциальной энергии системы тел (или одиночного тела в системе отсчета, связанной с Землей) может выбираться произвольно. При перемещении тела с массой т в поле тяготения Земли из одного произвольного положения /, находящегося на высоте Нг над поверхностью Земли, в другое произвольное положение 2 на высоте Я2 изменение потенциальной энергии равно
^n-r„i = -V^+T^.(5.37)
'2
Если считать, например, что в положении 2 тело находится на поверхности Земли (Яа=0 или г2=/?з), и условно принять потенциальную энергию тела в этом положении равной нулю (Ц7п2=0), то на основании (5.37) получим
Л П7«mMaJ_M тМз
или
ТТ77 тМз тМз
Поскольку положение 7 — это произвольно выбранное положение тела в поле тяготения Земли, индекс 1 в последнем уравнении можно опустить:
в".(5-38>
По этой формуле можно найти потенциальную энергию тела с массой иг, находящегося на высоте Н над поверхностью Земли, если потенциальная энергия тела на поверхности Земли принимается равной нулю. Обращаем внимание на то, что формула (5.38) справедлива только при этом «если»!
Отметим попутно, что известная формула для расчета потенциальной энергии тела в поле тяготения Земли
Wn = mgH(5.39)
является следствием формулы (5.38) для некоторых частных случаев. С учетом (4.4) формулу (5.38) можно представить в виде
w -m8RaнmgRsH
Яз(Яз + Я) “ Rs + H ’
откуда получается выражение (5.39), если только величиной Н можно пренебречь в знаменателе по сравнению с R3, т. е. при условии H<^?R3.
Заметим, что, задаваясь вопросом, нельзя ли чем-нибудь пренебречь, довольно часто удается найти путь упрощения того или иного выражения. При этом всегда нужно оговаривать условия возможности таких упрощений и условия применимости упрощенных выражений.
Часто бывает удобным считать потенциальную энергию гравитационного взаимодействия тела с Землей равной нулю не при расположении тела на поверхности Земли, а при его нахождении на бесконечно большом расстоянии от Земли. Тогда, подставляя в (5.37) гх=оо и И7п1=0 и учитывая, что га=Кз +Нг, получаем
или, снова опуская индексы из-за произвольности выбора положения 2, -
— (5-40)
По этой-формуле также можно найти потенциальную энергию тела, находящегося на высоте Н над поверхностью Земли, но только при условии, что за нуль принимается потенциальная энергия тела на бесконечно большом расстоянии от Земли. Когда принимается это условие, потенциальная энергия тела в различных точках поля тяготения Земли будет величиной отрицательной. При удалении тела от поверхности Земли его потенциальная энергия будет увеличиваться, оставаясь отрицательной, т. е. модуль значения потенциальной энергии будет уменьшаться.
Рассматривая в элементарном курсе физики замкнутые консервативные системы, взаимодействие между телами которых осуществляется силами тяготения, мы ограничиваемся только оценкой взаимодействия различных тел с Землей. При этом неподвижная инерциальная система отсчета связывается с Землей, т. е. кроме движений земного шара; вызванных перемещением взаимодействующих с ним тел, мы пренебрегаем и вращательным движением Земли вокруг собственной оси и вокруг Солнца. В таких условиях можно пренебречь отличием силы тяжести Р какого-то тела от силы тяготения РТЯр, действующей на него со стороны Земли, и можно говорить не о работе силы тяготения, а о работе силы тяжести.
Задача. Шарик с массой т движется по желобу, имеющему форму «мертвой петли» (рис. 5.7). С какой наименьшей высоты должно начаться движение шарика2 чтобы он все время касался желоба? Пренебрегая
силами сопротивления движению шарика, определить силу его воздействия на желоб в точке 2. Радиус, проведенный в эту точку, составляет с вертикалью угол а.
Будем решать задачу в неподвижной инерциальной системе отсчета, связанной с Землей.
Пусть шарик начинает двигаться из положения 7, находящегося на высоте Н от нижней точки петли N. Наименьшее значение Н найдем из условия безотрывного движения шарика по желобу в верхней точке петли 3. Если шарик перестанет касаться желоба в этой точке, то прекратится взаимодействие между шариком и желобом. Необходимое для
движения по криволинейной траектории нормальное ускорение будет сообщаться шарику только силой тяжести Р, и уравнение второго закона Ньютона для шарика может быть записано в виде
;Р—та3,
откуда, проецируя на вертикальную ось координат и переходя к модулям, имеем
т§=пшз.(а)
Если радиус окружности петли равен R, а модуль скорости движения шарика в точке 3 равен у3, то а3=Оз/^? и с учетом (а)
4=§R.(б)
Отсюда можно было бы определить модуль и3 скорости движения шарика в точке 3, но нам нужно выразить и3 через высоту Н. Эту связь получим, используя закон сохранения механической энергии.
Мы име^м дело с замкнутой системой трех взаимодействующих тел: шарик,- желоб и Земля. Землю мы приняли в качестве тела отсчета и поэтому не будем интересоваться изменением ее механической энергии. Изменение механической энергии желоба также может быть цсключено из рассмотрения. Желоб неподвижен в выбранной системе отсчета и не деформируется, значит, его кинетическая энергия равна нулю и не изменяется; кроме того, не изменяется потенциальная энергия его гравитационного взаимодействия с Землей и потенциальная энергия упругих взаимодействий. В этих условиях можно говорить о сохранении механической энергии одного только шарика.
В данном случае потенциальную энергию гравитационного взаимодействия шарика с Землей удобно принять равной нулю^при нахождении шарика в нижней точке петли N*
Кинетическая энерия шарика в положении 1 равна нулю: FK1=0. Потенциальная энергия №пх в согласии с (5 39) равна Wni—mg Н. Поэтому W^y^mgH.
В положении 3 шарик движется, т. е. П7к3= тУз/2, и находится на высоте 2R над точкой N^ т. е. Wn3—mg2R. Тогда
^мз=”2—V^R-
В согласии с законом сохранения механической энергии должно выполняться равенство FM1=FM3, или
/ПУ?
/72g// = -^ + 2/72^, откуда
v^gH-AgR.(в)-
С учетом (б) получаем
При значениях Н, меньших определяемого формулой (г), шарик или оторвется от желоба в точке 3, или не достигнет ее.
Теперь нам известны характеристики начального состояния системы, и вторая, динамическая часть задачи о взаимодействии шарика с желобом в точке 2 решается с помощью законов Ньютона. Правда, и здесь закон сохранения механической энергии вносит свой вклад.
В точке 2 на шарик действуют две силы: сила тяжести Р, направленная вертикально вниз, и сила реакции желоба F2, направленная вдоль радиуса к центру окружности О. Проецируя уравнение второго закона Ньютона
Р+Р2=/тга3
на направление радиуса 2—О, имеем
Рп + F^n = ^а2П1 илиР cos а+F2 = та2п>
и, поскольку а^п =v\/R,,
/72^2
mg cosa + P2=-^-.(д)
Вторая часть задачи будет решена, если мы определим Г2, так как искомая сила воздействия шарику на желоб в согласии с третьим законом Ньютона равна Р2. Направлена искомая сила вдоль радиуса от центра окружности, т. е. противоположно направлению силы F2.
Величину у2 выразим из равенства механической энергии шарика в положениях 1 и 2. Ясно, что
'Й7к2 = /72У2/2
И
^n2 = m^ № + OK) = mg (R + R cosa) = mgR (1 + cosa); тогда
Но так как W^t^ingH^ то
mg н"Vm^ t1 + cosa^
откуда
и| = 2g Я — 2g^ (1 + cos a).(е)
Из (д) и (е) получаем
f2=-^- (2Я-2/?-3/? cos a).
Если ввести в это уравнение найденное ранее условие (г) безотрывного движения шарика (или условие скатывания с наименьшей необходимой высоты), получаем окончательный результат:
F2= 3mg (1 —cos a).(ж)
Условие равенства размерностей левой и правой частей этого выражения выполняется, так как в скобки заключена разность безразмерных величин.
Формула (ж) является универсальной для определения силы воздействия шарика на желоб в любой точке петли. Применение ее для точки 3 должно давать равное нулю значение силы воздействия со стороны желоба на шарик (или со стороны щарика на желоб) в согласии с использовавшимся условием определения наименьшей высоты скатывания. Подставляя в (ж) а=0, легко в этом убедиться.
Анализируя формулу (ж), приходим к выводу, что наибольшая сила будет действовать на желоб в точке N. Для этой точки а=л радиан и F^^mg.
В пределах петли шарик движется по окружности неравномерно. Составляющая Рт силы тяжести шарика является причиной изменения модуля его скорости. Из рисунка видно, что PT=mg sin а. Таким образом, модуль тангенциального ускорения шарика изменяется по закону синуса:
Задача. Часто приходится слышать, что так называемая вторая космическая скорость приблизительно равна 11,2 км/с. Второй космической скоростью называют (без каких-либо дополнительных уточнений) скорость, с которой должно двигаться тело, чтобы покинуть Землю, «оторваться» от земного притяжения и сделаться спутником Солнца. А может ли тело покинуть Землю, если его скорость равна, например, 1 км/с?
Чтобы получить общее^выражение для второй космической скорости, удобно воспользоваться формулой (5.40). Оговорка, сделанная при рыводе этой формулы относительно выбора начала отсчета потенциальной энергии тела в бесконечности, теперь приобретает для нас особенно важное значение.
Если тело находится на бесконечно большом расстоянии от Земли^ ' то оно практически уже не взаимодействует с Землей и, если даже это тело ничем не поддерживается, оно не упадет на Землю При этом потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тела с Землей равна
нулю. Если, кроме того, в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, тело неподвижно, то его кинетическая энергия также равна нулю и, следовательно, равна нулю механическая энергия тела. Находясь в «оторванном» от Земли состоянии, тело, конечно, может и двигаться с какой-то скоростью. Если вектор этой скорости не направлен к Земле, вновь не будет причины для падения тела на Землю, но его механическая энергия в этом случае будет положительной (если кинетическая энергия не равна нулю, то она не может быть отрицательной).
Такие же условия, оказывается, имеют смысл и для конечных расстояний тела от Земли. Потенциальная энергия в этих случаях будет отрицательной, но, чтобы тело не вернулось на Землю, его механическая энергия должна быть или равной нулю, или положительной. Это возможно, если тело не покоится, а движется с какой то скоростью? не направленной в сторону Земли. Тогда
Минимальная скорость тела, при которой выполняется равенство абсолютных значений кинетической и потенциальной энергий тела в точке запуска, и считается второй космической скоростью ик2. (Большие скорости движения, соответствующие условию №к>1^пЬ конечно, также приведут к освобождению тела от земного притяжения ) Найдем эту скорость из условия
,' mi£z тМ3
2 Y Rb+H
которое с учетом (4 4) можно переписать в виде
my^2_mgRl -
2 ~Rb+H’
откуДа
Сравнивая первую и вторую космические скорости, замечаем, что они отличаются в V2 раз и не зависят от массы тела. Вторая космическая скорость также зависит от высоты расположения точки запуска: значение ук2^11,2 км/с справедливо только для случая #=0,т. е. для запуска с земной поверхности.
Нас могут спросить: все известные космические корабли стартовали с поверхности Земли; зачем же нужны значения второй космической скорости, отличные от 11,2 км/с? Чтобы ответить на этот вопрос, обратим внимание на то, что точкой запуска мы назвали такую точку в околоземном пространстве, в которой тело дбстигает скорости, достаточной для освобождения от земного притяжения. Эта скорость зависит от высоты расположения точки запуска над поверхностью Земли. Если мы хотим, чтобы тело потеряло связь с Землей, начиная двигаться из любой точки на ее поверхности, нужно сообщить этому телу скорость, равную 11,2 км/с. Если же мы сперва поднимем тело (неважно, за счет чего и как) на какую-то высоту, перемещая его даже с очень малой скоростью, и только там будем сообщать ему скорость, необходимую для освобож-
дения от земного притяженияг то эта скорость может быть меньше, чем 11,2 км/с.
Осуществлять движение тел со скоростями в несколько километров в секунду вблизи земной поверхности — задача очень трудная. При движении с такими скоростями в плотных слоях атмосферы возникают колоссальные силы вязкого трения, которые могут привести к резкому повышению температуры и даже к сгоранию аппарата или корабля, если не принимаются специальные меры тепловой защиты. Поэтому выгодно с малой скоростью преодолеть плотные слои атмосферы, поднять тело до высоты разреженных ёлоев и только там сообщить ему первую или вторую космическую скорость.
На основании формулы для определения второй космической скорости нам должно быть теперь понятно, что и скорость в 7,93 км/с может быть достаточной для отрыва тела от Земли, если только такую скорость тело имеет не у земной поверхности, а на высоте Н=Кз от нее.
Предложенная по условию задачи скорость (о=1 км/с) в принципе может стать второй космической скоростью, если только тело обладает ею на высоте Ht от земной поверхности, определяемой из уравнения
v=Rs V •
Разрешая его относительно Н^ получаем
Выражение в скобках безразмерно и равно приблизительно 125, т, е.
Ях * 125/?з к 800 000 км.
Телу, доставленному любым способом на такую высоту, достаточно сообщить скорость, равную всего лишь 1 км/с, чтобы оно при дальнейшем движении смогло удалиться на бесконечно большое расстояние от Земли, преодолев ее притяжение.
Энергия поля тяготения
Когда мы рассматривали замкнутую систему тел, взаимодействие между которыми осуществлялось силами упругости, мы фактически имели дело с системой трех тел. Третьим телом системы была пружина, являвшаяся посредником взаимодействия между двумя другими телами. При этом было отмечено, что, используя представление о потенциальной энергии, можно говорить или о потенциальной энергии системы взаимодействующих тел, или о потенциальной энергии одного из тел в системе отсчета, связанной с другим телом, при учете характера взаимодействия между ними, или, наконец, о потенциальной энергии одной только пружины как посредника взаимодействия. Аналогичный подход мы использовали и при анализе замкнутой системы тяготеющих
тел. Энергия/определяемая формулой (5.34), имеет смысл для системы взаимодействующих тел, выражения (5.38) — (5.40) с учетом соответствующих оговорок позволяют находить потенциальную энергию тела с массой т в той или иной точке поля тяготения Земли. Но можно ли и в этом случае говорить об энергии посредника взаимодействия, которым является не третье тело системы, а поле тяготения? Оказывается, можно. Поле тяготения, также как и «вещественная» разновидность материи, обладает энергией. Эта энергия «размазана», распределена по всему объему пространства, в котором обнаруживается поле тяготения данного тела.
Энергетической характеристикой поля тяготения в данной точке является потенциал (фт) — скалярная физическая величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы, помещенного в эту точку поля:
Фт = > (5.41)
Несмотря на то, что для измерения потенциала используется какое-то тело, потенциал не зависит ни от массы этого тела, ни от каких-либо других свойств этого тела, т. е. он является характеристикой самого поля тяготения в данной точке. Для поля тяготения Земли это вытекает, в частности, из определений (5.41) и (5.34):
т. е. потенциал зависит только от массы источника поля тяготения (Л4з) и от расстояния г данной точки поля до центра Земли.
Начало отсчета потенциала (точка поля тяготения, в которой потенциал фт равен нулю) выбирается произвольно. С учетом (5.38) — (5.40) можно получить выражения для потенциала точек поля тяготения Земли, находящихся на высоте Н над поверхностью* Земли (или на расстоянии г—Н3А* +// от центра Земли), при различных условиях выбора начала отсчета потенциала:
М3Н
? Rs № + Я) ’<5 - 42>
если начало отсчета потенциала выбрано в точке на поверхности Земли (фт=0 при 77=0);
<pt — gH(5.43)
при том же выборе начала отсчета потенциала, но для точек, находящихся вблизи поверхности Земли (77<^/?з);
если потенциал, равный нулю, приписывается точке, бесконечно удаленной от поверхности Земли (фт=0 при Н=оо),
Введение потенциала диктуется не только соображениями принципиального порядка (которые отражают материальность поля тяготения, учитывают тот факт, что поле, так же как вещество, тела или системы тел, характеризуется энергией), но и удобством расчета такой практически важной величины, как работа силы тяготения (или силы тяжести). Если потенциалы каких-то двух точек (/ и 2) поля тяготения Земли равны <рт1 и фт2, то работа силы тяготения Л12 при перемещении тела с массой т из точки 1 в точку 2 на основании (5.35) и (5.41) равна
Л12 = —т(фТ2—фТ1) = —тДф,. (5.45)
Мощность
Физическая величина, определяемая отношением работы ДЛ, совершенной силой F в течение промежутка времени Д/, к этому промежутку, носит название средней мощности:
”.,=т-<5-46>
Для случаев, когда направление действующей силы и направление вектора перемещения точки приложения силы совпадают, из (5.46) и (5.4) можно получить другое по форме выражение для средней мощности:
(5.47)
Если рассматривать бесконечно малые промежутки времени (Д^—>0), можно получить выражение для мгновенной мощности:
N = lira 4т(5.48)
д/-*о м
или
N = Fv.N = Fv.(5.49)
N = Fv.
N = Fv.
17$
Единицы измерения мощности вводятся по «определяющим» формулам (5.46) или (5.48): 1 Дж/с=1 Вт (СИ) и 1 эрг/с (СГС).
Задача. Определить среднюю мощность насоса, который в течение 10 минут (Д^= 10 мин) должен наполнить водой из реки открытый вертикальный цилиндрический бак диаметром D=l,0 м до уровня, находящегося на высоте Я=10 м. Дно бака располагается на уровне поверхности воды в реке (рис. 5.8).
Если отсутствует трение в трубопроводе,, то насосу придется совершать работу только по подъему воды, работу против силы тяжести. Силу тяжести воды легко найти по заданной геометрии заполняемой ча- 4 сти бака и взятому из таблицы
значению плотности р воды. Для вычисления работы нужно знать высоту подъема воды. Ясно, что заданная величина Н непосредственно эту работу не определяет: при заполнении бака равные порции воды (например, по одному килограмму) придется поднимать на различные высоты (от значения, равного нулю, до значения, равного Н). Как же по- ступить^ '.
Можно, очевидно, мысленно разделить заполняемый объем бака на очень тонкие горизон
тальные цилиндрические слои и подсчитать суммарную работу подъема всех порций воды, по объему равных объему одного слоя. Работой нагнетания первой порции можно пренебречь из-за ничтожно малой высоты ее подъема. Вторую порцию нужно будет поднимать на - высоту, равную толщине первого слоя,
третью — на высоту, равную толщине двух слоев, и т. д.
Попробуйте провести такой расчет, и вы убедитесь, что работа по подъему воды против силы тяжести будет зависеть от высоты расположения центра масс Нс столба воды в баке, отсчитанной от выбранного начального уровня. Для цилиндрического столба Нс~Н/2.
Об этом следует помнить при расчече работы по подъему жидкостей
или сыпучих тел -
Итак, работа, которую придется совершать насосу, равна
(а)(а)A = mgHc = mg -^.
(а)
(а)
Объем воды в баке будет равен (л^2/4)Я, и ее масса
л^2т = р — Н.
На основании (а), (б) и (5.46) получаем выражение для искомой средней мощности насоса:
„ npgD^
Выясним размерность правой части этого выражения и подсчитаем численное значение мощности.
В СИ D и Н измеряются в метрах, g — в м/с2, А/ — в секундах1 р — в кг/м3 (Для воды рд^ЮОО кг/м3). Тогда
кг-м-м2-м2 Н-м Дж D
" о О~ ~~ —— —— . ,, .
м3 - с2 • с с с
и
^3,14^000.9,8.1,0 (10)2
ср8-600’ Те
Изменение механической энергии незамкнутой системы тел ■
Доказав теорему о кинетической энергии для одиночного тела, мы показали, что кинетическая энергия тела изменяется под воздействием любой внешней силы и что работа этой z силы является мерой изменения кинетической энергии тела. Точно к такому же заключению мы, очевидно, придем, если в какой-то инерциальной системе отсчета будем рассматривать незамкнутую систему не взаимодействующих друг с другом тел (тела системы не взаимодействуют между собой, но на некоторые из них или на все тела системы действуют любые — потенциальные (стр. 156) или непотенциальные — внешние силы со стороны тел, не включенных в эту систему). Потенциальная энергия взаимодействия тел системы в этом случае вообще равна нулю и не может измейяться. Механическая энергия системы равна суммарной кинетической энергии всех тел системы, и ее изменение будет определяться суммарной работой внешних сил.
Для незамкнутой системы, подверженной действию только потенциальных внешних сил, выполняется закон сохранения механической энергии. К такому выводу можно прийти, вернувшись к примеру, обсуждавшемуся на стр. 165— 166. Рассмотрим в качестве простейшей незамкнутой системы упоминавшееся в примере одиночное тело массы т, на которое действует потенциальная сила со стороны Земли (земной шар не включен в одну систему вместе с телом, и поэтому сила тяготения является силой внешнего воздействия на тело). Работой этой силы измеряется, с одной стороны, изменение потенциальной энергии тела в поле тяготения Земли (взятое с обратным знаком), а с другой — изменение кинетической энергии тела. Поскольку модули этих -изменений равны, суммарная механическая энергия тела будет оставаться неизменной.
Закон сохранения механической энергии выполняется и в том случае, если незамкнутая система состоит из нескольких не взаимодействующих между собой или взаимодействующих только потенциальными силами тел, но на все тела системы или на некоторые из них действуют потенциальные
внешние силы.
Рассмотрим теперь незамкнутую систему взаимодействующих тел, подверженную действию непотенциальных внешних сил. Пусть для простоты система состоит всего из двух тел, взаимодействие между которыми осуществляется
11Рис. 5.9.Рис. 5.9.силами тяготения, и внешняя непотенциальная сила действует только на одно из тел системы.
1
1
Рис. 5.9.
Рис. 5.9.
Оценим изменение механической энергии камня массой т. перемещающегося в инерциальной системе отсчета, связанной а Землей, из точки 1 в точку 2 под воздействием силы тяжести Р (она является внутренней силой) и какой-то внешней непотенциальной силы F (рис. 5.9). Будем считать точки 1 и 2 расположенными так близко
одна к другой, что при перемещении камня не успевают измениться ни силы Р и F, ни углы аир. Для упрощения расчетов предположим также, что вектор результирующей сил Р и F (а значит, и вектор ускорения а камня) совпадает
по направлению с вектором начальной скорости камня vi. Тогда такое же направление будет иметь и вектор перемещения Аг12. Поскольку на камень никакие другие силы, кроме постоянных сил Р и F, не действуют, его движение будет равноускоренным (а=const), причем
P+F=ma.
Если перемещение камня происходит в течение промежутка времени А/, то справедливы уравнения
Ar12 = nxM + ^^^ и (P + F)A^ = mv2—mvP
Проецируя все эти векторные уравнения на направление вектора перемещения Аг12 и переходя к уравнениям для модулей, имеем
Р cos а + F cos р = та.КI «(АО2
Ar18=v1A/ + -^-,
(Р cos а 4- F cos Р) А/ = ту2—myv
Если выразить а из первого уравнения этой системы, а М — из третьего и эти выражения подставить во второе уравнение, то можно получить
Р cos а Аг12 + F cos р Аг12 = -^-—^-.
Первое слагаемое в левой части этого уравнения представляет работу силы тяжести (или силы тяготения) Ар> которая в согласии с (5.36) равна изменению потенциальной энергии системы, взятому с обратным знаком (Др=—Д1ГП). Второе слагаемое в левой части — это работа внешней силы 4внешн. Правая часть уравнения представляет изменение кинетической энергии рассматриваемой системы тел. С учетом этого последнее уравнение можно записать более кратко:
ЛВнешн = А к + Л^ п*
Но сумма изменений кинетической и потенциальной энергий системы есть не что иное, как изменение механической энергии АУ7М этой системы, т. е.
ЛВнешн = АГм. - (5.50)
Таким образом, мы пришли к заключению, что механическая энергия незамкнутой системы тел под воздействием непотенциальной внешней.силы изменяется (AU7M=/=0) и это изменение равно работе внешней силы, действующей на систему. х 1
К такому же выводу можно прийти и в тех случаях, когда система взаимодействующих тел будет состоять не из двух, а из большего количества тел, когда взаимодействие между телами системы будет осуществляться не только силами тяготения, но и любыми другими потенциальными силами и когда внешние непотенциальные силы будут действовать не на одно, а на все тела данной системы. Под воздействием внешних непотенциальных сил у некоторых тел системы механическая энергия может возрастать, а у других — уменьшаться, но суммарное изменение механической энергии системы всегда будет определяться суммарной работой непотенциальных внешних сил.
Если суммарная механическая энергия данной системы тел под воздействием внешних сил уменьшается, очень часто говорят не о работе внешних сил (которая в этих случаях оказывается величиной отрицательной), а о работе, совершаемой данной системой против внешних сил, или о работе
над телами, не включенными в систему. Именно при описании явлений подобного рода допускается замена понятия «работа силы» понятиями «работа тела», «работа, совершаемая системой тел», и т. п.
Изменение механической энергии системы,взаимодействие между телами которой осуществляетсяпотенциальными и непотенциальными силами
С непотенциальными силами в задачах механики мы встречаемся в тех случаях, когда между телами системы действуют силы трения (сухого или вязкого) или когда взаимодействие тел системы приводит к неупругим дефармациям тел. В последнем случае часто говорят о взаимодействии абсолютно неупругих тел (тела не восстанавливают своих первоначальных форм и размеров после прекращения действия сил), или о неупругом взаимодействии. При наличии трения или при неупругих деформациях между телами действуют силы электромагнитной природы, зависящие от относительных скоростей движения тел в той или иной инерциальной системе отсчета.
Если мы имеем дело с одиночным телом, на которое действует сила трения (сила сопротивления), то в согласии с (5.22) его кинетическая энергия должна уменьшаться (W\2< <TTKi и Д1Гк<0),так как работа силы трения отрицательна .(угол а между вектором силы трения сопротивления и вектором перемещения тела всегда равен л радиан и cosa=—1). Поскольку никакие другие силы, кроме силы трения, на тело не действуют, изменение его механической энергии равно изменению кинетической энергии (АЦ7М=АЦ7К). Таким образом, механическая энергия тела при воздействии силы трения (сопротивления) уменьшается. '
Рассмотрим теперь замкнутую систему, между телами которой действуют как потенциальные, так и непотенциальные силы. Пусть, например, брусок перемещается из положения 1 в положение 2 по грани неподвижного относительно Земли клина под действием силы тяжести Р и силы упругости пружины Fynp (рис. 5.10). Между бруском и клином действуют силы трения. (По причинам, на которые мы указывали ранее (стр. 93), можно считать силу трения FTp, действующую на брусок, приложенной к центру масс бруска.)
Система в данном случае состоит из четырех тел: бруска, клина, пружины и Земли, Воспользовавшись инерциальной
системой отсчета, связанной с Землей, и выбрав основание клина за начало отсчета значений потенциальной энергии упругого и гравитационного взаимодействий, можно было бы определить работу всех сил и изменение всех компонент механической энергии данной системы тел. На, наверное, и не проводя этих расчетов, можно утверждать, что механическая энергия из-за наличия силы трения уменьшается.
В самом деле, изменение потенциальной энергии системы АП?п от сил трения не зависит. Ведь потенциальная энергия является функцией состояния, зависящей от относительного расположения взаимодействующих тел и никак не зависящей от того, действуют ли на тела систёмы в различных ее состояниях какие-то постоянные или переменные/непотен- циальные силы или не действуют. Изменение потенциальной энергии AIFn зависит ,от положений бруска 1 и 2 и не зависит от того, в результате каких воздействий (кроме сил Fynp и Р) брусок в этих положениях оказался.
В нашем примере потен-рис 5 10
циальная энергия системы на-*
сколько-то уменьшается, и если бы отсутствовали силы трения, то ровно настолько же увеличилась бы кинетическая' энергия системы (AI17'= —AIFn). Это увеличение кинетической энергии определялось бы суммой положительных работ силы Fynp и составляющей силы Р, параллельной наклонной грани клина. При наличии сил трения кинетическая энергия системы возрастает на А1ГК, причем АЦ7К<АЦ7^, так как, кроме указанных выше положительных работ, приходится считаться с отрицательной работой силы трения.
Следовательно, механическая энергия замкнутой системы тел, в которой действуют силы трения, являющиеся внутренними силами, не остается постоянной, она уменьшается (A№M:=AI17K+AU^^ это изменение механической энергии равно работе сил трения. '
Такая же роль сил трения проявляется и в тех случаях, когда для некоторых тел или частей системы силы трения оказываются не силами сопротивления, а силами, способствующими перемещению в заданном направлении, причем система тел может быть как замкнутой, так и незамкнутой. Последнее положение может быть проиллюстрировано следующим примером.
Задача. На горизонтальной поверхности стола лежит доска, на которой находится брусок (рис. 5.11, а). Сравнить изменение механической энергии этой системы, начинающей двигаться из состояния покоя под действием внешней силы F, в двух случаях: 1) система перемещается на ^х как одно целое (рис. 5.11, б); 2) брусок при перемещении системы проскальзывает подоске (рис. 5.11, в). Для сопоставимости результатов будем считать, что во втором случае точка приложения силы F перемещается также на Ах (брусок перемещается на Ах, а перемещение доски вдоль координатной оси ОХ будет Дхд<Дх). При этом условии работа внешней силы F в обоих случаях будет одинаковой.
Поскольку анализ общего решения этой задачи провести весьма трудно и оба варианта движения возможны не при любых значениях определяющих величин, примем, что масса бруска /п= 1,0 кг, масса доски
6)
Рис. 5.11.
Л4=2,О кг, коэффициент трения между бруском и доской ^=0,40, коэффициент трения между доской и столом ^=0,10, модуль внешней силы £=5,0 Н и модуль перемещения Ах=0,15 м.
Подсчитав по этим данным модули сил трения FTpi, FTp2 и FTp3 (рис.5.11, г): FTpl=FTp2=k^mg—Q,40-1,0-9,8^3,9 Н, FTp3=^2(m+Al)g= =0,10- (1,0+2,0)-9,8^2,9 Н, заключаем, что сила F может обеспечить и ускоренное движение всей системы в целом в первом случае (F > FTp3), и проскальзывание бруска по доске — во втором (F>FTpl), причем во втором случае сила трения FTp2, дейсгвующая на доску со стороны бруска, может обеспечить скольжение доски по столу (/7Tp2>FTp3).
Движение системы «брусок — доска» можно проанализировать в неподвижной инерциальной системе отсчета, связанной со столом. Но при этом сила трения FTp3 должна, очевидно, считаться внешней силой, так как изменение механического состояния стола мы не учитываем и не включаем стол в рассматриваемую систему тел.
В обоих случаях потенциальная энергия взаимодействия тел системы с Землей не изменяется, поэтому изменение механической энергии системы будет связано только с изменением ее кинетической энергии.
В первом случае увеличение механической энергии системы А^ определяется суммарной работой двух внешних сил F и FTp3:
А ^ = f Дх—Гтрд Ах = (f—Гтрз) Дх.
Подставляя численные значения, получаем
Д^ = (5,0-2,9). 0,15 «0,31 Дж.
Во втором случае увеличение механической энергии системы А1ГМ происходит за счет увеличения механической энергии бруска А№мб и увеличения механической энергии доски А№мд:
А№м = А№мб + А№мд.(а)
Возрастание энергии бруска определяется работой сил F и FTpl:
A^m6 = ^ Ax—FTpl Ax = (F —FTpl) Ax = (F — k^mg^ Ax, (6)
а увеличение энергии доски — работой сил FTp2 и FTp3?
^мд=^трг Ахд — FTp3 Ахд = \кхт — k2 (т + Af) ] g Ахд. (в)
Перемещение доски Ахд происходит за тот же промежуток времени А/, в течение которого брусок перемещается вдоль оси ОХ на Ах. На основании второго закона Ньютона выразим модуль ускорения бруска:
_^~~^тр1_ F — ^mgтт
и так как для рассматриваемого движения Ах=аб(А/)2/2, то
AfAf^т \хF — kxmg
Af
Af
Модуль ускорения доски равен
ададFT^2 — Fтр3kYmg — к2 (т + М) g
ад
ад
— М “ М
а модуль ее перемещения
яд (Atf)a_ g \kvn-кг (щ + Ai)] m^x
Ч~~2:МF-^mgе (г)
Теперь на основании (в) и (г) имеем
АГМДАГМД^mg2 [^т — ^ (/7i+АГ)]2MtF — ^mg)
АГМД
АГМД
и с учетом (б) и (а) получаем окончательное выражение для определения суммарного изменения механической энергии системы во втором случае:
Подстановка численных значений дает
ДЦ7М=( 5,0-0,40-1,0-9,8-|-ДЦ7М=( 5,0-0,40-1,0-9,8-|-Х0,15 ®0,23Дж,Х0,15 ®0,23Дж,1,0.9,82 [0,40-1,0 —0,10 (1,0 + 2,0)]22,0(5,0-0,40-1,0-9,8)
ДЦ7М=( 5,0-0,40-1,0-9,8-|-
ДЦ7М=( 5,0-0,40-1,0-9,8-|-
Х0,15 ®0,23Дж,
Х0,15 ®0,23Дж,
Как видим, во втором случае возрастание механической энергии системы оказывается меньшим, чем в первом, несмотря на то, что работа силы F остается прежней, а отрицательная работа силы FTp3 даже уменьшается по абсолютному значению.
Таким образом, наличие сил трения в системе взаимодействующих тел всегда приводит к уменьшению, к рассеянию ее механической энергии,
К таким же последствиям приводят неупругие взаимодействия в системе, в частности так называемый абсолютно неупругий удар, в результате которого взаимодействующие тела объединяются и движутся после взаимодействия с одной и той же скоростью. Так, если в коробочку с песком, имеющую массу М и лежащую на горизонтальной идеально гладкой поверхности, влетит дробинка, масса которой т и которая до удара двигалась с горизонтально направленной скоростью v0, то скорость движения этой замкнутой системы после удара может быть- найдена в согласии с законом сохранения импульса то0=(т-\-М)и, т. е. ‘
т
Механическая энергия системы не сохраняется, а ее убыль АГ^м зависит от соотношения масс взаимодействующих тел:
дтту (т+^)^2 тио _ (т + М) и^т? ти^
Видно, что AIFM<0, так как т> О, у0>0 и -ц^- < 1.
Выводы, полученные в рассмотренных примерах, имеют общее значение. Во всех случаях, когда между телами системы действуют внутренние непотенциальные силы, механическая энергия системы уменьшается, рассеивается. Эту убыль механической энергии всегда можно оценить. Но понять, куда девается «исчезнувшая» энергия, не удается, если оставаться на «механическом уровне» рассмотрения тел и их взаимодействий. Только изучив принципы внутреннего строения тел и закономерности поведения их структурных частей, физика смогла ответить на вопрос об «исчезновении» механической энергии. Механическая форма энергии оказалась не единственной.Открыв возможности перехода энергии механического движения в иные, немеханические формы 184
(энергия теплового движения, энергия электрических и других взаимодействий), физика уточнила и расширила границы действия всеобщего закона сохранения энергии. Механическая энергия оказалась только частным случаем, разновидностью общего понятия энергии, относящегося не только к механической форме движения.
. ЗНАЧЕНИЕ МЕХАНИКИИ ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИМЕХАНИЧЕСКОГО ПОДХОДА В ФИЗИКЕ
Только что изложенные выводы об «исчезновении» механической энергии при наличии сил трения и при неупругом взаимодействии тел ни в какой степени не умаляют значения механики как части физической науки. В том, что механика отвечает не на все возникающие вопросы, нужно видеть не только ее недостатки. Со всеми вопросами поведения природы не справляется и физика в целом. И если механика достаточно хорошо справляется с решением целого ряда задач, то ее методы, ее приемы должны рассматриваться как ценные первые шаги на пути раскрытия физической картины мира. Не нужно только поручать механике то, чего она не может.
Механика относительно проста, механические явления встречаются нам на каждом шагу. Механика объединяет несколько общих законов, пользуется общими механическими понятиями, каждый отдельный опыт она рассматривает с общих позиций. Она ценна справедливостью некоторых своих выводов и для небесных тел, и для микрочастиц. Пользуясь методами механики, можно не только объяснить увиденное, но и предсказывать неизвестное. Вспомним, например, как были открыты планеты Нептун и Плутон. Это ли не торжество предсказаний механики!
Даже в рамках элементарной механики особого внимания заслуживают законы сохранения. Мы упомянули о двух таких законах — о законе сохранения импульса и о законе сохранения механической энергии. Теперь, подводя итоги механического подхода, мы можем вспомнить еще один закон сохранения, в механике элементарного курса физики всегда подразумевающийся,— закон сохранения массы; сумма масс всех тел изолированной системы сохраняется неизменной при любых происходящих в системе процессах.
Этот закон выполняется при условии, что тела системы движутся со скоростями, во много раз меньшими, чем ско-
рость света в вакууме; в этом случае значения масс могут считаться неизменными (см. формулу (2.4)).
Часто механику, которую мы рассматривали, называют классической или ньютоновской, подчеркивая незыблемость некоторых ее выводов и немаловажную роль законов Ньютона.
Какие же задачи решает классическая механика? По известному начальному положению тела и приложенным силам она позволяет определить, где тело окажется через определенный промежуток времени. По характеру движения тела можно судить о характере воздействия на него со стороны других тел, причем для оценки различных взаимодействий механика пользуется всего тремя типами сил (силы тяготения, силы упругости и силы трения). При каких условиях возможно равновесие данного тела, на какой угол за определенное время повернется тело при действии на него данного момента сил — эти задачи и множество других решаются на основе законов классической механики.
Механическая основа иногда сохраняется и для описания более сложных, немеханических явлений (молекулярнокинетическая теория, электрические колебания, волновые процессы и др.).
Проще, пожалуй, ответить на вопрос: чем не занимается классическая механика? Она не изучает движения со скоростями, близкими к скорости света, не изучает и не учитывает внутреннее строение тел и его изменения. Поскольку большие скорости движения известны сейчас только для малых по массе элементарных частиц, классическую механику иногда называют механикой малых скоростей и больших (по массе) тел.
Рассеяние энергии при неупругом взаимодействии тел является, по сути дела, следствием тепловых эффектов, связанных с изменением поведения составных частей тел, их молекул, атомов и т. д. С подобным же рассеянием механической энергии мы встречаемся во всех случаях движений, происходящих с трением. Наличие трения всегда приводит к тепловым эффектам. Если вспомнить, что идеальная изоляция от трения невозможна, то, следовательно, тепловые эффекты, тепловые потери механической энергии сопровождают все без исключения процессы. Остается только заключить, что в природе нет процессов «чисто механических». Их нет так же, как нет и не может быть «чисто тепловых», «чисто электрических», «чисто магнитных» и других «чистых» процессов.
Это мы сами, будучи не в состоянии охватить все естественное многообразие свойств объектов и явлений, совершенно условно стали раскладывать по полочкам имеющиеся у нас сведения, относя их к тому или иному разделу физики — единой науки, обобщающей эти сведения. Такой библиотекой знаний нужно уметь пользоваться. И не забудем, что элементарный курс физики знакомит нас не с коллекцией ее книг, а лишь с.ее каталогом. Встречаясь с тем или иным фактом или явлением, прежде всего нужно оценить, какие его черты являются преобладающими в данном случае. После этого становится ясным, с какого ящика каталога нужно начать, помня, что и в соседних с_ним содержится кое- что по интересующему нас вопросу.
ГЛАВА II
ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИСТРОЕНИЯ ВЕЩЕСТВА
. ПЕРВЫЕ ШАГИ В ГЛУБЬ ВЕЩЕСТВА
Основные опытные факты и их истолкование
Догадки о сложном строении всех веществ появились еще в глубокой древности, а исследования более поздних времен подтвердили эти предположения. Делимость вещества на малые порции без нарушения или с нарушением его свойств, определенные количественные соотношения веществ, вступающих в соединения, равенство массы сложного соединения сумме масс исходных продуктов — все это говорило об определенном порядке во внутреннем мире тел, об определенных закономерностях в поведении атомов' или молекул.
В молекулярно-кинетической теории можно воспользоваться, как и всегда в физике, какими-то модельными представлениями, построить определенную схему рассуждений и затем экспериментально доказать или опровергнуть их.
Простое уменьшение масштабов механических представлений о поведении «больших» тел на первых порах принесло пользу. Атомы в физических задачах могли моделироваться как материальные точки, а молекулы — как абсолютно твердые (жесткая комбинация из атомов) или упругие (возможно относительное движение атомов в молекуле) тела. В некоторых более грубых задачах можно было не детализировать строение молекулы и ее в целом принимать за материальную точку.
Не следует забывать, что, несмотря на использование традиционной терминологии (молекулярная физика, молекулярно-кинетическая теория, атомно-молекулярная теория и т. п.), современной физике известны многие вещества, которые имеют не молекулярную и не атомную структуру. Например, в узлах кристаллической решетки поваренной 188
соли (NaCl) отсутствуют атомы натрия и хлора, а имеются лишь ионы этих химических элементов (таким образом, структура вещества оказывается ионной). В узлах кристаллических решеток металлов также находятся ионы, между которыми движутся электроны (ионно-электронная структура). Поэтому правильнее было бы говорить о том, что все вещества состоят из частиц, уточняя для каждого конкретного случая, из каких именно (молекул, атомов, иойов или др.).
Такие явления, как броуновское движение, диффузия и смачивание, хорошая или плохая сжимаемость различных веществ, хорошая или плохая сопротивляемость растяжению и многие другие, приводят к важным выводам.
Частицы вещества находятся в непрерывном хаотическом движении. Для микроскопических частиц покой не свойствен так же, как для макроскопических тел или гигант- ских^тел Вселенной.
Между частицами вещества одновременно действуют силы притяжения и отталкивания.
Например, непосредственно наблюдаемое движение броуновской частицы может быть только следствием движения частиц среды, в которой частица находится. Явление диффузии также не удается объяснить без учета движения частиц.
Одновременное наличие сил притяжения и отталкивания особенно просто можно усмотреть в примерах деформации твердых тел. Для того чтобы сжать, сплющить кусочек металла, нужны значительные внешние усилия. Значит, частицы вещества сближаются «неохотно», этому препятствуют силы отталкивания. Если тот же образец пытаться растягивать, в нем на первых стадиях деформации возникают упругие силы, которые являются следствием действия сил взаимного притяжения между частицами.
Напомним о тех физических величинах, которые вводятся для описания поведения частиц вещества.
Молекулы, атомы, ионы и электроны могут, конечно, характеризоваться массой, измеренной в килограммах. При этом значения масс частиц оказываются очень малыми, и во многих расчетах бывает удобнее использовать относительные массы частиц.
Относительной атомной массой (Аг) называется отношение массы данного атома к 1/12 части массы атома изотопа углерода вС12 (раньше эта величина называлась атомным весом). Аналогично вводится и относительная молекулярная
масса (Л1Г) — отношение массы молекулы к 1/12 части массы атома изотопа углерода 6С12 (прежнее название этой величины — молекулярный вес).
Таким образом, относительные атомные и молекулярные массы вводятся как безразмерные величины, но в некоторых случаях им приписывают наименования. Это связано с тем, что 1/12 часть массы атома изотопа углерода 6С12 называют унифицированной атомной единицей массы (у.а.е.м.), причем
1 у.а.е.м.= 1,6603-10"27 кг.
Поэтому величины Аг и Мг иногда считают измеренными в унифицированных атомных единицах массы. Например, относительная атомная масса цинка может быть записана и как безразмерная величина (Xrzn=65,37), и как размерная Hrzn=65,37 у.а.е.м.).
Заметим, что наряду с унифицированной атомной единицей массы применяется также атомная единица массы (а.е.м.), равная 1/16 части массы атома изотопа кислорода 8О16;
1 а.е.м. = 1,6598-10”27 кг.
Мы уже отмечали, что количество любых частиц (молекул, атомов, ионов, электронов, гидроксильных групп и т. д.), равное числу атомов, содержащихся в 0,012 кг изотопа углерода 6С12, называется молем (моль) и принимается за единицу измерения количества вещества в СИ. Моли различных веществ содержат одно и то же количество частиц, численно равное постоянной Авогадро (или числу Авогадро)-. *
Na = 6№4№ моль"*1.
Масса моля вещества носит название молярной массы (М) и измеряется в кг/моль, причем связи численного значения молярной массы вещества с относительной молекулярной массой Мг или с относительной атомной массой Аг его частиц даются соотношениями
Л4 = /Иг-10~3 или M = Ar-10-3.
Следует подчеркнуть, что молярная масса измеряется в кг/моль, а не в килограммах.
Для пояснения этого факта, может быть, стоит обратиться к примерам из нашего повседневного опыта. Мы привыкли видеть цены товаров, выраженные в рублях (и копейках).
Например, один метр какой-то ткани стоит 5 рублей, а один килограмм соли — 10 копеек. Подсчитывая стоимость трех метров такой ткани и двух килограммов соли, обычно выполняют действия, которым соответствует следующая запись:
5 руб-3—15 руб, 0,10 руб-2=0,20 руб.
Здесь вторые сомножители, являясь по существу размерными величинами, записаны без наименований (эти наименования только подразумеваются). Если быть более строгими, то эти величины нужно записывать с соответствующими наименованиями, но при этом цены должны иметь размерность: 5 руб/м и 0,10 руб/кг. Тогда расчет стоимости будет связан с перемножением размерных величин:
5 М .Зм = 15 руб, 0,10-^-2 кг = 0,20 руб.
Аналогично, и цены штучных товаров должны были бы иметь наименование руб/шт, но, простоты ради, таких записей не делают.
В физике приходится выполнять различные математические действия с разнородными, разноименными величинами, которые могут быть измерены в единицах различных систем, в дольных или кратных единицах этих систем и, наконец, во внесистемных единицах. При этом отказ от записи наименований чаще всего ничего уже не упрощает и может привести к ошибкам. >
Применимы ли законы механики к микрочастицам,из которых состоят тела?
Опыты доказывают движение и взаимодействие микрочастиц. Но движения и взаимодействия изучаются и описываются в механике. Если микрочастицы можно моделировать материальными точками или абсолютно твердыми телами, то нельзя ли воспользоваться механическим подходом к изучению их поведения? Кинематика и динамика позволили бы описать движение каждой частицы и причины его изменений: куда, с какой скоростью, с каким ускорением, под воздействием каких причин й т. д. она движется. Описание взаимодействий можно было бы уложить в рамки динамики или статики: учесть и вычислить силы, действующие на данную частицу со стороны других, оценить, может ли
частица под действием приложенных сил находиться в рав- новесйи, и т. д. .
Такой метод изучения поведения микрочастиц мыслим. Кстати, он даже не требует вскрытия природы взаимодействий частиц, зависящих уже от их немеханических свойств и от деталей их внутреннего устройства. Нужно только знать, как действуют силы притяжения и отталкивания (в каком направлении, какова их зависимость от расстояний между частицами)4, и не задаваться пока вопросом: почему они так действуют? Тогда схема рассуждений в механике микрочастиц будет строиться по известным общим правилам классической механики.
Попробуем воспользоваться такой схемой для механического описания поведения частиц, например, какого-либо газа, взятого в малом объеме. Пусть это будет один кубический сантиметр водорода при нормальных условиях. Моли всех газов при таких условиях занимают один и тот же объем (22,4* 10“3 м3/моль) и содержат определенное количество частиц, численно равное постоянной Авогадро NA. Легко находим, что в рассматриваемом объеме содержится приблизительно 2,7-1019 частиц, т. е. механическая система содержит столько тел. Для каждого из них нам придется, наверняка, написать уравнение второго закона Ньютона. Значит, общее число уравнений составит 2,7-1019. Далее нам нужно будет решать систему стольких уравнений. Дело, прямо скажем, безнадежное! Из-за огромнейшего числа частиц даже в малых объемах кинематическую.или динамическую задачу механики микрочастиц мы практически решить не сможем. ,Иная постановка задачи — по известным перемещениям за определенные промежутки времени найти действующие силы и т. д.— также невозможна. Мы не располагаем «фотографиями» траекторий частиц или графиками зависимости координат микроскопических частиц данного вещества от времени. Из опытов известно только, что каждая из них может двигаться по очень причудливой траектории.
Множественность частиц и хаотичность их движений, казалось бы, создают непреодолимые трудности на пути использования механического подхода: Мы или не знаем многих факторов, определяющих поведение частиц, или практически не можем решать колоссальное число составлённых уравнений. Но оказывается, что в хаосе движений многих частиц можно все-таки найти некоторые закономерности — закономерности поведения средних параметров (или так называемые статистические закономерности). Например,
мы не имеем возможности определить скорость каждой отдельной микрочастицы, но можем узнать скорость, с которот в среднем движутся частицы данного коллектива при данных условиях. С таким же правом можно судить о средних значениях перемещений частиц, о средних значениях сил взаимодействия и т. д.
К сожалению, мы не имеем возможности более подробно останавливаться на анализе этого интересного метода физики (так называемого статистического метода}.
Не пройдем без внимания мимо еще одного интересного обстоятельства. В механике мы встретились с энергетическим подходом к явлениям. Одной из замечательных его черт было то, что он позволял отвлечься от многих деталей процессов, происходящих в системе. Именно деталей поведения микрочастиц мы не знаем. Так, может быть, энергетический подход окажется справедливым и в этой области и упростит расчеты? Все говорит за то, что на этот вопрос следует дать положительный ответ.
Понятие механической энергии относится к системе движущихся (в какой-то системе отсчета) и взаимодействующих тел. Но при рассмотрении какого-то тела на атомном или молекулярном уровне само это тело является такой системой. Его частицы движутся, меняют относительное расположение, взаимодействуют между собой, притягиваясь и отталкиваясь. Следует иметь в виду, что при описании йо- ведения микрочастиц статистический метод и метод, основанный на применении закона сохранения и превращения энергии, тесно переплетаются. Но и при использовании закона сохранения и превращения энергии для микрочастиц возникают трудности, о которых мы говорили раньше,— трудности из-за хаотичности и множественности. Мы не сможем найти точное значение кинетической энергии частиц. Точно так же, не зная «фотографии» относительного расположения частиц в какой-то момент времени, мы не сможем найти точное значение потенциальной энергии. Но средние значения кинетической или потенциальной'энергии нас вполне устраивают! А они могут быть найдены по средним значениям скоростей и сил взаимодействия. Зная количество микрочастиц в теле и средние значения механической энергии этих частиц, можно найти суммарную среднюю энергию движения и взаимодействия всех частиц тела.
Эту энергию относительного движения и взаимодействия частиц, из которых состоит тело, называют внутренней энергией тела ((/).
7 Ю. А. Селезнев 193
Забегая вперед и вспоминая, что атом только в очень грубом приближении может считаться бесструктурной материальной точкой, и зная, что существуют некоторые другие, пока еще не учтенные явления на более глубоких уровнях рассмотрения вещества, мы должны включить в состав внутренней энергии тела следующие части: 1) кинетическую энергию поступательного, вращательного и колебательного движений микрочастиц; 2) потенциальную энергию взаимодействия атомов и молекул; 3) энергию движения и взаимодействия составных частей атома (внутриатомная энергия); 4) внутриядерную энергию.
Внутреннюю энергию тел удается поставить в зависимость от некоторых характеристик, легко и точно измеряемых на опыте. Если изменяются характеристики, от которых зависит внутренняя энергия, мы с уверенностью говорим о тех или иных изменениях во внутреннем состоянии тел.
Применение статистического метода и закона сохранения и превращения энергии позволяет оценить явления, происходящие внутри вещества, сперва на атомно-молекулярном уровне, а потом и на более глубоких.
Силы взаимодействия и энергия взаимодействиячастиц вещества
Рассмотрим для простоты две частицы вещества (например, две молекулы или два атома), которые будем считать материальными точками. Пусть с одной из частиц связана инерциальная система отсчета, а другая частица может находиться на различных расстояниях г от первой. Примерный график зависимости проекций сил отталкивания и рритя- жения (F0Tr и Fnpr), а также проекции результирующей силы взаимодействия (F^ частиц на ось Or от расстояния г показан на рис. 7.1. Неподвижная частица Ci находится в точке О, а частица С2 может перемещаться вдоль оси абсцисс. Поскольку сила притяжения, действующая на частицу С2, направлена влево (в сторону отрицательного направления оси Or), проекция этой силы будет отрицательной. Своеобразие этих графиков связано с тем, что силы притяжения и отталкивания по-разному зависят от расстояния г между частицами:
F ~ —1 пр г7 >
где п^9. Поэтому зависимость Fr от г оказывается достаточно сложной:
р — а
ru ri •
График этой зависимости показан отдельно на рис. 7.2. Характерной на этом графике оказывается точка R. Если частица С2 будет удалена на расстояние г0 от частицы Съ то результирующая сила, действующая на нее, будет равна нулю, т. е. в точке R частица С2 будет находиться в состоянии равновесия. При г<г0 на частицу С2 будет действовать результирующая двух сил, причем преобладающей будет
Рис. 7.1.Рис. 7.2.
сила отталкивания, а при г>г0 преобладать будет сила притяжения.
Вблизи точки R график с достаточной степенью точности может считаться отрезком прямой (отрезок R'R" на рис. 7.2). Это приводит к тому, что при малых смещениях из положения равновесия на частицы действуют силы, пропорциональные смещениям, т. е. выполняется закон Гука и можно говорить о силах взаимодействия частиц как о силах квази- упругих.
Зная, как зависят от расстояния г силы взаимодействия между двумя частицами, можно построить график зависимости потенциальной энергии взаимодействия частиц от расстояния между ними. На рис. 7.3 изображен примерный вид такого графика для случая, когда при бесконечно большом удалении частиц одна от другой потенциальная энергия принята за нуль (1^п=0 при г=оо). Положению R частицы С2 соответствует минимум потенциальной энергии взаимодействия №пмин, следовательно, это положение соответствует устойчивому равновесию. Это находится в согласии с 7* 195
общим физическим принципом, который утверждает, что состоянию устойчивого равновесия системы тел или частиц, взаимодействие между которыми осуществляется потенциальными силами, соответствует минимум потенциальной
энергии..
Положение S на рис. 7.3 соответствует наименьшему расстоянию d, до которого могут сблизиться две частицы (точнее, центры масс этих частиц, так как при детальной оценке
взаимодействия частиц их уже нельзя считать материальными точками) при условии, что на бесконечно большом расстоянии от частицы Ci частица С2 имеет скорость, равную нулю, и приближается к частице Ci, взаимодействуя только с ней (какие-либо воздействия со стороны других частиц отсутствуют). При этом условии суммарная механическая энергия системы двух частиц равна нулю. При сближении ча
стиц кинетическая энергия возрастает за счет убыли потенциальной энергии. Положение R частица С2 проходит с наибольшей скоростью, на интервале d<r<r0 скорость частицы убывает вплоть до нуля в положении S, которое
соответствует столкновению частиц.
Столкновение микроскопических частиц нельзя представ
лять как столкновение упругих шариков макроскопических размеров. Если даже рассматриваемые две частицы являются простейшими по структуре атомами (атомами водорода), то они не могут сблизиться до непосредственного контакта ядер. Этому препятствуют не только электростатические силы отталкивания ядер, но и силы отталкиваний электронных оболочек атомов. Картина взаимодействия оказывается очень сложной: возможно, что силы отталкивания не допустят касания электронных оболочек, возможно, что электронные оболочки при сближении атомов будут деформироваться. При некоторых условиях возможно даже перекрытие, пересечение электронных оболочек атомов и силы отталки
вания могут смениться силами притяжения, что приведет к объединению атомов в молекулу.
Поэтому, когда приходится учитывать конечность размеров микроскопических частиц (а это необходимо, например, хотя бы для того, чтобы отличить атомы водорода от молекул водорода), когда эти частицы в первом приближении моделируются в виде шариков, последние характеризуются так называемым эффективным диаметром (d3^. Эффективный диаметр характеризует не одиночную частицу саму по себе, а частицу при взаимодействии с другими частицами. Если центры масс двух одинаковых частиц- шариков при взаимодействии могут сблизиться доч^аимень- шего расстояния d, то считают, что каждая из частиц имеет эффективный диаметр d3^=d (рис. 7.4).
Рис. 7.3 помогает понять, что для данной пары частиц эффективный диаметр не остается постоянным: он зависит от суммарной механической энергии этих частиц» Точка S соответствует наименьшему расстоянию между частицами, если механическая энергия системы частиц равна нулю (U7M=0). При этом d3^=d. Но частица С2, находясь на любом расстоянии от частицы G, может двигаться с какой-то скоростью, приобретенной не только в результате воздействия частицы Сь но и под воздействием каких-то других частиц. Если при этом энергия рассматриваемой системы частиц будет положительной (№Mi>0 из-за того, что №^>11^11), то частицы смогут сблизиться до расстояния dt и их эффективные диаметры уменьшатся (dЭфф1=dl<;d). Если механическая энергия системы частиц возрастает (W^^W'mi), эффективные диаметры частиц станут еще меньше.
Может оказаться, что суммарная механическая энергия двух данных частиц будет отрицательной (например, 1^мз<0 при 1ГКЗ< |№п31). При этом частица С2 будет совершать колебания между положениями гг и г2, так что ее среднее расстояние от частицы Ci будет равно г0. При каком-то другом отрицательном значении суммарной энергии частиц (^м4) среднее расстояние между частицами будет другим (г;).
Для разных веществ графики потенциальной энергии взаимодействия частиц будут, конечно, разными, но характер их будет примерно таким же, как у графика, изображенного на рис. 7.3. Если суммарная энергия частиц вещества
отрицательна (нижняя часть графика под осью От на рис. 7.3), то частицы вещества находятся в связанном состоянии: частицы совершают колебания, могут сталкиваться, но силы притяжения не дают им возможности разлетаться на очень большие расстояния. Если же суммарная энергия частиц положительна (часть графика над осью От на рис. 7.3), частицы не могут составлять связанный коллектив: они будут находиться в хаотическом движении, иногда они будут случайно сталкиваться, но силы притяжения не
смогут удерживать частицы в каких-то определенных положениях.
из шарика, желоба и Земли)из шарика, желоба и Земли)Для иллюстрации этих типов состояний вещества можно воспользоваться механической аналогией. Пусть имеется изогнутый желоб АВС (рис. 7.5), причем его вид сбоку имеет форму графика потенциальной энергии, представленного на рис. 7.3. По желобу без трения может кататься маленький шарик. В данном случае нет у нас, конечно, никаких двух частиц (система взаимодействующих тел состоит
из шарика, желоба и Земли)
из шарика, желоба и Земли)
и речь должна идти о потенциальной энергии гравитационного взаимодействия, но в зависимости от условий проведения опыта мы можем добиться или того, чтобы шарик при движении все время оставался в контакте с желобом (аналогия связанного состояния частиц), или чтобы шарик потерял связь с желобом (ана
логия «несвязанных» состояний). Для большего соответствия можно выбрать нуль отсчета потенциальной энергии ша- рика-в системе отсчета, связанной с Землей, в точке А конца желоба.
'Если поместить шарик в точку А и отпустить его без начальной скорости, то на участке АЕВ за счет уменьшения потенциальной энергии шарик будет увеличивать скорость движения, а далее — на участке BGD — будет происходить уменьшение скорости шарика, будет возрастать его потенциальная энергия, и он сможет подняться до точки D. После этого шарик будет двигаться по желобу в обратную сторону и при отсутствии трения достигнет точки Л. В согласии с законом сохранения энергии и принятой договоренностью о выборе нуля отсчета потенциальной энергии шарик в любом 198
положении на желобе будет иметь значение механической энергии, равное нулю.
Если шарик начнет движение без начальной скорости из какой-то точки, расположенной ниже точки А (например, из точки Е), его механическая энергия в любой момент времени будет отрицательной, шарик будет совершать колебательное движение между точками Е и G. Этот случай будет соответствовать тепловым колебаниям частицы, находящейся в связанном состоянии с'другой частицей.
х Наконец, можно провести опыт, при котором шарик потеряет связь с желобом. Для этого в положении А шарику нужно сообщить какую-то скорость, например, подтолкнув его влево. Механическая энергия шарика в этом случае будет положительной. Двигаясь по желобу, он сможет подняться до точки К (это положение будет соответствовать столкновению частиц), затем шарик будет возвращаться к точке А, но, проходя ее, он будет иметь скорость, отличную от нуля, что и позволит шарику сорваться с желоба, потерять с ним связь. После этого шарик отлетит куда-то в сторону, но без дополнительных, внешних воздействий он уже никогда не сможет вернуться на желоб, восстановить с желобом контактную связь. Этот случай соответствует движению несвязанного коллектива частиц, например движению частиц вещества в газообразном состоянии. Если бы не было стенок сосуда (или каких-то других воздействий извне, например сил гравитационного притяжения Земли), молекулы или атомы вещества в газообразном состоянии, претерпев несколько соударений между собой, разлетались бы на бесконечно большие расстояния.
§ 8. СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА В РАЗЛИЧНЫХ АГРЕГАТНЫХ состояниях^ '
8Л. Классификация агрегатных состояний вещества
Подобно тому как состояние механической системы характеризовалось совокупностью механических параметров всех ее частей, так и состояние данного вещества будем связывать пока только с относительным расположением частиц, из которых оно состоит, й со значениями скоростей их движения. Если при этом мы будем пользоваться понятием внутренней энергии (стр. 193), то каждое ее новое значение для данного вещества, имеющего определенную массу, будет соответствовать новому состоянию вещества, причем на
первых порах не будем учитывать изменений внутриатомной и внутриядерной энергии.
В элементарном курсе физики рассматриваются три агрегатных состояния вещества: твердое, жидкое и газообразное, каждое из которых имеет свои отличительные черты. Часто вместо понятия «агрегатное состояние» используют другие понятия — фазовое состояние или просто фаза (говорят, например, о веществе, находящемся в твердой, жидкой или газообразной фазах). При определенных условиях данное вещество может находиться в одном из этих состояний (а в некоторых случаях и одновременно в нескольких).
Современной физике известны и другие состояния вещества, которые не умещаются в рамки такой классификации. Своеобразными особенностями обладают, например, так называемое плазменное состояние вещества (частично или полностью ионизованный газ) и сверхплотное состояние вещества, имеющее место на некоторых звездах. .
Свойства вещества в твердом состоянии
Тот факт, что в веществе, находящемся в твердом состоянии, можно выделить малые объемы, имеющие одинаковую правильную геометрическую форму ^кристаллъ^, свидетельствует об упорядоченном расположении частиц, из которых состоит вещество. Мы говорим, что частицы вещества в твердом состоянии образуют кристаллическую решетку (вспомним, например, известную из химии кубическую кристаллическую решетку поваренной соли). Вещества в твердом состоянии достаточно хорошо сопротивляются деформациям. Такое поведение вещества связывают со значительными силами взаимодействия между его частицами.
Силы притяжения не позволяют частицам разлетаться в разные стороны, привязывают их к местам «оседлой жизни». Значительная плотность и необходимость больших усилий для сжатия вещества в твердом состоянии говорят о достаточно компактной упаковке его частиц. Они располагаются близко друг к другу и при попытках дальнейшего сближения начинают сильно отталкиваться. Поступательное движение частиц вещества в этом состоянии почти запрещено: они лишь колеблются, «дрожат» около положений устойчивого равновесия (около узлов кристаллической решетки).
Внутренняя энергия вещества в твердом состоянии складывается в основном из потенциальной энергии взаимодействия его частиц и кинетической энергии их колебательных
движений. Абсолютное значение минимальной потенциальной энергии взаимодействия частиц |1ГПМИН| (рис. 7.3) при этом оказывается гораздо больше значения средней кинетической энергии их теплового движения.
Отличительной особенностью твердого состояния вещества является анизотропия — неодинаковость всех или некоторых свойств вещества по различным направлениям. Например, вдоль различных ребер кристалла, вдоль различных диагоналей его граней или диагоналей всего кристалла могут быть различными такие характеристики вещества, как электро- и теплопроводность, механические, оптические и химические свойства. Иногда кристаллы вещества анизотропны в отношении одних свойств и изотропны в отношении других, но главное, о чем нельзя забывать,— это то, что вещества в жидком и газообразном состояниях анизотропией не обладают.
Жидкое состояние
Вещество в этом состоянии также имеет достаточно плотную упаковку частиц: плотность веществ в жидком состоянии не на много меньше, чем в твердом ), и для сжатия вещества требуются огромные усилия. Силы взаимного притяжения частиц ослаблены по сравнению с твердым состоянием и допускают подвижность, поступательное движение частиц: жидкость не сохраняет своей формы, растекается, но сохраняет объем.
Таким образом, между частицами жидкости, как и между частицами твердого тела, одновременно действуют силы притяжения и силы отталкивания, имеющие неодинаковый характер зависимости от расстояния: при малых расстояниях между частицами преобладают силы отталкивания, а при больших — силы притяжения.
При постоянной температуре в пределах всего объема жидкости средняя кинетическая энергия ее частиц всюду одинакова. Если же сравнивать потенциальные энергии взаимодействия частиц жидкости, то они оказываются одинаковыми только для частиц, находящихся внутри объема жидкости. Частицы поверхностного слоя^ жидкости обла-
дают повышенным запасом потенциальной энергии, ибо, чтобы попасть в этот слой, они должны совершить работу по преодолению сил притяжения со стороны остальных частиц. Поэтому частицы поверхностного слоя находятся в неустойчивом равновесии, они стремятся перейти в энергетически более выгодные положения внутри объема жидкости. Поверхностный слой жидкости может быть уподоблен растянутой упругой пленке, стремящейся сократить свои размеры. Характеризуя это натяжение поверхностного слоя, вводят силу поверхностного натяжения и коэффициент поверхностного натяжения (а) жидкости*.
a=FH, (8.1)
где F — значение силы поверхностного натяжения, действующей по касательной к поверхностному слою и перпендикулярно к его границе, имеющей длину /. Этой границей может являться линия контакта поверхностного слоя с твердой стенкой или любая линия, мысленно проведенная в слое. Следовательно, коэффициент поверхностного натяже-1 ния определяется отношением силы поверхностного натяжения, действующей на контур свободной поверхности жидкости, к длине этого контура.
Смысл коэффициента поверхностного натяжения может быть установлен и по-другому. Предположим, что при постоянной температуре (чтобы не изменялись средняя кинетическая энергия частиц жидкости и силы взаимодействия между ними) мы увеличиваем площадь поверхностного слоя на AS. Для этого нам придется совершить работу АД. Расчеты показывают, что связь между этими величинами может быть представлена в виде
АД = a AS, откуда
« — дз > (8-2)
т. е. коэффициент поверхностного натяжения равен отношению работы, необходимой для изменения площади поверхностного слоя жидкости на AS при постоянной температуре, к этому изменению площади.
Во внутреннюю энергию вещества в жидком состоянии кроме потенциальной энергии взаимодействия и кинетической энергии колебательного движения частиц входит кинетическая энергия их поступательного и вращательного движений. Абсолютное значение минимальной потенциальной
энергий взаимодействия частиц вещества |ИРЛМИН[ (рис. 7.3) мало отличается от значений средних кинетических энергий их тепловых движений.
Из твердого состояния в жидкое вещество в обычных условиях самопроизвольно не переходит. Чтобы осуществить такой переход, нужно извне подводить к веществу энергию, которая будет расходоваться на разрыв прочных связей между частицами, свойственных твердому состоянию, на совершение работы при изменении расположения взаимодействующих частиц.
Газообразное состояние
Газообразное состояние является., простейшим по сравнению с другими. Атомы или молекулы газа разбегаются во все стороны, заполняя весь предоставленный им объем.
Газы можно сильно сжимать (из-за неплотной упаковки их частиц). Силы взаимного притяжения между частицами газа продолжают действовать, но из-за больших расстояний между частицами они крайне слабы, и ими можно пренебречь. Значение средней кинетической энергии теплового движения частиц во много раз превышает абсолютное значение минимальной потенциальной энергии их взаимодействия (рис. 7.3). В связи с этим часто используется представление об идеальном газе как о коллективе частиц, между которыми силы притяжения не действуют вовсе, а силы отталкивания проявляются только при соударениях частиц газа между собой или со стенками сосуда, в котором газ заключен.
Во внутреннюю энергию газа, состоящего из молекул, вносят вклад: поступательное и вращательное движения молекул и колебательное движение атомов в молекуле (если пренебречь потенциальной энергией взаимодействия молекул). Внутренняя энергия атомарного газа состоит лишь из кинетической энергии поступательного движения его атомов.
Переход вещества из жидкого состояния в газообразное может происходить как при подводе к веществу энергии извне (что имеет место при кипении жидкостей, см. п. 15.3), так и без такого подвода, за счет перераспределения внутренней энергии между жидкой и газообразной фазами данного вещества (последнее наблюдается при испарении жидкостей, см. п. 15.3). Далее мы напомним о возможности перехода вещества непосредственно из твердого состояния в газообразное — о так называемом процессе сублимации (рм. п. 15.4).
ГЛАВА HI
МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ МОДЕЛИ
В главе I мы подробно рассмотрели закономерности механического движения твердых тел. С относительным перемещением слоев или порций газов и жидкостей или с их неподвижностью нам приходится встречаться очень часто, причем механическое движение жидкостей и газов, несмотря на отличие их свойств от свойств твердых тел, удается исследовать, используя’ в основном прежние законы. При этом аналогами материальных точек считаются достаточно малые по объему порции газа или жидкости, внутренней структурой которых пренебрегают. Используя модель абсолютно твердого тела, мы пренебрегали деформациями, считали неизменными расстояния между точками теда. Аналогичную модель используем и теперь: будем считать, что газ или жидкость представляют удобоподвижную среду, но с постоянными расстояниями между ее частицами. Так появляется модельное представление о несжимаемом газе или несжимаемой жидкости. В каком бы месте объема, занимаемого таким газом или жидкостью, мы ни рассматривали их малые порции, плотность всюду считается одинаковой. Таким образом, несжимаемые газы и жидкости — это среды, однородные по плотности во всех своих точках, среды сплошные — без пустот или сгустков.
Нужно иметь в виду, что реальные жидкости, с которыми мы обычно встречаемся, действительно очень мало сжимаются под воздействием внешних усилий (изменения объема и плотности при этом бывают незначительными) и без ущерба для дела могут считаться вовсе несжимаемыми. Несжимаемый газ в этом отношении — модель, более далекая от реальности. Обычные газы'весьма охотно сжимаются или расширяются, изменяют свою плотность; в зависимости от условий плотность газа может быть неодинаковой в разных 204
местах заданного объема. Но в простейших задачах с неподвижными газами, когда внешние воздействия не изменяются, или в случаях движения газов с малыми скоростями (десятки метров в секунду) сжимаемостью газов вполне можно пренебречь.
В механике абсолютно твердых тел часто приходится иметь дело с нерастяжимыми нитями, с нерастяжимыми или несжимаемыми стержнями и с прочими телами, обеспечивающими связь между рассматриваемыми телами системы. Но несмотря на то, что мы пренебрегаем деформациями связей, мы вынуждены считаться с силами упругости, действующими между соседними слоями, участками или частицами этих тел. Иначе они не могли бы выполнять роль посредников взаимодействия между остальными телами. С аналогичной ситуацией мы сталкиваемся, когда решаем ту или иную задачу о поведении несжимаемой жидкости или газа Деформациями объемов жидкости или газа мы пренебрегаем, но не должны забывать о силах упругости, действующих между соседними частицами или слоями этих веществ. Силы упругости в твердых кристаллических телах появляются при деформациях любого вида (при растяжении, сжатии, изгибе, при сдвиге соседних слоев и т. д.), т. е. при изменениях объема и формы тела. В жидкостях и газах силы упругого взаимодействия частиц появляются только при изменениях объема: эти силы противодействуют внешним силам и препятствуют сжатию, уменьшению объема жидкости или газа. В жидкостях, кроме того, возникают силы, препятствующие растяжению, увеличению объема (например, столб жидкости может находиться в растянутом состоянии, а для разрыва столба требуются значительные внешние усилия).
Движение твердых тел происходит всегда с трением, но часто для упрощения мы его не учитываем. Точно так же при относительном перемещении слоев газа или жидкости на их границе возникают силы трения. Эти силы называются силами вязкого трения (или силами вязкости), а явление их возникновения — вязким трением или просто вязкостью. Газы и жидкости, при движении слоев которых учитываются силы вязкого трения, называются вязкими; когда же этими силами можно пренебречь, говорят о невязких газах или жидкостях (или об отсутствии вязкости).
Простейшими моделями, используемыми в механике жидкостей и газов, являются несжимаемые и одновременно невязкие газы и жидкости. Поскольку многие законы статики и динамики газов и жидкостей совершенно одинаковы по
форме, часто для краткости говорят только о закономерностях поведения жидкостей, но если не делается особых оговорок, то имеют в виду, что те же закономерности относятся и к газам.
СТАТИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ '
10. L Равновесие частиц свободной поверхностижидкости вдали от стенок сосуда
Учитывая подвижность молекул или атомов, из которых состоят жидкости и газы, можно рассматривать статическое равновесие только их конечных, не микроскопических, а макроскопических объемов. Говоря о неподвижных точках или частицах в покоящейся жидкости, имеют в виду именно такие объемы. Условием их статического равновесия будет по-прежнему равенство нулю геометрической суммы всех сил, действующих на них извне (уравнение (3.1)).
Большой интерес представляет рассмотрение равновесия частиц свободной поверхности жидкости в случае движения всей жидкости вместе с сосудом. Это равновесие достигается только при условии перпендикулярности каждого участка свободной поверхности к результирующей всех сил, действующих на него со стороны нижележащих частиц, так как в противном случае возможно перетекание частиц вдоль слоя, при котором будет нарушена относительная неподвижность его частиц.
Задача. Железнодорожная цистерна с бензином движется равномерно со скоростью v по прямолинейному горизонтальному пути в неподвижной инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Как
будет располагаться свободная поверхность бензина при ускоренном движении цистерны и при ее торможении? Принять ускорение и замедление равными а.
Рассмотрим одну из частиц свободной поверхности жидкости (точка В на рис. 10.1). Пусть масса частицы равна т. Находясь в поле силы
тяжести Земли, она будет испытывать действие силы тяжести Р. В случае равномерного движения (рис 10.1, а) воздействие на нее всех соседних частиц сведется к равнодействующей силе Rx, направленной вертикально вверх и по модулю равной Р Иной схемы приложения сил к частице быть не может, так как она не движется по вертикали, а ее горизонтальное движение с постоянной скоростью не нуждается в силе. В этом случае поверхность бензина в точке В и во всех других точках (явление смачивания стенок бензином пока не рассматриваем) должна располагаться горизонтально (перпендикулярно к направлению силы R^.
В случае ускоренного движения вправо (рис. 10 1, б) на частицу по-прежнему будет действовать сила тяжести Р, но результирующая сила воздействий соседних участков R3 не может теперь уравновешивать силу Р.хЧастица В должна вместе с цистерной двигаться вправо с ускорением а. Причиной такого движения может быть сила F2, являющаяся суммой сил Р и R2, так как никакие другие силы на частицу В не действуют. Из рисунка видно, что для обеспечения такой силы равнодействующая R2 должна быть наклонена под каким-то углом а к вертикали в сторону движения.
Выбрав координатную ось ОХ горизонтальной, а ее положительное направление совпадающим с направление^ движения (на рис. 10 1, б эта ось не показана) и воспользовавшись вторым законом Ньютона, имеем
F2 = ma, F2x = max
и
F^—ma.(а)
Связь Fa и Р ясна из рисунка: F^P tg а, или
_Fr=mg tg а.(б)
Приравнивая правые части выражений (а) и (б) и сокращая на т, получаем tg a—alg, откуда
Свободная поверхность бензина в этом случае будет наклонена к горизонту под углом а (из-за ее перпендикулярности к направлению силы R2) и останется плоской, так как для любой другой ее точки направление силы R2 будет таким же, как и для точки В. Угол наклона при постоянном g зависит только от а.
Выяснить, каков будет угол наклона поверхности бензина к горизонту при замедленном движении цистерны (рис. 10.1, в), можно аналогичным образом.
Равновесие частиц внутри объемажидкости или газа
Рассматривая упругое взаимодействие макроскопической частицы жидкости или газа с окружающими ее частицами, удобно пользоваться не силой (для которой должна быть указана точка приложения, но последнюю не так-то просто найти, имея дело с коллективом хаотически движу-
щихся микроскопических частиц), а давлением (р) — величиной, оценивающей воздействие, распределенное по площади:
(10.1)
Здесь kFn — проекция силы на нормаль к малому элементу поверхности с площадью AS, на который эта сила действует. Если давление постоянно на всех элементах плоской поверхности, то
(10.2)
где Fn — нормальная проекция суммарной силы, действующей на плоскую поверхность с площадью S. Силы ^Fn и Fn называют силами давления.
Давление не учитывает сил, действующих по касательной к элементу поверхности, и поэтому им удобно оценивать упругие взаимодействия между частицами жидкостей и газов, так как даже при относительном перемещении слоев жидкости или газа как раз отсутствуют силы упругого взаимодействия, направленные по касательной к соприкасающимся слоям (не путать с силами внутреннего трения, которые хотя и направлены по касательной, но зависят от относительных скоростей движения слоев и при рассмотрении равновесия неподвижной макроскопической частицы, конечно, отсутствуют).
Введение давления оправдано и тем, что очень часто приходится оценивать взаимодействие жидкостей и газов с твердыми телами: со стенками сосуда, в котором содержится жидкость или газ, со стенками трубопровода, с корпусом корабля, с лопатками турбины и т. д. Во всех этих случаях силы взаимодействия не сосредоточены в отдельных точках, а «размазаны», распределены (равномерно или неравномерно) по площади.
Единицы измерения давления устанавливаются в согласии с формулой (10.2): 1 Н/м2 (СИ) и 1 дин/см2 (СГС). Заметим, что единица измерения давления в СИ теперь называется паскалем;
1 Па=1 Н/м2.
Исследование равновесия макроскопических частиц, находящихся внутри объема жидкости или газа, приводит к установлению двух закономерностей, которым подчиняется давление жидкости или газа.
208
Рассмотрим малый элемент объема жидкости или газа, имеющий форму четырехгранной пирамиды OABG (рис. 10.2, а). Элемент настолько мал, что силой тяжести этого элемента можно пренебречь по сравнению с силами kFi, AF2, AF3 и AF4, действующими на его грани со стороны окружающих частиц. Пусть площади граней соответственно равны ASn AS2, AS3 и AS4 (обозначение AS4 на рисунке не дано), а двугранные углы, которые грань АВС образует с
Рис. Ю 2.Рис. Ю 2.
Рис. Ю 2.
Рис. Ю 2.
координатными плоскостями (или с остальными гранями пирамиды), равны а, Р и у.
Условие равновесия (3.1) для рассматриваемого элемента может быть записано в виде
AF1+AF2+AF3+AF4=0
или в виде системы уравнений для проекций векторов на координатные оси:
AF1X+ ^F2oc+ AF3x+AF4x=0, AF^^-AF2//+AF3y+AF4y—0,AFlz+AF22+AF3z+AF4z=0.
Проекции AF1X, AF3X, AFi^, AF2z/, ^Fгг и AF3z равны нулю. По рис. 10.2, б, на котором изображено сечение элемента плоскостью УОт], легко найти угол между положительным направлением координатной оси OY и вектором AF4. Видно, что этот угол равен л — р радиан. Точно так же можно показать, что две другие координатные оси составляют с вектором AF4 углы л — аил — у радиан соответственно. Таким образом, мы приходим к системе уравнений
AF2+AF4cos (л — а)=0, AF3+AF4cos (л — Р)=0,АЛ+AF 4cos (л — у)=0,
которая после простых тригонометрических преобразований упрощается:
AF2=^F4 cos а, А/^ ^F4 cos р, kFt= АТ^ cos у.
Учитывая связь между, площадями граней выделенного элемента
AS2=AS4cosa, можно написать AF2AF4 cos g AS2 AS4 cos g *AS2=AS4cosa, можно написать AF2AF4 cos g AS2 AS4 cos g *AS3=AS4 cosp,AS3=AS4 cosp,AF3 _ AF 4 cos PAS3 “ AS4 cos p ’AF3 _ AF 4 cos PAS3 “ AS4 cos p ’ASj = AS4 cosy,ASj = AS4 cosy,AFt AF4 cos уASj "~" AS4 cos у ’AFt AF4 cos уASj "~" AS4 cos у ’
AS2=AS4cosa, можно написать AF2AF4 cos g AS2 AS4 cos g *
AS2=AS4cosa, можно написать AF2AF4 cos g AS2 AS4 cos g *
AS3=AS4 cosp,
AS3=AS4 cosp,
AF3 _ AF 4 cos P
AS3 “ AS4 cos p ’
AF3 _ AF 4 cos P
AS3 “ AS4 cos p ’
ASj = AS4 cosy,
ASj = AS4 cosy,
AFt AF4 cos у
ASj "~" AS4 cos у ’
AFt AF4 cos у
ASj "~" AS4 cos у ’
откуда следует, что
Р2 = р4, Рз = р4, Р1 = р4, т. е.
p^Pa^Pa^/^const.
Мы пришли к заключению о том, что давление внутри жидкости или газа не зависит от ориентации площадки, по силе воздействия на которую оно рассчитывается или определяется экспериментальна. Имея это в виду, иногда говорят, что давление внутри жидкости или газа по всем направлениям одинаково. В этом утверждении заключается смысл закона Паскаля.
До сих пор мы оценивали упругое взаимодействие частиц жидкости или газа, пренебрегая внешними воздействиями на них. Однако внешние воздействия в большинстве случаев имеются. В земных условиях внешней силой, действующей на частицу жидкости или газа, оказывается сила тяжести. Если этой силой не пренебрегать, то давления на различных глубинах внутри объема жидкости или газа оказываются неодинаковыми.
Термин «глубина» используется только для того, чтобы подчеркнуть, что речь идет о точках, расположенных внутри объема жидкости или газа. Если имеют дело с жидкостью, то глубину обычно отсчитывают от уровня свободной поверхности жидкости. Глубину расположения различных точек внутри объема газа удобно отсчитывать от уровня расположения самого верхнего слоя газа (например, от верхней стенки или крышки сосуда, в котором заключен газ, от наивысшей внутренней точки оболочки воздушного шара и т. д.).
Рассмотрим для примера неподвижный элемент объема жидкости, имеющий форму призмы с малыми по площади (AS) верхним и нижним основаниями (на рис. 10.3, а пока- 210
зан вид этого элемента сбоку, а на рис. 10.3, б — силы, действующие на него),. Верхнее основание призмы находится на глубине F, под свободной поверхностью жидкости, а нижнее — на глубине h2. Пусть АР — сила тяжести выделенного элемента. Уравнение
a‘f1+af2+af,+af4+af6+af6+ap=o
является условием статического равновесия элемента жидкости. Не будем тратить время на проецирование этого уравнения на координатные оси ОХ и OZ. Ясно, что это привело
Рис. 10.3.Рис. 10.3.а)а)
Рис. 10.3.
Рис. 10.3.
а)
а)
бы нас к очевидным следствиям: AF3=AF4 и ^F5=^Fe. Результат проецирования на ось OY можно записать в виде AFiy+AF2y+APy=0, откуда
—АР^АР,—АР=0.
Если давления на верхнее и нижнее основания элемента обозначить через р4 и р2, а массу элемента — через А/n, то
—pAS+pAS—Amg=0.
Если плотность жидкости равна р, то Л/тг=р АУ, где ДУ — объем выделенного элемента: АУ=(/г2—hYAS- Теперь имеем
—Pi AS+p2AS—pg (h2—/ii) AS=0, откуда
Pi—pi=pgh2—pghu
т. e. давление p в какой-то точке жидкости (йли газа), вызванное силой тяжести вышележащих слоев, пропорционально глубине расположения h этой точки:
p=pgh.p=pgh.(10.3)
p=pgh.
p=pgh.
211
Если над свободной поверхностью жидкости внешнее давление равно рвн (давление окружающего воздуха, давление паров этой жидкости и т. д.), то давление на глубине h под свободной поверхностью будет равно
P = P™ + pgh. (Ю.4)
Задача. В сосуде содержатся три жидкости с неодинаковыми плотностями р!, р2 и р3. Жидкости расположены слоями, толщины которых равны hlt h^ и h3 (рис. 10.4, а). Построить график зависимости давления на боковую стенку сосуда от глубины. Давление над свободной поверхностью верхнего слоя равно рвн.
Рис. 10.4.
Глубину будем измерять от свободной поверхности верхнего слоя жидкости и откладывать в масштабе рЛ по вертикали, а давление — в масштабе р^ — по горизонтали (оси h и р на рис. 10.4, б).
Давление рвн передается в любую точку жидкости, так что горизонтальных координат, меньших рВн, на графике не будет. При переходе от точки А стенки до точки В к давлению рвн будет добавляться давление, вызванное силой тяжести частиц верхнего слоя жидкости, которое в точке В на глубине7ht будет равно Pi=Pig/zi. Таким образом, суммарное давление в точке В будет равно
РВ = Рвн + р1^Р
При переходе в точку С давление увеличится на р2—Р^г и составит
Рс — Р^н + PiSA. + Р^2*
Рассуждая точно так же, для точки D на уровне дна сосуда получаем
РВ=Рвя + Pig^i + р2§йз+ Pagha-
В пределах неглубокого сосуда нужно считать g= const, и тогда ясно, что тангенс угла наклона графика давления пропорционален плотности жидкости:
tga=-£-gp!, tg₽ = —gp^ tgY=—gp3.
Если бы в сосуде содержалась однородная жидкость с плотностью р, график представлял бы не ломаную, а прямую линию с тангенсом угла наклона к оси глубин, равным (н^/цд)^
Силы давления во всех точках рассматриваемой стенки сосуда направлены перпендикулярно к ней. Если бы это условие не выполнялось и имелись составляющие сил воздействия частиц жидкости на стенку, направленные параллельно стенке, то это соответствовало бы опусканию или подъему частиц жидкости, движению их «от нас» или «к нам», что противоречило бы статичности задачи, неподвижности всех макроскопических частиц жидкости Всегда, когда отсутствует движение частиц или слоев жидкости вдоль стенки, на последнюю действуют только силы нормального давления, а силы, направленные по касательной к стенке, отсутствуют.
Равновесие частиц свободной поверхностижидкости вблизи стенок сосуда
При оценке равновесия частиц свободной поверхности жидкости, граничащих со стенками сосуда, приходится сравнивать силы молекулярного взаимодействия жидкости с веществом стенок, жидкости с газом, находящимся над свободной поверхностью жидкости, и вещества стенок с газом.
У границы со стенкой свободная поверхность жидкости всегда искривлена — образуется мениск. Форма мениска зависит от соотношений между указанными силами. Если силы взаимодействия между жидкостью и веществом стенок, а также силы взаимодействия жидкости и газа оказываются меньше сил взаимодействия между веществом стенок и газом, то мениск имеет выпуклую форму и говорят, чтр данная жидкость не смачивает вещество стенок. При обратном соотношении между этими силами мениск вогнутый и жидкость смачивает вещество стенок.
Поскольку в поверхностном слое действуют силы поверхностного натяжения, равновесие мениска жидкости возможно, если только на его границу действуют силы со стороны стенки. Эти силы должны быть направлены по касательной к поверхности мениска и перпендикулярно к его границе. За счет этого давление внутри жидкости под искривленным мениском отличается от давления под плоской ее поверхностью. Особенно просто это подсчитать при заполнении жидкостью тонких цилиндрических трубок — капилляров, так как в этом случае мениски часто имеют форму полусферы и силы, уравновешивающие силы поверхностного натяжения, направлены по образующим цилиндрической поверхности. На рис. 10.5 мениски для наглядности
изображены «оторванными» от стенки. Ясно, что давление рх под вогнутым мениском жидкости, смачивающей стенку, меньше внешнего давления рвн над мениском: сила F, равномерно распределенная по всей границе мениска, как бы приподнимает его, уменьшая силу его воздействия на нижележащие слои жидкости (рис. 10.5, а). Для выпуклого
мениска р2>Рвн: сила F поджимает мениском остальную жидкость (рис. 10.5, б).
Если радиус капилляра г и мениск имеет форму полусферы, разницу Др в давлениях под мениском и над ним легко подсчитать (для случаев, изображенных на рис. 10.5):
^Р " РвН Р1 ” Рч Рви " лг2 “
(Ю.5)
лг2 г v '
Равновесие столбов жидкости в капиллярных сосудах оценивается с учетом изменения давления под искривленным мениском.
Искривление свободной поверхности жидкости, конечно, имеет место не только вблизи стенок сосуда, в котором находится жидкость, но и в местах контакта свободной поверхности с поверхностями твердых тел, плавающих в ней, касающихся поверхности жидкости и т. д.
Задача. Один из простейших экспериментальных методов определения коэффициентов поверхностного натяжения жидкостей состоит в следующем. К стойке (рис. 10 6, а\ строго вертикальное положение которой устанавливается винтами и проверяется по отвесу О, прикрепляется витая пружина с указателем S. Пружину обычно перед началом опыта тарируют, т. е. определяют ее коэффициент упругости к. К нижнему концу пружины подвешивается металлическое кольцо К. Сосуд с исследуемой жидкостью С помещают на столике Т, который может плавно перемещаться вверх и вниз по стойке.
Если сосуд с жидкостью поднять до касания поверхности жидкости с кольцом, то последнее «прилипает» к жидкости. Это будет происходить, конечно, в том случае, если жидкость смачивает вещество кольца. При опускании столика кольцо, испытывающее действие сил притяжения Ft и F2 со стороны жидкости, распределенных по окружностям внутреннего и внешнего диаметров (рис. 10.6, б), будет опускаться, растягивая пружину. В некоторый момент кольцо отрывается от поверхности жидкости. „
На шкале, имеющейся на стойке, может быть отмечено деление jV0, соответствующее положению указателя S пружины, когда к ней не было подвешено кольцо, деление ^ — когда кольцо висит на пружине, не касаясь поверхности жидкости, и деление N2? против которого нахо- 214
дится указатель S в момент отрыва кольца от поверхности жидкости. (При выполнении более точных измерений деформацию пружины измеряют иным способом.)
Выполнив эти замеры и зная внутренний dt и внешний d^ диаметры кольца, удается определить коэффициент поверхностного натяжения жидкости
Найдем коэффициент поверхностного натяжения жидкости в СИ по следующим данным ^—26,1 мм, d2=26,7 мм, ^=1,08 Н/м, Nt= =213,0 мм, ^2—218,6 мм.
Считая, что свободная поверхность жидкости в момент отрыва кольца искривлена так, как показано на рис. 10.6, б (силы Fx и F2 действуют на кольцо вдоль образующих его цилиндрических поверхностей), рассмотрим равновесие кольца в момент отрыва Вертикально вниз на него действует сила тяжести Р и сумма сил Ft и F2, вверх действует сила
натяжения пружины F. Значит, в неподвижной инерциальной системе отсчета, связанной, например, со стойкой, условие равновесия может быть записано в виде
P+Fi+F2+F=0.
Приняв, что вертикальная координатная ось направлена сверху вниз* приходим к уравнению
P+Pi+P2-P=0.
Величину F можно выразить в согласии с уравнением (2.7) через коэффициент упругости пружины и ее удлинение, легко определяемое по разности отсчетов А2 и Ао:
Аналогично, силу тяжести кольца можно выразить через силу упругости пружины в случае равновесия кольца, не касающегося поверхности жидкости. При этом деформация пружины равна разности отсчетов и No, поэтому
P-k^-N^.
Учитывая далее, что Р1=ал^1, F2=and2, имеем к (Ni—^J+anJi+an^—к ^N^—N^—Q,
откуда после простых преобразований получим выражение для коэффициента поверхностного натяжения жидкости.
tt = k N^-Ni
Как видим, при таком способе измерения коэффициента поверхностного натяжения не стоит даже отмечать деление шкалы Af0, соответствующее положению указателя нерастянутой пружины. В нашем анализе оно было использовано только для указания начала отсчета деформаций пружины под действием тех или иных сил.
Легко убеждаемся, что размерность правой части полученного выражения совпадает с размерностью коэффициента поверхностного натяжения:-
нм * м М ’
Попутно обратим внимание на совпадение размерностей коэффициента поверхностного натяжения жидкости и коэффициента упругости пружины (дробь в полученном выражении безразмерна при измерении величин Мъ N* dt и d^ в одинаковых единицах измерения, не обязательно принадлежащих используемой системе единиц).
Для получения численного результата в СИ значения величин Мъ N2i dt и d^ в согласии с только что сделанной оговоркой, в расчетную формулу можно подставлять в миллиметрах:
- 218,6 — 213,0 _а-1’°8 3,14 (26,1+26,7) ~ 36-10 "Н/М1
С изменением давления под искривленной поверхностью жидкости приходится считаться не только при контакте жидкости с твердыми стенками. Искривленной свободная поверхность бывает и в случае ее полной замкнутости. Какова форма пузырьков газа, находящихся внутри жидкости, или капель жидкости в воздухе? При стремлении поверхностного слоя сократиться по размерам он принимает форму сферической поверхности, как минимальной по сравнению с размерами других поверхностей, ограничивающих заданный объем. При этом давление внутри пузырька или капли будет больше внешнего давления на Др=2а/г (см. формулу (10.5)), где г—радиус пузырька или капли.
