Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Основная цель книги — помочь поступающим в вузы повторить школьный курс физики и подготовиться к последующему обучению в институте.
Четвертое издание книги вышло в 1981 г. Осуществление реформы общеобразовательной и профессиональной школы требует прочного овладения учащимися основами наук. Это нашло отражение в «Программе вступительных экзаменов для поступающих в высшие учебные заведения СССР в 1987 г.». Данное пособие включает материал, соответствующий основным разделам курса физики. В пятое издание внесены изменения, учитывающие современные требования, предъявляемые к абитуриентам на вступительных экзаменах.
Каждый параграф начинается с краткого изложения основных теоретических понятий, законов, формул. Затем приводятся задачи с подробными решениями и небольшое число качественных задач. Заканчивается параграф упражнениями и вопросами для повторения. Решения задач построены по единому, наиболее целесообразному плану, указанному во введении. Решение задач слушателями подготовительных отделений будет способствовать выработке у них прочных теоретических знаний, умений и навыков, необходимых в практической деятельности в различных областях народного хозяйства В конце книги приводятся таблицы, необходимые при решении задач, единицы физических величин СИ, а также правила приближенных вычислений.
Кроме задач, составленных самими авторами, в пособии использованы задачи, которые предлагались на олимпиадах и вступительных экзаменах по физике в МВТУ им. Н. Э. Баумана и других технических вузах Москвы.
Пособие предназначено для слушателей подготовительных отделений высших технических учебных заведений, может быть использовано учащимися средних школ и средних специальных учебных заведений, а также лицами, занимающимися самообразованием.
Автор приносит благодарность проф. А. Н. Ремизову и асе. Н. В. Тыглияну за большую работу, проделанную ими при подготовке рукописи к изданию.
Г. Н. Осанова
ВВЕДЕНИЕ
РОЛЬ ФИЗИКИ В ПРОЦЕССЕ ПОЗНАВАЕМОСТИМАТЕРИАЛЬНОГО МИРА
Физика — одна из основных естественных наук. Она изучает закономерности наиболее общих форм движения материи.
«Материя есть философская категория для обозначения объективной реальности, которая дана человеку в ощущениях его, которая копируется, фотографируется, отображается нашими ощущениями, существуя независимо от них» (Ленин В. И. Поли. собр. соч. Т. 18. С. 131).
Материя существует только в движении. К физическим формам движения материи относятся механическая, молекулярная, электромагнитная и ядерная. Движущаяся материя существует в пространстве и времени. Значит, пространство и время — формы существования материи.
Мир движущейся материи познаваем. В процессе изучения движения материи большая роль отводится физике. Изучение физики помогает формированию диалектико-материалистического миропонимания и развитию производительных сил общества.
Физика — наука опытная. Все физические законы, физические исследования начинаются с опыта или подтверждаются (иногда опровергаются) опытом. Данные новых опытов уточняют физические законы или определяют границы их применимости.
Физика — наука точная, широко использующая математический аппарат.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ФИЗИКИ
Элементы векторной алгебры
Физические величины могут быть скалярными или векторными. Скалярными величинами (скалярами) называются такие, которые характеризуются только числовым значением. Примерами скалярных величин являются время /, масса т, температура Т, электрический заряд 夕，
потенциал <р и др. Скалярные величины могут быть положительными и отрицательными и складываются алгебраически.
Пример 1. Определить полный заряд системы, если 91 = 2 нКл, 72= —7 нКл и ,з = 3 нКл. Полный заряд системы д=g[+g2 + ,3 = =(+ 2 • ICT9 — 7 • ICT9 + 3 - 10~9) Кл = =—2 нКл.
Векторными величинами (векторами) называются такие, которые характеризуются числовым значением и направлением. Примерами векторных величин являются скорость V, ускорение а, сила F, импульс mv, напряженность Е электрического поля, магнитная индукция В, напряженность Н магнитного поля и др.
Векторные величины складываются геометрически.
Пример 2. Сложить две силы:尸〔 = ЗН и F2= 4 Н; векторы Fi, F2 составляют с осью ОХ углы 10 и 40° соответственно (рис. 1).
Сложение векторов (символическая запись):
F= F1 + F2.
Результатом сложения этих сил является сила F, называемая равнодействующей. Вектор F направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах Fi и F2, как на сторонах, и по модулю равен ее длине (рис. 1). Модуль вектора F находим по теореме косинусов:
尸=y 尸:+尸^ + 2尸 1 尸2cos(CI2 -e!1)=
=У32 + 42 + 2• 3 • 4 cos (40。一 10°)H6,8 Н.
Угол, который вектор F составляет с осью ОХ, находим по формуле
° 户 1 C0S0C1 + 尸 2coscХ2
a = arctga = arctg=arctg 0,510,47 рад.=arctg 0,510,47 рад.3-0,17 + 4.0,64 — 3・0,98 + 4・0,77 =
a = arctg
a = arctg
=arctg 0,510,47 рад.
=arctg 0,510,47 рад.
Проекции вектора а на оси ОХ и OY прямоугольной системы координат равны ах = =a cos a, &=asina, где а — угол между вектором а и осью ОХ. Зная проекции вектора,
можно найти его модуль и угол между вектором и осью ОХ (рис. 2):
а = -yjal+ а^\ а= arcig{ay/ax).
При умножении вектора А на положительный скаляр 々 получаем новый вектор 々А, направление которого совпадает с направлением вектора А, а числовое значение отличается в 々 раз.
Пример 3. Определить импульс тела массой 2 кг, ростью 5 м/с.
Импульс тела равен mv = 2-5
Рис. 2 движущегося со ско- кг• м/с= 10 кг м/с иРис. 2 движущегося со ско- кг• м/с= 10 кг м/с инаправлен в сторону v (рис. 3).
Рис. 2 движущегося со ско- кг• м/с= 10 кг м/с и
Рис. 2 движущегося со ско- кг• м/с= 10 кг м/с и
При умножении вектора А на отрицательный скаляр k получаем новый вектор 々А, направление которого противоположно вектору А, а числовое значение отличается в 々 раз.
Пример 4. Заряд q =—7,5 нК〃 помещен в электрическое поле с напряженностью £ = =400 В/м. Найти модуль и направление силы, действующей на заряд.
Сила равна, по определению, F = qE. Так как заряд
отрицателен, то вектор силы направлен в сторону, противоположную вектору Е (рис. 4). Модуль силы равен 尸= М|Е = 7,5・10-9 Кл.400 В/м = 3・10-б н= 3 мкН.
Скалярным произведением векторов А и В называется скаляр, равный произведению числовых значений векторов А и В, умноженному на косинус угла между ними:
С = АВ cos а.
Символическая запись скалярного произведения:
С = АВ.
Пример 5. Найти работу постоянной силы 尸=20 Н, если перемещение тела s = 7,5 м, а угол а между силой и перемещением равен 120°. Работа силы равна, по определению, скалярному про
г "'> Iг —А
II*I
I• mv-QEI
Рис. 4Рис. 4Рис. 3
Рис. 4
Рис. 4
изведению силы и перемещения: Л = 7 = Fs = Fs cos а= 20 • 7,5 cos 120° Дж = /=-150.十 Дж=-75 Дж
Рис. 5Рис. 5Векторным произведением векторов А и В называется вектор С, численно равный произведению числовых значений векторов А и В, умноженному на синус угла между ними:
Рис. 5
Рис. 5
С = АВ sin а.
Вектор С перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы А и В, причем его направление связано с направлениями векторов А и В правилом буравчика (рис. 5).
Символическая запись векторного произведения:
С = АХ В.
Элементы дифференциального и интегральногоисчислений
Пусть в некоторой области значений х существует функция f(x) (рис. 6). Обозначим Ax = xi—х, Af(%)= = f(xi) —/(%)• Выражение
называется первой производной функции f(%) по аргументу %.
厂 工df(x) .
Графически 仁 =tga, где a ——угол наклона касательной к кривой в точке А к оси абсцисс.
Производная от первой производной называется вто-
“Ud2f(x)
рои производной и обозначается —
+(х)Свойства производной
例丿 f（x）例丿 f（x）Если (х)= С(р(х), где С = const,
例丿 f（x）
例丿 f（x）
df(%) = с d6%)
Л 2.Л 2.Если f(%)=屮1(%) +屮2(", df(x) — dq)i(x) I dq)2(x)
Л 2.
Л 2.
3. Если /") =①|(%)屮2(%)，то3. Если /") =①|(%)屮2(%)，то4. Если 依）=需，т。4. Если 依）=需，т。d/(%)dxd/(%)dxdq)i(x)dq)2(x)/、dq)i(x)dq)2(x)/、Рис. 7Рис. 7df(q>) d(p(x)d(p dxdf(q>) d(p(x)d(p dx
3. Если /") =①|(%)屮2(%)，то
3. Если /") =①|(%)屮2(%)，то
4. Если 依）=需，т。
4. Если 依）=需，т。
d/(%)dx
d/(%)dx
dq)i(x)dq)2(x)/、
dq)i(x)dq)2(x)/、
Рис. 7
Рис. 7
df(q>) d(p(x)d(p dx
df(q>) d(p(x)d(p dx
df“) d(pi(x) 7 X , d(p2(x)/、
Если 依) = /(屮“))，т。寸｝=
Значения производных некоторых элементарных функций см. в табл. 1 Приложений.
Если d像 >0, то при возрастании % функция f(x) возрастает.
Если ^^-〈仇 то при возрастании % функция f(x) убывает.
Если d粵=0, то функция f(乃)имеет экстремальное (минимальное или максимальное) значение.
Пусть в некоторой области значений 乃 существует функция Дх) (рис. 7). Разобьем интервал ab изменения % на элементарные отрезки A%i, А%2, •••, A%i, •••, А乃仆 Соста
вим сумму 2/“Мм. Выражение i= 1
lim 2 f(%)A%i = \ f(%)d% 1а
называется определенным интегралом.
Выражение \f(x)dx называется неопределенным интегралом.
Свойства интеграла
Если f(乃)=£ *%)(!%, то , £ 厶(乃)d% = £, fi“)dx. i= Ii= 1i= 1
Если /(%) = acp(%), to，acp(乃)d% =a\(p(%)dx.
Значения интегралов от некоторых элементарных функций см. в табл. 2 Приложений.
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Прочитать условие задачи. Выяснить, какие физические явления или процессы в ней заданы.
Вспомнить определения физических величин, характеризующих как эти явления, так и свойства тел, в них участвующих.
Вспомнить, какие физические законы справедливы для явлений, заданных в условии задач.
Выяснить физический смысл величин, конкретизирующих заданные в задаче явления или процессы.
Слева записать все данные (выразив их в СИ) и искомые величины.
Сделать чертеж (схему, рисунок) к задаче по принятым правилам, учитывая при построении условие задачи.
Записать математически необходимые физические законы и определения физических величин, учитывая при записи условия задачи.
Записать в математическом виде соотношения, выражающие физический смысл дополнительных условий, конкретизирующих заданные в задаче явления.
Решить полученную систему уравнений в общем виде относительно искомых величин.
Произвести проверку размерности полученной формулы.
Вычислить значения искомых величин с учетом правил приближенных вычислений (см. Приложения).
ГЛАВА I
МЕХАНИКА
КИНЕМАТИКА
Кинематика изучает различные механические движения тел без рассмотрения причин, вызывающих эти движения.
Равномерное прямолинейное движение
Равномерным прямолинейным движением называется движение, при котором материальная точка (тело) за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения.
Перемещением материальной точки (тела) называется вектор, соединяющий ее начальное и конечное положения.
Любое движение происходит по закону, который должен определять положение тела в пространстве в данный момент времени. Для описания движения введем прямоугольную систему координат XOY. Тогда положение тела определится его координатами 乃 и у. Следовательно, закон движения должен давать зависимость координат х и у от времени /; его можно найти, вычислив проекции вектора перемещения на оси координат.
В случае равномерного движения вдоль оси ОХ проекция перемещения тела на ось ОХ равна
S х == X 乃о = У%/,
и уравнение движения примет вид
х = Xo + vxty(1)
где 乃о ——координата тела в начальный момент времени; и* ——проекция вектора скорости тела на ось OX; t —— время движения тела.
** Знаки перед слагаемыми в правой части уравнения (1) зависят от выбора направления оси ОХ.
График зависимости перемещения от времени показан на рис. 8. Из графика видно, что скорость
и — s 1 / /1 —— tga.
График зависимости скорости от времени показан на рис. 9. Из графика видно, что перемещение s【=⑺九, численно равно площади прямоугольника ОАВС.
* * *
Из двух точек Л и В, расположенных на расстоянии 90 м друг от друга, одновременно в одном направлении начали движение два тела. Тело, движущееся из точки Л, имело скорость 5 м/с, а тело, движущееся из точки В,— скорость 2 м/с. Через какое время первое тело нагонит второе? Какое перемещение совершит каждое тело? Задачу решить аналитически и графически.
Дано: %02 = 90 м; s = 5 м/с; и? = 2 м/с.
Решение. 1. Выберем начало оси X в точке 4 и направим ее по движению тела (рис. 10). Тогда уравнения движения тел таковы:
%] = 乃01 = °, Х2 = Х02 + v2/, (1)
где ли н 乃2 ——координаты точки С, в которой первое f=fi, или с учетом формулV1/1 = %02 + 02九，где ли н 乃2 ——координаты точки С, в которой первое f=fi, или с учетом формулV1/1 = %02 + 02九，A8cxA8cxпервого и второго тел. Для тело нагонит второе, Xi = х2, (1)(2) где 厶——время движения тел до точки встречи С. Из уравнения (2) находим время движения тел:/1 = —f I с =30 с.первого и второго тел. Для тело нагонит второе, Xi = х2, (1)(2) где 厶——время движения тел до точки встречи С. Из уравнения (2) находим время движения тел:/1 = —f I с =30 с."1 -ь2"1 -ь2
где ли н 乃2 ——координаты точки С, в которой первое f=fi, или с учетом формул
V1/1 = %02 + 02九，
где ли н 乃2 ——координаты точки С, в которой первое f=fi, или с учетом формул
V1/1 = %02 + 02九，
A8cx
A8cx
первого и второго тел. Для тело нагонит второе, Xi = х2, (1)
(2) где 厶——время движения тел до точки встречи С. Из уравнения (2) находим время движения тел:
/1 = —f I с =30 с.
первого и второго тел. Для тело нагонит второе, Xi = х2, (1)
(2) где 厶——время движения тел до точки встречи С. Из уравнения (2) находим время движения тел:
/1 = —f I с =30 с.
"1 -ь2
"1 -ь2
Тогда перемещения тел таковы:
S1 =乃 1 —乃01 = V\t\,
S2 = %2 -%02 =u2九，
S[ = 5・30 м = 150 м;
S2 = 2 • 30 м = 60 м.
Отложим в масштабе по оси абсцисс время t движения, а по оси ординат — значения координаты 乃.Запишем уравнения движения тел:
乃 1 —■ V \ tу 乃2 —工02 + U2f.
Тогда зависимость координат от времени может быть изображена прямыми / и 2 (рис. 11). Найдем координаты их точки пересечения С: f = 30 с,乃】=%2 = 150 м. Следовательно, первое тело нагонит второе через 30 с. Перемещения тел соответственно равны s\x = Xi = 150 м И S2x=%2 — %02=60 м.
Скоростной лифт в высотном здании поднимается равномерно со скоростью 3 м/с. Начертить график перемещения. Определить по графику время, в течение которого лифт достигнет высоты 90 м (26-й этаж).
Дано:。= 3 м/с; у = 90 м.
Решение. Пусть ось У совпадает с направлением движения лифта, а начало оси —— с точкой, в которой лифт находится в начальный момент времени. Тогда уо = 0,
у = vt. Следовательно, s = у—уо = =vt. Для построения графика перемещения отложим по оси абсцисс время 厶 а по оси ординат — перемещение s (рис. 12). Зависимость перемещения от времени изобразится прямой ОД, тангенс угла наклона которой к оси / численно равен скорости V. По графику определим, что лифт достигнет высоты 90 м за 30 с.
По графику перемещения (рис. 13, а) построить график скорости и определить характер движения тела относительно оси X (рис. 13, б).
-*А〃/Г-*А〃/ГОтв. Из рис. 13, а следует, что тело движется равномерно в отрицательном направлении оси X, поскольку проекция s* вектора перемещения на ось X отрицательна и возрастает по абсолютному значению прямо пропорционально времени (рис. 13, в).
-*А
〃/Г
-*А
〃/Г
Упражнения
Один автомобиль, двигаясь равномерно со скоростью 12 м/с в течение 10 с, совершил такое же перемещение, что и другой, за 15 с. Какова скорость второго автомобиля?
Турист вышел из пункта, расположенного в 2 км к востоку и в 1 км к северу от перекрестка дорог, и за 1 ч прошел 5 км к востоку под углом 135°. Определить конечное положение туриста.
Пользуясь прямоугольной системой координат, изобразить вектор перемещения, направленный под углом 45° на северо-восток от точки, расположенной в 1 км к востоку и в 2 км к северу от развилки дорог. Найти координаты конца вектора перемещения, если его модуль равен 25 км.
Тело переместилось из точки с координатами хо=1 м и f/о = 4 м в точку с координатами 乃【=5 м и у\ = 1 м. Найти модуль вектора перемещения тела и его проекции на оси координат.
Определить по графику характер движения тела (рис. 14).
По графику перемещения фик скорости.
Равнопеременное прямолинейное движение
Равнопеременным прямолинейным движением называется движение, при котором скорость материальной точки (тела) за любые равные промежутки времени изменяется на равные величины. Это движение может быть равноускоренным и равнозамедленным.
Для описания равнопеременного движения проводим ось X (или У) в направлении, совпадающем с траекторией тела. Тогда уравнение движения и формула скорости
% = +xo + vQt + аС/2,
V = + vo + at,
где и。一 скорость тела в начальный момент времени; а ——ускорение движения. Знак 《+》или 《一》зависит от выбора лаправления оси X и направления векторов v0 и а. Для свободного падения тел ускорение принять равным g= 9,8 м/с2.
Вектор скорости неравномерного (в частности, рав-
как пер- времени:как пер- времени:dx队=1Гdx队=1Гнопеременного) движения можно также найти вую производную от вектора перемещения по
как пер- времени:
как пер- времени:
dx
队=1Г
dx
队=1Г
ds
V = к
Тогда проекция вектора скорости на ось X
Вектор ускорения переменного движения можно найти как первую производную от вектора скорости по времени: du
Зная проекции векторов скорости vx = yx(Z) и ускорения ах = ax(t\ можно найти координату х и проекцию вектора скорости тела на эту ось:
% = \ u*df,В переменном ней скорости.% = \ u*df,В переменном ней скорости.6
% = \ u*df,
В переменном ней скорости.
% = \ u*df,
В переменном ней скорости.
движении пользуются понятием сред-
Средней скоростью переменного движения называется отношение вектора перемещения s тела ко времени 厶 за которое это перемещение совершено:
<V> = s/L
В равнопеременном движении под средней скоростью понимают среднее арифметическое начальной и конечной скоростей:
〈и〉= 9o + S/2・
График зависимости скорости от времени показан на рис. 16. Из графика видно, что
сV\ — Uo40
〃 =~Л = g3
а перемещение s численно равно площади Oabc. График зависимости перемещения от времени при и° = 0 имеет вид, показанный на рис. 17. Скорость тела в данный момент времени 厶 равна тангенсу угла наклона между касательной к графику и осью времени:
и т tga.
** Во всех задачах, кроме 84, 101, 146, сопротивление воздуха не учитывать.
Автомобиль начинает движение без начальной скорости и проходит первый километр с ускорением а】， а второй ——с ускорением а2. При этом на первом километре его скорость возрастает на 10 м/с, а на втором — на 5 м/с. Что больше: а】 или а?? Найти ускорения.
Дано: S] = S2 = Ю3 м; и0 =。； s = 10 м/с;。2 = 15 м/с.
02 三 ai?
Решение. Пусть ось X совпадает с направлением движения автомобиля. Начало оси выберем в точке, из которой автомобиль начинает движение. Запишем уравнение движения автомобиля и формулу скорости:
= %о+Uof+ а»/2; и = ио + 〃/.(1)
Для конечной точки первого уча-**
стка уравнения (1) примут вид二丁 卞亠
““ а 0/02 у
Si =乃 1 —乃0] = a"；/2; S = а"1. ••*7
Решая совместно эти уравнения,,
2 cРис. 18
получаем yf = 2aiSi, откуда
6 =京；6 = ТЖР=5・1О М/с2.
Для конечной точки второго участка уравнения (1) примут вид
S2 = %2 —%02 =卩也 + 〃2而/2 (так как У02 = ^1), 02 = S + a2t2.
Решая совместно эти уравнения, находим и^—— и彳=2а2s2, откуда
&2&2ug — и?2s2ug — и?2s2；Q2 =；Q2 =152 - 102 м~2・ UcL152 - 102 м~2・ UcL6,25，10一2 м/с2.6,25，10一2 м/с2.
&2
&2
ug — и?
2s2
ug — и?
2s2
；Q2 =
；Q2 =
152 - 102 м~2・ UcL
152 - 102 м~2・ UcL
6,25，10一2 м/с2.
6,25，10一2 м/с2.
Следовательно, а2>аь
Два велосипедиста едут навстречу друг другу. Один, имея скорость 18 км/ч, движется равнозамедленно с ускорением 20 см/с2, другой, имея скорость 5,4 км/ч, движется равноускоренно с ускорением 0,2 м/с2. Через какое время велосипедисты встретятся и какое перемещение совершит каждый из них до встречи, если расстояние между ними в начальный момент времени 130 м?
Дано: voi = 18 км/ч = 5 м/с; а\ = 20 см/с2 = 0,2 м/с2;
и°2 = 5,4 км/ч = 1,5 м/с; а = 0,2 м/с2; х02 = 130 м.
S1 — ? S2— ? Т— ?
Решение. Пусть ось X совпадает с направлением движения первого велосипедиста, а начало координат —— с точкой О, в которой он находился в момент времени / = 0 (рис. 18). Тогда уравнения движения для велосипедистов таковы:
Х1 = ио" —а"2/2(№1 = 0),%2 = %02 —^02» — 〃2产/2.⑴
В момент встречи (/ = т) в точке А
乃I ==乃2・(2)
Тогда, подставляя выражения (1) в (2), получаем 001Т — Q"2/2 =% 02 — Uo2 T - a2p2/2, 0тКуДа
-x021 30
^ = Т7Т^Г; м^Гс = 20 &
S尸不一北］=啲! 一 芳-; S = 5.2O— 門竺m = 60 m, s2= |х2—%02l = УО2Т + ^-； S= 1,5• 20 + 丝了- м = 70 M.
При равноускоренном движении из состояния покоя тело проходит за пятую секунду 90 см. Определить перемещение тела за седьмую секунду.
Дано: S5 = 90 см = 0,9 м.
Решение. Проведем ось X в направлении движения тела, а начало оси выберем в точке О, из которой тело начинает движение (рис. 19). Тогда, согласно уравнению движения, %4 = а/；/2, 右=а忌/2, где /4 = 4 с, % = 5 с. Следовательно, перемещение тела за пятую секунду S5 = %5 ——％4 = а(忌 ——d)/2, откуда
а = 2s5/(忌一团. (1)
Аналогично, S7 =乃7——乃6 = 〃(苏—— 庶)/2, где % = 7с; /б = =6 с. С учетом уравнения (1) получим
$5(百—/б) — S5«7 + /б)«7 —").
^5 — d(，5+ 八)"5 -厶)，
0,9(7 + 6)(7 - 6)(5 + 4)(5 -4)0,9(7 + 6)(7 - 6)(5 + 4)(5 -4)м = 1,3 м.м = 1,3 м.
0,9(7 + 6)(7 - 6)(5 + 4)(5 -4)
0,9(7 + 6)(7 - 6)(5 + 4)(5 -4)
м = 1,3 м.
м = 1,3 м.
13°. Уравнение движения тела дано в виде х = =15/+ 0,4/2. Определить начальную скорость и ускорение движения тела, а также координату и скорость тела через 5 с.
Дано: / = 5 с.
а — ? о。— ? х — ? и — ?
Решение. 1-й способ. Сравним данное уравнение движения тела с уравнением движения в общем виде:
х = Хо + vQt + а/2/2; %=15/ + 0,4产.(1)
Очевидно, что 乃о = 0, а коэффициенты при f и » равны оо = 15 м/с и а/2 = 0,4 м/с , откуда а = 0,8 м/с2. Координату тела через 5 с найдем из уравнения (1):
% = (15-54~0,4-52) м = 85 м.
Скорость тела через 5 с определим по формуле
v = vQ + at\v = (15+0,8-5) м/с = 19 м/с. 0
2-й способ. Координату % при / = 5 с
найдем из уравнения (1). По определению 田 скорости
и = —(15/ + 0,4/2)= 15+0,8/;」」“丿丿“
d/ df II ，WWW
u = (15 + 0,8-5) м/с = 19 м/с;yl
a=票=急15 + 0,8/) = 0,8 м/с2.Рие 20
С вертолета, находящегося на высоте 300 м, сброшен груз. Через какое время груз достигнет земли, если вертолет: 1) неподвижен; 2) опускается со скоростью 5 м/с; 3) поднимается со скоростью 5 м/с?
Дано: у0 = 300 м; и。= 5 м/с.
Решение. Направим ось У вертикально вниз, начало оси поместим в точке О на высоте yQ от поверхности земли (рис. 20).
Если вертолет неподвижен, то уравнение движения груза
y = g产/2.(1)
Когда груз достигнет поверхности земли (/ =九，у=у。)， уравнение (1) примет вид yQ = g/?/2, откуда время падения груза на землю
f I = У 普;九=V^S^ с = 7,8 с.
Так как перед падением груз опускался вместе с вертолетом со скоростью и。，то уравнение движения груза
У= vQt + gt2/2,(2)
Когда груз достигнет поверхности земли (/=/2, У = Уо), уравнение (2) примет вид 勿=uo/2 + g虚/2, откуда
^2 + 2ио^2/g — 2%/g = 0.
Решая полученное уравнение, находим
/ = -Uo±V^+2gyo .
g
Следовательно, /2 ^ 7,3 с (отрицательный корень отбрасываем, так как время движения f〉0).
Составим уравнение движения груза:
У= —vQt + gt2/2(3)
(так как перед падением груз поднимается вместе с вертолетом со скоростью и。). В момент достижения грузом земли (/ = /3, у = уо) уравнение (3) примет вид 次= =—vQt3 + gtl/2, откуда
理 一 200" - 2% _ 0
3 g g — •
Решая полученное уравнение, находим
* — ио 士 V岔 + 2gyo .
/3= i ，
Отбрасывая отрицательный корень, получаем /^ 8,3 с.
С воздушного шара, опускающегося вниз с постоянной скоростью 2 м/с, бросили вертикально вверх груз со скоростью 18 м/с относительно земли. Определить расстояние между шаром и грузом в момент, когда груз достигает высшей точки своего подъема. Через какое время груз пролетит мимо шара, падая вниз?
Дано: и(и = 2 м/с; и02 = 18 м/с.
S - ? Т --?
Решение. Направим ось У вертикально вверх, начало оси совместим с точкой О, в которой находился воздушный шар в момент бросания груза (рис. 21).
I
Тогда уравнения движения воздушного шара и груза таковы:
丁У1 = —Uoif, У2 = U02f — gC/2.(1)
I Скорость движения груза изменяется по зако- 一 ну v = vQ2 — gt. В наивысшей точке А подъема 兩 скорость груза равна нулю: 0 = и。？ 一 g/макс； тследовательно, время подъема груза /Макс =
=u()2/g. Координата груза в точке А
〃—*gEaxc —。02 gO%2 — ^02
Рис. 21勿力-°02小—=^02— F •
За это же время /макс воздушный шар опустится в точку В с координатой 小в = —^oi/макс = —VQ{VQ2/g. Расстояние между точками А и В равно
s = \АВ\ = |ДО| + \ОВ\ = \У2а\ + |у 向=-^-+-^ =
=器(Uo2 + 2u()i)；
5 = -2^(18 + 2.2)м^20 м.
В момент т, когда камень пролетит мимо шара, координаты тел будут одинаковы: у\ = ^2, или с учетом уравнений (1) —uoit = U02T —"/2, откуда
т _ 2(001+。02)_ 2(2+18)〜4
Т— g ' Т— 9,8 с 〜4 c.
Одно тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью и。， другое свободно падает с высоты Л. Найти зависимость расстояния между телами от времени, если известно, что тела начали движение одновременно.
Дано: и。，у0 = Л.
Ay = f(f)-?
Решение. Направим ось У вертикально вверх, начало оси выберем на поверхности земли (рис. 22; точка О). Так как тела брошены одновременно, то время их движения одинаково и законы движения имеют вид у\ = = u(n/ —— g/2/2, у2 = Уо — gt2/2, где уо ——начальная координата второго тела.
Расстояние между телами в любой момент, пока одно из тел не упадет, выражается уравнением \у = у2 — у\ =
Рис. 22Рис. 22=% — g产/2 — и。" + g产/2 =勿一uof, или
Рис. 22
Рис. 22
\у — h — и。".
Два тела брошены вертикально вверх с одинаковой начальной скоростью и0 и с интервалом времени т. Определить скорость движения второго тела относительно первого. По какому закону изменяется расстояние между телами?
Дано: и。； т
V — ? Ay— ?
Решение. Направим ось У вертикально вверх, начало оси выберем на поверхности земли в точке бросания тел, а за начальный отсчет времени примем момент бросания первого тела. Запишем уравнения движения тел: у\ = =Vot — gt2/2,勿=u°(f — — g(f — т)2/2. Расстояние между телами изменяется по закону
^У = У1—У2= vQt — g/2/2 — ^о(/—т) + g(/—工尸/2 =
=vQT + gT2/2 — gTt.
В выбранной системе координат скорости первого и второго тел изменяются по закону v\ = VQ — gt, U2 = =и。一g(f—т). Тогда скорость движения второго тела относительно первого
и = U2 —Ui = Uo —g(f—т) —Uo + g/ = gT = const; значит, относительное движение тел равномерное.
Мяч брошен вертикально вверх. На высоте h он побывал дважды с интервалом времени Af. Определить начальную скорость бросания мяча.
Дано: Л; Д/.
— ?
Решение. Направим ось у вертикально вверх, начало оси выберем на поверхности земли (рис. 23; точка О). Запишем уравнения движения мяча для моментов времени / и
/z=uo/ — g产/2, h=vQ(t + \t)-g{t + ^)2/2.(1)
Решая совместно уравнения (1), находим и。/—g/?/2 = =vQt + vQ^t — gt2/2 — gt\t — g\t2/2, откуда
/ = (2uo-gA/)/(2g).(2)
Подставим выражение (2) в (1):
4vl — g2M2
q ]f откуда
[办 Uo = y 8g九+ g2A产/2 •
>///〉〃力(//〃/,19. Тело свободно падает с высоты 490 м.
Определить перемещение тела в последнюю
Рис. 23 секунду падения.
00Дано: h = 490 м; Д/ = 1 с.
0
0
Решение. Направим ось У вертикально s | вниз, начало О оси расположим на высоте hMl_
от поверхности земли (рис. 24). Тогда урав-I
У = g，2/2.У = g，2/2.некие движения тела
У = g，2/2.
У = g，2/2.
1) У
Когда тело достигнет поверхности земли Рис. 24 (/=/2, у =坎=九)，уравнение (1) примет вид h = gtl/2, откуда t? = 72h/g. В момент (/2 —А/) тело окажется в точке А с координатой yi=g«2 —А/) /2. Тогда
Ау = ^2 —У\ = -|- [^2 — «2 — А/)2] = ^^ (2% — А/)=
Ay = Ц^ ( 2~V?9：；0 - 1) м = 93 м.
20°. Мяч, брошенный вертикально вверх, упал на землю через 3 с. С какой скоростью был брошен мяч и на какую высоту он поднялся?
Дано:厶=3 с.
О。一 ？ Умакс — ?
Решение. Направим ось У вертикально вверх, начало оси О выберем на поверхности земли (рис. 25). Тогда уравнение движения тела и формула скорости
У= vQt~gt2/2t(1)
u = Uo — g/.(2)
и。= ~У； и。=и。= ~У； и。=9,8-39,8-3千=14,7 м/с.千=14,7 м/с.У *4“>〃〃»〃〃/,0У *4“>〃〃»〃〃/,0На поверхности земли f = /i, У=0, тогда уравнение (1) примет вид 0=u()/i—g疗/2, откуда
и。= ~У； и。=
и。= ~У； и。=
9,8-3
9,8-3
千=14,7 м/с.
千=14,7 м/с.
У *
4“
>〃〃»〃〃/,0
У *
4“
>〃〃»〃〃/,0
В наивысшей точке А подъема мяча / = /макс, У = Умакс, и = 0. Запишем уравнение (2) для ТОЧКИ А： 0=00 —g/макс, ОТКуДЗ
/макс = Uo/g. (3)
** Время подъема можно найти и другим способом. Так как в точке Л координата у максимальна, то d(/MaKC/d/ = 0, или с учетом уравнения (1)
'*产 =-^( Uo/максg，『” ) = Оо — g/макс = О,
откуда
/макс —= Uo/g.
Подставив уравнение (3) в (1), найдем
2g，2g，〃—/g/макс
2g，
2g，
t/макс — Vo^ макс2
14*2
Умакс — ~2~9 & М — 11 М.
Тело бросают вертикально вверх со скоростью 4,9 м/с. Одновременно с предельной высоты, которой оно может достичь, бросают вертикально вниз другое тело с той же начальной скоростью. Определить время, по истечении которого тела встретятся.
Дано: v0 = 4,9 м/с.
Т — ?
Решение. Направим ось У вертикально вверх, а начало оси О выберем на поверхности земли (рис. 26). Тогда уравнения движения первого и второго тел
У\ = ио" — g产/2, У2 =寿一U02/ — g产/2,
где и(н = U02 = и。. В точке В встречи (/ = р,小=y2) имеем
^оТ — gj/2 = Уо — ^oT — gj/2,
откуда т = уо/(2ио), где 勿一наибольшая высота подъема первого тела, yQ = умакс = ^o/(2g) (см. задачу 20).
получаемполучаемт =т =2g ・2^ — 4g，2g ・2^ — 4g，т = 4,98 c ^ °」3 C.т = 4,98 c ^ °」3 C.Подставляя это выражение в формулу для т,
получаем
получаем
т =
т =
2g ・2^ — 4g，
2g ・2^ — 4g，
т = 4,98 c ^ °」3 C.
т = 4,98 c ^ °」3 C.
Первую половину пути автомобиль двигался со скоростью 80 км/ч, а вторую половину—со скоростью 40 км/ч. Найти среднюю скорость движения автомобиля.
Дано: th = 80 км/ч ^ 22(м/с; и2 = 40 км/ч 弋 11 м/с.
⑺一 ？
Решение. Так как при равномерном прямолинейном движении путь равен модулю вектора перемещения, то 〈и〉= s/t.(1)
Здесь s ——путь автомобиля; f =九 + f? = si/vi + S2/U2—— полное время движения, где si, S2 ——пути автомобиля за время fi со скоростью s и время " со скоростью и2 соответственно. По условию задачи, s】=S2 = s/2; следовательно,
/ = s/(2s) + s/(2u2).⑵
Подставив выражение (2) в (1), найдем
—s/2・S + s/2・U2。1 +。2 '
2-22-11 м 〜/
〈力=^14,7 м/с.
Кабина лифта поднимается в течение первых 4 с равноускоренно, достигая скорости 4 м/с. С этой скоростью кабина движется в течение 8 с, а последние 3 с она движется равнозамедленно. Определить перемещение кабины лифта. Построить графики скорости, перемещения и ускорения.
Дано: Д/1 = 4 с； Д/2 = 8 с; Д/3 = 3 с;力=4 м/с.
h — ?
Решение. Направим ось У вертикально вверх, а начало оси совместим с началом движения кабины лифта. Рассмотрим движение кабины на трех участках. На первом участке перемещение
仇=<^i>A/i,(1)
где 〈и】〉——средняя скорость на этом участке. Так как движение здесь равноускоренное, то
〈S〉— (^нач + Ukoh)/2 — (0 + 1^2)/2 — и?/2.
Учитывая это, перепишем уравнение (1):
h\ = U2A/1/2.
На втором и третьем участках перемещения соответственно равны
九2 = U2A/2,九з =〈из〉А/з.
04812 /6 t.ca, м/с2 б)04812 /6 t.ca, м/с2 б)Рис. 27Рис. 27
04812 /6 t.c
a, м/с2 б)
04812 /6 t.c
a, м/с2 б)
Рис. 27
Рис. 27
Так как〈力〉=匆/2, то ft3 = =U2A/3/2. Следовательно, полное перемещение кабины лифта
九==h 1 +力2 +九3, или
"=粤+。2A办+營=
=-^~ (Ah + 2А" + А/з),h = -^-(4+2• 8+ 3) м = 46 м.
Построим графики скорости, перемещения и ускорения, рассматривая каждый участок движения отдельно. Полный график скорости (рис. 27, а) — ломаная OBCD. График перемещения (рис. 27, б) состоит из трех участков: OB' — участок параболы с вершиной в точке О, В'С' — отрезок прямой и С'D' — участок параболы с вершиной в точке О'; график ускорения (рис. 27,6)— ломаная ABB'СС'D.
Поезд в течение 10 с увеличил скорость с 36 до 54 км/ч. В течение следующих 0,3 мин он двигался равномерно. Определить перемещение и среднюю скорость поезда. Построить графики скорости и перемещения
Дано: и0 = 36 км/ч = 10 м/с; и = 54 км/ч 】=15 м/с;Л/1 = 10 с; Л/2 = 0,3 мин = 18 с.
<и> — ? s —?
Решение. Совместим ось X с направлением движения поезда, а начало оси выберем в точке О, в которой скорость поезда была равна и# Рассмотрим движение поезда на двух участках. На первом участке переме
щение
Si =〈S〉А%.
Так как движение поезда на первом участке равноускоренное, то средняя скорость его движения на этом участке <^i> = (% + и)/2. Тогда
(О(ОS1 =2 А'】；
(О
(О
так как движение на втором участке равномерное, то
S2 =必％.(2 )
Следовательно, полное перемещение поезда s = Si + s? или [см. (1) и (2)]
S =生产a厶+必22；
S =(叱 W 10 + 15-18)м = 395 м.
Средняя скорость движения поезда 〈и〉= s/t,
где / = Д/1 + Д/2. Тогдагде / = Д/1 + Д/2. ТогдаРис. 28Рис. 28е〉=揖；指h
где / = Д/1 + Д/2. Тогда
где / = Д/1 + Д/2. Тогда
Рис. 28
Рис. 28
е〉=т¥/。14,1 М/с.
Построим графики скорости (рис. 28, а) и перемещения (рис. 28, б), рассматривая каждый участок движения отдельно.
Как двигался мотоциклист, график скорости движения которого изображен на рис. 29?
Рис. 29Рис. 29Отв. Из графика видно, что
Рис. 29
Рис. 29
Рис. 31Рис. 31
Рис. 31
Рис. 31
мотоциклист начал движение из состояния покоя (точка О). На участке ОА он двигался равноускоренно, на участке АВ его движение было равномерным, а на участке ВС — равнозамедленным с большим по абсолютному значению ускорением, чем на участке ОА (tgai<tga2). Участок CD соответствует остановке. Участки DEt 七尸,ЕК графика соответствуют движению мотоциклиста в обратном направлении: равноускоренному (участок DE), равномерному (участок EF) и равнозамедленному (участок FK) • 26. По заданному графику скорости (рис. 30,а) построить графики ускорения и перемещения.
Отв. На участке Ot\ дви
жение равноускоренное в положительном направлении оси X (рис. 31; участок траектории ОА), поэтому график ускорения имеет вид прямой, параллельной оси f (рис. 30,6; участок Ьс), а график перемещения ——участок параболы Ос】с вершиной в точке О. На участке /也 движение равномерное (рис. 31; участок траектории АВ), поэтому график ускорения имеет вид прямой, идущей вдоль оси f (рис. §0,6); участок /1/г), а график перемещения ——прямая Cidi, касающаяся параболы в точке С\ (рис. 30, в). На участке /2^з движение равнозамедленное в прежнем направлении (рис. 31; участок траектории ВС). Поэтому график ускорения имеет вид прямой, параллельной оси / (рис. 30, б; участок de), а график перемещения — участок параболы с вершиной в точке еь касающийся прямой C\d\ в точке d\ (рис. 30, в).
27. По графику перемещения, состоящему из двух участков парабол (рис. 32, а), построить график скорости и ускорения.
Отв. На участке Ot\ (рис. 32, а) движение равнозамедленное и направлено в сторону, противоположную оси X (рис. 33; участок траектории ОЛ), поэтому скорость отрицательна и убывает по модулю (рис. 32, б; участок 石с), а ускорение положительно (рис. 32, 8； участок Ь\С\). На участке t\t2 движение равноускоренное в направлении оси X (рис. 33; участок траектории АО), поэтому скорость положительна и возрастает по модулю (рис. 32,6; участок cd), а ускорение остается прежним по модулю и направлению (рис. 32, в; участок C\d{). На участке 72fз движение- равнозамедленное в прежнем направлении (рис. 33; участок траектории ОВ), поэтому скорость положительна и убывает по модулю (рис.. 32, б; участок de), а ускорение отрицательно (рис. 32,6； участок dfe) На
б)
Рис. 32
Л
у
Рис. 33
** Построение всех графиков выполнялось без масштаба.
участке /3/4 движение равноускоренное и направлено в сторону, противоположную оси X (рис. 33; участок траектории ВО), поэтому скорость отрицательна и возрастает по модулю (рис. 32,6; участок ef), а ускорение остается прежним (рис. 32,6； участок eji).
28°. Тело движется вдоль оси X по закону % = 6— 3/ + 2俨.Найти среднюю скорость тела и ускорение за
промежуток времени 1—4 с. Построить графики перемещения, скорости и ускорения.
Дано: /1 = 1 с; /2 = 4 с.
〈и〉一 ？ а — ?
Решение. По определению,
u =窑=^(6-3/ + 2产)=一3 + 4/,(1)
Из уравнения (1) с учетом Л и " имеем s = (—3 + + 4-1) м/с = 1 м/с, и? = (— 3 + 4-4) м/с = 13 м/с.
Тогда
/ 、1 + 13 м т /
е〉= —2—~ = 7 м/с；
а = -~- = £(— 3 + 4/) = 4 м/с2 = const.
График перемещения ——парабола (рис. 34, а), где х()= 6 м ——начальная координата тела; график скорости —прямая (рис. 34, б), где ио = — 3 м/с — начальная скорость тела; график ускорения ——прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 34, а).
29°. Скорость тела выражается формулой и = 2,5 + 0,2/. Найти перемещение тела через 20 с от начала движения.
Дано: /1 = 0; /2 = 20 с.
Решение. По определению, s =
=\ vit. Тогда
20
s = , (2,5 + 0,2/) d/ = (2,5/ + о
20
+0,2产)I = 2,5 • 20 м +
20
+0,2(2。)2 m = 90 m.
Упражнения
Поезд, идущий по горизонтальному участку со скоростью 36 км/ч, начинает двигаться равноускоренно и проходит 600 м, имея в конце участка скорость 45 км/ч. Определить ускорение и время ускоренного движения.
По одному направлению из одной точки одновременно пущены два тела: одно — равномерно со скоростью 98 м/с, другое — равноускоренно с начальной скоростью, равной нулю, и ускорением 980 см/с2. Через какое время второе тело нагонит первое?
За вторую секунду после начала движения автомобиль прошел 1,2 м. С каким ускорением двигался автомобиль? Определить перемещение автомобиля за десятую секунду после начала движения.
Уравнение движения тела % = 5/ + 0,8/2. Определить ускорение и начальную скорость движения тела.
Мяч падает на плоскую поверхность с высоты 20 м и вновь подпрыгивает на высоту 5 м. Чему равна скорость мяча в момент падения на площадку? Сколько времени проходит от начала падения мяча до момента достижения им точки наивысшего подъема? Какова скорость мяча в момент отрыва от площадки?
Тело падает с высоты 2000 м. За какое время оно пройдет последние 100 м?
Поезд отошел от станции с ускорением 20 см/с2. Достигнув скорости 37 км/ч, он двигался равномерно в течение 2 мин, затем, затормозив, прошел до остановки 100 м. Найти среднюю скорость поезда. Построить график скорости.
Первую половину времени своего движения автомобиль двигался со скоростью 80 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 40 км/ч. Определить среднюю скорость движения автомобиля.
Материальная точка двигалась прямолинейно. На расстоянии 1 км от начального положения она остановилась, а затем в противоположном направлении прошла 1,2 км до полной остановки. Чему равны перемещение и полный путь, пройденный точкой?
Автомобиль, двигаясь равноускоренно, прошел Два смежных участка пути по 100 м каждый за 5 и 3,5 с. Определить ускорение и среднюю скорость автомобиля на каждом участке пути и на двух участках вместе.
Тело А бросают вертикально вверх со скоростью 20 м/с. На какой высоте находилось тело В, которое бу-
Рис. 36Рис. 36дучи брошено с горизонтальной скоростью 4 м/с одновременно с телом Д, столкнулось с ним в полете? Расстояние по горизонтали между начальными положениями тел 4 м. Найти время движения тел до столкновения и скорость каждого тела в момент столкновения.
Рис. 36
Рис. 36
По графику скорости (рис. 35) построить графики перемещения и ускорения и объяснить характер движения тела на различных участках.
По графику перемещения (рис. 36) построить график скорости и ускорения и объяснить характер движения на каждом участке.
С некоторой высоты падает коробка, в центре которой находится металлический шарик, не соприкасающийся с ее стенками. Определить движение шарика относительно стенки коробки во время падения. Сопротивление воздуха не учитывать.
Некоторые виды сложного движения
Равномерное прямолинейное движение. Любое равномерное движение, происходящее с постоянной скоростью V вдоль произвольной прямой АВ (рис. 37),
можно разложить на дваможно разложить на дванезависимых равномерных и прямолинейных движения вдоль осей X н У со скоростями Vx И Vy.
можно разложить на два
можно разложить на два
Для описания этого движения выберем прямоугольную систему координат XOY. Тогда уравнения движения тела
X = Xq + и/,
у = У^ + Uyt,
где vx = V cos a, vy = v sina.
Скорость тела в любой точке траектории
V = у Vx + V^
и направлена вдоль траектории движения.
Движение тела, брошенного горизонтально с некоторой высоты. Это движение можно разложить на два независимых движения: равномерное и прямолинейное, происходящее в горизонтальном направлении со скоростью и%, равной начальной скорости бросания vq（vx = =и。）, и свободное падение с высоты, на которой находилось тело в момент бросания, с ускорением g.
Для описания этого движения выберем прямоугольную систему координат XOY. Направим ось X по горизонтали, а ось У ——по вертикали вверх. Тогда уравнения движений по осям X н У
х = %о + и。/, у = у^ — g产/2.
Скорость тела в любой точке траектории
V =-yJ Vx + vl
и направлена по касательной к траектории в данной точке.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Это движение можно разложить на два независимых движения: равномерное и прямолинейное, происходящее в горизонтальном направлении с начальной скоростью uox=u（）cosa, и свободное падение с начальной скоростью vQy = uosina, где а ——угол между направлениями вектора скорости ио и осью X （рис. 38）.
Для описания движения выберем прямоугольную систему координат XOY. Направим ось X по горизонтали, а ось OY ——по вертикали вверх. Тогда уравнения движений
X = Хо + %К, У = Уо + vQyt — g产/2.
Скорость тела в любой точке траектории
u = V峻+嗚，
где vx = %х, vy = voy — g/, и направлена по касательной к траектории в данной точке.
Направление вектора скорости в произвольной точке
траектории определяется углом ср, образованным вектором скорости V с осью X, по формуле
tg Ф = vy/vx.
** Значения х° и %, а также знаки перед слагаемыми в правых частях написанных выше уравнений во всех трех случаях зависят от выбора начала координат и направления осей 文 н У.
* * *
Пассажир поезда, идущего со скоростью 40 км/ч, видит в течение 3 с встречный поезд длиной 75 м. С какой скоростью идет встречный поезд?
Дано: s = 40 км/ч н 11 м/с; / = 3 с; / = 75 м
02 - ?
Решение. Рассмотрим движение второго поезда относительно системы отсчета, связанной с первым поездом. Тогда скорость второго поезда относительно выбранной системы отсчета v = vl + V2 (vf = — 5 — скорость земли относительно первого поезда; V2 ——скорость второго поезда относительно земли), или в скалярной форме и = 5 + U2 = s + U2・ Учитывая, что и = ///, получаем l/t = s + v2t откуда
V2 = I/ t — V[\ U2 = (75/3 — 11) м/с = 14 м/с.
Лодка движется поперек реки перпендикулярно ее берегам со скоростью 2 м/с. Под каким углом к выбранному направлению оси Уис какой скоростью относительно поверхности воды гребец держит курс, если скорость течения реки 5 км/ч (рис. 38) ?
Дано: и = 2 м/с;山=5 км/ч ^ 1,4 м/с
Решение. Рассмотрим движение лодки относительно берега. Тогда скорость движения лодки V = V1+V2, где V1 — переносная скорость, обусловленная течением реки, v2 ——скорость движения лодки относительно воды. Так как, по условию задачи, v_Lvi, а V2 — V — V1 (рис. 39), то
V2 = V^l + d =
=工м/с 2,4 м/с.
Тангенс угла равен tga = vi/vt откуда
a = arctg (s/и)； a =
=arctg (1,4/2) ^ 0,84 рад.
С какой скоростью и по какому курсу должен лететь самолет, чтобы за 2 ч пролететь на север 300 км, если во время полета дует северо-западный ветер под углом 30° к меридиану со скоростью 27 км/ч?
Дано: / = 2 ч = 7,2 * 103 с; / = 300 км = 3- 105 м; а = 30° ^ 0?52 рад, s = 27 км/ч = 7,5 м/с.
U2 - ?中一？
Решение. Рассмотрим движение самолета в системе отсчета, связанной с землей. Проведем ось X в направлении на восток, а ось У — на север (рис. 40). Тогда скорость движения самолета в выбранной системе отсчета
или (рис. 40)
и по теореме косинусов находим скорость:
U2 = д/^f + ^2 + 2uiucosa,
где V = l/t. Таким образом,
U2 =寸卩彳 + /2//2+ 2ujcosa〃，
^2 = V^'S^ + G • 1 О，"7,2 • 1 CP))? + —>
f + (2・7,5•0,86・3・ 105)/(7,2. 103)m/е 48,3 м/с.
Так как проекция суммы равна сумме проекций то, находя проекцию (1) на оси X и У, имеем
f 2sin ф = v\ sin а, и2cos 屮=f i cos а + и,(2)
.ssina
откуда tg(p = или
J * Ui cosa 4- I t
丄 S sin a
Ф - arctg-~~~Tl7t ；
9=a「ctg 7不0不6-^常又7,2:L65 ^ arctg 0,078 0,078 рад.
Самолет летит горизонтально со скоростью 360 км/ч на высоте 490 м. Когда он пролетает над точкой Л, с него сбрасывают пакет. На каком расстоянии от точки А пакет упадет на землю?
Дано: и0 = 360 км/ч = 100 м/с, h = 490 м.
Решение. Направим ось X горизонтально, ось У вертикально, начало координат выберем в точке А (рис. 41). Запишем уравнения движения пакета по осям X и У:
х = и。/, у = уо —g 产/2,(1)
где у。= h. Для точки падения В « =九，х = хв, у = =уз = 0) уравнения (1) примут вид
хв = и。％,(2)
0 =九一 g疗/2.(3)
Время движения ния (3):/1 = "VM/g •Время движения ния (3):/1 = "VM/g •пакета до точки Впакета до точки Внайдем из уравне-найдем из уравне-⑷⑷
Время движения ния (3):
/1 = "VM/g •
Время движения ния (3):
/1 = "VM/g •
пакета до точки В
пакета до точки В
найдем из уравне-
найдем из уравне-
⑷
⑷
Искомое расстояние s = хв найдем с учетом (4):Искомое расстояние s = хв найдем с учетом (4):из уравнения (2)из уравнения (2)=1=12-490 к~^М= Ю3 М.2-490 к~^М= Ю3 М.Рис. 41Рис. 41
Искомое расстояние s = хв найдем с учетом (4):
Искомое расстояние s = хв найдем с учетом (4):
из уравнения (2)
из уравнения (2)
=1
=1
2-490 к
~^М= Ю3 М.
2-490 к
~^М= Ю3 М.
Рис. 41
Рис. 41
Струя воды в гидромониторе вылетает из ствола со скоростью 50 м/с под углом 35° к горизонту. Найти дальность полета и наибольшую высоту подъема струи.
Дано: ио = 50 м/с;
а = 35° ^ 0,61 рад.
h - ? s --
Решение. Выберем систему координат с началом отсчета в точке О вылета струи (рис. 42 на с. 40) и запишем уравнения движения струи:
% == Uoxf,( 1 )
У = %/ — g 产/2.(2)
Скорость движения струи по оси У изменяется по закону
Vy = vOy — gf.(3)
Для точки Л (вершина параболы) / = /макс, у =九，vy = =0. Тогда уравнение (3) примет вид 0 =呵一g/макс, откуда
/макс =。0〃 g・(4)
Применяя уравнение (2) =Uoy/макс g/^aKc/2, ИЛИ СПрименяя уравнение (2) =Uoy/макс g/^aKc/2, ИЛИ СДЛЯ ТОЧКИ учетом (4)ДЛЯ ТОЧКИ учетом (4)Д, находим h =
Применяя уравнение (2) =Uoy/макс g/^aKc/2, ИЛИ С
Применяя уравнение (2) =Uoy/макс g/^aKc/2, ИЛИ С
ДЛЯ ТОЧКИ учетом (4)
ДЛЯ ТОЧКИ учетом (4)
ь =岔 siMa . h = 2g '"—ь =岔 siMa . h = 2g '"—SO?. ОМSO?. ОМ2-9,82-9,8м ^ 41,3м ^ 41,3м.падения струи наВ(5)(6)и учитывая, чтом.падения струи наВ(5)(6)и учитывая, чтоУчитывая, что vQy = u°sina, получаем
ь =岔 siMa . h = 2g '"—
ь =岔 siMa . h = 2g '"—
SO?. ОМ
SO?. ОМ
2-9,8
2-9,8
м ^ 41,3
м ^ 41,3
м.
падения струи на
В
(5)
(6)
и учитывая, что
м.
падения струи на
В
(5)
(6)
и учитывая, что
Запишем уравнение (2) для точки В землю (/ = %, у = 0, % = s):
0 = Uo/в — g 償/2.
Тогда время движения струи до точки
% = 2vQy/g = (2uo/g)sina.
Запишем уравнение (1) для точки В: S = Uox/b.
Подставляя выражение (5) в (6)
Vqx = uocosa, находим
2u()sin а ио sin 2a
s = и。cosa=;
502.0,94
s = —^——м ^ 240 m.
Под каким углом к горизонту надо бросить тело, чтобы высота его подъема была равна дальности полета?
Дано: h； s.
а - ?
Решение. Высота подъема тела (см. задачу 48)
h =君 siMa/(2g), дальность полета
s = (2君/g) sina cosa.
По условию задачи, h = s, поэтому uo sin2a/(2g)= =2uo sina cosa/g, откуда
tg a = 4; a — arctg 4 ^ 1,3 рад.
Тело брошено с начальной скоростью и。 под углом а к горизонту. Найти скорость тела в высшей точке подъема и в точке его падения на горизонтальную плоскость.
Дано: ио； а.
U4 — ? us — ?
Vx —• VОх — Uocosa, Uy — 0.Vx —• VОх — Uocosa, Uy — 0.Решение. Построим траекторию движения тела в выбранной системе координат (рис. 42). В любой точке траектории полная скорость движения тел а может быть подсчитана по формуле и = V武十唸 где vx = vqx = = u()cosa и vy = vQy ——g/ ——горизонтальная и вертикальная составляющие скорости в данной точке траектории. В наивысшей точке Л подъема
Vx —• VОх — Uocosa, Uy — 0.
Vx —• VОх — Uocosa, Uy — 0.
Следовательно, полная скорость тела в точке Л
VА — "у Ux + Uy —
=y 峻 一==Ux
—-и о cos ОС*
Очевидно, что вектор скорости в точке Л направлен горизонтально. Аналогично, для точки В падения тела на землю получим
Vx = Vox = Vo cos a, vy = vQy — gtB,(1)
где время движения тела до точки В может быть подсчитано по формуле (см. задачу 48)
tB = (2uo/g) sina.(2)
Подставляя во вторую из формул (1) выражение (2) и учитывая, что voy = vq sin а, находим vy = ^o sin a — ——g(2u()/g)sina =——Vo sin a. Следовательно, полная скорость в точке 3
vb = ^jVx + Vy = У 岔 cos2a + t^ sin2a = и。.
Для определения направления вектора скорости тела в точке 3 используем рис. 42, из которого видно, что
tgs = Vy/vx = — y0sina/(u0cosa) = — tga,
т. e. вектор скорости тела в точке В падения составляет с горизонтом угол ai, численно равный углу бросания а.
Тело свободно падает с высоты 4 м. На высоте 2 м оно упруго ударяется о небольшую закрепленную площадку под углом 30° к горизонту. Найти полное время движения тела и дальность его полета.
Решение. Выберем систему координат с началом в точке О (рис. 43) и запишем уравнение движения тела на первом участке АВ траектории:(1)Решение. Выберем систему координат с началом в точке О (рис. 43) и запишем уравнение движения тела на первом участке АВ траектории:(1)Дано: 〃 = 4м; А = 2 м; a = 30° ^ 0,52 рад.
Решение. Выберем систему координат с началом в точке О (рис. 43) и запишем уравнение движения тела на первом участке АВ траектории:
(1)
Решение. Выберем систему координат с началом в точке О (рис. 43) и запишем уравнение движения тела на первом участке АВ траектории:
(1)
У = У。一 g产/2, где уо = Н. Скорость движения тела на этом участке
и = — gf.(2)
-Для точки 3(/ = %； у="； и = ив) уравнения (1) и (2) примут вид /i=〃—g"/2, Ев1 = = gfi, откуда
Ml = g~\j 2(Н — h)/g =
=(" 一九)• (4)
На втором участке BD траектории тело движется по параболе и уравнения движения тела
х = ив』,(5)
У =无 + VByt — g 产/2,(6)
где и& = ив cosy, ив』=ив sin у. Учитывая, что удар упругий и угол а = 30°, имеем а = 0 = у. Тогда vbv = = ив cos а, VBy = ив sin а, или с учетом (4)
vbx = У2g(“ 一 /i)cosa, vbv = У2g(“ 一九)sina.(7)
В точке падения Q (/= "； у = 0； х = s) уравнение (6) примет вид 0 = h + vb„ /2 — g传/2, откуда /2 =
= 上"主Vj」?也,или с учетом (7)
/У2g一 九)sina + «2gh + 2g(〃 一 /2)sin2a
g(8)
(отрицательный корень отбрасываем). Тогда полное вре мя движения тела
/,、/ 2(〃 一 /2),
/ = Л + /2 = у —Г
У^(〃 一瓜 sin a + л/^g/z 十 2g(H — /1) sin2 a .
十 »
g
^ 10,1^ 10,172.9,8(4-27• 0,5 + 寸2• 9,8• 2 + 2• 9,8(4 - 2)・0,25
^ 10,1
^ 10,1
Дальность полета найдем из уравнения (5) с учетом (8):
s = y 2g(" 一无)cosaX
V2趴"一力)sina + 72gh + 2g(" 一 /z) sir?a一.
s =寸2・ 9,8(4 — 2、0,87X
寸2.9,8(4—可• 0,5 + V2・9,8・2 + 2• 9,8(4 - 2)0,尹 м_
笈 5,6 м.
Как изменятся время и дальность полета тела, брошенного горизонтально с некоторой высоты, если скорость бросания увеличить в два раза?
Отв. Дальность полета s = и", где время / полета определяется только высотой тела над поверхностью земли. Поэтому если высота не изменяется, а скорость бросания увеличивается в два раза, то и дальность полета должна возрасти в два раза.
Под некоторым углом к горизонту из шланга бьет струя воды. Почему восходящая ветвь струи сплошная, а нисходящая рассыпается на отдельные части?
Отв. Рассмотрим два соседних участка восходящей ветви. Скорость частиц на каждом последующем участке меньше скорости частиц на каждом предыдущем участке, что приводит к уплотнению струи. В нисходящей же ветви струи это различие в скоростях частиц двух соседних участков приводит к нарушению целостности струи.
Упражнения
Самолет летит относительно воздуха со скоростью 800 км/ч. Ветер дует с запада на восток со скоростью 15 м/с. С какой скоростью будет двигаться самолет относительно земли на юг и под каким углом к меридиану надо держать при этом курс?
Дождевые капли, падающие отвесно, попадают на окно автомобиля, движущегося со скоростью 45 км/ч, и оставляют на нем след под углом 30° к вертикали. Определить скорость падения капель.
Дальность полета тела, брошенного горизонтально со скоростью 10 м/с, равна высоте бросания. С какой высоты брошено тело?
Как изменяются время и дальность полета тела, брошенного горизонтально, при увеличении высоты его подъема в четыре раза? Скорость бросания при этом не изменяется.
Снаряд вылетел из орудия с начальной скоростью 1000 м/с под углом 30° к горизонту. Определить дальность полета и время движения снаряда. Орудие и точка падения снаряда находятся на одной горизонтали.
С высоты h над поверхностью земли брошено тело под углом а к горизонту со скоростью и。. С какой скоростью тело упадет на землю?
С вершины наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 36°, со скоростью。0 = 5 м/с бросают камень под углом 30° к горизонту. На каком расстоянии от точки бросания упадет камень?
Под каким углом к горизонту надо бросить тело, чтобы наибольшая высота подъема была равна дальности полета? Считать, что на тело действует попутный ветер, сообщающий ему горизонтальное ускорение а.
Шарик бросают под углом 30° к горизонту с начальной скоростью 14 м/с. На расстоянии 11 м от точки бросания шарик упруго ударяется о вертикальную стенку. На каком расстоянии от стенки шарик упадет на землю?
Вагон движется со скоростью 72 км/ч. Дождевые капли в безветренную погоду оставляют след на его окне под углом 60° к вертикали. Какова скорость падения капель?
Моторная лодка проходит одно и то же расстояние по течению реки за 4 ч, а против течения — за 6 ч. За какое время лодка прошла бы это расстояние в стоящей воде?
Движение материальной точки по окружности. Вращательное движение твердого тела
При движении материальной точки по окружности направление вектора линейного ускорения не совпадает с направлением вектора линейной скорости. В любой точке траектории линейная скорость v тела направлена по касательной к окружности, а вектор ускорения а может быть разложен на два вектора: ак и ац (рис. 44), где ак ——составляющая вектора а по касательной к траектории в данной точке, называемая касательным (тангенциальным) ускорением; ац ——составляющая вектора а по нормали (радиусу) к касательной к траектории в данной точке, называемая центростремительным (нормальным) ускорением ап = v2/.R. Из рисунка видно, что
a = g冠+若.
При равномерном движении по окружности а = 0) а = а^ и направлено по радиусу к центру окружности. В этом случае
/2л/?4л2/?
V = — = —^―, 匹=—р~, где / ——длина окружности; Т — период вращения (время одного полного оборота); R — радиус окружности.
Вращательное движение твердого тела характеризуют следующие величины: <р ——угловое перемещение (угол поворота произвольного радиуса от начального положения) ; со ——угловая скорость; v ——частота вращения; Т ——период вращения. Величины со, v и Г связаны между собой соотношением
со = -^- = 2лv.
При равномерном вращении тела уравнение движения
<р = со/.
При равнопеременном вращении тела (равноускоренном или равнозамедленном) уравнение его движения, а также формула зависимости угловой скорости от времени имеют вид
ср = со。/ 土 ~^—, со = со。土 е/, где соо — начальная угловая скорость; е ——угловое ускорение.
В этих формулах выбирают знак 《+》для равноускоренного вращения, знак 《——》——для равнозамедленного. При неравномерном, в частности равнопеременном, вращении угловая скорость может быть выражена как первая производная от угла поворота по времени:
Угловое ускорение при равнопеременном вращении можно найти как первую производную от угловой скорости по времени:
Зная о)= со(/) и е = £(/), можно найти ср и со:
<р = \ cod/ и со = ^ Ed/.
Угловые величины <р, со и е связаны с соответствующими линейными величинами /, и н а следующими соотношениями:
/ = ①R, v = со/?, "к = &R, & = со2/?.
* * *
Определить центростремительное ускорение точек земной поверхности на экваторе, на широте 45° и на полюсе, вызванное суточным вращением Земли.
Дано: 7=24 ч = 8,64 • 1。4 с； р = 0 рад; (р2=45°^0,79 рад; (р3« 1,57 рад.
Решение. Все точки земной поверхности участвуют в суточном вращении Земли с угловой скоростью
⑴⑴со = 2л/Г;
⑴
⑴
следовательно, имеют центростремительное ускорение
"и СО?，，(2)
где r = Rcoscp —— радиус окружности, по которой движется точка,屮——широта места, R ——радиус Земли (рис. 45).
4门2
Из уравнений (1) и (2) получаем а” =-р-R cos 屮， откуда ускорения точек на экваторе, на широте 45° и на полюсе соответственно равны:
3,4• 10-2 м/с2,3,4• 10-2 м/с2,-4n2 力.с _ 4.3,142-6,37.106
3,4• 10-2 м/с2,
3,4• 10-2 м/с2,
% 1а山 =—(8,64. 0/—
(coscpi = 1);
4u2 = aw cosq)2； &2 ^ 3,4- 10-2-0,7 м/е2 ^ 2,4-10-2 м/с2;
«цз = 0, так как cosq)3 = cos у = 0.
Шкив диаметром 20 см делает 300 оборотов за 3 мин. Определить период вращения, угловую и линейную скорости точки на ободе шкива.
Дано: О = 20 см = 0,2 м, N = 300; / = 3 мин — 180 с.
Т —〉со — ? V —?
Решение. Шкив, вращаясь равномерно, делает ^ оборотов за t секунд. Следовательно, время одного полного оборота (период вращения)
7=〃М 7 = (180/300) с = =0,6 с.
Угловая скорость
со = 2л/Г; со = (2-3,14/0,6) рад/с = 10,5 рад/с.
Линейная скорость
u = coR = co£)/2; V = (10,5-0,2/2) м/с = 1,05 м/с.
Найти радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса.
дан0: s = 2,5。2； AR = 5 см = 5・ I。-? м.
Решение. Так как угловая скорость всех точек твердого тела одинакова, то линейные скорости точек соответственно равны
S = a)R, и? = s(R — AR).(1)
Подставив выражения (1) в условие ги = 2,5 t^, получим coR = 2,5co(R — AR), откуда
c 2,5・AR с 2,5 • 5 • 10~2 о °2
R =—； R =亠~— м^8,3・10 м.
Вал начинает вращаться и в первые 10 с совершает 50 оборотов. Считая вращение вала равноускоренным, определить угловое ускорение и конечную угловую скорость.
Дано:/ = 10 с; ^ = 50.
(D - ? e --？
Решение, равна нулю, скоростиРешение, равна нулю, скоростиПоскольку начальная угловая скорость уравнение движения и формула угловой
Решение, равна нулю, скорости
Решение, равна нулю, скорости
ср = 8 产/2; (о = 8/.
Так как угловое перемещение за один полный оборот равно 2л, то полное угловое перемещение вала, соответствующее ^ оборотам, ф = 2л^. Подставив это выражение в уравнение движения, получим 2л ^ = е/2/2, откуда
4л^4л^8 =8 =4-3,14-50 рад4-3,14-50 рад=6,28=6,28рад/с2.рад/с2.
4л^
4л^
8 =
8 =
4-3,14-50 рад
4-3,14-50 рад
=6,28
=6,28
рад/с2.
рад/с2.
скорость вращения:скорость вращения:Зная 8, вычислим конечную угловую
скорость вращения:
скорость вращения:
о)= “； со = 6,28 • 10 рад/с = 62,8 рад/с.
Колесо при вращении имеет начальную частоту 5 с-1, после торможения его частота уменьшилась до 3 с-1. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных им за это время.
Дано: Vo = 5 с~1; V = 3 с"1е — ? N — ?
Решение. Уравнения движения колеса
<p = соо/ — 8产/2,(1)
со = о)о — £/•(2)
Поскольку q? = 2л ^ и (о = 2nv, преобразуем уравнение (2): 2jw = 2nvo ——е/, откуда
= ?山厂江;8 = ?・3*f)w=0,21 рап/e2.
Учитывая (1) и (2), находим полное число оборотов:
”“ £产А7 г0,21 -602
^ = Vo/ ——L ； ^ = 5 • 60^-―— = 240.
4л4 • 3,14
70°. Колесо вращается по закону <р = 4 + 5/ ——/3. Найти в конце первой секунды вращения угловую скорость колеса, а также линейную скорость и полное ускорение точек, лежащих на ободе колеса. Радиус колеса 2 см.
Дано: R = 2 см = 0,2 м; / = 1 с.
со — ? V — ? а — ?
Решение. Согласно определению, угловая скорость
(о =普=条(4 + 5/ - Q = 5 一 З/з；(1)
со = (5 — 3 • 1) рад/с = 2 рад/с.
Линейная скорость
V = со/?; V = 2• 0,2 м/с = 0,4м/с.
По определению, угловое ускорение е = -^-, или с учетом (1)
8 = -^-(5 — 3产)=—6f; 8 =——6 рад/с2.
Полное линейное ускорение
а = -\/ al + а^,
где "к = &R, ац = со”. Тогда
a = R、82 + co4; a = 0,2д/(—б)?+ (2)4 м/с2 ^ 1,44 м/с2.
71°. Тело вращается так, что зависимость угловой скорости от времени дается уравнением о)= 2 + 0,5/. Найти полное число оборотов, совершенных телом за первые 20 с.
Дано: f 1 =。，^2 = 20 с.
'N — ?
Решение. По определению, q? = J cod/. Тогда
<Р = J(2 + 0,5/)d/ =(2/ 十2^) I；= =2-20 + -^Л-== 140 рад.
Полное число оборотов тела
Точка движется по окружности радиусом 20 см с постоянным касательным ускорением 5 см/с2. Через сколько времени после начала движения центростремительное ускорение точки будет вдвое больше касательного?
Дано: R = 20 см = 0,2 м; ак = 5 см/с2 = 5-10~2 м/с2; = 2°к・
Решение. По определению, v = aKt. Подставив это выражение в формулу для центростремительного ускорения, получим а“ = u?/R =(aJ)2/R = а』//?. По условию задачи, а“=2ак, или a^t2/R = 2aKt откуда
Одинаковое ли расстояние проходят правые и левые колеса автомобиля на повороте дороги?
Отв. Правые и левые колеса проходят различные расстояния, так как их линейные скорости неодинаковы: чем дальше находятся колеса от центра закругления дороги, тем больше их линейная скорость.
Почему ракета-носитель первого искусственного спутника Земли после отделения от спутника начала его опережать?
Отв. После отделения спутник приобретает скорость большую, чем скорость ракеты-носителя (см. задачу 150). Поэтому полуось эллиптической орбиты спутника больше полуоси орбиты ракеты-носителя, причем они будут двигаться по разным эллиптическим орбитам. По третьему закону Кеплера, период вращения ракеты- носителя меньше, чем период вращения спутника, и ракета-носитель будет опережать спутник.
Упражнения
Минутная стрелка часов на Спасской башне Кремля имеет длину 3,5 м. На сколько передвинется ее конец за 1 мин?
Определить среднюю орбитальную скорость спутника, если средняя высота его орбиты над Землей 1200 км, а период вращения равен 105 мин.
Каковы угловая и линейная скорости точек поверхности Земли на широте 45°?
Турбина ГЭС имеет диаметр рабочего колеса 9 м и совершает за минуту 68,2 оборота. Определить скорость концов лопаток турбины.
Маховик, вращающийся с частотой 2 с-1, останавливается в течение 1,5 мин. Считая движение равнозамедленным, определить, сколько оборотов сделает маховик до полной остановки, а также угловое ускорение маховика.
Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.
Вентилятор вращается с частотой 15 с-1. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения вентилятора до его полной остановки?
Колесо вращается с постоянным угловым ускорением 2 рад/с2. Через 0,5 с после начала движения полное ускорение колеса стало 13,6 м/с2. Найти радиус колеса.
Вопросы для повторения
Перечислите основные разделы механики и дайте краткую характеристику каждому из них.Какое движение называется равномерным? равнопеременным? 3. Назовите виды равнопеременного движения. 4. Напишите уравнение равномерного движения и постройте график этого движения. 5. Что называется средней скоростью, мгновенной скоростью и ускорением переменного движения?6. Напишите уравнение движения и формулу скорости для равноускоренного и равнозамедленного движений (с начальной и без начальной скорости). 7. Постройте графики скорости равномерного, равнопеременного, равноускоренного и равнозамедленного движений. 8. Какой вид имеет график ускорения равнопеременного движения? 9. Как движется тело, брошенное вертикально вверх? 10. Чему равно ускоПеречислите основные разделы механики и дайте краткую характеристику каждому из них.Какое движение называется равномерным? равнопеременным? 3. Назовите виды равнопеременного движения. 4. Напишите уравнение равномерного движения и постройте график этого движения. 5. Что называется средней скоростью, мгновенной скоростью и ускорением переменного движения?6. Напишите уравнение движения и формулу скорости для равноускоренного и равнозамедленного движений (с начальной и без начальной скорости). 7. Постройте графики скорости равномерного, равнопеременного, равноускоренного и равнозамедленного движений. 8. Какой вид имеет график ускорения равнопеременного движения? 9. Как движется тело, брошенное вертикально вверх? 10. Чему равно ускорение тела, брошенного вертикально вверх? Каково соотношение между временами подъема и падения тела? 11. Сформулируйте принцип независимости движений. 12. Постройте траектории движения тела, брошенного горизонтально и под углом к горизонту. На какие более простые движения можно разложить каждое из этих движений? 13. Что называется дальностью полета и от чего она зависит? 14. Что называется баллистической кривой? 15. В какой точке траектории тело, брошенное под углом к горизонту, обладает наименьшей скоростью? 16. Как направлены векторы линейной скорости и линейного ускорения при криволинейном движении? 17. Какова зависимость между линейной и угловой скоростями при движении материальной точки по окружности? 18. Какое ускорение называется центростремительным?рение тела, брошенного вертикально вверх? Каково соотношение между временами подъема и падения тела? 11. Сформулируйте принцип независимости движений. 12. Постройте траектории движения тела, брошенного горизонтально и под углом к горизонту. На какие более простые движения можно разложить каждое из этих движений? 13. Что называется дальностью полета и от чего она зависит? 14. Что называется баллистической кривой? 15. В какой точке траектории тело, брошенное под углом к горизонту, обладает наименьшей скоростью? 16. Как направлены векторы линейной скорости и линейного ускорения при криволинейном движении? 17. Какова зависимость между линейной и угловой скоростями при движении материальной точки по окружности? 18. Какое ускорение называется центростремительным?
Перечислите основные разделы механики и дайте краткую характеристику каждому из них.
Какое движение называется равномерным? равнопеременным? 3. Назовите виды равнопеременного движения. 4. Напишите уравнение равномерного движения и постройте график этого движения. 5. Что называется средней скоростью, мгновенной скоростью и ускорением переменного движения?
6. Напишите уравнение движения и формулу скорости для равноускоренного и равнозамедленного движений (с начальной и без начальной скорости). 7. Постройте графики скорости равномерного, равнопеременного, равноускоренного и равнозамедленного движений. 8. Какой вид имеет график ускорения равнопеременного движения? 9. Как движется тело, брошенное вертикально вверх? 10. Чему равно уско
Перечислите основные разделы механики и дайте краткую характеристику каждому из них.
Какое движение называется равномерным? равнопеременным? 3. Назовите виды равнопеременного движения. 4. Напишите уравнение равномерного движения и постройте график этого движения. 5. Что называется средней скоростью, мгновенной скоростью и ускорением переменного движения?
6. Напишите уравнение движения и формулу скорости для равноускоренного и равнозамедленного движений (с начальной и без начальной скорости). 7. Постройте графики скорости равномерного, равнопеременного, равноускоренного и равнозамедленного движений. 8. Какой вид имеет график ускорения равнопеременного движения? 9. Как движется тело, брошенное вертикально вверх? 10. Чему равно уско
рение тела, брошенного вертикально вверх? Каково соотношение между временами подъема и падения тела? 11. Сформулируйте принцип независимости движений. 12. Постройте траектории движения тела, брошенного горизонтально и под углом к горизонту. На какие более простые движения можно разложить каждое из этих движений? 13. Что называется дальностью полета и от чего она зависит? 14. Что называется баллистической кривой? 15. В какой точке траектории тело, брошенное под углом к горизонту, обладает наименьшей скоростью? 16. Как направлены векторы линейной скорости и линейного ускорения при криволинейном движении? 17. Какова зависимость между линейной и угловой скоростями при движении материальной точки по окружности? 18. Какое ускорение называется центростремительным?
рение тела, брошенного вертикально вверх? Каково соотношение между временами подъема и падения тела? 11. Сформулируйте принцип независимости движений. 12. Постройте траектории движения тела, брошенного горизонтально и под углом к горизонту. На какие более простые движения можно разложить каждое из этих движений? 13. Что называется дальностью полета и от чего она зависит? 14. Что называется баллистической кривой? 15. В какой точке траектории тело, брошенное под углом к горизонту, обладает наименьшей скоростью? 16. Как направлены векторы линейной скорости и линейного ускорения при криволинейном движении? 17. Какова зависимость между линейной и угловой скоростями при движении материальной точки по окружности? 18. Какое ускорение называется центростремительным?
§ 2. ДИНАМИКА
Динамика изучает причины изменения состояния движения тел.
Применение законов динамики к прямолинейномудвижению тела (материальной точки)
В механике приходится иметь дело с тремя видами сил:
силой упругости, возникающей при деформациях опоры (N) или нити (Т);
силой тяжести P=mg;
силой трения FTp = ^N, где 模 ——коэффициент трения, ^ ——сила нормальной реакции опоры.
При решении задач по динамике необходимо обратить особое внимание на правильное использование второго закона Ньютона.
Сначала необходимо сделать к задаче рисунок, на котором нужно указать систему отсчета, расставить все силы, действующие на данное тело, и там, где это требуется, указать направление векторов скорости и ускорения. Затем надо записать второй закон Ньютона в векторной форме:
si = 1si = 1E = ma,E = ma,⑴⑴
s
i = 1
s
i = 1
E = ma,
E = ma,
⑴
⑴
где 2 F, = Fi + F2 + ... + F〃； m — масса тела; a —
I == 1
ускорение тела.
Наконец, векторное уравнение (1) нужно спроецировать на выбранные направления осей X и Y:
2 Fix mcix, 2 Fiy -- mcty(2)
i = 1, i = 1
и решить полученную систему уравнений (2) относительно неизвестных величин.
Если в движении находится не одно, а несколько связанных между собой тел, то необходимо для каждого тела отдельно выполнить все вышеуказанные действия и решить полученную систему уравнений.
* * *
Вагон массой 20 т движется равнозамедленно с ускорением 0,3 м/с2 и начальной скоростью 54 км/ч. Найти силу торможения, действующую на вагон, время движения вагона до остановки и перемещения вагона.
Дано: т = 20 т = 2• 104 кг; а=0,3 м/с2; 5 = 54 км/ч = =15 м/с.
Решение. На вагон действуют сила тяжести mg, силатрения Ftp и сила нормальной реакции N (рис. 46). Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:mg + Ftp + N = ma.(1)За положительное направление оси X примем направление движения вагона. Так как движение вагона равнозамедленное, то вектор ускорения направлен в сторону, противоположную направлению движения. Проецируя… ось X, получаем—/^р = — та илиFтр — 〃?Q； 尸тр ~—=2- 104.0,ЗН = 6кН.Время движения вагона до остановки и пройденное им расстояние найдем из кинематическихРешение. На вагон действуют сила тяжести mg, силатрения Ftp и сила нормальной реакции N (рис. 46). Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:mg + Ftp + N = ma.(1)За положительное направление оси X примем направление движения вагона. Так как движение вагона равнозамедленное, то вектор ускорения направлен в сторону, противоположную направлению движения. Проецируя… ось X, получаем—/^р = — та илиFтр — 〃?Q； 尸тр ~—=2- 104.0,ЗН = 6кН.Время движения вагона до остановки и пройденное им расстояние найдем из кинематическихчасти уравнениячасти уравнения4 с—— rTp4 с—— rTpЛ/Л/VVнанатдтдXX
Решение. На вагон действуют сила тяжести mg, силатрения Ftp и сила нормальной реакции N (рис. 46). Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
mg + Ftp + N = ma.(1)
За положительное направление оси X примем направление движения вагона. Так как движение вагона равнозамедленное, то вектор ускорения направлен в сторону, противоположную направлению движения. Проецируя
… ось X, получаем
—/^р = — та или
Fтр — 〃?Q； 尸тр ~—
=2- 104.0,ЗН = 6кН.
Время движения вагона до остановки и пройденное им расстояние найдем из кинематических
Решение. На вагон действуют сила тяжести mg, силатрения Ftp и сила нормальной реакции N (рис. 46). Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
mg + Ftp + N = ma.(1)
За положительное направление оси X примем направление движения вагона. Так как движение вагона равнозамедленное, то вектор ускорения направлен в сторону, противоположную направлению движения. Проецируя
… ось X, получаем
—/^р = — та или
Fтр — 〃?Q； 尸тр ~—
=2- 104.0,ЗН = 6кН.
Время движения вагона до остановки и пройденное им расстояние найдем из кинематических
части уравнения
части уравнения
4 с
—— rTp
4 с
—— rTp
Л/
Л/
V
V
на
на
тд
тд
X
X
уравнений: O=vQ — ai1 s = d%/(2a), откуда /=uo/q；/=15/0,3 c=50c и s= I52:
门门:(2・0,3) м = 375 м.
门
门
Тело массой 3 кг падает в воздухе
с ускорением 8 м/с2. Найти силу сопротив- J ления воздуха.
Дано: m = 3 кг, а — 8 м/с2.
У
Решение. На падающее в воздухе тело Рис 47 действуют: mg ——сила тяжести и F ——сила сопротивления воздуха (рис. 47). Так как движение равноускоренное, то вектор ускорения направлен в сторону движения. Запишем для тела второй закон Ньютона mg + F=/%a. Проведем ось У в направлении движения тела и, спроецировав на ось силы и ускорение, получим mg — F = та, откуда
尸=mg — та — /九(g — а);尸=3 (9,8―8) Н = 5,4Н.
Груз массой 50 кг равноускоренно поднимают с помощью каната вертикально вверх в течение 2 с на высоту 10 м. Определить силу натяжения каната.
Дано: m = 50 кг, / = 2 с, /г = 10 м.
Решение. На груз действуют: mg ——сила тяжести и Т ——сила натяжения каната (рис. 48). Так как груз движется равноускоренно вверх, то и ускорение а направлено вертикально вверх. Запишем для груза второй закон Ньютона в векторной форме:
Т + mg = ma. (1)
Проведем ось У в направлении движения груза и, найдя проекции сил и ускорения на ось, получим Т — mg = та, откуда
Т = mg + 加口 =加(g + &)•
Так как движение тела равноускоренное без начальной скорости, то /1 = 口产，2, откуда а = =2九/产.Тогда
7 = 50(9,8 十^-)Н = 74О Н.
Рис. 49Рис. 49Следовательно, при равноускоренном движении груза вертикально вверх сила натяжения больше силы тяжести.
Рис. 49
Рис. 49
Человек массой 70 кг поднимается в лифте, движущемся равнозамедленно вертикально вверх с ускорением 1 м/с2. Определить силу давления человека на пол кабины лифта.
Дано: m = 70 кг; а = 1 м/с2.
Решение. На человека, находящегося в кабине лифта, действуют: mg ——сила тяжести и N ——сила реакции пола кабины (рис. 49). Ускорение движения направлено вертикально вниз. Запишем для человека второй закон Ньютона:
N + mg = ma.(1)
Проведем ось У в направлении движения лифта и, находя проекции ускорения и сил на ось У, получим
^ — mg = — та,
откуда
N = mg - та = m〈g - а); ^ = 70(9,8—1)Н = 616Н.
На основании третьего закона Ньютона сила давления 尸 человека на пол кабины равна по модулю силе реакции ^ пола кабины:尸=2= 616 Н.
Клетка подъемника массой 5000 кг обслуживает шахту глубиной 900 м. Когда клетка находится на дне шахты, на нее начинает действовать вертикально вверх сила тяги 60 кН. Через 150 м после начала подъема сила тяги изменяется так, что на протяжении следующих 600 м движение клетки становится равномерным. Наконец, сила тяги изменяется еще раз так, что клетка останавливается, достигнув вершины шахты. Силу трения считать постоянной и равной 5 кН. Рассмотреть движение клетки на этих участках и определить время подъема.
Дано: m = 5-103 кг; А = 9-102 • м; Rp = 5 кН == 5-102 Н; Л == =60 ки = 6И04 Н;б=1,5・102 m；饱=6,102 m.
Решение. Рассмотрим движение клетки подъемника на каждом участке. На первом участке длиной h\ клетка движется равноускоренно с нулевой начальной скоростью, на втором yqacT* длиной /г2 клетка движется равномерно. На третьем участке длиной
力3 ="一(A 1 + 力2)(1)
клетка движется равнозамедленно и в конце участка останавливается.
Для описания движения клетки направим ось У вертикально вверх и выберем начало оси на дне шахты. Запишем уравнение движения клетки на первом участке:
勿=ad/?.(2)
Если / = /1, то у\ = h\ и уравнение (1) примет вид 九I = «1/|/2, откуда
/| = У 5九；/а 1・(3)
Из второго закона Ньютона, записанного в проекции на ось У (рис. 50):
尸丁 一 mg — Ftp = ms,——найдем
ai = (К — mg —尸 тр)/т.(4)
Подставим выражение (4) в (3):
/1 = У2/11т/(尸т 一 mg — Ftp).(5)
У 2®(尸т—mg—%)У 2®(尸т—mg—%)Скорость в конце первого участка s = 口山，или с учетом (4) и (5)z
У 2®(尸т—mg—%)
У 2®(尸т—mg—%)
尸t—mg-пp / 2九1m
S — m V 尸т—mg —尸тр
У 1
а /
口
'哺
Рис. 50Рис. 50На втором участке клетка движется равномерно с той скоростью, которую она получила в конце первого участка:
Рис. 50
Рис. 50
S = 7 咄；實-EL .(6)
Выбрав начало оси У для второго участка на высоте h\ от дна шахты, запишем уравнение движения клетки:
У2 = ^2人(7)
Если / = ", то у?=九2 и уравнение (7) примет вид 无2 = и2f2, откуда /2 = /12/^2, или с учетом (6)
/2 =九2 V т/ [2h^Fy — mg — FTp)].
Время движения на третьем участке найдем, используя понятие средней скорости: 〈из〉= (^2 + 0)/2 = U2/2, или с учетом (6)
〈из〉= У [М尸т — mg — Лр)] /(2m).
Тогда время движения клетки на третьем участке
/з =九 з/〈из〉・(8)
Преобразуем формулу (8) с учетом (1) и (7):
J =[九-(加+色)]7，二二可
Тогда полная продолжительность подъема клетки
=九 + /2 + /з ==九 + /2 + /з =++тт2九1m尸Т _ mg _ 尸тр '2九1m尸Т _ mg _ 尸тр '2田(尸t 一 mg 一 Аp)2田(尸t 一 mg 一 Аp)+++ [^ —(九 1 + 九 2)]^^+ [^ —(九 1 + 九 2)]^^2m2mh\(F 1 — mg — F Tp)h\(F 1 — mg — F Tp)二（2"初匕亠宀）二（2"初匕亠宀）/ = (2.9-102-6-102)~\// = (2.9-102-6-102)~\/5- 1035- 1032^73^0^(60^50^^^2^73^0^(60^50^^^c^69 c.c^69 c.
