Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сборник задач представляет собой составную часть учебного пособия для школ и классов с углубленным изучением физики (авторы Е.И.Бутиков, А.С. Кондратьев, В.М. Уздин). Три книги, посвященные изложению теоретического материала, уже выходили в издательстве ФИЗМАТЛИТ (2000, 2001 гг.). Полезным дополнением к этому пособию является краткий физико-математический справочник (авторы А.Г. Аленицын, Е.И. Бутиков, А.С. Кондратьев). Сборник содержит около 1200 задач, охватывающих весь материал теоретического курса. Значительная часть задач являются оригинальными. Спектр задач достаточно широк от относительно простых до задач олимпиадного типа. Это позволит учителю подбирать циклы задач разного уровня в зависимости от степени подготовки учащихся. Сборник задач может использоваться и самостоятельно школьниками для развития навыков решения физических задач и при подготовке к поступлению в вузы. Все задачи снабжены ответами, а более половины наиболее трудных — и подробными решениями или указаниями.
Особое внимание в сборнике уделено современным методам, используемым в физике, но отсутствующим в существующей учебной литературе. Здесь можно упомянуть подход к решению задач механики, основанный на нахождении геометрических образов векторных уравнений, использование законов сохранения совместно с методологическим принципом симметрии, использование принципа относительности и т. д. При решении задач широко используются качественные методы, такие как метод анализа размерностей, физическое подобие, а также соотношения неопределенностей при рассмотрении границ применимости классической физики и изучении свойств квантовых объектов.
Последовательность материала в сборнике в целом соответствует последовательности изложения в трех книгах теоретического курса. Значительную часть составляют задачи, посвященные анализу реальных явлений, для решения которых необходимо использовать материал, относящийся к разным разделам теоретического курса. Разбиение материала на подразделы в большинстве разделов традиционно и не требует специальных комментариев. Исключение составляют задачи, относящиеся к физике тепловых явлений, где похожие по содержанию задачи разнесены по разным подразделам. В разделе “Температу-
ра. Тепловые явления. Условия теплового баланса” представлены задачи, содержащие элементарные представления о тепловых явлениях — эмпирические шкалы температур, тепловое расширение, энергетический баланс при изменении агрегатного состояния вещества. В раздел "Тазовые законы” отнесены задачи, использующие уравнение состояния идеального газа и условия механического и теплового равновесия рассматриваемых систем. В разделе "Термодинамика. Тепловые двигaтeли^^ собраны задачи на первый и второй законы феноменологической термодинамики. В разделе "Основы молекулярно-кинетической тeopии^^ наряду с задачами, непосредственно относящимся к этому разделу, представлены задачи, посвященные рассмотрению термодинамических процессов, для решения которых необходимо использовать явные выражения для внутренней энергии и теплоемкости идеального газа. Наконец, в разделе "Реальные газы. Жидкости. Фазовые переходы” собраны задачи на изучение свойств реальных газов, жидкостей и фазовых переходов.
В сборнике имеются задачи, посвященные качественному анализу явлений, в которых не требуется нахождения численных значений рассматриваемых физических величин. Однако в большинстве задач необходимо доводить решение до получения численных значений, что способствует выработке правильных представлений о порядках физических величин.
В сборнике в основном используется система единиц СИ. Однако в некоторых случаях, особенно при рассмотрении квантовых явлений, используется также гауссова система единиц и внесистемные единицы, как это и принято в современной физике.
МЕХАНИКА
КИНЕМАТИКА
§ 1. Равномерное движение. Средняя скорость
Свет распространяется в вакууме со скоростью 3 х х 108 м/с.
Сколько времени он движется от Солнца до Земли (расстояние равно 1,5 • 1011 м)?
Сколько времени займет его движение от Луны до Земли (расстояние равно 3,84 • 108 м)?
Световой год — это расстояние, проходимое светом в пустом пространстве за 1 год. Выразите световой год в километрах.
Когда два тела равномерно движутся навстречу друг другу, то расстояние между ними уменьшается на 16 м за каждые 10 с. Если тела с прежними по величине скоростями будут двигаться в одном направлении, то расстояние между ними будет увеличиваться на 3 м за каждые 5 с. Каковы скорости каждого тела?
Два мальчика перекидываются мячом, двигаясь одновременно навстречу друг другу. Скорость первого мальчика %, второго 匕，скорость мяча относительно земли VM.
Определить путь I, который пролетел мяч за время, в течение которого расстояние между мальчиками сократилось от 厶 до %.
Когда мальчики подойдут друг к другу вплотную, какое расстояние L\ пролетит мяч от первого мальчика ко второму и от второго к первому (%)?
Временем пребывания мяча в руках пренебречь. Считать полет мяча горизонтальным.
Диспетчер видит корабль на экране радара на расстоянии 10 км к югу. Через час он видит тот же корабль на расстоянии 20 км в направлении на юго-восток. Какова скорость корабля, если он движется равномерно в неизменном направлении?
Теплоход длиною I = 300 м движется по прямому курсу в неподвижной воде с постоянной скоростью. Катер имеет скорость V = 90 км/ч, проходит расстояние от кормы движущегося теплохода до его носа и обратно за время t = 37,5 с. Определить скорость теплохода v.
Пароход идет от Горького до Астрахани 方i = 5 сут, а обратно 方2 = 7 сут. Сколько времени t плывет по течению плот от Горького до Астрахани?
Катер плывет по реке против течения с постоянной скоростью и в некотором месте теряет спасательный круг. Через время t потеря обнаруживается, катер поворачивает и нагоняет круг на расстоянии s ниже места потери. Какова скорость течения реки “？
Спортсмены бегут с постоянной скоростью о на одинаковом расстоянии друг от друга, образуя колонну длиной 办. Навстречу спортсменам бежит тренер со скоростью и < v. Поравнявшись с тренером, каждый спортсмен мгновенно разворачивается и бежит в противоположном направлении с той же по модулю скоростью V. Определить длину I колонны, образовавшейся после разворота последнего спортсмена.
Река течет с запада на восток со скоростью 3 м/с. Мальчик плывет на север поперек течения реки со скоростью о = 2 м/с относительно воды. Какова скорость мальчика относительно берега?
Самолет может летать со скоростью 250 км/ч относительно неподвижного воздуха. Дует ветер со скоростью 80 км/ч точно в направлении северо-восток.
В каком направлении должен быть ориентирован нос самолета, чтобы он летел прямо на север?
Какова будет при этом скорость самолета относительно земли?
Первую треть пути автомобиль прошел со скоростью %, вторую треть — со скоростью 匕 и последнюю треть — со скоростью 匕.Определить среднюю скорость движения автомобиля на всем пути.
Машина движется в одном направлении со средней скоростью 80 км/ч в течение 2,5 часов, а затем в течение 1,5 часов со средней скоростью 40 км/ч.
Каково ее полное перемещение в течение 4 часов?
Какова средняя скорость движения в течение 4 часов?
Машина проходит 50 км со скоростью 40 км/ч. С какой скоростью она должна проходить следующие 50 км, чтобы средняя скорость движения на 100-километровом участке составила 50 км/ч?
Спортсмен пробегает на тренировке 2 км за 5 минут, а затем, не спеша, возвращается в исходную точку за 10 минут.
Какова средняя скорость движения в течение первых 5 минут?
Какова средняя скорость движения при возвращении обратно?
Какова средняя скорость движения в течение 15 минут?
Какова средняя скорость прохождения всего пути?
Две дороги пересекаются под углом а. В некоторый момент времени 方о = 0 автомобиль А проезжает перекресток, двигаясь с постоянной скоростью О]. Автомобиль В в этот момент находится на расстоянии Zg от перекрестка и движется по направлению к нему с постоянной скоростью 。2・ Через какой промежуток времени расстояние между автомобилями будет минимальным, и каково это минимальное расстояние?
Человек находится в поле на расстоянии Z = 60 м от прямолинейного участка шоссе. Справа от себя, на расстоянии 力о вдоль шоссе он замечает движущийся по шоссе автобус. В каком направлении следует бежать к шоссе, чтобы успеть сесть в автобус? При каких значениях 力о это возможно? Скорость автобуса % = 16 м/с, скорость человека 匕=4 м/с.
Четыре мухи, сидящие в вершинах квадрата, начинают одновременно равномерно двигаться таким образом, что в каждый момент времени вектор скорости каждой “предыдущей” мухи направлен на “последующую”. Где мухи встретятся и через какое время, если скорость их движения V, а сторона квадрата равна /?
На гладкой горизонтальной поверхности на расстоянии 2/ друг от друга неподвижно лежат два шарика, массой т каждый, связанные невесомой нерастяжимой нитью длиной 2/. Среднюю точку А нити начинают двигать с постоянной скоростью V в горизонтальном направлении, перпендикулярном нити. Какой путь пройдет точка А до момента столкновения шаров?
§ 2. Равноускоренное движение
Автомобиль трогается с места и разгоняется с постоянным ускорением 8 м/с2.
Какова его скорость к исходу 10-й секунды движения?
Как далеко он уезжает за первые 10 секунд?
Какова средняя скорость на этом интервале?
К исходу 5-й секунды движения автомобиль имеет скорость 5 м/с, а к концу 8-й секунды — 1 м/с. Каково среднее ускорение автомобиля на этом интервале?
Тело, движущееся равноускоренно, проходит последовательно одинаковые отрезки пути длиной Z = 15 м соответствен-
но за ti = 2 с и /；2 = 1 с- Определить ускорение а и скорость тела Vo в начале первого отрезка пути.
Цветочный горшок падает с балкона и за время г = =0,2 с и пролетает мимо окна высотой 九=2 м, расположенного нескольким этажами ниже. Каково расстояние х от балкона до верхнего края этого окна?
Свободно падающее без начальной скорости тело в последнюю секунду падения прошло 2/3 своего пути. Найти путь, пройденный телом.
Тело, брошенное вертикально вниз с начальной скоростью 19,6 м/с, за последнюю секунду прошло четвертую часть всего пути. Определить время падения тела t и его скорость V в момент падения. С какой высоты Я брошено тело? Сопротивление воздуха не учитывать.
Путь тела разбит на равные отрезки. Тело начинает двигаться равноускоренно и проходит первый отрезок за время 方1. За какое время пройдет тело n-й отрезок?
Гоночный автомобиль, движущийся с постоянным ускорением, имеет скорость 10 м/с в 4 метрах от стартовой отметки и 15 м/с в 10 метрах. Каково ускорение автомобиля? С какой скоростью он проходит стартовую отметку?
Тело движется с постоянным ускорением а = 3 м/с2. Через 方1 = 4 с оно находится на отметке si = 100 м. Через t?= =6 с его скорость составляет V = 15 м/с. На какой отметке $2 оно находится в этот момент?
Сколько времени займет прохождение 100 м пути для тела, трогающегося с места, с постоянным ускорением 10 м/с2? Какова его скорость на 100 метровой отметке? Какова средняя скорость при этом движении?
Увидев красный сигнал светофора, водитель начинает тормозить только спустя 0,51 с (время реакции водителя). Каков тормозной путь автомобиля до полной остановки, измеряемый с момента, когда водитель заметил красный сигнал светофора, если до торможения скорость автомобиля была 12 м/с, а модуль ускорения при торможении составил 6,2 м/с2?
Мотоциклист трогается с места с ускорением 2,6 м/с2. Проехав 120 м, он начинает тормозить с ускорением, равным по модулю 1,5 м/с2, до тех пор, пока скорость не становится равной 43,2 км/ч. Какой путь проедет мотоциклист к этому моменту?
Ракета стартует с поверхности земли вертикально вверх с ускорением а = 20 м/с2. На высоте Н = 415 м двигатели ра-
кеты выключаются. Сколько времени ракета пробудет в воздухе, считая от момента старта до падения на землю?
Работа двигателя ракеты продолжается в течение t = =2 с, сообщая ракете направленное вверх ускорение, вдвое превышающее по модулю ускорение свободного падения.
На какую высоту h поднимается ракета?
Сколько времени Г она будет подниматься?
Сколько времени % она будет опускаться до падения на Землю?
Тело прошло первую половину пути с постоянной скоростью 12 м/с, а вторую — двигаясь равнозамедленно. В конце пути скорость тела оказалась равной нулю. Найдите среднюю скорость движения за весь путь.
Тело преодолевает заданное расстояние S, двигаясь с постоянной скоростью, а затем останавливается, двигаясь с постоянным заданным ускорением а. Каково минимальное возможное время t движения до остановки? Какой при этом должна быть скорость V прохождения участка длиной S?
Скоростной лифт проходит от 30-го до первого этажа расстояние S = 150 м. Модуль максимального ускорения при разгоне и торможении лифта не превышает а = 3,7 м/с2, а максимальная допустимая скорость составляет V = 6 м/с. Сколько времени занимает путь от 30-го до первого этажа и какова при этом средняя скорость движения 兄р?
Определить начальную скорость %, которую необходимо сообщить брошенному вертикально вверх телу, чтобы оно вернулось обратно через 方=6 с. Чему равна максимальная высота подъема 九？
Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью % = 21 м/с. Определить время At между моментами прохождения телом половины максимальной высоты. Сопротивление воздуха не учитывать.
Поезд отходит от станции с постоянным ускорением а = 0,4 м/с2. Пассажир выбегает на платформу к тому месту, где стоял последний вагон, через t = 6 с после отправления. С какой наименьшей постоянной скоростью должен бежать пассажир, чтобы догнать поезд?
С края крыши дома высотой Я = 25 м бросают вертикально вверх мяч с начальной скоростью % = 12 м/с. С какой скоростью V должен бежать человек по направлению к дому, чтобы поймать падающий мяч, если в момент бросания мяча он находился на расстоянии I = 31 м от дома?
Глубину колодца измеряют, бросая камень и замечая время 九 через которое слышен всплеск воды на дне колодца. Начиная с каких значений t необходимо учитывать время прохождения звука, если необходимо измерить глубину с точностью а = 5%. Скорость звука в воздухе составляет V3B = 330 м/с.
Аэростат поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью 10 м/с. В тот момент, когда его кабина находилась на высоте 80 м над поверхностью земли, из нее бросили вертикально вверх камень, начальная скорость которого относительно аэростата равна 20 м/с. Скорость аэростата при этом не изменилась. Найти максимальную высоту, на которую поднялся камень над поверхностью земли, скорость камня относительно земли в момент его встречи с кабиной аэростата и время полета камня до этой встречи.
Аэростат поднимается вертикально вверх с заданным ускорением а. Через промежуток времени t после начала движения из него выпал предмет. Через какое время Т этот предмет окажется на заданной высоте Я?
Два камня падают в шахту. Второй камень начал падать на t = 1 с позже первого. Определить характер движения одного камня относительно второго. Сопротивление воздуха не учитывать. На каком расстоянии друг от друга будут камни через Г = 2 с после начала падения второго?
Спортсмен, бегущий со скоростью 9 м/с, находится на расстоянии 40 м от мотоциклиста в тот момент, когда тот трогается с места и начинает двигаться в том же направлении, что и спортсмен, с ускорением 0,9 м/с2.
Через какое время спортсмен догонит мотоциклиста?
В течение какого времени спортсмен будет бежать впереди мотоциклиста?
Снаряд выпускается вертикально вверх с начальной скоростью %. Затем он уничтожается другим снарядом, выпущенным из той же точки со скоростью 匕 < %. Через сколько времени следует выпустить второй снаряд после первого, чтобы уничтожение произошло как можно скорее?
Мяч бросают вертикально вверх с начальной скоростью % = 15 м/с. На высоте 7J = 8 м он ударяется о потолок и отражается от него вниз, не изменив модуль своей скорости. Через какое время t после начала полета мяч прилетит обратно? Сопротивление воздуха не учитывать.
Горизонтальная мраморная плита движется вертикально вверх с постоянной скоростью V. С высоты h над плитой
роняют стальной шарик. Найдите время между двумя ударами шарика о плиту, считая их абсолютно упругими.
Два тела падают с одинаковой высоты. На пути одного тела находится расположенная под углом 45° к горизонту площадка, от которой это тело упруго отражается. Как отличаются времена и скорости падения этих тел?
Жонглер может одновременно работать с пятью мячами. Каждый мяч находится в воздухе в течение одной секунды.
С какой начальной скоростью подбрасываются вверх мячи?
На какую максимальную высоту они поднимаются?
Если бы он жонглировал на Луне, где ускорение свободного падения составляет 1/6 земного ускорения, со сколькими мячами одновременно он мог бы работать? На какую максимальную высоту поднимались бы эти мячи?
Жонглер добивается того, чтобы 3 мяча одновременно находились в воздухе. Он может подбрасывать их вверх друг за другом каждые 0,5 секунды.
С какой начальной скоростью он должен бросать мяч?
Может ли он делать это в комнате, где высота потолка составляет 2,4 м?
В момент времени t = 0 тело находится в начале координат и движется со скоростью 40 м/с, направленной под углом 45° к оси х. Через 3 секунды оно находится в точке с координатами х = 100 м; g = 80 м п движется со скоростью 30 м/с под углом 50° к оси х. Каковы средняя скорость и среднее ускорение за этот промежуток времени?
Пригородный поезд отправляется строго по расписанию ровно в 12 часов дня и движется с постоянным ускорением. Пассажир, часы которого отстают, выбегает на платформу ровно в 12 часов по своим часам и видит уже движущийся поезд, причем за t секунд мимо него проходит один вагон, а за следующие t секунд — уже 2 вагона.
На сколько отстают часы пассажира?
Тот же вопрос, если за вторые t секунд проходят 3 вагона.
Тот же вопрос, если за вторые t секунд проходят 4 вагона.
Зависимость скорости частицы от ее координаты дается выражением V = оу^, где с — некоторая размерная постоянная.
Постоянно ли ускорение частицы?
Чему равно ускорение?
§ 3. Движение по окружности
Две параллельные рейки движутся относительно земли со скоростями % п 匕.Между рейками зажат диск, катящийся по рейкам без проскальзывания. Какова скорость его центра?
Тело движется равномерно по окружности радиуса 2 м, делая полный оборот за 3 секунды. Каково ускорение тела?
Автомобиль движется горизонтально по закруглению радиусом 30 м. Максимальное центростремительное ускорение составляет 5 м/с2. С какой максимальной скоростью может ехать автомобиль?
Спутник движется по низкой круговой орбите вблизи поверхности Земли. Какова скорость спутника V и время одного полного оборота вокруг Земли Г при ускорении g = 9,81 м/с2? Радиус Земли & = 6380 км.
Считая, что радиус орбиты спутника Земли 7340 км, определить число оборотов спутника за сутки.
Земля вращается вокруг своей оси, проходящей через северный и южный полюсы. Считая Землю шаром радиусом 6,38 • 106 м, определите линейную скорость и центростремительное ускорение тела, находящегося: а) на экваторе; б) на широте 45°.
Пилот выводит самолет из вертикального пикирования по дуге окружности радиусом 300 м. В нижней точке дуги скорость составляет 180 км/ч. Каково ускорение самолета в этой точке?
Трамвай движется по круговому повороту радиусом R на 90° с постоянным тангенциальным ускорением, причем в начале поворота на скорости Vq нормальное ускорение по модулю в два раза превышало тангенциальное ускорение. Найдите соотношение между нормальным ап и тангенциальным а力 ускорением при завершении поворота.
Космический корабль обращается вокруг Земли со скоростью 27000 км/ч, а скорость вращения Земли вокруг своей оси составляет на экваторе 1300 км/ч. Плоскость орбиты корабля, обращающегося с запада на восток, составляет с экватором угол 25°. Какова скорость корабля относительно измерительного устройства, установленного на экваторе?
§ 4. Плоское ускоренное движение
Из расположенного горизонтально на высоте 1,6 м над поверхностью земли ружья вылетает пуля со скоростью 1100 м/с.
Через сколько времени пуля вонзится в землю и какой путь по горизонтали она пролетит?
С крыши двух домов различной высоты бросают в горизонтальном направлении 2 камня с одинаковой начальной скоростью. Один из камней падает на землю на вдвое большем от дома расстоянии, чем второй камень. Во сколько раз высота первого дома больше, чем второго?
Начальная скорость полета пули составляет 250 м/с. Требуется попасть в цель, расположенную на одной высоте с пистолетом на расстоянии 100 м. Как должен быть направлен ствол пистолета?
Тело бросают под углом 37° к горизонту с начальной скоростью 50 м/с. Сколько времени оно находится в полете и на какое расстояние по горизонтали оно при этом переместится? Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с2.
Тело бросают под углом 37° к горизонту с начальной скоростью 50 м/с с обрыва высотой 55 м. На какое расстояние по горизонтали переместится тело, когда упадет?
Ракету запускают с поверхности холма, образующей угол 户=25° с горизонтом, под углом а = 15° к этой поверхности. На каком расстоянии s по горизонтали от точки запуска ракета врежется в землю, если ее начальная скорость составляет % = 81 м/с?
Из некоторой точки одновременно бросают два тела с одинаковой начальной скоростью %: одно вертикально вверх, другое — по горизонтали. На каком расстоянии S друг от друга тела будут находиться спустя заданный промежуток времени?
Пуля, выпущенная из ружья вертикально вверх, может достичь высоты Н. На какое максимальное расстояние по горизонтали может улететь пуля, выпущенная из этого ружья?
В высшей точке траектории скорость мяча составляет одну четверть скорости, с которой он был брошен. Под каким углом к горизонту был брошен мяч?
Начальная скорость камня, брошенного под некоторым углом к горизонту, равна % = 10 м/с, а спустя время t = 0,5 с его скорость составляет V = 7 м/с. На какую максимальную высоту Нтах поднимется этот камень?
Тело брошено под углом 户 к горизонту и достигает максимальной высоты h. На каком расстоянии от точки бросания оно упадет на землю?
Ракета, запущенная с поверхности земли со скоростью 35 м/с под углом 15° к вертикали, взрывается в воздухе через
3,7 с после старта. На какой высоте находилась в этот момент ракета? Какова при этом была ее скорость?
Тело брошено под углом 户 к горизонту и упало на землю на расстоянии S от точки бросания. Каков радиус кривизны траектории тела в ее наивысшей точке?
В какой точке траектории тела, брошенного под углом к горизонту, его нормальное ускорение будет максимальным? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Мяч бросают под углом а\ к горизонту, а спустя некоторое время At бросают с той же начальной скоростью Vq второй мяч под меньшим углом &2・ Мячи сталкиваются в воздухе во время полета. Найдите величину At.
Камень брошен под углом а = 45° к горизонту с высоты 九=2,1 м. Он упал на землю на расстоянии s = 42 м от места бросания, считая по горизонтали. С какой скоростью Vq был брошен камень, сколько времени t он летел и на какой наибольшей высоте Я был?
Из точки А, находящейся на высоте Я над поверхностью земли, свободно падает тело. Одновременно из точки В, находящейся на расстоянии I от вертикали, проходящей через точку А, бросают второе тело так, чтобы они столкнулись в воздухе (см. рис.). Под каким углом к горизонту а следует бросить второе тело? Какова должна быть его начальная скорость %?
Тело падает без начальной скорости с высоты Я на наклонную плоскость, образующую угол а с горизонтом, и упруго отражается от нее (см. рис.). На каком расстоянии I от места первого отскока тело вторично упадет на наклонную плоскость?
Камень бросают из точки О под углом а к наклонной плоскости, образующей угол 户 с горизонтом. Траектория камня проходит через точку А, положение которой известно (см. рис.) Найти построением место падения камня на наклонную плоскость. Чему равно расстояние до места падения?
К задаче 1.82К задаче 1.82К задаче 1.83К задаче 1.83
К задаче 1.82
К задаче 1.82
К задаче 1.83
К задаче 1.83
Дана траектория движения тела, брошенного под некоторым углом к горизонту в поле тяжести Земли, и вектор начальной скорости Vo (см. рис.). Найти построением вектор скорости V в произвольной точке А траектории.
Из окна комнаты, расположенной на высоте h, бросают камень с начальной скоростью %)•
Под каким углом а к горизонту следует бросить камень, чтобы он улетел как можно дальше от окна?
На какое максимальное расстояние бтах от окна по горизонтали он удалится?
Склон горы составляет угол 户 с горизонтом.
На какое максимальное расстояние вверх вдоль склона можно забросить камень, если его начальная скорость равна %? Под каким углом нужно бросать камень?
На какое максимальное расстояние вниз вдоль склона можно бросить камень, если его начальная скорость равна %? Под каким углом нужно бросать камень?
Какова минимальная скорость снаряда, при которой возможно поразить цель, находящуюся на расстоянии L на высоте Я?
Определить границу достижимых целей при заданном значении начальной скорости %.
С какой минимальной скоростью и откуда нужно бро-
К задаче 1.86К задаче 1.86сить мячик, чтобы он смог перелететь через ангар с плоской крышей? Высота ангара 儿 ширина I. (См. рис.)
К задаче 1.86
К задаче 1.86
Цилиндрический резервуар, лежащий на земле, имеет радиус R. При какой наименьшей скорости бро-
К задаче 1.87К задаче 1.87шенный с земли камень может перелететь через резервуар? Откуда его следует бросать? (См. рис.)
К задаче 1.87
К задаче 1.87
Озорник бросает камень в го-
ризонтально летящую авиамодель, при
чем в момент броска направление скорости камня, характеризуемое углом а к горизонту, было как раз на модель. Скорость полета авиамодели и. Начальная скорость камня v. На какой высоте h летела авиамодель, если камень попал в нее? Где это
произошло, на восходящем или нисходящем участке траектории камня?
На лодке, шедшей с постоянной скоростью, выключили двигатель. В процессе торможения лодки в воде оказалось, что ее скорость убывала обратно пропорционально времени торможения. Определите зависимость ускорения лодки от ее скорости.
. ДИНАМИКА
5. Законы Ньютона
Воздушный шар массой т опускается с постоянной скоростью. Какой балласт Ат следует выбросить, чтобы шар мог подниматься с той же скоростью, если его подъемную силу можно считать постоянной и равной F?
Действуя на тело массой 1 кг, сила сообщает ему ускорение 5 м/с2. Действуя на второе тело, та же сила сообщает ускорение 15 м/с2. Чему равна эта сила и какова масса второго тела?
Чему равна постоянная сила F, которая разгоняет первоначально покоящееся тело массой m = 4 кг таким образом, что за t = 3 с оно перемещается на s = 2,25 м?
Движущийся по горизонтали автомобиль за t = 8 с уменьшает свою скорость от % = 27 м/с до 匕=17 м/с. Определите равнодействующую F всех действующих на автомобиль сил, если его масса составляет т = 1380 кг.
Подвешенный на нити шарик массы m движется по окружности радиусом г в горизонтальной плоскости. Нить образует с вертикалью угол 仇 Каковы сила натяжения нити Г и скорость шарика V?
Ведерко, наполненное водой, раскручивают на веревке в вертикальной плоскости. При какой скорости вода не будет выливаться из ведерка в верхней точке траектории, если длина веревки равна Е? За какое время при этом ведерко совершает полный оборот, если модуль его скорости не меняется при движении?
Сила сообщает одному телу ускорение 旬=20 м/с2, а другому телу ускорение 期=30 м/с2. Если эти два тела соединить вместе, какое ускорение а сообщит та же сила?
Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости: Т^опр = kV2. Какой будет установившаяся скорость падения парашютиста?
Тело массой 5 кг начинает двигаться по гладкой горизонтальной поверхности под действием постоянной силы 10 Н.
С какой скоростью оно движется спустя 3 с после начала движения?
На сколько оно переместится за 3 с?
Из точки, лежащей на верхнем конце вертикального диаметра окружности, по желобам, направленным вдоль различных хорд этой окружности, одновременно начинают скользить без трения грузы. По какому желобу груз достигнет окружности быстрее всего?
Брусок массой т перемещается без трения по горизонтальному столу под действием двух одинаковых последовательно соединенных динамометров. Ближайший к бруску динамометр показывает значение силы Fi, а второй динамометр —码 Каково ускорение бруска а? Каковы массы динамометров М? С какой горизонтальной силой F тянут второй динамометр?
Тепловоз тянет два вагона, сообщая им ускорение а = =0,52 м/с2. Масса первого вагона mi = 51,3 т, второго — g = =18,4 т. Найти силы, действующие в сцепке тепловоза с первым вагоном Fi и в сцепке первого вагона со вторым 用.
Постоянная по величине сила F действует на тело массой 3 кг перпендикулярно скорости тела. Какова величина этой силы, если в результате тело движется по окружности радиусом 2 м в горизонтальной плоскости, совершая полный оборот за 3 с?
На закруглении дороги один край ее полотна расположен выше другого. С какой целью это делается? При каком угле возвышения одного края полотна над другим машина может двигаться по закруглению радиусом 30 м со скоростью 40 км/ч даже при отсутствии трения?
Полотно дороги на повороте наклонено в сторону центра закругления и составляет угол а с горизонтом. Радиус закругления R. По дороге едет велосипедист, скорость которого такова, что на повороте велосипед перпендикулярен полотну дороги. С какой силой N велосипед давит на дорогу, если масса велосипеда с велосипедистом равна т? Чему равна скорость V велосипеда?
Каково натяжение каната, поднимающего груз массой 1000 кг вертикально вверх
с постоянной скоростью;
с ускорением 2 м/с2;
таким образом, что скорость груза убывает за каждую секунду на 2 м/с?
Однородный стержень длиной Z = 5 м поднимают вертикально вверх под действием силы F = 500 Н, приложенной к одному из концов. С какой силой / растянут стержень в сечении, находящемся на расстоянии х = 1 м от его нижнего конца? Масса стержня М = 40 кг.
Машина, движущаяся со скоростью V = 90 км/ч, резко тормозит, чтобы избежать столкновения. Оцените, с какой силой F действует при этом на водителя привязной ремень, если тормозной путь составляет S = 50 м.
Оцените, с какой силой F действует на водителя массой 80 кг привязной ремень, если машина на скорости 25 м/с врезается в неподвижную преграду.
Тело массой m = 12 кг поднимают по гладкой наклонной плоскости, образующей угол а = 25° с горизонтом, действуя на него горизонтальной силой F = 100 Н.
С какой силой N тело давит на наклонную плоскость?
С каким ускорением а оно поднимается по наклонной плоскости?
С каким горизонтальным ускорением а движется наклонная плоскость, образующая угол а = 60° с горизонтом, если находящееся на ней тело, которое может скользить без трения, остается неподвижным относительно наклонной плоскости? Что произойдет, если наклонная плоскость будет двигаться с большим ускорением?
На наклонной плоскости с углом наклона 30° лежит тело. Какое наименьшее ускорение необходимо сообщить наклонной плоскости в горизонтальном направлении, чтобы лежащее на ней тело свободно падало?
Какова была бы продолжительность суток Г на Земле, если бы она вращалась вокруг своей оси настолько быстро, что тела, находящиеся на экваторе, были невесомы? Пренебрегите деформациями Земли, которые сопровождали бы столь быстрое вращение.
Бусинка массой 100 г может скользить без трения по проволочному кольцу радиусом 10 см, которое вращается вокруг вертикальной оси, совпадающей с диаметром кольца, совершая два оборота за секунду. В каком положении бусинка будет оставаться неподвижной относительно кольца? Что произойдет, если частоту вращения уменьшить вдвое?
Спица, на которую надет шарик, образует угол а с вертикалью и равномерно вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью
В каком положении на спице шарик может находиться в равновесии, если он может перемещаться по спице без трения?
Устойчиво или нет это равновесие?
Два небольших шарика, подвешенных на нитях разной длины, равномерно вращаются в горизонтальной плоскости, так что расстояния от точек подвеса до плоскостей, в которых лежат
траектории шариков, одинаковы и равны h. Сравнить периоды вращения шариков. Какой из шариков движется с большей скоростью?
Брусок массой mi, который может скользить без трения по горизонтальному столу, связан невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, с другим грузом массой m2,
висящим в воздухе.
Каково ускорение а каждого тела и сила натяжения нити Г?
тела и сила натяжения нититела и сила натяжения нититела и сила натяжения нититела и сила натяжения нитикгкгКаково ускорение каждого При Ш1 « m2?
тела и сила натяжения нити
тела и сила натяжения нити
тела и сила натяжения нити
тела и сила натяжения нити
кг
кг
Каково ускорение каждого при mi》m2?
Брусок массой m = 20
бруска с массой М = 10 кг, как показано на рисунке. Каково ускорение каждого бруска (ам и ат) и какова сила натяжения нити Г, если а = 20° и трение отсутствует?
Тело массой mi, находящееся на наклонной поверхности, обра-
зующей угол а с горизонтом, соединено невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, с телом мас-
сой m2, висящим в воздухе. Пренебрегая трением, определите ускорения тел а и силу натяжения нити Г, если а = 30°, mi = =g = 5 кг.
Через неподвижный блок перекинута длинная нерастяжимая веревка. На другом конце веревки подвешен груз массой m = 10 кг, за другой конец ухватилась обезьяна массой М = =30 кг. С каким ускорением относительно веревки должна двигаться обезьяна вверх по веревке, чтобы оставаться на одной и той же высоте над поверхностью земли? Массами веревки и блока и трением в блоке пренебречь.
Веревка выдерживает груз 90 кг при вертикальном подъеме его с некоторым ускорением и груз 110 кг при движении вниз с таким же ускорением. Какой максимальный груз можно поднимать с помощью этой веревки с постоянной скоростью?
Человек массой m = 95 кг стоит на весах в лифте. Что покажут весы (М), если:
лифт движется с постоянным направленным вверх ускорением “1 = 1,8 м/с2;
с постоянным направленным вниз ускорением “2 = =1,3 м/с2;
лифт движется вверх или вниз с постоянной скоростью.
Зависят ли показания весов в этих случаях от направления скорости лифта?
К динамометру, подвешенному в кабине лифта, прикреплен груз массой 5 кг. Лифт движется вверх. Определить ускорение лифта, считая его одинаковым по величине при разгоне и торможении, если известно, что во время разгона показание динамометра больше, чем в момент торможения, на 15 Н.
К потолку кабины лифта прикреплен динамометр, на котором подвешен блок. Через блок перекинут нерастяжимый шнур, к концам которого привязаны грузы массой mi = 1 кг и g = 2 кг. Каково будет показание динамометра при движении грузов, если лифт неподвижен или поднимается вверх с ускорением 3 м/с2? Массой блока и шнура пренебречь.
Неподвижный блок прикреплен к потолку кабины лифта, движущегося с ускорением а. На подвесной нерастяжимой нити, перекинутой через блок, подвешены грузы с массами mi и д. Какое ускорение грузов а зафиксирует пассажир, едущий в кабине лифта?
Клин, наклонная поверхность которого образует угол а с горизонтом, может перемещаться поступательно по горизонтальной поверхности. На клине находится брусок, который
тянут за перекинутую через блок нить (см. рис.). С какой силой F следует тянуть нить в горизонтальном направлении, чтобы брусок скользил вверх по наклонной поверхности клина? С какими ускорениями будут двигаться при этом брусок и клин? Масса клина М, масса бруска т. Трением, массой нити и массой блока пренебречь. В начальный момент времени клин и брусок покоятся.
§ 6. Движение при наличии трения
Брусок, движущийся в начальный момент времени со скоростью V = 2,5 м/с, останавливается, пройдя по горизонтальной шероховатой поверхности путь S = 1,4 м. Каков коэффициент трения 从？
Санки тянут за веревку, образующую угол а = 40° с горизонтом. Масса санок m = 50 кг. Коэффициент трения покоя равен 从 1 = 0,2, а трения скольжения —从2 = 0,15. С каким ускорением движутся санки, если сила натяжения веревки F равна
100 Н?
140 Н?
На тело массой m в течение времени t действует постоянная сила F, направленная горизонтально. Коэффициент трения тела о горизонтальную поверхность, на которой оно лежит, равен 从.Какой путь S пройдет тело до остановки?
Машина движется со скоростью V = 30 м/с по горизонтальной дороге. Коэффициент трения покоя шин об асфальт равен 从 1 = 0,5, а трения скольжения — 吃 = 0,3. Какой путь пройдет автомобиль до полной остановки после начала торможения, если
торможение происходит таким образом, что колеса не проскальзывают, хотя и близки к проскальзыванию;
при резком нажатии на тормоз колеса блокируются практически мгновенно и не вращаются?
Машина движется по закруглению горизонтальной дороги радиусом 7? = 30 м. С какой максимальной скоростью может двигаться автомобиль так, чтобы колеса не проскальзывали, если коэффициент трения покоя равен 从=0,6?
Брусок массой m лежит на бруске массой М, который лежит на горизонтальном столе. На нижний брусок действует горизонтальная сила F. Коэффициент трения покоя между брусками равен 从i, а трения скольжения —从2・ Трение между нижним бруском и поверхностью стола отсутствует.
При какой максимальной силе Fi неподвижны относительно друг друга?
Каковы ускорения брусков при F > Fi?
Два одинаковых тела связаны нитью и лежат на гладком горизонтальном столе так, что нить представляет собой прямую линию. Нить может выдержать натяжение с силой не более Т = 20 Н. Какую горизонтальную силу F следует приложить к одному из тел, чтобы нить оборвалась? Изменится ли сила,
необходимая для разрыва нити, если между телами и столом есть трение и коэффициент трения 从 одинаков для обоих тел?
На два бруска массами mi и m2, связанных нерастяжимой нитью, действуют силы 歹i п % под углами cq n a2 K горизонту (см. рис.). Найти ускорение системы, если коэффициент трения между брусками и горизонтальной плоскостью равен 从.
Брусок массой m = 5 кг прижимается к вертикальной стене горизонтальной силой F = 100 Н. Коэффициент трения покоя равен 从= 0,5.
Какая сила трения Ер действует на брусок?
Как найти силу, необходимую для того, чтобы переместить брусок вниз (/1) и вверх (/2) вдоль стены при прижимающей силе 100 Н?
При какой максимальной горизонтальной силе /, приложенной параллельно стене, брусок будет находиться в покое?
В снежный день при температурах, близких к точке замерзания воды, коэффициент трения покоя шин об асфальт составляет всего 从=0,08. Каков максимальный уклон дороги а, по которой автомобиль с четырьмя ведущими колесами может подниматься без ускорения?
За какое время брусок соскользнет с наклонной плоскости высотой h, образующей угол а с горизонтом, если при угле наклона плоскости 户 он движется по ней равномерно?
Ледяная горка составляет с горизонтом угол а = 10°. По ней пускают вверх камень, который в течение t = 3 с проходит расстояние S = 12 м, после чего соскальзывает вниз. Сколько времени ti длится соскальзывание камня вниз? Каков коэффициент трения 从 камня о лед?
Брусок пускают вверх по наклонной плоскости, образующей угол 户 с горизонтом. Спустя некоторое время он возвращается в начальную точку со скоростью, равной половине его начальной скорости при движении вверх. Каков коэффициент трения бруска о наклонную плоскость?
Ледяная горка составляет с горизонтом угол а = 10°. По ней пускают вверх камень, который затем соскальзывает
по тому же пути вниз. Каков коэффициент трения, если время спуска в п = 2 раза больше времени подъема?
Санки скатываются с ледяной горы высотой h. На каком расстоянии по горизонтали S, считая от вершины горы, остановятся санки, если коэффициент трения на склоне и на горизонтальном участке пути постоянен и равен 从？
Два бруска с одинаковыми массами т скреплены нитью и находятся на наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом. Бруски скользят вниз по наклонной плоскости. Каково натяжение нити, если коэффициент трения верхнего бруска о плоскость 从1, а нижнего 从2?
Тепловоз массой М тянет за собой вагон массой т с постоянной скоростью по прямому горизонтальному пути. В некоторый момент вагон отцепляется от тепловоза и проходит путь I до остановки. Какой путь L пройдет тепловоз от момента отцепления вагона до его остановки? Силу тяги тепловоза считать постоянной, а силу сопротивления движению — не зависящей от скорости.
Автомобиль массой 800 кг катится с выключенным мотором под гору по длинной дороге, образующей угол 6° с горизонтом. Сила сопротивления воздуха, действующая на автомо
биль, определяется выражением 冗сшр = 100 Н +
где V — скорость автомобиля Опишите движение автомобиля. До какой скорости он разгонится?
Коэффициент трения покоя между бруском, лежащим в кузове грузовика, и полом кузова 从=0,3. Грузовик движется со скоростью V = 80 км/ч. Грузовик тормозит таким образом, чтобы брусок не смещался по полу кузова. Каково максимальное расстояние S, которое грузовик пройдет до остановки?
Брусок массой М = 100 кг перемещается без трения по горизонтальной поверхности с ускорением 旬=6 м/с2. Находящийся на нем второй брусок массой m = 20 кг движется при этом с ускорением “2 = 4 м/с2.
Какая сила трения Ер действует между брусками?
С какой силой F действуют на нижний брусок?
Какова результирующая сила 耳ез, действующая на нижний брусок?
С каким ускорением а будет двигаться нижний брусок после того, как верхний упадет с него?
Тело массой g лежит на столе и соединено нитью через блок с телом, масса которого д. На тело 2 положено тело / с массой mi (см. рис.). Коэффициенты трения первого
тела относительно второго ⑷ и второго относительно стола 从2 известны. Какова должна быть масса тела 3, чтобы тело / скользило относительно тела 2?
На наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом, лежат две доски, одна на другой, как показано на рисунке. Можно ли подобрать такие значения масс досок mi и д, коэффициентов трения досок о плоскость 从i и друг о друга 从2, чтобы нижняя доска выскользнула из-под верхней? В начальный момент доски покоятся.
Показанная на рисунке система находится в равновесии. Коэффициент трения покоя между бруском массой М и поверхностью наклонной плоскости 从=0,4. Угол наклона клина а = 30°. Масса груза М = 4 кг.
В каких пределах может меняться масса т?
Какова сила трения, если m = 1 кг?
К задаче 2.59К задаче 2.60К задаче 2.59К задаче 2.60
К задаче 2.59К задаче 2.60
К задаче 2.59К задаче 2.60
Два тела с массами mi и m2, соединенные невесомой нерастяжимой нитью, расположены на наклонной плоскости, как показано на рисунке. Определить ускорения тел и натяжение нити, если коэффициенты трения тел о поверхность наклонной плоскости равны 〃i п 〃2・ Массой блока и трением в нем пренебречь.
Стержень, на который надет шарик, образует угол а с вертикалью и вращается с угловой скоростью s вокруг вер-
тикальной оси. В каком месте стержня находится шарик, если известно, что он неподвижен относительно стержня, его масса равна т, а действующая на него сила трения равна F?
Наклонная плоскость, составляющая угол а с гори
зонтом, движется горизонтально с ускорением а в направлении,
указанном на рисунке. При каком значении ускорения а брусок будет покоиться относительно плоскости, если коэффициент трения бруска о наклонную плоскость равен 从？
Склон горы образует угол а с горизонтом. Под каким углом О следует тянуть за веревку, чтобы
равномерно втаскивать санки с наименьшим усилием? Какова должна быть величина этой силы?
Склон горы образует угол а с горизонтом. Какова
минимальная сила, позволяющая втаскивать санки в гору с постоянным заданным ускорением а? Под каким углом 户 должна быть направлена эта сила?
Масса бруска m в системе, показанной на рисунке, равна 10 кг, масса подставки М = 5 кг. Коэффициент трения покоя между бруском и подставкой равен 从i = 0,4, а трения
К задаче 2.65
скольжения —从2 = 0,3. Трение между подставкой и поверхностью стола отсутствует.
При какой наибольшей силе /ах брусок не будет скользить относительно подставки?
Каково при этом ускорение подставки?
Каковы ускорения тел ам и ат при F > /ах?
Скользящие с горы сани прошли путь S вдоль склона за время t. Как увеличилась при этом скорость саней, если коэффициент трения равен 从，а угол наклона горы равен а?
Мальчик раскручивает тяжелый шар на струне длины Z = 1 м так, что шар движется по окружности в горизонтальной плоскости. Сколько оборотов в минуту должен совершить шар, чтобы центростремительное ускорение, направленное к центру окружности, равнялось по величине g?
Велосипедист едет по горизонтальной дороге с закруглением радиусом 7? = 20 м, наклоняясь при этом на а = 15° от вертикали.
Какова его скорость V?
Если сила трения имеет при этом максимальное возможное значение, то каков коэффициент трения покоя 从？
Мотоциклист, двигаясь по треку с углом наклона а = =30°, описывает дугу радиусом 7? = 90 м, причем коэффициент трения равен 从=0,4.
С какой максимальной скоростью может ехать мотоциклист?
Каким должен быть угол наклона трека cq, чтобы скорость мотоциклиста могла быть сколь угодно большой?
Профиль дороги на закруглении радиусом 7? = 30 м таков, что автомобиль, движущийся со скоростью V = 40 км/ч, может уверенно поворачивать даже при гололеде, когда трение пренебрежимо мало. Определите границы скорости, при которой автомобиль может пройти этот поворот без заноса при коэффициенте трения 从=0,3.
Горизонтальная подставка с лежащей на ней монетой движется поступательно в горизонтальной плоскости по окружности радиуса г с угловой скоростью s. Коэффициент трения равен 从.Каким будет установившееся движение монеты?
§ 7. Тяготение
На какой высоте ускорение силы тяжести вдвое меньше его значения на поверхности Земли?
Тело массой m подвешено к динамометру на широте 仇 Какой угол образует ось пружины с направлением на центр Земли? Каково показание динамометра? Радиус Земли равен R, а период ее вращения вокруг своей оси Т.
Тело на экваторе Земли взвешивается в полночь, когда силы притяжения Земли и Солнца направлены в одну сторону, и в полдень, когда они противоположны.
Какой вес будет больше в предположении, что неоднородностью гравитационного поля Солнца вблизи Земли можно пренебречь?
Как повлияет на ответ учет неоднородности поля Солнца?
Найдите ускорение свободного падения на поверхности Солнца, если продолжительность года на Земле равна Г, радиус земной орбиты равен R, а угол, под которым виден диаметр Солнца с Земли, равен а.
Определить массу Земли, если известно, что искусственный спутник, запущенный на высоту 1000 км, имеет период обращения 106 мин. Радиус Земли 6400 км.
Планета представляет собой однородный шар с плотностью р. Каков период Г обращения искусственного спутника, движущегося вблизи ее поверхности?
Земля обращается вокруг Солнца по почти круговой орбите, радиус которой равен 1,5 • 108 км. Найдите линейную скорость Земли на орбите и массу Солнца.
Определите радиус круговой орбиты спутника Земли, лежащей в экваториальной плоскости, если спутник висит неподвижно над определенной точкой экватора. Продолжительность суток примите равной 8,616 • 104 с.
Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите, радиус которой в два раза больше радиуса Земли R, равного 6,38 • 106 м. Каков период обращения спутника, если масса Земли равна М = 5,98 • 1024 кг.
На экваторе планеты тела весят вдвое меньше, чем на полюсе. Период обращения планеты вокруг своей оси равен Т. Какова плотность вещества планеты р, если ее можно считать однородным шаром?
У спутника, который должен был неподвижно висеть над определенной точкой на экваторе Земли, радиус орбиты оказался на 1 км больше требуемого. С какой скоростью и в каком направлении будет двигаться спутник относительно этой точки?
Согласно закону Хаббла, скорость удаления любой галактики пропорциональна расстоянию до нее: V = HR, где Н — постоянная Хаббла. Опираясь на этот закон, предложите оценку для критической плотности вещества во Вселенной.
Поясните смысл закона Хаббла: галактики разбегаются, причем скорость удаления любой из них пропорциональна расстоянию до нее. Относительно чего, или какой из галактик измеряется эта скорость?
Критическая плотность вещества во Вселенной по оценкам составляет величину 6 • 10-27 кг/м3. При меньшей плотности Вселенная будет неограниченно расширяться. При большей плотности расширение Вселенной должно смениться ее сжатием.
При какой концентрации электронов пе будет достигнута критическая плотность?
При какой концентрации протонов пр достигается критическая плотность?
Согласно астрономическим наблюдениям средняя плотность вещества во Вселенной равна 2 • 10-28 кг/м3. Каков будет радиус шара, содержащего 100 кг такого вещества?
Радиус Солнца R = 6,96 • 108 м и оно вращается вокруг своей оси, совершая один оборот за 7()= 25,3 сут. Каков будет период вращения Т, если Солнце без потери массы сколлапсиру- ет в нейтронную звезду радиусом г = 5 км.
В сплошном свинцовом шаре радиусом R сделана сферическая полость вдвое меньшего радиуса, центр которой расположен посередине между центром шара и его поверхностью. Масса свинцового шара до изготовления полости была равна М.
С какой силой F будет притягивать этот шар маленький шарик массой т, находящийся на расстоянии L от центра свинцового шара, если он расположен на прямой, проходящей через центры шара и сферической полости в нем, ближе к центру полости?
С какой силой /1 будут притягиваться два шара с полостями, если центры полостей и шаров расположены на одной прямой, а расстояние между центрами и шаров и полостей равно г > 27??
С какой силой 为 будут притягиваться шары с полостями, если расстояние между их центрами равно г > 2R, а между центрами полостей г — Ю
С какой силой /з будут притягиваться шары с полостями, если расстояние между их центрами равно г > 27?, а между центрами полостей г + А?
Определите величину и направление напряженности гравитационного поля внутри сферической полости в однородном шаре с плотностью р и радиусом R, если радиус полости равен 7?/2, а ее центр лежит на расстоянии R/2 от центра шара. Покажите, что гравитационное поле в произвольной полости внутри однородного шара однородно и определяется расстоянием между центрами шара и полости.
Две звезды с массами mi и т? движутся так, что расстояние между их центрами остается неизменным и равно I. Определить характер движения этих звезд (траекторию, скорость, ускорение), пренебрегая их взаимодействием с другими небесными телами.
§ 8. Силы упругости
Паук массой m = 1 г висит на нити паутины диаметром d = 25 • 10-6 м, модуль Юнга которой равен 石口 = 4,5 • 109 Н/м2.
Каким должен быть диаметр алюминиевой проволоки 山，чтобы висящий на ней груз массой М = 95 кг вызывал такую же относительную деформацию, как у нити паутины?
Некоторая сила F растягивает проволоку круглого поперечного сечения на величину △/. Проволоку расплавляют, а затем изготавливают из расплава новую проволоку круглого сечения вдвое короче прежней. Какова потребуется сила Fi, чтобы растянуть эту проволоку на ту же величину AZ?
Альпинист массой m = 82 кг повис на нейлоновой веревке диаметром d = 8 мм. Веревка вытянулась при этом на △/ = =0,1 м. Какова была первоначальная длина I веревки? Модуль Юнга нейлона 3,7 • 109 Н/м2.
На сколько вытягивается железный стержень длиной I и поперечным сечением S, подвешенный вертикально за один из его концов, под действием собственного веса? Как при этом изменяется его объем?
Стальной канат, который может выдержать вес кабины неподвижного лифта, имеет диаметр 9 мм. Какой диаметр должен иметь канат, если кабина лифта может иметь ускорение в 8g?
К бруску, лежащему на горизонтальном гладком столе, прикреплена пружина жесткости 舟，к которой в свою очередь прикреплена пружина жесткости 后，как показано на рисунке.
Когда пружины находятся в недеформированном состоянии, х- координата бруска равна xq. Какая сила действует на брусок со стороны пружин, когда он находится в точке с координатой 力？ Какова будет сила, если пружины соединены параллельно?
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
§ 9. Импульс. Центр масс
Человек, находящийся в неподвижной байдарке, бросает камень массой 5 кг со скоростью 8 м/с под углом 30° к горизонту. Совместная масса человека и байдарки составляет 105 кг. Пренебрегая влиянием воды, определите горизонтальную скорость, приобретаемую при этом байдаркой.
Человек массой 50 кг выпрыгивает из неподвижной лодки массой 250 кг со скоростью 7,5 м/с. Какую скорость при этом приобретает лодка?
Автомобиль массой 1,5 т движется в направлении на запад со скоростью 20 м/с, а грузовик массой 3 т — на восток со скоростью 16 м/с. С какой скоростью движется центр масс этой системы?
Две лодки массой М = 100 кг каждая идут параллельным курсом навстречу друг другу с одинаковой скоростью Vq = =5 м/с. Когда лодки встречаются, из первой во вторую перебрасывают груз массой m = 25 кг, а затем из второй лодки в первую перебрасывают такой же груз. В другой раз грузы перебрасывают одновременно. Определить скорость лодок после перебрасывания грузов в первом и во втором случаях.
Пуля массой т, движущаяся со скоростью V под углом а к вертикали, попадает в брусок массой М, стоящий на горизонтальном столе, по которому он может скользить с трением, причем коэффициент трения равен 从.Пуля почти мгновенно застревает в бруске. При каком условии брусок сдвигается с места? Сколько времени он будет двигаться?
Снаряд разделяется на две одинаковые части в высшей точке траектории полета, при этом одна часть падет на землю точно под точкой разделения через время в к раз меньшее, чем время от момента выстрела до взрыва снаряда. Во сколько раз изменится расстояние, пройденное по горизонтали второй частью, по сравнению с расстоянием, которое прошел бы неразо- рвавшийся снаряд?
Два человека с массами 70 кг и 35 кг стоят на коньках на льду, трением о который можно пренебречь. Затем они отталкиваются друг от друга так, что человек с большей массой
начинает скользить со скоростью 0,3 м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся спустя 5 с?
Скорость футбольного мяча массой m = 0,43 кг после удара равна V = 25 м/с. С какой силой F действует на мяч нога футболиста, если удар длится At = 0,008 с?
В двигателе мощной ракеты сгорает 200 кг топлива в секунду, и газы вырываются из сопла со скоростью 6 км/с. Какую силу тяги развивает ракета?
Ваза падает на гладкий пол и разбивается на три осколка равной массы. Два осколка отлетают под прямым углом друг к другу с одинаковыми скоростями V. С какой скоростью и в каком направлении отлетает третий осколок?
§ 10. Работа, мощность, кинетическая энергия
Камень массой m = 5 кг упал с некоторой высоты. Найти кинетическую энергию камня в средней точке его пути Ек, если падение продолжалось 方=2 с.
Автомобиль массой М = 1100 кг трогается с места и разгоняется по горизонтальной дороге с ускорением а = 4,6 м/с2 в течение времени 力=5 с. Определите среднюю мощность N, развиваемую мотором автомобиля при этом движении. Предложите разные способы решения задачи.
Груз массой т = 300 кг поднимается с постоянной скоростью на высоту 九=10 м. При этом подъемный кран развивает постоянную мощность N = 400 Вт. Сколько времени t займет подъем груза?
Мотор поднимает груз весом Р = 800 Н на высоту 九=10 м за время t = 3 с. Какую минимальную мощность N должен развивать мотор?
Модель ракеты массой m = 3 кг запускают вертикально вверх и она достигает высоты h = 100 м, несмотря на то, что действующая на нее сила сопротивления воздуха совершает работу, равную по модулю А = 800 Дж. Какой высоты 九i достигла бы эта ракета в отсутствие силы сопротивления воздуха?
Два автомобиля движутся по прямой в одном и том же направлении. Первый автомобиль имеет вчетверо больший импульс и вдвое больше кинетическую энергию, чем второй автомобиль. Определите отношение масс автомобилей и отношение их скоростей.
Тело массой 4 кг, находящееся в покое, под действием вертикальной силы, равной 60 Н, поднимается на высоту 3 м.
Какова работа приложенной силы?
Какова работа силы тяжести?
Какова скорость тела в конце подъема?
Две пружины с коэффициентами жесткости к\ и к? соединены между собой. Какую работу необходимо совершить, чтобы общая длина соединенных пружин увеличилась на Е?
Камень весом m = 0,5 кг, закрепленный на конце стержня длиною I = 50 см, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Натяжение стержня в низшей точке окружности Г = 44 Н. На какую высоту h поднимается камень, если он срывается в тот момент, когда его скорость направлена вертикально вверх?
Две одинаковые по массе машины могут развивать скорости Vi и V2 соответственно. Какую скорость V они смогут развить, если их соединить тросом, при условии, что трение пропорционально скорости?
Горизонтальная сила F = 25 Н действует на брусок массой m = 4 кг, неподвижно лежащий на горизонтальном столе. Какую скорость V приобретет брусок, пройдя путь s = 3 м, если коэффициент трения равен 从=0,35?
Под действием постоянной силы 3 Н брусок движется равномерно по горизонтальной поверхности. Сила развивает мощность 5 Вт.
Какую работу совершает сила на пути 5 м?
Какова скорость бруска?
На гладкой горизонтальной поверхности лежит длинный брусок массой М. На кубик массой т, лежащий на бруске, в течение времени t действует горизонтальная сила F. Коэффициент трения между бруском и кубиком равен 从.Какой путь S пройдет кубик по поверхности бруска?
Масса санок равна 5 кг. Мальчик тянет санки за веревку, образующую угол 30° с горизонтом, с силой 12 Н. Пренебрегая трением, найдите работу, совершенную действующей силой, и скорость санок в конце перемещения на 3 м по горизонтали. Начальная скорость санок равна нулю.
Груз массой т равномерно поднимают по наклонной плоскости на высоту h, совершая работу А. Затем груз начинает скользить вниз. Какую скорость V он наберет, дойдя до исходной точки?
Во сколько раз следует изменить угловую скорость вращения винта вертолета s и мощность его двигателя Р, чтобы подъемная сила F осталась неизменной при подобном увеличении всех линейных размеров в вертолете в к раз?
§ 11. Закон сохранения энергии
Брусок массой m = 5 кг скользит по горизонтальной поверхности с начальной скоростью V = 4 м/с. Какой путь I пройдет брусок до остановки, если коэффициент трения равен 从=0,14? Решите задачу, используя
законы динамики;
законы сохранения.
Автомобиль массой т = 1500 кг начинает подниматься на холм высотой 九=120 м по дороге длиной S = 2 км, имея у подножия холма скорость V = 24 м/с. На вершине холма скорость автомобиля составляет % = 10 м/с. Пренебрегая потерями на трение и сопротивление воздуха, найдите совершенную мотором работу А и среднюю развиваемую им мощность N.
Автомобиль массой М = 1 т на горизонтальной дороге может двигаться с максимальным ускорением а = 2 м/с2. Каков максимальный уклон холма а, на который может въезжать этот автомобиль, не снижая скорости, если коэффициенты трения покоя на горизонтальной дороге и на уклоне одинаковы, а сила сопротивления движению отсутствует
Лыжник скользит без начальной скорости с холма, возвышающегося на величину Н над центром кругового возвышения пригорка радиусом 7? = 4 M (см. рис.). Пренебрегая трением, определите наибольшее значение Я, при котором лыжник не отрывается от снега на вершине пригорка.
Двум одинаковым телам сообщают одинаковые скорости под некоторым углом к горизонту. Одно тело свободное, другое движется вдоль гладкой спицы. Какое тело поднимется на большую высоту? Во сколько раз?
Мяч, отскочивший от пола, поднимается на высоту, составляющую 80% высоты, с которой он свободно падает.
Какая доля механической энергии теряется при отскоке мяча?
Как связаны скорости после первого (%) и третьего (匕) отскока?
Через сколько отскоков высота подъема мяча уменьшится вдвое?
Санки массой m = 2 кг соскальзывают без трения с ледяной горки высотой 九=3 м. Пройдя по горизонтальной шероховатой поверхности s = 9 м, они останавливаются.
Какова скорость санок V в конце спуска?
Какую работу А совершает сила трения?
Каков коэффициент трения 从 на горизонтальной поверхности?
Подъемник рассчитан на одновременный подъем п = =80 лыжников по 600-метровому склону, образующему угол а = 15。с горизонтом, со скоростью V = 2,5 м/с. Коэффициент трения скольжения лыж о снег равен 从=0,96, а средняя масса лыжника составляет m = 75 кг. Какую мощность должен развивать мотор подъемника?
Шайба соскальзывает без трения по наклонному скату, переходящему в мертвую петлю радиуса R (см. рис.). Оторвется ли она от поверхности или пройдет всю мертвую петлю, если начнет движение с высоты 九？ Если оторвется, то где?
Модель автомобиля совершает мертвую петлю в вертикальной плоскости, двигаясь практически без трения по металлическому желобу (см. рис.) Каким может быть максимальный радиус желоба R при условии, что автомобиль не отрывается от его поверхности ни в одной точке, если ему сообщают начальную скорость % = 4 м/с?
С какой начальной скоростью % нужно пустить скользить небольшое тело с высшей точки поверхности цилиндра радиуса R, чтобы оно оторвалось от цилиндра в заданном месте? Трением пренебречь.
Шарик, подвешенный на нити, отклоняют в горизонтальное положение и отпускают без толчка. Нить выдерживает
натяжение, превышающее действующую на шарик силу тяжести
в п раз.
Порвется ли нить при движении шарика к положению равновесия?
Если да, то при каком угле нити с вертикалью а?
Тело массой m = 200 г подвешено на нити длиной I = =80 см. Его отклонили от положения равновесия до высоты точки подвеса и отпустили, в результате чего нить оборвалась. На какой высоте h находилось тело в момент разрыва нити, если она разрывается под действием силы Г = 4 Н?
Шарик, висящий на нити длиной I, отводят в сторону так, что нить составляет угол 户 с вертикалью, и отпускают без
толчка.
Каково натяжение нити при прохождении шариком положения равновесия?
Покажите, что эта сила больше натяжения нити при неподвижно висящем шарике на величину 2Ек/1, где Ек — кинетическая энергия шарика.
Маленький шарик подвешен на невесомой нерастяжимой нити. В начальный момент времени нить составляет угол 夕о
с вертикалью, а скорость шарика равна нулю.
Какой угол составляет нить с вертикалью в тот момент,
когда вертикальная составляющая скорости шарика максимальна?
Какой угол с вертикалью образует нить в тот момент, когда ускорение шарика направлено по горизонтали?
Груз, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости. При каком угле отклонения а полное ускорение гру
за в крайнем положении равно полному ускорению при про
хождении положения равновесия?
Шарик висит на нити длиной I. Нить отводят в сторону на угол 户 от вертикали и отпускают без толчка. На какой угол а отклонится от вертикали нить после прохождения равновесия, если на расстоянии / —厶 по вертикали под точкой подвеса в стенку вбит гвоздь, вокруг которого закручивается нить?
Через два маленьких неподвижных блока, оси которых горизонтальны и находятся на одной вы-
соте на расстоянии I друг от друга, перекинута невесомая нерастяжимая нить. К концам и к середине нити привязаны три одинаковых груза (см. рис.). Средний груз поднимают так, чтобы нить была горизонтальна, а сам груз находился посередине между блоками, и отпускают. Определить скорости среднего груза о и крайних грузов v\ в тот момент, когда части нити образуют между собой угол а, считая, что средний груз движется по вертикали. На какое максимальное расстояние Н опустится средний груз? Трением и массой блоков пренебречь.
Система, показанная на рисунке, находится в равновесии. С какой силой F нужно подействовать сверху на брусок
К задаче 3.45К задаче 3.45массой 加2, чтобы после отпускания пружины брусок массой mi подпрыгнул от подставки вверх?
К задаче 3.45
К задаче 3.45
Два бруска одинаковой массы m соединены пружиной с коэффициентом жесткости к и пренебрежимо малой массой. Находящуюся в недеформированном состоянии пружину сжимают на некоторую величину △/, сближая бруски; в таком положении систему ставят на горизон-
тальный стол так, что ось пружины вертикальна. Найдите △/, если после освобождения пружины система подпрыгнула со сто
ла вверх.
На горизонтальной плоскости лежат два бруска с массами m и М, соединенные ненапряженной пружиной. Коэффициент трения брусков о плоскость равен 从.Какую наименьшую
постоянную горизонтальную силу нужно приложить к одному из
брусков, чтобы сдвинуть и другой?
Тело массой т бросают горизонтально, сообщив ему полную энергию Е =h mgh = Eq, которая складывается из
кинетической энергии и потенциальной энергии в поле тяжести
Земли. На какой высоте h следует бросить тело, чтобы его дальность полета по горизонтали была максимальной? Чему равна эта максимальная дальность?
Планета обращается вокруг звезды под действием гравитационной силы по круговой орбите. Как связаны между собой кинетическая Ек и потенциальная 石口 энергии планеты в поле тяготения звезды? Как связана с кинетической и потенциальной энергиями полная энергия Е планеты?
Сколько времени (t) падала бы Земля на Солнце, если бы она мгновенно остановилась?
Космический корабль начинает падать на Землю без начальной скорости из удаленной точки. В каком месте его траектории следует повернуть скорость корабля на 90° без изменения ее модуля, чтобы корабль стал двигаться по круговой орбите?
Система состоит из трех частиц. Покажите, что потенциальная энергия их взаимодействия может быть записана в виде
U = + 加2m3 +〈门2 『23 门3 /
где 厂泳 — расстояние между "宓 и к-й частицами.
Как изменится третий закон Кеплера, если не пренебрегать движением Солнца в результате его гравитационного взаимодействия с планетой массой т? Массу Солнца считать конечной и равной М.
Спутник имел тангенциальную скорость Vi = =10,39 км/с, находясь в перигее на высоте 九i = 457 км над поверхностью Земли. Какова его высота h? в апогее?
Выяснить, являются ли кольца Сатурна сплошным образованием или скоплением мелких спутников Сатурна, можно, определив, какой край кольца, внутренний или внешний, движется быстрее. Сформулируйте ответ, опираясь на данные наблюдений о соответствующих скоростях.
При извержении вулкана в воздух на высоту 500 м выбрасывается 4 км3 породы с плотностью 1600 кг/м3.
Какая энергия выделяется при этом?
Дайте ответ в мегатоннах тринитротолуола, в которых обычно измеряется энергия взрывов (1 Мт ТНТ = 4,2 • 1015 Дж).
В водопаде Виктория, где перепад высот составляет 100 м, расход воды составляет 1,4 • 106 кг/с. Если бы всю потенциальную энергию воды можно было превратить в электрическую энергию, какова была бы мощность электростанции?
Как подобрать лук для стрельбы, чтобы дальность полета стрелы была наибольшей?
Мальчик бросает мяч массой 150 г вертикально вверх на высоту 7 м. Оцените силу, с которой он действует на мяч при броске, и время действия этой силы.
Частица движется по окружности радиуса R таким образом, что ее кинетическая энергия растет пропорционально квадрату пройденного пути S: Е = cS2. Каково значение модуля действующей на частицу силы как функции S?
§ 12. Законы сохранения энергии и импульса
Пуля массой 0,01 кг, летящая горизонтально со скоростью 400 м/с, попадает в неподвижный брусок массой 0,39 кг, который может скользить без трения по горизонтальной поверхности, и застревает в нем.
С какой скоростью движется брусок с застрявшей в нем пулей?
Как изменяется механическая энергия системы при этом явлении?
Пуля массой mi = 10 г, летевшая горизонтально со скоростью V = 600 м/с, попала в подвешенный на длинной нити деревянный брусок массой т? = 0,5 кг и застряла в нем, углубившись на 5 = 10 см. На какую глубину & вошла бы пуля в тот же закрепленный брусок?
Пуля массой m = 16 г попадает в тяжелый висящий на нити шар массой М = 1,5 кг и застревает в нем. В результате нить отклоняется на угол а = 60° от вертикали. Какую скорость имела пуля, если длина нити составляет I = 2,3 м?
Пуля массой mi, летящая горизонтально со скоростью Vi, попадает в шар массой m2, висящий на нити, и пробивает его насквозь. В результате скорость пули уменьшается вдвое. На какую высоту h поднимется пробитый шар в результате отклонения нити от вертикали?
Четырехкилограммовый брусок движется со скоростью 6 м/с и догоняет двухкилограммовый брусок, движущийся со скоростью 3 м/с в том же направлении. Определите скорости брусков после столкновения при
абсолютно неупругом столкновении;
абсолютно упругом столкновении.
Два шара, подвешенные на тонких параллельных нитях, касаются друг друга. Меньший шар отводят на 90° от первоначального положения и отпускают. После удара шары поднимаются на одинаковую высоту. Определить массу меньшего шара mi, если масса большего g = 0,6 кг, а удар абсолютно упругий.
В пробирке массой М, закрытой пробкой массой т, находится капля эфира. При нагревании пробирки пробка вылетает под давлением паров эфира. Пробирка подвешена таким образом, что может совершать обороты вокруг горизонтальной оси. С какой минимальной скоростью о должна вылететь пробка, чтобы пробирка сделала полный оборот вокруг точки подвеса в случаях:
пробирка подвешена на невесомом стержне длиной /;
пробирка подвешена на невесомой нити такой же длины?
Два вагона массами m = 20 т, двигавшиеся навстречу друг другу со скоростями V = 2 м/с, сталкиваются. Определить сжатие пружины х буферов вагонов, если под действием силы 4 • 104 Н пружина сжимается на 1 см. Считать сжатие пружины пропорциональным силе.
Человек стоит на неподвижной тележке, которая может двигаться без трения, и бросает горизонтально камень массой m = 8 кг со скоростью V = 5 м/с. Определить, какую работу А при этом совершает человек, если масса тележки вместе с человеком составляет М = 160 кг. Проанализировать зависимость величины работы от массы тележки.
Стальная пуля массой т, имеющая скорость V, пробивает подвешенный на тонкой нити свинцовый шар массой М, в результате чего скорость пули уменьшается вдвое. Какая часть кинетической энергии пули пошла на нагревание? При каком условии эта часть будет меньше 0,05?
Движущийся шар массой т упруго сталкивается с неподвижным шаром массой М и после удара движется в противоположном направлении. Во сколько раз изменилась энергия этого шара?
Шарик, висящий на нити длиной I, отклонили на некоторый угол от вертикали и отпустили. При возвращения шарика к положению равновесия происходит упругий удар шарика о стержень длиной L > I, подвешенный в той же точке, что и нить с шариком
(см. рис.). Какой должна быть длина нити,\/
чтобы шарик после удара остановился, если _м
масса стержня М, а шарика т?^т
Из горизонтально расположенной ' трубки вылетают шарики и, опустившись на 口 h = 0,5 м вниз, ударяются о чашку весов и, к задаче 3,72
К задаче 3.73
отскочив, поднимаются на ту же высоту h. Какой груз лежит на другой чашке весов, которые находятся в равновесии (см. рис.),
если масса шарика т = 0,5 г, а за t = 1 с из трубки вылетает п = 100 шариков.
Песочные часы уравновешены на рычажных весах (см. рис.). Нарушится ли равновесие весов, если часы перевернуть?
К задаче 3.74
В кузов самосвала насыпают песок, сбрасывая его без начальной скорости с высоты 九=2 м. На сколько показания весов, на которых стоит самосвал, превышают вес самосвала и уже находящегося в кузове песка, если песок наполняет кузов равномерно в количестве Ат = 50 кг в секунду?
Мяч массой 5 кг, движущийся со скоростью 8 м/с, попадает в грудь неподвижному человеку массой 85 кг и отскакивает назад со скоростью 2 м/с.
Какую скорость приобретает человек?
Упругое ли это соударение?
Шар, движущийся с некоторой скоростью, налетает на такой же неподвижный шар и при этом изменяет направление скорости. Под каким углом друг к другу направлены скорости шаров в результате упругого соударения?
Покажите, что при упругом столкновении двух шаров с одинаковой массой, когда вначале один из них неподвижен, этот шар приобретает кинетическую энергию, равную Eq sin2 i?, где Ео — энергия налетающего шара, а 户一угол, на который он отклонятся от первоначальной траектории.
Шар массой mi, движущийся со скоростью 吒，налетает на неподвижный шар массой т?, так что в результате оба шара движутся в том же направлении.
Определите скорость второго шара 匕 при упругом соударении
Какова скорость второго шара в случае, когда g « 加1?
Свинцовая пуля массой т, летящая со скоростью V, попадает в первоначально покоящийся свинцовый шар массой М и застревает в нем (удар лобовой). При каком отношении между массами пули и шара они нагреваются до наибольшей температуры?
Пуля налетает на неподвижный шар по линии, проходящей через его центр. Свойства пули и шара подобраны таким образом, чтобы на опыте были возможны три исхода: а） пуля пробивает шар насквозь, не меняя его массы; б） застревает в шаре; в） отскакивает от шара назад.
Определить, что именно наблюдалось на опыте, в котором скорость пули при ударе уменьшилась вдвое по модулю, а отношение выделившегося тепла к первоначальной кинетической энергии равно （3.
Две пули, имеющие разные массы, но одинаковые импульсы, попадают в одинаковые неподвижные шары. Первая пуля пробивает шар насквозь. Вторая пуля, масса которой в 6 раз меньше массы шара, застревает в нем. После попадания пуль шары движутся с одинаковыми скоростями. Во сколько раз уменьшилась скорость первой пули после вылета из шара? При каком условии в первом шаре выделится в 3 раза больше тепла, чем во втором? При каком условии во втором шаре выделится больше тепла, чем в первом?
На гладком горизонтальном столе лежат два бруска массой mi и 加2 （加2 < 加1）, соединенные невесомой пружиной жесткости к, находящейся в недеформированном состоянии. На брусок массы mi налетает шар массы m < mi, движущийся горизонтально со скоростью v. Определить наименьшую скорость бруска массы mi при его дальнейшем движении （。加）и наибольшее сжатие пружины （力°）, если столкновение бруска с шаром абсолютно упруго и происходит мгновенно.
В некоторой инерциальной системе отсчета шар массой т движется со скоростью V вдоль оси х, упруго сталкивается с таким же неподвижным шаром и отскакивает под углом а к оси х. Под каким углом к оси х будет двигаться этот шар после столкновения в системе отсчета, связанной с центром инерции шаров?
Неподвижное атомное ядро распадается на два осколка с массами mi и 加2, кинетическая энергия которых равна Е. Определить скорости осколков v\ и
При разрыве снаряда, летящего со скоростью о = =800 м/с, образовалось три осколка с равными массами m = =20 кг. Суммарная кинетическая энергия всех осколков Г = =2,9 • 107 Дж. Какую наибольшую скорость V может приобрести один из осколков? Вращением осколков пренебречь.
На перекрестке происходит столкновение автомобиля массой mi = 1,5 т, движущегося со скоростью % = 70 км/ч, с автомобилем массой т? = 2000 кг, движущимся со скоростью
匕=55 км/ч в перпендикулярном направлении. В результате столкновения деформированные машины зацепляются и движутся вместе. Какова их скорость V сразу после столкновения?
Летящий со скоростью Vi = 10 м/с шар задевает другой такой же шар, находящийся в покое, и в результате отклоняется на угол а = 30° от первоначального направления движения. Считая соударение упругим, найдите скорости обоих шаров V( и 彩 после соударения.
При абсолютно упругом соударении двух шаров, нале
тающих под углом а друг на друга, скорость одного из шаров не изменилась по модулю. Под каким углом 户 шары разлетелись?
Горизонтальный диск вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью si. Момент инерции диска относительно оси вращения равен 厶.На него падает другой диск с
моментом инерциимоментом инерцииК задаче 3.91К задаче 3.91，2 относительно той же оси, вращающийся С угловой скоростью ，2・ Плоскости дисков параллельны, а при соударении они слипаются в одно тело. Какова угловая скорость s получившейся системы? Как изменится полная кинетическая энергия дисков после их слипания?
моментом инерции
моментом инерции
К задаче 3.91
К задаче 3.91
Вертикальный столб высотой h = =5 м, подпиленный у основания, падает на землю. Какова линейная скорость V его верхнего конца в момент удара о землю?
Какая точка столба будет в любой момент падения иметь ту же
скорость, какую имело бы свободно падающее тело на той же высоте?
§ 13. Статика
К бруску привязаны три веревки, натянутые с силами 尸1 = 100 Н, А = 200 Н и F3 = 250 Н. Каковы углы между веревками, если брусок остается в покое?
Труба цилиндрической формы массой т = 200 кг лежит на земле. Какое минимальное усилие F надо приложить, чтобы приподнять трубу за один из ее концов?
Кубический ящик перемещают на некоторое расстояние один раз волоком, а другой — опрокидыванием через ребро (кантованием). При каком значении коэффициента трения скольжения 从 работы по перемещению волоком и кантованием равны?
Какой минимальной силой /т можно опрокинуть через ребро куб, находящийся на горизонтальной плоскости? Каков
должен быть при этом минимальный коэффициент трения куба о плоскость 从？
На горизонтальной поверхности стоит куб. С какой ми
нимальной силой и под каким углом к горизонту надо тянуть куб
К задаче 3.96К задаче 3.96за верхнее ребро, чтобы он опрокинулся без проскальзывания, если коэффициент трения равен 从？ Масса куба т.
К задаче 3.96
К задаче 3.96
На наклонную плоскость поставили высокий прямоугольный параллелепипед, высота которого в три раза больше
стороны квадрата в его поперечном сече
нии. Опрокинется ли брусок или начнет скользить, если коэффициент трения равен 0,4?
Равнобедренный клин с острым углом а забит в щель. При каком значении угла а клин не будет вытолкнут из щели, если коэффициент трения между клином и материалом щели равен 从？
На горизонтальной доске лежит кубик. Каким должен быть коэффициент трения 从 кубика о доску, чтобы доску можно было выдернуть, не опрокинув кубика?
Колесо радиусом R и массой т стоит, прислонившись к ступеньке высотой h (см. рис.). Какую наименьшую силу надо приложить к оси колеса, чтобы оно могло подняться на ступеньку? Под каким углом к горизонту она должна действовать?
К задаче 3.100К задаче 3.100
К задаче 3.100
К задаче 3.100
К гладкой вертикальной стене на нити длины I подвешен однородный шар массы т (см. рис.) Какова сила натяжения нити, если радиус шара равен А?
Как направлена сила реакции опоры, если мачта удерживается в вертикальном положении двумя оттяжками, как показано на рисунке? Можно ли однозначно определить величину этой силы?
При каком наименьшем значении
К задаче 3.102 коэффициента трения 从 между стенкой и ша-
ром (см. рис.) точка подвеса шара и его центр будут находиться на одной вертикали?
К задаче 3.103 К задаче 3.105
Однородный шар радиусом R висит на веревке, касаясь вертикальной стены. Привязанная к стене веревка образует со стеной угол а, а ее продолжение внутрь шара пересекает диаметр шара, проведенный через точку касания шара со стеной, на расстоянии R/2 от центра шара. При каком минимальном коэффициенте трения шара о стену возможно равновесие системы?
К вертикальной плоскости прислонен кубик, удерживаемый за ребро веревкой (см. рис.). При каких значениях угла а кубик находится в равновесии, если коэффициент трения кубика о плоскость равен 〃?.
Однородная балка массой m и длиной I лежит на двух опорах горизонтально. На балку действуют заданные силы Fi,... ...,Fn, направленные вертикально вниз. Точки приложения сил известны. Определить силы давления балки на опоры (см. рис.).
На стержне с пренебрежимо малой массой укреплены ng шаров с последовательно возрастающими массами от m до пдш, где т = 1 кг, так, что их центры находятся на равном
расстоянии I друг от друга. В каком месте нужно подпереть стержень, чтобы система была в равновесии?
Однородная тонкая пластинка имеет форму круга, в котором вырезано круглое отверстие вдвое меньшего радиуса, касающееся края пластинки. Найти положение центра масс пла
стинки.
Где находится центр масс однородного проволочного полукольца?
В цилиндрический стакан наливают воду. При каком уровне воды центр масс стакана с водой занимает наинизшее положение?
Однородная доска находится в равновесии в прямом двугранном угле с гладкими стенками. На рисунке показано
сечение этого угла плоскостью, перпендикулярной ребру. Как расположена доска? Устойчиво ли ее равновесие?
Однородный стержень длиной I, находящейся в вертикальной плоскости, опирается о горизонтальный пол и о ступеньку. Коэффициент трения стержня о пол 从=1, трение между стержнем и ступенькой отсутствует. При какой высо
те ступеньки h стержень может находиться в равновесии, образуя с полом угол а = 45°?
Какой наибольший угол с вертикалью может образо
вать прислоненная к вертикальной стене лестница, центр масс которой находится на середине ее длины? Коэффициент трения
лестницы о пол до, о стену —从2・
Длинный шест постоянного сечения, сделанный из однородного материала, прислонен к стене так, что он образует угол а с горизонтом. Найти соотношение между коэффициентами трения шеста о пол и стену, при котором возможно равновесие шеста.
Однородная лестница прислонена к вертикальной стене. Заданы коэффициенты трения лестницы о пол и о вертикальную стену. Лестница стоит в таком положении, когда малейшее увеличение угла, образуемого лестницей со стенкой, приведет к ее падению. Упадет ли лестница, если человек встанет на ее нижнюю ступеньку? На верхнюю ступеньку?
Лестница прислонена к вертикальной стене и образует угол а = 60° с горизонтальным полом. На какое максимальное расстояние d вдоль лестницы может подняться человек так, что-
бы лестница не заскользила по полу? Масса человека М = 80 кг, масса лестницы m = 10 кг, длина Z = 5 м. Коэффициент трения лестницы о пол 从=0,4, трение между лестницей и вертикальной стеной отсутствует.
Лестница прислонена к наклонной стене, образующей угол 0 с вертикалью (см. рис.). При каком коэффициенте трения лестницы о стенку возможно равновесие даже в том случае, когда пол идеально гладкий.
К задаче 3.118К задаче 3.118Однородная цепочка массой т подвешена к потолку за концы так, что в точках подвеса она образует с горизонталью угол а (см. рис.). Определите силу натяжения цепочки в ее нижней точке Т и в точках подвеса Г.
К задаче 3.118
К задаче 3.118
сомых нерастяжимыхсомых нерастяжимыхК задаче 3.119К задаче 3.119оборачивают несколькооборачивают несколько
сомых нерастяжимых
сомых нерастяжимых
К задаче 3.119
К задаче 3.119
оборачивают несколько
оборачивают несколько
3.119. Груз массы3.119. Груз массыm висит на подвесе, собранном из неве-
3.119. Груз массы
3.119. Груз массы
нитей (см. рис.). Какую силу F нужно
приложить в точке О, чтобы система находилась в равновесии, а модуль силы F был минимально возможным?
При причаливании к пристани можно остановить движение даже большого судна, не прилагая для этого больших усилий. Брошенный с парохода на пристань канат
раз вокруг тумбы, и тогда оказывает
ся достаточно приложить к свободному концу каната совсем небольшое усилие, чтобы проскальзывающий по тумбе канат остановил и удержал большой корабль. Рассчитать, во сколько раз действующая на корабль со стороны каната сила превосходит приложенное к свободному концу каната усилие, если канат трижды обернут вокруг тумбы, а коэффициент трения каната о тумбу равен 从.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Груз массой т подвешен на пружине жесткости к с пренебрежимо малой массой. Можно ли, не составляя и не решая уравнения движения груза, определить зависимость периода наблюдаемых экспериментально колебаний от массы груза и жесткости пружины?
От груза, неподвижно висящего на пружине с жесткостью к, отрывается часть массы т. На какую высоту поднимется при этом оставшаяся часть груза?
Две пружины с коэффициентом жесткости к\ и к^ соединены последовательно и подвешены вертикально. К концу нижней пружины прикреплен груз массой т. Определите период колебаний груза.
На жестком невесомом стержне длиной I, стоящем вертикально, находится маленький шарик массой т. Нижний конец стержня может поворачиваться вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа, а к середине J стержня прикреплена пружина с коэффициентом С 卜 жесткости к (см. рис.). Определите частоту малых [Цдддд^ i колебаний системы. При каком условии колебания >|
возможны?:1
Компьютеры, используемые в космических
кораблях, должны выдерживать движение с уско- К задаче 4.4 рением в 25g. Во время их испытаний компьютеры
крепятся к раме, которая совершает гармонические колебания с частотой г/ = 9,5 Гц. Какова должна быть минимальная амплитуда колебаний А при испытаниях?
Шарик радиусом г катается по дну сферической чашки радиусом R. Предполагая эти колебания малыми, определите их период.
Период колебаний маятника на поверхности Луны в 2,46 раз больше его периода колебаний на Земле. Каков радиус Луны, если ее масса в 81 раз меньше массы Земли?
Определите, на сколько отстанут за сутки маятниковые часы, если их поднять на высоту 5 км над поверхностью Земли.
На какую часть надо уменьшить длину математического маятника 办，чтобы период колебаний на высоте 九=10 км был таким же, как на поверхности Земли?
Старинные часы с длиной маятника 厶=1 м показывают точное время, когда gi = 9,83 м/с2. Какой нужно сделать
длину маятника %, если часы перевезли туда, где g2 = 9,78 м/с2, чтобы они по-прежнему показывали точное время?
Лифт опускается с постоянной скоростью, когда неожиданно мгновенно останавливается барабан, на который намотан трос. Опишите поведение кабины лифта. Как будет меняться сила натяжения троса?
На ракете, взлетающей вертикально вверх с постоянным ускорением а, имеются маятниковые часы. Какой промежуток времени Т по этим часам пройдет от момента старта ракеты до падения на Землю, если ее двигатель работал в течение времени t по часам на Земле?
Математический маятник длиной I подвешен в вагоне. Каким будет период колебаний маятника, если:
вагон свободно скатывается по наклонному пути с углом наклона а?
вагон движется по этому уклону с заданным ускорением а, направленным вверх?
Брусок массой М = 1,25 кг лежит на горизонтальном столе, по которому он может скользить без трения. К бруску прикрепляется горизонтально расположенная пружина, другой конец которой крепится к стене. Пружина находится в недефор- мированном состоянии, а ее коэффициент жесткости составляет к = 425 Н/м. На брусок налетает шар массой m = 0,25 кг, движущийся по горизонтали со скоростью V = 8 м/с, в результате чего пружина оказывается сжатой вдоль своей оси. Считая столкновение шара с бруском абсолютно упругим и длящимся ничтожное время, определите амплитуду возникающих при этом колебаний бруска.
Груз, прикрепленный к вертикальной пружине ничтожной массы, растягивает пружину на длину I. На сколько растянется пружина, если грузу предоставить возможность падать свободно из положения, соответствующего недеформированной пружине? Какой максимальной скорости достигнет при этом груз?
Тело прикрепили к нижнему концу вертикальной пружины с закрепленным верхним концом и медленно опустили вниз, пока оно не остановилось в положении равновесия. Пружина при этом растянулась на величину I. Определите частоту колебаний, если тело толкнуть вниз.
Через подвешенный к потолку неподвижный блок перекинута невесомая нить, к одному концу которой прикреплен груз массой т, а к другому прикреплена вертикальная пружина жесткости к, нижний конец которой закреплен на полу. Какова
частота колебаний s в системе? Массой блока и трением пренебречь. Какова будет частота колебаний q, если блок представляет собой однородный диск массой М, радиусом R, а нить по блоку не проскальзывает?
Определите частоту колебаний частицы массой т при условии, что ее потенциальная энергия 石口(力)=к\х\, fc > 0, а полная энергия равна Е.
Пружина пренебрежимо малой массы установлена на полу в вертикальном положении. Сверху на пружину кладется небольшой предмет. Если его жестко прикрепить к пружине, и вывести из состояния равновесия, он совершает колебания с периодом Т = 0,25 с. Если предмет не прикреплять, опустить на 力о = 5 см, а затем отпустить, он отделяется от пружины. На какую высоту Н подскочит предмет в отсутствие сопротивления воздуха?
На расположенную горизонтально пластину насыпан мелкий песок. Пластина совершает гармонические колебания в вертикальной плоскости с частотой 500 Гц. Какова амплитуда колебаний пластины, если песчинки отрываются от пластины и подскакивают на высоту 3 мм по отношению к их положению при неподвижной пластине?
Тело массой m = 10 г подвешено на нити к вертикальной пружине с жесткостью fc = 10 кг/с2. Система совершает гармонические колебания в вертикальном направлении в поле силы тяжести. Может ли амплитуда этих колебаний быть больше 1 см?
В U-образную трубку, расположенную вертикально, налита жидкость. Полная длина “столба” жидкости в трубке равна I. Пренебрегая трением, определите частоту колебаний уровня жидкости в трубке.
Частично наполненная водой бутылка с наружным диаметром D = 5,2 см плавает в озере в вертикальном положении, погрузившись на 九=10 см. Когда из нее выпили воды, бутылка стала плавать, погрузившись на △九=2,8 см меньше, чем прежде.
Каков объем выпитой воды?
На сколько процентов изменился период малых вертикальных колебаний бутылки?
Два одинаковых бруска, лежащие на гладком горизонтальном столе, связаны упругой пружиной. Как изменится период собственных колебаний в системе, если один из брусков закрепить?
Два одинаковых массивных шара скреплены невесомой пружиной и летят горизонтально с одинаковыми скоростями, направленными вдоль оси пружины. Как будут двигаться шары после упругого столкновения с вертикальной стеной, если время удара пренебрежимо мало по сравнению с периодом собственных колебаний шаров, связанных пружиной?
Амплитуда затухающих колебаний уменьшается в 3 раза в течение одного периода. На сколько процентов период колебаний больше, чем он был бы в отсутствие затухания?
От носа лодки, идущей по спокойной воде в озере со скоростью V = 10 м/с, бежит волна, образующая угол 夕= =20° с направлением движения лодки. С какой скоростью “ распространяется эта волна?
Найдите амплитуду результирующей волны а, когда интерферируют две синусоидальные волны, имеющие одинаковую частоту и распространяющиеся в одном направлении, если амплитуда одной из волн равна ai = 3 см, другой — “2 = 4 см, а сдвиг фаз составляет тг/2.
Определите, что представляет собой результат суперпозиции двух простых гармонических волн с одинаковой частотой и амплитудой, различающихся только фазами колебаний, уравнения которых записываются в виде:
У1 = Acos（G , - ；）） ; У2 = Л cos（G ,-；）-夕）
Стальная проволока с линейной плотностью р = 5 г/м натянута силой F = 450 Н. Какая наибольшая мощность может быть передана поперечными волнами в этой проволоке, если амплитуда волны не может превышать 10% длины волны?
Простая поперечная гармоническая волна с амплитудой а = 1,2 см и длиной волны А = 85 см распространяется по струне, натянутой силой в F = 21 Н и имеющей линейную плотность 0=15 г/м. Определите скорость волны и максимальную скорость смещения точек струны.
Концы веревки, натянутой силой F = 35 Н, закреплены на расстоянии Z = 12 м друг от друга. Поперечное возмущение распространяется от одного закрепленного конца веревки до другого за t = 0,45 с. Какова полная масса М веревки?
Однородный кабель подвешен вертикально за один конец и натянут собственным весом. Определите скорость поперечных волн в кабеле как функцию расстояния у от его нижнего конца.
В среде с плотностью р распространяется со скоростью V плоская звуковая волна, уравнение которой записывается в виде: £ = asin（s彳—кх）. Найти изменение давления Ар в среде как функцию координаты х и времени t.
Камертон, совершающий колебания с частотой ^ = =440 Гц, уронили в шахту лифта. На какое расстояние h вниз успел улететь камертон к тому моменту, когда издаваемый им звук воспринимается на частоте / = 400 Гц?
Две машины скорой помощи движутся в противоположных направлениях, удаляясь друг от друга, со скоростями % = =20 м/с и V2 = 30 м/с. Сирены машин работают с частотой = =600 Гц. На каких частотах / и 也 слышат звук водители обеих машин? Будут ли эти частоты одинаковыми или нет? Почему?
Свисток, совершающий колебания на частоте ^ = =500 Гц, движется по окружности радиусом 7? = 1 м, делая п = 3 оборота в секунду. Определите наибольшую / и наименьшую и? частоту, воспринимаемую неподвижным наблюдателем, находящимся на расстоянии г = 5 м от центра окружности.
Сверхзвуковой самолет пролетает прямо над вами со скоростью, в к = 2,2 раза превышающей скорость звука в воздухе. Вы слышите звук ударной волны спустя 力=19 с после пролета самолета. На какой высоте h пролетел самолет, если скорость звука составляет и = 340 м/с?
ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
Сосуд с водой движется вертикально вверх с ускорением 1,2 м/с2. Определить давление на глубине 0,2 м.
Тело плавает в воде так, что под водой находится 1/3 часть его объема. Какая часть объема тела будет погружена в воду, если сосуд с водой, в котором плавает тело, будет двигаться вверх (вниз) с ускорением, равным а?
Каратом называется безразмерная единица, используемая для указания доли золота в сплаве, содержащем золото. Сплав, в котором один карат золота, содержит 1/24 часть чистого золота от полной массы сплава. Каков объем золота V в золотом украшении в п = 14 карат, весящем F = 1 Н?
Твердый материал состоит из золота и кварца. Какова масса т золота, содержащегося в минерале, если его полная масса М = 12 кг, а объем V = 4 • 10-3 м3? Если минерал взвешивать в воде, то каков будет его вес F?
Тело взвешивают в воздухе (Q = 30 Н), в воде (乃 = =20 Н) и в неизвестной жидкости, где его вес оказался равным 乌=24 Н. Какова плотность этой неизвестной жидкости?
Для определения объема полости внутри минерала его взвешивают в воздухе и в воде. Какую часть х общего объема минерала составляет полость, если его вес в воздухе вдвое больше веса в воде, а плотность сплошного минерала равна р = =5 • 103 кг/м3?
Из чистого ли золота сделано украшение, которое весит в воздухе 78,4 Н, а в воде — 74,4 Н?
Человек может изменять объем своего тела, набирая воздух в легкие. Это изменение АУ можно определить, взвешивая человека под водой. Каким будет это изменение, если при частичном заполнении легких воздухом человек весит под водой Р1 = 20 Н, а при пустых легких —乃=40 Н?
При переходе корабля из соленой воды, плотность которой на 3% больше плотности пресной воды, в пресную воду его осадка немного увеличивается. После того, как из трюма корабля выгрузили АМ = 600 т груза, осадка приняла прежнее значение. Определите массу корабля с грузом.
Каков радиус R наполненного водородом резинового шара, если он может поднять груз весом Р = 5750 Н при плотности воздуха 0в = 1,29 кг/м3?
Небольшой дирижабль содержит около V = 5400 м3 газообразного гелия с плотностью р\ = 0,179 кг/м3. Какой вес способен удерживать в равновесии дирижабль на высоте 0,5 км, где плотность воздуха составляет 偿=1,2 кг/м3?
При каком наименьшем числе бревен N с плотностью р = 725 кг/м3, радиусом г = 8 см и длиной Z = 3 м сделанный из них плот способен держать четырех человек массой m = 80 кг каждый?
Сосуд, имеющий форму усеченного конуса с приставным дном, опущен в воду (см. рис.). Если в сосуд налить 2 кг воды, дно отваливается. Отпадет ли дно, если на него поставить гирю 2 кг? Налить 2 кг ртути? Налить 2 кг масла?
В полусферический колокол, плотно лежащий на резиновом коврике на столе, наливают сверху через отверстие воду (см. рис.). Когда уровень воды доходит до отверстия, вода начинает вытекать снизу из-под колокола. Найти массу колокола, если его внутренний радиус равен R, а плотность воды равна р.
К задаче 5.14
В дне сосуда имеется круглое отверстие радиуса г, на которое положен цилиндрический брусок радиуса R и толщины d (см. рис.). До какой высоты h над верхней гранью бруска следует налить воду в сосуд, чтобы брусок не всплывал?
В дне сосуда имеется круглое отверстие радиуса г, закрытое конической пробкой с радиусом основания R и высотой d (см. рис.). До какой высоты h над верхней гранью бруска следует налить воду в сосуд, чтобы пробка не всплывала?
Сплошное однородное тело объемом V плавает на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей; плотность нижней жидкости 01, верхней — 02, материала шара р （р\〉р〉 > 02）. Какая часть объема тела будет находиться в верхней, а какая в нижней жидкости?
Полый шар, отлитый из чугуна, плавает в воде, погрузившись ровно наполовину. Найти объем внутренней полости шара, если его масса равна т, а плотность чугуна — р.
Пустотелый стеклянный шар массой m = 1 кг плавает в воде, полностью погружаясь в нее. Каковы внутренний г и наружный R радиусы пустотелого шара, если плотность стекла равна 0c = 2,6 • 103 кг/м3?
Пустотелый шар радиусом R массой М прикреплен к концу тяжелого шеста длиной I, ось которого проходит через центр шара. Шар плавает на мелководье, наполовину погрузившись в воду, так что другой конец шеста опирается о дно. С какой силой F шест давит на дно, если плотность воды равна 0? См. рисунок.
В сосуд с вертикальными стенками и площадью дна S налита вода. На сколько изменится уровень воды в сосуде, если в него опустить деревянный брусок массы m цилиндрической формы. Плотность воды р.
В сообщающихся сосудах с диаметрами D\ и 3 налита жидкость плотностью р. На сколько изменится уровень жидкости в сосудах, если в один из них опустить тело массой т, которое не тонет в жидкости?
На поверхности жидкости плотностью р плавает сосуд с вертикальными стенками и горизонтальным дном площадью S. Внутрь сосуда налита другая жидкость плотностью 〃 до высоты h. Осадка сосуда при этом равна Н. Как изменятся высоты h и Я, если внутрь сосуда поместить плавающий брусок массой т?
Из лодки, плавающей в бассейне, выбрасывают предметы:
на берег бассейна;
в воду.
Как при этом изменяется уровень воды в бассейне?
Оценить массу воздушной атмосферы, окружающей земной шар.
Гидравлический подъемник поднимает машину массой 2000 кг поршнем площадью 4 м2. На какую высоту он может поднять машину, если подъем осуществляется силой 100 Н, а малый поршень, к которому она приложена, перемещается на 2 м?
Насос должен подавать ежесекундно объем воды V на высоту h по трубе постоянного сечения S. Какова должна быть мощность насоса Р, если плотность воды 0?
Какая разница в уровнях △九 установится в коленах открытой сверху U-образной трубки, наполненной водой, если над отверстием одного из колен продувать воздух со скоростью V = =15 м/с?
Определите максимальную дальность полета струи из шприца I диаметром d = 4 см, на поршень которого давит сила F = 30 Н. Плотность жидкости р составляет 1000 кг/м3, а площадь поперечного сечения отверстия в игле пренебрежимо мала по сравнению с площадью поршня.
Полная эффективная поверхность крыльев ветряной мельницы составляет S = 4,6 м2. Какой может быть максимальная мощность F генератора мельницы при постоянном ветре, дующем со скоростью V = 6,7 м/с? Какой может быть эта мощность (В), если скорость ветра увеличится на 10%? Плотность воздуха составляет 0 = 1,2 кг/м3.
Два круглых отверстия, одно больше другого, проделаны в стене большой водонапорной башни, открытой сверху. Центр одного из отверстий расположен в два раза ниже относительно уровня воды в башне, чем центр другого. Объемы воды,
вытекающие из отверстий в единицу времени, одинаковы. Какое отверстие, большее или меньшее, расположено ниже? Каково отношение радиусов отверстий?
Кровь, двигаясь по кровеносным сосудам, проходит в капилляре расстояние I 1 мм за t = 1 с. Определите вязкость крови 〃，если в капиллярном сосуде диаметром О = 7 • 10-6 м падение давления Ар составляет 2,6 кПа/мм.
Экспериментально установлено, что течение жидкости остается ламинарным, пока число Рейнольдса Re
Re =——
меньше, чем 2000. Здесь V, р, г/ — средняя скорость жидкости, ее плотность и вязкость соответственно. При какой наибольшей средней скорости крови (р = 1060 кг/м3) ее течение в аорте радиусом 7? = 8 • 10-3 м останется ламинарным?
Двигатель корабля был остановлен в момент, когда скорость корабля была равна %. Какой путь S пройдет корабль до полной остановки, если эффективная масса корабля равна М, а сила сопротивления пропорциональна скорости: F = —kV.
Мячик массой т бросили вертикально вверх с начальной скоростью Vo- Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной скорости, определить, сколько времени мячик находился в полете, если он упал обратно со скоростью V\ <Vq.
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И ОПТИКА
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
§ 1. Закон Кулона. Напряженность и потенциал электрического поля. Энергия системы зарядов
Пластмассовый стержень, потертый о шерсть, приобретает заряд —0,8 мкКл. Сколько электронов переходит при этом с шерсти на стержень?
Два точечных заряда 50 нКл разделены расстоянием 10 см.
С какой силой заряды действуют друг на друга?
Сколько фундаментальных единиц заряда содержит каждый из них?
Каково отношение электрической и гравитационной сил, с которыми два протона действуют друг на друга?
Предположим, что заряды электрона и протона отличались бы на одну миллиардную часть. Каким электрическим зарядом обладал бы при этом нормальный человек в предположении, что число электронов, протонов и нейтронов в его теле одинаково?
Суммарная величина двух зарядов qi и q? равна 6 мкКл. Разнесенные на расстояние 3 м, они взаимодействуют с силой, равной 8 мН. Определите величину каждого заряда, если они
одноименные;
разноименные.
Имеются два точечных заряда 4q каждый и один заряд —q. Как следует расположить эти заряды на одной прямой линии, чтобы они находились в равновесии? Будет ли это равновесие устойчивым?
Три электрических заряда +25 нКл, +20 нКл и —15 нКл расположены в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом, равным 2 м, причем отрицательный заряд расположен в вершине прямого угла. Какая сила действует на заряд +20 нКл?