Равновесие сосудов, заполненныхжидкостью или газом
О равновесии заполненного газом или жидкостью сосуда можно говорить, конечно, только при условии его полной неподвижности или инерциального движения. При этом стенки сосуда не должны деформироваться (продавливаться внутрь или выпучиваться наружу). Сравнение геометриче- 216
ских сумм сил, действующих на сосуд, одну из его стенок или любой участок стенки снаружи и изнутри, полностью решает этот вопрос.
Задача. Сосуд в форме цилиндра, переходящего в усеченный конус
^г^гРис. 10.7.Рис. 10.7.(рис. 10 7), заполнен газом при давлении р, большем, чем давление окружающего воздуха рвн. Будет ли сосуд находиться в равновесии?—
^г
^г
Рис. 10.7.
Рис. 10.7.
На любую точку внутренней поверхности сосуда действует давление р, а на точки внешней поверхности — — давление рвн Силы давлений направлены перпендикулярно к стенке. Неравенство площадей оснований ^ и S2 сосуда не является, конечно, поводом для его движения вправо. Модули сил Fx и
F2, действующих на эти основания со стороны газа, неравны* Рй>Р^ так как F^pS^ F^—pS^ a S2>Si. Но нельзя не учитывать суммарную горизонтальную составляющую сил давления на коническую поверхность* вместе с силой F^ она и уравновесит силу F3. Анализ сил воздействия на внешнюю поверхность сосуда приводит к такому же результату.
«Гидростатический парадокс». Это явление заключается в том, что одинаковые по высоте столбы одной и той же жидкости действуют на определенное по площади дно сосуда с
одинаковыми силами независимо от формы столбов и веса жидкости, заключенной в этих столбах.
Рассмотрим различные по форме сосуды, изображенные на рис. 10.8. Какую силу F нужно приложить снизу к отъемному днищу площадью S, чтобы оно не отрывалось от сосуда при высоте h столба жидкости? Пусть плотность жидкости равна р.
Если не учитывать вес самого днища, то при его равновесии сила F и сила давления на днище со стороны жидкости
должны быть одинаковыми по модулю. Во всех четырех случаях давление у дна сосуда равно pgh и модуль силы давления, действующей на днище сверху, равен pghS: (Давление окружающего воздуха рвн из рассмотрения можно исключить, так как оно передается через столб жидкости до днища сверху и действует на днище снизу.) Таким образом, независимо от формы сосуда при равновесии днища должно выполняться условие F=pghS. Если вес жидкости, налитой в сосуд, равен Р, то в случае а будет F=P, в случаях биг — F>P, а в случае в — F<P. -
Чтобы понять причину указанных неравенств для случаев^, виг, нужно рассмотреть силы, действующие на боковые стенки сосудов, и условия их равновесия.
Неподвижность боковых стенок, на которые со стороны жидкости действуют силы давления, обеспечивается и наличием сил со стороны кронштейна ЛЛ, поддерживающего стенки. Если сосуды закреплять не в массивных неподвижных жестких кронштейнах, а подвешивать на пружинах, можно заметить, что в случаях б и г на стенки сосудов кроме собственной силы тяжести действует сила со стороны жидкости, направленная вверх, а в случае в — сила, направленная вниз.
Таким образом, разница между весом жидкости и силой F в случае в воспринимается стенками сосуда и, в конечном счете, кронштейном. В случаях б и г на днище сверху кроме веса жидкости действуют силы давления поджатой боковыми стенками жидкости (наклонные боковые стенки в случае б и горизонтальные участки стенок в случае г через несжимаемую жидкость действуют на дно сосуда). И только в случае а боковые стенки, не испытывающие действия вертикальных сил, не воспринимают никакой доли веса жидкости и к весу столба, действующему на днище сосуда, ничего не добавляют. <
Равновесие тел, погруженных в жидкость или газ.Закон Архимеда
При рассмотрении тела, находящегося внутри жидкости или газа, нужно отчетливо представить, какие силы действуют на тело, и проанализировать общие условия его статического равновесия (3.1) и (3.3). При таком подходе удается вскрыть и физический смысл закона Архимеда, который очень часто истолковывается неверно, если пользуются не
совсем строгими формулировками (типа: «тело, погруженное в жидкость или газ, теряет в своем весе столько, сколько весят вытесненные жидкость или газ в объеме погруженной части тела»).
На тело, погруженное в жидкость или газ, кроме силы тяжести действует выталкивающая (или архимедова) сила, направленная вертикально вверх. Эта сила равна произведению объема тела (или объема погруженной под свободную поверхность жидкости части тела) на плотность жидкости и на ускорение свободного падения в том пункте на Земле, где проводится опыт.
Л)Л)Рис.Рис.10.9.10.9.
Л)
Л)
Рис.
Рис.
10.9.
10.9.
Но каков механизм возникновения выталкивающей си- лц? Всегда ли она направлена вертикально вверх? Рассмотрим эти вопросы более подробно.
Твердое тело в форме прямоугольной призмы (рис. 10.9, а) из вещества с плотностью рт погружено в жидкость, плотность которой рж. Высота призмы /, стороны ее верхнего и нижнего оснований равны а.'При каких условиях возможно равновесие этого тела в жидкости?
Верхнее основание призмы находится на глубине Ну, а нижнее — на глубине Нг под свободной поверхностью жидкости. Давление окружающего воздуха над свободной поверхностью жидкости при рассмотрении равновесия тела никакой роли не играет. Давление в различных слоях жидкости, которую мы будем считать несжимаемой, зависит только от глубины слоев под свободной поверхностью (см. формулу (10.3)). Ясно, что давление во всех точках верхнего основания призмы pi=p»ghi, а во всех точках нижнего "основания p^p^ghy. Давление на правую и левую, а также
на переднюю и заднюю грани будет изменяться с глубиной от pi до ра по линейному закону.
Чтобы воспользоваться условиями равновесия (3.1) и (3.3), нужно определить все силы, действующие на тело (рис. 10.9, б). Для нахождения F3, F4, Fs и F6 воспользуемся средним значением давления рср в пределах соответствующих граней. Так как давление пропорционально глубине, можно написать
- Р1 + Ра Рж£^1 + Рж£^2 P«g (h Д-h X
г ср—22— 2-
Поскольку площади боковых граней одинаковы и равны al, находим
F3 = F4 = F5 = F6 = у рж gal (^-Ш
и заключаем, что первое и третье уравнения системы (З.Г) удовлетворяются. Чтобы силы F3 и F4 не создавали вращающих моментов относительно осей OY и OZ, а силы Р5 и Fe — моментов относительно осей OY и ОХ, эти силы должны быть приложены в центрах масс соответствующих граней. Аналогично заключаем, что при равновесии тела сила Ft должна быть приложена в центре масс верхнего основания призмы, сила F2 — в центре масс ее нижнего основания, а сила тяжести Р — в центре масс С призмы (эти три силы должны действовать вдоль одйой вертикальной прямой, параллельной оси ОУ). Кроме того, на основании второго уравнения системы (З.Г) должно выполняться равенство F^—Ft—Р— =0, или
F^—Ft-P.(10.6)
Результирующую вертикальных сил давления, модуль которой равен
'FA=F2-Ftl(10.7)
и называют выталкивающей (или архимедовой) силой. Как видим, причиной возникновения выталкивающей силы является неравенство давлений на различных глубинах внутри жидкости. Это неравенство, как было показано выше, связано с учетом сил тяжести частиц жидкости в поле тяготения Земли. Таким образом, в «обычных» земных условиях (когда не имеют дела с состоянием невесомости и т. п.) выталкивающая сила может действовать на тело только вертикально вверх.
На основании (10.7) с учетом введенных обозначений имеем
Fa = P^—p# = Рж*2—p^gM2 = Рж^2 ^—^,
ИЛИ
^ = Рж^т,(10.8)
где через Ут обозначен объем тела, погруженного в жидкость; Ут=я2(/г2—hx\
На основании (10.6) и (10.8) имеем P^Vt^Pt^Vj, или
Рж " Рт>
т. е. тело, целиком (Неем своим объемом) погруженное в жидкость (или газ), может находиться в равновесии только при условии равенства плотностей вещества тела и жидкости.
Если плотность тела меньше плотности жидкости, рт< <рж, то равновесие (плавание) тела возможно при условии, что тело погружено в жидкость частично. В этом случае в выражение (10.8) входит объем погруженной (под свободную поверхность жидкости) части тела Уп:
^-Рж^п.(10.9)
Условие равновесия тела (10.6) для этого случая нужно записать в виде
Рж^п = Рт^т.(10.10)
откуда можнЪ получить выражение для подсчета объема части тела, находящейся под свободной поверхностью жидкости:
v„=vT^-.(10.11)
Если рт>рж, то равновесие сплошного тела, целиком погруженного в жидкость, под действием силы тяжести и выталкивающей силы невозможно: нужно приложить к телу еще какую-то внешнюю силу, действующую вверх. Если такой силы нет, тело тонет.
Когда плотность вещества тела рт больше плотности жидкости рж, уравнение (10.10) продолжает оставаться условием плавания, если под Кт понимать не объем пространства, занимаемого телом, а объем вещества тела. Тонкостенные, коробчатые, полые тела из плотного вещества, например из металла, у которого рт>рж, могут плавать в воде,
так как при этом возможно выполнение условия VT<Vn (объем части тела, погруженной под свободную поверхность, больше объема, занимаемого веществом стенок).
Когда интересуются плаванием неоднородных тел (корабль, подводная лодка и т. п.), под рт в формуле (10.10) подразумевают среднюю плотность тела.
Уравнения (10.8) и (10.9) справедливы и для случаев плавания тел в сосудах, заполненных жидкостью, когда зазоры между телом и стенками сосуда малы. Ясно, что при опускании тела в жидкость в таких случаях она поднимается в зазоре выше первоначального уровня. Мал или велик
Рис. 10.10.
этот подъем, в каждом конкретном случае можно определить, но под величинами Уп или VT, входящими в уравнения (10.8) и (10.9), нужно и в этих случаях понимать объемы (тела или его части), находящиеся под уровнем свободной поверхности жидкости. Под тем уровнем, который установился в сосуде с плавающим телом!
Поскольку выталкивающая сила зависит от формы поверхности тела, соприкасающейся с жидкостью или газом, не зависит от вещества тела и от его распределения в теле (от наличия полостей, неоднородностей плотности и т. п.), точка приложения выталкивающей силы не обязательно должна совпадать с центром масс тела. Можно сказать, что выталкивающая сила приложена к центру масс объема, занятого телом или его частью внутри жидкости или газа (точку приложения выталкивающей силы часто называют центром давления}. Если, например, твердое тело в форме куба погружено в жидкость так, как показано на рис. 10.10, а, причем плотность заштрихованной части больше плотности остальной части тела, тело не будет находиться в равновесии. Выталкивающая сила будет приложена в точ-
ке С', сила тяжести тела — в точке С. Тело будет поворачиваться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к плоскости рисунка, и примет положение, изображенное на рис. 10.10, б. Если P=FA, то тело так и останется плавать в этом положении (безразличное равновесие); если P>FA, тело будет тонуть, а если P<FA, тело будет всплывать до тех пор, пока выталкивающая сила, действующая на часть тела, которая останется под свободной поверхностью жидкости, не уравновесит силу тяжести тела.
Задача. В цилиндрическом сосуде уровень воды располагается на высоте 77=20,0 см от дна. Когда в воду пускают плавать тонкостенный бронзовый стакан, уровень воды поднимается на /i=2,2 см. Какова будет высота Нх уровня воды в сосуде, если стакан утопить? Плотность воды рв—1,0 г/см3, ппотность бронзы Рб=8,8 г/см3.
На рис. 10.11 представлены этапы проведения опыта. Предположим, что площадь дна сосуда равна S. Сравнивая случаи I и 777, запишем условие постоянства объема воды в сосуде:
HS = HXS-V^(а)
где через Уб обозначен объем стенок стакана. Отсюда
Н^н^.(б)
Теперь надо выразить Уб через заданные величины.
/Воспользуемся условием плавания стакана в случае II. Пусть дно стакана имеет площадь ^ и располагается на глубине х под поверхностью воды. Чтобы стакан находился в равновесии, сила тяжести стакана Рб должна уравновешиваться выталкивающей силой F^:
Рб=Гд. или V6p6g = S1xpBg.(в)
После сокращения на g имеем
^бРб^^Рв-(г)
Величины Si и х в этом уравнении не известны, но их можно связать с заданными, вторично воспользовавшись условием неизменности объема воды в сосуде, сравнивая случаи /7 и /:
IHA^S-S^HS..(д)
Отсюда Svx=hS. Подставив это значение в уравнение (г), имеем: У^Рб^ ~hSpB, откуда
V6 = hs£s.V6 = hs£s.РбРб(е)(е)
V6 = hs£s.
V6 = hs£s.
Рб
Рб
(е)
(е)
Теперь на основании уравнений (б) и (е) можно написать^окончательный результат:
H,=H+h 2s.Рб
Проверка размерностей этой формулы не составляет большого труда. Подставляя значения величин в системе единиц СГС, имеем
н1 = 20,0 + 2,2^2 к 20,3см.
Когда тело имеет закрепленную ось вращения и погружено полностью или частично в жидкость, анализ его статического равновесия может ограничиться рассмотрением условия (3.2), если силы, действующие на ось, не представляют интереса.
Следующая задача на анализ статического равновесия плавающего тела с осью вращения одновременно может служить иллюстрацией простого и не требующего много времени способа определения плотности вещества без использования весов. -
Задача. Тонкий однородный цилиндрический стержень верхним концом крепится к шарниру. Снизу под стержень подводится ванна с водой (или с другой жидкостью, плотность которой известна). Если вертикальное положение стержня, погруженного нижней частью в жидкость, окажется неустойчивым, он наклонится. Определить плотность материала стержня, если^в воде находится половина его длины (рис. 10 12).
Чтобы составить уравнение (3 2), нужно рассмотреть все силы, действующие на стержень, и моменты этих сил относительно точки О Ясно, что такими силами являются сила тяжести стержня Р и выталкивающая сила F^ (если не учитывать очень малую выталкивающую силу воздуха, действующую на верхнюю половину стержня).
a F д Vг^/Рв^-a F д Vг^/Рв^-Выталкивающая сила F^ приложена к центру масс объема, занятого частью стержня, погруженной в воду, т е. в точке В, лежащей на середине длины отрезка АС. Сила тяжести стержня приложена к его центру масс Л, находящемуся на середине его длины. Зададимся длиной стержня / и площадью его поперечного сечения S. Плотность материала стержня и плотность воды обозначим через рс и рв. Тогда объем стержня равен SI, a P=Slpcg. Объем части стержня, погруженной в воду, равен ^Sl,
a F д Vг^/Рв^-
a F д Vг^/Рв^-
Чтобы найти плечи сил OD и ОЕ, зададимся углом а наклона оси стержня к горизонтали. По рисунку видно, ^что OD=OA cos a—Vg/cosa и ОЕ=ОВ cos а=3/4/ cos а (так как ЛВ=ВС=1/2ЛС=1/4/).
Сила тяжести создает момент, вращающий стержень относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О, по часовой стрелке, а
выталкивающая сила — против часовой стрелки. Условие (3.2) можно записать в виде равенства
P*OD = FA-OE>
которое с учетом найденных ранее выражений принимает вид
/13
Slpcg "2 cos а="2 SlPe'g -4-1 cos "•
После сокращений получаем выражение для искомой величины рс:
(а)(а)3
(а)
(а)
Рс 4 Рв*
Поскольку рв— 1,0 г/см3, то рс=0,75 г/см3.
Как видим, при таком способе определения плотности вещества твердого тела вовсе не нужно знать угол наклона стержня, его длину
Рис. 10.12.Рис. 10.12.Рис. 10.13.Рис. 10.13.
Рис. 10.12.
Рис. 10.12.
Рис. 10.13.
Рис. 10.13.
и сечение (если он однороден, прямолинеен и тонок). Должны быть известны только плотность жидкости, в которую он погружается, и часть его длины, находящаяся в жидкости.
Результат решения задачи говорит о том, что рс<рв, т. е. что стержень изготовлен из материала менее плотного, чем вода (например, из дерева).
Рассмотрим для общности случай, когда стержень с искомой плотностью рс погружается не в воду, а в жидкость с заданной плотностью рж и под поверхностью жидкости находится не половина, а (1/п)-я часть его длины (рис. 10.13)
Воспользуемся прежними обозначениями для длины, сечения и угла наклона оси стержня к горизонтали (/, S, а). Теперь
Ю=Т' ВС=2?' АВ-Ч-Ч‘ос=т+ (4—)+s=' т ■
По-прежнему P=SZpcg, но FA = S (l/n^p^g. Поскольку ОЕ= = ОД cos а= (//2) cos а? а ОК = ОС cos а = Z —^j— cos а, уравнение ® Ю. А. Селезнев 225
моментов сил Р-ОЕ=Рд-ОК можно записать в виде
SZpcg -2- cos “ = S -^ P*8l cos а, откуда после сокращений находим
Случай рс=рж, который возможен при п—1, интереса не представляет, так как при этом стержень будет целиком погружен в жидкость и будет находиться в безразличном равновесии, поскольку обе силы, Р и F^, будут приложены в точке А и их модули будут одинаковыми, Р= — Рд При этом шарнир не будет воспринимать никакой нагрузки и угол а может принимать любые значения.
Случай м=2 мы уже рассмотрели ранее (см формулу (а)) и пришли к заключению, что стержень при этом может находиться в равновесии, если рс<Рж. Легко убедиться, что при любых значениях п> 1 дробь в формуле (б) имеет значения, меньшие единицы. Значит, для всех случаев равновесия стержня в наклонном положении выполняется неравенство рс<Рж> и такой метод определения плотности, применим только для стержней из веществ менее плотных, чем используемая в опыте жидкость
Равновесие стержня с плотностью рс, погруженного в жидкость с плотностью рж, выполняется при определенном значении п, которое можно найти из уравнения (б) При этом угол наклона стержня может быть любым, но, конечно, меньшим, чем л/2 радиан Это означает, что, если мы будем перемещать шарнир О ближе к поверхности жидкости, стержень будет поворачиваться вокруг точки В Если при неподвижном шарнире О ванну с жидкостью поднимать, стержень будет поворачиваться вокруг точки О Но при всех этих поворотах в жидкости будет находиться одна и та же часть длины стержня. Отсюда следует, что стержень известной плотности можно проградуировать в соответствии с уравне- нией (б) для использования его в качестве измерителя плотностей различных жидкостей (ареометр) х
Часто жидкость или газ являются одним из элементов системы взаимодействующих тел. Оценка статического равновесия такой системы должна производиться по прежним общим правилам: жидкость или газ в этих случаях нужно рассматривать как самостоятельную часть системы, взаимодействующую с другими.
§11. ДИНАМИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
ILL Основные понятия. Уравнение неразрывности
Упорядоченное движение конечных объемов жидкостей и газов не может быть следствием хаотического движения атомов или молекул, ибо последнее происходит всегда — и в покоящихся, и в движущихся макроскопических объемах. Используя основные положения динамики, для объяс- 226
нения возникновения или изменения движения макроскопических частиц жидкостей и газов нужно найти внешние причины. Таковыми чаще всего являются силы давления (а в некоторых случаях — силы тяжести). Без внешних воздействий могло бы происходить прямолинейное и равномерное движение макроскопических частиц невязких газов или жидкостей, если бы такие существовали. Наличие сил внутреннего (вязкого) трения приводит к тому, что для осуществления движения частиц реальных жидкостей и газов даже с постоянной скоростью приходится поддерживать неодинаковые давления в различных точках среды.
Линия, касательная к которой в каждой точке в данный момент времени совпадает с направлением скорости жидкости в этой точке, называется линией тока. Поверхность, образованная линиями тока, проведенными через все точки выделенного внутри жидкости малого замкнутого контура, называется трубкой тока.
Если в каждой точке пространства, заполненного движущейся жидкостью или газом, скорости и давления во времени не изменяются, говорят о стационарном (или установившемся} течении. В этом случае линии тока не будут отличаться от траекторий движущихся по ним частиц. Если жидкость или газ при движении по какой-нибуДь трубе сплошь заполняют любое ее поперечное сечение и не отрываются от стенок трубы, то в некоторых задачах вся такая
/Труба в целом может быть представлена как трубка тока больших размеров.
Если рассматривается стационарное движение несжимаемой жидкости (или газа), то масса и объем жидкости, протекающей за какой-то промежуток времени через любое поперечное сечение трубки тока, должны оставаться неизменными (имея это в виду, часто говорят о постоянстве массового и объемного расход® жидкости или газа). Несжимаемая жидкость движется сплошным неразрывным потоком и не может накапливаться в некоторых частях трубки тока или разрываться, образуя пустоты,— в других.
Этот факт находит свое отражение в так называемом уравнении неразрывности для трубки тока несжимаемой жидкости ^л.ли. газа):
Sv—const, (H-l)
где S — площадь произвольного поперечного сечения трубки тока, а и ~ значение скорости движения жидкости или газа в этом сечении.
Уравнение неразрывности может быть получено на основании следующих соображений. Условие постоянства расхода несжимаемой жидкости (или газа) через любое поперечное сечение трубки тока можно записать в виде т= = const, где т—масса жидкости, протекающей через любое поперечное сечение за какой-то произвольный промежуток времени А/. Ясно, что это уравнение можно записать и по-другому:
pV= const,
где р — плотность жидкости, а У — объем порции жидкости с массой т.
Если площадь рассматриваемого поперечйого сечения трубки тока равна S, а скорость жидкости в этом сечении равна у, то объем жидкости, протекающей через это сечение за промежуток времени А/, можно выразить какЕ=5уА/, и уравнение постоянства расхода примет вид
pSy А/= const.
Учитывая, что жидкость однородна и несжимаема (р=const для любого сечения трубки тока), и рассматривая произвольные одинаковые промежутки времени (At=const), мы и получим уравнение (11.1).
Важной особенностью движения вязких жидкостей и газов, в отличие от движения твердых тел, является равенство нулю сил трения покоя между их слоями. Любая, даже ничтожно малая сила выводит порцию жидкости или газа из состояния покоя. Чтобы привести в движение кирпич, лежащий на горизонтальной доске, на него нужно подействовать силой, не меньшей некоторого определенного конечного значения. Но многотонную баржу, плавающую в воде, можно оттолкнуть от берега буквально одним пальцем. Неправдоподобность такого опыта лишь кажущаяся! Этому трудно поверить из-за ненаблюдаемости таких явлений в повседневной обстановке.
Физическое объяснение такой ненаблюдаемости дать очень просто. Допустим, баржа, масса которой m=2-105 кг, находится в неподвижной воде у берега. Мы начинаем отталкивать баржу от берега, воздействуя на нее постоянной силой F= 1 Н (такое воздействие вполне можно обеспечить одним пальцем!). За какой промежуток времени А/ баржа отплывет от берега, скажем, на 10 см (Ах=0,1 м)?
Неподвижную инерциальную систему отсчета в данном случае удобно связать с берегом. Положительное направ-
ление горизонтальной координатной оси (например, ОХ) пусть совпадает с направлением вектора F, а отсчет времени начат с момента, когда на баржу начала действовать сила F. Если модуль ускорения, приобретенного баржей, обозначить через а, то без труда придем к системе уравнений, справедливых в рассматриваемом случае:
г. а (АЛ2
F = та,\х = -,
откуда
А/=]/^, или
Подставляя численные значения в СИ, получим
А/ = ]/—I1®6:®'1- = 2-102 с. '
Вот, оказывается, в чем дело! Чтобы увидеть результаты подобных опытов, нужно терпеливо экспериментировать в течение достаточно продолжительных промежутков времени, которые не всегда находятся у нас при мимолетных наблюдениях.
Подобно тому 'как силы внешнего трения между твердыми телами зависят от относительной скорости движения соприкасающихся поверхностей тел, силы вязкого трения между слоями жидкости или газа тоже зависят от их относительных скоростей.
Применимость законов сохраненияк движущимся жидкостям и газам
Изложенные факты позволяют рассматривать макроскопические порции жидкостей и газов как механические системы взаимодействующих материальных точек. Очень часто силы внешних воздействий на такие системы оказываются уравновешенными, что позволяет использовать закон сохранения импульса. Если к тому же допустимо пренебречь силами вязкого трения, то можно применять закон сохранения механической энергии.
Применение закона сохранения импульса. Во многих задачах закон сохранения импульса применяется к замкнутым системам, элементами которых являются не только макроскопические частицы жидкостей или газов, но и какие-то твердые тела. Этим законом можно воспользоваться,
например, для нахождения скорости движения ракеты в вакууме, для объяснения причины вращения «сегнерова колеса», извивания гибкого шланга при протекании ло нему жидкости и при анализе многих других явлений.
Задача. Как определить' силу воздействия жидкости на стенку колена трубы, изображенного на рис. 11.1? Массовый расход жидкости через трубу равен G кг/с, плотность жидкости р, площади поперечных сечений трубы везде одинаковы и равны 8.
Рассмотрим макроскопическую частицу жидкости с массой т. Пусть в вертикальной части трубы эта частица движется со скоростью vx, а в горизонтальной — со скоростью v2 Поскольку площади поперечных сечений трубы одинаковы, значение скорости частицы в любом сечении,
в любой точке пространсгва внутри трубы будем считать неизменным и равным o=G/pS.
При этом мы, конечно, допускаем, что имеем дело с так называемым ламинарным течением невязкой несжимаемой жидкости (пренебрегаем перемешиванием слоев жидкости, силами вязкого трения, «прилипанием» слоев жидкости к стенке трубы и т. д.).
Несмотря на равенство у1=и2=у, скорости vx и v2 будут отличаться направле
ниями, т. е. в векторном смысле равными не будут, а поэтому не будут равными и импульсы частицы mvt и mv2. Любое изменение импульса частицы связано с импульсом действующей на нее силы. В данном случае такой силой является сила воздействия на частицу со стороны стенки трубы. Обозначим среднюю за промежуток времени А/, в течение которого импульс частицы изменяется от mvt до mv2, силу воздействия стенки на частицу жидкости через F^. Тогда на основании (2.2) имеем •
РжА/ = т Av,
где Av — вектор изменения скорости частицы жидкости за промежуток времени А/. Сила Рж совпадает по направлению с Av, а сила воздействия частицы жидкости на стенку Fc в согласии с третьим законом Ньютона имеет противоположное направление. Проецируя записанные уравнения на направление вектора Av и переходя к модулям, получаем
Е'^Ы = т ^.
В данной задаче
Аи = о р^ 2
(см. равнобедренный треугольник OKN, катеты которого равны v), или, с учетом полученного выше выражения для иг
Ду=Ду=У 2GpS •У 2GpS •
Ду=
Ду=
У 2GpS •
У 2GpS •
Если через поперечное сечение трубы проходит п частиц, масса каждой из которых равна т, и все они изменяют скорости точно так же, как рассмотренная нами частица, то модуль суммарной средней силы воздействия на них со стороны стенки будет равен
Гж = пЕ^ или ^жА/ = пт ku, откуда
Нетрудно сообразить, что дробь в этом выражении как раз равна массовому расходу жидкости G, т. е.
Модуль суммарной силы Fc воздействия на стенку п частиц жидкости будет иметь такое же значение:
„ О2
В действительности силы воздействия частиц жидкости на стенку колена АС будут распределены по всей ее поверхностй. Сила Fc и будет представлять результирующую всех этих сил.
Если колено трубы не будет жестко закреплено, то в согласии с законом сохранения импульса оно приобретет какую-то скорость Движения в направлении вектора Fc или будет распрямляться, если труба гибкая.
Уравнение Бернулли. Энергетический подход к анализу течения жидкости или газа приводит к очень важным практическим выводам.
Рассмотрим произвольный участок достаточно тонкой наклонной трубы переменного сечения (рис. 11.2). По трубе течет несжимаемая и невязкая жидкость, плотность которой
р. Течение жидкости стационарное. При этих условиях стенки трубы могут считаться стенками трубки тока жидкости. Рассчитаем изменение механической энергии объема жидкости, заключенного между поперечными сечениями трубы / и 2, при его перемещении за очень малый промежуток времени М в положение Г2’.
Инерциальную систему отсчета в данном случае удобно связать с Землей, а координатную ось ОХ направить вдоль оси трубы На основании соображений, аналогичных тем, которые уже высказывались ранее, изменениями механических состояний Земли и стенок трубы можно не интересоваться. Не забудем только отметить, что на рассматриваемую порцию жидкости действуют неуравновешенные внешние силы: силы давления Fi и F2 (со стороны частиц жидкости, находящейся перед сечением 1 и за сечением 2), а также сила тяжести (по крайней мере должна быть учтена составляющая силы тяжести вдоль оси трубы, которая может влиять на течение жидкости).
Пусть сечение 1 имеет площадь Si, а сечение 2 — площадь S2. Центры этих сечений располагаются на высотах hi и /г2 от какого-то произвольно выбранного начала отсчета высот (например, от поверхности Земли). Так как труба достаточно тонкая, можно считать, что все точки сечения 1 находятся на высоте /?ь а все точки сечения 2 — на высоте h2 от выбранного уровня. Через сечение 1 жидкость движется со скоростью V!, а через сечение 2 — со скоростью v2. Давления в этих сечениях соответственно равны pi и р2.
Частицы жидкости, которые в начальный момент времени находились в сечении /, за малый промежуток времени А/ переместятся вдоль оси трубы на Axi и окажутся в сечении Г, а частицы из сечения 2 переместятся на Ах2 и будут находиться в .сечении 2'.
Масса несжимаемой жидкости, протекающей за равные промежутки времени через любые поперечные сечения трубки тока, должна оставаться неизменной. Если в рассматриваемом примере массу жидкости, протекающей через любое сечение трубы за промежуток времени А/, обозначить через Ат, то
Am==pSiAxi==pSiViA/ или Am=pS2Ax2=pS2v2AZ
Кроме того, можно утверждать, что массы жидкости, заключенной в тонких слоях (так как промежуток А/ мал!) между сечениями 1 и Г и между сечениями 2 и 2', также 232
равны А/n (объемы SiAxi и S2Ax2 для несжимаемой жидкости равны и р=const).
Расчет изменения механической энергии жидкости, заключенной между сечениями 1 и 2, при ее переходе в положение Г2* можно свести к расчету изменения механической энергии слоя или элемента жидкости //' при его переходе в положение 22', ибо механическая энергия жидкости, заключенной между сечениями /' и 2, при стационарном течении не изменяется (объем между этими сечениями является частью объема рассматриваемой порции жидкости и в начальном, и в конечном состояниях).
Кинетическая энергия малого слоя жидкости в положении 1Г равна 1Гк1=А/по?/2, а его потенциальная энергия в поле тяготения Земли Wnl=Amghv Таким образом, суммарная механическая энергия слоя в этом положении будет
^„1 = Г к, ++ Am gh,.
Аналогично для положения 22' слоя можно получить
№м2 = Г к2 + №п2 =+ Am gh2.
Для оценки изменения механической энергии этого слоя AFM=FM2—FM1 нужно будет учесть только работу сил давления Fi и F2, так как работа силы тяжести слоя будет учтена изменением потенциальной энергии слоя. (Можно было бы, конечно, к тому же результату прийти и другим путем: на основании теоремы о кинетической энергии приравнять изменение кинетической энергии слоя сумме работ сил давления и силы тяжести: АЦ7К=ЛТЯЖ+ +Лдавл.) Работа силы Ft при перемещении слоя жидкости на Axi вдоль оси трубы равна
Ax=FxNxi=piSiV1M
и оказывается величиной положительной (угол между вектором элементарного перемещения жидкости и вектором силы Рг равен нулю), работа же силы F2 на перемещении Дх2 будет отрицательной:
А2 —""F2Ах2=—p»S2v2 At.
Суммарная работа сил давления А=Аг+А2 и определяет изменение механической энергии тонкого слоя или, как
233
уже было сказано, всей рассматриваемой порции жидкости: ДГМ=Л.
Используя полученные выше выражения, имеем -^- + ^gh-^—Nmgh^p.S^ Lt-p^M, или, домножив все слагаемые этого уравнения на плотность жидкости р,
Ат -ф- + Am pgh^— Am -ф-— Am pg^ =
= Pi (pS^AO—Pa (pS2v2A^).
Произведения, взятые нами в скобки, равны между собой и равны массе Ат жидкости, протекающей через любое поперечное сечение трубы за промежуток времени М:
pStU1M=pS2v2M= ^.
Сокращая предыдущее уравнение на Ат и разнося слагаемые с одинаковыми индексами в разные стороны рт знака равенства, получаем уравнение
Pi + pg7h +-Р2+ Р^ + -ф-,
которое с учетом того, что сечения 1 и 2 выбирались совер - шенно произвольно, может быть представлено н более общей и короткой записи:
р + pgh + ^~ = const.(11-2)
Это — уравнение Бернулли для трубки тока несжимаемой невязкой жидкости (или газа) при стационарном течении. Легко сообразить, что произведение pgh представляет собой потенциальную энергию единичного объема жидкости (или газа) в поле тяготения Земли, а дробь pv2/2 — кинетическую энергию того же объема в выбранной инерциальной системе отсчета. Таким образом, из уравнения Бернулли следует, что при стационарном течении сумма давления, потенциальной и кинетической энергии единичного объема несжимаемой невязкой жидкости (или газа) остается постоянной в любых сечениях трубки тока.
Задача. Известен простой способ выливания жидкостей из неопро- кидывающихся сосудов при помощи резинового шланга. Например, промывной бак в фотолаборатории, если засорилось сливное отверстие 234
в дне, можно опорожнить, используя следующий прием. В воду погружают резиновый шланг с таким расчетом, чтобы он весь заполнился водой («утонул»). Затем, зажав один конец шланга пальцем, вынимают его из воды и опускают ниже уровня дна бака,,удерживая другой конец шланга в воде (рис. 11.3). Как объяснить, что при этом удается опорожнить бак, заставив жидкость двигаться по шлангу? '
Стенками трубки тока воды в этом случае являются стенки и дно бака и стенки шланга. Рассмотрим два ее сечения. 1 — свободная поверхность воды в баке и 2 — выходное сечение шланга. Располагаются эти сечения на высотах hx и /z2 от пола. Запишем уравнение Бернулли (11.2) для этих сечений
Р1+Р^1+-^- = р2+р^2 + -^" •,
Давления воды рх и р2 в сечениях 1 и 2, конечно, равны внешнему атмосферному давлению (оно действует на свободную поверхность воды в баке и препятствует вытеканию воды из сечения 2 шланга). Если пренебречь его изменением на небольшой разности высот h^—/z2, то pi=p2, и эти давления взаимно уничтожаются в записанном нами уравнении. Тогда
Р^1 += Р^2 +•
Теперь, сокращая на плотность воды р, получаем
^1 + ^-—£^4—тр >
откуда следует, что о2>уь так как/11>/?2, т. с. вода вытекает, в конечном счете, под действием силы тяжести за счет того, что открытое сечение 2
находится _ниже уровня воды в баке.
Обратим внимание на то, что уравнение Бернулли мы применили в этом случае для интересующих нас сечений 1 и 2, не заботясь о том, что в трубке тока были, например, сечения, расположенные на более высоком уровне (см сечение 5). Если шланг целиком заполнен текущей жидкостью, то это не должно нас смущать. Мы интересовались здесь только тем, будет ли вода вытекать из отверстия 2 и за счет чего. Использование урав
нения Бернулли позволило ответить на эти вопросы. На уровне сечения 3 вода первоначально оказалась из-за того, что мы ее туда подняли рукой вместе со шлангом, совершив работу против силы тяжести. А затем вода поднимается в это сечение за счет подсоса вытекаю
щей частью, что в итоге как раз и является следствием и подтверждением
наличия сил притяжения между частицами жидкости.
Задача. Сколько времени потребуется для наполнения водой чайника объемом У=2 л из водопроводного крана в квартире четвертого этажа дома? Кран расположен на высоте h2—15 м над поверхностью земли. Уровень воды в водонапорной башне поддерживается на постоянной высоте /i1=50 м, измеренной от того же начала отсчета высот (рис. 11.4). Площадь выходного сечения крана 5=1 см2.
Трубка тока в этом случае образована стенками и днрм бака и стенками водопроводной трубы Уравнение Бернулли составим для сечения 1 (свободная поверхность воды в баке) и сечения 2 — выходного отверстия крана.
Pl + P^l + = Р2 + Р^2 + "
Снова, учитывая, что Р1=р^=Рвн» и сокращая на р, получаем
(а)(а)п2
(а)
(а)
^1+~^ = ^2 4-
Рис. 11.4.Рис. 11.4.Сечение 1 в этом случае не опускается, но вода в нем движется с какой-то скоростью, так как поддержание уровня свободной поверхности на неизменной высоте при вытекании воды возможно только за счет долива бака. Значение этой скорости uY не задано, но в уравнении (а) им можно пренебречь* через сечение /, которое наверняка во много раз больше сечения отверстия крана, за единицу времени должна протекать такая же по объему и по массе порция воды, что и через сечение 2. Значит, О1<^о2 и тем более
Рис. 11.4.
Рис. 11.4.
^1^2- Тогда уравнение (а) упрощается.
и приводит к выражению "2= /2g(/it—Л2).(б)
Зная величину ц2 в сечении известной площади 5, можно найти объемный расход Q (объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы за единицу времени):
Q—р25.
Тогда промежуток времени Д/ истечения объема У жидкости из крана, или промежуток времени наполнения чайника, равен
^==Ш"(г)
На основании соотношений (г), (в) и (б) можем записать окончательное выражение:
S VWi-ti '
Проверку размерностей и численный расчет произведем в СИ:
м3м2 /'(м/с2) «мм3м2 /'(м/с2) «м°’002
м3
м2 /'(м/с2) «м
м3
м2 /'(м/с2) «м
с, М =7======- ^ 0,8 с.
10~4 /2-9,81 (50-15)
Пусть нашим читателям этот результат не покажется слишком малым. Наверняка, живущие на четвертом этаже за такой промежуток времени не смогут наполнить водой двухлитровый чайник. Предложенные по условию задачи значения величин Къ h2 и S близки к реальным, но сил сопротивления при движении воды в трубопроводе и в кране мы не учитывали, а в действительности они имеются и уменьшают скорость истечения воды из крана. Не забудем и о том, что кран мы открываем постепенно и вода вначале проходит через сечение, значительно меньшее S
Обратим внимание на уравнение (б) Оно позволяет прийти к выводу, что скорость истечения жидкости из малого отверстия (иначе нельзя было бы пренебречь of по сравнению с о|’) открытого сосуда зависит только от высоты уровня жидкости над отверстием. Это утверждение справедливо, конечно, для несжимаемой невязкой жидкости.
Как видим, механический подход к покоящимся и движущимся жидкостям и газам полностью оправдан. Некоторое отличие механики сплошных сред от механики материальных точек и твердых тел связано с учетом особенностей взаимодействия частиц вещества в жидком и газообразном состояниях.
ГЛАВА IV
ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
§ 12. ОБОБЩЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
12Л. Измедение внутренней энергии при изменениимеханической энергии замкнутой системы телили частиц
Используя представление о внутренней энергии, можно понять детали процесса рассеяния механической энергии замкнутой системы, между телами которой -действуют силы трения или имеют место неупругие взаимодействия.
Вернемся к примеру о неупругом взаимодействии дробинки с песком, находящимся в коробочке, которая лежит на идеально гладкой поверхности (см. стр. 184). Воспользуемся модельной схемой этого опыта: дробинку и песчинки будем считать маленькими шариками. Шарик-дробинка, движущийся со скоростью Vo, влетает в груду покоящихся сначала шариков-песчинок, расположенных близко друг к другу. Что при этом произойдет? Примерно то же, что происходит в начале игры на бильярде, когда неопытный игрок одним шаром разбивает треугольную фигуру, построенную из остальных. Шары разлетаются, толкая друг друга, наталкиваются на борт бильярда, отскакивают от него, вновь сталкиваются и т. д. Движение первого шара вызывает хаотическое движение остальных. Песчинки в нашем примере придут в такое же хаотическое движение, сопровождающееся соударениями (рис. 12.1). Удары будут передаваться всем стенкам коробки. Движение вправо со скоростью v коробка приобретет в основном за счет ударов по стенке CD. Некоторые косые удары по стенкам ВС и AD, а также по верхней и нижней стенкам будут ускорять коробку вправо, но некоторые будут толкать ее влево. Удары по стенке АВ наверняка приведут к замедлению движения коробки, 238
Понятно теперь, куда девалась механическая энергия дробинки. Она лишь частично перешла в кинетическую энергию движения коробки. Остальная ее часть привела в движение составные части той среды, в которую попала дробинка.
После этого нетрудно сделать еще один шаг — песчинки
мыслить как модели атомов или молекул того тела, с которым взаимодействует дробинка. Если не забыть о сложном строении самой дробинки, будет понятно, куда девалась «потерянная» механическая энергия ДЦ7М ее упорядоченного движения. Она перешла во внутреннюю энергию дробинки и внутреннюю энергию ne- vg
ска, изменила их первоначальные °** значения.
Учитывая, что мы рассматри- 8-8
вали замкнутую систему тел (приу
осуществлении подобных опытов-*•
можно добиться достаточно полной компенсации внешних сил, дейст- д вующих на тела системы), ме- рис 12л ханическая энергия которой не•• •
расходовалась на совершение работы против внешних
сил, остается сделать вывод о возмбжности изменения внутренней энергии системы за счет изменения ее механической энергии. Если, кроме того, данная система не обменивается внутренней энергией с телами, не включенными в эту систему (такая система называется адиабатически изолированной), то для нее выполняется закон сохранения полной
энергии.
Полной энергией W тела, системы тел или частиц называют сумму их механической WM и внутренней U энергий в данной системе отсчета.
Значит, для замкнутой и адиабатически изолированной системы выполняются равенства
117=И7м+£7—const,117=И7м+£7—const,(12.1)(12.1)
117=И7м+£7—const,
117=И7м+£7—const,
(12.1)
(12.1)
или
ЛГ=ЛЙ7М+Д^=О.ЛГ=ЛЙ7М+Д^=О.(12.2)(12.2)
ЛГ=ЛЙ7М+Д^=О.
ЛГ=ЛЙ7М+Д^=О.
(12.2)
(12.2)
Пока мы обратили внимание только на случай, когда за счет уменьшения механической энергии возрастает внутренняя энергия системы, но существуют и такие явления, в которых процесс преобразования энергии идет в обратном направлении при сохранении полной энергии системы неиз-
менной (например, за счет уменьшения внутренней энергии сжатого воздуха возрастает механическая энергия пули, вылетающей из духового ружья).
По аналогии с тем, как были получены важные выводы при подробном рассмотрении замкнутых. и незамкнутых систем в механике, можно прийти к заключению о том, что полная энергия системы может в общем случае изменяться, если система незамкнута, и, кроме того, обмениваться внутренней энергией с внешними телами. Такие системы называются термодинамическими системами.
Как измеряется изменение внутренней энергии тела или системы тел? Понятие о температуре
Представляя вещество состоящим из микрочастиц, легко сказать, что происходит внутри него при изменении внутренней энергии. Изменяется, очевидно, кинетическая энергия тех или иных видов движения и потенциальная энергия взаимодействия частиц. '
Но велика ли польза от таких теоретических рассуждений? Создается впечатление, что, озабоченные рассеянием механической энергии, мы искали путей объяснения ее утечки. Используя представление о микрочастицах и о внутренней энергии, удалось заключить, что при рассеянии^ механической энергии изменяется внутренняя энергия. Но как измерить изменения последней? Возможно ли узнать, сколь быстро или медленно движутся частицы, из которых состоит данное тело, сильно или слабо они взаимодействуют, на больших или малых расстояниях друг от друга находятся?
Положение спасает упоминавшийся ранее факт изменения некоторых внешне проявляемых свойств и количественно описывающих их физических величин при изменении внутренней энергии тел. Изменяются геометрические размеры тела и его плотность, может изменяться его агрегатное состояние или давление, если вещество газообразное. Могут изменяться и другие свойства. В некоторых случаях бывает заметно, что тело на ощупь стало горячее или холоднее.
Последнее обстоятельство заслуживает особого внимания. Известно, что горячее тело при соприкосновении с холодным всегда остывает.
«Одинаково горячие» или «одинаково холодные» тела долгое время остаются без изменения своих свойств, В та- 240
ких случаях говорят о тепловом равновесии термодинамической системы (или о термодинамическом равновесии, или о равновесном состоянии).
Чтобы иметь представление о тех трудностях, с которыми столкнулась физика в этих вопросах, нужно помнить, что первый крупный шаг в учении о теплоте был сделан лишь в начале XVIII века, когда удалось построить температурную шкалу, основанную на объективных фактах. Многие уточнения в учении о теплоте были сделаны только в XIX веке. Причины столь долгих поисков как раз и связаны с тем, что долгое время в расчет не принималось внутреннее строение вещества.
На чем было основано построение шкалы температур? Здесь учитывались изменения свойств вещества при переходе его из одного теплового состояния в другое. Газ, помещенный в сосуд с подвижным поршнем, в «горячем» и в «холодном» состояниях имел неодинаковые объемы; металлический стержень в «горячем» и в «холодном» состояниях имел неодинаковые длины, и т. д. Следовательно, шкала температур могла быть построена, например, на основе измерений объема какого-то вещества в различных тепловых состояниях. В одном из таких методов термометр, заполненный ртутью (или другим веществом), погружался в сосуд с тающим льдом, и метку, соответствующую положению уровня ртути в этом случае, принимали за нулевую (при построении шкалы Цельсия), полагая, таким образом, что температура тающего льда равна О °C. Температуре паров кипящей воды при нормальном давлении приписывалось значение 100 °C. Тот факт, что были предложены другие температурные шкалы, где тем же тепловым состояниям приписывались другие значения температуры или интервал между основными точками разбивался на другое число делений (например, шкала Реомюра), не имел уже принципиального значения.
Обратим внимание на то, что при таком способе построения температурной шкалы то или иное значение температуры связывалось с определенным тепловым состоянием определенного вещества. Ртутный или любой другой термометр являлся при этом лишь удобным, более или менее точным измерительным устройством. Фактически температура, равная 0 °C, была приписана тепловому состоянию тающего льда, а 100 °C — тепловому состоянию того же самого вещества (Н2О) в другом агрегатном состоянии. *
Отметим еще одно очень важное обстоятельство. Постоянная метка на шкале термометра (О °C, 100 °C или любая другая) проставляется только тогда, когда столбик ртути или другого термометрического вещества перестал ползти. При этом мы имеем дело с тепловым равновесием термометра (или термометрического вещества, находящегося в нем) и того тела, с которым он соприкасается, находится в тепловом контакте.
Таким образом, тепловое равновесие положено в основу измерения температуры. Поэтому, измеряя температуру какого-то тела термометром, мы непременно должны дождаться теплового равновесия между ними и отсчитывать показания термометра только при их контакте. Нельзя, например, при измерении температуры жидкости вынимать из нее термометр и отсчитывать температуру по его показаниям в воздухе.
Изложенный подход к проблеме измерения температур позволяет заключить, что температура может рассматриваться как физическая величина, характеризующая отклонение теплового состояния данного тела от теплового равновесия с другим телом (определенному тепловому состоянию которого приписывается определенное значение температуры) и являющаяся мерой этого отклонения.
Если температура всех частей (или тел) термодинамической системы одна и та же, то в этом случае система остается в состоянии термодинамического равновесия бесконечно долгое время. При этом не будет причин для изменения тепловых состояний тел или частей системы.
Таким образом, по равенству температур при термодинамическом равновесии тел мы можем судить о невозможности обмена внутренними энергиями между этими телами. При неодинаковых температурах тел, приведенных в тепловой контакт, внутренняя энергия будет передаваться от тела с более высокой температурой к телу с меньшей температурой.
Но не существует ли более детальной связи между температурой и внутренней энергией тела? Как ведут себя различные компоненты внутренней энергии вещества при изменении его температуры? Иными словами, нельзя ли, кроме термодинамического смысла температуры, о котором мы только что сказали, установить молекулярно-кинетический смысл этой физической величины?
В предыдущих рассуждениях явно содержался намек на то? что разным температурам одного и того же вещества 242
могут соответствовать разные потенциальные энергии взаимодействия частиц (как, например, для льда и паров кипящей воды). Но всегда ли это так?.
Переход вещества из одного агрегатного состояния в другое с точки зрения молекулярно-кинетической теории непременно связан с изменением потенциальной энергии взаимодействия его частиц. < Чтобы перевести вещество цз твердого состояния в жидкое, нужно изменить относительное расположение его частиц. Переход из жидкого состояния в газообразное связан с весьма значительным увеличением расстояний между частицами. Из опытов, связанных с плавлением кристаллических веществ, кипением и другими изменениями агрегатных состояний, известно, что эти переходы происходят при определенной для данного вещества в данных условиях постоянной температуре. Это говорит о том, что изменение потенциальной энергии взаимодействия частиц вещества может происходить и при постоянной температуре.
Поскольку при плавлении и кипении к веществу подводится энергия от каких-то внешних тел или истопников, то можно предположить, что именно этот подвод энергии является причиной возрастания потенциальной энергии частиц вещества.
Однако при подводе к телу или веществу энергии извне оно может не претерпевать изменений агрегатного состояния. Температура вещества в твердом и жидком (а иногда и в газообразном) состояниях при этом увеличивается, значит, увеличивается и его внутренняя энергия. Но происходит ли это увеличение внутренней энергии только за счет увеличения потенциальной энергии взаимодействия частиц? Короче говоря, следовало бы еще оценить вклад во внутреннюю энергию вещества (при разных температурах и при различных фазовых переходах) кинетической энергии движения его частиц.
Проще всего это можно сделать, рассматривая идеальный газ. Напомним, что силы притяжения между атомами или молекулами идеального газа отсутствуют, а с силами отталкивания приходится считаться лишь при соударениях частиц газа между собой или со стенками сосуда. В связи с этим во внутреннюю энергию идеального газа вносит вклад только кинетическая энергия хаотического движения его частиц. Если идеальный газ состоит из атомов, то можно показать, что средняя кинетическая энергия, приходящаяся на один атом, ГГк, пропорциональна абсолютной температуре
газа (температуре, измеренной по шкале Кельвина):
Wk = ^kT. (12.3)
В этом выражении коэффициент к является универсальной постоянной величиной и носит название постоянной Больцмана (&= 1,38-10~23 Дж/К). Далее мы покажем связь постоянной Больцмана с другими важнейшими физическими константами.
Числовой коэффициент в формуле (12.3) зависит от структуры частиц, из которых состоит газ. Если мы будем рассматривать достаточно разреженные газы, которые могут считаться идеальными, состоящие не из атомов, а из молекул различной структуры, то коэффициенты будут другими.
Замечателен и тот факт, что средние кинетические и средние потенциальные энергии взаимодействия частиц вещества в жидком*и твердом состояниях также оказываются однозначно связанными с абсолютной температурой вещества. Поэтому внутренняя энергия любого тела однозначно связана с его абсолютной температурой.
Таким образом, с позиций молекулярно-кинетической теории абсолютная температура может рассматриваться как мера средней кинетической и средней потенциальной энергии частиц вещества.
Выше мы отмечали, что коллективы, состоящие из большого числа частиц, подчиняются статистическим закономерностям. Средние значения энергии и других величин как раз и могут описывать поведение таких коллективов. И если абсолютная температура однозначно связана со средней кинетической и средней потенциальной энергией частиц, то это означает, что она также является статистической величиной. Температура оценивает тепловое состояние всего коллектива частиц, и не имеет смысла характеризовать ею отдельных, одиночных представителей этого коллектива (одиночный атом иди одиночная молекула никакой температуры не имеют!).
Заметим, кстати, что температура не зависит от числа частиц, составляющих коллектив. Это следует, например, из того общеизвестного факта, что температура тела не зависит от его массы. Приведем в тепловой контакт с куском льда два медных шарика, имеющих различные массы. Пусть масса одного m^l г, а масса другого т2=10 г. Подождав некоторое время, чтобы устано- 244
вилось тепловое равновесие, мы убеждаемся, что температуры обоих шариков будут одинаковыми. Суммарные же внутренние энергии шариков будут различными из-за различного числа частиц, их составляющих.
Всегда ли возможен процесс изменениямеханической энергии за счет изменениявнутренней энергии системы?
Говоря о законе сохранения полной энергии системы тел, мы обратили внимание на возможность изменения внутренней энергии тел системы за счет изменения их механической энергии в выбранной инерциальной системе отсчета. Например, если некоторые тела замкнутой и адиабатически изолированной системы движутся с трением или
между ними имеют место неупругие взаимодействия, то возможно увеличение внутренней энергии этих тел, при котором может наблюдаться увеличение температуры этих тел, увеличение их объемов, изменение агрегатных состоя-
Но это, так сказать, лишь**
одна сторона закона. Уравнения (12.1) и (12.2) не нарушатся, если за счет убыли внутренней энергии некоторых тел или частей системы будет совершаться работа и возрастать механическая энергия других частей системы. Проанализируем такую возмож
ность на следующем примере.
Может ли металлический стержень Л В за счет уменьшения внутренней энергии совершить работу по подъему груза Р (рис. 12.2)?
С первого взгляда кажется, что речь идет о системе трех тел: стержень—груз — Земля.
Пусть стержень был предварительно нагрет и имел длину большую, чем в холодном состоянии. Значит, при
уменьшении температуры стержня и его внутренняя энергия, и длина будут уменьшаться. Внутренние энергии тела Р и Земли в этом опыте, очевидно, не изменяются. Кроме
того, как мы неоднократно делали ранее, изменением механической энергии Земли в данном случае можно пренебречь. В этих условиях можно попытаться применить
закон сохранения полной энергии к системе «стержень — груз», находящейся в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, и оценить возможность увеличения потенциальной энергии груза в поле тяготения Земли за счёт уменьшения внутренней' энергии стержня.
Каждому понятно, что такой опыт вполне реален. Конец стержня В при остывании перейдет в положение В*, стержень укоротится на М, а груз поднимется на высоту ДЛ, причем Л/г— AZ, т. е. потенциальная энергия груза в поле силы тяжести Земли при этом увеличится. „
Напрашивается положительный ответ на вопрос, поставленный в заголовке этого пункта. Но не будем торопиться. Учтены ли нами все условия проведения такого опыта? Всегда ли такой опыт удастся? Равны ли модули изменения внутренней энергии стержня и потенциальной энергии груза?
Даже не проводя расчетов, можно, наверное, заключить, что полная энергия системы «стержень — груз» сохраняться не будет. Ведь для того, чтобы внутренняя энергия стержня могла уменьшиться, в опыте должно присутствовать какое-то тело, которому передается часть внутренней энергии стержня, причем это тело должно иметь более низкую температуру, чем температура стержня.
В рассматриваемом примере таким телом, очевидно, является воздух, окружающий стержень. Уменьшение температуры стержня возможно при его контакте с более холодным телом. При равенстве температур воздуха и стержня имело бы место тепловое равновесие, отсутствовали бы условия для уменьшения внутренней энергии стержня, стержень не уменьшил бы своей длины и не поднял бы груза.
Если нашей целью являлось увеличение потенциальной энергии груза за счет всей убыли внутренней энергии стержня в согласии с законом сохранения полной энергии, то для системы «стержень — груз» она не достигнута, так как часть внутренней энергии стержня передана воздуху, который не был включен нами в рассматриваемую систему тел.
В данном примере возможны два пути подведения баланса энергии. Либо интересующую нас замкнутую систему тел «стержень — груз — Земля» нельзя считать адиабатически изолированной, и тогда к ней неприменим закон сохранения полной энергии (часть внутренней энергии передается внешнему телу — воздуху). Либо для возможности применения этого закона в систему тел должен быть 246
включен и воздух, находящийся в тепловом контакте со стержнем.
Можно, конечно, изменить условия опыта и проводить его в вакууме, чтобы не иметь дела с воздухом. В этом случае придется обеспечить передачу внутренней энергии стержня непосредственно грузу, но возрастание механической энергии груза снова не будет равно убыли внутренней анергии стержня, так как последняя частично израсходуется на увеличение внутренней энергии груза.
Подчеркнем еще раз, что закон сохранения полной энергии справедлив для замкнутых и адиабатически изолированных систем. Кроме того, следует иметь в виду, что возможность протекания процессов, в которых увеличение внутренней энергии системы в точности равно убыли ее механической энергии, ничем не ограничена (такие процессы происходят, например, 'при застревании пули, в неподвижной стенке, при забивании гвоздя и во многих других случаях). А вот получить увеличение механической энергии каких-то частей системы только за счет убыли внутренней энергии этих или других частей, иными словами — обеспечить полный переход внутренней энергии в механическую, невозможно в принципе. При попытках осуществления подобных процессов мы всегда встречаемся с возрастанием внутренней энергии некоторых тел или частей системы. Только при некоторых специально организованных условиях удается добиться почти полного перехода внутренней энергии в механическую. Это может, например, иметь место при очень быстром расширении газа, теплоизолированного от окружающей среды, когда внутренняя энергия не успевает передаться стенкам сосуда, содержащего газ, или другим телам.
§ 13. ДВА СПОСОБА ИЗМЕНЕНИЯ ВНУТРЕННЕЙ ЭНЕРГИИ
Процесс совершения работы. Работа силы как мера изменения механической, внутренней и полной энергии
системы
В свое время мы достаточно подробно рассмотрели процессы изменения механической энергии различных систем тел. Изменение механической энергии замкнутой системы можно оценить работой внутренних, непотенциальных сил, которой в случае адиабатически изолированной системы определяется также и изменение внутренней энергии системы.
Работа внешних непотенциальных сил, как мы помним, позволяет определить изменение механической энергии незамкнутой системы. При этом тоже происходит изменение внутренней энергии термодинамической системы. Так, если в качестве термодинамической системы мы рассматриваем пулю (такие случаи, когда под системой подразумевается одиночное тело, в термодинамике встречаются довольно часто), застревающую в песке, то силы трения должны считаться внешними силами. Работа этих сил будет определять не только уменьшение кинетической энергии пули в принятой инерциальной системе отсчета," но и возрастание внутренней энергии пули, сопровождающееся увеличением температуры или даже плавлением вещества пули, причем полная энергия пули в общем случае не останется неизменной.
Наконец, внутренняя энергия незамкнутой адиабатически изолированной системы может изменяться и в результате совершения работы внешними потенциальными силдми (например, возрастание внутренней энергии газа при его сжатии в сосуде под действием силы тяжести поршня).
Следовательно, для незамкнутой (но адиабатически изолированной) термодинамической системы выполняются равенства
АГ = Лвнешн (13.1) или
АГМ + А^ ^внешн> (13.2)
в которых работа внешних сил выступает не только как мера изменения механической энергии, но и как мера изменения внутренней, а также полной энергии системы.
Мы уже отмечали, что при наличии внешних сил часто говорят не о работе силы, а о работе тела или системы тел против внешних сил. Кроме того, анализируя общие соотношения и закономерности в термодинамике и подчеркивая возможность изменения внутренней энергии тел или систем в явлениях, при протекании которых теми или иными силами (внутренними или внешними) совершается работа, говорят о процессе совершения работы как об одном из способов изменения внутренней энергии.
В некоторых простейших случаях отсутствует изменение механической энергии незамкнутой, но адиабатически изолированной термодинамической системы (или им уда- 248
ется пренебречь), и тогда вместо уравнений (13.1) и (13.2) можно написать
А(/=ДВНСшн, (13.3)
т. е. в этих случаях изменение внутренней энергии системы равно работе внешних сил.
Процесс теплообмена. Количество теплоты —мера изменения энергии в процессе теплообмена
Мы уже говорили о возможности передачи внутренней энергии от одних тел к другим в отсутствие механического движения или его изменения в выбранной инерциальной системе отсчета, т. е. без совершения работы какими бы то ни было силами. С подобными явлениями мы встречаемся при отсутствии термодинамического равновесия между телами, когда внутренняя энергия передается от тела с большей температурой к телу с меньшей температурой.
Процесс передачи энергии без совершения работы называется теплообменом (или процессом теплообмена}, а энергия, переданная в этом процессе от одного тела к другому, измеряется количеством теплоты ^QY
Нужно иметь в виду, что названия некоторых явлений и величин в термодинамике были введены в те далекие времена, когда механизм тепловых процессов не был еще понят. Ряд таких терминов не исключен из употребления и поныне, но их смысл претерпел существенные изменения.
Исторически сложилось так, что изменение теплового состояния вещества объяснялось изменением количества тепла, находящегося в нем. Если температура тела повышалась, говорили, что это произошло за счет совершения работы или за счет подвода тепла к нему от какого-то источника. Процесс подвода или отвода тепла назвали теплообменом. При этом подразумевали, что тела обмениваются количествами тепла: горячее тело отдает какое-то количество тепла более холодному телу, а последнее его принимает. Таким образом, теплоте или количеству тепла приписывалась возможность находиться внутри тел в том или ином количестве и перетекать от одних тел к другим.
Эффекты в результате совершения работы и теплообмена могли быть одинаковыми. Температура ружейной пули могла повыситься на определенное число градусов за счет движения с трением в воздухе (при этом непременно изменялась ее кинетическая энергия, т. е. совершалась
работа по преодолению сил трения), и на столько же градусов ее можно было нагреть в отсутствие всякого механического движения и его изменения, например в пламени спиртовки. Значит, одно и то же изменение теплового состояния пули один раз произошло за счет совершения работы, другой раз — за счет теплообмена, за счет подвода определенного количества теплоты. После этого можно было говорить об эквивалентности количества теплоты и работы, приводящих к одному и тому же эффекту.
Классический опыт Джоуля установил такую эквивалентную связь. Заметим, что работа А и количество теплоты Q в опыте Джоуля измерялись независимо и в совершенно различных единицах. Единицы количества теплоты— калория или килокалория — вводились на основании изменения теплового состояния 1 грамма или 1 килограмма дистиллированной воды при изменении ее температуры на один градус (в определенном интервале температур шкалы Цельсия). ,
Используя механический эквивалент единицы количества теплоты (7) или тепловой эквивалент единицы работы (1/7), можно было производить -пересчеты этих эквивалентных величин:
A = JQ, Q = l-A.
Позже, когда в физике получили развитие понятие энергии и энергетический подход. к описанию явлений, теплота или теплород, как какие-то тепловые жидкости или субстанции, содержащиеся в телах, были заменены тепловой энергией. Считалось, что тело с бблее высокой температурой обладает большим запасом тепловой энергии, чем тело с более низкой температурой, и может передавать последнему часть ее до установления теплового равновесия.
К сожалению, о тепловой энергии довольно часто приходится, слышать и в наши дни. Но если попытаться вскрыть смысл этого понятия, то окажется, что «тепловая энергия»— всего лишь словесная конструкция, созвучная некоторым устаревшим представлениям о механизме тепловых явлений и не имеющая никакого значения в современной физике.
Нам хорошо известны процессы, происходящие в различных веществах при изменении их тепловых состояний, и участники этих процессов. Все эти процессы могут быть детально описаны и рассчитаны с привлечением представлений о внутренней энергии и о ее компонентах — о кивдти- 250
ческой энергии различных видов движения микроскопических частиц вещества и о потенциальной энергии их взаимодействий. Никакой нужды вводить какую-то тепловую энергию при этом не обнаруживается. Мы, правда, говорим о тепловом движении частиц, подчеркивая его неупорядоченность, хаотичность, подчиненность статистическим закономерностям микромира. Но, в конце концов, это — движение, детали которого описываются законами классической или квантовой механики. Каких-либо иных, специфически тепловых законов движения микрочастиц физика не знает. Целесообразность изъятия из употребления термина «тепловая энергия» диктуется также тем, что внутри вещества отсутствуют какие-либо особые тепловые взаимодействия микрочастиц. Взаимодействие микроскопических частиц имеется, мы можем вычислить среднюю потенциальную энергию этих взаимодействий, но природа этих взаимодействий оказывается или электромагнитной, или квантовомеханической, а не какой-то «тепловой».
Обратим также внимание на сохраняющуюся до сих пор двусмысленность при использовании таких терминов, как «нагревание» и «охлаждение». Первым из них характеризуют как увеличение температуры тела или вещества/ так и подвод энергии к телу или веществу в процессе теплообмена, а вторым — или уменьшение температуры, или отвод энергии от данного тела (передачу энергии другим телам) при теплообмене. Мы уже приводили примеры, говорящие о неоднозначности упомянутых процессов. Например, температура тела может увеличиться в процессе совершения работы неконсервативными силами, хотя никакого теплообмена при этом не будет. С другой стороны, при сообщении телу энергии в процессе теплообмена температура этого тела может не повышаться (с такими случаями мы имеем дело при изменениях агрегатных состояний вещества). Поэтому термины «нагревание» и «охлаждение» следует применять с большой осторожностью.
Итак, несмотря на' устаревшее название, количество теплоты в физике вводится как мера изменения энергии тела или системы в процессе теплообмена. Если имеет место теплообмен, но система замкнута, то изменение полной энергии системы будет равно количеству теплоты, сообщенному
' системе или отданному системой окружающим телам:
АГ=6,(13.4)
или
A1FM+At/=Q.(13.5)
Если к тому же не происходит изменения механической энергии замкнутой системы, то
NU=Q,(13.6)
т. е. процесс теплообмена приводит только к изменению внутренней энергии такой системы.
Первое начало термодинамики
Теперь мы можем прийти к обобщению предыдущих рассуждений для незамкнутых и не изолированных адиабатически систем. Изменение полной энергии таких систем происходит и в результате процесса совершения работы внешними силами, и в результате процесса теплообмена, т. е.
АГ=Анешв+9,(13.7)
или
ДГМ + Д17 = ЛВнешн + Q.(13.8)
В этом утверждении заключается смысл первого начала (или закона) термодинамики.
Если мы рассматриваем термодинамическую систему, механическая энергия которой не изменяется, то уравнение первого начала термодинамики упрощается:
MJ = Лвнешн + Q,(13.9)
т. е. изменение внутренней энергии такой системы определяется работой внешних сил и количеством теплоты, сообщенным системе или отданным системой окружающим телам в процессе теплообмена.
В некоторых задачах термодинамики удобно использовать не работу внешних сил Лвнешн, а работу Л, совершаемую данной системой против внешних сил. Учитывая, что Л =—Лвнешн, вместо (13.9) часто записывают уравнение
Q = Д(/+ Л, .(13.10)
которое также является выражением первого начала термодинамики и говорит о том, что энергия, сообщенная системе з процессе теплообмена, расходуется на изменение внутренней энергии системы и на совершение системой работы против внешних сил. Механическая энергия термодинамической системы в выбранной инерциальной системе отсчета при этом не должна изменяться.
Так называемое уравнение теплового баланса, которое часто используется при решении задач и в котором количества теплоты, отданные некоторыми телами (нагревателями) термодинамической системы, приравниваются количествам теплоты г принятым другими телами системы, является частным случаем уравнения закона сохранения полной^энергии для замкнутой и адиабатически изолированной системы. При этом учитывается теплообмен между телами или частями данной термодинамической систем^, но не рассматривается изменение механической энергии системы.
Виды теплообмена
Мы уже отмечали, что условием протекания процесса теплообмена является наличие разности температур между телами или частями термодинамической системы. И хотя в этом процессе происходит передача внутренней энергии от одних тел к другим, различие или равенство значений внутренних энергий тел, между которыми происходит теплообмен, никак не влияет на ход процесса.
Например, в тепловой контакт приводятся два медных шарика — маленький и большой. При одинаковых температурах суммарные значения внутренних энергий шариков, конечно, не будут равными: внутренняя энергия большого шарика будет во столько раз больше, чем у маленького, во сколько раз отличаются количества микрочастиц, из которых они состоят. Тем не менее теплообмен между шариками происходить не будет — при равных температурах они будут находиться в термодинамическом равновесии. Если же температуры шариков неодинаковы, то процесс теплообмена будет наблюдаться, причем внутренняя энергия будет передаваться от шарика с большей температурой к шарику с меньшей температурой вплоть до выравнивания температур, до установления термодинамического равновесия.
Таким образом, неодинаковость значений внутренних энергий тел не оказывает влияния ни на возникновение процесса теплообмена, ни на направление его протекания.
Теплообмен является процессом перехода системы из неравновесного состояния к равновесному. Его возникновение и направление протекания определяются разностью температур. Кроме того, значение разности температур влияет на интенсивность процесса теплообмена.
Разница температур может иметь место и в пределах какого-то одного конкретного тела. Например, когда мы
помещаем один конец длинной проволоки в пламя спиртовки, он очень быстро принимает высокую температуру. Другой конец той же проволоки может достаточно продолжительное время иметь комнатную температуру. Слои воздуха, соприкасающиеся с нагретым асфальтом, имеют более высокую температуру, чем слои, располагающиеся на несколько метров выше. Подобных примеров можно привести много. Во всех подобных случаях мы имеем дело с процессом теплообмена между отдельными малыми объемами, слоями или частицами одного и того же вещества.
Если теплообмен происходит без видимого механического перемещения тел или частиц, из которых состоят тела, то говорят о процессе теплопроводности или о кондуктив- ном теплообмене. Второе название как раз указывает на то, что тела или частицы, участвующие в процессе, находятся в непосредственном контакте. Механизм этого процесса сводится к передаче энергии от одних частиц к другим при их столкновениях. Частицы тела с более высокой температурой движутся с большими скоростями, чем частицы тела с более низкой температурой. При контакте таких тел происходят упругие столкновейия частиц, в результате чего энергии частиц могут выравниваться. Точно так же происходит' процесс передачи энергии в пределах какого-то одного тела, если температуры его различных участков или слоев неодинаковы. От частиц, движущихся с большими скоростями, энергия передается более медленным частицам, что внешне и проявляется в выравнивании температур различных участков тела.
Процесс теплопроводности может происходить в веществах, находящихся в твердом, жидком и газообразном состояниях, но быстрее всего он протекает в металлах.
Передача внутренней энергии между слоями жидкостей и газов осуществляется главным образом за счет конвективного теплообмена, при котором происходит направленный перенос макроскопических объемов вещества. Анализируя этот вид теплообмена, можно заключить, что он не является чисто тепловым процессом, так как перемешивание слоев вещества всегда связано с какими-то внешними, нетепловыми причинами.
В естественных земных условиях конвективный теплообмен объясняется двумя факторами: изменением плотности жидкостей или газов при изменении температуры и наличием поля тяготения Земли. Если температура во всех точках объема жидкости или газа одна и та же (термодинами- 254
ческое равновесие), то макроскопические частицы жидкости или газа находятся в безразличном равновесии. Если же в пределах объема жидкости или газа температуры неодинаковы, то возникает движение этих частиц. В тех местах, где температура выше, в общем случае плотность жидкостей или газов оказывается меньшей. За счет этого выталкивающая сила, действующая на макроскопический объем со стороны окружающих слоев жидкости или газа, становится больше силы тяжести этого объема, что и приводит к выталкиванию слоев с большей температурой вверх. На их место опускаются слои с меньшей температурой.
Учитывая указанный механизм процесса конвективного теплообмена, нагреватели жидкости или газа всегда располагают по возможности ниже, а холодильники — в самых верхних частях сосудов или помещений. При такой их расстановке процесс теплообмена будет идти наиболее интенсивно, 'Гак как конвекцией будут захвачены все слои объема жидкости или газа.
Очень часто движение или перемешивание слоев жидкостей и газов при теплообмене обеспечивается искусственным путем. Так, в условиях невесомости, имеющих место при движении спутника или космического корабля по орбите, нет естественного перемешивания слоев воздуха внутри аппарата. Принудительную циркуляцию^ воздуха обеспечивают, например, с помощью вентиляторов. Иначе теплообмен между телом космонавта и воздухом в кабине, а также между некоторыми приборами и воздухом происходил бы только за счет теплопроводности, что могло бы привести к перегреву тела космонавта (и приборов), так как теплопроводность воздуха очень мала.
Кроме перечисленных видов теплообмена, происходящих внутри веществ, существует еще один очень важный вид передачи внутренней энергии — процесс теплообмена с помощью излучения (иногда его называют лучистым теплообменом), Этот вид теплообмена осуществляется с помощью электромагнитных волн и не нуждается в каких-либо иных посредниках.- Электромагнитные волны беспрепятственно распространяются в вакууме, а любые вещества, находящиеся между телами, которые участвуют в лучистом теплообмене, только снижают эффективность этого процесса, поглощая часть энергии.
Лучистый теплообмен является универсальным видом теплообмена, происходящим, как и все другие виды теплообмена, при наличии разности температур. Он может
происходить между любыми телами и внутри каждого из них. Помимо громадной роли в космических масштабах, он имеет важное значение в микромире.
К этому следует добавить, что каждое тело при любой температуре находится в лучистом теплообмене с другими телами, одновременно излучая и поглощая электромагнитные волны. Для данного тела при заданной температуре отношение энергии, переданной другим телам, к энергии, поглощенной самим телом, оказывается величиной постоянной, т. е. между испусканием и поглощением устанавливается динамическое равновесие.
ПРОЦЕСС ТЕПЛООБМЕНА, НЕ СОПРОВОЖДАЮЩИЙСЯИЗМЕНЕНИЕМ АГРЕГАТНОГО СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА
Поведение твердых тел и жидкостейпри изменении температуры
Вещества в твердом и жидком состояниях при изменении температуры изменяют свои линейные размеры и объем. Для оценки этих изменений вводят коэффициент линейного расширения (а)
где /0 и Z — какой-то линейный размер тела при температурах 10 и t соответственно, и коэффициент объемного расширения (Р)
где Vo и V — объемы вещества при температурах t0 и t. При определении коэффициентов, а и р по этим формулам принято полагать, что /о=О °C. Вводя обозначения А/ и А V для, изменений линейного размера и объема тела, а М — для интервала, изменения его температуры, формулы (14.1) и (14.2) можно переписать в ином виде:
,/0 А/ ’
Р-1337-<14-«
Коэффициент линейного расширения — это физическая величина, определяемая средним относительным измене- 256
нием линейного размера тела при изменении его температуры на один градус в определенном интервале температур (ДО- Аналогично истолковывается и физический смысл коэффициента объемного расширения. Размерность коэффициентов аир — град-1, или К-1.
Определенные для различных веществ опытным путем коэффициенты линейного и объемного расширения позволяют находить линейный размер I или объем V тела при любой температуре I, если известны линейный размер /0 или объем К при температуре t0, от которой отсчитывается интервал изменения температуры тела:
/=/„(!+« ЛО, (14.5)
У=Уо(1+рДО. (14.6)
Следует помнить, что для одного и того же вещества значения коэффициентов аир зависят от интервалов температур, в которых они определяются по формулам (14.1) и (14.2) или (14.3) и (14.4). При использовании таблиц коэффициентов термического расширения нужно обращать внимание на интервал температур, для которого эти величины справедливы. Иногда в таблицах явно указывается не интервал температур, а одно значение температуры, вблизи которого справедливы те или иные коэффициенты.
Поскольку при изменении температуры вещества в твердом или жидком состоянии его объем изменяется при неизменной массе, плотность вещества при этом также изме* няется:
P-1W <>4.7)
Здесь р0 — плотность вещества при температуре, с которой начат отсчет интервала температур Л/, ар — плотность при конечной температуре. Исключение из этой закономерности представляет вода.
К сожалению, часто причиной теплового расширения веществ в твердом и жидком состояниях считают возрастание амплитуд колебаний частиц вещества с ростом температуры. Между тем ясно, что какое бы то ни было возрастание амплитуд колебаний не могло бы привести к увеличению средних расстояний между частицами и к увеличению размеров и объема вещества. Дело тут в другом. Тепловое расширение в конечном счете связано с различной зависимостью от расстояний сил притяжения и отталкивания частиц вещества в твердом и жидком состояниях. Из-за 9 Ю. А. Селезнев 257
этого колебания частиц около положений устойчивого равновесия имеют несимметричный характер. С возрастанием температуры несимметричность колебаний становится все более ярко выраженной (сравните смещения частицы С2 на рис. 7.3 при значениях энергии FM3 и WM4)> что и приводит к увеличению средних расстояний между частицами ^вещества (на рис. 7.3 Го>го).
Пусть рис. 7.3 напомнит читателям также о том, что средняя суммарная энергия частиц вещества, находящегося в твердом или жидком состоянии, считается отрицательной. С ростом температуры возрастают не только средние скорости колебательного движения частиц вещества в твердом состоянии и средние скорости поступательного, колебательного и вращательного движений частиц вещества в жидком состоянии, что равносильно увеличению средних кинетических энергий движения частиц. При этом увеличиваются и средние потенциальные энергии взаимодействия его частиц.
Расширяясь при увеличении температуры, вещества в твердом и жидком состояниях совершают работу против внешних сил (например, против сил давления окружающего воздуха, против силы тяжести поршня, которым закрыт цилиндр с жидкостью, и т. д.), но, поскольку расширение бывает незначительным, эту работу часто не принимают в расчет, когда составляют уравнение (13.10) первого начала термодинамики. При этом полагают, что практически вся энергия, подведенная к веществу в процессе теплообмена, идет на увеличение его внутренней энергии.
Для подсчета изменения внутренней энергии вещества, не претерпевающего в процессе теплообмена изменений агрегатного состояния, используют среднюю удельную теплоемкость (сср) и удельную теплоемкость (с). Под средней удельной теплоемкостью понимают физическую величину, определяемую тем количеством теплоты, которое нужно сообщить единице массы данного вещества при увеличении его температуры на один градус в заданном интервале температур Мл
04.8)
Предел этого отношения при бесконечном уменьшении интервала А/ называют удельной теплоемкостью вещества при температуре, с которой начат отсчет интервала 258
температур:температур:с =с =lim ^А/-> О ^^lim ^А/-> О ^^(14.9)(14.9)
температур:
температур:
с =
с =
lim ^
А/-> О ^^
lim ^
А/-> О ^^
(14.9)
(14.9)
При различных температурах одно и то же вещество имеет неодинаковые удельные теплоемкости, но часто в не очень точных практических расчетах этим различием пренебрегают и пользуются табличным значением удельной теплоемкости для всех температур. При проведении точных расчетов с температурными изменениями удельной теплоемкости, конечно, нужно считаться.
До введения СИ удельная теплоемкость веществ измерялась в кал/(г*град) или в ккал/(кг-град). Эти единицы не принадлежали ни к одной из известных систем единиц. В СИ для измерения количества теплоты установлена такая же единица, как для работы и энергии,— джоуль. Таким образом, в соответствии с формулами (14.8) или (14.9) удельная теплоемкость в этой системе измеряется в Дж/(кг-К).
Задача. На сколько отстанут за сутки стенные часы, отрегулированные при температуре ^=18,0 °C, если их перенести в помещение, температура воздуха в котором /2=24,0 °C? На сколько при этом изменится внутренняя энергия маятника? Маятник часов — цилиндрический, изготовлен из лату-ни, при температуре /х имеет длину /1=0,37 м и диаметр D=l,0 см Принять также, что при температуре tY период колебав ний маятника Тъ определенный с точностью, превышающей точность нашего дальнейшего расчета, равен одной секунде.
В этой задаче мы имеем дело с физическим маятником, длина которого увеличивается при повышении температуры Для маятника в форме стержня, подвешенного за один конец, приведенная длина составляет две трети всей длины стержня. Этот расчет выходит за рамки элементарного курса, но для нас будет вполне достаточно воспользоваться тем обстоятельством, что период колебаний рассматриваемого маятника пропорционален корню квадратному из его длины.
Т=вУ"Г, (а) где В=2л/2/(3g).
Обозначив длину стержня при температуре /2 через Z2, а период колебаний — через Т2, применим зависимость (а) для двух рассматриваемых случаев:
т1=в Vk,(б)
т4=в ут;.(в)
На основании (14.5) имеем
Z1=Z0(l+a Д4),/2=/0(1+« А«,(г)
где /0 — длина стержня при температуре /о=О °C.
9*,
Почленно разделив (в) на (б), найдем связь между периодами колебаний маятника в двух случаях: TJT^Vtik» которая с учетом (г) принимает вид
Т^ _ 11 +«А^2/п\
V l+ад//w
Взяв из таблицы значение коэффициента линейного расширения латуни а—1,89-10“5 K^S можно подсчитать значение корня в выражении (д)*
V 1+аА77„+ 1,89-10“§ (24,0-0) ^
V 1+аД^""К 1+ 1,89-10“* (18,0~0) ~ ^О0055^
В связи с этим появляется возможность более определенно высказаться о точности, с которой должен быть измерен период 1\. Ошибка этого измерения не должна превышать нескольких микросекунд, так как в противном случае не удастся обнаружить изменения хода часов при повышении температуры маятника. Если это условие выполнено, тоТ2= = 1,000055 с, т. е. при температуре /2 за каждую секунду часы будут отставать на 5,5» 10“б с, а за сутки (за 86 400 с) они отстанут на 5,5* 10“бХ Х8,64-Ю4^4,8 с.
^Внутренняя энергия стержня при повышении его температуры от к до к возрастает за счет теплообмена с окружающим воздухом Если пренебречь работой, совершаемой против внешних сил при удлинении Стержня и при увеличении его диаметра, то на основании (13 10) можно записать
ДС/=У,
причем количество теплоты Q, подведенное к стержню, можно легко подсчитать по формуле
Q=cm М,
те с — удельная теплоемкость вещества, из которого изготовлен стержень, Иг — масса стержня, М — интервал изменения температуры стержня (Д/=/2—у.
Для определения массы стержня придется воспользоваться табличным значением плотности латуни* р=8,5-103 кг/м3 Из таблиц найдем и значение удельной теплоемкости латуни. с=385 Дж/(кг-, К).
Поскольку объем стержня равен У=(лЭ2/4)/г (пренебрегаем малым увеличением объема при возрастании температуры), масса стержня будет равна /71= (л/)2^)/^ и
MJ = -4— к рс Д/.
При использовании СИ диаметр стержня D надо выразить в метрах ф=0,010 м). Изменение внутренней энергии MJ будет получено в джоулях:
» кг Дж TZ „м2.м.-5- • К = Дж
м3 кг-К
(напомним, что разности температур, выраженные в градусах Цельсия и в кельвинах, совпадают). Подстановка численных значений дает
Д(/ = У1^^0,37-8,5.108-385 (24,0-18,0) « 550 Дж.
Задача. В сосуд, в котором находится порция жидкости, занимающая при температуре tY объем Уь наливают вторую порцию такой же жидкости, но при более высокой температуре 4*. Объем второй порции жидкости при температуре /2 равен У2. Изменится ли суммарный объем двух порций жидкости после установления в сосуде термодинамического равновесия?
В данном случае имеем дело с адиабатически изолированной системой, состоящей из двух порций жидкости. Работой, совершаемой системой против внешних сил (или внешними силами над системой) при изменении объемов порций жидкости, будем пренебрегать. В этих условиях можно говорить о сохранении суммарной внутренней энергии обеих порций жидкости. Теплообмен приводит к уменьшению внутренней энергии и температуры второй порции жидкости, при этом внутренняя энергия и температура первой порции увеличиваются. Процесс теплообмена прекратится, когда будет достигнуто термодинамическое равновесие, при котором обе порции жидкости примут температуру 0, причем /t<0</2. Ясно, что объем первой порции жидкости при увеличении температуры будет увеличиваться, а объем второй — уменьшаться при уменьшении температуры. Если эти изменения объемов будут неодинаковыми, суммарный объем жидкости изменится.
Обозначим объем первой порции жидкости при температуре 0 через Vv а объем второй порции при этой же температуре — через V^» Будем считать, что рассматриваемая жидкость имеет коэффициент объемного расширения р и удельную теплоемкость с, не изменяющиеся в заданном интервале температур. Для составления уравнения теплового баланса (уравнения закона сохранения суммарной внутренней энергии для двух порций жидкости) зададимся массами тг и т2 порций жидкости, которые, несмотря на теплообмен, конечно, не изменяются. После этого приравняем изменения внутренних энергий порций жидкости;
ст^—6)—cmt(9—t^, или, сокращая на сг
тйуй—^=/ПД0 —/J.
Удобно объемы порций жидкости выразить через неизменяющиеся массы этих порций. Обозначим плотности жидкости при температурах tx, /2 и 0 через pi, р2 и р соответственно» Тогда
Т/ ^£ ^1Т/ ^2w' ^2
PlРР2Р
В соответствии с (14 7) плотности pf, р2 и р данной жидкости можно выразить через вполне определенную ее плотность р0 при температуре О °C:
р1“ 1 + Р(^1-0) * Р2 НР^-О)* Р 1+Р(0-О)'
Подставляя эти выражения в формулы для Vi, V2, Vi и V2, получим
^=■^(1+^1), ^=-£41+00),РоРо
V2=-^(l + ^2), /^(W
РоРо
Найдем увеличение объема первой порции жидкости при увеличении температуры:
Vi-V^^^ + pej-^n + p^) =-2-^(6-/!)]РоРоРо
и уменьшение объема второй порции при уменьшении температуры
уг_у;=^ (1 +р/2)—^ (1 +00) = -^- [т2 (О- 0)].
РоРоРо
Произведения, заключенные в квадратные скобки в двух последних уравнениях, равны между собой в соответствии с уравнением теплового баланса, значит, равны и изменения объемов обеих порций жидкости:
У^-У^ У2-У^или v;+ V2= Vx + У2,
т. е. суммарный объем двух порций жидкости после выравнивания температур останется неизменным
Задача. Подвешенное на нити твердое тело опущено в жидкость. Изменится ли сила натяжения нити, если температура жидкости и находящегося в ней тела увеличится на А/ градусов?
Тело в обоих случаях должно находиться в статическом равновесии. Обозначив силы, действующие на тело со стороны нити в обоих случаях, через Tt и Т2, силу тяжести тела — через Р, выталкивающие силы — через РЛ1 и РЛ2, можем записать условия равновесия тела в двух случаях:
Т1 + Р + РЛ1 = 0,Т2 + Р+РЛ2 = 0.
После проецирования этих уравнений на вертикальную координатную ось неподвижной инерциальной системы отсчета, связанной с той подставкой, к которой крепится нить и на которой находится сосуд с жидкостью, приходим к уравнениям связи модулей сил:
Tt = P Р Ah Т2 = Р FА^1
Ясно, что сила тяжести тела при изменений температуры не изменяется. Силы натяжения нити могут быть неодинаковыми только из-за различия выталкивающих сил. Выталкивающая сила зависит от объема тела УТ1 находящегосяГвнутри жидкости, и от плотности жидкости рж согласно уравнению (10.8). Обе эти величины при изменении температуры изменяются.
Обозначим объем твердого тела при начальной температуре через VT1, после увеличения температуры — через Ут2, а плотность жидкости в этих двух случаях — через рж1 и рж2. Пусть коэффициенты объемного расширения твердого тела и жидкости рт и Рж определены как раз для интересующего нас интервала изменения температуры А^. Тогда
у12=и11(1+р1до, Рж==-г^дГ и
Р А1" Рж1^^т1>
Рдг=рж^тг= 1 +^ м ^я (1 + МО = Рж15^т1 ( Цр^ ) •
Из сравнения выражений для F дх и Рд2 видно, что они отличаются только множителем
1+РжА/ 1
причем его отличие от единицы будет иметь место, только если Рт/Рж* Но что мы можем сказать о значениях рт и рж, если нам не указаны конкретно вещества, участвующие в опыте? Придется провести анализ в общем случае, твердое тело из какого-то вещества погружено в какую- то жидкость.
Обратимся к физическому справочнику и оценим, какие коэффициенты объемного расширения имеют различные вещества в твердом и жидком состояниях. Нас не поставит в затруднение тот факт, что в справочниках отсутствуют таблицы коэффициентов объемного расширения твердых тел, а имеются лишь таблицы коэффициентов их линейного расширения. Для однородного и изотропного твердого тела существует приближенная связь коэффициентов объемного и линейного расширений:х
Рт = 3ат.
Из анализа табличных данных заключаем, что коэффициенты объемного расширения различных твердых тел имеют значения в пределах от 1,5» 10~6 до 210-10“® К-1, а различных жидкостей — в пределах от 0,5-10~4 до 17-10-4 К”1. Из-за «перекрытия» этих пределов однозначного ответа на поставленный в задаче вопрос дать нельзя, не зная, с какими веществами мы имеем дело. Можно только сказать, что сила натяжения нити не изменится, если РТ=РЖ. Если РТ>РЖ, то Рд^>Рдг и T2<Tb т. е. сила натяжения нити уменьшится. Если же будет РТ<РЖ> то сила натяжения увеличится, так как в этом случае при увеличении температуры выталкивающая сила, действующая на тело, будет уменьшаться (РАй<РА1).
Процессы в идеальных газах
Подобно тому как механическое состояние тела или ■системы тел характеризуется некоторыми величинами или параметрами (координатами и скоростями), а также функцией состояния (механической энергией), некоторому термодинамическому состоянию тела или системы соответствуют определенные термодинамические параметры. Для простейших термодинамических систем такими параметрами являются давление (р), объем (V) и температура (Г), а для более сложных систем — и некоторые другие. Функцией термодинамического состояния является внутренняя энергия. Например, термодинамическое состояние какого-то твердого или жидкого вещества может быть задано объемом этого вещества при 0 °C й температурой. При описании термодинамического состояния газообразного вещества этих двух параметров бывает недостаточно и приходится учитывать третий параметр — давление.
В задачах элементарного курса физики подробно рассматриваются равновесные термодинамические состояния, при которых термодинамические параметры во всех частях системы оказываются одинаковыми и без внешних воздействий сохраняются неизменными в течение сколь угодно продолжительных промежутков времени.,Если данная система находится в равновесном состоянии, то в окружающих эту систему телах никаких изменений не происходит, ибо все эти тела также находятся в равновесии с данной системой. Такое состояние системы может быть охарактеризовано набором трех величин (р, У, Т). Если изменяется хотя бы одна из этих величин, то говорят об изменении состояния системы или о термодинамическом процессе изменения состояния системы. Для простоты в элементарном курсе физики рассматриваются только равновесные процессы, т. е. такие, которые представляют последовательность переходов от одного равновесного состояния к другому. Практически к такому процессу можно приблизиться, если проводить процесс очень медленно (чтобы успевало установиться равновесие между телами или частями данной системы и между данной системой и окружающими ее телами).
Равновесные процессы называют еще обратимыми процессами, подчеркивая тот факт, что эти процессы могут идти как в прямом, так и в обратном направлении, причем все те промежуточные равновесные состояния, которые Система проходит в прямом процессе, должны быть ею пройдены и в обратном процессе. Возвращению системы В начальное состояние после прямого и обратного процессов должно соответствовать полное исчезновение каких бы то ни было изменений в состоянии окружающих се тел. *
В реальных условиях мы не встречаемся ни с равновесными состояниями, ни с равновесными или обратимыми процессами, так как за счет различных внешних влияний равновесие не успевает установиться даже в пределах данной системы. Обратный процесс нередко связан с теми или иными изменениями в термодинамическом состоянии окружающих тел, так что промежуточные состояния системы в прямом и обратном процессах не являются тождественными.
Изучая поведение веществ в газообразном состоянии, следует помнить о некоторых особенностях, отличающих это состояние от твердого и жидкого состояний.
Прежде всего, в задачах элементарной физики рассматриваются сильно разреженные газы. В этих условиях отвлекаются от учета потенциальной энергии взаимодействия частиц вещества и ее изменений и полагают, что во внутреннюю энергию вещества вносит вклад только кинетическая энергия движения частиц (считают газы идеальными).
Учитывая, что вещество в газообразном состоянии может значительно расширяться и сжиматься, уже нельзя пренебрегать работой, совершаемой газом против внешних сил, или работой внешних сил, как часто делают при рассмотрении термодинамических процессов, в которых участвуют вещества в твердом или жидком состояниях.
Работа, совершаемая газом против внешних сил в равновесном процессе, определяется произведением давления газа р на изменение его объема AV:
А-р^. (14.10)
Эта связь справедлива в тех случаях, когда при изменении объема газа его давление остается постоянным. Если же в процессе расширения или сжатия газа давление изменяется, то нужно находить элементарные работы, соответствующие столь малым изменениям объема газа A7Z, в пределах которых давление р( может считаться постоянным, а затем все эти работы суммировать:
А=^рДУ£. (14.11)
Работа Лвнешн, совершаемая при изменении объема газа внешними силами, очевидно, может быть определена так: >
Amem„=-pbV=-'2lp£bVi. (14.12) i
Если объем газа увеличивается (АУ>0), то работа, совершаемая газом против внешних сил, положительна (Л>0), а'работа внешних сил отрицательна (Лвнешн<0). При сжатии газа (AV<0) знаки этих работ изменяются на обратные (Л<0 и Лвнешн>0).
