Предисловие редактора перевода

К фотографиям пионеров осцилляционных исследований, открывающим книгу, мы в этом издании добавили портрет Д. Шенберга. Он имеет на это несомненное право не только и даже не столько как автор по существу первой исчерпывающей монографии по эффекту де Гааза — ван Альфена (дГвА), но как один из тех исследователей, деятельность которых превратила уникальное явление, обнаруженное на «странном» во многих отношениях Bi, в эффективный метод изучения энергетического спектра практически всех металлов. Начав заниматься изучением магнитных осцилляционных явлений в тридцатые годы, Д. Шенберг более 40 лет посвятил детальному исследованию осциллирующих при изменении магнитного поля характеристик металлов, совершенствованию методики измерения и получения из измерений все более точной и достоверной информации об «устройстве» металла. За эти годы его планомерная и последовательная деятельность сопровождалась выдающимися достижениями, среди которых следует отметить обнаружение эффекта дГвА у металлов, поверхности Ферми которых не содержат малых сечений (у металлов первой группы таблицы Менделеева), а также открытие магнитного взаимодействия, в ряде случаев коренным образом изменяющего картину осцилляций. Д. Шенберг может служить примером ученого, бесконечно преданного своему делу, избранному направлению исследований. Несмотря на сосредоточенность Шенберга на осцилляционных явлениях, его ни в коей мере нельзя обвинить в замкнутости, в уходе с основного пути развития физики металлов. Вся деятельность автора монографии и сама монография очень современны. Инструментарий, применяющийся для изучения эффекта дГвА, использует самые совершенные физические и радиотехнические приборы и методы, а обсуждение полученных результатов — последние достижения квантовой теории конденсированного состояния.

Эффект дГвА — одно из интереснейших квантовых макроскопических явлений — отличается удивительным качеством: он во всех подробностях поддается теоретическому осмыслению. Его теория более совершенна, чем теория таких простых классических явлений, как

электро- или теплопроводность. Именно это обстоятельство делает эффект дГвА уникальным по надежности источником информации об энергетической структуре металлов. Но с другой стороны, чтобы процесс извлечения информации, т.е. обработка экспериментальных данных, не вносил непредвиденных погрешностей, необходим тщательный анализ, не оставляющий без внимания любое (на первый взгляд самое незначительное) расхождение экспериментальных данных с ЛК-формулой (так называет Шенберг выражение для зависимости осциллирующей части магнитного момента от магнитного поля, выведенное Лифшицем и Косевичем). Это прекрасно понимает автор монографии, уделяя много места описанию и осмыслению всех обстоятельств, усложняющих эффект дГвА. .

Хотя исследования осцилляционных явлений в металлах ведутся уже более 50 лет, их нельзя считать завершенными. Усовершенствование методики приводит к постановке новых (ранее нерешаемых) задач. Д. Шенберг ощущает динамику исследований эффекта дГвА и на протяжении всей книги подчеркивает, какие задачи нельзя считать решенными, какие новые проблемы возникли, чтб требует дальнейших исследований. Мнение такого ведущего специалиста, каким является автор, очень ценно.

Осцилляционная зависимость магнитного момента и/или магнитной восприимчивости металла от магнитного поля — тонкий низкотемпературный эффект, характерный для тщательно подготовленных образцов металла. Это перечисление показывает, что, несмотря на всю его информативность и важность для спектроскопии металла, эффект дГвА в каком-то смысле представляет собой камерное явление. Если посмотреть, что конкретно исследуют специалисты по физике металлов, то выяснится, что эффектом дГвА занимается весьма малая часть из них. Но, во-первых, имеется много родственных осцилляционных эффектов, частично описанных в монографии (эффект Шубникова — де Гааза или гигантские квантовые осцилляции в поглощении ультразвука), а частично только упомянутых (магнитооптические осцилляции и др.). Все они родственны не только по существу, но и (в большой мере) по методам исследования (включая обработку экспериментальных данных). Поэтому изучение монографии Д. Шенберга, несомненно, будет полезно широкому кругу физиков, занятых низкотемпературными исследованиями металлов. Во- вторых (и это очень важно), книга «Магнитные осцилляции в металлах» учит, как ставить эксперимент, как из эксперимента извлекать надежные данные, учит самой сути деятельности физика- экспериментатора. Давно замечено, что лучше учить не логике, а геометрии. Обучающийся при этом учится мыслить логически. Лучший

способ научить физическому эксперименту — это подробно ознакомить с конкретным достаточно сложным современным физическим экспериментом. Д. Шенберг впускает читателя в свою лабораторию, знакомит его с такими подробностями, которые часто остаются за пределами статьи (особенно опубликованной в физическом журнале, когда требование краткости часто заставляет ограничиться констатацией наблюденного факта).

И еще, не менее важное. Физика, как любая наука, не есть набор фактов, теорий, кривых и формул. Физику делают физики. Они вкладывают свою душу в то, что потом становится фактами, теориями, кривыми и формулами. Они ревниво относятся к своим результатам. Иногда их переоценивают. Или недооценивают результаты своих коллег. Ведь свой результат они «пережили», а с чужим просто ознакомились. Отсюда — сравнительно частые конфликты между учеными, приоритетные споры, недооценка — все то, что, к сожалению, сопровождает, а иногда и отравляет жизнь ученых. . . Думая об этом, прочитайте внимательно книжку, которую вы держите в руках. Вы увидите, как бережно автор цитирует своих коллег, отдавая дань их заслугам, как уважительно описывает улучшения, внесенные в исследования его более молодыми коллегами, как благодарит тех, кто чем- то помог ему. Не преувеличивая, можно сказать: книга Д. Шенберга может служить примером этики в научном общении.

Все написанное выше показывает: автор предисловия не скрывает — книга ему нравится. Это не означает, что она, по моему мнению, лишена недостатков. Мне кажется, было бы уместно более подробно рассказать читателям, в каких свойствах металлов и как проявляется сложная форма поверхностей Ферми, по существу открытая с помощью эффекта дГвА. Поверхность Ферми может благодаря внешнему воздействию изменить свою связность — происходит, как принято говорить, топологический переход. Он обнаруживается, в частности, по изменению набора дГвА-частот [1]. Это интересное использование эффекта дГвА не нашло отражения в монографии. Конечно, список того, что «не вошло», можно было бы продолжить (не могу удержаться, чтобы не упомянуть об эффекте дГвА на образцах конечных размеров, теория которого была построена Лифшицем и Косевичем в 1953 г. [2], а в 1976 г. эффект был обнаружен Гайдуковым и Голяминой [3] — теория получила экспериментальное подтверждение). Однако при оценке книги, естественно, следует принимать во внимание не то, чего в ней нет, а то, что в ней есть. Это и было сделано выше.

Книга написана простым, ясным языком. Мне представляется, переводчикам удалось сохранить авторский стиль. Переводчики проси-

ли отметить, что они присоединяются к высказанной здесь оценке монографии.

Перевод выполнили: Д. Ю. Шарвин (предисловие, гл. 1—5, приложения 1—11) и д-р физ.-мат. наук В. С. Эдельман (гл. 6—9, приложения 12—19).

М. И. Каганов

Литература

Будько С. Л., Воронский А. Н., Гапотченко А. Г., Ицкевич Е. С. — ЖЭТФ, 1984, т. 86, с. 778..

Лифшиц И. М., КосевичА. М. — ДАН СССР, 1953, т. 91, с. 795.

Гайдуков Ю. П. , Голямина Е. М. — Письма ЖЭТФ, 1976, т. 29, с. 336.

Предисловие

Прошло уже более полувека с тех пор, как Шубников и де Гааз впервые обнаружили осцилляции электрического сопротивления висмута, а де Гааз и ван Альфен — осцилляции намагниченности при изменении магнитного поля. Вскоре после этого Пайерлс предложил принципиальное объяснение указанных эффектов, а Ландау даже неявно предсказал осцилляционный характер зависимости еще до ее обнаружения, но все же в течение следующих 20 лет эти эффекты продолжали оставаться своего рода научной диковинкой. Лишь в 50-х годах, когда магнитные осцилляции наблюдались уже во многих металлах, помимо висмута, и была развита более совершенная теория этих явлений, начали осознавать, что это не просто любопытный и красивый эффект, но потенциальное мощное средство для изучения электронной структуры металлов.

За последующие 20 лет использование этой возможности стало чрезвычайно популярным, а техника эксперимента и теория непрерывно совершенствовались, так что накопилось огромное количество подробной информации, относящейся к «фермиологии» отдельных металлов. В последние годы хотя и осталось еще много нерешенных проблем, темп работ несколько снизился, так что я в период полугодовой работы в университете Ватерлоо (1977 г.) решил, что сейчас как раз настало время для нового и всестороннего обзора, и несколько легкомысленно принялся за работу, не подозревая о том, что потребуется еще пять лет, прежде чем рукопись будет готова к печати. Опыт этих пяти лет оказался для меня весьма поучительным, поскольку многие задачи пришлось решать с самого начала, добиваясь для себя такой ясности, которая нужна, чтобы изложить все понятно и по возможности без усложнений.

Как видно из заглавия, главное внимание в книге уделено самим осцилляциям и той физике, которая служит для понимания многих особенностей их поведения. Это, разумеется, не книга о зонной структуре, хотя некоторые примеры и разобраны подробно, чтобы показать, как применялись осцилляции. Для этой цели подобраны относительно простые примеры, чтобы не смущать читателя обилием усложнен-

ных фактов, а также потому, что те примеры, которые я лучше всего знаю, в основном несложны. Я старался избегать изложения теории зонных структур (т.е. их расчета из первых принципов), поскольку об этом написано немалое количество специальной литературы, к которой и может обратиться интересующийся читатель, а также потому, что это предмет, в котором сам я довольно слабо разбираюсь.

Изложение теории магнитных осцилляций я начал с того, что принял без всяких формальных доказательств концепцию независимых квазичастиц и использовал квазиклассическое приближение. Только в конце кратко и отчасти «на пальцах» объясняется, почему эффекты многочастичного взаимодействия практически мало влияют на полученные результаты. Однако, выводя следствия из квазиклассического приближения, я старался возможно подробнее остановиться на том, каким образом результаты вытекают из начальных предположений, и обращал особое внимание на те места, которые мне казались неочевидными в оригинальных работах. Как правило, я старался либо в начале, либо в конце математических выкладок качественно объяснит^ то, что должна сделать математика. Я широко использовал приложения, вынося в них как математические подробности, которые из-за своей сложности слишком надолго отвлекли бы читателя от основного рассуждения, так и не очень близкие к основной теме вопросы, интересные с точки зрения физики. Можно, конечно, спорить о том, что следует выносить в приложения, а что должно оставаться в основном тексте; вообще говоря, всю книгу можно было бы считать лишь приложением к некоему более общему труду по металлам, однако я надеюсь, что совершил не слишком большую ошибку, оставляя многие подробности в основном тексте.

Я стремился уделить должное внимание и вопросам истории, начиная с вводной главы и затем на протяжении всей книги ссылаясь как на первую значительную публикацию по каждому вопросу, так и на последние исследования. Надеюсь, что меня простят авторы многих ценных работ, попадающих в промежуточную категорию, за то, что на эти работы нет прямых ссылок, однако косвенно они обычно охватываются ссылками на соответствующие подробные обзоры. Я надеюсь также, что меня простят за слишком большое внимание к проблемам, которыми я сам занимался, в ущерб другим, не менее важным. Так, глава о магнитном взаимодействии получилась гораздо больше главы о магнитном пробое; «фермиологии» висмута уделено больше внимания, чем «фермиологии» переходных металлов или сплавов. Мое единственное оправдание в том, что обычно я могу более ясно изложить то, с чем непосредственно сталкивался, но для компенсации я

постарался снабдить подробными ссылками темы, которые, как я чувствовал, не смогу достаточно детально осветить сам.

Большую часть книги занимает обсуждение экспериментов, поставленных с целью проверки теории осцилляций и их особенностей. Однако часто согласие между теорией и экспериментом оказывалось неполным в том или ином отношении. Я старался привлечь внимание к таким расхождениям, а также к тем аспектам теории, которые еще недостаточно подтверждены экспериментально. Заостряя внимание на таких неувязках, я надеюсь, что это может оказаться полезным для развития новых направлений исследований.

Следует упомянуть еще о некоторых сторонах изложения. Я намеренно ввел большое количество рисунков, во-первых, чтобы сделать более наглядными формулы, во-вторых, чтобы с помощью экспериментальных кривых передать эстетическую привлекательность осцилляций, а также показать, хотя бы отчасти, многообразие таинственных и удивительных поверхностей Ферми. Иногда может показаться, что подписи к иллюстрациям слишком длинны, но я старался по возможности включать в них все необходимое для понимания рисунка, иногда повторяя текст, чтобы не нужно было слишком часто к нему обращаться. Иногда я также добавлял дополнительные детали, помогающие читателю самому сделать выводы из рисунка. Где это требовалось, даны подробные объяснения и к таблицам. Некоторые таблицы — это набор представленных в единообразном виде данных, которые иначе можно найти, только обратившись к ряду отдельных статей, где они зачастую представлены в разных формах.

Когда речь идет о широком круге тем, всегда возникает проблема обозначений, поскольку не хватает букв латинского и греческого алфавитов, считая прописные, строчные и рукописные. Можно частично преодолеть эту трудность, вводя множество индексов, но это приводит к существенной потере наглядности формул, поэтому я стремился избегать употребления индексов, за исключением тех случаев, когда они несомненно полезны. Таким образом, я должен был принять неизбежное и, перефразируя Шалтая-Болтая, могу сказать: «Когда я использую обозначение, оно означает то, что я захочу». Так, к может быть константой Больцмана, волновым числом, магнитной «частотой» (как в выражении sin kh) или порядковым номером. В худшем случае один символ (например, с) может означать до восьми разных величин, но это каждый раз тщательно оговаривается. На практике такие разные значения редко встречаются в одном контексте, но и в этом случае обычно можно избежать путаницы, поместив в подходящем месте предупреждение или используя соответствующий индекс

(например, кв для константы Больцмана) только там, где есть такое столкновение. Различные значения символов, а также часто используемые сокращения имен и технических терминов приведены перед ос новным текстом.

Аналогичным образом, чтобы не утяжелять формулы, я довольно часто не выделяю векторы жирным шрифтом или Опускаю волну над символом, означающую «осциллирующую часть какой-либо величи ны», в тех местах, где это и так очевидно. Так, М часто записывается какМ, когда ясно, что имеется в виду осциллирующая часть, а векторная природа М не очень важна. Часто также пишутся обычные производные, когда нет особой необходимости подчеркивать их частный характер [т.е. dy/dx может означать на самом деле (dy/dx)J. Выделенные жирным шрифтом номера уравнений используются в тех случаях, когда на эти уравнения придется часто ссылаться в дальнейшем; они также могут указывать читателю на решающий момент данного рассуждения.

Я надеюсь, что использование в книге гауссовой системы единиц не вызовет серьезных затруднений у тех, кто был воспитан на системе СИ (системы единиц в занимательной форме рассмотрены в работе [69]). Хотя мой выбор и связан, несомненно, с моим собственным воспитанием, но можно привести и объективные доводы в его защиту, поскольку в теории, имеющей дело с магнетизмом, многие соотношения приобретают более простой и осмысленный вид в гауссовой системе; кроме того, до последнего времени существовала некоторая неопределенность в определении намагниченности в системе СИ. Те, кто незнаком с гауссовой системой, должны только помнить, что там применяется одна и та же единица, гаусс (Гс), для магнитного поля, магнитной индукции и намагниченности, гаусс имеет ту же величину, что и эрстед (в книге эта единица не применяется), и 104 Гс = 10 кГс = = 1 Тл (тесла). Другие особенности, например использование сантиметров вместо метров и граммов вместо килограммов, не будут, я думаю, серьезным камнем преткновения. Там, где предполагается как- нибудь использовать теоретическую формулу на практике, множители, содержащие мировые константы, обычно даются в численном виде так, чтобы ответ получился в практических единицах, например в вольтах.

Наконец, мой приятный долг поблагодарить коллег и друзей за большую помощь, оказанную при подготовке этой книги. Прежде всего я должен поблагодарить проф. сэра Брайана Пиппарда и д-ра Дж. Дж. Лонзарича из Кавендишской лаборатории, которые помогали мне в трудных случаях почти на всех стадиях моей работы. Замечательная физическая проницательность первого очень быстро проясня-

ла для меня дело во многих случаях, когда я был всерьез озадачен, а готовность второго обсуждать многие детали и тонкие вопросы также служила мне источником поддержки и ободрения.

Теперь я перечислю людей, которые помогли мне ценной информацией и критикой по отдельным темам, приблизительно в том порядке, в котором эти темы освещаются в книге. В соответствующих местах текста отмечаются также отдельные вклады разных лиц. Профессора сэр Рудольф Пайерлс (Оксфорд), X. Б. Г. Казимир (Эйндховен), В. Дж. Хюискамп и Г. Дж. ван ден Берг (Лейден) помогли мне своими воспоминаниями о «юных днях» (гл. 1). Над изложением теории в гл. 2 я работал главным образом в университете Ватерлоо, где у меня было время, чтобы доискаться до сути многих трудных вопросов, и где я имел ряд полезных бесед с проф. Дж. Вандерко- ем. Затем я с пользой для себя посетил Бристольский университет, где проф. Р. Дж. Чемберс сделал много ценных замечаний к первоначальной рукописи гл. 2, и университет Сассекса, где д-р М. Спрингфорд рассказал мне о своих последних экспериментах и вместе с д-ром М. Эллиотом и П. Стэмпом помог мне понять первоосновы многочастичной теории и ее применение к осцилляциям, наблюдаемым в экстремальных условиях. Профессора Е. М. Лифшиц и М. И. Каганов (Москва) сделали ценные замечания к моему рассмотрению постоянной восприимчивости (приложение 4), а С. М. Хейден (Кавендишская лаборатория) помог мне своими критическими замечаниями к гл. 2—4. Проф. П. Дж. Стайлз (университет Брауна), д-р М. Пеппер, д-р Д. Вакабаяси (Кавендишская лаборатория) научили меня разбираться в разнообразных аспектах двумерных систем, так что я смог соотнести свою идеальную теорию, которую я для себя выработал, с реальностью настоящих экспериментальных условий. Эти вопросы заслуживали бы отдельной главы, но они распределены между гл. 2,3 и 4. Проф. Е. Максвелл (Массачусетский Технологический институт) привлек мое внимание к ранней работе о методе модуляции температуры для обнаружения магнитных осцилляций (гл. 3). Я получил ценную информацию и советы по вопросам зависимости поверхности Ферми от напряжений от проф. Е. Фосетта, М. Дж. Дж. Ли и Дж. М. Перца (Торонто), д-ра И. М. Темплтона (НИС°, Оттава) и проф. У. Р. Датарса и д-ра*М. Эллиота (университет Мак-Мастера). Мое первое знакомство с проблемами гигантских квантовых осцилляций произошло во время короткого посещения университета Кюсю в 1974 г., где беседы с проф. С. Мазе побудили меня проделать работу, и сложенную в гл. 4.

’* Национальный научно-исследовательский совет. — Прим, перев.

Д-ра П. Т. Коулридж и И. М. Темплтон (НИС, Оттава) помогли мне своими советами и критикой по многим вопросам: технике модуляции поля (гл. 3), детальному описанию параметров поверхностей Ферми одновалентных металлов (гл. 5) и теории разбавленных сплавов (гл. 5 и 8). Оба они не пожалели времени на вычисления, которые позволили мне представить данные и их интерпретацию в одинаковой форме. С. М. М. Некс (Кавендишская лаборатория) любезно произвел восстановление локальных параметров по форме линий (рис. 4.7) и по сечениям поверхности Ферми (рис. 5.7, д—з). По многим вопросам, относящимся к гл. 5, для меня была полезной переписка со следующими людьми: проф. С. Берко (университет Брандайса), д-ром В. С. Эдельманом (Москва), д-ром М. Р. Хольсом (Кент), д-ром П. М. Холтамом (Виктория, Британская Колумбия), покойным д-ром Дж.-П. Джеком (НИС, Оттава), проф. А. У. Оверхаузером (университет Пэрдью), д-ром М. Дж. Пристли (Бристоль), проф. Л. В. Руландом (Амстердам) и проф. Дж. Тривизонно (университет Джона Кэррола, Кливленд, Огайо).

Проф. Дж. Дж. Вюллемин и Р. У. Старк (университет Аризоны) критически просмотрели гл. 6 и 7 соответственно, а проф. А. В. Голд (Университет Британской Колумбии) любезно сообщил мне до публикации об экспериментах по магнитному взаимодействию, относящихся к гл. 6, и обсудил многие вопросы в переписке. Когда я писал о влиянии дислокаций (гл. 8), мне очень помогли беседы с д-ром Б. Р. Уотсом (университет Восточной Англии), особенно в отношении истолкования его собственной теоретической работы. Я весьма обязан также д-ру А. Хауи, д-ру Л. М. Брауну (Кавендишская лаборатория) и проф. Ф. Н. Набарро (университет Уитуотерсренд и Кавендишская лаборатория) за советы и информацию по дислокациям, а последнему из названных — за критические замечания к изложенному в гл. 8.

Наконец, г-жа М. Дж. Эпсли напечатала первые главы в первоначальной редакции, г-жа Дж. Л. Лонзарич напечатала ббльшую часть черновой рукописи книги и подготовила штриховые рисунки, а г-жа П. Мак-Каллаф помогала печатать остальное, когда времени уже не хватало. Я очень благодарен им за их умение разбирать каракули в моей рукописи и за то, что они терпеливо вносили в рукопись мелкие изменения, которые я постоянно делал. Я должен также поблагодарить К. Пепуорта за изготовление фотокопий многих рисунков из оригинальных работ и Джереми Смита за его помощь при редактировании книги для печати.

Март 1983 г. Д. Шенберг

Некоторые дополнения о последних достижениях, сделанные при корректуре, приведены в тексте в виде подстрочных примечаний.

Обозначения и сокращения

ааАА.Яо, A j и т.д.bВсАА.Яо, A j и т.д.bВсССdдГвАDdдГвАDплощадь сечения произвольной поверхности постоянной энергии при произвольном кн, параметр магнитного взаимодействия, т.е. 47rldAf/dBI, размер образца (например, радиус)

а

а

А

А.

Яо, A j и т.д.

b

В

с

А

А.

Яо, A j и т.д.

b

В

с

С

С

d

дГвА

D

d

дГвА

D

экстремальная площадь сечения ПФ, амплитуда \М\

площадь диаметрального сечения сферической ПФ спин-симметричные коэффициенты в теории ферми-жидкости

площадь сечения ПФ при произвольном кн

малое отклонение величины В от опорного значения В0 (т.е. В—В^, величина вектора Бюргерса магнитная индукция

скорость света, вращающий момент на единицу угла, постоянная связи приемной катушки, константа калибровки, удельная теплоемкость, модуль упругости, коэффициенты в различных разложениях, атомная концентрация

теплоемкость, фактор кривизны (Л")“1/2, результирующая амплитуда М от двух осцилляций с почти равными частотами

среднее расстояние между дислокациями

де Гааз — ван Альфен

число состояний на трубке Ландау между к и к -V Ьк, функция распределения, толщина доменной стенки, плотность дислокаций, определитель из коэффициентов эллипсоида

е

^р е2, в3

ПЛОТНОСТЬ состояний

заряд электрона (иногда е^)

длины главных осей электронного эллипсоида ПФ висмута

Е f

энергия системы, электрическое поле

частота, фурье-образ, функция Ферми, переменная частота дГвА

F

ПФ

частота дГвА, свободная энергия (E—TS) поверхность Ферми

сумма Фриделя

5

G

g-фактор спиновый понижающий множитель (т.е. /?s - = costtS)

А

модулирующее магнитное поле (с амплитудой й0), малое отклонение от опорного значения поля Но (т.е. Я-Яо)

А

А„ А3

«й Дирака», т.е. h/2^, где h — постоянная Планка длины главных осей дырочного эллипсоида вращения ПФ висмута

Н

Не

абсолютное значение вектора магнитного поля Н абсолютное значение вектора внешнего магнитного поля Не

н0

опорное значение магнитного поля, параметр магнитного пробоя, масштабное значение поля в множителе Дингла ехр (—Н^/Щ

i I

J "^k k

ток

ток, различные интегралы мнимая часть

плотность тока, обменный интеграл

функция Бесселя порядка к

постоянная Больцмана, абсолютное значение волнового вектора к, т.е. волновое число, номер гармоники для величины, осциллирующей во времени (например, costal), магнитная «частота» (т.е. 2ttF/H^

^н

составляющая к, параллельная Н (обычно обозначаемая к)

k' k¥ К

составляющая к в плоскости, нормальной к Н радиус сферической ПФ

период открытой орбиты в ^-пространстве

К^ К6 и т.д. ККР

кубические гармоники

Корринга—Кон — Ростокер (метод расчета зонной структуры)

/

L ЛК т та

сжимаемость цлина образца эффективный путь Лифшиц—Косевич циклотронная масса,

параметр модуляции амплитуды для осцилляций dM/d//

ть

масса «голого» электрона, циклотронная масса у дна непараболической зоны

mf т0 М

параметр модуляции частоты масса свободного электрона

абсолютная величина вектора намагниченности М (т.е. магнитный момент единицы объема), часто также магнитный момент произвольного объема V

МВ МП

магнитное взаимодействие

магнитный пробой

магнитный момент единицы площади для двумерного образца

п

число электронов или квазичастиц на единицу объема (в двумерном случае на единицу площади), предельное значение порядкового номера г, коэффициент размагничивания, деленный на 4тг

N

полное число электронов или квазичастиц, число витков катушки

псэ

почти свободные электроны

основная круговая орбита в теории магнитного пробоя

опв

ортогональные плоские волны (метод расчета зонной структуры)

р

абсолютная величина вектора импульса р, давление, номер гармоники в осцилляциях дГвА, параметр «вращательного взаимодействия», параметр корреляции в магнитном взаимодействии (также д), амплитуда вероятности магнитного пробоя

р

шаг винтовой линии, электрическая мощность, вероятность потока частиц в МП

р, q

полином Лежандра порядка /

абсолютная величина вектора q (сопряженного с р), абсолютная величина волнового вектора фонона q. параметр корреляции в МВ (также р), амплитуда вероятности брэгговского отражения

Q

квадратичная функция, вероятность йотока частиц при брэгговском отражении (т.е. 1 — Р)

г

произвольное целое число, радиус орбиты в реальном пространстве (также R)

fs

среднее межэлектронное расстояние в единицах боровского радиуса

г? R

«скорректированное» значение rs

понижающий множитель, на который умножается основная амплитуда осцилляций дГвА, индекс указывает причину (например, RD для множителя Дингла, Rs для спинового фактора и т.д.), абсолютное значение радиуса-вектора R в реальном

R*

Rjh

пространстве

проекция R на плоскость, перпендикулярную Н составляющая R, параллельная Н действительная часть

S

упругая податливость, скорость звука (если возможна путаница с упругой податливостью, используется обозначение v)

S

площадь двумерного образца, безразмерный спиновый параметр (такой, что Rs = costtS), энтропия, вероятность перескока в магнитном пробое, спиновое квантовое число

ШдГ / т

Шубников — де Гааз время абсолютная температура, вращающий момент, вероятность перескока в магнитном пробое

т, т

а’ 7

амлитуды а- и 7-компонент осцилляций дГвА в свинце

вв

и

«вращательное» взаимодействие

отношение размера образца к глубине скин-слоя ^а/Ь\ относительная амплитуда осцилляций температуры (У/Т), множитель Дингла, связанный с размытием фазы (также и), фазовый параметр, изменяющийся в течение периода биений, амплитуда осцилляций некоторой величины U

Uпроизвольная осциллирующая величина

vабсолютная величина вектора скорости электрона

v, объем в ^-пространстве, напряжение (иногда К), скорость звука (иногда s), множитель Дингла, связанный с размытием фазы (также w)

Vобъем в реальном пространстве (например, объем

образца), напряжение (обычно и)

V^ т, пфурье-компонента псевдопотенциала

Wдвойной интеграл от S^xY тепловое сопротивле

ние, параметр, определяющий циклотронную массу в эллипсоидальной параболической модели «т^т^

хтемпература Дингла, непрерывная переменная, за

меняющая квантованную (г 4- /2), приведенное магнитное поле (т.е. kh, где k = lirF/H^

Xзначение х на ПФ (т.е. F/H\ период доменной

структуры, параметр в многочастичной теории [см. (9.30)]

уприведенная форма величины 4тгЛ/ (т.е. ДтгкМ, где

к = I-kF/H1^

Умодуль Юнга, наклон кривой намагниченности, т.е.

4тгам/аяе

Уьзначение Y в уплощенном минимуме осцилляции в

условиях сильного магнитного взаимодействия

У'^значение Уь в произвольных единицах (Уь = сУ^,

с — калибровочная постоянная)

zаргумент функции распределения D(z), значение

выражения l^kT/^H, половина размаха осцилляций величины 4irdLM/dHe

z, z'значения множителей Дингла для противополож

ных спинов

Zвалентность, приведенный термодинамический по

тенциал, т.е. 4тг£2О, где к = ЪгР/Н^

аплощадь орбиты R', значение l^k/p, значение

lAh/eH (т.е. 2тг^), отношение Пуассона, модифицированный параметр магнитного взаимодействия [с учетом размагничивания, т.е. #(1 — л) (также обозначается а')]

а0модифицированный параметр магнитного взаимо

действия без размытия фазы [т.е. я0(1 -л)]

0eh/тс‘

значение 0 для т = т0 (т.е. удвоенный магнетон Бора)

фазовая постоянная в условии квантования, множитель Дингла RD, связанный с размытием фазы (в магнитном взаимодействии), амплитуда осцилляций вращающего момента, параметр, вводимый при вычислении понижающего множителя, обусловленного мозаичной структурой

мнимая часть собственной энергии, коэффициент затухания звука

дельта-функция Дирака, значение выражения (X - (л + /2)) за один период осцилляций, глубина скин-слоя, параметр, описывающий искажение почти сферической ПФ

действительная часть собственной энергии энергия электрона или квазичастицы, деформация, диэлектрическая проницаемость металла

энергетическая щель

химический потенциал системы, энергия Ферми коэффициент пропорциональности между размерами R'- и к -орбит (т.е. ch/eH\ константа связи между потоком в малом образце, помещенном в катушку, и его магнитным моментом параметры сдвига фазы в расчете зонной структуры

угловая переменная, амплитуда осциллирующей температуры, приведенная переменная магнитной индукции (т.е. kb, где к = ЪгГ/Н^

температура Дебая

составляющая к, параллельная Н (т.е. кн) масштабный множитель функции распределения, коэффициент перенормировки массы (w = (1 44- Х)тъ), безразмерный параметр модуляции поля (т.е. 2iriFh^H\ параметр спин-орбитального взаимодействия, параметр корреляции между фазовыми сдвигами для осцилляций двух частот (т.е. Ф' = \ф)

спин-орбитальное расщепление по энергии

магнитный момент траектории электрона на ПФ, химический потенциал (переменная форма f), кристаллическая анизотропия/7 [т.е. (l/F)(dF/d0)], па-

раметр в теории магнитного взаимодействия, равный ла07г/(1 + а^, параметр, описывающий влияние дислокаций в теории множителя Дингла

Ма V

параметр модуляции амплитуды для осцилляций М энергия фонона (т.е. Иы, где ш — угловая частота), амплитуда модуляции п (числа электронов на единицу площади для двумерного образца)

р

плотность, параметр, определяющий асимметрию пика затухания гигантских квантовых осцилляций, отношение параметров анизотропии Qx) двух осцилляций дГвА с почти равными частотами, электрическое удельное сопротивление

а

электрическая удельная проводимость, напряжение, параметр, характеризующий распределение деформаций

L т тр

комплексная собственная энергия (т.е. А — 1Г) время релаксации (обычно электрона) время релаксации электрона, полученное из удельного сопротивления р

Ф ф( ф

X Хо

фазовая постоянная

фазовые сдвиги Фриделя

магнитный поток

спиновая восприимчивость

спиновая восприимчивость газа свободных электронов

ф

фазовая переменная, иногда означающая Ъкр^Р/Н — - /2) ± тг/4, а иногда I-kF/H

СО

шс

угловая частота

циклотронная угловая частота (о)0 в особых случаях)

термодинамический потенциал F — N? (часто называемый просто свободной энергией)

Примечание*, некоторые обозначения, которые используются лишь в отдельных частях текста, опущены. Индексы у символов приведены только в тех случаях, когда нужно объяснить их значение. Значения каждого символа перечислены примерно в том порядке, в ко-

тором они первый раз встречаются в тексте. Везде в книге волна над символом (например, М) означает осциллирующую часть соответствующей величины; однако волна часто опускается, когда из контекста очевидно, что речь идет об осциллирующей части1).

’> В русском издании сохранены математические символы, принятые в оригинале. — Прим, перев.

1

Историческое введение

Ранняя история

Вскоре после того как Дж. Дж. Томсон в 1897 г. открыл электрон, Друде [124] (1900 г.) показал, что большинство характерных особенностей металла можно понять по крайней мере качественно, если предположить, что некоторая часть электронов свободно движется внутри металла, а через несколько лет Лоренц разработал более строгую теорию на основе классической статистической механики. Выдающимся количественным достижением теории Друде—Лоренца было объяснение закона Видемана—Франца, т.е. пропорциональности отношения теплопроводности к электропроводности абсолютной температуре Г. Более того, предсказанный коэффициент пропорциональности оказался близким к экспериментальному значению (хотя и менее близким в более строгом подсчете Лоренца). Однако теория была совершенно не способна объяснить, почему свободные электроны не дают большого вклада в теплоемкость, и позднее, когда был открыт спин электрона, стало неясно, почему свободные электроны не приводят к большой парамагнитной восприимчивости, пропорциональной 1/Т.

Прошло более 50 лет с тех пор как Паули [324] (1927 г.) сделал существенный шаг вперед, показав, что если при построении теории использовать вместо классической незадолго до того открытую статистику Ферми—Дирака, то трудность со спиновой восприимчивостью отпадает. Рассчитанная парамагнитная восприимчивость не зависит от температуры и гораздо меньше классической. Она сравнима с экспериментальным значением. Вскоре после этого Зоммерфельд [408] (1928 г.) показал, что использование статистики Ферми—Дирака устраняет также трудность с теплоемкостью и другие неудовлетворительные черты, присущие классической теории0, продолжая, однако, давать объяснение закона Видемана—Франца (даже улучшив значение коэффициента пропорциональности). С тех пор начался поток статей, особенно в Zeitschrift fur Physik, в которых использовалась идея систематического приложения квантовой механики к вычислению разного рода свойств металлов.

^ Обзор достижений и недостатков теории Друде—Лоренца, а также подробную библиографию можно найти в книге Вильсона [474].

Среди них была работа Л. Ландау [248] (1930 г.) о диамагнетизме свободных электронов. Автору было тогда только 23 года, но в Советском Союзе его ценили уже настолько высоко, что направили за границу для изучения теоретической физики в некоторых ведущих центрах — Берлине, Копенгагене и Кембридже. Во время пребывания в Кембридже Ландау и получил тот неожиданный результат, что если правильно применить квантовую механику к орбитальному движению свободных электронов металла, находящегося в магнитном поле, то можно предсказать слабую постоянную диамагнитную восприимчивость, которая должна была составлять ровно одну треть величины спиновой парамагнитной восприимчивости, вычисленной Паули. В статье также кратко отмечено, что если принять во внимание периодическое поле решетки, следуя Блоху [51] (1928 г.), то расчеты орбитального диамагнетизма и спинового парамагнетизма останутся в принципе верными, но отношение 1:3 нарушится, и Ландау предположил, что, возможно, это имеет отношение к аномально высокому диамагнетизму висмута, как впоследствии действительно и оказалось.

Но в работе Ландау содержалась еще одна важная идея. В сущности это было предсказанием того, что намагниченность при низких температурах должна осциллировать при изменении поля, т.е. предсказанием эффекта де Гааза—ван Альфена (дГвА), который и составляет главный предмет данной книги. Это предсказание вытекало из одного замечания Ландау, в котором, впрочем, возможный эффект тут же квалифицировался как недоступный для наблюдения. Ландау указывает, что в его вычислениях применение формулы Эйлера— Маклорена оправдано только при малом///Г, так что результаты теряют силу при достаточно больших полях и достаточно низких температурах.

«В этом последнем случае могла бы возникнуть сложная нелинейная зависимость магнитного момента от поля, которая к тому же имела бы сильную периодичность по полю. Однако именно благодаря периодичности наблюдение нелинейных явлений вряд ли возможно экспериментально, поскольку из-за неоднородности реальных полей всегда будет происходить усреднение»1).

В действительности, отрицая существование экспериментально наблюдаемого эффекта, Ландау не учел двух обстоятельств. Во- первых, предлагавшееся им самим введение некоторых изменений в модель свободных электронов, которое могло бы объяснить аномально большую восприимчивость висмута, могло бы также значи-

^ Перевод с немецкого (цит. по Л. Д. Ландау. Собр. трудов, т. 1.—М.: Наука, 1969, с. 52).'

тельно увеличить период предсказанных осцилляций, тем самым сильно ослабляя требования к однородности поля. И во-вторых, даже те жесткие требования, которые предъявляются к однородности поля для наблюдения осцилляций с очень малыми периодами в одновалентных металлах (для них модель свободных электронов служит хорошим приближением), отнюдь не являются невыполнимыми. Много лет спустя я спросил Ландау, почему он так категорично высказался относительно практических ограничений. Он ответил, что поскольку в вопросах эксперимента он не разбирался, то обратился за советом к П. Капице, у которого тогда гостил, и Капица объяснил ему, что требуемая однородность на практике недостижима. Однако то, что могло быть справедливо в 1930 г., стало уже неверно 30 лет спустя, и теперь наблюдение осцилляций с очень малыми периодами, которые Ландау рассмотрел, но отверг, стало обычным делом.

Любопытно, что буквально через месяц или два после публикации статьи Ландау де Гааз и ван Альфен [111] в Лейдене впервые обнаружили эффект осцилляторного магнитного поведения на монокристалле висмута (рис. 1.1). В первой работе (20 декабря 1930 г.), в которой

Рис. 1.1. Первое наблюдение осцилляторной зависимости магнитной восприимчивости от поля в висмуте (де Гааз и ван Альфен [111]).

сообщалось об отчетливых осцилляциях^, авторы ссылались на статью Ландау (среди многих других) как на источник информации по теории магнитной восприимчивости, но очевидно, что они либо пропустили замечание Ландау об осцилляциях, либо не осознали, что это имеет какое-либо отношение к их наблюдениям. ,

Замечательное совпадение заключается в том, что теоретическое предсказание и экспериментальное обнаружение этого осцилляторно- го эффекта произошли почти одновременно, причем ни одна из сторон не знала о вкладе другой. В действительности лейденские эксперименты не имели никакого отношения к замечанию Ландау, а были основаны на давнем подозрении де Гааза о том, что должна существовать тесная связь между диамагнитной восприимчивостью и изменением электрического сопротивления с магнитным полем. Приведу отрыврк ИЗ введения К ИХ работе [111] (1930 г.): «Наиболее подробно были исследованы кристаллы висмута, во-первых, потому, что в нашем распоряжении был очень чистый монокристалл висмута, во-вторых, потому, что было желательно исследовать монокристаллы висмута в связи с аномалиями в результатах измерений сопротивления Шубникова и де Гааза [371] (ШдГ) на этих кристаллах. Ввиду очевидной корреляции (см. [109]) диамагнитной восприимчивости с изменением сопротивления мы были склонны ожидать зависимости восприимчивости от поля, подобной найденной для сопротивления. Далее мы увидим, что наши ожидания оправдались».

В следующей работе де Гааза и ван Альфена, вышедшей в 1932 г., эксперименты на висмуте были проведены в более сильных полях (примерно до 35 кГс, правда, при температурах не ниже 14,2 К), а в докторской диссертации ван Альфена (1933 г.) [443] сообщалось о нескольких измерениях при гелиевых температурах (до 1,86 К), но с тех пор, как ни удивительно, из Лейдена не последовало больше ни одной публикации по этому эффекту, несмотря на то что он представлял очевидный интерес.

Тем временем Пайерлс [326] (1933 г.) разработал количественную теорию осцилляций, в которой рассматривался изотропный газ электронов, эффективная масса т и энергия Ферми f которых играли роль параметров. Теория основывалась на введенном Ландау понятии об уровнях энергйи в магнитном поле, которое прямо приводило к простому качественному объяснению: осцилляции имеют место, когда

D В более ранней заметке [ПО] они сообщали о заметной нелинейности в зависимости намагниченностиМ от поля//, но они подозревали, что, поскольку поле значительно менялось на размерах образца, истинная зависимость может быть более сложной, как и оказалось в действительности, когда размеры образца были значительно умень шены, так что неоднородность поля составляла только несколько процентов.

«уровни Ландау» проходят через уровень Ферми и оказываются незаселенными^. Процитирую Пайерлса:

«Количественное вычисление магнитного момента не содержит ничего принципиально нового; оно следует из выражения Ландау для термодинамического потенциала при температуре Т. Для предельного случая Г = 0 вывод этой формулы совершенно элементарен, но для конечной Т он приводит к необходимости весьма трудоемкого интегрирования, которое было выполнено только для нескольких значений параметров и с невысокой точностью (ошибки в несколько процентов)».