Три заряда величиной 3 нКл каждый расположены в вершинах квадрата со стороной 5 см, при этом два положительных заряда находятся в противоположных вершинах, а третий заряд отрицательный. Какая сила действует на положительный заряд 3 нКл, помещенный в четвертую вершину квадрата?
Четыре заряда расположены в вершинах квадрата. Величины зарядов одинаковы и равны q. Какой заряд Q нужно поместить в центр квадрата, чтобы вся система находилась в состоянии равновесия? Будет ли равновесие устойчиво?
Два маленьких одноименно заряженных шарика массой m = 10 г подвешены в одной точке на нитях длиной Е = 50 см. Каков заряд каждого шарика, если нити образуют с вертикалью угол 户=10°?
Два одинаковых шарика с зарядами % п 吏，подвешенных на нитях одинаковой длины, помещены в керосин. Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и в керосине был один и тот же?
По кольцу некоторого радиуса R могут свободно перемещаться три шарика, несущие заряды, +qi на одном шарике и +42 — на каждом из двух других. Чему равно отношение зарядов %/该，если известно, что при равновесии дуга центрального угла между зарядами q? составляет а = 60°.
Внутри гладкой непроводящей сферы радиуса R находится маленький шарик с зарядом q и массой m (см. рис.). В нижней точке сферы закреплен заряд Q. Чему равна величина этого заряда, если шарик покоится, находясь в такой точке, что проведенный через нее радиус составляет острый угол 户 с вертикалью? Устойчиво ли равновесие заряда q?
К задаче 1.13К задаче 1.13К задаче 1.14К задаче 1.14
К задаче 1.13
К задаче 1.13
К задаче 1.14
К задаче 1.14
Внутри гладкой непроводящей сферы радиуса R находится маленький шарик с зарядом q и массой т (см. рис.). В нижней точке сферы закреплен заряд Q.
Чему равна величина этого заряда, если шарик покоится, находясь в такой точке, что проведенный через нее радиус составляет тупой угол 户 с вертикалью? Устойчиво ли равновесие заряда q?
Какой заряд Qo нужно закрепить в нижней точке сферы, чтобы шарик удерживался в верхней точке сферы?
На пробный заряд 5 нКл действует сила 2 • 10-4 Н. Какова напряженность электрического поля в точке, где находится заряд?
Два положительных точечных заряда qi = 8 нКл и ^2 = =12 нКл расположены на расстоянии 4 м друг от друга. Какова напряженность электрического поля в точке, расположенной на прямой, соединяющей заряды,
между зарядами на расстоянии 1 м от заряда q^
на расстоянии 3 м от заряда q2 pl 7 M от заряда qi?
В какой точке прямой, соединяющей заряды в предыдущей задаче, напряженность электрического поля равна нулю? Пусть пробный заряд, помещенный в эту точку, может двигаться только по прямой, соединяющей заряды. Будет ли его равновесие устойчивым?
Капля масла массой 4 • 10-14 кг имеет электрический заряд q = 4,8 • 10-19 Кл. Какова напряженность электрического поля Е, если капля находится в равновесии в поле тяжести Земли?
Определить напряженность электрического поля Е, создаваемого системой из трех одинаковых зарядов q, находящихся в вершинах правильного треугольника АВС со стороной а, в точке О, расположенной на продолжении высоты треугольника ВК (см. рис.) на расстоянии а от вершины.
К задаче 1.19
Четыре одинаковых заряда q находятся на равных расстояниях а друг от друга. Какой нужно взять пятый заряд Q и куда его поместить, чтобы система находилась в равновесии? Каков характер этого равновесия? Чему равна потенциальная энергия системы зарядов?
Электрическое поле создается зарядами, расположенными на кольце радиуса R с линейной плотностью pi，Найти зависимость напряженности поля Е на оси кольца как функцию расстояния х до плоскости кольца.
Определить напряженность электрического поля на оси однородно заряженного с плотностью ps диска радиуса R, рас-
сматривая это поле как суперпозицию полей колец разного радиуса. Показать, что на больших расстояниях поле диска совпадает с полем точечного заряда.
Найти напряженность поля, создаваемого однородно заряженной плоскостью, рассмотрев предельный переход R т т оо в выражении для напряженности поля заряженного диска. Получить тот же результат, устремив к нулю расстояние до поверхности диска х.
Толстая непроводящая сферическая оболочка с наружным радиусом b и внутренним радиусом а заряжена с постоянной плотностью р. Определите напряженность Е создаваемого оболочкой электрического поля.
Длинный прямой тонкий провод заряжен с постоянной линейной плотностью заряда pi = —6,8 мкКл/м. Он окружен толстым цилиндрическим равномерно заряженным слоем с внутренним радиусом % = 2,5 см и наружным радиусом 必= =3,5 см. Какова плотность заряда р в этом слое, если снаружи электрическое поле отсутствует?
Напряженность электрического поля в земной атмосфере на высоте 九i = 250 м составляет Е\ = 150 Н/Кл и направлена вертикально вниз. На высоте 九2 = 400 м она составляет Е?= =170 Н/Кл и также направлена вниз. Определите объемную плотность р заряда атмосферы на этих высотах, считая ее постоянной.
На сфере радиусом 6 см равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью 9 нКл/м2. Какова напряженность поля в точках, отстоящих от центра сферы, на
а) 2 см; б) 5,9 см; в) 6,1 см; г) 10 см?
Сфера радиусом 3 м с центром в начале координат имеет поверхностную плотность заряда 3 нКл/м2. Точечный заряд 250 нКл расположен на оси у на расстоянии 2 м от начала координат. Какова напряженность электрического поля Е в точке 力=2 м; g = 0?
Каков потенциал электрического поля 夕，создаваемого протоном с электрическим зарядом q = 1,6 • 10-19 Кл, на расстоянии 0,529 • 10—1° м от протона? Какова потенциальная энергия взаимодействия протона и электрона на этом расстоянии, соответствующем радиусу атома водорода?
Протон массой m = 1,67 • 10-27 кг и электрическим зарядом q = 1,6 • 10一 19 Кл начинает двигаться в однородном электрическом поле с напряженностью Е = 5 Н/Кл. Какова его скорость V после прохождения расстояния d = 4 см?
Точечный заряд % помещен в начало координат, а точечный заряд q? находится на оси х в точке х = а (а > 0). Каков потенциал в произвольной точке на оси 力？
Два точечных заряда +q и —q находятся на расстоянии а друг от друга. Каков потенциал электрического поля этих зарядов в точках, лежащих на соединяющей их прямой на расстояниях, много больших а?
Электрический диполь состоит из двух маленьких шариков с массами m и зарядами 土q, соединенных невесомым стержнем длиной I. При помещении диполя в однородное электрическое поле он ориентируется вдоль поля и при малых смещениях (поворотных) из положения устойчивого равновесия совершает колебания. Покажите, что эти колебания гармонические, и найдите их частоту.
Квадруполь образован двумя диполями, сблизившимися так, что в начале координат находится заряд —2q, а два положительных заряда q каждый расположены на оси у в точках у = а и у = —а. Определите напряженность электрического поля квадруполя:
на оси х на расстоянии 力》а;
на оси у на расстоянии у》а.
Однородное электрическое поле направлено противоположно оси х. Точки а и & лежат на оси х: ха = 2 м; х^ = 6 м.
Положительна или отрицательна разность потенциалов 夕6 -вa?
Если разность потенциалов между а и & составляет 105 В, чему равно значение напряженности поля?
Напряженность электрического поля изменяется с расстоянием по закону Е = ах. Какова разность потенциалов между точками хо и Xi?
Какую работу А нужно совершить, чтобы поместить четыре точечных одноименных заряда q в вершины квадрата со стороной а? Какова электростатическая потенциальная энергия % взаимодействия этих зарядов между собой?
В керосине (е = 2) на расстоянии Z = 5 см друг от друга находятся два заряда qi = 20 пКл и ^ = 30 пКл. Определить напряженность Е и потенциал поля 夕 в точке, лежащей на перпендикуляре, восставленном к середине прямой, которая соединяет оба заряда, на расстоянии, равном половине расстояния между указанными зарядами.
Электрон, движущийся со скоростью 2 • 106 м/с, влетает в область, где напряженность электрического поля составляет 400 Н/Кл, перпендикулярно силовым линиям поля.
Каково ускорение электрона при движении в поле?
За какое время электрон переместится на расстояние 10 см вдоль своей первоначальной скорости?
На сколько и в каком направлении электрон при этом отклонится от первоначального направления движения?
В некоторый момент времени заряженная частица пролетает через начало координат, при этом ее скорость, равная 3 • 106 м/с, составляет с осью х угол 35°. Какой должна быть напряженность однородного электрического поля, направленного по оси у, чтобы частица пересекла вторично ось х на расстоянии 1,5 см от начала координат, если частица а) электрон; б) протон.
Грани куба с ребром а однородно заряжены с поверхностной плотностью а. В центр куба помещен заряд Q. С какой силой этот заряд взаимодействует с каждой из граней?
§ 2. Проводники в электрическом поле. Электроемкость. Конденсаторы
Какой максимальный заряд можно поместить на сферический проводник радиусом 7? = 16 см, прежде чем произойдет электрический пробой (проскочит искра). Каков при этом потенциал проводника? (Пробой в воздухе происходит при Е
3 • 106 В/м).
Определить потенциал шара, если известно, что на расстоянии 7? = 10 м от его поверхности потенциал электрического поля равен 夕=20 В. Радиус шара г = 0,1 м.
N одинаковых шарообразных капелек ртути, находящихся далеко друг от друга, заряжены одноименно до одного и того же потенциала 夕＞ Каков будет потенциал 夕 большой капли ртути, получившейся в результате слияния этих капель?
Сферический проводник радиусом b имеет концентрическую полость радиуса а. Положительный точечный заряд q помещается в центр полости. Каков потенциал электрического поля 夕 в точке, отстоящей от центра полости на расстоянии г, если проводник не заряжен? Потенциал на бесконечности считать равным нулю.
Три проводящих шара радиуса R расположены в воздухе так, что их центры совпадают с вершинами равностороннего треугольника со стороной а, причем а R. Каждый шар поочередно на некоторое время заземляли. Определить заряды, оставшиеся после этого на шарах, если первоначально каждый шар имел заряд q.
3 А.С. Кондратьев, В.М. Уздин
Четыре одинаковых проводящих шара радиусом R, центры которых совпадают с вершинами квадрата со стороной а, находятся в воздухе (см. рис.). Одному из шаров сообщили заряд.
2新2新• 3• 3После этого заряженный шар соединили на некоторое время металлической проволокой поочередно с каждым из незаряженных шаров (в циклическом порядке). Определить, как распределится заряд между всеми шарами, если а》А.
2新
2新
• 3
• 3
К задаче 1.47К задаче 1.47В хорошую погоду около поверхности Земли существует электрическое поле с напря
К задаче 1.47
К задаче 1.47
женностью порядка Е = 100 Н/Кл, направленное вертикально вниз. Предполагая, что это поле обусловлено сферически симметричным распределением заряда в Земле, найдите величину заряда Земли.
Заряженный металлический шар радиусом R разрезан на две части плоскостью, проходящей на расстоянии h от центра шара. С какой силой F отталкиваются друг от друга эти части? Полный заряд шара равен Q.
Металлический шар радиусом R помещен в электростатическое поле с потенциалом 夕(力，у,/). Найти потенциал шара 夕ш, если его заряд равен Q.
Какова напряженность электрического поля Е в пространстве между двумя бесконечными параллельными плоскостями с плотностью заряда ai = 4 нКл/м2 п с^ = 一4 нКл/м2? Какова напряженность поля снаружи?
На точечный заряд, находящийся внутри плоского конденсатора, заряженного зарядом Q, действует сила F. На какую величину AF изменится эта сила, если конденсатор в течение времени t заряжать током силы /?
Две концентрические металлические сферы несут равные по величине разноименные заряды q. Радиус внутренней сферы а, внешней — Ь. Заряд внутренней сферы положителен. Найдите разность потенциалов 夕。—夕ь・
Мы живем внутри огромного конденсатора, образуемого земной поверхностью и ионосферой, начинающейся на высоте h примерно 60 км.
Определите емкость этого конденсатора.
Покажите, что рассчитать емкость можно, рассматривая этот конденсатор либо как сферический, либо как плоский.
Определите энергию W этого конденсатора, если напряжение между ионосферой и поверхностью Земли составляет U = =300 кВ.
Провод высоковольтной линии электропередачи, расположенный на высоте 7J = 20 м над земной поверхностью, находится под напряжением U = 350 кВ относительно земли. Предполагая, что Земля не заряжена и не искажает существенно электрическое поле вблизи проводов, определите минимальный диаметр проводов, при котором еще не будет происходить электрический пробой воздуха, наблюдаемый при напряженности поля Ед = 3 • 106 В/м.
Плоский конденсатор, между пластинами которого находится воздух, заряжен от источника питания и отключен от него. Во сколько раз изменится напряженность электрического поля, разность потенциалов между пластинами, энергия и плотность энергии электрического поля, если
увеличить в п раз расстояние между пластинами;
увеличить в т раз площадь пластин;
увеличить в п раз расстояние между пластинами и в m раз площадь пластин?
Плоский конденсатор, между пластинами которого находится воздух, подключен к источнику питания с постоянным напряжением. Во сколько раз изменится заряд конденсатора, напряженность энергия и плотность энергии электрического поля при увеличении расстояния между пластинами в п раз?
Пространство между пластинами плоского конденсатора, присоединенного к источнику питания, занимает эбонитовая пластина с диэлектрической проницаемостью е = 2,7. Расстояние между пластинами конденсатора равно d = 5,4 см. Как нужно изменить расстояние между пластинами, чтобы энергия конденсатора осталась без изменения в следующих случаях:
эбонитовая пластина вынимается, а конденсатор остается присоединенным к источнику питания;
эбонитовая пластина вынимается, после чего конденсатор отключается от источника питания;
конденсатор отключается от источника питания, после чего вынимается пластина?
Плоский конденсатор зарядили от источника питания с напряжением U = 200 В. Затем конденсатор был отключен от источника. Каким станет напряжение U] между пластинами, если расстояние между ними увеличить от первоначального d = =0,2 мм до 山=0,7 мм, а пространство между пластинами заполнить слюдой? Диэлектрическая проницаемость слюды е = 7.
Плоский конденсатор, между пластинами которого находится воздух, заряжен до напряжения источника питания и отключен от него. Во сколько раз изменится емкость конден-
сатора С, напряженность электрического поля Е, разность потенциалов между пластинами U, энергия W и плотность энергии w электрического поля, если пространство между пластинами заполнить двумя слоями диэлектрика одинаковой толщины с диэлектрическими проницаемостями / и &2? Слои диэлектрика параллельны обкладкам конденсатора
Одна из пластин плоского конденсатора сделана из проводящей сетки и лежит на поверхности жидкого диэлектрика с диэлектрической проницаемостью е и плотностью р (см. рис.).
К задаче 1.61
На какую высоту h поднимется диэлектрик в конденсаторе, если сообщить конденсатору заряд q? Площадь пластин конденсатора равна S.
В плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок S и расстоянием между ними d вставлена параллельно обкладкам металлическая пластинка, размеры которой равны размерам обкладок. Определить емкость конденсатора после внесения пластинки, если ее толщина намного меньше d и расположена она на расстоянии I от одной из обкладок конденсатора.
Конденсатор емкостью С\ = 0,10 мкФ, рассчитанный на напряжение 50 В, включается последовательно с конденсатором емкостью Q = 0,20 мкФ, рассчитанным на напряжение 200 В. Какое максимальное напряжение можно приложить к концам этой цепи?
Три последовательно соединенных конденсатора присоединены к источнику напряжения U = 32 В. Емкости конденсаторов G = 0,1 мкФ, Q = 0,25 мкФ и Сз = 0,5 мкФ. Определить напряжения Ui, % п % на каждом конденсаторе.
Конденсаторы емкостью G = 3 мкФ n Q = 5 мкФ соединены последовательно и подключены к источнику питания с постоянным напряжением U = 30 В. Затем параллельно первому конденсатору подсоединяется конденсатор емкостью J = 7 мкФ. Определите:
напряжение на конденсаторе J;
энергию 叫 конденсатора J.
Конденсатор емкостью G = 4 мкФ заряжен до разности потенциалов Ui = 10 В. Какой заряд будет на обкладках этого конденсатора, если к нему подключить параллельно другой конденсатор емкостью 3 = 6 мкФ, заряженный до разности потенциалов % = 20 В? Соединены обкладки конденсаторов,
имеющие разноименные заряды.
Конденсатор емкостью G = 1 мкФ заряжен до разности потенциалов Ui = 100 В. Другой конденсатор емкостью 。2 = 2 мкФ также заряжен, но разность потенциалов U? на его обкладках неизвестна. Найти %, если известно, что при соединении разноименных обкладок напряжение на пластинах оказалось равным U = 200 В.
Собрана цепь, схема которой показана на рисунке. При каком условии переключение ключа из положения А в по
ложение В не приводит к изменению напряжения на конденсаторе G?
Определить изменение энергии электрического поля △% системы двух конденсаторов G = 2 мкФ и G = 0,5 мкФ, заряженных до напряжений U] = 100 В и 。2 = 50 В соответственно, при соединении их одноименно заряженных обкладок.
В плоский конденсатор влетает электрон со скоростью V = 2 • 107 м/с, на
правленной параллельно обкладками конденсатора. На какое расстояние h от своего первоначального направления сместится
электрон за время пролета внутри конденсатора, если расстояние между пластинами d = 2 см, длина конденсатора Z = 5 см и разность потенциалов между пластинами U = 200 В? Отношение заряда электрона к его массе е/т = 1,76 • 1011 Кл/кг.
На неподвижный шар радиусом R и массой m налетает такой же шар со скоростью V. Удар центральный. Шары упругие, проводящие. Заряд движущегося шара равен Q, покоящийся шар не заряжен. За время удара заряды успевают перераспределиться. Найти скорости шаров после их разлета.
Для переноса точечного заряда q = 10 ед. заряда СГСЭ из бесконечности в точку О, находящуюся на расстоянии L = =20 см от поверхности положительно заряженного металлического шара, требуется совершить работу А = 5 • 10-7 Дж. Радиус шара 7? = 4 см. Определить потенциал 夕 точек на поверхности шара.
Электроны влетают в плоский конденсатор длиной L под углом а к плоскости пластин, а вылетает под углом 户(см. рис.). Определить начальную энергию электронов, если напряженность поля внутри конденсатора равна Е.
К задаче 1.73К задаче 1.73
К задаче 1.73
К задаче 1.73
Расстояние между пластинами плоского конденсатора равно d, их длина I, напряжение между пластинами U. В конденсатор влетает электрон. Его начальная скорость параллельна пластинам конденсатора и лежит на прямой, проходящей через центр круглой мишени радиуса А, расположенной на расстоянии S от конденсатора. Какова должна быть минимальная скорость электрона %, чтобы он попал в мишень?
К задаче 1.75К задаче 1.75Батарея из четырех различных конденсаторов собрана один раз по схеме а, другой раз по схеме 6 (см. рис.). При каком условии емкости этих батарей будут одинаковы?
К задаче 1.75
К задаче 1.75
Три конденсатора емкостью С = 1 мФ каждый соединены по указанной схеме (см. рис.). Верхний конденсатор заря-
К задаче 1.76К задаче 1.76
К задаче 1.76
К задаче 1.76
жают до разности потенциалов U = 3 В, после чего замыкают ключ К. Какой заряд протечет по сопротивлению R, которое достаточно велико для того, чтобы в системе не возникли колебания?
II. постоянный ток
§ 3. Сила тока. Сопротивление. Закон Ома
Приводной ремень генератора Ван-деТраафа обладает электрическим зарядом с поверхностной плотностью р = =5 мКл/м2. Ремень шириной а = 0,5 м движется со скоростью V = 20 м/с.
Какой ток I соответствует такому движению ремня?
Если заряд переносится между точками с разностью потенциалов 100 кВ, то какой должна быть мощность мотора Р, способного приводить в движение ремень?
В ускорителе частиц пучок протонов диаметром d = 2 мм образует ток I = 1 мА. Кинетическая энергия каждого протона равна W = 20 МэВ. Пучок попадает на металлическую мишень и поглощается ею.
Какова концентрация п протонов в пучке?
Сколько протонов N попадет в мишень за t = 1 мин?
Найдите заряд первоначально электрически нейтральной мишени Q как функцию времени.
По проводу идет постоянный ток / = 2 А.
Какой заряд проходит через поперечное сечение за время 5 мин?
Сколько электронов проходит за это время через поперечное сечение?
В 10-метровом проводе сопротивлением R = 0,2 Ом идет ток / = 5 А.
Каково напряжение U на концах проводника?
Какова напряженность электрического поля Е в проводнике?
Разность потенциалов между концами проводника с удельным сопротивлением р, площадью поперечного сечения S и длиной I равна U. Как изменится средняя скорость направленного движения электронов вдоль проводника V, если увеличить в три раза
напряжение U;
длину
площадь S?
По медной и железной проволокам одинаковой длины и диаметра текут одинаковые токи.
Каково отношение напряжений на концах этих проволок?
В какой из них больше напряженность электрического поля?
Найти изменение веса и сопротивления провода из одного и того же материала, если при неизменной длине взять провод вдвое большего диаметра.
Токонесущий (третий) стальной рельс метрополитена имеет поперечное сечение 55 см2. Каково сопротивление 10 км рельса?
Каково сопротивление вольфрамового провода длиной I = 50 см, квадратного поперечного сечения со стороной а = 1 мм при t = 20℃? Во сколько раз увеличится сопротивление этого провода при 方 1 = 40℃?
При какой температуре 方i сопротивление медного провода будет на 10% больше, чем при t = 20℃?
Пластины плоского конденсатора присоединены к источнику питания с постоянным напряжением U = 300 В. Пластины сближаются с постоянной скоростью V = 1 мм/с. Какой ток идет по соединительным проводам в тот момент, когда расстояние между пластинами равно I = 2 мм, если площадь пластины S = 400 см2?
Сосуд в форме прямоугольного параллелепипеда (см. рис.) с тонкими стенками заполнен диэлектриком плотности р и диэлектрической проницаемости е. Вертикальные грани сосуда,
к которым подведено постоянное напряжение U, металлизированы. Расстояние между ними равно d. В нижней грани сосуда открывают отверстие, через которое откачивают диэлектрик со скоростью 从 кг/с. Найти показания идеального амперметра I.
Между пластинами накоротко замкнутого конденсатора, суммарный заряд пластин которого равен —q, с постоянной
скоростью V движется тонкая пластина
с зарядом +q, как показано на рисунке.人
Определите силу тока /, идущего в про- j । Г воде, соединяющем пластины конденсате- ра, если расстояние между ними равно d.у
Вольтметр сопротивлением R = * г
=140 кОм создан на основе гальванометра, дающего максимальное отклонение стрелки при токе Iq = 180 мкА. Ка-；
кое максимальное напряжение U можно
измерить этим вольтметром?
10-омный резистор включен в К задаче 2.13
электрическую цепь с помощью медного
провода длиной Z = 50 см и диаметром d = 0,6 мм.
Какое дополнительное сопротивление вносит медный провод?
Сколько процентов от 10 Ом составляет сопротивление провода?
Если резистор сделан из нихромовой проволоки, какое изменение температуры приведет к изменению сопротивления резистора, равному сопротивлению медного провода?
§ 4. Соединение проводников в электрические цепи
В сеть с напряжением U = 120 В включены две электрические лампы сопротивлением R = 200 Ом каждая. Какой ток пройдет через каждую лампу при параллельном и последовательном их соединении?
К задаче 2.17К задаче 2.17Определите эквивалентное сопротивление Rai)между точками а и & на рис. Каков ток через каждый резистор, если напряжение между точками а и & составляет Uab = 12 В, 7?i = =3 Ом, Т?2 = 6 Ом, 7?з = 2 Ом?
К задаче 2.17
К задаче 2.17
01I0
Определите эквивалентное сопротивление 7?诚 между точками а и & на рисунке. Найдите ток через каждый резистор, если напряжение между точками а и & равно 12 В, R\ = 12 Ом, /?2 =a3 =a4 =a5 = 6 Ом?
аа兄4兄4ААbb
а
а
兄4
兄4
А
А
b
b
兄5
К задаче 2.18
Каково эквивалентное сопротивление R двух параллельно соединенных резисторов с сопротивлениями R\ и R?, рассматриваемое как функция отношения х = R^/R\^ Постройте график зависимости 7?(力).
Три одинаковых резистора соединены параллельно. Общее сопротивление цепи увеличивается на 700 Ом, когда один из резисторов отключается и присоединяется последовательно к двум оставшимся. Каково сопротивление каждого резистора?
В схеме, показанной на рисунке,凡=15 Ом,必= =10 Ом, 7?з = 30 Ом, Т?4 = 40 Ом. Определите, какой ток I
兄1C 兄2
ЛЛ凡凡ВВ
Л
Л
凡
凡
В
В
—1D 一
К задаче 2.21
идет через амперметр, подключенный между точками С и D, если напряжение между точками А и В составляет U = 36 В. Сопротивление амперметра пренебрежимо мало.
Девять 10-омных резисторов соединены, как показано на рисунке. Между точками а и & приложено напряжение 20 В.
К задаче 2.22К задаче 2.22
К задаче 2.22
К задаче 2.22
Каково эквивалентное сопротивление цепи?
Определите ток через каждый резистор.
Нарисуйте эквивалентную схему.
В схеме на рисунке указаны сопротивления (в омах) и ток через одно из сопротивлений. Определить все токи и подаваемое напряжение.
Вольтметр со шкалой на U = 100 В имеет сопротивление R = =1 кОм. Какую наибольшую разность потенциалов Ui можно из
мерять этим прибором, если при
соединить к нему добавочное сопротивление 7?д = 90 кОм?
Какой шунт нужно присоединить к гальванометру сопротивлением 180 Ом, со шкалой 100 делений, ценой деления 1 мкА, чтобы им можно было измерять токи до 1 мА?
Гальванометр включают в цепь последовательно с резистором сопротивлением R = 350 Ом и измеряют его показания. Затем параллельно гальванометру подключается шунт с сопротивлением 7?ш = 10 Ом. Теперь, чтобы получить прежнее отклонение стрелки прибора, приходится уменьшить сопротивление R до значения R\ = 100 Ом. Найти сопротивление гальванометра Rg, считая напряжение источника питания постоянным.
Сопротивление гальванометра равно 7?g = 140 Ом, его стрелка отклоняется на всю шкалу при токе Iq = 1,2 мА.
Какой шунт 7?ш следует подключить к гальванометру, чтобы его можно было использовать в качестве амперметра с максимальным показанием шкалы в 1 = 2 А?
Какое добавочное сопротивление 7?д следует подключить к гальванометру, чтобы его можно было использовать как вольтметр с максимальным показанием шкалы в U = 5 В?
Чувствительный гальванометр с сопротивлением 7?g = =120 Ом дает отброс стрелки на всю шкалу при токе Iq = =1,4 мкА.
Каким будет внутреннее сопротивление амперметра г на основе этого гальванометра, если он рассчитан на ток в / = =1 мА?
Каким должно быть при этом сопротивление шунта 7?ш?
Какой схемой (рис. а или 6) предпочтительно воспользоваться для определения неизвестного сопротивления Rx, если определять его как отношение Rx = Uy/1а, где Uy и 1а — показания вольтметра и амперметра?
К задаче 2.29
Гальванометр с сопротивлением 110 Ом дает отброс стрелки на всю шкалу при токе 0,13 мА. Требуется изготовить вольтметр с несколькими шкалами, диапазоны которых показаны на рисунке. Определить значения %,必 п 必.
1В 10 В 100 В
К задаче 2.30
Каким сопротивлением R должен обладать реостат, чтобы с помощью его можно было изменять напряжение от 150 до 300 В при последовательном включении с постоянным сопротивлением 60 Ом? Найти также величину приходящегося на реостат напряжения U, когда он полностью введен.
В схеме, показанной на рисунке, сопротивление R = =10 Ом. Добавочное сопротивление к гальванометру может изменяться от R\ = 10 Ом до R? = 30 Ом. При этом показания гальванометра меняются в два раза. Определите внутреннее сопротивление гальванометра Rg, если напряжение U поддерживается постоянным.
Найти зависимость показаний амперметра от величины сопротивления г левой части потенциометра (см. рис.). Ампер-
метр считать идеальным, г меняется от 0 до R. Каково минимальное и максимальное возможное значение тока, проходящего через амперметр?
о и о
К задаче 2.33
Два параллельно соединенных сопротивления, одно из которых в 2 раза больше другого, включены в сеть напряжением 90 В. Найти величины этих сопротивлений (7?i, Т?2)и ток в них (/], А), если до разветвления ток 1,5 А.
Если вольтметр, имеющий конечное сопротивление, подключен параллельно резистору сопротивлением 7?i, то он
о и оL
К задаче 2.35
показывает напряжение 5 = 6 В, если параллельно 必，то — 02 = 4 В (см. рис.). Каковы будут напряжения на резисторах U； и U，，если вольтметр не подключать. Приложенное напряжение U= 12 В.
В электрической цепи, схема которой показана на рисунке, напряжение U = 100 В приложено к нагрузке R. Вольтметр показывает U\ = 18,2 В, когда он подключен параллельно части сопротивления, составляющей 0,47?. Найти отношение сил токов, идущих через вольтметр (Ту) и тот участок, параллельно которому он включен (厶).
К задаче 2.36
Определите эквивалентное сопротивление цепи 凡儿 схема которой показана на рисунке.
Определить сопротивление R проволочного тетраэдра (см. рис.), каждое звено которого имеет сопротивление г.
Шесть вершин соединены друг с другом изолированными проводами, каждый сопротивлением г. Определите сопротивление R между любыми двумя вершинами.
Рассчитайте полное сопротивление проволочного куба, каждое ребро которого имеет сопротивление г, если он подключен к источнику
по главной диагонали куба;
по диагонали грани;
вдоль ребра.
Определить сопротивление 凡& между точками а и & в схеме, изображенной на рисунке. Сопротивление каждого звена равно г.
На рисунке показана бесконечная цепочка сопротивлений. Определите эквивалентное сопротивление между точками а и Ь. Как сосчитать сопротивление конечной цепочки?
Определите эквивалентное сопротивление 7?诚 бесконечных цепочек, показанных на рисунках:
Каждое из N различных сопротивлений Щ,, Rn присоединено одним из своих концов к общей клемме Aq. Другие концы присоединены к клеммам А\,... ,Ап с потенциалами 夕i,...
,夕八 относительно общего нуля. Найдите потенциал точки Ад.
§ 5. Работа и мощность постоянного тока
Два провода одинаковой длины сделаны из одного и того же материала. Диаметр одного провода в два раза больше чем другого. Считая теплоотдачу одинаковой, определить, какой провод больше нагреется и во сколько раз
при одинаковом напряжении на концах проводов;
при одинаковой величине тока в проводах.
Ламповый реостат, состоящий из ^ = 5 одинаковых соединенных последовательно ламп, которые потребляют ток I = =1,36 А, мощностью F = 60 Вт каждая, включается в сеть постоянного тока. Найти напряжение на реостате.
Используемое в микроэлектронике сопротивление R = =10 кОм рассчитано на мощность Р = 0,25 Вт.
Какой максимальный ток I может идти через это сопротивление?
Какое максимальное напряжение U может быть к нему приложено?
В тостере в качестве нагревательного элемента используется нихромовая спираль сопротивлением 7? = 80 Ом при комнатной температуре. В момент включения тостера ток в цепи составляет /о = 1,5 А. До какой температуры нагревается спираль, если перед выключением тостера ток равен I = 1,3 А?
Электронагреватель содержит нихромовую спираль с сопротивлением 8 Ом при 0℃. При напряжении 120 В спираль нагревается до 1000℃.
Какой ток идет через холодную спираль при таком напряжении?
Каково сопротивление спирали при 1000℃?
Какова тепловая мощность нагревателя?
Электрический чайник имеет две обмотки. При включении одной из них чайник вскипает через 方i = 10 мин, при включении другой — через 力2 = 15 мин. Через сколько времени чайник вскипит, если эти обмотки включить вместе:
параллельно;
последовательно.
Если напряжение в сети U\ = 120 В, то вода в электрическом чайнике закипает за 九=20 мин. Если напряжение в сети равно % = 110 В, то вода закипает за 方2 = 28 мин. Считая, что тепловые потери пропорциональны времени нагревания, определите, через какое время 方з закипит вода в чайнике при напряжении в сети U = 100 В.
Нагреватель электрического чайника состоит из двух спиралей. При параллельном сопротивлении спиралей вода в чайнике закипает в п раз быстрее, чем при последовательном соединении.
Определите отношение сопротивлений спиралей.
Каково наименьшее возможное значение п?
Сколько витков никелиновой проволоки надо намотать на фарфоровый цилиндр диаметром D = 1,5 см, чтобы создать кипятильник, в котором в течение Т = 10 мин закипает т = =1,2 кг воды, взятой при температуре t° = 10°. Коэффициент полезного действия 〃 принять равным 60%. Диаметр проволоки d = 0,2 мм, напряжение в сети U = 100 В.
От источника с напряжением U = 750 В необходимо передать мощность ^ = 5 кВт на некоторое расстояние. Какое наибольшее сопротивление R может иметь линия передачи, чтобы потери энергии в ней не превышали 10% от передаваемой мощности?
Линия электропередачи обладает погонным сопротивлением 0,02 Ом/км. Подсчитайте тепловые потери в линии при передаче мощности 200 кВт на расстояние 10 км при напряжении а) 240 В; б) 4,4 кВ.
В двухпроводной линии электропередачи, на одном конце которой находится источник постоянного напряжения, а с другой подключена нагрузка с сопротивлением R, повредилась изоляция, в результате чего ток в источнике вырос в 2 раза, а ток в нагрузке упал в 10 раз. На каком расстоянии х от источника произошло повреждение изоляции, если сопротивление единицы длины проводящих проводов равно р, а длина линии электропередачи равна Е?
Сопротивление Rq потребляет мощность W. Если к нему подключить параллельно еще такое же сопротивление Rq, то в них обоих выделяется та же мощность W. Дать простейшую схему, в которой это возможно, и ее расчет.
Источник тока дает напряжение U = 6 В. Найдите ток в резисторах 凡=3 Ом,必=必=2 Ом,丛=4 Ом и развиваемую источником тока мощность (см. рис.).
В каком из сопротивлений на рисунке выделяется наибольшее количество тепла?
Четыре проводника с сопротивлением 1 Ом, 2 Ом, 3 Ом и 4 Ом соединили так, что общее сопротивление цепи оказалось равным 1 Ом. Какая мощность W развивается в проводнике сопротивлением 2 Ом, когда через проводник сопротивлением 3 Ом идет ток 3 А?
Проволочное кольцо включено в цепь, причем контакты делят длину кольца в отношении 1 : 2. В кольце выделяется мощность Р = 108 Вт. Какая мощность Р] выделялась бы, если бы контакты были расположены по диаметру кольца при условии, что
ток во внешней цепи не изменился;
напряжение на кольце не изменилось?
В изображенной на рисунке цепи каждый резистор может поглощать максимальную тепловую мощность 5 Вт. Каково
210 Ом 510 Ом
坨 &.95 Ом
"1]
5400 Омд
К задаче 2.62
максимальное значение тока /, при котором ни один резистор не будет поврежден?
Напряжение U подается на клеммы А и В цепи, схема
К задаче 2.63К задаче 2.63которой показана на рисунке, так что один раз 夕厶〉夕石，а второй раз 屮в〉屮А・ Найти отношение Р\〔Р? тепловых мощностей, выделяемых в цепи в первом и во втором случаях. Характеристики диода считать идеальными.
К задаче 2.63
К задаче 2.63
Какую работу А совершает источник тока с ЭД С е = 12 В за 方=5 с, если ток в цепи / = 3 А?
12-вольтовый автомобильный аккумулятор может обеспечить электрический заряд в 160 ампер-часов.
Каков полный запас энергии аккумулятора?
Как долго сможет этот аккумулятор питать электрическую лампочку в 150 Вт?
Электрический мотор поднимает вертикально вверх груз весом F = 15 Н со скоростью V = 25 см/с. Каков минимальный ток I в моторе, если он присоединен к батарее с е = 6 В?
Электрический мотор, рассчитанный на напряжение U = 117 В, в момент пуска потребляет ток 1g = 37,5 А. При нормальной скорости вращения якоря мотора потребляется ток / = 4,1 А. Определите:
сопротивление обмоток мотора R;
ЭД С самоиндукции мотора е при нормальной скорости вращения;
ток 厶，потребляемый мотором при скорости вращения в три раза меньшей нормальной скорости.
Электромотор питается от источника с напряжением U = 24 В. Чему равна развиваемая мотором механическая мощность 凡ех при протекании по его обмотке тока / = 8 А, если известно, что при полном затормаживании якоря по цепи идет ток /о = 16 А? Каков КПД 〃 мотора?
В цепь батареи с ЭД С е = 24 В включен электромотор. Нагруженный мотор потребляет мощность в п = 10 раз большую, чем при работе вхолостую. Разность потенциалов на клеммах мотора при нагрузке U падает на 20% по сравнению с разностью потенциалов при холостом ходе U\. Ток через мотор при нагрузке / = 5 А. Найти сопротивление подводящих проводов R. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
В шунтовой динамомашине обмотки ротора и электромагнита соединены параллельно. Обмотка ротора имеет сопротивление г = 0,5 Ом, а обмотка электромагнитов — 7? = 30 Ом. Динамомашина дает во внешней цепи ток 几=25 А при напряжении на клеммах динамомашины U = 80 В. Определите ЭД С индукции ротора е и силу тока в обмотках электромагнита I и ротора /р.
В сериес-моторе обмотки ротора и электромагнита соединены последовательно. Сопротивление обмоток электромагнита составляет R = 0,8 Ом, ротора — г = 0,05 Ом. Мотор питается от динамомашины с выходным напряжением U = 300 В, находящейся от него на расстоянии Z = 60 м. Сечение медных подводящих проводов S = 4 мм2. Определите ЭД С самоиндукции е, если мотор потребляет ток / = 8 А.
Электромотор постоянного тока с независимым возбуждением поднимает груз со скоростью Vi при помощи нити, наматывающейся на ось мотора. В отсутствие груза нить пренебрежимо малой массы поднимается со скоростью %. С какой скоростью 匕 будет опускаться тот же груз, если в цепи ротора мотора произойдет короткое замыкание? Трением пренебречь.
§ 6. Закон Ома для замкнутой цепи. Закон Ома для неоднородного участка цепи
Что покажет идеальный вольтметр, включенный между точками:
А и В;
А и С;
В и С;
в цепи, схема которой показана на рисунке.
СС4,7 кОм 3,3 кОм4,7 кОм 3,3 кОмК задаче 2.74К задаче 2.74К задаче 2.73К задаче 2.73
С
С
4,7 кОм 3,3 кОм
4,7 кОм 3,3 кОм
К задаче 2.74
К задаче 2.74
К задаче 2.73
К задаче 2.73
Каковы будут показания приборов, включенных между точками А и В на приведенной схеме?
Идеальный вольтметр;
идеальный амперметр;
вольтметр с сопротивлением 50 кОм;
амперметр с сопротивлением 150 Ом.
На рисунке изображена электрическая схема, содержащая два источника с ЭД С / n е2 pl внутренними сопротивлени-
%
К задаче 2.75
ями ri и Г2 и два резистора с сопротивлениями R、и R^. Найти разность потенциалов между точками:
а) / и 2; б) 2 и 3; в) 3 и 4; г) 3 и /; д) 4 и 2; е) 4 и /.
Определите потенциалы точек а, 6, 6, а, 0, е, к в цепи, схема которой показана на рисунке, если потенциал точки е равен нулю; / = 12 В, е2 = 4 В, 7?i = 1 Ом,必=5 Ом, R3 = =5 Ом, Т?4 = 1 Ом, Т?5 = 4 Ом. Внутренним сопротивлением источников пренебречь.
Найти ток I в цепи аккумулятора, замкнутого на сопротивление R = 1000 Ом, если при последовательном включении в
危
К задаче 2.76
эту цепь миллиамперметра с внутренним сопротивлением % = =100 Ом он показал 厶=25 мА. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
Напряжение на зажимах 12-вольтового аккумулятора, вращающего стартер автомобиля, равно 11,4 В при токе в цепи 20 А. Каково внутреннее сопротивление аккумулятора?
Какую мощность развивает аккумулятор в условиях предыдущей задачи? Какую мощность развивает стартер автомобиля? Сколько теплоты выделяется в аккумуляторе в течение 3 мин при токе в цепи 20 А? На сколько уменьшается запас химической энергии в аккумуляторе за 3 мин?
Исправный аккумулятор одного автомобиля подсоединяют к разрядившемуся аккумулятору второго.
Какую клемму исправного аккумулятора следует подключить к клемме “+” разрядившегося, чтобы зарядить его?
Каков будет ток в цепи /, если / = 12 В, &2 = 11 В,门= =丁2 = 0,02 Ом, а сопротивление соединительных проводов равно г = 0,01 Ом?
Какой будет ток в цепи 1\ при неправильном соединении аккумуляторов?
Амперметр с внутренним сопротивлением 凡4 = 2 Ом, подключенный к зажимам батареи, показывает ток /厶=5 А. Вольтметр с внутренним сопротивлением Rv = 150 Ом, подключенный к зажимам такой же батареи, показывает Uy = 12 В. Найти ток короткого замыкания Аз батареи.
Аккумулятор, ЭД С которого е = 25 В и внутреннее сопротивление г = 1 Ом, заряжается от сети напряжением U = =40 В через дополнительное сопротивление 7? = 5 Ом. Определить напряжение Ui на зажимах аккумулятора.
Аккумулятор с внутренним сопротивлением г = 1 Ом подключен для зарядки к сети напряжением U = 12,5 В. Найти
ЭД С аккумулятора, если при зарядке через него проходит ток / = 0,5 А.
При замыкании источника тока на резистор сопротивлением 5 Ом ток в цепи равен 0,5 А, а при замыкании на резистор сопротивлением 11 Ом ток равен 0,25 А. Определите ЭД С е и внутреннее сопротивление г источника.
Определить электродвижущую силу источника тока, если известно, что при увеличении внешнего сопротивления, замыкающего источник, в три раза напряжение на его зажимах увеличивается от U до 5 = 1,2и.
Через аккумулятор в конце зарядки течет ток /] = 4 А. При этом напряжение на его клеммах % = 12,8 В. При разрядке того же аккумулятора током 厶=6 А напряжение составляет 匕=11,1 В. Найти ток короткого замыкания 1К3.
Цепь состоит из аккумулятора с внутренним сопротивлением г и нагрузки сопротивлением R. Вольтметр, включенный последовательно и параллельно сопротивлению А, дает одно и то же показание. Определить сопротивление вольтметра Ry.
Найти ток короткого замыкания аккумулятора Аз, если при токе нагрузки 厶 он отдает во внешнюю цепь мощность а при токе А — мощность 乃.
К источнику с ЭД С е = 8 В подключена нагрузка. Напряжение на зажимах источника U = 6,4 В. Определить к.п.д. 〃 установки.
Источник тока с ЭД С € = 6 В и внутренним сопротивлением г = 1 Ом замкнут на сопротивление 7? = 11 Ом. Определите:
ток в цепи /;
напряжение на зажимах источника тока U;
развиваемую источником тока мощность F;
мощность, выделяющуюся на внешнем сопротивлении Pr.
Батарея с ЭД С е = 40 В и внутренним сопротивлением г = 5 Ом замыкается на внешнее сопротивление R, изменяющееся от 0 до 35 Ом. Построить график зависимости от внешнего сопротивления 7? и от силы тока в цепи Г.
мощности Pr, отдаваемой во внешнюю цепь;
мощности ?, выделяющейся внутри источника;
полной мощности F;
к.п.д. источника тока г/.
Найти, при каком значении сопротивления внешней цепи мощность, отдаваемая источником тока во внешнюю цепь, максимальна и каково значение величины тока при этом. ЭД С источника равна е, внутреннее сопротивление г.
Для определения внутреннего сопротивления гальванического элемента можно воспользоваться схемой, показанной на рисунке. Значение сопротивления R подбирается так, чтобы
гальванометр с заданным сопротивлением Rg давал одинаковые отклонения стрелки независимо от того, находится ли переключатель в положении А или В. Определить внутреннее сопротивление источника тока г.
Элемент с ЭД С е = 3 В при включении в цепь с сопротивлением 7? = 12 Ом создает на концах этого сопротивления напряжение U = 1,2 В. Определите, как нужно подключить второй такой же элемент, чтобы напряжение на концах сопротивления R было наибольшим. Чему равно это напряжение?
В цепи, схема которой показана на рисунке,凡= =50 Ом, Т?2 = ЮОО Ом, 7?з = 300 Ом, е = 1,5 В. Показания амперметра одинаковы, когда оба ключа замкнуты и когда оба разомкнуты. Найдите сопротивление R.
К задаче 2.95К задаче 2.95
К задаче 2.95
К задаче 2.95
Каково показание амперметра в цепи, схема которой показана на рисунке. Каким будет это показание, если амперметр и источник тока поменять местами? При каком условии показания амперметров будут одинаковыми в обоих случаях?
Вольтметр обладает несколькими диапазонами измерений. Большее или меньшее напряжение покажет вольтметр в
схеме на рисунке при переключении его на больший диапазон напряжений?
К задаче 2.97
Имеются два одинаковых вольтметра с сопротивлением R, шкала которых рассчитана на максимальное напряжение U. Какую ЭД С е можно измерить, имея под рукой только источник тока, эти два вольтметра и соединительные провода, сопротивлением которых можно пренебречь?
Имеются два одинаковых источника тока и один вольтметр с сопротивлением R, рассчитанный на максимальное напряжение U. Какую максимальную ЭД С е можно измерить, имея эти два источника, вольтметр и соединительные провода, сопротивлением которых можно пренебречь?
При подсоединении резистора 凡=50 Ом к батарее по нему идет ток 1\ = 26 мА, а при подключении резистора 必= =26 Ом ток равен А = 47 мА. Определите ЭД С е и внутреннее сопротивление г батареи.
Чему равна электродвижущая сила &з в цепи, показанной на рисунке, если замыкание и размыкание ключа К не приводит не к изменению токов.
В каком случае два различных гальванических элемента &1, &2, соединенных последовательно с внешним сопротивлением R, дадут меньший ток, чем один из этих элементов, включенных на то же сопротивление?
Источник тока с ЭД С, равной е = 3 В, при включении в цепь с внешним сопротивлением 7? = 12 Ом создает на концах этого сопротивления напряжение U = 1,2 В. В цепь включается второй такой же элемент. Как нужно подключить второй ис-
точник тока, чтобы напряжение U\ на сопротивлении R было наибольшим?
Два гальванических элемента с ЭД С / = 2 В, &2 = =1,5 В и внутренними сопротивлениями 门=0,2 Ом,小= =0,5 Ом включены параллельно сопротивлению R. Чувствительный гальванометр, включенный последовательно со вторым элементом, не обнаруживает тока. Определите величину сопротивления R и ток I в этом сопротивлении.
Два элемента с ЭД С / = 1,8 В п &2 = 1,4 В соединены последовательно и замкнуты на некоторое сопротивление. Вольтметр, нуль которого находится посредине шкалы, присоединен параллельно элементу с ЭД С &2 и показывает напряжение U = =0,6 В. При этом стрелка вольтметра отклоняется в ту же сторону, что и при разомкнутой внешней цепи. Пренебрегая сопротивлением соединительных проводов и током через вольтметр, определите, что покажет вольтметр при изменении полярности элемента с ЭД С &2 на противоположную.
Некоторое число п одинаковых источников тока, соединенных параллельно, подключены к внешнему сопротивлению. Если переключить полярность одного источника, то сила тока во внешнем сопротивлении уменьшится в 2 раза. Определите значение п.
В батарее, состоящей из п = 4 последовательно соединенных одинаковых аккумуляторов сопротивлением г каждый, вследствие повреждения резко возросло внутреннее сопротивление одного из них. При этом оказалось, что количество теплоты, выделяемой на нагрузке сопротивлением 7? = Зг за секунду, не изменяется при коротком замыкании поврежденного аккумулятора. Во сколько раз возросло внутреннее сопротивление поврежденного аккумулятора?
Найти отношение максимальных полезных мощностей Р\〔Р? двух цепей. В одной из них (Р» включено m одинаковых источников последовательно, а в другой (乃)п — параллельно.
В цепи, изображенной на рисунке, отсутствует ток в резисторе сопротивлением R = 4 Ом. Определите отношение Т?1/Т?2, пренебрегая внутренними сопротивлениями источников тока.
При подключении амперметра последовательно с сопротивлением 7? = 20 Ом непосредственно к батарее, внутренним сопротивлением которой можно пренебречь, стрелка амперметра отклоняется на всю шкалу. Когда же включение производится через потенциометр (см. рис.) с сопротивлением R\ = 100 Ом,
К задаче 2.110К задаче 2.110
К задаче 2.110
К задаче 2.110
причем Т?2 = 60 Ом, показание амперметра уменьшается в три раза. Определите внутреннее сопротивление амперметра Ra・
Два источника тока с ЭД С / n е2 pl внутренними сопротивлениями 门 и г? соединены последовательно и замкнуты на сопротивление R. Как изменится ток в сопротивлении А, если второй источник замкнуть накоротко?
Собрана электрическая схема, показанная на рисунке. Как изменятся показания вольтметра, если разомкнуть ключ К? Сопротивление вольтметра считать бесконечно большим.
ЯК задаче 2.112ЯК задаче 2.112К задаче 2.113К задаче 2.113
Я
К задаче 2.112
Я
К задаче 2.112
К задаче 2.113
К задаче 2.113
Собрана электрическая схема, показанная на рисунке. Как изменятся показания амперметра, если замкнуть ключ К?
Два одинаковых гальванических элемента с внутренним сопротивлением г = 0,2 Ом каждый и нагрузка сопротивлением R соединены параллельно. Если гальванические элементы соединить последовательно, то мощность, выделяющаяся в нагрузке, возрастет в К = 2,25 раз. Чему равно сопротивление нагрузки?
Динамомашина с ЭД С / = 12 В п внутренним сопротивлением 丁1 = 0,2 Ом заряжает батарею аккумуляторов с эдс €2 = Ю В и внутренним сопротивлением г? = 0,6 Ом. Параллельно батарее включена лампочка с сопротивлением R = =3 Ом. Какова сила тока в батарее 1g и в лампочке /〃？
К генератору с ЭД С / = 130 В и внутренним сопротивлением 门=5 Ом подключены параллельно батарея аккумуляторов с ЭД С €2 = ЮО В и внутренним сопротивлением 丁2 = 2 Ом и нагревательный прибор. Какой ток I идет через нагревательный прибор, если зарядный ток в батарее 1g = Ю А?
Гальванический элемент поочередно замыкается проволоками с сопротивлением 7?i = 4 Ом п 必=9 Ом. В обоих случаях количество тепла Q, выделяющегося в одной проволоке в единицу времени, одно и то же. Какое количество тепла Qi в единицу времени выделится, если включены сразу обе проволоки? Каково внутреннее сопротивление элемента г?
Между каждыми двумя из N точек включено сопротивление R. Какая мощность будет выделяться в этой сети, если к каким-либо двум точкам подсоединить источник ЭД С е, внутреннее сопротивление которого тоже А?
Три элемента включены параллельно сопротивлению R. Электродвижущие силы элементов / = 2 В, &2 = 1,7 В, &з = 1,6 В, а их внутренние сопротивления соответственно 门= = 0,3 Ом, Г2 = гз = 0,1 Ом. Включенный последовательно с элементом 方 чувствительный гальванометр не обнаруживает тока. Определить величину сопротивления R и силы токов во всех участках цепи.
Найти количество тепла Q, выделяющееся на сопротивлении 7?i, после перевода ключа из положения / в положение 2 в схеме на рисунке.
К задаче 2.120К задаче 2.120К задаче 2.121К задаче 2.121
К задаче 2.120
К задаче 2.120
К задаче 2.121
К задаче 2.121
В схеме, изображенной на рисунке, определите количество тепла, выделившееся на каждом сопротивлении после замыкания ключа. Вначале один конденсатор заряжен до напряжения U, другой не заряжен.
Пренебрегая внутренними сопротивлениями источников тока в схеме (см. рис.) найдите
мощность, выделяемую или поглощаемую каждым источником;
品=2 Ом
力=12 В6=6В
兄2 = 4 Ом
К задаче 2.122
количество теплоты, выделяющееся в единицу времени на каждом резисторе;
те же характеристики при изменении полярности одного из источников.
Батарея с ЭД С е = 4 В и внутренним сопротивлением г = 1 Ом включена во внешнюю цепь. Какое количество теплоты Q выделяется в единицу времени на внутреннем сопротивлении батареи, если подключенный к полюсам батареи вольтметр показывает напряжение:
U = 6 В, причем в той же полярности, что и при разомкнутой внешней цепи;
напряжение U = 2 В, причем в полярности, противоположной той, которая существует при разомкнутой внешней цепи?
Источник тока с внутренним сопротивлением г замкнут на сопротивление R. При этом в сопротивлении R выделяется на 10% меньше теплоты, чем это было бы при г = 0. Определите отношение г/R.
ЛЛК задаче 2.126К задаче 2.126Два аккумулятора, ЭД С которых &i = 57 В п &2 = =32 В соединены, как указано на рисунке. Чему равна разность потенциалов между точками а и &, если отношение внутренних сопротивлений аккумуляторов к = г^/г\ = 1,5?
Л
Л
К задаче 2.126
К задаче 2.126
К задаче 2.125
Определите заряд конденсатора в цепи, схема которой показана на рисунке.
Определить напряжение на каждом конденсаторе в приведенной схеме, если значения Ci, Q, &1, &2, 丁1, 丁2, R известны.
Каков заряд пластин конденсатора С в цепи, схема которой показана на рисунке? Выразите заряд конденсатора через обозначенные на рисунке величины.
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКА
Определите индукцию магнитного поля В на расстоянии 7? = 20 см от длинного прямого провода, по которому идет ток / = 5 А.
По двум длинным параллельным проводам, находящимся на расстоянии Z = 6 см друг от друга, текут в одном направлении токи I = 1,7 А. Определите индукцию магнитного поля в точке, отстоящей на 九=6 см от середины отрезка, соединяющего провода.
Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, в случае, когда токи в проводах направлены в противоположные стороны.
В замкнутом контуре длиной L идет ток I. Сравните индукцию магнитного поля в центре контура в случаях:
контур круговой;
квадратный;
равносторонний треугольник.
Провод длиной L свернут в круглую катушку с N витками. Каким магнитным моментом обладает катушка при токе /?
Вектор индукции однородного магнитного поля (В = =0,2 Тл) образует угол а = 30° с нормалью к поверхности круглого диска радиусом R = 4 см. Каков магнитный поток Ф через поверхность диска?
Найти магнитный поток Ф через цилиндрическую катушку радиусом 7? = 4 см с ^ = 300 круглыми витками, если вектор индукции однородного магнитного поля (В = 0,2 Тл) образует угол а = 30° с осью катушки?
Два прямых провода длиной I = 50 см расположены параллельно друг другу на расстоянии d = 1,5 мм. По проводам идут токи 1 = 15 А в противоположных направлениях. С какой силой F отталкиваются провода?
Четыре длинных прямых параллельных провода расположены вдоль ребер квадратного параллелепипеда со стороной квадрата, равной а. По проводам идут одинаковые токи I. Определите силу £ действующую на единицу длины проводов, если
все токи направлены в одну сторону;
токи, прилегающие к одной стороне квадрата, направлены в противоположные стороны.
По длинному тонкому прямому проводу идет ток I = =20 А. Электрон, находящийся на расстоянии d = 1 см от оси
провода, движется со скоростью V = 5 • 106 м/с. Какая сила F действует на электрон, если он движется
по радиусу от провода;
параллельно проводу в том же направлении, что и ток в проводе;
перпендикулярно проводу по касательной к окружности, проведенной вокруг провода?
Бесконечно длинный провод, по которому идет ток, изогнут так, как показано на рисунке. При каком расстоянии h индукция магнитного поля в центре окружности равна нулю, если А = 10 см?
По бесконечно длинному проводу, совпадающему с осью 2, идет ток 20 А. Второй бесконечно длинный провод, параллельный оси г, проходит через точку 力о = 10 см на оси х.
Каков ток во втором проводе, если индукция магнитного поля в точке х = 2 см на оси х равна нулю?
Какова магнитная индукция в точке х = 5 см на оси 力?
Какая магнитная сила F действует на протон, движущийся со скоростью V = 4,46 • 106 м/с в положительном направлении оси х в магнитном поле с индукцией В = 1,75 Тл, направленной в положительном направлении оси г?
Какая сила F действует на прямолинейный отрезок провода длиной Z = 2 м, образующий угол а = 30° с индукцией однородного магнитного поля В, равной 0,5 Тл, если по проводу идет ток в 1 = 2 А?
По длинному прямому проводу идет ток 8,5 А в положительном направлении оси х. Вектор индукции однородного магнитного поля (В = 1,65 Тл) направлен вдоль оси у. Какая сила действует на единицу длины провода?
На линейный проводник длины I, расположенный перпендикулярно вектору индукции однородного магнитного поля, действует сила /, если ток в проводнике равен I. С какой
силой F магнитное поле будет действовать на изогнутый под углом 夕 проводник длиной I + L, если через этот проводник проходит ток 厶，а плоскость изгиба
параллельна вектору магнитной индукции;
перпендикулярна вектору магнитной индукции?
На какой угол а от вертикали отклонятся тонкие нити, на которых горизонтально подвешен проводник длиной I и массой т (см. рис.), если по нему пропустить ток I при наличии однородного вертикального магнитного поля с индукцией В?
Квадратная рамка со стороной I закреплена так, что может свободно вращаться вокруг горизонтально расположенной стороны. Масса каждой из сторон рамки равна т. На какой угол а от вертикали отклонится рамка, если по ней пропустить ток I и поместить ее в однородное вертикальное магнитное поле с индукцией В?
По кольцу радиуса R, сделанному из тонкой проволоки сечением S, течет ток I. Кольцо помещено в однородное магнитное поле с индукцией В, перпендикулярной плоскости кольца. Определить механическое напряжение а в кольце.
Контур с текущим по нему током расположен в неоднородном магнитном поле. Направление тока показано стрелкой (см. рис.). Линии индукции магнитного поля симметричны отно-
сительно нормали к плоскости витка, проведенной через центр контура. Как будет двигаться контур?
Электрон с кинетической энергией VK = 45 кэВ движется по круговой орбите, лежащей в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции (В = 0,325 Тл).
Каков радиус орбиты?
Каковы период и частота обращения электрона?
Частица массой т, обладающая электрическим зарядом q, влетает в область, где существует однородное магнитное поле с индукцией В. Скорость частицы V составляет угол а с индукцией магнитного поля. Покажите, что частица будет двигаться по винтовой линии. Определите радиус окружности R, получающейся при проектировании траектории на плоскость, перпендикулярную индукции магнитного поля и время 九 за которое частица проходит один шаг спирали.
Заряженная частица влетает в однородное магнитное поле под углом а = 45° к линиям магнитной индукции и движется по винтовой линии. Найти радиус R винтовой линии, если шаг винтовой линии (смещение вдоль винтовой линии за один оборот) h = 6,28 см.
Заряженная частица помещена без начальной скорости в область, где постоянное однородное электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны. Напряженность электрического поля равна Е, индукция магнитного поля В, заряд частицы q, ее масса т. Описать движение частицы.
Заряженная частица движется в однородных взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях. В некоторый момент времени ее скорость V。перпендикулярна Е и В. При этом выполняется условие E/(%2) « 1. В те моменты времени, когда скорость частицы направлена противоположно Vo, отношение кинетической энергии частицы к ее начальной кинетической энергии равно 仪 Определить по этим данным E/(VqB).
Пусть в некоторой системе отсчета постоянный магнит и заряд покоятся. Если других полей нет, то заряд будет оставаться неподвижным, так как на неподвижный заряд магнитная сила не действует. Перейдем в новую систему отсчета, движущуюся со скоростью V относительно исходной. В этой системе отсчета и магнит, и заряд движутся. Теперь на движущийся заряд действует магнитная сила, и он должен прийти в движение относительно магнита. Увидим ли мы в разных системах отсчета различные картины?
Пучок протонов движется со скоростью V = 12,4 км/с в положительном направлении оси х в магнитном поле с индукцией В = 0,85 Тл, направленной по оси у.
Каково направление и значение напряженности электрического поля, компенсирующего действие магнитной силы?
Будет ли отклоняться пучок электронов, движущийся в этих полях? Если да, то в какую сторону?
Радиус дуантов циклотрона, используемого для ускорения протонов, составляет 0,7 м, а индукция магнитного поля равна 1,4 Тл.
Какова частота обращения протонов в циклотроне (циклотронная частота)?
До какой энергии можно разгонять протоны в таком циклотроне?
Как изменятся ответы на эти вопросы, если в циклотроне будут разгоняться дейтроны, которые имеют такой же заряд, что и протоны, но вдвое большую массу?
В масс-спектрографе (см. рис.) заряженные частицы ускоряются на участке ab электрическим полем и, попав в по-
В
@「@ @ \
—0*匸L -
К задаче 3.29
стоянное магнитное поле с индукцией В, описывают окружность радиусом R. Найти удельный заряд частицы q/m, если ускоряющее напряжение равно U. Начальную скорость частицы считать равной нулю.
Пучок ионов, состоящий из изотопов 6Li и 7Li, движущихся с одинаковыми скоростями, попадает в однородное магнитное поле масс-спектрометра. Каков будет диаметр орбиты D? ионов 7Li, если диаметр орбиты ионов 6Li В = 15 см?
Однозарядный положительный ион никеля 58Ni ускоряется разностью потенциалов [/ = 3 кВ и попадает в масс- спектрограф с индукцией магнитного поля, равной В = 0,12 Тл.
Каков радиус кривизны г его орбиты в спектрографе?
На сколько отличаются радиусы кривизны г и R ионов изотопов 58Ni и 60Ni?
При помещении металлической пластинки, по которой идет ток, в постоянное однородное магнитное поле (см. рис.) на движущиеся заряды действует магнитная сила, в результате чего на поверхности появляется электрический заряд (эффект Холла).
Какая разность потенциалов устанавливается между крайними точками поперечного сечения пластины?
Можно ли судить о знаке заряда носителей тока в пластине по эффекту Холла?
Какова концентрация носителей тока в пластине, если ток в пластине I, индукция магнитного поля В, ширина пластины I, ее толщина d, поперечная разность потенциалов %, а ток возникает в результате движения свободных электронов?
По металлической пластине толщиной d = 0,1 см и шириной Z = 2 см идет ток / = 20 А при индукции магнитного поля В = 2 Тл. Возникающая холловская разность потенциалов составляет U = 4,27 мкВ (см. рис.).
Какова скорость движения электронов в пластине?
Какова концентрация свободных электронов?
В крови содержатся ионы, так что в ней возможно наблюдать эффект Холла. В большой артерии диаметром D = =0,85 см скорость крови составляет V = 0,6 м/с. Если индукция магнитного поля равна В = 0,2 Тл, какая разность потенциалов U возникает по диаметру артерии?
Металлический провод длиной I = 30 см движется со скоростью 卜=8 м/с перпендикулярно вектору магнитной индукции (В = 0,05 Тл).
Какая магнитная сила F^ действует на электроны в проводе?
Какова напряженность Е электрического поля, возникающего в проводе при этом движении?
Каково напряжение U между концами проводника?
При какой скорости движения провода 吒 напряжение на его концах 5 = 6 В?
Каковы электрическая We, магнитная Wm и полная энергия W в объеме V = 1 м3, где создано электрическое поле с напряженностью Е = 104 В/м и магнитное поле с индукцией В = 1 Тл?
Индукция магнитного поля равна В = 12 Тл. Какова напряженность электрического поля Е, в единице объема которого сосредоточена такая же энергия, что и у магнитного поля?
Проводящий контур в форме квадрата со стороной, равной I, лежит в одной плоскости с длинным прямым проводом, параллельным двум сторонам витка. Определите взаимную индуктивность витка и длинного провода, если расстояние длинного провода от ближайшей стороны витка составляет X.
ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ
На катушку радиусом г = 5 см намотано ^ = 80 витков провода, обладающего сопротивлением 7? = 30 Ом. С какой скоростью должна изменяться индукция пронизывающего катушку магнитного поля В, чтобы ток в обмотке I равнялся 4 А?
Плоский проволочный виток, имеющий площадь S и сопротивление R, находится в однородном магнитном поле с индукцией В. Направление вектора магнитной индукции перпендикулярно плоскости витка. Магнитное поле исчезает с постоянной скоростью за время t. Какое количество теплоты Q выделится в витке?
Заряд Q равномерно распределен по тонкому непроводящему кольцу, которое лежит на гладкой горизонтальной плоскости. Индукция магнитного поля, перпендикулярная плоскости кольца, меняется от 0 до В. Масса кольца т. Какую угловую скорость вращения s приобретет кольцо?
Проволочную катушку, содержащую N витков, поме
щают в однородное магнитное поле так, что линии индукции перпендикулярны плоскости витков, и с помощью гибких проводников подсоединяют к гальванометру. При быстром удалении катушки из магнитного поля по цепи протекает заряд q, измеряемый гальванометром. Найти индукцию магнитного поля В. Все витки имеют одинаковую площадь. Полное сопротивление цепи равно R.
Из плоского проволочного витка, имеющего сопротивление R, один раз медленно, другой — в три раза быстрее выдвигают магнит. Одинаковую ли работу совершает внешняя сила, выдвигающая магнит?
В электрической цепи (см. рис.) включены последовательно источник тока с ЭД С е и нулевым внутренним сопротивлением, реостат и катушка индуктивности L. В цепи идет установившийся ток. В некоторый момент времени сопротивление реостата начинают менять таким образом, что ток в цепи уменьшается с постоянной скоростью Al/At. Чему равен ток в цепи при сопротивлении реостата А?
В электрической цепи включены последовательно источник тока с ЭД С е = 2,4 В и нулевым внутренним сопротивлением, реостат сопротивлением 7?о = 2 Ом и катушка индуктивности L = 1 Гн. В цепи идет установившийся ток 1°. В некоторый момент времени сопротивление реостата начинают менять таким образом, чтобы ток в цепи уменьшался с постоянной скоростью △//△方=0,1 А/с. Каково сопротивление реостата R спустя время t = 2 с после начала изменения тока в цепи?
Металлический провод длиной I может скользить без трения по металлическим рельсам, замкнутым на сопротивление R (см. рис.). Вся система помещена в однородное магнитное поле, вектор индукции которого перпендикулярен плоскости рисунка; В = 0,6 Тл,卜=8 м/с, I = 15 см, R = 25 Ом.
Какая ЭД С е возникает при движении провода?
Каков при этом ток I цепи?
Какая сила F необходима для равномерного движения провода?
Какая мощность Р выделяется на сопротивлении А, если сопротивлением рельсов и провода можно пренебречь?
Металлическая планка длины I может перемещаться без трения по оголенным проводам, замыкая электрическую цепь, как показано на рисунке. Найти силу тока I в цепи в момент, когда сопротивление всей цепи (включая внутреннее сопротивление источника тока с ЭД С е) равно А, а планка движется со скоростью V. Вся цепь помещена в однородное магнитное поле с индукцией В, перпендикулярной плоскости рисунка.
Металлическая планка длиной I и массой т может скользить по оголенным проводам, замыкая электрическую цепь, как показано на рисунке к задаче 4.9. Коэффициент трения скольжения планки по проводам равен 从.Вся цепь помещена в однородное магнитное поле, вектор индукции которого В перпендикулярен плоскости рисунка. В цепь включен источник ЭД С е. Внутреннее сопротивление источника и сопротивление планки равно R. Сопротивление проводов пренебрежимо мало.
Найти ускорение планки, когда ее скорость равна V.
Найти установившуюся скорость планки У\
Металлический стержень массой m и сопротивлением R может скользить без трения по двум параллельным проводящим рельсам, находящимся на расстоянии I друг от друга и наклоненным под углом 户 к горизонту. Индукция В магнитного
поля направлена вертикально вверх.
Какая тормозящая сила F, направленная вверх вдоль рельсов, действует на стержень?
Какова установившаяся скорость скольжения стержня?
Сопротивление обмотки якоря электромотора г = =1,5 Ом. На клеммы мотора подается напряжение U = 40 В. Когда мотор вращается с установившейся скоростью, ток в обмотке / = 2 А.
Какова ЭД С индукции е в обмотке якоря?
Чему равен ток 1g в момент пуска мотора?
Цилиндрическая обмотка генератора состоит из ^ = =50 витков диаметром D = 10 см и вращается в магнитном поле с индукцией В = 0,5 Т. При какой угловой скорости вращения якоря s максимальная ЭД С будет равна 50 В?
Длинная изолированная проволока свернута в плоскую спираль, имеющую N витков. Наружный радиус спирали равен г, а внутренний — нулю. Спираль находится в однород
ном магнитном поле, вектор индукции которого перпендикулярен
плоскости спирали. Индукция магнитного поля изменяется со временем по гармоническому закону B(t) = Bq sincjt. Какая ЭД С индуцируется между концами спирали?
Параллельно соединенные катушка индуктивности L и
резистор R подключены через ключ К к источнику ЭД С е и
внутренним сопротивлением г (см. рис.). В начальный момент
времени ключ К разомкнут и тока в цепи нет. Какой заряд q протечет через резистор после замыкания ключа? Сопротивлением катушки индуктивности пренебречь.
Две катушки индуктивности L\ и % подключены через ключи К\ п К2 K источнику с ЭД С е и внутренним сопротивлением г (см. рис.). Сопротивлением катушек индуктивности пренебречь. После того, как замкнули
ключ К\ и ток через катушку 厶 достиг значения %, замыкают ключ К?. Найти установившиеся токи через катушки.
Трансформатор, имеющий ^l = 500 витков в первичной обмотке, рассчитан на напряжение Ui = 120 В. Из вторичной обмотки необходимо сделать три вывода с напряжениями равными 2,5 В; 7,5 В и 9 В. Сколько витков вторичной обмотки соответствуют каждому из выводов?
С помощью повышающего трансформатора питают электростатический воздушный фильтр. Трансформатор повышает напряжение как 43 : 1. На первичную обмотку подается напряжение 120 В, а ток во вторичной обмотке равен 1,5 • 10-3 А. Какую мощность потребляет воздушный фильтр?
Электрический звонок рассчитан на силу тока I = 0,4 А при напряжении U = 6 В. Для его питания используется трансформатор, первичная обмотка которого содержит ^l = 2000 витков и подключается к источнику питания с напряжением Ui = =120 В. Чему равно число витков N? во вторичной обмотке и какой ток 厶 будет протекать по первичной обмотке?
На железный сердечник, форма которого показана на рисунке, намотаны две одинаковые обмотки. Магнитный поток,
К задаче 4.20
создаваемый каждой катушкой, не выходит из железного сердечника и делится поровну между разветвлениями. Чему равно напряжение на второй катушке, если первая включена в цепь переменного тока напряжением U?
На симметричный железный сердечник, показанный на рисунке, намотаны две катушки. При включении катушки / в сеть переменного тока напряжение на зажимах катушки 2 — % = 13,2 В. При включении катушки 2 в ту же сеть напряжение
на зажимах катушки 1 — U\ = 120 В. Магнитный поток, создаваемый каждой обмоткой, не выходит из железного сердечника и делится поровну между разветвлениями. Чему равно отношение чисел витков катушек N2/N1?
На железный сердечник трансформатора вместо вторичной обмотки надето проводящее кольцо сопротивлением R.
К точкам А и В этого кольца, отстоящим друг от друга на 1/3 его длины, подключен идеальный вольтметр. Что покажет этот вольтметр, если ЭД С индукции, наводимая в кольце, равна е?
Число витков во вторичной обмотке трансформатора с замкнутым сердечником в п = 2 раза больше числа витков в первичной обмотке. При включении первичной обмотки в сеть с напряжением Ui = 100 В на концах разомкнутой вторичной обмотки существует напряжение % = 197 В. Каким будет напряжение на концах разомкнутой вторичной обмотки 码，если использовать в трансформаторе сердечник того же размера, но из материала с магнитной проницаемостью 从 в к = 10 раз меньше, чем в первом случае?
В длинном соленоиде на единицу длины приходится N витков. Ток в соленоиде изменяется по закону I = lg sincjt. Круглое поперечное сечение соленоида имеет радиус R. Определите значение напряженности индуцируемого электрического поля Е на расстоянии г от оси соленоида: а) г < 7?; б) г > 7?.
Конденсатор состоит из двух плоских параллельных квадратных пластин со стороной а = 30 см. С какой скоростью
должно изменяться электрическое поле Е, чтобы ток смещения составлял А = Ю-3 А?
Две параллельные круглые пластины радиусом R расположены на расстоянии d друг от друга. Они заряжаются от источника питания, напряжение которого изменяется со скоростью △U/△九 Пренебрегая краевым эффектом, определите индукцию магнитного поля на расстоянии г〉R от оси пластины.
Протон движется с постоянной скоростью V внутри длинного прямого соленоида параллельно его оси на расстоянии R от нее. На соленоид подается постоянное напряжение, так что за очень короткое время г в нем создается однородное магнитное поле с индукцией В. Опишите дальнейшее движение протона, если за время г можно пренебречь его смещением.
ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК
К катушке индуктивностью 40 мГн прикладывается синусоидальное напряжение с амплитудным значением 120 В. Определите сопротивление катушки Х^ п амплитудное значение тока в цепи I。при частоте
60 Гц;
2000 Гц.
К конденсатору емкостью 20 мкФ приложено синусоидальное напряжение с амплитудным значением 100 В. Определите сопротивление конденсатора X。и амплитудное значение тока в цепи То при частоте
60 Гц;
2000 Гц.
К последовательной 7?ЬС-цепи, состоящей из резистора 7? = 20 Ом, катушки индуктивности L = 2 Гн и конденсатора С = 2 мкФ подается синусоидальное напряжение с максимальным значением Uq = 100 В и переменной частотой. Определите
резонансную частоту %;
максимальное значение тока в цепи /();
сдвиг фазы между напряжением и током при частоте ^ = =60 Гц.
Какую среднюю мощность Р развивает источник питания в предыдущей задаче при частоте 60 Гц?
Определите максимальные значения напряжения на резисторе, индуктивности и емкости в условиях задачи 5.3 на резонансной частоте.
На последовательную 7?С-цепь подается переменное напряжение U = Uq coscjt. Определите амплитуду напряжения на конденсаторе Uc как функцию частоты
К последовательной 7?ЬС-цепи, содержащей конденсатор емкостью С = 5,1 мкФ, подключен генератор с напряжением U = 11 В. На резонансной частоте ^ = 1,3 кГц рассеиваемая мощность составляет F = 25 Вт. Определите:
индуктивность L;
сопротивление А;
сдвиг фаз между током и напряжением 夕 при частоте генератора / = 2,31 кГц.
Сколько конденсаторов, одинаковых с уже включенным в последовательную RLC-ц^ъ, нужно добавить в эту цепь, чтобы
резонансная частота увеличилась в три раза? Как их следует включить?
Резистор сопротивлением R = 108 Ом, конденсатор емкостью С = 0,2 мкФ и катушка индуктивности с Е = 5,42 мГн подсоединены последовательно к генератору напряжением U = =26 В. Ток в цепи равен I = 0,141 А. Какова частота генератора Z7?
Катушка обладает сопротивлением 7? = 80 Ом, будучи включенной в цепь постоянного тока. Ее импеданс Z на частоте и = 1 кГц равен 200 Ом. Пренебрегая емкостным сопротивлением катушки на такой частоте, определите индуктивность L катушки.
Резистор и катушка с индуктивностью Е = 1,4 Гн соединены последовательно и включены в цепь переменного тока с частотой г/ = 60 Гц. Напряжение на резисторе составляет Ur = =30 В, а на катушке индуктивности Ul = 40 В.
Каково сопротивление R резистора?
Каково напряжение U в сети?
Через катушку идет ток 厶=15 А, когда на нее подается напряжение Ц\ = 220 В при частоте ^ = 60 Гц. Когда катушку соединяют последовательно с резистором сопротивлением г = 4 Ом и подключают к источнику постоянного тока с напряжением % = Ю0 В, то спустя некоторое время ток в цепи устанавливается на отметке 厶=Ю А.
Каково активное сопротивление катушки А?
Какова индуктивность катушки Е?
Трансформаторы могут использоваться для согласования импедансов. Например, импеданс на выходе стереофонического усилителя должен быть согласован с импедансом акустической колонки. Покажите, что ток 厶 в первичной обмотке согласующего трансформатора связан с напряжением на первичной обмотке Ui и импедансом г вторичной обмотки соотношением:
(Nl/N2『2
где ^l и ^2 — число витков в первичной и вторичной обмотках.
Когда последовательная 7?ЬС-цепь подключается к источнику питания с напряжением U = 120 В и частотой ^ = 60 Гц, ток в цепи составляет 1 = 11 А и опережает по фазе напряжение на 夕=7г/4.
Какова потребляемая цепью мощность F?
Каково ее активное сопротивление А?
Какова емкость конденсатора, если индуктивность катушки составляет L = 0,05 Гн?
Какую индуктивность 厶 или емкость G нужно добавить в цепь, чтобы ликвидировать сдвиг фаз между током и напряжением?
При включении одной обмотки трансформатора в сеть переменного тока с напряжением U\ напряжение на зажимах другой обмотки равно U. Каким будет напряжение на зажимах первой обмотки U', если вторую включить в цепь переменного тока с напряжением U?
При подключении резистора к генератору переменного тока средняя тепловая мощность, рассеиваемая в резисторе, Д)= =1 Вт. Когда последовательно с резистором подключается конденсатор, рассеиваемая мощность составляет /^ = 0,5 Вт. Когда вместо конденсатора последовательно с резистором включается катушка индуктивности, рассеиваемая мощность Р? = 0,25 Вт. Определите рассеиваемую мощность Р, когда последовательно с резистором включены и конденсатор, и катушка индуктивности.
При частоте приложенного напряжения, вдвое превышающей резонансную частоту последовательной 7?ЬС-цепи, импеданс цепи вдвое больше ее импеданса при резонансе. Определите отношения xl/R и xc/R^
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Конденсатор емкостью С = 2 мкФ заряжен до напряжения Од = 20 В м подсоединен к катушке с индуктивностью Е = 6 мкГн.
Какова частота колебаний z/?
Каково максимальное значение тока в цепи /()?
Катушку какой индуктивности нужно присоединить к конденсатору емкостью 80 мкФ, чтобы частота колебаний в получившемся контуре составляла 60 Гц?
Конденсатор емкостью 5 мкФ заряжен до напряжения 30 В и подсоединен к катушке с индуктивностью 10 мГн.
Какова энергия системы?
Какова частота колебаний в контуре?
Каков максимальный ток в цепи?
Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и двух одинаковых конденсаторов, включенных параллельно. При этом период собственных колебаний контура составляет Г = =40 мкс. Каков будет период колебаний, если конденсаторы включить последовательно?
В цепи, схема которой показана на рисунке, левый конденсатор заряжен до разности потенциалов 仄，а правый не
К задаче 6.5
заряжен. В момент t = 0 ключ замыкается. Найдите напряжение на каждом конденсаторе (5 на левом п % на правом) и на катушке индуктивности Ul как функции времени.
Катушка индуктивности в короткозамкнутой LC цепи пронизывается магнитным потоком Ф. Сначала ток в цепи отсутствует. В момент t = 0 внешнее магнитное поле выключается и обращается в нуль за промежуток времени, много меньший y/LC. Найдите ток в цепи как функцию времени.
Заряженный до напряжения Uq конденсатор С через ключ К подключается к двум параллельно соединенным катушкам с индуктивностями 厶 и 厶 как показано на рисунке.
После замыкания ключа через время, равное половине периода колебаний, полярность напряжения на пластинах конденсатора
сменит знак. Какие заряды % и 吏 протекут через катушки за это время? Чему равен период колебаний Г в системе?
Три одинаковые неподвижные металлические пластины расположены в воздухе на равных расстояниях d друг от друга (см. рис.). Площадь каждой из пластин равна S. На пластине / находится положительный заряд Q. Пластины 2 и 3 не заряжены и подключены через ключ К к катушке индуктивностью L. Определить максимальное значение тока через катушку после замыкания ключа /тах・ Расстояние между пластинами
мало по сравнению с их размерами. Омическим сопротивлением
катушки можно пренебречь.
Определите длину волны для
типичной амплитудно-модулированной радиоволны частотой 1000 кГц;
типичной частотно-модулированной волны частотой 100 МГц.
Какова частота рентгеновских лучей с длиной волны А = 0,1 нм?
В плоской бегущей электромагнитной волне, такой,
например, как свет, напряженность электрического и индукция магнитного полей связаны в СИ соотношением Е = сВ, где с = =1/,£0仰.Покажите, что в такой волне плотности электрической и магнитной энергии одинаковы.
Радиостанция, работающая на амплитудно-модулиро- ванных средних волнах, изотропно излучает в пространство энергию со средней мощностью 50 кВт. Каковы амплитудные значения напряженности электрического и индукции магнитного поля на расстоянии а) 500 м; б) 5 км; в) 50 км от станции?
Среднее расстояние от Земли до Солнца R = 1,5 х х 1011 м. Средняя мощность солнечного излучения, приходящаяся на единицу площади в верхних слоях земной атмосферы w = =1390 Вт/м2.
Определите полную мощность излучения Солнца Р, считая его изотропным в пространстве.
Какова амплитуда напряженности электрического поля Е и магнитной индукции В в электромагнитных волнах, приходящих от Солнца к земной атмосфере?
Цилиндрический пучок света от аргонового лазера имеет диаметр d = 2 мм. Средняя мощность лазера составляет Р = =0,75 Вт.
Какова максимальная напряженность Е электрического поля в световой волне?
Какая энергия W заключена в световом пучке длиной I = =2,5 м?
VIL ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
Свет от лазера с длиной волны А = 0,63 мкм падает по нормали на непрозрачную плоскую поверхность, имеющую две узкие параллельные щели, расстояние между которыми d = =0,5 мм. Определите ширину интерференционных полос Ах на экране, находящемся на удалении Z = 1 м от поверхности.
Тонкая пленка окрашивается в красный свет (А = =650 нм), если на нее смотреть вертикально вниз. Каков показатель преломления пленки п, если толщина пленки d = 300 нм?
Кольца Ньютона наблюдают с помощью стеклянной линзы радиусом кривизны А, которая лежит на плоской стеклянной пластинке с тем же показателем преломления. Картина интерференции наблюдается в отраженном свете. Какова связь между толщиной d воздушного зазора между линзой и пластинкой и номером п светлого интерференционного кольца?
На тонкую пленку с показателем преломления п падает пучок белого света под углом 户 к нормали. При какой минимальной толщине dmin пленка в отраженном свете будет окрашена? В какой цвет?
Плоскопараллельная тонкая пластинка с показателем преломления п》1 освещается через светофильтр, полоса пропускания которого АД ^ 2 нм. При какой максимальной толщине пластинки dmax в отраженном свете еще будет наблюдаться интерференция?
Пленка толщиной d ^ 0,01 мкм напылена в вакууме на подложку с показателем преломления меньшим, чем у пленки. Отражает ли пленка падающий на нее свет?
Каким должно быть наименьшее угловое расстояние между двумя точечными объектами, чтобы их можно было различить невооруженным глазом с диаметром зрачка 5 мм? Длину волны света считать равной 600 нм.
Телескоп-рефлектор в Маунт-Паломаре имеет в качестве объектива зеркало диаметром D = 508 см. Определите его разрешение на длине волны А = 550 нм.
Ширина щели d составляет 2 • 10-5 м. Свет с длиной волны А = 480 нм проходит через щель и падает на экран, расположенный на расстоянии I = 0,5 м. Какова ширина светлой полосы А, соседней с центральной светлой полосой в дифракционной картинке на экране?
В дифракционной картине от одной щели ширина центральной светлой полосы b в 450 раз больше ширины щели d, а расстояние от щели до экрана составляет 18000d. Определите отношение X/d, где А — длина волны света, если угловое направление 户 на темную полосу на экране мало, так что sin#
tg# 仇
Точечный источник света с длиной волны А расположен на расстоянии L от непрозрачной преграды с круглым отверстием радиусом R. На расстоянии S от преграды параллельно ей расположен плоский экран.
Сколько зон Френеля открыто для точки F на экране, лежащей на прямой, проходящей через источник света и центр круглого отверстия перпендикулярно экрану?
Тот же вопрос в случае падающей плоской волны (Е т т ОО).
Каким должен быть минимальный радиус R отверстия в предыдущей задаче, чтобы интенсивность света в точке Р была равна интенсивности Iq падающей волны?
На щель шириной d в непрозрачном экране падает плоская световая волна длиной А. На расстоянии S за щелью расположен экран. При какой ширине щели ее изображение на экране имеет минимальную ширину?
Период дифракционной решетки d = 2,2 мкм. Решетка облучается светом, содержащим все длины волн от Ai = 410 нм до 》2 = 660 нм. Радугоподобный спектр образуется на экране, отстоящем от решетки на расстояние I = 3,2 м. Какова ширина спектров первого Ai и второго & порядков?
Одна и та же дифракционная решетка используется в опытах со светом с длиной волны Ал и Ав. Главный максимум четвертого порядка для света с Да совпадает с главным максимумом третьего порядка для света с Ав，Определите отношение
Для дифракционной решетки с периодом d найти разность △夕 угловых направлений на главные максимумы т-го порядка для близких длин волн А и А + АД (АА/А « 1).
Две дифракционные решетки А и В с периодами dA и dp используются в одной и той же оптической установке при неизменном источнике света. Когда одна решетка заменяется на другую, то главный максимум первого порядка решетки А совпадает с главным максимумом второго порядка решетки В.
Определите отношение d^/dg.
Определите следующие два главных максимума решетки А, совпадающие с главными максимумами решетки В, и укажите их порядок.
Укажите порядки главных максимумов, которые не будут наблюдаться при использовании дифракционной решетки с периодом d = 9 мкм и шириной щели b = 3 мкм.
Длина волны лазера, используемого при проигрывании компакт-дисков, А = 630 нм. Дифракционная решетка диска дает лучи первого порядка, расходящиеся на расстоянии I = 3 мм от решетки на b = 1,2 мм друг от друга. Оцените расстояние d между штрихами решетки.
Определите полное число главных максимумов, которые можно наблюдать при дифракции плоской монохроматической волны с длиной волны А при использовании дифракционной решетки с периодом d = 4,5А.
Дифракционная решетка имеет N = 5620 штрихов на сантиметр. Плоский экран расположен на расстоянии I = 0,75 м от решетки. Какой должна быть минимальная ширина экрана L, чтобы на нем уместились все главные максимумы, расположенные по обе стороны от нулевого максимума, если длина волны света составляет Л = 471 нм?
Неполяризованный (естественный) свет проходит через три одинаковых поляризатора, оси которых последовательно повернуты на 30° относительно предыдущего поляризатора. После первого поляризатора напряженность электрического поля в световой волне равна Eq, а ее интенсивность составляет Iq.
Каковы Е и I после прохождения светом второго поляризатора?
После прохождения третьего поляризатора?
Две стопы стеклянных пластинок, используемые как поляризаторы, при параллельных плоскостях поляризации пропускают в п = 16 раз больше света, чем при скрещенных плоскостях. Определите степень поляризации 夕，т. е. отношение интенсивности поляризованного света к полной интенсивности прошедшего света, которую создает каждая стопа в отдельности.
Имеется система из N параллельных плоских прозрачных пластин. При падении света интенсивности Iq по нормали на одну из пластин часть света с интенсивностью а/。отражается, а часть с интенсивностью (1 — а)/。 проходит через пластину. Поглощение света в пластинах отсутствует. Определите интенсивность I света, прошедшего через N пластин.
VIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
§ 7. Прямолинейное распространение света. Отражение и преломление на плоской границе
Если пускать солнечный зайчик с помощью плоского зеркала прямоугольной формы, то на расположенной близко стене форма светового пятна повторяет форму зеркала, а на стене, расположенной далеко, светлое пятно имеет эллиптическую форму. Объясните, почему.
На какой угол повернется луч, отраженный от плоского зеркала, если
при неподвижном зеркале падающий луч повернется на угол а?
зеркало повернется на угол а при неподвижном падающем луче?
Рост членов вашей семьи попадает в диапазон от 1,2 м до 1,8 м. Каков должен быть размер плоского зеркала и на какой высоте нужно поместить его на вертикальной стене, чтобы каждый член семьи мог видеть себя в нем во весь рост?
Два плоских зеркала образуют между собой угол а. Падающий луч света лежит в плоскости, перпендикулярной плоскостям зеркал. На какой угол повернется падающий луч после отражения от обоих зеркал?
С какой точностью нужно установить перпендикулярно друг другу два плоских зеркала, чтобы направление отраженного луча отличалось от направления падающего луча не более, чем на 1°?
Чайка сидит на спокойной поверхности моря. К ней на глубине 九=5 м подплывает акула. На какое расстояние по горизонтали L может подплыть акула к чайке, прежде чем та сможет заметить акулу?
Как изменяется угол полного внутреннего отражения 1?с для кварца с показателем преломления 1,46 при помещении его в воду?
Луч света падает на стеклянную пластинку толщиной d = 20 мм с показателем преломления п = 1,5 под углом а = =64°1(У. Преломившись на первой поверхности пластины, луч отражается от ее задней поверхности и, преломившись вторично, снова выходит в воздух. Как велика длина пути s луча в стекле?
Луч света падает на плоскопараллельную прозрачную пластинку под углом 户 к нормали к пластинке. Как связана толщина пластинки d с показателем преломления п и смещением I луча после прохождения пластинки?
Рыба неподвижно стоит на глубине d = 0,55 м от поверхности воды. Вы смотрите вертикально вниз с высоты h = =1 м над поверхностью воды и хотите сфотографировать рыбу. На какое расстояние I следует сфокусировать фотоаппарат?
Человек смотрит на свое отражение в зеркале, положенном в воду. На какое расстояние I аккомодирован глаз человека, если он находится на высоте 九=10 см над уровнем воды, а зеркало — на глубине d = 8 см от уровня воды. Показатель преломления воды п = 1,33.
Монета лежит на дне бочки с водой на глубине 山= =1 м. На поверхность воды налили слой бензина толщиной ^2 = 20 см. На каком расстоянии от верхней поверхности бензина будет казаться лежащей монета, если смотреть вертикально вниз? Показатель преломления воды ni = 1,33, бензина — П2 = =1,50.
Задняя стенка домашнего аквариума представляет собой плоское зеркало и находится на расстоянии d = 30 см от передней стенки, толщиной которой можно пренебречь. Рыбка плавает в аквариуме посредине между передней и задней стенкой. Показатель преломления воды п = 1,33.
Каким кажется расстояние 厶 от рыбки до передней стенки аквариума?
Каким кажется расстояние %2 от изображения рыбки до задней стенки аквариума?
Каков истинный внутренний радиус стеклянной капиллярной трубки R, если при наблюдении сбоку он кажется равным г?
Можно ли что-нибудь увидеть через две смежные грани сплошного стеклянного куба с показателем преломления 1,5?
Вертикально расположенная рейка с нанесенными на нее делениями укреплена на дне водоема. Какой увидит эту рейку находящийся под водой без маски наблюдатель? Считать, что глаз расположен в точке S, находящейся на глубине h и на расстоянии I от рейки (см. рис.).
На кварцевый клин с углом при вершине а = 15°, падает из воздуха луч света под углом 户=30° к нормали к поверхности клина. Под каким углом 7 к нормали к другой поверхности луч выходит из клина в воздух? Коэффициент преломления кварца п = 1,5.
К задаче 8.16К задаче 8.16
К задаче 8.16
К задаче 8.16
На стеклянный клин перпендикулярно его грани падает узкий пучок света. Показатель преломления стекла п = 1,41, угол при вершине клина а = 10°. Сколько освещенных пятен будет видно на экране, поставленном за клином на некотором расстоянии от него?
Луч света проходит симметрично через призму с преломляющим углом а при вершине. Как связан угол поворота луча 夕 с углом а?
Призма с преломляющим углом а = 50° имеет угол наименьшего отклонения 夕=35°. Каким будет угол наименьшего отклонения 夕i, если погрузить эту призму в воду с показателем преломления п = 1,33?
Свет падает по нормали на грань стеклянного клина с малым углом 7 при вершине (см. рис.). На какой угол повернутся лучи, преломленные клином, при повороте падающих лучей на небольшой угол а вокруг ребра клина?
При падении на плоскую поверхность стекла с показателем преломления п луч света отражается от этой
поверхности и частично преломляется. При каком угле падения угол между отраженным и преломленным лучами будет прямым?
Используя формулу сферического зеркала, докажите, что:
изображение в выпуклом зеркале всегда мнимое;
прямое и уменьшенное по сравнению с предметом.
Косметическое зеркало должно давать мнимое изображение лица, увеличенное в Г = 1,5 раза, при помещении его на расстоянии d = 20 см от лица. Каким должен быть радиус
кривизны сферического зеркала R, предназначенного для этой цели? Должно оно быть выпуклым или вогнутым?
Предмет поместили перед вогнутым зеркалом с фокусным расстоянием F. Изображение предмета получилось увеличенным в Г раз. Каково расстояние / от зеркала до изображения?
Сферическое зеркало отполировано с обеих сторон. Когда оно используется как выпуклое зеркало, увеличение составляет Г = 1/4. Каким будет увеличение 口，если зеркало будет использоваться как вогнутое при том же расстоянии между предметом и зеркалом?
Каким должен быть радиус кривизны R наружного выпуклого зеркала, в котором была бы видна панорама в 户= =140°, если смотреть с расстояния d = 1,6 м? Диаметр зеркала О = 40 см.
Показатель преломления атмосферы планеты уменьшается с высотой h над ее поверхностью по закону n = ng — —yh (九 « 九/т). На какой высоте Н над поверхностью планеты луч света, испущенный горизонтально, будет обходить планету, оставаясь на этой высоте? Радиус планеты R.
Тонкий пучок света, падающий на полушарие из стекла с показателем преломления п перпендикулярно его плоской грани, собирается в точку на расстоянии S от выпуклой поверхности полушария. На каком расстоянии S\ от плоской поверхности полушария соберутся лучи, если пустить пучок света с обратной стороны?
Тонкий пучок света, проходящий через центр стеклянного шара, фокусируется на расстоянии от центра шара, вдвое превышающем его радиус. Определить показатель преломления п стекла.
Радуга возникает при преломлении и отражении лучей света в водяных каплях. На рисунке показан путь луча света в капле. Луч входит в каплю в точке А, отражается от стенки капли в точке В и выходит из капли в точке С. Углы 1) и i)f — это угол падения и преломления света в точке А.
Определите углы падения и отражения света в точке В и углы падения и преломления в точке С.
Покажите, что угол отклонения света от своего направления равен 户一於 в точке А, тг — 2夕 в точке В и 1) — i)f в точке С. Чему равно полное отклонение А луча света каплей от его первоначального направления ?
Радуга образуется тогда, когда все лучи, лежащие внутри малого интервала d^ углов падения на различные капли воды, испытывают одинаковое отклонение А от первоначального на-
правления: dA/di? = 0. Чему равен критический угол 户с, при котором это происходит, если показатель преломления воды равен п? Каков угловой радиус радуги?
Показатель преломления воды для красного света равен 1,330. Определите 1?с и угол А. Нарисуйте ход красного луча в радуге.
Показатель преломления воды для фиолетового света равен 1,342. Определите & и угол А. Изобразите на предыдущем рисунке путь фиолетового луча. Наблюдатель будет видеть красный свет выше или ниже фиолетового?
§ 8. Линзы. Оптические приборы
На рисунке показаны тонкая собирающая линза, ее главная оптическая ось и фокус. Найти построением ход произвольного луча АВ после линзы.
К задаче 8.32
Близоруким или дальнозорким является человек, нормально видящий в воде?
Сняв очки, человек читает книгу, держа ее на расстоянии 山=16 см от глаз. Какова сила его очков?
Близорукий человек может различать предметы, находящиеся не дальше I = 3,62 м. Для исправления зрения он носит контактные линзы. На каком расстоянии do от глаз должен поместить этот человек книгу, если он хочет комфортно читать ее, не снимая линз?
Дальнозоркий человек пользовался для чтения очками с оптической силой О = +2 диоптрии, надевая их на расстояние Z = 2 см от глаз. С течением времени дальнозоркость прогрессировала и теперь приходится держать книгу на расстоянии d = =80 см от глаз. Составьте рецепт новых очков для чтения.
Человек, страдающий дальнозоркостью, не может отчетливо видеть предметы, расположенные ближе к глазам, чем на расстоянии di = 145 см. Каково фокусное расстояние линз очков, которые позволяют ему читать газету на расстоянии d = =32 см от глаз, если очки расположены на расстоянии Z = 2 см от глаз?
При каком условии расстояние между предметом и его действительным изображением, полученным с помощью собирающей линзы, будет наименьшим? Чему равно это расстояние Е?
На каком расстоянии от собирающей линзы с фокусным расстоянием F следует поместить предмет, чтобы добиться т- кратного увеличения?
Собирающая линза дает изображение предмета на экране. Не меняя расстояния L между предметом и экраном, перемещают линзу таким образом, что на экране возникает новое изображение предмета, в п раз больше первого. На какое расстояние А передвинули линзу?
Собирающая линза дает изображение лампы, увеличенное в п = 2 раза. Когда линзу приблизили на А = 36 см ближе к экрану, она дала изображение, в п = 2 раза уменьшенное. Найти фокусное расстояние линзы.
Предмет находится на расстоянии 20 см от собирающей линзы, давая резкое изображение на экране. Если передвинуть предмет на 4 см ближе к линзе, то для получения резкого изображения экран нужно удалить от линзы на 2,7 см. Определите фокусное расстояние F линзы.
Оптическая система состоит из тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 1 м и плоскопараллельной прозрачной пластины толщиной h с показателем преломления п = 1,33. Пластина перпендикулярна главной оптической оси линзы. Тонкий цилиндрический пучок параллельных световых лучей с радиусом г = 0,5 см распространяется вдоль главной оптической оси и фокусируется в точке, находящейся на задней
поверхности пластины. При каких значениях h это возможно? Найти радиус R светлого пятна на передней поверхности пластины, когда 九=30 см.
Оптическая система дает действительное изображение предмета. Куда нужно поместить собирающую линзу с фокусным расстоянием F = 25 см, чтобы изображение стало мнимым и увеличенным в m = 4 раза?
С помощью линзы получено изображение Солнца. Диаметр изображения d = 3 мм, а расположено оно на расстоянии Z = 32 см от линзы. Известно, что продолжительность земного года составляет Г = 365 суток, а расстояние от Земли до Солнца есть R = 1,5 • 108 км. Вычислить по этим данным ускорение свободного падения у поверхности Солнца.
Две тонкие линзы с фокусными расстояниями Fi = =卫=10 см помещаются на одной оси на расстоянии I = =15 см друг от друга. На каком расстоянии /2 от второй линзы находится даваемое этой системой изображение предмета, расположенного на расстоянии di = 15 см перед первой линзой? Постройте ход лучей в системе.
Светящаяся точка находится на расстоянии d от собирающей линзы и на расстоянии h от ее главной оптической оси; при этом она движется со скоростью V. Найти скорость движения изображения светящейся точки, если фокусное расстояние линзы равно F.
Монета расположена слева от собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см на расстоянии 15 см от линзы. Вторая такая же линза расположена справа от первой. Каково расстояние между линзами L, если изображения даваемое всей системой, имеет тот же размер и ориентацию, что и монета?
Две тонкие линзы с фокусными расстояниями Fi и 7^ сложены вместе. Каково фокусное расстояние получившейся системы?
Система состоит из двух одинаковых линз, находящихся на одной оптической оси. Расстояние между линзами равно I, их фокусное расстояние F. Найдите фокусное расстояние системы при I « F.
Предмет высотой h = 0,75 см расположен слева от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F = —8 см на расстоянии d = 12 см от линзы. Справа на расстоянии А = 8 см от этой линзы расположена собирающая линза. Изображение, даваемое этой системой, мнимое и расположено на расстоянии Z = 29 см слева от рассеивающей линзы. Определите:
фокусное расстояние собирающей линзы Fi；
размер мнимого изображения Н.
Двояковыпуклая линза сделана из стекла с показателем преломления п и имеет одинаковые радиусы кривизны R обеих поверхностей. Затем одну из поверхностей линзы посеребрили, превратив ее в зеркальную. Параллельный пучок света пускается с прозрачной стороны. Определите фокусное расстояние F такой линзы-зеркала.
Оптическая сила собирающей линзы (лупы) равна 12 диоптрий. Каким будет увеличение лупы, если:
изображение находится на бесконечности;
изображение находится на расстоянии do = 25 см от глаза?