Помня о возможности значительных изменений объема газа в термодинамических процессах, следует учитывать, что удельная теплоемкость данного газа (или средняя удельная теплоемкость) зависит не только от интервала изменения температуры газа, но и от условий, при которых происходит это изменение. В согласии с уравнением (13.10) первого начала термодинамики можно сказать, что пути
расходования энергии Q, подведенной к системе в процессе теплообмена, могут быть различными. Если газ в термодинамическом процессе расширяется, то на совершение работы против внешних сил пойдет какая-то часть энергии Q, и только остальная часть Q будет расходоваться на увеличение внутренней энергии при повышении температуры. Если же газ при подведении к нему энергии Q почему-либо не изменяет своего объема (например, объем газа в цилиндре под поршнем искусственно поддерживается постоянным), то все подводимое количество теплоты пойдет на увеличение внутренней энергии при повышении температуры. Таким образом, удельная теплоемкость газа в случае, если ему предоставлена возможность при увеличении температуры расширяться, будет больше, чем при сохранении его объема неизменным. В первом случае придется подводить больше энергии для повышения температуры газа на один градус, чем во втором, ибо часть энергии должна расходоваться на совершение работы против внешних сил. Следовательно, удельная теплоемкость газа зависит от процесса, в котором участвует газ.
Какие же простейшие равновесные процессы изменения состояния газов нам известны? Таких процессов четыре: изотермический, изохорический, изобарический и адиабатический. Рассмотрим эти процессы, считая во всех случаях, что мы имеем дело с идеальным газом, имеющим постоянное значение массы.
Изотермический процесс. Газ совершает изотермический процесс в том случае, если его температура не изменяется, Связь между давлением газа и его объемом устанавливается тогда законом Бойля — Мариотта*.
pV=const, (14.13)
Q=A,Q=A,произведение давления газа на его объем остается величиной постоянной для любого состояния газа в изотермическом процессе. Поскольку потенциальная энергия взаимодействия частиц идеального газа равна нулю, изменение объема газа при изотермическом процессе не сопровождается изменением внутренней энергии. Пропорциональность внутренней энергии идеального газа его абсолютной температуре приводит к тому, что при изотермическом процессе внутренняя -энергия газа не изменяется (А[/=0). В согласии с первым началом термодинамики для изотермического процесса имеем
Q=A,
Q=A,
(14.14)
откуда следует, что энергия, подводимая к газу в изотермическом процессе, расходуется на совершение работы против внешних сил, или, иными словами, при сообщении некоторого количества теплоты газ будет изотермически расширяться. При изотермическом сжатии газа какими-то внешними силами (Лвнешн>0) он будет отдавать энергию окружающим телам (стенкам сосуда, поршню и т. д.) в процессе теплообмена (Q<0).
Поскольку при изотермическом процессе энергия к газу может подводиться (Q>0), но температура газа не изменяется (АТ^О), на основании (14 8) и (14.9) приходим к выводу, что удельная теплоемкость газа в этом процессе бесконечно велика (cr=oo).
С молекулярно-кинетической точки зрения при изотермическом сжатии газа его частицам для движения предоставляется меньший объем. Средняя скорость движения
частиц остается неизменной, но частицы чаще соударяются между собой и со стенками сосуда. Это и проявляется как увеличение давления газа. При изотермическом расширении идеального газа средняя скорость хаотического движения его частиц снова не изменяется, а уменьшение давления связано с уменьшением числа столкновений частиц при увеличении объема.
Большую помощь при анализе равновесных газовых процессов оказывают графики зависимости величин, определяющих состояние газа. На рис. 14.1 представлены графики изотермических процессов для некоторого газа (с постоянной массой) в различных осях координат, причем ТХ<Г^<Г^
* Задача. Мы можем приблизительно определить значение атмосферного давления следующим образом. Стеклянную трубку длиной I погружают в вертикальном положении в жидкость с известной плотностью р (рис. 14.2). Пусть нижний конец трубки при этом находится на глубине Н род свободной поверхностью жидкости. После этого, закрыв верхний конец'трубки2 ее вынимают из жидкости. Часть жидкости при этом выте-
кает, и в трубке остается столб жидкости высотой 1г. Как по этим данным определить значение атмосферного давления рат^ ,.
Обозначим площадь поперечного сечения трубки через S и рассмотрим два состояния воздуха в трубке.
Состояние I (рис. 14.2, а). Мы закрыли верхний конец трубки, но еще нс вынимаем се из жидкости. Воздух в этом состоянии будет занимать объем
у^зу—щ
и будет иметь давление рь равное атмосферному давлению, р1==рат. Состояние II (рис. 14.2, 6). Трубка вынута из жидкости. Оставшийся в ней воздух расширился и занял объем
v2=sy-hy _
Давление его при этом уменьшилось и стало равным р2. Ясно, что масса воздуха в обоих состояниях остается неизменной.
Если трубку вынимать медленно или если, вынув ее из жидкости, подождать некоторое время до установления теплового равновесия между
Рис. 14.2.воздухом в трубке и наружным возду
хом, то можно считать процесс расширения воздуха в трубке изотермическим. Тогда на основании закона Ьойля — Мариотта можно написать
Pi^i = p2K2, или paTS (Z —Я) = p2S ^1—К\ откуда
- Рат — Рг pj •
По этому выражению можно найти атмосферное давление раг, если удаст* сЯ выразить давление р2 через заданные величины.
Рассмотрим равновесие столба жидкости во втором случае, пренебрегая силами взаимодействия жидкости со стенками трубки. Давление на нижнее основание столба жидкости снизу равно атмосферному# давление на верхнее основание равно давлению р2х установившемуся в трубке. Равновесие столба возможно, если
Pa + pg^PaT-
Отсюда и появляется возможность выразить неизвестное давление р^ через заданные (р2 g, А) и искомую (р^) величины:
Р2 = рат — Р^-
Подставляя это выражение в уравнение для рат и произведя простые преобразования, получаем
, l—h
Дробь в правой части этой формулы безразмерна, а размерности величины рат и произведения pg/i совпадают в любой принятой для расчета системе единиц.
Изохорический процесс. В этом процессе объем определенной порции газа остается неизменным (V=const). Связь между давлением и температурой устанавливается законом Шарля1.
д = р0 (!+«/),(14.15)
где р0 — давление данной порции газа при температуре О °C, р— давление данного газа при температуре /°C, ар— термический коэффициент давления (равный коэффициенту объемного расширения) газа. Поскольку для всех газов, которые можно считать идеальными (можно пренебречь размерами их атомов или молекул и силами взаимодействия между ними), ар= 1/273,15 град-1, уравнение (14.15) записывают иначе:
<14Л6>
где Т — температура, при которой газ имеет давление р, измеренная по шкале Кельвина. Такая форма записи уравнения закона Шарля очень удобна для сравнения любых состояний газа при изохорическом процессе и указывает на пропорциональность давления газа его абсолютной температуре (для данной порции определенного газа дробь Ро/273,15 будет являться постоянной величиной). Если при температуре 7\ газ, совершающий изохорический процесс, имеет давление ръ а при температуре Т^ — давление р2, то на основании (14.16) можно написать
^1= 273,15 И Р» ~ 273,15 *(14.17)
откуда после почленного деления получаем
Т=^*(14Л8>
Pi 1 г
Графики изохорического процесса в координатных осях р, V и V, Т не требуют никаких пояснений. График в осях р, Т строится по уравнению (14.16) и представляет собою прямую линию, проходящую через начало координат (р= =const.7’), причем дробь р0/273,15 вместе с известными масштабами рр и рг позволяет определить тангенс угла наклона графика изохорического процесса к оси температур (тангенс этого угла равен 2^15 ’ "^") • ^а рис. 14.3 в различных осях координат изображены графики изохо-
(14.19)(14.19)
(14.19)
(14.19)
рических процессов для газа, имеющего постоянную массу и различные объемы (Vi<V2<Vз)•
Из-за неизменности объема при изохорическом процессе (V=const, или АУ—0) газ не совершает работы против внешних сил (Л=0). К нему может подводиться энергия извне в результате теплообмена, и это приведет к увеличению его внутренней энергии (Q=MT), к увеличению температуры газа. Давление при этом будет возрастать из-за увеличения средней скорости движения частиц газа. При уменьшении температуры газа в изохорическом процессе часть его внутренней энергии передается окружающим телам (—MJ=—Q). При этом уменьшается средняя скорость движения частиц газа, уменьшается число их соударений
Р
Рис. 14.3.
между собой и со стенками сосуда, а значит, уменьшается и давление газа.
Удельная теплоемкость газа в изохорическом процессе (cv) имеет какое-то конечное значение. Если записать уравнение первого начала термодинамики для единицы массы газа при изохорическом процессе
Q=A^
и учесть, что для единицы массы газа Q=cyAZ или Q=
—Су^Т, то
MJ-cvNl\
откуда видно, что изменение внутренней энергии находится в очень простой связи с изменением температуры идеального газа
Поскольку при рассмотрении идеальных газов мы не учитываем изменение потенциальной энергии взаимодействия частиц газа, формула (14.19) оказывается пригодной для подсчета изменения внутренней энергии единицы массы идеального газа при любых процессах, кроме изотермического.
Изобарический процесс. Если газ изменяет свое состояние при постоянном давлении (p=const), говорят об изобарическом процессе, для которого связь объема и температуры газа устанавливается законом Гей-Люссак^-.
7=Уе(1+аУ0, (14.20)
где И» и V — объемы данной по массе порции газа при температурах 0°Си /°C, ау — термический коэффициент объемного расширения газа. Снова для всех идеальных газов оказывается, что ау= 1/273,15 град-1. Рассуждая точно так
^1^1Рис 14.4.Рис 14.4.Рг PtРг Pt
^1
^1
Рис 14.4.
Рис 14.4.
Рг Pt
Рг Pt
же, как и при анализе уравнения закона Шарля, можем получить иную форму записи закона Гей-Люссака:
1'=2&’<14-21>
и уравнение связи между, объемами и абсолютными, температурами для двух состояний газа в изобарическом процессе:
V2 Тг 1V2 Тг 1(14.22)
V2 Тг 1
V2 Тг 1
Графики изобарического процесса в координатных осях р, V и р, Т представляют прямые линии (p=const), а в осях V, Т изобара строится по уравнению (14.21) (7= =const-T), причем тангенс угла ее наклона к оси температур равен 27з® 5 • -^ • На рис. 14.4 изображены графики изобарического процесса для случаев Pi<p2<Ps-
Подводимая к газу в изобарическом процессе за счет теплообмена энергия будет расходоваться и на увеличение его внутренней энергии (рост температуры, увеличение средней скорости ево атомов или молекул), и на совершение работы против внешних сил. Возрастание средней скорости частиц газа не приводит в этом случае к увеличении)
давления, так как возрастает и объем пространства, предоставленного для их движения. Внутренняя энергия при изобарическом процессе может передаваться от газа к другим телам, но только при условии, что какие-то внешние силы при этом будут совершать работу против сил давления газа, уменьшая объем газа.
Если обозначить удельную теплоемкость газа при изобарическом процессе через ср, то количество теплоты, подводимое к единице массы газа, можно будет представить как Q~cpM\ Тогда уравнение (13.10) первого начала термодинамики для единицы массы газа с учетом (14.19) и (14.10) может быть записано в виде
cp\T=cv^T-Vp AV,откуда легко получить связь между удельными теплоем-костями газа в изобарическом и изохорическом процессах:
= +(14.23)
Из этого соотношения видно, что удельная теплоемкость газа в изобарическом процессе больше удельной теплоемкости того же газа в изохорическом процессе. Это различие определяется работой, совершаемой единицей массы газа против внешних сил при изменении температуры газа на один градус.
Адиабатический процесс. Четвертым простейшим процессом является адиабатический процесс, при котором отсутствует всякий теплообмен данного газа с окружающими теламих(5=0). Чтобы не нарушить адиабатичности процесса, даже очень малые количества теплоты не должны сообщаться газу или от газа отводиться. Заметим также, что если на каком-то этапе процесса газу сообщается некоторое количество теплоты, а на другом этапе такое же количество теплоты отбирается, так что суммарное количество теплоты оказывается. равным нулю, процесс не будет адиабатическим.
Все три параметра газа (р, V и Т) при переходе из одного состояния в другое при адиабатическом процессе изменяются. Первое начало термодинамики для этого процесса дает
0 = At/ + А,
откуда
(14.24)(14.24)Л=-А(7,
(14.24)
(14.24)
(14.25)(14.25)или
(14.25)
(14.25)
^внешя
т. е. газ может совершать работу против внешних сил за счет убыли своей внутренней энергии, а возрастание внутренней энергии газа может происходить только за счет работы внешних сил при адиабатическом сжатии газа.
Если газ сжимается внешними силами, то возрастание его внутренней энергии проявляется в возрастании температуры и увеличении средней скорости частиц газа, но поскольку при этом уменьшается объем газа, его давление резко возрастает (действуют два фактора увеличения числа соударений частиц). При адиабатическом расширении работа совершается газом против внешних сил за счет уменьшения внутренней энергии, при этом температура и давление газа резко уменьшаются.
г Из-за полного отсутствиятеплообмена удельная теплоемкость газа в адиабатическом процессе равна нулю.
В реальных условиях процессы, близкие к адиабатическому, можно осуществить, если изменять состояние газа в сосуде с теплоизолированными стенками или проводить расширение или сжатие очейь быстро, чтобы теплообмен с окружающими телами не успел произойти. Истечение газа в атмосферу из сосуда с высоким давлением или расширение пороховых газов в канале- орудийного или ружейного ствола могут служить примерами адиабатического расширения.
Интересен случай адиабатического расширения идеального газа в вакуум. При этом отсутствует теплообмен (Q= "0), не изменяется температура газа и не совершается работа против внешних сил (Д=0), т. е. в согласии с первым началом термодинамики не изменяется внутренняя энергия газа (Д(7=0). Частицы газа продолжают двигаться с неизменной средней скоростью, но за счет увеличения объема, предоставленного им для движения, давление газа уменьшается. Подобные опыты еще раз убеждают в том, что с изменением потенциальной энергии взаимодействия частиц идеального газа считаться не стоит и что внутренняя энергия идеального газа (только кинетическая энергия движения его частиц) не зависит от объема, занимаемого газом.
С реальными газами, во внутреннюю энергию которых вносит вклад и потенциальная энергия взаимодействия частиц, такие опыты в общем случае уже не удаются. При адиабатическом расширении в вакуум реального газа его
температура изменяется, что как раз и говорит о завися* мости внутренней энергии реального газа от занимаемого объема, т. е. от средних расстояний между частицами газа. Изменение же расстояний может сказаться на изменении потенциальной энергии лишь взаимодействующих частиц.
Уравнение состояния идеального газа. При анализе поведения газа в случаях, когда изменяются все его термодинамические параметры (р, V и Т), неоценимую^ услугу оказывает так называемое уравнение состояния идеального газа*.
^ = const. (14.26)
Это уравнение справедливо для любого равновесного состояния данного идеального газа (масса и химический состав которого неизменны) и может быть получено на основании законов Бойля — Мариотта и Гей-Люссака или Бойля — Мариотта и Шарля.
Очень важно помнить, что константа, стоящая в правой части уравнения (14.26), зависит от массы газа и его химического состава. Это иногда приводит к затруднениям, так как при использовании уравнения на практике приходится отдельно определять все три термодинамических параметра газа данного химического состава и с задаЙной массой для одного из состояний.
Если вспомнить, что моли всех газов при нормальных условиях (То—273,15 К и р0= 1,013- 10б Па) занимают одинаковые объемы Vo=22,4-10“3 м3/моль, то можно получить уравнение состояния идеального газа в более универсальной форме. Подставляя р0, 70 и То в уравнение (14.26), мы получаем универсальную константу для любых газов — так называемую универсальную газовую постоянную R, которая в СИ равна
р _ Ро^о _ 1,013- 10б Па-22,4-10~3 м3/моль ^ Q Q1 Дж
273,15 К моль.к •
Для произвольного состояния моля любого идеального газа уравнение теперь может быть записано в виде
pV^RT, (14.27)
где Уо — объем моля газа (или так называемый молярный объем) при какой-то произвольной температуре Т и произвольном давлении р, а не при нормальных условиях. Если же в нашем распоряжении имеется т кг газа, молярная 274
масса которого равна М кг/моль, то дробь т/М будет определять число молей этого газа. Умножая правую и левую части уравнения (14.27) на число молей, получим
Произведение молярного объема газа Уд на число молей т/М есть не что иное, как общий объем V газа (или объем того замкнутого сосуда^ в котором находится газ), т. е.
pV = ^RT. (14.28)
Это уравнение носит название уравнения Клапейрона — Менделеева. Оно справедливо для произвольного состояния любого идеального газа. Уравнения законов Бойля — Мариотта, Шарля и Гей-Люссака могут быть получены как следствия из него для частных случаев T=const, V=const и p=const при m=const и A4=const.
Уравнение Клапейрона — Менделеева особенно упрощает расчеты в тех случаях, когда в результате какого-то произвольного термодинамического процесса изменяется масса рассматриваемого газа или его химический состав.
Из уравнения состояния идеального газа можно получить очень важные выводы. Для простоты воспользуемся уравнением состояния для одного моля идеального газа (14.27). Выразим из этого уравнения давление:
и, вспоминая, что моли любых веществ содержат количество частиц, равное числу Авогадро, помножим числитель и знаменатель правой части полученного выражения на число Авогадро Мд:
Легко убедиться, что первый сомножитель в правой части представляет собой ту самую универсальную константу, которая ранее уже содержалась в выражении (12.3) и которая носит название постоянной Больцмана:
k=RlNA.
Второй сомножитель, равный отношению числа частиц в моле идеального газа к молярному объему, представляет
собой концентрацию частиц газа (число частиц, содержа* щихся в единице объема газа). Если для концентрации частиц ввести обозначение п, то получаем выражение
р-кпТ, (14.29)
свидетельствующее о том, что давление идеального газа пропорционально концентрации его частиц и абсолютной температуре. Эту связь мы фактически уже использовали, анализируя причины изменения давления газа в различных термодинамических процессах.
На основании (14.29) и (12.3) можно показать, что давление идеального газа пропорционально средней кинетической энергии поступательного движения частиц, из которых состоит газ: '
p = (14.30)
Соотношение (14.29) справедливо для любых идеальных газов и не„зависит от того, из одинаковых или из разных частиц состоит газ, т. е. оно справедливо и для смесей газов. С помощью этого соотношения можно пояснить смысл закона Дальтона, утверждающего, что давление смеси газов, не вступающих в химические реакции друг с другом, равно сумме парциальных давлений ее компонент, т. е. сумме тех давлений, которые устанавливались бы в данном сосуде при его заполнении каждой компонентой смеси в отдельности. Если в сосуд, содержащий газ при каком-то давлении, мы будем добавлять новые порции такого же газа или любых других газов при неизменной температуре, то суммарное давление будет возрастать и всегда будет пропорционально суммарной концентрации частиц смеси. Ведь чем больше частиц будет содержаться в данном сосуде, тем более частыми будут их соударения между собой и со стенками сосуда, что с точки зрения молекулярно-кинетической теории и будет соответствовать повышению давления газа или смеси газов в сосуде. Поскольку расстояния между атомами или молекулами вещества в газообразном состоянии велики по сравнению с собственными размерами частиц, эти зазоры, или пустоты, могут заполняться другими атомами или молекулами.
Для смесей газов, с которыми на практике приходится иметь дело очень часто (воздух, рабочие смеси в камерах сгорания различных двигателей, смеси отработавших га276
зов и т. д.), применимо и уравнение Клапейрона — Менделеева. Под величиной М в этих случаях следует понимать среднюю молярную массу смеси.
Задача. В комнате объемом V— 50 м3 при давлении р=0,99- 10б Па температура воздуха повысилась от 10 °C до 20 °C. Определить изменение массы воздуха в комнате.
Обозначив начальную и конечную абсолютные температуры воздуха через Тх и Т2, а массы воздуха в этих двух состояниях — через mt и т2, запишем уравнение Клапейрона — Менделеева для двух случаев, учитывая, что, судя по условию, давление воздуха р в процессе повышения температуры не изменяется:
PV = TRT^ pV = ^^-
Из этих уравнений найдем выражения для масс воздуха:
_pVM _pVM
Интересующее нас изменение массы воздуха Дт=/ц2—mt теперь может быть представлено как
- А pVM pVM . pVM f 11 \
Л/”- RT^ RTt ’ или R \Т4
Легко проверить, лчто в СИ ответ будет получен в килограммах!
(Н/м2) (м3) (кг/моль) / 1 \[Дж/(моль-К)]\ "К/ КГ*
Подставляя значения заданных и известных величин в этой системе (7^=283 К/ 7*2=293 К, jR=8,31 Дж/(моль-К), р=0,99- 10б Па, средняя молярная масса воздуха М=29-10~3 кг/моль), имеем
А 0,99-105-50-29-IO-3 / 11 А
Лт— 8,31\293 283 у ~ 2’2 КГ1
Знак минус означает, что /7г2<т!, т. е. при повышении температуры часть воздуха вытечет из комнаты.
Задача. На дне цилиндра, заполненного воздухом, лежит полый металлический шарик радиуса г= 12 мм Масса шарика тш=5,0 г. До какого давления нужно сжать воздух в цилиндре, чтобы шарик поднялся вверх, всплыв в цилиндре? Опыт проводится при температуре Т= =290 К- Считать, что воздух даже при больших давлениях ведет себя как идеальный газ и подчиняется уравнению Клапейрона — Менделеева.
Шарик, погруженный в воздух, может всплыть, если выталкивающая сила, действующая на шарик со стороны воздуха, будет больше силы тяжести шарика. Обозначив объем шарика через Кш, а плотность воздуха — через рв, запишем условие всплывания шарика:
Рв^ш > ^ш»
которое с учетом того, что Рш=тш^, можно упростить:
Рв^ш > ^ш^> или рвУш > тш.(а)
277
Так как радиус шарика задан, то Уш=4/Зяг3. Плотность воздуха можно выразить из уравнения Клапейрона — Менделеева.
трМрв~V—"RT •
Подставляя Уш и рв в неравенство (а) и разрешая его относительно давления рг которое должен иметь воздух в цилиндре, имеем
Р >Р >SmmRT^пг3М ‘SmmRT^пг3М ‘(б)(б)
Р >
Р >
SmmRT^пг3М ‘
SmmRT^пг3М ‘
(б)
(б)
В СИ масса шарика должна быть измерена в килограммах (/^ш^ =5,0-10~3 кг), а его радиус — в метрах (г=12* 10~3 м); тогда
(кг) [Дж/(моль• К)] (К) __Дж_ Н __(м3) (кг/моль) м3 м2 ” а*
Произведя вычисления, получаем
3-5,0.Ю-з.8,31.290_ с п 1П7
4-3,14(12-10-3)3-29-IO*3 ~ ’ 1’
Поскольку нормальное атмосферное давление равно 1,013* 105 Па, то ясно, что для всплывания шарика давление воздуха в цилиндре должно быть примерно в 560 раз больше атмосферного.
Графический анализ произвольных равновесных процессов. На рис. 14.5 представлены графики трех произвольных процессов в идеальном газе определенного химического состава (Al=const). Масса газа считается заданной и
Рис. 14 5Рис. 14 5
Рис. 14 5
Рис. 14 5
неизменной в течение времени протекания этих процессов (m=const). Сравним температуры газа в состояниях / и 2, давления — в состояниях 3 и 4, объемы — в состояниях 5 и 6.
Заметим, что во всех трех случаях нужно сравнить характеристики состояния газа, которые в явном виде не отражены на графиках. Подобные задачи допускают два варианта решения: с использованием уравнения Клапейрона- 278
Менделеева и с использованием графиков простейших газовых процессов (см. рис. 14.1, 14.3 и 14.4).
Напишем уравнение (14.28) для состояний газа 1 и 2. Поскольку /тг=const, Al=const и 7?=const, выражение (m/M^R в правой части уравнения будет представлять постоянную величину, которую для упрощения записи мы обозначим одной буквой Сг (Ct=const):
рУ1—СгТ1> p^V^—CiT^»
Из этих двух уравнений получаем
Л рУх т. руй *
Величины, стоящие в правой части последнего уравнения, определяются по заданному графику, построенному в определенных масштабах. Таким образом, ответ в общем случае можно дать такой:
Т\=Т^ если piV^pA^Т^Т^ если piVi>p2V2;Т\<7\, если рУ^рУ^.
Заметим кстати, что произведениям руг и рУ2 на рис. 14.5, а соответствуют площади прямоугольников А ICO и B2D0.
Эту же задачу можно решить иначе, проводя через точку /, соответствующую начальному состоянию газа, изотерму 7\=const. Линии постоянной температуры в координатных осях р, V изображаются гиперболами.
Снова в общем случае возможны три варианта.
Изотерма, соответствующая температуре Т\ *), проходит через точку 2 (изотерма / на рис. 14.5, aY Тогда T^TV
Если изотерма, проходящая через точку /, будет проходить ниже точки 2, то 7n2>7’i (изотерма //); если же она будет проходить выше точки 2, то Т^СЛ (изотерма ///).
Уравнения Клапейрона — Менделеева для состояний 3 и 4
PaVa — C^Tg, РаУ ^"С^Т позволяют получить связь между интересующими давлениями:
Рз _ ^3 . У4Р4’
*) Следует иметь в виду, что при выбранных масштабах определенному состоянию / рассматриваемого газа на графике может, конечно, соответствовать только какая-то одна изотерма (или /, или //, или ///).
причем величины, стоящие в правой части, измеряются в заданных масштабах по рис. 14.5, б.
Проведенные через точки 3 и 4 изобары (IV и У) позволяют заключить, что для изображенного на рис. 14.5, б процесса будет рз<р4> так как чем больше угол наклона изобары к оси температур в координатных осях V, Т, тем меньшему давлению она соответствует (см. рис. 14.4).
Уравнения Клапейрона — Менделеева для состояний 5 и 6
pbV^ — CaTi^ p^V^ — C^T^
Приводят К СВЯЗИ объемов V5 и Уб!
Уб е' У 6^6 Рь *
Изохоры VI и VII свидетельствуют о том, что для изображенного йа рис. 14.5, в процесса выполняется неравенство VB<V6, так как большему углу наклона изохоры к оси температур в координатных осях р> Т соответствует меньший объем (см. рис. 14.3).
§ 15. ТЕПЛООБМЕН И ИЗМЕНЕНИЕ ВНУТРЕННЕЙ ЭНЕРГИИЙРИ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЯХ ВЕЩЕСТВА
Какие компоненты внутренней энергииизменяются при фазовых превращениях?
Рассмотренные в предыдущем параграфе изменения внутренней энергии при изменении температуры веществ в твердом и жидком состояниях были связаны с одновременными изменениями средних кинетических и потенциальных энергий частиц вещества. Но эти изменения были недостаточны для того, чтобы вещество перешло из одного агрегатного состояния в другое.
Несмотря на значительные изменения объемов вещества в газообразном состоянии (кроме изохорического процесса), при подводе к нему энергии извне или отводе энергии от него к окружающим телам изменением потенциальной энергии взаимодействия его частиц мы пренебрегали из-за ничтожно малых сил взаимодействия между ними.
Переходы вещества из одного агрегатного состояния в другое замечательны тем, что в процессе таких переходов не изменяется температура вещества, если давление, при 280
Котором они происходят, остается постоянным. Если при этом механическая энергия рассматриваемого вещества в выбранной инерциальной системе отсчета не изменяется, то первое начало термодинамики снова применимо в форуме (13.9), т. е. внутренняя энергия может изменяться за счет работы внешних сил и за счет теплообмена с окружающими телами.
То, что потенциальная энергия частиц вещества при фазовом превращении должна изменяться, не вызывает никаких сомнений, так как взаимодействующие частицы вещества в результате фазового перехода оказываются на иных средних расстояниях друг от друга. В ходе изменения агрегатного состояния вещества совершается работа по раздвиганию или сближению частиц, которая и определяет изменение средних потенциальных энергий их взаимодействия.
А как ведет себя кинетическая энергия частиц вещества при фазовых превращениях? Помня о том, что средняя кинетическая энергия частиц пропорциональна абсолютной температуре вещества, а также о том, что изучаемые в элементарном курсе физики изменения агрегатных состояний происходят при постоянной температуре, часто говорят о неизменности средней кинетической энергии при этих превращениях. Такое утверждение в общем случае оказывается неверным.
В свое время, когда была приведена формула (12.3), мы подчеркнули, что числовой коэффициент в этой формуле вообще-то зависит от структуры частиц газа (состоит ли газ из атомов или из молекул, и если из молекул, то из каких — двухатомных или многоатомных). Аналогичная зависимость существует и для веществ, находящихся не в газообразном состоянии: коэффициент пропорциональности между средней кинетической энергией и абсолютной температурой зависит от строения частиц вещества, а значит, и от того, какие виды движений эти частицы могут совершать (только поступательное или еще вращательное и колебательное). Таким образом, если структура частиц вещества при фазовом переходе изменяется, их средняя суммарная кинетическая энергия может измениться и при постоянной температуре. С изменением структуры частиц при фазовых переходах мы встречаемся гораздо чаще, чем с неизменностью этой структуры (например, натрий в твердом и жидком состояниях имеет ионно-электронную структуру, в то время как пары натрия состоят из нейтральных атомов натрия и молекул Na2).
Плавление и кристаллизация
Переход вещества из твердого состояния в жидкое в обычных условиях происходит при подводе к веществу энергии извне либо за счет теплообмена, либо в результате совершения'работы внешними силами. Например, кусок льда может расплавиться при подводе к нему некоторого количества теплоты от тела с более высокой температурой или за счет работы сил трения при перемещении по поверхности этого куска какого-то тела, имеющего такую же температуру. * .
Работа внешних или внутренних сил, связанная с изменением объема плавящегося или кристаллизующегося вещества, составляет малую долю энергии, необходимой для изменения связей между частицами вещества в твердом и жидком состояниях.
Постоянная при определенном давлении температура, при которой происходит процесс плавления или кристаллизации, называется температурой плавления (4Л или Тпл). Количество теплоты, которое необходимо подвести к единице массы вещества при температуре плавления, чтобы целиком расплавить его, называется удельной теплотой плавления (А,). Если для расплавления т единиц массы вещества в процессе теплообмена расходуется количество теплоты Q, то
1 = -^-. (15.1) т х '
Из этой формулы видно, что удельная теплота плавления в системе СИ измеряется в Дж/кг. Внесистемные единицы, которые иногда еще используются для измерения этой величины: 1 кал/г и 1 ккал/кг.
Если пренебречь работой, связанной с изменением объема вещества при плавлении и кристаллизации, та можно сказать, что внутренняя энергия единицы массы вещества в жидком состоянии примерно на А, единиц больше, чем в твердом, а при кристаллизации единицы массы вещества в процессе теплообмена выделяется энергия, численно равная А,.
Чтобы использовать выделяющуюся при кристаллизации данного вещества внутреннюю энергию для совершения работы (для изменения механической энергии тел системы), нужны какие-то дополнительные процессы. Так, за счет кристаллизации расплавленного металла можно повысить 282
температуру воды в котле и получить пар. Но чтобы пар смог совершить работу против внешних сил, ему нужно предоставить возможность расширяться, воздействуя на подвижный поршень, и т. д.
Из-за того, что средние расстояния между частицами данного вещества в твердом и жидком состояниях несколько отличаются, при плавлении и кристаллизации изменяется плотность вещества. В связи с этим температура плавления вещества зависит от внешнего давления.
У веществ, плотность которых в жидком состоянии меньше, чем в твердом (объем вещества при плавлении увеличивается), при увеличении внешнего давления температура плавления возрастает. Процесс плавления таких веществ при повышении давления начинается при больших значениях средних кинетических энергий движения их частиц.
Только для некоторых веществ (вода, висмут и др.), плотность которых в жидком состоянии больше, чем в твердом, при повышении внешнего давления температура плавления уменьшается.
Задача. Свинцовая пуля, имеющая температуру /=57 °C и движущаяся в неподвижной инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, со скоростью ^=450 м/с, пробивает неподвижную доску При вылете из доски пуля имеет скорость у2=400 м/с Не учитывая изменения внутренней энергии доски, определить, какая часть пули расплавилась.
В данной задаче замкнутая (4внешн=0) и адиабатически изолированная (Q=0) термодинамическая система состоит из пули и доски, но, поскольку ни механическая, ни внутренняя энергия доски не изменяется, в уравнении первого начала термодинамики будут содержаться только изменения механической и внутренней энергии пули:
Д«7м + Д1/ = 0. (а)
Судя по условию задачи, мы не располагаем сведениями об изменении потенциальной энергии пули в поле тяготения Земли, значит, изменение механической энергии пули равно изменению ее кинетической энергии:
Д1Ги = Д1Гк = Гкг-Ги. (б)
Пусть начальная масса пули равна т, а масса расплавившегося свинца равна тхг причем х^1. Тогда
Kw _(т-тх^ mvf
В первой дроби этого выражения учтено, что расплавившийся свинец остался в доске.
Изменение внутренней энергии пули определяется энергией, необходимой для повышения температуры всей пули от начального значения / до температуры плавления /пл, и энергией, затраченной на плавление тх единиц массы свинца:
MJ — cm (/пл —t^ Struck (г)
На основании (а), (в) и (г) имеем
(^г^-^+^-о+^.о.
откуда
2с(/пл-<) + о|-^
Нетрудно убедиться, что размерности произведения с(/пл—А и удельной теплоты плавления X совпадают с размерностью квадрата скорости:
Дж „Дж^м2кг • Ккг "с2 *
так что ответ для величины х будет получен в виде безразмерной дроби.
Значения удельной теплоемкости, температуры плавления и удельной теплоты плавления свинца находим в таблицах: с= 126 Дж/(кг-К)< /пл=327 °C, %=2,52* 104 Дж/кг. Подставляя заданные и табличные величины в формулу (д), получаем
2-126 (327 — 57) + (400)2 — (450)2 ~(400)2-2.2,52.104
Заметим, что мы использовали значения температуры по шкале Цельсия, а не по шкале абсолютных температур, так как разности температур, фигурирующие в решении, от этого не зависят: Гпл—7'=/пл—t.
Задача. Оценить, какая часть (х) энергии Q, подведенной к одному килограмму алюминия (т=1,00 кг) в процессе плавления, расходуется на совершение работы А против сил внешнего давления (р=^ = 1,013- 10б Па), если известно, что удельная теплота плавления алюминия Х=3,87-105 Дж/кг, плотность алюминия в sжидкoм состоянии при температуре плавления рж=2,38* 103 кг/м3, плотность алюминия в твердом состоянии при температуре /=20 °C р20=2,70* 103 кг/м3 и коэффициент объемного расширения алюминия в интервале температур от 20 °C до температуры плавления (^пл=659 °C) Р=9,00-10~5 К-1.
Количество теплоты, необходимое для плавления алюминия, равно
Q=mk(а)
Поскольку плавление происходит при постоянном давлении р, работу, совершаемую против сил внешнего давления, можно определить как
A-pQ^-V^,(б)
где Уж — объем алюминия в расплавленном состоянии, а Ут — объем алюминия в твердом состоянии при температуре плавления.
Объем Уж находим по заданным величинам т и рж:
^ж " ^Рж>(в)
а для определения объема FT придется узнать плотность рт алюминия в твердом состоянии перед началом процесса плавления:
Рзо
Рт“1+Р^пл-О*
ТогдаТогда_m_m[l+ptfM-Q]РтР20_m_m[l+ptfM-Q]РтР20toto
Тогда
Тогда
_m_m[l+ptfM-Q]
РтР20
_m_m[l+ptfM-Q]
РтР20
to
to
. Искомая величина х равнаx=AIQ,или с учетом выражений (а) — (г)
X=L Г1 ^Р^пл-П'
^ иРж Р20.
Видно, что дроби в квадратных скобках имеют в СИ размерности м3/кг, а дробь перед скобками — размерность
Н-кг Н-кг _кг
м3 Дж м2-Н-м м3’
т. е. х является величиной безразмерной. Подставляя численные значения г получаем
1,013-105/11+9,00-10-5 (659-20)\
3,87-10б \2,38- 1032,70-Ю3.
Этот результат иллюстрирует высказанное выше утверждение о том, что энергия, которая подводится к веществу в процессе плавления, в основном идет на увеличение его внутренней энергии. На совершение работы против внешних сил расходуется очень малая доля подведенной энергии.
Парообразование и конденсация
Интересной особенностью перехода вещества из жидкого состояния в газообразное является возможность такого процесса при любой температуре без подвода энергии извне. При этом увеличение потенциальной энергии вылетающих из жидкости атомов или молекул происходит за счет убыли энергии частиц, остающихся в жидкости. Такой процесс спокойного парообразования, когда частицы вылетают со свободней поверхности жидкости, носит название испарения. В процессе испарения жидкость покидают наиболее быстрые частицы, обладающие кинетической энергией, достаточной для преодоления притяжения со стороны остальных частиц. В результате испарения температура жидкости умен ыи аетс я.
Может возникнуть вопрос: не нарушается ли закон сохранения энергии при полном испарении вещества? Каждому известно, что вода из открытого сосуда может испариться полностью. Суммарная внутренняя энергия образовавшихся паров больше внутренней энергии воды в жидком состоянии,
так как структура молекул воды при испарении не изменяется, а потенциальная энергия молекул водяного пара явно должна быть больше потенциальной энергии молекул воды в жидком состоянии. Кроме того, при испарении должна совершаться работа против внешних сил (объем вещества в парообразном состоянии при обычных давлениях гораздо больше объема того же вещества в жидком состоянии). Откуда же берется энергия для обеспечения такого процесса? Или вещество может самопроизвольно принимать различные значения внутренней энергии? В данном случае энергия, конечно, поступает извне, от окружающих воду тел (от воздуха, стенок сосуда и т. д.), причем в процессе теплообмена ее притекает как раз столько, сколько требуется для увеличения потенциальной энергии молекул воды и для совершения работы против внешних сил.
Более интенсивный процесс парообразования, при котором переход вещества из жидкого состояния в газообразное происходит и под свободной поверхностью жидкости, носит название кипения. Кипение жидкости при заданном внешнем давлении начинается при вполне определенной температуре — при температуре кипения (/кип или Ткип)— и может происходить при подводе энергии извне в результате теплообмена.
Физическая величина, определяемая энергией, которую нужно подвести при температуре кипения к единице массы жидкости, чтобы обратить ее в пар,— удельная теплота парообразования (г) — может быть найдена по формуле г = ^(15.2)
где Q — количество теплоты, затраченное для обращения в пар т единиц массы данной жидкости при температуре кипения.
Единицы измерения удельной теплоты парообразования формально совпадают с единицами измерения удельной теплоты плавления (Дж/кг, кал/г, ккал/кг).
Первое начало термодинамики в применении к процессу кипения говорит о том, что энергия, численно равная г, во-первых, расходуется на увеличение потенциальной энергии взаимодействия частиц единицы массы вещества. Напомним, что потенциальная энергия взаимодействия частиц вещества в жидком состоянии считается отрицательной, а в процессе парообразования она увеличивается до нуля (если парообразное состояние вещества может быть уподоб- 286
лено идеальному газу). Во-вторых, часть подведенной энергии может быть израсходована на увеличение кинетической энергии частиц вещества, если их структура при парообразовании претерпевает изменения (в иных случаях кинетическая энергия частиц вещества, как уже отмечалось выше, при парообразовании может не изменяться или даже уменьшаться). И, наконец, еще некоторая часть энергии, подводимой к единице массы вещества, непременно расходуется на совершение работы против внешних сил.
При конденсации единицы массы вещества в процессе теплообмена выделяется энергия, численно равная г, и внешними силами совершается работа (так как объем вещества при конденсации уменьшается).
Повышение внешнего давления приводит к увеличению температуры кипения вещества, так как средняя кинетическая энергия движения частиц вещества должна возрасти, чтобы быть достаточной для совершения большей работы при увеличении средних расстояний между частицами в процессе этого фазового перехода.
Необходимым условием для начала и протекания процесса кипения является наличие в жидкости пузырьков растворенного газа. Таким образом, кипение жидкостей можно представить как процесс их испарения в объем пузырьков газа и выброса этих пузырьков через свободную поверхность жидкости наружу.
Условие возможности выхода пузырька с паром из жидкости можно записать в следующем виде:
Р>Рви + р^ + ^, (15.3)
где р — давление пара жидкости в пузырьке, рвн — давление над свободной поверхностью жидкости, pgh — давление столба жидкости на глубине h нахождения пузырька, 2а//? — дополнительное давление жидкости под искривленной поверхностью, ограничивающей пузырек (см. формулу (10.15)). Условие (15.3) позволяет заключить, что процессу кипения данной жидкости начаться тем труднее, чем больше давление рвн над ее поверхностным слоем, чем больше глубина h расположения тех ее слоев, к которым в процессе теплообмена подводится энергия извне, и чем меньше радиусы R пузырьков растворенного газа. Естественная или искусственная конвекция слоев жидкости, конечно, способствует процессу ее кипения.
Задача. Для обращения в пар т единиц массы воды при кипении к ней должна быть подведена в процессе теплообмена энергия Q—mr, где r=2,27- 106 Дж/кг. Какая часть (х) этой энергии будет израсходована на совершение работы А против внешних сил, если кипение происходит при постоянном давлении р=1,013-10б Па, а плотность воды в жидком состоянии перед началом процесса кипения равна р=958 кг/м3?-
Эта задача аналогична той, которую мы решили ранее для фазового перехода алюминия из твердого состояния в жидкое.
Искомая величина х равна отношению работы Д, совершаемой против сил внешнего давления при парообразовании воды, к количеству теплоты Qi*
x=A/.Qt
причем
Q^mr,
Л=р(У„-Уж),
где Vn — объем воды в парообразном состоянии, а Уж — объем воды в жидком состоянии при температуре кипения рКип~^°С или ^кип^ to 373 К).
Объем Уж легко определить, зная массу т и плотность р воды: Уж=т/р.,',
Для определения объема образовавшегося пара Vn придется воо пользоваться уравнением Клапейрона — Менделеева, из которого
у т₽ТКип
п Мр 1
причем для паров воды 7W—18,0-10~3 кг/моль.
Используя все приведенйые соотношения, получаем
У^ТКИП . 1 Аг V Мр
Размерность первой дроби в скобках совпадает с размерностью второй дроби:
[Дж/(моль • К)] (К) Дж • м2 Н • м3 м3(кг/моль) (Н/м2) кг-Н "кг-Н~”кг#
а размерность отношения р/г равна
Н-кг Н-кг кгм2-Дж м2- Н-м
, т. е. х является величиной безразмерной. Подстановка численных значений приводит к результату
1,013-1062,27-1О61,013-1062,27-1О68,31-37318,0-10“^ 1,013-10^8,31-37318,0-10“^ 1,013-10^дУ^.бО.Ю-.дУ^.бО.Ю-.
1,013-106
2,27-1О6
1,013-106
2,27-1О6
8,31-373
18,0-10“^ 1,013-10^
8,31-373
18,0-10“^ 1,013-10^
дУ^.бО.Ю-.
дУ^.бО.Ю-.
Как видим, и при переходе вещества из жидкого состояния в газообразное на совершение работы против внешних сил расходуется всего лишь несколько процентов энергии, подведенной к веществу, но это примерно на четыре порядка больше, чем доля затрат энергии на совершение работы против внешних сил в процессе перехода вещества из твердого состояния в жидкое. z
Сублимация
Кроме перехода из твердого состояния в жидкое, а из жидкого — в газообразное, все вещества могут переходить непосредственно из твердого состояния в газообразное. Процесс конденсации в этих случаях также может происходить, минуя жидкое состояние. В обычных условиях заметно сублимируют немногие вещества, например: «сухой лед» (твердая углекислота), нафталин, йод, камфара.
Процесс сублимации связан с увеличением потенциальной энергии взаимодействующих, атомов или молекул и возможен как при подводе энергии к веществу извне, так и без подвода энергии извне, за счет перераспределения внутренней энергии между твердой и газообразной фазами вещества (аналогично тому, как внутренняя энергия может перераспределяться между жидкой и газообразной фазами какого- либо вещества при испарении). Удельная теплота сублимации, определяемая энергией, которую нужно подвести к единице массы сублимирующего вещества, всегда оказывается равной сумме удельных теплот плавления и парообразования данного вещества. Этот факт приводит к важному выводу о том, что изменение внутренней энергии вещества при переходе его из одного агрегатного состояния в другое не зависит от того, каким путем этот переход осуществляется: из твердого состояния в жидкое, а потом из жидкого в газообразное или сразу из твердого в газообразное. Это лишний раз подчеркивает целесообразность и удобство использования понятия внутренней энергии вещества как функции термодинамического состояния вещества.
Изменение внутренней энергиипри химических реакциях
Некоторые химические реакции носят экзотермический характер и могут служить поставщиками энергии в термодинамических процессах: внутренняя энергия продуктов реакции оказывается больше суммарной внутренней энергии исходных веществ и может передаваться окружающим Ю Ю. А. Селезнев 289
телам. В частности, большой практический интерес представляет сгорание различных веществ.
Энергия, выделяющаяся при сгорании, может использоваться для повышения температуры каких-то тел или для изменения их агрегатных состояний. Кроме того, за счет энергии продуктов сгорания может , совершаться работа против внешних сил и, таким образом, изменяться механическая энергия некоторых тел. В последнем случае конечная цель может быть достигнута при использовании некоторых веществ и процессов в качестве посредников. Например, энергия продуктов сгорания в процессе теплообмена обеспечивает повышение температуры и парообразование воды, а образовавшийся пар совершает работу при перемещении поршня паровой машины или при вращении колеса паровой турбины. Иногда промежуточные звенья отсутствуют и продукты сгорания непосредственно сами совершают работу против внешних сил (в двигателях внутреннего сгорания и газовых турбинах, в реактивных и ракетных двигателях).
Физическая величина, определяемая энергией, выделяющейся при полном сгорании единицы массы вещества, называется удельной теплотой сгорания (q). Если при сгорании т единиц массы вещества выделяется количество теплоты Q, то
(15.4)
Единицы измерения удельной теплоты сгорания формально совпадают с единицами измерения удельных теп- лот плавления и парообразования (Дж/кг, кал/г, ккал/кг).
Нужно иметь в виду, что сгорание какого-то вещества часто происходит не в кислороде воздуха или в чистом кислороде. Например, в ракетных двигателях наряду с таким топливом, как этиловый спирт + жидкий кислород, используются и другие высокоэффективные топлива: керосин + азотная кислота, анилин + азотная кислота и т. д.
В физических таблицах удельные теплоты сгорания обычно приводятся для сгорания различных веществ в воздухе (например, для бензина 4,44-10’ Дж/кг, для антрацита 3,03-10’ Дж/кг и т. д.). Если сгорание этих же веществ происходит не в воздухе, то значения удельных теплот сгорания будут уже иными.
СВОЙСТВА ПАРОВ. ВЛАЖНОСТЬ ВОЗДУХА.КРИТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ ВЕЩЕСТВА
Условия получения и свойства ненасыщенныхи насыщенных паров
Над свободной поверхностью жидкости всегда имеются пары этой жидкости, образующиеся за счет испарения. Если пространство над свободной поверхностью жидкости не ограничено какими-либо стенками, молекулы или атомы испарившегося вещества, совершая хаотическое тепловое движение, удаляются от поверхности жидкости. Удалению частиц пара от поверхности жидкости способствуют явление диффузии, а также естественная или искусственная конвекция слоев воздуха. Концентрация частиц пара при постоянной температуре в этих условиях может изменяться в довольно широких пределах и в сторону уменьшения, и в сторону увеличения. Такие пары называют ненасыщенными.
Совершенно иная картина наблюдается, если над свободной поверхностью жидкости имеется ограниченное пространство. Заполнено оно какими-либо другими газообразными веществами, кроме паров испаряющейся жидкости, или нет,— значения не имеет. Важно другое. Процесс испарения в замкнутое пространство может происходить только до определенного предела. Чем большей становится концентрация молекул или атомов испаряющегося вещества в парообразном состоянии, дем большим будет давление этих паров при постоянной температуре. При этом все большее число молекул или атомов сможет возвращаться через свободную поверхность обратно в жидкость. Если объем пространства, предоставленного парам, достаточно мал, а жидкости много, может наступить динамическое равновесие: число частиц, покидающих жидкость за единицу времени, сравняется с числом частиц, возвращающихся в жидкость за тот же промежуток времени. При этом над жидкостью будет находиться постоянная масса пара и большей концентрации его частиц в данных условиях достичь не удается. Такой пар называется насыщенным. Давление насыщенного пара какого-то вещества при заданной температуре может иметь одно-единственное определенное зна- ченйе.
Уменьшение объема пространства, предоставленного насыщенному пару данного вещества при постоянной температуре, приводит к конденсации части пара в жидкость, ю* 291
так как концентрация его частиц не может превысить определенного значения. Этим изотермическое сжатие насыщенных паров отличается от сжатия паров ненасыщенных, которые ведут себя как обычные идеальные газы. Закон Бойля — Мариотта, следовательно, для насыщенных паров не выполняется.
О законе Гей-Люссака в применении к насыщенным парам говорить не приходится, так как объем, предоставленный им, не зависит от температуры (если отвлечься от возможного неодинакового расширения или сжатия жидкости и сосуда, в котором она находится, при изменении температуры).
Неприменим к насыщенным парам и закон Шарля. При увеличении температуры идеальных газов или ненасыщенных паров в изохорическом процессе возрастает средняя кинетическая энергия их частиц, что приводит к их более частым соударениям между собой и со стенками сосуда, т. е. к повышению давления. И поскольку средняя кинетическая энергия частиц идеального газа изменяется пропорционально изменению его абсолютной температуры, давление также оказывается пропорциональным абсолютной температуре (см. формулу (14.16)). При увеличении температуры Т насыщенного пара в изохорическом процессе возрастает и концентрация его частиц и, так что в соответствии с (14.29) рост давления насыщенного пара оказывается более резким.
Обратим внимание на общую причину невыполнимости для насыщенных паров законов Бойля — Мариотта и Шарля. Насыщенный пар не подчиняется этим законам из-за изменения его массы в изотермических и изохорических процессах. На в уравнении Клапейрона — Менделеева (14.28) масса иг стоит самостоятельным множителем, который может быть и постоянным, и переменным. Таким образом, если в этом уравнении наряду с изменяющимися величинами р и Т (а в более общих случаях, когда изменяется объем, предоставленный насыщенным парам, и У) считать и массу m величиной переменной, им можно воспользоваться для описания того или иного состояния насыщенного пара.
Говорить с уверенностью о том, что в данном закрытом сосуде содержится именно насыщенный пар какого-то вещества, можно только в том случае, если в сосуде имеется это вещество в жидком состоянии и масса его жидкой фазы не изменяется. Например, перед нами поставили закрытый стеклянный сосуд и просят без всяких измерений опреде- 292
лить, насыщенный или ненасыщенный водяной пар в нем содержится.
Торопиться с ответом в этом случае не стоит. Нужно подождать несколько минут, чтобы содержимое сосуда успело прийти в термодинамическое равновесие с окружающим воздухом. Это вызывается тем, что мы не знаем, из помещения с какой температурой принесен сосуд, а изменение температуры пара при неизменном объеме может перевести пар из ненасыщенного состояния в насыщенное или обратно. Если после установления равновесия не обнаруживается конденсации воды на внутренних стенках сосуда, мы должны сказать, что при той температуре, при которой проводится наблюдение, в сосуде содержится ненасыщенный пар. Если же на стенках сосуда появляются капельки воды —пар насыщенный.
С присутствием насыщенных паров приходится считаться при использовании ртутных барометров, в которых над свободной поверхностью имеется замкнутый объем. Аналогичные задачи могут встретиться и при работе с жидкостными манометрами (например, с так называемым U-образным манометром, который очень часто заполняется не ртутью, а какой-то иной жидкостью), так как из-за малого диаметра каналаг манометрической трубки и сравнительно большой ее длины непосредственно над жидкостью может скапливаться насыщенный пар. '
Задача. Оценить, какие ошибки будут допущены при измерении нормального атмосферного давления (р= 1,013-105 Па=760 мм рт. от.) жидкостными барометрами, заполненными: 1) ртутью, 2) водой, 3) этиловым спиртом и 4) этиловым эфиром при температуре 20 °C, если не принимать в расчет давление насыщенных паров этих жидкостей в «торричеллиевой пустоте».
В таблице даны значения плотностей (р) и давлений насыщенных паров (рн п) этих жидкостей при температуре 20 °C:
Жидкость
р, кг/м3
Рн п/ мм рт. ст.
Ртуть
Вода
Спирт этиловый
Эфир этиловый
13550 990
790 730
0,0013'
17,5
44,5
440
Мы нарочно привели значения нормального атмосферного давления и давлений насыщенных паров в миллиметрах ртутного столба! чтобы упростить решение данной задачи»
Отношение высот столбов QC и /г") разнородных жидкостей в барометрических трубках, уравновешивающих одно и то же внешнее давление, равно обратному отношению плотностей этих жидкостей (р' и р"):
На основании этого в предложенной задаче высоты столбов жидкостей без учета наличия насыщенных паров в барометрических трубках будут равны.
для
ртути
^ = 760 мм;
ДЛЯ
воды
/1г=76О
13 550
990 '
з 10 400 мм,
для
спирта
й3 = 760
13 550 ~
790 ~
13000 мм.
для
эфира
й4 = 760
13 550
730 '
у 14 100 мм.
Присутствие насыщенных паров в трубках приведет к уменьшению высот столбов жидкостей, уравновешивающих нормальное атмосферное давление. Если выразить давления насыщенных паров в миллиметрах столбов соответствующих жидкостей, то уменьшения высот столбов будут равны:
х для ртути ДЯХ = 0,0013 мм,
"13 550
' для воды A/i2 =17,5 -ggQ- ~ 239 мм,
ЛА е 1$ 550 с
для спирта A/i3 = 44,5 ■ у^ ■ « 762 мм,
13 550
для эфира А/г4 = 440-^~ « 8150 мм,
а относительные изменения показаний этих барометров (относительные ошибки) составят:
ДАг 0,0013 ~Дй2_ 239 ~
X7бГ ~ °-000170/»'Х~104бб ~2’30%>
Дй3 762 _гоГ.0/ДЛ4_ 8150-
X -Тзобб ~ 5'85/о’ ^-Шбб ^57-8%>
Как видно из сравнения этих величин, ртуть является самой удобной барометрической жидкостью не только из-за того, что ртутный барометр имеет минимальные размеры (из-за большой плотности ртути), но и потому, что поправку на учет наличия паров ртути в трубке можно не делать.
Заметим кстати, что если барометрическая трубка перед заполнением ртутью не будет тщательно очищена (например, на внутренних стенках трубки после промывки останутся следы воды или спирта), то это может привести к уменьшению точности показаний барометра. Так, присутствие в барометрической трубке паров воды вызовет опускание уровня ртути на 17,5 мм и ошибка при измерении нормального атмосферного давления составит 2,3%. Наличие в трубке паров спирта или эфира приведет соответственно к ошибкам в 5,85% и 57,8%.
Пары воды в воздухе
В атмосфере Земли всегда содержатся водяные пары. С их присутствием приходится считаться очень часто. В особенности влажность воздуха подлежит точной оценке в закрытых или плохо вентилируемых помещениях, в сушильных камерах и т. д. Часть энергии, выделяющейся в организме человека за счет окислительных реакций, отдается в окружающее пространство при испарении воды с поверхности легких и с поверхности кожного покрова. Если человек долгое время будет находиться в помещении, где содержатся насыщенные водяные пары, теплообмен будет затруднен и может наступить нежелательный перегрев тела.
Для количественной оценки содержания водяных паров в воздухе используют две величины — абсолютную влажность (Г) и относительную влажность (В).
Абсолютной влажностью называют физическую величину, измеряемую массой водяного пара, содержащегося в одном кубическом метре воздуха. Таким образом, размерность абсолютной влажности совпадает с размерностью плотности, но на практике обычно пользуются внесистемной единицей — 1 г/м3. Последнее обстоятельство связано с тем, что абсолютная влажность /, выраженная в г/м3, по численному значению мало отличается от парциального давления паров воды р при тех же условиях, измеренного в миллиметрах ртутного столба.
Процентное отношение парциального давления р паров воды, находящихся в воздухе, к давлению насыщенного пара воды рн п при данной температуре называют относительной влажностью'.
S = —.100%. (16.1)
Рн.п
При расчете относительной влажности по этой формуле давления р и рн п должны измеряться в одинаковых единицах. Обычно их измеряют не в паскалях, а в миллиметрах ртутного столба.
Задача. Относительная влажность воздуха в помещении с объемом 17=50 м3 при температуре 20 °C составляет 61=30%. Сколько граммов воды (т) нужно испарить в этом помещении, чтобы при той же температуре прлучить относительную влажность 62=60%^ Давление насыщенного водяного пара при 20 °C рп п= 17,5 мм рт ст.
Начальная относительная влажность Bt (не в процентах, а в виде безразмерной десятичной дроби) в соответствии с (16.1) равна
Bj =Р1/Рн.П^
где pi — парциальное давление находящегося в помещении napaj выраженное в мм рт. ст. Тогда
Р1 ■ Рн.п^1е
Если вспомнить, что численное значение массы пара в граммах в каждом кубическом метре воздуха совпадает с численным значением его парциального давления, выраженного в миллиметрах ртутного столба, то можно написать равенство
71 = Рн.п^ь
где ft выражено в г/м3, а рн п — в мм рт. ст. Аналогичное равенство можно написать и для второго случая. Когда относительная влажность воздуха будет равна В2) в каждом кубическом метре его будет содержаться /2 граммов водяного пара, причем
7 г ^ Рн.п^а-
Теперь понятно, что для увеличения относительной влажности от В^ до В2 в каждый кубический метр воздуха нужно испарить
граммов воды. Поскольку объем помещения равен V м3, то
m = m1V=y2 — h)V, или с учетом выражений для /2 и fi
= Рн.П^ (^2^1)>
причем по этой формуле т будет получено в граммах, если рНЛ1 измерено в мм рт. ст., V — в м3, а величины Вг и В2 представлены в виде десятичных дробей.
Подставляя численные значения, получаем
т== 17,5- 50 (0,60—0,30)^260 г.
В тех случаях, когда в воздух поступает горячий водяной пар (температура которого выше температуры воздуха), для расчета результирующей относительной влажности должен быть учтен теплообмен между паром и воздухом, ибо давления ри рнп будут зависеть от температуры, которую примет смесь воздуха с паром.
Критическое состояние вещества
Известно, что вещества, которые в обычных условиях находятся в газообразном состоянии (водород, азот, углекислота и другие газы), при высоких давлениях перестают подчиняться уравнению состояния идеальных газов Клапейрона — Менделеева и, следовательно, газовым законам (Бойля — Мариотта, Шарля и Гей-Люссака). Такое поведение веществ удается объяснить, отказавшись от модели 296
идеального газа. Учитывая собственные размеры атомов и молекул вещества и наличие сил взаимодействия между ними даже в газообразном состоянии при высоких давлениях, а значит, и при большой их концентрации, вводят представление о реальных газах.
Естественно, возникает вопрос: нельзя ли, сжимая реальный газ, сблизить его атомы или молекулы настолько, чтобы между ними установились связи, свойственные жидкому или твердому состоянию? Это оказывается возможным при некоторых значениях термодинамических параметров..
Динамическое равновесие жидкой фазы и насыщенных паров какого-то вещества может иметь место при различных температурах. Чем выше температура, тем большее давление имеет насыщенный пар, тем больше концентрация его частиц (в соответствии с уравнением (14.29)), тем больше плотность насыщенного п^ра (равная произведению концентрации частиц на массу одной из них). Но плотность жидкой фазы при увеличении температуры уменьшается в соответствии с (14.7). При некоторой температуре плотности данного вещества в жидком и насыщенном газообразном состояниях становятся одинаковыми. Исчезают различия и в других их свойствах. Такую температуру называют критической температурой, соответствующее ей давление — критическим давлением, объем данной массы вещества при этих условиях — критическим объемом, а состояние вещества при критических параметрах — критическим состоянием. '
Вещество при температуре выше критической может находиться только в газообразном состоянии, так как большие скорости хаотического теплового движения его молекул или атомов препятствуют установлению связей, свойственных жидкому или твердому состоянию. Как бы Сильно мы ни сжимали вещество в этих условиях, оно остается газообразным.
Получить вещество в жидком состоянии за счет сжатия можно только при условии, если температура вещества ниже критической. Чтобы работа внешних сил не приводила к увеличению внутренней энергии и температуры вещества при сжатии (если, например, сжатие осуществляется изотермически), нужно часть его внутренней энергии в процессе теплообмена передавать каким-то телам (холодильнику).
Имеется и второй путь сжижения вещества, находящегося в газообразном состоянии. Для этого веществу нужно дать возможность совершать работу против внешних сил,
например, в процессе адиабатического расширения. Работа в этом случае совершается за счет убыли внутренней энергии вещества, температура его может оказаться значительно ниже критической, и конденсация происходит даже при невысоком давлении.
В естественных условиях на земной поверхности нам не приходится видеть некоторые вещества, обычно называемые газами (водород, азот, кислород и др.), в жидком состоянии только из-за того, что их критические температуры очень низки. В специальных установках эти вещества могут быть переведены не только в жидкое, но и в твердое состояние.
ИТОГИ РАССМОТРЕНИЯ СТРОЕНИЯ ВЕЩЕСТВАВ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Молекулярно-кинетическая теория строения вещества сильно раздвинула границы познания человека. Она привела к объяснению многих процессов, происходящих внутри различных тел. Взяв за основу важнейшие положения механики больших, макроскопических тел, она позволила построить систему взглядов на механику микроскопических частиц.
Таким образом, в нашем распоряжении оказываются два больших раздела физики — механика макромира (механика тел, размеры которых во много раз превышают размеры их структурных составляющих) и механика микромира. Но одинаковые ли законы управляют этими мирами?
Если вспомнить, каких схем мы придерживались при анализе явлений этих двух миров, то станет ясным, что между ними много общего. Понятия и законы механики макромира позволили нам оценивать механическое поведение материальных точек, абсолютно твердых и упругих тел или их систем. Эти же понятия и законы мы постарались применить к микроскопическим частицам, и это оправдало наши надежды, так как с их помощью удалось объяснить некоторые явления, происходящие внутри вещества. Более подробно мы рассмотрели закон сохранения полной энергии, который явился как бы мостом из макромира в микромир.
Введя понятие внутренней энергии, мы на первых порах воспользовались лишь некоторыми ее составляющими^— кинетической энергией поступательного, вращательного и колебательного движений и потенциальной энергией взаимодействия частиц.
Изменение кинетической энергии движения частиц идеального газа (а для веществ, находящихся в твердом и жидком состояниях,— и потенциальной энергии взаимодействия частиц) удалось связать с изменением температуры вещества, которая ^явилась новой, немеханической характеристикой его состояния.
Нам удалось оценить изменение геометрических размеров вещества при изменении температуры.
Мы отметили тот факт, что в веществах, находящихся в твердом состоянии, движение частиц носит в основном колебательный характер. Рассматривая поведение вещества в жидком состоянии, мы обратили внимание на колебательнопоступательный характер движения его частиц, а рассматривая газы — на поступательное движение его атомов и молекул, вращательное движение молекул, состоящих из' нескольких атомов, и колебательное движение атомов в молекулах.
Учет изменения энергии частиц вещества при постоянной температуре позволил объяснить изменения его агрегатных состояний, а учет изменения внутренней энергии при химических реакциях — практическую возможность использования некоторых реакций в качестве источников энергии.
Рассматривая процессы изменения полной энергии, мы убедились в наличии двух эквивалентных, но неравноправных способов ее изменения — процесса совершения работы внутренними или внешними силами и процесса теплообмена. Тот факт, что изменение упорядоченного механического* движения тел в целом всегда сопровождается интенсификацией хаотического теплового движения их частиц, а процесс увеличения механической энергии никогда не происходит только за счет убыли внутренней энергии термодинамической системы (этот процесс всегда осложнен теплообменом с внешними телами, так как идеальная адиабатическая изоляция системы невозможна), имеет принципиальное значение.
В свое время мы подчеркивали характерные черты явлений микромира — хаотичность движений и множественность частиц,— которые не присущи механике макромира. В этом — причина принципиального различия закономерностей этих двух миров. Законы случая (вероятностные законы) отличают поведение коллективов микрочастиц от поведения макроскопических тел.
При анализе термодинамических явлений мы пренебрегали многими деталями и рассматривали только те факты,
которые подтверждают принятые модели и схемы объяснений широкого круга явлений действительности. Подобно тому, как недооценка деталей строения вещества привела к серьезным затруднениям в механикё"макротел, объяснение поведения вещества, состоящего из неделимых молекул или атомов, встретилось со своими трудностями.
Мы обратили внимание на то, что между микроскопическими частицами вещества действуют силы притяжения и отталкивания. Таким образом, мы учитывали, как взаимодействуют частицы, но вопрос, почему они так взаимодействуют, остался открытым.
Для ответа на этот и многие другие вопросы придется уточнить наши представления о поведении частиц внутри вещества. При этом нужно будет переступить на новый уровень, нужно будет учесть детали внутреннего устройства атомов, закономерности поведения его составных частей. Такая детализация позволит рассмотреть новые составляющие внутренней энергии вещества, которые мы упоминали, классифицируя все ее составные части.
ГЛАВА V
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ
Что такое электрический заряд? Откудаберутся электрические заряды?
Углубляясь при изучении электрических явлений внутрь атома/мы говорим, что атом состоит из ядра и электронов, окружающих его. Этого вполне достаточно для анализа простейших электрических явлений. Поскольку молекулы, состоящие из атомов, и атомы в целом электрически нейтральны, электрическими свойствами могут обладать только составные части атомов.
Электрический заряд вводят как физическую величину, характеризующую способность тел или их составных частей вступать в электромагнитные взаимодействия. Понятие об электрических зарядах отражает объективные факты, отражает то, что телам присуще: не мы создаем электрические заряды, а они заложены в веществе самой природой. Электрические заряды являются первичным свойством некоторых частиц вещества, первичным в том смысле, что оно не сводится ни к каким другим свойствам.
Таким образом, электрические заряды присущи всем телам и некоторым частицам, их составляющим. Электрическим зарядом обладают электроны и некоторые другие элементарные частицы. Заряд ядра атома связан с зарядами содержащихся в нем протонов.
Аналогично тому, как мы поступаем при измерении любых физических величин, измерить какой-то электрический заряд можно, сравнив его с другим электрическим зарядом, приняты^ за единичный.
Естественным эталоном электрических зарядов может служить заряд электрона е, называемый элементарным
электрическим зарядом. Его абсолютное значение в системах СИ и СГСЭ составляет
1= 1,6-10~19 кулона ==4,8-10**10 ед. СГСЭ^.
Меньшие значения электрических зарядов современной физике неизвестны. .
При изучении простейших электрических явлений можно не рассматривать, как изменяются состояния ядер атомов, и считать, что главную роль в этих явлениях играют электроны. Именно перераспределением электронов между атомами или молекулами (ионизация) или между телами в целом (например, возможность перераспределения электронов между металлическими проводниками) объясняется электризация. Недостаток или избыток электронов по сравнению с электрически нейтральным состоянием и трактуется как положительный или отрицательный заряд q иона или тела, состоящего из многих атомов или молекул, причем абсолютное значение этого заряда может быть равно только целому числу п=\, 2, ... элементарных зарядов: q=ne. '
В свое время мы подчеркивали, что масса — это свойство материи и что она не может «перетекать», «лежать» и т. п. За подобные действия ответственны материальные носители массы — тела, вещества, частицы, поля. Правда, иногда ради экономии слов, чтобы не загромождать языка, употребляются выражения типа: «Перетекла масса в 2 килограмма», на условность которых мы обращали внимание. Электрические заряды — физические величины, являющиеся мерой новых свойств тел или некоторых частиц,— так же как и масса, не могут «перемещаться», «покоиться» или «висеть». Когда говорят о движении или о перераспределении зарядов, о силах, действующих на заряды, и т. п., то имеют в виду, что двигаться, перераспределяться, испытывать действие сил могут, конечно, носители электрических зарядов(—какие-то заряженные тела или частицы. Далее мы также будем вынуждены пользоваться такой условной, но более краткой и общепринятой терминологией.
Обратим внимание еще на одну условность. Когда в той или иной (задаче приходится учитывать форму и размеры тела, обладающего электрическим зарядом, то форма и размеры тела конкретно указываются (заряженный шар такого- то радиуса, заряженная пластина такой-то площади и т. п.). Если же размеры заряженного тела в задаче несущественны, 302
то можно говорить о заряженных частицах, подразумевая под ними не только элементарные или микроскопические частицы (электроны, протоны, ионы и т. д.), но и макроскопические заряженные тела, размерами которых в данной задаче можно пренебречь. Таким образом, заряженная частица — это материальная точка, обладающая электрическим зарядом.
Используемые модели
Попытки как-то представить механизм электрических явлений привели к введению понятий о так называемых свободных и связанных зарядах (правильнее, конечно, было бы говорить о свободных и связанных носителях электрических зарядов).
При изучении широкого круга явлений приходится иметь дело с проводниками, в которых носители зарядов могут перемещаться достаточно свободно по всему объему вещества. Например, очень часто в задачах фигурируют металлические проводники. Кристаллическая решетка металлов отличается от решеток других кристаллических веществ тем, что в ее узлах размещаются положительные ионы. Часть электронов, компенсирующих их заряды, не привязана к каким-то определенным положениям равновесия и может находиться в хаотическом поступательном движении подобно атомам идеального газа. Другой пример свободных зарядов — электроны, испущенные раскаленной нитью в вакуум (например, электронный луч в трубке телевизора). Такие свободные' заряды рассматриваются как материальные точки (их пространственными размерами пренебрегают), наделенные, кроме массы, электрическим зарядом. Иногда говорят об электронном газе в металлах или в вакууме, который состоит из одиночных, не взаимодействующих между собой электронов. Такой газ в механическом или тепловом отношении ведет себя как любой другой идеальный газ.
Поведение другого класса веществ — диэлектриков — на первых порах нельзя объяснить наличием в них свободно перемещающихся зарядов. Молекулы или атомы диэлектриков при обычных, не очень сильных электрических воздействиях на них извне остаются электрически нейтральными, т. е. отрыв электронов от атомов не наблюдается. Но такие вещества все же откликаются на внешние электрические влияния. Это объясняют -тем, что в диэлектриках
имеются связанные заряды. Простейшая модель системы связанных зарядов— две материальные точки, находящиеся на некотором расстоянии одна от другой и обладающие равными по абсолютному значению, но противоположными по знаку зарядами. Такая система заряженных частиц называется диполем» Диполь может поворачиваться, его длина может уменьшаться или увеличиваться, но при некоторых условиях (при невысоких температурах и слабых внешних электрических воздействиях) он не разрушается и весь в целом не перемещается по объему диэлектрика.
Закон сохранения электрических зарядов
Еще одним законом сохранения является закон сохранения электрических 'зарядов, который применим к системе тел или частиц, не обменивающейся электрическими зарядами с телами или частицами, не включенными в эту систему. Такая система очень часто называется замкнутой или изолированной. Чтобы избежать неоднозначности толкования (в механике и термодинамике замкнутой мы называли систему, на которую не действуют внешние силы), при рассмотрении электростатических и электродинамических явлений мы будем придерживаться второго названия («изолированная система»).
Суммарный электрический заряд изолированной системы при любых процессах, происходящих в этой системе, остается неизменным. Носители электрических зарядов могут только перераспределяться между различными частями системы. Иногда изолированную систему может представлять какое-то одиночное тело. Процессы рождения и гибели пар элементарных частиц, обладающих противоположными по знаку, но равными по абсолютному значению электрическими зарядами (эти процессы будут рассмотрены нами позже), также подчиняются закону сохранения электрических зарядов.
Электризация прикосновением (или электризация трением) есть по существу процесс перераспределения заряженных частиц между соприкасающимися телами. Если два тела до соприкосновения были электрически нейтральными, то после перераспределения носителей зарядов в результате соприкосновения на телах обнаруживаются заряды противоположных знаков, но равные по абсолютному значению. Поскольку наиболее подвижными носителями электрического заряда в различных веществах явля- 304
ются электроны, явление электризации можно объяснить следующим образом: сколько электронов потеряло одно тело, столько их приобрело другое. В результате соприкосновения куска шерстяной ткани и эбонитовой палочки (упоминая о «трении», в этом случае имеют в виду не силы взаимодействия между соприкасающимися телами, а процесс многократного повторения контакта ворсинок ткани с палочкой) на обоих телах обнаруживаются перераспределенные, избыточные заряды. От эбонитовой палочки можно, например, зарядить электроскоп. Если затем в соприкосновение с ним привести наэлектризованный кусок ткани, электроскоп разрядится. Это свидетельствует о том, что суммарный заряд изолированной системы, состоящей из куска ткани, палочки и электроскопа, остается таким же, каким он был до электризации, т. е. в данном случае равным нулю.
Как же можно объяснить электризацию тел при соприкосновении? Ответить на этот вопрос помогает хорошо известный факт: электрические заряды перераспределяются только при соприкосновении разнородных веществ (эбонит — шерсть, стекло — шелк и т. д.). Два тела из одного и того же вещества в результате соприкосновения никогда не электризуются! Свободные электроны (которые имеются все же и в диэлектриках) могут вырываться за ^пределы вещества, если они преодолеют силы притяжения со стороны- остальных его частиц. Вот эти-то* силы, препятствующие вылету электронов, у разных веществ различны. Их различием и объясняется электризация разнородных веществ при соприкосновении. Вещество, более сильно удерживающее электроны, в контакте с другим веществом, из которого электронам вылетать легче, будет заряжаться избыточным отрицательным зарядом.
. Такие контактные явления играют большую роль в физике и технике.
Перераспределение зарядов внутри тела, находящегося вблизи другого заряженного тела (явление электростатической индукции), также подтверждает закон сохранения электрических зарядов.
Таким образом, при любом способе электризации можно говорить об изолированной системе тел или частиц (такой системой может быть и одиночное тело), суммарный электрический заряд которой остается неизменным. Заряды лишь перераспределяются между частями этой системы.
§19. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ
Закон Кулона — основной закон электростатики
Если в какой-то инерциальной системе отсчета находятся неподвижные электрические заряды, между ними обнаруживается силовое взаимодействие. Одноименно заряженные тела или частицы отталкиваются, разноименно заряженные — притягиваются. Формой материи, осуществляющей взаимодействие между неподвижными электрическими зарядами* является электростатическое поле. Это поле материально, обладает энергией, массой и другими характеристиками. Оно определенным образом распределено в пространстве вокруг вызывающих его электрических зарядов, которые иногда называют источниками поля. Характеристики электростатического поля в различных точках пространства с течением времени не изменяются.
Часто, когда оценивают поведение какого-то заряженного тела, представляющего интерес в конкретной задаче, не указывают, какие именно носители зарядов на него действуют, где они находятся и т. д. Их воздействия на данное тело сводят к воздействию на него суммарного электростатического поля этих носителей заряда.
Все количественные расчеты в электростатике стали возможными после установления закона Кулона. Только на основании этого закона можно было измерить электрические заряды. Кулон, проводя свой классический опыт, не имел меры для электрических зарядов. Он использовал лишь возможность уменьшения избыточного заряда тела в четное число раз: если к заряженному телу прикоснуться точно таким же незаряженным, то избыточный заряд распределяется между телами поровну. Если после этого к первому телу прикоснуться еще раз таким же незаряженным, то его заряд становится в четыре раза меньше первоначального, и т. д. Но каково было значение этого первоначального заряда, известно не было.
Силы взаимодействия между заряженными телами (маленькими шариками) в опыте Кулона определялись с помощью так называемых крутильных весов. Один заряженный шарик укреплялся неподвижно, а другой — на конце легкого изолирующего стержня, подвешенного горизонтально на тонкой упругой нити. Зная упругие свойства нити, по углу ее закручивания можно было определить момент силы, действующей на конец стержня (т. е. на вто306
рой шарик), а измерив плечо силы, можно было в конечном счете узнать силу, действующую на второй заряженный шарик.
Примечательным является тот факт, что сила электростатического взаимодействия между заряженными телами не похожа на силу их гравитационного взаимодействия. Поскольку гравитационное взаимодействие всегда сводится к притяжению между телами, причину отталкивания, которое наблюдалось в первых опытах Кулона, нужно было искать в силах совершенно иной природы.
Эти опыты приводили к заключению, что сила взаимодействия двух малых по размерам тел, обладающих электрическими зарядами qx и ^2, пропорциональна зарядам qY и ^2 и обратно пропорциональна квадрату расстояния г между телами, т. е.
Р ^1^2г *
Переход от этого выражения пропорциональности к уравнению закона Кулона связан с введением двух множителей (^ и е):
f = (19 1)
Появление первого из них вызывается тем, что в уравнение входят неоднородные величины (сила, заряды и расстояние), причем единицы измерения заряда пока вообще неизвестны, но могут быть установлены как раз по этому уравнению. Таким образом, к является коэффициентов пропорциональности, зависящим от выбора системы единиц для измерения всех остальных входящих в уравнение величин.
Введение второго множителя придется обсудить более подробно.
Нужно иметь в виду, что закон, установленный Кулоном, вообще-то говоря, справедлив для оценки силового взаимодействия точечных электрических зарядов в вакууме. Но поскольку при любых попытках опытной проверки этого закона мы не имеем возможности работать ни с точечными зарядами, ни с абсолютным вакуумом, приходится как-то обходить эти две трудности.
Закон Кулона подтверждается косвенными методами, например, по результатам измерения сил взаимодействия двух параллельных заряженных пластин, находящихся на известном малом расстоянии одна от другой в каком-то
однородном газообразном веществе. В этом случае можно считать, что электрические заряды равномерно распределены по поверхностям пластин. Определив на опыте силы, действующие на пластины, и разбив мысленно площади пластин на столь малые участки, которые уже можно считать материальными точками, несущими на себе известную долю общего заряда пластины, можно убедиться в том, что взаимодействие любой ч пары таких точечных зарядов описывается законом Кулона,
Заполняя зазор между пластинами различными однородными диэлектриками, можно оценить влияние среды на взаимодействие пластин. В этих случаях на опыте измеряют, правда, не силы взаимодействия пластин, а некоторые другие величины, по изменению которых судят об изменении сил взаимодействия. На основании результатов подобных опытов в уравнение закона Кулона (19.1) и может быть введен множитель 8— так называемая относительная диэлектрическая проницаемость среды — физическая величина, показывающая, во сколько раз сила взаимодействия между точечными зарядами qt и q2, находящимися на расстоянии г в данной однородной среде, меньше, чем в вакууме, '
При таком способе введения относительная диэлектрическая проницаемость любого вещества, конечно, будет величиной безразмерной, но из опытов не следует, что при оценке взаимодействия точечных зарядов ^ и ^2 в вакууме величину е обязательно нужно полагать равной единице (евак=1). Ведь если даже на основании опыта мы знаем, что силы взаимодействия двух данных точечных зарядов, находящихся на неизменном расстоянии, в дистиллированной воде в 81 раз меньше, чем в вакууме, то этому результату не будут противоречить такие,» например, значения диэлектрических проницаемостей: 8=810 для воды и 8=10 для вакуума. ч
Только стремление к упрощению расчетов приводит нас к выбору условия евак=1. Но этот выбор произволен! Он не диктуется законами природы и, в частности, законом Кулона.
В этом произвольном выборе, как уже отмечалось ранее, можно усмотреть факт введения пятой основной единицы измерения (кроме сантиметра, грамма, секунды и градуса) при построении системы СГСЭ.
Если нам удастся экспериментально установить, что силы взаимодействия между двумя точечными неизвест- 308
ними, но равными зарядами (qv=q2=q), находящимися в вакууме на измеренном расстоянии г друг от друга, равны F, то заряды в системе СГСЭ можно определить по формуле
q = rVF, , (19.2) полученной из закона Кулона ,(19.1) при условии евак=1 и k— 1. Единицу измерения электрического заряда
7=1 ед. СГСЭ^ ~ 1 см^г1^-1
можно теперь получить на основании (19.2) при г=1 см и F=1 дин. Таким образом, единица измерения электрического заряда в системе СГСЭ оказывается производной.
Поскольку все физические величины, которые вводятся в электростатике, так или иначе связаны с электрическим зарядом, а их единицы измерения в системе СГСЭ выражаются через абсолютную электростатическую единицу заряда, последнюю иногда почему-то считают основной единицей. Чтобы опровергнуть это утверждение, напомним, что основными единицами принято считать такие, которые не зависят от других единиц измерения (например, и в системе СГС, и в СИ единица измерения массы не зависит от единицы измерения времени). Однако в связи с более жесткими требованиями, предъявляемыми в настоящее время к точности воспроизведения единиц измерения, мы встречаемся с ситуацией, когда некоторые единицы измерения, которые используются как основные, не являются таковыми по существу. В качестве примера можно привести единицу измерения силы электрического тока в СИ — ампер. Эта единица связана с единицами измерения силы и длины (далее мы рассмотрим этот вопрос более подробно), оказывается зависимой от них и в строгом смысле основной не является. Оправданием того, что ампер считается основной единицей, служит только одно обстоятельство: для этой единицы установлен вполне определенный и достаточно надежный эталон.
Теперь, наверное, понятно, что единица измерения электрического заряда в системе СГСЭ ни по одному из этих признаков к основной отнесена быть не может (она зависит,от единиц измерения длины и силы, и в настоящее время для нее не используется никакое эталонное устройство). -
В СИ за основную единицу измерения при изучении электрических и магнитных явлений принимается единица силы тока — ампер (см. п. 25.3). При этом единица изме-
рения электрического заряда, кулон (новое обозначение этой единицы — Кл), оказывается производной, но устанавливаемой не в согласии с законом Кулона, а иначе, Тогда, если даже в уравнении (19.1) считать 8 для любой среды величиной безразмерной, а для вакуума имеющей, кроме того, численное значение, равное единице, коэффициент пропорциональности к уже нельзя выбирать произвольно. В СИ он будет размерным, а по численному значению не равным единице. Его размерность легко установить по уравнению (19.1), учитывая, что в СИ величина s по-прежнему считается безразмерной, F измеряется в ньютонах, г — в метрах, qt и q2 — в кулонах. Выразив коэффициент к в явном виде:
к = ,
убеждаемся, что он должен измеряться в Н-м2/Кл2.
Численное значение к найдем из следующего расчета. Предположим, что две материальные точки, имеющие электрические заряды по одному кулону (flx=q^—\l^.^, находятся в вакууме (е=1) на расстоянии г=1 м одна от другой. В соответствии с (19.1) сила взаймодействия между ними будет равна
г . /Н-м2\ 1Кл-1Кл ,F=kV^Sj (1м)2 = к ньютонов.
В системе единиц СГСЭ та же сила
(3-10» ед. СГСЭа)2
= -(ioo CM)2 =9-10^ дин = 9-109Н,
поскольку 1 Кл=3-10 ед. СГСЭ9, 1 м=100 см и 1 Н= = 106 дин. Из сопоставления полученных выражений находим численное значение коэффициента к:
к=9-109.
Для удобства расчетов в СИ коэффициент к представляют в виде дроби:
к= 1/4ле0,
где е0 — так называемая электрическая постоянная, которая равна
Учитывая сказанное, закон Кулона в СИ записывают в виде
FF_ 191^44л80 ега ’_ 191^44л80 ега ’(19.3)(19.3)
F
F
_ 191^4
4л80 ега ’
_ 191^4
4л80 ега ’
(19.3)
(19.3)
Сравнивая уравнения закона Кулона и закона всемирного тяготения, замечаем, что они аналогичны по форме и справедливы для точечных тел (материальных точек или точечных электрических зарядов). В том же виде уравнения справедливы и для неконцентрично расположенных тел сферической формы (однородных по плотности или по распределению электрических зарядов). Силы электростатического взаимодействия (кулоновские силы), так же как гравитационные, зависят от координат взаимодействующих тел и имеют центральный характер (действуют по линии, соединяющей взаимодействующие заряженные материальные точки). Кулоновские силы проявляют себя при отсутствии непосредственного контакта между взаимодействующими телами, т. е. взаимодействие и здесь осуществляется через посредство поля. Различная природа кулоновских и гравитационных сил проявляется прежде всего в том, что первые могут быть как силами притяжения, так и силами отталкивания^ вторые же всегда являются силами притяжения.
В точных расчетах взаимодействия заряженных тел можно, конечно, учитывать наряду с кулоновскими и гравитационные силы, но при взаимодействии малых по массе тел этого не делают, так как кулоновские силы оказываются во много раз больше гравитационных.
Задача. Во сколько раз отличаются силы кулоновского и гравитационного взаимодействия между двумя электронами, находящимися в вакууме? .
В СИ закон Кулона и закон всемирного тяготения для этого случая запишем в виде
1 е2 т2к 4ле0 г2 1 г2
где е— заряд электрона, т — масса электрона, а г— расстояние между электронами. Почленно разделив эти уравнения, получаем расчетную формулу:
Fk_F 4л80уяг2'
Величины, стоящие в правой части, в СИ имеют следующие значения: е=1,6.10~19 1<л, е0=8,85.10~12 Кл2/(Н-м2), у=6,67- 10~и м3/(кг-с2), т=9,Ь10~31 кг. Нетрудно убедиться, что результат расчета будет
безразмерным:*
Кл2^Н-с2^ Н
[Кл2/(Н-м2)] [м3/(кг*с2)1 (кг2) м-кг Н *
Подставляя численные значения, получаем
F6-10—
£кд 0.1042
F —4-3,14.8,85-IO-12-6,67-Ю"11 (9,Ь 10-31)2’*
Как видим, независимо от расстояния, на котором находятся электроны, разница этих сил огромна./
С помощью закона Кулона можно получить некоторые сведения о том, много или мало электронов перераспределяется между телами при электризации. Для этого выясним, например, чему равны силы притяжения двух одинаковых свинцовых шариков с диаметрами d=l,0 см, если у каждого атома одного шарика - отнято по одному электрону и все они перенесены на другой шарик. Шарики находятся в воздухе, расстояние между их центрами г= =50 см.
Обозначим число атомов в каждом шарике через гц заряд электрона — через е; тогда заряды шариков g^+en, g2=—еп и силы кулоновского взаимодействия между шариками (при равномерном распределении зарядов по их поверхностям) в СИ будут равны
р= М» = 1 (enV 4ле0ег2 4ле0 \ г у ’ поскольку можно считать, что для воздуха е=1 (более точное значение относительной диэлектрической- проницаемости воздуха при нормальных условиях— 1,00059).
Число п атомов в каждом шарике найдем, исходя из следующих соображений. В моле атомарного вещества содержится количество атомов, численно равное постоянной Авогадро NA. Если масса каждого шарика равна т, а молярная масса свинца М, то
п— (m/M)NA.
Поскольку диаметры шариков заданы и известно, из какого вещества шарики изготовлены, то т=-~-Лб/3р, где р — плотность свинца, или
6А1 •
Подставляя это выражение для п в уравнение закона 312
Кулона, получаем
F 1 ( Л6^Р^ л е V _ л ( ^£^А5?\ 24ле0 \ 6714г )144е0 \ 714г у *
Входящие в эту формулу величины имеют следующие значения: е0=8,85‘ 10“12 Кл2/(Н-м2), d=0,010 м, р= 11 340 кг/м3, /VA—6,02-1023 моль-1, е— 1,6-10”19 Кл, г=0,50 м и М= =207* 10”3 кг/моль.
Легко проверить, что результат будет получен в ньютонах:
1Г (м3) (кг/м3) (моль-1) (Кл)12__ Н-м2Кл2 „
Кл2/(Н-м2) [ (кг-моль-1) (м) J ~ Кл2 м2 " *
Подстановка численных значений дает
3,14/0,0103-11340-6,02-1023-1,6-
144-8,85-10~12 \207-10~3-0,50^
-^2,8-1017Н.
Если этот результат представить в более «ощутимых» единицах, то /^2,9- 1016 кГ=2,9* 1013 тонн!
Наэлектризованные шарики таких размеров, которые были предложены в условиях этой задачи, безусловно, всеми наблюдались при демонстрациях опытов в физическом кабинете. Расстояния между наэлектризованными телами обычно бывают порядка нескольких сантиметров, так что значение г=50 см вполне реально. Но с такими колоссальными значениями сил мы не встречаемся в физических опытах. О чем это говорит? Да только о том, что при электризации перераспределяется лишь очень малая доля числа электронов, имеющихся в телах.
К сказанному следует добавить, что если бы даже мы попытались каким-то способом сообщить рассмотренным шарикам заряды, равные ±еп, то соответствующее количество электронов не смогло бы удержаться на отрицательно заряженном шарике из-за взаимного отталкивания и наступил бы пробой той диэлектрической среды, в которой находятся шарики:
Напряженность — силовая характеристикаэлектрического поля
О наличии электрического поля в той или иной точке пространства можно судить по силе, действующей на неподвижный точечный электрический заряд ^0, помещенный в данную точку (часто такой заряд называют пробным
зарядом^. Оказывается, что эта сила зависит от значений зарядов источников поля, от расположения этих источников в пространстве, от расположения рассматриваемой точки по отношению к источникам поля и от электрического заряда ^о. Чтобы характеризовать поле заданных источников в данной точке пространства, вводят напряженность электрического поля (Е) — физическую величину, определяемую отношением силы F, действующей на неподвижный точечный положительный электрический заряд ^0, к значению этого заряда:
Е = £- (19.4)
Напряженность электрического поля заданных источников в определенной точке пространства не зависит от заряда qQ и, так сказать, характеризует силовые возможности поля. Если в точку поля, напряженность в которой равна Е, помещен электрический заряд q, то на него действует сила
F = ^E, (19.5)
причем направление вектора F зависит от знака заряда q: если ^>0, то F совпадает по направлению с Е; если q<Ot то вектор F противоположен по направлению вектору Е.
Следует остановиться на своеобразии и ограниченности механического подхода к истолкованию силы, определяемой выражением (19.5), как, впрочем, и всех иных сил, вводимых при описании полевых воздействий.
Закон Кулона позволяет находить силы электростатического взаимодействия заряженных частиц или тел. В этом отношении он аналогичен закону всемирного тяготения, которому подчиняются силы гравитационного взаимодействия частиц или тел. В связи с этим следует еще раз напомнить, что законы Ньютона были установлены в те времена, когда о полевом характере различных типов взаимодействий ничего не было известно, когда опытной проверкой можно было подтвердить только взаимодействия тел при непосредственном контакте (упругие или неупругие столкновения, возникновение взаимодействий при трении тел). Не зная механизма передачи взаимодействий при отсутствии контакта тел (как, например, при гравитационном взаимодействии Земли и Луны, Солнца и планет Солнечной системы и т. п.), считались лишь с фактом таких
взаимодействийj и вводимые при этом силы наделяли всеми признаками, укладывающимися в рамки классической механики Ньютона.
Современная физика пользуется представлением о полях как о своеобразной форме материи, осуществляющей различные взаимодействия между телами или частицами, причем поведение этой разновидности материи не подчиняется законам Ньютона. Например, процесс распространения, установления поля в пространстве происходит со скоростью света, с полем нельзя связать систему отсчета. Если в одной и той же области пространства одновременно присутствуют поля от нескольких источников, то поля эти (если их напряженности не очень велики) не взаимодействуют между собой и, так сказать, мирно сосуществуют, накладываясь друг на друга. В этом заключается так называемый принцип суперпозиции полей, который позволяет находить суммарную напряженность в данной точке пространства сложением векторов напряженностей всех полей, имеющихся в этой точке.
Любая неподвижная заряженная частица является источником электростатического поля, которое служит признаком существования самой заряженной частицы. Эта частица испытывает действие сил со стороны электростатических полей других заряженных частиц, а поле данной частицы оказывает силовое воздействие на другие заряженные частицы. О взаимодействии каких-то двух заряженных частиц можно говорить только при условии, что поле первой частицы успело распространиться до места нахождения второй частицы, а поле второй — до места расположения первой.
Единицы измерения напряженности устанавливаются в согласии с (19.4). В СИ сила измеряется в ньютонах, а электрический заряд — в кулонах; таким образом, единица напряженности электрического поля имеет наименование Н/Кл. Гораздо чаще наименование единицы напряженности в СИ представляют в виде В/м. Выполнив несложные преобразования, можно показать, что оба наи
Н Н-м Дж менования совершенно равноправны:=> но
Дж/Кл=В (см. п. 19.4), поэтому Н/Кл=В/м. В системе СГСЭ абсолютная электростатическая единица напряженности (1 ед. СГСЭ£) имеет размерность
Учитывая, что 1 Н=105 дин и 1 Кл=3-10еед. СГСЭ?, получим связь между единицами напряженности в системах СИ и СГСЭ:.
< у> ,10-ДИН 1
1 В/м = 3 109 еД1 сгсэ^ — з7104 ед. СГСЭ£.
Довольно часто мы имеем дело с электростатическим полем, во всех точках которого напряженности одинаковы (E=const). Такое поле называется однородным. В различных точках неоднородного поля векторы напряженности неодинаковы (по модулю, по направлению или по обоим этим признакам).
•Если источником поля в вакууме является точечный электрический заряд q (или .равномерно заряженное по поверхности или по объему тело сферической формы с таким же „суммарным зарядом q^ то напряженность поля в точке пространства, находящейся на расстоянии г от источника поля (или на расстоянии г от геометрического центра сферического равномерно заряженного тела), на основании (19.4), (19.1) и (19.3) можно подсчитать по формулам
5 = (в системе СГСЭ)(19.6?)
