Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Предисловие
Настоящий сборник содержит более 1400 задач по всем разделам курса элементарной физики. В нем представлены задачи разной степени сложности, поэтому он может быть использован в качестве учебного пособия в физико-математических школах, в лицеях, гимназиях, на подготовительных отделениях высших учебных заведений и курсах, а также для самостоятельной подготовки абитуриентов. Задачи, включенные в данный сборник, использовались в учебном процессе физикоматематического лицея № 1580 при МГТУ им. Н. Э. Баумана в течение последних десяти лет.
Сборник состоит из шести разделов: «Механика», «Молекулярная физика и термодинамика», «Электричество и магнетизм», «Колебания и волны», «Оптика» и «Специальная теория относительности. Атомная и ядерная физика». Внутри разделов задачи располагаются по темам. В начале каждой темы предлагается сводка основных определений, законов и формул. Все задачи снабжены ответами и имеют разный уровень сложности (он указан в индексе при номере задачи). Задачи первого уровня сложности — простые, как правило, «одноходовые» задачи, для решения которых достаточно знания основных законов и соответствующих им аналитических формул. Для решения задач второго уровня сложности помимо знания основных законов требуется также умение математически описать рассматриваемое физическое явление, составить и решить уравнение или систему уравнений. Уверенное решение задач второго уровня означает, что читатель неплохо владеет материалом соответствующего раздела физики общеобразовательной средней школы и может переходить к следующему разделу без ущерба для понимания. Однако если цель нашего читателя — подготовиться и успешно поступить в технический вуз или университет инженерно-физической направленности, то следует научиться решать более сложные задачи, которые в данном сборнике помечены как задачи третьего уровня, т.е. задачи, требующие глубо-
кого понимания физических явлений, их творческого осмысления и твердого владения соответствующим математическим аппаратом. При этом предполагается, что учащийся уверенно владеет математическим аппаратом, предусмотренным школьной программой, и не боится применять разделы курса математики, освоенные в 10-11 классах, к решению задач, например, механики, которую в школе «проходят» в 9 классе. Задачи четвертого уровня — это так называемые олимпиадные или нестандартные задачи, которые, конечно же, стоит попробовать решить, но не надо отчаиваться, если они не получаются с первого раза.
В сборник включены как оригинальные задачи, составленные авторами, так и задачи, предлагавшиеся в других сборниках, как правило, с некоторыми изменениями и в авторской редакции. В сборнике присутствуют разделы и темы, которые редко можно встретить в подобных пособиях. Это, в частности, такие темы, как «Динамика вращательного движения твердого тела. Момент инерции. Закон сохранения момента импульса», «Применение законов Кеплера», «Электрические машины постоянного тока», «Фотометрия», «Специальная теория относительности», практически все темы из раздела «Волновая оптика». Вместе с тем задачи на указанные темы в последнее время все чаще стали предлагаться на вступительных экзаменах, тестах и олимпиадах в различных вузах.
В заключение, авторы хотели бы выразить свою благодарность всем преподавателям и сотрудникам кафедр «Основы физики» и «Физика» МГТУ им. Н. Э. Баумана за многочисленные полезные замечания и конструктивные предложения, высказанные в процессе работы над данным сборником. Особенно хотелось бы выразить свою признательность первому руководителю физико-математической школы при МГТУ им. Н. Э. Баумана В. В. Кузнецову , который вдохновил нас на создание этого сборника.
ГЛАВА 1
МЕХАНИКА
Векторы и скаляры
Скалярами (скалярными величинами) называются величины, характеризуемые только численным значением; векторами (векторными величинами) — величины, характеризуемые не только численным значением, но и направлением в пространстве.
Длина (модуль) вектора а обозначается как |а| = а. Единичным называется вектор, длина которого равна единице; нулевым — длина которого равна нулю; направление нулевого вектора считается неопределенным. Два вектора считают равными, если их модули равны и направления совпадают.
Если i, j, k — единичные векторы, направленные вдоль осей Ож, Оу^ Oz прямоугольной декартовой системы координат (в их положительном направлении), то любой вектор а может быть представлен в виде
а = аж1 + ауз + аД^
где числа аж ,ay,az называют декартовыми координатами вектора а; единичные векторы i, j, к называют ортами координатных осей Ож, Оу^ Oz.
Любой вектор однозначно определен своими декартовыми координатами. Если а = аж1 + аД + а^к, то для вектора а может быть использовано обозначение а = {аж, ау, аД. Операции над векторными величинами удобно производить с использованием декартовых координат. В частности, если а = {аж, ау^ аД и b = ДжДуДД, а а и 3 — скалярные величины, то
се а — ^СЕаж, се ау, се a ^^,
a + b — ■{Дж + ^ж ? ^у + Д/??
в общем случае
аа + ДЬ = ^ааж + ДЬЖ, аау + 3byi aaz + 3b Д *
Скалярное произведение векторов а ={аж, а^, а^ и b ={ЬЖ, 5^, ЬД равно
а b = (а, Ь) = |а| • |b| cos ф = ажЬж + ayby + аАэ^ где ф — угол между направлениями векторов а и Ь;
1а1 = Д + о.| + Л
Как направлены два вектора, модули которых одинаковы и равны а, если модуль их суммы равен: а) 0; б) 2а; в) а; г) аД2; д) аДз?
Если а = ai + а2, то что можно сказать о взаимной ориентации векторов ai и а2, если: а) а = ai+a2; б) а2 = а2 + а2; в) ах + <22 = «1 - &2 ?
Вектор а = 3i — 4j. Какова должна быть скалярная величина с, чтобы |са| = 7,5 ?
Векторы ai и а2 имеют прямоугольные декартовы координаты {6,0,2} и {1,4,3} соответственно. Найдите вектор аз такой, что: а) ai + а2 + аз = 0; б) ai — а2 + аз = 0.
Посыльный проходит 30 м на север, 25 м на восток, 12 м на юг, а затем в здании поднимается на лифте на высоту 36 м. Чему равны пройденный им путь s и перемещение L ?
Угол а между двумя векторами а и b равен 60°. Определите длину вектора с = а + b и угол 3 между векторами а и с. Величины векторов равны а = 3, Он 5 = 2,0.
Для векторов а и Ь, определенных в предыдущей задаче, найдите длину вектора d = а — b и угол у между ан d.
Найдите проекцию вектора а = 4, 0i + 7, 0j на прямую,
направление которой составляет угол се = 30° с осью Ох. Вектор а и прямая лежат в плоскости хОу.
1.92. Известно, что d = а + +Ь+с. Векторы d и с заданы графически, известны также прямые MN и MxNx^ вдоль которых направлены векторы а и b (см. рисунок). Найдите построением векторы а и Ь.
На координатной плоскости хОу графически заданы векторы а и b (см. рисунок). Найдите длины векторов щ = a+b и С2 — а — Ь.
Вектор а составляет угол се = 30° с прямой ЛВ, а = = 3,0. Под каким углом 3 к прямой АВ нужно направить век-
тор b (Ь = V3), чтобы вектор с = а + b был параллелен АВ? Найдите длину вектора с.
Заданы три вектора: а = 3i + 2j — k; b = 2i — j + k;
c = i + 3j. Найдите a) a + b; 6) a — b; в) (a, b); r) (a, c)b — (a, b)c.
Угол между векторами а и b равен a = 60°, a = 2, 0, b = 1,0. Найдите длины векторов с = (a, b)a +b и d = 2b — а/2.
Докажите, что векторы а и b перпендикулярны, если а = {2,1,-5} и b = {5,—5,1}.
Найдите угол а между векторами а и Ь, если а = = {1,2,3}, Ь = {3,2,1}.
Вектор а составляет с осью Ох угол а = 30°, проекция этого вектора на ось О у равна ау = 2, 0. Вектор b перпендикулярен вектору а и b = 3, 0 (см. рисунок). Вектор с = а + Ь. Найдите: а) проекции вектора b на оси О ж и Оу; б) величину с и угол 3 между вектором с и осью Ох; в) (а, Ь); г) (а, с).
Кинематика равномерного движения
Материальной точкой называют тело, форма и размеры которого несущественны в условиях данной задачи. Положение материальной точки определяется по отношению к какому-либо произвольно выбранному телу, называемому телом отсчета, с которым связана система отсчета — совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета. Положение точки может быть охарактеризовано радиус™вектором г, проведенным из начала системы координат в данную точку. Линию, описываемую материальной точкой в пространстве, называют траекторией этой точки; расстояние, пройденное точкой вдоль траектории, — длиной пути (путем) точки. Длина пути — неотрицательная скалярная величина.
Вектор перемегрения (перемегцение) материальной точки за промежуток времени от t до t + At — это приращение радиус- вектора точки за рассматриваемый промежуток времени:
Ar = r(t + At) — r(t).
Вектор средней скорости точки (средняя скорость по перемещению) равен
Аг vcp =
где Аг — приращение радиус-вектора; проекции скорости на координатные оси
Ах А^ Аг
At ^ At At
Среднепутевая скорость равна
As
где As — путь, пройденный за время At; среднепутевая скорость — скалярная величина.
При движении с постоянной скоростью
r(t) = г0 + vt;
= Ж0 +
= Уо +
z(t) = го + Vat.
Товарный поезд движется со скоростью Ух = 36 км/ч. Спустя время т = 30 мин с той же станции в том же направлении вышел экспресс со скоростью ^2 = 72 км/ч. Через какое время t после выхода товарного поезда и на каком расстоянии s от станции экспресс нагонит товарный поезд? Задачу решить аналитически и графически.
Из пункта А выехал велосипедист со скоростью щ = = 25 км/ч. Спустя время to = 6 мин из пункта В, находящегося на расстоянии L = 10 км от пункта Л, навстречу велосипедисту вышел пешеход. За время t2 = 50 с пешеход прошел такой же путь, какой велосипедист проехал за ti = 1 На каком расстоянии s от пункта А встретятся пешеход и велосипедист?
Камень, брошенный в горизонтальном направлении и прошедший расстояние s = 40 м, попадает в большой колокол. Удар о колокол был услышан человеком, бросившим камень, через время t = 3,9 с. Какова скорость камня и, если скорость звука и = 330 м/с? Действие силы тяжести не рассматривать.
К задаче 1.20К задаче 1.20На тележке установлена труба, которая может поворачиваться в вертикальной плоскости (см. рисунок). Тележка движется по горизонтальной поверхности со скоростью -и = = 2 м/с. Под каким углом а к горизонту следует установить трубу, чтобы капли дождя, падающие отвесно со скоростью г = 6 м/с, двигались в трубе параллельно ее стенкам, не задевая их? Скорость капель считать постоянной.
К задаче 1.20
К задаче 1.20
Капли дождя на окнах неподвижного трамвая оставляют полосы, наклоненные под углом а = = 30° к вертикали. При движении трамвая со скоростью и = 18 км/ч
полосы от дождя вертикальны. Найдите скорость капель дождя г в безветренную погоду и скорость ветра гв.
По неподвижному эскалатору метро пассажир поднимается за время Л = 120 с, а по движущемуся (при той же скорости движения относительно ступенек) — за ^ = 30 с. Определите время подъема t^ пассажира, неподвижно стоящего на движущемся эскалаторе.
Самолет летит из пункта А в пункт В и обратно со скоростью г = 300 км/ч относительно воздуха. Расстояние между пунктами А и В равно s = 900 км. Сколько времени t затратит самолет на весь полет, если вдоль линии АВ непрерывно дует ветер со скоростью -и = 60 км/ч?
Колонна автомашин длиной L = 2 км движется со скоростью щ = 36 км/ч. Из начала колонны выезжает мотоциклист, который, достигнув ее конца, возвращается обратно. Скорость мотоциклиста постоянна и равна t?2 = 54 км/ч. Сколько времени t будет в пути и какой путь s пройдет мотоциклист, пока он снова нагонит начало колонны?
Мимо пристани вниз по реке проходит плот. В этот момент в этом же направлении в поселок отправляется моторная лодка. За время t = 45 мин лодка дошла до поселка, находящегося на расстоянии si = 15 км от пристани, и, повернув обратно, встретила плот на расстоянии S2 = 9 км от поселка. Каковы скорость и течения реки и скорость г лодки относительно воды?
Лодка движется под углом а к течению реки (см. рисунок). Ее скорость относительно воды равна г, скорость течения равна -и. Найдите скорость го лодки относительно берега реки и угол /3, который составляет вектор vo с направлением течения.
Лодочник, переправляясь через реку ширины h из пункта А в пункт В (см. рисунок), все время направляет лодку под углом а к берегу. Найдите скорость лодки г относительно воды, если скорость течения реки равна я, а лодку снесло ниже пункта В на расстояние L.
Из пункта Л, расположенного на берегу реки, необходимо попасть в пункт В. двигаясь по прямой АВ (см. рисунок). Ширина реки АС = b = 1 км, ВС = а = 2 км, скорость лодки относительно воды г = 5 км/ч, а скорость течения реки и = = 2 км/ч. За какое время t может быть пройден отрезок АВ1
Воздушный шар поднимается в потоке воздуха, перемещающемся относительно земной поверхности в горизонтальном направлении. Пилот на шаре определил, что скорость ветра относительно шара С = 6 м/с, скорость удаления шара от земли гв = 5 м/с и скорость его горизонтального перемещения гг = 6 м/с. Определите скорость ветра г относительно Земли.
К задаче 1.30К задаче 1.30
К задаче 1.30
К задаче 1.30
Вертикальная гладкая плита движется горизонтально со скоростью и (см. рисунок). Летящий в горизонтальной плоскости со скоростью го шарик соударяется с плитой. Направление полета шарика составляет угол а с перпендикуляром к плите. Найдите скорость г шарика сразу после соударения с
плитой, считая, что массивная плита не изменила своей скорости в результате соударения с шариком (соударение абсолютно упругое). Силой тяжести пренебречь.
Автобус выходит из пункта А и проходит расстояние s = 40 км до пункта В со средней скоростью щ = 40 км/ч и останавливается там на время t = 20 мин. Затем он возвращается в пункт А, проходя расстояние s со средней скоростью и2 = 60 км/ч. Найдите среднюю гср и среднепутевую гсп скорости за все время движения автобуса.
Собака убежала от своего хозяина на расстояние s = = 100мза^ = 8,4с, а затем за треть этого времени пробежала половину пути обратно. Вычислите ее среднюю щр и среднепутевую гсп скорости.
Первую треть времени точка движется со скоростью Щ, вторую треть — СО скоростью Г2, последнюю — со скоростью гз. Найдите среднюю скорость точки за все время движения.
Первую треть пути точка движется со скоростью щ, вторую треть — со скоростью Г2, последнюю — со скоростью Г3. Найдите среднюю скорость точки за все время движения.
В квалификационных заездах автогонщик перед соревнованиями должен на протяжении четырех кругов показать среднепутевую скорость г = 200 км/ч. Из-за сбоев в двигателе среднепутевая скорость автомобиля на первых двух кругах оказалась равной щ = 170 км/ч. С какой среднепутевой скоростью Г2 гонщик должен пройти два последних круга?
Катер, двигаясь вниз по течению, затратил время в п = 3 раза меньшее, чем на обратный путь. Определите, с какими скоростями относительно берега двигался катер, если его средняя скорость на всем пути составила гср = 3 км/ч.
Оцените среднюю и среднепутевую скорость кончика минутной стрелки часов за 15, 30 и 45 минут.
Тело совершает в плоскости хОу два последовательных, одинаковых по длине перемещения со скоростями щ = = 20 м/с под углом од = 60° к направлению оси Ох и t?2 = = 40 м/с под углом «2 = 120° к тому же направлению. Найдите среднюю скорость движения vcp.
Два тела движутся с постоянными скоростями по взаимно перпендикулярным прямым. Скорость первого тела хх = = 30 м/с, скорость второго Г2 = 20 м/с. В тот момент, когда расстояние между телами наименьшее, первое тело находится на расстоянии si = 500 м от точки пересечения прямых. На каком расстоянии S2 от точки пересечения прямых находится в этот момент второе тело?
На наклонную плоскость, составляющую с горизонтом угол а, опирается стержень, который может перемещаться только по вертикали благодаря направляющему устройству АВ (см. рисунок). С какой скоростью г поднимается стержень, если наклонная плоскость движется влево в горизонтальном направлении со скоростью п?
Стержень длиной L шарнирно соединен с муфтами А и В, которые перемещаются по двум взаимно перпендикулярным рейкам (см. рисунок). Муфта А движется вдоль оси Ох с постоянной скоростью х. Приняв за начало отсчета времени момент, когда муфта А находилась в точке О, определите зависимость от времени координаты y^t) и скорости г^) муфты В.
Человек, стоящий на крутом берегу озера, тянет за веревку находящуюся на воде лодку. Скорость, с которой человек выбирает веревку, постоянна и равна х. Какую скорость -и будет иметь лодка в момент, когда угол между веревкой и поверхностью воды равен а?
Из двух портов Л и В, расстояние между которыми равно Б, одновременно выходят два катера, один из которых
К задаче 1.43К задаче 1.43плывет со скоростью щ, а второй — со скоростью Г2- Направление движения первого катера составляет угол а, а второго — угол 3 с линией АВ (см. рисунок). Каким будет наименьшее расстояние s между катерами?
К задаче 1.43
К задаче 1.43
Первую половину времени автомобиль двигался
со скоростью щ, а вторую — следующим образом: половину
оставшегося расстояния он ехал со скоростью Г2, а вторую по-
ловину оставшегося расстояния со скоростью, равной средней скорости движения на двух предыдущих участках. Определите среднюю скорость щр автомобиля за все время его движения. Автомобиль движется прямолинейно в одном направлении.
Первую половину пути автомобиль двигался со скоростью щ , а вторую половину пути — следующим образом: половину времени, оставшегося на прохождение этой половины пути, он ехал со скоростью х^ 3 а конечный отрезок всего пути с такой скоростью, что она оказалась равной средней скорости движения на первых двух участках. Чему равна средняя скорость гср автомобиля на всем пути? Автомобиль движется прямолинейно в одном направлении.
Равнопеременное прямолинейное движение
Средним ускорением точки в интервале времени от t до Kt называют вектор аср, равный отношению приращения Av вектора скорости точки за этот промежуток времени к его продолжительности Kt:
v(t + Kt) - v(t) Av
Яср = At " = At ‘
При движении вдоль оси Ох с постоянным ускорением а зависимости проекции скорости щ на ось Ох и координаты х от времени имеют вид
Д) = ^о + «С ^(t) = ж0 + Dot + |at2.
Тело движется вдоль оси Ох. Зависимость его координаты от времени имеет вид х = At + Bt\ где А = 4 м/с, В = = —0, 05 м/с2. Определите: а) зависимость скорости и ускорения от времени; б) момент времени t^ когда скорость тела станет равной нулю; в) путь я, пройденный телом за время Д = 1 мин.
Две точки движутся вдоль оси Ох. Заданы зависимости их координат от времени: xx^t) = Ах + Bxt + СД2, где Ах = 20 м, Вх = 2 м/с, Ci = —4 м/с2; x^t) = А^ + B^t + СА2, где А2 = 2 м, В^ = 2 м/с, Сз = 0,5 м/с2. Определите момент tB и координату хв встречи точек. В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковы? Чему равны значения скорости х и ускорений ах и а^ точек в этот момент?
На рисунке представлен график зависимости скорости тела от времени. Начальная координата тела ж(0) = 0. Постройте графики зависимости ускорения и координаты тела, а также пройденного им пути от времени. Тело движется вдоль оси Ох.
На рисунке представлен график зависимости скорости тела от времени. Начальная координата тела ж(0) = 0. Постройте графики зависимости ускорения и координаты тела, а также пройденного им пути от времени. Определите среднюю и среднепутевую скорости за первые 2,0 и 5,0 с движения. Тело движется вдоль оси Ох.
ах, м/с 2ах, м/с 2t, сt, сК задаче 1.51К задаче 1.51
ах, м/с 2
ах, м/с 2
t, с
t, с
К задаче 1.51
К задаче 1.51
По графику аж^ (см. рисунок) постройте графики хж^. ж^ и s(t^ если начальные условия следующие: а) ж(0) = = 0, щ(0) = 0; б) ж(0) = жо, щ(0) = 0; в) ж(0) = 0, щ(0) = eg > 0; г) ж(0) = 0, щ(0) = -щ < 0.
Е 1
I
I
Аhi Оt з j
о1-
II
II
К задаче 1.50
По графику аж(1) (см. рисунок) постройте графики xx(tY x(t) и s(tY если начальные условия следующие: с(0) = = 3 м/с, ж(0) = 1 м.
По известной зависимости ж(£) (см. рисунок, где ОН, BCD CD, EF — дуги парабол, АВ и DE — прямолинейные участки) постройте графики s^t^ vx(t\ ax(t).
По известной зависимости x(t) (см рисунок, где ОЛ, ВС^ DE, EG ™ дуги парабол, АВ^ CD^ ЕЕ и GH ™ прямолинейные участки) постройте графики s(t), щ(^), ах^. Найдите с помощью этих графиков момент времени ф, в который мгновенная скорость г(ф) равна средней скорости за время ф.
Кабина лифта поднимается в течение первых 4 с равноускоренно, достигая скорости 4 м/с. С этой скоростью кабина движется равномерно в течение следующих 8 с, а последние 3 с перед полной остановкой она движется равнозамедленно. Определите перемещение 11 кабины лифта. Постройте графики зависимостей от времени перемещения, скорости и ускорения лифта.
По графику ах^ (см. рисунок) постройте график Dx^t^ считая г(0) = 0.
По графику ах^ (см. рисунок) постройте график Dx^t^ считая г(0) = 0.
График зависимости скорости тела от времени имеет вид полуокружности (см. рисунок). Максимальная скорость те™
ла равна го, время движения ф. Определите путь, пройденный телом.
Автобус движется в течение 20 с по прямой до остановки, проходя при этом расстояние 310 м. Его начальная ско-
К задаче 1.57К задаче 1.57рость 15 м/с. Докажите, что ускорение автобуса при этом изменяется по направлению.
К задаче 1.57
К задаче 1.57
Автомобиль начинает движение без начальной скорости и проходит первый километр с ускорением «1, а второй — с ускорением а^. При этом на первом километре его скорость возрастает на 10 м/с, а на втором — на 5 м/с. На каком участке его ускорение больше?
Тело, двигаясь равноускоренно в положительном направлении оси Ох, проходит два одинаковых отрезка пути по s = 15 м каждый соответственно в течение Д = 2 с и ^ = 1 с. Определите ускорение и скорость тела в начале первого отрезка пути, считая, что проекция начальной скорости тела на ось Ох положительна.
Тело, двигаясь равноускоренно, за первые 5 с своего движения прошло путь Lx = 100 м, а за первые 10 с — L^ = = 300 м. Определите начальную скорость тела.
Начав двигаться равноускоренно из состояния покоя, тело приобрело скорость г = 14 м/с, пройдя некоторый путь. Чему равна скорость тела в момент, когда оно прошло половину этого пути?
Рядом с поездом на одной линии с передними буферами электровоза стоит человек. В тот момент, когда поезд начал двигаться с ускорением а = 0,1 м/с2, человек начал идти в том же направлении со скоростью г = 1,5 м/с. Через какое время t поезд догонит человека? Какую скорость ri будет иметь поезд в этот момент? Какое расстояние s к этому моменту пройдет человек?
В момент, когда опоздавший пассажир вбежал на платформу, мимо него за время Ч прошел предпоследний вагон поезда. Последний вагон прошел мимо пассажира за время Ч- На сколько времени пассажир опоздал к отходу поезда? Поезд движется равноускоренно, длина вагонов одинакова.
Два автомобиля выходят из одного пункта в одном направлении. Второй автомобиль выходит на т = 20 с позже первого. Оба движутся равноускоренно с одинаковым ускорением а = 0,4 м/с2. Через какое время t после начала движения
первого автомобиля расстояние между ними окажется равным s = 240 м? Начальная скорость обоих автомобилей равна нулю.
Конькобежец проходит путь s = 450 м с постоянной скоростью г, а затем тормозит до остановки с постоянным ускорением а = 0,5 м/с2. При некотором значении г общее время движения конькобежца будет минимальным. Чему равно время ьмин •
Тело начинает движение из точки А и движется сначала равноускоренно в течение времени t^ затем с тем же по величине ускорением равнозамедленно. Через какое время t от начала движения тело вернется в точку Л? Начальная скорость тела равна нулю.
Тело падает с высоты h = 100 м без начальной скорости. За какое время П тело проходит первый метр своего пути и за какое время At — последний? Какой путь si тело проходит за первую секунду своего падения и какой путь As — за последнюю? Сопротивление воздуха не учитывать.
Свободно падающее тело за первую и последнюю секунды своего падения прошло в общей сложности половину всего пути. С какой высоты h падало тело? За какое время Т оно прошло весь путь? Начальная скорость тела равна нулю. Сопротивление воздуха не учитывать.
Тело свободно падает с высоты h = 270 м. Разбейте этот путь на три участка hi, /12, /13 так, чтобы на прохождение каждого из них требовалось одно и то же время. Определите hi, /12, /13. Начальная скорость тела равна нулю. Сопротивление воздуха не учитывать.
Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью ид = 30 м/с. Какой путь прошло тело за время т = 4 с? Каковы его средняя гср и среднепутевая гсп скорости за это время? Сопротивление воздуха не учитывать.
Тело падает с высоты h = 45 м. Найдите среднюю скорость гср его движения на второй половине пути. Начальная скорость тела равна нулю. Сопротивление воздуха не учитывать.
Покажите, что для тела, брошенного вертикально вверх с поверхности земли и падающего на нее же: а) конечная скорость по величине равна начальной скорости и б) время спуска равно времени подъема. Сопротивление воздуха не учитывать.
Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через t = 3 с. Какова начальная скорость го тела? На какую высоту h оно поднялось? Сопротивление воздуха не учитывать.
Тело бросают вертикально вверх. Наблюдатель измеряет промежуток времени to между моментами, когда тело проходит точку В, находящуюся на высоте h. Найдите начальную скорость тела гд, а также общее время движения тела Т. Сопротивление воздуха не учитывать.
Аэростат поднимается с Земли вертикально вверх с ускорением а. Через время т от начала его движения из него выпал предмет. Через какое время Т этот предмет упадет на Землю? Какова его скорость г в момент падения? Начальная скорость аэростата равна нулю. Сопротивление воздуха не учитывать.
Человек, сбросивший камень с обрыва, услышал звук его падения через время t = 6 с. Найдите высоту h обрыва. Скорость звука и = 340 м/с. Начальная скорость камня равна нулю. Сопротивление воздуха не учитывать.
Глубину колодца хотят измерить с относительной погрешностью 5%, бросая камень и измеряя время т, через которое будет слышен всплеск. Начиная с каких значений т необходимо учитывать время распространения звука? Скорость звука в воздухе и = 340 м/с.
С высокой башни друг за другом бросают два тела с одинаковыми по величине скоростями vg. Первое тело бросают вертикально вверх; спустя время т бросают второе — вертикально вниз. Определите скорость и относительного движения тел и расстояние s между ними в момент времени t > т. Сопротивления воздуха не учитывать.
С крыши капают капли воды. Промежуток времени между отрывами капель т = 0,1 с. На каком расстоянии Дт/ друг от друга будут находиться через время t = 1 с после начала падения первой капли следующие три? Начальная скорость капель равна нулю. Сопротивление воздуха не учитывать.
Тело свободно падает с высоты h = Юме нулевой начальной скоростью. В тот же момент другое тело бросают с высоты Н = 20 м вертикально вниз. Оба тела упали на землю одновременно. Определите начальную скорость гд второго тела. Сопротивление воздуха не учитывать.
Тело брошено из точки А вертикально вверх с начальной скоростью гд. Когда оно достигло высшей точки траектории, из той же точки А с той же скоростью гд было брошено второе тело. На каком расстоянии h от точки А они встретятся? Сопротивление воздуха не учитывать.
Точка 1 движется согласно уравнениям
жу^ = 2f; щ(£) = 5/:,
а точка 2 — согласно уравнениям
ж2(£) = £ + 1; y2(t) = t2 + 4.
Встретятся ли эти точки?
Баллистическое движение
При движении тела, брошенного под углом а к горизонту, зависимость радиус-вектора г тела от времени имеет вид
r(t) = г0 + vot + igt2.
Систему координат обычно выбирают так, что ось Ох направлена горизонтально в направлении броска (чтобы угол а лежал в пределах от —тг/2 до +тг/2), а ось Оу — по вертикали вверх. Тогда
гж(^) = ^о cos а; ху = xq cos а — gt;
x(t) = (т0 cosa)^ + ж0; y(t) = ™™gt2 + (т0 sin а)^ + у0.
Направление координатных осей может быть и иным, но тогда может измениться и вид выражений для координат и проекций скорости на координатные оси.
Во всех задачах этого раздела сопротивление воздуха считается пренебрежимо малым, ускорение свободного падения g = = 9,8 м/с2.
Камень, брошенный горизонтально с отвесного обрыва высотой h = 10 м, упал на расстоянии s = 14 м от основания обрыва. Получите уравнение траектории камня у (ж) и определите из него начальную скорость камня tq.
Тело, брошенное с башни в горизонтальном направлении со скоростью ng = 20 м/с, упало на землю на расстоянии s от основания башни, в два раза большем, чем высота башни h. Найдите высоту башни.
Пистолетная пуля пробила два вертикально закрепленных листа бумаги, расстояние между которыми L = 30 м. Пробоина во втором листе оказалась на h = 10 см ниже, чем в первом. Определите скорость ж пули в момент пробивания первого листа, считая, что в этот момент пуля двигалась горизонтально.
Камень, брошенный с крыши дома горизонтально с начальной скоростью пд = 15 м/с, упал на землю под углом 3 = 60° к горизонту. Какова высота h дома?
Тело брошено горизонтально. Через время t = 5 с после броска направления полной скорости v и полного ускорения
а составили угол (3 = 45°. Найдите величину г скорости тела в этот момент.
какой скоростикакой скоростиК задаче 1.89К задаче 1.89По гладкому горизонтальному столу движется, быстро вращаясь, волчок, имеющий форму конуса (см. рисунок). ”"г поступательного движения волчок, со
какой скорости
какой скорости
К задаче 1.89
К задаче 1.89
скочив со стола, не ударится о его край? Ось волчка все время остается вертикальной. Высота оси конуса равна 1ц радиус основания конуса т.
1.903. С обрыва в горизонтальном направлении бросают камень со скоростью го = 20 м/с. Определите координаты точки, в которой радиус кривизны траектории в 8 раз больше, чем в ее верхней точке. Камень бросают из начала координат в направлении оси Ож, ось Оу направлена вертикально вниз.
Тело брошено с отвесного обрыва высотой h с начальной скоростью го под углом а к горизонту.
На каком расстоянии s от основания обрыва тело упадет на землю?
В течение какого времени Т оно будет находиться в воздухе?
Чему равна скорость тела г спустя время т после начала движения и какой угол /3 составляет она с горизонтом?
Два человека играют в мяч, бросая его друг другу. Какой наибольшей высоты достигает мяч во время игры, если от одного игрока к другому он летит t = 2 с?
Начальная скорость тела, бросаемого под некоторым углом к горизонту, равна гд; максимально возможная дальность его полета — змакс. Под каким углом а к горизонту с той же начальной скоростью должно быть брошено тело, чтобы дальность его полета была равна s (s < змакс)?
Под каким углом а к горизонту должна быть направлена струя воды, чтобы дальность ее полета была максимальной?
Под каким углом а к горизонту нужно направить струю воды, чтобы высота ее подъема была равна дальности?
Под каким углом а к горизонту надо бросить тело, чтобы максимальная высота его подъема равнялась дальности полета, если попутный ветер сообщает телу постоянное горизонтальное ускорение а?
Из миномета, находящегося в точке Л, ведут обстрел объекта, расположенного на склоне горы (см. рисунок). Угол наклона горы к горизонту равен /3, стрельба производится под
углом а к горизонту. На каком расстоянии L = АВ будут падать мины, если их начальная скорость равна гд? При каком угле а = ад дальность стрельбы вдоль склона
будет максимальной?V()
Камень, брошенный под/
углом а = 30° к горизонту, дваж-/5
ды побывал на одной высоте h спустя
время ti = 3 с и t^ = 5 с после на-—Р
чала движения. Найдите начальную
скорость камня Гд и высоту h.К задаче 1.97
В момент выстрела яблоко начинает падать с ветки дерева с нулевой начальной скоростью. Поразит ли его пуля, если ружье при выстреле было направлено прямо на яблоко?
Из отверстия шланга, прикрытого пальцем садовника, бьют сразу две струи с одинаковой начальной скоростью гд, направленные под углами а и /3 к горизонту. Струи расположены в одной вертикальной плоскости. На каком расстоянии L по горизонтали от отверстия шланга струи пересекутся?
Из одной точки одновре
менно выброшены два тела с одина-у и
КОВЫМИ ПО модулю скоростями V1 и
V2 (|^1| = 1^2, = ^о) ПОД углами «1
и «2 к горизонту (см. рисунок). Че- v^X.
му равна скорость и относительного ~1
движения тел? Как зависит от вре-
мени расстояние s между телами?°х
Траектории обоих тел принадлежат
задаче 11 и 1 одной вертикальной плоскости.
Мальчик в состоянии сообщить мячу начальную скорость гд = 20 м/с. Какова максимальная дальность полета мяча Тмакс в спортивном зале, высота которого h = 5 м?
Шарик бросают под углом а = 30° к горизонту с начальной скоростью гд = 14 м/с. На расстоянии s = 11 м от точки бросания шарик упруго ударяется о вертикальную стенку. На каком расстоянии L от стенки шарик упадет на землю?
Начальная скорость брошенного камня гд = 10 м/с. Спустя t = 0, 5 с скорость камня становится равной г = 7 м/с. На какую максимальную высоту Н над начальным уровнем поднимется камень?
С высоты h на наклонную плоскость, образующую с горизонтом угол а, свободно падает мяч и упруго отскакивает от нее. Через какое время t после удара мяч снова упадет на наклонную плоскость? Найдите расстояние от места первого удара до второго, от второго до третьего и т.д.
Пикирующий самолет сбрасывает бомбу с высоты h и поражает цель, удаляющуюся по земле со скоростью Г2- На каком расстоянии s по горизонтали от цели была сброшена бомба, если в этот момент времени скорость самолета щ была направлена под углом а к горизонту?
Тело бросают с высоты h = 4 м вверх под углом о = 45° к горизонту так, что к поверхности земли оно подлетает под углом 3 = 60°. Какое расстояние по горизонтали пролетит тело?
Необходимо с земли перебросить мяч через вертикальную стенку высоты /г, находящуюся на расстоянии s от места броска. При какой наименьшей начальной скорости гд это возможно? Под каким углом а к горизонту должна быть в этом случае направлена начальная скорость мяча?
Орудие стреляет из-под укрытия, наклоненного к горизонту под углом 3, находясь на расстоянии L от основания укрытия. Ствол орудия закреплен под углом о к горизонту, причем а > 3 (см- рисунок). С какой максимальной скоростью Гмакс может вылететь снаряд, не задев укрытия? Сопротивлением воздуха пренебречь. Траектория снаряда лежит в плоскости чертежа.
К задаче 1.109К задаче 1.109К задаче 1.110К задаче 1.110
К задаче 1.109
К задаче 1.109
К задаче 1.110
К задаче 1.110
При какой минимальной начальной скорости гмин мальчик может перебросить камень через дом с покатой крышей (см. рисунок), если ближайшая к мальчику стена имеет высоту JJ, задняя стена — высоту /г, а ширина дома равна 1Л
Движение точки по окружности. Вращательное движение твердого тела
Средние угловые скорость ш и ускорение s точки при движении по окружности определены выражениями
Ду?
ш) = О =;
при движении по окружности с постоянной угловой скоростью (ш = const)
ф(1) = 9?о +
при движении по окружности с постоянным угловым ускорением (s =const)
w(t) = ш0 + et^ ф^ = 99О + uj^t + |st2.
Линейная скорость и точки при движении по окружности радиуса R с угловой скоростью ш равна
и = wR.
Ускорение точки в проекциях на касательную и нормаль к траектории при движении точки по окружности радиуса R равно
г2
ат = eR^ ап = — = w2 R.
II1. Определите вид траектории материальной точки, которая начинает движение с некоторой начальной скоростью и имеет постоянное по величине ускорение, направление которого: а) постоянно; б) все время составляет угол 90° с вектором скорости точки, причем вектор ускорения лежит в одной и той же плоскости.
Во сколько раз угловая скорость часовой стрелки больше угловой скорости суточного вращения Земли?
При увеличении в 4 раза радиуса круговой орбиты искусственного спутника Земли период его обращения увеличивается в 8 раз. Во сколько раз изменяется при этом скорость движения спутника по орбите?
Точка движется по окружности с постоянной скоростью г = 0,5 м/с. Вектор скорости изменяет направление на Аф = 30° за время At = 2 с. Каково нормальное ускорение точки ап?
Каково ускорение точек земного экватора, обусловленное суточным вращением Земли? Во сколько раз п должна была бы увеличиться угловая скорость Земли, чтобы это ускорение стало равным д? Радиус Земли R3 = 6400 км.
С какой скоростью пив какое время суток должен лететь самолет на широте Санкт-Петербурга (ф = 60°), чтобы летчик видел Солнце все время на юге?
Сплошной диск катится без скольжения по горизонтальному участку дороги с постоянной скоростью п (см. рисунок).
Докажите, что линейная скорость вращения относительно центра О любой точки диска, лежащей на его ободе, равна скорости поступательного движения диска г.
Определите величину и направление скоростей точек Л, В, С и D, лежащих на ободе диска, относительно неподвижного
ААК задаче 1Л17К задаче 1Л17наблюдателя в тот момент, когда эти точки занимают показанное на рисунке положение.
А
А
К задаче 1Л17
К задаче 1Л17
Какие точки диска имеют относительно неподвижного наблюдателя ту же по абсолютной величине скорость, что и центр диска?
1182. Найдите нормальное ускорение точек колеса автомобиля, соприкасающихся с дорогой, если автомобиль движется со скоростью г = 72 км/ч, а его колеса де
лают п = 8 оборотов в секунду.
Диск радиусом R = 10 см, начал вращение из состояния покоя с постоянным угловым ускорением s = 0, 50 рад/с2. Каковы тангенциальное ат, нормальное ап и полное а ускорения точек на окружности диска в момент времени t = 2, 0 с после начала вращения?
Вал начинает вращение из состояния покоя и в первые t = 10 с совершает N = 50 оборотов. Считая вращение вала равноускоренным, определите угловое ускорение s и угловую скорость ш к концу десятой секунды вращения.
Барабан начинает вращаться с постоянным угловым ускорением s вокруг своей оси. По какому закону меняется с течением времени угол ф между векторами скорости и полного ускорения произвольной точки барабана? Каким будет значение фо этого угла к моменту, когда барабан сделает один полный оборот?
Колесо имеет начальную частоту вращения vq = = 5,0 с-1. После торможения частота вращения колеса уменьшилась за время t = 1, 0 мин до значения v = 3,0 с-1. Найдите угловое ускорение колеса е и число оборотов N, сделанных им за время торможения t^ считая е = const.
Лопасти вентилятора вращаются с частотой vq = = 15 с-1. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N = 75 оборотов. Какое время t прошло с момента выключения вентилятора до его полной остановки?
Плоский обруч движется так, что в некоторый момент времени скорости концов диаметра АВ лежат в плоскости обруча и перпендикулярны этому диаметру (см. рисунок). Скорость точки А равна гд, а скорость точки В равна ив- Определите скорости концов диаметра CD^ перпендикулярного АВ^ в этот же момент времени, считая, что эти скорости также лежат в плоскости обруча.
К задаче 1.124К задаче 1.124
К задаче 1.124
К задаче 1.124
ААК задаче 1.128К задаче 1.128
А
А
К задаче 1.128
К задаче 1.128
Палочка АВ длины L движется в плоскости чертежа (см. рисунок) так, что в данный момент времени скорость ее конца А направлена под углом оц а скорость конца В — под углом 3 к палочке. Значение скорости конца А равно и. Определите скорость ив конца В.
Тело брошено с отвесного обрыва высотой h с начальной скоростью го под углом а к горизонту. Определите величины нормального ап и тангенциального ат ускорения спустя время At после начала движения. Найдите радиус кривизны R траектории в ее высшей точке.
Стержень длиной 2L движется в горизонтальной плоскости таким образом, что в некоторый момент времени ско
рость одного конца стержня равна щ и направлена под углом а к стержню, скорость второго конца Г2- Определите угловую скорость ш вращения стержня относительно его центра.
Катушка с намотанной на нее нитью лежит на горизонтальной поверхности стола и катится по ней без скольжения под действием нити (см. рисунок). С какой скоростью г будет переме-
щаться ось катушки, если конец нити тянуть в горизонтальном направлении со скоростью г? Радиус внутренней части катуш-
ки г, внешней — R. Каковы будут скорость гд и ускорение ад точки Л?
Шарнирная конструкция состоит из трех ромбов, длины сторон которых относятся как 1:2:3 (см. рисунок). Вершина Лз перемещается в горизонтальном направлении со скоростью гд. Определите скорости вершин Лх, Л2, Bi и В^ в тот момент, когда все углы ромбов прямые.
Концы Л и В стержня АВ скользят по сторонам прямого угла (см. рисунок). Как зависит от угла а ускорение середины стержня (точки G), если конец В движется с постоянной скоростью г? Длина стержня равна L.
1.6. Динамика прямолинейного движения
Основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Нъютона^ для тела постоянной массы т в инерциальных системах отсчета имеет вид
ma = F,
где F — равнодействующая приложенных к телу сил.
При каких условиях тело (материальная точка) движется с постоянным ускорением? При каких — прямолинейно?
Лежащая на столе книга давит на стол с силой Р. Стол действует на нее с такой же по величине и противоположной по направлению силой Р\ Можно ли найти равнодействующую этих сил? К какому объекту она приложена?
Под действием постоянной силы F = 3, 0 Н тело движется прямолинейно так, что его координата зависит от времени по закону хД) = Git2 + G2C где Ci = 15 м/с2, G2 = 2 м/с. Найдите массу тела тп,.
График зависимости от времени действующей на тело вдоль оси Ох силы F представлен на рисунке. Постройте графики зависимостей от времени координаты x(t) и проекции на нее скорости ^(ty Начальные условия: гДО) = 0, ж(0) = 0.
Во время автомобильной катастрофы машина, двигавшаяся со скоростью v = 54 км/ч, налетела на бетонную стену. При этом передняя часть машины смялась так, что ее длина уменьшилась на Lx = 0,5 м. Какая постоянная сила F должна действовать на пассажира со стороны ремня безопасности, чтобы он не разбил головой ветровое стекло? Расстояние от головы пассажира до ветрового стекла L^ = 0,5 м. Масса пассажира т = 60 кг.
К задаче 1.134К задаче 1.134К задаче 1.136К задаче 1.136
К задаче 1.134
К задаче 1.134
К задаче 1.136
К задаче 1.136
К задаче 1.137К задаче 1.137
К задаче 1.137
К задаче 1.137
На одно из оснований однородного прямого цилиндра действует постоянная сила F, перпендикулярная основанию (см. рисунок). Какая сила Fb действует на противоположное основание цилиндра? Какая сила Fc действует на сечение цилиндра С, находящееся на расстоянии ж от основания Л? Длина цилиндра L. Сопротивлением внешней среды при движении цилиндра пренебречь.
На однородный стержень длины L действуют силы Fa и Fb, приложенные к его концам и направленные вдоль
стержня в противоположные стороны (см. рисунок). С какой силой F растянут стержень в сечении, находящемся на расстоянии ж от его конца Л?
Тело, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью го = 30 м/с,
достигает высшей точки подъема через время t = 2,5 с. Масса тела т = 40 г. Найдите среднюю силу Fc сопротивления воздуха, действующую на тело во время движения.
Тело массой т = 0, 5 кг начинает падать с высоты h = 39, 2 м и в последнюю секунду проходит 36 % всего пути. Определите силу Fc сопротивления воздуха, считая ее постоянной. Начальная скорость тела равна нулю.
Воздушный шар массы М опускается с постоянной скоростью. Какой массы т. балласт нужно сбросить, чтобы шар поднимался с той же скоростью? Подъемная сила воздушного шара Q известна. Силу сопротивления воздуха считать одинаковой при подъеме и при спуске.
Аэростат, имеющий вместе с балластом массу т, опускается вниз с постоянным ускорением а. Какую массу Ат балласта нужно сбросить с аэростата, чтобы он двигался с таким же по величине ускорением, направленным вверх? Силой сопротивления воздуха пренебречь.
К задаче 1.142К задаче 1.142Скорость лифта при подъеме изменяется в соответствии с графиком, представленным на рисунке. Масса кабины лифта с пассажирами т = = 1500 кг. Найдите силу Т натяжения каната, удерживающего кабину лифта в начале, середине и конце подъема.
К задаче 1.142
К задаче 1.142
Лифты Останкинской телевизионной башни, работающие до высоты h = 337 м, имеют скорость равномерного движения vg - 7 м/с и осуществляют весь подъем за время t =
= 60 с. Считая ускорение постоянным по величине и одинаковым во время разгона и торможения лифта, определите силу давления Ж груза массой т = 100 кг на пол лифта в начале, середине и в конце подъема.
Проволока выдерживает груз массы тмакс = 450 кг. С каким максимальным ускорением амакс можно поднимать груз массы т. = 400 кг, подвешенный на этой проволоке, чтобы она не оборвалась?
Веревка выдерживает груз массы т-х = ПО кг при подъеме его с некоторым ускорением, направленным по вертикали, и груз массы т.^ = 690 кг при опускании его с таким же по величине ускорением. Какова максимальная масса т. груза, который можно поднимать на этой веревке, перемещая его с постоянной скоростью?
Груз закреплен на тележке четырьмя натянутыми нитями (см. рисунок). Силы натяжения горизонтальных нитей равны соответственно Тх и Т^ а вертикальных — Тз и Т4. С каким ускорением а тележка движется по горизонтали?
3. На горизонтальной поверхности стоит штатив массы М = 1 кг, на котором укреплен невесомый блок. На концах
невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через блок, подвешены грузы, массы которых тх = 0, 2 кг и т-2 = 0, 8 кг соответственно (см. рисунок). Пренебрегая трением, найдите ускорение а грузов, силу натяжения Т нити и силу N\ с которой основание штатива давит на поверхность.
Два груза, массы т
„J „К задаче 1.146
каждый, связаны невесомой нерас
тяжимой нитью, перекинутой через неподвижный блок (см. рисунок). На один из грузов кладут перегрузок массы то. С каким ускорением а движутся грузы? Какова сила натяжения Т нити при движении грузов? С какой силой N перегрузок то давит на груз ш? Какую силу давления F испытывает ось блока во время движения грузов? Массой блока пренебречь. Трение от
сутствует.
Определите ускорение а грузов и силу натяжения Т нитей в системе, изображенной на рисунке. Массы грузов т-х = = 1,0 кг, т.2 = 2, 0 кг, т-з = 3,0 кг. Массами нитей и блоков, а также трением пренебречь. Нити нерастяжимы.
Два тела с массами т-х = 10 кг и т.2 = 20 кг лежат на гладкой поверхности стола. Тела соединены шнуром массы т = 1,0 кг. Какую минимальную силу ДмИН надо приложить к телу массы т-х^ чтобы шнур разорвался? Известно, что прикрепленный к неподвижной стенке шнур разрывается при действии силы Fq = 500 Н.
Через неподвижный невесомый блок перекинута однородная веревка массы mg, к концам которой прикреплены
грузы массами т-х и m2, причем т-х > т.^. Веревка скользит без трения по блоку. Найдите ускорение веревки в момент, когда она расположена симметрично по обе стороны от блока, а также силы натяжения веревки Т в точках Л, В и С (см. рисунок). Радиус блока считать пренебрежимо малым по сравнению с длиной веревки.
Конструкция механической системы показана на рисунке. К свободному концу нити прикреплен груз массы т. = = 60 кг, к подвижному блоку — груз массы М = 90 кг. В начальный момент времени грузы удерживались в состоянии покоя на одной высоте, а затем были освобождены. Определите время t^ в течение которого расстояние между грузами по вертикали станет равным s = 2, 0 м, а также показания F динамометра при движении грузов. Массами всех элементов конструкции, кроме грузов, пренебречь. Трение отсутствует. Нити нерастяжимы.
К потолку лифта, поднимающегося с ускорением а = 1,2 м/с2, прикреплен динамометр, к которому подвешен блок. Через блок перекинута нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы с массами т-х = 200 г и т^ = 300 г. Пренебрегая массой блока и трением, определите показания динамометра F.
К задаче 1.151К задаче 1.152К задаче 1.154
Конструкция механической системы показана на рисунке. В результате начального толчка груз массы т-х начал двигаться вверх и на расстоянии h = 0, 49 м от точки наивысшего подъема побывал дважды через интервал времени т = 2,0 с. Определите отношение масс грузов т.х/т.2. Массами всех элементов конструкции, кроме грузов, пренебречь. Трение отсутствует. Нити нерастяжимы.
Конструкция механической системы показана на рисунке. Массы грузов т^ т-з известны. Определите ускорения а грузов и силу натяжения Т нити, связывающей грузы т-х
и m3. Нити и блоки невесомы, нити нерастяжимы, трение отсутствует.
Конструкция механической системы показана на рисунке. Массы грузов mi, m2, т-з известны. Определите ускорения а грузов и натяжения Т нитей. Нити и блоки невесомы, нити нерастяжимы, трение отсутствует.
W////////ZW////////ZК задаче 1.156К задаче 1.1561.1573.1.1573.ПоказаннаяПоказаннаяна рисунке системана рисунке системаподвешена на динаподвешена на динамометре. Какой должна быть масса груза М, чтобы показания
W////////Z
W////////Z
К задаче 1.156
К задаче 1.156
1.1573.
1.1573.
Показанная
Показанная
на рисунке система
на рисунке система
подвешена на дина
подвешена на дина
динамометра составляли 4mg ? Нити и блоки невесомы, нити нерастяжимы, трение отсутствует.
Определите ускорения грузов сц (г = 8) и натяжения нитей Тг в системе, показанной на рисунке. Массы грузов т^ известны. Нити и блоки невесомы, нити нерастяжимы, трение отсутствует.
К телу массы т. = 4, О кг, лежащему на горизонтальной шероховатой плоскости, приложена сила F (F < mg\ направленная под углом а к горизонту (см. рисунок). Коэффи
К задаче 1.158К задаче 1.158циент трения между телом и плоскостью д = 0, 2. Найдите ускорение тела
К задаче 1.158
К задаче 1.158
а и силу трения FTp, если: a) F = 1, О Н, а = 30°; б) F = 19, 6 Н, а = 30°. При каком наименьшем значении силы Рмин движение тела будет равномерным?
тикальной стенке.тикальной стенке.ж7/////////////Zж7/////////////ZМагнит массы m = 50 г прилип к железной вер- Чтобы магнит равномерно скользил вниз, к нему необходимо приложить направленную вертикально вниз силу Fx = 2 Н. Какую минимальную силу F^ надо приложить к магниту, чтобы он равномерно скользил вверх?
тикальной стенке.
тикальной стенке.
ж
7/////////////Z
ж
7/////////////Z
К задаче 1.159К задаче 1.1591.1612. По доске, наклоненной к горизонту под углом /3, тело скользит равномерно. За какое время t тело соскользнет с вы
К задаче 1.159
К задаче 1.159
соты h по той же доске, наклоненной под углом а к горизонту?
Тело массы т = 20 кг тянут с силой F = 120 Н по горизонтальной поверхности. Если эта сила приложена под углом «1 = 60° к горизонту, то тело движется равномерно. С каким ускорением а будет двигаться тело, если ту же силу приложить под углом «2 = 30° к горизонту?
На тело массы т, вначале покоившееся на горизонтальной плоскости, в течение времени т действует горизонтальная сила F. Какое расстояние L пройдет тело за время движения? Коэффициент трения тела о плоскость д.
Ледяная горка составляет с горизонтом угол а = = 10°. По ней пускают вверх камень, который, поднявшись на некоторую высоту, соскальзывает по тому же пути вниз. Каков коэффициент трения д, если время спуска в п = 2 раза больше времени подъема?
Брусок равномерно тащат за нить вверх по наклонной плоскости (см. рисунок). Плоскость составляет с горизонтом угол а = 25°. Угол /3 между нитью и плоскостью может изменяться. Если угол /3 = /Зд = 60°, то сила натяжения нити имеет наименьшую величину Емин = 30 Н. Найдите массу т. бруска.
К задаче 1.165К задаче 1.165К задаче 1.166К задаче 1.166
К задаче 1.165
К задаче 1.165
К задаче 1.166
К задаче 1.166
Брусок массы М лежит на горизонтальной плоскости. На бруске лежит тело массы т (см. рисунок). Коэффициенты трения между телом и бруском, а также между бруском и плоскостью, одинаковы и равны д. К бруску приложена сила F^ действующая в горизонтальном направлении.
При каком значении Fx силы F эта система начнет двигаться?
При каком значении F^ силы F тело начнет скользить по бруску?
Сила F такова, что тело скользит по бруску. Через какое время t тело упадет с бруска, если длина бруска равна Ы Размерами тела пренебречь.
//////////////////////////////////////////////////К задаче 1.168К задаче 1.168Три груза с массами m = 1,0 кг связаны нитями и движутся по горизонтальной плоскости под действием силы F = ЮН, направленной под углом а = 30° к горизонту (см. рисунок). Определите ускорение а системы и силы натяжения Т нитей, если коэффициент трения между телами и плоскостью д = 0,1.
/////////////////////////
/////////////////////////
К задаче 1.168
К задаче 1.168
7//////////////////////////Z
К задаче 1Л67
На горизонтальном столе лежат два бруска, связанные нитью (см. рисунок). Нить расположена в вертикальной плоскости, проходящей через центры брусков, и образует с горизонтом угол а. К первому бруску массы т-х приложена сила
F, линия действия которой горизонтальна и проходит через его центр. Определите зависимость силы натяжения нити Т от си
лы F при движении брусков, если ко
К задаче 1.169К задаче 1.169эффициент трения брусков о стол равен д, масса второго бруска тп^ угол а в процессе движения не изменяется.
К задаче 1.169
К задаче 1.169
Бруски Л и В с массами т-х и m2 соответственно находятся на горизонтальном столе (см. рисунок). К
бруску В приложена сила F, направленная под углом а к горизонту. Най
дите ускорения движения ад и а в брусков, если коэффициенты
трения бруска А о стол и между брусками равны соответствен
К задаче 1.170К задаче 1.170но дх и Д2. Известно, что бруски движутся один относительно другого.
К задаче 1.170
К задаче 1.170
1.1703. На гладкой горизонтальной поверхности лежит клин с углом а = 15° при основании, упира
ясь торцом в неподвижную вертикальную стенку. По верхней грани клина
соскальзывает без трения тело массы т = 0, 20 кг (см. рисунок). Найдите силу нормального давления N клина на стенку.
1.1712. Тело массы т соскальзывает с наклонной плоскости с ускорением а. Каким будет ускорение а1 тела, если его прижать с силой N еще одной плоскостью, параллельной наклонной? Коэффициенты трения скольжения между телом и
плоскостью одинаковы и равны д.
1.1724. На гладкой горизонтальной поверхности находит
ся призма массы М с углом а
при вершине, а на ней брусок массы т (см. рисунок). Коэффициент трения между призмой и бруском равен д, д > tga. В момент t = 0 на призму начала действовать горизонтальная сила, зависящая от времени по закону F(i) = рр где Р ™ поло
жительная постоянная. Найдите момент времени t = to, когда
брусок начнет скользить по призме.
1.1734. Какую постоянную горизонтальную силу нужно приложить к тележке массы М = 1,0 кг (см. рисунок), чтобы грузы с массами mi = 0, 40 кг и т^ = 0, 20 кг относительно нее не двигались? Трением пренебречь.
К задаче 1.173К задаче 1.174К задаче 1.173К задаче 1.174
К задаче 1.173К задаче 1.174
К задаче 1.173К задаче 1.174
1.1743. На наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол а = 30°, находится груз массы т^ = 2, 0 кг (см. рисунок). К грузу привязан легкий шнур, перекинутый через блок, укрепленный на наклонной плоскости. К другому концу шнура подвешен груз массы т-х = 20 кг. Предоставленная самой себе, система приходит в движение. Определите ускорение грузов а и силу давления F на ось блока. Коэффициент трения между грузом и плоскостью равен д = 0,1. Массу блока не учитывать.
1.1753. В системе, показанной на рисунке, массы брусков одинаковы, коэффициенты трения между брусками и между
К задаче 1Л75К задаче 1Л75бруском и столом д = 0, 30. Если за динамометр, подвешенный к свисающему концу нити, потянуть с силой Еф то бруски начнут двигаться ускоренно и за время t = 0, 50 с пройдут путь s = 0, 50 м. Показание второго динамометра при этом равно ^2 = 40 Н. Определите показания Fx первого динамометра.
К задаче 1Л75
К задаче 1Л75
К задаче 1.176
1.1763. Груз массы m.i находится на столе, который движется горизонтально с ускорением а (см. рисунок). К грузу прикреплена нить, перекинутая через блок. К другому концу нити подвешен второй груз массы т.^. Найдите силу натяжения Т нити, если коэффициент трения груза массы т-х о стол равен д.
1.1773. Стержень массы т.2 опирается на клин массы т-х (см. рисунок). Благодаря ограничителям, стержень может двигаться только вдоль оси Од, клин — вдоль оси Ох. Найдите ускорения клина «1 и стержня «2, а также реакцию N клина. Трением пренебречь.
К задаче 1.177К задаче 1.177К задаче 1.178К задаче 1.178
К задаче 1.177
К задаче 1.177
К задаче 1.178
К задаче 1.178
1.1783. Найдите ускорения «1 призмы массы т-х и «2 куба массы т.2 в системе, показанной на рисунке. Трение отсутствует.
1.1794. Клин высоты h с углом наклона а стоит на гладкой горизонтальной плоскости (см. рисунок). Масса клина тх- С вершины клина начинает соскальзывать без трения малень-
кий брусок массы т.^. Найдите ускорение а клина и время t соскальзывания бруска.
Найдите ускорения грузов 2m, т и М в системе, показанной на рисунке. Трением пренебречь. Рассмотрите три случая: а) сила F направлена горизонтально; б) сила F составляет угол а с горизонтом; в) сила F направлена вертикально вверх.
К задаче 1.179К задаче 1.179К задаче 1.180К задаче 1.180
К задаче 1.179
К задаче 1.179
К задаче 1.180
К задаче 1.180
На горизонтальную шероховатую ленту транспортера шириной Ь, движущуюся со скоростью г, «въезжает» шайба с такой же по модулю скоростью г, направленной перпендикуляр- г>Л а но краю ленты. Шайба «съезжает» с ленты с некоторой скоростью, направленной под углом а = 45° к другому краю ленты (см. рисунок). Найдите коэффициент трения шайбы о ленту.
1.1824. На концах невесомой
К задаче 1.181нерастяжимой нити, перекинутой
через неподвижный блок, висят неподвижно на одной высоте два груза одинаковой массы. На один из грузов садится муха. Грузы начинают двигаться, и когда расстояние между ними по вертикали становится равным h = = 1,0 см, муха перелетает на второй груз. Через какое время t после начала движения грузы снова окажутся на одной высоте? Масса мухи в п = 2000 раз меньше массы груза. Считайте, что муха очень быстро перелетает с груза на груз, не изменяя при этом скорости грузов; нить скользит по блоку без трения.
Динамика движения материальной точки по окружности
Основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона) ma = F, где F — равнодействующая прило-
женных к телу сил, в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки имеет вид
тат = FT. т— = Fn.' R
На горизонтально вращающейся платформе на расстоянии R = 0, 50 м от оси вращения лежит груз. При какой частоте вращения v платформы груз начнет скользить? Коэффициент трения между грузом и платформой равен д = 0, 050.
На краю вращающейся платформы радиуса R = = 1,0 м лежит груз. В какой момент времени т после начала вращения платформы груз начнет скользить, если вращение платформы равноускоренное и в момент времени tq = 120 с она имеет угловую скорость ш = 1,4 рад/с? Коэффициент трения между грузом и платформой д = 0, 050.
Каков должен быть минимальный коэффициент трения дмин между шинами автомобиля и асфальтом, чтобы автомобиль мог пройти без проскальзывания закругление радиуса R = ЮО м на скорости v = 50 км/ч?
Самолет выполняет петлю Нестерова («мертвую петлю»), имеющую радиус R = 255 м. Какую минимальную скорость г? должен иметь самолет в верхней точке петли, чтобы летчик не повис на ремнях, которыми он пристегнут к креслу?
С какой минимальной угловой скоростью ш нужно вращать ведро в вертикальной плоскости, чтобы из него не выливалась вода? Расстояние от оси вращения до поверхности воды L.
Барабан сушильной машины, имеющей диаметр D = 1,96 м, вращается с угловой скоростью ш = 20 рад/с. Во сколько раз сила F^ прижимающая ткань к стенке, больше действующей на эту ткань силы тяжести m.gl
Невесомый стержень равномерно вращается в горизонтальной плоскости с частотой v. На расстояниях Lx и L^ от оси вращения закреплены грузы с массами тх и т.^. Какая горизонтальная сила F действует на ось вращения, находящуюся между грузами?
Автомобиль массы т = 1000 кг движется со скоростью и = 36 км/ч по выпуклому мосту, имеющему радиус кривизны R = 50 м. С какой силой F давит автомобиль на мост в его верхней точке? С какой минимальной скоростью г?мин должен двигаться автомобиль по мосту, чтобы в верхней точке моста он перестал оказывать на него давление?
Автомобиль массы т. движется со скоростью d по выпуклому мосту, имеющему радиус кривизны R. С какой силой
F давит автомобиль на мост в точке, направление на которую из центра кривизны моста составляет с вертикалью угол а?
Через реку ширины d = 100 м переброшен выпуклый мост в форме дуги окружности. Верхняя точка моста поднимается над берегом на высоту h = 10 м. Мост может выдержать максимальную силу давления F = 44,1 кН. При какой скорости автомобиль массы т = 5000 кг может проехать через такой мост?
На вертикальной оси укреплена горизонтальная штанга, по которой могут без трения перемещаться два груза с массами mi и т?^ связанные нитью длины L. Система вращается с угловой скоростью ш. На каких расстояниях Li и L^ от оси вращения находятся грузы, будучи в положении равновесия? Какова при этом сила натяжения Т нити?
Камень, подвешенный к потолку на веревке, движется в горизонтальной плоскости по окружности, отстоящей от потолка на h = 1, 25 м. Найдите период т обращения камня.
Шарик массы т^ подвешенный на нити, имеющей длину L^ описывает окружность в горизонтальной плоскости. Какова должна быть сила Т натяжения нити, чтобы радиус окружности, по которой движется шарик, мог достигнуть зна-
' 2 . ' чения
3
Шарик, подвешенный на нити длины L^ описывает окружность в горизонтальной плоскости. Нить составляет с вертикалью угол а. Найдите период т обращения шарика, если маятник находится в лифте, движущемся с постоянным ускорением а < g, направленным вниз.
Шарик массы тгц подвешенный на шнуре, описывает окружность в горизонтальной плоскости с частотой v. Шнур составляет с вертикалью угол а. Найдите длину нерастянутого шнура Lq, если известно, что для растяжения его до длины L требуется приложить к нему силу F.
На одном из концов пружины закреплено колечко. Оно надето на гвоздь, вбитый в стол. На другом конце пружины закреплен небольшой груз, который, скользя без трения по горизонтальному столу, движется по окружности. Линейная скорость груза г постоянна. Найдите радиус окружности, описываемой грузом, если известно, что длина недеформированной пружины Lq и что длина пружины возрастает в п = 2 раза, если упомянутый груз подвесить на ней. Массой пружины пренебречь.
Велосипедист при повороте по закруглению радиуса R наклоняется к центру закругления так, что угол между
плоскостью велосипеда и поверхностью земли равен а. Найдите скорость г велосипедиста.
По сторонам прямого угла скользит жесткая палочка АВ длины 2L, посередине которой закреплена бусинка массы т (см. рисунок). Скорость точки В постоянна и равна г (точка В удаляется от вершины прямого угла). Определите, с какой силой N действует бусинка на палочку в тот момент, когда она составляет угол а = 45° с вертикалью.
Вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ш вращается невесомый горизонтальный жесткий стержень, по которому без трения могут двигаться два шарика одной и той же массы т. Шарики соединены между собой невесо-
К задаче 1.200К задаче 1.201
мой пружиной жесткости fc, длина которой в недеформирован- ном состоянии равна Bq. Ближайший к вертикальной оси шарик соединен с ней такой же пружиной (см. рисунок). Определите длину L каждой из пружин, если шарики движутся по окружностям.
Импульс материальной точки и системы материальных точек. Движение тел переменной
массы
Импульс р материальной точки определен как
р = mv;
импульс системы материальных точек с массами тгц. и скоростями v^ равен
Р = miVi + т2¥2 + Ш3¥з + ...;
приращение импульса системы за время ^t равно
Др = p(t + At) - p(t) = FBHeinAt,
где Евнеш — векторная сумма всех внешних сил, приложенных к телам системы (закон изменения импульса системмУ
Механическую систему называют замкнутой, если ни одно из входящих в нее тел не взаимодействует с внешними телами (т.е. телами, не входящими в состав исследуемой механической системы). Импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени (закон сохранения импульса).
Радиус-вектор центра масс системы материальных точек с массами ггц и радиус-векторами соответственно г^ определен выражением
Ш1Г1 + m2r2 + m3r3 + ...rt = .
mi + m2 + m3 + ...
Скорость центра масс системы материальных точек равна
V _ mivi + m2v2 + m3v3 + ...
mi + m2 + m3 + ...'
Уравнение движения центра масс системы материальных точек имеет вид
(mi + m2 + m3 + ...) А = Fвнеш*
Какова средняя сила давления F на плечо при стрельбе из автомата, если масса пули т = 10 г, а скорость пули при вылете из ствола и = 300 м/с? Автомат производит п = 50 выстрелов в секунду.
П ад ающий вертикально шарик массы т = 0,2 кг ударился об пол со скоростью и = 5 м/с и подпрыгнул на высоту h = 0, 46 м. Найдите изменение импульса шарика Др при ударе.
Из орудия массы М = 3000 кг, не имеющего противооткатного устройства (ствол жестко скреплен с лафетом) вылетает в горизонтальном направлении снаряд массы т = 15 кг со скоростью и = 650 м/с. Какую скорость и получит орудие при отдаче?
Снаряд массы т = 20 кг, летевший горизонтально со скоростью и = 50 м/с, попадает в платформу с песком и застревает в песке. С какой скоростью и начнет двигаться платформа, если ее масса М = 10000 кг?
Пушка, стоящая на гладкой горизонтальной поверхности, стреляет под углом а = 30° к горизонту. Масса снаряда т = 20 кг, его начальная скорость и = 200 м/с. Какую скорость и приобретает пушка при выстреле, если ее масса М = 500 кг?
Снаряд массы т = 50 кг, летящий со скоростью и = = 800 м/с под углом а = 30° к вертикали, попадает в платформу с песком и застревает в нем. Найдите скорость и платформы после попадания снаряда, если ее масса М = 16 т.
Два человека с массами mi = 70 кг и m2 = 80 кг стоят на роликовых коньках друг против друга. Первый бросает второму груз массы т = 10 кг со скоростью, горизонтальная
составляющая которой равна v = 5 м/с относительно земли. Найдите скорость щ первого человека после броска и скорость ^2 второго после того, как он поймает груз. Трением пренебречь.
Тело массы М = 990 г лежит на горизонтальной поверхности. В него попадает пуля массы m = 10 г и застревает в нем. Скорость пули составляет и = 700 м/с и направлена горизонтально. Какой путь s пройдет тело до остановки, если коэффициент трения между телом и поверхностью д = 0, 050?
Три лодки массы М каждая движутся по инерции друг за другом с одинаковыми скоростями г. Из средней лодки в крайние одновременно перебрасывают два груза массы т каждый со скоростью и относительно средней лодки. Какие скорости щ, гд, из будут иметь лодки после перебрасывания грузов? Трением пренебречь.
Человек массы т = 60 кг переходит с носа на корму лодки. На какое расстояние s переместится лодка длины L = = 3 м, если ее масса М = 120 кг, и первоначально лодка с человеком покоилась относительно воды? Трением пренебречь.
Лягушка массы mi сидит на конце доски массы m2 и длины L. Доска находится на поверхности пруда. Лягушка совершает прыжок вдоль доски так, что ее начальная скорость гд (относительно воды) составляет с горизонтом угол а и оказывается на другом конце доски. Определите гд. Сопротивлением воды пренебречь.
Снаряд летит по параболе и разрывается в верхней точке траектории на два одинаковых осколка. Первый осколок падает вертикально вниз, второй — на расстоянии s по горизонтали от места разрыва. Найдите скорость снаряда г перед разрывом, если известно, что разрыв произошел на высоте h и время падения первого осколка равно т. Трением пренебречь.
Космонавт находится на некотором расстоянии от космического корабля, имея с собой два одинаковых однозарядных пистолета. Космонавт может стрелять одновременно из двух пистолетов или использовать их по очереди. Как должен он поступить, чтобы быстрее вернуться на корабль?
Тележка с песком движется по горизонтальным гладким рельсам под действием постоянной силы F^ совпадающей по направлению с ее скоростью. При этом песок высыпается через отверстие в дне с постоянной скоростью ц (кг/с). Найдите ускорение тележки в момент времени t, если в момент времени t = 0 тележка имела массу mg и ее скорость была равна нулю.
Один конец каната удерживают на высоте h от земли. Второй его конец касается земли. В момент времени t = 0 канат отпускают (без толчка). Он начинает свободно падать на землю. Получите аналитическую зависимость силы F^ с кото-
рой канат будет давить на землю, от времени. Масса единицы длины каната равна р.
Платформа массы то в момент времени t = 0 начинает двигаться по горизонтальным гладким рельсам под действием постоянной силы тяги F^ направленной горизонтально. Из неподвижного бункера в момент времени t = 0 сверху на нее начинает высыпаться песок. Скорость погрузки постоянна и равна р (кг/с). Получите зависимость от времени скорости г и ускорения а платформы в процессе погрузки. Начальная скорость платформы равна нулю.
Ракета движется в отсутствие внешних сил, выпуская непрерывную струю газа со скоростью и, постоянной относительно ракеты. Найдите скорость v ракеты в момент, когда ее масса равна т^ если в начальный момент времени она имела массу то и ее скорость была равна нулю.
Работа. Мощность. Энергия. Закон сохранения энергии
Работа постоянной силы F на перемещении Дг, происходящем на прямолинейном участке траектории, равна
А = F • Дг.
Средняя мощность Ncp равна отношению работы ДЛ к промежутку времени At, в течение которого эта работа совершается:
N
ср ’
мгновенная мощность N(t) равна
АД = F(t)-v(t).
Кинетическая энергия материальной точки определена выражением
2’
приращение кинетической энергии тела — ^кон -^нач — ^1, где А — работа всех сил, действующих на тело.
Потенциальная энергия тела массы т в гравитационном поле Земли при движении вблизи ее поверхности
U = mgh^
где /г — высота, отсчитываемая от произвольно выбранного начального уровня.
Приращение потенциальной энергии частицы в поле ^кон ^нач —^п?
где Ап — работа сил данного поля.
Полная механическая энергия точечного тела равна
Е = К + U.
где U — потенциальная энергия тела.
Полная механическая энергия системы материальных точек с массами т^ скоростями v^ и радиус-векторами щ равна
Е = (|miVi + |m2^f ++ .. / +
+ T(ri) + и (г2) + и (г3) ++
+ (С(Г1,Г2) + У(Г1,Г3) + y(ri,r4) + ... + У^.г,) +
приращение механической энергии системы тел во внешнем поле :
Екон -Е'нач :=:: 4ВНеш 4" И.ВН1НеконС-,
где Лвн.неконс. — работа всех внутренних неконсервативных сил, Авнеш — работа результирующей всех внешних сил.
Приращение полной механической энергии частицы в поле равно
-Е'кон -Е'нач :=:: -^ст?
где Лст — работа результирующей всех сторонних сил, т.е. сил, не принадлежащих к силам данного поля.
Сила F = 0, 50 Н действует на тело массы m = 10 кг в течение времени т = 2,0 с. Найдите конечную кинетическую энергию К тела, если начальная скорость тела была равна нулю. Трение отсутствует.
Поезд массы т = 1500 т движется со скоростью г = 57,6 км/ч и при торможении останавливается, пройдя путь s = 200 м. Какова сила торможения Н? Как должна измениться эта сила, чтобы тормозной путь уменьшился в два раза?
Какую работу А совершил мальчик, стоящий на гладком льду, сообщив санкам скорость г = 4 м/с относительно льда, если масса санок т = 4 кг, а масса мальчика М = 20 кг? Трение отсутствует.
Пуля массы т летит со скоростью го и пробивает тяжелую доску толщины d, движущуюся навстречу пуле со скоростью и. С какой скоростью г вылетит пуля из доски? Считать силу сопротивления F движению пули в доске постоянной. Скорость доски заметно не изменяется.
Два автомобиля с одинаковыми массами одновременно трогаются с места и движутся равноускоренно. Во сколько раз п мощность первого автомобиля больше мощности второго, если за одно и то же время первый автомобиль достигает вдвое большей скорости, чем второй?
Автомобиль массы т = 1 т трогается с места и, двигаясь равноускоренно, проходит путь s = 20 м за время т = 2 с. Какую мощность W должен развить мотор этого автомобиля?
Какой максимальный уклон а может преодолеть тепловоз, развивающий мощность Ж = 370 кВт, перемещая состав массы т = 2000 т со скоростью г = 7, 2 км/ч? Считать угол наклона а полотна железной дороги к горизонту малым, а силу сопротивления движению равной /^mg^ где д = 0,002.
Транспортер поднимает массу т = 200 кг песка на автомашину за время т = 1 с. Длина ленты транспортера L = = 3 м, угол ее наклона к горизонту а = 30°. КПД транспортера т/ = 0, 85. Найдите мощность Ж, развиваемую его электродвига
телем.
Вверх по наклонной плоскости равномерно со ско
ростью г поднимают тело мас
сы тп, причем сила направлена вдоль наклонной плоскости (см. рисунок). При каком угле наклона а затрачиваемая мощность Ж будет максимальной, и
К задаче 1.227каково значение максимальной
мощности? Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью д = 1.
Тело брошено под углом к горизонту со скоростью го* Используя закон сохранения энергии, найдите скорость тела г на высоте /г над горизонтом.
Камень массы т = 5, 0 кг упал (без начальной скорости) с некоторой высоты. Найдите кинетическую энергию К камня в средней точке его траектории, если он падал в течение времени т = 2,0 с.
Пуля, вылетевшая из винтовки вертикально вверх со скоростью го = 1000 м/с, упала на землю со скоростью г = = 50 м/с. Какая работа А была совершена силой сопротивления воздуха, если масса пули тп = 10 г?
Тело брошено вертикально вверх со скоростью гд = = 49 м/с. На какой высоте h его кинетическая энергия К будет равна потенциальной энергии U?
К телу массы тп = 4, 0 кг приложена направленная вверх сила F = 49 Н. Найдите кинетическую энергию К тела в
момент, когда оно окажется на высоте /г = 10 м над землей. В начальный момент тело покоилось на поверхности земли.
Пуля массы т = 20 г, выпущенная под углом а к горизонту, в верхней точке траектории имеет кинетическую энергию К = 88, 2 Дж. Найдите угол оц если начальная скорость пули и = 600 м/с.
Конькобежец, разогнавшись до скорости г, въезжает на ледяную горку. На какую высоту h от начального уровня он поднимется, если горка составляет угол а с горизонтом? Коэффициент трения между горкой и коньками равен ц.
Санки съезжают с горы, имеющей высоту /г и угол наклона к горизонту а и движутся дальше по горизонтальному участку. Коэффициент трения на всем пути одинаков и равен ц. Найдите расстояние s, которое пройдут санки, двигаясь по горизонтальному участку, до полной остановки. Длиной полозьев санок по сравнению с размерами траектории пренебречь.
Санки, движущиеся по горизонтальному льду со скоростью г = 6,0 м/с, въезжают на асфальт. Длина полозьев санок L = 2, 0 м, коэффициент трения полозьев об асфальт ц = = 1. Какой путь s пройдут санки до полной остановки?
Свинцовый шар массы т = 500 г, движущийся со скоростью г = 10 м/с, сталкивается с неподвижным шаром из воска, имеющим массу М = 200 г, после чего оба шара движутся вместе. Найдите кинетическую энергию шаров К после столкновения.
Пластмассовый шар массы М лежит на подставке с отверстием. Снизу в шар через отверстие попадает вертикально летящая пуля массы т и пробивает его насквозь. При этом шар подскакивает на высоту Н. На какую высоту h над подставкой поднимется пробившая шар пуля, если перед попаданием в шар она имела скорость гд?
Четыре одинаковых тела массы т = 20 г каждое расположены на одной прямой на некотором расстоянии друг от друга. С крайним телом соударяется такое же тело, имеющее скорость v = 10 м/с и движущееся вдоль прямой, на которой расположены тела. Найдите кинетическую энергию системы К после всех соударений, считая их абсолютно неупругими.
Происходит центральное соударение двух абсолютно упругих шаров, имеющих массы mi и m2 и скорости щ и ??2 соответственно. Найдите скорости шаров после соударения.
На гладком горизонтальном столе расположены вдоль одной прямой шарики, массы которых составляют тгц М и 2М. Шарик массы т налетает на шарик массы М и происходит абсолютно упругий центральный удар. Каким должно быть от-
ношение масс шаров т/М, чтобы в системе произошло в общей сложности два столкновения?
Пять одинаковых шаров, центры которых лежат на одной прямой, находятся на небольшом расстоянии друг от друга. С крайним шаром соударяется такой же шар, имеющий скорость г = 10 м/с и движущийся вдоль прямой, соединяющей центры шаров. Найдите скорость последнего шара после всех соударений, считая их абсолютно упругими.
Замкнутая система состоит из двух одинаковых ча
стиц, которые движутся со скоростями их и Г2 так, что угол между направлениями их движений равен 0. После упругого столкновения скорости частиц оказались равными ri и и^. Найдите угол 9’ между направлениями разлета частиц после столкнове
ния.
Частица массы ггц движущаяся со скоростью г, налетает на покоящуюся частицу массы т/2 и после упругого соударения отскакивает от нее под углом а = 30° к направлению
своего движения. С какой скоростью и2 начнет двигаться вторая частица? ЛГ" 1.2453. Под каким углом а раз)летаются после абсолютно упругого
\соударения два одинаковых абсолют-
К задаче 1.245 под углом 3 ^ 0 кК задаче 1.245 под углом 3 ^ 0 кно гладких шара, если до соударения один из них покоился, а другой летел со скоростью г>о , направленной прямой, соединяющей их центры в момент
К задаче 1.245 под углом 3 ^ 0 к
К задаче 1.245 под углом 3 ^ 0 к
соударения (см. рисунок)?
Три тела с массами тх, m2, тз могут скользить без трения вдоль горизонтальной пря-
мой, причем тело 2 находится между телами 1 и 3 (см. рисунок). Известно, что тх )> m2, тз Э> т^. Определите максимальные скорости их и U2 двух крайних тел, если в начальный момент они поко
ились, а среднее тело имело скорость и. Удары считайте абсо
лютно упругими.
Два абсолютно упругих шара летят навстречу друг другу. Кинетическая энергия первого шара в к2 раз больше второго (к = 4/3). При каком отношении V2/^х скоростей до удара шары после удара будут двигаться в ту же сторону, что и первый шар до удара, если масса первого шара больше массы второго?
Тяжелая частица массы М сталкивается с покоящейся легкой частицей массы т. На какой максимальный угол «макс может отклониться тяжелая частица при ударе?
Два абсолютно упругих шарика одинакового радиуса с массами т\ = 100 г и т^ = 300 г подвешены к потолку на одинаковых нитях длины L = 50 см каждая таким образом,
7////////////////Л7////////////////Лчто в положении равновесия шарики висят, касаясь друг друга, на вертикальных нитях (см. рисунок). Первый шарик отклоняют от положения равновесия на угол а = тг/2 и отпускают. На какую высоту поднимется второй шарик после соударения?
7////////////////Л
7////////////////Л
1.25О3. Докажите, что упругий невесомый шарик, брошенный в угол комнаты, вылетит из него по направлению,
параллельному тому, по которому он к задаче 1.249 был брошен.
Шарик массы т, подвешенный на нити, отклоняют от положения равновесия на угол а = тг/2 и отпускают. Какова максимальная сила Тмакс натяжения нити?
Шарик массы т подвешен на нити, выдерживающей силу натяжения Tq = 2mg. На какой угол ад от вертикали нужно отклонить шарик, чтобы он оборвал нить, проходя положение равновесия?
Математический маятник отклонили на угол а = = тг/2 от вертикали и отпустили. В тот момент, когда маят
ник проходит положение равновесия, точка его подвеса начинает двигаться вверх с ускорением а. На какой максимальный угол /Змакс отклонится маятник от вертикали?
Какую минимальную скорость гмин должен иметь
К задаче 1.255К задаче 1.255шарик математического маятника, проходя через положение устойчивого равновесия, чтобы он мог вращаться по окружности в вертикальной плоскости? Задачу рассмотрите для двух случаев: а) маятник подвешен на невесомой нерастяжимой нити длины X; б) маятник подвешен на невесомой недеформиру- емой штанге длины L.
К задаче 1.255
К задаче 1.255
1.2553. Два шара — стальной массы т и свинцовый массы т/4 — подвешены в одной точке на нитях длины L каждая (см. рисунок). Свинцовый шар отклоняют так, что нить образует угол а с вертикалью, и отпускают. После соударения шар отклоняется на угол /3. Удар центральный. Определите энергию AS, перешедшую в тепло.
Два соприкасающихся шарика подвешены рядом на параллельных нитях равной длины (см. рисунок). Первый ма-
ятник отклонили на угол а от вертикали и отпустили. Послеятник отклонили на угол а от вертикали и отпустили. Послесоударения шаровсоударения шаровпервый останавливается, а второй отклоняется на угол /3. На какой угол у отклонится первый шар после второго соударения? Считайте, что при каждом соударении в тепло переходит одна и та же доля потенциальной энергии деформации шаров.
ятник отклонили на угол а от вертикали и отпустили. После
ятник отклонили на угол а от вертикали и отпустили. После
соударения шаров
соударения шаров
На теннисный мяч с высоты h = 1 м падает кирпич и подскакивает на высоту hi ^h = 1 м. На какую высоту h^ подскочит мяч?
На горизонтальной плоско-
К задаче 1.256 сти стоят Два связанных нитью одинаковых бруска, между которыми расположена сжатая пружина, не скрепленная с брусками (см. рисунок). Нить пережигают, и бруски расталкиваются в разные стороны так, что расстояние между ними возрастает на величину ДБ,
после чего бруски останавливаются. Найдите потенциальную энергию сжатой пружины, если масса каждого бруска равна ш, а коэффициент трения между брусками и плоскостью равен д.
т PWWW тК задаче 1.258т PWWW тК задаче 1.258К задаче 1.259К задаче 1.259кость клина имеет плавный переход к горизонтальной плоскости (см. рисунок). В начальный момент система покоилась. Найдите скорость V клина в тот момент, когда брусок с высоты h соскользнет на плоскость.кость клина имеет плавный переход к горизонтальной плоскости (см. рисунок). В начальный момент система покоилась. Найдите скорость V клина в тот момент, когда брусок с высоты h соскользнет на плоскость.1.2603.1.2603.На пути небольшого тела, скользящего по гладкомуНа пути небольшого тела, скользящего по гладкому1.2593. Клин массы М находится на идеально гладкой горизонтальной плоскости. На клине лежит брусок массы ш, который под действием силы тяжести может скользить по клину без трения. Наклонная плос-
т PWWW т
К задаче 1.258
т PWWW т
К задаче 1.258
К задаче 1.259
К задаче 1.259
кость клина имеет плавный переход к горизонтальной плоскости (см. рисунок). В начальный момент система покоилась. Найдите скорость V клина в тот момент, когда брусок с высоты h соскользнет на плоскость.
кость клина имеет плавный переход к горизонтальной плоскости (см. рисунок). В начальный момент система покоилась. Найдите скорость V клина в тот момент, когда брусок с высоты h соскользнет на плоскость.
1.2603.
1.2603.
На пути небольшого тела, скользящего по гладкому
На пути небольшого тела, скользящего по гладкому
К задаче 1.260К задаче 1.260
К задаче 1.260
К задаче 1.260
горизонтальному столу, находится незакрепленная «горка» высотой h = 2, 0 м. Угол наклона горки плавно изменяется от нуля в нижней части горки до не™
которого максимального значения в средней части подъема, и уменьшается до нуля в его верхней части (см. рисунок) . При какой минимальной скорости гмин тело мо™
жет преодолеть «горку»? Отношение масс «горки» и тела п = = М/т = 5. Считайте, что тело движется, не отрываясь от «горки». Трение отсутствует.
Навстречу платформе с песком, движущейся горизонтально со скоростью г, по гладкому наклонному желобу соскальзывает без начальной
скорости тело массы т и застревает в песке (см. рисунок). Желоб длины L образует с горизонтом угол а. Найдите скорость и платформы после попадания в нее тела, если масса платформы равна М.
К задаче 1.261вверх и достигает высоты h =Масса заряда т = 50 г. Найдите скорость г истеченияК задаче 1.261вверх и достигает высоты h =Масса заряда т = 50 г. Найдите скорость г истеченияРакета, имеющая вместе с зарядом массу М = = 250 г, взлетает вертикально = 150 м.
К задаче 1.261вверх и достигает высоты h =
Масса заряда т = 50 г. Найдите скорость г истечения
К задаче 1.261вверх и достигает высоты h =
Масса заряда т = 50 г. Найдите скорость г истечения
газов из ракеты, считая, что сгорание заряда происходит мгновенно.
Из пушки вертикально вверх произведен выстрел. Начальная скорость снаряда равна гд. В точке максимального подъема снаряд разрывается на две одинаковые части. Первая из них со скоростью 2гд падает на землю вблизи точки выстрела. Через какое время т после выстрела упадет на землю вторая часть? Сопротивлением воздуха пренебречь.
fZZZZZZZZZZZzZfZZZZZZZZZZZzZааК потолку прикреплена пружина жесткости к, к которой подвешено тело массы т, в начальный момент времени неподвижно лежащее на горизонтальной подставке (см. рисунок). Подставку начинают опускать вниз с ускорением а. Через какое время т тело оторвется от подставки? Каким будет максимальное растяжение пружины Жмакс? В начальный момент времени пружина не деформирована.
fZZZZZZZZZZZzZ
fZZZZZZZZZZZzZ
а
а
К задаче 1.264К задаче 1.2641.2653. На вертикальной оси укреплена горизонтальная штанга, по которой могут свободно перемещаться два груза с массами mi и m2, связанные нитью длины L. Система вра
К задаче 1.264
К задаче 1.264
щается с угловой скоростью ш. На каких расстояниях Тх и г2 от оси вращения будут находиться грузы в состоянии равновесия? Чему равны при этом натяжение нити Т и кинетическая энергия К грузов? Будет ли положение равновесия устойчивым?