Каков должен быть диаметр D линз оптического микроскопа, чтобы можно было различить амебу диаметром h = =0,1 мм, находящуюся от объектива на расстоянии d = 2 см?
Оптическая сила объектива микроскопа В = 45 диоптрий, а окуляра 。2 = 80 диоптрий. Расстояние между объективом и окуляром составляет Е = 28 см. Предполагая, что окончательное изображение, даваемое микроскопом, находится на расстоянии do = 25 см от глаза, определите увеличение микроскопа.
Объектив микроскопа имеет фокусное расстояние 冗6 = =75 см. На каком расстоянии будет промежуточное изображение предмета, находящегося на расстоянии d = 0,85 см от объектива? Каким будет увеличение объектива М)6? Фокусное расстояние окуляра F0K = 1,5 мм. Каково увеличение окуляра Мок? Каким будет увеличение всего микроскопа М?
Фокусное расстояние объектива микроскопа равно 冗6 = 4 мм. Объектив формирует изображение на расстоянии / = 224 мм от линзы. Каким следует сделать угловое увеличение окуляра Мок, чтобы полное угловое увеличение микроскопа составляло М = 550?
Иногда угловое увеличение микроскопа задается как произведение углового увеличения МОб объектива и углового увеличения Мок окуляра. Какая часть увеличения микроскопа
/ об/ок
где d() — расстояние наилучшего зрения, соответствует 此6, а какая Мок?
В микроскопе можно поменять местами окуляр и объектив, не изменяя углового увеличения инструмента, а изменив надлежащим образом расстояние L между окуляром и объекты-
вом. Выразите новое расстояние U через старое расстояние L и фокусные расстояния 冗6 старого объектива и /Ок старого окуляра.
Фокусное расстояние объектива телескопа равно F. Во сколько раз изменится угловое увеличение при наблюдении объектов, удаленных от телескопа на конечное расстояние S по сравнению с угловым увеличением при наблюдении бесконечно удаленных объектов?
Телескоп-рефрактор в Йоркской обсерватории в штате Висконти имеет объектив диаметром D = 102 см с фокусным расстоянием 冗6 = 19,4 м. Фокусное расстояние окуляра равно РОк = 10 СМ.
Каково угловое увеличение М телескопа?
Каков размер изображения Ои при наблюдении лунного кратера диаметром Во = 1500 м, если расстояние между Землей и Луной составляет d = 3,85 • 108 м?
На каком расстоянии d! кажется находящимся кратер при наблюдении его с помощью этого телескопа?
В телескопе-рефлекторе используется вогнутое зеркало с радиусом кривизны R = 2,4 м, угловое увеличение телескопа равно М = 360. Определите фокусное расстояние окуляра F0K.
Угловое увеличение телескопа-рефрактора М в 32800 раз больше в случае, когда вы смотрите в окуляр, чем увеличение Mi в случае, когда вы смотрите в объектив. Чему равно угловое увеличение телескопа М?
В астрономическом телескопе с увеличением М = 7 и расстоянием между объективом и окуляром L = 32 см определите фокусное расстояния объектива и окуляра.
Предмет фотографируют с помощью телеобъектива с фокусным расстоянием Fi = 50 см, находясь от него на расстоянии Si = 60 м. На каком расстоянии от предмета S? нужно расположить фотоаппарат, чтобы получить изображение такого же размера, если воспользоваться объективом с фокусным расстоянием F^ = Ъ см?
Мелкомасштабная модель (1 : 375) космического корабля фотографируется с помощью объектива с фокусным расстоянием F = 90 мм. Размер изображения на пленке совпадает с размером изображения реального космического корабля, сфотографированного с расстояния di = 10 м с помощью объектива с фокусным расстоянием Fi = 50 мм. На каком расстоянии от объектива d\ находилась модель космического корабля при фотографировании?
§ 9. Фотометрия
На пути пучка параллельных лучей поставлен экран, перпендикулярный оси пучка. В точке А экрана помещен индикатор, регистрирующий энергию излучения, приносимую в единицу времени на единицу площади экрана. Во сколько а раз изменится показание прибора, если перед экраном на расстоянии L от него поместить собирающую линзу так, чтобы точка А лежала на ее главной оптической оси?
К задаче 8.67
Точечный источник света расположен на расстоянии S от плоского экрана. Как изменится освещенность экрана в точке, находящейся на наименьшем расстоянии от источника света, если между источником и экраном поместить собирающую линзу с фокусным расстоянием F = S/4 на расстоянии I от источника? При каком I освещенность будет максимальной?
Большая картина фотографируется сначала целиком, а затем деталь картины фотографируется в натуральную величину. Как следует изменить выдержку при изменении масштаба?
При помощи одной и той же линзы получены два изображения одного и того же предмета с увеличением К\ = 5 и К? = 2. Как отличаются освещенности экрана 闺/纤）в месте получения этих изображений?
Каким должно быть время экспозиции ti при фотографировании чертежа с линейным увеличением ni, если при фотографировании с увеличением П2 использовалась выдержка 方2?
Сначала фотографируется близкий объект, а затем удаленный. Как нужно изменить время экспозиции?
Собирающая линза с фокусным расстоянием F = 20 см освещается широким параллельным пучком света. За линзой на расстоянии Z = 30 см от нее расположено плоское зеркало, перпендикулярное оптической оси линзы. После отражения от зеркала на линзу снова попадает 20% светового потока, прошедшего через линзу. На каком расстоянии от линзы 厶 следует поместить то же зеркало, чтобы после отражения от зеркала
на линзу падало только 10% прошедшего через нее светового потока?
Крупинка металла совмещена с изображением точечного источника света, даваемого собирающей линзой. Когда источник света находится на расстоянии di от линзы, крупинка нагревается на △灯 за секунду. На сколько градусов нагреется за одну секунду эта крупинка, совмещенная с изображением того же источника света, если последний находится на расстоянии ^2 от линзы? Считать, что расстояния di и d? много больше фокусного расстояния линзы: d\, d^^ F.
Высота Солнца над горизонтом изменяется от угла &1 до &2・ Как изменяется при этом освещенность поверхности Земли?
Лучи Солнца освещают экран. Как изменится освещенность экрана, если на нем получить изображение Солнца с помощью линзы с фокусным расстоянием F = 25 см и диаметром 0 = 6 см? Угловой размер Солнца а 〜0,01.
Интенсивность света маяка на расстоянии I умещается из-за тумана на 10%. Оцените концентрацию водяных капель в тумане, если радиус одной капли равен г.
СТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Какова скорость частицы, которая проходит расстояние в 6 световых лет в течение времени на 2 года большего, чем свет?
Собственное время жизни пиона (в системе отсчета, где он неподвижен) составляет tq = 2,6 • 10-8 с. Затем он распадается на другие частицы. Каково время жизни пиона в лабораторной системе отсчета г, где его скорость о = 0,67с?
Космический корабль проходит через солнечную систему со скоростью 0,85с относительно Земли. Сколько часов, измеряемых по часам корабля, содержится в земных сутках, если
корабль движется к Земле;
удаляется от Земли
Ближайшая к солнечной системе звезда Альфа Центавра находится на расстоянии примерно /()= 4,00 световых лет.
Каким будет это расстояние I в системе отсчета, связанной с космическим кораблем, покидающим Землю со скоростью о = =0,5с?
Сколько времени to займет путешествие на эту звезду по земным часам?
по часам на космическом корабле 方？
Каким “кажется” проделанный путь электрону, прошедшему 3,2 км в стэндфордском линейном ускорителе со скоростью 0,9998 с?
С какой скоростью движется метровый стержень, если его длина составляет 0,5 м?
Два космических корабля, движущихся равномерно навстречу друг другу, фиксируют 10%-ное сокращение длины встречного корабля. С какой скоростью о сближались корабли?
Космический корабль с собственной длиной /()= 130 м пролетает мимо космической станции со скоростью о = 0,74с. Какова длина корабля I с точки зрения наблюдателей на космической станции? За какое время по часам станции At корабль пройдет мимо нее?
Прямоугольник имеет размеры 3 х 2 м. При движении вдоль прямоугольника он воспринимается как квадрат. Какими будут восприниматься размеры прямоугольника, если двигаться с той же скоростью в перпендикулярном направлении?
В двух точках некой инерциальной системы отсчета произошли два события, разделенные промежутком времени At.
Показать, что если эти события причинно связаны между собой в этой системе отсчета, то они будут причинно связаны в любой другой инерциальной системе отсчета.
Частица движется вдоль оси хг в системе отсчета Sr со скоростью г/ = 0,40с. Система отсчета Sr движется со скоростью V = 0,60с относительно системы отсчета S. Какова скорость частицы и в системе отсчета S?
Мюоны, движущиеся к Земле со скоростью и = 0,994с, наблюдаются из ракеты, удаляющейся от Земли со скоростью V = 0,25с навстречу мюонам. Какой воспринимается скорость мюонов s пассажирами ракеты?
Рассмотрим две галактики, удаляющиеся от нас в противоположных направлениях со скоростями и = 0,5с. Какой кажется скорость о одной из этих галактик наблюдателям с другой галактики?
Наблюдатель, движущийся со скоростью о относительно лабораторной системы отсчета, видит две частицы, движущиеся в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями и = 0,8с. В лабораторной системе отсчета одна из частиц неподвижна, а другая движется со скоростью v\. Каковы значения скоростей о и s?
Из наблюдений красного смещения спектральных линий следует, что квазар Qi удаляется от нас со скоростью v\ = =0,800с, а квазар Q2, движущийся в том же направлении,— со скоростью。2 = 0,400с. С какой скоростью о будет двигаться квазар Q2 относительно квазара Qi?
Электрон, движущийся со скоростью о = 0,992с, испытывает лобовое столкновение с позитроном, движущимся навстречу ему со скоростью и = 0,981с в лабораторной системе отсчета. С какой скоростью V они приближаются друг к другу?
Какова относительная скорость фотонов, движущихся в одном направлении?
Четыре килограмма воды нагреваются от 20℃ до 60℃.
Сколько теплоты необходимо для этого?
На сколько при этом увеличивается масса воды?
Большой современный город потребляет электрическую энергию со скоростью, соответствующей мощности Р = 109 Вт. В течение какого времени Г может снабжаться электроэнергией этот город при превращении в электрическую энергию массы покоя m = 1 г?
Мощность, излучаемая Солнцем, составляет Р = 3,92 х х 1026 Вт.
Какая масса Ат расходуется для этого в течение 1 с?
Какая часть а массы Солнца, равной Мс = 1,99 • 1030 кг, расходуется на излучение в течение человеческой жизни, составляющей t = 75 лет.
Какой наименьшей кинетической энергией должны обладать протоны в ускорителе на встречных пучках, чтобы была возможной реакция рождения антипротонов:夕+ +夕+ т 3夕+ + +0一？
Две элементарные частицы испытывают лобовое столкновение. В лабораторной системе отсчета релятивистская масса каждой частицы составляет m = 3,6 • 10-25 кг, а скорость равна и = 2,4 • 108 м/с.
Какова скорость о одной частицы относительно другой?
Какова релятивистская масса mi движущейся частицы в системе отсчета, где вторая частица неподвижна?
Электрон (энергия покоя 石。=mgc2 = 0,511 МэВ) движется со скоростью V = 0,8с. Определите его полную энергию Е, кинетическую энергию Ек и импульс р.
С какой скоростью о движется частица с энергией Е, если ее энергия покоя равна Ед?
Какова масса электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U = 30 кВ в трубке цветного телевизора?
Нейтрон (масса покоя 7no = 1,675 • 10-27 кг) движется со скоростью V = 0,5с к неподвижной мишени в лабораторной системе отсчета. Каким импульсом обладает нейтрон относительно мишени?
Полная энергия частицы вдвое больше ее энергии покоя. Каков импульс частицы 夕？
Частица массой покоя mg имеет импульс, равный 7noe Какова скорость частицы? Какова ее кинетическая энергия?
Какая относительная ошибка а делается при использовании формулы 夕=m()v при определении импульса частицы, кинетическая энергия которой равна ее энергии покоя?
Выразите массу покоя 7no частицы через ее кинетическую энергию Ек и импульс р.
Как преобразуется плотность вещества при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой?
Среднее время жизни покоящегося мюона составляет то = 2,20 мкс, а движущегося в пучке из ускорителя — т = =6,90 мкс. Какова скорость мюона о в лабораторной системе отсчета? Его кинетическая энергия 石衣? Импульс? Масса покоя мюона 7no в 207 раз превосходит массу покоя электрона.
Частица массой покоя 7no и кинетической энергией Е^ налетает на такую же неподвижную частицу. Найти массу покоя Mq и скорость 〃 образования составной частицы.
Тело массой покоя 7no неподвижно. Второе тело такой же массы покоя, движущееся со скоростью о, неупруго соударяется с первым и слипается с ним.
С какой скоростью vf движется образовавшееся тело?
Какова масса покоя Mq образовавшегося тела?
Частица массой покоя mi = 2 МэВ/c2 и кинетической энергией Ек = 3 МэВ сталкивается с неподвижной частицей массой покоя m2 = 4 МэВ/c2. После столкновения частицы объединяются в одну. Определите:
начальный импульс 夕 системы;
конечную скорость о образовавшейся частицы;
массу покоя 7no образовавшейся частицы.
Гравитационное смещение частоты фотонов, движущихся в поле тяготения, в случае однородного поля определяется соотношением、и〔и =目(丑7修)，где Я — расстояние, проходимое фотоном вдоль линии напряженности поля g. Установите связь между этим соотношением и формулой т =弋/，1 — 3〔& , связывающей промежутки времени между двумя событиями в разных инерциальных системах отсчета.
Покажите, что лоренцево сокращение длины движущегося объекта можно трактовать как происходящее за счет разгона объекта до скорости о, рассматривая изменение длины волны фотона, движущегося в поле тяготения.
Можно ли с помощью циклотрона ускорять дейтоны массой покоя 7no = 3,36 • 10-27 кг до энергий, превосходящих 100 МэВ?
Два точечных заряда q и Q расположены на расстоянии г друг от друга и неподвижны относительно системы отсче-
та XYZ. Между этими зарядами действует кулоновская сила, о A qQ
модуль которой Ьу = ―•
Какие силы 场/ будут действовать между этими зарядами в системе XY0、которая движется вдоль оси X налево со скоростью V (см. рис.)?
Какова будет напряженность электрического и индукция магнитного полей, создаваемых зарядами в системе X'Y'Z'^
Ракета, приближающаяся к Земле со скоростью о = =7 км/с, испускает радиоволны частотой = 2203,08 МГц. Какова частота сигнала /, принимаемого на поверхности Земли?
Как изменяется при переходе из одной инерциальной системы отсчета к другой фаза электромагнитной волны 3t — к%? Как преобразуются при этом частота s и волновое число к?
Как изменяется при преобразованиях Лоренца четырехмерный элемент объема dx dy dz dt?
Получите формулы для преобразования энергии Е и импульса р при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Ось х считать направленной вдоль скорости относительного движения системы отсчета.
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ
Цинковый шар облучается ультрафиолетовым монохроматическим светом с длиной волны А = 250 нм. Работа выхода электрона для цинка А = 3,74 эВ. Какая разность потенциалов U установится между шаром и землей?
При облучении рентгеновским монохроматическим излучением шарика электроскопа его листочки перестают расходиться при разности потенциалов между шариком и землей в U = 8 кВ. Найдите длину волны А рентгеновского излучения.
Частица летит вдоль ребра ящика длиной L. Какова неопределенность значения импульса в направлении полета?
Электрон и маленький шарик массой m = 45 г движутся с одинаковыми скоростями, равными 71 м/с. Если неопределенность значения скорости составляет 1%, определите минимально возможную неопределенность положения каждого объекта.
Диаметр ядра атома алюминия равен d = 7,2 • 10-15 м. Примем неопределенность пространственного положения протона в таком ядре равной d. Каковы при этом минимальные неопределенности значений импульса и скорости протона?
Положение электрона измеряется с точностью 0,100 нм. Какова будет минимальная неопределенность координаты этого электрона спустя 2,00 с?
Параллельный пучок атомов золота массой т = 3,271 х х 10-25 кг каждый направляется на круглое отверстие в экране радиусом г. Каким будет размер золотого пятна на втором экране, отстоящем от первого на расстояние Z = 1 м, если скорость атомов в пучке составляет V = 450 м/с? При каком размере отверстия го размер пятна будет минимальным? Каков его радиус 7?о?
Определите де Бройлевскую длину волны электрона с кинетической энергией 20 эВ.
Электрон и протон имеют одинаковую кинетическую энергию. Найти отношение х их волн де Бройля.
Применимо ли к фотону соотношение де Броня А = =九/夕？
Исходя из соотношения неопределенностей между импульсом и координатой, оцените энергию основного состояния атома водорода и размер атома в этом состоянии.
Фотон с энергией 石巾=5,0 кэВ испытывает лобовое столкновение с электроном, обладающим энергией Еэ〃 = 2,0 кэВ.
После столкновения фотон движется в обратном направлении. Определите энергии фотона 环 и электрона 旦〃 после столкновения.
Чему равны полная Е и кинетическая Екин энергия электрона, у которого одинаковы де бройлевская и комптоновская длины волн?
Оцените размер атома водорода и его энергию, используя концепцию волн де Бройля.
С помощью соотношения неопределенностей оцените энергию основного состояния двухэлектронного атома, заряд ядра которого равен Ze.
Электрон, находящийся на одной из разрешенных боровских орбит в атоме водорода, движется со скоростью о = =5,459 • 105 м/с. Определите:
значение квантового числа п, характерного для этой орбиты;
радиус орбиты г;
энергию электрона на этой орбите Е.
Каков радиус второго возбужденного состояния атома водорода в модели Бора?
Каков размер орбиты электрона гп и значение его энергии Еп в водородоподобном атоме с Z = 26?
В неизвестном ионизованном атоме вокруг ядра обращается только один электрон. Радиус боровской орбиты с п = 3 составляет гп = 2,38 • 10-10 м. Какая энергия Е соответствует боровской орбите с ni = 7?
При низких температурах в спектре поглощения атомарного водорода наблюдаются только линии серии Лаймана, а при достаточно высоких температурах и линии других серий. Объясните, почему.
Какова энергия перехода △£?2Tl из состояния с п = 2 в состояние с n = 1 для водородоподобного атома с Z = 26?
Излучение с длиной волны А = 2500 нм падает на газообразный водород. Каковы квантовые числа п состояний, из которых это излучение может ионизировать газ?
Атом водорода, находящийся в основном состоянии, сталкивается с атомом аргона. При этом электрон в атоме водорода поглощает энергию Е = 15,0 эВ. С какой скоростью V вылетает электрон из атома водорода?
Покоившийся атом водорода испускает фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Какую скорость о приобрел атом?
При какой температуре Т средняя скорость теплового движения свободных электронов равна скорости электрона на второй (п = 2) боровской орбите атома водорода?
Какой должна быть индукция В магнитного поля, при помещении в которое энергетические уровни атома водорода будут определяться главным образом магнитным полем, а не кулоновским полем протона?
Оцените величину внешнего электрического поля Е, в котором атом водорода будет ионизироваться из основного состояния.
Определите наибольшую Атах и наименьшую Amin длины волн, соответствующие спектральной серии Бальмера для атома водорода.
Атомы водорода испускают фотоны с длиной волны А = 410,2 нм. Каковы номера тип энергетических уровней, переходы между которыми обеспечивает такую длину волны?
Ионизованные атомы неизвестного вещества имеют спектральную серию испускания, описываемую моделью Бора. Самая короткая длина волны в этой серии составляет Amin = =22,79 нм, а самая длинная Атах = 41,02 нм. Какова длина волны А, соответствующая линии, расположенной рядом с длинноволновой границей серии.
Из соображений размерности покажите, что частота гармонического квантового осциллятора определяется тем же соотношением, что и классического (cj2 = к/т), а энергия становится квантованной.
С помощью соображений размерности исследуйте характер квантования движения в простейшем атоме водорода, считая ядро неподвижным.
Оцените энергию основного состояния осциллятора Е°, используя соотношение неопределенностей в виде Ах • Ар》力/2.
Наименьшая энергия возбуждения атома гелия равна 21,12 эВ. Возможно ли возбуждение неподвижного атома гелия налетающим протоном, обладающим энергией 24 эВ? Электроном той же энергии?
Потенциал ионизации гелия равен 24,6 В. Какую энергию Е нужно затратить, чтобы разделить атом гелия на два свободных электрона и ядро?
Энергия связи молекулы LiF равна е = 4,3 эВ. Какова молярная теплота Q образования этого вещества?
Оцените равновесное расстояние 〃)между ионами в кристалле NaCl. Плотность этой соли составляет 0 = 2,16 г/см3.
Сколько молекул содержится в 1 м3 воды? Какова масса m молекулы воды?
Расстояние между ионами Li+ и С1- в кристалле LiCl составляет го = 0,257 нм. Молярная масса LiCl равна М = =42,4 г/моль. Какова плотность кристалла LiCl?
Энергия диссоциации кристалла определяется как энергия, необходимая для того, чтобы разрушить кристалл на отдельные атомы. Измеренная на опыте энергия диссоциации кристалла NaCl составляет 77 кДж/моль. Какова энергия (в электрон-вольтах) диссоциации, приходящаяся на одну пару ионов в кристалле?
ТЕМПЕРАТУРА. ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ.
УСЛОВИЕ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА
Температурная шкала Фаренгейта строится следующим образом: температура плавления льда при нормальных условиях принимается равной 32°F, а температура кипения воды полагается равной 212°F. Предполагая шкалу линейной, установите связь между температурами, измеренными по шкале Цельсия (t℃) и по шкале Фаренгейта (t°F).
Одно тело находится при температуре —2℃, другое при температуре +20°F. Какое из них холоднее?
При какой температуре совпадают ее значения по шкале Цельсия и Фаренгейта?
Температура внутри Солнца составляет величину порядка 107 градусов. Как Вы думаете, в какой температурной шкале?
На сколько увеличится объем куска меди АУ при сообщении ему количества теплоты Q?
Имеется несколько маятниковых часов с маятниками разной длины, сделанными из одинакового материала. Часы выверены при одинаковой температуре 灯.Будет ли одинаковым относительное изменение хода часов при другой температуре 代？
Какую силу F нужно приложить к стальному стержню сечением S = 1 см2, чтобы растянуть его на столько же, на сколько он удлиняется при нагревании на At = 1℃?
Стальная лента натянута вокруг Земли по экватору при 0℃. Каким будет расстояние от ленты до Земли АТ? при температуре 30°?
Стальной резервный бак автомобиля объемом V = 60 л заполнен бензином при температуре 灯=10℃.Коэффициент объемного расширения бензина 户=0,9 • 10-3 К-1. Сколько бензина выльется из бака при температуре 方号=25℃?
При температуре 灯=20℃ стальной прут радиусом R = 2,2 см и длиной Z = 60 см заделан горизонтально между вертикальными стенками. С какой силой будет давить прут на стенки при 芍=60℃?
Для измерения температуры воды, имеющей массу m = =7,3 г, в нее погрузили термометр, который показал 灯=32,4℃. Какова действительная температура воды 廿，если теплоемкость термометра С = 1,9 Дж/град и перед погружением в воду он показывал температуру помещения 方号=17,8℃?
В калориметре находится смесь льда массой mi г при 灯=0℃ и горячей воды массой m2 г при температуре 芍.Опре-
делите температуру t° смеси, если удельная теплота плавления льда равна А, удельная теплоемкость воды равна с. Тепловыми потерями пренебречь.
Вода при соблюдении определенных правил может быть переохлаждена до температуры t° = —10℃. Какая масса т льда образуется из mi = 1 кг такой воды, если бросить в нее кусочек льда и этим вызвать замерзание? Теплоемкость переохлажденной воды с считать равной теплоемкости обычной воды.
При изготовлении льда в комнатном холодильнике требуется 方1 = 5 мин для охлаждения воды от 4 до 0℃ и еще 方2 = =1 ч 40 мин, чтобы превратить ее в лед. Определить удельную теплоту плавления льда. Удельная теплоемкость воды равна с.
В сосуде находилась вода при 0°С. Откачиванием воздуха и пара всю воду заморозили. Какая часть воды при этом испарилась?
ГАЗОВЫЕ ЗАКОНЫ
Герметически закрытый бак полностью заполнен жидкостью, только на дне его пузырек воздуха. Давление на дно бака р. Каким станет давление у/, если пузырек воздуха всплывет? Глубина бака h, плотность жидкости р.
Посредине откачанной и запаянной с обоих концов горизонтальной трубки длиной Z = 1 м находится столбик ртути длиной 九=20 см. Если трубку поставить вертикально, столбик ртути сместится на 厶=10 см. До какого давления 夕 была откачана трубка? Плотность ртути р = 1,36 • 104 кг/м3.
В запаянной с одного конца стеклянной трубке, длина которой равна I = 70 см, находится столбик воздуха, запертый сверху столбиком ртути высотой 九=20 см, доходящим до верхнего края трубки. Трубку аккуратно переворачивают, часть ртути при этом выливается.
Какова высота столбика ртути, который останется в трубке, если атмосферное давление равно Я = 75 см рт. ст.?
При каком условии ртуть выльется из трубки полностью?
Трубку длиной Е = 76 см, запаянную с одного конца, погружают в вертикальном положении в сосуд со ртутью. На каком расстоянии х от поверхности должен находиться запаянный конец трубки, чтобы уровень ртути в ней был ниже уровня в сосуде на 九=76 см? Атмосферное давление ро = Ю1,3 кПа. Плотность ртути р = 1,36 • 104 кг/м3.
В чашечный ртутный барометр попал воздух, в результате чего при нормальных условиях (ро = 760 мм рт. ст., t° = =0℃), барометр показывает 夕=740 мм рт. ст. Расстояние от уровня ртути в трубке до ее запаянного конца I = 10 см. Каково истинное значение атмосферного давления рж, если при температуре，° = 20℃ барометр показывает р‘ = 730 мм рт. ст.? Тепловым расширением ртути и трубки пренебречь.
В чашечный ртутный барометр попал воздух, в результате чего при t° = 0℃, барометр показывает давление 夕= =740 мм рт. ст. Расстояние от уровня ртути в трубке до ее запаянного конца I = 10 см. Каково истинное значение атмосферного давления рж, если при температуре，° = 20℃ и том же атмосферном давлении барометр показывает р‘ = 739 мм рт. ст.? Тепловым расширением ртути и трубки пренебречь.
Тонкостенный цилиндрический стакан высотой h и площадью дна S опускают вверх дном в воду, не давая стакану
опрокинуться. При какой наименьшей массе М стакана он утонет?
Тонкий цилиндрический стакан массой m = 50 г ставят вверх дном на поверхность воды и медленно опускают вглубь, оставляя все время вертикальным. На какую минимальную глубину Н надо опустить стакан, чтобы он утонул? Высота стакана 九=10 см, площадь дна S = 20 см2. Атмосферное давление равно ро = 1 атм. Чем вы пренебрегаете при определении Н?
Цилиндрический тонкостенный сосуд высотой Я плавает в воде, погрузившись на глубину h. Сосуд переворачивают вверх дном и опускают в воду в вертикальном положении. На какую глубину х погрузится нижний край сосуда, если он плавает? Атмосферное давление равно 夕о, плотность воды р.
Тонкая трубка имеет вид перевернутого П. Горизонтальная часть трубки длиной Z = 30 см заполнена ртутью. Вертикальные каналы имеют высоту 九=20 см, один из них запаян и содержит воздух при атмосферном давлении. С какой угловой скоростью s надо вращать трубку вокруг оси, совпадающей с осью открытого вертикального канала, чтобы в запаянном канале сосуда ртуть поднялась до половины его высоты? Атмосферное давление ро нормальное.
Определить объем V сыпучего материала можно, помещая его в цилиндр, герметически закрытый подвижным поршнем. Каков этот объем, если при неизменной температуре давление воздуха в цилиндре равно pi при объеме закрытой части цилиндра, равном 九 и равно 夕2 при объеме, равном 匕？
Стеклянный баллон при температуре 20°С был взвешен трижды:
откачанный;
заполненный воздухом при атмосферном давлении 夕о；
заполненный неизвестным газом при давлении р.
Значения весов оказались соответственно равными: Д),几 и & Определить молярную массу газа М.
Два сосуда, содержащие один и тот же газ, соединены трубкой с краном. Объемы сосудов равны 打 п 匕，а давления в них — pi и р2- Каким будет давление газа после открытия крана соединительной трубки? Температура газа постоянна.
Два сосуда, содержащие один и тот же газ, соединены между собой трубкой с краном. При закрытом кране давление в одном сосуде р в п раз больше давления во втором. Во сколько раз изменится давление в этом сосуде у/ после открывания крана, если его объем в к раз меньше объема второго сосуда? Температура газа постоянна.
Адиабатически изолированные баллоны с объемами 打 и V2 содержат один и тот же газ при температурах Ti и Т2 и давлениях р\ и 夕2 соответственно. Какие давление и температура установятся в баллонах, если открыть кран в соединяющей баллоны трубке?
Сколько качаний поршневым насосом п нужно сделать, чтобы поднять давление воздуха в автомобильном колесе до р = =2 атм, если объем накачанного колеса У = 70 л, а объем камеры насоса Vq = 0,7 м.
Сжатый воздух накачивается в баллон емкостью V = =5 м3. За какое время он будет накачан до давления 夕= =8 • 105 Н/м2, если компрессор засасывает 匕=4 м3 воздуха в минуту? Температуру считать постоянной, а начальное давление —нормальным.
Сколько качаний поршневым насосом нужно сделать, чтобы откачать воздух в сосуде объемом V от давления 夕 до давления у/, если объем камеры насоса равен %? Чем ограничен предел, до которого можно откачать воздух? Изменением температуры воздуха при откачивании пренебречь.
Воздушный насос захватывает за одно качание V = =10 см3 воздуха. Какое давление 夕 установится в колоколе объемом 匕=6 л после 400 качаний, если начальное давление равно атмосферному?
Газ нагрет от температуры 灯=27℃ до температуры 方В = 39℃. На сколько процентов увеличился объем, если давление осталось неизменным?
При температуре 灯=30°С и давлении р\ = 1 атм газ занимает объем 打=2 л. Каково будет давление газа 夕2, если его нагреть до 芍=60℃ и сжать до объема 匕=1,5 л?
В закрытом поршнем сосуде находится 1 моль газа при давлении 夕i = 2 атм и температуре Г = 300 К. Газ расширяется изотермически, пока его давление не станет равным 夕2 = 1,5 атм. Затем газ нагревается и сжимается до первоначального объема, причем его давление становится равным 夕3 = 2,5 атм. Какова конечная температура Т газа?
Сто граммов (т) углекислого газа (СО2) занимают объем V = 55 л при давлении 夕=1 атм.
Какова температура газа Т?
Каким будет давление у/, если газ расширится до объема 『=80 л при неизменной температуре?
Плотность газа при давлении 夕=2 • 105 Н/м2 и температуре t° = 7℃ равна р = 2,41 кг/м3. Какова масса m 1 кмоля этого газа?
Резиновый шар, содержащий V = 2 л воздуха, находится при температуре t° = 20℃ и давлении 夕=760 мм рт. ст. Какой объем V\ займет воздух, если шар будет опущен в воду на глубину 九=10 м? Температура воды 灯=4℃.
Аэростат наполнен водородом при температуре 灯= =15℃. При неизменном атмосферном давлении 夕=1 атм под действием солнца его температура поднялась до 方号=37℃ и излишек газа вышел через аппендикс, благодаря чему масса аэростата с газом уменьшилась на m = 6 кг. Определите объем аэростата V.
Некоторое тело находится в воздухе при нормальных условиях. При увеличении температуры воздуха на At° = 10° вес тела увеличивается на AF = 2 Г. На какую величину AFi изменится вес тела при увеличении температуры воздуха до t° = =50℃ и увеличения давления до р = 80 см рт. ст.? Тепловым расширением тела пренебречь.
В сосуд, на дне которого лежит недеформируемый шар, накачивают воздух при температуре t° = 27°С. Когда давление воздуха в сосуде стало равным р = 20 атм, шар поднялся вверх. Определите массу шара тш, если его радиус равен г = 5 см, а молярная масса воздуха равна М = 29 г/моль.
Сферическая тонкая оболочка массой m = 2 кг радиусом R = 1,2 м наполнена гелием при температуре t° = 23°С и свободно плавает в воздухе с плотностью рв = 1,19 кг/м3. Определите давление 夕 газа в оболочке.
Как изменится подъемная сила воздушного шара, если наполняющий его гелий заменить водородом? Массой оболочки шара пренебречь. Молярная масса воздуха 29 г/моль.
Как зависит подъемная сила аэростата F от температуры окружающего воздуха Г?
Какова разница в массе воздуха, заполняющего комнату объемом V = 50 м3, зимой и летом, если летом температура помещения достигает 灯=40℃, а зимой падает до 芍=0℃. Атмосферное давление нормальное.
В двух сосудах одинакового объема находятся равные массы гелия и аргона. Во сколько раз давление гелия больше, чем аргона, если температуры газов одинаковы?
Закрытый сосуд целиком заполнен водой при температуре 27℃. Чему стало бы равно давление внутри сосуда, если бы взаимодействие между молекулами воды внезапно исчезло?
Под невесомым поршнем в цилиндре находится 1 литр воды при температуре t° = 0℃. С помощью электронагревателя воде сообщают теплоту Q = 200 ккал. На какую высоту h поднимется поршень? Атмосферное давление 夕о = 1 атм, площадь поршня S = 1000 см2. Теплоемкостью и теплопередачей цилиндра пренебречь.
Закрытый сосуд разделен на две равные части твердой полупроницаемой перегородкой. В первой половине сосуда находится смесь аргона с водородом при давлении 夕=1,5 атм, во второй половине — вакуум. Через перегородку диффундирует только водород. После окончания процесса диффузии давление в первой половине оказалось равным pi = 1 атм, причем температура поддерживается постоянной. Определите отношение масс аргона и водорода в смеси. Атомная масса аргона равна Мдг = =40 г/моль, а молярная масса водорода равна Мн2 = 2 г/моль.
Закрытый цилиндр объемом V = 1 л, содержащий т = =10 г воды, нагревают до t° = 500℃. Каким будет давление в образовавшемся паре?
При нагревании углекислого газа СО? часть молекул диссоциирует в соответствии с реакцией 2co2 — 2СО +。2・ Если при определенной температуре давление в газе СО? окажется на 25% выше, чем можно ожидать на основе закона Менделеева- Клапейрона, какая доля а молекул СО? диссоциирует?
Некоторое количество водорода находится при температуре Г = 200 К и давлении 夕=400 Н/м2 (^ 3 мм рт. ст.). Газ нагревают до температуры » = 10000 К, при которой молекулы водорода практически полностью распадаются на атомы. Определить давление р\ газа, если его объем и масса остались без изменения.
В сосуде объемом V = 1 м3 содержится mi = 0,8 кг воды и m2 = 1,6 кг кислорода. Каким будет давление в сосуде, если температура поднимется до 500℃?
Определите тип соединения углерода с кислородом, если m = 1 г этого вещества в газообразном состоянии создает в сосуде объемом V = 1 л при температуре t° = 27℃ давление 夕=0,56 атм. Атомные массы углерода и кислорода равны соответственно 12 г/моль и 16 г/моль.
Определите тип соединения углерода с водородом, если при температуре t° = 27℃ и давлении 760 мм рт. ст. объем V = =1 л этого вещества в газообразном состоянии имеет массу
т = 0,65 г. Атомные массы углерода и водорода равны 12 г/моль и 1 г/моль.
При нагревании газа был получен график зависимости его объема от температуры (см. рис.). Как изменялось при этом давление, если масса газа была неизменна?
К задаче 4.43К задаче 4.44К задаче 4.43К задаче 4.44
К задаче 4.43К задаче 4.44
К задаче 4.43К задаче 4.44
При нагревании газа был получен график зависимости его давления от абсолютной температуры (см. рис.). Как изменялся при этом объем газа, если его масса была неизменна?
На Р-Т диаграмме показан процесс, проводимый с идеальным газом. Объем газа постоянен. Найти точки, где масса газа максимальна и минимальна.
К задаче 4.45 К задаче 4.46
На рисунке изображен циклический процесс, происходящий с идеальным газом. Найдите построением точки на графике, в которых объем газа минимален и максимален. Определите участки, на которых объем растет и убывает. Масса и тип газа постоянны.
Определите период колебаний поршня, который разделяет закрытый с обоих концов цилиндр на две равные части, если давление воздуха по обе стороны поршня 夕=1 атм. Масса поршня т = 1,5 кг, его площадь S = 100 см2, а расстояние от поршня до стенки равно I = 20 см. трение отсутствует и происходящий процесс можно считать изотермическим.
В вертикально расположенном сосуде над и под поршнем находится одинаковое число молей идеального газа (см. рис.)
Поршень может перемещаться без трения. При начальной температуре отношение объемов V^/Vf = п. Каким будет это отношение х, если температуру » увеличить в к раз?
Л
ввК задаче 4.48К задаче 4.48ВСК задаче 4.49ВСК задаче 4.49
в
в
К задаче 4.48
К задаче 4.48
В
С
К задаче 4.49
В
С
К задаче 4.49
В вертикальном закрытом цилиндре имеются два поршня, которые могут перемещаться без трения. Части сосуда А, В и С, разделенными поршнями, содержат одинаковое число молей идеального газа. При некоторой температуре Т, одинаковой во всем цилиндре, отношение объемов есть 吟：Vg : % = 5 : 3 : 1 (см. рис.). Температура в цилиндре изменяется до Т‘ и новое отношение объемов равно 吗：喔：峪= %:2: 1.
Определите значение х.
Во сколько раз температура Т‘ отличается от Г?
В теплоизолированном цилиндре под поршнем находится m = 40 г газообразного гелия. В начальном состоянии газ занимает объем Vi = 32 • 10-3 м3 и находится под давлением pi = 0,4 МПа, а в конечном состоянии 匕=9 • 10-3 м3 и р2 = =1,55 МПа. В процессе медленного перехода из начального состояния в конечное давление и объем газа связаны линейной зависимостью. Найдите наибольшую температуру Тт газа во время процесса, а также объем Vm и давление рт, соответствующие максимальной температуре.
ТЕРМОДИНАМИКА. ТЕПЛОВЫЕ МАШИНЫ
В цилиндре под поршнем находится m = 2 кг воздуха. Какая работа будет совершена при его изобарном нагревании на АТ° = 100°?
1 моль водорода нагревается при постоянном давлении. Какое количество тепла Q необходимо сообщить ему, чтобы объем газа удвоился? Какая работа А будет при этом совершена газом?
Газу, находящемуся под поршнем в цилиндре при постоянном давлении, сообщают теплоту Q = 1500 Дж. При этом внутренняя энергия газа увеличивается на △[/ = 4500 Дж. Каково давление газа, если его объем уменьшится на АУ = 0,01 м3? Возможен ли такой процесс в идеальном газе?
В цилиндре под поршнем находится некоторая масса водорода при температуре t° = 30℃, занимающая при давлении 夕=2 атм объем V = 8 л. На сколько понизилась температура водорода, когда объем его уменьшился при неизменном давлении так, что при этом была совершена работа 50 Дж?
При сообщении газу Q = 400 ккал теплоты он расширяется, перемещая поршень, и совершает работу, равную А = =800 кДж. Каково изменение внутренней энергии газа А[/ при этом процессе?
Газ расширяется, передвигая поршень при постоянном давлении pi = 3 атм от объема 匕=1 л до 匕=3 л. Затем он охлаждается при постоянном объеме, пока его давление не упадет до 夕2 = 2 атм. Изобразите этот процесс на рУ-диаграмме. Найдите работу А, совершенную газом. Какое количество теплоты Q передано газу при этом процессе? Внутренняя энергия газа в результате описанного процесса увеличилась на △[/ = 456 Дж.
В теплоизолированном цилиндре с поршнем находится азот массой m = 0,2 кг при температуре 灯=20℃. Расширяясь, он совершает работу А = 4470 Дж. Найти изменение внутренней энергии азота △[/ и его температуру после расширения t^. Удельная теплоемкость азота при постоянном объеме су = 745 Дж/(кг • град).
Велосипедную камеру накачивают ручным насосом до давления р. Какая при этом совершается работа, если при каждом ходе поршня насоса сжатие можно считать адиабатическим. Атмосферное давление равно 夕о，а объем камеры можно считать
неизменным и равным V. Теплоемкость воздуха при постоянном объеме равна Су.
Двум молям идеального газа сообщается Qi = 750 Дж теплоты при неизменном объеме. При изобарическом нагревании этого газа его температура увеличивается на такую же величину АТ при сообщении газу 02 = Ю00 Дж теплоты. Определите, на сколько изменяется температура.
При нагревании m = 1 кг газа на At° = 1 К при постоянном давлении требуется Qi = 912 Дж, а при нагревании при постоянном объеме нужно Q? = 649 Дж, Что это за газ?
Идеальный газ расширяется при неизменном давлении.
Какая часть сообщаемой газу теплоты Q идет на увеличение его внутренней энергии △[/?
Тот же вопрос в случае, когда газ расширяется изотермически.
В сосуде объемом V находится идеальный газ под давлением ро- Стенки сосуда выдерживают давление вплоть до р\. Какое максимальное количество теплоты Q можно сообщить газу?
Воздух занимает объем V и находится при температуре Т в цилиндре с площадью основания S под давлением Р. При изобарном нагревании ему сообщают количество тепла Q. На какое расстояние h при этом поднялся поршень, и какая была совершена работа А?
В вертикальном, адиабатически изолированном, закрытом сверху тяжелым подвижным поршнем цилиндре находится 1 моль идеального газа при температуре ». Поршень перемещают вниз, совершая работу А, и отпускают. Какая температура Т? установится в газе, если наружным атмосферным давлением можно пренебречь по сравнению с давлением, создаваемым тяжелым поршнем?
Для экспериментального определения 7 = Ср/Су определенное количество газа, находящегося в сосуде с объемом % при давлении ро и температуре Tq нагревают дважды, пропуская по спирали заданный электрический ток в течение определенного времени г, один раз при постоянном объеме (измеряя конечное давление pi), а другой раз при постоянном давлении (измеряя конечный объем Z). Определите значение 7.
Для экспериментального определения 7 = Ср/Су в сосуд фиксированного объема, снабженный устройством для измерения давления, накачивают газ до некоторого давления pi, большего атмосферного давления ро- Затем открывают кран, выпуская избыток газа, и быстро закрывают его. Через некоторое время газ в сосуде снова принимает комнатную температуру,
и при этом его давление становится равным 夕2・ Определите значение 7.
Расширение газа происходило по кривой 1-2, лежащей между изотермой и адиабатой (см. рис.). Как изменилась температура газа? Подводилось ли к нему тепло? Что можно сказать о теплоемкости для такого процесса?
К задаче 5.17
Как изменяется температура идеального газа, расширяющегося по закону pV2 = const при неизменной массе? Чему при этом равна его молярная теплоемкость С?
Как изменяется температура идеального газа Г, расширяющегося по закону p2V = const при неизменной массе? Чему при этом равна его молярная теплоемкость С?
Найдите молярную теплоемкость С одноатомного идеального газа, расширяющегося по закону pVn = const.
Идеальный газ расширяется по закону 夕=eV. Какую работу совершает один моль газа при повышении температуры от Г до Т^
Над 1 молем газа совершается замкнутый цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Температуры в точках / и 3 равны Т1 и Т3. Определить работу, совершаемую газом за цикл, если известно, что точки 2 и 4 лежат на одной изотерме (см. рис.).
К задаче 5.22
Цикл Стирлинга состоит из двух изотерм и двух изохор. Найдите КПД тепловой машины 〃，работающей по такому циклу, как функцию температур Ti и Т2 (^2 < ^1) на изотермах и максимального и минимального объемов 吒 п 匕.
Тепловая машина с идеальным газом в качестве рабочего вещества совершает цикл, состоящий из изобары, адиабаты и изотермы (см. рис.). Найти КПД цикла как функцию максимальной (Т1) и минимальной (耳)температур в цикле.
К задаче 5.24К задаче 5.24
К задаче 5.24
К задаче 5.24
Рассчитайте КПД 〃 тепловой машины, работающей по следующему циклу: идеальный газ изохорически увеличивает первоначальное давление в три раза, затем расширяется изотермически, увеличивая объем в три раза, после чего изобарически возвращается в исходное состояние.
Тепловая машина с идеальным газом в качестве рабочего вещества совершает цикл, показанный на рисунке. Найти КПД цикла как функцию максимальной (Т» и минимальной (耳) температур в цикле.
К задаче 5.26К задаче 5.26К задаче 5.27К задаче 5.27
К задаче 5.26
К задаче 5.26
К задаче 5.27
К задаче 5.27
Показанный на рисунке цикл, совершаемый одним молем идеального газа, состоит из изобары, адиабаты и изотермы. Каков КПД этого цикла “ если отношение максимальной
температуры рабочего вещества в этом цикле к минимальной температуре равно п.
С помощью электроплитки мощностью F = 1 кВт в комнате поддерживается температура 灯=17℃ при температуре наружного воздуха 方号=—23℃. Какая мощность 7^ потребовалась бы для поддержания в комнате той же температуры с помощью идеальной тепловой машины?
Тепловая машина в каждом цикле получает Qi = =100 Дж теплоты и отдает Q? = 60 Дж. Если рабочий цикл совершается за t = 0,5 с, какова развиваемая машиной мощность F?
Тепловая машина с КПД, равным 〃 = 20%, совершает в каждом цикле работу А = 100 Дж. Сколько теплоты Qi получает при этом машина от нагревателя и сколько Q? отдает холодильнику?
Две тепловые машины с КПД 巾 и 〃2 соединены “последовательно”， так что теплота, отдаваемая первой машиной, направляется ко второй машине. Каким будет КПД такой установки?
Две тепловые машины работают по циклу Карно.
Каким будет КПД всей установки, если первая машина работает между температурами Т] и 7з, а вторая — между температурами Тз и Т2, а тепловой резервуар с общей температурой 7з в результате не получает и не отдает тепла?
Можно ли эти тепловые машины считать соединенными “последовательно”，как в предыдущей задаче?
Тепловой двигатель с КПД, равным 力，получает некоторое количество теплоты Qi и совершает некоторую работу 4. Отдаваемая этим двигателем теплота передается второму тепловому двигателю с КПД, равным 物 который совершает работу 4・ Каков КПД 〃 всей установки?
В тепловую машину поступает перегретый пар при температуре 灯=270℃, а покидает ее пар при температуре 方号= =50℃. КПД машины 〃 = 30%. Сравните КПД этой машины с КПД машины, работающей по циклу Карно 77K. Если развиваемая машиной мощность Р = 200 кВт, то сколько теплоты Q отдает машина в окружающее пространство за t = 1 ч?
Тепловой двигатель, работающий по циклу Карло с 〃 = =40%, используется как холодильная машина, работающая с тем же холодильником и нагревателем. Какое количество теплоты Q переводится от холодильника к нагревателю за один цикл, если за каждый цикл совершается работа А = 30 Дж?
Две тепловые машины, работающие по циклу Карно, получают одинаковую теплоту Qi от нагревателя с » = 744 К. одна машина отдает теплоту Q? холодильнику с температурой Т? = 605 К, вторая — Q3, холодильнику с Т3 = 252 К. Вычислите значение КПД системы, определяемого соотношением
_ 2Qi — Q2 — Q3
Атомная электростанция использует реактор на “кршя- щей воде”. Выделяющаяся в реакторе теплота при повышенном давлении заставляет воду кипеть при температуре 灯=285℃. После того, как пар приводит во вращение турбину электрогенератора, он превращается в воду в конденсаторе при температуре 方у = 40℃. Для поддержания этой температуры конденсатор охлаждается водой из реки. Установка работает с КПД, равным 3/4 КПД машины Карно, работающей при тех же температурах. Электрическая мощность станции Р составляет 1,2 • 109 Вт. Поток воды в реке 夕 составляет 105 кг/с. На сколько градусов At° повысится температура воды в реке?
Электростанция на геотермальной воде работает следующим образом. Перегретый пар при температуре 仃=232℃ используется для вращения турбины генератора, а затем конденсируется в воде при 芍=50℃ и откачивается в землю, где вода снова нагревается. Электрическая мощность станции F = =84000 кВт. Определите:
максимально возможный КПД станции;
количество теплоты Q, отводимой от конденсатора в течение 方=24 q.
Температура внутри холодильника равна 方号=5℃, а теплоемкость составляет С = 84 кДж/K. При работе холодильника тепло выделяется в комнату с температурой 灯=25℃. Какой минимальной мощностью F должен обладать мотор, приводящий холодильник в действие, чтобы за время г = 1 мин понизить температуру в холодильнике на At° = 1℃?
Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы заморозить m = 1 кг воды, находящейся при температуре Т = =300 к?
Сколько времени должен работать 3-киловаттный электронагреватель, чтобы сообщить кухне такое же количество теплоты, что и холодильник, превращающий m = 1,5 кг воды, взятой при 灯=20℃, в лед при 方号=0℃? Если обратить холодильник и заставить его работать как тепловую машину между теми же температурами, то КПД 〃 равнялся бы 0,25.
Каково изменение энтропии m = 1 кг воды при ее превращении в пар при температуре t° = 100℃ и давлении 1 атм?
Тепловой двигатель, работающий между тепловыми резервуарами с температурами Ti = 400 К п 耳=300 К, имеет КПД 〃 = 0,15. Определите изменение энтропии каждого резервуара за один цикл, если двигатель в течение цикла получает количество теплоты, равное Qi = 100 Дж. Каково при этом полное изменение энтропии мира?
Два одинаковых тела с массами т и удельной теплоемкостью с, находящиеся при температуре » п 耳,приводятся в тепловой контакт друг с другом. Определите изменение энтропии AS после установления равновесия.
В результате некоторого процесса энтропия системы увеличилась на 120 Дж/К и при этом не увеличилась энергия, непригодная для совершения макроскопической работы. Был этот процесс обратимым или необратимым? Как изменилась энтропия окружающей систему среды?
В качестве переменных, характеризующих состояние термодинамической системы, можно выбрать температуру Г и энтропию S. Изобразите цикл Карно для обратимого процесса в осях Т-S и рассчитайте КПД цикла.
Каково изменение энтропии Вселенной при переводе Q = 500 Дж теплоты из резервуара, находящегося при температуре Г = 400 К, в резервуар с температурой Г = 300 К?
Два моля идеального газа, занимающие объем 40 л и имеющие температуру 400 К, свободно расширяются до вдвое большего объема. Определите изменение энтропии:
газа А5;
Вселенной А5в-
Автомобиль массой т = 1500 кг, движущийся со скоростью V = 100 км/час, врезается в бетонную стену. Вычислите изменение энтропии Вселенной А5, если температура воздуха 廿=20℃.
Кусок льда массой тл = 100 г при 灯=0℃ помещается в калориметр, содержащий 7nB = 100 г воды при 芍=100℃. Определите изменение энтропии Вселенной А5 при установлении теплового равновесия в калориметре, теплоемкостью которого можно пренебречь.
ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Оцените число N молекул воздуха в комнате размером 6x4x3 м3 при нормальном атмосферном давлении и температуре t° = 20℃. Каково при этом число молей п? Сколько весит воздух в комнате? Сколько молекул воздуха A^ покинет комнату, если при неизменном давлении температура повысится на АТ = 5 К?
Молярная масса водорода Мн = 1,008 г/моль. Какова масса одного атома водорода т?
В 10-литровом баллоне находится газ при температуре t° = 0° С и давлении 夕=4 атм. Сколько молей газа ^ находится в баллоне? Сколько молекул ^?
В сосуде находится газ под давлением 夕= 1,5- 105 Н/м2 при температуре t° = 273℃. Какое количество молекул находится при этих условиях в единице объема сосуда?
Современные вакуумные насосы позволяют понижать давление до величин порядка р = 1,3 • 10-10 Н/м2 = 10-12 мм рт. ст. Сколько молекул газа п содержится в 1 см3 при указанном давлении и температуре t° = 27℃? Если оставшийся газ — в основном Н2, какова его плотность 0?
Газ нагревается в открытом сосуде при нормальном атмосферном давлении от 灯=27℃ до 芍=327℃. Во сколько раз при этом изменится число молекул в единице объема п?
Воздух в комнате с открытой форточкой нагрели от температуры % до температуры 耳.Считая воздух идеальным газом, найдите изменение внутренней энергии воздуха △[/ в комнате.
При повышении температуры идеального газа на At° = =90° средняя скорость его молекул возросла с % = 400 м/с до V2 = 500 м/с. На сколько △灯 нужно нагреть этот газ, чтобы увеличить среднюю скорость его молекул с 匕=500 м/с до 匕= =600 м/с?
Вторая космическая скорость определяется соотношением V =，2gA, где g — ускорение свободного падения на поверхности планеты, R — ее радиус.
При каких температурах молекулы кислорода будут покидать земную атмосферу?
При каких температурах молекулы водорода будут покидать земную атмосферу? Объясните отсутствие водорода в
земной атмосфере, учитывая, что температура в верхних слоях атмосферы порядка 1000 К.
Что можно сказать об атмосфере Луны (ускорение свободного падения на поверхности Луны составляет одну шестую от земного, радиус Луны равен 1738 км).
Вторая космическая скорость на Марсе составляет 5 км/с, а температура поверхности порядка 0℃. Вычислите характерные тепловые скорости при такой температуре для а) Н?; б) О2; в) СО2.
Если эти скорости больше одной шестой второй космической скорости, то к настоящему времени Марс должен был бы потерять свою атмосферу. Что можно сказать об атмосфере Марса?
Какая часть молекул кислорода а при 0℃ имеет скорости в интервале 100 < v < 110 м/с?
На высоте Я = 3 км над поверхностью Земли в 1 см3 воздуха содержится примерно и = 102 пылинок, а у самой поверхности —примерно ng = 105 пылинок. Определите среднюю массу пылинки m и оцените ее размер г, предполагая плотность пылинок ° = 1,5 г/см3 и считая температуру воздуха равной t° = =27℃.
Расположенный горизонтально цилиндр, закрытый с одного конца, вращается с угловой скоростью s вокруг вертикальной оси, проходящей через открытый конец цилиндра. Найдите
закон изменения числа молекул воздуха п в единице объема цилиндра с расстоянием г от оси вращения;
силу F давления воздуха на дно цилиндра.
Длина цилиндра I, площадь дна цилиндра S, атмосферное давление 夕о, температура воздуха Г, масса одной молекулы т.
Каково давление воздуха
над поверхностью Земли на высоте 10 км;
в шахте на глубине 10 км?
Давление воздуха на поверхности Земли 760 мм. рт. ст. Температуру воздуха считать одинаковой во всех точках и равной 0℃.
В сосуде объемом % находится N молекул идеального газа. Определите вероятность Р того, что в части V объема % не будет ни одной молекулы.
В объеме Vq находится N молекул идеального газа. Во сколько раз вероятность Р обнаружить N/2 молекул в области объемом Vq/2 — V меньше вероятности Р‘ обнаружить N/2 молекул в объеме %/2?
Вероятность того, что п молекул газа, имеющих возможность попасть в любую точку объема 吒,находятся в определенный момент в части 匕 этого объема, есть s = (V^/V\)n. Покажите, что изменение энтропии идеального газа при изотермическом расширении от 匕 до 匕 равно А5 = kins.
Можно ли использовать классическую механику для описания поступательного движения молекул кислорода, находящегося при нормальных условиях? (F = 1 атм, V = 22,4 л.)
Энергия ионизации атомов гелия составляет 24,6 эВ. Можно ли при нормальных условиях применять к гелию модель идеального газа?
Адиабатически изолированный сосуд с пренебрежимо малой массой и теплоемкостью, содержащий 1 моль гелия, движется со скоростью V = 86 м/с. На сколько изменится температура газа, если сосуд внезапно остановить?
Определите, какую скорость о будут иметь молекулы газа, адиабатически вытекающего из баллона, где он находится при температуре Т. Молярная масса газа равна М.
Масса m пороха, сгорающего за 1 с в камере реактивного двигателя, связана с давлением р соотношением m = арп. Найдите показатель степени п, если при уменьшении сечения сопла двигателя в 2 раза давление в камере возрастет в 4 раза. Скорость истечения газов из сопла пропорциональна давлению 夕 в камере, а плотность газа в сечении сопла одинакова в обоих случаях.
Газ состоит из ионов, которые отталкивают друг друга. Как будет изменяться температура газа, если он будет адиабатически расширяться в пустоту?
Явление адсорбции заключается в uпpилипaнии^^ молекул или атомов газа к поверхности твердого тела. Иногда адсорбированные атомы могут перемещаться по поверхности, взаимодействуя друг с другом подобно молекулам газа. Какова средняя энергия таких атомов, если температура поверхности равна Г?
Идеальный одноатомный газ, находящийся при давлении 夕1 = 2 • 105 Па и занимающий объем Vi = 0,4 м3, изохорически переводится в состояние, когда давление составляет 夕2 = =4 • 105 Па, а затем изобарически в состояние с объемом 匕= =0,2 м3. Определите количество теплоты, переданное газу или отнятое от него на каждом этапе и на всем процессе.
Какое количество теплоты сообщили одноатомному идеальному газу при изобарическом нагревании, если в процессе нагревания газ совершил работу А = 20 Дж?
Определите изменение внутренней энергии моля одноатомного идеального газа, изобарически расширяющегося от V^ = 10 л до V2 = 20 л при давлении 夕=5 атм.
Один моль одноатомного идеального газа находится при температуре Т = 273 К и давлении 1 атм.
Какова его внутренняя энергия U?
Найдите его внутреннюю энергию U и совершенную им работу А, если газу сообщили Q = 500 Дж теплоты
при постоянном давлении;
при постоянном объеме.
Половине моля одноатомного идеального газа сообщили Q = 1200 Дж теплоты, при этом газ совершил работу А = =2500 Дж. Как изменилась температура Г газа?
Докажите, что закон Дальтона для смеси газов, имеющих одинаковое значение 7 = Ср/Су и химически не реагирующих друг с другом, являются следствием закона сохранения энергии.
В упругой оболочке находится п молей одноатомного идеального газа, причем квадрат объема газа пропорционален его температуре. Газ медленно нагревают от температуры Ti до 72- Чему равна теплоемкость газа С при этом процессе? Теплоемкостью оболочки пренебречь.
Один моль идеального одноатомного газа изохорически охлаждается так, что его давление снижается в п раз. Затем газ изобарически расширяется так, что его объем возрастает в п раз. Найдите п, если сообщенное газу количество теплоты при этих переходах в 2 раза меньше его первоначальной внутренней энергии.
Одноатомный идеальный газ содержится в цилиндрическом сосуде длины I под тонким поршнем с пружиной, коэффициент жесткости / которой равен к (см. рис.). Атмосферное давление таково, что положение равновесия поршня в отсутствие газа под ним находится у дна сосуда.
К задаче 6.33 Известно также, что при нахождении поршня у края сосуда пружина свободна. Какое количество тепла Q должен получить газ, чтобы поршень достиг краев цилиндра? Первоначальный объем, занимаемый газом, составляет n-ю часть объема всего цилиндра. Трением поршня о стенки пренебречь.
Идеальный двухатомный газ совершает цикл, показанный на (р, V) диаграмме (см. рис.). В состоянии / температура газа равна 200 К.
Определите температуру в состояниях 2, 3, 4.
Каков КПД тепловой машины 〃， работающей по этому циклу?
Один моль идеального одноатомного газа, занимающего объем 25 л при давлении 100 кПа, изохорически нагревается до вдвое большего давления (процесс /-2), затем изотермически расширяется до объема 50 л (процесс 2-3) и, наконец, изобарически возвращается в исходное состояние. Определите:
температуру газа в начальном и конечном состояниях каждого процесса;
теплоту, передаваемую газу в каждом процессе;
КПД цикла 〃.
На рисунке изображены два замкнутых цикла АВС А и ACDA. У какого из циклов КПД выше и во сколько раз? Циклы проводятся с идеальным одноатомным газом.
6.37. Один моль идеального6.37. Один моль идеальногоодноатомного газа совершаетодноатомного газа совершаетцикл, показанный на рисунке. Определить КПД цикла 〃.цикл, показанный на рисунке. Определить КПД цикла 〃.
6.37. Один моль идеального
6.37. Один моль идеального
одноатомного газа совершает
одноатомного газа совершает
цикл, показанный на рисунке. Определить КПД цикла 〃.
цикл, показанный на рисунке. Определить КПД цикла 〃.
VIL РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ. ЖИДКОСТИ.
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
Насыщенный водяной пар подвергается адиабатическому сжатию и адиабатическому расширению. В каком из этих процессов пар превращается в ненасыщенный? В пересыщенный?
Длинная труба опущена нижним открытым концом в сосуд с водой. Верхний конец трубы соединен с вакуумным насосом. При включенном насосе вода при температуре 20℃ поднимается в трубе на высоту 九=8 м. На какую высоту 九i поднимется в трубе кипящая вода?
Какова относительная влажность воздуха 夕，если температура равна t° = 30℃, а парциальное давление паров воды составляет 夕=3 кПа?
Какова относительная влажность воздуха, если его температура равна 廿=20℃, а точка росы равна ?° = 10℃?
Относительная влажность воздуха составляет 夕=80% при температуре t° = 30℃. Какова при этом абсолютная влажность воздуха 夕？
Смешаем Vi = 1 м3 воздуха с влажностью 夕i = 20% и 匕=2 м? воздуха с влажностью 夕2 = 30%, взятые при одинаковой температуре. Определите относительную влажность смеси, если ее объем равен V = 3 м3.
В комнате объемом V = 30 м3 воздух имеет температуру t° = 20℃ и относительную влажность 夕=20%. Какое количество воды m нужно испарить в этой комнате, чтобы относительная влажность достигла 夕/ = 50%? Известно, что при t° = 20℃ давление насыщающих паров воды ро = 2330 Н/м2.
Воздух имеет температуру t° = 60℃ и абсолютную влажность /)= 50 г/м3. Какой будет абсолютная влажность этого воздуха, если температура понизится до，° = 10℃?
Определите отношение х веса 1 м3 сухого воздуха к весу 1 м3 воздуха с влажностью 夕=50% при атмосферном давлении Ро = 760 мм. рт. ст. и температуре t° = 20℃. Отношение молярной массы воды к молярной массе воздуха а = 0,6. Упругость водяных паров при 20℃ равна 夕=17,5 мм рт. ст.
При температуре 方° = 20℃ и давлении 夕= =760 мм рт. ст. воздух имеет влажность 100%. На сколько процентов А% он легче сухого воздуха той же температуры и с тем же давлением? Молярная масса сухого воздуха равна Мв = =29 г/моль, а давление насыщающего пара воды при t° = 20℃ равно 夕=2330 Н/м2.
На сколько изменится подъемная сила воздушного шара объемом V, если относительная влажность воздуха увели-
чится на △夕=20% без изменения его давления и температуры? Плотность насыщенных паров при данной температуре равна р. Молярные массы воздуха и паров воды равны соответственно Мв = 29 г/моль и Мщо = 18 г/моль.
Как влияет кривизна поверхности жидкости на давление ее насыщенного пара?
В 1 м3 охлаждающего воздуха находится 8,3 г водяных паров. При какой температуре 产 начнется конденсация, если центрами конденсации являются шарообразные пылинки с диаметром d = 10-5 см?
На дне водоема глубиной 九=2 м выделяются пузырьки газа с диаметром d = 0,05 мм. Каков будет диаметр 山 этих пузырьков, когда они поднимутся к поверхности воды? Температуру пузырьков считать неизменной.
Аквалангист выпускает пузырек воздуха объемом V = =15 см3 на глубине 九=40 м в озере, где температура t° = 5℃. Температура воды у поверхности озера составляет，° = 25℃. Каков будет объем пузырька, когда он лопается, достигнув поверхности воды? Нужно ли учитывать давление, обусловленное поверхностным натяжением?
Пузырек воздуха поднимается со дна водоема глубиной Н. Найти зависимость радиуса пузырька от глубины h его местонахождения в данный момент времени, если его объем на дне равен Vq. Силы поверхностного натяжения не учитывать.
Объем пузырька воздуха по мере всплывания его со дна озера на поверхность увеличился в 3 раза. Какова глубина озера? Силы поверхностного натяжения не учитывать.
Каково добавочное давление 夕 внутри мыльного пузыря с диаметром d, если поверхностное натяжение мыльной пленки равно а?
Мыльный пузырь радиусом R находится в цилиндре, закрытом подвешенным поршнем. Сначала давление воздуха под поршнем равно атмосферному давлению ро- При вдвигании поршня радиус пузыря уменьшается вдвое. Каково при этом давление воздуха под поршнем, если изменением температуры можно пренебречь? Коэффициент поверхностного натяжения для мыльной пленки равен а.
Мыльный пузырь, наполненный горячим воздухом, неподвижно “плавает” в воздухе при температуре Т° и давлении ро- Радиус пузыря равен г, плотность мыльной пленки р, ее толщина d. Определите температуру воздуха внутри пузыря, если поверхностное натяжение мыльной воды равно а.
Два мыльных пузыря радиусов R\ и R? сливаются в один. Определите поверхностное натяжение мыльной воды,
если радиус образовавшегося пузыря равен R, а атмосферное давление равно ро-
Капиллярная трубка с внутренним радиусом г = 0,3 мм наполнена водой. Часть воды нависла снизу трубки в виде капли, которая представляет собой часть сферы с радиусом R = 3 мм. Определите высоту h столбика воды в трубке. Плотность воды — р, коэффициент поверхностного натяжения — а.
Чтобы стряхнуть ртуть в медицинском термометре, нужно двигать термометр с ускорением а 10g. Оцените величину диаметра перетяжки в капиллярной трубке термометра, если длина столбика ртути выше перетяжки 九 ^ 5 см.
При подъеме жидкости в капилляре до высоты h силы поверхностного натяжения совершают работу mgh, где m — масса столба жидкости. Потенциальная энергия этого столба равна лишь mgh/2. Как это согласуется с законом сохранения энергии?
Каково поверхностное натяжение жидкости при критической температуре?
Можно ли расплавить металл в воде? Как это сделать?
Как выглядит уравнение Ван-дер-Ваальса для произвольного числа молей газа z/?
Докажите справедливость соотношения
Q /3
R = V —b
для вещества, описываемого уравнением Ван-дер-Ваальса. Здесь а — коэффициент теплового расширения, а 户一сжимаемость:
Для гелия ван-дер-ваальсовские константы а и & равны соответственно а = 0,03412 л2 атм/моль и & = 0,0237 л/моль. Оцените объем о, занимаемый одним атомом гелия.
Найдите выражение для критической температуры Кр, критического давления ркр и критического объема VkP для газа, описываемого уравнением Ван-дер-Ваальса.
Чему равна теплоемкость Ср вещества в двухфазном состоянии, соответствующем точке на горизонтальном участке полученной экспериментально изотермы углекислого газа СО??
Определите закон изменения коэффициента поверхностного натяжения жидкости с температурой, рассматривая цикл Карно для пленки жидкости в предположении, что температуры тепловых резервуаров очень мало отличаются друг от друга.
ВЕЩЕСТВО И ИЗЛУЧЕНИЕ
Высокая разрешающая способность электронного микроскопа обусловлена использованием электронных волн с длиной волны, меньшей 0,1 нм? Можно ли построить микроскоп, использующий фотоны с такой длиной волны?
Определите ширину уровня энергии возбужденного состояния атома со временем жизни 10-8 с.
Атом остается в возбужденном состоянии в среднем в течение г = 10-8 с, прежде чем переходит в основное состояние, испуская фотон с энергией 5 эВ. Какова неопределенность частоты испускаемого фотона?
Атом, летящий со скоростью о, испускает в направлении своего движения фотон с частотой и. Какова будет частота фотона, испускаемого таким же возбужденным атомом в направлении
противоположно направлению движения атома (J);
перпендикулярно направлению движения атома (^〃)?
Во сколько раз энергия одного фотона видимого света с А = 500 нм превосходит кинетическую энергию поступательного движения молекулы водорода при комнатной температуре?
Мощность падающего на единицу поверхности Земли солнечного излучения составляет N = 1400 Вт/м2. Считая, что средняя энергия фотона составляет е = 2 зВ (что соответствует длине волны порядка 600 нм), оцените число п фотонов, приходящих за 1 с на каждый квадратный сантиметр земной поверхности.
В импульсе света рубинового лазера, длящегося в течение г = 1,5 нс, средняя мощность составляет F = 10 МВт.
Какова полная энергия импульса?
Сколько фотонов излучается в течение одного импульса? Длина волны излучения составляет А = 694,3 нм.
Используя соотношение неопределенностей АЕ • At 〜 〜h, получите соотношение, связывающее неопределенность A^ числа фотонов в потоке лазерного излучения с неопределенностью △夕 фазы этого излучения.
Найдите уравнение адиабатического процесса, производимого с равновесным излучением.
Найдите энтропию и теплоемкость черного излучения.
Какова будет установившаяся температура Г черной пластины, которая, находясь в вакууме, помещена перпендикулярно солнечным лучам?
6 А.С. Кондратьев, В.М. Уздин
Может ли радиационная температура тела, т.е. температура черного тела, полная излучательная способность которого равна излучательной способности данного тела, быть больше температуры тела? (Черное тело — тело, поглощающее все падающее на него излучение).
ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ.
ТОК В СРЕДАХ
Плотность лития р = 0,534 г/см3. Каково значение энергии Ферми &f этого одновалентного металла? Граничный импульс Ферми связан с концентрацией п свободных электронов соотношением 夕f =方（3»2九）1/3, а молярная масса лития М = =6,94 г/моль.
Ширина запрещенной зоны между зоной проводимости и валентной зоной в кремнии при комнатной температуре составляет АЕ = 1,14 эВ. Какова максимальная длина волны фотона А, способного вызвать переход электрона из валентной зоны в зону проводимости?
Дайте качественную оценку температуры вырождения То идеального ферми-газа, связав ее с концентрацией частиц п и массой одной частицы, равной т.
От чего зависит число электронов ^, находящихся внутри сферы с радиусом, равным дебаевскому радиусу экранирования кулоновского взаимодействия в случае классической плазмы?
От чего зависит число электронов ^, находящихся внутри сферы с радиусом, равным дебаевскому радиусу экранирования кулоновского взаимодействия в случае вырожденной квантовой плазмы — системы электронов проводимости в металле?
Поясните, почему эффективное взаимодействие между электронами проводимости в металле является короткодействующим.
От чего зависит число N электронов или дырок, находящихся внутри сферы с радиусом, равным дебаевскому радиусу экранирования кулоновского взаимодействия в полупроводниках?
Учет кулоновского взаимодействия между свободными электронами и дырками, понятие о которых введено в зонной теории энергетического спектра полупроводника, приводит к выводу о возможности связанных состояний электронов и дырок — своего рода водородоподобных атомов, существующих в кристаллической решетке с диэлектрической проницаемостью е. Такие состояния — квазичастицы в твердом теле — получили название экситонов. Определите энергию связи Еэ и радиус экситона аэ в основном состоянии, считая для простоты эффективные массы т* электрона и дырки одинаковыми.
При достаточно большой плотности электронов и дырок в полупроводнике существование экситонов невозможно. Объясните причину этого и оцените значение концентрации носителей, при которой становится невозможным образование экситонов.
При обычных условиях водород имеет молекулярную структуру и кипит при Тк = 20,3 К и затвердевает при 7^ = 14 К. Плотность твердого водорода составляет р = 0,076 г/см3 и он является диэлектриком. При достаточно сильном сжатии электронные оболочки молекул будут раздавлены и водород должен перейти в металлическое состояние. Оцените плотность металлического водорода.
При сжатии газа при Т < 小 он превращается в жидкость. Если сжать плазму, превратится ли она в газ?
Определить отношение заряда к массе водородного иона е/тн, используя закон электролиза. Считать, что постоянная Фарадея есть F = 2,8926 ед. СГСЭ.
Определить массу водородного иона 7nH и его заряд е, используя законы электролиза и зная, что число Авогадро Na = =6,02 • 1023 моль-1, а число Фарадея F = 2,8926 ед. СГСЭ.
Определить число Фарадея £ если известно, что при прохождении через электролитическую ванну заряда q = =73,48 Кл масса выделившегося на катоде золота m = 5 х х 10—5 к「. Химический эквивалент золота 力=66 • 10-3 кг/моль
Сколько времени t длилось никелирование, если на изделие осел слой никеля массой m = 1,8 г при силе тока / = 2 А? Электрохимический эквивалент никеля к = 0,30 • 10-6 кг/Кл.
При электролитическом способе получения никеля расходуется W = 10 кВт • ч электрической энергии на m = 1 кг. Электрохимический эквивалент никеля к = 1080 мг/(А • ч). При каком напряжении U производится электролиз?
При электролитическом получении алюминия используются ванны, работающие под напряжением U = 5 В. Сколько энергии W требуется для получения m = 1 кг алюминия? Валентность иона алюминия п = 3, молярная масса Мр^ = 27,4 х х 10-4 кг/моль.
Сколько электроэнергии W надо затратить для наполнения аэростата объемом 250 м3 водородом при температуре t° = =27° и давлении 100 кПа, если электролиз ведется при напряжении [/ = 5 В и КПД установки 〃 = 75%.
При электролизе воды через ванну в течение t = =25 мин шел ток / = 20 А. Какова температура выделившегося кислорода Т, если он находится в объеме V = 1 л под
давлением 夕=2 атм? Электрохимический эквивалент кислорода к = 8,9 • I。—® кг/Кл. Универсальная газовая постоянная R = =8,317 Дж/(моль • К).
При какой напряженности электрического поля Е начнется самостоятельный разряд в воздухе, если энергия ионизации молекул %он = 2,4 • 10-18 Дж, а длина свободного пробега I = 5 мкм. Какую скорость о имеют электроны при ударе о молекулы?
Молния представляет собой прерывистый разряд, состоящий из отдельных импульсов длительностью t = 1 мс. Заряд, проходящий по каналу молнии за один импульс, q = 20 Кл, а среднее напряжение на концах канала U = 2 ГВ. Какова сила тока I и мощность Р одного импульса? Какая энергия W выделяется при вспышке молнии, если она состоит из 5 разрядов?
Какую часть периода будет светить (uгopeть^^) неоновая лампочка, если ее включить в сеть, действующее значение напряжения в которой равно напряжению зажигания? Считать, что напряжение, при котором лампочка гаснет, равно напряжению зажигания.
АТОМНОЕ ЯДРО. ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
С помощью соотношения неопределенностей покажите, что радиус действия ядерных сил совпадает с комптоновской длиной волны пиона, ответственного за сильное взаимодействие.
Какова массовая плотность р и концентрация п частиц в ядерном веществе?
Оцените радиус ядра изотопа урана 235U.
Какая доля радиоактивных ядер кобальта с периодом полураспада Г = 71,3 сут распадется за время 九 равное одному месяцу?
Радий-226 распадается с испусканием а-частицы на радий-222 с периодом полураспада, равным Г = 1620 лет. Определите константу распада А.
Радиоактивное вещество имеет константу распада А = =7,69 • 10-3 распад/с. Каков период полураспада Г и среднее время жизни г этого вещества?
Период полураспада радиоактивного фосфора 32Р составляет Т = 15 сут. Какой будет активность А препарата из 32Р через 方=10 сут после его изготовления, если начальная активность Д)= 100 мКюри?
Период полураспада радия составляет Г = 1620 лет. Сколько распадов происходит за At = 1 с в образце, содержащем m = 1 г радия?
Счетчик радиоактивного излучения делает Ло = =4000 отсчетов в секунду при поднесении его к радиоактивному образцу. Через 方i = 10 с скорость отсчета составляет уже ^l = =1000 отсчетов в секунду.
Каков период полураспада Г?
Какова будет скорость отсчета N? спустя t? = 20 с?
Определите массу ；；°U в американской атомной бомбе образца 1945 года с тротиловым эквивалентом 12 килотонн. При распаде ядра в среднем выделяется энергия Е = 200 МэВ, а одна килотонна тротилового эквивалента составляет 5 • 1012 Дж.
Тритий :Т, изотоп водорода, нестабилен и испытывает радиоактивный распад с испусканием электрона, причем период полураспада составляет 12,36 лет.
Что собой представляет дочернее ядро и какова энергия Е испускаемого электрона?
Какая мощность выделяется образцом, содержащим 1 г трития?
Какая мощность выделяется этим образцом спустя 100 лет?
Для осуществления определенной ядерной реакции требуются протоны с энергией 8,5 МэВ. Можно ли получить такие протоны с помощью небольшого циклотрона радиусом 0,3 м с индукцией магнитного поля в 1,5 Т?
Предположим, что наличие 贽РЬ в горной породе обусловлено только радиоактивным распадом ；；‘U. Период его полураспада Г = 4,5 • 109 лет. Каков возраст горной породы, в и238т т 206л
которой отношение 92 U к 82 РЬ составляет 4,3?
При радиоактивном распаде ядра :;№ с испусканием электрона образуется ядро ::Na, которое иногда остается в возбужденном состоянии с энергией возбуждения Е = 0,44 МэВ. Какова длина волны 7-излучения, образующегося при переходе возбужденного ядра ::Na в основное состояние?
Ядро изотопа урана ；；°U поглощает медленный нейтрон и распадается на ядро рубидия ^Rb и цезия ^^Cs. Сколько и каких еще нуклонов образуется при этом распаде?
Ядро изотопа урана 實U при поглощении медленного нейтрона распадается на два осколка. При этом испускается три нейтрона:т 2 осколка + 3 Массы покоя
нейтрона и ；^U составляют соответственно 1,008665 а.е.м. и 235,043924 а.е.м. Какова общая масса покоя образующихся осколков т, если при реакции освобождается энергия 225,0 МэВ.
Какой энергией должна обладать а-частица для возможности осуществления ядерной реакции а + 14N т 17О + р? Массы а-частицы, атомов 14N, 17О и протона принять равными соответственно 4,002603; 14,003074; 16,999131; 1,007825 (в атомных единицах массы).
Оцените энергию связи последнего нейтрона в ядре изотопа кислорода 16О. Массы атомов 16О и 15О и нейтрона составляют соответственно 15,994915 а.е.м., 15,003065 а.е.м. и 1,008665 а.е.м.
Ядро изотопа урана ；；?U испытывает радиоактивный распад с испусканием а-частицы.
Какое ядро образуется при таком распаде?
Каковы кинетическая энергия Е и скорость а-частицы V, если она уносит всю высвобождающуюся энергию?
В реакции ядерного синтеза два ядра дейтерия объединяются в ядро гелия ；Не. Масса ядра дейтерия равна 2,0141 а.е.м.; гелия — 4,0026 а.е.м.
Какая при этом выделяется энергия Е?
Сколько таких реакций N должно происходить каждую секунду, чтобы выделялась мощность 1 кВт?
Подсчитайте энергию Е, выделяющуюся при реакции ядерного синтеза :D + ：Т т ；Не + ^ + Е. Массы ядра дейтерия, трития, гелия и нейтрона (в атомных единицах массы) равны соответственно 2,014; 3,016; 4,003; 1,009. Сколько реакций N должно происходить каждую секунду, чтобы выделяющаяся мощность равнялась 1 кВт?
Какая энергия Е выделяется при слиянии двух ядер ООО1ОО1
дейтерия 】D + 】D т 2Не + оп? Массы ]D, 2Не и оп принять равными соответственно 2,014; 3,016; и 1,009 а.е.м.
Реакция ядерного синтеза с изотопами водорода :D и :Т имеет вид: :Т + ：D т ；Не + ：九 + 17,7 МэВ. Определите энергии ядра ；Не и нейтрона, если в начальном состоянии импульс системы равен нулю.
Энергия Солнца и других звезд выделяется в результате реакций ядерного синтеза. Один из возможных циклов — это протон-протонный цикл, состоящий из реакций:
；Н + ； Н —> ： D + 户十 + %,
；Н + :D —> ；Не + 7，
；Н + ^Не —> ；Не + 户十 +
так что суммарный эффект реакций может быть представлен в виде:
4
Масса покоя протона }Н и гелия ；Не соответственно равны 1,0078 а.е.м. и 4,0026 а.е.м.
Какая энергия Е высвободится в результате этого цикла?
С чем могло бы быть связано дополнительное высвобождение энергии 1,02 МэВ каждым позитроном, образующимся в процессе цикла?
Как долго будет светить Солнце, если предположить, что его излучение будет происходить с неизменной мощностью 4 х х 1026 Вт, а протоны составляют приблизительно половину полной массы Солнца, составляющей 2 • 1030 кг?
Каждую секунду Солнце излучает энергию порядка 4 • 1026 Вт. Какую массу должно терять Солнце каждый день?
Солнце — гигантский термоядерный реактор. Что удерживает плазму в этом реакторе? Почему нельзя использовать этот метод в земных условиях?
Сколько энергии необходимо для того, чтобы удалить один нейтрон из ядра атома ；Не, так чтобы в результате реакции осталось ядро ；Не изотопа гелия? Массы ；Не, ；Не и ：九(в атомных единицах массы) принять равными соответственно 4,0026; 3,0161; 1,0087.
Реакцию синтеза тяжелых изотопов водорода дейтерия ?D и трития ；Т
:D + ：T = M + ；He
изучают, направляя ускоренные до энергии Е = 2 МэВ ионы дейтерия на тритиевую мишень. Детектор регистрирует нейтроны, вылетающие перпендикулярно направлению пучка дейтонов. Какова энергия Еп регистрируемых нейтронов, если в реакции синтеза выделяется энергия 近'=17 МэВ?
Покоящееся ядро массой m распадается на два осколка массами покоя mi и т^. Найти, как распределится между осколками энергия распада (энергия, освобождающаяся при распаде ядра), равная АЕ = тс2 — (mi + Ш2)с2.
Ядро изотопа натрия испускает 7-квант с энергией Е = 0,423 МэВ. С какой скоростью V движется ядро после испускания 7-кванта, если сначала оно покоилось?
Возбужденное ядро переходит в основное состояние путем испускания 7-кванта. Масса ядра в основном состоянии т. Энергия возбуждения ядра равна АЕ. Определить частоту и испущенного 7-кванта.
XL ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
Покажите, что в отсутствие внешнего поля фотон не может превратиться в электрон-позитронную пару.
Образующееся в процессе ядерной реакции нейтрино уносит энергию Е = 35 МэВ. Считая массу покоя нейтрино равной нулю, определите импульс нейтрино и де Бройлевскую длину волны.
Свободный нейтрон распадается на протон, электрон и антинейтрино:
11.0,-
1 夕+_]£ + %
Какая энергия Е выделяется при этом? Определите максимальную энергию электрона, испускаемого при распаде свободного нейтрона. Энергии покоя нейтрона, протона и электрона равны соответственно 939,6 МэВ; 938,3 МэВ; 0,511 МэВ.
Два протона, движущиеся с одинаковыми скоростями, при столкновении рождают нейтральный тг-мезон согласно реакции: 夕+ + 夕+ р+ + р+ + 7г°. Энергия покоя 7г° составляет 135,0 МэВ. Каково пороговое значение кинетической энергии протонов, способных осуществить указанную реакцию?
Каково пороговое значение кинетической энергии протона £<, который при столкновении с неподвижным протоном способен осуществить реакцию с рождением пары протон-антипротон: р + р^р + р+ (夕+ /)•
Медленный нейтрон испытывает упругое рассеяние на неподвижном дейтоне. Найдите долю а кинетической энергии, теряемой нейтроном при
лобовом соударении;
рассеянии на угол 户=45°.
Предполагая, что слабое взаимодействие осуществляется в результате испускания Х°-бозона массой mz ~ 92 ГэВ, оцените радиус этого взаимодействия.
Оцените минимальную энергию фотона, способного породить пионную пару: 7 т П+ + П-.
Возможна или нет реакция К0 — П+ + П_ + П°?
Определить максимальный возможный угол, на который рассеивается дейтон при упругом столкновении с первоначально покоящимся протоном.
Позитрон с кинетической энергией Ек = 750 кэВ налетает на покоящийся свободный электрон. В результате ан-
нигиляции возникают два 7-кванта с одинаковыми энергиями. Определите угол 户 между направлениями их разлета.
Фотон с энергией 九^ = 250 кэВ рассеялся под углом 户=120° на первоначально покоившемся свободном электроне. Определите энергию 九J рассеянного фотона.
Неподвижный тг-мезон распадается на 从-мезон и нейтрино, масса покоя которого равна нулю. Зная массы » п 从- мезонов, вычислите кинетическую энергию 厶 образовавшегося 从-мезона.
Неподвижный отрицательно заряженный тг-мезон распадается на 从-мезон и антинейтрино. Полные энергии /z-мезона и нейтрино равны Е^ и Е», а энергии покоя равны соответственно т^с2 = 139,57 МэВ,加从/ = 105,66 МэВ, т^ = 0.
Выразите полную энергию антинейтрино Е» через характеристики 从-мезона.
Найдите значения кинетических энергий мезона 7^ и антинейтрино Ту.
При распаде тг-мезона образуются два фотона с энергиями &1 и &2, которые летят в противоположных направлениях. Определить скорость, с которой двигался распавшийся мезон.
Фотон с частотой ^ рассеивается назад неподвижным электроном. Какова частота % рассеянного фотона?
Фотон, энергия которого вдвое больше энергии покоя электрона, рассеивается на неподвижном электроне, теряя при этом половину своей энергии. Под каким углом друг к другу движутся электрон и рассеянный фотон?
Фотон с энергией Е много большей энергии покоя протона (Е》т^с2) рассеивается на угол 户=» (обратное рассеяние) на покоящемся протоне. Какова энергия Е1 фотона после рассеяния?
При распаде нейтральной частицы образуются два фотона, которые летят под углами 户 1 п 户2 K направлению движения частицы до ее распада. Определите модуль скорости, с которой двигалась распавшаяся частица.
Монохроматический свет частоты ^ падает нормально к поверхности плоского зеркала, движущегося равномерно и прямолинейно со скоростью V в направлении распространения падающего света. Определите частоту отраженного света.
Короткий импульс света с энергией 7,5 Дж в виде узкого параллельного пучка падает на плоскую зеркальную пластинку с коэффициентом отражения (3 = 0,6 под углом а = 30°. Какой импульс получает зеркальная пластинка?
Уже в классической ньютоновской теории тяготения можно предсказать существование космических объектов, от которых не может удалиться никакой материальный объект, включая свет (Лаплас, 1798 г.). Каким в рамках этой теории должен быть радиус г звезды массой М, чтобы ее поверхность была невидимой?
Свет, приходящий к Земле от звезд, испытывает красное смещение не только за счет расширения Вселенной, но и за счет того, что фотоны обладают “тяжелой” массой. Определить величину красного смещения Az/ спектральных линий света звезд за счет второй причины.
В одной из теорий объединения предполагается, что кварки и лептоны, сближенные до расстояния R = 10-31 м, будут превращаться друг в друга. Определите массу калибровочного бозона т, который соответствовал бы такому расстоянию. При какой температуре возможна такая реакция?
Из фундаментальных констант G,儿 с построить план- ковские параметры длины гп, времени tn и массы тп, определяющие свойства пространства и времени.
В еще не созданной полной квантовой теории гравитации предполагается существование гравитона — кванта пространства-времени. С помощью соотношений неопределенностей Гейзенберга оцените величину энергии гравитона.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
МЕХАНИКА
а) 8,33 мин; б) 1,28 с.
1 световой год = 9,47 • 1012 км.
1,1 м/с и 0,5 м/с.
c — 匕仏―％2)人、， h (К + И) ，Z1(K—S)
Решение. Мяч движется с постоянной по величине скоростью, а потому путь, пройденный им, равен произведению времени движения
G — %2S + %
на скорость мяча К- Для определения расстояний, которые пролетел мяч от первого мальчика ко второму Li и от второго к первому £2, заметим, что разность этих расстояний равна пути, пройденному первым мальчиком до встречи, если в начальный момент мяч был у него. Сумма Li и 力2 равна I при условии, что %2 = 0. Из системы уравнений
L、一 L?=L、一 L?=Li + L2 =Li + L2 =匕厶匕厶
L、一 L?=
L、一 L?=
Li + L2 =
Li + L2 =
匕厶
匕厶
легко определить Li н 厶.
14,7 км/ч; скорость направлена под углом 16,3° к направлению на восток
V = "V2 — 2W/£ = 54 км/ч.
t = = 35 сут.
方2 一 Й
Ответ: и = s/(2t).
Решение. Систему отсчета свяжем с плывущим спасательным кругом. В этой системе вода неподвижна, а катер сначала удаляется от круга в течение времени t, затем поворачивает и возвращается, затратив на все путешествие время 2t. Относительно берега за время 2t течение снесло круг на расстояние s. Следовательно, скорость течения и = s/(2t).
Ответ: I = Iq.
Решение. Приведем решение этой задачи в системе отсчета, связанной с Землей, и в системе отсчета, связанной с тренером.
⑴⑴В системе, связанной с Землей, точка, где поворачивают спортсмены, перемещается со скоростью и. Поэтому "сзадн” вновь образованная колонна будет укорочена на величину ut, где t — промежуток времени, в течение которого происходит разворот спортсменов. Кроме того, колонна укоротится на ut и "спереди”. Действительно, благодаря движению тренера, последний спортсмен колонны не добегает до той точки, где развернулся первый спортсмен, на расстояние ut, и полный разворот колонны произойдет несколько раньше. Из- за этого первый спортсмен пробежит на ut меньше, чем если бы тренер был неподвижен. Значит, новая длина колонны
⑴
⑴
⑵⑵Очевидно, что t — это время, через которое встретится тренер и последний спортсмен из колонны при условии, что в начальный момент расстояние между ними равно /о- Поскольку тренер и спортсмен бегут навстречу друг другу, то
⑵
⑵
Подставив (2) в (1), находим
В системе отсчета, связанной с тренером, тренер неподвижен, а колонна спортсменов "набегает” на него со скоростью о + 〃. Поэтому от встречи с первым спортсменом до встречи с последним пройдет промежуток времени, определяемый соотношением (2). Развернувшись, спортсмены бегут относительно тренера со скоростью v — и. Следовательно, новая длина колонны I = =(о — u)t = —Iq. При V < и значение I получается отрицательным. При этом меняется порядок спортсменов в колонне: первый спортсмен становится последним, а последний — первым.
V = 3,61 м/с; скорость направлена под углом 33,7° к берегу.
а) На северо-запад под углом 13,1° к направлению на север; б) 300 км/ч.
"「屮…
+ %匕 + V2V3
а) 260 км; б) 65 км/ч.
66,6(6) км/ч.
а) 24 км/ч; б) —12 км/ч; в) 0; г) 16 км/ч.
16 Ответ- t+_ ^sina
+02 + 2伪02 cos a+ 遗 + Zou cos a
Решение. Систему отсчета свяжем с автомобилем В (рис. 1.1). Составляющие относительной скорости о автомобиля А в этой системе отсчета
vx = —(02 + 伪 cos a), vy =伪 sin а.
Сама же относительная скорость
0 = J呜+呜
направлена по диагонали прямоугольника, построенного на vx и vy.
Кратчайшим расстоянием между автомобилями за все время их движения будет длина перпендикуляра \ВС\ = Zmin к линии, по которой направлена
скорость V. Если обозначить угол между осью х и относительной скоростью через /3, то Zmin = Zo sin /3, причем sin /3 = vy/v. Таким образом,
7loVyZooisina小
Zmin = -,- = -/.⑴
，臓 + 呜+ 遞 + 2伪02 COS a
Время, в течение которого автомобиль А в системе отсчета, связанной с автомобилем В, пройдет расстояние \АС\ = Zo cos/3, будет:
/ _ \АС\ _ Zo cos/3
VV '
Подставляя значение cos/3 = \vx/v\ и v, получаем
t _/0(02 + 伪 cos a)⑵
^i + ^2 + 2伪 °2 cos a
Задачу можно было решать и в системе отсчета, связанной с землей, выбрав начало координат, например, в точке В, где первоначально находился один из автомобилей (рис. 1.2). В этой системе отсчета координаты автомобилей изменяются следующим образом:
ха = 1о —伪 cos at; хв =。2力
у а = ^i sin at; ув = 0.
Расстояние между автомобилями изменяется по закону
/2 = (ЖА - /в)2 + 0M - дв)2 =
=(о： + г^ + 2。1。2 cos a)/? — 2Zo(^2 + °i cos a)t + Z^. (3)
Это выражение относительно переменной t представляет собой уравнение параболы с ветвями, направленными вверх (у = ах2 + Ь/ + с). Парабола имеет минимум при х = —Ь/2а. Поэтому для времени, через которое расстояние между машинами будет минимально, получаем выражение (2) . Подставляя его в (3), находим Zmin, совпадающее с (1).
Ответ: бежать следует под углом a = arcsin(k/Vk) ^ 14,5° к шос- 」Уа/К-К/Иа
се; ж0 > Z • /
V 1 — (%/匕о?
Решение. Желая сесть в автобус, нужно выбежать как можно дальше впереди него. С другой стороны, чтобы выбежать на шоссе как можно раньше, человек должен избрать кратчайший путь. Если бежать не перпендикулярно шоссе, а под некоторым углом к перпендикуляру, то путь человека до шоссе увеличится на величину △/, но зато он выбежит на дорогу на расстояние d левее точки В. Если выбрать угол а достаточно малым, то расстояние d можно сделать больше расстояния △/ в любое число раз. Поэтому, несмотря на то, что скорость человека меньше скорости автобуса, он окажется на шоссе впереди автобуса на большем расстоянии, чем, если выбежит в точке В. Под каким же углом а к перпендикуляру к шоссе следует бежать человеку?
Рассмотрим сначала чисто алгебраический метод решения. Пусть человек бежит под углом а к перпендикуляру к шоссе. Время, через которое он выбежит на дорогу, определяется соотношением:
К cos a
Если человек появляется на дороге, когда к этому месту подъезжает автобус, то (рис. 1.3)
/о + Z • tga = VAt =口——•
cos a
Откуда
鄧=Z 77tga .(1)
\ 几 cos a /
Чем меньше расстояние /о, тем лучше выбрана ucтpатeгия^^: человек успевает на автобус, позже заметив последний. Задача, таким образом, заключается в выборе угла а, при котором правая часть (1) минимальна. Его можно найти, взяв производную функции /о = /(а). Получаем:
sina = —.
Теперь минимальное значение /о, при котором успеть на автобус еще возможно, находится из (1):
Va/K - K/Va
/0 min — £ . ~/=
—以)2
Соотношение (2) может быть получено и иначе, если привлечь "геометрн- ческиеп соображения. В произвольную точку шоссе D (рис. 1.4) автобус придет за время t = s/Va, где s — длина участка CD шоссе. В эту же точку за время,
равное или меньшее t, человек может попасть, если он находится в пределах круга радиуса г = Kt с центром в точке D. Начертив подобные круги для других точек, расположенных на шоссе, получаем область, из которой человек всегда успеет сесть в автобус. Границами ее являются две общие касательные к окружностям, составляющие с линией шоссе угол а, равный углу, под которым нужно бежать к перпендикуляру к шоссе. Этот угол определяется равенством:
г К
sinct =-=.
s VA
Еще проще выглядит решение, если перейти в систему отсчета, в которой автобус покоится (рис. 1.5). Эта система отсчета движется относительно земли
Рис. 1.5Рис. 1.5
Рис. 1.5
Рис. 1.5
Рис. 1.6Рис. 1.6⑴⑴
Рис. 1.6
Рис. 1.6
⑴
⑴
влево со скоростью Va. Неподвижно стоящий на земле человек имеет в ней скорость — Va, направленную вправо. Скорость бегущего человека V в этой системе отсчета равна векторной сумме —Va и скорости человека относительно земли Vq. Поскольку модуль скорости человека К постоянен, конец этого вектора лежит на окружности. Соединяя начало вектора —Va с концом вектора V4, получаем вектор результирующей скорости V. Если, двигаясь в направлении этого вектора, человек окажется на дороге левее автобуса, то успеет на него. Из рисунка 1.5 видно, что оптимальный угол удовлетворяет соотношению (2) и составляет около 14,5°.
Ответ-, t = 1/V.
Решение. Из соображений симметрии (все мухи в одинаковом положении) ясно, что их встреча произойдет в центре квадрата. В любой момент вре
мени до встречи мухи находятся в вершинах квадрата, который непрерывно поворачивается, уменьшаясь по величине (рис. 1.6). Разложим вектор скорости V мухи в произвольный момент времени на две взаимно перпендикулярные составляющие Vi и V2, одна из которых (Vi) направлена к центру квадрата О. Тогда легко видеть, что расстояние /д/5/2 от вершины до центра квадрата преодолевается именно благодаря этой составляю-
щей, поскольку за счет V2 муха не при
ближается к центру квадрата (рис. 1.6).
Учитывая, что % = V/V^, для времени движения получаем:
К результату (1) можно прийти и проще, если сообразить, что вектор постоянной по модулю скорости каждой мухи все время направлен на "догоняемую” муху, а первоначальное расстояние между мухами равно I. Скорость
мухи направлена перпендикулярно скорости догоняемой мухи, поэтому рассто
яние между мухами не меняется за счет движения догоняемой мухи.
5 = 7г//2.
а) 80 м/с; б) 400 м; в) 40 м/с.
-2 м/с2.
1.22.
1.23.
=5 м/с2; Vo
1.24. 27,4 м.
2%（方1 -方2） 方1方2（方1 +方2）
Z（百+ 2方也-tf）方也（方1 +方2）
=2,5 м/с.
t = 6 с; V = 78 4 м; Н = 294 м.
tn =/1(，^ -,几_1).
10,7 м/с2; 4,1 м/с.
§2 = si + (V — о,/；2)(^2 —力i) + 2 (^2 —疗)=124 м.
t = 4,47 с; о = 44,7 м/с; Оср = 22,4 м/с.
17,7 м.
280 м.
1・32・仁哄35,6 с.
a) h = 3g产 ^ 117,6 м; б) Г = 6 с; в) Т1 =弋瓜 ^ 4,9 с.
8 м/с.
Ответ: t = 2，S/a; V = л/aS.
Решение. Время до остановки можно записать в виде:
откуда ответ для минимального возможного t очевиден.
t = ^ + - ^ 27 с;5,6 м/с.
V аР V2 + aS
% = g〃2 = 29,4 м/с; h = g产/8 = 44,1 м.
Ответ-.3 с.
Решение. Запишем уравнение движения тела, брошенного вертикально вверх. Считая, что тело брошено в момент t = 0 с нулевой высоты, имеем:
九=(1)
Нас интересует высота h, равная половине максимальной высоты подъема тела Атах = */(2g). Поэтому уравнение (1) записывается в виде:
⑵
Это квадратное уравнение относительно t. Решая его, находим:
力1,2 =
g 72g-
Корень ti = %/g — Vb/(y5g) соответствует моменту времени, в который тело побывает на высоте Атах/2 при подъеме, а 友=%/g + %/(V^g) — при спуске. Искомый промежуток времени △力，равен разности 友-й. Поэтому получаем:
⑷⑷△t =方2 一方1 = -%/2 .
⑷
⑷
(5)(5)Задачу можно решить проще. Для этого обозначим скорость тела на половине максимальной высоты через "Ц. Тогда Ата,х/2 =吟/(4g) будет максимальной высотой подъема для тела, движущегося со скоростью И：
(5)
(5)
2g — 4g •
откуда И = Vo/a/2 . Суммарное время подъема и спуска тела, брошенного с такой скоростью, очевидно, равна интересующему нас промежутку времени:
g g
V = 2at = 4,8 м/с.
V =产8,2 м/с.
% + ,吟+ 2g〃
t > a— 1,7 c.
126 m, 10 м/с, 4,1 c.
T 2.
Камни будут двигаться равномерно один относительно другого со скоростью V = gt = 9,8 м/с. Через Г = 2 с после начала падения второго камня между камнями будет расстояние S = gt2/2 + gtT = 24,5 м.
21
а) 6- с; б) 13- с.
Ответ: г =.
Решение. иСбиваниеп вторым снарядом первого означает, что в некоторый момент времени t их координаты одинаковы. Если обозначить через г время между выстрелами, это условие записывается в виде
Отсюда для t получаем:
y +(1)
К тому же результату можно прийти проще, если рассмотреть движение в системе отсчета, связанной с одним из снарядов, например, со вторым. Движение первого снаряда в этой системе отсчета равномерно, а время от момента второго выстрела до столкновения снарядов находится делением расстояния между снарядами в момент второго выстрела Ит — gr2/2 на их относительную скорость 匕—(％ — gr). Если добавить к этому времени г,
приходим к выражению (1) для t. Чтобы определить г, соответствующее минимальному t, достаточно приравнять к нулю производную от t по т. Это приводит к квадратному уравнению для т:
(吻 + gT)(% +- g(v2r +『)=0
с решениями
т=(2)
Очевидно, нас интересует только положительное решение (верхний знак).