или
E=d? о™»-(196)
В однородном веществе с относительной диэлектрической проницаемостью 8 напряженность в той же точке пространства будет в е раз меньше:
Е^^ (в системе СГСЭ)(19.7')
или
(а СИ>-<19J>
Не следует забывать, что формулы (19.6'), (19.6), (19.7') и (19.7) позволяют определить напряженность в какой-то точке поля только в тех случаях, когда источниками поля являются либо точечный заряд, либо равномерно заряженное тело сферической формы. Для расчета полей иных источников эти формулы применять нельзя!
Электростатика не занимается изучением движейия заряженных частиц или тел, но причины возникновения 316
и характер возможных движений она позволяет вскрыть. Пусть в вакууме имеется электростатическое поле неподвижного точечного заряда q и на расстоянии г от этого заряда находится материальная точка с электрическим зарядом ^о и массой т. Если эта точка не закреплена, то под действием кулоновской силы она будет двигаться с ускорением
°=^=S- JB системе сгсэ)
или
а=—(в СИ).
При уменьшении расстояния г ускорение возрастает; если же г увеличивается, то ускорение уменьшается. Следовательно, в этом случае движение заряженной материальной точки не может быть равнопеременным (a^const).
Незакрепленная заряженная точка в электростатическом поле всегда будет двигаться с ускорением. Равноускоренное прямолинейное движение возможно в тех случаях, когда заряженная точка оказывается в однородном электростатическом поле и первоначально она либо неподвижна, либо вектор ее начальной скорости совпадает по направлению с вектором напряженности поля. Замедленное прямолинейное движение будет наблюдаться, если вектор начальной скорости точки противоположен по направлению вектору напряженности поля. Если же поле неоднородно или вектор начальной скорости точки составляет с вектором напряженности поля углы, отличные от 0 и л радиан, то характер движения будет более сложным: ускорение может быть переменным, а траектория движения — не только прямолинейной, но и криволинейной.
Более детальный анализ движения заряженной частицы под воздействием других заряженных частиц выходит за рамки электростатики. Это связано с тем, что при рассмотрении любых движений заряженной частицы (ускоренных или даже движений с постоянной скоростью) в инерциальной системе отсчета, кроме сил электростатического взаимодействия, зависящих от координат частиц, приходится учитывать еще силы магнитного взаимодействия, которые оказываются зависящими не только от координат, но и от скоростей частиц в данной инерциальной системе отсчета. Поэтому, когда в задачах электростатики все же требуется считаться с перемещением
заряженных частиц (например, при расчете работы кулоновских сил), полагают, что эти перемещения происходят с такими малыми скоростями, при которых эффекты магнитного взаимодействия практически неощутимы.
Силовые линии. При использовании понятия напряженности электрическое поле удобно графически изображать с помощью силовых линий (или линий напряженности). Силовой линией называют воображаемую линию, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора напряженности поля в этой точке. Каждому очень малому по длине элементу силовой линии приписывают направление, совпадающее с направлением вектора напряженности поля, которое в пределах малой длины элемента силовой линии (между крайними точками элемента) может считаться однородным. Поэтому силовые линии поля одиночного точечного положительного заряда изображают радиально расходящимися во все стороны от источника поля. Силовые линии поля одиночного точечного отрицательного заряда направлены к источнику поля. Если же с помощью силовых линий изображают поле,системы нескольких заряженных материальных точек, то эти линии уже не будут прямыми, но тем не менее говорят о направлении этих линий. В связи с этим на графических схемах направление не только прямолинейных, но и криволинейных линий напряженности поля всегда указывается стрелками.
Кроме того, договариваются проводить силовые линии ближе друг к другу в тех областях поля, где напряженность больше (число силовых линий, проходящих через единичную площадку, перпендикулярную к ним, пропорционально напряженности поля в месте расположения площадки). Таким образом, по густоте силовых линий судят о модуле напряженности поля. Понятно, что при такой договоренности однородное поле изображается параллельными и равноотстоящими одна от другой силовыми линиями.
Силовые линии оказывают услугу и при переходе от рассмотрения неподвижных заряженных частиц к анализу их движений под действием сил электрического поля. Если электрическое поле, силовые линии которого прямолинейны, подействует на неподвижную свободную (незакрепленную) заряженную частицу или на частицу, имеющую вектор начальной скорости, совпадающий с направлением силовых линий поля (или противоположный им по направлению), то движение частицы будет происходить как раз вдоль силовых линий. Таким образом, в этих частных 318
случаях силовые линии поля будут являться траекториями движения заряженной частицы.
Электростатическое поле системы заряженных частиц. Принцип независимости действия сил выполняется и в задачах электростатики (этот принцип является следствием того, что электростатические поля различных источников не взаимодействуют между собой).
Если какая-то заряженная частица находится в элект
ростатическом поле нескольких точечных электрических зарядов, то каждый из них действует на данную частицу
независимо от других, причем силы воздействия подчиняются
закону Кулона. В связи с этим появляется возможность говорить о результирующей силе воздействия нескольких заряженных частиц на данную и о суммарной напряженности поля нескольких источников в данной точке пространства.
При геометрическом сумми
ровании векторов напряжен
ностей обязательно нужно учитывать знаки зарядов ис
точников поля, так как от них зависят ориентации слагаемых векторов. Например, чтобы найти в точке В (рис. 19.1) суммарную напряженность Es поля, источниками которого являются частицы с зарядами +gn —#2, —^з и +q4, нужно геометрически сложить векторы Еъ Е2, Е3 и Е4.
Если источником поля служит заряженное тело конечных размеров, то определение напряженности в какой-то точке пространства сводится к геометрическому сложению напряженностей от всех заряженных элементов тела. Для этого тело мысленно разбивают на малые части, размеры которых много меньше расстояний от них до рассматриваемой точки пространства, и каждую такую часть принимают за точечный носитель электрического заряда, равного цзвестной доле общего заряда тела.
Задача. Два неподвижных положительных заряда ^—30-10-8 Кл и ^2=120-10“8 Кл находятся в вакууме на расстоянии г=0,10 м один от другого. В какой точке М, лежащей на линии, соединяющей заряды# нужно поместить положительный заряд ^3, чтобы он находился в равновесии (рис. 19 2р
Пусть расстояние точки Af от заряда qx равно х, тогда ее расстояние от q^ будет равно г — х. В точке М имеется электростатическое поле двух зарядов, и равновесие заряда q3 возможно, если суммарная напряженность поля равна нулю. Вектор напряженности Ех поля заряда qt
направлен вправо, а вектор напряженности Е3 поля заряда ^2— влево Значения этих напряженностей в точке М в СИ можно выразить в соответствии с формулой (19.6): '
1 4ле0х2 ’2 4ле0(г — х^
При равновесии заряда ^3 должно выполняться равенство Е^Е^ oti куда
х2(г—х)^
Это квадратное относительно х уравнение, приведенное к виду
(Qi— q№— 2q1rx+qi^=01
дает
Выражение в скобках безразмерно, так что значения xi и х2 будут получены в метрах. Подставляя заданные величины, находим
Xi = 0,10Xi = 0,10— —0,10 м,— —0,10 м,30.10-8+У30. IO-8-120-10-8
Xi = 0,10
Xi = 0,10
— —0,10 м,
— —0,10 м,
30.10-8 — 120.10-8
л/зо. 10-8— у30.10-8.120.10-8 \
х2-0,10^30.10-8—120.10-8 у « 0,033 м.
Совершенно ясно, что смысл имеет только второй корень (х2), так как отрицательное значение расстояния между зарядами qx и ^3, видимо.
соответствует расположению заряда q3 слева от заряда qx (например, в точке D\ где равновесие заряда q3, одноименного с зарядами qx и ^2, невозможно. В этом положении на заряд q3 будет действовать результирующая сила, направленная влево. Эта сила не позволит незакрепленному заряду находиться в покое.
Невозможность устойчивого равновесия системысвободных электрических зарядов
Оценим, является ли равновесие заряда q3 в точке М (см. рис. 19.2) устойчивым. Если какие-то внешние причины сместят заряд вдоль линии SN, он будет возвращаться в точку М, так как в результате смещения либо будет 320
возрастать сила его отталкивания от заряда qt при убывании силы отталкивания от заряда ^2, либо преобладающей будет оказываться сила отталкивания от заряда q2. Но равновесие заряда q^ в положении М может считаться устойчивым, если заряд будет возвращаться в точку М после малого смещения в любое положение.
Что будет наблюдаться, если заряд q3 переместится в какую-то точку, не лежащую на линии SN? Например, в точке В на него будет действовать неуравновешенная сила FB, являющаяся результирующей двух сил F1B и F2B, которая не позволит заряду возвратиться в точку М. Анализ перемещений заряда в точки, лежащие ниже линии 8Л\ хИли в точки, лежащие на продолжениях линии SjV за места расположения зарядов qx и q2 (например, в точки D или К на рис. 19.2), приводит к выводу, что равновесие свободного заряда в электростатическом поле других одноименных зарядов не может быть устойчивым. К такому же выводу можно прийти, рассматривая любую совокупность разноименных зарядов.
После этого становится ясным, что незакрепленные заряженные частицы и тела (иногда такие частицы и тела называют свободными) должны или разлетаться в разные стороны на бесконечно большие расстояния, если щх заряды одноименны, или сближаться до непосредственного контакта, если знаки их зарядов противоположны.
Если вспомнить, что атомы любого вещества состоят из заряженных частиц — положительно заряженных ядер и отрицательно заряженных электронов, то можно спросить: почему же атомы являются устойчивыми образованиями, почему электроны не падают на ядра или не разлетаются в разные стороны, почему не разрушается, не уничтожается вещество, состоящее из заряженных частиц?
Закон Кулона не позволяет незакрепленным заряженным частицам находиться в устойчивом равновесии, а аналогичный ему закон всемирного тяготения не должен позволить находиться в устойчивом равновесии телам Вселенной. Луна должна упасть на Землю, все планеты Солнечной системы должны упасть на Солнце и вообще все тела должны собраться, столкнуться в одном месте, ибо силы тяготения притягивают их друг к другу! Но нам достоверно известно, что атомы и космические системы не исчезают, существуют необозримое число лет и не собираются исчезать.
11 Ю. А. Селезнев 321
Как же разрешить возникшие в наших рассуждениях противоречия? Они ликвидируются, если учесть реальное положение дел в природе. Устойчивое соседство космических тел возможно из-за их непрекращающегося движения. Луна упала бы на Землю, если она хотя бы на мгновение остановилась. Движутся и электроны вокруг атомных ядер. Но атом устойчив не только из-за того, что его электроны находятся в движении. Для строгого объяснения устойчивости атома приходится привлекать законы квантовой механики.
Нас могут спросить: а как же объяснить хорошо известный факт устойчивого равновесия избыточных заряженных частиц на проводниках? Действительно, при электризации, например, металлического шарика от эбонитовой палочки только в первые мгновения происходит передвижение по нему заряженных частиц, а затем достигается их статическое равновесие: они располагаются на его поверхности, и никакого их движения не обнаруживается.
Ответить на такой вопрос нетрудно. Дело в том, что заряженные частицы, сообщенные шарику, не являются свободными. Попав на шарик, они оказываются в электрическом поле всех частиц, из которых состоит шарик, они притягиваются этим полем. Нейтральное в электрическом отношении вещество шарика может удерживать избыточные заряженные частицы подобно тому, как нейтральный атом может терять часть своих электронов или присоединять лишние электроны, забираемые от других атомов в процессе ионизации.
Если металлическому шарику извне сообщено какое-то количество избыточных электронов, то, отталкиваясь друг от друга, они, конечно, постараются разойтись на возможно большие расстояния. Устойчивое равновесие избыточных электронов в суммарном электрическом поле вещества шарика и соседних избыточных электронов достигается, как всегда, при наименьшем значении потенциальной энергии их взаимодействия. Этому минимуму потенциальной энергии и соответствует их распределение по поверхности проводника.
Понять, что избыточные электроны, сообщенные проводнику, располагаются только на его поверхности, легко. Это объясняется их хорошей подвижностью в проводнике и действием сил взаимного отталкивания. Но как объяснить, что тот же металлический проводник, обладающий избыточным положительным зарядом, ведет себя так, как
будто избыточные положительные заряды притекают к его поверхности и располагаются на ней? Ведь если проводник металлический, то в узлах его кристаллической решетки находятся положительные ионы, которые не обладают подвижностью, как электроны, они лишь колеблются вблизи узлов решетки, но поступательно по всему объему тела перемещаться не могут. Объяснение вновь возможно дать, рассматривая поведение электронов проводника. Если металлический проводник обладает избыточным положительным зарядом, то с точки зрения электронной теории это означает, что в процессе электризации из проводника была удалена часть электронов (никакие положительные заряды на проводник не подаются). Оставшиеся в проводнике электроны испытывают действие более значительных сил притяжения со стороны суммарного поля вещества проводника, чем при электрически нейтральном состоянии проводника. Ну, а если вступают в действие силы притяжения, то для обеспечения минимума потенциальной энергии взаимодействия электроны стягиваются в пределах возможно меньшего объема. Картина явления оказывается похожей на ту, которая имеет место при взаимодействии притягивающихся частиц жидкости, когда поверхностный слой стремится уменьшить свою площадь до минимума. «Оттягивание» электронов от поверхности проводника приводит к их недостатку на ней, что и трактуется как наличие на поверхности проводника положительных электрических зарядов.,
Энергетические характеристикиэлектростатического поля. Работа при перемещениизаряженных частиц или тел в электростатическом поле
Рассматривая взаимодействие двух зарядов, находящихся в неподвижной инерциальной системе отсчета, мы имеем дело с замкнутой консервативной системой, так как взаимодействие осуществляется внутренними силами, зависящими только от координат расположения зарядов. При этом, так же как и в достаточно подробно рассмотренном ранее случае оценки взаимодействия тяготеющих тел, мы имеем дело с системой, состоящей из трех объектов: двух зарядов и электростатического поля, осуществляющего взаимодействие между ними. Чтобы электростатическое взаимодействие при перемещении одного заряда относительно другого не осложнялось никакими другими 11*323
силовыми эффектами (например, магнитными; см. стр. 317, 318), будем предполагать, что перемещение происходит о чрезвычайно малой скоростью. Работу кулоновской силы можно найти тем же способом, который был указан при определении работы силы тяготения.
Пусть с зарядом Q связана неподвижная инерциальная система отсчета. В электростатическом поле этого заряда из положения 1 в положение 2 перемещается заряд q. Кулоновская сила F, действующая на заряд q в произвольной точке траектории, может быть направлена так, как показано на рис. 19.3, если заряды Q и q разноименны.
Рис.Рис.19.4.19.4.
Рис.
Рис.
19.4.
19.4.
Случаю одноименных зарядов соответствует рис. 19.4. (Обратите внимание наго, что рис. 19.3 и 19.4 аналогичны рис. 5.3, который был использован нами ранее для пояснения расчета работы силы упругости и силы тяготения.)
Пусть заряды находятся в однородной среде с относительной диэлектрической проницаемостью е. Если расстояние между ними равно г, то сила, действующая на перемещающийся заряд, определяется в СИ выражением
4ле06- Г2 ’
а среднее значение силы на интервале расстояний (г2—А) равно
р .
С₽ 4Л8О8Г1Г2
(сравните это выражение с (5.13)). Работу Л12, совершаемую кулоновской силой (иногда -говорят о работе, совершаемой силами поля, или о работе, совершаемой электростатическим полем) при перемещении заряда q из положения 1 324
в положение 2, можно представить в виде
А1»~РсЛГг—Г^="£^7У^ (19.8) или
Аи =т^7-^—. (19.9) 12 4Л80 8Г! 4Л808Г2 V 1
Из формулы (19.8) видно, что если разноименные заряды сближаются (при этом Qq<0 и г2—^<0) или если расстояние между одноименными зарядами увеличивается (Q<?>0 и г2—Г1>0), то работа кулоновской силы положительна И12>0). При увеличении расстояния между разноименными зарядами (Qg<0 и г2—гх>0) и при уменьшении расстояния между одноименными зарядами (Q^>0 и г^—/ч<0) работа кулоновской силы отрицательна (Л12<0)\ Из (19.9) следует, что рябота кулоновской силы не зависит от формы траектории точки приложения силы и при замкнутой траектории (в этом случае г^г^ всегда равна нулю.
Поля, работа сил которых удовлетворяет этим признакам, называются потенциальными полями. Иными словами, потенциальными являются поля консервативных сил. К потенциальным относятся электростатическое поле, поле тяготения, так называемое стационарное электрическое поле.
В правой части выражения (19.9) содержится разность двух величин, являющихся функциями состояния рассматриваемой системы зарядов. Для данной системы зарядов Q и q, находящихся в данной среде, эти величины зависят только от взаимного расположения зарядов. В связи с этим величину
^п=г^- (19-Ю)
П 4Л808Г 4 7
называют потенциальной энергией электростатического (или кулоновского) взаимодействия двух зарядов (или потенциальной энергией одного из зарядов в электростатическом поле другого).
Аналогично тому, как потенциальная энергия гравитационного взаимодействия, определяемая выражением (5.34), зависит от гравитационных свойств взаимодействующих тел (эти свойства характеризуются массами тел), потенциальная энергия электростатического взаимодействия зависит от электрических свойств (от зарядов Q и q) взаимодействующих заряженных частиц или тел. При бесконечно
большом расстоянии между телами (г=оо) потенциальные энергии обоих типов взаимодействия удобно считать равными нулю (что соответствует отсутствию взаимодействия между телами). Различия можно усмотреть в том, что потенциальная энергия кулоновского взаимодействия зависит от среды, в которой находятся взаимодействующие заряженные частицы или тела, а потенциальная энергия гравитационного взаимодействия от среды не зависит. Кроме того, если потенциальные энергии обоих типов взаимодействия при расположении взаимодействующих тел или частиц на бесконечно большом расстоянии приняты за нуль, то для конечных расстояний между телами потенциальная энергия гравитационного взаимодействия может быть только отрицательной (что соответствует притяжению тел), а потенциальная энергия электростатического взаимодействия может быть и отрицательной (при Q^<0, что соответствует силам притяжения между разноименными зарядами), и положительной (при Q^>0, что соответствует отталкиванию одноименных зарядов).
С учетом (19.10) формула (19.9) может быть представлена в виде
Л18 = Г„1- ^„2 = - (Гп - Гп1), (19.11)
ИЛИ
Д2 = -ДГП, (19.12)
т. е. работа, совершаемая кулоновской силой (или электростатическим полем) при перемещении заряда из одной точки поля в другую, равна взятому с обратным знаком изменению потенциальной энергии этого заряда в электростатическом поле заданного источника
Мы получили формулы (19.11) и (19.12) в предположе- пищ что заряд q перемещается в электростатическом поле точечного электрического заряда Q. Такая же связь работы кулоновской силы с изменением потенциальной энергии- перемещающейся заряженной частицы или заряженного тела оказывается справедливой для электростатических полей любых других источников (системы точечных заряженных частиц, заряженного тела конечных размеров, системы заряженных тел и т. д.).
Сравнение (19.12) с (5.26) и (5.36) говорит о едином подходе к расчету работы консервативных сил различной природы.
Потенциал и разность потенциалов. Физическая величина, определяемая отношением потенциальной энергии 326
Н7П точечного заряда q, находящегося в какой-то точке электростатического поля, к заряду q. называется потенциалом этой точки поля (ф):
(19.13)
Потенциал является энергетической характеристикой поля в данной точке и не зависит от электрического заряда частиц, помещаемых в эту точку поля. Точка поля характеризуется потенциалом и в том случае, если в ней никакие заряды не находятся. Но для измерения потенциала в данную точку поля придется, конечно, поместить так называемый пробный заряд. При этом предполагается, что пробный заряд не искажает того поля, которое с его помощью исследуется.
Если потенциал ф точки поля известен и в- эту точку помещен заряд q, то потенциальная энергия заряда в данном электростатическом поле, может быть определена как
rn = w. (19.14)
Зная потенциалы фх и ф2 каких-то двух точек поля, легко определить работу, совершаемую кулоновской силой при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2. В самом деле, на основании (19.11) и (19.14) имеем
Л12=— ^(ф2—фх), (19.15) или
Л12=—^Аф21. (19.16)
Обратим внимание на то, что во всех формулах мы использовали буквенное обозначение работы кулоновской силы с цифровым индексом, указывающим, из какой точки и в какую перемещается заряженная частица. Цифровой индекс мы сохранили и у второго сомножителя в правой части последней формулы. Несмотря на громоздкость, такие обозначения оказываются все же оправданными, так как помогают предотвратить встречающиеся при решении зацач ошибки. Дело в том, что в задачах электростатики наряду с работой кулоновских сил очень часто фигурирует работа каких-то внешних сил. Знаки этих работ зависят не только от направления перемещения заряженной частицы или тела, но и от знака заряда. Кроме того, потенциалы некоторых точек поля могут быть положитель-
ными, а потенциалы других точек — отрицатёльными (это зависит от места расположения той или иной точки в поле заданных источников, от расположения самих источников поля и от знаков электрических зарядов этих источников). Поэтому весьма желательно, чтобы уравнения и формулы отражали картину явления во всех подробностях и не- нуждались в дополнительных словесных пояснениях.
Из (19.15) или (19.16) получают энергетическую характеристику, относящуюся к любым двум точкам электростатического поля,— разность потенциалов:
q,2-q>1==Aq)21 = -^. (19.17)
Разность потенциалов между точками 2 и / определяется взятым с обратным знаком отношением работы, совершаемой кулоновской силой при перемещении положительного электрического заряда q из точки 1 в точку 2, к заряду q. Введенная таким образом разность потенциалов уже не зависит от заряда q.
Единицы измерения потенциала и разности потенциалов могут быть установлены в соответствии с формулами (19.13) и (19.17). В СИ единицей измерения потенциала и разности потенциалов служит вольт (новое обозначение — В). В согласии с (19.13) и (19.17) вольт может быть выражен через джоуль и кулон: '
но следует иметь в виду, что в СИ принято вводить вольт как разность потенциалов на концах участка электрической цепи, по которому протекает единичный ток (1 А), развивая мощность, равную единице мощности (1 Вт):
1 в=тх-
В системе СГСЭ Wn и Л12 измеряются в эргах, a q — в абсолютных электростатических единицах заряда СГСЭ^, следовательно,
1 ед. СГСЭф = 1ед Срсэ9= CMVarVzc*1,
Поскольку
1 Дж=107 эрг, а 1 Кл=3-109 ед. СГСЭ^
то
/ =збо еД-СГСЭФ«
На основании (19.13) и (19.10) легко получить формулу для определения потенциала в точке, находящейся на рас- стоянии г от точечного источника поля с зарядом Q, при условии, что поле распределено в однородной среде с относительной диэлектрической проницаемостью е:
(19Л8)
В системе СГСЭ потенциал той же точки равен
<Р = £.(19.19)
(<р=0(<р=0при г— оо).при г— оо).Из этих формул видно, что потенциал точки, удаленной от точечного источника поля на бесконечно большое рас
(<р=0
(<р=0
при г— оо).
при г— оо).
стояние, удобно считать равным нулю Кроме того, из этих формул следует, что точки, равноудаленные от точечного источника поля, будут иметь одинаковые потенциалы. Иными словами, совокупность точек равных потенциалов образует сферическую поверхность с центром, совпадающим с точечным источником поля.
Таким образом, эквипотенциальные поверхности в случае точечно-
го источника электростатического
поля имеют сферическую форму, а силовые линии, направленные в этом случае радиально, в любой точке поля перпендикулярны к элементу эквипотенциальной по
верхности.
Взаимная перпендикулярность силовых линий и эквипотенциальных поверхностей имеет место для электростатических полей любых источников.
Связь между напряженностью электростатического поля и разностью потенциалов. Эту связь можно получить, рассматривая работу кулоновской силы при перемещении точечного электрического заряда в электростатическом поле. Пусть заряд q перемещается на Ди из точки 1 в точку 2, причем точки настолько близки одна к другой, что поле
в пределах расстояния между ними можно считать однородным (рис. 19.5), т. е. угол а между векторами Е и Аг при перемещении заряда остается постоянным.
Кулоновская сила, действующая на заряд, равна
Е=^Е,
а работу этой силы можно представить как
А1г=Р Ar. cosa=qE ^r cos a~qErAr,
где Ег — проекция вектора напряженности поля на направление перемещения заряда. Если потенциалы точек 1 и 2 равны соответственно дч и ф2, то ту же самую работу кулоновской силы можно выразить в согласии с (19.16):
Л i2=— q Аф21.
Из равенства
qErAr=—q Аф21
и получаем интересующую нас связь:
—(19.20)
Следует заметить, что единицу измерения напряженности электростатического поля в СИ (В/м) принято вводить в соответствии с выражением (19.20), а не по формуле (19.4).
Для доказательства перпендикулярности силовых линий к эквипотенциальной поверхности можно рассмотреть перемещение Аг электрического заряда q между двумя произвольными, но очень близкими точками (/ и 2) эквипотенциальной поверхности. Работа кулоновской силы в этом случае снова может быть выражена либо как
Ax^qE kr cos а, либо как
Д12=—^А<р21=дА(р12.
При условии, что Аф12=0 (так как точки 1 и 2 принадлежат эквипотенциальной поверхности), но q=A0, Е=#0 и ДгУ=0, из равенства
qE kr cos a=q Аф13
следует, что cosa=0, или а=л/2 радиан. Это и означает, что в любой точке электростатического поля вектор напряженности перпендикулярен к элементу эквипотенциальной поверхности.
330
§20. ВЕЩЕСТВО В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Металлические проводникив электростатическом поле
В отсутствие внешнего электрического поля вещество незаряженного проводника (на котором отсутствуют избыточные электрические заряды) электрически нейтрально и электронный газ равномерно распределен по его объему. Влияние внешнего поля сводится к перераспределению электронов по объему проводника. Это связано с тем/ что внешнее поле, действуя кулоновскими силами на электроны, сдвигает их. В течение очень короткого промежутка времени сразу после внесения проводника в поле на хаотическое тепловое- движение электронов накладывается упорядоченное движение, они перемещаются в направлении, противоположном направлению вектора напряженности внешнего поля. Это перемещение очень быстро прекращается. В проводнике наводится внутреннее электрическое поле перераспределенных электронов, причем из-за большого количества свободных электронов и из-за их хорошей подвижности оно усиливается по напряженности до тех пор, пока не скомпенсирует внешнее поле.
Когда напряженность -суммарного поля внутри объема проводника станет равной нулю, перераспределение электронов прекратится. Электроны снова оказываются в статическом равновесии. При этом направление силовых линий электростатического поля вблизи поверхности проводника может быть только перпендикулярным к ней. Если бы имелись составляющие напряженности, касательные к поверхности проводника, то это вызывало бы перемещение электронов по поверхности, что противоречило бы статическому равновесию электронов, наблюдаемому на опыте. Таким образом, при статическом равновесии перераспределенных под действием внешнего поля электронов поверхность проводника оказывается эквипотенциальной (так же как и при статическом равновесии избыточных электрических зарядов на проводнике). Более того, эквипотенциальным будет и весь объем проводника, так как если бы это не выполнялось, сохранялись бы условия для продолжения перераспределения электронов по объему проводника.
Обратим внимание на эту важную особенность металлических проводников: избыточные электроны, сообщенные
проводнику; и электроны, перераспределенные под действием внешнего поля, могут располагаться только на поверхности проводника!
Если проводник заряжен избыточными зарядами, то внутри его объема имеются поля всех этих зарядов, но суммарная напряженность всех этих полей в любой точке внутри проводника равна нулю. Если проводник находится во внешнем поле, то внутри его объема имеются два поля: внешнее и поле перераспределенных электронов. И в этом случае напряженность суммарного поля в любой точке внутри объема проводника оказывается равной нулю.
При равенстве нулю напряженности суммарного поля в любой точке внутри проводника потенциалы в этих точках не всегда целесообразно принимать равными нулю. Эту ситуацию можно пояснить, вернувшись снова к задаче, рассмотренной на стр. 319, 320. В точке М имеются поля двух зарядов. Напряженность в этой точке оказывается равной" нулю вследствие суперпозиции двух полей. Несмотря на равенство нулю суммарной напряженности, потенциал в точке М нулю не равен (при условии, что нуль отсчета потенциалов выбран на бесконечно большом расстоянии от зарядов). Значение этого потенциала можно найти, воспользовавшись формулой (19.18):
фМ — Фх + ф2 “ 4ЛеоЛ: + 4ле0 (г —х) *
Задача. Два металлических шарика с радиусами гх и г2 (для определенности будем считать, чтог2>^1) заряжены одноименными и равными зарядами q Шарики находятся друг от друга на расстоянии, значительно превышающем радиусы гх и г2. Будет ли происходить .перераспределение электронов между шариками, если шарики соединить проволокой^
Два шарика, соединенные проволокой, будут представлять собою один проводник. Перераспределение электронов в проводнике может происходить в тех случаях, когда потенциалы в различных его точках неодинаковы. Электроны будут перемещаться от точек с меньшим потенциалом в точки с большим потенциалом, стремясь занять наиболее устойчивые положения, которым соответствует минимальное значение потенциальной энергии. Остается выяснить, равны ли потенциалы в различных точках проводника, еос оящего из двух шариков и соединяющей их проволоки.
Можно показать, что потенциал уединенного проводящего шара радиуса г, несущего на себе электрический заряд q и находящегося в среде с относительной диэлектрической проницаемостью е, при условии, что нуль отсчета потенциала-выбран в точке, бесконечно удаленной от шара, в СИ равен
т 4Л8О8Г
Судя по условию задачи, рассматриваемые шарики находятся в вакууме. Поэтому их потенциалы (до соединения проволокой) можно определить по формулам
_ д _ д$* 4Л80Гх ’Ф2 ~ 4ле0 г2 *
Так как радиусы шариков неодинаковы, то и потенциалы фх и ф2 не равны.
При решении вопроса о том, какой из этих потенциалов больше, нужно учесть знаки зарядов шариков (так как знак потенциала проводника зависит от знака заряда этого проводника). Если заряды на шариках положительны (^>0), то при гг>гх будет Ф1>ф2, т. е. электроны будут перетекать с большего шарика на меньший. Если же заряды на шариках отрицательны (<7<0), то Ф1<ф2 и электроны будут перетекать с меньшего шарика на больший.
Перераспределение электронов в обоих случаях закончится, когда потенциалы шариков сравняются.
Часто, имея в виду движение электрических зарядов, пользуются представлением о так называемом техническом направлении электрического тока (см. § 22). Если говорить о техническом направлении кратковременного тока, соответствующего перераспределению электронов в двух рассмотренных случаях, то он будет направлен от меньшего шарика к большему в первом случае и от большего к меньшему — во втором.
Электрическая емкость. Важной характеристикой проводников является их электрическая емкость.С (электроемкость или просто емкость)—физическая величина, равная отношению заряда проводника q к потенциалу ф, который имеет проводник при наличии на нем этого заряда:
С = ^._(20.1)
В СИ единицей емкости является фарадах 1Ф=1Кл/1В.
Учитывая эту связь между фарадой, кулоном и вольтом, можно преобразовать размерность электрической постоянной ее в СИ:
Кл2 _ Кл2/Кл \ Кл _ Кл _ Ф
Н-м3 — Дж-м\Дж/ м В-м м
Обычно электрическую постоянную и приводят в этой размерности:
е0=8,85-10~12 Ф/м.
Единица емкости в системе СГСЭ имеет размерность сантиметра:
ед. СГСЭс = ^-^^= 1 см,
с 1 ед. СГСЭ,
а если учесть, что 1 Кл—3-109 ед. СГСЭ^ и 1 В—1/300 ед. СГСЭФ, то
1Кл 3-109 ед. СГСЭ^
1ф == _.- = 9- 1011едХГСЭс = 9- 10псм.
1В ед. СГСЭФ
Емкость уединенного проводника зависит от формы и размеров его поверхности, так как заряды на проводнике распределяются только по поверхности и «не обращают внимания» на вещество проводника или на наличие в нем пустот, каких-либо инородных включений и т. д.
Кроме того, емкость зависит от диэлектрической проницаемости среды, в которой находится проводник.
Потенциал проводника, обладающего одним и тем же зарядом q, зависит от наличия и расположения окружающих его тел. Это связано с тем, что в присутствии каких-то тел может произойти перераспределение заряда q на данном проводнике. Из-за явления электростатической индукции на окружающих телах также произойдет перераспределение электрических зарядов. Все это приведет к тому, что электростатическое поле вблизи данного проводника при наличии окружающих тел будет отличаться от поля уединенного проводника. Изменятся напряженности и потенциалы во всех точках вокруг проводника, изменится и потенциал самого проводника. Поэтому и емкость данного проводника зависит от присутствия и расположения окружающих тел.
Не следует думать, что емкость проводника зависит от того, кадим зарядом q он обладает. Емкость данного проводника при данном расположении окружающих тел постоянна, так как чем больший заряд сообщается проводнику, тем большим будет и потенциал проводника. Проводник характеризуется электрической емкостью и в том случае, если он вовсе не заряжен.
Поскольку потенциал уединенного сферического проводника, имеющего радиус г и электрический заряд q, в' СИ определяется формулой ,
Ф — д-5—•Y 4Л808Г
(при выборе нуля отсчета потенциала в бесконечно удаленной от проводника точке и при расположении проводника в однородной среде с относительной диэлектрической про-
334
ницаемостью е), то с учетом (20.1) емкость этого проводника будет равна
С=4л80ег.(20.2)
В системе СГСЭ емкость того же проводника равна
С-ег.(20.3)
Эти формулы иллюстрируют тот факт, что емкость уединенного сферического проводника зависит только от его размеров и от среды, в которой он находится.
Диэлектрики в электростатическом поле
Как уже отмечалось, моделью молекулы или атома диэлектрика может служить диполь — система двух разноименных, но равных по абсолютному значению электрических зарядов. Такая модель используется при описании поведения так называемых полярных диэлектриков, молекулы и атомы которых даже при отсутствии внешнего электростатического поля могут быть представлены в виде диполей. Диполи в этих условиях ориентированы хаотично и суммарный электрический заряд любого макроскопического элемента объема диэлектрика равен нулю.
Молекулы и атомы другого класса диэлектриков — неполярных диэлектриков — столь симметричны, что положительные и отрицательные заряды не представляется возможным считать пространственно разделенными (говорят, что центры распределения или расположения разноименных, но равных по абсолютному значению электрических зарядов совпадают). Таким образом, в отсутствие внешнего электростатического поля атомы или молекулы неполярного диэлектрика считаются электрически нейтральными частицами, не моделируемыми диполями.
Иная картина будет иметь место при внесении диэлектриков во внешнее электростатическое поле. Диполи полярных диэлектриков под воздействием сил поля будут поворачиваться, стремясь расположиться вдоль силовых линий поля, и, кроме того, диполи будут растягиваться (расстояние между зарядами диполя будет увеличиваться). Молекулы или атомы неполярных диэлектриков под воздействием внешнего поля деформируются, центры распределения разноименных зарядов уже не будут совпадать. Говорят, что в неполярном диэлектрике наводятся или индуцируются диполи, ориентированные вдоль силовых линий поля.
, В этом и состоит механизм поляризации диэлектриков во внешнем электростатическом поле. На участках поверхности диэлектрика, не параллельных вектору напряженности внешнего поля, в результате поляризации обнаруживаются нескомпенсированные электрические заряды (так называемые поляризационные заряды). Вектор напряженности поля поляризационных зарядов внутри объема однородного диэлектрика направлен противоположно вектору напряженности внешнего поля. Таким образом, в пределах объема поляризованного диэлектрика напряженность суммарного поля уменьшается. Полной компенсации внешнего поля и поля поляризационных зарядов никогда не наступает (в отличие от случая наложения внешнего поля и ноля электрических зарядов, перераспределяемых в проводнике).
Относительная диэлектрическая проницаемость вещества е, как уже отмечалось, и является мерой ослабления напряженности поля внутри объема данного однородного диэлектрика по сравнению с напряженностью поля тех же источников в той же точке пространства в вакууме.
Конденсаторы
Очень часто бывает необходимо, чтобы какой-то проводник обладал большим электрическим зарядом. При этом мы ограничены в возможности иметь дело с большими потенциалами заряженных проводников или с большими разностями потенциалов, так как при больших напряженностях электростатических полей, которые при этом возникают, даже в диэлектриках может начаться упорядоченное движение заряженных частиц (имеет место так называемый пробой диэлектрика). Но повлиять на потенциал и емкость данного проводника можно за счет изменения расположения окружающих его тел. Например, при приближении к проводнику тел, соединенных с Землей (заземленных тел), абсолютное значение его потенциала всегда уменьшается, емкость возрастает, и на проводник могут подаваться дополнительные электрические заряды при сохранении потенциала проводника не выше допустимого предела.
Потенциал проводящего тела, связанного с Землей, равен потенциалу земного шара и практически неизменен. Это объясняется очень большой электрической емкостью земного шара. Изменение электрического заряда земного 336
-q-qРис. 20.1.Рис. 20.1.фа—ф1==—ЕД,фа—ф1==—ЕД,ф2—Ф^=—Ed'.ф2—Ф^=—Ed'.Если потенциал заземленной нулю (фа—0), тоФ1=£d,Если потенциал заземленной нулю (фа—0), тоФ1=£d,пластинки принять равнымпластинки принять равнымФ^=Ed'.Ф^=Ed'.
-q
-q
Рис. 20.1.
Рис. 20.1.
фа—ф1==—ЕД,
фа—ф1==—ЕД,
ф2—Ф^=—Ed'.
ф2—Ф^=—Ed'.
Если потенциал заземленной нулю (фа—0), то
Ф1=£d,
Если потенциал заземленной нулю (фа—0), то
Ф1=£d,
пластинки принять равным
пластинки принять равным
Ф^=Ed'.
Ф^=Ed'.
шара в результате различных процессов, протекающих на нем, не приводит к ощутимым изменениям его потенциала. Ну, а поскольку нуль отсчета потенциала может выбираться произвольно, во многих задачах бывает удобно приписать нулевое значение потенциала не бесконечно удаленным точкам, а проводнику, потенциал которого с достаточной для практики степенью точности может считаться постоянным, т. е. заземленному проводнику.
Уменьшение потенциала проводника при приближении к нему другого, заземленного проводника можно пояснить
на следующем примере. Путь на некотором расстоянии d от заряженной металлической пластинки
1 находится такая же заземленная пластинка 2 с противоположным по знаку зарядом (рис. 20.1). Как изменится потенциал пластинки 1, если расстояние между пластинками -будет уменьшено до d'?
Обозначим потенциал пластинки 1 в первом случае через фх, а во втором — через ф^.
Если распределение электрических зарядов на пластинках равномерно и неизменно, а размеры пластинок во много раз превышают расстояние между ними, то
электростатическое поле между пластинками однородно, причем его напряженность Е не изменяется при изменение зазора между пластинками (см. задачу на стр. 339). В согласии с (19.20) можем написать для этих двух случаев: ,
Поскольку d'<d, потенциал пластинки 1 во втором случае будет меньше, чем в первом (ф!<Ф1).
Этот факт влияния на электрические характеристики проводника и используется в конденсаторе, который представляет собой систему двух близко расположенных проводников (обкладок), имеющих разноименные, но равные по абсолютному значению заряды (ди —д). Электростатическое поле конденсатора сосредоточено в зазоре между его обкладками. Одну из обкладок очень часто заземляют, что
дает возможность ее неизменный потенциал принять для простоты расчетов равным нулю. Для более значительного влияния на потенциал незаземленной обкладки пространство между обкладками конденсатора заполняется диэлектриком.
Можно считать, что обкладки конденсатора оказываются заряженными в результате перенесения какого-то количества электронов с одной из них на другую. В результате этого обкладки будут характеризоваться зарядамй ±q и между ними установится какая-то разность потенциалов Ф1—ф2.
' Электрической емкостью конденсатора (С) называется физическая величина, определяемая отношением
Если одна из обкладок конденсатора заземлена (например, ф2=0), то емкость конденсатора будет определяться отношением заряда его незаземленной обкладки к ее потенциалу:
C-i- (20.5)
К такому же результату можно прийти, если не заземлять одну из обкладок конденсатора, а отодвинуть ее на бесконечно большое расстояние от другой. Сравнивая (20.5) и (20.1), заключаем, что емкость данного уединенного проводника является, по сути дела, емкостью системы, состоящей по крайней мере из двух проводников, когда один из проводников (потенциал которого мы условно считаем равным нулю) находится на бесконечно большом расстоянии от данного.
По форме обкладок конденсаторы бывают различными (плоскими, цилиндрическими, сферическими и др.), но если расстояние между обкладками много меньше размеров самих обкладок, их емкость может быть рассчитана по формуле плоского конденсатора, которая в СИ имеет вид
С=^, (20 6)
где S — площадь проекции одной обкладки конденсатора на другую («перекрываемая» площадь), d — расстояние между обкладками, 8 — относительная диэлектрическая проницаемость вещества, заполняющего зазор между об-
кладками. В системе СГСЭ формула емкости плоского
конденсатора имеет вид
(20.7)
Обратно пропорциональную зависимость емкости плоского конденсатора от зазора d можно пояснить примером, рассмотренным на стр. 337 (см. рис. 20.1): при уменьшении зазора конденсатора уменьшается разность потенциалов между обкладками, а значит, в согласии с (20.4) увеличивается его емкость. Чем большей будет относительная диэлектрическая проницаемость е вещества между обкладками, тем сильнее это вещество ослабит напряженность поля между обкладками, тем меньшей будет разность потенциалов между ними, что, снова в согласии с (20.4), приведет к возрастанию емкости. Уменьшение «перекрываемой» площади обкладок S (например, при сдвиге одной обкладки параллельно другой) приводит к перераспределению зарядов на обкладках, к уменьшению их взаимного влияния, что вызывает возрастание разности потенциалов между ними и уменьшение емкости конденсатора.
Заметим, что емкость плоского конденсатора не зависит от зарядов его обкладок. Пропорционально изменению этих зарядов будет изменяться разность потенциалов между обкладками, так что при неизменных прочих условиях в соответствии с (20.4) емкость конденсатора останется прежней.
Таким образом, емкость плоского конденсатора зависит лишь от его «геометрии» (S и d) и от того, каким диэлектриком заполнено пространство между обкладками (е).
Задача. Плоский воздушный конденсатор подключен к источнику, обеспечивающему на его обкладках постоянную разность потенциалов Ф1— ф2= const Будет ли изменяться напряженность поля в зазоре конденсатора, если раздвигать его обкладки? Дать ответ на такой же вопрос, если перед раздвижением обкладки отключаются от источника. Считать в обоих случаях, что раздвижение обкладок не нарушает однородности поля в зазоре между ними.
В первом случае независимо от ширины зазора d разность потенциалов между обкладками конденсатора остается неизменной. Ее задает источник, заряжающий конденсатор. Поэтому в соответствии с формулой (19 20) заключаем, что напряженность поля в зазоре конденсатора уменьшится (фх—ф2=const, a d увеличивается)
Отметим кстати, что емкость конденсатора при этом будет уменьшаться в согласии с формулами (20.6) или (20.7). Абсолютные значения зарядов на его обкладках в этом случае также будут уменьшаться (в формуле (20 4) при уменьшении С остается неизменной разность потенциалов (pi— ф2) Внешние силы, которые раздвигают пластины конден-
сатора (сами по себе обкладки конденсатора всегда притягиваются одна к другой из-за наведения по индукции на их внутренних сторонах разноименных зарядов), будут сгонять с них часть носителей зарядов в источник.
Заряды на обкладках конденсатора при увеличении зазора d во втором случае изменяться не могут (их носителям некуда стекать, и число их не пополняется извне). Емкость конденсатора и в этом случае уменьшается из-за увеличения зазора (см. формулу (20.6) или (20.7)), причем ее изменение обратно пропорционально изменению d. При неизменных зарядах на обкладках (^=const) и при уменьшении емкости будет возрастать разность потенциалов q)t— <р2 между ними в соответствии с формулой (20 4). Ее увеличение будет пропорционально увеличению расстояния d. Тогда числитель и знаменатель формулы (19.20) будут увеличиваться в одинаковое число раз, а это говорит о том, что напряженность поля между раздвигаемыми обкладками конденсатора во втором случае не будет изменяться.
При выводе формулы для расчета емкости параллельно соединенных конденсаторов
^ар-^ + С. + .-е (20.8) учитывается тот факт, что разности потенциалов между обкладками любого из них одинаковы, а суммарный заряд всех одноименных обкладок равен сумме зарядов каждой из них. Параллельное соединение нескольких конденсаторов равносильно увеличению площади обкладок одного из конденсаторов.
Формула для расчета < общей емкости последовательно соединенных конденсаторов
^ = ^4-... (20.9)
получается при учете равенства абсолютных значений зарядов на любой из обкладок (из-за электростатической индукции заряды на обкладках конденсатора всегда разно- именны, но равны по абсолютному значению). При этом общая разность потенциалов между крайними обкладками группы конденсаторов равна сумме разностей потенциалов между обкладками каждого из них. Последовательное соединение нескольких конденсаторов эквивалентно увеличению зазора между обкладками одного конденсатора.
Задача. Имеется плоский конденсатор, расстояние между обкладками которого d=6,0 мм. В зазор конденсатора параллельна, его обкладкам вводят стеклянную пластинку (е—5) толщиной ^=2,0 мм и металлическую пластинку толщиной ^5=2,0 мм (рис 20.2, а и б). Во сколько раз при этом изменится емкость конденсатора?
Обозначим емкость конденсатора в первом случае через Ci, а во втором — через С2.
Поскольку зазор конденсатора в первом случае, видимо, заполнен воздухом, относительная диэлектрическая проницаемость которого очень близка к единице, в соответствии с (20.6) имеем
C1=BttS/d1
где S — площадь обкладки конденсатора
Во втором случае можно считать, что конденсатор состоит из двух последовательно соединенных конденсаторов (рис 20.2, вУ «воздушного» с зазором, равным d — dx— d^ (обозначим емкость этого конденсатора через С'У и конденсатора, заполненного стеклом (пусть его емкость равна С"у Так можно поступить потому, что металлическая пластинка экранирует зазор, равный ее толщине d2, от электростатического поля. (Нельзя считать, что второй случай эквивалентен системе трех последовательно соединенных конденсаторов’ Верхняя и нижняя стороны металлической пластинки могут нести на себе индуцированные заряды,
^, б)6)^, б)6)Рис. 20.2.Рис. 20.2.но между ними напряженность суммарного электростатического поля равна нулю, что не позволяет рассматривать заряженные стороны пластинки как обкладки третьего конденсатора )На основании (20.9) для второго случая можно написатьС2 С'^С"'но между ними напряженность суммарного электростатического поля равна нулю, что не позволяет рассматривать заряженные стороны пластинки как обкладки третьего конденсатора )На основании (20.9) для второго случая можно написатьС2 С'^С"'откудаоткудаг _ С'С" С'+С"-г _ С'С" С'+С"-(б)(б)Емкости С' и С" выразим по формуле (20.6)*d—dx — d2dxЕмкости С' и С" выразим по формуле (20.6)*d—dx — d2dx(в) '(в) 'Подставив (в) в (б) и выполнив несложные преобразования, получимПодставив (в) в (б) и выполнив несложные преобразования, получимС2—С2—80S80S№/e) + d — dt — d2 *№/e) + d — dt — d2 *(Г)(Г)
^, б)6)
^, б)6)
Рис. 20.2.
Рис. 20.2.
но между ними напряженность суммарного электростатического поля равна нулю, что не позволяет рассматривать заряженные стороны пластинки как обкладки третьего конденсатора )
На основании (20.9) для второго случая можно написать
С2 С'^С"'
но между ними напряженность суммарного электростатического поля равна нулю, что не позволяет рассматривать заряженные стороны пластинки как обкладки третьего конденсатора )
На основании (20.9) для второго случая можно написать
С2 С'^С"'
откуда
откуда
г _ С'С" С'+С"-
г _ С'С" С'+С"-
(б)
(б)
Емкости С' и С" выразим по формуле (20.6)*
d—dx — d2dx
Емкости С' и С" выразим по формуле (20.6)*
d—dx — d2dx
(в) '
(в) '
Подставив (в) в (б) и выполнив несложные преобразования, получим
Подставив (в) в (б) и выполнив несложные преобразования, получим
С2—
С2—
80S
80S
№/e) + d — dt — d2 *
№/e) + d — dt — d2 *
(Г)
(Г)
Теперь для тогд, чтобы ответить на вопрос, предложенный в задаче, остается сравнить выражения (г) и (а):
(Д)(Д)Сзd*
(Д)
(Д)
С^ (^i/в) ~р" d—dx — d2
Видно, что результат будет безразмерным, и при его подсчете значения величин d, dt и d2 можно подставлять в миллиметрах:
212— 2 5^"(2,0/5) + 6,0 — 2,0— 2,0’ ’
Анализируя выражение (д), заключаем, что внесение в зазор данного конденсатора как проводящей, так и диэлектрической пластинок приводит к увеличению емкости конденсатора Внесение проводящей пластинки эквивалентно уменьшению зазора конденсатора на толщину этой пластинки.
§21. КАКИЕ ЗАДАЧИ РЕШАЕТ ЭЛЕКТРОСТАТИКА?
Основной задачей электростатики является определение вектора напряженности Е поля данной совокупности неподвижных (в какой-то инерциальной системе отсчета) точечных зарядов или заряженных тел в любой точке пространства. Если вектор напряженности известен, то без труда решается вопрос о возможности или невозможности равновесия заряженной частицы в данной точке поля. Анализ найденных неуравновешенных сил воздействия на частицу позволяет решать уже чисто механическую задачу о выходе частицы из состояния равновесия: с каким ускорением, в какую сторону будет двигаться частица и т. д. Таким образом, электростатика является и введением в электродинамику, занимающуюся изучением взаимодействий и различных свойств движущихся заряженных частиц и тел.
Кулоновские силы подчиняются принципу независимости действия, что позволяет находить результирующую нескольких кулоновских сил по правилам геометрического сложения векторов.
Особенно много общего между кулоновскими силами и силами гравитационного взаимодействия: эти силы центральны и изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния между центрами взаимодействующих тел. Электростатические и гравитационные поля потенциальны. Они обладают общей замечательной особенностью: работа по перемещению частиц или тел между любыми двумя точками этих полей не зависит от формы траектории и определяется лишь координатами этих точек. Работа кулоновских сил при перемещении любого заряда по замкнутой траектории, так же как и работа гравитационных сил при перемещении любого тела по замкнутой траектории, всегда равна нулю» 342
Электростатические явления добавляют к уже известным законам сохранения еще один — закон сохранения электрических зарядов.
Энергетическая характеристика точки или точек электростатического поля (потенциал или разность потенциалов) сильно упрощает расчеты из-за того, что она является не векторной, как напряженность, а скалярной величиной. Если в данной точке имеется поле нескольких источников, то потенциалы в этой точке суммируются алгебраически, а не геометрически. Такое сложение — задача более простая, чем сложение векторов. Поскольку разность потенциалов находится в связи с напряженностью поля (см. формулу (19.20)), известные энергетические характеристики поля позволяют решать все те задачи, которые решаются с помощью силовых характеристик.
Не нужно думать, что введение и использование понятий потенциала и разности потенциалов связано только с упрощениями расчетного порядка. Это, так сказать, техническая, второстепенная сторона дела. Причина широкого использования энергетического подхода в любом разделе физики связана с всеобщностью закона сохранения и превращения энергии. Этот закон не подводит нас никогда. Поэтому наряду с другими характеристиками, учитывающими детали процессов и явлений, мы всегда вводим энергетические, являющиеся наиболее общими.
В электростатике учитывается потенциальная энергия кулоновского взаимодействия заряженных частиц и тел. Поскольку кулоновское взаимодействие осуществляется электростатическим полем, мы говорим не только об энергии взаимодействующих частиц и тел, но и об энергии электростатического поля. Поле, распределенное в пространстве вокруг источников, характеризуется энергией: оно, например, может совершать работу по перемещению заряженных частиц или тел; для того чтобы увеличить энергию поля данного проводника, приходится подводить энергию извне, и т. д.
После того как вскрыты причины и закономерности электростатических взаимодействий объектов и введены их силовые и энергетические характеристики, решение электростатических задач проводится по тем же схемам, что и в механике взаимодействующих материальных точек и тел.
ГЛАВА VI
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ток
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК - УПОРЯДОЧЕННОЕ ДВИЖЕНИЕЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ ИЛИ ТЕЛ
Условия возникновения и поддержанияэлектрического тока
Электрическим током называется процесс упорядоченного движения любых носителей электрических зарядов. Если в какой-то среде упорядоченно перемещаются микроскопические заряженные частицы (электроны, ионы и т. д.), то говорят о токе проводимости. Если же в пространстве упорядоченно перемещаются заряженные макроскопические частицы или тела, то такие токи называют конвекционными. Летящий в воздухе заряженный шарик из проводящего или диэлектрического вещества, движение тканиг наэлектризованной в результате набивки на ней рисунка, и т. п.— примеры конвекционных токов. В элементарном курсе физики конвекционные токи обычно не рассматриваются, но на практике с ними приходится иметь дело довольно часто.
Электрический ток возникает только при наличии подвижных носителей электрических зарядов. Ток проводимости в каком-то веществе обеспечивается.подвижными (или свободными, как их часто называют) заряженными частицами, которые могут перемещаться на расстояния, во много раз превышающие размеры атомов или молекул вещества или много большие расстояний между соседними частицами в узлах кристаллической решетки вещества. Диполи диэлектриков или положительные ионы кристаллической решетки металлов такой способностью не обладают. И если проводящими средами, в которых электрический ток может существовать, являются металлы, электролиты, газы, полупроводники и вакуум, то в них мы 344
непременно находим те или иные свободные заряженные частицы.
Кроме подвижных заряженных частиц для возникновения и поддержания электрического тока нужны еще какие- то причины, вызывающие упорядоченное движение носителей тока. Дело в том, что если, например, в вакууме мы хотим обеспечить упорядоченное движение электронов, которые бы двигались не хаотически, а в заданном направлении, то этим электронам хотя бы в начале процесса их движения нужно сообщить скорость в определенном направлении. Если дальше на пути движения электронов не встретится никаких препятствий, электроны будут двигаться инерциально с этой начальной скоростью.
В веществе заряженным частицам упорядоченно, в одном направлении, двигаться труднее. Например, электроны, обеспечивающие электрический ток в металлическом проводнике, могут сталкиваться с ионами кристаллической решетки, взаимодействие между ионами электролита приводит к силам «трения» между ними, упорядоченному движению заряженных частиц в газе мешают столкновения с другими заряженными или нейтральными частицами газа и т. д. Чтобы все эти помехи не прекратили упорядоченного, дрейфового движения заряженных частиц, оно должно поддерживаться какими-то внешними причинами.
Мы уже отмечали, что незакрепленная заряженная частица под воздействием электрического поля может двигаться только ускоренно (см. стр. 317). На заряженную частйцу, движущуюся внутри проводящего вещества, действует сила сопротивления, пропорциональная скорости частицы и направленная противоположно этой скорости. Значит, если нам удастся каким-то способом обеспечить электрическое поле внутри проводника, носители тока будут упорядоченно перемещаться под, воздействием этого поля, причем их средняя скорость может быть как переменной, так и постоянной.
В задаче на стр. 332 мы уже столкнулись с фактом возникновения электрического тока. По проволоке, соединяющей шарики, протекал ток, правда, весьма кратковременный. Упорядоченное движение электронов по проволоке в данном случае было вызвано электрическим полем. Разность потенциалов на концах проволоки (или между шариками) как раз и характеризовала это поле. Ток быстро прекратился, так как в результате перераспределения электронов потенциалы выровнялись и не осталось причин для
дальнейшего упорядоченного движения электронов по проволоке.
Заметим, что во всех случаях, когда движение или перераспределение зарядов в проводнике вызывается одними только кулоновскими силами, потенциалы различных точек проводника чрезвычайно быстро выравниваются (вспомним об эквипотенциальности объема незаряженного металлического проводника, помещенного во внешнее электростатическое поле, или проводника, на котором избыточные заряды находятся в статическом равновесии). Напряженность поля между эквипотенциальными точками проводника равна нулю, и упорядоченное движение зарядов между ними невозможно.
В большинстве случаев длительный электрический ток внутри проводника поддерживается электрическим полем, напряженность которого в течение всего времени протекания тока не уменьшается до нуля. Из только что сказанного следует, что это поле не может быть электростатическим (кулоновским).
Устройствами, обеспечивающими электрическое поле внутри проводника с током, являются источники тока (или источники электродвижущей силы). В источнике за счет каких-то неэлектростатических причин происходит процесс разделения разноименных зарядов, в результате которого на клеммах источника скапливаются заряды противоположных знаков и между клеммами устанавливается та или иная разность потенциалов. Иными словами, между клеммами источника устанавливается электростатическое поле.
Подключение к источнику замкнутого проводника приводит к перераспределению зарядов в самом проводнике (на стр. 348—351 мы рассмотрим этот процесс более подробно) и к возникновению длительного упорядоченного движения зарядов не только по проводнику, но и через источник тока. Все это изменяет характер поля между клеммами источника. Несмотря на то, что разность потенциалов на клеммах при этом может оставаться постоянной, поле между ними уже не будет электростатическим. Ведь теперь заряды на клеммах источника не остаются неподвижными!
Если распределение зарядов в пространстве (например, в различных точках электрической цепи, состоящей из проводника, подключенного к источнику тока, и самого источника тока) с течением времени не изменяется, хотя 346
сами заряды при этом непрерывно движутся (одни заряды из данной точки проводника уходят, но на их место приходят другие), то поле таких зарядов в отличие от электростатического называют стационарным электрическим полем. Это поле является наиболее часто встречающейся причиной постоянного электрического тока в проводнике.
Стационарное электрическое поле, так же как и электростатическое (кулоновское) поле, потенциально. Именно поэтому стационарное электрическое поле на данном участке проводника с током может характеризоваться разностью потенциалов между концами этого участка или между клеммами источника, подключенного к участку. Учитывая это сходство между стационарным электрическим и электростатическим полями, очень часто говорят не о работе сил стационарного электрического поля по перемещению зарядов на данном участке, а о работе кулоновских сил. Но не забудем, что между этими полями имеются существенные различия.
Еще раз подчеркнем, что электростатическое поле — это поле неподвижных зарядов (в данной инерциальной системе отсчета). Источниками стационарного электрического поля являются движущиеся заряды, причем общее число зарядов и картина их распределения в данном месте пространства с течением времени не изменяются. Напряженность электростатического поля внутри объема проводника всегда равна нулю, а в каждой точке внешней поверхности проводника направлена перпендикулярно к этой поверхности (поверхность и объем проводника эквипотенциальны). Напряженность стационарного электрического поля внутри объема проводника не равна нулю, на поверхности и внутри проводника -имеются составляющие напряженности, не перпендикулярные к поверхности проводника (поверхность и объем проводника не эквипотенциальны). Кроме того, электростатическое поле в данной системе отсчета не сопровождается магнитным полем, а стационарное электрическое поле сопровождается.
Далее мы рассмотрим и такие случаи, когда постоянный или переменный ток в проводнике обеспечивается не стационарным электрическим полем, а другими причинами.
Подчеркивая, что процесс перераспределения зарядов в источнике тока вызывается некулоновскими воздействиями на них, говорят о сторонних силах, действующих в источнике. Перераспределение зарядов в источнике может происходить за счет химических реакций, в результате кон-
такта разнородных веществ, под действием различных излучений или электрических сил некулоновского характера и т. д. Природа механизма этих процессов и кладется в основу классификации источников тока (химические источники, индукционные и термоэлектрические генераторы, так называемые солнечные батареи и т. д.).
Основной характеристикой источника тока служит так называемая электродвижущая сила (ЭДС, ^) — физическая величина, определяемая отношением работы сторонних (неэлектростатических’) сил по перемещению заряженных частиц внутри источника тока к зарйду этих частиц. Эта работа определяет энергетические затраты на перераспределение зарядов сторонними силами внутри источника тока. Она равна изменению энергии единичного заряда при его упорядоченном движении по цепи, подключенной к источнику тока. На клеммах источника, не замкнутых проводником, имеется разность потенциалов, равная электродвижущей силе источника.
Таким образом, ЭДС является энергетической характеристикой источника, и единицы ее измерения совпадают с единицами измерения потенциала или разности потенциалов (вольт или ед. СГСЭ?).
По определению электродвижущая сила является скалярной величиной, и поэтому о «направлении ЭДС» х говорят в условном смысле. ЭДС, как и работа любых сил, может быть величиной положительной или отрицательной. Знак ЭДС выбирается в зависимости от произвольно выбранного направления обхода того участка электрической цепи, на котором включен данный источник тока. Если внутри источника тока обход совершается от минусовой клеммы к плюсовой (иногда при этом говорят о совпадении направления обхода с направлением, сторонних сил в источнике), то ЭДС считается положительной (^>0) (рис. 22.1, я). Если же направление обхода противоположно направлению сторонних сил, то ЭДС отрицательна (^<0) (рис. 22.1, б).
Попытаемся представить, как происходило бы движение заряженных частиц (например, электронов), если бы проводящая среда заполняла все пространство вокруг клемм источника тока. На рис. 22.2 схематично изображены клеммы В и D источника и некоторые силовые линии их электростатического поля. Вокруг клемм имеются электроны, находящиеся в хаотическом тепловом движении. Электрон, оказавшийся в какой-то точке К, под действием 348
кулоновской силы F приобретет ускорение а. Направление движения будет зависеть еще от модуля и направления скорости, которой обладал электрон в этой точке. Движение электронов будет происходить по весьма замысловатым траекториям. Но, так сказать, суммарная картина траекторий движения огромного числа электронов, видимо, должна походить на картину силовых линий электростатического поля. Какой же ей еще быть, если электроны должны разлетаться во все стороны от клеммы D и со всех сторон приближаться к клемме В? Таким образом, в этом случае можно было бы представить, что движение электронов происходит примерно по силовым линиям (если
Рис. 22.2.Рис. 22.2.Рис. 22.1.Рис. 22.1.
Рис. 22.2.
Рис. 22.2.
Рис. 22.1.
Рис. 22.1.
учитывать только форму, но не направление силовых линий), причем основная часть тока обеспечивается теми электронами, которые движутся вдоль более коротких силовых линий. '
В большинстве случаев с такими безграничными проводящими средами нам не приходится иметь дела, и наличие границ проводящей среды, накладывает свой отпечатЬк на характер упорядоченного движения заряженных частиц. Например, направление движения заряженных частиц в газоразрядной трубке, может зависеть не только от расположения электродов, но и от конфигурации стеклянных стенок самой трубки. Короче говоря, при наличии ограниченной проводящей среды приходится считаться с теми поверхностными эффектами, которые могут иметь место на ее границах.
Во многих практических задачах фигурируют достаточно длинные и тонкие металлические проводники. Рассмотрим, к чему приводят поверхностные эффекты на границах таких проводников.
На рис. 22.3, а схематично в виде сферического проводника изображена отрицательная клемма источника тока и сечение присоединенного к ней конца металлического провода. Пунктиром показаны некоторые силовые линии поля клеммы до внесения в него провода, а стрелками — силы, действующие на подвижные электроны провода, находящиеся в точках, помеченных цифрами (изменение
поля клеммы и перераспределение электронов в проводе
при приближении его конца к клемме анализировать не будем).
Электроны в различных точках поперечного сечения провода под действием кулоновских сил поля клеммы приобретают движение не только вдоль оси провода. Например, электрон, находящийся в точке /, оказывается вовлеченным в «токовое» движение. Но вблизи точек 2, 3, 4, 5 электроны имеют возможность скапливаться на поверхности провода. Следовательно, подключение провода к клемме источника приведет к тому, что некоторые элек
троны начнут двигаться вдоль
Рис. 22.3.провода, а часть электронов
будет скапливаться на поверхности. Причем поверхностное распределение электронов по длине провода не будет равномерным (рис. 22.3, 6). С неравномерным распределением заряженных частиц
на поверхности проводника мы встречались и в случаях
статического равновесия этих частиц, когда поверхность проводника была эквипотенциальной, а силовые линии вблизи нее располагались перпендикулярно к поверхности проводника. При подключении же металлического проводника к клемме источника тока, при зарождении тока в проводнике, неравномерное распределение электронов на его поверхности обеспечивает неэквипотенциальность этой поверхности, наличие составляющих напряженности электрического поля, направленных вдоль поверхности проводника. Кроме того, неравномерное распределение
электронов по поверхности и объему проводника позволяет объяснить наличие стационарного поля внутри проводника, т е. неэквипотенциальность его объема и тот факт, что это поле существует в любом поперечном сечении проводника при любой его конфигурации (на рис. 22.3, в показан вектор Е напряженности поля в какой-то точке К внутри объема провода и сила F, действующая в этой точке на электрон). Вот это поле перераспределенных электронов самого проводника и обеспечивает упорядоченное движение других электронов во всех точках любого поперечного сечения проводника (и вдоль поверхности, и внутри объема проводника).
Основные количественные соотношения и закон Ома
Сила тока. Пусть суммарный электрический заряд всех частиц, проходящих через любое поперечное сечение проводника за промежуток времени Д/, равен Д^. Скалярная физическая величина, определяемая отношением
Лр=^, (22.1)
называется средней силой тока в проводнике. Предел этого отношения при бесконечном уменьшении промежутка времени Ы называют мгновенной силой тока:
/ = Ит^. (22.2)
Если с течением времени средняя скорость упорядоченного движения заряженных частиц в проводнике не изменяется, то говорят о постоянном токе. При этом заряд всех частиц, проходящих через любое поперечное сечение проводника за единицу времени, будет одним и тем же, а средняя и мгновенная силы тока будут равными (/=/ср).
В СИ сила тока измеряется в амперах. Связь между ампером, кулоном и секундой может быть представлена в согласии с (22.1) или (22.2) в виде
1 А=1 Кл/1 с,
но следует помнить, что ампер в СИ считается основной единицей и вводится не по этому соотношению, а иначе (см. п. 25.3). Единица измерения силы тока в системе СГСЭ может быть установлена в согласии с формулами (22.1) или (22.2):
1 ед. CrC3z= 1 ед. СГСЭ^/1 с.
Сила тока является скалярной величиной и никаким Направлением не характеризуется. Когда говорят о направлении электрического тока, то имеют в виду направление движения заряженных частиц по проводнику, т. е. направление скорости их упорядоченного движения.
Несмотря на то, что во многих случаях электрический ток представляет собой упорядоченное движение ^отрицательных зарядов (свободных электронов в металлах, отри* цательных ионов в электролитах и т. д.), исторически сложилось так, что за положительное направление тока было принято направление движения положительных зарядов. Это так называемое техническое направление тока используется в физике и поныне, так как многие практические правила, которыми широко пользуются и теперь (правило буравчика, правило левой руки и т. п.), были когда-то" сформулированы с ориентацией именно на техническое направление тока. Мы также будем придерживаться этой исторической условности, и везде, где пойдетречь о направлении тока и не будет сделано соответствующих оговорок, будет подразумеваться техническое направление тока.
При составлении различных уравнений направление тока на участках электрической цепи приходится учитывать. В связи с этим силе тока приписывается тот или иной знак: если направление тока на участке совпадает с направлением обхода этого участка, сила тока считается положительной (/>0), а если направление тока противоположно направлению обхода, сила тока считается отрицательной (Z<0).
Обратим внимание еще на одну условность, которая используется при графическом изображении процессов в электрических цепях. Очень часто техническое направление тока на участке указывается стрелкой, а рядом с ней проставляется буквенное обозначение силы тока (/) на этом участке. Такое соседство символов, видимо, и приводит к ошибочным высказываниям о «направлении силы тока» на участке. В связи с этим подчеркнем, что стрелкой указывается направление скорости движения положительно заряженных частиц (или направление, противоположное скорости движения отрицательно заряженных частиц), а символ / относится к скалярной количественной характе-' ристике этого процесса, которая не имеет никакого направления, но может иметь тот или иной знак.
При наличии электрического тока хаотическое тепловое движение свободных заряженных частиц в проводнике не 352 •
прекращается. Упорядоченное движение носителей тока накладывается на их хаотические блуждания по объему проводника. Средняя скорость хаотического теплового движения, как всегда, зависит от температуры проводника, но несмотря на то, что эта скорость велика (сотни метров или даже километров в секунду), она не характеризует дрейфового движения заряженных частиц по проводнику. Поэтому для описания упорядоченного движения заряженных частиц по проводнику используют другую величину — среднюю скорость упорядоченного движения.
Эта скорость также имеет статистический смысл: она описывает поведение коллектива, состоящего из большого числа частиц. Эту скорость частицы приобретают под действием сил стационарного электрического поля, имеющегося в проводнике. С такой скоростью происходит движение заряженной частицы в заданном направлении на так называемой средней длине свободного пробега — на расстоянии, которое в среднем проходит частица между последовательными соударениями с другими частицами проводника. Таким образом, электрический ток в проводнике приближенно может быть представлен как процесс скачкообразного движения заряженных частиц. Например, электрон в металлическом проводнике от одного удара об ион кристаллической решетки до следующего движется под действием сил стационарного электрического поля ускоренно, при ударе он изменяет или теряет скорость, затем снова подхватывается полем и т. д. Вот и считают, что на этих этапах между препятствиями частица перемещается со средней скоростью упорядоченного движения. Можно показать, что эта скорость всегда имеет очень малое значение.
Задача. Определить среднюю скорость упорядоченного движения электронов в медной проволоке, площадь поперечного сечения которой 5=1,0 мм2, при протекании па ней постоянного тока силой /=1,0 А. Считать, что каждый атом меди дает'один свободный электрон.
Можно наметить следующий план решения этой задачи. Задавшись длиной проволоки /, можно выразить ее объем V. Через объем и плотность меди р (ее значение мы возьмем из таблицы) выразим массу т проволоки. Поскольку каждый моль меди содержит N д атомов, найденное по массе проволоки т и молярной массе меди М число молей mlM позволит найти число атомов N в проволоке. Так как каждый атом меди дает по одному свободному электрону, число последних в объеме всей проволоки также будет равно N. Концентрация п свободных электронов в проволоке (число электронов в единичном объеме), очевидно, будет равна
n—N!V.
Количество электронов п^ в единичном по толщине цилиндрическом
слое проволоки, площадь поперечного сечения которой S, составитn^S^l-n^NSIV.
Если значение средней скорости упорядоченного движения электронов равно у, то они за единичный промежуток времени перемещаются на расстояние, численно равное у. Это можно истолковать и таким образом: через площадь поперечного сечения проволоки за единичный промежуток времени проходит ntv электронов, заряд каждого из которых е. Их движение и обеспечивает протекание по проволоке тока силой I:
. М NS
Отсюда получаем выражение для средней скорости упорядоченного движения электронов:
VI
v~ NSe‘
По намеченной схеме находим* объем проволоки AI= IS, масса проволоки m=pV, число молей меди m/M=pV/M, число атомов меди в проволоке или число свободных электронов
М А
Подставляя это выражение в формулу для средней скорости упорядоченного движения электронов, окончательно получаем
_ MIu~pMASe‘
В СИ заданные и табличные величины имеют значения:'
М = 63,5-10—3 кг/моль; 7=1,0 А; р = 8,9* 103 кг/м3;
Л^ =6,02* 1023 моль-1; S=l,0*10-6 м2; в= 1,6-10-19 Кл.
Проверка размерностей дает
(кг/моль) (А)Ам ^А-м м
(кг/м3) (1/моль) (м2) (Кл) — Кл — А’С Т ’
а подстановка численных значений приводит к результату
_63,5-IO*3-1,0~7 45 /
U —8,9-103 6,02* 1023* 1,0* 10*6* 1,6-Ю*19 ~М/Се
Как видим, средняя скорость упорядоченного движения электронов й металлическом проводнике имеет очень малое значение. Для проводников из других материалов и при других силах тока мы получим, конечно, иные значения скоростей упорядоченного движения носителей тока, но они не будут очень сильно превышать найденное нами значение.
Закон Ома. Мы уже отмечали, что на пути движения заряженных частиц в проводнике встречаются различные 354
при уменьшении по-при уменьшении по-/Аф/Аф
при уменьшении по-
при уменьшении по-
/Аф
/Аф
помехи. При этом можно говорить о силах сопротивления движению заряженных частиц. Ведь при постоянной силе
тока средняя скорость упорядоченного движения заряженных частиц может быть постоянной только из-за наличия
сил сопротивления. Силы сопротивления, как всегда, являются неконсервативными. Они зависят от скорости заряженных частиц, а работа этих сил при движении частиц по замкнутой траектории (по замкнутой электрической цепи) не равна нулю и определяет увеличение внутренней
энергии проводящих участков цепи тенциальной энергии упорядоченно движущихся заряженных частиц.
Попробуем с энергетических позиций оценить процессы, происходящие в простейшей электрической цепи, состоящей из источника тока и подключенного к нему металлического проводника (рис. 22.4). Электродвижущая сила источника тока равна ^, сила тока в цепи равна /. На рисунке показаны техническое направление тока и выбранное направление обхода цепи. Пусть две произвольные точки 1 и 2, потен-
циалы которых соответственно рав
ны фх и ф2, делят всю цепь на два участка: 1N2 и 2DB1.
Рассмотрим сначала нижний участок 1N2, который не содержит источника тока. Мы надеемся, что читатели пом
нят о тех несложных опытах, которые позволяют для подобных участков электрических цепей установить пропорциональную связь между силой тока / на участке и разностью потенциалов Аф на его концах:
(22.3)
Коэффициентом пропорциональности R является физическая величина, зависящая от геометрических размеров, материала и температуры проводника и называемая электрическим сопротивлением (или просто сопротивлением) проводника или участка. Поскольку величины Аф и / могут быть достаточно просто и точно измерены на опыте, сопротивление R проводника определяют как
Я=^. (22.4)
В связи с этим соотношением устанавливается единица измерения сопротивления в СИ (1 Ом):
1 Ом = 1 В/1 А.
На рассматриваемом участке 1N2 электрический ток обеспечивается только силами стационарного электрического поля. Разность потенциалов между концами этого участка и характеризует это поле. Выразив из (22.3) или (22.4) произведение IR в явном виде:
IR=M>, (22.5)
и вспомнив о том., какой физический смысл имеет разность потенциалов (см. формулу (19.17)), можно установить фи-
Рис. 22 5.Рис. 22 5.зический смысл произведения силы тока на участке на сопротивление этого участка.
Рис. 22 5.
Рис. 22 5.
С одной стороны, это произведение равно работе кулоновских сил (точнее, работе сид стационарного электрического поля) по перемещению единичного положительного заряда на данном участке проводника. С другой стороны, это произведение равно работе сил сопротивления и, следовательно, возрастанию внутренней
энергии вещества данного участка
проводника при перемещении по нему единичного положительного заряда.
Чтобы пояснить эти утверждения, может быть, стоит обратиться к механической аналогии. Маленький шарик из твердого вещества движется ст постоянной скоростью в вязкой жидкости из положения 1 в положение 2 (рис. 22.5). Опыт проводится в земных условиях. Какие энергетические соотношения справедливы в этом случае?
Постоянство скорости говорит о том, что кинетическая энергия шарика не изменяется (аналогия с неизменностью средней кинетической энергии упорядоченного движения зарядов в проводнике при постоянном токе). Уменьшение потенциальной энергии шарика равно работе силы тяжести Р на пути hi—h2 (аналогия с работой сил стационарного электрического поля). С другой стороны, изменение потенциальной энергии шарика равно работе силы сопротивления Fc, а эта работа определяет увеличение внутренней энергии системы «шарик — жидкость» (аналогия с возрастанием
внутренней энергии проводника). Нужно заметить, что в рассмотренном опыте мы, чтобы не усложнять сравнения, не упомянули о работе выталкивающей силы, действующей на шарик.
Чтобы отличить сопротивления участков рассматриваемой нами цепи, обозначим сопротивление нижнего участка 1N2 через RH) а сопротивление верхнего участка 2DB1 через RB. С учетом принятых ранее правил о знаках вместо уравнения (22.5) для участка 1N2 можно написать IRa— ——(ф8—Ф1)» или
^а = Ф1—ф8. (22.6)
Увеличение внутренней энергии всей замкнутой цепи при перемещении по ней единичного положительного заряда, очевидно, может быть оценено суммой IRH + IRBt которая должна равняться работе сторонних сил источника тока по перемещению единичного положительного заряда, т. е. электродвижущей силе источника:
IRh + IRb-S, (22.7)
так как работа сил стационарного электрического поля при перемещении заряда по замкнутой цепи равна нулю. С учетом (22.6) вместо (22.7) можно написать фг—ф2+//?в= ^, или "
/^В^ф2-Ф1 + ^. (22 8)
Уравнения (22.6), (22.7) и (22.8) являются уравнениями закона Ома для различных случаев: первое — для участка цепи, не содержащего источник тока, второе — для всей замкнутой электрической цепи, третье — для участка цепи с источником тока. Различные индексы у величины R в общем случае можно не писать, нам они потребовались лишь для анализа явлений на различных участках конкретной цепи.
Уравнение (22.7) можно переписать в виде
(22.9)357(22.9)357где сумма в скобках представляет суммарное сопротивление замкнутой электрической цепи. Если отдельно учитывают сопротивление внешней части цепи, обычно обозначаемое через R, и внутреннее сопротивление источника тока (г), то уравнение закона Ома для замкнутой цепи записывают в форме
(22.9)
357
(22.9)
357
UR-Y-rW-
Обратим внимание на то, что уравнение (22.8) является наиболее общим выражением закона Ома. Все другие разновидности уравнений закона Ома могут быть получены из одного этого уравнения. Если, например, рассматривается участок цепи, на котором нет источника тока, то в уравнении (22.8) нужно положить ^=0, что и приводит к уравнению (22.6). При применении уравнения (22.8) к замкнутой электрической цепи нужно принять, что ф2=ф1- Из этого же уравнения следует, что разность потенциалов на клеммах источника, не подключенного к внешней цепи, равна электродвижущей силе источника (так как для этого случая /=0). Наконец, из (22.8) вытекает, что если на участке имеется источник тока, то произведение силы тока на сопротивление участка в общем случае равно суммарной работе сторонних сил и сил стационарного электрического поля по перемещению единичного положительного заряда на этом участке.
При использовании уравнений закона Ома следует соблюдать правила расстановки знаков у входящих в уравнение величин в связи с выбранным направлением обхода электрической цепи или ее участка. Относительно выбора знаков у величин 1 и ^мы уже говорили. Отметим только, что если на участке или в цепи имеется несколько источников тока, то в правых частях уравнений (22.8) и (22.9) величина <§ будет представлять алгебраическую сумму электродвижущих сил всех источников, имеющихся на данном участке или в данной цепи. Кроме того, для согласования с указанными правилами знаков в правых частях уравнений (22.6) и (22.8) со знаком плюс записывается потенциал точки, с которой начинается обход данного участка, и со знаком минус—потенциал конечной точки участка.
К сожалению, до сих пор часто приходится встречаться с неоднозначным толкованием терминов «напряжение на участке» и «падение напряжения на участке». Первый термин используют и как синоним разности^потенциалов (на концах участка электрической цепи, между любыми двумя точками электрического поля и т. д.), и как название произведения 1R, хотя это произведение иначе называют падением напряжения. Чтобы эти неоднозначности не приводили к ошибкам, всякий раз следует уточнять физический смысл рассматриваемой величины: идет ли речь о работе сил стационарного электрического поля или о суммарной работе сторонних сил и сил стационарного электрического поля по перемещению единичного положительного заряда.
От чего зависит сопротивление проводника? Мы уже отмечали, что сопротивление проводника зависит от геометрических размеров (от длины проводника / и площади его поперечного сечения S), от вещества, из которого изготовлен проводник, и от температуры. Влияние двух последних факторов учитывается величиной, называемой удельным сопротивлением проводника (р). Для однородных металлических проводников постоянного поперечного сечения и для электролитов выполняется соотношение
(22.10)
из которого без труда можно установить физический смысл и единицу измерения удельного сопротивления (Ом-м в СИ).
Выше было показано, что вместе с силой тока сопротивление проводника определяет работу перемещения по нему единичного положительного заряда. Понятно, что чем длиннее будет проводник, тем большую работу придется совершить силам стационарного электрического поля для «проталкивания» единичного положительного заряда при прочих равных условиях. При увеличении площади поперечного сечения проводника возрастает число носителей тока на единичной длине проводника (для металлического проводника см. решение задачи на стр. 353, 354). При неизменной разности потенциалов на концах проводника это приведет к увеличению силы тока, что в согласии с (22.4) и может быть истолковано как уменьшение сопротивления проводника.
С увеличением температуры сопротивление металлических проводников возрастает из-за изменений теплового движения их частиц (возрастают средние скорости хаотического теплового движения свободных электронов, увеличиваются амплитуды тепловых колебаний ионов кристаллической решетки, что приводит к более частым столкновениям электронов с ионами или к увеличению сил трения при упорядоченном движении электронов по проводнику). Часто появляется соблазн думать, что сопротивление изменяется за счет температурных изменений геометрических размеров проводника: сопротивление R зависит от длины / и площади поперечного сечения S проводника, а с ростом температуры наблюдается тепловое расширение — / и S увеличиваются. Далее мы покажем, что температурные изменения размеров практически не влияют на сопротивление R проводника.
Поэтому нужно говорить не о температурных изменениях сопротивления проводника, а о температурных изменениях его удельного сопротивления. Это будет лишний раз подчеркивать неощутимость температурных влияний изменения объема при оценке температурных изменений сопротивления.
Если при возрастании температуры на А/ градусов удельное сопротивление проводника изменяется от р0 до р, то удобно ввести так называемый температурный коэффициент сопротивления а, определяемый отношением
a = pzz£>. (22.11)
Если температурный коэффициент сопротивления для данного вещества известен, то можно определить удельное сопротивление р проводника при изменении его темпера» туры на А/ от начала отсчета интервала температур:
р=ро(1+аА0. (22.12)
Под величиной р0 в формулах (22.11) и (22.12) подразумевается удельное сопротивление данного проводника при температуре 0°С. При этом температурные коэффициенты сопротивления а одного и того же вещества могут быть неодинаковыми для различных температурных интервалов АЛ Об этом нужно помнить при использовании таблиц температурных коэффициентов сопротивления.
Если сравнить табличные значения температурных ко- эффиццентов сопротивления различных металлических проводников (эти значения лежат в пределах приблизительно от 0,9* 10“3 К"1 до 7* 10-3 К-1) с их коэффициентами объемного расширения Р (значения которых находятся в пределах от 1,3-10~б К*"1 до 9-10‘б К"1), то будет ясно, что изменение сопротивления за счет изменения объема проводящего вещества при увеличении температуры на один градус будет очень малым. Кроме того, объемное расширение металлического проводника должно приводить не к увеличению, а к незначительному уменьшению его сопротивления R при повышении температуры.
Заметим, что формула (22.12) пригодна не только для металлических проводников, но и для электролитов, если для последних считать а величиной отрицательной. Дело в том, что удельное сопротивление электролитов с увеличением температуры уменьшается. Это связано с тем, что в них при повышении температуры увеличивается скорость
упорядоченного движения заряженных частиц из-за умень^ шения сил трения и, кроме того, увеличивается концентрация этих частиц (например, растворяющееся в воде вещество полнее диссоциирует при возрастании температуры).
Задача. Имеется моток медной проволоки, площадь поперечного сечения которой 5=0,10 мм2. Масса мотка яг=0,10 кг. Определить сопротивление этой проволоки при температуре 120°С.
В большинстве физических таблиц мы не найдем значения удельного сопротивления меди для такой температуры. Например, в «Справочнике по элементарной физике» (авторы Н. И. Кошкин и М. Г. Ширкевич) имеется значение удельного сопротивления меди только при температуре 20°С: р20=1,75-10”8 Ом-м. Значит, придется учесть его изменение при изменении температуры Воспользуемся для этого табличным значением температурного коэффициента сопротивления меди* а=3,9* 10*3 град-1. Будем считать, что такое значение коэффициента а справедливо для интервала температур А/ от 0°С до 120°С. На основании формул (22.10) и (22.12) можно получить зависимосгь
^РоО+аЛОу»
где А/ — интервал температур от 0°С до 120°С (А/=120°). Связь значений р20 и ро удельного сопротивления меди при температурах 20°С и 0°С устанавливается формулой (22.12):
р2о=Ро 0+« MiX
где Мг — интервал температур от 0°С до 20°С (А^=20°), откуда
P0~l+aA^*
Теперь можно записать
R=n ^1±^L^1
Кроме искомой величины R в этом уравнении содержится еще длина проволоки I. Ее мы можем выразить через заданные массу проволоки т, площадь поперечного сечения 5 и найденную из таблицы плотность меди. Чтобы не запутаться в обозначениях, положим, что плотность меди равна D. Ее табличное значение в единицах СИ D=8930 кг/м3. Тогда т^ "ISD, или
l = tn[SD.
Подставляя это выражение в формулу для R, окончательно получаем пf 1+аА/ \ т К-РздВЗ4*
Дробь, стоящая в скобках, безразмерна. Подстановка размерностей остальных величин в СИ показываем что ответ будет получен в омах:
(Ом • M) ;—ОМе
47 (кг/м3) (м2)2
При подстановке численных значений величин не забудем выразить площадь поперечного сечения проволоки в квадратных метрах (S= =0,10 мм3=0,10.10-6 м2)’
/1+3,9-IO-3-120 \0,10„_ _
R- 1,75-10-1+з э.ю-3.20 ) 8930 (0,10-10-«)2 ~ 27 °М‘
Способы соединения проводникови источников тока
При выводе формулы общего сопротивления нескольких последовательно соединенных проводников с сопротивлениями Кз и т. д.:
R-R1+R2+R3+...»(22.13)
учитывается тот факт, чтр через все проводники протекает ток одной и той же силы (заряженные частицы движутся сплошным потоком, нигде не скапливаясь), а разность потенциалов на концах крайних проводников равна сумме разностей потенциалов на концах всех промежуточных проводников. При последовательном соединении п проводников с одинаковыми сопротивлениями Ri их полное сопротивление будет равно
R-nRv(22.14)
Одинаковое значение разностей потенциалов на концах всех параллельно соединенных проводников и равенство суммарной силы тока сумме сил токов, протекающих по каждому из них, позволяет получить формулу для расчета общего сопротивления разветвленной цепи, состоящей из нескольких параллельных участков с сопротивлениями Ri, Ra, R3 и т. д.:
(22.15)
Если параллельно соединяют п проводников с одинаковыми сопротивлениями Rx, то на основании (22.15) можно получить
R=RM(22.16)
Очень часто на практике требуется получить в цепи с заданным общим сопротивлением ту или иную силу тока, которую не обеспечивает ни один из нескольких имеющихся источников тока. При этом встречается необходимость соединять параллельно или последовательно источники в ба- 362
тареи. При последовательном соединении источников с электродвижущими силами <£ъ ^2, ^з и т. д. и внутренними сопротивлениями /т, г2, ^з и т. д. их общая электродвижущая сила ^ будет равна сумме ЭДС всех источников, а общее внутреннее сопротивление г — сумме внутренних сопротивлений всех источников:
^ = ^ + ^+^з+...,(22 17)
г = г14-г,+г8+...(22.18)
Если последовательно соединяется п одинаковых источников с электродвижущими силами ^ и внутренними сопротивлениями rlf то
^ = ^п(22.19)
г = nrv(22.20)
При параллельном соединении таких одинаковых источников будут выполняться соотношения
^ = ^,(22.21)
г = гхЩ.(22.22)
Задача. На участке с сопротивлением R требуется получить максимальный по силе ток. В распоряжении имеется п одинаковых источников с электродвижущими силами ^ и внутренними сопротивлениями г. Каким типом соединения источников нужно воспользоваться для этой цели, если:
допустимо только последовательное или только параллельное соединение источников;
допустимое смешанное соединение источников. А) собираются одинаковые группы из т последовательно соединенных! источников, а такие группы соединяются между собой параллельно; Б) собираются одинаковые группы из к параллельно соединенных источников, а группы соединяются в батарею последовательно.
Вариант I. Обозначим силы токов, получаемых в цепи в случаях параллельного и последовательного соединений источников, через /пари ^посл В соответствии с уравнениями (22.9), (22.21) и (22 22) можем записать формулу для расчета силы тока при параллельном соединении источников:
/ —(а)
^^RA-krlny(а)
а на основании уравнений (22 9), (22.19) и (22.20) — для случая последовательного соединения источников:
/-
(О)
Анализируя эти выражения в общем виде, мы с первого взгляда не можем сказать, какая из сил токов, /парили /посл, будет большей Тогда мы можем предположить, что, например, /пар> /Посл> К оценить, при
каком соотношении между остальными заданными величинамцэто возможно. Для этого придется решить неравенство
_ (рП/о)
# + (r/n). # + пг’
Преобразовав выражение в знаменателе левой части, приходим к неравенству
nR-Vr R + nr ’
которое, с учетом того, что все входящие в него величины положительны, упрощается:
-R-\-nr>nR-Vr»
Соберем слагаемые, содержащие R и г, по разные стороны от знака неравенства:
пг—r>nR—R.
Вынося общие множители за скобки, получаем
г(лг—1)>/?(лг—1).
При сокращении на (п—1) знак неравенства не изменится, так как п > 1, т. е.-
r> R.
Мы приходим к выводу, что сила тока при параллельном соединении источников будет больше, чем при последовательном, только в случае, если внутреннее сопротивление источника г больше сопротивления R внешнего участка цепи. Следовательно, неравенство /посл>/пар будет выполняться при условии R>rt и силы токов в цепи будут равными, /Пар™^посл> если R—r. Последние два заключения можно доказать, решив неравенство, обратное неравенству (в), или приравняв выражения (а) и (б).
Вариант II. Обозначим силу тока в цепи для случая А через 1А и для случая Б — через /Б . ЭДС группы, состоящей из т последовательно соединенных источников, будет равна т§, сопротивление такой группы будет тг, а число групп в батарее составит п/т При подключении такой батареи к участку с сопротивлением R в цепи возникнет ток, сила которого равна
А V^r/n) -\-R mr-V (nR/m)'
В случае Б ЭДС группы равна ^, суммарное внутреннее сопротивление группы равно г! к, а число таких групп в батарее составит п/к. При этом ЭДС батареи окажется равной (nlk)(§, а внутреннее сопротивление батареи"
т пгп,
к к
’ На основании этого заключаем, что
,_ . _ (n/й) 6
,Vni^HR’
или, произведя простые преобразования,
/лл
Б (лг/АО + ЭД’(д)
Можно показать (мы предлагаем читателям сделать это самостоятельно), что сила тока /А максимальна (/А макс) при условии
mr—nRim,
т. е. когда число т элементов, соединенных в группу последовательно, равно
m—V'nR]r.(е)
Аналогично' сила тока /Б принимает максимальное значение /Б макс при условии
nr!k=kR,
когда число элементов к, соединенных в группу параллельно, составляет к = V nr/R.(ж)
Заметим (мы снова не будем загромождать изложение математическими выкладками), что если для случая А выполняется условие (е)< а для случая Б — условие (ж), то максимальные силы токов в цепях для этих случаев оказываются одинаковыми:
А макс = ^Бмакс “^макс —jp^7R *^
(Попробуйте убедиться в этом, подставив условие (е) в формулу (г), а условие (ж) — в формулу (д)).
Теперь для полной ясности остается сравнить результат^ вариантов I и II. При каких условиях будет, например, выполняться неравенство /макс^^лар^ На основании уравнений (з) и (а) для этого случая имеем।
Si/"Л”^
2 Г r« nR+r*
откудаЗначивоткудаЗначивR>r,n.R>r,n.^макс > ^пар> ^макс < ^пар>^макс > ^пар> ^макс < ^пар>еслиеслиеслиеслиR > Г,п, R < rjn.R > Г,п, R < rjn.
откуда
Значив
откуда
Значив
R>r,n.
R>r,n.
^макс > ^пар> ^макс < ^пар>
^макс > ^пар> ^макс < ^пар>
если
если
если
если
R > Г,п, R < rjn.
R > Г,п, R < rjn.
Аналогично, сравнивая уравнения (з) и (б), можно найти, что
^макс ^макс^макс ^макс> ^посл» < ^лосл»> ^посл» < ^лосл»если еслиесли еслиR < пг, R > пг *R < пг, R > пг *
^макс ^макс
^макс ^макс
> ^посл» < ^лосл»
> ^посл» < ^лосл»
если если
если если
R < пг, R > пг *
R < пг, R > пг *
Таким образом, сопоставляя все полученные результаты, можно прийти к следующим рекомендациям: 1) если R<r!n, то для получения максимальной силы тока в цепи все источники нужно соединять параллельно; 2) если R>nr, то источники нужно соединять последовательно^ 3) если r[n<R<nrt то максимальная сила тока будет получена при сме-
шанном соединении источников в батарею, причем вопрос о том, как сгруппировать источники в каждом конкретном случае, придется решать особо, сопоставляя выполнимость условий (е) и (ж) или сравнивая выражения (г) и (д).