На концах и в середине невесомого стержня длины L расположены одинаковые шарики (см. рисунок). Стержень ста-
вят вертикально и отпускают. Считая, что трение между плоскостью и нижним шариком отсутствует, найдите скорость верхнего шарика г в момент удара о горизонтальную плоскость. Как изменится ответ, если нижний шарик шарнирно закрепить?
Гантелька, представляющая собой два одинаковых шарика, соединенных невесомой недеформируемой штангой длины Д стоит в углу, образованном гладкими плоскостями (см. рисунок). Нижний шарик гантельки смещают горизонтально на очень малое расстояние, в результате чего гантелька приходит в движение. Найдите скорость v нижнего шарика в тот момент, когда верхний шарик оторвется от вертикальной плоскости.
К задаче 1.266 К задаче 1.267К задаче 1.268
На гладком горизонтальном столе лежат стальные шарики массы тп и 2m, связанные натянутой нитью длины L. Еще один шарик массы тп налетает на шарик массы тп со скоростью гд, направленной перпендикулярно нити (на рисунке представлен вид системы сверху). Найдите максимальное натяжение нити Тмакс и ускорение а шарика массы 2тп.
На гладкий горизонтальный стол вертикально поставили гантельку, состоящую из невесомого стержня с двумя одинаковыми маленькими шариками на концах. Верхнему шарику ударом сообщают скорость и в горизонтальном направлении. При какой минимальной длине гантельки Ьмин нижний шарик сразу оторвется от стола?
Небольшое тело скользит с вершины гладкой сферы вниз. На какой высоте h от вершины тело оторвется от поверхности сферы? Радиус сферы равен R.
Тележка массы тп совершает мертвую петлю, скатываясь с минимально необходимой для этого высоты (см. рисунок). С какой силой F тележка давит на рельсы в точке Л, радиус-вектор которой составляет угол а с вертикалью? Трением пренебречь.
Спуск с горы представляет собой дугу окружности АВ радиуса R = Юме плавным выездом на горизонтальную поверхность ВС (см. рисунок). Поверхность горы гладкая, а горизонтальная поверхность шероховатая с коэффициентом трения д = 0,15. На каком расстоянии s от конца гладкого участка горы остановятся съехавшие с нее санки, если в точке А их полное ускорение равно по модулю ускорению свободного падения g? Радиус дуги, проведенный в точку Л, образует с вертикалью угол а = 60°.
Гладкий желоб состоит из горизонтальной части АВ и дуги окружности ВС радиусом R = 1 м. Тело, имеющее на горизонтальном участке начальную скорость ид = 10 м/с, скользит без трения по желобу. Определите модуль и направление ускорения тела в точке С, если радиус окружности, проведенный в точку С, составляет угол а = 45° с вертикалью (см. рисунок) .
К задаче 1.273 К задаче 1.274
На гладкой горизонтальной поверхности около стенки стоит симметричный брусок массы М с углублением полу- цилиндрической формы радиуса R (см. рисунок). Из точки А без трения соскальзывает маленькая шайба массы т. Определите максимальную скорость бруска гмакс при его последующем движении. Начальная скорость шайбы равна нулю.
Вращение твердого тела вокруг оси. Закон сохранения момента импульса. Условия равновесия твердого тела
Момент инерции материальной точки массы т относительно оси равен
I = md\
где d — расстояние до оси вращения; момент инерции системы материальных точек относительно оси равен
I = Tn^d^ + 7712^2 + ‘^'3^'3 + • • •
Момент импульса материальной точки массы т с радиус- вектором г при движении в плоскости относительно оси ОО', проходящей перпендикулярно плоскости движения, определен как
L = г х mv; L = тит sin а;
а — угол между векторами г и v.
Момент синиц приложенной к материальной точке с радиус- вектором г при движении в плоскости относительно оси ОО', равен
М = г х F; М = tF sin/3,
где /3 — угол между векторами г и F.
Приращение момента импульса системы за малое время dt равно
dL = L(t + dt) — L(t) = MBHeni(t)dt.
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела с закрепленной осью имеет вид
Is = ЕМ,
где I — момент инерции тела относительно этой оси, е — угловое ускорение тела, YM — алгебраическая сумма проекций моментов действующих на тело сил на ось вращения.
Условия равновесия твердого тела имеют вид
SF = 0; ЕМ = 0.
Здесь SF — равнодействующая всех приложенных к телу внешних сил, ЕМ — векторная сумма моментов этих сил относительно любой оси вращения.
Четыре однородных шара с массами mi = 1 кг, т^ = = 5 кг, шз = 7 кг, т4 = 3 кг укреплены на невесомом стержне так, что их центры находятся на равных расстояниях d = 0, 2 м друг от друга (см. рисунок). На каком расстоянии ж от центра третьего шара находится центр масс всей системы?
Две стороны проволочной рамки в форме равностороннего треугольника сделаны из алюминиевой проволоки, а третья — из медной. Прово
локи имеют одинаковые сече- mv т2 т3 т^
К задаче 1.275К задаче 1.275ния. Сторона треугольника L = = 1м. Плотности алюминия и меди равны рх = 2, 7-103 кг/м3 и Р2 = 8,9-103 кг/м3 соответствен™
К задаче 1.275
К задаче 1.275
но. Найдите расстояние х от центра масс системы до середины
медной проволоки.
1.2771. На каком расстоянии х от дна находится центр масс
цилиндрического стакана, имеющего высоту h = 12 см и диа-
К задаче 1.278К задаче 1.278метр d = 8 см, если толщина его дна в два раза больше толщины стенок?
К задаче 1.278
К задаче 1.278
Однородная пластина имеет форму полукруга радиуса г, соединенного с прямоугольником длины 2г и ширины h (см. рисунок). Найдите отношение hjr^ если центр масс всей системы совпадает с геометрическим центром полукруга (точкой С). Расстояние от центра масс полукруга Сх до его геометрического центра С равно 4г/(Зя).
Однородный полушар массы mi, имеющий радиус г, выпуклой
стороной лежит на горизонтальной плоскости. На край полу
шара положен небольшой груз массы m2- Под каким углом а к горизонту наклонится ограничивающий полушар круг? Рассто
К задаче 1.280К задаче 1.280яние от центра масс полушара до его геометрического центра равно Зг/8.
К задаче 1.280
К задаче 1.280
В однородном тонком диске радиуса R вырезано отверстие радиуса г < R/2, центр которого находится на расстоянии R/2 от центра диска (см. рисунок). На каком расстоянии х от центра диска находится центр масс этой системы?
Четыре одинаковых те-
ла массы т каждое расположены на
плоскости в вершинах квадрата со стороной L. Чему равен момент инерции I этой системы относительно оси, проходящей через одно из тел этой системы перпендикулярно плоскости?
Вычислите момент инерции I колеса велосипеда диаметром d = 67 см. Масса обода колеса с покрышками со™
ставляет т = 1,3 кг. Почему при расчете можно пренебречь массой ступицы колеса?
К веревке, намотанной вокруг колеса массы т = = 4 кг и радиуса Ro = 33 см приложена сила F = 15 Н. Момент сил трения в ступице колеса Мтр = 1,1 Н-м. С каким угловым ускорением е вращается колесо, если считать массу колеса сосредоточенной в узком кольце радиуса R = 30 см? Веревка невесома и нерастяжима.
К веревке, намотанной вокруг колеса (см. предыдущую задачу), прикрепили груз массы mi = 1,53 кг (вместо того, чтобы на нее действовать постоянной силой F = 15 Н); колесо насажено на закрепленную горизонтальную ось. Найдите угловое ускорение 6 колеса, линейное ускорение а груза, а также угловую скорость ш колеса и линейную скорость и груза в момент времени t = 3,0 с, если колесо начинает двигаться из состояния покоя в момент времени to = 0.
Шарик массы т, закрепленный на конце нити, движется по окружности на гладкой поверхности стола (см. рисунок). Другой конец нити пропущен сквозь отверстие в столе. Первоначально шарик вращается с линейной скоростью щ = = 2,4 м/с по окружности радиуса Ri = 0,80 м. Затем нить начинает очень медленно протягиваться сквозь отверстие так, что радиус окружности уменьшается до значения R^ = 0, 48 м. Определите величину скорости шарика г2 в этот момент.
Два человека с равными по величине силами F тянут за концы каната в противоположные стороны. Затем один конец каната привязывают к неподвижной опоре, а за другой его конец те же два человека с теми же по модулю силами F начинают тянуть вместе. Какую силу натяжения Т испытывает канат в обоих случаях?
К задаче 1.285К задаче 1.285К задаче 1.287 К задаче 1.288К задаче 1.287 К задаче 1.288
К задаче 1.285
К задаче 1.285
К задаче 1.287 К задаче 1.288
К задаче 1.287 К задаче 1.288
С какой минимальной силой Кмин, направленной горизонтально, нужно прижать плоский брусок массы m = 5, 0 кг
к стене (см. рисунок), чтобы он не соскользнул вниз? Коэффициент трения между бруском и стеной д = 0,1.
Имеется подвеска, состоящая из стержней, соединенных шарнирно (см. рисунок). Стержни AD^ ВС, DE, СН сплошные. Между точками О и М натянута нить. Определите силу Т натяжения нити ОМесли масса всей системы равна тп.
На столе лежит линейка массы тп так, что 1/3 ее длины свешивается со стола. Какую силу Кмин нужно приложить, чтобы сдвинуть линейку вдоль ее длинной стороны? Коэффициент трения между столом и линейкой равен д.
Фонарь массы тп = 20 кг подвешен на двух одинаковых тросах, образующих угол а = 120° (см. рисунок). Найдите силу Т натяжения тросов.
При взвешивании на неравноплечих рычажных весах масса тела (по сумме масс уравновешивающих гирь) на одной чаше весов оказалась равной mi = 2, 2 кг, а на другой — m2 = 3,8 кг. Найдите истинную массу тела тп.
К задаче 1.290 К задаче 1.292
Однородный стержень с прикрепленным на одном из его концов грузом массы m = 1,2 кг находится в равновесии в горизонтальном положении, если его подпереть на расстоянии 1/5 длины стержня от груза (см. рисунок). Найдите массу стержня М.
На двух вертикально расположенных пружинах, в недеформированном состоянии имеющих одинаковую длину, горизонтально подвешен невесомый стержень (см. рисунок). Жесткости пружин кх = 0,02 П/м и к^ = 0,03 Н/м, расстояние между ними d = 1 м. На каком расстоянии ж от первой пружины нужно подвесить груз, чтобы стержень остался в горизонтальном положении?
К стене прислонена лестница массы тп под углом а к вертикали (см. рисунок). Центр масс лестницы находится на расстоянии 1/3 длины от ее верхнего конца. Какую горизонтальную силу F надо приложить к середине лестницы, чтобы ее верхний конец не оказывал давления на стену?
Под каким минимальным углом а к горизонту может стоять лестница, прислоненная к гладкой вертикальной сте-
не, если ее центр масс находится в середине? Коэффициент трения между лестницей и полом равен д.
К задаче 1.293К задаче 1.293К задаче 1.294К задаче 1.294
К задаче 1.293
К задаче 1.293
К задаче 1.294
К задаче 1.294
Однородная балка лежит на платформе так, что один ее конец на 1/4 длины свешивается с платформы. К свешивающемуся концу прикладывают силу, направленную вертикально вниз. Когда эта сила становится равной F = 2000 Н, противоположный конец балки начинает подниматься. Найдите массу т балки.
Два человека несут трубу массы m = 80 кг и длины L = 5 м. Первый человек поддерживает трубу на расстоянии а = 1 м от ее конца, а второй держит противоположный конец трубы. Найдите силу давления трубы N испытываемую каждым человеком.
7////////////////////////Л7////////////////////////ЛК задаче 1.298К задаче 1.2981.2983. Две одинаковые тонкие дощечки с закругленными краями поставлены на стол и опираются друг на друга (см. рисунок). Каждая дощечка образует с вертикалью угол а. Каким должен быть коэффициент трения д между дощечками и столом, чтобы дощечки не падали?
7////////////////////////Л
7////////////////////////Л
К задаче 1.298
К задаче 1.298
Две параллельные и противоположно направленные силы Hi = 10 Н и F^ = 25 Н приложены в точках Ан В стержня, расположенных на расстоянии d = 1,5 м друг от друга. Найдите силу F, уравновешивающую силы F^ и F^ и точку С ее приложения. Другие силы на стержень не действуют.
Три человека несут однородную металлическую плиту, имеющую форму равнобедренного треугольника с основанием а = 0, 6 м и высотой h = 1,25 м. Толщина плиты d = = 4 см, плотность материала плиты р = 3, 6 • 103 кг/м3. Какую
силу давления N испытывает каждый носильщик, если все они держат плиту за вершины треугольника?
С наклонной плоскости одновременно начинают соскальзывать брусок и скатываться без проскальзывания обруч. Определите, при каком коэффициенте трения д между бруском и плоскостью оба тела будут двигаться, не обгоняя друг друга. Угол наклона плоскости к горизонту равен а.
Закон всемирного тяготения. Законы Кеплера
Закон всемирного тяготения: между всякими двумя материальными точками действуют силы взаимного притяжения, прямо пропорциональные их массам и обратно пропорциональные квадрату расстояния между ними, направленные вдоль прямой, соединяющей точки:
F = G^.
Эти силы называют силами тяготения, или гравитационными силами.
I закон Кеплера: все планеты Солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
II закон Кеплера: за равные промежутки времени радиус- вектор планеты, проведенный из фокуса орбиты, в котором находится Солнце, прочерчивает равные площади:
ASг2 AwL
°" = ШШ— = Т = const,At2 At2т
где L — момент импульса планеты относительно Солнца, т — масса планеты.
III закон Кеплера: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит:
Во всех задачах данного раздела считайте радиус Земли равным Из = 6400 км, гравитационную постоянную G = 6, 67 х х 10-11 Плг/кг2.
1.3021. Найдите силу притяжения между Землей и Луной, если масса Земли mi = 6, 0 • 1024 кг, масса Луны т^ = 7, 3 х х 1022 кг, среднее расстояние между их центрами г = 3, 8 • 108 м.
1.3031. Ракета поднялась на высоту h = 990 км. На какую величину Amg уменьшилась сила тяжести, действующая
на ракету на этой высоте, по сравнению с силой тяжести mg0, действующей на нее у поверхности Земли?
Радиус Луны Ял примерно в 3,7 раза меньше радиуса Земли Из. Масса Луны тл в 81 раз меньше массы Земли т3. Найдите ускорение свободного падения gл у поверхности Луны.
Звездная система состоит из двух одинаковых звезд, находящихся на расстоянии г = 5,0- 1011 м друг от друга. Найдите период т обращения звезд вокруг общего центра масс, если масса каждой звезды m = 1,5- 1034 кг.
Вычислите первую космическую скорость г у поверхности Луны, если радиус Луны Ял = 1760 км, а ускорение свободного падения у поверхности Луны в п = 6 раз меньше ускорения свободного падения у поверхности Земли.
Спутник движется вокруг некоторой планеты по круговой орбите радиуса г = 4, 7-109 м со скоростью г = 10 км/с. Какова средняя плотность р планеты, если ее радиус R = 1, 5 х х 108 м?
Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите на расстоянии h от ее поверхности. Найдите период т обращения спутника, если радиус Земли R3 >> К.
1.3093. В свинцовом шаре радиуса R сделана сферическая полость радиуса R/2, поверхность ко♦торой касается шара. Масса сплошного шара равна М. С какой силой свинцовый шар будет притягивать маленький шарик массы т, на- 1ходящийся на расстоянии d от цен
тра свинцового шара на продолжении прямой, соединяющей центр свинцового шара с центром полости (см. рисунок)?
Рассчитайте радиус R геостационарной орбиты. Какова скорость г движения спутника по этой орбите?
Найдите среднюю плотность р планеты, если на ее экваторе показание динамометра, к которому подвешено тело, на 10 % меньше, чем на полюсе, а продолжительность суток на планете составляет т = 6 ч.
Какую работу Л нужно совершить, чтобы вывести спутник массы m = 500 кг на круговую орбиту, проходящую вблизи поверхности Земли? Сопротивлением воздуха пренебречь.
С полюса Земли запускают ракету с начальной скоростью г?о, направленной по касательной к поверхности Земли,
причем г?о больше первой космической скорости, но меньше вто
рой. Найдите максимальное расстояние гмакс, на которое удалится ракета от центра Земли.
Космический корабль вращается вокруг Луны по круговой орбите радиуса R = 3,4-106 м. С какой скоростью
г нужно выбросить из корабля вымпел по касательной к траектории корабля, чтобы он упал на противоположной стороне Луны? Через какое время t вымпел упадет на Луну? Ускорение
К задаче 1.315К задаче 1.315свободного падения gjj на поверхности Луны в 6 раз меньше, чем на Земле. Радиус Луны Rл = 1,7- 106 м.
К задаче 1.315
К задаче 1.315
Спутник вращается по круговой орбите радиуса R. В результате кратковременного действия тормозного устройства скорость спутника уменьшилась так, что он начинает двигаться по эллиптической орбите, касающейся поверхности Земли (см. рисунок). Точка посад
ки спутника и точка, где спутник осуществил торможение, лежат на большой по-
луоси эллипса. Через какое время т после торможения спутник приземлится? Трением о воздух пренебречь.
Основы механики жидкостей и газов
Давление в любой точке покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, причем давление, созданное в одной из точек жидкости, одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкостью (закон Паскаля).
Давление столба несжимаемой жидкости высотой h и плотностью р равно
Р = Pgh.
Закон Архимеда-, выталкивающая сила, действующая на тело, погруженное в жидкость, равна
Fk = pVnorpg )
где р — плотность жидкости, Июгр — объем погруженной в жидкость части тела; точкой приложения Fa можно считать геометрический центр погруженной части тела.
Уравнение непрерывности для потока жидкости (газа) вдоль любой трубки тока:
pvS = const.
Уравнение Бернулли: в стационарном потоке идеальной несжимаемой жидкости вдоль любой линии тока в отсутствие тре-
НИЯ
- рг + pgh + р = const,
где v — скорость, р — давление жидкости в данном сечении, h — высота, на которой расположено данное сечение трубки тока, отсчитываемая от произвольно выбранного начального уровня.
Во всех задачах этого раздела плотность воды ро = 1,0 х х 103 кг/м3, плотность ртути р = 13,6 • 103 кг/м3, нормальное атмосферное давление pg = 1, 013 • 105 Па = 760 мм рт. ст.
В цилиндрическое ведро диаметра D = 25 см налита вода, занимающая объем У = 12 л. Каково давление воды р на стенку ведра на высоте h = 10 см от дна?
В открытый сверху цилиндрический сосуд налиты равные по массе количества воды и ртути. Общая высота столба жидкостей в сосуде равна Н = 143 см. Най] г дите давление р на дно сосуда.
|1.3183. До какой высоты h нужно налить
£жидкость в цилиндрическое ведро радиуса Д,
с L чтобы сила F, с которой жидкость давит на /боковую поверхность сосуда, была равна силе
v £! давления на дно?
Пробирку длины L = 1 м довер-
-^_"7 ху наполняют водой и опускают открытым у ^—^4 концом в стакан с водой. При этом почти вся —пробирка находится над водой (см. рисунок). лt Найдите давление р воды на дно пробирки.
К задаче 1.3191.3202. В открытую С обоих концов U™
образную трубку наливают ртуть. Затем в одно из колен трубки наливают масло, а в другое — воду. Границы раздела ртути с маслом и водой находятся на одном уровне. Найдите высоту столба воды ho, если высота столба масла h = 20 см, а его плотность р = 0, 9 • 103 кг/м3.
В два открытых сверху цилиндрических сообщающихся сосуда наливают ртуть. Сечение одного из них в два раза больше другого. Широкий сосуд наливают водой до края. На какую высоту h поднимется при этом уровень ртути в другом сосуде? Первоначально уровень ртути был на расстоянии L от верхнего края широкого сосуда.
В U-образную трубку с сечением S налита ртуть. Затем в одно из колен трубки налили воду, занимающую объем V и опустили железный шарик массы т. На какую высоту h поднялся уровень ртути в другом колене? Оба колена трубки открыты.
Малый поршень гидравлического пресса за один ход опускается на высоту h = 0,2 м, а большой поршень поднимается на высоту Н = 0, 01 м. С какой силой F действует пресс на зажатое в нем тело, если на малый поршень действует сила / = 500 Н?
При подъеме груза, имеющего массу т = 2000 кг, с помощью гидравлического пресса была затрачена работа А = = 40 Дж. При этом малый поршень сделал п = 10 ходов, перемещаясь за один ход на высоту h = 10 см. Во сколько раз площадь S большого поршня больше площади s маленького?
Льдина равномерной толщины плавает, выступая над уровнем воды на высоту h = 2 см. Найдите массу льдины, если площадь ее основания S = 200 см2. Плотность льда р = = 0, 9 • 10 кг/м3.
Полый шар, изготовленный из материала с плотностью щ, плавает на поверхности жидкости, имеющей плотность Р2- Радиусы шара и полости равны R и т соответственно. Какова должна быть плотность вещества р, которым нужно заполнить полость шара, чтобы он плавал внутри жидкости?
Бревно, имеющее длину L = 3, 5 м и диаметр D = = 30 см, плавает в воде. Какова масса m человека, который может стоять на бревне, не замочив ноги? Плотность дерева р = = 0,7- Ю3 кг/м3.
Найдите плотность р однородного тела, действующего на неподвижную опору в воздухе с силой FB = 2,8 Н, а в воде — с силой Р^ = 1,69 Н. Силой Архимеда в воздухе пренебречь.
Тонкая однородная палочка шарнирно закреплена за верхний конец. Нижний конец палочки погружен в воду (см. рисунок). При равновесии под водой находится к = 1/5 часть длины палочки. Найдите плотность вещества палочки.
К задаче 1.329К задаче 1.330
К концу однородной палочки, имеющей массу m = = 4,0 г, подвешен на нити алюминиевый шарик радиуса г =
= 0, 50 см. Палочку кладут на край стакана с водой, добиваясь равновесия при погружении в воду половины шарика (см. рисунок). В каком отношении L^fLx делится палочка точкой опоры? Плотность алюминия р = 2, 7 • 103 кг/м3.
Слиток сплава золота и серебра в воздухе растягивает пружину динамометра с силой Р = 14, 7 Н, а в воде — с силой на AF = 1,274 Н меньшей. Найдите массы золота mi и серебра m2 в сплаве, считая, что при сплавлении их первоначальный объем не изменился. Плотности золота и серебра рх = = 19, 3 • 103 кг/м3 и р2 = 10, 5 • 103 кг/м3 соответственно.
В сосуде находятся две несмешивающиеся жидкости с различными плотностями. На границе раздела жидкостей плавает однородный куб, погруженный целиком в жидкость. Плотность материала куба р больше плотность рх верхней жидкости, но меньше плотности р2 нижней. Какая часть к объема куба находится в верхней жидкости?
В сосуде имеются две несмешивающиеся жидкости с плотностями рх и р^. Толщины слоев этих жидкостей соответственно равны Ах и ^2- С поверхности жидкости в сосуд опускают маленькое обтекаемое тело, которое достигает дна как раз в тот момент, когда его скорость становится равной нулю. Какова плотность р материала, из которого изготовлено тело? Начальная скорость тела равна нулю.
Плавающий куб погружен в ртуть на ко = 1/4 своего объема. Какая часть к объема куба будет погружена в ртуть, если поверх нее налить слой воды, полностью закрывающий куб?
Какую работу Л нужно совершить при медленном подъеме из воды кубического каменного блока, имеющего объем V = 0,50 м3? Плотность камня р = 2, 5 • 103 кг/м3. Начальная высота столба воды над верхней горизонтальной гранью куба равна h = 1, 0 м. В конечном состоянии нижняя горизонтальная грань куба касается поверхности воды.
С какой высоты h должно падать тело, имеющее плотность р = 0, 40 • 103 кг/м3, чтобы оно погрузилось в воду на глубину Н = 6, 0 см? Сопротивлением воды и воздуха пренебречь. Размеры тела считать пренебрежимо малыми.
Сосуд с водой движется поступательно вдоль горизонтальной прямой с ускорением а. Под каким углом а к горизонту будет располагаться поверхность воды?
Цилиндрический сосуд с водой вращается с постоянной угловой скоростью си вокруг своей оси. Какова форма поверхности воды в сосуде? Исследуйте зависимость уровня воды h от расстояния г от осп вращения.
Цилиндрический сосуд с водой вращается с постоянной угловой скоростью си вокруг своей оси. В него бросают шарик, который плавает на поверхности воды. В каком месте поверхности будет находиться шарик?
Вентилятор гонит струю воздуха сквозь отверстие в стене. Во сколько раз надо увеличить мощность вентилятора, чтобы ежесекундно перегоняемое им количество воздуха увеличилось в два раза?
В бак равномерно поступает вода со скоростью Ц = = 2 л/с. В дне бака имеется отверстие площади S = 2 см2. На каком уровне h будет держаться вода в баке?
Какова примерно скорость катера г, если при его движении вода поднимается вдоль его носовой части на высоту h = 1 м?
На гладкой горизонтальной поверхности стоит цилиндрический сосуд с водой. В боковой стенке сосуда у дна имеется отверстие площади Sq. Какую силу F нужно приложить к сосуду в горизонтальном направлении, чтобы удержать его в равновесии? Площадь поперечного сечения сосуда рана S', высота столба жидкости h.
На поршень шприца площади 8 действует сила F. С какой скоростью г должна вытекать в горизонтальном направлении струя из отверстия иглы площади s? Плотность жидкости равна р. Трением пренебречь.
В цилиндрическом стакане с водой плавает брусок высоты L и сечения Si- При помощи тонкой спицы брусок медленно опускают на дно стакана. Какая работа Л при этом совершается? Сечение стакана 82 = 2S1, начальная высота воды в стакане равна Б, плотность материала бруска р = 0, 5ро-
Какова должна быть минимальная мощность W насоса, поднимающего воду по трубе сечения s на высоту h? Насос за одну секунду перекачивает объем воды Ц.
ГЛАВА 2
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКАИ ТЕРМОДИНАМИКА
Основные положения молекулярно-кинетической теории
Молекулярная физика основывается на молекулярно-кинетической теории строения вещества, согласно которой все тела состоят из мельчайших частиц — атомов, молекул или ионов, — находящихся в непрерывном хаотическом движении, которое называют тепловым движением.
Основное уравнение кинетической теории газов:
pv = |wK,
где р — давление газа, У — его объем, Жк — суммарная кинетическая энергия поступательного движения молекул газа, находящегося в сосуде, или
Р =
где п — концентрация молекул (число молекул в единице объема), (wK) — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы газа.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа
где N — число молекул газа, находящихся в сосуде, к — постоянная Больцмана, Т — термодинамическая (абсолютная) температура газа.
Для идеального газа
р = пкТ]
средняя квадратичная скорость поступательного движения молекулы идеального газа равна
/2(wK)/ ЗкТ
v — \= 4 / —,
У т0 у т0
где то — масса одной молекулы.
Числом степеней свободы тела называют наименьшее число координат (число независимых координат), которые нужно задать для того, чтобы полностью определить положение тела в пространстве. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы: на каждую степень свободы молекулы в среднем приходится одинаковая кинетическая энергия, равная ^кТ. Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа, имеющей г степеней свободы, равна
№ = '-кТ.
Моль — единица количества вещества, равная количеству вещества системы, в которой содержится число структурных элементов (атомов, молекул, ионов, электронов и др. частиц или специфицированных групп частиц), равное числу атомов в углероде-12 массой 0,012 кг (число Авогадро Мл). Молярной массой д вещества называют физическую величину, равную массе одного моля данного вещества.
Количество вещества может быть определено по формуле m TV
Z7 = = .
Д Na
Какое число TV молекул содержится в объеме V = = 1,0 см3 воды? Какова масса m одной молекулы воды? Каков приблизительно ее диаметр d?
Сколько молекул содержится в V = 1,0 мм3 газа при температуре t = 27 °C и давлении р = 1,0- 10~и мм рт.ст.?
В озеро средней глубины h = 10 м и площади S = = 10 км2 бросили кристаллик поваренной соли NaCI массой m = = 0, 01 г. Какое число TV ионов хлора оказалось бы в наперстке воды объемом V = 2,0 см3, взятом из озера, если считать, что соль, растворившись, равномерно распределилась в воде?
За время т = 10 сут испарилось m = 100 г воды. Сколько в среднем вылетало молекул воды с поверхности за 1 с?
После того, как в комнате протопили печь, температура поднялась с 15 до 27°C. На сколько процентов изменилось число молекул в этой комнате?
Кристаллы поваренной соли, имеющие кубическую решетку, состоят из чередующихся атомов Na и С1. Определите расстояние между их центрами, если молярная масса поваренной соли д = 59, 52 г/моль, а плотность р = 2, 2 • 103 кг/м3.
В закрытом баллоне находится v молей кислорода и азот массой т. Считая известными молярные массы дх и Д2 кислорода и азота, определите среднюю молярную массу д смеси газов.
Под каким давлением находится в баллоне водород, если емкость баллона V = 10 л, а суммарная кинетическая энергия поступательного движения молекул водорода Жк = = 7, 5 кДж?
Под каким давлением находится газ, если средняя квадратичная скорость его молекул равна г = 580 м/с, а плотность р = 9, 0 • 10™4 г/см3?
Газ, находящийся в баллоне объема V = 10 л, создает давление р = 1, 0 МПа. Определите массу т газа в баллоне, если средняя квадратичная скорость молекул газа равна г = 600 м/с.
В закрытом сосуде находится идеальный газ. Как изменится его давление, если среднеквадратичная скорость его молекул увеличится на ц = 20 % ?
Найдите отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и азота при одинаковых температурах.
Закрытый сосуд заполнен водой при температуре t = = 27 °C. Каким стало бы давление р внутри сосуда, если бы взаимодействие между молекулами воды внезапно исчезло?
Найдите среднюю энергию (К) атома аргона, если у = 2,0 кмоль этого газа в баллоне объема V = 10 л создают давление р = 1, 0 МПа.
Графики изопроцессов в идеальном газе
Изопроцессами называют термодинамические процессы, происходящие в системе с постоянной массой при каком-либо одном постоянном параметре состояния.
Изотермический процесс происходит при постоянной температуре (Т = const). В идеальном газе при этом выполняется соотношение (закон Бойля-Мариотта)
pV = const.
Изохорический (изохорный) процесс происходит при постоянном объеме (У = const). В идеальном газе при этом выполняется соотношение (закон Шарля)
Р ,
— = const.
Т
Изобарный (изобарический) процесс происходит при постоянном давлении (р = const). В идеальном газе при этом выполняется соотношение (закон Гей-Люссака)
V
— = const.
Т
Уравнением состояния (термическим уравнением состояния) системы называют функциональную зависимость равновесного давления р в системе от объема и температуры. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева™ Клапейрона) имеет вид
Джмоль • КДжмоль • К(в СИ) — универсальная газовая(в СИ) — универсальная газоваяpV = —RT^
Джмоль • К
Джмоль • К
(в СИ) — универсальная газовая
(в СИ) — универсальная газовая
где R = kN а = 8, 31 постоянная.
Постройте в координатах У, Т графики изохорного, изобарного и изотермического процессов, протекающих в идеальном газе при условии постоянства его массы т. При каких условиях все три графика проходят через одну и ту же точку Д? Молярная масса газа равна ц.
На рисунке изображен в координатах У, Т график процесса, происходящего в идеальном газе при постоянном давлении и постоянном объеме. Как при этом изменилась масса газа?
На рисунке в координатах р, У представлены графики изотермических процессов для газов одинаковой массы.
Что можно сказать о соотношениях термодинамических параметров газов, если обе изотермы соответствуют газам одинаковой химической природы?
Если оба изотермических процесса проходят при одной и той же температуре, чем отличаются эти газы?
К задаче 2Л6К задаче 2.17К задаче 2Л8К задаче 2Л6К задаче 2.17К задаче 2Л8
К задаче 2Л6К задаче 2.17К задаче 2Л8
К задаче 2Л6К задаче 2.17К задаче 2Л8
Как изменялась температура идеального газа в процессе, график которого представлен на рисунке?
При нагревании некоторого газа получен график зависимости давления от температуры в виде прямой, продолжение которой пересекает ось Ор выше начала координат (см. рисунок). Как изменяется объем газа в процессе нагревания?
На рисунке представлен график некоторого процесса в идеальном газе. Укажите точки, в которых масса газа имеет наибольшее и наименьшее значения, если процесс происходит при фиксированном объеме.
К задаче 2Л9К задаче 2.20К задаче 2.21
На рисунке представлен график некоторого процесса в идеальном газе в координатах р, V. Изобразите графики этого процесса в координатах р, Т и И, Т.
На рисунке представлен график некоторого процесса в идеальном газе в координатах р, Т. Изобразите графики этого процесса в координатах р, V и И, Т.
Объем идеального газа при нагревании изменяется по закону V = аТ1/2, где а — постоянная величина. Какой вид будет иметь график этого процесса в координатах р, И?
К задаче 2.22К задаче 2.24К задаче 2.25
На рисунке представлен график некоторого процесса в идеальном газе в координатах р, Т. Участки ВС и AD соответствуют изобарным процессам при значениях давления р2 и pi соответственно, участки АВ и CD — изотермы, соответствующие температурам соответственно Ti и Т^. Найдите максимальный и минимальный объемы газа, если его количество v = 1 моль.
Один моль идеального газа участвует в процессе, график которого в координатах р, V представлен на рисунке. Продолжения отрезков 1-2 и З-Д проходят через начало координат, а кривые 1-Д и 2-3 являются изотермами. Изобразите этот процесс в координатах У, Т и найдите объем Уз, если известны объемы У1 и У^ = Уц
Газовые законы
Во всех задачах настоящего раздела считайте газ идеальным.
Кислород массы m = 10 г находится под давлением р = 3,0 • 105 Па, занимая объем V = 10 л. Найдите температуру газа Т.
Каков объем V одного моля идеального газа при давлении р = 1, 0 • 105 Па и температуре t = 27 °C?
Определите изменение Ат массы гелия, находящегося в баллоне объема V = 0, 25 м3 под давлением pi = 1,0 МПа при температуре И = 20 °C, если после ухода части газа из баллона давление стало равным р2 = 0,1 МПа, а температура упала до О = Ю °C.
Определите плотность р водорода при температуре t = 15 °C и давлении р = 98 кПа.
Плотность некоторого газа при температуре t = 10 °C и давлении р = 2, 0 • 105 Па составляет р = 0, 34 кг/м3. Определите молярную массу д этого газа.
Газ массы m = 12,0 г занимает объем У = 6л при температуре Н = 180 °C. При какой температуре Т2 плотность этого газа будет составлять р = 6,0 кг/м3, если давление газа постоянно?
Какая масса воздуха Ат выйдет из комнаты объема У = 50 м3 при повышении температуры от Ti = 250 до Т2 = = 300 К при нормальном атмосферном давлении ро = 0,1 МПа? Молярная масса воздуха д = 29 г/моль.
Какое число п качаний должен сделать поршневой насос, чтобы в баллоне объема У = 30 л увеличить давление воздуха от атмосферного ро = 0,1 МПа до р = 0, 2 МПа? Площадь поршня насоса S = 15 см2, ход поршня L = 30 см. Утечкой газа пренебречь. Температуру воздуха считать постоянной.
Какое число п качаний должен сделать поршневой насос, чтобы в сосуде объема По уменьшить давление от ро до р? Объем рабочей камеры насоса равен У.
Посередине откачанной и запаянной с обоих концов горизонтальной трубки длины L = 1,0м находится столбик рту™
ти длины h = 20 см. Если трубку поставить вертикально, столбик ртути сместится на ж = 10 см. До какого давления р была откачана трубка? Плотность ртути р = 1,36 • 104 кг/м3.
Открытую стеклянную трубку длины L = 1,0 м, держа вертикально, наполовину погружают в ртуть. Затем трубку герметично закрывают сверху и вынимают. Какова длина Д столбика ртути, оставшегося в трубке? Атмосферное давление Н = 750 мм рт. ст.
Объем пузырька воздуха по мере его подъема со дна озера на поверхность увеличивается в п раз. Какова глубина озера? Изменением температуры с глубиной пренебречь. Атмосферное давление pg.
В вертикально расположенном цилиндре постоянного сечения под невесомым подвижным поршнем находится воздух. На поршень ставят гирю массы т = 10 кг. На какое расстояние ж сместится поршень, если температура воздуха в цилиндре поддерживается постоянной? Атмосферное давление ро = 0,1 МПа, площадь поршня S = 100 см2. Вначале поршень находился на высоте h = 100 см от дна цилиндра.
Сосуд разделен подвижным теплонепроницаемым поршнем на две части, имеющие объемы: левая — У/З и правая — 2У/3 и содержащие газ с температурой Т (см. рисунок). До какой температуры Т2 нужно нагреть газ в левой части сосуда, чтобы соотношение объемов сменилось на обратное? Температура правой части сосуда поддерживается постоянной.
К задаче 2.39
До какой температуры Т2 следует нагреть газ изобарно, чтобы его плотность уменьшилась в два раза по сравнению с его плотностью при температуре t = 0°С?
Идеальный газ. Закон Дальтона
Закон Дальтона: давление смеси газов равно сумме парциальных давлений компонентов смеси:
Р = Р1 + р2 + р3 + ...
Внутри нетеплопроводного цилиндра, расположенного горизонтально, имеется тонкий нетеплопроводный подвиж-
ный поршень. На каких расстояниях Li и L2 от оснований цилиндра расположен поршень, если с одной стороны от поршня в цилиндре находится кислород при температуре ti = 127°C, а с другой водород при температуре t^ = 27 °C? Массы обоих газов одинаковы. Общая длина цилиндра L = 65 см.
Два сосуда, содержащие одинаковые массы одного и того же газа, соединены трубкой с краном. В первом сосуде давление газа pi =4,0 кПа, а во втором — р2 = 6,0 кПа. Какое давление р установится в системе после открывания крана? Температура газа постоянна.
Два сосуда соединены трубкой с краном. В первом сосуде находится масса mi = 2,0 кг газа под давлением pi = = 4,0 • 105 Па, а во втором — т^ = 3, 0 кг того же газа под давлением р2 = 9,0 • 105 Па. Какое давление р установится в системе после открывания крана? Температура газа постоянна.
Для приготовления газовой смеси с общим давлением р = 5, 0 гПа к сосуду объема V = 10 л подсоединили баллон объема V1 = 1,0 л, в котором находился гелий под давлением pi = 40 гПа, и баллон с неоном под давлением р2 = 10 гПа. Найдите объем И2 баллона с неоном. Температуры газов одинаковы и постоянны.
Два одинаковых сосуда соединены трубкой, объемом которой можно пренебречь. Система наполнена газом под давлением ро- Во сколько п раз нужно изменить температуру газа в одном из сосудов, чтобы давление во всей системе стало равным pi?
Определите плотность р смеси, содержащей mi = 4 г водорода и m2 = 32 г кислорода при температуре t = 7 °C и общем давлении р = 1,0- 105 Па.
В сосуде находится смесь трех газов с массами mi, т2^ т^ и с известными молярными массами дх, д2, дз. Определите плотность р смеси, если ее давление р и температура Т известны.
Сосуд объема 2V = 200 см3 разделен на две равные части полупроницаемой неподвижной перегородкой. В первую половину сосуда введена смесь mi = 2 мг водорода и m2 = 4 мг гелия, во второй половине — вакуум. Через перегородку может диффундировать только гелий. Во время процесса поддерживается температура Т = 300 К. Какие давления pi ир2 установятся в обеих частях сосуда?
Сосуд объема V = 2 дм3 разделен на две равные части полупроницаемой неподвижной перегородкой. В первую половину сосуда введена смесь тв = 2 г водорода и та = 20 г аргона, во второй половине — вакуум. Через перегородку может диффундировать только водород. Во время процесса поддержи-
вается температура t = 20 °C. Какое давление р установится в первой части сосуда? Молярная масса аргона да = 40 г/моль, водорода — дв = 2 г/моль.
Одинаковые массы водорода и гелия поместили в сосуд объема Vi, который отделен от откачанного до состояния вакуума сосуда объема V2 полунепроницаемой перегородкой, пропускающей только молекулы водорода. После установления равновесия давление в первом сосуде упало в два раза. Температура постоянна. Определите отношение V2/V1.
Сосуд заполнен смесью водорода и гелия и отделен от равного ему по объему откачанного сосуда неподвижной полупроницаемой перегородкой, пропускающей только атомы гелия. После установления равновесия давление в первом сосуде упало на ц = 10 % . Температура постоянна. Определите отношение массы тг гелия к массе тв водорода.
Закрытый сосуд разделен на две одинаковые по объему части твердой неподвижной полупроницаемой перегородкой. В первую половину сосуда введена смесь аргона и водорода при давлении р = 1,5 • 105 Па, во второй половине — вакуум. Через перегородку может диффундировать только водород. После окончания процесса диффузии давление в первой половине сосуда оказалось равным р’ = 1,0-105 Па. Во время процесса температура системы оставалась постоянной. Определите отношение масс аргона и водорода в смеси, которая была первоначально введена в первую половину сосуда. Молярная масса аргона да = 40 г/моль, водорода — дв = 2 г/моль.
Две сферы с объемами Pi = 100 см3 и V^ = 200 см3 соединены короткой трубкой, в которой имеется пористая перегородка. С ее помощью можно добиться в сосудах равенства давления, но не температуры. Сначала система находится при температуре То = 300 К и содержит кислород под давлением Ро = 1,0 • 105 Па. Затем малую сферу помещают в сосуд со льдом при температуре Д = 0°С, а большую — в сосуд с паром при температуре t^ = 100 °C. Какое давление р установится в системе? Тепловым расширением сфер пренебречь.
Уравнение состояния идеального газа
Баллон, содержащий mi = 1,0 кг азота, при испытании взорвался при температуре Д = 350 °C. Какую массу водорода m2 можно хранить в этом баллоне при температуре /д = = 20 °C, имея n-кратный (п = 5) запас прочности?
Когда из сосуда выпустили некоторое количество газа, давление в нем упало на 40%, а абсолютная температура уменьшилась на 20%. Какую часть газа выпустили?
Какое давление газа установилось в цилиндре двигателя внутреннего сгорания, если к концу такта сжатия температура повысилась с 47°C до 367°C, а объем уменьшился с V1 = 1,8 до р2 = 0, 3 л? Первоначальное давление равно pi = = 1,0 ЛО5 Па.
Некоторая масса газа занимает объем Pi при давлении pi и температуре ТА Затем газ нагревают при постоянном объеме до температуры Т^ = 2Ti; после этого происходит расширение газа при постоянном давлении до объема Р2 = 4 Pi. Из получившегося состояния газ возвращают в начальное таким образом, что в ходе этого процесса р¥п = const. Определите показатель политропы п.
Вертикально расположенный цилиндр, закрытый с обоих сторон, разделен тяжелым теплонепроницаемым поршнем на две части, в которых находится одинаковое количество воздуха. При Д = 400 К давление в нижней части р2 в два раза больше давления pi в верхней. До какой температуры Т2 надо нагреть воздух в нижней части цилиндра, чтобы объемы его верхней и нижней частей стали одинаковыми?
К задаче 2.59 К задаче 2.60К задаче 2.59 К задаче 2.60В вертикальном закрытом цилиндре имеется поршень, который может перемещаться без трения (см. рисунок). По обе стороны от поршня находятся одинаковые массы одного и того же газа. При температуре Tq, одинаковой во всем цилиндре, объем верхней части в п раз больше объема нижней. Каким будет отношение объемов nJ = V^/V^ верхней и нижней частей цилиндра, если повысить температуру газа в обеих частях до значения Д?
К задаче 2.59 К задаче 2.60
К задаче 2.59 К задаче 2.60
В цилиндре находится
газ при температуре То, отделенный от атмосферы невесомым поршнем. Поршень удерживается упругой пружиной (см. рисунок). До какой температуры Д нужно нагреть газ, чтобы его объем увеличился в n = 1,5 раза? Если газ полностью откачать
из-под поршня, поршень будет находиться в равновесии у дна цилиндра. Атмосферное давление равно pg.
В вертикально расположенном цилиндре находится газ массы т. Газ отделен от атмосферы поршнем, соединенным с дном цилиндра пружиной жесткости к (см. рисунок к задаче 2.60). При температуре Д поршень расположен на расстоянии h от дна цилиндра. До какой температуры Т^ надо нагреть
газ, чтобы поршень поднялся до высоты Л? Молярная масса газа равна д.
В цилиндре под поршнем площади S = 100 см2 находится т = 28 г азота при температуре Тх = 273 К. Цилиндр нагревается до температуры Т2 = 373 К. На какую высоту ^h поднимется поршень массы М = 100 кг? Атмосферное давление р0 = 1,0- 105 Па.
Посередине горизонтальной трубы, открытой с обоих концов, находится поршень площади 5=1,5 дм2 и массы т = = 0, 79 кг, герметично прилегая к гладким стенкам трубы. Трубу закрывают с концов и устанавливают вертикально. На сколько АТ надо нагреть воздух под поршнем, чтобы вернуть его в прежнее положение? Атмосферное давление ро = 1,0 • 105 Па, температура атмосферного воздуха Tq = 273 К, поршень и труба теплонепроницаемы.
Резервуар объема Ц = 50 л соединили с резервуаром объема Р2 = 15 л с помощью короткой трубки, в которой имеется специальный клапан давления, позволяющий газу просачиваться из большого резервуара в малый, если давление в большом резервуаре превышает давление в малом на Ар = 88 мм рт. ст. Сначала при Tq = 290 К большой резервуар содержит газ при нормальном атмосферном давлении, а меньший — откачан до состояния вакуума. Каким будет давление р2 в малом резервуаре, если всю систему нагреть до Ц = 162 °C?
Воздух находится в открытом сверху вертикальном цилиндрическом сосуде сечения S = 20 см2 под поршнем массы т = 20 кг. После того как сосуд стали двигать вверх с ускорением а = 5, 0 м/с2, высота столба воздуха между поршнем и дном уменьшилась на ц = 20 % . Считая температуру постоянной, определите по этим данным атмосферное давление pg. Трением между поршнем и стенками сосуда пренебречь.
В открытой с обоих концов горизонтальной трубке с площадью поперечного сечения s = 10 см2 на расстоянии L = = 10 см от одного из ее концов находится поршень. С этого же конца вставляют и начинают вдвигать в трубку другой поршень. При каком расстоянии h между поршнями первый поршень сдвинется с места? Сила трения скольжения между поршнем и стенками трубки равна F = 100 Н, атмосферное давление Ро = 1,0 • 105 Па. Температуру считать постоянной, толщиной поршней пренебречь.
Тонкостенный стакан массы М = 50 г ставят вверх дном на поверхность воды и медленно опускают его вглубь так, что он все время сохраняет вертикальное положение. На какой минимальной глубине h должно оказаться дно стакана, чтобы
он не всплыл? Высота стакана Н = 10 см, площадь его дна S = 20 см2. Давлением водяного пара в стакане пренебречь. Атмосферное давление ро = 1, 0 • 105 Па. Процесс считайте изотермическим. Плотность воды принять равной ро-
Герметически закрытый бак высоты Н до самого верха заполнен водой. На его дне находятся два одинаковых пузырька воздуха. Давление на дно бака при этом равно ро- Каким станет давление р на дно, если один пузырек всплывет? Процесс считайте изотермическим. Плотность воды принять равной до-
Внутренняя энергия идеального газа. Работа идеального газа
Внутренняя энергия идеального газа определена выражением
U = N •-кТ = - • -RT = -pV = -CVT,22 д 2 д
где N — число молекул газа; Су — теплоемкость одного моля идеального газа при постоянном объеме.
Работа расширения газа при постоянном давлении равна
ДА = рД К,
где ДИ — приращение объема системы.
Первое начало (первый закон) термодинамики: количество теплоты ^Q, сообщаемое системе, расходуется на изменение внутренней энергии системы ДП и на совершение системой работы ДА:
^Q =+ ДА.
Газ, имевший объем Pi = 10 л и давление р = 2,0 х х Ю5 Па, расширился изобарно до объема Р2 = 28 л. Какова работа А, совершенная газом?
Кислород массы m = 10 г находится под давлением р = 3,0 • 105 Па при температуре t = 10 °C. После изобарного нагревания газ занял объем V^ = 10 л. Найдите изменение внутренней энергии газа ДП и совершенную им работу А.
Гелий массы т = 2, 8 г нагревают: а) при постоянном давлении; б) при постоянном объеме. Подведенное к газу количество теплоты в обоих случаях равно ^Q = 600 Дж. Найдите изменение температуры газа ДТ в обоих случаях.
Для нагревания т = 1 кг неизвестного газа на ДТ = = 1 К при постоянном давлении требуется количество теплоты ^Qp = 912 Дж, а при постоянном объеме — Д^Д = 649 Дж. Определите молярную массу д этого газа.
В сосуде объема V = 10 л находится гелий под давлением pi = 1,0-105 Па. Стенки сосуда могут выдержать внутреннее давление р2 = 1,0- 106 Па. Какое максимальное количество
теплоты AQ можно сообщить газу в этом сосуде?
На рисунке представлен график процесса, происхо
дящего в идеальном газе. Состояние 1 характеризуется объемом
К задаче 2.74К задаче 2.74Vo и давлением 2ро, состояние 2 — объемом 2Vq и давлением pg. Найдите количество теплоты AQ, которое было сообщено газу.
К задаче 2.74
К задаче 2.74
Определите давление р идеального одноатомного газа, занимающего объем V = 2,0 л, если его внутренняя энергия U = = 300 Дж.
Идеальный одноатом-
ный газ массы т нагревают при постоянном давлении так, что
значение средней квадратичной скорости молекул изменяется от щ до Г2- Определите количество теплоты AQ, сообщенное
газу.
Идеальный одноатомный газ, взятый в количестве v моль, нагревают при постоянном давлении. Какое количество теплоты AQ следует сообщить газу, чтобы средняя квадратичная скорость его молекул увеличилась в п раз? Начальная температура газа равна Tg.
При сжатии идеального двухатомного газа по политропному закону, когда pVn = const, где п — известный показатель политропы, объем газа уменьшился в г раз. Определите изменение АО" внутренней энергии газа в этом процессе, если до сжатия газ занимал объем Vi при давлении pi.
Одноатомный газ массы т, имеющий начальную температуру Tq, участвует в политропном процессе, для которого выполняется условие pVn = const, где п — известный показатель политропы. В ходе этого процесса давление газа выросло в к раз. Определите изменение АО внутренней энергии газа в этом процессе. Молярная масса газа равна д.
Масса т идеального газа, находящегося при температуре То, охлаждается изохорно так, что давление падает в п раз. Затем газ расширяется при постоянном давлении. В конечном состоянии его температура достигает первоначального значения. Определите совершенную газом работу Л. Молярная масса газа равна д.
В цилиндре с площадью основания S = 100 см2 находится воздух при температуре Т = 290 К. На высоте Н = 0, 6 м
SSК задаче 2.81К задаче 2.81от основания цилиндра расположен легкий поршень, на котором лежит груз массы т = 100 кг (см. рисунок). Какую работу совершит газ при расширении, если его нагреть на АТ = 50 К? Атмосферное давление ро = 1,0 ЛО5 Па.
S
S
К задаче 2.81
К задаче 2.81
Некоторое количество газа занимает объем Vi = 0, 01 м3 при давлении pi = 1,0 • 105 Па и температуре Д = = 300 К. Сначала газ нагревают без изменения объема до температуры Т2 = = 320 К, а затем — при постоянном давлении до температуры Тз = 350 К. Найдите совершенную газом работу А.
В цилиндре под поршнем находится газ. Поршень соединен с дном цилиндра пружиной. При нагревании газа его объем изменяется от Vi до У2? а давление — от pi до р2- Прене
брегая трением и массой поршня, определите совершенную при этом работу А.
В изотермическом процессе газ совершает работу А А = 1000 Дж. Чему будет равно изменение внутренней энергии газа А/7, если ему сообщить количество теплоты вдвое большее, чем в первом случае, а процесс проводить при постоянном объеме?
I начало термодинамики. Теплоемкость
Теплоемкостью С тела называют физическую величину, численно равную отношению количества теплоты AQ, сообщаемого телу, к изменению АТ температуры тела в рассматриваемом термодинамическом процессе:
' АТ'
Молярной теплоемкостью называют теплоемкость одного моля вещества:
Удельной теплоемкостью называют теплоемкость единицы массы вещества.
Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме равна
Су = ^R,
где г — число степеней свободы молекулы.
Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении равна
Ср = Q + 1) R.
Удельные теплоемкости некоторого газа при постоянном объеме и постоянном давлении равны соответственно щ = = 3,14 • 103 Дж/(кг-К) и ср = 5,23 • 103 Дж/(кг-К). Найдите молярную массу газа д.
При нагревании в постоянном объеме кислород имеет удельную теплоемкость су = 657 Дж/(кг-К). Какова удельная теплоемкость кислорода при постоянном давлении ср?
В герметичном сосуде объема V = 5, 6 дм3 содержится воздух под давлением щ = 1,0 • 105 Па. Какое давление р^ установится в сосуде, если воздуху сообщить количество теплоты Q = 1430 Дж? Молярная теплоемкость воздуха при постоянном объеме Су = 21 Дж/(моль-К).
В процессе расширения азота его объем увеличился на 2 % , а давление уменьшилось на 1 % . Какая часть р теплоты, полученной азотом, была превращена в работу? Параметры газа изменяются монотонно.
К задаче 2.90К задаче 2.90Идеальный газ, взятый в количестве v = 1 моль, первоначально находившийся при нормальных условиях (pg = = 1,013 • 105 Па, То = 273 К), переводят в состояние с вдвое большими объемом и давлением, последовательно осуществляя изобарный и изохорный процессы. Какое количество теплоты AQ подведено к газу? Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме Су = = 21 ДжДмоль • К).
К задаче 2.90
К задаче 2.90
2.903. Идеальный газ, взятый в количестве v молей, участвует в некотором процессе, график которого изображен на рисунке, и проходит после
довательно состояния 1, 2, 3. Найдите поглощенное газом в этом процессе количество теплоты AQ, если известны объемы V? и V^ и давления рх и р^. Внутренняя энергия одного моля газа определена соотношением U^ = СТ.
В вертикальном цилиндре под тяжелым поршнем находится кислород массы т = 2,0 кг. Для повышения температуры кислорода на АТ = 5 К ему было сообщено количество
теплоты Q = 9160 Дж. Найдите удельную теплоемкость кислорода ср, работу А, совершаемую им при расширении, и увеличение его внутренней энергии AU. Молярная масса кислорода д = 32 г/моль.
2.922. Азот нагревали при постоянном давлении. Зная, что масса азота т = 280 г, сообщенное ему количество теплоты Q = = 600 Дж, а удельная теплоемкость азота при постоянном объеме су = 745 Дж/(кг-К), найдите изменение его температуры АТ.
2.932. Какое количество теплоты Q необходимо для нагревания на АТ = 16 К кислорода массы m = 7,0 г, находящегося
в цилиндре под поршнем, на котором лежит груз, если теплоемкость одного моля кислорода при постоянном объеме Су = = 21 Дж/(моль • К)?
2.943. В длинном цилиндрическом сосуде, стоящем вертикально, на высоте к от дна висит на нити поршень массы т, отделяющий содержащийся в цилиндре газ от атмосферы. Внутри сосуда находится нагревательный элемент. Под поршнем нахо-
дится v = 1 моль газа, давление которого в начальный момент времени равно внешнему атмосферному давлению ро? а температура равна Тд. Какое количество теплоты Q нужно подвести к
газу, чтобы поршень поднялся до высоты 2h? Внутренняя энергия одного моля газа определена соотношением U^ = СТ. Трением пренебречь. Стенки сосуда и поршень не теплопроводны.
2.953. В вертикальном цилиндрическом сосуде, площадь сечения которого равна S, под поршнем массы т находится газ, разделенный закрепленной перегородкой на два одинаковых объема (см. рисунок). Давление газа в нижней части сосуда равно р, внешнее давление ро^ температура газа в обеих частях сосуда равна Т. На какое расстояние ж сместится поршень, если убрать перегородку?
^о
рл-
т
h
h
К задаче 2.95
Высота каждой части сосуда h. Внутренняя энергия одного моля газа равна Up = СТ. Стенки сосуда и поршень не проводят
"A/WVW™
s
К задаче 2.96
тепло, трением пренебречь.
2.963. Теплоизолированный сосуд разделен на две части нетеплопроводным поршнем, который может перемещаться в сосуде без трения (см. рисунок) . В левой части сосуда находится v = 1 моль идеального одноатомного
газа, в правой — вакуум. Поршень соединен с правой стенкой сосуда пружиной, длина которой в свободном состоянии равна
длине сосуда. Определите теплоемкость системы С. Теплоемкостью сосуда, пружины и поршня пренебречь.
Поршень удерживается в середине неподвижного теплоизолированного закрытого цилиндрического сосуда длины 2Т, имеющего площадь сечения S. Левую половину сосуда занимает газ, температура и давление которого равны Ti и pi, в правой половине — вакуум. Поршень соединен с правым торцом сосуда пружиной жесткости к (см. рисунок). Найдите установившуюся температуру газа Т2 после того, как поршень отпустили. Длина недеформированной пружины равна 2Т. Внутренняя энергия одного моля газа U^ = СТ. Трением, а также теплоемкостью цилиндра, поршня и пружины пренебречь.
Над газом совершают два процесса, нагревая его из одного и того же начального состояния до одной и той же температуры. Нар, У-диаграмме процессы изображаются прямыми линиями 0-1 и 0-2 (см. рисунок). Определите, в каком процессе газу сообщается большее количество теплоты, и на сколько AQ больше. Значения объемов Пф Уь Из и давлений pg, pi и р2 известны.
К задаче 2.97К задаче 2.97К задаче 2.98К задаче 2.98
К задаче 2.97
К задаче 2.97
К задаче 2.98
К задаче 2.98
Идеальный одноатомный газ, взятый в количестве v = 1 моль, переводится из начального состояния с температурой То = 300 К в состояние, в котором его температура увеличивается в Hi = 3 раза, а объем уменьшается в П2 = 2 раза. Определите подведенное к газу количество теплоты AQ, если из всех путей перевода газа из начального состояния в конечное, при котором давление газа не падает ниже начального, был выбран путь, когда над газом совершается минимальная работа.
Закон сохранения энергии в тепловых процессах. Адиабатный процесс
Адиабатном (адиабатическим) называют процесс, происходящий в отсутствие теплообмена с внешней средой:
5Q = 0.
Для равновесного адиабатного процесса в идеальном газе справедливо уравнение Пуассона
pV^ = const,
где 7 = Ср/Су — коэффициент Пуассона (показатель адиабаты).
ОО2. Воздух в комнате объема V = 90 м3 нагревается на ATi = 10 °C. Какой объем 14 горячей воды должен пройти при этом через радиаторы водяного отопления? Вода охлаждается на АТ2 = 20 °C. Потери тепла составляют ц = 50%. Удельная теплоемкость воздуха сх = 1,0 • 103 Дж/(кг-К), плотность воздуха р = 1, 29 кг/м3, удельная теплоемкость воды С2 = = 4,187 кДж/(кг-К).
Два куска льда одинаковой массы тп = 200 г при температуре Т = 273 К в вакууме трут друг о друга с помощью двигателя, развивающего мощность N = 10 Вт. Определите, через какое время т они растают. Удельная теплота плавления льда А = 3, 35 • 105 Дж/кг.
Какую массу тп должны иметь железные вагонные тормоза, чтобы при полной остановке вагона, идущего со скоростью и = 36 км/ч, они нагревались бы не более чем на АТ = = 100 К? Масса вагона М = 10 т. Теплоемкость железа сж = = 460 Дж/(кг • К).
Рабочий, забивая гвоздь массы m = 50 г в стенку, ударяет п = 20 раз молотком, масса которого М = 0, 5 кг. Импульс молотка непосредственно перед ударом р = 6, 0 Н-с. На сколько АТ градусов нагреется гвоздь, если все выделившееся при ударах количество теплоты пошло на его нагревание? Теплоемкость железа сж = 460 Дж/кг-К.
При адиабатном расширении тп = 1,0 кг азота газ совершает работу А = 300 Дж. На сколько AU уменьшается его внутренняя энергия и на сколько АТ понижается температура? Удельная теплоемкость азота при постоянном объеме cv = 745 Дж/кг • К.
Некоторое количество идеального газа с двухатомными жесткими молекулами перешло адиабатно из состояния, характеризуемого параметрами Тх = 350 К, рх = 1,0 • 105 Па, Vx = 50 дм3 в состояние с температурой Т2 = 300 К. Какую работу А при этом совершает газ?
Об3. Некоторое количество идеального одноатомного газа сжимают адиабатно до тех пор, пока давление газа рх не превысит начальное ро в ^ = Ю раз. Затем газ расширяется изотермически до тех пор, пока его объем не достигнет первоначального
значения. Определите отношение Р2/Р0 конечного и начального давлений газа.
Идеальный двухатомный газ, находившийся первоначально при температуре То = 300 К, подвергается адиабатному сжатию, в результате которого: а) объем газа уменьшается в п = 10 раз; б) давление газа возрастает в п = 10 раз по сравнению с первоначальным. Определите температуру газа Т в конце процесса.
Идеальный одноатомный газ, занимающий при давлении щ объем Vi начинает адиабатно расширяться до объема V^. Найдите работу АЛ, совершенную газом в этом процессе, если уравнение адиабаты может быть записано в виде рУ7 = = const, где 7 — известный показатель адиабаты.
При адиабатном сжатии v моль одноатомного газа была совершена работа АЛ. Найдите отношение п средних квадратических скоростей молекул этого газа в конце и начале процесса, если начальная температура газа равна Тд.
Изменение состояния v = 1 моля одноатомного идеального газа происходит по закону рУп = const. Найдите изменение A U внутренней энергии газа при увеличении объема в к = 2 раза для случаев: а) п = 0; б) n = 1; в) п = 2. Начальная температура газа Т = 300 К.
Один моль идеального одноатомного газа расширяется по закону рУ3 = const. При этом его начальное состояние характеризуется значениями объема Ух и давления рх. В конечном состоянии объем газа равен У2. Определите изменение внутренней энергии газа АУ.
В горизонтальном неподвижном цилиндрическом сосуде, закрытом поршнем массы М, находится газ. Газ нагревают, при этом поршень, двигаясь равноускоренно, приобретает скорость ш Найдите количество теплоты AQ, сообщенное газу. Внутренняя энергия одного моля газа равна U = сТ. Теплоемкостью сосуда и поршня пренебречь. Внешнее давление на поршень считайте равным нулю.
•U•
.АоЛЬПо. .. .
ИЗ3. Поршень массы М, замыкающий объем По с ОД" ноатомным газом при давлении ро и температуре Тд, толчком приобретает скорость и (см. рисунок). Оцените температуру Т и объем газа У при максимальном сжатии. Система теплоизолирована. Теплоемкостями поршня и сосуда прене
К задаче 2.113бречь.
Закрытый сосуд содержит некоторое количество разреженного инертного газа — ксенона — при температуре Тд = = 100 К. Сосуд движется поступательно со скоростью v = 5 м/с.
Какая температура Т установится в сосуде, если его резко остановить? Молярная масса ксенона д = 131 г/моль.
Некоторая масса газа занимает объем Ц при давлении щ и температуре Ti, затем газ при постоянном объеме нагревают до температуры Т^ = 2Т[. После этого происходит расширение газа при постоянном давлении до объема Цг = 4Ц. Затем газ возвращают в начальное состояние таким образом, что во время этого процесса pVn = const (политропный процесс). Определите показатель политропы п.
mim 2mim 2К задаче 2.117К задаче 2.117В горизонтально расположенной трубе могут без трения двигаться два поршня массами mi и m2, между которыми содержится идеальный газ в количестве у молей, имеющий температуру Т. Поршням толчком сообщают скорости щ и v2, направленные вдоль оси трубы навстречу друг другу (см. рисунок). Найдите максимальную температуру газа Тмакс, если его масса m mi, m <^ m2. Число степеней свободы молекулы газа равно г. Система теплоизолирована и находится в вакууме. Теплоемкостью трубы и поршней пренебречь.
mim 2
mim 2
К задаче 2.117
К задаче 2.117
К задаче 2.116
В расположенном горизонтально цилиндре слева от закрепленного поршня находится у = 1 моль идеального газа. В правой части цилиндра вакуум. Пружина вначале не деформирована (см. рисунок). Цилиндр теплоизолирован. Когда поршень освободили, объем, занимаемый газом, увеличился вдвое. Во сколько раз изменятся температура Т и давление р газа? Теплоемкостями цилиндра, поршня и пружины пренебречь. Молекула газа обладает г степенями свободы.
Горизонтально расположенный сосуд закрыт легким подвижным поршнем и содержит по у = 1 моль гелия и кислорода. Внешнее давление равно нулю. Поршень удерживается пружиной, длина которой в недеформированном состоянии пренебрежимо мала (см. ри
сунок). Какое количество теп-к задаче 2.118
лоты AQ нужно сообщить газу,
чтобы увеличить его температуру на АТ = 1 К? Теплоемкостью сосуда, пружины и поршня пренебречь.
Термодинамические циклы. КПД циклов
КПД тепловой машины равен
А
Ч/нагр
где QHarp — количество теплоты, полученное от нагревателя за один цикл, А — работа, совершенная за один цикл.
КПД прямого цикла Карно
нагр хол
нагр
В идеальной тепловой машине за счет каждого килоджоуля энергии, получаемой от нагревателя, совершается работа А = 300 Дж. Определите КПД ц машины и температуру Тн нагревателя, если температура холодильника Тх = 280 К.
В ходе цикла Карно рабочее вещество получает от нагревателя количество теплоты QH = 300 кДж. Температуры нагревателя и холодильника равны соответственно Тн = 450 К и Тх = 280 К. Определите работу А, совершаемую рабочим веществом за цикл.
Двигатель внутреннего сгорания имеет КПД ц = = 28% при температуре горения топлива Н = 927 °C и при температуре отходящих газов ^2 = 447 °C. На какую величину Ац КПД идеальной тепловой машины, работающей при тех же температурах нагревателя и холодильника, превышает КПД данного двигателя?
Рабочее тело тепловой машины, работающей по идеальному циклу Карно, в каждом цикле получает от нагревателя AQ = 8,4 кДж и к = 80% из них передает холодильнику. Определите КПД ц цикла и работу А, совершаемую машиной в каждом цикле.
В каком случае КПД цикла Карно возрастет больше: при увеличении температуры нагревателя на АТ или при уменьшении температуры холодильника на такую же величину?
Водород совершает цикл Карно. Найдите КПД цикла ц, если при адиабатном расширении: а) объем газа увеличивается в п = 2 раза; б) давление увеличивается в п = 2 раза.
Найдите КПД ц цикла, состоящего из двух изохор и двух адиабат, если в пределах цикла объем идеального газа изменяется в п = 10 раз. Рабочим веществом является азот.
Один моль идеального газа находится в цилиндре под поршнем при температуре Ть Газ при постоянном давлении нагревают до температуры Т2, затем при постоянном объеме на-
гревают до температуры Т3. Далее газ охлаждают при постоянном давлении, и его объем падает при этом до первоначального значения. Затем газ при постоянном объеме возвращают в начальное состояние. Какую работу совершил газ за цикл?
График циклического процесса, происходящего с идеальным одноатомным газом, изображен на рисунке. Определите работу Л, совершенную газом в этом процессе, если количество газа v = 3 моль, Ti = 400 К, Т^ = 800 К, Т4 = 1200 К.
К задаче 2Л27К задаче 2Л27К задаче 2 Л28К задаче 2 Л28
К задаче 2Л27
К задаче 2Л27
К задаче 2 Л28
К задаче 2 Л28
К задаче 2 Л29К задаче 2 Л29
К задаче 2 Л29
К задаче 2 Л29
График циклического процесса, происходящего с идеальным газом, изображен на рисунке. Температуры газа в точках 1 и 3 равны Ti и Т3 соответственно. Определите работу Л, совершенную газом за цикл, если известно, что точки 2 и 4 лежат на одной изотерме. Количество газа равно у = 1 моль.
На р, У-диаграмме (см. рисунок) изображены графики двух циклических процессов, которые проводят с одноатомным газом: 1 -2-3-1 и 1-3-4™ 1. У какого из циклов КПД больше и во сколько раз?
К задаче 2 Л30
2.13О2. Определите отношение щ/р2 коэффициентов полезного действия двух циклических процессов, проведенных с
идеальным одноатомным газом: 1 -2-3-4™1 (первый процесс) и 5-6-7-4™5 (второй процесс). Графики процессов представлены на рисунке.
Один моль идеального газа, внутренняя энергия которого U^ = | ДТ, сначала нагревают, затем охлаждают так, что замкнутый цикл 1-2-3-1 нар, V-диаграмме состоит из отрезков прямых 1-2 и 3-1^ параллельных осям Ор и ОГ соответственно, и изотермы 2-3. Найдите количество теплоты, отданное газом в процессе охлаждения. Давление и объем газа в состоянии 1 равны pi и Hi соответственно, давление газа в состоянии 2 равно р2.
Один моль идеального газа совершает замкнутый цикл, состоящий из двух изобар и двух изохор. При изобарном расширении объем увеличивается в два раза, при этом температура становится равной t^ = 800 °C. В конце изохорного процесса температура составляет t^ = 700 °C. Определите КПД цикла, если молярные теплоемкости газа при постоянном давлении и постоянном объеме равны Ср = 29 Дж/(моль-К), Сг1 = = 21 Дж/(моль-К) соответственно.
Тепловой двигатель мощности N работает по циклу, состоящему из двух изохор и двух адиабат; минимальный объем идеального газа равен Ai, максимальный — V^. Определите расход М топлива с удельной теплотой сгорания q за время Kt работы двигателя, если уравнение адиабаты для данного газа может быть записано в виде TV^-1 = const, где у — известный показатель адиабаты газа.
Тепловой двигатель мощности N работает по циклу, состоящему из двух изобар и двух адиабат; максимальное и минимальное давления газа в пределах цикла отличаются в п раз. Определите расход М топлива с удельной теплотой сгорания q за время Kt работы двигателя, если уравнение адиабаты для данного газа может быть записано в виде Тр^1™^^ = const, где у — известный показатель адиабаты газа.
Уравнение теплового баланса
Во всех задачах этого раздела принимайте удельную теплоемкость воды равной св = 4, 2 кДж/(кг-К), удельную теплоемкость льда сл = 2,1 кДж/(кг-К), удельную теплоту плавления льда А = 0, 33 МДж/кг, удельную теплоту парообразования воды г = 2, 3 МДж/кг.
В сосуд, содержащий воду массы mi = 2 кг при температуре Д = 5 °C, положили кусок льда массы m2 = 5 кг при температуре t^ = —40 °C. Найдите температуру и объем смеси
после установления равновесия. Плотность льда рл = 0,916 х х 103 кг/м3.
В калориметр, где находятся тл = 100 г льда при температуре tx = 0°С, впускают водяной пар при температуре t2 = 100 °C. Какая масса воды т окажется в калориметре непосредственно после того, как весь лед растает? Теплоемкость калориметра считайте пренебрежимо малой.
В калориметр, теплоемкость которого С = = 209,4 Дж/К, содержащий тх = 500 г воды при температуре Тх = 293 К, опускают m2 = 100 г льда при температуре Т2 = = 253 К. Определите установившуюся температуру Т.
В калориметр, содержащий тх = 250 г воды при температуре Н = 15 °C, бросили т^ = 20 г мокрого снега. Температура в калориметре понизилась на At = 5 °C. Какая масса воды тв содержалась в снеге? Теплоемкость калориметра считайте пренебрежимо малой.
В медный сосуд, нагретый до температуры tx = = 350 °C, положили mi = 600 г льда при температуре t2 = — Ю °C. В результате часть льда растаяла, масса оставшегося льда в сосуде оказалась равной m2 = 550 г. Найдите массу т сосуда, если удельная теплоемкость меди равна с = 420 Дж/(кг-К).
Некоторое количество воды медленно переохлаждают, доведя температуру до tx = —10 °C. После этого вода быстро замерзает (без дальнейшего отвода теплоты). Температура при этом повышается до to = 0°С. Какая часть воды в конце этого процесса обращается в лед?
В колбе находится вода при t = 0°С. Выкачивая из колбы воздух вместе с содержащимися в нем парами воды, воду в колбе замораживают. Какая часть воды А при этом испаряется? Удельная теплота парообразования воды при t = 0°С равна г = 2,5 МДж/кг. Почему с повышением температуры удельная теплота парообразования уменьшается?
В кастрюлю налили холодной воды (температура tB = 10 °C) и поставили на плиту. Через время тх = 10 мин вода закипела. Через какое время т она полностью испарится?
В ведре находится смесь воды со льдом массы М = = 10 кг. Ведро внесли в комнату. Лед растаял за тх = 50 мин, а еще за Т2 = 10 мин вода в ведре нагрелась на At = 2 °C. Определите, какая масса льда m находилась в ведре, когда его внесли в комнату. Теплоемкостью ведра пренебречь.
В калориметре находится лед. Определите теплоемкость калориметра, если для нагревания его вместе с содержимым от Ti = 270 К до Т2 = 272 К требуется количество теплоты Qx = 2,1 кДж, а от Т2 = 272 К до Т3 = 274 К - Q2 = 69, 7 кДж.
Какую массу Ма аммиака, взятого при температуре кипения ^2 = —33,4 °C, надо испарить и нагреть до to = О °C в холодильной машине, чтобы за счет поглощенного количества теплоты получить т = 40 кг льда из воды, взятой при температуре ti = 10 °C? Удельная теплота парообразования аммиака га = 1,37 МДж/кг, удельная теплоемкость аммиака са = = 2,1 кДж/(кг-К).
Пары. Кипение
Во всех задачах этого раздела считайте атмосферное давление равным ро = 1, 013 • 105 Па.
Для определения давления насыщенных водяных паров пользуйтесь таблицей, приведенной в следующем разделе.
В закрытом сосуде находятся воздух и капля воды массы т = 0, 5 г. Объем сосуда V = 25 л, давление в нем pi = 1,0 • 104 Па, температура Т = 300 К. Каким станет давление р в сосуде, когда капля испарится? Температура остается неизменной.
В откачанном герметически закрытом сосуде объема V = 10 л находится открытая колбочка, содержащая m = 10 г воды. Сосуд прогревают при температуре t = 100 °C. Какая масса воды Ат испарится?
В объеме Ух = 20 л содержатся насыщенные пары воды при температуре t = 100 °C. Какую работу АЛ надо совершить, чтобы изотермическим сжатием уменьшить объем паров до У^ = Ю л? Объемом воды, образовавшейся при конденсации, пренебречь.
Дод колоколом насоса находится стакан, содержащий воду массы m = 200 г. Насос откачивает воздух из-под колокола со скоростью и = 50 л/мин. Через сколько времени вся вода испарится, если установившаяся под колоколом температура равна Т = 280 К?
В запаянной трубке объема V = 0, 40 л находится водяной пар под давлением р = 8, 5 • 103 Па при температуре Т = 423 К. Какое количество росы выпадет на стенках трубки при охлаждении ее до температуры Тг = 295 К?
Сосуд объема У = 20 дм3 разделен тонкой подвижной перегородкой на две части. В левую часть помещена вода (z/B = 1 моль), в правую — азот (z/a = 0,5 моль). Температура поддерживается равной Т = 373 К. Определите объем правой части сосуда Уц.
Сосуд объема У = 120 дм3 разделен тонкой подвижной перегородкой на две части. В левую помещена вода
(z/B = 2 моль), в правую — азот (z/a = 1 моль). Температура поддерживается равной Т = 373 К. Определите объем правой части сосуда К •
Под поршнем цилиндра объема V = 10 дм3 находится m = 1,9 г газообразного аммиака. Цилиндр помещен в термостат при температуре t = —57 °C. Какая масса аммиака Ат сконденсируется при сжатии газа поршнем до объема V/2? Давление насыщенного пара аммиака при t = —57 °C составляет р = 26, 7 кПа. Молярная масса газообразного аммиака д = = 17 г/моль.
Под невесомым поршнем в цилиндре находится m = = 1,0 кг воды при температуре Ц = 0°С. В воду опускают кусок железа массы mg = 1,0 кг, нагретый до температуры f2 = = 1100 °C. На какую высоту h поднимется поршень? Удельная теплоемкость железа с = 0, 5 кДж/(кг-К). Площадь поршня S = = 1000 см2. Теплоемкостью цилиндра и потерями тепла пренебречь.
В цилиндре находятся m = 18 г воды при температуре t = 0 °C; поршень сечения S = 100 см2 и массы М = 100 кг отделяет воду от атмосферы. Цилиндр нагревается до температуры t = 200 °C. На какую высоту h поднимется поршень?
В вертикально расположенном цилиндре под невесомым поршнем сечения S = 100 см2 находится m = 18 г насыщенного водяного пара. В цилиндр впрыскивают М = 18 г воды при температуре t = 0°С. На какую высоту ^h опустится поршень?
В вертикально расположенном цилиндре под поршнем массы М = 10 кг находится некоторое количество воздуха, воды и водяного пара при температуре t = 100 °C. В положении равновесия поршень находится на расстоянии h = 20 см от дна цилиндра. Когда цилиндр расположили горизонтально, поршень занял новое положение равновесия, сместившись на Ah = = 3, 0 см от первоначального положения. Какая масса воды Ат была на дне сосуда? Площадь поршня S = 400 см2.
В откачанный сосуд объема V = 1,0 дм3 ввели водород до давления щ = 266 гПа при температуре t = 20 °C. В другой такой же сосуд ввели кислород до давления р2 = 133 гПа при той же температуре. Оба сосуда соединили, и, после завершения переходных процессов, гремучую смесь подожгли электрическим разрядом. Определите массу Ат воды, сконденсировавшейся на стенках сосуда после его охлаждения до первоначальной температуры.
Запаянный сосуд заполнен смесью водорода и кислорода при температуре 7i = 300 К и давлении pg = 1, 0 • 105 Па.
Парциальные давления компонентов смеси одинаковы. В сосуде происходит взрыв. Определите давление р внутри сосуда после того, как температура продуктов реакции станет равной Т^ = 373 К.
Запаянный сосуд заполнен смесью водорода и кислорода при температуре Ti = 300 К и давлении р^ = 1,0 МПа. Парциальные давления компонентов смеси одинаковы. В сосуде происходит взрыв. Определите давление р внутри сосуда после того, как температура продуктов реакции станет равной Та = 373 К.
Влажность
Абсолютной влажностью называют давление р (плотность р) водяного пара в атмосфере. Относительной влажностью называют отношение давления (плотности) водяного пара в атмосфере к давлению (плотности) насыщенного водяного пара при данной температуре:
/ = — • 100% = — . 100%.
Рн.П Рн.П
Нормальное атмосферное давление считайте равным ро = = 760, 0 мм рт.ст.= 1, 013 • 105 Па; 1 мм рт. ст. = 133,3 Па.
Для определения давления насыщенных водяных паров пользуйтесь приведенной ниже таблицей.
Температура воздуха в комнате Н = 20°C. Относительная влажность составляет / = 60 % . При какой температуре ^2 воздуха за окном начнут запотевать оконные стекла?
Относительная влажность воздуха в помещении объема V = 50 м3 при температуре t = 20 °C равна Д = 0,6. Найдите изменение Ат массы воды, содержащейся в воздухе комнаты, если значение относительной влажности станет равным Д = 0, 8.
Температура воздуха Д = 20°C, точка росы Д = = 8 °C. Найдите абсолютную и относительную влажность воздуха ри f.
Объем V1 = 1,0 м3 воздуха с относительной влажностью fi = 20% смешали с объемом V2 = 2,0 м3 воздуха с относительной влажностью /2 = 30 % . Обе порции воздуха взяты при одинаковых температурах. Смесь занимает объем V = = 3,0 м3. Определите ее влажность /, если температура смеси не изменилась.
В комнате объема V = 150 м3 температура поддерживается равной Д = 293 К. Влажность воздуха такова, что точка росы Т2 = 283 К. Определите относительную влажность воздуха / и массу тп водяных паров, содержащихся в комнате.
Таблица
Давление насыщенных водяных паровпри различных температурах
д°с
Рн.п, ММ
рт. ст.
Д°С
Рн.п, мм рт. ст.
Д°С
Рн.п, ММ рт. ст.
-10
1,95
9
8,6
24
22,4
-5
3,01
10
9,2
25
23,8
-4
3,28
11
9,8
26
25,2
-3
3,57
12
10,5
27
26,7
-2
3,88
13
11,2
28
28,4
-1
4,22
14
12,0
29
30,0
0
4,6
15
12,8
30
31,8
1
4,9
16
13,6
40
55,3
2
5,3
17
14,5
50
92,5
3
5,7
18
15,5
60
149,4
4
6Д
19
16,5
80
355,1
5
6,6
20
17,5
100
760,0
6
7,0
21
18,7
120
1 489,0
7
22
19,8
160
4 636,0
8
8,0
23
21,1
200
11 661
В сосуд объема V = 10,0 дм3, наполненный сухим воздухом при давлении pg = 1, 0-105 Па и температуре to = 0 °C, вводят т = 3,0 г воды. Сосуд нагревают до температуры t = = 100 °C. Каково давление р влажного воздуха в сосуде при этой температуре?
В комнате объема V = 50 м3 относительная влажность fi = 40 % . Если испарить m = 60 г воды, то относительная влажность станет равной /2 = 50 % . Какой при этом станет абсолютная влажность р?
При понижении температуры воздуха в замкнутом сосуде объема V = 1, 0 м3 от Н = 25 °C до t2 = И °C сконденсировалось т = 8,4 г воды. Какова относительная влажность воздуха /?
В помещение нужно подать V = 2, 0 • 104 м3 воздуха при температуре Н = 18 °C и относительной влажности /1 = 50% , забирая его с улицы при температуре t2 = 10 °C и относительной влажности /2 = 60% . Какую массу воды т нужно дополнительно испарить в подаваемый воздух?
В цилиндре объема ¥i = 10 дм3 под поршнем находится влажный воздух при температуре t = 20 °C и давлении pi = 13,3 кПа. Относительная влажность воздуха / = 70%. Каково будет давление р^ в цилиндре, если объем при той же температуре уменьшить в п = 10 раз?
В сосуде находится воздух, температура которого 71 = 283 К и относительная влажность / = 60 % . На сколько изменятся относительная влажность воздуха и его давление, если воздух нагреть до Т^ = 373 К и в п = 3 раза уменьшить его объем? Начальное давление воздуха щ = 3, 85 • 104 Па.
В сосуде объема V = 10 дм3 находятся воздух и m = 3,5 г воды. При температуре ф = 7 °C, когда давление насыщенного пара воды пренебрежимо мало, давление в сосуде равно атмосферному (ро = 1,013 • 105 Па). Сосуд закрыт клапаном площади S = 1 мм2, который удерживается пружиной с силой F = 0,1 Н. Сосуд медленно нагревают. При какой температуре Т откроется клапан, если известно, что к моменту открытия клапана вся вода превращается в пар?
Деформации твердых тел. Тепловое расширение
Закон Гука: напряжение упруго деформированного тела прямо пропорционально его относительной деформации. Для деформации продольного растяжения (сжатия)
а = Ее^
F
где о = — — механическое напряжение; е = —- — относительное S
удлинение; Е — модуль Юнга; F — проекция силы на направление, вдоль которого происходит растяжение; S — площадь поперечного сечения тела.
Потенциальная энергия сжатой (растянутой) пружины равна
и = |fc(AL)2,
где А: — коэффициент упругости.
Увеличение линейного размера твердого тела при нагревании равно
АТ = схЕо^Т^
где а — коэффициент линейного расширения.
Увеличение объема тела при нагревании равно
^¥ = /З^АТ,
где /3 — коэффициент объемного расширения; для твердых тел (3 = За.
Каким должен быть диаметр d стержня крюка подъемного крана, чтобы при подъеме с постоянной скоростью груза весом Р = 25 кН возникающее напряжение не превышало ст = = 6, 0 • 107 Па?
Каково напряжение а, возникающее у основания кирпичной стены высотой h = 20 м? Плотность кирпича р = = 1,8- 103 кг/м3.
Два стержня одинакового материала и сечения имеют различную длину (ТД < ^1)- Определите, одинаково ли их относительное удлинение е под действием одинаковых сил. К какому из стержней нужно приложить большую силу для получения одинакового абсолютного удлинения ДР? Массой стержней пренебречь.
Как отличаются относительные удлинения двух проволок из одного и того же материала при одинаковых нагрузках, если длина и диаметр первой из них в два раза больше, чем у второй? Как отличаются их абсолютные удлинения? Массой проволок пренебречь.
Какой запас прочности п = сгпред/а имеет стальной стержень сечением s = 3, 0 см2, к которому подвешен груз массы m = 7, 5 т, если разрушающая нагрузка для данной марки стали при растяжении равна апред = 6, 0 • 108 Па? Массу стержня не учитывать.
Какая пружина — стальная или медная — при упругой деформации под действием одинаковой деформирующей силы приобретает большую потенциальную энергию? Внешне пружины абсолютно одинаковы. Массой пружин пренебречь. Модуль упругости меди меньше, чем у стали: Ем < Ес.
Какое количество теплоты Q израсходовано на нагревание медного шара от ф = 0°С, если его объем увеличился на ДИ = 10 см3? Теплоемкость меди с = 3,8 • 102 Дж/(кг-К), плотность меди при ф = 0 °C равна р = 8, 9 • 103 кг/м3, коэффициент линейного расширения меди а = 1,7- 10-5 К-1.
Стальной брус сечения S заделан между кирпичными стенками при температуре Tq. При какой температуре Т сила, действующая на каждую стенку, не будет превышать F? Модуль Юнга стали равен Е, коэффициент линейного расширения стали а. Тепловое расширение кирпича не учитывать.
Концы железного стержня, предварительно нагретого до температуры Ti, прочно закреплены. Какое механическое напряжение ст возникает в стержне при его охлаждении до температуры Т2? Модуль Юнга для железа равен Е, коэффициент теплового расширения а.
4 С.Н. Белолипецкий и др.
Латунныйстержень длины Lq = 1,5м жестко закреплен между двумя упорами. Температура стержня То = = 273 К. С какой силой F он будет действовать на упоры, если ему сообщили количество теплоты Q = 4,19 • 105 Дж? Уделы ная теплоемкость латуни с = 380 Дж/кг-К, модуль Юнга Е = = 1Д • 1011 Па, плотность (при То = 273 К) р = 8, 5 • 103 кг/м3, коэффициент линейного расширения а = 1,9 • 10-5 К-1.
