Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ЗАДАЧИ
МЕХАНИКА
1. Прямолинейное равномерное движение
При решении задач этого параграфа, а также §§ 2 и 3, следует обратить особое внимание на общие правила решения задач, в которых используются сложение и разложение движений, а также векторный характер основных кинематических величин (скорости и ускорения). Решение этих задач иногда вызывает у учащихся затруднения, особенно при рассмотрении криволинейного движения и относительного движения каких- либо двух тел (например, движения падающего на землю шарика относительно другого шарика, брошенного вертикально вверх).
Исключить появление этих трудностей можно лишь при правильном использовании возможностей независимого рассмотрения отдельных составляющих движения и правил сложения и разложения векторов. Значительная часть трудностей может быть предотвращена при правильном общем подходе к решению задач о криволинейном движении.
При рассмотрении равнопеременного движения необходимо особенно внимательно относиться к использованию полного физического смысла формул пути и скорости этого движения. Например, при решении задач о движении тела, брошенного вверх, учащиеся часто разбивают решение задачи на два самостоятельных этапа: рассмотрение равнозамедленного движения вверх до полной остановки и затем — равноускоренного движения вниз без начальной скорости.
Этот путь дает возможность сравнительно просто получить решение для случая движения одного тела и приводит к серьезным затруднениям при решении задачи об одновременном движении нескольких тел (см., например, задачи 31 и 35). В выборе такого пути решения задачи сказывается непонимание того факта, что формула s = vot — at2/2 является общим выражением зависимости пути от времени для равнопеременного движения, при котором до момента времени Z = v^a (момент изменения направления скорости) тело движется равнозамедленно, а после этого момента — равноускоренно. В §§ 2 и 3
следует обратить внимание на использование в решении задач указанного смысла формулы s = vot —。产/2 и на связанные с этим упрощения в ходе решения.
В § 3 большая часть решений имеет целью показать, как, правильно используя разложение движения на составляющие, можно сводить решение сложной задачи о криволинейном движении к решению простой и уже известной задачи о двух независимых прямолинейных движениях.
Как известно, ряд серьезных трудностей при решении задач возникает из-за нарушения правильной последовательности действий. Приступая к решению задачи, учащиеся иногда не уделяют необходимого внимания тому, как лучше условиться о начале отсчета времени и путей, проходимых телами, а в дальнейшем стараются избежать составления системы основных уравнений в общем виде и стремятся сразу написать расчетные формулы для искомых величин. При решении задач о движении нескольких тел, брошенных в разные моменты времени или с различных высот, они устанавливают для каждого тела свое начало отсчета времени и пути. Необходимые по ходу решения задачи связи между отдельными движениями устанавливают лишь в конце решения путем дополни тельных и порой путаных пересчетов. Такой путь приводит к неоправданным усложнениям при решении даже сравнительно простых задач.
Большая часть решений задач §§1 — 3 построена так, чтобы еще раз показать основные правила выбора начал отсчета времени и пути, общих для всех рассматриваемых в задаче тел. В этих же задачах рекомендуется обратить внимание на общую последовательность действий, порядок составления системы основных уравнений и методику использования известных данных о некоторых точках траектории для получения расчетных формул. Значительная часть задач §§ 1 — 3 допускает графическое решение. Учитывая, что свободное использование и понимание графиков имеет важное значение, следует попытаться графически решить и те задачи, где этого не требуется прямо в условии.
Во всех задачах кинематики сопротивление воздуха не учитывается, за исключением особо оговоренных случаев.
* * *
Оперу слушают: зритель, сидящий в зале театра, и радиослушатель, находящийся возле приемника. Микрофон установлен в оркестре. Скорость звука и = 340 м/с. Скорость распространения радиоволн с = 3-108 м/с.
На каком расстоянии s】от оркестра должен сесть зритель, чтобы слышать звуки одновременно с радиослушателем, если последний находится на расстоянии §2 = 7500 км от театра? На каком расстоянии s, от приемника должен сесть радиослушатель, чтобы слышать звуки одновременно со зрителем, сидящим в амфитеатре на расстоянии S3 = 30 м от оркестра?
Расстояние между пунктами Л и ^ равно s = 250 км. Одновременно из обоих пунктов навстречу друг другу выезжают два автомобиля. Автомобиль, выехавший из пункта А, движется со скоростью % = 60 км/ч, а выехавший из пункта В — со скоростью г2 — 40 км/ч.
Построить графики зависимости пути s от времени / для каждого автомобиля. Определить по этим графикам место встречи s автомобилей и время г их движения до встречи.
Из пункта Л в пункт В через интервал времени т= 10 мин выезжает по одному автомобилю. Расстояние между А и В равно s = 60 км. Скорость каждого автомобиля и = 60 км/ч.
Построить графики зависимости пути s от времени / для каждого автомобиля. Определить по этим графикам, сколько автомобилей встретит в пути пассажир, который выедет на автомобиле из пункта В в пункт А одновременно с одним из автомобилей, отправляющихся из пункта А. Автомобиль пассажира движется со скоростью г = 60 км/ч.
Противотанковое орудие стреляет прямой наводкой по танку. Разрыв снаряда замечен на батарее через время ^ =0,6 с, а звук от разрыва услышан через время f? = 2,1 с после выстрела. Скорость звука и = 340 м/с.
На каком расстоянии s от батареи находился танк? С какой горизонтальной скоростью 〃 летел снаряд?
Сколько времени пассажир, сидящий у окна поезда, идущего со скоростью vi = 54 км/ч, будет видеть проходящий мимо него встречный поезд, скорость которого 立=36 км/ч, а длина / = 150 м?
Пассажир электропоезда заметил, что встречный поезд, состоящий из паровоза и 10 вагонов, прошел мимо него в течение времени Е=10 с.
Какова скорость электропоезда, если известно, что длина паровоза с тендером 厶=2。м, длина вагона встречного поезда 4=16,5 м, расстояние между вагонами 厶=1,5 м и оба поезда в момент встречи шли с равными по модулю скоростями?
Одинаковое ли время потребуется для проезда расстояния s = 1 км на катере туда и обратно по реке (скорость течения 〃 =2 км/ч) и по озеру (в стоячей воде), если скорость катера относительно воды в обоих случаях и = 8 км/ч? Решить задачу аналитически и графически.
Какова будет длина пути s, пройденного катером относительно воды по реке в условиях предыдущей задачи?
Эскалатор метрополитена поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира в течение времени % = 1 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за время »2 = 3 мин.
Сколько времени будет подниматься пассажир по движущемуся эскалатору?
Катер идет по течению реки из пункта А в пункт В время 九=3 ч, обратно — время ^ = 6 ч.
Сколько времени потребуется катеру для того, чтобы пройти расстояние между пунктами Л и Л по течению при выключенном моторе?
Самолет летит из пункта Л в пункт В и обратно со скоростью 1； = 300 км/ч относительно воздуха. Расстояние между пунктами А и В равно s = 900 км.
Сколько времени затратит самолет на весь полет, если вдоль линии полета непрерывно дует ветер со скоростью 〃 = =60 км/ч?
Два катера с различными скоростями плыли в одном направлении по течению реки. Когда они поравнялись, с одного из катеров бросили спасательный круг. Через некоторое время после этого оба катера одновременно повернули обратно и с прежними скоростями относительно воды направились к месту, где был брошен круг.
Какой из катеров встретит круг раньше? Решить задачу для случаев, когда катеры до встречи плыли: а) против течения; б) навстречу друг другу.
На тележке установлена труба, которая может поворачиваться в вертикальной плоскости (рис. 1). Тележка движется по горизонтальной поверхности со скоростью
/ / /〃 = 2 м/с.
/ / / -^ Под каким углом а к горизонту следует установить трубу, чтобы капли дождя, падаюЩие отвесно со скоростью о = 6 м/с, двига- Qлпсь относительно трубы параллельно ее стенкам, не задевая их? Скорость капель Рис. 1 вследствие сопротивления воздуха считать постоянной.
Буер движется по гладкой горизонтальной ледяной поверхности со скоростью и. Перпендикулярно к направлению движения буера дует ветер со скоростью и = 2〃.
Под каким углом (3 к плоскости паруса установится флюгер, помещенный на мачте буера, если парус стоит под углом Ф = 45° к направлению ветра?
Лодка переплывает реку, отправляясь из пункта 4 (рис. 2). Если она будет держать курс перпендикулярно к берегам, то через время 八=10 мин после отправления она попадет в пункт С, лежащий на расстоянии s=120 м ниже пункта В по течению реки. Если она будет держать курс под некоторым углом а к прямой АВ (перпендикулярной к берегам) против течения, то через Г2 = 12,5 мин лодка попадет в В.
Найти ширину реки /, скорость лодки v относительно воды, скорость течения реки и и угол а, под которым плыла лодка во втором случае. Скорость движения лодки относительно воды одна и та же по модулю в обоих случаях.
ввЛЛРис. 3Рис. 3
в
в
Л
Л
Рис. 3
Рис. 3
Катер курсирует между пунктами А и В, которые находятся на противоположных берегах реки (рис. 3). При этом катер все время остается на прямой АВ. Расстояние между Л и В равно s = 1200 м. Скорость течения реки 〃 = 1,9 м/с. Прямая АВ составляет с направлением течения реки угол а = 60°.
С какой скоростью г и под каким углом Р к прямой АВ
должен двигаться катер, чтобы пройти путь из пункта А в пункт В и обратно за время t = 5 мин? Угол 0 остается оди
наковым при движении катера из пункта А в пункт В и обратно.
Какую поступательную скорость имеют верхние точки обода велосипедного колеса, если велосипедист едет со скоростью у = 20 км/ч?
Катушка с намотанной на ней нитью лежит на горизонтальном столе и может катиться по нему без скольжения. Внутренний радиус катушки равен г, внешний — R.
С какой скоростью 〃 и в каком направлении будет перемещаться ось катушки, если конец нити тянуть в горизонтальном направлении со скоростью V (рис. 4)?
Решить задачу 18, если нить сматывается с катушки (рис. 5).
Если два тела движутся навстречу друг другу, то расстояние между ними уменьшается на л = 16 м за время /—10 с. Если тела с прежними по модулю скоростями движутся в одном направлении, то расстояние между ними увеличивается на s' = 3 м за время 「= 5 с.
Каковы скорости v{ и р2 каждою из тел?
§ 2. Прямолинейное равнопеременное движение
При равноускоренном движении тело проходит в первые два равных последовательных промежутка времени, по f = 4 с каждый, пути 力=24 м и * = 64 м.
Найти начальную скорость у0 и ускорение а движущегося тела.
В лабораторном журнале М. В. Ломоносова приведены следующие данные о результатах измерения путей, проходимых падающими телами: «...тела, падая, проходят в первую секунду 15,5 рейнского фута, в две — 62, в три — 139,5, в четыре —248, в пять — 387,5 рейнского фута» (1 рейнский фут = =31,39 см).
Рассчитать по этим данным ускорение свободного падения g.
С крыши здания высотой h—16 м через одинаковые промежутки времени падают капли воды, причем первая ударяется о землю в тот момент, когда пятая отделяется от крыши.
Найти расстояния между отдельными каплями в воздухе в момент удара первой капли о землю.
Тело, вышедшее из некоторой точки О, двигалось с постоянным по модулю и направлению ускорением. Скорость его в конце пятой секунды была р0= 1,5 м/с, в конце шестой секунды тело остановилось и затем стало двигаться обратно.
Найти путь s, пройденный телом до остановки, и скорость г, с которой тело вернулось в точку О.
Дан график скорости некоторого движения (рис. 6).
Определить характер этого движения. Найти начальную ско
рость г0 и ускорение а. Написать уравнение зависимости пути s от времени л Что происходит с движущимся телом в момент времени, соответствующий точке В? Как движется тело после этого момента?
26・ Два тела свободно падают с разных высот и достигают земли одновременно. Время падения первого тела 九=2 с, второго а=1 с.
На какой высоте h было первое тело, когда второе начало падать?
Два тела падают с одной и той же высоты, одно вслед
за другим через интервал времени т.
Через какое время г, считая от начала падения первого тела, расстояние между телами будет равно А?
В последнюю секунду свободного падения тело прошло половину своего пути.
С какой высоты 〃 и какое время t падало тело? Указать два
пути решения задачи.
Одно тело свободно падает из точки Л с высоты Н + h.
другое тело бросают вертикально вверх с начальной скоростью
vQ из точки С одновременно с началом падения первого (рис. 7).
44Рис. 7Рис. 7Какова должна быть начальная скорость и。 второго тела, чтобы тела встретились в точке В на заданной высоте /г? Какова будет при этом максимальная высота /ах подъема второго тела? Рассмотреть отдельно случай Н = h.
4
4
Рис. 7
Рис. 7
С каким запаздыванием или упреждением и с какой начальной скоростью и。нужно бросить тело из точки С вертикально вверх в условиях задачи 29, чтобы заданная высота h была для тела, брошенного вверх, максимальной высотой подъема?
Два тела брошены вертикально вверх из
одной точки одно вслед за другим через интервал времени т
с одинаковыми начальными скоростями г0.
Через какое время z оба тела встретятся?
Аэростат поднимается с постоянной скоростью г0. К гондоле аэростата привязан на веревке груз.
Как будет двигаться груз относительно земли, если веревку, на которой он подвешен, перерезать в тот момент, когда аэростат находится на высоте %()? Сколько времени груз будет падать на землю ? Какая скорость и будет у него при соприкосновении с землей?
Показать, что для тела, брошенного вертикально вверх: а) начальная скорость г0 бросания равна конечной скорости и при соприкосновении с землей; 6) время подъема равно времени падения.
На гладкую горизонтальную поверхность упругой плиты из точки Л, находящейся на высоте Ао, свободно падает
тяжелый упругий шарик. В тот момент, когда шарик ударяется о плиту, из той же точки А начинает свободно падать второй такой же шарик.
В какой момент времени Z после начала падения второго шарика и на какой высоте h встретятся шарики?
Два тела брошены вертикально вверх из одной точки, одно вслед за другим через интервал времени т с одинаковыми начальными скоростями г0.
Найти модуль и направление скорости и второго тела отно- сите льно первого. По какому закону будет изменяться расстояние между телами? Решить задачу отдельно для случая, когда начальная скорость второго тела в два раза меньше начальной скорости первого тела.
Два мотоциклиста выезжают навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 5=300 м. Первый, имея начальную скорость и【= 72 км/ч, равнозамедленно поднимается в гору из пункта А с ускорением 〃 = 2 м/с2, второй, имея начальную скорость г2 = 36 км/ч, равноускоренно спускается с горы из пункта В с таким же по модулю ускорением.
Найти время г движения и расстояние 力，пройденное первым мотоциклистом до встречи. Как будет меняться со временем расстояние / между мотоциклист ами ? Построить график изменения расстояния между мотоциклистами с течением времени. Как определить по этому графику момент встречи мотоциклистов?
§ 3. Криволинейное движение
Из окна железнодорожного вагона свободно падает тело.
Будут ли равны между собой времена свободного падения тела, вычисленные для случаев: а) вагон неподвижен; б) вагон движется с постоянной скоростью г; в) вагон движется с постоянным ускорением а?
На высоком отвесном берегу озера находится пулемет, который стреляет в горизонтальном направлении. Начальная скорость пули равна %.
Какую скорость v имеет пуля при падении в воду, если высота берега равна 〃？
Из двух пунктов отвесного берега, находящихся на некоторых высотах от поверхности воды, одновременно бросают в горизонтальном направлении два тела с начальными скоростями и】=5 м/с и i；2 = 7,5 м/с. Оба тела падают в воду одновременно. Расстояние от точки падения первого тела до берега Si = 10 м.
Найти время / полета тел, высоты h{ и А2, с которых были брошены тела, и расстояние 52 от точки падения второго тела до берега.
Снаряд вылетает из дальнобойной пушки с начальной скоростью v0 = 1000 м/с под углом а = 30° к горизонту. Пушка и точка падения снаряда находятся на одной горизонтали.
Сколько времени снаряд находится в воздухе? На каком расстоянии s от пушки он упадет на землю ?
Под каким углом а к горизонту нужно бросить тело, чтобы при заданной начальной скорости дальность его полета была наибольшей?
Два тела брошены с одинаковыми начальными скоростями под углами а и 90° —а к горизонту.
Найти отношение наибольших высот подъема этих тел.
Начальная скорость тела, брошенного под углом к горизонту, равна Ц). Максимальная дальность полета равна 5тах.
Под каким углом а к горизонту должно быть брошено тело, чтобы дальность его полета была s < Smax?
Полевые пушки ведут стрельбу на полигоне под углом а= 15° к горизонту.
Какова наименьшая высота безопасного полета бомбардировщиков над полигоном, если начальная скорость снарядов и。= =800 м/с?
Под каким углом а к горизонту нужно направить струю воды, чтобы высота ее подъема была равна дальности?
Из миномета ведут обстрел А объекта, расположенного на склоне горы (рис. 8). Угол наклона горы 0 = 30°, угол стрельбы а = 60° по отношению к горизонту.
На каком расстоянии 1~АВ будут падать мины, если их начальная скорость равна г0?
§ 4. Вращательное движение твердого тела
Длина минутной стрелки башенных часов Московского университета & = 4,5 м.
С какой линейной скоростью и перемещается конец стрелки? Какова угловая скорость со движения стрелки?
Найти скорость v и ускорение а, которыми обладают точки земной поверхности в Ленинграде за счет участия в суточном вращении Земли. Широта Ленинграда ①= 60。Считать радиус Земли & = 6400 км.
Шкив радиусом 灭=20 см приводится во вращение грузом, подвешенным на нити, постепенно сматывающейся со
□□Рис. 9Рис. 9шкива (рис. 9). В начальный момент груз был неподвижен, а затем стал опускаться с ускорением а = 2 см/с2.
□
□
Рис. 9
Рис. 9
Какова угловая скорость со шкива в тот момент, когда груз пройдет путь 5 = 1 м? Найти ускорение аА точки А в этот момент.
Какую горизонтальную скорость г необ> ходимо сообщить телу, чтобы оно летело параллельно поверхности Земли вдоль экватора? Считать на экваторе радиус Земли R = 6400 км, а ускорение свободного падения g = 9,7 м/с2.
Крышка раскладного квадратного стола размером 1 х 1 м состоит из двух равных половин,
скрепленных друг с другом петлями. В сложенном положении одна половина крышки лежит на другой так, что их края совпадают (рис. 10,4). Чтобы раскрыть стол, сложенную крышку
нужно повернуть на 90° по часовой стрелке (рис. 10,6), после чего разложить обе половины (рис. 10,6).
Найти положение центра вращения крышки стола.
§ 5. Динамика прямолинейного движения тела.
Второй закон Ньютона
В связи с тем, что почти во всех разделах физики приходится сталкиваться с расчетом сил и движений, вызываемых этими силами, особо важное значение приобретает овладение методикой решения задач, связанных с применением законов Ньютона. Поэтому в настоящем параграфе уделено наибольшее внимание показу этой методики.
Нередко учащиеся стараются свести решение таких задач к непосредственному расчету по формуле F= та, не заботясь
предварительно о раскрытии физического смысла силы F、входящей в это уравнение. Например, если поставлена задача определить по ускорению тела и известной силе трения / силу натяжения нити Т, которой тело приводится в движение, то учащиеся сначала определяют «движущую» силу F—ma (рассматривая ее не как равнодействующую, а как одну из составляющих сил) и затем, прибавляя к ней «тормозящую» силу 工 находят силу натяжения нити Т, действительно «вызывающую» движение тела.
Такой путь не вскрывает истинной картины физических взаимодействий тел, приводит к приписыванию отдельным силам несуществующих свойств, а порой полностью исключает возможность получения правильного результата без проведения дополнительных искусственных и неоправданно сложных рассуждений. В частности, такой путь приводит к затруднениям при решении задач по определению сил связи (например, при определении силы давления груза на движущуюся подставку или показаний динамометра, который тянут в разные стороны с различными силами).
В этом параграфе проведена единая методика решения задач на применение второго закона Ньютона, которая требует, чтобы учащиеся вначале составили ясное суждение о характере взаимодействий тел, за счет которых обеспечивается создание сил, затем ввели эти силы в явном виде (в виде алгебраической суммы) в уравнение второго закона Ньютона, далее, правильно написали эти уравнения и только после этого начали проводить непосредственный расчет по определению искомых величин. Овладение этой методикой требует серьезной тренировки, поэтому рекомендуется прорешать все задачи этого параграфа систематически.
Особое внимание следует обратить на решение задач о движении нескольких связанных между собой тел, когда требуется предварительно составить систему уравнений второго закона Ньютона для всех движущихся тел системы. При решении задач этого параграфа следует также обратить специальное внимание на характер зависимости сил связи в системе от распределения масс относительно связи (например, на зависимость силы натяжения нити от соотношения масс, которые она связывает во время движения). Рекомендуется также проследить зависимость силы связи от характера движения системы (например, зависимость силы натяжения нити, перекинутой через неподвижный блок и связывающей два груза, от ускорения, с которым движутся эти грузы).
В связи с тем, что у учащихся возникает ряд затруднений в расчетах сил трения, особенно в тех случаях, когда сила
трения / < kN (к — коэффициент трения, N — сила нормального давления), в данный параграф включено несколько задач на проведение таких расчетов.
* * *
5Z Тело массой т = 25 г, движущееся под действием постоянной силы F, прошло в первую секунду движения расстояние s = 25 см.
Найти силу F, действующую на тело.
Камень, скользивший по горизонтальной поверхности льда, остановился, пройдя расстояние s = 48 м.
Найти начальную скорость v0 камня, если сила трения скольжения камня о лед составляет 0,06 силы нормального давления камня на лед.
При быстром торможении трамвайный вагон, имея скорость Го = 36 км/ч, начал двигаться «юзом» (заторможенные колеса не вращаются, а скользят по рельсам).
Какое расстояние s пройдет вагон с момента начала торможения до полной остановки? Коэффициент трения скольжения колес о рельсы 左= 0,2.
На железнодорожной платформе стоит автомобиль «Москвич», масса которого т = 845 кг.
Найти силу натяжения Т тросов, которыми автомобиль закреплен на платформе, если поезд при торможении движется с ускорением а = 0,5 м/с2. Трением пренебречь.
Тягач тянет сани с лесом по ледяной дороге со скоростью U] = 15 км/ч.
С какой скоростью v2 тягач мог бы тянуть такие сани при вывозке леса летом по лежневой дороге, если мощность, развиваемая мотором, в обоих случаях одна и та же? Коэффициент трения при движении по ледяной дороге 左[ = 0,01, по лежневой дороге 女2=0」5.
Тело массой т = 2,5 кг движется вертикально вниз с ускорением а— 19,6 м/с2.
Найти силу F, действующую на тело одновременно с силой тяжести mg во время движения. Сопротивлением воздуха пренебречь.
С какой силой N давит груз массой т на подставку, если подставка вместе с грузом движется вниз с ускорением а, направленным вверх?
Шарик массой т висит на нити, закрепленной в точке О.
С каким ускорением айв каком направлении по вертикали следует перемещать точку подвеса О, чтобы сила натяжения нити составляла 0,5 силы тяжести, действующей на шарик?
Скоростные пассажирские лифты высотной части здания Московского университета движутся со скоростью и = 3,6 м/с. Масса кабины лифта с пассажирами может достигать значения т = 1500 кг. Г рафик изменения скорости лифта при подъеме изображен на рис. 11.
Найти силу натяжения Т каната, удерживающего кабину лифта, в начале, середине и конце подъема. Считать ускорение свободного падения g=10 м/с2.
В приборе Н. А. Любимова ), предназначенном для демонстрации взаимодействия тел при свободном падении, на легкой рамке подвешены на одинаковых пружинах три гири с массами т{ = 1 кг, т2 = 2 кг и 掰3 = 3 кг (рис. 12).
Как изменится положение грузов и с какой силой натянется каждая из пружин во время свободного падения рамки?
Парашютист массой т = 80 кг спускается с постоянной скоростью.
Найти силу сопротивления / воздуха, действующую на парашютиста.
Тело, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью и。= 30 м/с, достигает высшей точки подъема через время £ = 2,5 с. Масса тела т = 40 г.
Найти среднюю силу сопротивления / воздуха, действующую на тело во время движения.
Человек стоит на платформе весов и быстро приседает.
Как изменяются показания весов в начале и в конце приседания ?
Стол небольшого строгального станка вместе с обрабатываемой деталью имеет массу т = 100 кг. Скорость прохождения стола под резцом v = 1 м/с.
Какую силу F передают механизмы станка для разгона сто- 〃а до начала резания, если время разгона £ = 0,5 с, а коэффициент трения стола о направляющие 左= 0,14?
Два бруска с массами 〃“ =200 г и т2 = 300 г связаны нитью и лежат на гладком столе (рис. 13). К бруску массой 7%1 приложена сила F = 1 Н, направленная параллельно пл ос* кости стола.
С каким ускорением а будут двигаться бруски? Какую силу натяжения Т будет испытывать при этом нить, связывающая бруски? При какой максимальной силе Fmax нить оборвется, ес* ли эта сила будет приложена: а) к бруску массой mt; 6) к бруску массой 打叮？ Нить выдерживает максимальную силу натяжения Т^ах = 9,8 Н. Трением пренебречь.
@ J j mi a m 勿 m -— m
Рис. 13Рис. 13Рис. 14
Рис. 13
Рис. 13
Четыре одинаковых бруска массой т каждый, связаны нитями и лежат на гладком столе (рис. 14). К первому бруску приложена сила F, параллельная плоскости стола.
Найти силы натяжения всех нитей. Трением пренебречь.
Чтобы сдвинуть с места тяжелый железнодорожный состав, машинист дает сначала задний ход, подавая состав немного назад, а потом уже дает передний ход.
Почему таким способом легче сдвинуть состав с места?
При резком трогании паровоза с места сцепки между вагонами железнодорожного состава иногда разрываются.
Почему, в каком месте состава и при каких дополнительных условиях чаще всего может происходить разрыв сцепок?
Динамометр прикреплен к двум грузам с массами 勿h = 10 кг и ш2 = 10 г (рис. 15). К грузам приложены силы 巴=19,6 Н и & = 9,8 Н.
Что произойдет с грузами и что покажет динамометр, если: а) сила % приложена к большему грузу, а сила % — к меньшему;&
сила 尸 1 приложена к меньшему грузу, а сила 尸2 — к большему;
массы грузов mt = щ2 = 5 кг?扌
Рис. 15Рис. 15Рис. 16
Рис. 15
Рис. 15
Два груза с массами 加】и т2 связаны нитью, перекинутой через неподвижный блок (рис. 16).
С каким ускорением а движется груз т2, если коэффициент трения его о поверхность стола равен к? Какова сила натяже- 20
пия Т нити, связывающей оба груза? Массой блока и нити пренебречь. Плоскость стола горизонтальна.
Два груза массой m каждый связаны нитью, перекинутой через неподвижный блок. На один из грузов кладут пере
грузок массой т()(рис. 17).
С каким ускорением а движутся грузы? Какова сила натя・ жеиия Т нити при движении грузов? С какой силой N перегрузок ;，о давит на груз т? Какую егглу давления F испытывает
ось блока во время движения грузов? Массой блока и нити пренебречь.
73・ Два груза с массами "Н = 1 кг и т2 = 2 кг связаны нитью, перекинутой через неподвижный блок. В начальный момент расстояние между центрами масс этих грузов 力=1 м (рис. 18).
Через какое время f после начала движения центры масс грузов будут на одной высоте? Массой блока и нити пренебречь.
Два груза с массами тк и
момент центрымомент центрыт2 связаны нитью, перекину
момент центры
момент центры
той через неподвижный блок. В начальный
масс грузов находятся на одной высоте.
С каким ускорением айв каком направлении по вертикали
J 区 I二 I?〃〃〃//〃〃"〃〃刃//〃"%Рис. 19J 区 I二 I?〃〃〃//〃〃"〃〃刃//〃"%Рис. 19переместится центр масс системы грузов, если 〃“ > m2?
J 区 I二 I
?〃〃〃//〃〃"〃〃刃//〃"%
Рис. 19
J 区 I二 I
?〃〃〃//〃〃"〃〃刃//〃"%
Рис. 19
Тележка массой т = 20 кг может катиться без трения по горизонтальной поверхности. На тележке лежит брусок массой т0 = 2 кг (рис. 19). Коэффициент трения между бруском
и тележкой к = 0,25. К бруску приложена сила: a) F = =1,96 Н; 6) F = 19,6 Н.
Найти силу трения / между бруском и тележкой и ускорение а бруска и тележки в обоих случаях.
Легкая тележка может скатываться без трения с наклонной плоскости. На тележке укреплен 0TBec — шарик массой т на нити (рис. 20).
Какое направление будет иметь нить отвеса при свободном скатывании тележки? До начала скатывания нить удерживалась в направлении, перпендикулярном к наклонной плоскости.
Бревно массой т передвигается с постоянной скоростью под действием силы F, приложенной к концу веревки длиной 厶 Веревка прикреплена к центру масс бревна, расстояние конца веревки от земли равно А (рис. 21).
Найти коэффициент трения к бревна о поверхность земли» Изменится ли сила трения, если веревка будет прикреплена к концу бревна?
Человек передвигает с постоянной скоростью тачку массой т (рис. 22). Один раз он тянет ее за собой, другой раз толкает впереди себя. Ручки тачки в обоих случаях составляют один и тот же угол а с поверхностью земли. Центр масс тачки О находится над осью колеса. Коэффициент трения колес о землю равен к.
В каком из этих случаев человек должен прилагать большую силу F для передвижения тачки?
По канатной железной дороге с уклоном а= 30^ к горизонту опускается вагонетка массой т = 500 кг (рис. 23).
Найти силу натяжения Т каната при торможении вагонетки в конце спуска, если скорость вагонетки перед торможением % = =2 м/с, а время торможения f = =5 с. Коэффициент трения колес вагонетки о дорогу к = 0,01.
Легкая тележка с подвешен
ным на нити шариком подъезжает со скоростью % к наклонной плоскости (рис. 24). .
В какую сторону от вертикали отклонится нить с шариком, когда тележка начнет въезжать на наклонную плоскость?
§ 6. Импульс. Закон сохранения импульса
При подборе задач этого параграфа учитывалась прежде всего необходимость возможно глубже познакомить учащихся с чрезвычайно важным понятием динамики — импульсом тела, познакомить хотя бы в наиболее простых формах с законом сохранения импульса. Создание ясных представлений о физическом содержании этого закона позволяет не только значительно расширить круг задач, доступных учащимся, но и по-новому взглянуть на содержание тех задач, которые они решали, применяя законы Ньютона. При решении задач этого параграфа следует прежде всего обратить внимание на задачи, в которых выясняется векторный характер импульса тела.
Большая часть задач этого параграфа сравнительно просто может решаться как путем определения ускорений по законам Ньютона с последующим расчетом скоростей по уравнениям кинематики, так и путем прямого расчета скоростей по закону сохранения импульса. Рекомендуется провести решение этих задач обоими путями. При решении следует обратить внимание на то, что если по ходу задачи требуется определить не все детали движения, а только конечные скорости тел по заданным начальным, то использование закона сохранения импульса приводит к наиболее простым и изящным решениям.
Для получения достаточно прочных навыков в правильном выборе какого-либо из указанных путей решения целесообразно попытаться решить некоторые из задач § 5, применяя закон сохранения импульса.
Рекомендуется при разборе задач данного параграфа обратить внимание на использование в решениях наиболее простой методики применения закона сохранения импульса к расчету скоростей. Как показывает опыт, эта методика позволяет учащимся избежать многих и порой неприятных технических ошибок при проведении расчетов.
Шарик массой т подлетает к стенке со скоростью и, направленной по нормали к стенке, упруго ударяется о нее и отскакивает с такой же по модулю скоро-
стъю (рис. 25).Л о I
Найти модуль и направление измене-R
ния импульса шарика при ударе о стенку. -ц ^ R С какой средней силой F действовал шарикR
на стенку, если удар продолжался время £?Рис. 25
Найти изменение импульса шарика при ударе о стенку в условиях предыдущей задачи, если удар был абсолютно неупругим.
Шарик массой т подлетает к стенке со скоростью и под ш Qуглом а и упруго ударяется о стенку (угол па-
R дения равен углу отражения, рис. 26).
Найти модуль и направление изменения нм- \Ъ пульса шарика при ударе о стенку.
Рис. 26Рис. 27
Два шарика с массами “厶=2 г и т2 = 3 г движутся по горизонтальной поверхности со скоростями % = 6 м/с и г2 = =4 м/с, направленными под углом 90° друг к другу (рис. 27).
Найти импульс системы этих шариков.
На тело в течение времени Е=10 с действовала сила F = 4,9 Н.
Найти массу т тела, если изменение скорости в результате действия силы составило Аи = 5 м/с.
Масса поезда т = 3000 т. Коэффициент трения колес о дорогу 左= 0,02.
Какова должна быть сила тяги F паровоза, чтобы поезд набрал скорость и = 60 км/ч через время / = 2 мин после начала движения?
Тело массой т соскальзывает с наклонной плоскости с трением. Угол наклона плоскости а = 30°, длина наклонной плоскости /=1,67 м. Коэффициент трения тела о плоскость к = 0,2. Начальная скорость тела % = 0.
Сколько времени затратит тело на спуск с наклонной плоскости?
Между двумя лодками, находящимися на поверхности озера, протянута веревка. Масса первой лодки с человеком 7^1 = 250 кг, масса второй лодки с грузом ш2 = 500 кг. Человек, находящийся на первой лодке, тянет веревку с силой 尸=50 Н.
Найти скорости bi и w, с которыми будет двигаться первая лодка относительно берега и относительно второй лодки через время £ = 5 с после того, как человек начал тянуть веревку. Сопротивлением воды пренебречь.
К свободному аэростату массой т^ привязана веревочная лестница, на которой находится человек массой ш2. Аэростат неподвижен.
В каком направлении и с какой скоростью v{ будет перемещаться аэростат, если человек начнет подниматься по лестнице вверх с постоянной скоростью и относительно лестницы?
Между двумя тележками с массами т{ и пъ помещена сжата я пружина (рис. 28). Когда пружина разжимается, она
действует на каждую из тележек со средней силой F в тече> ние времени t.
Показать, что после окончания действия пружины тележки будут двигаться по горизон
тальной поверхности так, что их центр масс будет оставаться неподвижным. Трением пренебречь.
Граната, летевшая в горизонтальном направлении со скоростью " = 10 м/с, разорвалась на два осколка с массами mt = 1 кг и m2 = 1,5 кг. Скорость большего осколка гранаты оказалась равной г2 = 25 м/с и имела то же направление, что и граната.
Найти модуль и направление скорости рх меньшего осколка гранаты.
Первая в мире боевая ракета А. Д. Засядько ) имела массу 加1 = 2 кг (без толкающего заряда). При взрыве толкающего заряда из ракеты выбрасывалась масса пъ = 200 г пороховых газов со скоростью 立=600 м/с.
На каком расстоянии s от места бросания упадет такая ракета, если она выпущена под углом а —45" к горизонту?
Тележка с песком массой mt = =10 кг катится со скоростью 班=1 м/с т? по горизонтальной поверхности без трения (рис. 29). Навстречу тележке летит шар массой т2 =2 кг со ско
ростью 也=7 м/с. Шар застревает врис 29
песке.
В какую сторону и с какой скоростью 〃 покатится тележка после попадания шара?
Реактивный двигатель ракетоплана К. Э. Циолковского ) выбрасывает продукты сгорания порциями, массы которых
/力=200 г и скорость при вылете из сопла двигателя и = =1 000 м/с. Масса ракетоплана в начальный момент М = 300 кг
и начальная скорость его г0 = 0.
Какую скорость г3 при горизонтальном полете будет иметь ракетоплан после вылета третьей порции газа? Какова будет скорость Vn ракетоплана к концу первой секунды движения, если в двигателе происходит N = 20 взрывов в секунду?
Орудие установлено на железнодорожной платформе, которая стоит на прямолинейном горизонтальном пути. Масса платформы с орудием, снарядами и солдатами М = 50 т, масса снаряда т = 25 кг. Орудие выстреливает в горизонтальном направлении вдоль железнодорожного пути. Начальная скорость снаряда и~ 1000 м/с.
Какую скорость 艺 будет иметь платформа после второго выстрела ? Трением пренебречь.
%. Старинная пушка массой М~ 500 кг, не имеющая противооткатного устройства, выстреливает ядра под углом а = 40°
к горизонту. Масса ядра т = 10 кг, начальная скорость его 〃 — =200 м/с.
Какова будет скорость и отката пушки? Трением пренебречь.
Тело массой m соскальзывает без трения с наклонной доски на неподвижную платформу. Масса платформы равна М, Вы
сота начального положения тела над уровнем платформы равна 6, угол наклона доски к горизонту равен а (рис. 30).
Какую скорость и будет иметь платформа, когда тело упадет на нее?
§ 7. Работа. Энергия. Мощность.
Закон сохранения энергии
Обычно наибольшее число осложнений возникает при решении таких задач этого параграфа, в которых начальный запас энергии какой-либо системы во время движения распределяется между несколькими телами, например случай соскальзывания тела с подвижной трехгранной призмы (см., например, задачи 106 и 107). Поэтому в настоящем параграфе наряду с задачами, в которых выясняется смысл понятий работы, энергии и мощности, дана серия задач на расчет энергии нескольких взаимодействующих тел. При решении этих задач следует обратить внимание на то, что если при упругом ударе тела находятся в движении до и после взаимодействия, то для расчета скоро-
стей требуется одновременное применение законов сохранения импульса и сохранения энергии. Необходимо внимательно проследить методику одновременного применения этих законов.
В задачах этого параграфа используются понятия абсолютно упругого и неупругого ударов, обычно знакомые учащимся только из внеклассных занятий. При решении задач необходимо проследить за особенностями поведения взаимодействующих тел в этих двух случаях.
Задачи, связанные с расчетом энергии вращающихся тел, отнесены в основном к § 8. При решении этих задач рекомендуется обратить внимание на такие случаи, когда начальный запас энергии тела переходит в два других вида энергии (см., например, задачу 136). Так же как и при решении задач § 6, рекомендуется проследить последовательность действий при применении закона сохранения энергии.
* * *
Орудие, масса ствола которого М=450 кг, стреляет в горизонтальном направлении. Масса снаряда т~5 кг, начальная скорость его и = 450 м/с. При выстреле ствол откатывается на расстояние s = 45 см.
Найти среднюю силу торможения 工 развиваемую противооткатным устройством орудия.
Тело массой т— 1 кг с начальной скоростью ц)=14 м/с падает с высоты Н=240 м и углубляется в песок на глубину /г = 0,2 м.
Найти среднюю силу сопротивления / почвы. Решить задачу двумя путями: на основании закона сохранения энергии и с помощью второго закона Ньютона.
Сани массой т соскальзывают с ледяной горы высотой 1г и останавливаются, пройдя расстояние ВС (рис. 31). Известно, что расстояние АС = s.
Найти коэффициент трения к саней о лед и ускорения саней на участках ОВ и ВС.
Изменится ли расстояние s в условиях предыдущей за- 4aqи, если гора при той же высоте А будет более пологой?
Будут ли двигаться сани на горе, основание которой /C = s (рис. 31), а высота останется равной /??
Однородный прямоугольный параллелепипед массой т с ребрами /, 2/ и 4/ лежит на горизонтальной плоскости на каждой из трех граней поочередно.
Какова потенциальная энергия параллелепипеда в каждом нз этих положений? Какое положение параллелепипеда является наиболее устойчивым?
Пуля массой т— 10 г, вылетевшая из винтовки с начальной скоростью г0— 1000 м/с, упала на землю со скоростью и =500 м/с.
Какая работа А была затрачена во время полета на преодоление силы сопротивления воздуха ?
1С4. Мальчик, опираясь о барьер, бросает камень горизонтально со скоростью q = 5 м/с. Масса мальчика М=49 кг, масса камня 加=1 кг.
Какую скорость г2 он сможет сообщить камню, если будет бросать камень с прежней силой, стоя на коньках на гладком льду? Какова скорость тг камня относительно мальчика во втором случае? Одинаковую ли мощность N разовьет мальчик в обоих случаях?
Человек, находящийся в лодке, масса которой т = =300 кг, тянет невесомый канат с силой 尸=100 Н. Другой конец каната привязан: а) к дереву на берегу; б) к лодке, имеющей массу М = 200 кг.
Какую скорость v будет иметь лодка массой т в обоих случаях к концу третьей секунды? Какую работу А совершит человек за это время? Какую мощность N он разовьет в первом и во втором случаях к концу третьей секунды? Сопротивлением воды пренебречь.
Брусок соскальзывает без трения с трехгранной призмы, угол наклона которой равен а (рис. 32). Призма лежит на горизонтальной плоскости и может перемещаться по ней без
zтрения. Брусок соскальзывает с высо-
ты h.
方 \^Будет ли скорость бруска в конце
соскальзывания с призмы одной и той же, если призма: а) закреплена неподвижно; б) свободна?
рис 32W7. В условиях предыдущей зада
чи масса призмы равна М, масса бруска равна т. Призма перемещается в горизонтальном направлении только под действием силы давления бруска.
Найти направление скорости бруска, соскальзывающего с подвижной призмы.
Два одинаковых абсолютно упругих шара движутся по гладкой горизонтальной поверхности навстречу друг другу со скоростями I*! И 1：2・
С какими скоростями z〃 и 〃？ будут двигаться шары после центрального абсолютно упругого удара? Трением пренебречь.
Две лодки движутся по инерции в спокойной воде озе
ра навстречу друг другу параллельными курсами с одинаковыми по модулю скоростями и = 6 м/с. Когда они поравнялись, то с первой лодки на вторую переложили груз. После этого
вторая лодка продолжала двигаться в прежнем направлении, но со скоростью 〔‘2 = 4 м/с. Масса первой лодки без груза М] = 500 кг, масса груза т = 60 кг.
Найти массу М2 второй лодки и энергию Е лодок и груза до и после перекладывания груза. Объяснить, почему изменилась энергия. Сопротивлением воды пренебречь.
Какую мощность N должен развить мотор самолета для обеспечения подъема самолета на высоту 〃=1 км, если масса самолета т = 3000 кг, а время подъема /=1 мин?
Моторы электропоезда при движении со скоростью и = 54 км/ч потребляют мощность N=900 кВт. К.п.д. моторов и передающих механизмов rj = 0,8.
Найти силу тяги F моторов.
Мощность двигателя часто определяют опытным путем с помощью так называемого «тормозного динамометра»,
состоящего из двух колодок, плотно охватывающих вал двигателя. К одной из колодок прикреплен рычаг, на кон- це которого подвешивается груз (рис. 33). Груз подбирают так, чтобы он уравновешивал силу трения и чтобы рычаг находился в горизонтальном положении.
Найти мощность N двигателя, если частота
вращения вала и = 1 об/с, длина рычага от центра вала / = 1 м, масса груза т = 50 кг. Массой рычага пренебречь.
ИЗ. Велосипедист въезжает в гору с постоянной скоростью. Длина шатуна педали г = 25 см, время полного оборота шатуна '=2 с. Средняя сила давления ноги на педаль F = 147 Н.
Найти мощность N, которую развивает велосипедист.
Самолет Н. Н. Поликарпова для взлета должен иметь скорость и = 80 км/ч. Длина разбега перед взлетом 5= 100 м.
Масса самолета m = 1000 кг. Коэффициент трения при разбеге самолета 左= 0,2.
Какова должна быть минимальная мощность N мотора, необходимая для того, чтобы обеспечить взлет самолета? Движение во время разбега считать равноускоренным.
Камень шлифовального станка диаметром d=60 см вращается с частотой 〃 = 2 об/с. Обрабатываемая деталь прижимается к камню с силой 尸=100 Н.
Какая мощность N затрачивается на шлифовку, если коэффициент трения камня о деталь к = 0,2?
Шкив приводится во вращение приводным ремнем (рис. 34). Радиус шкива г = =25 см, частота вращения шкива 几=2 об/с. Сила натяжения ведущей ветви ремня в два раза больше силы натяжения ведомой ветви. Ведомая и ведущая ветви ремня параллельны друг другу.
Найти силы натяжения F и f ведущей и ведомой ветвей ремня, если ремень передает шкиву мощность ^= 15 кВт.
§ 8. Динамика вращательного движения тела
Расчет сил, действующих на тело, движущееся по окружности, является, пожалуй, одним из наиболее трудных для усвоения.
Трудности в проведении этого расчета возникают в тех случаях, когда центростремительное ускорение во вращательном движении и ускорение в прямолинейном движении рассматривают как две принципиальные различные физические величины, для каждой из которых существуют свои законы: одна может рассчитываться по «обычным» законам Ньютона, а для другой обязательно требуется введение «особых» сил. При таком неправильном противопоставлении законов и характеристик прямолинейного и вращательного движений становится недоступным решение задач, в которых нельзя ввести понятие центробежной силы как силы, действующей на связь (например, задач об определении силы, с которой давит на выпуклый мост движущийся по нему автомобиль).
Подбор задач и построение решений в настоящем параграфе проведены так, чтобы помочь учащимся устранить это неправильное противопоставление, если оно существует.
При решении задач на расчет вращательного движения учащимся, прежде всего, следует помнить, что ускорение в прямолинейном движении и центростремительное ускорение по своей физической природе одинаковы (и то и другое изменяет ско- 30
рость движения). Только первое изменяет модуль скорости, второе — ее направление. Одинаковость физической природы определяет и одинаковость законов, используемых для расчета эТИх величин. Для расчета центростремительных ускорений нет необходимости вводить какие-то «особые» силы, помимо сил, возникающих в результате взаимодействия тел.
Так же как и при расчете прямолинейного движения, во вращательном движении необходимо вначале указать характер изменений скорости, направления и модули ускорений; представИть себе картину взаимодействий тел, которыми создаются силы, составить сумму этих сил и применить второй закон Ньютона для расчета искомых величин. В решениях задач этого параграфа проводится именно такая последовательность действий, и на эту последовательность учащимся следует обратить особое внимание.
Очень тщательно необходимо разобрать такие задачи, в которых появление необходимых центростремительных ускорений обеспечивается одновременным действием двух или нескольких сил (см., например, задачи 124— 140).
Решая задачи, следует: проследить, как создаются при вращательном движении силы, необходимые для появления достаточных ускорений при различном характере взаимодействия тел (создание центростремительных ускорений с помощью силы трения, силы натяжения упругого шнура, силы реакции со стороны рельсов и т. д.); проследить, как изменяется модуль этих сил, их направление и точки приложения при изменении скорости движения тела; обратить внимание на характер поведения тела в случае, когда сил взаимодействия становится недостаточно для создания ускорений, необходимых для движения тела по окружности (см., например, задачу 133). Рекомендуется при разборе задач, связанных с применением закона сохранения энергии, сопоставить их с решениями задач § 7.
* *
加2 = 3 г прикреплены加2 = 3 г прикрепленыРис. 35Рис. 35Два шарика с массами 勿勺=9 г 】 нитями, общая длина которых Z = 1 м, к вертикальной оси ОО (рис. 35) и приведены во вращательное движение в горизонтальной плоскости вокруг этой ОСИ с постоянной угловой скоростью со *).
加2 = 3 г прикреплены
加2 = 3 г прикреплены
Рис. 35
Рис. 35
При каком соотношении длин нитей СИлы натяжения их будут одинаковыми?
Два одинаковых шарика Л и В укреплены на концах нити, которая продета через трубку, как показано на рис. 36. Шарик В вращается в горизонтальной плоскости. Расстояние от шарика В до оси трубки г = 20 см.
Рис. 37Рис. 37С какой угловой скоростью со должен вращаться шарик В, чтобы шарик А не поднимался и не опускался? Будет ли равновесие устойчивым? Трением пренебречь.
Рис. 37
Рис. 37
Небольшая шайба находится на вершине полусферы радиусом R (рис. 37).
Какую наименьшую горизонтальную скорость с нужно сообщить шайбе, чтобы она оторвалась от полусферы в начальной точке движения ?
Найти центростреми!ельное ускорение а тел, находящихся на экваторе Земли. Каково уменьшение веса тел на экваторе, связанное с участием этих тел во вращательном движении Земли? Считать радиус Земли R = =6400 км.
Центробежный насос имеет лопасти радиусом R. Насос может поднять воду на максимальную высоту h (рис. 38).
Найти частоту п вращения лопастей насоса и разность давлений между точками, лежащими на оси, и точками, лежащими на концах лопастей насоса. Доказать, что сумма всех сил, действующих на частицы воды, лежащие на
Рис. 38расстоянии R от оси вращения, F =
=加①2R, где m — масса этих частиц.
На вращающемся горизонтальном столике на расстоянии К=50 см от оси вращения лежит груз массой т— 1 ki . Коэффициент трения груза о поверхность столика к — 0,25.
Какова сила трения / удерживающая груз, если столик вращается с частотой и = 0,2 об/с? При какой угловой скорости соо груз начнет скользить по столику?
Шарик массой m, прикрепленный к резиновому шнуру, совершает вращательное движение в горизонтальной плоскости с угловой скоростью СО一一
(рис. 39). Длина нерастянутого'、、
резинового шнура равна /0- ^х、
Найти радиус окружности R,/
по которой будет двигаться шарик, и силу натяжения Т шнура.一《
Считать, что сила натяженияРис 39
шнура растет пропорционально его растяжению, т. е. Т = /7, где / — сила натяжения шнура при увеличении длины на единицу.
Автомобиль массой m движется с постоянной скоростью г: а) по горизонтальному плоскому мосту; б) по выпуклому мосту; в) по вогнутому мосту. Радиус кривизны моста в последних двух случаях равен R
С какой силой нормального давления N действует автомобиль на мост в каждом из этих случаев, проезжая через середину моста ?
Найти силу F, прижимающую летчика к сиденью самолета в верхней и нижней точках петли Нестерова ), если масса летчика т = 75 кг, радиус петли R = 200 м, а скорость самолета при прохождении петли 〃 = 360 км/ч.
Шарик массой ш, подвешенный на нити длиной /, отклоняют до горизонтального положения и отпускают (рис. 40).
Какую силу натяжения Т выдерживает нить при прохождении маятником положения равновесия?
Рис. 40Рис. 40Рис. 41Рис. 41
Рис. 40
Рис. 40
Рис. 41
Рис. 41
Шарик, подвешенный на нити, совершает колебания в вертикальной плоскости (рис. 41). Когда шарик проходит по-
ложение равновесия, нить испытывает силу натяжения, равную удвоенной силе тяжести, действующей на шарик.
На какой максимальный угол ос от вертикали отклоняется шарик?
Шарик массой т, подвешенный на нити, отклоняют от положения равновесия до горизонтального положения и отпу
скают.
При каком значении угла а (между нитью и вертикалью, рис. 41) нить оборвется, если известно, что нить выдерживает силу натяжения, равную удвоенной силе тяжести, действующей на шарик? Какова будет траектория движения шарика после
обрыва нити?
На нити, выдерживающей силу натяжения Т=40 Н, мальчик равномерно вращает камень массой т~ 1 кг в вертикальной плоскости (рис. 42). Центр вращения О находится от земли на высоте 6 = 4 м. Радиус окружности, описываемой камнем, / = 1 м.
С какой угловой скоростью со мальчик должен вращать камень, чтобы нить оборвалась? На каком расстоянии s от мальчика упадет камень ?
Небольшая шайба массой т соскальзывает без трения с вершины полусферы радиусом R (рис. 43).
На какой высоте Н от основания шайба оторвется от полусферы?
131 ・ Шарик массой т скользит без трения по наклонному желобу, образующему «мертвую петлю» радиусом R (рис. 44).
Найти силу нормального давления N шарика на желоб в некоторой точке 5, если он спускается по желобу без начальной скорости с высоты h = 5R/2. Радиус, проведенный из центра петли в точку В, составляет с вертикалью угол ос. Размерами шарика пренебречь.
Найти силу нормального давления, создаваемую шариком в точке С в условиях предыдущей задачи (рис. 44). Радиус, проведенный из центра петли в точку С, составляет с вертикалью угол р.
Е33・ Шарик массой т скользит без трения по наклонному желобу, образующему «мертвую петлю» радиусом R (рис. 45).
Рис. 45Рис. 46
На какой высоте Н{ шарик оторвется от желоба и до какой наибольшей высоты Н2 после этого поднимется, если он спускается по желобу без начальной скорости с высоты h = 2Rl Размерами шарика пренебречь.
На нити длиной /, закрепленной в точке О, подвешен шарик массой т. На расстоянии % = //2 от точки О вбит гвоздь (рис. 46). Нить отклоняют от положения равновесия на угол а = 90° и отпускают.
Как будет двигаться шарик, когда нить встретит на пути движения гвоздь? На какую максимальную высоту Н поднимется шарик после прохождения положения равновесия?
21/ /7 I/ // /Рис. 4721/ /7 I/ // /Рис. 47На каком минимальном расстоянии h от точки О нужно поместить гвоздь в условиях предыдущей задачи, чтобы шарик, отклоненный на угол а = 90°, двигался по окружности с центром в точке О?
21
/ /
7 I/ /
/ /
Рис. 47
21
/ /
7 I/ /
/ /
Рис. 47
Два одинаковых шарика 1 и 2 массой т каждый подвешены один на нерастяжимой нити, другой на резиновом шнуре. Оба шарика отклонены от положения равновесия на угол ос = 90° и отпущены. Когда шарики проходят положение равновесия, длина резинового шнура становится равной длине нити / (рис. 47).
Какой из шариков при прохождении положения равновесия имеет большую скорость?
На невесомом стержне длиной I: а) укреплена на конце масса 2ш; 6) укреплены две равные массы т — одна на конце,
2*35
другая посередине стержня (рис. 48). Стержень может вращаться в вертикальной плоскости вокруг точки закрепления О.Какую горизонтальную скорость и нужно сообщить концу стержня А в каждом случае, чтобы он отклонился до горизонтального положения?Велосипедист движется с постоянной скоростью ь = 36 км/ч по кругу радиусом R = =34 м.Под каким углом а к вертикали он должен наклонить велосипед?Каков наименьший радиус R круга, по которому сможет проехать велосипедист со скоростью V = 28,8 км/ч, если коэффици- жду колесами и землей к = 0,3 ? Найти I а наклона велосипеда, при котором велосидругая посередине стержня (рис. 48). Стержень может вращаться в вертикальной плоскости вокруг точки закрепления О.Какую горизонтальную скорость и нужно сообщить концу стержня А в каждом случае, чтобы он отклонился до горизонтального положения?Велосипедист движется с постоянной скоростью ь = 36 км/ч по кругу радиусом R = =34 м.Под каким углом а к вертикали он должен наклонить велосипед?Каков наименьший радиус R круга, по которому сможет проехать велосипедист со скоростью V = 28,8 км/ч, если коэффици- жду колесами и землей к = 0,3 ? Найти I а наклона велосипеда, при котором велоси00BQmBQm2/77 0/77А А2/77 0/77А АРис. 48Рис. 48ент трения наибольшийент трения наибольший
другая посередине стержня (рис. 48). Стержень может вращаться в вертикальной плоскости вокруг точки закрепления О.
Какую горизонтальную скорость и нужно сообщить концу стержня А в каждом случае, чтобы он отклонился до горизонтального положения?
Велосипедист движется с постоянной скоростью ь = 36 км/ч по кругу радиусом R = =34 м.
Под каким углом а к вертикали он должен наклонить велосипед?
Каков наименьший радиус R круга, по которому сможет проехать велосипедист со скоростью V = 28,8 км/ч, если коэффици- жду колесами и землей к = 0,3 ? Найти I а наклона велосипеда, при котором велоси
другая посередине стержня (рис. 48). Стержень может вращаться в вертикальной плоскости вокруг точки закрепления О.
Какую горизонтальную скорость и нужно сообщить концу стержня А в каждом случае, чтобы он отклонился до горизонтального положения?
Велосипедист движется с постоянной скоростью ь = 36 км/ч по кругу радиусом R = =34 м.
Под каким углом а к вертикали он должен наклонить велосипед?
Каков наименьший радиус R круга, по которому сможет проехать велосипедист со скоростью V = 28,8 км/ч, если коэффици- жду колесами и землей к = 0,3 ? Найти I а наклона велосипеда, при котором велоси
0
0
BQm
BQm
2/77 0/77
А А
2/77 0/77
А А
Рис. 48
Рис. 48
ент трения наибольший
ент трения наибольший
педист еще не будет падать.
С какой максимальной скоростью и может устойчиво,
не опрокидываясь, двигаться вагон по закруглению радиусом & = 200 м, если высота центра масс вагона от уровня рельс 力=1,5 м, расстояние между рельсами /=1,5 м?
В каких случаях в движущемся поезде можно пользоваться уровнем (пузырек воздуха в трубке с жидкостью) для определения уклона железнодорожного пути?
В вагоне поезда, движущегося по закруглению радиусом 尺= 404 м со скоростью и =72 км/ч, производится взвешивание груза на пружинных весах. Масса груза т~5 кг. Определить показание пружинных весов.
Самолет массой т = 300 кг летит со скоростью г = =360 км/ч в вираже радиусом R = 2500 м.
Какой угол крена а должен задать самолету летчик и какой должна быть подъемная сила F для того, чтобы вираж совершался в горизонтальной плоскости? Подъемная сила всегда направлена перпендикулярно к плоскости крыльев самолета.
На горизонтально вращающемся столике укреплен вертикально стержень, к вершине которого
Рис. 49привязана нить. К концу нити при
креплен шарик массой т (рис. 49). Длина нити I = 6 см. Расстояние стержня от оси вращения г = 10 см.
С какой угловой скоростью со вращается столик, если нить составляет с вертикалью утол а = 45°?
Шарик массой т подвешен на нити, длина которой
кругу в горизон-кругу в горизон-равна /. Шарик равномерно вращается по тальной плоскости — конический маятник
кругу в горизон-
кругу в горизон-
отклоняется ототклоняется от(рнс. 50). Нить при этом вертикали на угол а.
отклоняется от
отклоняется от
Найти период т вращения шарика.
§ 9. Статика
Болыиинство задач этого параграфа допускает решение либо с помощью общих
условий равновесия (сумма сил и сумма
моментов сил равны нулю), либо с помощью «золотого прави-
ла» механики. Чрезвычайно важно уметь одинаково свободно пользоваться этими правилами. Задачи подобраны таким обра> зом, чтобы дать возможность учащимся проследить применение каждого из этих правил к расчету различных систем. Рекомендуется во всех задачах, в которых требуется провести решение несколькими путями, внимательно проследить порядок действий при применении каждого из них.
Серьезные затруднения встречают учащиеся при применении «золотого правила» механики к определению характера равновесия отдельных тел или систем. Несколько помещенных в настоящем параграфе задач на определение устойчивости или неустойчивости равновесия тел имеют целью обратить внимание учащихся на порядок действий при определении изменения сил и их действия во время малых смещений тела от положе-
ния равновесия, а также на методику определения по этим изменениям характера самого равновесия.
Задачи на определение положения центра масс учащиеся стремятся обычно свести к применению правила сложения параллельных сил, направленных в одну сторону. При этом уже самые элементарные задачи, в которых определение центра масс возможно только с помощью правила разложения параллельных сил или правила сложения параллельных сил, направленных в разные стороны, обычно становятся чрезвычайно трудными. Рекомендуется внимательно проследить ход решения задачи 170, в которой рассматривается порядок применения вышеуказанных правил к определению положения центра масс сложной фигуры.