Правила Кирхгофа. При расчете разветвленных электрических цепей очень удобными оказываются так называемые правила Кирхгофа.
Рис. 22 6.Рис. 22 6.Первое правило Кирхгофа относится к любому узлу электрической цепи (т. е. к точке разветвления, в которой сходится не менее трех проводников) и утверждает, что алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю:
Рис. 22 6.
Рис. 22 6.
т
^к = й, (22.23) fe=l
где т — число проводников, сходящихся в узле. Если в участках цепи имеются постоянные электрические токи, то первое правило Кирхгофа является следствием того, что в узле не может происходить накопление или разрыв по
тока упорядоченно движущихся по проводникам заряженных частиц. В противном случае не представлялось бы возможным говорить о постоянных токах в этих участках. При использовании первого правила Кирхгофа обычно имеют в виду техническое направление тока и соблюдают следующее правило знаков: силу тока, «входящего» в узел, считают положительной, а силу тока, «выходящего» из узла,— отрицательной. Так, для узла 1 электрической цепи, схема которой изображена на рис. 22.6, уравнение первого правила Кирхгофа записывают в виде
Л+/2-/3=0.
Второе правило Кирхгофа относится к любому замкнутому контуру электрической цепи и является следствием закона Ома. В электрической цепи, схема которой изображена на рис. 22.6, можно выделить три контура (/—2—3— 4—5—6—1, 1—6—5—4—8—7—1 и 1—2—3—4—8—7—/). Если принять направление обхода верхнего контура, изо- 366
браженное на рисунке пунктирной стрелкой, и записать уравнения закона Ома для всех участков этого контура в согласии с принятыми ранее правилами знаков, то получим:
для
участка
1—6
-IA
— Ф1 Фе>
для
участка
6—5
'11^2 =
= Фв~ Фб — ^2.
для
участка
5—4
' l%Re
= Ф6 —Ф4.
для
участка
4—3
kR»
= Ф4 —Фз.
для
участка
3—2
= ф3 — фа + ^о
ДЛЯ
участка
2—1
= Ф2— Ф1-
Если сложить левые и правые части этих уравнений, то приходим к уравнению
— Л (^з + /"2 + ^в) 4*/1 (R» + ri"V Ri) =^1—^2>
которое может быть записано в более общем виде: пп—
^1^1=^ Sb "(22.24)
4=14=1
где п — число участков рассматриваемого контура. Это уравнение и является уравнением второго правила Кирхгофа, которое утверждает: алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления соответствующих участков контура равна алгебраической сумме имеющихся в этом контуре электродвижущих сил. Это утверждение согласуется с тем фактом, что работа при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру электрической цепи определяется действием сторонних сил, ибо суммарная работа сил стационарного электрического поля на всех участках замкнутого контура равна нулю и одни силы стационарного электрического поля не смогли бы обеспечить движение зарядов по замкнутому контуру.
О некоторых электротехнических приборах
Мы остановимся здесь на анализе закона Ома в применении к реостатам, потенциометрам, амперметрам и вольтметрам. Эти приборы являются неотъемлемыми элементами почти любой электрической цепи.
Реостаты — это проводники или системы проводников с регулируемым сопротивлением, предназначенные для изменения силы тока на участке цепи. Реостат подключается к цепи двумя клеммами. Реостаты со скользящим
контактом имеют три клеммы: две клеммы обмотки (входная и выходная) и'одну клемму, соединенную со скользящим контактом («движком»). При этом используются только две из них: клемма движка и одна из клемм обмотки.
Задача. Каким должно быть сопротивление реостата 7?р, чтобы он позволял уменьшать сил}; тока на участке с сопротивлением R в п раз?
На рис. 22.7 точками ‘В, С и D обозначены клеммы реостата. Рабочими в нашем случае являются клеммы В и D. Электрическая цепь питается от двух точек 1 и 2 с потенциалами Ф1 и <р2.
Рис. 22.7.Рис. 22.7.Когда движок находится в крайнем левом положении (реостат «выведен»), сила тока в цепи определяется выражением
Рис. 22.7.
Рис. 22.7.
/1 = 2^,(а)
ЭДС, имеющего сопротивлениеЭДС, имеющего сопротивлениекоторое получаем в соответствии с законом Ома для участка цепи без R (см уравнение (22.6)). Когда движок
ЭДС, имеющего сопротивление
ЭДС, имеющего сопротивление
находится в крайнем правом положении (реостат «введен»), электрическая цепь представляет собой два последовательно соединенных проводника с сопротивлениями Rp и R. Если на ее концах поддерживается прежняя разность потенциалов, то сила тока равна
г(б)
Нас интересует случай, когда
l^lxln.(в)
Подставляя выражение для /2 из (в) в (б), имеем
После почленного деления уравнения (а) на (г) и преобразований получаем
R^R^-\y
Если мы собираемся уменьшить силу тока в пределе до двух раз (и=2), то сопротивление реостата должно равняться сопротивлению R участка; если же минимальная сила тока должна быть в десять раз меньше максимальной (п=10), то нужно взять реостат с сопротивлением, в девять раз большим сопротивления участка, и т. д.
Реостат с подвижным контактом может работать и в режиме потенциометра (делителя напряжения). В этом случае его назначение — изменять разность потенциалов на концах интересующего нас участка. Включение реостата в качестве потенциометра производится при помощи всех трех клемм.
Задача. Влияет ли сопротивление потенциометра Rn на диапазон изменения разности потенциалов на концах участка с сопротивлением R*> Питание схемы осуществляется от точек 1 и 2 с потенциалами фх и ф2 (рис. 22 8).
При положении движка в какой-то произвольной точке D разность потенциалов на концах участка с сопротивлением R будет равна разности потенциалов (фр— фр) в точках В и D. Еслй пренебречь сопротивлением подводящих проводов, то Фв=Ф1 и разность потенциалов на концах участка с сопротивлением R равна <рх—фр. Остается проанализи
ровать, от чего зависит значение-потенциала фр.
Пусть сопротивление участка BD равно тх, сила тока на этом участке /рр, а сила тока на участке с сопротивлением R равна /р. На основании закона Ома для участка BD имеем
Фв —Фв^^ррг^,
или, учитывая, что фр=Фь
ф! —фр = /рргх, откуда
^D^^ — Ibd^x-(а)
Для тдго чтобы выразить силу тока Ibd через заданные величины, воспользуемся следующими соображениями. Суммарное сопротивление
R^bd между точками В и D (два параллельно соединенных участка с сопротивлениями гх и 7?) на основании (22.15) равно
р rxR
Сопротивление обмотки потенциометра между точками D и С, очевидно, равно /?п— гх. Значит, общее сопротивление R^ всех участков, подключенных к точкам / и 2, составляет
^2 = ^п'“гл; + ^2ВР = ^п'“^+р^”* (б)
Тогда силу тока / на участках IB, DC и С 2 можно найти на основании закона Ома.
(в)(в), Фг —Ф2^2
(в)
(в)
В точке В (или в точке D) имеет место разветвление тока, причем
Of
Ibd R *
Составляя производную пропорцию
/р + ^рр_Гх + /?
* Ibd " R
и учитываяг что Ir-VIbd™^ получаем
/ _rx + R
Ibd R *
откудаоткуда'BD=I7^R-'BD=I7^R-(Г)(Г)
откуда
откуда
'BD=I7^R-
'BD=I7^R-
(Г)
(Г)
С учетом выражений (б), (в) и (г) уравнение (а) принимает вид
Фо^ФхФо^ФхФ1~ ф2Ф1~ ф2Rn rxRn rxrxRR+rxrxRR+rxRrxRrx'x + R''x + R'
Фо^Фх
Фо^Фх
Ф1~ ф2
Ф1~ ф2
Rn rx
Rn rx
rxR
R+rx
rxR
R+rx
Rrx
Rrx
'x + R'
'x + R'
откуда после преобразований находим окончательное выражение для фр:
Фа = Ф1—(фх—ф2)Фа = Ф1—(фх—ф2)R^xRnR+Rnrx rxR^xRnR+Rnrx rx
Фа = Ф1—(фх—ф2)
Фа = Ф1—(фх—ф2)
R^x
RnR+Rnrx rx
R^x
RnR+Rnrx rx
Теперь понятно, что разность потенциалов фр—фр на концах участка с сопротивлением R зависит лишь от положения движка потенциометра и может изменяться от нуля (движок находится в точке В; тогда rx=0, Фр=Ф1 и фр—фр=0) до максимального значения, равного Ф1—ф2, когда движок находится в точке С (при этом rx=Rm фр=ф2 и Фр—фр=Фг-Ф2).
С сопротивлением потенциометра /?п нужно считаться, только исходя из условия, чтобы сила тока, идущего через его обмотку, не была очень большой Если сопротивления Rnn R малы, то при значительной разности потенциалов фх— ф2 сила тока, идущего через обмотку потенциометра, может стать достаточной для того, чтобы вывести потенциометр из строя.
Значит, от сопротивления /?п зависит безотказная работа потенциометра при заданной разности потенциалов. Разность же потенциалов на концах участка с сопротивлением R может изменяться от нуля до максимального значения, равного разности потенциалов на клеммах источника, лишь в зависимости от положения движка потенциометра
Амперметр предназначен для измерения силы тока на том участке цепи, к которому он подключен последовательно. Чтобы амперметр как можно меньше влиял на силу измеряемого тока, электрическое сопротивление обмотки амперметра должно быть по возможности малым. Бесконечно малым это сопротивление быть не может, и от его значения зависит диапазон сил токов, для измерения которых предназначен амперметр. Сила тока, проходящего через амперметр, не должна превышать предельной силы тока, на которую амперметр рассчитан, так как иначе его обмотка выйдет из строя. Расширить диапазон измеряемых амперметром сил токов удается за счет подключения к нему шунта.
Задача. Обмотка амперметра, предназначенного для измерения силы тока до максимального значения 1Ъ имеет сопротивление г. Определить сопротивление R шунта, который нужно подключить к амперметру, чтобы этим амперметром можно было измерять силы токов до максимального значения, в п раз большего
Ясно, что шунт должен подключаться к амперметру параллельно. Его назначение — «перепустить» через себя значительную долю тока на участке.
Пусть амперметр с шунтом подключен к точкам цепи 1 и 2 (рис 22.9). Ток силой I в точке / разветвляется на два тока, которые вновь собираются в точке 2. Поскольку заряды в цепи нигде не скапливаются, для точек 1 и 2 должен выполняться баланс токов*
7—h+72.(а)
Силы токов в двух параллельно соединенных участках обратно
пропорциональны их сопротивлениям (так как разности потенциалов на концах этих участков одинаковы), т. е.
к R
Составив производную пропорцию (а)г получаем:Составив производную пропорцию (а)г получаем:-~— и используя условие К-~— и используя условие К44r + R R *r + R R *(б)(б)
Составив производную пропорцию (а)г получаем:
Составив производную пропорцию (а)г получаем:
-~— и используя условие К
-~— и используя условие К
4
4
r + R R *
r + R R *
(б)
(б)
Чтобы обмотка амперметра не вышла из строя, сила тока, протекающего по ней, не должна превышать значения 1Ъ т. е. 11=1ъ в то время как сила тока на участке до точки / и после точки 2 имеет значение, в п раз большее, т. е. 1=п1х* Подставляя эти выражения в уравнение (б), л/i г 4-^ получаем =, откуда К
R =R =гп — Ггп — Г
R =
R =
гп — Г
гп — Г
Таким образом, сопротивление шунта для расширения диапазона измеряемых сил тока в п раз должно быть в (л—1) раз меньше сопротивления обмотки амперметра.
Для полноты картины отметим, что в некоторых случаях в качестве амперметра может быть использован вольтметр. Представим, что вместо амперметра на участке 1—2 (рис. 22.9) включен вольтметр, сопротивление обмотки которого равно г. Вольтметр предназначен для измерения максимальной разности потенциалов Аф'. Максимальная допустимая сила тока через обмотку вольтметра равна г^Аф'/г. Подставляя это выражение в формулу (б), получим
I ~ j+R
Аф' £ *
откуда можно выразить сопротивление шунта к вольтметру: п г^' к — —
Анализируя эту формулу, заключаем, что вольтметр можно использовать в качестве амперметра при условии, если 7г>Аф', т. е. произведение измеряемой силы тока на сопротивление обмотки вольтметра должно быть больше предельной разности потенциалов, для измерения которой предназначен вольтметр. Например, если г=195 Ом и Aq)'= = 10 В, то таким вольтметром можно измерять силу тока до 7=2,0 А при подключении к вольтметру шунта, сопротивление которого равно п 105-10
2,0-195 — 10 ~ 5’ °М’
Амперметр при последовательном подключении к нему проводника, имеющего некоторое сопротивление (такой проводник часто называют дополнительным сопротивлением), может использоваться в роли вольтметра для измерения разности потенциалов между точками подключения.
Задача. Обмотка амперметра имеет сопротивление г=1 Ом. Он рассчитан для измерения сил токов до максимального значения 7= =2,50 А. Какое сопротивление 7? должен иметь проводник, при подклю- ^чении которого к амперметру пос-
ледним можно будет измерять раз- " т I А 1ности потенциалов фх— ф2 до мак-
\ Ясимального значения в 220 В (рис.
22. Юр
Разность потенциалов фд— ф2 , на клеммах амперметра не должна I/।2 | быть больше произведения 1г, так
j —,| как иначе сила тока через хобмотку Iамперметра превышала бы допу-
Рис 22 10"стимое значение При этом условии
максимальная сила тока на всем уча- jQTkc 1В2 должна равняться /, разность потенциалов на концах проводника с сопротивлением R будет составлять фх—Фв==^^ а произведение максимально допустимой силы тока 7 на суммарное сопротивление участка 1В2 как раз и должно равняться измеряемой разности потенциалов фх— ф3:
Фх —ф2 = 77? + 7л откуда
Д = Ф1=12_Г.(а)
Подставляя численные значения заданных величин в СИг находим
/?=^-1=87 Ом.
Формулу (а) можно использовать и для расчета сопротивления проводника, последовательно подключаемого к вольтметру2 если необ-
372
ходило расширить диапазон измеряемых вольтметром разностей потенциалов.
Пусть обмотка вольтметра имеет сопротивление г, причем он рассчитан для измерения максимальной разности потенциалов Ад/. Мы хотим использовать вольтметр для измерения разности потенциалов Ад)> >Аф', подключив к нему проводник с сопротивлением R.
Допустимая сила тока /, проходящего через вольтметр, будет равна /=А<р7г. Подставляя это выражение в формулу (а), получим
ИЛИ
W У
Заслуживает внимания способ измерения сопротивлений участков с помощью амперметра и вольтметра. Он счень часто используется и допускает два возможных варианта сбор книзмер ител ьной
схемы (рис. 22.11). Какую из них нужно применять в каждом конкретном случае?
Задача. Оценить относительные ошибки в измерении сопротивления R проводника с помощью амперметра, обмотка которого имеет сопротивление га> и вольтметра, сопротивление обмотки которого гв, в двух вариантах сборки электрической цепи (схемы / и // на рис. 22.11).
Каждая из этих схем по- своему плоха.В первой ам
перметр измеряет'силу не того тока, который протекает по проводнику с сопротивлением R, хотя вольтметр измеряет разность потенциалов как раз на концах этого проводника. Амперметр в этом случае, очевидно, измеряет суммарную силу двух токов: тока, протекающего по проводнику с сопротивлением R, и тока, проходящего через обмотку вольтметра. Во второй схеме амперметр измеряет силу тока, идущего по проводнику с сопротивлением R, но показания вольтметра включают, кроме разности потенциалов на концах этого проводника, еще разность потенциалов на клеммах амперметра.
Пусть R — истинное значение сопротивления, a Rp— значение сопротивления, которое получается в результате расчетов по показаниям амперметра и вольтметра. Рассмотрим обе схемы измерений.
Схема I. Амперметр показывает значение силы тока Ilt а вольтметр показывает значение разности потенциалов фх— ср2. Тогда расчетное значение сопротивления
(а)(а)п фг фа^pi—г—
(а)
(а)
Ток между точками / и 2 протекает по двум параллельно соединенным участкам с сопротивлениями R и гв. Общее сопротивление Ro этих участков найдем по известной формуле:
1 . 1п rBR
Поскольку на концах этих участков разность потенциалов равна Ф1—фг, силу суммарного тока можно найти по закону Ома:
R» ~ ^RKR+r^-w
Теперь на основании (б) и (а) получаем связь расчетного значения сопротивления с истинным:
Относительная ошибка ft измерения сопротивления в этом случае будет равна
R ‘
Подставив выражение для /?р{ из (в), получим Г R 1, х
ll-rB+R""l + WRy
Схема И. Амперметр показывает значение силы тока /2, а врльт- метр — значение разности потенциалов q)T—<р3. Тогда расчетное значение сопротивления в этом случае
Rp2=T12L$s(д)
Разность потенциалов между точками 1 и 3 равна сумме произведений силы тока /2 на сопротивление R проводника и на сопротивление га обмотки амперметра:
«Pi— <p$=I1R-VISira.(е)
На основании (е) и (д) имеем.
*R$a=R-A-ra.(ж)
Чтобы неиметь деласотрицательными значениями,относительную
сшибку в этом случае будем искать в виде /2—(^р2— RVR- Подставив выражение для R^, из (ж), получаем
(3)
Сравним выражения для расчета относительных ошибок. fT и /2. Величины га> гв и R положительны. С ростом величины R ошибка измерений ^ по схеме I увеличивается, а /2 уменьшается. Ёсли величина R уменьшается, то ошибка измерений fx по схеме I уменьшается, а /2 воз-
растает. Теперь ясно, что схему I нужно использовать при измерении малых сопротивлений, а схему II — при измерении больших сопротивлений.
Но какие сопротивления считать малыми, а какие большими^ Чтобы ответить на этот вопрос, посмотрим на графики зависимости относительных ошибок измерений ^ и /2 от отношений R/rB и Rlr^ изображенные на рис. 22.12. Эти графики построены по уравнениям (г) и (з). Решая эти уравнения совместно, легко найти, что абсцисса точки пересечения обоих графиков имеет значение 1,62.
Обычно сопротивление обмотки амперметра га бывает меньше сопротивления обмотки вольтметра гв. Тогда мы должны сказать, что если измеряемое сопротивление R имеет значение меньшее, чем 1,62 га, то первая схема дает меньшую ошибку, чем вторая Если R> 1,62 гв, то нужно пользоваться второй схемой.
А какая схема даст более точ
ные результаты, если 1,62га<7?<
<1,62 гв? Этот вопрос уже нужно решать отдельно в каждом конкретном случае, зная порядок значения искомого сопротивления R Если, например, га=0,5 Ом, гв= 100 Ом, а сопротивление 7?^ 50 Ом (это нам известно, скажем, из грубых прикидочных расчетов), то ^^0,33, а /2^ ^0,01, т. е. /2<^1 и нужно пользоваться второй схемой. А если при тех же значениях сопротивлений обмоток приборов ^7?^ 1 Ом, то ^^0,01, а /2^0,5, т. е. /2</2 и следует пользоваться первой схемой.
§23. МЕХАНИЗМ ПРОВОДИМОСТИ РАЗЛИЧНЫХ СРЕД
Электронная проводимость металлов
Не останавливаясь на рассмотрении опытных доказательств электронной теории проводимости металлов, напомним лишь об основных положениях этой теории. Не^ которые из них уже были использованы нами в предыдущих параграфах.
Между положительными ионами, колеблющимися, вблизи узлов кристаллической решетки металла, находится электронный газ. В хаотическом тепловом движении электроны как бы плавают по всему объему проводника. Как уже отмечалось, каждый электрон испытывает действие сил притяжения со стороды ионов кристаллической решетки, и это мешает ему выйти за пределы поверхности металла. Лишь наиболее быстрые электроны могут преодолеть это притяжение и вылететь из металла. Этот процесс напоминает испарение жидкостей. Вылетевшие электроны, если их не
отводят от поверхности металла, образуют вблизи нее отрицательно заряженное облако. Чем больше электронов будет покидать металл, тем больше будет это облако, тем труднее будет вылетать новым электронам. С другой стороны, вылетевшие электроны будут втягиваться в металл возрастающими силами притяжения. В конце концов устанавливается динамическое равновесие между «испарившимся» электронным газом и металлом. Это говорит о том, что электроны обладают не только кинетической энергией теплового движения, но и потенциальной энергией взаимодействия с веществом проводника. '
При подключении проводника к источнику тока в проводнике происходит перераспределение' электронов, которое приводит к установлению электрического поля внутри объема проводника, характеризующегося разностью потенциалов, между любыми точками вдоль оси проводника. Вследствие этого в проводнике возникает дрейф электронов — они приходят в упорядоченное движение. Поскольку электроны имеют отрицательные заряды, скорости их упорядоченного движения направлены противоположно напряженности поля Е внутри проводника. На электрон, заряд которого равен —е, со стороны поля с напряженностью Е действует сила F=—еЕ, сообщая ему ускорение а=—еЕ/т.
Постоянство средней скорости упорядоченного движения электронов в проводнике при постоянной силе тока в нем объясняется наличием сопротивления. Взаимодействуя с ионами кристаллической решетки металла, электроны передают ионам часть своей энергии. Это приводит к торможению электронов и к установлению постоянной средней скорости их упорядоченного движения. Поскольку концентрация электронов велика и каждый из них за одну секунду испытывает колоссальное число соударений, мы и говорим о постоянной средней скорости упорядоченного движения электронов по участку проводника конечной длины. При этом энергия, передаваемая электронами кристаллической решетке металлического ' проводника, оказывается равной той дополнительной энергии, которую они приобретают в поле с напряженностью Е.
Мы уже обращали внимание на тот факт, что увеличение внутренней энергии вещества проводника при перемещении по нему единичного положительного заряда может быть выражено произведением IR (стр. 356, 357). Это возрастание внутренней энергии оценивают количеством теплоты, вы- 376
делившимся в проводнике. Если сила постоянного тока в проводнике с сопротивлением R равна /, то это означает, что суммарный заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за промежуток времени А/, равен ^q= = 1М. Возрастание внутренней энергии проводника при этом, очевидно, будет определяться выражением Q=Aq IR, или
Q-PRM. (23.1)
Заметим, что такое количество теплоты выделяется в участке металлического проводника с сопротивлением R за промежуток времени А/ при силе тока / независимо от того, есть ли внутри этого участка источник тока или нет. Ведь сила тока / на данном участке металлического проводника определяется стационарным электрическим полем перераспределенных на его поверхности и по его объему электронов, а это перераспределение обеспечивается всеми источниками тока, имеющимися в цепи, независимо от того, находятся ли они внутри или за пределами рассматриваемого участка.
На основании (23.1) и уравнений закона Ома (22.6) — (22.8) можно получить выражения, определяющие увеличение внутренней энергии проводника для различных частных случаев.
Если участок проводника с сопротивлением R не содержит источников тока и разность потенциалов на концах участка равна Аф, то
' ' Q=^Af. (23.2)
Если на участке имеются источники тока с суммарной электродвижущей силой ^, разность потенциалов на концах участка равна Аф, а его суммарное ^сопротивление (включая внутренние сопротивления источников тока) равно R, то
Q=(A<p + ^At (23 3)
Наконец, для замкнутой электрической цепи с общим сопротивлением R и суммарной электродвижущей силой всех источников ^ имеем
5=^АЛ (23.4)
Выражения (23.1) — (23.4) являются уравнениями за, кона Джоуля — Ленца, позволяющего определить увели-
чение внутренней энергии участка или замкнутой цепи при наличии в них электрического тока.
Следует иметь в виду, что изменение энергии упорядоченно движущихся по проводнику зарядов может сопровождаться не только возрастанием внутренней энергии проводника, но и изменением механической энергии проводника в целом. Например, при протекании электрического тока по незакрепленному или гибкому металлическому проводнику, помещенному в магнитное поле, проводник или некоторые его участки могут прийти в движение.
Возрастание внутренней энергии металлического проводника приводит к повышению его температуры или может даже оказаться достаточным для осуществления перехода его из твердого состояния в жидкое (плавкие предохранители и т. п.) В первом случае более высокой температуре соответствует более интенсивное колебательное движение ионов кристаллической решетки и большая скорость хаотического теплового движения электронов, т. е. увеличивается средняя кинетическая энергия теплового движения частиц и, кроме того, возрастает потенциальная энергия взаимодействия частиц вещества проводника. «Испарение» электронов, о котором мы упоминали в начале этого пункта, в таких условиях облегчается, большее число электронов может преодолеть притяжение проводника и покинуть его. В этом и заключается явление термоэлектронной эмиссии»
Закон Джоуля — Ленца справедлив не только для металлических проводников, но и для электролитов и газов, В этих случаях внутренняя энергия жидкого или газообразного проводящего ток вещества также увеличивается из-за взаимодействий, из-за столкновений движущихся заряженных частиц с другими заряженными или нейтральными частицами вещества.
Задача. Сколько витков (и) нихрсмовой проволоки нужно навить в один слой на фарфоровую втулку с внешним диаметром D=2,0 см г чтобы устроить кипятильник, в котором в течение 10 минут (т= 10 мин) будет закипать 500 г воды (т=500 г), взятой при начальной температуре /о=2О °C? Диаметр проволоки d=0^50 мм, удельное сопротивление нихрома в рассматриваемом интервале температур р=1,0* 10"6 Ом*м. Кипятильник будет включаться в штепсельную розетку с разностью потенциалов А<р=;220 В. Коэффициент полезного действия кипятильника принять равным 60% (т]=0,60).
В данном случае удобно воспользоваться уравнением закона Джоуля — Ленца в виде
~ (АФ)2 / X
Q=^-^_t, (а)
где 7? — сопротивление нагревательного элемента кипятильника. Количество теплоты, необходимое для повышения температуры воды до температуры кипения 7Кип= °C, равно
Фв^^^^кип ^о)>(Q
где с — удельная теплоемкость воды. Поскольку на нагревание воды расходуется не все количество теплоты, выделяющееся в спирали, можем написать
или с учетом (а) и (б)
тс(/ки„ —/0) = т]^^-т.(в)
Сопротивление проволоки 7?=р —■, где S=nd2/4 — площадь попе
речного сечения проволоки с диаметром d, l=uDn — длина проволоки Хп — число витков, а лР — длина каждого витка спирали). Тогда '
рЛРп 4рРп
nd2/4 d2 ‘Vl
Подставляя это выражение в (в) и разрешая полученное уравнение относительно и, получаем
п Т]^2 (Аф)2.
4pDmc (/кип /о)
При использовании единиц СИ подставляем в формулу следующие значения* т=600 с, d=5,0* 10~4 м, D=2,0*10“2 м, т=0,500 кг, с— =4,19- Ю3 Дж/(кг-К).'
Легко проверить, что результат решения получится безразмерным:
(с) (м)2 (В)3с. В2 с В2
(Ом • м) (м) (кг)(К)д А.В.с
_0,60 600 (5,0.10 ~4)2 (220)2~
П^ 4-1,0-10*6-2,0 10-2-0,500 4,19-103 (100 — 20) ~3 0 витков*
Ионная проводимость электролитов
Электролитами являются растворы солей, кислот и щелочей, расплавы солей и металлов. В элементарном курсе физики обычно ограничиваются рассмотрением водных растворов солей, кислот и щелочей. Заряженные частицы, обеспечивающие электрический ток в этих растворах, образуются в результате электролитической диссоциации. Из-за взаимодействия с полярными молекулами воды молекулы растворяемых веществ распадаются на разноименно заряженные «осколки» — ионы. Положительно заряженными оказываются ионы металлов и водорода, а отрицательно заряженными — кислотные остатки и гидроксильная группа (ОН).
В отсутствие внешнего электрического поля ионы вместе с нераспавшимися молекулами находятся в хаотическом тепловом движении. Если же ионы оказываются во внешнем поле (это поле обеспечивается перераспределением заряженных частиц на электродах, подключенных к источнику тока и погруженных в раствор), то начинается их упорядоченное движение двумя встречными потоками: положительные ионы устремляются к катоду, а отрицательные — к аноду. Суммарный ток через раствор складывается из обоих этих потоков.
Таким образом, механизм проводимости электролитических растворов, о которых шла речь, оказывается ионным. (Ионной проводимостью обладают и расплавы солей, а вот проводимость металлов в жидком состоянии обеспечивается электронами.) -
Закон Ома продолжает действовать и в этом случае. Как мы уже отмечали, с ростом температуры удельное сопротивление электролитов уменьшается из-за дополнительной ионизации нераспавшихся молекул и из-за увеличения подвижности ионов.
В результате прохождения электрического тока через электролит на электродах выделяются вещества, входящие в состав электролита. Кроме того, может наблюдаться переход вещества с одного электрода на другой. Эти процессы называются электролизом.
Кроме большого прикладного значения, процесс электролиза сыграл важнейшую роль в установлении дискретности электрических зарядов. Тот факт, что заряды ионов оказывались кратными некоторому наименьшему электрическому заряду, явился подтверждением наличия далее уже не делимых «порций» электрических зарядов.
Явление электролиза описывается двумя законами Фарадея. Первый закон Фарадея утверждает, что масса т выделившегося при электролизе вещества пропорциональна суммарному заряду Д^ всех ионов, прошедших через электролит:
m=kkq. (23.5)
Если в течение промежутка времени Д/ через электролит протекал постоянный ток, сила которого Z, то \q=IM и
т=ЫМ. (23.6)
В -этих формулах к — электрохимический эквивалент 380
вещества — физическая величина, определяемая отношениями
& = или ^ = 7^.(23.7)
Измеряя на опыте ти ^q или т, I и М, можно определить электрохимические эквиваленты выделяющихся при электролизе веществ.
Из (23.7) видно, что электрохимический эквивалент в СИ измеряется в кг/Кл, или в кг/(А-с).
Второй закон Фарадея устанавливает пропорциональную связь между электрохимическим и химическим эквивалентами вещества:
к=с4=т^'(2з-8)
где MIZ— химический эквивалент вещества — величина, равная отношению молярной массы М вещества к его валентности Z, а С= MF — коэффициент пропорциональности, универсальный для всех веществ. Величину F называют числом (или постоянной) Фарадея. Ее физический смысл легко установить на основании объединенных уравнений обоих законов- Фарадея:
т = kq, или(23.9)
Например, из (23.9) видно, что постоянная Фарадея по численному значению равна заряду А</ всех ионов, прошедших через электролит, еслй масса т выделившегося при электролизе вещества по численному значению равна химическому эквиваленту MJZ данного вещества. Экспериментальным путем определено, что
F=9,65-КН Кл/моль.
Задача. Никелирование металлической детали с поверхностью S= = 150 см2 продолжалось 6 часов при силе постоянного тока 7=0,20 А. Определить толщину 6 слоя покрытия, если валентность никеля 2=2.
При заданной площади слоя никеля мы сможем найти его толщину, если будет известен объем V слоя. По формуле (23.9) можно найти массу т выделившегося при электролизе никеля. Тогда V—тЩ, где р — плотность никеля, которую найдем по таблице. Теперь можно найисать выражение для толщины слоя никеля:
5=—, причем т——-^1Ы.
о роГ А
Находим
д 1 MI М
° F 2 pS*
Производя расчет в СИ, подставим в эту формулу следующие значения заданных и табличных величин: F— 9,65- 104 Кл/моль, М— =58,7-10-3 кг/моль, /=0,20 А, А^Дб-Ю4 с, р=8,9-103 кг/м3, 5= = 1,5«10~2 м2. Тогда
(кг/моль) (А) (с)А-с-м
(Кл/моль) (кг/м3) (м2)Кл — М
и
158,7.10~ 3 0,20-2,16-104 ~. в
9,65-10428,9-IO3-1,5-Ю-2^ ’ м-
Электрический ток в газах
Газы в обычных условиях не являются проводниками электрического тока, так как атомы и молекулы, из которых они состоят, электрически нейтральны. Чтобы газ стал проводящим, нужно воздействием на него извне добиться образования в нем подвижных заряженных частиц — ионов и электронов — или ввести в него заряженные частицы. Источники ультрафиолетового, рентгеновского, радиоактивного излучений или значительное повышение температуры газа в результате теплообмена могут привести к его ионизации. После этого газ становится проводящим, причем переносчиками тока являются молекулы или атомы с «оторванными» или «лишними» электронами и свободные электроны. В этом состоит отличие проводимости газов от проводимости электролитических растворов. Проводимость электролитических растворов является ионной, а проводимость газов носит ионно-электронный характер.
Под воздействием внешнего электрического поля в ионизованном газе создаются два встречных потока заряженных частиц. При увеличении до известного предела разности потенциалов на концах ионизованного газового столба ток в нем усиливается в согласии с законом Ома. Это связано с тем, что при увеличении напряженности поля все новые ионы вовлекаются в упорядоченное движение между электродами. Начиная с некоторого значения разности потенциалов для данного объема газа, ионизуемого определенным ионизатором, рост силы тока прекращается (ток насыщения), так как все ионы, образующиеся за единицу времени в единичном объеме газа, уносятся электрическим полем. Описанные процессы имеют место при так называемом несамостоятельном газовом разряде. Если источник ионизации перестает действовать, электрический ток через газ 382
прекращается, так как имевшиеся в нем ионы перенесены между электродами, а новые ионы не образуются.
Если после достижения тока насыщения при несамостоятельном газовом разряде продолжать увеличивать разность потенциалов между электродами, характер разряда может измениться за счет ионизации молекул или атомов газа при столкновениях с электронами, разогнанными электрическим полем до больших скоростей (так называемая ионизация электронным ударом). При этом кинетическая энергия электронов оказывается достаточной для того, чтобы они смогли совершить работу по отрыву электронов от не ионизованных ранее атомов или молекул. Пополнение запаса электронов в газе в этих условиях происходит за счет их выбивания положительными ионами из катода. Такой разряд носит название самостоятельного газового разряда. Необходимость во внешнем ионизаторе для поддержания самостоятельного разряда отпадает.
Если давление газа уменьшается, самостоятельный разряд начинается при меньшей разности потенциалов между электродами. Это связано с тем, что работа, которая должна быть совершена при ионизации атомов или молекул данного газа, так называемая работа ионизации (точно так же как и работа по выбиванию электронов из вещества данного катода — работа выхода электрона^ имеет вполне определенное значение. Чтобы кинетические энергии электронов или ионов были достаточными для совершения той или иной работы, эти частицы должны успеть приобрести определенные скорости. Подобно тому как скорости электронов в металлах могут увеличиваться только на расстояниях, равных средней длине свободного пробега, ускоренное движение электронов или ионов в газе происходит также на длине свободного пробега. Чем меньше давление газа при постоянной температуре, тем меньше концентрация его частиц, тем больше их средняя длина свободного пробега, тем меньшим по напряженности полем можно разогнать данную заряженную частицу до определенной скорости на длине свободного пробега.
Электрический ток в вакууме
Получить электрический ток в вакуумной трубке только лишь за счет термоэлектронной эмиссии с катода не удается. Дело в том, что электроны, покидающие катод, не уходят очень далеко и «плавают» в виде электронного
облака вблизи него. Между катодом и электронным облаком устанавливается электрическое поле, препятствующее удалению вылетевших электронов. Только подключив к вакуумной трубке, кроме источника питания катода, источник ускоряющего поля между катодом и анодом, удается получить в ней электрический ток. Сила этого тока зависит как от температуры катода (она определяет для данного вещества катода число электронов, вылетающих с единицы его поверхности за единицу времени), так и от разности потенциалов ускоряющего поля (сколько электронов и с какой скоростью будут пролетать в промежутке между катодом и анодом).
Носителями электрического тока в вакууме могут быть, конечно, не только электроны, но и другие заряженные частицы, которые будут вводиться в откачанный сосуд (например, ионы).
Но о каком же вакууме идет речь, если в сосуде имеются частицы? Такой вопрос часто возникает у тех, кто под вакуумом понимает полное отсутствие каких бы то ни было частиц.
С таким абсолютным вакуумом нам не приходится встречаться никогда, даже в космической пустоте. В физике под вакуумом понимают такое состояние любого газа, когда средняя длина свободного пробега его частиц превышает размеры сосуда, содержащего этот газ. Концентрация частиц газа при этом столь мала, что за время движения от одной стенки сосуда до другой они между собой не сталкиваются.
Работа силы ускоряющего поля при движении заряженной частицы в вакууме, с одной стороны, определяет убыль потенциальной энергии частицы в согласии с (19.12) или (19.16), а с другой, в согласии с теоремой о кинетической энергии, эта работа равна возрастанию кинетической энергии частицы в выбранной инерциальной системе отсчета. Если частица с зарядом q и массой т перемещается в электрическом поле из положения 1 в положение 2, причем разность потенцйалов между точками 2 и./ поля равна Дф21, то
^ДФй = ^_^. (23.10)
При решении задач, в которых начальная скорость частицы может быть принята равной нулю, часто пользуются более
краткой записью:краткой записью:чМ-^.чМ-^.(23.11)(23.11)
краткой записью:
краткой записью:
чМ-^.
чМ-^.
(23.11)
(23.11)
связывающей кинетическую энергию частицы б конечном положении с абсолютным значением изменения ее потенциальной энергии в ускоряющем поле.
В сильно откачанном сосуде почти нет препятствий для движения электронов или других заряженных частиц. Поэтому изменения их скоростей будут происходить только в пределах тех областей, где на частицы действуют силы электрического поля. (В общем случае неинерциальный характер движения заряженных частиц может обеспечиваться не только электрическим полем, но и некоторыми другими, например магнитным.) Электрон в «электронной пушке» ускоренно движется на участке от катода до анода, а дальше, если нет воздействия других полей, он будет двигаться инерциально с той скоростью, которую он приобрел в ускоряющем поле. Так называемые отклоняющие пластины, вводимые в электронно-лучевую трубку, обеспечивают получейие электростатических полей, с помощью которых осуществляется управление электронным пучком.
Задача. В вакуумной трубке пучок электронов ускоряется электрическим полем между катодом и анодом, разность потенциалов между которыми равна Дф!—5.6* 10s В. Далее пучок попадает в середину зазораЗадача. В вакуумной трубке пучок электронов ускоряется электрическим полем между катодом и анодом, разность потенциалов между которыми равна Дф!—5.6* 10s В. Далее пучок попадает в середину зазорамежду двумя параллельными горизонтальными пластинами. Какова должна быть разность потенциалов Аф» между пластинами, чтобы на выходе из зазора пучок сместился на ш/=5,0 мм? Длина пластин /= =5,0 см, расстояние между ними d=2,0 см.Пунктиром на рис. 23.1 обведена «электронная пушка». Ее катод питается от источника с электродвижущей силой §v В аноде имеется отверстие О малого диаметраг обеспечивающее получение тонкого электронного пучка.между двумя параллельными горизонтальными пластинами. Какова должна быть разность потенциалов Аф» между пластинами, чтобы на выходе из зазора пучок сместился на ш/=5,0 мм? Длина пластин /= =5,0 см, расстояние между ними d=2,0 см.Пунктиром на рис. 23.1 обведена «электронная пушка». Ее катод питается от источника с электродвижущей силой §v В аноде имеется отверстие О малого диаметраг обеспечивающее получение тонкого электронного пучка.
Задача. В вакуумной трубке пучок электронов ускоряется электрическим полем между катодом и анодом, разность потенциалов между которыми равна Дф!—5.6* 10s В. Далее пучок попадает в середину зазора
Задача. В вакуумной трубке пучок электронов ускоряется электрическим полем между катодом и анодом, разность потенциалов между которыми равна Дф!—5.6* 10s В. Далее пучок попадает в середину зазора
между двумя параллельными горизонтальными пластинами. Какова должна быть разность потенциалов Аф» между пластинами, чтобы на выходе из зазора пучок сместился на ш/=5,0 мм? Длина пластин /= =5,0 см, расстояние между ними d=2,0 см.
Пунктиром на рис. 23.1 обведена «электронная пушка». Ее катод питается от источника с электродвижущей силой §v В аноде имеется отверстие О малого диаметраг обеспечивающее получение тонкого электронного пучка.
между двумя параллельными горизонтальными пластинами. Какова должна быть разность потенциалов Аф» между пластинами, чтобы на выходе из зазора пучок сместился на ш/=5,0 мм? Длина пластин /= =5,0 см, расстояние между ними d=2,0 см.
Пунктиром на рис. 23.1 обведена «электронная пушка». Ее катод питается от источника с электродвижущей силой §v В аноде имеется отверстие О малого диаметраг обеспечивающее получение тонкого электронного пучка.
38538513 Ю. А. Селезнев
385
385
В поле между катодом и анодом электроны приобретают скорость, которая может быть найдена в согласии с уравнением (23.11):
у = У 2е kc^nu(а)
С такой скоростью электроны будут двигаться инерциально на участке ОВ.
Изменение движения электронов будет происходить только на участке BD, в пределах которого они будут испытывать действие сил со стороны поля пластин. За точкой D движение вновь будет инерциальным.
Если поле между пластинами однородно и векторы напряженности в любой его точке направлены так, как показано на рис. 23.1, то на участке BD на каждый электрон будет действовать постоянная сила F, направленная вертикально вниз, которую нетрудно найти. Напряженность поля пластин в согласии с (19.20)
р_Дфа
£"Т-
Тогда сила, действующая на электрон, F=eE=e^^,(б)
а ускорение, сообщаемое этой силой электрону, можно выразить в соответствии со вторым законом Ньютона:
Вертикальное смещение электрона вызывается действием силы F, а движение по горизонтали на расстоянии, равном длине пластин, является равномерным. Для этого случая на основании (1.18) имеем'
1 — -иЫ(г)
и
м=-ду2-,(д)
так как ^x—l^ Уох™^ Ях=0» Ци,—0, ау=а и Дг—0. С учетом (в) и (г)
Ду=Ду=2ти22ти2
Ду=
Ду=
2ти2
2ти2
После подстановки выражений для F и у из (б) и (а) и сокращений по-
лучаем
* Аф2 /2. ч
Дф! 4dх 1
откуда искомая разность потенциалов равна
Аф2 = ~^ Аф1
(дробь в этом выражении безразмерна, так что размерности Аф2 и Аф1 совпадают). Подставляем числовые значения и получаем
.4-2,0-10~2-5,0- Ю-з
Афг— (5,0-10~2)25,6-10 «8,9-10 В.
Анализируя формулу (е), можно заключить, что отклонение заряженной частицы в однородном поле пластин заданной геометрии зависит лишь от соотношения между разностями потенциалов ускоряющего и отклоняющего электрических полей и не зависит от массы и заряда частицы.
Электрический ток в полупроводниках
Если посмотреть на таблицу удельных сопротивлений различных веществ, то можно заметить, что разрыв между удельными сопротивлениями металлов (от 10“6 до 10“8 Ом*м) и диэлектриков (от 108 до 1013 Ом-м) огромен. Первые являются очень хорошими проводниками электрического тока, вторые используются как изоляторы, которые при встречающихся на практике напряженностях электрических полей тока не проводят. А имеются ли вещества с промежуточными значениями удельных сопротивлений от 10-6 до 108 Ом- м? Таких веществ в окружающей нас природе насчитывается очень много. Они называются полупроводниками. Германий, кремний, теллур, окислы металлов, соединения металлов с серой, теллуром и селеном и другие вещества обладают полупроводниковыми^ свойствами.
Вспомним, что мы с некоторой осторожностью говорили о свободных электронах в металлах. В свое время мы упоминали, что даже в металлах подвижные электроны находятся в поле электрических взаимодействий с ионами и их свобода ограничена. Они, например, не могут беспрепятственно покинуть металлический проводник. С другой стороны, диэлектрики, которые очень часто считаются веществами без свободных зарядов, при некоторых условиях могут проводить электрический ток. С такими случаями мы имеем дело при пробое диэлектрика, помещенного в электрическое поле с очень большой напряженностью. Наконец, известно, что с повышением температуры в некоторых диэлектриках легче обеспечить упорядоченное движений зарядов. Все это говорит о том, что резкой границы между проводниками и диэлектриками провести нельзя и электрические свойства различных веществ, в ^гом числе и 13*387
полупроводников, находятся в тесной связи с их внутренним строением. z
Атомы, молекулы и ионы веществ содержат электроны. И если различные вещества по-разному реагируют на действия внешних электрических полей, то не связано ли это с различием во взаимодействии электронов с остальными частицами вещества? Не способствует ли повышение температуры освобождению электронов и в Этаких веществах, которые при низкой температуре являются изоляторами? (Многим нашим читателям, очевидно, известен опыт с замкнутой электрической, цепью, одним из участков которой является стеклянная палочка. При комнатной температуре ток в такой цепи практически отсутствует. Но если стеклянную палочку поместить в пламя газовой горелки, по цепи потечет ток — загорится лампочка, включенная в цепь, сдвинется с нуля стрелка амперметра и т. д.) Изучение строения вещества на электронном уровне позволило ответить положительно на такие вопросы.
Электроны в металлах лучше было бы назвать слабо связанными с ионами кристаллической решетки. Достаточно бывает слабого внешнего электрического поля, чтобы увлечь их в упорядоченное движение.
Механизм электрического тока в электролитах и газах нам известен. Молекулы растворяемых веществ диссоциируют под электрическим воздействием молекул растворителя, ионы газов образуются при отрывании и перераспределении электронов в результате столкновений частиц или под действием ионизующего излучения. При этом образуются ионы и свободные электроны, которые под действием внешнего электрического поля приходят в упорядоченное движение. В принципе можно добиться прохождения электрического тока через любое вещество, воздействуя на него одним только внешним достаточно сильным электрическим полем. Поле с очень большим значением напряжейности может высвободить подвижные электроны (электроны проводимости, как их называют), которые, подхваченные тем же полем, приведут к пробою вещества. .
Если для пробоя диэлектриков напряженность внешнего электрического поля должна быть очень большой, то для возникновения проводимости полупроводников эта напряженность может быть во много раз меньшей. Это говорит о том, что электроны в полупроводниках связаны с атомами или молекулами менее прочными связями, чем в диэлектриках. Это согласуется с тем фактом, что удельные сопротив- 388
ления полупроводников имеют промежуточные значения по сравнению с удельными сопротивлениями металлов и диэлектриков.
Казалось бы, на основании анализа взаимодействий частиц, образующих полупроводниковые вещества, мы не получаем ничего принципиально нового и интересного. Много ли пользы от того, что пробой кристалла германия происходит в более слабом поле, чем пробой слюды, фарфора и других диэлектриков?
Значение того или иного физического явления или факта не всегда оценивается по масштабам сопровождающих его эффектов. Многие физические открытия не имеют непосредственного прикладного значения. Давление света, например, не дало человечеству новых возможностей использования энергии солнечного излучения, оно слишком мало, чтобы приводить в движение колесо турбины и т. п. Но его открытие сыграло очень важную роль в установлении электромагнитной природы света, в подтверждении его материальности.
Пробой полупроводника, который мы сравнили с пробоем диэлектрика, имеет место только для химически чистого полупроводящего вещества, без малейших примесей инородных веществ, без малейших изъянов в кристаллической, решётке. Практическое получение чистого полупроводника — задача очень сложная. В настоящее время получили распространение именно не чистые полупроводники, а полупроводящие вещества с различными примесями и неоднородностями в кристаллической решетке, причем изменением количества и характера этих примесей можно влиять на электрические свойства полупроводников. Проводимость таких полупроводников называют примесной проводимостью.
х Рассмотрим для примера широко используемый в последнее время полупроводниковый элемент германий. Атомы германия четырехвалентны — на их внешней, слабее других связанной с атомным ядром оболочке находятся четыре электрона, которые обеспечивают химическую связь данного атома с соседними. Эта связь достаточно прочна. С ее разрушением и связан пробой полупроводника в сильном электрическом поле или в слабом поле, но при повышении температуры.
Если вместо некоторых атомов германия в кристаллической решетке содержатся атомы пятивалентного вещества, например мышьяка, то электрические свойства германия
изменяются. На внешней оболочке атома мышьяка содержится пять электронов. Четыре из них участвуют в создании химической связи с соседними четырьмя атомами германия, а;пятый остается свободным, очень слабо связанным со «своим» атомом. Тепловое движение даже при невысоких температурах обеспечивает разрушение этой связи. Таким образом, под воздействием внешнего электрического поля в таком полупроводнике возникнет'электрический ток, связанный с упорядоченным перемещением примесных электронов. Такую проводимость называют электронной или проводимостью п-типа.
Совсем иное происходит в германии, если он содержит трехвалентную примесь, например алюминий. Три валентных электрона атома алюминия обеспечивают его химическую связь только с тремя соседними атомами германия. Связь с четвертым атомом германия не устанавливается и остается незаполненной. В этом месте обнаруживается недостаток одного электрона, что эквивалентно присутствию в этом месте носителя положительного электрического заряда. Такие незаполненные связи принято называть положительными дырками, а проводимость полупроводника в этом случае называют дырочной или проводимостью р-типа» Дырки заполняются электронами от соседних атомов, причем уход электронов образует дырки на новых местах, которые вновь заполняются электронами от соседних атомов, и т. д. Если тепловое движение электронного газа в металле или в полупроводнике м-типа является хаотическим движением электронов, то можно считать, что в полупроводнике p-типа происходит хаотическое тепловое движение дырок.
Моделью движения дырки может служить игра «в пятнадцать». В плоской квадратной коробке имеется 15 квадратных шашек и одно незаполненное место, представляющее собой дырку. Последовательное перемещение шашек на свободное место приводит к перемещению дырки по полю коробки. Ее можно перегнать, например, из левого ближнего к нам угла коробки в правый дальний и т. д.
Поскольку дырки эквивалентны положительным электрическим зарядам, можно представить, что электрический ток в полупроводнике p-типа обеспечивается упорядоченным перемещением дырок под воздействием внешнего поля. Не следует забывать, конечно, что и при дырочной проводимости реальными переносчиками электрического тока по-прежнему являются электроны! Дырки служат лишь удоб- 390
ной моделью, никаких дырок в действительности не существует. Только механизм перемещения электронов в случаях различной проводимости полупроводника неодинаков. При проводимости n-типа электроны полупроводника, так же как свободные электроны металла, непрерывно перемещаются под действием поля по всему объему вещества. При проводимости p-типа электроны перемещаются от одной незаполненной связи, или дырки, к другой.
Число электронов проводимости в металле по порядку величины равно числу его атомов (1022—1023 в одном кубическом сантиметре) и не зависит практически от температуры. Этим и объясняется хорошая электропроводность металла. Ясно, что примесные полупроводники, проводимость которых связана, как правило, с наличием очень малого количества примесных атомов, дающих по одному электрону или по одной дырке, очень далеки по числу переносчиков тока от металлов.
Замечательной особенностью полупроводников является очень резкая зависимость их удельных сопротивлений (которые остаются большими, чем удельные сопротивления металлических проводников) от температуры и от воздействия других внешних факторов.
С ростом температуры удельное сопротивление полупроводников уменьшается. Если, например, удельное сопротивление металла при повышении температуры на 3009 увеличивается примерно в два раза, то при таком же повышении температуры удельное сопротивление некоторых полупроводников уменьшается в несколько тысяч раз. Это связано с тем, что тепловое движение частиц в полупроводнике даже при малых изменениях температуры приводит к высвобождению новых электронов или дырок, так что переносчиков тока становится значительно больше.
В частности, эта особенность полупроводников позволяет использовать их в качестве измерителей температуры, которые могут иметь очень малые размеры (буквально о булавочную головку) и позволяют регистрировать изменения температуры до миллионных долей градуса. Чувствительность термометров любой другой конструкции намного меньше.
В последние годы широкое применение в различных областях науки и техники нашли полупроводниковые выпрямители, усилители, фотоэлементы и другие устройства, которые много меньше по размерам, долговечнее и экономичнее электронно-вакуумных приборов.
§ 24. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ИЗ РАССМОТРЕНИЯЭЛЕКТРОСТАТИКИ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКИпостоянных токов
Изучая и объясняя электростатические явления и процессы движения носителей электрических зарядов, мы неизбежно должны были углубиться внутрь вещества, причем признание атомов и молекул вещества его наименьшими составными частями не было достаточным для объяснения электрических взаимодействий и многих свойств вещества. Рассмотрение вещества на электронном (точнее, атомноэлектронном) уровне открыло новые свойства веществ — электрические свойства. Механические и тепловые явления изучаются на менее глубоком уровне, когда не учитывают электрических процессов, происходящих в изучаемых объектах.
‘ При изучении поведения систем заряженных частиц или тел приходится еще раз расширить, обобщить закон сохранения энергии. Энергия электрических взаимодействий является еще одним звеном в энергетическом анализе явлений природы, причем этот вид энергии не оказывается чуждым всем другим, нам уже известным. Изменение энергии электрического взаимодействия может приводить не только к изменению механической энергии отдельных заряженных микроскопических частиц, но и к. изменению механической энергии макроскопических тел (например, перемещение проводника с током в магнитном поле). В результате прохождения электрического тока по проводникам изменяется их внутренняя энергия. Под воздействием электрических полей возможны тепловые эффекты и в диэлектриках (например, в быстро изменяющемся электрическом поле температура диэлектрика увеличивается, что удается объяснить, учитывая «трение» между его поворачивающимися или деформирующимися дипблями). Протекание электрического тока по электролитам сопровождается химическими эффектами (процесс электролиза).
Все это позволяет рассматривать энергию электрических взаимодействий как одну из компонент внутренней энергии вещества и, кроме того, как важнейшую характеристику электрических полей. ,
Мы подчеркивали, что материальными объектами, осуществляющими взаимодействия, являются поля (гравитационные, кулоновские и другие). Поля, так же как частицы или тела — скопления частиц, существуют в природе 392 '
независимо от наших желаний или действий, и мы можем лишь перераспределять эти поля. Кирпич или любое другое тело — это не только совокупность большого числа частиц (молекул, ионов, атомов или атомных ядер и электронов), это, кроме того; «сгустки» полей: гравитационного, так как все частицы находятся во взаимодействии в согласии с законом всемирного тяготения, электрического, так как электроны и ядра атомов испытывают электрические взаимодействия, и некоторых других.'
Следует еще раз напомнить очень важное положение о невозможности устойчивого равновесия системы свободных электрических зарядов. Анализ этого факта привел нас к признанию невозможности покоя заряженных частиц, составляющих любое тело.
, Таким образом, внося уточнения в модельные представления о «кирпичиках» мироздания, мы должны представлять их непременно как движущиеся частички. Движется такая частичка (при малости ее размеров можно не говорить о ее форме) и вместе с собой несет целый набор полей, которые обеспечивают взаимодействие этой частички со всей окружающей ее материей. В такой грубой и пока еще «очень механической» модели огромное многообразие тел и частиц мы должны представлять как бесчисленное множество частичек, очень неравномерно, «сгустками», распределенных в пространстве. Эти «сгустки» неодинаковы по размерам: маленькие соответствуют изолированным атомам или другим микроскопическим образованиям, большие — макроскопическим телам. В пространстве между частичками — сложнейшее переплетение полей. Картина не из простых! И чтобы разобраться в ней, мы договорились учитывать прежде всего преобладающие в данной задаче, характерные, существенные взаимодействия и не дробить, если это позволяет нам прийти к правдоподобному результату, «сгустки» частиц на составные части.
Исследователь природы подобен посетителю живописной панорамы. Единым взглядом полотна картины не охватишь. Ее можно изучить лишь по частям и на основании этого составить представление о картине. Можно изучить каждый участок картины и с помощью микроскопа. При этом мы получим представление о мельчайших деталях, но, чтобы картина не потеряла для нас ценности художественного произведения, общее представление о ней, о ее содержании и его воплощении не должно затмеваться деталями^
Качественное и количественное рассмотрение электростатических явлений и изучение постоянных токов мы фактически сводим к описанию покоящихся или движущихся заряженных частиц и тел, взаимодействующих между собой уже не по законам механики. Такой подход обеспечил пока достаточную наглядность, к которой мы всегда стремимся, если это только возможно, и позволил привести в соответствие данные опытов и наших теоретических рассуждений.
Заслуживает особого внимания вопрос о скорости распространения электрических взаимодействий. Мы уже говорили, что тепловое хаотическое движение частиц внутри вещества, в том числе и свободных электронов в металлах, происходит с большой скоростью, зависящей от его температуры. Ясно также, что, каким бы большим ни было значение средней скорости этого хаотического теплового движения, оно не определяет скорости упорядоченного движения заряженных частиц. Среднюю скорость упорядоченного движения электронов проводимости в медном проводнике, удельное сопротивление которого принадлежит к числу наименьших, мы подсчитали в задаче на стр. 353, 354. Она оказалась весьма малой (примерно десятая доля миллиметра в секунду). Так что же, если длина провода от штепсельной розетки до настольной лампы составляет, скажем, два метра, от момента включения до начала свечения лампы нам придется ждать пять с лишним часов? Хорошо известно, что это не так. Даже при включении рубильника на электростанции, очень далекой от населенного пункта, электрические лампочки в нем начинают светиться практически тотчас же, без всякой паузы. В чем же дело?
Ответ мы находим в том, что электрические возмущения, или изменения электрических полей, распространяются и в веществе, и в вакууме с огромной скоростью (для вакуума примерно равной 300 000 км/с). Не с бесконечно малой или с бесконечно большой, а с вполне определенной конечной скоростью! Стоит нам развести в стороны стеклянную палочку и кусок амальгамированной кожи, в результате соприкосновения которых произошла их электризация, как в пространстве вокруг них установятся электрические поля. Если где-то в этом пространстве находится, к примеру, заряженный шарик, он начнет испытывать действие сил со стороны этих полей не сразу, а через отрезок времени, необходимый полям для распространения до него. Если вновь §94
свести палочку и кусок кожи, в окружающем пространстве напряженность суммарного поля перераспределенных в них в результате электризации электронов станет равной нулю, но сила воздействия на шарик исчезнет не мгновенно, а с некоторым запаздыванием.
И, наконец, последнее. Мы договорились под электриче- ckhMs током понимать всякое упорядоченное движение заряженных частиц или тел. Ток может протекать по веществу, в котором в силу тех или иных причин имеются подвижные заряженные частицы, увлекаемые внешним электрическим полем. Ток может протекать и в вакууме, если мы внесем в него заряженные частицы. Электронные (катодные) лучи или потоки любых заряженных частиц представляют собой «ниточки» электрического тока. Если в вакууме будет двигаться всего-навсего один электрон, он тоже создаст электрический ток на пути своего движения. Если его траектория будет ограниченной (от одного электрода до другого), то ток будет кратковременным и малым по силе. Но все-таки это будет ток!
Разумеется, с электрическим током мы будем иметь дело и в тех случаях, когда заряженная частица будет двигаться по замкнутой траектории, например по окружности или по эллиптической кривой. Здесь налицо упорядоченное движение заряженной частицы. Поперечное сечение такой «ниточки» электрического тока 'будет очень малым, и сила тбка"'будет определяться скоростью частицы и ее электрическим зарядом. J ч v * ' Стоит теперь вспомнить, что в любом атоме вещества электроны непрерывно движутся, как мы приходим к заключению, что веществу должны быть присущи не только свойства неподвижных носителей электрических зарядов, но и «токовые» свойства. Каждый электрон обеспечивает внутри атома вещества замкнутый микроток. Сколько электронов — столько и микротоков имеется внутри вещества. Используя модельное представление об электронных орбитах внутри атомов вещества, можно отметить также, что дополнительные электрические микротоки могут возникать в веществе из-за поворота плоскостей электронных орбит вокруг атомного ядра или из-за деформации орбит.
ГЛАВА VII
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВАВЕЩЕСТВА
§ 25. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ЕГО СВОЙСТВА
L Свойства движущихся заряженных частицили тел
Любой ток (ток проводимости или ток конвекционный) характеризуется способностью взаимодействовать с другими токами (с другими упорядоченно движущимися носителями электрических зарядов) при посредстве сил, которые' носят название магнитных сил. В этом случае мы снова сталкиваемся с полевым взаимодействием: движущийся электрический заряд, кроме электрического поля, характеризуется полем магнитным, действующим на движущиеся заряженные частицы или тела.
Весьма существенно, что источниками магнитного поля являются заряженные частицы или тела, движущиеся в данной инерциальной системе отсчета, и что силовое воздействие со стороны магнитного поля испытывают только движущиеся электрические заряды (так, на неподвижный заряженный стеклянный шарик стационарное магнитное поле не действует).
Можно показать, что магнитное взаимодействие не сводится к кулоновскому или гравитационному. Например, два неподвижных в какой-то инерциальной системе отсчета электрона; как одноименно заряженные частицы, взаимодействуя по закону Кулона, могут только отталкиваться. Но если они движутся в инерциальной системе отсчета по параллельным траекториям в одну сторону с одинаковыми или с разными по модулю скоростями, кроме электрических сил отталкивания на них действуют силы магнитного притяжения, которые зависят от скоростей движения электронов в данной системе отсчета и могут но много раз превосходить
силы гравитационного взаимодействия между электронами. При скоростях, меньших скорости света в вакууме, силы магнитного притяжения электронов оказываются очень малыми по сравнению с силами электрического отталкивания.
Как обнаруживают магнитные поля?
Простейшим устройством, с помощью которого можно обнаружить действие магнитных сил, является магнитная стрелка, известная естествоиспытателям с давних пор. Помещая маленькую стрелку в различные точки пространства вокруг того места, где имеются движущиеся электрические заряды, по ее поведению судят о наличии магнитных сил. Стрелка по-разному ориентируется 'в различных точках магнитного поля, на различные углы может закручиваться или отклоняться нить, на которой она подвешена. Чем больше этот угол, тем больше магнитная сила. О направлении последней мы судим по направлению воздействия этой силы на северный полюс магнитной стрелки.
Источниками магнитного поля могут быть не только электрические токи, но и некоторые тела, подобные самой магнитной стрелке, так. называемые постоянные магниты. Природу их магнитных свойств мы выясним несколько позже, но магнитные поля этих тел мы снова можем измерять с помощью магнитной стрелки.
Легко сказать, что магнитная стрелка позволяет узнать направление действующей на нее магнитной силы. Но если мы хотим узнать модуль этой силы, то следует считаться с тем, что он зависит и от магнитных свойств самой стрелки, измерять которые мы пока не умеем. В принципе можно было бы измерять различные поля с помощью одной и той же эталонной магнитной стрелки, но практически это невозможно, так же как невозможно, чтобы все магазины и ателье пользовались одним-единственным эталонным метром при отмеривании длины текстильных материалов. Такая эталонная магнитная стрелка невоспроизводима.
В основе использования других измерительных устройств лежит известный факт силового воздействия магнитных полей на проводники с током. Измерительное устройство может быть выполнено в^виде прямолинейного проводника малой длины, по которому протекает электрический ток определенной силы. Измерить на опыте силу
воздействия на такой проводник, помещенный в данную область исследуемого поля, как будто не составляет труда. Длину проводника и силу тока в нем можно измерить достаточно точно. Такое измерительное устройство всегда может быть воспроизведено.
Но при практическом измерении силы воздействия магнитного поля на прямолинейный проводник с током встречаются новые трудности. Сила воздействия на проводник при прочих равных условиях зависит от длины проводника: чем он длиннее, тем больше сила. Значит, для того чтобы характеризовать магнитное поле в определенной точке, нужно брать проводник очень малой длины. Сила воздействия на проводник зависит еще от его ориентации. Если в одном и том же месте магнитного поля проводник поворачивать, действующая на него сила изменяется от нуля до какого-то максимального значения. Углы поворота проводника очень малой длины измерять трудно.
Но неприятности связаны не только с этим. Нам нужен короткий прямолинейный участок проводника стоком. А как его изготовить? Ведь наверняка к нему должны подходить провода, соединяющие его с источником тока. Эти провода сделать короткими не удастся (так как мы не располагаем очень малыми по размерам источниками тока), и сила воздействия магнитного поля на них может оказаться гораздо большей, чем на прямолинейный участок. На перевитые или вплотную сложенные подводящие провода будут действовать взаимно уравновешивающиеся магнитные силы, так как на проводники с противоположно направленными токами действуют противоположные по направлению магнитные силы. Но к концам прямолинейного участка проводника с током будут подходить все же неперевитые провода.
Затруднения подобного рода можно полностью устранить, если воспользоваться измерительным устройством в виде маленького витка с током, который соединен с источником тока двумя перевитыми, переплетенными или параллельно сложенными проводами (рис. 25.1). Такой виток и сам является источником магнитного поля, и испытывает действие со стороны магнитного поля какого-то другого источника, в которое он внесен. Как ведет себя такой виток в магнитном поле? Он может поступательно перемещаться или поворачиваться вокруг оси нити, на которой он подвешен (роль такой нити могут выполнять, конечно, подводящие провода, если они достаточно тонки). Поступательное 398
перемещение имеет место только для случаев сложных (неоднородных) магнитных полей, а в простейших (однородных) полях виток лишь поворачивается.
Пусть виток, площадь S которого очень мала, помещен в определенной области изучаемого магнитного поля, например в узком зазоре между большими полюсными наконечниками магнита. Угол закручивания нити будем измерять по отклонению светового зайчика, отбрасываемого зеркальцем Z, по шкале К (рис. 25.1). Зная упругие свойства
нити и угол ее закручивания, можно определить момент сил, поворачивающий виток в магнитном поле.
Оказывается, что момент сил, действующий на виток в данном магнитном поле, зависит только от силы тока 7, протекающего по витку, и от площади S (на рис. 25.1 пло
Рис 25 1.Рис 25 1.щадь витка заштрихована), причем форуа площади витка (круг, квадрат и т. д.) роли не играет. Обеим величинам, 7 и S, вращающий момент пропорционален. Поэтому очень удобно характеризовать поведение витка в магнитном поле вектором магнитного момента витка рт, модуль которого равен произведению силы тока 7, протекающего по витку, на площадь S витка:
Рис 25 1.
Рис 25 1.
pm=IS. (25.1)
Вектор рт перпендикулярен к плоскости витка и ориентирован так, что с его конца ток в витке кажется .протекающим против часовой стрелки. Вектор рто витка, изображенного на рис. 25.1, перпендикулярен к плоскости рисунка и направлен от читателя.
Таким образом, виток с током может заменить магнитную стрелку при исследовании различных магнитных полей. Если в одну и ту же область заданного магнитного поля помещать магнитную стрелку и виток с током, то последний Ориентируется так, что вектор его магнитного момента всегда направлен вдоль магнитной стрелки и «смотрит» в ту же сторону, куда и северный полюс стрелки.
Единица измерения магнитного момента устанавливается в согласии с уравнением (25.1). В СИ магнитный момент витка или контура с током измеряется в А*м2.
Индукция магнитного поля — основная силоваяхарактеристика магнитного поля
Маленький по размерам виток с током может быть использован для исследования магнитного поля в различных точках подобно точечному электрическому заряду при исследовании полей электрических. Мы знаем, что направление магнитной силы в данной точке поля совпадает с направлением вектора магнитного момента витка рт. Помещая виток в различные точки поля, мы узнаем, как направлена магнитная сила в каждой-из них/Но кроме этого нужно знать еще модуль этой силы. Здесь на помощь приходит опытный закон Ампера, который связывает модуль силы, действующей на малый по длине прямолинейный участок с током, помещенный в магнитное поле, с модулем основной характеристики магнитного поля — вектора магнитной индукции В:
&F—kI М В sin а. (25.2)
Здесь Ы — длина малого прямолинейного участка проводника, по которому протекает ток силой 7; & — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц; В — модуль вектора Магнитной инДукции поля в месте расположения проводника; а — угол между направлением оси проводника и направлением вектора В.
Величина В является характеристикой магнитного поля. Ее смысл легко установить, исходя из этого же уравнения. Выбор системы единиц всегда производится с таким расчетом, чтобы уравнения связи между величинами принимали наиболее простую форму. Если величины AF, 7, М и В измерены в единицах одной системы, то А=1. Еще одно упрощение формулы (25.2) возможно, если а=л/2 радиан. Тогда sin а=1. Выражая величину В в явном виде, получаем
(25.3)
Теперь ясно, что индукция магнитного поля В — физическая величина, модуль В которой определяется отношением модуля АТ7 силы, действующей в данном месте магнитного поля на проводник длиной Ы, сила тока в котором равна 7, к величинам А/ и 7 при ориентации проводника перпендикулярно к направлению вектора В.
400
Расположить проводник перпендикулярно к В практически нетрудно. Направление F в данной точке магнитного поля можно определить с помощью витка с током. Затем в ту же точку помещаем прямолинейный проводник с током и вращаем его в плоскости, перпендикулярной к направлению вектора F, до тех пор, пока сила воздействия на него со стороны магнитного поля не достигнет максимального значения. При этом Мы можем быть уверены, что ось проводника составляет с вектором В прямой угол.
В согласии с (25.3) устанавливается единица измерения магнитной индукции в СИ. При AF=1 Н, /=1 А и AZ= 1 м В принимает единичное значение. Название этой единицы — тесла (тл; новое обозначение — Т):,
1Т=ГГП;- '«/(А-).
Ясно, что 1 тесла — это индукция такого однородного магнитного поля, в котором на каждый метр длины проводника с током, в 1 ампер, расположенного перпендикулярно к направлению вектора В поля, действует сила в 1 ньютон.
Произведя простые преобразования, можно показать, что
тН _ Н-м __ Дж D 2
А-м А-м2 (Кл/с)м2 *,
Таким образом, вектор магнитной индукции является силовой характеристикой магнитного поля. Если сравнивать его с вектором напряженности электростатического поля, то можно выявить различие в направлениях этих векторов по отношению к направлению векторов соответствующих сил. Вектор напряженности электростатического поля Е совпадает по направлению с вектором силы F, действующей на положительно заряженную частицу, помещенную в данную точку поля. Вектор магнитной индукции В всегда перпендикулярен к силе, действующей на прямолинейный проводник малой длины, расположенный в исследуемой точке магнитного поля.
Подобно тому как электростатические поля графически изображаются с помощью силовых линий (или линий напряженности), магнитные поля можно графически изображать с помощью линий магнитной индукции, которые проводятся с таким расчетом, чтобы касательные к ним в каждой точке совпадали по направлению с вектором магнитной индукции поля. При этом аналогично тому, как
поступают В электростатике, говорят о «направлении» линий индукции магнитного поля.
Известное правило буравчика позволяет определить направление линий индукции магнитного поля любого по форме проводника с током: если буравчик ввинчивать по техническому направлению тока, то направление вращения рукоятки буравчика будет совпадать с направлением линий индукции. Если проводник не прямолинеен, то для применения правила буравчика проводник разбивают на очень малые по длине участки, которые можно считать прямолинейными.
Принцип независимости действия сил, соблюдающийся и при магнитных взаимодействиях, позволяет рассчитать сложные магнитные поля нескольких проводников с током, или любых бесконечно маль1х участков каждого проводника, или нескольких полюсов постоянных магнитов. Результирующая сила в интересующей нас точке поля будет определяться как геометрическая сумма всех сил, действующих в точке. Этот же принцип позволяет с помощью геометрического сложения находить суммарный вектор индукции суммарного магнитного поля.
Линии магнитной индукции всегда замкнуты. Это отличает их от линий напряженности электростатического поля и лишний раз подчеркивает, что в природе не существует магнитных зарядов или магнитных масс (подобных положительным и отрицательным электрическим зарядам), на одних из которых линий индукции начинались бы, а на других заканчивались.
Для определения направления силы, действующей на проводник с током, помещенный в магнитное поле, применяется правило левой руки\ если левую руку расположить так, чтобы в ее ладонь входили линии индукции магнитного поля, а вытянутые четыре-пальца совпадали с техническим направлением тока, то отогнутый большой палец будет указывать направление силы, действующей на проводник. Это правило основано на законе Ампера и находится в согласии с определением, принятым для вектора индукции В, Направление силы, действующей на прямолинейный участок проводника с током в магнитном поле, всегда перпендикулярно к плоскости, в которой лежат вектор В и ось участка проводника. Модуль этой силы зависит от угла между осью проводника и вектором магнитной индукции и изменяется от нуля (когда ось проводника совпадает по направлению с линиями магнитной индукции поля) др 402
максимального значения (когда угол между осью проводника и линиями индукции составляет л/2 радиан).
Практически важным случаем является взаимодействие двух очень длинных прямолинейных параллельных проводников с токами. При этом каждый из проводников находится в магнитном поле соседнего проводника. На рис. 25.2 изображены два вертикальных параллельных проводника с противоположно направленными токами, находящиеся на расстоянии а друг от друга. Линии индукции магнитного поля прямолинейного проводника с током имеют форму концентрических окружностей с общим центром на
оси проводника, а их направление определяется в соответствии с правилом буравчика. Ясно, что в месте нахождения точк^Ь первого проводника вектор магнитной индукции В2 поля второго проводника лежит в горизонтальной плоскости, направлен «к нам» и составляет с осью первого проводника прямой угол. Вектор F12 силы воздействия на первый проводник в точке b магнитного поля второго провод
ника лежит в плоскости рисунка и направлен влево (в соответствии с правилом левой руки). Аналогичные рассуждения можно провести и для точки d второго проводника.
-Между такими проводниками с антипараллельными то
ками действуют противоположно направленные, но рав
ные силы отталкивания независимо от того, равны или не равнц силы токов 1г и /2. Это связано с тем, что при прочих равных условиях сила, действующая на первый проводник, пропорциональна силе тока It и индукции магнитного поля
второго проводника, которая в свою очередь пропорциональна силе тока /2 во втором проводнике. Таким образом, величина F12 пропорциональна произведению сил токов It и /2. Этому же произведению пропорциональна сила, действующая на второй проводник, так как амперова сила пропорциональна силе тока /2, протекающего в том проводнике, на который эта сила действует, и индукции магнитного поля первого проводника. Последняя же пропорциональна силе тока /1е
Опыт по взаимодействию в вакууме двух бесконечно длинных параллельных проводников бесконечно малого
поперечного сечения, расположенных на определенном расстоянии один от другого, при протекании по ним одинаковых по силе токов положен в основу для введения единицы силы тока в СИ. Считают, что по таким проводникам протекают токи по 1 А, если проводники находятся в вакууме на расстоянии 1 м друг от друга и на каждый метр длины проводников действует сила, равная 2*10‘7 Н. Ампер при таком определении не является в полном смысле основной единицей, не зависящей от каких-либо других единиц (сила тока определяется по силе взаимодействия проводников). Но тем не менее такое определение оказывается более удобным, чем другие, использовавшиеся ранее (например, определение силы тока по химическому действию тока при протекании через определенный электролит).
Единица измерения электрического заряда — кулон — в СИ вводится в согласии с (22. If и является производной: это суммарный электрический заряд всех частиц, которые при прохождении через поперечное сечение проводника в течение 1 секунды обеспечивают в нем электрический ток силой в 1 ампер.
Воздействие магнитного поля на движущиесяэлектрические заряды
Движущиеся в инерциальной системе отсчета электрические заряды характеризуются не только тем, что в окружающем их пространстве обнаруживаются магнитные поля, но и тем, что сами заряды испытывают воздействие внешних магнитных полей. Силу, действующую на движущуюся заряженную частицу, можно определить на основании закона Ампера. В самом деле, если через поперечное сечение участка проводника длиной А/ в течение промежутка времени А/ проходит п частиц, заряд каждой из которых равен q, то суммарный заряд всех частиц будет равен \q=qrt. Модуль суммарной силы воздействия магнитного поля на все эти частицы будет равен
AF = ^ MB sin а = qnvB sin а,
где через о обозначен модуль средней скорости упорядоченного движения частиц ^р = ~) . Модуль силы Рл, действующей на каждую заряженную .частицу, будет в п раз 404
меньше, т. е.меньше, т. е.F^qvB sin а,F^qvB sin а,(25.4)(25.4)
меньше, т. е.
меньше, т. е.
F^qvB sin а,
F^qvB sin а,
(25.4)
(25.4)
Рис. 25.3.Рис. 25.3.где а — угол между вектором v скорости заряженной частицы и вектором индукции магнитного поля В, в котором частица движется. Эта сила носит название силы Лоренца» Линия ее действия всегда перпендикулярна к плоскости, проведенной через векторы v и В. Направление силы Рл, действующей на положительно заряженную частицу, определяется по правилу левой руки (четыре вытянутых пальца располагаются по направлению скорости частицы, в ладонь входят линии индукции магнитного поля, а отогнутый большой палец указывает направление^силы Лоренца). Если же заряд частицы отрицателен, то снова можно воспользоваться правилом левой руки, располагая четыре вытянутых пальца по направлению, противоположному направлению вектора скорости частицы, т. е. по техническому направлению тока.
Рис. 25.3.
Рис. 25.3.
Анализ направления силы Лоренца еще раз указывает на существенное отличие магнитных полей от электростатических. Сила кулоновского
воздействия на заряженную частицу всегда направлена по касательной к силовой линии в данной точке электростатического поля. Сила же Лоренца всегда перпендикулярна к линии магнитной индукции в точке, где находится заряженная частица.
Тот факт, что "направление силы Лоренца всегда перпендикулярно к направлению вектора скорости заряженной частицы, находит широкое применение. Например, воздействуя магнитным полем на потоки разноименно заряженных частиц, их можно разделять по знаку зарядов. Пусть в области, отмеченной пунктиром на рис.' 25.3, имеется однородное магнитное поле, вектор индукции В которого направлен перпендикулярно к плоскости рисунка «от нас». (На схемах такие векторы условно изображаются кружком с крестйком в середине: мы как бы видим хвост стрелки вектора, направленного «от нас». Если же вектор направлен «к нам», он изображается кружком с точкой: мы видим «острие» стрелки вектора.) Если в эту область слева
влетают заряженные частицы с одинаковыми массами тио одинаковыми скоростями v, то в зависимости от знака заряда они будут двигаться в магнитном поле по разным траекториям. Положительно заряженные частицы под действием силы Лоренца отклоняются вверх, а отрицательно заряженные — вниз.
Легко показать, что траектории заряженных частиц, влетающих в однородное магнитное поле перпендикулярно к его линиям индукции, будут представлять собой дуги окружностей. В самом деле, в этом случае а=л/2, вектор индукции магнитного поля во всех его точках одинаков (B=const, так как поле однородно), поэтому сила Лоренца имеет постоянное значение: F^qvB, В какой бы точке поля частица ни находилась, вектор Ел составляет прямой угол с вектором v скорости частицы, тк<е. сила Лоренца в этом случае является единственной силой, обеспечивающей частице нормальное ускорение,
где т — масса частицы с зарядом q, a R — радиус кривизны траектории. Подсчитанный на основании этого радиус траектории
^=^ (25-5)
для частиц с одинаковыми массами т, одинаковыми зарядами q и одинаковыми скоростями и оказывается величиной постоянной. Если же заряды частиц q имеют разные знаки, то траектории их искривляются в противоположные стороны. (Разумеется, за границами области действия магнитного поля частицы будут двигаться прямолинейно, если отсутствуют какие-либо воздействия на них.)
На основании (25.5) заключаем, что в однородном магнитном поле частицы с неодинаковыми массами, зарядами или скоростями будут1 двигаться по дугам окружностей с различными радиусами. Этот факт находит широкое применение для разделения движущихся заряженных частиц в магнитном поле. Возможности такого метода разделения частиц расширяются, если наряду с магнитным полем на движущиеся заряженные частицы одновременно действует электрическое поле.
В современных циклических ускорителях заряженных Ачастиц магнитное поле обеспечивает управление потоками
частиц. Это поле заставляет частицы двигаться по определенным криволинейным траекториям, на отдельных участках которых частицы ускоряются электрическими полями. -
§ 26. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
Внутренние магнитные поля в веществе
В конце § 24 мы отметили, что движение электронов вокруг ядра атома эквивалентно микротокам, протекающим по замкнутым виткам — электронным орбитам. Виток с током характеризуется вектором магнитного момента рт. Значит, внутри каждого вещества, состоящего из атомов, молекул или ионов, имеется множество микроскопических витков с током, каждый из которых характеризуется своим магнитным полем. Высказанная когда-то Ампером гипотеза о наличии внутри вещества молекулярных токов оказалась весьма плодотворной. Она была только несколько уточнена: токи внутри вещества оказались не молекулярными, а электронными. В каждой молекуле, в зависимости от ее строения, протекает не один, а множество (по числу всех электронов, находящихся внутри всех атомов, из которых состоит молекула) микроскопических замкнутых токов.
Почему же многие вещества в обычных условиях не обладают проявляемыми в окружающем их пространстве магнитными свойствами? Это объясняется тем, что даже в очень малом объеме вещества число электронных орбит огромно. Рассмотрим для примера кусочек меди объемом в 1 см3, который имеет массу т=8,93 г=8,93-10‘3 кг (так как плотность меди р=8,93 г/см3). Поскольку моль меди имеет массу Л1=63,54-10~3 кг/моль и содержит количество атомов, численно равное постоянной Авогадро (NA = = 6,02-1023 моль**1), в рассматриваемом куске меди будет содержаться
n=^NA = ^^l 6,02.1023«8,46-10м атомов.
В каждом атоме меди имеется 29 электронов. Если учесть, что по одному электрону от каждого атома уходит в электронный газ, что эти электроны движутся хаотично и гораздо медленнее, чем электроны на орбитах в атоме, и пренебречь их магнитными полями, то на орбитах в каждом ионе меди остается по 28 электронов. Таким образом, в
1 см3 меди будет насчитываться 28-8,46-1022 ^ 2,37-1024 электронных орбит, каждая из которых представляет со* бой виток с током, обладающий магнитным моментом рт. Все эти орбиты ориентированы в пространстве по-разному, и их магнитные моменты могут компенсироваться. Поэтому- то кусок меди в обычных условиях не проявляет магнитных свойств, но они присущи каждому его атому, каждой электронной орбите любого атома. -
Магнитные моменты электронов, движущихся' внутри атома или иона, называют орбитальными магнитными моментами.
Воздействие внешнего магнитного поля на вещество
Воздействия электрического и магнитного полей на вещество имеют сходные черты. Так же как напряженность электрического поля зависит от свойств среды, индукция магнитного поля зависит от того, в каком веществе обнаруживается это поле. *
Внешнее магнитное поле, в которое вносится какое-либо вещество, воздействует на электроны вещества и тем самым как-то изменяет его внутреннее магнитное поле. Ведь каждая электронная орбита подобна витку с током, а такой виток во внешнем магнитном поле ориентируется определенным образом. Значит, мы вправе ожидать, что при воздействии внешнего магнитного поля на вещество произойдет переориентация электронных орбит или векторов орбитальных магнитных моментов, т. е. в веществе будет происходить процесс, подобный процессу поляризации диэлектрика. Переориентация орбитальных магнитных моментов (элементарных магнитиков) обеспечит внутри вещества магнитное поле, отличное от того, которое было в нем до внесения во внешнее по л е^ Таким образом, суммарное магнитное поле в пределах объема вещества будет являться результатом наложения двух магнитных полей — внешнего и внутреннего, наведенного в веществе под воздействием внешнего поля.
Вектор напряженности поля поляризационных зарядов внутри объема диэлектрика всегда направлен противоположно вектору напряженности внешнего электрического поля. Поэтому напряженность суммарного поля внутри диэлектрика всегда меньше напряженности внешнего поля. Внешнее поле в пределах объема диэлектрика оказывается ослабленным.
Результаты наложения внутреннего и внешнего магнитных полей внутри объема вещества могут быть различными: индукция суммарного магнитного поля может быть и меньше, и больше индукции внешнего поля (см. п. 26.3).
Влияние диэлектрика на ослабление внешнего электрического поля удается оценить относительной диэлектрической проницаемостью е. Аналогичную характеристику можно ввести и для учета магнитных свойств вещества.
Определяя на опыте силы воздействия магнитного поля заданных источников (например, поля между определенными полюсными наконечниками магнита или поля определенным образом расположенных проводников с токами) на малый по длине прямолинейный проводник с током, помещаемый в различные однородные вещества, мы убеждаемся, что эти силы при прочих равных условиях в различных средах будут разными. Тогда закон Ампера при использовании единиц измерения СИ можно записать в следующем виде:
&F = I Ы sin а • (|1Ввак), (26.1)
где величины ^F, /, AZ и а имеют тот же смысл, что и в формуле (25.2), а значение В индукции магнитного поля представлено в виде произведения двух величин:
5 = рВвак. (26.2)
Безразмерная величина р характеризует степень участия вещества в изменении суммарного магнитного поля и носит название относительной магнитной проницаемости вещества (аналог относительной диэлектрической проницаемости е), а Ввак— значение индукции магнитного поля заданных источников в вакууме.
Выразив величину р в явном виде:
Н = (26.3)
^вак
и учитывая соотношения (25.2) и (26.1), можно заключить, что относительная магнитная проницаемость вещества характеризует, во сколько раз сила воздействия магнитного поля заданных источников на проводник с током в данном однородном веществе отличается от силы воздействия на него поля тех же источников в вакууме. -
Классификация веществ по магнитным свойствам
Все вещества обладают определенными магнитными свойствами; в них под действием внешнего магнитного поля происходит та или иная переориентация векторов орбитальных магнитных моментов и, таким образом, обеспечиваются те или иные суммарные магнитные поля внутри вещества. Говорят, что при этом вещество намагничивается. По тому, сколь велико значение вектора индукции внутреннего магнитного поля и как направлен этот вектор, все вещества можно разделить на два класса: слабомагнитные вещества и сильномагнитные.
К слабомагнитным относятся диамагнитные вещества (или диамагнетики) и парамагнитные вещества (или парамагнетики). К сильномагнитным — ферромагнитные вещества (или ферромагнетики) и некоторые другие. Кратко рассмотрим особенности этих веществ.
Диамагнетики характеризуются тем, что суммарный орбитальный магнитный момент всех электронов каждого атома равен нулю. Это значит, что атом диамагнетика в отсутствие внешнего магнитного поля в целом не проявляет магнитных свойств. Воздействие внешнего магнитного поля на атом диамагнетика приводит к наведению в нем магнитного момента, направленного всегда против индукции внешнего магнитного поля. Это связано с тем, что электроны во внешнем магнитном поле испытывают действие сил Лоренца. При этом частота обращения электронов по орбитам изменяется и сами орбиты могут изменять свою ориентацию. Значит, внутри диамагнитного вещества наводится магнитное поле, вектор индукции которого направлен противоположно вектору индукции внешнего поля. В пределах диамагнетика внешнее поле будет ослаблено (подобно ослаблению электрического поля внутри диэлектрика). Поэтому относительная магнитная проницаемость диамагнитных веществ меньше единицы, р<1 (см. формулу (26.3)).
Нужно иметь в виду, что диамагнитный эффект (наведение внутри вещества магнитного поля, вектор индукции которого противоположен вектору индукции внешнего магнитного поля) имеет место для всех без исключения веществ, но из-за своей малости иногда перекрывается иными, более сильными эффектами.
Атомы парамагнетиков и в отсутствие внешнего магнитного поля обладают некоторыми, отличными от нуля,- магнитными моментами, но из-за их хаотической направлен- 410
пости макроскопический объем парамагнетика не проявляет магнитных свойств (магнитные моменты отдельных атомов компенсируются). При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле в нем наводится внутреннее поле, вектор индукции которого совпадает по направлению с вектором индукции внешнего поля. Процесс его наведения можно представить как выстраивание магнитных моментов отдельных атомов по внешнему полю. Диамагнитный эффект при этом также имеет место, но оказывается более слабым, чем парамагнитный. Относительная магнитная проницаемость парамагнетиков немного больше единицы (р>1).
Заметим, что магнитные проницаемости диа- и парамагнетиков не зависят от индукции внешнего магнитного поля.
Отличительной особенностью ферромагнетиков является наличие внутри них объединенных групп атомов, так называемых доменов. Магнитный момент каждого домена отличается от нуля, но в силу возможной компенсации магнитных полей соседних доменов ферромагнетик в отсутствие внешнего магнитного поля может не проявлять своих внутренних магнитных свойств. Под воздействием внешнего магнитного поля происходят смещения границ доменов и повороты доменов, они выстраиваются своими магнитными моментами по направлению индукции внешнего поля. Для ферромагнетика р^>1. Таким образом, индукция внутреннего поля в ферромагнетике может во много раз превышать индукцию внешнего поля.
Кроме того, магнитная проницаемость данного ферромагнетика оказывается зависящей от индукции внешнего магнитного поля. Это связано с тем, что в зависимости от индукции внешнего поля происходят смещения границ и повороты большего или меньшего числа доменов (магнитные моменты некоторых из них и во внешнем поле могут не совпадать по направлению с его вектором индукции). Когда магнитные моменты всех доменов ориентированы по внешнему полю, дальнейшее усиление внутреннего поля становится невозможным. В этих случаях говорят о достижении ферромагнетиком состояния насыщения.
Ферромагнитные вещества обладают еще целым рядом интересных свойств, из которых мы упомянем только свойство остаточной намагниченности. Диамагнетики и парамагнетики после прекращения действия внешнего магнитного поля размагничиваются, под действием теплового движения их внутренние магнитные поля «расстраиваются»: орбитальные магнитные моменты электронов каждого атома
диамагнетика или магнитйые моменты атомов парамагнетика в пределах макроскопического объема снова компенсируются. Ферромагнетики же после прекращения действия на них внешнего поля могут сохранять внутренние магнитные поля. Их домены оказываются «неповоротливыми» и могут сохранять ту ориентацию своих магнитных моментов, которую они имели во внешнем поле. Этот факт и реализуется в постоянных магнитах. Все постоянные магниты изготовляются из ферромагнитных веществ (железа, никеля, кобальта и некоторых сплавов). Таким образом, магнитные свойства постоянных магнитов (магнитных стрелок и т. д.) связаны с наличием в них остаточных внутренних магнитных полей.
Некоторые выводы
Магнитные свойства оказываются универсальными: они имеются у всех веществ. Магнитными свойствами обладают электроны, движущиеся по орбитам в атомах, пучки любых упорядоченно движущихся заряженных частиц в вакууме, между которыми, кроме сил электрического взаимодействия, обнаруживаются магнитные силы.
Магнитные взаимодействия осуществляются через посредство магнитных полей, которые по своим свойствам отличаются от полей электростатических. Например, кулоновская сила действует на заряженную частицу по направлению касательной к силовой линии электростатического поля; магнитная же сила, действующая на движущуюся заряженную частицу, всегда перпендикулярна к линии индукции магнитного поля. Силовые линии электростатического поля всегда разомкнуты, линии же индукции магнитного поля замкнуты, о чем в свое время мы упоминали в подтверждение того факта, что в природе не существует магнитных зарядов или магнитных масс. Есть и другие качественные различия между электростатическими и магнитными полями, на которых мы не будем останавливаться.
Изучая и описывая простейшие магнитные явления, мы не выходим за рамки электронной теории, рассматривающей вещества на уровне атомов и электронов. Только природа ферромагнитных явлений не укладывается в рамки этих представлений. Попытки объяснения образования доменов в ферромагнетиках привели современную физику к выводам о специфическом взаимодействии между электро- 412
нами (электрическое притяжение особой квантовой природы) и о магнитных свойствах самих электронов (не только электронов в атоме, но и одиночных, свободных электронов) и других элементарных частиц. Так изучение магнитных явлений (наряду с другими явлениями) заставило физику сделать еще один шаг в глубь вещества, перейти на новый, более глубокий уровень рассмотрения явлений, происходящих в веществе. Не углубляясь пока в эти тонкости, мы все же должны заключить, что магнитные свойства веществ связаны с их внутренним строением (количество ’ электронных орбит, направление орбитальных магнитных моментов электронов и т. д.).
ГЛАВА VIII
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 27. ОСНОВНЫЕ ОПЫТНЫЕ ФАКТЫИ ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ
Явления, связанные с изменяющимисяво времени магнитными полями
В предыдущих параграфах мы рассматривали однородные магнитные поля, которые вызывались покоящимися посто
янными магнитами или постоянными электрическими токами, протекающими по неподвижным проводникам. Принципиально иные факты имеют место, когда магнитные поля
с течением времени изменяются.
Рассмотрим схему опыта, обнаруживающего явление электромагнитной индукции. На рис. 27.1 представлены
два проводящих контура I и II. Первый проводник через ключ К и реостат R соединен с источником питания, вто
рой проводник замкнут на гальванометр G. Если по проводнику I протекает постоянный электрический ток, в проводнике II тока не обнару
живается — стрелка гальванометра стоит на Нуле. Ток во втором проводнике (так называемый индукционный ток)
появляется в следующие случаях:
при/ замыкании и размыкании ключа К (сила тока в первом контуре быстро возрастает от нуля до максимального значения или убывает от максимального значения до нуля);
при перемещении движка D реостата при замкнутом ключе К (изменение силы тока в первой цепи);
при относительном перемещении контуров I и II (они приближаются друг к другу или удаляются, сдвигают-
ся друг относительно друга в параллельных плоскостях, поворачиваются и т. д.) или при деформации одного или обоих контуров;
при изменении среды, окружающей контуры (например, в зазор между плоскостями контуров быстро вводят стержень из ферромагнитного вещества);
при замене первого контура постоянным магнитом, перемещающимся относительно второго контура.
Во всех случаях индукционный ток наблюдается только в течение'того промежутка времени, за который происходят указанные выше изменения.