Теоретические кривые Пайерлса (рис. 1.2) действительно очень похожи на экспериментальные, если выбрать подходящие значения f (энергии Ферми) и m (эффективной массы), но значения намагниченности оказались почти в 70 раз меньше, чем следовало. Как позднее выяснилось, это расхождение возникло потому, что не была учтена очень сильная анизотропия параметров. Полученные Пайерлсом оценки для m (около 0,02 массы свободного электрона) и для f (около 2 х х 10""14 эрг, что соответствует только 10“6 электронов проводимости на атом) оказались примерно правильными по порядку величины. Как уже было упомянуто, именно специфическая зонная структура висмута (приводящая к таким необычным значениям параметров) и делает эффект дГвА в висмуте столь сильным и доступным для наблюдения.

Следующий шаг был экспериментальным. В1932 г. я в качестве аспиранта попал в Мондовскую лабораторию Королевского общества в Кембридже, и мой руководитель П. Капица, познакомив меня с тайнами висмута, поставил задачу измерения его магнитострикционного тензора (при комнатной температуре). Потом я решил продолжить изучение магнитных свойств висмута методом Фарадея и применил весы Саксмита, чтобы измерять силу, действующую на маленькие монокристаллические образцы в неоднородном поле. Через некоторое время были обнаружены осцилляции дГвА, и в сотрудничестве с М. 3. Аддином [398] (1936 г.) я исследовал влияние на осцилляции небольших добавок других металлов к висмуту.

Это влияние на осцилляции было замечательно тем, что очень небольшие количества гетеровалентных элементов (менее 0,08% РЬ, 0,02% Sn или 0,01% Те) вызывали значительные изменения (порядка

О Хотя Пайерлс ясно дает понять, что его вычисления основаны на более ранней работе Ландау, он прямо не ссылается на замечание Ландау о принципиальной возможности осцилляций. Вероятно, что хотя он и Ландау подробно обсуждали проблему постоянной восприимчивости в 1930 г., тогда вопрос об осцилляциях еще не возникал, поэтому Пайерлс и не обратил внимания на это замечание в опубликованной работе. Я хочу поблагодарить проф. Пайерлса за полезную для меня переписку по этому вопросу.

ггв

г

г

Рис. 1.2. Расчетные кривые намагниченности для изотропного металла при различных температурах: а —Т = 0; б — кТ/^ = 0,1; в — кТ/^ = 0,15; г — кТ/^ = 0,2 (Пайерлс [326]); графики виг сравниваются с экспериментальными кривыми де Гааза и ван Альфена [111] для Bi, полученными при температурах 14,2 и 20,4 К в поле Н, перпендикулярном бинарной оси. Экспериментальные кривые показаны пунктиром, они имеют сдвинутое начало отсчета величины М и приведены к масштабу теоретических кривых; оси М иН для экспериментальных кривых помещены справа и сверху. Для теоретических графиков а — безразмерный параметр, пропорциональный —М, 3 равно eh/тс и f — энергия Ферми. Если отождествить кривую для 14,2 К с зависимостью для кТ/^ = 0,15, то мы получаем ^ ~ 1,3 х 10-4эрг и m/mQ ~ 0,03. .

50%) в периоде осцилляций. Мне повезло, что Пайерлс был тогда в Кембридже в роли «домашнего теоретика» при Мондовской лаборатории. В рамках своей теории он сразу увидел причину эффекта в сильном относительном изменении малого числа электронов проводимо сти висмута. Пайерлс сравнивал введение примесей с вливанием или выливанием небольшого количества жидкости из бутылки, где уровень находится в узком горлышке: уровень (т.е. эффективное число электронов) может сильно меняться, а полный объем (т.е. все пять валентных электронов на атом) остается почти тот же.

Вскоре после этой работы Кембридж посетил К. С. Кришнан, который рассказал о нескольких разработанных им оригинальных методах исследования магнитной анизотропии с помощью измерения механического момента сил, действующего на кристалл, подвешенный в однородном магнитном поле (см., например, [243]). Мне пришло в голову, что с помощью этого метода можно наблюдать осцилляции дГвА гораздо лучше, чем методом Фарадея, которым я пользовался раньше. Для метода Фарадея нужно, чтобы поле изменялось на размере образца, а это неизбежно сглаживает осцилляции («размытие фазы»), особенно при малых полях, когда вариация поля на размере образца (пропорциональная Я) становится сравнимой с интервалом поля одного периода осцилляций (пропорциональным Я2). При крутильном же методе используется однородное поле, так что такого размытия фазы не происходит. Чтобы возник вращающий момент, у металла должна быть, конечно, магнитная анизотропия (позже мы увидим, что точное требование заключается в анизотропии поверхно- «ли Ферми), а висмут, во всяком случае, удовлетворяет этому условию.

Удобная возможность осуществить эту идею представилась мне в 1936 г., когда я получил от Капицы приглашение в течение года поработать в только что построенном Институте физических проблем в Москве. Эксперимент с вращающим моментом был как раз достаточно прост, и его можно было осуществить менее чем за год, а благодаря превосходным техническим возможностям института, я получил резкие осцилляции уже через семь недель после приезда в Москву (рис. 1.3). Как и предполагалось, осцилляции можно было проследить до ораздо более низких полей, чем в методе Фарадея!), и можно было подробно исследовать влияние на эффект кристаллической ориентации, поля и температуры. Мне опять повезло, что рядом был теоретик — на сей раз Ландау. Это кажется удивительным совпадением, но он тогда как раз разработал теорию для расчета формы осцилляций дГвА. Я теперь уже не помню точно, побудило ли Ландау к этому то, что он знал о моих опытах, или это была чистая случайность, но я точно помню, что однажды он как бы между прочим сказал, что мне, наверное, будет интересно увидеть формулу, которую я мог бы во всех отношениях сравнить со своими экспериментальными результатами.

В этой формуле были отражены два важных улучшения. Во- первых, она давала в явном виде вращающий момент как функцию

> Осцилляции на рис. 1.3 выглядят лучше по сравнению с рис. 1.1 не только из-за от- < у । с гния неоднородности поля, но и из-за более низкой температуры.

Рис. 1.3. Осцилляторная зависимость вращающего момента для Bi при 4,2 К. По оси ординат отложена величина С/Н1, где С — вращающий момент на единицу объема при поле Н. Направление поля составляет угол 9,7° с бинарной осью и лежит в бинарно-тригональной плоскости; вращающий момент измерялся по отношению к оси, нормальной к этой плоскости (по работе Шенберга [379]).

всех переменных величин эксперимента — ориентации кристалла, поля и температуры, а также теоретических параметров, которыми служили эффективное число электронов и тензор эффективных масс. Во- вторых, в ней должным образом учитывалась симметрия кристалла введением четырех независимых массовых параметров. Правда, незадолго до этого Блекман [49] усовершенствовал теорию Пайерлса, учтя анизотропию, что значительно улучшило согласие между теорией и экспериментом, но он использовал несколько упрощенную модель (лишь с тремя массовыми параметрами), которая не могла полностью отразить реальную симметрию кристалла.

Появление явной аналитической формулы было очень важно, она давала указание на то, какие именно измерения представляют интерес, и позволяла получать из них основные параметры. Даже если бы теории Пайерлса и Блекмана полностью учитывали симметрию кристалла, получить с их помощью из эксперимента наилучшие значения параметров было бы гораздо труднее. Получение каждой точки на кривой намагниченности для одного набора параметров требовало сложного численного расчета. Безусловно, при современных вычислительных методах можно было бы достичь оптимизации параметров,

но в то время это представлялось устрашающей задачей. Однако в случае формулы Ландау такая, задача была относительно простой. Оказалось, что формула дает прекрасное согласие со всеми данными, но с двумя оговорками. Во-первых, чтобы достичь хорошей аппроксимации зависимости амплитуды от поля и температуры, приходилось вместо Т подставлять в формулу величину (Г + х), гдех— постоянная около 1 К, а во-вторых, получалось, что фаза осцилляций отличается от расчетной примерно на 180°. Несмотря на эти расхождения, причина которых позже прояснилась, можно было довольно хорошо оценить компоненты тензора массы и число электронов. Следует подчеркнуть, что Ландау считал (как и все до него) изоэнергетические поверхности в £-пространстве (включая поверхность Ферми) эллипсоидами, а зависимость энергии от к квадратичной. При этих допущениях полученные параметры описывали поверхность Ферми. Таким образом, можно утверждать, что это и было первым определением поверхности Ферми (рис. 1.4).

Результаты моих экспериментов были опубликованы как на русском [378] (1938 г.), так и на английском языке [379] (1939 г.). В английском варианте имеется ссылка на работу Ландау и приложение, в котором Пайерлс по моим грубым наброскам воспроизвел вывод использованной формулы Ландау.

кг ^тригональнаяось)кг ^тригональнаяось)Рис. 1.4. Поверхность Ферми Bi состоит из трех электронных эллипсоидов и одного дырочного эллипсоида. Сечения одного из электронных эллипсоидов плоскостями кук^ и кхк^ показаны приблизительно в масштабе; два других эллипсоида получаются поворотом на ±120° вокруг оси к^. Дырочный эллипсоид является эллипсоидом вращения вокруг оси к^. Положения различных эллипсоидов в зоне Бриллюэна показаны на рис. 5.27.Рис. 1.4. Поверхность Ферми Bi состоит из трех электронных эллипсоидов и одного дырочного эллипсоида. Сечения одного из электронных эллипсоидов плоскостями кук^ и кхк^ показаны приблизительно в масштабе; два других эллипсоида получаются поворотом на ±120° вокруг оси к^. Дырочный эллипсоид является эллипсоидом вращения вокруг оси к^. Положения различных эллипсоидов в зоне Бриллюэна показаны на рис. 5.27.

кг ^тригональнаяось)

кг ^тригональнаяось)

Рис. 1.4. Поверхность Ферми Bi состоит из трех электронных эллипсоидов и одного дырочного эллипсоида. Сечения одного из электронных эллипсоидов плоскостями кук^ и кхк^ показаны приблизительно в масштабе; два других эллипсоида получаются поворотом на ±120° вокруг оси к^. Дырочный эллипсоид является эллипсоидом вращения вокруг оси к^. Положения различных эллипсоидов в зоне Бриллюэна показаны на рис. 5.27.

Рис. 1.4. Поверхность Ферми Bi состоит из трех электронных эллипсоидов и одного дырочного эллипсоида. Сечения одного из электронных эллипсоидов плоскостями кук^ и кхк^ показаны приблизительно в масштабе; два других эллипсоида получаются поворотом на ±120° вокруг оси к^. Дырочный эллипсоид является эллипсоидом вращения вокруг оси к^. Положения различных эллипсоидов в зоне Бриллюэна показаны на рис. 5.27.

1947—1960 гг.: зарождение «фермиологии»

Следующие шаги в этом направлении были сделаны только после войны, в 1947 г., когда Дж. А. Маркус из Йельского университета обнаружил эффект дГвА в цинке. В 1941 г. Нахимович [306] наблюдал аномалии в магнетосопротивлении цинка, и Маркус/считая, как и де Гааз и ван Альфен, что аномальное магнетосопротивление может быть связано с аномальным магнитным поведением, решил обратиться к исследованию цинка. Предположение оправдалось, и с помощью весов Кюри наблюдались отчетливые осцилляции восприимчивости, качественно подобные наблюдавшимся ранее на висмуте. Вскоре последовали более подробные исследования методом вращающего момента ([428, 283]). Результаты в общих чертах согласовывались с эллипсоидальной моделью Ландау, хотя были и отдельные расхождения в деталях.

Несмотря на то что в 1933 г. Пайерлс [326] ясно отмечал, что эффект дГвА должен иметь место во всех металлах, особенно с малым числом свободных электронов, большинство экспериментаторов (и автор в их числе) до 1947 г. молчаливо полагали, что на практике эффект можно наблюдать только в висмуте. Такое несколько благодушное отношение к делу не могло, конечно, продолжаться после обнаружения Маркусом эффекта в цинке, и в 1949 г. Веркин, Лазарев и Руденко в Харькове и я в Кембридже начали поиски эффекта в разных других металлах с помощью метода вращающего момента^. Вскоре стало ясно, что осцилляции могут наблюдаться почти в каждом поливалентном металле при наличии хороших монокристаллических образцов. То, что эффект не наблюдался на одновалентных металлах, не было особенно удивительным, так как оценки показывали, что надо использовать существенно ббльшие поля, чтобы величина амплитуды осцилляций стала достаточной для экспериментального наблюдения.

Картины поведения разных поливалентных металлов могли привести в замешательство своим многообразием как в отношении амплитуды и сложности периодических зависимостей, так и по характеру зависимости картины от ориентации. Было ясно, что эллипсоидальная модель Ландау, столь хорошо служившая для висмута, как правило, не подходит для объяснения ни многообразия периодов, ни зависимости от ориентации. Однако формула Ландау точно описывала постоянство периодов осцилляций в обратном поле и форму зависимости амплитуды от температуры.

Значительный теоретический прогресс был достигнут на этот раз Динглом [119] (1952 г.), который указал, что рассеяние электронов до

*) Полная библиография до 1952 г. содержится в работе [3811.

лжно приводить к уширению уровней Ландау, и следовательно, к необходимости введения дополнительного множителя, уменьшающего амплитуду. Действовать этот множитель должен примерно так же, как повышение температуры. Температура Дингла, как была названа эта эффективная добавка х к температуре Т, могла, таким образом, служить объяснением уже упоминавшегося расхождения между экспериментальными результатами на висмуте и первоначальной формулой Ландау. При обработке всех новых результатов также необходимо было включать температуру Дингла в формулу, чтобы правильно описать зависимость амплитуды от поля и температуры. Как будет показано ниже (гл. 8), в образцах чистых металлов ослабляющий фактор Дингла вызван не столько уширением уровней Ландау из-за рассеяния электронов, сколько размытием фазы, связанным с неоднородностью образца. Только в относительно грязных образцах доминирует эффект уширения уровней Ландау.

Здесь уместно также упомянуть еще об одном важном достижении теории со времени вывода формулы Ландау, а именно учете расщепления уровней Ландау из-за спина электрона. Впервые это было сделано Ахиезером [3] (1939 г.) для свободных электронов, а впоследствии — более общим образом Зондхаймером и Вильсоном [410] (1951 г.) и Р. Динглом [118] (1952 г.)п. Эффект спинового расщепления сводится к тому, что возникает разность фаз между осцилляциями, вызванными электронами с противоположным направлением спина, так что результирующая амплитуда должна быть умножена на коэффициент со8(тгД£/0//), где Де — разность энергий между уровнями с разным направлением спина, а 0Я — расстояние по энергии между последовательными уровнями Ландау (оба на поверхности Ферми). Именно спиновый фактор и объясняет разность фаз в 180° между экспериментально наблюдавшимися осцилляциями и предсказанием формулы Ландау. Это стало несомненным, когда Коэн и Блаунт [80] (1960 г.) показали, что сильное спин-орбитальное взаимодействие действительно должно делать величину Де почти равной 0Н для висмута, а значит, и спиновый фактор — близким к — 1, как для свободных электронов в теории Ахиезера. Лишь значительно позже были получены другие свидетельства важной роли спинового фактора.

К 1952 г. был накоплен значительный экспериментальный материал по 13 поливалентным металлам, в которых наблюдался эффект дГвА (см. [381] и библиографию в этой работе); лишь один металл,

4 Зондхаймер и Вильсон отмечают,, что работа Дингла сделана раньше, хотя его . татья и появилась позднее.

свинец, дал в то время отрицательные результаты. Однако, поскольку эллипсоидальная модель оказывалась обычно непригодной, число эффективных электронов (т.е. объемы поверхностей Ферми) и энергии Ферми можно было оценить только по порядку величины. Эффективные (циклотронные) массы и их зависимости от ориентации оценивались гораздо точнее. К счастью, в это время было сделано важное теоретическое открытие, и, как это часто случается в истории науки, оно было сделано дважды, независимо и почти одновременно. В 1951 г. Онзагер на год приехал в Кембридж из Йеля и привез очень изящное и простое объяснение периодичности осцилляций в терминах геометрии поверхности Ферми (ПФ). Вскоре он изложил эту идею на трех страницах в статье [311] (1952 г.), которая стала своего рода классикой. Совершенно независимо И. М. Лифшиц, работавший тогда в Харькове, выдвинул по существу ту же идею в неопубликованной лекции в Украинской Академии наук в Киеве в 1950 г., а несколько позднее (1954, 1955 гг.) он и Косевич ([265, 266]) развили эту идею в подробную теорию, которая давала не только частоту осцилляций, но и их амплитуду и фазу.

Идея Онзагера — Лифшица была основана на простом полуклас- сическом рассмотрении движения электронов в магнитном поле с использованием условия Бора—Зоммерфельда для квантования движения. При этом получается, что частота осцилляций дГвА F (т.е. величина, обратная периоду в шкале 1/Я) прямо пропорциональна площади экстремального сечения Л поверхности Ферми, а коэффициент пропорциональности состоит из мировых констант. Это соотношение имеет вид

F = (ch/2ne)A. (1.1)

bro значение заключается, конечно, в том, что оно дает способ точного измерения поверхностей Ферми, хотя прошло еще пять лет, прежде чем этот способ нашел систематическое применение.

Трудность использования соотношения Онзагера^ для определения поверхностей Ферми носила отчасти экспериментальный, отчасти теоретический характер. С экспериментальной стороны измерения проводились в относительно слабых и не очень однородных магнитных полях, часто с использованием низкокачественных образцов,

Таково принятое теперь название для уравнения (1.1) и для условия квантования, на котором оно основано; вклад Лифшица зафиксирован тем, что общая формула для амплитуды осцилляций называется формулой Лифшица—Косевича (ЛК). (В советской литературе соотношение (1.1) называется соотношением Лифшица—Онзагера. — Прим. ред.)

так что заметны были лишь довольно низкочастотные осцилляции, соответствовавшие только небольшим фрагментам ПФ. Осцилляции, отвечающие основным частям ПФ, имели бы слишком малую амплитуду и слишком высокую частоту, чтобы их можно было обнаружить при тогдашних экспериментальных условиях. В теоретическом отношении тогда было очень плохо известно, как должны выглядеть малые части ПФ поливалентного металла. Расчеты зонных структур были еще слишком грубыми, чтобы давать сколько-нибудь достоверные предсказания о столь тонких подробностях, как наличие или отсутствие малого «кармана» у ПФ в зоне с большим номером. Таким образом, почти нечем было руководствоваться при попытках определить, какого рода ПФ может быть построена на основе наблюдаемых малых экстремальных сечений.

Некоторые указания, правда, имелись — была сформулирована весьма изящная геометрическая теорема Лифшица и Погорелова [267] (1954 г.), которая давала точный и однозначный способ восстановления поверхности, если известны ее экстремальные сечения Л для всех направлений нормали к секущей плоскости. Эта теорема, однако, справедлива только при жестких ограничениях, которым, увы, редко удовлетворяют реальные ПФ. Несмотря на свою элегантность, теорема Лифшица—Погорелова не получила практического применения. Единственная попытка приложить ее систематически к экспериментальным данным по площадям сечений была предпринята Ганнерсе- ном [192] (1957 г.) для алюминия. Он построил ПФ, состоявшую из трех подушкообразных поверхностей, экстремальные сечения которой находились в разумном согласии с зависимостью частоты осцилляций от ориентации, однако позже, в свете более полных данных и новых теоретических идей о зонной структуре, она оказалась совершенно неправильной.

На этом этапе стало ясно, что возможность дальнейшего прогресса связана с проведением измерений в более сильных полях. Сверхпроводящие магниты еще не были разработаны, а магниты с водяным охлаждением, дающие поле 50 кГс и более, было трудно достать, кроме того, с ними, вероятно, было бы неудобно работать из-за сложности стабилизации поля с точностью, лучшей, чем период осцилляций дГвА. Я подумал, что неплохим решением было бы применить импульсное магнитное поле и регистрировать магнитные осцилляции по ).д.с, которая возбуждалась бы в подходящей приемной катушке. Эта идея впервые была успешно осуществлена в 1952 г. [382] после двухлетних поисков (см. гл. 3), что давало возможность при полях около КХ) кГс исследовать значительно более высокие частоты осцилляций и соответственно ббльшие фрагменты поверхности Ферми.

После довольно значительной предварительной исследовательской работы [383, 385] метод импульсного сильного магнитного поля был впервые систематически применен Голдом [168] (1958 г.) для подробного изучения зависимости от ориентации достаточно сложного спектра частот свинца (см. рис. 5.19). Его интерпретация полученных экспериментальных результатов представляла собой 'важный вклад в понимание поливалентных металлов. Интерпретация производилась для поверхности Ферми в модели почти свободных электронов (ПСЭ) — модели, которая на первый взгляд казалась совсем неподходящей для металла с большим атомным номером, подобным свинцу. В схеме приведенных зон различные части, которые отсекаются от сферы свободных электронов гранями зоны Бриллюэна, вновь складываются в своих зонах. Получающиеся части ПФ дают грубое представление о том, как может выглядеть ПФ, если периодический потенциал допустимо рассматривать как относительно слабое возмущение. Отдельные части ПФ, полученной с помощью модели ПСЭ, показаны на рис. 5.15, и можно видеть, что существует множество экстремальных сечений. Некоторые из них были правдоподобно идентифицированы Голдом с отдельными ветвями наблюдаемого спектра частот. Несколько лет спустя Андерсон и Голд [18] (1965 г.) предприняли еще более подробное исследование свинца (см.рис. 5.19), используя значительно усовершенствованную методику эксперимента, и подтвердили в главных чертах первоначальную интерпретацию Голда, выявив еще много ветвей спектра, предсказанных моделью ПСЭ, но не обнаруженных в первой работе.

Успех модели ПСЭ сыграл важную роль в разработке теории псевдопотенциала в конце 50-х годов. Хейне [205] еще в 1957 г. нашел, что расчет зонной структуры из первых принципов для алюминия дает ПФ, описываемую приближением ПСЭ^, несмотря на то что периодический потенциал был гораздо сильнее, чем слабое возмущение в идеальной модели свободных электронов. Таким образом, успех модели почти свободных электронов в случае свинца, у которого периодический потенциал должен быть гораздо сильнее, чем у алюминия, свидетельствовал о существовании какого-то нового принципа. Этот принцип был вскоре раскрыт в работах Филлипса и Клейнмана, Моррела Коэна и Хейне и Харрисона (подробный обзор дан в работе [207]) и привел к концепции псевдопотен-

D Однако некоторые детали этой ПФ были очень чувствительны к предположениям при расчете. Оказалось, что малые подушкообразные части ПФ, неплохо согласовывавшиеся с данными Ганнерсена по эффекту дГвА (см. выше), не существуют в ПФ (которая описывается приближением ПСЭ). Это было установлено теоретическими и экспериментальными работами (см. п. 5.3.3.1).

циала. Оказывается, что с помощью некоего математического приема уравнение Шредингера для электронов, движущихся в реальном сильном периодическом потенциале, может быть переделано так, что оно выглядит уже как уравнение Шредингера для электронов, движущихся в гораздо более слабом псевдопотенциале. Это преобразованное уравнение Шредингера определяет модифицированную волновую функцию («псевдоволновую функцию»), но собственные значения энергии в интересующем нас диапазоне остаются почти такими же, как в первоначальной задаче. Таким образом, очень сложная реальная проблема сводится к гораздо более простой — решению уравнения Шредингера для модели ПСЭ со слабым возмущающим периодическим потенциалом.

Хотя методика импульсного поля успешно применялась для наблюдения осцилляций, связанных с основными частями поверхностей Ферми поливалентных металлов, и тем самым способствовала лучшему пониманию их зонной структуры, еще несколько лет не удавалось обнаружить эффект дГвА ни в одном одновалентном металле. Теперь задним числом ясно, что причинами неудач первых попыток были концентрация усилий на наименее перспективных металлах и невысокое качество образцов. Самые первые опыты делались с натрием в расчете на то, что это «самый простой» металл, хотя в действительности из-за существования мартенситного превращения при температуре около 40 К весьма трудно получить монокристаллический образец, который выдержал бы охлаждение до гелиевой температуры без серьезного повреждения. Потом было много попыток с кристаллами меди, которые, по всей видимости, оказались неудачными главным образом из-за низкого качества и неподходящей ориентации кристаллов. Тогда еще не осознавали, что для благородных металлов осцилляции в приближении свободных электронов могут происходить только при некоторой части всех возможных ориентаций; не осознавали также и того, что из грех благородных металлов медь имеет наименьшую амплитуду осцилляций дГвА. Ситуация казалась безнадежной, подобно поискам черной кошки в темной комнате, когда неясно даже, там ли кошка.

Наконец произошел прорыв благодаря сочетанию удачи и не совсем верных предположений. Я подумал, что нитевидные кристал- ил могли бы быть гораздо более совершенными, чем выращенные и j расплава, и, посещая летом 1958 г. Исследовательские лаборатории фирмы «Дженерал Электрик» в Скенектади, получил некоторое количество медных «усов», приготовленных г-жой Е. Фонтанелла. Наконец, 19 декабря 1958 г. на одном из этих «усов» я увидел ос-

Рис. 1.5. Первое наблюдение эффекта дГвА в Си (Шенберг [386]). Образец представлял собой вискер с ориентацией <111>; температура равнялась 1,1 К. За время развертки 0,6 мс поле уменьшалось примерно на 250 Гс от значения 72 кГс в начале записи; на осциллограмме укладывается 28 осцилляций, что соответствует значению F = 5,8 х 108 Гс, почти точно совпадающему с принятым в настоящее время. Учащение осцилляций к концу записи связано с тем, что скорость уменьшения поля от своего максимального значения растет со временем.

цилляции (рис. 1.5), которые безошибочно выделялись над уровнем шума и имели точно ожидаемую частоту дГвА. Коль скоро полезный сигнал был получен, не потребовалось особо много времени на улучшение методики настолько, чтобы достаточно подробно определить ПФ меди, а также серебра и золота (см. п. 5.3.2). Не совсем верным предположением было то, что «усы» должны быть более совершенны, чем кристаллы, выращенные из расплава. По-

настоящему совершенны на самом деле только самые тонкие нитевидные кристаллы — настолько тонкие, что польза от них невелика, а я использовал сравнительно толстые «усы» (диаметром в несколько десятых миллиметра), так что монокристалл, выращенный из расплава подходящим методом, был бы, вероятно, немногим хуже. Достаточно хорошие кристаллы серебра и золота нетрудно было получить из расплава. А в конце концов появились и медные

кристаллы лучшего качества.

Параллельно с начавшимся систематическим использованием эффекта дГвА для определения поверхностей Ферми быстро развивались также другие методы1^ Пиппард [337] показал, что аномальный скин-эффект (скин-эффект в условиях, когда длина свободного пробега больше, чем глубина скин-слоя) для любого данного

О Краткий обзор различных методов, в том числе некоторых, развитых в 60-е годы, содержится в работе [393].

направления радиочастотного (РЧ) поля можно связать с геометрическими свойствами ПФЧ Хотя связь была достаточно сложной, включающей кривизну поверхности, Пиппард предложил использовать ее для определения ПФ из систематических измерений анизотропии радиочастотного поверхностного импеданса в условиях аномального скин-эффекта. В 1957 г. во время работы в Чикагском университете Пиппарду удалось определить этим методом ПФ меди с точностью, которая позволила утверждать, что в направлениях <111> эта поверхность «выпячивается» из сферы свободных электронов настолько, что соприкасается с гранями зоны Бриллюэна, нормальными к <111>. Это было немаловажное достижение, в частности потому, что оно указывало направление дальнейших экспериментов по эффекту дГвА. Однако связь между геометрией ПФ и аномальным скин-эффектом столь сложна, что обычно почти невозможно однозначно восстановить ПФ по результатам эксперимента. Скорее наоборот, определив ПФ, можно вычислить, каким должен быть аномальный скин-эффект, т.е. появляется полезная возможность проверки правильности определения.

Пиппард [339] способствовал также развитию магнитоакустического метода определения поверхностей Ферми. Это произошло в результате его остроумной интерпретации наблюдавшихся Бёмме- лем [54] осцилляций поглощения ультразвуковых волн, проходящих через тонкий кристалл, при изменении магнитного поля. Он предположил, что поглощение увеличивается тогда, когда размер классической электронной орбиты совпадает с нечетным числом половин длин звуковых волн, и что период, следовательно, соотносится с диаметром ПФ.

Другие важные вклады были сделаны харьковской группой теоретиков И. М. Лифшица. Лифшиц, Азбель и Каганов [264] показали, как с помощью ориентационной зависимости магнетосопротивления металлического кристалла можно делать выводы относительно топологии ПФ — указать, имеются ли открытые орбиты в сечениях ПФ на плоскостях, нормальных к направлению поля2). Эта идея вскоре стала применяться экспериментальной группой Алексеевского в Москве (см., например, [4]) и часто помогала разобраться в сложных поверхностях Ферми. Кроме того, Азбель и Канер [32] выдвинули идею нового рода циклотронного резонанса в магнит-

0 Пиппардовский вывод общего результата был стимулирован проведенным несколько ранее Зондхаймером [409] расчетом аномального скин-эффекта для эллипсоидальной ПФ.

2> См. также работу [483]. — Прим. ред.

ном поле, параллельном поверхности металла, когда радиочастотное поверхностное сопротивление убывает всякий раз, как частота становится кратной циклотронной частоте (т.е. частоте вращения электронов). Из измерения периода соответствующих осцилляций радиочастотного поверхностного сопротивления можно получить циклотронную частоту и циклотронную массу, а значит (как объяснено в гл. 2), и информацию о дифференциальных свойствах ПФ. Этот эффект вскоре был обнаружен Фосеттом [145] и в дальнейшем подробно исследовался на различных металлах, особенно Ки- пом и его группой в Беркли (см., например, [236])°. Циклотронную массу можно, конечно, также определить из температурной зависимости амплитуды эффекта дГвА.

Наконец, следует упомянуть, что не только намагниченность, но и многие другие физические свойства также осциллируют при изменении поля, например температура образца (магнитотермический эффект), геометрические размеры (магнитострикция), скорость звука, электропроводность (эффект Шубникова—де Гааза) и поглощение звука. Одни из них могут служить способом определения частоты дГвА, другие дают, кроме того, дополнительную информацию, например, о влиянии давления на ПФ. Обзор различных ос- цилляторных эффектов и той информации, которая может быть получена с их помощью, дан в гл. 4.

К I960 г. существенно возросла активность исследования электронной структуры металлов как теоретического с помощью расчетов зонной структуры, так и экспериментального с помощью изучения различных явлений, из которых можно получить информацию о ней. Постепенно эту область исследований стали именовать «фермиологией», удобным названием для предмета, который не так уж легко определить, и можно сказать без преувеличения, что к I960 г. она стала признанным разделом физики твердого тела. Это было отмечено важной конференцией по поверхностям Ферми в Куперстауне, шт. Нью-Йорк, на которой были представлены как экспериментальные, так и теоретические достижения и которая стимулировала сотрудничество между теоретиками и экспериментаторами [202].

После I960 г.: фермиология достигает зрелости

После конференции в Куперстауне отмечался удивительно быстрый прогресс в разных направлениях исследований, фермиология

^ А также М. С. Хайкиным (Москва) [484]. — Прим. ред.

становилась все более популярной, существенно усовершенствовались эксперимент и теория. На конференции выражалась в числе прочих надежда, что скоро станет возможно исследовать определенный металл многими различными методами, чтобы удостовериться, что ПФ как понятие не зависит от того, с помощью какого явления она изучена. Эта надежда скоро осуществилась для некоторых металлов, кроме того, появились и новые методики, например радиочастотный размерный эффект Гантмахера [159] (1962 г.) и метод аннигиляции позитронов (см., например, [42]), которые давали дополнительное подтверждение. Однако постепенно стало ясно, что, как правило, наиболее гибким и точным методом определения поверхностей Ферми остается все-таки эффект дГвА (обсуждение см. в работе [393]).

Доверие к методу дГвА еще более укрепилось после достаточно общего рассуждения, представленного Латинжером [276] (1960 г.) на конференции, из которого следовало, что коэффициент пропорциональности между частотой дГвА/7 и площадью сечения ПФ А действительно должен быть, как в уравнении (1.1), универсальной постоянной и не зависеть от эффектов взаимодействия. Это противоречило предположениям Фаликова [140] и Стерна [425], которые утверждали, что заряд электронае в (1.1) должен быть заменен эффективным зарядом е*, который может отличаться на несколько процентов. В пользу такого отличия действительно свидетельствовали некоторые данные ранних экспериментов на благородных металлах [387], но вскоре было показано [389], что они являются случайным результатом, вызванным небольшой ошибкой в калибровке магнитного поля.

На конференции в Куперстауне упоминалось еще об одном загадочном явлении, обнаруженном Пристли: одна из частот осцилляций, которые он наблюдал на магнии, была так велика, что не поддавалась никакой разумной интерпретации (см. [388], с. 80). Она отвечала площади экстремального сечения ПФ, гораздо большей, чем можно было ожидать на основании правдоподобных моделей. Эта загадка была вскоре разрешена в принципе Коэном и Фалико- вым [81]; Блаунт [52] более подробно рассмотрел это явление. Оказалось, что электрон испытывает магнитный пробой, разновидность квантового туннелирования между состояниями в разных зонах, имеющими одинаковую энергию, но разделенными небольшим потенциальным барьером. Электрон может перескакивать с одной орбиты на другую и таким образом описывать новые и, возможно, гораздо бблыиие орбиты. Это открывало целую новую область ис-

следований, которые не только представляли значительный интерес сами по себе, но давали ценную дополнительную информацию о тонких деталях зонной структуры (обзор этих исследований см. в работе [418], а также в гл. 7).

Еще одна любопытная особенность эффекта дГвА, которая наблюдалась для благородных металлов в сильных магнитных полях, — осцилляции с аномально высоким числом высших гармоник [389]. Оказалось, что это тоже интересный эффект, связанный с магнитным взаимодействием, т.е. проявлением того, что электроны «видят» магнитную индукцию В, а не поле Н. Обычно этим можно пренебречь, что и было сделано в формуле ЛК. Однако в сильных полях и при достаточно низких температурах амплитуда 4тг<1Л//с1В может возрасти настолько, что различие между В и Н станет существенным, а это может привести к ряду необычных эффектов типа смешения частот, а также к изменению амплитуд гармоник (по сравнению с предсказанием теории, пренебрегающей магнитным взаимодействием). Лучшее понимание этого явления, достигнутое в 60-х годах, помогло справиться с многими трудностями в интерпретации спектров осцилляций дГвА и в некоторых приложениях, упомянутых ниже. Подробный обзор дан в гл. 6.

Важнейшие технические достижения 60-х годов были связаны с использованием сверхпроводящих магнитов. И хотя импульсным методом можно было достичь бдлыиих полей, постоянство поля давало существенный выигрыш в отношении сигнала к шуму и в точности измерений. Вместо используемого в импульсном методе быстро изменяющегося поля для возбуждения э.д.с., часть которой была пропорциональна йМ/йН, для выделения осцилляций применялось наложение малого переменного поля и записывалась зависимость сигнала с приемной катушки от медленно меняющегося постоянного поля. Один из моих бывших учеников, Дж. К. Хьюм, разрабатывал тогда в фирме «Вестингауз» первые сверхпроводящие магниты, и однажды во время нашей встречи в Питтсбурге он решил сделать доброе дело и подарить своей прежней лаборатории небольшой магнит на 50 кГс. Это, а также визит в Кембридж П. Дж. Стайлза, молодого американского ученого, который непосредственно разработал методику эксперимента, привели к тому, что мы смогли первыми применить сверхпроводящий магнит для исследования эффекта дГвА [395].

Вскоре такой метод получил широкое распространение, а с введением многих остроумных усовершенствований, ставших возможными благодаря успехам электронной и вычислительной техники, постепенно сделался весьма точным инструментом исследования

спектров осцилляций дГвА. Со времени конференции в Куперстауне были определены поверхности Ферми почти всех металлов, многие из них с большой точностью (для меди радиус ПФ был определен с точностью 10”3). Вместе с этим значительные успехи были достигнуты в методах расчета зонных структур, и часто расчеты и интерпретация данных по эффекту дГвА шли параллельно. Например, теоретически были получены разные способы описания поверхностей Ферми, определяемых только несколькими параметрами (см. гл. 5), и эксперименты дали возможность как проверить надежность теоретической схемы, так и определить значения параметров. Развитие металлургической технологии позволило также изготовлять монокристаллы многих металлических соединений, обладающие стехиометрической чистотой и совершенством почти таким же, как монокристаллы элементарных металлов. Это расширило возможности применения эффекта дГвА в исследовании ПФ многих новых интересных систем (обзор см. в работе [373]).

За последние 10 или 15 лет прогресс в измерительной технике позволил систематически изучать кроме частоты и другие аспекты осцилляций дГвА. Так, затухание амплитуды при уменьшении поля дает температуру Дингла х, а исследуя зависимость х от концентрации примеси в разбавленном сплаве, можно определить вероятность рассеяния электрона в расчете на один примесный атом. Эта вероятность рассеяния есть результат усреднения по циклотронной орбите электрона, но ее зависимость от ориентации можно расшифровать и получить вероятность рассеяния для определенной точки на ПФ. Такого рода информация вместе с данными (из точных измерений частоты) о малых изменениях ПФ при введении примесей дают ценный вклад в понимание зонной структуры сплавов (см., например, [413]). Как уже упоминалось, в относительно чистых образцах температура Дингла часто определяется не столько рассеянием электронов на примесях, сколько присутствием дислокаций. Этот эффект не полностью изучен и заслуживает дальнейших исследований. Вопрос о температуре Дингла и связанных с ней величинах обсуждается в гл. 8.

Из измерений абсолютной амплитуды и содержания высших гармоник в осцилляциях может быть получен с помощью формулы ЛК спиновый понижающий множитель и, следовательно, коэффициент спинового расщепления (g-фактор) электронов проводимости, который в свою очередь дает информацию о спин-орбитальном и электрон-электронном взаимодействиях. При определении g- фактора из экспериментальных данных обнаруживается, что знание

абсолютной фазы осцилляций полезно для прояснения некоторых неопределенностей интерпретации. Поэтому вопросы, касающиеся фазы и спина, рассматриваются вместе в гл. 9.

Изучение магнитных осцилляций активно продолжается, и по- видимому, продлится еще долго. Несомненно, многое еще остается сделать. При дальнейшем совершенствовании измерительной техники и технологии приготовления образцов становится возможным наблюдать и подробно исследовать осцилляции в более сложных системах, например в ферромагнетиках и слоистых веществах, и тем самым вносить вклад в понимание их электронной структуры. Теперь делаются доступными бблыиие магнитные поля и более низкие температуры, а это дает возможность испытывать приложимость теории к экстремальным условиям и обнаруживать, например, отклонения от обычной теории невзаимодействующих частиц, связанные с электрон-электронным взаимодействием. Существуют, кроме того, отдельные вопросы, которые заслуживают дальнейшего исследования из-за несоответствия между разными экспериментами или видимого расхождения с теорией. В соответствующих местах книги таким вопросам будет уделено особое внимание.

План книги

В гл. 2 дано последовательное изложение теории магнитных осцилляций, завершающееся формулой ЛК для осциллирующей части свободной энергии и соответствующими формулами для осцилляций намагниченности, энергии Ферми и плотности состояний. Рассмотрение почти полностью базируется на концепции невзаимодействующих частиц, хотя и будут кратко отмечены последствия многочастичного взаимодействия.

В гл. 3 описаны экспериментальные методы изучения эффекта дГвА, т.е. в данном случае осцилляций намагниченности М и ее производных по полю. Другие виды магнитных осцилляций будут рассмотрены в гл. 4: сначала осцилляции термодинамических величин (кроме намагниченности), которые могут быть получены из свободной энергии (тепловые и механические свойства), а затем осцилляции других величин, в частности эффект Шубникова—де Гааза и гигантские квантовые осцилляции ультразвукового поглощения. Для каждого эффекта будут приведены соответствующая теория, методика эксперимента и иногда некоторые экспериментальные результаты. В гл. 5 обсуждается, как можно определить размеры и форму поверхности Ферми, зависимость от механического

напряжения и дифференциальные свойства (т.е. как изменяется форма изоэнергетической поверхности в зависимости от энергии, если последняя близка к энергии Ферми) из экспериментальных результатов по эффекту дГвА и другим магнитным осцилляциям. В этой области результаты сейчас настолько обширны, что подробно будут рассмотрены только несколько относительно простых примеров, во-первых, чтобы проиллюстрировать общие принципы, а во-вторых, потому, что эти результаты понадобятся для обсуждения в следующих разделах книги.

В гл. 6 и 7 речь пойдет о магнитном взаимодействии и магнитном пробое соответственно — двух эффектах, не затронутых теорией, изложенной в гл. 2. Эти эффекты не только представляют интерес сами по себе, но в определенных случаях их влияние важно правильно учесть при истолковании экспериментальных данных, особенно данных по амплитуде. Гл. 8 посвящена температуре Дингла. В ней показано, какую информацию можно получить о временах электронной релаксации в образцах из разбавленных сплавов, где преобладает рассеяние на примесях, и о полях напряжений в чистых образцах, где размытие фазы является основной причиной уменьшения амплитуды. В последней гл. 9 рассматриваются методы измерения абсолютной фазы и получения значений g-фактора из подходящих измерений абсолютного значения амплитуды и числа высших гармоник.

Наконец, здесь удобно будет перечислить более ранние обзорные работы-, дающие представление о прогрессе в этой области за прошедшие 30 лет. В них можно найти более глубокое рассмотрение отдельных вопросов, а также ссылки на работы, которые прямо не упоминаются в этой книге. Это работы Шенберга [385, 390], Меркурова [296], Голда [169], Крекнелла и Уонга [104], Ленджелера [262], а также различные статьи в книгах [79], [482] и [414].