Ответ можно получить и без обращения к производным. Поскольку V2 < < И, столкновение снарядов произойдет, когда первый снаряд будет лететь вниз. Следовательно, чем выше произойдет столкновение, тем это произойдет раньше. Максимальная возможная высота столкновения равна максимальной высоте подъема второго снаряда h = V^/(2g). Из условия h = Ht — g产/2 находим время, через которое оно произойдет, отсчитывая от первого выстрела
Теперь, чтобы найти г, нужно из t вычесть время подъема второго снаряда до высшей точки %/g, что сразу приводит к соотношению (2).
V0-Jv^-2gH
1.48. t = 21.48. t = 2gg2Л2Лggt = 21,4 с.
1.48. t = 2
1.48. t = 2
g
g
2Л
2Л
g
g
Модули скорости падения обоих тел на поверхность земли одинаковы. Время падения тела, отразившегося от площадки, больше, чем при свободном падении. Оно зависит от высоты, на которой произошло отражение. Если тело падает с высоты Н, а площадка установлена на высоте h, то время падения равно
При свободном падении время полета
方2 =方2 =
方2 =
方2 =
а) 4,9 м/с; б) 1,2 м; в) на Луне каждый мяч будет находиться в воздухе в 6 раз дольше, чем на Земле, поднимется на высоту в 6 раз большую, а число мячей тоже может быть увеличено в 6 раз.
а) 7,35 м/с; б) нет, минимальная высота потолка должна составлять 2,76 м.
2
〈匕〉=33- м/с;〈匕〉=26- м/с; Ю = -3 м/с2;〈旬〉=-1,77 м/с2.
Ответ', а) часы отстают на ti = t/2; б) часы идут правильно; в) часы спешат на ti =1.
Уб - 1
Решение. Если часы пассажира отстают на ti секунд, то в 12 часов по его часам поезд уже движется в течение ti секунд, пройдя расстояние, равное а疗/2, где а — ускорение поезда. Еще через t секунд поезд проходит расстояние, равное длине вагона. Следовательно, длина вагона I определяется разностью
7 _a(/1 + t)20疗/1、
=2 于
Спустя еще t секунд поезд находится в движении в течение времени ti + + 2t и за последние t секунд проходит расстояние, равное длине двух вагонов. Поэтому
2/ 二 a(£i + 2炉 _ a(£i + 力『⑵
Выражая I из уравнений (1) и (2), приходим к уравнению
2(ti + t)2 — 2tf = (ti + 2t)2 — (ti + t)2,(3)
решая которое, находим
⑷
Теперь рассмотрим случай, когда за вторые t секунд мимо пассажира прошло не два, а три или четыре вагона. Коэффициент перед I в левой части уравнения (2) будет теперь равен трем или четырем соответственно. Решая это уравнение, мы в первом случае найдем ti = 0, т. е. в действительности часы пассажира идут точно. Во втором случае решение уравнения даст значение 力 1 = Т/6.
Можно ли отсюда сделать вывод, что часы пассажира в действительности не отстают, а спешат на 抬=t/6? Тогда картина выглядела бы следующим образом: пассажир выбегает на платформу раньше 12 часов и ему только кажется, что поезд уже движется, а в действительности он еще стоит, а только затем происходит все описанное в условии задачи.
Нетрудно сообразить, что такой вывод был бы верным только частично: часы пассажира действительно спешат, но чтобы выяснить, на сколько, необходимо изменить систему уравнений. Действительно, соотношение (1) в этом случае не имеет смысла: спустя время t после 12 часов (по спешащим часам пассажира) поезд будет находиться в движении в течение t — |ti | секунд и путь, проходимый поездом за время t — |ti | = t + ti при отрицательном ti будет даваться одним первым слагаемым в выражении (1). Отметим, что второе уравнение (2) сохраняет смысл и в этом случае.
Тогда вместо (3) имеем уравнение
4(ti +1)2 = (ti + 2t)2 — (ti +1)2,
откудаоткудай =-й =-У5 -2У5 -2
откуда
откуда
й =-
й =-
У5 -2
У5 -2
Теперь видно, с какой осторожностью следует подходить к интерпретации корней уравнения, имеющих не тот знак, который ожидается из физических соображений. Во всяком случае, необходимо проверить, сохраняет ли смысл исходная система уравнений.
Если бы с самого начала мы начали рассматривать два различных случая —когда часы пассажира отстают и спешат, мы получили бы для этих случаев разные системы уравнений: математические модели этих двух ситуаций
оказываются различными, несмотря на кажущееся сходство — определенную симметрию этих ситуаций.
Приведенные соображения становятся более очевидными, если вспомнить, что при равноускоренном движении пути, проходимые в последовательные одинаковые промежутки времени относятся как 1 : 3 : 5в то время как сделанное предположение (4 вагона за вторые t секунд) соответствовало бы более резкому увеличению проходимых путей. Отметим, что опираясь на приведенный факт, можно сразу сказать, что ti = 0 (часы пассажира идут точно) в случае, когда за вторые t секунд мимо пассажира проходят три вагона, если за первые t секунд прошел один.
Ответ: а) Движение равноускоренное; б) с2/2.
Решение. Чтобы убедиться, что движение равноускоренное, запишем зависимость скорости от координаты в виде V2 = с2ж и найдем приращение величины V2:
△М) = (V + △к)? - V2 = 2УДУ + (ДУ)2 = с2Дж.
Разделим обе части последнего равенства на промежуток времени △力 в течение которого произошло изменение скорости и координаты. Пренебрегая квадратичными по ДУ членами, имеем:
△t At
Учитывая, что в пределе AV/At представляет собой ускорение, а △//△力—скорость, получим, что ускорение постоянно и равно с2/2.
Ответ: V = (% + %)/2.
Решение. Систему отсчета свяжем с центром диска. В этой системе отсчета скорости верхней и нижней точек диска одинаковы по модулю и противоположны по направлению. Поэтому (И — V) = —(% — V). Следовательно
К тому же результату можно прийти, используя другую систему отсчета, например, связанную с нижней рейкой. В этой системе отсчета точка В явля-
Рис. 1.7
ется мгновенным центром вращения 鹽=0. Линейная скорость точки А равна Уа = И — V2. Точка А вращается вокруг мгновенного центра вращения В с угловой скоростью
Скорость центра диска О относительно нижней рейки V найдем, учитывая связь линейной и угловой скорости:
так как \ОВ\/\АВ\ = 1/2.
Скорость центра диска О относительно земли найдем из классического закона сложения скоростей:
8,77 м/с2, направлено к центру окружности.
44 км/ч.
V = \/gR = 7,91 км/с; Т = 2不,R]g84,5 мин, где R = 6,38 х
х 106 м — радиус Земли.
16.
а) 464 м/с; 3,37 • 1(Г2 м/с2. б) 328 м/с; 2,4 • 10~2 м/с2.
8； м/с2.
Ответ: ап =也| (2 ± тг).
Решение. В начале поворота модуль нормального ускорения равен V^/R. Следовательно, тангенциальное ускорение at = 土V^/(2A). Знак "+” (“一”) отвечает прохождению поворота с увеличением (уменьшением) скорости. Время поворота t можно определить из уравнения:
Подставляя t в уравнение для скорости V = Vq + at, находим скорость при завершении поворота: V = 丁吟 + 7vatR. Теперь нормальное ускорение можно связать с тангенциальным:
财I = * + тг的二受(2 ± 7Г)= EI (2 土 7Г).
25 828 км/ч; под углом 26,2° к экватору.
0,57 с; 630 м.
в 4 раза.
Угол наклона ствола пистолета к горизонту должен составлять около 0,08 радиан.
6 с; на 240 м.
300 м. 2
sin q /
s = 2——cos(a +м, если ракета запущена вверх вдоль
g cos /3
2時 sin a…
склона холма; s = —cos(p - a) ^ 415 м, если ракета запущена вниз
g cos
вдоль склона холма.
Ответ: S = %£V^・
2Я.arccosi2Я.arccosi;(0,25)75,5°._(^-v2 + g¥)2 а—8??^ М-;(0,25)75,5°._(^-v2 + g¥)2 а—8??^ М-1.73. Нтах1.73. НтахРешение. Пока оба тела находятся в свободном падении, они движутся равномерно со скоростью VqV^ одно относительно другого. Поэтому расстояние между телами будет меняться по закону S = %力.
2Я.
arccosi
2Я.
arccosi
;(0,25)75,5°.
_(^-v2 + g¥)2 а
—8??^ М-
;(0,25)75,5°.
_(^-v2 + g¥)2 а
—8??^ М-
1.73. Нтах
1.73. Нтах
S = 4Actg а.
58 м; 9,4 м/с под углом -15° к горизонту.
R= -
2
В наивысшей точке траектории и по величине равно g.
g cosoq+cosa?g cosoq+cosa?1.79. Ответ-. Vo =1.79. Ответ-. Vo =SS2g2g2 cos a V S tg a + 九2 cos a V S tg a + 九~ 19,8 м/с; t = J2(无 + s tga)~ 19,8 м/с; t = J2(无 + s tga)Vq sin2 a 1 c 1^ 3 с; H = h T^ 12,1 м.2gРешение. Запишем уравнения для координат камня в момент падения на землю:Vq sin2 a 1 c 1^ 3 с; H = h T^ 12,1 м.2gРешение. Запишем уравнения для координат камня в момент падения на землю:At =亚 sm® — @2).
g cosoq+cosa?
g cosoq+cosa?
1.79. Ответ-. Vo =
1.79. Ответ-. Vo =
S
S
2g
2g
2 cos a V S tg a + 九
2 cos a V S tg a + 九
~ 19,8 м/с; t = J2(无 + s tga)
~ 19,8 м/с; t = J2(无 + s tga)
Vq sin2 a 1 c 1
^ 3 с; H = h T^ 12,1 м.
2g
Решение. Запишем уравнения для координат камня в момент падения на землю:
Vq sin2 a 1 c 1
^ 3 с; H = h T^ 12,1 м.
2g
Решение. Запишем уравнения для координат камня в момент падения на землю:
⑴⑴S = Vo^COSQ,
⑴
⑴
—h = Vasina — ^—.
Выражая t из (1) и подставляя его в первое слагаемое правой части (2), получаем:
gt2
一h — s • tg a - 2 ・
Отсюда t = 九 + stga). Теперь из (1) находим
h °h °" _S°2 cos a" _S°2 cos a
h °
h °
" _S
°2 cos a
" _S
°2 cos a
При известной начальной скорости % наибольшая высота подъема камня хг 7 诏 sin2 a
может быть вычислена как Н = n Н.
2g
Ответ: a = arctg(8/Z); Vo〉，gZ/sh12a.
Решение. Систему отсчета свяжем с телом, свободно падающим из точки А (см. рис. на стр. 15). В этой системе отсчета скорость Vo тела, брошенного из точки В, постоянна. Поэтому, чтобы тела встретились, нужно вектор скорости Vo направить в точку А. Тогда tga = Н/I. Этот ответ не зависит от скорости тела. В то же время место, где столкнутся тела, и сам факт столкновения зависят от скорости брошенного тела. Действительно, если скорость достаточно велика, то соударение произойдет близко к точке А, а если мала, то брошенное тело вообще не долетит до точки О. Поэтому, хотя а и не зависит от %, на % необходимо наложить ограничение Vq > у/gl/ sin 2a.
Ответ: I = 8方 sin a.
Решение. Прежде всего, отметим, что нецелесообразно пытаться записать единое уравнение движения тела, включающее его первоначальное падение по вертикали. Так как в момент удара о наклонную плоскость скорость тела меняется скачком, то его движение будет равнопеременным только до первого соударения с наклонной плоскостью и в промежутках между последующими соударениями.
Рассмотрим вектор перемещения тела г между первым и вторым столкновениями.
Для него справедливо:
⑴⑴t2r = vot + gq,
⑴
⑴
где v0 — скорость тела сразу после первого соударения с наклонной плоскостью. В силу упругого характера столкновения модуль скорости одинаков до и после соударения, т. е. Vq = 2gH, а угол между вектором v0 и нормалью к плоскости равен а (рис. 1.8).
Дальнейшее решение сводится к определению интересующей нас величины из уравнения (1). Это можно сделать разными способами. Может быть использован стандартный прием проектирования (1) на оси системы координат. При этом преобразования будут более или менее громоздкими в зависимости от выбора координатных осей.
Например, если направить оси х и у по горизонтали и вертикали, то дальнейшие преобразования запишутся следующим образом:
х :I cos а = VQt sin 2а,
7Оg产⑵
у :— / sin а = VQt cos 2a—.
Здесь I — модуль вектора г, равный искомому расстоянию между точками касания тела с наклонной плоскостью. Выражая из первого уравнения (2) величину t:
/ _ I cos a _ Z。0 sin 2a 2o()sin a
и подставляя во второе уравнение, найдем:
-I sin a =00 cos 2a-——:——厂•(3)
2oosina 2 4話 sin2 a
Сокращая на Z R 0 н объединяя слагаемые, не содержащие I, получим:
cos 2a . cos 2a + 2sin2 a 1
一 +sma =厂=一•(4)
2 sin a2 sin a2 sin a
т小74 优 sin a2 о и
lenepb из (3) находим: / = или, подставляя v0 = 2gН, оконча
тельно8
I = 8H sin a.
Выкладки можно сделать проще, если проектировать (1) на оси /' и у' (рис. 1.9).
В этом случае имеем:
":I = oo^sina + gs^ia产,
(5) / с 丄gcosa 丄 2
у :0 = v()t cos a.
Теперь из второго уравнения немедленно находим t = 2o()/g — время полета до второго соударения не зависит от угла наклона плоскости. Подставляя t в первое уравнение (5), имеем:
I = sin а = sin а.
Ответ можно получить, и не прибегая к проектированию на оси координат. Для этого заметим, что равенство (1), как и всякое векторное равенство, где
Рис. 1.10
сумма двух векторов равна третьему, соответствует треугольнику （рис. 1.10）. Вектор г направлен вдоль наклонной плоскости из точки первого касания тела с наклонной плоскостью во вторую. Вектор vot направлен вдоль вектора v（） и начинается в точке первого касания тела с наклонной плоскостью. Вектор gt2/2 направлен вертикально вниз и заканчивается в той же точке, что и вектор г. Треугольник перемещений изображен на рис. 1.10. Поскольку два угла в этом треугольнике равны, он равнобедренный. Это немедленно дает равенство:
gt2
откуда t = 2oo/g. Теперь получаем:
I = 2°о力 cos 二-sin a = 88 sin a.
Решение. Обозначим точку падения камня на наклонную плоскость через D и изобразим перемещения г и ri камня в точки А и D （рис. 1.11） в соответствии с уравнениями
Г = VOt + 万，Г1 = VOtl + к.
Из подобия треугольников ОВС и OED на рис. 1.11 следует:
OB _v（）t_ h + gt2/2ОС_ v（）t_ t
OE。（）方1 g疗/2'。。00（方1一方）（ti -1）,
Из первого выражения находим 拉=^（力一£） и, сравнивая отноше- 00BЛ 或2/2t
ния длин отрезков —— и —— = 7——7—^г 7получаем:=
=°端二喝.
Последнее соотношение позволяет сформулировать алгоритм построения точки D.
Проводим вертикаль через точку А и строим точку В. Откладываем отрезок СА1 = АС и отрезок CF = АВ. Соединяем отрезком прямой точки О и F. Проводим через точку Ai прямую, параллельную OF. Пересечение
этой прямой с наклонной плоскостью и определяет точку падения камня D. Действительно, из подобия треугольников OFC и DA\C следует равенство
СР _ АС
ОС 二 АВ5 совпадающее с полученным выше.
Для определения расстояния до места падения OD = ОС + CD = =I • ( 1 + ^Tg 丿 воспользуемся теоремой синусов для треугольника ОВС /％ве e
(рис. 1.12): .—• Отсюда
sin(7r/2 — а + р) sinct
оп = 1^в^ноп = 1^в^н1 +1 +hI sin a cos(a — /3)hI sin a cos(a — /3)
оп = 1^в^н
оп = 1^в^н
1 +
1 +
h
I sin a cos(a — /3)
h
I sin a cos(a — /3)
Выбрав начальную точку траектории тела за начало системы координат, имеем: г = vot + gt2/2. Треугольник, соответствующий этому векторному равенству, показан на рис. 1.13. Поскольку движение тела происходит с постоянным ускорением g, для перемещения г справедливо соотношение г = (vo + v)t/2, откуда для скорости v в точке А имеем: v = 2r/t — vo. Последнее равенство позволяет найти построением вектор v. Из конца вектора vq проводим вертикаль до пересечения с вектором г (рис. 1.14). При этом
Рис. 1.14Рис. 1.14
Рис. 1.14
Рис. 1.14
получается вектор r/t. Удвоим длину этого вектора, получив вектор 2r/t.
Соединяя конец вектора v()с концом вектора 2r/t, получаем вектор v.
1.84. Ответ', а = arctg1.84. Ответ', а = arctgV^V^ + 2ghV^V^ + 2gh
1.84. Ответ', а = arctg
1.84. Ответ', а = arctg
V^V^ + 2gh
V^V^ + 2gh
Решение. Сразу очевидно, что бросать камень нужно под некоторым углом вверх. Действительно, бросая камень с заданной скоростью под углом вниз, мы
уменьшаем как горизонтальную составляющую скорости, так и время полета по сравнению с их значениями, в случае, когда камень бросают горизонтально. При бросании камня под небольшим углом вверх мы почти не меняем гори
зонтальной составляющей скорости (cosa ^ 1), но увеличиваем время падения И) sin a
камня, ибо сначала он поднимается и это время становится равнымк
+ {I 8 + ^5^) вместо ^ при бросании по горизонтали.
Пусть камень брошен из окна под углом а к горизонту и упал на Землю на расстоянии s от стены дома. Запишем выражение для его перемещений по горизонтали и вертикали:
s = Vo cos at,
h = —Vo sin a力 + —^―.
Выражая время полета t из первого равенства и подставляя во второе, получаем:
2
h = - s tg a + —~2 (1 + tg? a).
24)
Здесь использовано тригонометрическое тождество 1/cos2 a = 1 + tg2 a.
Теперь можно выразить дальность полета по горизонтали s из уравнения для h и исследовать получившееся выражение на экстремум в зависимости от угла а. Однако проще поступить иначе. Решаем это уравнение как квадратное относительно tga и получаем:
%2± /吟―g2s2 + 2吟gA
gsФизический смысл имеют только вещественные решения. Поэтому дискриминант должен быть неотрицательным:^ + 2vV^gh - g2s2 > 0.gsФизический смысл имеют только вещественные решения. Поэтому дискриминант должен быть неотрицательным:^ + 2vV^gh - g2s2 > 0.tga =y•
gs
Физический смысл имеют только вещественные решения. Поэтому дискриминант должен быть неотрицательным:
^ + 2vV^gh - g2s2 > 0.
gs
Физический смысл имеют только вещественные решения. Поэтому дискриминант должен быть неотрицательным:
^ + 2vV^gh - g2s2 > 0.
Отсюда получаем неравенство для дальности полета камня по горизонтали
%J^ + 2gA
Максимальной дальности полета знак равенства. Подстановка smax в под которым нужно бросить камень:Максимальной дальности полета знак равенства. Подстановка smax в под которым нужно бросить камень:Smax при заданных Ан% соответствует выражение для tga определяет и угол,Smax при заданных Ан% соответствует выражение для tga определяет и угол,
Максимальной дальности полета знак равенства. Подстановка smax в под которым нужно бросить камень:
Максимальной дальности полета знак равенства. Подстановка smax в под которым нужно бросить камень:
Smax при заданных Ан% соответствует выражение для tga определяет и угол,
Smax при заданных Ан% соответствует выражение для tga определяет и угол,
tga 二tga 二J 吟 + 2gAJ 吟 + 2gA
tga 二
tga 二
J 吟 + 2gA
J 吟 + 2gA
Представляет интерес проверить некоторые предельные случаи. При h = 0 имеем smax = Vq / g n^g а = 1. В этом случае мы имеем задачу о максимальной
дальности бросания с поверхности Земли. При h ос (что следует понимать в смысле Vo《，1^) получаем smax = %)，2A/g, tga = 0: с очень высокого
небоскреба камень следует бросать почти горизонтально и его дальность полета равна произведению скорости Vo на время падения，2A/g.
1.85. Ответ-, а) smax1.85. Ответ-, а) smax—77；т-; бросать камень нужно под углом а =
1.85. Ответ-, а) smax
1.85. Ответ-, а) smax
g(l + sm/3)
=———к горизонту; б) smax =; бросать камень нужно под углом
42g(l - snip)
ак горизонту; в)+ Я; г) гг в
полярных координатах или у = ^^ в декартовых координатах.
Решение, а) Движение камня описывается уравнением г = V。力 + gt2/2, а соответствующий треугольник перемещений изображен на рис. 1.15 сплошными линиями. Вектор г в момент падения направлен вдоль склона горы из
Рис. 1.15Рис. 1.15
Рис. 1.15
Рис. 1.15
точки А в точку В, вектор V。力 направлен вдоль вектора Vo, вектор g产/2 — вертикально вниз. Воспользовавшись теоремой синусов, получаем:
Vot = gt2/2 sin(7г/2 + /3) sin аVot = gt2/2 sin(7г/2 + /3) sin агsin(7г/2 — а — /3)гsin(7г/2 — а — /3)⑴⑴
Vot = gt2/2 sin(7г/2 + /3) sin а
Vot = gt2/2 sin(7г/2 + /3) sin а
г
sin(7г/2 — а — /3)
г
sin(7г/2 — а — /3)
⑴
⑴
Выражая из первого равенства (1) t находимВыражая из первого равенства (1) t находим2 Vo sin а—и подставляя его во второе, geos р2 Vo sin а—и подставляя его во второе, geos р2诒 sin а / е、 г = 2——cos(a +g cos /32诒 sin а / е、 г = 2——cos(a +g cos /3⑵⑵
Выражая из первого равенства (1) t находим
Выражая из первого равенства (1) t находим
2 Vo sin а
—и подставляя его во второе, geos р
2 Vo sin а
—и подставляя его во второе, geos р
2诒 sin а / е、 г = 2——cos(a +
g cos /3
2诒 sin а / е、 г = 2——cos(a +
g cos /3
⑵
⑵
Используя тождество sin х cos у = - [sin(/ + у) + sin(/ — у)], преобразуем (2) к виду
_ Vo [sin (2а + /3) — sin /3]
geos p
Теперь очевидно, что при заданном /3 расстояние г максимально (г = smax), когда sin(2a + /3) = 1, т. е. а = тг/4 - /3/2. При этом
geos?/? g(l — sin2 /3) g(l + sin^3)
В случае, когда камень бросают со склона вниз, треугольник перемещений показан на рис. 1.15 пунктиром. Теорема синусов дает
Vt _ gt2 /2 _ т
sin Q - sin) sin 得 +/3 — 7)
Выражая, как и выше, t из первого равенства и подставляя во второе, получаем:
2V2 sin 7/ 小 [sin (2丁 一 + sin /3]
r = 2_L COS (a -= ——-•
g cos /3g cos /3
В этом случае г = Smax при условии sin(2a - /3) = 1, или а = тг/4 + /3/2. ДЛЯ Smax ИМввМ：
g(l - si*.
Отметим, что все формулы (б) могут быть получены из формул (а) заменой /3 т —仇 Vo н а т
Для определения минимальной скорости, при которой снаряд может поразить цель, расположенную на расстоянии L по горнзонталн, на высоте 8 воспользуемся формулой (4), выразив из нее % = ，gT(l + sin/З). Теперь, подставив в эту формулу г =，》+ 〃2 и sin/З = — = —-, получим
厂+ Я2
Hnin = Jg〃2 + 〃2
В полярных координатах (г,夕)уравнение для границы достижимых целей при фиксированной скорости Vo получается непосредственно из (4) заменой (3 т 屮：
g(l + sin^)'
Для того, чтобы записать его в декартовых координатах, перепишем (5) в виде:
у = г sin 夕=гV 廿.
Выражая отсюда зависимость у = у{х) в явном виде, получаем:
ot стены ангара.ot стены ангара.Ответ: Vo min =，g(Z + 2九).Бросать мячик нужно под углом а =
ot стены ангара.
ot стены ангара.
=arCCOS ( /S彳)с расстояния 3
Решение. Из соображений симметрии ясно, что траектория мячика, co
ответствующая минимальной начальной скорости, имеет вид, показанный на рис. 1.16. При этом в точке А скорость должна быть направлена под углом тг/4 к горизонту. Достигнув этой точки, мячик должен пролететь расстояние I по горизонтали до точки В. Поэтому I = V2/g. Теперь легко найти модуль начальной скорости %：吟=V? + 2gh = g(Z + 2九).
Угол а, образуемый вектором Vo с горизонтом, проще всего найти, учиты
вая, что горизонтальная составляющая скорости не меняется при отсутствии
Рис. 1.16
сопротивления воздуха: % cos а = Уд/2 /2. Подставляя сюда значения Vq и V,
находим:
Расстояние CD на рисунке — это расстояние, которое пролетел мяч по горизонтали со скоростью % cos а за время t, в течение которого он поднимается на высоту h, или, что то же самое, в течение которого его вертикальная составляющая скорости убывает от значения Vasina до значения Уд/2/2. Подставляя в уравнение Уд/2/2 = Vasina — gt найденные значения V, Vq и а, получзем: t = 2^^ (\/7 + 2h —.
Теперь для расстояния CD имеем
CD = Vot cos a = J (j 1 竽-О
Рассмотрим некоторые предельные случаи. При h = 0 получаем:暗=gZ; cos a = У2 /2 (a = 7г/4) и CD = 0. Этого и следовало ожидать, поскольку в этом случае нужно просто бросить мяч с минимальной скоростью на расстояние I. При I = 0 аналогично имеем 吟=2gh; cos a = 0 (a = тг/2) и CD = 0. В этом случае достаточно просто подбросить мяч на высоту h.
Ответ: Vo min = J2gA(1 + д/2). Бросать камень нужно под углом a = arccos — с расстояния R、д/^ + | от точки касания резерву-
у2(У2 +2)V 2
ара с землей.
Решение. Очевидно, что "оптимальная" траектория должна быть симметрична относительно оси DOE, проходящей через центр цилиндра перпендикулярно поверхности земли (см. рис. 1.17). Она должна касаться боковой поверхности цилиндра в двух симметричных точках А и В либо в единственной верхней точке (см. рис. 1.18). Зададим точки касания углом /3 между направлением из центра цилиндра на точку касания О А и осью симметрии ОЕ. Если траектория камня касается цилиндра в верхней точке, то, очевидно, /3 = 0.
В точке касания скорость камня направлена под углом /3 к горизонту. Учитывая, что движение по горизонтали происходит равномерно, а по вертикали — с постоянным ускорением g, запишем уравнения, связывающие начальную скорость Vo и скорость V в точке А:
Vq sin2 а -V2 sin2 /3/、
cos a = V cos p, =+ cos .
7 A.C. Кондратьев, B.M. Уздин
Рис. 1.17Рис. 1.17Рис. 1.18Рис. 1.18
Рис. 1.17
Рис. 1.17
Рис. 1.18
Рис. 1.18
Здесь учтено, что точка А расположена на высоте Я(1 + cos /3) над поверхностью Земли. Из этих уравнений можно выразить
Vq = Vq cos2 a -\-Vq sin2 q = V2 + 2gA(1 + cos /3).
Рассмотрим теперь движение из точки А в точку В, которые находятся на одном горизонтальном уровне. Дальность полета АВ задается формулой:
ggАВ = 2 A sin/3 = "2 sm "c°s"
g
g
Это равенство выполняется, если
⑴⑴⑵⑵sin /3 = О
⑴
⑴
⑵
⑵
или
V2 cos /3 = gR.
Первое условие (1) соответствует случаю, когда траектория проходит через верхнюю точку цилиндра. Для того, чтобы в этой точке камень не давил на резервуар, необходимо чтобы, радиус кривизны траектории г был больше радиуса цилиндра R и, следовательно, g = V2/г < V2/R. Минимальное значение скорости при этом равно，gA , что совпадает со значением, полученным из второго условия (2) при /3 = 0. Поэтому далее достаточно пользоваться только соотношением (2). Подставляя из него V2 в выражение для 暗，получаем:
И?И?S + 2g" 1 + cos/3) = gA(2 + 2cos" + /).
И?
И?
Если воспользоваться тождеством
то очевидно, что минимальная скорость % достигается при условии 2 cos/3 = 1 / cos /3, т. е. при /3 = тг/4 величина минимальной скорости % = = J 2gA(1 + д/^), а угол а определяется условием
cos а = — cos /3 =cos а = — cos /3 =『2(7^ +2)『2(7^ +2)
cos а = — cos /3 =
cos а = — cos /3 =
『2(7^ +2)
『2(7^ +2)
Чтобы определить расстояние CD от точки, из которой нужно бросать камень, до оси симметрии системы, достаточно горизонтальную составляющую
скорости V cos/3 =，gA/V^ умножить на время t подъема камня на максимальную высоту
%sina _ "2gA(l+cos/3) + V2sin2/3
ggg
g
g
Окончательно, получаем: CD = А,^2 + 3/2 .
К такому ответу можно прийти и иначе, если воспользоваться результатом решения задачи 1.86 о перебрасывании мяча через ангар с плоской крышей. Для этого достаточно вписать в цилиндр ангар с плоской крышей, как показано на рис. 1.17, и убедиться, что соответствующая траектория будет оптимальной для обеих систем. Тогда вывод о том, что /3 = тг/4, получается сразу, а значения % и cos а можно найти, учитывая, что для рассматриваемого ангара I = AV^, а А = А(1 + 7^/2).
Ответ: h =——(ocosa — 〃)tg2 a. Камень попадает в авиамодель на нисходящем участке траектории, если о < 2〃/cosa, и на восходящем, если выполнено обратное неравенство.
⑴⑴⑵⑶⑷(5)⑹⑵⑶⑷(5)⑹
⑴
⑴
⑵
⑶
⑷
(5)
⑹
⑵
⑶
⑷
(5)
⑹
Решение. Выберем начало координат в точке, откуда брошен камень (рис. 1.19), и приравняем координаты авиамодели и камня в некоторый момент времени t:
h ctg а -\- ut = v cos а • t,
h = v sin a —.
Подставим h из (2) в (1) и выразим t из получившегося уравнения:
gctga/
Теперь найдем высоту h из (1) и (3):
h = —(V cos а — и) tg2 а.
Для ответа на второй вопрос задачи выразим t из уравнения (2)
力—一sin a ± sin a — -
g V g g
и приравняем его выражению (3)
。sin a ±，川 sin2 & — 2gh = 2u tg a.
Знак "+" соответствует нисходящей ветви траектории. В этом случае о < < 2a/cosa.
Знак "—" соответствует восходящей ветви (о 〉2〃/cosa). При и = =(o/2)cosa камень попадет в авиамодель в верхней точке своей траектории.
Ускорение пропорционально квадрату скорости.
Дт = 2(т — P/g).
5 Н, 1/3 кг.
F = 2msi¥ = 2 Н.
- Vo
F = т—- = 1725 Н.
Т=^-, V = yiFti^. cos"
V = ^;Т = 2不回・
а = “I"? = 12 м/с2. +02
V =，mg/к .
а) 6 м/с; б) 9 м.
По всем желобам за одинаковое время t = 2，A/g.
а = Fi/m; М = m〈F\]F? — 1); F = 2% — R.
Fi = (mi + Ш2)а ~ 36200 H; % = m2a 9570 H.
26,3 H.
У2 °
a = arctg ^^ ~ 23 .
N = mg/ cos а; V = y/gRtga.
a) 9800 H; 6) 11,800 H; в) 7800 H.
/ =
Ускорение автомобиля при торможении а = У2/(25) = 6,25 м/с2. Силу, действующую со стороны привязных ремней, можно оценить как F = =та. При массе водителя 70 кг она составляет около 440 Н.
Ответ-. F 17 кН.
Решение. Оценим сначала ускорение водителя при столкновении автомобиля с преградой, считая это ускорение постоянным. В результате столкновения автомобиль деформируется, а привязные ремни удлиняются. Примем для оценки, что автомобиль uyкopaчивaeтcя^^ на 1 м, а за счет удлинения ремней водитель перемещается еще на 0,5 м. Тогда за время соударения водитель перемещается на △/ = 1,5 м, а для его ускорения а имеем:
Привязные ремни действуют на водителя силой F, равной произведению его массы на это ускорение. В результате получаем F 17 кН.
a) N = F sin а + mg cos а 弋 149 Н; б) а = — cos а — g sin а ^
3,4 м/с2.
а = gtgа ^ 17 м/с2. Если ускорение будет больше, то тело будет подниматься вверх по наклонной плоскости.
Наименьшее по модулю ускорение у клина будет, если монета, падая свободно, все время остается на поверхности клина. В этом случае ускорение клина а = gctg30°17 м/с2.
Т = 2ivу/Б^, где R — радиус Земли. Г 85 мин.
Ответ', положение бусинки на кольце задается углом 少 ^ 51,7° (рис. 2.1). При уменьшении частоты вращения вдвое бусинка будет находиться в нижней точке кольца: " = 0.
Решение. Силы, приложенные к бусинке, когда ее положение на кольце
задано углом 少，показаны на рис. 2.1. Бусинка движется в горизонтальной
плоскости по окружности радиуса г = Asin", изображенной на рисунке пунктиром. Ее ускорение а определяется частотой вращения 沙 и радиусом г:
а = (2тг 沙)％ = (27r^)2^sin^.
Проектируя уравнение движения на горизонтальное и вертикальное направления, имеем:
N cos 少—mg = 0,(1)
Nsin" = гп(2тпу)2 Rsini}.(2)
gtg" = (27r^)2Asin".gtg" = (27r^)2Asin".(3) Рис. 2.1(3) Рис. 2.1Выражая из (1) N и подставляя в (2), получаем:
gtg" = (27r^)2Asin".
gtg" = (27r^)2Asin".
(3) Рис. 2.1
(3) Рис. 2.1
Одно из решений этого уравнения, которое существует при любых 沙， отвечает случаю " = 0, тогда sin" = tgi^ = 0 и N = mg. Второе решение находим, разделив обе части (3) на sin"力 0. Тогда
cos 少g с.
(2^)2〃
Это решение существует только при g < (2тг沙)?А. При таком условии второе решение является устойчивым, а первое — неустойчивым. Чтобы убедиться в этом, достаточно мысленно вывести бусинку из положения равновесия и увидеть, что возникающие силы стремятся в первом случае вернуть ее обратно, а во втором еще дальше увести ее от равновесия.
При заданных в условии значениях параметров cos" ^ 0,62 и ^ ^ 51,7°. Однако, если уменьшить частоту 沙 вдвое, то останется единственное решение 少=0. COSQ
а) На расстоянии Zo = 号°°‘： от пересечения спицы с осью вращения. G sin а
Неустойчиво.
Ответ: периоды обращения обоих шариков Г одинаковы и определяются соотношением Т = 2不,h[g. Шарик, подвешенный на более длинной нити, движется быстрее.
Решение. Вращение каждого шарика происходит под действием силы тяжести mg и силы натяжения нити F. Поскольку скорость шарика неизменна по модулю, то равнодействующая F + mg сообщает шарику центростремительное ускорение, модуль которого равен 4тг2Я/Т2.
На основании второго закона Ньютона согласно рис. 2.2 имеем:
⑴
Поскольку R = htga, то из соотношения (1) находим
При заданной высоте h описываемого нитью воображаемого конуса период вращения оказался не зависящим от длины нити Z: он определяется только высотой этого конуса. От длины нити зависит угол при вершине конуса и линейная скорость шарика на орбите вращения;
Из рис. 2.2 видно, что
h
Рис. 2.2
h
cos а =—
⑶
mg
R
Для линейной скорости V имеем с щью (2) и (3):
V =竽А = Vgh tga= {gh
⑷
Шарик, подвешенный на более длинной
помо-
нити,
'•движется быстрее и описывает конус с большим
углом.
а) a =—竺空一;Г = m'm2g ; б) при mi《т? a g； Г 0; Ш1 + Ш2Ш1 + Ш2
в) При Ш1 >> Ш2 а ^ О； Т ^ 7П2g.
ст - М .1 1 т2mMg sin a，「—
cw = -ам =元I—g • sma 1,1 м/с; T = 44,7 H.
c— mi sin a c2 e
2.29. a = —g = 2,45 м/с2; T =
mi + 7n2
mim2(l + sin а)
Ш1 + 7n2
g = 36,75 Н.
2.30. Ответ-. 2g.
Решение. Обезьянка остается на одной и той же высоте над поверхностью земли. Следовательно, приложенная к ней сила тяжести Mg равна по модулю силе, действующей со стороны веревки. По третьему закону Ньютона точно такая же по величине сила действует на веревку со стороны обезьянки. Поскольку масса веревки и блока пренебрежимо малы, сила натяжения веревки по обе стороны от блока Т тоже равна Mg. Теперь легко найти ускорение груза а:
T-mg、
a = =1 g = 2g.
m \ m /
Точно с таким же ускорением должна двигаться обезьянка вверх по веревке.
99 кг (ускорение при подъеме и спуске груза равно по модулю 0,1g).
а) М = ^ + 曳)т 112,4 кг; б) М = (1 + 竺)т ~ 82,4 кг; в) М = m = 95 кг.
Показания весов от направления скорости не зависят.
1,5 м/с2.
Динамометр показывает удвоенную силу натяжения шнура. Если
Ш1Ш2gм
лифт неподвижен, то * = 4g = 26,1 Н. Если лифт поднимается с
Ш1 + 7n2
ускорением а, направленным вверх, то г = 4(g + a) = 34,1 Н. mi + m2
(g-a)・
mi + m2v
2.36. Ответ-. }
M + m — cos a)
g < 歹 W〕
М cos а
sinct
(1 — cosa)g，
〃хF(m sin2 a + M cossin a cos a
Ускорение бруска: ax = ^; ay =
m(M + msin a)
_ F[M + m(l — cos a)] — mg(M + m) sin a
m(M + msin2 a)
〃F (1 — cossin a cos a
Ускорение клина: ai = ^.
M + m sin a
Решение. На рис. 2.3 показаны силы, действующие на брусок. Это силы тяжести mg, сила N реакции клина, нормальная к его поверхности и сила Т
со стороны нити. На рис. 2.4 показаны силы, действующие на клин. Это силы Ti и Т?2 со стороны нити, перекинутой через блок, сила Ni = —N давления со стороны бруска (здесь учитывается III закон Ньютона для взаимодействия бруска и клина), сила тяжести Mg и сила № реакции со стороны горизонталь
ной поверхности. Благодаря пренебрежению массами блока и нити и трением в блоке справедливо
Г = Ti = 72 =(1)
где F — искомая сила, прикладываемая к нити.
В инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, уравнение движения бруска в соответствии со вторым законом Ньютона записывается в виде:
mg + Т + N = та,(2)
где а — ускорение бруска относительно Земли.
Уравнение движения клина имеет вид:
Mg + Ni + N2 + Ti + Т2 = Маь(3)
где ai — ускорение клина относительно Земли.
В проекциях на оси системы координат с горизонтальной (/) и вертикальной (у) осями уравнение (2) дает
F cos а — N sin а = тах,(4)
F sin а + N cos а — mg = тау,(5)
где ах и ау — проекции а на оси хну.
Теперь проектируем уравнение (3) на ось х:
F — F cos а + ^ sin а = Mai,(6)
где ai — модуль ускорения ai, направленного горизонтально. Отметим, что проекция уравнения (3) на ось у нам не понадобится: она будет содержать силу реакции горизонтальной поверхности которая в этой задаче нас не интересует.
⑺⑻⑼(Ю)(И)⑺⑻⑼(Ю)(И)
⑺
⑻
⑼
(Ю)
(И)
⑺
⑻
⑼
(Ю)
(И)
Системы уравнений (4)-(6) содержат пять неизвестных величин: F, ^, ах, ау и аг. Однако не все они независимы. Как видно на рис. 2.5, условие того, что брусок перемещается по наклонной поверхности клина, дает соотношение 旬=(д — “1) tg а.
Решаем систему уравнений (4)-(7) относительно ах, ау, ai и N:
_ F(m sin2 а + М cos а) — mMg sin а cos аm(M + msin2 а)，
_ F [M + m (1 — cos а)] — mg (M + m) sin а m(M + msin2 a)，
_ F (1 — cos a) + mg sin a cos a
M + m sin2 a
N _ Mg cos a — F sin a (1 — cos a)M + m sin2 a
Довольно громоздкие выражения (8)-(11) удовлетворяют, как нетрудно убедиться, предельным случаям, в которых ответ очевиден. Например, при a = 0 (что соответствует горизонтальной подставке вместо клина) должно быть a力=F/m, ау = 0, ai = 0, N = mg, что действительно получается из приведенных выражений.
Далее, при М ос (что соответствует закрепленному клину) должно быть ах = F cosa/m — g sin a cos a, ay = F sina/m — gsin2 a, xi = 0, N = =mg cos а. Эти выражения также получаются из (8)-(10) при предельном переходе М т ”
С помощью выражений (8)-(11) нетрудно найти ответ на первый вопрос задачи. Так как в начальный момент времени по условия задачи брусок и
клин покоятся, то брусок будет перемещаться вверх по поверхности клина при выполнении условия
(12)(12)а 力〉s.
(12)
(12)
Однако это не единственное условие. Брусок будет оставаться на поверхности клина при выполнении условия
(13)(13)^ > 0.
(13)
(13)
Если это условие не выполняется, брусок отрывается от поверхности клина и движется под действием двух сил — mg и F.
нихнихИспользуя соотношения (12) и (13), с помощью (8), (10) и (11) приходим к следующим ограничениям на величину силы F, с которой следует тянуть за
них
них
(14)(14)т (М + т) sin а 「 М cos а
(14)
(14)
g < / WM + m (1 — cosct)sin а (1 — cos a)
Неравенство (14) приводит к очевидным результатам в рассмотренных выше предельных случаях.
При a = 0 имеем 0 < F < ос, что означает, что по горизонтальной поверхности в отсутствии трения брусок можно тянуть с любой силой.
При М ос из (14) получаем mg sin a < F < ос. В этом случае сила F может быть как угодно большой, но не может быть меньше mg sin а. При F = =mg sin a брусок будет оставаться неподвижным относительно клина, а при меньшей силе будет соскальзывать вниз.
Отметим, что вместо условия (12) можно использовать условие ау〉0, что, естественно, приводит к той же оценке для силы F.
В соотношении (14) содержится еще один интересный результат: существует предельное значение а。угла а, зависящее от отношения масс т/М, при котором уже никакой силой F нельзя заставить брусок двигаться вверх по наклонной поверхности клина, не отрываясь от нее.
Покажем это: приравнивая левую и правую части неравенства (14), получаем следующее кубическое уравнение для cosao：
cos3 do — 7 cos2 do — — cos a。+ 1 = 0,(15)
7
где 7 = m/{M + m). Видно, что 0 < 7 < 1.
Используя теорему Виета, можно показать, что уравнение вида
/ (ж) = ж3 — 7« — —х +1=0.(15а)
имеет только один положительный корень, меньший единицы. Действительно, положив ж = 1, видим, что левая часть отрицательна, так как (7 + I/7)〉 〉2. Положив ж = 0, видим, что левая часть (15) положительна. Значит, в промежутке (0,1) существует по крайней мере один корень уравнения (15а). Отсюда следует, что и остальные два корня кубического уравнения (15а) вещественны: по теореме Виета произведение корней равно —1, а этого не может быть, если один корень положительный, а два других комплексные. Один из этих вещественных корней положительный, а другой — отрицательный, причем положительный корень больше единицы.
Придти к идее о существовании предельного угла а。можно, рассмотрев частный случай a = тг/2. В этом случае в самом начале движения сила натяжения нити действует на брусок вертикально вверх, а на клин — горизонтально. Поэтому брусок сразу оторвется от клина.
у2
从=у ^ °，23・
а) Сила 100 Н недостаточна, чтобы преодолеть силу трения покоя. Однако ее горизонтальная составляющая больше силы трения скольжения. Поэтому, если сдвинуть санки с места, они будут двигаться с ускорением а = =—cos а —~ 6 см/с2.
т
6) а 0,67 м/с2.
.S 二
у2у2
a) S = -^ 92 м; 6) S = -^ 152 m.
2/iig2//2g
V =，RgR 13,3 м/с.
a) Fi = 4i(m + M)g; 6) am = 42g； aM = (F — /i2mg)/M.
Ответ: F = 2T = 40 H. При наличии трения ответ будет таким же, если Т〉//mg, где т — масса каждого тела. В противоположном случае нить порвется, когда 歹=Т + ^mg.
Решение. Если предельная сила натяжения нити Т больше, чем сила трения скольжения, действующая на тела, то при увеличении внешней силы F они придут в движение. Ускорение тел а может быть найдено из уравнения
⑴⑴F — 2/j/mg = 2та.
⑴
⑴
Записывая уравнение движения для одного из тел, например второго, получаем:
F - 2/img
/ — /img = та = .(2)
Отсюда F = 2Т = 40 Н, причем коэффициент трения в ответ не входит. Однако, если Т < //mg, тела будут неподвижны, и нить оборвется, когда разность между силой F и силой трения скольжения, действующей на первое тело, будет больше предельной силы натяжения нити Т. В этом случае F = =Т + /img.
Если |Fi cosqi — F2 COSQ2I С М [(mi + W)g — ^1 sincti — F2 sin^], ускорение системы равно нулю. В противном случае система движется с ускорением
_ |№ cosai — F2 cos C121 + M (E sinai + E sin a^)
a) £p = mg = 47 H; 6) /1 =从歹—mg = 3 H; /2 =从歹 + mg = 53 H; B)/ =，(从歹)2 — (zng)2 12,6 H.
a = arctg/14,6°.
Ответ', t = ———.
sin а у g — etg а . tg
Решение. Брусок соскальзывает с наклонной плоскости с ускорением а = =g sin а — /ig cos а. При угле наклона плоскости /3 ускорение а = 0. Следовательно, /1 = tg/З соскальзывание с высоты h соответствует пути h/ sin а вдоль наклонной плоскости. Для этого потребуется время
t =丄 J丁 ; J2 九.
sin a V a sin aу g (1 — etg a • tg /3)
/ S2S
Ответ-, ti =— 5,7 c;从二一^tga 0,1.
у gt sin a — Sgt cos a
Решение. Модуль ускорения при движении вверх ai = gsina + /igcosa. С другой стороны ai = 2S/产.Отсюда находим
2s …
М =「tg a ^ 0,1.gt cos a
Соскальзывание камня вниз происходит с ускорением a? = gsina — /ig cos a. Путь S он преодолеет за время
/1 = J —=力 J -9- ~ 5,7 c.
V。2 у gr sin a — S
Ответ:从=(3/5) tg".
Решение. Движение вверх по наклонной плоскости будет равнозамедленным с ускорением, равным по модулю ai = gsin" +//geos". Соскальзывать вниз брусок будет с ускорением a? = gsin" — //geos". Путь, пройденный вверх и вниз по наклонной плоскости одинаков. Задав начальную скорость, можно определить путь до остановки, затем по известному пути и ускорению время соскальзывания и конечную скорость, которую нужно приравнять половине начальной скорости. Это позволяет связать ускорения ai и。2 и, таким образом, найти коэффициент трения.
Однако, получить ответ можно и проще, если воспользоваться обратимостью механического движения для соскальзывания вниз. Тогда движение и туда и обратно можно рассматривать как равнозамедленное до полной остановки с ускорениями ai н。2 н с начальными скоростями, отличающимися в два раза. Расстояние, которое проходит тело при таком движении, пропорционально квадрату скорости и обратно пропорционально ускорению. Следовательно, 。"。2 = 4. Отсюда
Выражая из этого уравнения 从，получаем:从=(3/5) tg". п2 — 12.50. Ответ:从== 0,1.n + 1Выражая из этого уравнения 从，получаем:从=(3/5) tg". п2 — 12.50. Ответ:从== 0,1.n + 1g sin " + Rg cos 少=4(g sin ^ — ^g cos 少).
Выражая из этого уравнения 从，получаем:从=(3/5) tg". п2 — 1
2.50. Ответ:从== 0,1.
n + 1
Выражая из этого уравнения 从，получаем:从=(3/5) tg". п2 — 1
2.50. Ответ:从== 0,1.
n + 1
и подъеме обратно пропорции вверх. Следовательно п2 =0,1.и подъеме обратно пропорции вверх. Следовательно п2 =0,1.Решение. Модули ускорений на спуске ональны квадратам времен движения вниз
и подъеме обратно пропорции вверх. Следовательно п2 =
0,1.
и подъеме обратно пропорции вверх. Следовательно п2 =
0,1.
Я sin a + cos a …, n — 1
= J—. Отсюда 〃 ==
g sin a — fig cos a几 + ]
Ответ: S =九/从.
Решение. Приведем сначала uдинамичecкoe^^ решение. Под действием сил, указанных на рис. 2.6, санки при соскальзывании с горки имеют ускорение a = gsin" — //geos".
У подножья горы они будут иметь скорость
V = V^al = у 2g(sin 少一从 cos 少).\ =，2九(1 —沙 ctg 少).
Далее санки движутся равнозамедленно с ускорением, равным по модулю 4g, и пройдут до остановки путь х = V2/(2/ig) = h//л — Actg". Если отсчитывать расстояние по горизонтали от вершины горы, то S = / + Actg" = h[卩.
К тому же результату можно прийти иначе, если воспользоваться тем, что изменение кинетической энергии тела равно работе всех действующих на него
Рис. 2.6
сил. В начальном (на вершине горы) и конечном (после полной остановки) состояниях кинетическая энергия санок равна нулю. Значит равно нулю и изменение кинетической энергии.
Записывая работу силы тяжести и силы трения, получаем уравнение:
0 二 ° cos (g 一cos0°(1)
sin"\ 2/sin ”
Отсюда получаем прежнее выражение для х и S.
Наконец, можно было учесть, что изменение полной механической энергии равно работе непотенциальных сил. Таким образом, изменение механической энергии —mgh, можно приравнять к работе сил трения (два последних члена в правой части (1)). И мы снова получаем равенство (1).
Ответ: Г = }(从2 — 4i)mgcosa.
Решение. Запишем уравнения движения для каждого из брусков в проекциях на оси, направленные вдоль наклонной плоскости (/) и по нормали к
наклонной плоскости (у) (рис. 2.7). Для нижнего бруска имеем:
х :mg sin а — Ti — /ц Ni = та,(1)
у :Ni — mgcosa = 0.(2)
Для верхнего:
х :mg sin а + Т^ — /12Ж = ^а,(3)
у :^2 — mg cos а = 0.(4)
Здесь учтено, что бруски скользят по наклонной плоскости, Это накладывает условие на коэффициенты трения: (дм + 从2)/2 W tga. Кроме того, ускорения обоих брусков приняты одинаковыми. Это будет так, если дм W 从2・ В противном случае ускорение верхнего бруска будет больше, чем нижнего и они будут двигаться независимо вплоть до столкновения. Сила натяжения нити при этом равна нулю.
Подставляя Ni и ^2 из (2) и (4) в (1) и (3) и приравнивая левые части уравнений (1) и (2), имеем:
mg sin а — Ti — /11 mg cos а = mg sin a + Z — 42mgeos a.
Так как нить предполагается невесомой, ее натяжение одинаково во всех точках: Т\ = Т? = Т. Поэтому для Т получаем
Т = }(从2 — 4i)mgcosa・
К тому же результату можно прийти, если написать уравнение движения для системы, состоящей из двух брусков, соединенных нитью, найти ускорение, а потом определить натяжение нити, например, из уравнения (1). В этом случае отдельного уравнения для второго бруска не потребуется.
Omeem\ L = Z(2 + М/т).
Решение. Рассмотрим силы, действующие на тепловоз и вагон, когда они были сцеплены. На тепловоз действует сила тяги Е— сила сопротивления
Рис. 2.8
兄叩 и сила со стороны прицепленного вагона Т (рис. 2.8). Поскольку тепловоз движется равномерно
= М + Г.
На вагон действует сила со стороны тепловоза, равная по модулю Т, и сила сопротивления F^p. Вагон тоже двигался равномерно. Поэтому 2^р = =Г.
После отцепления вагона тепловоз будет двигаться равноускоренно с ускорением 创=(Гтяг - Fconp)/M = Т/М, а вагон — равнозамедленно с ускорением по модулю равным a? = F^/m = Т/т. Следовательно, ai/a? = т/М.
Чтобы определить путь L, обозначим V начальную скорость тепловоза и вагона. Время от момента отцепления вагона до его остановки t = V/a\. Поэтому
Путь, пройденный до остановки вагоном
Следовательно, L = Z(2 + М/т).
К этому результату можно прийти и проще, если учесть, что пройденный путь — это площадь под графиком скорости. На рис. 2.9 приведены графики
скорости вагона и тепловоза. Путь Z, пройденный вагоном, равен площади заштрихованного горизонтально треугольника AOD. Путь, пройденный тепловозом —площадь, заштрихованная вертикально. Она состоит из площади прямоугольника OACD, равной 2Z и площади прямоугольного треугольника АВС. Последняя в М/т раз меньше I. Действительно, у треугольников AOD и АВС один из катет одинаков, а отношение других как раз равно отношению ускорений, т. е. М/т.
Автомобиль начнет двигаться с ускорением 0,9 м/с2 . Далее ускорение будет уменьшаться по мере увеличения скорости. Максимальная скорость автомобиля около 24,5 м/с.
S = V2/^^84 м.
а) Ер = та2 = 80 Н; б) F = Mai + та^ = 680 Н; в) Fpe3 = Mai = =600 Н; г) а = s + 专。2 = 6,8 м/с2.
тз〉 ——если 从力 < 1. В противном случае первое
]—ДМ
тело не будет скользить относительно второго ни при каких д.
Ответ: нет.
Решение. Не представляет труда выяснить, какие силы действуют на доски, и составить уравнения второго закона Ньютона в векторном виде. Однако для решения этих уравнений необходимо знать, как направлены все действующие силы. Но направления сил трения досок друг о друга зависит от их относительной скорости, т. е. от того, какая из досок соскальзывает с большим ускорением. Можно последовательно перебирать все мыслимые варианты — предполагать определенные направления сил трения, производить расчеты и отбрасывать те из вариантов, которые приводят к противоречиям. Однако, в рассматриваемой задаче требуется только выяснить, возможно ли движение нижней доски с большим ускорением. Предположим, что да, т. е. все параметры выбраны таким образом, что ai 〉。2・ Тогда направления всех сил определяются однозначно и указаны на рис. 2.10. Здесь F — сила трения нижней доски о наклонную плоскость, Fi = —F2 — силы трения досок друг о друга, N — нормальная сила реакции наклонной плоскости, Ni = —N2 —
нормальные к поверхностям силы давления досок друг на друга. Составляя уравнения движения досок и проектируя их на направление вдоль наклонной плоскости, имеем:
migsina — F — Fi = тки,(1)
m2gsma + Fi = т^.(2)
Из (1) и (2) видно, что при любых массах и коэффициентах трения
。1 < gsina, 。2〉gsina,
откуда ai <。2・ Итак, получено противоречие: при сделанных предположениях ai 〉。2 из уравнений динамики следует, что ai <。2・ Это означает, что предположение о возможности движения нижней доски с большим ускорением ошибочно.
a) M(sinа — 4cosа) < т < 7H(sina + 4cosа). При заданных параметрах 0,61 кг < m < 3,39 кг.
б)月р = (Msina — m)g = 9,8 Н.
_ TTHg sinoq — 4177И geos Ch — m2g sin @2 — 42"2g COS @2
/•bu. \Лпв etn. a —,
mi + m2
e 7nim2(sinai — cosaq + Sina? + cosa2).
i = -g в случае, когда mi sincti >
mi + m2
〉加2 sina2 и mi sinai〉/umigcosa\ + m^gsina^ + 42"2gcosa^.
Если mi sincti〉m2shi@2, но misinai < 从imigcosai + m^g^a^ + + 42"2gcosa2, то грузы неподвижны, а натяжение нити однозначно не определено.
Решение. Направления сил трения брусков о наклонную плоскость заранее не задано. Однако перебирать все возможные варианты нет необходимости. Достаточно воспользоваться следующим соображением: при наличии трения бруски либо не будут двигаться вовсе, либо будут двигаться в ту же сторону, что и при отсутствии трения.
Прежде всего выясним, как будут двигаться грузы в отсутствие трения. Действующие в этом случае силы показаны на рис. 2.11. Элементарный анализ показывает, что при mi sinoq〉7n2 shi а? грузы движутся с ускорением влево,
при обратном неравенстве — вправо и при misinai = m2 sin а2 ускорения грузов равны нулю.
Пусть оказалось, что misinai〉m2 sin а^. Предположим, что грузы продолжают двигаться и при наличии трения. В этом случае действующие в системе силы показаны на рис. 2.12. Уравнения движения грузов записываются в виде:
mig + № + FTpi + Ti = miai,(1)
Wg + N2 + FTp2 + T2 = m2a2.(2)
Если нить невесома и нерастяжима, а массой блока и трением в нем можно пренебречь, то ai = а2 = а и Ti = Т2 = Т. Решать уравнения (1) и (2) удобно, вводя для каждого из тел свою систему координат, в которых оси направлены
Рис. 2.12
вдоль соответствующей наклонной плоскости и перпендикулярно ей (рис. 2.12).
Тогда (1) записывается в проекциях на оси координат в виде
migsincti — Epi — Т = mia,(3)
Ni — migcoscti = 0.(4)
Аналогично из (2) получаем:
Т — m^g sin а2 —居 р2 = m^a,(5)
^2 — Wg COS Cl2 = 0.(6)
При движении брусков силы FTpi и FTp2 — это силы трения скольжения. Для их модулей справедливо
Wpi = /iiNi, 居 р2 =网 №•(7)
Отсюда с помощью (4) и (6) находим:
£pi = /umigcosQi.(8)
Подставляя равенство (8) соответственно в уравнения (3) и (5), получаем: migsinai — ^imigcosai — Т = m\a,(9)
Т — Tn2gsina2 — 42"2gcosa2 = тп2a.(10)
Решая (9) и (10) относительно а, получаем:
migsmai — inmigcosai — тп2gsm@2 — U2Wgcosa^ .〕、 mi + 7n2
Если после подстановки численных значений всех величин получится a〉 〉0, то тела действительно движутся и при наличии трения, причем модуль их
ускорения дается формулой (11). Натяжение нити в этом случае можно найти, решив (9) и (10) относительно Т:
_ mim2(sincti — дм cosai + sin а^ + 从2 cosa?),.
mi + m2
Видно, что это выражение дает правильный результат в предельном случае см = @2 = 7г/2, который соответствует грузам, подвешенным на нити, перекинутой через неподвижный блок (машина Атвуда).
Если окажется, что а < 0, то это означает, что тела в действительности неподвижны: ai = а2 = 0. Силы FTpi и Гтр2 в этом случае — это силы трения покоя. Их модули уже не определяются формулами (7). Более того, направление этих сил уже не обязательно соответствует рис. 2.12. Нетрудно видеть, что при mi sinoq〉m2 sin а^ только сила FTpi обязательно направлена так, как показано на рисунке, а сила Гтр2 может, в зависимости от значений параметров, быть направлена как в сторону, указанную на рис. 2.12, так и в противоположную.
Даже если направление силы Гтр2 известно (например, соответствует рис. 2.12), при неподвижных грузах определить силу натяжения нити однозначно невозможно. Действительно, уравнения (3) и (5) в этом случае имеют вид
migsinai - £pi - Г = 0,
Т — m2g sin C12 — £р2 = 0.
Это система двух уравнений с тремя неизвестными величинами 月pi, F^ и Т. Поскольку значение модулей сил трения покоя лежат в интервале
0 W Epi W дчМ,
。W ?гр2 W 卩2N2,то можно только указать интервал возможных значений силы натяжениянити. Однозначно определить силу натяжения нити при неподвижных грузахможно только в случае, когда формула (11) дает а = 0. При этом значениеТ определяется формулой (12) и происходит это потому, что а обращается внуль, когда модули сил трения покоя достигают своих максимальных значений.
Отметим, что подобный, но более простой анализ позволяет исследовать поведение системы в задаче 2.59. Здесь все величины (а, Г, Ер) определяются однозначно и при неподвижных грузах. Система является частным случаем разобранной выше при а\ = тг/2.
с к7cos а ± F
Шарик находится на расстоянии / = ^^ от точки пересе-
nw sin а
чения стержня с осью вращения. Знак "+" соответствует случаю, когда сила трения направлена вниз вдоль стержня, знак "—" — когда она направлена вверх.
{
sin а — fl cos а
%osa +4shi° 沁
ос, 从》ctga.
Решение. Если бы плоскость покоилась или двигалась равномерно (а = =0), то брусок был бы неподвижен относительно плоскости при 从》tga и соскальзывал бы ускоренно вниз при 从 < tga. Выясним, как изменятся эти условия при ускоренном движении плоскости. Если брусок неподвижно лежит на наклонной плоскости, то его ускорение равно ускорению плоскости. Следовательно, векторная сумма сил, действующая на брусок, равна произ-
ведению его массы на ускорение а. На брусок действует сила тяжести mg, сила реакции наклонной плоскости N и сила трения покоя F. Величина силы трения может меняться от нуля до максимального значения, равного rN. Направлена она может быть как вверх, так и вниз вдоль наклонной плоскости. Если ускорение наклонной плоскости 的 таково, что mg + N = ma。，то сила трения отсутствует: F = 0 (рис. 2.13). Это происходит при а。= gtga.
Если ускорение наклонной плоскости а немного меньше а。，то в отсутствие трения, т. е. при 从=0, брусок соскальзывал бы вниз; при 从 R 0 возникает сила трения, направленная вверх вдоль наклонной плоскости, и брусок остается
неподвижным. Но поскольку величина силы трения покоя не может превышать /l^, то при достаточно малом ускорении плоскости, меньшем некоторого значения а】，брусок будет соскальзывать вниз. Это значение ускорения ai находится из условия, что сила трения F равна своему максимальному значению rN и направлена вверх по наклонной плоскости (рис. 2.14). Составим уравнение движения бруска mg + N + F = mai и спроектируем его на направления вдоль наклонной плоскости и по нормали к ней:
mg sin а — ^N = mai cos а,
N — mg cos а = mai sin a.
Исключая N, находим:
sin a —〃 cos a
ai = g,——：—•(2)
cos a + 从 sin a
Итак, если ускорение плоскости a < ai, брусок соскальзывает вниз.
При 从〉tga ускорение ai оказывается отрицательным. Как было отмечено выше, при 从》tga брусок не соскальзывает с неподвижной (равномерно движущейся) наклонной плоскости. Брусок не будет соскальзывать и при a < < 0, когда ускорение плоскости направлено влево, до тех пор пока величина ускорения не превосходит |ai|. Действительно, уравнения (1) справедливы и тогда, когда ускорение ai направлено влево, если под ai понимать его проекцию на горизонтальное направление. Таким образом, условие соскальзывания бруска при любых 从 и а:
sin a — 〃 cos aa < g：—-cos a + 从 sin a
Пусть теперь ускорение плоскости а немного больше ao- Тогда при 从= =0 брусок перемещался бы вверх вдоль наклонной плоскости; при 从 R 0 возникает сила трения покоя, направленная вниз вдоль наклонной плоскости, и брусок останется неподвижным на плоскости. С ростом а увеличивается и сила трения, и когда ускорение становится таким, что величина силы трения F достигнет своего максимального значения “N, брусок начнет скользить вверх. Выясним, при каком ускорении плоскости 。2 сила трения становится равной
gN (рис. 2.15). Составляя, как и раньше, уравнение движения бруска mg + + N + F = ma2 и проектируя его на те же направления
mg sin а + rN = та? cos а,
N — mg cos а = та? sin а, находим:
sin а + а cos а“2 = g;•
cos а —卩 sin а
Итак, если ускорение плоскости а> а^, брусок скользит вверх. Заметим, что 期 при 从=ctga обращается в бесконечность. Это означает, что при 从 > > ctga брусок не будет скользить вверх ни при каком ускорении плоскости.
Собирая вместе полученные результаты, можно записать условие неподвижности бруска на наклонной плоскости в следующем виде:
{
sin а — ll cos а丄
g ,；, М < ctg а,
cos а + 4 sm а
ос, 从》ctga.
Полезно проанализировать ответ с точки зрения наблюдателя, находящегося в неинерциальной системе отсчета, связанной с плоскостью. Он обнаружит наряду с силами, перечисленными выше, еще и силу инерции — —та. Эта сила вместе с силой mg создаст эффективную силу тяжести m(g - а), направленную под углом /3 = arctg(a/g) к вертикали. На рис. 2.16 пунктирная прямая, проведенная перпендикулярно эффективной силе тяжести, соответствует горизонтальному направлению для наблюдателя на плоскости. Таким образом, задача сведется к определению условий равновесия бруска на неподвижной наклонной плоскости с углом наклона 丁 = а — /3. При ускорении а = а()= gtg а имеем 7 = 0, т. е. эффективная сила тяжести перпендикулярна наклонной плоскости. В этом случае брусок будет находиться в равновесии даже при 从=0. При а < а。получаем 7 > 0, плоскость наклонена вправо, при а〉ао — влево. При очень большом ускорении а〉0 плоскость наклонена влево под углом 7 = тг/2 - а. Если 从 > ctga, брусок не будет двигаться вдоль наклонной плоскости даже в пределе а т ос.
Ответ'. /3 = arctg /1, F = mgsin(ct + arctg /1) при а + arctg /1 < тг/2; /3 = тг/2, F = mg при а + arctg 从〉тг/2.
Решение. Считая санки материальной точкой, можно принять, что все действующие на санки силы — сила тяжести mg, полная сила реакции поверхности Q, и сила F, с которой тянут за веревку, приложены в одной точке
(рис. 2.17). При равномерном движении санок векторная сумма всех действующих сил равна нулю:
mg + F + Q = 0. (1)
Сила Q отклонена на угол 夕，определяемый соотношением tg 屮=/л, от нормали к поверхности склона горы. Учет этого обстоятельства позволяет исследовать уравнение (1) графически. Сначала изобразим на чертеже известную и по величине и по направлению силу тяжести mg (рис. 2.18). Затем обозначим на
Рис. 2.18Рис. 2.18правление силы Q. Оно составляет угол 夕= =arctg /1 с нормалью к наклонной плоскости, т. е. угол а + 夕 с вертикалью. Через конец вектора mg проводим прямую, составляющую угол а + 夕 с вертикалью. На этой прямой откладываем силу Q, совмещая ее начало с концом вектора mg. Далее, в соответствии с уравнением (1), строим силу F, которая
Рис. 2.18
Рис. 2.18
замыкает треугольник сил. Из рис. 2.18 видно, что модуль силы F будет наименьшим, когда ее направление образует прямой угол с направлением Q, т. е. а + 夕 с горизонтом. Другими словами, угол /3 равен углу 夕：/3 = arctg 从.
Из рис. 2.18 видно также, что приведенное решение имеет смысл только при а + 夕 < 7г/2.
Если а + 夕〉7г/2, то сила F на рис. 2.18 отклонялась бы влево от вертикали и не могла бы втаскивать санки в гору. Обычно коэффициент трения невелик:从《1. Поэтому условие а + 夕〉тг/2 может выполняться только при углах а, близких к тг/2. Решение, приведенное выше, следовательно, может оказаться несправедливым только при подъеме на очень крутую гору.
При выполнении условия а + 夕 < тг/2 (т. е. а + arctg /1 < тг/2) модуль силы F, как видно из рис. 2.18, равен
F = mgsin(ct + т；). (2)
Отметим, что в предельном случае а + 夕=тг/2 сила F направлена вертикально вверх и ее величина равна mg: сила F просто удерживает санки на весу, а сила Q равна нулю. Очевидно, что такой же должна быть сила F и в случае а + arctg 从〉тг/2.
с с「cos asin ср 、./、
Ответ: F = та7г + mg — та7г sm(a + 夕)； cos(a +\cos(a +/
В = а + 屮,где 夕=arctg 从.
Решение. Уравнение второго закона Ньютона записывается в виде:
mg + Q + F = ma,(1)
где mg, Q и F — силы тяжести, сила реакции поверхности и сила с которой тянут за веревку, соответственно; а — заданное ускорение санок (рис. 2.19).
Рис. 2.21Рис. 2.21
Рис. 2.21
Рис. 2.21
Видно, что наименьшая по модулю сила F перпендикулярна Q и составляет угол а + 夕(з = arctg 从)с горизонтом. Для модуля этой силы имеем:
рCOS а /si” 、. /、
? = та77 + mg - ma7?sm(a + 3).(2)
cos(a + ⑺\cos(a + 夕),
Это выражение получается с помощью теоремы синусов. Из треугольника OBD находятся DB и OD. Затем находится AD как разность АО = mg и OD. Наконец из треугольника ACD длина CD выражается через AD. Модуль F равен сумме CD и DB.
При а = 0 (санки на горизонтальной поверхности) из (2) имеем:
F = та + (mg — та tgsin(3)
cosg
В справедливости этого выражения можно убедиться непосредственно с помощью рис. 2.20, где все треугольники прямоугольные.
Рис. 2.22
При достаточно большом по модулю ускорении а перпендикуляр, опущенный из конца вектора та, пересечет направление Q ниже конца вектора mg. Из рис. 2.21 видно, что это произойдет при
⑷⑷g3
⑷
⑷
а + g sin а
При а = 0 условие (4) переходит в g/a < /1, очевидное из рис. 2.20.
Поскольку сила Q не может быть направлена вниз, то наименьшая по модулю сила F при выполнении условия (4) замыкает треугольник векторов mg и та, а сила Q равна нулю (рис. 2.22). В этом случае санки не соприкасаются с поверхностью, а для модуля силы F справедливо
⑸⑸F = ту 員 +。2 + 2g“ sin а .
⑸
⑸
а) Ртах = 41~ 23,5 H; 6) a =1,6 м/с;
M + 2mM + m
в) ам = (2歹-卩2mg)/M, am = F/m — 42g и направлено влево.
c 「S + g产(sina — 4cosa)
Скорость увеличилась в n = раз.
S — gt (sin a —从 cos a)
Ответ', около 36 оборотов в минуту.
Решение. Силы, приложенные к шару, изображены на рис. 2.23. Сила натяжения Т направлена вдоль струны, причем ее про
36 мин-.36 мин-.g1沙=——=——27r27rg1沙=——=——27r27rекции на вертикальную и горизонтальную оси одинаковы, если центростремительное ускорение равно по модулю g. Следовательно, струна образует угол 45° с горизонтом, а радиус окружности, по которой движется шар R = I］陋.Приравнивая g и получаем для числа оборотов в единицу времени 沙
36 мин-.
36 мин-.
g1
沙=——=——
27r27r
g1
沙=——=——
27r27r
Ответ-, а) V =，gA tga 7,25 м/с; 6) /i = tga 0,27.
Решение. Велосипедист и действующие на него силы схематично показаны на рис. 2.24. Равнодействующая Q силы нормальной реакции N и силы трения
NNРис. 2.24Рис. 2.24тртрFTp должна проходить через центр масс велосипедиста. В противном случае велосипедист опрокинется и упадет. Это условие при учете Ер = /l^ сразу определяет коэффициент трения 从= =tga. Записывая второй закон Ньютона
N
N
Рис. 2.24
Рис. 2.24
тр
тр
mg + Q = та
в проекции на горизонтальную и вертикальную оси и учитывая, что a = V2/R, получаем с помощью рис. 2.24:
mV丄
-^- = mg tg а.
Отсюда V =，gR tga .
а) V = JgA3 + tga)33,5 м/с; б) сц > arctg - = 68,2°.
V 1 - /itga从
Ответ: Vma = 20,1 км/ч, Ушах = 56 км/ч.
Решение. При отсутствии трения равнодействующая силы тяжести и силы нормальной реакции опоры направлена горизонтально и обеспечивает при заданной в условии задачи скорости V центростремительное ускорение. Угол
наклона плоскости дороги к горизонту а при этом можно найти из условия tga = V2/R 0,4. При меньшей скорости автомобиль будет скользить вниз вдоль наклонной плоскости, а при большей — вверх. Сила трения будет
Рис. 2.25Рис. 2.25^ 56 км/ч.^ 56 км/ч.стабилизировать движение в некотором интервале скоростей. Определим максимальную возможную скорость kmax・ Для этого запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на горизонтальную (/) и вертикальную (у) оси, считая что сила трения £р = rN — сила трения скольжения (рис. 2.25)
Рис. 2.25
Рис. 2.25
^ 56 км/ч.
^ 56 км/ч.
х : sin а + rN cos а = 加^1^,
у :N cos a = mg + ^N sin a.
Выражая Umax, получаем:
V tga — 4tg aV tga — 4tg agA(sin a + 从 cos a)cos a —从 sin a
V tga — 4tg a
V tga — 4tg a
Аналогично находится минимальная скорость Vmin в предположении, что Ер = rN направлена вверх вдоль наклонной плоскости. Здесь получим 忆広= =20,1 км/ч.
Ответ', если ш2г < 卩g, монета не будет двигаться относительно подставки, а в лабораторной системе будет двигаться по окружности радиуса г. При 以2厂》〃g в лабораторной системе отсчета монета будет двигаться по окружности радиуса R = iig/ш2, а в системе отсчета, связанной с подставкой — по окружности радиуса р = ry 1 — (^^) •
Решение. В горизонтальной плоскости отсутствуют какие-либо физически выделенные направления. Поэтому, какие бы ни были начальные условия, при установившемся движении траектория монеты будет представлять собой окружность в лабораторной инерциальной системе отсчета. От начальных условий может зависеть только положение центра этой окружности. Любая другая мыслимая траектория таким свойством — отсутствием выделенных направлений — не обладает. Таким образом, из соображений симметрии можно сделать вывод, что установившееся движение монеты в лабораторной системе отсчета происходит по окружности с той же угловой скоростью g, с какой движется подставка. По тем же причинам и относительно подставки монета,
если она проскальзывает, движется по окружности.
Рассмотрим сначала случай, когда монета движется вместе с подставкой. Так как при поступательном движении подставки все ее точки движутся по одинаковым окружностям радиуса г, то и монета движется по той же окружности с ускорением /т, направленным к центру окружности. Так как это ускорение сообщается монете силой трения покоя, которая не может превышать значения //mg, то установившееся движение монеты будет происходить вместе с подставкой при условии cj2r < ^g, т. е.
2
7 =——W 1・
При 7〉1 монета будет проскальзывать относительно подставки. В этом случае центростремительное ускорение монете сообщает сила трения сколь-
жения, направленная в сторону, противоположную вектору v скорости монеты относительно подставки. В инерциальной лабораторной системе отсчета при движении по окружности сила перпендикулярна скорости V монеты в этой системе отсчета. Из сказанного следует, что векторы v и V взаимно перпендикулярны. Скорость V монеты в лабораторной системе отсчета равна векторной сумме скорости монеты v относительно подставки и скорости и той точки подставки, в которой в данный момент находится монета:
V = V + и.
(Разумеется, скорости всех точек подставки при ее поступательном движении одинаковы.)
На рис. 2.26 изображены векторы V, v и и. Видно, что при проскальзывании монеты ее скорость V в лабораторной системе отсчета всегда меньше скорости подставки и = шг. По условию задачи вектор и поворачивается с угловой скоростью g. Поэтому и весь треугольник скоростей на рис. 2.26 вращается
как целое, так что взаимное расположение векторов остается неизменным. Это означает, что угол а фактически характеризует отставание по фазе вектора V скорости монеты от вектора и скорости подставки.
Для определения радиуса R круговой траектории монеты в лабораторной системе отсчета воспользуемся вторым законом Ньютона: сила трения скольжения /img равна произведению массы монеты т на ускорение g2A(4"g = =md Отсюда
(7> 1).
Отметим, что при проскальзывании монеты радиус R не зависит от радиуса г окружностей, по которым движутся точки подставки. Однако R не превосходит т и становится равным ему только при предельном значении параметра 7=1, когда проскальзывание прекращается.
Легко найти радиус г окружности, по которой монета движется относительно подставки. Действительно, все скорости на рис. 2.26 связаны с радиусами соответствующих окружностей соотношениями:
V = шЯ, о = зр, и = шг.
Поскольку треугольник на рис. 2.26 прямоугольный, с помощью теоремы Пифагора получим г2 = р2 + Я2, откуда р =、* —货.
Подставляя сюда найденное значение R, имеем: р = 1 - •
Видно, что р < г. Соотношение между р п R может быть различным. При быстром движении подставки, когда 7 = u/r/^g)》1 монета в лабораторной системе отсчета практически стоит на месте:左《т. При этом подставка опи-
сывает под монетой круги радиуса г, так что р ^ г. При медленном движении подставки, когда 7 > 1, монета почти не отстает от подставки, описывая в лабораторной системе отсчета круги почти такого же радиуса R ^ г. При этом р 0. На рис. 2.27 показаны траектории монеты в лабораторной системе отсче
та (окружность радиуса А) и след, который монета вычерчивает на подставке (окружность радиуса р) для случая, когда R> р. Если монета в лабораторной системе отсчета движется против часовой стрелки, то относительно подставки ее движение будет происходить по часовой стрелке. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, что сила трения, действующая на монету (а, следовательно, и ее ускорение в инерциальной системе отсчета), направлена в сторону, противоположную скорости V монеты относительно подставки.
Я = Я3емли(У2 - 1)2640 км.
Ответ-.夕二"一arctg tg"; F = 7n号”
[\\ 丿 g 川 cos"-夕)
Решение. Силы, приложенные к телу в неинерциальной системе отсчета, связанной с Землей, показаны на рис. 2.28. Угол,夕 между результирующей
Рис. 2.28Рис. 2.28
Рис. 2.28
Рис. 2.28
силой F и направлением на центр Земли (вдоль вектора mg) может быть
получен из соотношения
tg"—夕)=tg"—夕)=АС - АВОСАС - АВОСmg sin ^ — т (2тг/Т)2 Asin"mg sin ^ — т (2тг/Т)2 Asin"mg cos 少mg cos 少
tg"—夕)=
tg"—夕)=
АС - АВ
ОС
АС - АВ
ОС
mg sin ^ — т (2тг/Т)2 Asin"
mg sin ^ — т (2тг/Т)2 Asin"
mg cos 少
mg cos 少
Само значение силы F найдем, записав длину вектора ОС двумя способами:
ОС = mg cos ^ = F cos (少一夕).
…cos少
Отсюда F =——г.
cos -中)
2.7…丁2.7…丁а) Одинаковы; 6) (П — R)/P ~ 6,5 • 10-12.
2.7…丁
2.7…丁
28g, где g — ускорение свободного падения на Земле.
М 6 • 1024 кг.
Г =，37f/(G.) , G — гравитационная постоянная.
3 • 104 м/с; 2,02 • 1030 кг.
4,22 • 107 м.
Ответ: Г = ZkRJZR/(GM) ^ 4 ч, G — гравитационная постоянная.
Решение. Период обращения спутника можно определить, записав уравнение движения для спутника
GmM 吟 2
(2А『 \Т J
Отсюда T = 2不R,2R]&M)4 ч.
Ответ-, p = 6tf/(GT2).
Решение. Вес тела на полюсе определяется исключительно гравитационными силами:
Я2
На экваторе, за счет вращения планеты, тело движется с центростремительным ускорением а = (2тг/Т)2A. Поэтому сила реакции опоры Е, а, следовательно, и вес тела, будет меньше гравитационной силы на величину та.
В неинерциальной системе отсчета, связанной с Землей, к тому же результату можно прийти, введя центробежную силу инерции:
По условию Fi = 2%. Подставляя массу планеты М = р(4/3)тгЯ3, получаем Р = 67Г/(СТ2).
3,6 см/с, на запад вдоль экватора.
Ответ: ркр = 3K2/(8tfG).
Решение. Если скорость галактики, определяемая законом Хаббла, больше второй космической скорости на границе сферы радиуса Я, то галактики будут неограниченно удаляться. Вторая космическая скорость для шара массой М и радиусом R есть
Учитывая, что М = (4/3)тгрЯ3, и используя закон Хаббла, имеем
яя = У 沁“,
откуда °кр = ЗЯ2/(8tfG).
Галактики удаляются друг от друга. Если бы мы находились в другой галактике, то видели бы точно такую же картину разбегания, как и из нашей звездной системы.
а) пе 6,6 • 103 м-3; б) пр 3,6 м-3.
4,92 • 109 м, что более чем на порядок превышает расстояние от Земли до Луны.
Г = Т«I№1,13 • 1(Г4 с.
Ответ: a) F = G竺？ | 1i|;
炉 卜 8(1 — A/(2L))2 丿
6)力二(1 -A/(2*2丿；
%(1 + 64(1 一 R/犷 一 4(1 一 R/(2r)) J ；
r)/3 = G^(i + —d____x_y
Решение, а) Представим гравитационное поле шара с полостью как суперпозицию поля шара без полости и поля шара с uoтpицaтeльнoй^^ массой, расположенного на месте полости. Чтобы обосновать возможность такого представления, достаточно представить поле однородного шара как векторную сумму полей шара с полостью и вырезанного шара радиуса А/2, а затем разрешить полученное уравнение относительно поля шара с полостью. Поскольку масса шара при уменьшении радиуса вдвое уменьшается в 8 раз, для силы F получаем:
_ тМ тМ/8 _ тМ (1、
Опять представим шары с полостями как шары без полости и иотрица- тeльныe^^ массы —М/8, расположенные на месте полостей. Тогда как видно из рис. 2.29
_ ММ (М/8)(М/8)М(М/8)М(М/8) _
+ G —p。…/2)2 - ° …/2)2 二
_ CM2 / 6511\
— I(1 - А/(2т))2 — (1 + А/(2т))2 丿，
Аналогично, как видно из рис. 2.30
_ ММ (М/8)(М/8)М(М/8) _
力二°…у - 2G…=
戸〈64(1—A"/4(1 —A/(2t))2
Рис. 2.29
Рис. 2.30Рис. 2.30
Рис. 2.30
Рис. 2.30
Рис. 2.31
Для силы /з согласно рис. 2.31 имеем:
_ ММ (М/8)(М/8)М(М/8) _
=f 1 22
戸卜 64(1+A")24(1 + Я/(2г))2
Отметим, что в пределе R《г
力=/2 = /з = G力=/2 = /з = G(77И/8)2(77И/8)2
力=/2 = /з = G
力=/2 = /з = G
(77И/8)2
(77И/8)2
27r
Ответ-, g = —GpR, поле однородно и направлено вдоль прямой, соединяющей центр сферы с центром полости, к центру шара.
Решение. Рассмотрим общий случай произвольной сферической полости расположенной внутри шара (рис. 2.32). Представим, что полость заполнена веществом той же плотности, что и вещество шара. Тогда искомое гравитационное поле g, можно найти как разность полей двух сплошных шаров с центрами в центре шара и в центре полости. Поле в любой точке внутри сплошного шара пропорционально расстоянию от это точки до центра шара:
с) Ос) ОРис. 2.32Рис. 2.324тг gr = -yQr, где г — вектор из центра шара в точку, где определяется напряженность поля. Как видно на рис. 1 g = -^Qri -(—今= -^Q(r2 - ri).
с) О
с) О
Рис. 2.32
Рис. 2.32
Вектор Г2 — ri соединяет центр шара О и полости О'. Поле во всех точках полости одинаково и по величине и по направлению.
Между звездами действуют силы взаимного притяжения, поэтому каждая из них движется ускоренно: звезды "падают" друг на друга. Однако расстояние между звездами по условию задачи остается неизменным. Это значит, что скорость каждой звезды перпендикулярна соединяющей их прямой, звезды движутся по окружностям, а ускорение каждой звезды направлено перпендикулярно ее скорости Обе окружности имеют общий центр — центр масс системы (рис. 2.33), который в инерциальной системе отсчета покоится
Рис. 2.33Рис. 2.33
Рис. 2.33
Рис. 2.33
или движется равномерно и прямолинейно. Периоды обращения звезд вокруг их центра масс одинаковы: звезды все время находятся на одной прямой, проходящей через центр масс.
На основании третьего закона Ньютона модули центростремительных ускорений звезд обратно пропорциональны их массам, поэтому при одинаковых периодах имеем:
胆⑴ "2 T2
Поскольку сумма радиусов окружностей 门 и 厂2 равна расстоянию I между звездами:
⑵⑵门+T2=%,
⑵
⑵
то отсюда сразу получаем_ m2то отсюда сразу получаем_ m2mimi门=Z,L 2 =mi + m2mi + m2门=Z,L 2 =mi + m2mi + m2⑶⑶
то отсюда сразу получаем
_ m2
то отсюда сразу получаем
_ m2
mi
mi
门=Z,L 2 =
mi + m2mi + m2
门=Z,L 2 =
mi + m2mi + m2
⑶
⑶
Найдем период обращения звезд. Используя второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения, имеем, например, для звезды с массой mi:
⑷⑷„Ш1Ш247r
⑷
⑷
G—n— = Ш1—n-
/2Г2
С помощью (4) и (3) находим:
，з，зG(mi + 7n2)•G(mi + 7n2)•(5)(5)Период обращения зависит только от расстояния между звездами и от суммы их масс. Распределение общей массы между звездами не влияет на период. Оно в соответствии с (3) определяет радиусы окружностей.Если, например, mi《m2, то как следует из (1), y\》т? ^ 0, т. е. звезда с большой массой uтoпчeтcя^^ на месте на небольшом расстоянии от центра масс, а легкая звезда движется по окружности радиусом n ^ I вокруг почти неподвижной тяжелой звезды.Период обращения зависит только от расстояния между звездами и от суммы их масс. Распределение общей массы между звездами не влияет на период. Оно в соответствии с (3) определяет радиусы окружностей.Если, например, mi《m2, то как следует из (1), y\》т? ^ 0, т. е. звезда с большой массой uтoпчeтcя^^ на месте на небольшом расстоянии от центра масс, а легкая звезда движется по окружности радиусом n ^ I вокруг почти неподвижной тяжелой звезды.& =di 1,2- 10~3Fi =& =di 1,2- 10~3Fi =/EUM ,「де £& = 7 • 1010 Н/м2 — модуль Юнга алюминия;/EUM ,「де £& = 7 • 1010 Н/м2 — модуль Юнга алюминия;I =I =м.=4F.EW2AZм.=4F.EW2AZ4mg4mg23 м.23 м.△/ = ДУ =］，"侬;Е н 从一модуль Юнга и коэффициент Пуассона железа.Ответ'. 27 мм.Решение. Трос должен выдерживать вес 9mg, где т — масса кабины. Чтобы увеличить в 9 раз силу, которую выдерживает трос, нужно во столько же раз увеличить площадь его сечения, т. е. в 3 раза увеличить диаметр.Ответ-. F = /广不(/ — /о);歹=(ki + 期)(/ — /о).Решение. Пусть брусок находится в точке с координатой х. При этом обе пружины растянуты и силы, с которыми пружины действуют друг на друга, одинаковы по модулю в силу третьего закона Ньютона. Поэтому, обозначив растяжения пружин через △/】и △/? соответственно, имеем:△/ = ДУ =］，"侬;Е н 从一модуль Юнга и коэффициент Пуассона железа.Ответ'. 27 мм.Решение. Трос должен выдерживать вес 9mg, где т — масса кабины. Чтобы увеличить в 9 раз силу, которую выдерживает трос, нужно во столько же раз увеличить площадь его сечения, т. е. в 3 раза увеличить диаметр.Ответ-. F = /广不(/ — /о);歹=(ki + 期)(/ — /о).Решение. Пусть брусок находится в точке с координатой х. При этом обе пружины растянуты и силы, с которыми пружины действуют друг на друга, одинаковы по модулю в силу третьего закона Ньютона. Поэтому, обозначив растяжения пружин через △/】и △/? соответственно, имеем:k\^x\ = k?“？.k\^x\ = k?“？.⑴⑴С такой же по модулю силой пружина с жесткостью ki действует на брусок:С такой же по модулю силой пружина с жесткостью ki действует на брусок:F = kiZk/i.F = kiZk/i.⑵⑵Как видно из рис. 2.34,Как видно из рис. 2.34,△/1 + △/? = X — Xq.△/1 + △/? = X — Xq.⑶⑶
，з
，з
G(mi + 7n2)•
G(mi + 7n2)•
(5)
(5)
Период обращения зависит только от расстояния между звездами и от суммы их масс. Распределение общей массы между звездами не влияет на период. Оно в соответствии с (3) определяет радиусы окружностей.
Если, например, mi《m2, то как следует из (1), y\》т? ^ 0, т. е. звезда с большой массой uтoпчeтcя^^ на месте на небольшом расстоянии от центра масс, а легкая звезда движется по окружности радиусом n ^ I вокруг почти неподвижной тяжелой звезды.
Период обращения зависит только от расстояния между звездами и от суммы их масс. Распределение общей массы между звездами не влияет на период. Оно в соответствии с (3) определяет радиусы окружностей.
Если, например, mi《m2, то как следует из (1), y\》т? ^ 0, т. е. звезда с большой массой uтoпчeтcя^^ на месте на небольшом расстоянии от центра масс, а легкая звезда движется по окружности радиусом n ^ I вокруг почти неподвижной тяжелой звезды.
& =
di 1,2- 10~3
Fi =
& =
di 1,2- 10~3
Fi =
/EUM ,「де £& = 7 • 1010 Н/м2 — модуль Юнга алюминия;
/EUM ,「де £& = 7 • 1010 Н/м2 — модуль Юнга алюминия;
I =
I =
м.
=4F.
EW2AZ
м.
=4F.
EW2AZ
4mg
4mg
23 м.
23 м.
△/ = ДУ =］，"侬;Е н 从一модуль Юнга и коэффициент Пуассона железа.
Ответ'. 27 мм.
Решение. Трос должен выдерживать вес 9mg, где т — масса кабины. Чтобы увеличить в 9 раз силу, которую выдерживает трос, нужно во столько же раз увеличить площадь его сечения, т. е. в 3 раза увеличить диаметр.
Ответ-. F = /广不(/ — /о);歹=(ki + 期)(/ — /о).
Решение. Пусть брусок находится в точке с координатой х. При этом обе пружины растянуты и силы, с которыми пружины действуют друг на друга, одинаковы по модулю в силу третьего закона Ньютона. Поэтому, обозначив растяжения пружин через △/】и △/? соответственно, имеем:
△/ = ДУ =］，"侬;Е н 从一модуль Юнга и коэффициент Пуассона железа.
Ответ'. 27 мм.
Решение. Трос должен выдерживать вес 9mg, где т — масса кабины. Чтобы увеличить в 9 раз силу, которую выдерживает трос, нужно во столько же раз увеличить площадь его сечения, т. е. в 3 раза увеличить диаметр.
Ответ-. F = /广不(/ — /о);歹=(ki + 期)(/ — /о).
Решение. Пусть брусок находится в точке с координатой х. При этом обе пружины растянуты и силы, с которыми пружины действуют друг на друга, одинаковы по модулю в силу третьего закона Ньютона. Поэтому, обозначив растяжения пружин через △/】и △/? соответственно, имеем:
k\^x\ = k?“？.
k\^x\ = k?“？.
⑴
⑴
С такой же по модулю силой пружина с жесткостью ki действует на брусок:
С такой же по модулю силой пружина с жесткостью ki действует на брусок:
F = kiZk/i.
F = kiZk/i.
⑵
⑵
Как видно из рис. 2.34,
Как видно из рис. 2.34,
△/1 + △/? = X — Xq.
△/1 + △/? = X — Xq.
⑶
⑶
gg△& + △电△& + △电Рис. 2.34Рис. 2.34XX
g
g
△& + △电
△& + △电
Рис. 2.34
Рис. 2.34
X
X
Выражаем △/? из (3) и подставляем в (1). Решая получившееся уравнение относительно △/], получаем:
△/1△/12不工2不工⑷⑷
△/1
△/1
2不工
2不工
⑷
⑷
Подставляя выражение для △/】в соотношение (2), получаем:
F =F =kik2ki +妙kik2ki +妙(/ - /о).(/ - /о).(5)(5)
F =
F =
kik2ki +妙
kik2ki +妙
(/ - /о).
(/ - /о).
(5)
(5)
Соотношение (5) показывает, что две "последовательно" соединенные пружины эквивалентны одной пружине с жесткостью ki даваемой выражением:
к =—.
Не представляет труда убедиться, что при "параллельном" соединении пружин жесткость к одной эквивалентной им пружины равна сумме жесткостей пружин к = к\ + А；2, если деформации пружин одинаковы.
0,33 м/с.
1,5 м/с в противоположном направлении.
На восток со скоростью 4 м/с.
В обоих случаях скорости обеих лодок после перебрасывания грузов одинаковы по модулю. Если грузы перебрасывают последовательно — сначала один, а потом другой — эта скорость определяется соотношени- ш V = —Vo = 3 м/с. Если перебрасывать грузы одновременно, V = М — 27n
=—林一％ = 2,5 м/с.
Брусок сдвигается с места, если 从 < tga; время до остановки t = _ mV (sin а —从 cos а)
/1 (m + М) g '
Ответ', расстояние изменится в 2к раз.
Решение. Считая разрыв снаряда мгновенным, воспользуемся законом сохранения импульса. Получим, что вертикальные составляющие скорости осколков равны по величине и противоположны по направлению, а горизонтальная —для одного из осколков равна удвоенной скорости снаряда до разрыва, так как второй упал точно под точкой взрыва и, следовательно, его скорость по горизонтали была равна нулю.
Обозначим через Vo скорость снаряда перед разрывом, а через to ——время полета до точки разрыва. Тогда расстояние, которое пролетел бы по горизонтали неразорвавшийся снаряд Lo = Время полета t второго осколка,
упавшего под точкой взрыва, по условию в к раз меньше, чем %: t = %/к. Для времени падения первого осколка ti можно записать соотношение
и — t Н ,
где Vb ——вертикальная составляющая его скорости сразу после разрыва. Поскольку взрыв произошел в верхней точке траектории на высоте Н = g%/2, Vb можно выразить из уравнения: g店/2 =鹽力+ g产/2. Тогда для ti имеем: ti = =店/九 Расстояние, пройденное первым осколком по горизонтали L\ = 2Рой = =2忆力0衣.Поэтому Li/Lq = 2к.
4,5 м.
F = mV/М 1,34 • 103 Н.
1,2- 106 Н.
Vy^, под углом 135° к траекториям двух других осколков.
Ек = 7ng2产/4480 Дж.
N = МаЧ/2 5,82 • 104 Вт.
t = mgh/N = 73,5 с.
Задача допускает различные толкования.
Груз поднимается с постоянной скоростью V = h/t. При этом на него действует сила натяжения троса F, равная его весу Р. Развиваемая мотором мощность N = F • V = Ph/t 2,7 кВт.
Мотор начинает поднимать груз из состояния покоя. Уравнение движения груза h = at2/2 позволяет определить ускорение груза: a = 2А/产.При этом сила натяжения троса F определяется соотношением: F = F + та = =Р(1 + 2A/(g产)).Эта сила совершает работу А = Fh = РА(1 + 2A/(g产))за время t. Поэтому средняя мощность мотора есть
^ 3,3 кВт.^ 3,3 кВт.Ni = — = Р-Ni = — = Р-
^ 3,3 кВт.
^ 3,3 кВт.
Ni = — = Р-
Ni = — = Р-
出=h + А/(mg) 127 м.
mi/m2 = 8;= 0,5.
а) 180 Дж; б) 118 Дж; в) 5,57 м/с.
А = J吟 力2 ум. задачу 2.96)
2
h = — J 1 ] ~ 2 м.
2 \mg )
展 J%2 + 弘2 .
V丞 4,1 м/е.
а) 1,67 м/с; б) 15 Дж.
F2M - F^mg^m + М) 2
Ответ: g = ~—-г.
2/im (т + M)g
Решение. Под действием силы F кубик разгоняется, а в результате действия силы трения разгоняется и брусок, на котором лежит кубик. При этом, если
号ИЛИ4 g(1 +专),⑴
то кубик будет двигаться по поверхности бруска. В противном случае кубик будет относительно бруска неподвижен.
После прекращения действия силы F брусок продолжает разгоняться с тем же ускорением, а кубик тормозится под действием силы трения. Так происходит до тех пор, пока скорость о кубика и бруска не станет одинакова.
По закону изменения импульса системы Ft = (т + M)v, откуда _ Ft
По закону изменения кинетической энергии с MV? 屮ngSi =
где Si — перемещение бруска до момента выравнивания скоростей. Отсюда
S] _MF2 t2
2^т(М + m)2g
За время t действия силы F кубик перемещается на расстояние
а 户F — umg 丄 2
Поэтому на основании закона изменения кинетической энергии
F - i^mg 2 q rnv2
где S2 — полное перемещение кубика в лабораторной системе отсчета. Отсюда
S _ F(F — iimg){m + М)2 — F2m2t2
+ m)2g
Перемещение S кубика относительно бруска
S = S2 — Si =S = S2 — Si =F2M — F/img(m + M)产2/im2(m + Mg
S = S2 — Si =
S = S2 — Si =
Приведем для сравнения uдинaмичecкoe^^ решение, основанное только на использовании законов Ньютона и формул равноускоренного движения.
При условии (1), пока действует сила F, кубик и брусок двигаются равноускоренно с ускорениями ак = F/m — /^g и а^ =卩mg[M соответственно. Следовательно, к моменту прекращения действия силы F кубик пройдет по бруску расстояние
_ dfct2 а^ _ F/m — /ig(l+m/М) t2
二 1 F=2，
а скорости кубика и бруска будут равны % = (F/m — jig)t и аб =卩mg]М.
Далее кубик будет двигаться равнозамедленно с ускорением ―呷 а брусок продолжит равноускоренное движение с ускорением。6 Д。тех пор, пока кубик не остановится относительно бруска. Время ti до остановки можно определить из уравнения
- h•
Подставляя значения Vk н。6, находим ti：
_ F/m — Rg ( \ + т/М)
二—4g(i + m/м—
8 А.С. Кондратьев, B.M. Уздин
Теперь определим расстояние 力2, которое пройдет кубик по бруску за время ti:
[F/m — 4g (1 + т/M}^ t224g (1 + т/М)[F/m — 4g (1 + т/M}^ t224g (1 + т/М)
[F/m — 4g (1 + т/M}^ t224g (1 + т/М)
[F/m — 4g (1 + т/M}^ t224g (1 + т/М)
Складывая расстояния Li н 力2, получаем полный путь S, который пройдет кубик по поверхности бруска:
S_ F/m [F/m — /ig (1 + т/М)] t2 _ F2M — F^mg^m + M) ^2
4g (1+m/M22/im2(m + M)g
31,2 Дж; 3,53 м/с.
V = ,2或-24/тп.
Из соображений размерности F = р1^ш2^\ (户&./〃)，Р = р住d 义 х 夕2 (户s./〃) ，где г] и р — вязкость и плотность воздуха соответственно, I — характерный линейный размер винта, gi н 夕2・ Поэтому 户g = const. Отсюда д/д = 1/廿 и Р?〔Р\ = 1/k.
I = V2/(2/ig)5,83 m.
Ответ: A = 1,4 МДж; ^ = 12 кВт.
Решение. В отсутствие диссипации механической энергии изменение энергии автомобиля равно работе, совершенной мотором. Поэтому
A = —^- + mgh— = 1,4 МДж.(1)
Для нахождения средней мощности нужно знать время подъема автомобиля на гору, а для этого нужно знать не указанный в условии задачи характер его движения. Оценить это время можно, предполагая движение автомобиля равноускореным. Тогда
⑵⑵S = Пр方=*匕九
⑵
⑵
Выражая t из (2), получим:
N=7= 2s =12кВт.
а = arctg(a/g) 11,5°.
8 = А/2 = 2 м.
Тело, движущееся по гладкой спице, поднимется на высоту /и = =V2/(2g), а свободно брошенное тело — на высоту 九2 = У2 sin2 а/(2g). Следовательно 九2/^1 = sin2 а.
а) 1/5; б) V3 = 0,8И； в) после 3-го отскока высота подъема составит
0,512 начальной.
а) V =，2gA 7,67 м/с; б) А = mgh 58,8 Дж; в)卩=h]s 0,33.
Р = nmgV(sin а + 4 cos а) 175 кВт.
2323(рис. 3.1).(рис. 3.1).Ответ: шайба оторвется от желоба при Я < /z < -R в точке,
2
3
2
3
(рис. 3.1).
(рис. 3.1).