Механизм возникновения и закономерностииндукционных явлений
Вспомним, при каких условиях по замкнутому проводнику может протекать электрический ток. Кроме наличия подвижных зарядов, должно существовать электрическое поле, обеспечивающее их упорядоченное движение. В замкнутом металлическом проводнике (контур II на рис. 27.1) при описанных выше изменениях электрический ток' наблюдается, но не стационарное электрическое поле его обеспечивает. В этом можно убедиться, измеряя разности потенциалов между любыми точками проводника. Эти разности потенциалов оказываются равными нулю. Все дело в том, что изменяющееся магнитное поле сопровождается появлением в пространстве так называемого индуцированного электрического поля. Это поле, в отличие от кулоновского и стационарного электрического полей, характеризуется замкнутыми силовыми линиями, в связи с чем его называют еще вихревым электрическим полем. Этот признак (как и в случае магнитного поля) говорит о том, что индуцированное электрическое поде не порождается какими-то заряженными частицами. Работа сил этого поля при перемещении заряженных частиц по замкнутым траекториям не равна нулю. Такое индуцированное электрическое поле и поддерживает индукционный электрический ток в замкнутом проводнике, расположенном в этом поле. Сила воздействия индуцированного электрического поля на заряженную частицу является сторонней силой. Отношение работы этой силы к заряду перемещаемой частицы определяет одну из основных характеристик индуцированного электрического поля — электродвижущую силу индукции (^J.
Для установления количественных соотношений, описывающих явление электромагнитной индукции, вводят физическую величину, называемую магнитным потоком (или потоком вектора магнитной индукции). Магнитный поток ДФ сквозь малую площадку AS, расположенную в магнитном поле с индукцией В, определяется выражением
АФ=ВД5соза, (27.1)
где а — угол между вектором В и нормалью к площадке. Площадка при этом должна быть столь малой, чтобы в ее пределах индукция магнитного поля могла считаться постоянной. Если магнитное поле однородно, то суммарный поток Ф сквозь плоскую поверхность площадью S равен
Ф=В8 cos а. ’ (27.2)
В согласии с этой формулой устанавливается единица измерения магнитного потока. В СИ единицей измерения магнитного потока является вебер (Вб): •
1 Вб=1 Т-1 м2.
Вспоминая, что Т—В-с/м2, можно получить связь вебера с вольтом и секундой: Вб=В-с.
Анализ опытов, подобных описанным в предыдущем пункте, приводит к заключению, что в замкнутом контуре индуцируется электрический ток, если магнитный поток сквозь площадь этого контура изменяется с течением времени. При этом совершенно неважно, за счет чего происходят эти изменения (изменяется ли площадь контура или ее ориентация в пространстве, изменяется ли индукция магнитного поля за счет перемещения его источников или за счет изменения среды и т. п.). Существенное значение имеет лишь скорость этих изменений. Со скоростью изменения магнитного потока сквозь площадь контура замкнутого проводника связана электродвижущая сила индукции,. Выражение
|^и| = ^| (27.3)
является уравнением основного закона электромагнитной индукции Фарадея. Величина к в этом уравнении — коэффициент пропорциональности, который зависит только от выбора системы единиц измерения. В СИ АФ измеряется в веберах, А/ — секундах и, поскольку Вб=В-с, ЭДС индукции ^и будет получена в вольтах, если положить ^=1. 416
Итак, возникновение индукционного тока в замкнутом проводнике под' воздействием изменяющегося магнитного поля удается объяснить, используя представление об индуцированном электрическом поле. А что будет наблюдаться, если в области, где имеется индуцированное электрическое поле, будет находиться неподвижный разомкнутый проводник? Схема такого опыта снова может быть представлена рисунком 27.1. Пусть только теперь к концам контура II подключен не гальванометр (обмотка которого имеет малое сопротивление и является участком, замыкающим контур II), а вольтметр электростатической системы (в ка
честве такого вольтметра может быть использован электрометр). При этом контур II будет разомкнутым, и ток в нем не возникнет. Индуцированное электрическое поле приведет к перераспределению электронов в проводнике (на одном конце проводника электроны будут скапливать
ся, оттекая от другого конца.
проводника), и вольтметр будет измерять разность потенциалов между двумя точками кулоновского поля перераспределенных электронов. По абсолютному значению эта разность потенциалов будет равна электродвижущей силе индукции в разомкнутом контуре (в согласии с законом Ома для разомкнутого участка, содержащего источник тока).
Аналогичная ситуация перераспределения зарядов в проводнике может наблюдаться при движении разомкну
того проводника даже в однородном и стационарном магнитном поле. В этом случае перераспределение зарядов в проводнике удается объяснить воздействием на них силы Лоренца.
На рис. 27.2 изображен металлический проводник дли-' ной /, движущийся со скоростью v в однородном магнитном
поле, вектор индукции которого направлен вертикально сверху вниз. Для простоты рассмотрим случай, когда вектор скорости проводника составляет прямые углы и с осью проводника, и с вектором В. Вместе с проводником со скоростью v вправо движутся положительные ионы и свободные электроны, причем если ионы под воздействием силы Лоренца не покидают положений устойчивого равновесия в узлах кристаллической
41741714 ю. А Селезнев
417
417
решетки, то электроны перераспределяются при этом по проводнику, обеспечивая электрическое поле, перемещающееся в пространстве вместе с проводником. Между концами проводника устанавливается разность потенциалов, равная по абсолютному значению электродвижущей силе индукции, возникающей в проводнике при его движении в магнитном поле. Это связано с тем, что перераспределение электронов в проводнике прекращается, как только сила Лоренца, действующая на электрон в любой точке внутри проводника, сравняется с силой воздействия на электрон поля перераспределенных электронов. При этом работа сил электрического поля по перемещению единичного положительного заряда на длине I проводника (определяющая разность потенциалов между концами проводника) по абсолютному значению будет равна работе силы Лоренца по перемещению единичного положительного заряда на той же длине I (эта рабрта определяет электродвижущую силу индукции в проводнике).
Электродвижущая сила индукции и в этом случае может быть найдена по формуле (27.3), в которую подставляется изменение магнитного потока сквозь площадь, описанную проводником за время движения в магнитном поле. За промежуток времени А/ при скорости движения v проводник переместится по горизонтали на расстояние vAf, описав площадь, равную IvM и перпендикулярную к линиям индукции магнитного поля. Поэтому АФ=В/аА£ и абсолютное значение электродвижущей силы индукции будет равно
1^-1 = |^|= (27.4)
Если вектор v скорости проводника составляет с направлением вектора В индукции магнитного поля угол а, то абсолютное значение электродвижущей силы индукции будет меньше:
1^1 = 6/9 510 а. (27.5)
Точно такие же рассуждения можно было бы повторить и для случая движения в магнитном поле не металлического проводника, а, скажем, стеклянной трубки, заполненной электролитическим раствором. По концам трубки накапливались бы ионы с зарядами противоположных знаков, перераспределенные силой Лоренца.
Значит, независимо от характера проводимости проводника, при его движении в магнитном поле появляется возможность разделения разноименных зарядов. Этот факт ис- 418
пользуется при устройстве индукционных генераторов электрического тока.
Техническое направление индукционного тока в замкнутом проводнике определяется по правилу Ленца*, ток, индуцируемый в проводнике, всегда направлен таким образом, что его магнитное поле «препятствует» изменениям магнитного потока того поля, которое вызвало этот ток.
Магнитный момент рт витка или контура с током характеризует их магнитные поля. Значит, в согласии с правилом Ленца вектор магнитного момента замкнутого контура, по которому протекает индукционный ток, должен быть направлен таким образом, чтобы «противодействовать» изменениям магнитного потока внешнего магнитного поля.
Сила индукционного тока зависит от суммарного сопротивления R контура и определяется по закону Ома:
1» = ^.(27.6)
Задача. Определить направление индукционного тока в контуре II (рис. 27.3), помещенном в магнитное поле контура I, в следующих случаях: 1) при замыкании ключа К; 2) при размыкании ключа К; 3) при перемещении движка D реостата R вправо; 4) при перемещении движка реостата влево; 5) при перемеще
Рис 27.3.Рис 27.3.нии контура I вверх (при неподвижном контуре II); 6) при перемещении контура I вниз.„
Рис 27.3.
Рис 27.3.
Договоримся во всех случа-6
ях оценивать техническое направление токов в контурах I и II, глядя на плоскости контуров сверху (по направлению стрелки М на рисунке)
Случай 1 Сначала ток в контуре I отсутствует. Максималь
ное значение силы тока 1г в этом
контуре можно найти по закону Ома, если известны электродвижущая сила источника и суммарное сопротивление всей цепи, причем ток будет направлен по часовой стрелке (при заданной полярности источника). При замыкании ключа К сила тока в контуре I
возрастает в течение какого-то малого, но конечного промежутка времени М; при этом увеличивается значение вектора магнитной индукции поля этого тока В1? направленного вниз (линии индукции магнитного поля контура I в соответствии с правилом буравчика выходят из-под его плоскости вниз, т. е. под плоскостью контура I образуется северный магнитный полюс, а над ней — южный полюс). Вектор индукции магнитного поля контура II, «противодействующего» возрастающему магнитному потоку сквозь его площадь, должен быть направлен вверх, а это возможно, если индукционный ток в нем направлен против часовой стрелки. При этом вектор магнитного момента pm2 контура II направлен вверх и возникающий на верхней стороне его плоскости северный маг-
нитный полюс как бы отталкивает усиливающееся магнитное поле верхнего витка.
Случай 2. При размыкании ключа сила тока в контуре I уменьшается от значения /1 до нуля. Контур II при этом оказывается в магнитном поле, индукция которого уменьшается. Вектор индукции этого поля направлен по-прежнему вниз. С верхней стороны плоскости контура II должен появиться южный магнитный полюс, чтобы «помешать» ослаблению поля. Соответствующий такому положению вектор магнитного момента нижнего витка должен быть направлен вниз и может быть вызван индукционным током, протекающим в контуре II по часовой стрелке.
Случай 3 аналогичен первому, так как перемещение движка реостата вправо приводит к уменьшению сопротивления контура I и к возрастанию в нем силы тока. При этом магнитный поток, проходящий сверху вниз через площадь контура II, возрастает. С верхней стороны плоскости контура II должен появиться северный магнитный полюй (вектор рЛ2 направлен вверх). Индукционный ток, вызывающий такое магнитное поле^ будет протекать против часовой стрелки.
Рассуждая точно так же, заключаем, что в четвертом и пятом случаях индукционный ток в контуре II будет протекать по часовой стрелке (его магнитное поле «поддерживает» ослабевающее поле контура I), а в шестом случае — против часовой стрелки.
На основе анализа закона электромагнитной индукции (27.3) можно заключить, что электродвижущая сила индукции будет постоянной только при постоянной скорости изменения магнитного потока (^и=const при ^=const). Если же скорость изменения магнитного потока сквозь площадь контура проводника не постоянна, то электродвижущая сила индукции и сила индукционного тока в замкнутом проводнике также не будут постоянными. Так, например, при равномерном вращении проводящего витка в однородном магнитном поле, когда ось вращения витка перпендикулярна к линиям индукции поля, электродвижущая сила индукции изменяется по закону синуса или косинуса.
Заметим кстати, что синусоидальное изменение электродвижущей силы индукции можно получить и в проводнике, движущемся в магнитном поле поступательно (см. формулу (27.5)), если скорость прямолинейного движения проводника вдоль какой-то координатной оси изменяется с течением времени по закону синуса (например, ож=а0 sin (ю Д/)). Такой случай может иметь место при возвратно-поступательном движении проводника, изображенного на рис. 27.2.
Известно, что незакрепленный проводник с током, помещенный во внешнее магнитное поле, может прийти в движение под действием силы Ампера. Возрастание кинетической энергии проводника при этом обеспечивается источником тока, к которому проводник подключен, а не маг- 420
нитным полем. Последнее утверждение может быть пояснено рисунком 27.4, на котором изображен участок металлического проводника с током, движущийся со скоростью v в однородном внешнем магнитном поле с индукцией В. Сила Лоренца Рд, действующая на каждый положительный ион проводника, будет составлять прямой угол с вектором скорости v иона, и поэтому работа этой силы будет равна нулю. Точно так же можно показать, что работа силь? Лоренца F*, действующей на каждый свободный электрон, тоже равна нулю. При этом нужно учесть, что каждый электрон движется не только со скоростью v вместе с проводником, но имеет еще скорость vT упорядоченного, токового движения вдоль проводника. Си- ' ла Рд перпендикулярна к вектору vs суммарной скорости электрона и работы не совершает. Таким образом, суммарная работа сил воздействия магнитного поля на все заря- ^ женные частицы движущегося проводника равна нулю, что и свидетельствует о неизменности энергии магнитного поля и его источников.
Если проводник с током перемещается в магнитном поле
не только под действием силы Ампера, но и под воздействием каких-то иных, внешних сил (например, под действием силы тяжести), то в нем возникает дополнительный индукционный ток, направление которого может совпадать с направлением основного тока'или быть ему противоположным (в зависимости от того, в какую сторону перемещается проводник). В принципе мы можем в подобных опытах полностью скомпенсировать основной ток индукционным, если -будем* перемещать проводник с должной скоростью в сторону, противоположную направлению действующей на него в заданном магнитном поле силы Ампера, или сможем добиться протекания по нему электрического тока в направлении, противоположном основному, рабочему току. По- ?следнее положение иногда используется на практике: если вал некоторых типов электрических моторов вращать в обратную сторону (противоположно его вращению в рабочем режиме), то мотор начинает работать в качестве генератора электрического тока.
Обращает на себя внимание тот принципиальный факт* что индукционные эффекты, которые мы рассмотрели, непременно связаны с какими-то изменениями магнитных и электрических полей в той или иной инерциальной системе отсчета. Индуцированное электрическое поле существует только в течение того промежутка времени, за который через рассматриваемую площадку изменяется магнитный поток (хотя бы и с постоянной скоростью), и поэтому оно не неизменно и не стационарно (характеристики этого поля в данной точке пространства не могут сохраняться неизменными в течение продолжительных промежутков времени). Электрическое поле заряженных частиц, перераспределенных в проводнике, движущемся в магнитном поле, будет электростатическим только в системе отсчета, связанной с самим проводником. В системе же отсчета, относительно которой проводник движется и в которой магнитное поле считается стационарным, электрическое поле перераспределенных заряженных частиц уже не будет стационарным, оно будет перемещаться в пространстве вместе с проводником. '
Принцип действия трансформатора
Теснейшая взаимосвязь и взаимообусловленность изменяющихся магнитных и электрических полей имеет не только принципиальное, но и большое практическое значение. Явление электромагнитной индукции приводит к возможности ускорять заряженные частицы в кольцевой вакуумной камере, расположенной в области быстро изменяющегося магнитного поля (этот принцип используется в бетатроне — ускорителе электронов), а также получать электрические токи в замкнутых проводящих контурах, не связанных никакими проводами с источниками тока. Такая возможность уже была рассмотрена нами на примере опытов, схемы которых изображены на рис. 27.1 и 27.3.
При любых изменениях силы тока в контуре I индуцируется электрическое поле, которое приводит или к перераспределению электронов в разомкнутом контуре II, или к их упорядоченному движению в замкнутом контуре, т. е. к индукционному току. Посредником, позволяющие получить индукционный ток, является изменяющееся магнитное поле.
Индукционные эффекты во втором контуре можно усилить, если, например, оба контура нанизать на замкнутый 422
ферромагнитный сердечник. Тогда изменяющееся магнитное поле будет практически целиком сосредоточено в пределах объема сердечника и не будет рассеиваться в пространстве вокруг него. Рис. 27.5 иллюстрирует такой случай. Все линии индукции магнитного поля витка 1 находятся в пределах кольцеобразного ферромагнитного сердечника и пронизывают площадь контура 2. Этот рисунок представляет принципиальную схему устройства трансформатора. Контур 1 является его первичной обмоткой, а контур 2 — вторичной. Индукция магнитного поля в сердечнике зависит от числа витков в первичной обмотке. Следовательно, и скорость изменения магнитного потока сквозь площадь
контура 2 также будет зависеть от числа этих витков. Электродвижущая сила индукции ^2, кроме того, будет зависеть и от числа витков во вторичной обмотке. В самом деле, если одно и то же магнитное поле пронизывает один или несколько (скажем, десять) витков, то магнитный поток во втором случае будет в десять раз больше (величина S, входящая в формулу (27.2), в случае десяти витков будет в 10 раз больше, чем для одного витка).
Из-за того, что изменяющееся магнитное поле сосредоточено в сердечнике трансформатора и не рассеивается в окружающем пространстве, а также за счет некоторых других причин (малое сопротивление обмоток, потери энергии на возникновение так называемых вихревых токов в сердечнике сведены до минимума — он набирается из отдельных пластин, а не изготавливается из сплошного куска ферромагнетика) трансформатор является устройством с достаточно высоким коэффициентом полезного действия.
Если пренебречь потерями на изменение внутренней энергии обмоток и сердечника, то закон сохранения энергии в применении к трансформатору приводит к равенству мощностей электрического тока на входе в трансформатор и
на выходе из него:
(27.7)(27.7)/1Дф1=/2Дф2,
(27.7)
(27.7)
где Л и Дф1 — сила тока в первичной обмотке и разность потенциалов на ее койцах, а /2 и Дф2 — то же для вторичной обмотки. '
Явление самоиндукции
Индукционные эффекты в проводнике наблюдаются при воздействии на него любого изменяющегося магнитного поля. В частности, такое поле может возбуждаться при изменении тока в самом проводнике. Таким образом, проводник не отличает «своего» изменяющегося магнитного поля от «чужого». Во всех случаях, когда в проводнике изменяется ток (по силе или по направлению или по обоим этим признакам), имеет место явление самоиндукции — возникновение -индукционных эффектов в проводнике под действием его собственного изменяющегося магнитного поля. Ведь какой бы проводник с током мы ни рассматривали, он является участком замкнутого контура, состоящего из этого проводника, соединительных проводов и источника тока. Изменяющийся ток характеризуется изменяющимся магнитным полем, поток вектора индукции которого сквозь площадь контура проводника не будет постоянным. Ну, а если так, то вступают в действие закон электромагнитной индукции Фарадея и правило Ленца: в проводнике индуцируется вихревое электрическое поле, характеризующееся электродвижущей силой самоиндукции (Sc), которое приводит или к соответствующему перераспределению заряженных частиц в проводнике (например, при размыкании цепи), или к возникновению тока самоиндукции, направление которого определяется по правилу Ленца.
Электродвижущая сила самоиндукции в случае неде- формируемого проводника зависит от скорости изменения сйлы тока в проводнике с течением времени:
' ' 1&| = ь|^|, ■ (27.8)
где Д7 — изменение силы тока в проводнике за промежуток времени М, a L — характеристика проводника, называемая его индуктивностью. ‘
Индуктивность L является физической величиной, зависящей от формы и размеров проводника, а также от маг- 421
нитной проницаемости среды, в которой он находится. Если, например, из проволоки длиной в 1 м изготовляют различные по форме контуры (один виток или соленоид и т. д.), их индуктивности в одной и той же среде будут различными. Заметим, что материал проводника не влияет на его индуктивность (была ли взята проволока медная, алюминиевая или из любого другого проводящего вещества). В этом смысле индуктивность является характеристикой проводника, аналогичной его электрической емкости (емкость также не зависит от материала проводника, а определяется его формой, размерами и диэлектрической проницаемостью среды). •
Индуктивность проводника можно найти на основании (27.8) по измеренным на опыте величинам <gt, М и АЛ
В СИ за единицу индуктивности принимают 1 генри (новое обозначение — Г); это индуктивность такого проводника, в котором при изменении силы тока на один ампер (А/=1 А) за одну секунду (ДЛ=1 с) индуцируется электродвижущая сила, равная одному вольту («?с=1 В).
§28. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Закон сохранения энергии в применениик колебательному контуру
Анализируя процессы, происходящие в колебательном контуре — в электрической цепи, содержащей последовательно соединенные конденсатор и соленоид (рис. 28.1),— можно прийти к выводу о взаимных пе- . -
реходах энергии электрического поля в[
энергию магнитного поля, а энергии5
магнитного поля — в энергию электри- _____-<,
ческого поля.-с— —J
Чтобы зарядить конденсатор, нужно"А
совершить работу какими-то внешнимиГ
силами по перераспределению зарядов 1
на его обкладках. Эта работа служит ме- Рис. 28 1. рой потенциальной энергии взаимодей
ствия перераспределенных зарядов или мерой энергии поля заряженного конденсатора..
Разряжая конденсатор через соленоид, мы наблюдаем перезарядку конденсатора. Если потери энергии в контуре (например, на изменение внутренней энергии соединитель-
ных проводов при протекании по ним электрического тока) ничтожно малы, то энергия поля перезаряженного конденсатора будет такой же, какой она была в начале процесса.
Перезарядку конденсатора в колебательном контуре удается объяснить, принимая во внимание индукционные процессы, происходящие в соленоиде. При протекании по соленоиду изменяющегося электрического тока возникает изменяющееся магнитное поле, которое и обеспечивает перераспределение зарядов на обкладках конденсатора. Таким образом, закон сохранения энергии в применении к колебательному контуру выражается в том, что энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля соленоида и соединительных проводов, последняя в свою очередь переходит в энергию электрического поля перезаряженного конденсатора и т. д.
Два изменяющихся поля, электрическое и магнитное, взаимосвязь и взаимообусловленность которых встречается во многих явлениях электродинамики, в частности в процессах, происходящих в колебательном контуре, являются двумя разновидностями единого электромагнитного поля*. Деление процессов и явлений на электрические и магнитные условно. Ведь их первопричина связана с заряженными частицами или телами. Только отвлекаясь от их движения, мы говорим об электрических свойствах или явлениях. Значит, движущимся заряженным частицам присущи, кроме прочих, единые электромагнитные свойства, электрическая или магнитная сторона которых может быть преобладающей в тех или иных условиях, в той или иной системе отсчета.
Электромагнитное поле
Примерно в той же последовательности, в какой физика постигала электрические и магнитные явления, мы рассмотрели основные опытные факты. Замечательным при этом оказалось то, что между явлениями электрическими и магнитными имеется очень глубокая взаимная связь.
Любое упорядоченное движение заряженных частиц (будь то электронный ток в металле или ионный в электролите, будь то упорядоченное движение дырок в полупроводнике, электронный луч в вакууме или движение заряженного тела в воздухе и т. д.) всегда сопровождается магнитными эффектами, всегда является источником магнитного поля. Если ток постоянен, постоянно и магнитное поле этого тока (в любой заданной точке пространства вокруг тока век- 426
тор индукции магнитного поля В не изменяется ни по модулю, ни по направлению). Изменяющийся электрический ток обеспечивает в общем случае изменяющееся магнитное поле (если изменяется только сила тока, в заданной точке магнитного поля этого тока изменяется лишь модуль вектора В; если ток изменяется и по направлению, изменяется и направление вектора В).
С другой стороны, явление электромагнитной индукции убедительно доказывает возможность электрических эффектов, имеющих, так сказать, магнитную причину: перераспределение зарядов в незамкнутом проводнике или их упорядоченное движение — индукционный ток — в замкнутом проводнике. Правда, этот круг явлений возможен при соблюдении очень существенного условия: магнитный поток (сквозь площадь контура витка или катушки, сквозь площадь, описываемую движущимся участком контура, и т. д.) должен быть изменяющимся.
Колебательный контур заслуживает внимания как простейшее устройство, в котором могут быть получены электромагнитные колебания, связанные с переходами энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно. Кроме того, анализ процессов в колебательном контуре позволяет получить некоторые важные, на первый взгляд достаточно неожиданные выводы.
Попробуем сравнить колебательный контур с простейшей замкнутой неразветвленной электрической цепью постоянного тока, состоящей из источника питания и внешнего участка. Мы знаем, что в такой цепи происходит непрерывная циркуляция зарядов:,они непрерывно перемещаются и по внешнему, и по внутреннему (внутри источника тока) участкам цепи в одном направлении. Интересуясь магнитным полем такой цепи, ее без всяких оговорок можно представить как замкнутый виток с током. Каждый кусочек, любой участок такого витка, конечно, будет являться источником магнитного поля. Заметим, что магнитное поле будет порождаться и внутренним участком такой цепи (если даже это будет, например, участок электролитического раствора между электродами гальванического элемента) независимо от устройства источника. Ведь способность возбуждать магнитное поле — наиболее общий эффект, сопровождающий движение любых электрических зарядов по любому руслу.
Колебательный контур не очень-то похож на рассмотренную цепь хотя бы потому, что он представляет разомкнутую
электрическую цепь. В нем, правда, имеется изменяющийся электрический ток, но ведь этот ток — всего-навсего периодическое перераспределение зарядов в проводящих участках контура (от одной обкладки конденсатора через соединительные провода и соленоид до другой и обратно).
Ясно, что колебательный контур будет источником периодически изменяющегося магнитного поля. В основном это поле будет сосредоточено внутри соленоида, но и за его пределами (вокруг соединительных проводов, за торцами соленоида) оно может быть обнаружено. Если нас спросят, от каких участков или элементов колебательного контура берет свое начало магнитное поле, мы не будем долго думать над ответом: конечно же, от тех проводящих участков, в которых упорядоченно движутся, периодически перераспределяются заряды. Совершенно правильно. Такое заключение будет находиться в полном согласии с известными закономерностями магнитных явлений.
Мы, наверное, немало удивимся, если нам скажут, да не только скажут, но и продемонстрируют на опыте, что изменяющееся магнитное поле обнаруживается и вокруг зазора конденсатора (причем это будет поле не от соседних участков контура, а именно поле «от зазора», изменяющееся магнитное поле, имеющее зазор конденсатора в качестве своего источника). Как же так? Ведь пространство между обкладками конденсатора непроводяще, оно может быть вакуумным, не содержать диэлектрика, не содержать вещества! «Что же,— может сказать торопливый читатель,— значит, в вакуумном зазоре конденсатора колебательного контура перемещаются какие-то заряженные частицы, подобно тому как движутся потоки электронов в вакуумной трубке телевизора!» Если попытаться обнаружить эти заряженные частицы в зазоре конденсатора на опыте, ничего утешительного мы не получим. Таких частиц нет!
Выходит какая-то неувязка: с одной стороны, зазор конденсатора ведет себя как участок цепи с изменяющимся током, ибо он является источником изменяющегося магнитного поля, с другой — в зазоре нет носителей тока.
Логичны два предположения для ликвидации этого интересного противоречия: либо кроме перечисленных ранее типов электрических токов (токов проводимости и конвекционных) бывают еще токи без носителей электрических зарядов, либо источником изменяющегося магнитного поля может быть не только изменяющийся электрический ток, но и что-то еще.
Предположение о существовании тока без носителей зарядов, о так называемом токе смешения, было высказано Максвеллом. Но не является ли такое предположение весьма произвольной попыткой объяснить увиденное? Предположение еще не доказательство. Да и предположение по меньшей мере странное. Обнаружено изменяющееся магнитное поле вокруг зазора конденсатора колебательного контура. Известно, что источником изменяющегося магнитного поля является изменяющийся. электрический ток. Никакого тока между обкладками конденсатора не нашли, взяли да и предположили, что он все-таки есть... Ничего не скажешь, сомнительный путь избрали физики — представители строгой и точной науки о природе,— чтобы объяснить опытный факт! Нет, уж давайте без придумываний! Вы говорите о существовании тока смещения, так извольте пояснить, какова его природа, Что он собою представляет»
Возвращаясь ко второму возможному предположению, удается установить и смысл первого. До сих пор мы пытались найти «вещественный» источник изменяющегося магнитного поля — искали движущиеся заряженные частицы или заряженные тела. Их не оказалось. Но ведь в зазоре конденсатора имеется изменяющееся электрическое поле. Вот это изменяющееся электрическое поле и ответственно за изменяющееся магнитное поле вблизи зазора конденсатора колебательного контура, а ток смещения — всего лишь другое название этого изменяющегося электрического поля. Токи смещения могут возникать в пустом пространстве, не содержащем каких-либо заряженных или нейтральных частиц.
При использовании понятия о токе смещения колебательный контур может представляться как замкнутая электрическая цепь: изменяющийся ток проводимости имеется ' в соединительных проводах и соленоиде, а зазор конденсатора замыкается током смещения. В связи с этим часто говорят о полном токе в цепи колебательнбго контура как о замкнутой последовательности изменяющегося тока проводимости и тока смещения.
Не забудем отметить, что токи смещения эквивалентны токам проводимости только по магнитному действию. Ток смещения может «протекать» в вакууме, являясь при этом источником магнитного поля, но никакими тепловыми или химическими эффектами он сопровождаться не будет.
Итак, магнитные поля могут порождаться не только движущимися заряженными частицами или телами, но и
электрическими полями, а электрические поля — не только покоящимися или движущимися электрическими зарядами, но и магнитными полями. Эта взаимосвязь полей имеет принципиальное значение. Она представляет интерес и в тех случаях, когда в рассматриваемой области пространства отсутствуют какие бы то ни было проводники или диэлектрики, заряженные частицы или тела, короче говоря, когда отсутствует вещество.
Не поленимся еще раз обратить внимание на один важный штрих в характеристике индуцированного электрического поля, порождаемого изменяющимся магнитным полем.
Пусть в некоторой области пространства имеется магнитное поле, индукция которого изменяется с течением времени, например, синусоидально. Если в этом поле расположен замкнутый проводящий виток (рис. 28.2, а), то в
Рис. 28 2.
витке, как мы знаем, будет индуцироваться ток /и. Заметим, что это будет замкнутый переменный ток проводимости.
А что будет наблюдаться, если в том же переменном магнитном поле будет находиться разомкнутый проводник, например, представляющий часть только что рассмотренного витка (рис. 28.2, б)? Ранее мы такие случаи тоже ана-’ лизировали. Подвижные заряды (свободные электроны, если это металлический проводник, и т. д.) будут в проводнике периодически перераспределяться, т. е. можно говорить о переменном токе проводимости /пров на участке МРТ. Проводник МРТ можно уподобить проводящим участкам колебательного контура, и следует заключить, что в зазоре МТ должен проходить ток смещения /см. Обратим внимание на то, что если в первом случае переменное магнитное поле приводило к появлению замкнутого тока проводимости в замкнутом проводнике, то теперь, как и в случае колебательного контура, замкнутым будет полный ток.
ДЗО /
Дальнейшие этады анализа напрашиваются сами собой. Будем укорачивать участок проводника с током проводимости; при этом в разрыве по-прежнему будет циркулировать ток смещения, так что полный ток будет оставаться замкнутым.
В пределе можно рассмотреть мысленный замкнутый контур. Тогда не останется участков, в которых могли бы перераспределяться заряженные частицы, не останется тока проводимости, но, если наши рассуждения соответствуют действительности, должен остаться замкнутый ток смещения.
Можно подумать, что примерно таким путем рождалась еще одна гипотеза Максвелла — догадка о том, что переменное магнитное поле приводит к появлению в пространстве замкнутых переменных полных токов.
Эту же мысль можно выразить и по-другому, если, как и прежде, непосредственной причиной полного тока считать то электрическое поле, которое «проталкивает» этот ток. Поскольку полный ток замкнут, силовые линии этого электрического поля придется считать замкнутыми. Существование таких индуцированных или вихревых электрических полей с замкнутыми силовыми линиями, как мы уже знаем, подтвердилось.
Вихревое электрическое поле всегда порождается изменяющимся магнитным полем. Если вихревое электрическое поле оказывается изменяющимся, оно в свою очередь вызывает появление в пространстве изменяющегося магнитного поля. Таким образом, изменяющиеся магнитные поля всегда являются связанными, сцепленными с изменяющимися вихревыми электрическими полями, и их совокупность называют электромагнитным полем.
Термин «сцепленные» достаточно образен, и мы используем его, чтобы напомнить и подчеркнуть тот факт, что линии индукции магнитного поля всегда замкнуты. По этому признаку любое магнитное поле (и стационарное, и изменяющееся) будет вихревым. Изменяющееся магнитное поле обязательно сопровождается присутствием в той же области пространства вихревого электрического поля с замкнутыми силовыми линиями, которые, как звенья цепочки, связаны с замкнутыми линиями индукции изменяющегося магнитного поля. Эта сцепленность отражает и взаимную порождаемость двух компонент электромагнитного поля, и возможность распространения, излучения электромагнитного поля в пространстве в виде электромагнитных волн.
Колебательный контуркак излучатель электромагнитного поля
Период свободных незатухающих электромагнитных колебаний, возникающих в колебательном контуре, зависит от индуктивности и емкости контура и может быть подсчитан по формуле Томсона:
Т = 2л/ЛС,-(28.1)
где Т — период электромагнитных колебаний (в секундах), L — индуктивность контура (в генри), С — емкость контура (в фарадах).
Рис. 28.3 не на соленоид, аРис. 28.3 не на соленоид, аСоленоид не является неотъемлемой составной частью колебательного контура, точно так же как и конденсатор. Дело в том, что любой проводник характеризуется индуктивностью и емкостью, и, если за счет каких-либо внешних причин удастся перераспределить заряды внутри него, это может послужить толчком к возникновению в проводнике электромагнитных колебаний, происходящих с той или иной частотой в зависимости от его индуктивности и емкости (т. е. в конечном счете в зависимости от формы и размеров проводника и от среды, в которой он находится).
Рис. 28.3 не на соленоид, а
Рис. 28.3 не на соленоид, а
Рассмотрим колебательный контур, в котором конденсатор замкнут на линейный проводник (рис. 28.3).
Что можно сказать об электромагнитном поле такого контура? Электрическое поле почти целиком сосредоточено внутри объема проводника и в зазоре конденсатора. Направление силовых линий периодически изменяется" в зависимости от полярности обкладок конденсатора. Одна из силовых линий условно показана на рисунке пунктиром. Линии индукции магнитного поля от каждого участка контура имеют форму концентрических окружностей, плоскости которых перпендикулярны к силовым линиям электрического поля. Некоторые линии индукции также показаны на рисунке. В определенные моменты времени, соответствующие максимальной разности потенциалов между обкладками конденсатора (например, в начальный момент, когда конденсатор только что заряжен, через половину периода, когда конденсатор перезарядился, и т. д.), 432
ток в контуре отсутствует, а значит, отсутствует и магнитное поле.
Чем на большем расстоянии от такого контура мы будем находиться, тем менее ощутимым будет его поле. Ведь электрическое поле почти полностью сконцентрировано внутри объема проводника и внутри зазора конденсатора, а магнитное поле хотя и обнаруживается за пределами контура, но с увеличением расстояния очень быстро ослабевает. Подобные колебательные контуры называют закрытыми (они не служат источниками заметного электромагнитного поля в окружающем их пространстве).
Видоизменяя конфигурацию колебательного контура, удается добиться распространения, излучения электромагнитного поля в окружающее пространство. На рис. 28.4, а
Рис 28.4.
представлена схема открытого колебательного контура, или вибратора (условно показано также неравномерное распределение зарядов по его длине), а на рис. 28.4,6 — условная картина некоторых силовых линий его электрического поля в плоскости оси вибратора (пунктирные линии) и линий индукции магнитного поля в плоскости, перпендикулярной к оси вибратора (сплошные линии) При перераспределении зарядов вдоль такого вибратора по нему протекает переменный электрический ток, вызывающий переменное магнитное поле. Вихревое электрическое поле с замкнутыми силовыми линиями может отделяться от вибратора и распространяться в окружающем пространстве почти во все стороны (кроме направлений вдоль оси вибратора), вызывая появление в новых местах переменного магнитного поля и т. д. В пространстве вокруг вибратора распространяются как бы цепочки сцепленных переменных магнитных
и вихревых электрических полей, распространяется электромагнитное поле. Переходя от закрытого колебательного контура к открытому, мы создаем условия для распространения электромагнитного поля в окружающем пространстве.
Еще одним условием интенсивного излучения вибратора является большая частота электромагнитных колебаний в нем. Дело в том, что вибратор излучает электромагнитное поле и при малых частотах, но на больших расстояниях от него в этих случаях поле чрезвычайно слабое. Чем больше частота электромагнитных колебаний в вибраторе, тем более интенсивное электромагнитное поле будет обнаруживаться и на больших расстояниях от него.
Атомы вещества подобны открытомуколебательному контуру
При анализе периодически повторяющихся, колебательных процессов в колебательном контуре обращает на себя внимание ускоренное движение заряженных частиц в нем. В самом деле, если отсчет времени начат, например, с того момента, когда перераспределенные электроны находились на нижнем конце вибратора (см. рис. 28.4, а), то в последующие моменты времени электроны будут двигаться к верхнему концу вибратора, скапливаться до какого-то предела на нем, затем двигаться вниз и т. д. Такое движение электронов не может быть равномерным (есть моменты остановки, разгона, торможения и т. д.).
Картина станет более простой, если мы учтем, что перемещения, скорости и ускорения электронов в вибраторе изменяются с течением времени по закону синуса (или косинуса). Нельзя ли в таком случае модель вибратора представить, например, в виде заряженного тела, подвешенного на длинной нити и колеблющегося с такой же частотой, с которой происходят колебания в вибраторе (рис. 28.5, а и б)?
Еще проще, очевидно, модель вибратора представить в виде системы двух связанных разноименно заряженных частиц, вращающихся вокруг общего центра,— в виде вращающегося электрического диполя (рис. 28.6). _
Наконец, сделаем последний шаг. Атом любого вещества состоит из положительно заряженного ядра и обращающихся вокруг него электронов. Движение электронов по орбитам является ускоренным движением (всегда имеется центростремительное ускорение). Значит, каждый атом вещества представляет собой вращающийся электрический 434
диполь (или даже систему нескбльких диполей), вокруг которого в пространстве распространяется электромагнитное поле, как вокруг вибратора. Частота обращения электронов по орбитам огромна, а это, как известно, является одним из условий хорошего излучения.
Мы обратили внимание читателей на аналогию между атомом и вибратором, чтобы как-то указать на возможность излучения атомом электромагнитного поля. В дальнейшем
мы более подробно рассмотрим механизм этого явления и покажем, что такая аналогия приводит к очень серьезным противоречиям, разрешить которые удается при использовании иной модели атома-излучателя. Противоречия будут связаны с тем, что, несмотря на ускоренное движение электронов в атоме, он навсегда, а только при определенных условиях является излучателем. Поэтому моделью атома-вибратора с успехом можно пользоваться для случая, когда атом уже в силу каких-то причин излучает, связывая ее лишь с возможностью излучения и помня о том, что такая модель не позволяет ответить на вопрос, почему атом очень часто все-таки не излучает.
Говорить с уверенностью об электромагнитных излучениях при наличии ускоренно движущихся заряженных частиц можно лишь в тех случаях, когда эти частицы движутся в протяженных, макроскопических областях внешних полей (например, в специальных ускорителях заряженных частиц, в магнитном поле Земли и т. п.) и не составляют связанную систему взаимодействующих между собой микроскопических заряженных частиц (атомы, молекулы, группы атомов и молекул, ионы как раз и являются такими коллективами, взаимодействиями между составными частями которых пренебречь никак нельзя).
Некоторые важные выводы
Рассмотрение электрических и магнитных полей, изменяющихся во времени, заставляет по-новому взглянуть на происходящие в природе процессы и внести коррективы в представления о строении вещества.
Законы электромагнитной индукции замкнули , цепь рассуждений о взаимосвязи изменяющихся электрических и магнитных полей. Причину индукционных явлений мы находим в существовании вихревых электрических полей, являющихся частью полей электромагнитных.
Колебательный контур явился простейшим источником электромагнитных колебаний и электромагнитного поля, причем при некоторых условиях (открытый колебательный контур и большая частота колебаний) это поле могло отделяться от колебательного контура и распространяться в окружающем его пространстве. Мы не задержали внимания на вопросах прикладного значения этих явлений (радиопередача, радиолокация, радиоастрономия и т. д.) и снова поспешили заглянуть внутрь вещества.
Ранее мы говорили о том, что атомы любых веществ содержат заряженные частицы (электроны, протоны), и в связи с этим, изучая строение вещества, приходится считаться с микроскопическими электрическими полями внутри него. Заряженные частицы атомов движутся, поэтому мы говорим о микротоках и внутренних микромагнитных полях вещества (характеризующихся, например, орбитальными магнитными моментами атомов). Наконец, мы вынуждены были сказать о внутренних электромагнитных колебаниях внутри вещества и о том, что атомь! вещества при некоторых условиях являются источниками электромагнитных излучений, источниками электромагнитных полей не только/внутри вещества, но и за его пределами.
Электромагнитное поле универсально в том смысле, что электростатические, вихревые электрические и магнитные поля являются его неразрывно связанными составными частями, проявляющими себя в тех или иных процессах в зависимости от условий их протекания в различных системах отсчета (покоятся или движутся электрические заряды, движутся равномерно или ускоренно и т. п.).
Атомы, как мы сказали, могут являться источниками электромагнитных полей, причем мы упомянули только об обращении электронов по орбитам, но внутри вещества есть еще и другие виды ускоренных движений заряженных ча- 436 '
стиц (например, колебательные движения ионов в узлах кристаллической решетки металла, тепловое колебательное движение диполей в диэлектриках и многие другие), и все они при определенных условиях могут привести к электромагнитным излучениям. , -
Ясно также, что если вещество может быть источником электромагнитного поля, то внешнее электромагнитное поле, в котором находится данное, рассматриваемое в какой-то задаче или опыте вещество, влияет на процессы, происходящие внутри вещества. Это в свою очередь может изменять суммарное поле не только внутри объема вещества, но и за его пределами. Таким образом, мы всегда должны учитывать воздействие электромагнитных полей на вещество и влияние вещества на характеристики электромагнитных полей.
Более того. Нельзя забывать о происхождении электромагнитных полей — они порождаются заряженными частицами или сложными образованиями этих частиц (атомами, молекулами и т. д.). Но существовало бы вещество в виде атомов, молекул и т. д., если бы не было электромагнитных полей? Приходится сказать, что нет. Что удерживает электроны внутри атома, что связывает атомы в молекулы, а молекулы друг с другом? Таким «цементом» являются электромагнитные поля (наряду с некоторыми другими полями, о которых мы не имеем возможности рассказать в этой книге).
Значит, поля (гравитационные, электромагнитные и др.) не являются нашим вымыслом! Они существуют объективно, помимо нашей воли и независимо от нас. Материя в форме вещества порождает поля, но сама существует благодаря существованию полей.
Современная физика убедительно доказала, что материя, изучаемая ею, существует в двух формах, в двух разновидностях — в форме вещества и в форме полей.
Читатель, конечно, помнит, что при изучении тепловых явлений мы учитывали взаимодействия атомов и молекул вещества, не вскрывая их природы. Теперь становится понятным, что взаимодействия атомов и молекул вещества имеют электромагнитную природу (если не говорить о некоторых более сложных взаимодействиях).
ГЛАВА IX
ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
§ 29. ВОЛНОВОЙ ПРОЦЕСС — ПРОЦЕСС РАСПРОСТРАНЕНИЯ "КОЛЕБАНИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
Классификация волн
Периодически повторяющиеся, колебательные процессы или движения встречаются очень часто. Колеблется шарик, подвешенный на нити; колеблется балансир ручных часов; колеблются ионы в узлах кристаллической решетки, атомы
в молекулах; периодически изменяется температура воздуха в каком-то пункте на земном шаре. Примеров как простейших, так и сложных колебаний можно было бы приве- *сти очень много. Возникнув,
Рис 29 1.волн. Колебания, лежащиеРис 29 1.волн. Колебания, лежащиеколебания могут распространяться в соседние области пространства. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волновым процессом или процессом распространения волн. Мы говорим о волнах упругих, электромагнитных и других.
Рис 29 1.
волн. Колебания, лежащие
Рис 29 1.
волн. Колебания, лежащие
Звуковые волны являются разновидностью упругих в диапазоне частот от 20 до
20000 Гц, называются звуковыми колебаниями. Эти колебания обладают способностью воздействовать на ухо человека— обладают способностью быть слышимыми.
Упругие волны распространяются только в веществе,
электромагнитные же волны могут распространяться как в веществе, так и в вакууме.
Перемещая конец резинового жгута в вертикальной плоскости вверх-вниз (рис. 29.1, а), мы можем Добиться рас-
пространения по жгуту упругой волны, например, вдоль координатной оси ОХ. Смещения частиц жгута будут происходить при этом вдоль оси OY, т. е. перпендикулярно к направлению распространения волны. Такие волны называются поперечными. Рис. 29.1, б иллюстрирует пример получения продольной упругой волны в витой пружине.
Поперечные упругие волны распространяются только в твердых телах (например, при колебаниях струны или линейки, зажатой одним концом в тисках, и т. п.). Продольные упругие волны могут распространяться в твердых, жидких и газообразных веществах (например, волны сжатия-разрежения в стержне, в столбах жидкости или газа).
Электромагнитные волны являются волнами поперечными: они представляют собой процесс распространения взаимно перпендикулярных колебаний векторов напряженности Е электрического и индукции В магнитного полей, причем вектор скорости распространения этих колебаний перпендикулярен к векторам Е и В (рис. 29.2).
Основные характеристики волн
Любые волны берут свое начало от источника колебаний, который задает характер колебаний: синусоидальный или иной закон изменения колеблющейся величины с течением времёни, направление колебаний частиц вещества или векторных характеристик электромагнитного поля. Такие характеристики источника колебаний, как частота, период, амплитуда и фаза колебаний, характеризуют и волны, испущенные этим источником.
Любая волна характеризуется, кроме того, скоростью (у) распространения. Следует помнить, что скорость рас-
пространения волн в веществе не имеет ничего общего со скоростью перемещения .частиц вещества. От брошенного в воду камня во все стороны по поверхности пруда разбегаются волны, но это не означает, что вода отходит от места падения камня. Камень возбудил колебательное движение частиц воды, которые колеблются около неподвижных положений равновесия, но колебания от одних частиц передаются к другим.
Обратим внимание на то, что скорости распространения волн зависят не только от того, что это за волны, но и от свойств среды, в которой волны распространяются. Можно сказать, что источник колебаний лишь возбуждает колебания. Передача колебаний от одних мест пространства к другим обеспечивается уже средой.
Длиной волны (X) называется то расстояние, на которое волна распространяется за время одного периода (Т) колебаний источника:
Х = УТ = ^. (29.1)
Длина волны зависит как от характеристик источника колебаний (Т или v), так и от свойств среды, в которой волца распространяется (у зависит от этих свойств!).
Поэтому к словам о том, что «имеется источник волн такой-то длины», следует относиться очень внимательно. Если так и говорят, то при этом имеют в виду, в какой именно среде (с какой скоростью!) распространяются волны от источника колебаний. Источник колебаний становится источником волн только в среде, способной обеспечить передачу колебаний в пространстве в виде волн! Металлическая мембрана, колеблющаяся с частотой 100 Гц, будет являться источником звуковых волн, только если она находится в воздухе, в воде или в каком-то другом веществе. Такая мембрана, помещенная в вакуум, будет источником колебаний со звуковой частотой, но никаких звуковых волн при этом она не создаст. С электромагнитными волнами дела обстоя^ лучше, ибо электромагнитные колебания распространяются не только в веществе, но и в вакууме. Но длина и скорость распространения и этих волн зависят от .среды. От данного источника электромагнитных колебаний определенной частоты в вакууме, воздухе, воде и в других веществах будут распространяться волны различной длины и с различной скоростью!
Поверхность, во всех точках которой в данный момент времени фазы колебаний в волне одинаковы, называется 440
волновой поверхностью или фронтом волны. Вектор скорости волны в любой точке волновой поверхности перпендикулярен к волновой поверхности.
По форме волновые поверхности могут быть различными: плоскими, цилиндрическими, сферическими или более сложными. Этот признак также кладется в основу классификации волн: говорят о волнах плоских, сферических и т. д. Так, например, от очень малого (точечного) источника звука в окружающем воздухе распространяются сферические звуковые волны. От брошенного в воду маленького камешка по ее поверхности распространяются круговые волны (прообраз сферических волн в пространстве). Если же колебания частиц поверхности воды возбуждаются прикосновением длинной линейки (край линейки периодически касается поверхности воды), то возникшие волны прямолинейны (прообраз плоских волн в пространстве).
§30. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ВОЛН РАЗЛИЧНОЙ ПРИРОДЫ
Скорость распространения волн конечна
Опыты с упругими или звуковыми колебаниями без особого труда приводят к заключению, что существует вполне определенная скорость их распространения в данном веществе — скорость звука в данной среде, зависящая от плотности и других (упругих) характеристик среды. При обычных условиях «скорость звука изменяется от нескольких сотен метров в секунду (для газов) до нескольких километров в секунду (для жидкостей и твердых тел).
С большими трудностями встретились физики при оценке скоростей электромагнитных волн, которые могли передаваться и через пространство, не содержащее вещества. Существовало даже мнение, что такие волны распространяются с бесконечно большой скоростью, мгновенно на любые расстояния. Именно в связи с этим огрои&ое значение умели опыты Майкедьсона и других ученых по точнейшему измерению скорости света. Дело в том, что с некоторых пор физики были убеждены, что световые йолны, воздействую- ■ щие на глаз человека, являются разновидностью волн электромагнитных. (Видимый свет — это очень узкий участок в широком спектре электромагнитных волн!) Поэтому, определив на опыте скорость света, можно было судить и о скорости других электромагнитных волн. Кроме того,
эти опыты позволили бы судить о свойствах той среды, в которой распространяется свет, и о том, необходима ли вообще материя в форме вещества для распространения электромагнитных волн и света в частности. Из всех этих опытов скорость света бесконечной не получалась. Ее значение было огромным, примерно 300 000 км/с, но конечным! Именно такое большое значение скорости света долгое время маскировало ее под бесконечно большую.
Скорость света (или скорость электромагнитных волн), как и скорость любых других волн, зависит от среды, в которой свет распространяется. Во всех веществах скорость электромагнитных волн меньше, чем в вакууме. Таким образом, скорость света в вакууме является йаивысшим пределом скоростей, встречающихся в природе.
То, что скорость в 300 000 км/с была названа «скоростью света в вакууме», является исторической случайностью. Все дело в том, что такая скорость была впервые обнаружена в опытах со светом. С одинаковым успехом она могла быть названа «скоростью радиоволн в вакууме», «скоростью гамма-излучений в вакууме» или как-либо еще.
Уравнение плоской синусоидальной волны
Конечная скорость волн приводит к тому, что колебания в точках пространства, удаленных от источника колебаний на различные расстояния, не будут совпадать по фазе с колебаниями в источнике. Это и понятно: ведь для того, чтобы волна успела пройти расстояние до рассматриваемой точки, требуется какой-то промежуток времени.
Пусть имеется источник гармонических колебаний, описываемых, например, уравнением
S0 = SMaKC sin® kt,
причем под So при упругих колебаниях можно понимать или смещение точки, или ее скорость, или ускорение. В случае электромагнитных колебаний под So можно подразумевать или вектор напряженности электрического поля Е, или вектор индукции магнитного поля В в месте нахождения излучающего источника спустя промежуток времени Af от момента начала отсчета времени.
Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль положительного направления координатной оси ОХ, и установим закон изменения соответствующей величины S в точке, удаленной от источника колебаний на рас-
стояние Дх. Если волна распространяется вдоль оси ОХ со скоростью ух, то время запаздывания колебаний в рассматриваемой точке будет определяться отношением kx/vx. При отсутствии затуханий величина 8макс в этой точке будет такой же, как и в источнике колебаний; циклическая частота колебаний не будет отличаться от циклической частоты колебаний в источнике, поэтому мы можем написать
8 = 8максзтЮ(д^-^). (30.1)
Выполнив несложные преобразования, можно получить иную форму записи:
8 = 8максзт2л(^-^).(30.2)
Любое из этих выражений называется уравнением плоской синусоидальной волны.
Для электромагнитной волны, схематически изображенной на рис. 29.2, на основании (30.1) можно, например, получить уравнения, описывающие изменения проекций векторов Е и В на соответствующие координатные оси в точке,отстоящейотисточникаколебаний на расстоянии Ах:
Д/-^) ,(30.3)
д/-^) .(30.4)
Эти уравненияназываютсяуравнениями плоскойсинусоидальной электромагнитной волны.'
Перенос энергии волнами
Для того чтобы возбудить колебания в источнике колебаний, к нему нужно подвести энергию извне. Пружинный маятник, например, сам по себе не приходит в колебательное движение, самопроизвольно не возникают и электромагнитные колебания в колебательном контуре. Грузик маятника может быть выведен из состояния равновесия толчком (ему извне будет сообщена кинетическая энергия), или он может быть смещен из положения равновесия очень медленно, без изменения скорости (работа внешних сил будет определять увеличение потенциальной энергии) Колебания в контуре можно вызвать, зарядив его конденсатор (возрастание энергии электрического- поля) или
пропустив по соленоиду ток (возрастание энергии магнитного поля). Таким образом, люба я система, в которой происходят колебания, обладает повышенным запасом энергии по сравнению с невозбужденным состоянием этой системы.
Если такая система ^является источником волн, она отдает энергию в окружающее пространство. Волны, отходящие от нее, уносят энергию.
Что приводит в колебательное движение барабанную перепонку нашего уха? Энергия источника звука, донесенная до нашего уха звуковой волной. Что вызывает звучание динамйка радиоприемника? Энергия радиоволн, пришедших от передающей станции. Если не «подкачивать» энергию извне в источник колебаний, он очень быстро^ перестает излучать.
Дисперсия скорости волн и дисперсия показателяпреломления
Мы уже говорили, что скорость волны зависит от среды. Но любые ли (к примеру, электромагнитные) волны распространяются в данном веществе с одной и той же скоростью? Оказывается, что нет. В каком-то определенном веществе скорости волн зависят от частот колебаний в этих волнах. Это явление носит название дисперсии скорости волн.
Попытаемся хоть как-то пояснить это явление для электромагнитных волн. Поскольку атомы и молекулы вещества, как мы уже отмечали, сами могут являться источниками электромагнитных колебаний, эти частицы не остаются безучастными, когда на них воздействует внешняя электромагнитная волна. В веществе возникают вынужденные электромагнитные колебания. Атомы и молекулы вещества начинают излучать электромагнитные волны, которые накладываются на внешнюю электромагнитную волну. Частоты вынужденных электромагнитных колебаний в простейших случаях совпадают с частотой внешней волны, но их фазы могут отличаться от фазы внешней волны (в зависимости от структуры частиц вещества, от их ориентации и т. д.). Это и приводит к тому, что скорости прохождения суммарных электромагнитных волн через данное вещество при разных частотах будут неодинаковыми.
При рассмотрении оптических явлений вводится физическая величина, называемая показателем преломления. Ее смысл заключается в сравнении скоростей света в двух 444
различных средах. Отношение скорости распространения света в вакууме (с) к скорости распространения света в данной среде (о) называется абсолютным показателем преломления данной среды:
n—dv. (30.5)
Отношение скорости света («0 в какой-то среде к скорости света (и^ в другой среде называется относительным показателем преломления (второй среды относительно первой):
n^vjv^. (30.6)
Заметим, что относительный показатель преломления может использоваться и при сравнении скоростей распространения в двух средах не только световых (или электромагнитных) волн, но и волн иной природы.
Поскольку скорость волн в данной среде зависит от их частоты, а показатель преломления как раз и сравнивает скорости волн в различных средах, он также зависит от частоты колебаний в данной волне. Зависимость показателя преломления среды от частоты колебаний в проходящей волне называется явлением дисперсии показателя преломления.
Явления на границе раздела сред
Рассматривая распространение волн в однородной среде, мы приходим к выводу, что их энергия может по дороге растрачиваться, поглощаться средой, переходя в соответствии с законом сохранения и превращения энергии в иные формы. Ясно, например, что распространение упругих колебаний в веществе будет происходить с трением. Ведь при передаче колебаний, от одних участков тела р другим наверняка встретятся помехи, на преодоление которых израсходуется какая-то доля энергии колебательного движения частиц. Таким образом, энергия упругой волны по мере ее распространения будет уменьшаться, переходя во внутреннюю энергию вещества. Во всех других случаях распространения волн любой природы в веществе (не только упругих, но и электромагнитных и др.) мы также сталкиваемся с явлениями поглощения их энергии; для краткости их часто называют явлениями поглощения волн. На что израсходуется поглощенная энергия, только ли на
увеличение внутренней энергии вещества или на возбуждение каких-либо иных процессов,— для нас пока значения не имеет. х
Принципиально отличным от этих случаев является процесс распространения электромагнитных волн в вакууме. Здесь нет вещества, колебания электрических и магнитных полей передаются от одних точек пространства к другим без всяких помех, при этом не происходит поглощения энергии электромагнитной волны.
Более сложные явления происходят, если волны распространяются в неоднородной среде. Среда, как мы уже отмечали, оказывает влияние на протекание волновых процессов, и, если она неоднородна, мы вправе ожидать, что распространение волн в различных ее областях будет происходить по-разному: неодинаковыми будут скорости волн, а значит, их длины, процессы поглощения энергии и т. д., причем резкие, скачкообразные изменения в ходе волновых процессов будут происходить как раз в тех местах, где резко изменяются свойства среды, или, как говорят иначе, на границах раздела сред. Именно на границе раздела сред скачкообразно изменяется скорость волн. В связи с этим граница раздела отделяет области пространства, в которых волна, испущенная одним и тем же источником, имеет разные длины. По обе стороны от границы раздела энергия волны поглощается неодинаково. Если, например, электромагнитная волна переходит из вакуума в какое-то вещество, то на границе раздела «вакуум — вещество» только и начнется процесс поглощения энергии волны.
Принцип Гюйгенса. Согласно принципу Гюйгенса любая точка среды, находящаяся в области распространения волн, может рассматриваться как самостоятельный источник вторичных волн, распространяющихся от него в пространстве во все стороны. Заметим, что этот принцип является удобным практическим приемом, позволяющим правильно (в согласии с опытными данными) и просто получать некоторые количественные соотношения. Никакого более глубокого физического смысла в принципе Гюйгенса искать не следует. Просто волновые процессы протекают таким образом, как если бы точки среды действительно являлись источниками вторичных волн.
В соответствии с этим принципом легко может быть найдено положение фронта первичной волны для любого момента времени, если известны скорость этой волны и мо- 446
менты времени, в которые произвольно выбранные точки среды «начинают излучать» вторичные волны. Поверхность, огибающая фронты вторичных волн в интересующий нас момент времени, и является волновой поверхностью первичной волны в этот момент времени.
Законы отражения и преломления. Явление возврата волн в ту же среду, в которой они распространялись до попадания на границу раздела с другой средой, называется отражением, а явление перехода через границу раздела из одной среды в другую — преломлением. Заметим, что эти явления наблюдаются только в неоднородной среде, только на границах раздела областей пространства с различными физическими свойствами, причем геометрическую интерпретацию этих явлений следует давать лишь после того, как выяснены свойства граничащих сред, скорости волн до и после границы раздела и направление распространения волн до попадания на эту границу.
Очень часто, например, можно услышать, что преломление '—это, мол, явление изменения направления распространения волн после границы раздела, что преломленная волна распространяется в ином направлении, нежели волна, падающая на границу. Такое геометрическое истолкование не является общим и может привести к ошибкам, если забывают о физическом смысле явления преломления. Для примера укажем, что преломленная волна вовсе не обязательно отклоняется от направления распространения падающей волны.
Применение принципа Гюйгенса к точкам границы раздела сред позволяет получить правильные выводы об- отражении и преломлении волн на границе.
Рассмотрим плоскую границу АВ раздела двух сред I и 7/, на которую падает какая-то плоская волна; ее фронт ОС (рис. 30.1) составляет с границей хугол а.
Углы I, Риг, указанные на рисунке, называют соответственно углом падения, углом отражения и углом преломления. Видно, что угол падения I равен углу а (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Точки О и С фронта волны достигают границы раздела не одновременно: для прохождения волной расстояния СМ требуется какой- то промежуток времени М, так как независимо от природы волны она не может распространяться с бесконечно большой скоростью. Пусть значения скоростей данной волны в средах I и II будут равны соответственно Ui и и2. Тогда CM=ViAL Используя принцип Гюйгенса, мы должны
сказать, что точка М границы раздела «начнет излучать» вторичные волны на А/ позже, чем точка О. '
Источники вторичных волн «излучают» волны по всем направлениям. Что же можно сказать о волнах, которые берут свое начало из точки О? Эти волны будут распространяться в двух различных средах / и // с различными скоростями. К моменту, когда точка М границы раздела станет источником вторичных волн, из точки О волны успеют разойтись на расстояния RA в первой среде и на Ra во второй, причем их фронты будут полусферическими (на рис. 30.1 пунктирными дугами показаны сечения плоскостью рисунка фронтов вторичных волн, исходящих из точки О). Ясно, что /?4=У1Д/, a Т?2=и2Д/
Рассуждая точно так же при рассмотрении любых промежуточных точек фронта падающей волны (между точками О и С) и промежуточных точек границы раздела (между точками О и М), можно показать, что фронты отраженной (например, DM) и преломленной (например, ЕМ) волн, построенные как поверхности, огибающие фронты всех вторичных волн, для любого момента времени будут иметь плоскую форму. Кроме того, из равенства прямоугольных треугольников ОСМ и 0DM (общая гипотенуза ОМ и равные катеты OD=R1=v1M=CM) следует, что угол у равен углу а. Мы уже отмечали, что Z_a=Z_i. На основании того же признака можно установить равенство углов у и р. Из всех этих равенств вытекает, что
Z_₽=At, (30.7)
т. е. угол отражения равен углу падения. Этот вывод, как известно, является одним из утверждений закона отражения.
Связь между углом падения I и углом преломления г легко найти из рассмотрения прямоугольных треугольников OEM и ОСМ, имеющих общую гипотенузу:
OAf=CAI/sina и ОМ=ОЕ[ъш 6, т. е.
sin а sin 6 ’ ЛИ sin ОЕ *
Учитывая, что С7И=у1А/, OE=R^=v2M, Z_a-=zLi и Z_6= получаем
или с учетом (30.6)
(30-9)
Это равенство и выражает одно из утверждений закона преломления.
Анализируя выражение (30.8), можно заключить, что соотношения между углами падения и преломления могут быть самыми различными:
угол I большеуглаг,еслиУ1>у2;
угол I меньшеуглаг,еслиух<у2;
угол i равенуглуг,еслиУ!=у2.
Последний случай фактически сводится к отсутствию преломления, так как равенство ut = v2 говорит о распространении волн в однородной среде.
Если волна падает на границу раздела разнородных сред (скорости данной волны в которых различны, У1¥=у2) перпендикулярно, то в этом случае zLi=0 и, в соответствии с уравнением (30.8), получаем
ZLr=0, если v^O и у2#=0.
Значит, волна после границы раздела сред не отклоняется от направления распространения в первой среде. Можно ли при этом говорить о явлении преломления? Можно и нужно! Несмотря на неизменность направления вектора скорости данной волны, на границе раздела резко, скачком изменились некоторые другие ее характеристики, например модуль скорости и в связи с этим длина волны.
В случае, если у^О, a v2=0, выражение (30.8) теряет смысл. При этом условии независимо от значения угла падения i преломление не будет происходить. Иными словами, от границы раздела со средой, в которой волна распространяться не может (v2=0), волна будет только отражаться. Так, например, упругая волна, бегущая по металлическому стержню, не выйдет за пределы его поверхности, если стержень находится в вакууме.
Дисперсия при преломлении. Вспоминая о зависимости скорости волны в данной среде от частоты колебаний (дисперсия скорости), мы должны сказать, что преломление волн одной и той же природы, но разной частоты на одной и той же границе раздела будет происходить неодинаково.
Пусть, например, система колебательных контуров одновременно излучает колебания различных частот, которые в виде сложной электромагнитной волны распространяются в вакууме. Пусть такая волна падает на плоскую границу раздела с каким-то веществом под углом i^O и перед падением имеет плоскую волновую поверхность. Все составные части такой волны (волны с различными частотами) в вакууме имеют одинаковые скорости (^ у них одинаковы и равны скорости света в вакууме). Но в данном веществе их скорости в зависимости от частоты будут разными. Значит^ волны с различными частотами будут иметь различные углы преломления г (это следует из уравнения (30.8) для неодинаковых значений и2), т. е. при прохождении через границу раздела такая сложная электромагнитная волна «расщепляется», или, как говорят иначе, разлагается в спектр по частотам. Если угол падения / не равен нулю, то преломленные волны с различными частотами будут распространяться в веществе под разными углами к границе раздела. Если же i=0, то для волн различных частот г=0, но «расщепление» по частотам все равно имеет место: от точки падения все волны распространяются с неодинаковыми по модулю скоростями.
При отражении такой сложной электромагнитной волны от границы раздела с веществом никакого «расщепления», конечно, не обнаруживается, так как в вакууме все ее составные части распространяются с одной и той же скоростью.
Некоторые выводы. Все сказанное в этом пункте позволяет сделать несколько важных выводов.
При взаимодействии волн с веществом происходит процесс рассеяния их энергии (переход во внутреннюю^ 450
энергию вещества и т. д.), процесс поглощения волн. Не взаимодействуют волны лишь с вакуумом (из известных нам волн электромагнитные в вакууме распространяются беспрепятственно, а упругие или звуковые в вакууме попросту не распространяются).
При распространении волн в неоднородной среде на границах раздела областей с различными физическими свойствами наблюдаются явления отражения и преломления.
В общем случае в результате отражения изменяется энергия волны (какая-то доля энергии падающей волны непременно перейдет во вторую среду) и направление ее скорости. В результате преломления, кроме подобных же изменений, обязательно происходит изменение модуля скорости волны и, в связи с этим, изменение длины волны.
Явление дисперсии скорости (или показателя преломления) еще раз подчеркивает активное влияние вещества на пререкание волновых процессов.
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ВОЛН И ЧАСТИЦ
Рассматривая в предыдущем параграфе свойства различных волн, мы оставили без внимания еще одно, если так можно сказать, простейшее свойство волн — их способность распространяться в однородной среде прямолинейно и с постоянной скоростью. Направление или модуль вектора скорости волны изменяются, как мы отметили, только на препятствиях или границах раздела, т. е. под воздействием факторов, являющихся внешними по отношению к данной, рассматриваемой волне. Скорость волны изменяется под воздействием внешних факторов. Сама по себе волна распространяется равномерно и прямолинейно, а как только появляются внешние влияния, скорость волны ^изменяется, т е. движение волны перестает быть равномерным и прямолинейным. «Позвольте,— может сказать читатель,— мы с этим где-то встречались». Да, встречались, когда вели разговор о законах Ньютона. Тела сами по себе, без воздействий извне, в инерциальных системах отсчета движутся равномерно и прямолинейно. Такие движения называются инерциальными, а способность двигаться инерциально называется инерцией. В нашей памяти при этом возниг кает еще одно воспоминание: «масса — это мера инертности».
Но не слишком ли далеко мы зашли в наших рассуждениях? С тем, что волны обладают способностью двигаться равномерно и прямолинейно, приходится согласиться. Это неопровержимый опытный факт. Но возможно ли массу — основное динамическое свойство привычных нам тел — считать и свойством волн? Современная физика дает на этот вопрос положительный ответ. В механике мы говорили о массе объектов, являющихся «сгустками» материи в виде вещества. Но масса оказывается свойством более общим, ею обладают и поля. '
Одно из всепроникающих и вездесущих полей —‘это поле электромагнитное. Находится ли электромагнитное поле в какой-либо связи с электромагнитной волной? В самой непосредственной и прямой! Электромагнитная волна является процессом распространения электромагнитных колебаний, возмущений, изменений в пространстве, является процессом распространения электромагнитного поля. *
А как обстоят дела с другими изменяющимися полями? Да точно так же. Любые изменяющиеся, перемещающиеся поля распространяются в виде волн. И если волны характеризуются массой (это их неотъемлемое свойство!), то массой обладают и изменяющиеся поля.
Масса — неотъемлемое свойство вещества и полей!
Мы знаем, что тела или частицы, кроме массы, характеризуются еще некоторыми важнейшими свойствами: импульсом, энергией, способностью передавать энергию в той или иной форме другим объектам и т. д. Только что мы сказали, что волны обладают массой, а несколько ранее (п. 30.3) — о том, что они являются переносчиками энергии, т. е. обладают энергией и способностью передавать ее (например, приемнику волн или веществу, в котором они распространяются). Даже если не говорить о других признаках, бросается в глаза поразительная общность свойств частиц и волн. И те и другие обладают массой и энергией, способностью передавать энергию!
Общность свойств волн и частиц привела современную физику к признанию единства двух форм материи. Обе формы в различных условиях обнаруживают двойственный, корпускулярно-волновой характер: то предстают в форме полей (или волн), то в форме вещества — тел или частиц (корпускул). Поэтому физика пользуется двойственным подходом к изучению вещества и полей: волновым и корпускулярным.
Иногда с одинаковым успехом могут использоваться оба подхода (например, явления прямолинейного распространения, отражения и преломления волн возможно объяснить, исходя из представлений о волнах или о потоках корпускул), а иногда — только один из них. Явления интерференции й дифракции, которые мы далее рассмотрим, с корпускулярной точки зрения элементарно объяснены быть не могут, они требуют волнового подхода. С другой стороны, имеются явления (например, фотоэффект, о котором нам еще предстоит поговорить, и некоторые другие), нуждающиеся в корпускулярном объяснении.
ГЛАВА X
ОПТИКА
ЧТО ТАКОЕ СВЕТ?
Предварительные замечания
По накопленным наблюдениям и опыту оптика — столь же древняя наука, как и механика. Но по теоретическому обоснованию многих фактов она очень молода: новейшие выводы принципиального значения были получены лишь в начале XX века — века революционных преобразований жизни общества и его идей, в том числе и идей физических.
История развития оптических представлений весьма поучительна. Выдвигалось множество рабочих гипотез, некоторые из которых не выдерживали заключительного экзамена — их выводы не согласовывались с данными опыта. Корпускулярная теория истечения «световых частиц» из тел и попадания их в глаз сменилась на каком-то этапе волновой теорией света. Последняя вновь не смогла объяснить все опытные факты и была дополнена квантовой теорией.
Истинность физических законов проверяется не только тем, что они удовлетворительно объясняют факты, уже известные. Закон, отражающий реальное положение дел в природе, позволяет делать прогнозы, предсказывать фак* ты и явления, еще не наблюдавшиеся. Ценность современных оптических представлений как раз и связана с их общностью, с их способностью объяснять факты, на первый взгляд не имеющие непосредственной связи с оптикой, факты, затрагивающие некоторые вопросы, относящиеся к еще не завершенной теории строения вещества.
Мы можем видеть тела за счет того, что электромагнитные волны определенных частот, испущенные этими телами, вызывают зрительные ощущения. Мы говорим, что такие 454
тела являются источниками света или световых волн. Подобно тому как органы осязания человека являются естественными датчиками тепловых и некоторых других явлений, а органы слуха — приемниками упругих колебаний звуковой частоты, глаз служит приемником электромагнитных излучений световых частот.
То, что распространение света является волновым процессом, вытекает из всех известных нам опытов. Свет распространяется с конечной скоростью (измеренной, например, в опыте Майкельсона), в однородной среде распространяется прямолинейно, а на границах раздела разнородных сред обнаруживает явления отражения и преломления. Свет несет энергию и импульс (возможность увеличения внутренней энергии освещаемых тел, свет оказывает давление на освещаемую поверхность и т. д.). Наконец, одинаковая скорость распространения в данной среде света и любых электромагнитных волн и возможность получения электромагнитных волн одной и той же длины различными способами ) привели физику к выводу об электромагнитной природе световых волн.
Классификация источников света на естественные и искусственные, на «горячие» и «холодные» не вызывает обычно никаких затруднений. Но часто остается в тени вопрос о том, что же общего между различными источниками света. Что роднит все источники света и что является, так сказать, первоисточником их светового излучения?
Диапазон частот известных физике электромагнитных колебаний весьма широк (см. табл. 32.1). Заметим, что никаких резких границ перечисленные диапазоны электромагнитных волн не имеют (коротковолновая часть одного диапазона перекрывает длинноволновую часть соседнего диапазона).
Способностью воздействовать на глаз человека обладают колебания в очень узком интервале частот: примерно от 4- 10й до 8-1014 с-1. В настоящее время светом (или электромагнитным, излучением оптического диапазона, или оптическим излучением) принято называть излучение с длинами волн от 10~9 до 1 см (соответствующий диапазон частот: 3-1019—3’109 с'1). Таким образом, в оптический диапазон кроме видимых излучений включаются очень короткие
Т а б л и ца 32.1
Диапазон длин волн в вакууме, X
Диапазон частот V, с-1
Электромагнитные колебания низкой частоты Радиоволны
Инфракрасное излучение
Видимое излучение
Ультрафиолетовое, излучение
Рентгеновское излучение Гамма-излучение
оо —10 КМ
10 км — 0,1 мм 0,1 мм—770 нм 770 нм — 380 нм
380 нм—5 нм
5 нм—10~2 нм 10"2 нм-ТО-13 нм
0—3-104 3-104—3-1Q12 З-Ю12—4J014 4 1014—8-101»
8.1014—6* 1016 6-1016—3-1019 3-1019—3 1039
радиоволны, инфракрасные и ультрафиолетовые излучения, а также рентгеновское излучение. Это вызвано тем, что, несмотря на специфические особенности всех этих излучений, между ними есть много общего (способы их возбуждения, изучения и практического использования очень похожи).
Попробуем в согласии с определением частоты (v=l/T) и в согласии с формулой Томсона (28.1) подсчитать необходимые значения емкости С и индуктивности L колебательного контура, частота колебаний которого была бы равна, скажем, v=4* 1014 с-1. Поскольку нам не известны ни С, ни L. подсчитаем значение их произведения LC (где L измеряется в генри, а С — в фарадах):
v=Jr =—откуда 2л v И LG=V
или, возводя в квадрат и решая уравнение относительно произведения LG,
Подставляя численные значения, находим
—4(3,14)2(4.1014)^ " ; •
Если бы мы попытались изготовить колебательный контур или вибратор, произведение индуктивности и емкости которого равнялось бы найденному значению, у нас ничего бы не получилось: такой вибратор должен иметь размеры порядка размеров атома или молекулы. Мы' изготовить та- 456
кой вибратор не сможем, но природа позаботилась о таких вибраторах. *
Атомы вещества являются миниатюрными вибраторами, причем частоты электромагнитных колебаний в них как раз захватывают интервал от 4* 1014 до 8* 1014 с*"1, но могут быть и в сотни раз меньшими, и в миллионы раз большими. Вот этитто электромагнитные колебания внутри атомов и молекул вещества и являются первичными излучателями света.
Сказанного уже достаточно, чтобы вновь почувствовать. потребность в пристальном внимании к строению вещества, причем от строения зависит не Только излучательная способность вещества, но и его поглощательная способность, ибо, раз вещество является источником света, оно должно со светом взаимодействовать, должно испытывать действия света.
Механизм и условия излученияатомов и молекул
Планетарная модель атома. Изменения энергии атома. Атомы состоят из положительно заряженного ядра и электронов, обращающихся вокруг ядра по орбитам (это — так называемая планетарная или ядерная модель атома; опыты Резерфорда, положенные в основу создания такой модели, будут рассмотрены далее). Простейший из атомов — атом водорода — содержит кроме ядра всего-навсего один электрон. *
Проведем некоторые расчеты для оценки излучательной способности атома водорода.
С какой частотой v обращается электрон вокруг ядра в атоме водорода, если радиус электронной орбиты R= ^З- Ю”10 м, а его масса т=9,1Ы0“3^ кг? Чему равна при ^том кинетическая энергия WK электрона? Как изменяется полная энергия электрона при изменении его расстояния от ядра? ч
Прежде всего следует выяснить, под действием каких причин электрон может обращаться по устойчивой орбите. В принципе таких причин две: сила гравитационного и сила кулоновского притяжения электрона к ядру. Они-то, видимо, и обеспечивают ускорение электрона, необходимое для его движения по окружности вокруг ядра. Подсчитаем силу гравитационного взаимодействия:
В этой формуле М — масса ядра атома водорода (масса протона), ее значение находим из таблицы: М = = 1,67-10-27 кг. Численное решение приводит к результату
F = 6,67.10-“ 1,13-10- Н.
откудаоткудаОбозначая заряд протона и абсолютное значение заряда электрона через е (е=1,60-10~19 Кл) и учитывая, что взаимодействующие частицы находятся в вакууме (е=1), запишем уравнение закона Кулона:
откуда
откуда
2,56-10”9 Н.2,56-10”9 Н.(1,60.10~19)2
2,56-10”9 Н.
2,56-10”9 Н.
4-3,14.8,85 10~12(3,00.10~10)2
Сравнение этих сил говорит о том, что в основном электроны удерживаются вблизи ядра силой электрического взаимодействия, а сила гравитационного притяжения чрезвычайно мала и ею можно пренебречь.
Теперь на основании второго закона Ньютона можно написать ma^F^, или
(32.1)(32.1)ту2 е2R4л807?2 ’
(32.1)
(32.1)
откуда с учетом того, что и=(дК=2т1^К, после преобразований получаем
2 е2е 1
V2 =m , ИЛИ V =—7= •
XW^mR^ ’4л7?л80^
При использовании единиц СИ результат будет получен в с-1:
(Кл)==с^1(м) [Кл2/(Н.м2)]1/2 (кг)1^ (м)1^•
Численное решение дает
1,60-Ю~19v =—. -■■ ■■■■.^
4-3,14-3,00-10~10 V3,14-8,85-10-12-9,11-10~31-3,00-10~10
«4,87-Ю14 С"1.
Такая частота колебаний принадлежит к диапазону частот, электромагнитных колебаний, соответствующих видимому( свету.
Для подсчета кинетической энергии 1ГК электрона преобразуем уравнение (32.1), почленно разделив его на 2 и
умножив на /?:
(32.2)(32.2)mu2 е2 _ iw
(32.2)
(32.2)
28ле0/?^ «’
В СИ результат будет получен в джоулях:
(Кл)2„„
[Кл2/(Н.м2)] (м) ~ Н -м “ Дж>
W =(1,60. IO-»)2„
к 8-3,14-8,85-10-12-3,00-Ю-1»’ и А '
Для оценки изменения полной энергии электрона рассмотрим его переход с одной орбиты на другую. Пусть радиусы этих орбит Rt и R2, причем R2>Rt.
В согласии с (32.2) кинетические энергии электрона в этих двух состояниях будут
z>2z>2
K1 Вле^ ’ к2 8л80/?2 •
Потенциальную энергию взаимодействия электрона с ядром найдем на основании (19.10):
пр —-g2 . пр — _ е2 .
П1 4Л8Л’ п2 “4Л80/?2
(здесь мы выбрали нуль отсчета потенциальной энергии для состояния, когда электрон находится на бесконечно большом расстоянии от ядра, и учли знаки зарядов).
Полные энергии электрона равны
/>2/>2/>2
1К1П18Л80/?!4л807?!ВлбоТ?!’
л2/>2
W„=W VW = —-— =-—
2к2 ТП28Л8О7?24ле0/?28л80/?2’
а изменение полной энергии электрона при переходе с одной орбиты на другую будет равно'
^W = Wг—W1 =^W = Wг—W1 =е4 , е2 = е2 R2-Rx8л80/?2 * 8л807?!8л80 RiR2 '
^W = Wг—W1 =
^W = Wг—W1 =
Поскольку R2">Ri, то.Д 1^>0, т. е. при увеличении расстояния между электроном и ядром энергия электрона увеличивается. То же самое можно сказать и об атоме в целом (ведь мы фактически рассматривали систему «ядро — электрон»,
связывая инерциальную систему отсчета с неподвижным ядром). ’
Итак, увеличению энергии атома вещества соответствует переход электрона на более далекую орбиту. Если же энергия атома уменьшается, то электрон приближается к ядру.
Противоречия с классическими представлениями. Теперь мы в состоянии проанализировать возможности излучения электромагнитных волн атомом (для простоты по-прежнему будем говорить об атоме водорода).
В рассматриваемой модели атома электрон должен двигаться с ускорением. Чтобы оценить это ускорение, можно воспользоваться равенством (32.1), из которого следует, что -
_ v2 _ е2а — R -4л80/п^2 •
Подставив величины в единицах СИ, найдем
(1,60.10-W)2 ’ О ОЛ 1 Л21 /2 й— 4.3,14.8,85-10-12.9,1Ы0-31(3,00-10-10)2 2’8°‘ ° М/С *
С такими ускорениями в макроскопических явлениях мы не встречаемся! Для сравнения укажем, что ускорение пассажирского поезда в момент начала движения равно примерно 0,4 м/с2, поезда метро — 1 м/с2, снаряда в стволе орудия — 5-105 м/с2. Чтобы авторучка с массой, скажем, в 30 г приобрела ускорение в 2,80-1021 м/с2, на нее нужно подействовать силой /?=8,40-1019 H=8,56-1018 кГ=8,56-1016 тонн!
Ускоренно движущаяся заряженная частица/ как мы знаем, может излучать в окружающее пространство электромагнитные волны. Частоту обращения электрона в атоме водорода мы определили. Она оказалась очень большой. Как будто имеются все условия для успешного излучения атомом электромагнитных волн. .
Но, если мы вспомним, что волны уносят энергию от источника колебаний, что излучающий источник обедняется энергией, рассеивая ее в окружающее пространство, у нас возникнут серьезные сомнения. Если атом излучает электромагнитные волны, его энергия должна уменьшаться. Если уменьшается энергия атома, его электрон (или электроны — для многоэлектронных, не водородных атомов) должен приближаться к ядру и рано или поздно упасть на ядро. Такое падение электронов на ядра должно привести к разрушении/ атомов, к разрушению вещества.
Идею о разрушении вещества следует сразу же отбросить, так как достоверно известно, что атомы вещества — чрезвычайно устойчивые образования. Излучать электромагнитные волны эти атомы все-таки могут, об этом свидетельствуют многочисленные опыты. "Атом излучает электромагнитные волны, растрачивая энергию, а сам при этом не разрушается! В чем же дело? Как выбраться из создавшегося тупика? Оказалось, что к атому нельзя подходить с позиций законов макромира, мира больших тел и малых скоростей, с позиций классической механики.-
Модель Бора. Когда к представлениям о строении атома Резерфорда добавились постулаты Бора, удалось объяснить устойчивость излучающих атомов.
Электроны атома могут находиться не на любой орбите, а на нескольких орбитах, набор которых для данного атома является вполне определенным. Эти орбиты оказываются стационарными, т. е., когда электрон находится на какой-то из них, он не излучает электромагнитных волн.
Электрон на определенной орбите обладает вполне определенной энергией, причем чем дальше орбита от ядра, тем энергия электрона больше. При отсутствии внешних воздействий электрон в атоме стремится занять наинизшую из возможных орбит, так как наименьшее значение его полной энергии более выгодно, соответствует более устойчивому обращению вокруг ядра. При этом оказывается занятой лишь одна из потенциально возможных орбит. Самопроизвольный переход электронов на другие, более далекие орбиты невозможен, так как при этом должна увеличиться энергия электрона (или атома в целом). Но если к атому подводить энергию извне, его можно возбудить: электроны перейдут на более далекие орбиты, и энергия атома увеличится. Если доступ энергии извне прекращен, атом в возбужденном состоянии не остается, ибо оно неустойчиво. Он возвращается в невозбужденное состояние, отдавая в окружающее пространство избыток энергии при излучении электромагнитны х волн.
Таким образом, атом вещества, точно так же как любой колебательный контур или вибратор, не обладает неиссякаемыми запасами энергии: если прекращается процесс возбуждения, 'прекращается подвод энергии извне, очень быстро затухает и процесс излучения электромагнитных волн.
Кроме того, оказалось, что атомы, переходя в возбужденное состояние, принимают энергию, а возвращаясь в
стационарное, невозбужденное состояние, отдают ее только определенными порциями — квантами. Значение этих квантов энергии оказывается связанным с разностью энергий атома, которыми он обладает, когда его электроны находятся на различных разрешенных орбитах, или на различных энергетических уровнях. Значение квантов удается связать с частотой электромагнитных волн, которые возникают и излучаются атомом при переходе его электронов после возбуждения на более низкие энергетические уровни.
Если одному энергетическому уровню атома соответствует энергия Wlt а другому W^ то их разница и равна энергии кванта, который должен быть подведен к атому для его возбуждения или который будет отдан атомом после возбуждения (при переходе электрона со второго уровня на первый):
h^W^—Wv(32.3)
В этом уравнении v — частота воспринимаемых атомом возмущений или частота излучения атома при его переходе в менее возбужденное состояние, a h — известная универсальная константа — постоянная Планка (h= = 6,62*10-84 Дж-с—6,62-10~27 эрг*с).
Подсчитаем для примера энергию кванта, соответствующего наименьшей частоте видимого излучения (v== =4-1014 с"1):
Av=6,62*10“34-4-1014^3-10"19 Дж.
Велика или мала такая порция энергии? Постараемся представить ее более наглядно. Если такая энергия будет сообщена неподвижной дробинке с массой т=1 г=10“3 кг, дробинка приобретет скорость, которую легко найти из равенства mv2!2=^hv. Тогда
v = K2ftv/m,
и, подставляя значения величин, получаем
у 10^3 1 ^2-10 8 м/с.
При равномерном движении с такой скоростью путь в 1 см дробинка пройдет за промежуток времени А^=5*105 с» ^102 ч^5 суток.
Если такую же энергию сообщить покоящемуся электрону, масса которого ш=9,1Н0"31 кг, то приобретенная им 462
скорость будет равна
V— у 9,11.10—^1 ^8-10° м/с.
За время, пока дробинка будет двигаться на пути в 1 см (за AZ=5* 105 с), электрон, получивший такую же порцию энергии, как и она, успел бы пробежать расстояние от Земли до Солнца (примерно 1,5-108 км), 23 раза облететь вокруг Солнца (считая диаметр траектории электрона равным 1,4х X 106 км) и вернуться на Землю. Да, поистине разные миры — разные масштабы! Неощутимые в макромире кванты энергии в микромире атома могут «сдвигать горы», причем даже такое сравнение оказывается очень и очень скромным.
Условия излучения. К каким же выводам об излучательной способности атомов вещества мы должны прийти?
Энергия атома вещества при расположении его электронов на различных энергетических уровнях может быть различной и способной или неспособной изменяться.
Атом сам по себе стационарен, прочен, устойчив и никаких электромагнитных волн не излучает. Он становится микроскопическим вибратором за счет подвода к нему энергии извне, за счет внешнего возбуждения. Способы возбуждения атомов вещества могут быть самыми различными (удар об атом какой-то частицы, химические реакции, воздействие света или каких-либо иных электромагнитных волн и т. д.), но они оказываются эффективными для возбуждения только тогда, когда поставляют энергию квантами, которые в состоянии возбудить данные атомы. Если подводимая, например, к атому водорода энергия недостаточна для переброски электрона с низшей стационарной орбиты на следующую, атом такую энергию примет (возрастет, например, энергия его теплового хаотического движения), но при этом не перейдет в возбужденное состояние, так как энергия атома при переходе в возбужденное состояние не может изменяться непрерывно, а изменяется только скачками. у
Возвращаясь в стационарное состояние, возбужденный атом излучает электромагнитные волны, частота которых находится в соответствии с изменением его энергии. Каждому атому свойствен целый набор энергетических уровней. «Зазоры» между ними определяют энергию тех квантов, которые могут быть поглощены или испущены данным атомом при переходе электрона с одного уровня на другой.
В веществах, состоящих из молекул, процессы поглощения энергии внешних воздействий и излучения электро-
магнитных волн имеют более сложный характер. В молекуле любой электрон находится во взаимодействии не только с ядром «своего» атома, но и_с ядрами соседних атомов. В связи с этим набор возможных энергетических уровней электронов увеличивается. Кроме того, энергия вращательного движения молекулы вокруг некоторой оси и энергия колебательного движения атомов в молекуле также изменяются не непрерывно. Характерно, что при изменении этих движений поглощаются или выделяются гораздо меньшие кванты энергии, чем при изменении состояний электронов в молекуле. Все это приводит к расширению диапазона частот, соответствующих тем квантам энергии, которые молекула может поглощать или испускать.
Поскольку каждая разновидность атомов или молекул имеет вполне определенный набор (спектр) излучаемых частот, улавливая их, можно отличить одно вещество от другого по испускаемым ими электромагнитным волнам. Это и яв-' ляется исходным принцицом спектрального анализа.
В заключение обратим внимание на то, что электронная (или, как ее часто называют, боровская) орбита является всего лишь моделью. Это удобный геометрический образ, иногда позволяющий с достаточной для практики степенью точности выполнять некоторые расчеты, пользуясь простыми механическими приемами (электрон — материальная точка, движущаяся по окружности вокруг другой материальной точки — ядра атома, и т. п.). Электронную орбиту нельзя представить как траекторию движения электрона. В действительности дела внутри атома обстоят гораздо сложнее. А вот об определенном наборе энергетических уровней, или о наборе значений энергии атома, можно говорить без страха и сомнения. Каждое из этих значений энергии реализовано в определенных условиях и может изменяться при внешних воздействиях на атом или при излучении им электромагнитных волн.
Электромагнитные волны' оптического диапазона
Обычно' за основу различия электромагнитных волн берут их длину. В связи с этим мы должны напомнить, что о длине той или иной электромагнитной (как и любой другой) волны можно говорить, если только известны частота колебаний излучающего источника и среда, в которой распространяются эти волны. Если в учебниках, журналах, справочниках и т. д. не делается дополнительных оговорок, тд 464
все указанные в них длины электромагнитных волн относятся к вакууму. '
Мы не будем останавливаться на рассмотрении электромагнитных волн большой длины, или радиоволн (от ~10км до 0,1 мм). Заметим только, что ультракороткие радиоволны с длиной примерно от 1 мм до 0,1 мм могут быть результатом электромагнитных колебаний сравнительно малой частоты (10й—1012 с'1) внутри вещества.
Механизм возникновения электромагнитных волн в атомах связан с определенной системой энергетических уровней их электронов. Частота этих волн находится в зависимости от «ширины зазоров» между энергетическими уровнями. Очевидно, чем менее прочно связан электрон с ядром атома, тем меньше потребуется энергии для его удаления на соседнюю разрешенную орбиту, тем меньшие кванты энергии потребуются для осуществления таких переходов, тем меньше будет излучаемая частота колебаний в результате возвращения электрона из возбужденного состояния в стационарное.
Труднее «раскачивать» электроны атома, расположенные ближе к его ядру. Кванты энергии, поглощаемые или выделяемые при переходах этих электронов, оказываются во много раз большими, чем при переходах валентных электронов.
Как уже отмечалось, спектр излучения молекулы связан не только с переходами электронов между различными энергетическими уровнями, но и с изменением вращательного движения молекулы и колебательного движения атомов в молекуле.
Электромагнитные волны оптического диапазона условно разделяют еще на несколько диапазонов (см. стр. 455). Каждый из этих диапазонов имеет свои отличительные черты.
Инфракрасное излучение — результат очень слабых возмущений электронов в атоме, а также изменения вращательного движения молекул или колебательного движения атомов в молекуле. Это излучение характеризуется тепловыми свойствами, и механизм его возбуждения в основном тепловой, хотя возможны и иные способы его получения (например, обстрел атомов медленными электронами).
Видимое и ультрафиолетовое излучение — результат возбуждений внешних электронов атомов. Первое обладает особенностью воздействовать на сетчатку глаза, второе характеризуется способностью возбуждать фотохимические реакции, а также вызывать некоторые другие физические явления, например ионизацию молекул газа. Способы
возбуждения этих излучений могут быть самыми различными (химические, электрические, оптические и др.).
Рентгеновское излучение возникает в результате возбуждения внутренних электронов атома, расположенных близко к ядру, или в результате резкого торможения быстрых электронов в электрическом поле ядра атома.
В первом случае рентгеновское излучение называется характеристическим. Спектр этого излучения зависит от заполнения электронами атома низших энергетических состояний и имеет много сходных черт для атомов различных химических элементов.
, Во втором случае рентгеновское излучение называется тормозным. В зависимости от того, близко или далеко от ядра атома пролетит тот или иной электрон, претерпит ли он соударения с электронами вещества или нет, его ускорения могут быть самыми различными. Длины возникающих при этом электромагнитных волн будут укладываться в довольно широкий сплошной спектр, не зависящий от строения атомов, обстреливаемых электронами. 1
Рентгеновское излучение обоих видов наблюдается при взаимодействии с веществом очень быстрых электронов, причем не нужно думать, что оно возникает только в рентгеновских трубках. Если скорость сталкивающихся с веществом электронов высока и они резко тормозятся при взаимодействии с ним, рентгеновское излучение возникает и не в специально предназначенных для его получения трубках. Так, например/с рентгеновским излучением приходится встречаться при взаимодействии корпуса искусственного спутника Земли или космического корабля с электронами, имеющимися и в разреженных слоях атмосферы Земли, и в космическом пространстве.
Рентгеновское излучение обладает значительной проникающей и ионизующей способностью. Механические, химические и тепловые воздействия уже не в состоянии вызвать возбуждения атомов, достаточные для испускания рентгеновских излучений. Практический путь их получения —• «электрический» — разгон электронов в электрическом поле до больших скоростей и обстрел ими атомов вещества.