2

Теория

Предварительное качественное рассмотрение

Прежде чем приступить к детальному изучению теории осцилляций де Гааза — ван Альфена, полезно дать качественное (и в некоторых отношениях полуколичественное) объяснение возникновения осцилляций, предложенное Чемберсом [70]. Для этого мы воспользуемся частью детального анализа, который будет проведен в дальнейшем. Начнем с результата Онзагера: при наличии магнитного поля Н единственно разрешенные состояния располагаются в к- пространстве на трубках, называемых трубками Ландау, которые определяются условием квантования площади

а^кн) = (г + ^2кеН/кс.(2.1)

Здесь а — площадь сечения трубки Ландау плоскостью, нормальной к Н (т.е. для данного кн), г — целое число; сечение трубки представляет собой пересечение поверхности постоянной энергии в с плоскостью. Для газа свободных электронов, который имеет сферические поверхности постоянной энергии, трубки Ландау — круговые цилиндры с общей осью вдоль направления Н. Как будет показано в дальнейшем, это следует непосредственно из решения Ландау уравнения Шредингера при наличии магнитного поля, которое дает в явном виде выражение для энергетических уровней

. ehH к1^е = (г + i)+ -—-

moc 2m0

(mQ — масса свободного электрона), и нет необходимости прибегать к более общим доказательствам.

На рис. 2.1 схематически изображены два набора трубок Ландау; при Т = 0 заняты только состояния, лежащие внутри ПФ. Теперь легко понять, почему энергия, а значит, и намагниченность, должны осциллировать при изменении поля. Если рассмотреть трубку с наибольшей площадью сечения, которая еще частично находится внутри ПФ, ее занятая часть будет сокращаться при увеличении Н и исчезать с бесконечной скоростью в момент касания

Рис. 2.1. Схематическое изображение трубок Ландау в случаях сферических поверхностей постоянной энергии (а), эллипсоидальных поверхностей постоянной энергии (направление большей оси отмечено стрелкой) (б). Штрихами показана поверхность Ферми. При Т = 0 заняты только находящиеся внутри нее части трубок Ландау (по Чемберсу [70] и Голду [169]).

трубки и ПФ, т.е. когда

а = А,(2.2)

где А — площадь экстремального сечения ПФ плоскостями, нормальными к Н. Такие резкие уменьшения заполнения происходят периодически, когда трубки с последовательно уменьшающимся квантовым числом г проходят через ПФ, а это случается, очевидно, через равные интервалы обратной к Н величины

А(1/Н) = 2ке/(ЬсА\(2.3)

или с «частотой» F, определяемой как 1/Д(1/Я) и равной

F = (сЬ/2ке)А.(2.4)

При каждом таком событии мы должны ожидать, что полная энергия Е заполненных состояний будет иметь некоторую особенность (оказывается, что это скачок в зависимости йЕ/йН, т.е. М, от Я), и потому следует ожидать, что энергия и намагниченность при изменении Я будут осциллировать в обратном поле 1/Я с периодом, определяемым соотношением (2.3), или с частотой F, определяемой соотношением Онзагера (2.4).

Вся эта глава посвящена главным образом вычислению амплитуды осцилляций, но некоторые из результатов, которые мы полу-

чим, уже сейчас качественно очевидны. Влияние конечной температуры сказывается в некотором размытии границы между заполненными и незаполненными состояниями, которая при Т = 0 находится на ПФ и является совершенно резкой. Это размытие на величину порядка кТ по энергии уменьшает резкость исчезновения заполненных состояний на трубке и, следовательно, амплитуду осцилляций. Ясно, что уменьшение амплитуды осцилляций зависит от величины размытия по сравнению с энергией, разделяющей соседние трубки, т.е. от отношения кТ/ЗН, где 3 = eh/mc и m — циклотронная мае са [ее определение дается позже, см. (2.21)]. Мы увидим в дальнейшем, что амплитуда р-й гармоники осцилляций в действительности содержит понижающий множитель (2тг^Т//ШЭ/8Ь(27г^Т//ЗН^ В соответствии с принципом неопределенности конечное время релаксации т приводит к размытию квантованных состояний, т.е. трубок Ландау, на величину порядка h/т по энергии, что также уменьшает амплитуду, и появляется дополнительный множитель, зависящий от Ь/^тЗН\ или, что то же, от 1/^т, где wc — циклотронная частота. В действительности для амплитуды р-й гармоники этот множитель (он называется фактором Дингла) оказывается равным ехр(—7r/7/wcT).

Влияние спина электрона проще всего понять, если считать, что электроны с разным направлением спина расположены на разных трубках Ландау. Это приводит к разности фаз между осцилляциями, соответствующими электронам с направлениями спина вверх и вниз, и, следовательно, к некоторой интерференции. Коэффициент, уменьшающий амплитуду, будет просто косинусом половины разности фаз, что приводит к выражению cosV/pirgm/m^ для р-й гармоники, где g — это g-фактор электрона. Заметим наконец, что резкость укорачивания заполненного участка трубки Ландау, когда она проходит через ПФ, определяется тем, насколько сильно площадь сечения ПФ зависит от кн вблизи экстремума. Очевидно, что амплитуда будет тем больше, чем ближе ПФ к цилиндру около экстремума, и расчет показывает, что она пропорциональна (dW/dA^)“1/2, где ,с/ — площадь сечения ПФ при данном кн.

Теперь мы перейдем к систематическому изложению теории, приводящей к формуле Лифшица—Косевича (ЛК) [266] для осциллирующей части свободной энергии системы невзаимодействующих квазичастиц, поведение которых описывается произвольной зависимостью энергии е от волнового вектора к. Изложение будет вестись в следующем порядке.

Рассмотрение динамики электрона в магнитном поле, основанное на квази- классическом подходе, примененном Онзагером. Этот подход включает соотнесение

классических траекторий частиц («орбит») с геометрией поверхностей постоянной энергии в к-пространстве и затем квантование движения, которое дает уровни энергии е в неявной форме Онзагера (2.1), а также определяет вырождение уровней.

Вычисление полной энергии Е при Т = 0 (совпадающей здесь, естественно, со свободной энергией) электронов, значение кн для которых (обозначим его к) лежит в узком промежутке dx, т.е. для существенно двумерного к -пространства. Хотя получающиеся при этом осцилляторные эффекты — только этап в вычислениях, однако существует некоторое соответствие и с реальными двумерными системами, на что будет указано.

Интегрирование по к, которое дает осцилляции в реальной трехмерной системе, по-прежнему при Т = 0.

Использование представления о размытии фазы для учета конечной температуры, рассеяния электронов, неоднородностей и спина электрона. В результате мы приходим к обычной формуле ЛК для осциллирующего термодинамического потенциала О.

Хотя теория направлена^на получение осциллирующего термодинамического потенциала О, в процессе вычислений мы также получим осциллирующую намагниченность М и осцилляции плотности состояний и энергии Ферми. На каждой стадии результаты для произвольного закона дисперсии с(Л) иллюстрируются с помощью модели газа свободных электронов, свойства которого обычно можно вывести более элементарным способом. Обсуждение осцилляций тепловых и механических свойств, которые, как и М, выводятся из Й, а также других видов осцилляций мы отложим до гл. 4. В заключение будут кратко рассмотрены многочастичные эффекты, которые, как выясняется, только при экстремальных условиях существенно меняют вид формулы ЛК, хотя параметры, входящие в формулу, могут заметно измениться.

Вычисление энергетических уровней

Динамика электрона в магнитном поле^

Основное уравнение квазиклассического подхода получается, если приравнять скорость изменения импульса hk и силу Лоренца, т.е.

•— е

hk =—(v х Н),(2.5)

с

где к — волновой вектор электрона, и — его скорость и -е — заряд электрона в электростатических единицах (таким об-

!) Рассмотрение основано на работе Пиппарда [345], в которой изложены основы квазиклассического метода. В этой главе мы будем считать, что намагниченность М мала, так что разницей между В иН можно пренебречь, так же как и влиянием формы образца, связанными размагничивающим полем. Изменения, которые необходимо сделать в теории, если это предположение не выполняется (как это бывает в определенных условиях), будут рассмотрены в гл. 6.

разом, е — положительная величина). Скорость и электрона связана с его энергией £ соотношением

1 ,

» = -gradte.(2.6)

Поскольку сила Лоренца направлена перпендикулярно и, она не может произвести работы над электроном и е остается постоянной при изменении к со временем. Это также ясно из уравнения (2.6), которое требует, чтобы скорость и была нормальна к поверхности постоянной энергии и соответственно чтобы вектор к, перпендикулярный v, был тангенциален к этой поверхности. Поскольку к также перпендикулярен Я, отсюда следует, что конец вектора к описывает орбиту, получающуюся пересечением поверхности постоянной энергии и плоскости, нормальной к Н.

Интегрирование уравнения (2.5) по времени дает

— с

Цк — к0) =—Щ — Ro) х Н,(2.7)

с

где R —- радиус-вектор электрона при его движении по классической траектории, индекс нуль соответствует значению в определенный момент времени. Это означает, что проекция классической траектории на плоскость, нормальную к Я, получится путем пропорционального изменения размеров траектории, описываемой вектором к, т.е. сечения поверхности постоянной энергии £ плоскостью, нормальной к Я (см. рис. 2.2). Таким образом, если обозначить через R' проекцию R на плоскость, нормальную к Я, то получим

\R,-Ro\ = n\k-ko\,(2.8)

где ту — коэффициент пропорциональности, определяемый соотношением

И = ch/eH.(2.9)

Кроме того, как следует из (2.7), траектория R' повернута на 90° в своей плоскости относительно траектории в ^-пространстве.

Следует отметить, что в общем случае и имеет как параллельную, так и перпендикулярную Я составляющие, поэтому траектория R будет винтовой линией, т.е. более сложной, чем плоская траектория R'. Скорость движения вдоль винтовой линии, т.е. параллельно Я, будет, вообще говоря, изменяться по мере того, как R' описывает плоскую траекторию, но, конечно, она будет повторять-

Рис. 2.2. а (слева? — сечения при постоянном к (т.е. плоскостью, нормальной к Н) поверхностей постоянной энергии г и е + Дб и (справа) проекция на нормальную к Н плоскость соответствующих траекторий в реальном пространстве (траектории R'Y Траектории R* подобны траекториям к', но повернуты на 90°. б — сечения при значениях к и к + Дк поверхности постоянной энергии £, спроецированные на общую плоскость; случай непересекающихся сечений, в — то же, что и б» но для такой поверхности, для которой эти сечения пересекаются в двух точках Л и В. Площадь левой части сечения быстрее уменьшается с ростом к, чем увеличивается площадь правой части. Можно рассмотреть также более сложные случаи с четырьмя, шестью, или любым четным числом пересечений, г — схематические графики зависимости от времени расстояния RH вдоль направления поля Н. Графики соответствуют случаям 6 и в и (нижний график) случаю да/дк = 0 (ср. с простым примером рис. 2.3).

ся периодически каждый раз, когда R' будет возвращаться к начальному значению. Угловую частоту, с которой описывается орбита R', так называемую циклотронную частоту ыс, можно легко вычислить в терминах геометрии поверхностей постоянной энергии с, при этом получается и шагР для классического движения по винтовой линии.

Из (2.5) и (2.6) мы получаем, что время dZ, за которое описывается элемент d* траектории Л, равно

dt = — dA/|gradkе х Н| = —dfc/(Ae/A^), ееН

где М' есть приращение Л' в направлении, нормальном к к- орбите, соответствующее приращению Де энергии с, как показано на рис. 2.2, а (здесь к* есть компонента вектора к в плоскости, нормальной к Я, а светлыми буквами обозначены абсолютные значения соответствующих векторов). Таким образом,

(2.10)(2.10)ch2 dk Ак’п ch2 A(da) _ ch2 6(da) eH Де eH Аг еН 6г к

(2.10)

(2.10)

где da есть элемент площади, заключенный между к' -орбитой и двумя соседними радиусами, проведенными из произвольного центра О, величина A(da) [равная d(Aa)] есть приращение этого элемента, соответствующее приращению энергии Де при постоянной величине к (составляющей к вдоль Я).

Интегрируя (2.10) по всей орбите, мы получаем период 2%/wc и определяем

(Ос =(Ос =2пеН / /6а\сН2 1\6г)К^2пеН / /6а\сН2 1\6г)К^(2.11)(2.11)

(Ос =

(Ос =

2пеН / /6а\

сН2 1\6г)К^

2пеН / /6а\

сН2 1\6г)К^

(2.11)

(2.11)

Движение по винтовой линии в реальном пространстве также вытекает из соотношения (2.10), поскольку смещение электрона dRH в направлении Я за время dt равно

(2.12)(2.12),\ f деХ д Ибг\ д

(2.12)

(2.12)

dl?H = vHdt = г— dz = - — drЬудк д-п\6кДа

где индекс к/ означает, что дифференцирование производится при постоянной составляющей к, перпендикулярной Я. Для данного d0 (см. рис. 2.2) это равнозначно постоянству da (если рассматривать da как функцию г и к).

Подставляя в (2.12) d/ из (2.10), получаем

ch d(da)еН дк сch d(da)еН дк с._ ch fГd(da)

ch d(da)

еН дк с

ch d(da)

еН дк с

СП \иК )&а v£ к

и, интегрируя по полному периоду, находим шаг Р винтовой линии

(2.13)(2.13)р=

(2.13)

(2.13)

еН \дк

Можно также произвести интегрирование по любой части цикла и найти смещение &RH за эту часть периода^. Если сечения при значениях х и к + dx для данной энергии с, будучи перенесены на одну плоскость, не пересекаются, как на рис. 2.2, б, то 4RH не меняет знака в течение всего движения по орбите и смещение вдоль Н монотонно возрастает при движении электрона по винтовой линии. Однако в общем случае спроецированные сечения при х и х 4- dx могут пересекаться четное число раз. Для двух пересечений в точках А и В (как на рис. 2.2, в) мы имеем

еН \дк /с еН \ ок

Результирующее смещение вдоль Н за полный период будет равно, конечно, просто шагуР [поскольку <8а/дк)6 = <8ах/дк\ 4- (дд2/дх)е], но движение будет осциллирующим, как показано на рис. 2.2, г. Даже для случая без пересечений (б), когда смещение электрона возрастает монотонно, его скорость может осциллировать, как видно из рис. 2.2, г.

Для эффекта дГвА представляют особый интерес «экстремальные» орбиты в Аг-пространстве, для которых (да/дк^ обращается в нуль. Для таких орбит Р равно нулю, но RH — осциллирующая функция (см. рис. 2.2, г) с амплитудой [в единицах -(ch/eH)^ I дах/8к 1е или I да2/дк 1е [эти величины одинаковы, если (да/дк\ = = 0]. Таким образом, хотя проекция орбиты в реальном пространстве на нормальную к Н плоскость имеет ту же форму, что и орбита в Аг-пространстве, сама орбита в реальном пространстве не лежит в нормальной к Н плоскости. В отдельных случаях орбита может быть плоской, но ее плоскость не перпендикулярна по отношению к Н; простой пример такого случая показан на рис. 2.3.

1) Последующим выводом амплитуды смещения в направлении поля я обязан проф. Пиппарду.

Рис. 2.3. Движение электрона для круговой цилиндрической поверхности постоянной энергии радиуса К, ось которой составляет угол 6 с направлением Н. В к- пространстве движение происходит вокруг сечения ЛВ, перпендикулярного Н, т.е. эллипса с полуосями К и К sec 6. Стрелками показаны направления скорости электронов в точках А и В. В реальном пространстве (R-пространство) движение происходит вокруг сечения, нормального к оси кругового цилиндра радиуса i)Ksec6. Проекция этого сечения на плоскость, перпендикулярную Н, представляет собой эллипс, изображенный справа. Он подобен сечению в к -пространстве и получается из него пропорциональным изменением размеров в ту раз и поворотом на 90°. Результирующее смещение в направлении Н (т.е. z) отсутствует, и электрон совершает только периодическое возвратно-поступательное движение с амплитудой i)Ktg6. Несколько более сложный случай наклонного эллипсоида вращения, для которого возможно поступательное движение электрона, наложенное на периодическое движение, если кг Ф 0, обсуждается в приложении 1.

Прежде чем двигаться дальше, будет полезно проиллюстрировать сделанные вычисления на простейшем конкретном примере газа свободных электронов, для которого зависимость е(*) задана, конечно, в явном виде. Этот пример даст нам также возможность оценить порядок соответствующих величин. Итак, для газа свободных электронов массы т0 имеем

(2.14)(2.14)£ = ^к111т0 ,

(2.14)

(2.14)

и поверхности постоянной энергии с — просто сферы радиуса к. Более общий случай эллипсоидальной изоэнергетической поверхно-

сти обсуждается в приложении 1. Если мы напишем

к^к1 -Vk\(2.15)

то становится ясно, что орбиты в ^-пространстве, которые получаются как сечения изоэнергетических поверхностей плоскостями с постоянным к, представляют собой просто окружности радиуса к'. Площадь этих кругов равна

« = ^'2(2.16)

В реальном пространстве орбиты также будут окружностями, радиус которых R' дается соотношением

К = пк = chk/eH.(2.17)

Для этого конкретного примера поворот орбит R' в реальном пространстве на 90° по отношению к орбитам в Аг-пространстве ничего, конечно, не меняет вследствие круговой симметрии и потому, что орбита в реальном пространстве для к = 0 лежит в плоскости, нормальной к Н. Для свободного электрона величина hk' /т0 просто равна и' — составляющей скорости, перпендикулярной Н, так что (2.17) сводится к

К = т^с/еН,(2.18)

что, конечно, можно получить и гораздо проще, если приравнять силу Лоренца и центробежную силу.

Комбинируя выражения (2.14) — (2.16), можно выразить £ в явном виде как функцию а и к:

Теперь с помощью (2.11) найдем wc. Из (2.19) следует

^а/6^к = 2лт0/й2

и

<ос = еН/т^ ,(2.20)

что опять представляет собой очевидный результат, поскольку для орбиты свободного электрона, естественно, wc = и' /R’ .Для реальных металлов wc задается более общим уравнением (2.11), поэтому

h1т = —2яh1т = —2яудобно ввести циклотронную массу т, определяемую как

h1

т = —

2я

h1

т = —

2я

(2.21)

(2.22)(2.22)так что wc получается подстановкой в (2.20) т вмесТо т0) т.е.

(2.22)

(2.22)

а)с = еН!тс.

В модели свободных электронов траектория в реальном пространстве представляет собой правильную (регулярную) винтовую линию. Ее шаг Р получается из (2.13) и (2.18) и равен

Р = 1ксЬк!еН = 2лгн/сос,

что тоже, впрочем, достаточно очевидно.

(2.23)(2.23)Имея в виду распределение Ферми, мы будем главным образом интересоваться изоэнергетическими поверхностями, близкими к ПФ, характеризуемой энергией Ферми f, которая для газа свободных электронов равна

(2.23)

(2.23)

с = й2кр/2т0,

где кР есть радиус сферической ПФ. Поскольку kF — это обратная длина, мы можем ожидать, что по порядку величины kF равно обратному межатомному расстоянию, т.е. порядка 108 см-1. Точное соотношение имеет вид

кр = (Зл2и)1/3, (2.24)

где п — число электронов в единице объема. Приведенные в табл. 2.1 значения kF для одновалентных (щелочных и благородных) металлов, вычисленные в приближении свободных электро-

Таблица 2.1. Фермиевские радиусы и энергии Ферми для щелочных и благородных металлов

Металл

Li

Na

К

Rb

Cs

Си

Ag

Au

10“ 8 кр

см-1

1,11

0,91

0,73

0,68

0,63

1,36

1,20

1,20

Г, эВ

4,7

3,2

2,0

1,8

1,5

7,0

5,5

5,5

нов, действительно подтверждают интуитивную оценку порядка 108 см"1; типичные значения f — несколько электронвольт.

Коэффициент пропорциональности ту, который переводит размеры в Аг-пространстве в размеры в реальном пространстве, обратно пропорционален Н [см. выражение (2.9)]. В диапазоне 104 — 105 Гс, характерном для экспериментов по эффекту дГвА, д изменяется от 6,6 х 10"12 до 6,6 х 10"13 см2. Радиусы орбит свободных электронов будут изменяться от 10"4 см при 105 Гс до 10"3 см при 104 Гс. Циклотронная частота wc для газа свободных электронов равна 1,76 х 1011 с"1 при поле 104 Гс и 1,76 х 1012 с"1 при поле 105 Гс (что соответствует электромагнитному излучению с длиной волны 1,07 см и 1,07 мм соответственно).

Приведенные выше оценки, основанные на модели свободных электронов, на самом деле дают довольно верное представление о том, что в действительности наблюдается в одновалентных металлах. Однако поливалентные металлы имеют гораздо более сложные поверхности Ферми, иногда состоящие из нескольких отдельных частей, причем размеры некоторых частей могут быть значительно (иногда в 100 раз) меньше, чем 108 см"1, кроме того, их форма обычно далека от сферической. Орбиты в реальном пространстве тоже, конечно, соответственно меньше. Циклотронная масса также может значительно отличаться от т0. Так, для висмута отношение т/т0 для некоторых направлений поля составляет 1/100 (а циклотронная частота соответственно в 100 раз выше, чем для свободных электронов), в то время как для некоторых орбит^в ферромагнитных металлах величина т/т0 может достигать 10. Наконец, для некоторых частей ПФ поливалентного металла энергия Ферми (отсчитываемая от самого низкого состояния энергетической зоны, соответствующей этой части ПФ) может быть гораздо меньше, чем несколько электронвольт, как в модели свободных электронов.

Квантование движения электрона

Теперь мы учтем квантование движения электрона, которое накладывает ограничения на разрешенные состояния и, конечно, является основной причиной появления осцилляций дГвА.

Запишем правило квантования Бора—Зоммерфельда для периодического движения:

р • d^ = (г + у)2лй,(2.25)

где/, и ^ — канонически сопряженные переменные, импульс и коор-

дината, г —целое число, интегрирование производится по полному периоду; фазу 7 мы обсудим позже. Для электрона в магнитном поле подходящими значениями р и q будут

p = hk- еА/с q = R,(2.26)

где А — вектор-потенциал поля Н и, как и прежде, — е есть заряд электрона. Тогда из (2.25) получаем

(hk — eA/c)dR' = (г + у)2лй .(2.27)

Преобразуя первый член подынтегрального выражения с помощью (2.7) (постоянные к0 и R'o не дают вклада за полный период) и второй член с помощью теоремы Стокса, получаем

Н ф^ х dR^-Н ф^ х dR^-HdS = (г + ^2ithc/e, sHdS = (г + ^2ithc/e, s(2.28)(2.28)

Н ф^ х dR^-

Н ф^ х dR^-

HdS = (г + ^2ithc/e, s

HdS = (г + ^2ithc/e, s

(2.28)

(2.28)

где S обозначает интегрирование по площади орбиты в реальном пространстве, a dS есть векторный элемент площади любой поверхности, границей которой служит орбита R'. Если записать R = = R' 4- RH, где RH — составляющая вектора R, параллельная Н. то становится ясно, что RH не дает никакого вклада, поскольку в векторном произведении RH образует член, ортогональный Н. Таким образом, первый член сводится к Н\ ^(R' х dR' )1, или 2На, если а — площадь орбиты R’ в реальном пространстве, а второй член есть -На. Тогда (2.28) сводится к

Ф = На = (г + уУ2тгкф. (2.29)

Другими словами, квантование движения заключается в том, что квантуется магнитный поток Ф поля Н через орбиту R', кванты равны универсальному кванту потока 2irhc/e (его численное значение 4,13 х 10"7 Гс • см2).

Этому изящному результату можно придать гораздо более полезную форму, если выразить его через площадь а орбиты в к- пространстве, т.е. площадь сечения изоэнергетической поверхности. Из соотношений (2.8) и (2.9) следует, что

а = (ch/eH)2a,

и из (2.29) получается результат, уже приводившийся в (2.1):

«(е, к) = (г + y)2TteH/ch,(2.30)

где подчеркивается, что площадь а зависит от энергии с соответствующей изоэнергетической поверхности и от значения к, при котором производится сечение. Это знаменитое соотношение Онзагера [311] (выведенное независимо И. М. Лифшицем примерно в то же время, но опубликованное значительно позднее [265]). Его можно рассматривать как выражение, задающее в неявном виде разрешенные уровни энергии е в зависимости от Н, к, г и от закона дисперсии е(к) [который определяет поверхности постоянной энергии и, следовательно, вид функции а(€, к)]. Фазовая постоянная 7 равна точно /2 для параболической зоны (и, в частности, для свободных электронов), но в общем случае 7 несколько отличается от !4 на величину, зависящую от энергии и Н [366]. Эти малые отклонения, как выясняется, не имеют значения для осцилляций дГвА, но очень существенны для постоянной диамагнитной восприимчивости. Чтобы не усложнять изложение, мы положим в дальнейшем 7 = /г, за исключением приложения 4, где будут рассмотрены эти отклонения и их связь с вычислением постоянной восприимчивости.

Соотношение Онзагера (2.30), очевидно, жестко ограничивает разрешенные значения к в магнитном поле. Эти ограничения могут быть проиллюстрированы полезным геометрическим построением, которое уже обсуждалось в общих чертах в разд. 2.1 [70]. Так, для данных г нН выражение (2.30) дает определенное значение а. а для данного к оно определяет энергию £ и кривую, которая является сечением поверхности с этой постоянной энергией плоскостью, соответствующей значению к. Если теперь изменять к при некотором постоянном Я, то эти плоские кривые образуют набор трубок, каждая из которых имеет постоянную площадь сечения а (г), определяемую соотношением Онзагера (2.30) и квантовым числом г. Эти трубки Ландау являются просто развитием более привычного понятия уровней Ландау (как обычно называют уровни энергии при постоянном к). Тогда смысл условия Онзагера сводится к утверждению, что все разрешенные состояния в ^-пространстве лежат на трубках Ландау.

Для газа свободных электронов применение соотношения Онзагера к (2.19) немедленно дает

е = (г + ^р0Н + Мкг/2т0>(2.31)

где 0О — удвоенный магнетон Бора, определяемый как

Ро = eh/moc.(2.32)

Подставляя зависимость е^к) (2.14), получаем из (2.31) уравнение

для трубок Ландау

^(^ + ^) = (г + 1)Д0Н(2.33)

(введенные здесь кх, ку означают координаты в плоскости, нормальной к Я). Таким образом, для этого простого случая трубками Ландау будут коаксиальные круговые цилиндры с осью, параллельной Я, площади сечений которых определяются выражением (2.30) при 7 = /2. Они изображены на рис. 2.1, где показана также форма трубок Ландау в случае, когда поверхности постоянной энергии являются эллипсоидами (см. приложение 1). В общем случае трубки не обязательно параллельны Я и не обязательно будут цилиндрами.

Из соотношений (2.29) или (2.30) ясно, что обычно значения г должны быть большими. Если принять к¥ ~ 108 см-1, величина а будет порядка % х 1016 см-2, и мы получим, что г порядка 3 х 103 при поле 105 Гс и 3 х 104 при 104 Гс. Тот факт, что значение г велико, играет существенную роль во всех вычислениях, в частности он дает возможность с хорошей точностью применять дифференцирование при вычислении разностей, связанных с изменениями г. Важным примером служит вычисление разности энергий между соседними уровнями Ландау, т.е. энергий при данном к для последовательных квантовых чисел г. Используя соотношение Онзагера, имеем

(Ае)д,=1 = (6) (Мд,= 1 = Т^Т^Г = й"с = РН, (2.34) \oaJKcnvca/06)K

где wc определяется из (2.11), а 5 — из (2.32), только масса свободного электрона заменяется циклотронной массой, т.е.

Р = eh/mc.(2.35)

С точки зрения квантовой механики, значение уравнения (2.34) состоит в том, что циклотронная частота ыс соотносится с переходом между двумя уровнями энергии ег+1 и ег и соотношение (△с)дг=1 = Ао>с в принципе всегда является точным1). Однако соотношение между (Дс)дг= 1 и (да/де)* опирается на принцип соответствия, ко-

^ Точное соотношение есть (Д£)Дг=1 = Аш, где ш — частота электромагнитного ноля, переводящего электрон с одного уровня Ландау на соседний. Оно вовсе не содержит циклотронной частоты. — Прим. ред.

торый связывает квантовое поведение при больших квантовых числах с классическим движением. При малых г принцип соответствия перестает выполняться, а если (дц/дс) зависит от с, а £г+, и ег существенно отличаются, то соотношение (2.34) уже не будет точным, поскольку оно не определяет, при каком значении с нужно брать производную Оа/8е\. Для частного случая модели свободных электронов (и, как показано в приложении 1, для любой параболической зоны) (да/де\ не зависит от € и (2.34) определяет расстояние между уровнями точно для любого г.

В завершение обсуждения уровней энергии в магнитном поле нужно рассмотреть еще один вопрос — вырождение уровней. Для Н = 0 число состояний в единице объема ^-пространства0 (имея в виду, что для каждой точки ^-пространства имеются два спиновых состояния) равно И/4тг, где V — объем металла в реальном пространстве. В присутствии магнитного поля разрешенные состояния, как мы видели, находятся только на трубках Ландау и площадь кольцеобразной части сечения, расположенной между соседними трубками, вычисляется из (2.30):

^a = 2кеН ‘uh. (2.36)

Таким образом, среднее число D состояний, приходящихся на длину части трубки2), заключенной между кик 4- дк, должно быть

D = Диск И/4л3 = еНУДк^сЬ. (2.37)

Хотя это и довольно нестрогий вывод D, полученный результат на самом деле совершенно точен. Он несомненно справедлив для газа свободных электронов, что следует из точного решения уравнения Шредингера, а поскольку, как отметили Лифшиц и Косевич [266], D не зависит от вида зависимости е(к\ он должен быть также справедлив для произвольного еЦО3\

п Иногда удобно бывает рассматривать состояния с разными направлениями спина отдельно, например в случае изоэнергетических поверхностей ферромагнитных металлов, и важно помнить, что для одного направления спина число состояний при данном к будет равно половине величины И/4тг3, приведенной для двух направлений спина.

Трубка, конечно, не обязательно должна быть параллельна Н (см., например, рис. 2.1, б), но объем кольца всегда

Перечислим еще раз основные выводы. Уровни энергии с в магнитном поле Н выражаются в неявном виде через квантовое число г и непрерывную переменную к с помощью условия квантования (2.30) для а — площади сечения поверхности постоянной энергии с. Вид функции а(е, к) определяется геометрией изоэнергетических поверхностей при Н = 0. Для данного г (т.е. для данной трубки Ландау) энергетические уровни вырождены в том смысле, что имеется D состояний между к и к + dx, причем D задано соотношением (2.37).

Вычисление свободной энергии

В большинстве выводов термодинамических величин в вычисления обычно в явном виде будет входить химический потенциал £ (эквивалентный энергии Ферми), а не число электронов N, поэтому оказывается более удобным вычислять термодинамический потенциал Q, определяемый соотношением

Q = f - N^(2.38)

чем свободную энергию F, определяемую как

F = Е - TS,(2.39)

где£ — внутренняя энергия, aS — энтропия системы^.

Как показано в приложении 2, причина этого в том, что при вычислении магнитного момента М дифференцирование по Н должно проводиться при постоянном N, если дифференцируется F, а это затруднительно, поскольку N входит в вычисления только неявно. Если, однако, дифференцировать О, то должен быть постоянным химический потенциал f и вычисления сильно упрощаются.

Более четко, векторный магнитный момент дается соотношением

М = — (gradHQ)^,(2.40)

или, что более удобно практически, продольная и поперечная к Н компоненты М равны

Мн = -№/8Н^(2.41)

^=-1(50/50)^.(2.42)

^ Строго говоря, все величины даны для произвольного объема V, таким образом, М означает скорее магнитный момент, чем намагниченность, но мы будем часто пренебрегать этим различием, когда очевидно, что имеется в виду.

В (2.42) абсолютная величина Н полагается постоянной и рассматривается изменение Q с направлением Я, здесь 9 — угол, который определяет направление Н в плоскости наиболее быстрого изменения Q с направлением Н. Следует подчеркнуть, что хотя М получается из Q дифференцированием при постоянном f, это не означает, что f остается постоянным при изменении Н, и действительно, в дальнейшем мы увидим, что с осцилляциями М обычно связано и осцилляторное поведение f при изменении поля. Другие важные величины, например энтропия, деформация, число электронов, также могут быть получены соответствующим дифференцированием Q, это будет рассмотрено в дальнейшем.

Как показывается в учебниках (см., например, [250]), для системы, подчиняющейся статистике Ферми — Дирака и имеющей состояния с энергией с, термодинамический потенциал определяется выражением

Q= -kT^ln(l +е^"Е№), (2ЛЗ)

где суммирование производится по всем возможным состояниям (т.е. с учетом вырожденных уровней при помощи соответствующих повторений и замены суммирования интегрированием там, где £ меняется непрерывно). Для систем с уровнями энергии, определяемыми (2.30), и с вырождением, заданным (2.37), это выражение преобразуется к виду

Н=-кТ\ йк У1п(1 + е™к7\ (2.44) J_x \2nzcnJ г

где ег теперь определяется как решение, удовлетворяющее неявному уравнению (2.30) с квантовым числом г (энергия £г зависит, конечно, также от Н и к).

В сущности выражением (2.44) завершается формулировка задачи о вычислении намагниченности и других термодинамических свойств металла, и теперь дело только за математикой. Чтобы облегчить понимание физического смысла выкладок, разобьем вычисление на несколько сравнительно простых этапов. Сначала произведем вычисление только для Т = 0 и лишь величины 8Q — вклада в U, соответствующего трубкам Ландау между к и к + 6к. Затем произведем интегрирование по к и наконец примем в расчет влияние не юлько конечной температуры, но и спина электрона, электронного рассеяния и неоднородности образца.

Ш = 5кШ = 5кеНУеНУ2л2сй2л2сйT^£r-^ = DIL & - о,T^£r-^ = DIL & - о,(2.45)(2.45)

Ш = 5к

Ш = 5к

еНУ

еНУ

2л2сй

2л2сй

T^£r-^ = DIL & - о,

T^£r-^ = DIL & - о,

(2.45)

(2.45)

Вычисление при Г = 0 для тонкого слоя в к-пространстве

Для Т = О термодинамический потенциал О равен просто Е - N£ [см. (2.38) и (2.39)] и вклад 60 в (2.44) сводится к выражению

где D — фактор вырождения (2.37). Суммирование по г нужно теперь провести только по таким значениям г, для которых 8r < f; обозначим через п самое большое значение г и пронумеруем состояния в порядке возрастания энергии (так что г = 0 в низшем энергетическом состоянии). Суммирование можно выполнить либо с помощью формулы Пуассона, которую впервые применил для этой цели Ландау [249], либо по формуле Эйлера — Маклорена, которая была использована для вычисления постоянного диамагнетизма (также Ландау [248]). Мы воспользуемся последним способом, поскольку так будет яснее видно происхождение разных членов в окончательном выражении; более распространенный вывод с помощью формулы Пуассона приведен в приложении 3.

С достаточной для наших целей точностью формула Эйлера—Маклорена дает для суммы от г = 0 до г = п функции /(г) целого аргумента г следующее выражение

/(г) dr + 1 [/(и) + /(0)] + ^ U’W - Г№ (2.46)

где г в правой части рассматривается как непрерывная переменная. Следующее приближение включает члены с 43f/dr3, которые в нашем случае будут примерно вл2 раз меньше, чем самые малые из удерживаемых нами членов. Заметим, что если / — полином степени, меньшей 3, то равенство (2.46) становится точным.

С помощью формулы (2.46) получаем из (2.45)

^ = Г («, - С) dr + 1(С„ - о + ^г0 - о +

Jo

где п — наибольшее значение г, для которого 8r < f. Теперь вместо

дискретной переменной г 4- /2 введем непрерывную переменную х, которая, таким образом, определяется из уравнения

d^.K^ = xQjteHIch^(2.48)

а также введем параметр X, который равен значению х на ПФ, т.е.

,У(к) = а(С,к) = Х(2леН/сй)(2.49)

и

с(Х,к) = С(2.50)

Таким образом, условие ег < £ можно записать также как (г + /2) < < X.

Нам также понадобится соотношение

(^\ _ WJxk 1-n.eHlch _

М (^£)K iKmjh1 ~P ‘1'

где m — циклотронная масса, определенная в (2.21), а 3 определяется соотношением (2.35); в общем случае т и 0, конечно, являются функциями х.

Если теперь в (2.47) заменить г на х, то получим

7Г =[«W - с]dx + 1И«4|)- с + М)- G4

и Ji

+ i» + ^Н - №1,(2.52)

где е(у) и /3(у) — значения е и 3 при х = у, или

<)О Гх

"п =^<х> - ^ dx + Ь№^ - М + WH - С]-

и Jo

- № + 1[.(0) - а + 1/?(0)Н + Ш - №№ (2.53)

где два члена, следующих после интеграла, связаны с небольшим изменением пределов интегрирования и использованием (2.50); малые разности энергии вычислены с помощью соотношения (2.51). Мы также ввели обозначения

5 = Х-(и + 1) ' и /? = №)(2.54)

и пренебрегли членами порядка (д0/дх)Н по сравнению с членами

порядка 0Н; это равнозначно пренебрежению 1/л по сравнению с единицей.

Приводя подобные члены, получаем

^Q = ^LH-t H [ew- № + ШН cvxj (.Jo

+ ун^2 - 5 + |)| •(2.55)

Оценим теперь по очереди важность различных членов в (2.55). Поскольку £ в действительности есть функция от хН, как видно из (2.48), интеграл в правой части должен быть пропорционален Л/Н, так что его вклад в 80 не зависит от Н. Нетрудно показать, что этот вклад на самом деле равен значению 80 в отсутствие Н (см. приложение 4). Это, однако, перестает быть верным, если мы примем во внимание спиновый магнитный момент электрона, которым до сих пор пренебрегали. Как показано в приложении 4, если спиновое вырождение снимается, то этот член становится отрицательным и пропорциональным Н1, что приводит к восприимчивости, которая сводится к спиновой восприимчивости Паули, если спиновое расщепление симметрично относительно каждого уровня.

Второй член дает положительный вклад в 80, пропорциональный Я2, и приводит к постоянной диамагнитной восприимчивости. Однако, как выясняется, сделанное нами предположение, что 7 = /2, служит хорошим приближением только для параболической зоны; в приложении 4 приведен более точный расчет, основанный на лучшем приближении Рот [366] для 7, который приводит к правильной формуле для постоянной диамагнитной восприимчивости.

Таким образом, если речь идет об осцилляторном магнитном поведении, то первые два члена в (2.55) можно не учитывать, так что мы рассмотрим вклад только последнего члена, который обозначим 80. Подставляя величину 8, получаем

8Q = 8к^^Х - (и + I)]2 - [ X - (" + 1)] + 1}; (2.56)

при этом на X налагается условие (л + /2) ^ X ^ (п 4- У2); когда X выходит за эти пределы, значение и в формуле должно быть увеличено или уменьшено на единицу. Зависимость 80 от X (т.е. от величины, пропорциональной 1/Я) показана на рис. 2.4. Она отчет-

Рис. 2.4. Периодическая зависимость термодинамического потенциала 60 слоя к- пространства толщиной дк, содержащего ЫЧ^ электронов, от величины А"(= s/ch/ЪгеЩ при постоянном значении £ и в отсутствие поля [см. (2.56)]. Масштабный коэффициент lX/№bNQ величины 60 с ростом поля убывает как X2, но при X >> 1 это изменение несущественно на промежутке в несколько осцилляций. Штриховой линией изображена основная составляющая разложения Фурье периодической зависимости 6Q [см. (2.57)].Рис. 2.4. Периодическая зависимость термодинамического потенциала 60 слоя к- пространства толщиной дк, содержащего ЫЧ^ электронов, от величины А"(= s/ch/ЪгеЩ при постоянном значении £ и в отсутствие поля [см. (2.56)]. Масштабный коэффициент lX/№bNQ величины 60 с ростом поля убывает как X2, но при X >> 1 это изменение несущественно на промежутке в несколько осцилляций. Штриховой линией изображена основная составляющая разложения Фурье периодической зависимости 6Q [см. (2.57)].

Рис. 2.4. Периодическая зависимость термодинамического потенциала 60 слоя к- пространства толщиной дк, содержащего ЫЧ^ электронов, от величины А"(= s/ch/ЪгеЩ при постоянном значении £ и в отсутствие поля [см. (2.56)]. Масштабный коэффициент lX/№bNQ величины 60 с ростом поля убывает как X2, но при X >> 1 это изменение несущественно на промежутке в несколько осцилляций. Штриховой линией изображена основная составляющая разложения Фурье периодической зависимости 6Q [см. (2.57)].

Рис. 2.4. Периодическая зависимость термодинамического потенциала 60 слоя к- пространства толщиной дк, содержащего ЫЧ^ электронов, от величины А"(= s/ch/ЪгеЩ при постоянном значении £ и в отсутствие поля [см. (2.56)]. Масштабный коэффициент lX/№bNQ величины 60 с ростом поля убывает как X2, но при X >> 1 это изменение несущественно на промежутке в несколько осцилляций. Штриховой линией изображена основная составляющая разложения Фурье периодической зависимости 6Q [см. (2.57)].

ливо периодична по X с периодом, равным единице, или с периодом 2тге/сЛ^по 1/Н. Важно отметить, что осцилляции полностью определяются электронами на ПФ: для данного значения к площадью сечения ПФ ^ и величиной 0, которая пропорциональна производной (Эа/Эе) на ПФ.

Эти осцилляции можно разложить в ряд Фурье; при этом, как легко показать, (2.56) преобразуется к виду

«2 =«2 =бкерН^4тг2сйбкерН^4тг2сй£ -^-cos2np(X -i).£ -^-cos2np(X -i).(2.57)(2.57)

«2 =

«2 =

бкерН^4тг2сй

бкерН^4тг2сй

£ -^-cos2np(X -i).