=九 + /2 + /з =
=九 + /2 + /з =
+
+
т
т
2九1m
尸Т _ mg _ 尸тр '
2九1m
尸Т _ mg _ 尸тр '
2田(尸t 一 mg 一 Аp)
2田(尸t 一 mg 一 Аp)
+
+
+ [^ —(九 1 + 九 2)]^^
+ [^ —(九 1 + 九 2)]^^
2m
2m
h\(F 1 — mg — F Tp)
h\(F 1 — mg — F Tp)
二（2"初匕亠宀）
二（2"初匕亠宀）
/ = (2.9-102-6-102)~\/
/ = (2.9-102-6-102)~\/
5- 103
5- 103
2^73^0^(60^50^^^
2^73^0^(60^50^^^
c^69 c.
c^69 c.
Рис. 51Рис. 51
Рис. 51
Рис. 51
Груз массой 45 кг перемещается по горизонтальной плоскости под действием силы 294 Н, направленной под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения груза о плоскость 0,1. Определить ускорение движения груза”
Дано:尸=294 Н, m = 45 кг,卩=0,1, а = 30° ^ 0,52 рад.
Решение. На груз действуют: mg —— сила тяжести, N ——сила нормальной реакции плоскости, F — сила тяги, Ftp — сила трения. Вектор а направлен параллельно плоскости направо (рис. 51). Запишем для тела второй закон Ньютона:
mg + N + F + Ftp = ma(1)
Выбрав направления осей X и У н найдя проекции сил и ускорения на оси, получим
尸 cos а — Лр = та;(2)
^ + ^ sin а — mg = 0.(3)
Из уравнения (3) находим, что ^ = mg — F sin а. Тогда 户тр = |1М =模(mg —尸 sin а). Подставим это выражение в (2):尸 cos a — |i(mg — 尸 sin a) = та, откуда
—尸 cos a —卩(mg — F sin a).
-m，
_ 294-0,87 - 0,1(45-9,8 - 294-0,5) м r Q /2
a =—з，У м/с .
Тело скользит равномерно по наклонной плоскости с углом наклона 40°. Определить коэффициент трения тела о плоскость.
Дано: a = 40° ^ 0,7 рад.
И — ?
Решение. На тело при его скольжении по наклонной плоскости действуют: mg ——сила тяжести; N ——сила нормальной реакции плоскости; Ftp ——сила трения. Ускорение при равномерном скольжении тела равно нулю (рис. 52). Запишем для тела второй закон Ньютона:
mg + N + Ftp = 0.
Рис. 52Рис. 52Найдя проекции сил на выбранные
Рис. 52
Рис. 52
mg sina — FTp = Q,(1)
N — mg cos a = 0.(2)
Из уравнения (2) находим, что N = mgcosa. Учитывая закон для силы трения скольжения 尸 тр = =|iN= jimgcosa, запишем уравнение (1) в виде mgsina = =jimgcosa= 0, откуда
卩=tg а；卩=tg40° ^ 0,84.
Дано: m = 1 т = 103 кг; 卩=0,1.Дано: m = 1 т = 103 кг; 卩=0,1.Автомобиль массой 1 т поднимается по шоссе с уклоном 30° под действием силы тяги 7 кН. Найти ускорение автомобиля, считая, что сила сопротивления не зависит от скорости и составляет 0,1 от силы нормальной реакции опоры.
Дано: m = 1 т = 103 кг; 卩=0,1.
Дано: m = 1 т = 103 кг; 卩=0,1.
尸=7 кН = 7・ IO? н, а = 30° « 0,52 рад;
Решение. На автомобиль действуют: mg — сила тяжести; N ——сила нормальной реакции шоссе; F ——сила тяги; Ftp ——сила трения. Выберем направление вектора а вверх вдоль наклонной плоскости (рис. 53). Запишем для автомобиля второй закон Ньютона:
mg + F + N + Ftp = ma.
Найдя проекции сил и ускорения на выбранные оси X и У, получим
一 mg sin а + 尸一尸тр = 〃ш,(1)
—mg cos а + ^ = 0.(2)
Из уравнения (2) находим, что ^ = mgcosa. Учитывая, что Ар = 卩N = ц mg cos а, запишем уравнение (1) в виде —mg sin а + 尸一卩 mg cos а = та, откуда
—F — mg (sin а + 卩 cos а).
— 7-103 - 103.9,8(0,5 + 0,1-0,87) м _ 1 Q , 2
а =3" м/с .
Брусок массой 2 кг скользит по горизонтальной поверхности под действием груза массой 0,5 кг, прикрепленного к концу нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный блок. Коэффициент трения бруска о поверхность 0,1. Найти ускорение движения тела и силу натяжения нити. Массами блока и нити, а также трением в блоке пренебречь.
Дано: mi = 2 кг;加2 = 0,5 кг;卩=0,1.
а — ? 7?
Рис. 54Рис. 54Решение. Рассмотрим движение каждого тела отдельно. На брусок действуют: mig ——сила тяжести; N ——сила нормальной реакции плоскости, Ti ——сила натяжения нити; Ftp ——сила трения (рис. 54). Запишем для бруска второй закон Ньютона:
Рис. 54
Рис. 54
m【g + N + Ti + Ftp = mgi.
Спроецировав полученное уравнение на выбранные направления осей X н У, получим
г 一尸 тр =加日1,(1)
m{g — /V = 0.(2)
Так как из уравнения (2) следует, что ^ = m\g, то Лр = |л2 = jimig. Тогда [см. (1)]
Т1 — jimig = mg.(3)
На груз действует: 加2g ——сила тяжести, Т2 ——сила натяжения нити. Запишем для груза второй закон Ньютона:
m2g + T2 = m2a2.(4)
Спроецировав уравнение (4) на ось У, получим
m2g —厶=加2a2・(5)
Складывая уравнения (3) и (5) и учитывая, что Ti = =Т2 = Т, а ап = & = а, получаем 加 2g — 7 + Т —
—卩gg = (m2 + g)a, откуда
m2g - 卩mig __ 趴m2 一宀).
m2 + mim2 + mi '
9,8(0,5 - 0,1-2) = 0,5 + 29,8(0,5 - 0,1-2) = 0,5 + 2乌■ ^ 1,2 м/с2, c乌■ ^ 1,2 м/с2, c
9,8(0,5 - 0,1-2) = 0,5 + 2
9,8(0,5 - 0,1-2) = 0,5 + 2
乌■ ^ 1,2 м/с2, c
乌■ ^ 1,2 м/с2, c
Силу натяжения нити находим из уравнения (5):
Т = m2g —加2Q =加2(g — Q)；
T = 0,5(9,8-1,2) Н ^ 4,3 Н.
Груз массой 5 кг, связанный нерастяжимой нитью, перекинутой через неподвижный блок, с другим грузом массой 2 кг, движется вниз по наклонной плос-
кости. Найти силу натяжения нити и ускорение грузов, если коэффициент трения между первым грузом и плоскостью 0,1. Угол наклона плоскости к горизонту 36°. Массами нитей блока, а также трением в блоке пренебречь.
Дано: mi = 5 кг,加2 = 2 кг;卩=0,1, а = 36° ^ 0,63 рад.
Т — ? а — ?
Решение. Рассмотрим движение каждого груза отдельно. На первый груз действуют: "Zig ——сила тяжести; N ——сила нормальной реакции наклонной плоскости; Ti ——сила натяжения нити; Ftp ——сила трения (рис. 55). По условию задачи, вектор ускорения at для первого груза направлен вниз вдоль наклонной плоскости. Запишем для первого груза второй закон Ньютона:
mig + N + % + Ftp =
Проецируя это уравнение на выбранные оси Х【и 匕, получаем
mig sip ос — Ti — FTp = m{a^(1)
—migcosa + N = 0.(2)
Из уравнения (2) находим, что N=ggcosa, поэтому
FTp = »N = jimigcosa.(3)
Из уравнений (1) и (3) получаем
migsina — Ti — 卩 migcosa = m\a\.(4)
На второй груз действуют:加2g ——сила тяжести, Т2 —— сила натяжения нити. Ускорение аг второго груза направлено вертикально вверх (рис. 55). Запишем второй закон Ньютона для второго груза:
加2g + Т2 =加2a2.加2g + Т2 =加2a2.(5)
加2g + Т2 =加2a2.
加2g + Т2 =加2a2.
Спроецировав уравне二 ние (5) на ось % получим
一加2g + 72 = m2a2.(6)
Сложив уравнения (4) и (6), получим mi^sinoc—Ti — jimi^X X cos а + 乙一加2g =' =m1a1+m2Q2. Учитывая, что n =八=Т и Qi =々2 = а, находим
a — mig(sina — picosa) — m2g — g(sin a — picosa) — g .
5(0,59 — 0,1 • 0,81) — 2 c q м 八 / 2
a =5^Г29,8^т0,77 м/с-
Силу натяжения нити определим из уравнения (6):
Т = m2g + m2a = m2(g + a); T = 2(9,8 + 0,77) H ^
^ 21 H.
Невесомый блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы 30 и 45°. Гири Л и В массой 1 кг каждая соединены нитью, перекинутой через блок. Найти ускорение, с которым движутся гири, и силу натяжения нити. Считать нить невесомой и нерастяжимой. Трением пренебречь.
Дано: a = 30° ^ 0,52 рад; р = 45° 弋 0,79 рад; m, = т2 = 1 кг.
Т — ? a — ?
Решение. Из предположения, что массы нити и блока равны нулю, следует, что силы натяжения нити в каждом ее сечении одинаковы, а из условия нерастяжимости нити ——что ускорения обоих грузов численно равны
71 = 72=7h6 = a2 = a.(1)
Рассмотрим движение каждого тела. На груз Л действуют: mig —— сила тяжести, Ni ——сила нормальной реакции опоры, Т1 — сила натяжения нити (рис. 56). Предполагая, что груз Л скользит вниз по наклонной плоскости, находим направление вектора ускорения аь Запишем второй закон Ньютона для груза Л:
выбранные оси X】и У〔,выбранные оси X】и У〔,нанаmg +№ + * = 〃
выбранные оси X】и У〔,
выбранные оси X】и У〔,
на
на
Спроецировав это ypai получим
ggsin В — П = mg;
(2)
—migcosp + М = 0.
(3)
На груз В действуют: 加2且—сила тяжести; № — сила нормальной реакции на-
团团П = Т2 = Т； Qi = a? = а.П = Т2 = Т； Qi = a? = а.⑴⑴
团
团
П = Т2 = Т； Qi = a? = а.
П = Т2 = Т； Qi = a? = а.
⑴
⑴
клонной плоскости; Т2 — сила натяжения нити. Второй закон Ньютона для груза В имеет вид
A?12g + N 2 + T 2 = A?12a2・
Спроецировав это уравнение на оси X? и У2, получим
—ggsina + 乙=m2a2；(4)
—m2g cos a + ^2 = 0.(5)
Уравнения (3) и (5) в данной задаче не используются, так как силой трения пренебрегаем. Решаем систему уравнений (2) и (4), складывая их: migsinB— Тi — —加2且 sin a + % = mg + m2a2, откуда с учетом (1) находим
— migsin 卩一川2纟sin a — (mi sin p — m2 sin a)g # m + 川2mi + ГИ2'
(1 • 0,7 — 1 • 0,5) • 9,8 м с co / 2 a = -——:—广丁宀—•■——-= 0,98 м/М.
1 + 1с/
Силу натяжения нити найдем из (2) с учетом (1):
Т = ggsinB — ga = mi(gsin0 ~ a);
T = 1(9,8-0,7 - 0,98) Н 5,9 Н.
К концам невесомой и нерастяжимой нити, перекинутой через невесомый и неподвижный блок, подвешены два груза массой по 100 г каждый. На один из грузов положен перегрузок массой 10 г. Найти силу, с кото-
рой перегрузок давит на груз, а также силу давления на ось блока.
Дано: mi = т2 = 100 г = 0,1 кг;m = Ю г = 0,01 кг.
尸一？ a-?
Решение. Из условия невесомости и нерастяжимости нити следует, что сила натяжения нити на всех участках одинакова и все грузы движутся с одним и тем же ускорением:
Рассмотрим силы, действующие на каждый из грузов.
На первый груз действуют: т^ ——сила тяжести; Ti ——сила натяжения нити; F — сила давления перегрузка (рис. 57).
Записывая второй закон Ньютона для первого груза в проекциях на ось У, получаем
mig =尸一Ti = mg].(2)
На второй груз действуют: m2g ——сила тяжести, Т2 ——сила натяжения нити.
Записывая второй закон Ньютона для второго груза в проекциях на ось У, получаем
Т2 — m2g = m2a2・ (3)
На перегрузок действуют: mg ——сила тяжести; N —— сила реакции опоры. Записывая второй закон Ньютона для перегрузка в проекциях на ось У, получаем
mg — ^ = тпь(4)
Складывая уравнения (2) — (4) и учитывая, что mig = =m2g — Mg,尸=N, получаем Mg + N — Т + Т — —Mg + mg — ^ — Ma + Ma + ma, откуда
a = mg/(2M + m).(5)
Найдем силу давления F перегрузка на груз, которая по третьему закону Ньютона численно равна силе реакции N. Из уравнения (4) с учетом (5) и (1) определим
F — ^ — mg — ma =F — ^ — mg — ma =2m Mg .2M + m ；2m Mg .2M + m ；2-0,1 4- 0,012-0,1 4- 0,01=9,3-10~2 H.=9,3-10~2 H.
F — ^ — mg — ma =
F — ^ — mg — ma =
2m Mg .
2M + m ；
2m Mg .
2M + m ；
2-0,1 4- 0,01
2-0,1 4- 0,01
=9,3-10~2 H.
=9,3-10~2 H.
Сила давления на ось блока
⑹⑹& = 2T.
⑹
⑹
Из уравнения (3) находим силу натяжения нити: Т = М(& + g), или с учетом (5) Т = 2Mg(m + M)/(2M + + m). Тогда уравнение (6) примет вид
尸—4・0,l ・9,8^^
Н ^ 2,1 Н.
Рис. 58
Три груза массой по 1 кг связаны нитью и движутся по горизонтальной плоскости под действием силы 10 Н, направленной под углом 30° к горизонту. Определить ускорение системы и силы натяжения нити, если коэффициент трения 0,1.
Дано: Щ)= m2 = m3 = m = 1 кг,尸 = 10 Н, а = 30° ^ 0,52 рад;
a - ? Т|2 - ? T23 - ?
Решение. Рассмотрим силы, действующие на каждый груз. На первый груз действуют: mg — сила тяжести; Ni ——сила нормальной реакции; F ——приложенная сила; FTp 1 ——сила трения (рис. 58).
Второй закон Ньютона для первого груза в проекциях на оси X н У имеет вид
尸 cos а — 712 —尸тр 1 = та, N* 十尸 sina — mg = 0.
(1)
Из второго уравнения (1) находим ^l = mg —尸 sin a, тогда Ftp I = ц^l =卩(力g —尸 sin a) и первое уравнение (1) примет вид
F cos a — Ti2 —卩(mg —尸 sin a) = ma.(2)
Аналогично, для второго груза
T21—尸tр2 - T23 = ma, n2 - mg = 0(3)
и после преобразований этих уравнений имеем
Т 21 — [img — Т 23 = ma.(4)
Для третьего груза
丁32 —尸трз = ma, N3 — mg = 0,(5)
откуда
⑹⑹Тз2 —卩 mg = ma.
⑹
⑹
Складывая уравнения (2), (4) и (6) и учитывая, что Т12 = Т21, 丁23=丁32, получаем 尸 cosa—|i(mg —Fsin a) —— ——2Amg = 3ma, откуда
a =a =a =a =尸(cos a + p sin a) — 3^mg .
a =
a =
a =
a =
3zn
м/с2.м/с2.10(0,87 + 0,1 ・0,5) — 3.0,1.1.9,8 м
м/с2.
м/с2.
3-1
Из уравнений (4) и (6) найдем:
丁21 = 712 = 2m(a + Jig);
八2 = 2・ 1(2,1 + 0,b9,8) H 6,2 H;
T32 = T23 = m(& + Rg)；
丁23= 1(2,1 +0,1-9,8) H ^ 3,1 H.
Одно и то же тело взвесили на пружинных и рычажных весах на экваторе и полюсе. Каковы показания приборов?
Отв. На рычажных весах масса тела определяется в сравнении с массой эталонных тел — гирь. Так как вес тела и вес эталонных тел одинаково изменяются при перемещении их по поверхности Земли, то показания рычажных весов на экваторе и полюсе будут одинаковы. На пружинных весах вес тела определяется в сравнении с силой упругости пружины. Жесткость пружины от широты места на поверхности Земли не зависит, поэтому показания пружинных весов будут на полюсе больше, чем на экваторе. Действительно, записывая второй закон Ньютона для тела, подвешенного на пружине на полюсе и экваторе, находим
mg — Tn = 0, mg — Тз = mu? I R、где Гп и Тэ — сила натяжения пружины на полюсе и экваторе соответственно. Тогда Tn = 〃zg, 7\ = mg — mu'丨R、т. e. Tn > Гэ.
По столу тянут груз с помощью нити, прикрепленной к динамометру, показывающему 30 Н. Второй раз тот же груз приводят в движение с помощью нити, перекинутой через неподвижный блок, на которой висит гиря массой 3 кг. В каком случае груз движется быстрее?
Отв. Во втором случае сила 30 Н действует на систему тел с большей массой, чем в первом случае. Поэтому в первом случае груз движется быстрее.
Почему скорость поезда на горизонтальном участке пути не возрастает бесконечно, если сила тяги двигателя действует непрерывно?
Отв. При увеличении скорости тела возрастают силы сопротивления, которые в итоге уравновесят силу тяги. Поэтому движение поезда через некоторый промежуток времени становится равномерным.
Тела падают вследствие притяжения Земли. В чем неточность этого выражения?
Отв. В природе нет тел, только действующих или только испытывающих действие, а есть равноправные взаимодействующие тела (третий закон Ньютона). Следовательно, нужно сказать: тело и Земля взаимно притягивают друг друга, но вследствие огромной массы Земли по сравнению с массой тела мы не обнаруживаем ее движения по направлению к телу.
Как объяснить, что бегущий человек, споткнувшись, падает в направлении своего движения, а поскользнувшись, падает в направлении, противоположном направлению своего движения?
Отв. Явление легко объясняется на оснбвании первого закона Ньютона. В первом случае ноги человека замедляют движение, а туловище сохраняет по инерции прежнее состояние движения, поэтому человек падает в направлении движения. Во втором случае туловище человека по инерции сохраняет прежнее состояние движения, в то время как ноги начинают скользить вперед быстрее, поэтому человек падает назад.
Упражнения
Тело массой 200 г падает вертикально вниз с ускорением 920 см/с2. Чему равна сила сопротивления воздуха?
С какой силой давит на дно шахтной клетки груз массой 100 кг, если клеть поднимается вертикально вверх с ускорением 24,5 см/с2?
На каком расстоянии от перекрестка должен начать тормозить шофер при красном свете светофора, если автомобиль движется в гору с углом наклона 30° со скоростью 60 км/ч? Коэффициент трения между шинами и дорогой 0,1.
Наклонная доска, составляющая с горизонтом угол 60°, приставлена к горизонтальному столу (рис. 59). Два груза массой по 1 кг каждый соединены легкой
нитью, перекинутой через неподвижный невесомый блок, и могут перемещаться соответственно по доске и столу. Найти силу натяжения нити и ускорение системы, если коэффициент трения тел о поверхность доски и стола одинаков и равен 0,3.
Фуникулерная дорога составляет угол 30° с горизонтом и имеет две кабины массой по 4600 кг каждая. Кабины соединены тросом, который проходит через блок, расположенный на верхней станции. Опускающаяся кабина несет дополнительный груз массой 600 кг. Найти ускорение системы и расстояние, пройденное каждой кабиной, если движение начинается из состояния покоя, а потом достигается скорость 14,4 км/ч. Найти силу натяжения троса. Трением, массами троса и блока пренебречь.
На горизонтальной поверхности лежат два связанных нитью груза массой т каждый. На нити, прикрепленной к этим грузам и перекинутой через неподвижный блок, подвешен такой же груз. С каким ускорением движется система грузов и какова сила натяжения нити между грузами, лежащими на поверхности? Трение не учитывать.
К одному концу нити, перекинутой через блок, подвешивают груз массой 500 г, к другому ——груз массой 300 г. Найти ускорение системы, перемещение каждого груза и скорость, приобретенную через 1,2 с после начала движения. Трение не учитывать, массами блока и нити пренебречь.
Два тела, связанные нитью, движутся по горизонтальной плоскости под действием силы 100 Н, направленной горизонтально. Если силу приложить к правому телу (mi = 7 кг), то сила натяжения нити равна 30 Н. Определить силу натяжения нити, если сила приложена к левому грузу (俏2 = 3 кг). Считать, что в обоих случаях тела движутся в направлении приложенной силы. Трением пренебречь.
Человек везет двое саней массой по 15 кг каждые, связанных между собой веревкой, прикладывая силу 120 Н под углом 45° к горизонту. Найти ускорение саней и силу натяжения веревки, связывающей сани, если коэффициент трения полозьев о снег 0,02.
На столе лежит деревянный брусок, к которому
привязаны нити, перекинутые через блоки, укрепленные на обоих концах стола. К свободным концам нити подвешены грузы массами 0,85 и 0,2 кг, вследствие чего брусок приходит в движение и за 3 с проходит расстояние 0,81 м. Зная, что масса бруска 2 кг, определить коэффициент трения и силу натяжения нитей.
Две гири массами 2 и 1 кг соединены нитью, перекинутой через неподвижный блок. Найти ускорение, с которым движутся гири, силу натяжения нитей и силу давления на ось блока.
Применение законов динамики к движению тела(материальной точки) по окружности
Решение задач на динамику движения тела по окружности принципиально ничем не отличается от решения задач на динамику поступательного движения.
В этом случае проекция ускорения тела на ось У, направленную вдоль радиуса к центру окружности, известна — это центростремительное ускорение. Поэтому, по второму закону Ньютона, mv2/R =尸，или mdR =尸，
где 尸——сумма проекций на ось У сил, действующих на тело.
* * *
Автомобиль с грузом массой 5 т проходит по выпуклому мосту со скоростью 21,6 км/ч. С какой силой он давит на середину моста, если радиус кривизны моста 50 м?
Дано: m = 5 т = 5« 103 кг; и = 21,6 км/ч = 6 м/с; R = 50 м.
Решение. На автомобиль действуют; mg — сила тяжести; N ——сила нормальной реакции моста (рис. 60). Направим ось У вертикально вниз по радиусу моста. Запишем для автомобиля второй закон Ньютона в векторной форме:
mg + N = ma.
Проецируя это уравнение на ось У, получаем
mg— ^ = тау.
где ау = а^— v2/R. Тогда mg — ^ = =т©[R、откуда N = mg — mu'/R = = m(g—公/R). По третьему закону Ньютона, с такой же силой автомобиль будет давить на мост, т. е. F = ^, или
Рис. 61Рис. 61F = m(g - ^j ;尸=5・103(9,8 - 一釣 H ^4.5・104 h.
Рис. 61
Рис. 61
Ведерко с водой вращают в вертикальной плоскости на веревке длиной 0,5 м. С какой наименьшей скоростью нужно его вращать, чтобы при прохождении через верхнюю точку удержать воду в ведерке?
Дано: / = 0,5 м.
Решение. На воду в верхней точке траектории действуют: mg ——сила тяжести; N ——сила нормальной реакции дна (рис. 61). Направляя ось У вертикально вниз к центру С окружности и записывая в проекциях на нее второй закон Ньютона для воды в ведерке, получим
mg + ^ = тау, где ау = а^= и2//. Тогда mg 十 N = mv2/I.
о = Vi^;о = Vi^;114. В нижней точке петли Нестерова летчик давит114. В нижней точке петли Нестерова летчик давитВ момент отрыва воды от дна ведерка ^ = 0, поэтому mg = my2/Z, откуда
о = Vi^;
о = Vi^;
114. В нижней точке петли Нестерова летчик давит
114. В нижней точке петли Нестерова летчик давит
Рис. 62Рис. 62на сиденье кресла самолета с силой 7100 Н. Масса летчика 80 кг, радиус петли 250 м. Определить скорость самолета.
Рис. 62
Рис. 62
Дано:尸=7,1 • 103 Н; т=80 кг; R=2,5・ 102 м.
и — ?
Решение.. На летчика действуют: mg ——ciivia тяжести; N ——сила нормальной реакции сиденья (рис. 62). Направляя ось У к центру С окруж-
ности и записывая в проекциях на
нее второй закон Ньютона для летчика, получим
^ — mg = тац, или N — mg = ти?/R、
откуда V = 7<N — mg)R/т. Согласно третьему закону Ньютона, ^= F, тогда
?=7一更二个冠:
。=y（止9二啮酬必5:空卜и。м/с.
Шарик массой 200 г, привязанный нитью к подвесу, описывает в горизонтальной плоскости окружность, имея постоянную скорость. Определить скорость шарика и период его вращения по окружности, если длина нити 1 м, а ее угол с вертикалью составляет 60°.
Дано: m = 200 г = 0,2 кг; / = 1 м; а = 60° у 1,05 рад.
и — ? Т — ?
Решение. На шарик действуют: mg — сила тяжести; Т ——сила натяжения нити (рис. 63). Запишем для шарика второй закон Ньютона:
mg + T = ma.
Спроецируем это уравнение на выбранные направления осей X н У:
Т sin а = тах, — mg + Тcos а == may.(1)
Учитывая, что ау — Q (шарик не движется в вертикальном направлении), а^ = и"R、R = /sina, и подставляя выражения для а%, &у н R в (1), получаем
Т sina = mv2/{I sina), Tcosa=mg.(2)
Разделим почленно уравнения (2):
и = sin; и = 0,87~\/3,8 м/с.
V cos аV 0,5 с/
При равномерном движении шарика по окружности его период вращения
T = 2nR/o = (2冗〃。)sin a;T = 2nR/o = (2冗〃。)sin a;Рис. 64Рис. 64
T = 2nR/o = (2冗〃。)sin a;
T = 2nR/o = (2冗〃。)sin a;
Рис. 64
Рис. 64
T 2-3,14.1 .0,871 ,
T = C ^ l,4 C.
Шарик массой 500 г, подвешенный на нерастяжимой нити длиной 1 м, совершает колебания в вертикальной плоскости. Найти силу натяжения нити в момент, когда она образует с вертикалью угол 60°. Скорость шарика в этот момент 1,5 м/с.
Дано: m = 500 г = 0,5 кг; / = 1 м; a = 60° « 1,05 рад;
и = 1,5 м/с.
Т — ?
Решение. На шарик действуют: mg — сила тяжести; Т ——сила натяжения нити (рис. 64). Запишем для шарика второй закон Ньютона:
mg + T = та.
Направляя ось У вдоль радиуса и проецируя на нее уравнение, получаем
Т — mg cos a = may.(1)
Учитывая, что ay = a^ — и2//, перепишем уравнение (1): Т — mg cos a = mv2/I, откуда
T = M— + gcosa);
T = 0,5(毕 + 9,8• 0,5)H 3,6 H.
Полусферическая чаша радиусом 20 см вращается вокруг вертикальной оси с частотой 2 с-1. В чаше находится маленький шарик, вращающийся вместе с ней. Определить угол между радиусом, проведенным в точку нахождения шарика, и вертикалью.
Дано: R = 20 см; v = 2 с_,.
Решение. На шарик действуют силы: mg — сила тяжести; N ——сила нормальной реакции внутренней поверхности чаши (рис. 65). Запишем второй закон Ньютона:
mg + N = ma.(О
Направляя ось X к центру окружности радиусом г, по которой вращается шарик, а ось У — по вертикали и проецируя на них уравнение (1), получаем
^ sina = max, ^ cos a — mg = 0.
Так как &工=& =力/厂=s?厂，co = 2nv,厂=R sin a, to
^sina = 4n2v2/?msina, Ncosa=mg.(2)
Разделив почленно уравнения (2), найдем tg a = =(4n2v2/?/g)sina, откуда cos a = ^/(4n2v2/?) и
g9,8,
a = a「ccos a = arccos7ra> 二 1,26 рад.
На сколько должен быть поднят наружный рельс над внутренним на закруглении железнодорожного пути радиусом 300 м, если ширина колеи 1524 мм? Нормальную скорость, при которой сила давления на рельсы перпендикулярна им, принять равной 54 км/ч.
Дано: R = 300 м; / = 1524 мм = 1,524 м; и = 54 км/ч = 15 м/с.
九一？
Решение. Чтобы поезд двигался по окружности радиуса R со скоростью и, на него должны действовать силы, сообщающие ему центростремительное ускорение, направленное по условию задачи горизонтально (рис. 66). Для большей устойчивости поезда на повороте и меньшей изнашиваемости наружного рельса этот рельс приподни-
мают. Тогда равнодействующая силы тяжести mg и силы нормальной реакции N рельс сообщает поезду необходимое центростремительное ускорение.
Записывая второй закон Ньютона для поезда в проекциях на оси X н У (рис. 66), получаем
N — sina = таХу ^cosa — mg = О,
где ах = а^ = v2/R, откуда tga = M/(Rg) и tga = =152/(9,8• 300) ^； 7,7• 10- . Так как tga — малая величина, то sin a tga.
Иначе из \АВС sin a = h/l. Окончательно
九=号；九=1,524.7,7.10-2 м 0,12 м.
Почему пассажир, стоящий у правой (по ходу поезда) двери движущегося вагона метро, при его повороте оказался прижатым к двери?
Отв. Очевидно, поезд метро повернул влево и начал движение по закруглению дороги. Человек же, сохраняя по инерции прежнее состояние движения, будет прижат к двери.
Почему в северном полушарии реки подмывают правый берег?
Отв. Земной шар вращается с запада на восток. Как известно, линейная скорость вращения точек земной поверхности уменьшается в направлении от экватора к полюсам. Поэтому вода в реке, текущая на север, будет, сохраняя прежнюю скорость, по инерции отклоняться к востоку и подмывать правый берег.
Упражнения
Определить скорость движения автомобиля массой 2 т по вогнутому мосту радиусом 100 м, если он давит на середину моста с силой 25 кН.
Гирька, привязанная к нити длиной 30 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом 15 см. Определить частоту ее вращения.
К потолку вагона подвешен на нити шар. Трамвай идет со скоростью 9 км/ч по закруглению радиусом 36,4 м. На какой угол отклонится при этом нить с шаром?
Мальчик вращается на «гигантских шагах» с частотой 16 мин-1. Длина канатов 5 м. Определить силу натяжения канатов, если масса мальчика 45 кг.
Самолет, имея скорость 720 км/ч, делает петлю радиусом 400 м в вертикальной плоскости. Определить силу давления бензина на дно бака площадью 1 м2, заполненного бензином до высоты 0,8 м, в нижней точке петли.
Конькобежец движется со скоростью 12 м/с по окружности радиусом 50 м. Под каким углом к горизонту он должен наклониться, чтобы сохранить равновесие?
Диск вращается в горизонтальной плоскости с частотой 30 мин-1. Каким должен быть коэффициент трения между диском и лежащим на нем телом, чтобы оно не соскользнуло с диска? Расстояние от оси диска до тела 20 см.
Шарик на веревке длиной 50 см равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти, при какой частоте вращения веревка оборвется, если предел прочности веревки 9mg, где т — масса шарика.
Применение основных законов динамикик космическим полетам
Наряду с рассмотренными законами динамики в этом разделе используем закон всемирного тяготения
р _ Qem2
где 尸——сила взаимодействия (сила тяготения) между двумя материальными частицами; т\ и т2 ——массы материальных частиц; г ——расстояние между частицами; G ——гравитационная постоянная.
Сила тяготения в гравитационном поле действует на тело независимо от того, есть опора или ее нет. При свободном падении тело не испытывает реакции опоры, тогда наступает явление невесомости. Например, невесомость наступает, когда спутник движется вокруг планеты.
Первая космическая скорость ——наименьшая начальная скорость, при которой тело начинает движение в направлении, параллельном его поверхности, чтобы тело стало искусственным спутником планеты. Она различна на разных высотах и для разных небесных тел. Вблизи поверхности Земли v\ = 7,91 км/с называется первой космической скоростью:
S = 7 goR,
где go — ускорение свободного падения вблизи поверхности планеты; R ——радиус планеты.
Наименьшая начальная скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно, начав движение вблизи поверхности небесного тела, преодолело его притяжение, называется второй космической скоростью:
f 2 = yZgoR.
Эта скорость меняется с высотой и различна для разных небесных тел. Для Земли 。2 = 11,19 км/с ^ 11,2Х X Ю3 м/с.
Если в начальный момент времени тело имело вторую космическую скорость и на него не действуют никакие другие силы, кроме силы тяготения, то оно будет двигаться относительно небесного тела по параболической траектории.
* * *
Вычислить ускорение свободного падения тела, находящегося на расстоянии 100 км от поверхности Земли.
Дано:九=100 км = 105 м.
g — ?
Решение. На тело, находящееся на высоте 力 над поверхностью Земли, действует одна сила ——сила тяготения, направленная к центру Земли и равная
尸=GMm/r\(1)
где М — масса Земли; m — масса тела;厂 ——расстояние от центра Земли до тела.
Под действием этой силы тело будет двигаться вертикально вниз равноускоренно с ускорением g. Запишем для тела второй закон Ньютона в проекциях на ось У, направленную вертикально вниз:
尸=mg,
или с учетом формулы (1)
GMm/г2 = mg,
откуда,
g = GM/г2,
Здесь г — R + h, где тела над поверхностьюЗдесь г — R + h, где тела над поверхностьюR ——радиус Земли, 力 ——высота Земли. Тогда на высоте 九
Здесь г — R + h, где тела над поверхностью
Здесь г — R + h, где тела над поверхностью
⑵⑵g = ° (R + 炉•
⑵
⑵
У поверхности Земли А ^ 0, поэтому г = R и g = =GM/R2. Это ускорение у поверхности Земли будем в дальнейшем обозначать go：
⑶⑶« 9,8 м/с2.« 9,8 м/с2.GM
⑶
⑶
« 9,8 м/с2.
« 9,8 м/с2.
go —
“_ 6,67・10一"・ 5,97 • 1024 m
g。=(6,37-Ю6)2
После почленного деления уравнений (2) и (3) получим g/go = R2/(R + 力)2, откуда g = go/?2“R + Л)2. Так как /i/R《l, то воспользуемся приближенным соотношением (1 + 专)-2 1 — 2/i/R.
Тогда
g = g。R\\ + h/Rf g。0^~)；
g = 9,8(1 一 2-107(6,37-106)) g ^ 9,51 м/с2.
Космический корабль массой 106 кг начинает •подниматься вертикально вверх. Сила тяги его двигателей 2,94 • 107 Н. Определить ускорение корабля и вес тела, находящегося в нем, если на Земле на тело действует сила тяжести 5,88 • 102 Н.
Дано: g = 106 кг; А = 2,94-107 Н; m2go = 5,88• 102 Н.
?尸2— ？
Решение. На космический корабль действуют: Ft ——сила тяги двигателей; F — сила тяготения (рис. 67). По закону всемирного тяготения,
尸=GMmJ产,
где r=R +力(см. задачу 129). Так как в начале подъема h《R、то, пренебрегая 力 по сравнению с R, можно считать r^R. Тогда
Рис. 67F=GMm"R2.
Записывая для корабля второй закон Ньютона в проекции на ось У, получаем
尸т —尸=mid； или 尸т — GMmi/R2 = m\at
откудаоткудаFt GM _ Ft cFt GM _ Ft c
откуда
откуда
Ft GM _ Ft c
Ft GM _ Ft c
поскольку GM/R2 = go・ Тогда
a = (2,94 • © • KT6 - 9,8)M/c2 = 19,6 м/с2 = 2go. Найдем вес тела, находящегося в движущемся корабле. Напомним, что вес ——это сила, с которой тело действует на связь (растягивает пружину, давит на поверхность и т. д.). В нашем случае вес тела, находящегося в поднимающемся корабле,——это сила 尸д, с которой тело давит на корабль. Для ее определения рассмотрим силы, действующие на тело в корабле. Таких сил две: N ——сила нормальной реакции корабля,尸'=GMm“F^ GМт?/R2—— сила тяготения.
Записывая для тела, находящегося в корабле, второй закон Ньютона в проекции на ось У, получаем
N — F' = да, откуда
N =尸,十加2a = GMm^/R2 + m2a = m^GM/R2 -\-a).
Учитывая, что корабль и тело поднимаются с ускорением a=2go, находим N = m2(go + 2gо) = Зги2go. По третьему закону Ньютона,
Е = N = 3m2go； Fa= 3-5,88.102 Н 1,76 кН.
Подлетев к неизвестной планете, космонавты придали своему кораблю горизонтальную скорость 11 км/с. Эта скорость обеспечила полет корабля по круговой орбите радиусом 9100 км. Каково ускорение свободного падения у поверхности планеты, если ее радиус 8900 км?
Дано: и = 11 км/с = 1,1 • 104 м/с; г = 9100 км = 9,1 • 106 м;
R = 8900 км = 8,9* 106 м.
go — ?
Решение. На космический корабль действует только одна сила тяготения со стороны планеты, направленная к ее центру и согласно закону всемирного тяготения равная
尸=GMm/产,
Рис. 68Рис. 68к с Мт 「М R?А?к с Мт 「М R?А?где М — масса планеты; т — масса космического корабля; г — расстояние от центра планеты до корабля (радиус орбиты). Преобразуем это выражение, умножив числитель и знаменатель нае：
Рис. 68
Рис. 68
к с Мт 「М R?А?
к с Мт 「М R?А?
⑴
Здесь, как и в случае Земли, go = =GM/R2 — ускорение свободного падения у поверхности планеты. Запи
шем для космического корабля второй закон Ньютона
в проекциях на ось У, направленную к центру планеты:
⑵⑵尸=тау,
⑵
⑵
где
CLy — &u — и /R.(3)
Подставим выражения (1) и (3) в (2): go/nR12//^ = =т©Iг、откуда
14 м/с2.с214 м/с2.с2_ 力「.—(1,1・1О4)2.9,].[0б
14 м/с2.
с2
14 м/с2.
с2
go = -р-； go = ―~(8,9・ 10咛2 ~
На экваторе некоторой планеты тело весит вдвое меньше, чем на полюсе. Плотность вещества этой планеты 3 г/см3. Определить период вращения планеты вокруг своей оси.
Дано:尸з=А/2; р = 3 г/см3 = 3-103 кг/м3.
Решение. На тело, находящееся на поверхности планеты, действуют: F — сила тяготения со стороны планеты; N — сила нормальной реакции поверхности планеты (рис. 68). На полюсе тело покоится относительно инерциальной системы отсчета. Тогда
F 十 N п = 0 или 尸=Nn.
По закону всемирного тяготения,
尸=GMm/R2t
где m — масса тела; М ——масса планеты; R ——радиус планеты. По определению плотности, М = pV, где V ——
гдеа^ = & =公〃 =v2/(2R).гдеа^ = & =公〃 =v2/(2R).⑵(3)⑵(3)
где
а^ = & =公〃 =v2/(2R).
где
а^ = & =公〃 =v2/(2R).
⑵
(3)
⑵
(3)
объем планеты. Считая планету сферой, получаем V = =4/3nr3, m = 4/3冗r3р т0Гда сила тяготения
尸=G写子^…P巾а(1)
откуда ^п = 4/^GpmR.
На экваторе тело вращается вместе с планетой, т. е. имеет ускорение ац= ^R = ^^R/T2, где Т — период вращения планеты. По второму закону Ньютона, F — № = ="：&, или
4/3nGpm/? 一 М = m^R/T\⑵
Так как сила нормальной реакции опоры, по третьему закону Ньютона, равна весу тела и, по условию задачи, Л= 1Л^п, то м= 1/2М = 2/зпСрАп/?, откуда
4/3nGpm(/? 一 2/3nGpmR = 4NRm/Tl(3)
Окончательно
Т=л/б,б7・：(Х」£у9,7.103с.
Спутник движется по круговой орбите в плоскости экватора на высоте, равной радиусу Земли. С какой скоростью должен перемещаться наземный наблюдатель, чтобы спутник появлялся над ним каждые 5 с? Разобрать случаи, когда направления движения спутника и вращения Земли совпадают и когда ——противоположны.
Дано; h = R; Г = 24 ч = 8,64 • 104 с; / = 5 ч = 1,8 • 104 с.
Решение. На спутник, движущийся по круговой орбите, действует сила тяготения со стороны Земли 尸= =GMmjr. Учитывая, что, по условию задачи /• = 2R, преобразуем написанное выражение:
尸=6而=6B丁=訣 丁. (1)
Здесь go = GM/R2 ——ускорение свободного падения у поверхности Земли. Запишем для спутника второй закон Ньютона в проекциях на ось У, направленную к центру Земли:
尸=та»
Подставим формулы (1) и (3)
В (2):
gom/4 = mv/(2R)y
тогда и = 7&R/2 ., Угловая ско- рость спутника со= и〃= u/(2R)=
Рассмотрим два случая.
1. Спутник перемещается в направлении движения Земли (рис. 69). За время / спутник
пройдет по своей орбите рас
стояние АВСАВ = s = vt и попадет в точку 3, отстоя
щую от А на расстоянии
\АВ\ = of —2"=со〃 一 2nr=r(cof — 2 冗)= 2R(cof — 2 л).
Чтобы спутник оказался над наблюдателем, последний должен попасть в точку В за то же время, т. е. пройти расстояние \A\Bi\ со скоростью 力十级，где s —скорость наблюдателя относительно Земли; и2 — скорость Земли. Следовательно,
⑸⑸14311 =(У1 + U2)f.
⑸
⑸
Из рисунка видно, что угловые перемещения спутника и наблюдателя за время / одинаковы, т. е.(pi =屮2・ Так как q)i = \A[Bi\/Rt (р2= \AB\/(2R\ то с учетом формул (4) и (5) получим
(ui+u2)f^R^t — 2л)
Учитывая, что U2 = 2nR/7 и s = Vgo/(8R), находим
(S + 2nRIT't —^ go"" / 2冗
откуда
s=(V¥t-处；
力=(V帀訣可一盖*一謡葡也37.1。6 m/g
1,04 • 102 м/с.
s=(V¥t+学/? ^ 1Д • Ю3 м/с.
Средняя высота спутника над поверхностью Земли 1700 км. Определить его скорость и период вращения.
Дано: /г = 1700 км = 1,7« 106 м.
и — ? Т—?
Решение. Движение по круговой орбите происходит под действием только силы тяготения со стороны Земли:
⑴⑴尸=GmM/{R + hf,
⑴
⑴
где R — радиус Земли. Записывая для спутника второй закон Ньютона в проекциях на ось У, направленную к центру Земли, получаем
⑵⑵尸—tYlCLyy
⑵
⑵
где
& = & = u'/(R + 九).(3)
Учитывая формулы (1) и (3), преобразуем уравнение (2): GmM/(R + 九)'=加。2/(八 + 九)，откуда
小=GM/(R + h).(4)
Умножая числитель и знаменатель правой части уравнения (4) на R\ получаем
「М %
° = G产而Г，
где GM/&2 = go ——ускорение свободного падения у поверхности Земли. Следовательно,
小=goR3(R + 3，(5)
откуда
и = 6,37・1и = 6,37・19,89,86,37・"+ 1,7・ 12 с6,37・"+ 1,7・ 12 с«7,0Ы03 м/с.«7,0Ы03 м/с.
и = 6,37・1
и = 6,37・1
9,8
9,8
6,37・"+ 1,7・ 12 с
6,37・"+ 1,7・ 12 с
«7,0Ы03 м/с.
«7,0Ы03 м/с.
Период вращения спутника по круговой орбите радиусом R +良
7 = 2戒 R + 石).
^2.334(6^
Можно лн запустить спутник так, чтобы он все время находился над одним и тем же пунктом Земли?
Отв. Это возможно в том случае, если период вращения спутника равен периоду вращения Земли вокруг своей оси, а плоскость его орбиты совпадает с плоскостью земного экватора.
Будет ли гореть спичка, зажженная внутри космического корабля, движущегося по орбите вокруг Земли? '
Отв. Все предметы внутри космического корабля, если его двигатели не включены, находятся в состоянии невесомости. Поэтому конвекции воздуха внутри корабля не'будет и продукты сгорания, скопляясь около пламени, погасят его.
Упражнения
Найти силу тяготения, действующую со стороны Земли на тело массой 1 кг, находящееся на поверхности Луны. Расстояние между центрами Земли и Луны принять равным 384 000 км.
Определить плотность планеты, продолжительность суток на которой равна 7, если известно, что на экваторе планеты тела невесомы.
Спутник делает 16 оборотов за время одного оборота Земли. Определить период, высоту и скорость спутника, считая его орбиту круговой.
С увеличением высоты полета спутника его скорость уменьшилась с 7,79 до 7,36 км/с. Определить, на сколько изменились период вращения спутника и удаленность его от земной поверхности. /
Искусственный спутник движется вокруг планеты 4, имея период вращения Ть Как изменится период вращения спутника, если он будет двигаться вокруг планеты В, имеющей такую же плотность, как и планета Д, но вдвое больший радиус? Спутник движется по круговой орбите вблизи поверхности планеты в обоих случаях.
Какую перегрузку испытывает космонавт, вращающийся в горизонтальной плоскости на центрифуге диаметром 12 м с угловой скоростью 4,04 рад/с?
Период вращения спутника по круговой орбите
вокруг Земли 240 мин. Определить высоту орбиты спутника над поверхностью Земли.
Определить период вращения и орбитальную скорость искусственного спутника, движущегося вокруг Луны на высоте 200 км от ее поверхности, если масса Луны 7,3- 1022 кг, а ее радиус 1,7-106 м.
Определить период вращения искусственного спутника вблизи планеты, которую можно принять за однородный шар плотностью р.
Импульс тела. Закон сохранения импульса
Второй закон Ньютона можно записать в виде
FAf = A(mv),
где FAf — импульс силы; mv = р —— импульс тела.
Запишем второй закон Ньютона в дифференциальной форме:
Fdf=d(mv), или F = -—^—.
Если на систему взаимодействующих тел действуют внешние силы, то справедливо соотношение
£ A(gVj) = £ F,Af, i= 1i— 1
где Am/V/ ——изменение импульса каждого тела массой т» системы, на которое действует внешняя сила F‘； F»Af — импульс этой силы.
При отсутствии внешних сил (система замкнута) справедлив закон сохранения импульса
2 тм = const, / — 1
где mt-——масса отдельного тела в системе взаимодействующих тел; V/ — скорость этого тела; % — число взаимодействующих в системе тел.
Для системы, состоящей из двух взаимодействующих тел, закон сохранения импульса примет вид
gvi + m2v2 = miUi + m2u2
при упругом взаимодействии;
m\N\ + m2V2 = (g + 加2)口
при неупругом взаимодействии. Здесь vi и v2 — скорости тел до их взаимодействия; Ui, u2, и — скорости тел после взаимодействия.
При решении задач записываем для тела закон сохранения импульса в векторной форме, выбираем направления осей координат и проецируем на них обе части векторного уравнения.
* **
Тело массой 0,2 кг падает с высоты 1 м с ускорением 8 м/с2. Найти изменение импульса тела.
Дано: m = 0,2 кг;力=1 м; а = 8 м/с2.
Л(/ии) — ?
Решение. Тело падает с ускорением а, и его скорость изменяется. При этом изменение импульса
A(mv) = mv — mvo = m(v — Vo).
Проецируя обе части этого уравнения на ось У, направленную вертикально вниз, получим
A(mu) = m(u — ио).(1)
Так как тело начало падать из состояния покоя, то его начальная скорость и° = 0; конечная же скорость v тела может быть найдена из уравнения u = V^^・ Учитывая это, из уравнения (1) получаем А(/ли) =/nV^i； A(mu) = =0,2^2・8・ 1 кг• м/с = 0,8 кг-м/с.
Молекула массой 5- 10-26 кг, летящая со скоростью 500 м/с, упруго ударяется о стенку под углом 30° к перпендикуляру. Найти импульс силы, полученный стенкой при ударе.
Дано: m = 5- 10~ кг; и = 500 м/с; а = 30° а 0,52 рад.
Рис. 70Рис. 70или в проекциях на оси X н У (FA/)X = m{v2x — vix)t (FAf)y = m{v2y — v\y).
Рис. 70
Рис. 70
Так как удар упругий, то v\ = =U2 = и, 0С1 = «2 = а. Поэтому v\x= —V cosa; и2х= v cosa; v\y— —v sina; V2y— —и sina, откуда
(尸A/)% = 2mv cosa, (FA/)y = 0. По определению, импульс силы
FAZ = V(m)? + (尸А*
или с учетом выражений для (FA/)X и (尸Af%
尸 А/ = V(2mucosa)5 = 2mucosa;
FAf = 2• 5• 10-26.б。。.от H-c = 4,35-10~23 H-c.
Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с песком массой Юти застревает в нем. Найти скорость вагона, если он двигался со скоростью 36 км/ч навстречу снаряду.
Дано: mi = 100 кг; s = 500 м/с; g = 10 т = 104 кг;
02 = 36 км/ч = 10 м/с.
u- ?
Решение. Запишем для снаряда и вагона с песком закон сохранения импульса при неупругом ударе:
⑴⑴m\N\ + 加 2V2 = (mi + m2)u.
⑴
⑴
Выбирая направление оси X совпадающим с направлением движения снаряда и проецируя на нее обе части уравнения (1), получаем mivi — m2f2 = (/^1 + ^2)«/ откуда
m\V\ — ЛП2У2m1 +m2m\V\ — ЛП2У2m1 +m2
m\V\ — ЛП2У2m1 +m2
m\V\ — ЛП2У2m1 +m2
100 - 500- 104-10
-~- == -5 м/e.
Следовательно, направление движения вагона не изменилось.
Граната, летящая со скоростью 15 м/с, разорвалась на два осколка маёсами 6 и 14 кг. Скорость боль-
шего осколка возросла до 24 м/с по направлению движения. Найти скорость и направление движения меньшего осколка.
Дано: и = 15 м/с; 〃2 = 24 м/с; m = 6 кг; т? = 14 кг.
〃i — ?
Решение. Проведем ось X в направлении движения гранаты и запишем закон сохранения импульса в проекции на эту ось:
(mi + m2)w = /П1〃1 + m2w2, (1) где 加1 + 加2 ——масса всей гранаты. Из соотношения (1) находим
= =(6十1担5」上竺2L= _6 m/e mi * 6 с '
Знак минус означает, что меньший осколок полетит в направлении, противоположном направлению движения гранаты.
Третья ступень ракеты состоит из ракеты-носителя массой 500 кг и головного конуса массой 10 кг. Между ними помещена сжатая пружина. При испытаниях на Земле пружина сообщила конусу скорость 5,1 м/с по отношению к ракете-носителю. Определить скорости конуса и ракеты, если их отделение произойдет на орбите при движении со скоростью 8 км/с относительно Земли.
Дано: т,\ = 5-102 кг;加2 = Ю кг; и。= 5,1 м/с; и = 8 км/с = 8-103 м/с.
〃i — ? 〃2 — ?
Решение. Запишем для третьей ступени ракеты закон сохранения импульса в проекциях на ось X, совпадающую с направлением движения ракеты по орбите:
(mi + 加2須=mi^i + m2u2, (1)
где mi —— масса ракеты-носителя; m2 —— масса конуса; и\ ——скорость ракеты-носителя относительно Земли после ее отделения от конуса; 〃2 — скорость конуса относительно Земли после его отделения от ракеты.
Так как после отделения скорость спутника относительно ракеты-носителя та же, что и на Земле, то 〃2 ——〃i = и。или
"2="1 +00； "1 = "2一00."2="1 +00； "1 = "2一00.⑵⑵
"2="1 +00； "1 = "2一00.
"2="1 +00； "1 = "2一00.
⑵
⑵
ВВ〃[=V—Uo；^ 8 -103 м/с;〃[=V—Uo；^ 8 -103 м/с;"i = 8・103"i = 8・10310-5,1 м 〜5.1О24-1О ~^10-5,1 м 〜5.1О24-1О ~^
В
В
〃[=V—Uo；
^ 8 -103 м/с;
〃[=V—Uo；
^ 8 -103 м/с;
"i = 8・103
"i = 8・103
10-5,1 м 〜
5.1О24-1О ~^
10-5,1 м 〜
5.1О24-1О ~^
Подставляя поочередно каждое из уравнений (2) уравнение (1), получаем:
^=^ + ■7^7^『(8・及十 1T¥+5；》м/с^ ^8005 м/с.
Почему удар молотом по тяжелой наковальне, положенной на грудь циркового артиста, оказывается для него безвредным, тогда как такой же удар прямо по телу артиста является гибельным?
Отв. Так как масса наковальни больше чем масса молота, то скорость, которую она приобретает после неупругого соударения с молотом, будет мала и сила, действующая на артиста, будет тоже невелика. Кроме того, площадь соприкосновения наковальни с телом артиста больше, чем у молота, поэтому дополнительное давление, оказываемое наковальней на тело артиста в момент удара, меньше, чем давление молота. Вследствие этого такой удар будет безвредным.
Упражнения
Метеорит и ракета движутся под углом 90° друг к другу. Ракета попадает в метеорит и застревает в нем. Масса метеорита т, масса ракеты т/2, скорость метеорита V, скорость ракеты 2и. Определить импульс метеорита и ракеты после соударения.
Снаряд массой 20 кг, летящий горизонтально со скоростью 500 м/с, попадает в платформу с песком массой Юти застревает в нем. Определить скорость, которую получила платформа от толчка.
Какую скорость получит неподвижная лодка, имеющая вместе с грузом массу 200 кг, если находящийся в ней пассажир выстрелит в горизонтальном направлении? Масса пули 10 г, ее скорость 800 м/с.
Снаряд массой 50 кг, летящий вдоль рельсов со скоростью 600 м/с, попадает в платформу с песком массой Юти застревает в песке. Вектор скорости снаряда в момент падения образует угол 45° с горизонтом. Определить скорость платформы после попадания в нее снаряда, если платформа двигалась навстречу снаряду со скоростью 10 м/с.
Ракета, масса которой без заряда 400 г, при сгорании 50 г топлива поднимается на высоту 125 м. Определить скорость выхода газов из ракеты, считая, что сгорание топлива происходит мгновенно.
Два шара массами 6 и 4 кг движутся вдоль одной прямой со скоростями 8 и 3 м/с. С какой скоростью они будут двигаться после абсолютно неупругого удара, если: 1) первый шар догоняет второй; 2) шары движутся навстречу друг другу?
Лодка массой 150 кг и длиной 2 м покоится на поверхности пруда на расстоянии 0,7 м от берега и обращена к нему носом. Человек массой 70 кг, сидевший в лодке, переходит с ее носа на корму. Причалит ли лодка к берегу?
Вопросы для повторения
1. Дайте определение силы и массы и назовите их единицы в СИ. 2. Что такое плотность?3. Сформулируйте законы Ньютона. 4. Что такое инерция?5. Назовите виды сил в механике. 6. Что называют импульсом тела? 7. Сформулируйте закон сохранения импульса.1. Дайте определение силы и массы и назовите их единицы в СИ. 2. Что такое плотность?3. Сформулируйте законы Ньютона. 4. Что такое инерция?5. Назовите виды сил в механике. 6. Что называют импульсом тела? 7. Сформулируйте закон сохранения импульса.8. Сформулируйте закон всемирного тяготения. Каков физический смысл гравитационной постоянной? 9. Почему сила тяжести изменяется с увеличением высоты тела над поверхностью Земли? Изменяется ли при этом масса тела? 10. Дайте определения первой и второй космических скоростей.8. Сформулируйте закон всемирного тяготения. Каков физический смысл гравитационной постоянной? 9. Почему сила тяжести изменяется с увеличением высоты тела над поверхностью Земли? Изменяется ли при этом масса тела? 10. Дайте определения первой и второй космических скоростей.
1. Дайте определение силы и массы и назовите их единицы в СИ. 2. Что такое плотность?
3. Сформулируйте законы Ньютона. 4. Что такое инерция?
5. Назовите виды сил в механике. 6. Что называют импульсом тела? 7. Сформулируйте закон сохранения импульса.
1. Дайте определение силы и массы и назовите их единицы в СИ. 2. Что такое плотность?
3. Сформулируйте законы Ньютона. 4. Что такое инерция?
5. Назовите виды сил в механике. 6. Что называют импульсом тела? 7. Сформулируйте закон сохранения импульса.
8. Сформулируйте закон всемирного тяготения. Каков физический смысл гравитационной постоянной? 9. Почему сила тяжести изменяется с увеличением высоты тела над поверхностью Земли? Изменяется ли при этом масса тела? 10. Дайте определения первой и второй космических скоростей.
8. Сформулируйте закон всемирного тяготения. Каков физический смысл гравитационной постоянной? 9. Почему сила тяжести изменяется с увеличением высоты тела над поверхностью Земли? Изменяется ли при этом масса тела? 10. Дайте определения первой и второй космических скоростей.
§ 3. РАБОТА, МОЩНОСТЬ, ЭНЕРГИЯ.ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Работой постоянной силы называется величина
А = Fscosa,
где 尸一сила, действующая на тело; s — перемещение тела под действием силы; а ——угол между направлениями силы и перемещения. Если а<л/2, то 4>0; если а = л/2, то Д = 0; если а>л/2, то Д <0.
Если на тело действует переменная сила, то
А =〈尸 cosa〉s,
где〈尸cosa〉一 среднее значение проекции силы на перемещение. Более строго работу переменной силы надо рассчитывать по формуле
/ = , Ads, Si
где 尸s = Fcosa——проекция силы на перемещение.
Мощностью называется величина
^ = Л//,
где / — время, за которое совершается работа. Если движение равномерное, то
^ = Fv,
где V ——скорость равномерного движения.
В случае неравномерного движения вводят понятия мгновенной и средней мощности:
N == Fv, 〈N〉=尸〈и〉= -у-,
где и ——мгновенная скорость движения; 〈и〉——средняя скорость переменного движения.
Коэффициент полезного действия (КПД) механизма
" _Н _ m
где Лп (Nn, Wn) —— полезная работа (мощность, энергия) механизма, Л3 (%з,听3)— затраченная механизмом работа (мощность, энергия).
Различают два вида механической энергии: кинетическую и потенциальную.
Движущееся тело обладает кинетической энергией
где т ——масса движущегося тела; v — его скорость.
Тело, поднятое над поверхностью земли, обладает потенциальной энергией
W п == mgh,
где h ——высота тела над поверхностью земли.
Сжатая или растянутая пружина обладает потенциальной энергией
恥=筝，
где k — жесткость пружины;尤一сжатие (или растяжение) пружины.
Под полной механической энергией W тела понимают сумму кинетической и потенциальной энергий:
Г= Гк+Гп,
Замкнутой системой тел называется такая система, на которую не действуют силы со стороны тел, не входящих в эту систему. Для замкнутой системы тел, если между телами системы действуют только консервативные силы, полная механическая энергия системы остается постоянной (закон сохранения механической энергии) :
2 Wi = const, i= 1
где Wi ——полная механическая энергия отдельного тела системы; п ——число тел в системе.
Для тела, движущегося со скоростью v на высоте h над поверхностью земли, закон сохранения механической энергии имеет вид
mv2 ...
——h mgh = const.
Когда на тело или систему тел действуют внешние силы, полная механическая энергия системы тел (тела) изменяется. При этом справедливо соотношение
A = \W=渺一%, где А — работа внешних сил; AW — изменение полной механической энергии тела (системы тел); W и Wo — конечная и начальная механические энергии тел (системы тел). Это же соотношение справедливо, когда в замкнутой системе тел между ними действуют неконсервативные силы (например, силы трения). В этом случае А — работа неконсервативных сил.
* * *
Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, попадает в вал и проходит до остановки 0,5 м. Определить силу сопротивления вала движению пули, если ее масса 24 г.
Дано: t>o = 400 м/с; s = 0,5 м; m = 24 г = 2,4 • 10-2 кг.
Решение. Проведем ось X в направлении движения пули (рис. 71). Так как а= л, то cosa=——1, тогда
Д X / = — Fs.⑴
< ——®Иначе:
Рис. 714=取一％,(2)
По условию, -U7= 0 (пуля остановилась), а
呼0=团岔/2.
Рис. 72Рис. 722,4 • 10一2.40022 • 0,52,4 • 10一2.40022 • 0,5Н ^ 3,8 кН.Н ^ 3,8 кН.Подставим (1) и (3) в (2): —Fs = —muo/2, откуда
Рис. 72
Рис. 72
2,4 • 10一2.4002
2 • 0,5
2,4 • 10一2.4002
2 • 0,5
Н ^ 3,8 кН.
Н ^ 3,8 кН.
Поезд массой 600 т, отойдя от станции на 2,5 км, приобрел скорость 60 км/ч. Какую среднюю мощность развивает локомотив, если коэффициент трения 0,005?
Дано: т = 600 т = 6- 105 кг; s = 2,5 км = 2,5 • 103 м;
и = 60 км/ч = 16,7 м/с,眛=5・ IO—
〈"〉一？
Решение. Проведем ось X в направлении движения поезда. На поезд действуют: mg ——сила тяжести; N — сила нормальной реакции рельсов; F ——сила тяги; Ftp —— сила трения (рис. 72). Так как изменение кинетической энергии должно быть равно работе внешних сил, то
= А, или
* % = 4+人，(1)
где W = ти2/2, 取。=0, А\ = Fs ——работа силы тяги; Л2 ——尸TpS ——работа силы трения. Работа силы тяжести и силы нормальной реакции опоры равны нулю, так как они перпендикулярны перемещению. Для горизонтальной поверхности сила трения равна Лтр = pN = 11mg. Подставим выражения для W, U7。， Д1 и Д2 в уравнение (1): m^2/2 = Fs —卩mgs. Тогда сила тяги
尸=^-+ HW =加(-fr+ 闸)•(2)
Согласно определению, средняя скорость равнопеременного движения
〈и〉=(и + ио)/2 = "2,(3)
так как и° — 0. По определению, средняя мощность
〈2〉=尸 е〉.(4)
Подставим формулы (2) и (3) в (4).
〈2〉=?(^-+卩 g)；
5+ 5 • IO— • 9,8)Вт ^ 0,52 МВт.
Груз массой 2 кг, .падающий с высоты 5 м, проникает в мягкий грунт на глубину 5 см. Определить среднюю силу сопро- :тивления грунта.
Дано: m = 2 кг;力=5 м;儿=5 см = 0,05 м.
/〈尸〉-？
Рис. 73Решение. Направим ось У вертикально
вверх, начало оси выберем на глубине h\ от поверхности земли (рис. 73). На участке СО действует внешняя сила (сопротивление грунта), поэтому
^W = A или 渺一％ = 4(1)
где Wq = mgh-[- mgh\ — механическая энергия груза в точке В; W — механическая энергия груза на глубине hi от поверхности земли. Так как в точке О u = Qhv = то 渺=0.
Работа внешних сил на участке СО / =—〈尸〉/и. Подставив выражение для 取о, 呼 н 4 в уравнение (1), получим 0 — mgh — mghi = — {F)h\y откуда
〈尸〉=mg備 + 1)；〈尸〉=2・9,8匾 + 1) H «1,98 кН.
Брусок скользит сначала по наклонной плоскости длиной 42 см и высотой 7 см, а потом, пройдя по горизонтальной плоскости расстояние 142 см, останавливается. Определить коэффициент трения, считая его везде одинаковым.
Дано: /1 = 42 см = 0,42 м; /2 = 142 см = 1,42 м;九=7 см = 0,07 м.
卩一？
Решение. Рассмотрим движение бруска на двух участках: наклонной и горизонтальной плоскостях (рис. 74). При движении по наклонной плоскости на брусок действуют: mg — сила тяжести; N】——сила нормальной реакции наклонной плоскости; FTpi ——сила трения, причем
Гт =卩 Ni =卩/ngcosa.(1)
При движении по горизонтальной поверхности на брусок действуют: mg ——сила тяжести; N2 — сила нормальной реакции горизонтальной плоскости; FTP2 — сила трения, причем
尸 тр2 ==卩 N 2 ==卩^g・(2)
Изменение полной механической энергии бруска равно работе сил трения FTpi и ЛР2：
АВ=4(3)
где
\W = W — Wq = 0 — mgh = —mgh,⑷
Л = Д1 + ^2 = 一FTP|/i — Ftp?/?.
Подставив выражения (4) в (3), получим —mgh = =—FtP|Zi — Лрг/г, или с учетом формул (1) и (2) mgh = = p,mg(Zicosa+/2), откуда 卩= 力/(厶cosa+切・ Из рисунка видно, что cosa=寸/彳一/г?//]. Тогда
Л0,07с
ц = — 一——…=「=^ 0,04.
■/% — 状 + /2л/0,422 — 0,072 +1,42
163°. Найти работу, которую надо совершить, чтобы сжать пружину, жесткость которой 29,4 Н/см, на 20 см. Считать деформации упругими.
Дано: Xi = 0; %2 = 20 см = 0,2 м; k = 29,4 Н/см = 2,94 • 103 Н/м
Д — ?
Решение. 1-й способ. ш Работа по сжатию пружины равна изменению ее потенциальной энергии:
/=AВ=萼；4 = ?型职？)Д* = 58,8 Дж.
广 2-й способ. По определе- ；・宏@ •二^^Х^//备^^/"нию работа сжатия пружины
Рис. 75Л = J 尸 cosadx =
=\ (—々х)(—l)dx =岑|：=祭=58,8 Д*.
164°. Сани, движущиеся горизонтально по льду со скоростью 5 м/с, выезжают на дорогу. Определить расстояние, пройденное санями по дороге, если их длина 1 м, а коэффициент трения саней о поверхность дороги 0,5 (рис. 75). Трением саней о лед пренебречь.
Дано:卩= 0,5; ио = 5 м/с; / = 1 м.
L —?
Решение. Разобьем расстояние, пройденное санями по шероховатой поверхности дороги, на два участка. На первом, равном длине I полозьев, сила трения переменна, так как происходит постепенное увеличение силы нормальной реакции поверхности дороги от нуля до значения, равного силе тяжести саней. На втором участке /1, когда полозья полностью уходят со льда, сила трения постоянна. Подсчитаем работу силы трения на этих двух участках: Дтр = ЛТР1 + ЛТР2.
Пусть сани прошли часть первого участка длиной х (рис. 75). Так как сила нормальной реакции пропорциональна пройденному расстоянию ^ = mgx/l, то сила трения, действующая на сани, равна FTp = ^mgx/l. Тогда работа силы трения на первом и втором участках
Дтр1 = \ 尸/pCOsadx = —\ У- xdx = о о '
卩mg %2 /—о卩mg %2 /—оpw£2pw£2
卩mg %2 /
—о
卩mg %2 /
—о
pw£2
pw£2
4Tp2 = —卩 mg/i.
Полная работа силы трения на двух участках
-卩 mg/+/i)・-卩 mg/+/i)・(1)(1)
-卩 mg/+/i)・
-卩 mg/+/i)・
(1)
(1)
Ftp = 卩mg %// и возрастает от 0 до 尸макс = ^g, то средняя сила трения
〈尸〉=2=卩 mg/2.
откуда работа силы трения
Л1 =-〈尸〉/ =-卩 mg//2.
Иначе, работа силы трения равна изменению кинетической энергии саней: Дтр = ^W = W2— W\. По условию, 呼2 =0, Bi = mu^/2; следовательно,
4р=—呼| = -m^/2.(2)
Из выражений (1) и (2) получим —p,mg(Z/2 + Zi)— =—m^o/2, откуда
/1 =(岔—卩 g/)/(2 卩 g).
Все расстояние, пройденное санями, равно
L = l-\-l\ = l-\L = l-\-l\ = l-\岔一!唔/ 琉+ Ng/ .岔一!唔/ 琉+ Ng/ .
L = l-\-l\ = l-\
L = l-\-l\ = l-\
岔一!唔/ 琉+ Ng/ .
岔一!唔/ 琉+ Ng/ .
м ^ 3,1м ^ 3,1м.м./ _ 52 + 0,5-9,8-l 厶=―2-0,5-9,8—
м ^ 3,1
м ^ 3,1
м.
м.
165°. Груз массой 5 кг свободно падает с некоторой высоты и достигает поверхности земли за 2,5 с. Найти работу силы тяжести.
Дано: m = 5 кг; f = 2,5 с.
Л — ?
Решение. Полная работа силы тяжести о
厶=\ Fcosad/i,(1)
н
где h ——высота, с которой упал груз; F = mg——сила тяжести, действующая на груз; cosa=——1. Преобразуем выражение (1):
о
Д — —J mgdh = —mg/i|^ = mgH.
Так как 〃 = g俨/2, то
#粵^；
.5-9.82-2.52 п . е п
А =2Дж ^ 1,5 кДж.
Груз массой 0,5 кг падает с некоторой высоты на плиту массой 1 кг, укрепленную на пружине жесткостью ^ = 9,8-102 Н/м. Определить наибольшее сжатие пружины, если в момент удара груз обладал скоростью 5 м/с. Удар неупругий.
Дано: т\ = 0,5 кг; т? = 1 кг; k = 9,8-102 Н/м; и = 5 м/с.
Решение. По закону сохранения энергии, полная механическая энергия груза вместе с плитой после удара равна потенциальной энергии сжатой пружины:
/mi + m2)w2/2 + (/ni + m^gx = kx2/2t (1)
где 加2 — масса плиты; и — скорость груза и плиты после удара, которую можно найти по закону сохранения импульса для неупругого удара: т^и = (mi + 加2)〃，откуда
u = mxv !^т\ + т^ (2)
Тогда, подставляя формулу (2) в (1), получаем
(m+m2)"2泞 I2 (g+m2六十(m+m2)"2泞 I2 (g+m2六十(mi + m2)gx = -y(mi + m2)gx = -y
(m+m2)"2泞 I
2 (g+m2六十
(m+m2)"2泞 I
2 (g+m2六十
(mi + m2)gx = -y
(mi + m2)gx = -y
или
々尤2 一 2g(g + m2)x - ^-^^ 0,
откуда
^г( m 14- m2)н- VFC^H-^2)^^.
9,8(0,5+1) + л/9,82(0,5'+ 1)2 十 9,8 • 1。'・0,52 • 5〃(0,5+1)
x =^^M 〜
^8,2-10-2 м.
(Отрицательный корень не удовлетворяет условию задачи.)
Уклон участка шоссе равен 1 м на каждые 20 м пути. Спускаясь под уклон при выключенном двигателе, автомобиль движется равномерно со скоростью 60 км/ч. Определить мощность двигателя автомобиля, поднимающегося по этому уклону с той же скоростью. Масса авто* мобиля 1,5 т.
Дано: sina=/i//== 1/20 = 0,05; и = 60 км/ч。17 м/с; т^1,5 т = =1,5-103 кг.
N — ?
Рис. 76
Решение. Так как при подъеме движение автомобиля равномерное, то
N = Fu、(1)
где 尸一сила тяги двигателя при подъеме; и ——скорость автомобиля. При подъеме на автомобиль действуют: mg ——сила тяжести; N — сила нормальной реакции шоссе; F — сила тяги; Ftp — сила трения (рис. 76, а). Записывая второй закон Ньютона для автомобиля в проекциях на оси X н У (рис. 76, а), получаем 尸一FTp — —mgsina= 0 (a = 0, так как и = const), откуда
尸=Ар + mgsina.(2)
При спуске на автомобиль действуют: mg — сила тяжести; N ——сила нормальной реакции; Ftp — сила трения (рис. 76, 6). Аналогично первому случаю получим mgsina— FTp = 0, откуда
£тр = mg sin а.(3)
Подставим выражение (3) в (2):尸=2mgsina. Тогда уравнение (1) примет вид
N =2mgsina・ v;
N = 2 • 1,5 • 1。3.9,8 • 0,05 • 17 Bg 25 кВт.
Определить работу подъема груза по наклонной плоскости, среднюю мощность и КПД подъемного устройства, если масса груза 100 кг, длина наклонной плоскости 2 м, угол ее наклона к горизонту 30°, коэффициент трения 0,1, ускорение при подъеме 1 м/с2. У основания наклонной плоскости груз находился в покое.
Дано: т = 100 кг; /= 2 м; а= 30° ^ 0,52 рад;卩=0,1; а— 1 м/с2.
А — ?〈2〉一 ？ L ?
Рис. 77Рис. 77Решение. Изменение полной механической энергии обусловлено действием на груз силы тяги и силы трения:
Рис. 77
Рис. 77
A+Aтp = ^W= W-W0=W. (1)
Здесь Л — работа силы тяги, 4Tp ——работа сил трения (麻=0 по условию задачи). Конечное значение полной механической энергии
W = гиМ/2 + mgh = trial + mgl sin a, так как v2 = 2ah
Сила трения на наклонной плоскости 尸 тр=|хМ =
= p,/ngcosa, поэтому ДТр=—|xmg/cosa (рис. 77). Под
ставляя эти выражения в уравнение (1), получаем
А = zn/(a + gsina+ jigcosa);
Л = 100-2(1 +9,8-0,54-0,1.9,8• 0,87) Дж = 1,35 кДж.
Средняя мощность подъемного устройства
〈N〉=A/f,
где f ——вре;ля подъема груза, которое может быть получено из уравнения равноускоренного движения
/=d/2(uo = O).(2)
Из уравнения (2) найдем t = y2l/a. Следовательно, 〈N〉=>^L^Bt = 675 Вт.
По определению, КПД подъемного устройства равен
п=к，
где 4 = 4 = 1,35 кДж.
Полезным действием подъемного механизма является перемещение груза на высоту /i = /sina. Поэтому 4 = =mg/sin а;
4= 100-9,8-2-0,5 Дж = 980 Дж,
откуда
п = 980/( 1,35-103) «0,73.
169. Шар массой m, подвешенный на нити длиной /, отклоняют на угол 90° от вертикали и отпускают. Определить силу максимального натяжения нити.
Дано: т; /; а= 90° « 1,57 рад.
Рис. 78
Решение. Максимальное натяжение нить испытывает при прохождении шаром точки В. В точке В на шар действуют: mg ——сила тяжести; Тмакс ——
сила натяжения
нити (рис. 78). Запишем для шара второй закон Ньюто
на в проекциях на ось У:
Тмакс — mg = may.
⑴
где ay= v2/R, R= L Учитывая это, перепишем уравнение (1): Тмакс — mg = nw^/l, откуда
Тмакс = mg + mv2/l.(2)
Для определения скорости шара в точке В применим закон сохранения энергии для точек А и В:
Wa=Wb.(3)
Так как Wa = mgl, Wb = mv2/2, то уравнение (3) примет вид mgl= mv2/2, откуда v2= 2gl. Подставив выражение для и2 в уравнение (2), получим
Тмакс = mg + m- 2g/// = 3mg.
170. Спутник массой 12 т вращается по круговой орбите вокруг Земли, обладая кинетической энергией 54 ГДж. С какой скоростью и на какой высоте вращается спутник?
Дано: m = 12 т = 1,2« 104 кг;弘=弘 ГДж = 5,4• 10'° Дж.
u 一 ? Л - ?
Решение. Кинетическая энергия спутника WK = mv2/2, откуда
⑴
m=2吼/团.
Тогда
g=3・l()3 м/с.
Высота h подъема спутника и его скорость и связаны соотношением
公= goR2/(R + m(2)
[см. задачу 134; формула (5) ]. Приравниваем правые части уравнений (1) и (2): 2WK/m = gQR2/{R + h\ откуда
h = mgo-^R= —； \^ W К/
九=6,37.О(乌*賞齡业-i) m ^3,8・з м.
На какое расстояние удалится от поверхности Земли ракета, запущенная вертикально со скоростью 9 км/с? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Дано: и = 9 км/с = 9・ IO? м/с. h — ?
Решение. На ракету массой m действует переменная сила тяготения
F=GmMl+、(1)
где М — масса Земли; г ——расстояние между ракетой и центром Земли.
При подъеме ракеты на высоту h эта сила совершит работу
R + h
4 =[尸cosadr,(2)
где а=п рад ——угол между направлениями силы и перемещения; R — радиус Земли. Подставляя выражение (1) в (2), получаем
R +力# = G^dr==G^LR +力# = G^dr==G^LR+力RR+力R= GmM(^= GmM(^1\— GmMh 瓦丿=—R(R+h) •1\— GmMh 瓦丿=—R(R+h) •⑶⑶
R +力
# = G^dr==G^L
R +力
# = G^dr==G^L
R+力
R
R+力
R
= GmM(^
= GmM(^
1\— GmMh 瓦丿=—R(R+h) •
1\— GmMh 瓦丿=—R(R+h) •
⑶
⑶
Иначе, работа равна изменению кинетической энергии ракеты: А = \W— W2— W\. На высоте h 渺2 =。，тогда
A^ — W^-mv2/^.(4)
Приравняем правые части выражений (3) и (4):
GmMh/[ R{R+h)] = mu2/2.(5)
Преобразуем выражение (5), умножив и разделив левую часть на R:
R/iGM/|(R + /i)R2] = M/2.(6)
Так как GM/R2 = go — ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли, то равенство (6) можно записать в виде Rhgo(R + /г) = и'/2, откуда
%_v2R .
=2Rgo — M ；
ЛЛ(9.103)2.6,37.1062.6,37.10ь-9,8-(9. lOV(9.103)2.6,37.1062.6,37.10ь-9,8-(9. lOVм^1,17.107м^1,17.107м.м.
Л
Л
(9.103)2.6,37.106
2.6,37.10ь-9,8-(9. lOV
(9.103)2.6,37.106
2.6,37.10ь-9,8-(9. lOV
м^1,17.107
м^1,17.107
м.
м.
172°. Рассчитать вторую космическую скорость, которую надо сообщить ракете у поверхности Земли, чтобы она навсегда покинула ее.
Дано: go = 9,8 м/с2; R\ = 6,37• 106 м; /?2= <».
V-—？
Решение. На ракету массой m действует переменная сила
F^GmM/r2,(1)
работа которой 砲
/ =，Feos a dr.(2)
Учитывая, что а=л рад, и подставляя выражение【1) в (2), получаем
ЛтМ j GmM |00 GmM
k(3)
Иначе, А = AW= %— Wi. Так как 1Гг = 0, то
A= — S = —тМ/?.(4)
Приравнивая правые части выражений (3) и (4), имеем GmM/R\ = mv2/2f или после преобразований, аналогичных предыдущей задаче, gQRi = у2/2, откуда
gV2goR ； и = у2 • 9,8 • 6,37 • 1 об м/с ^ 11,2 • 1()3 м/с.
Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Рас-
Рис. 79Рис. 79стояние от точки подвеса стержня до центра 1 м. Найти скорость пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол 10°.
Рис. 79
Рис. 79
Дано: т2 = lOOOg /= 1 м;
а = 10° «0,17 рад..
Решение. Запишем закон сохранения импульса для неупругого удара в проекции на ось X (рис. 79): m\v = (mi + т^и, откуда
⑴⑴mi + m2 U =!U.
⑴
⑴
mi
Здесь и — скорость пули до столкновения; и — скорость шара и пули после их столкновения. В выражении (1) кроме и неизвестна еще скорость и, которую можно найти по закону сохранения энергии. Пусть в результате столкновения с пулей центр массы шара поднялся на высоту 瓦 тогда, по закону сохранения энергии,(加1+加2)公/2 = =(m1 + m2)g力，откуда
〃2=2g/i.(2)
Из рисунка имеем /г =/ —/cosa=/(1 — cosa). Подставим выражение для Л в уравнение (2): u2 = 2g/(l — cesa), откуда и = 72g/(1 — cos 诵.Тогда уравнение (1) можно привести к виду
。=若也％(「-")•(3)
Используя тригонометрниеское уравнение sin(a/2)= = У(1 — cosa)/2, преобразуем выражение (3):
。=2*si吟而
0 = 2 *+：：°g 0,09V9,8。1 ^a^о м/е.
Человек, находящийся в вагонетке, толкает другую вагонетку. Они приходят в движение и через некоторое время останавливаются вследствие трения. Определить отношение перемещений вагонеток до оста-
новки, если масса первой вагонетки с человеком в три раза больше массы второй вагонетки.
Дано: т\ = Згп2.
S1/S2 — ?
Решение. Запишем для вагонеток закон сохранения импульса для упругого взаимодействия в проекции на ось X, направленную в сторону движения первой вагонетки:
0=加1"]一加2"2,(1)
где 〃i и 〃2 ——скорости первой и второй вагонеток сразу после толчка (взаимодействия).
Из уравнения (1) следует, что
т\и\ = т2и2.(2)
Преобразуем уравнение (2), используя условие задачи: 3加2"1 =m2〃2, откуда
〃1 = 〃2/3.(3)
Изменение кинетической энергии каждой вагонетки равно работе силы трения: AUZ = 4 Учитывая, что AW=0 — —m〃2/2 и / = — EpS=—卩/ngs, получаем —т〃？/2 = =—\^mgs, или
d/2=Ngs.(4)
Тогда для первой и второй вагонеток соотношение (4) можно записать в виде
ui/2= p,^si, U2/2==[igS2.(5)
Разделив почленно уравнения (5), получим s"s2 = 〃；/后， или, учитывая соотношение (3),
Sl/S2= U2/(9U2)= 1/9.
Баба копра массой 400 кг падает на сваю массой 100 кг, вбитую в грунт. Определить среднюю силу сопротивления грунта, и КПД копра, если известно, что при каждом ударе свая погружается в грунт на 5 см, а высота поднятия бабы копра 1,5 м. Удар неупругий.
Дано: mi = 400 кг = 4 • 102 кг; т2= 100 кг= 102 кг;
s = 5 см = 5・ I。-? м; Л = 1,5 м.
〈尸〉一 ？ " 一 ？
Решение. Работа силы сопротивления грунта равна изменению полной механической энергии системы тел (свая и баба копра):
A = \W=取一 ％= — U7o (1) (取=0 по условию задачи).
По определению, работа силы сопротивления
А =-〈尸〉s・(2)
Начальная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий сваи и бабы копра после их соударения, т. е. % = Wn + 取к. Кинетическую энергию представим в виде 吼=р?/ [2(g + 饱)], где р ——импульс сваи и бабы копра после соударения. Так как Wn = (т\ + m)gs, то
取о =(加1 + 加2)gs + р2/ [2(mi + m2)] • (3)
По закону сохранения импульса, для неупругого соударения имеем р = pi. Здесь pi ——импульс бабы копра перед ее ударом в сваю. Из закона сохранения механической энергии для падения бабы копра с высоты Л (рис. 80) имеем p；/(2zni) = migh, поэтому
⑷⑷P2 = pi = 2加苗儿
⑷
⑷
Подставляя соотношения (2), (3) и (4) в уравнение ⑴, получаем
〈尸〉=(j + m2)g +〈尸〉=(j + m2)g +(mi + m2)s(mi + m2)s
〈尸〉=(j + m2)g +
〈尸〉=(j + m2)g +
(mi + m2)s
(mi + m2)s
〈尸〉=9,8(4.U + 102)+記О唱簿匕3 29,9・104 Й.
КПД механизма равен n = 4/4,
так как Д3 = mgh = р\/(2т). Полезная работа Лп = WK, где Wk— кинетическая энергия сваи и бабы копра после их соударения; WK = p2/[ 2(mi + ^2)]- Так как p = pi, то, подставляя эти выражения в уравнение (5), получаем
ГП1400с о
п =网 + 皿；П = 400 4- 100 = °8
На вершине гладкой полусферы радиусом 0,5 м находится шайба массой 10 г. Шайба начала скользить вдоль сферы под действием горизонтально направленного кратковременного импульса силы 2-10~3 Н-с. На какой высоте от основания полусферы шайба оторвется от ее поверхности?
Дано: R = 0,5 м; т — 10 г = 10-2 кг;尸Af == 2-10-2 Н-с.
Н — ?
Решение. Шайба вплоть до момента отрыва движется по окружности под действием: mg — силы тяжести; N — силы нормальной реакции поверхности сферы. Записывая второй закон Ньютона для шайбы в проекциях на ось У, направленную вдоль радиуса к центру окружности (рис. 81), получим
mg cos а — N = тац,
где ац == ац = d/R; cos а = Н/R. В момент отрыва сила нормальной реакции опоры равна нулю. Тогда
mgH/R = mu"R, или mgH = mv2.(1)
По закону сохранения механической энергии имеем
子吧 + mgH = •^亡 + mgR,(2)
где F\t —— импульс шайбы на вершине полусферы. Из уравнения (2) получаем
mv2 =(尸 Af)2/m + 2mg(R — Я).
mgH =(嘗 + 2mgR — 2mg",mgH =(嘗 + 2mgR — 2mg",Тогда
mgH =(嘗 + 2mgR — 2mg",
mgH =(嘗 + 2mgR — 2mg",
Тело массой m скатилось с горы высотой h. Какую минимальную работу нужно со
вершить, чтобы поднять телоРис. 81
обратно на гору, действуя на тело с силой, направленной вдоль перемещения.
Дано: /1, m
4 — ?
Решение. Так как тело, скатившись с горы, остановилось, то его полная механическая энергия изменилась. Изменение полной механической энергии тела при спуске равно работе сил трения: AU^ = 4・ Так как
^W^ = % — К。］ = 0 - mgh = - mgh,(1)
то Д( = — mgh.
При подъеме тела изменение его полной механической энергии равно
А取2=42 +43.(2)
Здесь А% =呼2 —取02 = rngh — 0 = mgh; A2 — работа силы тяги; Д3 ——работа сил трения при подъеме. Так как сила тяги направлена вдоль перемещения, то сила нормальной реакции опоры, а следовательно, и сила трения будут такими же, что и при спуске с горы. Отсюда 4з = Л1, или с учетом уравнения (1)
/з = — mgh.(3)
Окончательно из уравнений (2) и (3) получаем
4 = А 取2 — 4з = mgh — (— mg 九)=2mgh.
Груз поднимают на высоту 九,а затем равномерно перемещают по горизонтальной поверхности на расстояние h. В каком случае затраченная работа больше? Коэффициент трения тела о поверхность принять равным 卩.Сопротивлением воздуха пренебречь.
Отв. При подъеме груза массой т на высоту h работа равна mgh. При равномерном перемещении груза по горизонтальной поверхности на расстояние h работа равна ^mgh. Поскольку, как известно из опыта, коэффициент трения скольжения всегда меньше единицы, то во втором случае работа будет меньше.
Как нужно бросить мяч на пол с высоты h, чтобы он подпрыгнул на высоту ", большую 九？
Отв. Мяч нужно бросить с начальной скоростью, отличной от нуля. Тогда начальная механическая энергия мяча mgh + mv2/2. Если удар мяча о пол упругий, то мяч поднимется на высоту ", которую можно найти из
закона сохранения энергии mgh+ + mv2/2= mgH. Из этого уравнения видно, что Н больше h.
Упражнения
Поезд массой 500 т поднимается со скоростью 30 км/ч по уклону 10 м на 1 км пути. Коэффициент трения 0,002. Определить
мощность, развиваемую локомотивом поезда.
Камень, скользящий по горизонтальной поверхности льда, останавливается, пройдя 48 м. Определить начальную скорость камня, если известно, что коэффициент трения 0,06.
Пуля массой 10 г, летевшая со скоростью 400 м/с, пробив доску толщиной 5 см, уменьшила скорость вдвое. Определить среднюю силу сопротивления доски движе
нию пули.
Танк, масса которого 15 т и мощность 368 кВт, поднимается в гору с уклоном 30°. Какую максимальную скорость может развивать танк?
Велосипедист должен проехать по «чертову колесу», радиус которого 8 м. С какой высоты велосипедист может начать движение, чтобы не упасть (рис. 82) ? Трение не учитывать.
Баба копра массой 500 кг падает на сваю массой 100 кг со скоростью 4 м/с. Определить КПД копра для упругого и неупругого ударов.
Люстра массой 100 кг подвешена к потолку на металлической цепи, длина которой 5 м. Какова высота, на которую можно отклонить люстру, чтобы при последующих качаниях цепь не оборвалась, если известно, что разрыв наступает при силе натяжения 2 кН?
Конькобежец массой 70 кг, стоя на льду, бросает в горизонтальном направлении шайбу массой 0,3 кг со скоростью 10 м/с. На какое расстояние откатится конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед 0,02?
Пружина детского пистолета, жесткость которой 10 Н/см, имеет длину 15 см. До какой высоты поднимется шарик массой 10 г, выпущенный из пистолета вертикально вверх, если пружина пистолета была сжата до 5 см? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ящик с песком массой 10 кг удерживается пружиной, жесткость которой 30 Н/см. Пуля массой 10 г.
движущаяся со скоростью 500 м/с, попадает в ящик и застревает в нем. Определить, на сколько при этом сожмется пружина.