Гамма-излучение не относят к оптическому диапазону-, так как оно возникает в глубинах атома в результате радиоактивного распада его ядра или в результате взаимодействия с ядром значительных квантов энергии, приносимых космическим излучением или гамма-излучением, падающим на ядро извне. Самые короткие электромагнитные 466
волны (Х<10~12 см, или v>1021 с"*1) встречаются в космическом излучении.
Заметим, что кванты энергии, необходимые для возбуждения инфракрасного, видимого, ультрафиолетового и рентгеновского излучений, могут быть получены за счет воздействия на вещество электронов, разогнанных до той или иной скорости, причем мы в состоянии подсчитать, каким электрическим полем нужно разгонять электрон, чтобы он обладал энергией, достаточной для возбуждения того или иного вида излучения. -
Воспользуемся для этого формулой (23.11) и найдем значения разностей потенциалов Аф электрических полей, которыми нужно разгонять покоившийся вначале электрон, чтобы его энергии хватило для возбуждения инфракрасного излучения с частотой v,= l,00. 1013 с-1 (некоторое промежуточное значение из интервала инфракрасных частот), видимого — с частотой, например, v2=5,00* 1014 с”1, ультрафиолетового — с частотой v3=l,00. 1016 с"*1 и рентгеновского — с частотой v4= 1,00* 1019 с”1. Для сравнения оценим также, какое потребовалось бы электрическое поле, чтобы электрон, пройдя его, приобрел энергию, достаточную для возбуждения гамма-излучения с частотой, скажем, v5= 1,00-1021 с"1.
Легко найти соответствующие этим излучениям кванты энергии (в джоулях):
Ziv, = 6,62 • 10”34 -1,00.1013 - 6,62 • 10"21, /iv2 = 6,62• 10~34• 5,00• 1014 = 3?81 - 10*19, /iv3 = 6,62 • 10~34 -1,00.1016 = 6,62 • 10"18, /iv4 = 6,62- 10“34.1,00-1019 = 6,62-10~15, Пч5 = 6,62* IO-34-1,00-1021 = 6,62-10~13.
Формулу (23.11) для этих случаев можно записать в виде е !\^=Ъз, откуда выразим интересующую нас разность потенциалов «разгоняющего» электрического поля:
Если воспользоваться системой единиц СИ, то абсолютное значение заряда электрона^=1,60.10~19 Кл и разность потенциалов будет получена в вольтах:
А /tv, 6,62-10~21 л лд
. Нмг з,змо-» о п_Аф2— е — 1,60.10-19 ~ 2,07,
ДФз =
Ау8_ е
6,62-Ю-18 _ 1,60.10~ 19 '
у 41,4ч
Д<₽4=
hv^_ е
6,62-10~15
1,60-10-1» -
у 41400;
Аф.=
/zv5_ е
6,62-10-1»
1,60-10"19 '
у 4 140 000.
Эти результаты позволяют заключить, что четыре первых случая могут быть реализованы на практике без особого труда. Для четвертого случая, правда, потребуется взять специальный рентгеновский трансформатор, позволяющий получать разности потенциалов в несколько киловольт. А вот попытка возбудить за счет быстрых электронов гамма-излучение оказывается делом гораздо более трудным и затрагивающим принципиально новые; стороны материального мира. Трудности здесь не только в том, что поля с разностью потенциалов в несколько миллионов вольт обеспечить практически невозможно (наступает пробой диэлектрика, в котором находятся электроды). Это еще, как говорится, полбеды. Можно, например, прогнать электрон последовательно через несколько ускоряющих полей с приемлемыми для практики разностями потенциалов. Тогда электрон в итоге наберет необходимую энергию. Но оказывается, что при расчете процесса такого разгона электрона необходимо учитывать изменение массы электрона! ,
Попробуем подсчитать, с какой скоростью будет двигаться электрон, разогнанный электрическим полем с разностью потенциалов Аф5=4 140 000 В, если его кинетическая энергия при этом должна равняться WK=6,62* 10“13 Дж. Воспользовавшись известным соотношением IFK=my2/2, найдем выражение для скорости у:
откуда, вспоминая, что масса электрона имеет значение т=9,1М0~31 кг, получаем
/
2 - 6,62 • 10 ~13 1 , 9,ц.ю~31 ^1,21*10 м/с.
Этот результат принципиально неверен. Почему? Да потому, что наивысший предел скоростей в природе равен скорости света в вакууме: с^З*108 м/с. Ничто не может двигаться со скоростью, большей этого значения. А по расчету выходит, что электрон должен лететь со скоростью, превышающей скорость света в вакууме.
В чем причина нашей ошибки? Только в том, что мы фактически поступали по принципу «разгонять — так разгонять!» и забыли, что имеем дело с электроном — представителем микромира. Мы попытались описание его поведения уложить в рамки законов движения заряженных макроскопических тел — законов классической электродинамики. А электрон этим законам не всегда подчиняется, он подвластен еще законам теории относительности.
При возрастании скорости электрона его масса будет возрастать в согласии с (2.4) и при о=с должна принять бесконечно большое значение. Мы в принципе не сможем разогнать электрон даже до скорости света, но и при скоростях, близких к ней, необходимо считаться с увеличением его массы, а мы в нашем расчете этого не сделали. Задачи подобного рода в наши дни перестали быть только академическими упражнениями. С ними инженеры и физики сталкиваются всякий раз, когда решаются вопросы об ускорении заряженных частиц (не только электронов) в современных мощных ускорителях. -
. ВОЗДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯНА ВЕЩЕСТВО
Эффекты воздействия
Ранее (см. §§ 30 и 31) мы рассмотрели общие свойства волн различной природы. Кроме того, оценивая взаимодействия волн с веществом, мы остановились на учете изменений некоторых характеристик волн (изменение энергии волны, изменение направления и модуля вектора скорости волны, изменение ее длины) и не очень интересовались процессами, которые при этом происходят в самом веществе. Теперь мы постараемся коротко сказать и об этом, причем речь пойдет только об электромагнитных волнах — о волнах, как уже говорилось, наиболее всепроникающих, частным случаем которых являются волны оптического диапазона.
При использовании корпускулярного подхода мы должны электромагнитной волне сопоставить поток каких-то частичек. Их называют фотонами. Электромагнитной волне, излученной веществом, соответствует поток фотонов с энергией hv каждый. В общем случае можно, конечно, говорить и о квантах энергии, соответствующих волнам, излученным электрическими вибраторами, о квантах энергии, соответствующих радиоволнам, только эти кванты будут
малыми, недостаточными, например, для возбуждения атомов вещества. Чтобы применять закон сохранения энергии к фотонам, заменяющим волну, мы будем приписывать каждому фотону значение энергии, равное hv, где v — частота электромагнитных колебаний в источнике, который испускает волну или поток частичек — фотонов.
Все эффекты, которые имеют место при воздействии электромагнитных волн на вещество, мы условно разделим на несколько групп. Условно потому, что эффекты эти часто переплетаются, одни сопутствуют другим, одни порождают другие.
Механические и электрические эффекты. При воздействии волны на поверхность вещества последнее должно испытывать самое обычное механическое давление. В самом деле, на вещество налетают фотонУ, обладающие определенной скоростью, массой (ведь поток фотонов эквивалентен электромагнитной волне, которая характеризуется массой!), энергией и всеми другими свойствами частиц. Все происходит так же, как при взаимодействии потока дробинок со стенкой. Каждая из дробинок будет передавать стенке за время взаимодействия какой-то импульс. Подсчет суммарного импульса, доставшегося поверхности стенки, позволит найти силу, действующую на единицу площади этой поверхности, т. е. давление.
Давление, оказываемое электромагнитными волнами на поверхность вещества, в повседневной практике неощутимо, но оно все-таки может быть зарегистрировано достаточно чувствительными приборами. Прямое опытное доказательство давления света на вещество было дано П. Н. Лебедевым.
Заметим, что эффект давления электромагнитных волн на вещество может быть объяснен как с позиций корпускулярной теории (удары фотонов по веществу), так и с позиций волновой. Если мы будем рассматривать подошедшее к поверхности в виде волны электромагнитное поле и поведение заряженных частиц внутри вещества (электронов, ионов и т. д.) под воздействием этого поля, то окажется, что эти частицы как бы вдавливаются внутрь вещества.
Иначе обстоит дело с объяснением фотоэффекта — явления выбивания электронов из вещества под действием электромагнитной волны,— который можно назвать электрическим эффектом воздействия волны на вещество. Этот эффект невозможно правильно истолковать с волновых позиций. Объяснение фотоэффекта было дано с корпускулярных, квантовых дозиций. Большей частоте колебаний v в волне
соответствуют фотоны с большей энергией Нч. Чем больше частота, тем более эффективным снарядом для выбивания электрона оказывается фотон.
В свое время, когда в результате объяснения волновых свойств света восторжествовала волновав теория его природы, открытие фотоэффекта и других явлений заставило физиков пересмотреть свои позиции, вновь признать корпускулярную природу света и других электромагнитных излучений, не отказываясь и от их волновой природы.
Тепловые и оптические эффекты. Процесс возникновения излучения атомов мы рассмотрели достаточно подробно. Если энергия, приносимая электромагнитной волной, достаточна для возбуждения атомов вещества, то возникает излучение того или иного вида: рентгеновское, ультрафиолетовое или, в частности, излучение видимое.
А как объяснить хорошо всем известные тепловые эффекты воздействия на вещество, например, видимого излучения? Температура тела, освещаемого Солнцем, увеличивается. Мы говорим, что за счет энергии электромагнитного излучения Солнца возрастает внутренняя энергия вещества. Но каков механизм этого процесса? Никакого видимого излучения вещества мы не наблюдаем. Значит ли это, что энергии квантов солнечного излучения не хватило для возбуждения атомов или молекул? Здесь нужно рассуждать осторожно. Возбуждений, достаточных для переброски электронов на новые энергетические уровни, вещество при этом может и не получать. Но возрастание внутренней энергии может быть связано (наряду с увеличением потенциальной энергии взаимодействия) с увеличением средней энергии хаотического теплового движения частиц вещества — его атомов, молекул. Вот на что израсходуется энергия электромагнитной волны, причем тепловые колебания групп атомов или молекул всегда приводят к излучениям. Названия для этих излучений используются разные — тепловое излучение или инфракрасное излучение,— но сущность их одна и та же. Любое вещество при температуре, отличной от абсолютного нуля, является источником электромагнитных излучений. Если же на это вещество падает какая-то внешняя волна, его излучение изменяется.
При воздействии на вещество, например, видимым пли ультрафиолетовым излучением может возникнуть излучение иного спектрального состава, с частотой меньшей, чем в падающей волне. Это так называемое явление фотолюминесценции. Здесь опять все находится в согласии с законом
сохранения энергии: какая-то доля энергии падающей на вещество волны израсходуется на увеличение кинетической энергии теплового движения и потенциальной энергии взаимодействия частиц вещества, и лишь остальная часть энергии пойдет на возбуждение волн в видимой области. Ясно, что этот остаток сможет возбудить только более низкие частоты колебаний^
Химические эффекты возникают в веществе, если воздействующая на него волна доставляет энергию, достаточную для изменения химических связей (разрыв молекул, ионизация, образование новых молекул и т. д.). Такие эффекты возникают в различных веществах (например, в бромистом серебре, в листьях растений и т. д.) под воздействием электромагнитных волн видимой области или более коротких (преимущественно ультрафиолетовых).
Эффекты рождения частиц могут наблюдаться при воздействии на вещество электромагнитного излучения, кванты энергии которого соответствуют частотам 3-1020 с”1 и более. В поле ядра атома вещества при этом может произойти рож* дение пары электрон—позитрон, причем достоверно известно, что эти частицы не являются продуктами разрушения атома вещества или его ядра. В этих случаях в веществе вообще не происходит никаких изменений, оно только служит как бы катализатором протекания интереснейшего пре- врайхения: электромагнитное излучение превращается в частицы вещества. Подобные превращения наряду с другими фактами явились убедительнейшим подтверждением того, что волны и частицы — две разновидности материи. В зависимости от условий протекания тех или иных процессов обнаруживается то одна, то другая ее сторона.
Возможность использования закона сохранения _ энергии
Во всех явлениях, о которых мы только что сказали, выполняется закон сохранения энергии. В некоторых практических задачах не интересуются деталями процессов, происходящих внутри вещества, а лишь оценивают, как изменяется энергия волны в результате воздействия на вещество (какой энергией обладала волна, падающая на вещество, какой энергией обладают отраженная и' преломленная волны и т. п.).
Пусть, например, электромагнитная волна, распространяющаяся в вакууме, встречает на своем пути поверхность 472
какого-либо вещества — границу раздела двух сред. Какие преобразования энергии волны могут при этом произойти? '
Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, что нам известно о поведении волн на границе раздела сред. Волна может отразиться или обогнуть границу раздела (явления отражения и дифракции), причем в этих случаях волна после границы раздела будет распространяться в прежней среде. Пройдя границу раздела, волна может распространяться в новой среде (случай преломления). Наконец, если граница раздела является границей вакуума с веществом, то, начиная с нее, может возникнуть процесс поглощения энергии волны.
Теперь легко ответить на поставленный вопрос. Какая-то часть энергии W падающей волны с отраженной волной*возвратится в первую среду (обозначим эту долю энергии через Н70Тр). Распространяющаяся Во второй среде волна будет обладать энергией И7пр. И, наконец, еще какая-то часть энергии (Ц7П) будет поглощаться веществом, приводя к тем или иным процессам внутри него.
Таким образом, уравнение закона сохранения энергии для волны, падающей на границу раздела вакуум — вещество, можно записать в виде
• ^ = ^отр + Гпр + Гп. -
В каком соотношении между собой будут находиться слагаемые IF0Tp, IFnp и Wn, зависит от свойств волны, от свойств вещества и от условий, при которых волна воздействует на вещество.
. ОСНОВЫ ФОТОМЕТРИИ
В жизни и деятельности человека видимое излучение играет огромную роль. Наибольшее число сведений об окружающем мире мы получаем при посредстве зрительного аппарата. Трудно даже себе представить, во что бы превратилась жизнь человека, если бы отсутствовали естественные и искусственные источники света.
На практике приходится решать широкий круг вопросов' о рациональном использовании источников света для создания наиболее благоприятных условий деятельности человека, для нормального зрительного восприятия им окружающих предметов (как нужно размещать источники света по
отношению к рабочему месту, какое количество искусственных источников света должно находиться в данном помещении, какой конструкции должны быть эти источники и многие другие). Понятно, что при этом интерес представляет только та часть излучения источников, которая может быть воспринята глазом, т. е. только видимый диапазон электромагнитных излучений.
Фотометрия и является разделом оптики, в котором изучаются количественные характеристики видимого излучения и соотношения между ними.
Чтобы традиционная терминология этого раздела (источник света, световой поток, сила света и т. д.) не приводила к путанице,,еще раз подчеркнем, что в фотометрии изучается не весь оптический диапазон электромагнитных излучений, а Только та их часть, которая, воздействуя на глаз человека, может вызывать зрительные ощущения. Нас не должно смущать то, что в некоторых фотометрических опытах излучение регистрируется не визуально, а с помощью приборов (например, использование фотоэлектрического экспонометра при фотографировании).Для этих целей нужно использовать приборы, реагирующие на видимый диапазон электромагнитных излучений и имеющие такую же чувствительность, как и глаз человека. Таким образом, можно сказать, что в фотометрии мы изучаем процессы, которые начинаются в источнике видимого излучения, а заканчиваются на сетчатке глаза.
Подобно тому, как в механике вводится образ материальной точки, а в электростатике — понятие точечного заряда, в оптике оказывается оправданным введение понятия точечного источника света — источника, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием от него до места наблюдения его излучения. Введение точечных источников света упрощает решение многих задач.
Все реальные источники света имеют конечные размеры и не являются точечными, но мы можем представить их как совокупность многих точечных источников.
Мощность видимой части электромагнитного излучения, распространяющегося в пределах данного телесного угла, называется световым потоком (Ф).
Силой света (/) точечного источника света в данном направлении называют физическую величину, определяемую отношением х
^^. (34.1)
где AQ — тот малый пространственный угол, в пределах которого световой поток равен АФ.
Освещенностью (Е) некоторой малой поверхности, площадь которой равна AS, называется физическая величина, определяемая отношением
£ = ^.(34.2)
где АФ — световой поток того излучения, которое падает на данную площадку.
Пусть от точечного источника света L (рис. 34.1) излучение падает на малую площадку AS, находящуюся от источника на расстоянии R, причем угол между нормалью и к площадке и направлением распространения излучения равен а (угол падения при этом также будет равен а). Значе- ние малого телесного угла * АЙ, опирающегося на эту площадку, можно определить как
==(34.3)
где ASx — проекция площад-Рис 34 1
ки AS на плоскость, перпенди
кулярную к направлению распространения излучения (на рис. 34.1 площадка ASx заштрихована).
На основании (34.1)— (34.3) можно получить вакон освещенности от точечного источника:
£=^cosoc.(34.4)
Как уже отмечалось, основной единицей измерения в фотометрии оказалось целесообразным выбрать единицу силы света — канделу (1 кд), эталон которой легко воспроизводим и обеспечивает приемлемую точность измерений. В связи с этим единицы измерения светового потока и освещенности оказываются производными. Люмен (1 лм) — мощность видимого электромагнитного излучения, распространяющегося от точечного источника с силой света в 1 канделу в пределах телесного угла в 1 стерадиан:'
лм= 1 кд-1 ср
(вводится в согласии с (34.1)). Единица освещенности люкс (1 лк) вводится на основании (34.2) как освещенность по-
верхности с площадью в 1 м2, по которой равномерно распределен поток в 1 лм:
При решении фотометрических задач, кроме уравнений (34.1), (34.2) и (34.4), приходится использовать лишь известные геометрические и тригонометрические соотношения. Примеры фотометрических расчетов будут приведены в следующем параграфе. ,
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Основные понятия и законы
В оптике имеется круг задач, при решении которых двойственная природа света почти не сказывается. Так, при построении изображений, получаемых с помощью зеркал и линз, при расчетах некоторые оптических систем можно использовать достаточно простые приемы, в которых структура света (волны это или потоки фотонов) вовсе не учитывается. Решением таких задач и занимается геометрическая (или лучевая) оптика. "
Поведение света в задачах подобного рода удается достаточно просто и наглядно описать, используя такие понятия, как световой пучок и световой луч. Пучком называют область пространства, в пределах которой распространяется свет (или любое другое излучение). Лучом называется линия, характеризующая направление распространения света, направление распространения энергии излучения. В частности, образующие цилиндрического или конического пучков света, а также оси этих пучков будут являться лучами.
Как видим, и пучок, и луч вводятся как геометрические характеристики распространения света (первая аналогична трубке тока жидкости или газа, вторая похожа на траекторию движения материальной точки), но уж так повелось, что пучки и лучи наделяют свойствами, им не присущими. Говорят, например, о распространении пучка или луча, оУ падении, преломлении, отражении пучков и лучей, об окраске световых пучков и лучей и т. п. Мы не будем нарушать этой традиции, так как иначе изложение стало бы очень громоздким, t
Заметим кстати, что, говоря о световых пучках, лучах и т. д., в геометрической оптике элементарного курса физики подразумевают прежде всего видимое излучение, хотя законы и соотношения этого раздела справедливы для всего оптического диапазона излучений, а в некоторых случаях и для более широкого диапазона.
Иногда говорят, что световой луч-— это бесконечно тонкий световой пучок. Как и любые другие понятия, получаемые при предельных переходах, такое модельное представление допустимо (мы можем мысленно разделить пучок конечных размеров на элементарные пучки). Но только нельзя забывать, что в реальных условиях никаких бесконечно тонких световых пучков не существует и получить их в каких бы то ни было опытах невозможно.
Любой бесконечно малый элемент поверхности источника излучает расходящиеся световые пучки. Если даже предположить, что мы исследуем пучок света на очень большом расстоянии от источника, где этот пучок является слабо расходящимся (близким к цилиндрическому), то бесконечно тонкий пучок получить все равно не удастся. Для этого мы, очевидно, должны были бы на пути светового пучка поставить непрозрачный экран с бесконечно малым отверстием. И вот здесь-то мы столкнемся с принципиальной невозможностью получения бесконечно тонкого пучка. Нам не придется даже решать техническую проблему создания бесконечно малого отверстия: чем меньшим будет отверстие, сквозь которое мы пропускаем свет, тем сильнее^будет проявляться дифракция света (подробнее см. § 36) на его краях! Когда размеры отверстия (например, его диаметр, если отверстие круглое) приблизятся к длине световой волны, свет за нйм будет распространяться в телесном угле 2л стерадиан. Как видим, и малые отверстия не позволяют вырезать не только бесконечно тонкий, а даже просто достаточно тонкий пучок.
Основные законы, на которых базируется геометрическая оптика,— это закон прямолинейного распространения света в однородной среде и законы отражения и преломления, причем при рассмотрении хода световых пучков в неоднородной среде — на границах раздела или при взаимодействии с препятствиями — здесь отвлекаются от явлений дифракции, интерференции (см. § 36) и других специфически волновых особенностей поведения света.
Следует иметь в виду, что световые пучки, распространяющиеся в одной и той же области пространства (напри-
мер, два пересекающихся пучка), должны всегда рассматриваться как независимые: каждый идет своим путем и не мешает распространению своего соседа Световые пучки между собой не взаимодействуют! Они не отталкивают друг друга, не притягиваются один к другому и т. д.
Заметим, что предметами, изображениями которых мы интересуемся в задачах геометрической оптики, не обязательно являются самосветящиеся тела (раскаленная нить электрической лампы, Солнце, звезды и т д.). Можно получить изображение любого тела, которое диффузно отражает (см. п. 35.3) излучение каких-либо естественных или искусственных источников света. Так, например, при портретных фотосъемках «предметом» является лицо человека, которое дает лишь инфракрасное излучение, но изображение на фотопленке рисуется видимым излучением, отраженным от него.
Приемником изображений в конечном счете всегда служит глаз человека. Преломленные прозрачными элементами глаза (роговицей, так называемой водянистой влагой, хрусталиком и стекловидным телом) лучи, сходясь в какой-то точке сетчатки глаза, дают изображение той точки, из которой эти лучи исходят. Если источник или предмет протяженный (не точечный), то каждая его точка дает на сетчатке свое изображение, их совокупность и воспринимается как протяженное изображение предмета. Таким образом, изображение источника или предмета формируется в результате зрительного ощущения.
Не оценивая совершенств и недостатков нашего зрительного аппарата, следует все же помнить, что с его помощью мы не всегда получаем зрительные ощущения, так сказать, полностью соответствующие реальной действительности
Чувство пространства развивается в человеке с младенческих лет, и зрение при этом играет главенствующую роль. Постепенно человек приобретает навык «на глаз» определять расстояния, размеры предметов и другие пространственные протяженности, причем на первых порах зрительное ощущение пространства подкрепляется другими ощущениями (до карандаша, который мы видим, можно дотянуться рукой и т. д.). Наш глаз привыкает видеть точечный предмет в той точке пространства, из которой исходят попадающие в глаз световые лучи. Именно эта привычка может иной раз Ввести нас в заблуждение, но на этом же заблуждении основывается устройство любого оптического прибора.
Дело в том, что глаз человека может видеть светящуюся точку не только в месте нахождения реального источника света малых размеров, нои в тех местах, где никаких источников нет. Таким местом может быть точка пересечения световых лучей, исходящих от каких-либо реальных источников. При этом мы говорим, что в такой точке находится действительное изображение точечного предмета или источника. Через такую точку распространяется энергия светового излучения реальных источников, в чем можно убедиться, расположив в месте ее нахождения какой-либо объективный приемник энергии электромагнитного излучения в видимой области (фотоэмульсию и т. п.). Кроме того, глаз видит изображение в месте пересечения продолжений лучей, падающих на него в виде расходящегося лучка. При этом мы говорим о мнимом изображении. Мнимое изображение видит наш глаз, но через точки пространства, где оно «находится», никакие световые лучи могут и не распространяться. Поэтому мнимое изображение не удается получить на экране, фотопластинке или обнаружить с помощью каких- либо иных объективных приемников энергии светового излучения. Только для простоты и удобства расчетов можно считать, что в месте «нахождения» мнимого изображения находится источник энергии светового излучения.
Итак, существенным отличием действительного изображения от мнимого является то, что в тех точках пространства, где находится первое, энергию светового излучения можно обнаружить, а в точках нахождения второго — нельзя.
Не следует забывать, что изображение, получаемое на самой сетчатке глаза, всегда действительное! Предмет, его действительное или мнимое изображение мы видим только в том случае, если преломленные глазом лучи пересекаются на сетчатке.
Подчеркнем, что точки и действительного, и мнимого изображений отличаются от точечных источников света. Свет от точечного источника распространяется во всех направлениях в пространственном угле 4л стерадиан. Значит, энергию светового излучения точечного источника можно обнаружить в любой точке окружающего его пространства. От точек же изображений во всех задачах, представляющих практический интерес, свет расходится в пределах телесных углов, меньших 4л стерадиан, и условия наблюдения изображений оказываются ограниченными.
Наконец, последние замечания, на которые следует обратить внимание. Наблюдатель может видеть предметы или
изображения только в том случае, если световые лучи от них попадают в^его глаз, если глаз наблюдателя встречает эти лучи. Как ни очевиден этот факт, мы напоминаем о нем. Например, если источник находится за спиной наблюдателя, последний может увидеть только его изображение, полученное с помощью зеркала или системы зеркал, когда в его глаза попадут лучи, отраженные от них. Если наблюдатель смотрит вдоль лучей (по направлению их распространения), которые где-либо в пространстве даж^ пересекаются, он никакого изображения не увидит.
Пучки света от источников, улавливаемые глазом, могут быть расходящимися (например, глаз находится на малом расстоянии от малого по размерам источника света) или цилиндрическими (на очень большой расстоянии от источника). Во многих случаях действительные и мнимые изображения наш глаз видит в тех местах пространства, откуда исходят (или нам кажется, что исходят) расходящиеся пучки. Но при использовании некоторых оптических систем (например, окулярных линз) изображение может быть получено при попадании в глаз цилиндрического или даже сходящегося пучка.
Задача. На расстоянии /? от плоского экрана находится точечный источник L с силой света /. Как изменится освещенность в точке Т экрана (рис. 35.1), если на расстоянии х за источником расположить параллельно экрану идеально отражающее плоское зеркало? Как будет
Рис. 35 1.Рис. 35 1.
Рис. 35 1.
Рис. 35 1.
изменяться освещенность в точке-Т, если расстоянием будет изменяться? Будет ли изменяться освещенность в той же точке экрана, если зеркало поворачивать вокруг оси, проходящёй через точку О (рис. 35.2), так, чтобы его плоскость составляла с плоскостью экрана различные углы ф? Считать в последнем случае, что OL=R.
Освещенность £i, создаваемая точечным источником света L в точке Т экрана, можно найти по формуле (34.4) при условии, что угол падения лучей на экран равен нулю, а значит, cosa=l.
(а)(а)Е^П^э
(а)
(а)
К чему приведет установка зеркала на расстоянии х за источником? Источник L посылает свет по всем направлениям, в том числе и в сторону, противоположную экрану. Лучи (на рис. 35.1 показаны только два таких луча 1 и 2), встретившие на своем пути зеркало, будут от чего отражаться в соответствии с законом отражения и при дальнейшем распространении могут попасть на экран. Таким образом, зеркало может посылать на экран световые лучи, которые на экран непосредственно от источника не падают (зеркало как бы собирает лучи, испущенные источником влево от плоскости I—I).~
Построение хода отраженных от зеркала лучей позволяет сказать, что все они как бы исходят из точки L*, которая является мнимым изображением исючника L, причем точка U располагается на одном перпендикуляре к плоскости зеркала с точкой L и на тадом же расстоянии х за плоскостью зеркала, на каком перед ним находится точка L. Последнее утверждение вытекает из равенства прямоугольных треугольников LOB и UOB (общий катеч ОВ и равенство противолежащих ему углов ₽).
Создает ли «мнимый источник» L* дополнительную освещенность в точке Т на экране? Конечно, создает. В действительности никакого источника L* не существует, но им очень удобно воспользоваться 'для упрощения наших‘построений и расчетов. Фактически дополнительная освещенность получается за счет перераспределения энергии светового излучения реального источника L. Можно сказать, что этот дополнительный световой поток излучается источником 1Д известное место расположения которого позволяет вновь использовать закон освещенности (34.4).
Условие идеального отражения света зеркалом приводит к заключению, что мнимый источник света L* обладает такой же силой света, что и источник L (телесные углы, в пределах которых распространяется световой поток от источника L влево и от мнимого источника L вправо, равны, и энергия светового излучения не поглощается веществом зеркала). Дополнительная освещенность Е^ в точке Г, создаваемая точечным источником L^ находящимся на расстоянии L'T—R^-^x от нее, равна
£« = (£ + 2^’(б)
а суммарная освещенность Е в этой точке экрана складывается из освещенностей Ег и Е^.
,£ = £14-£д=^г+(-^-^5-(в)
Если x=R, то
£ _— JL —51(г)
д (^+2^)а9^9?v '
т. е. дополнительная освещенность за счет постановки зеркала составит 1/9^0,111 освещенности Е^ создаваемой в точке Т источником L без зеркала.
“ Анализируя уравнения (б) и (в), легко показать, что при перемещении зеркала влево (рост расстояния х) освещенность Ед будет уменьшаться и при х=ао станет равной нулю (при этом, разумеется, Е будет равна Е}). Если же зеркало перемещать вправо, то освещенность Ед будет возрастать и при х=0 сделается равно й освещенности Е^. Тогда суммарная освещенность в точке Т удвоится;
E^EX^ILR\
Этот результат легко понять. Источник L имеет малые, но конечные размеры, т. е. может быть представлен в виде маленького светящегося шарика. При отсутствии зеркала на экран направляется световое излучение только от правой половины поверхности источника-шарика. По-
можноможнонаити понаити поставленное вплотную (х=0) к такому источнику зеркало позволяет направить на экран и излучение левой половины его поверхности.
можно
можно
наити по
наити по
К очень интересным выводам мы приходим, оценивая освещенность в точке Т на экране в случаях, если поверхность зеркала составляет с плоскостью экрана различные углы ф (рис. 35.2).
ле, сновале, сноваЯсно, что источник L и в этих случаях создает в точке Т освещенность Е^ подсчитываемую по формуле (а). Дополнительную освещенность £*д, создаваемую мнимым изображением источника L в зерка-
ле, снова
ле, снова
уравнению (34.4) закона освещенности.
Для случая, изображенного на рис. 35.2, мнимый источник находится в точке D на расстоянии DT от интересующей нас точки экрана,
и свет от него падает на экран в точке Т под углом а, отличным от нуля. По условию задачи LT=OL—R. По построению изображения источника L в зеркале угол OLD равен углу ф между плоскостями зеркала и экрана (как углы с взаимно перпендикулярными сторонами). DC — перпендикуляр к продолжению линии ОТ. Выразим расстояние DT и cos а через заданные величины. -
Из геометрии рисунка ясно, что
DL^R cos ф.
Из треугольника DCL находим
CD—DL sin ф=27? sin ф cos cp=R sin 2ф,CL=DL cos ф=27? cos2 ф=7?(1+соз 2ф).
Теперь CT~CL+LT=R (1+cos 2ф)+7?=7?(2+соз 2ф).
Из треугольника DCT по теореме Пифагора получаем
фТ^фОУААСТ^Р? sin2 2ф+£2 (2+cos 2ф)2?
или, после простых преобразований,
иифТ^ = ^ (5+4 cos 2ф), DT = R /54-4 cos 2ф
и
и
cos СТ _ R(2 4- cos 2ф)24- cos 2ф
^ R /5 +4 cos 2ф /54*4 cos 2ф
Вновь полагая, чго сила света «источника D» равна /, и подставляя фТ^ и cos а в уравнение (34.4), находим выражение для дополнительной освещенности Е^.
^д— фт^ cos а““^д— фт^ cos а““(д)(д)/ Г2 + cos 2ф~^2 (54*4 cos 2ф) /5 4“ 4 cos 2ф _
^д— фт^ cos а““
^д— фт^ cos а““
(д)
(д)
Суммарная освещенность, создаваемая в точке Т источником L и его изображением D в наклоненном зеркале, равна
£ == Г2 + cos2<p_
,Я ^ L(5+4 cos 2<р) у+ + 4 cos 2ф _
Сравним дополнительные освещенности Е'д и ЕД1 создаваемые в точке Т экрана при OT—2R наклонным и параллельным плоскости экрана зеркалами. Видно, что при <р=0 выражение (д) совпадает с выражением (г) и Ед=£д^0,111£1. При увеличении угла <р наклона плоскости зеркала к плоскости экрана освещенность точки Т возрастает, а не уменьшается, как кажется с первого взгляда. Происходит это из-за того, что расстояние от изображения источника L в зеркале *до точки Т уменьшается при повороте зеркала вокруг оси, перпендикулярной к плоскости рисунка и проходящей через точку О. Уменьшение величины (DT^ оказывается более существенным, чем уменьшение значения cos а (при малых углах <р). Это и приводит к увеличению освещенности экрана в точке Т.-
Например, при ф=л/6 рад дробь, стоящая в квадратных скобках выражения (д), принимает значение, примерно равное 0,135, и Е'^ ^0,1352?!, а при ф=л/3 рад будет Е^0,288 Ev Читатель может легко убедиться, что и при других значениях угла ф (кроме ф=л/2 рад) освещенность в точке Т экрана от наклонного зеркала оказывается большей, чем от зеркала, параллельного экрану и расположенного на расстоянии x=R за источником L.
Получение изображений с помощью зеркал
При построении изображения какого-то предмета последний представляют как совокупность точечных источников света. Точечный источник посылает в окружающее пространство расходящийся^световой пучок, но для определения местонахождения этого источника вполне достаточно проследить ход только каких-либо двух лучей (источник находится в точке их пересечения).
Точно такой же подход используется при построении изображения светящейся точки: в точке пересечения лучей находится действительное изображение, а в воображаемой точке пересечения продолжений лучей — мнимое изображение.
Построение изображений в зеркалах основывается лишь на законах прямолинейного распространения и .отражения света. Проследив ход каких-либо лучей от точечного источника до зеркала и ход этих же лучей после отражения от зеркала, всегда можно построить изображение этого источника в зеркале. На рис. 35.1 построение изображения L источника L в плоском зеркале выполнено в соответствии с этим правилом.
Изображение в плоском зеркале всегда мнимое (расходящийся пучок света, падающий на зеркало от источника, после отражения остается расходящимся в пределах того же по значению телесного угла). Кроме того, оно всегда симметрично источнику относительно плоскости зеркала и, следовательно, равно ему по размерам.
Более широкие возможности преобразования световых пучков имеют зеркала не плоские, а прежде всего зеркала сферические, которые служат элементами многих оптических устройств.
Формула сферического зеркала. На рис. 35.3 представлено сечение вогнутого сферического зеркала плоскостью чертежа. Точка Р, являющаяся вершиной сферического сегмента, называется полюсом зеркала, а точка С— геометрический центр сферической поверхности зеркала радиуса R — центрам зеркала. Прямая линия ОО, проходящая через центр и
полюс зеркала, называется главной оптической осью зеркала; любая же прямая, проходящая через центр зеркала и какую-либо точку его поверхности (например, прямая СК), называется побочной оптической осью. Ясно, что любая оптическая ось в точке пересечения с поверхностью зеркала является нормалью к последней (любой радиус перпендикулярен к поверхности сферы в точке встречи с ней).
' Выведем формулу сферического зеркала.
Точечный источник L находится на главной оптической оси вогнутого сферического зеркала, радиус кривизны поверхности которого R, на расстоянии П от его полюса Р (рис. 35.3). Доказать, что в точке U, расположенной на расстоянии И от полюса зеркала, будет находиться изображение источника L, и найти формулу связи между величинами И, П и R.
Как и всегда, при построении изображений в зеркалах используем закон отражения. Рассмотрим один из лучей, 484 -
исходящих из источника L, например луч LK, который падает на поверхность зеркала в точке К- Радиус кривизны зеркала СК перпендикулярен к его поверхности в этой тоЧке. Углы LKC (обозначим этот угол через а) и CKL* (обозначим -через 0) лежат в одной плоскости и равны между собой на основании закона отражения (а — угол падения, Р — угол отражения):
+a=Z_p.
Пусть луч, отраженный от зеркала в точке К, пересечет главную оптическую ось зеркала в точке L'. Введем, кроме того, следующие обозначениям 6 — угол наклона падающего луча к главной оптической оси, 6' — угол наклона к главной оптической оси отраженного от зеркала луча, у — угол между главной оптической осью зеркала и радиусом, проведенным в точку падения луча K,nh — расстояние от точки К до главной оптической оси зеркала.
Угол у является внешним углом треугольника LKC и, следовательно,
.у=6+а.
Аналогично
.б'=у+р.
Теперь нетрудно получить простую формулу связи между углами:‘
6+6'=2у.
Простейшие расчетные соотношения для сферических зеркал получаются, если рассматриваются так называемые параксиальные пучки света, т. е. узкие пучки, составляющие с оптической осью зеркала очень малые углы (в нашем примере пустй будет малым угол 6 между крайними лучами падающего на зеркало пучка и главной оптической осью 00), когда расстояние точек падения этих лучей от оптической оси зеркала (в нашем случае расстояние h точки К от главной оптической оси) во много раз меньше радиуса кривизны зеркала (h^RY Если угол 6 мал, то, конечно, малыми будут и углы у и 6'. При этом длиной отрезка ВР можно пренебречь по сравнению с длинами отрезков LK и L'К и приближенно считать, что ЬК^П и Е'К~И. Кроме того, значения синусов малых углов 6, 6' и у можно будет заменить значениями самих углов в радианной мере.
Для прямоугольного треугольника LKB имеем равенство -
sin 6=WLK,
которое с учетом только что сделанных оговорок можно за* писать в виде
^h/П.
Точно так же равенство
sin K—h/L'K
заменим более простым:
K=hlH.-
Кроме того, для треугольника СКВ. h hsxn^~CK~R*
или
4 = h!R.
Подставляя выражения для 6, 6' и у в формулу связи между этими углами, находим
h . h _2h
или, после сокращения на й,
112
(35J)
Это выражение и является искомой формулой связи между величинами И, П и R. Оно называется формулой сферического зеркала и с одинаковым успехом может применяться не только для вогнутых, но и для выпуклых сферических зеркал, радиус кривизны поверхностей которых равен R»
Доказательство того, что точка U является изображением точечного источника L, как раз и заключается в том факте, что расстояние h точки падения луча от главной оптической оси зеркала может быть исключено при получении формулы (35.1). Это означает, что не только луч LK после отражения пересечет главную оптическую ось зеркала в точке L, но и любые другие лучи, исходящие от источника L под малыми углами 6 к оси зеркала, будут после отражения пересекаться с ней в этой же точке, т. е. в L* находится действительное изображение точечного источника L.
Заметим, что расстояния от источника или предмета, изображением которого мы интересуемся, и от изображения до полюса зеркала мы обозначили русскими буквами для 486
мнемонического удобства запоминания (/7 — предмет, И — изображение).
Формула (35.1) позволяет найти фокусное расстояние (/) зеркала — расстояние от полюса до точки фокуса (F), в которой пересекаются после отражения лучи, падающие на зеркало параллельно главной оптической оси.
Если телесный угол, в пределах которого распространяется свет, очень мал, для практических расчетов можно считать пучок цилиндрическим. Например, пучки света от источников, очень удаленных от наблюдателя (или от зеркала и т. д.), незначительно отличаются от пучков цилиндрических. Таким образом, если расстояние П до предмета устремить к бесконечности (/Т-^оо), то расстояние И будет равно фокусному расстоянию /. Тогда
оо Г R* или
f = R!^(35.2)
т. е. фокус зеркала лежит на середине расстояния от его центра до полюса.
С учетом (35.2) формулу сферического зеркала можнр записать в ином виде:
в + ^-Т-(35 3)
Удобно полагать знаки величин 77, И. R и / в формулах (35.1) и (35.3) положительными, если эти расстояния отсчитываются от полюса зеркала в ту сторону, с которой на зеркало падает свет от предмета, и отрицательными — в противном случае. При такой договоренности расстояние П будет положительным, а отрицательный знак у И будет указывать на то, что изображение мнимое, т. е. расположено по другую сторону от поверхности зеркала. Согласно такой договоренности фокусное расстояние f выпуклого зеркала (выпуклое зеркало имеет мнимый фокус), а значит, и радиус кривизны его поверхности R будут считаться отрицательными.
Это правило знаков нуждается в изменении только для некоторых специальных задач, в которых на сферические зеркала падают сходящиеся пучки света. В таких случаях продолжения лучей падающего пучка пересекаются в какой-то точке за поверхностью зеркала Если через эту точку провести плоскость, перпендикулярную к главной оптиче-
с кой оси зеркала, то расстояние от этой плоскости до полюса зеркала и должно быть взято в качестве величины 77, входящей в формулу сферического зеркала, причем и для вогнутых, и для выпуклых зеркал это расстояние 77 должно браться со знаком минус (77<0). Договоренность о знаках остальных величин при этом сохраняется прежней.
Изображения в сферических зеркалах. Если предмет, изображением которого мы интересуемся, не точечный, вполне достаточно бывает в простейших случаях построить изображения отдельных его точек.
При заданной геометрии зеркала и известном расположении предмета формулы (35.1) и (35.3) позволяют определить, где, на каком расстоянии от зеркала будет получено изображение и каким будет это изображение — действительным
Рис. 35.4.
или мнимым. Кроме этого, обычно представляют интерес размер изображения (увеличенное, уменьшенное или равное предмету) и его ориентация (прямое или обратное, перевернутое). Для ответа на эти вопросы приходится прослеживать ход лучей, падающих на зеркало и отраженных от него.
Не нужно забывать, что любая точка предмета посылает на зеркало расходящийся световой пучок, но для получения ее изображения оказывается вполне достаточным проследить ход всего двух лучей. К числу простейших, или основных, используемых для построения изображений лучей принадлежат следующие четыре (рис. 35.4, а и б).
Луч 1 до падения на зеркало направлен параллельно главной оптической оси. Направление его распространения после отражения проходит через фокус зеркала.
Луч 2 является «обратным» первому: направление падения проходит через фокус зеркала, а после отражения такой луч направлен параллельно главной оптической оси.
Луч 3 — направление его распространения до падения на зеркало и после отражения проходит через центр зеркала (углы падения и отражения такого луча в месте встречи с зеркалом равны нулю).
Луч 4 падает в полюс зеркала под углом а к главной оптической оси. Ход луча после отражения симметричен холу падающего луча относительно главной оптической оси. (Если луч падает не в полюс зеркала, а в какую-то произвольную точку его поверхности, то отраженный луч будет симметричен падающему относительно побочной оптической оси, проведенной через точку падения.)
Задача. Определить, на каких расстояниях от вогнутого сферического зеркала с фокусным расстоянием f будут получены изображения предметов, находящихся на следующих расстояниях от зеркала. 1) П^ = оо; 2) /72=2/, 3) оо>/73>2/; 4) П4=Ь 5) ^>П5>Г; 6) /76</. Оценить характер, размеры и ориентацию изображений в этих случаях и определить, в пределах каких телесных углов можно наблюдать изображения глазом (для краткости будем называть эти углы углами наблюдения).
Случай 1 (рис. 35 5). На основании определения фокуса зеркала можно заключить, что если падающие лучи параллельны главной оптической оси, то изображение будет получено как раз в точке фокуса, так что //х=/.К этому же можно прийти, используя формулу зеркала (35.3):
®^иг Г ’
откуда следует, что H^f (величины fn Hi положительны). Если же цилиндрический пучок падает на зеркало под углом к главной оптической оси, то все равно H^f, но изображение не находится в фокусе, а лежит в плоскости, проведенной через фокус перпендикулярно к главной оптической оси,— в так называемой фокальной плоскости зеркала.
Изображение будет точечным и обратным. Можно сказать, что оно будет уменьшенным, так как размеры предмета, очевидно, должны считаться равными ширине падающего светового пучка. Напомним, что такой случай не может иметь места в действительности (строго цилиндрических световых пучков не существует), но он представляет ин- , терес для расчета, если пучок является слабо расходящимся.
Телесный угол, в пределах которого изображение можно увидеть, ограничен лучами, отраженными от краев зеркала (на рис. 35.5 эти лучи изображены пунктиром, а сечение пространственного угла наблюдения плоскостью рисунка отштриховано). Заметим, чго значение угла наблюдения зависит от размеров диаметра окружности, ограничивающей зеркало (от так называемого отверстия зеркала).
Случай 2 (рис. 35.6). Для простоты рассмотрим протяженный линейный предмет АВ, перпендикулярный к главной оптической оси зеркала,
точка В которого совпадает с центром Зеркала С. На основании формулы (35 3) при n2=2f находим, что
ti+it;=T ”
т. е изображение действительное и находится от зеркала на таком же расстоянии, что и предмет. Легко сообразить, что изображение будет
Рис. 35.6.
обратным и по размерам равным самому предмету. Угол наблюдения ограничен лучом /, исходящим от точки Л предмета и отраженным от точки М верхнего края зеркала, и лучом 11, исходящим от точки В предмета и отраженным от нижнего края К зеркала.
Следует иметь в виду, что изображение предмета видно целиком не из любой точки, лежащей в пределах угла наблюдения. Чтобы пояснить это, проведем луч Г (исходящий от точки А предмета и отраженный
Рис. 35.7.
от нижнего края К зеркала) и луч 1Г (исходящий от точкиВ предмета и отраженный от верхнего края М зеркала). Теперь, наверное, понятно, что точка А’ изображения видна только в пределах области 1А' Г, а точка В7 — в пределах области ПВЧГ. Изображение А'В' видно целиком только из точек, находящихся в пределах телесного угла, сечение
которого ГSIF плоскостью чертежа на рис. 35.6 отмечено двойной штри- ховкрй. Из точек, лежащих вне этой области, но находящихся в пределах телесного угла наблюдения, будет видна только какая-то часть изображения А'В'.
Случай 3 является промежуточным между случаями 1 и 2. Построение, выполненное на рис. 35.7, и формула (35 3) приводят к заключению,
Рис. 35.8
что 2/>Я3>/, изображение действительное, обратное и уменьшенное. Угол наблюдения ограничен лучом /, отраженным от точки М, и лучом //, отраженным от точки К. Найти область, из точек которой изображение предмета видно целиком, можно точно так же, как это было сделано в предыдущем случае.
При перемещении предмета из бесконечности в центр зеркала его действительное изображение перемещается из фокуса в центр зеркала*
Рис. 35 9.
оставаясь обратным и уменьшенным вплоть до помещения предмета в центр зеркала, когда размеры изображения достигают размеров предмета.
Случай 4 является обратным первому По формуле зеркала и по построению можно получить, что И4=оо, т. е изображение предмета, помещенною в фокусе зеркала, получается в бесконечности.
Случай 5 является промежуточный между случаями 2 и 4 и обратным случаю 3 (рис. 35.8). Построения выполнены аналогично предыдущим случаям (заметим, что направление луча I случайно оказалось проходящим через центр зеркала). На основании формулы (35.3) и по построе- .нию ясно, что оо>Я5>2/, изображение действительное, обратное и увеличенное.
Таким образом, можно заключить, что при перемещении предмета из центра в фокус зеркала его действительное, обратное и увеличивающееся изображение перемещается от центра зеркала в бесконечность.
В случае 6 (рис. 35.9) изображение получается мнимым (Яб отрицательно при положительных значениях / и 776), прямым и увеличенным -(сравните сходственные стороны АВ и А’В' подобных треугольников САВ и СА’В'У Лучи I и II по-прежнему позволяют определить угол наблюдения.
Предлагаем читателям самостоятельно найти для случаев 5 и 6 те совокупности точек в пределах углов наблюдения, из которых изображения будут видны целиком.
Рис. 35.10 иллюстрирует построение изображения в выпуклом сферическом зеркале с фокусным расстоянием /
Рис. 35.10*
(значение которого считается отрицательным). Угол наблюдения на этом рисунке обозначен через <р. Легко убедиться в том, что изображение предмета видно целиком из любой точки, находящейся внутри угла ф. При любых положениях предмета перед выпуклым зеркалом изображение получается мнимым (величина И отрицательна), прямым и уменьшенным. Действительное изображение с помощью выпуклого сферического зеркала может быть получено в некоторых частных случаях, когда зеркало является элементом оптической системы, при условии падения на него сходящегося светового пучка.
Анализ формулы сферического зеркала и использование общего подхода при построении изображений в зеркалах позволяют прийти к заключению о практическом использо- 492
вании тех или иных зеркал в конкретных случаях. Предметы могут располагаться любым образом- по отношению к главной оптической оси зеркала, не быть к ней перпендикулярными и не быть линейными. Ни одна точка предмета может не находиться на главной оптической оси, как это для простоты построений было в рассмотренных нами случаях. Но непременным условием применимости формул (35.1) и (35.3) и использованных приемов построения является то, чтобы протяженный предмет был виден из полюса зеркала под малым углом.
Задача. Читатели, конечно, знают, что окулисты и стоматолог и при работе пользуются сферическими зеркалами. Кроме того, известно, что справа у кабин водителей городского транспорта помещаются зеркала, которые очень часто бывают не плоскими. Какими должны быть зеркала в указанных случаях и каково их назначение?
* В первом случае зеркало имеет отверстие в месте нахождения полюса, сквозь которое врач рассматривает, например, глазное дно (сетчатку глаза) пациента. Назначение зеркала в этом случае — сконцентрировать световой пучок на достаточно малой площади. Осветитель (обычная настольная лампа) располагается несколько в стороне и сзади головы пациента. Совершенно ясно, что для этих целей не подходит выпуклое зеркало, которое может только рассеивать падающий на него свет. Значит, зеркало должно быть вогнутым и должно работать в условиях, аналогичных изображенным на рис. 35.7: источник света (АВ^ должен находиться за центром зеркала, а рассматриваемый объект — между центром и фокусом. По вполне понятным причинам зеркало, в полюсе которого располагается глаз врача, не может быть приближено к объекту наблюдения ближе чем на несколько сантиметров (примерно на 20—30 см). Поэтому и фокуснбе расстояние таких зеркал имеет значение порядка 20 см
Назначение зеркала зубного врача — получить увеличенное изображение малого объекта, не поддающегося прямому наблюдению (например, повреждение эмали зуба с внутренней стороны). Выпуклое зеркало, дающее всегда уменьшенное изображение, для этих целей бесполезно. Кроме ’ого, ясно, что изображение, даваемое зеркалом, должно быть прямым. Значит, объект наблюдения должен располагаться между фокусом и полюсом, вогнутого зеркала (см. рис. 35.9), причем чем меньше фокусное расстояние зеркала, тем более увеличенным (при прочих равных условиях) будет изображение. Фокусное расстояние таких зеркал насчитывает несколько сантиметров.
Зеркало кабины водителя автобуса должно давать, конечно, прямое изображение пассажиров, находящихся у задней входной двери. Казалось бы, этому условию могут удовлетворять как вогнутые (см. рис. 35.9), так и выпуклые (см. рис. 35.10) зеркала. Но чем будут отличаться изображения в этих двух случаях? В первом случае фокус зеркала должен располагаться позади входной площадки, чтобы предмет оказался между фокусом и зеркалом (иначе не получится прямого изображения!). При этом изображение будет увеличенным, так что из кабины водитель будет видеть увеличенное изображение малого участка пространства вблизи входной площадки автобуса (скажем, только одну ступеньку и ногу пассажира, наступившего на нее). Водителю, конечно, важнее увидеть другое: много ли пассажиров находится у входной двери,
все ли они вошли в автобус, т. е. с помощью зеркала должно просматриваться значительное пространство вблизи входной двери. Для этого зеркало должно быть выпуклым. Именно такое зеркало помогает водителю увидеть пассажира, отставшего на несколько метров от уже поехавшего автобуса, и любезно притормозить.
Задача. Определить фокусное расстояние / вогнутого сферического зеркала, которое дает действительное, уменьшенное в 3 раза изображение предмета при расстоянии между предметом и изображением /=20 см.
Анализируя условия задачи, приходим к заключению, что предмет (АВ) должен находиться за центром зеркала, а его действительное уменьшенное изображение (А^В') — между центром и фокусом (рис. 35 11). Пусть высота предмета равна Я, а высота его изображения h, тогда по условию задачи H!h=3. Решая уравнение (35 3) относительно фокусного расстояния, имеем
ПИГ"~П + И*
Кроме того, из условий задачи следует, что
П=Н-И.
Используя два последних уравнения, удается выразить величину / через заданную величину / и одну неизвестную величину И;
У + ЩИТ1 + 2И ‘
Значение расстояния И найдем из следующих соображений. Прямоугольные треугольники АВС и А'В'С подобны, значит, ^^, ~^^ ’
или, в принятых обозначениях,
H_n — 2fh ~2f—M *
н hн hП-У 2f—HП-У 2f—HПреобразуем последнее уравнение, прибавив к обеим его частям по единице:
н h
н h
П-У 2f—H
П-У 2f—H
После приведения к общему знаменателю правой части и упрощений имеем
Учитывая, что П — И=Ц получаем уравнение
h +1—2/ — И *
которое после подстановки в него величины Д выраженной через / и И, и преобразований позволяет получить
И =-
откуда с учетом заданных значений (/=20 см и ////г=3) находим
И=^ = 10 см.
(Здесь мы подсчитали значение промежуточной величины И только для того, чтобы не иметь дела с громоздкой расчетной формулой для /) Теперь окончательно для / имеем
(20+10) 1020 + 2-10(20+10) 1020 + 2-10=7,5 см.=7,5 см.
(20+10) 1020 + 2-10
(20+10) 1020 + 2-10
=7,5 см.
=7,5 см.
Прохождение света через границураздела разнородных прозрачных сред
При отражении света от границы раздела прозрачной среды (т. е. такой, в которой свет может распространяться) и непрозрачной происходит лишь изменение направления скорости световой волны. Модуль скорости волны не изменяется, если отраженный луч распространяется в той же среде, что и падающий (только такие случаи мы и рассматривали в предыдущем параграфе). При отражении света сказывается качество отражающей поверхности. В связи с этим мы говорим о зеркальном отражении от идеально гладкой поверхности или о диффузном отражении от поверхности шероховатой. В простейших случаях мы не интересуемся веществом отражающей среды, так как оно не влияет на закон отражения. Различные вещества зеркал в неодинаковой степени поглощают энергию падающей световой волны, поэтому изображения, полученные с их помощью, будут отличаться по яркости.
Если же мы интересуемся ходом световых пучков в какой-то прозрачной среде, попавших на ее границу из другой прозрачной среды, то различие оптических свойств этих сред приходится учитывать даже при решении задач геометрической оптики (направление распространения, получение изображений и т. д.). Снова отвлекаясь от поглощения энергии световой волны, мы основываем наши расчеты на законе преломления.
Кроме геометрических сведений, например о направлении хода луча, падающего на преломляющую границу, об
угле падения, о ширине падающего светового пучка и т. п., нас при этом интересуют скорости, с которыми свет может распространяться в той или иной среде. Как уже отмечалось, показатели преломления сред (абсолютные и относительные) как раз, и дают нам сведения об этом.
Напомним, что на границе раздела разнородных прозрачных сред скачком изменяется скорость световой волны, а в связи с этим — и длина волны.
Рассмотрим поведение светового луча на плоской границе раздела двух прозрачных сред I и II. Пусть для простоты средой I будет воздух (ско-
Рис. 35.12.Рис. 35.12.рость света в воздухе очень мало отличается от его скорости в вакууме, абсолютный показатель преломления воздуха при нормальных условиях равен 1,000292), а средой II — вода с показателем преломления п (рис. 35.12). Луч света падает на границу раздела АВ в точке О под углом I. (Случай f=0 не
Рис. 35.12.
Рис. 35.12.
рассматриваем, так как при этом не наблюдается изменения направления распространения света.) В результате преломления луч изменит направление распространения, причем значение угла преломления г можно найти по уравнению (30.8) с учетом того, что для рассматриваемого случая xhJvn=n:
sin г = — sin Iп
Отсюда следует, что угол преломления г в среде II всегда будет меньше угла падения I в среде I. Говорят, что вторая среда является оптически более плотной средой, чем первая, если абсолютный показатель преломления второй больше абсолютного показателя преломления первой. Максимальное значение угла преломления, очевидно, будет получено при условии, что sin f=l, т. е. i~л/2 рад. Тогда
sinrMaBc= 1/«, (35.4)
и поскольку п>1 (для воды п= 1,333), то гмакс<л/2 рад. Расчет дает для нашего случая гмакс«48°«0,84 рад.
496
Таким образом, любые световые лучи, попадающие в точку О границы раздела «воздух — вода», будут распространяться в воде только в пределах конуса с углом при вершине О, равным 2гмакс.
Рис. 35 13.Рис. 35 13.Представим, что АВ — поверхность воды в реке, покрытая непрозрачным слоем льда. В точке О имеется небольшая прорубь. Увидит ли водолаз, находящийся в точке С (или Z)), самолет, пролетающий над рекой? Если вода в реке даже абсолютно прозрачна и в ней нет частичек, которые бы рассеивали, отражали падающий на них свет, то находящийся в точках С или D водолаз не увидит не только самолета, но и вообще не увидит света. Он может стать наблюдателем всего происходящего над прорубью О, если только будет находиться в пределах конуса, отштрихованного на рис. 35.12.
Рис. 35 13.
Рис. 35 13.
в пределах которых распростра- уменьшаются.в пределах которых распростра- уменьшаются.Можно заключить, что при переходе света через плоскую границу из оптически менее плотной среды в среду более плотную телесные углы, няются световые пучки,
в пределах которых распростра- уменьшаются.
в пределах которых распростра- уменьшаются.
Заслуживает внимания и явление перехода света из оптически более плотной среды в менее плотную. Пусть этими средами по-прежнему будут вода с показателем преломления п и воздух (рис. 35.13). Теперь уравнение закона преломления должно быть записано в следующем виде:
(35.5)(35.5)sin г _ t/цJ_
(35.5)
(35.5)
sin гVjп ’
так как показатель преломления п равен отношению скорости света в воздухе к его скорости в воде, n=vx/vu.
Поскольку п>1, из уравнения (35.5) следует, что r>i. Но угол преломления луча света, вышедшего из воды в воздух, не может быть больше л/2 рад. Как же будут вести себя лучи, падающие в точку О под различными углами i? Выйти в оптически менее плотную среду (в воздух) смогут только те из них (лежащие в пределах отштрихованного на рис. 35.13 конуса), углы падения i которых меньше некоторого предельного зйачения tnp, которое можно найти из
уравнения (35.5) в случае, если г=л/2 рад:
sin /пр 1/п. (35.6)
Угол /пр носит название предельного угла полного отражения»
Если углы падения лучей на границу раздела «вода — воздух» меньше, чем /яр, то такие лучи выходят в результате преломления в воздух. Если же угол падения t>in^ то преломление не наблюдается и луч отражается от границы раздела в согласии с законом отражения (луч 2 на рис. 35.13). Это явление отражения луча от границы раздела с оптически менее плотной средой называется полным отражением.
Заметим, что это явление обнаруживается только на границе раздела «оптически более плотная среда — оптически менее плотная среда» (но не наоборот!) при углах падения, больших предельных.
Легко подсчитать, что для границы «вода — воздух» /пр^48°^0,84 рад. Значит, из воды в воздух в точке О на рис. 35.13 выходят только те лучи, которые распространяются в воде в пределах конуса с углом при вершине О, равным 2tnp. Если через прорубь О во льду реки мы наблюдаем за светом фонаря упомянутого выше водолаза, то увидеть свет нам удастся, если фонарь будет находиться в пределах конуса, отштрихованного на рис. 35.13. В какую бы сторону ни светил фонарь, находящийся вне пределов этого конуса, мы его не увидим, если, конечно, вода абсолютно прозрачна, а дно реки света фонаря не отражает.
Следовательно, преломление светового пучка на плоской границе с оптически менее плотной средой приводит к его расширению. Телесный угол, в пределах которого распространяется преломленный пучок, больше телесного угла распространения падающего пучка.
Большой интерес представляет последовательное прохождение светом нескольких границ раздела разнородных прозрачных сред. Мы для простоты рассмотрим только два примера: прохождение света через плоскопараллельную пластинку и через призму.
Задача. Плоскопараллельная стеклянная пластинка с показателем преломления п и толщиной d находится в воздухе. Угол падения светового луча на пластинку i (рис. 35.14). Как изменится ход луча после прохождения такой пластинки?
Запишем уравнение (30 8) для случаев преломления луча в точках А и С;
sin I sin 1
-— — n, ——. sin r sin q n
На основании этих выражений и с учетом равенства гх—г (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных АВ и СМ и секущей АС} заключаем, что
т. е. луч? вышедший из пластинки, параллелен падающему лучу2 но
смещен на расстояние I от направления падающего луча. Найдем это смещение.
Из треугольника АСК находим
l=CK=AC sin (/ — г);
AC=d/cos г (из треугольника ЛВС), следовательно,
COS г
С учетом того, что sin г=~ sin i, преобразуем функции углов в правой части этого выражения по известным правилам тригонометрии:
тsin2f Ул2 —sin2/
cos г — у 1 — sin2r= I/ 1
sin (/ — r) = sin i cos r — cos i sin r =
. . Vn2—sin2/sin / sin i /A
=sint--V 1—sin2/( У n2—sin2z—у 1—sin2z)
Теперь нетрудно получить
Смещение луча после прохождения плоскопараллельной пластинки зависит от ее толщины dt показателя преломления вещества пластинки п и угла падения луча I.
Вспоминая о явлении дисперсии показателя преломления (см. п. 30.4), мы должны подчеркнуть, что, поскольку частоты волн светового излучения различив^ показатели преломления одного и того же вещества
пластинки будут разными для этих волн. Следовательно, разложение белого света в спектр возможно и в плоскопараллельной пластинке.
Задача Используя табличные значения показателей преломления одного из сортов стекла (тяжелый флинт) для красного и фиолетового света, /гк= 1,643 и п^= 1,685, определить длины волн Хк и ^ в стекле, если соответствующие длины волн в воздухе равны Хк=6,708* 10”6 см и Хф=4,047- 10“б см. Какую толщину d должна иметь плоскопараллельная пластинка из тяжелого флинта, чтобы тонкий плоский пучок белого света, падающего на нее в воздухе под углом /=л/6 рад, дал на диффузно отражающем экране, поставленном за пластинкой перпендикулярно к выходящему световому пучку, спектральную картину шириной а= = 1,00 см (расстояние между красным и фиолетовым краями радужной полоски равно 1,00- см)?
Из определения длины волны (см. формулу (29 1)) следует, что она пропорциональна скорости волны в данной среде. Заданные по условию задачи показатели преломления п^ и пк равны отношению скоростей соответствующих волн в воздухе и в данном сорте стекла. Очевидно, выражения для длин волн в стекле будут иметь вид
откуда
АкАк6,708-10-51,6436,708-10-51,6434,083-10-5 см,4,083-10-5 см,, _ 4,047.10-5Лф~ 1,685, _ 4,047.10-5Лф~ 1,685«2,402-10-5 см.«2,402-10-5 см.
Ак
Ак
6,708-10-5
1,643
6,708-10-5
1,643
4,083-10-5 см,
4,083-10-5 см,
, _ 4,047.10-5
Лф~ 1,685
, _ 4,047.10-5
Лф~ 1,685
«2,402-10-5 см.
«2,402-10-5 см.
Обратим внимание на то, что длина волны А* красного света в стекле очень близка к длине волны Аф фиолетового света в воздухе. Но это вовсе не означает, что фиолетовый свет, войдя в стекло, Ьганет красным! СвойствЛиИзлучений, и в частности цветность видимых излучений, зависят от частоты соответствующих им электромагнитных колебаний, а длины волн зависят от среды.
Поскольку показатели преломления тяжелого флинта для красного и фиолетового света неодинаковы, в согласии с ответом предыдущей задачи неодинаковыми будут и смещения /ф и 1К лучей на выходе из пластинки. Очевидно, разница этих смещений и определяет ширину а спектральной картины на экране:
° — ^Ф ^к —
1 — sin21 \Пф— sin2//1 — sin21 \Пф— sin2//— d sin i— d sin i1 — sin21 n^— sin2/1 — sin21 n^— sin2/= d sin l у'! —sin21= d sin l у'! —sin211V Пф — sin2 /1V Пф — sin2 /
1 — sin21 \
Пф— sin2//
1 — sin21 \
Пф— sin2//
— d sin i
— d sin i
1 — sin21 n^— sin2/
1 — sin21 n^— sin2/
= d sin l у'! —sin21
= d sin l у'! —sin21
1
V Пф — sin2 /
1
V Пф — sin2 /
откуда пол учаем расчетную формулу для толщины пластинки d;
а V*(пк —sin2 /) (/?ф—sin2 /) sin iУТ^Ю(К4.sin2i=Vi&-sin20 '
Размерность величины d совпадает с размерностью а, так как остальные сомножители этого выражения безразмерны Подстановка значений приводит к результату d^!38 см.
Следует обратить внимание на встречающуюся ошибку, иногда считают, что плоскопараллельная пластинка не дает спектрального разложения белого света. ,
В составе белого {или немонохроматического) света присутствует целый набор частот электромагнитных колебаний, для которых показатели преломления вещества данной пластинки будут различными. Поэтому при прохождении света через плоскопараллельную прозрачную пластинку точно так же, как и при переходе света через одну границу раздела сред, разложение в спектр происходить будет.
Другое дело, удастся ли наблюдать спектральную картину глазом. Если пластинка строго плоскопараллельна и наблюдение ведется в про
пучкапучкаходящем свете, то лучи различной окраски, сместившиеся после выхода из пластинки на различные расстояния / от направления падающего луча, будут приходить в глаз наблюдателя параллельно друг другу. На сетчатке глаза такой пучок будет фокусироваться в одну белую, неокрашенную точку, и, таким образом, цветную картину наблюдать не удастся.
пучка
пучка
Если же, как было предложено в условиях только что разобранной задачи, на пути вышедшего из плоскопараллельной пластинки
света поставить диффузно отражающий экран, то на нем глаз наблюдателя увидит спектральную картину, ибо от ее различно окрашенных участков идут расходящиеся пучки света, которые будут фокусироваться в различных точках сетчатки глаза. Как следует из нашего расчета, эффект будет заметным при значительной толщине пластинки
Задача. Найти угол отклонения 6 луча, преломленного в трехгранной призме, от первоначального направления, считая преломляющий угол призмы а (угол между преломляющими гранями) и угол падения I луча на ее грань малыми. (На рис. 35.15 углы i и а показаны большими только для удобства построений.) Призма находится в воздухе и изготовлена из прозрачного вещества с показателем преломления п.
Воспользуемся известным положением о том, что сумма внутренних углов четырехугольника равна 2л рад. Тогда для четырехугольника AECD имеем,4
(л — 6) 4™ I 4~ {л — р) 4* i^ = 2л,
откуда 'откуда 'д=(4~^1— Р»д=(4~^1— Р»(а)(а)
откуда '
откуда '
д=(4~^1— Р»
д=(4~^1— Р»
(а)
(а)
В четырехугольнике ABCD углы BAD и BCD прямые (по л/2 рад), т. е
«+^+(л-Р)+у=2л,
(б)
501
На основании закона преломления для точек Л и С можем записать
sin isin ri1
'—— — nt ————,
sinrsin^n
откуда
sin i—n sin r, sin ^—n sin i\(в)
Угол p является внешним углом треугольника ACD, поэтому Р=гН-гх6 или, с учетом равенства (б),'
а=г+гР(г)
Поскольку угол падения I луча на призму мал по условию задачи, малым будет и угол г на основании первого из уравнений (в) Кроме того, по условию мал и преломляющий угол а, тогда на основании (г) малым будет угол г^ас учетом второго из уравнений (в) заключаем, что угол it тоже будет малым После этого уравнения (в) можно заменить приближенными, но более простыми:
i=nr, i^nrp(д)
Выражение (а) для интересующего нас угла отклонения 6 с учетом выражений (б) и (д) принимает вид
6=nr+nri— а=п (г+н)—а
Учитывая равенство (г), окончательно получаем
6=па — а=а (и—1),(35.7)
т е. угол 6 отклонения луча призмой зависит от ее преломляющего угла а и показателя преломления п вещества, из которого она изготовлена. Не забудем, что соотношение (35.7) справедливо лишь при условии малости углов I и а Если это условие не выполняется, угол отклонения луча призмой в самом общем случае можно найти, решив систему уравнений (а) — (г).
Понятно, что призма не только изменяет направление хода световых лучей, но и может разлагать их в спектр, если частоты электромагнитных колебаний, соответствующих этим лучам, различны. При этом вновь сказывается различие показателей преломления одного и того же вещества для света различной цветности (различных частот).
Если призма изготовлена из тяжелого флинта (см. предыдущую задачу), имеет преломляющий угол а—5,00° и находится в воздухе, то углы отклонения красных и фиолетовых лучей от первоначального направления распространения белого луча, падающего на призму под малым углом, составят ,
6К = 5,00 (1,643-1) «3,22°, 6ф = 5,00 (1,685 — 1) «3,43°.
При этом угол между красными и фиолетовыми лучами, вышедшими из призмы, составит около 13', так что на экране, поставленном за призмой перпендикулярно к биссектрисе угла, в пределах которого распространяется вышедший пучок, скажем, на расстоянии I—2,0 м от призмы, бу* дет получена спектральная картина шириной а, равной_
0 = /tg (6ф — 6к) =2,0 tg 13'« 0,0071 м = 7,1 мм.
Получение изображений с помощью линз .
Элементами многих оптических устройств являются линзы — прозрачные тела, ограниченные криволинейными преломляющими поверхностями. В общем случае форма этих поверхностей может быть различной (цилиндрической, сферической, параболоидной и т. д.)\ но мы для простоты рассматриваем лишь тонкие линзы с двумя сферическими
Рис. 35.16
преломляющими поверхностями (двояковыпуклая, двояковогнутая, вогнуто-выпуклая линзы) или с одной сферической и одной плоской поверхностями (плоско-выпуклая и плоско-вогнутая линзы).
При анализе хода лучей в линзе сечение последней можно представить как совокупность сечений нескольких призм с различными преломляющими углами/На рис. 35.16 представлены сечения двояковыпуклой и двояковогнутой линз. Gi и С2 — геометрические центры преломляющих сферических поверхностей радиусов Rx и R^. В элементарном курсе физики рассматриваются только тонкие линзы; у них расстояния между вершинами Ох и О2 сферических сегментов малы по сравнению с радиусами сферических поверхностей /?1 и R2. При этом можно считать, что точки 0х и О2 практически совпадают и находятся в точке О, которая называется оптическим центром линзы. От оптического центра отсчитываются все расстояния в задачах о получении изображений различных предметов с помощью линз.
Любая прямая линия, проходящая через оптический центр линзы, называется оптической осью линзы. Ось, на которой ле^ат центры преломляющих поверхностей, носит
название главной оптической оси (в отличие от прочих, которые называют побочными оптическими осями).
Точка на главной оптической оси, где пересекаются преломленные линзой лучи (или их продолжения), которые перед падением на линзу шли пучком, параллельным ее главной оптической оси, называется главным фокусом линзы ... х д(F), а расстояние от фокуса до
lX оптического центра линзы — /'- фокусным расстоянием У).
Любая линза имеет два главных фокуса, так как она может преломлять световые пучки, падающие на нее с обеих сторон. Фокус линзы, лежащий со стороны падающего на нее света, мы будем называть передним фокусом, а фокус, лежащий за линзой,— задним фокусом.
Если в фокусе пересекаются лучи, вышедшие из линзы,
то такой фокус мы будем называть действительным, а линзу — собирающей', если же в фокусе пересекаются мысленные продолжения преломленных лучей, то фокус — мнимый, а линза — рассеивающая (рис. 35.17). Плоскость, перпендикулярную к главной оптической оси линзы и проходящую через фокус, называют фокальной плоскостью. Фокальных плоскостей у линзы две — передняя фокальная плоскость и задняя фокальная плоскость.
Если через П обозначить расстояние от светящейся точки до линзы (до ее оптического центра), а через И — расстояние от линзы до изображения этой точки, то связь этих расстояний с фокусным расстоянием линзы / можно записать в виде формулы
(35.8)(35.8)±+±=1
(35.8)
(35.8)
П^ И f ’
которая по форме совпадает с формулой сферического зеркала (35.3) и называется формулой тонкой линзы. Вывода этой формулы мы не приводим.
Договоримся о знаках входящих в формулу (35.8) величин. Расстояние П от линзы до предмета будем считать величиной положительной (/7>0), фокусное расстояние соби- 504
рающей линзы — величиной положительной (/>0), а фокусное расстояние рассеивающей линзы — величиной отрицательной (f<0). Если в результате расчета по формуле (35.8) расстояние И от линзы до изображения получаегся положительным (//>0), это указывает на то, что изображение действительное и находится по другую сторону от линзы, нежели предмет; если же расстояние И отрицательно (/7<0), то изображение мнимое и находится с той же стороны от линзы, что и предмет. При такой договоренности формула линзы позволяет не только быстро находить одну из трех входящих в нее величин по заданным двум другим, но и оценивать характер изображения.
Некоторое изменение в это правило знаков приходится вносить в случаях, когда на собирающую или рассеивающую линзу падает сходящийся световой пучок. При этом расстояние П считается отрицательным (/7<0) и измеряется от оптического центра линзы до плоскости, проведенной перпендикулярно к главной оптической оси через точку пересечения продолжений падающих на линзу сходящихся лучей.
Подчеркнем, что формула (35.8) справедлива только для тонкой линзы, на которую падает узкий пучок лучей, составляющих с оптической осью линзы малые углы (параксиальный пучок), когда точки падения лучей находятся на малых расстояниях от оптического центра линзы.
Для построения изображения какой-нибудь точки предмета достаточно проследить ход любых двух лучей до попадания на линзу и после преломления в ней, а изображение протяженного предмета можно найти как совокупность изображений отдельных его точек.
Очень удобными, основными лучами, используемыми при построении изображений в линзах, являются следующие (рис. 35.18, а и б).
Луч 1 падает на линзу параллельно главной оптической оси.'После собирающей линзы такой луч проходит через ее задний фокус, после же рассеивающей линзы луч идет так, что его продолжение проходит через передний фокус линзы.
Луч 2 является в какой-то степени обратным лучу /. Перед падением на собирающую линзу луч проходит через ее передний фокус, а после преломления в линзе распространяется параллельно ее главной оптической оси. Перед падением аналогичного луча на рассеивающую линзу его продолжение проходит через задний фокус линзы, а преломленный луч параллелен главной оптической оси.
Луч 3 и перед падением на собирающую линзу, и после преломления в ней проходит через точки С на главной оптической оси, находящиеся от оптического центра линзы на расстояниях, в два раза больших фокусного расстояния
линзы. Иногда расстояние ОС называют двойным фокусным расстоянием. Ход аналогичного луча через рассеивающую линзу ясен из рисунка (через точки С проходят продолжение луча до падения на линзу и продолжение луча после преломления).
Луч 4 проходит через оптический центр линзы и не испытывает отклонения. Участки обеих преломляющих поверхностей для таких лучей могут считаться параллельными и находящимися на малом расстоянии один от другого, так как линза тонкая. Луч как бы проходит сквозь тонкую плоскопараллельную пластинку.
Обратите внимание, что в ходе одинаково пронумерованных нами четырех основных лучей, используемых при построении изображений в линзах и в сферических зеркалах, усматривается аналогия (сравните рис. 35.18 и рис. 35.4).
Кроме того, при построении изображений в тонких линзах часто используются лучи, параллельные какой-либо по-
бочной оптической оси. Так, луч /, параллельный побочной оптической оси (У (У собирающей линзы (рис. 35.19, а), пересекает заднюю фокальную плоскость ММ в той же
точке ^, что и побочная ось 0'0'. Любой другой луч, параллельный оси 0'0', будет также пересекать заднюю фокальную плоскость в точке К. Луч II (рис. 35.19, б), идущий перед падением на рассеивающую линзу параллельно ее побочной оси 0x0i, после преломления идет таким образом, что его продолжение пересекает переднюю фокальную плоскость NN в точке Р, в которой эту плоскость пересекает и побочная оптическая ось OXOV Любой другой луч, перед падением на линзу параллельный оси 0x0^ за линзой будет распространяться, как бы исходя из точки Р.
Задача. Определить местонахождение, характер, ориентацию и размеры изображения предмета, которое получается с помощью собирающей линзы с фокусным расстоянием Д в следующих случаях: 1) П1=со;
Рис. 35.20.
2) n2=2f] 3) oo>n3>2f; 4) R^=h 5) 2f>n5>f. 6) ГЦ<Ь Оценить, в пределах каких телесных углов изображение можно наблюдать глазом (углы наблюдения)
Случай 1 (рис. 35.20). На основании формулы (35.8) имеем Иг=^ т. е. изображение находится в задней фокальной плоскости линзы. Изо-
бражение действительное, обратное и точечное. Угол наблюдения (на рис. 35 20 сечение этого угла плоскостью рисунка отштриховано) определяется ходом крайних лучей падающего на линзу пучка, если этот пучок узок, или ходом лучей, прошедших через края линзы (на рис 35 20 эти лучи показаны пунктирными линиями), если пучок широкий (например, диаметр цилиндрического пучка много больше диаметра линзы).
Случай 2 (рис. 35.21). Для простоты будем рассматривать линейный предмет ЛВ, расположенный перпендикулярно к главной оптической оси линзы, точка В которого находится на главной оптической оси.
Рис. 35.21.Рис. 35.21.
Рис. 35.21.
Рис. 35.21.
Тогда изображение В' этой точки также будет находиться на главной оптической оси.
По формуле (35 8) находим, что И^=2^ т. е. изображение действительное и располагается симметрично предмету относительно центра линзы. По построению видно, что изображение обратное, а его размеры равны размерам предмета. Угол наблюдения ограничен лучами, прохо.- дящими через края линзы от крайних точек предмета. Изображение бу
дет видно целиком только из точек$ лежащих в пределах пространственного угла <р, построение которого ясно из рисунка.
Случай 3 является промежуточным между случаями 1 и 2. По формуле линзы находим, что 2f> Hz>f\ поскольку Я3>0, то изображение действительное.
Можно заключить, что при перемещении предмета из бесконечности до двойного фокусного расстояния от линзы его действительное и обратное -изображение перемещается из задней фокальной плоскости до
положения, удаленного от линзы на двойное фокусное расстояние. Изображение уменьшенное для всех промежуточных положений, кроме случая /7=2/, когда И=2{ и изображение по размерам равно предмету.
Случай 4 является обратным первому случаю. При этом Я4=оо, изображение находится в бесконечности, т. е. лучи от каждой точки
предмета после преломления в линзе идут цилиндрическими пучками. На рис. 35.22 показаны сечения двух таких пучков от крайних точек предмета. -
Случай 5 (рис. 35.23) является обратным третьему. При этом оо>
>Я5>2Д изображение действительное, обратное и увеличенное. При
Рис. 35.23.
перемещении предмета из положения, находящегося на двойном фокусном расстоянии от линзы, в ее фокус расстояние между изображением и линзой увеличивается от двойного фокусного до бесконечности.
Для третьего и пятого случаев найти совокупность точек в пределах углов наблюдения, из которых изображение предмета будет видно целиком, можно таким же путем8 как это было сделано во втором случае.
Рис. 35 24.
Случай 6 (рис. 35.24) — единственный, когда увеличенное изображение, полученное с помощью собирающей линзы, оказывается мнимым (Я6<0) и прямым. Изображение видно целиком в пределах всего угла наблюдения.
На рис. 35.25 приведен пример построения изображения, получаемого с помощью рассеивающей линзы. Независимо от положения предмета изображение всегда - мнимое (ЖО), прямое и уменьшенное, видимое целиком в пределах всего угла наблюдения.
Действительное изображение можно получить с помощью рассеивающей линзы, если на нее будет падать сходящийся световой пучок, причем точка пересечения продолжений
Задача. Определить фокусное расстояние объектива фотоаппарата, если при фотографировании какого-то предмета с расстояния 771=5,0 м изображение на пленке получиЗадача. Определить фокусное расстояние объектива фотоаппарата, если при фотографировании какого-то предмета с расстояния 771=5,0 м изображение на пленке получилось размером ^=7,У мм, а с расстояния 772=2,0 м — размером /г2=20,3 мм (рис. 35.26).' Обозначим через И^ и Я2 расстояния от оптического центра объектива до изображения в первом и во втором случаях соответственно, а через Н — размер предмета.Объектив фотоаппарата выполняет функции собирающей линзы, так что при использовании формулы (35.8) его фокусное расстояние / должно считаться положительным Если изображение удалось получить на фотопленке, то оно действите договоренностью величины Иг илось размером ^=7,У мм, а с расстояния 772=2,0 м — размером /г2=20,3 мм (рис. 35.26).' Обозначим через И^ и Я2 расстояния от оптического центра объектива до изображения в первом и во втором случаях соответственно, а через Н — размер предмета.Объектив фотоаппарата выполняет функции собирающей линзы, так что при использовании формулы (35.8) его фокусное расстояние / должно считаться положительным Если изображение удалось получить на фотопленке, то оно действите договоренностью величины Иг ительными.Применим формулу линзы для обоихтельными.Применим формулу линзы для обоихРис 35 26.ное, так что в согласии с принятой 2 также должны считаться положиРис 35 26.ное, так что в согласии с принятой 2 также должны считаться положирассматриваемых случаев:рассматриваемых случаев:
Задача. Определить фокусное расстояние объектива фотоаппарата, если при фотографировании какого-то предмета с расстояния 771=5,0 м изображение на пленке получи
Задача. Определить фокусное расстояние объектива фотоаппарата, если при фотографировании какого-то предмета с расстояния 771=5,0 м изображение на пленке получи
лось размером ^=7,У мм, а с расстояния 772=2,0 м — размером /г2=20,3 мм (рис. 35.26).
' Обозначим через И^ и Я2 расстояния от оптического центра объектива до изображения в первом и во втором случаях соответственно, а через Н — размер предмета.
Объектив фотоаппарата выполняет функции собирающей линзы, так что при использовании формулы (35.8) его фокусное расстояние / должно считаться положительным Если изображение удалось получить на фотопленке, то оно действите договоренностью величины Иг и
лось размером ^=7,У мм, а с расстояния 772=2,0 м — размером /г2=20,3 мм (рис. 35.26).
' Обозначим через И^ и Я2 расстояния от оптического центра объектива до изображения в первом и во втором случаях соответственно, а через Н — размер предмета.
Объектив фотоаппарата выполняет функции собирающей линзы, так что при использовании формулы (35.8) его фокусное расстояние / должно считаться положительным Если изображение удалось получить на фотопленке, то оно действите договоренностью величины Иг и
тельными.
Применим формулу линзы для обоих
тельными.
Применим формулу линзы для обоих
Рис 35 26.
ное, так что в согласии с принятой 2 также должны считаться положи
Рис 35 26.
ное, так что в согласии с принятой 2 также должны считаться положи
рассматриваемых случаев:
рассматриваемых случаев:
лучей этого пучка за линзу находится от плоскости, перпендикулярной к главной оптической оси и проведенной через центр линзы (такая плоскость называется главной
плоскостью линзы^ на расстоянии, меньшем фокусного расстояния линзы.
Обращаем внимание на то, что на рис. 35.25 луч АЕ, параллельный главной оптической оси линзы, проведен до точки встречи не с линзой, а с главной плоскостью. Такой луч от точки А предмета, конечна не попадет в линзу, но для
построения изображений такой прием можно использовать и в случае рассеивающих, и в случае собирающих линз, когда размеры пред
мета превышают диаметр линзы.
'f > пЛи»~Гw
Из подобных треугольников АВО и А'В'О, АВО' и А"В"О’ находим отношения сходственных катетов:
н nv н п2'w
В системе уравнений (а), (б) величина / искомая, величины П^ Лк hi и Нг заданные, а величйны Н, Hi и Я2 неизвестные, т. е. общее число неизвестных равно числу уравнений системы, и ее решение позволяет найти, вообще говоря, все неизвестные.
Для определения величины / мы поступим следующим образом. Выразим величины Их и Я2 из уравнений (б) и найдем их отношение (это позволит исключить из уравнений неизвестную величину Н).
Теперь выразим величины Ях и Иг из уравнений (а) и также найдем их отношение:
Приравнивая отношения И^Иг из уравнений (в) и (г), получаем
hj__n^-th^ Гк-Г
откуда окончательнооткуда окончательноА2772^П JИ2 —HiА2772^П JИ2 —Hi
откуда окончательно
откуда окончательно
А2772^П J
И2 —Hi
А2772^П J
И2 —Hi
Подставляя значения величин в сантиметрах, находим
Назначение простейших оптическихсистем и приборов
Оптические системы, представляющие собой совокупность нескольких призм или линз, нескольких зеркал или одновременно линз, призм и зеркал, предназначены для преобразования световых пучков. С их помощью могут изменяться направление хода световых лучей или телесные углы, в пределах которых распространяются световые пучки. Последнее обстоятельство связано с получением изображений, размеры которых отличаются от размеров предметов.
Мы кратко рассмотрим лишь некоторые линзовые оптические системы.
Первое, на что нужно обращать внимание при анализе действия оптической системы,— это ее назначение и реальные условия ее работы. Где может располагаться предмет перед системой? Какое изображение (увеличенное или уменьшенное, прямое или обратное) должна давать система? С помощью чего регистрируется полученное изображение
(на экране или фотопластинке, невооруженным глазом или рассматривается глазом через какую-нибудь линзовую систему)? При этом мы, конечно, должны помнить об общих принципах построения изображений, получаемых с помощью линз, и о характере изображений в различных случаях.
Объектив фотоаппарата предназначен для получения уменьшенных изображений предметов (в более редких случаях — для получения увеличенных изображений) на фотоэмульсии. Поэтому изображение должно быть действительным. Ориентация изображения роли не играет, так как при рассматривании обработанного негатива последний можно повернуть как угодно, но технически проще'получать изображение на пленке обратным. При этом не приходится усложнять оптическую систему фотоаппарата дополнительными устройствами. Значит, объектив фотоаппарата должен выполнять функции собирающей линзы, дающей действительное изображение. Поэтому предмет должен находиться от объектива на расстоянии, большем его фокусного расстояния. Если расстояние до предмета больше двойного фокусного расстояния объектива, то изображение уменьшенное (см. случай 3 в задаче на стр. 508). Если предмет находится на двойном фокусном расстоянии (см. случай 2 в задаче на стр. 508), то изображение по размерам равно предмету. Увеличенное изображение может быть получено, если предмет находится от объектива на расстоянии 77, удовлетворяющем условию 2/>77>f (см. случай 5 в задаче на стр. 509).
Объектив проекционного аппарата также должен играть роль собирающей линзы, так как его назначение — дать действительное изображение предмета на экране. Обычно изображение получается увеличенным. Для этого предмет располагается перед передней фокальной плоскостью объектива (но на расстоянии, меньшем двойного фокусного), а изображение получается на расстоянии, большем двойного фокусного (см. случай 5 в задаче на стр. 509).
Лупа — простейшая оптическая система, предназначенная для получения прямого увеличенного изображения предмета, которое рассматривается глазом. Для этих целей может подойти только собирающая линза, которая дает увеличенное, прямое, но мнимое изображение при расположении предмета между передней фокальной плоскостью и самой линзой (см. случай 6 в задаче на стр. 509).
Микроскоп предназначен для получения сильно увеличенных изображений близких предметов. Объективом мак-* 512
роскопа служит короткофокусная собирающая линза, дающая действительное, увеличенное и обратное промежуточное изображение предмета. Для этого предмет располагается чуть дальше передней фокальной плоскости объектива (см. случай 5 в задаче на стр. 509). Если микроскоп используется для визуального наблюдения, то промежуточное изображение рассматривается через окуляр, представляющий собой собирающую линзу, дающую увеличенное мнимое окончательное изображение. Для этого промежуточное изображение должно находиться между передней фокальной плоскостью и оптическим дентром окуляра (см. случай 6 в задаче на стр. 509).
Телескоп (например, зрительная труба Кеплера) служит для получения увеличенного изображения удаленных от наблюдателя предметов. Объектив телескопа — собирающая линза, дающая промежуточное, действительное, уменьшенное и обратное изображение предмета вблизи задней фокальной плоскости, которое рассматривается через окуляр — обычную собирающую линзу. Чтобы глаз наблюдателя меньше напрягался, переднюю фокальную плоскость окуляра совмещают с промежуточным изображением, тогда вышедшие из окуляра лучи будут параллельными друг другу. При этом мышцам глаза не/ приходится производить дополнительную фокусировку (аккомодацию) хрусталика и условия наблюдения оказываются наиболее выгодными.
Заметим, что глаз человека является оптической системой, подобной фотоаппарату, но только с переменным фокусным расстоянием «объектива».
В качестве примеров приведем простейшие расчеты оптических систем.
Задача. Оптическая система состоит из двух собирающих линз с фокусными расстояниями ^=10,0 см и 4=5,0 см, находящихся-на расстоянии Z=35,0 см одна от другой Предмет находится на расстоянии 771=25,0 см перед первой линзой Определить местоположение, характер, ориентацию и относительный размер изображения, полученного с помощью такой системы. *
На рис. 35 27 Л^х — промежуточное изображение предмета АВ, а А'В'—окончательное изображение. Размеры предмета, промежуточного и окончательного изображений обозначены соответственно через Н, hi и h. Остальные обозначения дополнительных пояснений не требуют. z
Из анализа условий задачи следует, что поскольку Пх>2^г, то Их> >к» но Я1<2/1. Далее, так как Z> (24+24), то n2>2f2 и U<H2<2fy т. е. действительное (4>0 и И2>0) изображение предмета будет находиться дальше задней фокальной плоскости второй линзы. Из построения следует, что изображение А'В' будет прямым.
51351317 Ю. А Селезне
513
513
Величину И2 и отношение величин ЫН легко найдем, используя формулу линзы и условия задачи. По формуле (35.8) для первой и второй линз имеемВеличину И2 и отношение величин ЫН легко найдем, используя формулу линзы и условия задачи. По формуле (35.8) для первой и второй линз имеемИхИх№.Пг-Г/№.Пг-Г/иа=иа=П» /2П» /2
Величину И2 и отношение величин ЫН легко найдем, используя формулу линзы и условия задачи. По формуле (35.8) для первой и второй линз имеем
Величину И2 и отношение величин ЫН легко найдем, используя формулу линзы и условия задачи. По формуле (35.8) для первой и второй линз имеем
Их
Их
№.
Пг-Г/
№.
Пг-Г/
иа=
иа=
П» /2
П» /2
Если, кроме того, учесть, что П2—1—И., то на основании этих выражений можно получить
2~n.i - if.- f.n. - f2n.+f.f2 $2~n.i - if.- f.n. - f2n.+f.f2 $
2~n.i - if.- f.n. - f2n.+f.f2 $
2~n.i - if.- f.n. - f2n.+f.f2 $
Из подобия треугольников А'В'О2 и А.В.О21 А^.О. и АВО. имеем
Ы~П2>Н~П.'
Перемножая почленно эти выражения, получаем
Н И.И2hfj2
Н-П^г откуда Н-ф^кНП^-^У
и с учетом выражений для П2 и И. окончательно получаем /1/2
H-n.i-if.-f.n.-un.+ku *
Подставив значения заданных величин, находим, что
h/H % 0,25,
т. е. изображение примерно в четыре раза меньше предмета.
Задача. В зрительную трубу с фокусным расстоянием объектива /=50,0 см наблюдатель сперва рассматривает очень далекий предмет (Z71=oo), а затем направляет трубу на предмет, находящийся от него на расстоянии 25,0 м (/72=25,0 м). Насколько при этом должен быть перемещен окуляр трубы?
Условия наблюдения в обоих случаях будут наилучшими, если из ойуЛЯра выходит пучок параллельных лучей. Для этого изображение, которое дает объектив, должно находиться в передней фокально?! плоскости окуляра (рис. 35 28). В первом случае изображение получается в
задней фокальной плоскости объектива №=/), а во втором — на расстоянии И^ большем фокусного расстояния объектива (Я2>/) на величину х. Чтобы в глаз наблюдателя и во втором случае попадал пучок параллельных лучей, окуляр также должен быть смещен на расстояние X. Ясно, что
а использование формулы линзы для второго случая дает
На основании этих выражений получаем
n.-f т—пг—р
откуда после подстановки значений величин в сантиметрах находим
. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВОЛНОВОЙИ КВАНТОВОЙ оптики
Анализ электромагнитных излучений
-атомов и молекул по спектрам
Как уже отмечалось (см. п. 32.2), каждой разновидности атомов свойственны вполне определенные энергетические уровни, переходы между которыми связаны с возбуждением атомов вещества при подводе энергии извне или с излуче- <7*515
нием электромагнитных волн определенной частоты при переходе атомов из возбужденного состояния в стационарное.
Набор дозволенных энергетических уровней широк даже для простейшего атома — атома водорода, а для более сложных атомов и тем более молекул он еще богаче; электромагнитные излучения веществ, состоящих из таких частиц, содержат сложные наборы (спектры) различных частот.