£ -^-cos2np(X -i).

(2.57)

(2.57)

(2.58)(2.58)Коэффициент в правой части перед знаком суммы можно также записать в виде V1D0H или Vi^bN^Н /X t где

(2.58)

(2.58)

5N0 = XD = Ьк^У,^.

Здесь &N0 — просто число электронов в тонком слое площадью зэ^и толщиной Ьк при Н = 0; как будет показано ниже, в действительности число электронов 6N в слое осциллирует при изменении Н. Основная составляющая осцилляций также изображена на рис. 2.4. Такой вид представления результата окажется особенно полезным в дальнейшем развитии теории, когда нужно будет интегрировать по к, учитывая, что X — функция к, а также тогда, когда мы будем рассматривать различные формы размытия фазы.

Намагниченность и число электронов в тонком слое к-пространства

Магнитный момент ЬМ, параллельный Н, дается соотношением

5М = -W^/aH)^(2.59)

которое можно выразить либо в явном виде как пилообразное изменение дифференцированием (2.56), либо как ряд Фурье дифференцированием (2.57). В обоих случаях можно не дифференцировать пропорциональный Н2 множитель, который определяет амплитуду периодического изменения 3Q, поскольку его вклад будет в X раз меньше (по порядку величины), чем вклад членов в скобках в (2.56) или (2.57).

Исходя из (2.56) и используя (2.49) для определения $Х/йН^ найдем для л + 7г X ^ п 4- Уг

дМ = ^/^IX - (л + 1)] = p5N<£X - (л 4- 1)],(2.60)

где ЗЯ0 — число электронов в тонком слое при Н = 0, определяемое выражением (2.58) для любого значения (или f); однако значение .я^ (или f) может, если мы захотим это учесть, меняться с Я. Результат (2.60) определяет пилообразную зависимость, как показано на рис. 2.5. Полезно отметить, что эту пилообразную зависимость можно представить себе как «лестницу», ступеньки которой соответствуют моментам, когда последовательные уровни энергии проходят через уровень Ферми, монотонно изменяющийся в связи с зависимостью от поля всех нижележащих уровней.

Рис. 2.5. Периодическая зависимость величины ЬМ от X при постоянном значении f [см. (2.60) и (2.61)] для такого же слоя, как на рис. 2.4.

Аналогично, исходя из (2.57) [или, что то же самое, из разложения Фурье для (2.60)], получим

и V sin 2Лр(Х ^)

оМ = —РдМ0 ) (2.61)

Р=1 тер

Вклад в 6М основной составляющей (р = 1) также показан на рис. 2.5; его амплитуда в тг/2 раз меньше, чем амплитуда «пилы».

Сейчас уместно будет обсудить вопрос о числе электронов в тонком слое. Число 8N можно записать сразу

6N = (л + 1)D = (п 4- 1)8М0/Х(2.62)

(для п -V И < X ^ л + 3/г), поскольку мы знаем, что заполнен (л 4- 1) уровень (от г = 0 до л) и каждый уровень имеет D состояний.

Если f остается постоянным при изменении Н, то получится пилообразное изменение 6N (рис. 2.6) около среднего значения 6N0 с уступами высоты bN^/n. отвечающими моментам заполнения каждого нового уровня Ландау при увеличении X (уменьшении Н). Поучительно также вывести этот результат из термодинамического соотношения

6N = -1№ЖЪЬ(2.63)

где 80 взято из (2.55). Используя равенство ^8Х/8^Н = 1//ЗЯ, мы найдем для л 4- /2 ^ X ^ л 4- 3/г'

Рис. 2.6. Периодическая зависимость числа электронов bN от X при постоянном значении для такого же слоя, как на рис. 2.4 [см. (2.65) и (2.66)]. Масштабный коэффициент изменяется пропорционально X, но при X >> 1 это изменение несущественно на интервале в несколько осцилляций.

что, конечно, эквивалентно (2.62), но полезно тем, что 3^ разбивается на две части. Первая часть, XD, равна просто 5W0 и образуется из первого члена в (2.55), вторая часть дает пилообразную составляющую <W (&N), показанную на рис. 2.6, т.е.

5N = §N - 6N0 = -D^X - (л + 1)] =

= -^[Х-(п+ Ш =(2.65)

где 6 — величина, определенная выражением (2.54).

Важная черта пилообразной зависимости 6N заключается в том, что она прямо пропорциональна 6М, как видно из (2.60); таким образом,

<>М 2лтН

(2 №|

Поскольку, как мы увидим в п. 2.3.6, для трехмерной ПФ основной вклад в М определяется только небольшим интервалом значений к, для которых величина о/близка к своему экстремальному значению Л, то можно, проинтегрировав (2.66) по ск, получить то же соотношение между N и М, но вместо «о/ будет стоять Л. На следующее простое физическое истолкование соотношения (2.66) было указано Пиппардом [345]. Магнитный момент ^ электрона на ПФ, движущегося по классической траектории, равен

^ = — еаа)с/2лс >(2.67)

где а — площадь орбиты (в реальном пространстве). Если теперь воспользоваться (2.9) и (2.22), то получим

= —хр= —хр(2.68)(2.68)(2.69)(2.69)е (ch V * / еН \— h2^

= —хр

= —хр

(2.68)

(2.68)

(2.69)

(2.69)

— I — I .о/1I =

с\еН ) \2лтс) 2лтН

и, следовательно,

5М = М

Таким образом, пилообразные осцилляции ЬМ при постоянном f могут быть представлены как следствие осцилляций bN числа электронов, каждый из которых обладает магнитным моментом (поскольку изменяется число электронов, энергия которых близка к энергии Ферми).

Это рассуждение будет применено главным образом к трехмерным металлам, и тогда нужно будет просуммировать вклады от всех различных слоев Зх поверхности Ферми. Пилообразные изменения 87V в каждом слое происходят за счет других слоев (величина f для всех слоев одинакова), и можно легко добиться постоянства полного числа электронов на одном или нескольких листах ПФ или равенства их числу дырок на других листах ПФ, если соответствующим образом изменять энергию Ферми f. Как мы увидим в разд. 2.4, для этого требуется весьма небольшое осцилляторное изменение f, так что рассуждения, основанные на постоянстве f, приводят в действительности только к небольшой ошибке; кроме того, при необходимости нетрудно ввести соответствующую поправку.

Вычисления для постоянного числа электронов

Представляет некоторый интерес рассмотреть вопрос о том, до какой степени приведенные выше рассуждения для двумерного случая можно применить к реальной двумерной физической системе, т.е. такой, в которой энергия не зависит от к. Для такой системы можно потребовать, чтобы число частиц оставалось строго постоянным, но здесь мы встречаемся с той трудностью, что пилообразное изменение Шэ определяемое выражением (2.65), кажется совершенно неизбежным и не может быть устранено никаким компенсирующим изменением энергии Ферми f. Эта трудность в действительности заложена в формулировке задачи, которая предполагает, что самый высокий занятый уровень всегда находится ниже уровня Ферми и, следовательно, полностью заселен при Т = 0. Это предположение уже несправедливо, если нужно сохранить постоянным 5N. Чтобы корректно рассмотреть этот случай, нужно более аккуратно подойти к вопросу о пределе Т = 0.

Способ преодоления этой трудности оказывается вполне простым и не вызывающим возражений. Он состоит в том, что при Т = 0 энергия Ферми в точности равна энергии самого высокого занятого уровня, но этот уровень заселен только частично [в противоположность требованию (2.45), что все уровни заселены полностью], причем заселенность изменяется от 0 до D при уменьшении поля от значения, при котором данное число электронов заполняет точно п уровней, до значения, при котором заполняются точно (л? + 1) уровней. Таким образом, для постоянного значения bN при последовательном заполнении уровней Ландау величина f все время соответствует самому высокому занятому уровню и имеет пилообразную зависимость от поля. Подробный анализ показыва-

ет, что при достаточно низкой температуре частичное заселение верхнего уровня достигается тем, что f несколько отклоняется от значения энергии этого уровня, располагаясь сначала ниже, так что распределение Ферми дает малую заселенность, затем пересекая его и становясь несколько выше, что дает почти полную заселенность.

Поскольку мы рассматриваем случай постоянного 67V, расчет при Т = 0 проще произвести, вычисляя 6ЕЭ а не 60 = (6Е - £6N\ Намагниченность ЬМ и энергия Ферми f определяются тогда следующими соотношениями:

6М = - [5(6Е)/дН]м и С = - [a(6E)/a(6N)]H,(2.70)

Принимая, что f = £„, так что л-й уровень может быть частично заселен, получаем

ЬЕ = d”^ 8r + (6N - nD)8n,(2.71)

г = 0

причем нижние л уровней (от г = 0 до л — 1) имеют каждый заполнение D, а (л + 1)-й уровень (г = л) содержит число электронов, равное (6N — nD\ Это соотношение справедливо от того значения поля, при котором nD = до несколько меньшего значения, при котором (л + 1)D = 67V. Здесь удобно будет ввести непрерывную переменную Хо, определяемую равенством

Хо = j/0 ch/lneH = SN/D>(2.72)

причем

£(^о) = Со >(2.73)

где ,Z0 — площадь ПФ и f0 — энергия Ферми при Н = 0. Использовавшаяся ранее переменная X, пропорциональная jZ, теперь уже не может служить характеристикой поля, поскольку величина «о/теперь сама пилообразно изменяется при изменении Я и f. На рис. 2.7 показана зависимость X от Хо. Чтобы равенство (2.71) выполнялось, величина Хо должна быть заключена в пределах

л < Хо < л + L(2.74)

Применяя формулу Эйлера — Маклорена [см. (2.46)], из (2.71) получаем

6Е = D ( Г * erdr + !(£„_, + £0) + &№ - р^Н^ + tfN - nD)63, ( JoJ

(2.75)

Рис. 2.7. Соотношение между величинами Х(= ^сЬ/2теН) иХ0(= ^/^Ь/2теН) при изменении Н для постоянного числа электронов bN в таком же слое, как на рис. 2.4. При изменении Хо от одного целого значения к следующему значение энергии Ферми f «прилипает» к наивысшему занятому уровню и остается там, пока этот уровень заполняется, соответствующая величина X равна постоянному полуцелому значению. Когда Хо достигает целого значения, f «перескакивает» на следующий более высокий уровень и остается там, пока этот уровень заполняется, а X скачком переходит к следующему полуцелому значению.Рис. 2.7. Соотношение между величинами Х(= ^сЬ/2теН) иХ0(= ^/^Ь/2теН) при изменении Н для постоянного числа электронов bN в таком же слое, как на рис. 2.4. При изменении Хо от одного целого значения к следующему значение энергии Ферми f «прилипает» к наивысшему занятому уровню и остается там, пока этот уровень заполняется, соответствующая величина X равна постоянному полуцелому значению. Когда Хо достигает целого значения, f «перескакивает» на следующий более высокий уровень и остается там, пока этот уровень заполняется, а X скачком переходит к следующему полуцелому значению.

Рис. 2.7. Соотношение между величинами Х(= ^сЬ/2теН) иХ0(= ^/^Ь/2теН) при изменении Н для постоянного числа электронов bN в таком же слое, как на рис. 2.4. При изменении Хо от одного целого значения к следующему значение энергии Ферми f «прилипает» к наивысшему занятому уровню и остается там, пока этот уровень заполняется, соответствующая величина X равна постоянному полуцелому значению. Когда Хо достигает целого значения, f «перескакивает» на следующий более высокий уровень и остается там, пока этот уровень заполняется, а X скачком переходит к следующему полуцелому значению.

Рис. 2.7. Соотношение между величинами Х(= ^сЬ/2теН) иХ0(= ^/^Ь/2теН) при изменении Н для постоянного числа электронов bN в таком же слое, как на рис. 2.4. При изменении Хо от одного целого значения к следующему значение энергии Ферми f «прилипает» к наивысшему занятому уровню и остается там, пока этот уровень заполняется, соответствующая величина X равна постоянному полуцелому значению. Когда Хо достигает целого значения, f «перескакивает» на следующий более высокий уровень и остается там, пока этот уровень заполняется, а X скачком переходит к следующему полуцелому значению.

или, используя непрерывную переменную х, соответствующую г + Ут [см. (2.48)),

ЗЕ = DЗЕ = D^x)dx + Ке(л -1) + *(!)] + WH - £(0)Я]^x)dx + Ке(л -1) + *(!)] + WH - £(0)Я]+ (3N — nD^n ++ (3N — nD^n +(2.76)(2.76)

ЗЕ = D

ЗЕ = D

^x)dx + Ке(л -1) + *(!)] + WH - £(0)Я]

^x)dx + Ке(л -1) + *(!)] + WH - £(0)Я]

+ (3N — nD^n +

+ (3N — nD^n +

(2.76)

(2.76)

Если мы теперь несколько изменим оба предела интегрирования и введем соответствующие поправки для значений х [как это было сделано при переходе от (2.52) к (2.53)], а также используем (2.72) и (2.73), то получим

ЗЕ = DЗЕ = D( ро (Jo( ро (Joe(x)dx - <oUo - и + |) + W(X0 - и + I)2e(x)dx - <oUo - и + |) + W(X0 - и + I)2

ЗЕ = D

ЗЕ = D

( ро (Jo

( ро (Jo

e(x)dx - <oUo - и + |) + W(X0 - и + I)2

e(x)dx - <oUo - и + |) + W(X0 - и + I)2

-К(0) - W + Ко - 1№ - И + к + К(0) + WH-V

+Мн - №} + (Хо - И)[СО - рщхо - п - 1)] К (2.77)

После приведения подобных членов имеем

Г ГХо

8Е = D< s(x)dx + ШН + Р^Н>

(Jo

- | ДО0 - и)2 - (Хо - ") + 11} •■(2.78)

Роль различных членов в (2.78) можно оценить так же, как это было сделано для (2.55). В последний член, равный

а£= _l^V[(Xo_n)2_(Xo_„)+iL(2.79)

мы ввели некоторую поправку (добавили ХА и вычли эту величину из предшествующих членов), чтобы среднее значение этого слагаемого за период изменения Хо (от л до л 4- 1) было равно нулю. Он аналогичен соответствующему члену в (2.56) при постоянном f (см. рис. 2.4), но отличается от него в двух существенных отношениях. Во-первых, он имеет противоположный знак, а во-вторых, он имеет минимумы при целых значениях Х^ а не (как на рис. 2.4) при X = г + /2.

Соответственно осциллирующая часть намагниченности ЬМ равна

*1№ ’(2лрХ0)(2.80)

6М = -PdNV.X0 - (и 4-1)] = Е sm’1

к р=\ р

Рис. 2.8. Аналог рис. 2.4 для случая, когда в слое постоянно число электронов &V, а не величина £ [см. (2.79)]. В данном случае переменной является величина ЬЁ (умноженная на масштабный коэффициент ТХ^НЬЬ^ который незначительно изменяется на интервале в несколько периодов, если XQ> 1), представленная в зависимости от Х^= ,Q/Qch/2veH). Кривая имеет тот же вид, что и на рис. 2.4, но перевернута и смещена на Vi по оси XQ.

Рис. 2.9. Аналог рис. 2.5, т.е. зависимость величины ЬМ/^bN от Ху для постоянного числа электронов 6N [см. (2.80)].Рис. 2.9. Аналог рис. 2.5, т.е. зависимость величины ЬМ/^bN от Ху для постоянного числа электронов 6N [см. (2.80)].

Рис. 2.9. Аналог рис. 2.5, т.е. зависимость величины ЬМ/^bN от Ху для постоянного числа электронов 6N [см. (2.80)].

Рис. 2.9. Аналог рис. 2.5, т.е. зависимость величины ЬМ/^bN от Ху для постоянного числа электронов 6N [см. (2.80)].

и ее график, как показано на рис. 2.9, напоминает «пилу» на рис. 2.5 при постоянном значении f, но имеет противоположный знак и его скачки приходятся на целые значения Хо. Заметим, что простое физическое объяснение возникновения 5М существованием осциллирующей части числа электронов 5N, которое можно дать для случая постоянного химического потенциала f, неприменимо к случаю постоянного значения 6N. Осцилляции 6М связаны теперь скорее с переменным числом электронов на частично заполненном уровне [причем каждый электрон обладает моментом д, определяемым соотношением (2.68)].

Монотонную часть намагниченности (без спинового вклада) можно вычислить дифференцированием по Н второго члена в (2.78); при этом получается диамагнитная восприимчивость. Одна* ко этот результат, как и прежде, оказывается, вообще говоря, некорректным, поскольку он изменяется, если правильно учесть небольшое непостоянство фазы 7 (см. приложение 4). В частном случае свободных электронов результат будет правильным, и можно показать, что постоянная диамагнитная восприимчивость для 5N = const в два раза больше, чем для f = const (см. также п. 2.3.5).

Как мы уже показали с помощью несколько интуитивных рассуждений, при постоянном 6N значение энергии Ферми f должно как бы «прилипать» к частично занятому верхнему уровню еп и, таким образом, изменяться пилообразно. Форма пилообразной зависимости (рис. 2.10) задается соотношением

С = е„ = ^п + I) = и - рн^хо - (л + 1)] (2.81)

или

С -и= -Ж*о-(" + ШС -и= -Ж*о-(" + Ш(2.82)(2.82)

С -и= -Ж*о-(" + Ш

С -и= -Ж*о-(" + Ш

(2.82)

(2.82)

Рис. 2.10. Зависимость величины (f - Q/3H от Хо для постоянного числа электронов 8N [см. (2.82)]. График совпадает с графиком рис. 2.9, а с точностью до сдвига на Vi также и с графиком рис. 2.6.

Это можно получить также из равенства f = [д(&Е7д(62У)]я, помня, что 67V входит в выражение для ЬЕ (2.78) только через %0 и f0.

Приложение к реальным двумерным системам

Как уже говорилось, наши расчеты для тонкого слоя к- пространства имеют некоторое приложение к реальным физическим системам, в которых движение электронов ограничено двумя измерениями. Из таких систем можно назвать а) электроны, удерживаемые силами изображения над поверхностью жидкого гелия [187], и б) различные полупроводниковые системы, например инверсионные слои в кремниевой МОП-структуре, а также гетероструктуры, например GaAs - AlxGa1-AAs (обзоры можно найти в работах [328, 22]). Хотя «а» представляет собой во многих отношениях простейшую из двумерных систем и для нее электронная плотность п не зависит от магнитного поля, ее практически нельзя использовать для изучения осцилляций, поскольку плотность электронов обычно не превышает п * 109 см-2. При такой малой плотности температура вырождения (определяемая отношением irh^n/mk) будет составлять лишь примерно 3 х 10” 2 К, и чтобы система превратилась из классической в квантовую, требуются очень низкие температуры. Кроме того, даже если сделать температуру достаточно низкой, амплитуда осцилляций будет слишком мала для измерения существующими методами.

В полупроводниковых структурах плотность электронов, которая либо контролируется напряжением на затворе (для МОП- структуры, а с недавних пор также и для гетероструктуры [307]), либо определяется составом гетероструктуры, может быть гораздо больше: типичные значения п ~ 1012—1013 см-2. Однако сравнение с нашими идеализированными расчетами для таких систем прове-_ сти нелегко из-за различных осложнений, например рассеяния электронов, наличия при некоторых обстоятельствах локализованных

состояний, существования обедненной зоны между инверсионным слоем и основной частью полупроводника. Не всегда легко провести границу между системами с постоянным значением f и системами с постоянным значением п (при изменении Н\ Подробное обсуждение реальных двумерных систем выходит за рамки этой книги, поэтому мы ограничимся указанием порядков величины частот и амплитуд ожидаемых осцилляций, которые мало зависят от способа создания двумерной электронной системы.

Для двумерной системы площадью S (в реальном пространстве) число электронов будет равно

N = Ss/ '2л2 или п=^/2л\(2.83)

где ^ — площадь двумерной ПФ. Если N не зависит от Я, то индекс нуль, соответствующий значению при Н = 0, нужно добавить к ^, а если f (и ^ не зависит от Я, то индекс нуль нужно добавить к N. Соотношения (2.83) можно также получить, если ПФ представить как трехмерную, имеющую форму длинного цилиндра, параллельного Я, длина которого равна

к = 2л'1,

где t — толщина слоя в реальном пространстве. Если теперь проинтегрировать (2.58) по к, то мы сразу получим (2.83). Здесь удобно заметить, что для двумерной системы коэффициент вырождения D из (2.37) становится равным

D = ^HS^rh.(2.84)

Теперь можно считать, что все формулы предыдущих двух пунктов описывают свойства идеализированной двумерной системы при Т = 0, если просто убрать значки 6 во всех формулах, относившихся первоначально к слою толщиной дк. Таким образом, ЬМ заменится на М (магнитный момент), 6N — на Я (полное число электронов) и т.д. Период Д(1/Я) пилообразных осцилляций величины М и величины f (если величина N постоянна) или N (если величина f постоянна) связан с числом электронов на единицу площади (т.е. Я/S) следующим соотношением:

А(1/Н) = 2лесЬ^ = e^chn,(2.85)

а частота F равна

F = ГА(1/Н) = nchn/e.(2.86)

Поскольку п может быть порядка 1013 см-2, F может достигать 2 х 106 Гс, что вполне сравнимо с типичными значениями для малых трехмерных поверхностей Ферми.

Амплитуда осцилляций М, определяемая формулами (2.61) или (2.80), равна в идеальном случае /Зл/тг для основной составляющей, но на практике может стать значительно меньше из-за различных эффектов. Как показано в приложении 7, амплитуда оказывается очень малой по сравнению с типичными трехмерными металлическими образцами, однако, если использовать специальные методики, описанные в п. 3.4.2.1. и 3.4.2.5, обнаружение осцилляций должно стать возможным. Исследование их может быть полезно для понимания свойств различных двумерных систем. П. Дж. Стайлз в университете Брауна пытается в настоящее время осуществить подобный эксперимент.

Если число электронов постоянно (или почти постоянно) при изменении Я, энергия Ферми должна осциллировать с амплитудой порядка V10H [см. (2.82)], т.е. примерно 10“3 эВ для типичных условий (т/т0 = 0,2, Я = 2 х 104 Гс), что может быть обнаружено с помощью метода, описанного в разд. 4.4. До сих пор из осциллирующих свойств наблюдались только гальваномагнитные явления. Сильный эффект Шубникова—де Гааза наблюдался впервые в инверсионном слое в кремнии [151], и впоследствии его изучению было уделено значительное внимание. В разд. 4.5 изложена в общих чертах теория этого эффекта и сопутствующих особенностей эффекта Холла, а также кратко представлены некоторые впечатляющие результаты последних экспериментальных исследований1}.

Результаты в двумерном случае при квадратичном законе дисперсии

Прежде чем продолжить рассмотрение трехмерных систем, полезно записать соотношения, полученные нами для двумерной системы, в гораздо более простом виде, который они принимают в частном случае квадратичного закона дисперсии (например, для свободных электронов), для которого

// = /АО), гМ = х(Ш (2.87)

1} Эксперимент по поиску осцилляций дГвА в двумерном инверсионном слое в Si оказался успешным [489,490]. Осцилляции наблюдались также [491,492] в двумерной гетероструктуре GaAs—(AlGa)As с помощью СКИПа; достаточная чувствительность достигалась последовательным наложением 4000 слоев, суммарная площадь которых составляла 240 см2. — Прим, при корректуре.

Кроме работ, упомянутых автором в примечании при корректуре, приведем теоретическую работу Завадского [493] по расчету магнитных и тепловых свойств двумерного электронного газа, а также работу, в которой наблюдались осцилляции теплоемкости в многослойной гетероструктуре GaAs—(GaAl)As [494] и уровень Ферми в инверсионном слое Si [495]. Отметим, кроме того, что поток публикаций по свойствам двумерных электронных систем сейчас весьма обилен. — Прим.ред.

[здесь е(х) и f отсчитываются от дна зоны, т.е. от е(0)]. Для постоянного химического потенциала £

; = ХрН и XD = 5N0.; = ХрН и XD = 5N0.(2.88)(2.88)

; = ХрН и XD = 5N0.

; = ХрН и XD = 5N0.

(2.88)

(2.88)

Таким образом, при п + /2 < X < п + Vz из (2.55) получаем

<Ю =<Ю =-2W + "2^ - + з(-2W + "2^ - + з(XX

<Ю =

<Ю =

-2W + "2^ - + з(

-2W + "2^ - + з(

X

X

X [[X - (и + i)]2 - [X - (и + I)] + 1},(2.89)

что сводится к выражению

5П = pHdNofc^-^n+ 1)5П = pHdNofc^-^n+ 1)(2.90)(2.90)

5П = pHdNofc^-^n+ 1)

5П = pHdNofc^-^n+ 1)

(2.90)

(2.90)

Результат (2.90) может быть также получен непосредственно путем простого суммирования заданных в явном виде уровней энергии, т.е. из

Ю = 0Г№ + ^РН-т.I о)Ю = 0Г№ + ^РН-т.I о)(2.91)(2.91)

Ю = 0Г№ + ^РН-т.

I о)

Ю = 0Г№ + ^РН-т.

I о)

(2.91)

(2.91)

Однако форма записи (2.89) более содержательна, чем (2.90), поскольку она выделяет значение 60 при нулевом поле (первый член), вклад, связанный с линейной намагниченностью (второй член), и собственно осциллирующую часть 60 (третий член).

Соответствующая намагниченность равна

X {[x-fn + l)]2-^-^+ !)] + !}. (2.92)

Первый член соответствует двумерной постоянной диамагнитной восприимчивости Ландау, а второй представляет собой главную осциллирующую часть ЬМ, которая имеет совершенно тот же вид, что и результат (2.60) для произвольной зависимости е(к\ Третий член, который получается от дифференцирования пропорционального Н2 множителя перед фигурной скобкой в правой части (2.89), также будет осциллирующим, однако он по порядку величины в п раз меньше главного осциллирующего члена и не был учтен в об-

щей формуле (2.60). При вычислении (2.60) мы несколько раз использовали приближения, в которых пренебрегали членами такого порядка малости, так что не было особого смысла удерживать именно этот член в окончательном выражении. Однако в случае свободных электронов расчет является точным, так что сохранение малого добавочного члена оправдано. Можно заметить, что он вполне сравним по величине с членом для постоянного диамагнетизма. Относительные величины трех членов показаны на рис. 2.11.

Число электронов 6N, согласно (2.64), равно

6N = <W0 - ^(Х - (и + 1)) = ^^о-(2.93)

Рис. 2.11. Вклад различных слагаемых в выражение (2.92) для Ш — намагниченности слоя к -пространства толщиной Ьк для свободных электронов при постоянной величине £ и Г = 0. Для этой модели X = £/0Н, где f отсчитывается от уровня, соответствующего X = 0; число электронов bN устанавливается таким, чтобы величина £ была постоянной при изменении Н; при Н = 0 имеем ЫЧ = ЫЧ0. Пилообразная кривая (сплошная линия) совпадает с графиком рис. 2.4 [второй член в формуле (2.92)]; осцилляторная кривая (штриховая линия), затухающая по амплитуде как 1Л¥, обязана третьему слагаемому, которое не учитывалось на рис. 2.4 в предположении, что X > 1. Монотонно убывающая кривая (пунктир) отвечает первому слагаемому (постоянный диамагнетизм), которое также пренебрежимо мало по сравнению с основным членом, если X ► 1. При X < Уг наинизшее квантовое состояние находится выше £ и в соответствии с принятой моделью (которая, разумеется в этом пределе несколько нереалистична) электроны в нем должны отсутствовать (ЫЧ = 0) и полная намагниченность ЬМ обращаться в нуль.

Для постоянного числа электронов 8N.

Полагая, что все энергии отсчитываются от е(0), имеем [см. (2.87)]

U = XopH, X0D = 6N,(2.94)

и (2.78) принимает вид

+- „) + н, (2.95)

что сводится к

6Е = рН?Ц(пЦ\- ^ Ч.(2.96)

Это соотношение в виде (2.96) можно также получить непосредственно путем простого суммирования заданных в явном виде энергетических уровней, т.е. исходя из выражения

• 8Е = D "^ (г + })/W + ^N - nD№ + ^РН.(2.97)

О

Как и для (2.89), вид записи (2.95) имеет то преимущество, что выделяет постоянное значение ЬЕ (первый член), часть, связанную с линейной намагниченностью (второй член), и собственно осциллирующую часть (третий член).

Намагниченность выражается формулой

X [(Х0-и)2-(Х0-н) + |].(2.98)

Видно, что постоянная диамагнитная восприимчивость для постоянного 6N в два раза больше, чем для постоянной f. Как и в (2.92), мы включили добавочный осциллирующий член, который по порядку величины в п раз меньше главного осциллирующего слагаемого, но сравним по амплитуде с диамагнитным моментом.

Для осцилляций f [см. (2.82)] получаем выражение

£-<о = -/^[Хо-(„ + !)]= -Со(1 ~^±Ж(2.99)

6-207

Интегрирование по к

Теперь мы сделаем следующий шаг и перейдем от двух к трем измерениям в ^-пространстве. Поскольку химический потенциал f одинаков для всех электронов, находящихся внутри ПФ, при интегрировании по к следует считать f постоянной. Значит, для интегрирования нужно взять выражение (2.57), и тогда мы находим, что

еН2У Г 001

fi = 4^J ^dKpZ^y С05{2лр[Х(к)-|]}.(2.100)

Здесь, вероятно, будет полезно вспомнить, что, согласно определению (2.49), X = ^сИ/Т/кеН. Пределами интегрирования служат значения к, при которых плоскость к = const касается ПФ, или, если ПФ представляет собой непрерывную трубку, периодически повторяющуюся от зоны к зоне, пределами будут значения на гранях зоны. Однако, как будет непосредственно видно, обычно вполне допустимо положить пределы равными ± оо, если отсчитывать к от значения, при котором X (т.е. площадь) принимает свое максимальное или минимальное значение Хо. В действительности, если Хо ► 1, только малая часть полного интервала интегрирования вблизи к = 0 дает заметный вклад в интеграл, а за пределами этого интервала конкретный видХ(к) и пределы интегрирования несущественны. По той же причине величину 0, которая в общем случае также есть функция к, можно считать постоянной, равной значению 0 при к = 0, и вынести ее за знак интеграла. Далее мы разлагаем X в ряд Тейлора в точке к = 0:

X = Х^ ± ^Х"к2 ± -^Х^к4 ± • • • > (2.101) где

X" = \62Х/6к2\к = 0, X" = \84Х/6к4\к = 0 , (2.102)

а знаки «±» выбираются в соответствии со знаками производных (т.е. для члена к2 знак «+ » означает, что Хо — это минимальное значение, а знак «— » означает, что Хо — максимальное значение^). Обычно нет необходимости продолжать разложение дальше члена к2, и здесь мы примем, что этого достаточно; особый случай, когда величина X" мала или равна нулю, рассмотрен в приложении 5. В

^ Мы предположили, что Х-четная функция к; если это не так, то необходимо учитывать также члены к3.

описанном приближении вклад р-го члена в интеграл в (2.100) (если опустить множители /3 и 1/тг^р2) равен

Ip ~Ip ~d/vcosl^TrptA^K:) — |)]d/vcosl^TrptA^K:) — |)]

Ip ~

Ip ~

d/vcosl^TrptA^K:) — |)]

d/vcosl^TrptA^K:) — |)]

(2.103)(2.103)= 2 dKCOsP^^o ± ^Х”к2 — |)] . Jo

(2.103)

(2.103)

Оправдание для замены истинного верхнего предела, скажем к0, на оо заключается в том, что обычно

(2.104)(2.104)2X"kq » 1.

(2.104)

(2.104)

Это во всяком случае верно для эллипсоидальной ПФ, ^скольку для нее (см. приложение 1) выполняется точное равенство

(2.105)(2.105)|Х"^ = Хо

(2.105)

(2.105)

и мы все время предполагаем, что Хо ► 1. Таким образом, вклад в интеграл будет мал для всех значений к, кроме таких, когда к/к0 5 Х0~’л. В остальной области, ограниченной пределом к0 или оо, подынтегральное выражение быстро меняет знак с ростом к и значит дает малый вклад в интеграл. Расчет, проведенный в приложении 5 на основе такого рассуждения, показывает, что даже для Хо = 2 не возникает большой ошибки при интегрировании до бесконечности в случае эллипсоидальной ПФ.

Для вычисления 1р удобно ввести переменную и:

и2 = 2рХ"к2.(2.106)

Тогда (2.103) принимает вид

/ 2 X1/2 Г

^ = 7i^) cos[27ГР^о - I)] со$|ли2 du +

\РЛ / IJo

+ sin[2np(%0 -1)]+ sin[2np(%0 -1)]JoJosin^nu2 dusin^nu2 du(2.107)(2.107)

+ sin[2np(%0 -1)]

+ sin[2np(%0 -1)]

Jo

Jo

sin^nu2 du

sin^nu2 du

(2.107)

(2.107)

Но, учитывая, что

cos^nu2du

sin^«2d«

_ i - 2 >

(2.108)

находим

(2.109)(2.109)/р = (pX")’1/2cos[2np(X0 - 2) ± 4”],

(2.109)

(2.109)

откуда видно, что результат интегрирования сводится только к изменению фазы каждой гармоники на ± /47г («+», если%0 есть минимум, и «-», если это максимум) и к умножению амплитуды на коэффициент (pX")~x/1. Значение этого коэффициента можно оценить на примере эллипсоидальной ПФ, для которой X" задается равенством (2.105), так что коэффициент равен просто к^УрХ^72, а если бы все слои ПФ имели одно значение X (как для цилиндрической ПФ), то коэффициент был бы равен 2к0. Таким образом, получается, будто только l/O^A^2 часть полного диапазона 2к0 дает когерентный вклад при интегрировании, а остальная часть полностью неэффективна из-за расфазировки.

Интегрирование, приводящее к формуле (2.109), можно выполнить также графически с помощью амплитудно-фазовой кривой, на которой амплитуда и фаза интеграла до любого верхнего предела задаются длиной и наклоном хорды кривой, которая в данном случае будет спиралью Корню. Этот метод использован в приложении 5 и с его помощью для эллипсоидальной ПФ оценивается возможная ошибка, возникающая при замене верхнего предела бесконечностью. Оказывается, что эта ошибка пренебрежимо мала практически вплоть до квантового предела (т.е. вплоть до Хо = 1).

Если теперь просуммировать по всем гармоникам (т.е. по р), то

получимполучим' е \з/2 ^н5/2 Inch / п2(Л")1/2' е \з/2 ^н5/2 Inch / п2(Л")1/200|£-572 cosр= 1 р00|£-572 cosр= 1 р\ (F2КР\Н 2^4\ (F2КР\Н 2^4

получим

получим

' е \з/2 ^н5/2 Inch / п2(Л")1/2

' е \з/2 ^н5/2 Inch / п2(Л")1/2

00|

£-572 cos

р= 1 р

00|

£-572 cos

р= 1 р

\ (F

2КР\Н 2^4

\ (F

2КР\Н 2^4

(2.110)

где мы ввели частоту дГвА, определяемую [как и в (2.4)] соотношением

(2.Ш)(2.Ш)F = Oi/Iite^A = Х0Н;

(2.Ш)

(2.Ш)

(2.112)(2.112)здесь Л — экстремальная площадь сечения поверхности Ферми, т.е. максимальное или минимальное значение, принимаемое ^ при изменении к. Мы также ввели обозначение

(2.112)

(2.112)

А" = |амак2|к = о = <1кеН1с^Хм.

Зависимость йН~Уг от \/Н представлена на рис. 2.12, из которого видно, что расфазировка, вызванная интегрированием по к, при-

Рис. 2.12. Зависимость величины Х^й/N^ от XQ(= F/H} при Т = 0. Масштаб по оси ординат соответствует металлу в приближении свободных электронов; для произвольной электронной структуры масштаб будет иной, но форма осцилляций не изменится. Как видно из формулы (2.115), отложенная на графике величина содержит дополнительный множитель 3/(2У2тг2) по сравнению с суммой ряда Фурье в (2.110) или (2.115).

вела к сглаживанию провалов зависимости для двумерного случая (рис. 2.4) и к появлению асимметрии осцилляций, поскольку расфазировка действует только в одну сторону. В аналитическом виде сглаживание можно объяснить добавлением сомножителя р1/2 в знаменателе (2.110) по сравнению с (2.57), т.е. относительным ослаблением высших гармоник. Как уже отмечалось, абсолютная амплитуда осцилляций в расчете на один электрон для целой ПФ значительной меньше, чем для ее двумерного слоя; для свободных электронов (см. ниже) это уменьшение определяется коэффициентом порядка (HF)V\ Выражения для М можно, как и прежде, получить дифференцированием по Н (для М^ или по угловой переменной 6 [см. (2.40)—(2.42)], такой, чтобы производная ЭР/дО была максимальна (для М±). Мы получаем соотношения

И~2 ±4И~2 ±4е У3/2 pFHv'2V

И~2 ±4

И~2 ±4

Th)

1 dF .1 dF .f де м"’f де м"’(2.113)(2.114)(2.113)(2.114)

1 dF .

1 dF .

f де м"’

f де м"’

(2.113)

(2.114)

(2.113)

(2.114)

где, как и прежде, мы пренебрегли при дифференцировании малыми вкладами, вносимыми Н5/г в (2.110), или зависимостью от 6 множителя 0/(А" )1/2. Осцилляции МН~х/г показаны на рис. 2.13, где, как и для осцилляций Q, интегрирование по к привело к некоторому сглаживанию кривой для двумерного случая; скачки на рис. 2.5 превратились в провалы.

Наконец, можно отметить, что для свободных электронов или вообще для квадратичного закона дисперсии коэффициент перед таком суммы в (2.110) упрощается, и, поскольку экстремум пло-

Рис. 2.13. Зависимость величины X^M/N^ от XQ(= F/H) при Т = 0. Относительно масштаба по оси ординат справедливы замечания, сделанные для рис. 2.12. Отложенная на графике величина содержит миожитель 3/(2%-) по сравнению с суммой ряда Фурье в формуле (2.113) или с первой суммой ряда Фурье в формуле (2.116).

щади для сферы есть максимум, мы получаем

(^/Зтг2)(2^Г//г2),/2, ко- удобном виде как(^/Зтг2)(2^Г//г2),/2, ко- удобном виде какП"ЫЧ» ^ <Г (2115)

(^/Зтг2)(2^Г//г2),/2, ко- удобном виде как

(^/Зтг2)(2^Г//г2),/2, ко- удобном виде как

Учитывая, что F = ^/0 [см. (П1.19)] и No = эффициент можно выразить в более ^^^(N^H/F)572 и получить

г, 3J^2 Г ^ 1 • R ^ Л ^1

М« = ~ 2^ «(jJ \^™[2W(д ’ V ' 4 J +

5 fH\ 2 1— —) —гту COS4n\F)р^х р5125 fH\ 2 1— —) —гту COS4n\F)р^х р512' (F Л' (F ЛК4К4(2.116)(2.116)

5 fH\ 2 1

— —) —гту COS

4n\F)р^х р512

5 fH\ 2 1

— —) —гту COS

4n\F)р^х р512

' (F Л

' (F Л

К

4

К

4

(2.116)

(2.116)

При больших (F/H) второй суммой в (2.116) можно пренебречь, но при приближении к квантовому пределу она становится существенной.

Эти результаты, впервые полученные Ландау [249], служат весьма хорошим приближением к точным результатам, которые можно получить в явном виде для этого частного случая (см. приложение 2). Это продемонстрировано графически на рис. 2.14 (см. с. 100), где показано также, как меняется зависимость Mv если считать постоянной не энергию Ферми, а число электронов, — различие становится заметным только при малых значениях F/H.

Размытие фазы [392]

Очевидно, что осцилляции, определяемые выражениями (2.110) и (2.113), представляют сильно идеализированную ситуацию, и предстоит еще учесть не только такие существенные факторы, как конечная температура Г, конечное время релаксации электронов т и спин электрона, но также и осложнения более практического характера, вызванные, например, неоднородностями образца и магнитного поля. Оказывается, что все эти факторы можно представить как частные случаи «размытия фазы» в том смысле, что их действие эквивалентно наложению осцилляций типа (2.110) с частотой F (или фазой), которая изменяется в небольших пределах около своего идеального значения. Механизм таких изменений определяется в соответствии с типом рассматриваемого фактора. Сейчас мы покажем, что коэффициент, определяющий уменьшение амплитуды каждого периодического члена в (2.110) [или любой его производной, например (2.113)], вызванное таким размытием фазы, связан очень простым соотношением с соответствующим распределением фаз в диапазоне их изменения1*.

Для упрощения обозначений введем следующую замену:

Ф = ^Р --- ±-,(2.117)

yr!4

так что периодические члены в (2.110) будут иметь вид просто cos^. Наложение распределения таких членов с разными значениями F/H приведет тогда к замене cos^ на

/= со$(|Д + ф)й(ф/л)аф ЩфМдф, (2.118) J - ОО/ J - ОО

где ф — отклонение фазы от первоначального значения ф и £>(ф/Х) — функция распределения, определяемая таким образом, чтобы вероятность нахождения величины ф в интервале от ф до ф + 4ф была пропорциональна В(ф/Х)йф. Масштабный коэффициент X будет служить параметром, характеризующим различные виды размытия фазы. Точное определение параметра X нам сейчас не нужно, но вообще он будет определен так, чтобы величина 27(1) была существенно меньше 1, иначе говоря, X характеризует ширину

^ Мы, конечно, везде предполагаем, что монотонной зависимостью амплитуды от поля можно пренебречь. Это предположение обычно вполне допустимо, за исключением случая малых значений F/H.