Два груза, массы которых относятся как 1:4, соединены сжатой пружиной и лежат на горизонтальной поверхности стола. При распрямлении пружины груз меньшей массы получает кинетическую энергию 40 Дж. Найти потенциальную энергию сжатой пружины. Трение не учитывать.
Мяч, падающий с высоты 3 м, после удара о пол подскочил на 2,5 м. Как согласовать это с законом сохранения механической энергии?
Вопросы для повторения
1. Дайте определение энергии. 2. Что называется кинетической энергией тела? 3. Чем отличаются консервативные силы от неконсервативных? 4. Что называется потенциальной энергией? 5. Напишите выражения потенциальной энергии тела, поднятого над поверхностью земли, и потенциальной энергии сжатой пружины. 6. Сформулируйте закон сохранения полной механической энергии. Назовите условия, при которых выполня1. Дайте определение энергии. 2. Что называется кинетической энергией тела? 3. Чем отличаются консервативные силы от неконсервативных? 4. Что называется потенциальной энергией? 5. Напишите выражения потенциальной энергии тела, поднятого над поверхностью земли, и потенциальной энергии сжатой пружины. 6. Сформулируйте закон сохранения полной механической энергии. Назовите условия, при которых выполняется этот закон. 7. Что назы> вают механической работой? 8. Как связаны между собой работа и энергия? 9. Напишите формулы для расчета работы постоянной и переменной силы. 10. Что называют механической мощностью? 11. Чему равны средняя и мгновенная мощности при переменном движении? 12. Назовите единицы энергии, работы и мощности в СИ. 13. Что называют коэффициентом полезного действия механизма?ется этот закон. 7. Что назы> вают механической работой? 8. Как связаны между собой работа и энергия? 9. Напишите формулы для расчета работы постоянной и переменной силы. 10. Что называют механической мощностью? 11. Чему равны средняя и мгновенная мощности при переменном движении? 12. Назовите единицы энергии, работы и мощности в СИ. 13. Что называют коэффициентом полезного действия механизма?
1. Дайте определение энергии. 2. Что называется кинетической энергией тела? 3. Чем отличаются консервативные силы от неконсервативных? 4. Что называется потенциальной энергией? 5. Напишите выражения потенциальной энергии тела, поднятого над поверхностью земли, и потенциальной энергии сжатой пружины. 6. Сформулируйте закон сохранения полной механической энергии. Назовите условия, при которых выполня
1. Дайте определение энергии. 2. Что называется кинетической энергией тела? 3. Чем отличаются консервативные силы от неконсервативных? 4. Что называется потенциальной энергией? 5. Напишите выражения потенциальной энергии тела, поднятого над поверхностью земли, и потенциальной энергии сжатой пружины. 6. Сформулируйте закон сохранения полной механической энергии. Назовите условия, при которых выполня
ется этот закон. 7. Что назы> вают механической работой? 8. Как связаны между собой работа и энергия? 9. Напишите формулы для расчета работы постоянной и переменной силы. 10. Что называют механической мощностью? 11. Чему равны средняя и мгновенная мощности при переменном движении? 12. Назовите единицы энергии, работы и мощности в СИ. 13. Что называют коэффициентом полезного действия механизма?
ется этот закон. 7. Что назы> вают механической работой? 8. Как связаны между собой работа и энергия? 9. Напишите формулы для расчета работы постоянной и переменной силы. 10. Что называют механической мощностью? 11. Чему равны средняя и мгновенная мощности при переменном движении? 12. Назовите единицы энергии, работы и мощности в СИ. 13. Что называют коэффициентом полезного действия механизма?
§ 4. СТАТИКА
Статика изучает условия равновесия тела под действием приложенных сил. Под равновесием понимают состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения или вращения. Различают следующие виды равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Условием равновесия является экстремальное значение потенциальной энергии, что математически записывается в виде
耍=。•
dx
Условием устойчивого равновесия является минимальное значение потенциальной энергии, что математически равносильно условию
d2吃
>0.
Для равновесия материальной точки необходимо, чтобы векторная сумма всех сил, приложенных к точке, была равна нулю:
Е = 0.
i= 1
Если спроецировать все силы, действующие на материальную точку, на выбранные оси X и У, то условие равновесия принимает вид
£х = 0; 2尸刃=0.
1i= 1
Равновесие твердого тела зависит не только от модуля и направления действующих сил, но и от точки приложения сил.
Момент силы М относительно оси равен произведению силы F на плечо / (перпендикуляр, опущенный от оси вращения на линию действия силы):
M = Fl.
Момент силы, стремящейся повернуть тело относительно оси против часовой стрелки, считается положительным, по часовой стрелке ——отрицательным.
Для равновесия тела необходимо выполнение двух условий:
Векторная сумма всех сил, приложенных к телу, равна нулю.
% = 0,
где п ——число сил.
Алгебраическая сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю:
2 М = о, где и ——число моментов.
* * *
Груз массой 10 кг уравновешен двумя грузами, причем масса второго груза 18 кг. При этом нить, удерживающая третий груз, направлена от точки Л горизон-
тально (рис. 83, а). Определить массу третьего груза и угол а:
Дано: т\ = 10 кг; т2= 18 кг.
АПз — ? ОС — ?
Решение. На точку А действуют силы натяжения нитей Ti, Т2 и Т3 (рис. 83,6). Так как система тел неподвижна, то для каждого груза можно записать:
Ti=mig, 4=加2g, Т4= m3g・(1)
Условие равновесия для точки Л имеет вид
* + Т2 + Тз=0,
причем Т]=П, 丁2=7幺 Тз=Т4・ Выбирая направления осей X н У н проецируя на них это уравнение, получаем
—T2sina+Тз= 0,(2)
Тгсоза— Ti = 0.(3)
Из уравнений (3) и (1) найдем cosa=「i/T2=加1/加2, откуда a= arccos(zni/zn2), a= arccos (10/18) ^0,98 рад. Из уравнения (2) найдем Т3= 72sina, или m3g=m2gsina, откуда
тз = zn2sina; /п3 = 18 • 0,832 кг ^ 14,9 кг.
Деревянный брусок лежит на наклонной плоскости. С какой силой нужно прижать брусок к наклонной плоскости, чтобы он оставался на ней в покое? Масса бруска 2 кг, длина наклонной плоскости 1 м, высота 60 см. Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость 0,4.
Дано: m == 2 кг; 1= 1 м;力=60 см = 0,6 м;卩=0,4.
Решение. На брусок действуют: mg — сила тяжести; N ——сила нормальной реакции наклонной плоскости; Ftp —— сила трения; F — сила, прижимающая брусок к наклонной плоскости (рис. 84). Так как брусок не может вращаться, то для его покоя достаточно выполнения только первого условия равновесия
mg + N + F + Ftp = 0.
Выбирая направления осей X н У и проецируя на них уравнение (1), получаем
mgsina—Ар = 0, N — mgcosa— F =6
Учитывая, что ЛР = цЛ^, sina=/i//, cos а= д/^2 Л2//, и решая полученную систему уравнений, находим
尸=干(需— -"—(OS)2)心13,7 h.
Однородная тонкая балка АВ массой 100 кг опирается одним концом на гладкий горизонтальный пол, а другим — на гладкую плоскость, наклоненную под углом 30° к горизонту. Конец балки В поддерживается веревкой с грузом, перекинутой через блок С (рис. 85). Определить массу груза и силы нормальной реакции пола и наклонной плоскости. Трением в блоке пренебречь.
Дано: mi = 100 кг; 0 = 30° = 0,52 рад.
m2 - ? m — ? ^2 — ?
Решение. Рассмотрим силы, действующие на балку: m\g ——сила тяжести; № н № — силы нормальной реакции пола и наклонной плоскости; Т — сила натяжения веревки. Под действием этих сил балка находится в рав-
новесии. Напишем для балки первое условие равновесия:
zziig+Ni + Nz + TH。..(1)
Направляя оси X н У так, как указано на рисунке, и проецируя на них уравнение (1), получаем
Msinp— Teos 8 = 0,(2)
—gg + M + N2 cos0 + Т sinp = 0.(3)
Запишем для балки второе условие равновесия относительно оси, проходящей через точку В:
Afi-Ab"(4)
Здесь Mi = N\l\, М2 — migl2— моменты сил М и m\g относительно выбранной оси, где l\ = L cosa, /2 = = (L/2)cosa——плечи сил AG и migi； L = \АВ\ —— длина балки. Подставив выражения для Mi и М2 в уравнение (4), получим ^lLcosa—%g(L/2)cosa = 0, откуда
“尸善；м = -^^Н = 490 Н.
Из уравнений (2) и (3) найдем силу натяжения:
T=i/2ggsinB，(5)
Из условия равновесия для груза получим Т，= mg причем Т'=Т, откуда
Т m • a100
m2 = y=—sinp; /П2 = у^кг = 25 кг.
Из уравнения (2) с учетом выражения (5) найдем
_Tcosp_ = 2^co № = №*0,87 н = 426 н.
sin р 2 l2
Однородный тонкий стержень ОВ лежит на двух опорах D w С, расстояние между которыми а (рис. 86). Коэффициент трения стержня об опоры ц, угол наклона стержня к горизонту а, длина участка \СВ\ = Ь. Какова должна быть длина стержня L, чтобы он находился в равновесии?
Дано: \ОВ\ = Ц \DC\~a\ \CB\ = b\ ц; а.
厶—？
Решение. На стержень ОВ действуют: mg ——сила тяжести; Ni и N2 ——силы нормальной реакции опор Q н С; FTpi и FTp2——силы трения. Силы трения направлены вдоль
стержня вверх, так как стержень стремится соскользнуть вниз. Напишем для стержня первое условие равновесия:mg + Ni + FTpi ++ Ftp2 + № =。Направим оси X и У так, как указано на рисунке, и спроецируемстержня вверх, так как стержень стремится соскользнуть вниз. Напишем для стержня первое условие равновесия:mg + Ni + FTpi ++ Ftp2 + № =。Направим оси X и У так, как указано на рисунке, и спроецируемРис. 86Рис. 86на них уравнение (1):на них уравнение (1):
стержня вверх, так как стержень стремится соскользнуть вниз. Напишем для стержня первое условие равновесия:
mg + Ni + FTpi +
+ Ftp2 + № =。
Направим оси X и У так, как указано на рисунке, и спроецируем
стержня вверх, так как стержень стремится соскользнуть вниз. Напишем для стержня первое условие равновесия:
mg + Ni + FTpi +
+ Ftp2 + № =。
Направим оси X и У так, как указано на рисунке, и спроецируем
Рис. 86
Рис. 86
на них уравнение (1):
на них уравнение (1):
FTP1 + ЛР2 — mg sin а= 0, (2)
М — Л^2 — mg cos а= 0. (3) Принимая во внимание, что Ftp&^N, запишем уравнения (2) и (3) в виде
rM + 卩八2 —mgsina》。， (4)
N\ — N? — mgcos a= 0. (5) Напишем для стержня второе условие равновесия относительно оси, проходящей через точку С:
М — М2 = 0・ (6)
Здесь Mi = mgh, М〉= N\1» — моменты сил mg и N、относительно выбранной оси, где 乙=(L/2——b)cosa и /2= а ——плечи сил mg и N. Подставим выражения для Mi и М2 в уравнение (6):
⑺⑺mg(L/2 — b)cosa — Ма = 0.
⑺
⑺
Из уравнений (5) и (7) найдем Ni = zngcosa(L/2——Ь)/а, №= mgcoso(〃2 — b — а)/а. Учитывая это, из уравнения (4) можно найти длину стержня:
L^2b + а( \ +tga/|i).
Лестница длиной 4 м приставлена к идеально гладкой стене под углом 60° к горизонту. Коэффициент трения между лестницей и полом 0,33. На какое расстояние вдоль лестницы может подняться человек, прежде чем лестница начнет скользить? Массой лестницы пренебречь.
Дано: /= 4 м; а= 60° ^ 1,05 рад;卩= 0,33.
S — ?
Решение. На лестницу действуют: F ——сила давления человека на лестницу; Ni и N2 ——силы нормальной реак-
Рис. 87Рис. 87ции стены и пола; Ftp —— сила трения (рис. 87). Скольжение лестницы можно рассматривать как совокупность двух движений: вращательного (около точки О) и поступательного (в направлении против оси X). Первое условие равновесия лестницы имеет вид
Рис. 87
Рис. 87
F+M + № + Ftp = 0.
Спроецируем полученное уравнение на оси X н У:
⑴⑴尸тр一m = 0,n2一尸=0.
⑴
⑴
Напишем второе условие равновесия лестницы относительно точки О:
⑵⑵М1 — М2 = 0.
⑵
⑵
с NJsina、——г cos aс NJsina、——г cos a—tga.—tga.Здесь М\ = N*l\ и М?= FI?——моменты сил ^l и F относительно выбранной оси, где /i = /sina и /2= Scosa —— плечи сил ^l и F. Учитывая это, перепишем уравнение (2): M/sina—FScosa=0, откуда
с NJsina
、——
г cos a
с NJsina
、——
г cos a
—tga.
—tga.
Рис. 88Рис. 88mg+N + T+FTp = 0.mg+N + T+FTp = 0.⑴⑴
Рис. 88
Рис. 88
mg+N + T+FTp = 0.
mg+N + T+FTp = 0.
⑴
⑴
Из уравнений (1) и закона для'сила трения ЛР = цЛ^г следует, что N\ =卩尸，поэтому
S=卩/tga; 5 = 0,33・4・寸3 (m) ^2,3 m.
На нити длиной 20 см висит шар радиусом 5 см, опирающийся на вертикальную стенку. Нить касается шара в точке С. Определить коэффициент трения шара о стенку.
Дано: /=20 мм =0,2 м; А=5см=0,05 м. 卩一？
Решение. На шар действуют: mg ——сила тяжести; N ——сила нормальной реакции стенки; Т —— сила натяжения нити; FTp ——сила трения (рис. 88). Напишем для шара первое условие равновесия:
Направляя оси ОХ и OY так, как указано на рисунке, и проецируя на них уравнение (1), получаем
N— Tsina=0, — mg+ Teos а+Ftp = 0.(2)
Запишем для шара второе условие равновесия относительно оси, проходящей через точку О:
-М1 + М2 = 0.(3)
Здесь Afi = FTp/i, М2= TI2 —— моменты сил FTp и Т относительно выбранной оси, где /〔 = /2= R ——плечи сил. Учитывая это, перепишем уравнение (3):
—尸тр/? + Т/? = 0 или 尸тр = Т.(4)
Решая систему уравнений (2) и (4) с учетом того, что Ftp&ixN, находим
(5)(5)|i^ 1 /sin а.
(5)
(5)
Так как АС и АВ — касательные к окружности, проведенные из одной точки, то АОАС= а/2 и tga/2 = /?//. Находя синус угла по формуле
sin аsin а2tg (а/2) l+tg»(a/2)，2tg (а/2) l+tg»(a/2)，
sin а
sin а
2tg (а/2) l+tg»(a/2)，
2tg (а/2) l+tg»(a/2)，
Рис. 89Рис. 89
Рис. 89
Рис. 89
окончательно получим
戸 + 产• □ > 0,22 + 0,052 〜
2 2RI ，2 2・0,05・0,2'
Два шара массами 3 и 5 кг скреплены стержнем, масса которого 2 кг. Определить положение общего центра масс, если радиус первого шара 5 см, второго — 7 см, длина стержня 30 см.
Дано: mi = 3 кг; m2 = 5 кг; гп3 = 2 кг; R = 5 см = 0,05 м;
/?2 = 7 см = 0,07 м; 2 = 30 см = 0,3 м.
% — ?
Решение. Так как центр масс системы совпадает с центром тяжести, то найдем его положение из условия равновесия системы в поле тяготения. Для этого закрепим систему на оси, проходящей через центр тяжести С (рис. 89). В этом случае достаточно рас-
Рис. 90Рис. 90смотреть только условие равновесия системы относительно указанной оси:
Рис. 90
Рис. 90
М1—ЛТг 4~ Мз = 0.(1)
Здесь Mi = mig/ь 乂2=加 2g/2 и Мз = =/Из^/з — моменты сил migi, m2g2 и gg3 относительно выбранной оси, где /i = //2 + Q+,/2= R2 + //2-H и
/з = х — плечи сил m^g,加2g и mag； х ——расстояние от середины стержня до центра тяжести (рис. 89). Учитывая это, перепишем уравнение (1): gg(//2 + R + +х) — m2g(А2 — 〃2 — х) + m3gx= 0, откуда
% m?R? — т 1R1 — 2(/712 — ли()/2 . т\ -\- т2-\- т^'
5.0,07-3-0,05 + 0,3(5-3)/2
X =辻汪L———М ^ 0,05 м.
Однородная плоская пластинка имеет форму круга, из которого вырезан круг вдвое меньшего радиуса, касающийся первого круга (рис. 90, а). Определить положение центра масс пластинки.
Дано: R.
% - ?
Решение. Так как центр масс пластинки совпадает с ее центром тяжести, то найдем положение центра тяжести пластинки. Если вставить вырезанную часть пластинки на прежнее место, то силу тяжести zng тела можно представить как равнодействующую двух сил (рис. 90, 6): силы тяжести mig вырезанной части и силы тяжести m2g оставшейся части (круг с отверстием). Пластинка будет находиться в равновесии относительно оси, проходящей через точку О. Запишем для полученной системы второе условие равновесия относительно указанной оси:
⑴⑴—М1 + М2=== 0.
⑴
⑴
Здесь Mi = migr и 乂2=加2gx — моменты сил тяжести m】g и m2g относительно точки О, где г и х ——плечи сил тяжести gg и m2g.
Учитывая это, перепишем уравнение (1): —mig「+ + m2gx = 0, откуда
х = гп\г/т2.(2)
Массы однородных пластинок одинаковой толщины равны:
т = pSh = pnR’fi, mi = pSih = pnr2/i,
m2 — m — m\ = pnh(/?2 —r2),
где p — плотность материала пластинки; S — площадь сечения всей пластинки; Si ——площадь сечения выреза; h ——толщина пластинки. Учитывая это, перепишем уравнение (2):
х =х =71M（外一用一M - J71M（外一用一M - J
х =
х =
71M（外一用一M - J
71M（外一用一M - J
Используя условие задачи (r=R/2), находим
_ 内 _ R
'=部2_ W/4) =
Следовательно, центр масс расположен на расстоянии R/6 от центра пластинки.
200°. Зависимость потенциальной энергии от координаты % задается в виде W{x)= — 5х2 + 4х —3. Найти координату точки, соответствующей положению равновесия этой системы. Выяснить характер равновесия.
Дано: W(x) = —5х2 十 4х — 3.
х — ?
Решение. По определению, система находится в равновесии при выполнении условия
d呼 n
Следовательно, находя первую производную по координате х от выражения для потенциальной энергии Зх (—5х2 + 4х — 3) = — 1 Ox + 4 и приравнивая ее нулю, получаем уравнение — 1 Ох + 4 — 0, откуда координата точки, соответствующей положению равновесия системы, х== 0,4 м. Для определения характера равновесия исследуем знак второй производной:
礬=/(m + 4) -10V0.
Следовательно, равновесие системы неустойчивое.
201°. Потенциальная энергия тела массой 0,5 кг изменяется по закону U7(x) = 6х2 + 4х — 2. Найти ускорение тела при прохождении им положения равновесия.
Дано: т=0,5кг.
a — ?
Решение. По определению, работа дЛ равна изменению AW энергии тела:
(M = dW.(1)
Иначе:
dA = Fdx.⑵
Приравнивая правые части выражений (1) и (2), получаем dW— Fdx, откуда
По второму закону Ньютона, а= F/m, или с учетом выражения (3) а~~~~^~- Выполняя операцию дифференцирования, находим
а = 3 备(б%? + 4% — 2)=員⑵ + 4).(4)
Координату тела в положении равновесия определяем из условия -^-=0, или -^-(б^+^х—2) = 12%+^=0, откуда х=——1/3 м. Подставляя х и m в выражение (4), получаем
а = *[ 12_(Т) +4]"
Почему длинным ключом гайку легче отвернуть, чем коротким?
Отв. Чтобы повернуть гайку ключом, к нему нужно приложить силу, момент которой должен быть равен или больше момента силы трения, действующей между гайкой и винтом. Так как момент силы равен произведению силы на плечо, то чем длиннее ключ, тем меньше может быть приложенная к нему сила.
Какая из двух машин, груженная дровами или сеном, легче опрокинется, если их массы одинаковы?
Отв. Легче опрокинется машина с сеном, так как ее центр масс расположен выше, чем у машины с дровами. Устойчивость тела тем больше, чем ниже его центр масс.
Упражнения
Стенной кран имеет длину подкоса ВС = 4м, длину тяги ЛС= 3 м и расстояние АВ = 1,5 м. Определить силы, действующие на тягу АС и подкос ВС, если масса поднимаемого груза 2 т. Какое действие производят эти силы на тягу и подкос (рис. 91) ?
Рис. 91Рис. 91Рис. 92Рис. 92
Рис. 91
Рис. 91
Рис. 92
Рис. 92
Электрическая лампа массой 2 кг подвешена к потолку на шнуре АВ, а затем оттянута к стене веревкой ВС. Определить силы натяжения шнура и веревки, если а=60。и 0= 135° (рис. 92).
Цилиндрический бак диаметром 20 см наполнен водой и подвешен к шарниру Л на невесомой штанге, неподвижно скрепленной с баком (рис. 93). Вода выте-
Рис. 93Рис. 93Рис. 94Рис. 94
Рис. 93
Рис. 93
Рис. 94
Рис. 94
кает из бокового отверстия площадью 2 см, просверленного в баке около его дна, со скоростью 4,43 м/с. На какой угол от вертикали отклонился бак? Высота бака 1 м. Массой бака и понижением уровня воды в нем вследствие вытекания пренебречь; считать угол откло
нения малым.
Однородный стержень АВ прикреплен к вертикальной стене посредством шарнира А и удерживается под углом 60° к вертикали с помощью веревки ВС, образующей с ним угол 30° (рис. 94). Определить силу нормальной реакции шарнира, если известно, что масса стержня 2 кг.
Балка длиной 10 м лежит на двух опорах. На расстоянии 2 м от левого конца балки лежит груз массой 5 т. Определить силы давления балки на опоры, если ее масса 10 т.
Масса трамбовочного катка 100 кг, радиус 0,5 м. Какую минимальную силу нужно приложить к катку, чтобы перекатить его через балку высотой 10 см?
На стержень действуют две параллельные силы 10 и 25 Н, направленные в противоположные стороны. Точки приложения сил расположены на расстоянии 1,5 м друг от друга. Определить равнодействующую сил и точку ее приложения.
Найти положение центра масс однородной пластинки, размеры и форма которой указаны на рис. 95.
Шар массой 10 кг лежит на двух одинаковых наклонных плоскостях, образующих с горизонтом углы 45°. Определить силу давления шара на плоскости.
Вопросы для
повторения
тельно неподвижной оси вращения. 8. Сформулируйте условия равновесия тела в общем случае. 9. Что называется центром масс системы тел и как рассчитать его положение в пространстве? 10. Что называется центром масс тела? 11. Как найти положение центра масс тела произвольной формы?
§ 5. СТАТИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
Давлением р называется величина F
где 尸——сила, действующая на поверхность площади S, расположенную перпендикулярно этой силе.
Давление столба однородной жидкости на глубине Л (гидростатическое давление)
P = pg 九，
где р —— плотность жидкости.
Жидкость (газ) передает производимое на ее поверхность давление по всем направлениям одинаково (закон Паскаля).
Из закона Паскаля следует, что при равновесии однородной жидкости в сообщающихся сосудах давление на поверхности одного уровня в этих сосудах одинаково.
На тело, погруженное в жидкость (газ), действует выталкивающая сила, численно равная силе тяжести жидкости (газа), вытесненной погруженной частью этого тела и приложенная в центре тяжести вытесненного объема (закон Архимеда). Из закона Архимеда следует условие плавания тел: если выталкивающая сила численно равна силе тяжести тела, погруженного в жидкость (газ), то тело плавает в жидкости (газе).
* * *
В цилиндрический сосуд налиты равные массы ртути и воды. Общая высота двух слоев жидкостей 29,2 см. Определить давление жидкостей на дно сосуда (рис. 96).
Дано:力=29,2 см = 0,292 м; т^ = т2.
Р — ?
Решение. Полное давление жидкостей на дно сосуда
Р = Р\+р2.⑴
Здесь pi = pigh — давление ртути на дно сосуда; р2 = ^2gh2 — давление воды на дно сосуда, где pi и р2 — плотности ртути и воды соответственно. Подставим эти выражения в уравнение (1):
Рис. 97Рис. 97P = g(P = g(Р1р2 力Pl + Р2Р1р2 力Pl + Р2Р1р2” 、Pl + Р2 /Р1р2” 、Pl + Р2 /2Ptp2g/l . Pl + Р2 '2Ptp2g/l . Pl + Р2 '
Рис. 97
Рис. 97
P = g(
P = g(
Р1р2 力
Pl + Р2
Р1р2 力
Pl + Р2
Р1р2” 、
Pl + Р2 /
Р1р2” 、
Pl + Р2 /
2Ptp2g/l . Pl + Р2 '
2Ptp2g/l . Pl + Р2 '
P = g(pi 力1 +Р2 力 2),(2)
причем
h = h\ +/12.(3)
По условию задачи, массы столбов жидкостей одинаковы; следовательно, ГП\ =团2, или p/】S = =P2/12S, откуда
pi^ii = Р2/12,(4)
где S — площадь основания сосуда. Из (3) и (4) найдем
(5)(5)九 1 = /ф2/(р1 + р2), %2=/lpl(pl+p2).
(5)
(5)
Подставим выражения (5) в (2):
РРПа ^ 5,3 кПа.Па ^ 5,3 кПа.2-13,6.103-103 .9,8-0,292
Р
Р
Па ^ 5,3 кПа.
Па ^ 5,3 кПа.
=13,6」О’+1()2
В два колена U-образной трубки налиты вода и масло, разделенные ртутью (рис. 97). Поверхности раздела ртути и жидкостей в обоих коленах находятся на одной высоте. Определить высоту столба воды, если высота столба масла 20 см.
Дано:九2 = 20 см = 0,2 м
小—？
Решение. Согласно закону Паскаля, давление в обоих коленах трубки на уровне АВ (поверхность раздела ртути и жидкостей) одинаково:
⑴
Здесь pi = pig"i и р2 = р2g九一 давления в левом и правом коленах соответственно на уровне АВ\ pi и р2 — плотности воды и масла. Подставляя эти выражения в равенство (1), получаем pig/h = р2g九2, откуда
pi
厶0,9-103-0,2с
九i =0м = 0,18 м.
122
К малому поршню гидравлического пресса приложена сила 196 Н, под действием которой за один ход он опускается на 25 см, вследствие чего большой поршень поднимается на 5 мм (рис. 98). Какая сила давления передается при этом на большой поршень?
Дано: hi = 25 см = 0,25 м; h2 = 5 см = 0,05 м; 8=196Н.
Решение. По закону Паскаля, pi=p2, где p{ = F\/S\ — давление малого поршня площадью S на жидкость; р2 = =F2/S2 ——давление жидкости на большой поршень площадью S2. Переписывая закон Паскаля в виде 尸】/Si = =F2/S2, находим
尸2=尸戸2/5].(1)
Поскольку жидкость несжимаема, объем жидкости, перешедшей из одного колена в другое, одинаков: Vi = V2, или S\h\ = S2/12, откуда
S2/S]=力1/也2.(2)
Подставляя отношение (2) в выражение (1), получаем
尸2 =尸1 勺；尸2= 196黑H = 980 h.
Какова должна быть высота цилиндрического сосуда радиусом 5 см, заполненного водой, чтобы сила давления воды на дно сосуда была равна силе ее давления на боковую поверхность?
Дано: R = 5 см = 0,05 м.
h - ?
Решение. По определению, сила давления на дно сосуда
F = pS.(1)
Так как давление на дно сосуда р= pgh (р ——плотность воды,九 ——высота сосуда, S = mR?——площадь дна сосуда), то выражение (1) примет вид F= р^Лл/?2.
Аналогично, сила давления на боковую поверхность сосуда
Fбок ==：〈Р〉5бок, где (р) =р/2 — среднее давление воды на боковую поверхность сосуда; Sgok ——площадь боковой поверхности
массу меди и серебра в лой воздуха пренебречь.массу меди и серебра в лой воздуха пренебречь.сосуда. Учитывая, что р = pgh и 5бок = 2л/?Л, получаем
массу меди и серебра в лой воздуха пренебречь.
массу меди и серебра в лой воздуха пренебречь.
尸бок pg Rh?.
Так как F = ^бок, или р^Лл/?2 = =pgnRh?, то
九=R;九=0,05 м.
Динамометр, к которому подвешен кусок сплава, состоящего из меди и серебра, показывает в воздухе 2,41 Н, в воде 2,71 Н. Определить этом куске. Выталкивающей си-
Дано： 7\ = 2,41Н; Т2 = 2,17Н.
Sm — ? Шс ?
Решение. При взвешивании в воздухе на кусок металла действуют: mg ——сила тяжести; Ti ——сила натяжения пружины (рис. 99, а). Запишем условие равновесия тела в проекциях на выбранную ось У:
—mg + Ti = 0,
откуда ntg=7\, т — T\/g. При взвешивании в воде на кусок металла действуют: mg ——сила тяжести; Т?——сила натяжения пружины; F ——выталкивающая сила воды (рис. 99, б). Запишем условие равновесия тела в воде:
mg + Т2 + F= 0,
или в проекциях на ось У
-mg+T2 + F = 0.(1)
Учитывая, что mg= 7\ и F = pgVt где V — объем тела; р — плотность воды, преобразуем уравнение (1):
T2-n + pgV=0・(2)
Иначе, масса тела в воздухе и его объем соответственно равны
m = дим + тс;(3)
V= Vm + К, или V = гим/рм + mc/pc,(4)
где VM и Vc — объемы меди и серебра в куске сплава; 124
Рм и pc — плотности меди и серебра Решим совместно уравнения (2) — (4):
m= рерм / т2 一 n I.
с (pc —pM)g \ р 十 рм 丿，
г10,5. и.8,9.103(2,17 — 2,412,41、
С (10.5.103 — 8,9-103)9,8 \1038,9-103 /~
^0,210 кг.
Учитывая, что m=T"g, из уравнения (3) находим
ГПм = ГП —АПс= Tl/g—АПс；
гим = (2,41/9,8-0,210) кг = 0,0356 кг.
Полый железный шар взвешивают в воздухе и керосине. Показания динамометра соответственно равны 2,59 и 2,16 Н. Определить объем внутренней полости шара. Выталкивающей силой воздуха пренебречь.
Дано: П = 2,59 Н;『2=2,16 Н.
匕一？
Решение. При взвешивании в воздухе на шар действуют: mg ——сила тяжести; Ti ——сила натяжения пружины (рис. 99, а). Запишем условие равновесия тела в проекциях на ось У:
—mg+ П = 0,
откуда mg = Гь или m = 7\/g. При взвешивании в керосине на шар действуют: mg ——сила тяжести; Т?——сила натяжения пружины; F — выталкивающая сила керосина (рис. 99, б). Запишем условие равновесия шара в керосине в проекциях на ось У:
一mg+72 + 尸=0.(1)
Учитывая, что mg= 7\,尸=pxgV (V ——объем шара; рк — плотность керосина), преобразуем уравнение (1):
T2-n+pKgV = 0・(2)
Объем полости Vn=V — 1/ж, где Уж = Ш1/рж ——объем, занимаемый железом. Следовательно, Vn = V — т/рж. Так как т = T\/g, то
匕=展 Т"(ржд).(3)
Решая совместно уравнения (2) и (3), получаем
%=0二红L；
Рис. 100Рис. 100V 2,59 — 2,162,59、3
Рис. 100
Рис. 100
П \ 0,8-103.9,87,8-103.9,8/ М
弋2,1.10-5 мз
Однородное тело плавает на поверхности керосина так, что объем погруженной части составляет 0,92 всего объема тела. Определить объем погруженной части при плавании тела на поверхности воды.
Дано: Vn = 0,92V.
Vn ?
Решение. Обозначим: V ——объем всего тела;卩口 —— объем погруженной части тела, плавающего в керосине; Vn ——объем погруженной части тела, плавающего в воде. На тело, плавающее в керосине, действуют: mg ——сила тяжести; F= —ркVng ——выталкивающая сила керосина (рис. 100). Из условия плавания следует, что mg = F, или
(1)(1)mg= PK%g= рк・0,921/&,
(1)
(1)
где рк —— плотность керосина.
mg= Fb, или mg= рвУп^,mg= Fb, или mg= рвУп^,⑵⑵Аналогично запишем условие плавания тела в воде:
mg= Fb, или mg= рвУп^,
mg= Fb, или mg= рвУп^,
⑵
⑵
где рв — плотность воды.
Из уравнений (1) и (2) получим pK*0,92V^=pBV^, откуда
片=里生匕 =0,92； 0,8； 103 ^ _ 0 74 к
Рв103
Тонкая деревянная палочка длиной 20 см закреплена шарнирно на одном конце и опущена свободным концом в воду. Какая часть длины палочки будет находиться в воде при равновесии?
Дано:厶=20 см = 0,2 м.
Решение. На палочку, погруженную в воду, действуют: mg — сила тяжести; F ——выталкивающая сила воды; N ——сила нормальной реакции шарнира (рис. 101). При-
Рис. 101Рис. 101М и М2 в уравнение (1),М и М2 в уравнение (1),меняя к палочке условие равновесия тела, имеющего ось вращения, имеем
Рис. 101
Рис. 101
М и М2 в уравнение (1),
М и М2 в уравнение (1),
М1 — Мг = 0. (1)
Здесь Mi = Fl\ и 乂2 = = mg，2 — моменты сил 尸 и mg относительно оси, проходящей через точку О; /1 = (L — //2)cosa и /2 = = (L/2)cosa — плечи сил 尸 и mg.
Подставив выражения получим
⑵⑵(S — площадь уравнение (2)(S — площадь уравнение (2)尸(L — Z/2) cos a— mg(L/2) cos a= 0.
⑵
⑵
(S — площадь уравнение (2)
(S — площадь уравнение (2)
Учитывая, что F = sgSl и mg = p&gSL поперечного сечения палочки), запишем в виде
pBgS/(L — Z/2) ~ p^gSLl/2 = 0, откуда
/2-2£/ + рд£2/рв = 0.(3)
Решая уравнение (3), находим
/ =厶土 7 и—pd/рв=厶(1 ± VI —рд/рв).
Так как длина погруженной части не превосходит длины палочки, то
2 =厶(1 — Y 匸 Рн/Рв)；
/ = 0,2(1 -V1 -0,8103/103)m^0,11 м.
Что труднее удержать в воде: кирпич или кусок железа, если они имеют одинаковые массы?
Отв. Кусок железа удержать в воде труднее.
Одинаковая ли выталкивающая сила действует на тело, если его погружать в жидкость на разную глубину?
Отв. Так как жидкость практически несжимаема, то ее плотность на разных глубинах одинакова. Следовательно, выталкивающая сила на разных глубинах будет также одинакова.
В пресной или морской воде осадка судна больше?
Отв. Осадка судна в морской воде меньше, чем в пресной, так как плотность морской воды больше, чем пресной.
Упражнения
Какая сила давления может быть получена на гидравлическом прессе, если к длинному плечу рычага, передающего давление на малый поршень, приложена сила 100 Н, отношение плеч рычага 1 :9, а площади поршней пресса соответственно равны 5 и 500 см? КПД пресса 0,8.
Барометрическая трубка наклонена под углом 30° к горизонту. Какова длина ртутного столба в ней при нормальном атмосферном давлении?
На какой глубине в пресной воде давление в три раза больше атмосферного, равного 1,017* 10 Па?
В две сообщающиеся трубки с разной площадью сечения налита ртуть. Затем в более широкую трубку с площадью сечения 8 см2 налито 272 г воды. На сколько выше будет уровень ртути в узкой трубке?
Слиток из золота и серебра взвешивают в воздухе и в воде. Показания динамометра соответственно равны 3 и 2,756 Н. Определить массу золота и серебра в слитке.
Кусок дерева плавает в воде, погружаясь на 3/4 своего объема. Какова плотность этого дерева?
Полый медный шар объемом 44,5 см плавает в воде, погружаясь в нее до половины. Определить объем полости шара.
Однородная палочка шарнирно укреплена за верхний конец, ее нижний конец спущен в воду. Палочка находится в равновесии, когда в воду погружена ее половина. Найти плотность материала палочки.
Вопросы для повторения
щающихся сосудов для однородной и разнородной жидкостей. 6. Объясните принцип действия гидравлического пресса. 7. Что такое выталкивающая сила? 8. Сформулируйте закон Архимеда. 9. Назовите условия плавания тел. 10. Что называют подъемной силой?
ГЛАВА II
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Теплота и работа
Все вещества состоят из атомов и молекул. Для измерения количества вещества вводится единица ——моль. В моле любого вещества содержится одинаковое число молекул ^A = 6,02• 1023 моль-1 (постоянная Авогадро).
Все молекулы находятся в непрерывном хаотическом движении, которое называется тепловым.
Сумма кинетической энергии хаотического движения всех молекул тела 呼к и потенциальной энергии их взаимодействия Wn называется внутренней энергией тела U:
U=.WK+Wn.
Для идеального газа потенциальной энергией молекул пренебрегают, поэтому его внутренняя энергия зависит только от температуры:
U = стТ.
Здесь с ——удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; m ——масса газа; Т ——термодинамическая температура газа, К； Т=273 + /, где t — температура газа, в ℃.
Молекулы газа обладают средней кинетической энергией поступательного движения
W^l2m.{v^,
где т0 — масса одной молекулы; 3 = 7〈产〉—средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул.
Согласно молекулярно-кинетической теории, эта энергия связана с термодинамической температурой соотношением
呼к = 3/2^7,
где k = R/^^ —— постоянная Больцмана.
Изменение внутренней энергии тела может происходить в результате двух процессов: теплообмена и превращения механической энергии во внутреннюю энергию тела.
Для любых процессов, в которых участвует тело, выполняется закон сохранения энергии (первое начало термодинамики): количество теплоты, сообщенное телу, идет на изменение внутренней энергии тела и на совершение телом работы над внешней средой:
Q = AU+4(1)
При этом считают:
Q>0, если тело получает некоторое количество теплоты;
Q<0, если тело отдает некоторое количество теплоты;
力 >0, если тело совершает работу;
А <0, если работа совершается над телом.
Рассмотрим два частных случая изменения внутренней энергии.
Изменение внутренней энергии при теплообмене (без совершения механической работы). В этом случае
уравнение (1) принимает вид
Q = AU.(2)
Изменение внутренней энергии AU можно подсчитать из следующих соотношений:
\U = ст\Т(3)
при нагревании или охлаждении;
AU = ^m(4)
при плавлении или отвердевании;
、U = гт(5)
при парообразовании или конденсации;
、U = qm(6)
при сгорании вещества. Здесь с ——удельная теплоемкость тела; X ——удельная теплота плавления; г ——удельная теплота парообразования; q ——удельная теплота сгорания; т ——масса тела; АТ ——изменение температуры, АТ=6——Тнач, где 8 ——конечная, Тнач ——начальная температура тела. При отвердевании или конденсации в фор-
мулах (4) и (5) необходимо считать AUvO. В общем случае уравнение (2) имеет вид
⑺⑺Q = У А Оз
⑺
⑺
，=1
Если в теплообмене участвует несколько тел, то алгебраическая сумма количества теплоты, отданного .телами, внутренняя энергия которых уменьшается, и количества теплоты, полученного телами, внутренняя энергия которых увеличивается, для изолированной системы тел равна нулю. Это положение называется уравнением теплового баланса
2 Q/ отд + 2 Q/ получ = 0,(8)
j 1/ = 1
где Qoтд и С?полУч подсчитываются по уравнению (7).
Изменение внутренней энергии при совершении телом механической работы (без теплообмена с окружающей средой). В этом случае уравнение (1) принимает вид
0 = AU+4,
откуда
AU=-A(9)
Механическая работа Л может быть подсчитана из известных соотношений.
** При наличии теплопотерь различают количество теплоты Qn, идущее на изменение внутренней энергии тела (полезное количество теплоты), и полное количество теплоты Q3 (с учетом теплопотерь) В этом случае вводят понятие коэффициента полезного действия т]
100%
* * *
Найти массу одной молекулы водорода.
Дано: М = 2 • 10-3 кг/моль
то — >
Решение. Если взять 1 моль водорода, молярная масса которого М = 2- 10-3 кг/моль, то, по определению, в нем будет содержаться число молекул У7А = 6,02 X
X 1023 моль-1. Следовательно, масса одной молекулы водорода
М2 • 10~3° ос 1 п —27
吋石；27 кг.
Сколько молекул воды содержится в капле массой 0,2 г?
Дано: т = 0,2 г= 0,2-10-3 кг; М= 18-10-3 кг/моль.
Решение. В капле массой т содержится число молей, равное
v = т/М.
Так как в моле содержится ^A молекул, то в v молях воды содержится ^AV молекул. Следовательно,
N = %Nz ^ = ^^- 6,02.1023 6,7.1021.
Определить среднюю квадратичную скорость молекул кислорода при 20℃. При какой температуре эта скорость равна 500 м/с?
Дано: 7\ = 293 К, Sc к = 500 м/с
Sc к — ? T2 - ?
Решение. По определению, средняя кинетическая энергия одной молекулы газа
吼］=1/2m0〈。办，⑴
где mo — масса одной молекулы; Sc к = У〈и?〉 ——средняя квадратичная скорость. Иначе, согласно молекулярнокинетической теории, средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы газа задается выражением
Wki=3/2&7Y(2)
Приравнивая правые части выражений (1) и (2), получаем /то〈и；〉= 3/2切，откуда
5ск =、ЗкТ\/ то.(3)
Так как R = R/Na, то выражение (3) можно записать в виде Sc к =V3及八/(①0限),или, учитывая, что т0必= =М, получим
uicK = y3RTi/M; тск =，*紀力缪 _^_^48o м/с.
Аналогично, U2ck = V^K7^"，откуда
72 =T2 =叫得二 K^320 K.
Какое количество теплоты нужно сообщить 2 кг льда, взятого при ——10℃, чтобы лед расплавить, а полученную воду нагреть до 100℃ и выпарить?
Дано: т = 2 кг; Тi = 263 К； Т2 = 373 К.
Q-?
Решение. Изменение внутренней энергии льда равно:
A U\~ Сл/П( Тпл — Т)( 1)
при его нагревании до температуры плавления;
Д L^=Xm(2)
при плавлении льда;
А 4= с^т{ Тк — Тп〃)(3)
при нагревании получившейся воды до температуры кипения;
А“=гги(4)
при испарении воды.
Тогда полное количество теплоты, которое нужно сообщить телу,
Q = AUi+AU2 + AU3 + AU4・(5)
Подставив выражения (1)——(4) в (5), получим
(2 =以加(7\" 一 n)+ аm + сBаП(тк- Tn") +гm =
=Аи[ С〃(7\ы — П) + 入 + Св(Тк — Тгм) + 厂];
Q = 2[2,1.103(273-263) + 3,35.105 + 4,19- Ю3Х
Х(373-273) + 22,6-105] Дж^61 МДж.
В латунный калориметр массой 128 г, содержащий 240 г воды при 8,4°С, Опущено металлическое тело массой 192 г, нагретое до 100°С. Окончательная температура, установившаяся в калориметре, 21,5℃. Определить удельную теплоемкость испытуемого тела.
Дано: ли! = 12 8 г = 0,12 8 кг; т2 = 240 г = 0,2 4 кг; Т{ = Г2 = 2 81,4 К； тз= 192 г = 0,192 кг; Т3 = 373 К； 0 = 294,5 К.
Решение. В теплообмене участвуют три тела: калориметр, вода и металл, причем металл отдает количество теплоты, а вода и калориметр получают. Составим уравнение теплового баланса:
Qi + Q2 + Q3 = 0,(1)
где Qi=.AU]=C[g(® — С), Q2 = AU2 = с2m2(®—Ti)— количества теплоты, полученные калориметром и водой соответственно; (?з =八。3=禽加3(®—Тз) — количество теплоты, отданное телом. Подставим эти выражения в уравнение (1): С\т^ — Ti) + с2m 2(® — А) + Сзтз(® — —Тз) = 0, откуда
_(门т1 + e2m2)(8 - Тi).
3= д(Тз —8)；
_ (0,38 • 103 - 0,128 + 4,19 -103 - 0,24) (294,5 - 281,4) Дж 〜
Сз =0,192(373-294,5)7FR ^
^9,2・102 Дж/(кг.К).
В латунном калориметре массой 100 г находится 5 г льда при ——10℃. В калориметр вливают 30 г расплавленного свинца при температуре плавления. Что будет находиться в калориметре после теплообмена и какая в нем установится температура? Потерями теплоты на испарение пренебречь.
Дано: mi = 100 г = 0,1 кг;加2=5・10一3 кг; Т\ = 263 К； д=30 г = =3-10~2 кг. m - ? 6 - ?
Решение. Уравнение теплового баланса для задач такого типа сразу составить нельзя, так как неизвестен результат процесса теплообмена. Чтобы его установить, проведем анализ процесса.
Теплообмен в системе происходит между тремя телами: калориметр и лед получают, а свинец отдает количества теплоты Qi, (?2 и Q3 соответственно. При этом, конечно, справедливо уравнение теплового баланса
Q1 + Q2 + Q3"(1)
После окончания процесса в системе установится некоторая температура. Ее значение 0 принадлежит интервалу температур: Т2V8<Тппз, где Т2 — начальная температура льда и калориметра, Тппз ——начальная температура (температура плавления) свинца. Такая неопределенность конечной температуры вызвана тем, что в 134
системе при теплообмене могут происходить фазовые переходы льда и свинца. Поэтому поступим так: произвольно выберем значение конечной температуры 6, затем рассчитаем для этой температуры значения Q【， Q2 и Q3, после чего проверим тождественность выполнения уравнения теплового баланса (1). Если оно выполняться не будет, то по значению его левой части мы сделаем окончательные предположения о результате процесса теплообмена. Итак, допустим, что 0= Гпл 2, где Тп〃2 — температура плавления льда, т. е. мы считаем, что теплообмен проходил так: свинец полностью отвердел и охладился, а калориметр и лед нагрелись до температуры Гпл 2 = 273 К. Допустим также, что лед не плавился. Теперь рассчитаем Qi, Q2 и Q3：
Qi ― С\1П\^Тпл 2 — Т2); Qi == 0,38• 10^ • 0,1 X
X (273 一 263) Дж = 380 Дж;
Q2 = C2m 2(Тп〃 2 — 丁2)； Q2=2,l • 103 • 5 • 10 — 3 X
X (273-263) Дж=105 Дж;
Q3 =—入 3团3 + Сз/Пз(Тп〃 2 — Tnn3)； Q3 = —3 • 1 О-2 X
X (0,25 • 105 + 0,13 • 1。3 ・(600 一 273)) Дж ^ —2025 Дж.
Найдем сумму: Qi + Q2+Q3=(380+105~2025) Дж = =—1540 Дж. Видим, что при сделанных предположениях уравнение теплового баланса не выполняется. Так как его левая часть отрицательна, то допустим, что конечная температура по-прежнему 0= Т^ 2, но при этом расплавилась часть льда массой т, т. е. лед получил количество теплоты Q2 +入加.Подставим теперь уточненное значение количества теплоты, полученного льдом, в уравнение (1) и найдем из него массу воды (расплавившегося льда):
т= 1540/(3,35- 105) кг = 4,6- 10~3 кг.
Так как масса получившейся воды не больше, чем начальная масса льда, то наши последние предположения о результате теплообмена верны.
Таким образом, установившаяся температура 273 К, в калориметре находится лед массой 4•10-^ кг, вода массой 4,6-10~3 кг и твердый свинец массой 3-10-3 кг.
Найти массу воды, превратившейся в пар, если в сосуд, содержащий 1 кг воды при 20℃, влить 10 кг расплавленного свинца при температуре плавления.
Сосуд латунный, его масса 0,5 кг. Потерями тейлоты пренебречь.
Дано: mi = l кг; Ti = Т2= 293 К； т3= 10 кг; zn2 = 0,5 кг. m — ?
Решение. Хотя нам не известен результат процесса теплообмена, мы допустим, что конечная температура тел установилась равной температуре кипения воды: 0 = =Тк1 (см. решение задачи 237), т. е. теплообмен протекал так: вода и калориметр, получив количества теплоты Qi и Q2 соответственно, нагрелись, а свинец, отдав количество теплоты Q3, отвердел и охладился до температуры 6 = 373 К. Допустим также, что часть воды массой m перешла в пар. При этих предположениях для значения массы образовавшегося пара выполняется
условие
0《m《他.(1)
Составим теперь уравнение теплового баланса для такого результата процесса теплообмена:
Qi + Q2 + Q3 = 0,(2)
где
Qi = С\т\ (0 — Т1) + гхт,(3)
Q2 = с2m2 (0 — Ti),(4)
Q3 =—入 3m3 + ст3(8 - тпЛз).(5)
Из системы уравнений (2) — (5) находим массу испарившейся воды:
m — 加3〔入3 + Сз(7п』з — 8)] — (miCi + m2c2) (8 — 7\).
_ 10[0,25.106 + 0,13-10\600-373)]
m =22,6.105Kr —
(Ь4,19.103 + 0,5.0,38. 103) (37 3 - 293) _ _ n …
22芯 кг 〜кГ.
Так как полученное значение массы удовлетворяет условию (1), то наши предположения о результате теплообмена верны.
В сосуде, теплоемкость которого 0,63 кДж/К, находится 0,5 л воды и 250 г льда при 0℃. Какая установится температура после впуска в воду 90 г водяного пара при температуре 100℃?
Дано: 5 = 0,63 кДж/К = 0.63-103 Дж/К, V2 = 0,5 л = 5-10~4 м3; тз = 250 г =0,25 кг; 〃〃 = 90 г = 0^09 кг; Тпл3 = 273 К； Ткз= 373 К.
0 —?
Решение. Как и в предыдущих задачах (237, 238), результат процесса теплообмена нам не известен. Поэтому допустим, что все тела после окончания теплообмена имеют температуру 0, большую температуры плавления льда, но меньшую температуры кипения воды. При этом калориметр нагрелся, получив количество теплоты
Qi = &(6 — Тп〃з),(1)
вода массой m2 = ргV2 нагрелась, получив количество теплоты
Q2 = С2m2(@ — Тп〃3)= с2P2V2(@ — Гплз)；(2)
лед расплавился и получившаяся вода нагрелась, взяв количество теплоты
Q3 =九 3m3 + 3团3(@-гплЗ)；(3)
пар сконденсировался, а образовавшаяся вода охладилась, отдав количество теплоты
Q4 = — r4m4 4- с2m4(@ — Ткз).(4)
Составим теперь уравнение теплового баланса:
Qi + Q2 +Q3 + Q4 = 0.(5)
Подставив в него выражения для Qi ——Q4, получим
С1(0 — Тпл 3 ) + C2P2V2(9 — Тплз) + 入 3加3 +
+ e2m3(@一тп"3)-，4m4 + C2m4(@一тkЗ)= 0, откуда установившаяся температура
@m4r4 + & ТплЗ —加3入3 + С2【АЩТкЗ + (p2 V2 + тз)Тппз].
& + C2(P2vz2 十m4 + m3)'
A 0,09-22,6-105 + 0,63.103-273 - 0,25-3,35• 105
d = 0,63-103 + 4,19- 103(103-5. IO"4 + 0,09 + 0,25) К 十
I 4,19・1。3[°,09.373 +(103.5.10-4 + 0,25) 27 3) * 〜^口卜十 0,63 • 103 + % 19 • 101 1 d. 5.1 0-4 + 0,09 + 0,25)-八，
Поскольку 273 K<311 KV373 К, наши предположения о результате теплообмена верны.
В сосуде, из которого быстро выкачивают воздух, находится вода при 0℃. Из-за интенсивного испа-
рения происходит постепенное замораживание воды. Какая часть первоначального количества воды может быть превращена таким образом в лед?
Дано: Т = 273 К.
g/m —?
Решение. Обозначим m ——первоначальная масса воды;加1,加2 — массы воды, превращающиеся в лед и пар соответственно. Необходимое для образования пара количество теплоты здесь может быть получено только в результате того, что при замерзании воды выделяется теплота. В этом случае уравнение теплого баланса примет вид
Qi + Q2 = 0.
Здесь Qi = AUi =——гиД ——количество теплоты, выделенное при замерзании воды; Q? = NU? = m2r ——количество теплоты, затраченное на испарение воды, где X ——удельная теплота плавления льда, г ——удельная теплота парообразования воды. Подставляя эти выражения в уравнение теплового баланса, находим mA = m2r, откуда m2 = m^/r. Так как при теплообмене масса воды не меняется, то m = mi + ги2 или m = mi + m^/r, откуда
g — г .m —22,6-105—
= 入 + r '= 3,35-105 + 22,6-10s =
При изготовлении льда в комнатном холодильнике температура воды за 5 мин понизилась с 16 до 12℃ и еще через 1 ч 55 мин вода превратилась в лед. Найти удельную теплоту плавления льда.
Дано: Afi = 5 мин =0,3• 103 с; 7】=289 К； Т2 = 285 К； т = 1 ч 55 мин = 6,9・ 10%.
?
Решение. Холодильник получает количество теплоты от воды при ее охлаждении и отвердевании и с помощью специального устройства передает его внешней среде. Поэтому температура в камере холодильника остается постоянной. Значит, можно считать, что скорость изменения внутренней энергии воды также постоянна:
⑴⑴AU〃 = k = const.
⑴
⑴
Так как внутренняя энергия воды за время / = Ah + т изменилась на AU = ст(Тм ——Ti)——Xm, то учитывая эти выражнения, из уравнения (1) получим
т[ с(Гпл — Ti) — X] / (А/】+ т) = й.(2)
Так как за время A/i температура воды уменьшилась, то внутренняя энергия изменилась на AU】=сги(Т2 — Т». Учитывая это, из уравнения (1) получаем
cm{T2-T^/Mx = k.(3)
Подставляя (3) в (2), окончательно находим 入=e"一з一(72- 八) ^^]； X = 4,19.103 [ 273 - 289 - (285 - 289) X X (0,3-103 + 6,9-1О3)/(О.З-1О3)| Дж/кг ^ 3,35-105 Дж/кг.
Раскаленный алюминиевый куб, положенный на лед, температура которого ——20℃, полностью в него погрузился. Определить начальную температуру куба. Изменением объема куба при его охлаждении пренебречь.
Дано: Т[ = 253 К.
72-？
Решение. Чтобы алюминиевый куб полностью погрузился в лед, достаточно расплавить лед в объеме куба. Поэтому будем считать, что в теплообмене участвуют только куб и лед того же объема. Составим теперь уравнение теплового баланса:
Qi+ Q2 + Q3 = 0,(1)
где Qi ——количество теплоты, полученное льдом при его нагревании до температуры плавления; Q2 ——количество теплоты, полученное льдом при его плавлении; Q3 ——количество теплоты, отданное кубом при его охлаждении до температуры плавления льда. Учитывая, что Qi= С1ГП1(Гпл — Ti), Q2 = Xmi, Q3 = с2m2(Tnn — T2), преобразуем уравнение (1):
Citn^TnA — Ti) + 入的=c2m2(丁2 — TnJ・(2)
Поскольку 加1 = pW и ап2=р2V (V — объем куба), уравнение (2) примет вид
ClpW(Tnn — Т1) + Xpi V = с2P2 V(丁2 — Tnn),
откуда
乙—Cipi(7nn — П) + 九pi I т . C2P2'
Т _ 2,1.103.0,9-103(273-253) + 3,3-105-0,9.103 ~
/ 2 =0,88-IO3-2,7-IO3К 十
+ 273 К 414 K.
При выстреле вертикально вверх свинцовая пуля достигла высоты 1200 м. При падении, ударившись о землю, она нагрелась. Считая, что 50% механической энергии пули пошло на ее нагревание, рассчитать, на сколько повысится ее температура. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Дано: h = 1,2-103 м; п = 50% или п = 0,5.
?
Решение. Используем соотношение
AU= -тИ，
где AU = ст^Т — изменение внутренней энергии пули при ее нагревании на АТ; А = К —— 必。=——mgh ——работа сил при неупругом ударе пули о землю. Тогда стАТ = = nmgh, откуда
АТ =乎_； ат = 2^需絹21 К45 K.
При какой скорости свинцовая пуля, ударившись о преграду, плавится? Температура пули до удара 100℃. При ударе 60% механической энергии пули превращается во внутреннюю энергию.
Дано: Т = 373 К； п = 60% или т] = 0,6.
Решение. Используем соотношение
X A U = — т)4(1)
Здесь XAU = m入 + ст(ГПл — Т) — изменение внутренней энергии пули при ее плавлении и нагревании до температуры плавления; А = W —— 步。=—— 加。？/2 —— работа сил при неупругом ударе пули о преграду, где ТПл ——температура плавления свинца. Учитывая эти выражения,
перепишем уравнение (1): ст(Тпл — Г) + тХ = т]/ли2/2, откуда
2y 7) + 入];2y 7) + 入];nn
2y 7) + 入];
2y 7) + 入];
n
n
0 = а/ .2【。」3」竺。二MgkL2^J。丄 亠 ^ 426 м/с. V0,6с'
Сани массой 6 кг скатываются с горы, образующей с горизонтом угол 30°. Пройдя ио склону горы 50 м, сани достигают скорости 4,5 м/с. Определить количество теплоты, выделенное при трении полозьев о снег (рис. 102).
Дано: /и = 6 кг; а = 30° ^ 0,52рад; / = 50 м; и = 4,5 м/с.
Q—?
Решение. Рассмотрим изолированную систему тел, состоящую из полозьев санок и ледяной поверхности горы. Используем соотношение
⑴⑴△ u= -4
⑴
⑴
где А = W ——IF。——работа сил трения полозьев о лед; П7 = mv2/2 + mgh ——полная механическая энергия саней в конце движения; Wo= mg И——полная механическая энергия саней в начале движения. Учи гывая выражения для Л, W, Ко, перепишем уравнение (1):
△U =—(仅経/2 + mgh — mgH) = mg(〃 一九)一 —mv2/2 = m(gl sin a — M/2).
Тогда
△ U = 6(9,7・50・0,5-4,52) Дж^1,4 кДж.
Так как измен-ение внутренней энергии взаимодействующих тел измеряется количеством теплоты, то количество
теплоты, выделенное при трении полозьев о снег, должно быть равно изменению внутренней энергии этих тел: Q = kU ^
4 кДж.
При нагревании на спиртовке
300 г воды от 18 до 68℃ было сожжено 7 г спирта. Найти КПД спиртовки.
Дано: т{ = 300 г = 0,3 кг; Т\ = 291 К; Тг =341 К; т2 = 7 г = =7- IO-3 кг.
n 一?
Решение. По определению,
П = *100%・(1)
Здесь Qn = 2AQ = &m(「2 —「i) — количество теплоты, идущее на изменение внутренней энергии воды; Q3 = =А 〃2 = 7^2 — количество теплоты, выделяющееся при сгорании спирта, где с】一удельная теплоемкость воды, q ——удельная теплота сгорания спирта. Подставим выражения для Qn и Q3 в уравнение (1):
=г仪①一4)I00%；
КПД тепловоза равен 30%. Определить расход нефти в нем за час при мощности 7,36 • 10? Вт.
Дано: п = 30%, N = 7,36• 102 Вт; / = 1 ч = 3,6- 103с. m —?
Решение. КПД тепловоза
L 喪 100%.(1)
Здесь Qn = NU\ — А = Nt — количество теплоты, идущее на изменение внутренней энергии газа, вследствие чего совершается механическая работа; Q3 = NU? = qm — количество теплоты, выделенное при сгорании нефти, где q ——удельная теплота сгорания нефти. Подставим выражения для Qn н Q3 в уравнение (1):
厶 М・100% л =,
1qm
откуда
кг ^0,19 кг.кг ^0,19 кг.7,36-I02.3,6.I03.I0030-4,61-IO7
кг ^0,19 кг.
кг ^0,19 кг.
Двигатель расходует 25 кг бензина в час и охлаждается водой, разность температур которой при входе в охлаждающее устройство и выходе из него 15 К. Определить секундный расход воды, если на ее нагревание затрачивается 30% энергии, выделившейся при сгорании бензина.
Дано: /и = 25 кг; т = 1 ч = 3,6• 103 с; АТ = 15 К； т] = 30%, или т] = 0,3.
тс —?
Решение. По условию задачи,
л = Q" Q3,
где Qn ——количество теплоты, необходимое для нагревания воды; Q3 ——количество теплоты, выделенное при сгорании топлива. Учитывая, что Qn = ст、АТ и Q3 = qm、 получаем
Л = ст\\Т/(gm),
откуда масса воды mi = gmn/(cA7).
Следовательно, ежесекундный расход воды
тс =тс =т\ — qmr\ . т сАТт 'т\ — qmr\ . т сАТт '
тс =
тс =
т\ — qmr\ . т сАТт '
т\ — qmr\ . т сАТт '
тстс4,61.107-25-0,34,19- 103- 15-3,6- 1034,61.107-25-0,34,19- 103- 15-3,6- 103кг 1,53 кг/с.кг 1,53 кг/с.
тс
тс
4,61.107-25-0,3
4,19- 103- 15-3,6- 103
4,61.107-25-0,3
4,19- 103- 15-3,6- 103
кг 1,53 кг/с.
кг 1,53 кг/с.
Когда лед может быть нагревателем?
Ответ. Лед может быть нагревателем при контакте с телами, температура которых меньше его температуры. Так как температура образования льда при нормальных условиях 273 К, то температура тел, для которых лед является нагревателем, должна быть меньше этой температуры.
Почему сырые спички не загораются?
Ответ. Спичка загорается, когда ее температура достигает температуры воспламенения вещества головки. При трении сырой спички о коробку спичка получает энергию, большая часть которой расходуется на испарение влаги, содержащейся в спичке. Поэтому температура
головки спички не может достичь температуры воспламенения.
Почему зимой для освобождения тротуаров от льда их посыпают солью?
Ответ. Смесь льда с солью имеет более низкую температуру плавления, чем чистый лед. Поскольку температура окружающего воздуха выше этой температуры плавления, смесь начинает быстро плавиться.
С одинаковой высоты упали два тела одинаковой массы — медное и железное. Какое из них при ударе нагреется до более высокой температуры?
Ответ. Будем считать, что температура тел до их падения одинакова и что во внутреннюю энергию переходит при неупругом ударе одна и та же часть их механической энергии. Так как масса тел, высота подъема, а следовательно, и конечные скорости в момент удара равны, то
А(Л = А", или
С”(Т1 — Т) = с2m(丁2 — Т), (1)
где Г] и 「2 ——температуры медного и железного тел в момент удара; Т ——начальная температура тел. Так как C1VC2, то из уравнения (1) следует (7i——Т)>(「2——7), т. е. медное тело нагревается при ударе до более высокой температуры, чем железное.
Упражнения
Вычислить массу одной молекулы озона Оз, углекислого газа СОг и метана СН4.
Сколько молекул содержится при нормальных условиях в 1 кг водорода Н2? кислорода О2?
Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа при температуре 5000℃ равна 1,7 • 10-23 Дж. Какова эта энергия при температурах —273 и 1000℃?
Смешано 24 л воды при 12℃ и 40 л воды при 80℃. Определить установившуюся температуру, если во время смешения тепловые потери составляли 420 кДж.
В калориметр, содержащий 270 г воды при 12℃, опустили кусок алюминия массой 200 г, нагретый 144
до 100℃. Температура теплового равновесия 23℃. Определить удельную теплоемкость алюминия. Теплоемкость калориметра 42 Дж/К.
Лед массой 20 кг при —20℃ опущен в 20 л воды при 70℃. Весь ли лед расплавится?
Свинцовая пуля летит со скоростью 200 м/с. Каково изменение температуры пули, если вся ее энергия идет на нагревание?
Паровой молот массой 10 т свободно падает с высоты 2,5 м на железную болванку массой 200 кг. На нагревание болванки идет 30% количества теплоты, выделенного при ударе. Сколько раз падал молот, если температура болванки поднялась на 20℃?
Тепловоз массой 213,5 т, движущийся со скоростью 72 км/ч, останавливается. Какое количество теплоты выделилось при торможении?
Какую мощность развивает велосипедный двигатель, если при скорости движения 25 км/ч расход бензина составлял 1,7 л на 100 км пути? КПД двигателя 2。%.
Что произойдет с уровнем воды в стакане, где плавает кусок льда, когда лед расплавится?
Вопросы дляВопросы дляповторенияповторения
Вопросы для
Вопросы для
повторения
повторения
1. Сформулируйте основные положения молекулярно-кинетической теории. 2. Опишите какие-либо опыты, подтверждающие основные положения молекулярно-кинетической теории. 3. Что называют внутренней энергией вещества? 4. Назовите два способа изменения внутренней энергии тел. 5. Сформулируйте первое начало термодинамики. 6. Перечислите виды агрегатного состояния вещества. 7. Что называется плавлением (отвердеванием) вещества? 8. Изменяется ли температура при плавлении (отвердевании) вещества? Как называется эта температура и от чего она зависит? 9. Что называется парообразованием (конденсацией) вещества? 10. Назовите два способа парообразования. 11. Изменяется ли температура при парообразовании (конденсации)1. Сформулируйте основные положения молекулярно-кинетической теории. 2. Опишите какие-либо опыты, подтверждающие основные положения молекулярно-кинетической теории. 3. Что называют внутренней энергией вещества? 4. Назовите два способа изменения внутренней энергии тел. 5. Сформулируйте первое начало термодинамики. 6. Перечислите виды агрегатного состояния вещества. 7. Что называется плавлением (отвердеванием) вещества? 8. Изменяется ли температура при плавлении (отвердевании) вещества? Как называется эта температура и от чего она зависит? 9. Что называется парообразованием (конденсацией) вещества? 10. Назовите два способа парообразования. 11. Изменяется ли температура при парообразовании (конденсации)вещества? Как называется эта температура и от чего она зависит? 12. Напишите формулы, позволяющие рассчитать изменение внутренней энергии вещества при плавлении (отвердевании), а также при парообразовании (конденсации) вещества. 13. Чему равно изменение внутренней энергии вещества при его нагревании или охлаждении, если вещество находится в одном и том же агрегатном состоянии? 14. Что называется удельной теплоемкостью вещества, удельной теплотой плавления и удельной теплотой парообразования? 15. Чему равно изменение внутренней энергии вещества при его сгорании? 16. Что называется удельной теплотой сгорания топлива? 17. Напишите уравнение теплового баланса.вещества? Как называется эта температура и от чего она зависит? 12. Напишите формулы, позволяющие рассчитать изменение внутренней энергии вещества при плавлении (отвердевании), а также при парообразовании (конденсации) вещества. 13. Чему равно изменение внутренней энергии вещества при его нагревании или охлаждении, если вещество находится в одном и том же агрегатном состоянии? 14. Что называется удельной теплоемкостью вещества, удельной теплотой плавления и удельной теплотой парообразования? 15. Чему равно изменение внутренней энергии вещества при его сгорании? 16. Что называется удельной теплотой сгорания топлива? 17. Напишите уравнение теплового баланса.
1. Сформулируйте основные положения молекулярно-кинетической теории. 2. Опишите какие-либо опыты, подтверждающие основные положения молекулярно-кинетической теории. 3. Что называют внутренней энергией вещества? 4. Назовите два способа изменения внутренней энергии тел. 5. Сформулируйте первое начало термодинамики. 6. Перечислите виды агрегатного состояния вещества. 7. Что называется плавлением (отвердеванием) вещества? 8. Изменяется ли температура при плавлении (отвердевании) вещества? Как называется эта температура и от чего она зависит? 9. Что называется парообразованием (конденсацией) вещества? 10. Назовите два способа парообразования. 11. Изменяется ли температура при парообразовании (конденсации)
1. Сформулируйте основные положения молекулярно-кинетической теории. 2. Опишите какие-либо опыты, подтверждающие основные положения молекулярно-кинетической теории. 3. Что называют внутренней энергией вещества? 4. Назовите два способа изменения внутренней энергии тел. 5. Сформулируйте первое начало термодинамики. 6. Перечислите виды агрегатного состояния вещества. 7. Что называется плавлением (отвердеванием) вещества? 8. Изменяется ли температура при плавлении (отвердевании) вещества? Как называется эта температура и от чего она зависит? 9. Что называется парообразованием (конденсацией) вещества? 10. Назовите два способа парообразования. 11. Изменяется ли температура при парообразовании (конденсации)
вещества? Как называется эта температура и от чего она зависит? 12. Напишите формулы, позволяющие рассчитать изменение внутренней энергии вещества при плавлении (отвердевании), а также при парообразовании (конденсации) вещества. 13. Чему равно изменение внутренней энергии вещества при его нагревании или охлаждении, если вещество находится в одном и том же агрегатном состоянии? 14. Что называется удельной теплоемкостью вещества, удельной теплотой плавления и удельной теплотой парообразования? 15. Чему равно изменение внутренней энергии вещества при его сгорании? 16. Что называется удельной теплотой сгорания топлива? 17. Напишите уравнение теплового баланса.
вещества? Как называется эта температура и от чего она зависит? 12. Напишите формулы, позволяющие рассчитать изменение внутренней энергии вещества при плавлении (отвердевании), а также при парообразовании (конденсации) вещества. 13. Чему равно изменение внутренней энергии вещества при его нагревании или охлаждении, если вещество находится в одном и том же агрегатном состоянии? 14. Что называется удельной теплоемкостью вещества, удельной теплотой плавления и удельной теплотой парообразования? 15. Чему равно изменение внутренней энергии вещества при его сгорании? 16. Что называется удельной теплотой сгорания топлива? 17. Напишите уравнение теплового баланса.
§ 2. СВОЙСТВА FA3OB
Состояние любого газа можно охарактеризовать его массой т, занимаемым им объемом V, давлением 〃 оказываемым газом на стенки сосуда, температурой Т, при которой находится газ, а также его молярной массой М. Уравнения, которые связывают между собой эти величины, называются уравнениями состояния газа.
Закон Бойля ——Мариотта. При m = const к Т = const pV = const, или для двух состояний газа pWi = P2V2.
Этот закон описывает изотермический процесс.
Закон Гей-Люссака. При m = const и р = const
-у-= const,
или для двух состояний газа
Этот закон описывает изобарный процесс.
Закон Шарля. При т = const и V == const
~-= const,
или для двух состояний газа
Этот закон описывает изохорный процесс.
Объединенный закон газового состояния (формула Клапейрона). При т = const
-~r~= const,
или для двух состояний газа
p\Vt — "2%
Следовательно, любое состояние газа можно сравнить с его состоянием при нормальных условиях: р0 = =1,01 . В na, % = 273 k (0℃),乙=22,4。 10-3 m3(объ. ем 1 моль любого газа при нормальных условиях).
Уравнение Клапейрона——Менделеева (уравнение состояния идеального газа)
pV = ^-RTy
где m ——масса газа; М ——молярная масса газа; R = = 8,3 Дж/ (моль - К) —— постоянная для всех газов величина, называемая молярной газовой постоянной.
Закон Дальтона. Если в сосуде находится смесь нескольких газов, не вступающих друг с другом в химические реакции, то давление смеси газов равно сумме парциальных давлений (давлений, производимых каждым газом, если бы он один занимал весь сосуд):
Р = Pl + 02 + …+ Рп・
** Любую задачу на применение газовых законов можно решить, пользуясь формулой Клапейрона или уравнением Клапейрона—Менделеева (в зависимости от условия задачи). Законы Бойля——Мариотта, Гей-Люссака и Шарля можно считать частными случаями этих уравнений.
* * *
Объем пузырька воздуха по мере всплывания его со дна озера на поверхность увеличивается в три раза. Какова глубина озера?
Да«о: % = 3vl.
Л —?
Решение. Считаем, что температура воды в озере на любой глубине одна и та же. Тогда температура воздуха в пузырьке тоже постоянна и, по закону Бойля——Мариотта,
Р\У\ = P2V2,
где pi, "2 ——давления воздуха в пузырьке у дна и поверхности озера соответственно; % — объемы пузырьков у дна и поверхности озера.
Очевидно, что давление воздуха в пузырьке у поверхности озера равно атмосферному давлению р0, т. е. Р2 = "& Тогда piV\ = 3"。匕，откуда pi =3p0.
Следовательно, увеличение давления у дна озера Ар = pi — ро = Зро — ро = 2Po. Как известно из гидростатики, Др = pg/i, где р ——плотность воды; % ——глубина озера. Приравнивая правые части двух последних уравнений, имеем 2"е = pg/i, откуда
Л
2Po
pg
；л =
2-1,01.105103-9,8
м ^ 20,6 м.
Сосуд с воздухом, давление которого 97 кПа, соединен с поршневым откачивающим устройством. После пяти ходов поршня давление воздуха в сосуде стало 29 кПа. Определить отношение объемов сосуда и цилиндра откачивающего устройства.
Дано: ро = 97 кПа = 9,7• 104 Па;卩5 = 29 кПа = 2,9• 104 Па; и — 5.
Vi/V2 —?
Решение. Пусть Vi и V2 ——объемы сосуда и цилиндра откачивающего устройства. После первого соединения цилиндра с сосудом по закону Бойля ——Мариотта имеем Ро% =卩(“ + 直2), откуда /л = Ро%/(Н + %)•
После второго соединения pi =Р2( Vi + U2), откуда р2 == piV[/(V\ + V2), или р2 = PqV^/(V\ + V2)2. Аналогично, после пятого соединения р5 = poV\/(Vi + V2)5. Преобразуем полученное выражение:
откуда
lgE/ = ?g^；
1g 丛去上=J-'g -gnF- 4~lg 3,35 = V。'5250 = =0,1050.
По таблице антилогарифмов находим (Н + %)/% ^ 1,274, откуда V1/V2 ^ 3,65.
В закрытом сосуде вместимостью 1 л содержится 12 кг кислорода. Найти давление кислорода при 15℃.
Дано:匕=1 л = 10~3 м3; m = 12 кг; 7\ = 288 К.
р\ —?
Решение. Сравним состояние данной массы кислорода (pi, 1Л, 71) с его состоянием при нормальных условиях So, Vo, То). По объединенному закону газового состояния,
p\V\/T\ = pqVq/Tq.
Так как Уо = m/ро, где ро ——плотность кислорода при нормальных условиях, то p\V\/T\ = роАи/(Торо), откуда
pg"1,01 • 105• 12• 288 r q 1 л8 n
0 =匕Top] "I = 10-3・273・l,43 "a Q 8,94• 10 Па.
Вычислить давление одного моля газа, занимающего при температуре 300 К объем 1 л.
Дано: Г, = 300 к； V1 = 1 л = 10~3 м3
Pi —?
Решение. Сравним состояние данной массы газа (pi, Vi, Т\) с его состоянием при нормальных условиях (ро, Vo, То)・ По объединенному закону газового состояния,
Р\У\/Т\ = poVo/TOt откуда
РоУоП1,ОЫО5.22,4.1О-3-ЗОО 口 力仆
fпа«2,49 МПа.
Сколько молекул воздуха находится в комнате объемом 240 м3 при температуре 15℃ и давлении 105 Па?
Дано: % = 240 м3; Т\ =288 К； pi = 105 Па. ^ —?
Решение. Чтобы использовать объединенный закон газового состояния, сравним между собой состояния данной массы воздуха при заданных (рь Pi, Т" и нормальных (р0, Vo, То) условиях. Тогда
"М“ =Ро 匕)〃о.(1)
Поскольку объем воздуха при нормальных условиях Vo = m/po (ро — плотность воздуха при нормальных условиях), уравнение (1) примет вид p\V\/T{ = ро^/(Горо), откуда
m = "WiTopo/(PoTi)・
Найдем, сколько молей v содержится в данной массе воздуха:
V = m/M = pi V1 Торо/(РоГ |М).
Так как 1 моль любого газа, в том числе и воздуха, содержит число молекул, равное постоянной Авогадро ^A, то
N=Na、= Na
N = 6,02 • 1023 ・N = 6,02 • 1023 ・^6・ 1027.^6・ 1027.105-240 - 27 3-1,29
N = 6,02 • 1023 ・
N = 6,02 • 1023 ・
^6・ 1027.
^6・ 1027.
1,01・10工288・29，10-3
Объем воздуха в комнате 100 м3. Какова масса вышедшего из него воздуха при повышении температуры от 10 до 25°С, если атмосферное давление 102 кПа?
Дано:匕=100 м3;八=283 К;厶=298 К;
卩=102 кПа = 1,02-105 Па.
Дт —?
Решенне. Сравним состояния массы g воздуха, находящегося в комнате, при заданных (рь У】,Т\) и нормальных (Ро, То) условиях:
Pl V|/T| = PqVq/Tq = роАП1/(Торо),
где V6 = гИ|/р0. Тогда
加 I = piViTopo/(ripo).
При повышении температуры объем и давление не изменяются, но масса воздуха в комнате будет другая ——m2. Аналогично, сравним состояния массы 加2 воздуха при заданных (卩，匕，Т2) и нормальных (р0, Vo,「о) условиях: "116/Т2 = Ро%7То = род/(Л)ро), где Vo = m2/po. Тогда
加 2 = PiViTopo/(r2po).
Таким образом, масса вышедшего воздуха
…。 "WlTopOр 1 ^ 1 Горо
ааП = Ш1 - 加2 =-——/——产一=
卩о / I"0/2
—Pi VIpoTo 72 -n.
Po 71'
a 1,02-IO5-100-1,29-273 298-283
=ira^Ж8Г кг 6,33 КГ.
В цилиндре с площадью основания 100 см2 находится воздух. Поршень расположен на высоте 50 см от дна цилиндра. На поршень кладут груз массой 50 кг, при этом он опускается на 10 см. Найти температуру воздуха после опускания поршня, если до его опускания давление было равно 101 кПа, а температура 12℃.
Дано: S= 100 см2 = 10-2 м2;晶=50 см = 0,5 м; m = 50 кг; / = =10 см = 0,1 м; "о=1О1 кПа = 1,01 • 105 Па;兀=285 К.
Решение. Рассмотрим два состояния воздуха под поршнем: до опускания поршня и после его опускания.
До опускания поршня состояние воздуха характеризуется параметрами рь Vi, 7\, после опускания поршня ——параметрами 02, Кг, Т2, где V\ = Shi, р\ =ро, рг = ро + р,, р‘ = —mg/S, 丫2 = $九2, или, так как h^ — hx —Z, то V2 = S{hi — —— /). Применим к этим двум состояниям формулу Клапейрона: p\V\/T\ = P2V2/T2, откуда
T2 = p2V2Ti/(P1Vi).(1)
Подставим в формулу (1) выражения для pi, Vi, рг и
7 — (ро + mg/S)S(/h — Q7i — (po + mg/S)(儿一/) 7\ .
2"~poSh\pQhi'
К ^339 К.К ^339 К.丁 > (1,01 • 105 + 50 - 9,8 • 102) (0,5 - 0,1 )• 285
К ^339 К.
К ^339 К.
2 —1,01-105-0,5
Найти плотность водорода при температуре 15℃ и давлении 98 кПа.
Дано: 7=288 К; р=98 кПа = 9,8 -104 Па.
p -丿
Решение. Используем уравнение Клапейрона ——Менделеева pV = mRT/М. Так как V = m/р, то написанное выше уравнение примет вид рт/р = m/(MRT\ откуда
РРрМ77рМ77_ 9,8-104-2-10~3Р= 8,32 • 288_ 9,8-104-2-10~3Р= 8,32 • 288工^0,082 кг/м3, м工^0,082 кг/м3, м
Р
Р
рМ77
рМ77
_ 9,8-104-2-10~3
Р= 8,32 • 288
_ 9,8-104-2-10~3
Р= 8,32 • 288
工^0,082 кг/м3, м
工^0,082 кг/м3, м
10 г кислорода находятся под давлением 0,303 МПа при температуре 10℃. После нагревания при постоянном давлении кислород занял объем 10/. Найти начальный объем и конечную температуру газа.
Дано: m = 10 г = Ю-2 кг; р= 0,303 МПа = 3,03- 105 Па, П = = 283 К; %= 10 л= 10~2 м3.
匕一？ Т2 —〉
Решение. Из уравнения Клапейрона ——Менделеева pV\ = mRTJМ найдем объем кислорода до его нагревания:
ViVimRT、.Мр ~ *mRT、.Мр ~ *10~2-8,32-28332- 10"3-3,03-10?10~2-8,32-28332- 10"3-3,03-10?м3^2,4- 10-3 м3.м3^2,4- 10-3 м3.
Vi
Vi
mRT、.
Мр ~ *
mRT、.
Мр ~ *
10~2-8,32-283
32- 10"3-3,03-10?
10~2-8,32-283
32- 10"3-3,03-10?
м3^2,4- 10-3 м3.
м3^2,4- 10-3 м3.
По условию задачи кислород нагревают при постоянном давлении, поэтому его температуру после нагревания можно найти по закону Гей-Люссака V\/T\ = V2/T2, откуда
八=与、7 =舞諾№1,18.103(
Из баллона со сжатым водородом вместимостью 10 л вследствие неисправности вентиля утекает газ. При 7℃ манометр показывает давление 5 МПа. Показание манометра не изменилось и при 17℃. Определить массу вытекшего газа.
Дано: У=10 л =10-2 мз;兀=280 К； р = 5 МПа = 5-106 Па; 『2 = 290 К.
Am — ?
Решение. Используя уравнение Клапейрона ——Менделеева pV — m\RT\/M, находим первоначальную массу водорода:
m^pVM/^RT^.
Аналогично найдем массу 加2 водорода после утечки:
m2 = ”M/(R「2)・
Следовательно, масса вытекшего газа
Am = т! — m2Am = т! — m2”М рЬМ — рУМ 丁2 —П .”М рЬМ — рУМ 丁2 —П .R7\ RT2R7\ RT2R 八72R 八72
Am = т! — m2
Am = т! — m2
”М рЬМ — рУМ 丁2 —П .
”М рЬМ — рУМ 丁2 —П .
R7\ RT2
R7\ RT2
R 八72
R 八72
a5・ @. io一?? 10-3(290一 280), c
8,32-290-280КГ^ 1,5- 10 КГ.
Определить плотность смеси, состоящей из 4 г водорода и 32 г кислорода, при температуре 7℃ и давлении 93 кПа.
Дано: гп\ =4 г = 4• 10-3 кг; т2 = 32 г = 32« 10-3 кг; р = 93 кПа = = 9,3-104 Па; 7=280 К.
Р — ?
Решение. По закону Дальтона, давление смеси
Р = Р|+Р2,(О
где pi и р2 — парциальные давления водорода и кислорода при данных условиях. Запишем уравнение Клапейрона ——Менделеева для каждого газа в отдельности:
piVi = m\RT\/M\ и P2V2 — m2RT2/M2.
По условию задачи, Vi = V2— V; Т| = Т2= Т. Тогда для водорода piV~ m\RT/M\, откуда
pi = gR77(MW).(2)
Аналогично, для кислорода
р2=т*ВТ/〈М2^.(3)
Подставим выражения (2), (3) в (1):
—т\ RT J т2 RT — RT / mt .团2、
(4)(5)(4)(5)откуда
(4)
(5)
(4)
(5)
По определению, плотность смеси газов
Р = т/匕
где т — mi -\- m2 — масса смеси и газов. Подставим выражение (4) в (5):
= g+m2p .
_4.10-3 + 32.10-39,3-104 кг
А 4• IO”?. 10-з)+32.10—3/(32. ]()-3)8,32• 28万方 ^0,48 кг/м3.
Имеется два сосуда с газом: один вместимостью 3 л, другой ——4 л. В первом сосуде газ находится под давлением 202 кПа, а во втором 101 кПа. Под каким давлением будет находиться газ, если эти сосуды соединить между собой? Считать, что температура в сосудах одинакова и постоянна.
Дано:匕=3 л=3・10-з м3； % = 4 л = 4-10-3 м3; р{ = 202 кПа = = 2,02-105 Па;「2= 101 кПа= 1,0Ь105 Па.
р — ?
Решение. По закону Дальтона,
" = Рз + Р4・(1)
Так как процесс изотермический, то парциальное давление газа в каждом сосуде можно найти по закону Бойля—Мариотта: p^Vi = psVy 02匕2 = 04匕 где V=Vi + V2. Тогда парциальное давление газа в каждом из сосудов после их соединения
⑵⑵P3 = pWl/V, "4 = 02%/，.
⑵
⑵
Подставляем выражения (2) в (1):
p\V\ I Р2V2 Pl V| + Р2 V2 .
РРПа ^ 144 кПа.Па ^ 144 кПа.2.02・ 1()5.з. 10-3十]°]. ]о5.4. ют3・ 10-3 + 4.] о—
Р
Р
Па ^ 144 кПа.
Па ^ 144 кПа.
В сосуд вместимостью 10 л, наполненный сухим воздухом при нормальных условиях, вводят 3 г воды и нагревают до 100℃. Определить давление влажного воздуха в сосуде при этой температуре. Зависимостью температуры кипения воды от давления пренебречь.
Дано: m = 3 г = 3 • 10~3 кг; V= 10 л = 10"~8 м3; Т = 373 К.
Решение. По закону Дальтона, p = pi +р2» где рь Р2 — давления сухого воздуха и водяного пара соответственно. Так как нагревание происходит при постоянном объеме, то давление сухого воздуха при 373 К определяется по закону Шарля: po/7o = pi/T, откуда р\ =pQT/TQ. Найдем давление водяного пара, считая его идеальным газом. Число v молей водяного пара в сосуде
v = m/M, где М ——молярная масса пара. Тогда объем, занимаемый паром при нормальных условиях,
V&= Vov= Vom/M(1)
Из объединенного закона газового состояния роУо/То = = 02^/7 найдем давление пара: р2= ро^6Г/(ТоЮ，или с учетом формулы (1) рг = р^ТУ^ш/{Т^УМ). Следовательно, давление влажного воздуха
РоТ I PqTVqM —内7 / ]亠 V。m \ .
с 1,01. ю5.373 / . , 22,4.10-3.3. ]0一3、
P = ―273—) Па ^190 кПа.
Сколько молекул воздуха находится в 1 см3 сосуда при 10℃, если воздух в сосуде откачан до давления 1,33 мкПа?
Дано: V = 1 см3 = 10~6 м* 7= 283 К, р= 1,33 мкПа= 1,33* 10-6 Па.
^ —)
Решение. Число молекул в 1 см3 воздуха можно найти, зная постоянную Авогадро Na и число v молей, содержащихся в 1 см* воздуха, по формуле
N = V^A.
Число V молей, содержащихся в 1 см3 воздуха, можно найти как отношение т/Му где т — масса воздуха, заключенная в 1 см3 воздуха, а М ——масса моля воздуха. Отношение же т/М можно найти из уравнения Клапейрона ——Менделеева:
m/M = "/(R7).
Таким образом, искомое число молекул
N = ^Г N N
"2^黑产.6，。2.*3,4.и.
В озере на глубине 100 м при температуре 8℃ находится в равновесии шар массой 40 г, наполненный воздухом. Найти массу воздуха внутри шара, если атмосферное давление 99,7 .кПа. Шар считать тонкостенным, изготовленным из резины.
Дано: h = 100 м; Г= 281 К； /и = 40 г = 4* 10-2 кг;厶丁 = 99,7 кПа = = 9,97-104 Па.
g — ?
Решение. На шар, погруженный в воду, действуют: mg — сила тяжести; F=pVg ——выталкивающая сила воды, где р ——плотность воды (рис. 103). Из условия плавания следует, что mg= F или mg=pPg, откуда У= т/р. Массу воздуха внутри шара найдем из уравнения Клапейрона — Менделеева:
m{ = MpV/(RT\(1)
Здесь р = дт + ргс, где рге = p/ig — гидростатическое давление воды на глубине А. Подставим выражения для р и У в формулу (1):
Е — М(Рат + p%g)m/p .
m— RT ，
_ 29 • 10~3(9,97 • 104 -F 103 • 102.9,8) - 4 -10"2 - iL
g = —8,32-281КГ
а 5,36* 10-4 кг.
Почему тело глубоководной рыбы раздувается, если рыбу извлечь на поверхность?