* * *
Найти равнодействующую R пяти равных по модулю сил, приложенных к одной точке и расположенных в одной
Рис. 51Рис. 51плоскости, если углы между всеми силами равны между собой (рис. 51).
Рис. 51
Рис. 51
а) Два человека тянут канат за концы с силами F, равными по модулю, но противоположными по направлению; б) один конец каната прикреплен к неподвижной опоре, а другой конец тянет человек с силой 2尸.
В каком случае сила натяжения Т каната будет больше? 148. Два однородных стержня массой т— 16 кг и длиной
Рис. 52Рис. 52L= 1,2 м каждый подвешены в горизонтальном положении на
Рис. 52
Рис. 52
канатах (рис. 52). Длины канатов АС, ВС, AD и BE одинаковы и равны / = 1 м. Канаты DA j| СВ и БЕ 1| АС.
Найти силу натяжения Т канатов и силы F, которые будут действовать на стержни в обоих случаях.
На круглое бревно надета веревочная петля, за которую бревно тянут с силой F (рис. 53).
Рис. 53Рис. 53
Рис. 53
Рис. 53
Как будет зависеть сила натяжения Т веревок, образующих петлю, от угла ос? При каких условиях силы натяжения веревок на участках АВ и АС будут больше, чем на участке AD1
Чтобы вытянуть автомашину, застрявшую на плохой дороге, шофер лрнв兄зал один конец каната к машине, другой к дереву, стоящему впереди на расстоянии I— 12 м. Налегая на середину каната в перпендикулярном к нему направлении с силой F = 400 Н, шофер продвинулся на расстояние s = 0,6 м.
Какая сила Q действовала на автомашину в последний момент?
Тяжелая однородная доска массой т и длиной АВ = I
упирается одним концом в угол между стенкой и полом. К другому концу доски привязан канат (рис. 54).
Найти силу натяжения Т каната ВС, если угол между до СКой и канатом 0 = 90°. Как меняется сила натяжения каната
Рис. 54Рис. 55
Однородная балка лежит на платформе так, что один конец ее свешивается с платформы (рис. 55). Длина свешивающегося конца равна 0,25 длины балки. На конец балки в точке 3 действует сила F. При значении 尸=2,94 кН противоположный конец балки А начинает подниматься.
Найти массу т балки.
При взвешивании на неравноплечих рычажных весах вес тела на одной чашке получился равным Р】=30 Н, на другой -尸2 = 34 Н.
Найти истинный вес тела Р.
На правой чаше больших равноплечих рычажных весов
стоит человек, который уравновешен грузом, положенным на
другую чашу. К середине правого плеча весов в точке С привя
зана веревка (рис. 56). Вес человека равен Р. Длина коромысла весов АВ = /.
Рис. 57Рис. 57Нарушится ли равновесие, если человек, стоящий на чаше
Рис. 57
Рис. 57
весов, начнет тянуть за веревку с силой F < Р под углом а к вертикали?
Один конец балки закреплен в стене так, что балка находится в горизонтальном положении (рис. 57). К свободному концу балки приложена сила F= 1 кН под углом а =30° к горизонту.
Найти силу, вызывающую растяжение и изгиб балки. Изгибом балки под действием силы тяжести пренебречь.
Чтобы выложить карниз здания, каменщик кладет четыре кирпича один на другой так, что часть каждого кирпича выступает над нижележащим (рис. 58). Длина кирпича равна /.
Найти наибольшие длины выступающих частей кирпичей, при которых кирпичи в карнизе еще будут находиться в равновесии без цементного раствора.
Рис. 58Рис. 58
Рис. 58
Рис. 58
Рис. 60Рис. 60
Рис. 60
Рис. 60
Однородная балка массой т уравновешена на трехгранной призме.
Нарушится ли равновесие, если отрезать четвертую часть балки и положить ее на укороченный конец балки вровень с отрезком (рис. 59)? Если равновесие нарушится, то какую силу и к какому концу балки нужно приложить, чтобы равновесие восстановилось ?
Лестница массой т и длиной / прислонена к гладкой вертикальной стене под углом ос к вертикали. Центр масс лестницы находится на высоте А от пола (рис. 60). Человек тянет лестницу за середину в горизонтальном направлении с силой F.
Какой должна быть минимальная сила F, чтобы человек смог отодвинуть верхний конец лестницы от стены? Трение о пол настолько велико, что нижний конец лестницы не скользит.
Как легче сдвинуть с места железнодорожный вагон: прилагая силу к корпусу вагона или прилагая ее к верхней части обода колеса вагона?
Деревянный брусок лежит на наклонной плоскости (рис. 61). Масса бруска, m = 2 кг. Длина наклонной плоскости
/ = 1 м, ее высота А = 60 см. Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость к = 0,4.
С какой силой 尸 нужно прижать брусок к наклонной плоскости, чтобы
Рис. 61он оставался па ней в равновесии?
Тяжелое бревно втягивают вверх по наклонной плоско
сти с помощью двух параллельных канатов, закрепленных, как показано на рис. 62. Масса бревна т = 400 кг. Длина наклонной плоскости /=2 м, ее высота h= 1 м.
Какую силу Г нужно приложить к каждому из канатов, чтобы втянуть бревно? Указать два способа решения
задачи.
Рис. 63Рис. 63
Рис. 63
Рис. 63
Рис. 64Рис. 64
Рис. 64
Рис. 64
Какую силу F нужно приложить к концу рукоятки дифференциального ворота, чтобы удержать груз массой т = 50 кг? Длина рукоятки Z= 1 м. Радиус большого цилиндра ворота R = 20 см, радиус малого г= 10 см (рис. 63). Указать два способа решения задачи.
На какую высоту Л поднимется груз т в условиях предыдущей задачи, если ворот сделает и = 10 оборотов?
С помощью показанной на рис. 64 системы блоков хотят поднять бревно массой т.
Рис. 65
С какой силой F нужно для этого тянуть конец каната Л ° Как нужно прикрепить концы каната В и С, чтобы бревно при подъеме было горизонтально?
Система грузов 加卜 m2 и т、находится в равновесии (рис. 65). Массы 加 1 и ш2 и угол а, который составляет наклонная плоскость с горизонтом, известны.
Найти массу т3 и силу нормального давления N, производимого массой т{ на наклонную плоскость.
Груз массой 勿?1 = 10 кг уравновешен грузами ш2 и т3 (рис. 66). При этом нить, удерживающая груз ш3, идет от точки А горизонтально.
Найти массу груза 加3 и угол ое, если масса т2= 18 кг
Рис. 66Рис. 66АА
Рис. 66
Рис. 66
А
А
Система, состоящая из неподвижного и подвижного блоков, находится в равновесии (рис. 67).
Найти массу груза，普2, если масса mi = 10 кг. Нарушится ли равновесие, если гочку закрепления каната А переместить вправо? Если равновесие нарушится, то как будут двигаться грузы массами тх
Легкий стержень закреплен в точке О и может вращаться в вертикальной плоскости (рис. 68). К концу стержня 42
в точке А прикреплена нить, перекинутая через неподвижный блок, к другому концу которой подвешен груз тр В точке В к стержню подвешен груз ш2. Длина стержня равна 厶 расстоянИе ОВ = 1]3. Система находится в равновесии, когда стержень расположен горизонтально и нить АС вертикальна.
Найти массу груза тъ если масса 加】=3 кг. Как будет двигаться стержень, если его вывести из положения равновесия, сместив конец % немного вверх или вниз?
В двух вершинах равностороннего треугольника помещены шарики массой 加 каждый. В третьей вершине помещен шарик массой 2m (рис. 69).
Найти положение центра масс этой системы.
/ \\
勿0b勿
Рис. 69
Найти положение центра масс однородного диска радиусом R, из которого вырезано отверстие радиусом г (рис. 70). Центр вырсаа находится от центра диска на расстоянии
§ 10. Закон всемирного тяготения
Масса Земли М~6-1024 кг, масса Луны /;з-^7,3" Ю22 кг. Луна находится на расстоянии г = 3,8 • 108 м.
Найти силу притяжения F между Землей и Луной.
В записях М. В. Ломоносова имеется такая заметка: если «на не очень большом расстоянии различие силы тяжести было бы велико, то можно было бы построить неверные весы» (рис. 71).
。力Рис. 71。力Рис. 71При какой разнице / длин нитей, на ко- Т0Рых подвешены одинаковые грузы, такие весн на поверхности Земли давали бы погрешность А^2 = 0,01 г при взвешивании груза мае- сой т = 10 кг? Нити считать невесомыми.
。力
Рис. 71
。力
Рис. 71
Плотность Земли р = 5,6 • 1СР кГ/м3.
Радиус Земли R = 6400 км, плотность Земли р = 5,6 • 103 кг/м3. Расстояние от Земли
до Солнца г =1,5 ТО" м. Период обращения Земли вокруг Солнца Т = 365 сут.
Найти среднее значение силы притяжения 尸，действующей на Землю со стороны Солнца.
При какой угловой скорости со вращения Земли вес тел на экваторе обратился бы в нуль? Плотность Земли р = =5,6 • 103 кг/м3.
Средняя угловая скорость движения Земли вокруг Солнца со= 1,75- Ю-2 рад/сут. Расстояние от Земли до Солнца г=1,510Ч м.
Найти массу М Солнца.
Рекордная высота подъема советского стратостата «Осоавиахим» была 厶=22 км.
Насколько изменялось при подъеме на такую высоту ускорение свободного падения? Плотность Земли р = 5,6-103 кг/м3.
В какие времена года линейная скорость движения Земли вокруг Солнца больше и в какие — меньше?
Допустим, что некоторое тело перемещается внутри Земли от поверхности к ее центру.
Какова будет зависимость силы тяготения, действующей на тело, от расстояния тела до центра Земли? Считать Землю шаром и плотность ее всюду постоянной.
§ 11. Колебания
Основное внимание в задачах этого параграфа сосредоточено на кратком повторении основных законов колебаний математического маятника и на выяснении зависимости периода колебаний от массы тела, совершающего колебания, и от характера сил, действующих на колеблющееся тело. В этих задачах также выясняется зависимость сил, необходимых для создания колебаний, от амплитуды, частоты колебаний и массы тела. Качественный анализ этих зависимостей вполне доступен учащимся и необходим для понимания закономерностей колебательного движения.
Рекомендуется особенно внимательно рассмотреть поведение маятника на движущейся с ускорением тележке (см. решение задачи 182), а также разобрать детально решения задач 183 и 184.
* * *
Точные астрономические часы с секундным маятником установлены в подвале главного здания Московского университета.
Насколько будут отставать за сутки эти часы, если их пере- дести на верхний этаж здания университета? Высота верхнего эТажа относительно подвала h = 200 м. Считать радиус Земли К = 6400 км.
Два маятника одновременно начинают совершать колебания. За время первых Nt = 15 колебаний первого маятника второй маятник совершил только N2 = 10 колебаний.
Найти отношение /1//2 длин этих маятников.
Маятник укреплен на доске, которая может свободно без трения падать по направляющим тросам. Перед началом падения маятник был отклонен от положения рав- .. новесия (рис. 72).||
Будет ли маятник совершать колебания во вре-~1 ~
мя падения рамки?/
Маятник укреплен на тележке, скатываю- 《| щейся без трения с наклонной плоскости. Период [ j колебания маятника на неподвижной тележке ра- ||
вен К).
Как изменится период колебания маятника во Рис. 72 время скатывания тележки?
Для приблизительной оценки малых амплитуд колебаний поверхности звучащих тел был предложен следующий метод. На исследуемую поверхность насыпается тонкий слой сухого песка. При возбуждении колебаний поверхности песчинки начинают также колебаться вместе с ней. Если амплитуду колебания сделать достаточно большой, то песчинки отделяются от поверхности и как бы начинают подпрыгивать. Если разные части поверхности колеблются с разными амплитудами (например, телефонная мембрана), то песчинки постепенно собираются в местах, колеблющихся с наименьшей амплитудой.
Объяснить причины такого поведения песчинок. Будет ли влиять на характер поведения песчинок их масса и частота колебаний?
Ареометр, состоящий из шарика, заполненного дробью, и цилиндрической трубки с поперечным сечением S, помещен в жидкость с плотностью р. Ареометр погружают в жидкость несколько глубже, чем это необходимо для его равновесия, и затем отпускают. Ареометр после этого начинает совершать свободные колебания около положения равновесия.
Как будет изменяться частота колебаний ареометра при: а) увеличении его массы; б) уменьшении диаметра трубки; в) увеличении плотности жидкости?
Рис. 73Рис. 73На двух вращающихся в противоположные стороны валиках лежит горизонтально доска (рис. 73). Масса доски равна т. Расстояние между осями валиков равно 2/. Коэффициент трения между доской и каждым из валиков равен к. В начальный момент доска
Рис. 73
Рис. 73
была положена так, что ее центр масс был смещен на некоторое расстояние х от средней линии ОО.
Какие движения будет совершать доска под действием сил трения, создаваемых валиками?
§ 12. Гидро- и аэростатика
Поршень, плотно прилегающий к внутренним стенкам длинной цилиндрической трубы, может перемещаться в ней с помощью длинного штока. Труба с порш- 1нем, занимающим крайнее нижнее положение, опущена в колодец. Когда нижняя часть трубы была погружена в воду, поршень стали поднимать вверх с помощью штока (рис, 74t На какую высоту h от уровня воды в колодце может подняться таким способом вода /в трубе? Атмосферное давление Ро = 100 кПа
' 三^Плотность воды р0 = 1 • 103 кг/м3.
4 г^187. Под каким давлением Ро должна да-
三二二=二вать воду насосная станция, расположенная в
三三三三三三подвале главного здания Московского универ-
二二二-ситета, чтобы давление воды в водопроводе
на высоте верхнего этажа было не менее Р =
Рис. 74= 150 кПа? Высота верхнего этажа относи
тельно насосной станции h = 200 м. Плотность воды р0 = =ЫО3 кг/м3.
В подводной части судна образовалось отверстие, площадь которого S = 5 см2. Отверстие находится ниже уровня воды на расстоянии 厶=3 м.
Какая минимальная сила F требуется, чтобы удержать заплату, закрывающую отверстие с внутренней стороны судна ? Плотность воды р0 = 1 • 103 кг/м3.
В сосуде находится сжатый до давления Р=400 кПа воздух. Для того чтобы удержать пробку, закрывающую круглое отверстие в сосуде, необходимо приложить силу F = 94 Н. Радиус отверстия r= 1 см.
Найти атмосферное давление Ро.
Концы раздвоенной стеклянной трубки опущены в со-
суды (рис. 75). Через верхний конец трубки из нее откачали некоторое количество воздуха. При этом жидкость поднялась в левом колене на h0 = 10 см, в правом — на h = 12 см.
Найти плотность р жидкости, находящейся в правом сосуде, если в левом сосуде находилась вода. Плотность воды р0 = 1 • 103 кг/м3.
До какой высоты h нужно налить однородную жидкость в цилиндрический сосуд радиуса г, чтобы сила, с которой жидкость будет давить на боковую поверхность сосуда, была равна силе давления на дно сосуда?
Рис. 75Рис. 76Рис. 77
Из трубки, опущенной одним концом в воду, откачали некоторое количество воздуха. При этом вода поднялась в трубке выше крана А (рис. 76).
Будет ли вытекать из крана А вода, если его открыть ? 193. Барометр показывает в воздухе давление Ро= 100 кПа.
Найти давление Р на глубине h= 10 м под поверхностью воды.
В крышке большого сосуда, наполненного водой, имеется цилиндрическое отверстие, плотно закрытое поршнем (рис. 77). В поршень вделана вертикальная трубка радиусом '*=5 см. Радиус поршня R= 10 см, масса поршня с трубкой ^ = 20 кг.
До какой высоты h поднимется вода в трубке при равновесии поршня ? Плотность воды р0 = 1 • 103 кг/м3.
В цилиндрический сосуд налиты ртуть и вода в равных по массе количествах. Общая высота двух слоев жидкостей Н = 29,2 см.
Найти давление Р жидкостей на дно сосуда. Плотность ргу- Ти р= 13,6-103 кг/м3, воды р0 = 1 • 103 кг/м3.
В двух сообщающихся цилиндрических сосудах с одинаковыми поперечными сечениями S = 11,5 см2 находится
ртуть. В один из сосудов поверх ртути наливают массу 〃紀= =1 кг воды и опускают плавать в воде тело, масса которого m = 150 г.
На какое расстояние % переместится уровень ртути во втором сосуде после наливания воды н опускания тела? Плотность ртути р= 13,6-103 кг/м3.
В два колена U-образной трубки налиты вода и масло, разделенные ртутью (рис. 78). Поверхности раздела ртути и жидкостей в обоих коленах находятся на одной высоте.
Найти высоту столба воды Ао, если высота столба масла h = 20 см. Плотность масла р = 0,9 • 103 кг/м3, воды р0 = =1 • 103 кг/м3.
В двух сообщающихся цилиндрических сосудах находится ртуть. Диаметр одного сосуда в четыре раза больше диаметра второго (рис. 79). В левый сосуд наливают столб воды высотой 〃о = 7О см.
Насколько поднимется уровень ртути в правом сосуде и опустится в левом? Насколько поднимется уровень ртути в узком сосуде, если столб воды такой же высоты налить в широкий сосуд? Плотность ртути р=13,6Т03 кг/м3, воды р0= 1 • 103 кг/м3.
Ртуть находится в U-образной трубке. Площадь сечения левого колена трубки в три раза меньше, чем правого. ._-Уровень ртути в левом колене расположен
Iна расстоянии 厶° = 30 см от верхнего конца
Йтрубки.
邑 FЬ Насколько поднимется уровень ртути в пра-
g三__1. вом колене трубки, если левое колено до
верху залить водой? Плотность ртути р = = 13,6-103 кг/м3, воды р0 = 1 -103 кг/м3.
Рис. 80200. В двух сообщающихся цилиндрических
сосудах, имеющих одинаковые диаметр и высоту, находится ртуть (рис. 80). В одном из сосудов повег< ртути налит столб воды высотой h0 = 32 см.
Как будут расположены друг относительно друга уровни ртути в обоих сосудах, если оба сосуда доверху залить керосином? Плотность ртути р= 13,6 103 к『/мЗ, воды р0 = 1 • 103 кг/м3^ керосина рк = О,8ТОЗ Кг/м3.
На весах уравновесили сосуд с водой и затем опустили в него конец деревянной палочки, держа другой конец ее в руках.
Какой массы т груз необходимо положить на другую чашку весов для восстановления равновесия, если объем погруженной части палочки Р=50 см3?
Пловец неподвижно лежит на поверхности воды лицом вверх, причем в воду погружено все тело, за исключением небольшой части лица. Масса пловца т = 15 кг.
Найти объем V тела пловца.
Ареометр представляет собой стеклянную цилиндрическую трубку, запаянную с обоих концов. Длина трубки / = 20 см, внешний диаметр D = 1,2 см, толщина стенок d = =1 мм. В нижнюю часть трубки налит объем V— 1 см3 ртути. Плотность стекла pi = 2,6 • 103 кг/М, ртути р2 = =13,6 • 103 кг/м3.
Какова минимальная плотность р жидкости, которую можно измерять с помощью такого ареометра?
Сплошной однородный шар объемом V плавает на границе двух несмешивающпхся жидкостей (рис. 81). Плотность верхней жидкости равна р】，нижней — р2. Плотность материала шара равна р, причем pi < р < р2.
Какая часть объема шара будет находиться в верхней, а какая часть в нижней жидкости?
В сосуд налита ртугь и поверх нее
масло. Шар, опущенный в сосуд, плавает так, что он ровно наполовину погружен в ртуть (рис. 81).
Найти плотность р материала шара. Плотность масла pi = 0,9-103 кг/м3, ртути р2= 13,6-103 кг/м3.
Тело кубической формы плавает на поверхности ртути так, что в ртуть погружено 0,25 его объема.
Какая часть объема тела будет погружена в ртуть, если поверх нее налить слой воды, полностью закрывающий тело? Плотность ртути р= 13,6• 103 кг/м3, воды ро=1ТОЗ кг/мЗ.
Найти плотность р однородного тела, которое имеет в воздухе вес Pi = 2,8 Н, а в воде — Р2 H !,$9 Н. Потерей веса в воздухе пренебречь. Плотность воды р0 = 1 • 103 кг/м3.
2Э8о Вес тела в воде в три раза меньше, чем в воздухе. Найти тотноегь р тела. Плотность воды р0 = 1 • 103 кг/м3.
На одной чашке весов лежит кусок серебра массой 加1 = 0,1 кг, на другой стекло массой w2 = 0,13 кг.
Какая чашка перетянет при погружении весов в воду ? Плотность серебра pj = 10,5 • 103 кг/м3, стекла р2 = 2,6 • 103 кг/м3, воды Ро = 1 • 103 кг/м3.
Медный шар с внутренней полостью имеет в воздухе вес「1 = 2,64 Н, в воде —方2 = 2,21 Н.
Найти объем V внутренней полости шара. Плотность меди р = 8,8-103 кг/м3, воды р0 = 1 • 103 кг/м3.
Кусок железа имеет в воде вес Р=4 Н.
Найти его объем V. Плотность железа р = 7,8-103 кг/м3, воды ро= 1 TCP кг/м3.
Тонкостенная трубка термометра с ртутью в воздухе имеет вес Pi = 0,66 Н, а в воде —巳=°,44 Н.
Найти массу т ртути, заполняющей трубку. Плотность ртути р = 13,6-103 кг/м3, стекла р© = 2,6-103 кг/м3, воды р0 = =1 • 103 кг/м3.
Два тела, имеющие объемы V и 2V, уравновешены на весах. Затем большее тело погружено в масло, плотность которого pi=0,9 T03 кг/м3.
Какова должна быть плотность р2 жидкости, в которую следует погрузить меньшее тело, чтобы равновесие весов не нарушилось?
Найти изменение потенциальной энергии тела объемом К, поднимаемого в воде на высоту h.
Изменится ли при подъеме тела потенциальная энергия воды, находящейся в этом сосуде? Рассмотреть случаи, когда плотность р тела больше и меньше плотности р0 воды.
Тело объемом 匕）= 500 см3 при взвешивании в воздухе было уравновешено на весах медными гирями массой т = =0,45 кг.
Найти массу т0 тела. Плотность меди р = 8,8 • 103 кг/м3, воздуха рв = 1,29 кг/м3.
При точном взвешивании обычно вводят поправку на потерю веса в воздухе для взвешиваемого тела и разновесов.
В каком случае можно не вводить зту поправку, не уменьшая точности взвешивания ?
Если сосуд заполнен воздухом, его масса ш0 = 0,1288 кг. При заполнении сосуда углекислым газом его масса становится равной т】=0,1295 кг, при заполнении водой — т2 = 1,148 кг.
Найти плотность углекислого газа р1? объем Ри массу т сосуда. Плотность воздуха р0 = 1,29 кг/м3, воды р2 = 1 • 103 кг/м3.
21a. Резиновый шар объемом V= 100 м3 наполнен водородом. Вес оболочки вместе с водородом Р= 500 Н.
Найти подъемную силу F шара и плотность р слоя воздуха, в котором шар будет находиться в равновесии. Плотность воздуха у поверхности Земли ро = 1,29 кг/м3.
Каково должно быть соотношение объемов воды
и спирта дая того, чтобы их смесь имела плотность р = =0,9• 103 кг/м3? При смешивании спирта с водой происходит уменьшение объема смеси: объем смеси составляет 0,97 от первоначального объема воды и спирта. Плотность воды pt = =1 • IO3 кг/м3, спирта р2 = 0.8 х х 103 кг/м3.
Резиновый шар объемом Р = 5 л наполнен воздухом. Вес оболочки шара Р = 0,015 Н.
В каком соотношении должны быть взяты объемы углекислого газа и воздуха для составления смеси, в которой мог бы плавать, не погру
жаясь и не всплывая, такой шар? Плотность воздуха р0 = =1,29 кг/м3, углекислоты р = 1,98 кг/м3.
Построить график изменения с течением времени уровня воды в открытом сосуде, изображенном на рж:. 82, если скорость истечения воды из подводящей трубки Л меньше скорости истечения из сифонной трубки В.
П. ТЕПЛОТА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
§ 13. Тепловое расширение тел
Маятник часов при температуре /0 имеет длину /0 и при этом часы идут точно. Коэффициент линейного расширения материала маятника а= 1,85• 10~5 К」.
Насколько будут отставать или убегать часы за время т = 1 сут, если температура в помещении будет на Аг = 10°С выше 『о? При выводе формулы учесть малость коэффициента линейного расширения материала маятника.
Стальной стержень, имеющий площадь поперечного сечения S = 10 см2, концами упирается в две жестко закрепленные массивные стальные плиты.
С какой силой F стержень будет давить на каждую из плит, если его температура повысится на At = 15 ℃? Модуль Юнга Для стали Е=206 ГПа. Коэффициент линейного расширения стали а= 1,1 10-5 к【.
При измерении стальным штангенциркулем длина стержня оказалась равной / = 180 мм. Температура во время
измерения была t = 10 ℃. Коэффициент линейного расширения стали а = 1,1-10-5 К"1.
Какова ошибка этого измерения, если деления шкалы штангенциркуля наносились при температуре zo = 2O ℃?
Стальная цилиндрическая деталь при обработке на токарном станке нагревается до температуры Z = 8O°C. Деталь при температуре /（）= 10℃ должна иметь диаметр d（）= 5 см. Допускаемые отклонения от заданного размера не должны превышать AJ= 10 мкм. Коэффициент линейного расширения стали а= 1,1 • КН к-1.
Следует ли при измерениях во время обработки вносить поправки на тепловое расширение детали?
При изготовлении некоторого прибора оказалось необходимым обеспечить постоянство разности длин железного и медного цилиндров при любых изменениях температуры.
Какую длину должны иметь эти цилиндры при t = 0 ℃, чтобы разница их при всех температурах была равна Д/ = 10 см? Коэффициент линейного расширения железа 仪1 = =1,110~5 К」' меди а2 = 1,7-Ю~5 К"1.
Латунная шкала ртутного барометра была выверена при температуре 力=0℃. При температуре г= 18 ℃ барометр показал давление, соответствующее длине £ — 760 делений шкалы.
Привести показание барометра к температуре /о = О ℃. Коэффициент линейного расширения латуни а= 1,9-10 5 К」. Коэффициент объемного расширения ртути В = 1，8・10" К」.
Объемы тонкостенного латунного сосуда и сплошного латунного шара при температуре 历=0℃ одинаковы и равны 『0=1 л.
Насколько изменятся объемы сосуда и шара при нагревании до температуры / = 20 СС? Коэффициент линейного расширения латуни а= 1,9 -10-5 К」
При наблюдении теплового расширения жидкостей （для исключения влияния изменения объема 力 стеклянного сосуда во время нагревания） часть сосуда заполняют сплавом. Коэффициент объемного расширения сплава р = 8 • 10-5 К1, стекла Во = ЗТО-5 к。
Какая часть объема сосуда должна быть заполнена сплавом, чтобы тепловое расширение сосуда было полностью скомпенсировано ?
Одно время для измерения температур пользовались так называемым весовым термометром. Этот термометр состоял из полого платинового шара, заполненного ртутью, в котором было капиллярное отверстие. Об увеличении температуры судили по массе ртути, вытекавшей из отверстия. 52
Какая масса Am ртути должна вытекать из отверстия такого термометра при повышении температуры на А/=1°С, если при температуре /（）= 0 ℃ целиком заполненный шар термометра вмещает массу т0 = 700 г ртути? Коэффициент объемного расширения платины Pi = 2,7-10 5 К", ртути 02= 1,8,10" К」
В работе «О вольном движении воздуха в рудниках» М. В. Ломоносов впервые раскрыл причины возникновения по
стоянных потоков воздухастоянных потоков воздухасмотрел движение воздухасмотрел движение воздухав шахтах. В частности, он рас- в шахтах типа показанной на
стоянных потоков воздуха
стоянных потоков воздуха
смотрел движение воздуха
смотрел движение воздуха
Определить направление движения воздуха в такой шахте зимой и летом. Считать температуру воздуха постоянной и одинаковой во всех точках шахты и во все времена года.
В работе «О вольном движении воздуха в рудниках» М. В. Ломоносов рассмотрел движение воздуха в штольнях типа показанной на рис. 84.
Определить направление движения воздуха в такой штольне зимой и летом. Допущения те же, что и в задаче 231.
§ 14. Количество теплоты. Теплообмен
В сосуд, содержащий массу 加1 = 200 г воды при температуре "=8 °C, погружают массу т2 = 300 г льда, имеющего температуру t2 = — 20℃.
Какую температуру 0 будет иметь содержимое сосуда после того, как установится тепловое равновесие?
В сосуд, заполненный тающим льдом, помещают кусок чугуна массой т = 325 г и объемом Р=48 см3. Плотность чугуна при температуре Г（）= 0℃ равна р（）= 6,8-103 кг/м3, удельная теплоемкость с = 0,5 кДж/（кг- К）, коэффициент объемного расширения чугуна Р = 3,3" Ю~5 К L Удельная теплота плавления льда г = 0,33 МДж/кг.
Какая масса 加口 льда растает к моменту установления теплового равновесия?
Для нагревания некоторой массы воды от температуры /0 = 0 ℃ до температуры кипения (/=100 °C) электронагревателем потребовалось время т】 = 15 мин. После этого потребовалось время т2 = 1 ч 20 мин для обращения всей воды в пар при тех же условиях. Удельная теплоемкость воды с = =42 кДж/(кг • К).
Найти удельную теплоту парообразования воды 入.
В сосуде, из которого быстро откачивают воздух, находится небольшая масса воды при температуре /о = О ℃. За счет интенсивного испарения происходит постепенное замораживание воды. Удельная теплота плавления льда г = =0,33 МДж/кг, удельная теплота парообразования воды 入= =2,3 МДж/кг.
Какая часть первоначальной массы воды может быть обращена таким способом в лед?
§ 15. Законы идеального газа
Законы идеального газа приобретают наиболее простую форму записи при использовании термодинамической шкалы температур. Применение этой формы позволяет наглядно и значительно глубже раскрыть содержание самих законов и одновременно позволяет значительно упростить решение задач и предотвратить появление многих ошибок в решении.
Однако, как показывает опыт, учащиеся недооценивают значения такой формы записи законов идеального газа. Поэтому часть задач этого параграфа непосредственно посвящена выводу формул зависимости объема и давления газа от термодинамической температуры, и во всех задачах параграфа используются для решения только термодинамические температуры. Следует внимательно проследить порядок применения законов в такой форме записи, прорешать эти же задачи, пользуясь обычными формулами с коэффициентом объемного расширения, и обратить внимание на характер упрощений в ходе решения в первом случае.
Для развития навыков свободного владения законами простейших процессов, могущих протекать в идеальном газе, в этом параграфе помещен ряд задач, в которых рассматриваются процессы с одновременным изменением температуры, давления и объема газа. С этой же целью введены задачи с одновременным рассмотрением нескольких изобарных, изохорных и изотермических процессов, протекающих в данной массе газа.
Чрезвычайно серьезную помощь в изучении законов идеального газа оказывают графические приемы решения задач. Пра- 54
в ильное понимание графиков изменения состояния идеального газа и умение прочитать на этих графиках характер изменения величин, определяющих состояние газа (например, характер изменения давления газа по графику зависимости объема газа от температуры)^ необходимы для твердого усвоения законов идеального газа. Ряд графических задач настоящего параграфа посвящен развитию этих важных навыков и раскрытию полного содержания уравнений простейших процессов, которые могут совершаться в идеальном газе.
При решении задач на применение закона Гей-Люсеака большое число ошибок возникает из-за неправильного использования определения коэффициента объемного расширения газа. Известно, что изменения объема газа при нагревании относятся всегда к объему, который данная масса газа занимает при температуре zo = O ℃. Многие же учащиеся, забывая об этом, при решении задач относят изменения объема газа не к состоянию при /о = О ℃, а к какому-либо другому «начальному» объему, соответствующему «начальной» температуре, заданной в условии задач. Выяснению этой распространенной ошибки посвящена задача 253, которую рекомендуется детально разобрать.
В конце параграфа приведен ряд элементарных задач на расчет работы газа и затрат тепла, необходимых для нагревания газа в различных условиях. Эти вопросы также часто* вызывают серьезные затруднения и должны быть проработаны при решении задач.
Пользуясь законом Гей-Люссака V— Ко(1 +аг), где а — температурный коэффициент объемного расширения, и определением термодинамической температуры, вывести формулу зависимости между объемом и термодинамической температурой для изобарного процесса. Построить график этой зависимости.
Пользуясь законом Шарля Р = Р0 (1 +Р0, где Р — температурный коэффициент давления, и определением термодинамической температуры, вывести формулу зависимости между давлением и термодинамической температурой для изохорного процесса. Построить график этой зависимости.
Газ находится в цилиндре, закрытом свободно перемещающимся поршнем.
Как отличаются друг от друга графики зависимости объема от температуры для случаев нагревания газа при малой и большой нагрузке на поршень?
Некоторая масса газа нагревается один раз в малом, другой раз в большом сосудах. Во время нагревания объемы сосудов остаются постоянными.
Как отличаются друг от друга графики зависимости давления от температуры в первом и втором случаях?
Как располагаются изотермы газа на графике зависимости объема от давления для случаев расширения одной и той же массы газа при низкой и высокой температурах?
Построить графики зависимости объема от температуры, изображающие изобарный, изохорный и изотермический процессы.
Построить графики зависимости давления от температуры, изображающие изохорный, изобарный и изотермический процессы.
▽〃//7//////777Z▽〃//7//////777ZРис. 85Рис. 85Построить графики зависимости давления от объема, изображающие изотермический, изобарный и изохорный процессы.
▽〃//7//////777Z
▽〃//7//////777Z
Рис. 85
Рис. 85
Газ находится в цилиндре, закрытом поршнем (рис. 85). Поршень имеет площадку, на которой находится песок, создающий необходимое давление на поршень. Если песок небольшими порциями сбрасывать на расположенные рядом с подставкой полочки, то давление на поршень будет меняться. Одновременно можно, помещая цилиндр на нагреватели и холодильники, изменять температуру газа. Из непосредст
венных измерений был получен график зависимости давления от объема газа, изображенный на рис. 86.
Рис. 86Рис. 86Определить по этому графику характер изменения температуры газа.
Рис. 86
Рис. 86
Рис. 88
При нагревании газа был получен график зависимости давления от температуры, изображенный на рис. 87.
Что производилось во время нагревания газа: сжатие или расширение ?
Определить по графику зависимости объема от температуры, изображенному на рис. 88, характер изменения давления, под которым находился газ во время нагревания.
В закрытом сосуде производится нагревание один раз массы т газа, другой раз массы 2小 этого же газа.
Построить графики зависимости давления от температуры для этих двух случаев. Указать различие в расположении кривых.
Внутри закрытого с обеих сторон цилиндра имеется подвижный поршень. С одной стороны поршня в цилиндре находится масса т газа, с другой стороны — масса 2m этого же
газа.
Какую часть объема цилиндра будет занимать масса 2m га
за при равновесии поршня?
В цилиндре, закрытом свободно перемещающимся по
ршнем, производится нагревание один раз газа с молярной массой М, другой раз газа с молярной массой 2M. Массы га
зов в обоих случаях одинаковы. Давление, создаваемое нагрузкой на поршень, также одинаково.
Будут ли одинаковы графики зависимости объема от температуры для этих двух случаев?
Поршень в цилиндре с газом приле
гает неплотно к стенке цилиндра и может рИс. 89 медленно пропускать газ. Снятая во время
нагревания при постоянном давлении зависимость объема газа в цилиндре от температуры имеет вид, показанный на рис. 89.
Как по виду этой зависимости определить: увеличилась или уменьшилась масса газа в цилиндре?
Построить графики зависимости плотности газа от температуры в изобарном процессе и от давления в изотерми
ческом процессе.
В термометрической шкале И. Н. Делиля температуре кипения воды соответствует то = О °D и температуре таяния льда -工= -150 °D.
Какое значение температурного коэффициента объемного расширения газа при постоянном давлении следовало бы брать при измерении температуры по шкале Делиля?
Полый шарик объемом V= 100 см3 снабжен длинной трубкой с делениями. Объем канала трубки между двумя делениями V = 0,2 см3. В шарике и части трубки содержится воздух, отделенный от наружного пространства каплей воды. При температуре /] = 5℃ капля устанавливается на 20-м делении. В по-
мещении, имеющем температуру 门,капля устанавливается на 50-м делении.
Какова температура г2 помещения ? Изменением объема сосуда пренебречь.
В узкой цилиндрической трубке, запаянной с одного конца, находится： воздух, отделенный от наружного пространства столбиком ртути длиной, 〃=15 см. Когда трубка лежит горизонтально, воздух занимает в ней объем 匕=240 мм3; когда трубка устанавливается вертикально, открытым концом вверх, воздух занимает объем 匕= 200 мм3.
Найти атмосферное давление Ро. (в мм рт. ст.).
Открытую с обеих сторон узкую цилиндрическую трубку длиной L = 80 см до половины погружают в ртуть. Затем закрывают верхнее отверстие трубки и вынимают ее из ртути. При этом в трубке остается стол&ик ртути длиной 卜=22 ем.
Найти атмосферное давление Ро (ь мм рт. ст.).
Оба. колена U-образнюй: трубки имеют одинаковую высоту. Одно из кол^ен запаяно и в： нем находится столб воздуха высотой 厶1 = 28 см. Воздух отделен от атмосферы ртутью и его давление равно атмосферному.
Какова будет высота 怎 столба воздуха в запаянном колене, если второе колено доверху залить ртутью ? Атмосферное давление Ро = 760 мм рт. ст.
Открытую с обеих сторон узкую трубку погружают в ртуть так, что над ртутью выступает конец длиной 厶=8 см. Трубку закрывают и поднимают еще на 4 = 44 см.
Какую часть h трубки будет занимать воздух после того, как ее поднимут из ртути? Атмосферное давление Ро = =760 мм рт. ст.
Цилиндрический стакан ошущея открытым концом в сосуд с водой и птвает в. нем так, что внутренняя поверх- 俞HQ&Tb дна находится на одном уровне с по- всрхностью воды в сосуде. Масса стакана ■ m = 408' г, площадь дна стакана S = И. = 1Q，см2. Давление воздуха в стакане перед
И В погружением Ро = 760 мм рт. ст.
■ Кажую часть стакаьга займет воздух по- ■ еле погружения?
В цилиндрический сосуд до половины рис до высоты была налита ртуть, после чего сосуд был герметически закрыт крышкой с сифонной трубкой, наполненной ртутью. Высота сосуда 2Н = 60 см. Сифон имеет равные колена, и его трубка кончается у дна сосуда (рис. 90).
При каком давлении Р в сосуде прекратится истечение ртути через сифон? Насколько понизится уровень ртути за время истечения ? Атмосферное давление Ро = 760 мм рт. ст.
Посередине узгсой, запяянной с обоих концов горизонтальной трубки находится столбик ртути длиной 力=10 см. В обеих половинах трубки находится воздух под давлением 尸о = 760 мм рт. ст. Длина трубки L=1 м.
На какое расстояние / переместится столбик ртути, если трубку поставить вертикально?
Закрытый с обеих сторон цилиндр разделен на две равные части теплонепроницаемым поршнем. В обеих частях
ссцилиндра находятся одинаковые массы газа при S = 27 ℃ и давлении Р^ = 760 мм рт. ст. Длина половины цилиндра L= 42 см.
с
с
■Рис. 91■Рис. 91На какое расстояние 2 от середины цилиндра сместится поршень, если газ в одной из частей нагреть до температуры 工=57 °C? Какое давление Р установится при этом в каждой из частей цилиндра?
■
Рис. 91
■
Рис. 91
Стеклянная, запаянная с одного конца/ трубка длиной L= 15 см, содержащая некоторую массу воздуха, погружена в ртуть так, что над поверхностью ртути выступает длина / = 10 см
трубки (рис. 91). Уровень ртути внутри трубки при г0 = 0℃ стоит выше уровня ртути в сосуде на А / = 5 см. Атмосферное давление Р0 = 750 мм рт. ст.
До какой температуры Г необходимо нагреть воздух в трубке, чтобы он занял весь объем трубки? Уровень ртути в сосуде считать неизменным.
Вычислить значение газовой постоянной R в объединенном законе газового состояния для количества v = 1 моль газа.
Два одинаковых ио объему и массе сосуда погружают в воду на глубину %. Один из сосудов имеет внизу отверстие, через которое вода может проникать внутрь сосуда.
Одинаковую ли работу необходимо совершить при погружении каждого из этих сосудов в воду?
Количество v= 1 моль кислорода нагревается при постоянном давлении от температуры /0 = 0 ℃.
Какое количество теплоты Q необходимо сообщить газу, чтобы его объем удвсился? Удельная теплоемкость кислорода при этих условиях с尸= 912,7 Дж/(кг - К), молярная масса кислорода М = 0,032 кг/моль.
Газ нагревается на АТ= 1 К в цилиндре, закрытом иор・ тнем. Масса поршня равна т, его площадь равна 5. Во время
нагревания газ совершает работу по поднятию поршня. Выразить эту работу: а) через давление Р и изменение объема % — % газа; б) через постоянную R объединенного закона газового состояния. Давлением наружного воздуха пренебречь.
Газ находится в вертикально расположенном цилиндре с площадью дна S = 10 см2. Поршень, закрывающий цилиндр, имеет массу т = 20 кг и может перемещаться в цилиндре без трения. Начальный объем газа %=11,2 л, его температура 力=0。
Какое количество теплоты Q необходимо затратить для того, чтобы нагреть газ при этих условиях на ЛТ= 10 К, если известно, что теплоемкость этой массы газа, измеренная при закрепленном в начальном.положении поршне, оказалась равной Ср=20,9 Дж/К? Давлением наружного воздуха пренебречь
Почему изотермическое расширение газа возможно только при подведении к газу некоторого количества теплоты?
Некоторая масса газа, занимающая вначале объем % при давлении Ро и температуре То, расширяется один раз изобарно, другой раз изотермически до объема И
В каком из этих двух случаев газ совершит большую работу?
Цилиндр с газом помещен в теплонепроницаемую оболочку.
Как будет изменяться температура газа, если постепенна увеличивать объем цилиндра?
§ 16. Силы поверхностного натяжения
М. В. Ломоносов в своих записях приводит следующие результаты опытов по поднятию жидкости в капиллярах: «...подъем жидкостей в капиллярной трубке в линиях: вода 26, спирт 18, летучий спирт соли аммония 33» (1 линия = 2,56 мм).
Поверхностное натяжение воды а = 0,070 Н/м. Плотность спиртов одинакова и равна р = =0,8 • 103 кг/м3.
Найти по этим данным отношение поверхностных натяжений указанных веществ и радиус г капилляра, которым пользовался М. В. Ломоносов.
Капиллярная трубка радиусом г и высотой h соединена с широкой трубкой так, как показано на рис. 92. Широкая трубка
постепенно заполняется каплями воды, падающими через равные промежутки времени. Поверхностное натяжение воды равно а.
Построить графики изменения уровней воды в обеих трубках с течением времени и график изменения разности этих уровней. Найти наибольшую высоту уровня воды в широкой трубке и наибольшее значение разности уровней.
Был предложен следующий проект вечного двигателя.
Рис. 93Рис. 93Берется капилляр таким радиусом г, чтобы вода в нем могла подниматься на высоту h (рис. 93). На высоте к。，меньшей чем %, капилляр изгибается
Рис. 93
Рис. 93
и верхний его конец разворачивается в широкую воронку, как показано на рисунке. Действия сил поверхностного натяжения вполне достаточно, чтобы под» нять жидкость на высоту h0 и ввести ее в воронку. В широкой части воронки жидкость отрывается от верхнего края воронки и, ничем уже не удерживаемая, скатывается вниз. На
пути капель, падающих обратно в сосуд, можно поставить
водяное колесо и осуществить его «вечное» движение.
Будет ли действовать такой двигатель? В чем ошибка при» веденного рассуждения?
Сказывается ли на результатах измерения плотности жидкостей ареометром действие сил поверхностного натяжения? Как изменится положение ареометра, если он находился в воде и в воду налили несколько капель эфира ? Поверхностное натяжение у эфира меньше, чем у воды.
Капиллярная трубка с очень тонкими стенками была прикреплена к коромыслу весов, после чего весы были уравно
Рис. 94Рис. 94вешены. К нижнему концу капилляра прикоснулись поверхностью воды и при этом для уравновешивания капилляра потребовался груз, на т = 0,135 г больший. Поверхностное натяжение воды а = 0,070 Н/м.
Рис. 94
Рис. 94
Найти радиус г капилляра.
Дать объяснение следующему опыту, произведенному М. В. Ломоносовым: «...через листовой свинец, сложенный и согнутый в виде сифона и погруженный одним концом в ртуть, ртуть удаляется из сосуда в течение 24 часов».
Проволочная прямоугольная рамка с одной подвижной стороной затянута мыльной пленкой (рис. 94). Длина подвиж-
ной стороны /=6 см. Поверхностное натяжение мыльного раствора а=0,040 Н/м.
Какая сила F должна быть приложена к подвижной стороне для того, чтобы она была в равновесии? Какая работа А будет совершена, если сторона рамки переместится на расстояние □ s = 2 см? За счет чего будет совершаться эта работа при уменьшении поверхности пленки и в какой вид энергии будет превращаться эта работа?
Легкая, незамкнутая, жесткая рамка формы, показанной на рис. 95, плавает на по рис 95 верхности воды. Поверхностные натяжения “乐 стой воды и мыльного раствора равны at на». Что будет происходить с рамкой, если внутрь ее капнуть мыльным раствором? Какая сила F и в каком направлении 6声 дет действовать на рамку?
Когда делают бесполезную работу, то говорят, что это все равно, что воду в решете носить.
При каких условиях можно все-таки переносить воду в решете, не проливая ее по дороге? Какой максимальной высоты h слой воды можно нести в решете, если диаметр отверстий сетки решета d= 1 мм? Можно ли будет воду, налитую в решето, вылить через край решета? Поверхностное натяжение воды а = 0,070 Н/м, плотность р0 = 1 • 103 кг/м3.
Капилляр частично опускается в смачивающую жидкость.
Можно ли потерю в весе капилляра рассчитывать по закону Архимеда? Каков будет ответ для случая несмачивающей жидкости?
Капилляр радиусом г опускают в смачивающую жидкость, имеющую поверхностное натяжение ос и плотность р.
Какова высота h поднятия жидкости в капилляре ? Найти работу Л, совершенную силами поверхностного натяжения, и сравнить эту работу с результатами независимого подсчета потенциальной энерг ии, приобретенной жидкостью в капилляре. Объяснить смысл расхождения полученных результатов.
Для удаления с материи парафиновых и иных жирных пятен обычно применяют проглаживание материи горячим утюгом через бумагу.
Почему при этом парафин или жир впитывается в бумагу, а не расходится по материи? Какую бумагу следует брать для проглаживания — проклеенную или непроклеенную ?
В приборе П. А. Ребиндера поверхностное натяжение определяется по разности давлений, необходимой для образо- 62
вания пузырька воздуха на кончике капилляра, погруженного в исследуемую жидкость (рис. 96).
если радиус капил-если радиус капил-Рис. 96Рис. 96Рассчитать поверхностное натяжение а, ляра г = 1 мм, разность давлений при образовании пузырька АР = 140 Па. Конец капилляра находится около самой поверхности жидкости.
если радиус капил-
если радиус капил-
Рис. 96
Рис. 96
Радиус одного колена U-образной капиллярной трубки q = 1 мм, радиус другого колена г2 = 2 мм. В трубку налито
некоторое количество ртути, и одно из ко
лен соединено с вакуумным насосом. Поверхностное натяжение ртути а - 0,48 Н/м. Плотность ртути р = 13,6-103 кг/м3.
При какой разности давлений АР воздуха уровни ртути в обоих коленах будут стоять на одинаковой высоте ? К какому колену трубки должен быть для этого присоединен насос?
Длинная, открытая с обоих концов капиллярная трубка радиусом г = 1 мм наполнена водой и поставлена верти
кально.
Какова будет высота h столба оставшейся в капилляре воды? Толщиной стенок капилляра пренебречь. Поверхностное натяжение и плотность воды известны.
Капиллярная трубка радиусом 尸= 0,5 мм запаяна свер> ху. Трубка открытым концом вертикально опускается в воду. Поверхностное натяжение воды а = 0,070 Н/м. Атмосферное давление 尸о = 76О мм рт. ст. Плотность воды р— 1 • 103 кг/м3.
Какой длины / следовало бы взять такую трубку, чтобы при эIих условиях вода в ней поднялась на высоту 力=1 см?
§ 27. Влажность воздуха
Пробирку высотой /% доверху заполняют водой и опускают открытым концом в стакан с водой.
При какой температуре 八 уровень воды начнет отходить от дна пробирки ? Что будет происходить в пробирке при дальнейшем нагревании воды до температуры 工2=100石？ Действием сил поверхностного натяжения пренебречь.
Температура воздуха 九=20℃, точка росы z2~^ ℃.
Найти абсолютную р и относительную / влажности воздуха, если давление насыщенного водяного пара равно 尸】= =17,54 мм рт. ст. при температуре % и Р2 = 8,05 мм рт. ст. при температуре t2.
При каких условиях при росте абсолютной влажности атмосферного воздуха может происходить уменьшение относительной влажности?
В двух сосудах находится воздух, насыщенный водяным паром, в одном — при температуре ^ = 20 ℃, в другом —при температуре 6— Ю℃.
Какая масса росы выделится при смешении этих порций воздуха, если объемы сосудов одинаковы и равны К=1 м" Считать, что давление насыщенного водяного пара меняется в выбранном интервале пропорционально температуре и равно 尸1 = 9 мм рт. ст. при 八=10 ℃ и Р2— 17 мм рт. ст. при г2 —20 ℃ , Потерями тепла за счет теплообмена со стенками сосуда во время смешения пренебречь.
В сосуде заключен воздух, имеющий температуру /1=10 °C и относительную влажность 力=60%. Абсолютная влажность, соответствующая насыщенному водяному пару, при температуре 八=10℃ равна pi = 9,43 г/м3.
Какова будет относительная влажность f2 этого воздуха, если его нагреть до температуры ^=10。°C и уменьшить при этом его объем в три раза?
Какая масса m росы выпадет при уменьшении объема воздуха в четыре раза, если начальный объем его V— 1 м3, температура Z = 20°C и относительная влажность /=£0%? Температура все время постоянна, плотность насыщенного водяного пара ро = 17,28 • 10-3 кг/м3.
Ш. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 18. Закон Кулона
При изучении основ электростатики важно с первых же шагов развить умение достаточно свободно пользоваться законом Кулона для расчета сил, создаваемых системой электрических зарядов, и, в частности, добиться ясного понимания содержания и путей использования для решения задач принципа независимости действия электрических зарядов.
Задачи данного параграфа и их решения составлены так, чтобы обратить внимание учащихся на порядок применения этого принципа. Сознательное применение этого принципа потребуется от учащихся также при решении задач § 19 — 21. Одновременно задачи данного параграфа дают возможность учащимся еще раз повторить методику определения характера равновесия отдельных тел и систем.
При решении задач на расчет равновесия электрических зарядов следует обратить внимание на характер устойчивости равновесия зарядов (например, если равновесие заряда q в задаче 299 является устойчивым по отношению к перемещениям вдоль прямой, соединяющей все три заряда, то оно будет неустойчивым относительно перемещений по всем другим на-
правлениям). Это обстоятельство является частным выражением общей теоремы о том, что в системе свободных электрических зарядов невозможно осуществить устойчивое равновесие.
* * *
Какое число N элементарных зарядов содержит одна единица заряда в системе СИ? Элементарный заряд е = =1,60 - 10"19 Кл.
Расстояние электрона от ядра атома водорода г = =1 • 10~10 м. Заряд электрона е = 1,60-10"19 Кл.
Найти силу F электростатического взаимодействия электрона с ядром в атоме водорода.
Электрон, имеющий заряд е и массу т, вращается по орбите радиусом г вокруг ядра с зарядом Ze.
Найти скорость г движения электрона по этой орбите. Провести численный расчет для атома водорода.
Два положительных точечных заряда 4q и q закреплены на расстоянии 4 друг от друга.
Где нужно расположить заряд ^0, чтобы он находился в равновесии? При каких условиях равновесие заряда ^0 будет устойчивым и неустойчивым?
Два положительных точечных заряда 4q и q закреп» лены на расстоянии д друг от друга.
Какой заряд 夕。и где нужно расположить, чтобы вся система находилась в равновесии?
Отрицательный точечный заряд 2q и положительный точечный заряд q закреплены на расстоянии а друг от друга.
Рис. 97
Где на линии, соединяющей заряды 2q и q, следует поместить положительный заряд ^0 (рис. 97), чтобы он находился в равновесии? Определить характер равновесия заряда ^0 относительно продольных перемещений. Построить график зависимости силы F, действующей на заряд q。， от расстояния г между ним и зарядом q.
Два одинаковых металлических шарика массой т= 10 г каждый расположены на расстоянии г, значительно большем радиуса шариков.
65653 В. Г. Зубов, В. П. Шальнов
65
65
Какой заряд q необходимо поместить на эти шарики, чтобы сила их взаимодействия уравновешивала силу всемирного тяготения, действующую между ними?
Два одинаковых металлических шарика, имеющих положительные заряды gi = 5 нКл и д? = 2 нКл, расположены на расстоянии г —30 см друг от друга, значительно большем радиуса шариков.
Изменится ли сила взаимодействия F шариков после того, как они будут на короткое время соединены проволочкой? Какими зарядами q； и qf2 будут обладать шарики после этого?
Два одинаковых разноименно заряженных шарика расположены на расстоянии 厂=2 см, значительно большем радиуса шариков. Шарики притягиваются с силой F—40 мкН. После того как шарики соединили проволочкой и убрали ее, они стали отталкиваться с силой F = 22,5 мкН.
Найти первоначальные заряды q} и ^2 шариков.
На нити длиной / = 10 см подвешен маленький пробковый шарик массой т = 0,58 г. На расстоянии / = 10 см от точки подвеса и на расстоянии //2 от нити закреплен второй такой же шарик (рис. 98).
Какие одинаковые одноименные заряды q нужно поместить на шарики, чтобы нить отклонилась на угол а= 30°?
На длинных нитях, закрепленных в одной точке, висят два одинаковых маленьких одноименно заряженных шарика. Заряды и массы шариков таковы, что шарики находятся в рав> новесии, когда они расположены на расстоянии а— 10 см друг от друга (длина нитей /》а). Один из шариков разрядили.
Как будут вести себя шарики после этого? При каком расстоянии 6 между шариками установится новое равновесие?
Электрометр Г. В. Рихмана ) состоял из металлической вертикальной линейки, к верхней точке которой была при-
креплена льняная нить, отклонявшаяся от линейки под действием электрического заряда (рис. 99). Показания прибора отсчитывались по разделенному на градусы квадранту. Длина и масса нити равны / и т.
При каком заряде q нить такого электрометра отклонится на угол а? Расчет провести при допущениях, что заряд электрометра поровну распределяется между линейкой и нитью и что заряды сосредоточиваются на нити в точке Л и на линейке в точке В.
Два одинаковых положительных точечных заряда д = 3,4 нКл находятся на расстоянии г= 17 см друг от друга.
С какой силой F и по какому направлению будут действовать эти заряды на положительный заряд д°=1 нКл, находящийся от каждого из них на расстоянии г =17 см? Найти модуль и направление этой силы, если первые два заряда разноименные.
Четыре одинаковых точечных положительных заряда q находятся в вершинах квадрата со стороной а.
Какой отрицательный заряд qQ нужно поместить в центре квадрата, чтобы система находилась в равновесии? Будет ли равновесие устойчивым?
§ 19. Электрическое поле. Напряженность поля
Представление об электрическом поле и величинах, характеризующих его, является одним из самых ответственных и трудных разделов программы. Поэтому внимание учащихся в этом параграфе сосредоточено на решении простейших задач на применение формулы
尸 ~ qE,
на вопросах о характере распределения зарядов на поверхности проводников, помещенных в электрическом поле, и на расчете движения заряженных тел под действием сил электрического поля.
Значительная часть задач этого параграфа носит качественный характер и имеет целью не только провести расчет сил, но и, главным образом, выяснить особенности поведения зарядов на проводниках под действием внешнего электрического поля, а также характер и природу искажений, возникающих в поле при внесении в него проводников.
Особо внимательно рекомендуется продумать решения задач 319 — 325, в которых показаны наиболее простые пути расчета движения тел, возникающего под действием электрических сил.
** *
Найти напряженность Е электрического поля, создаваемого точечным зарядом q = 1 нКл на расстоянии г = 1 м от заряда.
Два одинаковых точечных одноименных заряда q = =2 нКл находятся на расстоянии 2a = 1 м друг от друга.
Найти напряженность Е и потенциал <р точки поля А, находящейся на середине расстояния между зарядами.
На проволочное металлическое кольцо радиусом R помещен заряд q.
Найти напряженность Е поля, создаваемого этим зарядом: а) в центре кольца О (рис. 100); 6) в точке Л, лежащей на оси кольца на расстоянии R от центра О.
Рис. 100Рис. 100Рис. 101Рис. 101
Рис. 100
Рис. 100
Рис. 101
Рис. 101
Маленьким металлическим шариком прикасаются поочередно к точкам А, В и С заряженного тела, изображенного на рис. 101. После каждого соприкосновения приближенно определяют заряд шарика, прикасаясь шариком к электроскопу.
Будут ли листочки электроскопа в каждом случае расходиться на один и тот же угол?
В однородное электрическое поле плоского конденсатора помещают хорошо проводящий незаряженный шар.
Какие изменения в форме и расположении линий напряженности поля произойдут после внесения шара и какие причины вызывают искажения поля? Нарисовать картину расположения эквипотенциальных поверхностей. Где и какие индуцированные заряды появятся на шаре?
Имеется положительно заряженный шар.
Как с помощью этого шара, не уменьшая находящегося на нем заряда, наэлектризовать два других шара — один положительно, другой отрицательно ?
Внутрь полой проводящей незаряженной сферы помещен положительно заряженный шарик: а) Где существует электрическое поле? 6) Какие заряды появятся на поверхности сферы? в) Изменится ли электрическое поле при перемещении 68
шарика внутри сферы? г) Изменится ли электрическое поле, если шарик останется неподвижным, а снаружи к сфере поднести заряженное тело ?
Внутрь полой проводящей незаряженной сферы помещен шарик с зарядом q, после чего сферу на короткое время соединяют с землей и затем шарик удаляют из сферы. Шарик со сферой не соприкасается.
Какой заряд имеет сфера после этого?
Как распределен этот заряд? Где и какое
существует электрическое поле?㊉㊀
Между двумя разноименными, равны- 夕夕
ми по модулю точечными зарядами перпендикулярно к линии, их соединяющей, помещают две достаточно большие, плотно приле- "口
гающие друг к другу металлические пластины рис 102 (рис. 102).
Что произойдет с пластинами, если их оставить свободными? Как изменится электрическое поле при этом? Нарисовать картину распределения линий напряженности измененного
поля.
Пластины, рассмотренные в задаче 316, при внесении в поле не прикасаются друг к другу и после внесения раздвигаются на некоторое расстояние.
Нарисовать картину распределения линий напряженности электрического поля после раздвигания пластин. Каков характер распределения индуцированных зарядов на них?