Две линейки — одна медная, другая железная — положены одна на другую так, что они совпадают только одним концом. Определите длины Li и L^ линеек при t = 0°С, зная, что разность их длин при любой температуре составляет АТ = = 10 см. Коэффициент теплового расширения меди «1 = 17 х х 10-6 К-1, железа ™ «2 = 12 • 10-6 К-1.
Толщина биметалллической пластинки, составленной из одинаковых полосок стали и цинка, равна d = 0,1 см. Определите радиус кривизны R пластинки при повышении температуры на At = 11 °C. Коэффициент линейного расширения цинка «1 = 25 • 10-6 К™1, стали од = 12 • 10-6 К-1.
Между двумя стенками помещен стержень сечения S, состоящий из двух частей, имеющих коэффициенты линейного расширения «1 и а2 и модули Юнга Ei и Е^ соответственно. При температуре Ti длины частей стержня одинаковы и равны Т/2, а торцы стержня лишь касаются стенок. С какой силой F стержень будет давить на стенки, если его нагреть до температуры Т2? Деформацией стенок пренебречь. На какое расстояние Ab сместится место стыка частей стержня?
Нефть заполняет железную цистерну высоты Н = = 6,0 м и при температуре То = 273 К не доходит до краев цистерны на h = 0, 20 м. При какой максимальной температуре Т может храниться нефть, чтобы она не переливалась через край цистерны? Коэффициент линейного расширения железа а = 1,2- 10-5 К™1, коэффициент объемного расширения нефти /3 = 1,0- 10™3 К"1.
В колбе находятся вода массы mi = 0, 5 кг и ртуть массы m2 = 1 кг. Когда системе сообщили количество теплоты Q = 90 кДж, из колбы вылилась вода массы Ат = 3,5 г. Найдите коэффициент объемного расширения ртути /З2, если удельные теплоемкости воды и ртути равны щ = 4,2 кДж/(кг-К) и С2 = 140 Дж/(кг-К), плотности pi = 1, 0-103 кг/м3 и р^ = 13, 6 х х 103 кг/м3 соответственно, коэффициент объемного расширения воды /31 = 1,5 • 10“4 К™1. Тепловым расширением колбы пренебречь.
Масса стеклянного тонкостенного сосуда m = 53 г. Тот же сосуд, наполненный ртутью, при t = 0°С имеет массу
mi = 1384 г. Когда этот сосуд нагрели до температуры ^2 = = 40 °C, часть ртути вытекла и масса сосуда с ртутью стала равной m2 = 1376 г. Каков коэффициент объемного расширения стекла /Зст? Коэффициент объемного расширения ртути /Зрт = = 1,8-Ю4 К-1.
Тонкий медный обруч вращается с угловой скоростью а?о вокруг оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости обруча. Чему будет равна угловая скорость обруча, если его температура повысится на АТ? Коэффициент линейного расширения меди равен а. Объясните, почему нельзя считать неизменной кинетическую энергию обруча.
Медный цилиндрический стержень длины Lq подвешен за один конец к потолку. Определите удлинение АБ стержня под действием его собственного веса, если плотность р и модуль Юнга Е для меди считать известными.
Медный брусок длины Lq и площади поперечного сечения S лежит на гладком столе. Если брусок тянуть за один из концов с силой F, равномерно распределенной по сечению торца, то его длина увеличится на ДБ. Определите из этих условий модуль Юнга Е для меди.
Поверхностные явления
Приращение свободной энергии поверхностного слоя жидкости при увеличении ее поверхности равно
MJ = a^S.
где а — коэффициент поверхностного натяжения жидкости (вообще говоря, зависящий от температуры), Д5 — приращение площади поверхностного слоя.
Добавочное (капиллярное) давление в жидкости под произвольной искривленной поверхностью определено формулой Лапласа
где Ri и R^ — радиусы кривизны поверхности (для сферической поверхности Rx = R^ = Б, для цилиндрической Rx = R^ R^ = = ос).
Во всех задачах этого раздела принимайте коэффициент поверхностного натяжения чистой воды равным ав = 0,073 Н/м, плотность чистой воды рв = 1,0- 103 кг/м3.
Мыльная вода вытекает из капилляра по каплям. В момент отрыва диаметр шейки капли равен d = 1,0 мм. Масса капли m = 0, 0129 г. Найдите коэффициент поверхностного натяжения а.
Н айдите разность уровней жидкости в двух капиллярных трубках, опущенных в жидкость. Плотность жидкости р = 0, 80 г/см3, коэффициент поверхностного натяжения а = = 224Ж3 Н/м, внутренние диаметры трубок равны ф = 0, 04 см и d^ = 0,1 см.
В двух капиллярных трубках разного диаметра, опущенных в воду, установилась разность уровней AhB = 2,6 см. При опускании этих же трубок в спирт разность уровней стала равной Ahc = 1 см. Определите коэффициент поверхностного натяжения спирта ас, если плотность спирта равна рс = = 790 кг/м3.
Определите разность уровней жидкости Ah в двух опущенных в жидкость вертикальных капиллярах с радиусами ri и тд, если известны плотность жидкости р, коэффициент ее поверхностного натяжения а и краевой угол смачивания ф 0 < У < 180 °C.
Стеклянный стержень диаметра ф вставили в стеклянную трубку диаметра внутреннего канала d^ так, что оси стержня и трубки совпадают. Затем полученный капилляр вертикально опустили в жидкость. Определите высоту h подъема жидкости в капилляре, если известны плотность жидкости р, коэффициент ее поверхностного натяжения а и краевой угол смачивания 9, 09 С 180 °C; d^ — di di.
Капиллярная трубка представляет собой конус, образующая которого составляет с осью конуса малый угол а. Радиусы большего и меньшего отверстий капиллярной трубки равны R и г соответственно. В первом случае трубка касается воды большим, во второй раз — меньшим отверстием. На какие высоты И и h поднимется вода в капилляре? Вода полностью смачивает поверхность капилляра. Ось трубки вертикальна.
Вертикальную капиллярную трубку внутреннего радиуса г опускают нижним концом в жидкость с коэффициентом поверхностного натяжения а и плотностью р. Жидкость полностью смачивает поверхность капилляра. Какое количество теплоты Q выделится при подъеме жидкости?
На какую высоту h поднимется вода между параллельными пластинками, находящимися на расстоянии L = = 0,20 мм друг от друга?
Конец стеклянной трубки радиуса г = 0, 050 см опущен в воду на глубину h = 2,0 см. Какое давление р дополнительно к атмосферному необходимо создать, чтобы выдуть пузырек воздуха через нижний конец трубки?
Под каким давлением р находится воздух внутри мыльного пузырька диаметра d = 4, 0 мм? Атмосферное дав ле-
ние ро = 1, 013-105 Па, коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора а = 0,04 Н/м. Чему равно добавочное давление Ар?
Капля ртути массы т = 1,0 г находится между двумя параллельными стеклянными пластинками. Какую силу F надо приложить к верхней пластинке в направлении нормали к ее поверхности, чтобы капля ртути приняла форму диска радиуса г = 5,0 см? Считать, что ртуть совершенно не смачивает стекло. Коэффициент поверхностного натяжения ртути а = 0, 47 Н/м, плотность ртути р = 13, 6 • 103 кг/м3.
Капля воды массы m = 0,1 г находится между двумя параллельными стеклянными пластинками, находящимися на расстоянии d = 1,0 мкм друг от друга. Мокрое пятно имеет круглую форму. Какую силу F надо приложить к верхней пластинке в направлении нормали к ее поверхности, чтобы оторвать пластинки одну от другой? Считать, что вода полностью смачивает стекло.
Оцените, сколько воды можно унести в решете. Ячейка решета представляет собой квадратик площади s = lxl мм2, площадь решета S = 0,1 м2. Решето водой не смачивается.
В одну большую каплю слились п = 8 капель ртути диаметром do = 1 мм каждая. Какое количество теплоты AQ при этом выделится? Коэффициент поверхностного натяжения ртути а = 0, 47 Н/м.
Какую работу А против сил поверхностного натяжения нужно совершить, чтобы в п раз увеличить объем мыльного пузыря радиуса т! Коэффициент поверхностного натяжения мыльной воды равен а.
Капиллярную трубку опустили в сосуд с водой, а затем на поверхность воды налили масла (см. рисунок). Какова толщина И слоя масла, если известно, что его уровень совпадает __
с уровнем воды в трубке? Плотность масла рав- Лд Ж !S= на рм = 0,90 г/см3. Радиус трубки г = 1,0 мм. ^/"^^xZ Вода полностью смачивает трубку.
Петлю из резинового шнура длины
Lo и поперечного сечения S положили на плен™———
ку жидкости. Пленку прокололи внутри петли,—™ ™
в результате чего она растянулась в окружность
радиуса R. Полагая, что при малых растяжени- к задаче 2 207 ях для резины справедлив закон Гука и модуль
Юнга (модуль упругости) для резины равен Е^ определите коэффициент поверхностного натяжения а жидкости.
ГЛАВА 3
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
Закон Кулона
Сила электростатического взаимодействия точечных зарядов, находящихся в вакууме, прямо пропорциональна произведению qiq2 этих зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния г между зарядами и направлена вдоль соединяющей их прямой (закон Кулона):
F = k^.
Между разноименными зарядами действуют силы притяжения, между одноименными — силы отталкивания.
В СИ коэффициент пропорциональности в законе Кулона
к = ^—4тг£ок = ^—4тг£о8,99- ХО9^-^’Кл28,99- ХО9^-^’Кл2
к = ^—
4тг£о
к = ^—
4тг£о
8,99- ХО9^-^
’Кл2
8,99- ХО9^-^
’Кл2
Найдите силу F, с которой взаимодействуют два точечных заряда величины q = 1,0 К л каждый, находящиеся на расстоянии г = 1, 0 км друг от друга.
Предполагая, что электрон в атоме водорода движется по круговой орбите радиуса гд = 0, 53 • 10™10 м, определите силу взаимодействия F между протоном и электроном, скорость о движения электрона по орбите и время Т, в течение которого электрон совершает один оборот вокруг протона.
Во сколько раз сила Еэл электростатического отталкивания двух электронов превышает силу Егр их гравитационного притяжения?
Два шарика, имеющие одинаковые массы т = 0,1 г и одинаковые отрицательные заряды, в состоянии невесомости находятся в равновесии на любом расстоянии друг от друга, заметно превосходящем их размеры. Определите число N избыточных электронов на каждом шарике. Определите отношение массы Ат избыточных электронов к массе т шарика.
Два точечных заряда q и 4q находятся на расстоянии L друг от друга. Какой заряд Q и на каком расстоянии ж от первого заряда нужно поместить, чтобы вся система находилась в равновесии? Является ли такое равновесие устойчивым?
Четыре одинаковых заряда q размещены в вершинах квадрата. Какой заряд Q следует поместить в центр квадрата, чтобы система находилась в равновесии?
Три положительных заряда щ, Q2 и Q3 расположены на одной прямой, причем заряд q^ связан одинаковыми нитями длины L с зарядами qx и q^. Определите силы натяжения Т нитей.
Четыре заряда q^Q^Q связаны пятью нитями длины £, как показано на рисунке. Определите натяжение Т нити, связывающей заряды Q^ считая, что Q > q.
Два одинаковых заряженных шарика массы m каждый, подвешенных в одной точке на нитях длины Д разошлись так, что угол между нитями стал прямым (см. рисунок). Определите заряд q шариков.
ЗЛО2. На нити подвешен шарик массы m = 9, 8 г, которому сообщили заряд q = 1 мкКл. Когда к нему поднесли снизу заряженный таким же зарядом шарик, сила натяжения нити уменьшилась в п = 4 раза. Определите расстояние г между центрами шариков.
ЗЛ12. Два заряженных шарика соединены нитью длины L = 10 см. Отношение масс шариков mxfm^ = 2, заряды одинаковы по величине \q\ = 10“7 Кл, но противоположны по знаку. Какую внешнюю силу F надо приложить к шарику массы тх^ чтобы в процессе движения нить была натянута?
ЗЛ23. По тонкому проволочному кольцу радиуса R равномерно распределен электрический заряд q. В центре кольца расположен одноименный с q точечный заряд Q^ причем Q^ q. Определите силу Т натяжения проволоки, из которой изготовлено кольцо.
Внутри гладкой сферы диаметра d находится маленький заряженный шарик массы т. Какой величины заряд Q нужно поместить в нижней точке сферы для того, чтобы шарик удерживался в ее верхней точке? Заряд шарика q.
Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции полей
Вектор напряженности электрического поля, являющийся его силовой характеристикой, равен отношению силы F, действующей со стороны электрического поля на точечный пробный заряд q, помещенный в рассматриваемую точку поля, к величине q этого заряда:
Напряженность электростатического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом q, равна
4тг£о Г3 ’ 4тг£о ^2 5
где г — радиус-вектор, соединяющий заряд q с точкой, где определяется напряженность поля.
Принцип суперпозиции электрических полей (принцип независимости действия электрических полей): напряженность электрического поля, созданного несколькими источниками, равна геометрической сумме напряженностей полей, созданных каждым из источников в отдельности.
Два одинаковых по величине заряда находятся на некотором расстоянии друг от друга. В каком случае напряженность поля в точке, расположенной на половине расстояния между ними, больше: когда заряды одноименные или разноименные?
Изобразите картину силовых линий электрического поля, созданного двумя точечными зарядами: a) +q и +q; б) +q и —q; в) +q и ^q; г) +q и —2q (q > 0).
Расстояние между точечными зарядами q и nq (п = = 9) составляет L = 8 см. На каком расстоянии х от первого заряда находится точка, в которой напряженность поля равна нулю?
В трех вершинах квадрата со стороной а = 40 см находятся одинаковые положительные заряды q = 5 нКл каждый. Найдите напряженность поля Е в четвертой вершине квадрата.
В вершинах квадрата ABCD, сторона которого равна а, находятся заряды qA = q, qB = ™q^ qc = —2g, qn = 2q. Найдите напряженность поля E в центре квадрата.
В вершинах равностороннего треугольника АВС со стороной а находятся заряды qA = q^ Qb = ™2щ qc = —2g. Найдите напряженность поля E в центре О треугольника.
Найдите напряженность электрического поля Е в точке, находящейся посередине между точечными зарядами щ = 8 нКл и ^2 = ™6 нКл. Расстояние между зарядами равно г = 10 см.
Напряженность электрического поля, созданного точечным зарядом q, в точках А и В равна соответственно Еа = = 36 В/м и Ев = 9 В/м. Определите напряженность электрического поля в точке С лежащей посередине между точками А и В (см. рисунок).
Напряженность электрического поля, созданного точечным зарядом q, в точках А и В равна соответственно Еа = = 0, 2 кВ/м и Ев = 0,1 кВ/м. Определите напряженность электрического поля в точке С (см. рисунок).
К задаче 3.21 К задаче 3.22
В однородном электрическом поле с вектором напряженности Е, направленным вертикально вниз, равномерно вращается шарик массы т с положительным зарядом q, подвешенный на нити длины L. Угол отклонения нити от вертикали равен а. Определите силу натяжения нити Т и кинетическую энергию К шарика.
По кольцу радиуса R равномерно распределен заряд Q. Определите напряженность электрического поля в центре кольца, а также в точке, находящейся на расстоянии h от центра кольца на прямой, проходящей через центр кольца и перпендикулярной к его плоскости.
Имеются два точечных заряженных тела с зарядами —q и +Q и массами m и М соответственно. На каком расстоянии d друг от друга должны быть расположены заряды, чтобы во внешнем однородном электрическом поле с напряженностью Е, направленной вдоль прямой, проходящей через заряды, они ускорялись как одно целое (т.е. не изменяя взаимного расположения)?
Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса—Остроградского
Поток вектора напряженности АФ^ однородного электрического поля сквозь плоский участок поверхности, выделенной в поле, определен соотношением
АФ^ = Е • AS = E^S cos ф = EnAS = EAS^.
Здесь Е — вектор напряженности электрического поля в точках площадки Д5; ф — угол, который составляет вектор Е с единичным вектором п; нормальным к площадке Д5; Еп = = Ecosф — проекция вектора Е на направление п, А5ф = = AS cos ф — площадь проекции площадки AS на плоскость, перпендикулярную вектору Е.
Теорема Гаусса-Остроградского: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность, проведенную в поле, пропорционален алгебраической сумме Едвнутр электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности:
Е — ~ ^внутр (в СИ),
при вычислении Ф^ векторы нормали к поверхности считаются направленными наружу (так называемая внешняя нормаль).
Напряженность однородного электрического поля равна Е. Чему равен поток вектора напряженности электрического поля Ф^ через квадрат со стороной Г, плоскость которого расположена под углом а = 30° к направлению электрического поля?
Определите зависимость модуля напряженности электрического поля Е^ создаваемого заряженной сферой радиуса Д, от расстояния г до ее центра. Полный заряд Q сферы равномерно распределен по ее поверхности.
Определите зависимость модуля напряженности электрического поля Е^ создаваемого бесконечно длинной прямой нитью, равномерно заряженной по длине, от расстояния г до нити. Заряд единицы длины нити равен р.
Определите зависимость напряженности электрического поля Е, создаваемого бесконечной заряженной плоскостью, от расстояния х до плоскости. Поверхностная плотность заряда плоскости равна а.
Определите напряженность Е электрического поля, созданного равномерно заряженным шаром радиуса Д, на расстоянии г от его центра, если объемная плотность заряда равна р; изобразите график зависимости Е(т).
Определите напряженность Е электрического поля, созданного равномерно заряженным бесконечно длинным цилиндром радиуса В, на расстоянии т от оси цилиндра. Объемная плотность заряда внутри цилиндра равна р. Изобразите график зависимости Е (г).
Определите напряженность Е электрического поля, созданного равномерно заряженной бесконечной пластиной толщины /г, на расстоянии х от средней плоскости пластины. Объемная плотность заряда внутри пластины равна р. Изобразите график зависимости Е(х\
При значении напряженности электрического поля Eq = 3 • 106 В/м воздух перестает быть надежным изолятором и в нем происходит искровой разряд. Каким должен быть радиус шара В, чтобы на нем мог удержаться заряд Q = 1 К л?
Две пересекающиеся под углом а бесконечные плоскости делят пространство на четыре области (см. рисунок). Определите модуль напряженности электрического поля Е в областях 1 и 2, если плоскости разноименно заряжены с одинаковой по модулю поверхностной плотностью (|ai| = \а^\ = <т; <71 = ™а2.
К задаче 3.34 К задаче 3.35
Две бесконечные пластины толщины h заряжены равномерно по объему и сложены вместе (см. рисунок). Объемная плотность заряда первой пластины равна р^ второй —р. Найдите максимальное значение напряженности электрического поля -Ё/макс*
В равномерно заряженной бесконечной пластине вырезали сферическую полость так, как показано на рисунке. Толщина пластины /г, объемная плотность заряда р. Определите модуль напряженности электрического поля Е в точках А и В, а также исследуйте зависимость Е вдоль прямой О А от расстояния х до точки О.
В равномерно заряженном шаре радиуса R вырезали сферическую полость радиуса г, центр Oi которой находится на расстоянии L от центра шара О (см. рисунок). Объемная
плотность заряда равна р. Найдите зависимость напряженности электрического поля Е вдоль прямой OOi от расстояния х до центра шара О. Докажите, что электрическое поле в полости однородно.
К задаче 3.36К задаче 3.37
Две плоские вертикальные пластины площади S каждая находятся на расстоянии d друг от друга, малом по сравнению с их размерами. Заряд одной из пластин равен +<ц заряд другой +3д. Определите силу F взаимодействия между пластинами.
Вертикальная непроводящая пластина больших размеров равномерно заряжена с поверхностной плотностью а = = 3, 0 • 10~6 Кл/м. На прикрепленной к пластине нити подвешен маленький шарик массы т = 2 г, несущий заряд q того же знака, что и заряд пластины. Определите величину заряда q^ если нить подвеса образует с вертикалью угол а = 45°.
Работа сил электростатического поля. Потенциал
Работа АА, совершаемая кулоновскими силами при перемещении Аг точечного заряда q в однородном электростатическом поле, равна
АА = F • Ar = дЕ • Аг.
Работа А А, совершаемая силами электростатического взаимодействия при перемещении точечного заряда q в электростатическом поле, равна уменьшению потенциальной энергии взаимодействия Ж этого заряда с полем:
^A = ™^W = Жнач - Жкон.
Энергия взаимодействия двух точечных зарядов qx и Q2, находящихся в вакууме на расстоянии г один от другого, равна
w = k—; в си к = -Е
Г4тг£о
Энергия взаимодействия в вакууме системы Ж точечных зарядов равна
тфптфпqmqnqmqnQmQnтпQmQnтпN N—1
тфп
тфп
qmqn
qmqn
QmQn
тп
QmQn
тп
n=2 т=1
т<Т1
Потенциалом электростатического поля называют физическую величину ф, равную отношению потенциальной энергии Ж взаимодействия пробного точечного электрического заряда, помещенного в рассматриваемую точку, с электростатическим полем, к величине q этого заряда:
Ж
q
Потенциал электростатического поля, созданного в вакууме точечным зарядом д, на расстоянии г от него равен
ф(г) = в р =.
г4тг£о
При наложении электрических полей их потенциалы складываются алгебраически.
Работа ДА, совершаемая силами электростатического взаимодействия при перемещении точечного заряда q в электростатическом поле, равна
ДА = ™ДЖ = ^^Д^ = Д^нач V^koh)*
Два одинаковых точечных заряда величины q = = 10~6 Кл каждый находятся на расстоянии щ = 50 см друг от друга. Какую работу А надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния т^ = 5 см?
Точечные заряды +g, —2g, +3q расположены в вершинах правильного треугольника со стороной а. Какова потенциальная энергия Ж этой системы?
Два одноименных точечных заряда qx = 20 нКл и Q2 = 5 нКл находятся на расстоянии г = 0, 5 см друг от друга. Какую работу А должны совершить силы электростатического взаимодействия при увеличении расстояния между зарядами в п = 5 раз?
Неподвижный точечный заряд Q создает в некоторой точке А электрическое поле напряженности Еа^ а в точке В — электрическое поле напряженности Ев- Определите работу А, необходимую для перемещения заряда q из точки А в точку В.
Два разноименных точечных заряда, одинаковых по абсолютной величине, находятся на расстоянии L = 30 см друг
от друга. В точках, находящихся на таком же расстоянии от обоих зарядов, напряженность электрического поля Е = 100 В/м. Определите потенциал поля ф в точке, расположенной между зарядами на расстоянии £/3 от положительного заряда.
По кольцу радиуса R равномерно распределен заряд Q. Определите потенциал электрического поля ф в центре кольца, а также в точке, находящейся на расстоянии h от центра кольца по перпендикуляру к его плоскости.
Два параллельных тонких кольца радиуса R каждое имеют общую ось. Расстояние между их центрами d. Определите работу А, совершаемую силами электростатического взаимодействия при перемещении заряда q из центра первого кольца в центр второго, если по первому кольцу равномерно распределен заряд щ, а по второму — заряд q^.
Множество зарядов трех значений qx = 10-9 Кл, q^ = = — 2щ, q^ = Зщ распределены по окружности так, что все одинаковые заряды рассредоточены равномерно через равный угловой интервал. Определите напряженность и потенциал в центре окружности, если работа по удалению пробного заряда q = = 0, 01щ из центра окружности на бесконечно большое расстояние от нее равна А = 10™ 9 Дж. Изменение кинетической энергии пробного заряда пренебрежимо мало.
Три концентрические сферы радиусов R, 2R и ЗД имеют заряды +q^ +2q и —3q соответственно. Определите потенциалы ф сфер. Постройте график зависимости потенциала ф(т) от расстояния г до центра сфер.
Две концентрические сферы радиусов R и 2R заряжены равномерно по поверхности зарядами qx = 0,1 мкКл и qx = 0, 2 мкКл соответственно. В точке, находящейся на одинаковом расстоянии от обеих сфер, потенциал электрического поля ф = 3 кВ. Определите величину R.
Две большие тонкие параллельные пластины равномерно заряжены с поверхностной плотностью а и —Зег соответственно. Расстояние между пластинами d. Определите напряженность поля Ех между пластинами и Е^ вне пластин, а также разность потенциалов Кф = фх — ф^ между пластинами. Постройте график изменения напряженности и потенциала электрического поля вдоль линии, перпендикулярной пластинам.
Электрический диполь из двух жестко связанных точечных зарядов +д и —q^ расположенных на расстоянии d друг от друга, находится в положении устойчивого равновесия в однородном электрическом поле, напряженность которого равна Е. Какую работу А нужно совершить, чтобы повернуть диполь на угол а = 180°?
Шар радиуса г, имеющий плотность щ, помещен в жидкий диэлектрик с плотностью р^. Определите заряд шара Q^ если в однородном электрическом поле, направленном вертикально вверх, шар оказался взвешенным в жидкости. Электрическое поле создается двумя параллельными пластинами, расстояние между которыми Д а разность потенциалов Др.
Электрон движется по направлению силовых линий однородного электрического поля, напряженность которого Е = = 120 В/м. Какое расстояние х он пролетит до полной остановки, если начальная скорость электрона г = 106 м/с? В течение какого времени т он будет двигаться до полной остановки?
В пространство, где одновременно действуют горизонтальное и вертикальное электрические поля с напряженностью Еж = 400 В/м и Еу = 300 В/м соответственно, вдоль направления силовой линии результирующего электрического поля влетает электрон, скорость которого на отрезке пути L = = 2,7 мм уменьшается в п = 2 раза, не изменяя направления. Определите скорость электрона г в конце пути.
Шарик массы пр несущий заряд д, перемещается из точки 7, потенциал которой равен ф^ в точку 2, потенциал которой равен нулю. Определите скорость -их шарика в точке 7, если в точке 2 она стала равной х^.
Три электрона, первоначально покоившиеся в вершинах равностороннего треугольника со стороной г, движутся под действием сил электростатического отталкивания. Какова будет их скорость г, когда расстояние между ними станет бесконечно большим?
Два протона и два позитрона, первоначально покоившиеся в вершинах квадрата ABCD^ разлетаются под действием сил электростатического отталкивания. Отношение их масс Mjm = 2000, а заряды одинаковы. Найдите отношение скоростей Vf v протонов и позитронов, когда расстояние между ними станет бесконечно большим, считая что первоначально протоны находились в вершинах Л и С, а позитроны — в вершинах В и D.
Найдите минимальную кинетическую энергию а- частиц, способных издалека сблизиться с первоначально покоившимся ядром азота до расстояния rg = 5, 0 • 10-15м. Относительные массы атомов гелия Лне = 4, азота Л^ = 14 (а-частицы представляют собой двукратно ионизованные атомы гелия).
Два электрона находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга, причем один из них покоится, а другой движется со скоростью -и по направлению к первому. Определите наименьшее расстояние rg, на которое они сблизятся.
По тонкому кольцу массы М и радиуса R равномерно распределен заряд +Q. С какой скоростью г точечная
частица массы т и заряда —д, первоначально покоившаяся на бесконечно большом расстоянии от кольца, пролетит через его центр, если кольцо: а) закреплено? б) свободно? Частица движется по перпендикуляру к плоскости кольца, проходящему через его центр.
По тонкому кольцу массы М и радиуса R равномерно распределен заряд Q. Какую минимальную скорость г должна иметь точечная частица массы т и одноименного заряда q на бесконечно большом расстоянии от кольца, чтобы пролететь через его центр, если кольцо: а) закреплено? б) свободно? Частица движется по перпендикуляру к плоскости кольца, проходящему через его центр.
Четыре точечных положительных заряда Q расположены в вершинах жестко закрепленной квадратной рамки со стороной а. Частица массы ш, имеющая положительный заряд д, движется вдоль оси, перпендикулярной плоскости рамки и проходящей через центр квадрата О. На расстоянии, многократно превышающем а, скорость частицы равна го- Определите скорость г частицы при подлете к рамке на расстоянии г от центра О. Какую минимальную скорость гмин должна иметь частица на бесконечно большом расстоянии от рамки, чтобы пролететь сквозь нее?
Шарик массы m = 2 г, имеющий положительный заряд д, начинает скользить без начальной скорости из точки А
К задаче 3.63К задаче 3.63по гладкой сферической поверхности радиуса R = 10 см. Ниже сферической поверхности, точно под ее центром, расположен точечный отрицательный заряд —Q (см. рисунок). Потенциальная энергия взаимодействия зарядов в начальный момент времени равна Wa = — 2 х х 10™3 Дж. Определите потенциальную энергию Wb взаимодействия зарядов, когда заряд q находится в точке В, если в этом случае результирующая сил реакции со стороны сферической поверх
К задаче 3.63
К задаче 3.63
ности и кулоновского взаимодействия, приложенных к шарику, F = 0,1 Н. Радиус шарика г <^( R.
В однородное горизонтальное электростатическое поле напряженности Е = 103 В/м помещена система, состоящая из двух одинаковых, противоположно заряженных шариков, соединенных тонким изолирующим стержнем длины L = 0,1 м. Система может только вращаться в горизонтальной плоскости
вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Масса и модуль заряда каждого шарика соответственно равны m = 5 г и q = 1 мкКл. Система кратковременным воздействием выводится из состояния устойчивого равновесия и приводится во вращательное движение с начальной угловой скоростью ид = 2с™1. Определите максимальный угол поворота амакс этой системы. Массой стержня пренебречь. Шарики рассматривают
ся как материальные точки.
По гладкой наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом, с высоты h соскальзывает небольшое тело массы ш, имеющее отрицательный заряд —q. В точке пересечения вертикали, проведенной через начальное положение тела, с основанием, закреплен заряд +Q (см. рисунок). Определите скорость с, с которой тело достигнет основания наклонной плоскости. Начальная скорость тела равна нулю.
В однородном электрическом поле напряженности 5, направление силовых линий которого совпадает с направлением силы тяжести, на нити длины L вокруг вертикальной оси вращается шарик массы ш, имеющий положительный заряд q. Определите работу Л, которую нужно произвести для разгона шарика из состояния покоя до угловой скорости ш.
Два небольших одинаково заряженных тела удерживаются на изолирующей горизонтальной гладкой поверхности на расстоянии г = 10 см друг от друга. Сначала отпускают одно из них, а затем, когда расстояние между телами увеличится в п = 3 раза, и другое. Определите скорости тел, когда они разлетятся на большое расстояние. Заряд каждого тела q = 10™6 Кл, масса m = 1 г.
Проводники и диэлектрики в электростатическом поле
В случае изотропного однородного диэлектрика проницаемостью е , заполняющего все пространство между эквипотенциальными поверхностями,
где Eq — напряженность поля, созданного теми же источниками в отсутствие диэлектрика.
Две одинаковые металлические пластины небольшой толщины сблизили на расстояние, значительно меньшее их линейных размеров, расположив их параллельно друг другу. Одной из пластин сообщили заряд д, другой — заряд 3g. Определите заряд на четырех поверхностях пластин. Изобразите картину силовых линий электрического поля, созданного пластинами.
Металлический заряженный шар радиуса Ri окружен концентрической проводящей сферической оболочкой, внутренний и внешний радиусы которой равны соответственно R^ и Rs- Заряд шара равен Q, оболочка не заряжена. Получите выражения для зависимостей напряженности электрического поля Е и потенциала ф от расстояния т до центра шара и постройте графики Е(г) и ф(г).
Сфера радиуса г, которой сообщен заряд д, окружена концентрической тонкостенной проводящей сферической оболочкой радиуса R^ заряд которой равен Q. Определите потенциалы Сфер ^внутр И ^внеш.
Металлический шар радиуса Ri^ заряженный до потенциала ф^ окружают тонкой сферической проводящей оболочкой радиуса R^. Определите потенциал шара 9м после того, как он будет соединен проводником с оболочкой. Первоначальный заряд оболочки равен нулю, центры оболочки и шара совпадают.
Проводящие сферы радиусов Ri = 15 мм и R^ = = 45 мм, находящиеся одна от другой на расстоянии, многократно превышающем их размеры, заряжены до потенциалов 9^1 = 90 В и 992 = 20 В соответственно. Определите потенциал ф сфер после того, как они будут соединены тонкой проволочкой. Какой заряд g и в каком направлении протечет по проволоке?
Металлический шар радиуса Ri, заряженный до потенциала ф^ окружают концентрической сферической проводящей оболочкой радиуса R^. Чему станет равен потенциал шара ф\ если заземлить оболочку?
N одинаковых капелек ртути заряжены до одного и того же потенциала фо. Каков будет потенциал ф большой капли, образовавшейся в результате слияния этих капелек?
Два проводящих шара радиуса R^ несущих заряд g каждый, находятся на расстоянии г один от другого (г ^> Я). Шары поочередно на некоторое время заземляют. Определите потенциалы 991 и 992, а также заряды gi и д2 шаров, заземленных первым и вторым соответственно, в конце процесса.
На расстоянии г от центра незаряженного металлического шара находится точечный заряд д. Определите потенциал шара ф.
Небольшой шарик висит над горизонтальной проводящей плоскостью на вертикальной изолирующей упругой нити жесткости к. После того как шарик зарядили, он сместился на расстояние ж, и расстояние между шариком и плоскостью стало равным L. Определите заряд q шарика.
Точечный заряд q = 100 мкКл находится на расстоянии L = 1, 5 см от проводящей плоскости. Какую работу А нужно совершить против сил электростатического взаимодействия, чтобы медленно удалить этот заряд на бесконечно большое расстояние от плоскости?
К задаче 3.80К задаче 3.80Два точечных заряда, q и —д, расположены на расстоянии L друг от друга и на одинаковом расстоянии L/2 от проводящей плоскости с одной стороны от нее.
К задаче 3.80
К задаче 3.80
Определите модуль F силы, действующей на каждый заряд.
Найдите натяжение Т нити, соединяющей одинаковые шарики радиуса г и массы m каждый, в центре которых находятся одинаковые заряды Q. Один из шариков плавает на поверхности жидкости с плотностью р и диэлектрической проницаемостью с, второй шарик висит на нити внутри жидкости (см. рисунок). Расстояние между центрами шариков L.
Два точечных заряда, находясь в воздухе на расстоянии го = 20 см друг от друга, взаимодействуют с некоторой силой F. На каком расстоянии г друг от друга нужно поместить эти заряды в масле с диэлектрической проницаемостью е = 5, чтобы они взаимодействовали с той же силой?
Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускают в керосин. Какова должна быть плотность материала шариков р^ чтобы угол расхождения нитей в воздухе и керосине был одинаков? Массы шариков равны. Диэлектрическая проницаемость керосина е = 2, плотность керосина до = 800 кг/м3.
Две металлические пластины, имеющие заряды gi и д2, расположены параллельно одна другой на расстоянии d. Пространство между пластинами заполнено диэлектриком с проницаемостью е. Площадь пластин S. Определите разность потенциалов А 99 между пластинами.
Металлический заряженный шар радиуса Ri помещен в центре диэлектрической сферической оболочки, внутренний и внешний радиусы которой равны соответственно Rs и R^ а относительная диэлектрическая проницаемость е. Заряд шара равен д, оболочка не заряжена. Получите выражения для зави-
симости напряженности поля Е и потенциала ф от расстояния т до центра шара и постройте графики Е^ и ф^дУ
Электрическая емкость проводника. Конденсаторы
Емкостью уединенного проводника называют физическую величину, определенную соотношением
где q — заряд проводника, а ф — его потенциал.
Емкость шара радиуса R, находящегося в вакууме, равна
С = 4тге0Д (в СИ).
Энергия электрического поля, созданного уединенным проводником, равна
Емкостью конденсатора называют физическую величину, определенную отношением
Ш Г
где q — заряд одного из проводников, образующих конденсатор, a U — разность потенциалов между ними (проводники, образующие конденсатор, несут одинаковые по величине, но противоположные по знаку заряды).
Емкость плоского конденсатора равна
с = (в СИ),
где S — площадь каждой пластины конденсатора, ad — расстояние между ними.
Энергия конденсатора (энергия поля конденсатора) равна
2
w = \\qu\ = \cumLb.
Объемная плотность энергии электрического поля в линейной изотропной среде с относительной диэлектрической проницаемостью е равна
W = |е0е-Б2-
Два одинаковых проводящих шарика с зарядами +щ и —qs вследствие притяжения соприкоснулись и вновь разошлись на расстояние г. Определите заряды q^ и q^ шариков после соприкосновения и силу взаимодействия F между ними.
Определите радиус R шара, емкость которого в вакууме составляет С = 1,0 Ф.
Определите емкость С проводящего шара радиуса Rx = 10, 0 см, окруженного плотно прилегающим к нему концентрическим слоем однородного диэлектрика с проницаемостью е = 6, 0 и наружным радиусом R2 = 20, 0 см.
Проводник емкости Ci заряжен до потенциала фх^ а проводник емкости С^ — до потенциала ф^. Проводники удалены на очень большое расстояние друг от друга. Каким станет потенциал ф этих проводников, если соединить их тонкой проволочкой?
Проводник емкости Сх = 1,0 • 10-5 мкФ заряжен до потенциала 991 = 6000 В, а проводник емкости С^ = 2,0 х х 10™5 мкФ — до потенциала ф^ = 12000 В. Расстояние между проводниками велико по сравнению с их размерами. Какое количество теплоты AQ выделится при соединении этих проводников тонкой проволокой?
Два одинаковых шара удалены на очень большое расстояние друг от друга. Поле первого шара обладает энергией W1 = 1,6 мДж, а поле второго — энергией W2 = 3,6 мДж. Какое количество теплоты AQ выделится при соединении этих шаров тонкой проволочкой?
Радиус проводящей сферической оболочки, равномерно заряженной зарядом д, увеличился от Rx до R2. Определите работу АЛ, совершенную при этом электрическими силами.
Две одинаковые капли ртути радиуса R покоятся на большом расстоянии друг от друга. Капли заряжены различными по знаку и модулю зарядами +gi и —q^. Под действием сил электростатического взаимодействия капли начинают двигаться одна навстречу другой. Происходит центральный удар, в результате которого капли сливаются в одну. Определите выделившуюся при ударе теплоту AQ, если коэффициент поверхностного натяжения ртути равен а.
Какую работу АЛ необходимо совершить, чтобы заряженную зарядом q каплю ртути радиуса R разбить на N одинаковых мелких капель и развести их на расстояние, многократно превышающее их размеры? Коэффициент поверхностного натяжения ртути равен ст.
Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено последовательно двумя диэлектрическими слоями с толщинами dx и ds и с проницаемостями щ и £2 соответственно. Площадь каждой обкладки равна S. Определите емкость С конденсатора.
Определите емкость С сферического конденсатора, радиусы обкладок которого равны Ri и R^ (R\ < R^ если пространство между обкладками заполнено однородным диэлектриком проницаемости е.
Два одинаковых металлических шарика радиуса г находятся в однородном диэлектрике проницаемости е. Расстояние между центрами шариков R^r. Определите емкость С этой системы, рассматривая шарики как обкладки конденсатора.
В плоский воздушный конденсатор емкости Go, расстояние между обкладками которого равно d, вводят металлическую пластину толщины b параллельно обкладкам. Определите емкость С конденсатора с пластиной. Пластина имеет такую же форму и размеры, как и обкладки конденсатора.
В плоский воздушный конденсатор емкости Со, расстояние между обкладками которого равно d, вводят диэлектрическую пластину толщины b и проницаемости е параллельно обкладкам. Определите емкость С конденсатора с пластиной. Пластина имеет такую же форму и размеры, как и обкладки конденсатора.
Плоский конденсатор, между обкладками которого находится пластинка из диэлектрика проницаемости с, присоединен к аккумулятору. Заряд конденсатора равен до- Какой заряд Ад пройдет через аккумулятор при удалении пластинки?
ОО2. Плоский воздушный конденсатор заряжен до разности потенциалов U = 1000 В. С какой силой F притягиваются одна к другой его пластины? Площадь пластин S = 100 см2, расстояние между ними d = 1 мм.
3. В пространство между обкладками плоского воздушного конденсатора, на котором поддерживается постоянная разность потенциалов, вводят диэлектрическую пластину про™
К задаче ЗЛ02К задаче ЗЛ02ницаемости с = 3,0. Во сколько раз п изменится сила электростатического взаимодействия F между обкладками конденсатора? Толщина пластины составляет половину расстояния между обкладками конденсатора.
К задаче ЗЛ02
К задаче ЗЛ02
.1023. Две металлические пластины площадью S = 10 см2 каждая укреплены параллельно одна другой на расстоянии L = 1,0 см: одна на изолированной подставке, другая на заземленной пружине жесткости к = 0, 25 Н/м (см. рисунок).
Изолированной пластине сообщили заряд q = 3, 0 нКл. Определите разность потенциалов U между пластинами.
.ЮЗ3. Уменьшится или увеличится энергия W конденсатора, если вынуть диэлектрик из заряженного конденсатора: а) отключенного от источника; б) подключенного к источнику? Ответ обосновать, объяснив, за счет чего изменяется энергия конденсатора в обоих случаях.
3.7. Соединения конденсаторов
При параллельном соединении конденсаторов емкость С цепи равна сумме емкостей входящих в нее конденсаторов:
С = Ст + С^ + ... + (7П,
9 = 91 + 92 + • • • + 9™,
U = Ui = У2 = ... = ип.
При последовательном соединении конденсаторов емкость С цепи равна
9 = 91 = 92 = • • • = 9п,
U = Пг + U2 + ... + ип.
В том случае, когда в цепь соединяют предварительно заряженные конденсаторы, применение приведенных выше формул должно быть хорошо обдуманным (как, например, в задаче 3.114).
Не всегда соединение конденсаторов возможно заменить последовательным или параллельным соединением батарей, в свою очередь составленных из последовательно или параллельно подключенных конденсаторов. В этих случаях следует использовать закон сохранения электрического заряда, учитывая, что заряд изолированного проводника остается неизменным. Кроме того, следует учесть, что при обходе любого замкнутого контура в электростатическом поле алгебраическая сумма изменений потенциала на всех участках контура равна нулю.
В схеме установлен конденсатор емкости Ст = = 3,0 мкФ. Необходимо увеличить емкость до значения С = = 4, 8 мкФ. Какую емкость Сз должен иметь дополнительный конденсатор и каким образом он должен быть подключен?
Емкость одного из участков электронной схемы необходимо уменьшить от первоначального значения Ст = = 3600 пФ до С^ = 1000 пФ. Какую емкость С нужно подключить к схеме, чтобы добиться желаемого результата, ничего не удаляя из схемы? Каким образом должен быть подключен дополнительный конденсатор?
Три проводящие пластины площади S каждая соединены между собой (см. рисунок). Среднюю пластину можно перемещать вверх и вниз, изменяя расстояния di и d^ и изменяя тем самым емкость системы. Определите зависимость емкости (7, подключенной между точками а и 5, от di и d^ а также ее наименьшее (7МИН и наибольшее Смакс возможные значения. Размеры пластины многократно превышают di и d^.
i—IZZZZZZZZZZZZZZZJ .IZZZZZZZZZZZZZZZJ—17777777ZZZZZZZZ1i—IZZZZZZZZZZZZZZZJ .IZZZZZZZZZZZZZZZJ—17777777ZZZZZZZZ1.—IZZZZZZZZZZZZZZZJ 1
i—IZZZZZZZZZZZZZZZJ .
IZZZZZZZZZZZZZZZJ
—17777777ZZZZZZZZ1
i—IZZZZZZZZZZZZZZZJ .
IZZZZZZZZZZZZZZZJ
—17777777ZZZZZZZZ1
2 EZZZZZZZZZZZZZZ1<>
—IZZZZZZZZZZZZZZZJ3
4 EZZZZZZZZZZZZZZ1<>
К задаче ЗЛ06 К задаче 3.107
Четыре одинаковые металлические пластины площади S каждая расположены в воздухе на одинаковых расстояниях d друг от друга. Пластина 1 соединена проводником к пластиной 3 (см. рисунок). Определите емкость С между точками подключения а и 5, считая расстояние d между пластинами малым по сравнению с их размерами.
При подаче на схему (см. рисунок) напряжения U заряд конденсатора С5 оказался равным нулю. Емкости конденсаторов Ci = С5 = С, С2 = 2(7, (7з = 3(7. Определите емкость конденсатора Сд.
К задаче ЗЛ08К задаче ЗЛ08К задаче ЗЛ09К задаче ЗЛ09
К задаче ЗЛ08
К задаче ЗЛ08
К задаче ЗЛ09
К задаче ЗЛ09
Определите емкость (7общ батареи, составленной из одинаковых конденсаторов емкости (7 каждый (см. рисунок).
ЗЛЮ2. Определите емкость (7общ батареи, составленной из одинаковых конденсаторов емкости (7 каждый, если ее измерять между точками: а) а и 5; б) а и с; в) а и d (см. рисунок).
ЗЛИ2. Определите заряды и разность потенциалов на каждом из конденсаторов в схеме (см. рисунок), а также разность
потенциалов между точками а и Ь. Параметры схемы приведены на рисунке.
К задаче 3.110К задаче 3.110К задаче 3.111К задаче 3.111
К задаче 3.110
К задаче 3.110
К задаче 3.111
К задаче 3.111
Определите разности потенциалов между обкладками конденсаторов, а также между точками b и е в схеме, приведенной на рисунке.
К задаче 3.112К задаче 3.112К задаче 3.113К задаче 3.113
К задаче 3.112
К задаче 3.112
К задаче 3.113
К задаче 3.113
в схеме, приведенной на рисунке, известив! емкости (71, С^ Сз и ЭДС 8. Кроме того, известен заряд gi конденсатора СД Определите ЭДС 8Ж.
Трем одинаковым изолированным конденсаторам 7, 2 и 3 сообщили заряды gi, q^ и дз, после чего их соединили (см. рисунок) замыканием ключей К. Определите заряды д^, д^ и д^, которые будут иметь конденсаторы после их соединения и завершения переходных процессов.
Определите заряды конденсаторов gi, g2, дз в цепи, параметры которой указаны на схеме (см. рисунок).
3.1162. Определите заряды конденсаторов в цепи, параметры которой указаны на схеме (см. рисунок).
К задаче ЗЛ14К задаче ЗЛ14К задаче 3.115К задаче 3.115
К задаче ЗЛ14
К задаче ЗЛ14
К задаче 3.115
К задаче 3.115
3.1173. Определите заряды конденсаторов gi, </2, 9з? 94 в цепи, параметры которой указаны на схеме (см. рисунок), если Сх = С2 = Оз = С4 = С.
-^ Сх-61=с2=61= с--^ Сх-61=с2=61= с-К задаче ЗЛ16К задаче ЗЛ16К задаче ЗЛ17К задаче ЗЛ17
-^ Сх-
61
=с2=
61
= с-
-^ Сх-
61
=с2=
61
= с-
К задаче ЗЛ16
К задаче ЗЛ16
К задаче ЗЛ17
К задаче ЗЛ17
CiCiК задаче ЗЛ19К задаче ЗЛ19Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, проницаемость е которого зависит от напряжения U на конденсаторе по закону е = aU^ где а = 1/(6В). Параллельно этому не л и™ нейному конденсатору, который первоначально не заряжен, подключают такой же конденсатор, но без диэлектрика, который заряжен до напряжения Uq = 156 В. Определите напряжение U которое установится между обкладками конденсаторов после завершения переходных процессов.
Ci
Ci
К задаче ЗЛ19
К задаче ЗЛ19
3.1193. Какой заряд q протечет через гальванометр после замыкания ключа К в схеме, изображенной на рисунке? ЭДС батареи равна 8, Сх = С^ = С.
Какой заряд q протечет через гальванометр после замыкания ключа К в схеме, изображенной на рисунке? ЭДС каждой батареи равна 8^ емкости конденсаторов Сх и С^ известны.
Плоский воздушный конденсатор с расстоянием между обкладками d = 3, 0 см зарядили от источника постоянного напряжения U = 200 В и отключили от него. Затем парал
лельно пластинам конденсатора ввели металлическую пластину толщины dg = 1,0 см. Определите работу А, совершенную силами поля при введении пластины в конденсатор, и изменение энергии ДЖ конденсатора в этом процессе. Площади каждой из обкладок
и металлической пластины оди- к задаче 3 120 каковы и равны S = 60 см2.
Рассмотрите задачу 3.121, считая, что конденсатор не отключают от источника напряжения. Определите изменение энергии ДЖ конденсатора при внесении пластины. Какую работу А совершает при этом источник напряжения?
Сила тока. Сопротивление. Закон Ома для однородного участка цепи
Закон Ома для однородного участка уепи; сила тока I в проводнике, находящемся в электростатическом поле, пропорциональна напряжению U между концами проводника:
коэффициент R называют сопротивлением проводника.
Сопротивление R участка цепи, состоящего из последовательно соединенных проводников, равно сумме сопротивлений Д1, R^ Д3,... этих проводников:
R = Ri + Д2 + Дз + • • • J
сила тока во всех участках цепи одинакова:
Д = Д = /з = ...;
разность потенциалов U между концами цепи равна сумме разностей потенциалов между концами входящих в цепь проводников:
и = Ui + и2 + Ж + ...
Электропроводность Д™1 участка цепи, состоящего из параллельно соединенных проводников, равна сумме электропроводностей этих проводников:
1 _ 1 1 1
сила тока I в цепи равна сумме сил токов в каждом проводнике:J = Jx + J2 + J3 + .. . ;
разность потенциалов U между концами цепи равна разности потенциалов между концами каждого из входящих в цепь проводников:
и = U1 = U2 = ГЬ = ...
Сопротивление R линейного однородного проводника пропорционально его длине L и обратно пропорционально площади его поперечного сечения S:
где р — удельное сопротивление проводника, а — его удельная электрическая проводимость. Коэффициенты пропорциональности р и а зависят от вещества проводника и его термодинамического состояния.
При решении задач этого раздела следует считать сопротивление подводящих проводов пренебрежимо малым, если его величина не указана в условии.
По проводу течет ток силы J = 10 А. Найдите массу электронов, проходящих через поперечное сечение этого провода за время t = 1 ч.
Сила тока в проводнике за четыре равных промежутка времени по t = 10 с сначала равномерно возрастает от 0 до Ii = 10 мА, потом равномерно уменьшается до J2 = 5 мА, затем сохраняет постоянное значение, и, наконец, равномерно уменьшается до нуля. Какой заряд q прошел по проводнику за время Т = 40 с?
Пластины плоского конденсатора имеют форму квадратов со стороной а = 21 см. Расстояние между пластинами составляет d = 2 мм. Конденсатор присоединен к полюсам источника постоянного напряжения U = 750 В. В пространство между пластинами с постоянной скоростью г = 8 см/с вдвигают стеклянную пластинку толщины d = 2 мм. Какой силы ток I пойдет при этом по цепи? Диэлектрическая проницаемость стекла е = 7.
Моток медной проволоки имеет массу т = 300 г и электрическое сопротивление R = 57 Ом. Определите длину проволоки L и площадь ее поперечного сечения S. Плотность меди D = 8900 кг/м3, ее удельное сопротивление р = 1,7 х х Ю™8 Ом-м.
Электрическая цепь состоит из трех последовательно соединенных кусков провода одинаковой длины, изготовленных из одного и того же материала, но имеющих разные сечения:
Si = 1 мм2, 5*2 = 2 мм2, 8з = 3 мм2. Напряжение на концах цепи U = 11 В. Найдите напряжение на каждом куске провода.
На катушку намотан круглый стальной провод диаметром d = 1,2 мм. Масса провода т = 0,2 кг. На катушку подается напряжение U = 53,8 В. Определите силу тока, идущего по проводу, если он нагрелся до температуры Т = 393 К. Удельное сопротивление стали при Ti = 293 К равно pi = 1, 2 х х 10™7 Ом-м, температурный коэффициент сопротивления стали а = 6, 0 • 10™3 К™1. Плотность стали D = 7, 8 • 103 кг/м3.
Цепь, имеющая сопротивление R = 100 Ом, питается от источника постоянного напряжения. Амперметр с сопротивлением Ra = 1 Ом, включенный в цепь, показал силу тока J = 5 А. Какова была сила тока в цепи Jg до включения амперметра?
В сеть с напряжением U = 24 В подключили два последовательно соединенных резистора. При этом сила тока стала равной 11 = 0,6 А. Когда резисторы подключили параллельно, суммарная сила тока стала равной 1^ = 3,2 А. Определите сопротивление резисторов.
На сколько равных частей нужно разрезать проводник, имеющий сопротивление R = 36 Ом, чтобы полное сопротивление его частей, соединенных параллельно, составляло Ro = 1 Ом?
Из куска проволоки, имеющей сопротивление Ro = = 32 Ом, изготовлено кольцо. К двум точкам этого кольца присоединены подводящие ток провода, а) В каком отношении делят точки присоединения длину окружности кольца, если общее сопротивление получившейся цепи R = 6 Ом? б) Какова максимально возможная величина общего сопротивления Ямакс между двумя точками проволочного кольца?
Определите полное сопротивление R показанной на рисунке цепи, если Ri = R^ = R5 = Ro = 3 Ом, R3 = 20 Ом, Ад = 24 Ом. Чему равна сила тока, идущего через каждый резистор, если к цепи приложено напряжение U = 36 В?
При замкнутом ключе К (см. рисунок) сила тока, текущего через амперметр, равна Д = 0,45 А. Какой силы ток /2 будет течь через амперметр при разомкнутом ключе? Напряжение на клеммах постоянно.
Определите сопротивление R между точками А и D каждой из показанных на рисунке трех цепей. Сопротивления резисторов одинаковы и равны г. Сопротивлением соединяющих проводов можно пренебречь.
К задаче ЗЛ35
Определите сопротивление R между точками А и В показанной на рисунке цепи, если сопротивление каждого звена равно г.
К задаче 3.136К задаче 3.136К задаче 3.137К задаче 3.137
К задаче 3.136
К задаче 3.136
К задаче 3.137
К задаче 3.137
Каждый из отрезков двух проволочных конструкций (см. рисунок) имеет одинаковое сопротивление г. Ток, протекающий по отрезку DF^ равен г. Определите разность потенциалов U между узлами А и В, сопротивление R между этими узлами и полный ток I от А к В.
Найдите полное сопротивление R между точками А и В бесконечной цепи (см. рисунок), состоящей из одинаковых резисторов сопротивлением г каждый.
К задаче 3.138К задаче 3.138К задаче 3.139К задаче 3.139
К задаче 3.138
К задаче 3.138
К задаче 3.139
К задаче 3.139
Определите полное сопротивление R между точками А и В бесконечной цепи, параметры которой указаны на ри™
сунке.
Имеется прибор с ценой деления щ = 10 мкА. Шкала прибора имеет п = 100 делений. Внутреннее сопротивление прибора г = 50 Ом. Как из этого прибора сделать: а) вольтметр с пределом измерения напряжения По = 200 В? б) миллиамперметр с пределом измерения силы тока Jg = 800 мА?
Присоединение к вольтметру некоторого добавоч
ного сопротивления увеличивает предел измерения напряжения
К задаче 3.142К задаче 3.142в п раз. Другое добавочное сопротивление увеличивает предел измерения в т раз. Во сколько раз к увеличится предельно измеримое вольтметром напряжение, если включить последовательно с вольтметром эти два сопротивления, соединенные между собой параллельно?
К задаче 3.142
К задаче 3.142
3.1423. В схеме (см. рисунок) вольтметр показывает напряжение Ui = 20 В. Напряжение на входе цепи По = 100 В. Найдите отношение тока, идущего через вольтметр, к току, идущему через пра
вую часть потенциометра, если отношение сопротивлений, на которые движок делит потенциометр п = 2/3, причем боль
К задаче 3.143К задаче 3.143шее сопротивление имеет часть потенциометра, расположенная справа от движка.
К задаче 3.143
К задаче 3.143
Цепь (см. рисунок) собрана из одинаковых резисторов и одинаковых вольтметров. Показа-
ния первого и третьего вольтметров Ui = 10В, Пз = 8 В соответственно. Найдите показания U^ второго вольтметра.
Закон Ома для неоднородного участка и полной цепи. Правила Кирхгофа
Обобщенный закон Ома для произвольного участка цепи: произведение силы тока I на сопротивление R участка цепи равно алгебраической сумме падения потенциала 991 — ф^ на этом участке и ЭДС £ всех источников электрической энергии, включенных на данном участке цепи:
IR = 9^1 - ф2 + £ •
Закон Ома для замкнутой цепи: сила тока I в замкнутой цепи, состоящей из источника тока с ЭДС £ и внутренним сопротивлением г и нагрузки с сопротивлением Я, равна отношению величины ЭДС к сумме внутреннего сопротивления источника и сопротивления нагрузки:
R + г
Первое правило Кирхгофа (правило узлов): алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле (точке соединения нескольких линейных проводников), равна нулю:
11 + /2 + Д + .. • + 1п = 0;
при этом положительными считаются токи, подходящие к узлу, отрицательными — токи, отходящие от узла; иными словами, сумма сил токов, втекающих в узел, равна сумме сил токов, вытекающих из него:
(52Jm) = (52 Д •х / вход х / выход
Второе правило Кирхгофа (правило контуров): в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов 1т на сопротивления Rm соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме ЭДС в контуре:
здесь п — число отдельных участков, на которые контур разбивается узлами; положительными считаются токи, направления
которых совпадают с выбранным (произвольно) направлением обхода контура; ЭДС источников электрической энергии считаются положительными, если они создают токи, направления которых совпадают с направлением обхода контура.
В задачах этого раздела внутренним сопротивлением источника тока, сопротивлением соединительных проводов, а также амперметров следует пренебречь, если эти величины не указаны в условии.
Амперметр с сопротивлением Дх = 2 Ом, подключенный к источнику тока, показывает ток Д = 5 А. Вольтметр с сопротивлением Д2 = 150 Ом, подключенный к такому же источнику тока, показывает напряжение U^ = 12 В. Найдите ток короткого замыкания JK_3 источника.
3.1451. Источник тока питает п = 100 ламп, рассчитанных на напряжение Ui = 220 В и соединенных параллельно. Сопротивление каждой лампы Дх = 1,2 кОм, сопротивление подводящих проводов Д2 = 4 Ом, внутреннее сопротивление источника г = 0, 8 Ом. Найдите напряжение U на зажимах источника и его ЭДС
Найдите силу тока /2, идущего через резистор с сопротивлением Д2 в схеме, параметры которой приведены на рисунке.
К задаче 3.146К задаче 3.146К задаче 3.147К задаче 3.147
К задаче 3.146
К задаче 3.146
К задаче 3.147
К задаче 3.147
Какой ток 1А будет идти через амперметр в схеме, изображенной на рисунке? ЭДС источника равна £. Рассмотрите два случая:
Дх = Д4 = Д; Д2 = Дз = 2Д;
Дх = Д2 = Дз = R\ R4 = 2Д.
Какой ток 1а течет через амперметр в схеме, показанной на рисунке? ЭДС источника 5 = 7, 5 В, Дх = 15 Ом, Д2 = Дз = Д4 = 10 Ом.
При замкнутом ключе К вольтметр Ух показывает напряжение 0,85, где 5 — ЭДС источника (см. рисунок). Что
5 С.Н. Белолипецкий и др.
покажут вольтметры Vi и V2 при разомкнутом ключе, если их сопротивления одинаковы?
К задаче ЗЛ49К задаче ЗЛ49
К задаче ЗЛ49
К задаче ЗЛ49
В мосте Уитстона (см. рисунок) сопротивления подбирают таким образом, что чувствительный гальванометр показывает нуль.
Считая сопротивления Дх, Д2 и г известными, определите величину сопротивления тх.
Если поменять местами батарею и гальванометр, то снова получится мостовая схема. Сохранится ли баланс в новой схеме?
К задаче 3.150К задаче 3.150
К задаче 3.150
К задаче 3.150
1512. Имеется цепь, содержащая N = 1000 одинаковых источников тока с ЭДС 8 и внутренним сопротивлением г каждый (см. рисунок). Между точками А и В
11 (на дуге АС В) находится m источников Iтока.
Г1а)Найдите разность потенциалов
?ЛВ 9 между точками А и В.
6^2б)Какой будет эта разность потен-
■ IJ циалов, если элементы будут обращены
* Iдруг к другу одноименными полюсами?
3.1523. Два источника тока соеди
К задаче ЗЛ52 иены, как показано на рисунке.
Определите разность потенциалов между точками А^В.
Какой станет эта разность потенциалов, если изменить полярность включения второго источника?
Три одинаковых источника тока с ЭД С 8 = = 1,6 В и внутренним сопротивлением г = 0,8 Ом каждый
включены в электрическую цепь по схеме, изображенной на рисунке. Миллиамперметр показывает ток J = 100 мА. Сопротивления резисторов /Д = 10 Ом и Д2 = 15 Ом, сопротивление резистора R неизвестно. Какое напряжение U показывает вольтметр? Сопротивление вольтметра считать очень большим.
Батарея из п = 4 одинаковых источников тока с внутренним сопротивлением г = = 2 Ом каждый, соединенных в первом случае последовательно,
во втором — параллельно, замыкается на резистор с сопротивлением R = 10 Ом. Найдите отношение напряжений на резисторе U^/U^ в первом и во втором случаях.
К задаче 3.155
3.1553. Из N = 400 одинаковых источников тока составлена батарея так, что образовано п соединенных последовательно групп, в каждой из которых содержится т источников, соединенных параллельно (см. рисунок а). Внутреннее сопротивление каждого источника г = 1 Ом. При каких значениях п и т сила тока через резистор с сопротивлением R = 100 Ом, подключенный к батарее, будет наибольшей? Изменится ли ответ, если
источники тока соединить в батарею, как показано на рисунке б (т параллельно соединенных ветвей, в каждой из которых содержится п последовательно соединенных источников)?
Источниками электрического тока в системе электрического оборудования автомобиля являются генератор Г постоянного тока и соединенный с ним параллельно аккумулятор А (см. рисунок). ЭД С аккумулятора <Д = 12 В, его внутреннее сопротивление щ = 0,15 Ом.
ЭДС генератора Д = 14 В, его внутреннее сопротивление г2 = 0,05 Ом. Найдите зависимость силы тока /д, протекающего через аккумулятор, от силы тока Д, потребляемого нагрузкой — пере
менным сопротивлением. На™
К задаче ЗЛ56рисуйте график зависимости
Д(Д). Определите с помощью графика, при каких значениях силы тока нагрузки Д аккуму
лятор будет заряжаться, а при каких — разряжаться.
В конце зарядки аккумулятора сила тока Д = 3 А, а разность потенциалов на клеммах [Д = 8,85 В. В начале разрядки того же аккумулятора сила тока Д = 4 А, а разность
потенциалов U^ = 8, 5 В. Определите силу тока короткого замыкания Д,3 этого аккумулятора.
Найдите силу тока I через нагрузку R, подключенную к параллельно соединенным источникам тока с ЭДС Д и £2 и внутренними сопротивлениями ri и г 2 соответственно (см. рисунок).
В схеме на рисунке внутренние сопротивления источников пренебрежимо малы. Определите силу тока Д через резистор сопротивления ЗЯ, силу тока Д через источник тока
с ЭДО 48 и разность потенциалов Uab между точками А и В схемы.
К задаче ЗЛ61К задаче ЗЛ613.1602. Найдите силу тока Д через сопротивление Rx участка цепи (см. рисунок), если Rx = = 10 Ом, R2 = 20 Ом, Л3 = 30 Ом и потенциалы точек ]Д и 3 равны соответственно 993 = 10 В, 992 = 6 В, 993 = 5 В.
К задаче ЗЛ61
К задаче ЗЛ61
3.1613. в схеме, изображенной на рисунке, определите сопротивление Rab цепи между точками Ан В.
Конденсаторы и нелинейные элементы в электрических цепях
Найдите напряжения Их и U2 на конденсаторах Сх и С2 в схеме, представленной на рисунке, если известно, что при замыкании резистора с сопротивлением R накоротко сила тока через источник тока возрастает в п = 3 раза. ЭДО источника тока равна 8.
Определите заряд q конденсатора С в схеме, представленной на рисунке. Внутренним сопротивлением источника тока пренебречь.
К задаче ЗЛ62К задаче ЗЛ62К задаче ЗЛ63К задаче ЗЛ63
К задаче ЗЛ62
К задаче ЗЛ62
К задаче ЗЛ63
К задаче ЗЛ63
3.1642. Найдите заряды qx и q2 на конденсаторах Сх и С2 в схеме, показанной на рисунке. Внутренними сопротивлениями источников тока пренебречь.
Какой заряд q протечет через сопротивление R2 после размыкания ключа К (см. рисунок), если Rx = R2 = ^з = = R4 = R = 20 Ом, 8 = 100 В, т = 10 Ом, С = 10 мкФ.
Какой заряд q пройдет через ключ К (см. рисунок), если его замкнуть?
3.1672. Определите заряд q^ протекающий через ключ К при его замыкании (см. рисунок). Внутренним сопротивлением источника тока пренебречь.
К задаче ЗЛ64К задаче ЗЛ64К задаче 3.165К задаче 3.165
К задаче ЗЛ64
К задаче ЗЛ64
К задаче 3.165
К задаче 3.165
3.1683. Резистор с сопротивлением R и нелинейное сопротивление, вольтамперная характеристика которого имеет вид
К задаче 3.166К задаче 3.166
К задаче 3.166
К задаче 3.166
К задаче 3.169К задаче 3.169
К задаче 3.169
К задаче 3.169
U = aVl^ где а — постоянная, соединены последовательно и
подключены к источнику напряжения Uq. Найдите силу тока I
в цепи. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
3.1693. Схема (см. рисунок) состоит из двух одинаковых резисторов с сопротивлениями R и двух одинаковых нелинейных элементов, вольтамперная характеристика которых имеет вид U = <а/2, где а — некоторая известная постоянная. При какой ЭДС 8 источника ток через гальванометр равен нулю? Сопротивлением источника пренебречь.
На рисунке приведена зависимость силы тока через автомобильную лампочку от напряжения на ней. Лампочку и резистор с сопротивлением Д = 2 Ом подключают к источнику тока с ЭДС 8 = 15 В и внутренним сопротивлением г = 3 Ом. Какими будут напряжение U на лампочке и сила тока I через нее, если лампочка и резистор соединены: а) последовательно; б) параллельно?
К задаче 3.170 К задаче 3.171
На рисунке приведен график зависимости напряжения на разрядном промежутке дугового разряда от силы тока. Дугу подключают к источнику постоянного напряжения последовательно с резистором. При каком максимальном сопротивлении R резистора дуга может гореть при ЭДС источника 8 = = 85 В? Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
Нелинейный двухполюсный элемент имеет квадратичную вольтамперную характеристику: ток через этот элемент пропорционален квадрату приложенного к нему напряжения. Два таких двухполюсника соединены параллельно. Последовательно с ними включен еще один такой же элемент. На полученную цепь подано напряжение U. Определите напряжение Ui на каждом из элементов.
Работа и мощность тока. Тепловое действие тока
Закон Джоуля-Ленца: в проводнике с постоянным током за интервал времени At выделяется количество теплоты AQ, пропорциональное квадрату силы тока J, сопротивлению проводника R и длительности интервала At:
AQ = I2RM.
Мощность Р тока, текущего в проводнике на участке 1™2, пропорциональна силе тока I и напряжению U12 между его концами:
Р = U12I = ^фх ™ Ф^Р £1^1*
Источник тока с ЭД С 8 и внутренним сопротивлением г замкнут на реостат. Как зависит от силы тока I в цепи мощность Рист , выделяемая источником; мощность Рвн, выделяемая во внешней цепи, и коэффициент полезного действия ту источника тока? Постройте графики зависимостей Рист(1), Рвн(/), г)(Г). При какой силе тока I = Iq мощность, выделяемая во внешней цепи, будет наибольшей? Чему равна эта наибольшая мощность Р Р 1 макс •
Источник тока с ЭД С 8 и внутренним сопротивлением г замкнут на реостат. Как зависит от сопротивления R реостата мощность Рвн, выделяемая во внешней цепи; мощность Рист, выделяемая источником тока; мощность РВНутр? выделяющаяся внутри источника, и коэффициент полезного действия ту источника? Постройте графики зависимостей РВН(Р), Рист(^)? РвнутР(Д) и 'пЦ^У При каком сопротивлении R = Rq реостата во внешней цепи выделяется максимальная мощность? Чему равен при этом КПД ту(Ро) = ^?о?
Плитка при номинальном напряжении Uq = 220 В имеет мощность Pq = 800 Вт. При включении плитки в сеть напряжение на розетке изменяется с Ui = 200 В до U^ = 180 В. Определите сопротивление Рпр подводящих проводов.
Разность потенциалов в сети зарядной станции U = = 20 В. Внутреннее сопротивление аккумулятора, поставленного на зарядку, г = 0,8 Ом. В начальный момент времени его остаточная ЭДО 8 = 12 В. Какая мощность Pi расходуется станцией на зарядку аккумулятора при этих условиях? Какая мощность Р^ при этом тратится на нагревание аккумулятора?
Имеются два резистора с сопротивлениями Ri = = 2 Ом и Д2 = 4,5 Ом. Их подключают к источнику тока сначала параллельно, а затем последовательно. При каком значении внутреннего сопротивления г источника тока в обоих случаях во внешней цепи выделяется одинаковая мощность?
При поочередном подключении к источнику тока двух электрических нагревателей с сопротивлениями Ri = 3 Ом и R^ = 48 Ом в них выделяется одинаковая мощность Р = = 1,2 кВт. Определите силу тока /к-3 при коротком замыкании источника.
При подключении к источнику тока с ЭДО 8 = = 15 В и сопротивлением R = 15 Ом КПД источника ту = 75%.
Какую максимальную мощность Рмакс во внешней цепи может выделять данный источник?
Когда во внешней цепи выделяется мощность Pi = = 18 Вт, КПД источника тока уд = 64 % . При изменении внешнего сопротивления КПД источника 772 = 36 %. Какая мощность Рвнут выделяется при этом внутри источника тока?
Три одинаковых
элемента с ЭДС 8 и резисторы с сопротивлением Р каждый включены в цепь, изображенную на рисунке. Найдите мощность Р, выделяющуюся на всех сопротивлениях схемы. Внутренними сопротивлениями элементов пренебречь.
Напряжение в сети без нагрузки U = 120 В. При включении в сеть плитки номи
нальной мощности Рном = 300 Вт фактически выделяющаяся мощность равна Р = 250 Вт. Какая мощность будет выделяться
в двух таких плитках, одновременно включенных параллельно в эту сеть? Плитки рассчитаны на напряжение (7НОМ = 120 В. Изменения сопротивления плиток при их нагревании не учитывать.
Нагреватель самовара состоит из двух элементов. При подключении к сети первого элемента вода в самоваре закипает через Д = 15 мин, при подключении только второго элемента — через ^2 = 20 мин. Через какое время вода в самоваре закипит, если элементы подключить к сети: а) последовательно; б) параллельно.
Электроплитка имеет три секции с одинаковыми сопротивлениями. При параллельном их соединении вода в чайнике закипает через t = 6 мин. Через какое время закипит вода той же массы и той же начальной температуры при соединении секций, показанном на рисунке.
К задаче 3.184К задаче 3.184
К задаче 3.184
К задаче 3.184
Конденсатор емкости СД имеющий заряд щ, соединяют противоположно заряженными обкладками через резистор
с конденсатором емкости С^ имеющим заряд ^2- Какое количество теплоты Q выделяется на резисторе?
Какое количество теплоты Q выделится на резисторе сопротивления R после замыкания ключа К (см. рисунок)? Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
Конденсатор емкости С/ заряженный до напряжения 5, подключается через резистор с большим сопротивлением к батарее с ЭД С Ь8 (см. рисунок). Определите количество теплоты Q^ которое выделяется в цепи при зарядке конденсатора до напряжения Ь8.
К задаче 3.186К задаче 3.186К задаче 3.187К задаче 3.187К задаче ЗЛ88К задаче ЗЛ88
К задаче 3.186
К задаче 3.186
К задаче 3.187
К задаче 3.187
К задаче ЗЛ88
К задаче ЗЛ88
Между обкладками плоского конденсатора расположена диэлектрическая пластинка (в = 3), заполняющая весь объем конденсатора. Конденсатор через резистор подключен к батарее с ЭД С 8 = 100 В (см. рисунок). Пластину быстро удаляют так, что заряд на конденсаторе не успевает измениться. Какая энергия Q выделится после этого в цепи в виде теплоты? Емкость незаполненного конденсатора С^ = 100 мкФ.
Определить сопротивление R подводящих проводов от источника U = 120 В, если при коротком замыкании предохранители из свинцовой проволоки площадью сечения s = 1 мм2 и длины L = 2 см плавятся за время т = 0, 03 с. Начальная температура предохранителя Т = 300 К, температура плавления свинца Тпл = 600 К, плотность свинца D = 11,3 х 103 кг/м3, удельное сопротивление свинца р = 2,1 • 10™7 Ом-м, удельная теплоемкость свинца с = 0,13 кДж/(кг-К), удельная теплота плавления А = 25 кДж/кг.
Под каким напряжением U нужно передавать электроэнергию на расстояние L = 5 км, чтобы при плотности тока j = 0,25 А/мм2 в медных проводах двухпроводной линии электропередачи потери в линии составляли ту = 1 % от передаваемой мощности? Удельное сопротивление меди р = 1,7 • 10™8 Ом-м.
От источника тока необходимо передать потребителю мощность Eq = 4 кВт. Сопротивление подводящих проводов R = 0,4 Ом. Какое напряжение U должно быть на зажимах источника, чтобы потери мощности в проводах составляли ^ = 4 % от потребляемой мощности?
Трамвай массы т = 22,5 т идет сначала по горизонтальному участку, а затем в гору с уклоном к = 0, 03. В первом случае ток в двигателе Д = 60 А, а во втором Д = И8 А. Найдите скорости щ и Р2 трамвая, если коэффициент трения в обоих случаях д = 0,01, напряжение в линии U = 500 В, КПД двигателя и передачи ту = 75 % .
Электрический ток в различных средах
Плотность тока j в металле равна заряду всех электронов, проходящих за единицу времени через единицу площади поперечного сечения проводника:
j = ™noev,
где ng — концентрация электронов проводимости, е — абсолютная величина заряда электрона, v — средняя скорость дрейфа электронов под действием внешнего электрического поля.
Закон Ома для плотности тока (закон Ома в дифференциальной форме): плотность тока проводимости пропорциональна напряженности Е электрического поля в проводнике и совпадает с ней по направлению:
. Е
j = аЕ = —.
Р
Первый закон Фарадея (первый закон электролиза): масса М вещества, выделившегося на электроде, прямо пропорциональна электрическому заряду Q^ прошедшему через электролит:
М = kCh
коэффициент пропорциональности к называют электрохимическим эквивалентом вещества.
Второй закон Фарадея (второй закон электролиза): электрохимический эквивалент данного вещества пропорционален его химическому эквиваленту кх:
где F = eNа — постоянная Фарадея. Химическим эквивалентом вещества называют отношение молярной массы данного веще™
ства д к его валентности Z:
Z
Объединенной закон Фарадея (объединенный закон электролиза):
m = ^q.
Г
Значения молярных масс д веществ и валентностей Z ионов во всех задачах данного раздела следует определять по Периодической таблице элементов Менделеева.
Катушка радиуса г = 25 см, содержащая L = 500 м тонкого медного провода, вращается с угловой скоростью ш = = 300 рад/с вокруг своей оси. Через скользящие контакты катушка подключена к баллистическому гальванометру. Общее сопротивление всей цепи R = 21 Ом. Найдите удельный заряд е/те носителей тока в меди, если при резком затормаживании катушки через гальванометр проходит заряд q = 10 нКл.
Сплошной металлический цилиндр радиуса R вращается с постоянной угловой скоростью ш. Найдите зависимость напряженности поля Е от расстояния г от оси цилиндра и разность потенциалов U между поверхностью цилиндра и его осью.
Определите среднюю скорость г упорядоченного движения электронов в медном проводе при плотности постоянного тока j = 6 А/мм2, если считать, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Какое количество теплоты q выделится при этом в единице объема провода в единицу времени? Молярная масса меди д = 63,5 • Ю™3 кг/моль, плотность меди D = 8, 9 • 103 кг/м3, удельное сопротивление меди р = 1,7- 10™8 Ом-м.
Найдите суммарный импульс электронов в прямом проводе длины L = 1000 м, по которому течет ток / = 70 А.
3.1972. По прямому медному проводу длины L = 1000 м и сечения s = 1 мм2 течет ток I = 4, 5 А. Считая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон, найдите время С за которое электрон переместится от одного конца провода до другого, а также сумму сил Кэл, действующих на все свободные электроны в данном проводе со стороны электрического поля. Плотность меди D = 8,9 МО3 кг/м3, удельное сопротивление р = 1, 68 • 10™8 Ом-м.
Какую длину L имеет вольфрамовая нить накала лампочки, рассчитанной на напряжение U = 220 В и мощность Р = 200 Вт? Температура накаленной нити Т = 2700 К, диаметр
нити d = 0,03 мм. Удельное сопротивление вольфрама ро = = 5,5 • Ю™8 Ом-м при температуре То = 293 К. Считайте, что удельное сопротивление вольфрама прямо пропорционально абсолютной температуре.
В каком процессе через раствор проходит больший электрический заряд q; при выделении щ = 1 моль никеля из раствора №804 или при выделении v^ = 1 моль железа из раствора FeCh?
При пропускании через электролит тока силы I = = 1,5Аза^ = 5 мин на катоде выделилось т = 137 мг некоторого металла. Что это за металл?
При электролизе раствора азотнокислого серебра в течение t = 1 час выделилось т = 9, 4 г серебра. Определите ЭД С поляризации Е^ если напряжение на зажимах ванны U = = 4, 2 В, а сопротивление раствора R = 1, 5 Ом.
Для серебрения N = 12 ложек, каждая из которых имеет поверхность площади S = 50 см2, через раствор соли серебра пропускают ток силой I = 1,8 А. С какой средней скоростью и увеличивается толщина серебряного покрытия ложки? Плотность серебра р = 10, 5 • 103 кг/м3.
Какая масса т меди выделилась в течение времени t = 10 с на катоде при электролизе CuSO4, если в течение первых t/2 = 5,0 с значение тока равномерно возрастало от 0 до Д = 3,0 А, а в течение последующих t/2 = 5,0 с равномерно уменьшалось до значения Д = 1Д А?
При электролизе раствора серной кислоты H2SO4 расходуется мощность N = 37 Вт. Найдите сопротивление R электролита, если за время т = 50 мин выделяется масса водорода т = 0,3 г.
Какую массу т расплавленной окиси алюминия AI2O3 разлагает ток силы I = 3, 0 А в течение времени t = 1, 0 ч?
Определите массу М кислорода, выделившегося при прохождении заряда q = 16 К л через водный раствор серной кислоты. Масса одного атома кислорода то = 2,6 • Ю™26 кг.
Под каким напряжением U следует проводить электролиз воды на установке с КПД ту = 80 % , чтобы при затратах электроэнергии не свыше W = 965 кДж выделившийся кислород смог заполнить объем V = 1 л под давлением р = 200 кПа при температуре Т = 300 К?
При электролизе воды через нее пропускают ток силы I = 59 А. Какой объем V гремучего газа (при нормальных условиях) получился за время t = 1 мин?
3.2093. Потенциал ионизации атомов неона ф = 21, 5 В. Какой наименьшей скоростью г должен обладать электрон, чтобы он мог ионизовать неподвижный атом неона? При какой абсолютной температуре Т средняя кинетическая энергия движения атомов неона станет равной энергии, необходимой для иониза
ции этих атомов?
+ 100В+ 100ВК задаче 3.212К задаче 3.212При каком напряжении U зажигается неоновая лампа, если энергия ионизации атома неона Ж = 21,5 эВ, а средняя длина свободного пробега электронов в газе А = 1,0 мм? Расстояние между электродами лампы d = 1,0 см.
+ 100В
+ 100В
К задаче 3.212
К задаче 3.212
Напряжение между анодом и катодом вакуумного диода равно U сила анодного тока равна I. Найдите среднее давление рср электронов на анод площади S.
Определите ток I, текущий через идеальный диод D в цепи, изображенной на рисунке, считая сопротивление R = 1, 0 кОм.
Магнитное поле. Магнитная индукция
Заряд д, движущийся со скоростью v, создает на расстоянии г от себя магнитное поле с индукцией
В = ^4[v,r],
4л г3 J
Магнитная индукция ДВ поля в вакууме малого элемента проводника длины ДЬ, по которому идет постоянный электрический ток силы I, удовлетворяет закону Био-Савара-Лапласа;
ДВ = ^Ц[ДЬ,г];
4л г3
направление вектора ДВ можно найти по правилу Максвелла (правилу буравчика, правилу правого винта): если ввинчивать буравчик с правой резьбой по направлению тока в элементе проводника, то направление движения рукоятки буравчика укажет направление вектора ДВ магнитной индукции.
В центре кругового витка радиуса R с током силой I модуль вектора магнитной индукции определяется выражением
Модуль вектора магнитной индукции поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током силой I на рас
стоянии г от проводника, равен
К введениюК введениюв =Цоц£2тг г
К введению
К введению
Отрезок прямолинейного проводника с током силой I создает в точке, расположенной симметрично по отношению к проводнику на расстоянии г о от его середины (см. рисунок), магнитное поле с индукцией
В =— cos ф.
2тг го
По двум длинным прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии г = 5 см друг от друга в воздухе, текут токи силы I = 10 А каждый. Определите магнитную индукцию В поля, создаваемого токами в точке А, находящейся посередине между проводниками, для случаев: а) проводники параллельны, токи текут в одном направлении; б) проводники параллельны, токи текут в противоположных направлениях; в) проводники скрещиваются таким образом, что токи текут во взаимно перпендикулярных направлениях, а точка А находится на общем перпендикуляре к проводникам.
которого равна Bq на расстоянии а от оси провода. На этом же расстоянии а от первого провода располагают второй, параллельный первому, по которому протекает ток силы 21. Направления токов противоположны. Определите индук-которого равна Bq на расстоянии а от оси провода. На этом же расстоянии а от первого провода располагают второй, параллельный первому, по которому протекает ток силы 21. Направления токов противоположны. Определите индук-Постоянный ток I, текущий по тонкому длинному прямому проводу, создает в вакууме магнитное поле, индукция
которого равна Bq на расстоянии а от оси провода. На этом же расстоянии а от первого провода располагают второй, параллельный первому, по которому протекает ток силы 21. Направления токов противоположны. Определите индук-
которого равна Bq на расстоянии а от оси провода. На этом же расстоянии а от первого провода располагают второй, параллельный первому, по которому протекает ток силы 21. Направления токов противоположны. Определите индук-
£272
а \/ а
\/
/а
\ /
3
К задаче 3.214
цию В магнитного поля в точках I, 2 и 5, принадлежащих плоскости, перпендикулярной проводникам (см. рисунок).
Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут токи силы I = 60 А в одном направлении, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определите магнитную индукцию В в точке, находящейся на расстоянии щ = 5 см от одного и на расстоянии Г2 = 12 см от другого проводника.
По тонкому проводящему кольцу радиуса R = 10 см течет ток силы I = 80 А. Определите магнитную индукцию В в точке, равноудаленной от всех точек кольца на г = 20 см.
3.2172. По тонкому проводящему колы
Ацу радиуса R = 10 см течет ток. Определите
Лсилу I этого тока, если индукция магнитно
го поля в точке А, лежащей на перпендикуля- / рре к плоскости кольца, проходящем через его
/центр, равна В = 1,0 мкТл, а угол 3 = 10°
(см. рисунок).
3.2182. Два одинаковых круговых витка 7 ^ провода расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях и имеют общий центр О. К задаче 3.217 Если по виткам течет одинаковой силы ток, индукция магнитного поля в точке О равна Во. Определите индукцию магнитного поля В в этой точке,
если ток прежней силы течет лишь по одному витку.
По контуру, имеющему вид равностороннего треугольника со стороной а = 30 см, течет ток силы I = 0,3 А. Определите магнитную индукцию В в центре треугольника.
По тонкому проводу, изогнутому в виде прямоугольника со сторонами а = 30 см и b = 40 см, течет ток силы I = = 60 А. Определите магнитную индукцию В в точке пересечения диагоналей прямоугольника.
По проводнику, изогнутому в виде квадрата со стороной а = 10 см, течет ток силы I = 5 А. Определите магнитную индукцию В поля в точке, находящейся на расстоянии а от всех
вершин квадрата.
По тонкому проволочному кольцу течет ток. Не изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Во сколько раз изменилась индукция В магнитного поля в центре контура?
Планетарная модель атома предполагает, что электрон в невозбужденном атоме водорода движется вокруг ядра по окружности радиусом т = 0, 53 • 10™10 м. Рассматривая движение электрона по орбите как круговой ток, определите индукцию В магнитного поля в центре орбиты.
Маленький шарик с зарядом q = 5, 0 • 10™7 Кл, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити длины L = 1,0 м, движется равномерно по окружности в горизонтальной плоскости так, что нить все время образует с вертикалью угол а = 60°. Определите магнитную индукцию В в центре окружности, рассматривая движение шарика как круговой ток.
Сила Лоренца. Сила Ампера. Сила взаимодействия двух проводников
На частицу с электрическим зарядом q, движущуюся в магнитном поле со скоростью v, направленной произвольным образом по отношению к вектору магнитной индукции В, действует сила Лоренца, равная
F = g[v,B] (в СИ);
модуль силы Лоренца равен
F = quB sin о,
где а — угол между векторами v и В.
На проводник с электрическим током, находящийся в магнитном поле, действует сила, называемая силой Ампера, равная геометрической сумме сил Лоренца, которые действуют на движущиеся в проводнике носители тока. Сила Ампера, действующая на прямолинейный участок проводника длины ДЕ с током /, находящийся в однородном магнитном поле с индукцией В, равна
AFa = /[ALB] (в СИ);
направление вектора AL совпадает с направлением тока в проводнике. Модуль силы Ампера равен
AFa = /ALB sin а,
где а — угол между векторами △L и В. Направление силы Ампера может быть определено также по правилу левой руки*, если расположить левую руку так, чтобы силовые линии входили в ладонь, а направление средних пальцев совпадало с направлением тока, то направление отогнутого в сторону большого пальца совпадает с направлением силы, действующей на проводник.
Если по двум прямолинейным проводникам бесконечной длины и пренебрежимо малых поперечных размеров, расположенным на расстоянии г один от другого, протекают постоянные токи с силами Д и /2, то на участок любого проводника длины ДЕ действует сила Ампера, модуль которой равен
^4 = —(в СИ);
2тгг v
вектор силы Гд лежит в той же плоскости, что и оба проводника, и перпендикулярен их направлениям. Проводники с токами одинаковых направлений притягиваются, а с токами противоположных направлений — отталкиваются.
Во всех задачах настоящего раздела проводники с током следует считать прямолинейными, если их форма не оговорена в условии.
3.2251. Определите направление силы Ампера, действующей на проводник с током в магнитном поле, для случаев, показанных на рисунке.
абвгабвгК задаче 3.225К задаче 3.225
абвг
абвг
К задаче 3.225
К задаче 3.225
3.2261. На рисунке указано направление силы Ампера, действующей на проводник с током. Определите направление вектора индукции магнитного поля В, считая, что векторы I и В взаимно перпендикулярны.