Отв. На большой глубине давление внутри рыбы
уравновешено наружным давлением, которое намного больше атмосферного. Если рыбу извлечь на поверхность, то внешнее давление станет равным атмосферному, а давление внутри рыбы остается прежним. Вследствие
этого объем тела рыбы резко увеличивается.
Баллоны электрических ламп заполняют криптоновым газом при низком давлении. Почему?
Отв. При работе лампы газ внутри нее сильно нагревается, что приводит к сильному увеличению давления. Поэтому, если бы начальное давление не было низким, это могло 6н привести к взрыву баллона лампы.
Упражнения
Узкая цилиндрическая запаянная с одного конца трубка расположена горизонтально. Воздух в трубке, объем которого 240 мм3, отделен от атмосферы столбиком ртути длиной 15 см. Если трубку поставить вертикально открытым концом вверх, то воздух в ней займет объем 200 мм3. Определить атмосферное давление.
В одном баллоне емкостью 2 л давление газа 0,33-105 Па, в другом, емкостью 6 л, давление того же газа 0,66-105 Па. Баллоны соединяют трубкой, имеющей кран. Какое давление установится в баллонах при открывании крана? Процесс считать изотермическим.
В баллоне находится газ, давление которого 131,3 • Юб Па, а температура 30℃. Из-за утечки газа его давление в баллоне понизилось до 2,02 • 105 Па, а температура до ——25®С. Какая часть газа осталась в баллоне?
Открытая с обеих сторон цилиндрическая трубка небольшого сечения длиной 100 см наполовину погружена в ртуть. Верхний конец ее закрывают и вынимают трубку из ртути. Определить длину столбика ртути, оставшейся в трубке. Атмосферное давление считать нормальным.
Определить разность масс воздуха, заполняющего помещение объемом 50 м3, зимой и летом, если летом температура помещения достигает 40℃, а зимой падает до 0°С. Атмосферное давление считать нормальным.
Найти массу 1 моль смеси, состоящей из 25 г кислорода и 75 г азота.
До какой температуры нужно нагреть колбу, содержащую воздух при 20℃, чтобы его плотность уменьшилась в 1,5 раза?
Определить массу кислорода, находящегося в баллоне вместимостью 1 л под давлением 0,93-105 Па при температуре 17℃.
Какой объем занимают 3 г углекислого газа, находящегося при температуре 27℃ под давлением 133 кПа?
Определить плотность кислорода, находящегося в баллоне под давлением 3-105 Па при температуре 17℃.
Начертить графики зависимости давления от объема для изотермического, изобарного и изохорного процессов.
Вопросы для повторения
Что называют изотермическим процессом? 2. Сформулируйте закон Бойля — Мариотта.Что называют изотермой? Изобразите изотерму в координатах р, V. 4. Что называют изобарным процессом? 5. Сформулируйте закон Гей-Люссака.Что называют изобарой? Изобразите изобару в координатах V, Т. 7. Что называют изохорным процессом? 8. Сформулируйте закон Шарля. 9. ЧтоЧто называют изотермическим процессом? 2. Сформулируйте закон Бойля — Мариотта.Что называют изотермой? Изобразите изотерму в координатах р, V. 4. Что называют изобарным процессом? 5. Сформулируйте закон Гей-Люссака.Что называют изобарой? Изобразите изобару в координатах V, Т. 7. Что называют изохорным процессом? 8. Сформулируйте закон Шарля. 9. Чтоназывают изохорой? Изобразите изохору в координатах р, V. 10. Сформулируйте объединенный закон газового состояния. 11. Напишите уравнение Клапейрона—Менделеева. 12. Сформулируйте закон Дальтона. 13. Объясните физический смысл термодинамической температуры. 14. Перечислите параметры, характеризующие состояние газа, назовите их единицы в СИ.называют изохорой? Изобразите изохору в координатах р, V. 10. Сформулируйте объединенный закон газового состояния. 11. Напишите уравнение Клапейрона—Менделеева. 12. Сформулируйте закон Дальтона. 13. Объясните физический смысл термодинамической температуры. 14. Перечислите параметры, характеризующие состояние газа, назовите их единицы в СИ.
Что называют изотермическим процессом? 2. Сформулируйте закон Бойля — Мариотта.
Что называют изотермой? Изобразите изотерму в координатах р, V. 4. Что называют изобарным процессом? 5. Сформулируйте закон Гей-Люссака.
Что называют изобарой? Изобразите изобару в координатах V, Т. 7. Что называют изохорным процессом? 8. Сформулируйте закон Шарля. 9. Что
Что называют изотермическим процессом? 2. Сформулируйте закон Бойля — Мариотта.
Что называют изотермой? Изобразите изотерму в координатах р, V. 4. Что называют изобарным процессом? 5. Сформулируйте закон Гей-Люссака.
Что называют изобарой? Изобразите изобару в координатах V, Т. 7. Что называют изохорным процессом? 8. Сформулируйте закон Шарля. 9. Что
называют изохорой? Изобразите изохору в координатах р, V. 10. Сформулируйте объединенный закон газового состояния. 11. Напишите уравнение Клапейрона—Менделеева. 12. Сформулируйте закон Дальтона. 13. Объясните физический смысл термодинамической температуры. 14. Перечислите параметры, характеризующие состояние газа, назовите их единицы в СИ.
называют изохорой? Изобразите изохору в координатах р, V. 10. Сформулируйте объединенный закон газового состояния. 11. Напишите уравнение Клапейрона—Менделеева. 12. Сформулируйте закон Дальтона. 13. Объясните физический смысл термодинамической температуры. 14. Перечислите параметры, характеризующие состояние газа, назовите их единицы в СИ.
которую совершает газ, нахо- поршнем, при расширении за-которую совершает газ, нахо- поршнем, при расширении за-§ 3. РАБОТА ГАЗА. ТЕПЛОВЫЕ МАШИНЫ
которую совершает газ, нахо- поршнем, при расширении за-
которую совершает газ, нахо- поршнем, при расширении за-
Элементарная работа, дящийся в цилиндре под дается выражением
d/ = Fcosad/.
При а=0 получим
(L4 = Fd2 = pSd2 = pdK(1)
где р= F/S — давление газа; S ——площадь поршня; db=Sd/ — изменение объема газа.
Полная работа газа при его расширении, от объема V до U2, определяется "интегрированием:
А = \ pdV.
Тепловой машиной называется устройство, в котором внутренняя энергия топлива превращается в механическую работу.
В любой тепловой машине должны быть нагреватель, рабочее вещество и холодильник (рис. 104). Нагреватель сообщает рабочему веществу количество теплоты Qi. Холодильник отнимает у рабочего вещества количество теплоты Q2. Рабочее вещество совершает механическую работу
Работа тепловой машины характеризуется КПД, задаваемым выражением
п = ^Чоо%・
КПД идеальной тепловой машины, предложенной Карно, равен
n = I^Aioo%,
где Т\ и 丁2 — температуры нагревателя и холодильника соответственно. КПД тепловой машины всегда меньше единицы (второе начало термодинамики). Идеальная тепловая машина обратима (холодильная машина).
***
292°. Углекислый газ массой 10 г нагрет от 20 до 30℃ при постоянном давлении. Найти работу расширения газа и изменение его внутренней энергии.
Дано: m = 10 г = 10-2 кг; Тi = 293 К; Т2 = 303 К.
Д — ? AU — ?
Решение. Изменение внутренней энергии углекислого газа при его нагревании от температуры П до температуры 丁2 найдем по формуле
^ = ст(Т2-Т^
где с ——удельная теплоемкость углекислого газа при постоянном объеме*. Поэтому
А。= 0,83• IO?• io-2(303—293) Дж =83 Дж.
Работа расширения углекислого газа
4 = \pdV.(1)
По условию задачи, давление углекислого газа р= const, тогда давление, как постоянную величину, можно вынести из-под знака интеграла и выражение (1) примет вид
А = р\ dV = p(g—%)・(2)
* Эту формулу можно применить, так как для идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры, поскольку потенциальной энергией взаимодействия молекул газа мы пренебрегаем.
牧
Из уравнения Клапейрона ——Менделеева рУ=^т
находим объем углекислого газа при температуре Т: V = mRT/{Mp). Следовательно, при температурах Т\ и Гг углекислый газ будет занимать объемы
Подставим выражения (3) в (1):
"(等-曙) = *Ю；
{ = ■^^(303-293) Дж ^18,9 Дж.
293°. Кислород。2 массой 6 г при температуре 30℃ расширяется при постоянном давлении, увеличивая свой объем в два раза вследствие притока теплоты извне. Найти работу расширения, изменение внутренней энергии газа и количество теплоты, сообщенное кислороду.
Дано: /и = 6 г = 6 -10~3 кг; П = 303 К；匕=2匕
Л — ? AU — ? Q — ?
Решение. Изменение внутренней энергии кислорода при его нагревании на АТ
AU = cmA7,(1)
где с ——удельная теплоемкость кислорода при постоянном объеме (см. сноску к задаче 292°); АТ=「2—北一 изменение температуры; Ti и 丁2 — начальная и конечная температуры кислорода.
Так как расширение кислорода происходит при постоянном давлении р, то, используя закон Гей-Люссака
匕"尸%"2,
находим конечную температуру кислорода:
Т2=%7"% = 2 匕 7\/" = 27\(2)
Подставляя выражение (2) в (1), получаем
A U = ст(「2 — Т\) = cm{2T\ — Ti) — cmT\\
AU = 0,92- 1О3.6.1О-3.ЗОЗ Дж^1,67 кДж.
Найдем работу расширения:
A = J pdU,
или, учитывая, что р = const,
V2
/ = р\ dU = p(U2—H) = p(2n — H) = "%・(3)
Из уравнения Клапейрона——Менделеева pVi — mRT\/M. Найдем объем кислорода при температуре Т|：
】/ mRT、
Подставим выражение (4) в (3):
才 mRT\ mRT\
" = P~W=-1F-；
力6-10~3-8,32-303 口 宀° n
4 =——砂:户——Дж ^ 473 Дж.
Количество теплоты, сообщенное газу, найдем по первому началу термодинамики:
Q = ^+A; Q = (1670 + 473) Дж^2,14 кДж.
294°. Азот N2 массой 10 г расширяется изотермически при температуре ——20℃, и его давление уменьшается от 202 до 101 кПа. Определить работу расширения, изменение внутренней энергии азота и количество сообщенной ему теплоты.
Дано: т = 10 г = 10~2 кг; Т = 253 К； pi = 202 кПа = 2,02* 105 Па; р? = 101 кПа = 1,01 • 105 Па.
А — ? AU — ? Q — ?
Решение. Так как изменение внутренней энергии газа
AU = стАТ,
а температура газа в процессе расширения остается постоянной, то изменение температуры АТ = 0 и, следовательно, AU = 0. Найдем работу расширения:
Л = \pdV.(1)
Из уравнения Клапейрона ——Менделеева определим давление:
⑵⑵mRT
⑵
⑵
MV *
Подставляя формулу (2) в подынтегральное выражение (1), получаем
mR7mR7mR7mR7•m咔』等Е片•m咔』等Е片⑶⑶
mR7
mR7
mR7
mR7
•m咔』等Е片
•m咔』等Е片
⑶
⑶
Определив по закону Бойля ——Мариотта отношение объемов У2/Vi = р"р2 и подставив его в выражение (3), получим
4=陪E也；
х 10-2.8 32.253 12,02-105口
力=—28Л0^—1П ЕТ产 ДЖ-
Количество теплоты, сообщенное газу, найдем из первого начала термодинамики:
Q = ^ + А,
или, поскольку AU = 0,
Q = Д 521 Дж.
295°. В цилиндре под невесомым поршнем площадью 15 см2 находится воздух массой 0,2 г при температуре 20℃. Определить работу, которую надо совершить при медленном равномерном подъеме поршня на высоту от 10 до 20 см. Атмосферное давление нормальное.
Дано: S = 15 см2 =1,5* 10-3 м2; m = 0,2 г == 2 • 10~4 кг;
⑴⑴7 = 293 К；也=10 см = 0,1 м;用2 = 20 см = 0,2 м.
⑴
⑴
夕夕1МВ1МВF атмF атмЯ =(尸атм 一 尸)d/iЯ =(尸атм 一 尸)d/i
夕
夕
1МВ
1МВ
F атм
F атм
Я =(尸атм 一 尸)d/i
Я =(尸атм 一 尸)d/i
Чтобы наМтн внешнюю силу, запишем усло-
вие равновесия поршня в проекциях на
ОСЬ У：尸вн + 尸一尸атм = 0, откуда
Согласно определению, Fm = р£ F = pS.
Здесь р0 ——атмосферное давление; 尸
=mRT/{MV)——давление воздуха, находящегося под поршнем, где V — Sh —— объем
воздуха, находящегося под поршнем, когда Рнс. 105 поршень находится на произвольной высоте h. Тогда выражение для силы давления воздуха, находящегося под поршнем, примет вид F = =mRT/(МЛ). Подставляя формулы для 尸ат и F в выражение (1} и производя ввтегрнрюванве, получаем
=[ PoSd"-[^^力=内凡 d/i - ^^胃=
=PoS(/l2 —力 1)=PoS(/l2 —力 1)mRT~ЛГ"mRT~ЛГ"
=PoS(/l2 —力 1)
=PoS(/l2 —力 1)
mRT~ЛГ"
mRT~ЛГ"
4= [1,01.105.1,5.10-3(0,.2 -0,1)-
210-4.8,32-293 10,2 1 п 。二 口
而产一ln 而]Дж 3,5 ДЖ.
** Поскольку движение поршня медлеггное, то температуру Г можно считать постоянной к вывести при интегрировании за знай ян- теграла.
Идеальная тепловая машина получает от нагревателя, температура которого 500 К, за один цикл 3360 Дж теплоты. Найти количество теплоты, отдаваемое за один цикл холодильнику, температура которого 400 К. Найти работу машины за один цикл.
Дано: Ti = 500 К； Qi = 3 3 60 Дж; 7\ = 400 К.
Q2 — ? Л — ?
Решение. По определению, КПД вдеальной тепловой машины т] = (Qi — Q2)/Qi =(八 — 丁2)/丁1, откуда
Q2 - ~тг»Q2 - ~тг»3360-400500~3360-400500~Дж = 2688 Дж.Дж = 2688 Дж.
Q2 - ~тг»
Q2 - ~тг»
3360-400
500~
3360-400
500~
Дж = 2688 Дж.
Дж = 2688 Дж.
Работа машины за один цикл
А = Q{ - Q^y А = (3360 — 2688) Дж = 672 Дж.
Идеальная тепловая машина Карно, цикл которой совершается в обратном направлении (холодильная машина), использует воду при 0℃ в качестве холодильника и воду при 100℃ в качестве нагревателя. Сколько воды нужно заморозить в холодильнике, чтобы превратить в пар 500 г воды в кипятильнике?
Дано:九=100℃; Тх = 37 3 К；乙=0℃; Г2 = 273 К；
Е = 500 г = 0,5 кг.
也2 - ?
Решение. При замерзании воды массой т2 выделяется количество теплоты
(1)(1)Q? = кЛ12・
(1)
(1)
где 九——удельная теплота плавления льда.
Для испарения массы ш\ воды нужно затратить количество теплоты
⑵⑵Qi =广的.
⑵
⑵
где г ——удельная теплота парообразования воды.
Из выражения КПД идеальной тепловой машины Карно “ = (Qi — Q2)/Qj =(А — 丁2)/兀 находим
⑶⑶Q2 = T2Qx/Ty.
⑶
⑶
Подставив выражения (1) и (2) в (3), получим кт2 = = 72m1〃П, откуда
tn 2 —tn 2 —Т2m/ГД-Т2m/ГД-；т2 =；т2 =273.0,5-22,6. 105373-3,35.105~273.0,5-22,6. 105373-3,35.105~кг ^ 2,47 кг.кг ^ 2,47 кг.
tn 2 —
tn 2 —
Т2m/ГД-
Т2m/ГД-
；т2 =
；т2 =
273.0,5-22,6. 105
373-3,35.105~
273.0,5-22,6. 105
373-3,35.105~
кг ^ 2,47 кг.
кг ^ 2,47 кг.
тепловой машины 106.тепловой машины 106.за одинза одинцикл»цикл»
тепловой машины 106.
тепловой машины 106.
за один
за один
цикл»
цикл»
Найти работу изображенный на рис.
Дано: Pl； "2； %; v2.
Решение. Работа расширения газа численно равна площади фигуры, ограниченной графиком р=^У)> осью абсцисс и ординатами начальной и конечной точек графика. На участках графика 1-2 и 3-4 работа
равна нулю, так как на этих участках объем газа не изменяется. Работа машины за один цикл численно равна разности площадей прямоугольников V\ 2 3 V2 и V】/4V2, т. е. площади прямоугольника 1234. Из рисунка находим эту площадь:
А = рг(V2 — V1) — pi(V2 — Vi) =(02 — pi) (% — V1).
Упражнения
Азот № массой 200 г нагревают на 100 К сначала изобарно, а затем изохорно. Какое количество теплоты потребуется для этого в том и другом случаях?
В сосуде находится 20 г азота N2 и 32 г кислорода О2. Найти изменение внутренней энергии смеси этих газов при ее охлаждении на 28 ℃.
Азот N2, начальное давление которого 1,0IX Х1°5 Па и объем 10 л, расширяется изотермически, увеличивая свой объем в два раза. Найти работу, совершаемую газом.
Давление азота в сосуде объемом 3 л после нагревания возросло на 2,2 МПа. Определить количество теплоты, сообщенное газу.
При расширении одноатомного газа от 0,2 до 0,5 м3 его давление возросло от 404 до 808 кПа. Найти работу газа, количество подведенной к газу теплоты и изменение его внутренней энергии.
В идеальной тепловой машине количество теплоты, полученное от нагревателя, равно 6,3 кДж. 80% этой теплоты передается холодильнику. Найти КПД машины и работу за один цикл.
Найти работу тепловой машины за один цикл (рис. 107).
Воздух массой 2 кг находится в сосуде при температуре 16℃. Какую работу он совершит при изобарном нагревании до 100℃?
В цилиндре находится азот при температуре “20 ℃. На высоте 50 см от осно-
勿^вания цилиндра расположен лег-
I кий поршень, на котором лежит
А I груз массой 100 кг. Определить (работу, которую совершит газ при
/I4изобарном нагревании его до
60℃. Площадь основания ци-
12линдра 100 см2. Атмосферное дав-
Рис. 107ление нормальное.
Вопросы для повторения
1. Сформулируйте первое начало термодинамики. 2. Напишите формулы для расчета элементарной и полной работы, совершаемой при расширении газа. 3. Сформулируйте второе начало термодинамики. 4. Что называют тепловой машиной?1. Сформулируйте первое начало термодинамики. 2. Напишите формулы для расчета элементарной и полной работы, совершаемой при расширении газа. 3. Сформулируйте второе начало термодинамики. 4. Что называют тепловой машиной?холодильной машиной? 5. Чему равен КПД тепловой машины? 6. Чему равен КПД идеальной тепловой машины Карно? 7. Объясните, как графически можно вычислить работу тепловой машины.холодильной машиной? 5. Чему равен КПД тепловой машины? 6. Чему равен КПД идеальной тепловой машины Карно? 7. Объясните, как графически можно вычислить работу тепловой машины.
1. Сформулируйте первое начало термодинамики. 2. Напишите формулы для расчета элементарной и полной работы, совершаемой при расширении газа. 3. Сформулируйте второе начало термодинамики. 4. Что называют тепловой машиной?
1. Сформулируйте первое начало термодинамики. 2. Напишите формулы для расчета элементарной и полной работы, совершаемой при расширении газа. 3. Сформулируйте второе начало термодинамики. 4. Что называют тепловой машиной?
холодильной машиной? 5. Чему равен КПД тепловой машины? 6. Чему равен КПД идеальной тепловой машины Карно? 7. Объясните, как графически можно вычислить работу тепловой машины.
холодильной машиной? 5. Чему равен КПД тепловой машины? 6. Чему равен КПД идеальной тепловой машины Карно? 7. Объясните, как графически можно вычислить работу тепловой машины.
§ 4. НАСЫЩАЮЩИЕ И НЕНАСЫЩАЮЩИЕ ПАРЫ.ВЛАЖНОСТЬ
Над поверхностью жидкости вследствие ее испарения всегда находится пар этой жидкости. Различают пары насыщающие и ненасыщающие.
Насыщающим называется такой пар, который находится в динамическом равновесии с жидкостью (число молекул, вылетающих с поверхности жидкости за 1 с, равно числу молекул, возвращающихся в жидкость).
Ненасыщающим называется такой пар, плотность и давление (упругость) которого меньше, чем плотность и давление насыщающего пара при данной температуре.
Ненасыщающий пар по своим свойствам не отличается от обычного газа. Поэтому для него справедливо уравнение Клапейрона ——Менделеева
pV =
Воздух, содержащий водяной пар, называется влажным, а не содержащий водяного пара — сухим.
Различают абсолютную и относительную влажности.
Абсолютной влажностью р называют массу m водяного пара, содержащегося в 1 м3 воздуха при данной температуре, т. е. плотность водяного пара при данной температуре.
Относительной влажностью В называют отношение плотности р водяного пара при данной температуре к плотности рн насыщенного пара при той же температуре:
В = Joo%, рн
Ее можно определить и с помощью психрометрической таблицы.
Ненасыщающий пар может быть превращен в насыщающий в результате изохорного охлаждения.
Температура, при которой пар становится насыщающим в результате изохорного охлаждения, называется точкой росы Гр. При охлаждении пара до температуры ниже точки росы он частично превращается в жидкость.
♦ * *
Определить абсолютную влажность воздуха, если парциальное давление пара в нем 14 кПа, а температура 60 ℃.
Дано: р = 14 кПа = 1,4・ 104 Па; f = 60℃; 7 = 333 К.
Р — ?
Решение. Используя уравнение Клапейрона ——Менделеева pV = mRT/M, имеем
m/V = Mp/(RT).
Следовательно, абсолютная влажность воздуха
18-10~3.l,4-104 кг8,32-333"5?"18-10~3.l,4-104 кг8,32-333"5?"
18-10~3.l,4-104 кг
8,32-333"5?"
18-10~3.l,4-104 кг
8,32-333"5?"
Определить абсолютную влажность воздуха, если его температура 15℃, а относительная влажность 80%.
Дано: / = 15℃; 7 = 288 К； 8 = 80% = 0,8.
Р — ?
Решение. Относительная влажность
В = р/рн, откуда р = Врн. Плотность насыщающего пара при 288 К находим из табл. 5: рн = 12,8-10~3 кг/м . Тогда
р = 0,8- 12,8- IO— кг/мз у 1Q2.10-2 кг/мз
Литр влажного воздуха при 50℃ имеет массу 1,04 г при нормальном атмосферном давлении. Определить абсолютную влажность воздуха.
Дано: V = 1 л = Ю~3 м3; / = 50℃; Г = 323 К; m = 1,04 г = 1,04-10~3 кг; р = 1,01 • 105 Па. р — ?
Решение. Абсолютная влажность
р = ти/V,(1)
где zHn ——масса водяного пара в данном объеме воздуха.
По условию задачи,
m = /Ин + mfl,(2)
Р = Рп + Рв,(3)
где /Пв — масса сухого воздуха в данном объеме; рн, рв ——парциальные давления водяного пара и сухого воздуха. Парциальные давления рп и "в находим из уравнения Клапейрона ——Менделеева, записанного для водяного пара и сухого воздуха:
〃 =m.RT/(MBV)y(4)
Рп = mnRT/(MnV)t(5)
где Мв, Мп ——молярные массы сухого воздуха и водяного пара соответственно.
Подставим выражения (4) и (5) в ⑶:Р=(岩- + +-^-) -^-, или с учетом соотношения (2) Р = ("^~+ + ) — °ТКУДа
мп / pVMB \
=①二用；(F⑹
Подставив выражение (6) в (1), получим
卩 Мв-Мп \ RT "
3/ 1.01.105.29-10-3
Р = 29-10-3- 18-10-3 \8,32-323
1,04• IO— \ кг с/ з
ь—/ 7Г ^ 0082 кг/мЛ
В сосуде находится воздух, относительная влажность которого при 10℃ равна 60%. Определить относительную влажность воздуха после уменьшения его объема в три раза и нагревания до 100℃.
Дано: /1 = 10℃; 7| = 283 К； В = 60% = 0,6;
л = 3; /2 = 100℃; Г2 = 373 К.
В 2 — ?
Решение. Абсолютная влажность воздуха до его сжатия и нагревания
pi = 8]рн“
где рН| ——плотность насыщающего пара при температуре Т1. После уменьшения объема воздуха в 几 раз его плотность увеличится также в 几 раз, т. е.
⑴⑴Р2 ==几Pl == HiS 1 рн|.
⑴
⑴
Как известно, из опыта, давление насыщающих паров при температуре кипения жидкости равно атмосферному ро. Следовательно, при нагревании влажного воздуха до 373 К давление насыщающих паров воды, содержащихся в воздухе, становится равным нормальному атмосферному давлению р0. Плотность насыщающего водяного пара рНз при этих условиях находим из уравнения Клапейрона ——Менделеева:
RT?RT?⑵⑵
RT?
RT?
⑵
⑵
Тогда относительная влажность воздуха после уменьшения его объема и нагревания равна
⑶⑶32 =旦100%.
⑶
⑶
Подставляя выражения (1), (2) в (3), находим
几 8ipH|R7\几 8ipH|R7\100%;100%;
几 8ipH|R7\
几 8ipH|R7\
100%;
100%;
& =& =
& =
& =
100% ^ 2,9%.100% ^ 2,9%.3 • 0,6 • 9,4 • 10—3.8,32.37318-Ю-.1,01.10
100% ^ 2,9%.
100% ^ 2,9%.
Определить абсолютную и относительную влажности воздуха, если его температура 18℃, а точка росы соответствует 8℃.
В =В =8,3-10~815,4-IO"38,3-10~815,4-IO"3100%。54%.100%。54%.Дано: / = 18℃; Т = 291 К; % = 8℃; 7р = 281 К.
В =
В =
8,3-10~8
15,4-IO"3
8,3-10~8
15,4-IO"3
100%。54%.
100%。54%.
Относительная влажность воздуха в комнате 63%, а температура 18℃. На сколько градусов должна понизиться температура воздуха на улице, чтобы оконные стекла в комнате запотели?
Дано: В = 63% = 0,63; / = 18℃; Т = 291 К.
АТ— ?
Решение. Абсолютная влажность воздуха
р = 8рн,
где рн — плотность насыщающего пара при 291 К. Тогда р = 0,63・ 15,4・ IO— кг/м3 = 9,7.10-3 кг/м3.
При понижении температуры воздуха на улице до точки росы пар вблизи оконных стекол становится насыщающим и начинает конденсироваться ——стекла запотевают. При этом масса пара в 1 м3 не изменяется вплоть до точки росы Гр = 283,5 К. Следовательно, оконные стекла запотеют, если температура воздуха на улице понизится на АТ = (291 —283,5) К=7,5 К・
Два сосуда объемами 5 и 3 м3 содержат воздух при температурах 15 и 28℃ и относительной влажности 22 и 46%. Определить относительную влажность воздуха после соединения между собой этих сосудов.
Дано:匕=5 м3; В, = 22% =0,22; /, = 15℃; Г, = 288 К；
V2 = 3 м3; & = 46%=0,46; /2 = 28℃; Гг^ЗО! К.
8 — ?
Решение. Масса водяного пара в каждом сосуде до их соединения
m1 =piVl И m2 =p2%,(1)
где pi и р2 — плотность водяного пара в каждом сосуде. Относительная влажность в каждом сосуде до их соединения
В1 = Pl/рн, И 82 = Р2/Рн2,
откуда pi = BipH| и р2=В2рн2. Тогда [см. (1)]
mi = BipH1Vi и m2 = B2pH2V2.(2)
Абсолютная влажность воздуха после соединения сосудов p = (mi +^2)/(Vi + V2), или с учетом (2)
Относительная влажность воздуха после соединения со судов
8 = ^ [00%=七％；兽:产 100%.8 = ^ [00%=七％；兽:产 100%.⑶⑶
8 = ^ [00%=七％；兽:产 100%.
8 = ^ [00%=七％；兽:产 100%.
⑶
⑶
Пренебрегая теплоемкостью сосудов и массой водяного пара в виду их малости, имеем из уравнений теплового баланса
⑷⑷тВ1Св(6 — Ti) = АПв,Св(Т2 —8),
⑷
⑷
где 6 ——температура воздуха в сосудах после их соединения. Так как гиВ| = рвV'i и т32 = рв^з, то (4) можно записать в виде pBViCB(8 — Г1) = pBV2CB(T2 —в), откуда
8 =8 =匕3 +匕72匕3 +匕72;6;6注結^К = 293 К.注結^К = 293 К.
8 =
8 =
匕3 +匕72
匕3 +匕72
;6
;6
注結^К = 293 К.
注結^К = 293 К.
Зная Т], Т2 и 8, из табл. 17 находим: рн, = 12,8Х X Ю~3 кг/м3; рн2 = 27,2・ 10~3 кг/м3; рн = 17,3-10~3 кг/м3. Подставив эти значения в выражение (3), найдем
1ОО% = 37%.1ОО% = 37%.§ — 0,22 • 12,8 • 10-3.5 + о,4б • 27,2 • 10—з.з
1ОО% = 37%.
1ОО% = 37%.
—17,3・ 14(5 + 3)
Чем объясняется, что вечером после жаркого летнего дня в низменной местности наблюдается образование тумана?
Отв. Вечером после жаркого летнего дня температура воздуха понижается на 10——15℃. Вследствие этого водяной пар, находящийся в воздухе, становится насыщающим и частично превращается в воду в виде тумана.
Почему зимой заметно выделение тумана при дыхании, а летом — нет?
Отв. Температура выдыхаемого воздуха приблизительно 36℃. Водяной пар, находящийся в нем, зимой охлаждается ниже точки росы, становится, насыщающим и частично конденсируется в воду в виде тумана. Летом же температура окружающего воздуха выше точки росы, поэтому туман не образуется.
Упражнения
Абсолютная влажность воздуха при температуре 60℃ равна 5• IO""? кг/м3. Определить абсолютную влажность воздуха после понижения температуры до 20℃.
Определить абсолютную влажность воздуха в
комнате, если его относительная влажность 80%, а температура 15℃.
Определить абсолютную влажность воздуха, если парциальное давление пара в нем = 1,4* 10 Па, а температура 60℃.
Давление воздуха при температуре 26℃ и относительной влажности 70% равно 1,017-10 Па. Определить давление воздуха, если его температура понизится до —5°С, а относительная влажность станет равной 80% при прочих неизменных условиях?
Относительная влажность воздуха вечером при температуре 16℃ равна 60%. Ночью температура воздуха понизилась до 4℃ и выпала роса. Сколько водяного пара конденсировалось из 1 м3 воздуха?
Чему была равна относительная влажность воздуха при температуре 20℃, если при давлении 6 МПа точка росы равна 100℃?
Сколько молекул водяного пара содержится в комнате объемом 100 м' при нормальных условиях и относительной влажности 20%?
В цилиндре под поршнем находится 3,5 г воды и 2,9 г водяного пара при 40℃. Газ изотермически расширяется. При каком объеме вода в цилиндре полностью испарится?
В помещение подают 20 000 м3 воздуха при 18℃ и относительной влажности 50%, забирая его с улицы при 10℃ и относительной влажности 60%. Сколько воды нужно испарить, чтобы относительная влажность воздуха в помещении не изменилась?
Вопросы для повторения
от влажного? 6. Что называется абсолютной влажностью? 7. Что называется относительной влажностью? 8. Что называют точкой росы? 9. Как превратить ненасыщающий пар в насыщающий? 10. Какими приборами измеряют влажность воздуха?
§ 5. СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ И ЖИДКИХ ТЕЛ
Тепловое расширение твердых и жидких тел
При нагревании твердого тела его линейные размеры / изменяются по закону
/=/о(1+аД7),⑴
где /о ——линейный размер тела при 273 К； АТ = 7——То —— изменение температуры тела при его нагревании от 7о = =273 К до 7; а——коэффициент линейного расширения.
При нагревании твердых тел и жидкостей их объем V изменяется по закону
У=%(1+МП，(2)
где % — объем тела при 273 К; В — коэффициент объемного расширения тела, связанный с коэффициентом линейного расширения а приближенным соотношением В а За. Коэффициенты объемного расширения жидкостей § приведены в табл. 16.
Изменение объема твердых и жидких тел при их нагревании приводит к изменению их плотности по закону
Р = ро/(1+2П，⑶
где ро ——плотность тела при 273 К.
** При расчетах, в силу того что аЛТ《1 и 恥7《1, необходимо пользоваться приближенными формулами
(1+х)(1+У)У 1+х + у,
где х《1, у《1
♦ ♦ ♦
Железная линейка при 15℃ имеет длину 1 м. На сколько изменится длина линейки при охлаждении до —35℃?
Дано: /,= 15℃, “ = 288 К；厶=1 м; "=-35°С; % = 238 К
А/ — ?
Решение. По закону линейного расширения,
/] = /。｛1+0(八一研(1)
g砲+”一研(2)
где 厶——длина линейки после ее охлаждения до температуры 丁2； а——коэффициент линейного расширения железа. Тогда изменение длины линейки
Д/ = /1 — /2=/о[ 1 + 仪丁1 — Т'о)] — /о[ 1 + 6丁2 — То)]=
= /оМ—△)・(3)
Найдя /о из уравнения (I) и подставляя его в выражение (3), получаем
⑷⑷"元一乙)八
⑷
⑷
1 + «(7<W・
Учитывая, что а(П —7\))《1, выражение (4) можно приближенно записать в виде
А/^ 0Л(T1 一 乙)(1 一 0(八一 т0)) ^ 厶仪八 一 72)；
Л/^ 1,2.10~-1-(288-238) м^б-Ю"4 м.
Разность длин алюминиевого и медного стержней при любой температуре составляет 15 см. Какую длину при 0℃ будут иметь эти стержни?
Дано: А/= 15 см = 0,15 м; /0 = 0℃; 7о = 273 К.
& — ? /м — ?
Решение. По закону линейного расширения,
К = /М1 + &*т),(О
/мНоО+оиЛТ),(2)
где %〃，Ом ——коэффициенты линейного расширения алюминия и меди. По условию задачи,
/м — /ал = А/, /ом — /оал = А/.(3)
Вычтем почленно из уравнения (1) уравнение (2):
/ал — /м = /ом( 1 + %пАТ) — /ом( 1 + СХм А Г) = /оал — /ом +
+ &%〃△「一 /ом«мА7\(4)
Преобразуем выражение (4) с учетом (3): —△/=—А/ + + /оадОалДТ — fc^AT, откуда
/оал«ал —/Ом% = °・(5)
Найдя /Оал из уравнения (3) и подставляя его в выраже
ние (5), получаем /о”％厶—％〃А/ — /Омосм = 0, откуда
/Ом == А/0Сал /(0Сал ОСм).
Аналогично находим, что
/оал=А/ом/а” 一 Ом).
Тогда
На нагревание железного бруска израсходовано 1,68 МДж теплоты. Как изменился объем бруска?
Дано: Q = 1,68 МДж = 1,68 И О6 Дж.
АУ — ?
Решение. По закону объемного расширения, V = =Vo(l +BAQ, откуда
ду= V-Vo= VoPAT^ 3aVoAT.
Здесь 0 = 3а——коэффициент объемного расширения железа, где а ——коэффициент линейного расширения.
Количество теплоты, необходимое для нагревания бруска на АТ,
Q = ст\Т,
откуда AT=Q/(cm). Так как масса бруска т = р%, то ”=Q/(cpVo).
Изменение объема бруска
АУ =АУ =ДУ =ДУ =几3aQ _ 3aQ .
АУ =
АУ =
ДУ =
ДУ =
ср Voср '
20］。；〕68•” m3^ 1,69.10-5 М3.
0,46-103.7,8.103
При температуре 0℃ вода и керосин занимают одинаковые объемы по 4 л. Найти разность их объемов при 50℃.
Дано: То =273 К； VOb= УОк=4 л==4.10-3 м3; 7= 323 К.
АУ — ?
Решение. По закону объемного расширения,
V.= VQ^l+^Tl 匕=%О+&АТ)，
где АТ=7—То； рв,仇一коэффициенты объемного расширения воды и керосина. Тогда разность объемов воды и керосина
А V =匕一匕=%< 1 + 仇 А 7) — VoB(l+MD =
=Vo(T-To)(Pk-Pb),
где Vo — VoK= VoB. Следовательно,
ду = 4-10~\323-273)(10-10~4 - 1,8・ 10~4) м3
Q 1,64 • IO— м3.
Железный бак вмещает 50 л керосина при 0℃. Сколько керосина выльется из бака, если его внести в комнату с температурой 20℃?
Дано: Vo = 5Oл = 5•lO-2м3; /о = О℃, 7° = 273 К； / = 20йС; 7 = =293 К.
Ат — ?
Решение. При нагревании на 20℃ увеличение объема керосина будет больше, чем увеличение объема бака, поэтому часть керосина выльется. Обозначим: то —— масса керосина в баке при 273 К； т — при комнатной температуре. Тогда масса вылившегося из бака керосина
\т — то — т, или Am = poVo —pV,(1)
где ро ——плотность керосина при 273 К； р н 丿——плотность керосина и объем бака при комнатной температуре.
Объем железного бака после его нагревания
V=Vo(l+gAT),(2)
бака(3)бака(3)где рж «Заж. Плотность керосина после нагревания Р = Ро/(1 +ВкА7).
бака
(3)
бака
(3)
Подставим выражения (2) и (3) в (1):
Ат = ро几一話V0(l + За*AT)=
=^Ц^^^- Заж) (Г-Т。)；
A加=0&103.5.]ота0. ]0-4-3.],2. кГ〉х
X (293 — 273) кг а 0,8 кг.
тдтдРис. 108Рис. 108Стальной шарик массой 100 г у опущен на нити в керосин. Как изменится сила натяжения нити, если всю систему нагреть от 20 до 50℃ (рис. 108)?
тд
тд
Рис. 108
Рис. 108
Дано: т = 100 г = 0,1 кг;八=20℃, 7\ = 293 К； G = 50℃;乙=323 К.
”н — ?
Решение. При температуре Т\ на шарик, погруженный в керосин, действуют: mg ——сила тяжести; Тн1 ——сила натяжения нити; FB1 ——выталкивающая сила. Запишем условие равновесия шарика в проекциях на ось У:
Thi +尸 bl mg=O,
откуда
Tn^mg — F^.(1)
Здесь FB1 = ркУс^, где рк ——плотность керосина. Так как рк = р°к/(1 +§△*), 匕=%с(1 +ВсА7\)= V\(l +3&АТ|), Voc= m/poc и ATi = 7i —— To, то выталкивающая сила
戶 —1 + За(：( — То)] g
LU + Вк⑺一7°)]poc '(丿
где а — коэффициент линейного расширения стали. Перепишем уравнение (1) с учетом (2):
Гм = mgГм = mg— Рокб[ 1 + 3“ П — То)] g[1 + 0К(П — 7о)]р°с
Гм = mg
Гм = mg
^ mg—* (1 —(仇一3%)(八一To)) g.
Poc
Аналогично, сила натяжения нити при температуре 丁2
7pog 1+3%(72—7o)]g 〜
[1 + Bk(72- T°)]poc
( 1 一 (也 一 Зое) ( 丁2 — To)) g・ Poc
Тогда
ДТН=ТН2_ТН|^^°К(pK-3CCc)(T2~rI)；
Poc
ATh = 0,1.9,8.0,8.103(10-10-4-3.1,2.10-5)X
X (323 - 293)/(7,8 • IO~3) H ^ 3 mH.
Масса спирта, взятого при 0℃ в объеме 500 см3, равна 400 г. Определить плотность спирта при 15℃.
Дано: /о = О℃;7о=273 К； Vo = 5OO см3 = 5-10-4 м3; /= 15℃;
Т = 288 К； m = 400 г = 0,4 кг.
р — ?
Решение. Плотность спирта
⑴⑴с — ро Р— 1 + 0АТ •
⑴
⑴
Так как р0= m/V0, то [см. (1)]
m
Vo(i + BAT) •
Учитывая формулу приближенного вычисления, находим
р^~^*(1 — 2丁)=合［1 — В(7 — То)］；
р』5-能［1 一 11 • 10—4(288-273)］ ^^0,79・ 1。3 кг/м3.
Куб, вырезанный из монокристалла, при нагревании изменяет не только объем, но и форму. Почему?
Отв. В монокристалле вследствие анизотропии коэффициент линейного расширения в различных направлениях различен, поэтому форма монокристалла изменяется.
Почему наиболее точные измерительные инструменты делаются из особого сплава ——инвара?
Отв. Инвар имеет малый коэффициент линейного расширения, поэтому случайные колебания температуры не отражаются на точности измерительного инструмента.
Упражнения
Длина алюминиевой линейки при 0℃ равна 79,5 см, а железной ——80 см. При какой температуре длины линеек будут равны?
При 0℃ железная и медная проволоки имеют одинаковую длину, равную 500 м. Определить разность их длин при 30℃.
Объем свинцового шара при 20℃ равен 1,8 дм3. Определить, на сколько увеличится объем этого шара при нагревании его до 100℃.
При 20℃ керосин и серная кислота взяты в одинаковых объемах по 500 см3. Какая будет разница в объеме этих жидкостей при 0℃?
В одном колене сообщающихся сосудов температура 10℃, в другом 80℃. Уровень керосина в одном колене 280 мм, в другом ——300 мм. Найти коэффициент объемного расширения керосина.
Сосуд из латуни при его нагревании увеличился в объеме на 0,6%. На сколько градусов был нагрет сосуд?
В углублении льда, имеющего температуру 0℃, влито 60 г воды при температуре 75℃. Какой объем будет иметь углубление после остывания воды?
Нефть содержится в железной цилиндрической цистерне, высота которой 6 м, а диаметр основания 5 м.
При температуре 0℃ нефть не доходит до краев цистерны на 20 см. При какой температуре нефть начнет переливаться через край цистерны? Учесть тепловое расширение цистерны.
Поверхностное натяжение жидкостей.Капиллярные явления
Поверхностный слой жидкости находится в состоянии натяжения и обладает запасом потенциальной энергии. Поверхностное натяжение
尸пнW
о = —- или а =—, где 尸口 н ——сила поверхностного натяжения; / ——длина контура поверхности жидкости, на которые действует эта сила; W ——потенциальная энергия поверхностного слоя; S ——площадь поверхности слоя.
Изогнутый поверхностный слой оказывает на жидкость избыточное давление по сравнению с тем, которое испытывала бы жидкость с плоским поверхностным слоем. Выпуклый поверхностный слой давит на нижележащие слои жидкости, вогнутый ——растягивает.
Избыточное давление рн, оказываемое на жидкость со стороны сферической поверхности радиусом R,
,2 а
где знак 《+》——для выпуклого мениска; знак 《——》—— для вогнутого мениска.
В узких трубках (капиллярах) вследствие смачивания или несмачивания жидкостью стенок сосуда кривизна поверхности жидкости (мениск) становится значительной. Избыточное давление вызывает заметное поднятие или опускание уровня жидкости.
Высота подъема жидкости в капиллярной трубке при полном смачивании стенки трубки
, 2а
九=n"，
где p — плотность жидкости; g — ускорение свободного падения; R ——радиус капиллярной трубки.
* * *
Тонкое алюминиевое кольцо радиусом 7,8 см соприкасается с мыльным раствором. Каким усилием можно оторвать кольцо от раствора? Температуру раствора считать комнатной. Масса кольца 7 г.
Дано: R = 7,8 см = 7,8-10*"2 м; т = 7 г = 7-10-3 кг.
Решение. На кольцо действуют: mg ——сила тяжести; Fn н ——сила поверхностного натяжения; F ——внешняя сила (рис. 109). Так как кольцо соприкасается с раствором и наружной и внутренней сторонами, то сила поверхностного натяжения
尸口 н = 2а/,
где / = 2л7?. Условие отрыва кольца от раствора, записанное в проекциях сил на выбранную ось У, имеет вид F = mg + ^п н, или
尸=mg + 2а/ = mg + 4 jwR.
Тогда
尸=7・ 10-з.9,8 + 4・з,14・4・ 10-2.7& ют н^0,11 Н.
Деревянная палочка длиной 4 см плавает на поверхности воды. По одну сторону от палочки осторожно налили мыльный раствор. С каким ускорением начнет двигаться палочка, если ее масса 1 г? Сопротивление воды при движении палочки не учитывать.
Дано: / = 4 см = 4• 10~2 м; т= 1 г = 10~3 кг.
а — ?
Рис. 109Рис. 109Решение. В горизонтальной плоскости на палочку действуют силы поверхностного натяжения со стороны воды 尸пм и со стороны мыльного раствора 尸 11H2 (рис. 110). Запишем для палочки второй закон Ньютона в проекциях на выбранную ось У:
Рис. 109
Рис. 109
尸п $ 尸n Н2 — та.
откуда
a = (ElH| —尸 Г]»)/加.
Рис. 110Рис. 110Так как Fn Н| = QiZ и 尸口^ = 6厶 где 6 н б — поверхностное натяжение воды и мыльного раствора, то
Рис. 110
Рис. 110
а=SR&=
т
_ 4・1(Г2(7,4. io—2_4.〔о-) м2
[^5不=1,36 М/С .
Какая энергия освобождается при слиянии мелких водяных капель радиусом 2• 10~3 мм в одну каплю радиусом 2 мм?
Дано: г= 2・ 1фЗ мм = 2・ 10-6 м； R = 2 мм = 2・ IO" м.
步-?
Решение. Изменение потенциальной энергии поверхностного слоя капель, вызванное уменьшением площади поверхности AS капель при их слиянии в одну каплю,
△场= oAS = o(S】一S2),(1)
где Si ——площадь поверхности всех мелких капель; S2 — площадь поверхности большой капли; о ——поверхностное натяжение воды.
Очевидно, что Si = 4冗产几 и S2 = 4л7?2. Масса воды остается постоянной, поэтому
пт = М,(2)
где п ——число мелких капель; т ——масса мелкой капли; М—- масса большой капли. Так как m = pVi = 4/3рдг3 и М = pV2= 4/зрп/?з, то из уравнения (2) получаем
п = ^/г\
Следовательно, площадь поверхности всех мелких капель SI = 4nr2R3/r3 = 4nR3/r. Подставляя выражения для Si и S2 в уравнение ⑴，находим
a 呼=0 ("i^4n7?2)= 4冗/?2(7 ^ -y- 1);
AVT = 4・3,14・(2・ Юту.?/ 10-2*
Х[(2.10-3)/(2.10-6)-1] Дж = 3,7 мДж.
Под каким давлением находится воздух внутри пузырька радиусом 5-10~3 мм, расположенного под поверхностью воды?
м.м.Дано: R = 5・10~3 мм = 5 -10-6
м.
м.
Решение. Давление воздуха в пузырьке
Р = Ро + Рн, где ро — атмосферное давление; ри — избыточное давление. Так как ри = 2а//?, то р = р0 + 2а//?, где а — поверхностное натяжение воды. Тогда
р=1,01.105 ПаПа = 130 кПа.
115-10-6
Два мыльных пузыря радиусами 10 и 5 см выдуты на разных концах одной трубки. Найти разность давлений внутри пузырей. Что будет происходить с размерами пузырей, если их предоставить самим себе?
Дано: Ri=10 см = 0,1 м; & = 5 см = 0,05 м.
Ар — ?
Решение. Давление р внутри мыльного пузыря
Р = Ро + Рн,(О
где ро ——атмосферное давление; р^ ——избыточное давление, создаваемое искривленным поверхностным слоем мыльной воды Очевидно, что рн = 2・2сг/А (а — поверхностное натяжение мыльной воды). Множитель 2 поставлен потому, что мыльная пленка имеет две поверхности: внешнюю и внутреннюю. Тогда уравнение (1) примет вид
P = Po + 4o/R.(2)
Для первого и второго пузырей уравнение (2) можно записать в виде pi =р0+ 4а//?ь р2 = ро + 4а//?2. Тогда разность давлений внутри пузырей
Mi一"噺F
Из расчетов видно, что давление внутри малого пузыря больше, чем внутри большого. Следовательно, воздух переходит из малого пузыря в большой. Объем малого пузыря будет уменьшаться, а большого — увеличиваться, пока не сравняются радиусы поверхностей.
Рис. 1 11Рис. 1 11Капиллярная длинная, открытая с обоих концов трубка радиусом 1 мм наполнена водой и поставлена вертикально. Определить высоту столба оставшейся в капилляре воды. Толщиной стенки капилляра пренебречь.
Рис. 1 11
Рис. 1 11
Дано: R = 1 мм = 10-3 м.
h — ?
Решение. На воду в капиллярной трубке действуют: mg ——сила тяжести; Fn н ——силы поверхностного натяжения в верхнем и нижнем мениске (рис. 111). Запишем условие равновесия столба жидкости в проекциях сил на ось У:
2Е1н —mg = 0・
ЛЛ4аpgR4аpgR；h；h4 • 7,4 • IO—1()3.9,8.10二34 • 7,4 • IO—1()3.9,8.10二3м^З-10-2 м.м^З-10-2 м.Учитывая, что Fn и = а2л/? и mg=pgV = pgjiR2h, где о —— поверхностное натяжение; р —— плотность воды, получаем 2а • 2л7? — pgnR2h = 0, откуда
Л
Л
4аpgR
4аpgR
；h
；h
4 • 7,4 • IO—
1()3.9,8.10二3
4 • 7,4 • IO—
1()3.9,8.10二3
м^З-10-2 м.
м^З-10-2 м.
Разность уровней смачивающей жидкости в коленах U-образной трубки 23 мм (рис. 112). Диаметры каналов в коленах трубки 2 и 0,4 мм. Плотность жидкости 0,8 г/см3. Определить поверхностное натяжение жидкости.
Дано: Л = 23 мм = 2,3-10-2 м; Z)| = 2 мм = 2• 10-3 м, D2 = 0,4 мм = =0,4 • 10-3 м; р = 0,8 г/см3 = 0,8- 103 кг/м3.
а — ?
Решение. Условие равновесия жидкости в сообщающихся сосудах Ра = рв, где рд и рв ——давления в левом и правом коленах на уровне АВ. Учитывая, что Ра = р° — —рИ1 и рв = po — p^+ph, где ро — атмосферное давление, Рн| = 2о)А1 = 4о/О1, рИ1 =2a/7?2 = 4a/Z)2, Ph = pgh, условие равновесия жидкости примет вид po — Ao/Di = р0 — —4o/Z)2 + pgm откуда
pghD\D?.
4(01二函‘
or =or =旦 q2,25・10-sH/m.旦 q2,25・10-sH/m.0,8・及.9,8.2,3・ 10-2・2・ 10-3.0,4. io-з4・(2・ 1()7-64.10-3)
or =
or =
旦 q2,25・10-sH/m.
旦 q2,25・10-sH/m.
Почему волоски кисточки, расходящиеся в воде, слипаются, если кисточку вынуть из воды?
Отв. Если кисточку вынуть из воды, ее волоски покрываются пленкой воды и сближаются под действием силы поверхностного натяжения пленки.
Какую жидкость можно налить в стакан выше его краев?
Отв. Можно налить несмачивающую жидкость, так как силы взаимодействия между молекулами жидкости больше сил взаимодействия между молекулами жидкости и стекла. Равнодействующая
Рис. 112Рис. 112всех этих сил направвсех этих сил направлена внутрь жидкости и удерживает частицы жидкости, оказавшиеся выше краев стакана.
Рис. 112
Рис. 112
всех этих сил направ
всех этих сил направ
Упражнения
Определить поверхностное натяжение масла, плотность которого 0,91 г/см3, если при пропускании через пипетку 4 см3 масла получено 304 капли. Диаметр шейки пипетки 1,2 мм.
Какую массу имеет капля воды, вытекающая из стеклянной трубки диаметром 1 мм? Считать диаметр капли равным диаметру шейки трубки.
Воздушный пузырек диаметром 0,002 мм находится в воде вблизи ее поверхности. Определить плотность воздуха в пузырьке.
На сколько давление воздуха внутри мыльного пузыря больше атмосферного, если диаметр пузыря 5 мм?
Каково отношение высот подъемов в капиллярах воды и керосина при прочих равных условиях?
В сообщающихся капиллярных трубках радиусами 0,5 и 2 мм разность уровней ртути 10,5 мм. Определить поверхностное натяжение ртути.
В капиллярной трубке жидкость поднимается на 80 см. Определить высоту столбика жидкости, которая может удержаться в трубке, если ее полностью заполнить жидкостью в горизонтальном положении, а затем повернуть вертикально.
Капля воды массой 0,2 г находится между двумя стеклянными пластинами, расстояние между которыми 0.1 мм. Найти силу притяжения пластин друг к другу.
Деформация твердых тел. Закон Гука
Деформацией называется изменение формы и размеров тела под действием приложенных сил. Различают упругие и неупругие деформации.
Упругой называется деформация, которая полностью исчезает после прекращения действия сил. Неупругой называется деформация, которая частично сохраняется после прекращения действия сил.
Для упругих деформаций справедлив закон Гука.
Л/ = -g- о/о,
где Д/= /-* /о —— абсолютное удлинение (деформация) тела; / ——длина деформированного тела; /0 ——первоначальная длина тела; £ —— модуль продольной упругости (модуль Юнга); а= F/S ——напряжение;尸——сила, действующая на тело; S ——площадь поперечного сечения тела.
Напряжение Опр, при котором тело, подвергнутое деформации, начинает разрушаться, называется пределом прочности.
** *
Чему равно удлинение латунного стержня длиной 4 м, имеющего площадь сечения 0,4 см2, под действием силы 1 кН?
Дано: /о = 4 м; S = 0,4 см2 = 4 • 10-5 м2;尸=1 кН = 103 Н.
Решение. По закону Гука, абсолютное удлинение тела
1 z F/o д/ = та/0 = _,
где £ и а ——модуль Юнга и напряжение латуни. Тогда
м.м.
м.
м.
При какой предельной нагрузке разорвется стальной трос диаметром 1 см, если предел прочности стали 1 ГПа?
Дано:。= 1 см = 10-2 м; Опр = 1 ГПа = 109 Па.
Решение. Предельное напряжение
Опр== F пр / S,
где S = n£)2/4 ——площадь поперечного сечения троса. Следовательно, предельная нагрузка, т. е. сила, действующая на трос,
凡p = OnpS = ^展二；凡。= @31 产空478,5 kh.
Стальной брус вплотную помещен между каменными неподвижными стенами при 0℃. Найти напряжение материала бруса при 20℃.
Дано: /о = О℃; То=273 К, f = 2O°C; Т= 293 K.
0 - ?
Решение. При нагревании свободного бруса на ДГ его длина была бы равна /=/о(1+必7), откуда
Д/ = /—lo = al心 Т,(1)
где а——коэффициент линейного расширения стали; /0 —— длина стального бруса при температуре То.
Расстояние между стенами не изменяется, поэтому Д/ — абсолютное сжатие бруса, возникающее при его нагревании. Из закона Гука следует, что напряжение материала бруса при 293 К
о = ЕА///о,
где Е —— модуль Юнга стали, или с учетом выражения (1)
о = Eodo^T//о = Е0Т — То)；
о = 2,2 • 10"・ 1,1 • 10—5(293 一 273) Па = 48,4 МПа.
Стальная проволока длиной 1 м закреплена одним концом так, что может совершать колебания в вертикальной плоскости. К свободному концу проволоки прикреплен груз массой 50 кг. Проволоку с грузом отклоняют на высоту подвеса и отпускают. Определить абсолютное удлинение проволоки в нижней точке траектории при движении груза. Площадь сечения проволоки 0,8 мм2, массой проволоки пренебречь.
Рис. 113нии через точку Д:Рис. 113нии через точку Д:Дано: /о = 1 м; m = 50 кг;
Рис. 113
нии через точку Д:
Рис. 113
нии через точку Д:
S = 0,8 мм2 = 8-10-7 м2.
А/ — ?
Решение. По закону Гука, абсолютное удлинение проволоки
жения проволоки (рис. 113). Запишем для груза, поджения проволоки (рис. 113). Запишем для груза, подА/= F/o/(£S), (1) где F ——сила, растягивающая проволоку в точке А\ £ ——модуль Юнга стали. Рассмотрим силы, действующие на груз при его прохожде- mg — сила тяжести; Т ——сила натя
жения проволоки (рис. 113). Запишем для груза, под
жения проволоки (рис. 113). Запишем для груза, под
вешенного к проволоке, уравнение второго закона Ньютона в проекциях на ось
Т — mg = may.
Здесь ау = а^=川//, где / ——длина растянутой проволоки в точке А. Отсюда
Т = mg + mv2/I = m(g + 川/Z).(2)
Для нахождения скорости и груза в точке А применим закон сохранения энергии для двух положений груза в точках А и В: Wa =畝в, или mv2/2 = mgl, откуда v2 = =2g/. Подставим это выражение в уравнение (2):
7 = m(g + 2g〃/) = 3 mg.
По третьему закону Ньютона, сила F, растягивающая проволоку, численно равна силе натяжения Т:尸=7 = =3mg. Учитывая это, перепишем уравнение (1):
А/ =黑*；A/ = 2 ；需需衿 m ^ 8,4 • 10-3 m.2,0 • 1U • о • 1U
Почему резцы не изготовляют из стекла, твердость которого равна твердости инструментальной стали?
Отв. Стекло обладает низкой прочностью на растяжение (и изгиб) при комнатной температуре по сравнению со сталью.
Упражнения
Какую силу надо приложить к стальной проволоке длиной 2 м для ее растяжения на 1 мм? Площадь сечения проволоки 0,5 мм2.
Медная проволока диаметром 1 мм разрывается при нагрузке 188,4 Н. Найти предел прочности меди при растяжении.
При какой наименьшей длине свинцовая проволока оборвется от собственной силы тяжести, если разрыв произойдет вблизи точки подвеса?
Железная проволока при 30℃ натянута горизонтально и закреплена концами между неподвижными опорами. С какой силой будет действовать проволока на точки закрепления при понижении температуры до ——10℃? Площадь сечения проволоки 2 мм.
Медный стержень 1 м равномерно вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец. При какой угловой скорости вращения стержень разорвется? Предел прочности меди апр = 235 МПа.
Найти работу при растяжении стальной проволоки длиной 1 м и радиусом 1 мм, если к ней подвешен груз массой 100 кг.
Вопросы для повторения
высоты подъема жидкости в капиллярной трубке. 7. Что называется деформацией тела? 8. Перечислите виды деформации твердого тела. 9. Что называется пределом прочности тела? 10. Что называется напряжением? 11. Сформулируйте закон Гука для упругих деформаций. 12. Каков физический смысл модуля Юнга? 13. Назовите единицы модуля Юнга и напряжения в СИ.
ГЛАВА III
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Закон Кулона. Напряженностьэлектростатического поля
По закону Ку厶она, сила взаимодействия между двумя точечными неподвижными электрическими зарядами
4口60£产'
где q\ и q2 — абсолютные значения зарядов; г ——расстояние между зарядами; е ——относительная диэлектрическая проницаемость среды, в которой находятся заряды; ео —— электрическая постоянная, ео= ^7^^-^8,85 • 10-12 Ф/м.
Для расчета взаимодействия неточечных зарядов вводят понятия:
Линейная плотность заряда для равномерно заряженной нити
где d/ и dq — элемент длины нити и его заряд.
Поверхностная плотность заряда для равномерно заряженной поверхности
где dS и dq ——элемент площади поверхности и его заряд.
Приведем основные формулы для расчета напряженности электростатического поля.
Напряженность поля
Р F
откуда сила, действующая на заряд д, помещенный в поле Е,
F = qE.
QQРис. 114до данной точки поля.QQРис. 114до данной точки поля.Напряженность поля точечного заряда или заряженной сферы
Рис. 114до данной точки поля.
Рис. 114до данной точки поля.
Q
где Q ——заряд, создающий поле; г ——расстояние от заряда (или центра заряженной сферы)
Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости (однородное поле)
где о ——поверхностная плотность заряда; е ——диэлектрическая проницаемость окружающей среды. Вектор Е перпендикулярен плоскости.
Напряженность поля двух разноименно заряженных параллельных плоскостей (поле плоского конденсатора)
Если электрическое поле образовано несколькими точечными зарядами ^, то его вектор напряженности Е в данной точке равен векторной сумме напряженностей Е» полей, созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности (принцип суперпозиции электрических полей):
E=f Ез
Два разноименных одинаковых по числовому значению точечных заряда, находящихся на некотором расстоянии / друг от друга, называются электрическим диполем (рис. 114). Точки, в которых расположены заряды, называются полюсами диполя. Плечо диполя 1 ——это вектор, направленный от отрицательного полюса к положительному, а его длина равна расстоянию между полюсами. Величина pe = ql называется электрическим моментом диполя (дипольным моментом).
* * *
Два одинаковых небольших шарика массой 0,1 г каждый подвешены на нитях длиной 25 см. После того как шарикам были сообщены одинаковые заряды, они
Рис. 115Рис. 115равновесия шарикаравновесия шарикаразошлись на расстояние 5 см. Определить заряды шариков.
Рис. 115
Рис. 115
равновесия шарика
равновесия шарика
Дано: mi = m2 = m = 0,1 г = =10-4 кг; /1 = /2 = / = =25 см = 25-10-2 м;
г = 5 см = 5・ IO* м.
g — ?
Решение. На каждый из отклоненных шариков действуют: mg ——сила тяжести; Т —— сила натяжения нити; F ——электрическая сила взаимодействия шариков (рис. 115). Запишем условие
под действием приложенных сил:под действием приложенных сил:mg + T + F = 0.
под действием приложенных сил:
под действием приложенных сил:
Запишем это уравнение в проекциях на выбранные оси X и Г:
— Гsina+ F=0, Tcosa—mg = 0.(1)
Учитывая, что F= ^2/(4леоег2), запишем (1) в виде
Гsina= <72/(4леоег2), Гcosa= mg.(2)
Разделив почленно первое из уравнений (2) на второе, получим tgа= ^2/(4леоег2т^). Так как угол а мал, то tga^ sin a= г/(2/). Тогда r/(2/) = ^2/(4ne0£r2mg), откуда
U 1/ 2・3,14・8,85・ 10—2.1 .5.1()-2. ［。一 .9君
q=5.io 2以前产Kg
弋5,2 нКл.
Два положительно заряженных тела с зарядами 1,67 и 3,33 нКл находятся на расстоянии 20 см друг от друга. В какой точке на линии, соединяющей эти тела, надо поместить третье тело с зарядом ——0,67 нКл, чтобы оно оказалось в равновесии? Массами тел пренебречь.
Дано: д, ж= 1,67 нКл = 1,67• 10~9 Кл; <72= 3,33 нКл = 3,33-10~9 Кл;
/• = 20 см = 0,2 м; |дз1 = 0,67 нКл — 0,67• 10-9 Кл.
Решение. На тело С с зарядом дз действуют Fi и F2 —— электрические силы взаимодействия с зарядами q〕 и q?
Рис. 1 16Рис. 1 16соответственно (рис. 116). Запишем условие равновесия тела С в проекциях на ось X:
Рис. 1 16
Рис. 1 16
尸 1”2 = 0,
откуда 尸］=尸2, Учитывая, что
д/дз1 尸—g2gl4ле0Е(г—х)2 *— 4n£о£%‘
где % ——расстояние между телами с зарядами q2 и дз, получаем
勿31_ 72I73I
4леое(г —%)? ДлеоЕХ2
откуда
У?7
/1 +也2
0,2 м ^ 0,12 м.0,2 м ^ 0,12 м.Уз,зз- ю~9
0,2 м ^ 0,12 м.
0,2 м ^ 0,12 м.
Vl,67.10-9+73,33.10~9
По первоначальным представлениям Бора, электрон в атоме водорода движется по круговой орбите. Вычислить скорость движения электрона, если радиус его орбиты 0,5 • 10-8 см (рис. 117).
Дано: R = 0,5・ Ют см = 5• 10一" м.
Решение. На электрон, движущийся по круговой орбите, действует электрическая сила его взаимодействия с ядром, равная
4лЁоЁл
Рис. 117Рис. 117где \е\ — абсолютное значение заряда электрона; q ——заряд ядра атома водорода; R — радиус орбиты электрона. Пренебрегая силой гравитационного взаимодействия электрона с ядром, запишем для электрона второй закон Ньютона в проекциях на ось У (рис. 117):
Рис. 117
Рис. 117
尸=tnay.
где m — масса электрона; ад = а&=и?/R. Тогда
\e\q — mu2
4п£о£&‘ — R，
откуда|e|q4jt£oemRоткуда|e|q4jt£oemR00l,6«10-,9.l,6.10-19м4■3,14：8,85・ 10一生 1 ・9,1 • IOT1 .5. ]o-u -^l,6«10-,9.l,6.10-19м4■3,14：8,85・ 10一生 1 ・9,1 • IOT1 .5. ]o-u -^
откуда
|e|q4jt£oemR
откуда
|e|q4jt£oemR
0
0
l,6«10-,9.l,6.10-19м
4■3,14：8,85・ 10一生 1 ・9,1 • IOT1 .5. ]o-u -^
l,6«10-,9.l,6.10-19м
4■3,14：8,85・ 10一生 1 ・9,1 • IOT1 .5. ]o-u -^
^2,25-IO6 м/с.
Два точечных заряда 6,7 и ——13,3 нКл находятся на расстоянии 5 см друг от друга. Найти напряженность электрического поля в точке, расположенной на расстоянии 3 см от положительного заряда и 4 см от отрицательного.
Дано: 01 = 6,7 нКл = 6,7 • 10~9 К〃；察 ^ —13,3 нКл = —13,3 X
X 10一9 Кл; г = 5 см = 5・ м, с = 3 см = 3.10-2 м;
「2 = 4 см = 4・ I。-? м.
Решение. По принципу суперпозиции напряженность поля в точке А равна Е = Е| + Е2, где Е| —— напряженность поля в точке /, созданного зарядом q\\ Е2 — напряженность поля в точке /, созданного зарядом 42 (рис. 118).
Так как заряды q〕и q2 точечные, то £| = ^|/(4лг0ег|), Е2 = ^2/(4леоег2). Из условия задачи следует, что угол между векторами Е| и Е2 прямой, тогда напряженность поля находим по теореме Пифагора: £ = V^i + ^2, или с учетом £| и £2
V (4леоег?)2 丁 (4冗£。諸＞4ле0е V 不 丁 *
EjE =!x
жен с линейной плотностью
1 нКл/см. Определить напря- I“ 「 ,〔 женность поля, созданного d^ 一 * * d^ стержнем в точке / (рис. 119)
на продолжении его оси на Рис расстоянии 10 см от ближнего ' конца, и силу взаимодействия
стержня и заряда 10~8 Кл, помещенного в точку А.
Дано: / = 20 см = 0,2 м; т = 1 нКл/см = 10~7 Кл/м;
Е—?尸
Разобьем стержень на элементы малой длины dx. Заряд dg элемента dx считаем точечным. Найдем напряженность d£ поля, созданного в точке / элементом длины dx стержня, находящимся от точки / на расстоянии %, по формуле
Так как т = dq/d%, то dg = xdx и
Tdx4Ле0e^
Векторы напряженности поля от других элементов длины стержня направлены в ту же сторону, что и вектор dE. Напряженность поля в точке А
г + /г + /xdxxdx1 4леое%21 4леое%2， + /т f dx， + /т f dx4леое \ х / I г4леое \ х / I гт4леоет4леое
г + /
г + /
xdx
xdx
1 4леое%2
1 4леое%2
， + /т f dx
， + /т f dx
4леое \ х / I г
4леое \ х / I г
т
4леое
т
4леое
В—=6 кВ/мВ—=6 кВ/мЕ =Е =
В
—=6 кВ/м
В
—=6 кВ/м
Е =
Е =
4・3,14・8,85・ IO-】？ 0,1.(0,1 +0,2) м 一」
Тогда сила взаимодействия стержня и заряда
F = Eqq； F = 6.103«10-8H = 6«10-5H.
В трех вершинах квадрата со стороной 40 см находятся одинаковые положительные заряды по 5 нКл каждый. Найти напряженность поля в четвертой вершине квадрата (рис. 120).
Дано: а = 40 см = 0,4 м; д = 5нКл = 5・1(Г9 Кл.
Е -?
Решение. По принципу суперпозиции электрических полей для точки А находим
Рис. 120Е = Ei + Е2 + Е3,(1)
где Ei, Е2 и Ез ——напряженности полей, созданных зарядами д〔，^2 и дз соответственно в точке А. Запишем уравнение (1) в проекциях на выбранные направления X и Г:
Ех = £i sina + £2 + £3 cosa, Еу =—旦 cosa + £3 sina.
⑵
Еу = 0; Ех = Е —18 4 Aг ；Еу = 0; Ех = Е —18 4 Aг ；4I 74л8()£a2 Г 4лЕ0е2а24I 74л8()£a2 Г 4лЕ0е2а2十 4ne0Ea2十 4ne0Ea2Учитывая, что Ei = £^= ^/(4л8ое<22); Е2 = q/(4n£o£户), г2 = 2a2, sina= cosa=-\/2/2, и подставляя эти выражения в уравнения (2), находим:
Еу = 0; Ех = Е —
18 4 Aг ；
Еу = 0; Ех = Е —
18 4 Aг ；
4I 7
4л8()£a2 Г 4лЕ0е2а2
4I 7
4л8()£a2 Г 4лЕ0е2а2
十 4ne0Ea2
十 4ne0Ea2
к плечу диполя нак плечу диполя наРис. 121Рис. 121
к плечу диполя на
к плечу диполя на
Рис. 121
Рис. 121
В/м.В/м.尸=1 q5.IL 旦〜590
В/м.
В/м.
七—]4-3,14• 8,85-IO",2.1-0,4^ м 〜？ U
Определить напряженность электрического
поля, созданного диполем, в точке на перпендикуляре
расстоянии 50 см от его центра, если заряды диполя 10-8 и — 10~8 Кл,
а плечо диполя 5 см.
Дано: d = 50 см = 0,5 м; q、— 10-8 Кл; 92 = — 10-8 Кл;
/ = 5 см == 5 • 10-2 м.
Е —?
Решение. По принципу суперпозиции напряженность поля диполя в точке О равна сумме напряженностей Е( от заряда gi и Е2 от заряда 仇 (рис. 121):
Е = Е] + Е2.
или в проекциях на ось X
Е = Е\ cosa + Е2 cosa,
где a — угол между векторами Ei н Е2 H осью ОХ. Так как заряды диполя точечные, то
Из рисунка находим г = \壮 + 广/4, cos a= //（2寸d?+»/4） Подставляя £t,厂 и cos a в выражение для напряженности поля диполя, получаем
4л£о£（/+/2/4）2/2+ /2/4 ne0e（4d2 -|- /2）3/2 *
Так как в знаменателе выражения （1） 4d?》/?, то
匕〜几£o£（4/）B4n£0萨，
10-8.5.10-2В _ Q
上=4.3,14.8,85・1072.0,5『 丁 一B/M.
Из формулы видно, что напряженность поля диполя убывает обратно пропорционально J3, т. е. быстрее, чем напряженность поля точечного заряда, убывающая обратно пропорционально dL
Имеются две металлические концентрические сферы, радиусы которых 5 и 10 см и заряды 2 • 10~ и —10-8 Кл. Определить напряженность поля, созданного этими сферами, в точках, отстоящих от центров сфер на расстояниях 3,8 и 14 см. Построить график зависимости напряженности поля от расстояния точки от центра сфер.
Дано: /?! = 5 см = 5-10-2 м; R2 = 10 см = 0,1 м; q、= 2-10~8 Кл; ,2 = — Ю-8 Кл; г, = 3 см = 3 -10-2 м;，2 = 8 см = 8- 10-2 м;
гз = 14 см = 14 • 10-2 м.
Рис. 122Рис. 122Ес = 4」；詬Ес = 4」；詬4л8оёгз 4лёоёгз *4л8оёгз 4лёоёгз *
Рис. 122
Рис. 122
Ес = 4」；詬
Ес = 4」；詬
4л8оёгз 4лёоёгз *
4л8оёгз 4лёоёгз *
ность поля в точках Д, В и С в проекциях на ось г.
Для точки А (рис. 122)
ea = еm + 及力.
Так как Е[А = Е2л = 0 (напряженность поля внутри проводника равно нулю), то и & = О (точка А внутри сфер).
Для точки В еB = Е\в -e25, или, учитывая, что Е^ = 9i/(4neoeri) и £гв = 0, имеем
Еб = 42 ；
4лео£г5
口2 • 10-8ВD /
国=4.3,14.8,85.10-2(8.10-2)» Т 28 кв/м.
Для ТОЧКИ С
Ес = Eic—Е2c.
Учитывая, что Е\с = <71/(4леоегз) и Егс = l<72l/(4neoed), имеем
厂2-10-8 —10-8В
& = 4・3,14・8,85・10-叱 14・10一牙 Т 弋4,6 кВ/м.
Для построения графика используем найденные значения £л, Ев и Ес, а также подсчитаем напряженности поля в точках Af и ^, лежащих на поверхностях сфер. Напряженность поля для всех точек внутри малой сферы
Е\ = Еа = 0.
Напряженность поля £7 для точки на внешней поверхности малой сферы
日』
9】
4ne0e/?i
Е< =Е< ===72 кВ/м.==72 кВ/м.
Е< =
Е< =
==72 кВ/м.
==72 кВ/м.
2-10-8
Напряженность поля для точки на внутренней поверхности большой сферы
р _2-10-8В —
七2 = 4.3,14.8,85. Ю-^^ОЛ^Г =
=18 кВ/м.
Напряженность поля для точки на внешней поверхности большой сферы
小一仍1 .
4 n £（）£心'
匚〃2 -108 - IO"8 В
G ^ 4.3,14-8,85. 10-!i.0,l2 寸=§ кВ/м.
По полученным данным строим график зависимости Е от г (рис. 123). Из рисунка видно, что зависимость Е от г сложная. При r<R\ кривая идет вдоль оси абсцисс (Е = 0), при r = Ri н г =^2 кривая терпит разрывы.
379°. Два одинаковых положительных заряда находятся на расстоянии 20 см друг от друга. Найти на прямой, перпендикулярной линии, соединяющей заряды и проходящей через середину этой линии, точку, в которой напряженность поля максимальна.
Дано: г/i = ,2； / = 20 см = 0,2 м.
Решение. Возьмем на оси X произвольную точку Л, находящуюся на расстоянии % от точки О (рис. 124). По
Рис. 124Рис. 124
Рис. 124
Рис. 124
принципу суперпозиции напряженность поля в этой точке
Е=Е| + Е2,(1)
где Ei и Ег — напряженности в точке А поля, созданного зарядом q、 и зарядом ”
Проецируя векторное уравнение (1) на ось X, получаем
Е — Е\ cosa + Eicosa,(2)
где a ——угол между векторами Е] и Е. Так как £i = Ег, то равенство (2) можно записать в виде
£ = 2£i cosa.(3)
Из ДОДС находим cosa=“Учиты-
“+『/4•
вая, что Е| = д/(4л£о£[2), где г =寸炉 + 产/4 =寸^^十 С/2, перепишем выражение (3):
2gz.4= 3(4)
4n80£(4%2 + d)V4炉 + 2лE0£(4x2 + /2)3/2 *
Если в данной точке напряженность поля максимальна, то
(5)(5)dE/dx = 0.
(5)
(5)
Подставляя в условие (5) выражение (4) и производя операцию дифференцирования, получаем
d Г 4gx ]47
47 L 几£о£(4%2 + 产)3及」一 леое 入
=0,=0,击3 +广产—或(# +旷
=0,
=0,
X [(4x2 + /产产
откуда
票(" + /2)3/2 - %捻(4炉 + 广)3/2=0；
(4x2 + /2)3/2 - %*4%2 + 户)"2 4.2% = 0;
(4%2+/2)"2[(4%2 + /2)- 12%2] =0； 4х2 + /2 - 12炉=0;
X=±*7^=±l心所、x=±0,2/(2VSIm^± 0,071м.
Поле создано бесконечной вертикальной плоскостью с поверхностной плотностью заряда 4 нКл/см2. В нем подвешен на нити шарик массой 1 г и зарядом 198
на заряженныйна заряженный1 нКл. Определить угол, образованный нитью с плоско стью.
на заряженный
на заряженный
Дано: 0=4 нКл/см2 = 4-10-5 Кл/м2;
m = 1 г = 10-3 кг;
g = 1 нКл = 10-9 Кл.
а — ?
Решение. На заряженный шарик, подвешенный на нити в электрическом поле, действуют: F ——электрическая сила, с которой поле плоскости действует
шарик; mg ——сила тяжести; Т — сила натяжения нити (рис. 125). Запишем условия равновесия шарика в проекциях на оси X и У:
F — Т sina = 0, или F = Т sina,(】)
— mg + Тcosa = 0, или mg = Tcosa,( '
откуда после почленного деления уравнений (1)
tga= F/(mg).(2)
Учитывая, что F = qE, Е=о/(2£о£), и подставляя эти выражения в (2), получаем tga= qo/(2£o£mg), откуда
a=a「ctgwSE；
J 0 — 9.4 . ] 0—5
a= arctg 方脈引存％而千瞩 ^arctg 0,23^0,225 рад.
Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными плоскостями с поверхностной плотностью заряда 2 и —4 нКл/м2 (рис. 126, а). Определить напряженность поля между плоскостями и вне плоскостей. Построить графики напряженности поля для участков /—〃/.
Дано: о】=2 нКл/м2 = 2• 10-9 Кл/м2 ; s = — 4 нКл/м2 =
=-4・ 10一9 к〃/m2.
e/-? e〃一？ e/〃一？
Решение. Рассмотрим области /, II и III поля (рис. 126, а).
Область /. По принципу суперпозиции напряженность поля в этой области
Е/ = Е| + Е2,(1)
или в проекциях на ось X£/ =e2 - £iгде e2 = 1021/(280£)и £\ = =ai/(2eoe). Принимая во внимание эти выражения, перепишем формулу (1):или в проекциях на ось X£/ =e2 - £iгде e2 = 1021/(280£)и £\ = =ai/(2eoe). Принимая во внимание эти выражения, перепишем формулу (1):I〃丿I〃丿e"=员+厚=豊-+e"=员+厚=豊-+г — MlЕ/ =Fг — MlЕ/ =F62eoe62eoe丨02丨-012eoe丨02丨-012eoe尸 _ 4И0-9 4- 2-10-' 匕〃 =_2-8,85. 10-12.1尸 _ 4И0-9 4- 2-10-' 匕〃 =_2-8,85. 10-12.1"_4.10-9-2 」0-9 々=2-8,85. IO"12.1"_4.10-9-2 」0-9 々=2-8,85. IO"12.1"113 В/м."113 В/м.Аналогично находим значения напряженностей полей для двух других областей. Область 〃：Аналогично находим значения напряженностей полей для двух других областей. Область 〃：62£оЕ62£оЕ丨021 +01 .2£оЕ '丨021 +01 .2£оЕ '*339 В/м.*339 В/м.
или в проекциях на ось X
£/ =e2 - £i
где e2 = 1021/(280£)и £\ = =ai/(2eoe). Принимая во внимание эти выражения, перепишем формулу (1):
или в проекциях на ось X
£/ =e2 - £i
где e2 = 1021/(280£)и £\ = =ai/(2eoe). Принимая во внимание эти выражения, перепишем формулу (1):
I
〃丿
I
〃丿
e"=员+厚=豊-+
e"=员+厚=豊-+
г — Ml
Е/ =F
г — Ml
Е/ =F
6
2eoe
6
2eoe
丨02丨-012eoe
丨02丨-012eoe
尸 _ 4И0-9 4- 2-10-' 匕〃 =_2-8,85. 10-12.1
尸 _ 4И0-9 4- 2-10-' 匕〃 =_2-8,85. 10-12.1
"_4.10-9-2 」0-9 々=2-8,85. IO"12.1
"_4.10-9-2 」0-9 々=2-8,85. IO"12.1
"113 В/м.
"113 В/м.
Аналогично находим значения напряженностей полей для двух других областей. Область 〃：
Аналогично находим значения напряженностей полей для двух других областей. Область 〃：
6
2£оЕ
6
2£оЕ
丨021 +01 .
2£оЕ '
丨021 +01 .
2£оЕ '
*339 В/м.
*339 В/м.
Область III:
Еm = £1 - e2 = 抖=牛四 2еое 2£()е 2еов
2・10-9—4.10-9 B
По полученным данным построим график изменения напряженности поля вдоль оси X (рис. 126, б).
Вблизи отрицательно заряженной пластины плоского конденсатора образовался электрон вследствие столкновения молекулы воздуха с космической частицей. С какой скоростью электрон подлетит к положительно заряженной пластине, если заряд пластины 1 нКл, ее площадь 60 см2, расстояние между пластинами 5 мм?
Дано: q = 1 нКл = 10-9 Кл; S — 60 см2 = 6-10-3 м2; 2=5 мм = 5» 10-2 м.
Решение. Образующийся при столкновении электрон начнет двигаться в однородном поле плоского конденса- 200
тора равноускоренно с начальной скоростью, равной нулю. Из уравнения равноускоренного движения d = at2/2 находим время движения электрона от одной пластины до другой: / = У2〃а「Подставляя это выражение в формулу скорости V = а/, получаем
V = а、2d J а = 7 2а&.(1)
По второму закону Ньютона, ускорение движения электрона
а = F / т,
где m — масса электрона;尸=\е\Е ——электрическая сила, действующая на электрон со стороны поля конденсатора; е ——заряд электрона; Е = о/(£о£)——напряженность поля внутри конденсатора; о = q/S ——поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора. Принимая во внимание эти выражения, перепишем формулу (1):
V
/2-1,6.10 19.10-9.5-10-3 Мде /
一訂戸・8丽 1。卄匸w^5,76・10 М/с.
Чем объяснить, что легкий бузиновый шарик вначале притягивается к наэлектризованной палочке, а затем отталкивается от нее?
Отв. При поднесении палочки к шарику на нем по индукции наводятся заряды разных знаков. На стороне шарика, ближней к палочке, наводится заряд, противоположный по знаку заряду палочки. На дальней стороне шарика наводится заряд одного знака с зарядом палочки. Сила притяжения разноименных зарядов больше силы отталкивания одноименных зарядов, так как разноименные заряды шарика и палочки окажутся ближе расположенными друг к другу, чем одноименные заряды. При соприкосновении заряд, противоположный по знаку заряду палочки, нейтрализуется. Шарик приобретает заряд, одинаковый по знаку с зарядом палочки, и поэтому начнет отталкиваться от нее.
Упражнения
Даны два шарика массой 1 г каждый. Какой заряд нужно сообщить каждому шарику, чтобы сила взаимного
отталкивания зарядов на шариках уравновесила гравитационную силу взаимного притяжения шариков? Шарики находятся в воздухе.
Два одинаково заряженных шарика, имеющие массу 0,5 г каждый и подвешенные на нитях длиной по 1 м, разошлись на 4 см друг от друга. Найти заряд каждого шарика.
Стальной шар радиусом 0,5 см, погруженный в керосин, находится в однородном электрическом поле напряженностью 35 кВ/см, направленной вертикально вверх. Определить заряд шара, если он находится во взвешенном состоянии.
Кольцо из проволоки радиусом 10 см равномерно заряжено зарядом ——5 нКл. Найти напряженность электрического поля на оси кольца в точках, находящихся от центра кольца на расстояниях 0, 5, 8, 10 и 15 см. Начертить график зависимости напряженности поля от расстояния от центра кольца.
Маленький шарик массой 100 мг и зарядом 16,7 нКл подвешен на нити. На какое расстояние надо поднести к нему сниз> одноименный и равный ему заряд, чтобы сила натяжения нити уменьшилась вдвое?
Во сколько раз сила тяготения между двумя протонами меньше силы их кулоновского отталкивания?
Три отрицательных заряда по 9 нКл каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд нужно поместить в центре треугольника, чтобы система находилась в равновесии?
Шарик, имеющий массу 0,4 г и заряд 4,9 нК/, подвешен на нити в поле плоского воздушного конденсатора, заряд которого 4,43 нКл и площадь пластины 50 см2. На какой угол от вертикали отклонится при этом нить с шариком?
Два одинаково заряженных шарика, подвешенных на нитях равной длины, разошлись на некоторый угол. Какова плотность материала шариков, если при погружении их в керосин угол между нитями не изменился?
Потенциал электростатического поля.
Работа силы по перемещению зарядав электростатическом поле
Потенциал электростатического поля (Р = — A/q,
где А ——работа сил поля при перемещении заряда из бесконечности в данную точку поля.
Потенциал поля точечного заряда или заряженной сферы
* 4n£о£Г •
Если поле образовано несколькими точечными зарядами, то потенциал поля в данной точке равен алгебраической сумме потенциалов полей, образованных в этой точке каждым зарядом отдельно:
屮=2屮3
i = 1
Связь между напряженностью Е электростатического поля и разностью потенциалов U на обкладках плоского конденсатора (однородное поле) такова:
£ _9 1 -口 2 ― u d d '
где d ——расстояние между обкладками плоского конденсатора. Работа электрической силы по перемещению заряда в электростатическом поле из одной точки поля в другую
А = q(q)i — q)2)= qU.
* * *
Пылинка массой 1Q-8 г висит между пластинами плоского воздушного конденсатора, к которому приложено напряжение 5 кВ. Расстояние между пластинами 5 см. Каков заряд пылинки?
Дано: т = 10-8 г = 10-" кг;
и=5кВ = 5」03В;
d = 5 • 1 О'-? м.
q —?
Решение. На пылинку в электрическом поле действуют: mg —— сила тяжести; F ——электрическая сила со стороны поля (рис. 127).
F — mg = 0, откуда F= mg.Учитывая, что откудаq = —g— ; qF — mg = 0, откуда F= mg.Учитывая, что откудаq = —g— ; qЗапишем условие равновесия пылинки в проекциях на ось У:
F — mg = 0, откуда F= mg.
Учитывая, что откуда
q = —g— ; q
F — mg = 0, откуда F= mg.
Учитывая, что откуда
q = —g— ; q
吟樓匸 Кл= 9,8.10-Кл.吟樓匸 Кл= 9,8.10-Кл.F = qE н E = U/d, получаем qU/d = mg、
吟樓匸 Кл= 9,8.10-Кл.
吟樓匸 Кл= 9,8.10-Кл.
Электрон влетает в плоский воздушный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью 6- 107 м/с. Расстояние между пластинами 1 см, разность потенциалов 600 В. Найти отклонение электрона, вызванное полем конденсатора, если длина его пластины 5 см.
Дано: и = 6 • 107 м/с; d = 1 см = 10-2 м; U = 600 В;
/ = 5 см = 5« 10-2 м.
Л —?
Решение. На электрон, влетевший в электрическое поле, со стороны поля действует сила
尸=|е|Е,
где Е = U/d.
Рис. 128Рис. 128Поскольку напряженность электрического поля направлена вверх (рис. 128), сила, действующая на электрон, направлена вниз. Движение электрона можно рассматривать как суперпозицию двух независимых движений, происходящих в горизонтальном и вертикальном направлениях. В горизонтальном направлении электрон по-прежнему будет двигаться равномерно, так как в этом направлении на него не действуют никакие силы. Одновременно с этим под действием электрической силы он равноускоренно перемещается вниз. Траекторией движения будет парабола. Это движение электрона в конденсаторе подобно движению тела, брошенного горизонтально. За время движения в конденсаторе электрон пролетит
Рис. 128
Рис. 128
где а ——ускорение движения.
Решая совместно уравнения (1) и (2), находим
力=а/2/(2и2).(3)
Чтобы определить ускорение, применим уравнение второго закона Ньютона. Так как на электрон в вертикальном направлении действует только одна сила 尸(силой тяжести, действующей на электрон, пренебрегаем), то F = та, откуда а = F/т, или
а = \e\U/(dm),(4)
Подставляя выражение (4) в (3), получаем
,_ /2®и .— (б-Ю-^И.б-Ю-^.бОО〜
"；拉= 2.(6.10乎.. 10-31 M »
^ 3,65-10-3 м.
Два шарика с зарядами 6,7 и 13,3 нКл находятся на расстоянии 40 см друг от друга. Какую работу нужно совершить, чтобы сблизить их до расстояния 25 см?
Дано: qi = 6,7 нКл = 6,7-IO"9 Кл; q? = 13,3 нКл = 13,3-Ю~9 К』； 门=40 см = 0,4; г2 = 25 см = 0,25 м.