задаваемой углом а = arccos
Решение. Прежде всего заметим, что шайба не может оторваться от
поверхности, пока не поднимется по желобу петли до высоты, на которой находится центр окружности. Пусть она еще касается желоба, находясь в точке, заданной углом а с вертикалью (рис. 3.1). В этом случае на шайбу действуют сила тяжести mg и сила реакции N со стороны желоба, направленная по
радиусу к центру окружности. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на радиальное направление имеет вид:
т cos а + N =т cos а + N =mv2mv2(°，。，力(°，。，力⑴⑴
т cos а + N =
т cos а + N =
mv2
mv2
(°，。，力
(°，。，力
⑴
⑴
причем условием отрыва шайбы является выполнение равенства N = 0. Из (1) видно, что при достаточно большой скорости шайбы о она не оторвется от желоба. Если отрыв произошел в точке, заданной углом а, то
⑵⑵V = gAcos а,
⑵
⑵
скорость шайбы в этой точке можно найти, воспользовавшись законом сохранения энергии (рис. 3.1)
mgh = mgR(l + cos a) H—.(3)
Откуда
v2 = 2 [h — R{1 cos a)] g.(4)
Сравнивая (2) и (4), определяем высоту h, с которой должна начать скользить шайба, чтобы оторваться от желоба в точке, характеризуемой углом а:
九二网1 + ^ cos а),0 < а < ^.(5)
Видно, что h растет с уменьшением угла а. В частности, при h〉5A/2 шайба вообще не оторвется от желоба. При Я < /z < 5A/2 шайба оторвется при угле а, определяемом из (5):
⑹⑹2 Р ]
⑹
⑹
Наконец, при h < Я шайба остановится на желобе мертвой петли на высоте h и начнет скользить обратно вниз по желобу.
暗/(5g) ^ 0,327 м.
Ответ: если точка отрыва (рис. 3.2) задана углом a (cosa〉2/3), Vo =，gA(3cosa — 2).
Решение. Пусть отрыв тела от поверхности цилиндра происходит в точке, задаваемой углом а между вертикалью и направлением на тело из центра цилиндра (рис. 3.2). Пока тело не оторвалось от поверхности, проекция его ускорения на радиальное направление равна mV?]R, где m и V — масса и скорость тела. Поэтому, проектируя уравнение второго закона Ньютона на это направление, имеем (рис. 3.2):
mg cos а — N =mg cos а — N =mV2mV2⑴⑴
mg cos а — N =
mg cos а — N =
mV2
mV2
⑴
⑴
Связать начальную скорость %)и скорость V можно, воспользовавшись законом сохранения механической энергии:
mVQ _ mV2/、
—2— 二 一2mgR(\ — cos a).⑵
Vo =，gA(3cosa — 2).Vo =，gA(3cosa — 2).⑶⑶Условие отрыва тела от поверхности цилиндра — обращение в нуль силы нормальной реакции N. Из (1) и (2) находим скорость %, при которой отрыв произойдет в точке, заданной углом а:
Vo =，gA(3cosa — 2).
Vo =，gA(3cosa — 2).
⑶
⑶
При cos а = 2/3 скорость % обращается в нуль.
Отрыв от поверхности в отсутствие трения при больших углах не возможен. Для а = 0 соотношение (3) дает % = \/gR . В этом случае отрыв происходит сразу, в верхней точке. Очевидно, отрыв в верхней точке произойдет и при любой большей скорости Vo〉，gA .
Ответ: а) нить порвется при 1 < п < 3; б) а = arccos(n/3).
Решение. Рассмотрев нить в определенном положении (рис. 3.3), пока она
еще не разорвалась, составим уравнение второго закона Ньютона, которое
в проекции на направление вдоль нити имеет вид:
mv2
丿 —mg cos a = ——,(1)
где I — длина нити. Из этого уравнения видно, что с уменьшением угла а, когда нить возвращается к равновесному положению, скорость шарика растет, должно расти и натяжение нити. Предельное значение Т по условию равно nmg. Следовательно, в точке разрыва нити выполняется равенство
2
mg(n — cos а) =(2)
откуда
V2 = gZ(n — cos а).(3)
Рис. 3.3Величину скорости можно определить с
помощью закона сохранения механической энергии. Набрав скорость v, шарик оказался на расстоянии Zcosa (рис. 3.3)
ниже точки подвеса, поэтому
2
⑷⑸⑹⑷⑸⑹mv
⑷
⑸
⑹
⑷
⑸
⑹
—2cos а =
откуда
d = 2gz cos a.
Сравнивая (3) и (5), видим, что в точке разрыва нити
cos а =—.
Соотношение (6) решает поставленную задачу. Очевидно, что п > 1, ибо в противном случае нить не сможет удерживать даже неподвижно висящий шарик. Поскольку максимальное значение косинуса равно единице, то (6)
определяет интервал значений п, при которых нить разорвется: 1 < п < 3. При п = 3 разрыв нити происходит при прохождении шариком положения равновесия. При п > 3 нить не порвется.
h = ^ 54 см ниже точки подвеса.
а) Г = mg(3 — 2cos"); б) Г — mg = 2mg(l — cos") = 2Ek/l.
±39,9°, определяемом±39,9°, определяемомОтвет: а) и б) при одном и том же угле 夕= из условия cos т； = - (cos go +，cos2 go + 3 ).
±39,9°, определяемом
±39,9°, определяемом
сти шарика максимальна, когда ускорение шарика направлено по горизонтали.сти шарика максимальна, когда ускорение шарика направлено по горизонтали.Решение. Прежде всего, заметим, что вертикальная составляющая скоро
сти шарика максимальна, когда ускорение шарика направлено по горизонтали.
сти шарика максимальна, когда ускорение шарика направлено по горизонтали.
Действительно, ускорение — это производная от скорости и в точке, где вертикальная составляющая скорости максимальна, вертикальная составляющая ускорения равна нулю.
Запишем в этой точке уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальное и радиальное направления (рис. 3.4):
Т cos з = mg,(1)
Тту2/Q、
丿—mg cos 屮=——.(2)
Скорость。в момент, когда нить образует угол 夕 с вертикалью, можно определить с помощью закона сохранения энергии:
= mgZ (cos т； — cos^o)- (3)
Подставляя (1) и (3) в (2), получаем квадратное уравнение относительно cos 夕：
3 cos2 夕一2 cos go cos 夕一1 = 0.
Выбирая положительный корень, имеем
cos 3 = ； (cos до + cos? до + 3 ).
К тому же результату можно прийти и иначе, исследуя на экстремум вертикальную составляющую скорости vB = о sing как функцию cosg. С помощью (3) имеем:
片=2gz(cos 夕—cos go) sin2 夕=2gz(cos 夕—cos 夕。)(1 — cos2 夕).
Экстремум можно найти, например, приравняв производную от vl по cosg к нулю.
Ответ', а = 2arctg(l/2) 53,1°.
Решение. При максимальном отклонении от равновесия скорость груза равна нулю. Следовательно, обращается в нуль и нормальное ускорение, а полное ускорение направлено по касательной к траектории и равно mg sin а = =2mgsin(ct/2) cos(q/2). При прохождении положения равновесия скорость максимальна и в нуль обращается тангенциальное ускорение, а нормальное равно mv2/I (рис. 3.5). Скорость о при прохождении положения равновесия
и максимальный угол свяжем, воспользовавшись законом сохранения энергии (рис. 3.5):
—= mgZ(l — cos а) = 2mgl sin2 —.
Приравнивая ускорения в крайнем положении и при прохождении положения равновесия, получаем:
.а а. 2 а
2mg sin — cos — = 4mg sin —.
Это уравнение имеет два решения: первое а = 0, когда груз не движется и второе а = 2 arctg -53,1°.
3.43. а = arccos (1 — )(1 — cos")) при cos"〉1 — }.
При cos" < 1 — Zi/Z шарик поднимается выше вбитого гвоздя. Нить при этом останется все время натянутой (шарик будет вращаться вокруг гвоздя), если cos" < 1 — 5Zi/(2Z). Если это условие не выполняется, шарик будет двигаться по окружности, пока нить не перестанет быть натянутой, а после этого продолжит движение по параболе под действием силы тяжести.
3.44. Ответ-, о = JgZ
2 sin(ct/2) + cos(a/2) — 2
(2 + cos а) sin(a/2)
а 2
;V1 = V cos -; И =
Решение. Очевидно, что в начальный момент времени система не находится в равновесном состоянии. Поэтому средний груз будет опускаться, а два крайних — подниматься. В дальнейшем, в отсутствие силы трения, средний
груз не остановится в равновесном положении, а пройдет его по инерции.
Поскольку в системе отсутствует трение, максимальное расстояние Н, на которое опустится средний груз, можно найти, воспользовавшись законом сохранения механической энергии. Выбрав нулевой уровень потенциальной энергии на высоте подвеса блоков, имеем в начальный момент времени, когда грузы неподвижны (рис. 3.6):
Ео = —mghi — mgh2-
⑴
Опустившись на максимальное расстояние Н, средний груз (а следовательно, и крайние) опять остановится. Обозначив высоту, на которую поднимутся при этом крайние грузы, Аз, имеем
Е = —mgQi\ - 3) - mg(h2 —侬)一mgH. (2)
Поскольку Е =瓦，из (1) и (2) получаем после приведения подобных членов и сокращения на mg
⑶⑶2h3-H = 0.
⑶
⑶
С другой стороны, используя условие нерастяжимости нити, как видно из рис. 3.6, имеем:
Решая совместно (3) и (4), получаем:
Н =Н =I，I，(5)(5)
Н =
Н =
I，
I，
(5)
(5)
Определим теперь скорости грузов угол а (рис. 3.7).Определим теперь скорости грузов угол а (рис. 3.7).в тот момент, когда нити образуютв тот момент, когда нити образуют
Определим теперь скорости грузов угол а (рис. 3.7).
Определим теперь скорости грузов угол а (рис. 3.7).
в тот момент, когда нити образуют
в тот момент, когда нити образуют
Обозначив скорость среднего груза через о, скорости крайних — через。院 расстояние, на которое опустится средний груз, через 九4, имеем:
2
L ТПУ77\7\
~2—2Tngh —(6)
Учитывая, что Ei =瓦，получаем с помощью (1) и (6):
2
2 + 届一gA + 2gh4 = 0.⑺
Величины А н /м удобно выразить через угол, образуемый нитями. Из рис. 3.7 видно, что
九=^c'g^・(8)
Используя условие нерастяжимости нити, находим
九4九4112 卜 sin(a/2)2 卜 sin(a/2)—1—1⑼⑼
九4
九4
1
1
2 卜 sin(a/2)
2 卜 sin(a/2)
—1
—1
⑼
⑼
Осталось связать междуОсталось связать междусделать с помощью условиясделать с помощью условия
Осталось связать между
Осталось связать между
сделать с помощью условия
сделать с помощью условия
собой скорости грузов V и v\. Это тоже можно
нерастяжимости нити, рассмотрев движение за
достаточно малый промежуток времени △力 так чтобы изменением скорости за At можно было пренебречь (рис. 3.8). В этом случае
=01 △力 △?/ =0△力
△/ = △?/ cos ^ .
Отсюда
V\ = v cos —.(10)
Подставляя соотношения (8), (9) и (10) в равенство (7), приходим к выражению для v2
2 _2 + ctg(a/2) — 2/sin(a/2) _2 sin(ct/2) + cos(q/2) — 2
° —且 1 + 2cos2(q/2)—且 sin(a/2)(2 + cosa)
Ответ (11) можно проверить, выяснив, при каких углах скорость обращается в нуль. Приравняв к нулю числитель правой части (11), найдем
.ai1*3
sm — = 1, sin — =225
Первый корень соответствует, очевидно, начальному моменту времени, когда грузы неподвижны, а нить горизонтальна. Второй корень соответствует точке максимального опускания среднего груза. Легко видеть, что он находится в согласии с формулой (5), ибо
— 3
Теперь вернемся к вопросу о том, почему в рассматриваемом процессе выполняется закон сохранения механической энергии. На грузы действуют силы тяжести и силы натяжения нитей. Силы натяжения нитей совершают работу. Действительно, например, правый крайний груз сначала поднимается вверх и разгоняется. Иными словами и его кинетическая, и потенциальная энергии растут. Это возможно только если работа действующей на этот груз силы натяжения нити положительна. Поэтому для справедливости закона сохранения механической энергии для всей системы в целом нужно убедиться, что суммарная работа сил натяжения нити, действующих на все грузы, равна нулю. Это действительно так. С помощью рис. 3.8 подсчитаем работу сил натяжения нити Г за промежуток времени △力(рассматриваем правую "половину” системы):
△А = ГДж + ГД?/ cos 7 = 70/ — △?/ cos ^)=。・ (12)
В заключение сопоставим решение данной задачи с решением из энергетических соображений задачи о движении двух грузов с массами mi и m2 на нити, перекинутой через неподвижный блок (машина Атвуда). В этом случае сразу очевидно, что суммарная работа сил натяжения нитей равна нулю. Поэтому закон сохранения механической энергии для грузов выполняется. Пусть mi > m2. Тогда при опускании массы mi на расстояние h масса m2 поднимается на такую же высоту. Изменение потенциальной энергии обоих грузов составит
△En = т2gh — migh = (m2 — mQgh.
Покоившиеся сначала грузы приобретут одинаковую по модулю скорость v. Поэтому изменение кинетической энергии обоих грузов составит
△еК =(加丁)广
По закону сохранения механической энергии
△Еп += О,
что немедленно приводит к равенству
v = 2 或.(13)
Ш1 + Ш2
Сравнивая (13) с кинематическим соотношением v2 = 2ah, находим для модуля ускорений грузов:
Ш1 — Ш2а = g.,
mi + 7n2 что совпадает с результатом uдинaмичecкoгo^^ решения.
Ответ: F = (mi + m2)g.
Решение. Для того, чтобы брусок массой mi отделился от подставки, на него со стороны растянутой пружины должна подействовать вверх сила, большая (в предельном случае равная) 77ng. Это условие и определяет силу F, с которой нужно подействовать на верхний брусок, чтобы сжать пружину. Распрямляясь, она ипроскочитп недеформированное состояние и оторвет брусок от подставки.
Задачу легко решить в предельных случаях, когда, либо mi, либо т? равны нулю. Если m2 = 0, a mi 7^ 0, то пружина находится в недеформированном состоянии. Для того, чтобы, распрямляясь, пружина подействовала на брусок mi вверх с силой, равной mig, ее нужно сжать с такой же силой, Итак, если Ш2 = 0, то F = 77ng.
Если mi = 0, а m2 7^ 0, то пружина должна придти в недеформированное состояние: только при этом условии ее конец, упирающийся в подставку, отделится от подставки. Это означает, что на пружину нужно подействовать с силой F = m^g.
Теперь уже нетрудно сообразить, что при mi ^ 0 и m2 ^ 0 необходимая сила F определяется выражением
F = (mi + m2)g.(1)
Это соотношение удовлетворяет обоим предельным случаям и его обоснование не намного сложнее, чем в каждом из рассмотренных предельных случаев.
В справедливости полученного результата можно убедиться с помощью закона сохранения энергии, учитывая, что энергия системы, сжатой дополнительно силой F и покоящейся, сохраняется и равна энергии системы в тот момент, когда брусок массой m2 останавливается после распрямления пружины и при этом нижний брусок массой mi не давит на подставку.
Обозначим длину недеформированной пружины через /о, длину пружины, сжатой дополнительной силой F и весом верхнего бруска m^g, через I и длину распрямившейся пружины в момент остановки верхнего бруска — через 厶.
Имеем по закону сохранения энергии:
к «о — Г)?k(li — Zo)2 丄 7/9、
2+ 62gz =—- + "2gZi •(2)
Описанное выше равновесие системы при сжатой пружине соответствует равенству
⑶⑶тп2g + F = kQo - I).
⑶
⑶
Условие отрыва нижнего бруска от подставки при остановке верхнего бруска соответствует
⑷⑷mig =友仏-Z).
⑷
⑷
Подстановка соотношений (3) и (4) в уравнение (2) и решение получившегося уравнения относительно F приводит к выражению (1).
Ответ: △/〉3mg/k.
Решение. Если нижний брусок отделяется от стола, то растяжение пружины х > mg/k. В случае равенства кинетическая энергия брусков в момент отрыва равна нулю. Приравняем потенциальную энергию системы в начальном и конечном состояниях:
衣(；0 + W(Z — △/) = * + W(Z + 力)，
где I — длина недеформированной пружины. В результате приходим к квадратному уравнению для минимального значения △/:
Физический смысл имеет только положительный корень △/ = 3mg/k.
Ответ: F = /ig(m + М/2).
Решение. Брусок массой М сдвинется с места при условии кх > //Mg, где к — коэффициент жесткости пружины, а ж — растяжение пружины. Сила F определяется из того условия, что работа этой силы и силы трения равна изменению потенциальной энергии пружины: Fx — “mgx = кх2/2. Отсюда находим F = ^g (m + М/2).
Ответ: h = Smax = 2mgmg
Решение. Поскольку тело бросают горизонтально, по вертикали оно свободно падает вниз с ускорением g без начальной скорости. Перемещение в горизонтальном направлении происходит равномерно со скоростью о в течение времени падения с высоты h. Дальность полета по горизонтали равна : S = =vt = vy/2h/g. Поскольку скорость о и высота h связаны соотношением Ео = mv2/2 + mgh, получаем:
$ 二 /4(Е0 - mgh)hу mg
Максимальное значение квадратичный трехчлен под корнем принимает при h = E0/(2mg). При ЭТОМ Smax = Eq/(mg).
Задачу можно решить и без всяких расчетов, если воспользоваться обратимостью механического движения. В момент падения на Землю горизонтальная составляющая скорости равна о, а вертикальная vy =，2gA. Если в точке падения тела на Землю направление его скорости заменить на противоположное, то оно проделает весь свой полет в обратном направлении. Если дальность полета по горизонтали максимальна при полете в "прямом" направлении, то она будет максимальна и при полете в “обратном" направлении.
Но при полете в "обратном" направлении она максимальна, когда вектор начальной скорости v0 образует угол 45° к горизонту. Это значит, что равны
по модулю горизонтальная (о) и вертикальная (。夕)составляющие этой скорости: V =，2gA, что соответствует условию: mv2/2 = mgh. Следовательно h = E0/(2mg), а максимальная дальность Smax сразу находится при учете соотношения Eq = mvl/2: в момент падения на Землю тело обладает только кинетической энергией. Поэтому: Smax =届/(2g) = Ео/{mg).
En = —2瓦；E = —Ek =瓦/2.
Ответ: пренебрегая тем, что Солнце не точка, а сферическое образование, получим t = 7/(47^), где Г = 1 год — период обращения Земли вокруг Солнца. То есть t ^ 64,3 сут.
Решение. Достаточно воспользоваться 3-м законом Кеплера, рассматривая падение на Солнце как предельный случай эллиптической траектории. Обратим внимание на то, что большая полуось этой траектории в два раза меньше радиуса орбиты, а не равна ей.
Повернуть скорость корабля на 90° следует посредине между центром Земли и начальным положением корабля. На этом расстоянии скорость корабля будет равна скорости на круговой орбите.
Пусть все три частицы находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга, так что их гравитационным взаимодействием можно пренебречь. Примем потенциальную энергию системы в этом состоянии равной нулю. Позволим частицам 1 и 2 сблизиться на расстояние г^- Очевидно, что потенциальная энергия их взаимодействия будет равна —G. Теперь 。Т12
пусть третья частица переместится под действием гравитационных сил в точку, находящуюся на расстояниях Т13 и 厂23 от частиц 1 и 2. Совершаемые при этом работы будут равны
门3T23 •
Эти работы совершаются за счет убыли потенциальной энергии. Поэтому потенциальная энергия изменится на величину
( m1m3 + 加2m3)
I门3T23丿，
В результате полная потенциальная энергия частиц окажется равной
U _ —g (7n1硒 + т2mз + т\тЛ
1门2T23门3丿，
Подчеркнем, что такое выражение справедливо при условии, что потенциальная энергия бесконечно удаленных друг от друга частиц считается равной нулю. °
р = 广一.В этом выражении а — большая полуось эллип-
Т 47r
тической орбиты планеты, Т — период ее обращения.
Ответ:九2 = 75 000 км.
Решение. Воспользуемся вторым законом Кеплера и законом сохранения энергии:
V^R^hi^^^^^),(1)
mVi тМ _ mV2 尸 тМ
Здесь % — скорость спутника в апогее, Я3 — радиус Земли, т п М — массы спутника и Земли.
Выражая % из (1) и подставляя в (2), получаем квадратное уравнение относительно 九2：
*У (% + g + 2GM (% + )(% + 后)2 %2 = 0•⑶
£/О\又(凡+九1)% D 口 。
Корни уравнения (3) равны hi и 'R3. Второй корень и
аз + A12g笈(凡+広)%2аз + A12g笈(凡+広)%2九2九2R3 75 000 км.1R3 75 000 км.1определяет высоту спутника в апогее. Ее можно записать иначе, через ускорение свободного падения на поверхности Земли g, если учесть, что GM = gA^. Тогда
аз + A1
2g笈(凡+広)%2
аз + A1
2g笈(凡+広)%2
九2
九2
R3 75 000 км.
1
R3 75 000 км.
1
Ответ: скорость движения спутника по круговой орбите обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса орбиты спутника; линейная скорость элементов сплошного кольца пропорциональна их расстоянию от оси вращения.
а) 3,14 • 1016 Дж; б) 7,47 Мт ТНТ.
1372 МВт.
Решение. При заданной силе F, которую может приложить спортсмен, натягивая лук, следует выбирать такой коэффициент жесткости к, при котором сила F достигается при наибольшем размахе рук. Это следует из выражения для энергии натянутого лука:
° кх F2
Для того, чтобы мяч поднялся на высоту h, он должен иметь скорость V =，2gA. Если принять расстояние, которое проходит рука мальчика с мячом во время броска за I, силу, с которой мальчик действует на мяч, можно оценить по изменению кинетической энергии: F = mV2/(2Z) = mgh/l. Время действия силы можно найти из условия Ft = mV. Приняв Z ^ 1 м, получаем
F 10,3 Н и t 0,17 с.
от значенияот значенияF =箒+ S2.
от значения
от значения
а) 10 м/с; б) Энергия убывает на 780 Дж, изменяясь 800 Дж до 20 Дж.
Ответ: Sis7TM + "2 _〔。总 CM>
Решение. Изменение кинетической энергии системы —?
mi V2Ш1Ш2У2х「
—у приравняем работе силы сопротивления ?СопР при
движении пули внутри бруска: г =-冗。叩5. При закрепленном
бруске, в предположении, что сила сопротивления не изменилась, —miУ2/2 =
厂 и си 07nl + m2
=—?conpOi. Отсюда приходим к оценке 515.
V = (1 + М/т)，2gz(1 — cos а) 450 м/с.
n = 8gm2a) 5 м/с; б) И = 4 м/с;匕=7 м/с.mi = шг/З = 0,2 кг.Ответ: а) о = 2 —; б) v = —J.mmРешение. При вылете пробки из пробирки сохраняется равный нулю полный импульс системы. Обозначив скорости пробки и пробирки через v и V, имеем:n = 8gm2a) 5 м/с; б) И = 4 м/с;匕=7 м/с.mi = шг/З = 0,2 кг.Ответ: а) о = 2 —; б) v = —J.mmРешение. При вылете пробки из пробирки сохраняется равный нулю полный импульс системы. Обозначив скорости пробки и пробирки через v и V, имеем:MV + mv = 0.MV + mv = 0.⑴⑴После проектирования этого равенства на горизонтальное направление, получаем:После проектирования этого равенства на горизонтальное направление, получаем:MVv = mMVv = m⑵⑵Процессы, происходящие при практически мгновенном вылете пробки, не зависят от того, на чем подвешена пробирка. А вот характер дальнейшего движения уже зависят в общем случае от того, висит она на нити или стержне.Подвешенная на стержне, пробирка при любой начальной скорости будет двигаться по дуге окружности радиуса Z, даже если в какой-либо точке ее скорость обратится в нуль. Поэтому пробирка сделает полный оборот, если ее скорость не обратится в нуль раньше, чем она дойдет до верхней точки окружности. На основании закона сохранения механической энергии для пробирки имеем:Процессы, происходящие при практически мгновенном вылете пробки, не зависят от того, на чем подвешена пробирка. А вот характер дальнейшего движения уже зависят в общем случае от того, висит она на нити или стержне.Подвешенная на стержне, пробирка при любой начальной скорости будет двигаться по дуге окружности радиуса Z, даже если в какой-либо точке ее скорость обратится в нуль. Поэтому пробирка сделает полный оборот, если ее скорость не обратится в нуль раньше, чем она дойдет до верхней точки окружности. На основании закона сохранения механической энергии для пробирки имеем:MV2MV2⑶⑶откудаоткуда展2同展2同Подставляя (4) в (2), находим минимальную скорость вылетающей пробки, при которой подвешенная на стержне пробирка сделает полный оборот:Подставляя (4) в (2), находим минимальную скорость вылетающей пробки, при которой подвешенная на стержне пробирка сделает полный оборот:mm⑸⑸Для подвешенной на нити пробирки начальная скорость должна быть больше. Чтобы двигаться по окружности, пробирка должна все время натягивать нить. Сила натяжения нити может обратиться в нуль только в верхней точке окружности. Из второго закона Ньютона следует, что в этом случае должно быть выполнено соотношениеДля подвешенной на нити пробирки начальная скорость должна быть больше. Чтобы двигаться по окружности, пробирка должна все время натягивать нить. Сила натяжения нити может обратиться в нуль только в верхней точке окружности. Из второго закона Ньютона следует, что в этом случае должно быть выполнено соотношение⑹⑹откуда для скорости пробирки в верхней точке получаем:откуда для скорости пробирки в верхней точке получаем:Закон сохранения энергии в зом:Закон сохранения энергии в зом:этом случае записывается следующим обра-этом случае записывается следующим обра-MV22MV223+亨.3+亨.⑻⑻
n =
8gm2
a) 5 м/с; б) И = 4 м/с;匕=7 м/с.
mi = шг/З = 0,2 кг.
Ответ: а) о = 2 —; б) v = —J.
mm
Решение. При вылете пробки из пробирки сохраняется равный нулю полный импульс системы. Обозначив скорости пробки и пробирки через v и V, имеем:
n =
8gm2
a) 5 м/с; б) И = 4 м/с;匕=7 м/с.
mi = шг/З = 0,2 кг.
Ответ: а) о = 2 —; б) v = —J.
mm
Решение. При вылете пробки из пробирки сохраняется равный нулю полный импульс системы. Обозначив скорости пробки и пробирки через v и V, имеем:
MV + mv = 0.
MV + mv = 0.
⑴
⑴
После проектирования этого равенства на горизонтальное направление, получаем:
После проектирования этого равенства на горизонтальное направление, получаем:
MV
v = m
MV
v = m
⑵
⑵
Процессы, происходящие при практически мгновенном вылете пробки, не зависят от того, на чем подвешена пробирка. А вот характер дальнейшего движения уже зависят в общем случае от того, висит она на нити или стержне.
Подвешенная на стержне, пробирка при любой начальной скорости будет двигаться по дуге окружности радиуса Z, даже если в какой-либо точке ее скорость обратится в нуль. Поэтому пробирка сделает полный оборот, если ее скорость не обратится в нуль раньше, чем она дойдет до верхней точки окружности. На основании закона сохранения механической энергии для пробирки имеем:
Процессы, происходящие при практически мгновенном вылете пробки, не зависят от того, на чем подвешена пробирка. А вот характер дальнейшего движения уже зависят в общем случае от того, висит она на нити или стержне.
Подвешенная на стержне, пробирка при любой начальной скорости будет двигаться по дуге окружности радиуса Z, даже если в какой-либо точке ее скорость обратится в нуль. Поэтому пробирка сделает полный оборот, если ее скорость не обратится в нуль раньше, чем она дойдет до верхней точки окружности. На основании закона сохранения механической энергии для пробирки имеем:
MV2
MV2
⑶
⑶
откуда
откуда
展2同
展2同
Подставляя (4) в (2), находим минимальную скорость вылетающей пробки, при которой подвешенная на стержне пробирка сделает полный оборот:
Подставляя (4) в (2), находим минимальную скорость вылетающей пробки, при которой подвешенная на стержне пробирка сделает полный оборот:
m
m
⑸
⑸
Для подвешенной на нити пробирки начальная скорость должна быть больше. Чтобы двигаться по окружности, пробирка должна все время натягивать нить. Сила натяжения нити может обратиться в нуль только в верхней точке окружности. Из второго закона Ньютона следует, что в этом случае должно быть выполнено соотношение
Для подвешенной на нити пробирки начальная скорость должна быть больше. Чтобы двигаться по окружности, пробирка должна все время натягивать нить. Сила натяжения нити может обратиться в нуль только в верхней точке окружности. Из второго закона Ньютона следует, что в этом случае должно быть выполнено соотношение
⑹
⑹
откуда для скорости пробирки в верхней точке получаем:
откуда для скорости пробирки в верхней точке получаем:
Закон сохранения энергии в зом:
Закон сохранения энергии в зом:
этом случае записывается следующим обра-
этом случае записывается следующим обра-
MV2
2
MV2
2
3+亨.
3+亨.
⑻
⑻
Подставляя сюда % из (7), получаем для V:
⑼
Теперь с помощью (2) находим выражение для минимальной скорости пробки, при которой сможет сделать полный оборот пробирка, подвешенная на нити:
mm(Ю)
m
m
/ = j?^ V = 20 см, где /с = 4 • 106 Н/м — жесткость пружины.
Л=^(1 + ^) = 105 Дж.
22М — тМ — тВ тепло переходит доля энергии 0 = ；(3 — £)• Однако, эта часть не может быть меньше половины, так как при этом скорость пули будет меньше скорости шара, т. е. пуля не пробьет шара (см. задачу 3.81).
2
2
М — т
М — т
Кинетическая энергия уменьшилась в
Ответ: I = L\ -—.
V 3m
Решение. Если шарик после удара остановился, то его энергия mV2/2 и момент импульса относительно оси, проходящей через точку подвеса, mVl, должны быть равны энергии 1ш2/2 и моменту импульса 1з стержня:
mV2mV2手；mVl =手；mVl =
mV2
mV2
手；mVl =
手；mVl =
Здесь V — скорость шарика перед ударом о стержень, g — угловая скорость стержня сразу после удара, / = Ml//3 — момент инерции стержня относительно его конца. Отсюда I = L,М［心吟.Остановка шарика возможна только при условии М < 3m.
Ответ'. М = —-—— ~ 32 г.
Решение. Шарики ударяют по чашке весов и отражаются от нее, передавая ей определенный импульс в вертикальном направлении. Если удары следуют часто один за другим, весы будут находиться практически в состоянии равновесия. При этом импульс, передаваемый шариками одной чашке весов за некоторое время, будет равен импульсу силы тяжести, действующей на гирю на другой чаше весов.
Поскольку, отразившись от чашки весов, шарики поднимаются на ту же высоту, то при ударе о чашку вертикальная составляющая скорости шарика о остается неизменной по модулю. Передаваемый чашке при одном ударе импульс р равен
⑴⑴р = 2mv = 2m，2gh,
⑴
⑴
так как при ударе вертикальная составляющая скорости меняет знак.
В результате за t секунд будет передан импульс пр. Условие равновесия весов записывается в виде:
⑵⑵2rlm y/^R = Mgt, откуда для массы груза М на другой чаше весов получаем:
⑵
⑵
М=^32 г.
Свободно падающие песчинки не давят на дно колбочки. Поэтому гиря перетянет, как только песчинки начнут падать из отверстия в перемычке. Но так будет происходить только до тех пор, пока первые песчинки не коснутся дна. Сталкиваясь с дном, они передают ему свой импульс, т. е. действуют на дно с некоторой силой, импульс которой равен передаваемому импульсу.
Пусть в единицу времени через отверстие в перемычке приходят в движение песчинки, масса которых равна т. Они падают свободно и достигают дна спустя время
после начала падения. При стационарной "работе" часов в полете находится в каждый момент времени масса М, определяемая формулойпосле начала падения. При стационарной "работе" часов в полете находится в каждый момент времени масса М, определяемая формулой
после начала падения. При стационарной "работе" часов в полете находится в каждый момент времени масса М, определяемая формулой
после начала падения. При стационарной "работе" часов в полете находится в каждый момент времени масса М, определяемая формулой
Поэтому "недостаиа" силы давления на дно колбы составляет
Mg = mJ 2gh.(3)
При стационарном потоке песчинок масса песка, достигающего дна в единицу времени, так же равна т. Каждая из песчинок подлетает ко дну со скоростью, равной
V = у/2gh.(4)
Это как раз импульс силы за единицу времени, т. е. uдoбaвoчнaя^^ сила давления на дно колбы за счет остановки песчинок. Видно, что (3) и (4) дают одно и то же значение. Значит, равновесие весов восстановится, как только первые песчинки достигнут дна.
Теперь не представляет труда убедиться в том, что на последнем этапе "работы" часов, когда все песчинки уже провалятся сквозь отверстие сверху, но еще не достигнут дна, часы перетянут гирю и коромысло весов качнется в противоположную сторону.
△「= ДтУ^ 313 Н.
а) 0,588 м/с; б) неупругое.
Ответ: тг/2.
законы сохранениязаконы сохраненияимпульса иимпульса и,2,2,2,2Решение. Обозначив начальную скорость шара через v, а скорости шаров после соударения через vi и V2, запишем механической энергии
законы сохранения
законы сохранения
импульса и
импульса и
,2
,2
,2
,2
mv2小
mv = mvi + mv2,⑴
Или
v = vi + v2, d =而 + o^.(2)
Система уравнений (2) допускает решение непосредственно в векторном виде. Первое равенство этой системы означает, что векторы v, vi и v? образуют треугольник. Второе равенство означает, что этот треугольник прямоугольный, т. е. угол между vi и v? прямой.
Решение. Как и в задаче 3.77, обозначим начальную скорость движущегося шара через v, его скорость после соударения через vi, а скорость второго шара — через v?. Векторы v, vi и v? образуют прямоугольный тре-
угольник. Следовательно,。2 = о sin". Для кинетической энергии неподвижного шара 石2 после удара имеем:
22
_ mv2 _ mv • 2 q _ о • 2 q
e2 — —2—-2— Sin " — e0 sin
3.79. a) % 二3.79. a) % 二2miHmi + 7n22miHmi + 7n2;б) % ^20.;б) % ^20.3.80. Ответ: M = m.3.80. Ответ: M = m.
3.79. a) % 二
3.79. a) % 二
2miHmi + 7n2
2miHmi + 7n2
;б) % ^20.
;б) % ^20.
3.80. Ответ: M = m.
3.80. Ответ: M = m.
Решение. Количество энергии, перешедшее из механической во внутрен- mмУ2 门 。
нюю, равно 2(м +——J・ Изменение температуры пропорционально этой энергии и обратно пропорционально суммарной массе пули и шара. Поэтому шар и пуля нагреются до максимальной температуры, когда
тМ _1_1
(М + m)2 — М/т + т/М + 2 —『+ 4'
Очевидно, что это произойдет при М = т, когда во внутреннюю энергию перейдет половина исходной кинетической энергии.
Решение. Разберем последовательно возможные случаи.
Пуля пробивает шар насквозь. На основании закона сохранения импульса имеем:
mv =———k MV,
где m п M — массы пули и шара, о — скорость пули до попадания в шар, V — скорость шара после взаимодействия с пулей. Отсюда
т ,M<Lт ,M<LПробив шар насквозь, пуля, очевидно, движется быстрее шара, поэтому при V < v/2 имеем из (1)
т ,
M<L
т ,
M<L
⑵
Для отношения выделившегося тепла Q к первоначальной кинетической энергии пули имеем на основании закона сохранения энергии
Qmv2 тMV2
причем эти соотношения справедливы во всех рассматриваемых случаях. Теперь с помощью (1) получаем для /3
⑶
Учитывая условие (2), получаем с помощью (3) область возможных значений /3 в случае а):
Пуля застревает в шаре. В этом случае скорости пули и шара одинаковы, поэтому
mv = (М + т)^,
откуда сразу следует т/М = 1. Для /3, как и в случае а), находим /3 = 1/2.
Пуля отскакивает от шара назад. В этом случае закон сохранения импульса записывается в виде
mv ” —，mv =——-——k MV,
откудаоткудаVV3 m3 m2MV,2MV,
откуда
откуда
V
V
3 m
3 m
2MV,
2MV,
причем теперь закон сохранения импульса не накладывает никаких ограничений на значение отношения масс т/М пули и шара. Рассуждая, как и в случае а), получаем для /3
Очевидно, что значение /3 неотрицательно, поэтому из закона сохранения энергии следует ограничение на возможные значения т/М, а именно
Из (4) и (5) следует область возможных значений /3 в случае, когда пуля отскакивает от шара назад:
Теоретически возможен еще случай, когда после столкновения с шаром пуля движется вслед за ним с меньшей, чем он, скоростью. Легко убедиться, что в этом случае масса пули больше массы шара. Но по условию задачи такая ситуация не реализуется на опыте. Отсюда следует, что т/М < 1.
Теперь с помощью полученных результатов можно следующим образом сформулировать ответ на предложенный в условии задачи вопрос. Если /3 < < 1/2, то пуля отскакивает от шара назад. Если /3 = 1/2, то при т/М = 1 пуля застревает в шаре, а при т/М = 1 /9 отскакивает назад. Если 1/2 < /3 < < 3/4, то при 1/3 W т/М < 1 пуля пробивает шар насквозь, а при т/М < < 1/3 для ответа на вопрос задачи необходимо знать значение отношения масс т/М. Тогда имея заданное значение /3, следует посмотреть, какому именно выражению — (3) или (4) — оно соответствует. Если заданное в условии задачи значение дается формулой (3), то пуля пробивает шар насквозь, а если формулой (4), то отскакивает от шара.
Не представляет труда исследовать случай, когда пуля, толкнув шар, движется вслед за ним. Приведем ответ. Для отношения масс т/М в этом случае имеем условие
а для /3 получается следующий интервал возможных значений
Отметим, что из условий (6) и (7) следует, что при данных условиях задачи (скорость пули уменьшается вдвое) только в этом случае возможно абсолютно упругое столкновение пули с шаром.
Решение. Обозначим массы пуль mi и 硒，массу шара через М, а скорости первой пули до и после столкновения с шаром через v и v\. Имеем с помощью закона сохранения импульса для первой пули
⑴⑴m\v = m\V\ + MV.
⑴
⑴
Поскольку начальные импульсы пуль одинаковы, то для второй пули справедливо
miv = (М + Ш2)К(2)
Выражая скорость шара V из первого уравнения 県^^⑶
а подставляя во второе, приходим к соотношению
V М .
--=k 1.
m2
Так как по условию задачи М/т2 = 6, то v/v\ = 7: скорость первой пули после пробивания шара уменьшается в 7 раз. Используя этот результат и выражение (3) для скорости шара, можно на основании закона сохранения энергии записать следующие выражения для количества тепла, выделившегося в каждом шаре. Для первого шара имеем
Аналогично для второго шара, учитывая, что начальный импульс первой и второй одинаков, справедливо
Q =Q =品(7伪)227n2品(7伪)227n2М + m mf2FМ + m mf2F(б。］)?.(б。］)?.(5)(5)Теперь с помощью (4) и (5) составляем отношение Q1/Q2. Учитывая, что вследствие условий задачи справедливоmi _ Ш1 m2 _ Ш1М М Ш2 6т2 'Теперь с помощью (4) и (5) составляем отношение Q1/Q2. Учитывая, что вследствие условий задачи справедливоmi _ Ш1 m2 _ Ш1М М Ш2 6т2 'находимQi _ 8 — TU'lm?Q 7mi/m2 'Отсюда, полагая в соответствии с условием задачи Q1/Q2 = 3, находим для отношения масс пуль значениеmi _ 4Ш2 1 1находимQi _ 8 — TU'lm?Q 7mi/m2 'Отсюда, полагая в соответствии с условием задачи Q1/Q2 = 3, находим для отношения масс пуль значениеmi _ 4Ш2 1 1Из выражения (6) следует, что Qi < Q2 при т2 Vmi. Однако при m2 < mi из уравнений (1) и (2) следует, что Й < V. Но это означает, что первая пуля не может пробить шар, что, однако, происходит согласно условию задачи. Поэтому условие m2 < mi несовместимо с данными условиями и, следовательно, Qi〉 〉Q2： в первом шаре всегда выделяется больше тепла.Из выражения (6) следует, что Qi < Q2 при т2 Vmi. Однако при m2 < mi из уравнений (1) и (2) следует, что Й < V. Но это означает, что первая пуля не может пробить шар, что, однако, происходит согласно условию задачи. Поэтому условие m2 < mi несовместимо с данными условиями и, следовательно, Qi〉 〉Q2： в первом шаре всегда выделяется больше тепла.3.83. Ответ-. уш3.83. Ответ-. уш2m(mi — 7n2)2m(mi — 7n2)g = 2mvg = 2mv(m + mi)(mi + m2) mi m2(m + mi)(mi + m2) mi m2G；G；(m + mi)(mi + 7n2)k(m + mi)(mi + 7n2)kРешение. При мгновенном столкновении бруска mi с шаром пружина не успевает заметно деформироваться, поэтому на основании законов сохранения импульса и энергии имеем:Решение. При мгновенном столкновении бруска mi с шаром пружина не успевает заметно деформироваться, поэтому на основании законов сохранения импульса и энергии имеем:/ mv2mv；2mv = mw\ - mv , —^― = —1,/ mv2mv；2mv = mw\ - mv , —^― = —1,
Q =
Q =
品(7伪)227n2
品(7伪)227n2
М + m mf2F
М + m mf2F
(б。］)?.
(б。］)?.
(5)
(5)
Теперь с помощью (4) и (5) составляем отношение Q1/Q2. Учитывая, что вследствие условий задачи справедливо
mi _ Ш1 m2 _ Ш1
М М Ш2 6т2 '
Теперь с помощью (4) и (5) составляем отношение Q1/Q2. Учитывая, что вследствие условий задачи справедливо
mi _ Ш1 m2 _ Ш1
М М Ш2 6т2 '
находим
Qi _ 8 — TU'lm?
Q 7mi/m2 '
Отсюда, полагая в соответствии с условием задачи Q1/Q2 = 3, находим для отношения масс пуль значение
mi _ 4
Ш2 1 1
находим
Qi _ 8 — TU'lm?
Q 7mi/m2 '
Отсюда, полагая в соответствии с условием задачи Q1/Q2 = 3, находим для отношения масс пуль значение
mi _ 4
Ш2 1 1
Из выражения (6) следует, что Qi < Q2 при т2 Vmi. Однако при m2 < mi из уравнений (1) и (2) следует, что Й < V. Но это означает, что первая пуля не может пробить шар, что, однако, происходит согласно условию задачи. Поэтому условие m2 < mi несовместимо с данными условиями и, следовательно, Qi〉 〉Q2： в первом шаре всегда выделяется больше тепла.
Из выражения (6) следует, что Qi < Q2 при т2 Vmi. Однако при m2 < mi из уравнений (1) и (2) следует, что Й < V. Но это означает, что первая пуля не может пробить шар, что, однако, происходит согласно условию задачи. Поэтому условие m2 < mi несовместимо с данными условиями и, следовательно, Qi〉 〉Q2： в первом шаре всегда выделяется больше тепла.
3.83. Ответ-. уш
3.83. Ответ-. уш
2m(mi — 7n2)
2m(mi — 7n2)
g = 2mv
g = 2mv
(m + mi)(mi + m2) mi m2
(m + mi)(mi + m2) mi m2
G；
G；
(m + mi)(mi + 7n2)k
(m + mi)(mi + 7n2)k
Решение. При мгновенном столкновении бруска mi с шаром пружина не успевает заметно деформироваться, поэтому на основании законов сохранения импульса и энергии имеем:
Решение. При мгновенном столкновении бруска mi с шаром пружина не успевает заметно деформироваться, поэтому на основании законов сохранения импульса и энергии имеем:
/ mv2mv；2
mv = mw\ - mv , —^― = —1,
/ mv2mv；2
mv = mw\ - mv , —^― = —1,
где v и vf — скорости бруска и шара после столкновения. Отсюда для v\ получаем:
⑴⑴2mv
⑴
⑴
— m + mi
Отметим, что направление скорости шара при условии т < mi изменится на противоположное. Как мы убедимся далее, повторного соударения шара и бруска при m2 < mi произойти не может. При дальнейшем движении брусков mi и m2, соединенных пружиной, сохраняется импульс mivi. Поэтому
mw\ = mw{ + 7n2。2・
В момент наибольшей деформации /о пружины о： =。2 = mi + m2
Поэтому на основании закона сохранения энергии:
2 mwi22 mwi2kxl (mi + Ш2)^2T十 2kxl (mi + Ш2)^2T十 2
2 mwi
2
2 mwi
2
kxl (mi + Ш2)^2
T十 2
kxl (mi + Ш2)^2
T十 2
С помощью соотношения (1) получаем:
4mim2m2
k (т + mi)(mi + 7n2)
Наименьшую скорость vm брусок mi будет иметь при недеформированной пружине. Согласно законам сохранения импульса и энергии имеем:
m\V\ = mivm + m^v",m\V\ = mivm + m^v",miVi2miVi22〃2
m\V\ = mivm + m^v",
m\V\ = mivm + m^v",
miVi
2
miVi
2
mivm m^v
2 十 2
Отсюда находим:
0m0mmi — m2 mi +mi — m2 mi +
0m
0m
mi — m2 mi +
mi — m2 mi +
При учете (1) это равенство принимает вид:
2m(mi — m2)
(т + mi)(mi + 7n2)
Очевидно, при mi > m2 vm > 0. Таким образом, скорости бруска mi и шара направлены противоположно, и повторного их соударения произойти не может. (Если бы не было условий т < mi, m2 < mi, то могло бы произойти повторное соударение с шаром, в чем легко убедиться, рассмотрев, например, случай m = mi <С 硒).
Ответ: 2a.
Решение. В системе отсчета, связанной с центром масс шаров, движутся оба шара, причем их скорости равны по величине и противоположны по направлению как до, так и после упругого соударения. Таким образом, в системе центра масс при столкновении скорости шаров поворачиваются, оста-
ваясь противоположно направленными и неизменными по модулю. На рис. 3.9 скорости шаров до соударения в системе центра масс обозначены через Ио и %о, а после соударения —%} и 唳.Длина каждого вектора равна V/2. Модуль скорости центра масс в лабораторной системе тоже равен V/2. Угол между конечной скоростью налетающей частицы и осью х в системе центра масс обозначен через 少，а в лабораторной системе — через а. Треугольник АОВ равнобедренный. Следовательно,少=2a.
3.85.伪3.85.伪2Em22Em2(Ш1 + Ш2)Ш1 ' "2(Ш1 + Ш2)Ш1 ' "22Emi(Ш1 + Ш2)Ш22Emi(Ш1 + Ш2)Ш2
3.85.伪
3.85.伪
2Em2
2Em2
(Ш1 + Ш2)Ш1 ' "2
(Ш1 + Ш2)Ш1 ' "2
2Emi
(Ш1 + Ш2)Ш2
2Emi
(Ш1 + Ш2)Ш2
Ответ: V =。+ 2\ —1608 м/с.
V 3m 2
Решение. Скорость одного из осколков (для определенности первого) после разрыва будет максимальна, если направление его скорости совпадает
со скоростью снаряда до разрыва, а два оставшихся осколка летят назад с равной скоростью. Докажем это. Запишем кинетическую энергию осколков после разрыва в виде
Q 2222
3mv ш^ю .加。20 . "So
где oio,。2。и озо ——скорости осколков в системе центра масс. Закон сохранения импульса запишем в проекциях на оси, одна из которых (/) параллельна скорости первого осколка, а другая (д) перпендикулярна ей. Учитывая, что массы осколков равны, получаем:
So + (020)力 + (*0)力=0,So + (020)力 + (*0)力=0,⑵⑵
So + (020)力 + (*0)力=0,
So + (020)力 + (*0)力=0,
⑵
⑵
⑶⑶(。20)g + (U30)g=0.
⑶
⑶
Выражая из (2) и (3) проекции скорости третьего осколка, перепишем (1) в виде:
гул Зд2
—2(。20)工=^10 +。10(020)/ + (020)^.(4)
Теперь, выделяя в правой части (4) квадрат суммы ((。2。)力 + ^ю/2)2, имеем:
l^io =- Зо)工-((°2о)力 + 亨).(5)
Очевидно, что скорость ою будет максимальна, когда два последних члена в правой части (5) обратятся в нуль, т. е. (。20)夕=0 (скорости всех осколков параллельны) и (。20)力=(°зо)% = —°io/2 (скорости второго и третьего осколка одинаковы). При этом
Скорость V первого осколка в системе отсчета, связанной с Землей, максимальна, если 伪()совпадает по направлению со скоростью центра масс。：
+ 2/二-- 1608 м/с.
3 87 V = J(g%)2 +(62%)23 87 V = J(g%)2 +(62%)2mi + m2mi + m2^ 43 км/ч.^ 43 км/ч.
3 87 V = J(g%)2 +(62%)2
3 87 V = J(g%)2 +(62%)2
mi + m2
mi + m2
^ 43 км/ч.
^ 43 км/ч.
匕=% cos а 8,66 м/с; V^ = И sin а = 5 м/с.
Ответ: угол между скоростями после соударения равен (3 = а.
Решение. Обозначив массы шаров через mi и m2, их скорости до соуда
рения через V1 и V2, а после соударения через ui и U2 (см. рис. 3.10), запишем законы сохранения энергии и импульса:硒0^ т\щ m2后м + 丁 二 丁 + 丁，⑴miVi + 7n2V2 = miUi + 7n2迎・(2)При ui =。1 из равенства (1) следует 〃2 =。2・ Возводя левую и правую часть равенства (2) в квадрат, получим:加济 + Ш2^2 + 2mim2ViV2 cos а = гщщ ++ гщщ + 2miт^ихщ cos/3. (3)рения через V1 и V2, а после соударения через ui и U2 (см. рис. 3.10), запишем законы сохранения энергии и импульса:硒0^ т\щ m2后м + 丁 二 丁 + 丁，⑴miVi + 7n2V2 = miUi + 7n2迎・(2)При ui =。1 из равенства (1) следует 〃2 =。2・ Возводя левую и правую часть равенства (2) в квадрат, получим:加济 + Ш2^2 + 2mim2ViV2 cos а = гщщ ++ гщщ + 2miт^ихщ cos/3. (3)"3,， ш2"3,， ш23加23加2Рис. 3.10Рис. 3.10
рения через V1 и V2, а после соударения через ui и U2 (см. рис. 3.10), запишем законы сохранения энергии и импульса:
硒0^ т\щ m2后м + 丁 二 丁 + 丁，⑴
miVi + 7n2V2 = miUi + 7n2迎・(2)
При ui =。1 из равенства (1) следует 〃2 =。2・ Возводя левую и правую часть равенства (2) в квадрат, получим:
加济 + Ш2^2 + 2mim2ViV2 cos а = гщщ +
+ гщщ + 2miт^ихщ cos/3. (3)
рения через V1 и V2, а после соударения через ui и U2 (см. рис. 3.10), запишем законы сохранения энергии и импульса:
硒0^ т\щ m2后м + 丁 二 丁 + 丁，⑴
miVi + 7n2V2 = miUi + 7n2迎・(2)
При ui =。1 из равенства (1) следует 〃2 =。2・ Возводя левую и правую часть равенства (2) в квадрат, получим:
加济 + Ш2^2 + 2mim2ViV2 cos а = гщщ +
+ гщщ + 2miт^ихщ cos/3. (3)
"3
,， ш2
"3
,， ш2
3加2
3加2
Рис. 3.10
Рис. 3.10
При учете равенства модулей скоростей каждого из шаров до и после соударения из соотношения (3) имеем:
cos а = cos /3.(4)
Итак, если при абсолютно упругом соударении скорость одного из шаров не изменяется по модулю, то не изменяется и угол между скоростями до и после соударения.Итак, если при абсолютно упругом соударении скорость одного из шаров не изменяется по модулю, то не изменяется и угол между скоростями до и после соударения.3.90. g =3.90. g =厶以1 + /2^2厶以1 + /2^2厶"(G1 — g2)‘厶"(G1 — g2)‘——;кинетическая энергия уменьшится на величину 厶+ А——;кинетическая энергия уменьшится на величину 厶+ А
Итак, если при абсолютно упругом соударении скорость одного из шаров не изменяется по модулю, то не изменяется и угол между скоростями до и после соударения.
Итак, если при абсолютно упругом соударении скорость одного из шаров не изменяется по модулю, то не изменяется и угол между скоростями до и после соударения.
3.90. g =
3.90. g =
厶以1 + /2^2
厶以1 + /2^2
厶"(G1 — g2)‘
厶"(G1 — g2)‘
——;кинетическая энергия уменьшится на величину 厶+ А
——;кинетическая энергия уменьшится на величину 厶+ А
равна кинетической энергии '3 — моментравна кинетической энергии '3 — моментG1 = 4 / 3 (1 - cos а).G1 = 4 / 3 (1 - cos а).
равна кинетической энергии '3 — момент
равна кинетической энергии '3 — момент
G1 = 4 / 3 (1 - cos а).
G1 = 4 / 3 (1 - cos а).
厶+"2
Ответ: V = \/3gh = 12,2 м/с; точка, находящаяся на высоте, равной 2/3 длины столба.
Решение. Запишем закон сохранения энергии для падающего столба: по-
тенциальная энергия в начальный момент mgh/2 вращения при ударе о землю Icj2/2, где / = mH卜
инерции столба относительно горизонтальной оси, проходящей через его основание, g — угловая скорость вращения столба вокруг той же оси. Отсюда можно найти линейную скорость верхнего конца столба в момент касания земли:
V = uh = у/3gh .
Аналогично определяется угловая скорость gi вращения столба в произвольный момент, когда столб наклонен на угол а к вертикали (рис. 3.11). Закон сохранения энергии дает:
万=- cosa).
Выражая из этого уравнения сл, получаем:
Точка, находящаяся на расстоянии х от основания столба, имеет скорость
И == жу 3^(1 — cosa).
Если бы тело свободно падало с высоты /, то в момент, когда оно находится на расстоянии ж cos а от земли его скорость
V =，2g/(l — cos а).
Приравнивая скорости V и И, находим: х = (2/3)А.
Ответ-. 72° между К и Е, 130° между 力i и 歹з, 158° между F? и 用.Все силы лежат в одной плоскости.
Решение. Запишем условие равновесия в виде: Fi + F2 = —F3. Возводя в квадрат обе части равенства (воспользовавшись теоремой косинусов для треугольника сил), получаем 肾 + 居 + 2№Ecosai2 =居，где 加2 — угол между силами R н %. Отсюда
2 _
cosqi2 = 2FiF2
Аналогично можно найти углы между направлением остальных сил.
Ответ-. F = 980 Н.
Решение. Чтобы приподнять трубу за один из ее концов, нужно приложить к этому концу силу, направленную вертикально вверх (рис. 3.12). Пусть I —
длина трубы. Тогда точка приложения силы тяжести находится на расстоянии Z/2 от конца трубы. Учитывая это, составим уравнение моментов сил относительно точки О:
mg^ — Fl = 0.
Отсюда F = mg/2 = 980 Н.
Ответ-.从=(У2 - 1)/2.
Решение. Минимальная работа по перемещению кантованием определяется увеличением потенциальной энергии ящика при его постановке на ребро (рис. 3.13). Центр масс однородного ящика поднимается при этом на А =
=/5 - 1)/2, где I — ребро куба. Увеличение потенциальной энергии при этом составит
=(1)
Эту величину следует сравнить с работой по перемещению волоком на расстояние I:
△А = £р/ = /imgl.(2)
Сравнивая (1) и (2), находим 从=(д/^ — 1)/2.
/а = mg/2 при 从 > 1/(2У2) ~ 0,35 (рис. 3.14).
Ответ: если 从》1/2, то F = mg/2, а = 0.
Если 4 W 1/2, Tо F = ^^，542 — 4从 + 1, a = arctg -——^.
Решение. Максимальное возможное плечо силы F относительно точки А
(рис. 3.15) равно длине ребра куба I. Поэтому минимальная сила, которая
может опрокинуть куб, равна mg/2 и направлена горизонтально. Для того, чтобы под действием этой силы куб не скользил по поверхности, необходимо, чтобы она не превосходила силы трения //mg, т. е. чтобы коэффициент трения 从 был больше 1/2. Если 从 < 1/2, то для того, чтобы не было проскальзывания, нужно прикладывать силу под некоторым углом а к горизонту (рис. 3.15). Куб не будет скользить по поверхности, если
Fcosa》//(mg + Fsina). (1)
При опрокидывании куба минимальной силой должно выполняться равенство нулю суммы моментов всех действующих на него сил относительно точки А:
Fl cos а — mg- = 0. (2)
⑶⑶Подставляя F из (2) в (1) получим
⑶
⑶
причем минимальной силе отвечает знак равенства в (3). Теперь из (2) можно найти саму силу F, воспользовавшись тождеством: 1 + tg2 а = 1/cos2 a. Име
ем:ем:F =F =mg2 cos аmg2 cos а
ем:
ем:
F =
F =
mg
2 cos а
mg
2 cos а
Опрокинется. Опрокидывание произойдет при угле наклона плоскости а = arctg(l/3), а скольжение началось бы при а = arctg(0,4).
а < 2 arctg 从.
从 < 1.
Ответ:仆広=mg，九(2А — А) /А; сила должна быть направлена перпендикулярно прямой, соединяющей центр колеса и точку его касания со ступенькой.
Решение. Пусть сила F приложена под углом а к горизонту. На рис. 3.16 АСОВ = а.
При подъеме на ступеньку колесо вращается вокруг точки А. Для этого необходимо, чтобы момент силы F относительно точки А был больше момента силы тяжести mg:
F • Esin Л АО В > mg • cos ЛАОС.(1)
Если обозначить ЛАОС = /3, условие (1) можно переписать в видеd、 cos/3
⑵
Очевидно, что сила F будет минимальна, если sin (а + /3) = 1. При этом
£nin = mg cos В = mg-~%
Ответ: Г =— ' + " 丁
，旗 + 2A)
Решение. Сила тяжести mg приложена в центре шара. Через центр шара проходит и реакция опоры N, которая в отсутствие трения перпендикулярна стене (рис. 3.17). Но тогда и линия действия силы натяжения нити тоже должна проходить через центр шара, ибо в противном случае момент этой силы относительно центра шара будет отличен от нуля, в то время как моменты сил mg и N равны нулю.
Установив направление силы натяжения нити Т, приравняем к нулю векторную сумму сил действующих на шар.
mg + N + Т = 0.(1)
Условие (1) означает, что треугольники АВО и COD на рис. 3.18 подобны:
⑵⑵Т _ АОmg АВ
⑵
⑵
Но АО = Z + А, а для АВ с помощью теоремы Пифагора имеем АВ = J(Z + А)2 —岳二，旗 + 2А).
Тогда из (2) находим:
Подмеченное в этой задаче свойство имеет общий характер: если твердое тело находится в равновесии под действием трех сил, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.
Решение. Силы натяжения направлены вдоль оттяжек. Поэтому линии действия сил Ti, Т2 и mg пересекаются в точке А (рис. 3.19). Но тогда и линия действия силы реакции опоры N должна проходить через эту точку, т. е. N направлена вертикально вверх (на рис. 3.19 сила N не показана). С помощью условия равновесия моментов сил легко найти соотношение между Ti и Т2： равнодействующая этих сил должна быть направлена вертикально вниз, иначе невозможно уравновесить их моменты относительно точки В. Отсюда сразу имеем:
Т2 = Т\ sin а.(1)
Условие (1) следует так же из равенства нулю векторной суммы всех действующих сил, если предвари
тельно уже установлена вертикальность силы N. Соотношение (1) накладывает только связь на силы 0 н 7^, но не ограничивает их величину. Значение силы реакции N находится из уравнения
Ti cos а + mg — ^ = 0,(2)
получающегося из условия равенства нулю векторной суммы всех сил при проектировании на вертикальное направление, если задана величина Ti или Т? и масса мачты.
Ответ:从=1.
Решение. Рассмотрим моменты сил относительно точки подвеса. Отличны от нуля только моменты силы реакции со стороны стены и силы трения о стену, причем плечи обеих сил равны А/2. Следовательно, в равновесии эти силы одинаковы по величине и минимальное значение 从=1.
从=(1/2) ctga.
tga》l/从.
Решение. Все действующие на балку силы, включая силы реакции опоры Ni и №, направлены вертикально (рис. 3.20). Поэтому равенство нулю векторной суммы всех сил записывается в виде
R + 田 + …+ Fn + mg — Ni — № = 0.(1)
Второе уравнение для определения неизвестных сил Ni и ^2 можно получить, рассматривая условие равновесия моментов всех сил, например,
Рис. 3.20
относительно точки, в которой приложена сила №. При этом в уравнении будет присутствовать только сила №
Fill + 歹2%2 + …+ Fnln + mgq = №1.(2)
Определив № из (2), можно выразить Ni из (1). Можно получить Ni и из уравнения равновесия моментов относительно точки приложения силы N?. Это уравнение является следствием равенств (1) и (2). В самом деле, умножив каждый член уравнения (1) на I и вычитая из него левую и правую части (2), получаем:
E(Z — G) + 乃(Z — %2)+ …+ Fn(l — In) + mg — = N“.(3)
Но это как раз уравнение моментов относительно точки приложения силы №• 3.107. Ответ: стержень нужно подпереть на расстоянии (2/3R от легкого конца стержня.
Решение. Предположим, что центр масс системы отстоит от левого конца стержня на расстояние х (рис. 3.21). Если в этом месте поместить опору, он будет находиться в равновесии. При этом сила реакции опоры N по модулю будет равна сумме модулей всех сил тяжести, действующих на шары:
N = (1 + 2 + …+ п0) mg = 几0(几；+ D^g.(1)
Запишем условие равенства моментов всех сил тяжести и силы реакции опоры относительно точки О, отстоящей от левого конца стержня на Z:
N(Z + ж) = Z(l2 + 2? + ... + no) mg =严 °("° + ?2"° + D 7ng. (2)
С помощью выражения (1) для N находим из (2):
Поскольку произведение Z(no — 1) равно длине стержня L, то центр масс расположен на расстоянии (2/3R от левого конца системы при любом числе шаров по.
Отметим, что точка, относительно которой записывалось условие равенства моментов, была выбрана таким образом, чтобы в правой части выражения (2) получалась сумма квадратов, для которой существует простая формула суммирования. Если выбрать другую точку, например левый конец стержня, то выкладки окажутся чуть длиннее:
Nx = "2・ 1+3・2 + ... + по(по — 1)] mg. (4)
Сумму в квадратных скобках в (4) можно дополнить до суммы квадратов, прибавляя и вычитая недостающие члены:
[2・ 1 + 3・2 +…+ ?2о(?2о — 1)] = ^12 + 22 + ... + по— 1 — 2 —...—几。)=
_ n0(n0 + 1)(2п0 + 1)п0(п0 + 1) _ п0(п0 + 1)、
-62-2-
После подстановки этого выражения и величины N из (1) в (4), получим значение ж, соответствующее (3).
Ответ: центр масс расположен на расстоянии ж = Я/6 от центра пластинки на прямой, соединяющей центры пластинки и вырезанного из нее круга.
Решение. Пластинка показана на рис. 3.22. Предположим, что маленький круг еще не вырезан, а только нарисован на большом круге. Тогда сила тяжести, действующая на весь большой круг, приложена в центре большого круга О, а ее модуль равен pg不P?d, где R — радиус круга, d — его толщина, г — плотность материала, из которого сделана пластина. Эта сила тяжести может рассматриваться как равнодействующая сил тяжести, действующих на малый круг и остальную часть пластинки. Сила тяжести, действующая на малый круг, приложена в его центре и равна по модулю pg7r (-R/2)2 d. Сила тяжести, действующая на остальную часть большого круга, по модулю равна разности pgTr^d — pgTv (-R/2)2 d. Точка ее приложения, как ясно из соображений симметрии, лежит на прямой, проходящей через центры обоих кругов, на расстоянии х от центра большого круга. Если подпереть большой круг в его центре, то он будет в состоянии равновесия: сила реакции опоры уравновесит силу тяжести. Если же рассматривать полную силу тяжести как равнодействующую двух указанных сил, то можно написать условие уравновешивания их моментов относительно центра большого круга:
pg7r (-R/2)2 d • R/2 = pg tv [Я2 — (Я/2)2] d • x.
Отсюда x = A/6.
Ответ', в системе координат с началом в центре полуколь
ца, когда положительная полуось у содержит все g-коордннаты его точек, координаты центра масс: /с = 0, т/с = 2Я/тг.
Рис. 3.23Рис. 3.23Решение. Заменим полукольцо половиной вписанного в окружность радиусом R правильного многоугольника ABCD..., сделанного из той же проволоки, и найдем момент сил тяжести, приложенных к звеньям многоугольника, относительно вертикальной оси О А — оси х (рис. 3.23):
Рис. 3.23
Рис. 3.23
м = plg^PiOr + Р2О2 + ...)•
Здесь р — линейная плотность проволоки, I — длина одного звена, QOi, RO2——расстояния от оси до середины звеньев.
Заметим теперь, что треугольники АВ'В и О\Р\О подобны. Следовательно,
AH' PiOi ,_4 /
4 рили I - Р\О\ = АВ •。。，
Аналогично, из подобия треугольников BQC и ОР2О2 получаем: I • В5 = В'С • ОО2.
Обозначив ОО\ = ОО2 =…=h, имеем:
М = phg(AB‘ + В'С‘ +
Выражение в скобках дает удвоенный радиус (диаметр) окружности: М = 2Rphg. Если число звеньев вписанного многоугольника устремить к бесконечности, величина h будет стремиться к радиусу окружности Я, а момент к 2В2pg. С другой стороны, момент равен произведению силы тяжести проволоки TvRpg на расстояние ус от центра тяжести до оси О А. Таким образом
2序罔=^RpgUc,
откуда ус = 2Я/тг.
Решение. Центр масс пустого стакана расположен на его оси симметрии выше дна, если, конечно, дно не очень толстое. Когда в стакан наливают немного воды, положение центра масс всей системы, очевидно, понижается. Если добавить еще немного воды, центра масс опять понизится. Так будет продолжаться до тех пор, пока положение центра масс не совпадет с уровнем воды в стакане. После этого при добавлении воды центр масс будет подниматься. Итак, центр масс стакана с водой находится в наинизшем
положении, когда он совпадает с уровнем воды в нем.
Ответ: в равновесии угол, который образует доска с одной из граней двугранного угла, равен углу, который другая грань образует с горизонтом. Равновесие неустойчиво.
Решение. В отсутствие трения на доску действует три силы — сила
Рис. 3.24Рис. 3.24тяжести mg, приложенная в ее центре, и две силы реакции опор Ni и №, направленные перпендикулярно граням угла. В равновесии линии действия этих сил пересекаются в одной точке. Так как двугранный угол прямой, линия действия силы тяжести должна пройти через вершину прямого угла. Из рис. 3.24 ясно, как построением найти положение доски в равновесии: проводим вертикаль через вершину угла и откладываем на ней от вершины отрезок, равный длине доски. Из конца этого отрезка опускаем перпендикуляр на грани угла. Положение доски совпадает со второй диагональю получившего-
Рис. 3.24
Рис. 3.24
Рис. 3.25Рис. 3.25ся прямоугольника. При этом угол а, который образует доска с одной из граней двугранного угла, равен углу, который другая грань образует с горизонтом.
Рис. 3.25
Рис. 3.25
Если перемещать доску около положения равновесия так, чтобы ее концы скользили по граням угла, то центр тяжести доски перемещается по дуге окружности, центр которой совпадает с вершиной прямого угла, а радиус равен половине длины доски. В самом деле, в этом случае доска выступает как диаметр окружности, на которую опирается прямой угол. В положении равновесия радиус, соединяющий вершину прямого угла с центром масс доски, расположен
вертикально. При смещении доски из равновесия ее потенциальная энергия убывает, т. е. равновесие неустойчиво (рис. 3.25).
—— W A W ——. 2^2
Ответ: tga = -―^^——.
Решение. Действующие на лестницу силы показаны на рис. 3.26. Заранее нельзя считать, что модули сил трения К н Е пропорциональны силам нормальной реакции Ni и ^2, а коэффициенты пропорциональности представляют собой коэффициенты трения о пол /и и стену 从2・ Условия равновесия для сил
в проекциях на вертикальное и горизонтальное направления дает равенства:
⑴⑴⑵⑵№ — F* = О,
⑴
⑴
⑵
⑵
Ni + 田一mg = 0.
Условие равновесия моментов сил относительно точки приложения силы тяжести имеет вид:Ni sin а = N2 cos а + № cos а + 田 sin а. (3)Условие равновесия моментов сил относительно точки приложения силы тяжести имеет вид:Ni sin а = N2 cos а + № cos а + 田 sin а. (3)Из соотношения (3) получаем выражение для тангенса угла а наклона лестницы к вертикалиИз соотношения (3) получаем выражение для тангенса угла а наклона лестницы к вертикалиtga 二tga 二№ + Fi ^l — F?№ + Fi ^l — F?⑷⑷С помощью равенств (1) и (2) выражение (4) можноС помощью равенств (1) и (2) выражение (4) можнопереписать так:переписать так:tga 二tga 二2^22^2mg — 2%'mg — 2%'(5)(5)
Условие равновесия моментов сил относительно точки приложения силы тяжести имеет вид:
Ni sin а = N2 cos а + № cos а + 田 sin а. (3)
Условие равновесия моментов сил относительно точки приложения силы тяжести имеет вид:
Ni sin а = N2 cos а + № cos а + 田 sin а. (3)
Из соотношения (3) получаем выражение для тангенса угла а наклона лестницы к вертикали
Из соотношения (3) получаем выражение для тангенса угла а наклона лестницы к вертикали
tga 二
tga 二
№ + Fi ^l — F?
№ + Fi ^l — F?
⑷
⑷
С помощью равенств (1) и (2) выражение (4) можно
С помощью равенств (1) и (2) выражение (4) можно
переписать так:
переписать так:
tga 二
tga 二
2^2
2^2
mg — 2%'
mg — 2%'
(5)
(5)
Из выражения (5) следует, что tga будет тем больше, чем больше TV2 H 田. Но при заданном № величина F? наибольшая, когда F?=陷N?. Из равенства (1) видно, что № равна №, и, следовательно, максимальная величина № достигается при £ =
Итак, мы доказали, что максимальный угол наклона лестницы к стене реализуется при одновременном выполнении условий
£ = 41М и F2 = /12 №•(6)
Подставляя (6) в (1) и (2), находим
№ =—mg.⑺
Теперь для 田 имеем:
Еmg.(8)
1 +М1М2
Подставляя (7) и (8) в (5), получаем:
tgQ = 1 2"i一.(9)
Отметим, что доказать справедливость равенства (6) можно иначе, учитывая, что F〃 и N^ (г = 1,2) можно рассматривать как составляющие полных сил реакции опоры Q〃 (рис. 3.27). В этом случае на лестницу действуют
только три силы — mg, Qi и Q2. Линии их действия должны пересекаться в одной точке, лежащей на вертикали, вдоль которой действует сила тяжести
mg. Непосредственно из рисунка видно, что угол а будет тем больше, чем больше значения углов 夕1 и 夕2・ Но максимальные значения 夕1 и 夕2 достигаются тогда, когда выполняется условие (6), причем tg^i = дм, tg32 =从2・ Рис. 3.27 позволяет сразу установить, что в отсутствие трения о пол равновесие лестницы невозможно. Действительно, в этом случае сила Qi вертикальна и не пересекается с линией, по которой действует mg. Напротив, в отсутствие трения о стену равновесие возможно: реакция Q2 направлена перпендикулярно стене, и все три силы могут пересечься в одной точке (рис. 3.28). Из рисунка сразу видно, что максимальный угол а при этом находится из соотношения
^а=АВ = ^В= 2tg⑺二 2从1, (Ю)
что совпадает с (9) при 从2 = 0.
Ответ: Пусть коэффициент трения о пол равен дм, о стену —从2・ Тогда, если /и > (1/2) ctg а,网 может быть любым. В противном случае 网 > > 1/М1 - 2tga.
Лестница не упадет, если человек встанет на нижнюю ступеньку. Она упадет, когда человек, поднимаясь по лестнице, перейдет через ее середину.
d = Z [“1 + 营)tga -為卜 3,6 м.
Ответ:从=ctg /3.
Решение. Прежде всего отметим, что лестница, прислоненная к вертикальной стенке, вообще не может находиться в равновесии, если нет трения о пол — она обязательно соскользнет по стенке. Более того, верхний конец лестницы при таком соскальзывании обязательно отделится от стенки раньше, чем лестница окажется на полу. Невозможность равновесия у вертикальной стенки на гладком полу очевидна из рис. 3.29: нормальная сила реакции стенки N2 должна быть отлична от нуля так как иначе не будет уравновешен момент силы тяжести mg относительно точки А; но сама сила № может быть уравновешена только горизонтально направленной силой трения о пол.
А вот равновесие у наклонной шероховатой стенки возможно и на идеально гладком полу. На рис. 3.30 изображены силы, действующие на лестницу. Поскольку силы mg и Ni направлены вертикально, то в равновесии горизонтальные составляющие силы N2 и FTp должны быть равны:
^2 cos /3 = £р sin /3. (1)
Сила трения покоя FTp максимальна на пороге проскальзывания, когда ее значение равно 从№. Из формулы (1) в этом случае находим
4 = ctg/3.(2)
Формула (2) дает минимальное значение коэффициента трения 从，при котором возможно равновесие у наклонной стенки с углом наклона 6 в отсутствие трения о пол. При этом лестница как бы цепляется за шероховатую стенку, а другим концом давит на гладкий пол.
Обратим внимание на то, что условие равновесия лестницы не зависит ни от того, насколько наклонена сама лестница, ни от того, в каком месте приложена сила тяжести mg и каково ее значение. Это значит, что лестница будет в равновесии и в том случае, если на ней в любом месте стоит человек.
Отметим, наконец, что условие (2) совпадает с выражением для предельного коэффициента трения, при котором возможно равновесие небольшого бруска, положенного на наклонную стенку.
Ответ-. Т=響 ctga; 0 = -Д^-.
22 sin а
Решение. Рассмотрим правую половину цепочки (рис. 3.31). На нее действуют три внешние силы: сила тяжести mg/2, приложенная в центре масс
Рис. 3.31Рис. 3.31
Рис. 3.31
Рис. 3.31
половины цепочки, сила Т со стороны левой половины цепочки и сила Ti со стороны подвеса. Векторная сумма этих сил равна нулю:
夢+ Т + Т1 =0.(1)
Сила направлена Т горизонтально, а сила mg/2 — по вертикали. Поэтому треугольник, соответствующий равенству (1) — прямоугольный (рис. 3.32). Следовательно тт тё
丿=-^-ctgQ,丿 I = ——•
22 sin a
Поскольку линии действия сил Т, Ti и mg/2 пересекаются в одной точке, то при заданном положении цепочки легко находится положение центров масс ее половин, проще всего с помощью уравнений моментов относительно точек подвеса.
Ответ: F = mg sin a.
Решение. Задачу можно решить непосредственно в векторном виде. Действительно, в точке А (рис. 3.33) равна нулю векторная сумма сил натяжения
горизонтальной, наклонной и вертикальной нитей Т,储 и 7^, причем последняя равна силе тяжести mg:
Т + Ti + mg = 0.(1)
Из треугольника сил на рис. 3.33 сразу следует:
Т = mgtga.(2)
В точке О также действует три силы: Т‘ = —Т, Т〃 и искомая сила F. Их векторная сумма тоже равна нулю:
Г + Т + F = 0.(3)
Сила Т‘ известна и по модулю и по направлению. Сила Т〃 направлена вдоль второй наклонной нити и образует угол а с вертикалью. Поэтому
треугольник сил, соответствующий равенству (3), имеет вид, показанный на рис. 3.34. Минимальная по модулю сила F направлена перпендикулярно наклонной нити, причем
F = Teos а.(4)
Подставляя сюда значение Т из (2), окончательно получаем:
F = mg sin а.(5)
Ответ удовлетворяет очевидному предельному случаю а = 0. Тогда нить вертикальна вплоть до точки подвеса, и прикладывать силу в точке О не нужно.
Ответ: сила, действующая на корабль, превосходит силу, приложенную к свободному концу каната в 枝叶。раз, где п — число оборотов каната вокруг тумбы.
Решение. Большой выигрыш в силе достигается благодаря трению витков каната о поверхность тумбы. Рассмотрим небольшой элемент △/ витка каната на тумбе, характеризуемый углом △& (рис. 3.35). На этот элемент со стороны соседних участков каната действуют упругие силы натяжения Т и Т + ДТ, направленные по касательным к поверхности тумбы на концах выделенного участка. Интересующее нас различие величины этих сил ДТ обусловлено действием на этот элемент силы трения скольжения Д^р. Равнодействующая сил натяжения имеет также составляющую, направленную по радиусу к центру тумбы. Эта составляющая уравновешивается нормальной к элементу △/ силой реакции тумбы △^. Как видно из построения на рис. 3.36, в котором учтено, что для малого элемента витка △/ отношение ДТ/Т《1,
XN ^ТХа.(1)
Величина силы трения скольжения /ХЕр связана с величиной силы нормальной реакции △^ соотношением
△£р =心N.(2)
9 А.С. Кондратьев, В.М. Уздин
△Г = “Т'а.(3)
Рассмотрим теперь натяжение каната Т как функцию угла а. Тогда, переходя в (3) к пределу △& т 0, приходим к дифференциальному уравнению 案=〃T(吟⑷
Такое уравнение, когда производная от функции пропорциональна самой функции, имеет решение
Т(а) = Се".(5)
Постоянная С имеет смысл силы натяжения каната Tq при а = 0, т. е. усилия, приложенного к свободному концу каната. Поэтому
Т(а) = 7оема.(6)
Из этого выражения видно, что отношение натяжения на одном конце каната к натяжению на другом, равное ема, не зависит ни от диаметра тумбы, ни от толщины каната, а определяется только коэффициентом трения 从 и числом оборотов п = а/27r.
Из соображений размерностей следует, что Т 〜，/n/k является единственной комбинацией параметров, имеющей размерность времени, а безразмерного параметра вообще нет. Поэтому период колебаний дается выражением Т = су/m/к, где с — численный коэффициент.
(ki + 妙)(ki + 妙)4.3. Т = 2тг4.3. Т = 2тгт (см. задачу 2.96).т (см. задачу 2.96).2mg/k.
(ki + 妙)
(ki + 妙)
4.3. Т = 2тг
4.3. Т = 2тг
т (см. задачу 2.96).
т (см. задачу 2.96).
Колебания возможны при условии kZ/4 - mg > 0 с угловой частотой =к/(4m) — g/l.
В противном случае исходное вертикальное положение стержня соответствует неустойчивому равновесию.
А =0,069 м.
(2^)2
4.6. Ответ-. Т = 2тг4.6. Ответ-. Т = 2тг
4.6. Ответ-. Т = 2тг
4.6. Ответ-. Т = 2тг
4.7.凡Луны (Земли); Тл и соответственно.4.7.凡Луны (Земли); Тл и соответственно.才Аз 1744 км, где Ал, Мл (Аз, М3) радиус и масса Т3 — периоды колебаний маятника на Луне и Земле
4.7.凡
Луны (Земли); Тл и соответственно.
4.7.凡
Луны (Земли); Тл и соответственно.
Ответ-. 67,5 с.
Решение. Период колебаний маятника в часах определяется его длиной I и ускорением свободного падения g в месте, где находятся часы: Т = 27r，Z/g.
Поскольку g обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли, периоды колебаний на высоте h (7(A)) и на поверхности Земли (Т(0)) связаны соотношением: 7(九)/7(0) = 1 + h/R, где R — радиус Земли. Поэтому за время t, равное одним суткам часы на высоте 九=5 км отстанут на △力 ~ t(h/R) ~ 67,5 с.
~= 0,003 = 0,3%, где R — радиус Земли.
%2 = —11 ~ 0,995 м.
После внезапной остановки барабана сила натяжения троса будет возрастать от значения, равного весу кабины, до максимального значения, достигаемого в момент остановки кабины лифта. После этого кабина лифта будет совершать колебания в вертикальном направлении.
Т =力，1 + а/g .
а) Т = 27га/ —-— ; б) Г = 2тг J /.
V g cos aу，炉 + “2 + 2ag sin a
_ . _/ Mc 1
x = \•— ~ 0,145 m.
V k m + M
2Z； Vmax = V^.
g = \/g/l.
Решение. При заданной в условии зависимости потенциальной энергии от
координаты движение частицы происходит с постоянным по модулю ускорением а = к/т, причем ускорение меняет знак при прохождении точки ж = 0. В этой точке вся энергия частицы — кинетическая. При равнозамедленном движении время, за которое частица, обладающая кинетической энергией Е,координаты движение частицы происходит с постоянным по модулю ускорением а = к/т, причем ускорение меняет знак при прохождении точки ж = 0. В этой точке вся энергия частицы — кинетическая. При равнозамедленном движении время, за которое частица, обладающая кинетической энергией Е,остановится, равно t =остановится, равно t =2Е/к _ Y2mЕ2Е/к _ Y2mЕaaкк.Период колебаний Г, очевидно, в.Период колебаний Г, очевидно, в
координаты движение частицы происходит с постоянным по модулю ускорением а = к/т, причем ускорение меняет знак при прохождении точки ж = 0. В этой точке вся энергия частицы — кинетическая. При равнозамедленном движении время, за которое частица, обладающая кинетической энергией Е,
координаты движение частицы происходит с постоянным по модулю ускорением а = к/т, причем ускорение меняет знак при прохождении точки ж = 0. В этой точке вся энергия частицы — кинетическая. При равнозамедленном движении время, за которое частица, обладающая кинетической энергией Е,
остановится, равно t =
остановится, равно t =
2Е/к _ Y2mЕ
2Е/к _ Y2mЕ
a
a
к
к
.Период колебаний Г, очевидно, в
.Период колебаний Г, очевидно, в
четыре раза больше t: Т =четыре раза больше t: Т =11кк,а частота у = — =..Т 4V2mE,а частота у = — =..Т 4V2mE
четыре раза больше t: Т =
четыре раза больше t: Т =
1
1
к
к
,а частота у = — =..
Т 4V2mE
,а частота у = — =..
Т 4V2mE
Ответ: предмет поднимется на высоту Я = жо Н^ ^~
gT 87r
13,8 см относительно положения груза в момент, когда его только отпустили.
Решение. Предмет отделится от пружины после прохождения положения равновесия, когда сила, действующая на него со стороны пружины, обратится в нуль. Положению равновесия отвечает состояние, при котором сила тяжести mg, действующая на тело, уравновешивается силой упругости кх со стороны пружины. При этом пружина сжата на величину х = mg/k. Приравнивая
энергию пружины в момент, когда тело только отпустили, потенциальной энергии тела на максимальной высоте Н, имеем: mgH = k(/o + ж)2/2. Отсюда
—к (力。+ mg/k)2 _ кх^mg
2mg2mg ‘° 2k '
Учитывая что период колебаний Т выражается через массу тела m и жесткость пружины к как Т = 2тг，тп/к, для Н получаем:
27r2君gT2 . с с
Н = /о +5— + —5- ~ 13,8 см.
gT287r2
Ответ: A = —у —^7,7 • 10-3 см.
Решение. На песчинки со стороны подставки действует некоторая сила /. Под действием этой силы и силы тяжести песчинки вплоть до момента их отрыва движутся с ускорением, равным ускорению пластинки. Следовательно, / = m(g + а), где т — масса песчинки, а а — ускорение пластинки. При гармонических колебаниях ускорение а связано со смещением х равенством а = —ш2х (g = 27r沙—угловая частота колебаний). Поэтому отрыв песчинок (/ = 0) произойдет при х = g/s?. Изменение кинетической энергии с момента прохождения пластиной положения равновесия до момента отрыва песчинок от подставки равно работе равнодействующей всех сил F = —ти^х, действующей на песчинки:
mV2 mc(;2A2 тш2х2 mg2
1= ―⑴
Здесь V — скорость песчинок в момент отрыва, А — амплитуда колебаний подставки.
После отрыва песчинки движутся только под действием силы тяжести. Значит, кинетическая энергия в момент отрыва равна потенциальной энергии в поле тяжести в верхней точке :
= rng(h -х) = mg (^h-今).(2)
Выражая из (1) и (2) амплитуду А, получаем: А =目，也~ 7,7 мм.
Нет, так как △/ = mg/k = 0,98 см < 1 см и, следовательно, часть времени тело будет двигаться только под действием силы тяжести.
а =，而.
7r
а) V = ——△九59,5 см3; б) период колебаний Г уменьшится:
Увеличится в，5 раз.
Шары будут лететь с одинаковыми скоростями, направленными от стены.
Ответ: 1,5%.
Решение. При колебаниях с затуханием 7 за время, равное периоду колебаний Г, амплитуда убывает в ехр()Т) раз. Следовательно, 7 = (1/Т) 1пЗ.
Период колебаний в отсутствие (То) и при наличии затухания (Т) связаны
соотношением:соотношением:22Отсюда £ = j 1 +Отсюда £ = j 1 +1,015.1,015.а = Vsins 3,42 м/с.Ответ: а = у af + а^ = 5 см.а = Vsins 3,42 м/с.Ответ: а = у af + а^ = 5 см.Решение. Проведем следующее преобразование: ai sincjt + а^ coscjt =Решение. Проведем следующее преобразование: ai sincjt + а^ coscjt =sin g 力 +sin g 力 +。2。2coscjt I =+ a^ sin(cjt + 夕),coscjt I =+ a^ sin(cjt + 夕),где 夕=arccos—. Очевидно, амплитуда результирующей волны а W=+ W = 5 см.у = у、+ у? = 274cos(夕/2) cos (g (t — х/и)—夕/2).W = 27r2 (A/А)22,7 • 104 Вт.V = \/F/p 37 м/с; v = (2^а/X)y/F/p3,3 м/с.M =歹产〃0,59 кг.где 夕=arccos—. Очевидно, амплитуда результирующей волны а W=+ W = 5 см.у = у、+ у? = 274cos(夕/2) cos (g (t — х/и)—夕/2).W = 27r2 (A/А)22,7 • 104 Вт.V = \/F/p 37 м/с; v = (2^а/X)y/F/p3,3 м/с.M =歹产〃0,59 кг.Ответ-. V = д/^.Ответ-. V = д/^.Решение. Скорость поперечных волн V =，Т/а, где Т — сила натяжения в стержне, ар — масса его единицы длины. Так как Т = °gg, получаем V ==而•Др = рУ 言=pVАш cos (cjt — k/).Решение. Скорость поперечных волн V =，Т/а, где Т — сила натяжения в стержне, ар — масса его единицы длины. Так как Т = °gg, получаем V ==而•Др = рУ 言=pVАш cos (cjt — k/).h = “(”/j———^. При 20℃, когда и = 343 м/с, h = 57,7 м. При 0℃, когда и = 330 мД, h = 55,5 м.h = “(”/j———^. При 20℃, когда и = 343 м/с, h = 57,7 м. При 0℃, когда и = 330 мД, h = 55,5 м.%518,9 Гц;沙2 ==340 м/с — скорость звука.% = 529 Гц;沙2 =и — 2ттН =340 м/с — скорость звука.%518,9 Гц;沙2 ==340 м/с — скорость звука.% = 529 Гц;沙2 =и — 2ттН =340 м/с — скорость звука.U — V2 и 1 公公「—и ^ 516,6 Гц, где и = 〃 + SU — V2 и 1 公公「—и ^ 516,6 Гц, где и = 〃 + Sии + 27mRии + 27mR沙 474 Гц, где 〃沙 474 Гц, где 〃h = 抹 7253 м.h = 抹 7253 м.р = .(g + a)h = 2,2 кПа (р — плотность воды).При ускоренном движении сосуда часть объема тела, погруженная в воду, останется прежней. При этом предполагается, что если ускорение сосуда направлено вниз, то оно меньше ускорения свободного падения g. В противном случае вода выльется из сосуда.V =———^ 3,08 • 10-6 м3 — плотность золота).24g。р = .(g + a)h = 2,2 кПа (р — плотность воды).При ускоренном движении сосуда часть объема тела, погруженная в воду, останется прежней. При этом предполагается, что если ускорение сосуда направлено вниз, то оно меньше ускорения свободного падения g. В противном случае вода выльется из сосуда.V =———^ 3,08 • 10-6 м3 — плотность золота).24g。
соотношением:
соотношением:
2
2
Отсюда £ = j 1 +
Отсюда £ = j 1 +
1,015.
1,015.
а = Vsins 3,42 м/с.
Ответ: а = у af + а^ = 5 см.
а = Vsins 3,42 м/с.
Ответ: а = у af + а^ = 5 см.
Решение. Проведем следующее преобразование: ai sincjt + а^ coscjt =
Решение. Проведем следующее преобразование: ai sincjt + а^ coscjt =
sin g 力 +
sin g 力 +
。2
。2
coscjt I =+ a^ sin(cjt + 夕),
coscjt I =+ a^ sin(cjt + 夕),
где 夕=arccos—. Очевидно, амплитуда результирующей волны а
W
=+ W = 5 см.
у = у、+ у? = 274cos(夕/2) cos (g (t — х/и)—夕/2).
W = 27r2 (A/А)22,7 • 104 Вт.
V = \/F/p 37 м/с; v = (2^а/X)y/F/p3,3 м/с.
M =歹产〃0,59 кг.
где 夕=arccos—. Очевидно, амплитуда результирующей волны а
W
=+ W = 5 см.
у = у、+ у? = 274cos(夕/2) cos (g (t — х/и)—夕/2).
W = 27r2 (A/А)22,7 • 104 Вт.
V = \/F/p 37 м/с; v = (2^а/X)y/F/p3,3 м/с.
M =歹产〃0,59 кг.
Ответ-. V = д/^.
Ответ-. V = д/^.
Решение. Скорость поперечных волн V =，Т/а, где Т — сила натяжения в стержне, ар — масса его единицы длины. Так как Т = °gg, получаем V =
=而•
Др = рУ 言=pVАш cos (cjt — k/).
Решение. Скорость поперечных волн V =，Т/а, где Т — сила натяжения в стержне, ар — масса его единицы длины. Так как Т = °gg, получаем V =
=而•
Др = рУ 言=pVАш cos (cjt — k/).
h = “(”/j———^. При 20℃, когда и = 343 м/с, h = 57,7 м. При 0℃, когда и = 330 мД, h = 55,5 м.
h = “(”/j———^. При 20℃, когда и = 343 м/с, h = 57,7 м. При 0℃, когда и = 330 мД, h = 55,5 м.
%518,9 Гц;沙2 =
=340 м/с — скорость звука.
% = 529 Гц;沙2 =
и — 2ттН =340 м/с — скорость звука.
%518,9 Гц;沙2 =
=340 м/с — скорость звука.
% = 529 Гц;沙2 =
и — 2ттН =340 м/с — скорость звука.
U — V2 и 1 公公「
—и ^ 516,6 Гц, где и = 〃 + S
U — V2 и 1 公公「
—и ^ 516,6 Гц, где и = 〃 + S
и
и + 27mR
и
и + 27mR
沙 474 Гц, где 〃
沙 474 Гц, где 〃
h = 抹 7253 м.
h = 抹 7253 м.
р = .(g + a)h = 2,2 кПа (р — плотность воды).
При ускоренном движении сосуда часть объема тела, погруженная в воду, останется прежней. При этом предполагается, что если ускорение сосуда направлено вниз, то оно меньше ускорения свободного падения g. В противном случае вода выльется из сосуда.
V =———^ 3,08 • 10-6 м3 — плотность золота).
24g。
р = .(g + a)h = 2,2 кПа (р — плотность воды).
При ускоренном движении сосуда часть объема тела, погруженная в воду, останется прежней. При этом предполагается, что если ускорение сосуда направлено вниз, то оно меньше ускорения свободного падения g. В противном случае вода выльется из сосуда.
V =———^ 3,08 • 10-6 м3 — плотность золота).
24g。
т = .1——^ 1,58 кг, где 佻=2660 кг/м — плотность кварца,
a pi = 19300 кг/м3 — плотность золота. Р = (М - p^^V^g 78,4 Н, рВ0Ды = =1000 кг/м3 — плотность воды.
р =/?воды = 600 кг/м3.
Р5.7. Плотность вещества, из которого сделано украшение, р = =19,6 г/см3, что больше плотности золота.Р5.7. Плотность вещества, из которого сделано украшение, р = =19,6 г/см3, что больше плотности золота.Р1 РводыFl -F2Р1 РводыFl -F2/ = 1 -= 0,6.
Р
5.7. Плотность вещества, из которого сделано украшение, р = =19,6 г/см3, что больше плотности золота.
Р
5.7. Плотность вещества, из которого сделано украшение, р = =19,6 г/см3, что больше плотности золота.
Р1 Рводы
Fl -F2
Р1 Рводы
Fl -F2
ДУ = (Fi - Р2)/(0°дн@) ~ 2,04 л.
М = 7——；—,где pi — плотность морской, .2 ——пресной воды.
М = 20 000 т.
R = } ；? ^ 4,89 м (рн = 0,09 кг/м3 — плотность
У 47rg- рн)
водорода при нормальных условиях).
Р =(偿—0)gV ~ 5,4 • 104 Н.
N〉г. Nmin = 20.
(0 — 0водь1)ТгА Z
Действующая на дно сила давления равна .gAS, где р — плотность
жидкости, h— высота уровня налитой жидкости, S — площадь дна. Из рис. 4.1
Рис. 4.1Рис. 4.1
Рис. 4.1
Рис. 4.1
видно, что эта сила больше веса жидкости, если сосуд сужается кверху, и меньше, если расширяется. Различие определяется весом жидкости, занимающей заштрихованный объем. Теперь ясно, что в сосуде, сужающемся кверху, ртуть и гиря не оторвут дна, а масло — оторвет, так как произведение ph для ртути меньше, чем для воды, а для масла — больше. В сосуде, сужающемся книзу, все будет наоборот: масло не оторвет дна, а ртуть и гиря — оторвут.
Ответ: т = -тгрЯ3.
Решение. Вытекание воды возможно только в том случае, если колокол начинает приподниматься над подставкой. Очевидно, что приподнять колокол могут только вертикальные составляющие сил давления воды в каждой точке внутренней поверхности колокола. Из соображений симметрии ясно, что равнодействующая всех сил направлена вертикально вверх. Когда ее модуль сравняется с модулем действующей на колокол силы тяжести, вода и начнет вытекать. Представим себе, что колокол вместе с налитой внутрь него водой стоит на весах. Показания весов, очевидно, определяются силой тяжести,
действующей на колокол и воду. С другой стороны в тот момент, когда колокол начинает приподниматься, он перестает давить на подставку, а следовательно, и на чашку весов. Давит на подставку только вода, причем сила давления воды больше чем ее сила тяжести, поскольку колокол сужается кверху. В момент отрыва сила давления воды равна сумме сил тяжести колокола и воды в нем. Площадь основания колокола равна тгА?, вода налита в него до высоты h = R, поэтому сила давления жидкости есть
豆=pgR^P? = KpgB3.
14 о
силасилаОбъем полусферы равен - • -тгЯ , поэтому действующая на воду тяжести равна:
сила
сила
2 зzngg = ^pgR .
Обозначив массу колокола через т, получаем:
穴0g区3=|穴0g区3 + mg,
откуда т = (1/3)тгрЯ3.
Описанный прием дает возможность решать аналогичные задачи в случаях, когда колокол имеет более сложную, даже причудливую форму. Для того, чтобы найти массу колокола, достаточно знать объем внутренней части колокола, которая заполняется водой, площадь основания и высоту, до которой нужно налить воду, чтобы она начала вытекать из под колокола.
- и е7r(序-产)pd - m
Ответ: h > —产.
7ГГ p
Решение. Очевидно, что плотность материала бруска ро меньше плотности воды, в противном случае брусок всплывать не будет. Пусть жидкость налита до некоторой высоты h. Брусок не будет всплывать, если сумма давления воды на верхнюю грань и силы тяжести бруска будет не меньше силы давления воды
на нижнюю грань:
mg + 穴圮pgh > 7г(Я2 — r2)pg(h + d).
Группируя слагаемые, имеем:
mg + 7vr2pgh > 穴(区2 — r2)pgh.
Правую часть можно рассматривать как силу Архимеда: действующую на погруженную в воду часть бруска. Отсюда
九>穴(区2 - r2)pd - m不』p
d (R? 厂 、772
Ответ-, h > - 丁+ 2石一3если m < pV; если т〉 3 \ т А у 7vr р
〉pV, пробка не всплывет ни при каком уровне воды.
Решение. Выталкивающая сила, действующая на погруженную часть ко
нуса, определяется объемом V, равным разности объема всего конуса и той его части, ниже которой нет воды. Эта часть состоит из конуса с радиусом основания г и высотой di = dr/R и цилиндра с радиусом основания г и высотой d - & = d (1 - г/Я):
V = ；7гА2d — }71T2ds — 71T2d (1 —左).
Теперь, записывая условие "всплывання":
mg + тгг2 pgh > pgV,
получаем, что при mg〉pgV конус не всплывет ни при каком уровне воды. В противном случае для h имеем:
7、d (屈 С厂 С7、d (屈 С厂 СRRт不』pт不』pОбозначим через а часть объема тела, находящуюся в нижней жидкости. В равновесии действующая на тело сила тяжести уравновешивается выталкивающей силой:pVg = aVpig + (1 - a)%02g.Отсюда а =———厶.02 - piОбратим внимание, что ответ не зависит от формы тела и от того, в каком положении оно плавает на границе несмешивающихся жидкостей./ 2Ответ-. 14 = m.VoРешение. Если обозначить наружный объем шара через V, то условие его равновесия в воде запишется в виде: mg = po(^/2)g, где ро — плотность воды. Наружный объем V складывается из собственного объема чугуна т/р и объема полости %: V = т/р + %. Отсюда Vn = m (2/ро — 1/р).Обозначим через а часть объема тела, находящуюся в нижней жидкости. В равновесии действующая на тело сила тяжести уравновешивается выталкивающей силой:pVg = aVpig + (1 - a)%02g.Отсюда а =———厶.02 - piОбратим внимание, что ответ не зависит от формы тела и от того, в каком положении оно плавает на границе несмешивающихся жидкостей./ 2Ответ-. 14 = m.VoРешение. Если обозначить наружный объем шара через V, то условие его равновесия в воде запишется в виде: mg = po(^/2)g, где ро — плотность воды. Наружный объем V складывается из собственного объема чугуна т/р и объема полости %: V = т/р + %. Отсюда Vn = m (2/ро — 1/р).гг3 / Зш(/?с — Рводы)3 / Зш(/?с — Рводы)F =F =47r0c 0водн |тг^3р -47r0c 0водн |тг^3р -g・g・5,28 • 10-2 м; А3m—6,2 • 10-2 м.V 47r 0водн5,28 • 10-2 м; А3m—6,2 • 10-2 м.V 47r 0воднОтвет: уровень воды изменится на величину h = m/(pS).Решение. Пусть брусок при погружении в воду опускается на расстояние х ниже первоначального уровня воды в сосуде. Вода при этом поднимается на высоту h относительно прежнего уровня, так что нижняя грань бруска будет находиться на расстоянии / + А от поверхности. Объем погруженной части бруска, таким образом, равен So(/ + А), где So — его площадь основания. Условие плавания тела имеет вид: mg = .S()(/ + h)g.Вода, действительно вытесненная с места, которое она занимала, имеет объем (S — So)A. Благодаря несжимаемости воды выполняется равенство Sqx = =(S - So)А. Выражая отсюда So(/ + 九)=SA н подставляя в выражение для mg, получаем mg = pShg. Теперь получаем: h = m/{pS).К такому результату можно прийти и иначе с помощью следующего простого рассуждения. Пусть сосуд с водой, площадь дна которого S, стоит на чаше весов. Если в него опустить плавать брусок массой т, показания весов вырастут на mg. Но ведь сам брусок не давит на дно. Сила же давления жидкости на дно увеличится на величину, равную pghS, где h — изменение уровня воды. Отсюда получаем mg = pghS и h = т/(pS). Подчеркнем, что это рассуждение и формула для h годится и в случае, когда брусок имеет неправильную форму.Ответ-. =整——万(不+不)△九=7n/(.iS);= т/{pS).а) понизится; б) понизится, если предметы тонут и не изменится, если они плавают.Ответ: уровень воды изменится на величину h = m/(pS).Решение. Пусть брусок при погружении в воду опускается на расстояние х ниже первоначального уровня воды в сосуде. Вода при этом поднимается на высоту h относительно прежнего уровня, так что нижняя грань бруска будет находиться на расстоянии / + А от поверхности. Объем погруженной части бруска, таким образом, равен So(/ + А), где So — его площадь основания. Условие плавания тела имеет вид: mg = .S()(/ + h)g.Вода, действительно вытесненная с места, которое она занимала, имеет объем (S — So)A. Благодаря несжимаемости воды выполняется равенство Sqx = =(S - So)А. Выражая отсюда So(/ + 九)=SA н подставляя в выражение для mg, получаем mg = pShg. Теперь получаем: h = m/{pS).К такому результату можно прийти и иначе с помощью следующего простого рассуждения. Пусть сосуд с водой, площадь дна которого S, стоит на чаше весов. Если в него опустить плавать брусок массой т, показания весов вырастут на mg. Но ведь сам брусок не давит на дно. Сила же давления жидкости на дно увеличится на величину, равную pghS, где h — изменение уровня воды. Отсюда получаем mg = pghS и h = т/(pS). Подчеркнем, что это рассуждение и формула для h годится и в случае, когда брусок имеет неправильную форму.Ответ-. =整——万(不+不)△九=7n/(.iS);= т/{pS).а) понизится; б) понизится, если предметы тонут и не изменится, если они плавают.