II
I
I
К задаче 3.226
Проводник, изготовленный из материала плотности р и имеющий площадь поперечного сечения s, подвешен на двух невесомых нерастяжимых нитях в однородном магнитном поле индукции В. При какой силе тока I в проводнике нити не будут испытывать натяжения, если вектор магнитной индукции поля перпендикулярен плоскости подвеса проводника?
На горизонтальных рельсах, расстояние между которыми L = 40 см, лежит стержень, составляющий с рельсами угол а = 90°. Определите силу тока I, который надо пропустить по стержню, чтобы он пришел в движение, считая, что рельсы и стержень находятся в вертикальном однородном магнитном поле индукции В = 50 мТл. Масса стержня m = 0,5 кг, коэффициент трения стержня о рельсы ц = 0, 01.
Стержень лежит перпендикулярно рельсам, расстояние между которыми L = 50 см. Рельсы составляют угол а = 30° с горизонтом. Какой должна быть индукция В магнитного поля, перпендикулярного плоскости рельсов, чтобы стержень начал двигаться, если по нему пропустить ток силы I =
= 40 А? Коэффициент трения стержня о рельсы ц = 0, 6, масса стержня т = 1,0 кг.
Проводник длины L и массы т подвешен на тонких проволочках. При пропускании через него тока силы I он сместился в однородном вертикальном магнитном поле так, что проволочки образовали угол а с вертикалью. Определите индукцию В магнитного поля.
Проводник длины L = 30 см с током силы I = = 20 А находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,40 Тл. Вектор магнитной индукции составляет с проводником угол а = 30°. Определите работу А, которая была совершена внешней силой при перемещении проводника на расстояние х = 25 см в направлении, перпендикулярном магнитному полю.
По жесткому проволочному кольцу диаметра d = = 10 см и сечения S = 5,0 мм2 течет ток силы I = 5,0 А. Плоскость кольца перпендикулярна магнитному полю, индукция которого В = 1 Тл. Определите механическое напряжение а, возникающее в проволоке.
Проводник массы т = 0, 20 кг и длины L = 0, 60 м лежит на горизонтальных рельсах, расположенных в горизонтальном магнитном поле с индукцией В = 0,10 Тл, причем рельсы параллельны направлению вектора В. Для того чтобы сдвинуть проводник в направлении, противоположном направлению вектора В, необходимо приложить силу Т? = 0,50 Н при условии, что по проводнику течет ток силы I = 20 А. Какую силу F^ нужно приложить к проводнику, чтобы привести его в движение, если направление тока изменится? Сила тока остается неизменной.
Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны проводу. По рамке и проводу текут одинаковые токи силы I = 1,0 кА. Определите силу F, действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится от него на расстоянии, равном ее длине.
По двум одинаковым плоским квадратным контурам со стороной а = 20 см текут токи силы I = 10 А. Определите силу F взаимодействия контуров, если плоскости контуров параллельны, а расстояние между соответствующими сторонами контуров составляет d = 2, 0 мм.
Квадратная рамка с током I = 0, 90 А расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником, по которому течет ток силы Iq = 5,0 А. Проходящая через середины противоположных сторон ось рамки параллельна проводнику и находится от него на расстоянии, в ?/ = 1,5 раза превышаю™
щем длину стороны рамки. Определите силу F, действующую на рамку, если сторона рамки а = 8, 0 см.
Жесткое тонкое проводящее кольцо массы М = = 2,0 г и радиуса R = 4,0 см лежит на горизонтальной непроводящей поверхности и находится в однородном магнитном поле, линии индукции которого также горизонтальны. Магнитная индукция поля В = 0, 50 Тл. Какой ток I нужно пропустить по кольцу, чтобы оно начало подниматься?
Проводящий стержень подвешен горизонтально на двух легких проводах в магнитном поле, индукция которого направлена вертикально вниз и по модулю равна В = 1,0 Тл. Длина стержня L = 0, 20 м, масса т = 10 г, длина проводов Lx = 0,10 м. Провода сверху замыкают заряженным до напряжения U = 100 В конденсатором емкости С = 100 мкФ. Определите максимальный угол <амакс отклонения стержня от положения равновесия после разрядки конденсатора, считая, что разряд происходит за очень короткое время.
Сила Лоренца. Движение заряженных частицв электрическом и магнитном полях
Если движущаяся частица с электрическим зарядом q находится в суперпозиции магнитного поля с индукцией В и электрического поля с напряженностью Е, то на частицу действует результирующая сила
F = gE + ^( в СИ),
которую также называют силой Лоренца или обобщенной силой Лоренца.
Протон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 2, 0 * 104 В, влетает в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,10 Тл перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определите радиус кривизны траектории Я, угловую скорость ш вращения (циклотронную частоту), нормальное ап и тангенциальное ат ускорения протона в магнитном поле.
Два электрона с кинетическими энергиями Кх и К^ движутся в однородном магнитном поле, силовые линии которого перпендикулярны к векторам их скоростей. Определите отношения периодов TxjT^ их движения по круговым траекториям и радиусов кривизны Я1/Я2 этих траекторий.
Два иона, имеющие одинаковые заряды и одинаковые кинетические энергии, но различные массы, движутся в
однородном магнитном поле по окружностям радиусов Si = = 3,0смиД2 = 1,5 см. Определите отношение масс т^/т^ этих ионов.
Протон и а-частица влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Определите отношение радиусов Rp/Ra окружностей, по которым движутся эти частицы, а также отношение их угловых скоростей шр/шт если протон и а-частица имеют одинаковые: а) скорости; б) кинетические энергии.
В однородное магнитное поле индукции В под уг
лом а к силовым линиям влетает частица массы m и заряда д, имеющая скорость г. Определите радиус R и шаг L спирали, по которой движется частица.
Электрон влетает в однородное магнитное поле. В точке А он имеет скорость v, которая составляет угол а с направлением силовых линий магнитного
поля. Какова должна быть индукция Вi
поля, чтобы электрон оказался в точке/
С (см. рисунок)? Расстояние L между т
точками А и С известно.
Электрон движется в од™у
нородном магнитном поле по винтовой У\а линии радиуса R = 40 мм и шагом L =
= 200 мм. Индукция магнитного поля
В = 5, 0 • 10^3 Тл. Определите скорость к задаче 3.244
-и электрона.
Протон влетает в однородное магнитное поле с индукцией В = 0, 40 Тл под углом а = 30° к направлению силовых линий и движется по винтовой линии радиуса R = 0, 50 см. Определите кинетическую энергию К протона.
Электрон влетает в слой однородного магнитного поля толщины L. Скорость электрона равна г и перпендикулярна как к силовым линиям магнитного поля, так и к параллельным плоскостям, ограничивающим поле. Под каким углом а электрон вылетит из магнитного поля? Магнитная индукция поля равна В. Силовые линии поля параллельны границам поля.
В слой однородного магнитного поля толщины h = = 0,10 м по нормали к параллельным плоскостям, ограничивающим поле, и к силовым линиям поля влетает а-частица. Опре
делите скорость г частицы, если после прохождения поля она отклонилась на угол ср = 30° от первоначального направления движения. Индукция поля В = 0,10 Тл. Силовые линии поля параллельны границам поля.
Протон влетает в область магнитного поля под углом а = 60° к плоскости, ограничивающей полупространство, занятое полем, и по нормали к силовым линиям поля. Время движения протона в области поля т = 0, 5-10™5 с. Какова индукция В этого поля? Силовые линии поля параллельны границам поля.
Электрон движется по окружности радиуса R = = 10 см в однородном магнитном поле с индукцией В = 1, 0 Тл. Параллельно магнитному полю в некоторый момент времени включается однородное электрическое поле напряженности Е = = 100 В/м. За какой промежуток времени т кинетическая энергия электрона увеличится в два раза?
Отрицательно заряженная частица влетает в область однородного магнитного поля с индукцией В = 1,0 мТл, где движется по дуге окружности радиуса R = 0, 20 м. Затем частица попадает в однородное электрическое поле, где пролетает вдоль направления силовой линии участок с разностью потенциалов U = 1,0 кВ. При этом скорость частицы изменяется в п = 3 раза. Определите конечную скорость г частицы.
Однородные магнитное и электрическое поля направлены взаимно перпендикулярно. Напряженность электрического поля Е = 0,50 кВ/м, индукция магнитного поля В = = 1,0 мТл. Определите, с какой скоростью г и в каком направлении должен лететь электрон, чтобы двигаться прямолинейно.
Заряженная частица массы m и с зарядом q^ пройдя разность потенциалов По, влетает в плоский конденсатор, заряженный до разности потенциалов U параллельно его пластинам. Расстояние между пластинами конденсатора d. Конденсатор находится в однородном магнитном поле. Какова должна быть индукция В магнитного поля, чтобы скорость частицы во время ее движения в конденсаторе не изменилась?
В однородном магнитном поле с индукцией В с постоянной скоростью г, составляющей угол а с вектором магнитной индукции, движется металлический шарик радиуса г. Укажите точки шарика, разность потенциалов Ду? между которыми максимальна, и определите величину Ду?макс этой разности потенциалов.
В однородном магнитном поле, вектор магнитной индукции которого направлен вверх, движется по окружности подвешенный на нерастяжимой нити длины L заряженный шарик массы m и с зарядом q. Определите радиус г окружности, по которой движется шарик, если нить все время натянута, период обращения шарика равен Т, а индукция магнитного поля равна В.
Магнитный поток. Закон электромагнитной индукции
Потоком вектора В магнитной индукции (магнитным потоком) сквозь малую поверхность площади AS называют физическую величину
АФ в = В AS = BnAS = BAS cos а,
где AS = nAS, n — единичный вектор нормали к площадке AS, Вп — проекция вектора В на направление нормали п, о — угол между векторами В и п. Малая площадка AS выбирается так, чтобы ее можно было считать плоской, а магнитное поле в ее пределах — однородным.
При вычислении магнитного потока Фв через произвольную поверхность S ее необходимо разбить на малые площадки ДВц удовлетворяющие перечисленным выше условиям, определить магнитные потоки АФ^ через эти площадки и вычислить Фв как алгебраическую сумму АФ^Д при вычислении этой суммы векторы гц нормалей к площадкам AS^ нужно направлять в одну и ту же сторону по отношению к поверхности S.
Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея™ Максвелла): ЭД С £инд электромагнитной индукции в контуре пропорциональна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Фв сквозь поверхность, натянутую на этот контур:
£инд = -^ (в СИ).
Индукционный ток имеет такое направление, что приращение созданного им магнитного потока через площадь, ограниченную контуром, и приращение потока магнитной индукции внешнего поля противоположны по знаку (правило Ленца).
Разность потенциалов А^, возникающая между концами проводника длины В, движущегося со скоростью v в однородном магнитном поле с индукцией В равна
Аф = В Lu sin а,
где а — угол между направлениями векторов v и В.
В замкнутую накоротко катушку один раз быстро, а другой раз медленно вдвигают постоянный магнит. Одинаковый ли заряд переносится при этом индукционным током? Ответ обосновать.
Постоянный магнит, имеющий форму полосы, равномерно проходит сквозь замкнутую накоротко катушку. Изобразите примерный график зависимости индукционного тока, возникающего в катушке, от положения магнита. Рассмотрите
случай, когда длина полосового магнита а меньше длины катушки L.
Скорость летящего горизонтально самолета г = = 900 км/ч. Определите разность потенциалов U возникающую между концами крыльев этого самолета, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли равна В = 0, 5 х х Ш”4 Тл, а размах крыльев самолета L = 12, 5 м.
3.2592. Проводник длины L = 20 см перемещают в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,10 Тл так, что его ось составляет угол а = 30° с направлением поля. Как нужно двигать проводник, чтобы разность потенциалов между его
ВВК задаче 3.260К задаче 3.260концами возрастала равномерно на AU = = 1,0 В за At = 1 с?
В
В
К задаче 3.260
К задаче 3.260
3.2602. В магнитном поле, индукция которого равна В, с постоянной частотой v вращается стержень длины L. Ось вращения проходит через конец стержня и параллельна линиям индукции магнитного поля (см. рисунок). Определите разность потенциалов Аф^ возникающую между концами стержня.
3.2611. В однородном магнитном поле с индукцией В с постоянной частотой v вращается рамка площади S. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна к линиям индук-
К задаче 3.261К задаче 3.261ции (см. рисунок). Определите максимальную ЭД С индукции £Макс, возникающую в рамке.
К задаче 3.261
К задаче 3.261
3.2621. Катушка диаметра d^ состоящая из N витков, находится в магнитном поле, вектор индукции которого параллелен оси катушки. Определите среднее значение ЭД С индукции £ср, возникающей в катушке за промежуток времени At, в течение которого магнитная индукция увеличивается от Bi до В2.
В однородном магнитном поле с индукцией В = = ОДО Тл расположен плоский проволочный виток так, что его плоскость перпендикулярна линиям индукции. Виток замкнут на гальванометр. При повороте витка через гальванометр протекает заряд q = 9,5 • 10-3 Кл. На какой угол а будет при этом повернут виток? Площадь витка S = 1000 см2, сопротивление витка R = 2, 0 Ом.
В однородном магнитном поле с индукцией В = = 0,10 Тл находится виток площади S = 10 см2, расположенный
перпендикулярно линиям индукции. Сопротивление витка R = = 2,0 Ом. Какой заряд q пройдет по витку при выключении поля?
3.2652. Тонкий изолированный медный провод согнут в виде квадрата. Концы провода замкнуты. Квадрат помещен в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,10 Тл так, что его плоскость перпендикулярна линиям индукции поля. Определите заряд Q, который протечет по проводнику, если проводник превратить (потянув за расположенные на одной диагонали вершины квадрата) в сложенный вдвое прямолинейный отрезок. Масса провода тп = 1, 0 г, плотность меди D = 8, 9 • 103 кг/м3, а
ее удельное сопротивление р = 1, 68 • 10-8 Ом-м.
3.2663. В однородном магнитном поле с индукцией В = 1,0 • 10 ™2 Тл расположены вертикально на расстоянии L = 50 см друг от друга два металлических прута, замкнутых сверху проводником. Плоскость, в которой расположены прутья, перпендикулярна к направлению индукции магнитного поля. По прутьям без трения и нарушения контакта скользит вниз с постоянной скоростью г = 1,0 м/с перемычка ab массы тп = 1,0 г (см. рисунок). Определите сопротивление R перемычки ab, считая сопротивление
L
Ов
а
ь
К задаче 3.266
прочих элементов конструкции пренебрежимо малым.
3.2673. По двум металлическим параллельным рейкам, расположенным в горизонтальной плоскости и замкнутым конден-
ов
L
F
К задаче 3.267
сатором емкости С, может без трения двигаться проводник массы т и длины L. Система находится в однородном магнитном поле, вектор магнитной индукции которого направлен вертикально вверх (см. рисунок). К середине проводника перпендикулярно ему и параллельно рейкам приложена сила F. Опреде-
лите ускорение а проводника, если сопротивление всех элементов системы равно нулю. В какие виды энергии переходит работа А силы F? Индукция магнитного поля равна В. В начальный момент скорость проводника равна нулю.
3.2683. Горизонтальная плоскость прямоугольной проволочной рамки abed (см. рисунок) перпендикулярна к силовым линиям однородного магнитного поля с индукцией В = 1,0 мТл. Сторона рамки 5с, имеющая длину L = 1, 0 см, может скользить без нарушения контакта с постоянной скоростью с = 10 см/с по сторонам ат и dn. Между точками а и d включена лампочка со™
противлением R = 5, 0 Ом. Какую силу F нужно приложить к стороне Ьс для осуществления такого движения? Сопротивление
всех элементов системы, кроме лампочки, считать пренебрежимо малым. Трение отсутствует.
По горизонтальным параллельным рельсам, расстояние между которыми равно d, может скользить без трения перемычка массы т. Рельсы соединены резистором сопротивления R
К задаче 3 268и помещены в однородное магнит
ное поле, вектор магнитной индукции которого направлен вертикально (см. рисунок). Перемычке толчком сообщают скорость гд. Определите путь з, пройденный перемычкой до остановки. Индукция магнитного поля равна В. Сопротивление всех элементов системы, кроме резистора, считайте пренебрежимо малым. Как изменится ответ, если вектор В будет направлен вертикально вниз?
К задаче 3.270К задаче 3.270
К задаче 3.270
К задаче 3.270
Две параллельные шины, подключенные к аккумулятору с ЭДС £д и внутренним сопротивлением т^ находятся в однородном магнитном поле с индукцией В. Шины замкнуты проводником длины L и сопротивления Д, который перемещается по шинам со скоростью г перпендикулярно полю (см. рисунок). Пренебрегая сопротивлением шин и трением, определите напряжение U на зажимах источника, мощность РтеПл тепловых потерь в проводнике, а также механическую мощность Рмех, подводимую к проводнику.
В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее диаметр D и сопротивление R. Плоскость кольца сохраняет горизонтальное положение. Определите установившуюся скорость г падения кольца, если проекция вектора магнитной индукции на направленную вертикально вверх ось Од изменяется с высотой д по закону Bz = Bg(l + ^^)- Масса кольца равна тп.
На горизонтальных проводящих стержнях лежит металлическая перемычка массы т. Коэффициент трения меж
ду стержнями и перемычкой равен д. Стержни замкнуты на резистор сопротивлением R. Система находится в магнитном поле, индукция которого направлена вертикально вверх, а ее модуль зависит от времени по закону В = At. Определите, в какой момент времени ф перемычка начнет двигаться по стерж
ням. Расстояние между стержнямио
т„К задаче 3.272
расстояние между перемычкой
и резистором h (см. рисунок). Сопротивление всех элементов системы, кроме резистора, считайте пренебрежимо малым.
Индуктивность. ЭДС самоиндукции
Магнитный поток Фв через площадь, ограниченную контуром с током, пропорционален силе тока I в проводнике:
Фв = Ы,
где L — индуктивность проводника.
В частности, индуктивность соленоида
L = д0дп2/Д
где п — число витков на единицу длины соленоида, I — его длина, S — площадь поперечного сечения.
ЭДС самоиндукции £сам, возникающая в проводящем контуре с не зависящей от времени индуктивностью L при изменении силы тока в нем, равна
£
^сам —1. *
at
Энергия магнитного поля проводника индуктивности L^ сила тока в котором равна I
3.2731. Через соленоид, индуктивность которого равна L = = 0,40 мГн, а площадь поперечного сечения S = 10 см2, проходит ток силы I = 0, 50 А. Какова индукция магнитного поля В внутри соленоида, если он содержит N = 100 витков?
3.2741. В катушке без сердечника за время At = 10 мс ток возрос от Д = 1, 0 А до I2 = 2, 0 А, при этом в катушке возникла
ЭДС самоиндукции £ = 20 В. Определите поток магнитной индукции Ф в конце процесса нарастания тока и изменение энергии АЖ магнитного поля катушки.
Энергия магнитного поля в катушке уменьшилась за счет изменения тока в ней в п = 4 раза в течение At = 0, 20 с. Индуктивность катушки L = 0,16 Гн, первоначальный ток в катушке /0 = 8,0 А. Определите ЭДС самоиндукции £ в катушке, считая, что сила тока зависит от времени линейно.
В электрическую цепь последовательно включены батарея с ЭДС £ = 12 В, реостат и катушка индуктивности L = 1,0 Гн. При сопротивлении реостата Ro = 10 Ом в цепи протекает некоторый постоянный ток. Затем сопротивление реостата изменяют таким образом, чтобы ток в цепи равномерно уменьшался со скоростью А//At = 0,20 А/с. Определите полное сопротивление R(r) цепи через т = 2,0 с после начала изменения тока. Внутреннее сопротивление батареи и проводов катушки пренебрежимо мало.
Катушка 1 индуктивности Li, состоящая из N витков площади S каждый, находится в однородном магнитном поле. Вектор индукции поля В направлен вдоль оси катушки. Вне поля расположена катушка 2 индуктивности L^ соединенная с первой (см. рисунок). Определите силу тока Г, возникающего в катушках после выключения поля. Сопротивление соединительных проводников и проводов катушек пренебрежимо мало.
В схеме, изображенной на рисунке, в начальный момент времени ключ К разомкнут, конденсатор не заряжен. Определите максимальное значение силы тока /макс после замыкания ключа. Индуктивность катушки L, емкость конденсатора С и ЭДС £ известны. Сопротивление проводов катушки и внутреннее сопротивление источника пренебрежимо малы.
К задаче 3.277 К задаче 3.278 К задаче 3.279К задаче 3.277 К задаче 3.278 К задаче 3.279
К задаче 3.277 К задаче 3.278 К задаче 3.279
К задаче 3.277 К задаче 3.278 К задаче 3.279
Источник постоянного тока через ключ замкнут на соединенные параллельно катушку индуктивности L = 0,80 Гн и резистор сопротивления R = 25 Ом (см. рисунок). Сразу после размыкания ключа в резисторе выделяется тепловая мощность F = 100 Вт. Какое количество теплоты Q выделится в резисторе
к моменту прекращения тока в цепи? Сопротивление катушки пренебрежимо мало.
Катушка индуктивности L = 2,0 мкГн и сопротивления Ro = 1,0 Ом подключена к источнику постоянного тока с ЭДС £ = 3,0 В. Параллельно катушке включен резистор с сопротивлением R = 2, 0 Ом (см. рисунок к задаче 3.279). Ключ К первоначально замкнут. После того, как в катушке устанав
ливается постоянный ток, источник тока отключают, размыкая ключ. Определите количество теплоты Q, выделившееся в системе после размыкания ключа. Сопротивление источника тока и соединительных проводов пренебрежимо мало.
Параллельно соединенные катушку индуктивности L и резистор сопротивления R присоединили через ключ к ис
точнику с ЭДС £ и внутренним сопротивлением г (см. рисунок
к задаче 3.279). В начальный момент ключ К разомкнут и тока в цепи нет. Какой заряд q пройдет через резистор после замы
кания ключа? Сопротивление катушки пренебрежимо мало.
3.2823. Катушки 1 и 2 с индуктивностями соответственно Li
и L^ подключены параллельно через ключи Кi и 712 к источни
К задаче 3.282К задаче 3.282ку тока с ЭДС £ и внутренним сопротивлением г (см. рисунок). В начальный момент времени оба ключа разомкнуты. После того, как ключ Кi замкнули и ток через катушку 1 достиг некоторого значения 7g, был замкнут ключ /12- Определите установившиеся токи через катушки 1 и 2 после замыка
К задаче 3.282
К задаче 3.282
ния ключа 712. Сопротивление катушек пренебрежимо мало.
3.2833. Ток в замкнутом накоротко сверхпроводящем со
леноиде медленно изменяется вследствие несовершенства контакта. Создаваемое этим током магнитное поле уменьшается на ц = 2 % за At = 1 час. Определите сопротивление контакта R^ если индуктивность соленоида L = 1,0 Гн.
Сверхпроводящее кольцо радиуса г и индуктивности L помещено в однородное магнитное поле, индукция которого возрастает от нуля до Bq. Плоскость кольца перпендикулярна к линиям индукции магнитного поля. Определите силу индукционного тока 7, возникающего в кольце.
ГЛАВА 4
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Кинематика гармонических колебаний
Колебаниями называют процессы (движения или изменения состояния), в той или иной степени повторяющиеся во времени.
Систему, совершающую колебания, называют колебательной системой. Свободными (собственными) колебаниями называют колебания, которые происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния ее устойчивого равновесия. Вынужденными колебаниями называют колебания, возникшие в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия.
Колебания называют периодическими^ если значения всех физических величин, характеризующих колебательную систему и изменяющихся при ее колебаниях, повторяются через равные промежутки времени. Наименьший промежуток времени Т, удовлетворяющий этому условию, называют периодом колебаний. За период колебаний Т система совершает одно полное колебание. Частотой периодических колебаний называют величину v = —, равную числу полных колебаний, совершающихся в единицу времени. Циклической (круговой, в электротехнике — угловой) частотой периодических колебаний называют величину ш = 2тп/ = ^, равную числу полных колебаний, совершающихся за 2тг единиц времени.
При периодических колебаниях зависимость колеблющейся величины s от времени t удовлетворяет условию s(t + T) = s(t).
Периодические колебания величины s называют гармоническими колебаниями, если
s(t) = A cos (out Ч фо) или s(t) = Asin (cut + (/д),(4.1.1)
o 2тг.
где w == — = const — циклическая частота гармонических
колебаний, А — максимальное отклонение колеблющейся вели™
чины от положения равновесия, называемое амплитудой колебаний^ фо 1^ фх = фо — ™ — постоянные величины. Значение s в произвольный момент времени t определяется значением фазы колебаний #(t) = wt + фо (соответственно #i(t) = wt + фх\ Величины фо и (/д представляют собой начальные фазы колебаний, т.е. значения Ф(£) и #i(t) в момент начала отсчета времени t = 0.
Первая и вторая производные по времени от гармонически колеблющейся величины s(t) также совершают гармонические колебания той же циклической частоты:
ds(t)dtds(t)dt= Лш cos (wt + фо += Лш cos (wt + фо +(4.1.2)(4.1.2)= ^[Аcos (wt + 9?q)] = — Лш sin (wt + 9?о) =
ds(t)dt
ds(t)dt
= Лш cos (wt + фо +
= Лш cos (wt + фо +
(4.1.2)
(4.1.2)
d2s(t)dt?d2s(t)dt?
d2s(t)dt?
d2s(t)dt?
= — Acj2 cos (wt + 9?o) = Aw2 cos (wt + фо + тг).
В настоящем разделе рассматриваются кинематические величины, характеризующие механические колебания материальной точки.
Материальная точка совершает колебания вдоль оси Ох по закону ж(£) = 6ttcos ^t + ^, где t измеряется в секундах, ж — в метрах. Определите амплитуду Л, циклическую частоту ш, частоту v^ период Т и начальную фазу фо колебаний.
Материальная точка движется вдоль оси Ох по закону х^ = 47rsin ^t + ^, где t измеряется в секундах, х — в метрах. Определите максимальное значение проекции скорости
точки гж; значение проекции скорости точки гд в момент времени t = 0; максимальное значение проекции ускорения точки аж; значение проекции ускорения точки аж в момент времени t = 0.
Материальная точка движется вдоль оси Ох. Зависимость координаты точки от времени описывается одним из уравнений:
x(t) = a cos cut + bsincdt;
x(t) = a sin2 wt;
x(t) = at sincct;
r) x(t) = 3 + 2(cos 2) sin ^wt — ™
x(t) = a sin3 wt.
Какие из перечисленных зависимостей х(£) соответствуют гармоническим колебаниям? Для случаев, соответствующим гармоническим колебаниям, укажите положение равновесия точки жд, амплитуду колебания Л, циклическую частоту шд и начальную фазу фо колебания, а также запишите зависимость координаты от времени в виде x(t) = жд + Л cos (cut + 9^0).
Материальная точка совершает колебания вдоль оси Ох по закону x(f) = Л cos cut. Определите: а) зависимость от времени проекции скорости ^(t); б) разность фаз А 9^1 между скоростью и координатой; в) зависимость от времени проекции ускорения ^(t); г) разность фаз А 922 между ускорением и координатой; д) разность фаз А9?з между скоростью и ускорением. Изобразите один под другим графики функций ж^), vx(t\ ax(t).
Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом Т = 0, 60 с и амплитудой Л = 10 см. Определите среднюю скорость жср, с которой она проходит путь, равный половине амплитуды, начиная движение: а) из положения равновесия; б) из крайнего положения.
В момент времени t = 0 материальная точка начинает двигаться вдоль оси Ох из начала координат. Скорость точки зависит от времени по закону: ^(t) = 35cosTrt [см/с] (здесь t — в секундах). Определите путь s, пройденный частицей, и ее координату ж спустя время т = 2, 8 с после начала движения.
Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси О ж с циклической частотой си и амплитудой Л. Получите зависимости проекций скорости хх и ускорения аж от смещения ж. Представьте эти зависимости графически. Начало координат совпадает с положением равновесия частицы.
Точечная частица совершает гармонические колебания вдоль оси Ох с циклической частотой си = 4, 0 с™1. Спустя какое минимальное время At после прохождения положения равновесия ж = 0 частица будет иметь смещение ж = 0, 25 м и скорость гж = 1,0 м/с? Начало координат совпадает с положением равновесия частицы.
Точечная частица совершает гармонические колебания вдоль оси О ж с циклической частотой си = 4, 0 с™1. В некоторый момент времени частица имеет координату Ж1 = 25 см и скорость xxi = 1,0 м/с. Определите координату ж2 и скорость хЖ2 частицы спустя At = 2,4 с. Начало координат совпадает с положением равновесия частицы.
Точечная частица совершает гармонические колебания вдоль оси Ох. В некоторый момент времени частица имеет координату жх = 3,0 см, скорость xxi = 8,0 см/с и ускорение axi = —12 м/с2. Определите амплитуду Л, циклическую часто™
ту ш и период Т колебаний. Начало координат совпадает с положением равновесия частицы.
Точечная частица совершает гармонические колебания вдоль оси Ох так, что начало координат совпадает с положением равновесия частицы. При значениях координаты жх и Х2 значения проекции скорости частицы на ось Ох равны соответственно щ и Г2- Определите амплитуду А и циклическую частоту ш колебаний.
Математический маятник длины L колеблется с угловой амплитудой ам. Угол отклонения нити от положения равновесия в начальный момент времени равен ад. Получите зависимости от времени угла отклонения нити маятника от положения равновесия а(Ц, угловой скорости ш(1) и углового ускорения e(t) маятника.
Циклическая частота колебаний математического маятника ш в п = 10 раз больше максимальной угловой скорости шм нити маятника. Определите: а) угловую амплитуду ам колебаний маятника; б) максимальные значения тангенциального ускорения (аДмакс и нормального ускорения (ап)маКс шарика маятника.
Математический маятник длины L колеблется с угловой амплитудой ам. Угол отклонения нити от положения равновесия в начальный момент времени равен ад. Получите зависимости от времени нормального ап и тангенциального ат ускорений шарика. Являются ли эти зависимости гармоническими? Если да, то укажите соответствующие циклические частоты шдп И Шдт.
Точечная частица совершает гармонические колебания вдоль оси Ох так, что начало координат совпадает с положением равновесия частицы. Известно, что в момент времени to координата и скорость тела равны жд и жд соответственно. Циклическая частота колебаний равна ш. Докажите, что зависимость координаты тела от времени можно представить в виде
ж(Ц = Жд COS \ш(1 — tg)] + — sin \uj(t — to)Y
Динамика колебательного движения
Если материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат Ох около положения равновесия, принятого за начало координат, то зависимость координаты ж точки от времени t имеет вид (см. формулу (4.1.1)), где s = ж:
жЦ) = Acos ((Xt + 9?g).
6 С.Н. Белолипецкий и др.
Проекции скорости v и ускорения а точки на ось Ох равны гж = -ио sin (cut + 99g), «т = ™«о cos (cut + 990),
где гд = Аш — амплитуда скорости, ад = Аш2 = и^ш — амплитуда ускорения. Сила F, действующая на материальную точку, равна
F = та, Fx = ™тш2х, где т — масса материальной точки. Следовательно, сила F пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону:
F = ™тш2х!,
где i — орт оси Ох.
Такая зависимость силы от смещения характерна для упругой силы. Поэтому силы иной физической природы, удовлетворяющие тому же виду зависимости, называются квазиупру гимн.
Аналогичное соотношение можно получить для малых колебаний маятника с закрепленной горизонтальной осью вращения, не проходящей через центр масс маятника (осью качания):
М = — Лш2а,
где М — результирующий момент сил, приложенных к маятнику, J — его момент инерции, а — угол, характеризующий отклонение маятника от положения равновесия. М и J вычисляются относительно оси качания маятника.
Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания по закону x(t) = = Acos (cut + 990), равна
WK = ^mt? = |тгд sin2(wt + 99g) = ™тш2А2 sin2(c^ + 99g), или
Иф = |mw2A2[l — cos (2wf + 299g)].
Кинетическая энергия материальной точки совершает гармонические колебания с циклической частотой 2ш и амплитудой ^тш2А2 около среднего значения, равного ^тш2А2.
Потенциальная энергия материальной точки, гармонически колеблющейся под действием квазиупругой силы, равна
ж
Иф = — J Fxdx = ™тш2х2 = ™тш2А2 cos2 (си/: + 99g), о или
Иф = jma;2A2[l+cos (2wt+299g)] = |?nw2A2[l+cos (2ш^+299д+тг)].
Потенциальная энергия материальной точки совершает гармонические колебания с циклической частотой 2ш и амплитудой ^?пш2Л2 около среднего значения, равного |?пш2Л2. Колебания потенциальной и кинетической энергии совершаются со сдвигом по фазе на тг, так что полная механическая энергия материальной точки при гармонических колебаниях не изменяется:
W = Жк + Жп = |?тш2Л2 = const.
Дифференциальное уравнение колебаний может быть получено путем вычисления производной по времени от последнего равенства.
Во всех задачах настоящего раздела считайте, что трение отсутствует, массы пружин пренебрежимо малы, а колеблющиеся тела представляют собой материальные точки, если иное не указано в условиях задачи.
Материальная точка массы т движется таким образом, что проекция ее радиус-вектора на ось Ох гармонически зависит от времени: х(£) = 4cos(wot + 999). Найдите зависимость от координаты х проекции на ось Ох равнодействующей всех приложенных к телу сил Fx^x). Определите коэффициент пропорциональности к между Fx(x) и смещением х при гармонических колебаниях тела (коэффициент квазиупругой силы).
Частица массы т движется вдоль оси Ох под действием силы Fx(x) = —к(х — то), где к и ж 9 — некоторые известные постоянные, причем к > 0. Что можно сказать о виде зависимости x(tp Какие кинематические величины, характеризующие движение частицы, могут быть определены в условиях данной задачи? Какие величины должны быть дополнительно заданы в условии задачи для определения функции x(tp
Определите вид зависимости x(t) в условиях предыдущей задачи, считая, что дополнительно указаны значения координаты ж(0) и скорости ж(0) частицы в момент времени t = 0.
Грузик массы т = 200 г, прикрепленный к горизонтальной пружине жесткости к = 20 Н/м, покоится на гладкой горизонтальной плоскости. Второй конец пружины закреплен. Грузику толчком сообщили горизонтальную скорость го = 0,98 м/с, направленную вдоль оси пружины. Определите закон движения грузика x(t)s считая, что направление начальной скорости совпадает с положительным направлением оси Ох.
Грузик массы т = 200 г подвешен на вертикальной пружине жесткости к = 20 Н/м. Его удерживают таким образом, что пружина остается не деформированной. В момент времени t = 0 груз освобождают, не сообщая ему начальной 6*
скорости. Определите закон движения грузика ж (А), считая, что ось Ох направлена вертикально вниз, а значение координаты х = 0 соответствует положению нижнего конца недеформиро- ванной пружины. Сравните полученный результат с результатом задачи 4.19.
Определите период малых продольных колебаний тела массы т в системах, показанных на рисунке, если жесткости пружинок равны Ад и Ад.
абабК задаче 4.21К задаче 4.21
аб
аб
К задаче 4.21
К задаче 4.21
Грузик массы т, находящийся на горизонтальной гладкой поверхности между двумя вертикальными стенками, со
единен С НИМИ горизонталь-
71 к 1-/-A/WVWVWW-71 к 1-/-A/WVWVWW-ными пружинками жесткости Ai и Ад (см. рисунок). Определите закон движения груза. Зависит ли ответ от того, деформированы
71 к 1-
/-A/WVWVWW-
71 к 1-
/-A/WVWVWW-
К задаче 4.22 пружины в положении равновесия системы или нет?
Определите период Т малых вертикальных колебаний тела массы m в системе, показанной на рисунке, если жесткости пружинок равны Ад и Ад, а трение пренебрежимо мало.
К задаче 4.23К задаче 4.23
К задаче 4.23
К задаче 4.23
Вертикально ориентированная пробирка с дробью на дне плавает в воде (см. рисунок). Определите период Т малых
колебаний пробирки, если ее вывели из положения равновесия легким толчком в вертикальном направлении. Площадь поперечного сечения пробирки S^ ее масса вместе с дробью пр плотность воды р.
Определите период Т малых колебаний ртути массы m = 200 г, налитой в U-образную трубку сечения S = 0, 50 см2 (см. рисунок). Плотность ртути р = 13,6 • 103 кг/м3.
Покажите, что при малых колебаниях математического маятника длины L равнодействующая приложенных к грузику сил представляет собой квазиупругую силу. Определите коэффициент квазиупругой силы к и циклическую частоту колебаний wq. Масса грузика равна т.
Определите, на какую часть от первоначальной длины должна быть укорочена нить математического маятника, чтобы при подъеме на высоту h = 10 км над поверхностью Земли период его колебаний не изменился.
Определите период Т малых колебаний математического маятника длины L = 20 см, если он находится в жидкости с плотностью в п = 3 раза меньшей плотности материала шарика. Сопротивление жидкости пренебрежимо мало.
Небольшой металлический шарик массы m подвешен на нити длины L над бесконечной непроводящей горизонтальной плоскостью, равномерно заряженной с плотностью ст. Определите период Т малых колебаний маятника, если заряд шарика равен —q (заряды шарика и плоскости противоположны по знаку)-
Определите период Т малых колебаний математического маятника длины Б, точка подвеса которого закреплена в кабине лифта, движущегося с постоянным ускорением а: а) вверх; б) вниз.
Определите период Т малых колебаний и положение равновесия математического маятника длины Б, находящегося в вагоне, движущемся с постоянным горизонтальным ускорением а.
Точка подвеса математического маятника длины Б движется относительно поверхности Земли с постоянным ускорением а. Определите период Т колебаний и угол щу который составляет нить подвеса в положении равновесия маятника с вектором ускорения свободного падения g. Вычислите эти значения при условии, что угол между векторами а и g составляет 3 = 120°, Б = 21 см, a = g/2.
Лифтер высотного здания, будучи человеком пунктуальным, повесил на стену лифта точные маятниковые часы, чтобы знать, когда заканчивается рабочий день. Время движе-
ния лифта с ускорением, направленным вверх и направленным вниз, одинаково (по неподвижным часам), величина ускорения в обоих случаях также одинакова. Как вы думаете, закончит ли лифтер работу вовремя, переработает или недоработает? Ответ обоснуйте аналитически.
Представим себе шахту, пронизывающую Землю насквозь по ее оси вращения. Рассмотрев движение тела, упавшего в шахту, определите: а) время т, которое потребуется телу, чтобы достигнуть ее противоположного конца; б) скорость г тела в центре Земли. Землю считайте однородным шаром.
Невесомая штанга длины L одним концом закреплена в идеальном шарнире, а другим прикреплена к вертикально расположенной пружине с жесткостью к (см. рисунок) так, что способна совершать колебания в вертикальной плоскости. На расстоянии ж от шарнира на штанге закреплен груз массы т. Определите период Т малых колебаний этой системы.
К задаче 4.35К задаче 4.35К задаче 4.36К задаче 4.36
К задаче 4.35
К задаче 4.35
К задаче 4.36
К задаче 4.36
Однородную доску положили на два одинаковых ци
линдрических катка, вращающихся навстречу друг другу, как показано на рисунке. Расстояние между осями катков L = 20 см, коэффициент трения между доской и катками д = 0,18. Покажите, что доска будет совершать гармонические колебания. Определите их период Т.
Тело массы m совершает малые продольные колебания с амплитудой Л в системе, показанной на рисунке. Жест
кость пружины равна к, трение отсутствует. Получите зависимости от времени кинетической Жф/:) и потенциальной Ифф) энергий системы, если в начальный момент
времени t = 0 система находится в
К задаче 4.37положении равновесия. Определи
те: а) являются ли эти зависимости гармоническими; б) с каким сдвигом по фазе Ад изменяются Ифф) и Жпф); в) как связаны периоды Тк и Тп колебаний Ифф) и Иф(^) с периодом Т собственных колебаний маятника; г) вид зависимости от времени полной механической энергии маятника E(t) = Иф^ + Жзф); д) максимальные, минимальные и средние по времени значения Ифф) и Жт(ф; е) каким значениям смеще-
ния от положения равновесия они соответствуют; ж) амплитуды Ифо и Ифо колебаний Иф(£) и Иф(£). Постройте один под другим графики зависимости от времени WK(ty Иф (А) и E^ty
Пружинный маятник, описанный в предыдущей задаче, вывели из положения равновесия и отпустили. Через какое время At (в долях периода Т) кинетическая энергия колеблющегося тела будет равна потенциальной энергии деформированной пружины?
На горизонтальной пружине укреплено тело массы М = 10 кг, лежащее на абсолютно гладком столе. В это тело
К задаче 4.39К задаче 4.39попадает и застревает в нем пуля массы т = 10 г, летящая со скоростью г = = 500 м/с, направленной вдоль оси пружины (см. рисунок). Амплитуда возникших при этом колебаний
К задаче 4.39
К задаче 4.39
А = 0,1 м. Определите период Т возникших колебаний.
Тело массы m подвешено к нижнему концу невесомой вертикальной пружины жесткости Ат Считая, что ось Ох направлена вниз, а начало отсчета совпадает с положением нижнего конца недеформированной пружины: а) определите вид зависимости от ж потенциальной Иф (ж) и полной механической Ифех(ж, ж)энергий системы, считая, что Иф(0) = 0; б) определите общий вид зависимости x^ty в) определите вид преобразования координат х -Д х\ удовлетворяющего условию Ифех^'м4') = |?тг,(т/)2 + ™к(хгУУ г) запишите уравнение движения в координатах, определенных в пункте в).
Математический маятник длины L и массы m откло
нили от положения равновесия и отпустили. Получите зависимости его потенциальной Иф, кинетической Иф и полной механической Ифех энергий от угла а отклонения нити от положения равновесия. Вычислив производную по времени выражения для Иф^а) с учетом закона сохранения полной механической энергии данной системы, получите дифференциальное уравнение для a(t). Как выглядит решение этого уравнения в случае малых а, для которых sin a а!
Частица массы m движется вдоль оси Ох. При этом
ее полная механическая энергия описывается выражением:
И/мех(ж,ж) = фх2 - |йж2;
W^x^x,^ = ^mx2 + ^кх2 + bx;
WMex(x,x) = |тж2 + ^кх4,
где к и b — некоторые постоянные, к > 0. В каких случаях частица совершает гармонические колебания? Определите для этих случаев циклическую частоту колебаний wg.
Небольшой шарик совершает малые колебания в вертикальной плоскости, двигаясь без трения по внутренней поверхности сферической чаши. Определите период Т колебаний шарика, если внутренний радиус чаши равен Я, а радиус шарика г < й.
Обруч массы m и радиуса г может кататься без проскальзывания по внутренней поверхности цилиндрического желоба, радиус которого равен R (см. рисунок). Определите период колебаний обруча, считая угол ф малым и г < R. Плоскость обруча перпендикулярна оси цилиндра.
Два математических маятника длины L каждый связаны невесомой пружиной так, как показано на рисунке. Жесткость пружины равна к. При равновесии маятники занимают вертикальное положение, пружина недеформирована. Определите частоту ш малых колебаний системы в случаях, когда маятники отклонены в одной плоскости на равные углы в одну сторону (колебания в фазе) и в разные стороны (колебания в противофазе). Масса шарика маятника равна т.
К задаче 4.44К задаче 4.44К задаче 4.45К задаче 4.45К задаче 4.46К задаче 4.46
К задаче 4.44
К задаче 4.44
К задаче 4.45
К задаче 4.45
К задаче 4.46
К задаче 4.46
к
e-A/wwve
mm
Определите циклическую частоту ш колебаний показанной на рисунке системы, совершающей малые колебания в плоскости рисунка. Стержень и пружины невео сомы, масса грузика т, длина стержня L, жеста \кости пружин равны Ад и к^. На рисунке пока-
\зано положение равновесия.
\ 14.473. Определите период Т малых колеба-
\ний маятника, представляющего собой легкий
\жесткий стержень, на котором закреплены то
чечные массы mi и m2 на расстояниях соот- ~ ветственно Lx и L^ от точки подвеса (см. рисунок). Колебания происходят в вертикальной К задаче 4.47 плоскости.
Метроном представляет собой легкий жесткий стержень с закрепленной горизонтальной осью, относительно кото
рой он может вращаться без трения. На его нижнем конце на расстоянии L от оси вращения закреплен шарик массы М. Выше оси, на расстоянии ж, которое можно изменять, подбирая нужную частоту колебаний метронома, находится грузик массы т. Считая массы точечными, определите зависимость частоты v колебаний метронома от ж. Стержень колеблется в вертикальной плоскости.
Пружина жесткости к одним концом присоединена к оси колеса массы
К задаче 4.48К задаче 4.48т^ которое способно катиться без проскальзывания, а другим прикреплена к стене (см. рисунок). Определите циклическую частоту малых колебаний этой системы, если масса колеса равномерно распределена по его ободу.
К задаче 4.48
К задаче 4.48
К задаче 4.49К задаче 4.49К задаче 4.50 К задаче 4.51К задаче 4.50 К задаче 4.51Груз массы т посредством нерастяжимой нити, перекинутой через блок, связан с верхним концом вертикальной пружины, нижний конец которой закреплен (см. рисунок). Определите период Т малых колебаний этой системы, если массы нити и пружины пренебрежимо малы, жесткость пружины к, нить по блоку не скользит, а блок представляет собой тонкостенный цилиндр массы М. Трение в оси блока отсутствует.
К задаче 4.49
К задаче 4.49
К задаче 4.50 К задаче 4.51
К задаче 4.50 К задаче 4.51
Горизонтальный желоб слева от линии его основания выгнут по цилиндрической поверхности радиуса г, а справа — по цилиндрической поверхности радиуса R (см. рисунок). Определите период Т малых колебаний небольшого тела в этом желобе. Трением пренебречь.
Определите период Т малых колебаний системы, изображенной на рисунке, если в начальный момент времени
грузу толчком сообщают скорость го? причем расстояния между свободными концами пружин и стенками равны L. Жесткости пружин одинаковы и равны Ау масса груза т.
К задаче 4.52К задаче 4.52
К задаче 4.52
К задаче 4.52
Шарик массы т совершает гармонические колебания с амплитудой Л на пружине жесткости к. На расстоянии Л/2 от положения равновесия установили массивную кстальную плиту, от которой шарик абсолютно
Дупруго отскакивает (см. рисунок). Определите пе-
мриод Т колебаний системы. Будут ли они гармони
ческими?
I Д4.543. Шарик подвешен на нити длины L к
' / \стенке, составляющей угол а с вертикалью. Затем
। /—Анить с шариком отклонили на угол /3 > а и отпу-
/ ₽ \ стили (см. рисунок). Считая столкновения шарика Л \ со стенкой абсолютно упругими, а углы а и /3 — ма7• лыми, определите период Т колебаний маятника.
Чашка пружинных весов массы mi со™
г 1 вершает гармонические колебания с амплитудой Л.
В некоторый момент времени на нее положили (без начальной скорости) груз массы т^. В результате колебания прекратились. Определите первоначальный период Т колебаний чашки.
Точку подвеса математического маятника длины L мгновенно приводят в движение в горизонтальном направлении с постоянной скоростью г, затем, после того как она переместилась на расстояние 8^ мгновенно останавливают. При каком значении скорости г колебания маятника, возникшие с началом движения, прекращаются сразу же после остановки? Перед началом движения маятник покоился. Колебания маятника считать малыми.
Определите амплитуду Л колебаний чашки, подвешенной на пружине после падения на нее с высоты h = 1 м груза массы m = 0,1 кг. Масса чашки М = 0, 5 кг, коэффициент упругости пружины к = 4,9 Н/м. Удар груза о дно чашки считать абсолютно неупругим. Первоначально чашка весов покоилась.
К задаче 4.59К задаче 4.59Горизонтальная подставка совершает в вертикальном направлении гармонические колебания с амплитудой Л. Какой должна быть циклическая частота ш этих колебаний, чтобы лежащий на подставке предмет не отделялся от нее?
К задаче 4.59
К задаче 4.59
На горизонтальных рельсах находится груз массы М. К нему прикреплен математический маятник массы т (см. рисунок). Груз может двигаться только вдоль рельсов. Определите отношение периодов Т1/Т2 малых колебаний
маятника в параллельной и перпендикулярной рельсам верти-
кальных плоскостях.
К задаче 4.60К задаче 4.60К задаче 4.61К задаче 4.61Тело массы т скреплено пружиной жесткости к с бруском массы М (см. рисунок). Пружину сжимают, удерживая тела в неподвижном состоянии, а затем освобождают. Определите периоды Д и Т2 колебаний тела и бруска. Трение отсутствует.
К задаче 4.60
К задаче 4.60
К задаче 4.61
К задаче 4.61
ААК задаче 4.62К задаче 4.62
А
А
К задаче 4.62
К задаче 4.62
Два кубика с массами mi и m2 находятся на горизонтальной плоскости и прижаты к упорам с помощью пружины жесткости к (см. рисунок). Как будет зависеть от времени деформация пружины А, если убрать правый упор? Начальная деформация пружины АТ.
К маятнику АВ с шариком массы М подвешен маятник В С с шариком массы т (см. рисунок). Точка Л совершает колебания в горизонтальном направлении с периодом Т. Определите длину L нити ВС^ если известно, что нить АВ все время остается вертикальной.
Длинный железнодорожный состав, двигаясь по инерции, въезжает на горку с углом наклона а. Когда состав полностью остановился, на горке находилась половина его длины. Сколь
ко времени Af прошло от начала подъема до остановки? Какова начальная скорость гд состава, если его длина Ь? Трением пренебречь.
Гладкую однородную веревку длины L удерживают в вертикальном колене изогнутой трубы так, что нижний конец ее касается горизонтальной части трубы (см. риПсунок). Веревку отпускают. Через какое время
At она полностью окажется в горизонтальном положении? Как изменится это время, если вначале половина длины веревки уже находилась в горизонтальном колене?
Тонкий однородный брусок длины L
скользит по гладкой плоскости со скоростью Го, U направленной вдоль бруска. Брусок наезжает на
обширный шероховатый участок плоскости (см.
К задаче 4.64 рисунок). Через какое время At брусок остановится, если коэффициент трения между бруском и шероховатой частью плоскости равен ц?
К задаче 4.65К задаче 4.65Одна из обкладок незаряженного плоского конденсатора площади S подвешена на пружине, а вторая обкладка закреплена неподвижно (см. рисунок). Расстояние между пластинами в начальный момент времени равно Lg. Конденсатор на короткое время подключили к батарее, и он зарядился до напряжения U. Какой должна
К задаче 4.65
К задаче 4.65
быть жесткость к пружины, чтобы не происходило касание пластин в результате их взаимного притяжения после зарядки?
Положительный заряд Q равномерно распределен по тонкому проволочному кольцу радиуса R. В центре кольца находится точечная частица с зарядом —q и массы т. Частице толчком сообщается начальная скорость го вдоль оси кольца. Определите характер движения заряда в зависимости от начальной скорости, рассмотрев отдельно случай малых гд. Кольцо неподвижно.
Штатив массы М стоит на гладком столе. К штативу на легкой нити длины L подвешен шарик массы т (см. рисунок). Нить отклоняют на малый угол а от вертикали и отпускают. Изобразите график зависимости скорости п штатива от времени. Столкновения шарика с основанием штатива абсолютно упругие.
Тяжелая тележка движется со скоростью гд по горизонтальной плоскости и въезжает на наклонную плоскость, составляющую небольшой угол а с горизонтом. Переход между плоскостями плавный. На тележке установлен математический маятник с длиной нити L. Какова будет угловая амплитуда ^макс колебаний маятника, когда тележка будет двигаться
■<С2>О27/////7■<С2>О27/////77//////////////Л7//////////////Лвверх по наклонной плоскости? При движении по горизонтальной плоскости нить маятника сохраняла вертикальное положение.
■<С2>О27/////7
■<С2>О27/////7
7//////////////Л
7//////////////Л
К задаче 4.66К задаче 4.68
и емкостью про™и емкостью про™К задаче 4.71К задаче 4.71Проводник массы m и длины I подвешен к диэлектрику с помощью двух одинаковых пружин общей жесткости к (см. рисунок). Однородное магнитное поле с индукцией В направлено перпендикулярно плоскости рисунка. К верхним концам пружин присоединен конденсатор емкости С. Пренебрегая сопротивлением, собственной индуктивностью водников, определите период Т колебаний системы в вертикальной плоскости.
и емкостью про™
и емкостью про™
К задаче 4.71
К задаче 4.71
Жидкость в открытой трубе, подключенной к воздушному колпаку поршневого насоса, выведена из положения равновесия. Пренебрегая сопротивлением, определите циклическую частоту шд собственных колебаний жидкости, если при равновесном положении длина заполненной водой части трубы равна 7 разность уровней воды в трубе и воздушном колпаке h^ объем воздуха в колпаке равен Vq. Считайте площадь поперечного сечения колпака значительно большей, чем
площадь s поперечного сечения трубы. На рисунке показано положение равновесия.
Квадратная недеформируемая сверхпроводящая рамка со стороной а расположена горизонтально и находится в неод-
нородном магнитном поле, индукция которого определена законом Вж = —сеж, Ву = О, Bz = ce^+Bg, гДе се и Bq — некоторые постоянные. Масса рамки т, индуктивность L. В начальный момент времени t = 0 центр рамки совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям Ох и Оу. Рамку отпускают. Как она будет двигаться и где окажется спустя время t после начала движения? Ось Ох направлена вертикально вверх.
Сложение гармонических колебаний
Под сложением колебаний понимают нахождение закона результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта система одновременно участвует в двух колебательных процессах. Различают два предельных случая — сложение колебаний оди
накового направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Первый случай реализуется и при наложении колебаний скалярных физических характеристик колебательной системы (давления, температуры, электрического заряда, тока и Т.Д.).
Сложение двух одинаково направленных гармонических ко™ лебаний sx(t) = Ах cos (ujxt + pi) и s^t) = А^ cos (w^t + ps) можно произвести, используя метод векторных диаграмм, состоящий
в представлении гармонических колебаний в виде векторов на плоскости. Для этого из начала координат О на плоскости проводят векторы Ai и А2, модули которых равны амплитудам Ах и А^ рассматриваемых колебаний (см. рисунок). Эти векторы составляют с осью координат Ох углы соответственно #1 = Cdit + фх и ^2 “ ^2^ + +^2? равные фазам колебаний щ и 52 в данный момент времени t. С течением времени углы Ф1 и #2 увеличиваются так, что векторы Ai и А2 равномерно
вращаются вокруг точки О с угловыми скоростями, равными циклическим частотам колебаний шх и Ш2. Соответственно проекции векторов Ai и А2 на горизонтальную ось Ох совершают гармонические колебания по законам
Ахх = si(t) = Ах cos (edit + фх\А^х = S2(t) = А^ cos (ed2t + ^2)-
Результирующим колебаниям s(t) = si(t) + s2(t) соответствует вектор A(t) = Ai(t) + A2(t), проекция которого на горизонтальную ось Ох равна s(t):
s(t) = А^ cos Ф(Д
По теореме косинусов
Ах cos Ф1 (t) + А2 cos Ф2 (t)Ах cos Ф1 (t) + А2 cos Ф2 (t)A(t) — ^/А^ + А^ + 2А1А2 cos[Ф2(t) — Ф1 (t)],= A 8Й1ФД) + Л2 8ШФ2Д
Ах cos Ф1 (t) + А2 cos Ф2 (t)
Ах cos Ф1 (t) + А2 cos Ф2 (t)
Два гармонических колебания si и S2 называют когерентными, если разность их фаз не зависит от времени: #2^) - Ф1(^) = = const. Очевидно, что в этом случае циклические частоты колебаний si и S2 должны быть одинаковы: од = Ш2 = ш, а #2(£) — — #i(t) = ^2 ^1- Результирующее колебание
s = sx + s2 = A cos (wt + <^0) ?
где
А = ^А^-\- А^А- 2ЛхЛ2 cos Ц2 -
31 sin y>i + Аз sin у>2tg^o = -.—л•
Ах COS фх + Л2 COS ф2
Метод векторных диаграмм наиболее эффективен для описания когерентных колебаний.
При сложении взаимно перпендикулярных гармонических колебаний в плоскости ху, происходящим по законам х(£) = = Л1 cos (cut + <^1) и y(t) = Л2 cos (cot + ф^), уравнение траектории результирующего движения можно найти, исключив из выражений для х и у параметр t.
Точечная частица одновременно участвует в двух колебательных движениях, которым соответствуют смещения гд и г2 соответственно. Определите результирующее смещение частицы.
Точечная частица одновременно участвует в двух гармонических колебательных движениях, происходящих вдоль оси Ох, графики которых представлены на рисунке. Для каждого из случаев получите уравнение результирующего колебания, постройте его график и определите разность фаз слагаемых колебаний.
К задаче 4.74
Под воздействием одной волны материальная точка совершает колебаний в вертикальном направлении по закону
^i(t) = Лi cos (edit + <^i), Л1 = 3 см, од = 5 рад/с, под воздействием другой — по закону ^(t) = Л 2 cos (^2^ + Ф2^ Л2 = = 4 см, Ш2 = 5 рад/с. Определите частоту ш и амплитуду Л колебаний этой точки под воздействием обеих волн, если фг — -ф2= Тг/2.
и Х2^ = 3sin ^2тг^ + ™и Х2^ = 3sin ^2тг^ + ™ми: xi(t) = 4sin27rми: xi(t) = 4sin27rГ Запишите уравнение колебаний материальной точки, участвующей одновременно в двух колебательных движениях, происходящих вдоль одной прямой и описываемых уравнения™
и Х2^ = 3sin ^2тг^ + ™
и Х2^ = 3sin ^2тг^ + ™
ми: xi(t) = 4sin27r
ми: xi(t) = 4sin27r
Материальная точка участвует одновременно в двух колебательных движениях, происходящих вдоль одной прямой и описываемых уравнениями: xi(t) = Лх cos w(t + тД и Х2^> = = Л2 СОвсД^ + тД, где Л1 = 1, О СМ, Л2 = 2, О СМ, П = | С, Т2 = | с, ш = л [с™1]. Определите начальные фазы ^д и ф2 составляющих колебаний, амплитуду Л и начальную фазу 920 результирующего колебания. Запишите уравнение результирующего колебания.
Материальная точка участвует одновременно в двух колебательных движениях, происходящих вдоль одной пря™ мой и описываемых уравнениями: хДД = Л sin cut и Х2^ = = 0,5Л sin3c<jt. Постройте (качественно) график результирующего смещения. Будет ли соответствующее колебание гармоническим?
Используя метод векторных диаграмм, определите амплитуду Л и фазу 920 результирующего колебания, возникающего при сложении трех гармонических колебаний, описываемых уравнениями: жДД = sin cut, Х2^ = 2 sin Qjt + ^, x^t) = = 2,5 sin (оЛ+тг) и происходящих вдоль одной прямой. Запишите его уравнение.
Используя метод векторных диаграмм, определите амплитуду Л и фазу <^о результирующего колебания, возникающего при сложении трех гармонических колебаний, описываемых уравнениями: xi(t) = 2sincjt, Х2^ = 3 sin cut, хч^ = = 2 sin ^wt + ^ и происходящих вдоль одной прямой. Запишите его уравнение.
Два гармонических колебания с одинаковыми периодами То = 1, 2 с и амплитудами Л1 = 5, 0 см и Л2 = 2, 0 см происходят вдоль одной прямой. Каков период Т результирующего колебания? При каких наименьших разностях фаз Аф составляющих колебаний амплитуда результирующего колебания принимает наибольшее Лмакс и наименьшее Лмин значения? Определите Лмакс и Лмин.
Получите уравнение траектории материальной точки, которая участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, заданных уравнениями x(t) = 2sinTr(2£ + 1) и y(t) = = 2sin ^2тг£ + ^. Укажите направление движения.
Материальная точка участвует одновременно в двух колебательных движениях, происходящих вдоль взаимно перпендикулярных прямых и описываемых уравнениями: x(t) = = Л1 cos cd£ и y(t) = A2cos—i, где Ai = 1,0 см и А^ = 2,0 см, cd = тг [с™1]. Получите уравнение траектории точки и постройте ее, указав направление движения.
Материальная точка участвует одновременно в двух колебательных движениях, происходящих вдоль взаимно перпендикулярных прямых и описываемых уравнениями: х^ = = Aicoscdi и у^ = ^sincut, где Ai = 2,0 см и Аз = 1,0 см. Получите уравнение траектории точки и постройте ее, указав направление движения.
Движение точки на плоскости задано уравнениями: x^t) = Ai cos cot и y(t) = A3 sin cd(t+r), где Ai = 10 cm, A3 = 5 cm, ш = 2 c^1, t = с. Получите уравнение траектории точки и постройте ее, указав направление движения. Определите скорость о точки в момент времени Д = 0, 5 с.
Движение точки на плоскости задано уравнениями: х^ = Лх cos cot и y(t) = —A3cos2cot, где Ai = 2,0 см, Аз = = 1,0 см. Получите уравнение траектории точки и постройте ее.
y^t) = Acos2cot;y(t) = A cos 2cot; y(t) = Ai cos cot;y(t) = A cos cot;y^t) = Acos2cot;y(t) = A cos 2cot; y(t) = Ai cos cot;y(t) = A cos cot;Движение точки на плоскости задано уравнениями:
y^t) = Acos2cot;
y(t) = A cos 2cot; y(t) = Ai cos cot;
y(t) = A cos cot;
y^t) = Acos2cot;
y(t) = A cos 2cot; y(t) = Ai cos cot;
y(t) = A cos cot;
a) ж(£) = Л sin cd/;, б) х^ = Л COS Cd/;, в) x(t) = Л COs2cd£, г) х^ = Ai sincdt, д) X^t) = Л COSCdt,
e) x^t) = A cos cdt, y(f) = A cos y2cot + - j,
где Л = 2,0 см, Ai = 3,0 см, Л2 = 1,0 см. Получите уравнение траектории точки и постройте ее.
Когда шарик математического маятника в момент времени t = 0 проходил положение равновесия, двигаясь со скоростью о в направлении оси Ох, ему сообщили такую же скорость в направлении оси Оу. Получите закон движения маятника x(f) и y(t), а также уравнение траектории шарика у (ж), если
амплитуда первоначальных колебаний шарика Ло. Рассмотрите случай, когда шарику сообщили ту же скорость в направлении, противоположном оси Оу. Плоскость хОу горизонтальна.
К задаче 4.90К задаче 4.90В момент времени t = 0, когда шарик математике™ ского маятника, колеблющегося в вертикальной плоскости xOz, имел максимальное смещение ж(0) = +Л, ему сообщили скорость в направлении оси Оу, при этом амплитуда колебаний, возникших вдоль оси Оу, равна амплитуде А первоначальных колебаний вдоль оси Ох. Получите закон движения маятника x(t) и y(t), а также уравнение траектории шарика у (ж), указав направление движения. Плоскость ху горизонтальна. Рассмотрите случай ж(0) = —А.
К задаче 4.90
К задаче 4.90
4.9О3. Маленький шарик подвешен на легкой пружине. Длина и жесткость пружины подобраны так, что частота вертикальных колебаний шарика в два раза больше частоты ш горизонтальных колебаний математического маятника. Покоившемуся в положении равновесия шарику в момент времени t = 0 сообщили небольшую начальную скорость по (см. рисунок). Получите закон движения маят
ника ж(£) и y(t), а также уравнение траектории шарика у (ж). Как выглядит эта траектория? Как она изменяется в зависимости от угла а?
Затухающие и вынужденные колебания
Затуханием колебаний называют уменьшение амплитуды колебаний, обусловленное постепенной потерей энергии колебательной системой.
Если параметры колебательной системы не изменяются в ходе процесса (т.е. система является линейной), то дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид
где 3 = const > 0 — коэффициент затухания, а шо — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же системы. Свободные колебания материальной точки массы т в вязкой среде могут быть описаны дифференциальным уравне-
ниемниемd?xdx _
нием
нием
™ кх, dt2dt
где г — коэффициент сопротивления, к — коэффициент квази™ упругой силы.
Если 3 < шо, то затухающие колебания происходят по закону
s(t) = А^е cos (cut + <^о)?
где ш = у/ш^ ™ З2 — циклическая частота ^условная циклическая част,от,а) затухающих колебаний^ а постоянные А^ и фо
Величину Т = —Величину Т = —"= называют периодом ^условнымV^o Д"= называют периодом ^условнымV^o Дпериодом)^ а величину A^t) = А^е ^ — амплитудой затухаю™ щих колебаний (Ло — начальная амплитуда).периодом)^ а величину A^t) = А^е ^ — амплитудой затухаю™ щих колебаний (Ло — начальная амплитуда).Промежуток времени т =Промежуток времени т =1.1.в течение которого амплитудав течение которого амплитудаопределены начальными условиями.
Величину Т = —
Величину Т = —
"= называют периодом ^условным
V^o Д
"= называют периодом ^условным
V^o Д
периодом)^ а величину A^t) = А^е ^ — амплитудой затухаю™ щих колебаний (Ло — начальная амплитуда).
периодом)^ а величину A^t) = А^е ^ — амплитудой затухаю™ щих колебаний (Ло — начальная амплитуда).
Промежуток времени т =
Промежуток времени т =
1.
1.
в течение которого амплитуда
в течение которого амплитуда
затухающих колебаний уменьшается в е раз, называют време-
нем релаксации.
Логарифмическим декремент.ом затухания называют без™ размерную величину А, определенную выражением
А = InА = InАХА^ + Т\АХА^ + Т\
А = In
А = In
АХ
А^ + Т\
АХ
А^ + Т\
Логарифмический декремент затухания удовлетворяет соотношениям А = ЗТ = где N — число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний ма™ териальной точки, происходящих вдоль оси Ох под действием внешней вынуждающей ^возмущающей) силы F(t), имеет вид
d2x dxd2x dxт—тг = ^г — dt2 dtт—тг = ^г — dt2 dt™ kx + Fx(t).™ kx + Fx(t).
d2x dx
d2x dx
т—тг = ^г — dt2 dt
т—тг = ^г — dt2 dt
™ kx + Fx(t).
™ kx + Fx(t).
Если вынуждающая сила гармонически зависит от времени, т.е. Fx(t) = Fo cos Sit, то решение уравнения вынужденных коле™ баний имеет вид
x(t) = Лде™^ cos (wt + 9?о) + A cos Д1 ™ а)
F0/mF0/mгде постоянные Ло и <^о определены начальными условиями, А =
F0/m
F0/m
— амплитуда вынужденных колебаний,
.2/3Q
tga =
Уравнение установившихся вынужденных колебаний имеет вид
ж(£) = Л cos (Ш —
Амплитуда смещения в случае установившихся вынужденных колебаний достигает максимума при циклической частоте колебаний 0рез = V^o — ^З2 = V^2 — З2 (резонансная частота). Максимальная (резонансная) амплитуда равна
Амплитуда затухающих колебаний маятника за время /д = 5 мин уменьшилась в пх = 2 раза. За какое время t^ амплитуда уменьшится в П2 = 8 раз?
За время т = 8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в п = 3 раза. Определите коэффициент затухания /3.
Амплитуда колебаний маятника длины L = 1,0 м за время т = 10 мин уменьшилась в п = 2 раза. Определите логарифмический декремент затухания А.
Логарифмический декремент затухания маятника равен А = 3,0 • 10™3. Определите число АГ полных колебаний, которые должен совершить маятник, чтобы амплитуда его колебаний уменьшилась в п = 2 раза.
Гиря массы т = 500 г подвешена на пружине жесткости к = 20 Н/м и совершает колебания в вязкой среде. Логарифмический декремент затухания А = 4, 0 • 10~3. Определите число N полных колебаний, которые должна совершить гиря, чтобы амплитуда ее колебаний уменьшилась в п = 2 раза. За какое время т произойдет это уменьшение?
Определите период Т затухающих колебаний системы, если период собственных колебаний То = 1,0 с, а логарифмический декремент затухания равен А = 0,628.
Тело массы m = 5,0 г совершает затухающие колебания. За время т = 50 с оно теряет ц = 60 % своей энергии. Определите коэффициент сопротивления г.
Определите число Ж полных колебаний системы, в течение которых энергия системы уменьшилась в п = 2 раза. Логарифмический декремент затухания А = 0,01.
Тело массы т = 1,0 кг находится в вязкой среде с коэффициентом сопротивления г = 0, 05 кг/с. С помощью двух одинаковых пружин жесткости к = 50 Н/м каждая оно удерживается в положении равновесия (см. рисунок). Тело вывели из
положения равновесия и отпустили. Определите коэффициент
затухания /3; частоту колебаний щ логарифмический декремент
К задаче 4.99К задаче 4.99затухания А; число N колебаний, по истечении которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз. В положении равновесия пружины не деформированы.
К задаче 4.99
К задаче 4.99
Вагон массы
т = 80 т имеет п = 4 рессоры жесткости к = 500 кН/м каждая. При какой скорости и вагон начнет сильно раскачиваться под действием толчков на стыках рельсов, если длина рельса L = = 12,8 м?
Какой длины L маятник будет наиболее сильно раскачиваться в вагоне при скорости поезда и = 72 км/ч? Длина рельсов b = 12, 5 м.
Через ручей переброшена длинная упругая доска. Когда человек стоит на ней неподвижно, она прогибается на Ah = 0,10 м. Если же он идет со скоростью и = 3,6 км/ч,
то доска раскачивается так сильно, что человек падает в воду. Какова длина L его шага?
Грузовики въезжают по грунтовой дороге на зерновой склад с одной стороны, разгружаются и выезжают со склада с той же скоростью, но с другой стороны. С одной стороны склада выбоины на дороге идут чаще, чем с другой. Как по состоянию дороги определить, с какой стороны склада въезд, а с какой выезд? Ответ обосновать.
Система совершает затухающие колебания с частотой у = 1000 Гц. Определите частоту уд собственных колебаний системы, если резонансная частота урез = 998 Гц.
Определите, на какую величину Ау резонансная частота отличается от собственной частоты vq = 1,0 кГц колебательной системы, характеризующейся коэффициентом затухания /3 = 400 сх1.
Период собственных колебаний пружинного маятника равен То = 0, 55 с. В вязкой среде тот же маятник колеблется с периодом Т = 0, 56 с. Определите резонансную частоту z/pe3 колебаний.
Груз массы m = 100 г, подвешенный на пружине жесткости к = 10 Н/м, совершает вынужденные колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления г = 2, 040™2 кг/с. Определите коэффициент затухания /3 и резонансную амплитуду Лрез. Амплитудное значение вынуждающей силы Ед = 10 мН.
Тело совершает вынужденные колебания в среде с коэффициентом сопротивления г = 10™3 кг/с. Считая затухание малым, определите амплитудное значение Fq вынуждающей силы, если резонансная амплитуда Арез = 0, 5 см и частота собственных колебаний Pg = 10 Гц.
Амплитуды смещения вынужденных гармонических колебаний при частотах сщ = 400 с™1 и W2 = 600 с™1 равны между собой. Определите резонансную частоту сарез-
К пружине жесткости к = 10 Н/м подвесили грузик массы т = 10 г и погрузили всю систему в вязкую среду с коэффициентом сопротивления г = 0,10 кг/с. Определите частоту Pg собственных колебаний системы; резонансную частоту ррез; резонансную амплитуду Арез при амплитудном значении вынуждающей силы Fg = 20 мН; отношение Q резонансной амплитуды к статическому смещению под воздействием постоянной СИЛЫ Fg.
Механические волны
Уравнение плоской гармонической волнъц распространяющейся в непоглощающей среде вдоль положительного направления оси От, имеет вид
s^x, t) = Asin [w ^t^ + ф^ = Asin (wt — kx + ^o)-
Уравнение сферической гармонической волнъц распространяющейся в непоглощающей среде из начала координат, имеет вид
s(r, f) = — cos (cat — kr + Qg). r
Здесь s(r, t) — смещение частиц среды; A = const — амплитуда колебаний, называемая амплитудой плоской волны; А (г) = = — — амплитуда сферической волны; Ад — физическая величина, численно равная амплитуде сферической волны на единичном расстоянии от ее центра; ад — начальная фаза колебаний в центре волны, ш — циклическая (круговая) частота волны; Т = 2тт/ш — период колебаний; фо — начальная фаза колебаний в координатной плоскости х = 0, и — скорость распространения гармонических колебаний в среде (фазовая скорость); к = — — волновое число. Величину Ф(ац€) = ш1™кх + фо (соответственно Ф(г, t) = uot — kr + ctg) называют фазой гармонической волны.
Расстояние А = гТ = —, на которое распространяется гармоническая волна за время, равное периоду колебаний, называют длиной волны. Длина волны равна расстоянию между двумя ближайшими точками среды, в которых разность фаз колебаний равна 2тг.
При наложении двух когерентных бегущих плоских волн вида 5х(хД) = A cos (cat — кх) и S2(^,t) = Л cos (cat + кх + (^о), где фй — разность фаз волн в точках х = 0, образуется плоская ст.оячая волна^ описываемая уравнением
s(x.t) = si(x,t) + зДеД = 2Лсо8
Амплитуда стоячей волны равна
Точки, в которых Лст = 0, называют узлами ст.оячей волнъц а точки, в которых амплитуда Лст максимальна, — пучностями ст.оячей волны. Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя соседними пучностями одинаковы и равны половине длины волны А бегущих волн. Эту величину называют длиной ст.оячей волны: Аст = А/2.
Если источник звуковых волн удаляется от приемника со скоростью щ (относительно среды), направленной вдоль соединяющей их прямой, а приемник движется по направлению к источнику со скоростью Г2 (относительно среды), то частота v регистрируемых приемником звуковых колебаний равна v =
=1 гДе ^0 — частота колебании источника; и — скорость
-и + га
распространения звука в среде (эффект. Доплера).
Фазовая скорость продольных волн в твердом теле равна и = = ^^? гДе Е — модуль Юнга; р — плотность вещества.
Фазовая скорость продольных волн (звука) в идеальном газе /тр pyROСр
равна и = ж — = ж - где 7 =— показатель адиабаты
у Р у р
(Ср и Cv — молярные теплоемкости газа при постоянном давлении и постоянном объеме), р — давление, р — плотность, д — молярная масса газа, @ — его абсолютная (термодинамическая) температура, R — универсальная газовая постоянная.
В задачах настоящего раздела скорость звука в воздухе считайте равной и = 340 м/с, если условиями задачи не предусмотрено иное.
На рисунке изображен профиль длинного резинового шнура, по которому распространяется волна, и указаны
К задаче 4Л11К задаче 4Л11направления скоростей двух ее точек. Изобразите один под другим профили шнура через четверть, половину и три четверти периода колебаний точек шнура. В каком направлении распространяется волна?
К задаче 4Л11
К задаче 4Л11
4.1121. В каком направлении распространяется волна, если частица В имеет направление скорости, показанное на рисунке? Какая это волна?
На рисунке изображен профиль волны и указано направление ее распространения. Куда направлена скорость частицы В, колеблющейся в волне?
V4
К задаче 4Л12К задаче 4Л12аб
К задаче 4Л12
К задаче 4Л12
На рисунке изображен профиль волны и указаны направления скоростей двух ее точек. Укажите направление распространения волны. Какая это волна?
Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью и = 15 м/с. Период колебаний точек шнура Т = 1,2 с, амплитуда А = 2, 0 м. Определите длину волны А; фазу ф колебаний, смещение s, скорость г и ускорение а точки, находящейся на расстоянии L = 45 м от источника волн в момент t = 4, 0 с; разность фаз ^ф колебаний в точках, находящихся от источника волн на расстояниях Li = 20 м и L^ = 30 м. Фаза
колебаний в точке, где расположен источник, в момент времени t = 0 равна нулю. Колебания происходят по закону косинуса.
аб
К задаче 4Л13
Период колебания вибратора Т = 0,01 с, скорость распространения волн и = 340 м/с, амплитуда колебания всех
аб
К задаче 4Л14
точек А = 1,0 см. Определите разность фаз ^ф колебаний в двух точках, лежащих на одном луче, если расстояние от вибратора до первой точки Lq = 6, 8 м, а между точками ALi = 3,4 м; АЬ2 = 1,7 м; АЬз = 0, 85 м. Определите смещение s этих точек в момент времени, когда смещение вибратора равно нулю.
Точечный вибратор излучает сферическую волну. Определите разность фаз Кф колебаний в точках, находящихся на расстояниях Lx = 8, 0 м и L^ = 10 м от вибратора. Длина волны А = 4, 0 м.
Плоская поперечная волна задана уравнением s(x, t) = 3, 0 • 10™4 cos (314t — ж) (здесь s и ж даны в метрах, t — в секундах). Определите частоту I/, фазовую скорость и и длину А волны; скорость и и ускорение а частиц среды, определите максимальные значения этих величин гмакс и аМакс-
Волна от катера, проходящего по озеру, дошла до берега через т = 1,0 мин, причем расстояние между соседними гребнями оказалось равным АВ = 1,5 м, а время между двумя последовательными ударами о берег АТ = 2,0 с. На каком расстоянии L от берега проходил катер?
Во сколько раз п изменится длина звуковой волны при переходе из воздуха в воду? Скорость звука в воздухе их = = 340 м/с, в воде — П2 = 1Д км/с.
На расстоянии s = 1068 м от наблюдателя ударяют молотком по железнодорожному рельсу. Наблюдатель, приложив ухо к рельсу, услышал звук на At = 3, 0 с раньше, чем он дошел до него по воздуху. Определите скорость звука их в стали, если скорость звука в воздухе П2 = 340 м/с.
Звук выстрела и вертикально выпущенная пуля одновременно достигают высоты h = 680 м. Какова начальная скорость го пули, если скорость звука в воздухе и = 340 м/с? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Самолет летит горизонтально со сверхзвуковой скоростью и. Наблюдатель услышал звук самолета через время т после того, как увидел самолет над головой. На какой высоте h летит самолет?
Наблюдатель заметил приближающийся к нему со скоростью и = 500 м/с реактивный самолет на расстоянии s = = б км. На каком расстоянии S будет находиться самолет от наблюдателя, когда он услышит звук его двигателей?
Из пункта А в пункт В был послан звуковой сигнал частоты v = 50 Гц, распространяющийся со скоростью uq = = 340 м/с; при этом на расстоянии от Л до В укладывалось целое число волн. Когда температура воздуха стала на АТ = 20 К выше, чем в первом случае, опыт повторили. При этом число длин волн, укладывающихся на расстоянии от 4 до В, уменьшилось на п = 2. Определите расстояние L между пунктами А и В, если при повышении температуры воздуха на ATi = 1 К скорость звука увеличивается на Atxi = 0, 5 м/с.
В воде распространяется звуковая волна с частотой колебаний v = 725 Гц. Скорость звука в воде ив = 1450 м/с. Определите, на каком расстоянии Ат друг от друга находятся точки, совершающие колебания: а) в противоположных фазах; б) в одинаковых фазах; в) с разностью фаз ^ф = тг/4.
Открытая с двух сторон труба имеет первую резонансную частоту v = 400 Гц. На какой наиболее низкой частоте щ будет резонировать эта труба, если закрыть один из ее концов? Считайте, что открытые концы трубы являются пучностями, а закрытые — узлами смещения.
Труба длины L = 1 м заполнена воздухом при нормальном атмосферном давлении. Один раз труба была открыта с одного конца, другой раз — с обоих концов, в третий раз — закрыта с обоих концов. При каких минимальных частотах в трубе будут возникать стоячие волны в этих трех случаях? Открытые концы трубы являются пучностями, закрытые — узлами смещения.
На шнуре длины L = 2,0 м, один конец которого прикреплен к стене, а другой колеблется с частотой v = 5, 0 Гц, образовалась стоячая волна. При этом на длине шнура возникает п = 3 узла (считая узел на закрепленном конце). Определите скорость г распространения волн вдоль шнура.
Автомобиль, движущийся со скоростью и = = 120 км/ч, издает звуковой сигнал длительностью щ = 5,0 с. Какой длительности т сигнал услышит стоящий на шоссе человек, если автомобиль: а) приближается к нему? б) удаляется от него?
Динамик излучает сферическую звуковую волну с частотой pg = 170 кГц. Какую частоту р зафиксирует наблюдатель, движущийся к динамику со скоростью и = 60 км/ч? Скорость звука в воздухе г = 340 м/с.
Какую частоту р звуковых колебаний зафиксирует неподвижный наблюдатель, находящийся на расстоянии L от прямолинейного шоссе, по которому движется со скоростью и автомобиль, испускающий звуковой сигнал с частотой pq, в момент, когда расстояние между автомобилем и наблюдателем равно R? Автомобиль приближается к наблюдателю. Скорость звука в воздухе равна т.
Гидролокатор подводной лодки, всплывающей вертикально, излучает короткие ультразвуковые импульсы длительностью tq. Определите скорость и подъема лодки, если длительность сигналов, зарегистрированных приемником гидролокатора после отражения от горизонтального дна, равна т. Скорость распространения ультразвуковых колебаний в воде равна г.
Переменный ток
Переменным называют такой электрический ток, сила или напряжение которого (или то и другое вместе) изменяются с течением времени.
Для переменного синусоидального тока мгновенные значения силы тока 1^ и напряжения U (t) на участке цепи описываются выражениями
J(^) = Jq sin ^ш1 + фффU(^) = Uo sin (cut + ф^ф
где Jq и Uq — максимальные (амплитудные) значения силы тока и напряжения, ш — циклическая (круговая, угловая) частота тока, ф^ и ф2 — начальные фазы колебаний силы тока и напряжения.
Эффективным (дейст.вуюи^им^ значеним силы периодического тока (соответственно ЭДС, напряжения и т.д.) называют среднее квадратичное значение тока за период Т его изменения:
ООJэф
О
О
это значение силы такого постоянного тока, который за промежуток времени, равный одному периоду колебаний переменного тока, вызовет в активном (омическом) сопротивлении выделение такого же количества теплоты, как и рассматриваемый переменный ток.
Для синусоидального тока
К задаче 4.134К задаче 4.134
К задаче 4.134
К задаче 4.134
4.1341. Прямоугольная рамка пло
щади S вращается в горизонтально направленном однородном магнитном поле (см. рисунок) с частотой v. Магнитная индукция поля постоянна и равна В. Найдите зависимость от времени магнитного потока Ф(£) через рамку и ЭДС индукции £(t\ возникающей
в рамке, если в момент времени t = О плоскость рамки: а) расположена гори-
зонтально; б) составляет с горизонтальной плоскостью угол фо.
Ось ОО1 вращения рамки горизонтальна и направлена по нор
мали к линиям магнитной индукции.
В рамке, содержащей Ж = 100 витков проволоки и равномерно вращающейся в однородном магнитном поле, магнитный поток изменяется по закону Ф(£) = 2,0 • 10™3 cos (314t) (все используемые величины измеряются в единицах СИ). Определите зависимость от времени возникающей в рамке ЭД С индукции £(f), эффективное £эф и максимальное £д значения ЭД С индукции, а также значение ЭДС индукции в момент времени tx = 5,0 мс. Как будет выглядеть зависимость ЭДС индукции £\t) от времени, если угловая скорость вращения рамки возрастет в п = 2 раза?
Рамка, содержащая Ж = 200 витков, вращается в однородном магнитном поле с индукцией В = 15 мТл. Ось вращения проходит через плоскость рамки и перпендикулярна к линиям магнитной индукции. Определите ЭДС индукции £(т), возникающую в рамке спустя т = 0,01 с после прохождения рамкой положения равновесия. Площадь рамки S = 300 см2. Амплитудное значение ЭДС индукции £q = 7, 2 В.
Напряжение на концах участка цепи, по которому течет переменный ток, изменяется с течением времени по закону U(t) = Uq sin ^ujt + ™У В момент времени т = ™, где Т — период колебаний, мгновенное значение напряжения U(r) = 10 В. Определите амплитудное значение напряжения По, частоту v и циклическую частоту ш колебаний, если период колебаний равен Т = 0,01 с. Постройте график зависимости U^ty
По цепи протекает переменный ток частоты v = = 2, 0 • 106 Гц. Определите, спустя какое минимальное время At после момента, когда сила тока в цепи была равна нулю, она станет равной J = 25 мА. Амплитудное значение силы тока в цепи равно Jo = 100 мА.
Обмотка ротора генератора переменного тока представляет собой прямоугольную рамку со сторонами Lx = 4, 0 см и L^ = 8,0 см, состоящую из Ж = 20 витков медного провода диаметра d = 0, 50 мм. Рамка вращается с частотой v = = 50 Гц в однородном магнитном поле с индукцией В = 0, 5 Тл. Ось вращения проходит через середины противоположных сторон рамки и перпендикулярна к линиям магнитной индукции. Определите среднюю тепловую мощность В, выделяющуюся в подключенном к генератору сопротивлении R = 1, 0 Ом. Удельное сопротивление меди р = 1,7 • 10™8 Ом-м.
Напряжение зажигания неоновой лампы U3 = 80 В, напряжение гашения Пг = 70 В. Вольтметр показывает, что в цепи переменного тока напряжение равно U = 60 В. Будет ли лампа гореть в этой цепи? Ответ обосновать.
4.1412. Неоновая лампа с напряжением зажигания U3 = = 156 В включена в сеть переменного тока, эффективное значение напряжения которого [7эф = 220 В, частота v = 50 Гц. Опре-
К задаче 4Л42К задаче 4Л42делите частоту п вспышек лампы. В течение какой части периода лампа горит? Напряжение гашения лампы считайте равным напряжению зажигания.
К задаче 4Л42
К задаче 4Л42
В следствие неполного выпрямления диодом синусоидального тока зависимость от времени силы тока, текуще
го через диод, имеет вид, показанный на рисунке. Определите действующее значение 1эф силы тока в цепи. Между момента
ми времени, в которые значение силы тока становится равным нулю, эта зависимость является синусоидальной.
К задаче 4Л43
4.1432. Зависимость силы тока в цепи от времени J(t) представлена на рисунке. В случаях а и б функция I(t) является
периодической с периодом Т; в случаях в и г на графике показаны два полных периода функции Ц1\ Определите эффективные значения силы тока /эф для всех случаев.
- nT- nT4.1443. Определите эффективное значение [7эф напряжения генератора, вырабатывающего периодические импульсы «пилообразной» формы. На рисунке дан график зависимости U(t); период импульсов — Т, их длительность — т, амплитуда — Uq. При t Е (пТ;пТ + т), где п — целое число, зависимость U^ определяется выражением U^ = Uq
- nT
- nT
4.1453. Кольцо радиуса R = 6,0 см, изготовленное из медной проволоки диаметра d = 0, 50 мм, помещено в однородное
магнитное поле, силовые
линии которого перпендикулярны к плоскости кольца. На рисунке показана зависимость индукции магнитного поля В от времени; Bq = 10 мТл; т = 0, 50 мс; частота колебаний магнитного поля v = 1,0 кГц. Постройте график зависимости силы тока I, протекаю
щего по кольцу, от времени.
Определите амплитудное 1цК задаче 4.145
и эффективное 1эф значения силы тока в кольце, а также тепловую мощность Р, которую надо отводить от кольца для поддержания его температуры неизменной. Удельное сопротивление меди р = 1,7 • 10~8 Ом-м. Индуктивность кольца пренебре
жимо мала.