Какие частоты присутствуют в излучении определенного вещества, можно определить, например, по эффекту прохождения этого излучения через какое-либо прозрачное вещество, в результате чего излучение будет разделено, разложено в спектр по частотам.
Для анализа частот излучений в видимой области может служить стеклянная трехгранная призма (см. задачу на стр. 501—502), показатели преломления вещества которой различны для волн различной частоты. Это приводит к получению за призмой спектральной картины, так как волны с различной частотой отклоняются призмой неодинаково, под .разными углами к направлению сложной волны, падающей на призму.,
Заметим, что чем меньше длина волны (чем больше частота), тем сильнее такая волна отклоняется призмой (сравните углы отклонения фиолетовых и красных лучей в задаче на стр. 502). Дело в том, что показатели преломления стекла (и других веществ) для фиолетовых лучей больще. чем для красных.•
(Физике известны и такие аномальные случаи, когда какое-то вещество на большие углы отклоняет более длинные волны, но в элементарном курсе такие явления не рассматриваются.)
Таким образом, призма позволяет расчленить сложную электромагнитную волну, излученную каким-либо веществом, на составные части, получить на экране спектральную картину, различные участки которой будут соответствовать различным частотам электромагнитных колебаний, т. е. переходам электронов между различными энергетическими уровнями излучающего вещества.
Полный спектр излучения зависит, конечно, не только от химического состава вещества, но и от способа его возбуждения и может содержать компоненты не только в видимой, но и в инфракрасной, ультрафиолетовой и других областях 516
Поскольку различным веществам присущи вполне определенные спектры, соответствующие переходам между возможными энергетическими уровнями, спектральные исследования состава и строения вещества принадлежат к числу точнейших и чувствительнейших методов современной физики и техники.
Вещества в газообразном (парообразном) состоянии при невысоком давлении дают спектры, состоящие из отдельных четких линий (линейчатые спектры) или отдельных достаточно широких полос (полосатые спектры).
Линейчатый спектр свидетельствует об энергетических уровнях электронов отдельных, не взаимодействующих друг с другом атомов. Скажем, имеется разнеженный газ, состоящий из одинаковых атомов, находящихся на значительных расстояниях друг от друга. Если атомы такого газа каким-либо способом возбудить, их излучения будут, так сказать, независимыми, и, поскольку атомы одинаковы (имеют одинаковые наборы энергетических уровней электронов) и находятся в одинаковых условиях, эти излучения будут совершенно одинаковыми: каждый атом будет давать точно такую же спектральную картину, как и любой его сосед.
Если вещество и в газообразном состоянии имеет молекулярную структуру, состоит из коллективов взаимодействующих атомов, то набор энергетических уровней такого вещества усложняется (он не является простой суммой наборов энергетических уровней электронов отдельных атомов, из которых состоит молекула). Это приводит к усложнению спектральной картины: спектры молекул — это спектры полосатые, являющиеся чрезвычайно сложной совокупностью линейчатых спектров.
Молекулярные спектры отражают не только переходы электронов с одних энергетических уровней на другие внутри атомов, но и вращательное и колебательное движение частиц вещества (вращательное движение молекул или групп атомов, колебательное движение атомов внутри молекул и т. д.).
Вещества в твердом и жидком состояниях и в газообраз-* ном состоянии при высоком давлении дают непрерывный сплошной спектр. Это является результатом еще большего усложнения системы энергетических уровней вещества, так как в этих состояниях взаимодействуют; не только атомы внутри «своих» молекул, но и все молекулы вещества, атомы соседних молекул и т. д.
Интерференция и дифракция света
Интерференция. Если в одной и той же области пространства распространяются волны от нескольких источников, то каждая из них распространяется независимо от других и ни о каком взаимодействии нескольких волн не может быть речи (кроме случаев, когда интенсивности волн весьма значительны). Но с наложением волн или со сложением колебаний считаться приходится. Амплитуда результирующей волны в области наложения нескольких волн в общем случае зависит от направления колебаний в этих волнах, от их амплитуд и фаз.
Особый интерес представляет явление интерференции, при котором в результате наложения волн в одних точках пространства происходит увеличение, а в других — уменьшение амплитуды результирующей волны.
Пригодная для визуального наблюдения (или для регистрации фотоэмульсией) не изменяющаяся с течением времени, устойчивая картина интерференции света получается при наложении волн, испускаемых источниками с одина- вовыми периодами (или частотами) колебаний Если, кроме того, в произвольную точку пространства колебания от этих источников приходят в одинаковых фазах (скажем, одновременно приходят «гребни» двух волн) или с какой-то постоянной разностью фаз, не изменяющейся с течением времени, то их сложение может привести не только к более интенсивному колебанию (амплитуда суммарного колебания, например, будет равна сумме амплитуд составляющих колебаний), но и к ослаблению или полному уничтожению колебаний (последнее — в случае сложения противофазных колебаний с одинаковыми амплитудами). '
Волны (или колебания, или источники, испускающие такие волны), обладающие указанными свойствами, называются когерентными.
Заметим, что интерферировать могут не только электромагнитные, но и упругие волны (кйк поперечные, так и продольные).
Поскольку любой источник света является совокупностью очень многих микроскопических излучателей (отдельных атомов, молекул или их групп), волны от двух даже совершенно одинаковых источников (например, от двух одинаковых электрических лампочек) не удовлетворяют условию когерентности (невозможно выделить излучения, скажем, от двух атомов, разность фаз колебаний которых не 518 -
изменяется с течением времени). Поэтому для получения когерентных световых пучков пользуются приемами разделения света, испущенного одним источником При этом излучение каждого атома оказывается разделенным на два или несколько когерентных пучков, которые при наложении интерферируют. Это возможно осуществить, например, с помощью двух плоских зеркал, поставленных под углем друг к другу, так называемых зеркал Френеля (рис. 36 1).
Пусть источник света L с правой стороны закрыт небольшим непрозрачным экраном Э. Пучки света / и //, отраженные от зеркал, как бы исходят из двух источников Lx и L^
Рис. 36.1.Рис. 36.1.
Рис. 36.1.
Рис. 36.1.
являющихся мнимыми изображениями источника L. Эти пучки будут когерентными и могут интерферировать.
Рассмотрим, что будет наблюдаться в какой-то произвольной точке экрана Т (рис. 36.2) при интерференции света от двух когерентных источников Lx и L^ плоскость расположения которых отстоит от плоскости экрана на расстоянии /. Пусть расстояние d между источниками много меньше расстояния / от источников до экрана ^1<^1\ Смысл остальных обозначений ясен из рисунка.
Картина интерференции в точке Т будет зависеть от так называемой оптической разности хода (6) волн, идущих от когерентных источников Lx и L2. Ведь в точке Т происходит сложение колебаний, пришедших от источников Lx и L2, и результат этого сложения зависит от разности фаз колебаний. Предположим для простоты, что колебания в Lt и L2 происходят синхронно (разность фаз равна нулю). При каких условиях суммарное колебание в точке Т будет максимальным? Очевидно, в том случае, если разность фаз слагаемых колебаний будет равна нулю (обе волны прихо-
дят в точку Т своими «выступами» или «впадинами»). При проведении опыта в вакууме фазы колебаний двух волн в точке Т зависят от расстояний, пройденных каждой волной от источника Если расстояния LXT и L^T в любое целое число раз больше длины рассматриваемых волн, то в точке Т колебания будут происходить в одинаковых фазах. То же самое будет наблюдаться, если расстояния LVT и L^T отличаются на четное число полуволн. Ясно, что колебания в точке Т будут противофазными (на «выступ» одной волны накладывается «впадина» другой) и будут «гасить» друг друга, если расстояния LxТ и Ь2Т отличаются на четное число полуволн.
Таким образом, если оптическая разность хода
b=UT—UT^(36.1)
равна четному числу полуволн,
6 = 2^-^-, где А —любое целое число,
то в точке Т будет наблюдаться свет (волны с совпадающими фазами колебаний усиливают друг друга). Если же разность хода 6 равна нечетному числу полуволн,
б = (2/?4-1)у, где к—любое целое число,
то противофазные волны в точке Т экрана будут гасить одна Другую.
Из треугольников L2TB и LtTA найдем
(£2Т)8 = ? + (+4У’ (^^/^(x-iy. (36.2)
Вычитая второе уравнение из первого, получаем (£2Т)2— — (LiT)2=2xd, откуда
L-T-L-T=T^tj-<36-3)
Если рассматриваемая точка Т находится на малом расстоянии х от основания О перпендикуляра ОХО кх<^1\ а
d<^l по условию, то без большой ошибки можно считать, что LJ=l и LxT=l. тогда
UTA-UT^l(36.4)
Из (36.1), (36.3) и (36.4) находим
&=xd!L
В точке Т будет наблюдаться свет, если ее расстояние х от точки О удовлетворяет условию
^т^т*(зб-5)
и темнота, если
(2А+1)| = у.(36.6)
Если источники Li и Л2 испускают свет одной длины волны (монохроматический свет), то уравнение (36 6) будет являться условием полной темноты в соответствующей точке на экране. Если свет источников немонохроматичен, то на экране будет наблюдаться спектральная картина и полностью затемненных мест может не быть.
Заметим, что условие d<^l было выбрано не только из соображений простоты расчетов. Дело в том, что длины волн X видимого излучения имеют очень малые значения. Поэтому для того, чтобы детали картины интерференции на экране были различимы глазом (при этом расстояния х должны быть не меньше нескольких миллиметров), отношение dll должно" быть малым и по порядку должно равняться отношению Мх.
Соотношения (36.5) и (36.6) можно использовать для измерения длин волн %, если экспериментально будут определены величины d. I. к и х.
Дифракция. В однородной среде световые волны распространяются прямолинейно (закон прямолинейного распространения света). Если же на пути световых волн встречается какое-либо препятствие, то может наблюдаться дифракция — явление отклонения волн от прямолинейного распространения. Дифракция — явление, общее для волновых процессов любой природы, но мы рассмотрим только дифракцию световых волн.
Препятствиями, на которых возникает дифракция, могут являться какие-то непрозрачные для данных волн тела или прозрачные участки, отверстия в больших по размерам
и непрозрачных для волн преградах. Если непрозрачное для волн препятствие имеет размеры, меньшие длины набегающей волны, то явление дифракции, заключающееся в огибании препятствия волнами, приводит к тому, что за препятствием волны распространяются так, как если бы этого препятствия не было вовсе. Волны «не замечают» очень малых препятствий, не создают за ними области тени. Дифракция на малом по сравнению с длиной волны отверстии в большом непрозрачном для данных волн экране проявляется в том, что такое отверстие как бы само является источником волн, распространяющихся от него за экраном во все стороны.
- Объяснение дифракционных явлений удается дать на основании принципа Гюйгенса — Френеля; каждая точка фронта волны может приниматься за источник вторичных волн, причем эти вторичные волны когерентны и за препятствием могут интерферировать. (Утверждение о возможности интерференции вторичных волн и является дополнением Френеля к принципу Гюйгенса.) Наложение противофазных вторичных волн приводит к гашению колебаний в области тени, наложение же волн с одинаковыми фазами приводит к наличию колебаний даже в тех точках пространства, которые не лежат на пути распространения первичной волны, падающей на препятствие.
Обратим внимание на то, что явление дифракции принципиально отличается от явления преломления. Отклонение от первоначального направления распространения падающей волны может наблюдаться и в случае преломления, причем преломленная волна распространяется в иной среде, нежели волна падающая. Непременным следствием преломления на границе раздела разнородных сред является изменение длины волны. Явление дифракции в простейших случаях может происходить без изменения скорости волны и без изменения длины волны. Оно, например, может иметь место при распространении волны в о^ной и той же среде, когда волна лишь «задевает» при своем движении границу раздела с иной средой.
Рассмотрим дифракцию плоской немонохроматической световой волны на дифракционной решетке, представляющей собой стеклянную пластинку, на которой очень тонким резцом нанесены близкие параллельные равноотстоящие один от другого штрихи (царапины), практически не пропускающие света. На рис. 36.3 представлено сечение решетки плоскостью рисунка. Ширина просветов решетки обозначена 522
через а. а ширина непрозрачных штрихов — через Ь. Величина d=a+b называется постоянной (или периодом) дифракционной решетки.
Пусть пучок света падает перпендикулярно к плоскости^ решетки. Согласно принципу Гюйгенса любая точка просвета решетки может считаться источником вторичных волн,
Рис. 36.3.
причем точки всех просветов, очевидно, являются когерентными источниками. Рассмотрим волны, идущие вдоль параллельных прямых / и //, исходящих из сходственных точек (например, левых крайних точек просветов) А и Аг под углом ф к направлению распространения света перед решеткой. В точке Т на экране, расположенном в фокальной плоскости собирающей линзы L, волны будут интерферировать, причем результат интерференции будет зависеть от оптической разности хода 6 этих волн (см. стр. 519, 520). Если на длине Л С укладывается целое число полуволн 6 = 2& ~ , где к — любое целое число), то в точке Т будет наблюдаться усиление света (дифракционный максимум).
Из чертежа видно, что 6=d sin ф; тогда условием получения дифракционных максимумов будет
dsin<p = 2Aj = AX.(36.7)
Волны с длиной %! будут давать максимумы при выходе из решетки под углами ф] к направлению падающего света, а волны с длиной Х2 — под углами ф2к причем
Ф^агсзш^, ф2 = arcsin ^. (36.8)
В зависимости от значения числа к говорят о дифракционных максимумах различного порядка: если й=0, то максимум нулевого порядка; если к= 1, то максимум первого порядка, и т. д. Из формул (36.8) видно, что максимумы различных порядков волн разной длины могут перекрываться (т. е. наблюдаться под одними и теми же углами ф). Чем больше .порядок максимума, тем максимум менее интенсивен.
Таким образом, дифракционная картина за решеткой будет представлять собой совокупность чередующихся максимумов волн различной длины, т е. она будет напоминать обычную спектральную картину. Значит, излучение какого- либо источника можно разложить в спектр по частотам (или по длинам волн) не только с помощью призмы, но и с помощью дифракционной решетки.
Заметим, что максимум нулевого порядка отличается от максимумов других порядков. При к=0 (а значит, и при Ф=0) наблюдаются максимумы для любых длин волн, и если падающий на решетку свет был белым, то максимум нулевого Ъорядка не будет иметь цветной окраски в отличие от максимумов других порядков.
Дифракционный спектр отличается от дисперсионного (полученного с помощью призмы) тем, что в первом на большие углы отклоняются волны большей длины (меньшей частоты), а во втором более отклоненными от направления падающего света оказываются волны меньщей длины (большей частоты), так что порядки цветов в этих спектрах будут обратными.
Выражения (36.7), (36.8) позволяют проанализировать явление дифракции на больших препятствиях, размеры которых велики по сравнению с длиной падающей волны. В принципе можно говорить о дифракции видимого излучения (длина волны X порядка 10"6 см) на частоколе (постоянная d такой «дифракционной решетки» будет насчитывать несколько сантиметров), но, чтобы наблюдать дифракционную картину в этом случае, пришлось бы отойти от частокола на очень большое расстояние, так как углы ф, под ко- 524
торыми могут наблюдаться дифракционные максимумы, будут чрезвычайно малыми.
Таким образом, для наблюдения дифракционных эффектов существенное значение имеет не только соотношение между размерами препятствия и длиной волны, но и расстояние от препятствия до места наблюдения дифракционной картины.
Закономерности фотоэлектрического эффекта
В п. 33.1 мы уже упоминали о явлении фотоэффекта. Установленные опытом законы фотоэффекта: 1) число электронов, удаляемых под действием света из вещества в единицу времени, пропорционально световому потоку; 2) максимальная скорость покидающих вещество электронов зависит только от частоты падающего на него света.
Поясним смысл этих утверждений. Электроны внутри любого вещества не являются в полном смысле свободными, ибо они так или иначе взаимодействуют с другими частицами и между собой. Чтобы удалить электрон из вещества, нужно совершить работу против сил притяжения. Эта работа носит название работы выхода электрона (Лвых) из данного вещества. Различные вещества характеризуются различной работой выхода, т. е. для вырывания из этих веществ электронов требуется затрачивать больше или меньше энергии. Такую энергию, в частности, может поставлять падающее на вещество световое излучение. Поэтому понятно, что чем более интенсивный световой поток (энергия в единицу времени) будет падать на вещество, тем большее число электронов при прочих равных условиях он сможет вырвать из вещества. ,
Второй закон фотоэффекта является следствием закона сохранения энергии при взаимодействии фотона с электроном вещества:
^ = ЛвыХ + ^, (36.9)
где Av — энергия светового кванта (фотона), Лвых—работа выхода электрона из данного вещества, т — масса электрона» Умакс— максимальная скорость электрона, с которой он движется, покинув вещество. Из этого уравнения следует, что фотоэффект возможен при условии /г^ЛВЬ1Х. Если же йу<Лвых, то фотон не в состоянии даже вырвать электрон из
вещества, не говоря уже о сообщении электрону какой-либь скорости, и фотоэффект не наблюдается.
Минимальная частота vK (или максимальная длина волны Хк) светового излучения, при которой фотоэффект начинается, носит название красной границы фотоэффекта данного вещества и может быть найдена из уравнения
ЬК=ЛВЫХ.(36.10)
Задача. В следующей таблице приведены значения работы выхода для некоторых веществ*
Вещество
Лвых 1019* Дж 1
1 Вещество
Лвых* 1019»Дж
Цезий
3,02
Серебро
7,56
Натрий
3,98
Вольфрам
7,68
Цинк
5,34
Платина
10,13
Будет ли наблюдаться фотоэффект при воздействии на эти вещества видимым излучением? (Пределы частот видимого излучения 4,00* 1014— —8,00* 10м с-1.) Если фотоэффект имеет место, определить, в каких пределах лежат скорости вылетающих электронов.
Легко находим, что фотоны видимого излучения имеют энергии от 2,65* 10-19 до 5,30-10—i9 Дж. Значит, при освещении цинка, серебра, вольфрама и платины выбивания электронов не произойдет вовсе, так как энергия фотонов недостаточна для совершения работы выхода. В первых двух случаях фотоэффект наблюдается, для цезия он осуществляется фотонами с энергиями от 3,02* 10-19 до 5,30* 10-19 Дж, а для натрия — фотонами с энергиями от 3,98* 10-19 до 5,30* Ю-19 Дж. Минимальные значения скоростей покидающих эти вещества электронов равны нулю, а максимальные значения можно найти на основании уравнения (36.9):
^мако _д . л _ 1 Л2 (Лу — Лвых)
2 —А вых > или Смакс— у ~ •
Подставляя значения величин в СИ, найдем: для цезия
умакс —умакс —7,07.105 м/с;7,07.105 м/с;/2 (5,30-10-19 —3,02.10~19)
умакс —
умакс —
7,07.105 м/с;
7,07.105 м/с;
9,11-10-31
для натриядля натрия^макс —^макс —ЛГ2 (5,30-10-19 —3,98-10-19)У9,11-10-31ЛГ2 (5,30-10-19 —3,98-10-19)У9,11-10-315,39*105 м/с.5,39*105 м/с.
для натрия
для натрия
^макс —
^макс —
ЛГ2 (5,30-10-19 —3,98-10-19)
У9,11-10-31
ЛГ2 (5,30-10-19 —3,98-10-19)
У9,11-10-31
5,39*105 м/с.
5,39*105 м/с.
Таким образом# скорости электронов, покидающих цезий, будут лежать р пределах от нуля до 7,07* 105 м/с, а скорости электронов, выбиваемых из натрия,— в пределах от нуля до 5,39* 106 м/с, причем, поскольку длины волн, соответствующие красным границам фотоэффекта, 526
дея цезия и натрия равны 6,58-10-5 см и 5,00 10~5 см, выход электронов из цезия будет происходить под воздействием излучений почти всей видимой области, а из натрия — только под воздействием излучений голубого, синего и фиолетового цвета.
Итоги рассмотрения оптических явлений
Развитие теории оптических явлений служит чрезвычайно поучительным примером развития физических знаний, сопровождавшегося крутой ломкой устаревших взглядов. От световых корпускул, наделенных лишь свойствами частиц, через теории продольных и поперечных волн к теории квантов — таков путь развития оптических представлений. Современная теория оптических явлений отражает двойственный характер свойств электромагнитного поля и хорошо согласуется со всеми известными опытными фактами. Здесь можно было бы повторить все изложенное ранее об общности свойств волн и частиц, обнаруживающейся в различных оптических явлениях.
В заключение обратим внимание на очень важную особенность фотонов. Фотоны не имеют собственной массы (или так называемой массы покоя) и могут существовать только продвижении со скоростью света в вакууме. Все тела и частицы в природе, кроме фотонов *), от небесных тел до мик- р оскопических элементарных частиц, могут двигаться с любой скоростью от нуля (случай покоя) до скорости света, причем скорость, равная скорости света, является высшим, но принципиально недостижимым для них пределом скоростей. Фотоны же существуют только при движении со скоростью света в вакууме.
ГЛАВА XI
СТРОЕНИЕ АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
37. СТРОЕНИЕ АТОМА
Модель атома достаточно подробно рассмотрена в предыдущей главе на примере атома водорода. Теперь мы напомним о некоторых основных опытных фактах и открытиях, приведших к созданию такой модели.
До конца XIX века науку о строении вещества вполне удовлетворяли представления о неделимых атомах — мельчайших «кирпичиках» мироздания. Атомы могли взаимодействовать между собой, вступать в связи, образуя молекулы, и до поры до времени ничто не говорило о том, что сами атомы являются сложными образованиями.
Наряду с излучением света, которое свидетельствовало о каких-то сложных процессах, происходящих внутри частиц вещества, весточками из глубин атома явились рентгеновское излучение, открытое в 1895 г. В. Рентгеном, и явление радиоактивности, открытое в 1896 г. А. Беккерелем. Оба этих выдающихся открытия свидетельствовали о каких-то процессах, происходящих именно внутри атомов, о сложном строении атомов вещества. В самом деле, как же можно было иначе объяснить тот факт, что соли урана и некоторых других элементов обладают способностью испускать а-, ₽- и у-излучения, которые были открыты в последующие годы? '
На основе опытов В. Крукса, выполненных в 1879 г., стало известно, что при пропускании электрического тока через вакуумную трубку обнаруживаются потоки так называемых катодных лучей, представляющих собой какие-то частицы, летящие от катода трубки к аноду. То, что катодные лучи являются потоками электронов, было доказано опытами Дж. Томсона в 1897 г. (хотя название «электрон» для носителя электрического заряда было предложено 528
шестью годами раньше английским физиком Дж. Стонеем). Дж. Томсоном было установлено, что масса электрона в тысячу с лишним раз меньше массы легчайшего атома — атома водорода. Так науке стала известна первая частица, меньшая атома, первая элементарная частица — электрон. '
Откуда могли взяться электроны в вакуумной трубке Крукса? Выводы, к которым приходили физики, сводились к признанию электронов составными частями атома.
Дж. Томсоном была предложена первая модель атома. Атом представлялся как обладающая положительным электрическим зарядом сфера, в которую вкраплено столько электронов, чтобы атом в целом был электрически нейтральным образованием. Предполагалось, что электроны в модели атома Томсона могут совершать колебания, т. е. двигаться с ускорением.
Это, казалось бы, позволяло объяснить механизм испускания света атомами вещества и у-излучений (электромагнитных волн малой длины) атомами радиоактивных веществ.
Ученик Дж. Томсона Э. Резерфорд воспользовался а- частицами как естественными снарядами для бомбардировки атомов различных веществ. Исследование рассеяния а- частиц на очень тонких металлических фольгах привело Резерфорда в 1911 г. к мысли о ядерной (планетарной) модели атома. Подавляющее большинство а-частиц простреливало фольгу, как бы не встречая на своем пути никаких препятствий, некоторые а-частицы рассеивались за фольгой в стороны, и только очень небольшая доля а-частиц поворачивала от фольги вспять, натолкнувшись на какую-то непреодолимую преграду. Этой преградой для положительно заряженных а-частиц, по мнению Резерфорда, являлась очень малая положительно заряженная частица внутри атома — ядро атома. Ядро по своим размерам примерно в 10 000 раэ меньше самого атома (диаметр ядра порядка 10“12—10"13 см). Положительный заряд ядра компенсируется отрицательными зарядами электронов, которые движутся вокруг него, подобно тому как планеты обращаются вокруг Солнца. Мы уже раньше говорили о том, что покой электронов внутри атома невозможен, так как это привело бы атом к гибели. z
Объяснение закономерностей движения электронов вокруг ядра было предложено в 1913 г. Н. Бором.
§38. СТРОЕНИЕ ЯДРА АТОМА.
ЭНЕРГИЯ ВНУТРИЯДЕРНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
Протонно-нейтронная модель ядра
В результате изучения радиоактивности и на основании опытов Резерфорда было твердо установлено, что ядра атомов являются сложными образованиями. В 1919 г. Э. Резерфорд и П. М. С. Блеккет в результате столкновения а-час- тиц с ядрами атомов азота получили ядра атомов кислорода и водорода. Это была первая в истории физики искусственная ядерная реакция, которая указывала на возможность искусственного превращения элементов. Кроме того, полученные ядра атомов водорода нельзя было представить состоящими из более мелких частей. Так физике стала известна вторая элементарная частица — ядро атома водорода, или протон,— которая могла быть составной частью ядер более тяжелых атомов. Масса протона примерно равна 1,67-10~24 г, а положительный заряд равен абсолютному значению заряда электрона.
В 1898 г. Дж. Томсон обнаружил, что атомы одного и того.же химического элемента могут иметь различные мас' сы. Первые опыты говорили о том, что атомы неона имеют три разновидности по массе — три нерадиоактивных изотопа. Позже наличие изотопов было обнаружено и у других элементов. Что же отличало друг от друга атомы одного и того же химического элемента — с одним и тем же числом протонов в ядрах и с одинаковым числом электронов, обращающихся вокруг ядер?
В связи с этим в 1920 г. Э. Резерфорд высказал предположение, что в ядрах атомов имеются какие-то электрически нейтральные частицы с массой, приблизительно равной массе протона, а в 1932 г. сотрудник Резерфорда Д. Чедвик в результате бомбардировки а-частицами атомов бериллия открыл эти частицы. Они были названы нейтронами и явились третьей ' разновидностью элементарных частиц.
Новая теория строения атомного ядра, разработанная Д. Д. Иваненко и независимо от него В. Гейзенбергом, говорила о том, что ядра состоят из протонов и нейтронов, или нуклонов, как стали называть оба сорта «кирпичиков», из которых построены ядра. Заряд ядра определяется суммой зарядов входящих в него протонов, а масса ядра — суммой масс нуклонов.
Таким образом, был получен ответ на вопрос об отличии изотопов элементов—их ядра отличались числом нейтронов при одном и дом же числе протонов.
Энергия связи. Дефект массы.Взаимодействие нуклонов
Как и всегда бывало в физике, новое открытие выдвигало целый ряд новых вопросов. Ядра атомов — очень устойчивые образования, более устойчивые, чем сами атомы. Ядра состоят из одноименно заряженных протонов и вовсе не заряженных нейтронов. Но что же удерживает нуклоны в близком соседстве? Что мешает протонам — одноименно заряженным частицам — разлетаться в разные стороны? Может быть, знакомые нам силы гравитационного притяжения частиц оказываются больше кулоновских сил отталкивания?
Попробуем проверить последнее предположение в случае взаимодействия двух протонов. Поскольку ядра атомов имеют размеры порядка 10*12 см, будем считать, что центры «шариков»-протонов отстоят один от другого на расстоянии г=5,0*10“13 см=5,0-10~15 м. Масса протона т= = 1,67* 10“24 г=1,67*10"27 кг, а его положительный заряд е=1,6*10~19 Кл. Тогда сила гравитационного притяжения протонов в согласии с законом всемирного тяготения будет равна
1 67.10-27 \ 2
Т ¥ ^2I 5 0.10-15 у11,
а сила отталкивания в соответствии с законом Кулона будет иметь значение
F _ *2 O^JQ^Tgnu
«4ле0г2~ 4-3,14-8,85-10~12 (5,0-10~16)2
Сила отталкивания протонов не идет ни в какое сравнение с ничтожной силой их взаимного гравитационного притяжения! Значит, имеется еще какой-то, совершенно новый тип взаимодействия ядерных частиц, причем энергия взаимодействия нуклонов, так называемая внутриядерная энергия, оказывается чрезвычайно большой.
Природа внутриядерных взаимодействий весьма сложна, и многие ее стороны остаются неразгаданными по сей день,
но некоторые количественные оценки энергии взаимодействия нуклонов мы в состоянии сделать.
В 1905 г. А. Эйнштейн открыл закон взаимосвязи массы и энергии — закон, объединяющий два важнейших свойства вещества и полей. Согласно этому закону собственная масса (или масса покоя) тела т0 пропорциональна его энергии покоя (внутренней энергии) U, причем коэффициентом пропорциональности двух ,этих величин является квадрат скорости света:
m.= U!c\(38.1)
Если же тело движется в инерциальной системе отсчета с какой-то скоростью, так что его полная энергия W складывается из энергии покоя U и кинетической энергии WK, то масса т движущегося тела пропорциональна полной энергии W*.
m=W/c\(38.2)
Если сравнить собственную массу ядра (т^ какого-то атома с суммарной собственной массой (2тн) составляющих' его нуклонов, когда они находятся в свободном состоянии, то окажется, что первая всегда меньше второй. Это различие может быть охарактеризовано величиной
Дт=2тн—/п„,
которая носит название дефекта массы. В согласии с законом Эйнштейна дефекту массы соответствует энергия
которую называют энергией связи ядра.
Энергия связи складывается из энергии взаимодействия нейтронов между собой, нейтронов с протонами и энергии электростатического взаимодействия протонов в ядре. Чтобы расщепить ядро на отдельные нуклоны, к нему необходимо подвести энергию, равную энергии связи, а при образовании ядра из нуклонов такая энергия будет выделяться.
В атомной физике ядра атомов принято обозначать символами соответствующих химических элементов с двумя индексами: слева внизу проставляется атомный номер элемента в таблице Менделеева (или так называемое зарядовое число), а справа вверху — массовое число, равное общему количеству нуклонов в ядре (массовое число равно также относительной атомной массе элемента, округленной до
целого числа). Ядро атома азота, например, имеет обозначение 7N14.
Энергию в атомной физике очень часто измеряют в электронвольтах (эВ). 1 эВ равен энергии, приобретаемой электроном при его прохождении между двумя точками электрического поля с разностью потенциалов 1 В:
эВ=1,6-10~19 Дж=1,6-10”12 эрг.
Единица, в миллион раз большая одного электронвольта, носит название мегаэлектронвольта (МэВ).
Используя закон взаимосвязи массы и энергии, рассмотрим в качестве примера ядерную реакцию взаимодействия а-частицы (ядра атома гелия) с ядром атома бериллия, в результате которой образуется ядро атома углерода и нейтрон (on1):
.Ве’ + ^е^.С^ + оП1.
Воспользуемся табличными значениями собственных масс исходных и конечных продуктов этой реакции.
Исходные частицы
Собственная масса, а е м
Полученные частицы
Собственная масса, а. е. м.
4Ве» - 2Не<
9,0150
4,0039
6С” о"1
12,0040 1,0090
Сумма собственных масс частиц до реакции ^т^
13,0189
Сумма собственных масс частиц после реакции (^2)
13,0130
Разница собственных масс Дт=/И1—т2=0,0059 а.е.м.^ ^9,8* 10”30 кг, очевидно, и характеризует энергию (AW), выделяющуюся в результате протекания этой реакции. Заметим, что величины тх и т^ подсчитанные нами по табличным значениям масс атомов бериллия, гелия и углерода, включают массы шести электронов, но на результат расчета это не повлияет, ибо число электронов в результате реакции не изменяется. Итак, выделяется энергия ДЦ7=Ат-с2=9,8-10~30-(3-108)2^9-10~13 Дж^
^6-106 эВ=6 МэВ.
На первый взгляд может показаться, что эта энергия не так уж велика. Но не забудем, что она характеризует взаи-
модействие частиц с очень малой массой. Если подсчитать энергию, приходящуюся на единицу массы взаимодействующих частиц, то результат окажется более впечатляющим:
АГтхАГтх9-IO-1313-1,67.10~279-IO-1313-1,67.10~27«4-1013 Дж/кг.«4-1013 Дж/кг.
АГтх
АГтх
9-IO-1313-1,67.10~27
9-IO-1313-1,67.10~27
«4-1013 Дж/кг.
«4-1013 Дж/кг.
Такие значения энергии, приходящейся на 1 кг вещества, встречаются только в ядерной физике!
Иногда, характеризуя взаимодействие частиц внутри ядра атома, говорят о силах внутриядерного взаимодействия. Если для приведенной выше ядерной реакции провести условную оценку силы внутриядерного взаимодействия, то можно воспользоваться выражением
F.~bW/de,
где d^ — диаметр ядра атома. Считая, как и ранее, что d^ ^10"12 см=10~14 м, находим
/^э-ю^мо-^-эон.
Сравнивая это значение со значением силы кулоновского отталкивания двух протонов в ядре атома, полученным выше (FK«9,2 Н), заключаем, что силы внутриядерного взаимодействия примерно на порядок превышают силы электростатического взаимодействия заряженных частиц в ядре и не могут являться силами электромагнитного происхождения.
Возможности высвобождения внутриядерной энергии
После того как стало известно, что внутри атомных ядер скрыты колоссальные запасы энергии, возникла заманчивая идея найти способы высвобождения этой энергии.-Нельзя ли разорвать прочные связи нуклонов и заставить «работать» ядерные частицы?
С выделением внутриядерной энергии физики уже имели дело при радиоактивном распаде радия, урана и других элементов. Температура ампулы, содержащей радиоактивное вещество, была хотя и немного, но все-таки выше температуры окружающей среды. Внутриядерная энергия при этом высвобождалась, но уж очень в мизерных количествах.
С момента открытия нейтронов в руках экспериментаторов оказались новые снаряды, более эффективные, чем а-частицы, которыми уже ранее бомбардировались недра вещества. Нейтрон электрически нейтрален, поэтому на его пути к ядру атома встретится меньше помех: он не будет при-
тягиваться электронами, окружающими ядро, не будет и отталкиваться от положительно заряженного атомного ядра. С помощью нейтронов физики и рассчитывали расколоть столь прочное и неподатливое ядро атома.
Открытие в 1934 г. супругами Жолио-Кюри искусственной радиоактивности было важным этапом на пути проникновения в глубины атомных ядер. Воздействуя продуктами радиоактивного излучения на различные вещества, им удалось получить радиоактивные изотопы элементов, которые в естественных природных условиях не встречались.
Как можно было использовать это открытие? Бомбардируя ядра атомов, в результате ядерных реакций можно было не только получать одни элементы из других (ядерные реакции новостью для физики не были), но и получать элементы с возбужденными ядрами, которые, разваливаясь в результате радиоактивного распада, высвобождали энергию. Но здесь опять-таки, как и в случае-естественной радиоактивности, внутриядерная энергия выделялась в малых количествах, недостаточных для практического, использования. .
Непосредственным преддверием высвобождения внутриядерной энергии для практических целей явилось открытие цепной реакции деления ядер атомов урана и некоторых других элементов. В 1939 г. исследования О. Гана, Ф. Штрасс- мана, Л. Мейтнер привели к заключению о делении ядер урана под действием нейтронов, а Ф. Жолио-Кюри экспериментально доказал, что при делении одного ядра урана образуется несколько нейтронов (в среднем два-три)г В 1940 г. советские физики Я- Б. Зельдович и Ю. Б. Харитон теоретически определили условия, при которых возможна цепная реакция в уране, и в том же 1940 г. Г. Н. Флеров и К. А. Петржак обнаружили, что цепная реакция в уране может начаться без воздействия нейтронов извне, так как ядра урана неустойчивы и склонны к самопроизвольному (спонтанному) делению с высвобождением нейтронов.
В чем же заключается цепная реакция деления ядер атомов урана? Под действием нейтрона ядро атома урана разрушается на два осколка, представляющих собой ядра каких-то других химических элементов из средней части таблицы Менделеева. Сумма собственных масс этих осколков оказывается меньше собственной массы ядра атома урана, так что в согласии с законом сохранения энергии эти осколки должны двигаться с большими скоростями, унося большую часть энергии, выделяющейся при реакции деления.
Кроме того, в результате деления образуются новые нейтроны (так называемые вторичные нейтроны), которые могут разрушать новые ядра, встретившиеся на их пути, причем вторичных нейтронов образуется в среднем два-три при разрушении каждого ядра урана. Вот и получается, что при определенных условиях, которые характеризуются массой делящегося вещества, его формой, наличием примесей, поглощающих нейтроны, и т. д. (все это и определяет так называемую критическую массу, или критический размер), начавшаяся, хотя бы от спонтанного деления всего-навсего одного ядра, реакция деления ядер урана будет протекать очень интенсивно, высвобождая энергию из вновь и вновь разрушаемых ядер.
Для успешного протекания цепной реакции в изотопе урана с массовым числом 235 (S2U235) нейтроны должны иметь малые скорости. Для этих целей в зону реакции помещают вещества, замедляющие, но слабо поглощающие нейтроны (например, графит, тяжелую воду, бериллий и др.). Если, кроме того, в зону реакции вводить вещества, поглощающие нейтроны (кадмий, бор, бористую сталь и др.), то реакцией можно управлять, регулируя число нейтронов, участвующих в расщеплении ядер урана.
Впервые регулируемую цепную реакцию деления ядер урана осуществил в 1942 г. Э. Ферми. Ядерным «горючим» реактора являлся обогащенный уран (в природном уране, содержащем в основном изотоп 92U238, искусственно повышалось содержание изотопа 92U235), замедлителем служил графит, а поглотителем нейтронов — кадмий. В результате взаимодействия нейтронов с ядрами изотопа 92U238 получался новый элемент — плутоний, который затем мог использоваться как ядерное горючее вместо урана.
Реакция деления ядер урана, плутония и других тяжелых элементов, стоящих в конце таблицы Менделеева, не является единственным способом высвобождения внутриядерной энергии. Имеется и другой путь — реакция слияния легких ядер с образованием более тяжелых, так называемая термоядерная реакция. Примером термоядерной реакции может служить реакция синтеза ядер гелия из ядер водорода, которая является источником энергии излучения Солнца.
Термоядерная реакция может начаться только при температуре в несколько миллионов градусов. В земных условиях такие температуры пока удается получить только в области протекания взрывной реакции деления ядер урана,
плутония или других тяжелых элементов. Таким образом, человечество сейчас располагает неуправляемыми, взрывными реакциями синтеза ядер дейтерия (тяжелого водорода — изотопа водорода с массовым числом 2) или трития (сверхтяжелого водорода с массовым числом 3), но есть твердые надежды, что термоядерной реакцией удастся управлять.
Слияние позитрона с электроном
Еще одной элементарной частицей, встретившейся при изучении внутриатомных явлений, был позитрон, открытый К. Андерсоном в 1932 г. Масса позитрона оказалась равной массе электрона, а положительный заряд позитрона — абсолютному значению заряда электроца. Позитроны обнаруживались в результате распада искусственно радиоактивных ядер и при взаимодействии с ядрами атомов гамма-излучения большой энергии, причем, как уже отмечалось (см. п. 33 1), второй из этих способов получения позитронов приводил к рождению пары электрон — позитрон вместо исчезавшего гамма-кванта (или фотона) без каких-либо изменений внутри ядра, вблизи которого это явление происходило. Это было убедительным подтверждением интереснейшего превращения: фотоны, или кванты электромагнитного излучения, которые не имели собственной массы (массы покоя) и тем самым сильно отличались от обычных частиц, превращались в электрон и позитрон — в две обычные частицы, собственные массы которых не равнялись нулю, т. е. в такие частицы, которые могли существовать и в покое, и при любых скоростях движения, меньших скорости света в вакууме. В этом превращении обнаруживалась уже упоминавшаяся «двуликость» вещества и поля: волны электромагнитного излучения превращались в частицы вещества!
Более того, почти одновременно с открытием процесса рождения пары электрон — позитрон был обнаружен и обратный процесс — процесс слияния (аннигиляции) позитрона с электроном. (Этот процесс, кстати сказать, свидетельствовал о невозможности длительного существования позитронов в земных условиях, где имеется великое множество свободных электронов.) Оказалось, что в отсутствие других частиц при аннигиляции одного позитрона и одного электрона в согласии с законом сохранения импульса рождаются два гамма-кванта, разлетающихся в противоположные стороны.
В качестве заключительного примера рассчитаем длину волны электромагнитного излучения, возникающего при аннигиляции электрона с позитроном.
Собственные массы этих частиц одинаковы и равны т0= =9,1-10"31 кг. Пусть энергия каждого образующегося гамма-кванта равна Av. Тогда, в согласии с законом Эйнштейна, имеем 2/rv=2m0c2, откуда v=tnQc2lh. Поскольку длина волны X связана с частотой v соотношением l=c/v, можно написать ^hlm^c. Подставляя значения величин в единицах СИ, находим
Л 6,62.10-34 Q ^”9,МО*31.3-108 «2-10 М.
Именно такая длина волны электромагнитного излучения в результате аннигиляции электрона с позитроном и была измерена на опыте, что явилось' блестящим подтверждением закона Эйнштейна, являющегося одним из краеугольных камней современной физики.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Относительная простота элементарной физики — в наглядности многих ее понятий. Читатели, конечно, обратили внимание на принятую в настоящем пособии методику изложения материала. Мы переходили последовательно с одного уровня рассмотрения явлений природы на другой, как со ступеньки на ступеньку.
Каждый уровень занимается изучением определенного круга вопросов, но такое деление на уровни весьма условно. Оно вызвано стремлением к систематизации наших знаний и намерением, чтобы расчеты были по возможности более простыми и практически выполнимыми, а описания физических фактов и явлений — доступными и понятными. При таком подходе к изучению природы мы приобретаем навык обращать внимание на главное в явлении и отвлекаться от второстепенного, пренебрегать теми тонкостями, которые в данном случае несущественны. На что следует обратить внимание и чем можно пренебречь? — этим вопросом мы непременно задаемся при решении любой физической задачи.
Каждому уровню соответствуют свои законы и наборы своих моделей — условных и абстрактных понятий, отражающих те стороны явлений действительности, которые изучаются на данном уровне. Относительная простота элементарного курса физики заключается в том, что многие модели этого курса достаточно наглядны и легко представимы на основании нашего повседневного жизненного опыта. Использование таких моделей при изучении окружающего нас мира вполне оправдано, оно отражает естественный путь нашего познания. Каждое новое, впервые встречающееся, сложное явление мы пытаемся свести к явлениям уже известным, изученным ранее. '
В свое время мы подчеркивали, что такой путь сведения нового к ранее известному не всегда возможен (тепловые или
электрические явления, например, не сводятся целиком только к механическим и т, п.). Кроме того, необходимо указать на еще одну существенную, своеобразную черту современной физики. По мере проникновения в глубины тайн природы все чаще приходится использовать понятия и модели, не очень наглядные и совсем неощутимые. В элементарном курсе физики к таковым относятся, например, представления о различных полях. Ранее мы останавливались на анализе причин трудностей усвоения и использования этих понятий. Сейчас мы не будем дополнять список подобных неощутимых понятий, но заметим, что, в особенности за последние десятилетия развития физики, таких понятий появилось очень много: различные свойства и закономерности поведения элементарных частиц, не наблюдаемые в повседневном опыте эффекты теории относительности и квантовой механики и т. п. Тому, кто имеет намерение всерьез овладеть-современной физикой, нужно быть готовым к постижению трудно укладывающихся в сознании понятий.
Достаточно ли только запоминать формулы? Ни одна из естественных наук, в том числе и физика, не сводится к формулам. Поскольку явления природы многообразны и многогранны, а взаимосвязи между ними весьма сложны, приходится использовать обширный арсенал понятий, с помощью которых удается формулировать законы, описывающие те или иные факты, явления или взаимосвязи и взаимообусловленности между ними.
Любая научная дисциплина начинается с определений. В этом можно убедиться, открыв любой учебник. Сначала всегда необходимо договориться о круге вопросов, которыми занимается данная наука, и о всех тех терминах и понятиях, а иногда и об образах, которыми она пользуется. Короче, нужно предельно ясно оговорить, о чем и на каком языке пойдет речь.
Прелесть лаконичных математических формул заключается в их абстрактной общности, в том, что под к или у мы вправе понимать в зависимости от конкретной ситуации любую величину. Связь двух величин (а+Ьу всегда, что бы мы ни подразумевали под а и Ьэ равноценна другой связи tz2+2a6+62.
Физические формулы в этом отношении более конкретны, они приобретают ценность только тогда, ко)гда величины, входящие в них, определены по смыслу для каждого рассматриваемого случая. Например, математическая зависи-
мость вида y^aWc в физике может относиться к описанию совершенно разнородных, неодинаковых фактов. Обозначение у может представлять перемещение при равноускоренном движении без начальной скорости, если а — ускорение этого движения, b — продолжительность движения и с=2. В случае, если а — масса тела, скорость движения которого равна Ь, и с=2, у будет характеризовать кинетическую энергию этого тела, если же с представляет радиус окружности, по которой движется тело с массой а и линейной скоростью Ь, то у уже не энергия, а сила, сообщающая телу нормальное (центростремительное) ускорение.
Подобных примеров можно было бы привести великое множество. В связи с этим следует помнить, что в физике нет универсальных формул, каждая формула имеет тот или иной смысл в зависимости от смысла, содержания входящих в нее величин.
Поэтому, наверное, понятно, что вряд ли целесообразно только запоминать какие-то формулы. Надо запоминать и понимать смысл величин и смысл связей между величинами. Тогда формулы из балласта зрительной памяти превратятся в орудия вашего физического мышления. Вы не будете вспоминать, как выглядела формула, относящаяся к подобной задаче, а будете сами писать, мысленно выводить нужную формулу. И ценность такой, вами прочувствованной и вами полученной формулы будет во сто крат большей, чем любой формулы, списанной из учебника или справочника.
Чтобы попытаться предостеречь читателей от механического заучивания формул, можно предложить и такой анализ материала элементарного курса физики. В нашем пособии упоминается о нескольких десятках физических законов и используется несколько сот физических понятий. Читатель, располагающий свободным временем и желающий систематизировать физические законы и понятия, может составить их список и произвести их подсчет. Названия законов, понятий и величин даны* в тексте «Основ элементарной фи- - зики» курсивом. Из рассмотренных нами законов далеко не все имеют уравнения и очень немногие понятия вводятся по формулам. Многие закрны формулируются на словах и понятия вводятся, определяются без формул. Например, нет исчерпывающих смысл закона уравнений у принципа независимости действия сил, закона Паскаля, первого закона Ньютона и ряда других, а такие понятия, как материальная точка, вектор перемещения, вес тела, температура кипения, ядро атома, позитрон и многие-многие другие, вводятся
тоже на словах и не имеют никаких определяющих формул. Конечно, какие-то формулы связи могут соответствовать многим понятиям из числа последних: период колебаний можно выразить через частоту, а силу — через массу тела и т. п., но вводятся эти понятия без формул.
Таким образом, существенно не количество заученных формул, а ясное понимание смысла и целесообразности введения тех или иных физических величин. Зачем вводится та или иная физическая величина? Что отражает, характеризует данное физическое понятие? — попробуйте задаться такими вопросами, и, отвечая на них, вы приблизитесь к пониманию смысла величин или понятий.
Следует рекомендовать читателям запомнить уравнения основных физических законов, если такие уравнения имеются (например, уравнения второго закона Ньютона, закона всемирного тяготения, закона Кулона и др.), и те формулы, с помощью которых вводятся некоторые физические величины (например, p=m/V для плотности вещества, E=F/g0 для напряженности электрического поля, /= АФ/AQ для силы света и т. п.). Но наряду с формулами непременно нужно запоминать и смысл того или иного закона или понятия, условия применимости закона и границы его действия, назначение физических понятий и величин.
О некоторых недочетах, встречающихся на приемных экзаменах. Часто на консультациях перед приемными экзаменами спрашивают: «На какие вопросы следует обратить особое внимание? На каких вопросах „проваливаются" чаще всего?..» На первый из этих вопросов мы попытались ответить в нашем пособии, обратив большее внимание как раз на трудные положения элементарного курса физики. На второй вопрос ответа дать невозможно, так как нет сколько- нибудь заметной закономерности «провалов» на приемных экзаменах. -
Хочется обратить внимание читателей на некоторые распространенные, общие недостатки, от которых можно уберечься при тщательной, упорной подготовке к приемному экзамену. На наш взгляд, эти недостатки сводятся к следующим. .
Неглубокие и неточные представления о некоторых основных физических понятиях (например, о таких, как масса, вес, поле, электрический заряд, световой луч и др.).
Не оговариваются границы применимости того или иного физического закона.
Нечеткость представления о том, какие законы — основные (наиболее общие), какие—более частные, какова связь между разделами курса физики, что между ними общего, чем они отличаются.
Неумение подступиться, начать решать задачу из-за неглубокого усвоения физических законов и неумения анализировать условия задачи.
Автору этих строк неоднократно приходилось убеждаться в том, что «ужасом № 1» перед приемными экзаменами по физике большинство поступающих считают задачи. На занятиях подготовительных курсов или на предэкзаменационных консультациях часто можно услышать: «Законы-то мы выучим по учебнику. Давайте решим^побольше задач». Практиковаться в решении физических задач — дело чрезвычайно полезное. И ни на каких занятиях курсов, ни на какой консультации нельзя рассмотреть столько задач, сколько их может решить абитуриент самостоятельно при подготовке к экзамену. Но не числом разобранных задач определяется подготовленность по физике. Сотни решенных задач не принесут пользы, если под каждую из них не подведена общая теоретическая основа. С полным правом можно утверждать, что задач боятся те, кто не очень глубоко изучил физическую теорию, кто не владеет физическим подходом к явлениям природы.
Недостаточная логичность в рассуждениях, неубедительное обоснование выводов. Помните, что логика математических доказательств не помешает вам и при доказательствах физических.
Неумение решать задачу до конца в общем виде.
Отсутствие проверки размерности полученных решений.
Неумение анализировать полученное решение.
Завершая наш разговор с читателем, хочется высказать несколько пожеланий.
Изучая элементарный курс физики по программе средней школы или повторяя его по программе вступительных экзаменов в вуз, не упускайте возможностей знакомиться с материалом сверхпрограммным. Как это сделать? Читайте учебную внепрограммную литературу, научно-популярные журналы, статьи, брошюры. Кому как не вам, готовящимся систематически пополнять и совершенствовать свои знания, адресованы эти издания!
Собираясь стать инженером, агрономом, врачом или любым другим специалистом в той или иной области человече-
ских знаний, нельзя не представлять себе современного уровня развития этих знаний. Никакая программа не должна сковывать. Она должна служить лишь ориентиром. Поэтому вопросы программы нуждаются не в зазубривании ответов на них, а в глубоком осмысливании, в поисках связей и различий между теми фактами и явлениями, о которых программа упоминает.
Не жалейте времени на обдумывание каждой прочитанной статьи и каждой решенной задачи!
Больших вам успехов в учебе!
Ю. А. СЕЛЕЗНЕВ
ОСНОВЫЭЛЕМЕНТАРНОЙ
ФИЗИКИ
Под редакциейпроф. Б. М. ЯВОРСКОГО
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено Министерствомвысшего и среднего специального образования СССРв качестве учебного пособиядля слушателей подготовительных отделенийвысших учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО«НАУКА#ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1974
530 С 29
УДК 530
Основы элементарной физики. Ю. А. Селезнев. Учебное пособие. Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, М., 1974 г.
Цель настоящего пособия — помочь при подготовке К приемным экзаменам по физике в высшие учебные заведения. В основу книги положена программа приемных экзаменов, хотя в отдельных случаях имеются некоторые отступления от нее, учитывающие практику приемных экзаменов. Это пособие должно рассматриваться как дополнение к учебнику.
Главное внимание сосредоточено на раскрытии физического смысла важнейших вопросов школьного курса и на детальном рассмотрении некоторых вопросов, которые часта вызывают затруднения на экзаменах. Рассмотрено много примеров и задач, причем в большинстве случаев приводятся не только их подробные решения, но и анализ условий и результатов.
Книга может оказаться полезной для лиц, самостоятельно готовящихся к приемным экзаменам по. физике в институт, для школьников старших классов, слушателей подготовительных курсов и подготовительных отделений.
Юрий Александрович Селезнев
ОСНОВЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ физики
М , 1974 г., 544 стр. с илл.
Редакторы В. А. Григорова, Л. А. Русаков
Техн редактор И. Ш. АксельродКорректоры Г. С. Плетнева, М. Л. Медведская
Печать с матриц. Подписано к печати 14/VlH 1974 г. Бумага типографская № 3 84Х1081/гг« Физ. печ. л. 17. Условн печ. л. 28,56. Уч-изд. л. 29,37. Тираж 490 000 экз. (1-й завод 1—250 000 экз.) Цена книги 92 ко'п. Заказ № 296.
Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано в ордена Трудового Красного Знамени Ленинградской типографии№ 2 имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственномкомитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфиии книжной торговли 198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29,с матриц, изготовленных в ордена Трудового Красного Знамени
Первой Образцовой типографии имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, М-54, Валовая, 28.
20401—115„
С -у^оТпоГтд” 103-74 © Главная редакция физико-математическои uod(uz;-/4литературы, издательства «Наука», 1974.
Предисловие к четвертому изданию 7Из предисловия к первому изданию 9Введение♦ 11Системы единиц измерения физических-величин 16Г лава I. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК И ТВЕРДЫХ ТЕЛ 25Кинематика 25I. Основные понятия (25)1.2. Кинематика движения матеПредисловие к четвертому изданию 7Из предисловия к первому изданию 9Введение♦ 11Системы единиц измерения физических-величин 16Г лава I. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК И ТВЕРДЫХ ТЕЛ 25Кинематика 25I. Основные понятия (25)1.2. Кинематика движения матеОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к четвертому изданию 7
Из предисловия к первому изданию 9
Введение♦ 11
Системы единиц измерения физических-величин 16
Г лава I. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК И ТВЕР
ДЫХ ТЕЛ 25
Кинематика 25
I. Основные понятия (25)1.2. Кинематика движения мате
Предисловие к четвертому изданию 7
Из предисловия к первому изданию 9
Введение♦ 11
Системы единиц измерения физических-величин 16
Г лава I. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК И ТВЕР
ДЫХ ТЕЛ 25
Кинематика 25
I. Основные понятия (25)1.2. Кинематика движения мате
риальной точки (28). 1.3. Графики зависимости между кинематическими величинами для прямолинейного движения (52) 1 4. Перемещение и скорость в различных системах отсчета. Принцип независимости движений (62) 1 5. Кинематика движения абсолютно твердого тела (66)1 6. Заключительные замечания (69)
Динамика 72
2 1. Основные понятия динамики и законы Ньютона (72),2 2. Закон сохранения импульса (89). 2 3. Учет сил внешнего трения в динамических задачах (91) 2 4. Динамика движения систем взаимодействующих тел (97).2 5. Динамика движения мате
риальной точки по окружности (167). 2 6. Динамика гармонических колебательных движений (113).
Статика материальных точек и твердых тел 124
3 1 Условия статического равновесия (124). 3.2. Центр тяжести. Центр масс (132).
Закон всемирного тяготения 140
Основные понятия (140). 4.2. Тяготение и сила тяжести тела (141).
Энергия, работа, мощность. Закон сохранения и превращения энергии в механике* 148
5 1. Механическое состояние тела и системы тел. Импульс — функция механического состояния (148). 5.2 Работа силы (152). 5 3 Теорема о кинетической энергии. Работа силы как мера изменения кинетической энергии тела (158) 5.4 Потенциальная энергия. Закон сохранения механической энергии замкнутой консервативной системы взаимодействующих тел (162). 5.5. Энергия поля тяготения (173). 5.6. Мощность (175) 5.7. Изменение механической энергии незамкнутой системы тел (177) 5 8. Изменение механической энергии системы, взаимодействие между телами которой осуществляется потенциальными и непотенциальными силами (180)
Значение механики и границы применимости механического
подхода в физике .•..•...•••*••••..*•185
1*3
188188199204204206226238238247256280291188188199204204206226238238247256280291
188
188
199
204
204
206
226
238
238
247
256
280
291
188
188
199
204
204
206
226
238
238
247
256
280
291
Глава II. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СТРОЕНИЯ ВЕЩЕСТВА
Первые шаги в глубь вещества
7 1 Основные опытные факты и их истолкование (188) 7 2 Применимы ли законы механики к микрочастицам, из которых состоят тела? (191) 7 3 Силы взаимодействия и энергия взаимодействия частиц вещества (194)
Свойства вещества в различных агрегатных состояниях . . .
Классификация агрегатных состояний вещества (199) 8 2 Свойства вещества в твердом состоянии (200) 8 3 Жидкое состояние (201) 8 4 Газообразное состояние (203)
Г л а в а Ш МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
Используемые модели . .
Статика жидкостей и газов
10 1 Равновесие частиц свободной поверхности жидкости вдали от стенок сосуда (206) 10.2 Равновесие частиц внутри объема жидкости или газа (207) 10 3 Равновесие частиц свободной поверхности жидкости вблизи стенок сосуда (213) 10 4 Равновесие сосудов, заполненных жидкостью или газом (216). 10 5 Равновесие тел, погруженных в жидкость или газ Закон Архимеда (218)
§11. Динамика жидкостей и газов 11 1 Основные понятия Уравнение неразрывности (226) 11 2 Применимость законов сохранения к движущимся жидкостям и газам (229)
Г л а в а IV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
§ 12. Обобщение закона сохранения энергии
12 1. Изменение внутренней энергии при изменении механической энергии замкнутой системы тел или частиц (238) 12 2 Как измеряется изменение внутренней энергии тела или системы тел? Понятие о температуре (240) 12 3 Всегда ли возможен процесс изменения механической энергии за счет изменения внутренней энергии системы? (245)
§ 13. Два способа изменения внутренней энергии 13 1 Процесс совершения работы Работа силы как мера изменения механической, внутренней и полной энергии системы (247) 13 2 Процесс теплообмена Количество теплоты — мера изменения энергии в процессе теплообмена (249)13 3 Первое начало
термодинамики (252)13 4 Виды теплообмена (253)
§ 14 Процесс теплообмена, не сопровождающийся изменением агрегатного состояния вещества
14 1 Поведение твердых тел и жидкостей при изменении температуры (256) 14 2 Процессы в идеальных газах (263)
§ 15. Теплообмен и изменение внутренней энергии при фазовых превращениях вещества 15 I Какие компоненты внутренней энергии изменяются при фазовых превращениях? (280) 15 2 Плавление и кристаллизация (282)15 3. Парообразование и конденсация (285).
15 4 Сублимация (289) 15 5. Изменение внутренней энергии при химических реакциях (289).
§ 16. Свойства паров. Влажность воздуха. Критическое состояние вещества 16 1 Условия получения и свойства ненасыщенных и насыщенных паров (291) 16 2. Пары воды в воздухе (295). 16 3. Критическое состояние вещества (296).
298301301306331342344344375392396396407414414298301301306331342344344375392396396407414414
298
301
301
306
331
342
344
344
375
392
396
396
407
414
414
298
301
301
306
331
342
344
344
375
392
396
396
407
414
414
§ 17. Итоги рассмотрения строения вещества в молекулярнокинетической теории
ГлаваМ. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
§ 18. Электрические заряды
18 1 Что такое электрический заряд? Откуда берутся электрические заряды? (301) 18 2 Используемые модели (303) 18 3 Закон сохранения электрических зарядов (304)
§ 19. Электростатическое поле и его характеристики
19 1 Закон Кулона — основной закон электростатики (306).
19 2. Напряженность — силовая характеристика электрического поля (313)19 3 Невозможность устойчивого равновесия системы
свободных электрических зарядов (320) 19.4 Энергетические характеристики электростатического поля Работа при перемещении заряженных частиц или тел в электростатическом поле (323)
§ 20. Вещество в электростатическом поле
20 1 Металлические проводники в электростатическом поле (331) 20 2 Диэлектрики в электрАстатическом поле (335) 20 3. Конденсаторы (336)
§21. Какие задачи решает электростатика?
Г л а в а VI. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
§ 22. Электрический ток — упорядоченное движение заряженных частиц или тел
22 1. Условия возникновения и поддержания электрического тока (344) 22 2 Основные количественные соотношения и закон Ома (351) 22 3 Способы соединения проводников и источников тока (362) 22 4 О некоторых электротехнических приборах (367 ).
§ 23. Механизм проводимости различных сред
23 1 Электронная проводимость металлов (37 5) 23 2 Ионная проводимость электролитов (379) 23 3 Электрический ток в газах (382)23 4 Электрический ток в вакууме (383). 23 5
Электрический ток в полупроводниках (387)
§ 24. Некоторые общие выводы из рассмотрения электростатики и электродинамики постоянных токов
Глава VII. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
§ 25. Магнитное поле и его свойства
25 1 Свойства движущихся заряженных частиц или тел (396) 25 2 Как обнаруживают магнитные поля? (397) 25 3 Индукция магнитного поля —- основная силовая характеристика магнитного поля (400) 25 4 Воздействие магнитного поля на движущиеся электрические заряды (404)
§ 26. Магнитные свойства вещества
Внутренние магнитные поля в веществе (4 0 7) 26 2. Воздействие внешнего магнитного поля на вещество (408). 26 3. Классификация веществ по магнитным свойствам (410). 26 4. Некоторые выводы (412)
Глава VIII. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
рсновные опытные факты и закон электромагнитной индукции
27 1 Явления, связанные с изменяющимися во времени магнитными полями (414). 27 2. Механизм возникновения и законо-
мерности индукционных явлений (415) 27 3 Принцип действия трансформатора (422) 27 4. Явление самоиндукции (424)
Электромагнитные колебания и электромагнитное поле . . .425
28 1 Закон сохранения энергии в применении к колебательному контуру (425).28 2 Электромагнитное поле (426)28 3
Колебательный контур как излучатель электромагнитного роля (432) 28 4. Атомы вещества подобны открытому колебательному контуру (434). 28 5. Некоторые важные выводы (436)
Г лаваХХ. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ 438
Волновой процесс — процесс распространения колебаний в пространстве 438
29 1 Классификация волн (438)» 29 2. Основные характеристики волн (439).
§ 30, Некоторые свойства волн различной природы 441
30 1. Скорость распространения волн конечна (441)30 2.
Уравнение плоской синусоидальной волны (442) 30 3. Перенос энергии волнами (443) 30 4 Дисперсия скорости волн и дисперсия показателя преломления (444). 30.5. Явления на границе раздела сред (445).
Общие свойства волн и частиц . . . ,.451
ГлаваХ. ОПТИКА454
Что такое свет? 454
32,1 Предварительные замечания (454) 32.2 Механизм и условия излучения атомов и молекул (457) 32 3 Электромагнитные волны оптического диапазона (464).
Воздействие электромагнитного излучения на вещество . . .469
33 1 Эффекты воздействия (469). 33 2. Возможность использования закона сохранения энергии (472).
Основы фотометрии •, , ,473
Геометрическая оптика 476
35 1 Основные понятия и законы (4 7 6) 35 2 Получение изображений с помощью зеркал (483)35 3 Прохождение света
через границу раздела разнородных прозрачных сред (495).
35 4 Получение изображений с помощью линз (503) 35 5. Назначение простейших оптических систем и приборов (511).
Некоторые вопросы волновой и квантовой оптики 515
36 1 Анализ электромагнитных излучений атомов и молекул по спектрам (515) 36 2 Интерференция и дифракция света (518) 36 3 Закономерности фотоэлектрического эффекта (5 2 5). 36 4 Итоги рассмотрения оптических явлений (527)
Г лав а XX. СТРОЕНИЕ АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА528
Строение атома . .528
Строение ядра атома. Энергия внутриядерных взаимодействий 530
38 1. Протонно-нейтронная модель ядра (5 3 0) 38 2. Энергия связи Дефект массы Взаимодействие нуклонов (531) 38 3 Возможности вьГсвобождения внутриядерной энергии (534). 38 4.
Слияние позитрона с электроном (537).
Заключительные замечания 539
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
В нашей стране проводится большая работа по совершенствованию народного образования. Партией и правительством приняты меры по дальнейшему улучшению подготовки квалифицированных рабочих в учебных заведениях системы профессионально-технического образования и меры по привлечению в вузы рабочей и сельской молодежи. С каждым годом возрастает число молодых людей с жизненным и производственным опытом, имеющих возможность получить высшее образование.
Как показывает практика, в условиях стремительного развития всех отраслей научных знаний абитуриентам перед поступлением в вуз требуется определенная и целенаправленная помощь. Особенно в ней нуждается тот, кто решает поступить в вуз спустя несколько лет после получения среднего образования. Именно этой категории абитуриентов прежде всего и адресуется эта книга.
При подготовке пособия к новому изданию встретились большие трудности, связанные с переходом средней школы на новое содержание обучения по физике. Если раньше «Основы элементарной физики», так сказать, стыковали материал стабильных школьных учебников с требованиями программы приемных экзаменов, то теперь пришлось оглядываться и на старые учебники, и на новые учебники и учебные пособия, и на программу приемных экзаменов, которая по вполне понятным причинам пока не могла претерпеть существенных изменений. Большого опыта работы по новым учебникам и учебным пособиям еще нет.
Переработка пособия проводилась с большой осмотрительностью, с учетом того, что далеко не все бесспорно в новых учебных пособиях по физике для средней школы и, к сожалению, не все нововведения оправданы проверкой в школах. Мы полагали, что читатели, которые восполь-
зуются «Основами элементарной физики», изучали физику и по старой, и по новой программе, поэтому мы вполне сознательно изменяли изложение некоторых традиционных вопросов курса. Однако в ряде случаев это сделано не столь радикально и не так решительно, как это делается в новых учебных пособиях для средней школы.
Постоянное сотрудничество с деканом подготовительного отделения при Московском энергетическом институте В. М. Камшилиной и анализ опыта проведения занятий по физике на этом отделении помогли отрабатывать и улучшать методику изложения целого ряда вопросов. За помощь в работе автор выражает В. М. Камшилиной большую благодарность.
Автор особенно признателен профессору И. В. Савельеву, доценту К. В. Любимову, а также рецензентам рукописи кандидату педагогических наук Б. С. Беликову и доценту В. Д. Козлову, любезно высказавшим критические замечания и очень ценные советы, которые были учтены при подготовке четвертого издания «Основ элементарной физики».
Улучшению пособия в немалой степени могут способствовать отзывы и пожелания читателей этой книги, которые автор просит направлять по адресу: 105835, ГСП, Москва Е-250, Красноказарменная ул. 14, МЭИ, кафедра физики.
КХ А. Селезнев
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
«Физика — трудная наука... Как научиться решать физические задачи? Какие формулы нужно запоминать?». Эти и множество других подобных высказываний и вопросов можно услышать перед приемными экзаменами в институт, и не только перед экзаменами. Естественно, что многих волнуют такие вопросы. Естественно и желание автора на них ответить.
Цель настоящего пособия — помочь подвести итог изучения элементарного курса физики, помочь систематизации знаний по физике, полученных в средней школе или в среднем специальном учебном заведении, помочь в сравнительно короткий срок повторить «школьную физику» перед вступительным экзаменом в высшее учебное заведение.
Оговоримся сразу: наше пособие не заменит учебника по физике! Оно не было задумано и как сборник ответов на экзаменационные вопросы. Но если, в качестве дополнения к учебнику, эта книга поможет вспомнить основные положения курса физики, методы физического подхода к явлениям природы и задачам практики, то не жаль будет времени, затраченного на ее чтение.
Настоящее пособие* следует рассматривать как обзор основ школьного курса и как введение к вузовскому курсу.
Программа приемных экзаменов по физике была взята за основу при написании этой книги. В немногих случаях она превышена из-за желания осветить вполне доступный материал, знание которого значительно упрощает решение некоторых физических задач.
Главное внимание на приемных экзаменах обращается на ясность понимания физического смысла тех или иных фактов. При этом иногда обнаруживается отставание абитуриентов от современных физических представлений. Часто оно объясняется большим перерывом в учебе, иногда —
использованием при подготовке в вуз старых учебников. Отсутствует у нас и единая методическая программа для подготовительных курсов, которая помогла бы осветить современное состояние физической науки в элементарном изложении.
Работникам вуза часто еще приходится «доучивать» и «переучивать», исправлять досадные неточности, которые могут быть ликвидированы самими абитуриентами при подготовке к поступлению в вуз. Вступительный экзамен в институт нужно рассматривать как новый этап в совершенствовании знаний поступающего. Школьный материал для студента должен быть прочнейшим фундаментом, на который будет ложиться новый, более полный, уточненный и углубленный материал. Высшая школа не имеет возможности и не должна заниматься повторением элементарного курса физики, ее обязанность — идти дальше!
В нашей книге, наряду с основными теоретическими положениями курса, подробно рассматриваются физические задачи, при решении и анализе которых чаще всего допускаются ошибки. Некоторые задачи призваны уточнить смысл и значение того или иного физического явления. Но при рассмотрении любой из них мы пытаемся напомнить, как следует рассуждать, пытаемся показать, что в любой, даже самой простой задаче содержится ценный элемент исследования и что любая задача должна решаться с позиций общего физического подхода.
Автор выражает глубокую благодарность редактору книги профессору Б. М. Яворскому, М. И. Блудову и доценту физического факультета МГУ Г. Я. Мякишеву. Внимательно ознакомившись с рукописью, они высказали много ценных замечаний и советов, которые были учтены автором при подготовке рукописи к печати.
Ю. А. Селезнев
ВВЕДЕНИЕ
Физика изучает закономерности наиболее общих форм движения материи. Физические формы движения (механическая, тепловая, электромагнитная и др.) имеют место в мире «неживой» природы, но они же являются составными частями более сложных форм движения, относящихся к миру «живой» материи.
Этими закономерностями человечество интересовалось с давних пор не только из желания объяснить происходящее вокруг. Изучив законы, управляющие явлениями природы, человек мог активно вмешиваться в их естественный ход, подчинять эти явления себе.
Внимание физики приковано к фактам и явлениям природы. Но как она изучает их? Какие приемы и методы выработаны в физике за долгую историю ее развития? На каком языке изъясняется эта наука?
Французский материалист-просветитель Дени Дидро в работе «Мысли к объяснению природы» так характеризовал путь научного познания: «Л^ы располагаем тремя главными средствами исследования: наблюдением природы, размышлением и экспериментом. Наблюдение собирает факты; размышление их комбинирует; опыт проверяет результат комбинаций. Необходимы прилежание для наблюдения природы, глубина для размышления и точность для опыта» ).
Итак, прежде всего — прилежное, пристальное наблюдение окружающих предметов и процессов. Каждый из них многогранен, характеризуется целым рядом свойств, качеств. Чтобы отличить один предмет или процесс от другого, нужно оговорить, по каким признакам или свойствам
мы их различаем. Ну, а если сравнение проводится по одному и тому же признаку? Например, по объему мы сравниваем спичечную коробку и карандаш. Здесь сравниваются размеры, части пространства, занимаемые двумя телами. Это сравнение дает результат в виде числа. Пусть объем коробки оказался в 5,3 раза больше объема карандаша. Для нас это число будет иметь вполне определенный смысл. Но оно ничего не будет значить для тех, кто незнаком с размерами карандаша, использовавшегося для измерения. Нужно будет или показать, или как-то описать карандаш, с которым сравнивалась коробка. Так возникает проблема выбора общепринятых, понятных для всех мер, или эталонов. Но об этом разговор впереди.
Пока обратим внимание на встретившуюся необходимость количественных сравнений, измерений однородных свойств. Мы сравнивали объемы, но можно сравнивать любые однородные признаки: линейные размеры, промежутки времени, площади и т. д.
Измеряемые качества, признаки или свойства называются физическими величинами. При этом очень часто приходится иметь дело с изменяющимися, переменными величинами (допустим, непостоянна, неодинакова плотность вещества в пределах данного объема или с течением времени изменяется сила тока в проводнике).
Из-за бесчисленного множества свойств материальных объектов и явлений приходится пользоваться многими физическими величинами. Но нас не должно пугать их число. Задачу, в которой рассматривается объект или явление во всем многообразии его качеств, практически решить нельзя. Очень важно уметь остановиться на круге величин, характеризующем достаточно полно объект или явление в конкретном случае. Рассматривать только главные, существенные стороны, отбросив второстепенные! С такой классификацией величин на главные и второстепенные мы сталкиваемся при решении любой физической задачи.
Кажущиеся трудности физики как науки объясняются пестротой, мозаичностью ее разделов. Но каждый из них занимается своим кругом вопросов, своими задачами, и в их наборе нужно видеть не сложность физики, а систему ее взглядов, которые уточняются и углубляются от раздела к разделу. Не нужно забывать, что, рассматривая тот или иной круг вопросов, каждый раздел физики пользуется определенной точкой зрения, объясняет явления природы 12
на определенном уровне, пользуется определенными моделями, схематизируя явления.
Так, механика занимается рассмотрением движений тел в целом, не учитывая детали внутреннего строения тел. Модели, принятые в механике,— материальная точка, абсолютно твердое тело, несжимаемый невязкий газ, несжимаемая невязкая жидкость.
Молекулярно-кинетическая теория и физика тепловых явлений делают шаг в глубь тел, они работают Па уровне атомов или молекул. Здесь изучают поведение и взаимодействие атомов и молекул, пренебрегая их конкретной структурой.
В физике электрических и магнитных явлений рассмотрение атомов и молекул в целом, как неделимых, ничего не дает. На передний план выступают электрон и другие заряженные частицы, наделенные, кроме массы, новым свойством — электрическими зарядами.
В оптике приходится уточнять поведение электронов внутри атома и их взаимодействие с электромагнитными полями.
Атомная и ядерная физика приводят нас к новой механике атомных частиц, к новым законам, которые имеет смысл рассматривать только на этом уровне.
Каждый раздел физики использует свой специфический подход к изучаемым фактам. Но впечатление о резкой обособленности разделов физики не должно создаваться. Всегда нужно помнить, что если раньше предметом физических исследований были отдельные объекты и явления, рассматривавшиеся с разных, не связанных между собой сторон, то по мере развития физики ее основным предметом изучения становятся связи между этими сторонами.
Что общего между всеми разделами физики, кроме того, что они являются частями одной науки о единой природе? Нельзя ли найти положения, общие для всей физики в целом, сквозные идеи, пронизывающие все разделы физики? Далее мы постараемся показать, что это можно сделать.
Итак, физическая величина — первое слово в языке науки о природе. Накапливая в результате пристального наблюдения факты и размышляя над ними, можно заметить в них некоторую повторяемость, устойчивое постоянство связей между некоторыми величинами. Это проще заметить в специально созданных условиях физического эксперимента, когда некоторые из величин, могущих вли-
ять на ход рассматриваемого процесса, сохраняются неизменными.
Постоянство соотношений между несколькими величинами, повторяющееся от опыта к опыту, очевидно, приводит к заключению, что между рассматриваемыми величинами и в других опытах — но непременно проводимых в тех же условиях — эти соотношения будут сохраняться. Так мы открываем закономерности явлений, физические законы — устойчивые, повторяющиеся во множестве опытов связи между величинами, присущие самой природе явлений. Физические законы объективны, т. е. действуют помимо воли или желания людей.
Подчеркнем два очень важных момента. Во-первых, связь между величинами только тогда будет физическим законом, когда она не придумана нами (а такое придумывание неоднократно имело место в процессе развития физики), когда она подтверждена самой природой. Во-вторых, физический закон действует только в определенных условиях. Иногда рамки этих условий достаточно широки и физический закон является весьма общим заключением, справедливым в большинстве случаев, но все-таки не всегда. Наиболее общие физические законы называют иногда физическими принципами. Они являются самыми широкими, всеохватывающими обобщениями частных законов физики. К их числу относят: закон сохранения и превращения энергии, закон сохранения количества движения (импульса), закон сохранения электрических зарядов и некоторые Другие.
Даже в элементарном курсе мы пользуемся физическими теориями — заключениями, полученными из обобщения всего экспериментального материала, которым располагает физика на сегодня. Физическая теория (например, молекулярно-кинетическая теория, электронная теория, корпускулярная, волновая и квантовая теории света и т. д.) позволяет выяснить причину подчинения явлений определенным законам, иногда позволяет объяснить связи между явлениями очень разнородными.
Путь от начала синтеза экспериментальных данных до построения физической теории огромен. Его этапами являются стадии предположений и проверок, а также физические гипотезы— заключения, базирующиеся на меньшем объеме фактического материала, нежели теории.
Чем больше опытного материала накапливает физика, тем полнее и точнее становятся ее теории и законы. Ведь 14
любая теория, любой физический закон — это заключения, приближенно соответствующие действительному положению дел в природе.
Физика всегда была и всегда будет наукой опытной. Любое физическое исследование начинается с опыта и опытом, подтверждающим или опровергающим выдвинутую гипотезу или теорию, заканчивается. Данные новых опытов уточняют физические законы и границы их применимости, «подправляют» физические теории.
Физика — не застывшая, не законченная, а непрерывно развивающаяся наука. Физическая картина мира последовательно, непрестанно приближается к объективной действительности.
СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ ИЗМЕРЕНИЯФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Представление о физической величине является полным только тогда, когда она измерена.
Измерить физическую величину — значит сравнить ее с однородной величиной, условно принятой за единицу измерения.
Объем можно сравнивать только с объемом, индуктивность — только с индуктивностью! Никому не приходит в голову сравнивать высоту письменного стола с цветом неба. В обиходе такие сравнения — предмет веселых шуток, но в физике подобные сравнения (а они иногда случаются!) совершенно недопустимы.
Другими словами, измерить величину — значит узнать, во сколько раз (результат измерения — число!) она отличается от выбранной единицы.
Подчеркнем существенное отличие физических величин от единиц их измерения. Физическая величина — это характеристика, отражающая одну из важных сторон объекта или явления, это отражение в нашем сознании независимо от нас существующих объективных данных. Единица же измерения — это величина, произвольно выбранная людьми для количественных оценок, сравнений, нужных при осмысливании происходящего вокруг нас. Более образно можно сказать, что физические величины дает нам природа, а единицы их измерения мы придумываем, заботясь о практической выполнимости и простоте наших действий, именуемых измерениями.
Некоторые единицы измерения удается воспроизвести в виде каких-то тел или образцов (например, гири для взвешивания, метровая линейка для измерения длины и т. п.)« Такие единицы называются мерами. Меры, выполненные с наивысшей достижимой в настоящее время точностью, называются эталонами.
Физика пользуется двумя видами измерений — прямыми и косвенными. Под прямыми измерениями понимают такие, при которых измеряемая величина сравнивается с мерой непосредственно или при помощи определенных измерительных приборов. Измерение длины линейкой, массы при помощи рычажных весов и т. д.— примеры прямых измерений. Косвенные измерения — это такие, при которых непосредственно измеряется не сама интересующая нас величина, а другие величины, связанные с ней определенными зависимостями. В этом случае результат измерения получается путем вычислений.
Как измеряется, например, работа силы F при перемещении точки приложения силы на Аг? Если направления силы и перемещения совпадают (это предположение мы используем здесь только для упрощения), то численное значение работы А связано с модулями перемещения Аг и действующей силы F зависимостью A=F kr. Эту связь мы и используем для измерения работы. Результат косвенного измерения (значение работы Л) в этом случае получаем перемножением результатов прямых измерений: F можно измерить динамометром, Аг — линейкой.
В физике установлено большое количество связей между многими величинами. Значение одной и той же величины может быть выражено через значения различных других (^A=Fkr; А — ^у—-^- и т. д.). Одна и та же величина может входить в уравнения для определения целого ряда других величин (например, через массу данного тела можно выразить: его кинетическую энергию при заданной скорости движения, значение силы, необходимой для его движения по окружности определенного радиуса с заданной скоростью, и т. п.). Если к этому добавить принципиальную произвольность выбора единиц измерения любой величины, то вопрос об измерениях усложняется.
Не нужно забывать и о том, что по мере развития физических исследований, охватывающих все большее число тонких и трудоемких задач, по мере развития связей физической науки с другими отраслями человеческих знаний физика все более становилась коллективной наукой. Тот или иной вывод в большинстве случаев делается не на основании труда физика-одиночки и не им одним, а является итогом работы многих больших коллективов. В этих условиях общедоступность и сравнимость результатов измерений имеют большое значение. Иначе может случиться, что
будет измеряться уже измеренное и открываться уже от* крытое. Обмен сведениями между научными коллективами приводит к ускорению научного прогресса.
Анализ накопленных в физике связей между величинами приводил к заключению, что величины данного раздела физики всегда могут быть выражены всего лишь через несколько независимых величин.
Оказалось, что все величины, необходимые для описания любого явления механики, могут быть выражены только через три независимые величины. Наборы этих трех величин могут быть различными, например: длина, время и масса; или: длина, время и сила. Важно только, чтобы эти величины не были зависимыми одна от другой. Если теперь для этих трех величин произвольно назначить единицы измерения, то для всех остальных механических величин единицы измерения будут получены по уравнениям их связи с этими тремя.
Основными единицами мы называем произвольные единицы измерения для этих немногих (независимых друг от друга!) величин, с которыми все другие находятся в определенной связи.
Производные единицы получаются из основных при помощи уравнений связи между соответствующими величинами.
В механике три основные единицы. Если мы переходим к рассмотрению тепловых явлений, к этим трем приходится добавить еще одну. И далее, при переходе к рассмотрению электрических и магнитных явлений и к энергетическому анализу оптических явлений приходится вводить еще, соответственно, по одной основной единице.
Легко понять, почему в качестве основных берутся единицы длины и времени. Все, что существует вокруг нас и независимо от нас, что воспринимается нашими органами чувств и отражается в нашем сознании, мы называем материей. Какой бы материальный объект или явление мы ни рассматривали, окажется, что вне пространства и вне времени ничто не существует. Кроме того, в природе нет покоя, нет абсолютно неподвижных тел, нет застывших явлений. Причем беспрерывное движение, на которое мы здесь указываем, нужно понимать не в смысле механического движения (одно тело перемещается относительно другого), а как любое изменение вообще.
Полет пули и оптические явления, химические реакции и обмен веществ в живых организмах, наконец, процессы^ 18
происходящие в человеческом обществе,— все это примеры различных изменений, примеры различных форм движения, имеющихся в природе. Любой предмет имеет пространственные размеры и форму, находится в каком-то месте в пространстве по отношению к другому предмету. Любой процесс, в котором участвуют материальные объекты, сколько-то длится во времени, может совершаться раньше или позже другого процесса и т. д. Только в движении, в пространстве и во времени существует материя.
Именно поэтому возникает необходимость измерять пространственную и временную протяженности, и единицы для их измерения стоит выбрать в качестве основных. Эти единицы должны быть удобными для практических измерений, должны быть неизменными и воспроизводимыми.
Исторически сложилось так, что одна сорокамиллионная часть длины земного меридиана, проходящего через Париж, была выбрана за единицу длины и названа метром. 1/86400 часть средних солнечных суток (или 1/86164 часть звездных суток) была выбрана за единицу времени и названа секундой.
За эталон единицы длины было выбрано расстояние между рисками на определенном платино-иридиевом стержне при 0 °C. Секунда могла практически очень точно воспроизводиться при помощи специального устройства — кварцевых часов.
Теперь, выбрав еще одну основную единицу и воспользовавшись известными уравнениями связи между значениями величин, можно было построить систему единиц — совокупность основных и производных единиц — для всех механических величин. При этом последнем выборе «привязываться» к какой-то природной мере уже не имело практического смысла.
За третью основную единицу принималась или единица массы (1 кг или 1 г массы), или единица силы (1 кГ силы). Укажем, что одинаковое название единицы — килограмм — для совершенно разнородных величин, массы и силы, было очень неудачным и приводило к путанице.
За эталон единицы массы была принята масса определенного платино-иридиевого цилиндра.
Из принятых в настоящее время систем единиц измерения механических величин мы рассматриваем две: СИ и СГС.
В СИ за основные единицы приняты: 1 м, 1 кг (килограмм массы!) и 1 сек.
Основные единицы системы СГС: 1 см — одна сотая часть метра, 1г — одна тысячная часть массы эталонного цилиндра и 1 сек.
Производные единицы этих систем мы напомним далее, рассматривая соответствующие величины.
Четвертой основной единицей, необходимой при рассмотрении тепловых явлений, является градус.
Для нас будет представлять интерес температурная шкала Кельвина. Не обсуждая действительного принципа ее построения, мы только скажем, что это температурная шкала, начало отсчета которой (0°К) взято на 273,15 градуса ниже О °C, интервалы между ее соседними делениями (градусы Кельвина) соответствуют интервалам шкалы Цельсия, нуль которой определяется температурой плавления льда при нормальном давлении, а температуре кипения дистиллированной воды при нормальном давлении приписывается значение 100°.
Необходимость ввести пятую основную единицу появляется при изучении электрических явлений, и в связи с этим строится абсолютная электростатическая система единиц СГСЭ. В ней используются единицы механической системы СГС и к ним добавляется еще одна.
Вспомним, как вводилась абсолютная электростатическая единица заряда. Использовалось уравнение закона Кулона для взаимодействия равных зарядов (см. § 19). Единицы измерения силы и расстояния брались из системы СГС. Но факт появления пятой основной единицы обычно содержался только в словесной формулировке того, что рассматривается взаимодействие зарядов в вакууме.
Непосредственные опыты по измерению силы взаимодействия заряженных тел в однородном газообразном диэлектрике (и косвенные методы для оценки взаимодействия в однородных жидких и твердых диэлектриках) позволяют учесть влияние среды введением дополнительного множителя в уравнение закона Кулона. В системе СГСЭ можно написать:
Р^1^2г ” ег2 ’
где 8 — так называемая относительная диэлектрическая проницаемость среды, в которой находятся заряды qt и q^ Для вакуума формула принимает вид
Р^1^2
только при условии, что 8=1, причем в любой другой среде значение 8 отличается от единицы, но остается числом отвлеченным (безразмерным), показывающим, во сколько раз сила взаимодействия данных зарядов в этой среде меньше силы их взаимодействия в вакууме при прочих равных условиях.
Произвольный выбор пятой основной единицы в системе СГСЭ и состоит в предположении, что относительная диэлектрическая проницаемость вакуума равна безразмерной единице. В других системах единиц измерения 8 может быть размерной величиной и по численному значению может отличаться от единицы.
Подчеркнем еще раз, что в системе СГСЭ основными являются единицы: 1 см, 1 г, 1 сек и, кроме того, считается, что евак=1.
Единица измерения заряда в системе СГСЭ является производной:
ед. СГСЭ^—1 см-УЧ дин,
так как q — rVF и F измеряется в динах.
Единица измерения силы электрического тока в системе СГСЭ может быть получена по уравнению I =^ > где ^q—
1 ед. СГСЭ71 ед. СГСЭ7_ 1 ед СГСЭ^1 сек_ 1 ед СГСЭ^1 секзначение электрического заряда, протекающего через поперечное сечение проводника за промежуток времени М. Тогда
1 ед. СГСЭ7
1 ед. СГСЭ7
_ 1 ед СГСЭ^1 сек
_ 1 ед СГСЭ^1 сек
Эта единица в 3-109 раз меньше ампера — единицы силы тока, используемой в электротехнике, поскольку
la=JjL и 1 к = 3.109 ед. СГСЭ-.
сек9
Заметим, кстати, что кулон не является единицей, принадлежащей системе СГСЭ.
Аналогично тому, как вводилась пятая основная единица (8вак=1) в электростатике, при изучении магнитных явлений вводилась шестая основная единица. В абсолютной электромагнитной системе единиц СГСМ, о которой в курсе физики средней школы обычно упоминалось, можно было использовать относительную магнитную проницаемость вещества р — величину, показывающую, во сколько раз индукция магнитного поля (при заданном расположении его
источников) в данном однородном веществе отличается от индукции поля тех же источников в вакууме,— как величину безразмерную и равную для вакуума единице (Нвак О*
Наконец, последняя основная единица вводится в фотометрическом разделе оптики для силы света. Это свеча.
Свечу можно выразить и через механические единицы (энергии или мощности, площади, времени) и дополнительную единицу измерения пространственных (телесных) углов — стерадиан. При этом она являлась бы производной единицей. Но поскольку энергию светового излучения практически очень трудно измерять с высокой точностью, было решено воспользоваться свечой как самостоятельной основной единицей. Для свечи был принят эталон специальной конструкции. Все остальные фотометрические единицы являются производными от свечи.
По мере своего развития физика предъявляла все более жесткие требования к точности измерений. Она стала изучать такие'тонкие эффекты и явления, что не очень точные измерения могли не позволить заметить их вовсе. Точность измерений зависела, конечно, от точности определения основных единиц и от точности воспроизведения их эталонами.
Проверку на точность не выдержали ни длина парижского меридиана, ни расстояние между рисками на эталоне единицы длины. Из-за сложного характера движения Земли недостаточной оказалась точность определения секунды как части средних солнечных или звездных суток. Дополнительную неточность при воспроизведении секунды давали и эталонные кварцевые часы. Пришлось искать меры более точно определяемые, чем прежние.
Чрезвычайно устойчивой и измеряемой с высокой точностью (хотя и малой пространственной протяженности) оказалась длина волны, соответствующая одной из линий спектра испускания криптона при определенных условиях наблюдения. Она и была принята за новый эталон единицы длины. Один метр в 1650763,73 раза больше этого эталона.
Более стабильным и точно определяемым эталонным интервалом времени стал считаться тропический год — период обращения Земли вокруг Солнца. Поскольку и тропический год все же изменяется (примерно на 0,5 сек. за 100 лет), за эталонную была принята его протяженность, определенная на 12 часов 00 минут 00 секунд 31 декабря 1899 г. Одна секунда составляет 22
1/31556 925,1747 часть продолжительности этого года. Вместо кварцевых часов для воспроизведения секунды используются специальные молекулярные и атомные часы.
Кроме уточнения эталонов, в последние годы появилась потребность «еще раз договориться». Уж очень большое число различных систем единиц измерения было в ходу, не говоря о множестве единиц внесистемных.
В октябре 1960 г. XI Генеральная конференция по мерам и весам приняла Международную систему единиц СИ (от Systeme International, сокращенно SI). В Советском Союзе эта система утверждена как Государственный стандарт (ГОСТ 9867-61) и должна применяться как предпочтительная во всех областях науки, техники и народного хозяйства.
Основными в СИ являются единицы измерения следующих шести величин: длины — 1 метр, времени — 1 секунда, массы — 1 килограмм, температуры — 1 градус Кельвина, силы электрического тока — 1 ампер, силы света — 1 свеча.
Кроме того, дополнительными являются единицы: плоского угла — 1 радиан, телесного угла — 1 стерадиан.
Пять из основных единиц этой системы мы уже обсудили. Шестая — ампер — вводится на основании точной оценки силового магнитного взаимодействия двух проводников, по которым протекает электрический ток. Этот вопрос мы подробнее осветим в соответствующем разделе нашего пособия. Сейчас не будем задерживаться и на рассмотрении производных единиц СИ.
Преимущество СИ перед всеми другими системами заключается в ее единстве для всех разделов физики. Она четко разграничивает единицы массы (килограмм) и силы (ньютон), устанавливает универсальную единицу для работы, энергии и количества теплоты (джоуль). Основной единицей (кроме механических) для электрических и магнитных явлений служит одна — ампер. Последнее обстоятельство приводит к изменению некоторых формул электростатики и электродинамики. Применение единой системы СИ упрощает расчеты, ликвидирует необходимость перехода от единиц одной системы к единицам другой.
После XIII Генеральной конференции по мерам и весам (октябрь 1967 г.) Комитет стандартов, мер и измерительных приборов при Совете Министров СССР принял решение о переходе к обязательному применению Международной системы единиц.
Проект нового стандарта предусматривает введение нового, «атомного» определения секунды вместо «астрономического». За основу при этом берется период, соответствующий излучению определенной спектральной линии атома цезия-133 при определенных условиях. Одна секунда в 9192 631770 раз больше этого периода. Специальный цезиевый эталон оказывается достаточно точным для такого определения секунды.
Предусматривается также введение новых обозначений для единиц измерения и изменение наименований некоторых единиц измерения. Так, например, метр, секунда, килограмм, ампер, радиан и стерадиан будут иметь обозначения: м, с, кг, А, рад и ср. Единица измерения температуры и разности температур по шкале Кельвина будет называться кельвином (К), а единица силы света — канделой (кд). Далее в тексте мы везде будем использовать новые обозначения и названия единиц измерения.
XIV Генеральная конференция по мерам и весам (октябрь 1971 г.) приняла решение о введении седьмой основной единицы системы СИ для измерения так называемого количества вещества. В качестве такой единицы принят моль (моль) — количество частиц (молекул, атомов и др.), равное количеству атомов, содержащихся в 0,012 килограмма изотопа углерода 6С12. Это количество частиц численно равно так называемой постоянной Авогадро (VA= =6,02-1023 моль-1). Количество частиц, в тысячу раз большее моля, называется киломолем (кмоль). В киломоле содержится 6,02-1026 частиц.