7、d (屈 С厂 С
7、d (屈 С厂 С
R
R
т
不』p
т
不』p
Обозначим через а часть объема тела, находящуюся в нижней жидкости. В равновесии действующая на тело сила тяжести уравновешивается выталкивающей силой:
pVg = aVpig + (1 - a)%02g.
Отсюда а =———厶.
02 - pi
Обратим внимание, что ответ не зависит от формы тела и от того, в каком положении оно плавает на границе несмешивающихся жидкостей.
/ 2
Ответ-. 14 = m.
Vo
Решение. Если обозначить наружный объем шара через V, то условие его равновесия в воде запишется в виде: mg = po(^/2)g, где ро — плотность воды. Наружный объем V складывается из собственного объема чугуна т/р и объема полости %: V = т/р + %. Отсюда Vn = m (2/ро — 1/р).
Обозначим через а часть объема тела, находящуюся в нижней жидкости. В равновесии действующая на тело сила тяжести уравновешивается выталкивающей силой:
pVg = aVpig + (1 - a)%02g.
Отсюда а =———厶.
02 - pi
Обратим внимание, что ответ не зависит от формы тела и от того, в каком положении оно плавает на границе несмешивающихся жидкостей.
/ 2
Ответ-. 14 = m.
Vo
Решение. Если обозначить наружный объем шара через V, то условие его равновесия в воде запишется в виде: mg = po(^/2)g, где ро — плотность воды. Наружный объем V складывается из собственного объема чугуна т/р и объема полости %: V = т/р + %. Отсюда Vn = m (2/ро — 1/р).
г
г
3 / Зш(/?с — Рводы)
3 / Зш(/?с — Рводы)
F =
F =
47r0c 0водн |тг^3р -
47r0c 0водн |тг^3р -
g・
g・
5,28 • 10-2 м; А3m—6,2 • 10-2 м.
V 47r 0водн
5,28 • 10-2 м; А3m—6,2 • 10-2 м.
V 47r 0водн
Ответ: уровень воды изменится на величину h = m/(pS).
Решение. Пусть брусок при погружении в воду опускается на расстояние х ниже первоначального уровня воды в сосуде. Вода при этом поднимается на высоту h относительно прежнего уровня, так что нижняя грань бруска будет находиться на расстоянии / + А от поверхности. Объем погруженной части бруска, таким образом, равен So(/ + А), где So — его площадь основания. Условие плавания тела имеет вид: mg = .S()(/ + h)g.
Вода, действительно вытесненная с места, которое она занимала, имеет объем (S — So)A. Благодаря несжимаемости воды выполняется равенство Sqx = =(S - So)А. Выражая отсюда So(/ + 九)=SA н подставляя в выражение для mg, получаем mg = pShg. Теперь получаем: h = m/{pS).
К такому результату можно прийти и иначе с помощью следующего простого рассуждения. Пусть сосуд с водой, площадь дна которого S, стоит на чаше весов. Если в него опустить плавать брусок массой т, показания весов вырастут на mg. Но ведь сам брусок не давит на дно. Сила же давления жидкости на дно увеличится на величину, равную pghS, где h — изменение уровня воды. Отсюда получаем mg = pghS и h = т/(pS). Подчеркнем, что это рассуждение и формула для h годится и в случае, когда брусок имеет неправильную форму.
Ответ-. =整——
万(不+不)
△九=7n/(.iS);= т/{pS).
а) понизится; б) понизится, если предметы тонут и не изменится, если они плавают.
Ответ: уровень воды изменится на величину h = m/(pS).
Решение. Пусть брусок при погружении в воду опускается на расстояние х ниже первоначального уровня воды в сосуде. Вода при этом поднимается на высоту h относительно прежнего уровня, так что нижняя грань бруска будет находиться на расстоянии / + А от поверхности. Объем погруженной части бруска, таким образом, равен So(/ + А), где So — его площадь основания. Условие плавания тела имеет вид: mg = .S()(/ + h)g.
Вода, действительно вытесненная с места, которое она занимала, имеет объем (S — So)A. Благодаря несжимаемости воды выполняется равенство Sqx = =(S - So)А. Выражая отсюда So(/ + 九)=SA н подставляя в выражение для mg, получаем mg = pShg. Теперь получаем: h = m/{pS).
К такому результату можно прийти и иначе с помощью следующего простого рассуждения. Пусть сосуд с водой, площадь дна которого S, стоит на чаше весов. Если в него опустить плавать брусок массой т, показания весов вырастут на mg. Но ведь сам брусок не давит на дно. Сила же давления жидкости на дно увеличится на величину, равную pghS, где h — изменение уровня воды. Отсюда получаем mg = pghS и h = т/(pS). Подчеркнем, что это рассуждение и формула для h годится и в случае, когда брусок имеет неправильную форму.
Ответ-. =整——
万(不+不)
△九=7n/(.iS);= т/{pS).
а) понизится; б) понизится, если предметы тонут и не изменится, если они плавают.
Ответ: т = 047rA^/g.
Решение. Если давление атмосферы у поверхности Земли равно @, то модуль силы, действующей на всю земную поверхность, можно оценить как 047rA2. Эта величина, очевидно, равна силе тяжести, действующей на атмосферу: mg = 047rA2, откуда
047rA2т = •
К этому результату можно прийти и иначе. Будем считать, что атмосфера "плавает" в тонком приземном слое воздуха. Тогда выталкивающая сила, с одной стороны, равна по модулю силе тяжести, действующей на атмосферу, а с другой — может быть рассчитана как произведение 047rA{ ибо давление на "плавающую" атмосферу оказывается только снизу.
1 см. Ответ не зависит от площади поршня.
Ответ: Р pV (gh + V2/(252)).
Решение. Каждую секунду масса воды т = pV поднимается на высоту h и, следовательно, приобретает потенциальную энергию, равную mgh = pVgh. При этом вода течет с некоторой скоростью, которую можно определить, разделив объем воды V, приходящей в единицу времени, на площадь поперечного сечения трубы S. Кинетическая энергия поступающей воды равна mv2/2 = =pV(V2/(252)). Следовательно, мощность насоса Р, т. е. работа, совершаемая насосом в единицу времени, не может быть меньше величины
△九= ~ 1,4 см, где 〃 — плотность воздуха; — плотность
202g
воды.
8F
I = 2 ~ 4,9 м в пренебрежении сопротивлением воздуха.
^Pgd
Р = 0SL/2830 Вт; F1 1,1 кВт.
%/弘=S1/S2 = д/5, где 51, И — площадь нижнего отверстия и скорость воды вытекающей из него; S2Hl6 — то же для верхнего отверстия. Очевидно, ниже расположено меньшее отверстие; Радиус верхнего отверстия в 沮 ~ 1,19 раз больше радиуса нижнего.
L“КГ
77 = z , х ~ 4 • 10.
32(〃力)м • с
0,5 м/с.
Ответ-. S = (М/к)У().
Решение. В соответствии со вторым законом Ньютона имеем:
⑴⑴Ма = -Ж
⑴
⑴
⑵⑵Домножая обе части уравнения (1) на достаточно малый промежуток времени △力 и учитывая, что а△力=ДУ и VAt = △/ получаем соотношение, связывающее изменение скорости корабля ДУ с изменением его положения △/ за тот же промежуток времени
⑵
⑵
Поскольку к/т не зависит ни от положения корабля ни от времени, соотношение (2) справедливо не только для малых промежутков времени △力 но и
для любых больших промежутков. Поэтому зависимость скорости корабля V от его положения, характеризуемого координатой ж, выражается линейной функцией
и(/) = К —^ 匕 (3)
В начальный момент, когда ж = 0, скорость корабля равна %. Когда корабль пройдет весь путь до остановки S, его скорость обратится в нуль. Величину S можно найти, полагая в (3) V = 0:
Скорость корабля убывает сначала быстро, а затем все медленнее, асимптотически приближаясь к нулю. Строго говоря, скорость никогда не обратится в нуль, но пройденный путь даже за сколь угодно большой промежуток времени будет конечным.
Ответ: t = (Vo + S)/g・
Решение. Запишем уравнение второго закона Ньютона для мячика в проекции на вертикальную ось, направленную вдоль ускорения свободного падения g. При полете вверх и сила тяжести mg и сопротивления воздуха, пропорциональная скорости kV направлены в одну сторону:
= kV + mg.(1)
Умножая обе части уравнения на △力 и учитывая, что V△力 представляет собой путь ZXS, пройденный мячом за время △力 получаем:
mAV = k/\S + mgAt.(2)
Равенство (2) можно написать для любого интервала времени во время полета вверх. Разбив все время полета на интервалы и складывая левые и правые части (2) для всех интервалов, имеем:
mVo = kS + mgti.(3)
В этом выражении слева стоит полное изменение проекции импульса на вертикальную ось за время полета вверх (здесь учтено, что конечный импульс мячика равен нулю, а начальный, при выбранном направлении оси —mVo)- Справа через S обозначена высота подъема мячика, а через ti — время полета до верхней точки.
Аналогично при полете вниз получаем:
mH = —kS + mgt2,(4)
где 力2 ——время полета вниз. При выводе (4) использовано, что расстояние, пройденное мячиком вверх и вниз, одинаково, но на пути вниз сила тяжести и сопротивления воздуха направлены в разные стороны. Складывая (3) и (4), получаем:
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И ОПТИКА
5 • 1012 электронов.
а) 2,25 • КГз н； б)3,125 • 10”.
Е"Ер = 1,24 - 1036.
Около 3 Кл.
а) 4 мкКл и 2 мкКл; б) +7,12 мкКл и —1,12 мкКл.
Заряд —q посредине между зарядами 4q. Равновесие неустойчиво в общем случае. Однако, если заряд —q закреплен, а заряды 4q могут смещаться только поперек линии, проходящей через заряды, то равновесие будет устой-
чивым.Если закреплены заряды 4q, а заряд —q может смещаться только вдоль прямой, соединяющей заряды, то его равновесие устойчиво.F = 4,85 • 10-7 Н, вектор силы образует угол 55,1° с направлением на отрицательный заряд.2,96 • 10-5 Н, сила направлена по диагонали наружу квадрата.Q = —q(l/4 +，^/2), равновесие неустойчиво.q = 2% sin "，47F£o?^g tg 少=0,241 мкКлр = £.к/(£ - 1), где рк — плотность керосина; £ — диэлектрическая проницаемость керосина.чивым.Если закреплены заряды 4q, а заряд —q может смещаться только вдоль прямой, соединяющей заряды, то его равновесие устойчиво.F = 4,85 • 10-7 Н, вектор силы образует угол 55,1° с направлением на отрицательный заряд.2,96 • 10-5 Н, сила направлена по диагонали наружу квадрата.Q = —q(l/4 +，^/2), равновесие неустойчиво.q = 2% sin "，47F£o?^g tg 少=0,241 мкКлр = £.к/(£ - 1), где рк — плотность керосина; £ — диэлектрическая проницаемость керосина.I 12 S — cos(ct/2) cos2 /4) Q2sin(a/4) sin2 (a/2)327F£0^g^21.13. Ответ-. Q =2——I 12 S — cos(ct/2) cos2 /4) Q2sin(a/4) sin2 (a/2)327F£0^g^21.13. Ответ-. Q =2——12,5.12,5.qq• з " поsin —. Равновесие устойчиво.• з " поsin —. Равновесие устойчиво.Решение. На рис. 1.1 изображены силы, действующие на шарик: F — сила кулоновского взаимодействия зарядов, mg — сила тяжести и N — сила реакции опоры. Поскольку внутренняя поверхность сферы гладкая, сила трения отсутствует. В равновесии сумма всех сил, действующих на шарик, равна нулю:Решение. На рис. 1.1 изображены силы, действующие на шарик: F — сила кулоновского взаимодействия зарядов, mg — сила тяжести и N — сила реакции опоры. Поскольку внутренняя поверхность сферы гладкая, сила трения отсутствует. В равновесии сумма всех сил, действующих на шарик, равна нулю:F + mg + N = 0.F + mg + N = 0.⑴⑴Сила кулоновского взаимодействия зарядов q и Q равнаСила кулоновского взаимодействия зарядов q и Q равнаF = 1 •虞4тг^о 4 Я2 sin2 少F = 1 •虞4тг^о 4 Я2 sin2 少Проектируя уравнение (1) на направление, каса-тельное к окружности в точке А, получаем связь между方=2т g sin —.Проектируя уравнение (1) на направление, каса-тельное к окружности в точке А, получаем связь между方=2т g sin —.силойсилойF и mg:(3)F и mg:(3)
чивым.
Если закреплены заряды 4q, а заряд —q может смещаться только вдоль прямой, соединяющей заряды, то его равновесие устойчиво.
F = 4,85 • 10-7 Н, вектор силы образует угол 55,1° с направлением на отрицательный заряд.
2,96 • 10-5 Н, сила направлена по диагонали наружу квадрата.
Q = —q(l/4 +，^/2), равновесие неустойчиво.
q = 2% sin "，47F£o?^g tg 少=0,241 мкКл
р = £.к/(£ - 1), где рк — плотность керосина; £ — диэлектрическая проницаемость керосина.
чивым.
Если закреплены заряды 4q, а заряд —q может смещаться только вдоль прямой, соединяющей заряды, то его равновесие устойчиво.
F = 4,85 • 10-7 Н, вектор силы образует угол 55,1° с направлением на отрицательный заряд.
2,96 • 10-5 Н, сила направлена по диагонали наружу квадрата.
Q = —q(l/4 +，^/2), равновесие неустойчиво.
q = 2% sin "，47F£o?^g tg 少=0,241 мкКл
р = £.к/(£ - 1), где рк — плотность керосина; £ — диэлектрическая проницаемость керосина.
I 12 S — cos(ct/2) cos2 /4) Q2sin(a/4) sin2 (a/2)
327F£0^g^2
1.13. Ответ-. Q =2——
I 12 S — cos(ct/2) cos2 /4) Q2sin(a/4) sin2 (a/2)
327F£0^g^2
1.13. Ответ-. Q =2——
12,5.
12,5.
q
q
• з " по
sin —. Равновесие устойчиво.
• з " по
sin —. Равновесие устойчиво.
Решение. На рис. 1.1 изображены силы, действующие на шарик: F — сила кулоновского взаимодействия зарядов, mg — сила тяжести и N — сила реакции опоры. Поскольку внутренняя поверхность сферы гладкая, сила трения отсутствует. В равновесии сумма всех сил, действующих на шарик, равна нулю:
Решение. На рис. 1.1 изображены силы, действующие на шарик: F — сила кулоновского взаимодействия зарядов, mg — сила тяжести и N — сила реакции опоры. Поскольку внутренняя поверхность сферы гладкая, сила трения отсутствует. В равновесии сумма всех сил, действующих на шарик, равна нулю:
F + mg + N = 0.
F + mg + N = 0.
⑴
⑴
Сила кулоновского взаимодействия зарядов q и Q равна
Сила кулоновского взаимодействия зарядов q и Q равна
F = 1 •虞
4тг^о 4 Я2 sin2 少
F = 1 •虞
4тг^о 4 Я2 sin2 少
Проектируя уравнение (1) на направление, каса-тельное к окружности в точке А, получаем связь между
方=2т g sin —.
Проектируя уравнение (1) на направление, каса-тельное к окружности в точке А, получаем связь между
方=2т g sin —.
силой
силой
F и mg:
(3)
F и mg:
(3)
Приравнивая выражения (2) и (3), находим:
Z^SQmgP? . 3 ”
Q =sin -.
q 2
Устойчивость равновесия очевидна из качественных соображений. Действительно, силы F и mg направлены таким образом, что стремятся прижать шарик к поверхности сферы. Если шарик вывести из положения равновесия
Рис. 1.2Рис. 1.2так, чтобы сила реакции N обратилась в нуль, то силы F и mg возвратят шарик на поверхность сферы. Если шарик сдвинуть вниз вдоль поверхности, то возникнет сила, направленная к положению равновесия, так как сила F возрастет. Наоборот, если шарик сдвинуть вверх, сила F уменьшится и опять возникнет результирующая сила, стремящаяся вернуть шарик в исходное состояние.
Рис. 1.2
Рис. 1.2
ire 、с 32tf£oW^2 • з " п
Ответ: a) Q =sin -. Равнове
сие устойчиво.
б) Qo >
Решение. Силы, действующие на шарик, показаны на рис. 1.2. Заметим, что сила реакции опоры N не может обратиться в нуль. В противном случае горизонтальная составляющая силы кулоновского отталкивания F останется неуравновешенной. Для определения величины N рассмотрим моменты действующих на заряд q сил относительно оси, проходящей через
нижнюю точку сферы В перпендикулярно плоскости рисунка. Очевидно, что момент силы F нулю, а плечи силы N (石。)и силы mg (BD) равны. Поэтому в равновесии N = mg. Условие равенства нулю векторной суммы сил, действующих на заряд, позволяет определить силу F. В проекции на направление действия силы F имеем:
⑴⑴F = mg cos a + N cos a = 27ng cos a = 2mg sin —.
⑴
⑴
Записывая модуль силы кулоновского взаимодействия зарядов q и Q:
(2) 47Г£о 4序 sin2 少
и приравнивая (1) и (2), получаем:
32tf£oW^2 • з "
Q = sin -.з
q 2
Выясним, будет ли положение заряда q устойчивым. Поскольку модуль силы реакции опоры N в равновесии всегда отличен от нуля (равен mg), то при выведении шарика из положения равновесия в вертикальной плоскости таким образом, чтобы N обратилась в нуль, результирующая сил F и mg будет прижимать шарик к поверхности сферы. При смещении шарика из положения равновесия вниз кулоновская сила F возрастает, что ведет к увеличению силы реакции опоры N. Плечи сил mg и N одинаковы при любом положении заряда q на сфере. Так как сила тяжести mg не изменилась, то момент силы реакции N станет больше момента силы тяжести и шарик вернется в состояние равновесия. Аналогично можно убедиться, что шарик будет возвращаться в положение равновесия и при смещении по поверхности сферы вверх. Таким образом, положение равновесия устойчиво.
Для определения заряда Qo, при котором заряд q будет находиться в верхней точке сферы, достаточно положить в (3) " = тг:
327T£0mgE2
Отметим, что при этом кулоновская сила F по меньшей мере в два раза больше силы тяжести mg. В равновесии в верхней точке заряд будет
находиться и в случае mg < F < 2mg. Однако при этом равновесие будет неустойчивым.
4- 104 Н/Кл.
а) Е 100 Н/Кл, направлена в сторону заряда qi； 6) Е 13,5 Н/Кл, направлена вдоль прямой от зарядов.
Между зарядами на расстоянии 1,8 м от заряда qi. Равновесие
положительного пробного заряда в этом случае устойчиво.
Е = mg/q 8,2 • 105 Н/Кл.
Е = 4 鸣+ 刁=)・
4тг£о а2 \
Заряды q расположены в вершинах правильного тетраэдра. Для того,
чтобы все заряды находились в равновесии, в центр тетраэдра (на пересечении его высот) нужно поместить заряд Q = —(Зд/б /8)q. Равновесие неустойчиво. Полная энергия взаимодействия пяти зарядов равна нулю.
Ответ-. Е = J
2 兔(序 + «)3/2
Решение. Из симметрии задачи следует, что вектор напряженности в любой точке на оси кольца направлен перпендикулярно его плоскости. Поэтому
достаточно сложить проекции на это направление напряженности, создаваемой каждым элементарным зарядом Aq =
47r兔 屈 + /2
Для cos а имеем:
cos а =—.
Окончательно приходим к выражению:
_ 1 Rxpi«)3/2 .
При / т 0 имеем Е т 0. При / т ос (/》А) получаем выражение для поля точечного заряда.
Е =( 1/ /), где ж — расстояние до плоскости диска.
2気 \，〃2 + /2 丿
При / т ос имеем:
Здесь использованы приближенные разложения: а1 а/1 + а = 1 + — и -_■— = 1 — а, 21 + а
справедливые при малых а. Учитывая, что заряд диска Q = 7гЯ2р5, получаем
Е =— • g — напряженность поля точечного заряда.
E—s/(2兔).
Е = 0 при г < а\
4$ — J
Е = • -7гр5при а < г <Ь-
47r£03『
「1 q 1 4 川一J l
E = Л2 = л———2— ПРИ r > b.
47Г£о T 47Г£о 3 厂2
1.25.
Р = ~
Pl
W兄-把）
3,6 • 10一з Кл/мЗ.
1.26.
1.27.
1.28.
1.29.
p ==-1,18 - IO"12 Кл/м3.
а) 0; б) 0; в) 984 Н/Кл; г) 366 Н/Кл.
Е = 281 Н/Кл, напряженность поля образует с осью х угол 45°. 夕=27 2 В; Ж = в屮=-27,2 эВ = -4,35 • 10~18 Дж.
V =^6,19- 103 м/с.
夕f — Н——) при 力〉a;
4тг£о ' / х — а/
夕f Н) при 0 < ж < a;
4тг£о ' / а — х/
夕f — — Н——) при ж < 0.
4тг£о '/ а — х/
夕=±-•竺.Знак "+" берется в случае, когда к точке с коорди-
47Г£о X
натой х ближе находится заряд +q.
GJ? = 2qE/(ml), где Е — напряженность электрического поля, о 2
= •и направлена к началу координат;
厂 3 qa
б) В = •и направлена от начала координат.
27r£о у
1.35. а) Положительна; б) 25 кВ/м.
1.36.9(/0)-9(/1) = -Q(xf -嗎).
4(4 +
4tf£q a
1.37. А
Ж
1.38. Е =
27r££о
130 Н/Кл. Напряженность направлена под
углом a = arctg 0,2 ^ 11° к перпендикуляру, восставленному к середине отрезка, соединяющего заряды.
夕=｝饭 6,4 Дж/Кл.
а) 7,03 • 1013 м/с2; б) 5 • 10-8 с; в) на 8,8 см в направлении, противоположном направлению напряженности поля.
а) 3,21 • 103 Н/Кл; б) 5,88 • 106 Н/Кл. В случае а) напряженность поля должна составлять острый угол с вектором скорости, в случае б) — тупой.
Ответ: F = aQ/(б^о)-
Решение. По теореме Гаусса вычислим N — поток вектора напряженности, создаваемой зарядом Q, через поверхность куба. Он равен Q/eo- С другой стороны
= V^A^cos^.
В этом выражении ZXS — площадь малого элемента поверхности куба, г — длина вектора, соединяющего заряд Q с этим элементом,少—угол, который составляет этот вектор с нормалью к элементу ZXS. Суммирование идет по
одной из граней куба. Заметим, что сила F, действующая на грань куба, дается
выражением:выражением:△s△s^△5 cos", г^△5 cos", г
выражением:
выражением:
△s
△s
^△5 cos", г
^△5 cos", г
Следовательно, F = а - — = 7—. 6 О£о
q = ±4穴兔£〃2±8,54 мкКл;夕=土ЕА = ±480 кВ.
夕皿=з(А + r)/r = 2020 В.
夕=SIN?®
夕=(一 + 7 — 一)при т < а;
4тг£о 'т b а/
37 при а < г < 5;
47Г£о Ь
q7
夕=при г > о. 47Г£о Т
< 八2qR 2qA? qR 3qP? 2勺岳
Ответ'. % =;彼=—； % = —о~•
аa2a a a
Решение. После заземления первого шара его потенциал стал равен нулю. С другой стороны этот потенциал равен сумме потенциалов, создаваемых зарядами на самом шаре (^—£) и на двух оставшихся шарах (^——^ . Имеем уравнение
疆 2"。，
откуда qi = —2qR/a. Аналогично после заземления второго шара
02 q_2qR=Q
R а а2
Для 勺2 имеем q? = ZqA^/a? — qR/а. Наконец, после заземления третьего заряда
Оз _ 2qE /2qE _ qR\ 丄=仆
饭饭Отсюда находим дз = ЗдА^/а? — 2qB?/о?.
饭
饭
俏=7；Q4 =俏=7；Q4 =Ответ-. % =
俏=7；Q4 =
俏=7；Q4 =
0+告(一%)
Решение. После соединения первого и второго шара их потенциалы должны стать одинаковыми. Следовательно, на второй шар перейдет половина заряда:勺2 = q/2. После соединения первого и третьего шара выравняются потенциалы этих шаров. Эти потенциалы создаются как зарядами на самих шарах, так и зарядом, появившимся на втором шаре. Однако заряды второго шара создают одинаковый потенциал на первом и третьем шарах. Поэтому с первого шара на третий снова перейдет ровно половина заряда: дз = q/4. Условие равенства потенциалов первого и четвертого шара после их соединения проводником выглядит немного более сложно:
Ф , 02 ,俏 04 = Ф 彼 0з 04
Отсюда
С другой стороны % + 勺4 = q/4. Подставляя найденные выше q2Hqз, находим:
q = 4тг£о^з^ ~ -4,55 • 105 Кл (Аз = 6400 км — радиус Земли).
Ответ: F =，——f 1 -.
Решение. Будем для определенности считать, что шар заряжен положительно. Заряд металлического шара Q при отсутствии поблизости других заряженных или незаряженных тел будет равномерно распределен по поверхности. При этом поверхностная плотность заряда а во всех точках одинакова и равна
Из симметрии очевидно, что электрическая сила AF, действующая на каждый элемент ZXS заряженной поверхности, направлена по нормали к этой поверхности. Чтобы найти эту силу, достаточно определить напряженность электрического поля, создаваемого в том месте, где находится выделенный элемент поверхности Д5, всей остальной частью заряженного шара.
Напряженность электрического поля вне заряженного шара совпадает с полем точечного заряда такой же величины, помещенного в центр шара. Поэтому непосредственно у поверхности шара модуль напряженности
47Г£о Я2 £о
Согласно принципу суперпозиции, это поле можно рассматривать как векторную сумму полей, создаваемых выделенным элементом поверхности ZXS и всей остальной частью шара. Так как нас интересует напряженность поля непосредственно у поверхности шара, то элемент ZXS можно считать плоским и при вычислении создаваемого им поля воспользоваться выражением для поля равномерно заряженной плоскости. Это поле существует по обе стороны от плоскости и модуль его напряженности
Внутри шара, вплоть до его поверхности, результирующая напряженность поля равна нулю. Значит, внутри шара вблизи элемента ZXS поле этого элемента, направленное внутрь шара, компенсируется полем, создаваемым всей остальной частью шара. Таким образом, в месте расположения элемента ZXS вся остальная часть заряженного шара создает электрическое поле Е?, направленное наружу, причем модуль напряженности 石2 равен Ei. Снаружи это поле Е2 направлено в ту же сторону что и поле элемента ZXS, и, складываясь с ним, дает поле, напряженность которого вдвое больше: Е = 2Ei.
Сила, действующая на элемент △$, равна произведению заряда этого элемента на напряженность поля 石2 = сг/(2е()):
2
△F =
Сила, действующая на единицу площади поверхности по нормали к ней, представляет собой давление @, для которого получаем:
Для определения равнодействующей F сил электрического давления, действующих на каждую из частей шара, представим себе жесткие полые оболочки, имеющие точно такую же форму, что и части шара, и закрытые плоскими крышками, как показано на рис. 1.3. Если внутри таких оболочек находится газ под давлением Р, то сила давления этого газа на крышку оболочки совпадает с интересующей нас силой F. В самом деле, так как сила давления газа не может привести в движение всей оболочки как целого, равнодействующая сил давления на стенки равна нулю. Поэтому сила, действующая на крышку, полностью компенсирует сумму сил давления, действующих на остальную часть. Следовательно, F = PS, где S = тг(г2 - А?)— площадь крышки. Таким образом, 2
F = PS= ^7гЯ2
Подставляя в это выражение значение поверхностной плотности заряда а, получаем
F = 1 吟
4^о 8Я2 V 序丿•
Сила отталкивания будет наибольшей, когда шар разрезан по диаметру (九=0). Обратим внимание на то, что взаимодействие частей разрезанного шара всегда носит характер отталкивания, независимо от того, заряжен шар положительно или отрицательно, как это очевидно и из качественных соображений.
Давление Р можно найти и иначе, используя закон сохранения и изменения энергии. Предположим, что радиус шара увеличился на малую величину Дг. При этом электрические силы совершат работу, равную FAV, где △V — увеличение объема шара, а энергия электрического поля, созданного заряженным шаром, изменится. При увеличении радиуса шара энергия электрического поля убывает, поскольку уменьшается объем, занимаемый полем. Это уменьшение равно произведению объемной плотности энергии электрического поля w = sqE2/2 на изменение объема шара ДУ. Приравнивая работу электрических сил уменьшению энергии FAV = к旨^У]2 и подставляя сюда значение Е = сг/兔，получаем Р = а2/(2ео), что совпадает с полученным выше выражением.
Ответ-.夕皿= ^(жо,?/о, ^о) + > где /о, до, г0 — координаты центра шара.
Решение. Так как шар проводящий, заряд шара индуцируется только на поверхности, а все его внутренние точки имеют один и тот же потенциал. Поэтому достаточно вычислить потенциал в центре шара. По принципу суперпозиции для потенциала его можно представить как сумму потенциала
внешнего поля g(/(),go, го) и потенциала индуцированных на поверхности шара зарядов. Все заряды, индуцированные на поверхности, находятся на одном и том же расстоянии R от центра шара. Поэтому потенциал, создаваемый ими равен 储 Таким образом,夕皿=уо, го) + . ^ В частности, если 47Г£оА47Г£оА
шар изначально не был заряжен, то его потенциал станет равным потенциалу той точки, в которую поместили центр шара, независимо от того, какие заряды индуцированы внешним полем на поверхности шара.
Между пластинами Е = сг/^о ~ 452 Н/Кл, поле однородно, силовые линии направлены от положительно заряженной плоскости к отрицательно заряженной. Снаружи Е = 0.
AF = (/〃Q)F.
屮a -屮6 = U—•
4тг£о \ ab 丿
Ответ'. С 76 мФ; W 1,14 • 109 Дж.
Решение. Емкость конденсатора можно найти, разделив заряд на его обкладках на разность потенциалов между ними. Если Земля и ионосфера несут одинаковый по модулю заряд q, то разность потенциалов между ними
где Яз и Яи — радиусы Земли и ионосферы соответственно. Для емкости получившегося конденсатора имеем:
° = ^ = 47Г£о° = ^ = 47Г£оАиАзАиАзАи — АзАи — Аз
° = ^ = 47Г£о
° = ^ = 47Г£о
АиАз
АиАз
Аи — Аз
Аи — Аз
Учитывая, что h = / — R3《R3, получаем 。£oS/h, где S = 47rAl — площадь поверхности Земли. Таким образом, емкость получившегося конденсатора можно вычислить по формуле плоского конденсатора, если понимать под площадью пластин площадь поверхности Земли. Подставляя численные значения, получаем: С 76 мФ. Энергия такого конденсатора W = CU2/2 ^ 3,4 • 109 Дж.
Ответ: D 3,3 см.
Решение. Напряженность электрического поля от однородно заряженного провода убывает обратно пропорционально расстоянию до провода, в чем легко убедиться, например, используя теорему Гаусса. Поэтому разность потенциалов между проводом и Землей можно вычислить как
R
力=ЯЕ(Я) In
н
где R — радиус провода.
По условию, для того, чтобы не было пробоя воздуха, необходимо выполнение условия Е(А) < Е(). Отсюда получаем условие
ш Н 4
Учитывая, что логарифм медленно меняется по сравнению с линейной функцией, численное значение минимального радиуса можно найти методом итераций. Для этого запишем итерационную формулу
где нижний индекс означает номер итерации. Возьмем в качестве начального приближения некоторое значение Rq (например, 1 м). Всего за несколько шагов мы получим значение радиуса, которое практически не будет меняется при дальнейших итерациях (Яп+1 ~ Яп ~ 0,0164 м). Это и есть ответ для минимального радиуса. Минимальный диаметр провода в два раза больше: D 3,3 см.
Ответ-.
а)
6)
в)
Напряженность электрического поля
Не изменится
Уменьшится в т раз
Уменьшится в т раз
Разность потенциалов между пластинами
Увеличится в п раз
Уменьшится в т раз
Изменится в п/т раз
Энергия конденсатора
Увеличится в п раз
Уменьшится в т раз
Изменится в п/т раз
Плотность энергии электрического поля
Не изменится
Уменьшится в т2 раз
Уменьшится в т2 раз
Ответ-.
Заряд конденсатора
Уменьшится в п раз
Напряженность электрического поля
Уменьшится в п раз
Энергия конденсатора (электрического поля)
Уменьшится в п раз
Плотность энергии электрического поля
Уменьшится в п2 раз
1.58. Ответ: а) Уменьшить расстояние между пластинами в w раз до 2 см;
б) увеличить расстояние между пластинами в £ раз до 14,58 см;
в) уменьшить расстояние между пластинами в £ раз до 2 см.
Решение, а) Если конденсатор остается присоединенным к источнику, напряжение U на нем остается постоянным. Энергия конденсатора
巾 CU2 S 02
w = ^ = ££Qd'T'
где S — площадь пластин конденсатора, уменьшается в £ раз при удалении эбонитовой пластины. Чтобы энергия осталась прежней, расстояние между пластинами d нужно уменьшить в £ раз до 2 см.
После удаления эбонитовой пластины энергия конденсатора уменьшилась в £ раз. Однако теперь изменение расстояния между пластинами происходит при фиксированном заряде пластин. Напряженность электрического поля внутри конденсатора при этом не меняется и для увеличения его энергии до начальной нужно раздвинуть пластины в £ раз до 14,58 см.
После отключения от источника заряд на конденсаторе не меняется. Энергия конденсатора W = q2/(2。) увеличивается при вынимании эбонитовой пластины, поскольку емкость конденсатора уменьшается в е раз. Чтобы вернуть прежнее значение энергии при постоянном заряде, нужно уменьшить до 2 см расстояние между пластинами.
Щ == 100 В.
а £
Ответ: 0 = ^^с0； Ei =也e2 =也 U =黑+ 丄);
W = —Wq； wi =——,W2 =——.В этих выражениях индексы 1 и 2 2Е1Е2£1兔
отвечают слоям с диэлектрической проницаемостью 門 и £2 соответственно, индекс "О" отвечает конденсатору без диэлектрика.
Решение. Напряженность электрического поля в конденсаторе без диэлектрика 瓦 и напряжение между его пластинами Uq, равное напряжению источника, связаны соотношением: Eq = U^Jd, где d — расстояние между пластинами. В слоях диэлектриков с диэлектрической проницаемостью 門 и £2 напряженность поля будет равна Ei = Eo/ei и Е2 = Ео/^2 соответственно. Напряжение U между пластинами конденсатора представляет собой сумму напряжений на первом и втором слоях диэлектрика:
U = Ei^+E2^ 二U = Ei^+E2^ 二
U = Ei^+E2^ 二
U = Ei^+E2^ 二
Поскольку конденсатор отключен от источника, заряд на нем не изменился после внесения диэлектриков в пространство между обкладками. Поэтому емкость конденсатора с диэлектриками 。 и без диэлектриков Со связана
соотношением:соотношением:0=0=q _ 2e1實U £1+^2q _ 2e1實U £1+^2
соотношением:
соотношением:
0=
0=
q _ 2e1實
U £1+^2
q _ 2e1實
U £1+^2
Воспользовавшись формулой для энергии конденсатора W = q2/(2。)，находим:
2毕Е2
Плотность энергии w = (1/2)££о^2, будет различна в каждом из слоев диэлектрика. Очевидно, wi = wo/ei, g = wo/^2•
Ответ: h =乌色 .
2£%s2 ag
Решение. Напряженность электрического поля в конденсаторе в области, где нет диэлектрика, определяется соотношением Eq = q/(eqS); в области с диэлектриком — Е = q/(£()£S). Найдем изменение энергии конденсатора при подъеме диэлектрика на высоту h, воспользовавшись формулой для плотности энергии электрического поля g = (1/2)复?0炉.Получаем:
2eoS V2eoS V11
2eoS V
2eoS V
1
1
Изменение энергии отрицательно, т. е. при подъеме диэлектрика потенциальная энергия электрического поля конденсатора, а значит и энергия самого конденсатора уменьшается. Изменение энергии △▽ равно работе электрической силы, взятой с обратным знаком. Поскольку △▽ пропорционально высоте подъема диэлектрика %, то электрическая сила 冗л постоянна:
歹ЭЛ =歹ЭЛ =q2(£ - 1)2£%S 'q2(£ - 1)2£%S '
歹ЭЛ =
歹ЭЛ =
q2(£ - 1)2£%S '
q2(£ - 1)2£%S '
Для определения высоты подъема жидкости h приравняем силу тяжести и электрическую силу, действующие на втянутый внутрь конденсатора диэлектрик:
Q7 Me - 1)
откуда искомая высота подъема равна
2eeQS2pg
Если заряженный конденсатор положить на поверхность жидкого диэлектрика, то жидкость, втягиваясь в конденсатор, приобретет не только потенциальную энергию, но и кинетическую и возникнут колебания около положения равновесия. Эти колебания постепенно затухнут из-за вязкости жидкости. Чтобы избежать колебаний жидкости, нужно лежащий на поверхности конденсатор заряжать медленно, например, плавно увеличивая подаваемое на него напряжение.
Емкость конденсатора не изменится и останется равной。= ^S/d.
Ответ: 75 В.
Решение. Поскольку конденсаторы соединены последовательно, их емкости и напряжения на них связаны соотношением CiU\ = C2U2. По условию Ui W 50 В.
020302031.64. Ui =1.64. Ui =С1С2 + С2С3 + С1С3С1С2 + С2С3 + С1С3U = 20 В;U = 20 В;Следовательно “ = W 25 В. Таким образом, полное напряжение U = 二 Ui + 5 W 75 В.
0203
0203
1.64. Ui =
1.64. Ui =
С1С2 + С2С3 + С1С3
С1С2 + С2С3 + С1С3
U = 20 В;
U = 20 В;
“二0102 +0203 +01。3° = 8 в；
U = 4 В
十十
a) % = с I I с Ui = Ю В; б) Ж =午=3,5 • КГ’ Дж
q =°(C2U2 - C1U1) = 32 мкКл. Знак заряда на пластине
5 5
конденсатора противоположен знаку начального заряда.
。2 = и + &(и + U1) = 350 В.
Ответ: при 實=0.
Решение. Пусть напряжение U\ на конденсаторе Ci не изменяется при переключении ключа. Тогда при обоих положениях ключа справедливо
U1 +。2 = £1 + £2,
что означает, что не изменяется и значение “. Однако при этом не может
измениться заряд, а значит и напряжение U3 на конденсаторе С3. Но после переключения ключа должно выполняться условие 5 = U3, так как теперь С?
1.69. △▽ =—-^- H^^+ 65)1.69. △▽ =—-^- H^^+ 65)2(6 + G)2(6 + G)=0,5 мДж.=0,5 мДж.и Оз соединены параллельно. Значит, U? = U3 в до переключения. Но тогда из схемы непосредственно видно, что это возможно только при £2 = 0.
1.69. △▽ =—-^- H^^+ 65)
1.69. △▽ =—-^- H^^+ 65)
2(6 + G)
2(6 + G)
=0,5 мДж.
=0,5 мДж.
h = — I — ) = 0,55 см.
L7L Me期土 j= +爲.L7L Me期土 j= +爲.Верхний знак дает скоростьВерхний знак дает скорость2 m а \ V /
L7L Me期土 j= +爲.
L7L Me期土 j= +爲.
Верхний знак дает скорость
Верхний знак дает скорость
первоначально покоившегося шара, нижний — налетавшего шара.
Решение. Пренебрежем взаимодействием шаров вплоть до момента их соударения (т. е. не будем учитывать электрическое взаимодействие между
зарядами на налетающем шаре и индуцированными зарядами на первоначально покоящемся шаре). Запишем закон сохранения импульса и энергии для двух
моментов времени: сразу после соударения и когда шары разошлись на большое расстояние:
mV2mV2++mV = mVi + mV^.=mH2тЦ21 Q-222 2mV = mVi + mV^.=mH2тЦ21 Q-222 2⑴⑴⑵⑵
mV2
mV2
+
+
mV = mVi + mV^.
=mH2тЦ21 Q
-222 2
mV = mVi + mV^.
=mH2тЦ21 Q
-222 2
⑴
⑴
⑵
⑵
Здесь И и V2 — скорости шаров, разошедшихся на большое расстояние. При расчете потенциальной энергии зарядов предполагалось, что они равномерно распределены по поверхности шаров даже тогда, когда шары находятся близко друг от друга.
Из уравнения (1) следует: V2 - V^ - V^ = 2%%.
Из уравнения (2) получаем: V2 — V^ —~—.
В результате имеем систему уравнений:
Воспользовавшись теоремой Виета, получаем, что искомые скорости являются решениями квадратного уравнения
z2 — Vz —，= 0.
Таким образом, получаем:
” —V 丄 V2 I Q2Верхний знак дает скорость первоначально покоившегося шара, нижний — налетавшего шара.” —V 丄 V2 I Q2Верхний знак дает скорость первоначально покоившегося шара, нижний — налетавшего шара.1.72.夕=1.72.夕=(A + D4(A + D4qRqR=3 ед. CGSE = 300 В.=3 ед. CGSE = 300 В.1.73. Ж =——2 cos а1.73. Ж =——2 cos аeELeELНИЯ оси х (противНИЯ оси х (против(tga - tg/3)(tga - tg/3).Углы а н /3 отсчитываются от направле.Углы а н /3 отсчитываются от направлены).1.74.暗〉ны).1.74.暗〉часовой стрелки положительны.часовой стрелки положительны.по часовой — отрицатель-по часовой — отрицатель-1.75. & =1.75. & =еЫ« + 2S)2mdR •°° . Эквивалентные схемы изображены на рис. 1.4.еЫ« + 2S)2mdR •°° . Эквивалентные схемы изображены на рис. 1.4.
” —V 丄 V2 I Q2
Верхний знак дает скорость первоначально покоившегося шара, нижний — налетавшего шара.
” —V 丄 V2 I Q2
Верхний знак дает скорость первоначально покоившегося шара, нижний — налетавшего шара.
1.72.夕=
1.72.夕=
(A + D4
(A + D4
qR
qR
=3 ед. CGSE = 300 В.
=3 ед. CGSE = 300 В.
1.73. Ж =——
2 cos а
1.73. Ж =——
2 cos а
eEL
eEL
НИЯ оси х (против
НИЯ оси х (против
(tga - tg/3)
(tga - tg/3)
.Углы а н /3 отсчитываются от направле
.Углы а н /3 отсчитываются от направле
ны).
1.74.暗〉
ны).
1.74.暗〉
часовой стрелки положительны.
часовой стрелки положительны.
по часовой — отрицатель-
по часовой — отрицатель-
1.75. & =
1.75. & =
еЫ« + 2S)
2mdR •
°° . Эквивалентные схемы изображены на рис. 1.4.
еЫ« + 2S)
2mdR •
°° . Эквивалентные схемы изображены на рис. 1.4.
а аа а
а а
а а
ааРис. 1.4Рис. 1.466
а
а
Рис. 1.4
Рис. 1.4
6
6
Q = CU/3 = 1 мкКл.
^ 1 = paV = 0^05 А; б) F > paVU = 5 кВт.
а)^3,2 - 1013 м"3;
Tvqd V
= It/q = 3,75 • 1017;
Q = И. В этих выражениях т и q — масса и заряд протона соответ
ственно.
a) Q = It = 600 Кл; б) ^ = /〃е = 3,75 • 1021 (здесь е — заряд электрона).
a) U = IR = 1 В; 6) Е = IR/1 = 0,1 В/м.
丿=,где е — заряд носителей тока, п — их концентрация.
/ р еп
Увеличение в три раза напряжения приводит к увеличению в три раза скорости направленного движения электронов V. Увеличение длины проводника в три раза — к трехкратному уменьшению этой скорости. Площадь поперечного сечения S на скорость упорядоченного движения электронов не влияет.
И напряжение U, и напряженность электрического поля Е пропорциональны удельному сопротивлению р материала проволок. Следовательно, °Fe 二= OFe 〜к 7
Ucu — Ecu — оси ~•
Вес провода увеличится в 4 раза, а сопротивление — уменьшится в 4 раза.
A = 〃/S^0,18 Ом.
А⑴=pwl/o2 ~ 2,75 • 10-2 Ом; A(£i) = R(t) (1 + a«i — t))3 х
х 10-2 Ом, где а — температурный коэффициент сопротивления вольфрама.
ti = t + 0,1/acu ~ 45°.
1=2,710-8 а.
f о£04(1 - g/)
Ответ-. / =
痂
Решение. Сосуд с металлизированными стенками представляет собой конденсатор. Электроемкость пустого сосуда и заполненного диэлектриком соот
ветственно равны
с0 = -и С =—-—ad
где а — высота, b — ширина металлизированной грани параллелепипеда (обкладки конденсатора).
По условию диэлектрик из конденсатора откачивают, следовательно, его электроемкость уменьшается. Так как напряжение на конденсаторе остается неизменным, то заряд конденсатора уменьшается — происходит его разрядка. Пусть уровень (высота слоя) диэлектрика понизится на △/ за время △九 В этом случае емкость С' можно найти, воспользовавшись формулой для емкости двух параллельно соединенных конденсаторов, один из которых без диэлектрика, другой — с диэлектриком. Изменение емкости
а с 兔心/ 兔£心力
где △/ связано с △力 очевидным соотношением p^xbd =从△九 Поэтому
二兔儿(1 一 E)△/
Для тока разряда конденсатора получаем
/ _ Аe _u兔儿(1 — e/)
Из этого выражения видно, что I < 0, так как £〉1, т. е. происходит именно разрядка конденсатора и заряд на его обкладках уменьшается.
Ответ: / = qV/d.
Решение. Пусть на левой пластине конденсатора в некоторый момент заряд равен Q. Тогда на его правой пластине будет заряд —Q — q (рис. 2.1). Разность
потенциалов между замкнутыми накоротко пластинами равна нулю. Поэтому [Q — q + (q + Q)]/ + [Q + q + (q + Q)](d —力)=0. Отсюда Q = q(d - x)/d. Сила тока в проволоке, соединяющей пластины конденсатора
T_dQ _qV
U = IgR = 25,2 В
a) Acu = 4pCuZ/(W2) 0,03 Ом; б) 0,3%; в) 7,5°.
При параллельном подключении I = U/R = 0,6 А, при последовательном —J = U，(2A) = 0,3 А.
Rab = 4,50м; IRl ^2,67 А; /匝 ^。，67 А; 1Дз ^2 А.
600 Ом.
T = 0 凡(凡 + %) - % (必 + 凡) =0 a RR3 (必+凡)+凡凡(凡+ %) _ /
а) А = 5т/3 ^ 16,7 Ом; б) в верхней и нижней ветвях цепи ток равен 0,4 А, в средней ветви ток через центральный резистор равен 0,4 А, а через крайние — 0,8 А; в) эквивалентная схема приведена на рис. 2.3.
КЗЕКЗЕРис. 2.3Рис. 2.3
КЗЕ
КЗЕ
Рис. 2.3
Рис. 2.3
Ответ показан на рис. 2.4.
Ui = U(1 + Rd/Rv) = 9,1 кВ.
20 Ом.
Rg =⑴二 25 Ом.
а) 〃皿=т & : ^ 8,4 мОм; б) Яд = — - Яс ~ 4027 Ом.
a) г =年Ag ~ 0,17 Ом; 6)区皿= 尸 f 0,17 Ом.
Ответ', при Rx = Ra《Rv предпочтительно пользоваться схемой а; при Rx = Ry》Ra — схемой 6.
Решение. Очевидно, что при идеальных приборах (Av т ос, Ra т 0) можно воспользоваться любой из схем, так как в этом случае показания амперметра и вольтметра соответствуют току через неизвестное сопротивление и напряжению на нем. Если приборы не идеальные, то в схеме а вольтметр показывает напряжение на искомом сопротивлении, но ток 1Х через сопротивление Rx меньше показаний амперметра на величину тока вольтметра. Поэтому
Н = UX = Uv =Uv 1
” —L Ia - Uv/Rv — 711-Uv/^IaRvY
В схеме 6 амперметр показывает ток, идущий через Яж, но показания вольтметра Uv больше напряжения Ux на неизвестном сопротивлении Rx на величину напряжения на амперметре. Поэтому
Uv — IaRa Uv р 7aUv — IaRa Uv р 7a
Uv — IaRa Uv р 7a
Uv — IaRa Uv р 7a
Соотношения (1) и (2) позволяют выбрать предпочтительную схему при учете, что Rv》Ra.
Если неизвестное сопротивление Rx сравнимо с сопротивлением амперметра Ra, но много меньше Rv, то предпочтительно пользоваться схемой а, поскольку ток, ответвляющийся в вольтметр, мал по сравнению с током через Rx. При использовании схемы 6 ошибка определения Rx будет того же порядка, что и сама эта величина.
Если неизвестное сопротивление Rx сравнимо с сопротивлением вольтметра Rv, но много больше Ra, то предпочтительно пользоваться схемой 6, поскольку напряжение на амперметре мало по сравнению с напряжением на Rx. Использование схемы а в этом случае приведет к ошибке в определении Rx, которая будет порядка измеряемой величины.
В промежуточном случае, когда Rx нельзя считать ни очень малым по сравнению с Rv, ни очень большим по сравнению с Ra, величину Rx можно определить только используя точные выражения (1) или (2).
凡=7582 Ом;必=69231 Ом;凡=692308 Ом.
А = 60 Ом; U = 150 В.
URiURi2.33. I =2.33. I =Rg 二必—2Al — R/2 = 5 Ом.
URi
URi
2.33. I =
2.33. I =
RR\ + Rr — г Минимальное значение тока
mm - A(Ki + А/4)
достигается при г = Я/2, максимальное /max = U/R — при г = 0 и при г = R.
凡=90 Ом,厶=1 А;必=180 Ом,厶=0,5 А.
35.= 7,2 В;= 4,8 В.
Ответ-. Iv/к ~ 2.
Решение. Идеальный вольтметр с бесконечно большим сопротивлением показал бы напряжение U' = 40 В. Уменьшение показаний происходит вследствие того, что сопротивление параллельно соединенных вольтметра и участка 0,4Я меньше, чем 0,4Я. Запишем закон Ома для двух участков, на которые вольтметр делит нагрузку R. Ток в неразветвленной части цепи
T=U-Ur
—0,6А •
Ток через участок сопротивления 0,4Я есть
1 — 0,4?
Ток через вольтметр Ту равен разности / —厶.Таким образом, Iv _ (U-U, 0,4
Rab = 6 В. Эквивалентная схема показана на рис. 2.5.
Рис. 2.5Рис. 2.5
Рис. 2.5
Рис. 2.5
Ответ: R = г/2.
Решение. Потенциалы точек С п D, симметрично расположенные относительно точек А и В, к которым подключен источник, одинаковы. Следовательно, по ребру CD ток не течет и это звено можно удалить, не меняя токов в других звеньях. Тогда можно рассматривать сопротивления Rac и R。в, Rad и Rdb как соединенные последовательно. Сопротивление каждой пары равно 2T. Полное сопротивление находится как результат параллельного соединения трех сопротивлений, два из которых 2т и одно г. В результате имеем R = г/2.
К тому же ответу можно прийти, если соединить точки С и D накоротко. В этом случае Rac и Rad, Rcb и Rdb соединены параллельно, а одна пара с другой — последовательно. Сопротивление всех четырех звеньев, таким образом, равно 厂/2 + 厂/2 =厂.Учитывая, что параллельно подключено звено АВ, получаем для эквивалентного сопротивления R = г/2.
Ответ: R = г/3.
Решение. Из симметрии ясно, что сопротивление между любой парой вершин одинаково. Если выделить две вершины, подведя к ним напряжение, то оставшиеся четыре будут иметь одинаковый потенциал. Поэтому тока по проводам, соединяющим эти вершины, протекать не будет, и соединяющие их провода можно удалить без изменения общего сопротивления схемы. В
результате останется одно сопротивление г, соединяющее выделенные вершины прямо, и четыре пары последовательно соединенных сопротивлений г,
которые соединяют выделенные вершины через оставшиеся четыре вершины.
Для общего сопротивления имеем: 1/R = 1/т + 4(1/2т). Отсюда R = г/3.
Ответ', а) А = (5/6)т; б) Я = (3/4)т в) Я = (7/12)г.
Решение. На рис. 2.6 все вершины куба пронумерованы. Симметрия
системы позволяет утверждать, что некоторые вершины будут иметь один
и тот же потенциал. Это позволяет в каждом случае свести задачу к расчету эквивалентной схемы, содержащей только последовательно и параллельно соединенные сопротивления.
Напряжение приложено к вершинам / и 5. В этом случае одинаковы потенциалы вершин 2, 3, 4, поскольку при повороте куба на угол 120° вокруг главной диагонали они переходят друг в друга, а сам куб переходит в себя (отвернувшийся на минуту человек не сможет определить, повернули мы куб или нет). Аналогично, одина
ковый потенциал имеют вершины 5, 6, 7. Точки с одинаковым потенциалом можно замкнуть накоротко. Эквивалентная схема имеет вид, представленный на рис. 2.7. Очевидно, что R = г/3 + т/6 + г/3 = (5/6)兀
К тому же результату можно прийти иначе, если заметить, что из-за симметрии подключения вершин куба токи в ребрах 1-2, 1-3 и 1-4 одинаковы и составляют 1/3 тока I в неразветвленной части цепи. Точно также одинаковы и равны //3 токи в ребрах 5-8, 6—8, 7-8, а токи в ребрах 2-7 и 2-6 составляют
половину тока в ребре 1-2 и, следовательно, равны //6. Запишем теперь напряжение между точками / и 5 в виде
〃///5 т
U=98 一97 + 夕7 一92 + 夕2 一= gT + gT + gT = g/匸
Теперь для R получаем: R = U/I = (5/6)т.
Напряжение приложено между точками / и 5. Теперь одинаковы потенциалы вершин 3-4 и 6-7. Эквивалентная схема показана на рис. 2.8. Очевидно, что и сопротивления, соединяющие точки 3-4 и 6-7, могут быть удалены без изменения полного сопротивления, поскольку потенциалы этих точек тоже оказываются одинаковыми. Теперь полное сопротивление легко сосчитать: R = =(3/4)т.
Рис. 2.8Рис. 2.8
Рис. 2.8
Рис. 2.8
Напряжение приложено между точками / и 2. Снова одинаковы потенциалы вершин 3-4 и 6—7. Эквивалентная схема приведена на рис. 2.9. Используя формулы для параллельного и последовательного соединения сопротивлений, получаем R = (7/12)г.
4
Ответ-. Rab = 1 —г.
Решение. Обозначим через 厶，厶，…，"токи, возникающие в схеме при подключении ее к источнику с напряжением U (рис. 2.10). Тогда, написав систему уравнений для токов 厶 и вычислив полный ток I = I\ + h, можно определить общее сопротивление из соотношения Rab = U/I. Поскольку число неизвестных токов равно 9, система для их определения также должна состоять из 9 уравнений. Можно, однако, воспользовавшись симметрией системы, уменьшить число неизвестных и уравнений. Для этого изменим мысленно полярность подключения источника. Тогда с одной стороны, направление токов в каждом звене изменится на противоположное, с другой — схема после поворота перейдет в себя, причем 厶 перейдет в /9,厶 ——в 厶，厶 ——в /7,厶 ——
в /б・ Поскольку схема не изменилась, указанные токи должны быть равны. Число неизвестных, таким образом, уменьшается до пяти. Уравнения законов Кирхгофа запишем в виде:
厶=/з + 厶 + /5 (узел С);
厶=А + /з 厶+厶一"=0 h — h — h = О厶=А + /з 厶+厶一"=0 h — h — h = О(узел D);(контур ACDY (контур CFD);(узел D);(контур ACDY (контур CFD);
厶=А + /з 厶+厶一"=0 h — h — h = О
厶=А + /з 厶+厶一"=0 h — h — h = О
(узел D);
(контур ACDY (контур CFD);
(узел D);
(контур ACDY (контур CFD);
厶 + 厶 + 厶=U/A (контур АСЕВ-источник).
Подставляя в первое уравнение последовательно /5 из четвертого,厶 из второго и /3 из третьего, получаем:
厶二 2(/з + 厶)=2(А + 2/з) = 2(А + 2(А —厶))=6А — 4/1.
Откуда 厶=(6/5)厶.
Теперь из третьего уравнения системы находим
/3 = А 一厶厶
5
Знак " означает, что направление тока 厶 противоположно изображенному на рисунке. Аналогично выражаем ток 厶 через 厶：
4
h = h + h =三，2・
Теперь определим из последнего уравнения системы 厶：
т.е. /2 = ^・т.е. /2 = ^・U 1 47 = 1ЙГ-U 1 47 = 1ЙГ-ти
т.е. /2 = ^・
т.е. /2 = ^・
U 1 4
7 = 1ЙГ-
U 1 4
7 = 1ЙГ-
,
Полный TOK I = —( — + — ) = ттг 一 • 5/15 т
Таким образом, сопротивление Rab =
Omeem\ Rg =——-——R.
Решение. Если число звеньев бесконечно, то удаление одного звена не меняет полного сопротивления Ag. Это позволяет написать уравнение
X十
Для Яоо получаем квадратное уравнение
А|о — RRqq — -R2 = О,
ааРис. 2.11Рис. 2.11
а
а
Рис. 2.11
Рис. 2.11
откуда R。° = (l + V^)A/2.
—^^, Я1 = 2 A.1—^^, Я1 = 2 A.1Rn = R +Rn = R +Если цепочка конечна, то для нахождения ее сопротивления можно воспользоваться рекуррентным соотношением. Сопротивление цепочки из п звеньев связано с сопротивлением цепочки из п — 1 звена Яп-1 следующим образом:
—^^, Я1 = 2 A.
1
—^^, Я1 = 2 A.
1
Rn = R +
Rn = R +
Таким образом, можно получить выражение для Яп в виде дроби:
Rn1
Для Rg эта цепная дробь будет бесконечной. Интересно отметить, что
1
представляет собой точное выражение для так называемого "'золотого сечения,\ Этот термин был впервые введен Леонардо де Винчи в конце 15 века. Золотое сечение отрезка АВ — такое его деление на две части, что большая часть АС является средне пропорциональной между всем отрезком и меньшей частью:
АС _ АВСВ 二 АС'
Золотое сечение широко известно как в геометрии, так и в искусстве и архитектуре. В нашем случае, как видно, параллельное подсоединение к сопротивлению R бесконечной цепочки (рис. 2.11) приводит к уменьшению общего сопротивления как раз в пропорции золотого сечения.
Для величины х есть и другие представления. Попробуйте, например, показать, что сопротивление бесконечной цепочки можно найти и так:
Roo =1 + " 1 + \/1 + ….
a) Rab = (1 + УЗ)Я; б) Rab = (Уб - 1)Я.
2 44 Ответ-+ … + 屮n丨Rn
Ответ,…•
Решение. Через г-е сопротивление течет ток 厶=(夕分-夕厶)/〃分.Алгебраическая сумма токов, втекающих и вытекающих из клеммы А, равна нулю. Поэтому
Отсюда получаем ответ
_ 夕1 /Ai + …+ 3n/Rn
"1/凡 + ...+ 1/ Rn
а) В 4 раза больше тепла выделится в проводе с большим диаметром. Однако, и масса этого провода в 4 раза больше. Поэтому оба провода нагреются одинаково.
В 4 раза больше тепла выделится в проводе с меньшим диаметром. Масса этого провода в 4 раза меньше. Тонкий провод нагреется в 16 раз больше.
Заметим, что реально теплоотдача проводов разного диаметра различна вследствие различия площади боковой поверхности.
U = (P//)N 220 В.
^ I = ^PJR = 5 мА; 6) U = ^PR = 50 В.
t = to + (1/а)(/о// - 1) ~ 400℃, где to — комнатная температура, а = 0,0004 1/К — температурный коэффициент сопротивления для нихрома.
а) I = U/Rq = 15 А; 6) А =国[1 + а(£ - t0)] = И,2 Ом (а = =0,0004 1/К — температурный коэффициент для нихрома); в) W = U2/R
1286 Вт.
Если пренебречь различием потерь тепла при разном времени нагревания чайника, при параллельном соединении обмоток вода в чайнике вскипит через £з = = 6 мин, а при последовательном — через t4 = ti + ^2 =
Й +方2
=25 мин.
/з = -р2— ~ 44 мин.
(臂-一(鱼二2^2
а) — = 一一б) n > 4.
2
n 宀。~ 14, где p = 4 • 10-5 Ом • см — удельное 4Dpcm(tKHn - t )
сопротивление никелина, с = 4,19 кДж/(кг • К), t°nn = Ю0℃ — температура кипения воды.
R = 0,1U2/n 二 11,25 Ом.
а) 139 кВт; б) 413 Вт.
Ответ-, х = А/(4°) + L/2.
Решение. До повреждения изоляции ток в линии электропередачи
—R + 2Lp'
Если изоляция повреждена на расстоянии х от источника напряжения (рис. 2.12), то
^ (А + 2(力-力須)=U — 2/ • 2/0
Подставляя сюда выражение для /, приходим к ответу х = А/(4.) + L/2.
LLРис. 2.12Рис. 2.12
L
L
Рис. 2.12
Рис. 2.12
Ответ: в схеме на рис. 2.13 г = Rq/V2; е = у/WRq (1 + "、［".
Решение. Простейшая схема, состоящая из источника £ с внутренним сопротивлением г и подключенного к нему сопротивления 国，изображена на
рис. 2.13. Сопротивление Яо потребляет мощность
Если подключить еще одно сопротивление Rq параллельно, на обоих сопротивлениях вместе выделится мощность
Wi =()均
Поскольку, по условию W = Wi, получаем связь между Rq и г: г = Яо/д/2. Для £ получаем: £ = ^/WRq (1 +，5)/，5.
Ir\ ~ 1,58 А; = Ir3 ~ 0,63 A; /邑 ~ 0,32 А.
Наибольшее количество теплоты выделится на сопротивлении, подсоединенном к верхнему полюсу источника на рисунке к задаче.
W = 72 Вт. Схема изображена на рис. 2.14.
3 Ом3 Ом1 Ом1 Ом
3 Ом
3 Ом
1 Ом
1 Ом
4 Ом
2 Ом
Рис. 2.14
а) Л = (9/8)Д)= 121,5 Дж; б) Л = (8/9)Д)= 96 Дж.
Ответ: 0,11 А.
Решение. Токи через каждый из резисторов даются выражениями:
т _ т _/%т _ /(Ai + 必) т _ т
助+Я2 + Я3,五3 -凡 + 必 + %，五4 - •
Приравняв I^Ri максимальной допустимой мощности Р, получаем условия на максимальный допустимый ток Г.
V
Ai + 必 + %凡+必
^ 0,26 A;
К ^0,23 A.
Таким образом, ток не должен превосходить 0,11
2・63・R =4凡必°
А.
А = sit = 180 Дж.
а) 6,91 • 106 Дж; б) 12,8 ч.
/ = РУ^ ^ 0,63 А.
а) А = О/" = 3,12 Ом; 6) £ = U(1 - I/Io) ~ 104 В; в)厶= =(2/о +/)/3 ^26,4 А.
Omeem\ Rex = 96 Вт; ту = 0,5.
Решение. Механическая мощность мотора может быть представлена как разность между полной потребляемой мощностью и мощностью тепловых потерь в обмотке мотора
Рмех = IU - I2R = 1(и - IR).
⑴
При полном затормаживании мотора механическая мощность равна нулю. Поэтому IqU = IqR, откуда для сопротивления обмотки мотора имеем: R = =U/Iq. Подставляя это значение R в (1), получим: Рмех =，U(1 - ///о)= =96 Вт. Для КПД мотора имеем: 77 = 1 - I/Iq = 0,5.
2.69. Ответ-. R ^ 1 Ом.
Решение. При нагруженном моторе el = I2R + UI или £ = IR + U. При холостом ходе потребляется мощность в п = 10 раз меньше. Поэтому и ток должен быть в п раз меньше:
или £ = {I/n)R + U\, причем U = 0,8Ui. Отсюда, выражая R, получаем:
『""/「Юм.
2.70. Эквивалентная электрическая схема мотора приведена на рис. 2.15. / = U/R ^ 2,67 А; /р = U/R + 4 27,67 А; £ = (U/A + Qr + U
93,8 В.
2.71. £ = U —/
+ A + т 289 В.
2.72. Ответ-. V2 = Vo - Vi.
Решение. Момент сил М, действующих на ро
тор со стороны магнитного поля, пропорционален
току в цепи ротора I. При равномерном подъеме и спуске груза момент сил один и тот же, и сила тока оказывается одинаковой:厶=厶=/• При холостом
10 А.С. Кондратьев, В.М. Уздин
ходе момент сил равен нулю, поэтому Iq = 0. ЭДС индукции в обмотке ротора пропорциональна угловой скорости вращения, т. е. скорости движения нити, наматывающейся на ось: е = aV. Обозначив через U напряжение сети, а через R сопротивление обмотки ротора, с помощью закона Ома имеем:
холостой ход: U =気 или U = а%;
подъем груза: U =門 + IR или U = а% + IR;
спуск груза: 0 =-兔 + IR или 0 = -а% + IR・
Отсюда находим 14 = И)— И.
2.73. a) U = 0; 6) U = £； в) U = £.
2.74. а) 13 В; б) 2,2 мА; в) 12 В; г) 2,2 мА.
О С、e1(T2 + Al + A2)+ 實门
2.75. Оmвеm: а)屮、一屮2 =———：J П—— 门+72 +兄1 +兄2
6)
夕2 — S3 =—
в)
93 一94 =一
(£1 — £2)A1.
门 + 72 + Al + A2 '
兔(门+凡+必)+ 8172 .
门+72 + Al +必
0
Д) е)
93 一91 =
94 一92 =
e1(T2 +必)+實(门+必)门+T2 + A1 +e2
e1 (T2 +凡)+實(门+必)门 + T2 + A1 + A2
_（£1 - ^2）必
g一0=一门+『2 +凡+必.
Решение. Рассмотрим сначала, как изменится разность потенциалов при
прохождении тока через отдельные элементы цепи. Через резистор ток идет всегда от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом. Поэтому разность потенциалов между точками А и В на рис. 2.16 а равна 屮А — WB = IR.
При прохождении тока через источник возможны два случая: источник работает так, что ток во внешней цепи идет от "плюса" источника (точки с большим потенциалом) к "минусу" (точки с меньшим потенциалом) (рис. 2.16 6) либо ток течет в обратном направлении (рис. 2.166). В первом
Рис. 2.16
случае внутри источника ток идет от "минуса" к "плюсу", т. е. сторонние силы совершают положительную работу при перемещении зарядов. Если внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало, то 屮а — ^в = —£： разность потенциалов не зависит от величины тока I. Если же внутренним сопротивлением не пренебрегать, то 夕厶一夕石=-£ + Ir или 夕石一夕厶=£ - Ir, т. е. внутреннее сопротивление источника при прохождении тока через источник эквивалентно сопротивлению, подключенному последовательно с источником.
Во втором случае ток во внешней цепи идет от "минуса" к "плюсу", а внутри источника — наоборот — от “плюса" к "минусу". Сторонние силы при этом совершают отрицательную работу по перемещению положительных зарядов от точки с большим потенциалом в точку с меньшим потенциалом (рис. 2.166). Если внутреннее сопротивление источника не учитывать, то 夕厶—
—Зв = —£： разность потенциалов, как и в первом случае, не зависит ни от величины, ни от направления тока. При учете внутреннего сопротивления 夕厶一夕8 = —£ + 1г ИЛИ 夕8 —夕厶=£ + Ir.
Теперь приступим непосредственно к решению задачи. Ток в цепи равен
— £2
门+T2 + A1 +必
Если £i〉兔，то ток в цепи течет против часовой стрелки.
Найдем 夕1 —夕2・ Будем двигаться от точки / к точке 2 (см. рисунок к задаче 2.75) кратчайшим путем — по часовой стрелке. На этом участке находится только источник £1 со внутренним сопротивлением п. Следовательно
⑺一32 = g1 - /门=⑺一32 = g1 - /门=毕(T2 + Al + A2)+實门门 + 72 + Al + A2毕(T2 + Al + A2)+實门门 + 72 + Al + A2
⑺一32 = g1 - /门=
⑺一32 = g1 - /门=
毕(T2 + Al + A2)+實门门 + 72 + Al + A2
毕(T2 + Al + A2)+實门门 + 72 + Al + A2
Таким образом, потенциал точки / всегда выше потенциала точки 2 независимо от соотношения между £i и £2-
На участке 2-3 находится только резистор сопротивлением А，Поэтому
夕2 — S3 =—夕2 — S3 =—(£1 — £2)А1
夕2 — S3 =—
夕2 — S3 =—
门 + 厂2 + А1 + 〃2
При £1〉兔 потенциал точки 2 ниже потенциала точки 3, при £i < £2 — выше.
На участке 2-3 находится один источник £2, включенный противоположно источнику £1. Двигаясь вдоль схемы по часовой стрелке, получим:
夕3 一34 =一實夕3 一34 =一實£2(门 + Al + A2)+ £172门+72 + Al +A2
夕3 一34 =一實
夕3 一34 =一實
Здесь потенциал точки 3 всегда меньше чем точки 4 при любых £i н £2.
На участке 3-1 при "обходе" схемы против часовой стрелки находится резистор Я1 и источник 門.Для разности потенциалов 93 — 91 в этом случае получим выражение
Зз —夕1 = /А1 + /门-£1・
Если же из точки 3 в точку / попасть другим путем, "обходя" схему по часовой стрелке, то
屮3 一屮\ =一兔—/A2 一 /T2.
аловаловНетрудно убедиться, что оба уравнения дают одну и ту же разность потенци
алов
алов
Зз — 31 =—Зз — 31 =—e1(T2 +必)+兔S+必)门+T2 +凡+ R2
Зз — 31 =—
Зз — 31 =—
Потенциал точки 3 всегда ниже потенциала точки /.
Найдем 屮& —屮？. Двигаясь от точки 4 к точке 2 против часовой стрелки, имеем:
94 一92 = 94 一93 + S3 一92 = 實 + /72 + /A1 •
Если двигаться по часовой стрелке, получим
94 一92 =94 一91 +夕1 一92 = 一/a2 + £1 — /门.
Подставляя в любое из этих выражений ток /, находим:
_ £1(/2 + А1) + 兔⑺ + 必)
+ Al + A2
Видно, что потенциал точки 4 выше потенциала точки 2.
е) Перемещаясь от точки 4 к точке / по кратчайшему пути — по часовой стрелке — имеем:
_(£1 - E2)必
"4 一⑺=一门+小+自+必.
Здесь при £i〉實 потенциал точки 4 ниже потенциала точки /, при 門 < 實一 выше.
屮а = 11,5 В;夕6 = 9 В; Зв = 6,5 В; 3r = 2,5 В; дд = 2 В;公 Зк = 12 В.
I = Ь(1 + Ai/A) = 27,5 мА.
0,03 Ом.
240 Вт; 228 Вт; 2160 Дж; 4,32 • 104 Дж.
=0;
2.80. а) “+” к “+”； “一” к “一”;
6)厶=
в) А =
£1 -實
ri + r2 + г
£1 + £2
门+72 + T
=20 А;
=460 А.
2.81.
2.82.
г — Uv【a(Rv — Ал.) —« а
кз- Rv(Uv-IaRa)-，
U1 =胃+办=27,5 В.
2.83. e = U-Ir= 12 В.
2.84.
£ = 3 В; г = 1 Ом.
2.85.
£=зи-U「1'3U・
2.86.
一
2.87.
Rv = В2/г.
2.88.
КЗ — В/1 — Р」2 .
2.89.
77 = U /£ = 0,8.
2.90. I = —= 0,5 А;
R + г
U == 5,5 Ом;
к + г
р== з Вт;
R + г
г) PR = -—= 2,75 Вт. (A+
2 91. a) PR^ = ^^，栈⑺
6)匕(А)= ^^，В(/)= /%；
Р^ = ^^.Р^ = е1-
0 〃(А) =^) = 1 - V-
el — /%;
Рис. 2.17
Рис. 2.19
Рис. 2.20
Графики зависимости Рд(Я), РГ(И) и Р(А) изображены на рис. 2.17. На рис. 2.18 показаны зависимости Pr⑴,匕(/) и Р(/). Графики 〃(А) и 〃(/) приведены на рис. 2.19 и рис. 2.20 соответственно.
R = г, I = е/2г.
Ответ: г = Rg - R.
Решение. Отметим, что описанная в условии ситуация — одинаковые отбросы стрелки гальванометра — может быть реализована при любых значениях сопротивлений / н у. В случае, когда ключ находится в положении В, имеем:
Ig = У一丽.
Ток в неразветвленной цепи дается выражением
I = Ig + ly = IgI = Ig + ly = Ig
I = Ig + ly = Ig
I = Ig + ly = Ig
На основании закона Ома для полной цепи имеем
£ = /(т+ 〃 + /) + IgRg = Ig£ = /(т+ 〃 + /) + IgRg = Ig(т + 〃 + /) + Rg •(т + 〃 + /) + Rg •⑴⑴
£ = /(т+ 〃 + /) + IgRg = Ig
£ = /(т+ 〃 + /) + IgRg = Ig
(т + 〃 + /) + Rg •
(т + 〃 + /) + Rg •
⑴
⑴
В случае, когда ключ находится в положении А:
Ig 二 g ly Rg + x
Ток в неразветвленной цепи равен
По закону Ома для полной цепи
e = l\r^R)^IG(RG^x) = IG (1 + &}“ + 〃)+ &+/ . (2)
Сравнивая выражения (1) и (2), получим после элементарных алгебраических преобразований
г = Rg — R.
Второй элемент нужно подключить параллельно, так как г > R. Umax ~ 1,71 В.
R == 6 кОм.
2 96 I =厶т = ・ , -(凡+吟(必+ а4) +Ta1'(必+T)(凡+A4)+凡а£ -
=Ra = 0.
Ответ: увеличится.
Решение. При полном отбросе стрелки вольтметра сила тока через вольтметр одна и та же. Значит, большему диапазону измерений соответствует большее сопротивление вольтметра. Следовательно, при переключении вольтметра на больший диапазон общее сопротивление цепи, изображенной на рисунке, возрастет, что приведет к уменьшению силы тока в цепи. При этом напряжение на зажимах источника тока увеличится. Именно это напряжение и показывает вольтметр.
Ответ: £ = U(2 + т/А) при г < Я; £ = U(1 + 2г/Я) при г > R.
В указанных условиях можно собрать только следующие три электрические схемы (рис. 2.21-2.23).
В первом случае (I — рис. 2.21) максимальное показание вольтметра определяется соотношением eA/(t + R) = U, во втором (II — рис. 2.22): еА/(2А + т) = U, в третьем (III — рис. 2.23): еА/(2т +良)=U. Из этих соотношений находим для величин максимальных ЭД С в каждом случае:
(1「и(1 + £); (11)£ = и(2+£);(ш)£ = и(1 + ^
В полученные соотношения входят две неизвестные величины — ЭД С источника £ и его внутреннее сопротивление г. Поэтому следует выбрать такие два уравнения, которые соответствуют наибольшим возможным значениям е. Удобно провести графический анализ, построив зависимость £ от внутреннего
сопротивления г, поскольку значения U и R фиксированы по условию задачи. На рис. 2.24 прямая I соответствует первой схеме, прямая II — второй, а прямая III — третьей.
Рис. 2.24
Из графика, что наибольшим возможным значениям £ соответствуют II и III схемы, причем при г < R ограничение накладывается третьей схемой, а при г > R — второй. Возможная область значений £ (как функции г) заштрихована. При заданном т нужна только одна схема и возможные максимальные значения е(т) определяются второй схемой при г < R и третьей схемой при г > R. Видно, что в этом случае максимальные значения £ существенно выше.
Ответ-. £ = U(1 + г/(2Я)) при г < Я; £ = (7(1/2 + r/R) при г > R.
Решение. С двумя источниками и одним вольтметром можно собрать следующие три схемы (рис. 2.25-2.27). Для каждой схемы выпишем соотношение для максимального показания вольтметра U: еА/(т + А) = U (I — рис. 2.25); е/(2т + А) = U (II — рис. 2.26); ^R^r + 2А) = U (III - рис. 2.27).
Графики зависимости е(т) для рассмотренных случаев показаны на рис. 2.28.
2.101.2.102.2.103.2.104.2.105.2.101.2.102.2.103.2.104.2.105.Наибольшие значения е могут быть определены при использовании первой и третьей схем при г < R и при использовании первой и второй схем при г > R. Возможная область значений е(т) показана на рис. 2.28 штриховкой. Отметим, что при известном значении г допустимые максимальные значения £ определяются первой схемой.
2.101.
2.102.
2.103.
2.104.
2.105.
2.101.
2.102.
2.103.
2.104.
2.105.
£ = ^ 1,4 В; Т =—— ^3,7 Ом.
hA —厶
厂2 Г\ + R'
Параллельно первому источнику тока, так как Я < г; U\ ^ 1,71 В.
R = 兔门 =0,6 Ом; I =⑶—兔)=2,5 А.
(£1 — ^2)U — ZE© 1 q
Ui = = —1,5 В; знак — означает, что стрелка
£1 + £2
отклонится в противоположную сторону.
Ответ-, п = 4.
Решение. При параллельном соединении источников тока сила тока воРешение. При параллельном соединении источников тока сила тока воРис. 2.29Рис. 2.29внешнем сопротивлении R есть
Решение. При параллельном соединении источников тока сила тока во
Решение. При параллельном соединении источников тока сила тока во
Рис. 2.29
Рис. 2.29
/ —£— пн
R + r/n nR + г •
При изменении полярности одного из источников (см. рис. 2.29) имеем для напряжения U между точками А и В:
£ -厶l=一(£ -"t).
Учитывая, что h = (п — 1)/1 — /', получим nl\r — Fr = 2е.
С другой стороны напряжение между точками А и В равно напряжению на сопротивлении R:
£ —厶厂=I' R,
поэтому для I' находим:
Т 二("2) £nR + г
Поскольку ///' = 2, то сравнение первого и последнего равенств дает п = 4.
Ответ: в 2 раза.
Решение. После повреждения одного из аккумуляторов значение силы тока в цепи I дается выражением
(п — 1)т + * + А
где г' — сопротивление поврежденного аккумулятора. При его замыкании, по условию задачи, сила тока не меняется:
⑵⑵(п — 1)е
⑵
⑵
(п — l)r + R
Из (1) и (2) имеем: г' = г +R/(ri—Y) = 2T. Следовательно, rf/г = 2.
Р\]Р? = т/п.
Ответ: R1/R2 = 0,4.
Решение. Напряжение на сопротивлении 凡 равно £1 — £ = 2 В, а на Я2 — —£2 + е = 5 В.
Токи через оба сопротивления одинаковы. Следовательно, R\]R? = 0,4.
Ra =必(凡一g +1 - 3必)=10 0M.
При £1^2 < 實(门 + А) закорачивание второго источника тока приводит к уменьшению тока через сопротивление R. При обратном неравенстве — к увеличению тока через R. При 屮2 =實(门 + К) ток через R не изменится.
Ответ', вольтметр покажет напряжение, равное по модулю £2. В зависимости от соотношения между током в цепи при замкнутом ключе и током короткого замыкания второго источника отброс будет в ту или другую сторону.
Решение. Напряжение на зажимах работающего источника тока U = г — —1г, где £ — ЭД С источника, г — его внутреннее сопротивление, / — сила тока в цепи. Так как ток в цепи определяется выражением
/
П + R'
то напряжение на вольтметре при замкнутом ключе
_£1+^2
u2 = 實—二石T2.
门+兄
Если ток в цепи / меньше тока короткого замыкания второго элемента 實/厂2, то 5〉。н при размыкании ключа К вольтметр покажет ЭД С второго элемента ^2・ Если I > £2/^2, то U? < 0. Это значит, что при размыкании ключа вольтметр даст отброс в противоположную сторону. Если при этом нуль прибора расположен посредине шкалы, то он покажет напряжение, равное £2- Если нуль расположен у края шкалы, то при размыкании ключа стрелка уйдет влево.
Ответ: при £2/^2 < £i/(ti + А) показания амперметра увеличатся, при £2/^2>£1/(门 + A) — уменьшаtся.
Решение. Качественно понятно, что показания амперметра могут и увеличиться, и уменьшиться. Действительно, при £2 ^ 0 показание амперметра возрастет, так как при замыкании ключа просто закорачивается часть цепи. При £1^0 ток в цепи при замыкании ключа практически обратится в нуль.
Получим теперь строгие оценки. До замыкания ключа ток в цепи
£1 + ^2
门+72 + A♦
После замыкания
Ток уменьшится, т. е. будет выполнено неравенство /〉/', если £2/^2 〉 〉£i/(n + А). При обратном неравенстве ток в цепи при замыкании ключа увеличится.
R =1 = 4г = 0,8 Ом.
2-
厶=丁 А' ~ 1,6 А; /л =々 £[2}f _ ^二 з,7 А.
Г2_(Al + 必)(，自 + a/凡)2Г2_(Al + 必)(，自 + a/凡)2/ ="(门 + ‘2)— £1 + £2 = 20 А.
Г2_
(Al + 必)(，自 + a/凡)2
Г2_
(Al + 必)(，自 + a/凡)2
2.117. Qi =2.117. Qi =(Ai + 必 + а/Ai 必)2(Ai + 必 + а/Ai 必)2Q ~ 0,9Q; г = у/R1R2 = 6 Ом.
2.117. Qi =
2.117. Qi =
(Ai + 必 + а/Ai 必)2
(Ai + 必 + а/Ai 必)2
На внешних сопротивлениях выделится мощность
L 场 + 2)2, на внутреннем сопротивлении источника —
А2・
А(тг + 2)2
Полная мощность, выделяющаяся в сети
ААR(n + 2)R(n + 2)п
А
А
R(n + 2)
R(n + 2)
(см. решение задачи 2.38).
厶=*1 — * 二 1,зз А;厶=實 тз = 1 а； /3 = 0； /五=厶 + J2
=2,33 A; R = £3/Ir = 0,7 Ом.
CU2 必丁凡+必•CU2 必丁凡+必•凡凡2.121. Qri2.121. Qri4 /bi 十 /Ъ24 /bi 十 /Ъ2Q =0产/4
CU2 必
丁凡+必•
CU2 必
丁凡+必•
凡
凡
2.121. Qri
2.121. Qri
4 /bi 十 /Ъ2
4 /bi 十 /Ъ2
Указание. В процессе перетекания части заряда с одного конденсатора на другой ток в каждой точке цепи в любой момент времени одинаков. Следовательно, напряжения на резисторах в любой момент времени пропорциональны их сопротивлениям.
а) Источник £i выделяет 12 Вт; источник £2 поглощает 6 Вт (см. рисунок в условии задачи).
Мощность, поглощаемая вторым источником, расходуется на увеличение его химической энергии при обратимых процессах в источнике и приводит к нагреванию при необратимых процессах.
На резисторе Ai выделяется 2 Вт; на Я2 — 4 Вт.
При изменении полярности одного из источников оба источника будут выделять энергию: 36 Вт источник £i и 18 Вт источник £2- На сопротивлении Ai выделится 18 Вт, а на сопротивлении Я2 — 36 Вт.
2.123. a） Q = （е — U）2〃 = 4 Дж; 6） Q = （е + U）2/r = 36 Дж.2.123. a） Q = （е — U）2〃 = 4 Дж; 6） Q = （е + U）2/r = 36 Дж.2.124.2.125.2.124.2.125.r/R= yW/3— 1 ^ 0,054.^Pa — ^Рь =；~i— = —47 В./с + 1r/R= yW/3— 1 ^ 0,054.^Pa — ^Рь =；~i— = —47 В./с + 12.126.2.126.qq0（£1 8 + a） +£2 门）0（£1 8 + a） +£2 门）2.127.2.127.门+72 + A£1 （T2 + A）—實门门+72 + A£1 （T2 + A）—實门门+72 + A门+72 + A£1（门+A）一£172£1（门+A）一£1722.128.2.128.Ответ-, q =Ответ-, q =（必+ % +凡）T + （凡+ %）凡（必+ % +凡）T + （凡+ %）凡Решение. Ток в участке цепи, содержащем конденсатор, не идет. ПоэтомуРешение. Ток в участке цепи, содержащем конденсатор, не идет. Поэтомучерез источник течет токчерез источник течет ток（必+ АзрГ 必 + Аз + 〃4（必+ АзрГ 必 + Аз + 〃4Обозначим через /' силу тока через сопротивления 〃2 и Аз. Тогда, очевидно,（/一仆4 = "% + %）•Обозначим через /' силу тока через сопротивления 〃2 и Аз. Тогда, очевидно,（/一仆4 = "% + %）•ОтсюдаОтсюда必+ % +凡必+ % +凡Теперь определяем заряд на конденсаторе, учитывая, что напряжение U на нем равно напряжению на сопротивлении 必：Теперь определяем заряд на конденсаторе, учитывая, что напряжение U на нем равно напряжению на сопротивлении 必：q = CU = Cl' R^ =q = CU = Cl' R^ =。R3R4 g。R3R4 g（必+ % +凡）T + （%+ %）凡（必+ % +凡）T + （%+ %）凡
2.123. a） Q = （е — U）2〃 = 4 Дж; 6） Q = （е + U）2/r = 36 Дж.
2.123. a） Q = （е — U）2〃 = 4 Дж; 6） Q = （е + U）2/r = 36 Дж.
2.124.
2.125.
2.124.
2.125.
r/R= yW/3— 1 ^ 0,054.
^Pa — ^Рь =；~i— = —47 В.
/с + 1
r/R= yW/3— 1 ^ 0,054.
^Pa — ^Рь =；~i— = —47 В.
/с + 1
2.126.
2.126.
q
q
0（£1 8 + a） +£2 门）
0（£1 8 + a） +£2 门）
2.127.
2.127.
门+72 + A
£1 （T2 + A）—實门
门+72 + A
£1 （T2 + A）—實门
门+72 + A
门+72 + A
£1（门+A）一£172
£1（门+A）一£172
2.128.
2.128.
Ответ-, q =
Ответ-, q =
（必+ % +凡）T + （凡+ %）凡
（必+ % +凡）T + （凡+ %）凡
Решение. Ток в участке цепи, содержащем конденсатор, не идет. Поэтому
Решение. Ток в участке цепи, содержащем конденсатор, не идет. Поэтому
через источник течет ток
через источник течет ток
（必+ АзрГ 必 + Аз + 〃4
（必+ АзрГ 必 + Аз + 〃4
Обозначим через /' силу тока через сопротивления 〃2 и Аз. Тогда, очевидно,
（/一仆4 = "% + %）•
Обозначим через /' силу тока через сопротивления 〃2 и Аз. Тогда, очевидно,
（/一仆4 = "% + %）•
Отсюда
Отсюда
必+ % +凡
必+ % +凡
Теперь определяем заряд на конденсаторе, учитывая, что напряжение U на нем равно напряжению на сопротивлении 必：
Теперь определяем заряд на конденсаторе, учитывая, что напряжение U на нем равно напряжению на сопротивлении 必：
q = CU = Cl' R^ =
q = CU = Cl' R^ =
。R3R4 g
。R3R4 g
（必+ % +凡）T + （%+ %）凡
（必+ % +凡）T + （%+ %）凡
В =必=5・ 10—6 тл.
27r
В = —~ 9,07 • 10-6 Тл; вектор индукции лежит в плоскости, 7Г« + 4兴）
перпендикулярной проводам, и направлен параллельно соединяющему провода отрезку.
В =——子网/ d 4,53 • 10-6 Тл; вектор индукции лежит в плоско- 7Г（/2 + 4戸）
сти, перпендикулярной проводам, и направлен перпендикулярно соединяющему провода отрезку.
а） В = 7Г4о//£; б） В = 87^仰//（тг£）； в） В = 27从（）//（穴力）.
М = IL"（4不N）.
Ф = ВкВ? cos а ~ 0,0009 Вб.
Ф = NBttP2 cos а 0,26 Вб.
F= =0,015 Н.
3.9. a） F =3.9. a） F =3，^网广3，^网广ложной вершине;ложной вершине;4тга4тга,направлена вдоль диагонали квадрата к противопо-,направлена вдоль диагонали квадрата к противопо-
3.9. a） F =
3.9. a） F =
3，^网广
3，^网广
ложной вершине;
ложной вершине;
4тга
4тга
,направлена вдоль диагонали квадрата к противопо-
,направлена вдоль диагонали квадрата к противопо-
аправлена наружу квадрата вдоль его диагонали.
a) F ==3,2 • 10-16 Н, в направлении, противоположном току;2而
F ==3,2 • 10-16 Н, в радиальном направлении от провода;
0.
h = Я/тг 3,18 см.
а) 80 А, в том же направлении, что и ток в первом проводе.
2,4 • 10-4 Тл в направлении, противоположном направлению оси у, если токи в проводах идут в положительном направлении оси г.
F = qpVB 1,25 • 10-12 Н, в отрицательном направлении оси у.
F = ПВ sin а = 1 Н.
14 Н/м, в положительном направлении оси г.
Ответ: a) F = /у (1 —彳 cos 夕)；6)歹=/у у 1 + ^——2у cos 夕.
Решение. Сила, действующая на проводник длины Z, расположенный перпендикулярно линиям индукции магнитного поля, равна F. Следовательно, индукция магнитного поля В = //(Л).
На рис. 3.1 проводники длины I и L образуют острый угол 夕，а вектор индукции магнитного поля В лежит в плоскости изгиба проводников. Силы, действующие на обе части проводника, направлены перпендикулярно плоскости рисунка. Их модули определяются соотношениями:
Я = J1BZ = / • у, Fl = h BL cos 夕=/ •今，cos 夕.
Результирующая сила, действующая на изогнутый под углом 夕 проводник, F = Fi — Fl =片卜—彳 coQ .
В случае, когда плоскость изгиба проводников перпендикулярна вектору В (рис. 3.2), силы № = /•(/"/) и Fl = I\BL = / • (IiL/Il) лежат в
厶厶厶厶
厶
厶
厶
厶
плоскости рисунка, а модуль результирующей силы легко найти с помощью теоремы косинусов:
歹=+ — 2丁 cos 夕•
a = arctg :LEI mg
a = arctg .
Ответ: a = IBR/S.
Решение. На каждый элемент кольца длины △/ действует сила Ампера, направленная по радиусу наружу или в центр кольца в зависимости от направления тока в кольце (рис. 3.3). Следовательно, кольцо с током, распо-
Рис. 3.4Рис. 3.4
Рис. 3.4
Рис. 3.4
ложенное перпендикулярно линиям индукции магнитного поля, растягивается или сжимается. Пусть элемент △/ виден из центра кольца под углом (рис. 3.4). Действующая на этот элемент сила Ампера F% = /石△/. С другой стороны, сила Ампера уравновешивается силами упругости F со стороны соседних элементов кольца (рис. 3.4). Поэтому & = 2歹△&. Учитывая, что △а = △Z/(2A), получаем: F = IBR. Поделив силу упругости на площадь поперечного сечения, получаем механическое напряжение а = F/S = IBR/S. Здесь мы пренебрегали действием токов в разных элементах кольца друг на друга, что соответствует случаю слабого тока в достаточно сильном внешнем магнитном поле.
Ответ: контур будет перемещаться в область более сильного или более слабого магнитного поля в зависимости от направления тока в нем.
Решение. Сила Ампера &, действующая на элемент контура △/, перпендикулярна как элементу тока, так и вектору магнитной индукции. Составляющая этой силы, лежащая в плоскости контура, будет его растягивать, а составляющая, перпендикулярная плоскости контура, будет направлена вправо. Эта составляющая стремится переместить контур в область более сильного магнитного поля. Если бы ток I в контуре имел противоположное направление, то сила Ампера стремилась бы сжать контур и переместить его в область более слабого поля.
а) А =亠_ 2,2 мм;
Т=1,1 • 10-10 с; / =9,1 • 109 с-1.
a
qBqB
R == 1 см.
Ответ', частица будет двигаться по циклоиде, дрейфуя в направлении, перпендикулярном векторам Е и В, со скоростью V = Е/В.
Решение. Покажем прежде всего, что траектория частицы представляет собой плоскую фигуру. Выберем систему координат таким образом, чтобы ось Z была направлена вдоль вектора индукции магнитного поля В, а ось У — вдоль напряженности электрического поля Е (рис. 3.5). Начало системы координат поместим в точку, где в начальный момент покоилась частица. Покоившейся частице электрическое поле сообщает ускорение и, следовательно, скорость вдоль оси Y. Поскольку сила, действующая на частицу со стороны магнитного
поля, перпендикулярна как индукции поля, так и скорости частицы, то она действует в плоскости XY. Другими словами, равно нулю ускорение частицы вдоль оси Z, а следовательно, и ее скорость вдоль оси Z. Таким образом, частица никогда не сможет покинуть плоскость XY. Но и в плоскости XY первоначально покоившаяся положительно заряженная частица может двигаться только в верхней полуплоскости （У 〉 > 0）. В этом проще всего убедиться из энергетических соображений. В самом деле, постоян-
рис 3 5ное магнитное поле, действуя перпендикулярно
скорости, работы не совершает, а постоянное электрическое поле потенциально. Потенциальная энергия частицы зависит только от координаты У. В момент, когда У-координата частицы обращается в нуль, должна обратиться в нуль и скорость частицы.
Для определения траектории частицы попробуем рассмотреть движение в другой системе отсчета, подобрав скорость новой системы так, чтобы упростить описание движения.
Заметим, что при переходе к новой системе отсчета К[ движущейся со скоростью V （V《с） относительно системы К электрическое поле Е‘ и магнитное В' преобразуются следующим образом:
Е7 = Е + [VB],
В，= В + 3 [VE].с
При малых скоростях системы К' относительно К можно считать, что электрическое поле в системе К' меняется, а магнитное поле практически остается прежним.
Можно выбрать систему отсчета таким образом, чтобы в ней осталось только магнитное поле. Для этого необходимо, чтобы направления осей К и К' совпадали, а система К' двигалась относительно К вдоль оси X （рис. 3.6）
с постоянной скоростью V = Е/В. При этом предполагается выполненным условие V《& что накладывает некоторое ограничение на соотношение полей Е и В. Добавочное электрическое поле VB, возникшее в системе К', будет равно по величине и противоположно по направлению полю Е. В результате в системе К' останется только магнитное поле В.
Теперь возвратимся к описанию первоначально покоившейся в системе
отсчета К частицы и рассмотрим это движение с точки зрения наблюдателя в системе К'. Очевидно, что начальная ско
рость частицы в системе К' направлена противоположно оси X и равна Е/В (рис. 3.7).
В однородном магнитном поле заряженная частица равномерно вращается по окружности, если ее начальная скорость перпендикулярна линиям магнитной индукции. Масса т, заряд q, скорость частицы V, радиус окружности R и индукция магнитного поля В связаны соотношением mV2/R = qVB. Отсюда радиус окружности R = тЕ/{qB2), а угловая скорость частицы g = qB/m.
Определим теперь, как будет двигаться частица в исходной системе К. Очевидно, что
это движение складывается из равномерного
движения по окружности со скоростью V и поступательного движения со скоростью V вдоль оси X. Легко видеть, что точно также движется точка на ободе колеса радиуса Я, катящегося без проскальзывания вдоль оси X, причем в начальный момент эта точка находится в начале координат.
Таким образом, любая частица, имеющая нулевую начальную скорость
независимо от ее массы, величины и знака заряда, в скрещенных полях совершает дрейф в направлении, перпендикулярном векторам Е и В со скоростью V = Е/В.
Получим зависимость координат частицы от времени. Для этого ипро- катнм" колесо радиуса R вдоль оси X (рис. 3.8) и выразим координаты
точки на ободе колеса через угол поворота колеса 夕=При качении без проскальзывания центр колеса смещается от начальной точки на расстояние, равное R(p. Поэтому
/⑴=R(ut — sincjt),g ⑴=A(1 — coscjt).где А н g определены выше. Эти уравнения представляют собой параметриче-ское задание циклоиды.
Ответ: Е(石％) = /3/4.
Решение. Выберем направление осей системы координат как показано на рис. 3.10 Движение частицы будет происходить в плоскости YZ. Направление силы, действующей на частицу со стороны магнитного поля, когда она имеет указанную на рис. 3.10 скорость, зависит от знака заряда частицы. Если заряд положителен, то эта сила, как и сила со стороны электрического поля, направ-
ЕЕРис. 3.10Рис. 3.10лена вверх. Если заряд отрицателен, то обе силы направлены вниз. Из закона сохранения энергии видно, что когда частица изменит направление скорости на противоположное, величина скорости будет больше Vo- Действительно, при движении положительной частицы вверх (вдоль линий напряженности Е), а отрицательной — вниз (про
Е
Е
Рис. 3.10
Рис. 3.10
Рис. 3.11Рис. 3.11тив линий напряженности Е), потенциальная энергия частиц уменьшается, а, значит, растет кинетическая, т. е. увеличивается скорость частицы.
Рис. 3.11
Рис. 3.11
Перейдем теперь в систему отсчета, в которой существует только магнитное поле. Эта система движется относительно исходной со скоростью V = Е/В влево (рис. 3.11). В ней частица в начальный момент имеет скорость % + + V, направленную вдоль оси Z (рис. 3.12) и, в зависимости от знака заряда, движется по одной из изображенных на рис. 3.12 окружностей. В момент,
когда скорость частицы противоположна начальной в исходной системе отсчета, модуль скорости равен % + 2V. Таким образом, изменение кинетической энергии
_ 3%)+ 2v)2 — ^
22 '
По условию ДЖ =伪п吟/2, откуда
4У(И)+ V)=哈(％ + ^) =
Поскольку по условию %》Е/В то вторым слагаемым в скобках можно пренебречь по сравнению с первым. Поэтому
Е _ /3
Ж 二 4'
При решении предполагалось Е《сВ, что соответствует пренебрежению релятивистскими эффектами.
Ответ: нет.
Решение. Принцип относительности утверждает, что в обеих системах отсчета мы увидим одно и то же. Следовательно, заряд и магнит останутся неподвижны друг относительно друга в обеих системах, хотя абсолютно очевидно это только для системы, где заряд и магнит покоятся.
Проведем рассмотрение в другой системе отсчета. В ней наряду с магнитной имеется еще и электрическая сила. Опираясь на принцип относительности, можно установить, чему она равна. Поскольку заряд движется в этой системе
отсчета с постоянной скоростью, суммарная сила, действующая на него, равна нулю: Fm + Fe = 0. Модуль магнитной силы Fm = qVBsina, где В — магнитная индукция в той системе отсчета, где заряд движется. Следовательно, модуль электрической силы Fe = qVBsina. Итак, в системе отсчета, где заряд движется, появилось электрическое поле. Его напряженность Е = Fe]q = =VB sinct.
Поведение заряда и магнита в обеих системах отсчета идентично, а вот разделение электромагнитного взаимодействия на электрическую и магнитную части зависит от системы отсчета, в которой рассматривается взаимодействие. В первой системе отсчета имеется только магнитное поле, но на неподвижный заряд оно не действует. Во второй системе отсчета магнитное поле действует на движущийся заряд, но его действие скомпенсировано появлением электрического поля, "порожденного" движущимся магнитным полем. (При V《с магнитное поле в обеих системах отсчета можно считать одинаковым.)
а) Е = VB = 1,05 • 104 Н/Кл в отрицательном направлении оси Z; б) не будет.
а) / = QeB/(27rm) 2,14 • 107 с-1; б) 46 МэВ; в) частота и кинетическая энергия уменьшатся в два раза.
q/m = 2U〔〈RB?.
2 = (7/6)Di = 17,5 см.
a) г = y/2mU/(qB2)0,501 m; 6) r/R = y/m/M = 1,017; R — r =
a) V = ±1,07- IO-4 м/с; 6)几=5,85 • 1028 м"3.
Bledu
U = VBD 1,02 • KT3 B
^ F^ = eVB = 0,64 • 10~19 H; б) E = VB = 0,4 Н/Кл; в) U = =VBl = 0,12 В; г) и = Ui/Bl = 40 м/с.
尸歹0"2
We =4,43 • 10~4 Дж; VKM =4 • 105 Дж; W
22网
E = 3,6 • 109 Н/Кл.
M = ^^ In ^1 + ^^. Для получения ответа следует вычислить магнитный поток, пронизывающий виток.
△石/△力=IЯ/(^7гr2)191 Тл/с.
Q =炉S2/(改).
Ответ-, ш = QB/(2т).
Решение. При изменении во времени индукции магнитного поля возникнет вихревое электрическое поле Е. Именно оно будет раскручивать заряженное кольцо, поскольку заряды вдоль диэлектрика перемещаться не могут. Для определения напряженности вихревого поля воспользуемся законом электромагнитной индукции: q =—穴〃2(△石/△", где R — радиус кольца.