4.1462. Электрический паяльник мощностью Р = 50 Вт рассчитан на включение в сеть переменного тока с напряжением U = 127 В. Какая мощность Р! будет выделяться в пая льни-
ке, если его включить в сеть переменного тока с напряжением U1 = 220 В последовательно с идеальным диодом? Сопротивление идеального диода при прямом направлении тока считать равным нулю, при обратном — бесконечно большим. Сопротивление паяльника постоянно.
4.1473. Амперметр, измеряющий эффективное значение протекающего через него тока, включен в цепь, изображенную на рисунке, к концам которой приложено синусоидальное напряжение. При замыкании ключа К амперметр показывает силу тока 1д — 1,0 А. Определите показания амперметра 7д при разомкнутом ключе. Диод считать идеальным.
4.1483. Определите тепловую мощность Р, выделяемую на резисторе Ri = 10 кОм в цепи, изображенной на рисунке. На клеммы 1 и 2 подано переменное напряжение U = 127 В, сопротивления резисторов Р2 = R^ = 5,0 кОм. Диоды D считать идеальными.
Активное сопротивление, индуктивность и емкость в цепях переменного тока
Активное сопротивление, катушка индуктивности и конденсатор различным образом ведут себя в цепях переменного тока. В табл. 4.1 представлены выражения для силы тока в участках цепи, содержащих один из перечисленных элементов, при условии, что на участок подано синусоидальное напряжение U Д) = = По sin (wt + уо)-
При последовательном соединении элементов больший интерес представляет зависимость напряжения на элементе от силы тока в цепи. В табл. 4.2 представлены выражения для напряжения на элементе, при условии, что сила тока через соответствующий участок цепи равна 1(f) = I sin (wt + (ро)-
Таблица 4.1
Вид элемента
Сила тока
Активное сопротивлениеR
Iro sin (wt + 990), где IR0 = ^
Катушка индуктивности L с нулевым активным сопротивлением
г ■ / . ,СТи°
Ilo Sin 1 шt + 9?о - - ), где /м = —г
Конденсатор емкостью С
(7Г \
/со sinфо R ™у где Ico = UowC
Таблица 4.2
Вид элемента
Напряжение
Активное сопротивлениеR
Uro sin (wt R фо),
где Uro = RR
Катушка индуктивности L с нулевым активным сопротивлением
Ulo sin ^ujt + фо + ™j ,
где Uro = RXl
Конденсатор емкостью С
TT.( ,7F\
Uco SinТфо -
, где Uco = lo^c
Здесь Xl = wL — индуктивное сопротивление катушки, Xq = —— емкостное сопротивление конденсатора.
Если на участок цепи, содержащий соединенные последовательно резистор, конденсатор и катушку индуктивности (последовательней контур), подано внешнее напряжение U(t) = = Uq sin wt, то установившаяся сила тока в этой цепи равна
I(t) = Io sin (wt — Хф),
где Io = Uq/Z — амплитуда тока, Z = R2 + (Xl ™ X^V — полное сопротивление цепи (импеданс), R — активное сопротивление цепи, X = Xl — Хс — реактивное сопротивление цепи] разность фаз Хф удовлетворяет соотношениям tgAcp = = —, cos Хф = ^, sin Хф = ™. Если в последовательном контуре Хь = Xq, то Хф = 0, импеданс Z имеет минимальное возможное значение R, а амплитуда силы тока достигает наибольшего возможного значения при данном значении амплитуды внешнего напряжения Uq. Это явление называют последовательным электрическим резонансом (резонансом напряжений).
7 С.Н. Белолипецкий и др.
Параллельное соединение конденсатора, катушки индуктивности, резистора и источника переменного тока называют параллельным контуром. Если в параллельном контуре Xl = Хс^ то Хф = 0, а амплитуда силы тока достигает наименьшего возможного значения при данном значении амплитуды внешнего напряжения Uq. Это явление называют параллельным электрическим резонансом (резонансом токов).
Мгновенная мощность тока в цепи
P(t) = U0I0 sin (wt — Хф) sin wt.
Среднее за период значение мгновенной мощности называют активной мощностью Р тока в электрической цепи:
т
р = 4 f Р^ dt = До/о cos Ду = иэф1эф cos Ду = ^ Ц2ф = ^фР- О
Множитель cos Хф называют коэффициентом мощности.
В соответствии с традицией при указании значений силы тока, напряжения, ЭД С и т.п. в цепях переменного тока следует считать, что речь идет о эффективных значениях этих величин, если в условиях задачи не сказано иное.
На участке цепи с активным сопротивлением Р = = 4,0 Ом сила тока изменяется по закону I(t) = 6,4sin(314t) (все используемые величины измеряются в единицах СИ). Определите зависимость от времени напряжения U на этом участке, а также эффективное значение силы тока Дфф, среднюю активную мощность Р, выделяющуюся на этом участке. На какое напряжение UMaKC должна быть рассчитана изоляция проводов? Наличием емкости и индуктивности участка можно пренебречь.
Сила тока в катушке с индуктивностью L = 0, 50 Гн изменяется по закону J(t) = 0,10 sin (628t) (все используемые величины измеряются в единицах СИ). Определите зависимость от времени напряжения U на катушке, рассеиваемую ею среднюю мощность и индуктивное сопротивление Xl. Активное сопротивление катушки пренебрежимо мало.
Напряжение на конденсаторе изменяется по закону U(t) = 220 sin ^314t — ^ (все используемые величины измеряются в единицах СИ). Определите зависимости от времени силы тока I на этом участке цепи и заряда q(t) конденсатора. Найдите среднюю мощность Р, выделяющуюся на конденсаторе, а также его емкостное сопротивление Хс- Емкость конденсатора равна С = 20 мкФ. Активное сопротивление конденсатора считайте бесконечно большим.
Напряжение и сила тока в катушке изменяются по законам U^t) = 60 sin (314t + 0, 25) и Ц1) = 15sin(314t) соответственно (все используемые величины измеряются в единицах СИ). Определите разность фаз А<р между напряжением и током, полное сопротивление Z катушки, коэффициент мощности cos А<р, активное сопротивление R и индуктивное сопротивление Xl , а также индуктивность L катушки. Какая средняя мощность Р рассеивается катушкой?
При включении катушки индуктивности в цепь постоянного тока с напряжением U = 12 В сила тока в ней составила Д = 4, 0 А. При включении той же катушки в цепь переменного тока с частотой v = 50 Гц и напряжением U = 12 В сила тока в ней оказалась равной 1^ = 2,4 А. Определите индуктивность L катушки. Какая средняя мощность Р будет выделяться в цепи переменного тока с частотой v = 50 Гц и напряжением U = 12 В, если последовательно с катушкой включить конденсатор емкости С = 394 мкФ?
В цепи переменного тока (см. рисунок) показания вольтметров Vi и V2 составляют Ui = 12 В и Us = 9, 0 В соответственно. Определите показания U3 вольтметра V3. Вольтметры считайте идеальными.
К задаче 4.154К задаче 4.154К задаче 4.155К задаче 4.155
К задаче 4.154
К задаче 4.154
К задаче 4.155
К задаче 4.155
В цепи переменного тока, изображенной на рисунке, показание вольтметра V3 составляет U3 = 34 В. Каковы показания остальных приборов? Частота переменного тока v = 50 Гц, сопротивление R = 8,0 Ом, индуктивность L = 48 мГн. Определите сдвиг фаз Хф между током и напряжением. Активное сопротивление катушки пренебрежимо мало. Приборы считайте идеальными.
Определите полное сопротивление Z и разность фаз Хф между напряжением и током при различных способах соединения резистора, конденсатора и катушки индуктивности. Рассмотрите случаи, когда: а) резистор и конденсатор включены 7*
последовательно; б) резистор и конденсатор включены параллельно; в) резистор и катушка включены последовательно; г) резистор и катушка включены параллельно; д) резистор, катушка и конденсатор включены последовательно. Сопротивление резистора Д, емкость конденсатора С индуктивность катушки L. Циклическая частота приложенного напряжения равна ш. Активное сопротивление катушки пренебрежимо мало.
4.1572. Обмотка катушки состоит из N = 500 витков медного провода площадью поперечного сечения а = 1,0 мм2. Длина катушки b = 50 см, ее диаметр D = 5, 0 см. Удельное сопротивление меди р = 1, 7-10™8 Ом-м. При какой частоте v переменного тока полное сопротивление этой катушки окажется в п = 2 раза больше ее активного сопротивления?
4.1582. Последовательно с электроплиткой в сеть переменного тока частоты v = 50 Гц включили катушку индуктивности. При этом мощность плитки упала в п = 2 раза. Определите индуктивность L катушки, если активное сопротивление плитки R = 50 Ом. Активное сопротивление катушки пренебрежимо мало.
4.1592. Два конденсатора с емкостями Сх = 0,20 мкФ и С= 0,10 мкФ включены последовательно в цепь переменного тока напряжением U = 220 В и частотой v = 50 Гц. Определите эффективные значения силы тока I в цепи и напряжений Ux и U2 на каждом из конденсаторов.
4.1602. Резистор и катушка индуктивности соединены параллельно и включены в цепь переменного тока с напряжением U = 127 В и частотой v = 50 Гц. Известно, что мощность, рассеиваемая в этой цепи, составляет Р = 404 Вт, а сдвиг фаз между напряжением и током Аф = 60°. Определите активное сопротивление R резистора и индуктивность L катушки. Активное сопротивление катушки пренебрежимо мало.
абв
К задаче 4.161
4.1611. Определите силу тока I в неразветвленной части цепи (см. рисунок), если Д =4,0 A, Д = 3,0 А. Активное сопротивление катушки пренебрежимо мало.
В сеть переменного тока частоты v = 50 Гц включены последовательно лампочка, конденсатор емкости С = = 20 мкФ и катушка индуктивности. Индуктивность катушки без сердечника равна Lx = 50 мГн; при полностью введенном сердечнике она составляет L^ = 1,5 Гн. Как изменяется накал лампы по мере введения сердечника в катушку? Какая часть жд объема катушки будет занята сердечником в момент, когда накал лампы будет максимальным? Сердечник вводят в катушку очень медленно.
4Л633. Конденсатор неизвестной емкости, катушка индуктивности и резистор подключены последовательно к источнику переменного напряжения U^ = Uq cos ш1. Индуктивность катушки равна L^ сопротивление резистора R. Определите амплитудное значение напряжения Ucc между обкладками конденсатора, если сила тока в цепи зависит от времени по закону /(Ц — ^ coscat
В цепи, изображенной на рисунке, L = 0,10 Гн, С = 10 мкФ. Циклическая частота внешнего напряжения, подаваемого на клеммы Л и В, равна ш = 1,0-103 рад/с. Определите силу тока, протекающего через резистор R.
К задаче 4.164 К задаче 4.165
К источнику переменного напряжения подключены последовательно резистор сопротивления R = 10 Ом и некоторое неизвестное соединение элементов X (см. рисунок). Амплитудные значения тока в цепи нагрузки и напряжения на неизвестном соединении равны Ig = 12 А и Uq = 120 В соответственно. Определите амплитуду ЭД С £д источника, подключенного к клеммам Л и В, ток I в цепи опережает по фазе напряжение U на неизвестном соединении на Хф = 60°. Внутреннее сопротивление источника считайте равным нулю. Какова может быть простейшая схема неизвестного соединения X?
Определите показание U вольтметра в цепи переменного тока, показанной на рисунке, если показание амперметра I = 2,4 A, L = 159 мГн, С = 106 мкФ, R = 56 Ом. Частота
тока в сети v = 50 Гц. Активное сопротивление катушки пренебрежимо мало. Приборы считайте идеальными.
К задаче 4 Л 66К задаче 4 Л 66К задаче 4Л67К задаче 4Л67
К задаче 4 Л 66
К задаче 4 Л 66
К задаче 4Л67
К задаче 4Л67
К задаче 4.168К задаче 4.168
К задаче 4.168
К задаче 4.168
4.1673. Определите силу тока I в цепи, показанной на рисунке, считая известными значения С, Ri, R^. На цепь подано переменное напряжение U с циклической частотой ш.
4.1683. Цепь, показанная на ри-
сунке, подключена к источнику внешнего напряжения U(f) = Uq sin wt. Найдите зависимость от времени силы тока I, установившегося в этой цепи. Индуктивности катушек одинаковы и равны L каждая, емкость конденсатора С. Активное сопротивление катушек пренебрежимо мало.
4.1694. Определите зависимость
от времени сил токов I, установившихся в различных элементах цепей, показанных на рисунке. На клеммы 1-2^ 3-4, подано
К задаче 4Л69
переменное напряжение £i(t) = So sin cat, на клеммы 5-6 — переменное напряжение 82(f) = £0 cos cat. Определите среднюю мощность Р, выделяющуюся в цепях, если So = 200 В, R = 100 Ом, С = 100 мкФ, L = 1,0 Гн, частота тока v = 50 Гц. Внутренние
К задаче 4.170К задаче 4.170сопротивления источников переменного напряжения и активное сопротивление катушки пренебрежимо малы.
К задаче 4.170
К задаче 4.170
4.1704. Цепь, показанная на рисунке, подключена к сети переменного тока с напряжением Uq = = 220 В. Определите напряжение Uав между точками А м В цепи.
Трансформаторы
Трансформатор представляет собой устройство для преобразования переменного тока заданного напряжения в переменный ток другого напряжения. Трансформатор может быть описан моделью двух контуров, гальванически изолированных друг от друга. Один из контуров, подключаемый к источнику переменного тока, называют первичной обмоткой^ второй контур, к которому подключается нагрузка — вторичной обмоткой трансформатора.
Если можно пренебречь потерями энергии в сердечнике и активным сопротивлением первичной обмотки, то в режиме холостого хода (при разомкнутой вторичной обмотке)
=£i = Ж
U2 £2 Ж ’
где Я1(2), ^1(2)? ^1(2) — соответственно напряжение на зажимах, ЭД С индукции, число витков в первичной (вторичной) обмотке. Величину -А = к называют коэффициентом трансформации] если k < 1, то трансформатор называют повътшюшдм^ если к > 1 — пониэюаюи^им.
Если потери энергии в сердечнике и активные сопротивления обмоток пренебрежимо малы, то при замыкании вторичной обмотки через нагрузку
1X1 = ^2, Т =
где 11 и 1^ — силы токов в первичной и вторичной обмотках.
В общем случае КПД трансформатора
где Р2 — мощность, потребляемая в цепи вторичной обмотки, Р1 — мощность, отбираемая из сети первичной обмоткой трансформатора.
Трансформатор понижает напряжение с Ui = 220 В до U2 = 42 В. В какой из обмоток провод должен быть толще? Можно ли подключить трансформатор к сети постоянного тока с напряжением U = 100 В? Можно ли включить в сеть переменного тока с напряжением Ui = 220 В первичную катушку трансформатора, снятую с сердечника? Ответы обосновать.
Почему для реостата замыкание одного-двух витков не опасно, но трансформатор может выйти из строя, если хотя бы один виток обмотки будет замкнут накоротко? Ответ обосновать.
Через замкнутый кольцевой сердечник трансформатора, понижающего напряжение с Ui = 220 В до U2 = 42 В, пропущен провод, концы которого присоединены к вольтметру. Вольтметр показывает напряжение U = 0, 50 В. Определите число N витков в обмотках трансформатора.
Когда на первичную обмотку трансформатора было подано напряжение Ui = 220 В, напряжение на вторичной обмотке в режиме холостого хода составило U2 = 130 В. Определите число витков №2 во вторичной обмотке трансформатора, если число витков в первичной обмотке Ni = 400, а в сердечнике трансформатора рассеивается 77 = 3,8% магнитного потока.
Понижающий трансформатор с коэффициентом трансформации к = 5, 0 включен в сеть напряжения Ui = 220 В. Определите КПД 77 трансформатора, если напряжение во вторичной обмотке U2 = 42 В, а потери энергии в первичной обмотке трансформатора пренебрежимо малы.
Первичная обмотка трансформатора включена в сеть переменного тока с напряжением Ui = 220 В, разность потенциалов на зажимах вторичной обмотки U2 = 20 В, ее сопротивление R2 = 1,0 Ом. Сила тока во вторичной обмотке I2 = = 2,0 А. Определите коэффициент трансформации к и КПД 77 трансформатора. Рассеяние магнитного потока в ярме трансформатора и потери энергии в его первичной обмотке пренебрежимо малы.
От вторичной обмотки трансформатора сопротивления R = 0,10 Ом питаются п = 1000 параллельно включенных электроламп мощности Р = 100 Вт каждая, рассчитанных на напряжение U = 220 В. Определите КПД 77 трансформатора, пренебрегая рассеянием магнитного потока в ярме трансформатора и потерями энергии в его первичной обмотке.
Первичная обмотка трансформатора, включенного в сеть напряжения Ui = 380 В, имеет Ai = 2400 витков. Какое число №2 витков должна иметь вторичная обмотка этого трансформатора, чтобы при напряжении U2 = 11 В на ее зажимах
передавать во внешнюю цепь мощность Р = 22 Вт? Сопротивление вторичной обмотки Й2 = 0, 20 Ом. Рассеяние магнитного потока в ярме трансформатора и потери энергии в его первичной обмотке пренебрежимо малы.
Генератор переменного тока с действующим значением ЭДС £ = 220 В и внутренним сопротивлением г = 10 Ом подключен через трансформатор к нагрузочному сопротивлению R = 1,0 Ом. Определите, при каком коэффициенте трансформации к в нагрузке будет выделяться наибольшая мощность Диаке, найдите также значение Рмакс- Рассеяние магнитного потока в ярме трансформатора и потери энергии в его первичной обмотке пренебрежимо малы.
Сила тока холостого хода в первичной обмотке понижающего трансформатора, питаемой от сети переменного тока частоты v = 50 Гц и напряжения Ui = 220 В, равна Д = = 0, 20 А. Активное сопротивление первичной обмотки Ri = = 100 Ом. Определите индуктивность L первичной обмотки и напряжение Us на зажимах вторичной обмотки, если коэффициент трансформации к = 10.
На железный сердечник намотаны две катушки (см. рисунок). Магнитный поток, создаваемый каждой катушкой, не выходит из сердечника и делится поровну в разветвлениях. При включении катушки 1 в цепь переменного тока напряжения Ux = 40 В напряжение на катушке 2 равно Us = 10 В. Какое напряжение U^ возникнет на разомкнутых зажимах катушки £ если на катушку 2 подать переменный ток с напряжением U^ = = 10 В? Потери энергии пренебрежимо малы.
Первичная обмотка трансформатора содержит N витков, вторичная — один виток. Трансформатор подключен к источнику переменного тока с ЭДС £. К замкнутому витку вторичной обмотки подключен гальванометр с внутренним сопротивлением г так, что точки подключения гальванометра делят виток на участки с сопротивлениями Ri и Rs (см. рисунок). Определите силу тока I через гальванометр. Потери энергии в
первичной обмотке и рассеяние магнитного потока в сердечнике пренебрежимо малы.
Два одинаковых идеальных трансформатора с коэффициентами трансформации к = 1/3 соединены последовательно разными обмотками (см. рисунок) и подключены к источнику переменного тока напряжения U = 100 В. Определите напряжение Uab^ возникающее между клеммами А ж В. Длины и сечения катушек одинаковы.
К задаче 4Л83
На тороидальный сердечник из феррита с магнитной проницаемостью д = 2000 намотаны две катушки: первичная и вторичная, содержащие соответственно Na = 2000 и W2 = = 4000 витков. Когда на первичную катушку подается напряжение ?Д = 100 В, напряжение на разомкнутой вторичной обмотке составляет И^ = 199 В. Какое напряжение U^ возникает на разомкнутой вторичной катушке, если воспользоваться сердечником таких же размеров, но изготовленным из феррита с д' = 20? Рассеяние магнитного потока и потери энергии в сердечнике пренебрежимо малы.
Электрические машины постоянного тока
Электрическими машинами постоянного тока называют электродвигатели (электромоторы) и электрогенераторы (динамо-машины) постоянного тока.
Электродвигатель преобразует энергию электромагнитного поля в механическую. Основными элементами электродвигателя являются индуктор — источник электромагнитного поля и якорь {ротор) — вращающаяся часть электродвигателя, представляющая собой совокупность рамок с током, которые называют обмотками. Если индуктор представляет собой постоянный
магнит или электромагнит, обмотка которого питается независимо от обмотки якоря, то такой электродвигатель называют электродвигателем постоянного тока с независимом возброю™ дением.
Закон Ома для цепи якоря электродвигателя с независимым возбуждением имеет вид
U ™Ег = Ш,
где U — напряжение источника тока, Ei — ЭД С индукции, возникающая в обмотке якоря при его вращении в магнитном поле индуктора, I — сила тока в цепи, R — общее сопротивление обмотки якоря и подводящих проводов.
Закон сохранения энергии для цепи якоря электродвигателя ш = Hr + р,
где Р = Sil — полезная мощность.
Электрогенератор преобразует механическую энергию в электромагнитную. Его устройство аналогично устройству электродвигателя.
Закон Ома для генератора
Ег =
где Ei — ЭД С индукции, возникающая в обмотке якоря; I — ток в обмотке якоря; R — сопротивление цепи якоря.
Закон сохранения энергии для идеального электродвигателя (потери энергии на трение пренебрежимо малы) имеет вид
Рм = Sil
где Рм — механическая мощность, расходуемая на вращение якоря.
Закон обратимости электрических машин. Если одна и та же электрическая машина работает в первом случае как электрогенератор, во втором — как электродвигатель, то
Ец ^1
6г2^2 ’
где ш — угловая скорость вращения якоря электрической машины.
Электродвигатель с независимым возбуждением подключен к источнику постоянного тока напряжения U. Сопротивление обмотки якоря и подводящих проводов равно R. Изобразите графики зависимостей ЭДС индукции Е^ возникающей в обмотке якоря, силы тока I в цепи и полезной мощности Р от угловой скорости ш вращения якоря. Определите максимальную полезную мощность Рмакс. Какому значению силы тока Iq в цепи соответствует эта мощность?
Электродвигатель питается от батареи с ЭД С £ = = 12 В. Какую мощность Р развивает двигатель при протекании по его обмотке тока I = 2,0 А, если при полной остановке якоря по цепи течет ток Jg = 3, 0 А?
Электродвигатель присоединили к источнику тока напряжения U = 500 В. При силе тока в цепи Д = 10 А он развивает мощность Pi =4,0 кВт. Определите мощность Р2, развиваемую двигателем, если вследствие изменения нагрузки сила тока в цепи стала равной Д = 20 А.
В момент включения электродвигателя в сеть постоянного тока сила тока в цепи составляет 1g = 15 А, а в процессе работы электродвигателя в установившемся режиме она снижается до значения I = 9, 0 А. Определите КПД ц электродвигателя.
Электродвигатель включен в сеть постоянного тока. При частоте вращения якоря Д = 1000 об/мин ток в цепи якоря равен Д = 10 А, а при частоте Д = 900 об/мин он равен 1^ = = 15 А. Определите частоту вращения /3 двигателя на холостом ходу (без нагрузки).
Вал электродвигателя постоянного тока, включенного вхолостую в сеть с напряжением U = 24 В, вращается с частотой Д = 10 об/с при полном сопротивлении цепи R = 20 Ом и силе тока в цепи Д = 0, 20 А. Какой ток 1^ течет через обмотку якоря электродвигателя, когда с его помощью поднимают груз массы т = 1, 0 кг на легком тросике, который наматывается на шкив диаметра D = 20 мм? С какой частотой Д вращается при этом вал электродвигателя? Момент сил трения в оси не зависит от скорости вращения вала.
Вал электродвигателя постоянного тока, включенного без нагрузки в сеть постоянного тока, вращается с частотой Д = 1000 об/мин, с нагрузкой — с частотой Д = 700 об/мин. С какой частотой Д будет вращаться вал двигателя, если момент сил, создаваемый нагрузкой, увеличить на ц = 20 % ? Трение в оси двигателя пренебрежимо мало.
Лебедка приводится в движение электродвигателем с независимым возбуждением. Электродвигатель питается от батареи с ЭД С £ = 300 В. Без груза конец троса лебедки поднимается со скоростью щ = 4, 0 м/с, с грузом массы т = 10 кг — со скоростью Т2 = 1,0 м/с. Определите, с какой скоростью vg должен двигаться груз и какова должна быть его масса mg, чтобы лебедка развивала максимальную мощность. Массой троса и трением в оси двигателя пренебречь.
Сопротивление обмотки якоря электродвигателя равно Ri^ а обмотки индуктора R^. Если обмотки якоря и индуктора соединены последовательно и подключены к одному нс-
точнику тока, то такой электродвигатель называют двигателем с последовательным возбуждением (сериесным двигателем). Если же обмотки соединены параллельно, то электродвигатель называют двигателем с параллельным возбуждением (шунтовым двигателем). В каком случае максимальная полезная мощность Р больше? Каковы коэффициенты полезного действия ц, соответствующие максимальным значениям мощности в обоих случаях? Напряжение питания двигателя равно U.
Вал электродвигателя постоянного тока, на клеммы которого подано напряжение l?i = 120 В, вращается с частотой /1 = 15 об/с при силе тока в цепи якоря Д = 1, 0 А. Какую ЭД С £г разовьет та же электрическая машина, работая в качестве генератора при частоте вращения вала /2 = 30 об/с? Каким будет напряжение U^ на сопротивлении нагрузки R = 65 Ом, подключенном к клеммам этого генератора? Какую мощность Р развивает при этом генератор? Сопротивление обмотки якоря г = 5, 0 Ом.
Угловая скорость вращения якоря генератора с постоянным магнитом увеличилась на цш = 10%. На сколько Цр процентов увеличится при этом полезная мощность генератора?
Какую ЭД С 8 развивает генератор постоянного тока, если при сопротивлении цепи Ri = 300 Ом на вращение ротора затрачивается мощность Pi = 50 Вт, а потери на трение составляют а = 4 % от затраченной мощности? Какую мощность Р2 для поддержания той же частоты вращения якоря необходимо затрачивать при сопротивлении цепи R^ = 60 Ом?
Груз массы т подвешен на невесомой нити, намотанной на ось якоря генератора с независимым возбуждением, замкнутой на резистор сопротивления R. Нить сматывается с оси так, что груз опускается с постоянной скоростью щ. С какой скоростью Г2 будет подниматься вверх тот же груз, если генератор включить как электродвигатель в цепь постоянного тока с напряжением U и тем же сопротивлением цепи Я? Сопротивлением обмотки якоря генератора пренебречь.
Электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением (с постоянным магнитом) поднимает груз со скоростью щ при помощи невесомой нити, наматывающейся на ось двигателя. В отсутствие груза невесомая нить поднимается со скоростью ^о- С какой скоростью у2 будет опускаться тот же груз, если обмотка якоря будет замкнута накоротко? Трением в подшипниках пренебречь.
Имеется генератор с независимым возбуждением, на якоре которого имеются две одинаковые обмотки с сопротивлением г каждая; каждая из обмоток соединена с одним из двух одинаковых коллекторов. Одну из обмоток подключили к
источнику с напряжением 17; другую замкнули на резистор сопротивления R. Как зависят ЭД С индукции в обмотках и сила тока в каждой из обмоток от сопротивления Я?
Колебательный контур
Частным случаем электрической цепи, в которой могут происходить свободные электрические колебания, является коле™ бательный контур (см. рисунок), состоящий из конденсатора электроемкости С и соединенной с ним последовательно катушки индуктивности L^ активное сопротивление R контура в об
щем случае отлично от нуля.
илиилиК введениюК введениюЗакон Ома для участка цепи 1™L™2 имеет вид
или
или
К введению
К введению
IR =-L^,С dtIR =-L^,С dtIR = Ф1 - ф2 +
IR =-L^,
С dt
IR =-L^,
С dt
где q и pi - ф2 =— заряд кон
денсатора и разность потенциалов его
обкладок в рассматриваемый произвольный момент времени 7, R — электрическое сопротивление колебательного контура, т.е. участка цепи 1-L-2. 8^ =— ЭД С самоиндукции в катуш-
dt
ке. Учитывая, что из закона сохранения заряда следует I = dt
получим дифференциальное уравнение колебаний заряда q: d2q Rdq 1
Свободные колебания в колебательном контуре являются гармоническими, если его электрическое сопротивление R = 0: d2q 1
Циклическая частота ш и период Т этих колебаний удовлетворяют формуле Томсона:
ш = ^=, t = Wlc.Vlc
Заряд q конденсатора и сила тока I в контуре изменяются по законам
g(£) = go sin М +
ЦС = Ь cos М + (pa) = Ь sin М + ^о + тг/2),
где qo — амплитуда заряда конденсатора, щ—
амплитуда силы тока, фв — начальная фаза колебаний заряда конденсатора.
Разность потенциалов обкладок конденсатора также изменятся по гармоническому закону:
и(t) = ф\- Ф2 = ^ = Uo sin М + ^о),
ОтношениеТоОтношениеТогде Uq = ™ — амплитуда разности потенциалов.
Отношение
То
Отношение
То
называют волновым сопротивлением
колебательного контура.
При свободных гармонических колебаниях в колебательном контуре происходит периодическое преобразование энергии Жэл электрического поля конденсатора в энергию Жм магнитного поля катушки:
Юл С) = ^тг = 5; Sin2(wt + Фо) = ^[1 - cos (2wt + 2^0)], ЖД) = ТЕЛ = ТЕ cos2(wt + Фо) =
LI2а2
=[1 + cos (2cat + 2<до)] = ^д [1 + cos (2cat + 2<до)] ?
а2 1
Ж = Жэл(^) + Жм(^) = ^ = ™LI^ = const.
Скорость электромагнитных волн, излучаемых колебательным контуром, в вакууме (и в воздухе) считайте равной
с = z 1= 2,9979380 Ж)8 ЖЕ 0 ■ 108м/с.
У^одо
В колебательный контур входят катушка переменной индуктивности, изменяющейся в пределах от Lx = 0, 50 до £2 = 10 мкГн и конденсатор, емкость которого может изменяться в пределах от Сх = 10 до С^ = 500 пФ. Какой диапазон частот v можно охватить настройкой этого контура? Активное сопротивление контура пренебрежимо мало.
Емкость переменного конденсатора изменяется в пределах от Сх = 56 до С^ = 667 пФ. В каких пределах должна изменяться индуктивность L контура, чтобы его можно было настроить на прием электромагнитных волн в диапазоне от
Ai = 40 до А2 = 2600 м? Активное сопротивление контура пренебрежимо мало.
Колебательный контур состоит из катушки индуктивности L = 20 мкГн и конденсатора емкости С = 80 нФ. Величина емкости может отклоняться от указанного значения на 1] = 2,0% . В каких пределах может изменяться длина волны А, на которую резонирует контур? Активное сопротивление контура пренебрежимо мало.
Определите период Т колебаний контура, в состав которого входят катушка (без сердечника) длины b = 50 см и площади сечения а = 3, 0 см2, имеющая N = 1000 витков, и воздушный конденсатор, состоящий из двух пластин площади S = = 75 см2 каждая. Расстояние между пластинами конденсатора равно d = 5, 0 мм. Активное сопротивление контура пренебрежимо мало.
В состав колебательного контура, излучающего волну длины А = 10 м, входят воздушный конденсатор и катушка индуктивности L = 1,0 мкГн. Определите расстояние d между пластинами конденсатора, если их площадь S = 100 см2. Активное сопротивление контура пренебрежимо мало.
Ток в колебательном контуре зависит от времени по закону I(t) = Jo sincao^ где /о = 9, 0 мА, сад = 4, 5 • 104 с-1. Емкость конденсатора С = 0, 50 мкФ. Определите индуктивность L контура и напряжение U на конденсаторе в момент времени t = 0. Активное сопротивление контура пренебрежимо мало.
В колебательном контуре (см. рисунок) индуктивность катушки L = 2,5 мГн, а емкости конденсаторов Сх = = 2,0 мкФ и С^ = 3,0 мкФ. Конденсаторы зарядили до напряжения U = 180 В и замкнули ключ К. Определите период Т собственных колебаний и амплитудное значение тока Iq через катушку. Активное сопротивление контура пренебрежимо мало.
К задаче 4.206К задаче 4.206К задаче 4.207К задаче 4.207
К задаче 4.206
К задаче 4.206
К задаче 4.207
К задаче 4.207
Конденсатор емкости Сх зарядили до напряжения 17g, а затем подключили, замкнув ключ К (см. рисунок) к коле-
бательному контуру, состоящему из катушки индуктивности L и конденсатора емкости С^. Определите зависимости от времени зарядов qi и q^ на обоих конденсаторах.
Электрическая цепь (см. рисунок), в состав которой входят два конденсатора емкости С каждый и катушка с индуктивностью L^ имеет пренебрежимо малое активное сопротивление. Конденсатор 1 зарядили до напряжения Uq и затем (в момент времени t = 0) замкнули ключ К. Определите зависимости от времени t напряжений ГА и 17*2 на обоих конденсаторах.
К задаче 4.208К задаче 4.208К задаче 4.209К задаче 4.209
К задаче 4.208
К задаче 4.208
К задаче 4.209
К задаче 4.209
Колебательный контур, в который включен идеальный диод D, через ключ К на время т подключают к батарее с ЭД С £, а затем отключают (см. рисунок). Получите зависимость напряжения U на конденсаторе от времени после размыкания ключа. Сопротивления источника и катушки пренебрежимо малы. Индуктивность катушки L и емкость конденсатора С известны.
Конденсатор емкости С = 50 пФ сначала подключили к источнику тока с ЭД С £ = 3, 0 В, а затем к катушке индуктивности L = 5,1 мкГн. Определите частоту колебаний, возникших в контуре, максимальное /Макс и эффективное /эф значения силы тока в контуре, а также зависимость 1(f) силы тока в катушке. Каким будет максимальный магнитный поток ФМакс, пронизывающий катушку? Активное сопротивление контура пренебрежимо мало.
Колебательный контур состоит из катушки индуктивности L и конденсатора емкости С. Активное сопротивление контура пренебрежимо мало. Катушка находится в постоянном магнитном поле, так что суммарный магнитный поток, пронизывающий все витки катушки, равен Ф. В момент t = 0 поле выключили. Считая время выключения поля очень малым по сравнению с периодом собственных колебаний контура, найдите зависимость от времени силы тока I в катушке.
Колебательный контур состоит из катушки индуктивности L и конденсатора емкости С. Активное сопротивление контура пренебрежимо мало. Найдите связь между силой тока I в катушке и напряжением U на конденсаторе, если амплитуда напряжения на конденсаторе равна Uq.
Колебательный контур состоит из катушки индуктивности L = 1,6 мГн и конденсатора емкости С = 0,040 мкФ. Максимальное напряжение на обкладках конденсатора Uq = = 200 В. Определите максимальную силу тока Jg в контуре. Активное сопротивление контура пренебрежимо мало.
Колебательный контур состоит из дросселя индуктивности L = 0, 20 Гн и конденсатора емкости С = 10 мкФ. В момент, когда напряжение на конденсаторе равно U = 1,0 В, ток в катушке равен I = 10 мА. Определите максимальное значение ^макс силы тока в катушке. Каков будет заряд дх конденсатора в момент, когда сила тока в катушке будет равна Д = 5,0 мА? Определите значение силы тока /2 в катушке в момент, когда энергия контура окажется поровну распределенной между электрическим и магнитным полями.
Заряженный конденсатор емкости С замкнули на катушку индуктивности L. Через какое время т после подключения энергия электрического поля конденсатора впервые станет равной энергии магнитного поля в катушке? Активное сопротивление контура пренебрежимо мало.
В колебательном контуре, состоящем из плоского конденсатора и катушки индуктивности с пренебрежимо малым активным сопротивлением, происходят колебания с энергией Ж. Пластины конденсатора медленно раздвинули так, что частота колебаний увеличилась в п раз. Определите работу А, совершенную в этом процессе.
Колебательный контур через ключ К подключен к источнику ЭД С с некоторым внутренним сопротивлением г (см. рисунок). Первоначально ключ К замкнут. После установления стационарного режима ключ размыкают и в контуре возникают колебания с периодом Т. При этом амплитуда напряжения на конденсаторе в п раз больше ЭДС батареи. Определите индуктивность L катушки и емкость С конденсатора. Активное сопротивление контура пренебрежимо мало.
Конденсатор емкости С, заряженный до разности потенциалов Uq^ замыканием ключа К подключают к двум параллельно соединенным катушкам с индуктивностями Lx и L^ (см. рисунок). Некоторое время спустя конденсатор полностью перезарядится (напряжение на нем поменяет знак). Какие заряды дх и <^2 протекут через катушки за это время? Сопротивления катушек и подводящих проводов пренебрежимо малы.
4.2193. Заряженный конденсатор емкости С замыканием ключа К подключают к двум параллельно соединенным катуш-
К задаче 4.217К задаче 4.217К задаче 4.218К задаче 4.218
К задаче 4.217
К задаче 4.217
К задаче 4.218
К задаче 4.218
К задаче 4.220К задаче 4.220
К задаче 4.220
К задаче 4.220
кам с индуктивностями Lx и L^ (см. рисунок к задаче 4.218). Максимальный ток, протекающий через катушку Lx^ равен Д. Определите первоначальный заряд qo на конденсаторе. Сопротивления катушек и подводящих проводов пренебрежимо малы.
Катушки 1 и 2, имеющие одинаковую индуктивность L^ подключены через ключи Кх и К 2 к конденсатору емкости С (см. рисунок). В начальный момент времени оба ключа
разомкнуты, а конденсатор заряжен до разности потенциалов Uq. Сначала замкнули ключ Кх и, когда напряжение на конденсаторе стало равным нулю, замкнули ключ К2. Определите максимальное напряжение ?7макс на конденсаторе после замыкания ключа К2. Сопротивлениями катушек пренебречь.
4.2213. Катушки 1 и 2, имеющие индуктивности Lx И L2 со™
ответственно, подключены через
ключи Кх и К2 к конденсатору емкости С (см. рисунок к задаче 4.220). В начальный момент времени оба ключа разомкнуты, а конденсатор заряжен до разности потенциалов Uq. Сначала замкнули ключ Кх и, когда напряжение на конденсаторе стало равным нулю, замкнули ключ К2. Определите максимальный 1х макс и минимальный R мин токи, протекающие через катушку 1 после замыкания ключа К2.
Колебательный контур, в состав которого входят конденсатор емкости С и катушка индуктивности L и активным сопротивлением R^ через ключ К подключен к батарее с ЭД С £ (см. рисунок). Спустя некоторое время после замыка-
ния ключа К установился стационарный режим (токи во всех элементах цепи стали постоянными). Какое количество теплоты Q выделится в катушке после то
го, как ключ К будет разомкнут? Внутреннее сопротивление батареи и сопротивление подводящих проводов пренебрежимо малы.
4.2233. Конденсатор емкости С, заряженный до напряжения Uq, разряжается на катушку индуктивности L и активным сопротивлением R. Какое количество теплоты Q выделится в катушке
к тому моменту, когда сила тока
К задаче 4.222 в ней достигнет наибольшего значения Дакс?
Колебательный контур содержит конденсатор емкости С = 1,2 нФ и катушку индуктивности L = 6, 0 мкГн и активным сопротивлением R = 0, 50 Ом. Какую среднюю мощность Р нужно подводить к контуру, чтобы поддерживать в нем незатухающие гармонические колебания с амплитудой напряжения на конденсаторе По = 10 В?
Колебательный контур, настроенный на длину волны А = 300 м, имеет индуктивность L = 0,20 Гн и активное сопротивление R = 2, 0 Ом. На сколько ц процентов уменьшается энергия этого контура за время одного колебания? На протяжении одного колебания ток в контуре можно считать синусоидальным.
Электромагнитные волны
Электромагнитными волнами называют возмущения электромагнитного поля (т.е. переменное электромагнитное поле), распространяющиеся в пространстве. В настоящем разделе рассматриваются гармонические электромагнитные волны.
Фазовая скорость электромагнитных волн в среде с относительной диэлектрической проницаемостью е и относительной магнитной проницаемостью ц равна
1с
где с = z 1= 2, 9979380-108м/с ™ скорость электромагнитных
волн в вакууме.
Электромагнитные волны являются поперечными: взаимно перпендикулярные векторы напряженности электрического и
магнитного полей Е и Н лежат в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны. Модули Е и Н связаны соотношением ^ее^Е = ^р^Н.
Объемная плотность энергии w электромагнитного поля в линейной изотропной среде
w = l^o-E2 + |до0Я2= ееоЕ2= рроН2= ЛеоЦЦоЕН = ^^ЕН.
Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны S называют вектором Умова-Пойнтинга (вектором Пойн- тинга). Скорость переноса энергии бегущей монохроматической волной равна фазовой скорости v этой волны, поэтому
S = wv = [ЕН].
Давление р электромагнитных волн на плоское препятствие равно
р = (w) (1 + Д) cos2 op
где (w) — среднее значение объемной плотности энергии световой волны, R — коэффициент отражения света от рассматриваемой поверхности, равный отношению средних объемных плотностей энергии отраженной и падающей световых волн; а — угол падения электромагнитной волны на поверхность (угол между вектором S и нормалью к поверхности).
Определите длину волны А, излучаемую в воздухе передатчиком, работающим на частоте v = 60 МГц.
Какое число п электромагнитных колебаний, соответствующих длине волны Ai = 375 м, осуществляется в течение одного периода звуковых колебаний, происходящих с частотой V2 = 500 Гц перед микрофоном передающей станции?
Электромагнитная волна частоты v = 3, 0 МГц переходит из вакуума в немагнитную среду с диэлектрической проницаемостью е = 4, 0. Определите приращение А А ее длины волны.
Перед генератором электромагнитных волн поместили металлический лист, получив стоячую волну. Определите частоту v генератора, если расстояние между пучностями L = = 15 см.
Плоская электромагнитная волна, напряженность электрического поля в которой описывается уравнением Ez^xR^ = 200cos(2tt • 108t + 4,55ж) (все используемые величины приведены в единицах СИ), полностью поглощается поверхностью тела, расположенной перпендикулярно оси абсцисс. Какова диэлектрическая проницаемость е среды, в которой распространяется волна (среда немагнитная)? Какое среднее давление р она оказывает на тело? Определите среднюю за период ко™
лебания плотность потока электромагнитной энергии S в этой волне.
В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна, частота которой v = 100 МГц и амплитуда электрической составляющей Ео = 50 мВ/м. Определите среднее за период колебания значение плотности потока энергии S.
Почему увеличение дальности радиосвязи с космическими кораблями в п = 2 раза требует увеличения мощности передатчика в 4 раза, а увеличение дальности радиолокации в п = 2 раза требует увеличения мощности передатчика в 16 раз? Размеры излучателя радиоволн и объекта локации малы по сравнению с расстоянием между ними, поглощение энергии средой пренебрежимо мало.
На каком предельном расстоянии Гмакс может быть обнаружена цель на поверхности моря корабельным радиолокатором, расположенным на высоте h = 8, 0 м над уровнем моря? Определите минимальный промежуток времени Д£Мин между соседними импульсами у этого локатора. Как изменится Д£Мин при подъеме антенны локатора на большую высоту?
Радиолокатор работает на волне А = 15 см и дает п = 4000 импульсов в секунду. Длительность каждого импульса т = 2, 0 мкс. Определите число N колебаний в каждом импульсе и наибольшую глубину Ьмакс разведки локатора.
Длина воздушной линии передачи равна L = 300 км. Частота передаваемого напряжения v = 50 Гц. Определите фазовый сдвиг Ду? напряжения в начале и в конце этой линии.
ГЛАВА 5
ОПТИКА
Отражение света. Плоское зеркало
За кон отражения света: луч, падающий на границу раздела сред, нормаль, восстановленная к границе раздела сред в точке падения луча, и отраженный луч лежат в одной плоскости; угол отражения луча равен углу падения.
Угол падения и угол отражения отсчитываются от нормали, восстановленной к границе раздела сред в точке падения луча.
Источник света диаметра D = 20 см расположен на расстоянии L = 2, 0 м от экрана. На каком наименьшем расстоянии х от экрана нужно поместить мячик диаметра d = 8,0 см, чтобы он не отбрасывал тени на экран, а давал только полутень? Прямая, проходящая через центры источника света и мячика, перпендикулярна плоскости экрана.
Вертикальный шест высоты h = 1,0 м, поставленный недалеко от уличного фонаря, отбрасывает тень длины Li = = 80 см. Если расстояние между фонарным столбом и шестом увеличить на s = 1,5 м, то длина тени возрастет до L^ = 1, 3 м. На какой высоте Н находится фонарь? Размерами фонаря можно пренебречь.
Постройте изображение S’ точечного источника света S в плоском зеркале (см. рисунок). Укажите область видимости изображения.
В
7777777/7//////Л
К задаче 5.3К задаче 5.4
Постройте изображение А’В’ предмета АВ в плоском зеркале (см. рисунок). Укажите области, из которых можно видеть все изображение и часть его.
На рисунке показаны области частичной (штриховка) и полной (двойная штриховка) видимости в плоском зеркале
К задаче 5.5К задаче 5.5некоторого предмета, имеющего форму прямолинейного отрезка. Определите местоположение предмета АВ.
К задаче 5.5
К задаче 5.5
Определите, в каких точках комнаты находящийся в ней человек видит в зеркале изображение экрана телевизора АВ (см. рисунок).
Известно, что луч АС после отражения от плоского зеркала про
ходит через точку В (см. рисунок). Определите построением положение точки С.
ВВА *
В
В
///////////////////////Л
К задаче 5.6 К задаче 5.7
Два плоских зеркала образуют двугранный угол а. Между ними (в биссектральной плоскости двугранного угла) расположен точечный источник света. Определите число N изображений источника в зеркалах и постройте их для случаев d = 90°; 120°; 60°; 45°; 30°; а = ДД ’ где п — натуральное число.
Как следует расположить два плоских зеркала, чтобы при любом угле падения луч, падающий на зеркало, и луч, отразившийся последовательно от обоих зеркал, были параллельны?
Как следует расположить три плоских зеркала, чтобы все они пересекались, и чтобы при любом угле падения луч, падающий на зеркало, и луч, последовательно отразившийся от всех трех зеркал, были параллельны?
Человек разглядывает свое изображение в плоском зеркале. На какое расстояние ж следует переместить зеркало в направлении нормали к нему, чтобы изображение при этом сместилось на s = 1 м?
Мальчик ростом Н = 1,60 м стоит перед плоским вертикальным прямоугольным зеркалом на расстоянии s = 1 м от него. Какова должна быть минимальная высота Хмин зеркала, чтобы мальчик мог видеть себя с головы до ног? На каком расстоянии h от пола должен при этом находиться нижний край
зеркала? Глаза мальчика находятся на высоте Hi = 150 см от пола. Поясните ответ задачи.
Плоское зеркало поворачивают на угол а = 35°. На какой угол /3 повернется при этом отраженный от зеркала луч?
Высота Солнца над горизонтом составляет а = 38°. Под каким углом /3 к горизонту следует расположить плоское зеркало, чтобы осветить солнечными лучами дно вертикального колодца?
Плоское зеркало движется со скоростью и = 1, 5 см/с, направленной по нормали к плоскости зеркала. С какой по модулю и направлению скоростью и должен двигаться точечный источник, чтобы его отражение в зеркале оставалось неподвижным?
Плоское зеркало О Л вращается с угловой скоростью ш вокруг оси О (см. рисунок). С какой скоростью и движется отражение S' точки 5, если расстояние OS = L.
Плоское зеркало движется со скоростью и = 2, 0 см/с, а точечный источник света S — со скоростью и = 3, 0 см/с (см. рисунок). С какой скоростью w движется отражение Sf точки S? Определите угол а между направлениями скоростей источника и его отражения.
Отражающая поверхность зеркала составляет с плоскостью горизонтального стола угол а = 135°. По направлению к зеркалу катится шар со скоростью v = 2 м/с. С какой скоростью и и в каком направлении движется изображение шара?
У окна с двойными рамами стоит цветок. В оконных стеклах видны два его отражения. Определите расстояние х между двумя изображениями цветка, если расстояние между оконными рамами L = 10 см.
На какой высоте /г находится аэростат Л, если с башни высотой И он виден под углом о над горизонтом, а его отражение в озере видно под углом /3 под горизонтом (см. рисунок)?
Два плоских зеркала расположены под углом друг к другу. Между ними помещен точечный источник света. Изображение источника в первом зеркале находится на расстоянии од = 3 см от зеркала; изображение источника во втором зеркале — на расстоянии «2 = 4 см от зеркала. Расстояние между изображениями источника L = 10 см. Определите угол ф между зеркалами.
Два небольших плоских зеркала расположены на одинаковых расстояниях одно от другого и от точечного источника света. Определите угол ф между зеркалами, если луч после двух отражений: а)возвращается непосредственно к источнику; б)возвращается к источнику по пройденному пути, т.е. испытывает еще одно отражение.
Два плоских зеркала составляют двугранный угол ф = 120°. В плоскости, делящей угол пополам, расположен точечный источник света S. Расстояние между первыми мнимыми изображениями источника равно Н. Каким станет расстояние Н’ между источниками, если двугранный угол уменьшить в два раза?
Точечный источник света расположен на расстоянии d = 12 см от линии пересечения двух плоских зеркал, образующих двугранный угол ф = 30°. Определите расстояние а между двумя первыми изображениями источника в этих зеркалах.
Сферическое зеркало
Центр сферы, часть поверхности которой — зеркало, называют -центром кривизни С (оптическим центром) зеркала; ради™
К введению
ус R этой сферы называют радиусом зеркала; на рисунке показаны вогнутое (а) и выпуклое (б)сферические зеркала. Вершину шарового сегмента О называют полюсом зеркала. Прямую, соединяющую центр кривизны с полюсом О зеркала, называют
главной оптической осью зеркала. Другие прямые, проходящие через центр кривизны, называют побочными осями.
Если параллельные лучи падают на зеркало вдоль его главной оптической оси, то после отражения от зеркала сами лучи (в случае вогнутого зеркала) или их продолжения (в случае выпуклого зеркала) пересекутся в главном фокусе зеркала F. Расстояние от полюса зеркала до его главного фокуса называют фокусным расстоянием зеркала и обозначают буквой F. Фокусное расстояние выпуклого зеркала удобно считать отрицательным. Заметим, что в точку F фокусируются только те лучи, которые проходят достаточно близко от оси, — так называемые параксиальные лучи. Для них \F\ = R/2.
Формула сферического зеркала:
1 1 _ 1
где d — расстояние от точечного источника света до зеркала, / — расстояние от зеркала до изображения точечного источника. Отрицательные значения d или / соответствуют мнимым источникам или мнимым изображениям.
Линейное увеличение к предмета, определяемое отношением размера изображения к размеру предмета (в направлении, перпендикулярном главной оптической оси зеркала) определено формулой
где d — расстояние от предмета до зеркала, / — расстояние от зеркала до изображения предмета.
В задачах настоящего раздела рассматриваются только лучи, составляющие с главной оптической осью зеркала малые углы (предполагается, что зеркало представляет собой малый сегмент сферы).
На сферическое зеркало падает луч. Построением найдите дальнейший ход луча. Построение выполните для вогнутого и выпуклого сферических зеркал (см. рисунок).
Отрезок равномерно движется вдоль главной оптической оси вогнутого зеркала (см. рисунок) от полюса О в бесконечность, оставаясь перпендикулярным к ней. Постройте изображение предмета, когда он находится перед фокусом (в точке Л1), в фокусе (в точке F^ между фокусом и оптическим центром зеркала (в точке Л2), в оптическом центре (в точке С^ за оптическим центром (в точке Л3). Определите отношение промежутка времени тц в течение которого изображение предмета
будет мнимым, к промежутку времени 72, в течение которого изображение будет действительным и увеличенным.
Постройте изображение предмета АВ в выпуклом зеркале (см. рисунок). Предмет представляет собой отрезок, перпендикулярный к главной оптической оси зеркала.
К задаче 5.26 К задаче 5.27К задаче 5.26 К задаче 5.27
К задаче 5.26 К задаче 5.27
К задаче 5.26 К задаче 5.27
На рисунке показан ход луча, отразившегося от сферического зеркала. Построением определите положение фокуса зеркала. Рассмотрите отражение луча от вогнутого и выпуклого сферических зеркал. На рисунке показана главная оптическая ось зеркала.
К задаче 5.28
Светящаяся точка S находится на главной оптической оси сферического зеркала, фокус F^ оптический центр С и
полюс О которого показаны на рисунке. Постройте изображение S’ точки S. Какое оно — действительное или мнимое?
К задаче 5.29К задаче 5.29
К задаче 5.29
К задаче 5.29
srsrНа рисунке показано положение главной оптической оси сферического зеркала, точечного источника света S и его изображения S'. Построением найдите положение оптического центра С и полюса О зеркала. Определите, является зеркало выпуклым или вогнутым.
sr
sr
5
б
К задаче 5.30
На рисунке показан ход двух лучей — А А' и ВВ\ отраженных от сферического зеркала. Определите построением положение зеркала, его фокуса, оптического центра и главной оптической оси. Определите, является сферическое зеркало выпуклым или вогнутым.
На рисунке показана главная оптическая ось зеркала ОО' и ход А' В’ луча АВ после отражения от зеркала. По-
строением определите положение оптического центра, полюса и фокуса зеркала. Какое это зеркало?
К задаче 5.31К задаче 5.31
К задаче 5.31
К задаче 5.31
К задаче 5.33К задаче 5.33Говорят, что в архиве Снеллиуса нашли рисунок с оптической схемой. От времени чернила выцвели, и на бумаге остались видны только предмет АВ и его изображение А1 В1 в сферическом зеркале (см. рисунок). Восстановите построением положение зеркала, его главной оптической оси, оптического центра и фокуса.
К задаче 5.33
К задаче 5.33
5.342. Постройте изображение предмета, имеющего вид прямоуголь
ника, в сферическом зеркале (см. рисунок).
Два одинаковых вогнутых сферических зеркала повернуты отражающими поверхностями друг к другу и расположены так, что их главные оптические оси совпадают, а расстояние между зеркалами значительно превышает их радиус кривизны. Если в фокусе одного из них поместить кусочек бумаги, а в фокусе другого — лампочку, то при зажигании лампочки бумага загорится. Объясните это явление.
На каком расстоянии d от зеркала следует расположить предмет, чтобы получить его действительное изображение в к = 0,5 натуральной величины в вогнутом сферическом зеркале, радиус кривизны которого R = 0, 40 м?
Определите фокусное расстояние F зеркала, если точечный источник света и его изображение лежат на главной оптической оси вогнутого зеркала на расстояниях соответственно щ = 16 см и «2 = ЮО см от фокуса зеркала.
Сходящиеся лучи падают на выпуклое зеркало так, что их продолжения пересекаются на оси зеркала на расстоянии щ = 30 см от его полюса. После отражения от зеркала лучи
расходятся так, что их продолжения пересекаются в точке, удаленной от зеркала на а 2 = 60 см. Определите радиус кривизны R зеркала.
К задаче 5.34
На вогнутое зеркало падает сходящийся пучок лучей так, что точка пересечения лучей оказывается за зеркалом на расстоянии а = 20 см от его полюса. После отражения от зеркала лучи пересеклись в точке, находящейся на расстоянии |п от полюса (F — фокусное расстояние зеркала). Определите радиус кривизны R зеркала.
Вогнутое зеркало дает увеличенное в к = 4 раза перевернутое изображение предмета. Определите фокусное расстояние зеркала F, если расстояние между предметом и его изображением равно L = 90 см.
Предмет (отрезок) расположен перед вогнутым сферическим зеркалом перпендикулярно к его главной оптической оси. Отношение линейных размеров изображения и предмета равно ку = 1,5. После того, как предмет отодвинули от зеркала еще на L = 16 см, отношение размеров изображения и предмета стало равным к^ = 0,5. Определите радиус кривизны R зеркала.
Точечный источник света находится на главной оптической оси сферического зеркала. Расстояние между источником и оптическим центром зеркала равно а, а между источником и его изображением Ь. Определите радиус кривизны R зерка-
ла. Рассмотрите случаи, когда зеркало является: а) вогнутым; б) выпуклым.
На расстоянии а = 8, 0 см от выпуклого зеркала помещена тонкая плоская стеклянная пластинка. За пластинкой на расстоянии b = 12 см от нее находится точечный источник света. Изображение, сформированное лучами, отраженными от передней поверхности пластинки, совпадает с изображением, сформированным лучами, отраженными от зеркала. Определите радиус кривизны R зеркала.
Пучок параллельных лучей проходит сквозь круглое отверстие в листе бумаги. На расстоянии а = 45 см от листа расположен экран, плоскость которого параллельна плоскости листа. На экране прошедшие сквозь отверстие лучи образуют светлый круг диаметром d = 6, 0 см. Когда экран заменили выпуклым зеркалом, то на листе бумаги появился светлый круг диаметром D = 33 см. Определите радиус кривизны R зеркала.
Тонкий карандаш длины L = 6,0 см расположен вдоль главной оптической оси выпуклого зеркала. Изображение его ближайшего к зеркалу конца находится на расстоянии Д = 20 см от зеркала, дальнего — на расстоянии /2 = 24 см. Определите фокусное расстояние F зеркала.
Линейный размер изображения лица в плоском зеркале равен L. Если это зеркало заменить вогнутым сферическим, то изображение оказывается в п раз большим, чем в первом случае. Какова величина h изображения лица, которое может увидеть человек, если вогнутое сферическое зеркало заменить выпуклым с тем же радиусом кривизны? Расстояние между человеком и зеркалом во всех трех случаях одинаково.
На главной оптической оси вогнутого сферического зеркала радиуса R = 50 см помещен точечный источник света S на расстоянии ах = 30 см от зеркала. На каком расстоянии «2 от источника следует поставить плоское зеркало, чтобы лучи, отраженные сначала вогнутым, а затем плоским зеркалом, вернулись в точку S'?
На главной оптической оси вогнутого сферического зеркала с фокусным расстоянием F на расстоянии -F от его полюса расположен перпендикулярно оси небольшой предмет АВ высоты Н <F. Зеркало разрезали на две половинки и раздвинули в вертикальной плоскости на расстояние Н (см. рисунок). Определите расстояние s между крайними точками изображения.
Выпуклое и вогнутое зеркала с одинаковыми радиусами кривизны R = 20 см находятся на расстоянии одно от другого, равном удвоенному радиусу кривизны зеркала. На каком
расстоянии d от полюса выпуклого зеркала на главной оптической оси следует поместить точечный источник света S^ чтобы
К задаче 5.48
исходящие из него световые лучи после отражения от выпуклого, а затем вогнутого зеркала снова попадали в точку S?
На вогнутое сферическое зеркало радиуса R падает широкий световой пучок, крайние лучи которого соответствуют достаточно большим углам падения. Один из крайних лучей, идущий параллельно главной оптической оси, падает на зеркало под углом а и после отражения от зеркала пересекает главную оптическую ось не в фокусе, а на некотором расстоянии от него (см. рисунок). Расстоя
ние F А называют продольной сферической аберрацией, а расстояние FH — поперечной сферической аберрацией. Определите величины F А и FH.
Какую форму должна иметь поверхность зеркала, способного собирать широкий параллельный пучок световых лучей в одну точку? Как должен быть направлен пучок по отношению к этой поверхности?
Преломление света
Отношение скорости распространения света в вакууме с к скорости распространения света в среде г) называют абсолют™ ным показателем преломления (показателем преломления) п данной среды:
с п = и
Закон преломления света: луч, падающий на границу раздела сред с абсолютными показателями преломления ni и П2, нор-
8 С.Н. Белолипецкий и др.
маль, восстановленная к границе раздела сред в точке падения луча, и преломленный луч лежат в одной плоскости; отношение синусов углов падения а и преломления /3 равно обратному отношению абсолютных показателей преломления сред:
sing _ П2sin /3 ^i
Величину П21 = — называют относительным показателем преломления второй среды по отношению к первой.
Угол падения и угол преломления отсчитываются от нормали, восстановленной к границе раздела сред в точке падения луча.
В задачах настоящего раздела считайте показатель преломления стекла равным пс = 1,6; показатель преломления воды пв = 1,3, показатель преломления воздуха — равным единице.
Определите скорость света г в некоторой жидкости, если при падении луча на поверхность жидкости из воздуха под углом а = 45° угол преломления равен /3 = 30°.
Луч света падает на границу раздела двух сред под углом а = 30°. Показатель преломления первой среды ni = 2, 4. Определите показатель преломления П2 второй среды, если известно, что отраженный и преломленный лучи перпендикулярны друг другу (угол падения луча на границу раздела сред в этом случае называют углом Брюстера; степень поляризации отраженного света при этом максимальна).
Два взаимно перпендикулярных луча падают из воздуха на поверхность жидкости. Каков показатель преломления жидкости п, если угол преломления для одного луча равен /3i = = 36°, ДЛЯ другого ™ /?2 = 20° ?
Под каким углом а должен падать луч на поверхность стекла, чтобы угол преломления был в к = 2 раза меньше угла падения?
Определите угол падения а луча на поверхность воды, если известно, что он больше угла преломления на 0 = 10°.
Определите угол преломления /3 луча при переходе из воздуха в этиловый спирт (п = 1, 36), если угол между отраженным и преломленным лучами равен ф = 120°.
Свая вбита в дно реки и возвышается над водой на hi = 1,0 м. Глубина реки h^ = 2,0 м. Определите длину тени сваи L на поверхности воды и на дне реки, если высота Солнца над горизонтом а = 30°.
Опишите, что увидит ныряльщик из-под воды сквозь идеально гладкую поверхность озера.
Луч света направлен так, что испытывает полное отражение на границе воды и воздуха. Сможет ли он выйти в воздух, если на поверхность воды налить подсолнечное масло, показатель преломления которого больше, чем у воды? Масло с водой не смешивается.
Могут ли солнечные лучи испытать полное внутреннее отражение внутри дождевой капли? Каплю считать шаром.
Луч света выходит из скипидара в воздух. Предельный угол полного внутреннего отражения в этом случае равен <^пр = 42°23/. Определите скорость г) распространения света в скипидаре.
На дне водоема, имеющего глубину Н = 3,0 м, находится точечный источник света. Какой минимальный радиус ^мин должен иметь непрозрачный круг, плавающий на поверхности воды, чтобы с вертолета нельзя было обнаружить этот источник света? Центр круга находится точно над источником.
Прозрачный кубик лежит на монете. Монета освещается рассеянным светом. При каком значении показателя преломления п материала кубика монета нс будет видна через его боковую поверхность?
В ясный солнечный день стоящий на дне озера водолаз видит в водном «зеркале» у себя над головой отражение всех участков дна, находящихся от него на расстоянии s ^ sq = Юм. Рост водолаза h = 1,7 м. Определите глубину Н озера.
Луч падает под углом а = 60° на стеклянную пластину толщины d = 2,0 см с параллельными гранями. Под каким углом /3 луч, пройдя сквозь пластину, выйдет из нее? Каково смещение h луча при выходе из пластины? Каково будет смещение //, если луч под таким же углом а падает на эту же стеклянную пластину, погруженную в воду?
Показатель преломления жидкости постепенно увеличивается от значения ni у поверхности до П2 у дна сосуда. Луч падает на поверхность жидкости из воздуха под углом а. Определите угол /3 падения луча на дно сосуда.
Нижняя поверхность плоскопараллельной стеклянной пластинки посеребрена. На пластинку сверху падает луч света под углом а = 60°, в результате чего от нее отражаются два луча, идущих на расстоянии а = 20 мм один от другого. Определите толщину d пластинки.
На горизонтальном дне бассейна, имеющего глубину h = 2, 0 м, лежит плоское зеркало. Луч света, преломившись на поверхности воды, отражается от зеркала и выходит в воздух. Расстояние от точки вхождения луча в воду до точки выхода отраженного луча из воды равно L = 1,5 м. Определите угол падения луча а.
Предмет находится на расстоянии L = 15 см от стеклянной плоскопараллельной пластинки. Наблюдатель рассмат
ривает предмет сквозь пластинку, причем луч зрения нормален к ней. Определите расстояние ж от изображения предмета до ближайшей к наблюдателю грани, если толщина пластинки d = = 4, 8 см.
Над водой на высоте hi = 1,0 м поместили горизонтальное плоское зеркало. На какой высоте h над водой увидит свое отражение рыба, находящаяся на глубине h2 = 0, 50 м?
На дне сосуда, заполненного водой, лежит плоское зеркало. Человек, наклонившийся над сосудом, видит изобра
жение своего глаза в зеркале на расстоянии наилучшего зрения d = 25 см, когда расстояние от глаза до поверхности воды h = = 5 см. Определите глубину Н сосуда.
Сечение стеклянной прямой призмы имеет форму равнобедренного треугольника. Одна из равных граней призмы посеребрена. Луч света падает на вторую равную грань призмы перпендикулярно к ее поверхности и после двух отражений выходит через третью грань призмы перпендикулярно к ней. Найдите углы призмы. Призма находится в воздухе.
Луч света выходит из призмы под тем же углом, под
которым входит в нее, причем отклоняется от первоначального направления распространения на угол 9 = 15°. Преломляющий угол призмы равен ф = 45°. Найдите показатель преломления п материала призмы. Призма находится в воздухе.
Луч света падает из воздуха на боковую грань прямой призмы, преломляющий угол которой ф = 60°. Угол падения луча а = 30°. Определите угол 5 отклонения луча от первона
чального направления после прохождения луча через призму. Показатель преломления материала призмы п = 1,5.
Луч света падает на боковую грань стеклянной призмы под прямым углом. Определите угол 5 отклонения луча от
первоначального направ
ления, если преломляющий угол призмы равен: 1) фХ = 30°; 2) ф2 = 60°.
Для обращения изображения часто используют призму Дове (см. рисунок), представляющую собой усеченную прямую прямо
угольную равнобедренную призму. Определите минимальную длину а ребра АВ^ при которой пучок света, целиком заполняющий боковую грань призмы, полностью пройдет через призму.
Высота трапеции ADC В равна h = 2,1 см. Показатель преломления материала призмы п = 1,41.
Прямая призма изготовлена из материала с показателем преломления п. В основании призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник АВС. Одна из равных боковых граней (ABBiAi) — матовая, две другие — гладкие. Призма стоит на газете, соприкасаясь с ней большей из боковых граней ^АССхАхУ Какую часть р площади газетного текста, закрытого призмой, может видеть наблюдатель, смотрящий через гладкую грань BCCiBi?
Свет падает под углом а на торцевую поверхность конического суживающегося световода с углом раствора конуса у)<С1. Показатель преломления материала световода п, диаметр входного торца D. Найдите длину Ь, на которую луч проникает внутрь световода, если его боковая поверхность: а) зеркальная; б) прозрачная. Поглощением света в световоде пренебречь.
Благодаря преломлению и отражению солнечных лучей в каплях дождя или тумана возникает радуга. Определите угол 5 отклонения светового луча, падающего на сферическую каплю воды, в результате двух преломлений и одного отражения на поверхности капли. Угол падения луча из воздуха на поверхность капли равен а.
Человек смотрит на рыбку, находящуюся в диаметрально противоположной от него точке сферического аквариума радиуса R. На какое расстояние ж смещено при этом изображение рыбки относительно самой рыбки? Показатель преломления воды принять равным п = 4/3.
Тонкие линзы
Будем рассматривать только тонкие линзы, толщина которых мала по сравнению с радиусами кривизны Rx и R^ ограничивающих линзу сферических поверхностей. Полюсы этих сферических поверхностей можно считать совпадающими в одной точке, которую называют оптическим центром линзы. Прямую, проходящую через оптический центр и центры кривизны сферических поверхностей, называют главной оптической осью линзы. Остальные прямые, проходящие через центр линзы, называют побочными оптическими осями линзы. Лучи, проходящие через оптический центр линзы, не меняют направления распространения при прохождении через линзу.
Точка F^ в которой пересекаются после преломления лучи, падающие на линзу пучком, параллельным главной оптической оси (или продолжения этих лучей), называется фокусом линзы, а плоскость, проходящая через фокус и перпендикулярная
главной оптической оси, — фокальной плоскостью. Расстояние между оптическим центром и фокусом называется фокусным расстоянием линзы; обозначают его буквой F; фокусное расстояние рассеивающей линзы удобно считать отрицательным.
Величина D, обратная фокусному расстоянию, — оптическая сила линзы:
\Г£1112)
где п — показатель преломления материала линзы по отношению к среде, в которой линза находится; Ri и R^ — радиусы кривизны ограничивающих линзу поверхностей (для вогнутых поверхностей радиусы кривизны принято считать отрицательными, для выпуклых — положительными).
Формула тонкой линзы:
1 1 _ 1
где d — расстояние от предмета до линзы, / — расстояние от линзы до изображения предмета. Отрицательные значения d или / соответствуют мнимым источникам или мнимым изображениям.
Линейное увеличение к предмета, определяемое отношением размера изображения к размеру предмета (в направлении, перпендикулярном главной оптической оси линзы) определено формулой
к =к =/d/d
к =
к =
/
d
/
d
где d — расстояние от предмета до линзы, / — расстояние от линзы до изображения предмета.
На одном чертеже постройте изображение предмета, расположенного на расстоянии d от линзы с фокусным расстоянием F, для случаев: 1) 2|F| < d < оо; 2) d = 2|F|; 3) |F| < < d < 2|F|; 4) d = |F|; 5) d < |F|. Рассмотрите собирающую и рассеивающую линзы. Предмет представляет собой стрелку с началом на главной оптической оси линзы.
На собирающую (рассеивающую) линзу падает параллельный пучок лучей, образующих некоторый угол с главной оптической осью линзы. Постройте ход преломленных лучей, считая положение фокуса известным.
Светящаяся точка лежит на главной оптической оси линзы. Постройте изображение точки в собирающей и рассеивающей линзах для случаев: 1) 0 < d < |Н|; 2) |F| < d < 2|Н|.
По известному ходу луча АВ через собирающую линзу постройте ход луча CD (см. рисунок). Положение фокусов не задано.
По известному ходу луча АВ через рассеивающую линзу постройте ход луча CD (см. рисунок). Положение фокусов не задано.
На рисунке показана главная оптическая ось линзы MN^ а также ход падающего на линзу луча до и после преломления линзой. Построением определите положение линзы и ее фокусов. Какая это линза — собирающая или рассеивающая?
К задаче 5.87К задаче 5.87
К задаче 5.87
К задаче 5.87
На рисунке изображен луч АВ^ прошедший через линзу. Построением определите ход этого луча до линзы, если известно положение главной оптической оси MN линзы и ее фокусов.
На рисунке показаны главная оптическая ось линзы MN^ положение источника света S и его изображения Sf. Построением определите положение линзы, ее фокусов и тип линзы.
Постройте изображение предмета в собирающей (а) и рассеивающей (б) линзах, если предмет больше линзы, заклю-
К задаче 5.88
ченной в оправу (см. рисунок). Положения линзы, ее главной оптической оси MN и фокусов известны.
s'
ж
S's *
б
На каком расстоянии d от собирающей линзы, фокусное расстояние которой равно F = 60 см, надо поместить пред-
14 задаче 5.90
мет, чтобы его действительное изображение получилось уменьшенным в к = 2 раза?
К задаче 5.91
Предмет находится на расстоянии d = 5 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 10 см. На каком расстоянии L от предмета находится его изображение?
5.961. Определите опти5.961. Определите оптическую силу D рассеивающей линзы, если известно, что предмет расположен перед ней на расстоянии d = = 2,4 м, а мнимое изображение находится на расстоянии х = 1,6 м от линзы.5.971. На каком расстоянии кусным расстоянием F = 20 смческую силу D рассеивающей линзы, если известно, что предмет расположен перед ней на расстоянии d = = 2,4 м, а мнимое изображение находится на расстоянии х = 1,6 м от линзы.5.971. На каком расстоянии кусным расстоянием F = 20 смК задаче 5.92/ от собирающей линзы с фо- получится изображение пред-К задаче 5.92/ от собирающей линзы с фо- получится изображение пред-
5.961. Определите опти
5.961. Определите опти
ческую силу D рассеивающей линзы, если известно, что предмет расположен перед ней на расстоянии d = = 2,4 м, а мнимое изображение находится на расстоянии х = 1,6 м от линзы.
5.971. На каком расстоянии кусным расстоянием F = 20 см
ческую силу D рассеивающей линзы, если известно, что предмет расположен перед ней на расстоянии d = = 2,4 м, а мнимое изображение находится на расстоянии х = 1,6 м от линзы.
5.971. На каком расстоянии кусным расстоянием F = 20 см
К задаче 5.92
/ от собирающей линзы с фо- получится изображение пред-
К задаче 5.92
/ от собирающей линзы с фо- получится изображение пред-
мета, если сам предмет находится от линзы на расстоянии d = = 15 см?
Предмет расположен на расстоянии d = 15 см от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F = 30 см. На каком расстоянии / от линзы получается изображение данного предмета?
При помощи собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 6 см получают мнимое изображение предмета на расстоянии ж = 18 см от линзы. На каком расстоянии d от линзы помещен предмет?
Точка S находится на главной оптической оси рассеивающей линзы. Фокусное расстояние линзы F = —40 см, а расстояние от линзы до мнимого изображения точки х = 30 см. На каком расстоянии d от линзы расположена точка?
Каково фокусное расстояние F собирающей линзы, дающей мнимое изображение предмета, помещенного перед ней на расстоянии d = 40 см? Расстояние от линзы до изображения ж = 1,2 м.
Определите фокусное расстояние F рассеивающей линзы, если предмет находится от линзы на расстоянии d = = 15 см, а его изображение — на расстоянии ж = 6 см от линзы.
Изображение предмета, помещенного на расстоянии d = 40 см от собирающей линзы, получилось увеличенным в к = = 1,5 раза. Каково фокусное расстояние F линзы?
На каком расстоянии d от рассеивающей линзы с оптической силой D = —4 дптр надо поместить предмет, чтобы его мнимое изображение оказалось в к = 5 раз меньше самого предмета?
Найдите фокусное расстояние F и оптическую силу D линзы, если известно, что изображение предмета, расположенного на расстоянии d = 30 см от линзы, получается по другую сторону линзы на таком же расстоянии от нее.
Когда предмет поместили на расстоянии d = 20 см от собирающей линзы, на экране получилось изображение предмета в натуральную величину. Каково фокусное расстояние F линзы?
Высота здания на фотографическом поляроидном снимке h = 7 см. Определите реальную высоту здания Н, если известно, что фокусное расстояние объектива F = 20 см, а аппарат при съемке был расположен на расстоянии а = 80 м от здания.
С какого наименьшего расстояния х нужно фотографировать здание длиной L = 72 м и высотой Н = 25 м,
чтобы весь фасад здания поместился на кадре пленки размером а х b = 24 х 36 мм2? Фокусное расстояние объектива F = 10 см.
Расстояние между лампочкой, находящейся на главной оптической оси собирающей линзы, и ее изображением составляет L = 53 см. Расстояние от лампочки до линзы d = 30 см. Определите фокусное расстояние F и оптическую силу D линзы.
Предмет находится на расстоянии d = 12,5 см от: 1) собирающей линзы с оптической силой D = 10 дптр; 2) рассеивающей линзы с оптической силой D = —10 дптр. На каком расстоянии / от линзы и с каким поперечным увеличением к получится изображение?
На каком расстоянии d надо поместить предмет от собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 12 см, чтобы изображение было в к = 3 раза больше самого предмета?
На каком расстоянии do надо поместить предмет от собирающей линзы с фокусным расстоянием F, чтобы расстояние от предмета до его действительного изображения было наименьшим?
На собирающую (а) и рассеивающую (5) линзы падает сходящийся конусом пучок световых лучей. После преломления в линзе лучи пересекаются в точке S на главной оптической оси. Точка S удалена от линзы на расстояние b = 15 см. Если линзу убрать, точка схождения лучей переместится на а = = 50 мм. Определите фокусное расстояние F линзы.
Расстояние от освещенного предмета до экрана L = = 100 см. Линза, помещенная между ними, дает четкое изображение предмета на экране при двух положениях, расстояние между которыми составляет s = 20 см. Определите фокусное расстояние F линзы.
Линза, помещенная между предметом и экраном, может перемещаться вдоль главной оптической оси. Она дает два отчетливых изображения предмета на экране: одно — высоты hi = 10 мм, другое — высоты h^ = 90 мм. Определите высоту h предмета, если расстояние между предметом и экраном не изменяется.
Точечный источник света S и его изображение S’ находятся на расстояниях соответственно а = 8 см и b = 5 см от главной оптической оси рассеивающей линзы. Расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из этих точек на главную оптическую ось, равно с = 9 см. Определите оптическую силу D линзы.
Предмет находится на расстоянии L = 90 см от экрана. Между предметом и экраном помещают линзу, причем при одном положении линзы на экране получают увеличенное изоб-
ражение предмета, при другом — уменьшенное. Каково фокусное расстояние F линзы, если линейные размеры первого изображения в к = 4 раза больше, чем второго?
Источник света и экран находятся друг от друга на расстоянии а. Тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием F дает действительное изображение на экране при двух ее положениях. Определите расстояние L между двумя этими положениями линзы.
Предмет в виде отрезка длины h расположен вдоль оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием F. Середина отрезка расположена на расстоянии а от линзы, которая дает действительное изображение всех точек предмета. Определите продольное увеличение к предмета.
Точечный источник света S находится на главной оптической оси собирающей линзы. Расстояние от источника до его изображения равно Ь, расстояние от источника до ближайшего фокуса линзы а. Определите фокусное расстояние линзы F и расстояние d от источника S до линзы.
На экране с помощью тонкой собирающей линзы получено изображение предмета с увеличением к± = 2. Предмет передвинули на а = 1 см. Для того чтобы получить резкое изображение, пришлось передвинуть экран. При этом увеличение оказалось равным fc2 = 4. На какое расстояние ж передвинули экран?
Осветитель, предназначенный для получения направленных световых пучков, состоит из точечного источника света и линзы диаметра D = 6 см с фокусным расстоянием F = = 15 см. На каком расстоянии d от линзы должен быть расположен источник, чтобы лучи, прошедшие через линзу, образовали на экране световое пятно диаметра h = 4 см? Расстояние от линзы до экрана равно L = 100 см.
Если точечный источник света поместить на расстоянии di от рассеивающей линзы диаметра Do, вставленной в оправу, то на экране, находящемся на расстоянии L за линзой, получится световое пятно диаметра Di. Каков будет диаметр Ds пятна на экране, если источник поместить в фокусе линзы?
На экране, расположенном на расстоянии L = 60 см от собирающей линзы, получено изображение точечного источника, расположенного на главной оптической оси линзы. На какое расстояние Н сместится изображение на экране, если при неподвижном источнике переместить линзу в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси, на h = 2 см? Фокусное расстояние линзы равно F = 20 см.
Фокусное расстояние двояковыпуклой линзы F = = 5 см. Точечный источник света находится на оси линзы на
расстоянии d = 6 см от нее. Линзу разрезали по диаметру на две равные части, которые раздвинули на расстояние h = 1 см симметрично относительно главной оптической осп. Найдите расстояние s между двумя изображениями точки.
Воздушная полость в стекле с показателем преломления п имеет форму плосковыпуклой линзы. Определите фокусное расстояние F этой линзы, если известно, что фокусное расстояние линзы из стекла, которая совпадает по форме с полостью, в воздухе равно Fq.
Оптическая сила тонкой линзы в воздухе равна Fq? а в жидкости с неизвестным показателем преломления оптическая сила этой же линзы равна Di. Определите показатель преломления п жидкости, если показатель преломления стекла равен тцх
Если линзу опустить в воду (показатель преломления воды П1 = 1,33), то ее фокусное расстояние будет равным Fi = 1 м. Если линзу опустить в сероуглерод (показатель преломления сероуглерода П2 = 1,6), то ее фокусное расстояние возрастет до F^ = 10 м. Определите фокусное расстояние F^ линзы в воздухе.
В куске стекла с показателем преломления п имеется воздушная полость в виде двояковыпуклой линзы (а) и двояковогнутой линзы (S') с радиусами кривизны ограничивающих ее поверхностей R. На оптической оси этой линзы внутри куска стекла на расстоянии d от линзы находится песчинка. На каком расстоянии / от линзы получается изображение песчинки?
Какую выдержку т нужно делать при фотографировании спортсмена в момент его погружения в воду при прыжке с вышки высотой Я = 8 м, если допустимая размытость изображения на негативе не должна превышать Д/г = 0,4 мм? Фотоаппарат установлен на расстоянии ж = 10 м от места погружения. Фокусное расстояние объектива F = 10 см.
При аэрофотосъемках используется фотоаппарат, объектив которого имеет фокусное расстояние F = 8 см. Разрешающая способность пленки Д = 10-2 мм. На какой высоте Н должен лететь самолет, чтобы на фотографии можно было различить листья деревьев размером L = 5 см? При какой скорости г) самолета изображение не будет размытым, если время экспозиции т = 1 мс?
Оптические системы и приборы
Оптическая сила системы, состоящей из двух тонких сложенных вплотную линз с оптическими силами Di и Ds равна
D = Di + Ds-
Угловое увеличение оптического прибора, вооружающего глаз, равно
L ф
7 = 1™ = —,
Ь0
где L и Lq — линейные размеры изображения на сетчатке вооруженного и невооруженного глаза; ф и фо — углы зрения, под которыми глаз видит предмет через прибор и без него.
Увеличение телескопа
р _ ^об
FOk
где F0o и FOK — фокусные расстояния объектива и окуляра.
Плосковыпуклая линза с фокусным расстоянием Fi = 10 см погружена плоской поверхностью в воду так, что сферическая поверхность линзы находится в воздухе. Перпендикулярно к поверхности воды падают параллельные лучи света. На каком расстоянии F^ от плоской поверхности линзы фокусируются световые лучи? Показатель преломления воды п = 1, 33.
Фотограф с лодки снимает морскую звезду, лежащую на дне (глубина Я = 2 м) прямо под ним. Во сколько раз изображение на пленке будет меньше предмета, если фокусное расстояние объектива Fi = 10 см, а расстояние от объектива до поверхности воды L = 50 см? Показатель преломления воды п = 1,33.
Плоскую поверхность плосковыпуклой линзы, фокусное расстояние которой равно Fo, посеребрили. Определите фокусное расстояние F получившейся системы, свет на которую падает со стороны стекла.
Вогнутое зеркало с радиусом кривизны R = 40 см наполнено водой (показатель преломления воды п = 4/3). Определите фокусное расстояние F этой системы и ее оптическую силу D.
Если у плосковыпуклой линзы посеребрить плоскую поверхность, ее оптическая сила станет равной Di = 4 дптр, а если посеребрить сферическую поверхность, оптическая сила увеличивается до D^ = 9 дптр. Каков показатель преломления п стекла линзы?
Выпукло-вогнутая линза имеет радиусы кривизны Rx = R и Rs = 3R соответственно. Когда вогнутую поверхность посеребрили, оптическая сила линзы стала равной нулю. Определите показатель преломления п стекла, из которого изготовлена линза.
Плоская поверхность плосковыпуклой линзы с фокусным расстоянием F посеребрена. На расстоянии d от линзы со стороны выпуклой поверхности расположен точечный источник света. На каком расстоянии / от линзы расположено изображение источника?
Из плоскопараллельной
стеклянной пластинки изготовлены три линзы (см. рисунок). Фокусное расстояние линз 1 и 2, сложенных вместе, равно F\ фокусное расстояние сложенных вместе линз 2 и 3
равно FC Определите фокусное рас-к е 5 1зу
стояние г каждой линзы.
Свеча находится на расстоянии d = 15 см перед собирающей линзой с фокусным расстоянием F = 30 см. Плоское зеркало расположено на расстоянии b = 15 см за линзой. На каком расстоянии а от линзы находится изображение свечи, создаваемое системой?
Источник света расположен на двойном фокусном расстоянии от собирающей линзы. За линзой перпендикулярно главной оптической оси помещено плоское зеркало. На каком расстоянии а от линзы нужно поместить зеркало, чтобы лучи, отраженные от зеркала, после вторичного прохождения через линзу стали параллельными?
За тонкой собирающей линзой перпендикулярно ее главной оптической оси расположено плоское зеркало. На линзу под углом а на расстоянии h от главной оптической оси падает узкий луч света. Преломившись в линзе и отразившись от зеркала, он выходит из линзы параллельно первоначальному направлению, но смещенным на расстояние L (см. рисунок). Определите фокусное расстояние F линзы.
К задаче 5.142К задаче 5.142К задаче 5.143К задаче 5.143
К задаче 5.142
К задаче 5.142
К задаче 5.143
К задаче 5.143
Два плоских зеркала образуют двугранный угол, равный тг/2. В угол вставлена собирающая линза с фокусным расстоянием F так, что ее главная оптическая ось составляет угол тг/4 с каждым зеркалом (см. рисунок). Радиус линзы г = """3
= F. На главной оптической оси линзы на расстоянии d = -F от нее расположен источник света S. На каком расстоянии / от линзы расположено изображение источника света, находящееся на главной оптической оси?
На каких расстояниях / от линзы находятся изображения точечного источника, создаваемые системой, состоящей из собирающей линзы с фокусным расстоянием F и конического зеркала с углом тг/2 при вершине (см. рисунок)? Ось конуса совпадает с осью линзы. Расстояние между вершиной конуса и линзой равно ‘IF. Расстояние между источником и линзой d = = -F.
2
К задаче 5 Л 44 К задаче 5 Л 45
Оптическая система состоит из собирающей линзы с фокусным расстоянием F и вогнутого зеркала радиуса Гц расположенных на расстоянии b друг от друга так, что их главные оптические оси совпадают (см. рисунок). На главной оптической оси линзы находится точечный источник света S. На каком расстоянии d от линзы должен находиться источник 5, чтобы его изображение совпало с ним самим?
Параллельный пучок света падает на собирающую линзу, а затем на вогнутое зеркало с фокусным расстоянием ^2 = 24 см. Расстояние между линзой и зеркалом b = 32 см. Каким должно быть фокусное расстояние Fi линзы, чтобы свет, отразившись от зеркала, собрался в точке, удаленной от зеркала на расстояние / = 6 см?