I = a^\ ёфП(ф!^&фI = a^\ ёфП(ф!^&фП(ф1^ф>П(ф1^ф>(2.119)(2.119)

I = a^\ ёфП(ф!^&ф

I = a^\ ёфП(ф!^&ф

П(ф1^ф>

П(ф1^ф>

(2.119)

(2.119)

функции распределения. Знаменатель в (2.118) нужен для нормировки и связан с коэффициентом пропорциональности между /)(ф А) и истинной вероятностью.

Очевидно, что при X < 1 в числитель (2.118) дадут вклад лишь очень малые значения ф, так что с хорошей точностью можно заменить со$(ф + Ф) на со$ф и вынести его за знак интеграла. В этом случае I сводится к со$ф и размытие фазы несущественно. Однако, если X 1, происходит значительная расфазировка и в результате/ может стать меньше, чем совф. В общем случае выражение (2.118) можно вычислить, если переписать его в виде

гдегде/ = ^{[/U)//(0)]e^}/ = ^{[/U)//(0)]e^}(2.121)(2.121)

где

где

/ = ^{[/U)//(0)]e^}

/ = ^{[/U)//(0)]e^}

(2.121)

(2.121)

или, полагая

г = ф/Я

получаем

eU2D(z)dz

(2.122)(2.122)(2.123)(2.123)

(2.122)

(2.122)

(2.123)

(2.123)

М= eU2D(z)dz,

т.е. просто преобразование Фурье от D^ по X.

Таким образом, размытие фазы сводится к умножению амплитуды на коэффициент

R = 1/М1//(0)

и, вообще говоря, к изменению фазы. Однако, если D^ есть симметричная функция z, как это будет иметь место почти для всех несколько идеализированных случаев, которые мы рассмотрим, то /(X) — действительная величина и фазовый сдвиг точно равен нулю. Однако не следует забывать, что на практике могут быть ситуации, когда D^ не совсем симметрична, и тогда возникнет некоторый сдвиг фазы, тангенс которого будет равен отношению мнимой и действительной частей /(X).

Для удобства в табл. 2.2 приведены значения /(Х)//(0) для некоторых функций D(z), которые нам понадобятся в дальнейшем. Вычисление преобразований Фурье этих функций элементарно, за ис-

Таблица 2.2. Преобразования Фурье некоторых полезных функций

ОписаниеD^)

/(Х)//(0)

Отрицательная производ

ная функции Ферми 1/(1 4-

функция Лоренца1/(14-

функция Гауссае-г

coshz)

Z2)

тХ/sinh (я*Х) е-х

е-хА\г

П-образное распределение £>(z) =

^при

-1 < z < 1 £>(z) = 0 при

остальных значениях

sin Х/Х

ключением 1/(1 + coshz), для которой требуется интегрирование по контуру.

Существенная особенность такого подхода заключается в том, что он приводит просто к умножению р-й гармоники на коэффициент R(p)9 и каждый случай размытия фазы может быть рассмотрен независимо, (в том приближении, когда можно пренебречь размытием коэффициентов при периодических слагаемых). Теперь рассмотрим поочередно разные случаи.

Влияние конечной температуры

При конечной температуре Т вероятность заполнения состояния с энергией е определяется функцией Ферми

М = 1/(1 + еи'°1кТ).(2.124)

Интуитивно кажется, что реальный металл с энергией Ферми ? можно представить как суперпозицию гипотетических металлов, находящихся при Т = 0, со значениями энергии Ферми р, распределенными в окрестности f таким образом, что доля этих металлов, равная /(е), имеет р > е и тем самым уровень е у них заполнен. Требуемое распределение, как легко видеть, таково, что число гипотетических металлов, обладающих энергиями Ферми от р до Р + dp9 равно - №ДрУйр№р. Тогда часть, имеющая р > е, будет равна

-J [d/(p)/dp]dp(

что действительно равно /(е). Более строгое обоснование этого интуитивного подхода дано в разд. 2.5, где показано, что для любой системы, подчиняющейся статистике Ферми—Дирака, свертка термодинамического потенциала 0(0) при Г = 0 с функцией распределения -d/Qx)/dpt дает правильное значение 0(Т).

Функцию распределения — d/QO/dpt можно выразить в виде

(2.125)(2.125)dM =1

(2.125)

(2.125)

dju 2кТ\Д +cosh(/z-O/kT] ’

ее преобразование Фурье приведено в табл. 2.2. Поскольку частота дГвА F есть функция от f, размытие р эквивалентно размытию фазы ф. ДгГя изменения энергии Ферми на величину (д - Г) соответствующее изменение фазы равно

, 2лр dF, 2лр dF2кр ch dA ,2кр ch dA ,

, 2лр dF

, 2лр dF

2кр ch dA ,

2кр ch dA ,

(2.126)(2.126)(2.127)(2.127)

(2.126)

(2.126)

(2.127)

(2.127)

рн И <’Ь

Таким образом,

/х - с РНФ

кТ 2лркТ а

где величина X определена как ЪфкТ/рн.

Влияние конечной температуры сводится, таким образом, к размытию фазы с функцией распределения 1/[1 + cosh(0/X)], а из (2.123) и табл. 2.2 видно, что это приводит к умножению амплитуды на понижающий множитель RT, равный

(2.128)(2.128)яЯ 2л2ркТ/рН

(2.128)

(2.128)

&т sinh ял sinh(2^2p/cТ/РН)

В принятом нами приближении, когда при дифференцировании учитываются только относительно быстро меняющиеся периодические множители, тот же коэффициент RT можно использовать и для производных, например для намагниченности. Множитель RT стремится к 1 при Ъг^ркТ/вН < 1, как, разумеется, и должно быть (пренебрежимо малое размытие фазы), а для lir^kT ^ 1 множитель RT стремится к значению

Яг = 2л2ркТ/рну (2.129)

Можно отметить, что для типичных значений Т и Н и для циклотронной массы т, близкой к массе свободного электрона т0 (например, в случае благородного или щелочного металла), соотношение (2.129) служит весьма неплохим приближением. Оно может быть задано формулой

RT = 294p(m/m0)(T/H)exp[- 1^^^(2.130)

где поле Н дано в кГс (если Н выражается в Тл, коэффициенты будут 29,4 и 14,7). Для меди т/тй ~ 1,5, так что при Т = 1 К, Н = 50 кГс и р = 1 мы получим RT ~ 0,1, а для р = 2 RT = = 0,002. Значит, в типичных условиях можно с хорошей точностью считать осцилляции простой гармоникой. Как мы увидим ниже, понижающие множители, обусловленные другими механизмами размытия фазы, еще больше снижают содержание высших гармоник в типичных осцилляциях дГвА.

Влияние конечного времени релаксации

Если электроны вследствие рассеяния обладают конечным временем релаксации т, то в согласии с принципом неопределенности происходит уширение квантовых уровней ег (для данного к) и, как впервые было показано Динглом [119], это приводит к уменьшению амплитуды осцилляций. Уширение может быть характеризовано функцией распределения Лоренца, т.е. вероятность того, что значение энергии попадает в интервал от в до е + de, пропорциональна1)

de

(е - ег)2 4- (й/2т)2(2.131)

Если время релаксации т можно считать не зависящим от е, действие этого уширения эквивалентно введению значения энергии Ферми /л, распределенного в окрестности его истинного значения f, причем вероятность нахождения ц в интервале от /л до /л + d/л

(2.132)(2.132)равна

(2.132)

(2.132)

^ - О2 + (А/2т)2 *

О Как впервые отметил Брейлсфорд [57], в определении Дингла время т в два раза больше, чем обычно принятое [например, т в выражении (2.131)], Это привело к некоторой путанице в литературе по временам релаксации, полученным из измеренных температур Дингла.

Как и прежде, размытие энергии Ферми приводит (вследствие зависимости площади сечения ПФ от энергии Ферми) к размытию F, так что уширение уровней равносильно некоторому размытию фазы. И так же, как прежде, отклонение фазы ф связано с (д — f) соотношением (2.126), так что функция распределения, фазы П(ф/\) может быть выражена в следующем виде:

Я(Ф/Л) = 1/[1 + (0М)2],(2.133)

где

Л = лрЬ/рНт.(2.134)

Из табл. 2.2 следует, что «дингловский» понижающий множитель R^, возникающий вследствие уширения уровней, равен

KD = е-^РНг = е-тср/Мсг.(2.135)

Поучительно отметить, что множитель RD равен как раз уменьшению амплитуды вероятности электрона, совершившего р оборотов по циклотронной орбите, т.е. квадратному корню той части всех электронов, которая не выбыла из-за рассеяния. Этому результату дана более глубокая интерпретация в рассмотрении Фаликова и Стаховяка [144].

Как видно из (2.129), влияние этого множителя подобно [но не совсем эквивалентно, из-за добавочного множителя в (2.129), содержащего Г, и из-за того, что (2.129) все-таки является приближением] влиянию некоторого повышения х температуры, равного

х = к/2лкт.(2.136)

Тогда фактор Дингла можно выразить как

RD = exp(-2K2pkx^H)(2.137)

и величина х известна как температура Дингла. Типичные значения температур Дингла, вызванных рассеянием на примесях, порядка 10—100 К в расчете на 1 атЛо введенной примеси (см. табл. 8.1); правда, на практике трудно наблюдать значения, существенно превышающие 5 К, так как амплитуда осцилляций становится недостаточной для измерения.

Следует отметить, что в начале вычисления было сделано одно довольно сильное упрощающее предположение, а именно о независимости т от е. Без этого предположения уже нельзя считать вполне корректной замену уширенных уровней энергии и резкого уровня Ферми на резкие уровни и уширенный уровень Ферми. Однако эта некорректность на практике не так уж существенна. Это следует из

рассуждений п. 2.3.2, где показано, что для двумерного слоя при Г = 0 можно в каком-то смысле считать, что отдельный скачок в зависимости М определяется вкладом только одной трубки Ландау, проходящей в данный момент через значение энергии Ферми. После интегрирования по к это уже не совсем так, но все равно существенный вклад в каждую отдельную осцилляцию дают только те несколько трубок Ландау, которые находятся непосредственно вблизи трубки, проходящей через поверхность Ферми.

При конечной температуре и конечном времени релаксации включается уже большее число трубок, чем при Т = 0, но все-таки число трубок не может стать большим. Это можно довольно общим образом показать исходя из того, что соответствующие функции распределения Р(ф/Х) быстро спадают за пределом ф - X. Поскольку понижающие множители RT или /?D становятся очень малыми при значении X, большем, чем, скажем, тг, то отсюда следует, что «эффективный» интервал (т.е. ± X) значений ф, при которых существует заметная амплитуда осцилляций, будет только порядка 2тг, или одного периода осцилляций. Иначе говоря, уширение из-за конечной температуры или конечного времени релаксации эффективно затрагивает только одну или две трубки, ближайшие к той, которая проходит через поверхность Ферми. Таким образом, при вычислениях важно учитывать уширение именно этих нескольких трубок, близких к ПФ, и если мы предположим, что т не очень сильно меняется от одной трубки к другой, то допущение о независимости т от е будет, по-видимому, разумным приближением

2.3.7.3*. Другие эффекты, приводящие к затуханию осцилляций

На практике часто получается, что уменьшение амплитуды осцилляций определяется скорее размытием фазы из-за неоднородности образца, чем влиянием конечной величины времени релаксации из-за электронного рассеяния2). Такая неоднородность может быть либо проявлением мозаичной структуры, при которой наблюдается небольшая разориентировка частей кристалла и следовательно, вариация F в некотором интервале значений, либо проявлением пере-

Это слишком упрощенное рассуждение; в действительности нужно подробно рассматривать механизм рассеяния электронов в магнитном поле (см., например, обзоры [424] и [85]).

Однако неоднородность образца неизбежно влечет за собой и рассеяние электронов (обычно малоугловое) и не очевидно, следует ли рассматривать рассеяние как добавочный по отношению к размытию фазы эффект; здесь мы обсуждаем только размытие фазы.

менных напряжений в образце (в основном из-за дефектов, например дислокаций), что также приводит к некоторой вариации F. Фазовый сдвиг ф, соответствующий изменению kF частоты F (по любой причине), определяется соотношением

ф = 2np&F/H. (2.138)

Так, например, если /kF характеризуется функцией распределения Лоренца, пропорциональной

1/{1+ [AF/(AF)0]2}, (2.139) то функция распределения для ф будет задана в виде (2.133) со значением X, равным

л^2лр^0/Нэ (2.140) и понижающий множитель е-х будет иметь тот же вид, что и множитель Дингла Rd в (2.137), но со значением х, равным

х = р^Е)0/лк. (2.141)

Как будет более подробно обсуждаться в гл. 8, нет никакой причины априори ожидать, что величина AF должна подчиняться именно функции распределения Лоренца, но на практике использование экспоненциального вида понижающего множителя (2.137) оказывается успешным в широком диапазоне полей. По-видимому, это значит только, что принятие функции распределения Лоренца является уместным приближением для данных экспериментальных условий. Найдено, что типичные значения температур Дингла, обусловленные влиянием неоднородностей, порядка 1 К или менее.

Следует отметить, что во всем рассмотрении этого раздела мы молчаливо предполагали, что размер классической орбиты мал по сравнению с расстоянием, на котором F может заметно изменяться. В гл. 8 показано, что при достаточно малых полях или при неоднородностях достаточно малого масштаба приведенные выше рассуждения теряют силу и что в противоположном предельном случае достаточно больших (по сравнению с масштабом неоднородности) орбит понижающий множитель принимает экспоненциальный вид (2.137) для любой функции распределения неоднородностей.

В заключение этого раздела уместно будет назвать еще один источник ослабления осцилляций — размытие фазы вследствие неоднородности поля. Если, например, имеется малое линейное измене-

ние поля Н вдоль одного из размеров образца^, соответствующим фазовым распределением будет П-образное распределение (табл.

со значением X, равным

z = npF^H/H2,(2.142)

где АН — полное изменение поля на размере образца. Тогда понижающий множитель будет равен

Ядн = sinz/z .(2.143)

Это, однако, скорее относится к технике экспериментального наблюдения эффекта де Гааза—ван Альфена, чем к основным свойствам образца, определяющим амплитуду осцилляций. Мы вернемся к вопросу о влиянии неоднородности поля в гл. 3, где рассматриваются экспериментальные методики. Наконец, отметим еще, что П-образное распределение можно применить также в случае кристалла, слегка изогнутого цо дуге окружности (при условии, что направление изгиба не совпадает с кристаллографически выделенной ориентацией); легко видеть, что понижающий множитель по- прежнему равен sinX/X, но только вместо F&H/H2 в (2.142) будет стоять &F/H, где AF — вариация F на размере образца.

Влияние спина электрона

В магнитном поле Н спиновое вырождение снимается и каждый уровень расщепляется на два с энергиями, равными

8±|Ае,(2.144)

где'

Мд№(2.145)

Здесь 0О = eh/moc — удвоенный магнетон Бора, g — так называемый коэффициент спинового расщепления (g-фактор), определяемый из соотношения (2.145); для свободных электронов g = g0 = 2,0023, и в большинстве случаев g0 можно считать равным двум. Влияние такого спинового расщепления точно эквивалентно разности фаз

ф = 2кМРН = 2л$(2.146)

между осцилляциями, обусловленными электронами с разными направлениями спина (разность фаз будет в р раз большей для р-й

О Мы рассматриваем такую идеализированную ситуацию, когда площадь сечения образца плоскостью, нормальной к направлению изменения поля, постоянна, а на концах резко обрывается.

гармоники). Это связано с тем, что за один период осцилляций (при изменении фазы на 2т) через уровень Ферми проходят два последовательных уровня, разделенных дистанцией ЗН, a &е/$Н есть доля полного изменения фазы от 2т, соответствующая спиновому расщеплению Де. Следовательно, в результате наложения осцилляций от электронов с двумя направлениями спина получаются осцилляции с амплитудой, равной ее первоначальному значению, умноженному (для р-й гармоники) на коэффициент

(2.147)(2.147)(2.148)(2.148)R% = cos(|p0) = cos(pn&e/0H)

(2.147)

(2.147)

(2.148)

(2.148)

или

Rs = cos(^pngm/m0) = cos(pnS).

Этот результат был впервые получен Зондхаймером и Вильсоном [410] и Динглом [118].

Это простое рассуждение можно сделать более строгим, если заметить, что случай, когда уровни £ ± ^Дб, образовавшиеся в результате спинового расщепления, проходят через уровень энергии Ферми f, совершенно аналогичен случаю, когда нерасщепленные уровни с проходят через два различных уровня энергии Ферми Г ± /2 Де (в зависимости от направления спина)1*. Таким образом, любой периодический член cos^ нужно заменить выражением

НоНо. 1 А йФ* + 2ДХ. 1 А йФ* + 2ДХ+ cos+ cos(ф -iAe^L\ dC/J(ф -iAe^L\ dC/J(2.149)(2.149)

Но

Но

. 1 А йФ

* + 2ДХ

. 1 А йФ

* + 2ДХ

+ cos

+ cos

(ф -iAe^L

\ dC/J

(ф -iAe^L

\ dC/J

(2.149)

(2.149)

йф pchdA 2пр

и тогда (2.149) сводится к

(2.150)(2.150)cos[^p7t6/(m/m0)] cos ф.

(2.150)

(2.150)

что как раз и дает значение понижающего множителя (2.148).

° В действительности эти два описания можно считать равносильными. Если потенциальная энергия учитывается, то энергия Ферми будет одинакова для электронов с разным направлением спина (имеющих разную энергию), но если эти электроны рассматривать как относящиеся к разным подзонам, то значения энергии для дна этих подзон уже не будут совпадать. Если потенциальная энергия не учитывается, то значения энергии для дна подзон будут совпадать (как и уровни энергии для разных направлений спина), но энергии Ферми будут различаться.

[Потенциальной энергией автор называет энергию спина в магнитном поле. — Прим.редД

е V^2kTHwV 2nch) М")1'2е V^2kTHwV 2nch) М")1'2(2.151)(2.151)

е V^2kTHwV 2nch) М")1'2

е V^2kTHwV 2nch) М")1'2

(2.151)

(2.151)

Вид Rs можно получить также и с помощью общего метода, если взять преобразование Фурье от функции распределения

D(z) = 8U - {) + 6(z + |)

со значением X, равным

Л = 2кМ(Ш.

Вряд ли, однако, следует применять такой сложный метод для получения результата, который настолько очевиден интуитивно.

Можно заметить еще, что для свободных электронов (g = 2, т = т^ понижающий множитель становится равен просто (- Vf, что соответствует спиновому расщеплению, точно равному расстоянию между уровнями Ландау [3]. Как мы увидим в дальнейшем, этот результат может оставаться приближенно верным и для зон, в которых т/т^< 1, но имеется сильная спин-орбитальная связь, так что yigm/m0 - 1. Множитель (— l/’ точно эквивалентен разности фаз тгр для р-й гармоники.

Обсуждение формулы Лифшица—Косевича для йиЙ

Окончательная формула для Я, которая получается после введения понижающих множителей RT, RD и Rs в «идеальную» формулу (2. ИО), имеет вид

® ехр( - 2л2ркх/[Ш) cos[ip7ri/(m/m0)]р3/2 8тЬ(2л2pkT/рН)

и соответственно

/ е У 2 2FkTV exp^ — 2n2pkx/pH^cos^png^m/m0)3

\7h) МАТ2 р^х р17^!^^

а МL, как и раньше, определяется выражением (2.114).

Эти результаты (за исшцочением фактора Дингла) были впервые получены Лифшицем и Косевичем [265, 266], и мы будем часто

ссылаться на них и на другие выведенные из них соотношения как на «формулу ЛК». Поверхности Ферми в общем случае имеют

'/-207

сложную форму и обычно существует несколько экстремальных сечений и соответственно несколько наборов значений F, 3 (или m\g и х при любом данном направлении поля. Таким образом, осциллирующая величина состоит из суммы нескольких вкладов, каждый из которых описывается формулой ЛК, но при разных значениях параметров. При выводе формулы величина f была*принята постоянной, но в разд. 2.4 мы покажем, что учет слабых осцилляций f не вносит существенных изменений.

Как будет показано в разд. 2.6, вид результатов ЛК не меняется при обобщении теории для учета многочастичных взаимодействий, если исключить экстремальные ситуации. Однако в формуле ЛК не учтены два осложняющих обстоятельства, которые иногда оказываются практически важными — магнитное взаимодействие и магнитный пробой, уже упомянутые кратко в разд. 1.3. Мы отложим подробный анализ этих явлений до гл. 6 и 7 соответственно, чтобы сейчас можно было рассмотреть приложения формулы ЛК, не заботясь преждевременно об усложнениях. Примерно половина оставшейся книги будет посвящена в сущности экспериментальному подтверждению формулы ЛК, определению различных параметров и их использованию для изучения основных свойств металлов. Эта программа уже была кратко изложена в разд. 1.4.

Осцилляции энергии Ферми

Как мы видели в п. 2.3.3 [см. (2.82)], для поддержания постоянного числа электронов в двумерном слое ПФ при Т = 0 требуется довольно значительная амплитуда осцилляций энергии Ферми. Теперь мы покажем, что для трехмерной поверхности Ферми в целом осцилляции f гораздо слабее, даже при Г = 0, и обычно их влиянием можно пренебречь.

Полное число электронов определяется соотношением

N= -(^Ж)я,(2.153)

которое можно записать в виде^

N = N0®^N®,(2.154)

где

^)=-(еа№)н,<2Л55>

^ Мы пренебрегаем малым зависящим от поля, но неосциллирующим вкладом, который дает второй член в (2.55) после интегрирования по к.

a N0(f) — число электронов для данного значения f при Н = 0 [эта величина выводится из О0, которая получается в результате интегрирования по к 1-го члена в (2.55), а также от соответствующих вкладов других зон]. Теперь нетрудно сделать так, чтобы величина N не менялась при изменении 2^, если ввести подходящую небольшую осциллирующую добавку f к энергии Ферми, такую, чтобы возникающие осцилляции No^) скомпенсировали осцилляции 1^. Если пренебречь влиянием самой величины f на vV, что оправдано с хорошей точностью, то f определяется из условия

^o(O/d( + N(Q = О(2.156)

Производная dN0(Q/d? равна просто ^(f), плотности состояний на уровне Ферми, a N получается при интегрировании (2.66) по к:

N = -^itmH/^A^M = -НМ/Ер.

Таким образом,

С = -N/З^ = -НМ/FPS^.(2.157)

Эта формула была впервые получена Кагановым, Лифшицем и Синельниковым [227]. Мы можем оценить порядок величины f, замечая, что

®^-N^(2.158)

[для квадратичного закона дисперсии величина ^^ точно равна 3/^0(f)/f], так что

(2.159)

Для двумерного случая при Г = 0 величина S/No порядка \/Х, т.е. (F/H)-1 [см. (2.65)], но интегрирование по к вводит понижающий множитель порядка ^F/HYV1 [см. обсуждение после (2.109)], поэтому следует ожидать, что при Т = О

(2.160)

При F/H ~ 104 (что типично для больших ПФ) эта величина составляет только 10“6, а если учесть понижающие множители Кт. Яв и ^s« то она» конечно, может стать гораздо меньше. Поскольку С обычно порядка нескольких электронвольт, осцилляции будут не больше микровольта или около того. В исключительных случаях,

Рис. 2.14. Зависимость величины M/N^ от ^0(= £/0Н = F/H) для газа свободных электронов без учета спина при Т = 0 для малых значений Хф рассчитанная а — из точного выражения (П2.18) для случая постоянной величины f (сплошная линия); б — из точного неявного выражения для случая постоянного числа N (как объяснено в приложении 2); заметьте, что теперь XQ определяется как ^</№ (штриховая линия); в — из сумм рядов Фурье (2.116) с дополнительным слагаемым -хАХ0 для учета постоянного диамагнетизма (пунктир). В масштабе графика различия между кривыми в и а заметны только в области значений Хо s 0,7.

однако, например для висмута, у которого полное количество электронов и дырок очень мало и соответственно значения F/H могут быть гораздо меньше, амплитуда осцилляций может достигать почти милливольта. Вопрос о наблюдении осцилляций f с помощью соответствующих осцилляций контактного потенциала мы в дальнейшем обсудим (в разд. 4.4).

В принципе осцилляции величины f приводят к тому, что все параметры в формуле для термодинамического потенциала и, в частности, частота дГвА F должны сами быть осциллирующими функциями Н. Это в свою очередь означает, что истинное содержание гармоник в осцилляциях будет уже не таким, как для постоянных параметров. Однако практически ввиду малости f/f относительная амплитуда осцилляций параметров будет того же малого порядка величины (например, F/F ~ 10“6 или меньше) и изменением содер- ржания гармоник обычно можно полностью пренебречь. На рис. 2.14 показано на примере свободных электронов, насколько мало различаются случаи постоянной f и постоянного N. В действительности можно обычно, не делая большой ошибки, считать все параметры F, 0 (или m), g их постоянными. Однако, как мы кратко обсудим в разд. 4.4, Bi представляет исключение.

Осцилляции плотности состояний

Здесь удобно будет обсудить вопрос о плотности состояний и, в частности, ее осцилляторную зависимость от поля по двум причинам. Во-первых, потому что влияние многочастичных взаимодействий, которое будет рассматриваться в разд. 2.6, можно наиболее непосредственно описать с помощью плотности состояний, а во- вторых, потому что осцилляции плотности состояний определяют осцилляции сопротивления (эффект Шубникова—де Гааза), о которых будет идти речь в гл. 4.

Мы начнем с того, что вычислим плотность состояний ^(£) из первых принципов таким же образом, как было сделано в разд. 2.3 при получении термодинамического потенциала О. Вклад 6^(£) тонкого слоя к -пространства толщиной 6к определяется соотношением

х (еНУ6к\Г . х ( .^тгеНЛ

<W) = Ьгтт Е Т" М а(£. к) - (Г + |)—т— , (2.161) \/тгси/г=о\а£/ксп

так как разрешенные состояния существуют только при нулевых значениях аргумента 6-функции. Множитель (da/d£)K служит для нормировки 6-функции, т.е. для того, чтобы интеграл от (2.161) по с до некоторого ее значения равнялся кратности вырождения [первое выражение в скобках в (2.161)], умноженной на число трубок Ландау с энергией, меньшей £, при данном к.

Если, используя (2.21), выразить (da/de\ через циклотронную массу т^ и ввести, как и раньше, переменную х, определяемую (2.48), то получим

,т(^)Г6к

(2.162)(2.162)Ёо^^ - (г + I)].

(2.162)

(2.162)

Далее, разложение в ряд Фурье дает

У-А^ =У-А^ =т(с)И6кт(с)И6к1 + 2 £ со$[2лр(.х - |)] р = 11 + 2 £ со$[2лр(.х - |)] р = 1(2.163)(2.163)

У-А^ =

У-А^ =

т(с)И6к

т(с)И6к

1 + 2 £ со$[2лр(.х - |)] р = 1

1 + 2 £ со$[2лр(.х - |)] р = 1

(2.163)

(2.163)

и, в частности, для £ = f величинах будет равна Х( = F/H) и т(е) равна т. циклотронной массе на поверхности Ферми, так что

<^(О =

тУЬк

2л2й2

1 + 2 £ cos[2np(A" — i)] >. р =1J

(2.164)

Можно видеть, что bS^ состоит из постоянной (6^0(£)) и осциллирующей (6^(£)) частей. Постоянную часть можно записать в виде

^о(^) =^о(^) ='d2r(K)\ УЬкdcdK / 4л3'd2r(K)\ УЬкdcdK / 4л3

^о(^) =

^о(^) =

'd2r(K)\ УЬкdcdK / 4л3

'd2r(K)\ УЬкdcdK / 4л3

где и(к) — объем изоэнергетической поверхности е(А) = с, ограниченной плоскостью kz = к. Теперь, интегрируя по к, получаем, как и следовало ожидать,

(2.165)(2.165)^0(£) = (dr/d£)K/4rc3,

(2.165)

(2.165)

где v — полный объем изоэнергетической поверхности е(к) = е.

Полезно отметить, что в случае сферических поверхностей постоянной энергии с циклотронной массой т выражение для плотности состояний при энергии, равной энергии Ферми, сводится к виду

0о(О = VmVI^^WNIVV1^0о(О = VmVI^^WNIVV1^(2.165а)(2.165а)

0о(О = VmVI^^WNIVV1^

0о(О = VmVI^^WNIVV1^

(2.165а)

(2.165а)

если в объеме V содержится N электронов.

Что касается осциллирующей части ^(е), то интегрирование по к может быть проведено точно тем же способом, 4toji при переходе от 60 к О. Если сравнить выражение (2.164) для 6^(f) с выражением (2.57) для 60, то ясно, что величина bS^) пропорциональна производной d2(6Q)/dx2, которая в свою очередь пропорциональна dM/dH. Эта пропорциональность точно сохраняется при интегрировании по к, и легко показать, что

0(O = 7^dM/dH.(2.166)

р Л

Таким образом, изменение ^(f) происходит в фазе с йМ/ДН, но сдвинуто на четверть периода по отношению к М.

Учет спина и уширения уровней приводит к тем же понижающим множителям RD и Rs, что и раньше, но включать множитель RT, конечно, не следует, поскольку мы сейчас рассматриваем вероятность заполнения уровней, а не сами уровни. Таким образом, окончательно получаем

0(0 =

2еН\*/2 mVRDRsch ) п^Н^А'У

к

~4 *

Плотность состояний ^(е) для произвольной энергии е задается по существу той же формулой, только F будет определяться не экстремальной площадью сечения ПФ Л, а экстремальной площадью изо- энергетической поверхности е, а также т надо будет заменить на m(e) и (А*У*—соответствующей величиной для поверхности е(Л) = е. Порядок величины S^) мы обсудим в разд. 4.5 и увидим, что ^(f) составляет только малую часть ^0(f) — в лучшем случае Ж) - (Н/^ЗД-

На самом деле соотношения (2.166) и (2.167) можно довольно просто получить более общим образом, не прибегая к нашему выводу из «первых принципов». Если обратиться к основному определению (2.43) величины Я, то можно заменить сумму интегралом, введя S(e\ и тогда получим

£Ж,Т) = Ж)1п[1 + ехр(С - 8)/kT] de. (2.168)

Q(^0) =(s-C)@(£)ds,Q(^0) =(s-C)@(£)ds,(2.169)(2.170)(2.169)(2.170)Для Т = 0 это сводится к выражению

Q(^0) =(s-C)@(£)ds,

Q(^0) =(s-C)@(£)ds,

(2.169)

(2.170)

(2.169)

(2.170)

и, продифференцировав дважды, получаем Ж) = -<W,<W.

Можно также получить этот результат, исходя из полного числа частиц N, которое, с одной стороны, равно -(ЭЙ/af) [см. (2.153)], а с другой стороны, равно

NT = 0 —NT = 0 —^(8) de.^(8) de.

NT = 0 —

NT = 0 —

^(8) de.

^(8) de.

Если, как обычно, мы будем дифференцировать только осциллирующую часть й в (2.170) и, имея в виду, что вторая производная d2/df2 при действии на cos[2ttp(X — xA)^ir/4^ равносильна YOX/a^H/X^/dH1 и что dX/d^ = 1/0Я, сразу придем к тому же результату (2.166).

В следующем разделе мы применим некоторые из общих соотношений между й и -Ж) для рассмотрения последствий многочастичных взаимодействий. Прежде чем закончить этот раздел, уместно будет показать, как можно с помощью соотношения

(2.168) формально обосновать применение метода размытия фазы при учете влияния температуры (п. 2.3.7.1).

Если проинтегрировать соотношение (2.168) по частям, то, поскольку первый член при интегрировании равен нулю на обоих пределах, получим

Я(С,Т)=-d£/(£-0Я(С,Т)=-d£/(£-0S(y)dy,S(y)dy,(2.171)(2.171)

Я(С,Т)=-d£/(£-0

Я(С,Т)=-d£/(£-0

S(y)dy,

S(y)dy,

(2.171)

(2.171)

где /(х) — функция Ферми ^,кТ + 1) *. При повторном интегрировании по частям первый член опять равен нулю, и мы имеем

ЯК,Т) =ЯК,Т) =^-^H^dfде^-^H^dfде(2.172)(2.172)

ЯК,Т) =

ЯК,Т) =

^-^H^dfде

^-^H^dfде

(2.172)

(2.172)

где W\e) — двойной интеграл от ^(е), т.е.

WU) =WU) =dxdxS(y)dy.S(y)dy.(2.173)(2.173)

WU) =

WU) =

dx

dx

S(y)dy.

S(y)dy.

(2.173)

(2.173)

Но из соотношения (2.170) следует, что

(2.174)

(здесь удобно использовать обозначение ц вместо £ и f для согласования с обозначениями п. 2.3.7.1). Тогда соотношение (2.172) можно выразить как

ЖС,Т) =ЖС,Т) =^—^П(д,0)6д.6ц^—^П(д,0)6д.6ц(2.175)(2.175)

ЖС,Т) =

ЖС,Т) =

^—^П(д,0)6д.

6ц

^—^П(д,0)6д.

6ц

(2.175)

(2.175)

Эта свертка есть именно тот результат, который был принят интуитивно в п. 2.3.7.1, и действительно, если записать ее для осциллирующей величины й, частота которой зависит от f и то это будет равносильно некоторому размытию фазы осцилляций.

Многочастичные взаимодействия

Изложение основ теории, описывающей влияние многочастичных взаимодействий электронов (друг с другом, с фононам^ или магнонами), выходит за рамки этой книги (подробно она рассматривается с различных точек зрения, например, в книгах [285, 190, 336]). Однако здесь можно дать некоторое общее представление о том, каким образом учет взаимодействия сказывается на результа-

тах, полученных в этой главе для независимых частиц. Для этого мы только приведем без вывода основные результаты теории и покажем их влияние на осцилляции дГвА. Как уже говорилось, оказывается, что формула ЛК остается в большинстве случаев применимой, за исключением экстремальных условий, но входящие в нее параметры придется довольно заметно изменить.

Наше упрощенное изложение, конечно, не охватывает всех нюансов теории, и мы опускаем многие оговорки, но одно обстоятельство следует подчеркнуть с самого начала. Дело в том, что многие теоретические результаты применимы, строго говоря, только к изотропному металлу. Так что, хотя мы и будем рассматривать изоэнергетические поверхности произвольной формы, эта общность на деле может оказаться несколько иллюзорной, и для сильно анизотропного металла, например Hg, результаты могут носить только качественный характер.

Понятие собственной энергии

Основное существенное для нас следствие многочастичных взаимодействий заключается в том, что энергии e(k) для приближения независимых частиц изменяются в двух отношениях. Во-первых, энергия eW для независимых частиц сдвигается на величину Д(е ~ О, становясь равной е (так называемой динамической энер-

Рис. 2.15. Схематический график зависимости величины £ (с учетом электрон- фононного взаимодействия) от е(Ю без учета взаимодействия. Уширение кривой с удалением значений е и е (к) от энергии Ферми f условно обозначает мнимую часть собственной энергии, которая по существу эквивалентна размытию. Разности энергий е — ^ и Е(к) - показанные на графике, по порядку соответствуют типичным энергиям фононов [473].

Рис. 2.16. Графики зависимости величин — Д (сплошная линия) и Г (штриховая линия) от (с — f) при 0, 5 и 10 К для Hg [134]. Заметьте, что 1 мэВ соответствует энергии кТ при Т = 11,6 К.

гии квазичастицы), т.е. е(Л) + Д(8 — О, а во-вторых, она уширяется в соответствии с функцией распределения Лоренца с параметром Г(а - f)- Соотношение между б и Б(к) для электрон-фононного взаимодействия схематично показано на рис. 2.15, а графики для величин Д и Г в конкретном случае Hg приведены на^рис. 2.16.

Осциллирующая часть плотности состояний S(e) для независи-

мых частиц также подвергается сдвигу и уширению для системы с взаимодействием, и соответствующая величина S’ ^ задается выражением

(2.176)(2.176)^х = 1^ Г ^е + ^,

(2.176)

(2.176)

u К ^[ДСуНхр + ЕПу)]2

где мы ввели обозначение у = £ — f, а коэффициент Г(у)/тг — это, очевидно, нормирующий множитель распределения Лоренца, если оно рассматривается как функция х. Осциллирующую частное) можно выразить с помощью соотношения (2.167) (заменив f на £) в следующем виде:

(2.177)(2.177)ЭД = Я^ Сре‘^+»\ р= 1

(2.177)

(2.177)

где

|Д(е) = iA(C) + (е - Odi/^/de = <Д(0 + 1ку!РНQ.A1%)

и ср — сокращенная запись коэффициентов в (2.167). [Практически мы будем рассматривать только случаи, когда величина с достаточно близка к f, так что справедливо приближение (2.178)]. Таким образом (обозначая далее Mf) через 0), получаем

(2.179)(2.179)(2.180)(2.180)20Hvl f00 p2xip(y + x)//fH j Y

(2.179)

(2.179)

(2.180)

(2.180)

9^-Я^сре л ]_(Д(у) + х)2 + (Г(у))2

Теперь, делая подстановку w = (x + Д(у))/Г(у),

замечаем, что правая часть выражения (2.179) пропорциональна преобразованию Фурье функции Лорейна, и с помощью соответствующей формулы из табл. 2.2 преобразуем выражение (2.179) к окончательному виду

S'(e) = Я У сре1(',*+*)ехр{2гар[у - Д(у) + 1Г(у)]/ДН}. (2.181)

p=i

Таким образом, так называемая «перенормированная» плотность состояний 9' получается из 9 путем простого вычитания комплексной величины Д(у) - 1Г(у) из энергии у, отсчитываемой от энергии Ферми. Эта комплексная величина называется собственной знергией и обозначается Е(у). Следует заметить, что 9' ^ зависит

не только от £, но и от f (поскольку у = ^ — ?\ так что мы, чтобы это подчеркнуть, будем иногда писать ^(£> f)-

Теперь обсудим, как эта добавочная собственная энергия изменяет величину осциллирующей части термодинамического потенциала, полученную в приближении независимых частиц. На первый взгляд кажется, что самый прямой путь — заменить ^(е) в формуле (2.168) на перенормированную величину ^'(е) из выражения (2.181). Однако такой путь не совсем корректен1^ поскольку равенство (2.168) уже не справедливо, если [как в случае 3* (с, f)] плотность состояний зависит как от £, так и от f. Формула для/7, однако, остается верной, т.е.

(2.182)(2.182)N= 0ШМ№,

(2.182)

(2.182)

где / — функция Ферми, и справедливо соотношение N = — (ЭО/df), так что мы можем, интегрируя равенство (2.182), получить выражение для О:

Й = -Й = -d/z S'(e,/z)/(e - /z)de.d/z S'(e,/z)/(e - /z)de.(2.183)(2.183)

Й = -

Й = -

d/z S'(e,/z)/(e - /z)de.

d/z S'(e,/z)/(e - /z)de.

(2.183)

(2.183)

Теперь подставим ^'(е, f) из формулы (2.181), вспоминая, что d^(jLi)/d/z = Iv/PH и заменяя ср соответствующим выражением [из равенства (2.167), опуская множители RD и JRJ, йолучаем

ечрФ*Ф^ ^ечрФ*Ф^ ^-00 / еН \3/2 V 2i

ечрФ*Ф^ ^

ечрФ*Ф^ ^

б - V I 1

М\м) (4")1/2 яР3/2

(2.184)(2.184)ехр(^^[у - А(у) + if(y)]|dyк Рн J

(2.184)

(2.184)

Это основной результат, из которого можно получить следствия многочастичных взаимодействий.

Важно отметить, что если опустить в выражении (2.184) слагаемые, отвечающие собственной энергии, то можно произвести интегрирование по частям и придти к свертке, полученной в п. 2.3.7.1

О Эллиот, Эллис и Спрингфорд [137], по-видимому, этим пренебрегают, тем не менее они получили тот же, что и приведенный здесь результат (2.184). Внимательный разбор их вычислений показывает, однако, что причина этого заключается в компенсирующей ошибке, допущенной при интегрировании одного из выражений.

при учете влияния температуры в модели независимых частиц; тогда равенство (2.184) превращается в обычную формулу ЛК (2.151) (без учета фактора Дингла^ как, конечно, и должно быть. На самом деле формулу ЛК для й часто выводят (например, [118]), исходя из плотности состояний и применяя соотношение (2.168), что для невзаимодействующих частиц эквивалентно выражению (2.183).

Чтобы обсудить значение формулы (2.184), нам нужно принять во внимание конкретный вид комплексной энергии Е. В идеальном случае необходимо учитывать все виды взаимодействий одновременно, но практически каждое взаимодействие рассматривается отдельно и их влияния складываются. Поскольку отдельные виды взаимодействий приводят к изменениям различного характера, это, по-видимому, разумное приближение. Прежде чем подробно рассматривать отдельные виды взаимодействий, полезно отметить некоторые простые следствия, вытекающие из (2.184). Мы уже отмечали, что если А = Г = 0, т.е. взаимодействие отсутствует, формула (2.184) приводит к обычному результату для случая независимых частиц. В другом предельном частном случае, представляющем практический интерес, А и Г примерно постоянны (т.е. не зависят от у) на дающем основной вклад участке интегрирования^. В этом случае мы опять приходим к обычной формуле ЛК, но с добавочными множителями e-2ivr/0w и е21ГФд/0И. Первый из них есть просто фактор Дингла RD» который можно получить, положив Г = А/2т, если он уже не был включен в выражение для плотности состояний [как в формуле (2.167)], а второй отвечает небольшому уменьшению энергии Ферми f (на величину А) и приводит к соответствующему небольшому изменению частоты дГвА F. Такой сдвиг частоты F рассматривался Брейлсфордом [57] при выводе фактора Дингла, обусловленного рассеянием на примесях. Важно отметить, что величина 0 в факторе Дингла определяется значением массы т до введения каких-либо взаимодействий. Эту массу часто называют «голой» массой тъ, хотя мы в этом разделе и в приложении 6 будем по-прежнему пользоваться обозначением т.