В плоский конденсатор помещают на равных расстояниях две параллельные металлические пластины
2 и 3 так, как показано на рис. 103. На пласт и-'
ны конденсатора 1 и 4 подана разность потен- ,
циалов V.о— —о
а) Каков потенциал ср каждой из четырех
пластин? 6) Как изменятся потенциалы ср плас
тин и напряженности Е полей во всех трех рис юз промежутках, если пластины 2 и 3 на короткое
время замкнуть проволокой? Что произойдет при этом с зарядами на пластинах / и 4? в) Имеют ли пластины 2 и 3 заряды до и после замыкания?
Шарик массой т - 10 г имеет заряд q = 5 нКл.
С каким ускорением 〃 он движется под действием однородного электрического поля с напряженностью £=30 кВ/м?
Управляющие пластины в электронно-лучевой трубке образуют плоский конденсатор. Расстояние между пластинами d=10 мм, длина стороны пластины /=5 см. На пластины подана разность потенциалов Р=50 В. На расстоянии 〃2 = 5 мм
от пластин в конденсатор влетает параллельно пластинам электрон со скоростью г = 2 • 107 м/с.
Какова будет форма траектории электрона внутри конденсатора? На какое расстояние Л от первоначального направления сместится электрон к моменту вылета из конденсатора?
Между горизонтальными пластинами заряженного
плоского конденсатора находится пылинка, имеющая массу m = Ю~12 кг и заряд ^ = 9,8 • 10-17 Кл.
Какова напряженность Е поля в конденсаторе, если сила тя
жести, действующая на пылинку, уравновешена силой воздей
ствия электрического поля на заряд пылинки ?
Маленький металлический шарик массой 加 подвешен на нити длиной / между горизонтальными пластинами плоско
го конденсатора (рис. 104).
Как изменится период Т колебаний шарика, если на шарик
поместить положительный заряд д, а верхнюю пластину кон
денсатора зарядить:денсатора зарядить:а) положительно; б) отрицательно?
денсатора зарядить:
денсатора зарядить:
Рис. 104 Рис. 105
Шарик в условиях предыдущей задачи имеет массу 加=1 г. Период колебаний его в отсутствие зарядов 丁0 = 0,628 с. После того как конденсатор и шарик были заряжены, период колебаний стал равным Т=0.314 с.
Какова длина / нити, на которой подвешен шарик? С какой силой F действовало поле конденсатора на шарик? Каков будет период Т колебания, если изменить знак заряда шарика на обратный?
Маленький металлический шарик подвешен на длинной нити между вертикальными пластинами плоского конденсатора (рис. 105). Маятник совершает колебания в плоскости, перпендикулярной к пластинам.
Как изменится характер колебаний этого маятника, если шарик и пластины конденсатора зарядить?
Каков заряд q Земли, если напряженность электрического поля у поверхности Земли Е=130 В/м? Считать Землю шаром, имеющим радиус R = 6400 км.
§ 20. Работа сил электрического поля. Потенциал поля
При ознакомлении с понятием потенциала электрического поля учащиеся сталкиваются с использованием одного из важнейших свойств электрического поля — независимостью работы сил поля от формы пути. Так как развитие навыков сознательного и правильного использования этого свойства представляет обычно некоторые трудности, то ряд задач данного параграфа посвящен выяснению смысла и значения этого фундаментального свойства электрического поля и правилам использования его для решения задач. В начале параграфа дана серия задач, требующих использования независимости действия электрических полей для расчета потенциалов отдельных точек поля и работы перемещения зарядов в поле.
При анализе результатов решения задачи 336 и последующих задач необходимо обратить внимание на методику использования особенностей в относительном расположении линий напряженности и эквипотенциальных поверхностей электрического поля для проведения простейших расчетов.
Напряженность электрического поля в плоском конденсаторе Е=60 кВ/м, Расстояние между пластинами конденсатора d=5 см. Электрон летит вдоль линии напряженности от одной пластины конденсатора к другой. Начальная скорость электрона v0 = 0.
Какую скорость и приобретает электрон на этом пути за счет работы сил электрического поля?
Напряженность электрического поля в плоском конденсаторе Е = 60 кВ/м. Разность потенциалов между пластинами конденсатора V—Ъ кВ.
Каково расстояние d между пластинами конденсатора?
Радиус заряженной металлической сферы R= 10 см. Потенциал сферы <р = 300 В.
С какой плотностью о распределен заряд по поверхности сферы ?
Два одноименных точечных заряда 夕］=夕2 = 5 нКл находятся на некотором расстоянии друг от друга.
Найти потенциал <р точки, лежащей на расстоянии г{= =々=10 см от каждого из зарядов.
В электрическом поле потенциалы точек А и В равны Фл = 0,3 кВ и(рв = 1,2 кВ.
Какую работу А необходимо совершить для того, чтобы положительный заряд g = 30 нКл переместить из точки А в точку 5?
Два одинаковых металлических шарика радиусом /? = 2,5 см каждый находятся на расстоянии 厂=1 м друг от друга и имеют потенциалы 屮】=+1,2 кВ и g =-1,2 кВ.
Каковы заряды q、и q2 этих шариков?
332・ Две металлические концентрические сферы имеют радиусы R】и К2. На внутренней сфере находится заряд q】,на
виешней — заряд q2.
Найти напряженность Е и потенциал 屮 поля вне сфер, а также внутри малой и большой сфер.
По поверхности двух концентрических проводящих сфер с радиусами К】 = 5 см и R2— 10 см равномерно (с одина
ковой плотностью с) распределен некоторый заряд.
Найти заряд % если для переноса положительного единичного заряда из бесконечности в центр сфер требуется совершить работу А = 3 кДж.
Расстояние между пластинами заряженного и отключенного от батареи плоского конденсатора d = 5 см. Напряженность поля в нем Е = =30 кВ/м. В конденсатор параллельно его пласти-
ddнам вводят незаряженную металлическую пластинунам вводят незаряженную металлическую пластинутолщиной 6=1 смтолщиной 6=1 смРис. 106Рис. 106Найти разность нами конденсатора ческой пластины.Найти разность нами конденсатора ческой пластины.(рис. 106).потенциалов V между пласти- до и после введения металли-(рис. 106).потенциалов V между пласти- до и после введения металли-
d
d
нам вводят незаряженную металлическую пластину
нам вводят незаряженную металлическую пластину
толщиной 6=1 см
толщиной 6=1 см
Рис. 106
Рис. 106
Найти разность нами конденсатора ческой пластины.
Найти разность нами конденсатора ческой пластины.
(рис. 106).
потенциалов V между пласти- до и после введения металли-
(рис. 106).
потенциалов V между пласти- до и после введения металли-
Маленький металлический шарик в условиях зада- //>2 чи 311 соединяют проволочкой с электроскопом и обводят по всему контуру заряженного тела, /- изображенного на рис. 101.
/，Будут ли в этом случае меняться показания
~^электроскопа при переходе от точки А к точ- 、\ кам В и С?
336. Дана картина расположения эквипотен-
циальных поверхностей некоторого поля (рис. 107).
Рис. 107 Известно также, что потенциал 屮】>(р2-
Восстановить по этой картине примерную картину распределения лшшй напряженности этого поля, указать их направление. В какой области напряженность поля больше?
Напряженность электрического поля внутри конденсатора равна Е.
Найти работу перемещения заряда q по замкнутому прямоугольному контуру ABCD (рис. 108).
338« Доказать, что невозможно создать такое электрическое поле, в котором все линии напряженности поля были бы параллельны друг другу и плотность распределения их непрерыв-
но увеличивалась бы в направлении, перпендикулярном к линиям напряженности поля (рис. 109).
339・ Доказать, что если на некотором участке поля линии напряженности имеют форму дуг концентрических скружно-
Рис. 108Рис. 108Рис. 109Рис. 109
Рис. 108
Рис. 108
Рис. 109
Рис. 109
стен с центром в точке О (рис. 110), то напряженность поля на этом участке должна быть в каждой точке обратно пропорцио» нальна ее расстоянию от точки О.
21. Электрическое поле в диэлектрике
Металлический заряженный шар окружен толстым сферическим слоем диэлектрика.
Нарисовать картину распределения линий напряженности электрического поля внутри и вне диэлектрика. Каковы причины изменения электрического поля на границе диэлектрика?
Металлический заряженный шар радиусом 尺=5 см окружен сферическим слоем диэлектрика толщиной d=5 см. Диэлектрическая проницаемость слоя 8 = 3. Заряд шара q = =3,6 нКл.
Найти напряженность Е поля в точках, лежащих на расстояниях 尸1 = 6 см и 尸2 = 12 см от центра шара.
Уменьшение напряженности электрического поля при погружении заряженного тела в диэлектрик можно объяснить появлением поляризационных зарядов, выступающих в диэлектрике у поверхности заряженного тела и экранирующих своим полем действие зарядов тела. Металлический шар радиусом R, имеющий заряд q, находится внутри диэлектрика с диэлектрической проницаемостью £.
Определить модуль и знак поляризационного заряда д' и плотность о' его распределения.
Заряженные шарики в условиях задачи 304 помещены в масло. Плотность материала шариков р больше илот-
ноет и масла р0. Диэлектрическая проницаемость масла равна е.
Найти расстояние 6 между шариками после опускания их в масло.
§ 22. Электрическая емкость. Конденсаторы
Значительную трудность для учащихся представляет рассмотрение вопросов о связи между зарядами на пластинах конденсатора и напряженностью поля в нем. Также трудным является и определение характера изменения зарядов пластин и сил взаимодействия между телами при помещении тел (или конденсатора) в среды с различными диэлектрическими свойствами.
На вопрос о том, как будет изменяться при погружении в диэлектрик сила взаимодействия двух заряженных тел в случае, когда остаются неизменными заряды этих тел, или же в случае, когда неизменными поддерживаются их потенциалы, учащиеся иногда отвечают, что эта сила при всех условиях уменьшается пропорционально диэлектрической проницаемости среды.
Для того чтобы избежать таких неправильных ответов, учащиеся должны особенно внимательно отнестись к раскрытию физического смысла понятия емкости как величины, одновременно учитывающей влияние формы, размеров, расположения тела и свойств среды на соотношение между потенциалом и зарядом тела; к раскрытию физической картины изменений электрического поля при помещении тел в различные среды и зависимости этих изменений от условий, в которых производится смена сред.
Ряд задач настоящего параграфа посвящен рассмотрению таких случаев, когда при увеличении диэлектрической проницаемости среды одновременно возрастает и сила взаимодействия между заряженными телами. При разборе решений задач 344 — 346 необходимо внимательно проследить, как изменяются заряды и напряженность поля после погружения тел в диэлектрик при различных условиях.
В конце параграфа помещено несколько задач на расчет силы взаимодействия пластин конденсатора н работы по раздвиганию пластин. Эти задачи позволяют учащимся значительно глубже познакомиться с процессами, протекающими в конденсаторе.
В задаче 354 рекомендуется обратить внимание на изменения в распределении зарядов при разных способах включения конденсатора.
Плоский конденсатор помещен в стеклянный сосуд и подключен к батарее с з. д. с. g = 12 В (рис. Ш). Ключ в цепи
замкнут. Площадь пластин конденсатора S = =100 см2, расстояние между ними d = 1 мм.
Найти заряды на пластинах конденсатора в случае, если банка заливается доверху маслом с диэлектрической проницаемостью £ = 2,2: а) после размыкания ключа; б) до размыкания ключа. Кай будет меняться при этом напряженность электрического поля в конденсаторе?
Два небольших заряженных тела взаимодействуют в воздухе с силой 尸「
Какова будет сила взаимодействия этих тел после помещения их в диэлектрик с диэлектри
ческой проницаемостью е, если их потенциалы поддерживаются постоянными?
Два заряженных шара, расположенных на достаточно большом постоянном расстоянии друг от друга, помещаются последовательно в ряд диэлектриков с возрастающими диэлектрическими проницаемостями. При этом в одной серии опытов поддерживается все время постоянным заряд шаров, в другой —остается постоянным их потенциал.
Как в этих случаях будет изменяться сила взаимодействия шаров с ростом диэлектрической проницаемости?
Шар радиусом R】=5 см, имеющий заряд qr = 20 нКл, и шар радиусом R2 = 10 см, имеющий такой же заряд q2 = =20 нКл, расположены на достаточно большом расстоянии друг от друга. Шары соединяются проволокой.
В каком направлении будут перемещаться заряды по проволоке? Какой заряд q переместится с одного шара на другой ? Каковы будут общий потенциал ср и заряды q； и q] шаров после соединения?
Конденсатор емкостью С\ = 3 мкФ заряжен до разности потенциалов 匕=300 В, конденсатор емкостью С2 = =2 мкФ — до % = 200 В. Оба конденсатора соединены после зарядки параллельно одноименными полюсами.
Какая разность потенциалов V установится на пластинах конденсаторов после их соединения ?
В условиях задачи 348 конденсаторы после зарядки соединены параллельно разноименными полюсами.
Какой заряд 夕 и с какого конденсатора перейдет во время соединения?
На капельки ртути радиусом г=0,1 см помещены одинаковые заряды ^ = 2 • 10~13 Кл. N = 10 таких капелек сливаются в одну большую каплю.
Каков потенциал <р этой капли?
Три конденсатора с емкостями С\ = 2 нФ, С2 = 4 нФ и С3 = 6 нФ соединены последовательно.
Можно ли накладывать на эту батарею напряжение V = =И кВ, если напряжение пробоя каждого конденсатора Ио = =4 кВ? Какое напряжение будет приходиться на каждый из конденсаторов батареи?
Найти емкость С конденсатора в условиях задачи 334 с вдвинутой в него металлической пластиной, если площадь пластин конденсатора S=100 см2 и все пространство в конден-
Рис. 112Рис. 112саторе заполнено керосином с диэлектрической проницаемостью е = 2,1. Будет ли меняться емкость конденсатора, если металлическую пластину перемещать параллельно самой себе от одной пластины конденсатора к другой?
Рис. 112
Рис. 112
В сферическом конденсаторе соединяется с землей один раз большая сфера,
другой раз малая (рис. 112).
этих двухэтих двухБудет ли одинакова емкость конденсатора в
этих двух
этих двух
случаях?
Заряды каждой из пластин плоского конденсатора на
ходятся под воздействием электрического поля, создаваемого
зарядами другой пластины. Напряженность такого поля
2&о S
где q — заряд и S — площадь пластин конденсатора.
Зная q и S, определить, с какой силой F притягиваются друг к другу пластины конденсатора. Какую работу Л необходимо совершить, чтобы раздвинуть пластины конденсатора на расстояние d? Выразить эту работу через ： а) емкость С конденсатора и разность потенциалов И; б) емкость С конденсатора и заряд q пластин.
355. С какой плотностью о распределен заряд на пластинах плоского конденсатора, если его емкость С = 100 пФ, расстояние между пластинами d = 2 мм и пластины притягиваются друг к другу с силой F = 0,4 Н?
Одна из пластин плоского конденсатора подвешена к коромыслу весов
(рис. ИЗ). Площадь пластин конденсатора S = 628 см2, расстояние между ними d = 5 мм.
Какова разность потенциалов между пластинами конденсатора, если для равновесия необходимо положить на другою чашку весов груз массой m = 40 г?
Пластины плоского конденсатора раздвигаются один раз, будучи подключенными к источнику напряжения, другой раз — отключенными после первоначальной зарядки.
В каком из этих двух случаев нужно затратить на раздвш а- ние пластин большую работу?
Плоский конденсатор заряжен до некоторой разности потенциалов. В конденсатор вдвинули диэлектрическую пластину. После этого для восстановления прежней разности потенциалов пришлось увеличить заряд пластины в три раза.
Найти диэлектрическую проницаемость £ пластины.
§ 23. Законы постоянного тока
В данном параграфе рекомендуется обратить особое внимание на решение задач, связанных с применением закона Ома в электрических цепях, содержащих несколько источников тока, а также на решение задач, связанных с расчетом сил jokob в разветвленных цепях и на участках цепи, содержащих источники тока. Наибольшее число ошибок в этих задачах обычно возникает из-за того, что учащиеся неправильно учитывают при написании уравнений закона Ома соотношение знаков э. д. с., действующих в цепи, и направлений токов электрического поля.
Серьезные ошибки возникают в тех случаях, когда учащиеся не учитывают, что сила тока, протекающего по участку цепи, на котором действует источник тока, определяется совместным действием разности потенциалов на концах участка и э. д. с. источника тока внутри участка. Например, при расчете силы тока, протекающего через аккумулятор с э. д. с. ^ и сопротивлением R при зарядке его от сети с напряжением Г, многие учащиеся начинают определять силу тока по уравнению IR—V и с большим трудом воспринимают необходимость применять уравнение 1R = V— ^,
Зачастую серьезные недоразумения возникают у учащихся из-за неумения правильно учитывать влияние внутреннего со- противления источников тока на режим работы всей электрической цещь Ряд задач параграфа (например, 383, 385, 386, 392 — 395 и др.) посвящен специально выяснению этого вопроса, а также выяснению вопроса о выборе наиболее выгодных условий работы источников тока.
При решении большинства задач настоящего параграфа следует обращать внимание на то, как изменяются распределе-
ния токов и потенциалов при введении или смене отдельных сопротивлений или источников тока в цепи. Незнание связи, существующей между распределением потенциалов и токов в разветвленных цепях, делает чрезвычайно трудным решение таких задач, как, например, задачи 379 и 380.
Чрезвычайно важным является умение указать, как и при каких условиях можно использовать один и тот же измерительный прибор для разных целей (например, использовать амперметр в качестве омметра или миллиамперметр в качестве вольтметра), какие ошибки могут возникать во время из мере» ний при различных условиях (см., например, задачу 375). Поэтому в начале параграфа помещен ряд задач на исследование работы приборов. Все эти задачи должны разбираться одновременно с изучением теории этих приборов.
* *
Удельное сопротивление меди р = 0,017 мкОм • м.
Каково будет сопротивление R медной проволоки длиной / = 1 м и с поперечным сечением S = 1 мм2?
Одна из первых попыток ввести единицу сопротивления проводников принадлежит Б. С. Якоби *). Единица сопротивления Якоби равна сопротивлению медной проволоки длиной 6,358 фута (1 фут = 30,5 см) и диаметром 0,00336 дюйма (1 дюйм = 2,54 см).
Выразить единицу сопротивления Якоби в омах.
Сопротивление проволоки R = 0,l Ом, длина /= 1 м, поперечное сечение 3=1 мм2. Найти удельное сопротивление р материала проволоки.
Насколько изменяется при переходе от зимы к лету сопротивление R телеграфной линии, если она проложена железным проводом с поперечным сечением S = 10 мм2? Температура изменяется от г0 = -30 ℃ зимой до г= 30 ℃ летом. Длина провода зимой /()=100 км. Удельное сопротивление железа зимой р0 —0,087 мкОм • м. Температурный коэффициент сопротивления железа р = 6-10-3 К-1. Как изменится результат, если учесть удлинение провода при нагревании? Коэффициент линейного расширения железа а= 1,2-10~5 К".
Электрическая лампочка с вольфрамовой нитью рассчитана на напряжение Р=220 В и потребляет мощность ^=40 Вт. Диаметр нити £> = 0,01 мм. Температура накаленной нити Т=2700 К. Удельное сопротивление вольфрама при
7})= 273 К равно ро = О,О5 мкОм • м и растет пропорционально температуре нити.
Найти длину / нити этой лампочки.
Найти силу тока /, протекающего в электрической лампочке предыдущей задачи в первый момент после включения. Во сколько раз этот ток будет больше тока при нормальном режиме горения лампочки?
Плоский конденсатор с площадью пластин S и расстоянием между ними d один раз заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью £, другой раз электролитом с удельной проводимостью 入.
Найти соотношение между емкостью С конденсатора в первом и его проводимостью Л во втором случаях.
Э. X. Ленц ) в опытах по исследованию теплового дей> ствия тока за единицу силы тока принимал силу такого тока, который при прохождении через подкисленную воду выделял 41,16 см3 гремучего газа в час при давлении 760 мм рт. ст. и температуре 0 ℃. Плотность кислорода при давлении 760 мм рт. ст. равна q = 1,43 кг/м3.
Выразить единицу силы тока Ленца в амперах.
Каковы должны быть сопротивления секций реостата R】, А? и «з (рис. 114) для того, чтобы сила тока, проходящего через амперметр с внутренним сопротивлением Ro = 30 Ом, при перемещении движка реостата с контакта на контакт изменялась на А7 = 1 А? Схема питается от сети с напряжением Р= 120 В.
Необходимо измерить сопротивление цепи, работающей от сети с напряжением V = 120
с чувствительностью 办=10 мкА/дел (сила тока, соответствующая одному делению шкалы гальванометра).
Как следует включить гальванометр, чтобы он работал как омметр? Какое наименьшее сопротивление цепи можно измерить таким гальванометром, если его шкала имеет 刁=40 делений? Построить шкалу такого омметра в омах на деление. Внутренним сопротивлением прибора пренебречь.
Некоторая цепь, имеющая сопротивление R— 100 Ом, питается от источника тока с постоянным напряжением. Для измерения силы тока в цепи включили амперметр с внутренним сопротивлением Ао= 1 Ом.
Какова была сила тока / в цепи до включения амперметра, если амперметр показал силу тока /0 = 5 А?
Каково должно быть сопротивление шунта R к гальванометру для уменьшения его чувствительности в 〃 = 20 раз? Внутреннее сопротивление гальванометра & = 950 Ом.
Миллиамперметр с пределом измерения токов силой /о = 20 мА необходимо использовать как амперметр с пределом измерения токов силой /=5 А.
Каково для этого должно быть сопротивление шунта R к миллиамперметру? Внутреннее сопротивление миллиамперметра 尺о = 8 Ом.
Чувствительный мил л иамперм ет р используется как вольтметр. Каждому делению шкалы миллиамперметра соответствует сила тока i0 = 1 мА/де л. Внутреннее сопротивление прибора Ro = 0,5 кОм.
Определить цену деления шкалы такого прибора в вольтак на деление.
Вольтметр с внутренним сопротивлением Ао = О,4 кОм подключен к участку цепи с сопротивлением Е = 20 Ом и показывает напряжение Го= 100 В.
Как велика погрешность W в показаниях вольтметра, если сила тока в сети до разветвления постоянна?
Для измерения сопротивления резистора R составлена схема, изображенная на рис. 115. Амперметр показал ток I = =2 А, вольтметр — напряжение V = О = 120 В.
Рис. 115Рис. 115Найти сопротивление резистора R, если внутреннее сопротивление вольтметра & = 3 кОм. Какова будет погрешность при измерении сопротивления R, если при расчетах счи
Рис. 115
Рис. 115
тать сопротивление вольтметра R。бесконечно большим?
Сопротивление резистора R рассчитывают по показаниям вольтметра и амперметра, включенных так, как показано
Рис. 116
на рис. 116, причем при расчете не вносят поправок на внутренние сопротивления приборов.
Какова будет погрешность при измерении сопротивления резистора R = 1 Ом, если внутреннее сопротивление амперметра & = 0,1 Ом, вольтметра 凡=1 кОм? Какова будет погрешность при измерении сопротивления R = 0,5 кОм? Какую из этих схем следует применять для измерения малых и больших сопротивлений?
Цепь с сопротивлением R = 10 кОм питается от потенциометра, имеющего полное сопротивление R。= 3 кОм (рис. 117). На потенциометр подается э. д. с.
九=110 В.
Найти напряжение И, подаваемое в цепь, когда движок b стоит посередине потенциометра.
В помещении горит электрическая лампочка мощностью % = 60 Вт и включается электронагревательный прибор мощ
ностью N2 = 240 Вт. Напряжение в сети V = 120 В. Сопротивление соединяющих проводов R。= 6 Ом.
Насколько изменяется напряжение, подводимое к лампочке, при включении электронагревательного прибора?
В помещении установлено п электрических лампочек, каждая из которых потребляет ток /. Расстояние от нагрузки до источника тока равно /. Удельное сопротивление материала проводов равно р.
Найти минимальную площадь сечения S проводов, если потери напряжения в линии не должны превышать значения И 379. В разветвление сети с током подключаются проводники bb' и сс' (рис. 118). Положение точек 6, Ь' и с, с' выбирается так, что ток по этим проводникам не проходит. Затем эти дза мостика соединяются проволочкой аа\
Возникнет ли при этом ток в проволочке аа' и в проводни-
ках bb' и сс'? Что произойдет с Каковы будут потенциалы точек а и 4‘？
По ошибке в схеме мостика для измерения сопротивлений гальванометр и ключ были включены так, как показано на рис. 119.
Как можно установить равновесие мостика, наблюдая пока
зания этого гальванометра при замыкании и размыкании ключа?
В разработанной Э. X. Ленцем системе электрических
единиц за единицу э.д.с. принималась такая э.д.с., которая при сопротивлении цепи, равном единице Якоби, создавала ток, равный единице Ленца (см. задачи 360, 366). Выразить единицу э.д.с. Ленца в вольтах.
При замыкании батареи с з. д. с. g = 6 В на внешнее сопротивление R=1 Ом она дает ток силой /= 3 А.
Какова будет сила тока /0 при коротком замыкании этой батареи?
Электрическая лампочка, рассчитанная на напряжение Ио — 110 В и потребляющая мощность ^=60 Вт, подключена к батарее с э. д. с.彳=120 В и внутренним сопротивлением г = 60 Ом.
Будет ли лампочка гореть полным накалом при таком подключении?
Каково внутреннее сопротивление г аккумулятора, если он при внешнем сопротивлении цепи 尺]=1 Ом дает ток силой /1 = 1 А, а при внешнем сопротивлении цепи & = 2,5 Ом — ток силой/2 =。,5 a?
Для определения э.д.с. аккумулятора его включили последовательно с эталонным элементом в некоторую цепь и получили ток силой 厶= 0,2 А. Когда аккумулятор включили
в эту же цепь навстречу эталонному элементу, то получили ток Ьилой /2 = 0,08 А, идущий во внешней цепи от положительного полюса аккумулятора к отрицательному. Найти э.д.с. аккумулятора, если э. д. с. эталонного элемента Fo = 2 В.
Какой должна быть э. д. с.乡 аккумулятора в задаче 385, чтобы при включении его навстречу эталонному элементу был получен ток силой /2 = 0,08 А, идущий во внешней цепи от от- 自 рицательного полюса аккумулятора к поло.11 1 жительному?
Аккумулятор с э. д. с. ^ = 2 В и внут- g|—[□一* ренним сопротивлением г = 0,4 Ом замкнут на
внешнее сопротивление R = 1 Ом.
昌Найти напряжение V на полюсах аккуму-
|_jL_Jлятора.
J388. Эталонный элемент с э. д. с. ^0> по-
Рис. 120тенциометр с полным сопротивлением R。二
=10 Ом, аккумулятор с неизвестной э. д. с.乡 и гальванометр включены по схеме, изображенной на рис. 120. При каком положении движка b потенциометра ток через гальванометр не проходит? Найти э,д.с. У аккумулятора, если
ток через гальванометр не проходит тогда, когда сопротивление участка ab потенциометра А —9 Ом. Элемент создает при этом на концах потенциометра разность потенциалов % = 2 В.
В условиях предыдущей задачи (рис. 120) шкала потенциометра имеет л = 500 делений. Чувствительность гальванометра i° = 10-4 A/дел. Внутреннее сопротивление аккумулятора г = 0,5 Ом.
Каково должно быть сопротивление & гальванометра, чтобы он мог чувствовать нарушение равновесия при смещении движка от положения равновесия на одно деление шкалы потенциометра ?
При замыкании батареи с з.д. с.乡=15 В на внешнее сопротивление R разность потенциалов на полюсах батареи V = =9 В, сила тока в цепи I = 1,5 А.
Каково внутреннее сопротивление г батареи и внешнее сопротивление &?
Два одинаковых аккумулятора с з. д. с,後 и внутренним сопротивлением г соединены так, как показано Найти разность потенциалов V между точками t? и Ь. Сопротивлением соединительных проводов пренебречь.
Цепь с сопротивлением R питается от и одинаковых аккумуляторов.
При каком внутреннем сопротивлении г аккумулятора сила тока в цепи будет одинакова при соединении аккумуляторов в батарею последовательно и параллельно?
Сколько параллельно включенных электрических лампочек, рассчитанных на напряжение V= 100 В и потребляющих мощность ^=50 Вт каждая, может гореть нормальным накалом при питании их от аккумуляторной батареи с э.д. с. / = =120 В и внутренним сопротивлением г = 10 Ом?
Сколько одинаковых аккумуляторов с э. д. с.後=2 В и внутренним сопротивлением г = 0,2 Ом нужно соединить последовательно в батарею, чтобы получить во внешней цепи ток /=5 А при разности потенциалов на полюсах батареи Р=110 В?
При внешнем сопротивлении цепи & = 1,0 Ом разность потенциалов на полюсах аккумулятора Р] = 1,5 В; при внешнем сопротивлении &2 = 2 Ом разность потенциалов % = 2 В.
Найти э. д. с.乡 и внутреннее сопротивление г аккумулятора.
Батарея с э. д. с. F = 6 В и внутренним сопротивлением г =1,4 Ом питает внешнюю цепь, состоящую из двух параллельно соединенных резисторов с сопротивлениями R〔 = 2 Ом и & = 8 Ом.
Найти разность потенциалов V на полюсах батареи и силы 厶 и /2 токов, текущих через резисторы.
Цепь с внешним сопротивлением 及= 0,3 Ом питается от к = 6 аккумуляторов, каждый из которых имеет э. д. с. ^ = 2 В и внутреннее сопротивление г = 0,2 Ом. Аккумуляторы соединены в отдельные группы последовательно и группы соединены друг с другом параллельно.
При каком способе соединения аккумуляторов в такие группы будет получена наибольшая сила тока в цепи? Каково будет наибольшее значение силы тока?
Цепь с внешним сопротивлением R питается от батареи, состоящей из к элементов. Каждый элемент имеет э.д.с. ? и внутреннее сопротивление г. Батарея состоит из одинаковых последовательно соединенных групп. Группы состоят из
параллельно соединенных элементов.
Найти число групп п и число т элементов в каждой группе, при которых будет получена наибольшая сила тока в цепи.
Необходимо обеспечить силу тока /=8 А в цепи с внешним сопротивлением К = 5 Ом.
Какое наименьшее число аккумуляторов нужно взять для этого и как их соединить в батарею? Э.д.с. каждого аккумуля
ggРис. 122Рис. 122тора 彳=2 В, внутреннее сопротивление г = =0,5 Ом.
g
g
Рис. 122
Рис. 122
Аккумулятор подключен для зарядки к сети с напряжением V = 12,5 В (рис. 122). Внутреннее сопротивление аккумулятора г = 1 Ом.
Какова э. д. с.後 аккумулятора, если при зарядке через него проходит ток силой / = 0,5 А?
Аккумуляторная батарея, разряженная до э. д. с.犷= =12 В, подключена для зарядки к сети с напряжением Р = 15 В.
Какое дополнительное сопротивление R должно быть включено в цепь для того, чтобы сила зарядного тока не превышала / = 1 А? Внутреннее сопротивление батареи г = 2 Ом.
Генератор постоянного тока с э. д. с 彳 =120 В и внутренним сопротивлением г = 0,5 Ом и аккумуляторная батарея с э. д. с.彳 о = 110 В соединены с внешним сопротивлением R。(рис. 123).
При каком наибольшем значении R。 ток через аккумуляторную батарею не проходит? Как работает батарея при сопротивлении R, большем или меньшем найденного значения?
Аккумуляторная батарея перед зарядкой имела э. д. с. & 1 = 90 В, после зарядки — э. д. с. ^2 = 100 В. Сила тока в начале
зарядки была равна /】=10 А. Какова была сила тока /2 в конце зарядки? Считать внутреннее сопротивление батареи во все время зарядки постоянным и равным г = 2 Ом. Напряжение, подаваемое зарядной станцией, постоянно.
§ 24. Тепловое действие тока. Мощность тока
Учащиеся, хорошо зная содержание закона Джоуля — Ленца, не всегда удачно выбирают нужную форму записи этого закона для решения конкретных задач. Например, при решении задачи 411 о скорости нагревания воды в электрическом чайнике с двумя обмотками учащиеся обычно не считаются с тем, что при всех способах включения обмоток напряжение на концах обмоток остается постоянным, и пытаются получить искомые результаты, применяя формулу Q = 0,24/?Rt вместо наиболее удобной Q = 0,24(К2/^)т.
При разборе задач настоящего параграфа рекомендуется обратить внимание на то, как используются особенности каждой электрической цепи для выбора наиболее удобной формы записи закона Джоуля — Ленца.
Следует также обратить внимание на различие в физическом смысле отдельных форм записи закона Джоуля — Ленца. Как известно, при прохождении тока работа, совершаемая силами электрического поля на данном участке цепи, определяется соотношением 4 =/Кт; количество же теплоты, выделяющейся на этом участке, определяется уравнением Q = RRt. Если внутри рассматриваемого участка цепи нет источника тока, то вся работа сил электрического поля расходуется на выделение джоулева тепла и оба соотношения дают одинаковые результаты. Если же внутри участка имеется источник тока, то часть работы сил электрического поля расходуется на преодоление э.д с. этих источников и указанные соотношения приводят к различным результатам.
Различие физического смысла выражений Л = /Кт и Q = PRt нередко ускользает от внимания учащихся, и у них возникают серьезные трудности при решении задач такого типа, как, например, задачи 409 и 410. Следует внимательно разобрать решения этих задач одновременно с повторением соответствующего материала из разделов учебника о работе сил электрического поля и тепловом действии тока.
Ряд задач настоящего параграфа (например, задачи 406 — 408, 416, 417 и др.) имеет целью обратить внимание учащихся на характер зависимости коэффициента полезного действия и полезной мощности источника тока от соотношения ме-
жду внешним сопротивлением цепи и внутренним сопротивлением источника. Некоторые учащиеся слабо представляют себе эту зависимость и не могут порой дать достаточно полных ответов на вопросы, связанные с определением наиболее выгодных режимов работы источника тока.
Э. X. Ленц в одном из опытов по исследованию теплового действия тока проводил нагревание массы m = 118 г спирта с помощью тока силой I = 15,35 единицы Ленца (см. задачу 366).
Через какое время т после начала нагревания температура спирта повышалась на АТ = 1 К? Сопротивление спирали R = =35,2 единицы Якоби (см. задачу 360). Удельная теплоемкость спирта с = 2,43 кДж/(кг • К). Потерями тепла пренебречь.
405・ По данным, полученным в предыдущей задаче, найти время т, необходимое для нагревания спирта на 1 К током силой /= 1 А при сопротивлении спирали R= 1 Ом.
Спираль нагревателя имеет сопротивление R。= 5 Ом и питается от источника тока с внутренним сопротивлением ，=20 Ом.
Каково должно быть сопротивление шунта R к нагревателю для того, чтобы количество теплоты, выделяющейся в нагревателе, уменьшилось в м = 9 раз?
Аккумуляторная батарея с з. д. с. 8 = 12 В и внутренним сопротивлением г = 0,8 Ом питает поочередно цепь с внешними сопротивлениями R] = 0,4 Ом,火2 = °,8 Ом и &з = 2 Ом.
Рассчитать для каждого из этих случаев полезную мощность, отдаваемую батареей, и к.п.д. батареи. Объяснить характер зависимости к.п.д. и полезной мощности от внешнего сопротивления цепи.
В конце своей статьи «Выделение тепла в проводниках» Э. X. Ленц ставил такую задачу: «Для накаливания проволоки определенного диаметра и длины / требуется цепь из п элементов. Сколько таких элементов нужно для накаливания проволоки того же диаметра, но длины р/?» Соединение элементов в обоих случаях производится последовательно.
Решить задачу Ленца.
Аккумулятор подключен к сети зарядной станции с напряжением Р=13 В. Внутреннее сотп)отивление аккумулятора г = 0,4 Ом, его остаточная э. д. с. е = И В.
Какую мощность Nq расходует станция на зарядку аккумулятора ? Какая часть этой мощности расходуется на нагревание аккумулятора?
Электромотор с сопротивлением R = 2 Ом приводится в движение от сети с напряжением V= 110 В. Мотор потребляет ток силой /= 10 А.
Какую мощность Лг0 потребляет мотор? Какая часть этой мощности превращается в механическую энергию ?
Электрический чайник имеет две обмотки. При включении одной из них вода в чайнике закипает через время, равное Ti = 15 мин, при включении другой — через время т2 = =30 мин.
Через какое время т закипит вода в чайнике, если включить обе обмотки: а) последовательно; б) параллельно?
По железной проволоке пропускается ток такой силы； что она заметно нагревается.
Почему при охлаждении одной части проволоки, например водой, другая часть начинает нагреваться сильнее, чем до охлаждения первой? Разность потенциалов на концах проволоки поддерживается постоянной.
Предохранитель из свинцовой проволоки с сечением Si =0,2 мм2 поставлен в сеть, проложенную медным проводом с поперечным сечением S? = 2 мм2. При коротком замыкании сила тока достигла значения / = 30 А. Удельная теплоемкость свинца с = 134 Дж/(кг • К), меди с? = 381 Дж/(кг • К). Удельное сопротивление свинца pi = 0,22 мкОм• м, меди р2 = =0,017 мкОм м. Плотность свинца у〔 = 11,3 • 103 кг/м3, меди 丁2 = 8,9 • 103 кг/м3. Температура плавления свинца равна гпл = 327 ℃. Температура медных проводов до замыкания г0 = =20 ℃.
Через какое время т после короткого замыкания начнет плавиться свинцовый предохранитель ? Насколько за это время нагреваются медные провода? Потерями тепла вследствие теплопроводности пренебречь.
В одном калориметре находится некоторая масса воды, в другом — такая же масса жидкости, удельную теплоемкость которой необходимо определить. В калориметры погружены одинаковые константановые проволоки, включенные последовательно в цепь с током. Удельная теплоемкость воды С = 4,2 кДж/(кг • К).
Какова удельная теплоемкость с2 жидкости, если через некоторое время после включения проволок температура воды поднялась на А% = 2,50 ℃, а жидкости — на At2 = 4,25 ℃?
Железная проволока имеет удельное сопротивление в два раза больше, чем медная.
В которой из проволок выделится большее количество теплоты при включении обеих проволок в цепь с постоянным напряжением: а) последовательно; б) параллельно?
К аккумулятору с внутренним сопротивлением 厂=2 Ом сначала подключена одна проволока с сопротивлением R = =2 Ом, затем параллельно — другая такая же проволока.
Во сколько раз изменится количество теплоты, выделяющейся в первой проволоке, после подключения второй?
Аккумулятор замыкается один раз на внешнее сопротивление Ri, другой раз — на внешнее сопротивление R2.
При каком внутреннем сопротивлении г аккумулятора количества теплоты, выделяющейся во внешней цепи, одинаковы в обоих случаях?
§ 25. Постоянные магниты. Магнитное поле тока
Большинство задач настоящего параграфа посвящено исследованию тех свойств и особенностей магнитного поля токов, которые связаны с замкнутостью линий индукции этого поля. Так как в задачах этого параграфа частично используется материал, несколько выходящий за рамки школьной программы, то рекомендуется разбирать задачи этого параграфа на занятиях школьных физических кружков.
Если магнитную стрелку, прикрепленную к пробке, пустить в воду, то под действием магнитного поля Земли стрелка повернется и встанет вдоль магнитного меридиана, но перемещаться к северу или к югу не будет. Если вблизи стрелки поместить полюс прямолинейного магнита, то стрелка под дей
ствием поля магнита не только повернется по направлению линий индукции магнитного поля, но и начнет двигаться в сторону магнита.
Каковы причины различного поведения стрелки в магнитных полях Земли и магнита?
Имеются два внешне одинаковых, достаточно длинных
бруска: один — из мягкого железа, другой — стальной магнит.
Рис. 124Рис. 124Как, наблюдая взаимодействие брусков при различном их расположений, определить, который из этих брусков является магнитом?
Рис. 124
Рис. 124
Имеется магнитная стрелка наклонения, укрепленная на горизонтальной оси и снабженная круговой шкалой (рис. 124).
Как можно с помощью такой стрелки определить направление магнитного меридиана?
К небольшому латунному диску на крючках подвешено несколько стальных иголок (рис. 125). Если снизу к иголкам медленно подносить полюс сильного магнита, то сначала иголки разойдутся, а затем, когда магнит приблизится почти вплотную, снова вернутся в вертикальное положение. При удалении магнита иголки снова разойдутся, образуя конусообразный пучок.
Объяснить причины такого поведения иголок.
Нарисовать картину распределения линий индукции магнитного поля, проходящих внутри канала намагниченной стальной трубки.
Определить положение и характер равновесия системы магнитных стрелок, расположенных в ряд на равных расстояниях друг от друга на одной прямой.
Сильный подковообразный магнит замкнут
Рис. 125 железнойРис. 125 железнойпластиной А (рис. 126). Пластина подобрана так, что магнит свободно удерживает ее. Если теперь прикоснуться сбоку к полюсам магнита пластиной 6, сделанной из мягкого железа, то
Рис. 125 железной
Рис. 125 железной
пластина А упадет. Если пластину В убрать, то магнит вновь сможет удержать пластину А.
Рис. 126Рис. 126Рис. 127Рис. 127Объяснить это явление.
Рис. 126
Рис. 126
Рис. 127
Рис. 127
Длинный стержень из мягкого железа закреплен в вертикальном положении. Если к верхнему концу стержня поднести полюс сильного магнита (рис. 127, а), то стержень намагнитится так сильно, что сможет удержать у своего нижнего конца несколько мелких железных предметов. Если тот же самый магнит приложить к стержню сбоку, вблизи нижнего конца (рис. 127,6), то такого сильного намагничивания не возникает
и те же самые предметы уже не удерживаются у нижнего конца
ближать такой же магнит?ближать такой же магнит?Рис. 128Рис. 129Рис. 128Рис. 129стержня.
ближать такой же магнит?
ближать такой же магнит?
Рис. 128Рис. 129
Рис. 128Рис. 129
Почему в этих двух случаях магнит действует по-разному?
Сильный магнит из сплава магнико может удерживать гирлянду, состоящую из нескольких цилиндров, сделанных из мягкого железа (рис. 128).
Что произойдет с цилиндрами, если снизу к гирлянде при- Магниты обращены друг к другу одноименными полюсами. Что произойдет с цилиндрами, если магниты будут обращены друг к другу разноименными полюсами?
427. Два одинаковых подковообразных магнита сложены друг с другом разноименными полюсами (рис. 129). На один из магнитов надета катушка, концы которой подключены к гальванометру. Если оторвать магниты друг от друга, то в момент отрыва стрелка гальванометра отклонится на некоторый угол. Если магниты соединить снова, то стрелка гальванометра даст отклонение, но уже в обратную сторону.
Объясните причины, вызывающие отклонение стрелки галь-
ванометра.
Специальный сплав пермалой способен заметно намагничиваться в магнитном поле Земли и не обладает
Рис. 130Рис. 130остаточным магнетизмом, т. е. является в магнитном отношении наиболее мягким материалом.
Рис. 130
Рис. 130
Как будет вести себя магнитная стрелка, укрепленная на вертикальной оси вблизи длинного стержня, сделанного из такого сплава, если: а) стержень расположен вертикально (рис. 130); б) стержень расположен в горизонтальной плоскости параллельно магнитному меридиану; в) стержень расположен в горизонтальной плоскости перпендикулярно к магнитному меридиану? Изменится ли поведение стрелки в этих случаях при переворачивании стержня?
Тонкий железный гвоздь подвешен на легкой несгораемой нити. Около гвоздя находится сильный электромагнит
(рис. 131). Между гвоздем и магнитом расположено пламя газовой горелки. При включении тока в обмотке электромагнита гвоздь отклоняется, попадает в пламя горелки и затем возвращается в исходное положение. Через некоторое время гвоздь снова начнет притягиваться к магниту.
Объяснить причины, вызывающие такое поведение гвоздя.
Рис. 131Рис. 131Рис. 132Рис. 132
Рис. 131
Рис. 131
Рис. 132
Рис. 132
Ф. Н. Шведов предложил модель двигателя следующей конструкции. К небольшой опорной втулке, насаженной на острие, прикрепляется 20—30 никелевых стерженьков подобно спицам каркаса дождевого зонта. Рядом с такой вертушкой располагается сильный электромагнит и газовая горелка с широким и сильным пламенем (рис. 132). При включении тока в обмотке электромагнита и зажигании горелки вертушка начинает равномерно вращаться в направлении, указанном на рисунке стрелкой.
Объяснить причины, вызывающие движение вертушки.
Нарисовать картину распределения линий индукции магнитного поля прямолинейного тока.
Известно, что ток силы /, протекающий по длинному прямолинейному проводу, создает магнитное поле с напряженностью Н = 1/2яг, где г — расстояние от точки поля до провода с током.
Найти напряженность Н магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии г = 5 см от провода, если сила тока / = 2 А.
Магнитное поле в некоторой точке А слагается из магнитного поля Земли, имеющего горизонтальную составляющую напряженности %=16 А/м, и магнитного поля прямолинейного тока силой /=5 А.
Как следует расположить провод с током относительно точки А, чтобы напряженность Н результирующего магнитного поля в этой точке была направлена по вертикали?
Провод с током расположен так, как это предусмотрено в задаче 433.
В каких точках пространства напряженность Н результирующего магнитного поля будет равна нулю, если вертикальная составляющая напряженности магнитного I поля Земли Нв = 40 А/м?
Вдоль бесконечной прямолинейной тон- 由 костенной трубы течет ток силы /. Ток распределен равномерно по всему сечению трубы.
Найти напряженность Н магнитного поля ，внутри трубы.
《436. Ток силы / течет вверх по внутреннему
проводу коаксиального кабеля и возвращается назад по внешней оболочке кабеля (рис. 133). ШГНайти напряженность Н магнитного поля в
точках, лежащих внутри кабеля.
Рис. 133437. В широком сосуде со слабым раство
ром серной кислоты плавает пробка с пропущенными сквозь нее двумя небольшими пластинками: медной и цинковой. Пластинки сверху замкнуты медной проволокой. Что будет происходить с такой пробкой, если к ней приблизить полюс сильного магнита?
В одном из опытов, обнаруживавших возникновение магнитных полей при любых перемещениях электрических за
рядов, некоторый заряд помещался на массивный диск, который затем приводился в быстрое вращение. Магнитное поле
Рис. 134Рис. 135Рис. 134Рис. 135помещенного на диск заряда обнаруживалось с помощью магнитной стрелки, расположенной над прибором (рис. 134).
Рис. 134Рис. 135
Рис. 134Рис. 135
Определить направление отклонения стрелки, если на диск помещен отрицательный заряд и диск вращается в указанном на рисунке направлении.
Для измерения силы тока иногда употребляют так на-
зываемыи тангенс-гальванометр (рис. 135), состоящий из маленькой магнитной стрелки, подвешенной на легкой нити в центре кольца с током. Пло
скость кольца располагают строго в плоскости магнитного меридиана. Радиус кольца R = 10 см. Горизонтальная составляющая напряженности земного магнитного поля Нг = 16 А/м.
На какой угол а повернется стрелка тангенс-гальванометра, если по кольцу пропустить ток силой /= 1 А?
По кольцу тангенс-гальванометра (рис. 135) пропускается ток такой силы /, что он создает в центре кольца на-
пряженность поля 忆=8 А/м. Кольцо при пропускании тока поворачивают вслед за стрелкой.
На какой угол а нужно повернуть кольцо, чтобы стрелка при равновесии лежала в плоскости кольца?
Известно, что напряженность магнитного поля внутри соленоида пропорциональна силе тока / и числу витков N] приходящихся на единицу длины соленоида, т. е. 〃=/」V〃, где N — полное число витков соленоида, /— его длина.
Найти напряженность магнитного поля Н внутри длинного соленоида, намотанного из проволоки диаметром /) = 0,5 мм, если по соленоиду пропускается ток силы /—2 А. Витки проволоки расположены на соленоиде плотно друг к другу.
§ 26. Сила, действующая в магнитном поле на проводник с током
Умея довольно хорошо применять правило левой руки для случая, когда направление тока перпендикулярно к направлению линий индукции магнитного поля, учащиеся с большим трудом могут использовать это правило для определения направления силы, действующей на проводник в случае, когда ток и линии индукции магнитного поля составляют друг с другом острые углы.
Еще большие трудности испытывают учащиеся при определении характера движения проводника в случае, когда на разных участках проводника линии индукции составляют разные утлы с направлением тока. Столь же трудным оказывается для
учащихся и учет влияния неоднородности поля на поведение проводника в простейших случаях. Все задачи настоящего па
раграфа посвящены рассмотрению этих случаев. При решении задач необходимо внимательно проследить порядок примене
ния правила левой руки для определения сил, действующих на отдельные элементы проводников в различных условиях.
Прямолинейный проводник с током расположен над полюсами подковообразного магнита (рис. 136). Проводник может свободно перемещаться во всех на
правлениях.Рнс. 136
Что будет происходить с проводником'
под воздействием поля магнита, если ток проходит в указанном на рисунке направлении?
Около сильного длинного магнита расположен гибкий свободный проводник.
Как расположится проводник, если по нему пропустить ток в направлении от северного к южному полюсу магнита?
По двум свободным, скрещивающимся под прямым углом прямолинейным проводникам пропускаются токи 八 и 厶 в указанных на рис. 137 направлениях.
Как за счет взаимодействия магнитных полей токов изменится расположение проводников относительно друг друга ?
Прямолинейный проводник с током 厶 проходит вдоль оси кругового проводника с током Ц (рис. 138).
С какой силой взаимодействуют токи?
Мягкая спиральная пружина свободно висит. Нижний конец пружины погружен в чашечку с ртутью. Пружина и чашечка подключены к источнику постоянного тока (рис. 139).
Что произойдет с пружиной при замыкании цепи?
Пучок положительно заряженных частиц влетает со скоростью и в однородное магнитное поле перпендикулярно
к линиям индукции В этого ПОЛЯ.
/По какой траектории движутся частицы в
' Zz таком магнитном поле?
.Z7^・f448. Возле бесконечного прямолинейного
С 刀 проводника с током 4 расположен подвиж- 厶ный однородный прямолинейный проводник
CD конечной длины так, что он лежит по
Рис. 140 одну сторону от проводника 4 в плоскости, проходящей через него (рис. 140).
Как будет перемещаться проводник С力,если по нему пропустить ток в указанном на рисунке направлении? Как будет перемещаться проводник CD, если в нем изменить направление тока на обратное?
Два круговых проводника с приблизительно одинаковыми диаметрами расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях так, как показано на рис. 141.
Что произойдет с проводниками, если по ним пропуститьЧто произойдет с проводниками, если по ним пропуститьтоки в указанных на рисунке направлениях?токи в указанных на рисунке направлениях?
Что произойдет с проводниками, если по ним пропустить
Что произойдет с проводниками, если по ним пропустить
токи в указанных на рисунке направлениях?
токи в указанных на рисунке направлениях?
ких подводящих проводах (рис. 142). К нему подносится полюс горизонтально расположенного магнита.
Что произойдет с кольцом ? Что произойдет с кольцом, если в нем изменить направление тока на обратное?
Медный диск укреплен на горизонтальной оси и помещен между полюсами сильного подковообразного магнита так, что северный полюс магнита расположен справа (рис. 143). Нижний край диска погружен в чашечку с ртутью. Ось диска и чашечка подключены к источнику постоянного тока.
Что произойдет с диском при замыкании цепи?
Вблизи бесконечного прямолинейного провода с током подвешена на нити легкая прямоугольная рамка (рис. 144).
Что произойдет с рамкой, если по ней пропустить ток в указанном на рисунке направлении?
Прямоугольная рамка с током расположена в однородном магнитном поле так, что ее ось ОО перпендикулярна к линиям индукции магнитного поля (рис. 145). Указать направление сил, действующих на стороны рамки ВС и AD. Как изменяются эти силы при изменении положения рамки во время вращения ?
§ 27. Электромагнитная индукция
Э. X. Ленц в своей работе «Об определении направления индукционных токов», в которой впервые изложено знаменитое правило Ленца, описал ряд опытов по определению направления индукционных токов. В частности, он рассмотрел случай возникновения индукционного тока в круговом проводнике при его повороте на 90° относительно другого кругового проводника с током (рис. 146).
Определить направление индукционного тока, возникающего в подвижном проводнике А при его повороте на 90° относительно проводника В в направлении, указанном стрелкой.
Рис. 146Рис. 147
Прямолинейный проводник CD конечной длины расположен перпендикулярно к бесконечному прямолинейному проводнику с током А (рис. 147). Проводник СР движется параллельно самому себе, вдоль линии тока в проводнике А.
Определить направление индукционного тока, возникающего в проводнике CD, если направление движения проводника CD совпадает с направлением тока в проводнике А. Как будет направлен индукционный ток, если проводник CD будет двигаться в противоположном направлении?
В одном из опытов Э. X. Ленца постоянный магнит располагался вдоль магнитного меридиана. Параллельно магниту располагался прямолинейный проводник. Магнит быстро поворачивался на 90°, один раз северным полюсом на восток, другой раз на запад.
Определить направления индукционных токов в случае, если проводник расположен: а) над магнитом; б) под магнитом.
Медный диск расположен между полюсами магнита так, как показано на рис. 143. В показанную на рисунке электрическую цепь вместо источника тока включен гальванометр.
Определить направления индукционных токов, возникающих при вращении диска: а) по часовой стрелке; б) против часовой стрелки.
Два параллельных прямолинейных проводника сближаются друг с другом. По одному из них проходит ток 厶.
Определить направление индукционного тока /2, возникающего в другом проводнике. Каково будет направление индукционного тока при удалении проводников?
Южный полюс магнита удаляется с некоторой скоростью, равной г, от металлического кольца, как показано на рис. 148.
Определить направление индукционного тока в кольце.
Небольшая проволочная прямоугольная рамка свободно падает в пространстве между широкими полюсами достаточно сильного электромагнита (рис. 149).
Определить направления индукционных токов, возникающих в рамке при прохождении осью рамки ОО положений А, 5 и С. Как будет двигаться рамка на этих участках?
Рис. 148Рис. 148Рис. 149Рис. 149
Рис. 148
Рис. 148
Рис. 149
Рис. 149
Небольшой маятник, состоящий из металлической
нити, шарика и острия, погруженного в чашечку с ртутью
(рис. 150), включен в электрическую цепь. Маятник помещен в пространство между широкими полюсами электромагнита и совершает колебания в плоскости, перпендикулярной к линиям индукции магнитного поля. Во время колебаний острие маятника остается погруженным в ртуть.
Как сказывается действие
магнитного поля на характерерис 150
колебаний маятника? Каковы
будут направления токов, возникающих в цепи маятника?
Медный провод, включенный в замкнутую цепь, окружен толстой железной оболочкой (рис. 151) и вносится вместе с ней в пространство между полюсами электромагнита. Желез-
97974 В. Г. Зубов, В. П. Шальнов
97
97
ная оболочка выполняет по отношению к проводу роль магнитной защиты.
Возникнет ли в проводе э.д.с. индукции?
Рис. 151Рис. 151Рис. 153Рис. 153
Рис. 151
Рис. 151
Рис. 153
Рис. 153
Самолет летит вдоль магнитного меридиана.
Одинаковы ли потенциалы концов крыльев самолета? Изменится ли разность потенциалов, если самолет полетит по какому-либо другому направлению с той же по модулю скоростью ?
Проволочная прямоугольная рамка вращается с постоянной скоростью и вокруг одной из своих сторон, параллельных расположенному рядом с рамкой прямолинейному проводу с током / (рис. 152).
При каких положениях в рамке возникает наибольшая и наименьшая э.д.с. индукции?
Два круговых проводника расположены перпендикулярно друг к другу, как показано на рис. 153.
Будет ли в проводнике А возникать индукционный ток при изменениях тока в контуре #?
IV. ОПТИКА
§ 28. Природа света
В настоящем параграфе приведен ряд задач на применение простейших соотношений волновой и квантовой оптики. При решении задач этого параграфа следует обратить внимание на то, как изменяются при переходе из одной среды в другую длина волны и скорость, характеризующие световую волну. В связи с непониманием характера этих изменений и недостаточно ясным пониманием их физической природы у учащихся нередко возникают затруднения в истолковании смысла соотношения c = /.v.
Рекомендуется решение задач этого параграфа вести с одновременным повторением материала по учебнику.
Известно, что скорость света с и длина световой волны /. связаны с частотой колебаний v соотношением c = ?.v.
Насколько изменится длина волны красного света при переходе из вакуума в стекло, если показатель преломления стекла *=1,5. а частота колебаний, соответствующая красному свету, v = 4・10i4 Гц?
Известно, что показатель преломления какого-либо вещества равен отношению скорости распространения света в вакууме к скорости распространения света в данной среде. Было найдено, что показатель преломления одного из сортов стекла для красного света п{ — 1,50, для фиолетового — и2= 1,54.
Найти скорости распространения с\ и с% этих лучей в стекле.
П. А. Черенков и С. И. Вавилов экспериментально обнаружили, что когда электрон движется в какой-либо среде с постоянной скоростью, превосходящей скорость распространения света в этой среде, то он начинает излучать свет.
До какой минимальной скорости и следует разогнать электрон, чтобы могло возникнуть такое излучение при движении электрона в среде с показателем преломления п= 1,5?
Объяснить причины появления радужных полос в тонких пленках нефти на поверхности воды.
Если тонкую мыльную пленку расположить вертикально, то горизонтальные интерференционные полосы будут с течением времени перемещаться вниз, одновременно несколько изменяя свою ширину. Через некоторое время в верхней части пленки возникнет быстро увеличивающееся черное пятно, и вскоре после этого пленка разорвется.
Объяснить причины, вызывающие движение полос, и происхождение черного пятна.
Как изменится картина колец Ньютона, если пространство между линзой и плоским стеклом заполнить жидкостью, показатель преломления которой больше показателя преломления линзы, но меньше показателя преломления пластинки?
В оптических приборах для уменьшения потерь света на отражение от поверхностей линз широко применяется метод «просветления оптики», разработанный И. В. Гребенщиковым, А. А. Лебедевым и А. Н. Терениным. В основе этого метода лежит следующее явление. Если поверхность стекла покрыть тонкой прозрачной пленкой, показатель преломления которой
меньше показателя преломления стекла и толщина которой равна четверти дппны волны падающего света, то интенсивность света, отраженного от такой пластинки, будет равна нулю, и весь свет будет проходить сквозь пластинку.
Почему при нанесении пленки поверхность стекла перестает отражать свет? Почему толщина пленки должна быть равна четверти длины волны падающего света? Почему показатель преломления пленки должен быть меньше показателя преломления стекла?
Световой поток представляет собой поток отдельных фотонов, или, иначе, квантов света. Каждый фотон несет с собой энергию Е = hv, где h = 6,63 • 10~34 Дж • с — постоянная Планка, а V — частота световой волны.
Найти энергию фотона, испускаемого желтым натриевым пламенем, если желтой линии натрия соответствует частота световой волны v = 5-1013 Гц.
При переходе электрона в атоме водорода с одного устойчивого уровня на другой произошло излучение фотона с частотой v = 4,57 • 1014 Гц.
Насколько изменилась энергия электрона в атоме за счет этого излучения?
П. Н. Лебедев в своих опытах непосредственно установил, что свет оказывает на тела, поглощающие лучи, давление с силой, которая численно равна потоку энер- угии солнечных лучей, деленному на скорость
света.