2 △方В этой формуле опущен знак "минус", поскольку нас интересует модуль вектора напряженности. Сила, раскручивающая кольцо, в любой точке кольца направлена по касательной вдоль напряженности вихревого электрического поля. Модуль линейного ускорения а любой точки кольца можно найти как отношение силы, действующей на заряд, распределенный по кольцу, QE к массе кольца т:2 △方В этой формуле опущен знак "минус", поскольку нас интересует модуль вектора напряженности. Сила, раскручивающая кольцо, в любой точке кольца направлена по касательной вдоль напряженности вихревого электрического поля. Модуль линейного ускорения а любой точки кольца можно найти как отношение силы, действующей на заряд, распределенный по кольцу, QE к массе кольца т:С другой стороны, ЭД С индукции можно выразить через работу сил, действующей на заряды со стороны вихревого электрического поля 7 = 2tvRE. Для Е получаем
2 △方
В этой формуле опущен знак "минус", поскольку нас интересует модуль вектора напряженности. Сила, раскручивающая кольцо, в любой точке кольца направлена по касательной вдоль напряженности вихревого электрического поля. Модуль линейного ускорения а любой точки кольца можно найти как отношение силы, действующей на заряд, распределенный по кольцу, QE к массе кольца т:
2 △方
В этой формуле опущен знак "минус", поскольку нас интересует модуль вектора напряженности. Сила, раскручивающая кольцо, в любой точке кольца направлена по касательной вдоль напряженности вихревого электрического поля. Модуль линейного ускорения а любой точки кольца можно найти как отношение силы, действующей на заряд, распределенный по кольцу, QE к массе кольца т:
_QE _ QA △石m 2m △/,
Изменение линейной скорости кольца за время △力
△V = a△方=——.2т
Поскольку угловая скорость ш связана с линейной скоростью V соотношением V = uR, для △& получаем:
Если индукция магнитного поля изменилось от 0 до В, угловая скорость вращения достигнет значения g = QB/(2т). Отметим, что ответ не зависит от времени, в течение которого происходит изменение магнитного поля.
Ответ: В = qR/(NS).
Решение. Пусть за время △力 магнитный поток через катушку изменился на величину △①=NS АВ, где ДВ — изменение среднего магнитного поля в катушке за время △九 Тогда в катушке возникнет индукционный ток
Заряд, протекающий через гальванометр за время △力
△q = IM =一学△石.
Полный заряд за все время изменения магнитного поля до нуля дается соотношением q = (NS/A)A Отметим, что при внесении катушки в магнитное поле выражение для величины тока и заряда осталось бы таким же, но направление тока и знак заряда были бы противоположны. Для индукции магнитного поля В получаем: В = qR/(NS). Полный заряд не зависит от того, по какому закону изменяется магнитный поток со временем.
Ответ: работа при быстром выдвигании магнита в три раза больше.
Решение. Заряд, прошедший через виток при медленном и быстром выдвигании витка, одинаков. Он определяется только изменением магнитного потока △Ф через виток
△Ф
Работа, совершаемая внешней силой, равна q • ”，где q — ЭД С индукции, возникающая в витке. Поскольку £分 определяется скоростью изменения магнитного потока △①/△力 то работа во втором случае будет в три раза большей.
Ответ: / =
Решение. При изменении тока в цепи наряду с ЭД С источника тока возникает ЭД С самоиндукции е* определяемая соотношением £分=£(△//△£), где △//△力—заданный в условии модуль скорости изменения тока в цепи. Теперь с помощью закона Ома имеем
e + q _ e + 力(△//△力)
Обратим внимание на то, что если прекратить изменение тока в цепи, т. е. перестать передвигать движок реостата, то ток в цепи станет меньше и будет равным I = e/R.
R = 丁= 2,5 Ом.
а) £ = WB = 0,72 В; б) I = IVB/R = 28,8 мА; в) F =户石2卜/〃 二 =2,6 • IO-3 H; г) F = l2B2V2/R = 20,7 • 10一з Вт
1= BIV)/R.
4・1°・ а)。VB°* jg; 6) 2
y yB2fV cos2 彳、〃 mgR sin
a) F = ; б) V =予——
RB2/2 cos2^
a) £ = U —勿=37 В; 6) /о = U/r 26,7 А.
g =5^ 255 рад/с.
tvD’NB
£ = (1/6)7гг2^В0^+ 1)(2N+ 1)coscjt.
Ответ: q = Le/(rR).
Решение. После замыкания ключа через катушку индуктивности и резистор пойдет ток. Ток через резистор будет идти только до тех пор, пока ток в катушке индуктивности не перестанет меняться. Пусть за малое время △力 ток через катушку изменился на величину 2丄.В катушке возникнет ЭД С самоиндукции £分=™Б(Д1ь/Д^). Поскольку напряжение на индуктивности и резисторе одинаковы, через резистор будет течь ток
Следовательно, за время △力 через резистор протечет заряд Aq = /五△力= =L^Il/R. Учитывая, что ток через индуктивность изменяется от нуля до тока короткого замыкания е/r, находим, что полный заряд, протекающий через сопротивление 凡 равен q =力£/(厂〃).
Ответ-.l=-—7；"=-空——7——-•
J +L2l1 +力2
Решение. Обозначим установившиеся токи через катушки Li и 厶 как 厶 и 厶 Так как сопротивлением катушек индуктивности можно пренебречь, то сумма этих установившихся токов равна току короткого замыкания источника:
厶+"•г
Изменение тока через первую катушку, произошедшее после замыкания ключа △/] = h — h через вторую — = А・ Напряжения на обеих катушках после замыкания ключа К? одинаковы:
△厶△厶力2力2△А△АИЛИ _Z>1 (厶一7g) — L2I2 •ИЛИ _Z>1 (厶一7g) — L2I2 •
△厶
△厶
力2
力2
△А
△А
ИЛИ _Z>1 (厶一7g) — L2I2 •
ИЛИ _Z>1 (厶一7g) — L2I2 •
Таким образом, мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными /1 и /2- Решая эту систему, находим искомые токи
_ l2(e/7)+ Li Jo_ l2(e/7)+ Li Joии_ L1(E" 一 /0) А=厶+厶_ L1(E" 一 /0) А=厶+厶
_ l2(e/7)+ Li Jo
_ l2(e/7)+ Li Jo
и
и
_ L1(E" 一 /0) А=厶+厶
_ L1(E" 一 /0) А=厶+厶
№ = (5/Ui)Ni. Указанным в условии напряжениям соответствует 10,4; 31,3 и 37,5 витков.
7,7 Вт.
^2 = (U/Ui)Ni = 100;厶=U//S = 0,02 А.
Ответ-. U/2.
Решение. Будем считать трансформатор идеальным, т. е. предполагать, что нет не только потерь магнитного потока, но и тепловых потерь. При включении первой обмотки в сеть в ней будет возникать ЭД С самоиндукции, компенсирующая подаваемое переменное напряжение U. Однако через вторую обмотку будет проходить в два раза меньший магнитный поток. Частота изменения магнитного потока в первой и второй обмотках одинаковы. Следовательно, скорость изменения магнитного потока через вторую обмотку будет в два раза меньше. Поэтому ЭД С индукции, возникающая во второй обмотке, будет также в два раза меньше, т. е. напряжение на второй обмотке будет U/2. Отметим, что если подать напряжение U на вторую обмотку, то, вследствие симметрии сердечника и обмоток, на первой обмотке тоже появится напряжение U/2.
М/№ =，Ё7?Ж =3.
Ответ: показания вольтметра будут различны в зависимости от
того, как расположены соединительные провода вольтметра.
Решение. Силовые линии вихревого электрического поля, создаваемого изменяющимся магнитным полем, представляют собой замкнутые симметричные кривые, охватывающие сердечник трансформатора. При этом ЭД С индукции
Рис. 4.1Рис. 4.1однородно распределена по кольцу, так что в любом его участке действующая ЭД С пропорциональна длине участка. В частности на участке АВ индукция sab = =(1/3)£, а на участке BCF sbcf = (2/3)е.
Рис. 4.1
Рис. 4.1
На первый взгляд может показаться, что рассматриваемая задача аналогична задаче об определении напряжения между точками А и В схемы, показанной на рис. 4.1: последовательно соединены три одинаковых источника тока с ЭД С е/3 н внутренним сопротивлением R/З каждый. В этом случае в пренебрежении сопротивлением соединительных проводов, ток в цепи / = е/А, а напряжение между точками А и В равно Uab = 〃3 — IR/3 = 0.
Однако в исходной задаче показания вольтметра будут отличны от нуля, поскольку вольтметр со своими соединительными проводами, подключенный к точкам А п В кольца, образует дополнительный контур, в котором также будет возбуждаться ЭД С индукции. При этом напряжение, которое покажет вольтметр, будет зависеть от того, как расположены соединительные провода вольтметра (рис. 4.2 и рис. 4.3).
Показания вольтметра зависят от проходящего через него тока Jy — вольтметр проградуирован так, что показываемое им напряжение
Uv = IvRv,
где Rv ——сопротивление вольтметра. У идеального вольтметра ток Jy пренебрежимо мал по сравнению с током в кольце I. При включении вольтметра согласно рис. 4.2, контур, состоящий из дуги АВ кольца и соединительных проводов, не охватывает сердечника трансформатора и, следовательно, ЭД С в нем равна нулю. Поэтому
IRab — lyRv = 0.
Отсюда находим показания вольтметра:
33Uv = IvRv = IRab = | • |
3
3
Такой же результат получится, разумеется, если рассмотреть контур, состоящий из соединительных проводов и дуги ВС А кольца. Этот контур охватывает сердечник трансформатора и действующая в нем ЭД С равна е. Поэтому имеем:
IRbca + IvRv = £•
Поскольку Явса = (2/3)凡 получаем:
Uy = Iv Rv = £ — IRbca = £Uy = Iv Rv = £ — IRbca = ££竺R ' "Г£竺R ' "Г£3£3
Uy = Iv Rv = £ — IRbca = £
Uy = Iv Rv = £ — IRbca = £
£竺R ' "Г
£竺R ' "Г
£
3
£
3
Теперь рассмотрим случай, когда вольтметр включен согласно рис. 4.3. Для контура, образуемого дугой АВ кольца и соединительными проводами, получим:
IRab + lyRv = £•
Откуда для показания вольтметра имеем:
Uy = lyRv = £ — IRab = £Uy = lyRv = £ — IRab = £RУRУ2s2s
Uy = lyRv = £ — IRab = £
Uy = lyRv = £ — IRab = £
R
У
R
У
2s
2s
Показание вольтметра выросло в два раза. Подчеркнем, что полученные результаты справедливы в случае идеального вольтметра, ибо в противном случае уже нельзя считать одинаковыми токи в дугах АВ и кольца.
Обратим внимание, что в рассматриваемой цепи вольтметр показывает вовсе не разность потенциалов между точками А и В, которая равна нулю. Вольтметр с проводами не образует uоднородного удастка" цепи, поскольку в проводах действует ЭД С индукции. Это и приводит к возникновению тока в вольтметре.
Ответ: U； 100 В.
Решение. В первом случае напряжение U? на концах разомкнутой вторичной обмотки меньше, чем nUi = 200 В. В пренебрежении рассеянием магнитного потока и потерями в сердечнике это может быть вызвано только падением напряжения на активном сопротивлении первичной обмотки.
Напряжение Ul на индуктивном сопротивлении первичной обмотки опережает по фазе на тг/2 ток, а, следовательно, и напряжение Ur на активном сопротивлении R. Поэтому для полного напряжения U\ на концах первичной обмотки справедливо:
5 =+宽.⑴
Напряжение Ul на индуктивном сопротивлении равно по модулю ЭД С самоиндукции £1, возникающей в первичной обмотке. Напряжение U2 на концах разомкнутой вторичной обмотки равно возникающей в ней ЭД С индукции £2- Поскольку £1 и 兔 связаны соотношением £2/^1 =几，то
U2 = nUL.(2)
Это означает, что напряжение U? на концах разомкнутой вторичной обмотки определяется не полным напряжением Ui, а только его индуктивной составляющей.
Из соотношения (1) следует, что
Ul _ Rl J⑶ S J〃2 + (班)2 J1 + ［A/班］2
Поэтому с помощью (2) имеем:
灰/•(4)
,1 + (A/班)2
При замене сердечника трансформатора индуктивное сопротивление первичной обмотки уменьшается в к раз при неизменной частоте подаваемого напряжения. Поэтому
(5)⑹⑺(5)⑹⑺灰= m
(5)
⑹
⑺
(5)
⑹
⑺
Из соотношений (2) и (3) следует равенство:Из соотношений (2) и (3) следует равенство:Подставляя (6) в выражение (5), находим: nUiПодставляя (6) в выражение (5), находим: nUi,1 +(кА/班 У
Из соотношений (2) и (3) следует равенство:
Из соотношений (2) и (3) следует равенство:
Подставляя (6) в выражение (5), находим: nUi
Подставляя (6) в выражение (5), находим: nUi
Jl+依［叫［/"“У — 1］
Используя заданные в условии значения входящих в формулу (7) величин, получаем U； 100 В. Таким образом, напряжение на разомкнутой вторичной обмотке оказалось равным поданному на первичную обмотку, несмотря на то, что число витков во вторичной обмотке в два раза больше. Для нормальной работы трансформатора необходимо, чтобы активное сопротивление R первичной обмотки было мало по сравнению с ее индуктивным сопротивлением Rl・ При выполнении этого условия индуктивная составляющая напряжения будет близка к подаваемому на первичную обмотку напряжению У такого
трансформатора на холостом ходу U? ^ nUi, причем эти напряжения находятся почти в противофазе.
а) Е = -^oNrlocu coscjt; 6) Е = q4()N——Iqgcosg
竺=41,26 • 109 В/(м • с).
В =纥。产 R
2rd △方
Ответ: протон будет двигаться по винтовой линии вдоль оси соле
ноида.
Решение. При включении магнитного поля возникнет вихревое электрическое поле Е, которое можно определить, воспользовавшись соотношением
Е・2eR =不比？~.
г
Отсюда Е = ЯВ/(2т).
Электрическое поле сообщит протону скорость и в направлении, перпендикулярном оси соленоида,
_ еЕт _ eRB
т 2m '
Теперь ясно, что протон будет двигаться по винтовой линии: вдоль оси соленоида со скоростью V н в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции, со скоростью и по окружности радиуса
_ mu _ R
Период обращения протона по окружности т 27rL 2тгт
Спустя время Т/2 после "мгновенного” включения магнитного поля траектория протона пройдет через ось соленоида и в дальнейшем это будет повторяться с периодом Г.
а) Xl ~a) Xlа) Xl ~a) Xla) uq =a) uq =15 Ом; Jo ~ 8 А; б) Хь ~ 0,5 кОм; /о ^ 0,24 А.
а) Xl ~
a) Xl
а) Xl ~
a) Xl
a) uq =
a) uq =
——79,6 Гц;27r——79,6 Гц;27r133 Ом; /о 0,75 А; б) Хх 4 Ом; Iq ~ 25 А.
——79,6 Гц;
27r
——79,6 Гц;
27r
/о =0,175 А;
《К 仆L - 1/以0)2
tgg = —28,6;夕 —88°.
F = (l/2)U()/o cosg 0,306 Вт.
(UQ/H)y/T/C = 5000 В.(UQ/H)y/T/C = 5000 В.Ur max = Uq = 100 B； UL max = U(J max
(UQ/H)y/T/C = 5000 В.
(UQ/H)y/T/C = 5000 В.
Uc = / 仇 .
a) L = 5— ^ 2,94 мГн;
(2^)2。
и2
Я = -р = 4,84 Ом.
L =—к 二 29,2 мГн.
а) А = 2tvpL{Ur/Ul) 396 Ом; б) U = UL^\ + (Ur/Ul^ = 50 В.
а) Я =- г = 6 Ом; б) L =工 J - Я = 35,5 мГн.
h27r沙 у V1 /
Решение. При правильном согласовании выхода усилителя со входом акустической колонки JiU\ ^ 厶“。Учитывая, что Ui/“ = М/№ н 厶=“/?,
приходим к искомому соотношению.
a) F = IU cos 夕 933 Вт; 6) А = (U//) cos 夕 7,71 Ом;
С = [(2тг沙)"+ 2тг沙(U//) sing] 1100 мкф;
G = —―5344 мкф.
1 - (2^LC
屮=炉/U].
Ответ-. Р = —^0,651 Вт.
1 + (а/Pq/「2 — 1 — а/Pq/Pi _ 1 )
Решение. Запишем выражения для рассеиваемой мощности при подключении к генератору переменного тока с напряжением U резистора R:
и2
R(1)
резистора R последовательно с конденсатором С:
Я2 +21 + (sCA)-
резистора R последовательно с катушкой индуктивности L:
а) % = 1/(2тгУЬС) ~ 4,6 • 104 Гц; б) /о = Uq^CJL 11,5 А.
88 мГн.
а) 2,25 мДж; б) 712 Гц; в) 0,67 А.
1 ； UL =1 ； UL =6.5. Ui =导6.5. Ui =导/⑴/⑴Ф .Ф .%%=—sin2CUqL2 2CUoJ 7 Q=—sin2CUqL2 2CUoJ 7 Q厶2厶2Ti = Т/2 = 20 мкс.
1 ； UL =
1 ； UL =
6.5. Ui =导
6.5. Ui =导
/⑴
/⑴
Ф .
Ф .
%
%
=—sin
2CUqL2 2CUoJ 7 Q
=—sin
2CUqL2 2CUoJ 7 Q
厶2
厶2
Ответ: /max = g J —•
Решение. Рассмотрим сначала, каким будет электрическое поле вокруг пластин при разомкнутом ключе К\ (рис. 6.1). Заряженная пластина / создает вокруг себя электрическое поле, напряженность которого
На левой стороне пластины 2 индуцируется отрицательный заряд —Q/2, на правой стороне — положительный заряд Q/2. Такие же заряды индуцируются на левой и правой сторонах пластины 3. Следовательно, напряженность электрического поля между пластинами будет везде одинакова и определяться приведенной формулой. Если пластины 2 н 3 соединить проводником, то
Рис. 6.2Рис. 6.2
Рис. 6.2
Рис. 6.2
электрическое поле в промежутке между пластинами исчезнет: заряды с правой стороны пластины 2нс левой стороны пластины / нейтрализуют друг друга (рис. 6.2). При этом энергия электрического поля между пластинами
W = кЕ2sd
превратится в тепло. Если же пластины 2 н 3 замкнуть на идеальную (без активного сопротивления) катушку, то энергия электрического поля превратится в энергию магнитного поля в катушке индуктивности
а в системе начнутся колебания.
Отсюда находим /maxОтсюда находим /max1V kLS '1V kLS 'К тому же результату можно прийти иначе, представив поле между пласти-
Отсюда находим /max
Отсюда находим /max
1V kLS '
1V kLS '
нами 2 и 3 как электрическое поле конденсатора емкости。= s^S/d с зарядами Q/2 и —Q/2 на обкладках. Энергия такого заряженного конденсатора
1 Q2/4 — Q2d
2 £()S/d8e()S
Приравнивая это выражение к энергии магнитного поля, выраженной через максимальный ток, немедленно получаем ответ.
а) 300 м; б) 3 м.
沙= с“ = 3・。8 m
兔e2/2 = eое2В2/2 =g2/(2网).
Е = 3,46 В/м; В = 0,115 • 10~6 Тл;
Е = 0,346 В/м; В = 0,115- IO-7 Тл;
Е = 0,0346 В/м; В = 0,115 • 10~8 Тл.
a) F = 47rA2^ ~ з,9з . ю26 Вт; 6) Е =，2^/(兔。)~ 1,0- 103 В/м;
В = Е/с^З,4- 10~6 Тл.
а) Е = \~ 1，3 • 1後 Н/Кл; б) VK = — = 0,625 • 10~8 Дж.
△/ = */d = 1,26 мм.
几=X/(2d)1,08.
d = (n + 1/2)А/2, где п = 0, 1, 2,
dmin = Amin/4(n2 - sh? "У’？； минимальная толщина будет при самой короткой длине волны. Поэтому пленка будет окрашена в фиолетовый цвет.
Ответ: dmax ~ 0,1 мм.
Решение. В данном случае речь идет об интерференции немонохроматического света. Допустимые значения разности хода лучей I при интерференции света с использованием разных источников определяются соотношением I 〜А2/ДА. Поэтому в случае наблюдения интерференции на тонких пленках максимальная толщина пленки определяется соотношением dmax ~ А2/(2пДА)0,1 мм.
Ответ: не отражает.
Решение. Толщина пленки d ^ 0,01 мкм мала по сравнению с характерной длиной волны видимого света. Отражение от передней поверхности пленки происходит с потерей полуволны, а от задней — без потери полуволны, так как показатель преломления подложки меньше чем у пленки. Толщина пленки недостаточна для того, чтобы скомпенсировать разность фаз волн, отраженных от передней и задней поверхностей. Поэтому волны, интерферируя, гасят друг друга, и отражения света не происходит.
少〜А/d ^ 1,2 • 10-4 рад. При использовании критерия Релея 少= =1,22入/小 1,46 • 10-4 p埶
Минимальное угловое расстояние между звездами по критерию Релея
1,22入/厶 1,32 • 10-7 p埶
△二 D/d = 0,012 M.
入/d^ b/(2Z) = 0,0125.
Ответ: R = ,SX/3.
Решение. Амплитуда сигнала, приходящего в точку Р, будет такой же, как и при полностью открытом фронте волны, если отверстие составляет 1/3 первой зоны Френеля. Площадь первой зоны Френеля равна 7гА5. Радиус отверстия определяется из условия тгА5/3 = тгА?. Поэтому R = y/SX/З.
Ответ: dmin =，2S/X.
Решение. В приближении геометрической оптики изображение щели имеет ширину d; при учете дифракции ширина главного максимума равна 2s(X/d). Минимальная ширина изображения щели соответствует условию △二 %, что дает dmin =，2SX .
Ответ: Д1 =-(为一入)=0,36 м; Д2 = 2А = 0,72 м.
Аа/Ав = 3/4. “
= где dsin夕1 = mA; dsin^z =+ ДА).
dcos(S + 92)/2)
a) Ua]“в = 1/2; 6) 7nA = 2, тв = 4; ша = 3, тв = 6.
He будут наблюдаться главные максимумы 3, 6 и 9 порядков.
d 入，1 + ⑵/5)23,2 мкм.
Можно наблюдать главные максимумы вплоть до четвертого порядка под углами, определяемыми из условия sin^k = kX/d, k = 0, 1, 2, 3, 4.
L =,где d — период решетки, к — число наблюда-
J(d/(kX))2 - 1
емых главных максимумов, равное целой части отношения d/X. При заданных в условии параметрах d ^ 1779 нм, к = 3. Для L получаем: L ^ 1,96 м.
а) Е = Ео cos 30° ~ О,866Ео； / = /о cos2 30° = О,75/о；
Е =瓦 cos2 30° = 0,75瓦；/ = /о cos2 30°0,56310
Ответ: р = \/(п — l)/(n + 1) = 0,94.
Решение. Коэффициент поглощения для поляризованного и естественного света внутри пластинок одинаков. Поэтому степень поляризации от него не зависит и поглощением света в пластинах можно пренебречь. Пусть доля интенсивности поляризованного света, прошедшего через стопу, равна р. Остальная часть интенсивностью 1 — р прошла через стопу неполяризованной. При поляризации естественного света интенсивность уменьшается вдвое (поскольку не проходит свет, поляризованный в перпендикулярном направлении). Следовательно, интенсивность естественного света на входе стопы была в (1 — @) + + 2@ = 1+@ раз больше, чем полная интенсивность света, прошедшего через стопу. Таким образом, по отношению к падающему свету доля интенсивности прошедшего поляризованного составляет @/(1+@), а неполяризованного — (1 -@)/(1 +@)・
Найдем теперь относительную интенсивность света, прошедшего через две стопы. При параллельных стопах через вторую стопу пройдет весь поляризованный свет, относительная интенсивность которого составляет @/(1 +@), а от неполяризованного (с относительной интенсивностью (1 —@)/(1 +@)) доля (1 — р)/(1 + 0) останется неполяризованной, а доля @/(1 + @) поляризуется. Таким образом, полная относительная интенсивность света, прошедшего через обе стопы, составляет
00叫=1+02⑴
1+0 1+八1+0 1+0 丿一(1+0广
При скрещенных стопах через вторую стопу пройдет доляПри скрещенных стопах через вторую стопу пройдет доля01 +@01 +@1 —Р1 +@1 —Р1 +@поляризованного света, а из неполяризованного пройдет столько же света, какполяризованного света, а из неполяризованного пройдет столько же света, каки при параллельных света будет равна1 +@и при параллельных света будет равна1 +@стопах, т. е. относительная интенсивность прошедшегостопах, т. е. относительная интенсивность прошедшего1 —р + 1 —р А 0 + 1 -吟 二 1 —0 i+01+0卜1+0i+@丿 1+ p1 —р + 1 —р А 0 + 1 -吟 二 1 —0 i+01+0卜1+0i+@丿 1+ pИз (1) и (2) находим n = (1 +0?)/(l - p2). Выражая отсюда @, имеем:Из (1) и (2) находим n = (1 +0?)/(l - p2). Выражая отсюда @, имеем:0,94.0,94.0 =0 =7.24. I = I07.24. I = I01 — a1 — a1 + (N— l)a'1 + (N— l)a'
При скрещенных стопах через вторую стопу пройдет доля
При скрещенных стопах через вторую стопу пройдет доля
0
1 +@
0
1 +@
1 —Р
1 +@
1 —Р
1 +@
поляризованного света, а из неполяризованного пройдет столько же света, как
поляризованного света, а из неполяризованного пройдет столько же света, как
и при параллельных света будет равна
1 +@
и при параллельных света будет равна
1 +@
стопах, т. е. относительная интенсивность прошедшего
стопах, т. е. относительная интенсивность прошедшего
1 —р + 1 —р А 0 + 1 -吟 二 1 —0 i+01+0卜1+0i+@丿 1+ p
1 —р + 1 —р А 0 + 1 -吟 二 1 —0 i+01+0卜1+0i+@丿 1+ p
Из (1) и (2) находим n = (1 +0?)/(l - p2). Выражая отсюда @, имеем:
Из (1) и (2) находим n = (1 +0?)/(l - p2). Выражая отсюда @, имеем:
0,94.
0,94.
0 =
0 =
7.24. I = I0
7.24. I = I0
1 — a
1 — a
1 + (N— l)a'
1 + (N— l)a'
Ответ', свет от солнца образует на стене изображение отверстия, когда стена находится близко, и дает изображение источника (т. е. Солнца) когда стена далеко.
Решение. Зеркало подобно диафрагме ограничивает пучок падающих на него прямолинейных солнечных лучей и изменяет их направление. Это изменение направления лучей при их отражении не играет принципиальной роли в вопросе о форме образующегося на стене освещенного пятна. Поэтому достаточно рассмотреть ограничение пучка солнечных лучей отверстием такой же формы и размеров, что и зеркало.
Рассмотрим случай, когда стена расположена близко к отверстию. Поскольку угловой размер солнца очень мал (а ^ 0,01 рад), то в первом приближении можно считать Солнце точечным источником света. Тогда освещенное пятно представляет собой центральную проекцию отверстия на плоскость стены. Центр проекции расположен очень далеко (расстояние от Земли до Солнца составляет около 1,5 • 108 км), поэтому все лучи, попадающие в отверстие, практически параллельны между собой. Если при этом плоскости экрана с отверстием и стены параллельны, то форма и размер освещенного пятна di совпадают с формой и размером отверстия d.
В действительности, из-за конечности углового размера Солнца границы тени на стене от краев отверстия в экране будут размытыми. Очевидно, что сформулированные выше результаты справедливы, когда ширина полутени много меньше размеров светлого пятна (т. е. размеров зеркала). Ширина полутени d‘ = aL, где L — расстояние от отверстия до стены (рис. 8.1).
Рис. 8.1Рис. 8.1
Рис. 8.1
Рис. 8.1
Итак, форма солнечного зайчика повторяет форму зеркала при условии aL《d. Так как а 0,01, то это условие принимает вид L《100d. При d = =10 см это дает L = 10 м.
Рассмотрим теперь случай, когда стена расположена далеко от отверстия. Теперь в первом приближении отверстие в экране можно считать точечным. Его форма не играет роли, все определяется угловым размером Солнца. Освещенное пятно на стене в этом случае совершенно аналогично изображению Солнца в камере-обскуре. Если стена перпендикулярна солнечным лучам, то светлое пятно представляет собой круг диаметром di = aL. При наклонной стене этот круг превращается в эллипс.
С увеличением размеров отверстия (т. е. зеркала) освещенность пятна возрастает, но его края становятся более размытыми. Очевидно, что это размытие порядка размеров отверстия d. Солнечный зайчик имеет эллиптическую (круговую) форму, если d《& = aL, т. е. при L》100d или 力》10 м.
Из приведенного рассмотрения ясно, что безразмерным параметром Г, определяющим форму освещенного пятна, является отношение углового диаметра Солнца а к угловому размеру зеркала £ — углу, под которым оно видно от стены:
a al
£ d '
При Г《1 реализуется первый из рассмотренных случаев, при Г》1 — второй.
Учтем теперь дифракционные эффекты, которые проявляются в отклонении от закона прямолинейного распространения света при его прохождении сквозь отверстие в экране. Угол 夕 дифракционного отклонения света по порядку величины равен отношению длины световой волны А к размеру отверстия d:
Диффракционные эффекты не влияют на форму освещенного пятна, если угол 夕 мал по сравнению с угловым размером Солнца а:
А
Считая А ^ 5 • 10-7 м, а ^ 0,01, находим, что дифракционные эффекты не существенны, если размер зеркала d существенно превышают 5 • 10-5 м.
Ответ: а) а; б) 2a.
Решение, а) На рис. 8.2 изображен случай, когда поворачивается на угол а падающий луч, первоначально составляющий угол 夕 с нормалью к поверхности зеркала. Видно, что отраженный луч также поворачивается на угол а.
На рис. 8.3 изображен случай, когда на угол а поворачивается зеркало: линия MN соответствует исходному положению зеркала, а линия М'N'—
конечному. Первоначальный угол падения луча 夕 после поворота зеркала на угол а становится равным 夕 + а. Таким же по закону отражения будет и новый угол отражения, отсчитываемый от новой нормали О%'. Теперь из рис. 8.3 видно, что старый отраженный луч составляет со старой нормалью угол 夕, а новый отраженный луч — угол а + (夕 + а)=夕 + 2a. Итак, угол между старым и новым отраженными лучами равен 2a.
Высота зеркала 1,2 м; его нижний край должен находиться на высоте 0,6 м от пола минус половина расстояния от глаз до вершины головы.
Ответ:
Решение. Пусть луч ЕВ падает под углом /3 к нормали ОВ (рис. 8.4). На второе зеркало отраженный луч упадет под углом а — /3 к нормали ОС. Угол
Рис. 8.4
CFB равен тг — 2a. Следовательно, угол BFD между падающим и дважды отраженным лучом равен 2a.
0,5°.
L = /^ 5,7 м (п = 1,33 — показатель преломления для воды).
Vn2 - 1
В воздухе 丸=43,2°; в воде 班=65,6°.
s =5 см.
V п2 — sin2 а
Q Q 7…/- Sin2^ \
I = asmv \ 1 —.
\ V — sin2 " /
Z =九 + d/n 1,41 м.
Z = 2九 + 2d/n = 32 см.
h = di/zzi + 办/几2 ~ 88,5 см.
a) h = d/(2n)11,3 cm; 6)厶=3d/(2zz) — d 3,8 cm.
Ответ: R = r/n.
Рис. 8.5
Решение. На рис. 8.5 АО = г ^ Аа; ВО = Я ^ h(3; а/(3 = п. Отсюда R = =г/п.
Нельзя из-за эффекта полного внутреннего отражения в стекле.
Ответ: см. рис. 8.6.
Решение. Будем считать, что вода прозрачная и спокойная, а наблюдатель —близорукий, ибо человек с нормальным зрением плохо видит под водой без маски.
В указанных условиях наблюдатель увидит погруженную часть рейки, а сверху над ней — отражение погруженной части от поверхности воды за счет эффекта полного внутреннего отражения (рис. 8.6). Предельная видимая в отражении точка Р рейки определяется из условия sin а = 1/п.
С помощью рис. 8.6 непосредственно имеем:
h = х ctg а, »=« — /) ctg а.
Отсюда Н = Zctga - h. Выражая котангенс угла а через его синус:
, cos а V 1 — sin2 а гctgа = — = ； = v^ - 1 ,
sin a sin a
получаем: H = “浒—]_ 九
Физический смысл имеют только положительные значения Н. Точки, расположенные на рейке ниже точки Р, в отраженном свете видны не будут. Точно на высоте точки Р' (по углу) будет видно начало (точка О) выступающей из воды части рейки. Сама выступающая из воды часть рейки будет казаться сильно сжатой снизу и изогнутой.
Ответ: возможны два решения: 758° и 77°.
Решение. Рассмотрим случай произвольных углов а и /3. Возможный ход лучей в призме показан на рис. 8.7, 8.8 и 8.9. Во всех случаях выполняется закон преломления на обеих боковых поверхностях клина:
sin Вsin 7
—=几；-—=几.
Sin 夕Sin £
На рис. 8.7 £ = а —夕.Поэтому
sin 7 = zzsinE = nsin(ct —夕)=几(sin a cos 夕—cos a sing)=
На рис. 8.8 £ = а + 夕.Имеем:
sin 7 = n sin £ = n sin(a + 夕)=n(sin а cos 夕 + cos a sin 夕)=
=sin а V浒一sin2 /3 + cos a sin /3. (2)=sin а V浒一sin2 /3 + cos a sin /3. (2)
=sin а V浒一sin2 /3 + cos a sin /3. (2)
=sin а V浒一sin2 /3 + cos a sin /3. (2)
Ha рис. 8.9 £ =夕一а. В этом случае
sin 7 = nsine = rising — а)=几(sin geos а — cos 夕 sin а)=
sin а ) = sin /3 cos а — sin n2 — sin2 /3 . (3)
При заданных в условии значениях а = 15°, /3 = 30°, п = 1,5 решение (1) не реализуется (дает отрицательный угол 7). Два другие решения существуют.
Решению (2) соответствует 7 ^ 58°, решению (3) — 7^7°.
Ответ-, два пятна.
Решение. На рис. 8.10 показан ход лучей в клине после многократного отражения от его внутренних поверхностей. Как видно из рисунка, угол падения на вторую грань клина при первом попадании луча на нее равен а, при втором — За, при n-м （2п — 1）а. Лучи выходят из призмы, если угол падения на ее вторую грань меньше угла полного внутреннего отражения а。，который находится из условия
.1
sin do =—.
Отсюда получаем а。^ 45°, а для углов падения на грань имеем:
Qi = а = 10°; а? = За = 30°; % = 5а = 50°.
Таким образом, уже аз〉а。т. е. уже третий луч испытает полное внутреннее отражение на второй грани клина. Итак, из призмы выйдут только два узких пучка света,
которые и дадут два освещенных пятна на достаточно удаленном экране.
Ответ: sin & ；夕 = nsin ^.
Рис. 8.11Рис. 8.11Решение. Как видно на рис. 8.11, если луч проходит через призму симметрично, угол падения луча равен （а + 夕）/2, а угол преломления — а/2. Закон преломления позволяет связать углы дна.
Рис. 8.11
Рис. 8.11
Угол наименьшего отклонения в воде определяется из условия.а + 夕1 1 . а + 夕sin ——-——=—sin .
2 n 2
Получаем:⑺=10°53/.
Ответ: преломленный луч поворачивается на тот же угол, что и падающий.
Решение. Так как по условию все рассматриваемые в задаче углы малы, то их синусы в законе преломления можно заменить самими углами, выраженными в радианной мере. Лучи, падающие нормально на переднюю грань клина, испытывают преломление только на его задней грани, угол падения на которую равен преломляющему углу клина （рис. 8.12）. Если угол поворота этих лучей обозначить через 7, то nsin7 = sin（£ + 7）, или для малых углов П7 = £ + 7, откуда
⑴⑴£ =（П — 1）7,
⑴
⑴
11 А.С. Кондратьев, В.М. Уздин
Лучи, падающие на переднюю грань клина наклонно (под углом а), испытывают преломление на обеих гранях клина. На передней грани sin а = zzsin 吵， или для малых углов а = п^, откуда
⑵
При преломлении этих лучей на задней грани клина nsin(^ + 7) = sing, или п(^ + т)=夕.Отсюда находим угол преломления на задней грани клина
3 = а + (几—1)7-(3)
Угол поворота преломленных лучей, как видно из рис. 8.12, равен разности углов 夕 н £. С помощью (1)-(4) получаем:
ср — г = а.(4)
Это соотношение означает, что преломленный луч поворачивается на тот же угол, что и падающий.
Фактически ответ на вопрос, поставленный в условии задачи, содержится уже в формуле (4), поскольку, как видно из рис. 8.12, разность 夕一а дает угол отклонения лучей от первоначального направления при прохождении света через клин. Из (4) следует, что угол отклонения 夕 一 а = (п - 1)7 при малых углах не зависит от угла падения а, а определяется только показателем преломления и углом 7 клина.
Угол отклонения 夕一а, выражаемый формулой (4), можно получить и иначе, не используя закон преломления света, а опираясь на принцип Гюйгенса (при волновой трактовке света) или принцип Ферма (при его геометрической трактовке). На рис. 8.13 штриховыми линиями показаны положения волновых поверхностей для падающей и преломленной клином плоских волн. Поворот волнового фронта обусловлен уменьшением фазовой скорости света в стекле в п раз. Время прохождения светом участка CFD равно времени прохождения участка АВ. Поэтому должны быть равны оптические длины этих участков:
\CF\+n\FD\ = \АВ\. (5)
Волновой фронт преломленной волны образует угол 夕 с передней гранью клина. Поэтому с задней гранью он образует угол 夕 +)• Теперь с помощью рис. 8.13 соотношение (5) можно переписать в виде:
La + 几L)=力(夕 + 7), (6)
где L = \AF\ |AD|, так как угол 7 мал. Из (6) немедленно следует формула (4).
Ответ: а = arctgn.
Решение. Ход лучей показан на рис. 8.14. Угол падения а равен углу отражения. Угол преломления /3 связан с а соотношением
⑴⑴sinct
⑴
⑴
Из рис. 8.14 непосредственно видно, что угол между отраженным и преломленным лучами равен тг/2 при выполнении условия a + /3 = тг/2. Отсюда получаем
sin /3 = sin 传-a) = cos a.
Заменяя в (1) sin /3 на cos a, находим
tga = n.(2)
Угол a, определяемый соотношением (2), называется углом Брюстера. Оказывается, что при падении естественного (неполяризованного) света на гра-
Рис. 8.14Рис. 8.14
Рис. 8.14
Рис. 8.14
ницу раздела под углом Брюстера отраженный свет будет полностью линейно поляризован. В этом состоит закон Брюстера, открытый экспериментально в 1815 г. При отражении видимого света на границе воздух-стекло (п = 1,5) угол Брюстера составляет примерно 56°.
Формула сферического зеркала связывает расстояние от предмета до зеркала d и расстояние от изображения до зеркала / с фокусным расстоянием зеркала F:
Для выпуклого зеркала F = —R/2. Поэтому / = Fd/{d — F) всегда отрицательно. Это говорит о том, что изображение расположено за зеркалом, т. е. оно мнимое. Увеличение зеркала Г = \ f /d\ < 1. Следовательно, изображение уменьшенное. Отрицательный знак 〃d показывает, что изображение мнимое и прямое.
R = 2rd/(Г — 1) = 120 см. Зеркало должно быть вогнутым.
/ = F(1 -Г).
Г 1
= ^ = -.°
8・27・ 0mBem: Я = 2sin("/4 — Jtg(O/(2d)))43 СМ'
Решение. На рис. 8.15 показан предельный луч ABS, проходящий через край зеркала В к наблюдателю S. Запишем соотношения между углами,
обозначенными на рис. 8.15,
Отсюда а = "/4 - /3/2. Теперь выразим радиус
Учитывая, что tg/3 = O/(2d), получаем ответ.
Ответ: Я = j ^ - Я^.
Решение. Если луч обходит планету, оставаясь на одной высоте, то фронт
момент времени расположен по продолжению радиуса пла-
волны в каждыйволны в каждыйжжРис. 8.16Рис. 8.16неты. При повороте на произвольный угол а оптические пути лучей, близких к лучу, пущенному на искомой высоте, должны быть одинаковы. Рассмотрим два таких луча, проходящие через точки А и В, находящиеся на высоте Н и Н + х над поверхностью планеты (рис. 8.16). Условие равенства оптических путей при малом повороте на угол da имеет вид:
волны в каждый
волны в каждый
ж
ж
Рис. 8.16
Рис. 8.16
(А + Я)(по — 7切=(Я + Я + ж) [по — 7(Я + ж)].
Пренебрегая в этом равенстве членами порядка (//切2, получаем:
Ответ: Si = S/n.
Решение. На рис. 8.17 показан ход луча, падаю-
щего на плоскую грань. По условию пучок тонкий. Поэтому /3 ^ ап. Учитывая, что угол АВС равен а — /3, находим в предположении малости углов а и /3: АС = О А • /3 = ВСд — Отсюда S 弋 ВС 厂/⑺一1).
77〜n(n — 1)〜n(n — 1)5п5пПри распространении пучка света в обратном направлении (рис. 8.18) /3 ^ ^ ап и у ^ (а — 0)п. Расстояние Si от точки фокусировки пучка до плоской поверхности полушария теперь можно выразить следующим образом:
7
7
〜n(n — 1)
〜n(n — 1)
5
п
5
п
Рис. 8.18Рис. 8.18
Рис. 8.18
Рис. 8.18
Ответ: п = 4/3.
Решение. Так как пучок узкий, можно считать, что до входа в стеклянный шар лучи пучка были параллельны между собой. Ход крайнего и центрального
лучей пучка изображен на рис. 8.19. Углы а, /3, 7 и 5 малы. Поэтому закон преломления света может быть записан в виде а (Зп.
Теперь выразим углы 7 и 5 через угол /3:
7 = 7Г — Q —(7Г — 2/3) = 2/3 — а = 0(2 —几)，
5 = a - 7 = 2/3(几-1).
Далее воспользуемся теоремой синусов для треугольника О АС:
О А _ sing
ОС sin 鼠
Учитывая, что sing = sin(7r — а) = sina ^ а ^ /Зп, а по условию задачи ОА/ОС = 2, получаем:
2/3(” 1)，
откуда п = 4/3.
a) ^f и ^f в точке 石；"'н " в точке。(см. рис. 8.20).
△ = 7г + 2" - 41/. Как видно на рис. 8.20, △ = тг - 2а, а так как угол АВО является внешним для треугольника ABD, то "' = (" — "') + а.
Критический угол "с определяется условием cos2 ^с = (п2 — 1)/3.
Используя закон преломления sin "/sin"' = п, выражение для угла △ можно переписать в виде
△ = 7г + 2" — 4 arcsin
Дифференцируя это равенство по 少，получаем "с, приравнивая производную нулю.
При п = 1,33 находим: ^с ~ 60°, △ ^ 138°. Для углового радиуса радуги получаем: 2a = тг — △ ^ 42° (рис. 8.21). Радуга видна под углом 42° от прямой, проходящей
через солнце и глаз наблюдателя.
Рис. 8.22Рис. 8.22Для красного света 丸 ~ 59°35/; △137° 10'.
Рис. 8.22
Рис. 8.22
Для фиолетового цвета "с ~ 58°53/; △ ^ 139° 14'. Фиолетовый цвет в радуге будет ниже красного (рис. 8.22).
На рис. 8.23 показано решение, требующее проведения всего двух вспомогательных линий. Луч MN, проходящий через оптический центр линзы параллельно лучу АВ пересекается с продолжением луча АВ в фокальной
Рис. 8.23Рис. 8.23Рис. 8.24
Рис. 8.23
Рис. 8.23
плоскости. На рис. 8.24 показано решение, основанное на построении изображения А7 точки А с помощью луча, проходящего через оптический центр линзы и луча, параллельного главной оптической оси, который затем проходит через фокус линзы. Затем точка В соединяется с точкой Д'.
Близоруким.
_1— d()с сlо
Ответ-. -— = ——：— = -2,25 диоптрии.
Решение. Без очков: 1/di + 1// = 1/F; с очками: l/do+l//=l/F + + 1/Fi, где do = 25 см — расстояние наилучшего зрения, F — фокусное расстояние хрусталика глаза, / — расстояние от хрусталика до действительного изображения на сетчатке глаза.
Ответ: do = 26,9 см.
Решение. Рассеивающие контактные линзы должны создать мнимое изображение бесконечно удаленных предметов на расстоянии I = 3,62 м от глаза.
В формуле тонкой линзы
1 11
-+ -=——
нужно положить d = ос, / = —3,62 м. Это дает F = f = —3,62 м. При чтении книга помещается на таком расстоянии do от линзы, чтобы ее изображение казалось находящимся на расстоянии наилучшего зрения 力=0,25 м. Поэтому 1/do + 1//о = 1/F, откуда d° = F//(/ —严 0,269 м.
Ответ: нужны новые очки с оптической силой Di = 5 диоптрий.
Решение. Со старыми очками
где / - очкамигде / - очкамиD=心+d - ID=心+d - I11расстояние от линзы, на котором отчетливо виден текст.расстояние от линзы, на котором отчетливо виден текст.С новымиС новыми_ 11_ 11
где / - очками
где / - очками
D=心+d - I
D=心+d - I
1
1
расстояние от линзы, на котором отчетливо виден текст.
расстояние от линзы, на котором отчетливо виден текст.
С новыми
С новыми
_ 11
_ 11
совместно, находимсовместно, находимdi(d —Z)di — do + Zdi(d —Z)di — do + Z8.37. F =8.37. F =38 см.38 см.где do = 25 см — расстояние наилучшего зрения. Решая 。1 = О + l/(do — Z) — l/(d — Z) 5 диоптрий.
совместно, находим
совместно, находим
di(d —Z)di — do + Z
di(d —Z)di — do + Z
8.37. F =
8.37. F =
38 см.
38 см.
Предмет следует поместить на двойном фокусном расстоянии от линзы. В этом случае L = 4F.
d= (т+ l/m)F.
Ответ: △ =-.
+ 1
Решение. Обозначив расстояние от линзы до предмета di, от линзы до экрана /1, фокусное расстояние линзы F имеем:
Система уравнений (1) для di и /1 симметрична относительно замены di i/i. Это означает, что расстояния di и /1 при получении первого четкого изображения на экране связаны с d2 H 力 при получении второго четкого изображения соотношениями:
di = /2, /1 = &2・
Используем условие об относительной величине резких изображений. Обозначим размер предмета h, а размеры изображений /и и h^. Тогда
h _ di h _ d2
Разделив почленно эти равенства для исключения неизвестного параметра h, получим:
九2 _必力_「曲f
С учетом (2) последнее равенство перепишется в виде 援/с^ = п, откуда
Л =，^ &2,(3)
Искомое перемещение линзы △ при получении второго резкого изображения очевидным образом выражается через d〃 н 力：
△= di _ d2 二力一力，
что с помощью (2) и (3) можно переписать в виде
△=力 + &2 = &2(，^ - 1).(4)
Из первого уравнения (1) с помощью (3) находим △ = L/(д/п + 1) и выражение (4) для △ принимает вид: △ =
+ 1
F == 24 см.
n - 1
F 8,02 cm.
Ответ-, h < nF = 133 cm; R hr/(nF)0,11 cm.
Решение. После прохождения через линзу самый большой угол 夕 с ее главной оптической осью образует ограничивающий пучок крайний луч, удаленный от оптической оси на расстояние т (рис. 8.25). Если бы пластины не
было, то все лучи пучка собрались бы в фокусе линзы, удаленном от нее на расстояние F. Отсюда следует, что угол 夕 определяется соотношением tg 夕二 =r/F = 0,005. Полученное значение tgg означает, что угол 夕 достаточно мал, чтобы можно было воспользоваться приближенным равенством tgg ^ sing
3，где 夕 выражен в радианах. Таким образом,
"皆⑴
Рассматриваемый луч испытывает преломление на левой грани пластины и распространяется дальше внутри пластины вдоль направления, составляющего
с оптической осью некоторый угол 吵 < 夕(рис. 8.25). Поэтому используя закон преломления света, имеем:
sing _ 3 _sin吵 吵 П，
что с помощью (1) может быть переписано в виде / Г
По условию рассматриваемый луч попадает в точку А на задней поверхности пластины. Из рис. 8.25 видно, что т = /z tg ^ + ж tg 7; ^ /z^ + х屮.Отсюда, используя (1) и (2), находим
x = F--
В приближении тонкой линзы расстояние х есть расстояние между линзой и пластиной. Очевидно, что ж > 0. Поэтому из (3) следует, что допустимы только такие значения h, которые удовлетворяют условию:
h W nF = 133 см.
Расстояние /, на котором следует помещать пластину для того, чтобы все лучи пучка собрались в точке А на выходе из пластины, зависит, как следует из (3), от толщины пластины h. От этой же толщины зависит и размер светлого пятна R на передней грани пластины. При заданном в условии значении h имеем:
R = htg^~ 0,11 см.
nr
На расстоянии ж = (1 — \/m)F = 18,75 см от изображения.
Ответ-, g = ——270 м/с2.
Решение. Ясно, что размеры изображения Солнца, полученные на Земле с помощью линзы, не могут зависеть от ускорения свободного падения на поверхности Солнца. Поэтому uoптичecкaя^^ часть задачи может позволить нам только установить соотношение между фигурирующими геометрическими размерами, через которые выразится интересующее нас ускорение.
Ж
Рис. 8.26
Построение изображения Солнца с помощью собирающей линзы показано на рис. 8.26. Из подобия имеющихся на этом рисунке треугольников следует, что
⑴
где А。— радиус Солнца.
Для ускорения свободного падения g у поверхности Солнца на основании закона всемирного тяготения имеем:
Здесь Mq — масса Солнца, G — гравитационная постоянная.
Теперь запишем второй закон Ньютона, определяющий вращение Земли вокруг Солнца по круговой орбите с заданным периодом:
GMQm3 _ 47г2ш3 d
где m3 — масса Земли. Подставляя в (2) значение массы Солнца Mq из (3) и радиус Солнца Rq из (1), получаем:
167rс/ 2
g =~ 270 м/с .(4)
d T
Ответ:力=6 см.
Решение. Ход лучей в системе показан на рис. 8.27.
Рис. 8.27Рис. 8.27
Рис. 8.27
Рис. 8.27
По формуле тонкой линзы 1/di + l//i = 1/Fi находим 力=30 см.
Однако изображение, полученное с помощью первой линзы, не формируется, поскольку на пути лучей А, В, С, D оказывается вторая линза и через точку Р' в действительности проходит только луч D, идущий через оптический центр второй линзы. Для второй линзы это несформировавшееся изображение играет роль виртуального (мнимого) объекта, поскольку оно находится по другую сторону линзы. Используя опять формулу тонкой линзы, получаем:
丄 丄_丄
и учитывая, что здесь &2 = —15 см, получаем:力=6 см.и учитывая, что здесь &2 = —15 см, получаем:力=6 см.8.47. Ответ: ^ = И8.47. Ответ: ^ = ИF2F2(d -可2(d -可2,W =где И (匕)н 眩(W)-,W =где И (匕)н 眩(W)-составляющие скорости предмета (изображения) вдоль и поперек главной оптической оси линзы.составляющие скорости предмета (изображения) вдоль и поперек главной оптической оси линзы.Решение. Разложим скорость светящейся точки V на две составляющие Vi и V2, параллельную и перпендикулярную главной оптической оси линзы, и рассмотрим ее малые перемещения ri = ViAt и Г2 = V2△力.Для перемещения вдоль оптической оси линзы имеем:Решение. Разложим скорость светящейся точки V на две составляющие Vi и V2, параллельную и перпендикулярную главной оптической оси линзы, и рассмотрим ее малые перемещения ri = ViAt и Г2 = V2△力.Для перемещения вдоль оптической оси линзы имеем:1 11--—1 11--—111111d —门 / +必 F'd —门 / +必 F'(1)(1)
и учитывая, что здесь &2 = —15 см, получаем:力=6 см.
и учитывая, что здесь &2 = —15 см, получаем:力=6 см.
8.47. Ответ: ^ = И
8.47. Ответ: ^ = И
F2
F2
(d -可2
(d -可2
,W =где И (匕)н 眩(W)-
,W =где И (匕)н 眩(W)-
составляющие скорости предмета (изображения) вдоль и поперек главной оптической оси линзы.
составляющие скорости предмета (изображения) вдоль и поперек главной оптической оси линзы.
Решение. Разложим скорость светящейся точки V на две составляющие Vi и V2, параллельную и перпендикулярную главной оптической оси линзы, и рассмотрим ее малые перемещения ri = ViAt и Г2 = V2△力.Для перемещения вдоль оптической оси линзы имеем:
Решение. Разложим скорость светящейся точки V на две составляющие Vi и V2, параллельную и перпендикулярную главной оптической оси линзы, и рассмотрим ее малые перемещения ri = ViAt и Г2 = V2△力.Для перемещения вдоль оптической оси линзы имеем:
1 11
--—
1 11
--—
1
1
11
11
d —门 / +必 F'
d —门 / +必 F'
(1)
(1)
где 片—перемещение изображения светящейся точки вдоль главной оптической оси. Приравнивая левые части равенства (1), находим
]_ £ _ £ _ ]
d —门 5 - J / + п'
Отсюда следует, что
Теперь, используя первое из равенств (1), получаем с помощью (2)
М二f2
Такое же соотношение, очевидно, справедливо и для скоростей точки И и ее изображения 匕
Для перемещения, перпендикулярного главной оптической оси, имеем: hf-rf2 = f h d' h — Г2 d
Из этих равенств следует
£2 = /
Воспользовавшись формулой линзы, получаем
72 d - F'
Такое же соотношение справедливо и для отношения соответствующих скоростей точки и ее изображения:
⑷
Используя (3) и (4), можно найти вектор V’ скорости изображения светящейся точки.
Отметим, что продольное увеличение тонкой линзы равно квадрату поперечного увеличения. Поэтому изображение объемного предмета не может быть в общем случае подобным самому предмету. Для сохранения геометрического подобия объемный предмет обязательно должен изображаться в натуральную величину. Поэтому, для того, чтобы с помощью тонкой линзы получить изображение объемного предмета, геометрически подобное самому предмету, нужно чтобы продольные размеры предмета были малы по сравнению с фокусным расстоянием линзы, а поместить предмет нужно на двойном фокусном расстоянии от линзы.
L = 60 см.
Ответ-. F =——.
Решение. Применяя формулу тонкой линзы, имеем:
⑴⑴111
⑴
⑴
-|-=
di力R •
Поскольку линзы сложены вместе, то 办=-/ь несформировавшееся изображение от первой линзы играет роль мнимого источника для второй линзы. Теперь для второй линзы имеем:
111
力力田.
Складывая почленно (1) и (2), имеем 1 1 _ 1 1 _ 1
Следовательно,
F=
Fi + F2 ■
F'F/2 + 3Z/4, отсчитывая от первой линзы.
Ответ-, а) £ = 19,6 см; б) Я = 0,87 см.
Решение. Найдем сначала положение изображения предмета в рассеивающей линзе, воспользовавшись формулой тонкой линзы: / = dF/(d — F)= =—4,8 см. Это изображение мнимое и лежит на расстоянии 4,8 см слева от рассеивающей линзы, т. е. на расстоянии 必=△ + |力| = 12,8 см от собирающей линзы. Мнимое изображение, даваемое собирающей линзой, лежит на расстоянии Z = 29 см слева от рассеивающей линзы, т. е. на расстоянии △ + + Z = 37 см от собирающей линзы:力=—37 см. Теперь, записывая формулу линзы для собирающей линзы, находим ее фокусное расстояние:
R =19,6 см.力+小
Размер изображения
Н = hН = hdi d2di d20,87 см.0,87 см.
Н = h
Н = h
di d2
di d2
0,87 см.
0,87 см.
Ответ-. F =———.
2 (2п - 1)
Решение. Оптическая сила системы равна сумме оптических сил элементов. Свет проходит сквозь линзу, отражается от зеркала и снова проходит сквозь линзу. Таким образом, для оптической силы имеем:
Л = 2Лл + П3 = 2(п-1)^ + -|=
Поэтому
—О — 2(2几 _ 1).
Ответ: а) 3; б) 4.
Решение. Поместив предмет размером h на расстоянии наилучшего зрения do, мы видим его под углом ^ = h/d^ (рис. 8.28). Используя лупу, мы
рассматриваем мнимое изображение, находящееся на расстоянии |/| (/ < 0) (рис. 8.29). При этом угол, под которым видно изображение, "' = h/d, а угловое увеличение Г = "'/" = d^/d.
Воспользовавшись формулой линзы 1/d = 1/F — 1//, получаем для углового увеличения
Если глаз аккомодирован на бесконечность (/ = -ос), то Г = d()/F = 3.
Если глаз аккомодирован на расстояние наилучшего зрения (/ = —do), то Г = do/歹 + 1 = 4.
Ответ-. D 1,22 • 10-4 м.
Решение. Угловой размер амебы ^ ^ h/d, где h — размер амебы, a d — ее расстояние от объектива. Амеба будет различима, если 3 будет больше углового размера дифракционного пятна "', который при учете критерия Релея можно записать в виде "' = 1,22A/D. Отсюда для диаметра линзы D получаем оценку (А для видимого света примем 500 нм): D 〜l,22Xd/h 1,22 • 10-4 м.
М LdoOiQ ~ 252.
/ = dFo6/(d -冗б) ~ 6,4 см; Моб = f/d 7,5; Моб = dQ/F0K 170 (здесь do = 25 см — расстояние наилучшего зрения); М = М)бЖк 1250.
Ответ: Мок = MFo6/(f - F06)= Ю.
Решение. Запишем формулу линзы для объектива
1 11
Отсюда d = /冗б/(/ -冗6). Выразим увеличение объектива
Тогда увеличение окуляра Мок = М/М)б = МF°6/(J —冗6)= 10.
Ответ: МОб = (L - F0K)/^6, Мок = dQ/F0K.
Решение. Увеличение объектива микроскопа равно отношению расстояния / от объектива до изображения н d от объектива до предмета. Предмет помещают практически в фокусе объектива d ^ 冗б・ Поэтому
М0б =М0б =dd冗6冗6⑴⑴
М0б =
М0б =
d
d
冗6
冗6
⑴
⑴
Изображение, даваемое объективом, рассматривают с помощью окуляра, используя его как лупу. При аккомодации глаза на бесконечность увеличение этого изображения окуляром есть
мК(2)
?OK
Здесь do — расстояние наилучшего зрения при условии, что изображение, даваемое объективом, совмещено с фокусом окуляра.
Величина / в (1) равна разности между длиной тубуса L (расстояние между объективом и окуляром) и фокусным расстоянием окуляра F0K:
/ = £ —冗 к・(3)
Теперь (1) принимает вид
Мб =力尸•(4)
Полное увеличение микроскопа есть
М = МобМок =匕J4 об J4 OK
8.59. Ответ: L‘ = L - F°k + 冗б・8.59. Ответ: L‘ = L - F°k + 冗б・Решение. Достаточно воспользоваться формулой для увеличения, выведенной в предыдущей задаче:Решение. Достаточно воспользоваться формулой для увеличения, выведенной в предыдущей задаче:М =М =Ь — F0KFo6FOKЬ — F0KFo6FOKdo.do.После замены местами объектива и окуляраПосле замены местами объектива и окуляраМ'=М'=% -冗6Fo6FOK% -冗6Fo6FOK&)•&)•
8.59. Ответ: L‘ = L - F°k + 冗б・
8.59. Ответ: L‘ = L - F°k + 冗б・
Решение. Достаточно воспользоваться формулой для увеличения, выведенной в предыдущей задаче:
Решение. Достаточно воспользоваться формулой для увеличения, выведенной в предыдущей задаче:
М =
М =
Ь — F0KFo6FOK
Ь — F0KFo6FOK
do.
do.
После замены местами объектива и окуляра
После замены местами объектива и окуляра
М'=
М'=
% -冗6Fo6FOK
% -冗6Fo6FOK
&)•
&)•
Видно, что М = М\ если L'—冗6 = Ь — F0K или Lf = L — F0K + 冗6 •
Ответ: увеличится в S/(S - F) раз.
Решение. При наблюдении удаленного предмета угловое увеличение телескопа М определяется отношением угла "' = h/F0K, под которым изображение h, даваемое объективом видно с помощью окуляра, к углу ^ = h/F, под которым предмет виден без телескопа: М = F/F0K.
При наблюдении предмета, находящегося на расстоянии S от объектива, увеличение телескопа Mi отношению угла "I = hf/F0K, под которым изображение Н, полученное после объектива, видно с помощью окуляра к углу "i, определяемому соотношением
где / — расстояние от объектива до изображения предмета. Поскольку
то "1 = Z/(S — F)/(FS) и увеличение телескопа
Таким образом, М\/М = S/(S — F).
а) М =冗б/&к = 194; б) изображение, даваемое объективом телескопа, лежит в его фокальной плоскости. Поэтому Ои = D^Fo^/d) ^ 7,6 х х 10-2 мм (здесь d — расстояние от Земли до Луны; в) d‘ = d/M ^ 2 • 106 м.
冗к = R/(2М) ~ 3,3 мм.
Ответ: М 181.
Решение. М =冗б/£к； Mi = F^/Fo6. Отсюда М2 = (F06/F0K)2 = M/Mi = =32800, а 181.
冗6 = 28 CM； Fok = 4 см.
Ответ: фокусные расстояния находятся из условий М =冗б/冗к；冗6 + + 冗к = L
Ответ: S2 = 6 м
Решение. При фотографировании удаленных объектов изображение находится практически в фокальной плоскости объектива фотоаппарата. Поэтому
Н S
где Я и /z — размеры предмета и изображения, aS — расстояние до предмета. Если размеры предмета и изображения одинаковы, S\/F\ = S2/乃.Отсюда S2 = &(田/R) = 6 м.
Ответ-.必=138 мм.
Решение. При фотографировании космического корабля
1 11
⑴⑴Если h — размер изображения на пленке, а 8 — размер корабля, то h = f = F Н ~ d~ d-F'
⑴
⑴
Аналогичное соотношение справедливо и для модели:
包二厶二 e(2)
Hr ~ dr ~ dr - Fi，
Размеры изображения на пленке одинаковы: h = hi. Поэтому из (1) и (2) получаем:
“二- F) + F\.
Учитывая, что H/H\ = 375, получаем & = 138 мм.
/ F V
Ответ-, а =(————丿.
Решение. Ход лучей в системе показан на рис. 8.30 и 8.31. Первый из них отвечает случаю L > F, второй — случаю L < F. Обозначим радиус линзы R
Рис. 8.30Рис. 8.30Рис. 8.31Рис. 8.31
Рис. 8.30
Рис. 8.30
Рис. 8.31
Рис. 8.31
и радиус пятна на экране г. Пусть Е — энергия, приносимая пучком в единицу времени на переднюю поверхность линзы. Тогда на единицу поверхности линзы будет приходиться энергия Е/(тгЯ2). Очевидно, что такая же энергия приносится пучком за единицу времени на единицу площади экрана в отсутствие линзы.
После установки линзы на часть экрана, ограниченную светлым пятном (т. е. окружностью радиусом г), поступит в единицу времени та же энергия Е, которая распределяется в пределах освещенного пятна со средней поверхностной плотностью Е/(тгг2). Следовательно, в результате установки линзы показание прибора, регистрирующего энергию излучения, приносимую в единицу времени на единицу площади экрана изменятся в
а = (?) Раз-
Теперь, обратившись к рис. 8.30 и 8.31, можно видеть, что в обоих случаях справедливо равенство R/r = F/\F — L\. Учитывая это соотношение, для искомой величины а получаем
Отметим, что ответ получен в приближении геометрической оптики. В действительности при конечной ширине пучка параллельных лучей линза со сферическими поверхностями никогда не собирает этот пучок в одну точку. Из-за явления дифракции при L = F лучи освещают на экране пятно конечных размеров. В результате, если размеры индикатора меньше размеров этого пятна, а не стремится к бесконечности при L т F. Если же размеры индикатора больше размеров освещенного пятна, то для определения а необходимо знать, как работает индикатор, когда освещена только часть его поверхности.
-— = ^Освещенность будет максимальной, когда
Ео (SZ — У — Sb)?
даваемое линзой изображение источника света будет находиться на экране, т. е. при I = S/2.
Ответ: выдержку следует увеличить в 4 раза.
Решение. Для правильного воспроизведения полутонов при фотографировании на каждый кадр пленки должно попасть в среднем одно и то же количество световой энергии. Поэтому произведение освещенности изображения на пленке на время экспозиции должно быть неизменным. Выберем некоторый элемент ZXS фотографируемого полотна достаточно малый для того, чтобы при нахождении исходящего от него светового потока △① этот элемент можно было считать точечным источником света. Тогда поток световой энергии от такого элемента, падающий на открытое диафрагмой отверстие объектива фотоаппарата, пропорционален площади этого элемента и телесному углу Q, в котором он распространяется (рис. 8.32). Телесный угол Q измеряется отноше
нием площади отверстия в объективе а к квадрату расстояния d от объектива до фотографируемого полотна. Поэтому
△①〜MS ==△£
Освещенность Е изображения (в пренебрежении потерями светового потока за счет отражения и поглощения света в стеклах объектива) равна отношению светового потока к площади на пленке △$', на которую он падает:
△① a ZXS ст d? а
△ S/•
При фотографировании полотна общим планом величина / практически равна фокусному расстоянию объектива F. При фотографировании деталей
картины в натуральную величину пленка должна находиться на удвоенном фокусном расстоянии от объектива: / = 2F. Поэтому освещенность изображения на фотопленке уменьшится в четыре раза, если освещенность полотна и площадь отверстия диафрагмы S остаются прежними. Следовательно, выдержку следует увеличить в 4 раза. Можно поступить иначе, увеличив вдвое отверстие диафрагмы.
Ei(К2 + 1)21
Ответ-. = =-.
石2(К1 + 1)24
получаемполучаемРешение. Освещенность Е пропорциональна площади поверхности линзы а и обратно пропорциональна квадрату расстояния от линзы до изображения / (см. задачу 8.69). Для отношения искомых освещенностей Ei и 石2
получаем
получаем
Воспользовавшись формулой линзы
1 11
-+ -=——
и выражением для даваемого ей увеличения К = //d, можно выразить / как / = F{K + 1). Поэтому
Е1 = (К2 + 1)2 = 1
瓦—(K1 + 1)2 — 4'
ti =友Времяti =友Время/ ni + 1V
ti =友
Время
ti =友
Время
I几2 + 1丿。
экспозиции следует уменьшить.
Ответ-. Zi 38,3 см.
Решение. Анализ условия задачи позволяет сделать вывод, что зеркало не полностью отражает падающий на него свет. Действительно, если бы не было поглощения света зеркалом, на линзу после отражения от зеркала падал бы световой поток Ф = Фо(<//Р)2, где Фо — световой поток, прошедший
Рис. 8.33Рис. 8.33
Рис. 8.33
Рис. 8.33
qDqDчерез линзу (рис. 8.33). Из подобия треугольников на рис. 8.33 можно найти отношение d/D:
q
D
q
D
Теперь для отношения Ф/Фо получается выражение
из которого при заданных значениях Z и F не получается приведенного в условии задачи отношения Ф/Фо. Поэтому можно сделать вывод о поглощении части светового потока зеркалом. В этом случае
Ф = а ①о I —Ф = а ①о I —22
Ф = а ①о I —
Ф = а ①о I —
2
2
где а < 1 — коэффициент отражения зеркала, показывающий какая доля светового потока, упавшего на зеркало, отражается им. Для Ф/Фо теперь получаем:
Фо 、F 丿
Отсюда можно найти коэффициент отражения а:
Подставляя сюда данные условия задачи, находим а = 0,8.
Теперь находим новое расстояние от зеркала до линзы 厶，обеспечивающее нужное значение Ф/Фо,
F -2F -2
F -2
F -2
Подставляя в последнюю формулу значения F = 20 см, Ф/Фо = 0,1, а = =0,8, получим:
厶二叱 + * _ з8,з см.
Ответ: Д^ =(5/d2/△方
Решение. В обоих случаях крупинка совмещается с действительным изображением точечного источника света. Поэтому на нее падает весь световой поток, прошедший через линзу. Падающий на линзу световой поток пропорционален телесному углу, под которым линза видна из точки, в которой расположен источник света. Этот телесный угол определяется выражением
где R — радиус линзы, ad — расстояние от линзы до источника света. Для отношения световых потоков, падающих на линзу в рассматриваемых случаях имеем:
丿•
Поскольку величина светового потока определяет количество теплоты, получаемое крупинкой металла в единицу времени cmAt 〜Ф (здесь с — удельная теплоемкость, т — масса металла), то
Е1_В2Е 瓦5.6,7 7Е1_В2Е 瓦5.6,7 7_ sincti sin @2 2 = (%) ^75。раз.
Е1_В2Е 瓦
5.6,7 7
Е1_В2Е 瓦
5.6,7 7
n = l/(107rr2Z).
Лучи света рассеиваются на каплях тумана. Если на расстоянии I рас
сеялось 10% светового потока, то суммарная площадь поперечного сечения всех капель в выделенном цилиндре длиной I составляет 10% от поперечного сечения цилиндра. Отсюда получаем п = 1/(10тгг2/).
СТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
о = 0,75с.
г = то/，1 —。2/。2 ~ з,5 . 1()-8 с.
г = tq/у/1 —。2/。2 ~ 45,6 ч. Ответ не зависит от того, приближается или удаляется корабль от Земли.
а) I = /о, 1 - (о/с)2 ~ з,4б световых лет;
to = Iq/v = 8 лет;
t = l/v ^ 6,92 года.
I = /о, 1 — (о/с)2 ~ 64 м
V =— (Z/Zo)22,6 • 108 м/с.
о 0,436с.
I =卜，1 — (о/с)287,4 м; △力=Z/。394 нс.
3 х 1,33. В направлении движения размеры уменьшаются в 1,5 раза.
Причинно-связанные события связаны между собой положительным интервалом. Интервал инвариантен относительно выбора инерциальной системы отсчета.
1.11.1.11.и =и =1 + и^/с21 + и^/с2^ 0,81с.^ 0,81с.1.12.1.12.1.13.1.13.1.14.1.14.°1 = 丁ГТ1 + UV 2 2иО 二 1+〃2/с2 !V = 0,8с;。1 =°1 = 丁ГТ1 + UV 2 2иО 二 1+〃2/с2 !V = 0,8с;。1 =~ 0,996с.~ 0,996с.0,8с.0,8с.u + v сu + v с1.15.1.15.о =о =01 -。201 -。21.16.1.16.1.17.1.17.1 — V1V2/с2о + 〃1 + 0"/e21 — V1V2/с2о + 〃1 + 0"/e2^ 0,588с.^ 0,588с.^ 0,99992с.^ 0,99992с.Фотон не может служить системой отсчета, поскольку в любойФотон не может служить системой отсчета, поскольку в любойсистеме отсчета его скорость одна и та же. Понятие относительной скорости фотонов не имеет смысла.a) Q = cmAt 6,7 • 105 Дж, где с = 4200 Дж/(кг • град) — теплоемкость воды.б) Дт = Q/c2 7,44 • 10-12 кг, где с — скорость света.Т = тс?/Р ~ 1 сут.а) Дт = ^Е^4,36 • 109 кг;а = Pt/Mc - IO-12.1.21.瓦=27noe2, mo — масса покоя протона.системе отсчета его скорость одна и та же. Понятие относительной скорости фотонов не имеет смысла.a) Q = cmAt 6,7 • 105 Дж, где с = 4200 Дж/(кг • град) — теплоемкость воды.б) Дт = Q/c2 7,44 • 10-12 кг, где с — скорость света.Т = тс?/Р ~ 1 сут.а) Дт = ^Е^4,36 • 109 кг;а = Pt/Mc - IO-12.1.21.瓦=27noe2, mo — масса покоя протона.
1.11.
1.11.
и =
и =
1 + и^/с2
1 + и^/с2
^ 0,81с.
^ 0,81с.
1.12.
1.12.
1.13.
1.13.
1.14.
1.14.
°1 = 丁ГТ
1 + UV 2 2и
О 二 1+〃2/с2 !
V = 0,8с;。1 =
°1 = 丁ГТ
1 + UV 2 2и
О 二 1+〃2/с2 !
V = 0,8с;。1 =
~ 0,996с.
~ 0,996с.
0,8с.
0,8с.
u + v с
u + v с
1.15.
1.15.
о =
о =
01 -。2
01 -。2
1.16.
1.16.
1.17.
1.17.
1 — V1V2/с2о + 〃
1 + 0"/e2
1 — V1V2/с2о + 〃
1 + 0"/e2
^ 0,588с.
^ 0,588с.
^ 0,99992с.
^ 0,99992с.
Фотон не может служить системой отсчета, поскольку в любой
Фотон не может служить системой отсчета, поскольку в любой
системе отсчета его скорость одна и та же. Понятие относительной скорости фотонов не имеет смысла.
a) Q = cmAt 6,7 • 105 Дж, где с = 4200 Дж/(кг • град) — теплоемкость воды.
б) Дт = Q/c2 7,44 • 10-12 кг, где с — скорость света.
Т = тс?/Р ~ 1 сут.
а) Дт = ^Е^4,36 • 109 кг;
а = Pt/Mc - IO-12.
1.21.瓦=27noe2, mo — масса покоя протона.
системе отсчета его скорость одна и та же. Понятие относительной скорости фотонов не имеет смысла.
a) Q = cmAt 6,7 • 105 Дж, где с = 4200 Дж/(кг • град) — теплоемкость воды.
б) Дт = Q/c2 7,44 • 10-12 кг, где с — скорость света.
Т = тс?/Р ~ 1 сут.
а) Дт = ^Е^4,36 • 109 кг;
а = Pt/Mc - IO-12.
1.21.瓦=27noe2, mo — масса покоя протона.
1.22. а)1.22. а)б) mi =б) mi =
1.22. а)
1.22. а)
б) mi =
б) mi =
” =~~ 2,93 • 108 м/с;
10,1 • 10-25 кг.
，1 —02/e2
Е = — ~ 0,852 МэВ; Ек = Е —瓦 ~ 0,341 МэВ; р =
，1 - v2/c2
— m()V = = l,33moc = — • 0,681 МэВ.
—02/e2，。，
L24. 0 = e，1 -(瓦/石)2.
m = mo + eU/(?9,6 • 10-31 кг.
р =2,9 • 10-19 кг • м/с.
-
р = у^З тос.
V = с/，20,707с;反=7noe?(，2 — 1)O,414moc2.
а = 50%.
т0 =2厌•
2Екс2
т0т0Решение, р = —; т =Решение, р = —; т =Ремеры тела сокращаются только вРемеры тела сокращаются только вОтвет-, р =厂景*, где р0 =體.
т0
т0
Решение, р = —; т =
Решение, р = —; т =
Ремеры тела сокращаются только в
Ремеры тела сокращаются только в
направлении его движения, поэтому объем меняется так: V =—。2/。2.
В результате р = -— 2^ 2.
V = с，1 — (то/г)20,948с;瓦=шос2(т/то — 1) ~ 226 МэВ; р =
=7n— 1 =TQ ~ - • 314 МэВ.
С У Г — 70 С
Мо =J = С, 2加。，+& '
6) Mo = 7noy^(丁 + 1) •
а) Полная энергия Ei налетающей частицы равна Ei = mi с2 + Ек.
Импульс этой частицы, равный импульсу всей системы, есть
р =勺Е.吟4 = 4,58 МэВ.
Полная энергия системы Е равна сумме энергий обеих частиц Е = Ei + 石2 = Ei + wc2.
Поскольку импульс системы сохраняется при объединении частиц, то
22
рс рс
Масса покоя образовавшейся частицы определяется из соотношения:
2 2 .2 4
В = 0 с + тос ,то = / Je? — О%? = 7,75 МэВ/с2.
Ответ можно проверить, вычислив конечную кинетическую энергию
Ек1 = Е — т^с = 1,25 МэВ.
Убыль кинетической энергии 反—£н = 1,75 МэВ. Это в точности соответствует увеличению энергии покоя то с2 — (mi + m2) с2 = 1,75 МэВ.
Соотношение △沙/沙=g(K/c2) эквивалентно формуле
T =丿，так как 沙=不・(1)
Это соотношение устанавливает закон изменения хода времени в гравитационном поле для любых процессов, в частности, для движения частиц с ненулевой массой покоя. Предположив, что скорость частицы вначале равна нулю, имеем для квадрата скорости после разгона с ускорением g на пути Н выражение V2 = 2gH. Поэтому соотношение (1) можно переписать как:
Но
при о/с《1, поэтому (2) принимает видпри о/с《1, поэтому (2) принимает вид
при о/с《1, поэтому (2) принимает вид
при о/с《1, поэтому (2) принимает вид
Соотношение (3) получено при условии о/с《1, однако, именно для скоростей, много меньших скорости света, справедливо соотношение v2 = =2gH. Таким образом, лоренцево замедление хода времени, выражаемое соотношением (3), может трактоваться как происходящее за счет разгона часов до скорости V.
Указание. Рассуждения аналогичны приведенным в решении предыдущей задачи. Здесь следует выразить длину волны А, характеризующую линейный размер, через частоту.
Ответ: нет.
Решение. В циклотроне частота обращения шс = еВ/т не остается постоянной при изменении массы. Если дейтон разгонится до энергии 100 МэВ, то частота его обращения
так что Зт 13c = у 1 — v2/c2. Выражая релятивистский корень через кинетическую энергию
получим
1
5 EK/(moc2) + 1'
Если Ек = 100 МэВ = 1,6 • 10-11 Дж, то шг/шс = 0,95. Это означает, что уже после 5 оборотов такой дейтон отстает на четверть оборота по фазе от
изменения ускоряющего напряжения.
1.39. Ответ: a) Fy，=1.39. Ответ: a) Fy，=4ь£()724ь£()72
1.39. Ответ: a) Fy，=
1.39. Ответ: a) Fy，=
4ь£()72
4ь£()72
Поля, создаваемые зарядом Q в точке, где находится заряд q, в системе X'Y'Z' имеют вид:
=Q .玄= 网
4开£0T2，1 一02/e2， zQ 471T2，1 -02/e2
Решение, а) В системе X'Y'Z' заряды будут двигаться со скоростью о вправо (рис. 1.1). Модуль силы взаимодействия между движущимися зарядами Fy/ в этой системе отсчета меньше, чем в системе XYZ, где заряды покоятся. Действительно, в релятивистской механике, как и в классической, Др = F△九 Поперечная составляющая импульса ру и ее изменение △@2/, как легко проверить, не меняется при переходе к системе отсчета, равномерно движущейся относительно исходной вдоль оси X. Промежуток времени △，=
V 1 -02/e2 Поэтому для поперечной составляющей силы Fy/ имеем
получаем:получаем:玲=&-。2/02 = ^^ J力/02 •
получаем:
получаем:
qQ qQt^
4ь£()72，1 一02/e24ь£002T2,1 —02/02
Первое слагаемое в этом выражении представляет собой электрическую составляющую 兄石，второе — магнитную составляющую FyM поперечной силы Fy. Электрическая составляющая FyE в системе координат X'Y'Z' в (1 — г?/。？)-】/? раза больше силы Fy в системе отсчета, где заряды покоятся. Следовательно, и напряженность ипоперечногоп электрического поля в (1 — г?/。？)-】/? больше, напряженности поля, создаваемого неподвижным зарядом.
Магнитная составляющая FyM поперечной силы 兄，действующей на каждый из зарядов, направлена противоположно электрической составляющей FyE, т. е. является силой притяжения. Поэтому, магнитное поле, создаваемое каждым из зарядов в точке, где находится другой заряд, направлено вдоль оси Z' (рис. 1.2). При этом
Индукцию магнитного поля, создаваемого зарядом Q, можно найти, приравняв силу Лоренца, действующую на заряд q и равную qvBfZQ, магнитной составляющей FyM поперечной силы Fj. Отсюда
虞Q虞QQv4ь£00272,] -。2/e2Qv4ь£00272,] -。2/e247rL2,1 —02/c247rL2,1 —02/c2
虞Q
虞Q
Qv
4ь£00272,] -。2/e2
Qv
4ь£00272,] -。2/e2
47rL2,1 —02/c2
47rL2,1 —02/c2
где 从0 = 1 /(£ос2)——магнитная постоянная.
Таким образом, магнитное взаимодействие может рассматриваться как следствие релятивистских формул для преобразования поперечной силы и тем самым представляет собой чисто релятивистский эффект. Отметим, что комбинация Е? — с2В2 инвариантна относительно перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой.
幺=沙(1 + о/с) 2203,13 МГц.
Фаза волны не изменится, поскольку фронт электромагнитной волны выглядит одинаково во всех инерциальных системах. Учитывая соотношения gполучаем g JJ 十 ％ k = k'—J %
02/e2s一02/e2
Четырехмерный элемент объема dx dy dz dt — это инвариант преобразований Лоренца.
р'х = 0” 硏:Ру =加 Р1 =勿；砂= ”2 .
Ответ-. U 1,22 В.
Решение. Уравнение фотоэффекта hv = mV2/2 + А определяет максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов. Фотоэффект прекратится, когда задерживающее электрическое поле шара сможет остановить вылетающие электроны:
откуда
U = hy-A =九(0")-* _ J* В.ее
А = Ac/(eU) 0,15 нм.
Отметим, что, в отличие от предыдущей задачи, здесь не учитывается работа выхода электрона из металла шарика. При характерных значениях работы выхода из металлов А (〜эВ) и заданного напряжения U = 8 кВ значения eU примерно на три порядка превышают значение А, что делает учет А бессмысленным.
△/ = L/2; △@%2h/L, h — постоянная Планка.
Джэл = 1,6 • 10-4 м; Джш = 3,3 • 10-33 м.
Др h/d 9,2 • 10-20 кг • м/с; △◊ = 5,5 • 107 м/с, h —постоянная Планка.
Воспользовавшись соотношением △/ • Држ ^ А, имеем △◊% ^ h/(m Дж). Поэтому △/% =• t 14,6 • 106 м.
R = r「』;r° = J2,1 • 10-3 мм;凡=兵 ^4,2 х х 10-3 мм.
Учитывая, что кинетическая энергия электрона мала по сравнению с его энергией покоя (тс2》20 эВ), получаем А = h/p = 0,87 нм.
х = %л/%р =，"пр/"эл = 42,8.
Энергия фотона Е =九沙；импульс р = тс = (hv 1^с =九沙/с = h/X или р = Е/с =九沙/с = h/X.
Решение. Запишем энергию электрона в атоме
⑴⑴22
⑴
⑴
2m т '
Минимальная возможная энергия электрона получается при наименьших возможных значениях импульса р и координаты г. Согласно требованиям соотношения неопределенностей Дг • Др ^ 方，где Дг и Др — меры неопределенностей расстояния электрона от ядра и составляющей импульса вдоль направления радиуса г. Значения г и р в выражении для энергии не могут быть меньше Дг и Др соответственно. Таким образом, для минимальных значений г и р справедливо:
т • 0 (2)
При уменьшении радиуса атома т радиальная составляющая импульса увеличивается и кинетическая энергия растет быстрее, чем убывает потенциальная. Чтобы оценить размер атома, найдем минимум выражения (1), выразив в нем г (или 0)с помощью соотношения (2):
⑶⑶e〜左_迎
⑶
⑶
Значение импульса ро, при котором полная энергия электрона в атоме водорода минимальна, есть
те2
Соответствующее такому импульсу значение радиуса го, как следует из соотношения (2), равно
方2
то = —0,53 • 10-8 см.
те2
Подставляя найденные значения го и ро в формулу (1), находим минимальную энергию
Ео53 эВ.
Ответ-. = 5,8 кэВ; Е；л = 1,2 кэВ.
Решение. Энергия электрона Еэл много меньше его энергии покоя то с2. Поэтому можно пользоваться нерелятивистскими формулами и записать условие сохранения энергии и импульса в виде
^эл + Еф = в；л + Е$,
\/2тЕэл - ^ =，2mЕ& +
Из этих уравнений находим энергии фотона Е( и электрона Е；л после столкновения.
Ответ: Е = тс2^^; Екин = тс2(2 — 1).
Решение. — = - или 丄= /° , поскольку 炉=р2с2 + т2с4.
тс р тс уЕ2 - т2с4
Отсюда получаем Е = тс22; Екин =加。2(，2 — 1).
Решение. Если атом находится в стационарном состоянии, то внутри него реализовалась картина стоячих волн (иначе электрон, описываемый бегущей волной, должен просто покинуть атом). Это означает, что в области локализации атома (размером порядка 10-8 см) должно укладываться целое число длин волн, причем при качественных оценках в качестве размера такой области можно брать либо диаметр атома, либо длину опоясывающей его окружности.
Можно рассуждать и иначе, используя представление о планетарной модели атома. В этом случае стоячая волна, представляющая электрон в стационарном состоянии, может быть получена только если она повторяет себя после каждого полного оборота вокруг ядра. В обоих случаях приходим к соотношению:
nA = 271T.
Подставляя сюда длину волны А = h/p, получим:
П— = 271T или nvr = р
что совпадает с правилом квантования орбит электронов в модели Бора.
Решение. Если размеры областей локализации электронов равны 门
И Г2, ТО
01 〜一,02 ~-.
Кинетическая энергия Ек оказывается порядка
Потенциальная энергия £口 взаимодействия электронов с ядром
а потенциальная энергия взаимодействия электронов между собой может быть оценена выражением:
+ T2
Для оценки энергии основного состояния атома нужно найти минимум выражения для полной энергии
Е = Ек + 4 + £；•
Этот минимум достигается при 方21
а энергия основного состояния
где R = те2/(2Я2) = 13,5 эВ.
Указанная грубая оценка обнаруживает хорошее согласие с экспериментом. Например, для иона Li+, у которого на внешней электронной орбите находятся два электрона, вычисленное значение составляет —15,12 эВ, а эксперимент дает —14,56 эВ.
a) n = ac/v = 4; б) г = ао^2 ~ 0,85 нм; в) Е = —Я/n2 ^ —0,85 эВ. В этих выражениях а — постоянная тонкой структуры; а。— боровский радиус; R — энергия ионизации атома водорода.
几2方2
rn = Для n = 3 имеем 爲=4,77 • 10-8 см.
rn = En =M
При n = 1 имеем 门=2,03 • 10-12 м; Ei = —9194 эВ.
4
Е = —--1,11 эВ.
При низких температурах атомы водорода находятся в основном состоянии, поэтому возможна только серия Лаймана.
△£『小=Z2R ( 4 Д ~ 6895 эВ.
n > y/XR/(hc) 5,37. Поэтому п > 6.
Энергия ионизации атома водорода, находящегося в основном состоянии, Ei = 13,6 эВ. Поэтому V =，2(Е - Ei)/m 7,0 • 105 м/с.
Ответ: V = R/(тс) ^ 4,34 м/с, где т — масса атома, R — энергия ионизации атома водорода.
Решение. Запишем уравнения закона сохранения энергии и импульса
R = h"*R = h"*九沙——=mv. с九沙——=mv. с
R = h"*
R = h"*
九沙
——=mv. с
九沙
——=mv. с
Для скорости V получаем:
-e ^ ——, тс-e ^ ——, тсRR
-e ^ ——, тс
-e ^ ——, тс
R
R
так как R/m《с2. Это означает, что для ответа достаточно использовать только закон сохранения импульса.
I a27Tze2л
Т 〜-———^ 2,64 • 104 К, где а — постоянная тонкой структуры, к — постоянная Больцмана, т — масса электрона.
Решение. Кулоновская сила £, действующая со стороны ядра на электрон, находящийся в атоме водорода на первой боровской орбите, равна Fe е /а。，где а° ^―方 /(?rze ).
Электрон, находящийся на этой орбите, движется со скоростью V = ас, где а = е2/(Яс) — постоянная тонкой структуры. Для силы /, действующей на электрон со стороны магнитного поля индукцией В, имеем:
Fm = -VB = аеВ.
с
Условие Fm》Fe, при котором спектр определяется магнитным полем, приводится к виду В》т2е3с/Я3.
Более последовательной будет оценка, основанная на сравнении энергий е2/ао и Ншс = heB]g6、которая, однако, приводит к тому же результату.
Ответ: Е 〜т2е5/Я4 = 3 • 1011 В/м.
Решение. Для того, чтобы атом ионизовался, нужно, чтобы сила, действующая на электрон со стороны внешнего кулоновского поля еЕ, была порядка кулоновского притяжения к ядру на расстоянии боровского радиуса а。： е^/а^ = =т2е6/Я4. Поэтому Е 〜т2е5/Я4 = 3 • 1011 В/м.
2.28. Атах2.28. АтахheheА(1/22 - 1/32)А(1/22 - 1/32)he
2.28. Атах
2.28. Атах
he
he
А(1/22 - 1/32)
А(1/22 - 1/32)
666 HM； Amin = — ~ 365 HM.
Спектральная линия приходится на видимую часть спектра, т. е. прн- надлежит к серии Бальмера. Поэтому т = 2, ап = 6(п = 2,入R] @R - 4Ас)).
А = *勺 D —，屮]2, где 7 *
47(，2 + 1) —Xmin
Классический осциллятор характеризуется упругой постоянной к и массой т. Их размерности есть [к] = МТ-2, [т] = М.
Видно, что из этих величин составить безразмерный параметр и параметр с размерностью длины невозможно. Единственный параметр с размерностью времени это — t = ，/n/к. Это означает, что энергия, пропорциональная произведению упругой постоянной к на квадрат амплитуды I, может принимать любые значения (не квантуется).
В квантовом случае добавляется постоянная Планка 方，размерность которой [川=М!?Т—1.
Видно, что безразмерного параметра, по-прежнему нет, единственный параметр с размерностью времени — тот же у/т/к, но появляется параметр с
размерностью длины I ==hy/k/m =方g, где g 〜размерностью длины I ==hy/k/m =方g, где g 〜у Я/у^тк . Энергия квантуется, причем Е 〜kl 1/t.
размерностью длины I =
=hy/k/m =方g, где g 〜
размерностью длины I =
=hy/k/m =方g, где g 〜
В гауссовой системе единиц [е2] = MLT-2, [т] = М. Поэтому в классическом случае нет безразмерного параметра и нет параметров с размерностью времени и длины. Возможны любые значения г, энергия не квантуется. Нет характерного времени.
В квантовом случае добавляется постоянная Планка [Я] = ML2T-1. Видно, что опять нет безразмерного параметра, нет параметра с размерностью времени, но появляется параметр с размерностью длины а。= Я2/(те2). Энергия Е = —е2/(2г) квантуется.
Ответ:瓦=方g/2.
Решение. Запишем энергию осциллятора в основном состоянии в виде
_ /^(△/)2(Др)2
+ Т-+ Т-22Используя соотношение неопределенностей, имеем:
+ Т-
+ Т-
2
2
Видно, что энергия, совместимая с соотношением неопределенности координата-импульс, не может быть меньше Ео =方g/2. Это так называемая энергия нулевых колебаний.
Ответ', электрон с энергией 24 эВ может возбудить неподвижный атом гелия, а протон нет.
Решение. Энергия возбуждения △石 равна изменению внутренней энергии атома при переходе его из основного состояния в возбужденное. Поскольку фигурирующая в условии задачи кинетическая энергия составляет всего 24 эВ, то для нее можно использовать нерелятивистское выражение mv2/2.
Наибольшая доля кинетической энергии переходит во внутреннюю в случае, когда после столкновения атом и налетающая частица движутся с одинаковыми скоростями. Запишем законы сохранения энергии и импульса в этом случае. Обозначив массу атома через М, а скорость атома и частицы после соударения через V, имеем:
mv = (М + m)V,mv2 _ (М + m)V2 八亍-2+'
При заданной энергии возбуждения △£ эти уравнения определяют наименьшую скорость о налетающей частицы, а следовательно, и ее кинетическую энергию mv2/2, при которой возможно возбуждение атома. Выражая из первого уравнения скорость V и подставляя ее во второе уравнение, получим
贤=(i + SO
Из этого соотношения видно, что чем легче налетающая частица, тем меньшей кинетической энергией она может обладать, чтобы возбудить атом. Например, для возбуждения атома налетающим электроном (m《М) практически достаточно, чтобы его кинетическая энергия mv2/2 была равна энергии возбуждения атома △£. Если же атом гелия возбуждается протоном (m ^ М/4), то кинетическая энергия протона должна быть в 1,25 раза больше энергии возбуждения атома. Поэтому электрон с энергией 24 эВ может возбудить неподвижный атом гелия (но может и рассеяться упруго: законы сохранения энергии и импульса не запрещают), в то время как протон такой же кинетической энергии обязательно будет рассеиваться упруго, без изменения внутреннего состояния атома.
Ответ-. Е = 79 эВ.
Решение. Для удаления первого электрона требуется энергия, равная Ei = =24,6 эВ. Для удаления электрона от положительного иона с зарядом Z требуется энергия,石2 = Z2R, где R = 13,6 эВ — энергия ионизации атома водорода. Для гелия получаем 石2 = 54,4 эВ. Полная энергия связи электронов в атоме гелия Е = Е\ + Е? = 79 эВ.
Q = £^A ~ 4 • 105 Дж/моль.
На каждый ион приходится объем куба со стороной го. Масса одного моля NaCl М = 58,4 г/моль, а занимаемый одним молем объем равен 2N^rL Поэтому р = m/V = m/(2^A^o)^ откуда 吟=m/(2N^p) = 2,24 • 10-23 см , го = 2,82 • 10-8 см.
N = pVNA/M 3,34 • 1027; m = pV/N 3 • 10~25 кг.
р = M/(2^A^)2,07 г/см3.
Энергия 77 кДж/моль соответствует 7,98 эВ на ионную пару.
Следует из очевидного соотношения: 1 эВ/ионную пару • 6,022 • 1023 ионных пар/моль • 1,602 • 10-19 Дж/(1 эВ) = энергии в Дж/моль, соответствующей энергии 1 эВ на одну ионную пару.
Ответ-. t℃ = (5/9)(t°F - 32°).
Решение. Положив t°C = at°F + b, получаем систему уравнений для определения постоянных а и Ь:
О = 32a + b,
100 = 212а+ Ь.
Решая эту систему, получаем а = 5/9; b = -(5/9)32; 100 = 2/(2а) + Ь. Итак, t℃ = (5/9)(t°F - 32°).
20°F = (5/9)(20 — 32)—6,7℃. Второе тело холоднее.
-40°F = -40℃.
Оценка по порядку величины в 107 градусов одинакова в шкалах Цельсия и Фаренгейта. Температура в абсолютной шкале всего на 273° отличается от температуры по Цельсию.
ДУ = 3aQ/(c°), где а — коэффициент линейного расширения меди, р — плотность меди, с — удельная теплоемкость меди.
Да, поскольку относительное изменение периода маятника за счет изменения его длины I оказывается одинаковым для всех часов: ДТ/Т = 二，22小-1 二，1 + a(号-t°) - 1.
F = SEaM ^ 247 H, где E — модуль Юнга, a a — коэффициент линейного расширения стали.
△〃 = R3a^t ^ 2,3 км, a — коэффициент линейного расширения стали.
ДУ = Vf3^ -甘)0,8 л.
F = 7rA2£а(冴-疗)1,5 • 105 Н (здесь Е — модуль Юнга стали). Отметим, что ответ не зависит от длины стержня I. (Почему?)
t° = ——(t? — t?) + t? ~ 33,3° (здесь c — удельная теплоемкость .cm
воды).
t° = 0 При СШ2^о W 加1 入；tO =叱必При СШ2^9 > Ш1А (с — удельная теплоемкость).
т = cmiAt°/A 0,125 кг.
А =。力2△力°/力1 = 80 кал/г 333,3 Дж/г.
= хг ~ 11%, где А — удельная теплота плавления
т А + с△力 + L
льда, L — удельная теплота парообразования при 100℃, с — удельная теплоемкость воды.
Ответ: " = @ + pgh.Решение. После всплывания объем пузырька остается прежним (по условию). Если температура не изменится, то останется таким же и давление внутри пузырька. Однако теперь это давление наверху бака, а давление на дно 0’ = 0 + Pgh._ _Pgh[(l —无У — 4普]广p =丿 ——-37,5 мм рт. ст.4/i yl — hjОтвет: " = @ + pgh.Решение. После всплывания объем пузырька остается прежним (по условию). Если температура не изменится, то останется таким же и давление внутри пузырька. Однако теперь это давление наверху бака, а давление на дно 0’ = 0 + Pgh._ _Pgh[(l —无У — 4普]广p =丿 ——-37,5 мм рт. ст.4/i yl — hjа) ж = " j / б) при I - h 2H.а) ж = " j / б) при I - h 2H.} J (Н + I)? - 4h (Н + h - I) = 3,5 см;} J (Н + I)? - 4h (Н + h - I) = 3,5 см;=38=38см.см.% = " +% = " +(")阳"；.Отметим, что если давление измерять в(")阳"；.Отметим, что если давление измерять вpgl + 0 — 0/pgl + 0 — 0/мм рт. ст., то формула упрощается: рж = У +мм рт. ст., то формула упрощается: рж = У +(0о — 0)Z Т _г„у— • —750 мм рт. ст.l+p-pf Гр(0о — 0)Z Т _г„у— • —750 мм рт. ст.l+p-pf Гр
Ответ: " = @ + pgh.
Решение. После всплывания объем пузырька остается прежним (по условию). Если температура не изменится, то останется таким же и давление внутри пузырька. Однако теперь это давление наверху бака, а давление на дно 0’ = 0 + Pgh.
_ _Pgh[(l —无У — 4普]广
p =丿 ——-37,5 мм рт. ст.
4/i yl — hj
Ответ: " = @ + pgh.
Решение. После всплывания объем пузырька остается прежним (по условию). Если температура не изменится, то останется таким же и давление внутри пузырька. Однако теперь это давление наверху бака, а давление на дно 0’ = 0 + Pgh.
_ _Pgh[(l —无У — 4普]广
p =丿 ——-37,5 мм рт. ст.
4/i yl — hj
а) ж = " j / б) при I - h 2H.
а) ж = " j / б) при I - h 2H.
} J (Н + I)? - 4h (Н + h - I) = 3,5 см;
} J (Н + I)? - 4h (Н + h - I) = 3,5 см;
=38
=38
см.
см.
% = " +
% = " +
(")阳"；.Отметим, что если давление измерять в
(")阳"；.Отметим, что если давление измерять в
pgl + 0 — 0/
pgl + 0 — 0/
мм рт. ст., то формула упрощается: рж = У +
мм рт. ст., то формула упрощается: рж = У +
(0о — 0)Z Т _г„
у— • —750 мм рт. ст.
l+p-pf Гр
(0о — 0)Z Т _г„
у— • —750 мм рт. ст.
l+p-pf Гр
0 — 00 — 0рх = р' Д1 —ние в мм. рт. ст. Тогда рх = рг Л1 -Ответ-. М〉pghS.рх = р' Д1 —ние в мм. рт. ст. Тогда рх = рг Л1 -Ответ-. М〉pghS.Г •Г •При расчете удобно измерять давле-При расчете удобно измерять давле-0 — 0/ l^p-^ Т0 — 0/ l^p-^ Т^ 756 мм рт. ст.^ 756 мм рт. ст.Решение. Рассмотрим положение стакана, полностью погруженного в воду (рис. 4.1). Стакан утонет при выполнении условияРешение. Рассмотрим положение стакана, полностью погруженного в воду (рис. 4.1). Стакан утонет при выполнении условия
0 — 0
0 — 0
рх = р' Д
1 —
ние в мм. рт. ст. Тогда рх = рг Л
1 -
Ответ-. М〉pghS.
рх = р' Д
1 —
ние в мм. рт. ст. Тогда рх = рг Л
1 -
Ответ-. М〉pghS.
Г •
Г •
При расчете удобно измерять давле-
При расчете удобно измерять давле-
0 — 0/ l^p-^ Т
0 — 0/ l^p-^ Т
^ 756 мм рт. ст.
^ 756 мм рт. ст.
Решение. Рассмотрим положение стакана, полностью погруженного в воду (рис. 4.1). Стакан утонет при выполнении условия
Решение. Рассмотрим положение стакана, полностью погруженного в воду (рис. 4.1). Стакан утонет при выполнении условия
⑴⑴Mg + pqS〉pS.