Рис. 129Рис. 129На расстоянии 50 см от поверхности шара радиусом 9 см, заряженного до потенциала 25 кВ, находится точечный заряд 10~8 Кл. Какую работу надо совершить для уменьшения расстояния между шаром и зарядом до 20 см?
Рис. 129
Рис. 129
Дано:八=50 см = 0,5 м; R = 9 см = 0,09 м;屮山=25 кВ = =25• 103 В; g = 10一8 Qi; /г = 20 см = 0,2 м.
Л - ?
Решение. Пусть заряд q перемещается из точки В в точку С в электрическом поле, созданном заряженным шаром (рис. 129). Работа по перемещению заряда в электрическом поле
4n = q (屮8 — q)c).(1)
Учитывая, что потенциалы поля, образованного заряженным шаром, в точках В и С срв = д" [4n£o£(R +/»] и <рс =夕山丿[4n£o£(R + /2)], перепишем выражение (1):
д J4山他——]=
эл 4ле0е(/?十 /1)4ле0е(/? + /2) J
_ 94m"2 -八) (2)
一 4门£o£(R十八)(R十 后•I丿
Потенциал точки на поверхности шара
中山=4n£。т，
откуда заряд шара
t/ш ==(рш • 4лЕ0е/?.(3)
Подставляя выражение (3) в (2), находим
Л _9中山 4jT£o£R«2 — L) __ n/2 —厶 .
эл — 4n£0£(R + h) (R + L2)「—夕代屮山(R 十厶)(R 十⑷，
人=Ю-«.9.1l・25・103(oq9+隱*%+。,?) Д* « ^ — 39,5 мкДж.
Знак минус означает, что электрическая сила препятствует перемещению заряда, т. е. направлена в сторону, противоположную движению. Для перемещения заряда к нему должна быть приложена внешняя сила, направлен-
ная по движению, работа которой Д == — Дэл. Следовательно, А — 39,5 мкДж.
Определить работу электрических сил по перемещению заряда 1 нКл из точки А в точку В и из точки С в точку Q, если 厂=6 см, а— 8 см, q\ = 3,33 нКл, ^2=—3,33 нКл (рис. 130).
Дано: q = 1 нКл = 10-9 К/, г = 6 см = 6-10-2 м; а = 8 см = =8-10" м; qi = 3,33 нКл = 3,33-10~ Кл； 柒=-3,33 нКл = - 3,33 • 10-9 Кл.
Л — ?
Решение. 1. Работа электрической силы по перемещению заряда q из точки А в точку В
(1)(1)Адв = q (фл ——屮в).
(1)
(1)
Здесь фд = фл, + 屮小=^i/ (4лЕ0еГ1) + 92/ (4лЕ0ег2) ； фв = =фв, +(рв2 = q"(4n£o£i2)+ ^2/ (4лЕ0ег!)— потенциалы поля, образованного зарядами q{ и ^2 в точках А и В, где 门=厂，「2 = л/户 + 标・ Подставим 屮力，срв,门 н 厂2 в уравнение (1):
"/8 - " [ ( 4ПЕ0ЕГ + 4ЛЕ0£7，2 + a2 )
_( q\ I 42= q(q* - 02乂V产十%2 -r).
\ 4ne0eV^2 + a 十 4ле0ег / J — 4леоегуг2 Ц- a2 ，
Адв =Адв =10-9(3,33・ 10-9 十 з,3з・ 10-9)
Адв =
Адв =
4.3,14・8,85・1(Г"1.б.1о-2 X
XX(寸(6. 10-2)2 + (8. 10-2)2 一 6.10-2)•7610-2)2 + (8 ・10-2 尸(寸(6. 10-2)2 + (8. 10-2)2 一 6.10-2)•7610-2)2 + (8 ・10-2 尸Дж ^ 8-10~7Дж ^ 8-10~7Дж.Дж.
X
X
(寸(6. 10-2)2 + (8. 10-2)2 一 6.10-2)
•7610-2)2 + (8 ・10-2 尸
(寸(6. 10-2)2 + (8. 10-2)2 一 6.10-2)
•7610-2)2 + (8 ・10-2 尸
Дж ^ 8-10~7
Дж ^ 8-10~7
Дж.
Дж.
ЛЕОеа/2 1 4ле0еа/2 /
Рис. 131Рис. 13114П80ё寸，2 +02/4- ' 4n£oN，2 + 出 74 2g (⑺ + 92)(W 十巒/4 - a/2)
Рис. 131
Рис. 131
4 л E0ea-Vf2 + аЧ^.
Так как q「一 q% то (t/i + б/2)= 0 и 4co = 0.
Какой скоростью обладает электрон, пролетевший ускоряющую разность потенциалов 200 В (рис. 131)?
Дано: U = 200 В.
V——？
Решение. На электрон в электрическом поле действует электрическая сила 尸=\е\ £, под действием которой он летит равноускоренно против направления вектора напряженности поля. При этом электрическая сила совершает работу по перемещению электрона, равную изменению кинетической энергии электрона:
А = А% =弘一Г ко.
Учитывая, что А = \е\ U, WK = mv2/2 и ^Ко = 0, получаем \e\U =加公/2, откуда
г / 2|е| иг / 2・1,6・10一9.200 м八6 /
U =〃 =-г^8,4.106м/с.
Шарик массой 1 г перемещается из точки 4, потенциал которой 600 В, в точку В, потенциал которой равен нулю. Определить скорость шарика в точке Л, если в точке В его скорость 20 см/с. Заряд шарика 10 нКл.
Дано: m = 1 г = IO— к「；屮］=600 В; (р2 = 0;
и = 20 см/с = 0,2 м/с; д=10 нКл = 10-8 Кл.
— ?
Решение. Шарик перемещается под действием электрической силы со стороны поля. При этом изменение кинетической энергии шарика равно работе электрической силы:
^WK = А(1)
Поскольку ДU7K = mu2/2 — m^o/2 и А =(y((pi —(р2), уравнение (1) можно привести к виду mu2/2 — mvo/2 = = 9(Р —屮2), откуда
vQ = ^1 v2 - 2g(o -屮2)/m；
Uo =V00—2 . 10-86о0. 103 m/е 0,17 м/е.
Шарик массой 40 мг, имеющий заряд 1 нКл, перемещается из бесконечности со скоростью 10 см/с. На ка кое минимальное расстояние может приблизиться шарик к точечному заряду, равному 1,33 нКл?
Дано: m = 40мг = 4• 10-5 кг; q* = 1 нКл = 10-9 Кл;
и = 10 см/с = 0,1 м/с; * = 1,33 нКл = 1,33-10-9 К〃.
Решение. На заряженный шарик при его движении в электрическом поле действует со стороны поля электрическая сила, работа которой равна изменению кинетической энергии шарика:
А% = А.
Так как 厶弘=WK —弘。=0 — mu2/2 = — mu2/2, A = =q\(q>oo — q)i) = ^i[0 — ^2(4лЕ0ег)] = — ^1^2/(4ле0£Г), то — mu2/2 = — gw?/(4冗£о"), откуда
_00._10-9.1,33.10-9〜
[= 2ле0ети2 ；[= 2.3,14.8,85. 10-2.4. 10-5.0」2 m «
^ 6-10-2 м.
401°. В поле, созданном заряженной сферой радиусом 10 см, движется электрон по радиусу между точками, находящимися на расстояниях 12 и 15 см от центра сферы. При этом скорость электрона изменяется от 2-105 до 2-106 м/с. Найти поверхностную плотность заряда сферы.
Дано: R = 10 см = 0,1 м; г\ — 12 см = 0,12 м; г2 = 15 см = 0,15 м;
У1 = 2-105 м/с; Уг = 2-106 м/с.
0 - ?
Решение. При движении электрона электрическое поле совершает работу, равную изменению его кинетической энергии:
Л = a% = % - Wi =登z ^" = y (vl — ^?).
(О
Иначе, электрическая сила со стороны поля, действующая на электрон при его движении в поле,
广=® Е,
где С = д/(4冗&0£户)——напряженность поля заряженной сферы. Отсюда видно, что электрическая сила зависит от расстояния г и изменяется при движении электрона в поле, поэтому ее работа
4 =、尸 cosadr, Г\
или, учитывая выражения для F н Е н принимая во внимание, что cos a = 1 и заряд сферы q = а4л/?2,
л j о4л/?2|е| dr
4 = J4леоег2~
Вынося постоянные величины за знак интеграла и производя операцию интегрирования, получаем
4 — a&lel f dr — aR2|e| eoe，产 еое
— aWlel (r2 一 n)
£o£“2•
Приравнивая правые части выражений (1) и (2), находим
m(质一状) _ aR2|e1 (「2 --)
2£oS，2'
откуда
—ео"|Г2m(凋—U?).
0 = 2川期c 一八)；
_ 8,85- IO"12-0,12-0,15-9,1 • 10~31 [(2-106)2 -(2-Ю5)2 Кл 〜
0 =2.0,l2. i,6.10-,9(0,15 - 0,12)弋
^ 5,96 нКл/м?.
Двум металлическим шарам разного радиуса сообщили одинаковые заряды. Будут ли переходить заряды с одного шара на другой, если их соединить проводником?
Отв. Поскольку потенциалы шаров различны [ф = =Q/ (4лЕ0е/?)], при соединении шаров заряд будет переходить с шара с большим потенциалом (меньший радиус) на шар с меньшим потенциалом (больший радиус) до тех пор, пока потенциалы шаров не примут одинаковое значение.
Упражнения
Две параллельные плоские пластины, находящиеся на расстоянии 10 см друг от друга, заряжены до разности потенциалов 1 кВ. Какая сила будет действовать на заряд 10~4 Кл, помещенный между пластинами?
Расстояние между зарядами 1 Кл и ——6,67 нКл равно 10 см. Какую работу надо совершить, чтобы перенести второй заряд в точку, находящуюся от первого заряда на расстоянии 1 м?
Материальная точка с зарядом 0,67 нК/, двигаясь в ускоряющем электрическом поле, приобретает кинетическую энергию 107 эВ. Найти разность потенциалов между начальной и конечной точками траектории частицы в поле, если ее начальная кинетическая энергия равна нулю.
При радиоактивном распаде из ядра атома полония вылетает а-частица со скоростью 1,6-107 м/с. Какую разность потенциалов надо приложить, чтобы сообщить а-частице такую же скорость?
Определить силу взаимного отталкивания двух шариков в воздухе, если каждый из них заряжен до потенциала 600 В. Диаметр каждого шарика 1 см, расстояние между центрами шариков 20 см.
Поле создано тонким стержнем, который согнут в полукольцо и равномерно заряжен с линейной плотностью 20 нКл/м. В центре полукольца помещен точечный заряд —— 1 нКл. Определить работу, которую надо совершить для перемещения заряда из центра полукольца в бесконечность.
В центре полого металлического шара радиусом 1 м с зарядом 3,34 нКл находится маленький шарик с зарядом 6,67 нКл. Определить потенциалы поля в точках, находящихся от центра шара на расстояниях 0,5; 1; 10 м.
В вершинах квадрата расположены точечные заряды 1,33; —0,66; 0,99; — 1,32 нКл. Определить потенциал поля в центре квадрата, если его диагональ равна 20 см.
Определить потенциал точки поля, созданного металлическим шаром с поверхностной плотностью заряда 10一" Кл/см2 и радиусом 1 см, если расстояние от этой точки до поверхности шара 9 см.
Электроемкость. Энергия заряженного проводникаи электростатического поля
Электрическая емкость проводника
С = Н
Электрическая емкость шара
С = 4jte£oR,
где R — радиус шара.
Электрическая емкость плоского конденсатора
厂 eeoS
где S ——площадь пластины конденсатора; d ——расстояние между пластинами.
Электроемкость батареи, состоящей из параллельно соединенных конденсаторов,
С = 2 G, i = 1
а из последовательно соединенных конденсаторов —
где Ci ——электроемкость отдельного конденсатора; и —— число конденсаторов в батарее.
Электрическая энергия заряженного проводника
取=^q屮= 4"e屮2.
Электрическая энергия заряженного конденсатора
W^~qU = ^CU2.
Энергия электростатического поля (однородного)
甲=^呪Ё炉匕
где V — объем, занимаемый полем.
Объемная плотность энергии поля
w = еое£2.
* * *
Металлический шар радиусом 5 см заряжен до потенциала 150 В. Найти потенциал и напряженность поля в точке Д, удаленной от поверхности шара на расстояние 10 см.
Дано: R = 5 см = 5・ IO""? м;中山=150 В; d = 10 см = 0,1 м.
Ф - ? Е — ?
Решение. Потенциал поля, образованного заряженным шаром в точке А (рис. 132),
(1)(1)Ф = q/(4n£o£r),
(1)
(1)
где q —— заряд шара,广= R + d ——расстояние от центра шара О до точки А.
Емкость шара
Сш = 4лЕ0е/?.(2)
Иначе, Сш =夕/屮山,откуда q = 4леое/?фш.Подставляя выражение (3) 4ле0е/?Фш R ф = = — фш =■ 4леоег г тИначе, Сш =夕/屮山,откуда q = 4леое/?фш.Подставляя выражение (3) 4ле0е/?Фш R ф = = — фш =■ 4леоег г тq = Сш(рш, или с учетом (2) (3) в (1), находимR + d師q = Сш(рш, или с учетом (2) (3) в (1), находимR + d師
Иначе, Сш =夕/屮山,откуда q = 4леое/?фш.
Подставляя выражение (3) 4ле0е/?Фш R ф = = — фш =
■ 4леоег г т
Иначе, Сш =夕/屮山,откуда q = 4леое/?фш.
Подставляя выражение (3) 4ле0е/?Фш R ф = = — фш =
■ 4леоег г т
q = Сш(рш, или с учетом (2) (3) в (1), находим
R + d師
q = Сш(рш, или с учетом (2) (3) в (1), находим
R + d師
『371^Т・15°В=5О В.
Напряженность поля, образованного заряженным шаром в точке 4,
£ =9_
4ле0ег2 *
или с учетом выражения (3)
4ле0е/?фш RR .
Е =Е =Е =Е =4ле0е?=了屮山=(R +疔中"； (55^
Е =
Е =
Е =
Е =
Два шара, радиусы которых 5 и 8 см, а потенциалы соответственно 120 и 50 В, соединяют проводом. Найти потенциалы шаров после их соединения и заряд, перешедший с одного шара на другой.
Дано: Ri = 5 см = 5• 10-2 м; /?2 = 8 см = 8• 10-2 м; <р】=120 В;敞= =50 В.
Ф — ? Ад — ?
Решение. Зная радиусы шаров, запишем выражения для их емкостей: Ci = 4reoeRi и Сг = 4лЕ0е/?2. Тогда заряды каждого шара до их соединения соответственно равны
qi = С1ф1 = 4лЕ0е/?1ф1 н д? = С2Ф2 = 4лЕое/?2ф2-(1)
Общий заряд шаров до их соединения
q\ +^2 = 4лЕ0е/?|ф1 +4л£0Е/?2ф2= 4лЕОе(/?1ф1 +
+ R2 屮 2)・(2)
После соединения шаров между ними произойдет перераспределение зарядов: часть заряда с шара с большим потенциалом перейдет на шар с меньшим потенциалом, в результате чего потенциалы шаров станут одинаковыми и равными <р. Следовательно, после соединения шаров выражения (1) и (2) примут вид
q\ = 4лЕОе/?1(р, ^2 = 4лЕ0е/?2<р,
4〔 + % = 4n£o&Ri 屮 + 4n£о£/?2 屮=
=4n&o£(Ri + 火2)屮.(3)
Но при соединении шаров между собой их общий заряд не изменяется; следовательно, д】｝ g? = qf + дб, или с учетом формул (2) и (3)
4лЕ0£(/?1ф1 + R2屮2)= 4n£o£(R1 + /?2)(р,
откуда
cpiRi +(P2R2120• 5• 10—2 + 50*8• 10-2 口п
屮=一元■7応一；ф = -口0-— в。77 B.
Зная ф, находим заряд, перешедший с одного шара на другой:
Nq = q \ — q〈 = 4ne08/?iq)i — 4лЕ0е/?1(р =
=4ле0£/?1(Ф1 — Ф)；
^q = 4.3,14-8,85.10-12-Ь5-10-2(120 - 77) Кл =
=2,4 • 10-。кл.
Три заряженные водяные капли радиусом 1 мм каждая сливаются в одну большую каплю. Найти потенциал большой капли, если заряд малой 10-10 Кл.
Дано: n = 3; г = 1 мм = 10-3 м; g = 10_,° Кл.
Ф — ?
Решение. Потенциал большой капли
<P=Q/C,(1)
где Q =的，С = 4лЕ0е/?.
Радиус R большой капли найдем из закона сохранения массы:
М = пт,(2)
где m = pV = 4/зр冗厂з — масса маленькой капли; М = =pVi = 7зрл/?3 ——масса большой капли. С учетом этих выражений равенство_(2) можно привести к виду R3 = =nr3, откуда R = r\jn . Подставляя выражения для Q, С и /? в уравнение (1), получаем
— nq .
①一4门80e为市"'
中=4.3,14.8,85二》.1.10-3呵 8，87 kB.
Площадь пластины плоского воздушного конденсатора 60 см?, заряд конденсатора 1 нКл, разность потенциалов между его пластинами 90 В. Определить расстояние между пластинами конденсатора.
Дано: S = 60 см2 = 6-10~3 м2; q = 1 нКл == 10-9 Кл; U = 90 В.
Решение. Емкость плоского конденсатора
С = EoeS/d или С = q/U.
Приравнивая правые выражения, получаем eo&S/d = =q/U, откуда
/USsoE /90・6・ 10-3.8 85.10-2. [3
d =—广;d =io』" м ^ 4,8 ・ 10 § м.
Пластины плоского конденсатора изолированы друг от друга слоем диэлектрика. Конденсатор заряжен до разности потенциалов 1 кВ и отключен от источника напряжения. Определить диэлектрическую проницаемость диэлектрика» если при его удалении разность потенциалов между пластинами конденсатора возрастает до 3 кВ.
Дано: Ui = 1 кВ = 103 В;厶=3 кВ = З-Ю3 В.
Решение. Так как конденсатор отключен от источника напряжения, то его заряд в обоих случаях будет одинаков: 外=夕2・ Принимая во внимание, что qi = U\С\ и q? = U2c2, находим UC = U2c2, откуда
⑴⑴62/t/i = &/&•
⑴
⑴
⑵⑵Учитывая, что для плоского конденсатора Ci = z^S/d и Сг = g2&oS/d, получаем
⑵
⑵
&/e2 = 81/£2.
Сравнивая выражения (1) и (2), находим U2/U\ = £i/&2, откуда
Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого 5 см, заряжен до 200 В и отключен от источника напряжения. Каким будет напряжение на конденсаторе, если его пластины раздвинуть до расстояния 10 см?
Дано:力=5 см = 5・ 10~2 м; Ui = 200 В; d? = 10 см = 0,1 м.
Решение. Емкость конденсатора и напряжение на нем соответственно равны
еое5еое5(1)
еое5
еое5
до раздвижения пластин;
⑵⑵Qd2
⑵
⑵
8qES
после раздвижения пластин.
Мы учли, что при раздвижении пластин заряд конденсатора не изменяется, так как конденсатор отключен от источника напряжения. Почленно разделив выражение (1) на (2), найдем U{/U2 = djd?, откуда
U?=字 Ui； U2 = В = 400 В.
Расстояние между пластинами плоского воздушного конденсатора, присоединенного к источнику напря- 216
жения с ЭДС 180 В равно 5 мм. Площадь пластин конденсатора 175 см. Найти работу по раздвижению пластин до расстояния 12 мм в двух случаях: 1) конденсатор перед раздвижением пластин отключен от источника; 2) конденсатор в процессе раздвижения пластин все время соединен с источником.
Дано:(Г = 180 В; di = 5 мм = 5-10—3 м; d? = 12 мм = =12И0- м; S = 175 см2 = 1,75-10~2 м2.
Иначе, полная работа равна изменению энергии конденсатора
/ = AU7= % - Гь(3)
Приравнивая выражения (2) и (3), находим Дг — Лист = =必2 —取i, откуда
Л 2 = W2 —刃 1 + Лист.(4)
Здесь Wi = С\£2/2 и W2= С» 呼[2 — энергия конденсатора до и после раздвижения пластин. Подставляя выражения для Лист, Wi и W2 в формулу (4), находим
a2 = Q”/2 - &赞/2 + 召(&号一e26)= =(&一02)&2/2,
или, учитывая, что Ci = eoeS/di и C2 = eeS/d?,
_ & / eo£S eoeS、— e0ES 夕@ - &).
=dT) =2d®2；
4 =4 =8,85・ 10-,2.l • 1,75・ 10一2・ 18O2(I2・ 10-3—5. ]()-з)2・5・ ICT、12. io—
4 =
4 =
=293 нДж.
Три конденсатора емкостями 1, 2 и 3 мкФ соединены последовательно и присоединены к источнику напряжения с разностью потенциалов 220 В. Каковы заряд и напряжение на каждом конденсаторе?
3白曲3白曲啡啡Дано: Ci = 1 мкФ = 10~6 Ф; Сг = 2 мкФ = 2« 10~6 Ф; Сз = 4 мкФ = З-Ю'6 ①；U = 220 В.
3白曲
3白曲
啡
啡
ф! = ф2 = q/C| = U|, ф2 — фз =夕/。2 =。2,
Фз — ф4 = q/Сз = 〃з・
Складывая почленно эти равенства, получаем
Ф1 — ф4 = q(l/& + I/C2 + 1/Сз),
откуда, учитывая, что 屮丨 ——屮4 = U ——напряжение источника, находим
UUq = 1/& + 1/С2+ 1/Сз；q = 1/& + 1/С2+ 1/Сз；
U
U
q = 1/& + 1/С2+ 1/Сз；
q = 1/& + 1/С2+ 1/Сз；
q =q =2201/10~б 4- 1/(2-10~6) 4- 1/(3- 10~6)2201/10~б 4- 1/(2-10~6) 4- 1/(3- 10~6)Кл = 12.10-6Кл = 12.10-6Тогда напряжения на конденсаторах:Тогда напряжения на конденсаторах:
q =
q =
220
1/10~б 4- 1/(2-10~6) 4- 1/(3- 10~6)
220
1/10~б 4- 1/(2-10~6) 4- 1/(3- 10~6)
Кл = 12.10-6
Кл = 12.10-6
Тогда напряжения на конденсаторах:
Тогда напряжения на конденсаторах:
Ui =六；Ui = u2 =号；u2 = a = -4-； a =Ui =六；Ui = u2 =号；u2 = a = -4-； a =12-IO"312-IO"3IO"*IO"*В —В —120 В;120 В;12. Ю-3 口 公с пNTL В = 6° В；12. Ю-3 口 公с пNTL В = 6° В；12-10"3З-Ю"612-10"3З-Ю"6В = 40В = 40В.В.
Ui =六；Ui = u2 =号；u2 = a = -4-； a =
Ui =六；Ui = u2 =号；u2 = a = -4-； a =
12-IO"3
12-IO"3
IO"*
IO"*
В —
В —
120 В;
120 В;
12. Ю-3 口 公с п
NTL В = 6° В；
12. Ю-3 口 公с п
NTL В = 6° В；
12-10"3
З-Ю"6
12-10"3
З-Ю"6
В = 40
В = 40
В.
В.
Таким образом, при последовательном соединении конденсаторы разной емкости находятся под разным напряжением. Чем меньше емкость, тем больше напряжение на обкладках конденсатора.
Между клеммами А и В включены конденсаторы емкостями 2 и 1 мкФ (рис. 134, а). Вычислить емкость системы.
Дано: Ci = 2 мкФ = 2« 10~6 Ф; С2 = 1 мкФ = 10~6 Ф.
Рис. 134Рис. 134
Рис. 134
Рис. 134
Заменим участок цепи между точками D и Е эквивалентной ему емкостью Cde (рис. 134,6). Теперь искомая емкость С равна сумме емкостей двух параллельных ветвей, в одну из которых включен конденсатор емкостью Сг, а в другую ——последовательно три конденсатора емкостями Cde и &. Тогда С = & + С", где С" находим из условия
⑵⑵F = 3" + Cde 十 3" =+ Cde
⑵
⑵
Преобразуем выражение (2) с помощью уравнения (1):
12)3— 6& + 5&
▼ = g-十 3Q + & = &(302 + &)'
откудаоткудаС1(ЗС2 4- Cl)6& + 5& .С1(ЗС2 4- Cl)6& + 5& .
откуда
откуда
С1(ЗС2 4- Cl)6& + 5& .
С1(ЗС2 4- Cl)6& + 5& .
Следовательно, полная емкость всей системы
С = G +С = G +G (3& + 5).6& 十 5C J 'G (3& + 5).6& 十 5C J '
С = G +
С = G +
G (3& + 5).
6& 十 5C J '
G (3& + 5).
6& 十 5C J '
С =С =1,62 мкФ.1,62 мкФ.6.2・ 10-6.(з ют + 2・1у~б)
С =
С =
1,62 мкФ.
1,62 мкФ.
■»6-10-6 + 5-2-10~й
Лейденская банка емкостью 3,3 нФ заряжена до разности потенциалов 20 кВ. Предполагая, что при разряде банки 10% ее энергии рассеивается в виде звуковых и электромагнитных волн, определить количество выделившейся теплоты.
Дано: С = 3,3 нФ = 3,3-10~9 Ф; U = 20 кВ = 2・ IO’ в；
/ = 0,1 К.
Q-?
Решение. Электрическая энергия заряженной банки
⑴⑴W=CU2/2.
⑴
⑴
Энергия Wf = O,\W теряется на излучение. Следовательно, количество выделившейся теплоты
Q=取一0,1取=0,9取，
или с учетом формулы (1)
сCW с 0,9・3,3・10-9(2・ 104)2
Q = 0,9~^~; Q =^^-Джп0,6 Дж.
Конденсатор емкостью 1 мФ при напряжении 1200 В применяют для импульсной стыковой сварки медной проволоки. Найти среднюю полезную мощность разряда, если он длится с. КПД установки 4%.
Дано: С= 1 мФ= IO-3 Ф; t/=l,2.103B; /=10-6с; т)= 0,04.
〈m〉一 ？
Решение. Средняя мощность разряда
〈2〉=/〃，
где / = А 取=% — W\ = С。?/? 一 о = с 炉".Следовательно,
〈N〉= CU2/(2f).
Средняя полезная мощность
〈M〉= "〈N〉= n-^-；
〈М〉=。。4•喝炉皿 вт = 28,8 МВт.
Металлический шар радиусом 3 см имеет заряд 2・ 10~8 Кл. Шар погружен в керосин так, что не касается стенок сосуда. Определить объемную плотность энергии поля в точках, отстоящих от центра шара на расстоянии 2 и 4 см.
Дано: А = 3 см = 3・ КП? м; q — 2* 10-8 Кл; ri = 2• 10-2 м; г2 = =4 • 10-2 м; е = 2.
Решение. Объемная плотность энергии W = £о£ 炉/2.
Точка, находящаяся на расстоянии Г\ от центра заряженного шара, расположена внутри шара, где напряженность Е\ поля равна нулю, поэтому в этой точке wi = 0.
Для точки, отстоящей от центра шара на расстоянии 「2, объемная плотность энергии
W2 = ^E2/2,
где £*2 — напряженность поля в этой точке.
Так как e2 =g/(4ЛЕ0£/^), tо
2 \ 4лео£Г2 / '32л2Ео6Г2 *
(2・ 10书2Дж3
①2 =；— -—«0,056 Дж/м .
32-3,142.8,85.10-l<2-(4-10~2)4 м3/
Пластины плоского воздушного заряженного конденсатора притягиваются с силой F. Изменится ли эта сила, если ввести в воздушный зазор между пластинами конденсатора пластинку из диэлектрика?
Отв. Вводя пластинку из диэлектрика, мы ослабляем напряженность поля в пространстве, занятом диэлектриком, но не изменяем напряженности поля в зазорах между диэлектриком и пластинами конденсатора. Поэтому сила притяжения 尸 между пластинами не изменится.
Упражнения
Конденсатор состоит из трех полосок станиоля площадью 10 см2 каждая, разделенных слоями слюды толщиной 0,5 мм. Крайние полоски станиоля соединены между собой. Определить емкость конденсатора.
Воздушный конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом 10 см. Расстояние между пластинами 1 см, разность потенциалов 120 В. Определить заряд конденсатора.
Конденсатор, заряженный до напряжения 100 В, соединяется параллельно с конденсатором такой же емкости, но заряженным до напряжения 200 В. Какое напряжение установится между обкладками?
Три конденсатора емкостями 2, 4 и 6 пФ соединены параллельно и подключены к источнику с напряжением 1 кВ. Найти заряды на конденсаторах.
Батарея из двух последовательно соединенных лейденских банок емкостями 300 и 500 пФ заряжена до напряжения 12 кВ. Определить напряжение и заряд на обкладках первой и второй банок.
Шар радиусом 25 см заряжен до потенциала
600 В. Какое количество теплоты выделится в проводим ке, если шар соединить этим проводником с землей?
Найти объемную плотность энергии электростати ческого поля в точке на расстоянии 2 см от поверхности заряженного шара радиусом 1 см. Поверхностная плот ность заряда шара 16,5 мкКл/м2. Диэлектрическая проницаемость среды равна двум.
Вопросы для повторения
1. Сформулируйте закон Кулона. 2. Объясните физический смысл относительной диэлектрической проницаемости. 3. Что называется напряженностью электрического поля? 4. Напишите формулы для расчета напряженности поля точечного заряда, заряженной сферы, бесконечной заряженной плоскости, плоского конденсатора. 5. Сформулируйте принцип суперпозиции электрических полей.6. Что называют разностью потенциалов? 7. Чему равна работа по перемещению заряда в электростатическом поле? 8. Напишите формулы для расчета потенциала поля, образованного точечным зарядом и заря1. Сформулируйте закон Кулона. 2. Объясните физический смысл относительной диэлектрической проницаемости. 3. Что называется напряженностью электрического поля? 4. Напишите формулы для расчета напряженности поля точечного заряда, заряженной сферы, бесконечной заряженной плоскости, плоского конденсатора. 5. Сформулируйте принцип суперпозиции электрических полей.6. Что называют разностью потенциалов? 7. Чему равна работа по перемещению заряда в электростатическом поле? 8. Напишите формулы для расчета потенциала поля, образованного точечным зарядом и заряженной сферой. 9. Как связаны между собой напряженность поля и разность потенциалов для однородного электростатического поля? 10. Что называют электроемкостью? 11. Напишите формулы для расчета электроемкости шара и плоского конденсатора. 12. Чему равна электроемкость батареи конденсаторов при последовательном и параллельном их соединении? 13. Напишите формулы для расчета энергии заряженного конденсатора. 14. Чему равна объемная плотность энергии электростатического поля? 15. Назовите единицы заряда, напряженности электрического поля, потенциала.женной сферой. 9. Как связаны между собой напряженность поля и разность потенциалов для однородного электростатического поля? 10. Что называют электроемкостью? 11. Напишите формулы для расчета электроемкости шара и плоского конденсатора. 12. Чему равна электроемкость батареи конденсаторов при последовательном и параллельном их соединении? 13. Напишите формулы для расчета энергии заряженного конденсатора. 14. Чему равна объемная плотность энергии электростатического поля? 15. Назовите единицы заряда, напряженности электрического поля, потенциала.
1. Сформулируйте закон Кулона. 2. Объясните физический смысл относительной диэлектрической проницаемости. 3. Что называется напряженностью электрического поля? 4. Напишите формулы для расчета напряженности поля точечного заряда, заряженной сферы, бесконечной заряженной плоскости, плоского конденсатора. 5. Сформулируйте принцип суперпозиции электрических полей.
6. Что называют разностью потенциалов? 7. Чему равна работа по перемещению заряда в электростатическом поле? 8. Напишите формулы для расчета потенциала поля, образованного точечным зарядом и заря
1. Сформулируйте закон Кулона. 2. Объясните физический смысл относительной диэлектрической проницаемости. 3. Что называется напряженностью электрического поля? 4. Напишите формулы для расчета напряженности поля точечного заряда, заряженной сферы, бесконечной заряженной плоскости, плоского конденсатора. 5. Сформулируйте принцип суперпозиции электрических полей.
6. Что называют разностью потенциалов? 7. Чему равна работа по перемещению заряда в электростатическом поле? 8. Напишите формулы для расчета потенциала поля, образованного точечным зарядом и заря
женной сферой. 9. Как связаны между собой напряженность поля и разность потенциалов для однородного электростатического поля? 10. Что называют электроемкостью? 11. Напишите формулы для расчета электроемкости шара и плоского конденсатора. 12. Чему равна электроемкость батареи конденсаторов при последовательном и параллельном их соединении? 13. Напишите формулы для расчета энергии заряженного конденсатора. 14. Чему равна объемная плотность энергии электростатического поля? 15. Назовите единицы заряда, напряженности электрического поля, потенциала.
женной сферой. 9. Как связаны между собой напряженность поля и разность потенциалов для однородного электростатического поля? 10. Что называют электроемкостью? 11. Напишите формулы для расчета электроемкости шара и плоского конденсатора. 12. Чему равна электроемкость батареи конденсаторов при последовательном и параллельном их соединении? 13. Напишите формулы для расчета энергии заряженного конденсатора. 14. Чему равна объемная плотность энергии электростатического поля? 15. Назовите единицы заряда, напряженности электрического поля, потенциала.
§ 2. ПОСТОЯННЫЙ ток
Ток в металлах
Ток в металлах обусловлен движением свободных электронов внутри проводника. Количество электричества «, протекающее через поперечное сечение проводника в 1 с, называется силой тока:
Плотность тока задается выражением
где S ——площадь поперечного сечения проводника, пер« пендикулярная направлению тока.
Закон Ома для участка цепи
где U ——напряжение на данном участке цепи; R ——сопротивление данного участка цепи.
Для однородного проводника
R = pI
где / — длина проводника; S — площадь поперечного сечения проводника; р ——удельное сопротивление проводника.
Зависимость удельного сопротивления металлического проводника от температуры
Р — ро( 1 +аАГ),
где р0 ——удельное сопротивление проводника при температуре 273 К； а ——термический коэффициент сопротивления; NT = Т — Т q ——изменение температуры проводника.
При последовательном соединении проводников общее сопротивление равно сумме сопротивлений отдельных проводников:
R = 2凡・ i = 1
При параллельном соединении проводников обратная величина полного сопротивления равна сумме обратных величин сопротивлений отдельных проводников:
где R ——сопротивление отдельного проводника; и —— число проводников на данном участке цепи.
Закон Ома для замкнутой цепи
где 百——электродвижущая сила источника (ЭДС); R —— сопротивление внешнего участка цепи; г ——сопротивление внутреннего участка цепи.
Напряжение U на участке, содержащем ЭДС, U = &±/Rn,
zz刃刃a)a)
z
z
刃
刃
a)
a)
Рис. 135
где Rn ——полное сопротивление участка цепи. Знак 《——》 берут тогда, когда ток внутри источника течет от отрицательного полюса к положительному (рис. 135, а), знак 《+》——когда ток внутри источника течет от положительного полюса к отрицательному (рис. 135, б).
При последовательном соединении источников их общая ЭДС и общее внутреннее сопротивление могут быть найдены из соотношений
&= 2 吕，厂=£ i = 1 / = 1
При параллельном соединении источников эти величины могут быть найдены из соотношений
где ¥,——ЭДС отдельного источника; & ——внутреннее сопротивление отдельного источника.
Для расчета разветвленных цепей удобно пользоваться правилами Кирхгофа.
Первое правило. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:
£ 厶=。， i= 1
где п ——число неизвестных токов.
Направления токов выбираются произвольно с учетом того, чтобы в алгебраическую сумму входили как положительные, так и отрицательные токи. Токи, подходящие к узлу, считают положительными, токи, отходящие от узла,——отрицательными.
Если в схеме содержится N узлов, то по первому правилу Кирхгофа можно составить N —1 независимых уравнений.
Второе правило. В любом произвольно вы-
бранном замкнутом контуре разветвленной цепи алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках контура равна алгебраической сумме ЭДС, встречающихся при обходе этого контура:
e/典•=工叁.
Направление обхода контура выбирается по часовой стрелке или против часовой стрелки. Тогда произведение hRi считается положительным, если направление тока 厶 совпадает с выбранным направлением обхода контура. ЭДС считается положительной, если она повышает потенциал в направлении обхода контура.
По второму правилу Кирхгофа можно составить п — —(^— 1) уравнений, где п ——число неизвестных токов, ^ — число узлов в схеме.
***
Найти сопротивление между точками А и D (рис. 136, а), если каждое из трех сопротивлений равно 1 Ом (сопротивлением соединительных проводов пренебречь) .
Дано: R = 1 Ом; и = 3.
Решение. Так как точки Д и С, а также точки В и D соединены проводниками, сопротивление которых мы не учитываем, то схему а можно заменить эквивалентной схемой б. Из нее видно, что сопротивление между точками Д и D можно вычислить по формуле для параллельного соединения проводников
1 1 . I . 1 и
откуда
Rad = R/n\ Rad = 1 /3 Ом ^ 0,33 Ом.
Рис. 137
Найти полное сопротивление электрической цепи (рис. 137), если внутреннее сопротивление источника 1 Ом, а сопротивления других участков цепи соответственно равны 4, 3, 12 и 6 Ом.
Дано: г = 1 Ом; /?1 = 4 Ом; /?2 = 3 Ом; /?3 — 12 Ом; & = 6Ом.
R 一 ?
Решение. На схеме (рис. 137, а) сопротивления Ri и /?з соединены параллельно, поэтому схему можно начертить иначе, совместив точки А и В (рис. 137, б). Теперь легче подсчитать общее сопротивление цепи. Сопротивления R】и Кз соединены параллельно. Обозначим их общее сопротивление Тогда
R — & 十 &， откуда
nr 一 R*Rb
Сопротивления R‘ и R2 соединены последовательно. Обозначим их общее сопротивление /?〃. Тогда
R〃=R，+ R2=^^ + R2.(1)
Теперь найдем общее сопротивление R"' параллельных участков с сопротивлениями R〃 и 火4： >^-=-^- + 十, ил% учитывая выражение (1),备=百/瓜+冗)工冗 + + откуда
⑵⑵—R$(R 1R3 + R1 Rz + R2R3)
⑵
⑵
&R4 + R3& + R1R3 + R1R2 + R2R3
Наконец, найдем общее сопротивление всей цепи: R = = r + R'〃, или, учитывая выражение (2),
/?4(8Кз + R1R2 + R2R3)R& + R3R4 + R1R3 + R1R2 + R2R3
R =1 + 4.淄骷毋冷运Ом = 4 Ом.
Найти силу тока, получаемую от батареи с ЭДС 6 В, если сопротивления различных участков соответственно равны 2, 6, 3 и 1,5 Ом. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь (рис. 138).
Дано: &=6 В; &=2Ом; /?2 = 6Ом; & = ЗОм; /?4 = 1,5 Ом.
Решение. Сопротивления Ri и /?2 соединены параллельно. Обозначим R их общее сопротивление. Тогда
1/R=1/R + 1/R2,
откуда
⑴⑴R = R/?2/(R + R2).
⑴
⑴
Контур АВС последовательно соединен с сопротивлением /?4. Следовательно, полное сопротивление этой части схемы R' = R + R4, или с учетом (1)
⑵⑵п/— RiRz 丄々—Ri8 + &(& + &)
⑵
⑵
Часть схемы ABCDЧасть схемы ABCDсоединена параллельно с сопротив
Часть схемы ABCD
Часть схемы ABCD
лением /?з・ Тогда полное сопротивление цепи найдем из условия 1/R〃= 1/R+1/Кз, или, учиты-
валПа+ &(& + &) 十
+ 石，откуда
R1R3 + R2R3 + R1R2 + R4R1 + R4R2 *
(3)
Силу тока, потребляемую от батареи, найдем из закона Ома для замкнутой цепи:
или с учетом (3)
/—&(R1R3 + R2R3 + R1R2 + R4R1 + R4R2).
=瓜(/?出2 + && + /?2%)；
6(2・3 + 6・3 + 2・6+l,5・2+l,5・6) a д
—3(2・6 + 2・l,5 + 6・l,5)
** Эту задачу можно было решить, пользуясь правилами Кирхгофа. Предлагаем убедиться в этом самим читателям.
435°. При какой постоянной силе тока через поперечное сечение проводника пройдет заряд 50 Кл за промежуток времени от 5 до 10 с от момента включения тока? Какой заряд пройдет через поперечное сечение проводника за то же время, если сила тока в проводнике изменяется со временем по закону /=6十3£?
Дано: Ад=50К〃；厶=5 с; /2 = Ю с.
/ — ? ,2 ?
Решение. Если сила тока постоянна, то
/ = Agi/A/,
где А/ = /2 —九・ Тогда
/ = ^А=1。А.
Если сила тока изменяется со временем, то заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за тот же промежуток времени,
^2 = 5 /d/= \ (6 + 3f)df = \ 6df + \ З/d/ =
=(б"+т^ l^=6/2+-|-/1—6/1—^-许.
По проводнику с площадью сечения 50 мм2 течет ток. Средняя скорость дрейфа свободных электронов
/~к衣 0,282 мм/с, а их концентрация
V < ・g^~7,9-1027 м~з. Найти силу тока
^2* и плотность тока в проводнике.
«/ ZJДано: S = 50 мм2 = 5« 10-5 м2;
〈и〉=0,282 мм/с = 2,82 X
X Ю-4 м/с; 〃 = 7,9・1027 м-з.
Рис. 139
/ - ? / — ?
Решение. Выделим в проводнике участок длиной А/ и площадью сечения S (рис. 139). За промежуток времени А/ через сечение проводника протечет заряд
Д^ = пеД V,
где 九 ——концентрация свободных электронов; е ——заряд электрона; AV=SA/ ——объем выделенного участка проводника. По определению, /=Ад/А/, или с учетом Ад и
l = neSM/\t.(1)
Замечая, что, согласно определению, А//А/= 〈и〉 — средняя скорость дрейфа свободных электронов, перепишем (1) в виде
1= neS〈и〉；
/ = 7,9・ IO?’. 1,6・ КГ® 5. ют.2,82・ IO— А^17,8 А.
Тогда плотность тока
j = 3 j = y^l^r=3,56・105 А/м2.
Цепь, имеющая сопротивление 100 Ом, питается от источника постоянного напряжения. Амперметр с внутренним сопротивлением 1 Ом, включенный в цепь, показал силу тока 5 А. Какова была сила тока в цепи до включения амперметра?
Дано: R = 100 Ом; &= 1 Ом; / = 5 А.
/о — ?
Решение. До включения амперметра по закону Ома для участка цепи сила тока была равна
/o=U/R・(1)
После включения амперметра сила тока стала равна
/=U/(R + Ro).(2)
Решая совместно уравнения (1) и (2), находим
/广屮/； /° = £^A = 5,05 А.
Элемент с ЭДС 2,1 В и внутренним сопротивлением 0,2 Ом соединен с реостатом. Определить силу тока в цепи и сопротивление реостата, если напряжение на зажимах элемента 2 В. Какой длины надо взять для изготовления реостата железную проволоку, если площадь ее сечения 0,75 мм2?
Дано: S=2,I В; г = 0,2 Ом; U = 2B; S=0,75 мм2 = 7,5.10-7 м2.
/一 ？ R -? /一 ？
⑴⑴Решение. По закону Ома для замкнутой цепи, сила тока
⑴
⑴
/=^/(R +「)・
Иначе, по закону Ома для участка цепи, состоящего из реостата (рис. 140), та же сила тока равна
⑵⑵/=〃//?•
⑵
⑵
Решая совместно (1) и (2), получаем:
力 Ur .
R=W-U、
/? = "^^~Ом = 4 Ом; / = -~ , / = -~ А= 0,5 А.
Так как R = p//S, то длина железной проволоки
Гальванический элемент с ЭДС 1,5 В и внутренним сопротивлением 1 Ом замкнут на внешнее сопротивление 4 Ом. Найти силу тока в цепи, падение напряжения во внутренней части цепи и напряжение на зажимах элемента.
Дано: ^=1,5 В; r= 1 Ом; R = 4 Ом.
/ — ? UI — ? U 2 — ?
Решение. Силу тока найдем из закона Ома для замкнутой цепи:
/= R，； / = T^fA = 0,3 А.
Падение напряжения во внутренней части цепи
[Д = 〃； Ui = 0,3・l В = 0,3 В.
Напряжение на зажимах элемента меньше ЭДС на величину падения напряжения во внутренней части цепи; следовательно,
“=£一〃； / = (1,5 — 0,3) В=1,2 В.
Внутреннее сопротивление г элемента в k раз меньше внешнего сопротивления R, которым замкнут элемент с ЭДС S. Найти, во сколько раз напряжение U на зажимах элемента отличается от ЭДС.
Дано: R〃= /г; 8.
и/ 8— ?甘
Решение. По закону Ома для замкнутой цепи,
/ = &/(/? +「).(1)
⑵⑵⑵⑵Так как напряжение на зажимах элемента меньше ЭДС на падение напряжения во внутреннем участке цепи, то U=g —〃，или с учетом (1)
⑵
⑵
⑵
⑵
По условию задачи, R/r=左，или r/R= 1 /k. Тогда можно привести к виду U =({] д~ = “工丁 8, откуда
U k
Из уравнения (2) видно, что если внешнее сопротивление велико по сравнению с внутренним, то r/R становится малым по сравнению с единицей и значение напряжения приближается к значению ЭДС.
Реостат из железной проволоки, миллиамперметр и источник ЭДС включены последовательно. При темпе-
IIратуре 0℃ сопротивление реостата 200 Ом, а сопротивление миллиамперметра 20 Ом. Миллиамперметр показывает 30 мА. Каким будет показание миллиамперметра, если реостат нагреется до 50℃? Внутренним сопротивлением источника пренебречь (рис. 141).
I
I
⑴⑴⑵⑵Здесь R = Ro(l+必7), ДГ= Г— Го, где а——термическийЗдесь R = Ro(l+必7), ДГ= Г— Го, где а——термическийкоэффициент сопротивления тивления миллиамперметра вместно уравнения (1), (2), г — /o(Ro + Ra) .%[1+好一70)]+凡'коэффициент сопротивления тивления миллиамперметра вместно уравнения (1), (2), г — /o(Ro + Ra) .%[1+好一70)]+凡'железа. Изменением сопро- пренебрегаем. Решая со- получаемжелеза. Изменением сопро- пренебрегаем. Решая со- получаем
⑴
⑴
⑵
⑵
Здесь R = Ro(l+必7), ДГ= Г— Го, где а——термический
Здесь R = Ro(l+必7), ДГ= Г— Го, где а——термический
коэффициент сопротивления тивления миллиамперметра вместно уравнения (1), (2), г — /o(Ro + Ra) .
%[1+好一70)]+凡'
коэффициент сопротивления тивления миллиамперметра вместно уравнения (1), (2), г — /o(Ro + Ra) .
%[1+好一70)]+凡'
железа. Изменением сопро- пренебрегаем. Решая со- получаем
железа. Изменением сопро- пренебрегаем. Решая со- получаем
Дано: То = 273 К, Ro = 200 Ом, Ra = 20 Ом, /о = 30 мА = =3- 10-2 А, 7 = 323 К
Решение. До нагревания реостата сила тока, по закону Ома для замкнутой цепи, равна
h — S/{Rq + Ra).
После нагревания реостата 1=&KR*R^
а.
Вычислить ЭДС и внутреннее сопротивление батареи, состоящей из трех источников ЭДС (рис. 142), если ЭДС источников соответственно равны 10, 20 и 30 В, а их внутренние сопротивления равны 1 Ом.
Дано: £| = 10 В; & = 20 В;6з = 30 В; ri = Г2 — гз — г = 10 Ом.
Решение. В задаче дано смешанное соединение источников. Если считать ЭДС £2 и £3 положительными, тогда ЭДС £i будет отрицательной. Найдем общее сопротивление f и общую ЭДС для участка ВС, состоящего из параллельно соединенных источников 8\ и £2：
丄=丄 +丄 =2 贵=质 +也
//^ I 「2 r'产 门丁r2r '
откуда
/=手；£"=
L(& +&) £1+62 г= ~2~
Теперь найдем общую ЭДС 6 и общее
сопротивление R всей батареи, подключенной между точками А и D:
£=£，+ & = А^А + 6з； 6 = -=^^-В+ 30 В = 35 в；
r=rz + г3 = у + гз = у + г = уг,厂=1,5 Ом.
Найти ЭДС и внутреннее сопротивление источника, зашунтированного сопротивлением 6 Ом, если без шунта ЭДС источника 12 В, а его внутреннее сопротивление 3 Ом.
Дано: R = 6 Ом; £ = 12 В; г = 3 Ом.
Решение. Рассматривая шунт как источник, внутреннее сопротивление которого R, а ЭДС равна нулю, получим батарею, состоящую из двух источников, соединенных параллельно. Тогда внутреннее сопротивление г' и ЭДС £' такой батареи можно найти из соотношений
откуда /rR/(r + R), £' = /•' 8/г. Тогда
尸= ^^Ом = 2Ом; 5, = -^-В = 8В.
3十Ь3
Вольтметр с внутренним сопротивлением 2500 Ом, включенный в сеть, показал напряжение 125 В. Определить дополнительное сопротивление, при подключении которого вольтметр показывает 100 В (рис. 143).
Дано: R = 2,5・1()3Om; Ui =125 В; 02=100 В.
&一 ？
Решение. Напряжение на дополнительном сопротивлении Ui — U2. Тогда, используя закон Ома для участка
цепи, можно написать
& = (Ui — 〃2)//・(1)
гРис. 143гРис. 143При последовательном соединении сила тока на различных участках цепи одинакова, поэтому, зная внутреннее сопротивление R вольтметра и паде-
г
Рис. 143
г
Рис. 143
ние напряжения U2 на нем, по закону Ома для этого участка цепи имеем
i=u2/r.(2)
Подставляя (2) в (1), находим
^ = ^^;几=。发喘2,5可3 оm = 625 оm.
Миллиамперметр предназначен для измерения силы тока не более 10 мА. Что нужно сделать для того, чтобы миллиамперметр можно было применять для измерения силы тока до 1 А, если его внутреннее сопротивление 0,9 Ом?
Дано: /о = 10 мА = 10"~2 А, R。= 9,9 Ом; / = 1 А.
/?ш 一 ?
Решение. Миллиамперметр включается в цепь последовательно. Если в цепи сила тока / больше максимальной /о, на которую рассчитан миллиамперметр, то параллельно ему следует включить сопротивление 欠山,называемое шунтом (рис. 144). Оно выбирается таким, чтобы сила тока в приборе не превышала /о.
Применим первое правило Кирхгофа для узла А:
/ — /о — /ш = 0.(1)
Выберем направление обхода замкнутого контура АВ CD А по часовой стрелке и применим к этому контуру второе правило Кирхгофа:
/ qRq — / ш/?ш = 0.(2)
Решая совместно уравнения (1) и (2), получаем
R山="/^7； R山=；"i駕 Оm = 0,1 0m.
В электрическую цепь включены четыре сопротивления 1 кОм каждое и источники, ЭДС которых 1,5 и 1,8 В. Определить силу тока во всех сопротивлениях. Внутренними сопротивлениями источников пренебречь (рис. 145).
I A h8
Дано: R = 1 кОм = 1()3 Ом；& i=—■'…匸‘〔-肃^ 一
= 1,5 В; £2=1,8 В.I
八,/2, /з, /4 - ?D [ Jw ] c
Решение. Из рисунка видно, что сопротивление R4 за-
первое правило Кирхгофа для /1+/2 — /з = 0первое правило Кирхгофа для /1+/2 — /з = 0
первое правило Кирхгофа для /1+/2 — /з = 0
первое правило Кирхгофа для /1+/2 — /з = 0
корочено проводником АВС, сопротивлением которого пренебрегаем. Следовательно, ток через сопротивление & не пойдет, т. е. /4= 0. Оставшаяся часть цепи содержит два узла в точках О и В и три замкнутых контура. Следовательно, можно составить одно уравнение по первому правилу Кирхгофа и два уравнения по второму правилу. Применяя узла В, находим
Применим второе правило Кирхгофа для замкнутого контура АОВА (обходим контур против часовой стрелки):
【3R + hR= 8i・
Аналогично, применим второе правило Кирхгофа для контура ОСВО (обходим контур против часовой стрелки):
hR + hR= %.
Решая совместно полученную систему уравнений, находим искомые силы тока:
=/з = ^ДА=1,1 мА;
(=乱一嘉±2； /2= 1‘8 - 1，5^；扌!。二.呼 a = 0,7 mа,
/| = /з_/2； /| = (1,1 • 10-3一0,7-10~3) А=0,4 мА.
Два элемента, ЭДС которых 1,9 и 1,1 В, внутренние сопротивления 0,8 и 0,1 Ом, замкнуты параллельно на внешнее сопротивление 10 Ом (рис. 146). Определить силу тока во внешней цепи.
Дано: 8i = l,9B; &2=1,1В; Г\ = 0,8 Ом; /*2 = 0,1 Ом; R = 10 Ом.
Решение. Электрическая цепь содержит два узла в точках К и С и три неизвестных тока. Следовательно, 236
Рис. 146Рис. 146R（「l +「2）+ 门，2R（「l +「2）+ 门，2/ =/ =1,9-0,14-1,1.0,810(0,84-0,1 )4-0,8-0,11,9-0,14-1,1.0,810(0,84-0,1 )4-0,8-0,1An 0,12 A.An 0,12 A.
Рис. 146
Рис. 146
R（「l +「2）+ 门，2
R（「l +「2）+ 门，2
/ =
/ =
1,9-0,14-1,1.0,8
10(0,84-0,1 )4-0,8-0,1
1,9-0,14-1,1.0,8
10(0,84-0,1 )4-0,8-0,1
An 0,12 A.
An 0,12 A.
можно составить одно уравнение по первому правилу Кирхгофа и два уравнения по второму правилу.
Применим первое правило Кирхгофа для узла К:
八十/2 一 /=0.
Применим второе правило Кирхгофа для контура ABDKA (обходим контур против часовой стрелки):
八门+//?=乱.
Аналогично, применим второе правило Кирхгофа для контура АВСКА (обходим контур против часовой стрелки):
I\Т \-/2Г2 = & 一召 2.
Решая совместно систему полученных уравнений, находим
Сопротивления участков АВ, ВС и AD соответственно равны 1000, 500 и 200 Ом. Гальванический элемент, полюсы которого подключены к точкам А и С, имеет ЭДС 1,8 В. Гальванометр регистрирует силу тока 0,5 мА в направлении, указанном стрелкой. Определить ЭДС второго гальванического элемента, пренебрегая внутренними сопротивлениями элементов и внутренним сопротивлением гальванометра (рис. 147):
Дано: R\ = 103 Ом; /?2= 5-102 Ом; R3 — 2-102 Ом;
(?,== 1,8 В; /2 = 0,5 мА =5・ КТ'А.
Решение. Электрическая цепь содержит два узла в точках Д и В и три неизвестных тока. Следовательно, можно составить одно уравнение по первому правилу Кирхгофа и два уравнения по второму правилу. Для узла В по первому правилу Кирхгофа найдсм
/iRi + / зАз= ^2./iRi + / зАз= ^2./1 — / 2 — /з = 0・
/iRi + / зАз= ^2.
/iRi + / зАз= ^2.
Применим второе правило Кирхгофа для контура ABCS\A (обходим контур против часовой стрелки):
/l/?l+/2/?2= &•
Аналогично, применим второе правило Кирхгофа для контура AB82DA (обходим контур по часовой стрелке) :
Решая полученную систему уравнений, находим
&2 =&2 =£2 =£2 =^\R\ ~}~ 12{R\R2-]-R1R3-}-R2R3),
&2 =
&2 =
£2 =
£2 =
R + R2，
1,8・ 103十5・ 1о-4([03.5」о2+]оз 2.102+5.102.2.102)—
10У4-5-102Н =
=1,47 В.
К точке А однородного проволочного кольца присоединен провод, а к диаметрально противоположной точке В ——скользящий контакт. Как будут изменяться показания вольтметра при движении скользящего контакта (рис. 148) ?
Отв. Участок цепи между точками А и В можно рассматривать как параллельное соединение двух проводников одинакового сопротивления. При движении скользящего контакта вверх или вниз сопротивление одного из этих проводников будет уменьшаться. Это приведет к уменьшению сопротивления участка цепи АВ, так как сопротивление участка цепи R, состоящего из двух параллельно соединенных проводников с сопротивлениями Ri и R2, всегда меньше сопротивления Ri, если RiV/?2・ Поэтому падение напряжения на участке АВ, а следовательно, и показания вольтметра будут уменьшаться.
Почему при коротком замыкании напряжение на клеммах источника близко к нулю, хотя сила тока в цепи имеет наибольшее значение?
Отв. При коротком замыкании сопротивление внешнего участка цепи мало по сравнению с внутренним сопротивлением источника. Поэтому, хотя сила тока в цепи велика, падение напряжения на внешнем участке цепи, равное напряжению на клеммах источника, будет мало. 238
Упражнения
Вычислить общее сопротивление участка цепи, если сопротивление каждой стороны и диагонали квадрата 8 Ом. Сопротивлением соединительных проводов пренебречь (рис. 149).
Восемь проводников сопротивлением 20 Ом каждый попарно соединены в четыре параллельных цепи. Определить общее сопротивление данной цепи.
Медная и железная проволоки одинаковой дли
ны включены параллельно в цепь, причем железная проволока имеет вдвое больший диаметр. Сила тока в медной проволоке 60 мА. Какова сила тока в железной проволоке?
Сопротивление нити накала электронной лампы 40 Ом, сопротивление включенной части реостата 20 Ом, сила тока в цепи 0,2 А. При замыкании того же элемента на сопротивление 10 Ом сила тока 0,1 А. Найти ЭДС
элемента и его внутреннее сопротивление.
При замыкании элемента на сопротивление 4,5 Ом сила тока в цепи 0,2 А, а при замыкании того же элемента на сопротивление 10 Ом сила тока 0,1 А. Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление.
Элемент замыкается первый раз на внешнее сопротивление 5 Ом и дает силу тока 0,25 А, второй раз ——на внешнее сопротивление 9 Ом и дает силу тока 0,15 А. Какую силу тока дает элемент, если его замкнуть накоротко?
Элементы с ЭДС 1,8 и 2 В и внутренними сопротивлениями 0,3 и 0,2 Ом соединены в батарею так, что во внешней цепи с сопротивлением 0,2 Ом идет ток 4 А. Как в этом случае соединены элементы?
Шесть элементов с ЭДС 1,5 В и внутренними сопротивлениями 0,4 Ом каждый соединены в батарею так, что во внешней цепи с сопротивлением 0,2 Ом идет ток 6 А. Как в этом случае соединены элементы?
Вольтметр имеет сопротивление 200 Ом. Последовательно с ним включили проводник сопротивлением 1 кОм. Во сколько раз изменилась цена деления вольтметра?
Определить сопротивление шунта гальванометра,
Рис. 150
рассчитанного на 1 А, если внутреннее сопротивление самого гальванометра равно 20 Ом, а полная шкала соответствует силе тока 5 мА.
Определить изменение температуры медного проводника, если его сопротивление возросло в два раза.
Внешнее сопротивление цепи 1,4 Ом, ЭДС источников 2 В каждый, внутренние сопротивления этих источников соответственно равны 1 и 1,5 Ом. Найти силу тока в каждом источнике и во всей цепи (рис. 150).
Определить силу тока, которую показывает амперметр, если напряжение на зажимах источника 2,1 В, а сопротивления соответственно равны 5,6 и 3 Ом. Сопротивлением амперметра и внутренним сопротивлением источника пренебречь (рис. 151).
Найти силу тока в сопротивлении R2 и падение напряжения на нем, если сопротивления участков цепи равны Ri = 7?з== 40 Ом, /?2= 80 Ом, /?4 = 34 Ом, ЭДС генератора 100 В. Внутренним сопротивлением генератора пренебречь (рис. 152).
Работа и мощность тока. Тепловое действие тока
Работа, совершенная электрическим полем по перемещению заряда q на участке цепи, равна
A = qU = lUt、
где / ——сила тока в данном участке цепи; U ——напряжение на участке цепи; / ——время прохождения тока по участку цепи.
По закону сохранения энергии,
A = \Wt
где AW — изменение энергии проводника и окружающих его тел.
Мощность тока при прохождении его по проводнику с сопротивлением 丸 равна
Количество теплоты, выделяющееся при прохождении тока по проводнику, определяется по закону Джоуля—— Ленца:
Q = PRt.
Коэффициентом полезного действия называется величина
"=亲100%,忏登100%,忏告100%，
где Лп(Wn, Nn)——полезная работа (энергия, мощность); Л3(W3, ^з)——затраченная работа (энергия, мощность).
Определить ЭДС и внутреннее сопротивление аккумулятора, если он дает во внешнюю цепь 9,5 Вт при силе тока 5 А, а при силе тока 8 А—— 14,4 Вт.
Дано: /| = 5 А; М = 9,5 Вт; А=8А; ^2 = 14,4 Вт.
£—?「一？
Решение. По закону Ома для замкнутой цепи,
八=8/(R, + r\ /2= 6/(8 + 厂).(1)
Сопротивления Ri и R? найдем из соотношений ^I = = /?/?!, ^2=/2/?2, откуда
R = M//；, /?2=М/%(2)
Подставляя выражения (2) в (1), получаем
厶=М/Зг，/2= Ni/tl+r •⑶
Решая совместно уравнения (3), находим
『 NI/1 — 乂?/? М/2—N£、
//2(/2 — /1)* 厂 / I / 2( /2 — /1)*
Тогда
□ • о(о —• о(о—3)
^ 0,03 Ом.
В электрической цепи при внешних сопротивлениях 2 и 0,1 Ом выделяется одинаковая мощность. Найти внутреннее сопротивление источника.
Дано: Ri = 2Om; J?2 = 0,l Ом; M = M
Решение. По закону Ома для замкнутой цепи, для двух значений внешнего сопротивления имеем:
/>= ^Ri+r),厶=£/(R2+D，
g ^I^R.+Г), £=/2(/?2 + r)・(1)
Сила тока связана с мощностью соотношением N〒产R, откуда 1 = \N/R. Подставляя /| = V^T^i и h = \N頂? в выражения (1), получаем
& =小衣\®+а, 8=^г^八re).(2)
Приравнивая правые части выражений (2) и преобразуя полученное равенство, находим /•:
7N/3 (/?宀)=7^77^ (R2+"；
V^2 (Rl+r) = V^l (R2 + "；
V^2R1 + V^2f = V^»^2 + V^lri
/*(V^2 — V^0 = V^i^2~ V^2/?l = V^1^2(V^2 —V^O»
r = УR； A2 ； r =，2 0,1 Ом ^ 0,45 Ом.
Батарея состоит из параллельно соединенных элементов. При силе тока во внешней цепи 2 А полезная мощность равна 7 Вт. Определить число элементов в батарее, если ЭДС каждого элемента 5,5 В, а внутреннее сопротивление 5 Ом.
Дано: /== 2 А; ^ = 7 Вт; £= 5,5 В; г = 5 Ом.
п — ?
Решение. Полезная мощность, выделяемая на сопро-
(1)(1)тивлении R, N = FR.
(1)
(1)
По закону Ома для замкнутой цепи найдем силу тока: /= $б/(К + го), откуда /? = (召6 —〃“〃，где £°= $ —— ЭДС батареи, состоящей из л одинаковых параллельно соединенных элементов; Гб = r/п — внутреннее сопротивление этой батареи. Подставим выражения для 〃， ^б и R в уравнение (1): ^=/ (&—〃/几)，откуда
"=£/_"；"=£/_"；
"=£/_"；
"=£/_"；
Элемент с внутренним сопротивлением 4 Ом и ЭДС 12 В замкнут проводником с сопротивлением 8 Ом. Какое количество теплоты будет выделяться во внешней части цепи за 1 с?
Дано: г = 4 Ом; 8 = 12 В; R = 8 Ом; / = 1 с.
Q"一 ？
Решение. Количество теплоты, выделяющееся во внешней части цепи за 1 с, равно
⑴⑴⑵⑵Q/t = Г/R.
⑴
⑴
⑵
⑵
По закону Ома для замкнутой цепи, /= £/(/? +「)•
Подставим выражение (2) в (1):
&?R&?R衣" а衣" а詳&苧=8 Дж/с.詳&苧=8 Дж/с.
&?R
&?R
衣" а
衣" а
詳&苧=8 Дж/с.
詳&苧=8 Дж/с.
На плитке мощностью 0,5 кВт стоит чайник, в который налит 1 л воды при 16℃. Вода в чайнике закипела через 20 мин после включения плитки. Какое количество теплоты потеряно при этом на нагревание чайника и излучение?
Дано: ^= 5-102 Вт; V = 1 л = 10~3 м3; 兀=289 К;力= =20 мин = 1,2• 103 с.
Решение. Полная энергия, затраченная на нагревание воды, чайника, излучение и т. д., 忆=^^.
Полезная энергия, затраченная на нагревание воды, Wn = AU = ст{ Т2 — Ti).
Здесь AU — изменение внутренней энергии воды при ее нагревании; с — удельная теплоемкость воды; m = =pV — масса воды, где р — плотность воды. Тогда потери энергии на нагревание чайника, излучение и т. д. равны
/= W^W^Nt-c^Ti-T^ ТГ=[5・102・1,2・К)з - 4,19.1О3.1О3-1О-3(373 — —289)] Дж。250 кДж.
Однородный железный проводник длиной 100 м подключают к источнику постоянного напряжения 100 В на 10 с. Как изменится при этом температура проводника? Изменением сопротивления проводника при его нагревании пренебречь.
Дано: / = 102 м; U = Ю2 В; / = 10 с.
АТ — ?
Решение. Для нагревания железного проводника требуется количество теплоты
Qi = AU = ст\Т,(1)
Здесь т = DSI — масса проводника; S — площадь его поперечного сечения; с ——удельная теплоемкость железа, D ——плотность железа.
По закону Джоуля ——Ленца, полное количество теплоты, выделенное в проводнике,
Q2 = U2t/R,(2)
Здесь R = p//S, где р — удельное сопротивление железа. Пренебрегая теплопотерями, находим Qi = Q2, или с учетом выражений (1), (2) cDSl'T = l/2S//(p/), откуда
ат 一 к 〜3 К
X — О,46・1О3.7,8・1оЗ.(10у2Т产、〜
Определить сопротивление подводящих проводов от источника с напряжением 120 В, если при коротком замыкании предохранители из свинцовой проволоки площадью сечения 1 мм2 и длиной 2 см плавятся за 0,03 с. Начальная температура предохранителя 27 ℃.
Дано: U = 120 В; S = 1 мм2 = 10-6 м2; / = 2 см = 2 • 10~2 м； / = 3-10~2 с; Т = 300 к.
R - ?
Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания свинца до точки плавления и последующего плавления свинца при этой температуре, равно
Qi = AU】+ А%・
Так как AUi = cmAT, AU2 = Xm, т == DIS、ДТ = Тпл — —Г, то
Qi = DlS[c^ — 7) + 5Qi = DlS[c^ — 7) + 5⑴⑴
Qi = DlS[c^ — 7) + 5
Qi = DlS[c^ — 7) + 5
⑴
⑴
где D — плотность свинца; с — удельная теплоемкость свинца; Гпл — температура плавления свинца.
При коротком замыкании сопротивление цепи R + + Rnp, где Rnp = p//S — сопротивление предохранителя.
Сила тока короткого замыкания
/ = U&R + Rnp).
По закону Джоуля — Ленца, количество теплоты, вы* деляющееся в предохранителе за время f, Q2 = /2/?пр/. Тогда
С 一/Л\
S —(R + p//s)*s •
Считая, что все количество теплоты, выделяющееся в предохранителе, идет на его плавление, получаем Qi = @2, или с учетом выражений (1) и (2)
DlS[c(TM-T) + l]=^^,
откуда
r=4~{ND[c(T"“ - 7) + 入 "}'
2」・1O-7.3.io-2_
Z —而丁 U V 11,3.103| 0,13.103(600-300)4-0,25- 10s!
f - 2,1 ・10-7・2・ 10-2} Ом q 0,34 Ом.
Воздух, находящийся в закрытом сосуде вместимостью 1 л при нормальных условиях, нагревается электрическим нагревателем, рассчитанным на ток 0,2 А и напряжение 10 В. Через сколько времени давление в сосуде повысится до 1 МПа? КПД нагревателя 50%.
Дано: V — \ л — 10-3 м3; / = 0,2 A; U = 10 В; р2 = 1 МПа = =106 Па; п = 50% = 0,5.
Решение. Количество теплоты, выделенное током за время f, найдем из закона Джоуля — Ленца:
Qi = F& = pt.(1)
Количество теплоты, необходимое для нагревания воздуха от температуры 7】=273 К до температуры「2,
Q2 = ст(Т2 — ГО，(2)
где с — удельная теплоемкость воздуха; m — его масса. По условию задачи, Q2 = 0,5Qi, или с учетом выражений (1) и (2) ст(Т2 — Ti) = 0t5IUT9 откуда
f = cm(T2-7\)/(0,5/U).(3)
Здесь m = pV, где р — плотность воздуха.
Так как объем V, занимаемый газом, не изменяемся при нагревании газа, то» применяя закон Шарля 卩/丁1 =。2/丁2, находим конечную температуру газа: T2=7iP2/Pi・ Подставим выражения для m и Гг в (3):
f = срР(7д/卩-北)=срР7\(р2/0 — 1)・
/ — 1,005- IO3-1,29-10~3. IO"3-2 73-[ 107(1,01 • 103)- 1]〜
工=0,5-0,2. 10С
^3,18-103 с.
Найти КПД источника тока с внутренним сопротивлением 0,1 Ом, если он работает на нагрузку с сопротивлением 1,5 Ом.
Дано: г = 0,1 Ом; R = l,5 Ом.
Л - ?
Решение. По определению, КПД равен п =族 100%,
где Nn ——полезная мощность, выделяющаяся во внешней части цепи; № — затраченная мощность, выделяющаяся во всей замкнутой цепи. Мощности Nn и N3 найдем из соотношений Nn = PR, М = /2(/? +，)・ Тогда
n = ^F 由 °0%”品 1°°%®94%.
474°. Полезная мощность, выделяемая во внешней части цепи, достигает наибольшего значения 5 Вт при силе тока 5 А. Найти внутреннее сопротивление и ЭДС источника тока.
Дано: 2*акс = 5 Вт; /макс = 5 А.
Решение. По закону Джоуля — Ленца, полезная мощность, выделяемая во внешней части цепи с сопротивлением R,
N = FR. (1) 246
По закону Ома для замкнутой цепи, /=b/(R + r).
Тогда [см. (1)]
N=#R/(R +「)2(2)
Мощность, выделяемая во внешней части цепи, максимальна (^= ^мaкc) при выполнении условия
需"⑶
Дифференцированием уравнения (3) находим внешнее сопротивление &акс, при котором мощность максимальна:
d「6欢]；£2(R +，)2-&2R・2(R + r)=
dR L (R + "2」— (R + "4—，
(R + r)2-2R(R + r) = 0; (R +「)(R + r-2R) = 0;
R+「一2R = 0； R= &акс = L
Подставим /?макс В уравнения (1) и (2): Умакс = /макСг, откуда
Г = М«акс//2акс； Г = (5/5?) Ом = 0,2 Ом.
Тогда
^мaкc = ^r^r2) =(g2/(4r), откуда
6 = 2計=2 В.
Является ли работа, совершаемая источником тока во внутренней части цепи, величиной, постоянной для данного источника?
Отв. Не является.
Почему нить электролампы сильно нагревается, а подводящие провода остаются холодными?
Отв. Количество теплоты, выделяющееся в проводниках при их последовательном соединении, прямо пропорционально их сопротивлениям (закон Джоуля — Ленца). Сопротивление нити электролампы велико, а сопротивление подводящих проводов мало, поэтому нить электролампы нагревается сильно, а подводящие провода — Очень слабо.
Три проводника, сопротивления которых равны соответственно 3, 6 и 8 Ом, соединены параллельно. В первом проводнике выделяется 21 кДж теплоты. Определить количество теплоты, выделяющееся во втором и третьем проводниках за то же время.
Два проводника сопротивлениями 10 и 6 Ом соединены сначала последовательно, а затем параллельно между двумя точками с разностью потенциалов 20 В. Найти количество теплоты, выделенное в каждом проводнике за 1 с.
В медном проводнике длиной 2 м и площадью поперечного сечения 0,4 мм2 идет ток. При этом ежесекундно выделяется 0,35 Дж теплоты. Сколько электронов проходит за 1 с через поперечное сечение этого проводника?
Какой длины надо взять нихромовый проводник диаметром 0,5 мм, чтобы изготовить электрический камин, работающий при напряжении 120 В и дающий 1 МДж теплоты в час?
Два проводника одинакового сопротивления R подключаются к сети с напряжением U сначала параллельно, а затем последовательно. В каком случае потребляется большая мощность от сети?
На электроплитку мощностью 600 Вт поставили кастрюлю, вмещающую 1 л воды и 0,5 кг льда при 0℃. Через сколько времени температура воды в кастрюле поднимется до 60℃, если КПД плитки 80%?
К концам свинцовой проволоки длиной I м приложена разность потенциалов 10 В. Сколько времени пройдет от начала пропускания тока до момента, когда свинец начнет плавиться? Начальная температура свинца 27℃.
Одинаковые огнеупорные сосуды, один с оловом, другой со свинцом, нагреваются на электрической плитке. Массы олова и свинца равны, их начальная температура 20℃. Во сколько раз будут отличаться длительности процессов плавления этих металлов?
Определить силу тока в цепи свинцового аккумулятора, если его ЭДС = 2,2 В, внешнее сопротивление 0,5 Ом, КПД 65%.
Ток в электролитах и газах
Растворы, проводящие электрический ток, называются электролитами. Ток в них обусловлен движением положительных и отрицательных ионов. Прохождение тока через электролит сопровождается выделением на электродах составных частей растворенного вещества (электролиз).
Масса вещества, выделившегося при электролизе, может быть подсчитана по объединенному закону Фарадея:
А
т = 7Т〃，
где m ——масса выделившегося вещества; А ——молярная масса;九—валентность вещества; F ——постоянная Фарадея; / ——сила тока в электролите; / — время протекания тока.
Газы становятся проводниками электрического тока, если они ионизированы, т. е. в них имеются свободные электроны, положительные и отрицательные ионы.
Несамостоятельной называется такая проводимость газа, при которой ионизация вызывается с помощью постороннего воздействия (пламя, ультрафиолетовое, рентгеновское излучения и др.).
Самостоятельной называется такая проводимость, при которой заряженные частицы, разогнанные электрическим полем, при соударении с нейтральными молекулами газа ионизируют их.
Наименьшая необходимая для ионизации атома или молекулы разность потенциалов поля, ускоряющего электрон, называется потенциалам ионизации Ui данного атома или молекулы.
Энергия электрона, прошедшего эту разность потенциалов, называется энергией ионизации:
Wi = eUit
где е ——заряд электрона.
Виды самостоятельных разрядов в газах ——тлеющий, дуговой, искровой и коронный.
* * *
При никелировании пластины ее поверхность покрывается слоем никеля толщиной 0,05 мм. Определить среднюю плотность тока, если никелирование длится 2,5 ч.
Дано:力=0,05 мм = 5« 10~3 м; / = 2,5 ч = 9・ 103 с.
Решение. Плотность тока
/ = 〃s,
где S ——площадь сечения проводящей части электролита, равная площади пластины.
Для нахождения силы тока применим объединенный закон Фарадея
m = -~ It.
⑴
Здесь
m = рУ = phS,
⑵
где р — плотность никеля.
Подставив выражение (2) в (1), найдем силу тока:
phSFn
4 •
Тогда плотность тока
phSFn — phFn .
8,8-103-5.10-5.9,65.104.2 A
58,7・ 1О-З.9. ©^~
=160 A/m2.
487. При электролизе раствора азотнокислого серебра в течение часа выделилось 9,4 г серебра. Определить ЭДС. поляризации, если напряжение на зажимах ванны 4,2 В, а сопротивление раствора 1,5 Ом.
Дано: f = 1 q = 3,6* 103 с; m = 9,4 г = 9,4 • 10~3 кг;
U== 4?В; R= 1,5 Ом.
Решение. При электролизе раствора азотнокислого серебра симметрия электродов из одинакового материала нарушается, электроды поляризуются. При этом возникает ЭДС поляризации. В этом случае закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС поляризации, примет вид U = IR + Snt откуда
£п = U — IR. (1)
Так как / = q/t и, по закону Фарадея, g = mFn/A, то уравнение (1) можно преобразовать к виду
乱=U -空空
g - 4 2 R 9,4・ 10-3.9 65. io、［ 5
& - 4,2 В107,9.1FT.3,6.10а ■ В 0,7 В.
Сколько атомов двухвалентного металла выделится на 1 см2 поверхности электрода за 5 мин при плотности тока 0,1 А/дм2?
Дано: S = 1 см2 = 10-4 м2; / = 5 мин = 300 с;
/ = 0,1 А/дм2 = 10 А/м2; п = 2.
小一?
Решение. По закону Фарадея,
или с учетом того, что / = /S, т = AjSt/{Fn)9 откуда т/А = jSt/(Fn).(1)
Здесь т/А ——число молей. Умножив его на постоянную Авогадро 2а, получим число атомов Пь выделившихся на поверхности электрода:
几］=mN"a,
или с учетом уравнения (1)
П\П\jStNA . 尸】,jStNA . 尸】,Hl =Hl =10.10~4.300-6,02-IO239,65・1(?・210.10~4.300-6,02-IO239,65・1(?・2=9,4，10叱=9,4，10叱
П\
П\
jStNA . 尸】,
jStNA . 尸】,
Hl =
Hl =
10.10~4.300-6,02-IO23
9,65・1(?・2
10.10~4.300-6,02-IO23
9,65・1(?・2
=9,4，10叱
=9,4，10叱
В раствора медного купороса анодом служит пластина из меди, содержащая 12% примесей. При электролизе медь растворяется и в чистом виде выделяется на катоде. Сколько стоит очистка 1 кг такой меди, если напряжение на ванне поддерживается равным 6 В, а стоимость 1 кВт*ч энергии 4 коп.?
Дано: М = 1 кг; U = 6 В. х — ?
Решение. Масса чистой меди, выделяющейся на ка* тоде,
加=М —0,12 M = 0,88 М.
По закону Фарадея,
Alt Aq
6 = Н = 7Р
откуда
⑴⑴—mnF 0,88М〃 户q = ~^г=л•
⑴
⑴
Энергия, затраченная при электролизе, равна W = qU, или с учетом выражения (1)
m Qf83MnFU
"—；
旧 0,88・l・2・9,65・104・6 口 < u 口
w =йТГ^зДж = 4,5 кВт-ч.
Следовательно, стоимость очистки 1 кг такой меди х = 18 коп.
490°. Определить массу меди, выделившейся на катоде за 10 с при протекании через раствор медного купороса тока, сила которого равномерно возрастает от 0 до 4 А.
Дано: /| = 0; % = 10 с; /| = 0; /2=4 А.
m — ?
Решение. По закону Фарадея, масса выделившегося на катоде вещества
т = Лд/(Гп),(1)
где заряд, протекший через раствор медного купороса за время %,
g=\/df.(2)
о
По условию задачи;
/ = kt,(3)
где 左 ——коэффициент пропорциональности. Для момента времени /2 /2 =左"，откуда k = /2/^2- Тогда
/ = /2//^2-(4)
Подставляя выражение (4) в (2) и производя интегрирование, получаем
g = \ : fdf = fdf =(5)
Q <2‘2 %*2^/
С учетом выражения (5) формула (1) примет вид
AI 2t 2
加=3k；
64-10-3.4- 10R
加=2・9,6訂济ьь=6,65•10 кr.
Определить массу кислорода, выделившегося при прохождении заряда 16 Кл через водный раствор серной кислоты. Масса одного атома кислорода 2,6-10~26 кг.
кг.кг.Дано: g = 16 К〃； m = 2,6« 10-26
кг.
кг.
М — ?
Решение. Молекулы серной кислоты Н2so4 диссоциируют в воде на положительные Н+ и отрицательные SOi■一 ионы. Эту реакцию можно записать в виде
Н2sО4 f 2Н+ + SOL
Группа SOi■-, выделяющаяся у анода, вступает в реакцию с водой:
SO4 + Н2О = Н2so4 + О
В результате этого у анода выделяется газообразный кислород. Из последнего уравнения видно, что при прохождении через раствор одной группы SOJ■— с зарядом 2е у анода выделяется один атом кислорода. Следовательно, при прохождении через раствор заряда q у анода выделится д/(2е) атомов кислорода.
Обозначив т массу одного атома кислорода, получим, что масса выделившегося кислорода
.2,6- 10-26• 161 ° 1
М = *； М= 2・1Е10кКг= 1,3.10 6 КГ.
Неразведенную серную кислоту хранят в железной таре, а разведенную ——в стеклянной. Почему?
Отв. Неразведенная серная кислота не является электролитом, а разведенная кислота представляет собой электролит. При хранении разведенной серной кислоты в железной таре будет происходить электролиз.
В настоящее время при работе гальванических ванн изменяют направление тока. Зачем?
Отв. Металл осаждается на изделии во время прохождения тока прямого направления. При кратковременном прохождении тока обратного направления осажденный металл частично растворяется, в основном на
микровыступах катода. Это ведет к улучшению качества покрытия.
Найти энергию ионизации атома гелия, если его потенциал ионизации 24,5 В.
Дано: Ui = 24,5 В.
/一？
Решение. По определению, энергия ионизации равна
Wi = eUh
где е — заряд электрона. Тогда
%= 1,6-10-,9-24»5 Дж = 39,2-Ю^19 Дж.
Какой наименьшей скоростью должен обладать электрон для того, чтобы ионизировать атомы водорода? Потенциал ионизации атома водорода 13,5 В.
Дано: 5 = 13,5 В.
Решение. Для того чтобы ионизировать атом водорода, электрон должен обладать кинетической энергией, равной энергии ионизации:
WK = Wit или mtz2/2 = eUi,
где е и m — заряд и масса электрона. Тогда
。二。 =寸嚼声？= 2,2.106 м/с.
Найти плотность тока насыщения в газоразрядной трубке, расстояние между электродами которой 10 см, если под действием космического излучения в 1 см3 трубки возникает ежесекундно 10 пар одновалентных ионов.
Дано: / == 10 см = 0,1 м; пп/ = 10 см~3«с_, = 107 м~3-с_,.
Решение. Плотность тока насыщения равна
3 = /"S,(1)
где /и — сила тока насыщения; S — площадь поперечного сечения трубки.
Учтем, что /н = q/t, g = enV, V = IS. Здесь q —— заряд, прошедший через трубку за время f; е —— заряд
одновалентного иона; V — объем трубки; п = 2ип — концентрация ионов, где лп ——число пар ионов.
Принимая во внимание написанные выражения, перепишем формулу (1):
/н = 2en„/S/(/S) = 2епп//Л(2)
Обозначив 九п// = Пп, число пар ионов, образующихся в 1 м3 трубки за 1 с, перепишем выражение (2):
/н ==:: 2e/in / /;
/н = 2.1,6.10-19-107.0,1 А/м2= 3,2.10-13 А/м2.
Найти среднюю скорость направленного движения одновалентных ионов в ионизационной камере, если их концентрация 103 см-3, а плотность тока насыщения 10-12 А/м2.
Дано: л = 103 см-3 = 109 м~з； д = 10"12 А/м2.
а〉一？
Решение. По определению,
⑺=l/t(1)
где / — длина камеры.
На основании решения задачи 496 напишем
/н = 2enntl= entl,(2)
где nt ——число ионов, возникающих в 1 м3 за 1 с. Из выражения (2) следует, что / = /Н/(^П/), или, поскольку ", =九"，
/ = /«//(ей).(3)
Подставив выражение (3) в (1), получим
=6,2 ・ 16-3 м/с.
Почему в комнатных условиях заряженный электроскоп обязательно разряжается?
Отв. Между заряженными листочками электроскопа возникает электрическое поле, в котором всегда имеется некоторое количество ионов, образующихся вследствие действия внешних ионизаторов (например, космического излучения). Эти ионы движутся к листочкам электроскопа и нейтрализуют их заряд.
Почему высоковольтные линии передачи элект роэнергии имеют два дополнительных провода, не изолированных от стальных опор линии и расположенных выше основных проводов.
Отв. Эти дополнительные провода предназначены для защиты высоковольтной линии от действия грозовых разрядов.
Упражнения
При электролизе медного купороса за 1 ч выделилось 0,5 кг меди. Площадь поверхности электродов, опущенных в электролит, 7,5 м2. Найти плотность тока.
Какое количество электрической энергии нужно израсходовать, чтобы при электролизе раствора азотнокислого серебра выделилось 500 мг серебра? Разность потенциалов на электродах 4 В.
При силе тока 5 А за 10 мин в электролитической ванне выделилось 1,017 г двухвалентного металла. Определить атомную массу металла.
Определить толщину слоя меди, выделившейся за 5 ч при электролизе медного купороса, если плотность тока 0,8 А/дм2.
Сколько меди выделится при электролизе, если при этом затрачено 5 кВт-ч электрической энергии. Напряжение на зажимах ванны 10 В, КПД установки 75%.
На процесс электролиза раствора серной кислоты расходуется мощность 37 кВт. Определить сопротивление электролита, если за 50 мин на катоде выделяется 0,3 г водорода.
Найти массу хлора, выделившегося при прохождении заряда 16 Кл через раствор соляной кислоты?
Электрон, летящий со скоростью 2,2-106 м/с, ионизирует газ. Определить потенциал ионизации этого газа.
Найти силу тока насыщения в ионизационной камере, площадь электродов которой 100 см2, а расстояние между ними 6,2 см. Ионизатор образует в 1 см3 камеры ежесекундно 109 одновалентных ионов каждого знака.
Вопросы для повторения
1. Что называют электрическим током? 2. Дайте определение силы тока и плотности тока; назовите их единицы. 3. Что называется сопротивлением провод* ника? Как зависит сопротивление проводника от его геометрических размеров, материала и температуры? 4. Что называ* ется напряжением, ЭДС и разностью потенциалов и какова связь между ними? 5. Сформулируйте закон Ома для однородного и неоднородного участков цепи и для замкнутой цепи. 6. Напишите, чему равно сопротивление участка цепи при последовательном и параллельном соединениях проводников. 7. Для чего предназначены и1. Что называют электрическим током? 2. Дайте определение силы тока и плотности тока; назовите их единицы. 3. Что называется сопротивлением провод* ника? Как зависит сопротивление проводника от его геометрических размеров, материала и температуры? 4. Что называ* ется напряжением, ЭДС и разностью потенциалов и какова связь между ними? 5. Сформулируйте закон Ома для однородного и неоднородного участков цепи и для замкнутой цепи. 6. Напишите, чему равно сопротивление участка цепи при последовательном и параллельном соединениях проводников. 7. Для чего предназначены икак подключаются к измерительным приборам шунт и дополнительное сопротивление?8. Сформулируйте правила Кирхгофа. 9. Напишите формулы для расчета работы и мощности тока. 10. Сформулируйте закон Джоуля — Ленца. 11. Что назы* вается электролизом? 12. Сформулируйте законы Фарадея для электролиза. 13. Объясните физический смысл электрохимического и химического эквивалента. 14. Каков физический смысл постоянной Фарадея? 15. Что называется газовым разря* дом? 16. Назовите виды газовых разрядов. 17. Что называется потенциалом ионизации?как подключаются к измерительным приборам шунт и дополнительное сопротивление?8. Сформулируйте правила Кирхгофа. 9. Напишите формулы для расчета работы и мощности тока. 10. Сформулируйте закон Джоуля — Ленца. 11. Что назы* вается электролизом? 12. Сформулируйте законы Фарадея для электролиза. 13. Объясните физический смысл электрохимического и химического эквивалента. 14. Каков физический смысл постоянной Фарадея? 15. Что называется газовым разря* дом? 16. Назовите виды газовых разрядов. 17. Что называется потенциалом ионизации?