Первое нетривиальное следствие получается, если величина А(у) линейно зависит от у, т.е.

А( у) = -Ау, (2.185)

Ч Отличная от нуля величина Д(0) возможна только для несферической ПФ, но следует подчеркнуть, что методы расчета Д и Г для анизотропных металлов еще не ри фаботаны.

а величиной Г(^) можно пренебречь. Это приводит к замене 0 в подынтегральном выражении в формуле (2.184) на 0/(1 + X), но в остальном ход вычислений тот же, что и для независимых частиц. Интеграл в формуле (2.184) сводится к выражению икТА sinh(27r2pfrT(l + Х)//ЗН) и окончательный результат заключается в том, что понижающий множитель RT для р-й гармоники получает вид*

RT = ^712ркТ;р*ЩА'шЦ2т12рк^^(2.186)

где

Р* = р/А + л) = eh/m*c и m* = (1 + 2)т.

Масса т * обычно называется «перенормированной» или «увеличенной» массой. Таким образом, единственное следствие линейного изменения величины ДО) заключается в замене «голой» массы на перенормированную. В других местах книги (кроме этого раздела и приложения 6) мы будем опускать звездочки и использовать обозначения т и 0 для перенормированной массы и эффективного момента.

Теперь рассмотрим отдельно эффекты электрон-электронного (ЭЭ) и электрон-фононного (ЭФ) взаимодействий.

Электрон-электронное взаимодействие [277]

Если использовать понятия собственной энергии, то основные следствия взаимодействия можно выразить следующим образом.

Величина Д(0), вообще говоря, не равна нулю и может изменяться с направлением к. Это приводит к тому, что экстремальные сечения ПФ изменяются по сравнению с их значениями в приближении невзаимодействующих частиц. Иначе говоря, если для случая независимых частиц ПФ определяется векторами к, для которых е(к) = f, то при учете взаимодействия получается

г^- Д(0) = £,(2.188)

т.е. форма ПФ изменится, если величина Д(0) зависит от направления к. Латинджер [277] показывает, однако, что вид зависимости Д(0) от к должен быть таким, чтобы объем ПФ оставался постоянным. Очевидно, что изменить форму поверхности, не меняя объема, можно только в случае несферической симметрии.

Изменение величины Д(у) - Д(0) с хорошей точностью линейно и величина Г Су) достаточно мала, так что справедливы рас-

суждения, приводящие к выражению (2.186), и масса, вообще говоря, должна измениться. Для простых металлов в случае электрон- электронного взаимодействия коэффициент X в формуле (2.185) и, следовательно, увеличение массы обычно невелики. Типичные значения X порядка нескольких единиц на 10" °. Как мы увидим в дальнейшем, для ЭФ-взаимодействия величина X может быть гораздо больше — типичные значения порядка единицы.

Величина Д(у) может сильно зависеть от спина, при этом изменяется спиновое расщепление, т.е. g-фактор для состояний без взаимодействия. Как мы увидим в гл. 9, это изменение может быть значительным (так, например, для калия от g = 2 до g = 2,8). Увеличение g-фактора можно также объяснять возрастанием спиновой восприимчивости из-за учета поля взаимодействия, как в теории молекулярного поля для ферромагнетизма. Если это поле, связанное в сущности с обменным взаимодействием электронов, может быть записано в виде аМ, то спиновая восприимчивость, равная х без учета взаимодействия, превратится в х/(1 - ах).

На практике оценку влияния электрон-электронного взаимодействия можно произвести и не рассчитывая в явном виде собственную энергию, а с помощью ферми-жидкостной теории в комбинации с основами теории зонных структур. Мы будем обращаться к некоторым из этих оценок в гл. 9 при обсуждении экспериментальных результатов по спиновому расщеплению.

Электрон-фононное взаимодействие [138, 152]

Собственная энергия, связанная с ЭФ-взаимодействием, не зависит от спина и, более того, Д(0) = 0, так что в противоположность ЭЭ-взаимодействию ее влияние не сказывается на спиновом факторе R s и ПФ2), а изменяется только амплитуда осцилляций дГвА. Уменьшение амплитуды, которое полностью связано с интегралом

!) Однако, например, для Pd и Pt — металлов, в которых существенны спиновые флуктуации — коэффициент X для ЭЭ-взаимодействия может быть значительно больше и иногда даже превосходить соответствующее значение X для ЭФ- взаимодействия .

в выражении (2.184), определяется формами зависимостей ДО) и ГО) Для ЭФ-взаимодействия, которые могут быть выражены с помощью фононной плотности состояний F(v), параметра электрон- фононного взаимодействия а(у) и распределений Ферми и Бозе.

Формы этих зависимостей представлены в приложении 6, а здесь мы проведем только качественное обсуждение, рассматривая предельные случаи, а также пользуясь результатами более подробного расчета из приложения. Графики зависимостей Д(у) и Г (у), рассчитанных в частном случае а1^^^ для Hg, показаны на рис. 2.16. Заметим, что Д(—у) = -Д(у), но Г(~у) = Г(у).

Из формулы (2.184) видно, что заметный вклад в интеграл дает только область значений у. для которой \у I ^ pH. При достаточно низких температурах величина -^(у) линейно зависит от у и коэффициент пропорциональности X, не зависящий от Г, задается формулой (П6.11), т.е.

1 Г°°а2(у)Г(у)с1у

Я = 2 — 7 1 7 , (2.189) Jo v

а величиной Г (у) можно пренебречь для этой области значений у. Таким образом, при достаточно малых полях (для Hg, скажем, менее 10 кГс, что означает pH ~ 2 мэВ при соответствующей ориентации) мы приходим к уже описанному случаю, когда масса просто увеличивается в (1 + X) раз, а понижающий множитель для температуры задается формулой (2.186).

Другой простой предельный случай0 — достаточно высокие температуры (величина кТ больше фононных частот); правда, эта ситуация несколько нереалистична, поскольку при таких высоких температурах наблюдать эффект дГвА было бы почти невозможно из-за малой величины амплитуды. Как показано в приложении 6 [см. (П6.13)], Г(у) не зависит от у и определяется равенством

Г(у) = нкТХ, (2.190)

а величина Д(у) пренебрежимо мала, как если бы масса больше не увеличивалась, но существовало значительное рассеяние на фононах. Однако легко видеть, что амплитуда определяется точно той же формулой, что и в случае малых полей и низких температур. Множитель Г(у) в формуле (2.184) можно вынести за знак интеграла, и он будет иметь вид ехр(— Ъ^ркТХ/рН^ а оставшееся подын-

0 Z J. Hopfield, частное сообщение.

тегральное выражение при Д = О будет точно таким же, как для независимых частиц с «голой» массой тъ. Таким образом, интеграл сводится к выражению

ккТ f — 2it2pkTX\ I . .

-^-expi—I / smh(2n2 pkT/0H)

1\JI

2лкТ Г-2л2ркТ(1+Я)"*—expL—ph—]’

поскольку kT > /ЗЯ. При Т = 0 интеграл в формуле (2.184) принимает вид /ЗЯ/2х^(1 4- X) [предельное значение выражения жкТЛ sinh (2v^p*T(l 4- Х)/0Я)], так что понижающий множитель RT для температуры (определяемый отношением значений при больших Т и при Т = 0) равен

RT = [4я2ркТ(1 4- Я)/ДН] ехр[-2тс2ркТ(1 4- Я)/ДН].(2.191)

Такой же вид принимает выражение (2.186) при условии l^kT/^H > 1.

Хотя понижающий множитель имеет одинаковый вид как в случае малых Т и Я, так и в случае высоких температур, поведение при промежуточных условиях нелегко определить просто из вида формулы. На первый взгляд кажется, что при повышении температуры рассеяние электронов на фононах должно приводить к заметному уменьшению амплитуды в дополнение к уменьшению, обусловленному понижающим множителем RT из формулы (2.186). Так что без многочастичной теории можно было бы ожидать, что фактор Дингла зависит от температуры и имеет вид ехр(- 2хрГ(О)//ЗЯ), причем Г(0) изменяется приблизительно как Т\ Для Hg это должно давать вполне значительный эффект, но, как будет обсуждаться в гл. 8, результат экспериментов Пейлина [321] оказался полностью отрицательным (начиная свои опыты, Пейлин был незнаком с многочастичной теорией). Из рассмотрения вида формулы (2.184) совершенно не очевидно, почему это должно быть так. Действительно, поскольку начальный наклон зависимости величины - Д(у) от у при увеличении температуры от Г = 0 до 5 К

’) Прямое свидетельство возрастания относительного приращения массы при промежуточных температурах было получено в экспериментах по циклотронному резонансу на РЬ Гуа и Кастэном [175], хотя они и не смогли получить предсказанного дальнейшего уменьшения, так как затухание было слишком велико при повышенных температурах.

8-207

возрастает^ примерно на 10% перед последующим уменьшением при более высоких температурах, а Г (у) увеличивается с ростом у, то казалось бы, что понижающий множитель должен быть даже больше, чем просто фактор Дингла, рассчитанный на основе величины Г(0). Однако оказывается, что интегрирование в формуле (2.184) не так просто, как кажется, и наши интуитивные рассуждения, действительно дающие правильные результаты в двух предельных случаях — малых Т и Н и высоких Г, оказываются совершенно. неверными в промежуточных условиях^. Корректное рассмотрение было проведено впервые Фаулером и Прангом [152] и более подробно разработано Энгельсбергом и Симпсоном [138]/которые были знакомы с предварительными результатами Пейлина и могли количественно оценить условия его экспериментов. Главные выводы этого рассмотрения приведены в приложении 6.

Хотя, к сожалению, не представляется возможным просто объяснить, откуда это следует, но оказывается, что (за исключением экстремальных условий больших полей и низких температур) понижающий множитель сохраняет почти точно тот же вид, что и в формуле (2.186), т.е. как при использовании обычной формулы ЛК, но возникает постоянный множитель (1 + X), увеличивающий массу. Подробный расчет показывает также, что для достаточно больших полей (требуемая величина Н растет с температурой) должны наблюдаться небольшие, но заметные отклонения, и, как обсуждается в гл. 8, Эллиот и др. [137] действительно получили некоторые свидетельства таких отклонений в экспериментах на Hg.

Итоги разд. 2.6

Из этого краткого обзора можно видеть, что большинство следствий, к которым приводят многочастичные взаимодействия, незначительны в том смысле, что они не меняют аналитического вида формулы ЛК, а только изменяют входящие в эту формулу параметры. В частности, ЭЭ-взаимодействие может приводить к изменениям формы ПФ, циклотронной массы (обычно только небольшим) и g-фактора, а ЭФ-взаимодействие изменяет только массу. Трудность при проверке этих предсказаний заключается в том, что обычно нет прямого способа измерения «голых» параметров

D Ошибочность интуитивного рассуждения, вероятно, в том, что при повышенных температурах область значений у, дающая заметный вклад в интеграл, определяется скорее величиной кТ, а не pH, и включаются значения у достаточно большие, так что величина — Д(у) становится меньше Ху.

(за исключением, возможно, усредненных значений массы, получаемых из данных оптических измерений), так что обычно единственно возможная проверка — сравнение «перенормированных» параметров с предсказаниями, которые дает теория зонных структур в комбинации с многочастичной теорией. Поскольку эти теории почти всегда содержат много упрощающих предположений, такие проверки в лучшем случае носят полуколичественный характер.

Наиболее интересным следствием многочастичных эффектов является тот результат ЭФ-взаимодействия, что даже сильное рассеяние на фононах не должно приводить к увеличению температуры Дингла. Эта довольно точная «компенсация» дополнительного рассеяния уменьшением перенормированной массы, приближающим ее к «голой» массе, интуитивно не очевидна, и отрицательный результат, полученный Пейлином в поисках увеличения температуры Дингла с ростом Г, служит ярким подтверждением теории. Эксперименты, подобные проведенным Эллиотом и др. с целью обнаружить предсказанные небольшие отклонения от формулы ЛК при больших полях, также представляют особый интерес, давая возможность проверить оправданность тех упрощений, которые приняты в нынешнем виде многочастичной теории.

3

Наблюдение эффекта де Гааза — ван Альфена

Введение

В принципе при изменении магнитного поля все величины, характеризующие физические свойства металла, должны осциллировать, и действительно, многие из этих эффектов были экспериментально обнаружены. В данной главе мы подробно обсудим методы исследования собственно эффекта де Гааза—ван Альфена, т.е. осцилляций намагниченности и ее производных по полю. Обзор осцилляций других физических величин и информации, которая может быть из них получена, будет дан в гл. 4.

Важно помнить, что всякая оценка экспериментальных методов существенно зависит от современного состояния технологии, так что новые достижения в методах получения низких температур и больших магнитных полей, а также в области электроники и обработки данных вполне могут в будущем изменить положение дел так же радикально, как это происходило в прошлом. При описании экспериментальных методов мы будем обращать внимание главным образом на современный уровень развития и только кратко рассматривать уже превзойденные методы.

Порядок величины амплитуд эффекта де Гааза — ван Альфена

Чтобы оценить возможности экспериментального наблюдения осцилляций магнитных свойств, полезно составить представление о порядках соответствующих величин. Магнитные свойства часто выражаются с помощью восприимчивостей, определяемых как М/Н или АМ/АН. Из формулы ЛК (2.152) для основной составляющей (р = 1) получаются следующие выражения для этих восприимчивостей с численными множителями^:

О Поскольку обычно будет рассматриваться только продольная составляющая осциллирующей части М^ для простоты мы будем опускать индекс II и волну над символом, кроме тех случаев, когда необходимо подчеркнуть различие между М^ и МL или между осциллирующей и постоянной частями. Для упрощения мы опустим также суммирование по разным частотам F, но его следует иметь в виду. В формулах используются единицы СГС, а величина М здесь определяется как относящаяся к единице объема.

М нМ н= -2.602 X 10*6= -2.602 X 10*6^ - 1.635 х^ - 1.635 х/2лу/2СР2Т ехр( —ах/Н) ^} Н512 sinh(aT/H)/2лу/2СР2Т ехр( —ах/Н) ^} Н512 sinh(aT/H)/2л FСО8Иг +/2л FСО8Иг +ФФ

М н

М н

= -2.602 X 10*6

= -2.602 X 10*6

^ - 1.635 х

^ - 1.635 х

/2лу/2СР2Т ехр( —ах/Н) ^} Н512 sinh(aT/H)

/2лу/2СР2Т ехр( —ах/Н) ^} Н512 sinh(aT/H)

/2л F

СО8Иг +

/2л F

СО8Иг +

Ф

Ф

2л\1/2СГТехр( —ах/Н) . /2яГ

^) "Й^ sinh(a Т/Н) 8Ш \ТГ + Ф

(3.1)

(3.2)

гдегде\G = cos -g— LV т0/\G = cos -g— LV т0/а = 1.47(m/m0) х 105 Гс-К 1а = 1.47(m/m0) х 105 Гс-К 1(3.3)(3.3)

где

где

\

G = cos -g— L

V т0/

\

G = cos -g— L

V т0/

а = 1.47(m/m0) х 105 Гс-К 1

а = 1.47(m/m0) х 105 Гс-К 1

(3.3)

(3.3)

а ф — постоянная фаза из формулы (2.152), которая здесь для нас несущественна. Как обычно, при дифференцировании М мы сохранили только вклад периодического слагаемого, так что величина \dM/dH\ получается из \М/Н\ просто умножением на ЪгР/Н (т.е. на 2тгл, если п — квантовый номер наивысшего занятого уровня Ландау).

Некоторые численные результаты, основанные на этих формулах, представлены и обсуждены в приложении .7 для случаев а) типичного металла, имеющего большую поверхность Ферми, близкую к модели свободных электронов, и б) висмута, который служит примером противоположного крайнего случая малой и весьма анизотропной поверхности Ферми. Там приведены также приближенные значения «коэффициента анизотропии» (l/F)(dF/d9) из уравнения (2.114), который определяет отношениеМх кМн, и кратко обсуждаются порядки величин для «двумерного металла» (см. п. 2.3.4). В связи с экспериментальными методами можно сделать следующие общие выводы.

Осцилляции являются существенно низкотемпературным эффектом в том смысле, что обычно необходимо использование температуры жидкого гелия или еще более низкой. Даже в экстремальном случае висмута амплитуда резко падает при температуре выше 20 К (жидкий водород).

Для больших ПФ наблюдение осцилляций требует также больших магнитных полей: при 1 К амплитуда резко падает в полях менее 20 кГс. Даже если применять криостат растворения с температурой, скажем, 0,1 К, наблюдение осцилляций в малых полях было бы серьезно затруднено проблемами разрешения (при 10 кГс период одной осцилляции только порядка 0,2 Гс). Однако для особого случая висмута осцилляции в полях вплоть до 200 Гс при 1 К имеют значительную амплитуду из-за гораздо меньших размеров ПФ (и гораздо меньшей циклотронной массы).

Для металлов с ПФ как больших, так и малых размеров при оптимальных полях и температурах типичные значения амплитуд осцилляций величины М/Н порядка 10-5. Это сравнимо с типичными порядками величин постоянной восприимчиво- сти (IO-6—10-5) слабо магнитных твердых тел (во всяком случае не меньше). Таким

образом, обычные методы измерения постоянной восприимчивости должны быть достаточно чувствительны и для осциллирующей восприимчивости. Однако, как будет подробнее обсуждаться ниже, наиболее известный из традиционных методов, первоначально разработанный Фарадеем, страдает тем недостатком, что он неизбежно приводит к затуханию осцилляций из-за размытия фазы, связанного с неоднородностью используемого поля.

Индукционные методы, которые применяются для исследования сравнительно сильных магнетиков (например, сверхпроводников и ферромагнетиков), оказываются применимы и для изучения осцилляций, так как амплитуды осцилляций производной 6М/6Н гораздо больше1), чем величины М/Н (их отношение равно квантовому числу наивысшего занятого уровня Ландау, умноженному на 2тг). В течение последних 10 лет один из таких методов, в котором поле периодически модулируется, был разработан настолько, что стал наиболее чувствительным, гибким и точным.

Малые листы ПФ поливалентных металлов имеют сложную форму, что приводит к сильной анизотропии, и величина (l/F)(dF/d^) становится сравнима с единицей. Это означает, что величина М± может быть порядка М^ Один из методов измерения величины М1, который широко применялся для изучения поверхностей Ферми, заключается в измерении вращающего момента, действующего на кристалл (равного НМ± для единицы объема), и в некоторых случаях этот метод даже теперь может соперничать с методом модуляции поля.

Осцилляции магнитного момента единицы площади .^ для двумерных инверсионных слоев в образцах кремния должны быть очень слабыми, и маловероятно, что их удастся наблюдать с помощью обычных методов, однако вполне возможно, что специально разработанная для этой задачи методика (см. п. 3.4.2.3) сможет существенно улучшить ситуацию.

В заключение необходимо сделать еще одно общее замечание. Дело в том, что осцилляции дГвА можно изучать на многих различных уровнях, и методики эксперимента будут соответственно различаться. Так, например, на самом низком уровне задача сводится к тому, чтобы только обнаружить осцилляции и грубо оценить их период. Единственное, что требуется в этом случае, — как можно больше увеличить отношение сигнала к шуму. Однако если необходимо произвести точные измерения частоты, как при определении формы ПФ, то приобретает существенное значение возможность прослеживать осцилляции в широком диапазоне полей и иметь достаточно точный метод измерения поля. С другой стороны, для получения оптимальной чувствительности в методе модуляции поля амплитуда модуляции должна быть сравнима с периодом осцилляций (это подробно обсуждается в дальнейшем), но столь большая амплитуда модуляции усложняет изучение «формы

^Однако, как мы увидим в дальнейшем, если величина 4TrldM/dZ/l сравнима с единицей, становится существенным магнитное взаимодействие. В этом случае «форма линии» осцилляций изменяется и становится зависящей от формы образца, и амплитуда основной составляющей dM/^H ограничена тогда величиной порядка 1/4тг.

линии» осцилляций. Для точного измерения абсолютной, а не относительной амплитуды осцилляций дГвА также требуется более тщательный подбор частоты и амплитуды модуляции. Таким образом, сравнивая достоинства различных методов, важно иметь в виду, какие именно свойства осцилляций требуется исследовать.

Общей для всех рассматриваемых ниже методов измерения является задача изготовления образцов. Мы не будем описывать металлургические методы, используемые для приготовления высокочистых и ненапряженных монокристаллов. Отметим только, что обычно обработка образца производится путем распиливания нитью с кислотой или электроискровым методом и что при монтаже образца и обращении с ним важно соблюдать очень большую осторожность. Хотя на первый взгляд и кажется выгодным делать образец возможно ббльшего размера, однако на самом деле имеется ряд ограничений. Во-первых, образец должен занимать в магните область с достаточно однородным магнитным полем (допустимое изменение поля на размере образца должно быть намного меньше величины Нг/К). Во-вторых, при использовании метода модуляции поля (см. п. 3.4.2.1) увеличение линейных размеров образца, когда они превосходят глубину скин-слоя для частоты модуляции, практически не дает выигрыша. Наконец, существует общая тенденция, присущая большинству методов: с увеличением размера образца уровень шума растет, а чувствительность на единицу объема падает. Какое из этих ограничений является определяющим, зависит от конкретного метода, но обычно невыгодно использовать образцы размером более нескольких миллиметров. Обычно также не используются образцы с размерами менее нескольких десятых миллиг метра из-за трудности в обращении с ними.

Логическая классификация различных методов — это до некоторой степени дело вкуба, но можно предложить удобное деление на две обширные категории еогласно тому, требуется или нет для получения сигнала изменение намагниченности во времени. Соответственно мы будем называть эти методы динамическими и статическими.

Статические методы

Метод Фарадея — Кюри

Классический метод измерения слабого магнитного момента — > । о метод Фарадея и Кюри, в котором измеряется сила, действующая на образец в неоднородном поле. Как уже указывалось, недо- * 1 а ток этого метода состоит в том, что неоднородность поля при-

водит к размытию фазы и уничтожает осцилляции, если слишком велико п — квантовое число наивысшего занятого уровня Ландау (т.е. F/Н). Можно считать, что наибольшее значение числа л, для которого еще наблюдаются осцилляции, определяется соотношением

m~[(|M|/H)L2F2//0],/3, (3.4)

причем образец имеет линейные размеры порядка L и объем порядка L3, а наименьшая сила, которую можно обнаружить, равна/0. Если мы примем, что L - 0,2 см и/0 - 1 дин (эти величины до некоторой степени связаны, поскольку/0 увеличивается с ростом L) и \М\/Н ~ 10"5 (хотя реально, конечно, \М\/Н уменьшается при возрастании л), то получим, что

л - 5000 для F - 5 • 108 Гс (большие ПФ),л ~ 5 для F ~ 1,4 • 104 Гс (малые ПФ).

Это значит, что для больших ПФ осцилляции могут наблюдаться только в полях выше примерно 105 Гс, а для малых ПФ ниже квантового предела могут сохраняться только несколько осцилляций, не уничтоженных размытием фазы. Следует отметить, что в этом методе полезный сигнал (т.е. сила) изменяется примерно как МН1 и поэтому особенно быстро спадает при уменьшении Н независимо от размытия фазы.

В действительности, как уже отмечалось, именно метод измерения силы был использован де Гаазом и ван Альфеном [ПО—112] при обнаружении ими эффекта в висмуте (см. рис. 1.1) и впоследствии Шенбергом и Аддином [398] при изучении висмута и его разбавленных сплавов, а также Маркусом [287] при обнаружении им эффекта на «игле» цинка (F — 1,5 • 104 Гс). Во всех этих экспериментах в действительности наблюдалось только несколько осцилляций в разумном согласии с грубой оценкой (3.4). Метод измерения силы вряд ли найдет применение для изучения осцилляций в будущем из-за присущего ему ограничения, связанного с неоднородностью, а также из-за сложности экспериментальной методики, которая требуется для измерения малых сил, действующих на образец при низких температурах, и доступности более удобных методов.

Метод вращающего момента

Как уже говорилось, если ПФ анизотропна (в том смысле, что площадь ее экстремального сечения плоскостью, нормальной к Н, изменяется при изменении направления поля), то на кристалл будет

действовать вращающий момент Г, равный М ^HV, где М ± — составляющая Л/, перпендикулярная Н. Составляющая этого момента вдоль какой-либо оси, перпендикулярной Н, равна

(3'5>

где М। — продольная составляющая вектора М [заданного формулой (3.1)], 0 — угол, определяющий направление Н в плоскости, нормальной к этой оси, и V — объем образца.

Если положить Я = 3 • 104 Гс, (l/F)(dF/d0) = 10“1 (см. табл. П7.2), \МХ\/Н = 10“5 (см. табл. П7.1) и V = 10“2 см3, то получим

|Т| - 10 динсм,

т.е. типичное значение амплитуды осциллирующего вращающего момента, хотя, конечно, он может быть гораздо меньше в менее выгодных условиях. Оказывается, что вращающий момент такой величины можно легко измерить с точностью, лучшей чем 1%, даже с помощью вполне простой аппаратуры, а если применять более сложное оборудование, то можно добиться значительно более высокого качества измерения.

По сравнению с методом Фарадея метод вращающего момента имеет то преимущество, что не требуется неоднородного поля, и, кроме того, оборудование, используемое для измерения вращающего момента, обычно более простое и не столь деликатное, как для измерения силы. С другой стороны, у этого метода есть «слепые пятна» в тех случаях, когда поле направлено вдоль оси симметрии кристалла. При таких ориентациях вращающий момент исчезает, либо потому, что становится равной нулю производная dF/d^, либо потому, что вклады от симметрично расположенных частей ПФ взаимно уничтожаются. Практически это не очень серьезное препятствие, поскольку осцилляции обычно удается проследить вплоть до очень малых углов между полем и направлением симметрии, и достаточно небольшой интерполяции, чтобы перекрыть «слепое пятно». Другой недостаток метода вращающего момента по сравнению с некоторыми описанными ниже методами состоит в том, что [из-за множителя Я в формуле (3.5)] амплитуда вращающего момента быстрее спадает с уменьшением Я, чем амплитуда самой величины М (хотя в этом отношении он и лучше метода измерения силы, где, как мы видели,, величина наблюдаемой амплитуды содержит множитель Я2).

Установка, которая использовалась в первом применении мето-

Рис. 3.1. Прибор для измерения вращающего момента [379]; обозначения объяснены в тексте.

да вращающего момента к исследованию эффекта дГвА [379], схематично изображена на рис. 3.1; видно, что она и в самом деле была простой. Вращающий момент, действующий на образец s, слегка поворачивает зеркало т, закрепленное на коротком проволочном торсионном подвесе w из бериллиевой бронзы и тем самым смещает созданное линзой / изображение освещенной щели на шкале, которая расположена на некотором расстоянии от прибора. Вибрации гасятся погруженными в масло демпферами v. С помощью передвижного микроскопа отклонение изображения на шкале можно измерить с точностью порядка 0,02 мм, а поскольку вращающий момент, равный 10 дин • см, давал отклонение порядка б мм (соответствующее углу закручивания 3 х 10“3 рад), то была получена вполне разумная точность измерений (типичные результаты показаны на рис. 1.3).

Некоторое осложнение заключается в том, что под действием вращающего момента образец слегка поворачивается, поэтому ориентация при измерении не сохраняется точно постоянной. Если, как это обычно имеет место для эффекта дГвА, вращающий момент сам зависит от ориентации, то «форма линии» осцилляций будет другой, чем при измерениях с постоянной ориентацией. Чем боль-

ше угол поворота подвеса на единицу вращающего момента, тем значительнее изменение осцилляций, а при достаточно мягком подвесе система становится нестабильной [381, 445]. Как будет показано в гл. 6, параметр/?, характеризующий важность этого «эффекта вращательного взаимодействия», как его иногда называют, равен

. 7 f/1 dF\

Р = 2л-— • (3.6)

где с — вращающий момент на единицу угла закручивания подвеса, 7 — амплитуда осцилляций вращающего момента. Если р < 1, то взаимодействием можно пренебречь, а'если/? 1, то возникает нестабильность. В простом оборудовании, применявшемся в ранних экспериментах, величина с была порядка 3 • 103дин-см на радиан, так что при 7 * 10 дин • см, (i/F)(dF/d6) ~ 1 и F/H * 5 (как для Bi) мы получим р ~ 10“ \ т.е. вращательное взаимодействие было заметным, хотя и не существенным. Однако в случае других металлов, для которых величина F/H может быть гораздо больше, вращательное взаимодействие связано иногда с серьезными неудобствами. Как видно из соотношения (З.б), в принципе всегда можно уменьшить вращательное взаимодействие, увеличивая с, т.е. жесткость подвеса. В отсутствие нестабильности эффект может быть полностью нейтрализован небольшим поворотом магнитного поля (или всего подвеса) для сохранения постоянной ориентации образца по отношению к полю. Потерю чувствительности, вызванную увеличением с, можно до некоторой степени восполнить повышением точности измерения угла, но для простой первоначальной конструкции возможности такого повышения (например, путем наблюдения изображения с помощью микроскопа), очевидно, ограничены.

Когда метод вращающего момента стал шире применяться, появились более совершенные способы измерения, которые в основном устранили трудность, связанную с вращательным взаимодействием, а также значительно упростили процесс регистрации результатов измерений, сделав возможной непрерывную запись пропорционального вращающему моменту выходного сигнала. Улучшения были двух типов: во-первых, использовались различные датчики угла закручивания, и во-вторых, применялась электронная обратная связь для увеличения эффективной жесткости подвеса.

Обычно новые способы измерения угла совмещались с использованием обратной связи, но один остроумный метод, разработанный Гриссеном [183], обладает такой чувствительностью, что коэффициент с можно сделать достаточно большим и без применения

обратной связи. Мы кратко опишем этот способ прежде чем перейти к обсуждению принципов систем с обратной связью. В методе Гриссена образец соединен с одной из пластин конденсатора, которая удерживается жесткими пружинами. Вращающий момент, действующий на образец, приводит к небольшому смещению этой пластины и, следовательно, к изменению емкости конденсатора, которое можно измерить с большой чувствительностью, применяя мостовую схему. Подобные методы были разработаны для измерения очень малых изменений емкости, связанных с изменением длины, например при магнитострикции или тепловом расширении. Гриссен достиг значения коэффициента с порядка 4 х 106 дин • см/рад, что более чем в 103 раз превосходит величину с для простого устройства, в котором увеличение угла закручивания осуществляется при помощи оптического рычага и микроскопа. Этого улучшения было вполне достаточно, чтобы сделать вращательное взаимодействие пренебрежимо малым. Емкостной ме^од особенно удобен тогда, когда одновременно с вращающим моментом необходимо измерять магнитострикцию (см. п. 4.3.3). Однако точное измерение емкости представляет собой не такое уж легкое дело, и некоторые из методов с использованием обратной связи, которые мы сейчас опишем, оказываются на практике более простыми и гибкими.

Существенные части любой схемы с обратной связью показаны на рис. 3.2. Образец s жестко связан с датчиком угла Лис устройством В, которое дает вращающий момент, компенсирующий момент, действующий на образец. На выходе датчика А получается напряжение и, пропорциональное малому углу закручивания образца ф, т.е.

и = аф, (3.7)

Рис. 3.2. Схема с обратной связью для измерения вращающего момента с пренебрежимо малым закручиванием образца; обозначения объяснены в тексте.

и это напряжение подается на вход соответствующей электронной схемы С, которая преобразует его в постоянный ток, подаваемый на вход устройства В. Предположим, что ток I пропорционален напряжению и, т.е.

(3.8) и что компенсирующий вращающий момент Т пропорционален току /, так что

Г - Ы. (3.9)

Вся система, состоящая из s, А и В, поддерживается очень мягким подвесом w, имеющим весьма малый коэффициент с (который в идеальном случае мог бы равняться нулю). Если на образец действует вращающий момент Г, то условие равновесия выглядит следующим образом:

Г = Т' + сф = Ы + сф = кциЬ + с)ф (3.10)

откуда видно, что если с < ^.аЬ, то эффективная жесткость подвеса равна величине p.ab которая в принципе может быть сделана сколь угодно большой и, в частности, настолько большой, чтобы можно было пренебречь вращательным взаимодействием.

Из уравнения (3.10) получаем

/ = Т/Ь(1 + c/^ab) — Т/Ь, (3.11) и видно, что мерой изменения вращающего момента служит ток 7, величину которого можно непрерывно записывать на самописце/?, получая зависимость Т от магнитного поля или от ориентации образца.

В первой экспериментальной реализации такой схемы [105] датчиком А служил дифференциальный фотоэлемент, который реагировал на смещение светового пятна от зеркала, укрепленного на подвесе, а устройство В состояло из катушки, подвешенной в поле небольшого постоянного магнита (т.е. просто гальванометра с подвижной катушкой). В более позднем варианте, успешно примененном Кондоном и Маркусом [98], одна катушка совмещала функции устройства А и В. Эта катушка служила датчиком угла благодаря связи с неподвижной катушкой, через которую пропускался переменный ток (с частотой 200 кГц), и одновременно действовала как катушка гальванометра, находясь в поле постоянного магнита, । ак что при пропускании тока 7 на нее действовал вращающей мо-

Рис. 3.3. Прибор Вандеркоя [444] с обратной связью для измерения вращающего момента.

мент. Такой датчик угла более прост и надежен, чем применявшийся ранее фотоэлектрический датчик.

В остроумном устройстве, которое впоследствии разработал Вандеркой [444], функции датчика угла и компенсатора вращающего момента были также совмещены в одной катушке, но компенсация момента осуществлялась новым способом. Он заключался в том, что вместо поля постоянного магнита гальванометра использовалось само поле Н основного магнита. Фотография этого устройства показана на рис. 3.3, из которого сразу видно одно его важное преимущество. Поскольку уже нет необходимости в длинном жестком соединении, выведенном наружу за пределы области низких температур и больших полей, весь прибор можно сделать гораздо более компактным. Более того, благодаря этой компактности ось подвеса уже не обязательно должна быть вертикальна, а может располагаться в любом направлении, и в частности горизонтально (как на фотографии). Метод Гриссена также обладает этим достоинством.

Основную часть прибора составляет катушка А с жестко закрепленным в ней образцом, подвешенная на натянутой шелковой нити, обладающей ничтожно малым модулем кручения. В большие катушки СС, расположенные с двух сторон от нее, подается переменный ток (с частотой 10 кГц), так что при отклонении катушки Л от плоскости, перпендикулярной катушкам СС, в ней наводится пере-

менная э.д.с. Эта э.д.с. и усиливается синхронным усилителем и преобразуется в постоянный ток 7; этот ток подается обратно в катушку А, на которую в свою очередь действует поле магнита Н, уравновешивая измеряемый вращающий момент Т.

Этот метод удобен еще и тем, что он позволяет при желании устанавливать катушку А под произвольным углом 6 к направлению оси СС, а не только под углом 90°. Это достигается введением в катушку А соответствующей переменной э.д.с. х той же частоты и фазы, что и наведенное напряжение v, так что величина суммарного сигнала на входе усилителя равна (v + х\ а не и. Очевидно, что тогда катушка А установится под таким углом 6, чтобы скомпенсировалось напряжение (v 4- х) (если можно пренебречь модулем кручения подвеса). Для учета этого усовершенствования в простую теорию (3.7)—(3.11) нужно ввести небольшие поправки, имея в виду дополнительную э.д.с. х и возможность больших значений угла 6.

Если для простоты пренебречь модулем кручения с шелковой нити, то легко показать, что уравнения (3.10) и (3.11) принимают вид

Т = фцаЬсо826 и I = T/b cos 6, (3.12) где 6 — угол, на который поворачивается катушка под действием напряжения х в отсутствие вращающего момента Т, т.е.

sin 0 = — х(а (3.13)

(везде предполагается, что угол дополнительного поворота ф мал по сравнению с 9). Еще одно преимущество метода Вандеркоя заключается в том, что поскольку коэффициент b пропорционален основному полю 77, величина измеряемого тока 7 пропорциональна собственно намагниченности М± (т.е. Т/Н\ а не МLH. Таким образом^ устраняется тот упомянутый ранее общий недостаток, что вращающий момент убывает при уменьшении поля быстрее, чем сама величина М.

Первоначально казалось, что метод вращающего момента существенно ограничен «малыми полями», поскольку вертикальная ось подвеса предполагает горизонтальное направление поля, как в зазоре электромагнита с железным ярмом, а поле такого магнита обычно не превышает 3 х 104 Гс или около того. С появлением сверхпроводящих магнитов стало возможным достичь бблыпих полей, примерно до 5 х 104 Гс, располагая подвесную систему в зазоре между двумя сверхпроводящими обмотками. Однако эти поля

Рис. 3.4. Осцилляции дГвА в Au при Т = 1,2 К, полученные методом измерения вращающего момента с помощью устройства Вандеркоя [399]. Направление поля Н составляло угол 8,5° с осью <111> образца Au; основные осцилляции обусловлены «шейками», а гораздо более быстрые осцилляции, связанные с центральным сечением, едва видимы (они ослаблены потому, что постоянная времени приборов слишком велика для данной скорости изменения поля). Поле изменяется от значения 74 кГс (слева) до 69 кГс; амплитуда вращающего момента равна приблизительно 16 дин-см в начале записи (ток / ~ 2 мА), что соответствует величине 1Л?Х1 ~ ~ 1,2 х 10"2 (объем образца равен 0,018 см3).

по величине значительно уступали тем, которые можно получить в центре длинного сверхпроводящего соленоида (105 Гс или выше), и тем более полям в импульсном методе. Таким образом, поскольку устройство Вандеркоя с горизонтальной осью подвеса можно расположить в центре вертикального сверхпроводящего соленоида, приложение метода вращающего момента расширяется в область «сильных полей». Это немаловажное обстоятельство, так как ограниченность «малыми полями» означает, что можно наблюдать только осцилляции дГвА, связанные с относительно малыми экстремальными сечениями участков сложных ПФ, а для наблюдения более высокочастотных осцилляций, соответствующих ббльшим экстремальным сечениям главных частей ПФ, нужны более сильные магнитные поля11. Пример осцилляций дГвА, полученных с помощью устройства Вандеркоя, показан на рис. 3.4.

Реальные характеристики всех описанных выше методов в значительной степени зависят от деталей их практического осуществления (например, от того, какие меры приняты для устранения вибрационных и электрических помех и дрейфа) и, вероятно, исполь-

О Однако такое разделение не абсолютно. Например, Джозеф и Торсен [224] смогли при помощи чувствительных измерений вращающего момента наблюдать осцилляции от орбит на центральных сечениях ПФ благородных металлов в предельных полях (- 40 кГс) большого электромагнита с железным ярмом.

зуя современные достижения электронной техники, качество результатов, полученных в оригинальных работах, можно было бы улучшить. Поэтому здесь вряд ли стоит пытаться провести детальное сравнение различных методов — да это и затруднительно, поскольку полная информация о конструктивных особенностях и характеристиках не всегда доступна. Однако можно указать две важные величины. Во-первых, методы с применением обратной связи, как и емкостной метод Гриссена, легко дают величину эффективного модуля кручения 106 дин • см/рад и более, так что вращательное взаимодействие можно сделать совершенно ничтожным. Во-вторых, «уровень шумов» выходного сигнала легко понизить до величины, соответствующей вращающему моменту, равному 10"2 дин • см для относительно больших образцов, а при тщательном подходе около 10"4 дин • см для образцов меньших размеров. Если положить, что минимальная амплитуда, которая требуется для уверенного наблюдения осцилляций, в три раза превышает уровень шумов, то можно оценить, что величина irimin - 3 х 10"3 дин ■ см для образца объемом около 0,3 см3. При поле 3 х 104 Гс это соответствует величине

(IMI/HU,-Ю-'1 (3.14)

если принять, что М ~ М. Следует подчеркнуть, что это весьма грубая оценка, и вполне может оказаться, что метод вращающего момента способен дать и ббльшую чувствительность, но полезно будет иметь эту оценку в виду при рассмотрении других методов, обсуждаемых ниже1).

Метод Фанера [149, 150]

В этом методе образец находится в однородном магнитном поле и вибрирует с небольшой амплитудой. Благодаря этому связь по потоку между его магнитным моментом и неподвижной системой катушек периодически изменяется во времени. Амплитуда переменной э.д.с., наведенной в катушках, служит мерой величины М, и достоинство этого метода заключается в том, что полезный сигнал прямо пропорционален М и поэтому не спадает так быстро с убыванием Н, как в методе измерения силы или в некоторых из описанных ниже методов. Этот метод особенно удобно применять в

Отметим красивое приложение метода вращающего момента, использованною В. М. Пудаловым и С. Г. Семенчинским [496] для измерения эффекта дГвА на ви- скерах Bi и Sb. В этих опытах сам образец служил упругим подвесом. — Прим. ред.

У-207

тех случаях, когда эффект дГвА практически изотропен, так что метод вращающего момента (п. 3.3.2) не действует, или тогда, когда осцилляции имеют очень низкую частоту, так что метод модуляции (п. 3.4.2) может оказаться недостаточно чувствительным. Метод Фонера успешно применялся [62, 462] для изучения эффекта дГвА в некоторых полуметаллических соединениях (л-InSb и л-InAs), а также в Bi вплоть до квантового предела и выше [63].

Подробности этого метода можно найти в упомянутых выше работах, а здесь мы отметим несколько общих обстоятельств. Отношение сигнала к шуму очень чувствительно к конструкции системы приемных катушек. Очевидно, что для увеличения сигнала существенна возможно более тесная связь образца с катушками, но столь же важно для снижения уровня шума скомпенсировать катушки так, чтобы ослабить влияние малых изменений поля и вибраций. Ясно, что система катушек должна быть укреплена возможно более жестко, чтобы избежать передачи вибрации от механизма, приводящего в движение образец. Однако некоторая вибрация неизбежно передается, и ее действие может быть значительно ослаблено правильным компенсированием системы катушек.