АС какой силой F давили бы солнечные
Iлучи на Землю, если бы они поглощались
一полностью всей поверхностью Земли? Плот
ность потока энергии солнечных лучей при нормальном падении на земную поверхность составляет q = 1,35 кДж/(с • м2).
В приборе П. Н. Лебедева измерялась 噜' сила светового давления на крылышки легко-
Iго подвеса, изображенного на рис. 154. Каж-
呼дое крылышко имело два кружка, один из
Рис. 154 которых был зачернен.
С какой силой F действовали на зачерненный кружок солнечные лучи в опытах Лебедева, если плотность потока энергии этих лучей составляла q = 1,05 кДж/(с- м2)? Диаметр кружка D = 5 мм. Считать, что световой поток полностью поглощался кружком.
Доказать, что сила давления, оказываемого светом на какое-либо тело, убывает пропорционально квадрату расстояния этого тела от Солнца.
§ 29. Фотометрия
Для чтения считается нормальной освещенность Е = =50 лк.
На какой высоте h над столом следует повесить лампу с силой света /=50 кд, чтобы обеспечить такую освещенность поверхности стола в точках, лежащих непосредственно под лампой?
Ширина кадрового окна в киноаппарате 〃=1,2 см, ширина экрана 3 = 2,4 м.
Во сколько раз освещенность экрана будет меньше освещенности кадрового окна в киноаппарате?
Какая освещенность £\ кадрового окна должна быть создана, если минимально допустимая освещенность экрана 殳=4 лк?
На столе стоит настольная лампа высотой 力=30 см. Сила света лампы /=25 кд.
Найти освещенность £ поверхности стола в точке, удаленной на расстояние а = б0 см от лампы.
На каком расстоянии / необходимо ставить столбы для уличных фонарей, чтобы освещенность поверхности земли в точке, лежащей посередине расстояния между столбами, была не менее £ = 0、27 лк? Высота столба 厶=12 м. Сила света лампы / = 300 кд. Считать, что заметную освещенность создают только два ближайших фонаря.
Во время монтажных работ в туннеле метро укрепили электрический светильник в самой верхней точке А свода (рис. 155).
Каково отношение освещенностей, создаваемых светильником в самой ниж
ней точке В свода и в точке С свода,Рис. 155
лежащей на средней линии поперечного сечения туннеля? Силу света светильника считать по всем направлениям одинаковой.
В школьном узкопленочном киноаппарате стоит лампа с силой света /=400 кд.
Какую освещенность Е создает киноаппарат на экране площадью S = 3 м2, если на экран попадает только 0,3 % светового потока, даваемого лампой?
Три точечных источника света расположены в вершинах равностороннего треугольника. В центре треугольника, перпендикулярно к его плоскости и параллельно одной из его сторон, расположена маленькая пластинка (рис. 156). Сила
Ж света каждого источника равна /, длина сторо- / I \ ны треугольника равна /.
%、IКакова освещенность Е этой пластинки?
Некоторый предмет при неизменных ус- ловиях освещения фотографируют один раз с Рис 156 большого расстояния, другой раз с малого. 'Как будут отличаться друг от друга освещен
ности пластинки в фотоаппарате в этих двух случаях? В каком случае придется делать большую выдержку при фотографировании?
Лампа на единицу силы света потребляет мощность ^ = 0,5 Вт/кд. Сила света лампы /=100 кд.
Каков к.п.д. т| этой лампы, если механический эквивалент света К = 1,61 • 10~ 3 Вт/лм ? Найти поток световой энергии Q, посылаемый лампой.
Плотность потока энергии солнечных лучей при нормальном падении на земную поверхность составляет % = 1,35 кДж/(с • м2).
Найти поток энергии солнечных луне访，получаемый всей поверхностью Земли. Какую долю этот поток составляет от всего потока энергии светового излучения Солнца ? Какая планета получает от Солнца больше энергии — Земля или Юпитер? Радиус Земли & = 6,4・ 106 м, радиус & Юпитера в 11,14 раз больше. Расстояние от Земли до Солнца гг = 1,5 • 1011 м, расстояние 尸2 от Юпитера до Солнца в 5,20 раза больше.
§ 30. Закон прямолинейного распространения света. Закон отражения света
В §§ 30 — 33 наряду с задачами на расчет положения и размера изображений, даваемых различными оптическими системами, помещено большое число задач на определение условий, при которых наблюдатель может видеть эти изображения.
Введение этих задач связано с тем, что развитие ясных представлений о том, какой смысл придается в геометрической оптике вспомогательным лучам, используемым при построении изображений, и как следует действовать при определении лучей, действительно участвующих в образовании этих изображений, имеет очень важное значение. Отсутствие таких представлений может создать большие затруднения в решении, например, таких задач, как построение изображения предмета, находящегося в стороне от плоского зеркала, построение изображения большого предмета в маленькой линзе или в линзе, наполовину закрытой непрозрачным экраном, определение положения глаза наблюдателя для одновременного рассматрива-
ния нескольких изображений, даваемых оптическими системами.
В §§ 31 — 33 следует обратить внимание на правила графического определения точки пересечения лучей сходящегося пучка после прохождения оптической системы (см., например, задачи 535 — 537). При решении задач необходимо проследить особенности применения формул сферического зеркала и тонкой линзы для расчета положения изображений, даваемых системами для случая- сходящихся пучков.
Рекомендуется задачи §§ 30 — 33 решать в той последовательности, в какой они здесь даны, так как во многих из них используются результаты, полученные в предыдущих задачах.
Как следует расположить точечный источник света, плоский предмет и экран, чтобы контур тени на экране был подобен контуру предмета?
Электрическая лампа помещена в матовый стеклянный шар радиусом 尸［ = 20 см и подвешена на высоте 小=5 м над полом. Под лампой на высоте /ъ— 1 м от пола держат мяч радиусом 〃=10 см.
Найти размеры тени и полутени, даваемых мячом. На какой высоте следует поместить мяч, чтобы тень на полу исчезла? Каковы при этом будут размеры полутени? Каков должен быть диаметр мяча, чтобы размеры его тени были одинаковы при любых расстояниях мяча от пола?
Для сравнения силы света двух источников применяют следующий способ. Перед полупрозрачным экраном АВ помещают толстый стержень и на некоторых расстояниях от него точечные источники света S】и S2 (рис. 157). Источники располагают так, чтобы полутени АО и ОВ были одинаковой яркости.
дут наблюдаться при перемещениях источников по другим направлениям?дут наблюдаться при перемещениях источников по другим направлениям?Рис. 158Рис. 158По каким направлениям следует перемещать источники, чтобы полутени все время соприкасались? Какие картины бу
дут наблюдаться при перемещениях источников по другим направлениям?
дут наблюдаться при перемещениях источников по другим направлениям?
Рис. 158
Рис. 158
Рис. 157
Изображение предмета получают с помощью камеры с маленьким отверстием В (рис. 158). Глубина камеры АВ = 20 см. Расстояние от предмета до отверстия ВС = 20 см. Диаметр отверстия d— 1 мм.
Можно ли при таких условиях различить на изображении детали предмета размером меньше 2 мм?
Какую форму будет иметь световой «зайчик», если размеры зеркала малы, а размеры источника света велики?
М. В. Ломоносов в одной из своих записей поставил такой вопрос. «Любой цвет от смачивания водой делается гуще. Почему? Надо подумать». Действительно, цвет поверхностей тел, способных пропитываться водой, становится более сочным и ярким после смачивания.
Объяснить это явление.
Одним из выражений закона прямолинейного распространения света является принцип Ферма, утверждающий, что свет всегда распространяется по наикратчайшим путям. Свет исходит из источника 5, отражается от зеркала и приходит в точку Sf (рис. 159).
Доказать, что путь SOS', определенный по закону отражения, является наименьшим из всех возможных путей луча.
Перед зеркалом воткнуты две булавки А и В, расположенные так, как показано на рис. 160.
Какое расположение изображений этих булавок увидит наблюдатель при различных положениях глаза ? Как он должен расположить глаз, чтобы изображения булавок накладывались друг на друга?
Предмет АВ и зеркало CD расположены так, как показано на рис. 161.
Построить изображение этого предмета в зеркале. Где следует расположить глаз, чтобы увидеть изображение всего предмета?
Перед зеркалом поставлена настольная лампа.
Насколько изменится расстояние а между лампой н ее изображением, если зеркало отодвинуть от лампы на х=5 см?
Человек стоит перед зеркалом и смотрит в него одним глазом.
В каком месте следует закрыть зеркало, чтобы не было видно изображения второго глаза?
На горизонтальном столе лежит шар.
Под каким углом а к плоскости стола нужно установить зеркало, чтобы при движении шара к зеркалу изображение шара двигалось по вертикали?
На зеркало падает световой луч. Зеркало поворачивают на 1э около оси, лежащей в плоскости зеркала, перпендикулярной к лучу.
На какой угол сх при этом повернется отраженный луч? На какое расстояние х переместится световой «зайчик» на экране, расположенном перпендикулярно к отраженному лучу на расстоянии /=5 м от зеркала?
На стене висит зеркало высотой 力1=1 м. Человек стоит на расстоянии 〃i = 2 м от зеркала.
Какова высота h2 участка противоположной стены комнаты, который может видеть в зеркале человек, не изменяя положения головы? Стена находится на расстоянии 々2 = 4 м от зеркала.
Определить графически, при каких положениях глаза наблюдатель может видеть в плоском зеркале конечных размеров одновременно изображение точки А и предмета ВС. расположенных относительно зеркала так, как показано на рис. 162.
Решая задачу об увеличении зажигательной силы линз, М. В. Ломоносов сконструировал прибор, изображенный на рис. 163 (力 1,力2,力3,力4 — плоские зеркала; 5】，В2, З3, З4, В5 — собирающие линзы).
Определить углы, под которыми должны быть расположены зеркала, и такие наименьшие размеры этих зеркал, при которых будет обеспечено равенство световых потоков, приходящих на каждую из линз. Диаметр линз равен d. Оптические
осп линз В】，В?、В，84 составляют с направлением первичного пучка углы ±45'.
Точечный источник света и два его изображения, даваемые двумя зеркалами, лежат в вершинах равностороннего треугольника.
Определить расположение зеркал относительно источника и угол между ними.
Доказать, что точечный источник и два его изображения, даваемые двумя зеркалами, расположенными под углом
刁〃〃〃/〃〃力/〃〃"/
Рис. 164
а друг к другу (рис. 164), лежат на окружности. Найти положение центра этой окружности. Где следует расположить глаз наблюдателя, чтобы одновременно видеть оба изображения, даваемых зеркалами?
§ 31. Сферические зеркала
Доказать, что для сферических зеркал произведение расстояний р и ^ от предмета и изображения до фокуса зеркала равно квадрату фокусного расстояния / зеркала.
Найти фокусное расстояние / вогнутого зеркала, если р = =16 см, q = 100 см.
Доказать, что отношение высоты изображения, даваемого вогнутым зеркалом, к высоте предмета равно отношению расстояний от них до зеркала.
Предмет находится на расстоянии 〃i = l м от вогнутого зеркала. Высота его изображения в три раза меньше высоты предмета.
Найти положение изображения, радиус кривизны R и фокусное расстояние / зеркала.
Высота изображения, даваемого вогнутым зеркалом, в четыре раза меньше высоты предмета. Если предмет передвинуть на расстояние d=5 см ближе к зеркалу, то изображение будет меньше предмета только в два раза.
Найти фокусное расстояние / зеркала.
Фокусное расстояние вогнутого зеркала равно 工 расстояние от предмета до фокуса зеркала равно р.
Найти отношение высоты изображения к высоте предмета.
В зеркальном гальванометре для отсчета углов поворота на нити подвешивают небольшое вогнутое зеркало
(рис. 165). На расстоянии / = 1 м от зеркала помещают шкалу АА и непосредственно под ней — осветитель S.
Каким должно быть фокусное расстояние / зеркала, чтобы на шкале получилось действительное изображение отверстия осветителя? На какое расстояние d переместится изображение по шкале, если зеркало повернется на малый угол ср?
Рис. 165 Рис. 166Рис. 165 Рис. 166
Рис. 165 Рис. 166
Рис. 165 Рис. 166
Вогнутое зеркало дает действительное изображение точечного источника S, расположенного на оптической оси на расстоянии 〃1 = 50 см от зеркала. Фокусное расстояние зеркала /=25 см. Зеркало разрезают пополам и его половинки отодвигают друг от друга до расстояния d】=1 см в направлении, перпендикулярном к оптической оси (рис. 166).
Как расположены изображения, даваемые половинками зеркала?
Перед выпуклым зеркалом на расстоянии а = 5 см от него помещена плоская тонкая стеклянная пластинка. Фокусное расстояние зеркала /=20 см.
На каком расстоянии b от пластинки следует поместить точечный источник света S (рис. 167), чтобы его изображение, даваемое лучами, отраженными от передней поверхности пластинки, совпало с изображением, даваемым лучами, отраженными от зеркала? Как можно установить совпадение изображений непосредственным наблюдением?
Для грубого определения фокусного расстояния вогнутого зеркала перед зеркалом на расстоянии d помещают иглу
Л (рис. 168), затем на расстоянии а от вогнутого зеркала ставят плоское зеркало Р и на расстоянии b от него — помещают вторую иглу В. Передвигая плоское зеркало, можно добиться совпадения мнимых изображений А и В обеих игл. даваемых
вогнутым и плоским зеркалами.
Зная значения 〃， b и & соответствующие совпадению изображений, найти фокусное расстояние / зеркала. Можно ли одновременно наблюдать глазом эти
'Аизображения?
N0м 515. Перед выпуклым зеркалом
0 а рй 方 I на расстоянии а = 5 см от него поме- АN щен экран Р (рис. 169). На расстоя-
§нии b = 5 см от экрана находится
Упредмет MN высотой h = 3 см.
”При каких положениях глаза на-
Рис. 169блюдатель увидит изображение всего
предмета? Каковы наибольшая высота %ах предмета (при заданном расположении предмета, зеркала и экрана), при которых зеркало будет давать изображение всего предмета? Диаметр зеркала d = 10 см.
На каком расстоянии ах от лица нужно держать выпуклое зеркало диаметром d— 5 см, чтобы видеть изображение всего лица? Фокусное расстояние зеркала /=7,5 см, длина лица 4 = 20 см.
Внутренняя поверхность стенок шара зеркальна. Радиус шара & = 36 см. На расстоянии R/2 от центра шара помещен точечный источник S, посылающий свет к дальней стенке
шара.
Где находится изображение источника, возникающее после двух отражений — от дальней и ближней стенок шара? Где находится изображение, если источник посылает свет к ближней стенке шара?
На расстоянии 々1 = 60 см от вогнутого зеркала на оптической оси помещен точечный источник света S. Радиус кривизны зеркала & = 80 см.
На каком расстоянии а от вогнутого зеркала нужно поставить плоское зеркало, чтобы лучи после отражения от вогнутого и затем от плоского зеркал снова собрались в точке S? Изменится ли положение точки встречи лучей, если они сначала будут отражаться от плоского зеркала?
Выпуклое и вогнутое зеркала с одинаковыми радиусами кривизны R расположены на расстоянии 2R друг от друга.
В какой точке оптической оси зеркал нужно поставить точечный источник света S, чтобы лучи после отражения от вы-
пуклого и затем от вогнутого зеркал снова собрались в точке S? Где встретятся лучи, если они сначала будут отражаться от вогнутого зеркала ?
§ 32. Преломление света на плоской границе
На стеклянную пластинку с показателем преломления л= 1,5 падает луч света.
Каков угол падения i луча, если угол между отраженным и преломленным лучами равен 90° ?
В дно озера вбита свая высотой 〃=4 м, выступающая из воды на h— 1 м.
Найти длину L тени сваи на дне озера, если лучи Солнца падают на поверхность воды под углом 2=45°. Показатель преломления воды 〃=1,33.
Пловец, нырнувший с открытыми глазами, рассматривает из-под воды светящийся предмет, находящийся над его головой на расстоянии /г = 75 см от поверхности воды.
Каково будет кажущееся расстояние от поверхности воды до предмета? Показатель преломления воды 〃 = 4/3.
На расстоянии А от поверхности воды расположен точечный источник света.
Где будет находиться изображение этого источника, даваемое плоским зеркальным дном сосуда, если глубина сосуда с водой равна d? Показатель преломления воды 〃 = 4/3.
Каково будет кажущееся расстояние 力 от поверхности воды до изображения, даваемого в задаче 523 зеркальным дном сосуда, если наблюдатель находится в воздухе и смотрит на изображение по вертикали сверху вниз?
У призмы с преломляющим углом 0 = 30° одна грань посеребрена. Луч, падающий на другую грань под углом i=45°, после преломления и после отражения от посеребренной грани вернулся назад по прежнему направлению.
Найти показатель преломления п материала призмы.
На дне сосуда глубиной d=40 см, наполненного водой, лежит монета.
На какой высоте h от поверхности воды следует поместить небольшую электрическую лампочку, чтобы ее изображение, даваемое лучами, отраженными от поверхности воды, совпадало с изображением монеты, даваемым преломленными лучами? Как можно непосредственным наблюдением по вертикали установить совпадение изображений лампочки и монеты?
Главное сечение призмы — равносторонний треугольник. Луч падает на призму перпендикулярно к одной из ее граней.
Каков будет ход этого луча при различных значениях показателя преломления материала призмы?
При фотографировании ярких источников света на толстых фотопластинках вокруг изображений источников возникают ореолы, внутренняя граница которых резкая, а внешняя —размыта.
Объяснить происхождение и характер ореолов. Найти показатель преломления п стекла пластинки, если ее толщина d=3,74 мм, а радиус резкой границы ореола вокруг изображения точечного источника а = 4,48 мм.
У прямоугольной равнобедренной призмы посеребрены грани-катеты.
Доказать, что лучи, падающие под произвольным углом на грань-гипотенузу, будут выходить из призмы параллельно первоначальному направлению.
М. В. Ломоносов в своих заметках приводит такие наблюдения. «Толченое стекло не прозрачно. Мокрая бумага более прозрачна».
Объяснить эти явления.
§ 33. Тонкие линзы. Оптические системы
Угловой диаметр солнечного диска при наблюдении с Земли(р = 32\
Найти диаметр d изображения Солнца, даваемого собирающей линзой с фокусным расстоянием /=25 см.
Где следовало бы расположить предмет, чтобы собирающая линза дала прямое изображение его в натуральную величину?
На собирающую линзу падает узкий луч света, проходящий через отверстие 4 в экране (рис. 170).
Построить ход луча за линзой. Положения фокусов линзы известны.
Через круглое отверстие в экране проходит сходящийся пучок лучей (рис. 171). Лучи пересекаются в точке Л, лежащей на расстоянии 〃i = 15 см от экрана.
Как изменится расстояние от точки встречи лучей до экрана, если в отверстие вставить собирающую линзу с фокусным расстоянием /= 30 см? Построить ход лучей после установки линзы.
На рассеивающую линзу падает сходящийся пучок лучей. После прохождения линзы лучи пересекаются в точке А, лежащей на расстоянии а】=15 см от линзы. Если линзу убрать, то точка встречи лучей переместится на d = 5 см ближе к оправе, в которой находилась линза.
Найти фокусное расстояние / линзы.
Лучи сходящегося пучка встречаются в точке А. На их пути ставится рассеивающая линза (рис. 172).
Найти положение точки 力'встречи лучей после прохождения линзы. Положения фокусов линзы известны.
При каких положениях глаза и при каком удалении точечного источника от собирающей линзы наблюдатель может одновременно видеть источник, лежащий на оптической оси линзы, и его изображение, даваемое линзой? Фокусное расстояние и диаметр линзы равны / и d.
Фокусное расстояние собирающей линзы /= 10 см, расстояние от предмета до переднего фокуса р = 5 см. Высота предмета 力=2 см.
Найти высоту 〃' изображения.
С помощью собирающей линзы получают на экране изображение светлого квадрата. Расстояние от квадрата до линзы 〃1 = 30 см. Площадь изображения в четыре раза больше площади квадрата.
Найти положение изображения и фокусное расстояние / линзы.
С самолета, летящего на высоте 厶1 = 2000 м, производится фотографирование местности с помощью аппарата, имеющего фокусное расстояние /=50 см.
Каков будет масштаб полученных снимков ? Как изменится масштаб, если самолет снизится до высоты А2= 1000 м?
Размер пленки в фотоаппарате предыдущей задачи 18 х 18 см2.
Какая площадь может быть заснята таким фотоаппаратом одновременно?
Собирающая линза дает на экране изображение лампы, увеличенное в два раза. Когда линзу подвинули на d=36 см ближе к экрану, то она дала изображение вдвое уменьшенное.
Найти фокусное расстояние / линзы.
Каков наименьший размер а деталей предмета, которые человек может видеть раздельно невооруженным глазом на расстоянии / = 2 км? Наименьший угол зрения глаза <р = 1.
Собирающая линза положена на плоское зеркало.
Где нужно поместить точечный источник света, чтобы изображение его, даваемое этой системой, было действительным и совпадало с самим источником?
Оптическая система состоит из собирающей линзы с фокусным расстоянием /=30 см и плоского зеркала, находящегося за линзой на расстоянии 6=15 см от нее.
Найти положение изображения, даваемого этой системой, если предмет находится перед линзой на расстоянии 〃i = 15 см от нее. Построить ход лучей.
Оптическая система состоит из собирающей линзы и плоского зеркала, расположенного в фокальной плоскости линзы. Предмет находится перед линзой — между фокусом и двойным фокусным расстоянием линзы.
Найти положение изображения, даваемого этой системой.
Оптическая система состоит из собирающей линзы с фокусным расстоянием 力=20 см и вогнутого зеркала с фокусным расстоянием 力=10 см. Расстояние от предмета до линзы 〃i = 40 см, от линзы до зеркала 6 = 30 см.
Найти положение изображения, даваемого этой системой. Построить ход лучей.
Собирающая и рассеивающая линзы с фокусными расстояниями/ 1 = 30 и/? = 10 см расположены на расстоянии b = =20 см друг от друга.
Где следует поместить источник света, чтобы эта система давала пучок параллельных лучей ?
Оптическая система состоит из двух собирающих линз с фокусными расстояниями 力=9 см и 力=15 см. Вторая линза находится в фокальной плоскости первой линзы. Предмет находится на расстоянии а】 = 36 см от первой линзы.
Найти положение изображения, даваемого этой системой. Вычислить расстояние а2 от изображения до второй линзы.
Плоскопараллельную пластинку разрезали, после чего получившиеся линзы немного раздвинули (рис. 173).
Как изменится пучок параллельных лучей после
Рис. 173Рис. 173прохождения этой системы, если он падает: а) со стороны плоско-выпуклой линзы; б) со стороны плоско-вогнутой линзы? Как зависит поведение пучка от расстояния между линзами?
Рис. 173
Рис. 173
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
МЕХАНИКА
Прямолинейное равномерное движение
Время распространения звука до зрителя ti = s^/d. Время распространения радиоволн до радиослушателя f2 = Sz/c. Если радиослу-
Рис. 174Рис. 174шатель и зритель слышат звуки одновременно, то ti = f2 и Si/u = s2/c, или
Рис. 174
Рис. 174
S] = s2v/c = 8,5 м.
S4 = S3 — s2v/c = 21,5 м.
См. рис. 174. Автомобили встретятся через время t = 2,5 ч на расстоянии s = 150 км от пункта А.
ния автомобилей из пунктания автомобилей из пунктаСм. рис. 175. Допустим, что пассажир выехал из пункта В через время £ = 60 мин после начала движе- А. Г рафик движения автомобиля с пас
ния автомобилей из пункта
ния автомобилей из пункта
сажиром изображен прямой ВС. Прямые 2, 3, 4 и т. д. изображают
графики движения автомобилей, вышедших из пункта 4 за 50, 40, 30 и т. д. минут до выезда пассажира. Прямые 8, 9, 70 и т. д. изобра-
/ 10 20 30 40 50 60 70 Q0 90 100 伙7120/ 10 20 30 40 50 60 70 Q0 90 100 伙7120Рис. 175Рис. 175
/ 10 20 30 40 50 60 70 Q0 90 100 伙7120
/ 10 20 30 40 50 60 70 Q0 90 100 伙7120
Рис. 175
Рис. 175
жают графики движения автомобилей, вышедших из пункта А через 10, 20, 30 и т. д. минут после выезда пассажира. Очевидно, что число автомобилей, встречаемых пассажиром в пути, будет равно числу точек пересечения этих графиков с прямой ВС, т. е. 11.
Так как скорость света с во много раз больше скорости зв)ка и в воздухе, то можно считать tt равным времени полета снаряда,
а г? — сумме времен полета снаряда и распространения звука от места разрыва снаряда до орудия. Поэтому время распространения звука будет £? 一 J а дальность полета снаряда s — v(t2 — tj = 510 м. Скорость полета снаряда “ = s/j = v(t2— t^/t^ = 850 м/с.
Встречный поезд по отношению к пассажиру будет двигаться со скоростью и = U] + г2. При этом движении путь, равный своей длине, встречный поезд пройдет за время г = //(г1 + и2) = 6 с.
Если V — скорость электропоезда относительно земли, то скорость его движения относительно встречного поезда будет 2b и может быть выражена через длину / и время £ прохождения встречного состава, т. е. 2d = 〃£, где / =人 + 10/2 + 10/3; отсюда г =(厶 + 10/2 + 10/3)/2t = =36 км/ч.
Времена движения катера по реке против течения и по течению
fi = s/(v — w) = 10 мин,£2 = s/(b + 〃)= 6 мин.
Полное время движения по реке (туда и обратно)
£ =厶 + 才2 = 2sr/(r2 - I?) = 16 мин.
Время движения туда и обратно по озеру
t' = 2s/d = 15 мин.
Отношение времен движения
〃广=v2/(v2 — J) = 1,07.
На рис. 176 представлены графики движений: / - движение по реке, // — движение по озеру; г и г* — времена движения в этих условиях.
При движении против течения и по течению катер относительно воды пройдет пути
VV
S[ = U, ] =S, $2 = Vt 2 =S
V — иD + 〃
(см. решение задачи 7). Полный путь, пройденный катером относитель
но воды,
Уравнения движения для трех указанных случаев:
S = %G，S = U2t2，S = (%+l；2)£,
где s — длина эскалатора, i?i — скорость эскалатора, г2 — скорость дви-жения пассажира по неподвижному эскалатору, г — искомое время
подъема движущегося пассажира по движущемуся эскалатору. Решая эту систему уравнений относительно г, получим
t = 32/(% + ⑴=45 с.
Уравнения движения катера из пункта .4 в пункт В и обратно:
s = e + 〃)L, s = (г - u)t2,
где V — скорость катера относительно воды, и — скорость течения реки, s — расстояние между пунктами Л и В. Уравнение движения катера при
выключенном моторе:
5 = lit.
Решая эту систему уравнений относительно г, получим t = 2厶才2//«2 L)= 12 u.
t = IsvKy1 — i/2) = 6 ч 15 мин (см. решение задачи 7).
Скорость течения реки одинаково влияет на движение обоих катеров и круга и не может изменить их взаимного расположения, поэтому ее можно не учитывать и рассматривать движение катеров и
круга только относительно воды.
Пути, пройденные катерами относительно воды за время t до момента поворота: sx = vYt, s2 = г2г. Возвращаясь к кругу с прежними
скоростями и】и г2, катеры должны затратить на преодоление расстояний S] и s2 до круга то же самое время, которое они затратили, уходя от него, т. е. они встретят круг одновременно.
Капля движется относительно трубы в вертикальном напра
влении со скоростью 0HB горизонтальном — со скоростью w, напра
вленной в сторону, противоположную движению тележки. Полная ско
рость капли w относительно трубы равна векторной сумме скоростей
177). Для того177). Для того— и И V (рис.— и И V (рис.Рис. 177Рис. 177чтобы капли двигались параллельно стенкам трубы, необходимо, чтобы направление полной скорости капли w совпадало с осью трубы. Это будет, если
177). Для того
177). Для того
— и И V (рис.
— и И V (рис.
Рис. 177
Рис. 177
tg х = v/u = 3, 7 = 7Г35\
Направление флюгера будет совпадать с направлением полной скорости движения воздуха относительно буера. Так как сам буер движется
со скоростью и, то полная скорость
tv движенияtv движениявоздуха относительно него равна векторной сумме
tv движения
tv движения
скоростей —и и V (рис. 178). Скорость w будет составлять с направлением движения буера угол а, такой, что
tg а = и/〃 = 2, а = 63° 26'.
Угол между плоскостью паруса и флюгером
В = а-(р = 63°26'- 45° = 18。26'.
Движение лодки в обоих случаях складывается из движения ее относительно воды и движения ее вместе с водой относительно
Рис. 179Рис. 180Рис. 181
берегов. В первом случае (рис. 179) лодка движется вдоль реки со скоростью 〃 и за время переправы проходит по течению путь
L = %.(1X
Движение поперек реки она совершает со скоростью и и проходит путь
G = 2*1 •(2)
Во втором случае (рис. 180) скорость движения лодки вдоль реки равна нулк>, т. е.
&sina = 〃.(3)
Скорость движения поперек реки равна и cos а, и за время переправы лодка проходит путь
/2 = (rcosa)f2.(4)
Решая систему уравнений (1) - (4), получим
/ =才2$/]/^ —仆=200 м, V = l/tr = 20 м/мин,и = s/q = 12 м/мин, а = arcsin (u/г) = 36。50'.
Так же как и в предыдущей задаче, следует разложить скорость течения реки и скорость катера на составляющие вдоль прямой АВ и перпендикулярно к ней (рис. 181). Для того чтобы катер при движении находился все время на прямой 4В, необходимо, чтобы составляющие скорости течения и катера в направлении, перпендикулярном к прямой 4В, были равны друг другу, т. е.
и sin В = 〃 sin а.(1)
При движении катера из пункта 4 в пункт В его скорость относитель-
но берегов равна г cos р + u cos а, а время движения определится из уравнения
s = (г cos Р + u cos a) fr(2)
Время движения из пункта В в пункт 4 (рисч 182) определится из уравнения
s = (г cos р — u cos а) г2.(3)
По условию
⑷⑷sin аv = и七 8 м/с.sin рsin аv = и七 8 м/с.sin рL + f2 = t・
⑷
⑷
sin а
v = и七 8 м/с.sin р
sin а
v = и七 8 м/с.sin р
Решая систему уравнений (1)-(4), найдем
s ++ (ucos а)% 2
В = arcctg一； X 12°,
(w sin а) £
Все точки обода колеса совершают одновременно два движения: поступательное (вместе с велосипедом) и вращательное (вокруг
оси колеса). Полная скорость каждой точки будет суммой линейных скоростей поступательного и вращательного движений. Если колесо велосипеда катится без скольжения, то линейная скорость вращательного движения обода колеса будет по модулю равна скорости поступательного движения велосипеда. В точке 4 эти скорости направлены в противоположные стороны (рис. 183). Полная скорость точки 4 поэтому будет равна нулю. В точке / скорости поступательного и вращательного движений направлены в одну сторону и полная скорость точки В будет равна 2и = 40 км/ч.
Перемещение конца нити обусловлено перемещением оси катушки и изменением длины нити за счет сматывания (или наматывания) нити с катушки во время движения. Нетрудно убедиться, что перемещения конца нити, вызываемые этими двумя причинами, всегда будут направлены в разные стороны. Если, например, катушка движется вправо, то вследствие перемещения оси катушки конец нити будет двигаться вправо, а за счет наматывания нити — влево.
Так как г < К, то изменение длины нити за один полный оборот всегда меньше перемещения оси катушки за то же время. В результате 118
сложения этих движений конец нити должен будет всегда перемещаться в ту сторону, в которую движется ось катушки. За время полного оборота Т ось катушки переместится вправо на расстояние 2лЯ, а длина нити уменьшится на 2兀几 Если скорость оси u = 2nR/7^ то скорость уменьшения длины нити равна
2aг 2лКг
=~~=——〃.
TR TR
Скорость движения конца нити равна разности этих скоростей:
гR
V — ии; отсюда w =г.RR - г
Ось катушки перемещается быстрее конца нити.
Катушка перемещается в сторону движения конца нити со ско
ростью w =V (см. решение задачи 18). Ось катушки перемещает-
R + г
ся медленнее конца нити.
Скорости движения каждого из тел относительно другого в первом и втором случаях:
〃 =% + 1；2，"' = Ь[ — %(1)
Решая систему уравнений (1), имеем
力=(〃 + 館)/2, % = (〃 - 〃')/2.
Скорости и и 〃‘ определяются по условиям задачи из соотношений и = s/t, 〃' = s'/t'. Окончательно получаем % = 1,1 м/с,也=0,5 м/с.
Прямолинейное равнопеременное движение
% = (3si - s2)/2f = 1 м/с; а = ($2 - sj/产=2,5 м/с2.
g х 9,73 м/с2. Указание. Следует вычислить значение g для каждого из путей.
Расстояние четвертой капли до крыши h/16 = 1 м; расстояние между четвертой и третьей каплями 36/16 = 3 м; между третьей и второй - 56/16 = 5 м; между второй и первой - 76/16 = 7 м.
s = 27 м; ь = 9 м/с.
Движение до точки В — равнозамедленное, после точки В — равноускоренное. В момент времени, соответствующий точке В, тело останавливается и направление его скорости изменяется на обратное. Начальная скорость % = 7 м/с, ускорение а % 0,64 м/с2. Уравнение пути: s - 7t - 0,32产.
h = 14,7 м.
Если время падения первого тела равно £, то время падения второго тела равно £ - т, н уравнения движения обоих тел примут вид
儿=02/2, h2 =g(t-T)2/2;
отсюдаотсюда界2h = h1 -h2= gtT - т.界2h = h1 -h2= gtT - т.hт=1.界2hт=1.界2
отсюда
отсюда
界2
h = h1 -h2= gtT - т.
界2
h = h1 -h2= gtT - т.
hт
=1.
界2
hт
=1.
界2
I. Уравнения для путей АС и АВ (рис. 184), пройденных телом с начала падения:
АС = h = &产/2, 4В = 6/2 = g(£ — 1 с)2/2,
где t — время движения тела от точки 4 до точки С. Решая эту систе-
Рис. 184Рис. 184му уравнений, получим h 亡 57 м и t * 3,4 с.
Рис. 184
Рис. 184
II. Рассмотрим уравнения для путей АВ и ВС. Для пути АВ имеем
6/2=g-/2,
где ；! - время движения тела от точки 4 до точки В. Для пути ВС имеем
〃2 = vQt2 + g^/2,
время падения получим те жевремя падения получим те жегде г0 = ]/ 2gh/2 — скорость тела в точке В, а 匕=1 с — время движения от точки В до точки С. Полное г = % + 匕=% + 1 с. Решая эту систему уравнений, значения h и г.
время падения получим те же
время падения получим те же
Пути, пройденные до встречи первым и вторым телами:
Н = #2/2,% = %— 02/2.
Совместное решение этих уравнений дает (/imax > 厶)
отсюдаотсюда
отсюда
отсюда
^ = (Н + /I)?
2g _』—
При Н — h имеем
% = /^ Smax = %)•
тело падает время 厶=|/2H/g. подъема второе тело движетсятело падает время 厶=|/2H/g. подъема второе тело движетсяИз точки А в точку В первое От точки С до максимальной высоты время с? = |/2妆.Искомое время
тело падает время 厶=|/2H/g. подъема второе тело движется
тело падает время 厶=|/2H/g. подъема второе тело движется
问一"_/^Й-]/^问一"_/^Й-]/^
问一"_/^Й-]/^
问一"_/^Й-]/^
При Н > h второе тело нужно бросать с запаздыванием; при Н = h тела нужно бросать одновременно; при Н <h второе тело нужно бросать до начала падения первого.
Если t - время движения первого тела, то время движения второго тела будет t — т и уравнения движения обоих тел примут вид 儿=%t -金 2/2, % = % " 一 Т) 一 g" 一 Т厂/2.
в момент встречи h{ =h2 и ? = %/任+T/2.
Так как в начальный момент груз находится на высоте 厶。 и имеет начальную скорость %, направленную вверх, то уравнение движения груза будет иметь вид
万=〃о + %£ -?2/2・(1)
Скорость груза для любого момента времени будет определяться
уравнениемуравнениемu = Do-*・⑵u = Do-*・⑵
уравнением
уравнением
u = Do-*・⑵
u = Do-*・⑵
При падении на землю h = 0. Подставляя это значение h в уравнение (1), находим время падения t и по этому времени из уравнения (2) — скорость в момент падения:
% , 1/201。+ 需g g% , 1/201。+ 需g gи = 1/2"% 十嗚.и = 1/2"% 十嗚.
% , 1/201。+ 需
g g
% , 1/201。+ 需
g g
и = 1/2"% 十嗚.
и = 1/2"% 十嗚.
Скорость первого шарика в момент удара о плиту % = у 2g/%. Так как удар упругий, то движение вверх после удара шарик начнет с такой же по модулю скоростью v0. За время t первый шарик под
нимется на высотунимется на высоту儿=vQt - gt2/2.儿=vQt - gt2/2.
нимется на высоту
нимется на высоту
儿=vQt - gt2/2.
儿=vQt - gt2/2.
За это же время второй шарик пройдет от точки Л вниз расстояние% = gJ/2・
В момент встречи hr + h2=万。；отсюда t = h0/v0 = |/〃o/2g и h =储= =3〃o/4.
Скорости первого и второго тел в любой момент времени относительно Земли:
力=%-0，U2=0Q_g(— т).
Искомая скорость движения второго тела относительно первого равна
v^v2-v^gT
и направлена вверх как во время подъема, так и во время падения обоих тел.
Во время подъема расстояние между телами равномерно уменьшается, во время спуска равномерно увеличивается.
Если начальная скорость % второго тела в два раза меньше начальной скорости первого тела, то v = — % + gu.
Рис. 185Рис. 185Если расстояние до места встречи от пункта Л равно sH а от пункта В равно 52, то
Рис. 185
Рис. 185
отсюдаотсюда$1 = с" — ad/2, S2 = и2t + ad",s = % + S2 = %£ -r v2t = (% + %) £；
отсюда
отсюда
% + L‘2
100100d”as2
100
100
力 + v2 2(% + v2)2
С течением времени расстояние между мотоциклистами уменьшается равномерно по закону I = s - (% + 〃)t и обращается в нуль через время t = 10 с (рис. 185).
§ 3. Криволинейное движение
Во всех трех случаях тело падает в течение одного и того же времени. Движение вагона сказывается только на горизонтальных со
ставляющих скорости и ускорения тела и не влияет на характер его
движения по вертикали.
Пуля участвует одновременно в двух движениях: в движении по горизонтали с постоянной скоростью, равной начальной скорости г0, и в свободном падении по вертикали. Эти два движения, склады
ваясь, дают результирующее движение по параболе.
Предположим, что В — точка падения пули в воду (рис. 186), г — скорость пули при падении в воду, vx и vy — горизонтальная и вертикальная составляющие скорости г. Так как vx = v0 и о； = 2g/i, то скорость пули при падении в воду V = УVq + 2gh.
39. Уравнения движения тел39. Уравнения движения телпо горизонтали и вертикали:по горизонтали и вертикали:
39. Уравнения движения тел
39. Уравнения движения тел
по горизонтали и вертикали:
по горизонтали и вертикали:
Si=%£, s2 = v2t- h, =gt2/2, h2 = gt2/!.
по условию одинаковы и равны С = s1/r1 = 2 с,ТО 儿=〃2 = 19,6 м и s2 = r2f = 15 м.
Составляющие скорости снаряда в начальный момент в горизонтальном и вертикальном направлениях (рис. 187):
叭=и。cos a, vy = v0 sin а.
Уравнения движения снаряда по горизойтали и вертикали:
s = vxt, h = vyt - /2/2.
По условию пушка и точка падения снаряда находятся на одной горизонтали, т. е. в точке падения 6 = 0. Подставляя это значение в уравнение движения по вертикали, находим время полета снаряда:
t = 2vy/g 弋 100 с
(второй корень уравнения г = 0 определяет момент выстрела). Подставляя значение £ в уравнение движения по горизонтали, находим дальность полета снаряда:
2vxv2*
s = —~三上=———sin a cos а =sin 2a 弋 88,4 км. g gg
а = 45° (см. решение задачи 40).
储/力2 = tg2 a.
Если s < smax, то существуют два угла at и a2, при которых для данной начальной скорости и。 дальность полета будет равна s. Этот результат получается непосредственно из уравнения для дальности полета (см. решение задачи 40) и известного соотношения тригонометрии sin 2а = sin (180° — 2 а) = sin 2 (90° — а).
Рис. 188а, называется «настиль-Рис. 188а, называется «настиль-Дальность полета s при данной начальной скорости и。будет одна и та же при углах бросания 办=а и а2 = =90° - а, причем
Рис. 188
а, называется «настиль-
Рис. 188
а, называется «настиль-
а = — arcsin2
Всегда существуют две траектории, двигаясь по которым брошенное тело попадает в одну и ту же точку (рис. 188). Пологая траектория, соответствующая углу
ной», крутая траектория, соответствующая углу 90° — а, — «навесной».
Наименьшая высота безопасного полета бомбардировщиков определяется наибольшей высотой hmax подъема снарядов. Уравнение движения снарядов по вертикали:
h = (bosina)f - gt2/2
(см. решение задачи 40). Вертикальная составляющая скорости снаряда в любой момент времени vy = г0 sin а — gt. В наивысшей точке подъема vy = 0; отсюда время подъема £ = (% sin 01g и
hht'n sin2 a—= 2187t'n sin2 a—= 21872g2g
h
h
t'n sin2 a
—= 2187
t'n sin2 a
—= 2187
2g
2g
ос 亡 76е (см. решения задач 40 и 44).
Криволинейное движение мины по параболе можно разложить на два прямолинейных движения — по горизонтали и вертикали. Перемещение мины будем отсчитывать от точки 4 (рис. 8). Начальные скорости движения мины по горизонтали и вертикали:
vx = г0 cos a, vy = % sin а.
Уравнения движения мины по горизонтали и вертикали:
s = (v0 cos a) t, h = (r0 sin a) t — gt2/l.(
Расстояние по горизонтали s и высота h точки падения мины связаны с расстоянием / соотношениями
s = / cos р, h = /sin р.(2)
Решая совместно уравнения (1), а также используя соотношения (2), находим искомое расстояние:
._ 2i'^ (sin a cos В - cos а sin В) cos а
/ =—
gcos p
Принимая во внимание, что по условию задачи а = 20, и преобразуя выражение (3), получим
/ 2vq sinpcos2p2 時
geos?。3 g
§ 4. Вращательное движение твердого тела
V = 2тгК/36ОО 言 0,8 см/с; со = v/R = 1,75 • 10"3 рад/с.
г = 2тгК cos(р/8,64 • 104 弋 233 м/с; а = v2/R cos ср а 1,7 см/с2.
Линейная скорость точек обода шкива в любой момент равна линейной скорости груза:
Когда груз пройдет путь s = 1 м, скорость станет равной и = 20 см/с.Когда груз пройдет путь s = 1 м, скорость станет равной и = 20 см/с.V = ]/las.
Когда груз пройдет путь s = 1 м, скорость станет равной и = 20 см/с.
Когда груз пройдет путь s = 1 м, скорость станет равной и = 20 см/с.
Угловая скорость
со = u/R = 1 рад/с.
Полное ускорение точки А складывается из ускорения ах = а и центростремительного ускорения а„ = v2/R (рис. 189):
= 7+ 4s
г % 7,9 км/с. Указание. При заданных в задаче условиях центростремительное
Рис. 190и В во времяРис. 190и В во времяускорение при движении тела вокруг Земли должно быть равно ускорению свободного падения.
Рис. 190
и В во время
Рис. 190
и В во время
Центр вращения О лежит на расстоянии х = 62.5 см от линии АВ и на расстоянии у = 12.5 см от линии AD. Указание. При повороте крышки стола из положения ABCD в положение AlBlC1Dl (рис. 190)
поворота крышки. Центр вращения будет лежать в точке пересеченияповорота крышки. Центр вращения будет лежать в точке пересеченияточка Л переходит в точку Л1? точка В — в точку В] и т. д. Линии ААГ и ВВг будут хордами дуг, по которым перемещаются точки Л
поворота крышки. Центр вращения будет лежать в точке пересечения
поворота крышки. Центр вращения будет лежать в точке пересечения
перпендикуляров, проведенных из середин этих хорд.
§ 5. Динамика прямолинейного движения тела.
Второй закон Ньютона
F = 2ms/t2 = 12,5 мН.
Если сила нормального давления камня N = mg, то сила трения / = kN = к mg. Ускорение, приобретенное камнем под действием этой силы, определится из уравнения hng = та, а начальная скорость —из соотношения
г0 = j/^ = ]/2kgs = 7,56 м/с.
s = i^/2kg = 25,6 м (см. решение задачи 53).
Г = та 七 422 Н.
Так как мощность мотора в обоих случаях одна и та же, то должно иметь место соотношение
尸=尸1力=尸2匕2，(1)
где 尸1 и Ui — сила тяги мотора и скорость тягача при движении по ледяной дороге,尸2 н и? — сила тяги и скорость тягача при движении по лежневой дороге. Так как работа силы тяги мотора в обоих случаях, при постоянной скорости движения, расходуется только на преодоление силы трения, то должно быть
匕=&N, F2^k2N,(2)
где N — сила нормального давления саней на дорогу. Из (1) и (2) следует, что
к^гх = k2v2, т. е. 頂=34*2 = 1 км/ч.
Если бы на тело действовала только сила тяжести mg, то оно двигалось бы с ускорением g = 9,8 м/с2. Тело движется с ускорением а > g, следовательно, на него действует, кроме силы mg, еще некоторая
ли направленная вниз. По второму закону Ньютона
^ 4- F = та, т. е. F = та — mg = m(ci — g) — 24,5 Н.
ааГруз движется, так же как и подставка, с ускорением а. На 1 р；з действуют сила тяжести mg (рис. 191) и сила реакции опоры R, которая по модулю равна силе нормального давления N груза на подставку. По второму закону Ньютона
а
а
R — mg =加о; отсюда N = R = т (g + а).
тдтдРис. 191Рис. 191Сила натяжения нити уменьшится в том случае, когда точка О будет двигаться с ускорением а, направленным вниз. Сила натяжения нити Т при этом будет определяться из уравнения дви
тд
тд
Рис. 191
Рис. 191
жения шарика: mg - Т = та. Так как Т = 0,5mg, то ускорение а = =0,5g = 4,9 м/с.
По графику (см. рис. 11) находим ускорения лифта: в первые две секунды % = u/q = 1,8 м/с2; между второй и десятой секундами «2=0; в последние две секунды tz3 = — и"】=—1,8 м/с2. По второму закону Ньютона для каждого из этих случаев имеем
Т] _ % = та^ 厶一^ = 0, 7； — mg = mt%
где 7\, Т?， 丁3 — силы натяжения каната в соответствующие интер валы времени; отсюда 厶 =17,7 кН, 岂=15 кН, 舞4 = 12,5 кН.
蠢木厂61. На каждый из грузов действуют сила тяжести
舐mg и сила натяжения пружины Т (рис. 192). По вто-
малых скоростях она пропорциональна скорости движения тела, при больших скоростях она возрастает пропорционально более высоким степеням скорости.
В начале приседания человек расслабляет мышцы ног, дает возможность своему телу «падать» с некоторым ускорением и, направленным вниз, и сила нормального давления на платформу весов N становится такой, что
mg — N = та, или N = mg — та (т. е. N v ^).
В конце приседания человек напрягает мышцы ног, увеличивает силу нормального давления на платформу и тем самым создает ускорение 〃，направленное вверх, необходимое для компенсации скорости, набранной во время приседания. При этом уравнение второго закона Ньютона примет вид
N — mg = та, или N = mg + та (т. е. N > mg).
Ускорение стола во время разгона: п = ь" = 2 м/с2. Уравнение второго закона Ньютона для движения стола во время разгона: F — —/ = та, где / = kmg — сила трения; отсюда
尸=/+"也=333,2 h.
Для определения силы натяжения Т необходимо записать уравнения второго закона Ньютона для каждого из брусков в отдельности. Под действием силы F вся система движется с ускорением а. На
'〃/〃〃////〃〃〃〃〃〃〃〃//〃/,'〃/〃〃////〃〃〃〃〃〃〃〃//〃/,Рис. 193Рис. 193Рис. 194Рис. 194
'〃/〃〃////〃〃〃〃〃〃〃〃//〃/,
'〃/〃〃////〃〃〃〃〃〃〃〃//〃/,
Рис. 193
Рис. 193
Рис. 194
Рис. 194
брусок “％ действуют силы F и Т; на брусок т2 - только сила Т (рис. 193). Уравнения второго закона Ньютона для двух брусков имеют вид
F — Т= //а, Т = m 2a.
Решение этой системы дает значения искомых величин:
а = F/(mr + ш2) = 2 м/с2, Т =加2尸/(叫 + w2) = °,6 Н;
а) %” - 17 Н, б)尸max = 25 Н.
Под действием силы 尸 вся система движется с ускорением а. Уравнения второго закона Ньютона для каждого из брусков имеют вид
F — Т\ = та, Тг — Т2 = та, 厶一4 = ma, 厶=ma.
где T],弓，厶一силы натяжения нитей (рис. 194). Решая эту систему
уравнении, получим
丁］=675F,厶=0,5£ "=°，25F.
Тяжелый железнодорожный состав трудно сдвинуть с места,
когда сцепки между вагонами находятся в натянутом состоянии. В этом случае сила тяги паровоза должна сообщать ускорение всем> составу сразу. Если вначале дать задний ход, то сцепки между вагонами будут ослаблены и при той же силе тяги паровоз сможет сообщать значительно большие ускорения сначала ближайшей к нему части со
става, а затем поочередно и всем остальным вагонам.
Если перед началом движения все сцепки в составе были натянуты, то разрыв может произойти в сцепках, ближайших к паровозу вагонов. Сила натяжения этих сцепок должна быть наибольшей, так как она должна обеспечивать появление ускорения сразу у большой массы всех находящихся сзади вагонов (см. решение задачи 68).
Если перед началом движения все сцепки вагонов состава сжаты, то разрыв может произойти в любом месте состава в зависимости от случайных соотношений в натяжениях сцепок между отдельными вагонами.
Во всех трех случаях система будет двигаться с некоторым ускорением а в сторону действия большей силы и динамометр будет показывать силу натяжения I； действующую между грузами. Для отыскания силы Т необходимо написать уравнение второго закона Ньюто
отсюдаотсюдана для каждого груза в отдельности.В случае а) имеем (рис. 195)Ft — Т =加 и Т — F2 —加2门；на для каждого груза в отдельности.В случае а) имеем (рис. 195)Ft — Т =加 и Т — F2 —加2门；»一尸2m1 + m2»一尸2m1 + m2丁=%丁=%"h + m2"h + m2
отсюда
отсюда
на для каждого груза в отдельности.
В случае а) имеем (рис. 195)
Ft — Т =加 и Т — F2 —加2门；
на для каждого груза в отдельности.
В случае а) имеем (рис. 195)
Ft — Т =加 и Т — F2 —加2门；
»一尸2
m1 + m2
»一尸2
m1 + m2
丁=%
丁=%
"h + m2
"h + m2
В силу ТОГО, ЧТО 川2 VV 〃'lВ силу ТОГО, ЧТО 川2 VV 〃'lИ "八/(m1 + m2)р L можно считать, что
В силу ТОГО, ЧТО 川2 VV 〃'l
В силу ТОГО, ЧТО 川2 VV 〃'l
Tt 尸2 = 9.8 H.
Аналогично, составляя уравнения второго закона Ньютона и используя условия, выражающие соотношение масс, можно рассмотреть и остальные случаи:
б) 丁弋 Ft = 19,6 Н; в) Т= (F】+ FJ/2 = 14,7 Н.
Грузы Wj и т2 движутся с ускорением а. На груз т{ действуют сила тяжести и сила натяжения нити Т, на груз т2 — сила натяжения нити Т и сила трения / = km2g.
Уравнения второго закона Ньютона для каждого из грузов.
加国—Т=加山， Т — km 2g = m2a.
Решая эту систему уравнений, по
лучим
，〃1 — кт 2
切 1 + т2
£，
Т =
"八"2 2
〃?i + т2
g(l + к).
72. Все тела системы движутся с ускорением а (рис. 196). На левый груз т действуют силы тяжести mg и натяжения нити Т, на правый груз — сила тяжести mg, сила нормального давления перегрузка N и сила натяжения нити Г. На перегрузок т0 действуют сила тяжести mQg и сила реакции R со стороны груза т, равная по модулю силе нормального давления перегрузка N на правый груз.
Рис. 196
Уравнения второго закона Ньютона для каждого из трех грузов:
Т — mg = та, mg + N — Т= та, m^g — N — т^а.
Решение этой системы дает
2…。&
N
2тт 0
Сила давления на ось блока равна удвоенной силе натяжения нити: f=2工
73. Ускорение а грузов получим из уравнений второго закона
Ньютона (см. решение задачи 72):
a =(用2 一 m^g/(mi + 加2)・
Время движения найдем из кинематических ног о движения без начальной скорости:
|/hfа = ]//i (n?i + 用2)/(也2 — "h)g = 0,6 с.
74. Через время t каждый из грузов переместится из начального положения на расстояние
h = 4 尸/2, гдг а
（加1 -б2）g/（黑1 +加2）
(см.
решение задачи
масс системы грузов рое расстояние / из 】
72). При этом центр сместится на некото-
первоначального поло-
женяя вниз в сторону большего груза (рис. 197). По определению расстояния от
грузов
до центра масс системы должны
Рис. 197
быть обратно пропорциональны массам
5 В. Г. Зубов, В. П. Шальнов
129
этих грузов:
斤+ 1 m1"外-m2
5ил и / =h.
h — / m2m j + m2
Подставляя значение h = 〃尸/2, получим
I 〃〔1 — m2 at2〃L + m2 2
Сопоставляя полученный результат с формулой пути равноускоренного движения и подставляя значение ускорения а грузов, найдем, что центр масс системы должен двигаться вниз с ускорением
т, — т2 / 勿厶—m2 \2
% м = —~а — I ; I g，
〃7] + т2 \ "厶 + ш2 /
е. ускорение центра масс системы меньше ускорения каждого из грузов в отдельности.
а) Максимальная сила трения покоя / = km0g = 4,9 Н больше силы 尸=1,96 Н, приложенной к бруску. Поэтому сила 尸 не может заставить брусок скользить по тележке. Вся система будет двигаться как единое целое с общим ускорением а, и силу трения нужно определять из уравнений второго закона Ньютона для бруска и тележки:
f一/=加0化/="/；
отсюда
а = F/(m + m0) = 9 см/с2, / = mF/(m + "%) р 1,8 Н.
Максимальная сила трения / меньше силы 尸.Поэтому сила F вызовет скольжение бруска по тележке. У бруска и тележки будут разные ускорения at и а2. Сила трения будет иметь во время движения максимальное значение / = кт^ = 4,9 Н. Уравнения второго закона
Ньютона для бруска и тележки:
F - km^g = mQau kmQg = ma2\
отсюда
_ kmog)/mo = 7,5 м/с2, n2 = km^g/m = 0,25 м/с2. mg
旷76. Тележка будет скатываться с ускорением
Рис. 198 а = g sin а. Для того чтобы шарик имел такое же 'ускорение, необходимо, чтобы равнодействующая силы
тяжести 映 и силы натяжения нити 7； приложенных к шарику фи с. 198), была направлена параиллельно наклонной плоскости и равна F - та = mg sin ос. А это возможно только тогда, когда нить перпендикулярна к наклонной плоскости.
Бревно движется без ускорения; следовательно, сила трения равна по модулю горизонтальной составляющей 尸工 силы F, т. е. /= 130
=F ]/ /2 — h2/l. Сила нормального давления бревна на поверхность земли
N = mg — Fy = mg — Fh/l.
Коэффициент трения
к = f/N = F у I2 - h2/(mgl 一 尸6).
Изменение точки приложения силы F изменяет лишь точку приложения силы нормального давления, но не изменяет ее значения. Поэтому сила трения будет та же, что и в первом случае.
Сила нормального давления тачки на поверхность земли в первом и во втором случаях (рис. 199):
N] = mg — F sin а (рис. 199, а), N? = mg + F sin а (рис. 199, 6).
Так как Л\ < N?, то во втором случае человеку нужно будет преодолевать большую силу трения / = kN2-
Ускорение вагонетки во время торможения а = v0/t и направлено вверх вдоль уклона дороги. В этом направлении на вагонетку действуют сила натяжения каната Т и сила трения / = kN = kmg cos а. Составляющая силы тяжести mg sin а направлена вдоль уклона дороги вниз. Уравнение второго закона Ньютона для вагонетки:
丁+/- mg sin а = та;
отсюда
丁=用(а + g sin ос) - kmg cos а в 2,6 кН.
При въезде на наклонную плоскость тележка приобретет ускорение о, направленное в сторону, противоположную ее движению. Точка подвеса, двигаясь замедленно, отстанет от шарика. Ускорение шарика станет равным ускорению тележки в тот момент, когда нить, удерживающая шарик, будет направлена перпендикулярно к наклонной плоскости (см. решение задачи 76).
§ 6. Имнульс. Закон сохранения импульса
Изменение импульса шарика при ударе о стенку равно произведению силы, действующей на шарик, на время ее действия:
mv2 — HW1 = Ft,
где "*i и mv2 — импульсы шарика до и после удара. Так как в результате удара импульс шарика изменил направление на обратное (рис. 200), сохранив модуль (г2 = — % = — с), то изменение импульса шарика равно 2mv и направлено от стенки, т. е. Fr = — 2пн\ Модуль силы действия шарика на стенку F = 2mv/t.
Ft = — inv. Указание. Скорость шарика после удара г2 = 0 (см. решение задачи 81).
Если вектор ОА — импульс шарика до удара, вектор ОВ — после удара (рис. 201), то вектор АВ определяет изменение импульса
—ти—ти-2/77。-2/77。Рес. 201Рес. 201Рис. 202Рис. 202Рис. 200Рис. 200
—ти
—ти
-2/77。
-2/77。
Рес. 201
Рес. 201
Рис. 202
Рис. 202
Рис. 200
Рис. 200
шарика. Если разложить векторы ОЛ и ОВ на составляющие, перпендикулярные и параллельные стенке, то из равенства углов а и равенства модулей векторов ОА и ОВ следует, что изменение импульса шарика мАь происходит только за счет изменения составляющей, перпендикулярной к стенке, т. е. равно по модулю 2mv sin ос и направлено от стенки.
Импульс системы шариков изобразится вектором ОС (рис. 202), составляющим угол а = 45° с векторами ОА и ОВ, и равен по модулю j/fm^i)2 + (m2b2『=0,017 кг • м/с.
m — Fl/Av = 9,8 кг.
Сила тяги F паровоза за время t изменяет импульс поезда на величину Ft, а сила трения - на величину ft = kmgt. Согласно второму закону Ньютона
Ft — kmgt = mv; отсюда 尸=mv/t + kmg = 999,6 кН.