1. Что называют электрическим током? 2. Дайте определение силы тока и плотности тока; назовите их единицы. 3. Что называется сопротивлением провод* ника? Как зависит сопротивление проводника от его геометрических размеров, материала и температуры? 4. Что называ* ется напряжением, ЭДС и разностью потенциалов и какова связь между ними? 5. Сформулируйте закон Ома для однородного и неоднородного участков цепи и для замкнутой цепи. 6. Напишите, чему равно сопротивление участка цепи при последовательном и параллельном соединениях проводников. 7. Для чего предназначены и
1. Что называют электрическим током? 2. Дайте определение силы тока и плотности тока; назовите их единицы. 3. Что называется сопротивлением провод* ника? Как зависит сопротивление проводника от его геометрических размеров, материала и температуры? 4. Что называ* ется напряжением, ЭДС и разностью потенциалов и какова связь между ними? 5. Сформулируйте закон Ома для однородного и неоднородного участков цепи и для замкнутой цепи. 6. Напишите, чему равно сопротивление участка цепи при последовательном и параллельном соединениях проводников. 7. Для чего предназначены и
как подключаются к измерительным приборам шунт и дополнительное сопротивление?
8. Сформулируйте правила Кирхгофа. 9. Напишите формулы для расчета работы и мощности тока. 10. Сформулируйте закон Джоуля — Ленца. 11. Что назы* вается электролизом? 12. Сформулируйте законы Фарадея для электролиза. 13. Объясните физический смысл электрохимического и химического эквивалента. 14. Каков физический смысл постоянной Фарадея? 15. Что называется газовым разря* дом? 16. Назовите виды газовых разрядов. 17. Что называется потенциалом ионизации?
как подключаются к измерительным приборам шунт и дополнительное сопротивление?
8. Сформулируйте правила Кирхгофа. 9. Напишите формулы для расчета работы и мощности тока. 10. Сформулируйте закон Джоуля — Ленца. 11. Что назы* вается электролизом? 12. Сформулируйте законы Фарадея для электролиза. 13. Объясните физический смысл электрохимического и химического эквивалента. 14. Каков физический смысл постоянной Фарадея? 15. Что называется газовым разря* дом? 16. Назовите виды газовых разрядов. 17. Что называется потенциалом ионизации?
§ 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Магнитное поле тока. Силы, действующие в магнитномполе на проводник с током, на движущийсяэлектрический заряд и на рамку с током
Индукция . магнитного поля ——векторная физическая величина, модуль которой
8 = *
для прямого бесконечно длинного проводника;
8 =嘿
в центре кругового витка;
В =卩卩о/〃
для соленоида на его оси (внутри соленоида), где г —— кратчайшее расстояние от проводника до точки, в которой подсчитывается индукция поля; R ——радиус витка;几——число витков, отнесенное к длине соленоида. Во всех случаях направление вектора В определяется по правилу буравчика.
Если магнитное поле образовано несколькими токами, то индукция поля в данной точке равна векторной
сумме индукций В полей, образованных в этой точке каждым током в отдельности (принцип суперпозиции магнитных полей):
В = £ В,, i = 1
Индукция и напряженность магнитного поля связаны между собой соотношением
В —卩卩о",
где Н ——напряженность магнитного поля;卩 ——магнитная проницаемость среды; ц0 — магнитная постоянная.
На проводник с током, помещенный в однородное магнитное поле, действует сила Ампера
尸=//В sin а,
где / ——сила тока в проводнике; / ——длина проводника; а ——угол между направлениями вектора индукции магнитного поля и тока. Направление силы Ампера можно найти по правилу левой руки.
Если магнитное поле неоднородно, то на элемент проводника длиной d/ действует сила Ампера
dF = /В sin ad/.
Сила, действующая в этом случае на весь проводник, 尸=，/3 sin ad/.
На электрический заряд, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца
尸=”3sina,
где g ——заряд; и — скорость движения заряда; a — угол между направлениями векторов индукции магнитного поля и скорости заряда. Направление силы Лоренца можно определить по правилу левой руки (для положительного заряда).
На рамку с током, помещенную в магнитное поле, действует пара сил с вращающим моментом
М = pmBsina,
где pm = /S — магнитный момент рамки с током; S — площадь рамки; a — угол между направлениями вектора индукции и нормали к плоскости рамки.
* * *
По трем длинным прямым проводам, расположенным в одной плоскости, параллельно друг другу на расстоянии 3 см друг от друга текут токи 八 = /2 и ，з =/] +/2 (рис. 153). Определить положение прямой, в каждой точке которой индукция магнитного поля, создаваемого токами, равна нулю.
Дано: г = 3 см = 3・ 10" м; /〕= /2； /з =厶 + 厶・
Решение. Пусть токи /】,/2 и /з текут в плоскости, перпендикулярной рисунку, в направлении от нас (направления токов указаны крестиками). Векторы индукций магнитных полей, создаваемых токами, направлены по правилу буравчика по касательной в любой точке линии индукции (обозначены пунктирными окружностями).
Искомая прямая, на которой вектор индукции магнитного поля равен нулю, может быть расположена между токами /2 и /3 на каком-то расстоянии х от тока /2. Действительно, векторы индукций В| и В? полей, создаваемых в точке О токами /1 и /2, направлены вниз, а вектор индукции Вз поля, создаваемого в этой точке током /3, направлен вверх. Согласно принципу суперпозиции магнитных полей,
Bi + В? + Вз = О,или в проекции на ось У& + В? — Зз = 0.(1)Индукция поля, образованного бесконечно длинным прямым проводником с током,Bi + В? + Вз = О,или в проекции на ось У& + В? — Зз = 0.(1)Индукция поля, образованного бесконечно длинным прямым проводником с током,В = ццо//(2лг). ТогдаВ = ццо//(2лг). ТогдаВ =В =ЦЦо/1月几(r + 外ЦЦо/1月几(r + 外；&；&2лх2лх⑵⑵& =& =卩卩 0(/1 + /2)2л(г — х) •卩卩 0(/1 + /2)2л(г — х) •
Bi + В? + Вз = О,или в проекции на ось У
& + В? — Зз = 0.(1)
Индукция поля, образованного бесконечно длинным прямым проводником с током,
Bi + В? + Вз = О,или в проекции на ось У
& + В? — Зз = 0.(1)
Индукция поля, образованного бесконечно длинным прямым проводником с током,
В = ццо//(2лг). Тогда
В = ццо//(2лг). Тогда
В =
В =
ЦЦо/1月几(r + 外
ЦЦо/1月几(r + 外
；&
；&
2лх
2лх
⑵
⑵
& =
& =
卩卩 0(/1 + /2)
2л(г — х) •
卩卩 0(/1 + /2)
2л(г — х) •
Рис. 154Рис. 154Подставив выражения (2) в (1), получим
Рис. 154
Рис. 154
卩Ц0厶 I »卩o/i _
2n(г + %)十 2лх
卩科o(/i +厶)—n
2л(г - х)
или после преобразова
ний 4х2+гх—г=0, откуда
-Г 士 У~+ 16戸-3・ 10-2 м± 12,4 • 10-2
Следовательно, х> « 1,2-10~2 м. Второй корень квадратного уравнения х2= —1,9-10"-2 м соответствует точке, расположенной между токами /1 и Л, что также возможно. Задача имеет два решения.
По двум длинным прямым проводникам, находящимся на расстоянии 5 см друг от друга, протекают токи по 10 А в одном направлении. Определить индукцию магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии 3 см от каждого проводника.
Дано: / = 5 см = 5« 10-2 м; /j = /2 = / = 10 А; г = 3 см = 3・10~2 м.
8 — ?
Решение. Вектор магнитной индукции В поля в точке Л равен векторной сумме индукций Bi и В? полей, создаваемых в этой точке каждым током в отдельности (рис. 154). Направления векторов Bt и В2 определяем по правилу буравчика. Числовое значение индукции магнитного поля в точке Л может быть найдено по теореме косинусов:
8 = V8； + 8"28i82COsa.8 = V8； + 8"28i82COsa.(О(О
8 = V8； + 8"28i82COsa.
8 = V8； + 8"28i82COsa.
(О
(О
Индукции магнитных полей, создаваемых каждым током в точке Л, соответственно равны
Так как ri = r2 = r, 8i = &, то [см. (1)]
⑵⑵В = y28； + 28；cosa= 81y 2 + 2 cos a.
⑵
⑵
Из △4ОС по теореме косинусов найдем /2 = г? 4- г| — —2门厂2 cos а, откуда cos а== (л? + /^ — /2)/(2г!Г2) = (2 产一 —/2)/(2厂2). Подставив выражения для Bj и cos а в (2). получим
R - 呻/ Г / р [ 2(2产一?) 岬/ /T /2 :
昨舞捣喘书У4・(3.10-2)2 -(5.10-2)2 тл
^ 66,6 мкТл.
По кольцу из медной проволоки с площадью сечения 1 мм2 протекает ток 10 А. К концам кольца приложена разность потенциалов 0,15 В. Найти индукцию магнитного поля в центре кольца.
Дано: S = 1 мм2 = 10-6 м2; / = 10 A; U = 0,15 В.
8 — ?
Решение. Индукция магнитного поля в центре кругового тока
8 =网以/(2厂)，(1)
где г ——радиус кольца. По закону Ома для участка цепи, разность потенциалов на концах кольца
U = IR,(2)
где R ——сопротивление кольца; / — длина кольца. Учитывая, что R = p//S н / = 2冗几 перепишем (2): U = /р2冗r/S, откуда
厂=US/(/2np).(3)
Подставив выражение (3) в (1), получим
о— ЦоЦЛр/2 .
—~US~，
В = ±334^^= 44 мкТл
По двум одинаковым круговым виткам радиусом 5 см, плоскости которых взаимно перпендикулярны, а центры совпадают, текут одинаковые токи 2 А. Найти индукцию магнитного поля в центре витков.
Дано: R = 5 см = 5・ 10 " м; / = 2 А.
8 — ?
Рис. 155Рис. 155Решение. Индукция магнитного паля, созданного каждым круговым током в центре соответствующего витка,
Рис. 155
Рис. 155
81 =々=mM/(2R). (1)
По правилу буравчика для выбранных направлений токов в витках вектор В】 направлен от нас, а вектор В2 — вправо (рис. 155). По принципу суперпозиции индукция результирующего магнитного поля
В = Bi + Вг.
Поскольку Bi и В2 взаимно перпендикулярны, по теореме Пифагора из соответствующего прямоугольного треугольника находим
В = ^В1 + В1=В^2. (2)
Подставив выражение (1) в (2), получим
~~，
п 4・3,14・10-7.].2・1 *
В = ― ».§:历口_:—Тла35,4 мкТл.
Требуется изготовить соленоид длиной 20 см и диаметром 5 см, создающий на своей оси магнитную индукцию 1,26 мТл. Найти разность потенциалов, которую надо приложить к концам обмотки соленоида. Для обмотки применяют медную проволоку диаметром 0,5 мм.
Дано: L=20cm = 0,2m; D = 5 см = 5* 10~2 м;
8 = 1,26 мТл = 1,26 • IO— тл；④=0,5 мм = 5 • 10一 м.
U - ?
Решение. Разность потенциалов на концах обмотки соленоида
U = /R.(1)
Из выражения В =卩卩о/п найдем силу тока, текущего по соленоиду:
/=В/(^оп),(2)
(3)(3)где 〃=N/L — число витков, отнесенное к длине соленоида. Поскольку полное число витков соленоида N = =L/d, выражение (2) можно привести к виду
(3)
(3)
/ = Bd/{^L).
Сопротивление обмотки
R = P〃S・
Так как l = nDN = nDL/d、S = nd2/4; р — удельное сопротивление меди, то
R = 4pDL/d3.(4)
Преобразуем уравнение (1) с помощью формул (3) и (4):
4pBLD .呻od?，
Рис. 156Рис. 156В ^2,7 В.В ^2,7 В.〃 —4 • 0,17 ・ IO—. ] 26• 10-з ・ о?• 5• 10~2 4.3,14•10-*(5•КГ')?
Рис. 156
Рис. 156
В ^2,7 В.
В ^2,7 В.
Два параллельных проводника с одинаковыми токами находятся на расстоянии 8,7 см друг от друга и притягиваются с силой 2,5* IO"-2 Н. Определить силу тока в проводниках, если длина каждого из них 320 см, а токи направлены в одну сторону.
Дано: г = 8,7 см = 8,7• 10-2 м; Г= 2,5-10~2 Н; /= 320 см = 3,2 м.
Решение. Так как, по условию задачи,厂《厶 то провода можно считать бесконечно длинными. Поэтому индукция магнитного поля, созданного проводником с током силой /1 (рис. 156),
& = |ХоМ/(2"). (1)
/=Л/^ /=У/=Л/^ /=У2.3,14.8,7.10~2.2,5-10-24.3,14.10~у. 3,22.3,14.8,7.10~2.2,5-10-24.3,14.10~у. 3,2А ^58 А.А ^58 А.По закону Ампера, на проводник с током /2 действует сила 尸2 = /28“，или с учетом (1)尸2 = /2卩。代厶/(2几г). Так как /1 = /2 = /, то F2= цоц^2//(2лг), откуда
/=Л/^ /=У
/=Л/^ /=У
2.3,14.8,7.10~2.2,5-10-2
4.3,14.10~у. 3,2
2.3,14.8,7.10~2.2,5-10-2
4.3,14.10~у. 3,2
А ^58 А.
А ^58 А.
515°. Металлический стержень длиной 15 см расположен перпендикулярно бесконечно длинному прямому проводу, по которому течет ток 2А. Найти силу, действующую на стержень со стороны магнитного поля, создаваемого проводом, если по стержню течет ток 0,5 А, а расстояние от провода до ближайшего конца стержня 5 см.
Дано: /= 15 см = 15-10-2 м; /2 = 2 А; г = 5 см = 5・ 10~? м; /1 = 0,5 А.
8 一 ?
Решение. Разобьем стержень CD на малые элементы длиной dx и рассмотрим один такой элемент, находящийся на произвольном расстоянии % от вертикального провода (рис. 157). По закону Ампера, на каждый элемент dx действует сила
dFi = 1\В2^ху
направленная вертикально вверх по правилу левой руки для выбранных направлений токов. Здесь
82=卩0財2/(2")(1)
/iS2dx./iS2dx.— индукция магнитного поля, созданного током /2 в точке, находящейся на расстоянии х от вертикального провода. Поскольку силы, действующие на другие элементы стержня, также направлены вертикально вверх, полная сила, действующая на стержень,
/iS2dx.
/iS2dx.
⑵
Подставляя формулу (1) в (2) и интегрируя полученное выражение, находим
р —С 卩opA/idx = 卩0財2厶 ( dx = K0M2/1 [nJ '十 —
一)2лх — 2л J, ~ — ~2л~ I г —
Ноц/2/1 1「+/ г 4・3」4・10-7.1.2.05
丁；尸尸r334X
Рис. 157Рис. 157Н 2,8 • IO' н.
Рис. 157
Рис. 157
516°. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на расстоянии 5 см друг от друга. По проводникам текут токи 10 и 20 А. Какую работу, отнесенную к длине проводника, надо совершить, чтобы увеличить расстояние между проводниками до 10 см, если токи имеют одинаковое направление?
Дано:门=5 ем = 5* 10~2 м; /1 = =10 А; /2 = 20 А; 「2 = =10 еm= 10・10一2 m.
Д// — ?
^. Решение. Будем для опреде- |гг
4$нностн считать, что провод- г*
ник с током /1 неподвижен иРис 158
расстояние г изменяется из-за перемещения проводника с то
ком /2. Второй проводник находится в магнитном поле B\t образованном проводником с током /【，поэтому на него действует сила Ампера, равная
(1)(1)Р2 = f2B\l (sin а= 1)
(1)
(1)
и направленная по правилу левой руки в сторону первого проводника (рис. 158). Эта сила не может увеличивать расстояния между проводниками, поэтому для перемещения второго проводника к нему надо приложить внешнюю силу FBH, равную по модулю и противоположную по направлению силе F2, т. е. FBH = —F2, или в скалярной форме FBH = F2. Так как первый проводник считается длинным, то индукция его магнитного поля
& =卩0卩八/(2几厂).
Учитывая это, выражение (1) можно записать в виде 尸вн ==卩0卩/[/2//(2几厂).
Тогда внешняя сила, отнесенная к длине второго проводника,
fвн= аh//=卩0卩八/2/(2几厂)，(2)
откуда видно, что она уменьшается по мере перемещения проводника, поэтому работа такой переменной силы
Г\
или, подставляя в подынтегральное выражение формулу (2) и производя операцию интегрирования, получаем
л = f ЦоМ“2 dr =卩0財丿2 f dr 一
=上限厶/2 1rl上.
Рис. 159
4-3,14.I0-T.10-20
10* ю-2
X In 飞:jo二2 Д*/м = 27,6 мкДж/м.
517. В однородном магнитном поле, индукция которого равна 2 Тл и направлена под углом 30° к вертикали, вертикально вверх движется прямой проводник массой 2 кг, по которому течет ток 4 А. Через 3 с после начала дви
жения проводник имеет скорость 10 м/с. Определить
длину проводника.
Дано: В = 2 Тл; а»= 30° == 0,52 рад; т = 2кг; /^ 4 А; / = 3 с; и = 10 м/с.
Решение. На проводник CD, движущийся в магнитном поле, действуют: mg ——сила тяжести; F ——сила Ампера (рис. 159). Так как проводник движется под углом а к направлению В, то сила Ампера равна
尸=/&/, где Вх = Ssina—составляющая вектора В по оси X. Следовательно,
F = /S/sina.
(1)
Поскольку движение проводника равноускоренное, запишем второй закон Ньютона в проекциях сил и ускорения на ось Z:
尸一mg = ma,
или с учетом выражения (1)
IBl since— mg = mv/t.
⑵
Из формулы и = af определим a = u/f н перепишем уравнение (2) в виде
IBlsina — tng = mv/tt
откуда
/ = m(g + ”f). /8 sina '
^F«-6,57 м.
Циклотрон предназначен для ускорения протонов до энергии 5 МэВ. Определить наибольший радиус орбиты, по которой движется протон, если индукция магнитного поля 1 Тл.
Дано:叭=5 МэВ = 8« 10~,3 Дж; 8 = 1 Тл.
R-?
Решение. Протон движется в циклотроне по спиральной орбите, состоящей из полуокружностей с постепенно увеличивающимся радиусом. При этом на него действует сила Лоренца F = qvB. Запишем для протона второй закон Ньютона в проекции на ось У, направленную к центру окружности:
F = tnay, (1) где ау = ац = v2/R. Тогда уравнение (1) можно привести к виду qvB = md[R、откуда,
/? = mu/(qB). (2)
Преобразуем выражение (2):
⑶⑶mu = ^2tn-\J tnv2/2 = У2/п%：
⑶
⑶
где 取к ——кинетическая энергия протона. Подставив выражение (3)в (2), получим
r = 业餘爲产1м = 0,32м.
Электрон, ускоренный разностью потенциалов 300 В, движется параллельно прямолинейному проводнику на расстоянии 4 мм от него (рис. 160). Какая сила
будет действовать на электрон, если по проводнику пустить ток 5 А?
Дано: г = 4 мм = 4* 10~3 м; /=5 A; U = =300 в.
Решение. При пропускании по проводнику тока на электрон действует сила Лоренца
尸=eBv.尸=eBv.(1) Рис. 160
尸=eBv.
尸=eBv.
Так как электрон был предварительно ускорен в электрическом поле, то Л == AW\, или eU = mv2/2t где т — масса электрона. Тогда
V = \2еи/т .(2)
Индукция магнитного поля, образованного прямым длинным проводником с током,
В =卩卩 о//(2лг).(3)
Подставив выражения (2) и (3) в (1), получим
Рис. 161Рис. 161
Рис. 161
Рис. 161
F — 4・3」4・ 10-7.1 • 1,6.1Q-I0.5 /T 1,6• 10—9 300
=2-3,14-4-IO-3 V 9,1 • IO-31
v4・10iH.
Электрон движется в магнитном поле, индукция которого 2 мТл, по винтовой линии радиусом 2 см и шагом винта 5 см. Определить скорость электрона.
Дано: R = 2 см = 2・ IO-' м;九=5 см = 5・ 1。-? м;
В = 2 мТл = 2• IO— тл.
Решение. Движение электрона по винтовой линии можно представить как движение по окружности со скоростью vy под действием силы Лоренца в плоскости, перпендикулярной индукции поля, и равномерное движение вдоль поля со скоростью t/х (рис. 161). Тогда полная скорость электрона
и = д/и? + * (1)
Найдем отдельно скорости vy и Ох・ Запишем для электрона второй закон Ньютона в проекциях на ось У:
尸=тау,
где F = eBvy, ау= Vy/R. Тогда еВи尸 nw%/R, откуда
vy = eBR/m.(2)
Используя соотношенияИспользуя соотношения(3) и (4), получаем(3) и (4), получаемheB2л/пheB2л/п(5)(5)
Используя соотношения
Используя соотношения
(3) и (4), получаем
(3) и (4), получаем
heB
2л/п
heB
2л/п
(5)
(5)
Скорость vx найдем из соотношения Л= ихГ, откуда
力=力/7,⑶
где Т — время, в течение которого электрон продвинется по горизонтальному направлению на один шаг винта. С другой стороны, Т равно времени, в течение которого электрон прой
дет со скоростью vy расстояние, равное длине окружности, т. е. T=2nR/ug, или с учетом (2)
⑷⑷Т = 2nRm/{eBR) = 2лт/(еВ).
⑷
⑷
Подставив выражения (2) и (5) в (1), найдем
V 4n m m 2лт v
и =鵠;%：~Й^У(5 • 1 L)2+4 • 3,142 ・(2 • 10-2户 м/у
106 м/с.
Пучок электронов влетает в пространство, где возбуждены однородное электрическое поле, напряженность которого 1 кВ/м, и перпендикулярное ему однородное магнитное поле, индукция которого 1 мТл. Скорость электронов постоянна и направлена перпендикулярно векторам Е и В (рис. 162, а) Найти скорость движения электронов. Как будут двигаться электроны, если электрическое поле выключить? Каков радиус кривизны траектории электронов в этом случае?
Дано:七=103 В/м; В = 1 мТл = 10-3 Тл.
y — ? R — ?
Решение. На электрон в электрическом и магнитном полях действуют силы
尸зп = еЕ,尸маг =吊=evB (sina = 1). (1) Поскольку электрон движется прямолинейно и равномерно, электрическая и магнитная силы взаимно уравновешены. Запишем условие равновесия электрона в проекциях на ось У (рис. 162, б):
или, учитывая выражения (1), evB — eE = Q, откуда и = Е/В; V = (103/10~3) м/с= 106 м/с.
Если выключить электрическое поле, то на электрон будет действовать только магнитное поле с силой
尸 маг ==尸л == еи8.
Поскольку скорость электрона перпендикулярна силе Лоренца, электрон будет двигаться по окружности. По второму закону Ньютона, 戶 л = т*
Учитывая выражение (1) и то, что а“ = М/R, получаем evB = m(?/R, откуда
R =R =R =R =9」"ОН ・1()б9」"ОН ・1()бм = 5,7 • 10~3 м.м = 5,7 • 10~3 м.
R =
R =
R =
R =
9」"ОН ・1()б
9」"ОН ・1()б
м = 5,7 • 10~3 м.
м = 5,7 • 10~3 м.
Объяснить, почему два проводника, по которым текут токи в одном направлении, притягиваются.
Отв. Вокруг первого проводника возникает магнитное поле, направление линий индукции которого найдем по правилу буравчика (рис. 163). Второй проводник будет находиться в этом поле. Так как по второму проводнику течет ток, то на него действует сила Ампера 尸2, направ* ление которой находим по правилу левой руки. Аналогично можно показать, что и на первый проводник действует сила Ампера 尸【，равная F2.
Как будут вести себя два проводника с токами, расположенные перпендикулярно друг другу (рис. 164)?
Отв. Вокруг проводника с током 八 возникает магнитное поле с индукцией Вь На участок АО второго проводника действует сила Ампера 户ь направленная по правилу левой руки вниз, а на участок ОС действует сила Ампера 尸2, направленная вверх. Эта пара сил начнет вращать проводник АС вокруг точки О против часовой стрелки.
Рис. 163Рис. 163Рис. 164Рис. 164
Рис. 163
Рис. 163
Рис. 164
Рис. 164
Аналогично можно показать, что одновременно первый проводник начнет вращаться вокруг точки О по часовой стрелке.
Упражнения
Найти индукцию магнитного поля в точке, отстоящей на 2 см от бесконечно длинного прямого провода, по которому течет ток 5 А.
Найти индукцию магнитного поля в центре кругового проволочного витка радиусом 1 см, по которому течет ток 1 А.
Принимая, что электрон в атоме водорода вращается по круговой орбите радиусом 0,53* 10~8 см, определить индукцию магнитного поля в центре орбиты. Круговой ток, эквивалентный движущемуся электрону, принять равным 0,01 мА.
Вычислить магнитную индукцию внутри соленоида с железным сердечником, если на 40 см его длины намотано 400 витков проволоки. По виткам течет ток 8 А, магнитная проницаемость железа 183.
По двум длинным параллельным проводам, расстояние между которыми 16 см, текут в противоположных направлениях токи по 30 А каждый. Определить индукцию магнитного поля в точке, расстояние от которой до обоих проводов одинаково и равно 10 см.
На прямой проводник длиной 0,5 м, расположенный перпендикулярно силовым линиям поля с индукцией 2-10-2 Тл, действует сила 0,15 Н. Найти силу тока, протекающего по проводнику.
Электрон влетает в однородное магнитное поле, индукция которого 20 мТл, перпендикулярно силовым линиям поля со скоростью 10“ см/с. Вычислить радиус окружности, по которой будет двигаться электрон.
Протон движется со скоростью 108 см/с перпендикулярно однородному магнитному полю с индукцией 1 Тл. Найти силу, действующую на протон, и радиус окружности, по которой он движется.
Электрон описывает в магнитном поле окружность радиусом 4 мм. Скорость электрона 3,6* 106 м/с. Найти индукцию магнитного поля.
Как направлена сила, с которой магнитное поле Земли действует в северном полушарии на горизонтальный проводник с током, если этот проводник расположен в плоскости магнитного меридиана, а ток по нему идет с севера на юг?
Работа по перемещению проводника с токомв магнитном поле.
Электромагнитная индукция. Энергия магнитного поля
Поток индукции магнитного поля (магнитный поток) сквозь плоскую поверхность S в случае однородного магнитного поля с индукцией В
Ф = BScosa,
где а ——угол между направлениями векторов магнитной индукции В и нормали п к плоской поверхности S.
Элементарная работа магнитного поля по перемещению в нем проводника с током
(1Д = /d ①，
где / ——сила тока в проводнике; d①——изменение магнитного потока.
Полная работа перемещения проводника с током
А =，/dO = /(①2 -①i) = МФ.
ЭДС индукции, возникающая в соленоиде, связана со скоростью изменения магнитного потока соотношением
где ^ ——число витков в соленоиде; ДФ = Ф2 —Ф| ——изменение магнитного потока; А/=/2-/1 — время его изменения.
Направление индукционного тока в замкнутом проводнике можно определить по правилу Ленца.
ЭДС самоиндукции, возникающая в соленоиде под влиянием изменения его собственного магнитного потока.
где А/ =，2 —/| — изменение силы тока в соленоиде; Л/ = /2 — ^1 — время его изменения; L ——индуктивность соленоида.
Индуктивность соленоида
L =卩о 卩％2/S,
где и = N/I ——число витков, отнесенное к длине соленоида; ^ ——полное число витков в соленоиде; / ——длина
соленоида; S ——площадь поперечного сечения соленоида; 卩——магнитная проницаемость среды, заполняющей соленоид.
Энергия магнитного поля соленоида
К = и?/?. * **
534°. В однородном магнитном поле, индукция которого 1 Тл, движется равномерно прямой проводник длиной 20 см, по которому течет ток 2 А. Скорость проводника равна 15 см/с и направлена перпендикулярно вектору индукции. Найти работу перемещения проводника за 5 с.
Дано: В = 1 Тл; / = 20 см = 0,2 м; / = 2 А;
и = 15 см/с = 0,15 м/с; / = 5 с.
Д — ?
Решение. По определению, полная работа по перемещению проводника в магнитном поле
4 =①，⑴
где d①=BdS ——магнитный поток сквозь площадку dS, который пересекает проводник при своем движении за промежуток времени d/ (рис. 165).
Из рисунка видно, что dS ——площадь параллелограмма abЬ'а' со сторонами ab = / н aaz = vAt. Следовательно, dS == lv&ty тогда
d ①—Blvdt. (2)
Подставим выражение (2) в подынтегральное выражение (1) и произведем операцию интегрирования:
Л = J IBlvdt = IBlv^ d/ = IBlvt\Л=2.1.0,2.0,15.5Дж = 0,3 Дж.535. В однородном магнитном поле, индукция которого 0,25 Тл, находится плоская катушка радиусом 25 см, содержащая 75 витков.- Плоскость катушки составляет угол 60° с направлением вектора индукции. ОпределитьЛ = J IBlvdt = IBlv^ d/ = IBlvt\Л=2.1.0,2.0,15.5Дж = 0,3 Дж.535. В однородном магнитном поле, индукция которого 0,25 Тл, находится плоская катушка радиусом 25 см, содержащая 75 витков.- Плоскость катушки составляет угол 60° с направлением вектора индукции. ОпределитьXXь Гь Г一» /一» /dSdS®®®®Z аZ а
Л = J IBlvdt = IBlv^ d/ = IBlvt\
Л=2.1.0,2.0,15.5Дж = 0,3 Дж.
535. В однородном магнитном поле, индукция которого 0,25 Тл, находится плоская катушка радиусом 25 см, содержащая 75 витков.- Плоскость катушки составляет угол 60° с направлением вектора индукции. Определить
Л = J IBlvdt = IBlv^ d/ = IBlvt\
Л=2.1.0,2.0,15.5Дж = 0,3 Дж.
535. В однородном магнитном поле, индукция которого 0,25 Тл, находится плоская катушка радиусом 25 см, содержащая 75 витков.- Плоскость катушки составляет угол 60° с направлением вектора индукции. Определить
X
X
ь Г
ь Г
一» /
一» /
dS
dS
®
®
®
®
Z а
Z а
вращающий момент, действующий на катушку в магнитном поле, если по виткам течет ток 3 А. Какую работу надо совершить, чтобы удалить катушку из магнитного поля?
Дано: В = 0,25 Тл; R = 25 см = 0,25 м; ^ = 75;
(Р = 60° = л/3 рад; / = 3 А.
М — ? %вн — ?
Решение. На катушку, содержащую ^ витков, со стороны магнитного поля действует вращающий момент
М = NpmBs\na.
Учитывая, что pm = /S, S = nR? и а=л/2 —屮(рис. 166), преобразуем выражение (1):
М = NInR2B sin(n/2 —<р) = N/nR28 cos屮；
M = 75 - 3.3,14 - 0,252cos(n/3) = 5,5 Н-м.
Работа магнитного поля при удалении из него катушки Л = /(① 2 —① 1).
Иначе, чтобы удалить катушку из поля, к ней надо приложить внешнюю, например механическую, силу, которая совершит при этом работу
4H = —Л = /(① 1 —① 2).(2)
Здесь ①[ = N8Scosa; Фг = 0, так как Вг = 0. Подставляя эти выражения в формулу (2) и учитывая, что S = л/?', получаем
Лвн = /^Bл/?2cos(л/2 — ф) = INBnR'sinq;
4H = 3.75.0,25.3,14.0,252 sin(л/3) = 8,6 Дж.
В однородном магнитном поле индукцией 4・10~"2 Тл находится круговой виток радиусом 5 см, по которому течет ток 1 А. Виток расположен так, что его плоскость перпендикулярна индукции поля. Какую работу надо совершить, чтобы повернуть виток на 90° вокруг оси, совпадающей с его диаметром (рис. 167) ?
Дано: R = 5 см = 5・ 10-2 м; / = 1 А,
<р = 90° =几/2 рад;
8 = 4.10~2Тл.
4H — ?
Решение. Начальное положение витка с током является
Рис. 167Рис. 167положением устойчивого равновесия, так как вращающий момент в этом положении равен нулю. Поэтому при повороте витка магнитное поле совершает отрицательную работу, а работа внешней силы положительна. По определению, работа магнитного поля при повороте рамки
Рис. 167
Рис. 167
(1)И ①2 =магнитной(1)И ①2 =магнитнойЛ = /(① 2 —① i), где Ф1 = BS cos ai =BS cos a2 — поток
(1)
И ①2 =магнитной
(1)
И ①2 =магнитной
индукции сквозь плоскость витка в его начальном и конечном положениях; S = nR?——площадь поверхности, ограниченная витком с током. Так как ai = 0 и аг = л/2,
то
①I = Sn/?2cosai,①2 = BjiR2coscХ2.
Тогда выражение (1) примет вид
Л = /8ji7?2(cosa2 — Coss).
Так как Лвн = ——』, то работа внешней силы, поворачивающей виток с током,
Лвн = /Sn/?2(cosai —cosoc2)；
4H = 1 ・4・ 10-2.3,14.(5・ ]о-2)2.(]-о)Дж =
= 3,14.10~4 Дж.
Прямой проводник длиной 1,5 м, движущийся равноускоренно в однородном магнитном поле с начальной скоростью 3 м/с и ускорением 10 м/с2, переместился на расстояние 0,5 м. Найти среднюю ЭДС индукции в проводнике. Индукция магнитного поля равна 0,2 Тл и направлена перпендикулярно скорости движения проводника. Найти также мгновенное значение ЭДС индукции в проводнике в конце перемещения.
Дано: / r 1,5 м; и。= 3 м/с; а = 10 м/с2; Ах = 0,5 м; 8 = 0,2 Тл.
Решение. По закону Фарадея, ЭДС индукции в проводнике, движущемся с некоторой скоростью в магнитном поле,
£=一需， ⑴
BlAxА/BlAxА/где ДФ = BAS ——магнитный поток, пересеченный проводником при его движении в магнитном поле за промежуток времени Д/ (рис. 168). Из рисунка видно, что площадь AS, пронизываегде ДФ = BAS ——магнитный поток, пересеченный проводником при его движении в магнитном поле за промежуток времени Д/ (рис. 168). Из рисунка видно, что площадь AS, пронизываемая магнитным можно найти прямоугольника AS = /Ах. Тогда [см. (1)]мая магнитным можно найти прямоугольника AS = /Ах. Тогда [см. (1)]потоком ДФ, как площадьOabc, т. е.А①= В/А% ипотоком ДФ, как площадьOabc, т. е.А①= В/А% и=—Blv.=—Blv.⑵⑵
BlAx
А/
BlAx
А/
где ДФ = BAS ——магнитный поток, пересеченный проводником при его движении в магнитном поле за промежуток времени Д/ (рис. 168). Из рисунка видно, что площадь AS, пронизывае
где ДФ = BAS ——магнитный поток, пересеченный проводником при его движении в магнитном поле за промежуток времени Д/ (рис. 168). Из рисунка видно, что площадь AS, пронизывае
мая магнитным можно найти прямоугольника AS = /Ах. Тогда [см. (1)]
мая магнитным можно найти прямоугольника AS = /Ах. Тогда [см. (1)]
потоком ДФ, как площадь
Oabc, т. е.
А①= В/А% и
потоком ДФ, как площадь
Oabc, т. е.
А①= В/А% и
=—Blv.
=—Blv.
⑵
⑵
Если при неравномерном движении проводника в магнитном поле в качестве скорости и возьмем среднюю скорость движения проводника, то по формуле (2) вычислим среднее значение ЭДС индукции:
〈£〉= -B/〈Q.
Средняя скорость равнопеременного движения
〈Q = (°о + и)/2; и2 — ио = 2аЛх,
откуда V = У唸+2qAx ——конечная скорость этого дви
жения. Следовательно,〈и〉= (и°+ Уг^ + г^+ааДх)/2. Тогда
⑹8/。。+ V 挤 + 2小.
(g> = -0,2. 1,5a十週^二°：". B = -0,99 b.
Аналогично, если и ——мгновенная скорость движения проводника, то мгновенная ЭДС индукции
£= —Blu、(3)
где V = У岔 + 2аА% ——мгновенная скорость в конце перемещения. Тогда выражение (3) примет вид
£ = —Bl\и? + 2аДх ;
£ = —о,2• 1,5^32+2• 10• 0,5 В = -1,08 В.
538°. Рамка, по которой проходит ток, равномерно вращается в однородном магнитном поле, индукция которого 4 мТл, с частотой 20 с"1. Площадь рамки 20 см2.
心阳8
Ось вращения рамки лежит в ее плоскости и перпендикулярна вектору индукции поля. Найти максимальный магнитный поток сквозь плоскость рамки и ЭДС индукции, возникающей в рамке при ее вращении. Построить графики зависимости магнитного потока и ЭДС индукции от времени.
Дано: 8 = 4 мТл — 4 • 10~3 Тл; v = 20 с-1, S = 20 см2 = =2・IO-' м2
①макс ? & макс ?
Решение. Магнитный поток сквозь плоскость рамки Ф = BScosa,
где а ——угол между нормалью к плоскости рамки и направлением вектора магнитной индукции. При равномерном вращении рамки угол а изменяется со временем по закону a=sf; следовательно,
Ф = BScosmt.(1)
По закону Фарадея, ЭДС индукции
или с учетом выражения (1)
£= —^(BScoss/) = BSo)sin(oZ(2)
Рис. 170Рис. 170Из выражения (1) видно, что магнитный поток при вращении рамки имеет максимальное значение в моменты времени, когда cos(о/= 1. При этом
Рис. 170
Рис. 170
①=① макс ^ BS ；①макс == 4 • 1 0 ^ X X 2・ 10二з В6 = 8 мкВб.
Аналогично, из выражения (2) на
ходим максимальную ЭДС индукции в рамке: &макс = = BSg), или, поскольку(о = 2nv.
召 макс = BS2nV；
£макс = 4・1СГ3.2・1о-з.2・з,14・2о В 1 мВ.
Пользуясь формулами (1) и (2), построим графики зависимости ① и £ от времени / (рис. 169). Поскольку(о = 2л/Т, при построении графиков удобнее рассмотреть моменты времени f, соответствующие /Т,力丁，九丁，т.
539°. Прямоугольная рамка площадью 500 см2, состоящая из 200 витков провода, равномерно вращается в однородном магнитном поле вокруг оси, проходящей через ее центр параллельно одной из ее сторон (рис. 170), с частотой 10 с-1. При этом в рамке индуцируется ЭДС, максимальное значение которой 150 В. Найти индукцию магнитного поля.
Дано: S = 500 см2 = 5• 10-2 м2; "= 200; v = 10 с~';
飢кс= 150 В.
8 — ?
Решение. По закону Фарадея, в рамке, состоящей из ^ витков, вращающейся в магнитном поле, возникает ЭДС индукции
где Ф = BScoso)/ и со = 2nv. Подставляя эти выражения в формулу (1) и производя операцию дифференцирования, получаем
£= — ^-~-(BScos2лv) = ^BS2лvsin2лvf.
ЭДС индукции максимальна в моменты времени, когда sin2jwf = 1:
后=£макс = N В S2nz、
откуда
8 = ^7； 8= zoo© 运鵠 ан® Тле 0,24 Tn.
Алюминиевое кольцо расположено в однородном магнитном поле так, что его плоскость перпендикулярна вектору магнитной индукции поля. Диаметр кольца 25 см, толщина провода кольца 2 мм. Определить скорость изменения магнитной индукции поля со временем, если при этом в кольце возникает индукционный ток 12 А.
Дано: D = 25 см = 0,25 м; d = 2 мм = 2・ 10-3 м; / = 12 А.
ДВ/Д/—?
Решение. По закону Фарадея,
点一 ДФ
Здесь Ф = BS — магнитный поток сквозь поверхность, ограниченную кольцом. Поскольку площадь S поверхности постоянна, можно написать
△①= A(8S) = SA8 и £=-S磐，(1)
откуда IA8/A力=£/S. Так как поверхность, ограниченная кольцом,——круг, то ее площадь
S =冗加/4(2)
По закону Ома для замкнутой цепи,
£=/R,
где R = p//Snp ——сопротивление кольца. Так как длина кольца / = rD、а площадь сечения провода кольца Snp = =nJ2/4, то выражение для сопротивления кольца можно записать в виде R = 4pD/d? Тогда
8=4р£)/“.(3)
Подставляя выражения (2) и (3) в (1), получаем
I ЛВ I 16.12-0,26. 10-7 Тл 〜IUT /
1~Дt1 =u而舍：(2. 10一呼〜],6 Tл/e.
Соленоид, состоящий из 80 витков и имеющий диаметр 8 см, находится в однородном магнитном поле, индукция которого 60,3 мТл. Соленоид поворачивается на
угол 180° в течение 0,2 с. Найти среднее значение ЭДС, возникающей в соленоиде, если его ось до и после поворота направлена вдоль поля.
Дано: ^ = 80; d = 8 см = 8・ 10-2 м; ai = 0 рад; а2 = 180° у 弋 3,14 рад; А/ = 0,2 с; 8 = 60,3 мТл = 60,3* 10-3 Тл.
Решение. ЭДС, возникающая в соленоиде, £=_2叫(1)
где АФ = ф2 —Ф1 = SS(cosa2 — cosai) — изменение магнитного потока, пронизывающего соленоид при его повороте на 180°. Так как S = nd2/4, cosa2 = —1, cosai = 丄1, то
ДФ = —2Bnd2/4 = —8冗//2・(2)
Подставив выражение (2) в (1), найдем
£_ NBnd .忠—80・60,3・ 10—3.3,14(8.10-2)2「
Катушку с ничтожно малым сопротивлением и индуктивностью 3 Гн присоединяют к источнику тока с ЭДС 15 В и ничтожно малым внутренним сопротивлением. Через какой промежуток времени сила тока в катушке достигнет 50 А?
Дано:昌=15 В; / = 50 A; L = 3 Гн.
Решение. По закону Ома для замкнутой цепи,
£=/(/? +「)，
где S——полная ЭДС в цепи, равная в данном случае сумме ЭДС источника 历 и ЭДС самоиндукции 统，возникающей после присоединения катушки к источнику. Следовательно,
£= 8 + 员=挤 一 L* = /(R+厂)，(1)
где £ 2 = —L(A〃Af) — ЭДС самоиндукции.
По условию задачи, сопротивления R и г ничтожно малы, поэтому выражение (1) можно записать в виде £[——L^-比 0, откуда скорость изменения силы тока
_ IL=万;_ IL=万;Так как скорость изменения силы тока постоянна, то I = ^~t, откуда f = -^-, или с учетом выражения (2)
_ IL
=万;
_ IL
=万;
10 с.10 с.50-3 с =
10 с.
10 с.
15
Соленоид диаметром 10 см и длиной 60 см имеет 1000 витков. Сила тока в нем равномерно возрастает на 0,2 А за 1 с. На соленоид надето кольцо из медной проволоки, имеющей площадь поперечного сечения 2 мм2. Найти силу индукционного тока, возникающего в кольце.
Дано: D = 10 см = 0,1 м; / = 60 см = 0,6 м; N = 103;
Д//Д/ = 0,2 А/с; Snp = 2 мм2 = 2・ 10—6 м?.
/к — ?
Решение. При изменении силы тока в соленоиде возникает ЭДС самоиндукции
8= —L —
где L = ц0ц^2/5 —— индуктивность соленоида. Так как п= N/1, и S = л£>2/4, то индуктивность соленоида
L =卩011nz)2炉/(4/),
тогда
g _卩0卩门02紹А/
=4/
ЭДС индукции £к, возникающая в одном кольце, в N раз меньше, чем найденное выше значение ЭДС самоиндукции в соленоиде, состоящем из ^ витков, т. е.
⑴⑴g — 8 —No卩门炉2 a/
⑴
⑴
к ==4/д7
По закону Ома для замкнутой цепи, сила индукционного тока в кольце
/К = М к Rk '
где /?к = р/к/Snp ——сопротивление кольца. Так как 厶=nD, то
RypnD/Sa Тогда 厶=^^,
или с учетом выражения (1)
n0卩《DS叩А/ .
'~4/рДГ*
• 0,2 А ^ 1,23 мА.• 0,2 А ^ 1,23 мА.4.3,14-10-7-103.0,1-2-10-6
• 0,2 А ^ 1,23 мА.
• 0,2 А ^ 1,23 мА.
4 • 0,6 • 1,7 "0二 8
Соленоид длиной 50 см и диаметром 0,8 см имеет 20 000 витков медного провода и находится под постоянным напряжением. Определить время, в течение которого в обмотке соленоида выделится количество теплоты, равное энергии магнитного поля в соленоиде.
Дано: / = 50 см = 0,5 м; Z) = 0,8 см = 0,8-10-2 м; N = 2・ 10t
Решение. По закону Джоуля — Ленца, количество теплоты, выделившееся в обмотке соленоида при протекании по ней постоянного тока за время /,
Q = PRt,
где R = p//Snp — сопротивление медного провода обмотки соленоида. Длина провода, намотанного на соленоид, равна произведению длины одного витка на число витков в соленоиде: / = tiDN. Площадь поперечного сечения провода 5叩=冗嗚/4. Поскольку витки соленоида намотаны вплотную друг к другу, диаметр провода dnp = 1/N. Тогда 5叩=л/2/(4斤2) н R = 4pDN3/r. Следовательно,
Q = 4/2pQN3〃/2 (1)
Энергия магнитного поля соленоида
步=厶尸/2,(2)
где L = цо|лм2/5 — индуктивность соленоида.
Так как число витков, отнесенное к длине соленоида, и площадь поперечного сечения соленоида соответственно равны м = N/I и S = nD2/4, то индуктивность соленоида
L = ^kD2N2/{41).(3)
Учитывая выражение (3), перепишем формулу (2):
闪=网产炉炉/2/(8/).(4)
Приравнивая по условию задачи выражения (1) и (4), получаем /ЧрОМ*//? = \jlo^D2N2I2/{81), откуда
ЦО|АЛР/
с= 1,45-10~6 с.с= 1,45-10~6 с.4• 3,14 "(Т7. 1 314 .0& 10-2.0,532・1,7・1(Г%2・К?
с= 1,45-10~6 с.
с= 1,45-10~6 с.
В каком направлении пойдет ток через амперметр в момент размыкания цепи ключом К (рис. 171)?
Ж
Рис. 171Рис. 171Отв. До размыкания цепи по соленоиду и амперметру текут токи /1 и Л. После размыкания цепи в катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая будет стремиться поддержать силу тока в катушке прежней; этот индукционный ток пойдет через амперметр, и стрелка его отклонится в направлении, противоположном первоначальному.
Рис. 171
Рис. 171
Упражнения
для перемещениядля перемещенияКакую работу надо совершить
для перемещения
для перемещения
проводника длиной 40 см, по которому течет ток 21 А в однородном магнитном поле с индукцией 1,2 Тл на 25 см? Проводник движется перпендикулярно линиям индукции.
В однородном магнитном поле с индукцией 0,06 Тл находится прямоугольная рамка площадью 40 см2. Рамка состоит из 200 витков и может вращаться вокруг оси, перпендикулярной линиям индукции поля. Когда по виткам течет ток 0,5 А, рамка располагается перпендикулярно линиям индукции поля. Какую работу надо совершить, чтобы повернуть рамку из этого положения на 九 оборота, на % оборота, на целый оборот?
В однородном магнитном поле находится плоский виток площадью 10 см2, расположенный перпендикулярно линиям индукции. Найти силу тока, текущего по витку, если поле убывает с постоянной скоростью 0,1 Тл/с. Сопротивление витка 10 Ом.
В катушке длиной 50 см и диаметром 10 см, имеющей 1000 витков, сила тока равномерно увеличивается на 0,1 А за 1 с. На катушку надето кольцо из медной проволоки сечением 2 мм2. Найти силу тока в кольце, считая, что магнитные потоки в соленоиде и кольце одинаковы.
Квадратная рамка из медной проволоки, площадь которой 25 см2, помещена в магнитное поле с индукцией 0,1 Тл. Нормаль к рамке параллельна вектору магнитной индукции поля. Площадь сечения проволоки 1 мм2. Какой заряд пройдет по рамке после выключения поля?
Рамка, имеющая 30 витков, вращается около горизонтальной оси, лежащей в ее плоскости и перпендикулярной плоскости магнитного меридиана, с частотой 10 c~L Напряженность магнитного поля Земли 40 А/м. В рамке индуцируется максимальная ЭДС 0,001 В. Найти площадь рамки.
Между полюсами динамомашины создано поле с индукцией 0,7 Тл. Якорь машины состоит из 100 витков площадью 500 см каждый. Найти частоту вращения якоря, если в нем индуцируется максимальная ЭДС 200 В.
По катушке длиной 20 см и диаметром 3 см, имеющей 400 витков, течет ток 2 А. Найти индуктивность катушки и магнитный поток, пронизывающий ее сечение.
Если сила тока, проходящего в соленоиде, изменяется на 50 А в секунду, то на концах обмотки соленоида возникает ЭДС самоиндукции 0,08 В. Определить индуктивность соленоида.
Катушка, содержащая 100 витков, замкнута накоротко и находится в магнитном поле напряженностью 9,6 кА/м. Площадь каждого витка 5 см2, а их плоскости перпендикулярны линиям индукции магнитного поля катушки. Какой заряд пройдет по катушке, если ее удалить из поля? Сопротивление катушки 2 Ом.
Обмотка электромагнита имеет индуктивность 0,5 Гн, сопротивление 15 Ом и находится под постоянным напряжением. Определить время, в течение которого в обмотке выделится количество теплоты, равное энергии магнитного поля в сердечнике электромагнита.
Замкнутый соленоид с железным сердечником длиной 150 см и сечением 20 см2 содержит 1200 витков. Определить энергию магнитного поля соленоида, если по нему проходит ток 1 А. Магнитная проницаемость железа 1400.
Вопросы для повторения
дукции сквозь площадку? Назовите единицу магнитного потока. 9. Напишите формулу для расчета работы по перемещению проводника с током в магнитном поле. 10. Что называет* ся явлением электромагнитной индукции? 11. Сформулируйте правило Ленца. 12. Сформулируйте закон Фарадея для электромагнитной индукции. 13. Что называется явлением самоиндукции? 14. Напишите выражение для ЭДС самоиндукции. 15. Дайте определение индуктивности. t6. Напишите выраже* ние для индуктивности соленоида. 17. Назовите единицу ин> дуктивности. 18. Чему равна энергия магнитного поля соленоида?
ГЛАВА IV
ОПТИКА
ОСНОВНЫЕ ФОТОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ
Световой поток определяется световой энергией, излучаемой точечным источником света, отнесенной ко времени излучения:
Сила света определяется световым потоком Ф, излучаемым точечным источником света, равномерно распределенным внутри телесного угла со:
где Ф — световой поток.
Телесным углом называется пространственный угол, ограниченный конической поверхностью, вершина которой совпадает с точечным источником света, а площадь основания S является частью сферической поверхности радиуса R:
Освещенность определяется световым потоком, отнесенным к площади S поверхности, на которую он падает:
Р① пад
Освещенность, создаваемая точечным источником, на расстоянии г от него
£ = -^-cosa,
где а ——угол между падающим лучом и перпендикуляром к поверхности в точке падения луча.
Светимость источника определяется световым пото-
ком Ф, испускаемым светящейся поверхностью, отнесенным к площади S этой поверхности
Яркость источника в некотором направлении 屮 определяется силой света / источника в этом направлении, отнесенной к площади S поверхности источника:
В =/
Scostp '
где ф ——угол между нормалью к площади S и направлением наблюдения.'
Светимость и яркость источника связаны следующим соотношением:
R = лВ.
* **
558・ Вычислить световой поток, падающий на площадку 10 см2, расположенную на расстоянии 2 м от источника, сила света которого 200 кд.
Дано: S = 10 см2 = 10-3 м2; г = 2 м; / — 2 • 102 кд.
Ф—?
Решение. Примем, что источник находится в центре сферы радиусом г. Площадка S составляет часть площади поверхности сферы. Тогда освещенность площадки
? = "产，(1)
так как а = 0. Иначе:
£ =①/S.(2)
Приравнивая правые части соотношений (1), (2), находим 1/г2 =①/S, откуда
力 AS е 2・ В. io—
Ф = г ;①=j3лм = 0,05 лм.
Две электрические лампочки, поставленные рядом, освещают экран. Расстояние от лампочек до экрана 1 м. Одну лампочку погасили. На сколько нужно приблизить экран, чтобы освещенность его не изменилась?
Дано:门=> 1 м.
Аг — ?
Рис. 172Рис. 172Решение. Освещенность экрана, создаваемая двумя лампочками,
Рис. 172
Рис. 172
日=小+基=2//并, где £i и £2 — освещен-
ности экрана, создава
емые каждой лампочкой отдельно.
После того как одну лампочку погасили, а вторую приблизили к экрану, освещенность экрана стала равна
Еп = 〃/1,
где /*2 — новое расстояние от лампочки до экрана.
По условию задачи, £i = £ц, тогда 2//广彳=//厂幺 откуда 「2 =，г?/2 = /*i/V^ . Следовательно,
А厂=门一厂2 =门—ri/V^ =门(1 — 1/V2 )；
Ar = 1(1 - 1/1,41) м « 0,3 м・
По обе стороны от точечного источника света на одинаковых расстояниях, равных 1 м, помещены экран и плоское зеркало, плоскости которых параллельны (рис. 172). Какова освещенность, создаваемая в центре экрана, если сила света источника 2 кд?
Дано: /• = 1 м; / = 2 кд.
Е — ?
Решение. Освещенность экрана создается лучами, непосредственно падающими от источника S (например, луч /), и лучами, падающими после отражения от зеркала (например, луч 2). Лучи, падающие на экран после отражения от зеркала, можно рассматривать как лучи от источника S' — мнимого изображения источника S в зеркале, находящегося на расстоянии г за зеркалом. Так как при отражении от плоского зеркала телесный угол, в котором распространяются падающие лучи не меняется, то источник S' имеет ту же силу света, что и источник S. Тогда освещенность экрана
Е = 6 + 邑=〃并 + //rl
где /ч = г,「2 = 3，. Следовательно,
гI /10/ п 10・2 с с
Е = 7Г + 寸=中；Е = -дтр ЛК ^ 2,2 лк.
На какой угол нужно повернуть площадку, чтобы ее освещенность уменьшилась вдвое по сравнению с той освещенностью, которая была при перпендикулярном падении лучей?
Дано: Ei = 0,5 Fi.
0 - ?
Решение. Освещенность площадки при перпендикулярном падении лучей
Е = 〃宀(1)
Освещенность той же площадки при наклонном падении лучей
⑵⑵Ег = /cosa/r2.
⑵
⑵
По условию задачи,七2 = 0,5£\. Учитывая выражения (1) и (2), получаем / cosa/r2 = 0,5//г2, откуда cos a = 0,5; a ^ 1,05 рад.
На высоте 5 м висит лампа и освещает площадку на поверхности земли. На каком расстоянии от центра площадки освещенность поверхности земли в два раза меньше, чем в центре (рис. 173) ?
Дано: /i = 5 м; Ео = 2Е.
Решение. Освещенность поверхности земли в центре площадки
Ео = ///Л
Рис. 173Рис. 173Освещенность поверхности земли на расстоянии / от центра площадки
Рис. 173
Рис. 173
f=/cos а/产.
Из рисунка вудн&, что cosa = —h/r, rj= Mg? + J： Тогда Е = =+ Учитывая, что Ео = 2£, получаем ///12 = 2/>< X/2)3, откуда
/ = 5y〃4 — 1 м a 3,83 м.
Купол, имеющий форму полусферы радиусом 1 м, осве-
Рис. 174Рис. 174щается двумя одинаковыми лампами, подвешенными на высоте 2 м над поверхностью земли и находящимися друг от друга на том же расстоянии (рис. 174). Определить освещенность в точках полусферы, находящихся на минимальном расстоянии от одного из источников, если полный световой поток, создаваемый каждой лампой, 103 лм.
Рис. 174
Рис. 174
Дано: R = 1 м;九=2 м; / = 2 м; Ф = 103 лм.
Е— ?
Решение. На минимальном расстоянии от источника А находится точка С, лежащая на прямой, соединяющей источник Л с центром полусферы О (рис. 174). Освещенность в точке С создается источниками, находящимися в точках А и В, отстоящих от нее на расстояниях 14cl =厂1 и \ВС\ = /*2・ Следовательно, освещенность в точке С
Е = /cosai/r? + /cosa2/r2,(1)
где
/ =①/ (4л); ai = 0,(2)
так как луч АС идет по направлению радиуса полусферы и совпадает с направлением нормали к поверхности полусферы в точке падения. Угол а2 найдем из 4 АВС по теореме косинусов:
cosa2 = (г? + г I — /2)/(2г!Г2).(3)
Из рисунка видно, что
门=|ДО| 一 |ОС|,(4)
где \ОС\ — R. Из △ AOD найдем, что
\аo\ ==V/2/|+庐.
Так как, по условию задачи,
/ = ft = 2R,(5)
то |ДО| =火寸5 2,24R. Подставим выражения для |40| и \ОС\ в равенство (4):
门= 2,24/?-/?^ 1,24/?.(6)
Из △ АВС по теореме косинусов определим
務=并 + /2 — 2广"cosp,(7)
причем cos В можно найти из △400, учитывая, что \AD\ = //2 = R. Тогда
cosB = ^=^7^0,45・(8)
Подставим выражения (6), (5) и (8) в (7);
/1 = (1,24R)2 + 4R2 一 4・ 1,24R2.o,45 ^ з&.
откуда
厂2^ 1,73/?.(9)
Подставим выражения (5), (6) и (9) в (3):
(10)(10)(l,24R)2 + (l,73R)2 — 4R22・1,24R・1,73R
(10)
(10)
Подставим выражения (2), (6), (9) и (10) в (1):
Ф Г 1,0,12 ]0,69Ф 〜Ф
Е = Td (1,24R)2 + (1,73/?)^ J ^ T^ ~ 0,055 R
口 0,055- 103“
七=лк = 55 лк.
Найти освещенность поверхности Земли, создаваемую нормально падающими солнечными лучами. Яркость Солнца 1,2« 109 кд/м2. Расстояние от Земли до Солнца 1,5-108 км, радиус Солнца 7 • 105 км.
Дано: 8 = 1,2-109 кд/м2; г = 1,5-108 км= 1,5- 10й м;
R = 7« 105 км = 7 • 108 м.
e — ?
Решение. Вследствие большого расстояния от Земли до Солнца считаем, что лучи, падающие от Солнца на Землю, идут параллельным пучком. Принимая Солнце за плоский светящийся диск, находим, что его яркость
В = 2//S,
где S = я/?2. Коэффициент 2 введен ввиду того, что плоский диск излучает по двум направлениям. Тогда В = 2//ER2), откуда
/ = лВ/?2/2. (1)
По условию задачи, cos а = 1. Тогда освещенность поверхности Земли
⑵⑵£ = 〃户
⑵
⑵
Подставляя выражение (1) в (2), получаем
UЗД4И,2.109(7.108)2q . п4
Е 2-(1,5-10м)2〃К 8 • 1° ЛК.
Электрическая лампа, сила света которой 100 кд, заключена в матовый сферический плафон диаметром 5 см. Найти светимость и яркость лампы. Поглощением света стеклом плафона можно пренебречь.
Дано: / = 100 кд; £> = 5 см == 5- Ю-2 м.
R — ? 8 — ?
Решение. Светимость источника
R =①/S,
где ①=/о)— излучаемый световой поток; со = 4л — полный телесный угол; S = л/)2. Тогда
R =R =4 л/4/4 л/4/
R =
R =
4 л/4/
4 л/4/
R =1*6“1°5 〃м/м2.
Яркость лампы
п R 01,6・ 105 Kд42
8=『8 = —3」4ML = 5,1 ・ 10 кд/м .
566. Лампа силой света 60 кд применяется для пе566. Лампа силой света 60 кд применяется для печатания фотоснимка. Если стоянии 1,5 м от снимка, 2,5 с. Определить время лампу силой света 40 кд, нии 2 м от снимка.чатания фотоснимка. Если стоянии 1,5 м от снимка, 2,5 с. Определить время лампу силой света 40 кд, нии 2 м от снимка.лампу расположить на рас- то время экспозиции равно экспозиции, если применить расположенную на расстоя-лампу расположить на рас- то время экспозиции равно экспозиции, если применить расположенную на расстоя-
566. Лампа силой света 60 кд применяется для пе
566. Лампа силой света 60 кд применяется для пе
чатания фотоснимка. Если стоянии 1,5 м от снимка, 2,5 с. Определить время лампу силой света 40 кд, нии 2 м от снимка.
чатания фотоснимка. Если стоянии 1,5 м от снимка, 2,5 с. Определить время лампу силой света 40 кд, нии 2 м от снимка.
лампу расположить на рас- то время экспозиции равно экспозиции, если применить расположенную на расстоя-
лампу расположить на рас- то время экспозиции равно экспозиции, если применить расположенную на расстоя-
Дано:厶=60 кд;门=1,5 м;Дано:厶=60 кд;门=1,5 м;6 = 2,5 с; /2 = 40 кд;「2 = 2 м6 = 2,5 с; /2 = 40 кд;「2 = 2 м
Дано:厶=60 кд;门=1,5 м;
Дано:厶=60 кд;门=1,5 м;
6 = 2,5 с; /2 = 40 кд;「2 = 2 м
6 = 2,5 с; /2 = 40 кд;「2 = 2 м
— ?
Решение. Световая энергия, полученная фотобумагой за время /, равна произведению светового потока Ф на время экспозиции:
犷=①=ESt.
Следовательно, для каждого случая можно написать:
S = JSG 吃=£2S/2.(1)
Качество фотоснимков одинаково, если в обоих случаях на фотобумагу попадет одинаковая световая энергия Wi = 1Г2, или с учетом (1) EiSti = Е2st2, откуда
/2 = E\tJ Е?、
По закону освещенности, Ei = /"并 и & = /г/d- Тогда
>/1 г1^ 1 ,60 • 22 • 2,5а и 4
" =/2 =С.
Почему с улицы днем трудно рассмотреть внутренность комнаты через оконные стекла, не приближая лица вплотную к стеклу?
Отв. От окна на улицу идут два световых потока: первый создается лучами, отраженными от стекла, второй ——лучами, проходящими через стекло из комнаты. Так как второй поток создается многократно отраженными от стен комнаты лучами, то его интенсивность значительно меньше, чем интенсивность первого потока, из-за поглощения и рассеивания света при отражении. Поэтому наблюдатель видит блестящее стекло, а не внутренность комнаты.
Часто под действием солнечных лучей снег на покатых крышах тает, а на почве нет. Почему?
Отв. Весной в наших широтах даже в полдень Солнце не стоит в зените, поэтому на горизонтальную поверхность солнечные лучи падают под некоторым углом. Если крыша поката, то угол падения лучей на крышу меньше угла падения на почву, которую считаем горизонтальной. Так как освещенность поверхности Е = =/ cosa/r2, то освещенность крыши больше, чем освещенность поверхности почвы, что и приводит к таянию снега на покатых крышах.
Упражнения
На столбе высотой 6 м висит лампа, сила света которой 400 кд. Вычислить освещенность поверхности земли на расстоянии 8 м от основания столба.
Между двумя экранами нужно поставить источник света так, чтобы левый экран был освещен вдвое сильнее правого. На каком расстоянии от левого экрана 292
нужно поставить источник света, если расстояние между экранами 100 см?
Свет от электрической лампы, сила света которой 200 кд, падает на небольшую горизонтальную площадку под углом 45°, создавая освещенность 141 лк. Найти расстояние г от лампы до площадки и высоту Л, на которой она подвешена (см. рис. 173).
На столбе на высоте 3 и 4 м над поверхностью земли одна над другой висят две лампы силой света 200 кд каждая. Найти освещенность поверхности земли на расстоянии 2 м от основания столба.
Лампа подвешена к потолку и находится между вертикально висящими картиной и плоским зеркалом. Определить световой поток, падающий на картину площадью 0,5 м, если расстояния от лампы до картины и зеркала соответственно равны 4 и 2 м. Сила света лампы 96 кд.
Два точечных источника света расположены на расстоянии 2 м друг от друга. На перпендикуляре, опущенном на середину линии, соединяющей источники, расположена под углом а небольшая площадка на расстоянии 1 м от этой линии. При угле а = 15° освещенности обеих сторон площадки одинаковы и равны 20 лк. Определить силы света источников.
Лампа, в которой светящимся телом служит накаленный шарик диаметром 3 мм, дает силу света 85 кд. Найти яркость лампы, если ее сферическая колба диаметром 6 см сделана из прозрачного стекла.
Найти освещенность края стола диаметром 1 м, если он освещается лампой, висящей на высоте 1 м от центра стола. Полный световой поток лампы 600 лк.
Лампа силой света 1000 кд висит на высоте 8 м от поверхности земли. Найти площадь участка, в пределах которого освещенность не менее 1 лк.
Вопросы для повторения
чечным источником света. 6. Что называется светимостью? В каких единицах она выражается? 7. Что называется яркостью источника? В каких едини> цах она выражается? 8. Напишите формулу, связывающую между собой светимость и яркость.
§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКАОтражение света. Зеркала
При отражении лучей света от границы раздела двух сред выполняется следующий закон.
1. Луч падающий ЛО, луч отраженный ОВ и нормаль ОС к отражающей поверхности в точке падения луча лежат в одной плоскости. Угол падения i равен углу отражения i| (рис. 175).
Если лучи, падающие на границу раздела двух сред параллельным пучком, после отражений остаются параллельными, то такое отражение называется зеркальным, а сама поверхность ——плоским зеркалом.
При построении изображения предмета в плоском зеркале следует помнить, что все лучи, исходящие из какой-либо точки предмета (например, из точки А; рис. 176), после отражение от зеркала пойдут так, что их продолжения будут пересекаться за зеркалом в одной и той же точке А'. Точка 力'является мнимым изображением точки А. Аналогично выполняется построение изображения точки В. В результате изображение предмета получается прямым, мнимым, равным по величине самому предмету, расположенному симметрично с ним по отношению к плоскости зеркала.
Если зеркально отражающая поверхность представляет собой часть сферы, то зеркало называется сферическим. Центр сферической поверхности, точка С, называется оптическим центром зеркала (рис. 177). Вершина шарового сегмента, точка О, называется полюсом
зеркала. Прямая, проходящая через оптический центр и полюс зеркала, называется главной оптической осью зеркала. Любая прямая, проходящая через оптический центр зеркала, называется побочной оптической осью. Сферические
зеркала делятся на вогнутые
и выпуклые.Рис. 177
Если на вогнутое зеркало
падает пучок параллельных лучей, то после отражения от зеркала они пересекаются в одной точке ——фокусе зеркала. Фокус 尸，лежащий на главной оптической оси, называется главным фокусом зеркала (рис. 178, а). Геометрическое место всех фокусов образует фокальную
поверхность.
От выпуклого зеркала параллельный пучок лучей отражается так, что продолжения отраженных лучей за зеркало пересекаются в одной точке F ——мнимом фокусе (рис. 178,6).
Фокусное расстояние |О尸| =尸(фокус зеркала), ра диус кривизны которого R,
Если предмет находится на расстоянии d от зеркала, а его изображение — на расстоянии f от зеркала, то
±方± 丁 П 士户
В этой формуле расстояния от зеркала до действительных точек берутся со знаком « +》，а расстояния от зеркала до мнимых точек ——со знаком 《——》.
При построении изображений в сферических зеркалах
из всего пучка лучей, падающих на зеркало, удобно использовать следующие лучи:
луч, параллельный главной оптической оси зеркала, который после отражения от зеркала проходит через главный фокус;
луч, проходящий через главный фокус, который после отражения от зеркала идет параллельно главной оптической оси;
луч, проходящий через оптический центр зеркала, который после отражения идет по тому же направлению назад.
Отношение линейных размеров AfBf изображения к линейным размерам АВ самого предмета называется увеличением зеркала:
г \AfBf\ f
= nw = к
* * *
Плоское зеркало АВ может вращаться вокруг горизонтальной оси О. Луч света падает на зеркало под углом а. На какой угол повернется отраженный луч, если зеркало повернется на угол р (рис. 179, а)?
Дано: а; В
Решение. При повороте зеркала на угол р нормаль к зеркалу также повернется на угол р, поэтому угол падения после поворота зеркала а + р, а угол между падающим и отраженным лучами 2(а+0). До поворота же зеркала угол между падающим и отраженным лучами был 2a. Следовательно, отраженный луч повернется на угол (рис. 179, б)
у = 2(а + В) — 2а = 2р.у = 2(а + В) — 2а = 2р.。丿。丿00
у = 2(а + В) — 2а = 2р.
у = 2(а + В) — 2а = 2р.
。丿
。丿
0
0
Луч света, направленный горизонтально, падает на вертикально стоящий экран. Если на пути луча поместить плоское зеркало, то световое пятно на экране смещается вверх на 3,5 см (рис.
180). Определить угол падения луча на зеркало, если расстояние от зеркала до экрана 50 см.
Дано: h = 3,5 см = 3,5- Ю-2 м; / = 50 см = 0,5 м.
Решение. Рассмотрим ход луча SO, падающего в точку О плоского зеркала MN. Согласно построению, DO ——перпендикуляр, опущенный на зеркало, СО —— перпендикуляр к горизонтальной линии S%, ОВ ——отраженный луч. Из рисунка видно, что ZDOC = л/2 — Z; 乙 СОВ = л/2 — а;厶DOB = i. Тогда (л/2 — i) + (冗/2 — —a) = i, откуда
i = (n —a)/2. (1)
Иначе:
tga= \AB\/\OA\ = h/l a.(2)
Подставив выражение (2) в (1), найдем
,• = ^^； ,• = злу：/” = ],535 рад.
Сколько изображений получится от светящейся точки, находящейся между двумя плоскими зеркалами, расположенными под углом 45° друг к другу?
Дано: a = 45° = 0,785 рад.
П--?
Решение. Если между зеркалами / и 2 поместить светящуюся точку 力。(рис. 181), то выходящие из нее лучи будут падать на зеркала и, многократно отражаясь от них; давать мнимые изображения источников на своих продолжениях. Выполняя последовательно построения изображений точки Ло в зеркалах / и 2, найдем, что Л1 —— изображение точки 若。 в зеркале /; 若2 н 』з ——
изображения точек До и Д1 в зеркале 2; Д4 и Л5 —— изображения точек 4 и 4з в зеркале / и, наконец, Ai и Дб — изображения точек 44 H 在5 в зеркале 2. Все последующие изображения будут совпадать с ранее полученными. Таким образом, в зеркалах, установленных под углом 45°, получается семь изображений
Рнс. 181581. Радиус кривизны
вогнутого зеркала 80 см. На каком расстоянии от зеркала нужно поместить предмет, чтобы его действительное изображение было вдвое больше предмета?
Дано: R = 80 см = 0,8 м; \AfBf\ = 2|4В|.
d — ?
Решение. Поместим предмет АВ между фокусом и оптическим центром зеркала и построим его изображение (рис. 182). Для этого рассмотрим лучи, исходящие из точки А предмета АВ. Из всех этих лучей выберем луч, падающий на зеркало параллельно главной оптической оси. После отражения от зеркала он пройдет через главный фокус 尸.В качестве второго луча выбираем луч, идущий из точки Д на зеркало через фокус F. После отражения от зеркала он пойдет параллельно главной оптической оси. Точка пересечения А'
отраженных лучей является действительным изображением точки А.
Изображения всех остальных точек предмета А8 будут находиться на перпендикуляре, опущенном из точки 4’ на главную оптическую ось. Следовательно, 4'8‘ является действительным, увеличенным и обратным изображением предмета АВ.
Для нахождения расстояния от зеркала до предмета воспользуемся формулой вогнутого зеркала:
1丄11
N + Т = к
Учитывая, что 尸=R/2 и \AfBf\/\AB\ = f/d = 2, т. е. f = 2d, находим 1/d + l/(2d) = откуда
/ 3R J 3-0,8
d = —г-; d = —-— м = 0,6 м.
44
Найти главное фокусное расстояние зеркала, если светящаяся точка и ее изображение лежат на главной оптической оси вогнутого зеркала на расстояниях 16 и 100 см соответственно от главного фокуса.
Дано: а = 16 см = 0,16 м; 6 = 100 см = 1 м.
Решение. Построим изображение светящейся точки S, находящейся между центром зеркала и главным фокусом. Для этого рассмотрим два луча: луч SO, идущий вдоль главной оптической оси, и произвольный луч SA (рис. 183). Луч SO после отражения от зеркала пойдет вдоль главной оптической оси в направлении от зеркала. Чтобы найти, как пойдет луч SA после отражения от зеркала, проведем фокальную плоскость MN и побочную оптическую ось CD, параллельную лучу S4, которая пересечет фокальную плоскость в точке В. Через точку В должен пройти и луч SA после отражения от зеркала (по свойству пучка лучей, параллельных побочной оптической оси).
Изображение S' светящейся точки S будет лежать на главной оптической оси в точке пересечения отраженных лучей. Чтобы найти главное фокусное расстояние 尸，используем формулу вогнутого зеркала:
где d = \OF\ + \FS\ =尸 + a, f = \OF\ + |尸SI =尸 + b. Тогда
F + a ~
откуда,
F = Уab; F = д/0,16« 1 м = 0,4 m.
** Предоставляем читателям самостоятельно убедиться, что ответ будет таким же, если светящаяся точка расположена между полюсом и главным фокусом зеркала.
Вогнутое зеркало поставлено против сходящегося пучка лучей так, что точка, где лучи пересекались, осталась за зеркалом на расстоянии 20 см от его полюса (рис. 184). Отраженные от зеркала лучи сошлись в одну точку на расстоянии, равном */5 фокусного расстояния зеркала. Найти радиус кривизны зеркала.
Дано: \АО\ = 20 см = 0,2 м, |。41 =尸/5.
?
Решение. Если поместить точечный источник света в точку Л1, то его мнимое изображение окажется в точке А (по принципу обратимости хода лучей). Следовательно, если изображением считать точку 力】，то для нее точка Л
будет являться мнимым источником. В этом случае формула вогнутого зеркала примет вид
где d = \АО\\ f = 14。| =尸/5;尸=R/2. Тогда
d 十 R/(5・2) — R/2，
откуда
R = 8d; R = 8 • 0,2 м = 1,6 m.
Перед выпуклым зеркалом на расстоянии 5 см помещен экран MN (рис. 185). На расстоянии 5 см от экрана находится предмет АВ высотой 3 см. При каких положениях глаза наблюдатель увидит изображение всего предмета? Каковы наибольшие размеры предмета (при заданном расположении предмета, зеркала и экрана), при которых зеркало будет давать изображение всего предмета? Диаметр зеркала 10 см.
Дано: b = 5 см = 5・ IO"? м; а = 5 см = 5« 10-2 м;
\АВ\ = 3 см = 3• 10-2 м; Q = 10 см = 0,1 м.
14Kl - ?
Решение. Пусть А\В\ — мнимое изображение предмета АВ. Очевидно, что в точке 8i будут пересекаться продолжения лучей, отраженных от зеркала и заключенных внутри конуса TB\G. Аналогично, в точке Лi будут пересекаться продолжения лучей, отраженных от зеркала
и заключенных внутри конуса изображение всего предмета /8, глаз наблюдателя должен находиться в пространстве перед зеркалом между лучами BD и А\Е. Наибольшие размеры предмета определятся из подобия треугольников LON и NAK (кривизной отрезка OL пренебрегаем) :\AK\/\LO\ = = a/b, откуда
|ДК| = 117,01 = 1^；
АА\Е, Чтобы увидетьАА\Е, Чтобы увидетьРис. 185Рис. 1851聞="^#- = 5.1
АА\Е, Чтобы увидеть
АА\Е, Чтобы увидеть
Рис. 185
Рис. 185
На каком расстоянии перед выпуклым сферическим зеркалом должен находиться предмет, чтобы его изображение получилось в 1,5 раза ближе к зеркалу, чем сам предмет. Радиус кривизны зеркала 1,6 м. Построить изображение предмета.
Дано: f = d/1,5; R = 1,6 м.
d — ?
Решение. Используем формулу выпуклого зеркала
Учитывая, что / = d/1,5 и 尸=R/2, находим
11 _1
V — 7/1^5 = — %7另
откуда
# 0,5R 丿 0,5* 1,6 с 4
d = ~y~； d = —2~ м = 0,4 м
Для построения изображения точки В используем два луча (рис. 186): первый, идущий вдоль побочной оптической оси ЗС, после отражения пойдет в направлении к точке В; второй, падающий параллельно главной оптической оси, после отражения пойдет так, что его продолжение за зеркалом пройдет через главный фокус 尸.Точка пересечения продолжений отраженных лучей дает изображение В\ точки 8. Опуская из точки Qi перпендикуляр на главную оптическую ось, получаем изображение А\В\ предмета АВ. Полученное изображение является мнимым.
уменьшенным и прямым.
На главной оптической оси вогнутого зеркала радиусом 40 см находится светящаяся точка S на расстоя
нии 30 см от зеркала (рис. 187). На каком рас
стоянии перед вогнутым зеркалом нужно поставить плоское зеркало, чтобы лучи, отраженные зеркалами» вернулись в точку S?
Дано: R = 40 см = 0,4 м. d = 30 см = 0,3 м.
х — ?
Решение. Если бы не было плоского зеркала, то точка Si являлась бы изображени- ° ем светящейся точки S 一 в вогнутом зеркале (подробное построение изображения см. в задаче 582). Если на пути лучей, отраженных от вогнутого зеркала и идущих в точку S1, поставить плоское зеркало, то эти лучи будут падать на него сходящимся пуском и, отражаясь, давать окончательное изображение в точке S2. Точку Si можно рассматривать как мнимый источник для плоского зеркала (см. задачу 583). Изображение мнимого источника S2 в этом зеркале будет действительным и расположенным симметрично источнику Si относительно плоскости зеркала.
Так как плоское зеркало делит расстояние между источником Si и его изображением S2 пополам и по условию задачи точка S2 должна совпадать с точкой S, то плоское зеркало надо расположить посередине между точками S и Si. Найдем расстояние от вогнутого зеркала до изображения в нем светящейся точки по формуле вогнутого зеркала
Учитывая, что 尸=R/2, находим 1 /d + 1/f = 2R, откуда
f = Rd/(2d — R).(1)
Из рисунка видно, что расстояние от плоского зеркала до вогнутого
X = d + (f — d)/2 = (d + /)/2,(2)
или после подстановки выражения (1) в (2)
/0,32八
X = ТЗТ^Г м = °，45 м・
Два одинаковых вогнутых зеркала поставлены друг против друга так, что их фокусы совпадают. На расстоянии 50 см от первого зеркала на общей оси зеркал помещен точечный источник света (рис. 188). Где полу-
чится изображение источника после отражения лучей от зеркал? Радиус кривизны каждого зеркала 80 см.
Дано: d\ = 50 см = 0,5 м; R = 80 см = 0,8 м. х — ?
Решение. Если бы не было второго зеркала, то точка Si являлась бы изображением светящейся точки S в первом зеркале. Если на пути лучей, отраженных от первого зеркала, поставить второе зеркало, то эти лучи будут падать на него сходящимся пучком и, отражаясь, давать окончательное изображение в точке S?・ Точку Si можно рассматривать как мнимый источник для второго зеркала. Изображение мнимого источника S2 во втором зеркале действительное и расположено на расстоянии х от второго зеркала. Применяя формулу вогнутого зеркала для первого зеркала, находим положение точки Si：
1/% + 1/刀=1/尸，или 1/% + 1/%=2/R, откуда
h = Rd"(2di-R).(1)
Аналогично, применяя ту же формулу для второго зеркала, находим положение точки S2：
一1/办+1"2= "£
или» учитывая, что 尸=R/2 и f2 =居 получаем — l/dz + + "% = 2/R, откуда
x = ^d2/(2d2 + ^(2)
Из рисунка видно, что d2 = Л — 2F. Тогда [см. (1)]
(3)(3)R% 2R _ R(R—dJ2di-R 2~= 2di-R
(3)
(3)
и уравнение (2) с учетом (3) можно привести к виду
=G(R -%)/(2力一砲
—2R(R-d”(2di-R) + R — z
% = (0,8 — 0,5) м = 0,3 m.
Из решения следует, что положения точек S и S2 совпадают.
На главной оптической оси вогнутого зеркала радиусом 50 см на расстоянии 35 см от его полюса находится точечный источник, сила света которого 75 кд. Определить максимальную освещенность экрана, находящегося на расстоянии 2,5 м от зеркала и расположенного перпендикулярно главной оптической оси.
Дано: R = 50 см = 0,5 м; d = 35 см = 0,35 м; / = 75 кд;
L = 2,5 м.
Е-?
Решение. Освещенность максимальна в центре экрана и равна сумме освещенностей от источников S н S' (его изображения в вогнутом зеркале; рис. 189):
Ео = £ + £1 = //г2 + /1Дь (1) где г = L — d ——расстояние от источника S, а 门=L ——f —— расстояние от источника S' до экрана 3; / — сила света источника S; /1 — сила света источника S'. В отличие от
задачи 560 сила света источника S' не равна силе света источника S, так как при отражении от вогнутого зеркала телесный угол, в котором распространяются отраженные лучи, не равен телесному углу, в котором распространяются падающие на зеркало лучи. Для расчета силы света от источника S' рассмотрим световой поток, падающий от источника на зеркало Ф = /о). Если пренебречь потерями
энергии при отражении, то такой же поток будет распространять
шений получаем八= /(£Г・⑵шений получаем八= /(£Г・⑵ся в телесном угле со1：①=厶31. в tо же время 3載=31产 (Pие. 189). Из этих соотно
шений получаем
八= /(£Г・⑵
шений получаем
八= /(£Г・⑵
Подставляя (2) в (1) и учитывая выражение для г и гь получаем
Расстояние от изображения источника S' до зеркала
d十f f'
где 尸=R/2. Тогда
г Rd с 0,5• 0,35с Q^r
'=2d — R ； ' = 2.0,35-0,5 M = 0,875 M，
Окончательно
氏=7《(2,5-0,35)2 + ( о 35 ) (2,5- 0,875) j ЛК~ 194 лк-
Под каким углом должен падать луч на плоское зеркало, чтобы отраженный луч был перпендикулярен падающему?
Отв. Луч должен падать на зеркало под углом л/4 рад. В этом случае по закону отражения угол отражения равен л/4 рад. Следовательно, угол между падающим и отраженным лучами равен л/2, т. е. лучи взаимно перпендикулярны.
Если поверхность воды колеблется, то изображения предметов в воде принимают причудливые формы. Почему?
Отв. Колеблющуюся поверхность воды можно рассматривать как совокупность вогнутых и выпуклых зеркал различного радиуса, дающих разнообразные изображения.
Упражнения
Человек стоял перед плоским зеркалом, затем отошел от него на расстояние 1 м. На сколько увеличилось при этом расстояние между человеком и его изображением?
Предмет находится между двумя параллельными плоскими зеркалами. Сколько получится изображений?
Луч света, отраженный от зеркальца гальванометра, падает на центральное деление шкалы, расположенной на расстоянии 1,5 м от зеркальца, перпендикулярно направлению падающего луча. При пропускании тока через гальванометр зеркальце повернулось, причем све- 306
товое пятно на шкале переместилось на 2 м. Определить угол поворота зеркальца.
Вогнутое зеркало дает увеличенное в три раза обратное изображение предмета. Расстояние от предмета до изображения 28 см. Определить главное фокусное расстояние зеркала.
Изображение, даваемое вогнутым зеркалом, в четыре раза меньше предмета. Если предмет передвинуть на 5 см ближе к зеркалу, то изображение будет меньше предмета в два раза. Найти главное фокусное расстояние зеркала.
Фокусное расстояние вогнутого сферического зеркала 1 м. На каком расстоянии от зеркала необходимо поместить точечный источник света, чтобы его изображение совпало с источником?
На каком расстоянии от лица нужно держать выпуклое зеркальце диаметром 5 см, чтобы видеть все лицо, если фокусное расстояние зеркальца 7,5 см, длина лица 20 см?
Светящаяся точка расположена на расстоянии 1 м от выпуклого зеркала, а ее изображение делит пополам отрезок оптической оси между полюсом зеркала и его фокусом. Найти радиус кривизны зеркала.
Вогнутое и выпуклое сферические зеркала, радиусы кривизны которых одинаковы и равны 60 см, уста новлены так, что их главные оптические оси совпадают. Где нужно поместить предмет перпендикулярно главной оптической оси, чтобы его изображения в зеркалах были одинаковы? Расстояние между полюсами зеркал 150 см.
Построить изображение предмета, даваемое выпуклым зеркалом. Зависит ли характер изображения от расстояния предмета до зеркала?
Построить изображение предмета, даваемое вогнутым зеркалом, если предмет расположен: 1) за оптическим центром зеркала; 2) между фокусом и оптическим центром; 3) между фокусом и полюсом зеркала.
Преломление света. Тонкие линзы.
Оптические приборы
Преломление света на границе раздела двух сред под чиняется следующему закону.
Луч падающий луч преломленный ОВ и нор маль ОС к преломляющей поверхности в точке падения луча лежат в одной плоскости (рис. 190). Отношение
Рис. 191Рис. 191
Рис. 191
Рис. 191
синуса угла падения i к синусу угла преломления г есть величина постоянная, равная относительному показателю преломления второй среды относительно первой:
sinz
—: =几 21. sinr
Относительный показатель преломления света 几21 связан с абсолютными показателями преломления иг и Hi и со скоростями распространения v\ и и? света в двух соседних средах соотношениями
〃2S
几 21 ==
小02
Скорость распространения света в вакууме с = 3・10* м/с. Скорость распространения света в воздухе
v^c.
Явление полного отражения света наблюдается при переходе света из оптически более плотной в оптически менее плотную среду и заключается в том, что свет полностью отражается от границы двух сред, если все лучи падают под углом, большим предельного.
Предельным углом /0 (рис. 191) называется угол падения, при котором преломленный луч скользит по границе двух сред. Находится этот угол из соотношения
•. П2
Sins =—. ni
При прохождении сквозь призму луч света отклоняется к ее основанию (рис. 192). Угол у называется преломляющим углом призмы, угол 6 ——углом отклонения между падающим и вышедшим из призмы лучами. Для поворота лучей на л/2 и л рад служит прямоугольная
Рис. 192Рис. 192равнобедренная призма, называемая призмой полного отражения.
Рис. 192
Рис. 192
Прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими или сферической и плоской поверхностями, называется линзой. Точка, через которую любой луч проходит не изменяя
своего направления, называется
главным оптическим центром О линзы (рис. 193, а). Прямая FF, проходящая через вершины О\ и О2 сферических поверхностей, называется главной оптической осью. Любая прямая АВ, проходящая через оптический центр линзы, называется побочной оптической осью.
Линзы, превращающие падающий на них параллельный пучок лучей в пучок сходящихся лучей, называются собирающими.
Линзы, превращающие падающий на них параллельный пучок лучей в пучок расходящихся лучей, называ
ются рассеивающими.
Схематические изображения собирающей и рассеивающей линз даны на рис. 193,6.
Пучок лучей, параллельных главной оптической оси, после преломления в линзе сходится в главном фокусе 尸. Для собирающей линзы главный фокус является действительным, для рассеивающей ——мнимым. Каждая линза имеет два фокуса: передний и задний. Плоскость MN, проведенная через главный фокус перпендикулярно главной оптической оси, называется фокальной (рис. 193, а). Каждый из лучей, параллельных оптической оси, после
Рис. 193Рис. 193°丿°丿
Рис. 193
Рис. 193
°丿
°丿
преломления в линзе проходит через одну и ту же точку, лежащую в фокальной плоскости линзы.
Для построения изображений в линзах из всего пучка лучей, падающих на линзу, удобно использовать следующие лучи:
луч, параллельный главной оптической оси, после преломления проходит через главный фокус；
луч, проходящий через главный фокус, после преломления проходит параллельно главной оптической оси;
луч, проходящий через оптический центр линзы, после преломления проходит по тому же направлению.
Формула линзы и правило знаков совпадают с аналогичными формулой и правилом знаков для сферических зеркал, т. е.
±Т±Т= 士К
Фокусное расстояние F линзы, радиусы R】и R2 кривизны сферических поверхностей и абсолютные показатели преломления Hi и и2 вещества линзы и окружающей среды связаны между собой отношением
!=(^■—1)( 土靑土专)，
где знаки перед слагаемыми, содержащими R и /?2, берутся положительными для выпуклых поверхностей и отрицательными —для вогнутых.