Поскольку трудно поддерживать строго постоянную амплитуду вибрации, можно использовать один удобный прием — скомпенсировать выходной сигнал, пропуская небольшой постоянный ток через катушку, жестко соединенную с образцом, т.е. создавая компенсирующий магнитный момент. Если геометрия катушки достаточно хорошо определена, то величина этого тока может служить точной мерой абсолютного магнитного момента. Наконец, можно отметить, что в проведенных до сих пор экспериментах по эффекту дГвА на л-InSb и других веществах типичные значения минимальной обнаруживаемой амплитуды были порядка 2 х 10"4 Гс в полях порядка 5 х 104 Гс, так что величина (IMI ///)min была порядка 4 х 10" 9. Фонер [150] указывает, что при особом внимании к качеству системы катушек и электронной схемы можно измерять значения величины \М\/Н вплоть до 10"12, но даже при столь высокой чувствительности этот метод не так прост, как некоторые из обсуждаемых в дальнейшем и, вероятно, главное его применение ограничено особыми случаями, упомянутыми выше.

Различные статические методы

В методе Фонера изменение магнитного поля вблизи образца выявляется благодаря движению образца относительно неподвижной системы катушек, но существуют и другие возможности обна-

ружения изменений поля (а значит, и магнитного момента образца). Поле вблизи намагниченного образца отличается от приложенного поля Н на величину порядка 4irM (эта величина зависит от конкретной геометрии). В эффекте дГвА она осциллирует с амплитудой, составляющей обычно несколько гаусс или менее при поле Н порядка 3 х 104 Гс. Таким образом, любой метод, пригодный для измерения малых изменений поля такого порядка величины в присутствии гораздо большего основного поля, можно в принципе применить и для наблюдения эффекта дГвА. Так, Голд и Шмор [171] использовали магнетосопротивление соответствующим образом расположенного висмутового датчика; эффект ЯМР в подходящем образце также мог бы служить для этой цели. Созданные в последнее время сверхпроводящие устройства (например, СКИПы) и другие устройства, например магнитометр с насыщенным сердечником, основанные на чувствительности ферромагнетиков с большой проницаемостью к слабым магнитным полям, также предоставляют возможности для применения их к исследованию эффекта дГвА, хотя и возникают определенные трудности при использовании этих методов из-за присутствия сильного поля. Один такой метод был недавно применен де Уайлдом и Мередитом [115], которые преодолели трудность с сильным основным полем при помощи сверхпроводящего трансформатора потока, передававшего малые изменения поля вблизи образца в удаленную экранированную область, где их можно было измерить стандартным магнитометром с насыщенным сердечником. Этот метод, однако, довольно сложен в деталях и не особенно чувствителен, так что он вряд ли сможет соперничать с методом вращающего момента или с модуляционными методами.

Динамические методы

Техника импульсного поля [382, 383, 389]

В начале 50-х годов, когда сверхпроводящие магниты были еще недоступны, постоянные магнитные поля с достаточной однородностью и стабильностью, пригодные для наблюдения высокочастотных осцилляций дГвА, можно было получить только с помощью электромагнитов с железным ярмом. Величина этих полей обычно не превосходила 2 или 3 х 104 Гс. Правда, существовали отдельные установки с водоохлаждаемыми магнитами, в которых достигались постоянные поля вплоть до 105 Гс, но их было бы затруднительно использовать из-за пульсаций генератора и недостаточной однородности поля. Метод импульсного поля был разрабо-

тан с целью преодолеть эти ограничения и начать исследования более высокочастотных (т.е. связанных с большими экстремальными сечениями поверхностей Ферми) осцилляций де Гааза—ван Альфена. Этот метод позволяет сразу убить двух зайцев. Он не только дает возможность достичь гораздо ббльших магнитных полей, но предоставляет также новый метод наблюдения осцилляций дГвА благодаря быстрому изменению поля во времени. Если образец помещен внутрь одной из двух скомпенсированных приемных катушек, в них возникнет э.д.с., пропорциональная dM/dt, т.е.

(3.15)(3.15)dM dH

(3.15)

(3.15)

V = с,dH dt

где с — соответствующая константа связи, и эта э.д.с. вместе с осцилляциями дГвА величины dM/dH будет осциллировать при изменении Н во времени. В экспериментальной установке, реализовавшей эту идею, импульсное поле (обычно возраставшее до 1 или 2 х 105 Гс за время порядка 10 мс) получалось при разряде большой батареи конденсаторов (обычно емкостью 4000 мкФ, заряженной до 2 кВ) через катушку, охлаждаемую жидким воздухом (для уменьшения ее сопротивления). Сигнал, возникавший в приемной катушке, проходил через усилитель с фильтром высоких частот (так было удобно устранить сравнительно медленно меняющуюся часть, связанную с неполной компенсацией приемных катушек) и наблюдался затем на осциллографе, который запускался от импульса поля. Некоторые типичные результаты приведены на рис. 3.5.

При конструировании импульсных катушек приходится идти на компромиссы, чтобы удовлетворить нескольким противоречивым требованиям. Так, время нарастания поля до максимального значения не должно быть очень коротким, чтобы наведенные вихревые токи существенно не нарушили однородности поля в сечении образ-

Рис. 3.5. Осциллограммы, полученные методом импульсного поля [389]. а — осцилляции в Си на центральном сечении плоскостью, перпендикулярной направлению <111>; видны резонансные всплески на основной частоте и на частоте гармоники. Плавная кривая показывает изменение поля Н со временем, а две горизонтальные калибровочные линии соответствуют значениям 107 и 112 кГс; время развертки составляет примерно 3 мс; б — то же, что и я, но без резонансных всплесков и в увеличенном масштабе (время развертки равно около 1 мс). Калибровочные линии соответствуют значениям 107,0 и 109,3 кГс. в — осциллограмма, полученная методом биений; биения происходят между осцилляциями в двух образцах: для одного образца направление поля параллельно оси < 111>, а для другого — оси < 100>; частоты осцилляций различаются примерно на 3%. Калибровочные линии соответствуют значениям 93, 105, 116 и 128 кГс; время развертки составляет примерно 5 мс.

ца (а также не перегревали образец). Однако увеличение этого времени приводит к снижению достижимого максимального поля. Требование достаточной однородности поля на длине образца также вступает в противоречие со стремлением получить наивысшее возможное поле в максимуме. Очевидно, что чем короче и тоньше можно сделать образец, тем меньше будет вынужденное снижение поля в максимуме, обусловленное перечисленными соображениями. Но здесь опять приходится принимать компромиссное решение, поскольку слишком тонкий и короткий образец легко повредить. На практике трудно работать с образцами, если их длина значительно меньше нескольких миллиметров, а диаметр значительно меньше 0,2 мм. Это ограничивает значение поля в максимуме величиной около 2 х 105 Гс, причем время нарастания должно составлять по крайней мере несколько миллисекунд. Еще одно немаловажное соображение, которое следует принимать во внимание при проектировании катушки, — это ее механическая прочность по отношению к разрывающим силам большого магнитного поля. Даже чтобы достичь сравнительно скромного максимального значения поля, равного 2 х 105 Гс, катушка должна быть очень тщательно намотана и проклеена подходящим составом для обеспечения жесткости. Именно механической прочностью катушки и определяется та максимальная величина импульсного поля (порядка 6 х 105 Гс), которую можно достичь, если совершенно не учитывать требований однородности и медленного нарастания поля.

Хотя мы и не будем вдаваться в подробности практического осуществления этого метода, следует кратко упомянуть некоторые приемы, повысившие его гибкость и точность. В ранних экспериментах было замечено, что на кривых осцилляций обычно имеются довольно резкие всплески (рис. 3.5, а) по обе стороны от максимального значения поля [в максимуме поля амплитуда сигнала, заданная соотношением (3.15), конечно, обращается в нуль, так как йН/dt = 0]. Как вскоре выяснилось, причина этого заключается в том, что цепь приемной катушки имеет некоторую емкость (главным образом в кабеле к усилителю) и, следовательно, собственную резонансную частоту /0 (обычно порядка 105 Гц), так что всплески возникают при совпадении /0 с временной частотой осцилляций / (т.е. один раз при нарастании поля и второй раз при спаде). Впоследствии эту особенность уже намеренно использовали в своего рода спектрометрии, когда одновременно присутствовали несколько частот де Гааза—ван Альфена. Специально подключая конденсаторы к приемной катушке, можно было установить любое требуемое

значение резонансной частоты /0, а также при необходимости резонанс можно было подавить, вводя катодный повторитель между приемными катушками и кабелем.

Легко видеть, что

(3.16)(3.16)F dH dr

(3.16)

(3.16)

и если мы примем, что вблизи максимума поле квадратично зависит от времени, т.е.

(3.17)(3.17)Я = Я0[1 — (г/т)2].

(3.17)

(3.17)

где нуль времени t совпадает с максимумом, ат — масштаб времени, приблизительно равный промежутку от начала импульса до максимума, то отсюда следует, что интервал времени Ы между резонансными пиками при нарастании и спаде поля приближенно задается соотношением

Аг/т = Но/от/Г (3.18)

при условии, что отношение М/т не слишком велико. Это значит, что в таком приближении резонансные всплески имеют спектр, линейный по 1/F. Задав типичные значения величин, например /о = 5 х 104 Гц, т = 5 х 10-3 с, Яо = 105 Гс, F = 5 х 108 Гс, мы находим, что Ы/т = 0,05, и мы можем оценить, что такой «спектрометр» будет удовлетворительно действовать, если частота F не ниже, скажем, 5 х 107 Гс.

На практике такое спектроскопическое действие дает полезный метод предварительного отбора частот дГвА в сложных случаях, подобных изображенному на рис. 3.6 [333]. С осторожностью его можно использовать для количественного сравнения значений F, хотя для достижения точности относительной величины F порядка 1 %.приходится учитывать различные поправки [389].

Для абсолютных измерений частоты F развертка осциллографа запускается с определенным запаздыванием после начала импульса поля, и скорость ее выбирается такой, чтобы на экране наблюдалось наибольшее разрешаемое число осцилляций (см., например, рис. 3.5, б). Используется двухлучевой осциллограф, причем на второй луч выводится сигнал, снимаемый с малого сопротивления в цепи катушки, т.е. пропорциональный магнитному полю. На снимок накладываются калибровочные линии, так что значение поля для любого момента времени можно определить с помощью интерполяции и затем получить частоту F, зная начальное и конечное

Рис. 3.6. Пример использования метода импульсного поля для спектроскопии осцилляций [333]. Резонансные всплески соответствуют различным частотам осцилляций в РЬ и их гармоникам; поле направлено вдоль оси <111>. Величина поля в максимуме равна 165 кГс; интервал между калибровочными линиями составляет 26,7 кГс (самая нижняя линия соответствует Н = 0).

значения поля для данного числа осцилляций. При некоторой осторожности этим способом можно определить абсолютную частоту с точностью, лучшей чем 1%, но если одновременно присутствуют близкие частоты, то это становится затруднительным.

В случае сильно анизотропного металла, когда изменения частоты F с ориентацией сравнимы с самой величиной F, определение F с такой точностью может быть достаточным, чтобы получить неплохое представление о размерах и форме ПФ. Однако для поверхностей Ферми, более близких к сферическим, для которых изменение F составляет только несколько процентов или менее, такой точности уже совершенно недостаточно для определения отклонений, связанных с анизотропией. Для таких случаев была предложена специальная методика, в которой осцилляция дГвА от контрольного образца накладывались на осцилляции от изучаемого образца и возникали биения, подобные изображенным на рис. 3.5, в. Очевидно, что частота биений более чувствительна к изменению ориентации, чем просто частота осцилляций F для изолированного образца, и, как оказалось, этим способом можно измерить отклонения величины F с точностью до 0,2%. Такой точности было достаточно для определения существенных черт ПФ благородных металлов, однако для легких щелочных металлов, поверхности Ферми которых еще ближе к сферическим, обнаружение малых отклонений от изотропии стало возможным только с развитием более гибкого метода модуляции поля.

Теперь мы упомянем некоторые другие модификации метода

импульсного поля. Первая из них основана на преобразовании в цифровой вид осциллирующей э.д.с. и автоматической записи этой информации в память ЭВМ [322]. Это дает возможность применять более мощные аналитические методы для определения амплитуд и частот осцилляций, и такой метод может оказаться весьма удобным в тех особых случаях, когда существенно иметь наивысшее возможное поле, которое способен дать только импульсный метод. В другом варианте сильное поле создается, как обычно, разрядом конденсатора, но для наблюдения эффекта дГвА изменение этого поля во времени не используется. Вместо этого осцилляции магнитной восприимчивости наблюдаются по их влиянию на высокочастотную самоиндукцию катушки (или взаимоиндукцию пары катушек), в которую помещен образец. Частота должна быть достаточно высока, чтобы по крайней мере несколько периодов укладывалось на одну осцилляцию дГвА во времени, т.е. требуется величина около 107 Гц; осцилляции индуктивности наблюдаются с помощью осциллографа. Этот вариант (в принципе довольно схожий с методом модуляции поля, который мы опишем ниже) обладает двумя преимуществами:

Осцилляции не исчезают в максимуме поля.

Ввиду большой частоты исследуются только поверхностные свойства образца, так что если поле заметно меняется по толщине образца (из-за наведенных вихревых токов), то это не столь существенно. Эта идея была успешно опробована [384], но систематического развития не получила.

Следует упомянуть также два варианта метода создания изменяющегося во времени поля. В первом из них [172] на постоянное поле сверхпроводящего магнита накладывается пилообразно изменяющееся поле с амплитудой 1 кГс и периодом 1 с, так что dH/dt ~ 103 Гс • с-1. Величина М получается после интегрирования сигнала с приемной катушки, а для снижения уровня шума применяется усреднение за большое число периодов пилы. В другом варианте [26], использующем установку Амстердамского университета для получения сильных магнитных полей, поле постепенно убывает (за время порядка 1 с) от значения 400 кГс и наблюдается сигнал с приемной катушки.

Наконец, отметим, что чувствительность в типичных экспериментах с импульсным полем (см. [389]) соответствовала наименьшему обнаруживаемому значению производной ldM/d//l порядка 10" 4. Для F/H = 5 х 103 это означает, что минимальная амплитуда величины \М\/Н порядка 3 х 10-9. Этот результат, несомненно, можно было бы улучшить, обращая больше внимания на снижение шумов, но, как мы увидим ниже, гораздо более простой ме-

тод модуляции поля может дать значительно большую чувствительность.

Модуляционные методы

С разработкой сверхпроводящих магнитов впервые появилась возможность получать чрезвычайно стабильные и однородные сильные магнитные поля (вначале только до 5 • 104 Гс или около того, но впоследствии вплоть до 105 Гс и выше), которые по желанию можно было медленно и непрерывно изменять. Это открывало пути для развития индукционных методов изучения эффекта де Гааза—ван Альфена в сильных полях при более благоприятных условиях, в частности с большей чувствительностью, чем в случае метода импульсного поля. В таких индукционных методах образец помещается внутрь одной из двух скомпенсированных приемных катушек, но э.д.с. в них возбуждается не непрерывным изменением основного поля Но, как в импульсном методе, а с помощью создания каким-либо способом небольшого периодического изменения намагниченности М с некоторой частотой w и исследования сигнала с приемной катушки на той же частоте w или на частоте одной из высших гармоник к и). Большое преимущество таких модуляционных методов заключается в том, что можно применять синхронное детектирование возбужденной в катушке переменной э.д.с., тем самым значительно повышая отношение сигнала к шуму и, следовательно, эффективную чувствительность метода.

Модуляция поля

В методе модуляции поля периодическое изменение М создается путем наложения на основное поле Но малого периодического поля h0cosu)t. Поскольку этот метод получил наибольшее развитие, мы уделим ему главное внимание. Однако это не единственный способ, и мы увидим в дальнейшем, что имеются определенные преимущества в изменении М с помощью модуляции не поля, а температуры образца. Принципиальная возможность этого была продемонстрирована Одером и Максвеллом [310], но в полную силу такой метод еще не разработан. Другой способ, имеющий, как мы увидим дальше, преимущества для специальных целей, заключается в модуляции направления поля по отношению к образцу. Это можно осуществить, если малое периодическое поле имеет составляющую, перпендикулярную основному полю Но. Этот способ равносилен модулированию ориентации образца. Еще одна возможность —

модуляция давления (или вообще напряжения), действующего на образец.

Теперь мы более подробно рассмотрим метод модуляции поля. Он был впервые введен Шенбергом и Стайлзом [395] и вскоре развит и усовершенствован во многих лабораториях. Более обширное обсуждение можно найти в работах [173, 423]. Чтобы не затемнять основных принципов, мы начнем с описания действия метода в его простейшем виде, когда модулирующее поле h параллельно основному полю Н и зависит от времени как Л^собсо/, причем амплитуда h0 мала по сравнению с интервалом поля, соответствующим одной осцилляции, а частота со достаточно низка, чтобы можно было пренебречь возбужденными в образце вихревыми токами.

Напряжение, возбуждаемое в приемной катушке, по-прежнему задается равенством (3.15), как и для импульсного поля, но теперь производная dH/dt равна — AgwsincoL При заметной величине амплитуды А 0 величину dM/dH можно разложить в ряд в окрестности точки Н = HQ и записать

\dM d2M ,.

v = - ch^ и) sin аЛ < —-- 4- 7^7 "o cos +

[dn On

dkM h^' , lft-1 ,1 a .ox

где значения всех производных определяются при Н = Но. Соответственно, если зависимость М от Н нелинейна, сигнал и будет содержать не только основную частоту со, но и высшие гармоники, т.е.

= - CW < /1() —7 sin wf +—77У sin 2wf • • • +

dHdH

hk0 dkM+ F’HF-’T)! dHThk0 dkM+ F’HF-’T)! dHTsin kcot + •’•>•sin kcot + •’•>•(3.20)(3.20)

hk0 dkM

+ F’HF-’T)! dHT

hk0 dkM

+ F’HF-’T)! dHT

sin kcot + •’•>•

sin kcot + •’•>•

(3.20)

(3.20)

Здесь мы сохранили для каждой гармоники только слагаемые с минимальными степенями величины Ао. Если теперь принять, что зависимость М от Н имеет вид

М = A sinМ = A sin2ttFН2ttFН+ ф+ ф(3.21)(3.21)

М = A sin

М = A sin

2ttFН

2ttFН

+ ф

+ ф

(3.21)

(3.21)

и записать величину интервала поля для одной осцилляции дГвА

как ДЯ = H2/F> то выражение (3.20) приобретет вид

v = — саз Аv = — саз А. /2лГ . л\ .

v = — саз А

v = — саз А

sin —- А- ф - - I sin аз1 + \ Н 2 /

1/2л/10\2 . /2nF \ .

- - I Sinh ф - л sin Ztot 4-

2\^H\ Н '

1^"^Чк- 1)!1^"^Чк- 1)!2л/10У . /2лТ /сл\ .

1

^"^Чк- 1)!

1

^"^Чк- 1)!

sm 4- ф - — \smko3t А- • • • ДН J \ Н2 /

(3.22)

Если, как мы приняли, h0 < ^Н, то амплитуды гармоник малы, причем уменьшение амплитуды каждой последовательной гармоники определяется множителем порядка (2тгй/ДЯ).

Отношение сигнала к шуму значительно улучшается при использовании синхронного детектирования сигнала и, как будет показано ниже, появляются существенные преимущества, если настроить синхронный детектор (СД) на частоту неосновной гармоники (обычно 2ы), а не на саму частоту со. Однако, для того чтобы эта гармоника имела заметную амплитуду, уровень модуляции придется увеличить до такой степени, что условие (Z^ho/^H) < 1, определяющее применимость формулы (3.22), уже не будет выполняться.

Теперь мы покажем, как можно обобщить формулы (3.20) или (3.22) на случай произвольной величины (2тгА0/ДЯ). Однако такое обобщение возможно только в том случае, если принять конкретный вид зависимости М от Н, и мы примем простое гармоническое соотношение (3.21). Если теперь ввести зависимость Н от времени в явном виде, то получим

(3.23)(3.23)Г 2лГ)

(3.23)

(3.23)

M(t) = A sin <—^Ф?*

(H0 + hQ cos cotJ

Или, поскольку Ао < Яо, хотя величина 2irhQ/^H может быть и не мала,

Г/2лГ\

M(t) = А < sin ——F ф cos (Я cos cut) —

I\ "о/

(3.24)(3.24)/2лГ\)

(3.24)

(3.24)

— COS —F Ф Sin(z COS O3t) > >

\ “о/)

(3.25)(3.25)где, 2лГ/10 _ 2л/10z = н^ = лн '

(3.25)

(3.25)

Функции cos(Xcoswf) и sin(XcoswZ) можно выразить как суммы гармоник вида cosku)t с коэффициентами, пропорциональными функциям Бесселя JkQC), и после небольших преобразований выражение (3.24) принимает вид

M(t) = АM(t) = АJ0(>)sinJ0(>)sin

M(t) = А

M(t) = А

J0(>)sin

J0(>)sin

(3.26)(3.26)г. /2л+ кл

(3.26)

(3.26)

+ 2 2, JM cos koot sin —— + ф ——к = 1у Н2

В этой и последующих формулах, чтобы не загромождать обозначения, мы опускаем индекс нуль у величины Яо, кроме случаев, где можно спутать зависящее от времени поле Н и постоянное поле Но. Величина э.д.с., соответствующая выражению (3.26), равна

dM. /2лГ , кл\ .

и = с—— = -ZccdA ) кJkMsin ——- + ф —— )sinксоГ.

dtk = i\H}

(3.27)

Эта формула, конечно, сводится к более простому выражению (3.22) при X < 1 [т.е. при ф-кк^Н^ 1], так как JkQ^ = Хк/1кк\, но в случае произвольной величины X появляются новые интересные особенности.

На рис. 3.7 показаны зависимости Jk(X) от X для нескольких значений к и можно видеть, что, выбирая соответствующим образом амплитуду модуляции (т.е. выбирая X), можно значительно увеличить амплитуду любой отдельной гармоники напряжения и. Если обозначить через ик амплитуду к-й гармоники, т.е. коэффициент, на который умножается sin£co/ в формуле (3.27), то амплитуда 1^1 осцилляций дГвА величины ик при изменении поля или ориентации имеет максимальное значение, равное

(3.28)(3.28)(3.29)(3.29)I ^к Imax^k^ CD А ,

(3.28)

(3.28)

(3.29)

(3.29)

где ак — численный коэффициент, равный

^к ^^(Л(^))тах-

Зависимость ак от к приведена в табл. 3.1 вместе с зависимостью Хтах(£), т-е- значения X для первого максимума амплитуды. Можно видеть, что величина ак порядка 1 для основной частоты, порядка 2 для к = 2, а затем постепеь ю увеличивается с ростом к и равна примерно 6 для к = 10, так что детектирование на частоте гармоники дает тем бблыиую величину сигнала, чем выше гармоника. Однако для этого амплитуду модуляции нужно несколько увеличить (от Ао = 0,29Д// при к = 1 до h0 = 1,88Д// при к = 10). За исключением особых случаев,, например при выделении различных частот дГвА (см. п. 4, на с. 144), обычно невыгодно идти дальше к = 2, поскольку ббльшая амплитуда модуляции, требуемая для достижения максимума функции Бесселя с ростом к, может иногда оказаться ограничивающим фактором, особенно при малых частотах F. Следует отметить, что при оптимальном уровне модуляции

Таблица 3.1. Значения ак и Хтах(£) [см. формулу (3.29)]

к

ак

^тах^^

1

1,16

1,8

2

1,95

3,1

3

2,61

4,2

4

3,19

5,3

5

3,75

6,4

6

4,24

7,5

7

4,73

8,6

8

5,19

9,6

9

5,63

10,7

10

6,05

11,8

(для детектирования любой гармоники) измеряется собственно величина М, а не AkM/AHk, как в случае малой модуляции.

Хотя результат (3.27) и основан на допущении, что осцилляции дГвА имеют простую гармоническую форму [т.е. (3.21)], его можно легко обобщить, просуммировав вклады от отдельных компонент фурье-разложения реальной формы осцилляций. Если осцилляции заданы в виде

М = £ Лг sin f^^ + ф\(3.30)

г = 1\ н у

то амплитуда ^r-й гармоники в выражении, обобщающем (3.27), равна

*. . /27trF . кл\

vk = - 2си)к £ АДУл) sin —— + фг -1 •(3.31)

r= i\2 /

Если имеется несколько частот F, например Fv F2, . . . , Fj и т.д., то формулу (3.31) можно сразу обобщить, добавляя индекс j к величинам Ап X, F и фг и суммируя затем по у.

Можно видеть, что форма осцилляций величины ик (как функции 1/Н) будет, вообще говоря, совершенно отличной от формы осцилляций М, поскольку коэффициенты Jk(rX) могут существенно отличаться друг от друга и поскольку при нечетных значениях к синус в формуле (3.30) превращается в косинус того же аргумента в формуле (3.31). В общем случае для восстановления первоначальной формы осцилляций (3.30) выходной сигнал ик как функцию \/Н нужно разложить в ряд Фурье, разделить каждый коэффициент на Jk(rX) и вновь синтезировать, взяв все компоненты с соответствующими фазами фг, определенными при разложении. Однако в частном случае достаточно слабой модуляции коэффициенты Jk(/X) пропорциональны гк и вид осцилляций величин ик и АкМ/АН* в точности совпадает; на самом деле нетрудно проверить, что в этом пределе выражение (3.31) сводится как раз к /с-му слагаемому формулы (3.20). Практически в условиях слабой модуляции амплитуды высших гармоник слишком малы, чтобы их можно было использовать. Таким образом, непосредственно записать без искажений можно только осцилляции величины АМ/АН (и, возможно, А^М/АН1^ при детектировании на частоте со (или 2со) и при малой амплитуде модуляции. Легко показать, что, для того чтобы коэффициент J^rX) отличался от QA>X менее чем на 1%, величина гХ должна быть меньше 0,28; это и есть критерий достаточно слабой модуляции, при которой зависимость величины t^ верно воспроизводит зависимость АМ/АН.

Как уже говорилось, детектирование сигнала на частоте гармоники имеет ряд преимуществ перед детектированием на основной частоте модуляции, которые мы сейчас кратко перечислим.

Если приемные катушки не очень точно скомпенсированы, то сигнал, подаваемый на вход СД, содержит составляющую sinw/, не связанную с магнитными свойствами образца. Эта составляющая может быть легко подавлена при детектировании на частоте высшей гармоники кш.

Даже при низкой частоте модуляции вихревые токи, возбужденные в образце, нарушают компенсацию приемных катушек, причем величина этого нарушения зависит от постоянного магнитного поля из-за магнетосопротивления образца. Соответственно при наблюдении осцилляций дГвА на основной частоте ш появляется заметный монотонный ход, что может оказаться очень неудобным. Этот эффект можно значительно уменьшить подстройкой фазы СД, но если детектировать сигнал на частоте 2w или на частоте более высокой гармоники, то он практически полностью исчезает.

Один из основных источников шума, в выходном сигнале связан с возбуждением э.д.с. из-за вибраций приемной катушки в постоянном магнитном поле. Одна из причин таких вибраций, которую трудно полностью устранить, связана с взаимодействием тока в катушке модуляции с постоянным полем, и возникающий при этом шум имеет главным образом основную частоту w. Таким образом, отношение сигнала к шуму в системе можно значительно увеличить, если детектировать сигнал на частоте гармоники, а не на основной частоте.

Зависимость выходного сигнала от модулирующего поля, имеющая вид функции Бесселя, может быть использована разными способами для выделения частот из сложного спектра осцилляций дГвА. При этом дискриминация частот становится тем более эффективной, чем более высокая гармоника частоты w используется при детектировании. Параметр X, который определяет «эффективную» модуляцию, пропорционален частоте F, так что если в спектре доминирует низкая частота F, то она может быть подавлена таким выбором уровня модуляции поля, при котором соответствующее значение X приходится на весьма пологий начальный участок графика функции Бесселя, а значение X для более высокой частоты дГвА располагается вблизи максимума. С другой стороны, доминирующую высокую частоту F можно подавить, выбирая соответствующее ей значение X таким, чтобы оно приходилось на нуль функции Бесселя. В благоприятной ситуации можно одновременно подавить или хотя бы частично подавить несколько частот дГвА, если использовать несколько нулей функции Бесселя и выбрать такую гармонику, для которой значения X в нулях функции Бесселя пропорциональны частотам F, которые нужно устранить. Во всех этих случаях требуемая амплитуда модуляции зависит, конечно, от величины Н, так что если нужно сохранить постоянную величину X при изменении поля, модулирующий ток должен быть пропорционален //2.

До сих пор мы предполагали, что направления модулирующего поля и оси приемной катушки параллельны постоянному полю //0, однако если установить эти направления или одно из них под некоторым углом к //0, то возникают интересные возможности. Они рассматривались Старком и Уиндмиллером [423], показавшими, как их можно использовать для выделения частот из сложного спектра осцилляций дГвА. Поскольку, однако, такое выделение обычно можно осуществить гораздо проще, используя изменение

уровня модуляции в параллельной геометрии, мы только кратко рассмотрим этот способ. Если модулирующее поле h составляет угол 6 с постоянным полем Но, то в дополнение к модуляции величины Н возникает модуляция направления поля Н и, следовательно, величины F. Нетрудно показать, что соотношение (3.24) останется справедливым, если определение (3.25) параметра X заменить выражением

. 2лГ/20Г л •

А= cos0-sm0 - — • (3.32) Но L J

Следовательно, подходящим выбором угла 6 можно добиться равенства нулю параметра X, а значит, и величины сигнала, для некоторой определенной частоты дГвА. Более того, поскольку производная dF/d0 зависит от того, в какой плоскости производится поворот на угол 0, выбором значения 0 и направления этой плоскости можно добиться обращения в нуль величины X одновременно для двух различных частот дГвА.

Изменение угла 0 можно осуществить без механического поворота катушки, если использовать две катушки, расположенные под прямым углом друг к другу, и регулировать отношение текущих в них токов [132]. В другом варианте этой методики используются равные токи в двух катушках, но с разностью фаз тг/2, т.е. круговая поляризация модулирующего поля [457]; при этом эффективное направление модуляции можно изменять подстройкой фазы СД. Недостаток этих методов заключается, однако, в том, что на катушку поперечной модуляции действует момент силы, так что при большой амплитуде модуляции возникают трудности, связанные с вибрацией.

Аналогично, если установить ось приемной катушки под некоторым углом ф к направлению поля Н, снимаемый с нее сигнал будет характеризовать уже не величину Mv а комбинацию М^ иМ ±. Это приводит к тому, что все предыдущие формулы для величины сигнала приемной катушки должны быть умножены на коэффициент

. 1 dF •

COS0 - — — sin ф г аф

и опять-таки, подходящим выбором угла наклона ф и плоскости, в которой лежит этот угол, можно добиться обращения выходного сигнала в нуль для двух частот дГвА. Таким образом, подходящим выбором углов 0 и ф и соответствующих плоскостей, в которых лежат углы наклона модулирующего поля и приемной катушки, мож-

ТГи9П7

но достичь одновременного подавления четырех различных частот дГвА. Как уже отмечалось, подавление доминирующей частоты или нескольких частот одновременно может служить для наблюдения гораздо более слабых осцилляций на другой частоте. Особое преимущество метода наклона модулирующего поля и приемной катушки заключается в том, что он позволяет выделять одну из двух почти совпадающих частот F при условии, что их угловые зависимости достаточно различаются.

Если не считать краткого упоминания, до сих пор мы пренебрегали влиянием вихревых токов, возбужденных в образце модулирующим полем. Если частота достаточно низка в том смысле, что глубина скин-слоя 6, равная

Ь = ^лшаУ12» (3.33)

велика по сравнению с характерным размером образца а (например радиусом цилиндра или сферы или толщиной пластинки), т.е. если

и = alb « 1, (3.34) то тогда пренебрежение влиянием вихревых токов действительно оправдано. Теперь мы в общих чертах рассмотрим, как изменяется теория [приводящая, согласно (3.27), к линейной зависимости сигнала в приемной катушке от частоты ш], если эту частоту увеличить настолько, что условие (3.34) перестает выполняться и вихревыми токами уже нельзя пренебречь. Частный случай цилиндрического образца был подробно рассмотрен в работе [239], и хотя ниже мы приведем результаты только для такой формы, их качественные особенности сохраняются и в случае иной геометрии.

Первое наблюдаемое следствие повышения частоты модуляции ы заключается в том, что разность фаз между основной составляющей сигнала приемной катушки и модулирующим полем начинает отклоняться от тг/2, т.е. в дополнение к слагаемому, пропорциональному sincoZ, в выражении (3.22) добавляется заметное слагаемое, пропорциональное cosooL При увеличении частоты со выше значения, при котором а/Ь - /2, амплитуда сигнала начинает заметно отклоняться от строгой пропорциональности частоте со, заданной формулами (3.20) или (3.22). Наконец, когда а/b - 3, устанавливается разность фаз примерно в 45°, а амплитуда приближается к величине, определяемой формулами (3.20) или (3.22), умноженной на (6/V2a). Таким образом, в этом случае модуляцию «чувствует» только часть обыема образца порядка д/а. Поскольку 6 ~ со"1/2 [см. (3.33)], это означает, что в таком предельном случае

Рис. 3.8. Влияние вихревых токов на амплитуду (на один виток) и фазу сигнала ycos(w/ — Ф), снимаемого с приемной катушки, плотно намотанной на длинный цилиндрический образец (радиус а, удельная проводимость <т), для поля модуляции, равного A0cosw/, учитывается только напряжение, обусловленное намагниченностью образца. Масштаб и выбран таким образом, чтобы ордината была функцией безразмерной переменной а/6, где 6 — глубина скин-слоя, равная (2тгша)~1/2.

амплитуда растет пропорционально только w1/2, а не w. Вид зависимости амплитуды и фазы сигнала приемной катушки от частоты для случая «слабой» модуляции (X < 1) и малой величины ДМ/ДН показан на рис. 3.8.

В случае «сильной» модуляции (X ^ 1) вихревые токи влияют на сигнал сложным образом, особенно в промежуточной области частот между а/6 < 1 и а/6 > 1. Однако остаются качественно верными утверждения, что при а/6 > 1 величина сигнала такова, как если бы использовалась часть объема образца порядка 5/а и, в частности, с точностью до численного множителя порядка 1, максимальная амплитуда сигнала определяется коэффициентом 3/о, умноженным на первоначальное значение амплитуды (без учета вихревых токов), заданное формулой (3.28). Фаза сигнала для сильной модуляции зависит сложным образом не только от частоты w, но также от амплитуды модуляции (т.е. от величины X). Одно из следствий этого изменения фазы состоит в том, что значение X, для которого амплитуда обращается в нуль (совпадающее с нулем

функции Бесселя в отсутствие вихревых токов), зависит, вообще говоря, от выбора фазы СД и от частоты ш.

В количественной теории для произвольных значений а/д и X амплитуды и фазы гармоник сигнала задаются интегралами, которые нужно вычислять для каждой пары значений а /д и X, но и при введении этих усложнений теория оказывается по" ряду причин ограниченно применимой. Во-первых, результаты справедливы количественно только для принятого частного случая цилиндрической геометрии. Во-вторых, не учитывается эффект Холла, который приводит к появлению геликонных резонансов и таким образом может значительно исказить вид расчетной зависимости от частоты в области высоких частот ы как для слабой, так и для сильной модуляции. В-третьих, теоретические предсказания на практике заметно изменяются из-за неоднородности образца. Таким образом, эти теоретические результаты, за исключением частных предельных случаев, нужно применять с осторожностью, и обычно они имеют скорее качественное, чем количественное значение.

Мы уже упоминали, что вследствие вихревых токов условие компенсации системы приемных катушек становится чувствительным к величине сопротивления образца. Это приводит к появлению фонового сигнала, который не только монотонно изменяется с полем из-за магнетосопротивления (как говорилось выше, такое изменение может быть значительно уменьшено при детектировании на частотах высших гармоник кш), но может еще иметь осциллирующую при изменении Н составляющую благодаря эффекту Шубникова—де Гааза. Параметр 1Да1/а, характеризующий осцилляции ШдГ, обычно гораздо меньше соответствующего параметра l47rdM/d//l для осцилляций дГвА, так что даже при высоких частотах модуляции в зависимости наблюдаемого сигнала от поля Н доминируют осцилляции дГвА. Однако в особых случаях, например при магнитном пробое (см. гл. 7) и в полуметаллах вблизи квантового предела, это может уже не выполняться, и тогда при детектировании на достаточно высокой частоте модуляции в наблюдаемом осциллирующем сигнале могут присутствовать сравнимые по величине вклады эффектов дГвА и ШдГ. С другой стороны, если частота модуляции достаточно низка, чтобы можно было пренебречь влиянием вихревых токов, то будут наблюдаться только осцилляции, связанные с эффектом дГвА. С помощью таких наблюдений при разных частотах модуляции можно разделить эти два эффекта [273].

Теперь полезно будет обсудить некоторые общие принципы, которые определяют оптимальную техническую реализацию метода

модуляции поля. Если ставится цель изучить форму и абсолютную амплитуду осцилляций, то обычно приходится несколько поступиться чувствительностью. Так, чтобы избежать насколько возможно осложнений из-за вихревых токов, проще всего применять достаточно низкую частоту модуляции. Удобный практический критерий [238] состоит в том, что разность фаз выходного сигнала и модулирующего поля не должна отклоняться от тг/2 более чем на 8° при детектировании на основной частоте и слабой модуляции. Для цилиндрического образца это обеспечивает отклонение менее чем на 1% от линейного соотношения между частотой со и амплитудой той части сигнала, которая связана с магнитными свойствами образца. Такой критерий соответствует неравенству а/Ь < 0,53, если а — радиус образца. Практически это означает, что для а ~ 0,5 мм частота /(= ш/2тг) должна быть существенно меньше 100 Гц, а в исключительных случаях даже меньше 10 Гц (для чистого металла с малым магнетосопротивлением, например щелочного металла), но она может быть и значительно выше в случае большого магнетосопротивления (как для благородных металлов, за исключением отдельных ориентаций). При детектировании на часте- те k-й гармоники w можно сформулировать аналогичный критерий, и оказывается, что частота со должна быть примерно в к раз меньше, чем для детектирования на основной частоте, если потребовать, чтобы зависимость амплитуды от со отклонялась от линейной не более чем на 1%.

Если главная цель эксперимента — исследование спектра частот F осцилляций дГвА, а не абсолютной амплитуды или формы осцилляций, то основное внимание должно быть уделено оптимальной чувствительности в смысле отношения сигнала к шуму, а выбор частоты и амплитуды модуляции будет диктоваться различными и часто противоречивыми соображениями. Что касается частоты со, то вначале сигнал линейно увеличивается с ростом со, а чисто электрические шумы убывают как 1/w. Однако выше частоты / ~ 100 Гц шум обычно уже не уменьшается, кроме того, могут существовать шумы механического происхождения со сложным спектром, имеющим резонансные максимумы при достаточно низких частотах. Обычно можно несколько улучшить отношение сигнала к шуму, устанавливая частоту выше 100 Гц, но ненамного, поскольку происходит переход в режим скин-эффекта (когда сигнал пропорционален с?/2), и, кроме того, емкостное сопротивление ка- гушки начинает • шунтировать сигнал, поступающий на вход СД. Другое обстоятельство, которое может иногда иметь значение, заключается в том, что индуктивное сопротивление приемной кату-

шки возрастает пропорционально частоте w и квадрату числа витков; поэтому для сохранения согласования сопротивлений число витков, возможно, придется уменьшать при повышении частоты оо.

Для выбора оптимальной частоты трудно дать какой-либо общий рецепт, поскольку многое зависит от природы и размеров образца и от конструкции катушки (см. ниже), но обычно лучшее отношение сигнала к шуму достигается при частоте /, лежащей в пределах от 50 до 5000 Гц. В первых экспериментах Шенберга и Стайлза [395] задача достижения оптимальных условий в действительности не ставилась и была выбрана просто наивысшая еще удобная практически частота модуляции (1,6 • 106 Гц), чтобы получить как можно большее напряжение выходного сигнала. Однако с развитием метода модуляции поля вскоре стало ясно, что можно достичь гораздо лучших отношений сигнала к шуму, используя значительно более низкие частоты модуляции.

Что касается амплитуды модуляции й0, то ясно, что сигнал будет наибольшим для значения Ло, соответствующего максимуму функции Бесселя, однако это может оказаться непрактичным при низких частотах F. Так, для F ~ 107 Гс оптимальное значение Ло при поле 50 кГс равнялось бы примерно 125 Гс при детектировании на частоте 2w, а столь большой амплитуды нелегко было бы достичь на частоте, существенно превышающей 103 Гц. Следует заметить, что применение катушки модуляции, намотанной проводом, который остается сверхпроводящим в сильном постоянном поле, может облегчить задачу получения больших амплитуд модуляции. Даже если можно достичь максимума функции Бесселя, делать это не всегда выгодно, поскольку шум от вибраций, вызванных взаимодействием тока модуляции с основным полем, может быстрее увеличиваться с ростом Ло, чем полезный сигнал.

Конструкция приемной катушки очень сильно зависит от того, что важнее в данном эксперименте —- достижение максимальной чувствительности или надежность калибровки, а также от типа используемого образца и от того, нужно ли менять его ориентацию.