Сила нормального давления тела на плоскость N = mg cos а; сила трения / = kN = kmg cos а. Составляющая силы тяжести, действующая на тело вдоль наклонной плоскости, равна mg sin а. Согласно
второму закону Ньютона
⑴⑴(mg sin cz — к mg cos a)f = /ш\
⑴
⑴
где f — скорость тела в конце спуска и t — время спуска. Так как начальная скорость г0 = 0, то / = at2/2 = rt/2; отсюда с = 2//£ Подставляя значение с в уравнение (1), найдем
р 1 с.р 1 с.(2)(2)g (sin а - k cos а)g (sin а - k cos а)2/
р 1 с.
р 1 с.
(2)
(2)
g (sin а - k cos а)
g (sin а - k cos а)
Сила F, с которой человек тянет веревку, изменяет импульсы лодок на величину Ft = 250 кг • м/с. Первая лодка за счет этого приобретает скорость относительно берега fj = Ft/m^ = 1 м/с, а вторая лодка — скорость г2 = Ft/m2 = 0,5 м/с. Скорость первой лодки относительно второй и = v{ + г2 = 1,5 м/с.
Задачу можно также решить, рассчитывая по второму закону Ньютона ускорения лодок, а затем по формулам равноускоренного движения — скорости.
Так как импульс системы человек — аэростат до начала движения человека равен нулю, то при перемещении человека вверх аэростат должен начать спускаться вниз с такой скоростью гр чтобы импульс системы человек — аэростат по-прежнему оставался равным нулю.
Скорость движения человека относительно земли v2 = и — гг. Импульс человека равен т2г2, импульс аэростата равен тггt, и импульс системы человек — аэростат
ш2 (〃 — q) — т%* = 0; отсюда % =巾2"/(用 1 + ^2)-
Центр масс тележек перед началом движения лежит на прямой ОО (рис. 203). По определению расстояния от тележек 人 и /2 до центра масс системы в любой момент времени г должны быть обратно про
порциональны их массам:
/J% = т』т\.
Пуги, пройденные тележками за время г：
S1 =力t, s2 = ^2厶 T. e. 5i/s2 = %/勘2・
Согласно закону сохранения импульса скорости, полученные тележками за счет действия сжатой пружины:近=Ff/『％,也=尸〃切2； следовательно,
S[%F^m、m2厶
S2v2尸〃用 2‘％G
ОО удовлетворяют тому жеОО удовлетворяют тому жеРасстояния от тележек до прямой
ОО удовлетворяют тому же
ОО удовлетворяют тому же
соотношению, что и расстояния до центра масс, т. е. центр масс тележек все время остается на прямой ОО.
Этот же результат непосредственно получается из закона сохранения импульса:
〃厶%*?%%， или %/% ="g""「
Суммы импульсов осколков гранаты до и после разрыва равны (mj + т2)и и 叫％ + ш2г2. Так как изменение импульсов осколков гранаты произошло голько за счет внутренних сил, то согласно закону сохранения импульса
(巾 1 + ш2) и = 〃?i% + m2r2;
отсюда
("?1 +"2)"一 吗"2°/
% == — 12,5 м/с.
Знак минус у скорости показывает, что после разрыва меньший осколок гранаты стал двигаться в сторону, противоположную направлению движения гранаты.
Дальность полета ракеты s = (rf/g) sin 2а (см. решение задачи 40). Начальная скорость ракеты определяется из закона сохранения импульса: % = m2v2/m1. Подставляя значение 力 в формулу для $, имеем
s =sin2oc = 36G м.
Если векторы, направленные вправо, считать положительными, а влево ~ отрицательными, то суммы импульсов шара и тележки до и после встречи равны m2v2 - т^г и (ш2 + т^и. Согласно закону сохранения импульса
m2v2 — /%% = (т2 + mju;
отсюда
m2V2 - »b^l А /и = —- =0,33 м/с.
m2 +用1 .
Тележка покатится вправо.
Обозначим через % скорость ракетоплана после вылета первой порции газа, и? — после вылета второй порции, и3 — после вылета третьей и и、- после вылета N-丘 порции. Пользуясь законом сохранения импульса, получим для скоростей ракетоплана:
после вылета первой порции i аза
ти
(М — m) Vj — ти = 0, или vx =;
М — т
после вылета второй порции газа
2пш
(М — m)v. =(М — 2т) v2 — ти, или % =;
~ М 一 2m
после вылета третьей порции газа
Зти,
(М - 2m) г, = (М — 3m) г3 — mu, или % =弋 2 м/с.
“М — 3m
Для скорости ракетоплана после N-ro взрыва будем иметь
Nmuг V =亡 13,5 м/с.
М — Nm
г2 = 2wu/(M — 2m)之 1 м/с (см. решение задачи 94).
При определении скорости отката орудия следует учитывать только горизонтальную составляющую скорости снаряда, так как отдача, обусловленная вертикальной составляющей этой скорости, будет погашена силами реакции поверхности Земли.
Горизонтальная составляющая скорости снаряда их = и cos а. Согласно закону сохранения импульса
тих mu cos а
Mv — тих\ отсюда и ==р 3,5 м/с.
М М
2gh cos а
V = (см. решение задачи 96).
т + М
§ 7. Работа. Энергия. Мощность. Закон сохранения энергии
Скорость ствола г в момент выстрела определится из закона сохранения импульса: г = ти/М. Кинетическая энергия Mv2/2t полученная стволом в момент выстрела, полностью будет израсходована на работу по преодолению силы торможения: А — fs, т. е. будет иметь
место равенство
Mv2 /丁二力；Mv2 /丁二力；отсюдаотсюда/ =/ =Mv22sMv22s2Ms2Ms12,5 кН.12,5 кН.
Mv2 /
丁二力；
Mv2 /
丁二力；
отсюда
отсюда
/ =
/ =
Mv2
2s
Mv2
2s
2Ms
2Ms
12,5 кН.
12,5 кН.
Энергия тела в конце падения Е = ти&/2 + mgH. Средняя сила сопротивления почвы определится из закона сохранения энергии:
/〃 = Е; отсюда f =—=——(vq + 2gH) = 12,25 кН.
% 2h
Задача может быть также решена путем прямого применения второго закона Ньютона и расчета ускорений тела при углублении в почву. Скорость тела у поверхности земли и = yv^ + 2gH. Ускорение при движении тела в почве а = v2/2h = (Pq + 2gH)/2h. Сила сопротивления
почвы
/= 〃館=~(t'o + 2gH).
Та* как сила тяжести mg мала по сравнению с силой сопротивления 工 то в решении не учитывается ее действие при движении тела в почве.
Сани, находясь на вершине горы, обладают потенциальной энергией, равной mgh, Эта энергия при движении расходуется на рабо- ту 力 1 по преодолению силы трения на участке ОВ и на работу Л2 по преодолению силы трения на участке ВС:
mgh =」4 ] + %2・
Для участка ОВ сила трения /\ = kmgl/]/Р + М, где / — длина отрезка 力В, и работа 4i = fOB = kmgl. Для участка ВС сила трения/2 = kmg и работа Л2 = /2 • ВС = kmg(s — /); отсюда
mgh = /】+ 力2 = kmgs, т. е. к = h/s.
Уравнение второго закона Ньютона для движения саней на участке ОВ:
Так как //s v 1, то 力 > 0 — сани движутся равноускоренно. Ускорение на участке ВС равно а2 = — kg — сани движутся равнозамедленно.
При том же коэффициенте трения к расстояние s не будет меняться с уменьшением наклона горы.
Сани двигаться не будут. При таком угле наклона tg а = h/s = к и сила трения уравновешивает составляющую силы тяжести, направленную вдоль наклонной плоскости.
Потенциальная энергия параллелепипеда в различных положениях равна: 2mgl, когда он лежит на меньшей грани; mgl, когда он лежит на средней грани; mgl/2, когда он лежит на большей грани. Наиболее устойчивым положением, соответствующим минимальной потенциальной энергии тела, будет последнее.
Работа по преодолению силы сопротивления воздуха равна убыли кинетической энергии пули:
л mvo nw2 m / 2。n
/ =寸y=3,75 кДж.
В первом случае мальчик при бросании камня совершает работу mVj/2. Если во втором случае он бросает камень с той же силой, то он совершает такую же работу, но она расходуется на сообщение кинетической энергии камню и мальчику:
mu； mvl , Mu2小
где и - скорость движения мальчика. Согласно закону сохранения импульса
mv2 = М〃.(2)
Решая систему уравнений (1) и (2), получим скорость камня во втором случае и скорость мальчика, которую он приобрел после броска:
/ т2/ М (М + 〃?)/ т2/ М (М + 〃?)
/ т2
/ М (М + 〃?)
/ т2
/ М (М + 〃?)
Скррость камня относительно мальчика
/ Л/ + m
W = V2 + и = Vi ————(w > и J.
/ M
Так как мощность N = Fv п во втором случае камень движется относительно мальчика быстрее, чем в первом случае (vv > rj, то мальчик должен во втором случае развивать большую мощность.
В обоих случаях человек сообщает лодке т одно и то же ускорение а = F/m; поэтому скорость лодки т к концу третьей секунды равна
V — at = Ft/m = 1 м/с,
т. е. будет в обоих случаях одной и той же. Работа человека в первом и втором случаях:
mv2 Ми2
4 = ~= 150 Дж, А2 = —- I- — = 375 Дж,
где “ = Ft/M — скорость лодки М к концу третьей секунды. Мощность, развиваемая человеком к концу третьей секунды, в первом и втором случаях:
/% = Fv = 100 Вт, N2 = F(v + и) = 250 Вт.
Во втором случае скорость бруска будет меньше, так как потенциальная энергия, которой обладает брусок, находясь на высоте h> расходуется в первом случае только на сообщение кинетической энергии бруску, во втором случае — на сообщение кинетической энергии бруску и призме одновременно.
Обозначим через и скорость перемещения призмы (рис. 204), через % и % — горизонтальную и вертикальную составляющие скорости бруска V относительно земли, через р — угол между направлением движения бруска и горизонтом, причем очевидно, что
tg р = vy/vx.(1)
Так как на призму в вертикальном направлении помимо силы давления бруска действует сила реакции опоры, то при рассмотрении поведения системы брусок - призма закон сохранения импульса можно
применять только к горизонтальным составляющим скорости бруска и призмы, т. е. скорости и и vx связаны соотношением
⑵⑵М〃 = mvx.
⑵
⑵
Допустим, что в некоторый момент времени брусок находился в точке А призмы (рис. 205). В течение первой секунды призма переместилась влево на расстояние и, брусок по горизонтали переместился
Рис. 204Рис. 204Рис. 205Рис. 205
Рис. 204
Рис. 204
Рис. 205
Рис. 205
вправо на расстояние гЛ и по вертикали - на расстояние гу. Все эти перемещения должны быть таковы, чтобы после них брусок оказался снова на призме в некоторой точке В. Следовательно, скорости 〃，vx и vy должны удовлетворять не только законам сохранения энергии и импульса, но и соотношению
%/(〃 + %) = tga・(3)
Это соотношение является выражением того условия, что брусок при движении находится все время на призме.
Из выражения (2) находим и = mvx/M. Подставляя значение и в уравнение (3) и используя соотношение (1), получим
Как и следовало ожидать, tg Р > tg а и р > а. Скорость бруска в случае спуска по подвижной призме направлена под большим углом к горизонту, чем при спуске с неподвижной призмы. Пользуясь законом сохранения энергии и зная высоту h начального положения бруска, можно вычислить скорости и И V.
Если массы шаров обозначить через 团】и ш2, то, пользуясь законом сохранения импульса, получим
w^i + m2v2 = mlul + m2u2.(1)
Применяя закон сохранения энергии и полагая, что полная кинетическая энергия шаров после удара не изменилась, можно записать
2222
Решая совместно уравнения (1) и (2) при т{ = т2 = т, получим 〃？ = S и “1=^2，т. е. после абсолютно упругого удара шары одинаковой массы обмениваются скоростями. Если до удара первый шар двигался слева направо со скоростью ц, то после удара он будет двигаться в обратную сторону со скоростью %.
Импульсы первой лодки до и после перекладывания груза равны (Л7\ + т)и и М】"； импульсы второй лодки до и после перекладывания груза равны — М2и и — (М2 + т) г2. Импульс обеих лодок до перекладывания груза должен быть равен импульсу лодок после перекладывания груза:
(Л/】+ m — М^и = М{и - (М2 + 〃?)。2；
отсюда М2 = т (и + %)/(〃 — %) = 300 кг.
Энергии лодок до и после перекладывания груза:
(Mj + М2 + w) и2MjU2 + (М2 + w) и}
222
Энергия уменьшилась за счет перехода части энергии в тепло при выравнивании скоростей груза и второй лодки.
НО. N = mg厶/Г = 490 кВт.
Полезная мощность “N = Fv; отсюда F = r|N/t> 弋 48 кН.
Сила трения / между колодками и валом определяется из условия равновесия рычага тормозного динамометра — момент силы трения / равен моменту силы тяжести mg, действующей на груз т:
片=mgi; отсюда / = mgl/r,
где г — радиус вала. Скорость точек поверхности вала v = 2кпг. Мощность двигателя
mgl •2兀几гN =fv —= 2nnmgl 3 кВт.
N = 2nrF/t 七 108 Вт.
Максимальная мощность развивается мотором в конце разбега и равна N = Fv, где 尸-сила тяги винтов, по условию остающаяся постоянной во все время разбега. Сила 尸 определяется из второго закона Ньютона:
F — kmg = та.
Ускорение а = M/2s, так что F 二 kmg 十 mt2/2s, а мощность N = kmgv + + mv^/2s 98,5 кВт.
Сила трения, преодолеваемая при обработке, / = kF. Скорость обода камня v = nd". Необходимая мощность
N = fv = kFndn k 75 Вт.
Шкив вращается под действием силы, равной F —/ Скорость обода шкива с = 2кгп, мощность N = (F —/) • 2тп・м. Так как по условию задачи 尸=2/, то
/ = N；2nrn 弋 4,8 кН, F = N/nrп 弋 9,6 кН.
§ 8・ Динамика вращательного движения тела
Центростремительные силы, действующие на шарики массами и?】и ш2, равны F] = т^Ц и F2 =团2①/2, где /2 = / — /1 (рис. 206). По условию Ft = F2, т. е.
m⑷% =加2①2 (/ -①，ИЛИ l=.
AН1 + m2
Такими же выражениями определяются и расстояния от шаров до центра масс системы. Силы натяжения нитей одинаковы, когда центр вращения совпадает с центром масс системы. В итоге имеем 厶=25 см, l2 = I - 1г = 75 см.
Равновесие шариков достигается в том случае, когда центростремительная сила, действующая на шарик В, равна силе тяжести, действующей на шарик А:
切① 2 尸=〃囲； отсюда со = ]/^彳=7 рад/с.
Равновесие будет неустойчивым.
Скорость шайбы и должна быть такой, чтобы параболическая
траектория свободного падения шайбы, соответствующая этой скоро
сти, проходила вне полусферы, лишь касаясь ее в верхней точке (рис. 207). Вертикальная составляющая ускорения шайбы в этой точке при движении ее по параболе равна g, центростремительное ускорение при движении по окружности радиусом R со скоростью V равно v2/R. Если g < v2/R, то кри
визна параболы будет меньше кривизны поверхности полусферы
и парабола будет проходить вне полусферы, т. е. шайба не будет скользить по полусфере при скоростях и》]/^.
а = 4兀2r/T° = 0,033 м/с2, где Т — период вращения Земли. Уменьшение веса тел на зкваторе, вызываемое вращением Земли, со
ставляет приблизительно 0,0034 силы тяжести.
Если частицы воды выходят из насоса со скоростью г, то они смогут поднятье на такую высоту h, при которой их кинетическая
энергия перейдет в потенциальную энергию, т. е. всегда будет иметь
место равенство
V2 = 2gh.
Считая, что скорость частиц воды равна линейной скорости концов лопастей насоса, найдем частоту вращения насоса:
п = vQnR = ]/2gh/2nR.
Когда установится стационарный режим и вода поднимется в трубе на максимальную высоту, то давление на выходе из насоса станет равным давлению столба воды высотой 儿 т. е.
Р = Pg 力=Р^2/2 = Р ① 2R2/2,
где з = 2冗〃 —угловая скорость движения частиц воды в насосе, р — плотность воды. Внутри насоса при перемещении от оси к концу лопастей давление будет расти пропорционально квадрату расстояния
до оси.
Для расчета центростремительной силы выделим тонкий слой во
ды, ограниченный цилиндрами с радиусами R】и R2 (рис. 208). Толщи
Рис. 208Рис. 208ну слоя 尸=R】-R2 возьмем достаточно малой для того, чтобы можно было считать скорости всех частиц этого слоя одинаковыми. На каждый элемент объема воды, опирающийся на единицу площади поверхности внутреннего цилиндра радиусом R2, будет действовать давление, равное разности давлений:
Рис. 208
Рис. 208
P=Pi- Pi = Р—2Р ―2—
Замечая, что масса воды в объеме V= Sr равна m = pS(R】一К?)，и полагая (в силу малости г) R】+ R? 2R, получим
со?то)?г
F = pS = —- pS(R】—Я2)(/^! + R?) = —~—(S + R?) Р 巾3 &
т. е. в центробежном насосе устанавливается такое распределение давлений, что разность давлений, действующих на каждый слой, как раз достаточна для создания необходимых центростремительных ускорений у частиц воды, находящихся в этом слое.
Центростремительное ускорение при движении груза обеспечивается только силой трения:
/ = т(о2К = 4冗2氏巾几2 ^ 790 мН.
Груз начнет скользить по столику при такой угловой скорости з。，при которой центростремительная сила станет равной максимальной силе
трения покоя.
kmg = “ко沁 отсюда % = |/kg/R = 2,2 рад/с.
Допустим, что длина шнура увеличилась на I. Тогда радиус окружности, по которой будет двигаться шарик, К = /0 + ^ и сила натяжения шнура T=fl. При вращении с угловой скоростью(о шарик будет иметь центростремительное ускорение(о2К =(о2 (/0 + /), и по второму закону Ньютона Т = mm2R. Подставляя значения Т и o/R в уравнение второго закона Ньютона, получим
fl =加①？ (% + /), илиfl =加①？ (% + /), или
fl =加①？ (% + /), или
fl =加①？ (% + /), или
С учетом этого имеем
К = /0 + / =К = /0 + / =几/ - ms?几/ - ms?Т = # =Т = # =m^flQ/ — то»?m^flQ/ — то»?
К = /0 + / =
К = /0 + / =
几
/ - ms?
几
/ - ms?
Т = # =
Т = # =
m^flQ/ — то»?
m^flQ/ — то»?
В вертикальном направлении на автомобиль действуют сила тяжести mg и сила реакции опоры F, которая, согласно третьему закону Ньютона, по модулю равна искомой силе нормального давления N.
Когда автомобиль едет по горизонтальному плоскому мосту, ускорений в вертикальном направлении нет и сумма сил, действующих на автомобиль в этом направлении, по второму закону Ньютона равна нулю:
mg —尸=0, или N =尸=mg.
Когда автомобиль едет по выпуклому мосту, то у него появляется в вертикальном направлении центростремительное ускорение, направленное вниз, поэтому
mg — F = —^―, или N = F = mg— (N < mg),
т. e. сила нормального давления автомобиля на мост меньше силы тяжести, действующей на автомобиль.
В случае движения по вогнутому мосту автомобиль имеет ускорение, направленное вверх, поэтому
F — mg — —^―, илиF — mg — —^―, илиN = F = mg + ~^- (N > mg),
F — mg — —^―, или
F — mg — —^―, или
т. e. сила нормального давления автомобиля на мост больше силы тяжести, действующей на автомобиль.
В верхней точке петли сила тяжести mg и сила реакции опоры 尸］,действующие на летчика, направлены вниз (рис. 209). Центростремительное ускорение летчика v2/R также направлено вниз. По второму закону Ньютона
尸］+ mg =尸］+ mg =mv2mv2ИЛИ 尸 1ИЛИ 尸 1—mg = 3015 H х 4mg.—mg = 3015 H х 4mg.
尸］+ mg =
尸］+ mg =
mv2
mv2
ИЛИ 尸 1
ИЛИ 尸 1
—mg = 3015 H х 4mg.
—mg = 3015 H х 4mg.
В нижней точке петли центростремительное ускорение летчика г2/Я и сила 尸2 направлены вверх, и уравнение второго закона Ньютона имеет вид
mu?
-mg = —^―, или 尸2 = ~——F mg = 4485 H 弋
Шарик проходит положение равновесия, двигаясь по дуге окружности радиусом / со скоростью V. В этот момент шарик имеет
留留Рис. 210Рис. 210
留
留
Рис. 210
Рис. 210
центростремительное ускорение М//, ние этого ускорения обеспечивается на шарик, и силой натяжения нити Ньютонацентростремительное ускорение М//, ние этого ускорения обеспечивается на шарик, и силой натяжения нити Ньютонанаправленное вверх. Существова- силой тяжести mg, действующей Т (рис. 210). По второму законунаправленное вверх. Существова- силой тяжести mg, действующей Т (рис. 210). По второму закону
центростремительное ускорение М//, ние этого ускорения обеспечивается на шарик, и силой натяжения нити Ньютона
центростремительное ускорение М//, ние этого ускорения обеспечивается на шарик, и силой натяжения нити Ньютона
направленное вверх. Существова- силой тяжести mg, действующей Т (рис. 210). По второму закону
направленное вверх. Существова- силой тяжести mg, действующей Т (рис. 210). По второму закону
丁 — mg =, или Т — т丁 — mg =, или Т — т
丁 — mg =, или Т — т
丁 — mg =, или Т — т
Скорость отсюдаСкорость отсюдаV определяется из закона сохранения энергии: и = {/5^;V определяется из закона сохранения энергии: и = {/5^;
Скорость отсюда
Скорость отсюда
V определяется из закона сохранения энергии: и = {/5^;
V определяется из закона сохранения энергии: и = {/5^;
Т = mg +Т = mg +2 mgi е2 mgi е
Т = mg +
Т = mg +
2 mgi е
2 mgi е
т. е. нить выдерживает силу натяжения, равную утроенной силе тяжести, действующей на шарик.
Из второго закона Ньютона определяется скорость шарика при прохождении положения равновесия (см. решение
задали 126):
=з/=з/T—mgT—mg
=з/
=з/
T—mg
T—mg
где / - длина нити. Согласно закону сохранения энергии mv2/2 = mgh; отсюда высота, с которой опускался шарик, h = v2/2g = //2, т. е. cos а = = (/- h)/l = 1/2, а = 60°.
В любом промежуточном положении вдоль нити на шарик
действуют сила натяжениядействуют сила натяжениянити Т и составляющая силы тяжести, равная mg cos а (рис. 211), которые обеспечивают центростремительное ускорение шарика г2//, где v2 = 2g/ cos а (/ — длина нити); следовательно (см. решение задачи 126),
действуют сила натяжения
действуют сила натяжения
Т — mg cos а =———cos а = 2tng cos а.
Учитывая, что Т = 2mg, получим
cos а = Т]3mg = 2/3,
48° 1Г.
Нить испытывает наибольшую силу натяжения, когда камень проходит нижнюю точку окружности. Уравнение второго закона Ньютона для этого момента имеет вид
Т — mg — mo//;
отсюда угловая скорость, при которой произойдет обрыв нити,
со =со =Т—mg
со =
со =
=5,5 рад/с.
ml
Скорость камня в момент обрыва нити будет направлена горизонтально и равна ио модулю скорости
Дальность полета камня s = of, где t = y2(h — l)/g — время свободного падения с высоты 厶一 I; отсюда
…产]产3产зм.
Для того чтобы шайба находилась на полусфере, необходимо, чтобы в любой точке сумма сил, действующих на нее в направлении радиуса, была достаточна для создания центростремительного ускорения ?2/R. Скорость шайбы в любой точке определяется из соот-
тяжести, равная mg cos aтяжести, равная mg cos aРис. 212Рис. 212tnv2tnv2F + mgcos a = —F + mgcos a = —v2 = gR(3 - 2 cos a);v2 = gR(3 - 2 cos a);
тяжести, равная mg cos a
тяжести, равная mg cos a
Рис. 212
Рис. 212
tnv2
tnv2
F + mgcos a = —
F + mgcos a = —
v2 = gR(3 - 2 cos a);
v2 = gR(3 - 2 cos a);
ношения г2 = 2gh, где h — расстояние от шайбы до вершины полусферы гго вертикали. Вдоль радиуса полусферы на тело действуют сила реакции опоры 尸 и составляющая силы (рис. 212); отсюда
mg cos a - F = —^― = —.
При движении тела ускорение v2/R непрерывно растет, но сила реакции опоры F, убывая быстрее, чем mg cos а, обеспечивает увеличение равнодействующей,
необходимой для создания возросшего ускорения. В некоторой точке сила реакции опоры F обратится в нуль и дальнейший рост ускорения г2/К уже не будет обеспечиваться силами, действующими на шайбу, и в этот момент шайба оторвется от полусферы.
Таким образом, условием отрыва шайбы от полусферы будет
尸=0, или mgCQs a = 2mgh/R.
Учитывая, что cos a = (R —用/R, получим, что отрыв произойдет на расстоянии от вершины 〃 = R/3; отсюда Н = 2R/3.
По третьему закону Ньютона сила нормального давления N по модулю равна силе реакции опоры F. Второй закон Ньютона и закон сохранения энергии дают
отсюда искомая сила нормального давления
N = F = mg(3 — 2 cos a — cos a) = 3mg (1 — cos a).
N = F = 3mg(lcos ₽).
Высота, на которой шарик оторвется от желоба, определяет
ся, так же как и в задачеся, так же как и в задаче130, на основании второго закона
ся, так же как и в задаче
ся, так же как и в задаче
Ньютона:
Н] =5R/3.
Из точки В (рис. 213) шарик будет двигаться по параболе с начальной скоростью
Do = |/^ =
направленной под углом а, определяемым из уравнения
cos a = (R — hi)/R = 2/3.
В наивысшей точке подъема по параболе
шарик будет иметь скорость, равную горизонтальной составляющей скорости v0, т. е.
Из закона сохранения энергии следует, что в этот момент шарик должен находиться от точки 力 на таком расстоянии h2 по вертикали, чтобы V： = 2ghz； отсюда
h2 =吧/2g = 4R/27, A? = 2R - % = 50R/2Z
До высоты "i = 5//6 (точка В) шарик будет двигаться по дуге окружности радиусом //2 (рис. 214). Далее, до высоты Н2 = 25//27 шарик будет двигаться по параболе (см. решение зада-
В верхней точке 4 окружности радиусом R центростремительное ускорение шарика должно быть не меньше ускорения свободного падения, т. е. г2/К》g (рис. 215). Из закона сохранения энергии скорость в точке А равна и = И¥(「— 2R); отсюда
R = 21/5, или h = 3//5.
Потенциальная энергия обоих шариков в начальный момент одинакова и равна mgl. Если шарик подвешен на нерастяжимой нити, то потенциальная энергия расходуется только на сообщение кинетической энергии шарику. Скорость движения шарика при прохождении положения равновесия в этом случае определится на основе закона сохранения энергии: mgl = HWj/2; отсюда i^ = ]/^1. Если шарик подвешен на резиновом шнуре, то потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию только частично; другая часть ее переходит в потенциальную энергию деформации резинового шнура. Поэтому 協贤/2 < mgl, т. е. v2 < гР
а) Закон сохранения энергии дает
2ти：/—
= 2mg/; отсюда %=J/20.
До отклонения стержня энергии масс 4 н В равны соответственно
отсюдаотсюда138. На (рис. 216): силг к центру масс ции опоры (ра138. На (рис. 216): силг к центру масс ции опоры (рамального давления) N = mg, направленная вертикально вверх и приложенная в точке А; сила трения 工мального давления) N = mg, направленная вертикально вверх и приложенная в точке А; сила трения 工После отклон! сохранения энПосле отклон! сохранения эн
отсюда
отсюда
138. На (рис. 216): силг к центру масс ции опоры (ра
138. На (рис. 216): силг к центру масс ции опоры (ра
мального давления) N = mg, направленная вертикально вверх и приложенная в точке А; сила трения 工
мального давления) N = mg, направленная вертикально вверх и приложенная в точке А; сила трения 工
После отклон! сохранения эн
После отклон! сохранения эн
направленная к центру круга, по которому движется велосипедист. Сила трения / в сумме с силой реакции опоры N дает силу, направленную вдоль линии 40, проходящей через центр масс велосипедиста. Эта сила, складываясь с силой mg, дает равнодействующую 尸=/ направленную горизонтально и достаточную для обеспечения центростремительного ускорения велосипедиста v2/R. По второму закону Ньютона
mv2V2
F =加 gtg а =; отсюда tga =, a = 16°42'.
Равнодействующая всех сил, приложенных к велосипеду, равна силе трения (см. решение задачи 138). Так как наибольшее значение силы трения / = kmg, то наименьший радиус закругления будет R = =v2/kg = 21,8 м. Наибольший угол наклона велосипедиста определится из условия / = kmg = mgtg а; отсюда tg a = k, a = 16°42'.
При движении вагона по закруглению горизонтального пути давление на внешний рельс всегда будет больше, чем на внутренний; эта разница в давлениях будет тем больше, чем больше скорость вагона. При максимально допустимой скорости вагона все давление вагона целиком переносится на внешний, по отношению к центру закругления, рельс А.
Рельс А создает две силы: силу реакции опоры N = mg и силу бокового давления F. Эти силы вместе с силой тяжести и обеспечивают появление необходимых ускорений у вагона.
Возможны два случая.
Вагон идет по закруглению со скоростью и, меньшей критической; в этом случае центростремительное ускорение v2/R и сила
尸 малы. Точка приложения равнодействующей всех трех сил лежит
выше центра масс О (рис. 217). Равнодействующая R не только обеспечивает появление центростремительного ускорения, но и стремится повернуть вагон вокруг центра масс по направлению часовой стрелки и прижать его к рельсу В. Вагон устойчиво идет по закруглению.
Вагон идет по закруглению со скоростью V, большей критической; в этом случае сила F велика, точка приложения равнодействующей лежит ниже центра масс. Равнодействующая R будет поворачивать вагон вокруг центра масс против часовой стрелки. Вагон будет опрокидываться. Устойчивое движение с тако访 скоростью невозможно.
Максимальная скорость движения вагона по закруглению, очевид
но, будет соответствовать такому случаю, когда точка приложения равнодействующей всех сил будет совпадать с центром масс вагона,
尸mg尸mg2力2力отсюда иотсюда ит. е. когда
尸
mg
尸
mg
2力
2力
отсюда и
отсюда и
При измерении продольного уклона уровень будет давать правильные показания только при равномерном движении поезда. При измерении поперечного уклона показания уровня будут правильными только на прямолинейных участках пути.
На груз, подвешенный на пружинных весах в вагоне поезда, движущегося по закруглению, действуют две силы: сила тяжести mg и сила натяжения пружины Т (рис. 218). Равнодействующая этих сил дает центростремительную силу 杳mM/R, направленную горизонтально. Из рисунка
следует, что
/отсюда
Т= /(mg)? + (•^У р 49,25 Н.
Рис. 218
При осуществлении виража в горизонтальной плоскости горизонтальная и вертикальная составляющие подъемной силы F
Fx = F sin а = —^―, Fy = F cos a = mg;Fx = F sin а = —^―, Fy = F cos a = mg;отсюдаотсюдасвязаны соотношениями (рис. 219) . mv2
Fx = F sin а = —^―, Fy = F cos a = mg;
Fx = F sin а = —^―, Fy = F cos a = mg;
отсюда
отсюда
v2
tga =, a 弋 22°.
gR
С учетом этого имеем
(mg)2 弋 3175 H.(mg)2 弋 3175 H.
(mg)2 弋 3175 H.
(mg)2 弋 3175 H.
Центростремительное ускорение шарика обеспечивается совместным действием силы тяжести mg и силы натяжения нити Т
(рис. 220). Из рисунка следует, что
ma/R = mgtg а, где R = г + / sin a;
отсюда
Т亭
или
/£ tg a °,
一——а8 рад/e.
/ г + / sin 境
Центростремительная сила m(n2R, необходимая для движения шарика по кругу радиусом К = / sin *, может быть выражена через силу тяжести (см. решение задач 142 -144):
mgtg a = mco2/sin a; отсюда co2 = g/l cos a.
Так как co = 2兀/弋 и / cos ^ = h — расстояние от точки подвеса до плоскости круга, по которому движется шарик, то т = 2к j/%^. Это выражение аналогично формуле периода математического маятника длиной h.
§ 9. Статика
R = 0.
Во втором случае сила натяжения каната Т в два раза больше.
Силу тяжести 尸，действующую на центр масс стержня, можно заменить двумя равными силами 尸/2, приложенными к концам стержня. В первом случае (рис. 221) силу 尸/2, приложенную к стержню в точке Л, разложим на две составляющие:尸〔—силу, действующую в направлении каната АС, и F2 — силу, действующую вдоль стержня и направленную к центру масс стержня. Используя подобие треугольника сил и треугольника АОС, получим силу натяжения канатал Тх и силу 尸2：
& = 一= 98 H,2 ]//2 - L2/4 J# - L2
(P/2)-(L/2) mgL(P/2)-(L/2) mgL= 58,8H.= 58,8H.
(P/2)-(L/2) mgL
(P/2)-(L/2) mgL
= 58,8H.
= 58,8H.
Сила 尸2 и равная ей по модулю сила 尸工 приложенная в точке В, сжимают стержень с силой, равной 58,8 Н.
Во втором случае сила натяжения каната 7\ будет такой же, как в первом случае. Силы F2 и F； будут растягивать стержень АВ с силой, равной 58,8 Н.
Т = F/2 cos (а/2); Т > F при а > 120°.
Q =尸〃4s = 2 кН. Указание. Сила определяется из подобия треугольников ОСВ и О КМ (рис. 222).
T = (mgcosa)/2. При изменении угла а от 0 до 90° сила натя-
жения каната Туменьшается от mg/2 до нуля. Указание. Сила натяжения Т определяется из условия равновесия доски. Сумма моментов
сил Т и mg относительно точки 力 должна быть равна нулю,
т. е. 77 = mg (/ cos а)/2, где I - АВ - длина доски.
Сила тяжести, действующая на свешивающийся конец балки, равна 尸/4 и приложена в точке О (рис. 223). Уравнение моментов сил относительно точки С：
где 丨-длина балки; отсюда
Р — F, или m = F/g = 300 кг.
Обозначим длину плеч коромысла весов через /】и /2- Уравнения моментов сил для первого и второго взвешиваний:
尸L = p 112,尸% =p2厶・
p = I/匕尸2七32 h.p = I/匕尸2七32 h.Из этих двух уравнений находим 尸2 =尸1尸2, ИЛИ
p = I/匕尸2七32 h.
p = I/匕尸2七32 h.
Момент силы, создаваемый грузом, М】=尸1/2. Момент силы F, с которой человек тянет веревку, М2 = F (/ cos а)/4. Сила давления человека на чашу весов равна Р — F cos а, и момент этой силы М3 = (Р - F cos а) //2. Сумма моментов сил, действующих на правое плечо коромысла весов,
М? + М3 =尸(/ cos а)/4 + (P-F cos а)//2.
Очевидно, что Мг > М2 + М3; следовательно, перетянет левая чаша.
Растягивающая сила Fx = F cos а & 866 Н. Изгибающая сила Fy = F sin а = 500 Н.
Так как кирпичи однородны, то точка приложения силы тяжести каждого из кирпичей будет лежать посередине его длины. Первый верхний кирпич еще будет находиться в равновесии по отношению ко второму кирпичу, когда центр масс его расположен на продолжении линии среза второго кирпича, т. е. наибольшая длина свободного конца первого кирпича равна //2.
Центр масс первого и второго кирпичей, взятых вместе, будет расположен от края второго кирпича на расстоянии, равном 1/4. На эту длину и может быть сдвинут второй кирпич относительно третьего.
Центр масс трех кирпичей находится на линии Л С, его положение определится из уравнения (рис. 224)
Р (//2 一 х) = 2Рх; отсюда х = //6,
т. е. третий кирпич может выступать над четвертым не более чем на 1/6 своей длины.
Равновесие нарушится. Для того чтобы восстановить равновесие, необходимо к правому концу балки приложить силу F = mg/4.
Сила F определится из уравнения моментов сил относительно нижнего конца лестницы:
Fl2mgh sin а
mgh tga =——cos а; отсюда F =.
2/ cos2 a
Во втором случае необходимо приложить вдвое меньшую силу.
詈%叶E卜13,7 H.詈%叶E卜13,7 H.Чтобы брусок находился в равновесии на наклонной плоскости, необходимо, чтобы сила трения / = ZN была равна составляющей силы тяжести, направленной вдоль наклонной плоскости (рис. 225): mgh/l = /. Сила нормального давления N =尸 + mg ]//2 — Л2Д Подставляя значения N н / в условие равновесия, получим
詈%叶E卜13,7 H.
詈%叶E卜13,7 H.
+ mgjI ="吆7
Для того чтобы поднять бревно на высоту 刀，необходимо выбрать каждую из веревок на длину 2/. На основании золотого правила механики mgh = 2(Т2), где mgh — работа силы тяжести, Т• 21 — работа силы натяжения одного каната; отсюда Т= mgh/4l ^ 490 Н.
Задачу можно также решить, рассматривая равновесие сил, приложенных к бревну.
Сила, необходимая для того, чтобы дифференциальный ворот был в равновесии, может быть определена из уравнения моментов сил или на основании золотого правила механики. Уравнение моментов
дает
"货R
отсюда
尸=”'g ^Г^ = 24,5 Н.
h = 〃兀（R -尸）=3,14 м.
F = mg/З. Указание. Сила F может быть определена с помощью золотого правила механики и из рассмотрения условия равновесия сил.
Если конец В прикреплен на расстоянии I от центра масс бревна, то конец С должен быть прикреплен на расстоянии 2/ от него. При этом условии точка приложения равнодействующей сил натяжения канатов 尸 н 2尸 будет совпадать с центром масс и бревно будет подниматься, оставаясь горизонтальным.
На груз массой т】действует сила тяжести m^g, силы натяжения нитей, равные m2g и m3g, и сила реакции наклонной плоскости, равная по модулю силе давления N. Условия равновесия имеют вид
（他1 -m2）g cos a = N,（加 1 -m2）g sin a = m3g;
отсюда
m3 = （пц — m2） sin a, N =（叫 —m2） geos a.
Если система находится в равновесии, то равнодействующая приложенных в точке 力 сил m2g и 〃厶g должна быть равна по модулю силе m3g, т. е.
）2 —丈 15кг; cos a = a 56°.
Задачу можно решить иначе. Пользуясь тем, что сумма проекций сил в любом направлении должна быть равна нулю, можно записать
m2gcosa = W]g, w2^-sin a = m3g, откуда определяются m3 и a.
т?=叫/2. Если точку А переместить вправо, то равновесие нарушится: груз т} будет опускаться, груз т2 - подниматься. Указание. Результат легко получается из золотого правила механики или из рассмотрения суммы сил, действующих на подвижный блок.
Чтобы система находилась в равновесии, необходимо, чтобы моменты сил m{g и m2g были равны:
ML = m^g! = М2 = w2^/3； отсюда т2 = 3m! = 9 кг.
Если стержень отклонить на малый угол а (рис. 226) от положения
неодинаковое изменение моментов
равновесия вверх, то произойдетравновесия вверх, то произойдетсил т2g и mg. После поворота момент силы m2g будет М^ =团2^(/ cos а)/3, т. e. М； < < M2. Нетрудно заметить, что это изменение момента М2 обусловлено только изменением направления стержня. При повороте стержня на угол а происходит также и изменение направления силы натяжения 厶= =mig на угол (3, поэтому момент силы 厶 после поворота будет М； = Wig/ cos (a + p).
равновесия вверх, то произойдет
равновесия вверх, то произойдет
На изменение момента М^ влияют оба поворота (стержня и нити) и притом одинаковым образом,、поэтому уменьшение
М! при заданном повороте стержня всегда будет больше уменьшения М2. Результирующий момент М2 — Mi W 0 н будет вызывать вращение стержня по часовой стрелке. Стержень будет стремиться вер
нуться в горизонтальное положение, соответствующее устойчивому
положению равновесия.
Рассматривая изменение моментов М〔 и М2 при отклонении стержня вниз и учитывая также изменение направления силы £, можно показать, что и при отклонении вниз стержень будет стремиться вернуться в положение равновесия.
Центр масс системы лежит на середине биссектрисы угла, в вершине которого находится шарик массой 2m.
Сила тяжести диска до вырезания отверстия может быть представлена как равнодействующая двух сил: силы тяжести вырезанной части и силы тяжести оставшейся части, каждая из которых приложена в центре масс соответствующей фигуры. Это позволяет свести решение задачи о нахождении центра масс сложной фигуры, остающейся после вырезания отверстия, к решению задачи о разложении параллельных сил и к отысканию одной из составляющих сил по заданной равнодействующей и другой составляющей силе.
Сила тяжести Р однородного сплошного диска пропорциональна К? и приложена в центре диска О. Сила тяжести Р〔 вырезанной части
диска пропорциональна г2 и приложена в центре отверстия Л (рис. 227). Сила тяжести Р2 оставшейся части диска равна разности 尸一尸】и приложена в некоторой точке В, расположенной на расстоянии х от точки О.
Из правила сложения параллельных сил следует, что расстояния х и R/2 от точек при
удовлетворять соотноудовлетворять соотноложения сил 尸 1 и 尸2 ДО точки О должны
удовлетворять соотно
удовлетворять соотно
шению
х
R/2R/22х г22х г2отсюдаотсюдаR户2(К2 - г2)'R户2(К2 - г2)'Замечая, что PJP2 = PJ(P ~ ^i) = r2/(R2 — г2), получим
R/2
R/2
2х г2
2х г2
отсюда
отсюда
R户
2(К2 - г2)'
R户
2(К2 - г2)'
§ 10. Закон всемирного тяготения
F = GMm/r2 = 2 • 1020 Н, где гравитационная постоянная G = 6,67- Ю~11 Н • м2/кг2.
Если считать, что один из грузов находится непосредственно у поверхности Земли, то можно получить для сил притяжения, действующих на грузы со стороны Земли, следующие выражения:
МтМт
GGВ'В'尸2尸2
G
G
В'
В'
尸2
尸2
где М = 4冗 pR〃3 — масса Земли (R — радиус Земли), т — масса груза. Разность 尸1 —尸2 определяет ошибку взвешивания:
AL L4 兀a 2R/ + /2
63 у R2 (R + Ip
Так как / « R, то в числителе полученной формулы можно пренебречь членом /2, малым по сравнению с 2R/, и положить в знаменателе R + / 弋 R. В результате имеем
4 兀3 Даир"
A mg = Gpm • 2/; отсюда / =— n 3 м.
38?rGpm
Так как необходимо определить среднее значение силы притяжения, то предположим, что Земля вращается вокруг Солнца по окружности радиусом г. Центростремительное ускорение Земли в этом движении, обеспечиваемое срглой всемирного тяготения,
М4兀 2 产4я2г
& ― — = ——；— = —z—.
г гТ2Г2
По второму закону Ньютона
F = Ма =F = Ма =4к2Мг4к2Мг
F = Ма =
F = Ма =
4к2Мг
4к2Мг
где М = 4?tpR3/3 — масса Земли. Подставляя значение М, получим для силы притяжения Солнца выражение
16兀з pR3「16兀з pR3「3 X3 X^ 4 - 1022 Н.^ 4 - 1022 Н.
16兀з pR3「
16兀з pR3「
3 X
3 X
^ 4 - 1022 Н.
^ 4 - 1022 Н.
Вес тел, находящихся на поверхности Земли, обратится в нуль при такой угловой скорости вращения Земли со, при которой центростремительное ускорение ①?R (R — радиус Земли), соответствующее этой угловой скорости, будет равно ускорению свободного падения тел g, т. е. при
(о2К = g; отсюда со = Уg/R а 1,3 • 10-3 рад/с.
Значение искомой угловой скорости может быть получено также из закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона. Сила тяготения, действующая на тело со стороны Земли,尸= 47tGpRm/3, где р - плотность Земли, m - масса тела.
В случае, когда вес тела на поверхности Земли обращается в нуль, уравнение второго закона Ньютона для тела, вращающегося вместе с Землей с угловой скоростью со, имеет вид
4兀GpRm/3 = m①2& отсюда со = 2|/тг6р/3 % 1,3 • 10~3 рад/с.
(Если Земля вращается с угловой скоростью, меньшей найденного значения, то в левой части уравнения второго закона Ньютона нужно ввести, помимо силы всемирного тяготения, силу реакции опоры, равную по модулю весу тела.)
М = 0)2厂3/6 а 2 • 1027 т. Указание. Для решения задачи следует написать уравнение второго закона Ньютона для движения Земли вокруг Солнца.
gi - g? = 8kGp/i/3 р 7 см/с2. Указание. Путь решения и характер упрощений аналогичны решению задачи 172.
Когда в северном полушарии наступает зима, Земля в своем движении вокруг Солнца проходит точки орбиты, лежащие вблизи перигелия. Летом Земля проходит участки орбиты, расположенные в афелии. Так как в соответствии с законами Кеплера радиус-вектор, соединяющий Солнце с Землей, за равные промежутки времени должен описывать равные площади, то зимой при прохождении участка АВ орбиты (рис. 228) Земля должна двигаться с большей линейной скоростью, чем летом, при прохождении участка CD.
Когда тело находится на расстоянии г от центра Земли, меньшем радиуса земного шара R, сила тяготения, действующая на него со стороны Земли, может быть представлена как сумма двух сил: силы
тяготения, создаваемой шаром радиусом г, и силы тяготения, создаваемой шаровым слоем, заключенным между сферами с радиусами К и г (рис. 229). Покажем, что сила, создаваемая таким слоем, равна нулю для всех точек, лежащих внутри сферы радиусом г.
Рис. 229Рис. 229
Рис. 229
Рис. 229
Сила притяжения, действующая со стороны шарового слоя на тело, помещенное в некоторой точке С (рис. 230), будет являться векторной суммой сил притяжения, создаваемых отдельными элементами шарового слоя. Сопоставим силы притяжения, создаваемые малыми элементами S【и S?, вырезанными из слоя одинаковыми конусами с вершиной в точке С, как показано на рисунке. Так как толщина слоя по предположению всюду одинакова, то объемы, а следовательно, и массы этих элементов будут пропорциональны квадратам их расстояний до точки С, т. е.
mi/m2 = a1 jb2.
Сила притяжения, создаваемая элементом S】：
/1 = Gmmja1,
где т — масса тела. Сила притяжения, создаваемая элементом S2:/2 = Gmm2/b2.
Так как mjm2 = a^b', то отношение этих сил
九//2 =吃m/m242 = 1，т. e. /j = /2.
Проводя аналогичные рассуждения для любых двух других соответствующих элементов шарового слоя, можно убедиться, что все они попарно компенсируют друг друга. Таким образом, результирующая сила тяготения, создаваемая шаровым слоем в целом, должна быть тождественно равна нулю для любой точки С, лежащей внутри сферы радиусом г. Следовательно, сила притяжения, действующая на тело, перемещающееся внутри Земли, будет равна силе притяжения, создаваемой шаром радиусом г, равным расстоянию от тела до центра Земли. Эта сила может быть определена так же, как и сила, действующая на тела, находящиеся на поверхности Земли. Если обозначить
через р плотность Земли и через m — массу тела, то сила притяжения
т4ттргЗ/34 冗
F = G=G pmr,
产 3
т. е. при перемещении тела внутри него действует сила притяжения, расстоянию до центра Земли.т. е. при перемещении тела внутри него действует сила притяжения, расстоянию до центра Земли.Земли от поверхности к центру на убывающая пропорционально егоЗемли от поверхности к центру на убывающая пропорционально его
т. е. при перемещении тела внутри него действует сила притяжения, расстоянию до центра Земли.
т. е. при перемещении тела внутри него действует сила притяжения, расстоянию до центра Земли.
Земли от поверхности к центру на убывающая пропорционально его
Земли от поверхности к центру на убывающая пропорционально его
§ 11. Колебания
При правильном ходе маятник часов в течение суток должен делать N = 24・ 60・ 60/7\ колебаний в сутки (TL — период колебаний маятника). Если после переноса часов период колебаний маятника стал равным 耳，то отставание часов за сутки
At = N(T2-T1).
Период колебаний маятника до переноса часов 7\ = 2冗]/^,
где g] — ускорение свободного падения на высоте подвала. Период колебаний маятника после переноса часов
Т2 = 2W 成，
где gz — ускорение свободного падения на высоте верхнего этажа здания. Отношение периодов
丁丿丁2=^^加・
Из закона всемирного тяготения следует, что g2/gi = R?/(R + Ю2, где R - радиус Земли, h - высота здания. Отсюда следует, что
R + hh
Л = -丁2-丁1=五 丁1・
Отставание часов за сутки
Nh
Дт = —^— 1rl = 2,7 с.
к/% = N^/N； = 4/9.
Маятник не будет совершать колебаний.
Маятник при скатывании тележки совершает одновременно два движения: поступательное ускоренное движение вместе с тележкой относительно Земли и колебательное движение относительно тележки.
Ускорение маятника в поступательном движении обусловливается составляющей силы тяжести mgsina (рис. 231), действующей вдоль наклонной плоскости. Эта составляющая силы тяжести при данных в за
даче условиях не может изменять расположение маятника относитель
Рис. 231 соответствовало бы такомуРис. 231 соответствовало бы такомуно тележки (см. решение задачи 181), а следовательно, не может влиять на период колебаний маятника.
Рис. 231 соответствовало бы такому
Рис. 231 соответствовало бы такому
Колебания маятника относительно тележки будут вызываться только действием составляющей силы тяжести mg cos а, перпендикулярной к наклонной плоскости, т. е. колебания маятника будут происходить так, как если бы на него действовала сила тяжести, равная не mg, a mg cos а. Ускорение свободного падения, которое
значению силы тяжести, должно иметь значение geos а. В соответствии с этим период колебаний маятника на движущейся с ускорением тележке должен быть равен
Т = 27t]///gcos а = Т^ cos а.
Таким образом, период колебаний маятника во время скатывания тележки с наклонной плоскости становится больше.
Когда колеблющееся тело (маятник, груз на пружинке, песчинка на колеблющейся мембране) проходит положение, соответствующее наибольшему отклонению его от положения равновесия, оно имеет наибольшее ускорение. Когда оно приближается к положению равновесия, ускорение постепенно уменьшается и обращается в нуль при прохождении положения равновесия, так как в этот момент обращаются в нуль силы, возвращающие тело в положение равновесия.
Так как время перехода тела из положения равновесия в положение наибольшего отклонения при заданном периоде колебаний остается неизменным при всех амплитудах, а скорость, с которой тело проходит положение равновесия, растет вместе с амплитудой, то при заданном периоде колебаний ускорения тела в крайних положениях должны также расти вместе с амплитудой. (Разные по модулю скорости должны обратиться в нуль за одно и то же время.) Следовательно, песчинки, находящиеся в местах мембраны с меньшей амплитудой колебаний, будут иметь меньшие ускорения, чем песчинки, находящиеся в местах мембраны с большей амплитудой колебаний.
Ускорение песчинок в любой момент времени обеспечивается совместным действием силы тяжести mg и силы давления мембраны F. В тот момент, когда песчинка вместе с мембраной проходит самое верхнее положение, ускорение песчинки а имеет наибольшее значение и направлено вниз. Уравнение второго закона Ньютона для этого
момента имеет вид
mg —尸=ma.
При достаточно большой амплитуде колебаний ускорение а может стать равным по модулю ускорению свободного падения g, и при этой амплитуде сила давления 尸 песчинки на мембрану обратится в нуль. При дальнейшем росте амплитуды силы тяжести будет недостаточно для сообщения песчинке ускорения а > g. Песчинка не будет успевать следовать за движением мембраны, оторвется от нее и будет перемещаться в места мембраны с малыми амплитудами колебаний, где a <g.
Так как амплитуда колебаний, при которой начинается отрыв песчинок, связана только с ускорением свободного падения, то масса песчинок не будет влиять на характер их поведения.
При колебаниях с постоянной амплитудой, но с разной частотой тело должно проходить один и тот же путь в течение разного времени. При увеличении частоты скорость, с которой тело проходит положение равновесия, возрастает, время перехода тела из положения равновесия в положение наибольшего отклонения уменьшается. Следовательно, ускорения тела в крайних положениях при колебаниях с постоянной амплитудой должны возрастать вместе с частотой колебаний. Отрыв песчинок при колебаниях с большой частотой будет начинаться при меньших амплитудах, чем отрыв при колебаниях с малой частотой.
На ареометр, погруженный в жидкость, действуют: сила тяжести mg и выталкивающая сила Архимеда 尸,которая зависит от объема погруженной части ареометра. При равновесии ареометра эти две силы равны друг другу.
Допустим, что ареометр погрузили в жидкость на расстояние h ниже положения равновесия. Тогда выталкивающая сила будет больше силы тяжести на величину phS и будет стремиться возвратить ареометр в положение равновесия. Эта сила будет сообщать ареометру ускорение а = phS/т. Ареометр начнет совершать колебания с амплитудой, равной h. При заданной амплитуде колебаний большим ускорениям в положении наибольшего отклонения колеблющегося тела соответствуют большие частоты колебаний (см. решение задачи 183).
При увеличении массы ареометра ускорение его будет уменьшаться, следовательно, будет уменьшаться частота колебаний. При уменьшении диаметра трубки частота будет также уменьшаться, при увеличении плотности жидкости - расти.
Со стороны каждого из валиков на доску будут действовать силы трения /1 = kN】н/? = kN?, где N】и N2 - силы давления доски на соответствующие валики. Силы /t и /2 направлены так, как показано на рис. 232.
Если в начальный момент центр масс доски сместить от средней линии ОО на некоторое расстояние х, то N * и N?, а следовательно, и силы f и /2 не будут равны друг другу. Так как доска не может совершать движений в вертикальном направлении, то
№ =N2 = wmg,
т. е. ^1 > ^2 и, следовательно,厶 > f2.
Равнодействующая сил /\ и /2 равна / = kmgx/l и направлена в сторону положения равновесия. Доска будет стремиться возвратиться
в положение равновесия. Таким образом, за счет действия сил трения возникнут колебательные движения доски.
§ 12. Гидро- и аэростатика
h =尸o/pog Q 10,2 м. Указание. Вода будет подниматься за поршнем до тех пор, пока давление, создаваемое столбом волы, не станет равным атмосферному.
Ро = Р 4- ро凶 ^ 2,11 МПа.
尸=ро加S в 14,7 Н.
Р0 = Р~ 尸/кг?才 100 кПа.
р = hopo/h = 0,83 • 103 кг/м3.
Давление на отдельные элементы боковой поверхности сосуда (измеряемое высотой столба жидкости) изменяется от 0 до pgh пропорционально расстоянию этих элементов от свободной поверхности жидкости. Поэтому для расчета полной силы давления на боковую поверхность следует взять среднее значение давления, равное pgh/2. Сила давления на боковую поверхность сосуда пропорциональна 2nrh • h/2. Сила давления на дно сосуда пропорциональна п户h. Из равенства этих сил получим, что А = г.
Давление в трубке на уровне крана 4 будет меньше атмосферного. Поэтому при открывании крана атмосферное давление не позволит выливаться жидкости. Через кран А в трубку будет поступать воздух до тех пор, пока внутри трубки не установится атмосферное давление и пока жидкость не опустится до первоначального уровня.
Р = 198 кПа.
Вода в трубке будет подниматься до тех пор, пока давление образующегося столба воды не будет уравновешивать давление, создаваемое поршнем. Давление, создаваемое поршнем,
Р =七 8,3 кПа.
兀(屋一产)，
В. Г. Зубов, В. П. Шальнов161
Высота столба воды определится из равенства
РоУ1 = R т. е. h = Р/pog а 85 см.
Высота слоя воды h0 и высота слоя ртути 力 определяются из соотношений
hQ + h = Н, "оро = 6р.
Давление (в миллиметрах ртутного столба)
Р = hopo/p + h = 2h = 2Нр0/(р + Ро) = 40 мм рт. ст.
При наливании воды уровень ртути в первом сосуде переместится вниз на расстояние 厶,во втором — вверх на такое же расстояние. Давление образующегося при этом столба ртути высотой 2h будет уравновешиваться давлением, создаваемым столбом воды и плавающим в нем телом, т. е. при равновесии будет иметь место равенство
2pN? = (m。+ m)g/S； отсюда h = (m0 4- wi)/2pS ^ 3,7 см.
厶° = hp/po = 18 cM.
Если смещения уровней ртути в левом и правом сосудах обозначить через /ц н J??(刀 1 + 万2 = 〃) 11 давление измерять в миллиметрах ртутного столба, то условие равновесия жидкостей примет вид
% +厶= /loPo/P・
Условие несжимаемости жидкости является выражением постоянства объемов ртути, переходящих из левого сосуда в правый:
где S] и S? — площади поперечных сечений левого и правого сосудов, связанные по условию задачи соотношением S?= 16sl. Из этих уравнений получаем
厶=^opo/l7P = 0,3 см, /ц = 16/iopo/17p = 4,8 см.
При наливании воды уровень ртути в левом колене опустится на высоту Н, а в правом поднимется на высоту h = Н/3. Высота столба воды будет 厶о + Н; высота уравновешивающего его столба ртути будет Н + h. Равновесие наступит при соблюдении равенства
Ро(〃о + Н) = р(Н + 6); отсюда h = /ioPo/(4P ~ 3Ро) ~ 0,6 см.
Так как по условию оба колена трубки имеют одинаковую высоту, то можно не рассматривать равные по высоте столбы жеро- сина, расположенные выше уровня воды. Уровень ртути в трубке с водой будет стоять ниже уровня ртути в другом колене (так как плотность керосина 自 меньше плотности воды р0). Если обозначить разность уровней ртути в обоих коленах через h, то условие
равновесия жидкостей в трубке запишется так:
"о Ро =厶 Р + (厶О - m рк, отсюда h = —~™ h0 2 0,5 см.
Р ~ Рк
m = р0И = 50 г, где р0 — плотность воды.
V = ш/ро = 75 дм3.
р а (4р2 卩 + 4tiD dlp^InD2! = 1,5 • 103 кг/м3. Указание. Считать d《D и при вычислении объема стекла пренебречь членом ~d? по сравнению с Dd.
Обозначим часть объема шара, находящуюся в верхней жидкости, через 匕，в нижней - через %, тогда Р =匕 + %• На каждую из этих частей шара действуют: силы тяжести Fjp и К2р, а также выталкивающие силы Архимеда ^pj и К2р2- Так как шар находится на границе жидкостей в равновесии, то сумма всех этих сил равна нулю, т. е. (乙 + 卩2)Р= Р1Р1 + Р2P2； отсюда Рр= %Р1 +(Р- Р\)р2, ИЛИ
Р1 = Р(Р2-Р)/(Р2-Р1)・
Аналогично находим, что、
% = P(P-PJ/(P2-PJ
Проверку полученных формул можно произвести методом предельных переходов. Предположим, что плотность материала шара равна плотности верхней жидкости, т. е. р = р「Подставляя р = pt в выражение для 匕，получим
匕= P(P2-PJ/(P2-PJ=K
т. е. шар находится в верхней жидкости. Тот же результат получим, подставив р = pi в выражение для V2:
% = P(Pi - Pi)/(P2 - Pi) = 0・
Предположим, что плотность материала шара равна плотности нижней жидкости, т. е. р = р2. Получим Kt = 0 и К2 = К, т. е. шар плавает в нижней жидкости.