Точечный источник света находится на расстоянии d = 10 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием F =
12 см на ее главной оптической оси. Лучи, преломившись в лин
зе, падают на выпуклое зеркало, расположенное на расстояниизе, падают на выпуклое зеркало, расположенное на расстоянииb = 3 см за линзой (см. рисунок). Отраженные от зеркала лучи, вновь пройдя через линзу, идут пучком, параллельным главной оптической оси. Определите радиус кривизны R зеркала.5.1482. Оптическая система состоит из собирающей линзы с фокусным расстоянием F и зеркального шарика радиуса R, центрb = 3 см за линзой (см. рисунок). Отраженные от зеркала лучи, вновь пройдя через линзу, идут пучком, параллельным главной оптической оси. Определите радиус кривизны R зеркала.5.1482. Оптическая система состоит из собирающей линзы с фокусным расстоянием F и зеркального шарика радиуса R, центркоторого находится на оптической оси линзы на расстоянии b от нее (см. рисунок). На каком расстоянии d от линзы нахокоторого находится на оптической оси линзы на расстоянии b от нее (см. рисунок). На каком расстоянии d от линзы находится точечный источник 5,дится точечный источник 5,К задаче 5.148К задаче 5.148расположенный на оптической оси системы, если изображение источника совпадает с самим источником?5.1492. Рассеивающая линза и вогнутое зеркало расположены так, что пучок лучей, параллельных главной оптической оси, пройдярасположенный на оптической оси системы, если изображение источника совпадает с самим источником?5.1492. Рассеивающая линза и вогнутое зеркало расположены так, что пучок лучей, параллельных главной оптической оси, пройдя
зе, падают на выпуклое зеркало, расположенное на расстоянии
зе, падают на выпуклое зеркало, расположенное на расстоянии
b = 3 см за линзой (см. рисунок). Отраженные от зеркала лучи, вновь пройдя через линзу, идут пучком, параллельным главной оптической оси. Определите радиус кривизны R зеркала.
5.1482. Оптическая система состоит из собирающей линзы с фокусным расстоянием F и зеркального шарика радиуса R, центр
b = 3 см за линзой (см. рисунок). Отраженные от зеркала лучи, вновь пройдя через линзу, идут пучком, параллельным главной оптической оси. Определите радиус кривизны R зеркала.
5.1482. Оптическая система состоит из собирающей линзы с фокусным расстоянием F и зеркального шарика радиуса R, центр
которого находится на оптической оси линзы на расстоянии b от нее (см. рисунок). На каком расстоянии d от линзы нахо
которого находится на оптической оси линзы на расстоянии b от нее (см. рисунок). На каком расстоянии d от линзы нахо
дится точечный источник 5,
дится точечный источник 5,
К задаче 5.148
К задаче 5.148
расположенный на оптической оси системы, если изображение источника совпадает с самим источником?
5.1492. Рассеивающая линза и вогнутое зеркало расположены так, что пучок лучей, параллельных главной оптической оси, пройдя
расположенный на оптической оси системы, если изображение источника совпадает с самим источником?
5.1492. Рассеивающая линза и вогнутое зеркало расположены так, что пучок лучей, параллельных главной оптической оси, пройдя
линзу, отразившись от зеркала и еще раз пройдя линзу, остается параллельным той же оси. Фокусные расстояния линзы и зеркала равны Fi = 12 см и Fa = 36 см соответственно. Где и какое получится изображение, если источник поместить в оптическом центре зеркала?
Две собирающие линзы с фокусными расстояниями Fi = 20 см и Fa = 40 см расположены на расстоянии b = 1, 5 м одна от другой. Предмет высотой Hq = 2 см находится на расстоянии di = 25 см от первой линзы. На каком расстоянии /2 от второй линзы получится изображение предмета и какова его высота ЕЛ
Оптическая система состоит из двух собирающих линз с фокусными расстояниями Fi = 20 см и Fa = 10 см. Расстояние между линзами b = 30 см. Предмет находится на расстоянии di = 30 см от первой линзы на оптической оси системы. На каком расстоянии /2 от второй линзы получится изображение предмета?
Две одинаковые собирающие линзы с фокусным расстоянием F каждая расположены так, что их главные оптиче-
ские оси образуют угол а, и главная оптическая ось второй линзы проходит через оптический центр первой (см. рисунок). В фокусе первой линзы расположен точечный источник света S. Расстояние между центрами линз 2F. Найдите расстояние между источником S и его изображением Sf в данной системе.
5.1533. Две собирающие линзы с одинаковыми фокусными расстояниями F смещены относительно друг друга на расстояние F (см. рисунок). Оптическая ось первой линзы параллельна оптической оси второй линзы и находится на расстоянии h от нее. Точечный источник света S
К задаче 5.153К задаче 5.153расположен на расстоянии 2F от первой линзы на ее главной оптической оси. Найдите расстояние между источником S и его изображением S'.
К задаче 5.153
К задаче 5.153
На каком расстоянии b нужно расположить собирающую и рассеивающую линзы с фокусными расстояниями Fx = = 10 СМ И F2 = —6 см, чтобы параллельный пучок лучей, пройдя сквозь них, остался параллельным?
Собирающая и рассеивающая линзы с фокусными расстояниями Fx = 30 см и F^ = —10 см расположены на расстоянии Ъ = 20 см одна от другой. На собирающую линзу падает параллельный пучок лучей диаметра Dx = 12 мм. Каков диаметр D^ пучка на расстоянии а = 20 см за рассеивающей линзой?
Параллельный пучок света падает на систему из трех тонких линз с общей оптической осью. Фокусные расстояния линз соответственно равны Fx = 10 см, F^ = — 20 см и Из = = 9 см. Расстояние между первой и второй линзами сд = 15 см, между второй и третьей а^ = 5 см. Определите положение точки
схождения пучка по выходе из системы линз.
Расстояние наи лучшего зрения дальнозоркого человека dx = 67 см. Определите оптическую силу D очков, позволяющих этому человеку читать книгу на расстоянии наилучшего зрения нормального глаза do = 25 см.
Пределы аккомодации у близорукого человека d\ = = 10 см и с?2 = 25 см. В пределах каких расстояний L человек может четко видеть предметы, если он наденет очки с оптической силой D = — 4 дптр?
На какую величину ДИ изменится оптическая сила хрусталика глаза за счет его аккомодации при переводе взгляда со звезды на книгу, находящуюся на расстоянии наилучшего зрения do = 25 см?
Два человека — дальнозоркий и близорукий, надев свои очки, видят так же, как человек с нормальным зрением. Однажды они поменялись очками. Надев очки близорукого, дальнозоркий обнаружил, что он может отчетливо видеть только бесконечно удаленные предметы. На каком наименьшем расстоянии а сможет читать мелкий шрифт близорукий в очках дальнозоркого?
Лупа, представляющая собой двояковыпуклую линзу, изготовлена из стекла с показателем преломления п = 1,6. Радиусы кривизны поверхностей линзы одинаковы и равны R = = 12 см. Определите угловое увеличение у лупы.
Лупа дает угловое увеличение до = 2. Вплотную к ней приложили собирающую линзу с оптической силой Di = = 20 дптр. Какое угловое увеличение у будет давать такая составная лупа?
Предмет рассматривают в лупу, расположив его в фокальной плоскости лупы. При этом предмет выглядит увеличенным в к раз. Какое максимальное увеличение к1 может дать эта лупа?
Фотографируя кратер Луны, фотопластинку располагают в фокальной плоскости объектива телескопа с фокусным расстоянием F = 4,5 м. Определите диаметр D кратера, если диаметр его изображения D^ = 0, 72 мм. Расстояние до поверхности Луны L = 3, 8 • 105 км.
Телескоп состоит из двух собирающих линз (зрительная труба Кеплера) — объектива с фокусным расстоянием ^ = 4,5 м и окуляра с фокусным расстоянием F^ = 45 мм. Настроив телескоп на бесконечность, фотографируют Солнце с помощью фотокамеры с фокусным расстоянием F3 = 30 см. Каков диаметр D изображения Солнца на фотопластинке, если угловой диаметр Солнца равен ф = ЗОС
Наблюдатель с нормальным зрением рассматривает Луну в телескоп, объектив и окуляр которого имеют фокусные расстояния Fo6 = 2 м и FOK = 5 см. На какое расстояние ДБ нужно раздвинуть трубу, чтобы получить изображение Луны на экране на расстоянии /2 = 25 см от окуляра? Каков будет
при этом диаметр D изображения Луны, если невооруженным глазом ее видно под углом о = 30'?
Объективом театрального бинокля (труба Галилея) служит собирающая линза с фокусным расстоянием F\ = 8 см, а окуляром — рассеивающая линза с фокусным расстоянием F^ = = —4 см. Определите расстояние а между объективом и окуляром, если изображение рассматривается с расстояния наилучшего зрения нормального глаза do = 25 см.
Указание: постройте изображение бесконечно удаленного предмета.
Фокусные расстояния объектива и окуляра в трубе Галилея Fi = 45 см и F^ = —5 см. При замене линз в трубе на две собирающие получилась труба Кеплера с тем же увеличением, что и труба Галилея. Найдите фокусные расстояния F^ и F4 этих линз.
Увеличение микроскопа к = 600. Определите оптическую силу Do6 объектива, если фокусное расстояние окуляра FOK = 4 см, а длина тубуса L = 24 см.
Фокусное расстояние объектива микроскопа Fo^ = = 0, 5 см. Расстояние между окуляром и объективом микроскопа равно L = 16 см. Увеличение микроскопа к = 200. Найдите увеличение окуляра кОК.
Указание: воспользуйтесь формулой к = кОКкое.
В микроскопе фокусное расстояние объектива Fx = = 5,4 мм, а окуляра — F^ = 2 см. Предмет находится на расстоянии di = 5, 6 мм от объектива. Определите увеличение микроскопа к для нормального глаза и длину тубуса L (расстояние между объективом и окуляром).
Стальной шарик свободно падает с высоты h = 0, 8 м на собирающую линзу и разбивает ее. В начальный момент расстояние от шарика до линзы равнялось расстоянию от линзы до действительного изображения шарика. В течение какого промежутка времени т существовало изображение шарика?
Линзу с оптической силой D = 8 дптр перемещают с постоянной скоростью от источника света к экрану, находящемуся на расстоянии L = 2,4 м от источника. В процессе перемещения на экране два раза с интервалом времени т = 5 с возникли резкие изображения источника. С какой скоростью и перемещается линза?
Фотометрия
Световым потоком называют поток излучения (т.е. энергию, переносимую через данную площадку за единицу времени),
оцениваемый по зрительному ощущению:
Сила света источника равна отношению светового потока, излучаемого в данном направлении, к телесному углу, в котором он распространяется:
J _ dФdO
Освещенности — это отношение светового потока, падающего на поверхность, к ее площади:
_ dФ
dS*
Освещенность поверхности, создаваемая источником силой света I в точке, удаленной от него на расстояние г, выражается формулой
_ I cos а к -
где а — угол падения лучей на поверхность.
Точечный изотропный источник создает полный световой поток Фо = 200 лм. Какова сила света I этого источника? Какой световой поток Ф падает на лист бумаги площади S = = 1 дм2, расположенный на расстоянии R = 2 м от источника так, что лучи света падают на него под углом а = 45°? Определите освещенность Е этого листа бумаги.
Человеческий глаз воспринимает в темноте световой поток, равный Фо = 10™13 лм, поверхность зрачка глаза в темноте s = 0,4 см2. Определите, с какого наибольшего расстояния L можно заметить свет карманного фонаря, сила света которого 1 = 5- 10™2 кд.
На какой высоте Н над чертежной доской следует повесить лампу мощности Р = 200 Вт, чтобы получить освещенность доски под лампой Е = 50 лк? Светоотдача лампы L = 12 лм/Вт. Наклон доски к горизонту а = 30°.
Для печатания фотоснимка требуется время экспозиции Ч = 1 с при силе света лампы Д = 100 кд. Какова должна быть экспозиция t‘2 при замене этой лампы на лампу с силой света Д = 60 кд? В обоих случаях фотоснимок должен получить одинаковую световую энергию.
Определите силу света I лампы уличного освещения, необходимую для того, чтобы освещенность на земле посередине между двумя фонарями была равна Е = 0, 2 лк. Лампы
подвешены на высоте h = 10 м, расстояние между столбами L = 40 м.
Два точечных источника, силы света которых Д = = 80 кд и Д = 125 кд, находятся на расстоянии L = 3,6 м один от другого. На каком расстоянии ж от первого источника на прямой, соединяющей источники, надо поместить небольшой плоский экран, чтобы его освещенность была одинаковой с обеих сторон?
Точечный источник света помещен на некотором расстоянии L от экрана и дает в центре экрана освещенность Е = 1 лк. Какова будет освещенность центра экрана Si, если по другую сторону от источника на том же расстоянии L поместить плоское идеально отражающее зеркало?
А С\/ВV////////////////////ZК задаче 5.181А С\/ВV////////////////////ZК задаче 5.1815.1812. Точечный источник света S освещает поверхность АВ (см. рисунок). Во сколько раз п увеличится освещенность поверхности в точке С^ если сбоку от источника света на расстоянии SD = SC поместить плоское зеркало, отражающее луч SD в точку С 7
А С\/В
V////////////////////Z
К задаче 5.181
А С\/В
V////////////////////Z
К задаче 5.181
Точечный источник света находится на расстоянии d = 20 см от вогнутого сферического зеркала радиуса R = 50 см. Найдите освещенность Ei в центре экрана, расположенного перпендикулярно главной оптической оси зеркала на расстоянии Li = 60 см от полюса, если при удалении экрана на L^ = 100 см освещенность в его центре равна Е^ = 300 лк.
В главном фокусе вогнутого зеркала с радиусом кривизны R = 2 м находится точечный источник света. На расстоянии L = 10 м от источника помещен экран, перпендикулярный главной оптической оси зеркала. Во сколько раз освещенность Ех в центре светового пятна на экране превышает освещенность Eq в том же месте экрана в отсутствие зеркала?
На высоте h > 1 м от поверхности стола находится точечный источник света силы I = 25 кд. Какова будет освещенность Е в точке, расположенной под источником, если на пути лучей помещена горизонтальная линза оптической силы D = 1 дптр так, что источник находится в ее фокусе?
На расстоянии L = 1 м от экрана находится матовая лампочка. С помощью линзы, перемещая последнюю, дважды получают на экране четкое изображение лампочки. Освещенности изображений при этом отличаются в п = 9 раз. Определите фокусное расстояние F линзы.
Точечный источник света S находится на расстоя
нии L = 1 м от экрана. В экране напротив источника сделано
К задаче 5.186К задаче 5.186отверстие диаметром d = 1 см, в которое проходит свет. Между источником и экраном помещают прозрачный цилиндр, показатель преломления которого равен п = = 1,5, длина L = 1 м, а диаметр равен диаметру отверстия (см. рисунок). Во сколько раз изменится световой поток Ф через отверстие?
К задаче 5.186
К задаче 5.186
5.1874. Оптическая система
состоит из двух собирающих линз с одинаковыми фокусными расстоя-
ниями F, закрепленных на концах трубки длиной 2F. Посередине трубки помещена диафрагма. Трубка освещается пучком света, параллельным главной оптической оси этой системы. После того как перед первой линзой поместили матовое стекло, освещенность пятна на выходе системы уменьшилась в п = 10 раз. Во сколько и/ раз уменьшится освещенность, если толщина матового стекла увеличится в два раза?
Интерференция света
Оптическая длина пути, проходимого лучом света в однородной среде с показателем преломления п, равна
L = ns,
где s — геометрическая длина пути.
Оптическая разность хода двух световых лучей
Д = L2 — Li.
Интенсивность света, созданная двумя когерентными источниками колебаний, равна
I = 11 + /2 - ^Vhh cosI = 11 + /2 - ^Vhh cos
I = 11 + /2 - ^Vhh cos
I = 11 + /2 - ^Vhh cos
где 11 и I2 — интенсивности света, созданные каждым из ис
точников в отсутствие другого. Если Д = ±2т™, где т
= 0,1,2,3,..., то интенсивность I оказывается максимальной (интерференционный максимум); если Д = ±(2m + 1)™, то интенсивность I — минимальна (интерференционный минимум).
Расстояние между интерференционными полосами на экра-
не, полученными от двух когерентных источников света, равно
. XL
Дж = —,d
где L — расстояние от источников до экрана, d — расстояние между источниками (d <^ L\
При отражении световой волны от оптически более плотной среды (с большим показателем преломления) фаза волны скачком изменяется на тг ^это можно учесть изменением оптической А0А
длины пути на — I.
Радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете при условии, что среда между линзой и пластинкой является оптически менее плотной, чем материалы линзы и пластинки, определены формулой
rk = ^kR^ (к = 0,1,2,...),
а радиусы светлых — формулой
тк = уД + 1)Д= 0,1, 2,...),
где R — радиус кривизны поверхности линзы, соприкасающейся с плоскопараллельной пластинкой; А — длина световой волны в среде между линзой и пластинкой, к — порядковый номер кольца.
Расстояние между двумя когерентными источниками света (щелями) с длиной волны А = 0, 5 мкм равно d = = 0,1 мм. Расстояние между интерференционными максимумами в средней части интерференционной картины равно Дж = = 1 см. Определите расстояние L от источников до экрана, плоскость которого параллельна плоскости щелей.
На экране наблюдается интерференционная картина в результате наложения лучей от двух когерентных источников с длиной волны А = 500 нм. На пути одного из лучей перпендикулярно ему поместили стеклянную пластинку толщины d = = 5,0 мкм с показателем преломления п = 1,6. Определите, на какое число m полос сместится при этом интерференционная картина.
На зеркала Френеля, тупой угол между которыми составляет тг — сц а = 10°, падает свет от щели, находящейся на расстоянии г = 10 см от линии пересечения зеркал. Длина волны источника А = 600 нм. Отраженный от зеркал свет дает интерференционную картину на экране, расположенном на
расстоянии L = 270 см от линии пересечения зеркал. Определите расстояние Дж между интерференционными полосами на экране.
Собирающую линзу диаметра D = 5 см с фокусным расстоянием F = 50 см разрезали по диаметру пополам и половинки раздвинули на расстояние d = 5 мм. Точечный источник света S расположен на расстоянии а = 1 м от линзы. На каком расстоянии L от линзы можно наблюдать интерференционную картину?
В изображенной на рисунке интерференционной схеме с бипризмой Френеля расстояние от светящейся щели S до бипризмы а = 0,3 м, расстояние от бипризмы до экрана b = = 0,7 м. Показатель преломления бипризмы п = 1,50. Считая длину волны источника Ад = 500 нм, определите, при каком значении преломляющего угла бипризмы 9 ширина интерференционных полос, наблюдаемых на экране, будет равна Дж = 0,4 мм. Какое максимальное число полос Ж можно наблюдать на экране в этом случае?
К задаче 5.192 К задаче 5.193
Из тонкой линзы оптической силы Ф = 2 дптр была вырезана по диаметру полоска ширины h = 1 мм. Затем образовавшиеся части линзы были составлены вместе. В фокальной плоскости образовавшейся билинзы параллельно разрезу поместили источник S в виде светящейся щели, испускающей монохроматический свет с длиной волны А = 500 нм (см. рисунок). За билинзой на расстоянии b = 1 м от нее помещен экран Э. Определите ширину интерференционных полос Дж, а также максимальное число N полос, которое можно наблюдать в этом случае.
Точечный источник света S расположен в фокусе линзы, за которой находится бипризма с углом а = 0,01 рад и высоты D = 6 см (см. рисунок). На каком расстоянии L от бипризмы можно наблюдать наибольшее число интерференци-
онных полос? Каково это число Ж? Какова ширина Дж полос в этом случае? Коэффициент преломления стекла бипризмы п = = 1,5, длина волны света А = 50 мкм.
К задаче 5.194света, если пленка расположена наК задаче 5.194света, если пленка расположена на5.1951. Тонкая пленка с показателем преломления п = 1,5 освещена светом с длиной волны А = 600 нм. При какой минимальной толщине пленки dMIIH резко возрастает интенсивность отраженного материале с показателем
К задаче 5.194света, если пленка расположена на
К задаче 5.194света, если пленка расположена на
преломления п1 > 1,5? Свет падает на пленку нормально к поверхности.
На стеклянную пластинку (пх = 1,5) нанесена прозрачная пленка (ri2 = 1,4). На пленку нормально к поверхности падает монохроматический свет с длиной волны А = 600 нм. Какова должна быть минимальная толщина пленки dMIIH, если в результате интерференции отраженные лучи имеют наименьшую интенсивность?
Определите толщину h масляной пленки (пх = 1,5) на поверхности воды (п2 = 1,33), если при наблюдении под углом а = 60° к нормали в спектре отраженного света видна значительно усиленная желтая линия с длиной волны А = 0, 6 мкм.
Определите минимальную толщину dMIIH пленки с показателем преломления п = 1,33, при которой интенсивность отраженного света с длиной волны Ах = 0, 64 мкм максимальна, а света с длиной волны А2 = 0, 4 мкм — минимальна. Свет падает на пленку нормально.
На стеклянный клин (n = 1, 5) с преломляющим углом а = 40" нормально падает монохроматический свет с длиной волны А = 600 нм. Определите расстояние Дж между двумя соседними минимумами в интерференционной картине.
В тонкой клинообразной пленке в отраженном свете при нормальном падении лучей с длиной волны А = 450 нм наблюдаются темные интерференционные полосы, расстояние между которыми b = 1,5 мм. Определите угол 9 между гранями пластинки, если ее показатель преломления п = 1,5.
Между двумя плоскопараллельными стеклянными пластинками заключен очень тонкий воздушный клин. На пластинки нормально падает монохроматический свет (А = = 0,5 мкм). Определите угол а между пластинками, если в от-
раженном свете на отрезке ДБ = 1 см укладывается ДЖ = 20 интерференционных полос.
Сферическая поверхность плоско-выпуклой линзы соприкасается со стеклянной пластинкой. Пространство между линзой и пластинкой заполнено сероуглеродом. Показатели преломления линзы, сероуглерода и пластинки равны соответственно 7Ц = 1,50, 712 = 1,63 и пз = 1,70. Радиус кривизны сферической поверхности линзы R = 100 см. Определите радиус г5 пятого темного кольца Ньютона в отраженном свете с А = 0, 5 мкм.
Плосковыпуклая стеклянная линза выпуклой поверхностью соприкасается со стеклянной пластинкой. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы равен R^ длина волны света — А. Определите ширину Дг кольца Ньютона в зависимости от его радиуса г в области, где Дг <С т.
Плосковыпуклая стеклянная линза с радиусом кривизны R = 40 см соприкасается выпуклой стороной со стеклянной пластинкой. При этом в отраженном свете радиус некоторого кольца г = 2, 5 мм. Наблюдая за данным кольцом, линзу осторожно отодвинули от пластинки на h = 5,0 мкм. Каким стал радиус R этого кольца?
На вершине сферической поверхности плосковыпуклой стеклянной линзы имеется сошлифованный плоский участок радиуса гд = 3,0 мм, которым она соприкасается со стеклянной пластинкой. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы R = 150 см. Определите радиус т^ шестого светлого кольца при наблюдении в отраженном свете с длиной волны А = = 655 нм.
Дифракция света
При нормальном падении света на дифракционную решетку положение главных максимумов определено углами ф^ удовлетворяющими условию
dsin^ = ±/сА, к = 0,1, 2,..., где d — постоянная (период) решетки, равная расстоянию между серединами двух соседних щелей, к — порядок максимума.
Вычислите радиусы т^ внешних границ зон Френеля для сферической волновой поверхности радиуса а для точки В, находящейся на расстоянии а + b от точечного источника S монохроматических волн длины А, учитывая, что а ^> А, b ^> А. Докажите, что площади зон Френеля одинаковы.
Перед диафрагмой с круглым отверстием радиуса г = 1,0 мм на расстоянии а = 1,0 м от нее поместили точечный
источник монохроматического света (А = 500 нм). Определите расстояние b от диафрагмы до точки наблюдения, для которой число зон Френеля в отверстии п = 4.
Вычислите радиусы т^ зон Френеля плоской световой волны для точки В, находящейся на расстоянии 5 ^> А от фронта волны (здесь Л — длина световой волны).
Радиус четвертой зоны Френеля для плоского волнового фронта г4 = 3 мм. Определите радиус двенадцатой зоны Френеля г 12 из той же точки наблюдения.
Плоская световая волна (А = 600 нм) падает на ширму с круглой диафрагмой. На расстоянии b = 2 м за диафрагмой расположен экран. При каком диаметре D отверстия диафрагмы освещенность экрана в точке В, лежащей на оси светового пучка, будет максимальна?
Плоская монохроматическая световая волна с интенсивностью 10 падает нормально на непрозрачный экран с круглым отверстием. Определите интенсивность света I в точке, для которой отверстие равно: а) первой зоне Френеля; б) внутренней половине первой зоны; в) первой зоне Френеля в начале, а затем половине отверстия (по диаметру; вторую половину закрыли).
Найдите углы ф, определяющие положение минимумов при фраунгоферовой дифракции, если плоская волна длины А падает на щель ширины а по направлению, составляющему угол а с нормалью к плоскости щели.
Плоская световая волна падает нормально на узкую щель ширины а. Определите, под какими углами ф к нормали к плоскости решетки наблюдаются минимумы освещенности. Определите максимальный порядок дифракционного минимума ^макс? наблюдаемый в этом случае. Длина волны света равна А.
Покажите, что если период дифракционной решетки d соизмерим с шириной щели а, так что d = па, то в дифракционном спектре исчезают все максимумы, порядки которых кратны п.
Дифракционная решетка содержит A2V = 100 штрихов на АХ = 1 мм длины. Определите длину волны А монохроматического света, падающего на решетку нормально, если угол между двумя спектрами первого порядка равен а = 8°.
Какой наибольший порядок /смакс спектра, соответствующий желтой линии натрия (А = 590 нм) можно наблюдать при помощи дифракционной решетки, имеющей A2V = 500 штрихов на АХ = 1 мм, если свет падает на решетку нормально?
Определите число A2V штрихов на АХ = 1 мм длины решетки, если зеленая линия ртути с длиной волны А = = 546,1 нм в спектре первого порядка наблюдается под углом
«1 = 19,8°. Определите наибольший порядок спектра /смакс, который может быть получен с помощью этой решетки. Каков период решетки d? Свет падает на решетку нормально.
Спектры порядков кх = 2 и к^ = 3 в видимой области от дифракционной решетки частично перекрываются. Какой длине волны А2 в спектре третьего порядка соответствует линия Ai = 700 нм в спектре второго порядка?
На дифракционную решетку падает нормально пучок света. Определите постоянную d дифракционной решетки, если известно, что в направлении, составляющем угол а = 45° к оси пучка, максимумы двух линий с длинами волн Ai = 440 нм и А2 = 660 нм совпали.
На дифракционную решетку с периодом d = = 2 мкм падает нормально свет, пропущенный через светофильтр. Фильтр пропускает волны длины от АМРШ = 500 нм до АМакс = 600 нм. Будут ли спектры различных порядков накладываться один на другой?
На каком расстоянии b одна от другой будут находиться на экране две линии спектра ртути с длинами волн Ai = 577 нм и А2 = 579,1 нм в спектре первого порядка, полученном при помощи дифракционной решетки с периодом d = = 4 мкм? Фокусное расстояние линзы, проецирующей спектр на экран, F = 60 см. Лучи падают на решетку нормально.
Период дифракционной решетки d = 4 мкм. Дифракционная картина наблюдается с помощью линзы с фокусным расстоянием F = 40 см. Определите длину волны А падающего нормально на решетку света, если первый максимум на экране находится на расстоянии х = 5 см от центрального.
Дисперсия света. Поляризация света
Закон Малюса: интенсивность света, прошедшего через идеальные поляризатор и анализатор, пропорциональна квадрату косинуса угла ф между их главными плоскостями:
I = Io COS2 ф,
где Iq — интенсивность поляризованного света, падающего на анализатор.
Пучок света с длиной волны в вакууме Aq = 600 нм падает перпендикулярно на стеклянную пластинку толщины d = 0, 2 мм с показателем преломления п = 1,5. Определите длину А, частоту v и скорость о этих волн в пластинке. Какое число N длин волн укладывается на толщине пластинки?
Волны красного света в воде имеют показатель преломления пх = 1,329, а фиолетового — п^ = 1,344. На какое
время At и на какое расстояние АХ фронт красного света опережает фронт фиолетового, если расстояние от источника до приемника L = 300 км?
Луч белого света падает на поверхность воды под углом а = 60°. Определите угол А/3 между направлениями крайних красных (их = 1,329) и крайних фиолетовых (п2 = 1,344) лучей в воде.
Пучок белого света от источника (щели) S падает перпендикулярно на одну из граней призмы с преломляющим
углом а = 30°. Параллельно второй грани призмы на расстоянии L = 5 м от нее р асполо- Ажен экран Э (см. рисунок). Оцени-
<\те ширину АХ изображения щели
Xна экране, если призма изготовлена
^ жиз оптического стекла, показатель
\\преломления которого для световых
Xволн оптического диапазона колеб-
\лется в пределах от пмин = 1,628
до пмакс = 1,661 (флинтовое стек- К задаче 5.226до марки ТФ1). Ширина щели Хд =
= 1,0 мм.
Точечный источник белого света находится на главной оптической оси двояковыпуклой линзы на расстоянии d = = 1, 5 м от нее. Линза ограничена сферическими поверхностями, радиусы кривизны которых одинаковы и равны R = 1, 0 м. Оцените размер Аж изображения источника, если линза изготовле
на из оптического стекла, показатель преломления которого для световых волн оптического диапазона колеблется в пределах от ^мин = 1,609 до пмакс = 1,630 (кроновое стекло марки ТК20).
Анализатор в к = 2 раза ослабляет интенсивность падающего на него поляризованного света. Определите угол а между главными плоскостями поляризатора и анализатора. Потерями света на отражение пренебречь.
Луч естественного света последовательно проходит через поляризатор и анализатор, угол между главными плоскостями которых а = 60°. Какая доля ц начального светового потока выйдет из анализатора?
Определите долю т) начального естественного светового потока, прошедшего через два поляризатора, главные плоскости которых составляют между собой угол а = 45°, если в каждом из них теряется цо = Ю % падающего света.
Естественный свет интенсивности Iq падает на вход устройства, состоящего из двух скрещенных поляризаторов (главные плоскости составлят собой угол ад = 90°). Определите
интенсивность I света, прошедшего через систему, если: а) между поляризаторами поместить третий поляризатор, ось которого составляет с осью первого угол а; б) на вход системы из трех поляризаторов падает линейно поляризованный свет интенсивностью Iq с направлением поляризации, составляющим угол а с осью первого поляризатора; в) на вход системы, описанной в п. а), падает свет, поляризованный по кругу.
Поляризатор освещен параллельным пучком естественного света, падающим перпендикулярно к его поверхности. Освещенность поляризатора Е^ = 84 лк. Определите освещенность Е экрана, расположенного за анализатором, если плоскости поляризации поляризатора и анализатора будут сдвинуты на а = 60° и каждый из элементов поглотит ц = 4% проходящего через него светового потока. Плоскость экрана перпендикулярна к направлению распространения света.
ГЛАВА 6
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.ОСНОВЫ АТОМНОЙ И ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
Основы специальной теории относительности
Преобразования Лоренца
, ж — ж/;.,, t — xx/c2
X = —,=. П = Щ 2=2. t = —,
л/т^х2^
где х — скорость системы отсчета К' относительно системы К, с — скорость света.
Квадрат интервала S12 между событиями 1 и 2 — величина, определенная соотношением
s12 = с^12 - (Дг12)2,
где ^2 = ^2 — Н — промежуток времени между событиями 1 и 2, (АГ12)2 = (®1 - ®2)2 + (ш - у2)2 + (^1 - г2)2 — расстояния между точками 1 и 2, в которых произошли эти события. Квадрат интервала между событиями, является инвариантом преобразований Лоренца, т. е. имеет одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета.
mgVр — —/= ?у/1 ™ V2/с2mgVр — —/= ?у/1 ™ V2/с2Релятивистские масса и импульс равны
mgVр — —/= ?
у/1 ™ V2/с2
mgVр — —/= ?
у/1 ™ V2/с2
m = —,=,
у/1 — V2/с2
где то — масса покоя.
m^C2— х2/с2 1m^C2— х2/с2 1Полная энергия тела равна
m^C2
— х2/с2 1
m^C2
— х2/с2 1
Е = тс2 =
где Е^ = mg с2 — энергия покоя.
Кинетическая энергия движущегося тела равна
Е^ = Е ™ Eq = m0c2. - 1
Получите обратные преобразования Лоренца
х’ + nt' . . t' + vx'/с2
х = —п = п , % = % , t = —
\А ™ р2/с2 УГ^Т?
Скорость движения Земли вокруг Солнца ж = 30 км/с. Определите сокращение АП диаметра Земли в направлении движения в системе координат, связанной с Солнцем; средний диаметр Земли До = 12800 км.
Реактивный самолет летит со скоростью ж = 1000 м/с. Найдите отставание Ат часов, находящихся в самолете, от часов на Земле, если время полета т = 10 часов.
Определите относительное приращение длины стержня -—, если ему сообщили скорость ж в направлении, образующем с осью покоившегося стержня угол а.
Найдите собственную длину стержня Lg, если в системе отсчета, по отношению к которой он движется со скоростью п, его длина равна X, а угол между ним и направлением движения составляет а.
Длина стороны равностороннего треугольника равна Lq. Определите периметр р этого треугольника в системе отсчета, движущейся относительно него с постоянной скоростью ж вдоль одной из его медиан.
Каков возраст космонавта Т по часам Земли, если он в возрасте Д = 30 лет отправился в полет на расстояние L = 20 световых лет и прибыл в точку назначения в возрасте Т^ = 35 лет по своим часам?
За промежуток времени At = 1 с, отсчитанный по часам системы Кчастица, двигаясь равномерно и прямолинейно, переместилась из начала координат системы К в точку с координатами ж = у = z = 1,5-108 м. Определите промежуток собственного времени частицы Atg, в течение которого произошло это перемещение.
Собственное время жизни нестабильной элементарной частицы равно Atg. Считая движение частицы равномерным и прямолинейным, определите путь X, который она пройдет до распада в системе отсчета, в которой время жизни частицы равно At.
6ЛО2. Собственное время жизни нестабильной элементарной частицы, называемой мюоном, равно Atg = 2,2 мкс. Определите время жизни At мюона в системе отсчета, в которой он проходит до распада путь L = 30 км. Найдите скорость ж мюона, считая его движение прямолинейным и равномерным.
9 С.Н. Белолипецкий и др.
Стержень пролетает с постоянной скоростью мимо метки, неподвижной в системе отсчета Кв течение времени At. В системе отсчета, связанной со стержнем ^K’Y метка движется вдоль него в течение времени At'. Определите собственную длину стержня L^.
Два стержня одинаковой собственной длины L^ движутся навстречу один другому параллельно общей горизонтальной оси. В системе отсчета, связанной с одним из стержней, промежуток времени между моментами совпадения левых и правых концов стержней оказался равным At. Определите скорость и относительного движения стержней.
Пользуясь преобразованиями Лоренца, выведите релятивистский закон сложения скоростей.
Используя результат предыдущей задачи, покажите, что релятивистский закон сложения скоростей никогда не приводит к значениям скоростей, превышающим скорость света.
Две ракеты удаляются от Земли в противоположных направлениях со скоростями v = 0, 8 с относительно Земли. Определите скорость -и относительного движения ракет.
Ракета, удаляющаяся от Земли со скоростью г, испустила пучок фотонов в направлении Земли со скоростью с относительно ракеты. Определите скорость -и фотонов относительно Земли.
Две ракеты удаляются от Земли во взаимно перпендикулярных направлениях со скоростями у = 0,8 с относительно Земли. Определите скорость -и относительного движения ракет.
Ракета движется относительно неподвижного наблюдателя со скоростью -и = 0, 99 с. Какое время At пройдет по часам неподвижного наблюдателя, если по часам, движущимся вместе с ракетой, прошло время Ato = 1 год? Во сколько раз изменятся линейные размеры тел L в ракете (в направлении ее движения) для неподвижного наблюдателя по сравнению с собственными линейными размерами ДД Во сколько раз изменится для этого наблюдателя плотность вещества р в ракете по сравнению С собственной ПЛОТНОСТЬЮ Ро?
Масса тела, движущегося с некоторой постоянной скоростью, возросла на р = 20 % по сравнению с массой покоя. Во сколько раз при этом изменилась его длина L по сравнению с собственной ДЛИНОЙ Д?
Определите скорость г релятивистского электрона, импульс которого равен р = 1, 59 • 10™22 кг-м/с.
Покажите, что для релятивистской частицы величина S2 — р^с? есть инвариант, т.е. имеет одно и то же значение
во всех инерциальных системах отсчета. Каково значение этого инварианта?
Электрон обладает кинетической энергией Т = = 2 МэВ. Определите его импульс р, считая энергию покоя электрона равной Ео = 0, 51 МэВ.
При какой скорости у погрешность Др при вычислении импульса по ньютоновской формуле р = mt) не превышает = 1 % ?
Энергия покоя частицы равна Eq. Определите полную энергию частицы Е в системе отсчета, импульс частицы в которой равен р.
Импульс тела с массой покоя то равен р = т^с. Определите кинетическую энергию Т тела.
При какой скорости частицы и ее кинетическая энергия равна энергии покоя?
Определите скорость и электрона, разогнанного из состояния покоя электрическим полем с разностью потенциалов и = 106 В.
Электрон прошел ускоряющую разность потенциалов и приобрел кинетическую энергию Т = 0, 76 МэВ. Определите скорость и электрона.
Определите отношение массы m движущегося электрона к его массе покоя то, если электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов, приобрел кинетическую энергию Т = = 0,76 МэВ.
Релятивистская частица с кинетической энергией Тх и массой покоя то налетает на такую же покоящуюся частицу. Определите кинетическую энергию Т и массу покоя М составной частицы, образовавшейся в результате взаимодействия.
Неподвижная частица массы Mq распадается на две одинаковые частицы, масса покоя которых то = 0, 4Mq. Найдите скорость щ с которой движутся эти частицы.
Релятивистская частица распадается на два одинаковых «осколка», каждый из которых имеет массу покоя то- Один из осколков неподвижен, а другой движется со скоростью -и = = 0,8 с. Какую скорость -и и массу покоя Mq имела частица до распада.
Квантовые свойства света
Энергия фотона равна
Е = hv,
где h — постоянная Планка, v — частота света.
Релятивистские масса и импульс фотона равны
Е т=с2Е т=с2hvhvС2сhvhvС2с
Е т=
с2
Е т=
с2
hvhv
С2с
hvhv
С2с
Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта
hv = А +
где А — работа выхода электрона, т — масса электрона, гмакс — его максимально возможная скорость.
Давление света, падающего нормально на поверхность с коэффициентом отражения р, равно
Е
р = —(1 + А
С
где Е — энергетическая освещенность поверхности, измеряемая световой энергией, падающей на единицу площади поверхности за единицу времени.
При комптоновском рассеянии рентгеновского излучения на свободных электронах изменение длины волны излучения равно
ДА = —(1 — cos#),с
где 0 — угол рассеяния, mg — масса покоя электрона. Величи
ну X ~называют комптоновской длиной волны частицы то с
массы mg-
Энергия и импрлъс фотона. Давление света
Определите энергию Е, импульс р и массу т фотона рентгеновского излучения с длиной волны А = 100 пм. Сравните массу этого фотона с массой покоя электрона.
При какой температуре Т средняя кинетическая энергия теплового движения молекул одноатомного газа равна энергии фотонов рентгеновского излучения с длиной волны А = 0,1 нм?
Во сколько раз энергия Ei фотона, соответствующего д-излучению частоты v = 3 • 1021 Гц превышает энергию Е^ фотона рентгеновского излучения с длиной волны А = 2хЮ™10м?
Найдите абсолютный показатель преломления п среды, в которой свет с энергией фотона Е = 4, 4 • Ю™19 Дж имеет длину волны А = 3 • 1(Г7 м.
Определите предельный угол полного внутреннего отражения ад Для среды, в которой свет с энергией фотона Е = = 4,4- 10™19 Дж имеет длину волны А = 3 • 10™7 м.
Определите длину волны А излучения, кванты которого имеют ту же энергию, что и электрон, пролетевший ускоряющую разность потенциалов U = 106 В.
С какой скоростью г должен двигаться электрон, чтобы его кинетическая энергия была равна энергии фотона с длиной волны Л = 520 нм?
Точечный изотропный источник испускает свет с длиной волны Л. Световая мощность источника Р. Определите расстояние г от источника до точки, где средняя концентрация фотонов равна п.
Мощность точечного источника монохроматического света с длиной волны Л = 500 нм составляет Pq = 10 Вт. На каком максимальном расстоянии R этот источник будет замечен человеком, если глаз реагирует на световой поток, соответствующий п = 60 фотонам в секунду? Диаметр зрачка do = 0, 5 см.
Лазер излучил короткий световой импульс продолжительностью т = 0,13 мкс с энергией Е = 10 Дж. Определите среднее давление р, созданное таким импульсом, если его сфокусировать в пятно диаметром d = 10 мкм на поверхность, перпендикулярную пучку, с коэффициентом отражения р = 0,5.
Короткий импульс света с энергией Е = 7, 5 Дж в виде узкого почти параллельного пучка падает на зеркальную пластинку с коэффициентом отражения р = 0, 60. Угол падения 9 = 30°. Определите переданный пластинке импульс р.
Плоская световая волна интенсивностью I = = 0, 20 Вт/см2 падает на плоскую зеркальную поверхность с коэффициентом отражения р = 0, 8. Угол падения 9 = 45°. Определите значение светового давления р, оказываемого светом на эту поверхность.
Солнечный свет падает на плоское зеркало площадью S = 1 м2 под углом а = 60°. Определите силу F светового давления на зеркало, считая, что зеркало полностью отражает весь падающий на него свет (р = 1). Известно, что средняя мощность солнечного излучения, приходящаяся на 1 м2 земной поверхности, равна Р = 1,4 • 103 Вт/м2.
Фотоэффект
Красной границе фотоэффекта для некоторого металла соответствует длина волны Л = 0, 275 мкм. Определите работу выхода А электрона из этого металла.
Какова наименьшая частота света v^ при которой еще возможен фотоэффект, если работа выхода электронов из металла равна А = 3, 3 • Ю™19 Дж?
Какой кинетической энергией К обладают электроны, вырываемые с поверхности цезия при облучении ее светом частоты v = 1015 Гц? Красная граница фотоэффекта для цезия равна vo = 5 • 1014 Гц.
На сколько изменится длина волны А красной границы фотоэффекта, если цинковый катод фотоэлемента заменить на литиевый? Работа выхода электрона из цинка равна Ах = = 3, 74 эВ, а из лития Аз = 2,4 эВ.
Какой частоты v свет следует направить на поверхность платины, чтобы максимальная скорость фотоэлектронов была равна г = 3000 км/с? Работа выхода электронов из платины А = 10™18 Дж.
Какова должна быть длина волны А ультрафиолетового излучения, падающего на поверхность цинка, чтобы максимальная скорость вылетающих фотоэлектронов составляла г = = 1000 км/с? Работа выхода электронов из цинка А = 6,4 х х Ю™19 Дж.
Найдите скорость г фотоэлектронов, вылетающих из цинка, при его освещении ультрафиолетовым излучением с длиной волны А = 300 нм, если работа выхода электрона из цинка равна А = 6, 4 • 10™19 Дж.
Изолированная металлическая пластинка освещается светом с длиной волны А = 450 нм. Работа выхода электронов из металла А = 2 эВ. До какого потенциала ф зарядится пластинка при непрерывном действии излучения?
Плоский алюминиевый электрод освещен ультрафиолетовым излучением с длиной волны А = 83 нм. На какое максимальное расстояние L от поверхности электрода может удалиться фотоэлектрон, если вне электрода имеется задерживающее электрическое поле с напряженностью Е = 7,5 В/м? Красная граница фотоэффекта для алюминия соответствует длине волны Ад = 332 нм.
Излучение аргонового лазера с длиной волны А = = 500 нм сфокусировано на плоском фотокатоде в пятно диаметром d = 0,1 мм. Работа выхода фотокатода А = 2 эВ. На плоский анод, расположенный на расстоянии L = 30 мм от катода, подано ускоряющее напряжение U = 4 кВ. Определите диаметр D пятна фотоэлектронов на аноде. Анод расположен параллельно поверхности катода.
Катод фотоэлемента освещен монохроматическим светом с длиной волны А. При отрицательном потенциале на аноде Ux = —1,0 В ток в цепи прекращается. При изменении длины волны в n = 1,5 раза для прекращения тока потребо-
валось подать на анод отрицательный потенциал U^ = —3,5 В. Определите работу выхода А материала катода.
Комптоновское рассеяние
Гамма-излучение с длиной волны Ад = 2,7 пм испытывает комптоновское рассеяние. Во сколько раз длина волны А излучения, рассеянного под углом а = 180° к первоначальному направлению, больше длины волны падающего излучения?
Рентгеновское излучение с длиной волны Ад = = 56,3 пм рассеивается плиткой графита. Определите длину волны А лучей, рассеянных под углом а = 120° к первоначальному направлению пучка.
Фотон рентгеновских лучей с длиной волны Ад = = 24 пм при соударении со свободным электроном передал ему ц = 9 % своей энергии. Определите длину волны А рассеянного рентгеновского излучения. Под каким углом сх рассеялся фотон?
Изменение длины волны рентгеновского излучения при комптоновском рассеянии ДА = 2,4 пм. Определите угол рассеяния сх и энергию /ХЕ, переданную при этом электронам отдачи, если длина волны рентгеновского излучения до взаимодействия Ад = 10 ПМ.
Фотон с энергией Eq = 0,75 МэВ рассеялся на свободном электроне под углом ф = 60°. Определите энергию Е рассеянного фотона, кинетическую энергию К и импульс р электрона отдачи. Кинетической энергией электрона до соударения пренебречь.
Модель атома Резерфорда—Бора
Первый постулат Бора: электроны могут двигаться в атоме только по определенным орбитам, находясь на которых они не излучают энергии. Эти орбиты определены условием
h
monrn = п— = Tin,
2тг
где гп — радиус n-й орбиты, monrn — момент импульса электрона на этой орбите, п = 1, 2, 3,... — главное квантовое число.
Второй постулат Бора: при переходе электрона с одной орбиты на другую атом излучает или поглощает один фотон с энергией
hvlk = \Wk - Ж|,
где Wk и W^ — энергии электрона на соответствующих орбитах (в соответствующих стационарных состояниях).
Пользуясь представлениями модели Резерфорда™ Бора, выведите формулу для скорости движения электрона по орбите в атоме водорода. Вычислите эту скорость для двух первых электронных орбит.
Пользуясь представлениями модели Резерфорда- Бора, выведите формулу для радиусов допустимых электронных орбит в атоме водорода. Вычислите эти радиусы для двух первых электронных орбит.
Атом водорода переведен из основного состояния в возбужденное, характеризуемое главным квантовым числом п = = 2. Определите энергию Ж возбуждения атома.
Какую работу А необходимо совершить, чтобы удалить электрон с орбиты атома водорода с главным квантовым числом п = 2 за пределы притяжения его ядром?
При переходе электрона в атоме водорода с одной орбиты на другую излучаются фотоны, соответствующие длине волны А = 0,652 мкм (красная линия водородного спектра). Какую энергию Ж теряет при этом атом водорода?
Радиус первой орбиты в атоме водорода щ = 5,3 х х 10™11 м. Определите напряженность Е электрического поля ядра на этом расстоянии и кинетическую энергию К электрона на этой орбите.
Определите, возможна ли ионизация невозбужденного атома водорода внешним электрическим полем с напряженностью Е = 108 В/м.
Какие спектральные линии появятся при возбуждении атомарного водорода электронами с энергией Ж = 12,1 эВ?
Определите число N спектральных линий, присутствующих в спектре атомарного водорода, атомы которого при возбуждении перешли из основного состояния на n-й энергетический уровень.
Во сколько раз увеличится радиус орбиты г электрона у атома водорода, находящегося в основном состоянии с радиусом орбиты щ, при возбуждении его квантом с энергией АЕ = 12,09 эВ?
Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с длиной волны А = 121, 5 нм. Определите радиус орбиты возбужденного атома водорода. Радиус орбиты атома водорода, находящегося в основном состоянии, щ = 0, 53 • 10™10 м.
Минимальная энергия электрона, необходимая для ионизации атома водорода, равна Жд. Определите минимальные начальные энергии Ж1 и Ж2 ионов водорода и гелия, необходимые для ионизации атома водорода. Считайте, что ионизация
происходит в результате абсолютно неупругого удара; т^^ — массы ионов; т — масса атома водорода; те — масса электрона.
Строение атомного ядра. Радиоактивность.
Ядерные реакции
Энергия связи ядра, т.е. энергия, которую необходимо затратить, чтобы разделить ядро на составляющие его нуклоны без сообщения им кинетической энергии, равна
ДЕ = Дт . с2,
где
Дт = Zmp + (Л — Z^m^ — т
— дефект массы ядра, представляющий собой разность между суммой масс покоя частиц, составляющих ядро, и массой покоя ядра; здесь Z — зарядовое число (атомный номер элемента), А — массовое число (суммарное число нуклонов в ядре), тр, т^, т — массы протона, нейтрона и ядра соответственно.
Энергия ядерной реакции (или тепловой эффект реакции)
Q = (Нт — Нт^с2,
где Нт и Нт/ — суммы масс покоя частиц соответственно до и после реакции.
Закон радиоактивного распада: число радиоактивных ядер —dN, распадающихся за промежуток времени ((t,t + dt), пропорционально этому промежутку dt и числу ядер N^, еще не распавшихся к моменту t, равен
™dN = XN^dt,
где А — постоянная радиоактивного распада. Интегрируя последнее соотношение, закон радиоактивного распада можно записать в форме
N(t) = NQe Н
где Жд — число радиоактивных ядер в момент t = 0.
Период полураспада Т, т.е. промежуток времени, за который распадается половина начального числа ядер, и постоянная распада Л связаны соотношением
ТА = 1п2.
Активности препарата измеряется числом ядер, распадающихся в единицу времени:
Во всех задачах настоящего раздела считайте массу протона тр = 1,00728 а.е.м., массу нейтрона тп = 1,00866 а.е.м.
Определите число N нейтронов в ядре урана ^U.
Вычислите дефект массы Ат ядра кислорода ^О. Масса ядра кислорода т = 16,99913 а.е.м.
Вычислите энергию связи А5 между нуклонами в ядре гелия |Не. Масса ядра гелия т = 4, 00260 а.е.м.
Вычислите энергию связи А5 между нуклонами в ядре лития |Li. Масса ядра лития т = 6, 01513 а.е.м.
Вычислите энергию связи w, приходящуюся на один нуклон в ядре: а) дейтерия; б) алюминия 13AI; в) урана 2g|U. Массы ядра дейтерия mi = 2, 01410 а.е.м., ядра алюминия m2 = = 26,98146 а.е.м., ядра урана m3 = 238,03 а.е.м.
Активности радиоактивного элемента уменьшилась в п = 4 раза за At = 8 дней. Определите период полураспада Т этого элемента.
Образец содержит No = 106 радиоактивных атомов с периодом полураспада Т. Определите число N радиоактивных атомов в образце спустя время At = Т/2.
Образец радиоактивного радона ^Rn содержит No = 1010 радиоактивных атомов с периодом полураспада Т = = 3, 825 сут. Какое число атомов AN распадается за At = 1 сут?
За какое время At произойдет распад полония 2§9Ро массы Ат = 2 мг, если в начальный момент его масса равна то = 0, 2 г? Период полураспада полония Т = 138 сут.
Радиоактивный препарат, имеющий активность а = = 3,7 • 109 с-1, помещен в калориметр теплоемкостью С = = 4,19 Дж/К. Определите повышение температуры АТ в калориметре за At = 1 час, если известно, что данное радиоактивное вещество испускает а-частицы с энергией Wa = 5,3 МэВ.
В калориметр с теплоемкостью С помещен образец радиоактивного кобальта с молярной массой ц. Масса образца т. При распаде одного ядра кобальта выделяется энергия Ж. Спустя время т температура калориметра повысилась на At. Определите период Т полураспада кобальта, считая, что теплоемкость образца кобальта пренебрежимо мала по сравнению с теплоемкостью калориметра.
В микрокалориметр с теплоемкостью С = 100 Дж/К помещен образец изотопа кремния массы mo = 1 мг (молярная масса ц = 31 • 10^3 кг/моль). При распаде одного ядра выделяется энергия Ж = 4,4 • 10™19 Дж. Период полураспада кремния Т = 2 ч 36 мин. Определите повышение температуры At калориметра спустя т = 52 мин после начала опыта.
В какое ядро превращается ядро тория 2goTh в Результате /З--распада? Напишите уравнение реакции.
Ядро радиоактивного изотопа ^fRa испытывает а- распад. Запишите уравнение ядерной реакции.
Ядро радиоактивного изотопа ^Ро испытывает «™ распад. Запишите уравнение ядерной реакции.
Ядро радиоактивного изотопа ^Р испытывает /3+- распад. Запишите уравнение ядерной реакции.
Ядро тория 2ggTh превратилось в ядро 2§§Ra. Какую частицу выбросило ядро тория? Запишите уравнение реакции.
Радиоактивный изотоп кремния 2JSi распадается, превращаясь в изотоп алюминия 13AI. Какие частицы при этом образуются? Запишите уравнение реакции.
В какой элемент превращается уран 2g|U после трех «- и двух /3-распадов?
В какой элемент превращается радий 2||Ra после пяти а- и четырех /3-распадов?
Изотоп тория 2ggTh в результате серии радиоактивных распадов превращается в стабильный изотоп свинца ^РЬ- Сколько «- и /3-распадов при этом происходит?
Радиоактивный изотоп нептуния ^Np (родоначальник искусственно полученного радиоактивного семейства нептуния) в результате серии радиоактивных распадов превращается в стабильный изотоп висмута ^fBi. Сколько «- и /3-распадов при этом происходит?
Ядро радиоактивного элемента, подвергнувшись ряду превращений, испустило одну а- и две /3-частицы и превратилось в ядро урана ^U. Определите исходный радиоактивный элемент.
В Периодической системе элементов последовательно расположены три элемента. Условно назовем их а, b и с. Радиоактивный изотоп элемента а превращается в элемент 6, а тот, в свою очередь, — в элемент с. Последний превращается в изотоп исходного элемента а. Какими процессами обусловлены эти переходы? Запишите уравнения соответствующих реакций.
Радон ^Rn — это «-радиоактивный газ. Какую долю ц полной энергии, освобождаемой при распаде радона, уносит а™ частица? Считайте, что до распада ядро радона покоится.
При бомбардировке нейтронами ядер азота ^N испускается протон. В ядро какого элемента превращается ядро азота? Запишите уравнение реакции.
При бомбардировке «-частицами ядер азота ^N испускается протон. В ядро какого элемента превращается ядро азота? Запишите уравнение реакции.
При бомбардировке нейтронами ядер алюминия ^А1 испускается а-частица. В ядро какого элемента превращается ядро алюминия? Запишите уравнение реакции.
При взаимодействии атома дейтерия с ядром бериллия 4Be испускается нейтрон. Запишите уравнение реакции.
Допишите уравнения реакций: a) ^B + Jn -А • • • +|Li;
• • • + ^Не -А ^С + ^Н; в) ^К + ^Са + 1Н
В ядерной реакции gLi + |Н jBe + |п протоны налетают на покоящиеся ядра лития. Если энергия налетающих протонов равна Е = 1,9 МэВ, то нейтроны, образующиеся в реакции, неподвижны. На какую величину АЕ можно уменьшить энергию налетающих протонов, чтобы реакция вообще могла идти?
Известны энергии связи Ei^ Е^, Ез и Е4 ядер в реакции Ai + А2 -А A3 + Ад. Определите энергию Q, выделяющуюся в этой реакции.
Об1. Термоядерная реакция ^Н + 3Не -А 2 Не + |Н идет с выделением энергии Qi = 18,4 МэВ. Какая энергия Q^ выделяется в реакции |Не + 3Не -А ^Не + 2^Н, если дефект масс ядра 3Не на Дт = 0, 006 а.е.м. больше, чем у ядра ^Н?
Определите энергию Q^ выделяющуюся при ядерной реакции gLi + ^Н |Не + |Не. Масса ядра лития ты = = 7,01823 а.е.м., масса ядра гелия тне = 4,00260 а.е.м.
Какое количество теплоты Q выделяется при образовании т = 1,0 г ^Не из дейтерия? Какая масса М каменного угля с теплотворной способностью q = 30 кДж/кг при сжигании обеспечивает то же количество теплоты? Масса ядра гелия тне — 4, 00260 а.е.м., масса ядра дейтерия mn = 2, 01410 а.е.м.
Глава 1. Механика
Глава 2. Молекулярная физика и термодинамика
Глава 3. Электричество и магнетизм
Глава 4. Колебания и волны
Глава 5. Оптика
Глава 6. Специальная теория относительности. Атомная и ядерная физика
К ГЛАВЕ 1
Векторы и скаляры
Угол а между векторами равен: а) 180°; б) 0; в) 120°; г) 90°;
д) 60°.'
a) ai||a2; б) ai±a2; в) а2 — нулевой вектор.
с = ±1,5.
а) а3 = {™7;™4;™5}; б) а3 = {™5; 4; 1}.
s = 103 м, L = 47,4 м.
с^4,4; /3^23,4°.
d^2,6; 7^41°.
ai = аж cos а + ау sin а ^ 7, 0.
ci ^5,8; с2 ^7,1.
/3 = 300°; с = 3,5.
a)5i+j; б) i ± 3j — 2k; в) 3; г) 15i — 18j ± 9k.
с = 2,6; d = 1,7.
о = 44,4°.
а)6ж = —1,5; by = 2,6; б) с = 5,0; /3^67°; в) 0; г) 16,0.
Кинематика равномерного движения точки
11^y2T 1V1V2T
t = = 1 ч; s = = 36 км.
V2 - МV2 - М
з = = 8, 75 км.
Й ± Й
и = US = 10, 6 м/с.
ut — 8
tga = —=3; а = 71°35'. и '
v = 8, 66 м/с; vB = 5 м/с.
t3 == 40 с.
Й — t-2
2sv
t = 9 о = 6,25 ч.
2Ьг22Ьг? „
t == 8 мин, s = —= 7, 2 км.
Vo - чV2 - V1
1.25.
81 — 32,Si + S2,
п = = 4 км/ч: у = = 16 км/ч.
21' ’21’
1.26.
л • пу sin а
со = x/tr + п" + 2пу coso; snip = -;-=
у у2 + и2 + 2пу cos а
1.27.
hu
V = .
L sin о + Л cos а
1.28.
па + V'C2(a2 + Ь2) — п2Ь2
Ъ —~ 40 мин.
У" ™ П"
1.29.
-и = уг + \/В2 — с2 = 9, 3 м/с.
1.30.
у = -^Ур + 4уоу cos а + 4п2.
1.31.
л2зУХУ2,
| |<11 /III TZ"K /г / тт
”ср —Усп —/\—КМ/Ч.
8(У1 + 'У2) + ClC2t
1.32.
3sr ,9sл ,
уср = — =4,5 м/с в направлении от хозяина; усп = ™ = 13, 4 м/с.
1.33.
Cl + Ip + 'Уз
У=р -3.
1.34.
_ЗУ1«2УЗ
Сер —-•
С1У2 + С2С3 + С1'У3
1.35.
СС1,
у»2 Z4:O 1хМ Ч.
1.36.
(n + 1)уСр(n + 1)уср
2'2п'
1.37.
х 10™5 м/
Если длина минутной стрелки R = 1 см, то уср i = сср з ~ 1,6 х с, Сер 2 = 1, 1 • Ю-5 м/с, Усп 1 = Ссп 2 = Ссп 3 ~ 1, 7 • 10”5 м/с.
уср = 23 м/с; vcp направлена по нормали к оси Ох.
в2 == 750 м.
у = ntgo.
у^ = /Л^Т7/А «^ =
и =.
cos а
LIу2 sin В — у 1 sin а|
з =::=.
у с2 + с^ + 2У1У2 cos (а + /3)
1.44. уср = -1.44. уср = -1.45. уср =1.45. уср =4VM^T+sci) - у24VM^T+sci) - у2
1.44. уср = -
1.44. уср = -
1.45. уср =
1.45. уср =
4
VM^T+sci) - у2
4
VM^T+sci) - у2
Кинематика равнопеременного движения
1.46. а) у = Л + 2Bt; а = 2В; б) to = 40 с; в) з = 100 м.
1.47. tB = 2 с; жв = 8 м; t = 0; у = 2 м/с; «1 = —8 м/с2; а2 = 1 м/с2.
гср 2 = 0,5 м/с; гср.Пут 2 = 1,3 м/с; гср 5 = ^0,9 м/с; ^сР.пут 5 = 1, 7 м/С.
Из начала координат проведите прямые — касательные к графику x(t). Точки касания соответствуют моментам времени to для различных значений средней скорости.
h = 46 м.
1.57.1.59.1.60.1.57.1.59.1.60.х = — Xoto-4х = — Xoto-4«1 = 5 • 10 2 м/с2; «2 = 6,25-10 2 м/с2; «2 > «1-«1 = 5 • 10 2 м/с2; «2 = 6,25-10 2 м/с2; «2 > «1-2s(ti — t^txt^ (ti + t^)2s(ti — t^txt^ (ti + t^)= 5 м/с2;= 5 м/с2;s(t2 + 2111-2 — t2)tlt-2(tl + £2)s(t2 + 2111-2 — t2)tlt-2(tl + £2)= 2,5 м/с.= 2,5 м/с.1.611.61^0 =^0 =4Li — L24Li — L22t2t= 10 м/с; здесь t = 5 c.= 10 м/с; здесь t = 5 c.1.62.1.62.v = —=V2v = —=V210 м/с.10 м/с.1.63.1.63.t =t =2r2raa30 с; ri = 2r = 3, 0 м/с; s =30 с; ri = 2r = 3, 0 м/с; s =2г2 = 45 м. a2г2 = 45 м. a1.64.1.64.t =t =1.65.1.65.t =t =t2 + 2ti^2 — Д2(ti — £2)— + 77 = 40 c.ат 2t2 + 2ti^2 — Д2(ti — £2)— + 77 = 40 c.ат 2
1.57.
1.59.
1.60.
1.57.
1.59.
1.60.
х = — Xoto-
4
х = — Xoto-
4
«1 = 5 • 10 2 м/с2; «2 = 6,25-10 2 м/с2; «2 > «1-
«1 = 5 • 10 2 м/с2; «2 = 6,25-10 2 м/с2; «2 > «1-
2s(ti — t^txt^ (ti + t^)
2s(ti — t^txt^ (ti + t^)
= 5 м/с2;
= 5 м/с2;
s(t2 + 2111-2 — t2)tlt-2(tl + £2)
s(t2 + 2111-2 — t2)tlt-2(tl + £2)
= 2,5 м/с.
= 2,5 м/с.
1.61
1.61
^0 =
^0 =
4Li — L2
4Li — L2
2t
2t
= 10 м/с; здесь t = 5 c.
= 10 м/с; здесь t = 5 c.
1.62.
1.62.
v = —=
V2
v = —=
V2
10 м/с.
10 м/с.
1.63.
1.63.
t =
t =
2r
2r
a
a
30 с; ri = 2r = 3, 0 м/с; s =
30 с; ri = 2r = 3, 0 м/с; s =
2г2
= 45 м. a
2г2
= 45 м. a
1.64.
1.64.
t =
t =
1.65.
1.65.
t =
t =
t2 + 2ti^2 — Д2(ti — £2)
— + 77 = 40 c.
ат 2
t2 + 2ti^2 — Д2(ti — £2)
— + 77 = 40 c.
ат 2
= 60 c.= 60 c.Аин — 2Аин — 2г = ™ атг = ™ ат
= 60 c.
= 60 c.
Аин — 2
Аин — 2
г = ™ ат
г = ™ ат
1.66.
t = (2 + V2)t0.
ti = 0,45 c; At = 0,023 c; si =4,9 m; As = 40 m.
/г = 8g(At)2 = 78,4; T = 4At = 4 c.
hi = 30 m; h-2 = 90 m; h-з = 150 m.
s = — ™ -Vqt += 50 m; ycp = yp — = Ю м/с;
2 g22
^cn = — - r0 + ^ = 12, 5 м/с.
gr2
V2 + 1
rcp = Vgh.рь 25,4 м/с.
го = у = 14, 7 м/с; h = у™ = 11 м.
vo = j/^ + у; Т = /t2+ ^.
h= — ( J1 + — - 1 ) =150м. 2g \ V и
т^0,05™1,85 с.
g
и = 2с0 ™ gT* s = (2с0 ™ gr)t vot +.
Ауп = уп - yn^i =gTt - (2п - 1)^~; ^У1 =0,93 м; &у2 = 0,83 м; ^Уз = 0, 74 м.
со = -дл-V^gh ~ 7 м/с.
л =.
8g
Встретятся (при t = 1,0 с).
Баллистическое движение
h = — = 20,4 м. 2g
h =и 34,4 м/с.
2g ’'
V = gtV2 ~ 69, 3 м/с.
ж=у == 51 м (считая начало координат
g2g
расположенным в точке вылета).
со cos а(со sin а + vn sin2 а + 2g
a) s = ;
g
co sin а +si112 a 2g h
T = ;
g
\nix О I ,yo sin a ™ g TI
'C = \ -Uq - 2c0gTSino + g2T2. tg3 = J1
vco cos а
hmc == 4,9 m.
од = ^arcsin^, «2 = ™
2Cq2
7Г
а =
4
а = arctg4 76 °.
а = arcctg (I. \48 /
2 sin (а - /3) cos а _ тг В
.У7. L — —, «о — — + —.
g cos"р42
го =^ = 78,4 м/с; h = -gtit2 = 73, 5 м.
sin о2
Да.
** g(tg ct + tg/3) ‘
и = 2г0 cos-; s\t) = 2vot cos-
1.102.1.103.1.104.1.105.1.102.1.103.1.104.1.105.1.106.1.107.1.108.1.109.1.110.1.106.1.107.1.108.1.109.1.110.^феРР - 2gK)
1.102.
1.103.
1.104.
1.105.
1.102.
1.103.
1.104.
1.105.
1.106.
1.107.
1.108.
1.109.
1.110.
1.106.
1.107.
1.108.
1.109.
1.110.
-^макс —~ 35 М.
g
L = ™ sin 2а - s 6,3 м. g
Н8^-3’0м-
t = 2л —; sx = 8/isina; si : s2 : S3 = 1 : 2 : 3. V g
Щ COS a ~ '1’2 s = gЩ COS a ~ '1’2 s = gf ^4^sin^a^b2g/i — 't’l sin a
Щ COS a ~ '1’2 s = g
Щ COS a ~ '1’2 s = g
"о = Д (VS2 +7? + Л); a =+ I arctg ^.
_ V2gLtg/3
l макс COsQ(tgQ — tg/3) ’
Умин = Jg (V(^ Ч2 + L4H + /1).
Кинематика движения точки по окружности. Вращательноедвижение твердого тела
а) Парабола, б) Окружность.
В два раза.
Уменьшается в два раза.
an = ,у^^ = 0,13 м/с2.
а = ^5 = 3,4 ■ 10"2 м/с2; п = J^^ = 17.
Самолет должен вылететь в полдень и лететь противоположно вращению Земли со скоростью у = cos 99 = 840 км/ч.
б) на = 2г, точка Л движется направо по горизонтали (см. рис. 1.117); ив = ud = г А точка В движется вертикально вниз, точка D — вертикально вверх, и с = 0; в) точки, находящиеся на расстоянии радиуса диска от точки С.
ан = 2тгпг = 103 м/с2.
ат = eR = 5,0 • Ю^2 м/с2; an = E2Rt2 = 0,1 м/с2; а = = 6RV1 + E2t4 = 0,11 м/с2.
е = ^2 =6,3 рад/с2;
1.122. £=1.122. £== 0,21 рад/с2; N = ——/—t = 240.= 0,21 рад/с2; N = ——/—t = 240.ф(1) = arctg (et2), фо = arctg (4л) = 85, 5 °.
1.122. £=
1.122. £=
= 0,21 рад/с2; N = ——/—t = 240.
= 0,21 рад/с2; N = ——/—t = 240.
t
2N
t = = 10 с.
^о
-ис = ^п =
1.126. ап1.126. апguo cos оguo cos о
1.126. ап
1.126. ап
guo cos о
guo cos о
1.127. ш =1.127. ш =гд sin а ± у/г|"^1ф~со8^гд sin а ± у/г|"^1ф~со8^(при условии гд sin а > гд).(при условии гд sin а > гд).1.128. и = и-,1.128. и = и-,и а = 2u™, a a =R — rи а = 2u™, a a =R — rи2 Rи2 R(R^rf(R^rf
1.127. ш =
1.127. ш =
гд sin а ± у/г|"^1ф~со8^
гд sin а ± у/г|"^1ф~со8^
(при условии гд sin а > гд).
(при условии гд sin а > гд).
1.128. и = и-,
1.128. и = и-,
и а = 2u™, a a =
R — r
и а = 2u™, a a =
R — r
и2 R
и2 R
(R^rf
(R^rf
1.129. «Ai = ^,61.129. «Ai = ^,6v0IU2 = —, VB1 =v0IU2 = —, VB1 =
1.129. «Ai = ^,
6
1.129. «Ai = ^,
6
v0
IU2 = —, VB1 =
v0
IU2 = —, VB1 =
1.130. ac =1.130. ac =2L sin3 а2L sin3 а
1.130. ac =
1.130. ac =
2L sin3 а
2L sin3 а
Динамика прямолинейного движения материальной точки
Р + Р" = 0; к системе «стол + книга».
2Gi2Gim == 0,1 кг.
2Gi
2Gi
Указание*, график ускорения а^ имеет такой же вид, как гра
фик F^tY
F = ——7? = 6, 75 кН. 2(Li+L2)’
FB = 0; Fc = ^^F-
F = Fa^^^Fb^.
Fc = m (^- — g) =88 mH.
1.139.
1.140.
1.141.
1.142.
1.143.
/ 2h \
Fc = mlg - -— U 3,3 Н; г = 1 с.
\25т2 /
m = 2 М -.
л 2 та
Дт =.
g + а
71 = 17,4 кН, Г2 = 14,7кН, 7з = 12,0Н.
/X
^ = ш I g 3т^ I = 1,04 кН; 1V2 = mg = 0, 98 кН; у Vql — п )
Из =
= m. g -
«о
vol — К
= 0,92 кН.
1.144. аиакс = g (- 1) = 1, 2 м/с2.
1.145. т.макс1.146. а = g1.145. т.макс1.146. а = g2mim2т4 + т.22mim2т4 + т.2= 190 кг.= 190 кг.т2 ™Т1Т4-Т3т2 ™Т1Т4-Т3
1.145. т.макс
1.146. а = g
1.145. т.макс
1.146. а = g
2mim2
т4 + т.2
2mim2
т4 + т.2
= 190 кг.
= 190 кг.
т2 ™Т1
Т4-Т3
т2 ™Т1
Т4-Т3
1.147.1.147.N = \М +N = \М +1.148.1.148.т22 2m.im.2g _ . „
1.147.
1.147.
N = \М +
N = \М +
1.148.
1.148.
а = g = 5 Q м/с ; Т = = 3,1 Н;
m-i + т.2m-i + т.2
4m.im.2. ТТ
g = 16,1 Н.
mi + т2 У
F =F =т0 _ 2т(т + т0)2m,то
F =
F =
а = -g; 1 = —-g; N = g;
2т, + т.о2т, + т.о2т, + т-о
_ 4т. (т. + т-о) 2т. + т-о ь
а = т2 + т3-т1 = g^ =+mQg = ^ д н
m-i + т.2 + т-зm-i + т.2 + т.3
^ = ^т1тз^ =
m-i + т.2 + т-з
т-1+т.2 + т. „
Амин —Fq — 740 Н.
т. + m2
1 1mi - т.2(2m-i + т.0)(2т.2 + т.о)
а = g; 1д = ™g;
m-i + т.2 + т-о2(m-i + т.2 + т-о)
m.i(2m.2 + т.о)m.2(2m-i + т.о)
1В = ™g; Тс = ™g.
m-i + т-2 + т-оm-i + т.2 + т-о
1.152.
t= Jg-^ + y =1,22 с; F=-^f- = 1,44KH.
у 3(2т. - M)g4т. + М
1.153.
F=4m1m2(g+a) =
m.i + т.2
1.154.
mi_ = 2(gT2 + 167г) = 2 ?
т2gr2 — 8А’
mim2+ 4mim3 - 3m2m3
m = J-Lg;
mim2 + 4Ш1Шз + т^т.з
_ |mim2 — 4mim3 — Зт2тз| _ | — 3mim2 + 4ттшз + т2тз| mim2 + 4mim3 + m2m3 ь ’3 mim2 + 4mim3 + ш2шз
4шхш2шз
:g .
WW + 4mim3 + т2шз
mim2 + mim3 - 4m2m3
m = J--g:
т4т.2 + mim3 + 4m2m3
|mim2 — ЗШ1Ш3 + 4т2тз|I — 3mim2 + mim3 + 4т2тз|
mim2 + тхшз + 4m2m3mim2 + mima + 4т2тз
8mim2m3m4mim2m3
g ; T2 = g .
Ш1Ш2 + mims + 4т2тз " шхш2 + пдтз + 4ш2шз
М = -т. 5
г = 1,2,... ,8; Тт = Т2 = Т3 = Т4 =г = 1,2,... ,8; Тт = Т2 = Т3 = Т4 =Qi = g 1
г = 1,2,... ,8; Тт = Т2 = Т3 = Т4 =
г = 1,2,... ,8; Тт = Т2 = Т3 = Т4 =
8g
8 Х •
Е —
3=1 ^3
а) а = 0, FTp = F cos а = 0, 87 Н; б) а = — (cos а+д sin а) —jig =
= 2,8 м/с2, FTp = g-^mg — F sin а) = 5,9 H; в) FMHH =. = 7? 7 Н,
оу1 + д2
а = arctg д = 11,3°.
F2 = Ft + 2mg = 2, 98 Н.
** sin а у g(l — ctga • tg/3)"
а = — cos a2 — cos «i 0, 77 м/с".
th. \mg — F Sinai /
F1"2_
L = , если F > дшg; L = 0, если F < p,mg.
p, = tganQ , i = °. !■
П" + 1
1.165.1.165.минgsin(a + /3o)минgsin(a + /3o)= 3, 0 кг.= 3, 0 кг.
1.165.
1.165.
мин
gsin(a + /3o)
мин
gsin(a + /3o)
= 3, 0 кг.
= 3, 0 кг.
a) Fi = д(ш + M)g; 6) F2 = 2д(ш + M)g;
2LM
у F — 2д(ш + M)g "
„Ffcosa + usinct)„ ., ,
а = —- ^g = 2,1 м/с2;
3 m
6,1 H.6,1 H.F(cosa +/zsina)2F(cosa + ^sina)
6,1 H.
6,1 H.
1.168.1.168.11 = ~ о, Ub Н; 12 =~
1.168.
1.168.
(mi + m2)(cosa + Д sin a)
aA = ^^iMl^l^Ji^l _ mi
F(cos a + М2 sin a)
a в = — ™ P2g.
m-2
N = ^mg sin 2a = 0, 49 H.
1/ 2pTV2pjV , n2p7V
a = a, если a > ; a = и, если a .
m.m.m
x 172 t = (m + M)g(^-tga)
°/9(1 + Mtga)
F= (^+mg+M)m2g =
m-x - m2(sina + pcosa)2
a = -™g ^8,4 м/с ;
mi + m-2
„2m.im.-2xa\
г = g (1 + sin a + M cos a cos= 49 H.
m.i + m.-2V 42 /
В = 2/ / ^^ В и 57 H.
2s + jigt2
T =Oa2 +g2 +ж _ дА при ya2 +g2 > ^^g ™
m-i + m2 \/m.i
m-izm.-2 m.i
a; 1 = m.2Aja,z + g2 при Ua2 + g2 ^ pga.
ТП2m.i m-2
1 1ww
ai = ™g,
m.-2 tg a + m-i ctg a
_m,2tga^ _ m.im.2gcosa
b m-2 tg a + m-i ctg a ’m-2 sin2 a + m-i cos2 a
m.im.i tg a
'S:T^ ? «2 = g:r^™ •
m.i + m-2 tg" am-i + m.2 tg" a
2h(m.i + m-2 sin2 a) у (Ш1 g- m.2^g sin2 a2h(m.i + m-2 sin2 a) у (Ш1 g- m.2^g sin2 aтп.2 sin a cos a
2h(m.i + m-2 sin2 a) у (Ш1 g- m.2^g sin2 a
2h(m.i + m-2 sin2 a) у (Ш1 g- m.2^g sin2 a
a = g m-i + m-2 sin a
a) tl2m — Mm — „,
3m
ам = 0; 6) a2m = am =
3m.
3m.' aM M*3m.' aM M*dM — ^j (1 COS О') J в) d2m —
3m.' aM M*
3m.' aM M*
1.181. д =
3-у2У28gL
1.182. t = (2 + V2)
= 6,9 с.
1.7. Динамика движения материальной точки по окружности
1.183.
1.184.
1.185.
1.186.
1.187.
1.188.
1.189.
1.190.
1.191.
1.192.
1.193.
1.194.
1.195.
1.196.
1.197.
1.198.
1.199.
г? = V§R ~ 180 км/ч.
m.g 2g
F = (2тп7)2|Т1Ш1L2m2|.
F = mg - ^- = 7, 8 кН; умнн = VgR ^ 80 км/ч.
mu2
г = mg cos a—.
/ (4Л2 + d2)(mg — F\ o .
Умин — \~" ~ 40, 6 км/ч.
V
T m^m-xт-хт^Ьш^
Lx = T; L^ = L; 1 = .
mi + m2mi + m2mi + m2
t = 2тг^//«2,25 c.
T = 3mg
V5 ’
T = 27Гл / .
V g ™ a
_(2тг^)2тХ — F
°(2irv)2 (m.g — F cos a)b"
1 I/4'i7 2
Я = Л Lo + лШ + —Mn - 1)
r = VgRctga.
N = т. ( g.
к(к — тсу2) т2су4 + к2 ™ 3mw2k °к(к — тсу2) т2су4 + к2 ™ 3mw2k °к2
к(к — тсу2) т2су4 + к2 ™ 3mw2k °
к(к — тсу2) т2су4 + к2 ™ 3mw2k °
1-201. L| =74т77о^TL^
rmuF + Аг — smurk
Импульс материальной точки и системы материальныхточек
F = mnv = 150 Н.
Др = m(y + V^gh) ~ 1,6 кг-м/с.
1.204.
1.205.
1.206.
1.207.
1.208.
1.209.
1.210.
1.211.
и = у =25 м/с.
М7
т
U = — У %
т + М
mv cos о
м м
mv sin о
it = —
т + М
m.v
vi =^
mi
1.212.
1.213.
1.214. из второго.
1.215.
1.216.
0,1 м/с.
= —7 м/с.
1, 25 м/с.
—0, 71 м/с; y2 =
2 2 m v
82p,g(m.FM)2
= 50 м.
Mv + m(v + it)
У1 = -:
m + M
s = L = 1,0 m. m + M
у2 = v;
y0 =
V =
gL
у (1 + Ш1/ш2) sin(2o)' sgr
4h. ’
ШУ 0, 55 м/с. т + т2
Mv + m(v — it)
'Уз =
m + M
Выстрелить из первого пистолета, выбросить его и выстрелить
|ж2^2
1.217. v(t) =
a(t) = .
mo — jit
FW = |^2<2 ПРИ 0 < 7 < т, где т = ./7/ F(t) = pgh =
Ft
;:г; a(F = m0(l + дчшо)
Шо(1 + pt/шо)2 '
1.218. v=—uln .
т.
Работа. Мощность. Энергия. Закон сохранения энергии
К == 0, 05 Дж.
2 m.
F = H^L™ = 950 кН; увеличиться в два раза.
1.221.<т±М^ =ж
2М’
1.222.
Lv 2Fd
1) = у (Го + ИГи.
V 'т
1.223.
п = 4.
1.224.
_ 4s m _
1.225.
wr
а =д ~ 0, 0007 рад.
mg и
1.226.
mgl sin а
W = % 3,46 кВт.
1.227.
а = ™; И^макс = mguVs.
1.228.
V = Vy0 - Nh.
1.229.
К = |m(gr)2 = 480 Дж.
1.230.
Л = — ™mrg + ™тг2 = —4,99 кДж.
1.231.
h = — = 61, 25 м. 4g
1.232.
К = h(F — mg) = 98 Дж.
1.233.
1.234.
/ 2К а = arccos 4 /81 °,
у ^^б
2g (1 + ^ctga)
1.235.
1 - ^ctga_
s = h^ если д < tgcr, если д :
> tgcy санки останутся
на месте.
1.236.
1.237.
sТ84 м.
>g 2’
2(m + Af)’
1.238.
, _ (mvo - My/2gH)2
2m2 g*
1.239.
К = mr2/10 = 0, 2 Дж.
1.240.
_ (mi — m2)ri + 2т2Г2_ (т2 -
■ mi)r2 + 2miri
mi + т2’"
mi + m2*
1.241.
m 3
М < 5"
1.242. После ряда последовательных столкновений все шары будут покоиться, кроме последнего шара, который будет иметь скорость v = 10 м/с.
1.243.
У = arccos cos у .
\aia2/
1.244.
1.245.
1.246.
7Г
“ “ 2 '
/ т2тз/ mim2
у ттцтпз + т^у тцпз + т^
1.247.
->^(1 + 71 + ^) = /
1.248.
1.249.
Самаке — arCSin уу^у" 4Lmi
(mi + m2)2
1.251.
Тмакс = 3mg.
1.252.
1.253.
«0 > 60°.
дf a \
Рмакс — аГССОо 11 .
V + g /
1.254.
^) ^МИН "V^g 1-4^) ^МИН = л/4g L .
1.255.
ZXE = ^mgL (з sin2 — — 5 sin2 — + 2 sin — sin —^ .
8 6 \2222/
1.256.
7 = /3.
1.257.
Л2 = — «0,25 м.
4
1.258.
1.259.
U = p-mg/XL.
V = m /
у (m + M)M"
1.260.
1.261.
^мин — ^2gh ' ^™ ^2gh{l + 1/n)6, 9 м/с.
_ Mu ™ mV 2gL sin a cos a
m + M
M m /
1.262.
m
1.263.
T = ^(3 + V3).
1.264.
/ 2m(g — a)m // ,Л
т ™ у^^, жмакс ™ ^ |^g + \j a^lg a) j.
1.265.
т ТП2T mimim2 2
Г1 = £? Г2 = £. £ = LU L; Il =
mi + m2mi + m2mi + m2
ТП1ТП2
2 (mi + т2)
1.266.1.267.1.268.1.269.1.270.1.271.1.272.1.266.1.267.1.268.1.269.1.270.1.271.1.272.
1.266.
1.267.
1.268.
1.269.
1.270.
1.271.
1.272.
1.266.
1.267.
1.268.
1.269.
1.270.
1.271.
1.272.
_ 2 пиД _
макс ” 3 L ’ ЗГ
L
^МИН „•
2g
R
h=T
F = 3mg(l — cosa).
s = — (2 — cosq) = 50 m.
I / 2
4 ( -^ — 2g(1 — cosq) J + g2 sin2 a = 95 м/с2; ускорение
составляет с радиус-вектором, проведенным из центра окружности в точ-
gjRsina
ку С, угол /3 = arctg 2
Vq — 2gR\l — cos оу
1.274. Умакс
2mm + М
V^R-
Вращение твердого тела вокруг оси. Закон сохранениямомента
Центр масс системы находится между вторым и третвим шаром 2mi + m2 - т4 , г „
на расстоянии ж = а = 5, 0 см от третвего шара.
mi + m2 + m3 + т4
х = , р1^ XL и 16, 3 см.
2(2pi + р2)
ж=м=4’5см-
- = 1/|-
а = arctg .
t2R
I = 4mL2.
I = ™md2 = 0,15 кг-м2.
4
e = ^^—^^ = 10,7 рад/с2.
1.11. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ285
1.284.
7711 gFo — МТр2nо/2
е = — = 10,7 рад/с ; а = Roe = 3,53 м/с ; ш =
mR2
= et = 32,1 рад/с; и = etRo = 10, 6 м/с.
1.285.
^2 = vi — = 4 м/с.
1.286.
Ti = F- Т-2 = 2F.
1.287.
FM11H = ^ = 490 Н.
1.288.
т = ^mg.
1.289.
FMHH — pmg.
1.290.
Т =^^ = 196 Н.
2 cos —
2
1.291.
m = ^mim2 ~ 2, 9 кг.
1.292.
М = 2т/3 = 0, 8 кг.
1.293.
Ж = d™—; = 0, 6 М.
Ki + К2
1.294.
4
F = -mg tga.
1.295.
(Тмнн — arctg — .
1.296.
F
m = — ^ 200 кг. g
1.297.
NT = 7gL a =490 H; = eT£iz2el = 294 h. 2(L — a)2(L — a)
1.298.
1
Д 2 tga‘
1.299.
F = F2 — Fi = 15 H; ж = AC =^^= 2, 5 м, кроме случая,
™ Ft
когда силы направлены вдоль стержня; тогда точка приложения силы F может быть любой.
Ni = N2 = No = ahdpg/6 % 176,4 Н.
р = | tg(T.
Закон всемирного тяготения. Законы Кеплера
1.302.
F = 2,0 • 1020 H.
1.303.
A(mg) = O,25mgo.
1.304.
тлКз t C!-/ 2
8л = gm P2 = !,65 м/с .
1.305.
т = \ —— = 1,57- 106 c.
V Gm
1.306.
1.307.
1.308.
1.309.
1.310.
1.311.
1.312.
1.313.
1.314.
— 7 gnRn
1.315.
1.316.
1.317.
1.318.
1.319.
1.320.
1.321.
1.322.
1.323.
1.324.
_ Зг2г
Р = 4tvGR3
1, 7 км/с.
0,5 • 103 кг/м3.
т = 2тг
R3
Gm3
2тг
IR -V- 3h
V g
F GMm^d? 8(d-R/2p\
R = \~ 42400 km; d = 2tvR/T и 3 км/с. Здесь T = 24 ч.
у 4тг2
Л = mg R/2 = 16 ГДж.
_ goRs + Кз^(goRs)2 - v%(2g0R3 - vg)
Гмакс —”~п•
2g0R3 - у2
Вымпел нужно выбросить назад со скоростью г =
~ 200 м/с; t = — тга—™— = 100 мин.
72 у 2gл
тг (R^R^V^
T^R3Jg 2)
1.12. Основы механики жидкостей и газов
р = Ро + pog ™ М % 102, 5 кПа.
р = Ро += 127,4 кПа.
Р + Ро
h = R.
р = Ро ™ pogL и 9, 0 • 104 Па.
ho = — = 18 см. ро
Зр- ро"
. m + poV
h = ^^-
F = ^ = 10 кН.
S = mgtm =4ад S А
1.325.
PPohS m = =3,6 кг.
1.326.
Ро - Р
/ д \ 3
Р=(Р2-Р1)—+р1-
у г )
1.327.
m = ™тг(ро — p)D2L 74 кг.
1.328.
Р — р0 п~ О 1U КГ/М .
— Яо
1.329.
/р \
р = 2р0/с ( 1 — ™ 1 = 0, 36 • 103 кг/м3.
1.330.
К = 1 + т^Ы«1158.
3m
1.331.
= (рх^АР-^Р) = 0>296 кг. gp0(p2 - Pl)
т2 = (^ДГ^П = 1)204 кг.
ЯРо(р1 - р2)
Р =
р2 - рх
1.333. р = Р^_±ggjg.
di + d*!