⑴
⑴
Для давления воздуха в стакане р можно записать два выражения. С одной стороны, считая температуру воздуха постоянной, на основании закона Бойля-
Рис. 4.1Рис. 4.1
Рис. 4.1
Рис. 4.1
Мариотта имеем:
PqSH = ps(h — х).(2)
С другой — из условия механического равновесия уровня воды внутри стакана
p = pQ^ pg(h-x).(3)
Исключая из двух последних равенств величину /, приходим к квадратному уравнению для р:
Р - 000 - PgPoh = 0.(4)
Физический смысл имеет только положительный корень уравнения
00+J届 + 400阳月
2-
Нормальное атмосферное давление 目。соответствует давлению водяного столба примерно 10 м. Поэтому в случае стакана высотой h ^ 10 см приближенно справедливо
0 = 0о + Pgh.(5)
Теперь с помощью (1) находим: М〉pghS.
Этот ответ можно получить в результате качественного анализа условия механического равновесия стакана, полностью погруженного в воду. Такое равновесие возможно только в случае, когда масса стакана равна массе жидкости, занимающей тот же объем, что и стакан.
4.8. Н ^4.8. Н ^00 g00 g^ 30 м. Пренебрегается толщиной стенок ста^ 30 м. Пренебрегается толщиной стенок стакана, давлением паров воды в стакане, изменением температуры, а такжекана, давлением паров воды в стакане, изменением температуры, а такжевысотой стакана h по сравнению с Н.высотой стакана h по сравнению с Н./二 А +/二 А +PgHh0о + PgHPgHh0о + PgHМ6如“二f”制)М6如“二f”制)弋 14,5 рад/с.弋 14,5 рад/с.Решение. Когда в запаянном канале сосуда ртуть поднимется до половины его высоты (рис. 4.2), объем воздуха в этом канале уменьшится вдвое, а егоРешение. Когда в запаянном канале сосуда ртуть поднимется до половины его высоты (рис. 4.2), объем воздуха в этом канале уменьшится вдвое, а егодавление вдвое увеличится.давление вдвое увеличится.
4.8. Н ^
4.8. Н ^
00 g
00 g
^ 30 м. Пренебрегается толщиной стенок ста
^ 30 м. Пренебрегается толщиной стенок ста
кана, давлением паров воды в стакане, изменением температуры, а также
кана, давлением паров воды в стакане, изменением температуры, а также
высотой стакана h по сравнению с Н.
высотой стакана h по сравнению с Н.
/二 А +
/二 А +
PgHh0о + PgH
PgHh0о + PgH
М6如“二f”制)
М6如“二f”制)
弋 14,5 рад/с.
弋 14,5 рад/с.
Решение. Когда в запаянном канале сосуда ртуть поднимется до половины его высоты (рис. 4.2), объем воздуха в этом канале уменьшится вдвое, а его
Решение. Когда в запаянном канале сосуда ртуть поднимется до половины его высоты (рис. 4.2), объем воздуха в этом канале уменьшится вдвое, а его
давление вдвое увеличится.
давление вдвое увеличится.
Давление в точке А на рис. 4.2 составляет 0A = 2ро + pgh/2, а в точке В оно равно атмосферному рв = @о・ Для того, чтобы связать давление ртути в произвольной точке х горизонтальной части трубки @(/) с угловой частотой вращения g, выделим малый элемент dx, находящийся на расстоянии х от оси вращения. Он имеет массу pSdx (где S — площадь поперечного сечения трубки, р — плотность ртути) и движется с ускорением g?/. Уравнение движения для этого элемента имеет вид S[@(/ + dx) — @(/)] = pSJ工 dx. Отсюда
= рш2х.⑴
ах
Выражая р\ - рв = @о + pgh/2 из уравнения (1), имеем:
0A ~Рв0A ~Рвh/2h/2
0A ~Рв
0A ~Рв
h/2
h/2
с22@о + pgh 口Отсюда g——；Е，、. Подставляя.02 -九2/4)чаем g = 14,5 рад/с.4.1Lб/.с22@о + pgh 口Отсюда g——；Е，、. Подставляя.02 -九2/4)чаем g = 14,5 рад/с.4.1Lб/.численные значениячисленные значенияпараметров, полу-параметров, полу-02 —0102 —01
с22@о + pgh 口
Отсюда g——；Е，、. Подставляя
.02 -九2/4)
чаем g = 14,5 рад/с.
4.1Lб/.
с22@о + pgh 口
Отсюда g——；Е，、. Подставляя
.02 -九2/4)
чаем g = 14,5 рад/с.
4.1Lб/.
численные значения
численные значения
параметров, полу-
параметров, полу-
02 —01
02 —01
М = МвPi - Pq рМ = МвPi - Pq р,где ТИв ——молярная масса воздуха.,где ТИв ——молярная масса воздуха.р =р =Р1И +@2%Р1И +@2%
М = Мв
Pi - Pq р
М = Мв
Pi - Pq р
,где ТИв ——молярная масса воздуха.
,где ТИв ——молярная масса воздуха.
р =
р =
Р1И +@2%
Р1И +@2%
УУп(к + 1)п(к + 1)0 =0 =01% +@2%. т01% +@2%. тОтвет-, п = 100.Ответ-, п = 100.01% +@2%01%/Ti + Р2У2/Т201% +@2%01%/Ti + Р2У2/Т2Решение. Будем считать, что накачивать воздух нужно, начиная с атмосферного давления 目。=1 атм. Если пренебречь изменением температуры воздуха при работе насоса, то накачать в колесо необходимо массу воздуха
У
У
п(к + 1)
п(к + 1)
0 =
0 =
01% +@2%. т
01% +@2%. т
Ответ-, п = 100.
Ответ-, п = 100.
01% +@2%01%/Ti + Р2У2/Т2
01% +@2%01%/Ti + Р2У2/Т2
М。— 00»
ВТ
При каждом качании числа качаний п получаемПри каждом качании числа качаний п получаемт _ (р — po)Vт0 poVbт _ (р — po)Vт0 poVb卫 3 = 1。。・0о / Vo卫 3 = 1。。・0о / Voв колесо подается масса mo = MpqVq/{ВТ). Для
При каждом качании числа качаний п получаем
При каждом качании числа качаний п получаем
т _ (р — po)V
т0 poVb
т _ (р — po)V
т0 poVb
卫 3 = 1。。・
0о / Vo
卫 3 = 1。。・
0о / Vo
t8,6 мин.
Рои
Ответ: n = InIn ————.
v + и)
Решение. Считаем, что начальное давление воздуха в сосуде р меньше атмосферного ро- Иначе часть воздуха можно просто выпустить из сосуда. После п качаний давление воздуха в сосуде рп дается выражением
Поэтому n = In In у + у .
Предельное значение давления рПреД, до которого можно откачать воздух в сосуде, определяется главным образом остаточным объемом И камеры насоса, который остается после полного ввода поршня. В результате сжатый газ, если он останется при давлении меньшем атмосферного, не будет выходить наружу,
0пред — 00 у-.
0 0,5 атм. дуДТ
-у- • 100% = — • 100% = 4%.
@2 =~ 1,47 атм. 厶V2
Г =竺0 = 375 К.
295 К;
“ = ^-0,69 атм.
т = Ю3^^28 кг.
Р
И = V0,945 л. p + pghT '
12 А.С. Кондратьев, В.М. Уздин
V =
疗=15℃.
△№
тТ2
Р(Т2 - Ti)
=AF
4.28. тш
1000 м3, где р =
G +△产 Тио — 2)0i
Ti
4 о Мр . с 了 “12「・
00△方。
Мн2P
АГ
—плотность водорода при
6,25 Г.
4.29. р = рв -
т
RT
(4/3)7гЯ3 丿 Мне
5,61 • 105 Па.
4.30. Увеличится в 27/25 раз.
4.31. При эластичной оболочке подъемная сила не зависит от температуры и определяется массой газа внутри оболочки аэростата тгаз и молярными массами воздуха Мвозд и газа Мгаз： F = gV (рВОзд — ргаз) = mra3g (МВозд/Мгаз — 1).
4 A WV / 11 \°
4 32. Дт = -——~8 кг
处学 10.
0Аг Мне
р =学二 1,4- 108 Па.
_7Q — cmAt° ВТ с 1 l п
п —~ 315 см. В этом выражении с — удельная теплоемкость воды; L — удельная теплота парообразования; △力。=100° изменение температуры воды от начальной до температуры кипения при атмосферном давлении. Собственным объемом воды, оставшейся в жидком состоянии, можно пренебречь по сравнению с объемом водяного пара под поршнем. Также можно пренебречь работой, которая совершается при подъеме поршня.
— == 10.
7nH22 МНе
Парциальное давление пара р =-————^ 3,6 • 106 Н/м2.
V vWh2o
а = 0,5. При полной диссоциации давление вырастет в 1,5 раза. При диссоциации а-й части газа (0 < а < 1) давление вырастет в 1 + а/2 раз.
01 = 2pTi/T = 4 • 104 Н/м2 300 мм рт. ст.
4・4。・0=岑（希+看
6,1 • 105 Па.
“ “ < 一л тБТ
Молярная масса соединения М =——
СО2.
Молярная масса соединения М =
сн4.Р
^ 44 г/моль. Соединение —
^ 16 г/моль. Соединение —
4.43. Ответ: при увеличении температуры давление уменьшается
Решение. Запишем зависимость V(T), представленную на рисунке, в виде V = Vq -\- аТ и выразим давление как функцию температуры из уравнения Менделеева-Клапейрона:
yR
Очевидно, что для процесса, изображенного на рисунке Vo < 0- Поэтому с ростом температуры давление уменьшается.
Рис. 4.3Рис. 4.3Рис. 4.4Рис. 4.4период.4.48. Ответ: х =Решение.период.4.48. Ответ: х =Решение.0? — 0f = 0审—Р2-0? — 0f = 0审—Р2-⑴⑴⑵⑵
Рис. 4.3
Рис. 4.3
Рис. 4.4
Рис. 4.4
период.
4.48. Ответ: х =
Решение.
период.
4.48. Ответ: х =
Решение.
0? — 0f = 0审—Р2-
0? — 0f = 0审—Р2-
⑴
⑴
⑵
⑵
При увеличении температуры объем увеличивается.
Ответ', масса газа максимальна в точке / и минимальна в точке 2 (рис. 4.3).
Решение. Выразим массу газа из уравнения Менделеева-Клапейрона:
MV р
Масса газа максимальна (минимальна) в тех точках, где максимально (мини-
Объем минимален в точке / и максимален в точке 2 (рис. 4.4). При
переходе / т 2 объем увеличивается; при переходе 2т/ — уменьшается.
Т =~0,1 с.
Такое маленькое значение периода колебаний получается вследствие пре
небрежения трением, которое в реальных системах существенно увеличивает
Первое равенство соответствует постоянству суммы объемов газов в начальном и конечном состоянии. Второе равенство соответствует тому, что и в начальном, и в конечном состояниях сила тяжести поршня уравновешивается силами давления газов.
Имеем
=沙 АТ1 = о?%", откуда ^ = ^ = п,(3)
Р2 Ц^ =沙= Р?ЦВ, откуда =络=х.⑷
С учетом (3) и (4) уравнения (1) и (2) перепишем в виде:
n
Р\ (" 1) =0^(/ — 1)・
Перемножая получившиеся равенства, получим
или
ж2 — 1 _ п2 — 1 Ti ж2 — 1 _ п2 — 1 1
х11T?'хп к
Решая квадратное уравнение, находим
Второй корень физического смысла не имеет.
Ответ-, а) / 二 5/2; б) Т/Т' = 11/24.
⑴⑵⑶⑴⑵⑶Решение, а) На основании уравнения Менделеева-Клапейрона PaVa = PbVb = pcVc = "ВТ, 弘匕=М = PcVc = W・
⑴
⑵
⑶
⑴
⑵
⑶
Условие равновесия поршней приводит к равенствам:
рв - РА = Рв - Ра，
Рс - Ра =Рс -必.
С помощью (1) и (2) и данных условия задачи находим:
рА(-)=心(》'
0A (5 - 1)=e(/ - 1).
Деля эти равенства почленно, находим
2 _ 1
二
откуда х = 5/2.
Для ответа на второй вопрос задачи учтем, что сумма трех объемов Va, Vb, и Vc одинакова при любой температуре: Va + Vb + Ус = % + % + %■
С помощью этого равенства, используя данные условия задачи, получаем:
匕++ 2+ 丄)
\55/\ х х J
Умножая это равенство на второе равенство (3), подставляя найденное значение х = 5/2 и используя (1), найдем Т/Тг = 11/24.
Ответ: Тт ^ 241° К; Кп = 2 • IO" м3; рт = 1000 кПа.
Решение. По условию газ в любой момент можно считать находящимся в состоянии равновесия, поэтому в любой точке перехода справедливо
” Мне
Давление и объем газа при переходе связаны линейной зависимостью, поэтому 0 = 0о - aV, где 目。н а — положительные постоянные, определяемые из системы уравнений:
01 = ро - «И ；
02 = 00 — а匕,
что даетчто дает0о =0о =02s — 01%02s — 01%_02-01Для температуры Т получаем выражениеиз которого следует, что максимальная температура Тш равна_02-01Для температуры Т получаем выражениеиз которого следует, что максимальная температура Тш равнаМнеРо ^amRМнеРо ^amRи достигается при объеме Vm = @о/2а и давлении рт = @о/2. Подставляя сюда значения 目。и а, приходим к равенствам:и достигается при объеме Vm = @о/2а и давлении рт = @о/2. Подставляя сюда значения 目。и а, приходим к равенствам:二 Mie(020 - 01%)2〜Ок~ ^mR^-V^^-p^4_ 1 р2И -_2 3Vm — £— 2 • M ,202—01二 Mie(020 - 01%)2〜Ок~ ^mR^-V^^-p^4_ 1 р2И -_2 3Vm — £— 2 • M ,202—011 02s —01%1^ = 2 Sf = 1 МПа-1 02s —01%1^ = 2 Sf = 1 МПа-5.1. А =三ВАТ 57,3 кДж.5.1. А =三ВАТ 57,3 кДж.Q = CpTi； А = АТ1, где Ti — начальная температура газа.Q = CpTi； А = АТ1, где Ti — начальная температура газа.р = ◊ △产=з . ю5 Па;р = ◊ △产=з . ю5 Па;нет.нет.ДТ =ДТ =^U = Q-A = 875 кДж.График процесса изображен на рис. 5.1. 4 = @1(% — S) ^ 608 Дж; Q = △[/ + А 1064 Дж.^U = Q-A = 875 кДж.График процесса изображен на рис. 5.1. 4 = @1(% — S) ^ 608 Дж; Q = △[/ + А 1064 Дж.РРPiPiР2Р2Рис. 5.1Рис. 5.1
что дает
что дает
0о =
0о =
02s — 01%
02s — 01%
_02-01
Для температуры Т получаем выражение
из которого следует, что максимальная температура Тш равна
_02-01
Для температуры Т получаем выражение
из которого следует, что максимальная температура Тш равна
МнеРо ^amR
МнеРо ^amR
и достигается при объеме Vm = @о/2а и давлении рт = @о/2. Подставляя сюда значения 目。и а, приходим к равенствам:
и достигается при объеме Vm = @о/2а и давлении рт = @о/2. Подставляя сюда значения 目。и а, приходим к равенствам:
二 Mie(020 - 01%)2〜Ок
~ ^mR^-V^^-p^4
_ 1 р2И -_2 3
Vm — £— 2 • M ,
202—01
二 Mie(020 - 01%)2〜Ок
~ ^mR^-V^^-p^4
_ 1 р2И -_2 3
Vm — £— 2 • M ,
202—01
1 02s —01%1
^ = 2 Sf = 1 МПа-
1 02s —01%1
^ = 2 Sf = 1 МПа-
5.1. А =三ВАТ 57,3 кДж.
5.1. А =三ВАТ 57,3 кДж.
Q = CpTi； А = АТ1, где Ti — начальная температура газа.
Q = CpTi； А = АТ1, где Ti — начальная температура газа.
р = ◊ △产=з . ю5 Па;
р = ◊ △产=з . ю5 Па;
нет.
нет.
ДТ =
ДТ =
^U = Q-A = 875 кДж.
График процесса изображен на рис. 5.1. 4 = @1(% — S) ^ 608 Дж; Q = △[/ + А 1064 Дж.
^U = Q-A = 875 кДж.
График процесса изображен на рис. 5.1. 4 = @1(% — S) ^ 608 Дж; Q = △[/ + А 1064 Дж.
Р
Р
Pi
Pi
Р2
Р2
Рис. 5.1
Рис. 5.1
△[/ = -А = -4470 Дж;讨二甘=-10℃. mcv
A = /\U = Cv{pV - 0oV).
ДТ= @£1 ~ 15 К.
/?тЛ/°
Молярная масса газа М = ——- ^ 32 г/(моль • град). Газ —
кислород.
a) ^U/Q = Cv/Cp = 0,6;
б) при изотермическом расширении △[/ = 0 и вся теплота идет на совершение работы.
При подводе тепла работа не совершается. Поэтому
Q ==Q ==RRСУ(01 — po) V _ 3 — 0о) V
Q ==
Q ==
R
R
7 — 1
где 7 = Ср/Cv.
h = QR . л _ QR
'3・'-- Ср ■
Ответ: 7^ = 0 + 4/°р・
Решение. Уберем адиабатическую изоляцию системы и переведем газ в конечное состояние, не совершая работы, а сообщая газу количество теплоты Q, равное A: Q = А. На основании первого закона термодинамики можно утверждать, что система перейдет в то же самое конечное состояние, что и при совершении работы А без теплообмена. Поскольку конечному состоянию системы соответствует то же значение давления, что и начальному состоянию, то нагревание можно выполнить при постоянном давлении. Но тогда Q = =СрДТ = Л, откуда ДТ
Ответ-. 7 =——.
”00
Указание. Получаемое газом в обоих случаях одинаковое количество теплоты соответствует равенству Су(Т\ - То) =。「⑵一”))，где Ti и 72 — конечные температуры газов при этих процессах.
Ответ: 7 =，夕吵?.
Решение. При открывании крана газ адиабатически расширяется до атмосферного давления ро- Уравнение адиабаты в переменных 0 H 7 получается из соотношений pV7 = const и pV =沙АТ и имеет вид 0i-)T)= const.
Поэтому для этого этапа процесса справедливо:
⑴
где То — комнатная температура, а Т — температура газа в конце адиабатического расширения. После закрытия крана газ изохорически нагревается до температуры То- Поэтому
02=00f(2)
С помощью равенств (1) и (2) находим
二 Мд)/@1)
—МР2/@1)・
Тепло подводилось, 5Q〉0; температура убывала, dT < 0. Теплоемкость для этого процесса отрицательна.
Ответ: температура уменьшается;。= Су — R.
Решение. Из условия pV2 = const и уравнения Клапейрона pV = ЯТ следует
RTV = const.(1)
Это означает, что при расширении газа температура уменьшается.
Из (1) получаем: ТДУ + УДТ = 0, откуда ДУ/ДТ = —V/T. Теперь для теплоемкости имеем:。= Cv + р(АУ/АТ) = Су — А.
Если газ идеальный и масса его не меняется, то температура газа увеличивается, причем Т 〜Теплоемкость。= Су + 2A = Ср + R.
С = СУ + Я/(1-п).
Ответ-. А = ^(С — Т)
Решение. Работа, совершаемая газом, равна площади под графиком зависимости p(V). Поэтому
где через pi, И н @2, % обозначены давление и объем при температурах 0 и Т? соответственно. Учитывая, что 02s = @1%, находим:
К тому же результату можно прийти иначе, воспользовавшись понятием теплоемкости. Теплоемкость газа。при заданном в условии процессе
° = Су + 0^^ =+ q・
При нагревании газа от 储 до Т? по первому закону термодинамики имеем: Q = C(T2- Г) = «и + 小⑴—0) = ^U + A.
Так как = CV(C - Ti), получаем: А =-Т)
4 =一Q)【
1Я1п(И/^)
- 72
5・24・0 a
Решение. На участке 1-2 система отдает тепло Q12 = CpiT^ — Ti) < 0. На участке 2-3 Q23 = 0. Тепло подводится к системе на участке 3-1 Q31 = = ЯТ11п(ИМ).
Выразим отношение объемов V1/V3 через отношение температур Ti”. Для этого воспользуемся уравнением адиабаты T^V^~X = TiV^-1 и изобары V1/V2 = Т1/Т2- Получаем:
Q31 = АГ = АГ In (^) CP/R = СрТ\ In находим КПД цикла
二 «31 + Q jС
—Т1М0"
LЗЫЗ-25・25・〃=^^LЗЫЗ-25・25・〃=^^• 100% 20,6%.а (/ —с)• 100% 20,6%.а (/ —с)5.26. 〃 = 1 —5.26. 〃 = 1 —ЯТ11п(Т1/72)+ Су(Т1 -72)'
LЗЫЗ-2
5・25・〃=^^
LЗЫЗ-2
5・25・〃=^^
• 100% 20,6%.
а (/ —с)
• 100% 20,6%.
а (/ —с)
5.26. 〃 = 1 —
5.26. 〃 = 1 —
к с, Inn
5.27. Ответ: 77 = 1
Решение. Наивысшая температура в цикле — температура Т? в состоянии 2. Минимальная температура Ti = 7з реализуется на изотерме, т. е. Ci = п.
Рассчитаем количество теплоты, сообщенное системе на каждом участке цикла:
@з = 0,
a「也鹏——⑵1点
Qi2 = Cp(T2-T1).
Отрицательное Q означает, что система отдает соответствующее количество теплоты.
Для КПД 〃 имеем:
二 Q31 + Q12 二 1 _ RT\ M%/%)2"q12--71) ■
Учитывая, что
R = Ср - Cv = [1=)-1 Ti 二 1
④ -- - 7 - И 公-
запишем ту в виде:
Выразим отношение объемов Рз/И через п. Для этого заметим, что И = I4(Ti/C) = %/几 и, воспользовавшись уравнением адиабаты T^V^~X = =TiVy-1, найдем
Теперь получаем
In = In = Inn + InInn.
V27 - 1
Окончательно, выражение для ту принимает вид:
771п — 11п — 17 п , InnInn = 17 — 1n — 17 п , InnInn = 17 — 1n — 1Pi =P =Pi =P =P 二 2 二 138 Вт 如尸=80 Вт.P 二 2 二 138 Вт 如尸=80 Вт.Qi = А/?у = 500 Дж; Q =Qi = А/?у = 500 Дж; Q =Ответ: 〃 =力 + (1 — 771)772.Ответ: 〃 =力 + (1 — 771)772.Q(1 — 〃)= 400 Дж.Q(1 — 〃)= 400 Дж.
7
7
1
п — 1
1
п — 1
7 п , Inn
Inn = 1
7 — 1n — 1
7 п , Inn
Inn = 1
7 — 1n — 1
Pi =
P =
Pi =
P =
P 二 2 二 138 Вт 如尸=80 Вт.
P 二 2 二 138 Вт 如尸=80 Вт.
Qi = А/?у = 500 Дж; Q =
Qi = А/?у = 500 Дж; Q =
Ответ: 〃 =力 + (1 — 771)772.
Ответ: 〃 =力 + (1 — 771)772.
Q(1 — 〃)= 400 Дж.
Q(1 — 〃)= 400 Дж.
Решение. Запишем выражение для КПД каждого из двух двигателей и установки, объединяющей оба двигателя:
力=力=Qi ；Qi ；
力=
力=
Qi ；
Qi ；
Отсюда получаем: Q = Qi(l -力)；＜Эз = @(1 —小)=Qi(l -力)(1 — 〃2). Поэтому
Ql(l - (1 -力)(1 - 〃2))门 、
〃 =&=今 + (1 一力)也
a) 77 = (Ti — ®/Ti б) Можно. Поэтому ответ можно получить, и воспользовавшись выражением для КПД предыдущей задачи.
Ответ: 77 = 771 + 〃2(1 —力)•
AA44Решение. Запишем выражение для КПД обоих двигателей:
A
A
4
4
6二小
Отсюда 4 = 〃20 - 〃2厶1 = 〃2& - 〃2〃iQi・ В результате получаем:
〃 =-к——=力+ k =力+小一力〃2 =力+ 〃2(1 -6了
4.• 10 0% 4 0,5%; Q =以"一 # ^ 1,68- 109 Дж.
Q = A(1 — 77)/77 = 45 Дж.
〃 = (1 -彳产)• 100% 42,4%.
△力。=— —1 ^ 5,8° (здесь с — теплоемкость воды).
0e/1 一 厶 /
а)• 100%36%; 6) Q =以"一 #1,3 • 10^ дж
Р =100,7 Вт.
т Т2
Нужно использовать обратимую тепловую машину
А = т [с(Т - То) + А] = 44 кДж.
Здесь с — теплоемкость воды, А — удельная теплота плавления льда, 7Ь = =273°К — температура плавления льда.
LШ[А + СШ - to)]
t = —―「~ 279 с, где с — удельная теплоемкость воды,
А — удельная теплота плавления льда.
Д5 = Q/T = mL/T ^ 6 кДж/K (здесь L — удельная теплота парообразования при температуре 100℃ и давлении 1 атм).
= -Q1/T1 = -0,25 Дж/К; Д52 = Q2/& = Qi(l — 〃)/& =
=0,283 Дж/К; ZXS = △$ + Д52 = 0,033 Дж/К.
После установления равновесия энтропия изменится на
(Т1+Т2)/2(Т1+Т2)/2△S 二△S1+ZXS2 二 I ^^+ I ^^ =cmln(Т1+Т2)/2(Т1+Т2)/2△S 二△S1+ZXS2 二 I ^^+ I ^^ =cmln(71 + 公)2(71 + 公)2Т1Т1牙2牙24Tz4Tz
(Т1+Т2)/2(Т1+Т2)/2
△S 二△S1+ZXS2 二 I ^^+ I ^^ =cmln
(Т1+Т2)/2(Т1+Т2)/2
△S 二△S1+ZXS2 二 I ^^+ I ^^ =cmln
(71 + 公)2
(71 + 公)2
Т1
Т1
牙2
牙2
4Tz
4Tz
Процесс обратим, так как при необратимом процессе всегда происходит uoбecцeнивaниe^^ внутренней энергии. При обратимых процессах полная энтропия системы и "окружения” не изменяется, поэтому энтропия окружающей среды уменьшилась на 120 Дж/К.
Ответ-. 77 = (Ti — Т》Т\.
Решение. Изотермам на (Т, 5)-плоскостн будут соответствовать вертикальные линии Ti и 72- Адиабатам при обратимом процессе соответствуют
Рис. 5.2
горизонтальные линии Si и S2 (см. рис. 5.2). Для обратимого процесса ZXS = =ZXQ/T и при отсутствии теплопередачи AQ = 0 и ZXS = 0.
Система получает количество теплоты, равное (Si — S^)T\, на изотерме, соответствующей температуре 储 и отдает количество теплоты, равное — —Sa)®, на изотерме, соответствующей температуре Т^. Для 77 получаем
=Q1 - «2 = (Si— S2)T1 — (Si— S2)公=Г1 -72
〃 —Qi — (Si - S2)T1—•
△$ = Q(l/C — 1/Ti)0,417 Дж/К.
а) Д5 = 2Я1п2^ 11,5 Дж/К; б) Д5В 二11,5 Дж/К.
ZXS = тт?/(2т) ~ 1975 Дж/К.
Omeem\ ZXS 22 Дж/К.
Решение. Разобьем полное изменение энтропии на три вклада, связанные с плавлением льда, нагреванием образовавшейся воды от t° = 0℃ до некоторой температуры t° < ^ и остыванием имевшейся в калориметре воды от температуры 力;=100℃ до температуры t°. Получаем:
гг
тлА f cm^dT f cm^dT шлАТ公
———+ стл In — - cmB In —.
т2
Учитывая, что шл = тв = ш, представим ZXS в виде
А О] Г2
= ——Ь сшл In.
Температуру Т определим из условия теплового баланса:
Ат + cm# — t°) = ст(讨—t°).
В результате получаем
Г = 273° +。⑴ +?71)- "
и Z\S 22 Дж/К.
N = pV/(кТ)1,803 • 1027 молекул; п = ^/^A ~ 2,99 • 103 молей,Р = mg = 851 Н. △^ = ^ М — т ^дт) ~ 3 • 1025 молекул.N = pV/(кТ)1,803 • 1027 молекул; п = ^/^A ~ 2,99 • 103 молей,Р = mg = 851 Н. △^ = ^ М — т ^дт) ~ 3 • 1025 молекул.6.2.6.3.6.4.6.5.6.6.=ni/2.6.2.6.3.6.4.6.5.6.6.=ni/2.m沙:n :m沙:n := Мн/Na1,67 • 10-24 г/атом.=pV/(ЯТ)1,79 молей; N = “Na = 1,07 • 1024 молекул.= Мн/Na1,67 • 10-24 г/атом.=pV/(ЯТ)1,79 молей; N = “Na = 1,07 • 1024 молекул.=р/{кТ) = 1,99- 1019=р/{кТ) = 1,99- 1019п = р/(кТ) = 3,14- 104п = р/(кТ) = 3,14- 104'м-3.см-3; р = Мр/{ВТ) 10-16 кг/м3.'м-3.см-3; р = Мр/{ВТ) 10-16 кг/м3.Количество молекул уменьшится вдвое: щ — П2 =几1(公—71)/公=Количество молекул уменьшится вдвое: щ — П2 =几1(公—71)/公=△[/ = 0.△[/ = 0.6.9.Среднее жением молекул6.9.Среднее жением молекулВторая космическая скорость для Земли составляет 11,2 км/с. значение абсолютной величины скорости молекул газа дается выра- 〈0〉= \/8АТ/(7гТИ). При комнатной температуре (Г = 300 К) для кислорода (М = 32) получаем {v) ^ 450 м/с. Чтобы средняя поВторая космическая скорость для Земли составляет 11,2 км/с. значение абсолютной величины скорости молекул газа дается выра- 〈0〉= \/8АТ/(7гТИ). При комнатной температуре (Г = 300 К) для кислорода (М = 32) получаем {v) ^ 450 м/с. Чтобы средняя помодулю скорость составляла 0,1 от второй космической, температура кислорода должна быть около 1 900 К.Для водорода при Г = 1000 К получаем: 〈。〉^ 3,3 км/с. Эта скорость только в 3,5 раза меньше второй космической. Поэтому число молекул водорода, обладающих скоростью выше второй космической, достаточно велико, и они покидают пределы земной атмосферы.Для Луны вторая космическая скорость составляет 2,4 км/с. Притяжения Луны недостаточно для того, чтобы удерживать молекулы газа в течение длительного времени даже при температурах порядка 300 К. Поэтому луна лишена атмосферы.10. а) Для водорода среднеквадратичная скорость v\ = ^ЗЯТ/М1846 м/с; наиболее вероятная скорость。2 = \/2ЯТ/М1507 м/с; средняяпо абсолютной величине скорость Уз = у/8ЯТ/(тгМ) 1701 м/с.Для кислорода °i 461 м/с; °2 ~ 377 м/с; °з 425 м/с.Для углекислого газа v\ 393 м/с;也 321 м/с; Уз 363 м/с.В атмосфере Марса должны присутствовать О2 и СО2, но не Н2.модулю скорость составляла 0,1 от второй космической, температура кислорода должна быть около 1 900 К.Для водорода при Г = 1000 К получаем: 〈。〉^ 3,3 км/с. Эта скорость только в 3,5 раза меньше второй космической. Поэтому число молекул водорода, обладающих скоростью выше второй космической, достаточно велико, и они покидают пределы земной атмосферы.Для Луны вторая космическая скорость составляет 2,4 км/с. Притяжения Луны недостаточно для того, чтобы удерживать молекулы газа в течение длительного времени даже при температурах порядка 300 К. Поэтому луна лишена атмосферы.10. а) Для водорода среднеквадратичная скорость v\ = ^ЗЯТ/М1846 м/с; наиболее вероятная скорость。2 = \/2ЯТ/М1507 м/с; средняяпо абсолютной величине скорость Уз = у/8ЯТ/(тгМ) 1701 м/с.Для кислорода °i 461 м/с; °2 ~ 377 м/с; °з 425 м/с.Для углекислого газа v\ 393 м/с;也 321 м/с; Уз 363 м/с.В атмосфере Марса должны присутствовать О2 и СО2, но не Н2.Q = 4тгQ = 4тгЖ)?Ж)?2тгЯТ2тгЯТехр产~ 0,4%・ехр产~ 0,4%・m = -—- In —10 4 кг; г =
N = pV/(кТ)1,803 • 1027 молекул; п = ^/^A ~ 2,99 • 103 молей,
Р = mg = 851 Н. △^ = ^ М — т ^дт) ~ 3 • 1025 молекул.
N = pV/(кТ)1,803 • 1027 молекул; п = ^/^A ~ 2,99 • 103 молей,
Р = mg = 851 Н. △^ = ^ М — т ^дт) ~ 3 • 1025 молекул.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
=ni/2.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
=ni/2.
m
沙:
n :
m
沙:
n :
= Мн/Na1,67 • 10-24 г/атом.
=pV/(ЯТ)1,79 молей; N = “Na = 1,07 • 1024 молекул.
= Мн/Na1,67 • 10-24 г/атом.
=pV/(ЯТ)1,79 молей; N = “Na = 1,07 • 1024 молекул.
=р/{кТ) = 1,99- 1019
=р/{кТ) = 1,99- 1019
п = р/(кТ) = 3,14- 104
п = р/(кТ) = 3,14- 104
'м-3.
см-3; р = Мр/{ВТ) 10-16 кг/м3.
'м-3.
см-3; р = Мр/{ВТ) 10-16 кг/м3.
Количество молекул уменьшится вдвое: щ — П2 =几1(公—71)/公=
Количество молекул уменьшится вдвое: щ — П2 =几1(公—71)/公=
△[/ = 0.
△[/ = 0.
6.9.
Среднее жением молекул
6.9.
Среднее жением молекул
Вторая космическая скорость для Земли составляет 11,2 км/с. значение абсолютной величины скорости молекул газа дается выра- 〈0〉= \/8АТ/(7гТИ). При комнатной температуре (Г = 300 К) для кислорода (М = 32) получаем {v) ^ 450 м/с. Чтобы средняя по
Вторая космическая скорость для Земли составляет 11,2 км/с. значение абсолютной величины скорости молекул газа дается выра- 〈0〉= \/8АТ/(7гТИ). При комнатной температуре (Г = 300 К) для кислорода (М = 32) получаем {v) ^ 450 м/с. Чтобы средняя по
модулю скорость составляла 0,1 от второй космической, температура кислорода должна быть около 1 900 К.
Для водорода при Г = 1000 К получаем: 〈。〉^ 3,3 км/с. Эта скорость только в 3,5 раза меньше второй космической. Поэтому число молекул водорода, обладающих скоростью выше второй космической, достаточно велико, и они покидают пределы земной атмосферы.
Для Луны вторая космическая скорость составляет 2,4 км/с. Притяжения Луны недостаточно для того, чтобы удерживать молекулы газа в течение длительного времени даже при температурах порядка 300 К. Поэтому луна лишена атмосферы.
10. а) Для водорода среднеквадратичная скорость v\ = ^ЗЯТ/М
1846 м/с; наиболее вероятная скорость。2 = \/2ЯТ/М1507 м/с; средняя
по абсолютной величине скорость Уз = у/8ЯТ/(тгМ) 1701 м/с.
Для кислорода °i 461 м/с; °2 ~ 377 м/с; °з 425 м/с.
Для углекислого газа v\ 393 м/с;也 321 м/с; Уз 363 м/с.
В атмосфере Марса должны присутствовать О2 и СО2, но не Н2.
модулю скорость составляла 0,1 от второй космической, температура кислорода должна быть около 1 900 К.
Для водорода при Г = 1000 К получаем: 〈。〉^ 3,3 км/с. Эта скорость только в 3,5 раза меньше второй космической. Поэтому число молекул водорода, обладающих скоростью выше второй космической, достаточно велико, и они покидают пределы земной атмосферы.
Для Луны вторая космическая скорость составляет 2,4 км/с. Притяжения Луны недостаточно для того, чтобы удерживать молекулы газа в течение длительного времени даже при температурах порядка 300 К. Поэтому луна лишена атмосферы.
10. а) Для водорода среднеквадратичная скорость v\ = ^ЗЯТ/М
1846 м/с; наиболее вероятная скорость。2 = \/2ЯТ/М1507 м/с; средняя
по абсолютной величине скорость Уз = у/8ЯТ/(тгМ) 1701 м/с.
Для кислорода °i 461 м/с; °2 ~ 377 м/с; °з 425 м/с.
Для углекислого газа v\ 393 м/с;也 321 м/с; Уз 363 м/с.
В атмосфере Марса должны присутствовать О2 и СО2, но не Н2.
Q = 4тг
Q = 4тг
Ж)?
Ж)?
2тгЯТ
2тгЯТ
ехр产~ 0,4%・
ехр产~ 0,4%・
gH n
1/35 • 10-10 м.1/35 • 10-10 м.а) п = п0 ехр (, где п0 = б) F = 00sexp (
1/3
5 • 10-10 м.
1/3
5 • 10-10 м.
6.14. 0(九)=0о exp6.14. 0(九)=0о exp,где h отсчитывается от уровня, где давле-
6.14. 0(九)=0о exp
6.14. 0(九)=0о exp
ние равно pq.
На высоте 10 км р ^ 2,2 • 102 мм. рт. ст.
В шахте на глубине 10 км р ^ 3,5 атм.
Р = (1 -V/VQ)N.
Ответ: Р/Р' = (1 - 4V?/吟)
Решение. Вероятность обнаружить молекулу идеального газа в некоторой области внутри Vo равна относительному объему этой области. Эта вероятность не зависит от того, где находятся остальные молекулы.
Если в объеме %/2 — V оказалось ровно N/2 молекул, то остальные N/2 молекул должны быть вне этой области в объеме Vo/2 + V. Вероятность такого события равна
'Число способов, которым из N'молекул можно выбрать N/2'Число способов, которым из N'молекул можно выбрать N/2⑴⑴
'Число способов, которым из N'молекул можно выбрать N/2
'Число способов, которым из N'молекул можно выбрать N/2
⑴
⑴
Вероятность Р' обнаружить N/2 молекул в объеме %/2 получается из (1) при V = 0. Отсюда получаем ответ:
Видно, что Р《Р при макроскопическом числе частиц N.
ZXS = AQ/T = Я1п(^/И) = ^аМ^/И) = kln(%/S)NA = =klncu.
Возможность использования классической механики для описания коллектива одинаковых частиц массой т, концентрации п, находящихся при температуре Т, определяется безразмерным параметром
Г 二(1)
который представляет собой отношение де бройлевской длины волны частиц к среднему расстоянию между ними. Классическая механика применима, если Г《1. При Г》1 система подчиняется квантовым закономерностям. Выражая входящие в (1) п и m через макроскопические величины — молярную массу М, объем V и число Авогадро 2Уд, получаем:
ГГУ^^мкту/2У^^мкту/2《1《1
Г
Г
У^^мкту/2
У^^мкту/2
《1
《1
Таким образом, классическая механика применима.
В модели идеального газа столкновения атомов считаются абсолютно упругими. Поэтому для применимости модели идеального газа кинетическая энергия частиц должна быть недостаточной для ионизации атомов. При нормальных условиях характерная кинетическая энергия движения молекул кТ 〜 〜10-4 эВ, что гораздо меньше энергии ионизации.
ДТ = МНеУ2/(2Су) 1,2℃.
Ответ: о ^2СРТ/М.
Решение. При адиабатическом расширении газа в вакуум кинетическая энергия массы Дт, равная △?ти?/2, определяется запасом внутренней энергии этой массы, равной Дт(Су/М)Т, и работой, совершаемой при выталкивании этой массы за счет охлаждения газа в баллоне при адиабатическом расширении.
Эту работу можно оценить как рДУ ^ (Дт/М)ЯТ. Поэтому
+ 第АТ =
2М ММ ，
откуда V у/2СрТ/М.
Omeem\ п = 1/2.
Решение. При постоянной плотности газа в сечении сопла выносимая за секунду масса пропорциональна произведению скорости истечения газа о на площадь сечения сопла S. Записывая условия т = apn = Sv и mi = а^р)п = =(S/2)(4o), находим: п = 1/2.
Полная энергия газа постоянна. Следовательно, температура газа будет увеличиваться, поскольку, расширяясь в пустоту, он работы не совершает.
⑵=кТ.
График процесса в координатах F-V изображен на рис. 6.1.
Р и
%—IL
Рис. 6.1
?@2(% —S) = 2 - 105 Дж.?@2(% —S) = 2 - 105 Дж.На участке 2-3 от газа отнимается Q =На участке 2-3 от газа отнимается Q =На участке 1-2 газу сообщают Qi =勺^S(@2 - pi) = 1,2 • 105 Дж.
?@2(% —S) = 2 - 105 Дж.
?@2(% —S) = 2 - 105 Дж.
На участке 2-3 от газа отнимается Q =
На участке 2-3 от газа отнимается Q =
На всем процессе от газа отнимается Q = 8 • 104 Дж тепла.
Q = -А = 50 Дж.
А[7 =— %) = 7,6 • 104 Дж.
a) U = |ЯТ 3,4 кДж;
U = -ВТ + $Q 3,7 кДж; A=-Q^ 0,2 кДж;
U = |ЯТ + Q 3,9 кДж; А = 0.
ДТ = 4 •气区厶.Температура уменьшилась на 210 К.
Решение. Считая справедливым уравнение Менделеева-Клапейрона рУ = ВТ = (Ср — CV)T и используя выражение для внутренней энергии U = =&Т, приходим к равенству
Отсюда следует, что при аддитивности внутренних энергий газов, входящих в смесь, полное давление равно сумме давлений, производимых газами по отдельности.
Ответ-.。= 2пЯ.
Решение. Согласно первому закону термодинамики Q = △[/ + А. Для изменения внутренней энергии △[/ имеем △[/ = (3/2)zzA(Z — Ti). По условию, Т = aV2, где а — положительная постоянная. При медленном нагревании газа в любой момент pV = nRT. Поэтому для давления @ получаем: @ = naRV. Таким образом, давление р и объем V газа связаны линейной зависимостью. Поэтому для работы, совершаемой газом, получаем
厶 _ @2% — @1% _ nR ⑵—0)
=2=2•
Теперь для теплоемкости газа находим:
。=т т = 2nR.
n = 4.
Ответ-. Q = 2k户(1 - 1/n2).
Решение. Вычислим сначала молярную теплоемкость газа под поршнем:
「「 dV
С = Су + 0^7 •
Для этого воспользуемся общим соотношением
pdV ^Vdp = RdT(1)
и свяжем давления газа р с расстоянием х от поршня до края сосуда, а через него с объемом газа V:
Р = Ро~Р = Ро~кхкхк(1 — х) _ kV=炉.к(1 — х) _ kV=炉.⑵⑵
Р = Ро~
Р = Ро~
кх
кх
к(1 — х) _ kV
=炉.
к(1 — х) _ kV
=炉.
⑵
⑵
Здесь 0о — атмосферное давление, S — площадь поршня. Из (2) получаем:
⑶⑶d@ = ^dV.
⑶
⑶
Теперь с помощью (1)-(3) имеем
С = Cv + А/2.
Для того, чтобы определить количество тепла, которое необходимо подвести к системе, чтобы поршень достиг краев цилиндра, осталось определить, на сколько следует нагреть газ под поршнем. Сделаем это с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона. Пусть начальное состояние характеризуется температурой Ti, давлением @i и объемом Ц = Sl/n, а конечное — температурой 心，давлением @2 = @о н объемом % = SI. Тогда при использовании соотношений (2) получаем:
吗= i^RT\, kl2 = yRT2.
Изменение температуры газа
Таким образом, для Q получаем:
Q = иС&Т = 2кЕ (1 -•
Здесь использовано, что для одноатомного идеального газа Су = (3/2)А.
а) 72 = 14 = 600 К; 7з = 1800 К 6) 〃17%.
а) Начальная температура 301 К; температура Т? = R = 602 К.
В процессе 1-2 газ получает 3,75 кДж теплоты, в процессе 2-3 получает 3,47 кДж теплоты, в процессе 3-1 отдает 6,25 кДж теплоты.
〃 ^ 13,4%.
t]abca/t]acda = 21/23.
Ответ-, ту 16,5%.
Решение. Система получает теплоту в процессе 1-2
⑴⑴Q1 = Су (Т- То)
⑴
⑴
и на части прямой 2-3, уравнение которой есть
⑵⑵Найдем количество теплоты, получаемое газом на этом участке. Для этого вычислим теплоемкостьНайдем количество теплоты, получаемое газом на этом участке. Для этого вычислим теплоемкость「 「 dVC = Cv^PdT'「 「 dVC = Cv^PdT'⑶⑶С помощью равенстваС помощью равенстваpdV ^Vdp = RdTpdV ^Vdp = RdTи соотношения (2) находими соотношения (2) находимdVItdVItRVoRVoи выражение (3) принимаети выражение (3) принимаетвид:вид:3 - V/%、3 - 2V/VJ)丿 '3 - V/%、3 - 2V/VJ)丿 '⑷⑷
⑵
⑵
Найдем количество теплоты, получаемое газом на этом участке. Для этого вычислим теплоемкость
Найдем количество теплоты, получаемое газом на этом участке. Для этого вычислим теплоемкость
「 「 dV
C = Cv^PdT'
「 「 dV
C = Cv^PdT'
⑶
⑶
С помощью равенства
С помощью равенства
pdV ^Vdp = RdT
pdV ^Vdp = RdT
и соотношения (2) находим
и соотношения (2) находим
dV
It
dV
It
R
Vo
R
Vo
и выражение (3) принимает
и выражение (3) принимает
вид:
вид:
3 - V/%、
3 - 2V/VJ)丿 '
3 - V/%、
3 - 2V/VJ)丿 '
⑷
⑷
На участке 2-3 температура растет от значения Т до некоторого значения Ti, а затем начинает убывать. С помощью уравнения Клапейрона находим:
99
Г = 27о, Т1 = -Г = -То.
На участке от Г до Ti 5Q〉0, так как дА > 0 и dU > 0. В точке 0 теплоемкость обращается в бесконечность (здесь наклонный участок является касательной к изотерме Ti = const), а затем становится отрицательной. Однако и после достижения температуры 储 величина 5Q остается положительной, поскольку температура теперь убывает. Так продолжается до точки (匕，@*,Т*), где теплоемкость обращается в нуль:
К =Р* =(5)
ОО
Далее теплоемкость становится положительной, a dQ — отрицательной, так как dT < 0. Итак, на участке 2-3 цикла система получает тепло при изменении объема от Vo до К = (15/8)Vo- Изменение внутренней энергии на этом участке есть
391
△и = -(рЖ - 200%)=而00% = ^RTq.(6)
Совершаемая при этом работа газа есть
1
厶=5(2@о +@*)(匕-Vo) =(7)
Z1ZO1ZO
Таким образом, на участке 2-3 система получает тепло
4949
Q = AU^A= ^pQVQ = ^RTq.(8)
Количество тепла, получаемое системой за весь цикл
Qz = Q + Qi =亞 А几.
Совершаемая за цикл работа равна
⑼⑼
⑼
⑼
Для КПД получаем:Для КПД получаем:
Для КПД получаем:
Для КПД получаем:
〃 =0 • 100%16,5%.〃 =0 • 100%16,5%.(Ю)(Ю)
〃 =0 • 100%16,5%.
〃 =0 • 100%16,5%.
(Ю)
(Ю)
Если приближенно считать, что система получает теплоту на всем наклонном участке 2-3, то для КПД получается значение ту 16,7%, поскольку в этом случае
Qf = Qi + ^2Pq+Pq)Vq = 3RTq.
При сжатии — в ненасыщенный, при расширении — в пересыщенный.
При 20℃ давление водяных паров в трубе р удовлетворяет уравнению pgh + р = 0атм・ При кипении р = Ратм, и hi = 0.
夕=p/pq • 100% ^ 71%, где 目。—давление насыщенных паров воды при t° = 30℃.
夕=@/@0 • 100% ^ 53%, где 目。—давление насыщенных паров воды при，° = 10℃.
р = goo ^ 33,9 • 105 Па, где 目。—давление насыщенных паров воды при t° = 30℃.
27%.
При，° = 10℃ плотность насыщенного пара ро = 9,4 г/м3. Поэтому при этой температуре выпадет роса, а относительная влажность станет равной 100%. Абсолютная влажность составит ро = 9,4 г/м3, что соответствует давлению водяного пара 9,21 мм рт. ст.
ж = ?1,005.
• 100% 0,9%.
Ро к Мв )'
Подъемная сила уменьшится на величину А屮(Mb/Mrq — D.gV ^ 0,122pgV.
Решение. Для нахождения зависимости давления пара от кривизны поверхности жидкости рассмотрим явление поднятия (опускания) жидкости в открытой с двух концов тонкой капиллярной трубочке, одним концом погруженной в жидкость. Пусть пространство над жидкостью ограничено и после установления равновесия в системе заполнено насыщенным паром. На рис. 7.1 изображены два капилляра, в одном из которых мениск жидкости вогнутый (смачивание) а в другом — выпуклый (несмачивание). Поскольку давление пара убывает с высотой, то над поднявшейся жидкостью оно будет меньше, а над опустившейся — больше, чем над плоской поверхностью жидкости. Таким образом, давление насыщенного пара над вогнутой поверхностью жидкости меньше, а над выпуклой — больше, чем над плоской. Этот результат справедлив не только для жидкости в капилляре, но и для любой искривленной поверхности жидкости, например, для капли.
Найдем количественную зависимость давления насыщенного пара от кривизны поверхности жидкости. В случае смачивания жидкость в капилляре поднимается на высоту h = 2a/(pgr), где г — радиус кривизны мениска, р — плотность жидкости, а — коэффициент ее поверхностного натяжения. На этой высоте давление насыщенного пара (в предположении, что его плотность рп не
меняется на высоте А) меньше на величину
⑴
При выпуклой сферической поверхности эта же формула определяет повышение давления насыщенного пара по сравнению с его давлением над плоской поверхностью.
Зависимостью давления насыщенного пара от кривизны поверхности жидкости во многих случаях, когда т не слишком мало, можно пренебречь. Даже для очень маленьких капель воды, радиус которых составляет 10-6 см, давление насыщенного пара возрастает всего на 10%. Но для маленьких капель жидкости эта зависимость может играть существенную роль. Например, если пар содержит большое число капель жидкости различных размеров, то может оказаться, что по отношению к большим каплям пар будет пересыщенным, а по отношению к маленьким — ненасыщенным. Тогда маленькие капли будут испаряться, а большие — наоборот, расти.
Отметим, что при выводе формулы (1) плотность насыщенного пара считалась не зависящей от высоты. При малом радиусе капилляра высота поднятия жидкости становится настолько большой, что это приближение может оказаться слишком грубым. В этом случае для учета зависимости плотности насыщенных паров от высоты можно воспользоваться барометрической формулой
0 = 0о exp0 = 0о exp
0 = 0о exp
0 = 0о exp
Здесь т — масса молекулы пара, к — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура. Очевидно, что 目。представляет собой давление насыщенных паров при 九=0, т. е. над плоской поверхностью жидкости.
Подставляя в барометрическую формулу в качестве h высоту подъема жидкости в капилляре, получаем:
/ 2т(т、
Эта формула определяет давление насыщенных паров, находящихся в равновесии с вогнутой поверхностью жидкости. В случае выпуклой поверхности
жидкости, над которой давление насыщенных паров больше, чем над плоской поверхностью, формула для давления отличается от (2) только знаком в показателе экспоненты:
⑶⑶/ 2та
⑶
⑶
@ = 0°ехр (百万
(формулы В. Томсона (Кельвина)).
При не слишком малых значениях кривизны поверхности г, когда показатель экспоненты в (2) и (3) мал по сравнению с единицей, можно воспользоваться приближенной формулой еж ^ 1 + ж и мы приходим к следующему выражению для Др = ро — р:
Ар = 0оАр = 0о2т(ткТ рг2т(ткТ рг
Ар = 0о
Ар = 0о
2т(ткТ рг
2т(ткТ рг
Применяя к насыщенному пару уравнение состояния идеального газа р = =пкТ, и учитывая, что произведение концентрации молекул пара п на массу молекулы m равно плотности пара рп, приходим к формуле (1).
Представляет интерес оценить, при каких значениях радиуса кривизны капель для нахождения давления насыщенного пара следует вместо простой формулы (1) использовать более сложную (3). Такая необходимость возникает, когда показатель экспоненты в (3) приближается к единице. Отсюда для радиуса капли т получаем оценку
/ 2т(т
Например, для воды, у которой а = 72 дин/см, m = 3 • 10-23 г, при Г = 300 К получаем г = 10-7 см. При таком радиусе капель пользоваться формулой (1) уже нельзя.
Omeem\ t° 7,67℃.
Решение. Если плотность водяных паров составляет рп = 8,3 г/м3, то в отсутствие центров конденсации пар станет насыщенным при температуре 8℃. Вблизи поверхности пылинки, когда она покроется молекулами воды, давление насыщенного пара будет выше на величину
а .
где а — коэффициент поверхностного натяжения воды, р — ее плотность.
Поэтому конденсация начнется при более низкой температуре t° ^ 7,67℃.
Ответ-.必=5,3 • 10-3 см.
Решение. Значение di находится из уравнения
выражающего закон Бойля-Мариотта. Здесь ро и р — атмосферное давление и плотность воды соответственно, а — коэффициент поверхностного натяжения воды. При заданной в условии задачи глубине водоема и диаметре пузырьков слагаемыми, определяемыми поверхностным натяжением, можно пренебречь. Это приводит к ответу 必=5,3 • 10-3 см.
И =) V 80,4 см3. Здесь р — плотность воды,目。—
атмосферное давление.
Давление, обусловленное поверхностным натяжением, при таких размерах пузырька пренебрежимо мало.
7.16. г = давление.7.16. г = давление.3严小+V 47r 0о + pgh3严小+V 47r 0о + pghгде р — плотность воды,目。—атмосферноегде р — плотность воды,目。—атмосферное
7.16. г = давление.
7.16. г = давление.
3严小+
V 47r 0о + pgh
3严小+
V 47r 0о + pgh
где р — плотность воды,目。—атмосферное
где р — плотность воды,目。—атмосферное
Если температура воды в озере не зависит от глубины, а атмосферное давление равно ро, то h = 2p0/(pg) ~ 20 м (р — плотность воды).
р = 8cr/d, так как оболочка мыльного пузыря имеет две поверхно
сти —наружную и внутреннюю.
Г =о =Г =о =—молярная масса воздуха.—молярная масса воздуха.р = 8@о + 24(т/А.
Г =
о =
Г =
о =
—молярная масса воздуха.
—молярная масса воздуха.
Q Мрог - ЗЯТор^ 00 А； + 围—〃з Т а2 一吊一碍
=+) ~5,2 см.
ёР
d ^ -——г ^ 3 • 10-5 м, где . — плотность ртути, а а — ее коэффи- 5 pgh
циент поверхностного натяжения.
Решение. Половина работы сил поверхностного натяжения при подъеме жидкости в капилляре идет на нагревание самой жидкости и окружающего пространства благодаря вязкому трению. Если рассмотреть жидкость, в которой вязкость очень мала, то, очевидно, что, поднявшись на высоту h, жидкость в капилляре будет обладать некоторой скоростью (поскольку в процессе движения вверх на нее действовала сила поверхностного натяжения, большая, чем сила тяжести). Жидкость ипроскочитп положение равновесия и начнутся колебания.
Поверхностное натяжение отсутствует, так как при критической температуре пропадает различие между жидкостью и паром и не может быть никакой поверхности между ними.
Повышением давления можно поднять температуру кипения воды вплоть до критической температуры, которая для воды составляет 374℃. Температура плавления олова 232°С, свинца — 327℃.
(@ + ^a/v2)(V -沙6) = yRT.
Решение. Поправка b в уравнении Ван-дер-Ваальса связана с учетом размеров молекул и в простейшей модели можно предположить, что b по порядку величины совпадает с собственным объемом всех молекул о = b/N^
3,94 • 10-23 см3. Отсюда для характерного радиуса атома можно получить т = %ЗЬ/(4тг№а).
В более аккуратной модели рассматривается не уменьшение объема, предоставляемого молекулам для полета, за счет конечности их размеров, а учитывается, что конечные размеры молекул приводят к уменьшению средней длины свободного пробега молекул, в результате чего увеличивается частота ударов молекул о стенку, а следовательно, и производимое газом давление. В результате уравнение Менделеева-Клапейрона заменяется на уравнение
где величина b выражается через длину свободного пробега молекул и дается соотношением:
b = 4，57r 戸 Na.
Отсюда для радиуса молекулы г находим
Видно, что в этой модели величина b примерно равна учетверенному собственному размеру атомов. Однако значения радиусов молекул в этих моделях различаются всего в #3,21,6 раз, т. е. совпадают по порядку величины.
Ответ'. КР = 3b; 0Kp = а/(2752); £р = 8а/(27АЬ).
Решение. Уравнение Ван-дер-Ваальса — это кубическое уравнение относительно объема V, которое может быть переписано в виде:
V3- fb+^V2 + -V- — = O.
В критической точке это уравнение записывается в виде:
V3 - fV2 + —V - — = 0(1)
\ 0Kp /0Kp 0Kp
и определяет единственный трехкратный корень V = КР：
(V - Kp)3 = 0.(2)
Раскрывая (2) по степеням V и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях V в получившемся уравнении и в уравнении (1), получаем систему трех уравнений для нахождения критических величин.
Решая эту систему, находим: КР = 3b; 0Kp = a/(27b?); Ткр = 8а/(27АЬ).
Ср = ос, так как проходящая через эту точку изобара совпадает с изотермой, для которой С = ос.
Ответ: da/dT = -q/T, где q — количество теплоты, необходимое для изотермического увеличения площади поверхности жидкости на единицу.
Решение. На осях системы координат (рис. 7.2) отложены значения площади поверхности пленки S и коэффициент поверхностного натяжения а.
12
"%
当$2 S
Рис. 7.2
Рассмотрим цикл Карно для пленки жидкости. Из начального состояния / изотермически растянем пленку, переводя ее в состояние 2. При этом сг(Т) не меняется и изотерма представляет собой горизонтальную прямую.
Передаваемое пленке количество теплоты Qi = q • (52 - Si)), где q — количество энергии, необходимое для увеличения площади поверхности жидкости на единицу при постоянной температуре. При этом силы поверхностного натяжения совершают работу Ai = -a(Ti) • (S2 - Si).
Далее из состояния 2 адиабатически растянем пленку, переводя ее в очень близкое состояние 3 с отличной температурой Т?. Работой на этом участке можно пренебречь по сравнению с работой на первом участке тем точнее, чем ближе состояние 3 к состоянию 2. Затем дадим пленке изотермически сжаться до некоторого состояния 4, из которого она затем адиабатически сожмется до состояния /. Работа на участке 3-4, совершаемая пленкой, будет 厶2 = =сг(Т2)• (S3 - S4). Очевидно, что S? — S\ ^ S3 — S4. Обозначим эту величину через AS. Тогда полную работу сил поверхностного натяжения можно записать как А = Ai + А2 = (с(心)—a(Ti))AS —da/dT • ДТД5, так как Ti — 72 = =ДТ мало по условию.
Чтобы к циклу можно было применить теорему Карно, все процессы должны быть квазистатическими. Тогда
А _ Ti - 72 _ АТ
Подставляя сюда полученные выражения, найдем da/dT = —q/T.
Столь короткая длина волны фотона соответствует жесткому рентгеновскому или гамма-излучению.
Микроскопы на рентгеновском излучении существуют, но при их разработке необходимо учитывать специфику взаимодействия такого излучения с веществом. Малое отклонение показателя преломления от единицы (меньше чем на 10-4) для рентгеновских лучей практически не позволяет использовать для их фокусировки призмы и линзы. Электрические и магнитные линзы также не годятся для этой цели, поскольку фотоны не заряжены. Поэтому для фокусировки лучей используют явление полного внешнего отражения изогнутыми зеркальными плоскостями или отражение их от кристаллических плоскостей.
В рентгеновском микроскопе, как правило, используется излучение с длиной волны 0,1 нм и больше. Предел разрешения рентгеновских микроскопов на 2-3 порядка выше, чем у световых микроскопов.
△£ 〜h/M 〜10-25 Дж
ДЕ 〜h/т 〜10—25 дж; △沙二 деД 〜108 Гц.
Ответ: a) J =-——^沙；6)沙〃=沙.
e +о\ c/
Решение. Будем считать, что атом в лабораторной системе движется со скоростью много меньшей скорости света и для его энергии можно использовать нерелятивистское выражение. Представим энергию возбужденного состояния атома как сумму его кинетической энергии mv2/2 и энергию возбуждения £. В этом случае закон сохранения энергии для процесса испускания фотона вдоль направления движения атома запишется в лабораторной системе отсчета следующим образом:
mv2m(v —7…、
亍(1) где △◊ — уменьшение (положительная величина) скорости атома вследствие явления отдачи.
Использование закона сохранения импульса для рассматриваемого процесса приводит к равенству
mv = т(V — /Хо) + 也.(2)
Система уравнений (1) и (2) позволяет определить массу атома, знание которой дает возможность определить частоту фотонов, испускаемых в разных
направлениях. Однако, технически оказывается более простым не решать эту систему уравнений, а прямо выписать соответствующие системы уравнений закона сохранения энергии и импульса.
В случае а), аналогично (1) и (2) имеем:
手(3)
mv = тп (о + △/) —(4)
Из (2) и (4) следует, что /Хо и /Хг/ выражаются через 〃。丿 аналогичными формулами:
丝(5) тстс
Подставляя первую из формул (5) в уравнение (1), а вторую — в уравнение (3) и учитывая, что импульс фотона Ну/с много меньше импульса атома mv, приходим к соотношениям:
hv (1 — 2) = А/ (1 + 2) =(6)
Сравнение формул (6) немедленно приводит к равенству
J(7)
При получении формул (6) мы пренебрегли членом тп(/Хо)2/2 по сравнению с mv^v. Поэтому соотношение (7) справедливо при выполнении условия V》hv/(тс).
В случае б) законы сохранения энергии и импульса записываются в виде
22
mvmv1 〃
—+ £ 二,(8)
(m*2 = m,(9)
где 。1 — скорость атома после испускания фотона, направленная под некоторым углом к скорости атома до испускания фотона.
С помощью уравнений (8) и (9) находим:
£ = hv"•(10)
Второе слагаемое в скобках в формуле (10) пренебрежимо мало по сравнению с единицей, так как представляет собой отношение энергии испущенного фотона 九沙〃 к энергии покоя атома тс2. Сравнивая выражение (10) с первой из формул (6), получаем
_ 2hc _
(3/2)kT - ЗХкТ - 6 •
n = N/e 4,38 • 1017 фотонов/(см2 • c).
a) E = Pt = 15 мДж; 6) ^ = E/仇沙)=PrX/(hc) 5,24 • 1016.
Решение. Неопределенность △£ энергии пучка фотонов с энергиями £ =方以 обусловлена неопределенностью △^ числа N этих фотонов: △£ = =方g/XN. Фаза 夕 электромагнитных колебаний определяется соотношением
夕=g£ + go. Неопределенность △(/； фазы одинаковых фотонов при их одинаковой начальной фазе 夕。определяется неопределенностью момента времени △力: △з = g△力.Теперь получаем: △£ • △力=h3dN • Zp〔з 〜 方，откуда △^ •、屮 〜 〜1. Отсюда становится понятной причина когерентности мощного потока лазерного излучения: при большом N неопределенность △^ также велика и △夕 оказывается близкой к нулю.
УТ3 = const.
Cv = 4川匕 S = (4/3)аТ3У.
Г = y/N/a 400 К. Здесь N = 1400 Вт/м2 — мощность падающего на единицу поверхности Земли солнечного излучения; а = 5,67 х х 10-8 Вт/(м2 • К4) — постоянная Стефана-Больцмана.
Ответ', нет, так как излучательная способность любого тела меньше излучательной способности черного тела, находящегося при той же температуре.
Ответ-, ef ~ 4,7 эВ.
Решение. Для концентрации п имеем имеем n = pN^/M. Поэтому
0F =方0F =方1/3
0F =方
0F =方
и для энергии Ферми ef = @^/(2加)получаем: fc2 AT1/3
£F =涼-4,7 эВ.
А = he/ДЕ 1,09 мкм.
Среднее расстояние между частицами г 〜п~1^3. Из соотношения неопределенностей следует, что р 〜h/r 〜Яп1//3. При этом кинетическая энергия Е 〜@2/6 〜方2几2/3/加.Температура вырождения оценивается из соотношения кТо 〜Е.
Отсюда То 〜 方2几2/3/(加衣)，где k — постоянная Больцмана.
Решение. Число частиц N в сфере с радиусом, равным дебаевскому радиусу экранирования td, равно
N = |тггоп, где для го справедливо:
尸 1/ кТ
Здесь &р — частота плазменных колебаний, ответственных за электронейтральность в плазме.
Число частиц N выражается через безразмерный параметр 7 = =е2п1//3/(кТ), представляющий собой отношение средней потенциальной энергии к средней тепловой энергии частиц плазмы. Получаем N 〜丁一”乙 Видно, что при 7《1 число частиц N》1. Отметим, что электронейтральная в целом система электронов и ионов с линейным размером L может рассматриваться как плазма, когда среднее расстояние между заряженными частицами〈厂〉〜п~х^《rg《L.
Решение: Число частиц N в сфере с радиусом, равным дебаевскому радиусу экранирования td, дается тем же выражением, как и в случае класси-
ческой плазмы:
N = |тггоп, где радиус экранирования td определяется произведением фермиевской скорости электронов на период плазменных колебаний:
Ы1/31 h
т&рет1/2^/6'
Число частиц N выражается через безразмерный параметр _ е2п1//3_
%h2n2/3/m方 2rzi/3’
представляющий собой отношение средней потенциальной энергии электронов к энергии Ферми. Получаем N 〜г^3^2.
В реальных металлах 1 < rs < 6, так что внутри дебаевской сферы ^ < 1. Это означает, что радиус экранирования кулоновского взаимодействия меньше, чем среднее расстояние между электронами. Кулоновское взаимодействие электронов экранируется и между квазичастицами-электронами действуют короткодействующие силы.
Решение. Как показано в предыдущей задаче, радиус экранирования кулоновского взаимодействия между электронами меньше, чем среднее расстояние между ними. Кроме того, энергия плазмона 方&р в реальных металлах больше, чем фермиевская энергия ef электронов. Действительно 拉也 〜 〜 方几i/2e/?T?/2, a wf 〜t^n1^/т.
Отношение £f/（方&p）〜тГ”？ < 1. Это означает, что движущиеся электроны не могут возбуждать плазменных колебаний. Поэтому роль этих колебаний сводится только к экранированию кулоновского взаимодействия между электронами. В результате сопоставляемые электронам проводимости квазичастицы взаимодействуют посредством короткодействующих сил.
Решение. Электронно-дырочный газ в полупроводниках не обязательно является вырожденным. В то же время квантовые эффекты могут быть в них существенны. Поэтому наряду с безразмерным параметром классической плазмы 7 = е2п1//3/（кТ） следует рассмотреть еще один безразмерный параметр Г, характеризующий роль квантовых эффектов в движении частиц,
二方2几2/3
—ткТ 5
который определяется отношением энергии Ферми к характерной энергии теплового движения в классическом случае.
Общий вид безразмерного параметра Е, который можно составить из параметров, характеризующих рассматриваемую систему, может быть представлен следующим образом:
= 7 • 3（Г），
где вид функции 夕（「） может быть легко установлен в предельных случаях. При высоких температурах Г, когда система является классической （Г《1）, очевидно з（Г） = 1. В ультраквантовом случае （Г》1） параметр X не должен зависеть от температуры. Поэтому 夕（「）т 1 /Г （рис. 9.1）. В этом случае
_ те2 _
Рис. 9.1Рис. 9.1
Рис. 9.1
Рис. 9.1
Для полупроводников параметр rs может быть как больше, так и меньше единицы, в зависимости от эффективных масс электронов и дырок. Поэтому и число частиц внутри дебаевской сферы при низких температурах может быть как больше (при rs < 1) так и меньше единицы (при rs〉1).
В случае произвольных температур необходимо рассматривать общий параметр Е, учитывая конкретный вид функции 夕(「).
В гауссовой системе единиц
「 e4m* Епт*
= 0 G ^ =
25方2т£2 5 m*e2 m* 5
где Eq и a()— энергия связи и боровский радиус атома водорода; т — масса свободного электрона.
Образование экситонов с водородоподобным спектром возможно при условии, что боровский радиус экситона аэ не превосходит дебаевский радиус экранирования тд кулоновского взаимодействия между электронами и дырками. В случае невырожденного электронно-дырочного газа, когда
(1)(1)户几2/3т*кТ
(1)
(1)
дебаевский радиус экранирования гд определяется произведением характерной тепловой скорости частиц у/кТ/т* на период плазменных колебаний, ответственных за экранирование кулоновского взаимодействие 2тгуш*4(7те2). Получаем:
4тгпе24тгпе2
4тгпе2
4тгпе2
Используя для боровского радиуса выражение аэ ~ Я2е/(т*е2), получаем для критического значения концентрации:
⑵⑵/ кТ(т^е)2
⑵
⑵
4万方4歩
При комнатных температурах и характерных значениях £ ^ 10, т* ^ то условие (2) оказывается более жестким, чем (1), оно дает n < 1017 см-3.
При сильном вырождении электронно-дырочного газа, когда 方^/^/^/(加*^^)》1, дебаевский радиус экранирования содержит не тепловую, а фермиевскую скорость частиц р^/т* = h^^/m*. В результате получаем
Теперь для критического значения концентрации имеем:
⑶⑶/ 7гт*е2、3
⑶
⑶
Таким образом, в этом случае появляется оценка для п с двух сторон:
⑷
Максимальная концентрация должна быть меньше 5 • 1021 см-3.
Для оценки можно считать, что расстояние между протонами — ядрами атомов водорода — оказывается порядка боровского радиуса а。. Отсюда для плотности р имеем: р ^ Шра^3 ^ 10 г/см3 (тр — масса протона).
Нет. В газе нейтральных частиц частицы взаимодействуют друг с другом только на малых расстояниях, при соударениях. В плазме заряженные частицы взаимодействуют с помощью дальнодействующих кулоновских сил. Это приводит к возникновению в плазме коллективного движения частиц — колебаний и волн, частоты которых не зависят от интенсивности теплового движения частиц. При сжатии плазмы такие волны, в которых происходят колебания частиц и электромагнитных полей, сопровождающих движение заряженных частиц, не исчезнут. Поэтому плазма останется плазмой.
Ответ: е/тн = 2,870 • 1014 ед. СГСЭ.
Решение. Закон электролиза, объединяющий первый и второй законы Фарадея, запишем в виде:
1 A小
—q，⑴
F n
где m — масса выделившегося элемента, А — атомная масса, п — валентность, q — заряд, прошедший в цепи. При прохождении одного иона через раствор переносится масса иона 7nH и заряд е. Поэтому
Из (1) и (2) получаем: е/тн = nF/А. Подставляя сюда значение числа Фарадея, атомной массы водорода А и n = 1, получим: е/тн = 2,870 • 1014 ед. срез.
тн = A/Na = 1,67 • 10一24 г; е = р/№ = 4,8 • Ю-10 ед. СГСЭ.
F = Xq/m = 96993,6 Кл/моль.
t = т/[kl) = 50 мин.
U = kW/т = 10,8 В.
W = mUN^en/М^\53,3 МДж 15 кВт • ч.
W =12,9 • [j дж, Где 厶—атомная, а = 2А —
г] ART
молярная масса водорода.
Г =^ 292 К.
Rklt
Е = Жон/(е/) = 3 • 106 В/м; о =，2叫0丿?7^ ~ 230 км/с.
Замечание. Масса молекул воздуха много больше массы электрона те. Следовательно при ударе о молекулу электрон не сообщит молекуле заметной скорости и вся кинетическая энергия Ж ускоренного электрическим полем электрона пойдет на ионизацию молекулы: Ж = Жон.
I = q/t = 20 кА; P = qU =1013 Вт; W = 5qUt = 200 ГДж.
Ответ: половину периода.
Решение. Пусть зависимость от времени напряжения, подаваемого на неоновую лампочку, имеет вид U = Uq sin(27rt/T), где Т — период колебаний переменного напряжения. По условию задачи напряжение зажигания U3 равно действующему значению напряжения [7()/，2. Следовательно, лампочка начнет светиться в момент ti, определяемый уравнением
. 27r Ua
откуда ti = Т/8. Аналогично находится момент 友，при котором лампочка гаснет:友=ЗТ/8. Таким образом, в течение первой половины периода лампочка будет гореть в течение времени At = ^ — й =7/4. В течение второго полупериода лампочка также будет светиться в течение времени Т/4. Таким образом, лампочка будет светиться в течение половины периода подаваемого напряжения.
С помощью △£ • т ^ А находим, что время жизни г виртуального пиона массой m составляет г = h/(тс2). Радиус действия ядерных сил есть ст = h/(mc), т. е. совпадает с комптоновской длиной волны пиона А/(тпс).
Ответ: р 2,3 • 1017 кг/м3; п 1,38 • 1044 м-3.
Решение. Объем ядра пропорционален числу нуклонов А. Поэтому его радиус R можно оценить выражением R = ЯоА1/3, где Ао 1,2 • 10-13 см — размер ядра атома водорода. Для концентрации п получаем:
ло
П口з = -—з ~ 1,38 -1044 м—3.
Для плотности т ядра, состоящего из нуклонов с массой тр = 1,67 х х 10-27 кг, получаем:
р = nmp 2,3 • 1017 кг/м3.
R =凡⑷凡=7,4 фм. Здесь А —число нуклонов,凡 1,2 • 10-13 см.
△№/№ = 1 - 2—〃т 0,25.
А = 1п2/Т 4,28 • 10-4 распад/год.
г = 1/А^ 130 с;Т = In 2/А 90,1 с.
А = AQe~t^T 63 мКюри.
課△力 3,61 • 1010 распад/с.
Ra /
a) T=-一=聾=5 с; 6) № = No2T2/т = 250 отсчет./с. log2(No/Ni) 2
При взрыве выделилась энергия W = 6 • 1016 Дж. Для этого необходимо, чтобы распалось т = (W/E) • (Mu/Na) ~ 0,73 кг урана.
а) ；Не. Массы :Т и ；Не составляют 3,016050 и 3,016030 в атомных единицах массы. Поэтому Е = 18,6 кэВ;
1,06 Вт;
3,9 • 10-3 Вт
Можно. Максимальная кинетическая энергия протонов, которые можно получить с помощью описанного в условии циклотрона, задается выражением:
Е == 9,7 МэВ.
Ответ-, t 1,4 • 109 лет.
Решение. Пусть № — начальное число ядер ；；‘U. Тогда Д)= № + Npb и Nu/Npb = 4,3. Найдем отношение
No Nu + Npb Nu + Nu/4,3'
Теперь, используя закон радиоактивного распада, получаем t = — 1,443Т х х hi(Nu/No) 1,4 • 109 лет.
А = hc/E 2,8 • 10-3 нм.
Два нейтрона.
т = 232,7851 а.е.м.
Дефект массы составляет 0,001279 а.е.м., что соответствует энергии 1,191 МэВ. Именно такой минимальной энергией должна обладать а- частица.
Дефект массы составляет 0,016815 а.е.м., что соответствует энергии связи 15,663 МэВ.
a) ；j8Th. Массы ядер ；；?U и ^8Th составляют соответственно 232,037130 а.е.м. и 228,028715, а а-частицы — 4,002603 а.е.м.
Е = 5,4 МэВ; У= 1,6- 107 м/с.
а) Е = Дтс2 = 23,8 МэВ; б) ^ = 2,6 • 1014 реакций в секунду.
Е = Дтс2 17 МэВ; N 13,7 • 1014 реакций в секунду.
Замечание. В реакции участвуют 5 нуклонов. Поэтому высвобождаемая энергия в расчете на один нуклон составляет 3,4 МэВ, что существенно превышает энергию, выделяющуюся при реакциях деления, которая составляет около 0,9 МэВ.
Е^З МэВ.
Еп = 14,14 МэВ, Ене = 3,56 МэВ.
а) Е 25 МэВ.
В результате аннигиляции электрон-позитронных пар при столкновении позитронов с электронами. Таким образом, полная высвобождающаяся энергия составляет 26,7 МэВ.
50,5 • 109 лет.
т = 3,84 • 1014 кг/сут.
Тяготение. В земных условиях даже масса Земли недостаточна для удержания плазмы.
Увеличение массы при реакции составляет 0,0222 а.е.м. Поэтому необходимая энергия составляет Е = 20,7 МэВ.
Ответ: Еп = 14,4 МэВ.
Решение. Выделяющаяся энергия мала по сравнению с энергией покоя даже самой легкой из участвующих в реакции частиц. Поэтому частицы нерелятивистские и заданная в условии задачи энергия Е представляет собой нерелятивистскую кинетическую энергию дейтона. Закон сохранения импульса приводит к уравнениям:
mow = maVa cos",
mnvn = mava sin",
где ed, "a, mn, w, va и vn — массы и скорости дейтона, a-частицы и нейтрона, а " — угол между направлениями полета ядер дейтерия и а-частицы. Закон сохранения энергии для реакции записывается в виде
"涡+宀爲=石 +e/
где Е = то^о/2, а Е‘ = 17 МэВ — энергия, выделяющаяся в реакции.
Решая совместно получившуюся систему уравнений, найдемРешая совместно получившуюся систему уравнений, найдем
Решая совместно получившуюся систему уравнений, найдем
Решая совместно получившуюся систему уравнений, найдем
Учитывая, что та/тп = 4, и ш^/то = 2, получим Еп = 14,4 МэВ.
Ответ: кинетические энергии осколков ядра определяются выражениями:
Решение. Из закона сохранения энергии следует me2 = Ei + 石2, где Ei и 石2 ——энергии осколков, для которых справедливы соотношения:
2 2 .2 4
= 01c + Ш1С ,
皮=0储+6%,
где Р1 И Р2 — импульсы осколков.
Поскольку полный импульс системы равен нулю, то @i =02, что приводит к равенству:
А — ТЩС = Е2 — Ш2С4.
Так как 压=тс2 —瓦，получаем:
Е\ — гщс = тс — 2Bi тс2 + А -
Отсюда для Ei имеем:
2т
Кинетическая энергия первого осколка есть
Аналогично находится кинетическая энергия второго осколка
Ej<2 =石2 — Ш2С2Ej<2 =石2 — Ш2С2(m — m2)2 — mf2m(m — m2)2 — mf2m
Ej<2 =石2 — Ш2С2
Ej<2 =石2 — Ш2С2
(m — m2)2 — mf
2m
(m — m2)2 — mf
2m
Отметим, что при определении кинетической энергии осколков мы не использовали приведенное в условии задачи соотношение для энергии распада ядра. Мы только учли, что энергия распада реализуется в виде кинетических энергий образовавшихся осколков ядра. Выражение для энергии распада ядра теперь можно найти, сложив Ек】и Ек2 •
V = ЕЦМб 5,67 . 103 м/с.
△Е /
2тс2 + 2ДЕ2тс2 + 2ДЕОтвет-.沙=—1 h \
2тс2 + 2ДЕ
2тс2 + 2ДЕ
mv,1 — v2/c2mv,1 — v2/c2也=0.с也=0.сРешение. В отсутствие взаимодействия с другими объектами атомное ядро в лабораторной системе отсчета, связанной с Землей, покоится или движется прямолинейно равномерно. Поэтому существует такая инерциальная система отсчета, в которой возбужденное ядро покоится. Законы сохранения энергии и импульса в ней запишутся в виде
mv
,1 — v2/c2
mv
,1 — v2/c2
也=0.
с
也=0.
с
тс +z- + 九沙,
，1 — V2/с2
В этих выражениях о — скорость ядра после испускания фотона. Решая приведенную систему уравнений относительно частоты, находим:
Подчеркнем, что значение частоты 7-кванта 沙 будет наблюдаться в той системе отсчета, где возбужденное ядро до распада покоилось.
Решение. Импульс фотона отличен от нуля в любой системе отсчета, так как не существует системы, где он неподвижен. Для электрон-позитронной пары всегда существует система отсчета, где суммарный импульс равен нулю.
р = Е/с 1,9 • 10-20 кг • м/с; А = h/p 3,5 • 10-14 м.
Выделяющаяся энергия Е = 0,789 МэВ. Эта энергия распределяется между электроном и антинейтрино. Максимальная энергия электрона меньше этой величины. Оказывается, что она приблизительно равна 0,782 МэВ.
Каждый из протонов должен обладать энергией 67,5 МэВ.
Ответ: Ек = 6трс2 = 5630 МэВ.
Решение. Пороговое значение кинетической энергии можно получить, считая, что все 4 частицы, образовавшиеся после столкновения, имеют одинаковый импульс. Законы сохранения энергии и импульса в этом случае имеют вид:
2трс + 砍=4mpe2 + 4以
J (шрс2 + Ек)2 - m2 с4 = 4 J (шрс2 + 瓦『-т^ .
Решая эту систему уравнений, находим Ек = 6трс2.
а) а = = 0,89 (m, М — массы нейтрона и дейтрона),
(m + М)
6 °否 sii?" cos"" (^『sin?= 0,26.
Время жизни бозона составляет △力 ^ 方/(тп%。？)， поэтому радиус взаимодействия тс△力h]gz6 ~ 2 • 10-18 м.
Масса каждого из пионов составляет 140 МэВ. Поэтому минимальная энергия фотона должна быть 280 МэВ.
В реакции выполняются законы сохранения электрического заряда, спина и барионного заряда. Поэтому такая реакция возможна.
Ответ-, "max = 30°.
Решение. Обозначив через Т и Ti кинетические энергии дейтона до и после столкновения, получаем на основании законов сохранения энергии и импульса следующее уравнение для косинуса угла рассеяния:
cos"cos"Г (М — т) + Ti (М + т)Г (М — т) + Ti (М + т)
cos"
cos"
Г (М — т) + Ti (М + т)
Г (М — т) + Ti (М + т)
Здесь т и М — масса протона и дейтона соответственно.
Из условия d(cos")/dTi = 0 получаем
т М —
J1 = —J .
М + m
Отсюда sin "max = т/М И "max = 30°.
cos| =cos| =11，1 + 2тс2/К，1 + 2тс2/К;少=130°.;少=130°.Ответ-, hv'=㈡= 0,144 МэВ.1 + 2—Т sin —Решение. Запишем законы сохранения энергии и импульса при рассеянии фотона:Ответ-, hv'=㈡= 0,144 МэВ.1 + 2—Т sin —Решение. Запишем законы сохранения энергии и импульса при рассеянии фотона:
cos| =
cos| =
1
1
，1 + 2тс2/К
，1 + 2тс2/К
;少=130°.
;少=130°.
Ответ-, hv'=㈡= 0,144 МэВ.
1 + 2—Т sin —
Решение. Запишем законы сохранения энергии и импульса при рассеянии фотона:
Ответ-, hv'=㈡= 0,144 МэВ.
1 + 2—Т sin —
Решение. Запишем законы сохранения энергии и импульса при рассеянии фотона:
тс + 九沙二 hv +、廿2 + m2c4 ,
2九2沙J cos" с22九2沙J cos" с2
2九2沙J cos" с2
2九2沙J cos" с2
где т — масса покоя электрона, р — его импульс после рассеяния на нем фотона. Подставляя р из второго уравнения в первое, приходим к ответу.
Ответ: 7^ =("7r ~т^ с2.
Решение. В лабораторной системе отсчета, где тг-мезон неподвижен, полный импульс системы равен нулю как до, так и после распада. Записывая законы сохранения энергии и импульса, имеем:
шмс2,1 — v2/c2шмс2,1 — v2/c2+ Е",+ Е",
шмс2
,1 — v2/c2
шмс2
,1 — v2/c2
+ Е",
+ Е",
，1 -02/e2 c
Здесь Штг, т^ — массы покоя тг- и 从-мезона, Еу — энергия нейтрино с нулевой массой покоя, о — скорость 从-мезона. Учтено, что после распада тг-мезона образовавшиеся нейтрино и 从-мезон движутся в противоположные стороны. Исключив из приведенных уравнений энергию нейтрино Еи, найдем:
22
+ тд
Для кинетической энергии Ек образовавшегося 从-мезона нужно воспользоваться релятивистским соотношением:
4 =4 =6/2,1 —02/e26/2,1 —02/e2-ТП^С-ТП^С
4 =
4 =
6/2
,1 —02/e2
6/2
,1 —02/e2
-ТП^С
-ТП^С
а) Е^ = Е^ — 7nze% 6)纵=(штг — т^с?/^т^)4,12 МэВ;
Ту = Еу = (т* — т^)с2/(2т^29,79 МэВ.
Ответ-, о = с.
+ £2
Решение. Законы сохранения энергии и импульса в исходной лабораторной системе отсчета имеют вид:
me2 _mv _ £i £2
02/e22，02/e2 c
где т — масса мезона, а о — его начальная скорость. Разделив второе уравнение на первое, получаем:
Отметим, что описанный в условии процесс возможен только при тс2 = =2/ил11.16. Ответ:幺=—1 + 2hp/{mcz)Решение. Законы сохранения энергии и импульса запишем в виде:727тс2/、九沙+ те =%幺h,(1)Отметим, что описанный в условии процесс возможен только при тс2 = =2/ил11.16. Ответ:幺=—1 + 2hp/{mcz)Решение. Законы сохранения энергии и импульса запишем в виде:727тс2/、九沙+ те =%幺h,(1)hv _ A% mV с с , 1 — /?2hv _ A% mV с с , 1 — /?2⑵⑵где f3 = V/с, V — скорость электрона после рассеяния. Переписывая (2) в видегде f3 = V/с, V — скорость электрона после рассеяния. Переписывая (2) в видеSiи вычитая почленно (3) и (1), находимSiи вычитая почленно (3) и (1), находим⑶⑶Складывая (3) и (1), имеемСкладывая (3) и (1), имеемС помощью (4) и (5) находимС помощью (4) и (5) находимтс = 2А% + ттс = 2А% + т2 九沙 + me2 = me22 九沙 + me2 = me2“1 + 2hiy/(mc2)'В предельных случаях имеем:“1 + 2hiy/(mc2)'В предельных случаях имеем:hv , при 《1;hv , при 《1;тс?% =元 притс?% =元 при⑷⑷(5)(5)
Отметим, что описанный в условии процесс возможен только при тс2 = =2/ил
11.16. Ответ:幺=—
1 + 2hp/{mcz)
Решение. Законы сохранения энергии и импульса запишем в виде:
727тс2/、
九沙+ те =%幺h,(1)
Отметим, что описанный в условии процесс возможен только при тс2 = =2/ил
11.16. Ответ:幺=—
1 + 2hp/{mcz)
Решение. Законы сохранения энергии и импульса запишем в виде:
727тс2/、
九沙+ те =%幺h,(1)
hv _ A% mV с с , 1 — /?2
hv _ A% mV с с , 1 — /?2
⑵
⑵
где f3 = V/с, V — скорость электрона после рассеяния. Переписывая (2) в виде
где f3 = V/с, V — скорость электрона после рассеяния. Переписывая (2) в виде
Si
и вычитая почленно (3) и (1), находим
Si
и вычитая почленно (3) и (1), находим
⑶
⑶
Складывая (3) и (1), имеем
Складывая (3) и (1), имеем
С помощью (4) и (5) находим
С помощью (4) и (5) находим
тс = 2А% + т
тс = 2А% + т
2 九沙 + me2 = me2
2 九沙 + me2 = me2
“1 + 2hiy/(mc2)'
В предельных случаях имеем:
“1 + 2hiy/(mc2)'
В предельных случаях имеем:
hv , при 《1;
hv , при 《1;
тс?
% =元 при
тс?
% =元 при
⑷
⑷
(5)
(5)
Ответ: под прямым углом.
Решение. До рассеяния энергия фотона была в два раза больше энергии
покоя электрона 九沙=2тс2, а после рассеяния — равна ей: А% = тс?. По закону сохранения энергии
(1)(1)hv + тс = А% + J@2。2 + т2с4 , где р — импульс электрона после рассеяния.
(1)
(1)
При данных условиях задачи (1) принимает вид
^тс + тс = тс + Jр2с2 + т2с4 , откуда о? = 3m2с2.
Импульс фотона до рассеяния, модуль которого равен 2тс, равен векторной сумме импульса фотона после рассеяния (с модулем, равным тс) и импульса электрона (с модулем, равным，3тпс). Используя теорему Пифагора, получаем, что фотон и электрон движутся под прямым углом друг к другу.
Ответ-. Е‘ 469 МэВ.
Решение. Законы сохранения энергии и импульса записываются в виде:
Е + трс = £/ +，廿2 + с4 ,
ЕЕ'
-=Р,сс
где р — импульс протона после рассеяния фотона. Решая эту систему относительно Е[ найдем:
/ _ Етр*трС2 + 2Е •
Учитывая условие Е》трс2, получим: Е‘ ^ трс?/2 ^ 469 МэВ, независимо от конкретного значения начальной энергии фотона.
11.19. Ответ-, v = с11.19. Ответ-, v = сsin"i + ”2)sin"i + sin"?
11.19. Ответ-, v = с
11.19. Ответ-, v = с
Решение. Обозначив импульсы фотонов через @i н @2, запишем законы
сохранения энергии и импульса для рассматриваемого процесса:
тстс⑴⑴
тс
тс
⑴
⑴
/。/^ = 01 COS 也 + 02 COS”2,(2)
pi sin i^i — p2 sin 1^2 = 0,(3)
где m — масса распавшейся частицы. Уравнения (2) и (3) соответствуют продольной и поперечной проекциям уравнения закона сохранения импульса, записанного в векторном виде. Учтено, что энергия фотона и его импульс связаны соотношением £ = рс.
Разделив почленно равенства (2) и (1), получим:
⑷⑷О _ 01cos "1 +@2COS”2с01+02
⑷
⑷
Теперь выражаем @2 через @i с помощью соотношения (3) и подставляем в (4). Используя формулу для синуса суммы двух углов, окончательно находим:
° _ £ sin("i + ”2)sin"i + sin"?
11.20. Ответ-.沙=11.20. Ответ-.沙=1 — /31 — /3где /3 = V/c.где /3 = V/c.
11.20. Ответ-.沙=
11.20. Ответ-.沙=
1 — /3
1 — /3
где /3 = V/c.
где /3 = V/c.
Решение. Рассмотрим один фотон с энергией А% и импульсом 九％/。. При отражении от свободно движущегося зеркала выполняются законы сохранения энергии и импульса. Поэтому, обозначив массу покоя зеркала через т, а частоту отраженного фотона — через 沙 имеем:
тс2тс2+ 方%)=+ 方%)=тс2тс2+ hi人+ hi人⑴⑴mVmV方%)с方%)сmHmH方沙с方沙с
тс2
тс2
+ 方%)=
+ 方%)=
тс2
тс2
+ hi人
+ hi人
⑴
⑴
mV
mV
方%)
с
方%)
с
mH
mH
方沙
с
方沙
с
13 А.С. Кондратьев, В.М. Уздин
где /3 = V/c, /31 = И/с, И — скорость зеркала после отражения фотона. Второе равенство удобно переписать в виде:
⑵⑵тВс? 7тв\с? 7
⑵
⑵
—,~ + %%) = .- - %沙.
При решении системы уравнений (1) и (2) удобно сложить и вычесть эти уравнения. После этого нетрудно получить соотношение:
2 / 1 —炉
у 1 —炉 +
Энергия фотона пренебрежимо мала по сравнению с энергией покоя зеркала. Поэтому, пренебрегая вторым слагаемым в знаменателе этого выражения, получим
р = ^У1 +/32 + 2/3cos(2q) = 3,5 • 10~3 г • см/с.
Ответ: г < Я = 2GM/c?, где G — гравитационная постоянная.
Решение. Рассмотрим фотон как частицу с массой т = hu/(?. Условие невозможности удаления частицы массы т, имеющей скорость V от объекта с массой М запишем в виде
mV2тМ
2 т
Если для фотона V = с, то г < Я = 2GM/c?. Величина R называется гравитационным радиусом объекта М.
Результат совпадает (случайно) с ответом, получаемым в общей теории относительности.
Если взять в качестве М массу Солнца Мс, то гравитационный радиус оказывается порядка 3 км. Поэтому можно считать R ^ ЗМ/МС км.
Ответ: △沙=
Решение. По закону сохранения энергии
h* 一 G—-— = Zz(沙 + △沙)，
где М масса звезды, А — ее радиус, ат — "тяжелая” масса фотона.
Из соотношения 九沙=тс2 следует, что т =九沙/с?. Поэтому для △沙 получаем
△沙=—vG Q.
Rc2
m = A/(Ac) 1016 ГэВ/c2; T = mc^/k ^= 8 • 1028 K.
Ответ-. rn =，G%/c310-33 cm; tn = rn/c 10一43 c- Шп =
=VnZ/G 10-5「
Замечание. По современным представлениям истинная последовательная теория гравитационного поля должна быть квантовой, поскольку в рамках классической общей теории относительности не удается удовлетворительно исследовать вопрос о сингулярностях в решениях уравнений, описывающих
космологическое расширение Вселенной. Квантовые эффекты в гравитации, а следовательно, и в свойствах пространства-времени должны проявляться именно вблизи сингулярности. Определить значения соответствующих параметров можно с помощью соображений размерности. Из фундаментальных постоянных G,方，с можно составить только одну величину с размерностью длины
7^ = j牛^ IO-337^ = j牛^ IO-33см.см.
7^ = j牛^ IO-33
7^ = j牛^ IO-33
см.
см.
Этой длине отвечает время tn 〜гп/с, так что
"=~ 10~43 с-
Проблема описания взаимодействия частиц на столь малых расстояниях приводит к необходимости рассмотрения плотности
Рп =方G21°93 г/см3
или массы тп 〜рпг^ =，方c/G 10-5 г.
Решение. Исходим из соотношения △£ • △£》А. При рождении пары гравитонов в результате флуктуации вакуума они разлетаются на расстояние г за время △力=r/с. При этом модуль потенциальной энергии взаимодействия гравитонов с массами М есть GM2/г, так что неопределенность значения энергии △£ равна
М2
г
Учитывая, что △£ 〜Мс2, приходим к соотношению
GQE)2 /
что дает △£ ^ 5 • 109 Дж. К этому выражению можно прийти и из соображений размерности.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
МЕХАНИКА
Кинематика 6
Равномерное движение. Средняя скорость 6
Равноускоренное движение 8
Движение по окружности 13
Плоское ускоренное движение 13
Динамика 18
Законы Ньютона 18
Движение при наличии трения 23
Тяготение 28
Силы упругости 30
Законы сохранения 32
Импульс. Центр масс 32
Работа, мощность, кинетическая энергия 33
Закон сохранения энергии 35
Законы сохранения энергии и импульса 40
Статика 44
Колебания и волны 49
Давление жидкостей игазов 54
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И ОПТИКА
Электростатика 60
Закон Кулона. Напряженность и потенциал электрического поля. Энергия системызарядов 60
Проводники в электрическом поле. Электроемкость. Конденсаторы 65
Постоянный ток 71
Сила тока. Сопротивление. Закон Ома 71
Соединение проводников в электрические цепи 73
Работа и мощность постоянного тока 79
Закон Ома для замкнутой цепи. Закон Ома для неоднородного участка цепи 84
Магнитное поле тока 94
Закон электромагнитной индукции 101
Переменный ток 107
Электромагнитные колебания и волны 110
Волновая оптика 113
Геометрическая оптика 116
Прямолинейное распространение света. Отражение и преломление на плоской границе 116
Линзы. Оптические приборы 120
Фотометрия 125
СТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
Теория относительности 128
Основы квантовой физики 133
Температура. Тепловое расширение. Условие теплового баланса 137
Газовые законы 139
Термодинамика. Тепловые машины 146
Основы молекулярно-кинетической теории 153
Реальные газы. Жидкости. Фазовые переходы 158
Вещество и излучение 161
Электронные свойства твердых тел. Ток в средах 163
Атомное ядро. Ядерные реакции 166
Элементарные частицы 170
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
МЕХАНИКА 174
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И ОПТИКА267
СТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА340
Приложения
Фундаментальные физические константы
Обоз-
Размерность
Константа
наче- ние
Числовое значение
и единица физической
величины
Скорость света в вакууме
с
299 792 458
м/с
Магнитная постоянная
Мо
47r • 1L = =12,566 370 614...
10~7 Н/А2
Электрическая постоянная
£о
(Мос2)-1 = =8,854 187 817...
10T ф/м
Гравитационная постоянная
G
6,672 59(85)
КГ” м3/(кг-с2) 10~34 Дж-с
Постоянная Планка
h
6,626 075 5(40)
в электрон-вольтах h/{e}
4,135 669 2(12)
10-15 эВ с
Д/2тг
Я
1,054 572 66(63)
10-34 дж.с
в электрон-вольтах Я{е}
6,582 1220(20)
10~16 эВ с
Планковская масса (方c/G)"?
тР
2,176 71(14)
10-8 кг
Элементарный заряд
е
1,602 177 33(49)
10 — 19 Кл
Магнетон Бора eh/2me
Мв
9,274 0154(31)
10-24 Дж/Тл
Боровский радиус а/(47гНоо)
а。
0,529 177 249(24)
IO" м
Масса покоя электрона
Ше
9,109 389 7(54)
IL】кг
Отношение заряда электрона к его массе
е
Ше
-1,758 819 62(53)
1011 К л/кг
Классический радиус электрона a2ao
Ге
2,817 940 92(38)
10-15 м
Масса покоя протона
тр
1,672 6231(10)
10-27 кг
Отношение массы протона к массе электрона
ТПр
Ше
1836,152 701(37)
Масса покоя нейтрона
Шп
1,674 9286(10)
IL? кг
Масса покоя дейтрона
md
3,343 5860(20)
IL? кг
Постоянная Авогадро
Атомная единица массы
Na
6,022 1367(36)
1023 моль-1
10-27 кг
1 а.е.М. = ^^ ТП( С)= Паем.
а.е.м.
1,660 5420(10)
Постоянная Фарадея
F
96 485,309(29)
Кл/моль
Универсальная газовая постоянная
R
8,314 510(70)
Дж/ (моль-К)
Постоянная Больцмана R/NА
k
1,380 658(12)
IL дж/к
Основные единицы физических величини их размерности в СИВнесистемные единицы, допустимые к применению наравне с единицамиСИ, отмечены кружком
Величина
Единица
Наименование
Размерность
Наименование
Обозначение
Определение
Длина
L
метр
° астрономическая единица длины
° световой год
°парсек
м
а.е.
св.
ГОД
ПК
Метр равен длине пути, проходимого светом в вакууме за 1/299 792 458 секунды 1 а. е. = 1,49598- 1011 м
1 св. год = 9,4605 • 1015 м
1 пк = 3,0857- 1016 м
Время
Г
секунда
°минута
° час
°сутки
с
мин ч сут
Секунда равна 9 192 631 770 периодов излучения, соответствующегопереходу
между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133 1 мин = 60 с 1 ч = 3600 с 1 сут = 86 400 с
Масса
М
килограмм
°тонна
° атомная единица массы
кг
т
а. е. м.
Килограмм равен массе международного прототипа килограмма 1 т = 103 кг
1 а. е. м. = 1,6605655 ♦ • 10—27 кг
Температура (термодинамическая)
0
кельвин
° градус Цельсия
К
℃
Кельвин равен 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды
t/℃ = Т/К - 273,15
Количество вещества
7V
моль
моль
Моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг
Учебное издание
КОНДРАТЬЕВ Александр Сергеевич
УЗДИН Валерий Моисеевич
ФИЗИКА. СБОРНИК ЗАДАЧ
Редактор И.В. АвиловаОригинал-макет: Е.Ю. Морозов
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 28.01.05.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Ус л. печ. л. 24,5. Уч.-изд. л. 24,5. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс: (8172) 72-60-72
E-mail: form.pfp@votel.ru http://www.Vologda/~pfpv
ISBN 5-9221-0579-5
УДК 535.12(075)
ББК 433.7
К 64
Кондратьев А. С., У здин В. М. Физика. Сборник задач.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 392 с. - ISBN 5-9221-0579-5.
Сборник задач представляет собой составную часть учебного пособия Е. И. Бутикова, А. С. Кондратьева «Физика», части 1-2, и Е. И. Бутикова, А. С. Кондратьева, В. М. Уздина «Физика», ч. 3, для школ и классов с углублённым изучением физики. Сборник содержит около 1200 задач различной сложности, охватывающих весь материал теоретического курса. Все задачи снабжены ответами, наиболее сложные — указаниями или решениями. Сборник задач предназначен преподавателям для проведения занятий в группах различной подготовки и учащимся для развития навыков решения физических задач и при подготовке к ЕГЭ и к вступительным экзаменам в вузы.
© ФИЗМАТЛИТ, 2005
ISBN 5-9221-0579-5ISBN 5-9221-0579-5© А. С. Кондратьев, В. М. Уздин, 2005
ISBN 5-9221-0579-5
ISBN 5-9221-0579-5