Так как 匕=% (см. решение задачи 204), то
Р(Р2 - Р)/(Р2 一 Pl) = HP - Р1)/(Р2 - Р1)，ИЛИ р2 - Р = Р - Р1；
отсюда 2р = р2 + pi, или р = (р2 + pJ/2 = 7,25 • 103 кг/м3.
Из условия задачи следует, что масса вытесненной ртути m = 0,25 рР, где V — объем тела. Если и — часть объема тела, остающаяся в ртути после заливания водой, то условие равновесия тела запишется в виде
ри + Ро (Р — и) = 0,25 рК; отсюда и = ^^———К = 0,19 КР- Ро
р = poPiAPi - Р?)之 2,5 • 103 кг/м3.
р = (3/2) ро = 1,5 -103 кг/м3.
Перетянет чашка с серебром.
V = [В (1 - ро/р) - Pj/Pog 弋 13,2 см3.
展 Р/(р- po)g = 60 см3.
m = P/g « 11,1 г. Указание. Если Р - вес ртути, то должно иметь место равенство (плотностью воздуха пренебрегаем)
Р Pi — Р Р1 — Р 2и
1£=— = Vg, где V — объем термометра.
Р РсРо'
р2 = 2р! = 1,8 • 103 кг/м3.
При перемещении в воде тело подвергается одновременному действию силы тяжести и гидростатических сил. Работа гидростатических сил, так же как и работа силы тяжести, не зависит от формы пути. Поэтому можно ввести понятие потенциальной энергии тела, находящегося под действием гидростатических сил.
При подъеме тела на высоту Я произойдет увеличение его потенциальной энергии за счет действия силы тяжести на Vpgh и уменьшение его потенциальной энергии за счет действия гидростатических сил на Ppog瓦 Полное изменение потенциальной энергии тела
AL = F>(p- Ро).
Если р > ро, то AUi > 0 — энергия тела увеличится. Если р V р0, то △ U] < 0 — энергия тела уменьшится.
Подъем тела на высоту h сопровождается перемещением объема воды V вниз на такую же высоту. При этом потенциальная энергия этого объема в поле силы тяжести уменьшится на Vр0^А, а энергия за счет гидростатических сил увеличится на Ppogh. Следовательно, полная потенциальная энергия воды останется неизменной:
А/ = 0.
m° = m + рв (% — m/p) * 0,451 кг.
Когда разновес сделан из материала той же плотности, что и взвешиваемое тело.
Для плотностей воздуха р0, углекислого газа р】и воды р2 получаются соотношения
Отсюда для плотности углекислого газа, массы и объема сосуда получим
р「1?!^о)Р^1,94 …
m2 - m0
加=也&二弟=0,128 кг,л.
Pl — РОР2 ~ РО
尸=ро^У- Р в 764 Н; р = P/gP= 0,5 кг/м3.
Плотность смеси определяется из соотношения
⑴⑴%Р1 + Р2P2k (匕+行
⑴
⑴
где Vx и 叱—объемы воды и спирта, р】и р2 — их плотности, К = =0,97 — коэффициент уменьшения объема смеси. Числитель и знаменатель соотношения (1) определяют соответственно массу и объем смеси. Отсюда для отношения объемов воды и спирта получаем
匕 _ Кр-р2
Pi-Kg
Плотность смеси должна быть такой, чтобы вес объема V = =5 л этой смеси был равен весу шара с воздухом. Вес шара с воздухом равен pogP + Р. Если % — объем воздуха, вошедшего в смесь, то вес смеси равен pQgKo + pg (К — %)• Условие равновесия шара запишется так:
PogP + Р = Pog% + Pg (Р -九)；
о гсюда
p =/+ ——f——Л 2,78 л, т. е. -五一=空厶10:8.g(Po-p)V-Уо 2,22
Вначале уровень воды будет равномерно подниматься до вы
соты 厶「После достижения высоты h* часть жидкости начнет сливать
Рис. 233Рис. 233с обрезом трубки В. Послес обрезом трубки В. Послеся через сифон. После заполнения водой всего поперечного сечения верхней части сифонной трубки уровень воды начнет понижаться, так как по условию задачи скорость истечения воды из трубки 5 больше, чем из трубки А. Понижение уровня будет продолжаться до тех пор, пока уровень не достигнет высоты Я2, совпадающей
Рис. 233
Рис. 233
с обрезом трубки В. После
с обрезом трубки В. После
этого весь процесс начнется сначала, т. е. уровень воды будет совершать периодические колебательные движения (рис. 233).
П. ТЕПЛОТА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
§ 13. Тепловое расширение тел
Одному полному обороту часовой стрелки соответствует определенное число ^ колебаний маятника. При точном ходе эти N колебаний совершаются за время т = 1 сут = 24 ч. По условию
задачи
N
24 • 60 • 60
2兀｝/^/g
При изменении температуры на At длина маятника будет равна / = /0 (1 + а Дг), и период колебаний маятника изменится на величину
Т-Т-2冗/ 一厶2冗/ 一厶兀/ —厶 冗a/0Arg 辰 ~ g P^*兀/ —厶 冗a/0Arg 辰 ~ g P^*
Т-
Т-
2冗/ 一厶
2冗/ 一厶
兀/ —厶 冗a/0Ar
g 辰 ~ g P^*
兀/ —厶 冗a/0Ar
g 辰 ~ g P^*
За т = 1 сут часы отстанут или убегут на время
,.24-60-60 冗 aZ0At
“(Т - Г。)=尸=三==12 • 60 • 60a At = 8 с
24/盛 g VUg
Если бы стержень был свободен, то при нагревании на Ах его длина увеличилась бы на величину
)—к = а/0Дг.
Так как по условию задачи расстояние между опорными плитами остается неизменным, то величина / - /0 будет определять собой деформацию сжатия стержня, возникающую во время нагревания. По закону Гука сила давления стержня
尸=ES Lz_L = ESa Az = 33,99 кН.
При температуре t。= 20 ℃ длина 180 делений штангенциркуля /0 = 180 мм. При температуре t = 10 ℃ длина 180 делений штангенциркуля / = /0 (1 + a At), где А£ - разность температур, т. е. измеренная при 工=10 ℃ длина стержня будет меньше истинной его длины на величину А/ = /оа Ах а 0,02 мм.
Увеличение диаметра, вызванное нагреванием детали, aJ0 (е — —，о) = 38,5 мкм, т. е. превышает допускаемые отклонения. Поправки следует вводить.
Длины железного и медного цилиндров при любых температурах :
G = ко(1 + % At), % = ‘20 (1 + 仪2厶"(1)
По условию задачи
Ij - 12 = А/, /10 - ?20 ^ д?-(2)
Из ⑴ и ⑵ получим
Go/^10 = ai/a2，⑶
т е. начальные длины цилиндров должны быть обратно пропорциональны коэффициентам линейного расширения. Из (3) и (2) следует,
что
厶0 =?— Д/ = 28,3 см, /20 =————Д/ = 18,3 см.
«2%
Так как по условию латунная шкала выверена при температуре t0 = 0℃, то длине L = 760 делений шкалы при температуре t = 18℃ будет соответствовать длина ртутного столба
(=L(1 + а Ае).
Столб ртути высотой / будет создавать давление Р = р/, где р — плотность ртути при температуре £ = 18°C. При температуре t0 = 0℃ такое же давление будет создаваться столбом ртути высотой /0: Р = р。/。， где р0 - плотность ртути при температуре tQ = 0 ℃. Так как р = = Ро/(1 + ВА£)，то истинное давление, выраженное в миллиметрах ртутного столба, при температуре £()= 0 °C будет равно
/а = —/ = L 丄 土二勺=757,8 мм рт. ст.
Ро 1 + В 加
Объемы, занимаемые сосудом и шаром, будут одинаковы при всех температурах. Изменение объема при нагревании
Г - К0 = рИ0Дг = 1Д4см3.
Указание. Изменение полного объема тела при нагревании не зависит от наличия полостей внутри тела и рассчитывается по обычной формуле объемного расширения: Р = Р° (1 + В At), где В = Зое — коэффициент объемного расширения.
Р = Во^о/В = 3儿/8 (см. решение задачи 226).
Объем сосуда при температуре %=Q°C:
匕)=то/ Р'
где р — плотность ртути. Объемы сосуда и ртути после нагревания на Лг= 1℃:
八=儿(1 +瓦加)，% =%(1 + "加)・
Рис. 234Рис. 234В результате для изменения объема и массы вытекшей при нагревании ртути имеем
Рис. 234
Рис. 234
匕一%=匕他一b№,
Aw = p% (₽2 一 Pi) А，=巾0 (₽2 - Pi) Ах « 0,1 г.
Для ответа на поставленные вопросы следует рассмотреть аэростатическое давление, создаваемое столбами воздуха в точках А и В шахты (рис. 234).
Полное давление в этих точках складывается из трех частей: а) давления столба воздуха над уровнем DD', одинакового для точек
Л и В; б) давления столбов СА и С В (эти давления также одинаковы, так как одинаковы температуры, а следовательно, и плотности воздуха); в) давления, создаваемого столбами CD и CD'.
Допустим, что постоянная по условию задачи температура возду
ха в шахте ниже температуры наружного воздуха летом и выше температуры этого воздуха зимой. При этом условии летом в столбе CD температура воздуха будет выше, а плотность воздуха меньше плотности воздуха в столбе CD'. Следовательно, давление, создаваемое столбом C'D', летом будет больше давления, создаваемого столбом CD. Между точками 力 и В будет существовать некоторая разность давлений, которая нарушит равновесие воздуха в шахте и вызовет его движение от точки В к точке 4 Летом воздух будет входить в отверстий шахты, лежащее на более высоком уровне, и вытекать из отверстия,
лежащего ниже.
Рис. 235Рис. 235Зимой плотность воздуха в столбе CD и давление, создаваемое этим столбом, будут больше плотности воздуха и давления, создаваем мог о столбом CD', и поэтому воздух будет двигаться в обратном направлении 一 от точки А к точке В.
Рис. 235
Рис. 235
Зимой воздух будет входить в нижнюю штольню и вытекать через верхнюю. Летом воздух будет двигаться в обратном направлении. Направление движения воздуха будет определяться соотношением давлений, создаваемых в нижней штольне столбами воздуха DA и СВ
(рис. 235). Зимой плотность воздуха в столбе D4 и давление, создаваемое им, будут больше плотности воздуха и давления в столбе СВ. Поэтому воздух будет двигаться от точки Л к точке В.
14. Колз<чество теплоты. Теплообмен
6-0℃.
Плотность чугуна в момент погружения в сосуд р = m/V связана с плотностью его при температуре % = 0°С соотношением р = = Po/(l + Rt)・ Отсюда по известным р и р0 может быть определена температура чугуна:
£= Р。- Р 二 Уро — 加рр pm
Масса растаявшего льда определяется из уравнения теплового баланса:
тс шс Кр0 — m=1 =^ 64 г.
г г Вт
.入=红с"-厶)2,24 МДж/кг.
. Необходимое для парообразования тепло может быть получено только за счет тепла, освобождающегося при замерзании воды. При замерзании массы тл воды выделится количество теплоты тлг. За счет этого тепла образуется масса пара 团口 — т“г/入.Если т = тА + 4- тп — масса воды до откачивания сосуда, то масса образовавшегося льда
入
тл =m н 0,87m,
r +九
т. е. примерно 87 % первоначальной массы воды.
§ 15. Законы идеального газа
Р7Т=Ро/То； см. рис. 236.
Р/Т =尸о/Т。； см. рис. 237.
При заданной температуре и большом давлении газ займет меньший объем, чем при той же температуре, но малом давлении.
Чем больше давление, при котором идет изобарный процесс, тем меньший угол с осью абсцисс образует изобара на графике V — Т (рис. 238).
При заданной температуре данная масса газа будет создавать тем большее давление, чем меньше объем сосуда, в который заключен газ. При нагревании газа в малом сосуде давление будет нарастать быстрее, чем при нагревании в большом сосуде. Изохора, соответствующая малому объему, будет составлять с осью абсцисс на графике Р — Т больший угол, чем изохора, соответствующая большому объему (рис. 239).
Изотерма, соответствующая более низкой температуре, на графике Р — V располагается ближе к началу координат (рис. 240).
См. рис. 241-243.
См. рис. 244-246.
См. рис. 247-249.
Для определения характера изменения температуры газа следует провести на чертеже изотермы, проходящие через начальную и конечную точки / и 2 и некоторую точку 3 (рис. 250). Относительное расположение изотерм определяет соотношение температур в этих точках: на участке 1—3 газ нагревался, на участке 3 — 2 охлаждался.
Для определения характера изменения объема газа во время нагревания следует провести на чертеже изохоры, проходящие через начальную и конечную точки 7 и 2 (рис. 251). Точка 2 лежит на изохоре, которая составляет с осью абсцисс меньший угол, чем изохора, проходящая через точку 1; следовательно (см. решение задачи 239), в точке 2 газ занимал больший объем, чем в точке 1. Нагревание производилось при увеличении объема газа.
Для определения характера изменения давления необходимо провести изобары, на которых лежат точки / и 2 (рис. 252}. Точка 7 лежит на изобаре, которая составляет с осью абсцисс меньший угол, чем изобара, проходящая через точку 2; следовательно (см. решение задачи 240), в точке 1 газ находился под большим давлением, чем в точке 2. Нагревание производилось при уменьшении давленйя газа.
При заданной температуре масса 2m газа производит в два раза большее давление, чем масса т газа, заключенного в том же объеме (рис. 253). Изохора для массы 2m газа составляет с осью абсцисс больший угол, чем изохора для массы m газа, причем tg р = 2 tg а.
Если 尸1, У】и Т! — давление, объем и температура массы т газа, а Р2» К2 и 7^ — давление, объем и температура массы 2掰 газа, то всегда будет иметь место соотношение
=2
(см. решение задачи 248). При равновесии поршня Tj = Т2 и Pt = Р2; следовательно, поршень должен расположиться так, чтобы V2 = 2КП т. е. масса газа 2m будет занимать 2/3 объема цилиндра.
При одинаковых массах газ с молярной массой 2М содержит вдвое меньше молекул, чем газ с молярной массой М. Если температуры газов одинаковы, то будут одинаковы средние энергии молекул обоих газов. Для того чтобы газы в этих условиях создавали одинаковое давление, необходимо, чтобы было одинаковым число ударов молекул, приходящихся на единицу поверхности сосудов. Это возможно только тогда, когда более тяжелый газ занимает меньший объем. Следовательно, при одинаковых давлениях и температурах масса m тяжелого газа занимает меньший объем, чем масса т легкого газа.
Рис. 242Рис. 243Рис. 244
Рис. 248Рис. 249Рис. 250
Рис. 253
Рис. 251
Рис. 252
Изобара тяжелого газа на графике V—T идет более полого, чем изобара легкого газа (рис. 254).
Для решения задачи необходимо провести через точки 1 и 2 изобары, соответствующие постоянным массам газа (рис. 255). Изобара, на которой лежит точка I, проходит более круто, чем изобара,
Рис. 256Рис. 256Рис. 257Рис. 257
Рис. 256
Рис. 256
Рис. 257
Рис. 257
на которой лежит точка 2. Следовательно (см. решение задачи 248), масса газа в состоянии 1 была больше, чем масса газа в состоянии 2.
См. рис. 256 и 257.
Коэффициент объемного расширения газа а определяет увеличение объема газа при нагревании на 1 ℃ по отношению к объему, занимаемому газом при г0 = 0℃ температурной шкалы Цельсия. Но температура т0 = 0°D по шкале Делиля соответствует температуре кипения воды f = 100 ℃ по шкале Цельсия. Следовательно, пользуясь обычным определением коэффициента объемного расширения газа, следует относить все изменения объема к объему, занимаемому газом при температуре кипения воды.
Так как lcD=(2/3)℃ и 叫=(1/273) % = (1/373)匕。。=办匕。。, то коэффициент объемного расширения газа для шкалы Делиля будет
2211
otn = — oti = — • * i
D 33 373560
и уравнение закона Гей-Люссака запишется в виде
⑴⑴展汽（1+а»）,
⑴
⑴
где Kq - объем, занимаемый газом при т0 = 0 °D по шкале Делиля, ат — температура в градусах Делиля.
Если же по-прежнему относить изменения объема газа к объему, занимаемому газом при температуре таяния льда (т. е. так же, как это делается при измерении температур по шкале Цельсия), то будет необходимо :а) определить коэффициент объемного расширения газа как число, показывающее увеличение объема газа при нагревании его на 1 °D по отношению к объему, занимаемому газом при температуре %= — 150°D; б) положить значение коэффициента а^； равным
2211
= — a =и-.
33 273410
При этом уравнение закона Гей-Люссака примет вид
У = Р-150 [1 +“за+ 150)].(2)
Нетрудно убедиться, что уравнения (1) и (2) приводят при расчете объема газа к одинаковым результатам.
Из закона Гей-Люссака имеем
叱 ц0
=—--278К ^ 295К,
где Pi и V2 — объемы, занимаемые газом в приборе до и после нагревания. Температура помещения г2 * 22 ℃.
Ро =厶匕/(匕 一 ％) = 750 мм рт. ст.
p0= 2力亿一方)/(L一 2力)=710 мм рт. ет.
h2 = (]/Р^ + 4尸。儿一尸о)/2 力 21,8 см.
h = 15,8 см. Указание. Из условия равновесия и закона Бойля 一 Мариотта для воздуха в трубке получается уравнение
LP о =厶[尸0 + /i — (A + /г)]-
96% первоначального объема. Указание. Воздух в стакане после погружения будет находиться под давлением Р° + mg/S.
Истечение ртути через сифон будет продолжаться до тех пор, пока давление, создаваемое ртутью в точке С внутри трубки (рис. 258), будет больше атмосферного. Допус
Рис. 258Рис. 258тим, что уровень ртути в сосуде понизился на величину h и при этом давление воздуха в сосуде стало равным 尸.Очевидно, такое же давление Р установится и в трубке на уровне АА\ соответствующем свободной по- верхности ртути в сосуде.
Рис. 258
Рис. 258
Давление Р', создаваемое ртутью в точке С на выходе из трубки, будет слагаться из давления Р и давления
столба ртути А'С = Н -儿 т. е. будет равно Р' = Р + Н — 儿 где Н - начальная высота уровня ртути в сосуде. По мере понижения уровня ртути в сосуде давление Р и вместе с ним Р' будут уменьшаться, и в момент прекращения истечения жидкости Р'=尸°, где Ро — атмосферное давление. Отсюда давление воздуха в сосуде в момент прекращения истечения ртути будет
P^PQ-(H-h).
По условию задачи в начальный момент в сосуде было давление Ро и объем воздуха, пропорциональный Н. Объем воздуха в момент прекращения истечения ртути будет пропорционален Н + h. Из закона Бойля — Мариотта следует, что
Р°Н = Р(Н + 恥 или РоН = [%-(Н-〃)](" + 〃)•
Подставляя числовые данные и разрешая уравнение относительно 厶, найдем понижение уровня ртути и затем давление в сосуде к моменту прекращения истечения ртути:力=15 см, Р = 600 мм рт. ст.
Обозначим через /0 — длину трубки, занимаемую газом в каждой из половин трубки при ее горизонтальном положении. Если Pt и 尸2 — давления газа в верхней и нижней половине трубки после того, как ее расположили вертикально, можно записать уравнения изменения состояния газов в каждой из половин в виде
I。尸О = (‘О + I)匕，％РО = Со — !)尸2，ГДе 尸2 = Р1 + 瓦
Решение этой системы дает I 2 4,5 см.
Пользуясь равенством масс газа и тем, что давления в обеих частях цилиндра после смещения поршня на величину I будут одинаковы, можно применить закон Гей-Люссака и получить соотношение L — / L + I
=;
г。 т отсюда
/ =————L = 2 см, Р = —^-- Ро = 798 мм рт. ст.
Т+ТоL-1 0у
До t = 663℃. Указание. При решении задачи учесть, что давление в трубке до нагревания равно (750 — 50) мм. рт. ст., после нагревания равно (750 + 50) мм рт. ст.
Моль любого газа при температуре То = 273 К и давлении 尸о = 101,325 кПа занимает объем Ко = 22,4» 10-3м3. Следовательно,
RRр。%Т。р。%Т。101,325 кПа-22,4 -IO" Зм101,325 кПа-22,4 -IO" Зм273 К273 К=8,31 Дж/К.=8,31 Дж/К.
R
R
р。%Т。
р。%Т。
101,325 кПа-22,4 -IO" Зм
101,325 кПа-22,4 -IO" Зм
273 К
273 К
=8,31 Дж/К.
=8,31 Дж/К.
На сосуд без отверстия во все время погружения будет действовать постоянная выталкивающая сила Архимеда 尸】=pg匕 где р — плотность воды, V — объем сосуда. По мере погружения сосуда с отверстием вода будет проникать в него, сжимая находящийся в нем
воздух. В соответствии с этим будут уменьшаться объем вытесняемой этим сосудом воды и выталкивающая сила Архимеда 尸？• Следовательно, и работа, совершаемая против этой силы, будет в любой момент меньше, чем работа, совершаемая против силы 尸「
Конечная температура газа Т определяется из закона Гей- Люссака (К = 2К0):
Т=%% = 2То・
Количество теплоты находим из уравнения
2 = mcp (Т — То) = vMcpT0 = 7,973 кДж.
Давление, под которым находится газ, Р = m0s. Если при нагревании на ДТ = 1 К поршень поднялся на высоту 方,то газ совершает работу
4 = mgh = PSh.
Но Sh равно приращению объема газа V — Р°, вызванному поднятием поршня; следовательно,
A^PiV-V^.
Уравнение состояния идеального газа дает
PPo = RT。，РГ = К(Т0 + ДТ);
отсюда А =尸Р - PVQ = RAT
4 =詈(展几)=88 Дж.4 =詈(展几)=88 Дж.ОТ VqОТ Vqдо V давление газадо V давление газаТеплота, отбираемая от нагревателя, будет расходоваться не только на повышение температуры газа, но и на совершение работы по поднятию поршня. При нагревании объем газа увеличится до К = =ТИ0/Т0 = 11,65 л. Газ при расширении совершает работу (см. решение задачи 267)
4 =詈(展几)=88 Дж.
4 =詈(展几)=88 Дж.
ОТ Vq
ОТ Vq
до V давление газа
до V давление газа
Количество теплоты, затраченное на нагревание газа,
0 = Су(Т- К) + 力力 297 Дж.
Теплота, подводимая к газу, расходуется на совершение внешней работы при расширении газа.
изотермическом (рис. 259);изотермическом (рис. 259);При изобарном расширении. Указание. При всех значениях объемов в изобарном процессе будет больше, чем в
изотермическом (рис. 259);
изотермическом (рис. 259);
в изобарном процессе будет больше и работа, совершенная газом (см. решение задачи 267).
Температура газа будет понижаться за счет превращения части внутренней энергии газа в работу, совершаемую при расширении.
§ 16. Силы поверхностного натяжения
Поверхностные натяжения спиртов будут относиться к поверхностному натяжению воды, как 7,2:13 и 13,2:13; г 0,2 MM.
От начала заполнения водой до момента времени Л (рис. 260) уровень воды будет равномерно подниматься в капилляре (кривая А,) и оставаться неподвижным в широкой трубке (кривая h2). Разность
уровней h - h2 будет непрерывно возрастать (рис. 261). В момент времени 4 разность уровней достигнет величины
〃о = 2ос/，・
С этого момента до момента времени В уровни в капилляре и широкой трубке будут подниматься с одинаковыми скоростями, а разность уровней будет оставаться постоянной и равной Ао. В момент времени В уровень воды в капилляре достигнет конца капилляра и остановится на высоте h (см.рис. 260).
От момента В до момента D уровень воды в широкой трубке будет непрерывно подниматься. В капилляре уровень воды будет оставаться неизменным, но будет меняться форма мениска — от вогнутой радиусом г (в момент В) до плоской (в момент С) и выпуклой — радиусом г (в момент D). Разность уровней на участке ВС будет уменьшаться до нуля, на участке CD изменит знак и будет возрастать до значения к。. В момент D вода начнет выливаться из капилляра и все уровни, начиная с этого момента, будут постоянны. Наибольшая высота подъема воды в широкой трубке равна h + h0. Наибольшая разность уровней равна h0.
Двигатель действовать не будет. Вода из воронки выливаться не будет. Как только вода войдет в воронку, начнет увеличиваться радиус кривизны мениска и в соответствии с этим будет происходить постепенное уменьшение сил поверхностного натяжения. Вода в воронке дойдет лишь до сечения с таким радиусом R, в котором силы поверхностного натяжения будут в точности уравновешивать вес столба воды высотой h. Радиус этого сечения определится из соотношения
2 冗 Rot = nr2pght или R = pgh 产 /2в.
Действие сил поверхностного натяжения принципиально должно сказываться на положении ареометра. В случае смачивающей жидкости силы поверхностного натяжения дают равнодействующую, направленную вверх и приложенную к частицам жидкости, расположенным около ареометра. По третьему закону Ньютона на трубку ареометра должна действовать такая же по модулю сила, но направленная вниз. Ареометр должен занимать более низкое положение, чем в отсутствие сил поверхностного натяжения.
В результате уменьшения поверхностно: о натяжения после наливания эфира ареометр должен немного подняться, т. е. должен показать несколько большую плотность, чем он показывал до наливания эфира.
Силы поверхностного натяжения действуют на внешнюю и внутреннюю поверхности трубки. Учитывая тонкость стенок и предполагая в первом приближении, что радиусы кривизны поверхности жидкости у стенок капилляра одинаковы и снаружи и внутри трубки, можно считать одинаковыми и силы, действующие на внутреннюю и внешнюю поверхность трубки. Сила, действующая на внутреннюю поверхность, равна весу воды, поднятой в капилляр силами поверхностного натяжения, а изменение веса капилляра равно удвоенному весу этой воды. Отсюда
г = 〃宕/4兀а ^ 1,5 мм.
Ртуть хорошо смачивает чистый свинец. Плотно сложенные листы свинца образуют тонкие капиллярные каналы и щели, по которым ртуть за счет действия сил поверхностного натяжения поднимается подобно воде в капиллярных стеклянные трубках.
尸=2а1 = 4,8 мН, A — Fs —96 мкДж. При увеличении поверхности пленки работа внешних сил превращается в потенциальную энергию пленки, связанную с действием сил поверхностного натяжения. Эту энергию называют поверхностной энергией. При уменьшении поверхности пленки происходит уменьшение поверхностной энергии, превращение ее в работу сил поверхностного натяжения и затем в другие виды энергии: потенциальную энергию сил, удерживающих подвижную сторону рамки, и тепловую энергию.
На рамку будет действовать в первые моменты сила 尸=(% - а2) / (рис. 262). Рамка начнет двигаться в направлении силы Е
Вода не будет выливаться из решета при соблюдении двух условий:
а) нити решета не смачиваются водой; б) вы- рис. 262 сота слоя воды h в решете не превышает hQ =
=2a/pg(d/2)弋 3 см. Если высота решета меньше 6°, то воду вылить можно, если больше 厶°, то при наклоне решета у его нижнего края
образуется слой воды, превышающий по высоте А。，и вода начнет проливаться сквозь отверстия сетки решета.
На жидкость со стороны стенок капилляра действует сила 尸=2口ос. По третьему закону Ньютона такая же по модулю сила, но в противоположном направлении будет действовать со стороны жидкости на капилляр. Потеря в весе для случая смачивающей жидкости будет меньше потери, рассчитанной по закону Архимеда. В случае несмачивающей жидкости она будет больше. Значит, потерю в весе капилляра рассчитывать по закону Архимеда нельзя: необходимо вносить поправку на действие сил поверхностного натяжения,
Высота поднятия жидкости в капилляре 力=2а/р&. Работа, совершенная при этом силами поверхностного натяжения, А = Fh — =4ла2/pg. Потенциальная энергия жидкости после поднятия ее в капилляре
U = 工=pgnr2h — =~или U =—.
22 Pg2
В потенциальную энергию жидкости превращается только половина работы сил поверхностного натяжения. Вторая половина расходуется на работу против сил трения и превращается в тепло. Если бы силы вязкости и трения о стенки отсутствовали, то уровень жидкости совершал бы в капилляре гармонические колебания около высоты 厶 как положения равновесия.
Жир впитывается в бумагу быстрее потому, что капиллярные каналы в непроклеенной бумаге значительно меньше, чем в материи.
Дополнительные давления, возникающие в пузырьках воздуха внутри жидкости за счет действия сил поверхностного натяжения, можно определить из следующих простых соображений. При соприкосновении конца капилляра с поверхностью жидкости последняя под* нимается в капилляре на высоту h = 2а/pgr под действием силы поверхностного натяжения F = 2兀лх, направленной вверх. При этом сила 尸 уравновешивается весом столба жидкости высотой h.
Если в капилляре над поверхностью жидкости создать дополнительное давление
А 尸=尸/S = 2та/兀产=2а/j(1)
где S = пг2 - площадь поперечного сечения капилляра, то действие сил поверхностного натяжения будет уже полностью уравновешиваться силой избыточного давления воздуха в капилляре, а вес столба жидкости в капилляре останется неуравновешенным. Поэтому уровень жидкости в капилляре должен будет опуститься до первоначальной высоты и на конце трубки образуется пузырек воздуха — полусфера радиусом R, равным радиусу капилляра г. Искомое давление в пузырьке
⑵⑵ДР = 2a/R,
⑵
⑵
где R — радиус пузырька. Можно показать, что это выражение всегда определяет избыточное давление, создаваемое силами поверхностного натяжения в замкнутых пузырьках внутри жидкости.
Из выражения (2) видно, что давление в пузырьке уменьшается с увеличением радиуса пузырька. Из непосредственного рассмотрения процесса образования пузырька на конце капилляра следует, что наименьшее значение радиуса пузырька равно радиусу капилляра. Следовательно, при расчете а по данным задачи необходимо в расчетную формулу а = А尸R/2 подставить вместо R значение радиуса капилляра, Т，е，а = ДРг/2 = О,О7ОН/м.
Обозначим через 厶】и 〃？ высоты уровней ртути до откачки воздуха. Ртуть в трубке будет находиться в равновесии, если в сечении АВ (рис. 263) давления, создаваемые столбами ртути с обеих сторон, будут равны. Полное давление в сечении АВ с каждой стороны складывается из давления pgh, создаваемого весом столба ртути, и давления, создаваемого силами поверхностного натяжения и равного
F/S = 2яга/лг2 = 2а/г.
Поэтому условие равновесия запишется в виде
pgR + 2a/rx = р小 2 + 2“色， или
2а / 11 \2а г1-г2
力 1 一〃2 = I-]=.
Pg"Сg “2
Разность давлений воздуха должна скомпенсировать эту разность вы
Рис. 263Рис. 264Рис. 263Рис. 264сот столбов ртути, т. е. должна быть равна
Рис. 263Рис. 264
Рис. 263Рис. 264
2а с — г2
ДР =儿—/〔2 =Р
Pg fJ2
亡 3,6 мм рт. ст.
Насос должен быть присоединен к узкому каналу трубки.
Столб воды в поставленной вертикально трубке будет удерживаться верхним и нижним менисками (рис. 264),
каждый из которых будет действовать на воду с силой 尸=2яга.
Поэтому высота столба оставшейся в трубке воды будет определяться
из уравнения
р那「2〃 = 2尸=4яга, т. е. h = 4а/р炉 а 3 см.
Вода, поднявшись в трубке на высоту 厶，сожмет находящийся в ней воздух и создаст избыточное давление АР, которое может быть рассчитано по закону Бойля — Мариотта:
ДР = Р-Р0 = -^-./ - h
Давление 2а/г, создаваемое силами поверхностного натяжения, должно в рассматриваемом случае уравновешивать сумму давлений, создаваемых весом столба воды и сжатым в капилляре воздухом, т. е. должно иметь место равенство
отсюда
Pg2a — pgrhPg2a — pgrh+ h 之 5,52 м.+ h 之 5,52 м.
Pg2a — pgrh
Pg2a — pgrh
+ h 之 5,52 м.
+ h 之 5,52 м.
§ 17. Влажность воздуха
Если атмосферное давление равно Я (в мм вод. ст.), то для появления у дна пробирки первого пузырька, заполненного насыщенным водяным паром, необходимо, чтобы давление насыщенного пара было не меньше Н — h. Поэтому в начале нагревания, когда температура воды еще мала и давление насыщенного пара меньше Н -厶, вода будет заполнять всю пробирку полностью. При температуре £ < < 100 ℃, которая соответствует давлению насыщенного пара Н - h, уровень воды оторвется от дна пробирки. При дальнейшем нагрева
нии, по мере роста температуры и давления насыщенного пара, уровень воды в пробирке будет опускаться и при температуре £? = 100℃ займет такое же положение, как и уровень воды в стакане.
р = MP2/RT2 = 8,42 г/м3, / =「2好/匕丁2 = 48,6 %, где М - молярная масса воды, R — газовая постоянная.
При повышении температуры.
Из равенства смешиваемых масс воздуха и их теплоемкостей следует, что после смешения температура смеси 0=15 ℃. Из пропор
циональности давления насыщенного пара температуре следует, что давление насыщенного пара при температуре 0 = 15 ℃ равно Р = =13 мм рт. ст. Абсолютные влажности при 10, 15 и 20 ℃ будут соответственно равны 9, 13 и 17 r/м3. Избыточная масса водяного пара в воздухе при 15℃ равна 9 + 17 —2・13 = 0, т. е. выпадения росы не произойдет.
/2 = /PiRTz/Mo = 2,87 %. Указание. При Г = 100 ℃ давление насыщенного водяного пара равно нормальному атмосферному
давлению.293. m =давлению.293. m =Р。卜 4,32 г.Р。卜 4,32 г.
давлению.
293. m =
давлению.
293. m =
Р。卜 4,32 г.
Р。卜 4,32 г.
IIL ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
18. Закон Кулона
N = g/e з6,25・1018
尸=kZe2/r2 = 2,3 • 10一 8 н где к = “4冗％ = 9 • 109 Н • м2/Кл2 (е0 = 8,85 • 10~12 Ф/м - электрическая постоянная).
V = ykZe2/mr. Для водорода и= 1,59• 106 м/с. Указание. Сила электростатического взаимодействия электрона с ядром должна обеспечивать появление необходимого центростремительного ускорения, т. е. по второму закону Ньютона должно быть
Ze? nw2,1°7
к —z— =, где k =k 9 • 10 H • m“/Kji .
1 г4 兀 ％
На расстоянии b = а/3 от заряда q. Равновесие будет устойчивым при продольных смещениях, если заряд q。положителен, и неустойчивым, если заряд q0 отрицателен. Указание. Для определения характера равновесия следует рассмотреть силы, возникающие при малом смещении заряда q из положения равновесия.
На расстоянии b = а/3 от заряда q следует расположить отрицательный заряд а。= 4g/9. При этом сумма сил, действующих на каждый заряд системы, будет равна нулю.
Положение равновесия находим из уравнения
%= к ―отсюда b = а (1 + 1/2).
炉 (а +
Характер равновесия определим из рассмотрения сил, возникающих при малых перемещениях заряда д0 из положения равновесия. При перемещении заряда q。из положения равновесия относительное изменение расстояния до положительного заряда q всегда будет больше, чем относительное изменение расстояния до отрицательного заряда 2g. Иными словами, если заряд q0 переместится на расстояние х из положения равновесия в сторону системы зарядов, то
11
(Ь - х)2 > [(fl + b) — х]2 •
Поэтому при приближении заряда q0 к положительному заряду q силы отталкивания, создаваемые зарядом q, возрастают на большую величину, чем силы притяжения, создаваемые отрицательным зарядом 2q, и возникает равнодействующая, возвращающая заряд q0 в положение равновесия. При удалении заряда q0 от заряда q по тем же причинам убывание сил отталкивания будет более быстрым, чем убывание сил притяжения. Равнодействующая будет направлена в сторону системы зарядов, т. е. опять будет возвращать заряд в положение равновесия. Равновесие будет устойчивым.
Качественно кривую зависимости силы 尸，действующей на заряд
4о, от расстояния г между ним и зарядом q можно построить, пользуясь следующими рассуждениями. Если заряд q0 из положения равновесия перемещать все ближе к заряду q, то различие в относительном
Рис. 265Рис. 265изменении влияния зарядов q и 2q будет становиться все больше, и в соответствии с этим сила отталкивания, действующая на заряд ^0, по мере при-
Рис. 265
Рис. 265
ближения его к системе будет непрерывно и очень быстро нарастать (рис. 265).
Если заряд qo из положения равновесия перемещать все дальше от заряда q, то раз
уменьшаться силы, создаваемые зарядами q и 2g. Поэтому при перемеуменьшаться силы, создаваемые зарядами q и 2g. Поэтому при перемеличие в относительном изменении влияния зарядов q н 2q будет становиться все меньше, и одновременно будут быстро
уменьшаться силы, создаваемые зарядами q и 2g. Поэтому при переме
уменьшаться силы, создаваемые зарядами q и 2g. Поэтому при переме
щении заряда q0 от системы из положения равновесия сила притяжения сначала возрастает (различие в относительном изменении расстояний влияет сильнее, чем убывание сил), а затем, начиная с некоторого расстояния г。，убывает и быстро приближается к нулю. (Различие в относительном изменении расстояний стало исчезающе малым, решающую роль играет убывание каждой из сил, создаваемых зарядами q и 2q.)
,q2 С т2 "7Г= G,q2 С т2 "7Г= GЗаряд определится из равенства силы электростатического взаимодействия и силы всемирного тяготения:
,q2 С т2 "7Г= G
,q2 С т2 "7Г= G
отсюда q = “杀р 8,6* IO"13 Кл,
где к = 1/4冗％ = 9 • 109 Н • м2/Кл (% = 8,85 • 10" 12Ф/м — электрическая постоянная), G = 6,67• 10-11 Н-м2Дг2 — гравитационная постоянная.
До соединения друг с другом шарики взаимодействуют с силой 尸=1 мкН, после соединения — с силой 尸'% 1,225 мкН. Заряды шариков после соединения будут одинаковы и равны q； = q； = 3,5 нКл. Указание. При соединении проволочкой заряды распре дел яются поровну между шариками.
После соединения проволочкой заряд каждого из шариков 9； = 9； =(41 +勺2)/2・ Сила взаимодействия шариков до и после соединения :
отсюдаотсюдаq& =户尸/k, qi+q?= 2г)/ГД.q& =户尸/k, qi+q?= 2г)/ГД.
отсюда
отсюда
q& =户尸/k, qi+q?= 2г)/ГД.
q& =户尸/k, qi+q?= 2г)/ГД.
Решая эту систему уравнений, получим
q】=г(/^ + УК-尸)/%) %2,67 нКл, q2 =「(]/0灰-J(F -尸)/к) p -0,67 нКл.
При подстановке числовых данных необходимо учесть, что силы при
тяжения и отталкивания имеют разные знаки.
Сила электростатического взаимодействия зарядов Ft = kq2/l2 должна уравновесить равнодействующую силы тяжести и силы натяжения нити 尸2 = ^ tg * (рис. 266} Из равенства Ft = F2 находим q = =/ ]/mg tg ot/左 x 60 нКл.
Обозначим через q и m заряд и массу каждого шарика до соприкосновения. Так как по условию за
дачи / » 〃, можно записать условие равновесия шариков до соприкосновения (см. решение задачи 303):
,q ,а
厶n=吨电^恢汇
После того как один из шариков разрядили, шарики вначале опустятся, коснутся друг друга, а затем разойдутся на расстояние Ь. При
соприкосновении оставшийся на одном из шариков заряд q поровну
Рис. 267Рис. 267распределится между обоими шариками, и условие нового равновесия шариков будет (/» b)
Рис. 267
Рис. 267
ккq2 . R b , q2b犷=n^tgB^ mg—wk ~;
к
к
b =6,3 см.b =6,3 см.отсюда
b =6,3 см.
b =6,3 см.
На отклоненную нить действуют сила тяжести Ft = tng, приложенная к
центру масс нити, и сила электростати
ческого взаимодействия нарядов F2 = kq2/a2 (рис. 267), приложенная к концу нити. Нить будет в равновесии тогда, когда сумма моментов этих сил будет равна нулю.
Из геометрических соображений следует, Fi и 尸2 равны (а = 2/ sin (а/2))Из геометрических соображений следует, Fi и 尸2 равны (а = 2/ sin (а/2))что моменты силчто моменты силk$os j 亡出丝生.a2 24/ sin (а/2)k$os j 亡出丝生.a2 24/ sin (а/2)Условие равновесия имеет видУсловие равновесия имеет видctg (а/2) sin (а/2)，ctg (а/2) sin (а/2)，Положительные заряды действуют на заряд “о с силой 尸】=j/з kgqo/r? = 1,8 мкН, наПоложительные заряды действуют на заряд “о с силой 尸】=j/з kgqo/r? = 1,8 мкН, направленной перпендикулярно к линии, соединяющей заряды. Разноименные заряды действуют с силой F2 = kqq^卜? % 0,9 мкН, направправленной перпендикулярно к линии, соединяющей заряды. Разноименные заряды действуют с силой F2 = kqq^卜? % 0,9 мкН, направленной параллельно линии, соединяющей заряды q (рис. 268).На каждый из зарядов q, находящихся в вершинах квадрата, действуют четыре силы (рис. 269): две силы отталкивания Fi — F2 — =kq2/a2, создаваемые зарядамл / н 2; сила отталкивания F3 = kq2/2a2, создаваемая зарядом 3; сила притяжения 尸《=Z^qq。/。？， создаваемаяленной параллельно линии, соединяющей заряды q (рис. 268).На каждый из зарядов q, находящихся в вершинах квадрата, действуют четыре силы (рис. 269): две силы отталкивания Fi — F2 — =kq2/a2, создаваемые зарядамл / н 2; сила отталкивания F3 = kq2/2a2, создаваемая зарядом 3; сила притяжения 尸《=Z^qq。/。？， создаваемаяРис. 269Рис. 269Рис. 270Рис. 270
Из геометрических соображений следует, Fi и 尸2 равны (а = 2/ sin (а/2))
Из геометрических соображений следует, Fi и 尸2 равны (а = 2/ sin (а/2))
что моменты сил
что моменты сил
k$os j 亡出丝生.a2 24/ sin (а/2)
k$os j 亡出丝生.a2 24/ sin (а/2)
Условие равновесия имеет вид
Условие равновесия имеет вид
ctg (а/2) sin (а/2)，
ctg (а/2) sin (а/2)，
Положительные заряды действуют на заряд “о с силой 尸】=j/з kgqo/r? = 1,8 мкН, на
Положительные заряды действуют на заряд “о с силой 尸】=j/з kgqo/r? = 1,8 мкН, на
правленной перпендикулярно к линии, соединяющей заряды. Разноименные заряды действуют с силой F2 = kqq^卜? % 0,9 мкН, направ
правленной перпендикулярно к линии, соединяющей заряды. Разноименные заряды действуют с силой F2 = kqq^卜? % 0,9 мкН, направ
ленной параллельно линии, соединяющей заряды q (рис. 268).
На каждый из зарядов q, находящихся в вершинах квадрата, действуют четыре силы (рис. 269): две силы отталкивания Fi — F2 — =kq2/a2, создаваемые зарядамл / н 2; сила отталкивания F3 = kq2/2a2, создаваемая зарядом 3; сила притяжения 尸《=Z^qq。/。？， создаваемая
ленной параллельно линии, соединяющей заряды q (рис. 268).
На каждый из зарядов q, находящихся в вершинах квадрата, действуют четыре силы (рис. 269): две силы отталкивания Fi — F2 — =kq2/a2, создаваемые зарядамл / н 2; сила отталкивания F3 = kq2/2a2, создаваемая зарядом 3; сила притяжения 尸《=Z^qq。/。？， создаваемая
Рис. 269
Рис. 269
Рис. 270
Рис. 270
зарядом 4о・ Для равновесия необходимо, чтобы векторная сумма этих сил была равна нулю, т. е.
2厶效0 —依2 I y/|. a2 2a2 a2 '2厶效0 —依2 I y/|. a2 2a2 a2 'отсюда q()отсюда q()*(1 + 2 阀.*(1 + 2 阀.
2厶效0 —依2 I y/|. a2 2a2 a2 '
2厶效0 —依2 I y/|. a2 2a2 a2 '
отсюда q()
отсюда q()
*(1 + 2 阀.
*(1 + 2 阀.
Для определения характера равновесия системы достаточно задать малое перемещение одному из зарядов и оценить характер изменения сил, создаваемых остальными зарядами. Для простоты рассмотрим малое перемещение s одного из зарядов q по диагонали от центра квадрата (рис. 270). Так как расстояние от этого заряда до заря-
да «о является наименьшим, то перемещение 5 создаст значительно большее относительное изменение расстояния до заряда д。, чем относительные изменения расстояний до других зарядов. Следовательно, при перемещении s сила F4 уменьшится на большую величину, чем силы 尸1，F2 и 尸з・ Кроме того, перемещение s вызовет уменьшение угла между силами 尸【и Г2, создаваемыми зарядами 7 и 2. Это уменьшение угла даст некоторое увеличение равнодействующей сил f\ и 尸？.
Таким образом, при новом положении заряда сила 尸4 будет заведомо меньше векторной суммы сил FY+ F2+ 尸з・ На заряд в новом положении будет действовать равнодействующая, направленная от положения равновесия, т. е. равновесие системы будет неустойчивым.
§ 19. Электрическое поле. Напряженность поля
Е = &勿产=9В/м, где 左=1/4冗％ = 9109Н-м2/Кл2 (% ^ =8,85 • 10"12 Ф/м — электрическая постоянная).
Е = 0; ф — 2kq/a ^36 В. Указание. Для решения задачи необходимо воспользоваться принципом независимости действия электрических полей. Напряженность Е поля в точке А будет равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов. Потенциал <р точки А будет равен сумме потенциалов, которые создавались бы в этой точке каждым из зарядов в отдельности.
Заряд q равномерно распределяется по всему кольцу. На единицу длины кольца приходится заряд г = q/2nR. Напряженность Е поля, создаваемого заряженным кольцом, в каждой точке пространства будет являться векторной суммой напряженностей, создаваемых от
дельными элементами кольца.
Каждый элемент кольца 厶 несет заряд 工厶(рис. 271) и создает в точке О напряженность Е^ = kdJR?. Симметрично расположенный элемент кольца /2 создает в этой точке напряженность, равную по мо
дулю Ei, но противоположную ей по направлению. Поэтому при суммировании по всем элементам кольца напряженности взаимно скомпенсируют друг друга, и полная напряженность поля в центре кольца Ео = 0.
Элемент 人 в точке А создает напряженность Er = kxl^/lR2, направлен
ную под углом а = 45° к оси кольца (рис. 272). Элемент /2 в этой точке создает напряженность Е2 = кт12/2Я2. При сложении напряжен
ностей от этих элементов кольца в сумму войдут только проекции
векторов Ei и Е? на ось кольца. Точно так же попарно войдут проекции векторов напряженностей, создаваемых всеми другими элементами кольца. Поэтому напряженность поля в точке 4 равна
1 /4几% 4R21 /4几% 4R2т • 2ttR
1 /
4几% 4R2
1 /
4几% 4R2
=卜—cos а =
2R2
Листочки будут расходиться на разные углы. Наибольшее расхождение листочки имеют при переносе заряда из точки Л; меньшее —при переносе из точки В и равное нулю — после прикосновения в точке С. Указание. При указанном в условии задачи способе пере
носа зарядов на электроскоп расхождение листочков электроскопа
пропорционально плотности распределения заряда в точках прикосновения шарика. Заряды на поверхности распред ел яются так, что их плотность больше в точках поверхности, обладающих большей кри
визной, и меньше в точках с меньшей кривизной. В точке 4 кривизна, а следовательно, и плотность заряда больше, чем в точке В.
См. рис. 273. На шаре появятся индуцированные отрицательные заряды со стороны положительно заряженной пластины и положительные —со стороны отрицательно заряженной пластины. Линии напряжен- .ности поля перпендикулярны к поверхности шара. Искажения в форме и расположении линий напряженности
поля вызываются наложением на поле конденсатора электрического поля зарядов, индуцированных на поверхности шара.
Рис. 274Рис. 274а) Электрическое поле существует внутри и вне сферы, б) На внутренней поверхности сферы появится отрицательный заряд, на внешней — положительный, в) Изменится электрическое поле внутри сферы, г) Изменится электрическое поле вне сферы.
Рис. 274
Рис. 274
Сфера имеет заряд —q. Заряд распределен по внешней поверхности сферы; внутри сферы напряженность поля равна нулю. Вне сферы существует электрическое поле, подобное полю точечного заряда — q, помещенного в центре сферы.
Пластины разойдутся за счет взаимодействия точечных зарядов с зарядами, индуцированными на каждой пластине. См. рис. 274.
См. рис. 275. На поверхностях пластин, обращенных к точечным зарядам, плотность индуцированных зарядов убывает к краям пластин; на внутренних поверхностях пластин индуцированные заряды противоположного знака распределяются равномерно.
а)%=0; <р2 = И/З;(р3 = 2И/3; <р4 = И б) Ф1 = 0,(р2 = И/2, <рз = Р/2,屮4 = К В промежутках 1 —2 и 3 — 4 напряженность Е поля возрастает, в промежутке 2 — 3 обратится в нуль. Заряды на пластинах 1 и 4 возрастут, в) После замыкания пластина 2 имеет положительный заряд, пластина 3 - отрицательный.
На заряд в электростатическом поле действует сила 尸=qE. Уравнение второго закона Ньютона для движения заряда примет вид
Рис. 275Рис. 275qE = та; отсюда а = qE/т = 1,5 см/с2.
Рис. 275
Рис. 275
Напряженность поля внутри конденсатора Е = V/d. На электрон в верти-
кальном направлении действует сила 尸=еЕ = eV/d (рис. 276), которая вызовет появление у электрона вер гикального ускорения
F _ eV
т md
Уравнения движения электрона по горизонтали и вертикали:
Движение электрона подобно движению тела, брошенного горизонтально над поверхностью земли. К моменту вылета из конденсатора электрон сместится от первоначального направления на расстояние
е V I2
h = = 2,8 мм.
т d 2г
Е = mg[q = 100 кВ/м.
Если на шарик помещен положительный заряд q, а верхняя пластина заряжена положительно, то в вертикальном направлении на шарик помимо силы тяжести mg будет действовать сила qE, где Е - напряженность электрического поля конденсатора. За счет действия этой добавочной силы изменится ускорение свободного падения
шарика в конденсаторе. Это ускорение определится из уравнения вто
рого закона Ньютона:
=力艺 + qE; отсюда g' = g + & Е.
Подставляя значение g' в формулу периода колебаний маятника, найдем, что в случае а) период колебаний уменьшится, в случае б) увеличится:
Период колебаний шарика в отсутствие зарядов
т0 = 2江饵； отсюда / = Т盟/4冗2 =9,8 см.Q
После того как шарик и конденсатор были заря*ены, период колебаний (см. решение задачи 322) стал равным
丁= 2九丁= 2九⑵⑵
丁= 2九
丁= 2九
⑵
⑵
Рис. 278Рис. 278
Рис. 278
Рис. 278
Так как Т < Т。, то верхняя пластина конденсатора и шарик имели за
ряды одинакового знака. Возводя (1) и (2) в квадрат и разрешая их от-
носительно 尸,получим
F = Т。戸工 一 mg = 3〃冴=29,4 мН.
Так как сила электрического взаимодействия шарика с пластинами конденсатора оказывается больше силы тяжести, то при перемене знака заряда изменится положение равновесия шарика. Точка 4 соответствующая положению равновесия шарика, будет располагаться над точкой подвеса О (рис. 277). Ускорение шарика при одновременном действии силы тяжести и силы электрического поля будет направлено вверх и равно
g' = F【m - g =空；
отсюда период колебаний шарика около точки А
Если шарик имеет массу м и положительный заряд q и напряженность поля в конденсаторе равна Е, то нить при равновесии шарика будет составлять с вертикалью угол а (рис. 278), такой,
что
tga = qE/mg.
Ускорение шарика при одновременном действии силы тяжести и силы электрического поля определится из уравнения второго закона Ньютона:
"/ = ]/(，吆)2 + (狂了；
отсюдаотсюдаg'=g'=|/(^)2 + (qE)?'启-；(Eq j|/(^)2 + (qE)?'启-；(Eq j
отсюда
отсюда
g'=
g'=
|/(^)2 + (qE)?'启-；(Eq j
|/(^)2 + (qE)?'启-；(Eq j
+ (Eq/m)?+ (Eq/m)?Период колебаний маятника
+ (Eq/m)?
+ (Eq/m)?
Таким образом, если шарик и пластины конденсатора зарядить, то положение равновесия шарика изменится, а период колебаний уменьшится.
Напряженность электрического поля точечного заряда £ = =kq/R2, где /с = 9 • 109 Н • м2/Кл2; отсюда q = ER2/к а 5,9 • 105 Кл.
§ 20. Работа сил электрического поля. Потенциал поля
Работа сил электрического поля при движении электрона А — Fd — eEd.
По закону сохранения энергии должно быть eEd = mv2/2; отсюда v = = /2eEJ/w = 3,26-107M/c.
d = Р/Е = 5 см.
Заряженная металлическая сфера во внешнем пространстве создает такое же электрическое поле, какое создавал бы точечный заряд ?, помещенный в ее центре. Потенциал в любой точке такого поля
(р = kq/R, отсюда q = <pR/k.
Плотность распределения заряда по поверхности сферы (к = 1/4яе0)
° 4kR2 4HR° 4kR2 4HR=^^ = 26,55 нкл/м2,=^^ = 26,55 нкл/м2,
° 4kR2 4HR
° 4kR2 4HR
=^^ = 26,55 нкл/м2,
=^^ = 26,55 нкл/м2,
где £。= 8,85- 10-12Ф/м — электрическая постоянная.
Принцип независимости действия электрических полей дает возможность рассчитывать потенциал любой точки поля, создаваемого системой точечных зарядов, как сумму потенциалов, создаваемых
каждым из зарядов в отдельности:
①=@1 + <p2 = k (g1/ь + 敢"2)= 900 в.
A—q (фв - <pR = 27 мкДж.
Для решения задачи необходимо воспользоваться принципом независимости действия электрических полей. Потенциал первого шарика (pi является суммой двух потенциалов: потенциала, создаваемого собственным зарядом шарика и равного kqJR, и потенциала, создаваемого зарядом второго шарика и равного kq2/r (учитывается, что R « < г). Аналогично определяется потенциал второго шарика. В результате имеем
Ф1 =k(qr/R 4-农〃)，屮2 = k 9』R + ^i/4
Решая эту систему уравнений относительно q】и q2, найдем
_ rR Rq>2 ~ Г(Р1rR Яф! — Г(^2
Используя R? у г2, можно упростить эти выражения и получить
<71 = - Д(А(р2 一 г屮 1)才 +3,42 нКл, кг
q? = ——呷2)七一3,42 нКл.
Для решения задачи следует воспользоваться тем, что заряд, распределенный по поверхности сферы, создает вне сферы поле, подобное полю точечного заряда, расположенного в центре сферы.
Вне сфер заряд малой сферы q* создает напряженность Е】=kqjr2 и потенциал <pt = kq^/r. Заряд большой сферы q2 создает напряженность Е2 = kq" и потенциал <р2 = kq2/r. Поэтому на основании принципа независимости действия электрических полей напряженность и потенциал поля вне сфер
E = 0 + gH 屮,
Внутри большой сферы заряд q2 создает напряженность поля Е? = 0, н потенциал поля этого заряда будет одинаков для всех точек и равен(р2 = kq2/R2. Заряд q^ создает в этих же точках напряженность £\ = kqjr2 и потенциал ср】=kqjr. Поэтому в пространстве между сферами полная напряженность и потенциал поля
Е = Ei + Е? = к ~~9 ф = <Р1 +中2 =忆(^~ + ~~j•
Соответственно, внутри малой сферы напряженности полей обоих зарядов Ег = Е2 = 0, а потенциалы постоянны и равны <pt = kqJR* и 190
ф2 = kq2/R2. Поэтомуф2 = kq2/R2. ПоэтомуЕ = 0,①=кЕ = 0,①=к
ф2 = kq2/R2. Поэтому
ф2 = kq2/R2. Поэтому
Е = 0,①=к
Е = 0,①=к
Так как по условию заряд распределен с одинаковой плотностью ст по поверхности обеих сфер, то заряд внутренней сферы qt = =4яК1П и внешней q2 = 4ttR^5 Искомый заряд q = q^ + 敢・ Работа Л переноса положительного единичного заряда в центр сфер численно равна потенциалу ф этого центра. При этом (см. решение задачи 332)
/ = <р = к (記 + ^^)，где 忆=1/4九％ = 9 • 109 Н • м2/Кл2.
Подставляя значения q】и ^2» получим
ФСТ =~•
4H (& + &)
Для 41，q2 и q получим соответственно
①R；①抬①(& +抬)
Vl — Ed - 1,5 кВ; V2- E(d — b)- 1,2 кВ. Указание. При введении металлической пластины исчезает электрическое поле во всем объеме, занимаемом пластиной. При переносе единичного заряда с одной пластины конденсатора на другую электрическое поле совершает работу только на пути d — b и в соответствии с этим после введения металлической пластины произойдет уменьшение разности потенциалов между пластинами конденсатора до значения V2 = E(d — b).
Рис. 279Рис. 279Листочки все время будут разведены на один и тот же угол. Указание. При указанном в условии задачи способе подключения электроскопа его показания будут пропорциональны потенциалу поверхности тела. А так как потенциалы всех точек поверхности проводника в электростати ческом поле одинаковы, то и расхождение листочков электроскопа для всех точек будет одинаково. 、
Рис. 279
Рис. 279
Линии напряженности поля проходят всюду перпендикулярно к эквипотенциальным поверхностям и направлены в сторону убывания потенциала (рис. 279). Напряженность поля больше
там, где эквипотенциальные поверхности расположены ближе друг к другу.
337・ Работа при перемещении заряда q на участках ВС и DA равна нулю, так как сила F = qE перпендикулярна к направлению движения
(рис. 280). Работы силы 尸 на участках АВ и CD равны друг другу по модулю, но противоположны по знаку. Следовательно, работа на всем замкнутом контуре будет равна нулю. Этот результат справедлив для всех электростатических полей и замкнутых контуров любой произвольной формы.
Для доказательства следует рассчитать работу электрических сил при перемещении заряда q по замкнутому прямоугольному контуру ABCD (рис. 281).
Так как линии напряженности поля параллельны, то напряженность поля Е вдоль каждой линии постоянна. Линии напряженности на
участке АВ расположены реже, чем на участке CD, поэтому напряженность поля Ер а значит, и работа Аг перемещения заряда на участке АВ по модулю заведомо меньше, чем напряженность Е2 и работа А2 на участке CD. Работа перемещения на участках ВС и DA равна нулю, так как вектор Е перпендикулярен к направлению движения заряда. Следовательно, работа на всем замкнутом контуре ABCD, равная А^ -力2，отлична от нуля.
В электростатическом поле работа электрических сил на любом замкнутом контуре всегда равна нулю (см. решение задачи 337), т. е. полученный результат несовместим с основными свойствами электростатических полей и существование указанного в условии задачи поля невозможно.
Для доказательства следует рассчитать работу электрических сил на замкнутом контуре ABCD (рис. 282), ограниченном отрезками радиусов ВС и DA и дугами окружностей АВ и CD, совпадающих с соответствующими линиями напряженности.