Величина, обратная фокусному расстоянию, называется оптической силой линзы:
D = — F *
Оптическая сила системы линз, сложенных вплотную, равна сумме оптических сил линз, входящих в систему:
£) = /)] + £)2 + D3 + ….
Линейным увеличением линзы называется отношение линейного размера изображения А{В\ к линейному размеру предмета АВ:
Полное увеличение оптической системы линз равно произведению увеличений, даваемых каждой линзой в отдельности:
Г^Г^гГз...
* * *
На стеклянную пластинку, показатель преломления которой 1,5, падает луч света. Найти угол падения луча, если угол между отраженным и преломленным лучами 90° (рис. 194).
Дано: п= 1,5; у= 90° « 1,57 рад.
Решение. Из рисунка видно, что »+丫+「=兀,откуда г=л—у—/. Тогда, учитывая у, получаем
г = л/2 —i.(1)
Иначе, по закону преломления света,
sinf/sinr= и.(2)
Из выражения (1) находим sinr= sin(n/2—i) = cosi. Тогда уравнение (2) можно привести к виду sini/cosi = = tgi = z, откуда
i=arctgz; / = arctg 1,5 ж 0,98 рад.
Абсолютные показатели преломления алмаза и стекла соответственно равны 2,42 и 1,5. Каково отношение толщин этих веществ, если время распространения света в них одинаково?
Дано: п\ = 2,42; п2= 1,5.
/2//1 — ?
Решение. Абсолютные показатели преломления 九】и 九2 алмаза н стекла связаны со скоростями v\ и и? распространения света в этих веществах соотношением
n}/n2=v2/vi.(1)
Так как свет распространяется в однородной среде с постоянной скоростью, то
VI = /1//, 02=/2〃，(2)
где / ——время прохождения света сквозь вещество; /1 — толщина алмаза; /2 — толщина стекла. Разделив почленно выражения (2), получим
V2/ui = /2//i. (3)
Из сравнения уравнений (1) и (3) найдем
/2 //1 =几"孔2；
/2//1 = 2,42/1,5=1,61.
Найти предельный угол падения луча на границу раздела стекла и воды (рис. 195).
JD^HHOz п 1 = 1,5; л»2 -— 1,33.
/о — ?
Решение. Предельный угол падения, при котором наблюдается явление полного отражения, находим из условия sinf0= П2/П1, откуда
io= a「csin(%2/几 1)；
io= a「csin(l,33/l,5)1,08 рад.
Лучи света выходят из скипидара в воздух. Предельный угол для этих лучей 42°53‘. Определить скорость распространения света в скипидаре.
Дано: /о = 42°53, « 0,64 рад.
u - ?
Решение. Показатели преломления п〕и и2 скипидара и воздуха связаны со скоростями распространения света в этих средах соотношением
几 2/几 1 = U/C.(1)
Иначе, предельный угол падения, при котором наблюдается явление полного отражения, находится из условия
sinf0= п2/И1.(2)
Сравнив между собой уравнения (1) и (2), получим sinio=u/c, откуда
и = csinio； и = 3 -108-0,68 м/с^2,01 • 108 м/с.
На нижнюю грань плоскопараллельной стеклянной пластинки нанесена царапина. Наблюдатель, глядя сверху, видит царапину на расстоянии 4 см от верхней грани пластинки. Какова толщина пластинки?
Дано: /г = 4 см = 4« 10-2 м.
Н — ?
Рис. 196Рис. 196Решение. Пусть царапина находится в точке Л нижней поверхности стеклянной пластинки. Построим изображение точки Л, которое видит наблюдатель (рис. 196). Для этого рассмотрим два луча: АС — луч, падающий перпендикулярно на верхнюю поверхность пластинки; AD — луч, падающий на верхнюю поверх-
Рис. 196
Рис. 196
изображе-пластинкиизображе-пластинкиность под малым углом i.
изображе-пластинки
изображе-пластинки
Из рисунка видно, что точка В будет мнимым нием точки А. Для нахождения толщины Н
\АС\ = 〃 н \CD\ = d.\АС\ = 〃 н \CD\ = d.рассмотрим \ACD\ \АС\ = \CD\/tg /, или, поскольку
\АС\ = 〃 н \CD\ = d.
\АС\ = 〃 н \CD\ = d.
〃 = d/tgi.
Отрезок d найдем из ДВС£>: \ CD \ = \ CB\igr, или, учитывая, что \CD\ = d и \СВ\ = h, d= higr. Тогда Н = htgr/tgi. Поскольку углы г и г малы, отношение тангенсов этих углов можно заменить отношением их синусов, т. е. tgr/tgi^ sinr/sini. Следовательно,
Н = hsinr/sini.
Но, по закону преломления, sinr/sinz= nc/nB = пс, так как Пв= 1. Тогда
H = hnc\ 〃 = 4・10一2.i,5m = 6・10—2м.
Определить угол отклонения луча стеклянной призмой, преломляющий угол которой 3°, если угол падения луча на переднюю грань призмы равен нулю.
Дано: у == 3° » 0,052 рад; /( = 0.
6 — ?
ВИДНО, что厶 NKF=aВИДНО, что厶 NKF=a乙 АКМ= CBCD = и 乙EKF = 5. Тогда(1)乙 АКМ= CBCD = и 乙EKF = 5. Тогда(1)Решение. Из рис. 197
ВИДНО, что厶 NKF=a
ВИДНО, что厶 NKF=a
乙 АКМ= CBCD = и 乙EKF = 5. Тогда
(1)
乙 АКМ= CBCD = и 乙EKF = 5. Тогда
(1)
=Z-NKE =、. Обозначим 5 = а—у.
По закону преломления света для грани CD найдем sinY/sina= 1/〃. Вследствие малости углов а и у получим siny/sina^y/a. Тогда у/а=1/〃，откуда
а 士 ум. (2)
Подставляя соотношение (2) в (1), получаем
3 = 丫几―Y = Y(n — 1)； 6 = 0,052(1,5 — 1) рад = 0,026 рад.
На стеклянную трехгранную призму с преломляющим углом 45° падает луч света и выходит из нее под углом 30°. Найти угол падения луча на призму.
Дано: у== 45° « 0,79 рад; г2= 30° « 0,52 рад.
L - ?
Решение. Рассмотрим 4DKE, образованный лучом DE и перпендикулярами KD и КЕ к граням призмы АС и ВС (рис. 198). По известной из геометрии теореме внешний угол р этого треугольника равен сумме двух внутренних углов 门 и 必 не смежных с ним, т. е. 0 = =门+必 Но 0 = Y, как два угла со взаимно перпендикулярными сторонами; следовательно, 丫=门+为，откуда
门=?一？2. (1)
По закону преломления, для грани СВ sinf2/sinr2= 1 /и, откуда sinf2 = sinr2/n = 0,5/1,5 = 0,333; f2= 19,5°. Тогда, согласно (1), ri = 45°—19,5° = 25,5°.
По закону преломления, для грани AC sinfi/sinri = и, откуда sinii = 〃sin门；
sin八=1,5 • 0,43 = 0,645;九=40。12’ = 0,698 рад.
Собирающая линза дает действительное увеличенное в два раза изображение предмета. Определить фокусное расстояние линзы, если расстояние между линзой и изображением предмета 24 см. Построить изображение предмета в линзе.
Дано: Г = 2; f = 24 см = 0,24 м.
Рис. 199Рис. 199
Рис. 199
Рис. 199
Решение. Для построения изображения верхней точки Л предмета АВ рассмотрим два луча (рис. 199). Первый луч, идущий параллельно главной оптической оси, преломившись, пройдет через главный фокус линзы; второй, идущий через главный оптический центр линзы, не изменит своего направления. Точка пересечения А\ этих лучей является действительным изображением точки Л. Опустив из точки Л1 перпендикуляр на главную оптическую ось, получим действительное, увеличенное и перевернутое изображение А\В\ предмета АВ. Для нахождения фокусного расстояния воспользуемся формулой линзы l/d+ 1/f = 1/F, откуда
F^df/(d + f).(1)
Линейное увеличение линзы Г — \А\В\\/\АВ\ = f/d, откуда d = f/「⑵
Подставив соотношение (2) в (1), найдем
六一〃『 + /— у一2+]М_8 10 м.
Найти фокусное расстояние двояковыпуклой стеклянной линзы, погруженной в воду, если известно, что ее фокусное расстояние в воздухе 20 см.
Дано:尸 1 = 20 см = 0,2 м.
尺—?
Решение. Фокусное расстояние двояковыпуклой линзы связано с абсолютными показателями преломления Hi вещества линзы и 几2 окружающей среды соотношением
Для линзы, находящейся в воздухе,Для линзы, находящейся в воздухе,⑴⑴
Для линзы, находящейся в воздухе,
Для линзы, находящейся в воздухе,
⑴
⑴
Аналогично, для линзы, находящейся в воде,
*1）（ 土+*）=
=安子（靑+击）•⑵
Разделив почленно соотношения （1） и （2）, получим 尸2/尸1 = （"1 - 1）几2/（几1 -几2）, откуда
Р =尸 1几2（几1--1）.
2 И1 —几2 '
匚 0,2.1,33（1,5-1）
尸2 =——15-133 ~М ^ 0,8 М.
Чему равно главное фокусное расстояние плосковыпуклой стеклянной линзы, находящейся в скипидаре, радиус кривизны выпуклой поверхности которой 25 см?
Дано:卩2 = 25 см = 0,25 м.
F — ?
Решение. Фокусное расстояние линзы найдем из фор
мулы
+=（計一）（靑+£）•⑴
Так как для плоской поверхности линзы l/Ri = 0, то формулу （1） можно привести к виду -^-==^-^——〔）土，откуда
0,25-1,471,5-1,470,25-1,471,5-1,47М = 12,25 М.М = 12,25 М./?2 R2n2
0,25-1,47
1,5-1,47
0,25-1,47
1,5-1,47
М = 12,25 М.
М = 12,25 М.
/11/%2—1 几 1—几 2
Построить изображение светящейся точки, находящейся на главной оптической оси тонкой собирающей линзы на одинаковом расстоянии от линзы и ее фокуса. Дать характеристику изображению.
Дано: d =0,5尸.
Решение. Воспользуемся формулой собирающей линзы 1/d—l/f= 1/尸，откуда
f=Fd/（尸一d）,
или с учетом того, что d = 0,5尸, /=尸.0,5尸/（尸—0,5尸）=尸.
Рис. 200Рис. 200
Рис. 200
Рис. 200
Следовательно, изображение светящейся точки будет мнимым, расположенным на расстоянии 尸 от линзы. Для построения изображения светящейся точки S используем два луча: луч SO, идущий вдоль главной оптической оси, и произвольный луч SA (рис. 200). Луч SO
проходит через линзу без преломления. Чтобы найти ход луча SA после преломления в линзе, проведем фокальную плоскость MN и побочную оптическую ось DO, параллельную лучу S4, которая пересечет фокальную плоскость в точке В. Через точку В должен пройти и луч SA после преломления в линзе (по свойству пучка лучей, параллельных побочной оптической оси). Изображение S' светящейся точки S будет лежать на главной оптической оси в точке пересечения продолжений преломленных лучей.
Какое увеличение дает лупа, оптическая сила которой 16 дптр? Построить изображение предмета в лупе.
Дано: D = 16 дптр.
Г — ?
Решение. Увеличение, даваемое лупой, F=L"=S
где 尸——фокусное расстояние лупы; L ——расстояние наилучшего зрения, равное 0,25 м для нормального глаза. Следовательно, Г = 0,25-16 = 4
Для того чтобы рассмотреть предмет через лупу, его располагают между лупой и ее фокусом (рис. 201). Для построенияизображения力；弋、
точки Л этого предмета ис- 什弋、 пользуем двалуча, исходя-I
щих из нее:один, парал-[
лельный главной оптической —糙广扌 ^、〉^^/
оси, после пре„чомления про- '、
ходит через фокус; другой, проходящий через главный、
оптический центр линзы, не
изменит своего направления. Изображение 41 точки А получится в точке пересечения продолжений преломленных лучей. Аналогично получаем изображение 81 точки В. Следовательно, изображение ЛiBi предмета АВ мнимое, увеличенное и прямое.
На рассеивающую линзу падает сходящийся пучок лучей. После прохождения через линзу лучи пересекаются в точке, лежащей на расстоянии 15 см от линзы. Если линзу убрать, то точка пересечения лучей переместится на 5 см ближе к линзе. Определить оптическую силу линзы.
Дано: d = 15 см = 0,15 м; / = 5 см = 0,05 м.
D — ?
Решение. Если поместить точечный источник света в точку Л, то точка 4 будет его мнимым изображением (рис. 202). Тогда по формуле рассеивающей линзы 1/d—l/f=—1/F имеем
F = fd/(d-f), (1)
где f = d — l. По определению, оптическая сила рассеивающей линзы равна £)=—l/尸，или с учетом выражения (1)
° = - ТП^器ЕППТР -3,3 дптр.
Рассеивающая линза с фокусным расстоянием 12 см расположена между двумя точечными источниками так, что к одному из них находится вдвое ближе, чем к другому. Расстояние между изображениями источников получилось равным 7,8 см. Найти расстояние между источниками.
Дано:尸=12 см = 0,12 м; d2 = 2di； / = 7,8 см = 0,078 м.
L — ?
Решение. Построим изображение Si и S5 светящихся точек Si и S2 (рис. 203) (см. подробное построение в 318
задаче 612). Запишем формулу рассеивающей линзы для каждого источника: 1/% - 1〃尸 =一1/尸，l/厶一 一1"2=一1/尸.
По условию, 办= =2山，/=刀 +/2,L= =d\ +必.Тогда
_一9 尸(F - Q +
——4(2f 一 /)—
+ 3尸V8户+ (尸一/)2 4(2尸一0~-；
一—9，0,12(0,12-0,078)+3・0,12y8(0,12)2+(0,12-0,078)2
4(2-0,12-0,078)
—-0,045+0,123
=0Л48，
откуда Ln0,12 м. (Отрицательный корень не соответствует условию задачи.)
Пучок лучей, параллельных главной оптической оси, падает на двояковыпуклую линзу, главное фокусное расстояние которой 12 см. На расстоянии 14 см от первой линзы расположена вторая двояковыпуклая линза с главным фокусным расстоянием 2 см. Главные оптические оси линз совпадают. Где получится изображение?
Дано:尸1 = 12 см = 0,12 м; /= 14 см = 0,14 м;尸2 = 2 см = 0,02 м.
Решение. Построим ход лучей в данной оптической системе (рис. 204). Из условия видно, что фокусы 尸】и 尸2 линз совпадают (/= F\ + F2). Следовательно, выходящий из второй линзы пучок лучей параллелен главной оптической оси. Изображения не будет (находится в бесконечности).
Объектив фотоаппарата имеет фокусное расстояние 50 мм. С какой выдержкой надо снять автомобиль, находящийся на расстоянии 2 км от фотоаппарата и движущийся равномерно со скоростью 72 км/ч перпендикулярно оптической оси фотоаппарата, чтобы его изоб-
Рис. 204
ражение на снимке переместилось за это время на расстояние 0,005 мм? Построить изображение.
Дано:尸=50 мм = 5・ I。-? м; d = 2 км = 2• 103 м;
о = 72 км/ч = 20 м/с; Si = 0,005 мм = 5-10-6 м.
Решение. Для построения изображения автомобиля (предмета АВ) рассмотрим два луча (рис. 205, а): один из лучей, падающий параллельно главной оптической оси, преломившись, пойдет через фокус 尸 объектива; другой, идущий через оптический центр объектива О, не изменит своего направления. Точка пересечения Лi преломленных лучей является действительным изображением точки Л. Опуская из точки Лi перпендикуляр на главную оптическую ось, получим действительное, уменьшенное и перевернутое изображение А\В\ предмета АВ.
За время выдержки / автомобиль переместится на расстояние s=vt, откуда
f = s/u.(1)
Из рис. 205,6 следует, что s/si = d/ff откуда
s = S[d/f.(2)
Из формулы собирающей линзы l/d+l/f=l/尸 найдем
d/f = (d —产)/Е(3)
Подставив выражение (3) в (2), получим
s = s\B — F、/F.
Тогда из уравнения (1) находим
s]m一尸) Fvs]m一尸) Fv
s]m一尸) Fv
s]m一尸) Fv
АА1 11 1ААd\ h\d\ 尸'd2 //d\ h\d\ 尸'd2 //(3)(3)
А
А
1 1
1 1
А
А
d\ h\d\ 尸'd2 //
d\ h\d\ 尸'd2 //
(3)
(3)
5・纥\2：里-
5・ IL.?。
Изображение предмета на матовом стекле фотоаппарата с расстояния 15 м получилось высотой 30 мм, а с расстояния 9 м ——высотой 51 мм. Найти фокусное расстояние объектива.
Дано: Ji = 15 м; Л1 = 30 мм = 3-10-2 м; J2 = 9 м, Аг = 51 мм = =5,1 • 2 м.
Решение. Применив формулу собирающей линзы для расстояний di и ^2, получим
Совместно решая уравнения (3), получаем
d2九2 - d\h\ 口；г =d2九2 - d\h\ 口；г =力2 - Al力2 - Al9-5,1.10--15.3-10-2 八 "
d2九2 - d\h\ 口
；г =
d2九2 - d\h\ 口
；г =
力2 - Al
力2 - Al
—5」.10-2-3. 10-2 — М ^ 0,43 М.
С помощью зрительной трубы, фокусное расстояние объектива которой 50 см, наблюдатель ясно видит предметы, находящиеся на расстоянии 50 м от объектива. В какую сторону и на сколько надо сдвинуть окуляр, чтобы установить трубу на бесконечность? Построить изображение.
Дано:尸=50 см = 0,5 м; J= 50 м.
Решение. Используя формулу линзы 1 /d + 1 /fi = 1 /尸, находим расстояние от объектива до изображения, полученного в нем:
50-0,550—0,550-0,550—0,5м = 0,505 м.м = 0,505 м.
50-0,5
50—0,5
50-0,5
50—0,5
м = 0,505 м.
м = 0,505 м.
При наведении трубы на бесконечность изображение в объективе должно получиться в его фокальной плоскости, т. е. ,2 = 0,5 м. Следовательно, окуляр нужно сместить к объективу на расстояние / =九一加；/ = (0,505-0,5) м = 0,005 м.
Построим изображение предмета в зрительной трубе (рис. 206). Для этого возьмем два луча, исходящих из точки Л предмета АВ.
Первый луч, проходящий через фокус F\ объектива, после преломления пойдет параллельно главной оптической оси до падения на окуляр в точке D. После преломления в окуляре он пойдет так, что его продолжение пересечет оптическую ось в точке Г2.
Второй луч, проходящий через оптический центр Oi объектива, не изменит своего направления и упадет на окуляр в точке Е. Чтобы найти ход луча после преломления в окуляре, проводим через точку 尸2 фокальную плоскость M^ и побочную оптическую ось, параллельную этому лучу и пересекающую фокальную плоскость в точке К. Второй луч преломляется так, что его продолжение пройдет через точку К.
Точка Лг пересечения продолжений первого и второго лучей, вышедших из окуляра, является мнимым изображением точки А. Опуская из точки Лг перпендикуляр на главную оптическую ось, получим мнимое, уменьшенное и прямое изображение Д2В2 предмета АВ.
620. Микроскоп состоит из объектива и окуляра, расстояние между главными фокусами которых 18 см. Найти увеличение, даваемое микроскопом, если фокусные расстояния объектива и окуляра соответственно равны 2 и 40 мм. Построить изображение предмета.
Дано: /= 18 см = 0,18 м; Fi = 2 мм = 2« 10-3 м;尸2= 40 мм = =4.10-2 m.
Г — ?
Решение. Построим в микроскопе изображение предмета ЛВ, который обычно помещают вблизи фокальной плоскости объектива. Для этого возьмем два луча, исходящих из точки Л предмета АВ (рис. 207). Первый луч, проходящий через фокус 尸i объектива, после преломления пойдет параллельно главной оптической оси до падения на окуляр в точке D. После преломления в окуляре луч пройдет через его фокус Г2.
Второй луч, падающий на оптический центр О】 объектива, не изменит своего направления и упадет на окуляр в точке Е. Чтобы найти ход луча после преломления в окуляре, проведем через точку 戸2 фокальную плоскость MN и побочную оптическую ось, параллельную этому
лучу и пересекающую фокальную плоскость в точке К. Тогда второй луч после преломления в окуляре пройдет также через эту точку.
Точка 力2 пересечения продолжений первого и второго лучей, вышедших из окуляра, является мнимым изображением точки Л. Опуская из точки Л2 перпендикуляр на главную оптическую ось, получим мнимое, увеличенное и перевернутое изображение Л2В2 предмета %В.
Поскольку микроскоп состоит из двух линз (объектив и окуляр), то увеличение микроскопа
Г=Г!Г2,
где Г!——увеличение объектива; Гг ——увеличение окуляра. По определению, увеличение объектива
Fi = fi/di.(2)
Так как 九玄/ н di^Fi, то Гi«l/F\, Окуляр действует как лупа, поэтому
『2=厶/尺，(3)
где 厶=0,25 м ——расстояние наилучшего зрения. Подставив выражения (2) и (3) в (1), получим
丄一77万，1 — 2.10-3.4.〔к
На рассеивающую линзу с главным фокусным расстоянием 尸i падает пучок лучей, параллельных главной оптической оси. На каком расстоянии от центра рассеивающей линзы надо поместить собирающую линзу, чтобы выходящие из нее лучи снова пошли параллельно главной оптической оси? Главное фокусное состояние F2 собирающей линзы в два раза больше, чем рассеивающей (рис. 208).
Дано:尸 1；尸2=2尸 1.
Решение. Для рассеивающей линзы
⑴⑴一1/刀 + 1/% = 一1/自.
⑴
⑴
Считают, что источник пучка параллельных лучей находится в бесконечности, поэтому l/di = 0 и из формулы (1) получим
1/^=1/刀，
откуда Fi = fi. Следовательно, мнимое изображение источника, полученное в рассеивающей линзе, находится в ее мнимом фокусе и является источником для собирающей линзы. Для собирающей линзы
(2) Из рисунка следует, ЧТО 心=尸1 + 厶 По условию задачи, выходящие из собирающей линзы лучи должны пойти параллельным пучком, т. е. 1 //2 = 0. Подставляя выражения для 尸2,心 и % в (2), получаем
1/(2»)= 1/(Q+/),
откуда /=尸1, т. е. искомое расстояние равно главному фокусному расстоянию рассеивающей линзы.
В вогнутое зеркало радиусом кривизны 50 см наливают воду. Оптическая сила полученной системы 5,3 дптр. Вычислить главное фокусное расстояние водяной линзы.
Дано: R = 50cm = 0,5m; D = 5,3 дптр.
Решение. Оптическая система состоит из вогнутого зеркала и водяной плосковыпуклой линзы, сложенных вплотную, поэтому ее оптическая сила
О = а+25,(1)
где Di = 1 /F\ = 2/R ——оптическая сила вогнутого зеркала; £>2 ——оптическая сила водяной линзы. Коэффициент 2 вводится в формулу (1) потому, что лучи дважды проходят через водяную линзу. Из (1) следует, что D?= = (Q —— Qi)/2, или с учетом выражения для D\
D2 = (D-2/R)/2,(2)
По определению, главное фокусное расстояние 尸 2 = = 1/Z)2, или с учетом выражения (2)
22
尸2= 0 — 2/R ；尸2 = 5,3 — 2/0,5 М 1,54 М.
Двояковыпуклая линза получена из двух одинаковых тонких часовых стекол, пространство между которыми заполнено водой. Оптическая сила такой линзы 4 дптр. Определить оптическую силу плосковогнутой линзы, состоящей из одного тонкого часового стекла, касающегося дна тонкостенного цилиндрического стеклянного сосуда, если пространство между часовым стеклом и дном сосуда также заполнено водой.
Дано: Z)6 = 4 дптр.
- ?
Решение. Чтобы определить оптическую силу плоско-
вогнутой линзы, заполним часовое стекло, находящееся на дне цилиндрического сосуда, водой (рис. 209). Тогда получим тонкий плос-
Рис. 210Рис. 210копараллельный слой воды, который можно рассматривать как систему, состоящую из двух водяных линз; плосковыпуклой (вверху) и плосковогнутой (внизу). Оптическая сила плоскопараллельного слоя воды
Рис. 210
Рис. 210
0 = 0. (1) С другой стороны,
0=q1+02,(2)
где Di, £>2 ——оптические силы плосковыпуклой и плосковогнутой линз. Плосковыпуклая линза является половиной двояковыпуклой линзы, разрезанной по линии ЛВ, поэтому ее оптическая сила
Qi = Qo/2 = 2 дптр.(3)
Подставляя выражения (1) и (3) в (2), находим 0 = =2 дптр +。2, откуда 5 = —2 дптр.
Определить оптическую силу очков для дальнозоркого глаза, для которого расстояние наилучшего зрения 40 см.
Дано: L“= 40 см = 0,4 м; М = 25 см = 0,25 м.
D — ?
Решение. При отсутствии очков изображение S' точки S получится на сетчатке С глаза, если точка S расположена на расстоянии SO, равном расстоянию наилучшего зрения дальнозоркого глаза 厶口 от хрусталика глаза X (рис. 210). Чтобы дальнозоркий глаз мог рассматривать более близкие точки, надо применить линзу Л очков. При этом изображение S' точки S", расположенной на расстоянии наилучшего зрения LH нормального глаза от линзы очков, по-прежнему будет получаться на сетчатке С глаза, а человек видит не саму точку S〃，а ее мнимое изображение S, расположенное на расстоянии наилучшего зрения дальнозоркого глаза 厶口 от хрусталика X глаза. Оптическая система линза ——глаз имеет оптическую силу (пренебрегаем расстоянием между глазом и линзой)
D = £>л + Ох, (1) 326
где £>л и Dx — оптическая сила линзы очков и хрусталика глаза. Иначе:
⑵⑵1,11 八
⑵
⑵
где f ——расстояние от сетчатки до хрусталика глаза.
Поскольку линза очков расположена на малом расстоянии 010 от хрусталика глаза, пренебрегая последним, можно считать, что d= LH. Оптическую силу хрусталика глаза можно найти, применив к нему формулу линзы при отсутствии очков:
⑶⑶5 + +=靑="■
⑶
⑶
Здесь d' = L&. Учитывая выражения (2) и (3), перепишем формулу (1) в виде
M-L. n -0,4-0,25 厶也 ' Л— 0,4-0,25M-L. n -0,4-0,25 厶也 ' Л— 0,4-0,25откудаоткудаОл =Ол =дптр= 1,5 дптр.дптр= 1,5 дптр.
M-L. n -0,4-0,25 厶也 ' Л— 0,4-0,25
M-L. n -0,4-0,25 厶也 ' Л— 0,4-0,25
откуда
откуда
Ол =
Ол =
дптр= 1,5 дптр.
дптр= 1,5 дптр.
Близорукий человек различает мелкие предметы на расстоянии не более 15 см. Определить, на каком расстоянии он сможет их хорошо видеть в очках с оптической силой ——3 дптр.
Дано: di = 15 см = 0,15 м; Ог= —3 дптр.
di — ?
Решение. Оптическая сила глаза без очков при близорукости
。1=十 +十，⑴
где di = |SO| — расстояние от предмета до хрусталика глаза; f=|OS'| —— расстояние от хрусталика глаза до сетчатки (рис. 211).
Оптическая сила близорукого глаза в очках
0=01 +02 = ё^17~,(2)
где D2 ——оптическая сила очков; d2^\Sff0\ ——расстояние от предмета до хрусталика глаза при наличии очков
Рис. 211Рис. 211(расстоянием между линзой очков и хрусталиком пренебрегаем).
Рис. 211
Рис. 211
Из уравнений (1) и (2) имеем 1/(Л+。2= 1/办，откуда
1 十 1
山 】Т*м ^0,27 м.
При наличии очков близорукий человек видит мнимое изображение S предмета S〃, находящегося на большем расстоянии от глаза, чем без очков.
Почему в жаркий день очертания предметов над нагретой почвой кажутся колеблющимися?
Отв. В жаркий день от поверхности почвы вертикально вверх циркулируют потоки нагретого воздуха. Вследствие неравномерности нагревания плотность воздуха непрерывно и беспорядочно изменяется, а от плотности зависит коэффициент преломления. Поэтому очертания предметов кажутся колеблющимися.
Чем объясняется блеск драгоценных камней?
Отв. Блеск драгоценных камней объясняется явлением полного отражения, условия для которого создают специальной огранкой.
Почему растения не поливают в жаркий солнечный день?
Отв. Капли воды, оставшиеся на листьях после поливки, играют роль маленьких линз, которые могут фокусировать солнечные лучи, вследствие чего листья могут получить ожоги.
Упражнения
Какова истинная глубина реки, если при определении на глаз по вертикальному направлению глубина ее кажется равной 2 м?
Луч света переходит из стекла в воду. Угол падения луча на границу раздела этих двух сред 40°. Определить угол преломления и предельный угол.
Луч света падает на трехгранную призму из кварцевого стекла под углом 36°. Преломляющий угол призмы 40°. Под каким углом луч выйдет из призмы и 328
каков его угол отклонения от начального направления?
Где получится изображение и какое оно будет, если предмет расположен на расстоянии 30 см от собирающей линзы с главным фокусным расстоянием 60 см?
Расстояние между электрической лампой и экраном на оптической скамье 1 м. Между ними находится собирающая линза, которая дает на экране уменьшенное изображение лампы. Если линзу придвинуть к лампе на 60 см, то на экране появится ее увеличенное изображение. Определить главное фокусное расстояние линзы.
Построить изображение в собирающей линзе, если предмет расположен: 1) за двойным фокусным расстоянием; 2) между фокусом и точкой, находящейся на двойном фокусном расстоянии от линзы; 3) между фокусом и линзой.
Радиусы кривизны поверхностей двояковыпуклой стеклянной линзы, находящейся в воде, равны 50 см каждый. Найти оптическую силу линзы.
Построить изображение предмета, даваемое рассеивающей линзой. Зависит ли характер изображения от расстояния между предметом и линзой?
Определить фокусное расстояние рассеивающей линзы, если при падении на нее сходящегося пучка лучей они пересекаются при выходе из линзы в точке, лежащей на главной оптической оси на расстоянии 25 см от линзы. При отсутствии линзы точка пересечения лучей переместится на 7 см от ее положения при наличии линзы.
С самолета, летящего на высоте 4 км, нужно сфотографировать местность и получить снимки в масштабе 1:5000. Определить оптическую силу объектива.
Для получения нормальных фотографий размером 12X9 см необходимо освещать бумагу в течение 8 с. Как надо изменить продолжительность освещения, если требуется увеличить размеры фотографии до 48 X 36 см?
Зрительная труба с фокусным расстоянием 50 см установлена на бесконечность. После того как окуляр трубы передвинули на некоторое расстояние, стали видны ясно предметы, удаленные от объектива на 50 м. На какое расстояние передвинули окуляр при наводке на резкость?
Объектив и окуляр микроскопа имеют фокусные расстояния, равные соответственно 3 и 50 мм. Расстояние между объективом и окуляром 135 мм, расстояние от предмета до объектива 3,1 мм. Найти увеличение микроскопа.
Одна сторона двояковогнутой линзы посеребрена. Радиус кривизны поверхностей линзы 20 см. На расстоянии 50 см от линзы находится предмет высотой 5 см. Определить высоту изображения, даваемого оптической системой.
Вопросы дляВопросы дляповторенияповторения
Вопросы для
Вопросы для
повторения
повторения
1. Что называется абсолютным и относительным показателями преломления? 2. Сформулируйте закон отражения света. 3. Что называется полюсом, оптиче- ским центром и фокусом зеркала? 4. Напишите формулу для расчета фокусного расстояния сферического зеркала. 5. Сформулируйте закон преломления света. 6. В чем состоит явление полного отражения? При каких1. Что называется абсолютным и относительным показателями преломления? 2. Сформулируйте закон отражения света. 3. Что называется полюсом, оптиче- ским центром и фокусом зеркала? 4. Напишите формулу для расчета фокусного расстояния сферического зеркала. 5. Сформулируйте закон преломления света. 6. В чем состоит явление полного отражения? При какихусловиях оно происходит? 7. Какие виды линз вы знаете? 8. Что называется фокусом и оптиче> ским центром линзы? 9. Что называется оптической силой линзы? В каких единицах ее выражают? 10. Напишите формулу для расчета фокусного расстоя* ния линзы. 11. Объясните построение изображения в зерка лах. 12. Объясните построение изображения в линзах.условиях оно происходит? 7. Какие виды линз вы знаете? 8. Что называется фокусом и оптиче> ским центром линзы? 9. Что называется оптической силой линзы? В каких единицах ее выражают? 10. Напишите формулу для расчета фокусного расстоя* ния линзы. 11. Объясните построение изображения в зерка лах. 12. Объясните построение изображения в линзах.
1. Что называется абсолютным и относительным показателями преломления? 2. Сформулируйте закон отражения света. 3. Что называется полюсом, оптиче- ским центром и фокусом зеркала? 4. Напишите формулу для расчета фокусного расстояния сферического зеркала. 5. Сформулируйте закон преломления света. 6. В чем состоит явление полного отражения? При каких
1. Что называется абсолютным и относительным показателями преломления? 2. Сформулируйте закон отражения света. 3. Что называется полюсом, оптиче- ским центром и фокусом зеркала? 4. Напишите формулу для расчета фокусного расстояния сферического зеркала. 5. Сформулируйте закон преломления света. 6. В чем состоит явление полного отражения? При каких
условиях оно происходит? 7. Какие виды линз вы знаете? 8. Что называется фокусом и оптиче> ским центром линзы? 9. Что называется оптической силой линзы? В каких единицах ее выражают? 10. Напишите формулу для расчета фокусного расстоя* ния линзы. 11. Объясните построение изображения в зерка лах. 12. Объясните построение изображения в линзах.
условиях оно происходит? 7. Какие виды линз вы знаете? 8. Что называется фокусом и оптиче> ским центром линзы? 9. Что называется оптической силой линзы? В каких единицах ее выражают? 10. Напишите формулу для расчета фокусного расстоя* ния линзы. 11. Объясните построение изображения в зерка лах. 12. Объясните построение изображения в линзах.
§ 3. КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА
Такие явления, как фотоэффект, давление света и некоторые другие, приводят к новому представлению о свете, согласно которому световой поток есть поток элементарных частиц — фотонов (квантов света). Одна из характеристик фотона — его энергия. Монохроматический световой поток состоит из фотонов с одинаковой энергией
, he
е = nv = -у~.
где h ——постоянная Планка; v ——частота света; с ——скорость света в вакууме; X — длина волны.
Явление, заключающееся в том, что металлические тела, подвергнутые облучению светом, испускают электроны, называется внешним фотоэффектом.
Для фотоэффекта справедливо уравнение Эйнштейна
где 8 ——энергия фотона; А ——работа выхода электрона из металла; mv2/2 ——максимальная кинетическая энергия вылетевшего электрона; т ——масса электрона.
Фотоэффект наблюдается только при облучении металла светом с частотой, большей или равной критиче-
ской частоте v0, называемой красной границей фотоэффекта, т. е. красная граница соответствует энергии фотона, равной работе выхода электронов из металла:
ftvo = 4
При этом скорость V электронов, а следовательно, и кинетическая энергия 团。2/2 электронов равны нулю.
Свет, падая на тела, оказывает на них давление, зависящее от интенсивности света и отражательной способности поверхности тела. Формула светового давления такова:
p=4"(i+р),
где р — давление света; / — интенсивность света, т. е. световая энергия, падающая на поверхность тела в 1 с, отнесенная к этой поверхности; с ——скорость света в вакууме; р — коэффициент отражения света.
Если тело зеркально отражает световые лучи, то р= 1 и тогда р = 2//с. Если тело полностью поглощает свет (черное тело), то р = 0 и р=//с.
* **
Определить наибольшую длину волны света, при которой может происходить фотоэффект для платины.
Дано: Л = 8,5« 10-19 Дж.
九макс?
Решение. Из формулы А = ftvo найдем красную границу фотоэффекта для платины:
vo = A/h.(1)
Этой частоте соответствует искомая максимальная длина волны
入маке =： С/Vo,
или с учетом выражения (1)
Определить наибольшую скорость электрона, вылетевшего из цезия, при освещении его светом с длиной волны 400 нм.
Дано: Х= 400 нм = 4« 10-7 м.
Омаке ?
Решение. Из формулы Зйн叫тейна для 巾отоэббекта hv = A + mv2/2 имеем имакс = 72®—А)/т • Учитывая, что v = с/Х, получаем
県Ке=Л/氛号一4)；
*■(彗 *詣3 吋-3,2.5» м/с =
= 6,5-105 м/с.
Наибольшая длина волны света, при которой наблюдается фотоэффект для калия, 6,2* 10~5 см. Найти работу выхода электронов из калия.
Дано:九макс = 6,2 • 10-5 см = 6,2 • 10-7 м.
А - ?
Решение. Наибольшая длина волны, при которой наблюдается фотоэффект для металла, связана с красной границей фотоэффекта для этого металла соотношением
(О(ОVq — С/А(макс.
(О
(О
Работа выхода электронов из металла A = hvo, или с учетом выражения (1)
Л6,62.10—34.3.108
4 =丄-Дж ^3,2-10 Дж.
0,2 • 1U
Наибольшая длина волны света, при которой происходит фотоэффект для вольфрама, 0,275 мкм. Найти работу выхода электронов из вольфрама; наибольшую скорость электронов, вырываемых из вольфрама светом с длиной волны 0,18 мкм; наибольшую энергию этих электронов.
Дано: Хмакс= 0,275 мкм = 0,275-10-6 м; Х= 0,18 мкм = 0,18-10~6 м.
4■- ? омаке - ?取маке — ?
Решение. Работа выхода электронов
,Лс Л 6,62・ 1О-З4.3. юз9 n
4=К；/=0,275・1。少一口水。7,2・Ю 19 Дж.
Из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта, учитывая, что v = с/Х, имеем йс/Х = Д + ^имакс/2, откуда максимальная кинетическая энергия
тгу Ермаке 力С力.
W макс2円 9
m6,62・ 10-34.8. ]08гт
Кмакс = —° 两:]尸——Дж —7,2 • 10Дж^
^3,8.10"19 Дж.
Зная наибольшую энергию вылетевших электронов, найдем соответствующую ей наибольшую скорость:
и 一2 囚 м1.
Умакс — V 加 *
г / 2-3,8. 10-19 м с 1 1/
0маке=“ 飞 с0е--^9,1•103 м/е.
Энергия фотона равна кинетической энергии электрона, имевшего начальную скорость 106 м/с и ускоренного разностью потенциалов 4 В. Найти длину волны фотона.
Дано: е = WK\ и0 = Ю6 м/с; U=4B.
Решение. Энергия фотона 它= h” = hc/N、откуда
К = hc/s.(1)
По условию задачи,
8= W^mv2/^,(2)
где m ——масса электрона;。——конечная скорость электрона, ускоренного электрическим полем.
Работа электрического поля равна изменению кинетической энергии электрона, т. е. mv2/2 — mvl/2 = А, откуда mu2/2 = mvo/2 + АУ или, поскольку A = eU、
mv2/2 = mvo/2 十 eU.(3)
Здесь muo/2 ——начальная кинетическая энергия электрона; е ——заряд электрона. Из уравнений (2) и (3) находим
е= тио/2 + ^^.(4)
Подставив выражение (4) в (1), получим
а — he .
m君/2 + eU，
X =X =м « 1,8* 10-7 м.м « 1,8* 10-7 м.6,62・ 10-34.3.1()8
X =
X =
м « 1,8* 10-7 м.
м « 1,8* 10-7 м.
9,1 • 1O7l(io6)2/2+i,6・ 10-"・4
В явлении фотоэффекта электроны, вырываемые с поверхности металла излучением частотой 2«1015 Гц, полностью задерживаются тормозящим полем при разности потенциалов 7 В, а при частоте 4* 1015 Гц ——при разности потенциалов 15 В. По этим данным вычислить постоянную Планка.
Дано: v,=2.1015 Гц; Ui = 7 В; v2 = 4.1015 Гц; U2= 15 В.
Л — ?
Решение. Запишем уравнение Эйнштейна для двух рассмотренных в условии задачи случаев фотоэффекта:
⑴⑴hvi = Л + mvl/2\ hv2 = Л + mvl/2.
⑴
⑴
Так как вылетевшие с поверхности металла электроны полностью задерживаются тормозящим электрическим полем, то изменение их кинетической энергии равно работе электрического поля:
mv2/2 = eU.(2)
Учитывая выражение (2), перепишем (1) в виде hv\ = Д -|- eU\, hv2 = Л -\- eU^
Решая совместно эту систему уравнений, находим
V2 — Vj
^ = -rw3^Д*・с・
Сколько фотонов попадает за 1 с в глаза человека, если глаз воспринимает свет с длиной волны 0,5 мкм при мощности светового потока 2・10一" Вт?
Дано: / = 1 с;九=0,5 мкм = 5* 10-7 м; N = 2・ 10一" Вт.
П--?
Решение. Полная энергия света, попавшего в глаз, W = Nf. Энергия одного фотона е = hcg Тогда число фотонов, попавших в глаз,
50.50.W _ N0 2・ 10-17.1.5. [0—7
50.
50.
~ = ~7厂；九=6,62• 10-94.3. ©
Капля воды объемом 0,2 мл нагревается светом с длиной волны 0,75 мкм, поглощая ежесекундно 1010 фотонов. Определить скорость нагревания воды.
Дано: V = 0,2 мл = 0,2* 10-6 м3; X = 0,75 мкм = 7,5-10-7 м;
n = 1010 с—
АТ/А/—?
Решение. Количество теплоты, полученное водой,
Q = СвбАТ,(1)
где т ——масса капли воды; Св ——удельная теплоемкость воды; АТ — изменение температуры воды при ее нагревании. Количество энергии, отданной светом за промежуток времени Af,
Г = nW,(2)
где £ ——энергия одного фотона. Пренебрегая всеми возможными потерями, считаем, что вся энергия, полученная каплей, идет на ее нагревание, т. е. W = Q, или, учитывая выражения (1) и (2), пеД/= тсъМ\ откуда находим скорость нагревания воды:
АТ/А/ = пе,/(тСв).(3)
Замечая, что zn = pV, где р — плотность воды, и е = Лс/Х, перепишем выражение (3):
АТ — nhc .
Д/ —入pk '
АТ1О,о.6,62.1О-34-3.1О8 К
7,5・10-7・1()9・0,2・10-6.4,2.169 W
Найти давление света на стенки колбы электрической лампы мощностью 100 Вт. Колба лампы ——сфера радиусом 5 см, стенки которой отражают 10% падающего на них света. Считать, что вся потребляемая лампой мощность идет на излучение.
Дано: ^ = 102 Вт; R = 5 см = 5・ I。-? м; р = 0,1.
Решение. Световое давление
р = /(1+р)/с,(1)
Поскольку / = N/S, где S = 4л/?2 ——площадь поверхности лампы, формулу (1) можно преобразовать:
P ― 4・3,14・(5・ 1сН)2.з・ 1(? d +。,1) Па = 12 мкПа.
Пучок света с длиной волны 0,49 мкм, падая перпендикулярно поверхности, производит на нее давление 5 мкПа. Сколько фотонов падает ежесекундно на 1 м этой поверхности? Коэффициент отражения света от данной поверхности 0,25.
Дано:九=0,49 мкм = 4,9-10-7 м; р = 5 мкПа = 5-10-6 Па;
р = 0,25.
п — ?
Решение. Из формулы светового давления р = /(1 +р)/с найдем энергию всех фотонов, падающих на 1 м2 поверхности за 1 с:
/ = рс/(1 +р).
Энергия одного фотона
е = Ziv = hc/k.
Следовательно, число фотонов, падающих ежесекундно на 1 м2 поверхности лампы, равно
т—砲+p)'5-Ю-6-4,9-Ю-76,62 . 10-34.(1 +0,25)т—砲+p)'5-Ю-6-4,9-Ю-76,62 . 10-34.(1 +0,25)=2,9・1021 m-2.e一=2,9・1021 m-2.e一
т—砲+p)'
5-Ю-6-4,9-Ю-7
6,62 . 10-34.(1 +0,25)
т—砲+p)'
5-Ю-6-4,9-Ю-7
6,62 . 10-34.(1 +0,25)
=2,9・1021 m-2.e一
=2,9・1021 m-2.e一
На поверхность площадью 100 см2 ежеминутно падает 63 Дж световой энергии. Найти световое давление в случаях, когда поверхность полностью отражает и полностью поглощает все излучение.
Дано: S = 100 см2 = Ю-2 м2; / = 1 мин = 60 с;取=63 Дж.
Почему проявление фотографических снимков производится при красном освещении?
Отв. Красный свет не действует на фотопластинку ввиду малой энергии фотонов этой частоты и ее недостаточно для того, чтобы начались химические реакции в эмульсионном слое.
На какую поверхность, черную или белую, свет производит большее давление?
Отв. Отражаясь от белой поверхности, свет производит на нее давление р = 2//с. От черной поверхности свет практически не отражается, при этом р = I/с (см. задачу 653). Отсюда видно, что на белую поверхность световые лучи производят большее давление.
Упражнения
Определить энергию фотона, если соответствующая ему длина волны равна 17 • 10--13 м.
Определить работу выхода электронов с поверхности цинка, если длина волны, соответствующая красной границе, составляет для него 300 нм.
Найти красную границу фотоэффекта для лития.
Красная граница фотоэффекта для калия соответствует длине волны 0,577 мкм. При какой разности потенциалов между электродами прекратится эмиссия электронов с поверхности калия, если катод освещать излучением с длиной волны 0,4 мкм?
Определить красную границу фотоэффекта для цезия, если при освещении его излучением с длиной волны 0,35 мкм задерживающий потенциал равен 1,47 В.
Какая часть энергии фотона, вызывающего фотоэффект, расходуется на работу выхода, если наибольшая скорость электронов, вырванных с поверхности цинка, составляет 106 м/с? Красная граница фотоэффекта для цинка соответствует длине волны 290 нм.
На поверхность металла падает поток излучения с длиной волны 0,36 мкм, мощность которого 5 мкВт. Определить силу фототока насыщения, если 5% всех падающих фотонов выбивают из металла электроны.
На зеркальную поверхность площадью 10 см2 под углом 45° падает поток фотонов интенсивностью 1018 фотон/с с длиной волны падающего света 400 нм. Определить давление света на поверхность, если коэффициент отражения от поверхности 0,75.
Поток излучения мощностью 1 мкВт падает пер・
пендикулярно на 1 см поверхности. Определить давление света, если коэффициент отражения 0,8.
Найти световое давление солнечного излучения на 1 м2 земной поверхности, перпендикулярной направлению излучения, если солнечная постоянная 8,38 кДж/ (см2«мин). Коэффициентом отражения света от земной поверхности пренебречь.
Параллельные лучи длиной волны 0,5 мкм падают нормально на зачерненную поверхность, производя давление 10~9 Н/см2. Определить число фотонов, заключенных в 1 м падающего светового потока.
Вопросы для повторения
красной границей фотоэффекта? 8. Что такое задерживаю* щий потенциал? 9. Напишите формулу для расчета светового давления. 10. Чему равно давление света на абсолютно черную поверхность? на зеркальную поверхность?
ГЛАВА V
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Гармонические колебания происходят под действием силы 尸，пропорциональной смещению х тела из положения равновесия и направленной в сторону положения равновесия:
F =—々％,
где 々一коэффициент пропорциональности.
Закон движения для гармонических колебаний
х = 4sin（o）f+（ро）.
где % ——смещение тела от положения равновесия в данный момент времени; А ——амплитуда колебания; sf +屮о ——фаза колебания; фо ——начальная фаза; со —— круговая частота.
Круговая частота о）связана с частотой колебаний v и периодом колебаний Т соотношениями
со = 2nv = 2л/Т.
Период собственных колебаний математического маятника.
Т = 2nV//g ,
где / ——длина маятника; g ——ускорение свободного падения.
Период собственных колебаний пружинного маятника
T = 2Л寸m/々,
где m ——масса колеблющегося тела;々 ——жесткость пружины.
Мгновенная скорость тела, совершающего гармоническое колебание,
V =器=4coeOS（O）f+（ро） = Омаке COS（（Of+ 屮0）,
где Л（о = c/макс — амплитуда скорости.
Ускорение тела, совершающего гармоническое колебание, в данный момент времени
а =黑=乎"=—Xco2sin（（jL）/+ сро） = —aMaKcSin（cot+ 伙）, где А^ = амакс — амплитуда ускорения.
Сила, вызывающая гармонические колебания,
尸= та = —mX（o2sin（a>/ + ср0）= —团⑴汶，
где 团/①？= 尸макс —— амплитуда силы; 俏 —— масса колеблющегося тела. Так как F = —kx, то k = mco2.
Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебание,
k =m/2①2/2 =左屋/2.
Наряду с собственными колебаниями любое тело может совершать вынужденные колебания под действием внешней вынуждающей силы. Если частота внешней силы совпадает с частотой собственных колебаний тела, то наступает явление резонанса.
Тело может участвовать одновременно в нескольких колебательных движениях. При этом имеет место сложение колебаний. Рассмотрим два частных случая сложения колебаний.
Складываются два колебания, происходящие по одной прямой в одном направлении с одинаковыми периодами, но разными амплитудами и начальными фазами. Уравнения слагаемых колебаний имеют вид
打=4sin（3f+ 屮01）, %2 = /2Sin（3f -屮02）.
Результирующее колебание выражается уравнением
х = Х1+Х2 — A sin（sf +（ро）,
где Л = V^T+^1+^T1^—— амплитуда ре-
зультирующего колебания;屮。=arctg 鬻;注:霁
его начальная фаза.
Складываются два взаимно перпендикулярных колебания одинакового периода, но разных амплитуд и начальных фаз. Траектория результирующего колебания
задается уравнением
券+ -^-—2^^-cos（（P02—（Р01） = sin2（（p02—cpoi）.
В зависимости от разности фаз и амплитуд это будет либо прямая, либо эллипс, либо окружность.
Процесс распространения колебаний в упругой среде называется волной. Если направление колебаний совпадает с направлением распространения волны, то такая волна называется продольной, например звуковая волна в воздухе. Если направление колебаний перпендикулярно направлению распространения волны, то такая волна называется поперечной. Длина волны
入=",
где Т ——период колебания; и ——скорость распространения волны.
Уравнение плоской волны
% = Л sin《/ —0 = Л sin（①/ -々广），
где k = 2п/入 ——волновое число; г ——расстояние, пройденное волной от источника колебаний до рассматриваемой точки （рис. 212）.
Разность фаз двух колеблющихся точек, находящих ся на расстояниях г\ и Гг от источника колебаний,
a（p = 屮2--91 = 2n（广2——门）/入.
При падении плоской волны на границу раздела двух сред возникает отраженная волна, которая, складываясь с падающей волной, образует стоячую волну.
Уравнение стоячей волны
х = 2/cos々厂sin①厶
где 4（厂）=2/cos々厂一амплитуда стоячей волны.
Рис. 212Рис. 212Амплитуда стоячей волны максимальна в точках, удовлетворяющих условию
Рис. 212
Рис. 212
Рис. 213
и называемых пучностями стоячей волны. Здесь п = =0, 1, 2, ... (рис. 213; точки А, С, Е> ..).
Амплитуда стоячей волны минимальна в точках, удовлетворяющих условию
г = (2п+1)4-
и называемых узлами стоячей волны. Здесь п = 0, 1, 2,... (рис. 213; точки 8, D,尸，...).
* * *
Материальная точка массой 10 г колеблется по закону % = 0,65sin(0,6f+ 0,8). Найти максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию колеблющейся точки.
Дано: т = 10 г = 10-2 кг; х = 0,05 sin(0,6f + 0,8).
尸°_? Ц7-?
Решение. Из сопоставления общего вида уравнения движения гармонических колебаний % =/4sin(cof+屮 о) с уравнением % = 0,05sin(0,6f+ 0,8), данным в задаче, следует, что Д = 5^ 10~2 м, со = 0,6 рад/с,屮о = 0,8 рад. Из выражения для силы, вызывающей гармонические колебания, F = —mTlw2sin(w/ +фо) получаем
尺=加4①2；尸0= io-2.5・ 10-2(0,6)2 н= 1,8-IO"4 H.
Полная энергия колеблющейся точки тД2со2
10-2.(5.]0-2)2.(0б)2. _ п
取=i—>-_ul Дж = 4,5 мкДж.
668°. Написать уравнение гармонического колебания, амплитуда которого 10 см, период 10 с, начальная фаза равна нулю. Найти смещение, скорость и ускорение колеблющегося тела через 12 с после начала колебаний.
Дано: А = 10 см = 0,1 м; 7 = 10 с; (р0 = 0;厶=12 с.
х— ? v\ — ? ai — ?
Решение. Запишем уравнение гармонического колебания:
х = A sin(w/ + фо) = 4sin(~^-f+(ро).
Подставим в него данные задачи:
х = 0,1 sin (^^ /) =0,1 sin0,628/.
Для момента i\
х = 0,1 sin(0,628 • 12) м ^ 0,095 м.
Скорость колеблющегося тела
V =号=4① COS(G)f + фо),
или с учетом данных задачи
и = 0,1 -0,628 cosO,628/ = 0,0628 cosO,628f.
Для момента t\
vi = 0,0628cos(0,628* 12) м/с» 1,95* 10~2 м/с.
Ускорение колеблющегося тела
а = ~^*у = —4 со? sin((of +(ро), или с учетом данных задачи
а = -0,1 ・ 0,6282 sinO,628f = —0,0393 sinO,628f.
Для момента 力
S = -0,0393sin(0,628・ 12) м/с2 = -3,73-10~2 м/с2.
Через какой минимальный промежуток времени после начала колебаний смещение точки из положения равновесия будет равно половине амплитуды, если пе риод колебания 24 с, начальная фаза равна нулю?
Дано: %i=A/2, 7 = 24 с, фо = 0.
Л - ?
Решение. Запишем уравнение гармонического колебания
х = A sin (си/+(ро) = Л sin(學 / + 屮。).
По условию, Xi = Asin—h = -А-Д, или, сокращая на Я,
.2л ,1
Sin-yT-41 = *У •
Но синус равен 1/2, когда его аргумент равен л/6, т. е. 浮f = ^ откуда 九=Т/12;九=(24/12) с = 2 с.
Написать уравнение гармонического колебания, если его амплитуда 5 см, период 4 с, начальная фаза
a, м/с 2a, м/с 2л/4 рад. Построить графики зависимости смещения, скорости и ускорения от времени.
a, м/с 2
a, м/с 2
Дано: Д = 5 см = 0,05 м; 7=4 с; (ро= л/4 рад.
X=W) — ? V = и(/) — ? а = а") — ?
Решение. Подставляя в уравнение x = 4sin (2n//7十90) данные задачи, получаем
% = 0,05 sin(今f +子).⑴
Для построения графика зависимости смещения х от времени составим таблицу значений смещения х для различных моментов времени /. Для начального момента /0 = 0 из уравнения (1) имеем
х0 = 0,05sin(^/4) м ^ 0,035 м
Из уравнения (1) находим время /макс, соответствующее максимальному смещению хМакс=Д:
0,05 = 0,05sin(^-/макс+
+ т)'
откуда sin ("^/макс+9 == 1；
/, С00,51,52,53,54,5%, м0,0350,050—0,0500,05/, С00,51,52,53,54,5%, м0,0350,050—0,0500,05Рис. 214Рис. 214-^-fмакс 十彳=万；/макс = 0,5 С. Определим х в моменты 九= =/макс + 7/4； /2= /1 4- Т/4 И Т. Д. Полученные значения t и х вносим в таблицу:
/, С
0
0,5
1,5
2,5
3,5
4,5
%, м
0,035
0,05
0
—0,05
0
0,05
/, С
0
0,5
1,5
2,5
3,5
4,5
%, м
0,035
0,05
0
—0,05
0
0,05
Рис. 214
Рис. 214
Используя таблицу, строим график перемещения х = = %(/) (рис. 214, а). Для построения графика скорости используем уравнение
или с учетом данных задачи
V = 0,05 个 cos (-^- / 十 子)0,08 cos
По аналогии с предыдущим случаем составим таблицу:
Л С
0
0,5
1,5
2,5
3,5
4,5
V, м/с
0,06
0
—0,08
0
0,08
0
Используя таблицу, строим график зависимости v = = u(f) (рис. 214, б). Для построения графика ускорения используем уравнение
или, учитывая данные задачи,
а=—0,05(穹а=—0,05(穹
а=—0,05(穹
а=—0,05(穹
Аналогично предыдущим случаям составляем таблицу:
Л с
0
0,5
1,5
2,5
3,5
4,5
а, м/с2
—0,08
—0,12
0
0,12
0
—0,12
Используя таблицу, строим график зависимости а = = a(f) (рис. 214, в).
Написать уравнение гармонического колебания тела, если его полная энергия 3-10-5 Дж, максимальная сила, действующая на тело, 1,5 мН, период колебания 2 с и начальная фаза 60°.
Дано: IF = 3・ I。-'д*； /^акс = 1,5 MH = 1,5・ 10一3 н； 7 = 2 с; (ро = =60° = л/3 рад.
х = х(/) — ?
Решение. Смещение колеблющегося тела
⑴
Для нахождения амплитуды запишем выражения для полной энергии и максимальной силы:
W = тА2^/2,尸макс = т/з2.(2)
Разделив почленно выражения (2), найдем
21r21r月 2・3・10-5；4 = TJb月 2・3・10-5；4 = TJbм = 4-10~2м = 4-10~2м.м.
21r
21r
月 2・3・10-5
；4 = TJb
月 2・3・10-5
；4 = TJb
м = 4-10~2
м = 4-10~2
м.
м.
Рис. 215Рис. 215
Рис. 215
Рис. 215
Тогда формула (1) примет вид
х = 4. Ю-2 sin (nf 十冗/3).
Маятник состоит из тяжелого шарика массой 100 г, подвешенного на нити длиной 50 см. Определить период колебаний маятника и энергию, которой он обладает, если наибольший угол его отклонения от положения равновесия 15°.
Дано: т = 100 г= 0,1 кг; /= 50 см = 0,5 м; а= 15° « 0,26 рад.
Т — ? W — ?
Решение. Считая шарик математическим маятником, а его колебания — гармоническими, находим период колебаний:
T = 2nV?7i; Т = 2 • 3,14寸0,5/9,8一с 1,42 с.
Полная энергия маятника, отклоненного на угол а, есть потенциальная энергия
Wn = mgh.(1)
Из рис. 215 следует, что /г = |40| — —\ОВ\. Так как \ОВ\ = /cos а, то
h = l — l cos а= /(1 — cos а).⑵
Подставив выражение (2) в (1), получим
取n = mg/( 1 — cos а);
取n = 0,1 • 9,8 • 0,5( 1 — 0,97) Дж ^ 15 мДж.
Шарик подвешен на длинной нити. Первый раз его поднимают по вертикали до точки подвеса, второй раз отклоняют на небольшой угол. В каком из этих случаев шарик быстрее возвратится к начальному положению, если его отпустить?
Дано: /.
厶 "2 — ?
Решение. Рассмотрим первый случай. Из уравнения / = gf?/2 найдем время Л свободного падения шарика с высоты, равной длине / нити:
力=何仁(1)
Во втором случае время f2 движения шарика из отклоненного положения в положение равновесия найдем из уравнения гармонического колебания х = Д81п(со/ + фо). Так как в начальный момент времени маятник имеет максимальное отклонение от положения равновесия, то (ро=п/2. Так как в положении равновесия х= 0, то 0 = Д sin ((0/2 +л/2); следовательно, sin ((0/2 +л/2) = 0, <0/2 +л/2 = л, откуда
/2 = "(2(о) =Т/4.(2)
Шарик представляет собой математический маятник, поэтому период его колебаний Т = 2s/〃g. Подставив это выражение в (2), найдем
е^тл/^(3)
Разделив почленно уравнение (1) на (3), получим
Следовательно, в первом случае шарик быстрее возвратится к начальному положению.
Маленький шарик подвешен на нити длиной 1 м к потолку вагона. При какой скорости вагона шарик будет особенно сильно колебаться под действием ударов колес о стыки рельсов? Длина рельса 12,5 м.
Дано: /= 1 м; s=12,5 м.
V - ?
Решение. Шарик совершает вынужденные колебания с частотой V, равной частоте ударов колес о стыки рельсов:
⑴⑴v= v/s.
⑴
⑴
Если размеры шарика малы по сравнению с длиной нити, то тело можно считать математическим маятником, период колебаний которого То = 2лц/〃д. Тогда частота собственных колебаний
v°=A£a/T・⑵
Амплитуда вынужденных незатухающих колебаний максимальна в случае резонанса, когда wnwo. Подставляя в это условие выражения (1) и (2), находим —= = ±УТ，откупа
u = ^rVT; u = T3jrV^-T~6>2 м/с
Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить алюминиевый шарик того же радиуса?
Дано: pi = 8,9-103 кг/м3; р2 = 2,7• 103 кг/м3.
八"2— ？
Решение. Так как шарики, подвешенные к пружине, представляют собой пружинные маятники, то период их колебаний
= 2nVmi/^» 72 = 2nу加2/々,
где mi = 4/3nR3pi, т2=4/зя7?3р2 — массы медного и алюминиевого шариков. Тогда
т. е. период колебаний уменьшится^
Два одинаково направленных колебания с равными частотами имеют амплитуды 20 и 50 см. Второе колебание опережает первое по фазе на 30°. Определить амплитуду и начальную фазу колебания, полученного от сложения этих колебаний, если начальная фаза первого колебания равна нулю.
Дано: Д1 = 20 см = 0,2 м; /2= 50 см = 0,5 м; q)Oi = 0, 902 — 901 = =30° ^ 0,52 рад.
А. — ?(ро — ?
Решение. При сложении двух колебаний, происходящих в одном направлении, амплитуда результирующего колебания
А = У，？ -{" >0 + 2/ 1/42 COS (屮02 —屮01)；
/ = V(0,2)2 +(0,5)2 + 2 • 0,2 • 0,5 ・ 0,87 - м^0,68 м.
I/| sin (Doi +』2 sin фо2«
Из выражения t£(po = -^Н：~—— найдем на- 「Q т А \ cos(pOi + cos ф02
чальную фазу суммарного колебания:
Т° А\ COS 屮01 + 力2 cos 屮02
j 0,2 ・ 0 + 0,5 • 0,51 с on л с о о
W= arctg -о/】早亍：5・6@7 = a「ctg 0,394 七 0,38 рад.
Точка участвует одновременно в двух гармонических взаимно перпендикулярных колебаниях с кратными периодами, одинаковыми амплитудами и начальными фазами, равными нулю. Начертить траекторию точки, если период колебаний по оси У в два раза больше, чем по оси X.
Дзно* АI ^ 4 2== 4 ；屮о 1 •—1 фо2==。； 丁2== 2 71.
Так как общее уравнение траектории в данном случае дает трансцендентное уравнение, то решаем эту задачу численно. Используя уравнения (1) и (3), составим таблицу для значений х н у в различные моменты времени /, выраженные в долях периода 7\:
X
У
Точка на графике
г
X
У
Точка на графике
0
0
0
а
5Т,/8
-0,74
0,9Д
Т"8
0,7Д
0,44
b
37\/4
-Д
0,7Д.
h
А
0,7Д
с
77/8
-0.7Л
0.44
k
ЗТ/8
Т"2
0,7Д 0
0,9/ А
d е
Тх
0
0
/
Построим траекторию abcdefhkl точки, используя данные таблицы (рис. 216). Вследствие симметрии дополним траекторию участком ami. В справедливости этого предлагаем убедиться самим читателям.
Смещение из положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4 см от источника колебаний, через промежуток времени Т/6 равно половине амплиту-- ды. Найти длину волны.
Дано： г = 4 см = 0,04 м; t—T/6; х = Л/2.
?
Решение. Преобразуем уравнение волны х = А sin со« — г/и)，
учитывая, что(о = 2п/Т и 九=иТ:
Рис. 216Рис. 216I sin(*等)号T .
Рис. 216
Рис. 216
\7 -2\7 -2т А - . / 2л7 2л «0,04 Тогда—
\7 -2
\7 -2
или после преобразований
= sm( уJ , откуда видно, что аргумент синуса равен л/6, т. е. =у. Следователь
но, 九= 0,48 м.
Поперечная волна распространяется вдоль упругого
шнура со скоростью 15 м/с. Период колебания точек шнура 1,2 с, амплитуда колебания 2 см. Определить длину волны, фазу и смещение точки, отстоящей на 45 м от источника колебаний, через 4 с.
Дано: и = 15 м/с; 7=1,2 с; А = 2 см = 2• 10-2 м; г = 45 м; / = 4 с.
九--？ (р~~? X - ?
Решение. Длина волны
\ — vT\ 入=15・1,2 м = 18 м.
Фаза и смещение любой точки могут быть найдены из уравнения волны
% = / sin ①(/— г/и).
Фаза колебания равна аргументу синуса в уравнении волны:
9=寻(4一哥 рад^5,24 рад.
Смещение точки
x = 2-10-2.sin5,24 м« —1,73-10-2 м.
Вдоль некоторой прямой распространяются колебания с периодом 0,25 с и скоростью 48 м/с. Спустя 10 с после возникновения колебаний в исходной точке, на расстоянии 43 м от нее, смещение точки оказалось равным 3 см. Определить в этот же момент времени смещение и фазу колебания в точке, отстоящей на 45 м от источника колебаний.
Дано: 7=0,25 с; и = 48 м/с; /= 10 с;门=43 м; f = 45 м; м = =3 см = 3 • 10—2 м.
%2 - ? ф2 — ?
Решение. Уравнения колебаний точек, отстоящих от источника колебаний на расстояниях 门 и г2,
Х\=А sin(о(/— г"о), %2 = / sin s(f —Гг/о)，
или, учитывая, что <о = 2л//,
%1 = Д sin -^"( / —у-^ , %2 = Л sin "^~( f —普)•
Амплитуду колебаний найдем из уравнения для %i：
sin [(2л/Г) (/ —rj/u)]'
人3・10-22
sin [(2л/0,25) (10 — 43/48)]
Из уравнения для %2 найдем фазу колебания 屮2 в точке, отстоящей на расстоянии 厂2 от источника колебаний:
屮2 =学(/ 一今；
屮2 = "^(1° —驚 рад = 145 千 рад ^ 227,65 рад.
Смещение в точке, находящейся на расстоянии 窃 от источника колебаний, в момент времени /
х2 = А sin 屮2；
%2 = 6・ IO-"? sin( 145多 м = 6- IO-2 siny=^=6-10-2 m.
Две точки находятся на расстояниях 6 и 12 м от источника колебаний. Найти разность фаз колебаний этих точек, если период колебаний 0,04 с, а скорость их распространения 300 м/с.
Дано: с = 6м;厂2= 12 м; Т = 0,04 с; и = 300 м/с.
Решение. Уравнения колебаний точек
%i = 4 sin^-(f — ?) , %2 = 4sin毕(f —今，
откуда фазы колебаний этих точек
$1=罕(/一+),屮2 =學(/—今.⑴
Разность фаз 厶屮=屮1 ——屮2, или с учетом выражений (1)
a中=筝(/-9 一學=4^(Г2一n)；
М = Юоо'(12-6) рад = л рад.
Указанные точки колеблются, в противоположных фазах.
Расстояние между второй и шестой пучностями стоячей волны 20 см. Определить длину волны стоячей волны.
Дано: Аг 6.2 =20 см = 0,2 м.
Рис. 217Рис. 217厂厂Л оЛ о广〃 =2几九/4, где п ——номер广〃 =2几九/4, где п ——номерРешение. По условию задачи, аг6,2=г6一广2, где г6 - расстояние от источника колебаний до шестой пучности стоячей волны; 「2 — расстояние от источника до второй пучности. Но расстояние г от источника до соответствующей пучности связано с длиной волны соотношением пучности. Тогда
Рис. 217
Рис. 217
厂
厂
Л о
Л о
广〃 =2几九/4, где п ——номер
广〃 =2几九/4, где п ——номер
/*6 = 2• 6九/4 = 3九；/*2=2• 2九/4 =九；А「б,2=3入一Х= 2Х, откуда
X = ^^-; X = -^- м = 0,1 м.
На шнуре длиной 3 м, один конец которого привязан к стене, а другой колеблется с частотой 5 Гц, возбуждаются стоячие волны. При этом между источником и стеной образуется шесть узлов. Найти скорость распространения волны в шнуре.
Дано: /= 3 м; v=5 Гц.
и - ?
Решение. Скорость распространения волны о = ^/Т = =Xv. Из рис. 217 видно, что I— 11Х/4, откуда 九=4//11. Тогда
о = _^_； ^ = -i^lLм/с= 5,45 м/с.
Изменится ли период колебаний качелей, если на доску качелей положить груз?
Отв. Качели можно рассматривать как математический маятник. Поэтому период колебаний качелей не изменится, так как он от массы не зависит.
Если нести груз на веревочной петле, то при определенном темпе ходьбы груз начнет сильно раскачиваться. Почему?
Отв. Если частота толчков при ходьбе совпадает с частотой собственных колебаний груза, наступит резонанс, что и приведет к сильному раскачиванию груза.
Упражнения
Период колебаний материальной точки 2,4 с, амплитуда 5 см, начальная фаза равна л/2. Каковы смещение, скорость и ускорение колеблющейся точки через 0,4 с после начала колебаний?
Тело совершает гармонические колебания по закону х = 50 sin(n/3) / см. Определить амплитуду силы и полную энергию тела, если его масса 2 кг.
За какое время тело, совершающее гармонические колебания, уравнение которых х = A sinco/, проходит: 1) всю траекторию от среднего положения до крайнего; 2) первую половину траектории; 3) вторую половину траектории?
Построить на одном рисунке два графика гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами 3 см и периодами 8 с, но имеющими разность фаз л/4 и Зл/2.
Найти максимальную скорость и максимальное ускорение колеблющейся точки, если ее амплитуда 5 см, а период 4 с.
Материальная точка совершает гармоническое колебание с периодом 2 с, амплитудой 50 мм и начальной фазой, равной нулю. Найти скорость точки в момент времени, когда смещение точки из положения равновесия равно 25 мм.
Амплитуда гармонического колебания материальной точки 2 см, полная энергия ее колебаний 3* 10-7 Дж. При каком смещении от положения равновесия на эту точку действует сила 2.25* 10-5 Н?
Маятниковые часы идут правильно при длине маятника 55,8 см. На сколько отстанут часы за сутки, если удлинить маятник на 0,5 см? Маятник считать математическим.
Определить период колебаний пружинного маятника, если его масса 196 г, а жесткость пружины 2-102 Н/м.
Складываются два одинаково направленных гармонических колебания с одинаковыми периодами, равными 8 с, и одинаковыми амплитудами, равными 0,02 м. Разность фаз колебаний л/4, начальная фаза одного из колебаний равна нулю. Написать уравнение результирующего колебания.
Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых х = 354
=2 sins/, у = 2 cos(оЛ Найти траекторию движения точки.
Волна распространяется от источника колебаний вдоль прямой. Смещение точки для момента времени 0,5 Т составляет 5 см. Точка удалена от источника колебаний на расстояние Х/3. Определить амплитуду колебания.
Источник совершает незатухающие колебания по закону х = 0,05 sin 500л/ м. Определить смещение точки, находящейся на расстоянии 60 см от источника колебаний, через 0,01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний 300 м/с.
Определить разность фаз двух точек, отстоящих друг от друга на расстоянии 20 см, если волна распространяется со скоростью 2,4 м/с при частоте 3 Гц.
Один камертон — источник звуковых волн — помещен перед ухом наблюдателя, а другой такой же —— на расстоянии 47,5 см от первого камертона. При этом наблюдатель не слышит звука. Определить частоту колебаний камертона.
Вопросы дляВопросы дляповторенияповторения
Вопросы для
Вопросы для
повторения
повторения
1. Какие колебания называются гармоническими незатухающими? 2. Напишите выражения для смещения, скорости и ускорения колеблющейся точки. 3. Что называется амплитудой, периодом, фазой колебания? 4. Напишите формулы периода колебаний математического и пружинного маятников. 5. Чему равна полная энергия незатухающего гармонического колебания? Почему она постоянна? 6. Какие колебания называются затухающими? вынужденными?1. Какие колебания называются гармоническими незатухающими? 2. Напишите выражения для смещения, скорости и ускорения колеблющейся точки. 3. Что называется амплитудой, периодом, фазой колебания? 4. Напишите формулы периода колебаний математического и пружинного маятников. 5. Чему равна полная энергия незатухающего гармонического колебания? Почему она постоянна? 6. Какие колебания называются затухающими? вынужденными?7. Что такое резонанс? 8. Какой процесс называется волновым? 9. Назовите основные типы механических волн. 10. Что называется длиной волны? 11. Напишите формулу, связывающую длину волны, ее скорость распространения и период. 12. Напишите уравнение бегущей волны. 13. Объясните, как образуется стоячая волна. 14. Что называется пучностью и узлом стоячей волны? Как рассчитать их положение относительно источника колебаний?7. Что такое резонанс? 8. Какой процесс называется волновым? 9. Назовите основные типы механических волн. 10. Что называется длиной волны? 11. Напишите формулу, связывающую длину волны, ее скорость распространения и период. 12. Напишите уравнение бегущей волны. 13. Объясните, как образуется стоячая волна. 14. Что называется пучностью и узлом стоячей волны? Как рассчитать их положение относительно источника колебаний?
1. Какие колебания называются гармоническими незатухающими? 2. Напишите выражения для смещения, скорости и ускорения колеблющейся точки. 3. Что называется амплитудой, периодом, фазой колебания? 4. Напишите формулы периода колебаний математического и пружинного маятников. 5. Чему равна полная энергия незатухающего гармонического колебания? Почему она постоянна? 6. Какие колебания называются затухающими? вынужденными?
1. Какие колебания называются гармоническими незатухающими? 2. Напишите выражения для смещения, скорости и ускорения колеблющейся точки. 3. Что называется амплитудой, периодом, фазой колебания? 4. Напишите формулы периода колебаний математического и пружинного маятников. 5. Чему равна полная энергия незатухающего гармонического колебания? Почему она постоянна? 6. Какие колебания называются затухающими? вынужденными?
7. Что такое резонанс? 8. Какой процесс называется волновым? 9. Назовите основные типы механических волн. 10. Что называется длиной волны? 11. Напишите формулу, связывающую длину волны, ее скорость распространения и период. 12. Напишите уравнение бегущей волны. 13. Объясните, как образуется стоячая волна. 14. Что называется пучностью и узлом стоячей волны? Как рассчитать их положение относительно источника колебаний?
7. Что такое резонанс? 8. Какой процесс называется волновым? 9. Назовите основные типы механических волн. 10. Что называется длиной волны? 11. Напишите формулу, связывающую длину волны, ее скорость распространения и период. 12. Напишите уравнение бегущей волны. 13. Объясните, как образуется стоячая волна. 14. Что называется пучностью и узлом стоячей волны? Как рассчитать их положение относительно источника колебаний?
§ 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
При равномерном вращении с угловой скоростью (о плоской рамки площадью 5, состоящей из N витков, в однородном магнитном поле с индукцией В в рамке возбуждается ЭДС индукции
£= £osin(sf +(ро),
где So = NSB со — амплитуда ЭДС.
Если напряжение, подводимое в цепь, не содержащую индуктивности и емкости, изменяется по закону
U = Uq sins/,
то сила тока / изменяется по аналогичному закону:
/ = /о sin ①f.
Сопротивление такой цепи, называемое активным, равно
Ra = Uo//().
Сила постоянного тока, который в цепи с активным сопротивлением выделяет ту же энергию за одно и то же время, что и переменный ток, называется действующей силой переменного тока /Л. Постоянное напряжение, соответствующее действующей силе тока, называется действующим напряжением ил. Действующие напряжение и сила тока связаны с амплитудными значениями следующими соотношениями:
IK = Uo/V^ ； /д = /о/视・
Расчет цепей переменного тока с активным сопротивлением производится, так же как и при постоянном токе, с учетом действующих напряжений и сил токов.
Рассмотрим цепь, состоящую из малого активного сопротивления Ra и конденсатора емкостью С (рис. 218, а). Если напряжение на конденсаторе изменяется по закону
U = Uo sin cof,
то, пренебрегая активным сопротивлением Ra, имеем
g —— gо sin (о/, / — /о cos(of,
где о == CUo, /о — «о①—С Uо з.
Сопротивление такой цепи (емкостное сопротивление) ,по закону Ома, равно
Рассмотрим цепь, состоящую из малого активного сопротивления Ra и катушки индуктивностью L (рнС. 218,6). Если напряжение в контуре изменяется по закону
U = Uo sin ①f,
то, пренебрегая активным сопротивлением Ra, имеем
/ = — /о cos(о/,
где /о = Uo/(①L).
Сопротивление такой цепи (индуктивное сопротивление) ,по закону Ома, равно
Rl = Uq/Iq — ^L.
Полное сопротивление цепи переменного тока при наличии в ней активного, емкостного и индуктивного сопротивлений (рис. 218, в) равно
R = y*
Система, состоящая из двух обмоток, связанных одним сердечником, называется трансформатором. Если первичная обмотка содержит N\ витков, а вторичная — М витков, то коэффициент трансформации
Л = ^l/^2= £"%•
где 召 1 и 召2 ——ЭДС индукции в первичной и вторичной обмотках.
Если падение напряжения на активном сопротивлении в первичной цепи трансформатора ничтожно мало и вторичная обмотка разомкнута, то 8、= 5 и £2= U2； тогда
М/№= U"U2・
КПД трансформатора называют отношение мощности 戶2, отдаваемой вторичной обмоткой, к мощности Рь подводимой к первичной обмотке:
刀=佘100%・
В контуре, состоящем из индуктивности L и емкости С, могут возникать собственные электромагнитные колебания, период которых определяется формулой Томсона
Т = 2лц/ LC.
Такой контур является источником электромагнитных волн, представляющих собой распространение колебаний электрического и магнитного полей. Уравнения плоской электромагнитной волны имеют вид
Е = Ео sin ①(/ — 〃с), 3 = & sin(o(f — г/с), где с = 3 • 108 м/с ——скорость электромагнитной волны в вакууме.
* * *
В сеть переменного тока с действующим напряжением 110 В включены последовательно конденсатор емкостью 50 мкФ, катушка индуктивностью 200 мГн и активным сопротивлением 4 Ом. Определить амплитуду силы тока в цепи, если частота переменного тока 100 Гц, а также частоту переменного тока, при которой в данном контуре наступит резонанс напряжений.
Дано: (7Д = ПО В; С= 50 мкФ = 5• 10-5 Ф; L = 200 мГн= 0,2 Гн;
Ra = 4 Ом; v= 100 Гц.
/о — ? Vp — ?
Решение. По закону Ома, амплитуда силы тока
/о ― /.(1)
V心+闻一 "(砌2、，
Учитывая, что UQ = Un^2 и (o=2nv, формулу (1) приводим к виду
0 寸心+ [22L一"(2П吟]2 '
" L仇・1，4]一 65 Д
■V42 + [2・3,14：100・0,2-1/(2・3,14・ 100・5・ 10-5)]2〜，*
При резонансе напряжений амплитуды напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности равны Uoc = =Uol. Так как Uoc = /0/ (2nvpC), t/0L=2nvpL/0, то
Vp = —; vp =7====== Гц ^ 50 Гц.
2・3,14寸0,2.5.10-5
702°. В электрической цепи с малым активным сопротивлением, содержащей конденсатор емкостью 0,2 мкФ и катушку индуктивностью 1 мГн, сила тока при резонансе изменяется по закону / = 0,02sin со/ (рис. 219). Найти мгновенное значение силы тока, а так
же мгновенные значения напряжений
на конденсаторе и катушке через % периода от начала возникновения колебаний. Построить графики зависимости силы тока и напряжений от времени.
Дано: С = 0,2 мкФ = 2* 10-7Ф; L = 1 мГн = 10-3 Гн; f = 7/3.
/—? Uc—?。厶一？
Решение. Так как активное сопротивление Ra «0, то циклическая частота со = 2л/Т, или с учетом формулы Томсона
2л11рад
(О = = —т=； СО = /q…一，，宀=
=7,1 • 104 рад/с.
По закону изменения силы тока,
/ = 0,02sin-y-f.(1)
Для f = Т/3 мгновенное значение силы тока
/ = 0,02 sin (學｝т) А= 1,73-10-2 А.
Напряжение на конденсаторе Uc = q/C、где q ——заряд конденсатора. По определению, сила тока равна / = = dg/df, откуда g = (/df. Подставляя в эту формулу о
подынтегральное выражение (1) и производя интегрирование, получаем
q — \ 0,02sinsfdf =q — \ 0,02sinsfdf =0,02/cossf.(О0,02/cossf.(О
q — \ 0,02sinsfdf =
q — \ 0,02sinsfdf =
0,02/
cossf.
(О
0,02/
cossf.
(О
Тогда напряжение на конденсаторе
Решение. По аналогииРешение. По аналогииимеемимеемс задачей 702, при Ra = 0с задачей 702, при Ra = 0々10-2・2•10一8々10-2・2•10一8радрад^ 7,1 • 104 рад/с.^ 7,1 • 104 рад/с.
Решение. По аналогии
Решение. По аналогии
имеем
имеем
с задачей 702, при Ra = 0
с задачей 702, при Ra = 0
々10-2・2•10一8
々10-2・2•10一8
рад
рад
^ 7,1 • 104 рад/с.
^ 7,1 • 104 рад/с.
Для f = Т/3
〃0,02. /2л Т
Uc = 7,1・1()4.2.1(р6т'~
一子)В = 0,7 В.
Напряжение на катушке
Ul = L^= L-^{0fi2s\n^t)=
=0,02wLcos(oZ = 0,02sL X
X sin (①(+?)•
Рис. 220〃ЛЯ ' = 7/3
lh = 0,02-7,1 • IO" lo—sin(學^十子)В ^ —0,7 В.
Графики зависимости силы тока и напряжений на конденсаторе и катушке показаны на рис. 220, а, 6.
703°. В электрической цепи (см. рис. 219) напряжение на конденсаторе изменяется по закону Uc = 0,01sinsf. Найти мгновенное значение силы тока, а также мгновенные значения напряжения на конденсаторе и катушке через */б периода, если емкость конденсатора 0,02 мкФ, а индуктивность катушки 10 мГн. Построить графики зависимости силы тока и напряжений на конденсаторе и катушке от времени.
Дано: С = 0,02 мкФ = 2 • 10-8 Ф; L = 10 мГн = 10-2 Гн; f = Т/6.
/—? 〃一？ 4—?
Мгновенное значение напряжения на конденсаторе
⑴⑴Uc = 0,01 sinsf.
⑴
⑴
Для f = Т/6
Uc = 0,01 sin(學 4") В 8,6 мВ.
Заряд конденсатора q = CUc, или с учетом (1) q = =0,01С • sinco/. Сила тока
/ =书-="^(0,01 Csincof) = 0,01 Ccocosco/ =
= 0,01CcDsin(G)/ +子).(2)
Мгновенное значение силы тока для момента / = Г/6/ = 0,01.2-10~8-7,1 • 104 sin(^ + T)А =7,1 мкА.
Напряжение на катушке Ul =厶"^"， ^ли с учетом (2)
UL = L-^0,00 ICcd cosco/) = -OQILCg^sEs/.
Так как оз2 = 1/(LC), то
Ul = —0,01 sinco/ = 0,01 sin(co/ +л).
Мгновенное значение напряжения на катушке для времени f = Т/6
Ul = 0,01 sin(學£+冗)В ^ -8,6 мВ.
Графики зависимости силы тока и напряжений от времени предлагаем построить самим читателям по аналогии с предыдущей задачей.
Найти амплитуду ЭДС, наводимой при вращении прямоугольной рамки с частотой 50 Гц в однородном магнитном поле с индукцией 0,2 Тл, если площадь рамки 100 см2, вектор индукции перпендикулярен оси вращения рамки, а начальная фаза равна нулю.
Дано: V = 50 Гц; S = 100 см2 = 10~2 м2; В = 0,2 Тл;屮。=0.
& — ?
Решение. По закону Фарадея, ЭДС индукции, возникающая в рамке,
营=-Дф/ДЛ(1)
Здесь Дф = Ф2 — Ф1 —изменение магнитного потока за промежуток времени Af, где ①i = 3Scos3f и Ф2 = =BScos[ со(/ + Д/)] —магнитные потоки, пронизывающие рамку в моменты времени / и / +Д/. Тогда
А ①=① 2 — Ф1 = BS{ cos[ co(/ + A/)] — cosco/}.(2)
Используя тригонометрическую формулу cos(a+ р)= =cosacosp — sinasinp, преобразуем выражение (2):
ДФ = BS(coscl>A/coscoA/ — sino/sinoA/ — coso/).
Так как sAf мало, то cossAfnl и sinsAfnsAf; следовательно,
ДФ = BS(cossf —(oAf sinsf — cossf) = —BSsAf sinsf.
(3)
Подставив выражение (3) в (1). получим S = BSo sin ш/, откуда видно, что амплитуда ЭДС 尻=BS(o, или, поскольку оз = 2nv,
«О = 2nvBS;任=2 • 3,14• 50• 0,2 • 10-2 в = 628 мВ.
** ЭДС можно найти дифференцированием, если закон Фарадея записать в виде
£ d①
Напряжение на концах участка цепи, по которому течет переменный ток, изменяется с течением времени по закону U = U()sin(sf+ 冗/6). В момент времени / = =Т/12 мгновенное напряжение равно 10 В. Определить амплитуду напряжения.
Дано: f = Г/12; Ux = 10 В.
Uo-?
Решение. Подставляя в уравнение
U = U()sin(sf + л/6)
значения Ui н f н учитывая, что s = 2л/Т, получаем
10 = Uosin 修или 10 = (/osin-^-, откуда
=鳥 Ball,5 В.
sin(jr/3) и,о/
Электропечь, сопротивление которой 22 Ом, питается от генератора переменного тока. Определить количество теплоты, выделяемое печью за 1 ч, если амплитуда силы тока 10 А.
Дано: R = 22 Ом; / = 1 ч = 3,6» 104 с; /о = 10 А.'
Q-?
Решение. По закону Джоуля ——Ленца для цепи переменного тока
Q = /訳/ =_(/o/V2 )2Rf；
Q = (10/л/2 ¥ ・ 22 • 3,6 -104 Дж = 39,6 МДж.
Сила тока в первичной обмотке трансформатора 0,5 А, напряжение на ее концах 220 В. Сила тока во вторичной обмотке 11 А, напряжение на ее концах 9,5 В. Определить КПД трансформатора.
Дано: /1 = 0,5 A; Ui = 220 В; /2 = 11 A; S = 9,5 В.
п —?
Решение. КПД трансформатора
7]=号 100%.
Так как Р?=厶。2 и Pi = 1\U\, то
『嶽00%;「設标 1。。％ = 95%.
В течение какого времени будет гореть неоновая лампа, если ее подключить на 1 мин в сеть переменного тока с действующим напряжением 120 В и частотой 50 Гц? Лампа зажигается и гаснет при напряжении 84 В.
Дано: /о = 1 мин = 60 с; Ua = 120 В; v = 50 Гц; U3 = 84 В.
Решение. При включении лампы напряжение на ее электродах изменяется по закону
U = (7osin2nv/,(1)
где
UQ = л/2 U“(2)
Неоновая лампа зажигается и гаснет при напряжении GvUo； следовательно, в течение одного полупериода продолжительность ее горения
А/ =办一fi,(3)
где 6 и /2 — интервалы времени от начала периода до момента вспышки и гашения лампы. Так как в интервале /о содержится 2/ov промежутков А/, то за это время лампа горит в течение времени
tx = 2%vA/.(4)
Из уравнений (1) и (2) найдем, что U = -^2 UAs\n2nvt. Если t = ti и t — t2, то U = (7з, тогда
〃з = V2asin2nv/i и。3 = 丫2 ^2sinnv/2,
84〜11,41 • 120 ^T*84〜11,41 • 120 ^T*откуда
84〜1
1,41 • 120 ^T*
84〜1
1,41 • 120 ^T*
sin2лv/l == —^2—; sin(2n • 50/1)=
Следовательно, ЮОл/i = л/6, откуда /1 = 1 /600 с. Аналогично, sin(2n • 50/2)^ 1/2, тогда 100л/2 = 5л/6, откуда 査=5/600 с. Подставив значения /1 и /2 в уравнение (3), получим
А/ = (5/600一 1/600) с= 1/150 с.