1.334. к = ^^—^ = 0,19. Ррт Рв
А = (р- p0)Vgh+^2p- pQ)V4/3g =88 кДж.
h = ро~рН = 9,Осм. Р
q = arctg ( — ].
Параболоид вращения; Ыт^ = hp Н.
На оси вращения.^
В 8 раз.
И2
h = —i- = 5,0 м.
2g S-
г> « ДДг « 4,4 м/с.
F = 2,pghSo
' (I)"
v =5—. Если s <^ А, tov^J-
с Л 8“ \V 5
А = l^o-^g^Si.
W = p0Vjgh+pA
К ГЛАВЕ 2
Основные положения молекулярно-кинетической теории
2.1.
N = pVNa = 3 3.1022 m =
= 3,1 . 10"10 М. У pNA
2.2.
N = ^^4 = 320.
RT
2.3.
N==2.10®.
2.4.
Nt = — ^A= 3,85-1018 с"1.
р т
2.5.
Уменьшилось на 4%.
2.6.
Я ™ з/ ^— о Я . 1 Л™10 М
У 2pNA
2.7.
vpi + m v + ТП/Р2
2.8.
2 W к
р=-=5,0.10® Па.
2.9.
р = ™ру2 1, 01 • 105 Па.
3pV
2.10. ш = Аг = 83,3 г.
У 2
d =
2.11. Увеличится в 1,44 раза.
= 3,0-10“26 кг; Na
/№T=V^
vn2 У №е
р = -КГм 1,38 • 108 Па.
Дж.Дж.(TV) = ЛЛ = 125 ■ 10 24
Дж.
Дж.
х ' 2vNa
Графики изопроцессов в идеальном газе
Рис. 2.15аРис. 2.15а1 — изотерма; Т =const; 2 — изобара; р =const; 3 — изохора; V =const. В точке
Рис. 2.15а
Рис. 2.15а
PaVa mH
Л выполняется соотношение -—— = .
Та р
Уменьшилась в два раза.
а) ^ = Т, Т1 < т2. б) ^ = Pl 11Р1
V-2
= —, следовательно, молярные массы различ
ны: д2 < Д1-
Т2 > Тг, вначале нагревание, затем охлаждение (рис. 2.18а).
Рассмотрим на рис. 2.19а изохоры 11' и 22'. Изохора 22* имеет меньший угол наклона к оси абсцисс, следовательно, V2 > Их — газ расширяется.
Рис. 2.18аРис. 2.18аРис. 2.19аРис. 2.19аРис. 2.20аРис. 2.20а
Рис. 2.18а
Рис. 2.18а
Рис. 2.19а
Рис. 2.19а
Рис. 2.20а
Рис. 2.20а
Построим изохоры АВ и А' В'. По условию объем газа постоянен, следовательно, плотность и соответственно, масса, больше там, где больше угол наклона изохоры к оси ОТ (рис. 2.20а).
Рис. 2.21аРис. 2.21аРис. 2.216Рис. 2.216
Рис. 2.21а
Рис. 2.21а
Рис. 2.216
Рис. 2.216
2.22.
Рис. 2.22аРис. 2.22аРис. 2.226Рис. 2.226
Рис. 2.22а
Рис. 2.22а
Рис. 2.226
Рис. 2.226
10 С.Н. Белолипецкий и др.
Рис. 2.25аРис. 2.25аГазовые законыТ == use к.mHV == 24, 9 • НГ3 м3.РГазовые законыТ == use к.mHV == 24, 9 • НГ3 м3.Р2.28.2.29.2.30.2.31.2.28.2.29.2.30.2.31.R \Тх’R \Тх’р == 82 * 10™3 кг/м3.Р RT‘= рЯТ =0 10-зкгРр == 82 * 10™3 кг/м3.Р RT‘= рЯТ =0 10-зкгРТ2Т2тпТх-pVтпТх-pV= 151 К.= 151 К.
Рис. 2.25а
Рис. 2.25а
Газовые законы
Т == use к.
mH
V == 24, 9 • НГ3 м3.
Р
Газовые законы
Т == use к.
mH
V == 24, 9 • НГ3 м3.
Р
2.28.
2.29.
2.30.
2.31.
2.28.
2.29.
2.30.
2.31.
R \Тх’
R \Тх’
р == 82 * 10™3 кг/м3.
Р RT‘
= рЯТ =0 10-зкг
Р
р == 82 * 10™3 кг/м3.
Р RT‘
= рЯТ =0 10-зкг
Р
Т2
Т2
тпТх
-pV
тпТх
-pV
= 151 К.
= 151 К.
2.32.2.32.л PoVp / 11 \
2.32.
2.32.
Ат = —™— — = 11,6 кг.
RТ2 )’
2.33.
V ( р5
SL \ро)
2.34.
„ _ lg(p/po)
, f Vo V
s Ho + vY
2.35.
2.36.
Li = ^(H + L- V№ + L2) = o,25 m.
2.37.
H = po(n-l) pg
2.38.
mg h_ _
x ==8,9 cm.
pQS + mg
2.39.
T2 = 4T.
2.40.
T2 = 2Ti = 546 K.
2.4. Идеальный газ. Закон Дальтона
2.41.
Lx = = 0,05
1 + T2px/Txp2
£9 = ™
Lx =
IP-TXP2/T2PX
2.42.
P =
-^1£Д=4,8кПа.
Pl +P2
2.43.
P =
(mi+*=60.1()5 Па mxp2 + m2pi
2.44.
¥2 =
P2™P
2.45.
Tx _ px
To 2po — px
2.46.
(mt + m2)p_3
P =
(mx/pi + m2/p2)RT
2.47.
(mx + m2 + m^p
P =
(mx/px + m2/p2 + mofp^RT*
2.48.
pi =
(mx , m2 \ RT
=p —= 37, 5 кПа; p2 =
\ px 2p2 ) ¥
m2 RT
= 12, 5 кПа.
P2 2 ¥
2.49.
P =
/m=+ 2m«\ RT = 2 4 МПа. \ PbPa /¥
2.50.
V2
¥1 '
P2 + Pl
P2 ™ Pl
2.51.
mT
—11Дг _ 1
mB
1/2 - p pB 2‘
2.52.
Ша = /Za 2р' -р = тв дв 2(р-р')
2.53.
2.5. "Уравнение состояния идеального газа
2.54.
ттц pBTi m2 =- = 30 г.
праТ2
2.55.
^=0,25.
2.56.
V1T2=
Р2 =Р1^ =12-10® Па.
2.57.
1 п = —.
2
2.58.
7
Т2 = -Тг = 700 К.
4
2.59.
П у (Ь ++ 4) ’ тДеЬ - Т1 п ■
2.60.
Г, = п2Т0 = До = 2,25Т0.
2.61.
_ ЫН — h)HН
mH+T1h'
2.62.
Д/i = —R ^ ^ = 0,41 м.
fl p0S + Mg
2.63.
ДТ = т^ТЬ = т 4 к
Spo
2.64.
Р2T0(Vi + V2)^Об-Ю Па.
2.65.
2.66.
ро = 1,0-105 Па. h = 5,0 см.
2.67.
A PoS и Ро + мё/8 п =н— 30,6 м.
MgPog
2.68.
Р = Дро + PogH + V(pog НУ + р-^.
2.6. Внутренняя энергия идеального газа
2.69.
А = p^V^ ™ Vi) = 3,6 кДж.
2.70.
A^U = - (pV2 ™= 5,665 кДж; А = pV^ ™ ™RT
2 \И /
= 2, 266 кДж.
а) ДТ = | ЛТ и 41 К; б) ДТ = - и 68 К.
5 mH3 mH
2.7. I НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ293
2.72.
Я = л= 31,6 • 10”3 кг/моль.
AQP - AQV’*
2.73.
AQ = ™V(p2 -pi) = 13,5 кДж.
2.74.
Q = |роГ.
2 U.
2.75.
p=-- = l,0.105 Па.
2.76.
^Q =-= 3-
2.77.
AQ = Д2 („2 _ l)vRT0, г = 3.
2.78.
ДИ = ^piV^r"-1-1), г = 5.
2.79.
7 ТП( tl — 1\
AH = - ™RT0 k^T" - 1 , i = 3.
2 p\)
2.80.
A=T^lmRTo, n pt
2.81.
-4(p0 1 Д ) HS^ = 206 Дж.
2.82.
A = ^ № - T2) = 100 Дж.
2.83.
Л=|(р1+р2)(Г2-Г1).
2.84.
AU = пАЛ = 2,0 кДж.
2.7. I начало термодинамики. Теплоемкость
2.85.
Rл /
д = = 4 г/моль; газ — гелий.
ср — су
2.86.
ср = су + ™916 Дж/кг-К.
2.87.
Р2 = pi +=2,0- 105 Па.
V Су
2.88.
„ = лта44 „
1Ар АУАр\ АУ
2 До + Ро + Го Ро ) + Го
2.89.
AQ = i/(3Ci + R)Tq = 19, 5 кДж.
2.90.
AQ = |(р! + р2)(У2 УД + p™pi(¥2 ™ УД-
2.91.
ср = —™— = 916 Дж/кг-К; Л = ^ЯАТ 2,59 кДж; АП =
= Q — Л = 6, 57 кДж.
AT = —— — и 2 К.
т\су + ц)
Q = — (Су + Я)АТ = 102 Дж.
Q = mgh (1 + Т^ + „То(с + д).
mg
2.95.2.95.ж = /гж = /гс +
2.95.
2.95.
ж = /г
ж = /г
+ Д ро + ^
2.96.2.96.2.97.2.97.2.98.2.98.С = -^vR = 16,6 Дж/К.= RkLVICpy21piS(/? + 2C)Qi > Qi; Д<512 = ^[Vo(pi — Р2) + po^i — Ki)].С = -^vR = 16,6 Дж/К.= RkLVICpy21piS(/? + 2C)Qi > Qi; Д<512 = ^[Vo(pi — Р2) + po^i — Ki)].^Q = v^Q = v1122п2п2г /1- П12 \п2г /1- П12 \п2RTq = 6, 23 кДж.RTq = 6, 23 кДж.
2.96.
2.96.
2.97.
2.97.
2.98.
2.98.
С = -^vR = 16,6 Дж/К.
= RkLVICpy
21piS(/? + 2C)
Qi > Qi; Д<512 = ^[Vo(pi — Р2) + po^i — Ki)].
С = -^vR = 16,6 Дж/К.
= RkLVICpy
21piS(/? + 2C)
Qi > Qi; Д<512 = ^[Vo(pi — Р2) + po^i — Ki)].
^Q = v
^Q = v
1
1
2
2
п2
п2
г /1
- П1
2 \п2
г /1
- П1
2 \п2
RTq = 6, 23 кДж.
RTq = 6, 23 кДж.
Закон сохранения энергии в тепловых процессах.Адиабатный процесс
2.100.2.100.2.101.2.101.2.102.2.102.2.103.2.103.VB = тДДТДт = 27, 7 • 10 '1 м3.(1 - ??)с2р2АТ2т = ^1 = 1,34 • 104 с «3, 72 ч.NМи2т = ^д^ = 1О’9КГ-дт = УУР— = 31 к.2?n>f с сVB = тДДТДт = 27, 7 • 10 '1 м3.(1 - ??)с2р2АТ2т = ^1 = 1,34 • 104 с «3, 72 ч.NМи2т = ^д^ = 1О’9КГ-дт = УУР— = 31 к.2?n>f с с2.104.2.104.MJ = -А = -300 Дж; ДТ == 0,40 К.су тMJ = -А = -300 Дж; ДТ == 0,40 К.су т2.105.2.105.2.106.2.106.А = TiVi (1 - 10 =1,8 кДж; г = 5.2\i 1 /№ =nl-l/7=2i51.Д = £ + ^PiCv гА = TiVi (1 - 10 =1,8 кДж; г = 5.2\i 1 /№ =nl-l/7=2i51.Д = £ + ^PiCv гг = 3.г = 3.
2.100.
2.100.
2.101.
2.101.
2.102.
2.102.
2.103.
2.103.
VB = тДДТДт = 27, 7 • 10 '1 м3.
(1 - ??)с2р2АТ2
т = ^1 = 1,34 • 104 с «3, 72 ч.
N
Ми2
т = ^д^ = 1О’9КГ-
дт = УУР— = 31 к.
2?n>f с с
VB = тДДТДт = 27, 7 • 10 '1 м3.
(1 - ??)с2р2АТ2
т = ^1 = 1,34 • 104 с «3, 72 ч.
N
Ми2
т = ^д^ = 1О’9КГ-
дт = УУР— = 31 к.
2?n>f с с
2.104.
2.104.
MJ = -А = -300 Дж; ДТ == 0,40 К.
су т
MJ = -А = -300 Дж; ДТ == 0,40 К.
су т
2.105.
2.105.
2.106.
2.106.
А = TiVi (1 - 10 =1,8 кДж; г = 5.
2\i 1 /
№ =nl-l/7=2i51.Д = £ + ^
PiCv г
А = TiVi (1 - 10 =1,8 кДж; г = 5.
2\i 1 /
№ =nl-l/7=2i51.Д = £ + ^
PiCv г
г = 3.
г = 3.
2.107._ СрСу “2.107._ СрСу “
2.107.
_ Ср
Су “
2.107.
_ Ср
Су “
а) Т = Топ7"1 = 754 К; б) Т = ДдЖ и/‘' = 579 К. Здесь г + 2.
2.108.2.108.△4 = -piVi 1 -△4 = -piVi 1 -ITIT2.109.2.109.L 2Д4. „п = 4 1 — -——™, г = 3.У ivRToL 2Д4. „п = 4 1 — -——™, г = 3.У ivRTo2.110.2.110.Д[7 = -vRT (- 12Хк"-1Д[7 = -vRT (- 12Хк"-13735 Дж;0;1867,5 Дж.3735 Дж;0;1867,5 Дж.—:—, г = 5.
2.108.
2.108.
△4 = -piVi 1 -
△4 = -piVi 1 -
IT
IT
2.109.
2.109.
L 2Д4. „
п = 4 1 — -——™, г = 3.
У ivRTo
L 2Д4. „
п = 4 1 — -——™, г = 3.
У ivRTo
2.110.
2.110.
Д[7 = -vRT (- 1
2Хк"-1
Д[7 = -vRT (- 1
2Хк"-1
3735 Дж;
0;
1867,5 Дж.
3735 Дж;
0;
1867,5 Дж.
Z\U = |piVi
Q =(1
Т = То (1 + -
’1 у.
?PoVb /
= Vo
/ ЗроУ V/2 VpoVoTMu1)
Т = А«2 + Го = ЮО, 05 К. iR'
п = -1/2.
9 п к тmim2(vi + v2)2„
1Макс =.,х +i.
грШтти + m2)
_ _ _ _ T9,11
i T 2
2.117. — = — = —, где
Ti 2'’1 pi 27
7 =
г ’
2.118. AQ =
+ 2
— uR^T =
5vR/\T.
2.9. Термодинамические циклы. КПД циклов
2.119.
n d - л 3. Т —— 400 К
- y A)Q -400 К.
2.120.
A = qJ^T =113 Дж.
2.121.
2.122.
2.123.
2.124.
2.125.
2.126.
Д,? = 12 %.
77 = 20%; Л = 1,67 Дж.
Во втором случае.
а) 77 = 1 — n1 г = 0,25; б) 77 = 1 — п^1 0/т = q, ig;
77 = 1 - n1-7 = 0,60.
. _ vR№ - T2)(T2 - Ti)
72'
2.127.
= vR(T4-T^T2-T1) =
2.128.
2.129.
A = R(VT\ - VTaf. n = »72/»7i = 23/21 = 1,095.
2.130.
n = 771/772 = 27/23 = 1,17.
2.131.
Q = ^Vx^-P1Y
2.132.
„ _Я(1-Гз/72)(У2/У1-1)_
' Cp^nV-YHCW-Tafr^ ' /0'
NM
2.133.
' " [l-CVi/y)1-7]^
2.134.
NM
■ [l-Tid-^/yg"
2.10. "Уравнение теплового баланса
2.135. t = 0°С;
mi - Гл , Ш2 + шл _3
1= 7, 54 дм ? где Шл
Рв
рл
= ™[m2c„(t0 - t2) - micB(ti - t0)], t0 = 0 °C.
2.136.
т = тпл
——— ) = 0, 113 КГ. r + c(T2™Ti)7
2.137.
Т =
(С + СВШ1)Т1 + ТП2 [свТо — Сл(То — Т2) — А]
С + cB(mi + т-^
= 276 К.
2.138.
mB = m2 — ™\rni^t ™ Tn2(ti — At)] 6,8 r.
2.139.
тп =
Ш1СЛ(^ t2) + (mi - ТП2)Х
c(ti ™ to)
= 0, 2 г.
2.140.
тл
тв
2.141.
А =
0,116.
2.142.
2.143.
c(tn tB)
cBM Atri
m= _
= 60 мин.
= 1,24 кг.
2.144.
cBAt 2св
2.145.
A c^At
cB 2cB
M = m^ + cB( Ti - To)]
Ta + Ca(To — T2)
At
2
= 630 Дж/К; здесь At = 2 °C.
= 10, 7 кг.
2.11. Пары. Кипение
2.146.
2.147.
2.148.
2.149.
p = Pi + m^ « 1 3 • 104 Па.
Am=^«5,9r.
RT
АЛ = Рн.пДЬ - V2) = 1,0 кДж.
mRT
т = ^ 8, 5 4.
РРн.и.П
2.150.
тпв
Д^ / PРн.П.
R \ T T
= 9 мг.
2.151.
пр
vaRT2 3
= 1, 53 • 10 м .
Po
2.152.
Кр = -,—= 4,0 • 102 м3.
(1 + — )
\^а/
2.153.
Кт = т —= 0, 64 г.
2RT
2.154.
_ [moc(t2 - У - mcB(tK - tiY\R(R + ^^ л
П — — —U, Ь4 м.
rppoS
2.155.
тRT
X = И 9 м-
Р- (poS + Mg)
2.156.
твсв(Т - TV)RT
;— = о, 53 м.
трр0Ь
2.157.
(p0Ah -= 5, 9 •кг.
2.158.
Кт = ™™(pi - 2рн.п.) = 1,6 • 10”4 кг. rtl
2.159.
р = RR = 0,93-10® Па.
2.160.
р = ™ро + Рн.п. =4,1- 105 Па.
4
2.12. Влажность
2.161.
Т2 = 285 К.
2.162.
Am = (/2 - /^^ЕДЕ = о, 172 кг.
2.163.
Р = р^АТ-^р^ §10_3 кг/мз.= gH.n.^ wo% = 46%.
1Рн.П. (11)
2.164.
/ = Ы1±АЬ . юо% = 27%.
2.165.
/ = Рн-п'^ • 100% = 54,4%; тп == 1,41 кг.
Рн.п. (11)RT2
2.166.
р= Ро + т = 1, 88 • 105 Па.
ТоpV
2.167.
/2 Am33
р== 6, 0 • 10 кг/м .
2.168.
f = (Тг + ^^Л --Sm• 100% = 80%.
\pvТ2) Рн.п.(Т1)
2.169.
т = -^-(/1Р„.п.(Т1) - /2р„.п.(Т2)) = 44,25 кг.
2.170.
Р2 = п(р1 - /р„.п.(Т)) +р„.п.(Т) = 1,19 • 10® Па.
А/ = бЛ"^2 - 1) /1 = -57%; Др = (п^ - 1) pi = у Рн.п. Ы 2) 1/у Д 1/
= 1,137 • 10s Па.
+Ро
Т =о = 385 К.
То + ЯУ
Деформация твердых тел. Тепловое расширение
2.173. d=2,3cM.
2.174. <т = 3,6-105 Па.
Одинаково. Ко второму стержню нужно приложить большую силу.
У первой проволоки относительное удлинение в 4 раза, а абсолютное в 2 раза меньше, чем у второй.
п = 2,45.
Потенциальная энергия медной пружины больше:= —А > 1.
'ис
Q = £^2° = без кДж.
За
Т = 7о + -^.
<т = аЕ(Т1-Т2).
F =— = 1,8-105Н.
срЕ0
ах ДТах —- «2ах ДТах —- «2= 0, 34 м.= 0, 34 м.Li = Д^Е = о, 24 м; Ь2 «1 — «2
ах ДТ
ах —- «2
ах ДТ
ах —- «2
= 0, 34 м.
= 0, 34 м.
2.184.2.184.2(а1-а2)ДТ "3’5М'2(а1-а2)ДТ "3’5М'
2.184.
2.184.
2(а1-а2)ДТ "3’5М'
2(а1-а2)ДТ "3’5М'
F = ДТ (ai + a2)S(T2 - Л);
J2/1 + £>2
L (aiEi - 012Е2).
"251 + 52
Т = То + Z1 = 308,8 К.
— п) — Зан
З2 = —— [Am(miCi+m2c2) — (mi — Am)/3iQ] 1, 7-10™4 К™1.
2.188.
= 4? 1 ——-(! + /ЗртДТ) - 4 = 2,86 х 10-5 К-1
2.189.
Ш=(1 + аДТГ ИШ0(1 2аАТ)'
2.190.
дь = ^Я.
25
2.191.
Е FLo
2SAL'
2.14. Поверхностные явления
2.192.
<7 == 4,05 • 102 Н/м.
тга
. ,4(7 / 11 \о
2.193.
Д/1 = — - =3,9- 102 м.
pg \ di d2 /
2.194.
<7с == 0, 02 Н/м.
Ш1врв
2.195.
Л L LL2(7 COS 0 Г2 - П
pgГ1Г2
2.196.
^ _4(7 cos 6
Pg(d2 - di)'
2.197.
R (/ 8cr sino\
2tgo \уpgR2 )
h =|
2tga
(|A
IV pgi-2 /
2.198.
Q = —.
pg
2(7b
2.199.
h = ^ 7, 3 cm.
P=gL
2.200.
p = pBgh += 488 Па.
r
2.201.
p = po += 101380 Па; Др == 80 Па.
ad
2.202.
F = ^"PE. = 78o H.
2.203.
F= ^^14,6 кН.
pd2
2.204.
4dS o
777 = = 3 КГ.
2.205.
^Q = (Tirndo (— 1 ) = —0, 59 • Ю™5 Дж.
\ v n /
2.206.
A = 87Г(7Г2(п2/<3 — 1).
2.207.
h == 0,146 m.
TgkP= - Pm)
2.208.
_ 55(2тгД - Lp)
17 -2RL0
К ГЛАВЕ 3
3.1. Закон Кулона
F = 0— Г = 9,0-103 Н.
4тгео т2
1 е2
F = « 8,2 • 1(Г8 Н; г
4тге0 /д
T=^Af" =1,51.10-1в се'
; =2,2 х 10® м/с; у4тг£о^^о
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
ре2
Frp АтгеоСт2
N = — лДяеоС = 5,4 • 10, еm
41
Q = — g9! ж = -L; нет.
е
3.7.
„ _ 91(492 + 93)„ _ 93(492 + 91)
Т1’2" WeoL2 ’WeoL2 "
3.8.
Т =1 Я.
4т£0Ь2 уз^З/ *
q ^ —0, 957g.
3.9. q = L^neping.
3.10.
3.11.
3.12.
г ==0, 35 м.
V37VEOmg
F л 9 т„ (1 + —) и 2, 7 • 10 2 Н.
4я^оЬ2 \1712 )
т = qQ
8тг2еой2 '
з 13 q>
Указание. Воспользуйтесь условием устойчивости равновесия.
3.2. Напряженность электрического поля. Принципсуперпозиции полей
3.14. Когда заряды разноименные.
3.16. ж = —= 2, 0 • 10 2 м.
1 + Сй
3.17. Е = -^? ( - + С2 ) = 537 В/м.4тге0а2 \2/
3.18.
3.19.
3g V22я£0«29g4тео«2
; вектор Е сонаправлен с вектором
; вектор Е сонаправлен с вектором
Е=^= 5,04- 104 В/м.
Ес = —5 = 16 В/м.
V w)
Ес = Ед + Ев = 0, 3 кВ/м.
уJC = -(mg + QS)Lsinotgo.
cos о2
В центре кольца Е = 0; на расстоянии h от него 4Д/г) =
Qh
4^ "(R^hEfh’
3.25. d =3.25. d =qQ(M + m) 47VEoE(Qm + qM) ‘
3.25. d =
3.25. d =
Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема
Гаусса—Остроградского
Фя = ЕВ cos (^ - аД ^EL2.
Q
Е = 0 при г < R; Е = -- при т > R.
' 4'rect2
Е = —
2ttsoF
Поле однородно: Е = -^— = const.
2so
Е =при гR;Е =при гR.
3soЗеоГ"
Е =при гR;Е =при гR.
2s02s0r2
„h
Е = ■— при ж ^ —; Е = при ж ^ —.
So22sq2
При R > а55 м.
V 4яео^о
3.34.3.35.3.34.3.35.ст . оEi = — sin —;So 2Г/макс —•£0ст . оEi = — sin —;So 2Г/макс —•£0Е2 = — cos -.So 2Е2 = — cos -.So 2
3.34.
3.35.
3.34.
3.35.
ст . о
Ei = — sin —;
So 2
Г/макс —•
£0
ст . о
Ei = — sin —;
So 2
Г/макс —•
£0
Е2 = — cos -.
So 2
Е2 = — cos -.
So 2
3.36.ph324еож23.36.ph324еож2при |ж|при |ж|6s06s0h2"h2"php\x\hEb = w E^ = ^7 при w 55 2;php\x\hEb = w E^ = ^7 при w 55 2;EB) =EB) =
3.36.
ph324еож2
3.36.
ph324еож2
при |ж|
при |ж|
6s0
6s0
h
2"
h
2"
php\x\h
Eb = w E^ = ^7 при w 55 2;
php\x\h
Eb = w E^ = ^7 при w 55 2;
EB) =
EB) =
В любой точке внутри полости напряженность электрического
поля направлена вдоль прямой OOi, и Вне полости Зео
РРг3г3ЗсоЗсоРЗсоРЗсоLД3 г3_ ж2 (L — ж)2LД3 г3_ ж2 (L — ж)2приприприприприпри0 < х < L — г;L + г < ж < R;х > R.0 < х < L — г;L + г < ж < R;х > R.
Р
Р
г3
г3
Зсо
Зсо
Р
Зсо
Р
Зсо
L
Д3 г3
_ ж2 (L — ж)2
L
Д3 г3
_ ж2 (L — ж)2
при
при
при
при
при
при
0 < х < L — г;
L + г < ж < R;
х > R.
0 < х < L — г;
L + г < ж < R;
х > R.
з-38' f
2^tga«1.2 40;KJi.
Работа сил электростатического поля. Потенциал
А = -Т- (— ~« 0,16 Дж.
4тГ£о \Г2 Г1 /
W =.
47Г£оО-
А = 9192 fl -1,4-ЦТ4 Дж.
4?Г£оГ у п/
A = qJ-P-(VEX- VM
V 4тг£о
ф = — LE = 45 В.
2
В центре кольца ф = —-— ™; на расстоянии h от кольца ф(Н) = 4тг£о R
1 Q
4тг£о VR2 + h2 "
Л = 9(91 "92) /1 _1А
47Г£о \д VR2 Ed2 J
д
Е = ^ф = - = 100 В. q
фх = q ; ^2 = о^з = 0.
47Г£оД87Г£оД
qq4тгеоДq4тгеог3^ /14тгео \^4тгеоДq4тгеог3^ /14тгео \^1 \er)1 \er)при г R;при г R;при Д < г < 2R;при Д < г < 2R;приприприпри2R Е г Е ЗД;ОД.2R Е г Е ЗД;ОД.
q
q
4тгеоД
q
4тгеог
3^ /1
4тгео \^
4тгеоД
q
4тгеог
3^ /1
4тгео \^
1 \
er)
1 \
er)
при г R;
при г R;
при Д < г < 2R;
при Д < г < 2R;
при
при
при
при
2R Е г Е ЗД;
ОД.
2R Е г Е ЗД;
ОД.
3.49.3.49.^ _ 4^1 + 3^224тг£0^^ _ 4^1 + 3^224тг£0^= 0,5 м.= 0,5 м.
3.49.
3.49.
^ _ 4^1 + 3^224тг£0^
^ _ 4^1 + 3^224тг£0^
= 0,5 м.
= 0,5 м.
Ei = —; Е2 = —; А^ = -—; направив ось Ох перпендику- £о
лярно пластинам в сторону отрицательно заряженной пластины и выбрав начало координат посередине между пластинами, имеем
d
при ж <
d d
при _ _ < ж <
d
при х > -;
принимая ^(0) = 0, имеем
d при X
<Щ) = <<Щ) = <2(Т^(2®-3d)2So2(Т^(2®-3d)2Soприприприприd d2 Ж 2’' 2'd d2 Ж 2’' 2'
<Щ) = <
<Щ) = <
2(Т
^(2®-3d)
2So
2(Т
^(2®-3d)
2So
при
при
при
при
d d
2 Ж 2’
' 2'
d d
2 Ж 2’
' 2'
А = 2qEd.
3.52. Q =3.52. Q =3.53.3.53.47rr3g(pi - р2)ЗА^= 2,4- НГ2 м;2еЕ47rr3g(pi - р2)ЗА^= 2,4- НГ2 м;2еЕти "еЕти "еЕ= 47 нс.= 47 нс.3.54.3.54.г =г =3.55.3.55.^1 =^1 =3.56.3.56.2ел/Ж+ЖЬ, ,/9 "" -4,0- 105 м/с.(и2 — 1)те2ел/Ж+ЖЬ, ,/9 "" -4,0- 105 м/с.(и2 — 1)тещ = V2 = Гз = ,—; скорости электронов направлены вдольу2тг£огтщ = V2 = Гз = ,—; скорости электронов направлены вдольу2тг£огтмедиан треугольника (от ценра).медиан треугольника (от ценра).
3.52. Q =
3.52. Q =
3.53.
3.53.
47rr3g(pi - р2)
ЗА^
= 2,4- НГ2 м;
2еЕ
47rr3g(pi - р2)
ЗА^
= 2,4- НГ2 м;
2еЕ
ти "еЕ
ти "еЕ
= 47 нс.
= 47 нс.
3.54.
3.54.
г =
г =
3.55.
3.55.
^1 =
^1 =
3.56.
3.56.
2ел/Ж+ЖЬ, ,
/9 "" -4,0- 105 м/с.
(и2 — 1)т
е
2ел/Ж+ЖЬ, ,
/9 "" -4,0- 105 м/с.
(и2 — 1)т
е
щ = V2 = Гз = ,—; скорости электронов направлены вдоль
у2тг£огт
щ = V2 = Гз = ,—; скорости электронов направлены вдоль
у2тг£огт
медиан треугольника (от ценра).
медиан треугольника (от ценра).
™ = , / -и 0, 01.
v у (4-^2 + 1)М
Указание. Зная, что М/т = 2000, можно считать, что в тот момент,
когда взаимодействие между позитронами и позитронами и протонами станет пренебрежимо малым, положение протонов можно считать еще не изменившимся по сравнению с первоначальным. Вносимая при этом ошибка
составит доли процента.
К =. ^.Z^e = g 32 _ 10_13 Здесь Яне и
4тг£о AnГо
Zn — относительные заряды ядер гелия и азота.
е2
го =
тхЕоти2
a); 6) d =V 2nsoRma); 6) d =V 2nsoRmммqQqQМ + т 2n£oRm'М + т 2n£oRm'а) у = a к; 6) d =У 2h£o Rmа) у = a к; 6) d =У 2h£o RmММqQqQМ + т 2h£q RmМ + т 2h£q Rm3.62.3.62.v =v =NQNQyohe отyohe отУмин Умин 3.63.3.63.3.64.3.64.Wb = -| (3mg — F)R + Wa = —4, 0-10 3 Дж./7ПшД\ йпо«макс = arccos 1-=- = 60 .\ 4qE /Wb = -| (3mg — F)R + Wa = —4, 0-10 3 Дж./7ПшД\ йпо«макс = arccos 1-=- = 60 .\ 4qE /3.65.3.65.v= 02 gh —v= 02 gh —~Д—-(1 - tga) .4п£отп~Д—-(1 - tga) .4п£отп3.66.3.66.1/3А = -тш2 L2 + (mg + qE) lb™™1/3А = -тш2 L2 + (mg + qE) lb™™mg + qEтш2mg + qEтш23.67.3.67.^1,2 =^1,2 =q2ЗпЕопгтq2ЗпЕопгт13,3 м/с2,3 м/с,13,3 м/с2,3 м/с,
a); 6) d =
V 2nsoRm
a); 6) d =
V 2nsoRm
м
м
М + т 2n£oRm'
М + т 2n£oRm'
а) у = a к; 6) d =
У 2h£o Rm
а) у = a к; 6) d =
У 2h£o Rm
М
М
М + т 2h£q Rm
М + т 2h£q Rm
3.62.
3.62.
v =
v =
NQ
NQ
yo
he от
yo
he от
Умин
Умин
3.63.
3.63.
3.64.
3.64.
Wb = -| (3mg — F)R + Wa = —4, 0-10 3 Дж.
/7ПшД\ йпо
«макс = arccos 1-=- = 60 .
\ 4qE /
Wb = -| (3mg — F)R + Wa = —4, 0-10 3 Дж.
/7ПшД\ йпо
«макс = arccos 1-=- = 60 .
\ 4qE /
3.65.
3.65.
v= 02 gh —
v= 02 gh —
~Д—-(1 - tga) .
4п£отп
~Д—-(1 - tga) .
4п£отп
3.66.
3.66.
1/3
А = -тш2 L2 + (mg + qE) lb™™
1/3
А = -тш2 L2 + (mg + qE) lb™™
mg + qEтш2
mg + qEтш2
3.67.
3.67.
^1,2 =
^1,2 =
q2
ЗпЕопгт
q2
ЗпЕопгт
13,3 м/с
2,3 м/с,
13,3 м/с
2,3 м/с,
Проводники и диэлектрики в электростатическом поле
Заряды поверхностей пластин равны 2q, —q} q, 2q.
ПРИ Ri < т < R2 и R3 < г: 4тгг0 г2 р’
0при 0 < г < Ri и R2 < г < R3.
1 Q„
приг^Яз;
4тг£о т
Q
при д2 ^ г ^ Д3;
4тгго Дз
= ) О /111 \
- +ПРИ Л1 < г < Яз;
4тг£о \Г Яз к2 /
Q ( 111 А „
—р ПрИ г < Я1. 4тг£о \ Ri R3 R2 )
(^внутр = ™( Ь ™ ) ; ^внеш = ”™ (9 + Q)-
4тгео \r R)4heoR
Ф1 = ф —.
К-2
^Г2„ = 38 в;
Ry + R2
q = 4тгео(^1 - у2)= 0,12 нКл.
Я1 + Я 2
3.73.
3.74.
3.75.
3.76.
3.77.
3.78.
3.79.
3.80.
3.81.
3.82.
3.83.
3.84.
^ = Ж2/3^о-
R fRV^9, 92=9;
1 9
ф =
4тг£о Т
q = 4Ьл/иЕокх.
л == 0,15 Дж.
107Г£оЬ
г (2У2-1У
8тгеоЬ2
mQ2 4 о
T =+Pg-
г =^8,9 см.
р =^ро = 1600 кг/м3.
Дер =
(91 ™q^d2eoeS
(0
Е^ =
д4тгеог2
4тге0£г29
4тг£ог2
при т < Rx;
при Ri < г < R2;
при R2 < г < Дз;
при г > Дз.
1 £
4тг£о R
ф2 = 0.
=
3.6.
3.85.
3.86.
д Г 1(R2 — Ra^e ™ 1)
4тгео \Ri eR2Rs
д /1 + №^Дз)(е^1)А
4тг£о V eR2Rs )
д /1 + g 1А
4тг£о£ \г Ra /
9
. 47ГЕ0ЕТ
при г Д Ri;
при R1 Д г Д R2;
при R2 Д г Д Дз;
при г R3.
Электрическая емкость проводника. Конденсаторы
//1 /\ г (91 — 9г)2
91 = 92 = ^(91 - 92); F = —
216тГ£0Г2
R = = 9 • 109 м.4?Г£о
3.97.3.97.с сМ.а — bс сМ.а — b3.98.3.98.С = СоС = Соd, , b"d — b H—£d, , b"d — b H—£3.99.3.99.£ — 19о.£ — 19о.3.100.3.100.3.101.3.101.и =и =£eoSU22d2 F2£eoSU22d2 F2= 4,4- 10™2 Н.= 4,4- 10™2 Н.4s2T74 = 2’25-4s2T74 = 2’25-3.102.3.102.и = — e0Sи = — e0S-5—A = 2,70 кВ. 2£Q Sk )-5—A = 2,70 кВ. 2£Q Sk )3.103. а) Энергия конденсатора увеличится, б) Энергия конденсатора уменьшится.3.103. а) Энергия конденсатора увеличится, б) Энергия конденсатора уменьшится.3.7. Соединения конденсаторов3.7. Соединения конденсаторов3.104.3.105.3.106.3.104.3.105.3.106.С-2 = 1,8 мкФ; параллельно конденсатору Ci.С = 1400 пФ; последовательно с конденсатором Ci.£oS(di У е4ео5 ,О —_ _; Сумин — ,, , 5 Омаке — ОО.did2«1 + d2С-2 = 1,8 мкФ; параллельно конденсатору Ci.С = 1400 пФ; последовательно с конденсатором Ci.£oS(di У е4ео5 ,О —_ _; Сумин — ,, , 5 Омаке — ОО.did2«1 + d2
3.97.
3.97.
с сМ.
а — b
с сМ.
а — b
3.98.
3.98.
С = Со
С = Со
d
, , b"d — b H—
£
d
, , b"d — b H—
£
3.99.
3.99.
£ — 1
9о.
£ — 1
9о.
3.100.
3.100.
3.101.
3.101.
и =
и =
£eoSU2
2d2 F2
£eoSU2
2d2 F2
= 4,4- 10™2 Н.
= 4,4- 10™2 Н.
4s2
T74 = 2’25-
4s2
T74 = 2’25-
3.102.
3.102.
и = — e0S
и = — e0S
-5—A = 2,70 кВ. 2£Q Sk )
-5—A = 2,70 кВ. 2£Q Sk )
3.103. а) Энергия конденсатора увеличится, б) Энергия конденсатора уменьшится.
3.103. а) Энергия конденсатора увеличится, б) Энергия конденсатора уменьшится.
3.7. Соединения конденсаторов
3.7. Соединения конденсаторов
3.104.
3.105.
3.106.
3.104.
3.105.
3.106.
С-2 = 1,8 мкФ; параллельно конденсатору Ci.
С = 1400 пФ; последовательно с конденсатором Ci.
£oS(di У е4ео5 ,
О —_ _; Сумин — ,, , 5 Омаке — ОО.
did2«1 + d2
С-2 = 1,8 мкФ; параллельно конденсатору Ci.
С = 1400 пФ; последовательно с конденсатором Ci.
£oS(di У е4ео5 ,
О —_ _; Сумин — ,, , 5 Омаке — ОО.
did2«1 + d2
3.87.
c = ^so£R1 = 1)9пф
Л2
3.88.
Ci9?i + С2Ф2
+ c2 ■
3.89.
3.90.
AQ = I(W1 + W2 - 2VWW2) = 0,2 мДж.
3.91.
. .q2 ( 11 \
ДЛ = —— — — .
8tt£q yrtiR2 /
3.92.
= ^ТнОлГ^-^уТ + 47ПтД2(2 _ 22/3). o7T£qR
3.93.
ДЛ = —^-(jy-2/з _ i) + 47Г<7д2(7У1/з _
S7T£qR '
3.94.
£ld2 + £2G?1
3.95.
_ 47Г£обД1Д2 R2 ™ Ri
3.96.
С ~ 2тГ£о£Г.
Указание. Можно считать, что при R ^> г заряды распределены по по
3.107.3.107.r, _ 2e0S 3d 'r, _ 2e0S 3d 'верхности шариков равномерно.
3.107.
3.107.
r, _ 2e0S 3d '
r, _ 2e0S 3d '
С4 = 6С.
Собщ = 2С.
а) Собщ = "jC; б) ^общ = -С; в) СОбщ = -С. Схемы эквивалентных соединений представлены на рисунках.
Рис. 3.110аРис. 3.110а
Рис. 3.110а
Рис. 3.110а
ECiCЕС
91 = 93 =
£Сг£С^С£С
фа фп - С1 + с ; 92 - 94 -+ с ; Фт фЪ -+ i
£С2£C(Ci - С2)
^ ^^ С^ + С’ ^ ^ - (С1 + С)(С2 + С)"
3.112.3.112._ №-£2)С3С1 + С2 + Сз ’_ №-£2)С3С1 + С2 + Сз ’фЪ ™ фД =фЪ ™ фД =(£*2 — 5j)(Cj + С2) ,Ci + С-2 + Сз(£*2 — 5j)(Cj + С2) ,Ci + С-2 + Сз
3.112.
3.112.
_ №-£2)С3
С1 + С2 + Сз ’
_ №-£2)С3
С1 + С2 + Сз ’
фЪ ™ фД =
фЪ ™ фД =
(£*2 — 5j)(Cj + С2) ,Ci + С-2 + Сз
(£*2 — 5j)(Cj + С2) ,Ci + С-2 + Сз
^1(С1 + С2) + £2Сз
3.113.3.113.£х = £7^91Сз£х = £7^91СзCi + С2 + СзCi + С2 + СзС1С3С1С3, если правая обкладка конден-, если правая обкладка конден-сатора Ci заряжена положительно;сатора Ci заряжена положительно;в противном случае Есв противном случае ЕсС2СзС2Сз+ 91 С1С3+ 91 С1С31191 = |(2gi - 92 - 9з); 91 = ^(292 - 91 - 9з);91 = |(2gi - 92 - 9з); 91 = ^(292 - 91 - 9з);9з = ^(2g3 — qi — qi).9з = ^(2g3 — qi — qi).gigi9з9зC3(Ci^i + С^Е^Ci + С2 + СзC3(Ci^i + С^Е^Ci + С2 + СзCilC^i +C3gi -C2g2|Ci + C2 + СзCilC^i +C3gi -C2g2|Ci + C2 + СзС2|С152 + Сз^2™С151|1Ci + С2 + Сз ’С2|С152 + Сз^2™С151|1Ci + С2 + Сз ’
3.113.
3.113.
£х = £7^91Сз
£х = £7^91Сз
Ci + С2 + Сз
Ci + С2 + Сз
С1С3
С1С3
, если правая обкладка конден-
, если правая обкладка конден-
сатора Ci заряжена положительно;
сатора Ci заряжена положительно;
в противном случае Ес
в противном случае Ес
С2
Сз
С2
Сз
+ 91 С1С3
+ 91 С1С3
1
1
91 = |(2gi - 92 - 9з); 91 = ^(292 - 91 - 9з);
91 = |(2gi - 92 - 9з); 91 = ^(292 - 91 - 9з);
9з = ^(2g3 — qi — qi).
9з = ^(2g3 — qi — qi).
gi
gi
9з
9з
C3(Ci^i + С^Е^Ci + С2 + Сз
C3(Ci^i + С^Е^Ci + С2 + Сз
CilC^i +C3gi -C2g2|
Ci + C2 + Сз
CilC^i +C3gi -C2g2|
Ci + C2 + Сз
С2|С152 + Сз^2™С151|1
Ci + С2 + Сз ’
С2|С152 + Сз^2™С151|1
Ci + С2 + Сз ’
qi С1Е1; q^ C2(<^i + Е2); дз Сз|£з — Ei — ^l-
qi = — C(3£’i + 2.E2 + ^з); 92^Cl^i "ZE^ <^*з);
дз = ™C(Ei + 2£*2 + 3£*з); g4 = ™C(3£’i + 2£*2 + <^з)-
U = ^ (V1 + 4а(7о - 1) = 27,7 В.
q = CE.
q = С2Е.
А = =1,2- 108 Дж;
MV = -5° 5^=-1,2- 10 8 Дж.
A TV = Т^Ах =1,8-10”8 Дж; А == 3,6-ИГ8 Дж.
2d(d-do) ’’ d^d-do)
Сила тока. Сопротивление. Закон Ома для однородногоучастка цепи
3.123. m =3.124.9 = (3.125.j =3.126.L = .3.127.Ui =3.128.I = -3.129.Io =3.130.Tl,23.131.И =3.132.а^4Д\Ro /3.133.R =3.134.Ь =3.135.a) R3.136.R =3.137.a) U3.123. m =3.124.9 = (3.125.j =3.126.L = .3.127.Ui =3.128.I = -3.129.Io =3.130.Tl,23.131.И =3.132.а^4Д\Ro /3.133.R =3.134.Ь =3.135.a) R3.136.R =3.137.a) U11^ = 2 . Ю-10 кг. е11 Т 21*^10, 2 Кл.™ l^aUv _,-51 = 0, 33 мкА.d^ = 2 . Ю-10 кг. е11 Т 21*^10, 2 Кл.™ l^aUv _,-51 = 0, 33 мкА.d= 340 м;= 340 м;5х525з5х525з54'5i52 + 5253 + 5153)r2cfW[l + оЩ - То)]16mpi[l + a(T-T0)]54'5i52 + 5253 + 5153)r2cfW[l + оЩ - То)]16mpi[l + a(T-T0)]R + RaR + RaRU2hRU2h1 = 5,05 А.1 = 5,05 А.= 1,0 • НГ7 м2.= 1,0 • НГ7 м2.U, Ui = 6 В, U2 = 3 В, U3 = 2 В.U, Ui = 6 В, U2 = 3 В, U3 = 2 В.= 14,6 А, где То = 273 К.= 14,6 А, где То = 273 К.41\1, Ri = 30 Ом, R2 = 10 Ом.41\1, Ri = 30 Ом, R2 = 10 Ом.9 R/Ro — 6.l) Точки подключения делят кольцо в отношении: (1 + J1-^A =1:3; б) Яиакс = ^ = 8 Ом.\ V Ro /49 R/Ro — 6.l) Точки подключения делят кольцо в отношении: (1 + J1-^A =1:3; б) Яиакс = ^ = 8 Ом.\ V Ro /418 Ом, 11 — 7g | h =0,4 А.= у; б)д = з2Г'18 Ом, 11 — 7g | h =0,4 А.= у; б)д = з2Г'= 2 А, J3 = 1,2 A, J2 = J4 = J5 = 0,8 А.= 2 А, J3 = 1,2 A, J2 = J4 = J5 = 0,8 А.з-г; в) R = г. 5з-г; в) R = г. 55= 5ir; R = -г:6R =5= 5ir; R = -г:6R =22197I = 6г, б) U = 6ir; R = I = Л ’7’7’2197I = 6г, б) U = 6ir; R = I = Л ’7’7’2
3.123. m =
3.124.
9 = (
3.125.
j =
3.126.
L = .
3.127.
Ui =
3.128.
I = -
3.129.
Io =
3.130.
Tl,2
3.131.
И =
3.132.
а^
4Д\
Ro /
3.133.
R =
3.134.
Ь =
3.135.
a) R
3.136.
R =
3.137.
a) U
3.123. m =
3.124.
9 = (
3.125.
j =
3.126.
L = .
3.127.
Ui =
3.128.
I = -
3.129.
Io =
3.130.
Tl,2
3.131.
И =
3.132.
а^
4Д\
Ro /
3.133.
R =
3.134.
Ь =
3.135.
a) R
3.136.
R =
3.137.
a) U
1
1
^ = 2 . Ю-10 кг. е
11 Т 21*^10, 2 Кл.
™ l^aUv _,
-51 = 0, 33 мкА.
d
^ = 2 . Ю-10 кг. е
11 Т 21*^10, 2 Кл.
™ l^aUv _,
-51 = 0, 33 мкА.
d
= 340 м;
= 340 м;
5х525з
5х525з
54'5i52 + 5253 + 5153)
r2cfW[l + оЩ - То)]
16mpi[l + a(T-T0)]
54'5i52 + 5253 + 5153)
r2cfW[l + оЩ - То)]
16mpi[l + a(T-T0)]
R + Ra
R + Ra
R
U2h
R
U2h
1 = 5,05 А.
1 = 5,05 А.
= 1,0 • НГ7 м2.
= 1,0 • НГ7 м2.
U, Ui = 6 В, U2 = 3 В, U3 = 2 В.
U, Ui = 6 В, U2 = 3 В, U3 = 2 В.
= 14,6 А, где То = 273 К.
= 14,6 А, где То = 273 К.
41\
1, Ri = 30 Ом, R2 = 10 Ом.
41\
1, Ri = 30 Ом, R2 = 10 Ом.
9 R/Ro — 6.
l) Точки подключения делят кольцо в отношении
: (1 + J1-^A =1:3; б) Яиакс = ^ = 8 Ом.
\ V Ro /4
9 R/Ro — 6.
l) Точки подключения делят кольцо в отношении
: (1 + J1-^A =1:3; б) Яиакс = ^ = 8 Ом.
\ V Ro /4
18 Ом, 11 — 7g | h =0,4 А.
= у; б)д = з
2Г'
18 Ом, 11 — 7g | h =0,4 А.
= у; б)д = з
2Г'
= 2 А, J3 = 1,2 A, J2 = J4 = J5 = 0,8 А.
= 2 А, J3 = 1,2 A, J2 = J4 = J5 = 0,8 А.
з
-г; в) R = г. 5
з
-г; в) R = г. 5
5
= 5ir; R = -г:
6
R =
5
= 5ir; R = -г:
6
R =
2
2
197
I = 6г, б) U = 6ir; R = I = Л ’7’7’2
197
I = 6г, б) U = 6ir; R = I = Л ’7’7’2
R = ^.
а) Необходимо включить вместе с прибором добавочное сопротивление Ro = -51 — г ~ 200 кОм. б) Необходимо зашунтировать прибор пг0 .
сопротивлением R = Ш°—г 62, 5 мОм.
I — то
ЗЛ42‘ 1218'
U2 = X -Uj + U1U3 - Дз«8,6 В.
V 42
Закон Ома для неоднородного участка и полной цепи.
Правила Кирхгофа
3.144.
I = МД5^512 = 99 6 А
к'3' ЯзД-ЛДх)’
3.145.
U=Ui +) = 293 В; 8 = Ui= 303 В.
3.146.
3.147.
3.148.
1а = 0, 75 А.
3.149.
4 Ui = U2 = -8.
3.150.
хR2
а) гж = г — ; б) сохранится. Ri
3.151. нечетные.
a) U = 0; б) U = 0, если т — четные; U = 8, если m —
3.152.
X£1Г2-£2П_^1Г2+^2Г1
a) IT = JL; б) U = .
М + Г2Г1 4. Г2
3.153.
U = 2£-I(^fk + ^ =2’48 в-
3.154.
U1 _ пД + г _ 2 33
[Z2 R + nr ’"
3.155.
а) и = ^/jy5 = 200, m = -^/^^ = 2; б) не изменится.
3.156.
г1нТ2™jЛ
1а =; аккумулятор заряжается при 1н < 40 А,
Г1 + г2 Г1 + г2
разряжается при R > 40 А.
3.157. 1М. = ЕН±ЕН = 174 а.
U1 — U2
3.158.
j _£\Т1 + ^2Г1
Дл + Дг2 + Г1Г2 '
3.159.
А = |; О1ав = с1Е.
3.160.
I = Дз(уч - у2) + Д2(у>1 - у>з) = 0 2 у Д1Д2 У Д2Дз + Д1Дз
3.161.
D5Д + Зг
Конденсаторы и нелинейные элементы в электрическихцепях
3.162.
1 3(Ci + C2p 23(С1+С2)
3.163.
q = ^c£-
3.164.
= Д1 + ^3 + р4 - £^ ^ = R^R^ R. " £^С-
3.165.
Ч\С£ = °’69 мКл-
(2Я +г)(2Р +Зг)
3.166.
CvRv - C2R2 с а = 8.
Ri + R2 У т
3.167.
q=^C£'
3.168.
2Д2
3.169.
3.170.
3.171.
а) П 8 В, I 1,4 A; 6) U 4,8 В, I 1 A. R 4,6 Ом.
3.172.
UiC/2U3
i + V5i + V5
3.11. Работа и мощность тока. Тепловое действие тока
Рист = £1, Рвн = £1-Рт, z/ 1L, — Рмакс = 1
82т4г
з 174 Р -Рр„
(Д + r)2р (Д + г)2г + Д
^^, До = г, т?(До) = туо = 0,5.
Япр == 6, 7 Ом.
и 2 Лэ
Р1 == 200 Вт; Р2 = Т ~= 80 Вт.
тг
3.177.
Т = V^1^2 = 3 Ом.
3.178.
Д.з. = V~P ( / + —,| = 25 А.
\VR^ VRi)
3.179.
Рмакс = ^т^тг7 = 11 Вт.
4Д(1 - р)
3.180.
Рвнут = Pi^г = 32 Вт. Wl-^)
3.181.
3R ■
3.182.
Pi = ^! = 420 Вт.
^Рюм/Р- 1)
3.183.
^посл — ^1 4“ О — 35 МИН, ^пар — ,"— 8,6 МИН.
И + С2
3.184.
ta = 9t = 54 мин; f6 = 2t = 12 мин; tB = 4, 5t = 27 мин.
3.185.
о — A^i^lzL^^^^
гс^з^ + Сз)'
3.186.
Q = ^СЕ2.
3.187.
Q = 8СЕ2.
3.188.
Q= |(£-l)2C0f = 2 Дж.
3.189.
R = - ( U, / ———^—- - pL ) = 0,35 Ом.
s V V DUT™ - Т) + А] ' J
3.190.
U == 4250 В.
3.191.
U = (1 + ’?)^/^ = 208 В.
3.192.
UI1T)ш О /Ul2Tlс /
th = = ю, 2 м/с; ^2 = тгт = 5 м/с.
д-mgmg^i^k)
3.12. Электрический ток в различных средах
е Ьшг
3.193.
== 1, 8 • 1011 Кл/кг.
meqbt
3.194.
Е ™_ nw^R,
е ’2е
3.195.
у == о 44 мм/с, q = pj2 = 0,1 Дж/м3-с.
eDNA
3.196.
р == 4 о • 10™7 кг-м/с.
е
3.197.
t=FR)Ls =310в с рм = ^Р Li = 1 0. ю6 н.
Р
3.198.
ird2U2T0
L= 4Рр0Т =°’34М-
3.199.
qi = q2-
3.200.
Никель.
3.201.
8 = U - mFZR = о, 7 В.
3.202.
г == 3, 2 нм/с.
pNSZF 17
3.203.
(2/1 + Iz)pt
m = —= 5, 8 мг.
4FZ’
3.204.
R =Ц =»,4Ом.
3.205.
m = ^^^ = 1,9 г; здесь д — молярная масса АЬОз-
3.206.
М = moq =1 3.10-б
2е
3.207.
pWRT
(25В'
3.208.
ЯТоД / 1 , П „ - 1П-4 3 V 2Fp0 Vzh + Zo) - 6,2'10 М-
3.209.
v == 2700 км/с; Т == 1,7 • 10s К.
V m’3/’
3.210.
U == 215 В.
Хе
3.211.
I l2meU Рср - S\ е '
3.212.
/ = 4 мА.
3.13. Магнитное поле. Магнитная индукция
3.213.
а) В = 0; б) В = ^ - = 160 мкТл; в) В = ^ - V5 = 113 мкТл. 7Г г2тг Г
3.214.
Bi = 0; В2 = ™ Во х В3 = V^Bo-
3.215.
В =^2(г2 + Г2Х _ d = 309 мкТл,
27ГГ1Г2"
3.216.
в = Ыд2 = 62 8 мкТл.
2BRА
3.217.
I = = 305 А.
до sin р
3.218.
3.219.
В == 1,8 мкТл.
2тга'
3.220.
V а2 + Ь2
В == 200 мкТл.
тгао
3.221.
В == 13, 3 мкТл.
Зтга
3.222.
ВХ7Г2’
3.223.
в = -—; = ~ 12, 5 мкТл.
4тгту4тг£отег
3.224.
В = ^q= 2, 55 • 10,:! Тл.
4тгЬ" sin о V cos о
Сила Лоренца. Сила Ампера. Сила взаимодействия двухпроводников
3.227.
j _ psg, В '
3.228.
1=^=2,5А.
3.229.
„ mg cos a ± sinmm
в =——i = 0, 5 Тл; 9 мТл.
3.230.
IL tg 2 "
3.231.
A = IBLx sin a = 0, 30 Дж.
3.232.
IBd
er = ™^r = 500 кПа.
3.233.
F2 = Fl mg ± IBL = 2,08 H; 0,12 H. mg =p IBL
3.234.
F== 0,1 H.
4тг
3.235.
F == 8; о mH.
3.236.
3.237.
°=0’31 A-
3.238.
n . / BLCU \ «макс = 2 arcsin-12 .
\2m.'Vgbi J
Сила Лоренца. Движение заряженных частиц вэлектрическом и магнитном полях
3.239.3.239.= 20,4 м;= 20,4 м;^- = 9, 56 • 106 рад/с; а-^- = 9, 56 • 106 рад/с; а-
3.239.
3.239.
= 20,4 м;
= 20,4 м;
^- = 9, 56 • 106 рад/с; а-
^- = 9, 56 • 106 рад/с; а-
= —вт= —вт
= —вт
= —вт
= 1,9- 1013 м/с2; аТ = 0.
3.240.
дД1 _ ГЖ
т2 ’ д2 N к2'
3.241.
/ Т) \ 2
— ™ || - 4
m2 xR^)
3.242.
\ Rp ^pQa 1 .g\ Rp Qa / ТПр 2
Ra'^'aQp2LUq-Ra qp ^ '^'Ct^a
3.243.
^ _ mv sin о_ 2тгтж cos о
qB ’qB '
3.244.
В = 2тгк—- coso, где k — произвольное целое число. eL
еВ L ( LV7 ,
3.245.
ж = — JR2 + ( — ) = 4, 5 • 107 м/с. ту\2тг/
3.246.
K= — f^E\ = 12- иг18 Дж.
2т \ sin а у
3.247.
eBLmv„ „ от mv
а = arccos при L < ——; а = 180 при L ^ -—. mvеВеВ
3.248.
v = ^^ = 1,0 • 106 м/с.
т, sin ф
3.249.
„ 2(тг сх\тт „ 2ат , _ т
Bi = —— =8,4 мТл; В-2 = = 4, 2 мТл.
ет''ет'
3.250.
т =- = 1,0 мс.
Е
3.251.
PBR = 3'8 •106
3.252.
v = ™ = 5, 0 • 105 м/с.
3.253.
в=и
d у 2qUo
3.254.
Аймаке = 2тВи sin tt.
3.255.
// mgT2V
г = 4™— .
у\4т2т, ± 2irqBT )
Магнитный поток. Закон электромагнитной индукции
Одинаковый.
С учетом неоднородности магнитного поля «ступеньки» на графике /(ж) окажутся слегка скругленными (ж — расстояние, пройденное передним концом магнита после входа в катушку).
U = BLv = 0,15 В.
3.259. Проводник следует двигать с постоянным ускорением а =
== 100 м/с2 так, чтобы вектор скорости был направлен по нор-
sin о'
мали к проводнику и к силовым линиям магнитного поля.
3.260.
3.261.
Аф = tvvBL2 .
^макс
3.262.
£ср
= 2ttoBS. >
В-2 - Bl nd2
At 4 *
3.263.
о = arccos
3.264.
q = ^^- = 50 мкКл.
3.265. Q =
3.266. R =
тп-В
41,4 мКл.
16рВ
^Т" = 2, 5 • КГ3 Ом.
mg
Рис.
3.257
3.267. а= A = FAx = ттА-ВЧ^1
=+ 1С£2.
3.268.
B2L2u
3.269.
8 =
R mt^R
= 2,0 • 10™12 Н.
. Не изменится.
3.270.
U =
EoR + BLvr
RA г
"тепл — (£о - ВЦ2
R
(В + г)2’
"мех — (^0
пт A
-ви^
3.271.
п =
3.272.
to =
16m.gR (тг!)2Воа)2 p/mgR А^Ш’
3.17. Индуктивность. ЭДС самоиндукции
3.273.
3.274.
В = — = 2,0- 10"3 Тл.
SN
В То At1
Ф = т ~ ' =0,4 Вб; А И7 = -E(h + /2) At = 0,3 Дж.
3.275.
£ = 1А(1 т А) = 3,2 В; 9,6 В.
3.276. Д(т) == 15 Ом.
В ” AtT
3.277.
z NSB
Li + L2
3.278.
Т
-1 макс — V £
3.279.
9 = ^ = 1,бДж.
3.280.
^2мХ?о)=6’0^^
3.281.
LEа
q = — = 2,5 ■ 10“в Кл.
Вт
ЕЕ
L2— _|_ LiloL2— — LiIq
3.282.
h = г.. /2 = г
Li + L2Li + L2
3.283.
В = ^д^ = 5,6 - 10-6 Ом.
3.284.
I — ^Вр
L ‘
К ГЛАВЕ 4
Кинематика гармонических колебаний
А = 6тгм; ш = — с х; р=™Гц; Т = 6с; <^о = — рад.
гамаке = 2тг2~19, 7 м/с; гж(0) =тг2^9, 9 м/с; аЖМакс = тг3^31, О м/с2; ах(0) = -^тг3 « -26,8 м/с2.
a) x(t) = V«2 + Ь2 cos (cut — 990), жо = 0,a) x(t) = V«2 + Ь2 cos (cut — 990), жо = 0,LUO = CU,LUO = CU,6\ афо = - arctg б) ж t = - + а'2фо = тг; в) не гармоническоежо = 3, А = 2 cos 2, cuq = си,6\ афо = - arctg б) ж t = - + а'2фо = тг; в) не гармоническоежо = 3, А = 2 cos 2, cuq = си,™ cos (2cet + ТГ), Жо колебание; г) х^™ cos (2cet + ТГ), Жо колебание; г) х^а , а2’ Л 2'а , а2’ Л 2'LUO = 2си,LUO = 2си,2тг фо = ~т;2тг фо = ~т;= жо + A cos (wt + фо),= жо + A cos (wt + фо),д) не гармоническое колебание.д) не гармоническое колебание.a) ^(t) = ™Acusincut =a) ^(t) = ™Acusincut =cut + ^; б) Кфх =cut + ^; б) Кфх =^; 6)^(0 =^; 6)^(0 =
a) x(t) = V«2 + Ь2 cos (cut — 990), жо = 0,
a) x(t) = V«2 + Ь2 cos (cut — 990), жо = 0,
LUO = CU,
LUO = CU,
6\ а
фо = - arctg б) ж t = - + а'2
фо = тг; в) не гармоническое
жо = 3, А = 2 cos 2, cuq = си,
6\ а
фо = - arctg б) ж t = - + а'2
фо = тг; в) не гармоническое
жо = 3, А = 2 cos 2, cuq = си,
™ cos (2cet + ТГ), Жо колебание; г) х^
™ cos (2cet + ТГ), Жо колебание; г) х^
а , а
2’ Л 2'
а , а
2’ Л 2'
LUO = 2си,
LUO = 2си,
2тг фо = ~т;
2тг фо = ~т;
= жо + A cos (wt + фо),
= жо + A cos (wt + фо),
д) не гармоническое колебание.
д) не гармоническое колебание.
a) ^(t) = ™Acusincut =
a) ^(t) = ™Acusincut =
cut + ^; б) Кфх =
cut + ^; б) Кфх =
^; 6)^(0 =
^; 6)^(0 =
= —Aw2 cos cut = Аш2 cos (wt + тг); г) A 992 = тг; д) ^фз =Л Г \^ТГ1 АЙТГа жСр = :—7; т^г = 1,0 м/с; б) жср = , . .Tarcsin(l/2)Tarccos(l/2)= —Aw2 cos cut = Аш2 cos (wt + тг); г) A 992 = тг; д) ^фз =Л Г \^ТГ1 АЙТГа жСр = :—7; т^г = 1,0 м/с; б) жср = , . .Tarcsin(l/2)Tarccos(l/2)22= 0, 50 м/с.= 0, 50 м/с./ т\( т Т\s =7—7 + 1 I А + A since т ™ ™—- — I ~ 5А = 0, 65 м; ж(т)\Т/4)Vт/4 4 /6,6 - 10™2 м./ т\( т Т\s =7—7 + 1 I А + A since т ™ ™—- — I ~ 5А = 0, 65 м; ж(т)\Т/4)Vт/4 4 /6,6 - 10™2 м.
= —Aw2 cos cut = Аш2 cos (wt + тг); г) A 992 = тг; д) ^фз =
Л Г \^ТГ1 АЙТГ
а жСр = :—7; т^г = 1,0 м/с; б) жср = , . .
Tarcsin(l/2)Tarccos(l/2)
= —Aw2 cos cut = Аш2 cos (wt + тг); г) A 992 = тг; д) ^фз =
Л Г \^ТГ1 АЙТГ
а жСр = :—7; т^г = 1,0 м/с; б) жср = , . .
Tarcsin(l/2)Tarccos(l/2)
2
2
= 0, 50 м/с.
= 0, 50 м/с.
/ т\( т Т\
s =7—7 + 1 I А + A since т ™ ™—- — I ~ 5А = 0, 65 м; ж(т)
\Т/4)Vт/4 4 /
6,6 - 10™2 м.
/ т\( т Т\
s =7—7 + 1 I А + A since т ™ ™—- — I ~ 5А = 0, 65 м; ж(т)
\Т/4)Vт/4 4 /
6,6 - 10™2 м.
«ж (ж) = ™Ш2Х.«ж (ж) = ™Ш2Х.
«ж (ж) = ™Ш2Х.
«ж (ж) = ™Ш2Х.
Рис. 4.7
Если частица проходит положение равновесия, двигаясь в поло-жительном направлении оси Ож, то At = — arctg = 0, 2 с; если частицаси vx
проходит положение равновесия, двигаясь в отрицательном направлении
оси Ож, то At =сиоси Ож, то At =сиarctgarctg= 1,0 с.= 1,0 с.
оси Ож, то At =
си
оси Ож, то At =
си
arctg
arctg
= 1,0 с.
= 1,0 с.
ж2 = A cos (сиAt + фо) = —0,29 м; хЖ2 = — Аш sin (сиAt + фо) =
4.10.4.10.= 2тг= 2тг9 т^^а-хх— = 0, 05 м;9 т^^а-хх— = 0, 05 м;= 2,0 с"1;= 2,0 с"1;Л =Л =2 22 2Г1Ж2 - t^Xt2 22 2Г1Ж2 - t^Xtч^ч V ж2ч^ч V ж222Г1 - г222Г1 - г2,2 1,2 1a/t) = qm cosa/t) = qm cos; Д<); Д<)t + фо + — I;t + фо + — I;е^ = аму cosе^ = аму cost 4- ф0 + тх 1 где фо =t 4- ф0 + тх 1 где фо =«о arccos —.ом«о arccos —.ом4.13.4.13., ссм, ссм(a„)M = Tg = 9,81.10-2п2(a„)M = Tg = 9,81.10-2п2— = 0,10 рад; п'м/с2.— = 0,10 рад; п'м/с2.б) (ат)м = — g = 0,981 м/с2;б) (ат)м = — g = 0,981 м/с2;
4.10.
4.10.
= 2тг
= 2тг
9 т^^а-х
х— = 0, 05 м;
9 т^^а-х
х— = 0, 05 м;
= 2,0 с"1;
= 2,0 с"1;
Л =
Л =
2 22 2
Г1Ж2 - t^Xt
2 22 2
Г1Ж2 - t^Xt
ч^ч V ж2
ч^ч V ж2
22
Г1 - г2
22
Г1 - г2
,2 1
,2 1
a/t) = qm cos
a/t) = qm cos
; Д<)
; Д<)
t + фо + — I;
t + фо + — I;
е^ = аму cos
е^ = аму cos
t 4- ф0 + тх 1 где фо =
t 4- ф0 + тх 1 где фо =
«о arccos —.
ом
«о arccos —.
ом
4.13.
4.13.
, ссм
, ссм
(a„)M = Tg = 9,81.10-2п2
(a„)M = Tg = 9,81.10-2п2
— = 0,10 рад; п'
м/с2.
— = 0,10 рад; п'
м/с2.
б) (ат)м = — g = 0,981 м/с2;
б) (ат)м = — g = 0,981 м/с2;
9^0 = — arctg. way9^0 = — arctg. way= —0,8 м/с; здесь А == —0,8 м/с; здесь А =
9^0 = — arctg. way
9^0 = — arctg. way
= —0,8 м/с; здесь А =
= —0,8 м/с; здесь А =
«о где <у9о = arccos —, <^мЦ)0т = CU.«о где <у9о = arccos —, <^мЦ)0т = CU.aH(t) = |a2g[l - cos (2wt + 2920)], aT(t) = aMg cos (wt + фо - тг),
«о где <у9о = arccos —, <^м
Ц)0т = CU.
«о где <у9о = arccos —, <^м
Ц)0т = CU.
= V Ь’ °^6 зависимости гармонические, icon = 2си,
Динамика колебательного движения
F$(x) = —тс^ож; к = тД.
В общем случае х^ = жо + A cos (wot + ^о), где шо = у/к/т. Для определения значений А и фо необходимо дополнительно указать начальные условия (например, ж (to) и ж(to), где to — некоторый известный момент времени).
4.18.4.18.ЖДЖДад + v4cos(w0t + ^о), где си0ад + v4cos(w0t + ^о), где си0x 1/22 Ix 1/22 Ik/m, Ak/m, A<z>o = — arcsin —— . \ Аш0 /<z>o = — arcsin —— . \ Аш0 /
4.18.
4.18.
ЖД
ЖД
ад + v4cos(w0t + ^о), где си0
ад + v4cos(w0t + ^о), где си0
x 1/2
2 I
x 1/2
2 I
k/m, A
k/m, A
<z>o = — arcsin —— . \ Аш0 /
<z>o = — arcsin —— . \ Аш0 /
x^ = —sincuot = 0,098 sin lOt [м], где cuo = x/k/m = 10 c , a cuo
x = 0 соответствует положению равновесия грузика.
ж(t) =— ^—-coswot = 0,098(1 — cos 10t) [м], где luq =
к к
тДд + &2)тДд + &2)&1&2&1&2= 10 с"1.
тДд + &2)
тДд + &2)
&1&2
&1&2
а)Т = 2тгЛ™^—; б) Т = 2тг’\ кг+к2 ’
Происходят гармонические колебания с частотой сир =.
V т
Частота колебаний системы не зависит от величины деформации пружин в положении равновесия.
4.23.4.23.Г = 2тгГ = 2тгm&1 + ^2m&1 + ^24.24.4.24.
4.23.
4.23.
Г = 2тг
Г = 2тг
m
&1 + ^2
m
&1 + ^2
4.24.
4.24.
Т==Ж^
^pgS 1
4.26.4.27.4.26.4.27., mg _ Pg, mg _ Pg4.28.4.28.Т == 1Д с.V п ™ 1 gТ == 1Д с.V п ™ 1 g
4.26.
4.27.
4.26.
4.27.
, mg _ Pg
, mg _ Pg
4.28.
4.28.
Т == 1Д с.
V п ™ 1 g
Т == 1Д с.
V п ™ 1 g
4.29.4.29.Г = 2тгГ = 2тгL<jqg + 2еотL<jqg + 2еот
4.29.
4.29.
Г = 2тг
Г = 2тг
L
<jqg +
2еот
L
<jqg +
2еот
а) Т =а) Т =Т = 2тг. ——- у (g- + a-Т = 2тг. ——- у (g- + a-6)T = g + aL6)T = g + aLLLg ™ аg ™ а; в положении равновесия нить подвеса от-; в положении равновесия нить подвеса от-клонена от вертикали на угол «оклонена от вертикали на угол «оаатгтгправлением ускорения а.правлением ускорения а.= arctg —, составляя угол — + «о с на- s'2= arctg —, составляя угол — + «о с на- s'2
а) Т =
а) Т =
Т = 2тг. ——- у (g- + a-
Т = 2тг. ——- у (g- + a-
6)T = g + a
L
6)T = g + a
L
L
L
g ™ а
g ™ а
; в положении равновесия нить подвеса от-
; в положении равновесия нить подвеса от-
клонена от вертикали на угол «о
клонена от вертикали на угол «о
а
а
тг
тг
правлением ускорения а.
правлением ускорения а.
= arctg —, составляя угол — + «о с на- s'2
= arctg —, составляя угол — + «о с на- s'2
Т =Т =11 = 1 c; |g - a|11 = 1 c; |g - a|«о = — arcsin ( -—™—- sin/3 | = —30°.V|g^a| )«о = — arcsin ( -—™—- sin/3 | = —30°.V|g^a| )Переработает.Переработает.
Т =
Т =
11 = 1 c; |g - a|
11 = 1 c; |g - a|
«о = — arcsin ( -—™—- sin/3 | = —30°.
V|g^a| )
«о = — arcsin ( -—™—- sin/3 | = —30°.
V|g^a| )
Переработает.
Переработает.
4.34. а'4.34. а'42 мин;42 мин;б) v =б) v =4.35.4.35.T = 2тг™T = 2тг™4.36.4.36.Т = 2тгТ = 2тг1,5 с.1,5 с.4.37.4.37.a) W^t)a) W^t)^W2 cos2 ^ot^W2 cos2 ^ot= -kA2 sin2 wot = ™^A2(1 — cos2cuo^), где= -kA2 sin2 wot = ™^A2(1 — cos2cuo^), где|т г) E(t)|т г) E(t)1 9— кА" =const;2’1 9— кА" =const;2’= ™^Д2(1 + cos2cuo^), Wn(i)cuo = \ б) = тг; в) T V m,= ™^Д2(1 + cos2cuo^), Wn(i)cuo = \ б) = тг; в) T V m,д) Wк максд) Wк максW п максW п макс-кА2;2 ’-кА2;2 ’
4.34. а'
4.34. а'
42 мин;
42 мин;
б) v =
б) v =
4.35.
4.35.
T = 2тг™
T = 2тг™
4.36.
4.36.
Т = 2тг
Т = 2тг
1,5 с.
1,5 с.
4.37.
4.37.
a) W^t)
a) W^t)
^W2 cos2 ^ot
^W2 cos2 ^ot
= -kA2 sin2 wot = ™^A2(1 — cos2cuo^), где
= -kA2 sin2 wot = ™^A2(1 — cos2cuo^), где
|т г) E(t)
|т г) E(t)
1 9
— кА" =const;
2’
1 9
— кА" =const;
2’
= ™^Д2(1 + cos2cuo^), Wn(i)
cuo = \ б) = тг; в) T V m,
= ™^Д2(1 + cos2cuo^), Wn(i)
cuo = \ б) = тг; в) T V m,
д) Wк макс
д) Wк макс
W п макс
W п макс
-кА2;
2 ’
-кА2;
2 ’
Wk мин — Wn мин — 0,Wk мин — Wn мин — 0,WK ср — Wn ср — ^ кA“; б) Wk(^c) — Wk макс при
Wk мин — Wn мин — 0,
Wk мин — Wn мин — 0,
Ж = 0; Wк(ж) = Wk мин при ж = ±Л; Wn(x) = Wn макс при ж = ±Л; Ж(ж) = Wn мин при ж = 0; средние по времени значения WK(t) Wn(£)
А1
достигаются при ж =ж) ^к0 = ^по = "^А2.
4.38. At =4.38. At =2n - 1
4.38. At =
4.38. At =
—-—где n — натуральное число.
Т = <2ФМ^ТП^А = 1,26 с.
а) Wп(ж) = ^^ж2 — т^ж; WMex(x) = ^тж2 + ~^ж2 — mgx;
б) x(t) = ^^" + A cos (cuo^ + фо), где и?о =, а постоянные А и фо опреде
лены начальными условиями; в) х = ж — ^^; г) x\t) = Л cos (coot + <^о)- 4.41. Wn(a) = mgL(l — cos a); WK(<a) = ™mL2a2‘, WMex(<a) =
сиосио= ™mL2d2 + mgL(l cos a); a =™™ sin a; a(t) = qq cos (wq! + 990), где
сио
сио
а постоянные «о и Фо определены начальными условиями.
а) Нет, так как дифференциальное уравнение движения имеет вид к
ж = _|Х- 5) да? так как дифференциальное уравнение движения может
d2 ,. к ,.Ъ
, постоянные А и, постоянные А ибыть преобразовано к виду (ж + жо) = — — (ж + жо), где жо = —; решение ТПК
, постоянные А и
, постоянные А и
имеет вид x(t) = Acos(coot + фо) — жо, где и?о
фо определены начальными условиями, в) Нет, так как дифференциальное
2 к
уравнение движения имеет вид ж =ж3.
4.43.4.43.Т =Т =4.44.4.44.V gV g4.45.4.45.LU1LU1L mL m
4.43.
4.43.
Т =
Т =
4.44.
4.44.
V g
V g
4.45.
4.45.
LU1
LU1
L m
L m
4.46.4.46._ /gк<2w — \ — 41V ж m m_ /gк<2w — \ — 41V ж m m
4.46.
4.46.
_ /gк<2
w — \ — 41
V ж m m
_ /gк<2
w — \ — 41
V ж m m
4.47.4.47.Т = 2лТ = 2л4.48.4.48.1Ж = 2 л1Ж = 2 лmiL^ + m^L2(miTi + m2L2)g "g^ML — тж)тж2 + ML2 ’miL^ + m^L2(miTi + m2L2)g "g^ML — тж)тж2 + ML2 ’4.49.4.49.LUq =LUq =
4.47.
4.47.
Т = 2л
Т = 2л
4.48.
4.48.
1
Ж =
2 л
1
Ж =
2 л
miL^ + m^L2
(miTi + m2L2)g "
g^ML — тж)
тж2 + ML2 ’
miL^ + m^L2
(miTi + m2L2)g "
g^ML — тж)
тж2 + ML2 ’
4.49.
4.49.
LUq =
LUq =
4.50.4.50.T = 2тг4/—4V кT = 2тг4/—4V к4.51.4.51.4.52.4.52.4.53.4.53.41, [_ 2тг4341, [_ 2тг434.54.4.54.4.55.4.55.Т = 2тгТ = 2тг4.56.4.56.Sv = — пТSv = — пТ/ Ami/ gm2 *S= Л —, где тг — натуральное число./ Ami/ gm2 *S= Л —, где тг — натуральное число.4.57.4.57.mgкmgк^ 0, 33 M. (M + m,)g^ 0, 33 M. (M + m,)g
4.50.
4.50.
T = 2тг4/—4
V к
T = 2тг4/—4
V к
4.51.
4.51.
4.52.
4.52.
4.53.
4.53.
41, [_ 2тг
4
3
41, [_ 2тг
4
3
4.54.
4.54.
4.55.
4.55.
Т = 2тг
Т = 2тг
4.56.
4.56.
S
v = — пТ
S
v = — пТ
/ Ami
/ gm2 *
S
= Л —, где тг — натуральное число.
/ Ami
/ gm2 *
S
= Л —, где тг — натуральное число.
4.57.
4.57.
mgк
mgк
^ 0, 33 M. (M + m,)g
^ 0, 33 M. (M + m,)g
4.58.
4.59.4.59.71Т271Т24.60.4.60.Ti =Ti =Mm, + M"V 4^ + M)"Mm, + M"V 4^ + M)"
4.59.
4.59.
71
Т2
71
Т2
4.60.
4.60.
Ti =
Ti =
M
m, + M"
V 4^ + M)"
M
m, + M"
V 4^ + M)"
4.61.4.61.Сначала придет в движение груз 2 (груз 1 остается непо-
4.61.
4.61.
2тг .= — (знак «+» со-2тг .= — (знак «+» со-движным). Деформация пружины зависит от времени по закону A(t) =
2тг .
= — (знак «+» со-
2тг .
= — (знак «+» со-
= AT COS (edit + тг), где t ^ ^, LU1
ответствует растяжению пружины). В момент t = ™-, когда деформация пружины равна нулю, придет в движение груз 1. Центр масс си- „ALVkm2
стемы будет двигаться вправо с постоянной скоростью V =,
mi + m2 '
а деформация пружины будет зависеть от времени по закону А(Ц =
m-imi + m-2m-imi + m-2TiTiCOS UJ«2\t™) - - , где tU)2 =COS UJ«2\t™) - - , где tU)2 =442244&(mi + m2)mi m2&(mi + m2)mi m24.62.4.62.L 4х2L 4х2Ш + МТ2MШ + МТ2M
m-i
mi + m-2
m-i
mi + m-2
Ti
Ti
COS UJ«2\t™) - - , где tU)2 =
COS UJ«2\t™) - - , где tU)2 =
4
4
2
2
4
4
&(mi + m2)mi m2
&(mi + m2)mi m2
4.62.
4.62.
L 4х2
L 4х2
Ш + МТ2M
Ш + МТ2M
4.63.4.63.L , ^о = ^VgAsina. g sin a2L , ^о = ^VgAsina. g sin a2
4.63.
4.63.
L , ^о = ^VgAsina. g sin a2
L , ^о = ^VgAsina. g sin a2
4.64. М=- JT. 2 V К4.64. М=- JT. 2 V К; не изменится.; не изменится.
4.64. М=- JT. 2 V К
4.64. М=- JT. 2 V К
; не изменится.
; не изменится.
11 С.И. Белолипецкий и др.
4.65. At4.65. Atг'
4.65. At
4.65. At
arccos — vo
.. eoSU2
к > ——.
Ц Q—
При го > \частица выйдет из поля притяжения коль™
у ^usomR
ца; при vq < \ — частица будет совершать колебания вдоль оси
V 27rsomR
кольца с амплитудой Л =кольца с амплитудой Л =qQqQqQ — 2тг£опггрЛqQ — 2тг£опггрЛ2— 1. В случае малых го2— 1. В случае малых го
кольца с амплитудой Л =
кольца с амплитудой Л =
qQ — 2тг£опггрЛ
qQ — 2тг£опггрЛ
2
— 1. В случае малых го
2
— 1. В случае малых го
— I колебания будут гармоническими с циклической часто™ ЪгЕоГпВ )
той luo ^С \ смещение частицы из положения равновесия х(0 = V 4^Е0т№= Hsinuot, направление оси Ох совпадает с направлением начальной ско-той luo ^С \ смещение частицы из положения равновесия х(0 = V 4^Е0т№= Hsinuot, направление оси Ох совпадает с направлением начальной ско-росли частицы, Лросли частицы, Л4.68. u(t) = ммакс4.68. u(t) = ммакс, pirsomR N qQ ' sin (wot + итг),, pirsomR N qQ ' sin (wot + итг),4.69.4.69.9^макс —9^макс —4.70.4.70.Т = 2тгТ = 2тг4.71.4.71.LUO =LUO =О, LUOО, LUOтт(m + M)gML ’ Ммакс(m + M)gML ’ Ммакс, sin о, + М) ’, sin о, + М) ’тг / ML„= — л ——, n целые числа. Ио™2 V (m + M)g ’4еле каждого столкновения с шариком направление скорости штатива изменяется на противоположное.тг / ML„= — л ——, n целые числа. Ио™2 V (m + M)g ’4еле каждого столкновения с шариком направление скорости штатива изменяется на противоположное.4vq sin4 (о/2)g L cos a4vq sin4 (о/2)g L cos ajmRB2l2CV к gQ + hs/Vo)jmRB2l2CV к gQ + hs/Vo)LL4.72. z(t) = z0(-l + coswot), где z0 = -, w0 =OXO"4.72. z(t) = z0(-l + coswot), где z0 = -, w0 =OXO"ос?/ Lmос?/ Lm
той luo ^С \ смещение частицы из положения равновесия х(0 = V 4^Е0т№
= Hsinuot, направление оси Ох совпадает с направлением начальной ско-
той luo ^С \ смещение частицы из положения равновесия х(0 = V 4^Е0т№
= Hsinuot, направление оси Ох совпадает с направлением начальной ско-
росли частицы, Л
росли частицы, Л
4.68. u(t) = ммакс
4.68. u(t) = ммакс
, pirsomR N qQ ' sin (wot + итг),
, pirsomR N qQ ' sin (wot + итг),
4.69.
4.69.
9^макс —
9^макс —
4.70.
4.70.
Т = 2тг
Т = 2тг
4.71.
4.71.
LUO =
LUO =
О, LUO
О, LUO
т
т
(m + M)g
ML ’ Ммакс
(m + M)g
ML ’ Ммакс
, sin о, + М) ’
, sin о, + М) ’
тг / ML„
= — л ——, n целые числа. Ио™
2 V (m + M)g ’4
еле каждого столкновения с шариком направление скорости штатива изменяется на противоположное.
тг / ML„
= — л ——, n целые числа. Ио™
2 V (m + M)g ’4
еле каждого столкновения с шариком направление скорости штатива изменяется на противоположное.
4vq sin4 (о/2)g L cos a
4vq sin4 (о/2)g L cos a
jmRB2l2C
V к gQ + hs/Vo)
jmRB2l2C
V к gQ + hs/Vo)
L
L
4.72. z(t) = z0(-l + coswot), где z0 = -, w0 =
OXO"
4.72. z(t) = z0(-l + coswot), где z0 = -, w0 =
OXO"
ос?
/ Lm
ос?
/ Lm
Сложение гармонических колебаний
г = ri + г2.
a) Xi(t) = 2 sinтт^ [см], x2(t) = 4sin7rt [см], £pe3(t) = 6 sin7rt [см];
xi(t) = 2 sin (тг^ — тг) [см], x2(t) = Isinrrt [см], жрез (t) = 2 sin rrt [см];
фо ~ фт = тг; в) Ж1(£)=3 8ш^ /3\ г ,= 5 sin I 7rt + arctg ™ I [см]; фофо ~ фт = тг; в) Ж1(£)=3 8ш^ /3\ г ,= 5 sin I 7rt + arctg ™ I [см]; фо^ + |") [см]? Ж2(^)^ + |") [см]? Ж2(^)4 Sin 7Г^ [см], Хрез(^) =4 Sin 7Г^ [см], Хрез(^) ="^1=2"^1=22 с2 сОО-6-6X, CM6JX, CM6J2 ^ с2 ^ сввX, CM51X, CM514.75.4.76.4.77.4.75.4.76.4.77.ш = 5 рад/с,ш = 5 рад/с,Л = V^l + ^2 = ^ см-Л = V^l + ^2 = ^ см-Жрез (t) = 6, 8 cos (2тг£) + 0, 30 [см].фх = - рад; ф2 = - рад; Л = 2, 65 см;Жрез (t) = 6, 8 cos (2тг£) + 0, 30 [см].фх = - рад; ф2 = - рад; Л = 2, 65 см;^о = 0,394тг рад; жрез(<) =^о = 0,394тг рад; жрез(<) == 2, 65 cos[7r(t + 0, 394)] [см].Нет.Л = V^2 + (^з - Лх)2 = 2, 5; а = 0, 295тг; ф0 = тг™« = 0, 705тг; ж(^) = 2,5 sin (cut + 0, 705тг).= 2, 65 cos[7r(t + 0, 394)] [см].Нет.Л = V^2 + (^з - Лх)2 = 2, 5; а = 0, 295тг; ф0 = тг™« = 0, 705тг; ж(^) = 2,5 sin (cut + 0, 705тг).4.80.4.81.х 10”2 м4.82.4.80.4.81.х 10”2 м4.82.Л = 5,4; ф = 0,38 рад; ж(£) = 2, 5 sin (cut + 0, 38).Т = То = 1, 2 с; Лмакс = 7, 0 • Ю^2 м при ^ф = 0; Лмин = 3, 0 х при Кф = 7Г.ж2 + у2 = 4; против часовой стрелки./\ 21\Л = 5,4; ф = 0,38 рад; ж(£) = 2, 5 sin (cut + 0, 38).Т = То = 1, 2 с; Лмакс = 7, 0 • Ю^2 м при ^ф = 0; Лмин = 3, 0 х при Кф = 7Г.ж2 + у2 = 4; против часовой стрелки./\ 21\4.83.4.83.|ж| ^ 1 см, \у\ ^ 2 см; точка начинает|ж| ^ 1 см, \у\ ^ 2 см; точка начинаетдвижение от точки Л к точке Вдвижение от точки Л к точке В(рис 4.83).(рис 4.83).Рис. 4.83Рис. 4.83
фо ~ фт = тг; в) Ж1(£)=3 8ш^ /3\ г ,
= 5 sin I 7rt + arctg ™ I [см]; фо
фо ~ фт = тг; в) Ж1(£)=3 8ш^ /3\ г ,
= 5 sin I 7rt + arctg ™ I [см]; фо
^ + |") [см]? Ж2(^)
^ + |") [см]? Ж2(^)
4 Sin 7Г^ [см], Хрез(^) =
4 Sin 7Г^ [см], Хрез(^) =
"^1=2
"^1=2
2 с
2 с
О
О
-6
-6
X, CM
6J
X, CM
6J
2 ^ с
2 ^ с
в
в
X, CM
51
X, CM
51
4.75.