Из параллельности линий напряженности поля следует постоянство напряженности поля Е^ на линии АВ и Е2 на линии CD. Работа на участке АВ равна Е^а, работа на участке CD равна Е”、где R и г — расстояния линий напряженности поля АВ и CD от точки О. На участках ВС и D4 работа сил поля равна нулю (вектор Е перпендикулярен к направлению движения заряда). Так как в электростатическом
поле работа электрических сил на замкнутом пути всегда равна нулю (см. решение задач 337 и 338), то должно быть
Е^а - Е2г^ = 0, или EJE2 = 〃R,
что н требовалось доказат ь.
§ 21. Электрическое поле в диэлектрике
Скачкообразное изменение числа линий напряженности поля при переходе границы диэлектрика (рис. 283) объясняется действием
поляризационных зарядов, возникающих на границе диэлектрика
в электрических полях.
£\ = kq/冶=3 кВ/м; Е2 = kq/r^ = 2,25 кВ/м.
Если бы вокруг шара не было диэлектрика, то он создал бы в окружающем пространстве поле с напряженностью Е】=kq/r2. При
наличии же диэлектрика возникает поле с напряженностью Е2 = kqjE产. q £ — 1
Разность Е' = Е[ — Е? = к —：равна той напряженности, которую 1 е
создают поляризационные заряды q', выступающие около заряженного тела (рис. 284). Так как эти заряды расположены также равномерно по поверхности сферы, то можно положить Е' = к叫г?. Сопоставляя полученные выражения для £', найдем, что
Поверхностная плотность поляризационных зарядов
, q £-1 q £ - 1
0=- = — -=
4ttR2 e4 冗 К?e
где о - плотность распределения заряда q на шаре.
1931937 В. Г. Зубов, В. П. Шальнов
193
193
При опускании шариков в масло на них будут действовать сила тяжести mg и выталкивающая сила Архимеда 吨р()/р, которые дадут равнодействующую, равную mg(p - р0)/р. Сила электростатического взаимодействия зарядов шариков равна kq^/gb" Условие рав
новесия шариков запишется в виде
(1)(1)Р - Ро .3
(1)
(1)
Замечая, что tga = b/2l, а / = mga3/2kq2 (см. решение задачи 304), и подставляя эти значения в уравнение (1), получим
/ £(Р — Ро)
Электрическая емкость. Конденсаторы
3^4・ 91 = %Sg/d = 1,06нКл; q? = %£Sg/d = 2,33нКл. Указание. В первом случае заряд на пластинах при заливании масла останется неизменным, емкость конденсатора возрастет в е раз и в соответствип с этим в е раз уменьшится разность потенциалов между пластинами и напряженность поля в конденсаторе. Во втором случае при заливании масла заряд на пластинах возрастет в е раз за счет возрастания емкости, но разность потенциалов и напряженность поля останутся неизменными.
Если одно из тел имеет заряд q, а другое тело в месте расположения первого тела создает напряженность поля Е, то на первое тело действует сила F = qE.
Так как потенциалы проводников поддерживаются постоянными, то при помещении тел в диэлектрик напряженность поля Е, создаваемого каждым из тел, во всех точках должна остаться также неизменной. С другой стороны, помещение тел в диэлектрик приведет к возрастанию их электрической емкости в е раз. Поэтому для сохранения постоянства потенциалов необходимо будет увеличить заряды тел также в е раз.
Если q — заряд первого тела в воздухе, то после помещения тел в диэлектрик заряд этого тела должен принять значение £q и сила взаимодействия тел будет F2 = sqE = £尸匕 где 尸】=qE - сила, действовавшая на тело в воздухе.
Если заряд q остается постоянным, то при смене диэлектриков напряженность поля Е будет уменьшаться в £ раз, т. е. Е' = Е/а В соответствии с этим сила, действующая на каждый из шаров и равная F = qE, будет уменьшаться в е раз. Если остаются постоянными потенциалы шаров, то сила, действующая на каждый из шаров, будет увеличиваться в £ раз (см. решение задачи 345).
Для решения задачи следует определить потенциалы каждого из шаров. Шары достаточно удалены друг от друга, поэтому можно 194
положить (pj =kqJRi，＜p2 = kq2/R2- Так как ①】＞(p2, то заряды будут перемещаться ко второму шару. Перемещение зарядов прекратится, когда потенциалы шаров выравняются. При этом будут иметь место равенства
叫=§2 = kq；/Ri = ZqZ/R?, q； + qZ = 4i + q?.
Отсюда заряд первого шара после соединения
и заряд, перешедший с первого шара на второй,
q = q「q； = 丄 丁-q — 丁丁丁 & р6,67нКл.
К] -г盟2К]十以2
После соединения проволокой шары будут иметь заряды q；= =13,33 нКл и q； = 26,67 нКл, а их общий потенциал 隼 ^2,4 кВ.
+с2к2
V == 260 В. Указание. Для решения задачи
* +
следует определить суммарные заряды конденсаторов и емкость батареи параллельно соединенных конденсаторов.
Заряды конденсаторов до соединения равны g] = С171 и д2 = =С2И2. Заряд, остающийся на конденсаторах после соединения, равен CLVt — С2P2・ Емкость конденсаторов после соединения равна Сг + С2. Разность потенциалов между пластинами конденсаторов после соединения
Заряд, остающийся на пластинах первого конденсатора после соединения, ==
Заряд, перешедший с первого конденсатора на второй, CiC2(Vl + 嚏)
q = q「q； = —「…也=0,6мКл.
(р = /с — |/W^ = 8,4 В. Указание. Для решения следует воспользоваться формулой емкости шара и рассчитать радиус большой капли.
Нельзя, конденсаторы будут пробиты. Из равенства зарядов на пластинах конденсаторов следует, что
儿% =/02，p2c2 =匕03，匕+乙+%=上
7*195
Решая эту систему уравнений, получим ^ = 6 кВ, V2 = 3 кВ и И3 = 2 кВ.
пластины емкостьпластины емкостьРис. 285Рис. 285С = %£S/(d — b)之 4,65 пФ. При перемещении металлической конденсатора меняться не будет. У к а з а н и е. Для решения задачи конденсатор с вдвинутой в него пластиной следует рассматривать как систему двух последовательно соединенных плоских конденсаторов.
пластины емкость
пластины емкость
Рис. 285
Рис. 285
353. Емкость будет различна. В первом случае заряды на большой сфере располагаются только с внутренней стороны. Во втором случае они располагаются с обеих сторон (рис. 285), и емкость всего конденсатора нужно рассчитывать как емкость системы двух параллельно со
единенных конденсаторов с обкладками АВ и ВС, т. е. емкость будет больше.
2so- 丁 —/2so- 丁 —/1
2so- 丁 —/
2so- 丁 —/
尸=qE =; A = Fd
2£° S
о = % yiFjdC = 0,5 6 мкКл/м2 (см. решение задачи 3 54).
Сила, действующая на верхнюю пластину,帽—CV2/2d (см. решение задачи 354). Емкость плоского конденсатора С = e()S/d; отсюда
^ = ZqSV1 /2d2, т. е. V = у 2d2mgj^S р 5,9 кВ.
В первом случае при раздвигании пластин разность потенциалов остается постоянной, но емкость, а следовательно, и заряд на пластинах уменьшаются. Это вызовет постепенное уменьшение силы взаимодействия пластин. Во втором случае заряд на пластинах остается постоянным, сила взаимодействия пластин сохранит начальное значение во все время раздвш апия пластин. Позтохту при одинаковом перемещении пластин работа во втором случае будет больше.
8 = 3.
§23. Законы постоянного тока
R = p〃S = 17 мОм.
Единица сспротивлеиия Якоби равна 5,75 Ом.
р = RS/1 = 0,1 мкОм • м.
Сопротивление провода летом на 313 Ом больше. Учет изменения длины провода даст поправку, не превышающую 0,6 Ом.
Сопротивление нити лампочки R = V2/N = р//5. Удельное сопротивление накаленной нити р = р0Т/Т0. Длина нити
RS _ RST。_ 片ST。Р - РоТ 一 Np°T
/ = 2 А, т. е. в 10 раз больше, чем при нормальном режиме.
Емкость конденсатора С = sosS/d. Сопротивление конденсатора после заполнения электролитом R = d/XS; его проводимость »
Л = — = отсюда С =
Полученное выражение имеет общий характер, справедливо для конденсаторов любой формы и широко используется при электротехнических расчетах.
366・ Из законов электролиза следует, что масса вещества, выделяющегося на одном из электродов,
где 尸=9,65 • 104 Кл/моль - постоянная Фарадея, / — сила тока, т — время, М — молярная масса, z — валентность вещества.
Объем выделившегося при прохождении тока кислорода на основании закона Авогадро составляет при давлении 760 мм рт. ст. 1/3 объема гремучего газа и равен V= 13,72 им3. Отсюда масса выделившегося кислорода m — yV— 0,0196 г. Сила тока, соответствующая единице силы тока Ленца,
=尸匹=0,065 А.
Мт
Сила тока при выключенном реостате /0 = V/Ro = 4 А. Сопротивление R】 определяется из уравнения
или & =Rq = 10 Ом.
1 /о - А/ °
—(& + Ro) = 20 Ом,—(& + Ro) = 20 Ом,—(R? + R】+ R°) = g0 Ом.—(R? + R】+ R°) = g0 Ом.Соответственно,
—(& + Ro) = 20 Ом,
—(& + Ro) = 20 Ом,
—(R? + R】+ R°) = g0 Ом.
—(R? + R】+ R°) = g0 Ом.
R2 = 2/0 - 2А/
P
R3 =
3 I。- ЗА/
Гальванометр следует включить в цепь последовательно. Шкала прибора: оо, 12, 6, 4, ..., (12/и) МОм. Наименьшее сопротивление, которое можно измерить гальванометром, равно 0,3 МОм. Указание. Значения сопротивлений Ял, соответствующие отдельным делениям шкалы гальванометра, определяются по формуле
Rjt = "kio, где к — номер деления шкалы.
Если напряжение в цепи равно 匕 то сила тока в цепи До включения амперметра / = V/R. Сила тока после включения
амперметра
УУR + R。’R + R。’отсюдаотсюдаR + R。R + R。/0 = 5,05/0 = 5,05А.А.
У
У
R + R。’
R + R。’
отсюда
отсюда
R + R。
R + R。
/0 = 5,05
/0 = 5,05
А.
А.
R = Ro/(/i — 1) = 50 Ом. Указание. Для уменьшения чувствительности гальванометра в и раз необходимо, чтобы при силе тока в цепи / через шунт проходил ток силой /(" — 1)/п.
R = IqRq/(I - /о) ^ 0,032 Ом. Чувствительность прибора уменьшается в и =- 250 раз.
о。= 0,5 В/де л. Указание Для того чтобы через прибор протекал ток / = 1мА, необходимо, чтобы на его зажимах было напряжение
И = /R。= 107 А . 500 ом = 0?5 В.
Напряжение до включения вольтметра было И = Vo (1 4+ R/Ro) = 105 В. Погрешность составляет АР = 5 В.
网
R = у^— = 61,2 Ом. Если считать, что внутреннее сопротивление вольтметра Ro -> ос, то сопротивление резистора будет на 1,2 Ом меньше истинного.
Если К и / — показания вольтметра и амперметра, то рассчитанное по этим показаниям сопротивление резистора R' = V/I равно сопротивлению участка цепи bb' при измерениях по схеме а) и сопротивлению участка сс' при измерениях по схеме б), т. е. связано с сопротивлением R в первом и втором случаях соотношениями
R； = R + Ra, R； = R&/(R + Rb)・
Сопоставляя рассчитанные по этим соотношениям значения с истинным значением сопротивления R, можно найти сопротивления вольтметра, допускаемые при измерениях по указанным схемам. Для сопротивления R = 1 Ом при измерении по схеме а) погрешность А& = =0,1 Ом, или 10%; по схеме б) погрешность ДК2 = 0,001 Ом, или 0,1%. Для сопротивления R = 0,5 кОм имеем, соответственно, AR】= =0,1 Ом, или 0,02%; AR? = 167 Ом, или 33,4%.
Появление этих погрешностей связано с тем, что при расчете по схеме а) из показаний вольтметра не вычитается падение напряжения на внутреннем сопротивлении амперметра, а при расчете по схеме б) из показаний амперметра не вычитается сила тока, ответвляющегося в вольтметр. Поэтому рассчитанное только по показаниям приборов сопротивление R' оказывается в первом случае больше, а во втором случае меньше истинного сопротивления R.
При уменьшении сопротивления R падение напряжения на амперметре в схеме а) будет составлять все возрастающую долю показаний вольтметра и схема будет давать все возрастающие относительные погрешности. При уменьшении сопротивления R сила тока, ответвляю- 198
щегося на вольтметр, в схеме б) уменьшается. Погрешность в показа
ниях амперметра, а следовательно, и относительная погрешность в расчете также уменьшаются. Таким образом, для малых сопротивлений выгодно применение схемы б), для больших — схемы а).
Сопротивление участка потенциометра ab и силу тока, протекающего через потенциометр, находим по формулам
凡R2 儿
Ro + 2R '2&ь + Ro
Напряжение, снимаемое с потенциометра,
y = iRab =y = iRab =2九RkT+IF2九RkT+IF=51,2 В.=51,2 В.
y = iRab =
y = iRab =
2九R
kT+IF
2九R
kT+IF
=51,2 В.
=51,2 В.
Сопротивления лампочки и прибора:
& =片/% = 240 Ом, R2 = V2/N2 = 60 Ом.
Сопротивление цепи до и после включения прибора:
R = R。+ & = 246 Ом, R' = R。Н 54 Ом.
S + R2
Сила тока в цепи до и после включения прибора:
/ = Р/R в 0,49 А, Г = V/Rf = 2,22 А.
Падения напряжения на проводах, соответственно: Р° = /R。= 2,9 В, KJ = /'R。= 13,3 В,
т. е. напряжение, подводимое к лампочке, изменяется на ДИ0 = 10,4 В.
S = 2nIpl/V. Указание. Сопротивление подводящих прово
дов R = 2p//S.
Ток возникнет, так как потенциалы проводников bb' и сс' будут различны; направления возникающих токов указаны на рис. 286.
ab протекает ток и, слеab протекает ток и, слеПотенциалы точек Ь, Ь' и с, с' изменятся. Разность потенциалов между точками b и с, а также между точками Ь' и с' уменьшится. Потенциал точки а с】анет ниже потенциалов точек b и Ь'，потенциал точки а' станет выше потенциалов точек с и с'.
ab протекает ток и, сле
ab протекает ток и, сле
Если мостик неуравновешен, то потенциалы точек а и b различны. При замыкании ключа по проводнику
довательно, изменяется все распределение токов в схеме. Это будет
равноценно изменению полного сопротивления схемы и вызовет изменение силы тока, протекающего через источник тока. В неуравновешенной схеме показания гальванометра при замыкании и размыкании ключа будут различны.
Если мостик уравновешен, то потенциалы точек а и b одинаковы. Распределение токов в схеме и сила тока, протекающего через элемент, будут одинаковы как при замкнутом, так и при разомкнутом ключе.
Единица э. д. с. Ленца равна 0,38 В.
旧 закона Ома для замкнутой цепи определяется внутреннее Сопротивление батареи: г =^/I — R = I Ом. Сила тока при коротком замыкании батареи /0 /7 = 6 А.
Сопротивление лампочки R =峪/N = 220 Ом. Сила тока, развиваемая в цепи батарей I =^/ (Я + г) = 0,46 А. Напряжение на полюсах батареи Р = /R = 93 В, т. е. на АР= 17 В ниже напряжения Ио = ПО В, соответствующего нормальному режиму работы лампы; лампа горсть полным накалом не будет.
Этот же результат можно получить, сопоставляя силу тока 7, развиваемую в цепи батареей, и силу тока /0 = N/Ko, необходимую для нормального накала лампы.
Сила тока в цепи в первом и во втором случаях связана с э. д. с. и внутренним сопротивлением аккумулятора соотношениями
F ^J^R, 乎=厶便2 +「)•
Решая эту систему уравнений, получим
г =亠二=0,5 Ом.
儿一I2
Если R — сопротивление цепи, то сила тока в цепи в первом и во втором случаях определяется соотношениями
LR = F + 名0, ^R = g - ^0； отсюда 犷=^~±А 乡° р 4,7 В.
Р = ™—~^ о 2 0,8 6 В. Указание. См. решение задачи 3 85. А + >2
Надо учесть, что при включении аккумулятора и элемента навстречу друг другу сила тока и э. д. с. аккумулятора будут иметь разные знаки и уравнение закона Ома для этого случая имеет вид /2К = ^0 — ^.
Р = —1,43 В.
R + г
Э. д. с. элемента и аккумулятора на участке ab потенциометра создают токи противоположных направлений. Очевидно, что ток в цепи гальванометра прекратится тогда, когда разность потенциалов 匕 создаваемая элементом, на концах участка ob, будет равна по модулю э. д. с.贯 аккумулятора:
昨?.
При равновесии схемы не происходит ответвления тока в цепь гальванометра, поэтому можно считать, что потенциалы отдельных 200
точек потенщ!ометра растут пропорционально сопротивлению R участка ab:
夕—V = 1.8 В.夕—V = 1.8 В.PRR
夕—V = 1.8 В.
夕—V = 1.8 В.
h = 一尸 оте,ода 联 厂乙，
"о "о«о
При смещении движка от положения равновесия сила тока в цепи гальванометра будет определяться разницей между э. д. с. аккумулятора и разностью потенциалов, создаваемой элементом на концах участка ab. При смещении движка на одно деление разность потенциалов возрастает или убывает на
где и - число делений шкалы потенциометра (см. решение задачи 388). Силу тока в цепи гальванометра находим из уравнения
I(r + RJ = АУ;
отсюда
凡="凡="п!п!
凡="
凡="
п!
п!
Максимально допустимое значение К「должно обеспечивать при смещении движка потенциометра на одно деление появление силы тс- ка /0 = 10 7 А, достаточной для склонения стрелки гальванометра на одно деление, т. е.
КК2В
К
К
о,5 Ом = 39,5 Ом. 500-10~4 А
R = 6 Ом; r~^/I — R = 4 Ом. Указание. Искомые сопротивления найдутся из закона Ома для замкнутой цепи и участка цепи: "R +「) = ?, V^IR.
Так как аккумуляторы соединены последовательно, то э. д. с. батареи, действующей в цепи, равна 2?. Полное сопротивление цепи равно 2r. Сила тока после соединения акку'туляторсв определится из уравнения
2g = / • 2〃 или I = ¥ [т.
Разность по!енциалов на полюсах любого из аккумуляторов У= /г - ^ = 0.
Если ^ — э. д. с. и г - внутреннее сопротивление аккумулятора, то при последовательном соединении в цепи действует э. д. с. ng, сопротивление цепи равно К + иг и сила тока
при параллельном соединении
2 R + r/n ~ “R + 厂
Сопоставляя эги уравнения, находим, что Ц = /2 при г = R.
Сопротивление и сила тока, потребляемого каждой лампочкой:
Ro =，2/M /o = N/K
При параллельном соединении т лампочек сопротивление цепи R = =RJm = V2/mN. Для создания нормального накала лампочек в цепи должна быть создана сила тока / = m/0 = mN/V. Подставляя эти значения К и / в уравнение закона Ома для всей цепи, получим
Возможен другой путь рассуждений (см. решение задачи 394).
Батарея из п последовательно соединенных аккумуляторов имеет э. д. с. 〃扌 и внутреннее сопротивление пг. При силе тока I потеря напряжения на внутреннем сопротивлении батареи равна Inr. Согласно закону Ома для всей цепи должно быть
п^ — V = I”； отсюда и =唄乡一7r) = ПО.
Закон Ома для первого и второго случаев дает
扌-%=/j,%=人氏；?一% = 5, h2 = I2R2.
Решая эту систему уравнений, находим
г二(%一@人红=1 ом, Г =厶з&一风).=з в.
V^-R^V.R2-R.V2
Сопротивление цепи R = &&/(& + R2) = 1,6 Ом. Сила тока и падение напряжения в цепи:
/ = ——=2 А, 联/R = 3,2 В.
Через резисторы текут токи 厶=1,6 А и 厶=0,4 А.
Если в группе последовательно соединено л аккумуляторов, то сопротивление и э. д. с. каждой группы равны пг и пУ. Если к - общее число аккумуляторов, то в батарее будет к/п групп, сопротивление и э. д. с. батареи равны 九?〃％ и 〃夕
Сила тока в цепи определится из закона Ома:
/= 九？ 二 k?
n2r/k + R nr 4- kR/n *
Сила тока / будет наибольшей при таком значении п, при котором 202
знаменатель дроби будет наименьшим. Так как произведение членов знаменателя не зависит от п и постоянно (nrkR/n = kRr), то наименьшее значение знаменателя достигается тогда, когда его члены равны:
nr = AR/小 или M〃k = R,
т. е. когда внутреннее сопротивление батареи станет равным сопротив-лению внешней цепи. Отсюда наименьшему значению знаменателя и,следовательно, наибольшей силе тока в цепи будет соответствоватьи = ]〃1^7 = 3.
При этом наибольшее значение силы тока / = 10 А.
и = ]/kR(r\ т = уkr/R. Указание. Сопротивление каждой группы равно r/т, число групп п = к]т, т. е. сопротивление и э. д. с. батареи элементов (см. решение задачи 397):
При любом значении т сила тока в цепи
, kF
/ =.
кг/т + tnR
Сила тока, развиваемого батареей,
/ = (1)
кг/т + mR
(см. решение задачи 398). Батарея из к элементов дает наибольшую силу тока тогда, когда она составлена так, что ее внутреннее сопротивление равно сопротивлению внешней цепи (см. решение задачи 397), т. е. когда в знаменателе уравнения (1)
кг/т = mR.(2)
Решая совместно уравнения (1) и (2), найдем
к = 4rRI2/^2 = 160, "? = ]/кг/R = 4.
-О <Т 卜 Y-о 十Рис. 287-О <Т 卜 Y-о 十Рис. 287Найденные таким образом кит определяют наименьшее число аккумуляторов, которое следует взять, и способ соединения их в батарею. Батарея должна быть составлена из к/т = 40 последовательно соединенных групп, каждая группа —из m = 4 параллельно соединенных аккумуляторов.
-О <Т 卜 Y-о 十
Рис. 287
-О <Т 卜 Y-о 十
Рис. 287
Если внутри участка цепи включен источник тока с э. д. с.乳 то сила тока на этом участке
определяется совместным действием этой э. д. с. и разности потенциалов, приложенной к концам участка. Аккумулятор для зарядки подключается так, как показано на рис. 287. Ток идет в направлении,
противоположном направлению действия э. д. с. У. Уравнение закона Ома для участка цепи с аккумулятором запишется в виде
V- ^ = /г; отсюда F = V~ 1г = 12 В.
Уравнение закона Ома для участка цепи с аккумулятором и дополнительным сопротивлением R имеет вид
V- = Z (г 4- К); отсюда R = (V - ^ - ")// ~ 1 Ом.
Для того чтобы ток через батарею не проходил, необходимо, чтобы разность потенциалов на полюсах генератора была равна э. д. с. батареи, т. е. Р =胃伪 или, иначе, чтобы падение напряжения внутри генера гора
〃 = ?-%.(1)
Используя равенство Р =乡。н замечая, что весь ток, создаваемый генератором, проходит через сопротивление R。，можно записать
/n0 =贲0.
Из уравнений (1) и (2) следует, что
R0=# 0"(?-? 。)= 5,5 оm.
Если R > R。, батарея заряжается; если R v R°, батарея разряжается.
Напряжение, подаваемое зарядной станцией, определится из уравнения
Р-九=3, т. е. P=Fi+ //= 110 В.
Сила юка в конце зарядки
厶=(展g2)" = 5 a.
§ 24. Тепловое дейстаие тока. Мощность тока
т = тс M/I2R = 1,42 с.
т = 4 мин 40,6 с.
R = tRqKj/п - 1)&十 R。)= 2 Ом. Указание. Пользуясь законом Ома, следует определить силы токов в цепи до и после включения шунта и затем подсчитать по закону Джоуля — Ленда количество теплоты, выделяющейся в нагревателе в обоих случаях.
Сила тока в цепи / =. Полезная мощность N и пол-
+ г)
ная мощность NQ, развиваемая батареей:
?/二——K + r?/二——K + r
?/二——
K + r
?/二——
K + r
К. п. д. батареиК. п. д. батареи
К. п. д. батареи
К. п. д. батареи
П = N/N。= R/(R + г).
С учетом этого получаем N】=40 Вт, N? = 45 Вт, N3 = 30 Вт; % = = 33%, % = 50%, % = 71%・
При росте внешнего сопротивления происходит одновременно уменьшение полной мощности, развиваемой батареей, и уменьшение потерь на выделение тепла на внутреннем сопротивлении батареи. При этом потери уменьшаются быстрее, чем полная мощность.
При больших сопротивлениях на изменение полезной мощности сильнее влияет уменьшение полной мощности батареи. При малых сопротивлениях большую роль играет уменьшение потерь. Поэтому, когда производится увеличение малого сопротивления, включенного во внешнюю цепь, полезная мощность увеличивается, несмотря на уменьшение полной мощности. Наибольшую полезную мощность батарея отдает при равенстве внешнего и внутреннего сопротивлений.
Если 夕 н г — э. д. с. н внутреннее сопротивление каждого элемента, а сопротивление единицы длины проволоки равно R】, то при включении проволоки длиной / в цепи проходит ток силой
пг + /Л,пг + /Л,
пг + /Л,
пг + /Л,
В проволоке длиной / в единицу времени выделяется количество теплоты
(次+因)2
и па единице длины проволоки выделяется количество теплоты, равное
("+ 因)2
При включении проволоки длиной pl и к элементов на единице длины проволоки выделяется количество теплоты, равное
(匕 + plRi)2(匕 + plRi)2
(匕 + plRi)2
(匕 + plRi)2
При одинаковом накаливании обеих проволок на единице дайны каждой из них должно выделяться одинаковое количество теплоты, т. е.
должно быть(nr + IR^2должно быть(nr + IR^21鑑Rr + p/R)21鑑Rr + p/R)2отсюда k = ри.отсюда k = ри.
должно быть
(nr + IR^2
должно быть
(nr + IR^2
1鑑
Rr + p/R)2
1鑑
Rr + p/R)2
отсюда k = ри.
отсюда k = ри.
Ток, протекающий через аккумулятор, 1 = (И~ ^)/г = 5 А. Мощность, расходуемая станцией, No = И = 65 Вт. Мощность, расходуемая на нагревание аккумулятора, N = /?г = 10 Вт, т. е. 15,4 % от No.
Мотор потребляет мощность NQ — VI — 1,1 кВт. На обмотках мотора расходуется мощность N = I2R. В механическую энергию превращается мощность NQ - N = I(V- IR), i. e. 82% от N。.
теплотытеплотыЕсли R】и R2 - сопротивления первой и второй обмоток и V - напряжение сети, то при нагревании выделяется количество
теплоты
теплоты
J/2片
& T2 2& T2 2Q =j =т2; отсюда
& T2 2
& T2 2
RlR2
V2 V2Q =т = Т%+& &V2 V2Q =т = Т%+& &При последовательном соединении обмоток сопротивление нагревателя чайника R = R] + R? и время нагревания определится из уравнения
V2 V2
Q =т = Т
%+& &
V2 V2
Q =т = Т
%+& &
R】+ или т =т 1 = 45 мин.
При параллельном включении обмоток К = RlR2/(Rx + Я2) и
%(&+&)J/2я2
2 =Т = Т или т т, = 10 мин.
RASR1+R2
Сопротивление охлажденной части проволоки становится значительно меньше сопротивления неохлажденной части, в соответствии с этим возрастает сила тока в цепи. Так как через обе части проходит ток одной и той же силы, то большая часть тепла начинает выделяться на неохлажденной части проволоки.
Количество теплоты, выделяющейся на единице длины проволоки предохранителя,
Количество теплоты, необходимое для нагревания единицы длины этой проволоки до температуры плавления,
0 = QYiSi (%п — %).
Уравнения для расчета нагревания медного провода имеют такой же вид. С учетом этого получим
т = . ；!二丄々пл —о) = 0,09 с,
/ Pi
t—绵=0,1 ℃.
02¥2322Pl
Если R — сопротивление каждой из проволок и / ~ сила тока, то количества теплоты, выделяющейся в калориметрах, одинаковы и равны
е=12ят.
Уравнение теплового баланса для калориметров с водой и жидкостью дает
2 = cxm\tly Q = c2mAf2;
отсюда
с? = qAj/AG = 2,47 кДж/(кг • К).
При последовательном соединении большее количество теплоты выделится в железной проволоке, при параллельном — в медной.
Уменьшится в (R + 2尸)?/(R + г)2 = 2,25 раза.
T = ]/&R2・
§ 25. Постоянные магниты. Магнитное поле тока
Магнитное поле Земли на расстояниях, соизмеримых с длиной магнитной стрелки, практически однородно, т. е. индукция магнитного поля остается постоянной по модулю и направлению. Поэтому магнитное поле Земли, действуя на магнитную стрелку, может создавать только вращающие моменты, но не может создать равнодействующей силы, отличной от нуля.
стрелки, неоднородно, т. е. индукция магнитного поля у одного концастрелки, неоднородно, т. е. индукция магнитного поля у одного концаПоле магнита на расстояниях, соизмеримых с длиной магнитной
стрелки, неоднородно, т. е. индукция магнитного поля у одного конца
стрелки, неоднородно, т. е. индукция магнитного поля у одного конца
стрелки оказывается больше, чем у другого. Поэтому поле магнита, действуя на стрелку, создает равнодействующую силу, отличную от нуля, и вызывает не только вращение, но и поступательное движение стрелки.
Бруски следует сложить так, как показано на рис. 288. Если брусок 4 сделан из мягкого железа, то он не будет притягивать брусок В.
Если стрелку расположить в плоскости, перпендикулярной к магнитному меридиану, то она займет вертикальное положение. По
этому для определения направления магнитного меридиана следует, постепенно поворачивая прибор вокруг вертикальной оси, найти такое положение, при котором стрелка будет вертикальна. В этом случае на
правление магнитного меридиана совпадет с направлением оси враще
ния стрелки.
Сначала иголки разойдутся, так как магнит создает в нижних концах иголок одноименные магнитные полосы, отталкивающие друг друга. Когда магнит приблизится на достаточно малое расстояние, взаимодействие между ним и каждой из иголок станет больше, чем взаимодействие между иголками, и они опустятся, притягиваясь к
магниту. После удаления магнита иголки снова разойдутся за счет остаточного намагничивания.
Рис. 289, а соответствует положению устойчивого равновесия; рис. 289, 6, — положению неустойчивого равновесия.
При прикосновении пластины В часть линий индукции магнитного поля накоротко замыкается через эту пластину (рис. 290); число линий индукции, пронизывающих пластину А, резко уменьшается.
_^_ —^|- L^li^!—^—<; А— 4— жат— 刀_^_ —^|- L^li^!—^—<; А— 4— жат— 刀
_^_ —^|- L^li^!—^—<; А— 4— жат— 刀
_^_ —^|- L^li^!—^—<; А— 4— жат— 刀
Поэтому уменьшается сила взаимодействия между магнитом и пластиной А и она падает.
Во втором случае большая часть линий индукции магнитного поля замыкается накоротко внутри прилегающей к магниту части стержня (рис. 291) и поэтому последний не может намагничиваться так
же сильно, как в первом случае.
В первом случае, по мере приближения магнита, цилиндры будут один за другим отрываться от гирлянды и притягиваться к нижнему магниту. Во втором случае «прочность» гирлянды будет возрастать по мере приближения нижнего магнита. Когда магнит вплотную приблизится к нижнему цилиндру, он притянется к гирлянде и останется на ней.
Отрывание магнитов друг от друга связано с резким уменьшением числа линий индукции магнитного поля, проходящих внутри каждого из них. В момент отрыва в катушке возникает э. д. с. индукции, связанная с этим уменьшением числа линий индукции поля.
а) За счет действия вертикальной составляющей индукции магнитного поля Земли стержень намагничивается и магнитная стрелка при приближении к концам стержня притягивается к нему.
За счет действия горизонтальной составляющей индукции магнитного поля Земли стержень намагничивается и магнитная стрелка поворачивается в сторону ближайшего к ней конца стержня.
Стержень не намагничивается магнитным полем Земли и магнитная стрелка не изменяет своего положения при приближении стержня.
Во всех трех случаях предполагается, что при приближении стрелки к стержню расстояние между ними остается еще настолько большим, что можно пренебречь подмагничиванием стержня за счет магнитного поля самой стрелки. При переворачивании стержня во всех трех случаях поведение стрелки не изменяется.
При некоторой достаточно высокой температуре железо теряет магнитные свойства и ведет себя как любое немагнитное вещество (медь, стекло и др.). При нагревании гвоздя в пламени горелки до этой температуры сила взаимодействия магнита и гвоздя резко уменьшается, гвоздь выходит из пламени, возвращается в исходное положение. После остывания магнитные свойства гвоздя восстанавливаются, силы взаимодействия между ним и магнитом увеличиваются и он снова притягивается к магниту.
Рис.292Рис.292Движение вертушки возникает за счет того, что сила притяжения магнита, действующая на спицы, еще не попавшие в пламя горелки, значительно больше сил, действующих на горячие спицы, находящиеся в пламени горелки или только что вышедшие из него (см. решение задачи 429).
Рис.292
Рис.292
См. рис. 292. Указание. Так как индукция магнитного поля прямолинейного тока убывает пропорционально г, то линии располагаются гуще около провода и реже вдали от него. Индукция магнитного поля В направлена по касательной к этим линиям.
Н р 6,37 А/м.
Для того чтобы напряженность Н результирующего магнитного поля в точке 力
была направлена по вертикали, необходимо, чтобы магнитное поле тока скомпенсировало полностью горизонтальную составляющую магнитного поля Земли, т. е. чтобы
Нг = 7/2яг; отсюда г = 1/2пНг 七 5 см.
Таким образом, ток должен протекать с запада на восток; провод с током должен проходить на расстоянии г = 5 см ниже точки А.
В точках, находящихся на расстоянии
г =二р 1,8 см,2я у Hl + HZ
в северном полушарии — выше и севернее провода, в южном полушарии —выше и южнее провода. Направление от провода на эту точку в обоих случаях составляет с горизонталью такой угол а, что tg а = =Нг/Н3 = 0,4. Указание. В рассматриваемом случае магнитное по-
ле тока должно полностью скомпенсировать магнитное поле Земли. Напряженность магнитного поля Земли имеет модуль, равный Vh^ + hI и составляет с горизонталью угол а, такой, что tg а = Hj /Нв. Очевидно, что напряженность магнитного поля "丁 должна иметь такой же модуль, проходить под таким же углом к горизонтали, но в обратном направлении (рис. 293).
Ток, протекающий по трубе, можно представить как сумму множества одинаковых линейных токов, равномерно распределенных по поверхности трубы. В соответствии с этим напряженность магнитного поля в любой точке пространства можно представить как сумму напряженностей полей, создаваемых такими линейными токами.
На рис. 294 изображено поперечное сечение трубы, вдоль которой проходит ток. Сравним напряженности магнитных полей, создаваемых
Рис. 294Рис. 294
Рис. 294
Рис. 294
в точке А линейными токами, проходящими через достаточно малые дуги S] и 52. Силы токов /г и /2, проходящих через Sr и 52, будут прямо пропорциональны 5\ и 52, т. е. IJI2 = S"%. Но S^ и & пропорциональны расстояниям до точки А; следовательно, 1JI2 = ri/r2- Напряженность магнитного поля, создаваемого каждым из этих элементов в точке 4, может быть рассчитана по формуле магнитного поля прямолинейного тока, т. е.
Н] /】г2 отсюда== 1,”2 Г1 ‘2Н] /】г2 отсюда== 1,”2 Г1 ‘2
Н] /】г2 отсюда== 1,
”2 Г1 ‘2
Н] /】г2 отсюда== 1,
”2 Г1 ‘2
т. е. Hi = Я2, или Н1—Н2= 0. Так ного сечения трубы можно таким щий другой элемент, полностьют. е. Hi = Я2, или Н1—Н2= 0. Так ного сечения трубы можно таким щий другой элемент, полностью
т. е. Hi = Я2, или Н1—Н2= 0. Так ного сечения трубы можно таким щий другой элемент, полностью
т. е. Hi = Я2, или Н1—Н2= 0. Так ного сечения трубы можно таким щий другой элемент, полностью
как для каждого элемента попереч- образом подобрать соответствую- компенсирующий магнитное поле
первого элемента в точке 4 то результирующее магнитное поле тока, протекающего по трубе в любой точке внутри трубы, будет равно нулю.
Напряженность магнитного поля в точках, лежащих внутри кабеля, будет равна напряженности магнитного поля, создаваемого то-
ком, протекающим по внутреннему -проводу кабеля, т. е. Н = //2яг (см. решение задачи 435).
Пробка будет вначале поворачиваться так, чтобы плоскость витка стала перпендикулярной к магниту, и затем будет приближаться к нему.
Электрические заряды, движущиеся вместе с диском, создают в окружающем пространстве магнитное поле, подобное полю кругового тока. Над диском линии индукции этого поля направлены перпендикулярно к плоскости чертежа, за него. Магнитная стрелка повернется по часовой стрелке (если смотреть на нее снизу).
На магнитную стрелку действуют горизонтальная составляющая магнитного поля Земли с напряженностью Нг и магнитное поле тока с напряженностью Н「Стрелка располагается всегда так, чтобы сумма вращающих моментов, создаваемых этими полями, была равна нулю. Сумма моментов равна нулю, если равнодействующая всех сил направлена вдоль стрелки (рис. 295), т. е. если tga = Нг/Нт. Так как по
Рис. 295Рис. 296
условию стрелка достаточно мала и расположена в центре кольца, то можно считать, что напряженность поля кругового тока, действующего на стрелку,
//
%отсюда tga = —---.
При повороте кольца на угол а вместе с ним поворачивается на угол а и вектор напряженности 口丁 магнитного поля тока (рис. 296). Для того чтобы стрелка после поворота лежала в плоскости кольца, необходимо, чтобы в этой плоскости лежал вектор напряженности Н результирующего поля, образующегося от сложения магнитного поля Земли и магнитного поля тока. Так как напряженность Ят магнитного поля тока всегда перпендикулярна к плоскости кольца с током, то из простых геометрических соображений следует, что при этом Н = =%/tga и Н = Н「cos а; отсюда
Нт/ tg a = Hr cos а, или sin a = Нт/Нг = 1/2, т. е. a = 30°.
Н = 4,01 кА/м.
§ 26. Сила, действующая в магнитном поле на проводник с током
Проводник вначале повернется в горизонтальной плоскости против часовой стрелки (если смотреть на него сверху) и затем опустится вниз. Указание. В точке С (рис. 297) линии индукции магнитного поля проходят снизу вверх под углом к линии тока. В точке О они идут параллельно линии тока, в точке D — сверху вниз под
Рис. 297Рис. 297Рис. 298Рис. 298
Рис. 297
Рис. 297
Рис. 298
Рис. 298
углом к линии тока. Характер движения проводника можно установить, применяя правило левой руки к участку проводника COD.
Проводник обовьется около магнита, как показано на рпс. 298. Указание. Для установления характера движения проводника следует определить направление линий индукции магнитного поля на участках проводника, прилегающих к точкам С и D, и затем применить правило левой руки.
卜、 444. Проводники вначале повернутся, \ \ стремясь встать параллельно друг другу, \ ] и затем притянутся друг к другу. Указа- 0\ ] н и е. Для решения задачи следует рассмот- !В / реть действие магнитного поля тока /】на 夕 / участки проводника с током /2, прилегаю- / / щие к точкам С, О и D (рис. 299).
/445. Линии индукции магнитного поля
/ тока /2 представляют собой концентрические окружности. Ток /1 проходит вдоль одной из таких линий. Поэтому магнитное
поле на ток Ц действовать не будет. Все элементы провода с током /2 также всюду совпадают по направлению с осевой линией индукции магнитного поля, создаваемого током /Р На ток 72 также не будут действовать никакие силы со стороны магнитного поля.
При замыкании цепи каждый виток пружины, подобно круговому току, будет создавать магнитное поле и притягивать к себе соседние витки. Пружина сожмется, нижний конец пружины поднимется из ртути, цепь тока разорвется, магнитное поле исчезнет и пружина начнет расправляться. После опускания кончика пружины в ртуть весь процесс начнется сначала, т. е. конец пружины будет совершать периодические колебательные движения.
Поток движущихся заряженных частиц подобен некоторому току 7, имеющему направление скорости частиц и. Если линии индукции В магнитного поля направлены на нас (рис. 300), то на частицы, движущиеся со скоростью 〃, действует со стороны поля перпендикулярная к скорости V и индукции В сила 尸,вызывающая искривление траектории частиц. Направление силы определяется правилом левой руки.
Так как по условию магнитное nojie однородно, то сила 尸 постоянна по модулю и создает у частиц постоянное по модулю центростремительное ускорение а Из постоянства модулей скорости и цен-
тростремитечыюго ускорения частиц следует, что радиус кривизны траектории частиц должен быть также всюду постоянен (о =俨/R), т. е. траектория должна быть окружностью.
Направление движения каждого из элементов проводника CD определяется правилом лез ой руки. Так как проводник CD по условию однороден, то центр масс его лежит в точке 0 (рис. 301, а). Индукция магнитного поля в точке С будет больше, чем в точке D (см. решение задачи 431). На элементы, прилегающие к точке С, со стороны магнитного поля будут действовать большие силы, чем на такие же элементы, притхгаюгцне к точке D. Точка приложения равнодействующей всех сил, действующих на проводник CD, будет лежать слева от его центра масс. Поэтому проводник CD, двигаясь вверх, одновременно будет поворачиваться по часовой стрелке вокруг точки О.
Если пустить ток по проводнику CD в противоположном направлении, то он, двигаясь вниз, одновременно будет поворачиваться против часовой стрелки (рис. 301, 6).
Проводники повернутся и встанут параллельно так, чтобы направления токов в них были одинаковы.
Кольцо притянется к магниту, наденется на магнит и остановится на нейтральной линии магнита. При этом направление линий индукции магнитного поля тока будет совпадать с направлением линий индукции поля магнита.
Если направление тока в кольце изменить на обратное, кольцо соскочит с магнита, перевернется и наденется на него другой стороной.
Диск начнет вращаться по часовой стрелке.
При произвольном начальном положении рамка будет стремиться повернуться и встать в плоскость, проходящую через прямолинейный провод, так, чтобы в блнжа市 шей к проводу стороне рамки напрай* ленис тока совпало с направление^ тока в прямолинейном проводе.
453. Силы % и 尸2 достигают наибольшего значения, когда плоскость рамки перпендикулярна к линиям нн-
рис 302дукции магнитного поля (рис. 302).
Силы обращаются в нуль, когда плоскость рамки расположена параллельно линиям индукции магнитного поля.
Когда рамка повернется на 180е от положения, указанного на рис. 302, силы 尸 1 и 尸2 изменят свои направления на обратные и будут стремиться сжать рамку вдоль оси ее вращения.
454. См. рис. 303.454. См. рис. 303.Рис. 303Рис. 303§ 27. Электромагнитная индукция
454. См. рис. 303.
454. См. рис. 303.
Рис. 303
Рис. 303
Ток будет идти в направлении от D к С. При изменении направления движения проводника инд)жционный ток также изменит свое направление на обратное.
положен под магнитом, то в первом случае ток пойдет с севера на юг,положен под магнитом, то в первом случае ток пойдет с севера на юг,Если проводник расположен над магнитом, то при повороте магнита на восток ток в проводнике пойдет с юга на север, при повороте магнита на запад ток пойдет с севера на юг. Если проводник рас
положен под магнитом, то в первом случае ток пойдет с севера на юг,
положен под магнитом, то в первом случае ток пойдет с севера на юг,
а во втором — с юга на север.
В первом случае ток идет от оси диска к нижнему краю; во втором случае ток имеет противоположное направление.
При сближении проводников направление индукционного тока /2 будет противоположно направлению тока /】；при удалении проводников направления токов будут совпадать.
Ток направлен против часовой стрелки (вид со стороны магнита).
При прохождении положения А ток направлен против часовой стрелки (если смотреть со стороны северного полюса магнита) и рамка будет двигаться с ускорением аА vg. При прохождении
положения В с ускорением по часовой % > g-461. Приположения В с ускорением по часовой % > g-461. Прииндукционного тока не будет и рамка будет двигаться ав = g. При прохождении положения С ток направлен стрелке и рамка будет двигаться с ускорением
положения В с ускорением по часовой % > g-
461. При
положения В с ускорением по часовой % > g-
461. При
колебаниях маятника за счет периодических изменений
площади контура в последнем будут возникать индукционные токи. Индукционные токи будут направлены так, чтобы своим магнитным полем скомпенсировать изменение потока линий индукции магнитного поля, пронизывающих площадь контура.
При колебаниях маятника, связанных с увеличением площади контура, ток направлен против часовой стрелки, при колебаниях, связанных с уменьшением площади контура, — по часовой стрелке. За счет взаимодействия магнитного поля индукционных токов с полем постоянного магнита увеличится затухание колебаний маятника.
Э. д. с. возникнет, так как при внесении провода в пространство между полосами электромагнита изменяется число линий индукции магнитного поля, пронизывающих площадь контура.
Потенциалы концов крыльев различны. При полете по любому другому направлению разность потенциалов сохранит такое же значение, так как она зависит только от модуля вертикальной составляющей индукции магнитного поля Земли и от горизонтальной скорости самолета.
Наименьшая э. д. с. возникает тогда, когда рамка расположена в плоскости, проходящей через прямолинейный провод. Наибольшая э. д. с. возникает, когда рамка перпендикулярна к этой плоскости.
Не будет.
IV. ОПТИКА
§ 28. Природа света
Длина волны красного света в вакууме 入=c/v, скорость распространения красного света в стекле с' = с/〃. Длина волны красного света в стекле 入'=с7V. Изменение длины волны
=250 нм.=250 нм.V • пV • п人一人==250 нм.
=250 нм.
=250 нм.
V • п
V • п
ci = с/% = 2 • 108 м/с; ci =(勿2 = 1,95 • IO® ^/c.
v > 2 • 108 м/с.
Радужные полосы в тонких пленках возникают в результате интерференции световых волн, отраженных от верхней и нижней границ пленки. Волна, отраженная от нижней границы, должна пройти дополнительный путь по сравнению с волной, отраженной от верхней границы. Поэтому волна, отраженная от нижней границы, отстает по фазе от волны, отраженной от верхней границы. Это отставание, выраженное в долях длины световой волны, зависит от толщины пленки в том месте, где произошло отражение, и от длины световой волны в материале пленки.
Волны, соответствующие различным цветам, при отражении приобретают разность хода, равную нечетному числу полуволн, в местах, имеющих разную толщину. В каждом данном месте пленки, вследствие интерференции отраженных лучей, происходит гашение одних цветов спектра и усиление других. Поэтому места пленки, обладающие разной толщиной, будут казаться окрашенными в различные цвета.
Каждая из iоризонтальных интерференционных полос соответствует некоторой определенной толщине пленки. Вода во внутреннем слое пленки постепенно стекает в ее нижнюю част ь, нижняя часть пленки утолщается, а верхняя становится тоньше. Места, соответствующие какой-либо определенной толщине пленки, постепенно перемещаются. Вместе с ними перемещаются вниз и соответствующие интерференционные полосы. Через некоторое время толщина пленки в верхней части становится меньше четверти длины волны самых ко ротких волн падающего на пленку света. В этих местах пленки при интерференции отраженных от пленки лучей будет происходить гашение волн всех длин, поэтому это место пленки будет казаться в отраженном свете черным.
Так как после заполнения пространства жидкостью условия отражения волн от нижней поверхности линзы и от верхней поверхио- сгн пластинки становятся одинаковыми (обе волны отражаются от оптически более плотной среды), то в центре колец, в отраженном свете, появится светлое пятно вместо темного пятна, которое было до заполнения жидкостью пространства между пластинкой и линзой. Вследствие уменьшения скорости распространения света в пространстве между пластикой и линзой произойдет перемегцение и изменение ширины колец. Кольца станут уже и будут располагаться плотнее.
Свет отражается от верхней и нижней поверхностей пленки. Условия отражения в обоих случаях одинаковы. Поэтому после выхода из пленки отраженные лучи имеют разность хода, равную половине длины волны, и при интерференции полностью гасят друг друга.
£ = /iv = 3,31-10-20 Дж.
474・ £ = Ь = 3,03 10-19 Дж.
На поверхность Земли попадает поток энергии солнечных лучей, идущих внутри телесного угла, опирающегося на поперечное сечение земного шара. Полный поток энергии, поглощаемый Землей, Q = =TtR2q, где R = 6400 км - радиус Земли. Сила давления солнечных лучей на Землю (в случае полного поглощения их поверхностью Земли) 尸=Q/c р 5,8 -108 Н.
F = 2/с = 6,9 • 10~ 11 Н (см. решение задачи 475).
Поток энергии солнечных лучей, падающих на какую-либо площадку S, пропорционален телесному углу, под которым видна эта площадка с Солнца. При удалении площадки от Солнца телесный угол убывает пропорционально квадрату расстояния от Солнца. В соответствии с этим энергия, приходящаяся на площадку, а следовательно, и сила светового давления должны при удалении площадки также убывать пропорционально квадрату расстояния.
§ 29. Фотометрия
h = |/J疋=1 м.
479・匕/七2 =(6/b)2 = 4・ 10*; Е］二 1,6-105 лк.
/Ih
Е = г cos а = -丁;= 25 лк.
Г2(，「 +a2)3/2
Один фонарь на расстоянии а = (2 создает на поверхности земли освещенность
—// 言 27,5 м.—// 言 27,5 м.Е _ Ih
—// 言 27,5 м.
—// 言 27,5 м.
一2一=守77产
т. е.公 55 м.
Освещенности в точках В и С:
Е】=甫，E2=rCOSOL
Из треугольника АВС (рис. 304) следует, что
г = АС = 2R cos р;
尸 l cos а отсюда & = J 一• cos р
При а = В = 45° имеем £2 = Е J 2, т. е. освещенность в точке С будет в ］々 раз больше, чем в точке В.
Е = 5 лк.
Е = 3I/72 и одинакова для обеих сторон.
Освещенность пластинки в фотоаппарате зависит от светового потока, пропущенного объективом, и от отношения площади фотографируемого предмета к площади его изображения на пластинке.
Световой поток Ф, проходящий через объектив фотоаппарата, пропорционален телесному углу, под которым виден объектив из точки предмета, т. е. прямо пропорционален площади отверстия объектива S и обратно пропорционален квадрату расстояния 〃】от предмета до объектива (рис. 305):
①〜S/山.
5 к площади5 к площадиОтношение линейных размеров предмета к линейным размерам изображения равно отношению расстояний от предмета и изображения до объектива (рис. 306). Следовательно, отношение площади предмета
5 к площади
5 к площади
изображения о? должно быть равно отношению
квадратов расстояний от предмета и изображения до объектива, т. е.
о® = а；/疋.
Сопоставляя полученные результаты, получим
S а； _ Sа； «2 а2S а； _ Sа； «2 а2
S а； _ Sа； «2 а2
S а； _ Sа； «2 а2
т. е. освещенность изображения в фотоаппарате оказывается обратно пропорциональной квадрату расстояния от изображения до объектива.
Изображение удаленного предмета лежит ближе к объективу, чем изображение близкого предмета, т. е. освещенность изображения удаленного предмета будет больше освещенности изображения близкого предмета. Поэтому для близкого предмета придется делать большую выдержку.
rj = 2 • 100 %/N" ^ 4 %. Поток световой энергии, посылаемый лампой, Q = 4兀/К н 2 Дж/с.
Поток энергии солнечных лучей, падающих на Землю,
Qi =冗R込 е 1022 Дж,
где 冗R； — площадь поперечного сечения Земли. Отношение этого потока ко всему потоку энергии светового излучения Солнца
一 =—-=-—р 0,46 • ]0一 9,
б4冗4冲''
где о)1 — телесный угол, под которым видна Земля с Солнца. Отноше- 218
ние потоков энергии, получаемых Землей и Юпитером (со2 — телесный угол, под которым виден Юпитер с Солнца) равно
需з
§ 30. Закон прямолинейного распространения света. Закон отражения света
На одной прямой так, чтобы плоскости предмета и экрана были перпендикулярны к этой прямой.
Радиус полутени R】=15 см, радиус тени R? = 7,5 см. Тень исчезнет, когда мяч будет на высоте й = 2,5 м. Размеры тени будут одинаковы, если радиус мяча будет равен радиусу шара. Указание. Радиус полутени может быть найден из подобия треугольников CC2D,BBrD и AA2D (рис. 307); радиус тени - из рассмотрения треу- ОССГ Прямая СС[ равна радиусу шара rj прямая ВВ] — радиусу мяча г2; отрезки АС и АВ равны соответственно высотам 储 и h2 шара и мяча от пола.
Источники следует перемещать вдоль касательных к стержню, проходящих
через точку О. При перемещениях по другим направлениям полутени будут расходиться или накладываться друг на друга.
При заданном в условии расположении каждая точка предмета изображается светлым кружком, диаметр которого определяется из соотношения (рис. 308)
d' АС7 =麻d' АС7 =麻АС ,d，— -— а = 28cАС ,d，— -— а = 28cмм.мм.
d' АС
7 =麻
d' АС
7 =麻
АС ,d，— -— а = 2
8c
АС ,d，— -— а = 2
8c
мм.
мм.
Следовательно, различить детали размером меньше 2 мм при заданном расположении нельзя, так как светлые кружки, которыми изображаются отдельные точки этих деталей, будут накладываться друг на друга.
Форма светового «зайчика» зависит от формы источника света и от расположения экрана, на который проектируется «зайчик». Если источник имеет форму круга, а экран расположен под различными
углами по отношению к падающим иа него лучам, то «зайчик» будет иметь форму круга или более или менее вытянутого эллипса. При указанных в задаче условиях форма «зайчика» не зависит от формы зеркала.
Цвет поверхности определяется спектральным составом лучей, отражаемых ею. Когда поверхность сухая, то на лучи, соответствующие окраске поверхности, накладывается белый свет, рассеянный от шероховатостей и неровностей поверхности (например, от ворсинок ткани). Присутствие этого рассеянного белого света делает основной цвет поверхности блеклым и менее ярким.
Когда поверхность пропитана водой, то все эти неровности затягиваются поверхностной пленкой воды и рассеянный белый свет исчезает. Остается только основной тон окраски поверхности, который воспринимается нами как более сочный и яркий, чем до сма- чивания.
Указание. Для доказательства следует построить изображение S' источника S в зеркале и рассмотреть соотношение длин путей AOS' и ABS' (рис. 309).
В положении С наблюдатель увидит изображение булавки В справа от изображения булавки А. В положении D он увидит изображение булавки 8 слева от изображения булавки А. Если наблюдатель будет смотреть вдоль линии, проходящей через изображения 力'и В' булавок в зеркале (рис. 310), то он увидит эти изображения наложенными друг на друга.
Лучи, исходящие из точки 力,после отражения от зеркала будут, распространяться внутри полосы, ограниченной прямыми СС\ и DO】 (рис. 311). Лучи, исходящие из точки 8, будут распространяться внутри полосы, ограниченной прямыми СС2 и DD2. Только между прямыми ОС】н DD2 в каждой точке пространства будут встречаться лучи, исходящие от всех точек предмета. Глаз может видеть изображение всего предмета в случае, если он будет находиться внутри полосы, заключенной между лучами CCt и DD2.
Аа = 10 см.
Под углом а = 45°.
5(Ю. а = 2°; х = /tg а ^ /а = 5 • 0,035 = 17,5 см.
Изображение участка стены будет находиться за зеркалом на расстоянии а? =4 м. Если глаз находится в точке О (рис. 312), то в него могут попасть после отражения в зеркале CD лишь лучи, исходящие от всех точек участка изображения стены 48'. Таким образом, видимый в зеркале участок стены будет иметь высоту
При расположении глаза внутри треугольника DEH, ограниченного лучами DG и EF (рис. 313).
Перпендикуляры к зеркалам А{ и Л2 должны составлять с падающими лучами углы 22 30'; перпендикуляры к зеркалам Л3 и 4 - углы 77°30' (рнс. 163). Высота всех зеркал должна быть не меньше диаметра линз d; ширина зеркал А{ и Л2 равна d/cos22°30'亡 1,03d; ширина зеркал 厶 и Л4 равна d/cos77°30' 2 2,6Id.
См. рис. 314; а = 120 .
Центр окружности лежит в точке О пересечения зеркал. Глаз наблюдателя должен находиться внутри полосы, ограниченной лучами О А и ОВ (рис. 315).
§ 31. Сферические зеркала
/ = |/7^ = 40 см.
Из подобия треугольников ABF и CDF (рис. 316) следует, что
отсюдаотсюда^2“2^2“2Из формулы вогнутого зеркала име-
отсюда
отсюда
^2“2
^2“2
。2 = 〃i/3 疋 0,3 3 м (см. решение задачи 507). Из формулы для вогнутого зеркала / = a1a2/(^i + ^2) = 0,25 м; К = 2f = 0,5 м.
/ = 2,5см. Указание. Если а】и а? — начальные расстояния от предмета и изображения до зеркала, hr и h2 — высоты предмета и изображения, а/ — расстояние от изображения до зеркала после перемещения предмета, то фокусное расстояние / зеркала можно найти из уравнений
%—d 111111
= 2,1* = —,1=-
冤«1«2/4一d«2/
h2/ht - ftp. Указание. Отношение h2/hl определяется из уравнений (см. решение задачи 506)
=——，a^p + f, a2^q+f, pq = /~・
/ = //2 = 50cm; d = 2/(p.
На расстоянии g = 50 cM от зеркала и J2 = 2 см друг от друга. Указание. При раздвигании половинок зеркала источник окажется смещенным на 0,5 см в сторону от оптических осей половинок зеркала. Расстояния от изображений до новых оптических осей половинок зеркала можно рассчитывать, как в задаче 507.
Если а】и а2 — расстояние от источника и изображения до зеркала, то согласно условию задачи имеют место соотношения а】= 222
=а + Ь, а2 + а = Ь. Подставляя найденные отсюда значения а{ и а2 в формулу выпуклого зеркала, получим
b = \^2а / + а2 = 15cM.
нель-нель-Совпадение изображения можно установить, наблюдая изменения относительного расположения изображений при перемещениях глаза в сторону от оптической оси зеркала. Если изображения находятся на разных расстояниях от глаза, то при перемещениях глаза изображения смещаются друг относительно друга (явление параллакса). Если изображения находятся на одном и том же расстоянии, то при любых положениях глаза они совпадают друг с другом.
нель-
нель-
зя (рис. 317). Указание. Расстояния и а? от первой иглы и ее изображения до вогнутого зеркала должны удовлетворять соотношениям aY ~ d ^ а2 ~ b — а. При подстановке значений а】н а? в формулу зеркала следует помнить, что а2 должно быть отрицательным.
Так то оба ДляТак то оба ДляДля того чтобы установить возможность одновременного наблюдения изображений, следует рассмотреть ход лучей, действительно участвующих в образовании изображений. Все лучи, отраженные от вогнутого зеркала и образующие изображение первой иглы, проходят выше оптической оси. Все лучи, образующие изображение второй иглы в плоском зеркале, проходят ниже оптической оси вогнутого зеркала.