Время горения лампы найдем, подставив значения А/, /о и V в уравнение (4):
/х== (2-60-50.1/150) с = 40 с.
Разность потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре изменяется по закону U = =50cos(104n/). Емкость конденсатора 0,9 мкФ. Найти индуктивность контура, закон изменения со временем силы тока в цепи, а также длину волны, соответствующую этому контуру.
Дано: С = 0,9 мкФ = 9-10~7 Ф.
L—? /(/)—? X —?
Решение. Из формулы Томсона
T = 2g/&(I)
найдем L = 72/(4冗2。)， или, учитывая, что Т = 2n/s, L=l/(Ce2) i43 уравнения U = 50cosl04nf видно, что 3=10〃冗 рад/с. Следовательно, индуктивность контура
-9w(；。三3/4)2 Fg 1,12 mгн.
Длина волны 入=сТ, или с учетом выражения (1)
2・3,14・3・108-10МД4~2・3,14・3・108-10МД4~м = 6« 104 м.м = 6« 104 м.
2・3,14・3・108
-10МД4~
2・3,14・3・108
-10МД4~
м = 6« 104 м.
м = 6« 104 м.
По определению, сила тока равна
/=—/osinsf.(2)
Так как /0 = Uo/(coL), то [см. (2)]
/ =—軍 sins/.
Значения Uo и з находим из уравнения U = 50соз104л/: Uo = 50 В, s = 104л рад/с. Следовательно,
/ =—~sinl04n/ =——1,42з1п104л/.
104-3,14. 1,12-Ю-3
Емкость переменного конденсатора контура приемника изменяется в пределах от Ci до С2 = 9С1. Определить диапазон волн контура приемника, если емкости Ci конденсатора соответствует длина волны, равная 3 м.
Дано: & = 9&;入1 = 3 м.
А, 2 — ?
Решение. Обозначим 入i и 入2 длины волны, ограничивающие диапазон. Тогда
11 = сТ 1 = 2лс^УLC\,(1)
入2 = eT2 = 2门еу lс2,(2)
где Т1 и Т2 ——наименьший и наибольший периоды колебаний контура. Учитывая, что С2 = 9С1, уравнение (2) можно написать в виде
入2 = блсд/L& .(3)
Из сравнения уравнений (1) и (3) находим, что 入2 = 3Xi, т. е.入2 = 3・3 = 9 м. Следовательно, диапазон волн контура приемника заключен в интервале от 3 до 9 м.
По спирали электролампы, включенной в электрическую цепь, пропускают сначала постоянный, а затем переменный ток одинакового напряжения. Одинаковое ли количество теплоты выделяется спиралью лампы в этих случаях?
Отв. Рассматривая спираль как активное сопротивление, можно сказать, что она нагреется в обоих случаях одинаково, так как, по условию задачи, напряжение постоянного тока равно действующему напряжению (7д переменного тока. По закону Джоуля — Ленца имеем соответственно для постоянного и переменного токов
Ql=。2〃兄 Q2= £//R.
Из сравнения этих выражений видно, что Qi = Q2.
Как осуществляется передача энергии из первичной обмотки трансформатора во вторичную, если об-
мотки трансформатора не соединены между собой проводником?
Отв. При прохождении электрического тока по первичной обмотке трансформатора в ней возникает магнитный поток, который целиком проходит внутри сердечника и пронизывает витки вторичной обмотки. Так как по первичной обмотке проходит переменный ток, то магнитный поток изменяется со временем, при этом во вторичной обмотке возникает ЭДС индукции.
Почему при радиосвязи на коротких волнах получаются зоны молчания?
Отв. Вследствие неоднородности атмосферы для электромагнитных волн этого диапазона происходит их преломление, что и ведет к возникновению зон молчания.
Упражнения
В сеть переменного тока с напряжением 120 В последовательно включены проводник с активным сопротивлением 15 Ом и катушка индуктивностью 50 мГн. Найти частоту тока, если амплитуда тока в цепи 7 А.
Колебательный контур имеет индуктивность 1,6 мГн и емкость 0,04 мкФ. Максимальное напряжение на зажимах 200 В. Определить максимальную силу тока в контуре. Активным сопротивлением контура пренебречь.
Найти мгновенное и действующее значения ЭДС переменного тока через 0,002 с от начала колебаний, если амплитудное значение ЭДС 127 В. Частота переменного тока 50 Гц, начальная фаза равна нулю.
Первичная обмотка трансформатора с коэффициентом трансформации, равным 8, включена в сеть с напряжением 220 В. Сопротивление вторичной обмотки 2 Ом, сила тока во вторичной обмотке трансформатора 3 А. Определить напряжение на зажимах вторичной обмотки. Потерями в первичной обмотке пренебречь.
Катушка длиной 50 см и площадью поперечного сечения 3 см2 имеет 1000 витков и соединена параллельно с воздушным конденсатором. Конденсатор состоит из двух пластин площадью 75 см2 каждая. Расстояние между пластинами 5 мм. Определить период колебаний полученного контура.
Найти период колебаний контура, излучающего электромагнитную волну, длина волны которой 3 км.
Определить период колебаний в контуре, содер-
жащем конденсатор емкостью 500 пФ и катушку индуктивностью 1 мГн.
В колебательном контуре индуктивность катушки можно изменять от 50 до 500 Гн, а емкость конденсатора —от 10 до 1000 пФ. Какой диапазон частот можно получить при настройке такого контура?
Найти частоту собственных электрических колебаний в контуре, содержащем катушку индуктивностью 3 мГн и конденсатор емкостью 2 мкФ.
Электромагнитные волны распространяются в однородной среде со скоростью 2« 108 м/с. Какую длину волны имеют электромагнитные колебания в этой среде, если их частота в вакууме 1 МГц?
Вопросы для повторения
1. Как устроен простейший колебательный контур? 2. Чему равны частота и период собственных колебаний контура? 3. Напишите выражение для ЭДС, возникающей в рамке, равномерно вращающейся с некоторой угловой скоростью в магнитном поле. 4. Что называют действующими значениями напряжения и силы тока? S. Чему равны активное, емкостное и1. Как устроен простейший колебательный контур? 2. Чему равны частота и период собственных колебаний контура? 3. Напишите выражение для ЭДС, возникающей в рамке, равномерно вращающейся с некоторой угловой скоростью в магнитном поле. 4. Что называют действующими значениями напряжения и силы тока? S. Чему равны активное, емкостное ииндуктивное сопротивления? 6. Чему равно полное сопротивление цепи переменного тока? 7. Что называется трансформатором? 8. Что называется коэффициентом трансформации? 9. Что называется КПД трансформатора? 10. Напишите уравнение для плоской электромагнитной волны. 11. Чему равна скорость электромагнитной волны в вакууме?индуктивное сопротивления? 6. Чему равно полное сопротивление цепи переменного тока? 7. Что называется трансформатором? 8. Что называется коэффициентом трансформации? 9. Что называется КПД трансформатора? 10. Напишите уравнение для плоской электромагнитной волны. 11. Чему равна скорость электромагнитной волны в вакууме?
1. Как устроен простейший колебательный контур? 2. Чему равны частота и период собственных колебаний контура? 3. Напишите выражение для ЭДС, возникающей в рамке, равномерно вращающейся с некоторой угловой скоростью в магнитном поле. 4. Что называют действующими значениями напряжения и силы тока? S. Чему равны активное, емкостное и
1. Как устроен простейший колебательный контур? 2. Чему равны частота и период собственных колебаний контура? 3. Напишите выражение для ЭДС, возникающей в рамке, равномерно вращающейся с некоторой угловой скоростью в магнитном поле. 4. Что называют действующими значениями напряжения и силы тока? S. Чему равны активное, емкостное и
индуктивное сопротивления? 6. Чему равно полное сопротивление цепи переменного тока? 7. Что называется трансформатором? 8. Что называется коэффициентом трансформации? 9. Что называется КПД трансформатора? 10. Напишите уравнение для плоской электромагнитной волны. 11. Чему равна скорость электромагнитной волны в вакууме?
индуктивное сопротивления? 6. Чему равно полное сопротивление цепи переменного тока? 7. Что называется трансформатором? 8. Что называется коэффициентом трансформации? 9. Что называется КПД трансформатора? 10. Напишите уравнение для плоской электромагнитной волны. 11. Чему равна скорость электромагнитной волны в вакууме?
§ 3. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА
Такие явления, как интерференция, дифракция и дисперсия света, определяют волновые свойства света.
Интерференцией света называется явление наложения когерентных световых волн, в результате которого в одних местах пространства возникают максимумы, а в других ——минимумы интенсивности света; при этом происходит перераспределение световой энергии в пространстве. Когерентными называются световые волны, разность фаз которых остается постоянной во времени.
Условие максимума интенсивности света
А = 2々专，
где А = П2厂2 —几1厂1 —оптическая разность хода волн; X —— длина волны;々=1, 2, 3,…一целое число.
Условие минимума интенсивности света
a=（2々+1）等.
При наблюдении интерференции света в тонких плоскопараллельных пластинках в отраженном свете условия максимума и минимума интенсивности света имеют вид a = 2d%cos 厂^- = 2々告；
Д = 2dncosr-= （2々+ 1）等，
где d ——толщина тонкой пластинки; п ——показатель преломления материала пластинки; г ——угол преломления света в ней.
При интерференции света в проходящем свете условия максимума и минимума меняются местами.
Дифракцией света называется явление, возникающее при распространении света в среде с резко выраженными неоднородностями и проявляющееся в распространении света в области геометрической тени. Дифракцию света можно наблюдать с помощью дифракционной решетки.
Условие главных максимумов при нормальном падении света на дифракционную решетку имеет вид
dsin（p = ЙХ,
где d ——период решетки; ср ——угол отклонения луча от первоначального направления; X ——длина волны падающего на решетку света; 々=1, 2, 3, ... — целое число （порядок спектра）.
Дисперсией света называется явление зависимости показателя преломления света от длины световой волны. Опытным доказательством существования дисперсии является разложение белого света в спектр с помощью трехгранной призмы. Спектр белого света содержит семь основных цветов, непрерывно переходящих друг в друга. Следовательно, белый свет ——сложный. Раскаленные твердые и жидкие тела дают сплошной спектр, раскаленные газы —— линейчатый спектр, характерный только для данного элемента.
В оптике часто пользуются понятием светового луча. Луч — это линия, вдоль которой свет переносит энергию.
* * *
Световая волна с длиной волны 700 мм распространяется в воздухе. Какова длина волны в воде?
Дано:入I = 700 нм = 7・ 10-7 м.
入2 — ?
Решение. Длины волн 入i и 入2 световых волн в воздухе и в воде связаны со скоростями v\ и V2 распространения этих волн в воздухе и воде следующими соотношениями:
九1 = s/v и А，2 = Vi/v,(1)
где V — частота световых колебаний, которая не изменяется при переходе света из одной среды в другую. Разделив почленно уравнения (1), получим
储/九2 = V\/V2-(2)
Скорости распространения света в воздухе и в воде связаны с абсолютными показателями преломления п\ и иг этих сред соотношением
力/^2=几2/几1.(3)
Сравнивая между собой выражения (3) и (2), находим 入 1/九2=〃2/几1, откуда
入2 =——；九2 = j-JJ— м ^ 5,26 • 1 0 M.
Два когерентных источника Si н S2 c длиной волны 0,5 мкм находятся на расстоянии 2 мм друг от друга. Параллельно линии, соединяющей источники, расположен экран на расстоянии 2 м от них. Что будет наблюдаться в точке Л экрана (рис. 221) ?
Дано:入=0,5 мкм = 5-10-7 м; J = 2 мм = 2-10-3 м; / = 2 м.
А — ?
'///〃//〃/〃,'///〃//〃/〃,Рис. 221Рис. 221Решение. В точке Л экрана будет максимум интенсивности, если разность хода двух лучей, исходящих из источников Si и S2, равна целому числу длин волн, и минимум интенсивности, если эта разность хода равна нечетному числу полуволн. Вычислим разность хода (рис. 221):
'///〃//〃/〃,
'///〃//〃/〃,
Рис. 221
Рис. 221
где |$2力| = д//2 + d?, 1S|4| = /. Следовательно,
А =寸/弓可-/ = /“+(d//)2 - /.
Так как d//《l, то, используя формулу приближенного вычисления, получаем
ф +4Ч40 ] -/=4г； А^1£^Хм=10-6 м.
Рис. 222
Сравнивая значения Д и X, видим, что разность хода А равна целому числу длин волн (двум); следовательно, в точке Л освещенность будет максимальна.
Сначала вертикальную мыльную пленку наблюдают в осаженном свете через красное стекло (储 = =6,3* 10~ м). При этом расстояние между соседними красными полосами равно 3 мм. Затем эту пленку наблюдают через синее стекло (入i = 4-10~7 м). Найти расстояние между соседними синими полосами. Считать, что форма пленки за время наблюдения не изменяется.
Дано: Xi = 6,3• 10—7 м; %[ = 3 мм = 3* 10—3 м;入2 = 4• 10—7 м.
也一?
Решение. В глаз наблюдателя попадают лучи, отраженные от тонкого клина перпендикулярно его поверхности. Тогда для 々・й и (々+1)・й красных полос оптические разности хода соответственно равны
ал = 2九攵九——Xi/2 =々储，
Aa+i = 2九攵+1m一九 1/2 =(々+ 1)X1
(cosr = 1 в обоих случаях). Здесь hk и hk+i ——соответствующие данным полосам толщины вертикальной мыльной пленки, сечение которой ——клин (рис. 222, а, б). Из выражений (1) находим
A々+1 一 a々=2仇+1m-^-(2Rn—y^ =
=(々+ 1)入1 —々九1, откуда
2M(九々+1-九A)=九1.(2)
Аналогично, для синих полос
2/l(/lm+] —hrn)=入 2・(3)
Разделив почленно выражения (2) и (3), получим
九在+1~-力力一入1/
Иначе, из подобия заштрихованных треугольников (рис. 222) следует
九A +1~-力a _ hm + 1 — hm九A +1~-力a _ hm + 1 — hmX1X2X1X2⑹⑹
九A +1~-力a _ hm + 1 — hm
九A +1~-力a _ hm + 1 — hm
X1
X2
X1
X2
⑹
⑹
Приравнивая правые части выражений (4) и (5), находим 储/入2 = xi/*2, откуда
%2 =%2 = 3・]0-з. j：3 м = 1,9-10~3 м.
А10,0 • 1U
Найти радиус кривизны линзы, применяемой для наблюдения колец Ньютона, если расстояние между вторым и третьим светлыми кольцами 0,5 мм. Установка освещается светом с длиной волны 5,5 • 10-7 м. Наблюдение ведется в отраженном свете.
Дано: Дз.2 = 0,5 мм = 0,5-10-3 м; X = 5,5-10~7 м; n = 1.
R-?
Решение. Из ДОДВ (рис. 223) имеем \ВА^ = |ВО|2 + + ИО|2, или R2 z= rl+(R — h)2t откуда rl — 2Rh + h2 = 0. Пренебрегая малой величиной h2 по сравнению с остальными слагаемыми, получаем 入=7R2h • Иначе, для светлого 々・го кольца в отраженном свете разность хода равна
Ал = 2/ш —^~ = 2 々等'，
откуда 2力=(2々+1)*.Тогда
〃=У(2^1)??・
Для 々=2 и 々=3 имеем
откуда
R —— 1 0,08.5,5. 10-7~ M — 5,7 м.
Найти наибольший порядок спектра для желтой линии натрия с длиной волны 5,89« 10-7 м, если период дифракционной решетки 2 мкм.
Дано:入=5,89-10-7 м, d = 2 мкм = 2-10-6 м.
Решение. Воспользуемся формулой дифракционной решетки
dsinq)=々九，
откуда
k = Jsin(p/X.(1)
Из выражения (1) видно, что при заданных d н 入 порядок спектра k будет максимальным, когда sin(p = 1, т. е. при угле отклонения 屮=1,57 рад. Следовательно,
аь 一 2・io-6
Ммакс — 入 9 “макс —jq—7 у
На каком расстоянии от дифракционной решетки нужно поставить экран, чтобы расстояние между нулевым максимумом и спектром четвертого порядка было равно 50 мм для света с длиной волны 500 нм? Постоянная дифракционной решетки 0,02 мм.
Дано:々=4, Z = 50 мм = 5• 10-2 м;入=500 нм = 5• 10-7 м;
d = 0,02 мм = 2-10-5 м.
х— ?
Решение. Из формулы дифракционной решетки rising)=々入，имеем
sing) = kk/d.(1)
Рис. 224Рис. 224Иначе, sin ф можно найти из ДДВС (рис. 224), в котором сторона ВС является частью экрана, расположенного на расстоянии х= \АВ\ от дифракционной решетки; в точке 8 наблюдается нулевой максимум ——неотклоненное изображение, в точке С — изображение спектра четвертого порядка:
Рис. 224
Рис. 224
sin 屮=\ВС\/\АС\ = l/^F^1 •(2)
Сравнив между собой уравнения (1) и (2), получим kX/d = //yg + 必,откуда
X =爲：；0；丁У(2 • 10-5)2 一 42 ・(5 ・ 10-7)2 м 0,5 м.
Определить угол дифракции для спектра второго порядка света натрия с длиной волны 589 нм, если на 1 мм дифракционной решетки приходится пять штрихов.
Дано: /? = 2;入=589 нм = 5,89 • 10— м； ^o = 5 мм— = 5-103 м_,.
Ф— ?
Решение. Из формулы дифракционной решетки dsin屮=々入 найдем
sinq)= kk/d.(1)
Так как число штрихов, отнесенных к длине решетки, связано с периодом решетки соотношением N° = 1/d, то формуле (1) можно придать вид sin(p=々入No, откуда
Ф = arcsin ^X^o；
屮=arcsin 2-5,89-10-7«5-103 рад ^ 5,8-10-3 рад.
Определить наибольший порядок спектра, который может образовать дифракционная решетка, имеющая 500 штрихов на 1 мм, если длина волны падающего света 590 нм. Какую наибольшую длину волны можно наблюдать в спектре этой решетки?
Дано: ^=500 мм-1 = 5 -105 м_,;入=590 нм = 5,9・【。一‘м.
макс •人 макс
Решение. Из формулы дифракционной решетки dsinq)=々九 найдем
k = dsin(p/九.(1)
Учитывая, что d = 1 /^, преобразуем формулу (1):
k = sin(p/(入 М)・(2)
Из выражения (2) следует, что при заданных X и ^o наибольший порядок спектра 々макс можно наблюдать при наибольшем значении sinq)MaKC = 1, т. е.
г s i п фм а кс 1 6q
&макс= 入М =前7'々макс = 5 9 . ]()-7.5. ](^ 〜△
Наибольшая длина волны, которую можно наблюдать с помощью этой решетки,
л dsincpMaKC 1. л 1___
= Закс =小 КС = 3.5. 105 М =
=6,67 • 1ф7 м.
Вода освещена красным светом. Какой свет видит человек, открывший глаза под водой?
Отв. Человек видит красный свет, так как окраска света, воспринимаемая глазом, зависит не от длины волны, которая изменилась при переходе света в воду, а от частоты колебаний, которая осталась прежней.
При наблюдении мыльной пленки, образованной в плоской вертикальной рамке, можно заметить, что ин- ^терференционные полосы с течением времени перемещаются вниз. Затем верхняя часть пленки окрашивается в черный цвет, вслед за этим пленка рвется. Почему?
Отв. Вода в пленке постепенно стекает вниз, вследствие чего нижняя часть пленки утолщается, а верхняя становится тоньше. На участках разной толщины будут различны и условия интерференции, что приведет к появлению на поверхности пленки темных и светлых полос. По мере стекания воды толщина различных участков пленки изменяется, поэтому изменяются и условия интерференции, полосы при этом как бы перемещаются по пленке. Когда толщина станет очень малой (d^O), то разность хода будет равна Х/2. При этом волны во всех точках пленки начнут гасить друг друга и пленка окрасится в черный цвет.
В камере обскура с помощью малого отверстия можно получить изображение предмета. С уменьшением размера отверстия четкость изображения сначала возрастает, а потом падает. Почему?
Отв. До тех пор, пока размеры отверстия много боль- Ц1е длины волны падающего на него света, явлением дифракции можно пренебречь, поэтому изображение получается отчетливым. Для его построения можно применять законы геометрической оптики. Как только размеры отверстия уменьшаются до того, что становятся соизмеримыми с длиной волны, необходимо учитывать явление дифракции (распространение света в области геометрической тени). Изображение получается размытым, неотчетливым.
Одинаков ли спектр Солнца, Луны, планет и звезд?
Отв. Спектры Солнца, Луны и планет одинаковы, так как Луна и планеты светят отраженным солнечным светом. Спектры звезд могут отличаться друг от друга.
Почему для запрещающих сигналов на транспорте принят красный цвет?
Отв. Лучи красного цвета имеют большую длину волны по сравнению с лучами других цветов, входящих в состав спектра. Лучи с большей длиной волны меньше рассеиваются атмосферой, находящимися в ней пылинками, водяным паром и т. д., поэтому они лучше видны издалека.
Упражнения
Длина волны некоторых лучей в воде равна 435 нм. Какова длина волны этих лучей в воздухе?
В опыте с зеркалами Френеля расстояние между мнимыми изображениями источника света 0,5 мм, расстояние до экрана 5 м. В зеленом свете получились интерференционные полосы на расстоянии 5 мм друг от друга. Найти длину волны зеленого света.
Свет из проекционного фонаря, проходя сквозь маленькое отверстие, закрытое синим стеклом, попадает на экран с двумя маленькими отверстиями, находящимися на расстоянии 1 мм друг от друга, и падает на другой экран, отстоящий от первого на расстоянии 1,7 м. Расстояние между интерференционными полосами на экране оказалось равным 0,8 мм. Найти длину световой волны.
На мыльную пленку с показателем преломления 1,33 падает белый свет под углом 45°. При какой наименьшей толщине пленки отраженные лучи будут окрашены в желтый цвет с длиной волны 6-10-5 см?
Кольца Ньютона образуются между плоским стеклом и линзой с радиусом кривизны 8,6 м. Монохроматический свет падает нормально. Измерениями установлено, что диаметр четвертого темного кольца равен 9 мм. Найти длину волны падающего света.
На дифракционную решетку нормально падает фиолетовый свет с длиной волны 0,45 мкм. Период дифракционной решетки 2 мкм. Чему равен наибольший порядок спектра, который можно наблюдать с помощью этой решетки?
Дифракционная решетка имеет 500 штрихов на
мм. На каком расстоянии от средней неразложенной линии окажутся начало и конец видимого спектра первого порядка на экране, находящемся на расстоянии 2 м от решетки, если решетка расположена параллельно экрану, а освещение производится под прямым углом к поверхности решетки?
Вопросы для
Что назвЛ^аетса интерференцией света? 2. Какхе волны называются когерентными? 3. Напишите условия максимума и минимума интенсивности света при интерференции. 4. Перечислите способы получения когерентных источников волн. 5. Что называется дифракцией света? 6. При каких условиях
повторения
можно наблюдать дифракцию света? 7. Как устроена дифракционная решетка? 8. Напишите формулу дифракционной решетки. 9. Что называется дисперсией света? 10. Объясните причину возникновения спектра. 11. Перечислите известные вам типы спектров. 12. Опишите, как устроен спектроскоп.
ГЛАВА VI
СТРОЕНИЕ АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
СТРОЕНИЕ АТОМА
Атом любого элемента состоит из положительно заряженного ядра, вокруг которого движутся электроны. Суммарный заряд всех электронов, входящих в состав атома, равен заряду ядра.
Простейшим по своему строению атомом является атом водорода, состоящий из ядра, вокруг которого движется один электрон. Согласно первому постулату Бора, он движется по одной из и круговых орбит, не излучая энергии. При переходе электрона с одной орбиты на другую атом водорода излучает или поглощает один квант энергии (второй постулат Бора):
hv = W2 — W\,
где h ——постоянная Планка; v ——частота излучаемого света; W2 и W\ ——полная энергия электрона в атоме на соответствующей орбите, которую можно вычислить по формуле
吗一8也机2，
где е ——заряд электрона; m ——масса электрона; е0 — электрическая постоянная; и—1, 2, 3,...——номер орбиты электрона.
Длина волны 九 света, излучаемого атомом водорода при переходе с одной орбиты на другую, может быть определена из формулы
UT)，
где R ——постоянная Ридберга.
Для видимого света 几i = 2 ——номер орбиты, на которую переходит электрон, п2 = 3, 4, 5, 6 ——номер орбиты, с которой переходит электрон.
* * *
Определить энергию, испускаемую при переходе электрона в атоме водорода с третьей орбиты на первую.
Дано: 〃i = 1; 〃 = 3.
Решение. По второму постулату Бора, энергия, испускаемая атомом при переходе электрона с третьей орбиты на первую, равна
£=%—%.(1)
Здесь Wn2 = —е4m/(8 力％ 統之)и Wni = —ет/(8Л2ео^1)— энергии электрона, находящегося на третьей и первой орбитах. Подставим выражения для Wn2 и Wni в формулу (1):
£ —8/12£оП2 十 8/l2£oAll ~ k*
=(1,6・ 1L)4.9,1ДЖ =
一8(6,62・ 10-34)2.(8,87.10-2)2 "32 丿 7 一
=1,94-10~18 Дж.
На сколько изменилась энергия электрона в атоме водорода при излучении атомом фотона с длиной волны 4,86-10~7 м?
Дано: X = 4,86-10-7 м.
АК —?
Решение. Изменение энергии атома при излучении фотона AW=/iv, или с учетом того, что v = c/A,
АМ=导；А» = 6f2・黑二；言W Дж = 4,4.10-9 Дж 人4,оо • 1U
Вычислить полную энергию электрона, находящегося на второй орбите атома водорода.
п =п =Дано:
п =
п =
к—?
Энергия атома,Г =Энергия атома,Г =электрона, находящегося на второй орбитеэлектрона, находящегося на второй орбитее4т .8总“;(1,6・ IO一〉.* ■10-31е4т .8总“;(1,6・ IO一〉.* ■10-318 • (6,62 • 10-34)-(8,87.10-,2)2«228 • (6,62 • 10-34)-(8,87.10-,2)2«22Дж = 5,44 • 10一9 джДж = 5,44 • 10一9 дж
Энергия атома,
Г =
Энергия атома,
Г =
электрона, находящегося на второй орбите
электрона, находящегося на второй орбите
е4т .
8总“;
(1,6・ IO一〉.* ■10-31
е4т .
8总“;
(1,6・ IO一〉.* ■10-31
8 • (6,62 • 10-34)-(8,87.10-,2)2«22
8 • (6,62 • 10-34)-(8,87.10-,2)2«22
Дж = 5,44 • 10一9 дж
Дж = 5,44 • 10一9 дж
Найти наибольшую и наименьшую длины волн в видимой области спектра излучения атома водорода.
Дано: 〃2 = 2.
Решение. Длина волны света, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты на другую, определяется из формулы
⑴
Наименьшая энергия излучается атомом при переходе электрона на вторую орбиту с ближайшей к ней третьей орбиты (пз = 3), что соответствует излучению света с наибольшей длиной волны Хмакс. Следовательно,
"с = 1,097.107(|'/22-1/Зг) М = 6,56・ 10-7 м.
Наибольшая энергия излучается атомом при переходе электрона на вторую орбиту с бесконечно удаленной орбиты (поо = оо), что соответствует излучению света с наименьшей длиной волны 九мнн. Следовательно,
=1,097-107(1/22- 1/00)м = 3,65• 10-7 м.
Однако эта длина волны не попадает в область видимого света (Хмин<400 нм). Поэтому из условия 入мнн》 》400 нм и формулы (1), подбирая и, находим, что Хмин = 4,1 • 10-/ м при и = 6. Таким образом, в видимой области наблюдаются всего четыре линии спектра излучения атома водорода.
При переходе электрона с некоторой орбиты на вторую атом водорода испускает свет с длиной волны 4,34 • 10~7 м. Найти номер неизвестной орбиты.
Дано:入=4,34• IO— м; л2 = 2.
人一？
Решение. Воспользуемся формулой для определения длины волны света, излучаемого атомом водорода при переходе с одной орбиты на другую:
откуда
人=厂」;nk = . ■■■ ：.：-：5.
y"褐一1/(入/?)▼1/22一 "(4,34 • 10-7 • 1,097 • 10,
На дифракционную решетку нормально падает пучок света от разрядной трубки, наполненной атомарным водородом. Постоянная решетки 5 • 10-4 см. С какой орбиты должен перейти электрон на вторую орбиту, чтобы спектральную линию в спектре пятого порядка можно было наблюдать под углом 41°?
Дано: J = 5 10-4 см = 5 -10-6 м; /г = 5; 〃2=2;
(р = 4 1° « 0,72 рад.
八一？
Решение. Из формулы дифракционной решетки dsin(p =々入 найдем длину волны излучаемого света, соответствующую данной спектральной линии:
а — dsin(p
Из формулы ；=R&^~^ можно определить но
мер неизвестной орбиты:
Пк =―===, 寸1/抬一1(大R)
или с учетом выражения (1)
Пь = —,；
У1 /%3 ——左/(d sin 屮 R)
九々= 1一一4 3.
寸 1/22-5/(5 • 10-6.0,656.1,097 • 107)
Строение атома (ядро + электроны) напоминает строение Солнечной системы (Солнце + планеты). В чем различие между ними?
Отв. Между электронами и ядром в атоме действуют электрические силы притяжения, тогда как между планетами Солнечной системы и Солнцем действуют гравитационные силы притяжения.
Кроме того, движение электронов в атоме не удовлетворяет принципам и законам классической механики, а подчиняется законам квантовой механики.
Чем отличается атом, находящийся в основ-
ном состоянии, от атома, находящегося в возбужденном состоянии?
Отв. Основное отличие между этими атомами состоит в том, что в атоме, находящемся в возбужденном состоянии, электроны движутся по орбитам, более удаленным от ядра, и обладают большим запасом энергии, чем электроны в атоме, находящемся в основном состоянии.
Упражнения
При излучении атомом водорода фотона полная энергия этого атома изменилась на 2,56 эВ. Найти длину волны излучаемого света.
Какую наибольшую энергию должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих электронов спектр водорода имел только одну спектральную линию?
Вычислить полную энергию электрона, находящегося на третьей орбите атома водорода.
Определить длину волны, соответствующую третьей спектральной линии в видимой области спектра атома водорода.
При переходе электрона в атоме водорода с четвертой стационарной орбиты на вторую излучается зеленая линия водородного спектра. Определить длину волны этой линии.
Электрон в атоме водорода может находиться на круговых орбитах радиусами 0,5-10~8 и 2• 1О~10 м. Как относятся угловые скорости вращения электрона на этих орбитах?
Радиус орбиты электрона в атоме водорода 2• 1О~10 м. Фотоны какой длины волны могут вызвать ионизацию этого атома?
С какой частотой вращается электрон в атоме водорода, находясь на круговой орбите радиусом 5-10~и м?
При облучении паров ртути электронами энергия атома ртути увеличилась на 4,9 эВ. Какую длину волны будет излучать атом при переходе в основное состояние?
Вопросы для повторения
1. Опишите планетарную модель атома. 2. В чем недостаток планетарной модели? 3.1. Опишите планетарную модель атома. 2. В чем недостаток планетарной модели? 3.Сформулируйте постулаты Бора. 4. Напишите формулу для полной энергии атома водоро-Сформулируйте постулаты Бора. 4. Напишите формулу для полной энергии атома водоро-
1. Опишите планетарную модель атома. 2. В чем недостаток планетарной модели? 3.
1. Опишите планетарную модель атома. 2. В чем недостаток планетарной модели? 3.
Сформулируйте постулаты Бора. 4. Напишите формулу для полной энергии атома водоро-
Сформулируйте постулаты Бора. 4. Напишите формулу для полной энергии атома водоро-
да. 5. Напишите формулу для угловой скорости вращения электрона по стационарной орбите. 6. Получите формулу для радиуса стационарной орбиты.да. 5. Напишите формулу для угловой скорости вращения электрона по стационарной орбите. 6. Получите формулу для радиуса стационарной орбиты.7. Что называется квантовым числом? 8. Напишите формулу для расчета длины волны в видимой области спектра атома водорода.7. Что называется квантовым числом? 8. Напишите формулу для расчета длины волны в видимой области спектра атома водорода.
да. 5. Напишите формулу для угловой скорости вращения электрона по стационарной орбите. 6. Получите формулу для радиуса стационарной орбиты.
да. 5. Напишите формулу для угловой скорости вращения электрона по стационарной орбите. 6. Получите формулу для радиуса стационарной орбиты.
7. Что называется квантовым числом? 8. Напишите формулу для расчета длины волны в видимой области спектра атома водорода.
7. Что называется квантовым числом? 8. Напишите формулу для расчета длины волны в видимой области спектра атома водорода.
СТРОЕНИЕ АТОМНОГО ЯДРА
Атомное ядро состоит из нуклонов: протонов и нейтронов. Число нуклонов в ядре равно массовому числу А [округленной до целого числа атомной массе элемента, выраженной в атомных единицах массы (а. е. м.) ]. Число Z протонов в ядре равно порядковому номеру элемента в Периодической системе Менделеева и представляет собой заряд ядра, выраженный в единицах элементарного заряда (заряда электрона). Следовательно, число нейтронов в ядре ^ = Л — Z.
Любой элемент или элементарную частицу обозначают символически: zX. В этих обозначениях имеем: для протона —— !р; для нейтрона ——]九；для электрона —— _?е; для позитрона ——?е; для а-частицы ——£а.
Атомы одного и того же элемента могут иметь разное число нейтронов в ядре. Такие атомы называются изотопами данного элемента.
Масса покоя ядра меньше массы покоя нейтрального атома на массу электронов, входящих в состав электронной оболочки атома:
Мп = Ma — Zmei
где те ——масса электрона.
Дефектом массы ядра называется разность между суммой масс покоя нуклонов и массой покоя ядра:
Адм = Z/7ip + (Л — Z^mn — Мя, где тр ——масса покоя свободного (вне ядра) протона; тп — масса покоя свободного нейтрона.
Энергия связи ядра определяется работой, которую необходимо совершить для того, чтобы расчленить ядро атома на отдельные нуклоны и удалить их друг от друга за пределы действия ядерных сил без сообщения им кинетической энергии. Энергия связи ядра выражается соотношением
1Гсв = Атс2,
где А/n — дефект массы ядра; с — скорость света в вакууме.
При бомбардировке какими-либо элементарными частицами ядра атомов одного элемента могут превращаться в ядра атомов другого элемента. Реакции превращения элементов (ядерные реакции) записывают в виде схем
疚+拉舛胃У;篁+ —，ет2—Н.
При записи учитывают закон сохранения электрических зарядов и числа нуклонов.
При изучении свойств атомов было обнаружено явление радиоактивности. Радиоактивные вещества могут испускать три типа излучения: a-излучение, р-излучение и у-излучение.
а-Излучение представляет собой поток положительно заряженных частиц ——двукратно ионизированных атомов гелия; p-излучение представляет собой поток электронов; у-излучение является электромагнитными волнами короткой длины волны.
При радиоактивном распаде число радиоактивных (нераспавшихся) атомов убывает со временем по закону
N = N「,
где ^o ——число радиоактивных атомов в начальный момент времени;入——постоянная радиоактивного распада; /— время распада.
Периодом полураспада радиоактивного изотопа называется промежуток времени, в течение которого распадается половина радиоактивного вещества, имевшегося в начальный момент времени:
т In 20,693
Решение. Из символической записи изотопов азота 4N и i^N видно, что число протонов в их ядрах одинаково и равно семи (Z = 7), а число нейтронов соответственно равно ^l= 14 — 7=7 и 乂2= 15 — 7 = 8. Следовательно, ядра этих изотопов отличаются числом содержащихся в них нейтронов.
Вычислить дефект массы ядра изотопа 絹Ne.
Дано: ?oNe; тр = 1,6724 • 10~27 кг; тп= 1,6748« 10-27 кг; Мя = =33,1888 • КГ?? кг
Али — ?
Решение. Дефект массы ядра равен
Nm = Ztnp + (4 — Z)mn — Мя.(1)
Из символической записи элемента ioNe следует, что 4 = 20 и Z= 10. Тогда формулу (1) можно записать так:
Nm= 10mP + (20— 10)/и〃一Мя = 10(/Пр + ги〃)一 Мя;
\т = [ 10(1,6724 -10~27+ 1,6748 - Ю"27)- -33,1888-10~27] кг=2,882.10-28 кг.
Найти энергию связи ядра изотопа лития ：Li.
Дано: &Li; тр= 1,6724-10-27 кг; тп= 1,6748-10-27 кг; Ма = =11,6475.10~27 кг.
Решение. Энергия связи ядра
WCB = \mc2,(1)
Поскольку \tn = Zmp + {А — Z)mn—- Мя. равенство (1) можно привести к виду
Кев = [ Zmp + (Л — Z)mn — Мя] с2.
Из символической записи изотопа лития ZLi следует, что 4 = 7 и Z — 3. Подставив значения 4 и Z в выражение (1), получим
WCb = [ imp + \тп — Мя] с?;
取 св = [ (3 • 1,6724 • 10-27 + 4.1,6748 • 10~27- 1 1,6475 X
ХЮ~27)] (3-108)2 Дж = 6,201-10~12 Дж.
В результате захвата а-частицы ядром изотопа азота "N образуются неизвестный элемент и протон. Написать реакцию и определить неизвестный элемент.
Дано:扎；*7N;历.
2х — ?
Решение. Запишем ядерную реакцию
号 N + Mf |р + 4Х.(1)
Так как суммы для массовых чисел и зарядов в правой и левой частях выражения (1) должны быть равными, то 14 + 4=1+А, 7 + 2=1*2, откуда 4=17, Z = 8. Следовательно, полученный элемент символически можно записать в виде %Х. Из. таблицы Менделеева найдем, что это изотоп кислорода %О.
В результате захвата нейтрона ядром изотопа 'N образуются неизвестный элемент и а-частица. Написать реакцию и определить неизвестный элемент.
Дано: on; 4N; 2а.
贫-?
Решение. Запишем ядерную реакцию:
l?N + 公几―>%Х + &а.
По закону сохранения массовых чисел и зарядов найдем 14+1=4 + 4, 7 + 0 = Z + 2, откуда 4=11, Z = 5. Следовательно, символически неизвестный элемент можно записать в виде RX. Из таблицы Менделеева найдем, что это изотоп бора %В.
Радиоактивный натрий "Na распадается, выбрасывая р-частицы. Период полураспада натрия 14,8 ч. Вычислить количество атомов, распавшихся в 1 мг данного радиоактивного препарата за 10 ч.
Дано: iiNa; Т%= 14,8 ч^5,33-104 с; /= 10 ч = 3,6-104 с; т = 1 мг= 10-6 кг.
Д^ — ?
Решение. Число распавшихся атомов за время /
^^=^0-^i(1)
где ^o ——число нераспавшихся атомов в начальный момент времени, равное числу всех атомов, в 1 мг nNa; ^ ——число нераспавшихся атомов через время /. Поскольку N = №е-"\ формулу (1) можно привести к виду
Л^=^o- Ме—'= М(1 - е(2)
Учитывая, что 入=1п2/Т/, преобразуем выражение (2):
AN= м(1 _e-g2〃7%)= м(1 _©п2)т“勺=
= М(1—2'"/).(3)
Так как в моле ?]Na содержится число атомов, равное постоянной Авогадро Na, то в данной массе т содержится число ^o атомов, равное произведению числа молей т/М на постоянную Авогадро Na：
^0=^n^A/M,⑷
где М ——молярная масса натрия. Подставив формулу (4) в (3), получим
/\2=号心(1-2-"/2);
AN= 2；°為 6,02 • 102з( [ _ 2-з,б・田/(5,33・ S)_ 9,3. Ю18.
Определить период полураспада радона, если за 1 сут из 1 млн. атомов распадается 175 000 атомов.
Дано: f= 1 сут=8,64・104 с： №= 1(Л ^N= 175. ю5.
— ?
Решение. Период полураспада радона
Т/ = 0,693/А.(1)
Постоянную радиоактивного распада 入 найдем из соотношения (см. задачу 768) △方=М)(1 —丁'」)，откуда
Х = —1g —ТТЛ.(2)
/ lg е & М)— NN、丿
Подставив выражение (2) в (1), получим
—0,693(lge)/.
% — lg[M/(M-AM]'
ГлГлc « 3,3-105 c.c « 3,3-105 c.0,693 >0,43» 8,64» 104lg[106/(106 - 1,75-IO5)
Гл
Гл
c « 3,3-105 c.
c « 3,3-105 c.
Почему а-частицы, испускаемые радиоактивными препаратами, не могут вызывать ядерных реакций в тяжелых элементах?
Отв. Энергия таких а-частиц недостаточна для преодоления электрических сил отталкивания ядра тяжелого элемента для сближения с ним до расстояния 10~15 м, начиная с которого силы взаимодействия нуклонов значительно превышают электрическое взаимодействие.
Чем отличаются по своему строению ядра атомов радиоактивных элементов от ядер атомов обычных элементов?
Отв. Число нейтронов в ядре атомов радиоактивных элементов значительно превышает число протонов обычных элементов. Например, в ядре изотопа урана ?^乡U содержится 146 нейтронов и 92 протона.
Упражнения
Каково строение ядра изотопа калия fgK?
Чем отличаются ядра изотопов кислорода ^О, %О и iO?
Какую минимальную энергию необходимо затратить, чтобы разрушить ядро изотопа гелия |Не?
Определить дефект массы для ядра изотопа водорода ?Н.
Как изменяются массовое число и номер элемента при протонном радиоактивном распаде?
Найти продукт реакции при бомбардировке ядер изотопа магния ?$Mg а-частицами, если известно, что в этой ядерной реакции выделяются нейтроны.
Записать схему ядерной реакции и определить неизвестный элемент, образующийся при бомбардировке ядер изотопов алюминия НА1 а-частицами, если известно, что один из продуктов реакции нейтрон.
Сколько ядер распадается в 1 с из каждого миллиарда ядер изотопа иода 与4?
За 8 ч начальная масса радиоактивного изотопа уменьшилась в три раза. Во сколько раз она уменьшится за сутки, считая от начального момента времени?
Объяснить, почему при p-распаде из ядра атома вылетают электроны.
Вопросы для повторения
1. Из каких частиц состоит атомное ядро? 2. Как найти число протонов и число нейтронов, входящих в состав ядра атома? 3. Что называется изотопом? 4. Что называется дефектом массы ядра? 5. Чему равна энергия1. Из каких частиц состоит атомное ядро? 2. Как найти число протонов и число нейтронов, входящих в состав ядра атома? 3. Что называется изотопом? 4. Что называется дефектом массы ядра? 5. Чему равна энергиясвязи ядра? 6. Какие законы можно использовать при написании ядерных реакций? 7. Какие три типа излучения испускают радиоактивные вещества? 8. Сформулируйте закон радиоактивного распада. 9. Что называется периодом полураспада?связи ядра? 6. Какие законы можно использовать при написании ядерных реакций? 7. Какие три типа излучения испускают радиоактивные вещества? 8. Сформулируйте закон радиоактивного распада. 9. Что называется периодом полураспада?
1. Из каких частиц состоит атомное ядро? 2. Как найти число протонов и число нейтронов, входящих в состав ядра атома? 3. Что называется изотопом? 4. Что называется дефектом массы ядра? 5. Чему равна энергия
1. Из каких частиц состоит атомное ядро? 2. Как найти число протонов и число нейтронов, входящих в состав ядра атома? 3. Что называется изотопом? 4. Что называется дефектом массы ядра? 5. Чему равна энергия
связи ядра? 6. Какие законы можно использовать при написании ядерных реакций? 7. Какие три типа излучения испускают радиоактивные вещества? 8. Сформулируйте закон радиоактивного распада. 9. Что называется периодом полураспада?
связи ядра? 6. Какие законы можно использовать при написании ядерных реакций? 7. Какие три типа излучения испускают радиоактивные вещества? 8. Сформулируйте закон радиоактивного распада. 9. Что называется периодом полураспада?
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Производные некоторых функций
Функция
Производная
Функция
Производная
с = const
0
sinx
COSX
хп
COSX
—sinx
а*
tgx
]
cos2x
ех
ех /
ctgx
1
1пх
sin2x
2 Неопределенные интегралы некоторых функций
Функция
Интеграл
Функция
Интеграл
xn
sinx
— COSX4-C
/
COSX
sinx + C
X
ln|x|4-C
tgx
—ln|cosx| + C
ex
ctgx
ln|sinx| + C
3. Единицы СИ физических величин
Величина
Единица
наименование
обозначе-
размерность
Основные единицы
Длина
метр
м
м
Масса
килограмм
кг
Время
секунда
с
с
Сила тока
ампер
А
А
Температура
кельвин
К
К
Сила света
кандела
кд
кд
Количество вещества
моль
моль
моль
Продолжение
Величина
Единица
наименование
обозначе-
размерность
Дополнительные единицы
Угол плоский
радиан
рад
безразмерная
Угол телесный
стерадиан
ср
безразмерная
Производные единицы
Площадь
квадратный
м2
м2
Объем
метр кубический
м3
м3
Период
метр секунда
с
с
Частота периодического
герц
Гц
с"1
процесса
Частота вращения
секунда в ми-
с~*
с-1
Плотность
нуспервой
степени килограмм на
кг/м3
м~з.кг
Скорость
кубический
метр
метр в секунду
м/с
м «с-1
Ускорение
метр на секун
м/с2
м-с-2
Сила
ду в квадрате ньютон
м•кг«с-2
Давление
паскаль
Па
м-' • кг-с-2
Работа, энергия, количе
джоуль
Дж
м2« кг«с-2
ство теплоты Мощность
ватт
Вт
м2-кг-с~3
Электрический заряд (ко
кулон
Кл
с・А
личество электричества) Электрическое напряже
вольт
В
м2- кг»с~э • А_,
ние, разность потенциалов, эдс
Напряженность электри
вольт на метр
В/м
м «кг-с-3» А_,
ческого поля
Электрическая емкость
фарад
Ф
м~2.кг_1-с4-А2
Электрическое сопротив
ом
Ом
и2-кг-с~3-А-2
ление Магнитный поток
вебер
Вб
м^кг-с-^А"1
Магнитная индукция
тесла
Тл
кг-с~2-А~*
Напряженность магнитно-
ампер на метр
А/м
м~*-А
го поля
Индуктивность
генри
Гн
м~2-кг-с_2-А~2
Световой поток
люмен
лм
кд
Освещенность
люкс
лк
м~2-кд
Оптическая сила
диоптрия
дптр
м_,
4. Приближенные значения некоторых физических постоянных
Физическая постоянная
Обозначе-
Числовое значение
Радиус Земли
R
6,37 • 106 м
Масса Земли
М
5,97 • 1024 кг
Нормальное ускорение свободного
g
9,8 м/с2
падения
Гравитационная постоянная
G
6,67，10一" м3/(кг.e2) 6,02-1023 моль-1
Постоянная Авогадро
%
Молярная газовая постоянная
R
8,32 Дж/ (моль - К) 1,38“0-23 дж/к
Постоянная Больцмана
k
Объем моля газа при нормальных
Vo
22,41 м3/моль
условиях
1.6.10-*9 Кл
Элементарный заряд
е
Масса электрона
me
9,Н-10-31 кг
Постоянная Фарадея
尸
9,65-104 Кл/моль
Скорость света в вакууме
с
3-108 м/с
Постоянная Планка
h
6,62• ЮН дж.с
Постоянная Ридберга
R
1,097-107 м"1
Масса протона
mp
1,6724• IO» кг
Масса нейтрона
1,6748.10-27 кг
Плотность некоторых веществ, 103 кг/м3(р = 1,01 • 10* Па; 7 = 273 К)
Алюминий ....ДеревоЖелезоКирпич ЛедМедьНикельСвинец Серебро ....Сталь..Алюминий ....ДеревоЖелезоКирпич ЛедМедьНикельСвинец Серебро ....Сталь..ТвердыетелаТвердыетелап.з10,5п.з10,5ЖидкостиЖидкостиБензин 0,7Вода:морская1,03чистая ....1,0Керосин 0,8Масло 0,9Ртуть 13,6Спирт 0,8Бензин 0,7Вода:морская1,03чистая ....1,0Керосин 0,8Масло 0,9Ртуть 13,6Спирт 0,8ГазыВодород....0,089-10"Воздух....1,29-10~3Гелий0,18 •10一3Кислород ....1,43- Ю-3ГазыВодород....0,089-10"Воздух....1,29-10~3Гелий0,18 •10一3Кислород ....1,43- Ю-3
Алюминий ....
Дерево
Железо
Кирпич
Лед
Медь
Никель
Свинец
Серебро ....
Сталь..
Алюминий ....
Дерево
Железо
Кирпич
Лед
Медь
Никель
Свинец
Серебро ....
Сталь..
Твердыетела
Твердыетела
п.з
10,5
п.з
10,5
Жидкости
Жидкости
Бензин 0,7
Вода:
морская1,03
чистая ....1,0
Керосин 0,8
Масло 0,9
Ртуть 13,6
Спирт 0,8
Бензин 0,7
Вода:
морская1,03
чистая ....1,0
Керосин 0,8
Масло 0,9
Ртуть 13,6
Спирт 0,8
Газы
Водород....0,089-10"
Воздух....1,29-10~3
Гелий0,18 •10一3
Кислород ....1,43- Ю-3
Газы
Водород....0,089-10"
Воздух....1,29-10~3
Гелий0,18 •10一3
Кислород ....1,43- Ю-3
Модуль продольной упругости, 1011 Па
Алюминий0,7Железо2,1Латунь0,9Алюминий0,7Железо2,1Латунь0,9Медь1,2Свинец0,17Сталь2,2Медь1,2Свинец0,17Сталь2,2
Алюминий0,7
Железо2,1
Латунь0,9
Алюминий0,7
Железо2,1
Латунь0,9
Медь1,2
Свинец0,17
Сталь2,2
Медь1,2
Свинец0,17
Сталь2,2
Поверхностное натяжение жидкостейпри комнатной температуре, 10-2 Н/м
Анилин 4,3Мыльныйраствор . . .4,0
Вода 7,4Спирт 2,2
Керосин 3,6Ртуть47,1
Удельная теплоемкость, 103 Дж/(кг-К)
Азот 1,05Алюминий 0,88Вода 4,19Водород14,20Воздух 1,005Железо 0,46Кислород 0,92Латунь 0,38Азот 1,05Алюминий 0,88Вода 4,19Водород14,20Воздух 1,005Железо 0,46Кислород 0,92Латунь 0,38Лед 2,10Медь0,38Олово 0,23Свинец 0,13Спирт 2,42Сталь 0,46Углекислый газ . . .0,83Лед 2,10Медь0,38Олово 0,23Свинец 0,13Спирт 2,42Сталь 0,46Углекислый газ . . .0,83
Азот 1,05
Алюминий 0,88
Вода 4,19
Водород14,20
Воздух 1,005
Железо 0,46
Кислород 0,92
Латунь 0,38
Азот 1,05
Алюминий 0,88
Вода 4,19
Водород14,20
Воздух 1,005
Железо 0,46
Кислород 0,92
Латунь 0,38
Лед 2,10
Медь0,38
Олово 0,23
Свинец 0,13
Спирт 2,42
Сталь 0,46
Углекислый газ . . .0,83
Лед 2,10
Медь0,38
Олово 0,23
Свинец 0,13
Спирт 2,42
Сталь 0,46
Углекислый газ . . .0,83
** Для газов даны удельные теплоемкости при постоянном объеме
Молярная масса некоторых газов, 10~3 кг/моль
Азот № 28Водород Н2 2Водяной пар Н2О . . . .18Азот № 28Водород Н2 2Водяной пар Н2О . . . .18Воздух29Гелий Не? 4Кислород О?32Углекислый газ СО2 . . .44Воздух29Гелий Не? 4Кислород О?32Углекислый газ СО2 . . .44
Азот № 28
Водород Н2 2
Водяной пар Н2О . . . .18
Азот № 28
Водород Н2 2
Водяной пар Н2О . . . .18
Воздух29
Гелий Не? 4
Кислород О?32
Углекислый газ СО2 . . .44
Воздух29
Гелий Не? 4
Кислород О?32
Углекислый газ СО2 . . .44
Температура плавления твердых тел, К
Алюминий 933Железо1803Латунь1173Лед 273Алюминий 933Железо1803Латунь1173Лед 273Медь1356Олово 505Свинец 600Серебро1233Медь1356Олово 505Свинец 600Серебро1233
Алюминий 933
Железо1803
Латунь1173
Лед 273
Алюминий 933
Железо1803
Латунь1173
Лед 273
Медь1356
Олово 505
Свинец 600
Серебро1233
Медь1356
Олово 505
Свинец 600
Серебро1233
Удельная теплота плавления, 105 Дж/кг
Алюминий3,90Лед3,35Медь1,80Алюминий3,90Лед3,35Медь1,80Олово0,58Свинец0,25Серебро1,01Олово0,58Свинец0,25Серебро1,01
Алюминий3,90
Лед3,35
Медь1,80
Алюминий3,90
Лед3,35
Медь1,80
Олово0,58
Свинец0,25
Серебро1,01
Олово0,58
Свинец0,25
Серебро1,01
Температура парообразования, К (Р = 1,01 • 105 Па)
Вода 373Спирт351
Ртуть 630Эфир 308'
Удельная теплота парообразования, 105 Дж/кг
Вода 22,60Спирт 9,05
Ртуть 2,82Эфир 3,68
14. Удельная теплота сгорания, 107 Дж/кг
Бензин4,61Дерево1,26Каменныйуголь . .2,93Бензин4,61Дерево1,26Каменныйуголь . .2,93Керосин4,61Нефть4,61Спирт2,93Керосин4,61Нефть4,61Спирт2,93
Бензин4,61
Дерево1,26
Каменныйуголь . .2,93
Бензин4,61
Дерево1,26
Каменныйуголь . .2,93
Керосин4,61
Нефть4,61
Спирт2,93
Керосин4,61
Нефть4,61
Спирт2,93
15. Коэффициент линейного15. Коэффициент линейногорасширения твердых тел,расширения твердых тел,
15. Коэффициент линейного
15. Коэффициент линейного
расширения твердых тел,
расширения твердых тел,
IO"5 К~*
Алюминий2,40Железо 1,20Инвар0,15Латунь1,90Алюминий2,40Железо 1,20Инвар0,15Латунь1,90Медь 1,70Свинец2,90Сталь1,10Стекло0,90Медь 1,70Свинец2,90Сталь1,10Стекло0,90
Алюминий2,40
Железо 1,20
Инвар0,15
Латунь1,90
Алюминий2,40
Железо 1,20
Инвар0,15
Латунь1,90
Медь 1,70
Свинец2,90
Сталь1,10
Стекло0,90
Медь 1,70
Свинец2,90
Сталь1,10
Стекло0,90
16. Коэффициент объемного расширения жидкостей,IO— К~1
Вода 1,8Керосин10,0Нефть10,0Вода 1,8Керосин10,0Нефть10,0Ртуть 1,8Серная кислота. . . .5,6Спирт11,0Ртуть 1,8Серная кислота. . . .5,6Спирт11,0
Вода 1,8
Керосин10,0
Нефть10,0
Вода 1,8
Керосин10,0
Нефть10,0
Ртуть 1,8
Серная кислота. . . .5,6
Спирт11,0
Ртуть 1,8
Серная кислота. . . .5,6
Спирт11,0
т, к
р, 10-3 кг/м3
т, К
р, Ю-3 кг/м3
263
2,14
283
9,40
264
2,33
284
10,00
265
2,54
285
10,70
266
2,76
286
11,40
267
2,99
287
12,10
268
3,24
288
12,80
269
3,51
289
13,60
270
3,81
290
14,50
271
4,13
291
15,40
272
4,47
292
16,30
273
4,84
293
17,30
274
5,20
294
18,30
275
5,60
295
19,40
276
6,00
296
20,60
277
6,40
297
21,80
278
6,80
298
23,00
279
7,30
299
24,40
280
7,80
300
25,80
281
8,30
301
27,20
282
8,80
302
28,70
водяных паров при различном
температуре
17. Плотность насыщающих17. Плотность насыщающих
17. Плотность насыщающих
17. Плотность насыщающих
18. Диэлектрическая проницаемость (относительная)
Вода81,0Глицерин39,1Керосин 2,0Вода81,0Глицерин39,1Керосин 2,0Парафин 2,0Слюда 7,0Стекло 7,0Эбонит 3,0Парафин 2,0Слюда 7,0Стекло 7,0Эбонит 3,0
Вода81,0
Глицерин39,1
Керосин 2,0
Вода81,0
Глицерин39,1
Керосин 2,0
Парафин 2,0
Слюда 7,0
Стекло 7,0
Эбонит 3,0
Парафин 2,0
Слюда 7,0
Стекло 7,0
Эбонит 3,0
Вещество
р, I。-' Ом • м
a, IO"3 К"1
Вещество
р, 10~7 Ом • м
а, IO"3 К —
Алюминий
0,26
3,6
Нихром
П.о
0,4
Вольфрам
0,55
5,2
Свинец
2,10
4,3
Железо
1,20
6,0
Серебро
0,16
3,6
Медь
0,17
4,2
19. Удельное сопротивление
сопротивления
температурный коэффициент проводников
20. Коэффициент преломления (абсолютный)
Алмаз2,42Лед 1,31
Вода1,33Скипидар1,47
Воздух 1,00029Спирт1,36
Кварц1,54Стекло 1,50
21. Работа выхода электронов из металла, 10-*9 Дж
Вольфрам7,2Платина8,5
Калий3,2Цезий3,2
Литий3,8Цинк6,6
Частица
Символ
Заряд, IO—5* Кл
Масса, 10-27 кг
а-Частица
2«
3,2
6,6446
Нейтрон
0
1,6748
Позитрон
if
0,000911
Протон
ОР
1,6
1,6724
Электрон
-1,6
0,000911
22. Основные характеристики
некоторых
элементарных частиц
23. Масса ядер некоторых легких изотопов, 10-27 кг
1Н 1,6726
?Не 3,3436
5 Не 6,6446
$Li 9,9855
山11,6475
«В,18,2767
4N 23,2461
*1О 26,5527
%О28,2202
?§Ne 33,1888
Приближенные вычисления
При решении физических задач мы имеем дело с приближенными числовыми значениями. К ним относятся также многие константы, например g=9,8 м/с2 и др.
В настоящее время в распоряжении учащихся имеются различные счетно-вычислительные машинки (калькуляторы, микрокалькуляторы), которые при вычислении дают большое число значащих цифр. Учащиеся должны понимать, сколько цифр после запятой следует оставить, а остальные отбросить и в дальнейших расчетах не учитывать. Ниже приводятся правила приближенных вычислений.
При сложении и вычитании результат округляется так, чтобы он не имел значащих цифр в разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одной из данных.
Пример. 3,351 +2,45+ 1,2534^7,05.
При умножении сомножители округляются так, чтобы каждый содержал столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с наименьшим их числом.
Пример. 2,51 • 1,2• 5,245^ 2,5-1,2-5,2.
В окончательном результате оставляют такое же число значащих цифр, как в сомножителях после округления.
При делении соблюдается такое же правило, как и при умножении.
Пример. 6,24 : 2,124 ^ 6,24 : 2,12.
При возведении в квадрат (или куб) в результате берется столько значащих цифр, сколько их имеет основание степени.
Пример. 1,252 « 1,56.
При извлечении квадратного корня (или кубического) в результате берется столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное выражение.
Пример, д/б,82 a 2,61.
Эти же правила следует применять при вычислении сложных выражений.
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
о? = 8 м/с. 5. х = —1,5-103 м; у = 4,5-103 м. 6. % = 19• 103 м; у = 2 • 104 м. 7. S = 5 м; S = 4 м; S§ = —3 м. 30. а ^ 0,05 м/с2; / ^ 53 с. 31. / = 20 с. 32. а = 0,8 м/с2; 5ю = 7,6 м. 33. а = 1,6 м/с2; оо = 5 м/с. 34. 01=19,8 м/с; / = 3 с; 02 = 6,9 м/с. 35. / ^ 0,5 с. 36. <и) ^ 8,2 м/с. 37.〈о〉а 16,7 м/с. 38. S= —200 м; / = 2,2-103 м. 39. а = 2 м/с ,〈о» = 20 м/с;〈0 2〉= 28,6 м/с;〈0〉= 23,5 м/с. 40.力=20 м; / = 1 с; s = 10,2 м/с; 。2 = 10,6 м/с. 54. ср ж 0,068 рад; 0^221,7 м/с. 55. о а 21,7 м/с. 56.力 ^ 20 M 57. Возрастут в два раза.
58. s ^ 8,7 • 104 м； / ^ 102 с. 59. о = У2g/z + 若.60. s ^? 5」м 61. а = =arcctg (-^上)62. s « 6.3 м. 63. о ^ 11,5 м/с. 64. / « 17,3 • 103 с. 75. / = 0 37 м. 76. V ^ 7,6-103 м/с. 77. ю л; 7,2-10-5 рад/с; и л? ^3,25・1(Й м/с. 78. и ^ 32 м/с. 79.右=90 об; е «0,14 рад/с2. 80. е^ ^3,2 рад/с2. 81. / = 10 с. 82. R^6,l м.
* ♦ *
尸 ^0,12 Н. 102. F = 103 Н. 103. s ^ 24 м. 104. 7^5 Н; а ^2,1 м/с2. 105. а = 0,3 м/с2; s = 27 м; 7^24 кН. 106. а = g/3; 7 = mg/3・ 107. а = 2,45 м/с2; /г = 1,8 м; и ^ 3 м/с. 108. 7 = 70 Н. 109. а ^ 2,7 м/с2; 7 ^ 43 Н. 110.卩^ 0,3; 7】=8,2 Н; Гг = 2 Н. 111. а » ^3,3 м/с2; 7=13 Н;几=26 Н. 121. 0^16 м/с. 122. v = 0,98 с~*. 123. а» 0,018 рад. 124. 7^632 Н. 125. F^ 61,5 кН. 126. а^ i,3 рад.
127.心0,2. 128. v^2,l с— =5400 с; А = 2,7 • 105 м; и ^ 141. 丁2 = 71. 142. а^ 10g.127.心0,2. 128. v^2,l с— =5400 с; А = 2,7 • 105 м; и ^ 141. 丁2 = 71. 142. а^ 10g.137. FT = 2,70 мН. 138. р =137. FT = 2,70 мН. 138. р =-@产• 139. 7-@产• 139. 77,7-103 м/с. 140. ДГ^Ю2 с; ДА«7,8.104 м.143. А = 6,37- 106 м. 144. Т = 7,54 - 103 с;7,7-103 м/с. 140. ДГ^Ю2 с; ДА«7,8.104 м.143. А = 6,37- 106 м. 144. Т = 7,54 - 103 с;V = 1,6-103 м/с. 145. Т = УЗл/Вр). 152. Р = ^2 т“ 153.。^ 1 м/с. 154. d = 4 • 10~2 м/с. 155. в = —7,8 м/с. 156. v — 400 м/с. 157. 〃/ = =6 м/с; “〃 = 3,6 м/с. 158. Лодка не достигает берега.V = 1,6-103 м/с. 145. Т = УЗл/Вр). 152. Р = ^2 т“ 153.。^ 1 м/с. 154. d = 4 • 10~2 м/с. 155. в = —7,8 м/с. 156. v — 400 м/с. 157. 〃/ = =6 м/с; “〃 = 3,6 м/с. 158. Лодка не достигает берега.
127.心0,2. 128. v^2,l с— =5400 с; А = 2,7 • 105 м; и ^ 141. 丁2 = 71. 142. а^ 10g.
127.心0,2. 128. v^2,l с— =5400 с; А = 2,7 • 105 м; и ^ 141. 丁2 = 71. 142. а^ 10g.
137. FT = 2,70 мН. 138. р =
137. FT = 2,70 мН. 138. р =
-@产• 139. 7
-@产• 139. 7
7,7-103 м/с. 140. ДГ^Ю2 с; ДА«7,8.104 м.
143. А = 6,37- 106 м. 144. Т = 7,54 - 103 с;
7,7-103 м/с. 140. ДГ^Ю2 с; ДА«7,8.104 м.
143. А = 6,37- 106 м. 144. Т = 7,54 - 103 с;
V = 1,6-103 м/с. 145. Т = УЗл/Вр). 152. Р = ^2 т“ 153.。^ 1 м/с. 154. d = 4 • 10~2 м/с. 155. в = —7,8 м/с. 156. v — 400 м/с. 157. 〃/ = =6 м/с; “〃 = 3,6 м/с. 158. Лодка не достигает берега.
V = 1,6-103 м/с. 145. Т = УЗл/Вр). 152. Р = ^2 т“ 153.。^ 1 м/с. 154. d = 4 • 10~2 м/с. 155. в = —7,8 м/с. 156. v — 400 м/с. 157. 〃/ = =6 м/с; “〃 = 3,6 м/с. 158. Лодка не достигает берега.
& =72 кН. 225. / = 1,52 м. 226. Я «20,8 м. 227. / = =2,5 • 10-2 м. 228. т3 ж 9,6- 10-2 кг; тс « 20,4 • 10-2 кг. 229. р = =0,75-103 кг/м3. 230.乙=4,2・ 10—5 乂3. 231. р = 0,75- 103 кг/м3.
* * *
тоз=8・10-2б кг； 7,3-10~26 кг; /тгСн4 ~ 2,7-10-26 кг. 254. Мн2=3・ 1026； 〃о2=1，9・10芯 255. В” = °, 1ГК2=2,6.10~20 Дж. 256. 6^326 К 257. с^ 840 кДж/ (кг- К). 258. Растает 15 кг льда. 259. АТ = 154 К. 260. 25 раз 261. Q = 42,7 МДж. 262. ^^736 Вт. 263. Не изменится.
Рат = 100 кПа. 282. р ^ 58 кПа 283. m2^0,019mi. 284. / = =*25 см. 285. Ат = 8,2 кг. 286. М ^ 29- 10~3 кг/моль. 287. 7а 440 К. 288. 1,2-10~3 кг. 289. 0,128 м3. 290. р»4 кг/м3.
Qi = 27 кДж, Q2 = 21 кДж. 300. \U » — 1,4 кДж. 301. Л ^ а 0,7 кДж. 302. 023 кДж. 303. Д = 182 кДж; Q = 66 7 кДж; AU ^
1,26 кДж 305. А 136 Дж.1,26 кДж 305. А 136 Дж.^ 667 кДж; AUu;485 кДж. 304. 口 = 20%; А =
1,26 кДж 305. А 136 Дж.
1,26 кДж 305. А 136 Дж.
306. /4 = 48 кДж. 307. А =
р == 5-10-3 кг/м3. 318. р = 10,24 • 10-3 кг/м3. 319. та ^2,8・ 10一4 кг. 320. ра99,7 кПа 321. т = 1,76- 10~3 кг. 322. 8^58,7%. 323. М^3,3・ 1()24 324. V = 0,1 м3. 325. т = 41,2 кг.
Т = 803 К. 336. А/ = 7,5- 10~2 м. 337. AV = 1,25- 10"5 м3. 338. AV= 4,4-IO"6 м3. 33 9. р» 10~3 К」340. ДГ^ 100 К. 341.唉 « 1,06-10~4 м3. 342. Т = 309 к. 352. а^3,14- 10~2 Н/м. 353. т = =2,25 • 10-5 кг 354. р = 3 2 Кг/м2. 355. Ар = 64 Па 356.九/儿 1,64. 357. а^0,47 Н/м. 358.力=1,6 м 359. Г = 2,96 Н 365. F = 55 Н. 366. Опр = 235 МПа. 367. /= 177 м. 368. Г ж 202 Н. 369. ® = 238 рад/с. 370. А = 0,72 мДж.
♦ ♦ ♦
q ^8,6- 10-14 Кл. 385. q{ = q2^ 4,2 нКл. 386. g = 10 нКл. 387. Е = 0; 1600; 1710; 1600, 1150 В/м. 388. г = 7,2- 10~2 м. 389. В 1,25- 1036 раз. 390. g 5,2 нКл. 391. 4^0,122 рад. 392. р = =1,6- 103 кг/м3. 403.尸=1 Н. 404. Л = 540 Дж. 405. U = 2,4 мВ 406. U =2,6© МВ. 407. F=25hH. 408. 4 ^ 565 нДж. 409.屮1 =屮2 = =90 В; фз = 9 В. 410. (р« 15 В. 41L <р^ 12,6 В. 42 5. С^24 8 пФ 426. q а 3,3 нКл. 427. (7 = 150 В. 428. % =勿 нКл; % = 4 нКл; ,з = 6 нКл. 429. Ui = 7,5 кВ;厶=4,5 кВ; q、= q? = 2,25 мкКл. 430. Q = 0,5 мДж 431.⑵=97 мДж/м3.
Ro = 4 0m. 452. &=10Ом. 453. /=34 мА. 454. /=33,5 мА. 455. 6= 1,1 В; r = 1 Ом. 456. А з= 1,5 А. 457. Последовательно. 458. В три параллельные группы по два элемента последовательно. 459. В 6 раз. 460. R = 0,1 Ом. 461. А7 = 238 К. 462. / = 1 А; /1 = 0,6 А; /2 = 0,4 А. 463. / = 0,2 А. 464. /2 = 0,4 A; S = 32 В. 477. Q2 = Ю,5 кДж; (?з ^7,9 кДж. 478. Q! « 15,6 Дж; Q2。9,4 Дж; Q3 = 40 Дж; Q<« а6,7 Дж. 479. п» 1,27-Ю*9. 480. /。9,3 м. 481. М = 4№・ 482.
• 103 с. 483. f ^ 1,6 с. 484. Свинец расплавится быстрее в 1,6 7 раза. 485. / = 2,86 А. 500. /«56 А/м2. 501. W = 1,8 кДж. 502. А = =65,4 г/моль. 503. Л ^ 5,4« 10~5 м. 504. т = 0,445 кг. 505. R = 0,4 Ом. 506.加^5,9・10一6 кг 507. q = 13,5 В. 508. /н = Ю~7 А.
* * *
В = 50 мкТл. 525. 8 = 62,8мкТл. 52 6. В « 119 мТл. 52 7. 8 = = 1,84 Тл. 528. В = 96 мкТл. 529. / = 15 А. 530. /?а2,8・1()т м 531.尸==1,6-10~,3 Н; /?« 1.04.10-2 м. 532. 8 = 5 мТл. 546. Д = 2,5 Дж. 547. 4i = 0,024 Дж; Д2 = 0,048 Дж; Л3 = 0. 548. / = 10~5 А. 549. / = =0,74 А. 550. д = 0,074 Кл. 551. S= 1,07-10~2 м2. 552. v = 8 с— 553.厶= 7,1 • ICT' 「％ Ф = 3,55 мкВб. 554.厶=1,6 мГн. 555. д = =2,4 мКл. 556. / = 0,017 с. 557. W = 1,69 Дж.
* * *
Е = 2,4 лк. 570. г = 0,4 м. 571. г = 1 м; /г = 0,71 м. 572. Е = 14,26 лк. 573. Ф = 3,75 лм. 574.厶=80 кд; /2 = 46 кд. 575. В = 1,2 • 107 кд/м2. 576. Е = 34,2 лк. 577. S = 1,055- 103 м2.
% = 2 м. 592. Бесконечно большое число. 593.(р= 2,9» 10~4 рад. 594.尸 ^0」м. 595. F = 0,25 м. 596. х = 1,26 м. 597. х = 0,45 м. 598. R = 2m. 599. х = 1,05 м (от вогнутого зеркала). 629. /г = 2,66 м. 630. г = 0,82 рад; /0 = 1,13 рад. 631.「2^0,41 рад; 6^0,34 рад. 632. / = 0,6 м; мнимое изображение. 633.尸= 0,16 м. 635.力= 0,4 2 дптр. 637. F — 6,4 м. 638. D = 1,25 дптр. 639. / = 50 с. 640. / = 5-10-3 м. 641. Г = 187,5. 642. 14&| = 9-10-3 м.
&=1,15・10 7 3 дж 657. А = 6,55- 10~19 Дж. 658. v0 = =5,8-1014 Гц. 659. U = 0,95 В. 660. v = 4,76- 1014 Гц. 661.左=60%. 662. /„ = 7,27-10~18 А. 663. "=2,03 мкПа. 664. р = 6- 10~H Па. 665. р = 4,6 мкПа. 666. п = 2,52 • 1013 м~з
х = 2,5-10-2 м; и = 0,11 м/с; а = —0,17 м/с2. 687. R)= 109 Н; 取 ^2,7 кДж. 688. /, = Г/4; /2 = Г/12; % = 7/6. 690. имакс = =7,85・10一2 м/с； Омаке = 12,3.10-2 м/с2 691 ・ и = 0,136 м/с. 69 2. % = =—1,5-Ю"2 м. 693. Af=3,46」0‘ с. 694. 7比0,2 с. 695. х = =3,7• ICT?sm(0,785f+0,392). 696. x2/4 + t/2/4 = 1. 697. 4^5,8 см. 698. х = 0. 699. Д(р = 1,57 рад. 700. v = 348 Гц.
* * *
v=61 Гц. 715. /макс= 1 А. 716.處=50 В; &=70 В. 717. U = = 21,5 В. 718. 7=6,28・10-7 & 719. Т = 10~5 с. 720. 7弋4,7・10一6 & 7 21. От 2,3 до 7,1 кГц. 722. v = 71 кГц. 723.入=200 м.
♦ ♦ ♦
737.九=5,79・10一7 м. 738. X = 5-10~7 м. 739. Х= 4,7-10~7 м. 740. d мин= 1,3- 10~7 м. 741. Х=5,89- 10"7 м. 742. 々макс = 4. 743. /1 = 0,4 м; /2 = 0,8 м.
753.九=4,86・10一7 м. 754. W = 1,94-10~18 Дж. 755. М = =—2,42-10-19 Дж. 756.九=4,34・10-7 м 757. х= 4,88-10~7 м. 758. ®i/®2 = 8. 759. X = 3,45- 10-7 м. 760. v = 3,6-1016 Гц. 761.入= =25,3 • к м.
*
77 2. А = 39; Z= 19. 773. Числом нейтронов. 774. W ^ 4,53« 10-12 Дж.
775. Ат а 2,44 • 10-29 кг 776< дд = 1； AZ = 1. 777. "Si. 778.得Р.
779. Д^ = 103. 780. м = 27.
Учебное издание
Станислав Петрович МясниковТатьяна Николаевна Осанова
ПОСОБИЕ ПО ФИЗИКЕ
Зав. редакцией Е. С. Гридасова. Научный редактор Н. В. Тыглиян. Редактор Г. Н. Чернышева. Мл. редакторы Г. В. Вятоха, Н. П. Майкова. Оформление художника Ю. Д. Федичкина. Художественный редактор В. И. Пономаренко. Технический редактор Е. И. Герасимова.
Корректор Г. И. Кострикова
ИБ 6169
Изд. № ФМ-894. Сдано в набор 22 05 87. Подп. в печать 22 12.87. Формат 84 X 108*/з2. Бум. кн -журн Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 21,0 усл печ. л. 21,21 усл. кр.-отт. 17,90 уч.-изд. л.
Тираж 200 000 экз. Зак. № 580. Цена 80 коп.
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул.,д. 29/14.
Ярославский полиграфкомбинат Союзполиграфпрома при Государствен-ном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжнойторговли. 150014, Ярославль, ул. Свободы, 97.
100 + 104
1. Что называется равновесием тела? 2. Перечислите виды равновесия тел. 3. Сформулируйте условие равновесия материальной точки. 4. Что называют моментом силы? 5. Как найти на
1. Что называется давлением и силой давления? Назовите еди
4. Как рассчитать силу давления на дно и стенки сосуда? 5.
Решение. Зная точку росы, можно найти по табл. 17
1 м3 воздуха. Это и будет определять абсолютную влаж
ность р воздуха при любой температуре, равной или большей точки росы. Следовательно, р = 8,3・ 10~3 кг/м3. Найдем относительную влажность воздуха:
8 = ^100%,
Рн
где рн — плотность насыщающего пара при 291 К. Тогда
1. Что называется испарением?
2. Что называют динамическим
равновесием между паром и жидкостью? 3. Что называют на
1. Что называется коэффициентом линейного расширения? 2.
*4.3,14-8,85. IO"12
( 6,7.10-9)2(13,3.10-9)2 b 〜
/V 一(3. 10-2)4 十一(4.kТ)
/ 尸101 кВ/м.
%N' 分
375.°. Тонкий стержень дли- Рис 118ной 20 см равномерно заря-
В —? Е2 —? £3 —? Е = Е（「）—?
Решение. По принципу суперпозиции напряженность поля в любой точке равна
Е= Ei + Е,
где Ei ——напряженность поля в данной точке, образованного сферой с зарядом 〃〕； Е2 — напряженность поля в той же точке, образованного сферой с зарядом ^2. Используя принцип суперпозиции, находим напряжен-
4вн — ?
Решение. В задачах такого типа удобно считать один из шариков неподвижным, образующим электрическое поле, а другой — движущимся в поле первого шарика. Пусть заряд q\ шарика создает поле, а шарик с зарядом ^2 движется в этом поле из точки, находящейся на расстоянии ri от шарика д】,в точку, находящуюся на расстоянии гг от него. Тогда работа, которую при этом совершает внешняя сила,
4вн = — А = ^2(ф2 — р),(1)
где (pi и q)2 ——потенциалы начальной и конечной точек поля. Так как поле образовано точечным зарядом, то
q)i =— и q)2 =—•(2)
丫 4ne0eri 丫 4лео£Г2' '
Подставим выражения (2) в (1):
4H = а (-力)=gw2g - к).
вн \ 4ле0ег2 4neoeri / 4леоеГ1Г2 *
= 6,7.10-9.13,3.10二(0,4-°,25) д j
—4-3,14.8,85.10~,й-1-0,4-0,25 厶水〜1 / МКДЖ,
да q из точки С в точку D
Acd = q (фс — фа).(2)
=屮3 + 屮о尸 qj^n^r^ + 42/(4几£()£广4)— потенциалы
поля, образованного зарядами q* и 宮，в точках С н Q, где
广з = a/2,厂4 = У产 + a'/彳. Подставляя выражения для
А1 — ? А 2 — ?
Решение. 1. Работа, совершаемая в этом случае, равна изменению энергии конденсатора, т. е.
人=А1Г= % - Г1,(1)
где W\ = q2/(2&) — энергия н & = £o&S/di — емкость конденсатора до раздвижения пластин; W2 = ^2/(2Сг)— энергия и С2 = еое5/^2 — емкость конденсатора после раздвижения пластин. Если конденсатор отключен от источника, то заряд q на его пластинах остается постоянным в процессе раздвижения пластин:
q = &Ui = &G&SU J di,
или, поскольку до раздвижения пластин U* = &,
q = £oeS £/d|.
Учитывая выражения для W\,取2, Ci, С2 и q, перепишем формулу (1):
лWe2s262d2喩 2s2夕小^S^
/ _ 8,85-10-*2.Ь 1,75-10-2-1802(12.10-3 - 5-10-3)开 _
4 =2.(5. 10-3)2=
=705 нДж.
4=4 — 4ст,(2)
где Дз ——работа внешней силы, Лист = 占Ад = £ (^1 — ^2)- работа источника по перемещению заряда Ад; д] = & £ - заряд конденсатора до раздвижения пластин; q? = С^б - заряд конденсатора после раздвижения пластин. Работу Лист источника мы взяли со знаком минус, так как при перемещении заряда с положительной обкладки на отрицательную источник совершает отрицательную работу.
〃1 — ? * — ? дз — ? U[ — ? U2 — ? Uз — ?
Решение. Обозначим: р — потенциал пластины /; (р2 — потенциалы пластин 2 и <3 (потенциалы равны, так как пластины соединены); (р3 ——потенциалы пластин 4 и 5;(р4 — пластины 6 (рис. 133). Пластина / получит от источника заряд + q. На пластине 2 наведется по индукции заряд ——q, а на пластине 3 ——заряд + q. Аналогично, по индукции возникает заряд —g на пластине 4, +д на пластине 5, —q на пластине 6. Таким образом, при последовательном соединении конденсаторов заряды на любом из конденсаторов одинаковы. Обозначим эти заряды qi = = 42 = 43=9. По определению,
1. Что называется вектором маг*
3. Что называется магнитной проницаемостью вещества? 4. Назовите единицы напряженности и магнитной индукции магнитного поля. 5. Чему равна сила Ампера, действующая на проводник с током в магнитном поле? Как найти ее направление? 6. Чему равна сила Лоренца, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле? Как найти ее направление? 7. Напишите выражение для вращающего момента, действующего на рамку с током в магнитном поле. 8. Что называют потоком вектора магнитной ин
1. Что называется световым потоком? В каких единицах он выражен? 2. Что называется силой света источника? В каких единицах она выражается? 3. Что называется телесным углом? 4. Что
I £"~ ==戶，I £~ == Г •\ /
р— ?
Решение. 1. Так как р = 1, то световое давление р = 21/с.
Но, согласно определению, / = W/(St\ поэтому 2Г2-63 匚
Р = К； Р =享汾・斤匸旣Па = °* мкПа.
Р = ^ Р =・з・"*У砒 Па = °，35 мкПа.
1. Чему равны масса, скорость
4. Объясните, как работает фо
тоэлемент. 5. Сформулируйте
законы фотоэффекта. 6. Напи
шите уравнение Эйнштейна для
фотоэффекта. 7. Что называется
贝") - ?
Решение. Уравнения гармонических колебаний вдоль осей X н У имеют вид
х — А sin y^-Z, (1) y = 4sin^f.(2)
Так как, по условию задачи, Т2=2Т\9 то уравнение
* * *
762. Каково строение ядра изотопа лития &Li?
Дано: &Li.
Z - ? ^ - ?
Решение. Из символической записи изотопа лития &Li следует, что ядро изотопа лития состоит из семи нуклонов (Л = 7): трех протонов (Z = 3) и четырех нейтронов {^ = 7 — 3 = 4).
763. Чем отличаются ядра изотопов азота 】；N и ^N?
Дан@: '；N;号N.
Z — ??
С.П.Мясников Т.Н.Осанова
Пособие
ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ,ИСПРАВЛЕННОЕ И ПЕРЕРАБОТАННОЕ
ДопущеноМинистерством высшего и среднегоспециального образования СССРв качестве учебного пособиядля слушателей подготовительныхотделений вузов
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1988
ББК 22.3
М99
УДК 53
Рецензент — кафедра физики
2-го Московского государственного медицинского институтаим. Н. И. Пирогова (зав. кафедрой — проф. А. Н. Ремизов)
Мясников С. ЛЬ, Осанова Т. Н.
М99 Пособие по физике: Учеб, пособие для подгот. отделений вузов.——5-е изд., испр. и перераб.——М.: Высш. шк. 1988. — 399 с.: ил.
Пособие представляет собой сборник вопросов и задач по основным разделам программы вступительных экзаменов в вузы. В него включено много интересных задач и вопросов, которые предлагались на вступительных экзаменах в различных вузах. В пособии к каждому параграфу даются краткие теоретические сведения. Разобраны наиболее типичные задачи. В отличие от предыдущего издания (1981 г ) переработаны некоторые вопросы н задачи, внесены необходимые исправления.
ББК 22.3ББК 22.358—8858—884306021100(4309000000) — 146
ББК 22.3
ББК 22.3
58—88
58—88
М001(01)—88
© Издательство «Высшая школа>, 1976
© Издательство «Высшая школа», 1988, с изменениями
131316173334434450515151666873748283878888107108108119120121128131316173334434450515151666873748283878888107108108119120121128
13
13
16
17
33
34
43
44
50
51
51
51
66
68
73
74
82
83
87
88
88
107
108
108
119
120
121
128
13
13
16
17
33
34
43
44
50
51
51
51
66
68
73
74
82
83
87
88
88
107
108
108
119
120
121
128
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к пятому изданию 6
Введение 7
§ 1. Роль физики в процессе познаваемости материального мира 7
§ 2. Математический аппарат физики 7
Элементы векторной алгебры
Элементы дифференциального и интегрального исчислений
Порядок решения задач
Глава I
Механика
Кинематика
Равномерное прямолинейное движение
Упражнения
Равнопеременное прямолинейное движение Упражнения Некоторые виды сложного движения Упражнения Движение материальной точки по окружности. Вращательное движение твердого тела Упражнения Вопросы для повторения
Динамика
Применение законов динамики к прямолинейному движению тела (материальной точки) ，
Упражнения Применение законов динамики к движению тела (материальной точки) по окружности Упражнения Применение основных законов динамики к космическим полетам Упражнения Импульс тела. Закон сохранения импульса Упражнения Вопросы для повторения
Работа, мощность, энергия. Закон сохранения энергии Упражнения•.
Вопросы для повторения § 4. Статика
Упражнения
Вопросы для повторения § 5. Статика жидкостей и газов
Упражнения
Вопросы для повторения
В
2929444546565757646565707171717778838486872929444546565757646565707171717778838486878888010211122223232339404849565757 112 2 2 2222222222228888010211122223232339404849565757 112 2 2 2222222222227 1 2 3 45 7 7 & 82 2 2 2 27 1 2 3 45 7 7 & 82 2 2 2 2
292944454656575764656570717171777883848687
292944454656575764656570717171777883848687
8888010211122223232339404849565757 112 2 2 222222222222
8888010211122223232339404849565757 112 2 2 222222222222
7 1 2 3 4
5 7 7 & 8
2 2 2 2 2
7 1 2 3 4
5 7 7 & 8
2 2 2 2 2
Глава II
Молекулярная физика и термодинамика
Основные положения молекул яр но-кинетической теории Теплота и работа Упражнения Вопросы для повторения
Свойства газов Упражнения Вопросы для повторения
Работа газа. Тепловые машины Упражнения Вопросы для повторения
Насыщающие и ненасыщающие пары. Влажность . Упражнения Вопросы для повторения
Свойства твердых и жидких тел Тепловое расширение твердых и жидких тел Упражнения Поверхностное натяжение жидкостей. Капиллярные явления Упражнения Деформация твердых тел. Закон Гука Упражнения Вопросы для повторения
Глава III
Электричество
Электростатика
Закон Кулона. Напряженность электростатического поля Упражнения Потенциал электростатического поля. Работа силы по перемещению заряда в электростатическом поле Упражнения Электроемкость. Энергия заряженного проводника и электростатического поля Упражнения Вопросы для повторения
Постоянный ток Ток в металлах Упражнения
Работа и мощность тока. Тепловое действие тока . ... Упражнения Ток в электролитах и газах Упражнения Вопросы для повторения \
Электромагнетизм
Магнитное поле тока. Силы, действующие в магнитном поле на проводник с током, на движущийся электрический заряд и на рамку с током Упражнения Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле Электромагнитная индукция. Энергия магнитного поля Упражнения Вопросы для повторения
Глава IV
Оптика
Основные фотометрические величины и законы
Упражнения
Вопросы для повторения
Геометрическая оптика
Отражение света. Зеркала Упражнения Преломление света. Тонкие линзы. Оптические приборы Упражнения Вопросы для повторения
Квантовые свойства света Упражнения
Вопросы для повторения
Глава V
Колебания и волны
Механические колебания и волны Упражнения Вопросы для повторения
Электромагнитные колебания и волны
Упражнения
Вопросы для повторения
Волновые свойства света Упражнения Вопросы для повторения
Глава VI
Строение атома и атомного ядра
Строение атома
Упражнения
Вопросы для повторения
Строение атомного ядра
Упражнения
52344678007889999^-02333322222333333352344678007889999^-0233332222233333339455677563 5 55 6 6 6 7 73 3 33 3 3 3 3 39455677563 5 55 6 6 6 7 73 3 33 3 3 3 3 3711277967888888933333333711277967888888933333333. Вопросы для повторения Приложения Ответы к упражнениям
523446780078
89999^-023333
222223333333
523446780078
89999^-023333
222223333333
945567756
3 5 55 6 6 6 7 7
3 3 33 3 3 3 3 3
945567756
3 5 55 6 6 6 7 7
3 3 33 3 3 3 3 3
71127796
78888889
33333333
71127796
78888889
33333333