4.76.
4.77.
4.75.
4.76.
4.77.
ш = 5 рад/с,
ш = 5 рад/с,
Л = V^l + ^2 = ^ см-
Л = V^l + ^2 = ^ см-
Жрез (t) = 6, 8 cos (2тг£) + 0, 30 [см].
фх = - рад; ф2 = - рад; Л = 2, 65 см;
Жрез (t) = 6, 8 cos (2тг£) + 0, 30 [см].
фх = - рад; ф2 = - рад; Л = 2, 65 см;
^о = 0,394тг рад; жрез(<) =
^о = 0,394тг рад; жрез(<) =
= 2, 65 cos[7r(t + 0, 394)] [см].
Нет.
Л = V^2 + (^з - Лх)2 = 2, 5; а = 0, 295тг; ф0 = тг™« = 0, 705тг; ж(^) = 2,5 sin (cut + 0, 705тг).
= 2, 65 cos[7r(t + 0, 394)] [см].
Нет.
Л = V^2 + (^з - Лх)2 = 2, 5; а = 0, 295тг; ф0 = тг™« = 0, 705тг; ж(^) = 2,5 sin (cut + 0, 705тг).
4.80.
4.81.
х 10”2 м
4.82.
4.80.
4.81.
х 10”2 м
4.82.
Л = 5,4; ф = 0,38 рад; ж(£) = 2, 5 sin (cut + 0, 38).
Т = То = 1, 2 с; Лмакс = 7, 0 • Ю^2 м при ^ф = 0; Лмин = 3, 0 х при Кф = 7Г.
ж2 + у2 = 4; против часовой стрелки.
/\ 21\
Л = 5,4; ф = 0,38 рад; ж(£) = 2, 5 sin (cut + 0, 38).
Т = То = 1, 2 с; Лмакс = 7, 0 • Ю^2 м при ^ф = 0; Лмин = 3, 0 х при Кф = 7Г.
ж2 + у2 = 4; против часовой стрелки.
/\ 21\
4.83.
4.83.
|ж| ^ 1 см, \у\ ^ 2 см; точка начинает
|ж| ^ 1 см, \у\ ^ 2 см; точка начинает
движение от точки Л к точке В
движение от точки Л к точке В
(рис 4.83).
(рис 4.83).
Рис. 4.83
Рис. 4.83
Ж2 ' 2
™ + ™™ = 1, ж и у — в сантиметрах (рис. 4.84); движение происходит против часовой стрелки.
4.85.
2^41 2
2AV2
Л 2
ху + 2ж2 = Л2 (рис. 4.85); движение происходит
по часовой стрелке; v(ti) = 17,3 м/с.
4.87. а) у = Л — 2^, |ж| ^ Л, \у\ ^ Л;
х и у — в сантиметрах (рис. 4.86).
Рис. 4.87
б) у = ^~ А кКА Ы^А
|ж| Л, \у\ Лх;
е) у2 = 4т2е) у2 = 4т2М ^ А, \у\ <; А.М ^ А, \у\ <; А.
е) у2 = 4т2
е) у2 = 4т2
М ^ А, \у\ <; А.
М ^ А, \у\ <; А.
= 1; против часовой стрелки;
совой стрелке.совой стрелке.4.94.4.94."1 1'— In п"1 1'— In п= 231.= 231.
совой стрелке.
совой стрелке.
4.94.
4.94.
"1 1'
— In п
"1 1'
— In п
= 231.
= 231.
a) x(t) = Aosmcvt, y(t) = Aosincut, где lu = У^ж) = ж, |ж|
^ Ао, \у\ ^ Ао; колебания происходят вдоль отрезка прямой с амплитудой
А = AoV5; б) x(t) = Ао sin cut, у^ = Ао sin (cut + тг), где си = у^ = Ао
= —х, |ж| ^ Ао, \у\ ^ Ао; колебания происходят вдоль отрезка прямой с
амплитудой А = AqV5.
x^t) = Asincjf, y(t) = Asincut; (^) + (^) = ^’ Движение происходит против часовой стрелки; б) х(В) = Acos (оА + тг), y(t) = A sin cut;
1, движение происходит по ча-
x(t) = A sin cut, y(t) = В sin 2cut, где A=™coso, B= — since, y2 = 4B2f™) x
ш ’ 2lu у\A/
ГГ /\ 2"
X 1 — ( — )= X" tg" O' x 1 — ( ),
_\ A / J\ vo cos о;
|ж| ^ A, \yI ^ В. Траектория вырождается в отрезок, вытянутый вдоль оси Оу, при cos о = = 0, и в отрезок, вытянутый вдоль оси Ох, при sin ct = 0.
4.4. Затухающие и вынужденные колебания
t2 = 3ti = 15 мин.
/3 = ^ = 2,3 • 10”3 с"1.
A ==^t/? т V g
= 173;= 173;™ In -п.™ In -п.Т = Т0Т = Т0—= 1,005 с.\2тг)’—= 1,005 с.\2тг)’
= 173;
= 173;
™ In -п.
™ In -п.
Т = Т0
Т = Т0
—= 1,005 с.
\2тг)’
—= 1,005 с.
\2тг)’
4.95.
4.96.
г =In (1 ™ у) = 9,16 • 10 5 кг/с.
N = Inn = 35.
2А
/3 = — = 2,5 • 10™2; v
2 т
; = 0,0157;=
М=64-
L
1 пк,
4.100. v = — 4
2тг \
/— = 10,2 м/с.
/ m
ь V2
4.101. Г = g
) =9,7 см. 27TV /
4.102. £ = 2тгу
/^ = 0-63 м-
Со стороны въезда выбоины расположены реже.
I/O = У27^Ц7 = 1002 Гц.
В2
△// ——4.05 Гп.
4h2vq
Г2 Гi
vpe3 = * —— —= 1 75 с .
V 1
3 У 0.1с Лрез =,°= =5,0 см.
2m// г \ 2
т \ — у m\ 2m /
Fq = 2тгг7огЛрез = 0,314 мН.
4.5. Механические волны4.5. Механические волнышРез = у= 509,9 с1.
4.5. Механические волны
4.5. Механические волны
Волна распространяется в положительном направлении оси Ох.
а) В отрицательном направлении оси Ох; б), в) и г) в положительном направлении оси Ох; во всех случаях волна является поперечной.
а) вверх; б) вниз; в) вниз; г) вверх.
а) В отрицательном направлении оси Ох; б) в положительном направлении оси Ох; в) и г) волна стоячая; во всех случаях волна является поперечной.
= 5,24 рад; s(s,t) == 5,24 рад; s(s,t) =А = иТ = 18 м; ф(х,1) =
= 5,24 рад; s(s,t) =
= 5,24 рад; s(s,t) =
= Л cos
2тг
= 1,0 м; х(хА) =—— Лзт
2тг /L
"т V и
= 9, 0 м/с;
2тг /Lt \и2тг /Lt \и2тт= 27,4 м/с2; Ay = — (L3 - М =2тт= 27,4 м/с2; Ay = — (L3 - М =
2тг /L
t \и
2тг /L
t \и
2тт
= 27,4 м/с2; Ay = — (L3 - М =
2тт
= 27,4 м/с2; Ay = — (L3 - М =
а^хА) = — I Л cos = 3, 49 рад.
4.116. Кф% = —;ААг, г = 1,2,3; ^фх = 2тг рад; ^ф2 = тг рад;
vo = 1, 049 кГц.
4.131.
4.132.
Vo.
4.133.
Переменный ток
а) Ф(£) = В5sin (2тпЛ); E^t) = —2ttvBS cos (2тпЛ); б) Ф(£) = = BS sin (2nvt + фо); E(t) = ™2nvBS cos (2nvt + (^0).
E(t) = 62,8sin (ЗШ); £эф = 44,5 В; Eo = 62,8 В; E(ti) = = 62,8 В; E\t) = 125, 6 sin (628t).
4.136. E(t) = ^о sin4.136. E(t) = ^о sin= 5,2 В.= 5,2 В.4.137.4.137.Uo = ™=U(t) = 11,6 B; v = ™ = 100 Гц; lu = ^ = 628 cUo = ™=U(t) = 11,6 B; v = ™ = 100 Гц; lu = ^ = 628 c4.138.4.138.1• ИZ\t = arcsin -г™ 2nv \I01• ИZ\t = arcsin -г™ 2nv \I0= 2,0 • 10 s= 2,0 • 10 s4.139.4.139.= / ^vBNUL^ \2Vd2R + 8pN(Li -VL^)+'= / ^vBNUL^ \2Vd2R + 8pN(Li -VL^)+'4.140. Да, так как амплитудное значение напряжения t/макс = UV^ = = 85 В> из = 80 В.14.140. Да, так как амплитудное значение напряжения t/макс = UV^ = = 85 В> из = 80 В.1
4.136. E(t) = ^о sin
4.136. E(t) = ^о sin
= 5,2 В.
= 5,2 В.
4.137.
4.137.
Uo = ™=U(t) = 11,6 B; v = ™ = 100 Гц; lu = ^ = 628 c
Uo = ™=U(t) = 11,6 B; v = ™ = 100 Гц; lu = ^ = 628 c
4.138.
4.138.
1• И
Z\t = arcsin -г™ 2nv \I0
1• И
Z\t = arcsin -г™ 2nv \I0
= 2,0 • 10 s
= 2,0 • 10 s
4.139.
4.139.
= / ^vBNUL^ \2
Vd2R + 8pN(Li -VL^)+'
= / ^vBNUL^ \2
Vd2R + 8pN(Li -VL^)+'
4.140. Да, так как амплитудное значение напряжения t/макс = UV^ = = 85 В> из = 80 В.1
4.140. Да, так как амплитудное значение напряжения t/макс = UV^ = = 85 В> из = 80 В.1
4.141. n = 2v = 100 Гц; ^4.141. n = 2v = 100 Гц; ^2( Гзл— arccos == 0, 67. где7Г \U^J22( Гзл— arccos == 0, 67. где7Г \U^J2
4.141. n = 2v = 100 Гц; ^
4.141. n = 2v = 100 Гц; ^
2( Гзл
— arccos == 0, 67. где
7Г \U^J2
2( Гзл
— arccos == 0, 67. где
7Г \U^J2
время горения лампы в течение одного периода колебаний, Т — периодвремя горения лампы в течение одного периода колебаний, Т — периодколебанийколебанийнапряжения.т -напряжения.т -4.142.4.142.
время горения лампы в течение одного периода колебаний, Т — период
время горения лампы в течение одного периода колебаний, Т — период
колебаний
колебаний
напряжения.
т -
напряжения.
т -
4.142.
4.142.
Д == 0,71 А.
V2
4.148.4.148.П22НгП22Нг\ Ri + R2 + Ra\ Ri + R2 + Ra2"= 1,0 Вт.2"= 1,0 Вт.
4.148.
4.148.
П2
2Нг
П2
2Нг
\ Ri + R2 + Ra
\ Ri + R2 + Ra
2"
= 1,0 Вт.
2"
= 1,0 Вт.
Активное сопротивление, индуктивность и емкость в цепяхпеременного тока
U(t) = 25, 6 sin (314)t; 1эф = 4, 5 А; Р = 82 Вт; 17макс = 25, 6 В.
U(t) = 31,4cos(628t) [В]; Р = 0; XL = 314 Ом.
1(f) = 1,38 sin (3147) [A], q(t) = ™4,4-10~3 cos (3147) [Кл]; P = = 0; Xc = 159 Ом.
Хф = 0,25 рад; Z = 4, 0 Ом; cosA^ = 0,97; R = 3,90 Ом; Xl = 0, 99 Ом; L = 3, 0 мГц; Р = 436 Вт.
Г = ^Л? -Ь12 7 мГн; Р =- = 17, 3 Вт.
1 V hwC)
U3 = фД + U^ = 15 В.
4.155. IA = ;4.155. IA = ;Ui =Ui =U3RфжфффруU3Rфжфффру= 16 B;= 16 B;
4.155. IA = ;
4.155. IA = ;
Ui =
Ui =
U3Rфжфффру
U3Rфжфффру
= 16 B;
= 16 B;
Хф = arctg (ЛсиС);Хф = arctg (ЛсиС);Хф = — arctgХф = — arctgХф = — arctgХф = — arctg
Хф = arctg (ЛсиС);
Хф = arctg (ЛсиС);
Хф = — arctg
Хф = — arctg
Хф = — arctg
Хф = — arctg
2ttvLU3 on r a + (27ri/-C, ,
Ui = — =30 B; Ato = arctg ( ——— = 1,1 рад.
A^ = arctg_l_;A^ = arctg_l_;a) Z = л/А+ДТ;
A^ = arctg_l_;
A^ = arctg_l_;
V (шСТ
Z =.=;
д+дсдр
z = VR2 + (шЦ2;
.RujL
Z = —.^;
7v^2 + ^uy
4.157.4.158.4.159.CiCl + C‘24.157.4.158.4.159.CiCl + C‘22pbVn2 ™ 1TvpoNcrD2pbVn2 ™ 1TvpoNcrD= 300 Гц.= 300 Гц.L = RVn1 = 0 16 Гн2ttvL = RVn1 = 0 16 Гн2ttv2hvCi CPUCl + C‘22hvCi CPUCl + C‘2= 4, 6 mA;= 4, 6 mA;C2Ci = —^—U= 146,7 B;Cl + C‘2C2Ci = —^—U= 146,7 B;Cl + C‘2U2 =U2 =17 = 73,3 B.17 = 73,3 B.Д) Z = JR2 + ^u)L - ^'j ; Хф = arctg ——^—— •
4.157.
4.158.
4.159.
Ci
Cl + C‘2
4.157.
4.158.
4.159.
Ci
Cl + C‘2
2pbVn2 ™ 1TvpoNcrD
2pbVn2 ™ 1TvpoNcrD
= 300 Гц.
= 300 Гц.
L = RVn1 = 0 16 Гн
2ttv
L = RVn1 = 0 16 Гн
2ttv
2hvCi CPU
Cl + C‘2
2hvCi CPU
Cl + C‘2
= 4, 6 mA;
= 4, 6 mA;
C2
Ci = —^—U= 146,7 B;
Cl + C‘2
C2
Ci = —^—U= 146,7 B;
Cl + C‘2
U2 =
U2 =
17 = 73,3 B.
17 = 73,3 B.
R = —- = 40 Ом: L = — ctg До? = 74 мГн.
а) 1 = V1! + Г = 5,0 А; б) I = V1! + ^з = 5,0 А; в) I = = |Л - Ь| = 1,0 А.
Накал лампы вначале усиливается, при L = Lq =
== 0, 51 Гн становится максимальным, затем уменьшается; жо =
L^LiY^vYCLx j ’
UC0 = ^U0 =
1 = 0.
£0 = V^o + (loRp + 2UqIoRcos Хф = 208 В; последовательное соединение конденсатора с емкостным сопротивлением Хс = 8,7 Ом и резистора с сопротивлением R = 5,0 Ом.
U = lA^vLy + R^^v^LC - l)2 = 149 В.
4.167.4.167.I = UI = U1 + (Д1шС)2
4.167.
4.167.
I = U
I = U
№ + R^Y + (Д1Д2шС-)2 '
4.168.4.168.4.169.= — sin сит;4.169.= — sin сит;= ——— 7COS LUt.шЦ2™ш2ЬС)сс 2a) II^ = 0; Ir^ = ^ sincut; Р = -^ = 200 Вт; в) IR^ == ——— 7COS LUt.шЦ2™ш2ЬС)сс 2a) II^ = 0; Ir^ = ^ sincut; Р = -^ = 200 Вт; в) IR^ =1<3^ = ™<ГосиС(8шаЛ + coscut);1<3^ = ™<ГосиС(8шаЛ + coscut);с2^ = 200 Вт.с2^ = 200 Вт.Пав = По = 200 В.Пав = По = 200 В.4.8. Трансформаторы4.8. ТрансформаторыПровод должен быть толще во вторичной обмотке; нельзя; нель-Провод должен быть толще во вторичной обмотке; нельзя; нель-зя.4.172.зя.4.172.При замыкании п витков обмотки реостата ток по нему не пой-При замыкании п витков обмотки реостата ток по нему не пой-дет, и увеличение тока в остальных N — п витках реостата будет связано с уменьшением его сопротивления в — раз; при замыкании витка обмотки трансформатора в нем возникает большая ЭДС индукции и, следовательно, большая сила тока.дет, и увеличение тока в остальных N — п витках реостата будет связано с уменьшением его сопротивления в — раз; при замыкании витка обмотки трансформатора в нем возникает большая ЭДС индукции и, следовательно, большая сила тока.4.173.4.173.4.174.4.174.4.175.4.175.М = ^ = 440; N2 = yy = 84.N2 = 71ЧтГ^ = 246‘ (1 - ^Ui-п =• 100% = 96%.М = ^ = 440; N2 = yy = 84.N2 = 71ЧтГ^ = 246‘ (1 - ^Ui-п =• 100% = 96%.4.176.U-2Un, + I2R24.176.U-2Un, + I2R2к = U1Un, + I2R2 • 100% = 91%.к = U1Un, + I2R2 • 100% = 91%.трансформатор понижающий; ц =трансформатор понижающий; ц =
4.168.
4.168.
4.169.
= — sin сит;
4.169.
= — sin сит;
= ——— 7COS LUt.
шЦ2™ш2ЬС)
сс 2
a) II^ = 0; Ir^ = ^ sincut; Р = -^ = 200 Вт; в) IR^ =
= ——— 7COS LUt.
шЦ2™ш2ЬС)
сс 2
a) II^ = 0; Ir^ = ^ sincut; Р = -^ = 200 Вт; в) IR^ =
1<3^ = ™<ГосиС(8шаЛ + coscut);
1<3^ = ™<ГосиС(8шаЛ + coscut);
с2
^ = 200 Вт.
с2
^ = 200 Вт.
Пав = По = 200 В.
Пав = По = 200 В.
4.8. Трансформаторы
4.8. Трансформаторы
Провод должен быть толще во вторичной обмотке; нельзя; нель-
Провод должен быть толще во вторичной обмотке; нельзя; нель-
зя.
4.172.
зя.
4.172.
При замыкании п витков обмотки реостата ток по нему не пой-
При замыкании п витков обмотки реостата ток по нему не пой-
дет, и увеличение тока в остальных N — п витках реостата будет связано с уменьшением его сопротивления в — раз; при замыкании витка об
мотки трансформатора в нем возникает большая ЭДС индукции и, следовательно, большая сила тока.
дет, и увеличение тока в остальных N — п витках реостата будет связано с уменьшением его сопротивления в — раз; при замыкании витка об
мотки трансформатора в нем возникает большая ЭДС индукции и, следовательно, большая сила тока.
4.173.
4.173.
4.174.
4.174.
4.175.
4.175.
М = ^ = 440; N2 = yy = 84.
N2 = 71ЧтГ^ = 246‘ (1 - ^Ui
-п =• 100% = 96%.
М = ^ = 440; N2 = yy = 84.
N2 = 71ЧтГ^ = 246‘ (1 - ^Ui
-п =• 100% = 96%.
4.176.
U-2
Un, + I2R2
4.176.
U-2
Un, + I2R2
к = U1
Un, + I2R2 • 100% = 91%.
к = U1
Un, + I2R2 • 100% = 91%.
трансформатор понижающий; ц =
трансформатор понижающий; ц =
4.177.4.178.4.179.4.180.4.181.4.182.4.177.4.178.4.179.4.180.4.181.4.182.U2U211 и2 + nRP11 и2 + nRP• 100% = 83%.• 100% = 83%.N2 = ИТГ^М = 72.N2 = ИТГ^М = 72.г2= 3, 2; Рмакс = — = 1210 Вт.2гг2= 3, 2; Рмакс = — = 1210 Вт.2гL=— /ША _ Д2=3 5 г и = хМ4/1^121 = 21,9 В.2тп/ \ XL 1к'L=— /ША _ Д2=3 5 г и = хМ4/1^121 = 21,9 В.2тп/ \ XL 1к'= 77Г =10 в- 4Р2тЯ2= 77Г =10 в- 4Р2тЯ2N^Ror + RiRo + Rir)N^Ror + RiRo + Rir)4.183. a) Uав = ;= 60 в; б) uab = 0.1 + к-4.183. a) Uав = ;= 60 в; б) uab = 0.1 + к-4.184.4.184.UiUi= 19,8 В.= 19,8 В.W1лцW1лцNiUi )NiUi )
4.177.
4.178.
4.179.
4.180.
4.181.
4.182.
4.177.
4.178.
4.179.
4.180.
4.181.
4.182.
U2
U2
11 и2 + nRP
11 и2 + nRP
• 100% = 83%.
• 100% = 83%.
N2 = ИТГ^М = 72.
N2 = ИТГ^М = 72.
г2
= 3, 2; Рмакс = — = 1210 Вт.2г
г2
= 3, 2; Рмакс = — = 1210 Вт.2г
L=— /ША _ Д2=3 5 г и = хМ4/1^121 = 21,9 В.2тп/ \ XL 1к'
L=— /ША _ Д2=3 5 г и = хМ4/1^121 = 21,9 В.2тп/ \ XL 1к'
= 77Г =10 в- 4Р2
тЯ2
= 77Г =10 в- 4Р2
тЯ2
N^Ror + RiRo + Rir)
N^Ror + RiRo + Rir)
4.183. a) Uав = ;= 60 в; б) uab = 0.
1 + к-
4.183. a) Uав = ;= 60 в; б) uab = 0.
1 + к-
4.184.
4.184.
Ui
Ui
= 19,8 В.
= 19,8 В.
W1
лц
W1
лц
NiUi )
NiUi )
Электрические машины постоянного тока
Здесь 1Макс =; Рмакс = уду соответствует /0 = —. Частота LUo опре-
/14/12/1
делена условием ^(luq) = U и зависит от электромотора.
р = 81 ( 1 - Г ) = 8,0 Вт.
. 1е_ fl2VoUh(h-h) R п G
Р2 = ( I Pi= =6,0 кВт.
ту = (1 - 1 ) • 100% = 40%.
\ lol
/3 = ^=y= = 1200 об/мин = 20 об/с.
4.190. h = 11 + ^fp1 - °- 51 A; /2 = A [i -4.190. h = 11 + ^fp1 - °- 51 A; /2 = A [i -TimgDRfi(17IiRfTimgDRfi(17IiRf= 7 об/с.= 7 об/с.
4.190. h = 11 + ^fp1 - °- 51 A; /2 = A [i -
4.190. h = 11 + ^fp1 - °- 51 A; /2 = A [i -
TimgDRfi
(17IiRf
TimgDRfi
(17IiRf
= 7 об/с.
= 7 об/с.
/3 = (1 + т^)^2 ™ p/i = 640 об/мин = 11 об/с.
1,т/т
Do = -vi =2,0 м/с: то = —г =6,7 кг.
22( г1 ™ г2)
u2u21
Pc макс — , /x C Pm макс — , „ Jo j
4(Я1+Я2)4Я12
1
2(1 + 2Д1/Д2)'
= 210 В;= 210 В;% =- hr) = 230 В; U2 =- hr) —
= 210 В;
= 210 В;
P=(P) №- M2 —% = 760 Вт.
4.195.4.195.% =% =100%100%22\ 2) -1 -100% = 21%.\ 2) -1 -100% = 21%.
4.195.
4.195.
% =
% =
100%
100%
2
2
\ 2
) -1 -100% = 21%.
\ 2
) -1 -100% = 21%.
8 = VBH3(1 ” «) = 120 B; P2 = Pi^ = 250 Вт.
d2 =— ri.
у mgR
d2 = го — ri.
£„пд1£и„д2
Колебательный контур
v2 ^ v ^ Pi, где Р2 = = 2, 25 МГц, гд = - =
2 тг V PsC22тг л/ LiCi
= 71,2 МГц.
А2А2
Li < L < Ь2, где U = , 9 \„ =8,0 мкГн, U = д 9 2^ = 4тг2с2С14тг2с2С2
= 2, 9 мкГн.
Ai < А < А2, где Ai = 27гсЦ1ХДГД) = 2,36 км, Х2 = = 2тгсЦГС(1ТД = 2,41 КМ.
Т = 2irNxf-0P,0gS == 628 нс.
V bd с V bd
..4тг2с21/Ео5„
d = — = 3,1 мм.
А2
L == 1,0 мГн; Р(0) = Го = -%- = 0,40 В.
ш0С
Т = 2тг Vb(Ci + С2) = 0, 70 мс; /0 = Г/^%^ = 8,0 А.
qi(t) = —^—Уо coswt, q2(t) = ^^™™U0 coswt. где ш = Ci + С2Ci + с2
_1
- V4Ci + с2)'
4.208.
Ui (t) = (1 + cos cut) , H2(t) = (1 - cos cut)где cu = J
22у CC
f( t \7Г r—
4.209.
uW = \Vlc V/Lc)2
1 .при t > -Vlc.
kVLC2
4.210.
w = Л==6,3-10-7 с"1; /макс = £Ут=9>4- Ю"3 А; Дф = v LCV L
= 6,6 • 10 3 A; /(t) = /макс sincut; ФМакс = ^Ь
= 48•IO"9Вб.4.211.Ф / / \ 1(f) = cos (.L \VlC )4.212.u^^^p = ut4.213.Io = Uo^=l,O A.4.214.= ^P + yU2 = 12= 1,6 • 10“6 Кл; 12 = ^-Р^С№4.215.т = ^Vlc.44.216.A = (n - 1)W.4.217.L=l^; C=L—.2тг2тгпт4.218.qi = 2CUoT Д ; g2 = :4.219.90 = 1111^-0^! + ^).V L-24.220.макс —,— •V24.221.Гс/1 макс — U"o V ~^" j II мин —= 48•IO"9Вб.4.211.Ф / / \ 1(f) = cos (.L \VlC )4.212.u^^^p = ut4.213.Io = Uo^=l,O A.4.214.= ^P + yU2 = 12= 1,6 • 10“6 Кл; 12 = ^-Р^С№4.215.т = ^Vlc.44.216.A = (n - 1)W.4.217.L=l^; C=L—.2тг2тгпт4.218.qi = 2CUoT Д ; g2 = :4.219.90 = 1111^-0^! + ^).V L-24.220.макс —,— •V24.221.Гс/1 макс — U"o V ~^" j II мин —= 8, 7 мА.= 8, 7 мА.2С^г^Р-2С^г^Р-мА; gi = V(CUPcCL(F™I^ =мА; gi = V(CUPcCL(F™I^ =Li — L^Li — L^
= 48•IO"9
Вб.
4.211.
Ф / / \ 1(f) = cos (.
L \VlC )
4.212.
u^^^p = ut
4.213.
Io = Uo^=l,O A.
4.214.
= ^P + yU2 = 12
= 1,6 • 10“
6 Кл; 12 = ^-Р^С№
4.215.
т = ^Vlc.
4
4.216.
A = (n - 1)W.
4.217.
L=l^; C=L—.
2тг2тгпт
4.218.
qi = 2CUoT Д ; g2 = :
4.219.
90 = 1111^-0^! + ^).
V L-2
4.220.
макс —,— •
V2
4.221.
Гс
/1 макс — U"o V ~^" j II мин —
= 48•IO"9
Вб.
4.211.
Ф / / \ 1(f) = cos (.
L \VlC )
4.212.
u^^^p = ut
4.213.
Io = Uo^=l,O A.
4.214.
= ^P + yU2 = 12
= 1,6 • 10“
6 Кл; 12 = ^-Р^С№
4.215.
т = ^Vlc.
4
4.216.
A = (n - 1)W.
4.217.
L=l^; C=L—.
2тг2тгпт
4.218.
qi = 2CUoT Д ; g2 = :
4.219.
90 = 1111^-0^! + ^).
V L-2
4.220.
макс —,— •
V2
4.221.
Гс
/1 макс — U"o V ~^" j II мин —
= 8, 7 мА.
= 8, 7 мА.
2С^г^Р-
2С^г^Р-
мА; gi = V(CUPcCL(F™I^ =
мА; gi = V(CUPcCL(F™I^ =
Li — L^
Li — L^
Q = —(CR2 + L).
Q = |с7? - l(L + OR2)I2aKC.
Р = RCf =5,0 мВт.
2Л
п= ^ • Ю0% = 1,0- 10"3%.
Lc
4.11. Электромагнитные волны
А = - = 5,0 м.
V
п == 1600.
Лц/2
ДА = | Л _ 1 ] £ = -50 м. \Уе / р
v = Т = 1,0 • Ю9 Гц.
£ = 4,7; р = ^ее0Е^ = 8,4 • 10"7 Па;
= 250 Вт/м2.
S = ^еосЕ§ =3,3 мкВт/м2.
Плотность потока энергии точечного излучателя уменьшает™ ся пропорционально квадрату расстояния от источника. Объект локации также можно рассматривать как точечный источник отраженного сигнала. Поэтому увеличение дальности радиосвязи с космическими кораблями в п = 2 раза требует увеличения мощности передатчика в п2 = 4 раза, а увеличение дальности радиолокации в п = 2 раза требует увеличения мощности передатчика в (2п)2 = 16 раз.
Ьмакс = V^Rsh ~ 10,1 км, где Я3 = 6400 км — радиус Земли;
АСмин = ~ 67 мкс; с увеличением h промежуток времени АгМин
с
возрастает пропорционально Vh.
N = ™ = 4, 0 • 103; Бмакс =( — — т ]37, 5 км (при т <; —
А2Vп
получим Бмакс •
= о, Хтг рад.
К ГЛАВЕ 5
Отражение света. Плоское зеркало
х = — = 0,8 м.
Н = /iS Л2 , ’ = 4,0 м.
Ь2 —
Область видимости изображения заштрихована (рис. 5.3).
Область полной видимости показана двойной штриховкой, область частичной — однократной (рис. 5.4).
На рисунке показаны предмет АВ и его изображение А'В' (рис. 5.5).
В
Рис. 5.5
Область частичной видимости экрана показана штриховкой, об™ ласть полной видимости — двойной штриховкой; А'В' — изображение экрана телевизора в зеркале (рис. 5.6).
А' — изображение точки А (рис. 5.7).
М=3; >2=2; >3 = 5 >4 = 7; >5 = И; >6 = п - 1.
Зеркала должны образовывать прямой двуграннй угол.
Зеркала должны быть взаимно перпендикулярны, имея одну общую точку.
5.11.5.12.величины5.11.5.12.величины
5.11.
5.12.
величины
5.11.
5.12.
величины
/3 = 2а = 70°.
/3 = ™ +45°= 64°.
п = 2 г = 3 см/с; скорость и совпадает по направлению со скоро
стью зеркала.стью зеркала.Рис. 5.7Рис. 5.7и = 2wL.w ==5,0 см/с;а = arctg — = 53 .-иИзображение шара движется вертикально вверх со скоростью п = = v = 2, 0 м/с.и = 2wL.w ==5,0 см/с;а = arctg — = 53 .-иИзображение шара движется вертикально вверх со скоростью п = = v = 2, 0 м/с.5.19.5.20.5.21.7Г2"5.22.5.19.5.20.5.21.7Г2"5.22.х = 2L = 0, 2 м.х = 2L = 0, 2 м.sin (а + /3) sin (/3 — а)sin (а + /3) sin (/3 — а)I? - 4а-1 - 4а|I? - 4а-1 - 4а|Ф = arccos80-10.2Ф = arccos80-10.2а) ф = 60°; б) ф = 30°.а) ф = 60°; б) ф = 30°.
стью зеркала.
стью зеркала.
Рис. 5.7
Рис. 5.7
и = 2wL.
w ==5,0 см/с;
а = arctg — = 53 .
-и
Изображение шара движется вертикально вверх со скоростью п = = v = 2, 0 м/с.
и = 2wL.
w ==5,0 см/с;
а = arctg — = 53 .
-и
Изображение шара движется вертикально вверх со скоростью п = = v = 2, 0 м/с.
5.19.
5.20.
5.21.
7Г
2"
5.22.
5.19.
5.20.
5.21.
7Г
2"
5.22.
х = 2L = 0, 2 м.
х = 2L = 0, 2 м.
sin (а + /3) sin (/3 — а)
sin (а + /3) sin (/3 — а)
I? - 4а-1 - 4а|
I? - 4а-1 - 4а|
Ф = arccos
80-10.2
Ф = arccos
80-10.2
а) ф = 60°; б) ф = 30°.
а) ф = 60°; б) ф = 30°.
Н' = Г = н.
2 cos — 2
а = 2d sin ф = 12 см.
Сферическое зеркало
— = 1.
Т2
Отрезок 551 перпендикулярен к главной оптической оси зеркала.
Зеркало является вогнутым.
Зеркало является вогнутым.
Все лучи, отраженные от первого зеркала, соберутся в фокусе второго зеркала, и бумага загорится.
Рис. 5.30Рис. 5.305.36.5.36.Ъ 4- 1d = —™—R = 0, 60 м.2к ’Ъ 4- 1d = —™—R = 0, 60 м.2к ’5.37.5.38.5.39.5.40.5.37.5.38.5.39.5.40.F = V0'10'2 = 0? 40 м.„ 2oiO2 пR = = 0,40 м.Я-1 + О-2R = 8о = 1, 6 м.F = —L = 0, 24 м.к2 — 1F = V0'10'2 = 0? 40 м.„ 2oiO2 пR = = 0,40 м.Я-1 + О-2R = 8о = 1, 6 м.F = —L = 0, 24 м.к2 — 1R == 24 см.ki — к-2^R=^AF b zb 2о2о —- bR == 24 см.ki — к-2^R=^AF b zb 2о2о —- bЬ2 ™ п2R = = 0,10 м.о-R == 0,20 м.D-d ’Ь2 ™ п2R = = 0,10 м.о-R == 0,20 м.D-d ’5.45.5.45.+ /2) + V^(/2 “ /i)(4/i/2 — Lfi + £/2)2(£ + /i™/2)+ /2) + V^(/2 “ /i)(4/i/2 — Lfi + £/2)2(£ + /i™/2)= —1,2 м.= —1,2 м.
Рис. 5.30
Рис. 5.30
5.36.
5.36.
Ъ 4- 1
d = —™—R = 0, 60 м.
2к ’
Ъ 4- 1
d = —™—R = 0, 60 м.
2к ’
5.37.
5.38.
5.39.
5.40.
5.37.
5.38.
5.39.
5.40.
F = V0'10'2 = 0? 40 м.
„ 2oiO2 п
R = = 0,40 м.
Я-1 + О-2
R = 8о = 1, 6 м.
F = —L = 0, 24 м.
к2 — 1
F = V0'10'2 = 0? 40 м.
„ 2oiO2 п
R = = 0,40 м.
Я-1 + О-2
R = 8о = 1, 6 м.
F = —L = 0, 24 м.
к2 — 1
R == 24 см.
ki — к-2
^R=^AF b zb 2о2о —- b
R == 24 см.
ki — к-2
^R=^AF b zb 2о2о —- b
Ь2 ™ п2
R = = 0,10 м.
о-
R == 0,20 м.
D-d ’
Ь2 ™ п2
R = = 0,10 м.
о-
R == 0,20 м.
D-d ’
5.45.
5.45.
+ /2) + V^(/2 “ /i)(4/i/2 — Lfi + £/2)2(£ + /i™/2)
+ /2) + V^(/2 “ /i)(4/i/2 — Lfi + £/2)2(£ + /i™/2)
= —1,2 м.
= —1,2 м.
h=^k_
2n 1
кai(R — си)
а-2 = —т™ = 0,60 м; плоское зеркало должно быть перпен- 2сц —- R
дикулярно к главной оптической оси сферического зеркала.
s = 7Н. 1
d= v Я== 0,27 м. 2’
FA ='—
cos acos 2а
Поверхность должна представлять собой параболоид вращения, ось которого параллельна световому пучку.
Преломление света
г,= ^с = 2,1-108м/с.
sin а
П2 = ni tg а = 1,4.
п =.1= 1,5.
Vsin2 31 + sin2 31
а = 2 arccos ™ = 74°.
2
а = arctg = 39 .
nB cos У — 1
/3 = arctg = 25°.
Р 6 2n + 1
Lx = hi ctg а = 1, 7 м; £2 = hi ctg а 3= 3, 4 м.
V n2 — cos2 а
Ныряльщик увидит внешний мир в пределах конуса, образующие которого составляют с вертикалью угол /3 = 49°. За пределами этого конуса он увидит отражение дна озера.
Не сможет.
Не могут.
г = csinanp = 2,01 • 108 м/с.
Гмин =.-: = 3, 6 м.
V «в - 1
n V2.
Н = ^(h L soVn^ ~ 1) = 5,0 м.
/3 = a = 60°; h = dsina [ 1 — _^^2|J^— | = 1 1 См; hf = у у Пр ™ sin а у
(
ив cos a 1
1 I = 0, 74 см.
у п^ ™ п^ sin2 а у
р = arcsin.
™2
а = arcsin7== 28°.
V 4/г2 + L2
ж = L + — = 18 см. пс
h = 2nBhi + /12 = 3,1 м.
(б/ 2h?jTiB
Н = -— = 10 см.
2
72°; 72°; 36°.
п = ^ = 1,3.
5 = а — ф + arcsin (sin у> Vи2 — sin2 a — cos ф sin a) = 47°.
<5 = arcsin (nc sin <Д — 5i = 23°; 62 = 60°.
a = 10 cm.
При n < л/2 виден весь текст; при V5 < n < 7—— видна часть
sin (тг/8)
Л 1 \1
текста п = - 1 5^=^= ; при п > ;—— текста не видно совсем.
2 V/sin (тг/8)А
5.79.5.79.sin a \V^2 ™ 1 /sin a \V^2 ™ 1 /\ г D sina\ . D /
5.79.
5.79.
sin a \
V^2 ™ 1 /
sin a \
V^2 ™ 1 /
a) L = — 1; 0) L = — 1 —
^ \ n /ф \
r
5 = 7Г + 2a — 4 arcsin. nB
n — 1
x = 2R = R.
2 — n
5.4. Тонкие линзы
Для собираюгцей л/инз-ы
Изображение 4/ находится бесконечно далеко от линзы.
Для рассеивающей линзы
5.83. Для собирающей линзы (а) и для рассеивающей линзы (б).5.83. Для собирающей линзы (а) и для рассеивающей линзы (б).5.84. Для собирающей линзы (а) и для рассеивающей линзы (б)5.84. Для собирающей линзы (а) и для рассеивающей линзы (б)
5.83. Для собирающей линзы (а) и для рассеивающей линзы (б).
5.83. Для собирающей линзы (а) и для рассеивающей линзы (б).
5.84. Для собирающей линзы (а) и для рассеивающей линзы (б)
5.84. Для собирающей линзы (а) и для рассеивающей линзы (б)
Прямая А'В' параллельна ЛЛх.
Рис. 5.85Рис. 5.86Рис. 5.85Рис. 5.86
Рис. 5.85Рис. 5.86
Рис. 5.85Рис. 5.86
Прямая А1 В1 параллельна ЛЛх.
Рис. 5.87
Здесь Ai — точка пересечения падающего (ЛЛх) и преломленного (AiB) лучей, О — оптический центр линзы, F — фокус линзы.
Здесь Л1Л — падающий луч.
5.89.
5.90.
а
б
Рис. 5.90
5.91. а — изображение действительное; б — изображение состоит из двух частей — действительной и мнимой, уходящих в бесконечность.
Рис. 5.91
5.92. Оптический центр линзы О находится на пересечении прямых АА' и ВВ\ точка О' пересечения прямых АВ и А' В' принадлежит плоскости линзы. Оптическая ось лин
зы MN перпендикулярна плоскости линзы.
5.93. F=^— ^ст ^
1
Fa = 0,12 м; F6 = 0,39
D _ пст ™ n / 11 у
п \ Ri R2 /
= 8, 3 дптр; Вб = 2,6 дптр.
5.94. d = (kAl)F = 1,8 м.
5.95. L =
d +
Fd
d—F
изображение мнимое.
= 5 см;
5.96. D =
x ™ d
—0, 2 дптр.
xd
5.97. / =
Fd
—0,60 м.
d™ F ™
5.98. / =
Fd _
—0,10 м; изображение мнимое.
d^F ™
5.99. d =
xF
4, 5 см.
x + F
5.100. d--
xF _
= 1,2 м.
x + F
5.101. F
xd
= 0,60 м.
x ™ d
5.102. F
xd
= ™0,10 м.
x — d
5.103. F
к , = k+ld
к
= 24 см; F = d = 120 см, к 1
1 г
5.104. d = = 1, 0 м.
F = — = 0,15 м; D = ™ = 6, 7 дптр.
2’’ d ’ Р
F = - = 0,10 м.
2’
Н = h ^ - 1) = 27,9 м.
ж = F ( 1 + 1 ) = 200 м.
\ О /
F = ^^ ^ = 0,13 м; В =—- = 7, 68 дптр.
Ld{L - d)
а) / =^= 0,5 м; к =1= 4;
Da — 1Da — 1
к =к == 0,44.= 0,44.б)/ = ВЦ = IU*55 м;
к =
к =
= 0,44.
= 0,44.
Da — 1
d = —-—F = 0,08 м, если изображение мнимое; d = —-—F = кк
= 0,16 м, если изображение действительное.
d0 = 2F.
a) F = МЕЬЛ = о,6О м; б) F = МГ_Л = —0,30 м. аа
F = = 24 см.
4L
h = V^i^2 = 30 мм.
D == —2,5 дптр.
аос
5.5. ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ПРИБОРЫ345
5.117.
F = L™— = 20 см.
(1 + Vk?
5.118.
L = Va? - 4aF.
,4F2h
5.119.
4(a-FyЯ> + 2'
5.120.
F = x/aL ± a; d = x/aL.
5.121.
х = kik2a = 8 см.
7LF.LF
5.122.
di = 3-^— = 15, 8 см; d2 = 7= 20 cm.
L-F l-1L_F(1 + D
\ D J\ D J
5.123.
D2 = 2DT - Do^-A. di
5.124.
H = h™ = 6 cm.
5.125.
hd c
S=d-F=6CM'
5.126.
F = -nF0.
5.127.
_no Do
Do + Di(no — 1)
5.128.
F»= n2(_ щ,= 36 cm.
JT ("1 - 1) -- 1)
5.129.
._ndR._ndR
2d(l — n) — nF™2d(l — n) ™ nR
5.130.
FV2^H
5.131.
H = F (1 +) = 400 m; v = (1 += 50 м/с.
\△/\ А/ T’
5.5. Оптические системы и приборы
5.132.
F^ = nFy = 13, 3 см.
5.133.
Изображение меньше предмета в к = 1 = 19 раз.
5.134.
f=RП
2
5.135.
F = — = 0,15 м; D = — =6,7 дптр. 2nR
5.136.
п == 1,8.
5.137.
п= Н2-Нг=1'ъ- Fd
5.138.
J ™ 2d™ F‘
5.139.
Fi = ^Fn- F^ =
; F^ = ^F*.
5.140.
a =
F[26(F - d) + dF\ n
"Zb^F — d?)-V dF — F(F — d) ’ M'
5.141.
5.142.
a=3-F.
2
2tga
f =
2
Образуются три точечных действительных изображения на рас™ 55
стояниях /i = 3F, fs = — F и /2 = — F от линзы, а также совокупность
действительных изображений в виде двух окружностей радиусом R =
от нее.
5.145.
FbF(R-b)
dl" b-F’d2" F + R-b'
5.146.
Fi = bF-FR = 0,4 m.
“ J
5.147.
_ 2(F-b)(Fd + F6-M) _
2(Fd F Fb - db) - F2’'
5.148.
,Fb , (R-b)F
1 - b- F’ dl ” F + R-b'
5.149.
Получается мнимое изображение между зеркалом и линзой на
расположенных симметрично относительно линзы на расстоянии /3 = 2F
(3F2 -
расстоянии j =— = —0,32 м от линзы.
F2
5.150.
= F2\b(di - Fi) - Fidi^ (b - F2)(di - Fi) - Fidi
= 2,0 м;
и _ FiF2Hq _
_ (b-F^di -F^-Fidi “ ’ М'
5.151.
= F2\Fidi - b(di - О)]
/2(F2 - b'Xdi - FtH FA
= 0,075 m.
SS’ = F^(sin a + tga)2 + (3 + cos a)2.
SS' =
b = Fi + F2 = 4 м; при Fi < |^| задача не имеет решения.
D^ = DiJ = 4 мм; пучок останется параллельным.
Пучок выйдет параллельно главной оптической оси.
D = ——=2,5 дптр.
dido
0,17 < L < оо (м).
А1
5.159.
= 4 дптр. d0
5.160.
1 О г а = — = 12, 5 см.
2’
5.161.
7= 2do(» - 1) =2,5.
5.162.
7 = 7о + Dido = 7.
к' = /с+1; предмет нужно расположить ближе к лупе, так, чтобы мнимое изображение предмета располагалось на расстоянии наилучшего
зрения от лупы.
D = Dq™ = 61 км.
5.165.5.165.D = tg ф ^ ™р^Ф = 26 см.D = tg ф ^ ™р^Ф = 26 см.
5.165.
5.165.
D = tg ф ^ ™р^Ф = 26 см.
D = tg ф ^ ™р^Ф = 26 см.
5.170.зрения.5.170.зрения.FF5.171.5.171.к _ Fitdo + FQ ~ к" FM-F0 °70’к _ Fitdo + FQ ~ к" FM-F0 °70’dlF!dlF!doF^doF^do = 25 см — расстояние наилучшего зрения.do = 25 см — расстояние наилучшего зрения.di ™ Fi do + F2di ™ Fi do + F2= 16, 8 см, где= 16, 8 см, где
5.170.
зрения.
5.170.
зрения.
F
F
5.171.
5.171.
к _ Fitdo + FQ ~ к" FM-F0 °70’
к _ Fitdo + FQ ~ к" FM-F0 °70’
dlF!
dlF!
doF^
doF^
do = 25 см — расстояние наилучшего зрения.
do = 25 см — расстояние наилучшего зрения.
di ™ Fi do + F2
di ™ Fi do + F2
= 16, 8 см, где
= 16, 8 см, где
AL = -D^/^ « 2 см, где Д </,,25 см; И =
J2 Го к /2 Т -to к
= (/2-Сок)Е^а»7см.
■Г ок
а = Fi ++ =3,1 см.
d0 + F2 ’
Fx + Fo+1+То
+3 =F " Ft= 36 см; F4 =J"+2 = 4 см.
ri г^11—Г2
/с+ок
DO6 = т Л = 400 дптр, где do = 25 см — расстояние наилучшего зрения.
kFO6 + do о
——— ~ 8, где do = 25 см — расстояние наилучшего
L ™ /+б
п = (V2-1)A + = 0,1 с — время существования мнимого
изображения шарика, Т2 = \ — = 0, 28 с — время существования действи- V g
тельного.
5.173. v = —1Я = 0,43 м/с, F = 1. т,/ , D
5.6. Фотометрия
5.174.
Фо cos а4тгЯ2
I — 52
4тг
= 2,8 лк.
16 кд; Ф
Фо Scos а4тгЯ2
2,8 • 10 2 лм; Е =
5.175.
5.176.
Я =.№^ = 1,38 м.
V 4тгЕ
5.177.
г2 = гЫ = 1,7 с.
12
5.178.
(h2 + (L/2)2)3/2
J = ЕА^/L1 = ПО кд.
2/i
5.179.
х =1 52 м.
VEeVE
5.180.
Et = —Е = 1,1 лк. 9
5.181.
3^2-2
п = ^ 1,12.
2
5.182.
Si = 615 лк.
5.183.
Et41?
ё; "1 + ^ "10L
5.184.
Е = ID2 = 25 лк.
5.185.
5.186.
^ = ^ = 8-10Ё
Фо d2
5.187.
Освещенность уменьшится в ?/ = гГ = 100 раз.
5.7. Интерференция света
5.188.
т Ах • d
L = —-— = 2 м.
5.189.
m = -—^ ^ = 6 (в сторону перекрытой щели).
5.190.
АX(L + т cos а)_
Ах = —:- = 48, 2 мкм.
2г sin а
5.191.
aF D + d 1 м
5.192.
»=/;\=4-2 |о ’ '”-^дг=
2а(п —
5.193.
Аж = ^™ = 0, 25 мм; N = 7.
5.194.
L = 3 м; N = 6 • 102 полос; Ах = 50 мкм.
5.195.
dMHH = ~= 200 нм.
2п
5.196.
т :=: 107 нм. 4п2
5.197.
h = (2fc - 1)— Л 9= ^к- 1) • 115 нм, к = 1,2,...
4 у п2 — sin2 а
h = ^1 iA= = — Д^2=0,65; кг = 5, k2 = 4.
4 у ^2 — sin2 a4 у n2 — sin2 a
Аж = —-—= 1, 03 мм.
2n tg a 2na
6>totg6>to-A = Ю"4 рад.
2 bn
a tg a=5,0- 10™4 рад.
2AL
„(2k + 1)АД , nf r
Tk = \ - = 1,3 мм, где к = 5.
V 2n2
т = Vr2 “ 2Rh =1,5 мм.
Tk = \^Tq + —^ = 3, 8 мм, где к = 6.
Дифракция света
5.206.5.207.5.206.5.207.Tk =Tk =I kabX V CL + bI kabX V CL + bь — ar2nXa — r2ь — ar2nXa — r2= 1, 0 m.= 1, 0 m.5.208.5.209.5.210.5.208.5.209.5.210.Tk = VkbX.Tk = VkbX.IM = 4, ii2 = 12.IM = 4, ii2 = 12.D = 0, 20 cm.D = 0, 20 cm.
5.206.
5.207.
5.206.
5.207.
Tk =
Tk =
I kabX V CL + b
I kabX V CL + b
ь — ar2
nXa — r2
ь — ar2
nXa — r2
= 1, 0 m.
= 1, 0 m.
5.208.
5.209.
5.210.
5.208.
5.209.
5.210.
Tk = VkbX.
Tk = VkbX.
IM = 4, ii2 = 12.
IM = 4, ii2 = 12.
D = 0, 20 cm.
D = 0, 20 cm.
5.211. а) I 4Io; б)1^21о; в) I Iq.5.211. а) I 4Io; б)1^21о; в) I Iq.5.212. ф = arcsin sin a ± m™ \a5.212. ф = arcsin sin a ± m™ \aт = 0,1,2,...т = 0,1,2,...
5.211. а) I 4Io; б)1^21о; в) I Iq.
5.211. а) I 4Io; б)1^21о; в) I Iq.
5.212. ф = arcsin sin a ± m™ \a
5.212. ф = arcsin sin a ± m™ \a
т = 0,1,2,...
т = 0,1,2,...
kX5.213. фк = arcsin—; /смакс = aчисла используется обозначение [ж].kX5.213. фк = arcsin—; /смакс = aчисла используется обозначение [ж].здесь и далее для целой частиздесь и далее для целой части
kX
5.213. фк = arcsin—; /смакс = a
числа используется обозначение [ж].
kX
5.213. фк = arcsin—; /смакс = a
числа используется обозначение [ж].
здесь и далее для целой части
здесь и далее для целой части
А = ™г™т sin — = 0, 7 мкм.АА 2
5.216. кмакс5.216. кмакс/XLAAA/XLAAA
5.216. кмакс
5.216. кмакс
/XL
AAA
/XL
AAA
sin «1sin «1d = — sin «1d = — sin «1ДДТ = ^11^1 = 620; ктс = 1,61 • 10 6 м.
sin «1
sin «1
d = — sin «1
d = — sin «1
А2 = t^Ai = 466,7 нм.
к2
d== lj87 MKM; kt=3, k2 = 2.
sina sin a
Не будут, так как (к + 1)АМИН > &АМакс для всех к кмакс
6 = F |= 0,325
А = 4:®= =0,5 мкм.
Дисперсия света. Поляризация света
А = — = 400 нм; v = Д = 5 л • 1014 Гц; у = - = 2,0 • 108 м/с; пАол
= ^ = 500.
△/ = (пз — ni) — = 15 мкс; AL = | 1 — — ) L = 3,35 км. С\ П2 /
_. sina . sina „.
А/3 = arcsinarcsin = 0, 55 = 33 . П1П2
АЛ = —Н bsina [ —--;-
COS “\ VП™ ” sin2 аV^макс ” 8Ш2 а
= 3, 6 см.
Изображение представляет собой отрезок, лежащий на главной „„RdRd
оптической оси, длиной Аж = ZXt ==
J™ 1) - R 2d(nMaKC - 1) - R
= 0,12 м.
а = arccos = 45°. Vk
191
n = ™ cos" а = -.
28
i; = ^ (1 — цо)2 cos2 а = 0, 203.
a) I = ™Io sin2 2а; б) I = Iq cos4 а sin2 а; в) I = ™Io sin2 2а.
Е = ™So(l — I})2 cos2 а = 9, 65 лк.
6.1. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 351
К ГЛАВЕ 6
Основы специальной теории относительности
6.2.
AD = Do 1 1 — \ 1 I =6,4 см.
\ V
6.3.
^т = т 1 - \ 1 - — = 1, 8 • 10™7 с.
1Vс2 /
6.4.
АЬLv2 cos2 а
То “ V1с2’
6.5.
1 — v2 sin2 а (с2
1 _ t;2/c2•
6.6.
г/л 3уА
р = Lo 1 + а/4.
1Vс2 1
6.7.
Т = Т1 + V№ -Т1Р + ^L/cY = 50,6 года.
6.8.
/2,2.2
△to = у (At)2 - ®1^15 = 0, 5 с.
6.9.
L = cV(At)2 - (At0)2.
At =(At0)2 + (Ь/с)2 = 100 мкс; и =
у1 + (cAto/Ь)2 = 0,99976 с.
bo = с^(л^
** At(l + bo/(cAt))2"
и = -—А—- = 0,977 с.
1 +/с2
и = с.
и = ги/2 - — = 0,933 с.
At = —— = 7,1 года;t/1 ™= 0,14; — =
V1 - v2 /с2Ьо V с2ро
= т= 50, 2.
1 —(С2
У = =0, 5 С.
VPT(mocP
Е2 Д = тос4.
р = -VT2 + 2Е0Т = 1,3 • 10“21 кг-м/с.
С
6.23.6.23.0,14 с.0,14 с.e=VW''^Т = moc2(V2 — 1).e=VW''^Т = moc2(V2 — 1).6.24.6.25.6.24.6.25.6.26.6.26.и =и =/32/326.27.6.27.у =у =с.с.6.28.6.28.у =у =СС2\ 2^ тД =2,9-108м/с.т^с2 + еи )^ Д = 2,75 • 108 м/с. m0c2 + Т)’'2\ 2^ тД =2,9-108м/с.т^с2 + еи )^ Д = 2,75 • 108 м/с. m0c2 + Т)’'6.29.6.29.6.30.6.30.М = | ^/2тД2^М = | ^/2тД2^mТ „— = 1 + —= 2,5.тот^с2Т = (Ti + 2ш0с2) - cy2m0(Ti + 2тос2);mТ „— = 1 + —= 2,5.тот^с2Т = (Ti + 2ш0с2) - cy2m0(Ti + 2тос2);
6.23.
6.23.
0,14 с.
0,14 с.
e=VW''^
Т = moc2(V2 — 1).
e=VW''^
Т = moc2(V2 — 1).
6.24.
6.25.
6.24.
6.25.
6.26.
6.26.
и =
и =
/32
/32
6.27.
6.27.
у =
у =
с.
с.
6.28.
6.28.
у =
у =
С
С
2\ 2
^ тД =2,9-108м/с.
т^с2 + еи )
^ Д = 2,75 • 108 м/с. m0c2 + Т)’'
2\ 2
^ тД =2,9-108м/с.
т^с2 + еи )
^ Д = 2,75 • 108 м/с. m0c2 + Т)’'
6.29.
6.29.
6.30.
6.30.
М = | ^/2тД2^
М = | ^/2тД2^
mТ „
— = 1 + —= 2,5.
тот^с2
Т = (Ti + 2ш0с2) - cy2m0(Ti + 2тос2);
mТ „
— = 1 + —= 2,5.
тот^с2
Т = (Ti + 2ш0с2) - cy2m0(Ti + 2тос2);
Мо = Шо .Мо = Шо .v = 0,6 с.
Мо = Шо .
Мо = Шо .
и = ;=^^= 0, 5 с;
1 + д/1 - у2/с2
4V3
= —ш0.
Квантовые свойства света
Е = h™ = 1,99 - 10 15 Дж; р = ™ = 6,63 • 10 24 кг-м/с; m =
Д = 2,2 • 10 32 кг.
Ас
Т = —- = 9,6 ■ 107 К.
Зл//Х
Ei Xvо
—- = — = 2 • 103.
S2 с
п == 1,5.
«о = arcsin = 46°.
ПС
he
А = — = 8, 25-10™13 м; здесь то масса покоя электрона.
еи + тос2
6.39.
с.
6.40.
- / ХР
у 4ттНс2
6.41.
6.42.
6.43.
6.44.
6.45.
6.46.
6.47.
6.48.
6.49.
6.50.
6.51.
6.52.
6.53.
6.54.
6.55.
6.56.
6.57.
6.58.
6.59.
6.60.
Я. =
106
м.
р = —(1 + р) — = 5 • 109 Па.
nd2 тс
р = — л/1 + Р2 + 2р cos 20 = 35 нН-c. с
р = - (1 + р) cos2 0 = 6 • 10-6 Па.
Р S
F = (1 + р) cos а = 4, 7 • 10-6 Н.
4 = /^ = 7,2- 10 19 Дж.
v= 2 = 5,0 - 1014 Гц.
К = h^v — i/0) = 3, 3 • КГ19 Дж.
he he
Д2 — Ai = —— = 186 нм.
42 Ai
v = ^ ^mv2 + 4^ = 7,61 • 1015 Гц.
А = -у—— = 182 нм.
-mu2 + А
hc/X - А
р = — = 0, 75 В.
е
7 he X — А
D = d + 4L\ Гт = 1,3 мм. V eU
А = ДЛрДД = з 2.10-19 Дж.
п ■ 1
А = Ао + 2 A. sin2 “ = 5g, g пм тс 2
х Ао./ цА0 тс о
А = = 26,3 пм; а = aresm . / —-г = 96 .
1-ц’’V 2(1 - ri)h
а = 2 arcsin J= 90°; AS ==3,8- КГ15 Дж.
V 2Л ’ А(А + ДА) ’
12 С.Н. Белолипецкий и др.
6.61.6.61.22
6.61.
6.61.
2
2
FЕ°
,2П0 . 2
1 ч- sin
тс2
= 6,9-КГ12 Дж;
К = Ео—К = Ео—Ео1 + 2 Sm отс2 2Ео1 + 2 Sm отс2 2
К = Ео—
К = Ео—
Ео
1 + 2 Sm о
тс2 2
Ео
1 + 2 Sm о
тс2 2
5,12- 1012 Дж; р = -VK2 +2тос2К = 1,7 х с
х 1О“20 Н-с.
Модель атома Резерфорда-Бора
vk = - —-, где к = 1,2,...; Z = 1; «1 = 2,19 • 10 м/с; к Ieoh
у2 = 1,09 • 10е м/с.
Тк =—о ? гДе & = 1, 2,...; Z = 1; тх = 53,1 пм; т-i =
Z тете2
= 212, 4 пм.
W = Ii ( 1- ) = 10, 2 эВ, где Ii = —— = 13,6 эВ — потенциал
\ п2)2ц2
ионизации атома водорода.
1хтпв^
А = — = 3,42 эВ, где Ji = ——- = 13,6 эВ — потенциал иониза- п22п2
ции атома водорода.
W = — = 3,18 • 10“19 Дж= 2,0 эВ.
1р1
Е =^ = 5,1 • 10 В/м; К == 2,17 • 10"18 Дж.
4?Г£о Т28тГ£о Т1
Невозможна, так как напряженность электрического поля на расстоянии от ядра, равном радиусу первой электронной орбиты, Ei = =4 = 5,1 • 10й В/м »10 В/м.
4тг£0 Ч
Атом перейдет в состояние с главным квантовым числом п =
/оЖе4тз
= у 2? ^ рр = где = — 2h? = — э^ — энергия основного состояния атома водорода. Появятся три спектральные линии с длинами волн Ai = 103 нм, А2 = 660 нм и Аз = 122 нм.
N
тЕдтпе^
6-71‘ 7 = Е,+АЕ = 9, где Е! = -— = -13,6 эВ - энергия основного состояния атома водорода.
Строение атома водорода. Радиоактивность.
Ядерные реакции
6.74.
N = А - Z = 146.
6.75.
Кт = Zmp + (А — Z^m^ — т = 0,13705 а.е.м.
6.76.
KE = (Zmp + (А — Z)mn — т)с2 = 4, 37 • 10“12 Дж.
6.77.
KE = (Zmp + (А — Z)mn — т)с2 = 4, 88 • ЦТ12 Дж.
6.78.
(Zmp + (Л - Z)mn - m)c213
w =7; wi = 1,375 • 10 Дж; w2 =
,297-
10"12 Дж; w3 = 1,195 • 10"12 Дж.
6.79.
m In 2 .,
Т = -^—Kt = 4 суток.
InnJ
6.80.
N = 2-M/TNo = 0> 707.106
6.81.
Д^ = № (1 - 2 д'/7'j = 1,66 • 109.
6.82.
Kt =In Ш° = 29 мин.
In 2 mo — Km
.WaaKt
6.83.
ДТ = = 2, 7 K.
6.84.
T = 7= 5700 c-
^ /mNAW\
\?nM4W — CKtp. /
6.85.
= m^NA A -2-T/T) = 0,018 °C.
6.86.
2goTh -H 2giPa+ e” + v (образуется ядро протактиния 2giPa).
6.87.
21 Нд1--H2lRn +
6.88.
284°Ро -т 28о26РЬ + 1 Не.
6.89.
^P^^Si + ?e++n.
6.90.
2goTh -н 288^а + 2Не (вылетает о-частица).
6.91.
i4Si -и 1зAl + е+ + п (образуются позитрон и нейтрино).
6.92.
28°86Ra.
6.93.
28°26РЪ.
6.94.
6 о-распадов и 4 /3-распада.
6.95.
8 о-распадов и 6 /3-распадов.
6.96.
239тт 92
6.97.
z» Z4/ib+e™+n (/3”-распад); гДЪ z^cEe™ +п (/3”-распад);
т -и А
^^а + 2Не (о-распад).
6.98.
д 4
= —™— • 100 % = 98 %, А = 222 — массовое число 28eRa.
6.99. 14N + inХ64С + }Н.
6.100. 14N + Де X|F ЧО + 1Н.
13AI + in —13AI —iiNa + ^Не.
4Ве + 2Н -л ^B + Jn.
1) ^В + in -л 2Не + 3Ы; 2) Х5ХВ + ^Не -л Х64С + JH; 3) ^К + + ^Не —> 2оСа + 1Н.
АТ? = ( —I Е = 39 кэВ, где Ар = 1, Аве = 7.
\ Аве /
Q = (Е3 Е Е4)™(Е! Е Е-2).
Q2 = Qi - Amc2 = 12,8 МэВ.
Q = [(mLi + mp) — 2шне]с2 = 19 МэВ.
Q = ^ttid ™ тне)с2а = 5, 74 • 108 кДж; М = ™ = 2 -107 кг. q
Заключение
Вы закончили работу над книгой. Мы надеемся, что она была интересной и плодотворной.
Если наш сборник задач — не первый, который оказался на Вашем столе, то Вы, должно быть, заметили, что многие задачи выглядят уже знакомыми. Это действительно так. Многие задачи встречаются в школьных и вузовских задачниках в течение многих десятилетий (если не столетий). А откуда они пришли?
Все, без преувеличения, задачи, которые встречаются в учебных пособиях, представляют собой элементы решений реальных проблем физики и инженерной практики. Конечно, они изменились, стали более абстрактными, лишились технических подробностей, иногда даже трудно понять, какая в какой ситуации впервые потребовалось исследовать ту или иную систему... И все™таки попробуем.
«Определить вертикальные реакции опор, на которые свободно оперта у своих концов горизонтальная балка длиной Ь, нагруженная равномерно по р кг на единицу длины. Вес балки считать включенным в равномерно распределенную нагрузку.
Ответ: Ri = R2 = ^pl кг.»
Это «Сборник задач по теоретической механике» И.В. Мещерского, выпущенный в 1954 г. Государственным издательством технико-теоретической литературы.
А задача теоретической механики превратилась в задачу школьного курса физики о нагрузке, создаваемой однородной балкой. Нет сборника школьных задач, где бы она не встречалась.
Задачу 3.137 Вы найдете в «Сборнике задач по теории электрических цепей» (под ред. П.Н. Матханова и Л.В. Данилова), изданном в 1980 г. издательством «Высшая школа».
Обсуждение задач 6.74-6.78 и им подобных можно встретить, например, в книге В.В. Малярова «Основы теории атомного ядра», предназначенной для обучения специалистов по ядерной
физике. А в начале 20 века эти результаты еще не были известны...
Старые школьные задачники хранили еще память об исходных проблемах. «Для накала нити одного из типов электронной лампы требуется напряжение 3,8 В, причем идет ток 0,65 А. Вследствие испарения материала нити диаметр ее уменьшился на 10 %. Какое требуется напряжение, чтобы поддержать температуру накала прежней? Какой идет при этом ток? Ответ: 4 В; 0,55 А» Это про что? «Сборник задач по физике» Д.И. Сахарова, 1958 год... Раздел «Работа и мощность тока». Попробуйте решить эту задачу, отказавшись от описательных деталей!
Сегодня школьный, да и вузовский курс физики стал более абстрактным. Повседневные задачи выглядят давно решенными. И все™таки: почему нельзя заставить двигаться трамвай от ста, или тысячи, или даже миллиона батареек, предназначенных для питания аудиоплейера? Почему не стоит включать в одну бытовую розетку телевизор, пылесос, стиральную машину и компьютер одновременно? Почему пластиковые окна не пропускают уличного шума? Откуда берется никому не нужная воздушная пробка в батарее центрального отопления? Зачем в тормозной системе автомобиля тормозная жидкость и почему так опасна ее утечка?
Если Вы решили собранные здесь задачи и познакомились с необходимыми для этого теоретическими сведениями — Вы знаете, как ответить и на эти вопросы, и на многие другие.
Надеемся, что пушкинское «мы ленивы и нелюбопытны» никогда не будет относиться к Вам.
Удачи!
Авторы
Физические постоянные
Величина
Обозначение
Приближенное значение
Ускорение свободного падения
g
9,81 м/с2
Скорость света в вакууме
с
3,00-108 м/с
Гравитационная постоянная
G
6,67-Ю™11 Н-м2/кг2
Число Авогадро
Na
6,02-1023 моль"1
Постоянная Больцмана
К
1,38-10™23 Дж/К
Универсальная газовая постоянная
R
R = 8, 31441 Дж/(моль-К)
Объем моля идеального газа при нормальных условиях (ро = 101325 Па, То = 273, 15 К)
22,4-Ю™3 м3
Заряд электрона
е
1,60-10™19 Кл
Масса покоя электрона
те
9,11-Ю™31 кг
Масса покоя протона
тр
1,6726-10™27кг
Масса покоя нейтрона
тп^
1,6750-10™27кг
Атомная единица массы
1,6606-10™27 кг
Диэлектрическая постоянная
^0
8,85-Ю™12 Кл2/Н-м2
Магнитная постоянная
go
4л • 10™' Тл-м/А
Постоянная Планка
h
6,6262-Ю™34 Дж-с
Множители для десятичных кратных и дольныхединиц (СИ)
Приставка
Обозначение
Множитель
русское
международное
тера
Т
Т
1012
гига
Г
О
109
мега
м
М
106
кило
к
к
103
гекто
г
h
102
дека
Да
da
101
деци
Д
d
10"1
санти
с
с
10™2
милли
м
m
10™3
микро
мк
g
10™6
нано
н
n
10™9
ПИКО
п
P
IO™12
фемто
ф
F
10™15
Единицы и размерности физических величин в СИ х)
Величина
Единица
наименова-
размерность
наименование
обозначение
связь с основными единицами СИ
Длина
L
метр
и астрономическая единица длины
°световой год ипарсек
св. год
Основная единица
Метр представляет собой расстояние, проходимое в вакууме плоской электромагнитной волной за 1/299 792 458 долю секунды
1 а.е. = 1, 49598 • 10ым
1 св. год = 9, 4605 • 1015 м
1 ПК = 3, 0857 • 1016 м
Площадь
L2
квадратный метр °гектар
м2
1 га = 104 м2
Объем
L3
кубический метр
° литр
м3
1 л = 10™3 м3
Плоский
радиан
°градус и минута °секунда
рад
Дополнителъная единица
Радиан равен углу между двумя радиусами окружности, длины дуги между которыми равна радиусу
1° = (тг/180) рад
V = (тг/10800) рад
1" = (тг/64800) рад
Телесный
стерадиан
ср
Дополнительная единица
Стерадиан равен телесному углу с вершиной в центре сферы, вырезающему на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы
Время
Т
секунда
и минута
°сутки
с
мин
сут
Основная единица
Секунда равна 9 192 631 770 периодов излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133
1 мин = 60 с
1 ч = 3600 с
1 сут = 86400 с
Х) Определения единиц физических величин приведены для основных (выделены полужирным шрифтом) и дополнительных единиц СИ. Внесистемные единицы, допустимые к применению наравне с единицами СИ, отмечены кружком.
Продолжение
Величина
Единица
наименова-
размерность
наименование
обозначение
связь с основными единицами СИ
Скорость
LT™1
метр в секунду
м/с
Ускорение
LT"2
метр на секунду в квадрате
м/с 2
Угловая скорость
Т”1
радиан в секунду
рад/с
1 рад/с = 1 с-1
Угловое ускорение
Т™2
радиан на секунду в квадрате
рад/с2
1 рад/с2 = 1 с”2
Частота периодического процесса
Т-1
герц
Гц
1 Гц = 1 с”1
Частота вращения
Т™1
секунда в минус первой степени
с™1
Масса
М
килограмм
°тонна
иатомная единица массы
а.е.м.
Основная единица
Килограмм равен массе международного прототипа килограмма
1 т = 103 кг
1 а. е. м. = 1, 6605655 • 10™27 кг
Плотность
L"3M
килограмм на кубический метр
кг/м3
Удельный объем
L3M"1
кубический метр на килограмм
м3/кг
Сила
LMT™2
ньютон
Н
1 Н = 1 кг-м-с”2
Давление
L^MT2
паскаль
Па
1 Па = 1 Н/м2 = 1 м™1 -кг-с™2
НСесткость
MT"2
ньютон на метр
Н/м
1 Н/м = 1 кг-с”"2
Напряжение (механичес-
К^Г2
паскаль
Па
1 Па = 1 Н/м2 = 1 м-1-кг-с-2
Поверхност-
натяжение
MT"2
ньютон на метр
Н/м
1 Н/м = 1 кг-с-2
Импульс
LMT™1
килограмм- метр в секунду
кг-м/с
Момент силы
L2MT’2
ньютон-метр
Н-м
1 Н-м = 1 м2-кг-с™2
Продолжение
Величина
Единица
наименова-
размерность
наименова-
обозначение
связь с основными единицами СИ
Момент импульса
Ь2МТ™1
килограмм- метр в квадрате в секунду
кг-м2/с
Момент инерции
l2m
килограмм- метр в квадрате
кг-м2
Работа, энергия
l2mt™2
джоуль
Дж
1 Дж = 1 Н-м = 1 м2-кг-с™2
Мощность, поток энергии
l2mt™3
ватт
Вт
1 Вт = 1 Дж/с = 1 м2-кг-с™3
Температура (термо- динамичес-
e
кельвин
°градус Цельсия
К
°C
Основная единица
Кельвин равен 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды
t/°C = Т/К - 273, 15
Температурный коэффициент
e™1
кельвин в минус первой степени
к™1
Количество вещества
N
моль
моль
Основная единица
Моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде- 12 массой 0,012 кг х).
Молярная масса
MN"1
килограмм на моль
кг/моль
Молярный объем
L3N™1
кубический метр на моль
м3/моль
Количество теплоты (теплота)
L2MT™2
джоуль
Дж
1 Дж = 1 Н-м = 1 м2-кг-с™2
Удельная теплота
L2T™2
джоуль на килограмм
Дж/кг
1 Дж/кг = 1 м2-с"2
Молярная теплота
^m^2^1
джоуль на моль
Дж / моль
1 Дж/моль=1 м2 кг-с™2-моль™1
Теплоемкость
L2M1^2e-l
джоуль на кельвин
Дж/К
1 Дж/К = 1 м2-кг-с™2 • К™1
У При применении моля структурные элементы должны быть специфицированны и могут быть атомами, молекулами, ионами, электронами и другими частицами или специфицированными группами частиц.
Продолжение
Величина
Единица
наименова-
размерность
наименование
обозначение
связь с основными единицами СИ
Удельная теплоемкость
L2T™20™1
джоуль на килограмм- кельвин
Дж кг • К
1 Дж/(кг-К) = 1 м2-с™2 • К™1
Молярная теплоемкость
l2mt-2 х х е™^™1
джоуль на моль- кельвин
Дж моль • К
1 Дж/(моль-К) =
= 1 м2-кг-с™2 • А^^моль™1
Тепловой поток
Ь2МТ™3
ватт
Вт
1 Вт = 1 Дж/с = 1 м2-кг-с™3
Плотность теплового потока
мт™3
ватт на квадрат-
метр
Вт/м2
1 Вт/м2 = кг-с™3
Концентрация (плотность числа единиц)
L™3
метр в минус третьей степени
м™3
Сила электрического тока
I
ампер
А
Основная единица
Ампер равен силе неизме- няющегося тока, который при прохождении по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м друг от друга, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 2•10™7 Н
Плотность электрического тока
L"2!
ампер на квадрат-
метр
А/м2
Количество электричества (электрический заряд)
TI
кулон
Кл
1 Кл = 1 с-А
Поверхностная плотность электрического заряда
L"2TI
кулон на квадрат-
метр
Кл/м2
1 Кл/м2 = 1 м“2-с-А
Пространственная плотность электрического заряда
L"3TI
кулон на кубиче-
метр
Кл/м3
1 Кл/м3 = 1 м“3-с-А
Продолжение
Величина
Единица
наименова-
размерность
наименование
обозначение
связь с основными единицами СИ
Электрическое напряжение, электрический потенциал, разность электрических потенциалов, электродвижущая сила
Ь2МТ™31™1
вольт
В
1 В = 1 Вт/А = 1 м2 -кг-с™"3 - А™"1
Напряженность электрического поля
LMT™3!™1
вольт на метр
В/м
1 В/м = 1 Вт/(А-м) =
= 1 м-кг-с”"3-А””1
Электрическое сопротивление
l2mt™3i™2
ом
Ом
1 Ом = 1В/А = 1м2 -кг-с™3 - А™2
Удельное электрическое сопротивление
L3MT-3z-2
ом-метр
Ом-метр
1 Ом-метр = 1 м3-кг-с-3-А-2
Электрическая проводимость
сименс
См
1 См=1 Ом-1=1 м™2-кг™1-с3-А2
Удельная электрическая проводимость
Ь^Зм™^3!2
сименс на метр
См/м
1 См/м = 1 Ом"1-м"1 =
= 1 м-3-кг-1-с3-А2
Электрическая емкость
L^^t4!2
фарад
Ф
1Ф=1Кл/В=1м"2-кг"1-с4-А2
Электрическая постоянная, абсолютная диэлектрическая проницаемость
L-Sj^t4!2
фарад на метр
Ф/м
1 Ф/м = 1 мЖсМ-А2
Магнитный поток (поток магнитной индукции)
l2MT™2i™1
вебер
Вб
1 Вб = 1 Вс = 1 Тл-м2 =
= 1 м2-кг-с™"2-А""1
Магнитная индукция (плотность магнитного потока)
MT"2!"1
тесла
Тл
1 Тл = 1 В-с/м2 = 1 Вб/м2 =
= 1 кг-с-2-А-1
Индуктивность
L2MT™2Z™2
генри
Гн
1 Гн = 1 м2-кг-с""2-А""2
Продолжение
Величина
Единица
наименова-
размерность
наименование
обозначение
связь с основными единицами СИ
Магнитная постоянная, абсолютная магнитная проницаемость
LMT™2!™2
генри на метр
Гн/м
1 Гн/м = 1 м-кг-с"2-А"2
Напряженность магнитного поля
ампер на метр
А/м
Энергия излучения
L2MT-2
джоуль
Дж
1 Дж = 1 м2-кг-с"2
Мощность излучения (поток излучения)
L2MT-3
ватт
Вт
1 Вт = 1Дж/с = 1 м2-кг-с“3
Интенсивность излучения (плотность потока излучения)
МТ"3
ватт на квадрат-
метр
Вт/м2
1 Вт/м2 = 1 кг-с"3
Сила света
J
кандела
КД
Основная единица
Кандела равна силе света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540 • 1012 Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср
Световой поток
J
люмен
лм
1 лм = 1 кд-ср
Световая энергия
TJ
люмен- секунда
лм-с
1 лм-с = 1 с-кд-ср
Светимость
L"2J
люмен на квадратный метр
лм/м2
1 лм/м2 = 1 м"2-кд-ср
Освещенность
L"2J
люкс
лк
1 лк = 1 лм/м2 = 1 м"2-кд-ср
Яркость
L"2J
кандела на квадрат-
метр
кд/м2
Оптическая сила
L"1
идиоптрия
дптр
1 дптр = 1 м"1
Энергетическая сила света (сила излучения)
L2MT™3
ватт на стерадиан
Вт / ср
1 Вт/ср = 1 м2-кг-с"3-ср
Учебное издание
БЕЛОЛИПЕЦКИЙ Сергей НиколаевичЕРКОВИЧ Ольга СтаниславовнаКАЗАКОВЦЕВА Вера АлексеевнаЦВЕЦИНСКАЯ Татьяна Станиславовна
ЗАДАЧНИК ПО ФИЗИКЕ
Редактор Д. А. МиртоваКомпьютерная верстка: О. Б. ШироковаКомпьютерная графика: П. А. ШироковОформление обложки: А. А. Логунов
ЛР №071930 от 06.07.99
Подписано в печать 14.12.04. Формат 60x90/16
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная
Усл. печ. л. 23. Уч.-изд. л. 25,2. Заказ №
Издательская фирма
« Физико-математическая литература»117864 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fmlsale@maik.ru; http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ФГУП «Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ140010, г. Люберцы, Московская обл., Октябрьский пр-т, 403
ISBN 5-9221-0175-7
9<785922 101752
2 С.Н. Белолипецкий и др.
Ei + hc/X2b2
е7711 Т ТП7712 Т 7П
6.73. VEi — Ибэ — 2Wo’, ТТ2 — ТТо — бИА).
УДК 53(075.8)
Б43
ББК 22.3
Б е л о л ип ецк ий С. Н., Еркович О. С., К азаковцев а В. А., Цвецинская ТС. Задачник по физике: Учеб, пособие. Для подгот. отд. вузов / Под ред. О. С. Еркович. — М.: ФИЗМАТЛИТ. — 2005. - 368 с. - ISBN 5-9221-0175-7.
Сборник содержит свыше 1400 задач по физике из числа предлагавшихся в физико-математическом лицее при Московском государственном техническом университете им. Н. Э. Баумана. В сборник введены разделы, недостаточно глубоко или вообще не изучаемые в школе, но важные для успешного освоения курса и дальнейшего обучения в вузах инженерного и физического профиля. Задачи снабжены ответами.
Для учащихся и преподавателей средних школ, слушателей подготовительных отделений вузов, а также лиц, занимающихся самообразованием.
Табл. 4. Ил. 363.
ISBN 5-9221-0175-7ISBN 5-9221-0175-7© ФИЗМАТЛИТ, 2002, 2005© ФИЗМАТЛИТ, 2002, 2005
ISBN 5-9221-0175-7
ISBN 5-9221-0175-7
© ФИЗМАТЛИТ, 2002, 2005
© ФИЗМАТЛИТ, 2002, 2005
Общие рекомендации по решению задач ..................6
Предисловие ..................................7
Глава 1. Механика ...........................9
Векторы и скаляры .........................9
Кинематика равномерного движения ............... 11
Равнопеременное прямолинейное движение ........... 13
Баллистическое движение ...................... 23
Движение точки по окружности. Вращательное движение твер
дого тела ............................... 26
Динамика прямолинейного движения материальной точки . . 30
Динамика движения материальной точки по окружности . . . 40
Импульс материальной точки и системы материальных точек.
Движение тел переменной массы ................. 43
Работа. Мощность. Энергия. Закон сохранения энергии . . . . 46
Вращение твердого тела вокруг оси. Закон сохранения момен
та импульса. Условия равновесия твердого тела ........ 56
Закон всемирного тяготения. Законы Кеплера ......... 61
Основы механики жидкостей и газов ............... 63
Глава 2. Молекулярная физика и термодинамика ...... 68
Основные положения молекулярно-кинетической теории . . . . 68
Графики изопроцессов в идеальном газе ............. 70
Газовые законы ............................ 73
Идеальный газ. Закон Дальтона .................. 74
Уравнение состояния идеального газа ............... 76
Внутренняя энергия идеального газа. Работа идеального газа . 79
I начало термодинамики. Теплоемкость .............. 81
Закон сохранения энергии в тепловых процессах. Адиабатный
процесс ................................. 84
Термодинамические циклы. КПД циклов ............. 88
Уравнение теплового баланса ................... 90
Пары. Кипение ........................... 92
Влажность .............................. 94
Деформации твердых тел. Тепловое расширение ........ 96
Поверхностные явления ...................... 99
Глава 3. Электричество и магнетизм ............... 102
Закон Кулона ............................. 102
Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции полей .................................. 104
Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема
Гаусса-Остроградского ....................... 106
Работа сил электростатического поля. Потенциал ........ 108
Проводники и диэлектрики в электростатическом поле . .... 113
Электрическая емкость проводника. Конденсаторы ....... 116
Соединения конденсаторов ..................... 119
Сила тока. Сопротивление. Закон Ома для однородного участка цепи ................................. 123
Закон Ома для неоднородного участка и полной цепи. Правила
Кирхгофа ............................... 128
ЗЛО. Конденсаторы и нелинейные элементы в электрических цепях 133
Работа и мощность тока. Тепловое действие тока ....... 135
Электрический ток в различных средах ............. 139
Магнитное поле. Магнитная индукция .............. 142
Сила Лоренца. Сила Ампера. Сила взаимодействия двух проводников ............................... 145
Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях ...................... 148
Магнитный поток. Закон электромагнитной индукции . . . . 151
Индуктивность. ЭДС самоиндукции ...............155
Глава 4. Колебания и волны ..................... 158
Кинематика гармонических колебаний .............. 158
Динамика колебательного движения ...............161
Сложение гармонических колебаний ................174
Затухающие и вынужденные колебания .............178
Механические волны ......................... 182
Переменный ток ........................... 188
Активное сопротивление, индуктивность и емкость в цепи пе
ременного тока ............................ 192
Трансформаторы ........................... 199
Электрические машины постоянного тока ............ 202
Колебательный контур ....................... 206
4Л1. Электромагнитные волны ..................... 212
Глава 5. Оптика ............................. 215
Отражение света. Плоское зеркало ................ 215
Сферические зеркала ........................ 218
Преломление света .......................... 225
Тонкие линзы ............................. 229
Оптические системы и приборы .................. 237
Фотометрия .............................. 244
Интерференция света ........................ 247
Дифракция света ........................... 251
Дисперсия света. Поляризация света ............... 253
Глава 6. Специальная теория относительности. Атомная и ядерная физика ........................ 256
Основы специальной теории относительности .......... 256
Квантовые свойства света ...................... 259
Модель атома Резерфорда-Бора .................. 263
Строение атомного ядра. Радиоактивность. Ядерные реакции 265
Ответы
К главе 1 ................................. . 271
К главе 2.288
К главе 3.300
К главе 4.317
К главе 5.335
К главе 6 ................................. . 351
Заключение .................................. 357
Приложения .................................. 359
Общие рекомендации по решению задач
Приступая к решению задачи, хорошо вникните в ее смысл и постановку вопроса. Установите, все ли данные, необходимые для решения задачи, приведены. Недостающие данные можно найти в любой таблице физических констант (например, если указан материал, из которого изготовлено плавающее в воде тело, то предполагается, что плотность тела можно определить, обратившись к справочнику). Если позволяет характер задачи, обязательно сделайте схематический рисунок, поясняющий ее сущность, — это во многих случаях облегчает решение.
Каждую задачу решайте, как правило, в общем виде (т.е. в буквенных обозначениях), так чтобы искомая величина была выражена через заданные величины. Ответ, полученный в общем виде, позволяет судить в значительной степени о правильности самого решения.
Получив решение в общем виде, проверьте, правильную ли оно имеет размерность. Неверная размерность — явный признак ошибочности решения. Если возможно, исследуйте поведение решения в предельных частных случаях. Например, какой бы вид ни имело выражение для силы гравитационного взаимодействия между двумя протяженными телами, с увеличением расстояния между телами оно должно непременно переходить в закон взаимодействия точечных масс. В противном случае можно утверждать, что решение неверно.
Приступая к вычислениям, помните, что числовые значения физических величин всегда являются приближенными. Поэтому при расчетах руководствуйтесь правилами действий с приближенными числами.
Получив числовой ответ, оцените его правдоподобность. Такая оценка может в ряде случаев обнаружить ошибочность полученного результата. Так, например, скорость тела не может оказаться больше скорости света в вакууме, плотность газа при нормальных условиях превысить плотность чугуна и т.д.