Так то оба Для
Так то оба Для
ограничеьшого лучамиограничеьшого лучамикак лучи, от раженные от обоих зеркал, нигде не перекрываются, одновременно наблюдать изображения невозможно.
ограничеьшого лучами
ограничеьшого лучами
сопоставления положения
изображений наблюдатель должен перемещать глаз в вертикальной плоскости около оптической оси и наблюдать изображения поочередно.
Если M'N' - изображение предмета MN, то лучи, образующие изображение точки М, пойдут внутри конуса, ограниченного лучами М'А и М'В (рис. 318). Лучи, образующие изображение точки N, пойдут внутри конуса,
NN и N'C Для того чтобы видеть изображение всего предмета,
наблюдатель должен расположить глаз внутри полосы*между прямыми М'Л и N'C, в которой накладываются друг на друга лучи, исходящие из всех точек предмета.
Наибольшая высота предмета определяется из подобия треугольников DEP и PNR (при этом кривизной отрезка DE пренебрегаем):
NRJDE = “％, NR = 〃т』х — bd/2n = 5 см.
Если /2 — длина изображения лица (рис. 319), а? — расстояние от изображения до зеркала, то для того, чтобы глаз мог видеть изо-
Рис. 319Рис. 319по формулам выпуклого зеркала (см.по формулам выпуклого зеркала (см.бражение всего лица при наименьшем расстоянии aY от зеркала, должно соблюдаться условие
Рис. 319
Рис. 319
по формулам выпуклого зеркала (см.
по формулам выпуклого зеркала (см.
ajd = Q + 〃2)〃2・
Определяя величины а2 и /? решение задачи 506), найдем
仆=/ (А + 2d)/d = 45 см.
На расстоянии 5R/6 = 30 см от ближней стенки шара; на расстоянии R/2 = 18 см от дальней стенки шара. Указание. Для решения задачи необходимо в первом случае найти сначала положение изображения S', даваемого дальней стенкой, и затем, рассматривая его как источник, найти положение изображения S" этого источника, даваемое ближней стенкой.
Для определения положения изображений S' и S" следует рассмотреть ход некоторого произвольного луча SA (рис. 320, а), идущего от
Рис. 320Рис. 320
Рис. 320
Рис. 320
источника S под малым углом к оптической оси. Для определения направления этого луча после первого отражения в точке Л необходимо провести побочную оптическую ось аа, такую, чтобы луч SA пересекал ее в фокусе. Отраженный луч АВ идет параллельно этой оси. Изобра-
a =_+a Ia =_+a I£1 + “2 =£1 + “2 =2@ -/) 2(ui - R/2)2@ -/) 2(ui - R/2)519. Если а — расстояние от а Ь - расстояние от изображения,519. Если а — расстояние от а Ь - расстояние от изображения,источника до вогнутого зеркала, даваемого выпуклым зеркалом, доисточника до вогнутого зеркала, даваемого выпуклым зеркалом, до
a =_+a I
a =_+a I
£1 + “2 =
£1 + “2 =
2@ -/) 2(ui - R/2)
2@ -/) 2(ui - R/2)
519. Если а — расстояние от а Ь - расстояние от изображения,
519. Если а — расстояние от а Ь - расстояние от изображения,
источника до вогнутого зеркала, даваемого выпуклым зеркалом, до
источника до вогнутого зеркала, даваемого выпуклым зеркалом, до
жение Sf лежит в точке пересечения луча АВ с главной оптической осью. После второго отражения в точке В луч идет параллельно побочной оптической оси bb, через фокус которой проходит луч АВ. Изображение S" лежит в точке пересечения луча ВС с главной оптической осью.
Порядок действий при определении положения изображения 8' во втором случае ясен из рис. 320, б.
a = 90 см; нс изменится. Указание. Плоское зеркало должно находиться на середине расстояния между источником S и его изображением S', т. е. должно быть (рис. 321)
этого зеркала (рис. 322), то для изображения, даваемого выпуклым зеркалом, имеет место соотношение
11 _ 2
IF二/ -石=五
Изображение в выпуклом зеркале является источником по отношению к вогнутому зеркалу. В случае совпадения с источником точки встречи лучей после двух отражений должно быть
I 12
万пгT+工=т,
Решая эту систему уравнений, найдем a = 0,28 R.
В силу обратимости хода световых лучей при изменении первоначального направления лучей положение точки встречи останется прежним.
8 В. Г Зубов, В. П. Шальиов225
глаз пловца (рис. 324). Изглаз пловца (рис. 324). ИзРис. 323Рис. 323
глаз пловца (рис. 324). Из
глаз пловца (рис. 324). Из
Рис. 323
Рис. 323
§ 32. Преломление света на плоской границе
Из геометрического построения следует, что i +『=90°, или г = 90° — i (рис. 323). Из закона преломления sin r/sin г = м с учетом, что sin г = cos i, получаем tg i = 〃 = 1,5, т. е. i = 56°24'.
L = 2,9м. Указание. Длина тени от подводной части сваи / = (Н — A) tg г = 3 • 0,62 а 1,9 м.
Предмет кажется расположенным в точке S', в которой встре
чаются продолжения лучей, попадающих в треугольников О AS и OAS' следует, что
О А = OS tg i =力 tg i, OA = OS' tg r = 〃' tg r;
отсюда /:' = % tg i/tg г. Так как углы i и г малы, то можно положить tg i 疋 sin i, tg г 弋 sin г. С учетом этого имеем
h' = h sin z/sin r — nh — \ m.
На расстоянии d + 4/i/3 вниз от дна сосуда. Указание. В зеркале нужно строить изображение точки S' (рис. 324).
Если S — положение изображения, найденное в задаче 523, и OS = Н — 2d + 46/3, то наблюдатель увидит это изображение в точке S'
на расстоянии // от поверхности воды. Из треугольников OAS и О AS' (рис. 325) и малости углов i и г следует, что
п = 1,41. Указание. Так как преломленный луч по условию задачи перпендикулярен ко второй грани призмы, то из простых геометрических соображений следует, что угол преломления луча г = 30°.
/1 = 30см. Совпадение изображений устанавливается по отсутствию параллакса (см. решения задач 506 и 513).
полное внутреннее отра-полное внутреннее отра-Рис. 326Рис. 326Если п < 2, то луч преломится и выйдет через вторую грань. Если и > 2, то луч испытает на второй грани жение и выйдет из призмы через третью грань перпендикулярно к ней.
полное внутреннее отра-
полное внутреннее отра-
Рис. 326
Рис. 326
Если на верхней границе пластинки появляется яркое изображение точечного источника, то лучи, проходящие от него внутрь материала пластинки под малыми углами i (рис； 326), свободно уходят через нижнюю границу. Если же угол падения лучей на нижнюю границу больше предельного
io, то они претерпевают полное внутреннее отражение, подсвечивают чувствительный фотослой снизу и образуют ореол. Расчет показателя преломления вытекает из рис. 326 и определения предельного угла:
пsin ioa
§ 33. Тонкие линзы. Оптические системы
J = /ф = 2,35мм. Указание. Изображение Солнца находит
ся в фокальной плоскости линзы (рис. 327) и видно из оптического цент
ра линзы, так же как и Солнце, под углом <р. Пользуясь малостью угла <р, можно положить tg ф о.
В плоскости, проходящей через оптический центр линзы. Указание. Для доказательства доста
точно проследить движение
изображения при приближении предмета к линзе (рис. 328). Следует учесть, что направление луча AF при любых положениях предмета остается неизменным. Луч, проходящий через оптический центр линзы
Рис. 328
О, по мере приближения предмета к линзе постепенно поворачивается вокруг точки О, составляя с оптической осью все больший угол.
См. рис. 329.
Переместится на d = 5 см ближе к экрану. У к а з а н и е. При расчете нового положения точки встречи лучей А по формуле тон
кой линзы точку А следует рассматривать как предмет. Следует учесть, что если в обычном случае (то чка предмета —вершина расходящегося пучка лучей) вершина пучка лежит с той же сторо- ны, с которой падают на линзу лучи, то в рассматриваемом случае вершина пуч
ка лежи г по отношению к па
дающим лучам с другой стороны линзы. Поэтому при расчете расстояние а】 от предмета до линзы следует вводить в формулу тонкой линзы со знаком минус, т. е. аг = —15 см.
При построении следует определить ход вспомогательных- лучей ВА и СЛ, приходящих на линзу слева в точку Л. Тонка встречи этих
лучей после линзы и определит новое положение вершины пучка 力' (рис. 330).
/ = 30 см (см. решение задачи 5 34).
5%. См. рис. 331.
Источник должен находиться за двойным фокусным расстоянием, а наблюдатель — в одной из точек области ВАС (рис. 332). У к а - з а и и е. Лучи, идущие от источника мимо оправы линзы к наблюдателю, и лучи от изображения распространяются внутри конусов.
Одновременное наблюдение источника и его изображения возможно лишь в том случае, когда имеются области пространства, в которых указанные пучки перекрывают друг друга.
h' = Н/р = 4 см..
а2 — 60 см; / = 20 см. Указание. Отношение линейных размеров предмета и изображения равно отношению расстояний от них до линзы; следовательно, отношение площадей предмета и изображения равно отношению квадратов расстояний от них до линзы.
540. 1: 4000; 1:2000.
541. S］弋 0,52KM2; S2 ^ 0,13км2.
При неизменном расстоянии между лампой и экраном линза после перемещения даст снова резкое изображение тогда, когда новое расстояние от лампы до линзы (рис. 333,6) станет равным прежнему
расстоянию от изображения до экрана (рис. 333,。). В силу этого"1 — 〃2 = 36 СМ.
Из формулы увеличения линзы и на основании условия задачи получим
"1/“2 = 2.
Решая совместно эти уравнения и используя формулу линзы, найдем
/ = 2д/3 = 24см.
с = / tg ср = 60 см. Указание. Размер деталей предмета определяется наименьшим углом зрения человеческого глаза.
В фокусе линзы.
Для определения положения изображения, даваемого всей системой в целом, следует рассчи гать положения изображений, даваемых последовательно по ходу лучей отдельными частями системы.
Линза для предмета 力 дает мнимое изображение В (рис. 334), лежащее слева от линзы на расстоянии
а —= 30 0M.
Плоское зеркало для изображения В как предмета дает изображение С, лежащее на расстоянии а + b = 45 см за зеркалом, или, иначе, на расстоянии а' — а+ 2Ь~ 60 см от линзы. На линзу справа лучи поступают от изображения С как предмета, и линза дает действительное изображение D, лежащее слева от линзы на расстоянии
。2 = = 60 CM.
a
Система дает действительное изображение, лежащее между линзой и ее фокусом (рис. 335).
а2 = 100 см; см. рис. 3 36. Указание. При расчете учесть, что первое изображение, даваемое линзой, лежит за зеркалом. Для по-
Рис. 336
строения удобнее взять лучи, идущие параллельно оптической оси и через передний фокус линзы (см. решение задачи 545).
Источник должен быть бесконечно удален.
См. рис. 337; а2 = 2,5 см.
Если расстояние между половинками исчезающе мало, то пучок практически останется параллельным. Если это расстояние велико, но меньше фокусного расстояния каждой из половинок, то пучок параллельных лучей будет преобразовываться в пучок сходящихся лучей. При расстоянии между линзами, большем фокусного расстояния каждой из них, параллельный пучок будет превращаться системой в пучок расходящийся.
К ЧИТАТЕЛЯМ ♦)
Иас окружает удивительный и бесконечно разнообразный мир различных вещей и явлений. Он существовал до нас н будет существовать после нас независимо от нашего сознания.
Бесконечное пространство Вселенной включает в себя множсс гво гигантских и малых звезд, загадочных туманностей, наше Солнце н планеты, свет и темноту, тепло и холод, нашу Землю и огромное многообразие живых и неживых тел на ней. Мы узнаем о существовании этого мира с помощью наших органов чувсi в, по своим движениям и действиям в нем.
Мир, который существует независимо от нас и который мы можем познавать через наши ощущения и действия, называют материей.
Мир не остается неизменным. В нем непрерывно происходят самые различные изменения. Звезды не только меняют свое положение на небе. Они рождаются и исчезают, меняют свои свойства. Происходят смены дня и ночи, изменения погоды. Тепло сменяет холод. Различные вещества при разных условиях могут становиться твердыми, жидкими или газообразными. Происходят химические превращения одних веществ в другие. И так далее.
Все эти изменения мы называем движениями материи.
, Многое о природе мы узнаем из повседневных житейских наблюдений. Но нам мало просто знать о существовании различных свойств тел или явлений. Важно знать, почему возникают эти явления, почему различные тела обладают разными свойствами, как эти тела устроены. Эю особенно важно потому, что без такого знания мы не смогли бы использовать эти явления и свойства тел для пользы человечества, не смогли бы создать то множество вещей, которые нужны нам для жизни, для развития человеческого общества.
Поиском от ветов на все эти вопросы занимается много наук — физика, химия, биология, астрономия, геология и друтие. Все они вместе получили название естественных наук или наук о природе.
Среди естественных наук одно из важнейших мест занимает физика. Она является тем основанием, на котором создают свои теоретические
построения и совершенствуют свои эксиеримен iальныс мегоды все другие естественные науки.
Что такое физика? Для того чюбы ответить на этот вопрос, необходимо рассмотреть те основные задачи, которые решает физика, и те основные направления, в которых она развивается в настоящее время.
Первое направление современной физики — изучение наиболее общих форм движения материи, лежащих в основе всех природных явлений; установление законов этих движений и их всеобщей взаимосвязи1 между собой. Эти законы таковы, что им подчиняются все без исключения тела, где бы они ни находились, когда бы ни наблюдались и каким бы изменениям ни подвергались. Формы движения материи, изучаемые физикой, мы называем физическими процессами или физическими явлениями.
Простейшее, что мы видим повседневно, это непрерывно происходящие изменения положений тел друг относительно друга с течением времени. Эю физическое явление служит предметом изучения раздела физики, называемого механикой. Законам механических явлений подчиняются не только тела, окружающие нас на Земле. Им подчиняются в своих движениях и звезды, и галактики, и самые маленькие, невидимые частицы вещества — атомы и их составные части. Механические процессы принадлежат к числу наиболее общих форм движения материи, и они присутствуют как обязательные участники во всех других явлениях природы.
Мы непрерывно наблюдаем смены тепла и холода. При этом происходят изменения свойств самих тел. Они меняют геометрическую форму и размеры. Изменяется состояние этих тел. Лед превращается в воду, вода — в пар. Раскаленный металл превращается в жидкость и начинает светичъся. Ртуть, замерзая, становится твердым • телом. Начинают возникать или проходить по-другому химические реакции. Все это вместе образует новую группу физических процессов, которые называются тепловыми явлениями. Законам тепловых явлений подчиняются все тела; они носят всеобщий характер. Сами тепловые процессы так же присутствуют как непременные участники всех других явлений природы.
В жизни, в повседневном бьпу мы непрерывно сталкиваемся с особыми взаимодействиями тел, которые получили название электромагнитных явлений. Разрушительиьге молнии при грозе, полярные сияния, свет, электризация бумаг и и синтетических тканей, притяжение и отталкивание магнитов — все это проявления электрических и магнитных сил. Телефон, радио, телевидение, разнообразные бытовые приборы — это примеры использования человеком электромагнитных явлений. И все это составляет предмет особого раздела современной физики — электродинамики.
Электромагнитные процессы опять-таки принадлежат к одному из самых общих видов движения материи, лежащему в основе всех других явлений природы. В свое время при изучении электродинамики мы узнаем, что электромагнитными силами обеспечивается бесконечное разнообразие окружающих нас тел и что именно к этим силам сводятся почти все взаимодействия тел между собой.
Второе направление современной физики — изучение свойств материальных тел, определение особенностей их внутреннего строения, отыскание взаимосвязей между свойствами тел и их строением.
В каждом физическом процессе, при каждом взаимодействии тел, при каждом изменении условий, в которых находятся эти тела, мы обнаруживаем бесконечное разнообразие различных свойств материальных тел.
В механических явлениях обнаруживается разнообразие в способ-* носги тел действовать друг на друга самыми различными силами. Оказывается, что одни тела могут быть прочными, твердыми, другие — хрупкими, не способными выдерживать даже слабые воздействия других тел. Все тела обнаруживают способность притягивать друг друга силами всемирного тяготения.
При нагревании тела по-разному расширяются. Одни тела, оказывается, могут оставаться твердыми при очень сильном нагревании, а другие не могут перейти в твердое состояние даже при самых сильных охлаждениях. Одни тела легко воспламеняются, другие — не могут загореться и т. д.
Так же по-разному тела ведут себя в электромагнитных и световых явлениях. Они по-разному пропускают электрический ток и свет.
Задача физики и состоит в том, чтобы прежде всего научиться находить количественные меры для описания и сравнения свойств тел, находить объяснение причинам появления этих свойств и их разнообразию. Такое объяснение свойств тел становится возможным только тогда, когда удается построить правильную модель внутреннего строения тел. Решением этой задачи занимаются такие разделы современной физики, как молекулярная физика, электронная теория, атомная w ядерная физика.
Третье направление современной физики — отыскание возможностей, форм и методов использования законов физических явлений и свойств материальных тел для нужд человека.
Решением этой задачи сейчас занимается подавляющее большинство ученых-физиков. Это направление получило название прикладной или технической физики. Только благодаря быстрому и успешному развитию этого направления каждый закон и каждый раздел физики стали отправными точками для развития всех инженерных наук, для развития и совершенствования всех отраслей производства.
Отыскание путей практического применения законов механики привело к развитию технической механики, материаловедения, теории механизмов и машин.
Учение о тепловых явлениях стало основой всей современной теплотехники, теории двигателей, стало неотъемлемой частью расчетов всех химических и других производств.
Отыскание путей практического применения законов электромаг нитных явлений не только породало современную электро- и радиотехнику, но и обеспечило вместе с атомной и ядерной физикой создание всей современной энергезики.
Успехи молекулярной физики и электронной зеории дали возможность создавать новые вещества с невиданными, чудесными свойствами, стали основой современной электроники, открыли дорогу к созданию лазеров - источников света, обладающих свойствами фантастического гиперболоида инженера Гарина.
Подводя итоги, мы можем теперь сказать, что физикой называется наука, которая:
изучает наиболее общие формы движения материи, лежащие в основе всех явлений природы; находит законы, управляющие этими движениями и их взаимосвязями;
изучает свойства материальных тел и их внутреннее строение; находит законы, связывающие свойства тел с их строением;
отыскивает пути практического использования законов физических явлений и свойств тел для нужд человека.
Это три важнейших направления находят свое отображение во всех разделах физики. Поэтому при изучении каждого раздела физики необходимо увидеть эти направления, понять их и научиться пользоваться ими в своей практической деятельности. Это поможет более глубокому пониманию всей физики в целом, поможет уложить все знания физики в стройную логическую систему.
Следует также все время помнить, что физику нельзя рассматривать как собрание отдельных независимых частей. Это единая наука, в которой создаются представления о единстве всего окружающего I^ac мира. Все части физики взаимосвязаны между собой, так же как связаны друг с другом все явления природы.
Каждая частица материи полностью раскрывает свои свойства только во всех явлениях. Так, для полного понимания свойств атома нужно знать его поведение и в механических, и в тепловых, и в электромагнитных явлениях. Не случайно при каждом открытии новых физических явлений раскрываются новые, более сложные свойства самого атома.
Об этом необходимо помнить при изучении физики; необходимо учи гься видеть взаимосвязи между явлениями, видеть то, как при расширении круга этих явлений все более полно раскрываются тайны сIроения самой материи.
Ояы г — основа физики. Возникает совершенно ес reel венный вопрос. Откуда и как физика получает знания о различных явлениях? Как формируются законы физики? Прежде всего ясно, что поскольку предметом физики является реальный мир н события, в нем происходящие, то нельзя придумать никаких знаний об этом мире просто так из го.ювы, не выходя из закрыюй со всех сторон комнаты! Очевидно, что первым шагом в получении знаний о каком- либо явхешш должно быть непосредственное наблюдение за этим явлением. Ключом к любому научному познанию природы, его единственным источником являются наблюдения, эксперименты и выводы из них.
Яаучяое наблюдение состоит не только в регистрации фактов. Проведение его далеко не простая задача. Научное наблюдение включает в себя системагизацию обнаруженных фактов, установление связей между ними, размышления. Далее требуется оценка и отбор гех свойств, качеств и связей изучаемого явления, которые буду г для него главными, основными, ключевыми.
Как один из классических примеров по-насюящему научных наблюдений могут быть названы рабогы Кеплера по изучению законов движения планет. Кеплер не только провел огромное количество наблюдений за видимыми положениями планет Солнечной системы. Он провел детальный анализ результатов своих наблюдений. На основе этого анализа и на основе учета явлений, связанных с движением Земли, оя дал правильное описание движения планет и нашел законы движения планег, носящие теперь его имя.
Другой пример — изучение поведения свободных тел над поверхностью Земли. Проведенные для этого наблюдения сразу укажут нам два результата: 1) все свободные тела рано или поздно обязательно падают на Землю; 2) у разных тел движения во вре?ля падения буду г разными — тяжелый шар будет падать быстро со все нарастающей скоростью; легкая пушинка будет спускаться на Землю плавно и неторопливо.
Какие же общие выводы можно сделать из указанных результатов? Первый результат говорит о том, что Земля каким-то образом действует на все тела, находящиеся над ней, она притягивает их. Этот вывод правильный, он носит всеобщий характер. Но если мы из второго результата сделаем вывод о том, что притяжение Земли вызывает разные движения у разных тел, то мы совершим грубую ошибку. Наши поверхностные наблюдения не дают нам оснований для такого решительного вывода. Ведь мы не посмотрели: как могут влиять различные качества и свойства падающих тел на их движения; как может влиять воздух, в котором движутся тела.
Мы должны найти способы оценки соотношения между влияние?л Земли и этих факторов. Л для этого нужно ставить специальные 236
опыты (эксперименты), в которых можно было бы менять условия движения тел и контролировать все названные влияния. Важно поставить эти опыты так, чтобы они давали не только общее качественное представление о происходящих событиях или влияниях (слабее — сильнее или больше — меньше). Нужно, чтобы они позволяли количественно оценить и особенности самих движений и действия тел друг на друга.
В свою очередь это требует создания специальных понятий и определений физических величин, которые давали бы характеристику всем свойствам движений и тел. Для тех величин, которые будут определяться в ходе опыта, нужно найти способы их количественного измерения.
Только после всего этого можно ставить нужные нам опьпъх и отыскивать количественные соотношения между всеми величинами, характеризующими изучаемое явление. Из таких количественных опытов уже может быть найден закон, управляющий данным явлением. В нашем случае — закон свободного падения тел.
Количественные законы позволяют нам глубже понять сами физические явления, увидеть связи между поведением тел и их взаимодействиями с другими телами. Они позволяют по заранее заданным внешним условиям предугадать, предсказать, как будет происходить развитие изучаемого явления в будущем при этих условиях. Эти законы позволяют нам управлять ходом физических процессов, направлять их развитие в нужную нам сторону.
Таким образом, рассмотренные примеры позволяют нам увидеть основные этапы формирования знаний о физических явлениях:
непосредственное начальное наблюдение или качественный опыт позволяют увидеть физическое явление в целом, выделить наиболее важные его качества и свойства, обнаружить наиболее существенные связи его с другими физическими процессами;
следующее за этим создание специальных понятий, определение физических величин, характеризующих нужные свойства явлений и тел, указание способов их измерения открывают возможность проведения количественных опытов, которые могут глубже раскрыть особенности изучаемого явления;
количественные опыты устанавливают соотношения между физическими величинами и тем самым вскрывают связи особенностей физического явления с условиями, в которых оно протекает;
результаты количественных опытов позволяют дать полную формулировку законам, управляющим данным явлением;
найденные законы позволяют подойти к созданию общей теории свойств и строения материи, к определению путей использования этой теории для практических расчетов и применений;
в свою очередь созданная таким образом теория может позволить предугадывать новые явления, не известные нам ранее,
новые особенное™ явлений, определять те условия, при которых их можно наблюдать.
Внимательный читатель легко обнаружит, что именно по такой общей схеме строится изложение материала во всех разделах этого курса. Изучение каждой большой группы родственных физических явлений всегда начинается с определения основных экспериментальных фактов, на которых затем строится система необходимых понятий и формулируются основные законы. Именно такая схема, отвечающая строению самих физических знаний, делает физику наукой, строго логически связанной во всех ее частях.
Чтобы закончить вопрос о происхождении и составе физических знаний, необходимо еще установить, каким способом можно проверить правильность той или иной теории.
Мы уже отметили, что любая вновь созданная теория может предугадывать новые явления. Она также может быть применена для создания новых машин, процессов, используемых человеком на практике. И у нас нет другого способа проверить правильность теории, кроме того, чтобы проверить правильность ее предсказаний на опыте, проверить на практике способность работать у машин, созданных на основе этой теории.
Таким образом, создание и проверка физических теорий начинаются с опыта и кончаются опытом.
Наблюдение и опыт выступают как начальные и единственные источники знаний и образуют предметный фундамент физики как науки.
Опыт w человеческая практика — единственные судьи научной истины. Они являются пробным камнем для всех наших знаний по физике.
На эту роль опыта как критерия истины обращал особое внимание В. И. Ленин. И именно эта роль практики и опыта делает особо важным третье основное направление развития физики. Отыскание форм и путей практического применения законов физики нужно не только для удовлетворения запросов общественного производства. Это жизненно необходимо и для самой физики. В практических применениях, в общественном производстве физика проверяет истинность своих теорий, ценность и правильность своих знаний.
Физика и производство. Взаимосвязь физики и производства не исчерпывается тем, о чем только что было сказано. Эта взаимосвязь значительно глубже и сильнее. В свое время Энгельс писал о том, что если техника в значительной степени зависит от состояния физики, то в гораздо большей мере физика зависит от состояния и потребностей техники.
Наиболее быстрые и сильные продвижения в развитии физики происходили в те периоды, когда у общества возникала техническая 238
потребность в таких продвижениях. Например, в XVI и XVII веках в Италии возникла крайняя потребность найти способы регулирования горных потоков. Именно эта потребность вызвала к жизни науку о равновесии жидкостей — гидростатику.
Учение об электричестве начало быстро развиваться только с тех пор, как была открыта возможность широкого использования его в технике. Точно так же именно техническими потребностями общества были вызваны к жизни теория колебаний маятников, вся термодинамика и многие другие отрасли физики.
Под влиянием требований общественного производства происходили не только продвижения в отдельных отраслях физики. В результате изменений, происходивших в производстве, возникали существенные изменения и настоящие перевороты во всей физике в целом. К числу таких переворотов принадлежит установление закона сохранения энергии в середине XIX века, вызванное к жизни появлением паровых машин на производстве.
В наше время бурной научно-технической революции эти взаимосвязи физики и производства стали еще более тесными и прочными. Сейчас нет ни одного закона физики, который бы «не работал» на производстве. Так же нет ни одной машины, в работе которой одновременно не применялось бы большое количество физических законов. Физика и техника объединились в неразрывном союзе. Каждая из них в своем развитии подталкивает, ускоряет развитие другой. Сама физика вошла в общественное производство как одна из важнейших производительных сил. Каждый, кто хочет изучать физику и работать в ней, должен помнить об этом и не забывать о поиске новых путей и форм практических применений законов фнзнки.
В заключение отметим, что физика органически вошла во все другие естественные науки. Она помогает химикам и биологам раскрыть внутренние механизмы химических и биологических процессов, геологам — разобраться в особенностях внутреннего строения земного шара, помогает всем им создать необходимые инструменты и приборы для своих исследований. Она также неразрывно связана с астрономией и математикой и со всеми техническими науками.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
Гравитационная постоянная
Ускорение свободного падения (нормальное)
Скорость света в вакууме Магнитная постоянная
Электрическая постоянная
Масса покоя электрона
Масса покоя протона
Элементарный заряд
Отношение заряда электрона к его массе
Постоянная Планка
Постоянная Авогадро
Постоянная Больцмана
Молярная газовая постоянная
Постоянная Фарадея
Объем моля идеального газа при нормальных условиях
(尸产 101 325 Па,『 273,15 К)
G = 6,6720・ КГ" Н・м?/кН g = 9,80665 м/с?с = 2,99792458 • 103 м/сцо = 4тс-1О~7 Гн/м —=12,5663 706144-10-" Гн/м % = 8,85418782・ 10"2 ф/м S = 9,109534・ 10-31 кг 勿％ = 1.6726485 • 10-27 кге= 1,6021892- 10~19 Кл е〃％= 1,7588047 • IO” Кл/кгh = 6,626176- 10~34 Дж с Na = 6,02204 5- 102 3 моль"1左=1,380662 • 10一23 дж/Х R = 8,31441 • Дж/(моль • К) 尸= 96,48456 • 103 Кл/моль 九=22,41383• 10~з мЗ/мольG = 6,6720・ КГ" Н・м?/кН g = 9,80665 м/с?с = 2,99792458 • 103 м/сцо = 4тс-1О~7 Гн/м —=12,5663 706144-10-" Гн/м % = 8,85418782・ 10"2 ф/м S = 9,109534・ 10-31 кг 勿％ = 1.6726485 • 10-27 кге= 1,6021892- 10~19 Кл е〃％= 1,7588047 • IO” Кл/кгh = 6,626176- 10~34 Дж с Na = 6,02204 5- 102 3 моль"1左=1,380662 • 10一23 дж/Х R = 8,31441 • Дж/(моль • К) 尸= 96,48456 • 103 Кл/моль 九=22,41383• 10~з мЗ/мольМНОЖИТЕЛИ И ПРИСТАВКИ ДЛЯ ОБРАЗОВАНИЯ ДЕСЯТИЧНЫХ КРАТНЫХ И ДОЛЬНЫХ ЕДИНИЦ И ИХ НАИМЕНОВАНИЙ
G = 6,6720・ КГ" Н・м?/кН g = 9,80665 м/с?
с = 2,99792458 • 103 м/с
цо = 4тс-1О~7 Гн/м —
=12,5663 706144-10-" Гн/м % = 8,85418782・ 10"2 ф/м S = 9,109534・ 10-31 кг 勿％ = 1.6726485 • 10-27 кг
е= 1,6021892- 10~19 Кл е〃％= 1,7588047 • IO” Кл/кг
h = 6,626176- 10~34 Дж с Na = 6,02204 5- 102 3 моль"1
左=1,380662 • 10一23 дж/Х R = 8,31441 • Дж/(моль • К) 尸= 96,48456 • 103 Кл/моль 九=22,41383• 10~з мЗ/моль
G = 6,6720・ КГ" Н・м?/кН g = 9,80665 м/с?
с = 2,99792458 • 103 м/с
цо = 4тс-1О~7 Гн/м —
=12,5663 706144-10-" Гн/м % = 8,85418782・ 10"2 ф/м S = 9,109534・ 10-31 кг 勿％ = 1.6726485 • 10-27 кг
е= 1,6021892- 10~19 Кл е〃％= 1,7588047 • IO” Кл/кг
h = 6,626176- 10~34 Дж с Na = 6,02204 5- 102 3 моль"1
左=1,380662 • 10一23 дж/Х R = 8,31441 • Дж/(моль • К) 尸= 96,48456 • 103 Кл/моль 九=22,41383• 10~з мЗ/моль
Множитель
Приставка
Множитель
Прибавка
Наименование
Обозначение
Наименование
Обозначение
1018
эксо
Ю'1
деци
Д
1015
пета
10-2
санти
С
1012
тера
10-3
милли
м
109
гига
10-6
микро
мк
106
мега
М
1。亡
нано
н
103
кило
10-12
ПИКО
п
102
гекто
IO-”
фемто
ф
101
дека
Ю-18
атто
а
Ш. ЕДИНИЦЫ И РАЗМЕРНОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В СИ
Определения единиц физических величин приведены для основных (выделены полужирным шрифтом) и дополнительных единиц СИ. Внесистемные единицы, допустимые к применению наравне с единицами СИ, отмечены кружком
Величина
Единица
наименование
размерность
наименование
обозначение
связь с основными единицами СИ
Длина
L
метр
° астрономическая единица длины
° световой год
° парсек
М а. е. св. год ПК
Основная единица
Метр равен 1 650 763,73 длины волны в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2р10 и 5J5 атома криш она-86
1 а. е. = 1,49598 • IO" м
1 св. год-9,4605- 1015 м
1 ПК = 3,0857 • 1016 м
Площадь
d
квадратный метр ° гектар
М? га
1 га — 1(Н м2
Объем
£3
кубический метр ° литр
м3 л
1 л = 10~3 м3
Величина
Единица
наименование
размерность
наименование
обозначение
связь с основными единицами СИ
Плоский угол
радиан
° градус
° минута
° секунда
рад
Дon олнительная единица
Радиан равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу
Г —(я/180) рад
1'=(冗/10 800) рад
1 〃 =(冗/648 000) рад
Телесный угол
стерадиан
ср
Доп олните. ^ъная единица
Стерадиан равен телесному углу с вершиной в центре сферы, вырезающему на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы
Время
т
секунда
° минута
° час
° сутки
с
мин
ч
сут
Основная единица
Секунда равна 9 192 631 770 периодов излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133
1 мнн = 60 с
1 ч = 3600 с
1 сут — 86 400 с
Величина
Единица
наименование
размерность
наименование
обозначение
связь с основными единицами СИ
Скорость
метр в секунду
м/с
Ускорение
丄7-2
метр на секунду в квадрате
м/с2
Угловая скорость
радиан в секунду
рад/с
1 рад/с = 1 с'1
Угловое ускорение
Т —2
радиан на секунду в квадрате
рад/с2
1 рад/с2 = 1 с-2
Частота периодического процесса
герц
Гц
1 Гц=1 с"1
Частота вращения
секунда в минус первой степени
с"1
Масса
м
килограмм
° тонна
° атомная единица массы
кг
т
а. е. м.
Основная единица
Килограмм равен массе международного прототипа килограмма 1 т= 103 кг
1 а. е. м.= 1,6605655ТО—’ кг
Величина
Единица
наименование
размерность
наименование
обозначение
связь с основными едйнииами СИ
Плотность
килограмм на ку- бический метр
кг/м3
Удельный объем
丄з〃т
кубический метр на килограмм
м3/кг
Массовый расход
МТ"1
килограмм в секунду
кг/с
Объемный расход
кубический метр в секунду
м3/с
Сила
lmL
ньютон
н
1 Н = 1 кг- м- с_：
Давление
L~41Tz
паскаль
Па
1 Па= 1 Н/м? = 1 м'1 • кг- с~ 2
Жесткость
ML
ньютон на метр
Н/м
1 Н/м= 1 кг с-?
Напряжение
паскаль
Па
1 Па=1 Н/м? = 1 м—кге?
Динамическая вязкость
L~XMT~X
паскаль-секунда
Па - с
1 Па • с = 1 м — • кг • с —
Кинематическая вязкость
l2丁 -1
квадратный метр в секунду
м2/с
Величина
Единица
нам?*?е;ювлние
размсрносэь
наименование
обо значение
свя?ь с основ!)ыми единицами СИ
Поверхностное иатяженис
мт 2
пыотон на метр
.Н/м
1 Н/м = 1 кг - с- 2
Импульс (количество движения)
LMT~}
килограмм-метр в секунду
кг - м/с
Момент силы
ЕмТ-2
ньютон-метр
Нм
I Н • м = 1 м2 • кг • с 2
Момент импульса (момент количества движения)
1?МТ'Х
килограмм-метр в квадрате в секунду
кг- м2/с
Момент инерции
心財
килог рамм-метр в квадрате
к「м2
Работа, энергия
GMT 2
джоуль
口冰
1 Дж = 1 Н • м = 1 м? • кг ■ с 一 ？
Мощность, поток энергии
2.
.ваг
.Вт
1 Вт = 1 Дж/с — 1 м2 • кг ・。一3
Величина
Единица
наименование
размерное^ ь
наименование
обозначение
связь с основными единицами <'И
Температура (термодинамическая)
0
кельвин
'градус Цельсия
к
с
Основиая единица
Кельвин равен 1/273,16 части терм о ди на- мической температуры тройной точки воды
/С = Т/К — 273,15
Температурный коэффициент
кельвин в минус первой степени
к 1
Температ урный градиент
кельвин на метр
К/м
Количество вещества
моль
моль
Основиая единица
Моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг
Молярная масса
кил от рамм на моль
кг/моль
Молярный объем
I?nt
кубический метр на моль
м3/моль
Величина
Единица
наименование
размерность
наименование
обозначение
связь с основными единицами СИ
Количество теплоты (теплота)
U МТ-2
джоуль
Дж
1 Дж= 1 Н・м=1 м2- кг- С~2
Удельная теплота
工 2T-2
джоуль на килограмм
Дж/кг
1 Дж/кг = 1 м2- с-2
Молярная теплота
UmLNT
джоуль на моль
Дж/моль
1 Дж/моль = 1 м2, кг - с-2 моль_ 1
Теплоемкость, энтропия
Х?МТ-2®7
джоуль на кельвин
Дж/К
1 Дж/К= 1 м2- кг- с~2- К-1
Удельная теплоемкость, удельная энтропия
L2T-2®-1
джоуль на килограмм-кельвин
Дж/(кг-К)
1 Дж/(кг- К) = 1м2- с-2 - К'1
Молярная теплоемкость, молярная энтропия
I?MT-2®7nt
джоуль на моль- кельвин
Дж/(моль- К)
1 Дж/(моль• К) = 1 м2- кг- с~2- К-1 • моль'1
Тепловой поток
l2mt~3
ватт
Вт
1 Вт= 1 Дж/с= 1 м2- кг- с~3
Плотность теплового потока
MT~3
ватт на квадратный метр
Вт/м2
1 Вт/м2 = кг - с~3
Теплопроводность
ШТ'3®-1
ватт на метр- кельвин
Вт/(м- К)
1 Вт/(м-К)=1 мкгс-З-К-1
Величина
Еллннца
наименование
размерность
наИмеяОвзике
обознаненме
связь с основными единицами СП
Коэффициент теплопередачи
МТ~30-1
ватт на квадра г- ный метр-кельвин
Вт/(《 К)
1 Вт/(м? ・К)= 1 кг с~3- К」
Концентрация (плотность числа частиц)
厶—
метр в минус третьей степени
Молярная концентрация
Ln
моль на кубический метр
моль/м3
Коэффициен г диффузии
L2Tl
квадратный метр на секунду
м2/с
Сила электрического тока
/
ампер
А
Основная единица
Ампер равен силе неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме н* расстоянии 1 м один от друго! о, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 2- Ю-7 Н
Величина
Единица
наименовавие
размерность
наименование
сбозмаченис
связь с основными еди1Гицамн СИ
Плотность элект рического тока
ампер на квад- раткый метр
А/м2
Количество электричества (электрический заряд)
77
кулон
Кл
1 Кл = 1 с- А
Поверхностная плот ность электрического заряда
L~zri
кулон на квадратный метр
Кл/М?
1 Кл/'м2 н 1 м~2 c・А
Пространственная плотность электрического заряда
厶力
кулон на кубический метр
Кп/”з
1 Кл/мЗ=1 м~"с・А
Электрическое вапряже- j-гие, электрический по- тенинал, разность электрических потенциалов, элек тродвижуидая сила
L2MT~3rA
вольт
В
]b - 1 Вt/A炉，紅。「3.a一1
Напряженность элек гртгче- ., ского поля 上
LMT-"，
вольт на метр
В/м
1 В/м 工 1 Вт/(А・м)=1 м- кг- с~ 3- А~ 1
Величина
Единица
наименование
размерность
наименование
обозначение
связь с основными единицами СИ
Электрическое сопротивление
/АиТ-3/—2
ом
Ом
1 Ом — 1 В/А= 1 • м2- кг - с~3 • А-2
Удельное электрическое сопротивление
1}МТ~ъГг
ом - метр
Ом - м
1 Ом • м = 1 м?・ к「• с~з. а~2
Электрическая проводимость
丄一2儿「1丁3/2
сименс
См
1 См=1 Ом~1 = 1 м 2 - кг--1 • с3 - А2
Удельная электрическая проводимость
Lm-EF
сименс на метр
См/м
1 См/м= 1 Ом ~1 • м ~1 = 1 м -3 • кг ~1 • с3 • А2
Электрическая емкость
l~2m~1t^p
фарад
Ф
I ①=1 Кл/В=1 м-2- кг~ 1 • с4 • А2
Электрическая постоянная, абсолютная диэлектрическая проницаемость
丄一3拉一1丁4尸
фарад на метр
Ф/м
1 Ф/м= 1 м ~3 • кг ~1 • с4 • А2
Поток электрического смещения
TI
кулон
Кл
1 Кл = I с- А
Электрическое смещение
L”TI
кулон на квадратный метр
Кл/М?
1 Кл/м2 = 1 м~"с・А
Величина
Елинипа
наименование
размерность
наименование
обозначение
связь с основными единицами СИ
Магнитный поток (поток магнитной индукции)
丄 2мт —2/ — 1
вебер
Вб
1 Вб~ 1 В • с— 1 Тл • м2 = 1 м2 • кг - с~2- А~1
Магнитная индукция (плотность магнитного потока)
МТ-」*
тесла
Тл
1 Тл — 1 В・с/м?=1 Вб/м2 =^1 кг- с~ 2- А-1
Индуктивность
1}МТ~-Г-
генри
Гн
1 Гн — 1 м2- кг- с '2- А~2
Магнитная постоянная, абсолютная магнитная проницаемость
ЬМТ2Г2
генри на метр
Гн/м
1 Гн/м = 1 м- кг- с~2- А~2
Напряженностьмагни г-
тюго поля
ампер на метр
А/м
Энергия излучения
L2MT~ 2
джоуль
Дж
1 Дж= 1 м2- кг -「？
Мощность излучения (поток излучения)
□ мт—
ватт
Вт
1 Вт=1 Дж/с = 1 м2- кг- с~3
Интенсивность излучения (плотность потока нзлу- ^ чения)
мт 3
ватт на квадратный метр
Вт/м2
1 Вт/м2 — 1 кг - с з
[к^ичина
Единица
налменонание
размерное! ь
наименование
о<ю1Нс1ченце
свя 5Ь с оыювнымл е, щни нам и СИ
Поток частиц
Т一]
секунда в минус первой степени
Плотность потока частиц
「2T一i
секунда в минус первой сгеиени на метр в минус второй степени
С 7 • Ni 2
Сила света
J
кандела
КД
Основная единица
Кандела равна си/с свс га в заданном направлении источника, испускающего монохрома! ическое излучение частотой 540- IS? Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении составляет 1/683 ВI/ср
Световой поток
J
люмен
лм
1 лм= 1 кд • ср
Световая энергия
TJ
люмен-секунда
лм ♦ с
1 лм • с = 1 с • кд • ср
Светимость
люмен на квадратный метр
л м/м2
1 лм/м2 — i м*2 • кд • ср
Величина
Р,1иница
наименование
размерность
наименование
обозваченис
свя)ь с основными единицами СИ
Освещенность
e 2/
люкс
лк
1 лк = 1 лм/м2 = 1 м ~ 2 • кд • ср
Яркость
кандела на квадратный метр
кд/м2
Оптическая сила
L〔
° диоптрия
дптр
1 *1Тр=1 м~1
Энергетическая сила света (сила излучения)
丄2” 3
ватт па стерадиан
Вт/ср
]Вт/ср = 1 м2 • кг- с~3- ср"1
Энергетическаясвети
мость (излучат ельность)
ML
ватт на квадратный метр
Вт/м2
1 Вт/м2 = 1 кг- с~3
Энергетическая освещенность (облученность)
МГ^3
ватт на квадратный мсгр
Вт/м2
1 Вт/м2 = 1 КГ・С~3
Энергетическая яркость (лучистость)
ML
ватт на стера- диан-квадрат- ный метр
Вт/(ср • м2)
1 Вт/(ср- м2)= 1 • кг - С'*3 - Ср
IV. ПЕРЕВОД ВНЕСИСТЕМНЫХ ЕДИНИЦ В СИ
Величина
Единица и ее связь с единицей СИ
Длина
Частота вращения Сила
1 А = 10-10 м
1 об/с = 1 с-1
1 дин = 10-5 Н
1 кгс = 9,81 Н
Давление
1 дин/см2 = 0,1 Па
1 бар = 105 Па
1 атм = 760 мм рт. ст. = 101 325 Па
1 ат = 1 кгс/см2 — 98 066,5 Па
Жесткость
Динамическая вязкость Кинематическая вязкость Поверхностное натяжение Импульс силы Момент силы
1 мм рт. ст. (Торр) = 133,322 Па
1 дин/см = 10-3 Н/м
1 П = 0,1 Па - с
1 Ст = 10-4 м2/с
1 дин/см = 10-3 Н/м
1 ДИН• С = 10-5 Н•с
1 дин - см = 10-7 Н- м
1 кгс - м = 9 81 Н • м
Работа, энергия
1 эрг =Дж
1 кгс - м = 9,81 Дж
1 л. с. • ч = 2,65 • 106 Дж
Мощность, поток энергии
1 эрг/с = 10-7 Вт
1 кгс* м/с = 9,81 Вт
1 л. с. = 736 Вт
Количество теплоты (теплота)
Удельная теплота
1 эрг = 10-7 Дж
1 кал = 4,19 Дж
1 эрг/г = Ю-4 Дж/кг
1 кал/г = 4,19- 103 Дж/кг
Молярная теплота
1 эрг/моль =10-7 Дж/моль
1 кал/моль = 4,19 Дж/моль
Теплоемкость, энтропия
1 эрг/К =10-7 дж/к
1 кал/К = 4,19 Дж/К
Удельная теплоемкость, удельная энтропия
Молярная теплоемкость, молярная энтропия
Тепловой поток
1 Эрг/(г • К) = 10— 4 дж/(кг. К)
1 кал/(г- К) = 4,19 • 103 Дж/(кг- К)
1 эрг/(моль• К) = 10-7 Дж/(моль• К)
1 кал/(моль- К) — 4,19 Дж/(моль- К)
1 эрг/с =10-7 Вт
1 кал/с = 4,19 Вт
Плотность теплового потока
Теплопроводность
1 эрг/(с • см2) = 10-3 Вт/м2
1 кал/(с- см2) = 4,19- 104 Вт/м2
1 эрг/(с- см• К) = 10-5 Вт/(м• К)
1 кал/(с • см • К) = 4,19 • 102 Вт/(м・К)
Коэффициент теплопередачи
Силаэлектрического
тока
Плотность электрического тока
Количество электричества (электрический заряд)
1 эрг/(с• см2 • К) = 10-3 Вт/(м2 • К)
1 кал/(с • см2 • К) = 4,19- 104 Вт/(м2 • К)
ед. СГС (СГСЭ) = 10/с А - 3,34- 10~10 А, где с = 3 * 1010 см/с
ед. СГС (СГСЭ) = 105/с А/м2 = 3,34 • 10 - 6 А/м2
ед. СГС (СГСЭ) = 10/с Кл = 3,34- 10~10 Кл
1 А-ч = 3600 Кл
ВеличинаВеличинаПространственная плотность электрического зарядаЭлектрическое напряжение, электрический потенциал, разность электрических потенциалов, электродвижущая силаНапряженность электрического поляЭлектрическое сопротивлениеУдельное электрическое сопротивление ,Электрическая проводимостьУдельная электрическая проводимостьЭлектрическая емкостьАбсолютная диэлектрическая проницаемостьПоток электрического смещенияЭлектрическое смещениеМагнитный поток (поток магнитной индукции)Магнитная индукция (плотность магнитного потока)ИндуктивностьАбсолютная магнитная проницаемостьНапряженность магнитного поляСветимость Освещенность ЯркостьЭнергетическая сила света (сила излучения)Энергетическая светимость (излучатель- ность)Энергетическая освещенность (облученность)Энергетическая яркость (лучистость)Пространственная плотность электрического зарядаЭлектрическое напряжение, электрический потенциал, разность электрических потенциалов, электродвижущая силаНапряженность электрического поляЭлектрическое сопротивлениеУдельное электрическое сопротивление ,Электрическая проводимостьУдельная электрическая проводимостьЭлектрическая емкостьАбсолютная диэлектрическая проницаемостьПоток электрического смещенияЭлектрическое смещениеМагнитный поток (поток магнитной индукции)Магнитная индукция (плотность магнитного потока)ИндуктивностьАбсолютная магнитная проницаемостьНапряженность магнитного поляСветимость Освещенность ЯркостьЭнергетическая сила света (сила излучения)Энергетическая светимость (излучатель- ность)Энергетическая освещенность (облученность)Энергетическая яркость (лучистость)
Величина
Величина
Пространственная плотность электрического заряда
Электрическое напряжение, электрический потенциал, разность электрических потенциалов, электродвижущая сила
Напряженность электрического поля
Электрическое сопротивление
Удельное электрическое сопротивление ,
Электрическая проводимость
Удельная электрическая проводимость
Электрическая емкость
Абсолютная диэлектрическая проницаемость
Поток электрического смещения
Электрическое смещение
Магнитный поток (поток магнитной индукции)
Магнитная индукция (плотность магнитного потока)
Индуктивность
Абсолютная магнитная проницаемость
Напряженность магнитного поля
Светимость Освещенность Яркость
Энергетическая сила света (сила излучения)
Энергетическая светимость (излучатель- ность)
Энергетическая освещенность (облученность)
Энергетическая яркость (лучистость)
Пространственная плотность электрического заряда
Электрическое напряжение, электрический потенциал, разность электрических потенциалов, электродвижущая сила
Напряженность электрического поля
Электрическое сопротивление
Удельное электрическое сопротивление ,
Электрическая проводимость
Удельная электрическая проводимость
Электрическая емкость
Абсолютная диэлектрическая проницаемость
Поток электрического смещения
Электрическое смещение
Магнитный поток (поток магнитной индукции)
Магнитная индукция (плотность магнитного потока)
Индуктивность
Абсолютная магнитная проницаемость
Напряженность магнитного поля
Светимость Освещенность Яркость
Энергетическая сила света (сила излучения)
Энергетическая светимость (излучатель- ность)
Энергетическая освещенность (облученность)
Энергетическая яркость (лучистость)
Единица и се связь с единицей СИ
ед. СГС (СГСЭ) = 107/с Кл/мЗ = =3,34・ 10-4 кл/мз
ед. СГС (СГСЭ) = 10~8 В = 300 В
ед. СГС (СТСЭ) = IO * с в/м = 3・ 1® В/м
ед. СГС (СГСЭ) = 10一9 Q Ом-
=8,99- 10п Ом
ед. СГС (СГСЭ) - 10-11 Q Ом・м =
=8.99- 109 Ом м
ед. СГС (СГСЭ) = 10〃с2 См =
=1,11- 10~12 См
ед. СГС (СГСЭ) = lOii/疋 См/м =
=1,11- 1О~10 См/м
1 см = ед. СГС (СГСЭ) = 10^ ①=
=1,11- 10-12 Ф
ед. СГС (СГСЭ) - 10П/471 Q Ф/м -
=8,85- 10~12 Ф/м
ед. СГС (СГСЭ) - 10/471 с Кл =
= 2,65・ КТ" Кл
ед. СГС (СГСЭ) = 105/4 兀 с Кл/м -
=2,65- 10~ Ю/м2
1 Мкс = ед. СГС (СГСМ) = 10~ Вб
1 Гс = ед. СГС (СГСМ) - 10~ Тл
Виктор Геннадиевич Зубов
Владимир Петрович Шильное
ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ
Пособие для самообразования
Редакторы Л. //. Гладнева, //. А. Миха avia
Технические редакторы С. Я. Шкляр, В Н. Кондапова
Корректоры Л. И. Назарова. £. В. Сидоркина, В. П. Сорокина
ИБ № 12505
Сдано в набор 18.10.84. Подписано к печати 10.04.85.
Формат 84 х 108，/з2. Бумага тип. № 2. Гарнитура тайме.
Печать высокая. Усл. печ. л. 13,44. Усл. кр.-отт. 13,65.
У%”нзд. л. 14,54. Тираж 265 000 экз. Заказ 1621. Цена 50 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-матема гической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудовою Красного Знамени Ленинградское производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзпол；1графпрома при Государственном комитете СССР «о делам издательств, полшугафии и кгшжной торговля. 197136, Ленинград, П-136, Чкаловский пр., 15.
I 卜- рому закону Ньютона
рис 192 В зависимости от модуля и направления ускорения а силы натяжения пружин будут различными: а) если система покойтся (п = 0), то Т = mg (сила натяжения каждой пружины равна силе тяжести, действующей на прикрепленный к ней груз); б) если система свободно падает (а = g), то Т = 0 (деформации и натяжения пружин отсутствуют, все грузы находятся на одном уровне).
62. Если парашютист спускается с постоянной скоростью, то равнодействующая всех приложенных к нему сил равна нулю: mg —/ = 0; следовательно, f = mg = 784 Н.
63. Уравнение второго закона Ньютона для подъема тела: mg +
+/= ma. Из уравнений кинематики равнозамедленного движения с конечной скоростью и = 0 следует, что а = г0/г; отсюда
f = ma - mg = m (vQ/t — g) = 88 мН.
В действительности сила сопротивления воздуха не постоянна. При
1 см - ед. СГС (СГСМ) - Ю~9 Гн ед. СГС (СГСМ) = 4兀• 10~ 7 Гн/м =
-12,6- 10~7 Гн/м
1 радфот = 1 лм/см2 = 104 лм/м2
1 стильб = 1 кд/см2 = 1()4 кд/м?
1 Зр「/(с・ ср) = 16 ~ / Вг/ср
1 эрг/(с • ср • см2) = 10-3 Вт/(ср・ м2)
В. Г. ЗУБОВ, В. П. ШАЛЬНОВ
ЗАДАЧИ
ПО ФИЗИКЕ
ПОСОБИЕ
ДЛЯ САМООБРАЗОВАНИЯ
ИЗДАНИЕ ОДИННАДЦАТОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1985
ББК 22.3
3 91
УДК 53
ЗУБОВ В. Г., ШАЛЬНОВ В. П. Задачи по физике: Пособие для самообразования: Учебное руководство. — 11-е изд., перераб.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. —256 с, ил.
Основную часть сборника составляют задачи, разбиравшиеся на занятиях школьных физических кружков и на консультациях и олимпиадах по физике в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова. При подборе задач авторы стремились сосредоточить внимание читателя на тех положениях и законах физики, в применении которых учащиеся совершают наибольшее число ошибок. В новом издании общая структура задачника осталась прежней, обновлены терминология и наименования единиц физических величин, в изложении проведена система единиц СИ, улучшены формулировки и решения ряда задач предыдущего издания (1975 г.).
Для учащихся и преподавателей общеобразовательной школы, студентов техникумов, слушателей подготовительных отделелий вузов, а также лиц, занимающихся самообразованием и ведущих внеклассную работу по физике.
© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1985© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1985Табл. 2. Ил. 337
© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1985
© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1985
138-85138-853 1704010000-079 053(02)-85
138-85
138-85
СОДЕРЖАНИЕ
Из предисловия к первому изданию 5
Задачи Ответы и реше-
еханика7114
Прямолинейное равномерное движение ....7114
Прямолинейное равнопеременное движение. . .12119
Криволинейное движение14122
Вращательное движение твердого тела...15124
Динамика прямолинейного движения тела. Вто
рой закон Ньютона16125
Импульс. Закон сохранения импульса23132
Работа. Энергия. Мощность. Закон сохранения энергии26135
Динамика вращательного движения тела . . . 30140
Статика37150
Закон всемирного тяготения43155
Колебания44158
Гидро- и аэростатика46161
IL Теплота и молекулярная физика51165
Тепловое расширение тел51165
Количество теплоты. Теплообмен53168
Законы идеального газа54169
Силы поверхностного натяжения60176
Влажность воздуха63180
Ш. Электричество и магнетизм64181
Закон Кулона64181
Электрическоеполе. Напряженностьполя...67185
Работа сил электрического поля. Потенциал поля71189
Электрическоеполе в диэлектрике73193
Электрическаяемкость. Конденсаторы....74194
Законы постоянного тока77196
Тепловое действие тока. Мощность тока . . . 8 5204
Постоянные магниты. Магнитное поле тока . . . 88207
Сила, действующая в магнитном поле на
проводник с током 93212
Электромагнитная индукция 96214
IV. Оптика 98225
Природа света 98215
Фотометрия101217
Закон прямолинейного распространения света. Закон отражения света102219
Сферические зеркала 106222
Преломление света на плоскойгранице . . . 109226
Тонкие линзы. Оптические системы 110227
К читателям 232
Приложения 240
Фундаментальныефизические константы • . ,240
Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц и их наименований 240
1П. Единицы и размерности физических величин в СИ241
Перевод внесистемных единиц в СИ 254
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Основную часть настоящег о сборника сое гавляют задачи, разбиравшиеся на занятиях школьных физических кружков и на консультациях и олимпиадах по физике в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова.
При подборе и переработке задач для сборника авторы стремились сосредоточить внимание на тех вопросах, положениях и законах физики, в применении которых учащиеся совершают наибольшее число ошибок. Отдельные серии задач специально подбирались для всестороннего раскрытия методики применения важнейших законов, которая иногда недостаточно хорошо усваивается учащимися. Ряд задач подобран по темам, обычно не затрагиваемым в задачниках для средней школы. Некоторые задачи предназначены непосредственно для разбора на школьных физических кружках и для самостоятельного разбора учащимися, желающими познакомиться с материалом, несколько выходящим за рамки школьной4 программы.
Учитывая, что многие задачи, вошедшие в сборник, являются трудными, а некоторые выходят за рамки программы средней школы, и желая облегчить самостоятельно работающим учащимся усвоение наиболее общей методики решения, авторы снабдили больпшнство задач подробными решениями или указаниями. С этой же целью к некоторым параграфам предпосланы краткие введения, содержащие указания о наиболее характерных ошибках учащихся и о простейших путях решения задач.
В составлении и подборе задач для олимпиад и школьных кружков, вошедших в сборник, помимо авторов принимали участие С. Г. Калашников, В. И. Иверояова, С. ГТ. Стрелков, И. А. Яковлев, Б. И. Спасский, Е. Г. Швидковский, А. С. Аникеев. Кроме того, авторы включили в сборник с некоторыми переработками ряд наиболее поучительных и доступных для школьника задач из таких общепризнанных сборников для высшей школы, как задачники И. В. Мещер-
ского, Д. И. Сахарова и И. С. Космиякова, А. В. Цингера и некоторых других.
Рукопись книги весьма тщательно была просмотрена И. А. Яковлевым, которому авторы приносят свою глубокую благодарность за многочисленные критические замечания, во многом способствовавшие улучшению книги.
Москва, 1952 г.А Г. Зубов
В. П. Шальное
* * *
Предлагаемое одиннадцатое издание книги «Задачи по физике» подготовлено к печати после смерти авторов. В новом издании общая структура задачника и уровень изложения остались прежними, однако формулировки и решения задач заново отредактированы. Наиболее существенным изменениям подверглись терминология и обозначения единиц физических величин, которые оказалось необходимым привести в соответствие с ныне действующим ГОСТ 8.417 — 81 (СТ СЭВ 1052 — 78). Кроме того, в процессе редактирования были исключены некоторые задачи, основанные на законе Кулона для «магнитных масс», исправлены замеченные неточности и опечатки предыдущих изданий.