Некоторые типичные конструкции приемных катушек показаны на рис. 3.9. Если доступны сравнительно большие образцы, например диски диаметром несколько миллиметров и толщиной около 1 мм (как на рис. 3.9, а) или цилиндры длиной несколько миллиметров и диаметром около 1 мм (как на рис. 3.9, б), то катушка, плотно намотанная вокруг образца в его средней части, дает сильную связь и поток поля Н (который компенсируется второй катушкой) предельно мал. Величина этого потока есть один из факторов, определяющих шум, если, например, система приемных катушек вибрирует в магнитном поле Н или если взаимная ориентация осей

Рис. 3.9. Схематичное изображение различных типов систем приемных катушек. Для каждого типа буквой с обозначены катушка, связанная по потоку с образцом s, ас* — компенсирующая катушка, имеющая слабую связь по потоку с образцом. а — катушка с плотно намотана вокруг плоского дискообразного образца в его центральной части; б — то я^е для цилиндрического образца; в — система катушек с образцом малых размеров; г — то же, но с иным расположением катушки с* (иногда используется вариант типа г, в котором обе катушки разделены надвое, образуя две пары, подобные катушкам Гельмгольца); д — спиральная катушка, осажденная испарением на тонкий образец, нормальный к Н; е — то же, что и д, но катушка состоит только из одного кольцевого витка; ж — если сам образец (заштрихованная площадь) изготовлен в виде ряда отдельных полосок, осажденных на подложку (показано только четыре полоски, но их число может быть гораздо больше), то катушку можно создать осаждением проводящего слоя вдоль штриховых линий; если используются выводы ВВ ', то катушка связана по потоку с зазорами между полосками образца, а если АА', то она связана по потоку с самими полосками. Заметьте, что для е и ж не показаны виды сбоку и катушки с.

двух катушек изменяется вследствие вибрации. Таким образом, варианты а и б, в которых поток поля Н практически полностью ограничен сечением образца, лучше в смысле защиты от шума, чем варианты в и г, для которых значительная часть потока поля Н сосредоточена в пространстве вокруг образца. Преимущества типов систем в и г, особенно для компактных малых образцов (например, сферы диаметром около 1 мм), заключаются в том, что в них можно помещать множество образцов различных форм и размеров, упрощается смена образцов и (как мы увидим ниже) легче осуществляется абсолютная калибровка.

Вариант г обладает двумя преимуществами перед вариантом в (хотя и ценой некоторого уменьшения чувствительности). Во-

первых, проще осуществляется изменение ориентации образца без необходимости вращения также и приемной катушки, а во-вторых, компенсация такой системы менее чувствительна к положению в магните, так что любая вибрация приводит к меньшему уровню шума. Такой тип шума можно, конечно, уменьшить, сокращая размер системы катушек, с тем чтобы поле было возможно более однородным в области катушек. Тип д и его разновидность е были предложены Дж. Дж. Лонзаричем^ и в другой форме ж независимо П. Дж. Стайлзом2). Такая конструкция служит для достижения сильной связи с намагниченностью, нормальной к тонкому плоскому образцу; катушку можно изготовить путем осаждения на пластинку проводящего слоя испарением через подходящую маску, а компенсирующая катушка может быть осаждена на образец поверх толстого изолирующего слоя, чтобы она имела малую связь по потоку с намагниченностью. Этот вариант особенно удобен для образцов из слоистых веществ или для обнаружения эффекта дГвА в двумерной системе (см. п. 2.3.4 и ниже); жесткое соединение образца и катушки делает его особенно нечувствительным к шуму.

В случае конструкции с сильной связью типа а или б поток Ф через катушку, имеющую N витков, который связан с намагниченностью образца М (или, точнее, с составляющей М, параллельной оси катушки), равен

Ф = 4лММ5(1 -п^ (3.35) где $ — площадь соответствующего сечения образца, а 4тгл — его размагничивающий фактор. Таким образом, постоянная связи с, входящая в формулу (3.15) или (3.19), задается соотношением

с = -4л^(1 - и). (3.36)

Практически плоским и вытянутым образцам нельзя придать форму совершенных эллипсоидов, так что коэффициент п не очень хорошо определен), кроме того, сечение S также может быть определено не очень точно. Поэтому на практике для типов а и б трудно достичь точности выше нескольких процентов при абсолютном определении намагниченности М.

OG. G. Lonzarich, частное сообщение.

^ Р. J. Stiles, частное сообщение.

Однако для случаев в и г, если образец достаточно мал, величина Ф зависит не от формы образца, а только от его полного дипольного момента МК, где V — объем образца, который можно более точно определить (например, взвешиванием), чем сечение. Существует простое общее взаимное соотношение, по которому в электромагнитных единицах поток в любой катушке на единицу дипольного момента в точке Р совпадает с полем в точке Р на единицу тока в катушке. Таким образом, если к)х — коэффициент, равный величине поля на единичный ток в том месте приемной катушки, где расположен образец, величину потока Ф можно просто выразить как

Ф = ЧхМУ (3.37)

при условии, что образец достаточно мал. Нетрудно видеть, что соотношение (3.37) примерно эквивалентно равенству (3.35), если вспомнить, что для длинного соленоида с длиной L, много большей диаметра, V\ ~ *vN/L. Таким образом, для цилиндрического образца длиной / и сечением $ имеем Ф - ^MNS^l/L^» что равносильно соотношению (3.35), если пренебречь размагничиванием и считать эффективной часть витков приемной катушки, равную (1/LY

Постоянную т/р а также г)2, равную величине поля на единичный ток для катушки модуляции, можно определить с хорошей точностью остроумным методом, предложенным Кнехтом [238], который основан на том, что наблюдаемая амплитуда осцилляций дГвА обращается в нуль для значений модулирующего тока, соответствующих нулям функции Бесселя. Для надежности лучше всего использовать низкую частоту модуляции, чтобы избежать осложнений, связанных с вихревыми токами, и детектировать на основной частоте, т.е. при k = 1. Выбирается образец, имеющий точно известную частоту дГвА F, и если значение X, при котором обращается в нуль функция Бесселя Jk(X\ равно Хо (для JX(K) Хо = 3,83) и соответствующая амплитуда тока модуляции равна 10, то мы получаем

П2 = A0H2/2uFi0. (3.38)

Если теперь приемную и модулирующую катушки поменять ролями и найти нуль функции Бесселя, подавая ток модуляции в приемную катушку, то постоянную ту, можно определить точно так же. Заметим, что для этого метода калибровки требуется, чтобы образец был достаточно мал, но, как показано в приложении 8, постоянные ту, и ту 2 должны изменяться более чем на 10% на размерах

образца, чтобы ошибка калибровки этим методом превысила 1% Ошибка становится еще меньше, если постоянная катушки модуляции г;2 не меняется в области, занятой образцом, или если измерения намагниченности производятся в максимуме функции Бесселя.

Для определения величины потока, связанного с приемной катушкой типа д, полезно вначале выяснить распределение поля вблизи поверхности плоского тонкого образца (толщиной Z, площадью S, с характерным линейным размером а), намагниченного в поперечном направлении. Рассмотрим, в частности, как величина нормальной составляющей поля зависит от смещения х, отсчитываемого от проекции края образца на плоскости, которая расположена на небольшом расстоянии d от его поверхности, таком, что t < d < а. Эта величина точно равна нормальной составляющей поля, созданного током / = Mt (или —дипольному моменту единицы площади образца), текущим по краю образца. Поэтому нормальная составляющая поля возрастает от нуля при х = 0 до максимального значения порядка i/d при х = d (знак меняется на противоположный при изменении направления смещения х), а затем убывает приблизительно как 2/7х, когда величинах становится существенно больше d.

Важное следствие этого заключается в том, что поток поля, нормального к образцу, сосредоточен главным образом вблизи его края и поэтому зависит не от площади S, а от периметра образца Р. Поток Ф через площадь, ограниченную проекцией края образца (х = 0) и контуром х (х > d, но х < а\ приближенно определяется соотношением

Ф = 2Pi\n(x/d) = IP Л ln(x/d). (3.39)

Знак потока зависит от того, проводится ли этот контур с внутренней или с наружной стороны от края образца. Если рассмотреть конкретный случай круглого диска радиуса а, этот поток можно сравнить с полным потоком через образец (используя таблицу, приведенную в книге [335], с. 186—192). Из равенства (3.39) следует, что величина потока Ф для кольца, заключенного между х = 0 и х = я/10, составляет около 4,6 Pi, если d = 10-2я, а полный поток через весь круг радиуса а оказывается равен примерно 9,4 Pi; таким образом, кольцевая область, занимающая одну пятую часть площади образца, содержит примерно половину всего проходящего через него потока.

Если шум системы пропорционален площади приемной катушки, то некоторый выигрыш дает использование одиночной коль-

цевой петли, подобной изображенной на рис. 3.9, е, по сравнению со спиралью, скажем, из десяти витков, как на рис. 3.9, д. Для рассмотренного выше случая отношение потока к площади для кольцевой катушки примерно в три раза больше, чем для спирали из десяти витков, и примерно в два раза больше, чем для одного витка, проходящего по краю, так что выигрыш, как видно, довольно умеренный. В действительности более вероятно, что шум системы не будет существенно зависеть от площади катушки, в частности поскольку трудно изготовить катушку с большим числом витков, так что ее площадь неизбежно получится гораздо меньше, чем для обычной приемной катушки.

Если рассматривать противоположный предельный случай, когда площадь катушки не оказывает заметного влияния на величину шума, то, очевидно, выгодно делать спиральную катушку с возможно большим числом витков, имея при этом в виду, что вклад дают только те витки, которые достаточно близки к краю образца. Как уже говорилось, трудно получить большое число витков методом испарения, особенно если все витки должны быть расположены достаточно близко к краю, но эту трудность можно до некоторой степени преодолеть с помощью остроумного способа, предложенного Стайлзом. Этот способ особенно применим к задаче обнаружения осцилляций дГвА в кремниевой двумерной системе с инверсионным слоем, которая сама может быть изготовлена техникой испарения. Способ заключается в приготовлении образца, состоящего из N отдельных полосок, как на рис. 3.9, ж (число N может быть равно 20 или даже больше), и приемной катушки, связанной по потоку со всеми зазорами между полосками. Для N полосок поток, заданный соотношением (3.39), приблизительно равен

Ф = 4Na^ln(x/d), (3.40)

т.е. такая система эквивалентна N «кольцевым» виткам шириной х, подобных изображенному на рис. 3.9, е, которые расположены один поверх другого, хотя следует заметить, что площадь катушки из N витков, таких, как на рис. 3.9, е, в 4 раза больше, чем для случая, представленного на рис. 3.9, ж. Интересная особенность системы Стайлза состоит в том, что при другом подключении, показанном на рис. 3.9, ж, связью по потоку будут охвачены сами полоски, а не зазоры между ними (связь по потоку с полосками задается той же формулой, но величина х соответствует ширине полоски, а не зазора).

Важный момент в конструировании приемных катушек типов

а—г заключается в том, что для их намотки выгодно использовать возможно более тонкий провод; с достаточной осторожностью можно применять медный провод диаметром вплоть до 12 мкм. Использование тонкого провода позволяет значительно увеличить число витков, не увеличивая существенно площадь, которую охватывают самые внешние из них, так что любой шум, связанный со «случайными» магнитными потоками, не будет так быстро повышаться с ростом N, как в случае более толстого провода. Шум можно также уменьшить - при тщательном монтаже приемных и модулирующих катушек. Катушка модуляции должна быть закреплена возможно более жестко для уменьшения генерирования механической вибрации, следует также избегать любого физического контакта между приемной и модулирующей катушками, чтобы та вибрация, которая все же возникает, возможно меньше передавалась. Важно также располагать выводы безыиндуктивным образом и прикреплять их возможно жестче к обеим катушкам. Однако если нужно предусмотреть возможность поворота катушек, то требуемая для этого гибкость выводов неизбежно приводит к некоторому добавочному шуму. Правда, как отмечалось раньше, изменять эффективное направление оси катушки можно и не поворачивая ее механически, а комбинируя цоля от двух катушек, расположенных под прямым углом друг к другу, что может быть сделано с помощью внешней электрической схемы.

Другими источниками шума, который сильно зависит от конструкции, служат схемы, используемые для создания тока модуляции и для усиления выходного сигнала. Мы не будем здесь вдаваться в подробности, а лишь укажем на важность использования достаточно чистого источника модулирующего сигнала, правильного заземления различных точек схем и введения повышающего трансформатора между приемной катушкой и СД.

Здесь уместно остановиться еще на некоторых особенностях, связанных с управлением основным магнитным полем и с записью и обработкой результатов. Чтобы наблюдать осцилляции при постоянной ориентации, необходима развертка магнитного поля во времени, и чем она медленнее, тем большей может быть сделана постоянная времени т, используемая в СД для уменьшения шума. Поскольку время развертки одной осцилляции дГвА не должно быть меньше примерно Ют для предотвращения искажений, практически трудно использовать постоянные времени, намного больше 10 с, если необходимо записать достаточное число осцилляций, и это ставит предел снижения шума, которое может быть достигнуто. Другой подход состоит в том, что используются меньшие по-

стоянные времени, но развертка производится большое число раз между строго постоянными начальным и конечным значениями поля, а затем сигнал усредняется, что приводит к снижению относительного уровня шума. Применение последнего способа, имеющего то преимущество, что он уменьшает эффекты дрейфа, возможно только при условии точной воспроизводимости изменения поля, и практически это достигается только постоянным контролем величины поля с помощью ЯМР. Для некоторых целей удобно, чтобы линейно изменялось со временем не само поле Н, а величина 1///, тогда осцилляции дГвА получаются периодическими во времени. Если использовать усилитель, настроенный на определенную частоту, то можно добиться повышения избирательности (по отношению к другим значениям F), а также снижения шума.

Если необходимо наблюдать осцилляции при фиксированном поле путем изменения ориентации, то важно, чтобы это поле было достаточно постоянным, и этого можно достичь путем использования сверхпроводящего магнита в короткозамкнутом режиме. Существенно также, чтобы вращейие происходило достаточно равномерно и настолько медленно, чтобы соответствовать постоянной времени СД, но этого не так легко добиться. Лучшей равномерности изменения ориентации можно достичь, если поворачивать не образец, а весь магнит, однако это реально только при использовании сверхпроводящего магнита с разделенными обмотками или электромагнита с железным ярмом (со значительной потерей в величине максимального поля, особенно в последнем случае).

В ранних экспериментах с использованием метода модуляции поля сигнал с выхода СД поступал на самописец (либо двухкоординатный, когда на вход «X» подавалось напряжение, пропорциональное Н или 1/Н, либо с равномерной временнбй разверткой); а затем результаты считывались с графиков и впоследствии обрабатывались. Однако теперь можно получить ббльшую точность с меньшей затратой труда экспериментатора, если выходной сигнал измерять в цифровом виде через короткие интервалы и либо сразу вводить цифровые данные в вычислительную машину для обработки, либо хранить в памяти для последующего анализа. В любом случае одновременная запись сигнала на самописце по-прежнему может служить для удобного визуального контроля за ходом эксперимента. Некоторое полезное обсуждение подробных конкретных схем можно найти в работах [9, 11, 432]; одна из подобных схем иллюстрируется на рис. 3.10. На рис. 3.11 приведен пример записи осцилляций и соответствующего частотного спектра, рассчитанного ЭВМ.

Предельно достижимая чувствительность измерения М методом модуляции поля, очевидно, очень сильно зависит и от деталей конкретного практического воплощения, и от технологических ограничений, которые быстро изменяются с течением времени, но тем не менее могут быть полезны некоторые численные оценки, основанные на опыте практической работы с установкой, соответствующей схеме рис. 3.10. Если используется приемная катушка с сильной связью (типа представленной на рис. 3.9, в) и детектирование производится в максимуме функции Бесселя на второй гармонике частоты модуляции/, то амплитуда выходного напряжения и для катушки из N витков определяется соотношениями (3.28) и (3.35) и равна _ „

f = 2 х 2л/ х 4лМ х NS х 10 8 В (3.41)

Рис. ЗЛО. Упрощенная блок-схема установки для измерений методом модуляции поля, используемой д-ром Дж. Дж. Лонзаричем в Кавендишской лаборатории.

Примечания. 1. Катушка модуляции дГвА, намотанная сверхпроводящим проводом из NbTi, пригодным для переменного тока, жестко закреплена на сердечнике сверхпроводящего магнита; объем катушки составляет только несколько процентов объема сердечника магнита. 2. Точная компенсация системы приемных катушек обеспечивается показанной на рисунке внешней схемой. Малошумящий трансформатор (поддерживаемый при 4,2 К) усиливает сигнал примерно в 100 раз до поступления на вход предусилителя, который имеет эквивалентный уровень шума по входу примерно Зх 10""10 В - Гц""1/2. 3. Фильтр пропускает только требуемую гармонику частоты w (обычно 2w). 4. Генератор и усилитель мощности являются малошумящими устройствами и приводят к малым нелинейным искажениям. 5. Типичная точность измерений цифрового вольтметра составляет 10“4 (уровень шума ~ 1 мВ). 6. Образец датчика ЯМР состоит из нескольких кубических миллиметров порошкообразной меди. Катушка РЧ имеет сильную связь с образцом и сравнимые размеры; радиочастота изменяется примерно от 20 до 100 МГц; модуляция звуковой частоты (несколько гаусс при 4 кГц) обеспечивается длинной тонкой катушкой, рассчитанной так, чтобы создаваемое ею поле в области образца дГвА было ничтожно малым. Образец датчика ЯМР удален от образца дГвА примерно на 7 мм; поле магнита для них различается только на ~ 1 Гс при 105 Гс. 7. Измерительная схема ЯМР подобна описанной в работе [218]; прослеживание магнитного поля в широком диапазоне осуществляется путем изменения РЧ. Для простоты на схеме отмечена возможность использования либо частотной модуляции РЧ, либо низкочастотной (34) амплитудной модуляции поля магнита, но в действительности применяется несколько более сложная схема, которая позволяет совмещать оба вида модуляции и улучшает стабильность слежения за полем и чувствительность. 8. В ЭВМ (типа «Хьюлетт-Паккард 9825») вводятся значение радиочастоты (от частотомера РЧ), сигнал дГвА в цифровом виде, а также любые другие переменные, представляющие интерес (температура, амплитуда модуляции и т.п.). ЭВМ управляет блоком развертки магнитного поля и обрабатывает поступающие данные с выводом результатов на графопостроитель или осциллограф или с записью в память. К наиболее часто используемым видам обработки данных относятся корректирование сигнала с учетом фона и нелинейности, фурье-анализ осцилляций дГвА по соответствующим алгоритмам и аппроксимация методом наименьших квадратов.

Рис. 3.11. Пример записи осцилляций дГвА (верхняя кривая), полученной с помощью схемы рис. 3.10 на кристалле Ni3Al при направлении поля Н вдоль < 100>; поле равномерно возрастает от 43,60 кГс в начале записи до 72,95 кГс в конце. Нижняя кривая получена в результате фурье-анализа осцилляций; видны максимумы при 3,08, 3,25, 5,57, 5,84, 6,01, 6,18 и 6,37 X 106 Гс.

[мы положили 2(J2(X))max - 1 и и = 0); коэффициент с А из соотношения (3.28) равен IФI ]. Как уже обсуждалось раньше, параметры /, N, S и наименьшая измеряемая величина v( s Ivl) взаимосвязаны. Так, наибольшая возможная частота / ограничена а) вихревыми токами, которые зависят от 5, и б) требованием достаточной величины амплитуды модуляции; при этом оптимальная величина/ может оказаться в пределах от 50 до 5000 Гц, и мы примем значение 500 Гц. Число витков N ограничивается тем соображением, что связь внешних витков с полезным потоком ослабевает с увеличением N, так что в конце концов шум начинает расти быстрее, чем сигнал. Практически даже используя провод диаметром 12 мкм, невыгодно, чтобы число витков было более 2000. Площадь сечения S можно принять равной 10“2 см2 (скажем, 4 х ХА мм), имея в виду, что при увеличении толщины плоского образца пришлось бы снизить частоту / и что часть шума растет с увеличением S. Наконец, минимальная величина сигнала и, которую можно обнаружить при соответствующей обработке сигнала, может лежать (по скромным оценкам) в пределах 3 х 10"12—3 х 10*11 В, мы положим

и — 10"11 В. Если подставить эти числа в формулу (3.41), мы получим минимальную наблюдаемую амплитуду осцилляций дГвА

Mmin ~ 2 х 10 9 Гс и для Н = 2 х 104 Гс,

(M/H)min~ Ю~13.О-42)

Хотя это и очень грубая оценка, но из нее следует, что в случае благоприятной геометрии метод модуляции поля способен обнаружить осцилляции в 108 раз меньшей амплитуды по сравнению с типичной для «хорошего» эффекта дГвА величиной М/Н - 10"5. Метод модуляции выигрывает также по сравнению с методом вращающего момента, хотя очевидному множителю 100, на который различаются оценки (3.42) и (3.14), едва ли стоит придавать серьезное значение ввиду достаточной произвольности многих предположений. Однако, не считая несколько меньшей предельной чувствительности метода вращающего момента, тот факт, что этот метод является «механическим», сильнее затрудняет достижение оптимальных условий, чем в случае чисто электромагнитного метода модуляции поля. Более того, метод вращающего момента чувствителен только если ПФ сильно анизотропна, и, конечно, его вообще нельзя использовать для ферромагнитных металлов из-за доминирования вращающих моментов, связанных с анизотропией ферромагнитного намагничивания.

Для двумерной системы при детектировании на второй гармонике частоты модуляции и использовании катушки типа представленной на рис. 3.9, ж, амплитуда напряжения выходного сигнала и в вольтах определяется из формул (3.28) и (3.40) и равна

г = 2 х 2л/х 4aN\n^x/d^ х Л х 10"8.(3.43)

Если принять N = 20, а = 0,3 см, x/d = 10 и опять предположить, что минимальная обнаруживаемая амплитуда v (= 1^1) составляет 10"11 Ви/ = 500 Гц, то найдем

^т1П - 3 х 10’9 Гс • см .(3.44)

Отсюда следует, что^в принципе возможно было бы измерить оцененную величину \Л\ ~ 10"8Гс • см для кремниевой системы с инверсионным слоем (см. табл. П7.3). На самом деле, однако, положение может оказаться гораздо более благоприятным. Во- первых, возможность модулировать электронную плотность, а не поле (см. п. 3.4.2.3) облегчает достижение максимума функции Бес-

11-207

селя (для модуляции поля при Н ~ 5 х 104 Гс и F - 2 х 106 Гс требуется амплитуда модуляции порядка 500 Гс). Во-вторых, частоту /, вероятно, можно установить значительно выше 500 Гц, поскольку малая проводимость Si устраняет осложнения с вихревыми токами, а в-третьих, компактная форма образца и катушки должна приводить к снижению уровня шума и к достижению большей чувствительности по сравнению с принятым нами значением 10"11 В. Таким образом, обнаружение осцилляций дГвА в двумерной системе представляется вполне возможным и результаты экспериментов Стайлза ожидаются с интересом.

В заключение обзора метода модуляции поля следует кратко упомянуть о том, что были предложены и успешно применялись несколько вариантов этого метода, хотя иногда и не ясно, действительно ли их возможные преимущества перевешивают возникающие дополнительные осложнения. Часто трудности, во избежание которых разрабатывались эти варианты, впоследствии успешно разрешались при усовершенствовании прямого метода. Один из таких вариантов (Ли [254]) заключается в модуляции поля одновременно на двух частотах, сравнительно высокой частоте ш и значительно более низкой частоте 9. Затем сигнал проходит через два СД, причем первый из них настроен на небольшой интервал частот вблизи 2а) (включающий и боковые полосы при 2w ± (2), а второй настроен на частоту 0. Таким способом шум и дрейф, проходящие через первый СД на частоте 2^, значительно снижаются вторым СД. .

Другой вариант, успешно примененный Вольским [453, 454] до развития метода модуляции поля, состоит в том, что образец помещался в ЯМР-спектрометр и наблюдались изменения радиочастотного импеданса, связанные с дГвА-осцилляциями магнитной проницаемости. В ЯМР-спектрометре использовались частота 5 х 106 Гц и низкая частота модуляции 30 Гц, так что, не считая методики наблюдения и геометрии модулирующих полей, этот вариант не очень сильно отличается от способа Ли. Следует заметить, что в теории модуляционного метода подразумевается, что размеры электронных орбит всегда малы по сравнению с глубиной скин-слоя. В случае РЧ-модуляции это может оказаться неверным для орбит, соответствующих большим частотам F, и, следовательно, использование радиочастоты может несколько преувеличивать осцилляции с такими низкими частотами F, для которых орбиты помещаются в скин-слое.

Вольский и Петрашов [456] разработали также интересную методику наблюдения осцилляций дГвА по их влиянию на частоту ге-

л иконного резонанса в подходящем образце. Эта методика имеет то преимущество, что при соответствующих условиях относительные изменения частоты дают абсолютное значение АМ/йВ без использования каких-либо калибровочных постоянных, но для наблюдения таких геликонных резонансов требуются довольно специальные условия.

Модуляция температуры

Идея использования модуляции температуры впервые была применена к эффекту дГвА Одером и Максвеллом [310], которые указывали,* что такой способ имеет несколько преимуществ перед методом модуляции поля. Так, например, исчезает проблема шума из-за механических вибраций, связанных с модулирующей катушкой в сильном постоянном поле, и исчезает проблема компенсации э.д.с., возбужденной в системе приемных катушек из-за отличной от нуля взаимоиндукции с катушкой модуляции. Кроме того, этот метод дает возможность — по крайней мере принципиальную — непосредственного определения циклотронной массы из величины амплитуды сигнала, возбужденного в приемной катушке. Как мы сейчас покажем, этот метод должен обладать предельной чувствительностью к обнаружению осцилляций дГвА, сравнимой с чувствительностью метода модуляции поля, и надо надеяться, что эта возможность вскоре будет использована.

Как было показано в п. 2.3.7.1 [см. (2.128)], температура влияет на эффект дГвА только через понижающий множитель у амплитуды каждого периодического слагаемого в выражении для осциллирующей части намагниченности. Таким образом, если обозначить отдельное периодическое слагаемое (т.е. отдельную гармонику частоты дГвА) через М для температуры Т и через Мо — для температуры Г = 0, из формулы (2.128) получим

М = М0М,(3.45)

где

/(z) = z/sinhz и z = 2n2pkT/pH

для р-й гармоники (обычно мы будем рассматривать только основную составляющую, р = 1).

Если теперь температура модулируется с угловой частотой ш и амплитудой 9, величину Т в выражении (3.45) следует заменить на Т 4- 9cosu)t и величину z — на z(l 4- wcos^Z), где

и = 9/Т.(3.46)

Таким образом, выражение (3.45) принимает вид

М = Мо \.М + zfWi cos ot + ^j'"^? cos1 ол- • •

+ -- Z^^Z^ COSk (Dt^A .+ -- Z^^Z^ COSk (Dt^A .(3.47)(3.47)

+ -- Z^^Z^ COSk (Dt^A .

+ -- Z^^Z^ COSk (Dt^A .

(3.47)

(3.47)

что можно представить как сумму гармонических слагаемых вида coskwt, в которой каждый коэффициент задается рядом по степеням параметра модуляции и. Это аналогично процедуре, приводящей к формуле (3.20) для случая модуляции поля. В этом случае сумма каждого ряда по степеням параметра модуляции X может быть выражена через функцию Бесселя 7к(Х), но для модуляции температуры суммы рядов по степеням параметра и не выражаются через стандартные функции. Для простоты мы приводим получающееся в результате выражение только по слагаемое cos2^, т.е.

Мf r z3f°\zVuV

-^-=№ + и cos uitlzf^ + —г^у— к +

++z2r+Yy(2r-H^zWu\2r

+

+

4- • • • 4-— -г!(г+1)!

+ -008 2^ Ы) + 4Д

Если, как в методе модуляции поля, с образцом связана катушка, дающая э.д.с.

и = cdM/dt

то эта э.д.с. равна (обозначим теперь через М значение при и = 0)

и = — сМоэ <usma)tи = — сМоэ <usma)t~zf’(Az3P4z> и2JA> f^ 8~zf’(Az3P4z> и2JA> f^ 8

и = — сМоэ <usma)t

и = — сМоэ <usma)t

~zf’(Az3P4z> и2

JA> f^ 8

~zf’(Az3P4z> и2

JA> f^ 8

u2 .+ — Sin Ztotu2 .+ — Sin Ztot'z2/"^ z4fWW2. Az) Az) 24'z2/"^ z4fWW2. Az) Az) 24(3.49)(3.49)

u2 .

+ — Sin Ztot

u2 .

+ — Sin Ztot

'z2/"^ z4fWW2

. Az) Az) 24

'z2/"^ z4fWW2

. Az) Az) 24

(3.49)

(3.49)

На практике трудно, вероятно, сделать величину и больше, чем.

скажем, 0,2 или около того (поскольку амплитуде осцилляторного изменения температуры 9 неизбежно сопутствует и монотонный рост температуры по крайней мере такой же величины), так что для практических значений z (^5), по-видимому, существенны только главные члены в разложениях. Функция - zj'^ принимает максимальное значение 0,65 при z = 2,5, а гЧ” (z) имеет максимум 1,6 при z = 4, так что если возможна амплитуда модуляции температуры, соответствующая и = 0,2, мы получаем следующие оценки для практически максимальных значений амплитуд иХТ и и2Т выпрямленных сигналов частоты ш и 2cd:

vlT 0.1 соМ0) и2Т — 3 х \О'2са)Мо > (3.50)

где мы обозначили величину 1Л/01 через Мо. Эти оценки можно сравнить с практически максимальными значениями амплитуд иши и^ при модуляции поля (принимая как типичный случай z ~ 2, так что z/sinhz ~ 0,5). Из формул (3.28) и (3.29) находим

r1H^0.5cwMo t2U ^со)Мq. (3.51)

Хотя эти числа и свидетельствуют о том, что температурная модуляция дает более слабые амплитуды сигнала, чем можно достичь модуляцией поля, это сравнение на самом деле несколько односторонне, так как оно не учитывает то уменьшение уровня шума, которого почти наверное можно добиться, используя модуляцию температуры, а не поля. Делая это сравнение, мы также подразумевали, что оптимальные размеры образца (от которых зависит постоянная с, поскольку М определяется для единичного объема, так что с пропорциональна объему И) и частота модуляции ш одни и те же при модуляции как поля, так и температуры. Хотя конструктивные параметры для этих двух методов и ограничиваются несколько различными соображениями, но предположение о сравнимых размерах образцов и сравнимых частотах ш в действительности оказывается разумным.

Здесь мы можем отметить, что в пионерских экспериментах Одера и Максвелла достигнутая чувствительность была значительно меньше, чем та, которую можно было бы ожидать на основе приведенных выше соображений. В их опытах частота модуляции равнялась только 100 Гц, в то время как можно было бы использовать, вероятно, частоту около 1000 Гц, а амплитуда модуляции температуры составляла только 10"2 К, в протиповоложность величине около 0,5 К, принятой в оценке (3.50). Поэтому неудивительно, что предел чувствительности соответствовал величине

MQ - Ю-6, а не 10"8 Гс, которая получилась бы, если считать, что методом модуляции температуры можно обнаружить минимальную величину IMI, примерно в пять раз ббльшую, чем методом модуляции поля, и что [следуя оценке (3.42)] предел для метода модуляции поля соответствует IMImin ~ 2 х 10"9Гс. Практика покажет, насколько близкими к реальности окажутся сделанные нами оценки.

в Г 1Т tanhzв Г 1Т tanhzКак было упомянуто выше, в принципе метод модуляции температуры дает возможность определения циклотронной массы т из величины амплитуды измеренного сигнала при одной комбинации значений температуры и поля. Если сигнал детектируется на основной частоте w и амплитуда модуляции мала, то абсолютная амплитуда сигнала у, определяемая формулой (3.49), равна

в Г 1

Т tanhz

в Г 1

Т tanhz

(3.52)

Поэтому, если бы были известны все остальные множители, то можно было бы определить величину (z/tanhz) - 1, [которая при z > 1 примерно равна (z - 1)], а значит, и величины г и т. Существуют две возможности исключения некоторых неизвестных множителей (в частности, множителя cIMI):

а. С помощью измерения кроме амплитуды vXT также амплитуды сигнала v2T на частоте 2ш. Поскольку

, . ге\и iz2 2z

Л522

\Т) (tanh2z tanhz

видно, что произведение с IМI ш исключается, если взять отношение v2T/vx т- Мы получаем

(3.53)(3.53)d2T 1 0 f 2z2 2z J К z

(3.53)

(3.53)

— =<z2 Ж

p172 T (tanh2z tanhz )/(tanhz

(заметим, что для z > 1 это примерно равно /2(0/r)[z(z — 2)/(z — 1)]).

б. Если, используя те же приемные катушки и ту же частоту модуляции, модулировать не температуру, а поле, то амплитуда сигнала задается формулой (3.27) и при детектировании на частоте ш с параметром модуляции поля X получим

vXH = 2с\М\шЛМ.

Отсюда получается отношение амплитуд сигналов для модуляции температуры и поля

1 0

yi t/v\h = ^т

(3.54)

Однако оба способа требуют точного измерения абсолютной амплитуды 9 для определения величины z и, следовательно, массы т. На практике это может оказаться затруднительно.

Несколько иная возможность (опять-таки в принципе) определения z и тем самым массы т основана на том, что функция f"(z) изменяет знак при z = 1,6. Если измерять амплитуду сигнала м1Т (для малой амплитуды модуляции) при таком изменении Н или Г, чтобы величина z проходила через критическое значение, при котором амплитуда сигнала обращается в нуль, скажем при Н = Н01 Т = То, то мы должны получить

27t2kT0/(eh/mc)H0 = 1,6,

откуда можно было бы определить массу т. К сожалению, применение этого метода, как и метода «а», связано с одним препятствием. Дело в том, что все наши формулы основаны на предположении о том, что модуляция имеет строго гармоническую форму колебаний, а на самом деле этого, по-видимому, нелегко достичь, поскольку соответствующие тепловые постоянные (теплоемкость образца и сопротивление тепловой связи) сильно зависят от температуры. Если модуляция температуры содержит какие-либо высшие гармоники, то они, конечно, существенно повлияют на амплитуды гармоник выходного сигнала. Если, например, модуляция описывается зависимостью z(l + ucosu^t + w'cos(2atf + ф)\ то формула (3.49) будет содержать дополнительное слагаемое 2и'zf' (z)sin(2wZ 4- ф\ которое вполне может быть сравнимо по величине со слагаемым, пропорциональным sin2atf. Возможно, это затруднение можно было бы обойти, если тщательно следить за формой колебаний модуляции температуры, чтобы как-то учесть реальное содержание высших гармоник, но получить удовлетворительную точность при использовании второй гармоники выходного сигнала было бы трудно. Это препятствие вместе с трудностью точного измерения амплитуды температурной модуляции 6 делают маловероятным, чтобы данный метод мог конкурировать с более обычными способами определения циклотронной массы (т.е. использованием температурной зависимости амплитуды осцилляций дГвА или циклотронным резонансом). Однако это не означает, что метод модуляции температуры не конкурентоспособен как метод чувствительного обнаружения осцилляций дГвА.

Наконец, нужно отметить, что значительную часть приведенного анализа метода модуляции температуры можно легко применить и к любой намагниченности, зависящей от температуры, а не

только осциллирующей. Например, этот метод может оказаться весьма полезным (и действительно использовался Легкоступовым [260]) для исследования температурной зависимости ферромагнитной намагниченности, в частности очень слабой ее зависимости при низких температурах. Все, что требуется для соответствующей модификации формул, — это переопределить величину z, например, как z = Т/Тс, где Тс — температура Кюри, и рассматривать /(z) как неизвестную функцию, которую нужно определить. С учетом этих изменений формула (3.49) по-прежнему применима, и с помощью соответствующих измерений можно определить вид производных /(z).

Модуляция потенциала затвора в двумерной системе

В двумерной системе, которую представляет собой инверсионный слой в кремниевом образце, число электронов на единицу площади, определяющее как амплитуду, так и частоту эффекта дГвА, можно варьировать путем изменения потенциала затвора. Поэтому модуляция потенциала затвора равносильна модуляции числа электронов — возможность, которая недоступна в более обычном случае трехмерного металла. Запишем выражение для основной составляющей осцилляций величины .^ дипольного момента на единицу площади, в виде

= Tsinan,(3.55)

где п — число электронов на единицу площади и

а = 2u2ch/eH(3.56)

[см. формулы (2.61) или (2.80) и (2.86)], и теперь предположим, что число и модулируется, т.е.

п = п0 + v cos cut.(3.57)

Чтобы не усложнять вычислений, мы не будем учитывать того, что величина ^0 сама пропорциональна и, и рассмотрим только модуляцию частоты дГвА (легко показать, что такой подход будет хорошим приближением, если ап > 1, а для практической ситуации, когда величина ап/2тг может не превышать примерно двух или трех, это все еще разумное приближение). Тогда, аналогично выражению (3.26) (опуская не зависящее от времени г слагаемое и замечая, что знак «-» в формуле (3.24) нужно в данном случае заме-

нить на «4-»), получаем

/& л \

^(г) = 2^0 £ Jk(av)cosfccotsin[ аи0 + — ]•(3.58)

и=1\2 /

Соответственно возбужденное в приемной катушке напряжение и равно

v = с йЛ/dt = ^vk sin kot,(3.59)

так что аналогично выражению (3.27) имеем

Ы = 2c'w/c^0JJav).(3.60)

Следовательно, величина максимального сигнала для любой приемной катушки при таком виде модуляции совпадает с максимальным сигналом при модуляции поля. Существенное отличие, однако, заключается в том, что при модуляции потенциала затвора, по-видимому, гораздо легче достичь максимума функции Бесселя, чем при модуляции поля. Например, при детектировании на частоте 2a) для достижения максимума функции Jj^pcv) требуется, чтобы av = 3, т.е амплитуда модуляции должна соответствовать такому изменению потенциала затвора, которое привело бы к сдвигу осцилляции дГвА примерно на половину периода. Это соответствует амплитуде около 1 В, которую гораздо легче получить, чем амплитуду модуляции поля в 500 Гс или больше. Поэтому сделанная нами оценка (3.44) величины -^min ~ 3 х 10“9 Гс * см, которая всего в несколько раз меньше, чем ожидаемая величина ^ будет, вероятно, более реалистичной при использовании модуляции потенциала затвора, чем модуляции поля.

3.5. Зависимость частоты от деформации

Как мы увидим в гл. 5, исследования зависимости формы поверхности Ферми от деформации дают ценную дополнительную информацию для понимания зонной структуры. Эту зависимость от деформации можно либо вывести косвенным образом из осцилля- торной магнитострикции и осцилляторной скорости звука, как подробно описывается в гл. 4, либо получить прямым методом, непосредственно прикладывая механическое напряжение и наблюдая изменение частоты дГвА. В этом разделе мы дадим краткий обзор тех экспериментальных проблем, которые возникают при использовании прямого метода.

Прежде всего заметим, что эффекты, связанные с давлением, довольно слабы. Для грубой предварительной оценки мы можем

предположить, что относительное изменение частоты сравнимо с относительным изменением размеров образца, т.е. с величиной деформации. Так, даже давление величиной 10 кбар (10ю дин • см-2), которое приводит к уменьшению объема металла примерно на 1 %, даст только изменение частоты F в 1%, а для других типов напряжения достижимая упругая деформация ограничивается пределом пластичности и изменение F не превосходит 0,1%. Наиболее чувствительный и надежный метод измерения столь малых эффектов —

Рис. 3.12. Влияние гидростатического давления на осцилляции на центральном сечении в Au для ориентации <111) в поле около 50 кГс [429]. Сверхпроводящий магнит находится в короткозамкнутом режиме (т.е. поле Н постоянно), а давление увеличивается и уменьшается семью ступенями примерно по 3,5 бар; между последовательными изменениями давления записывается один полный период осцилляций путем пропускания тока через вспомогательную катушку (один период соответствует ~5Гс). Сдвиг фазы при каждом изменении давления соответствует примерно 0,01 периода, или ^F/F ~ 10“6 (поскольку F/H ~ 104), что дает dlnF/dp ~ ~ 3 х 10“13 дин~11 см2 (подробный анализ данных приводит к значению 2,9 ± ± 0,1 х 10"13).

наблюдение изменений фазы осцилляций дГвА в зависимости от приложенного напряжения. Поскольку обычно изменению фазы на один полный период осцилляций соответствует относительное изменение частоты около 10“3 или меньше, а надежно измеряются и значительно более слабые изменения фазы, то хорошая точность может быть достигнута даже при вполне умеренных напряжениях.

До сих пор в большинстве прямых опытов измерялась зависимость от гидростатического давления. В данном случае метод измерения сдвига фазы имеет то преимущество, что его высокая чувствительность позволяет использовать гелий в качестве жидкости, передающей давление, несмотря на предел 25 бар, связанный с его затвердеванием при температуре около 1 К (75 бар при 3 К, но влияние повышения температуры обычно перевешивает преимущества более высокого давления). Эта методика была впервые применена Темплтоном [249], который использовал сверхпроводящий магнит в короткозамкнутом режиме для обеспечения достаточной стабильности поля и смог измерить величину фазового сдвига, составляющую 10“3 от полного периода осцилляции (рис. 3.12). Это означало, что действительный сдвиг фазы осцилляций на орбитах на центральных сечениях ПФ меди (порядка 0,2 полной осцилляции при наивысшем давлении) можно было бы измерить с точностью, лучшей 1%. Остроумный прием, примененный Темплтоном, заключался в том, что измерялся относительный сдвиг фаз значительно более медленных осцилляций (частоты FN), связанных с «шейками», которые наблюдаются вместе с осцилляциями от орбит на центральных сечениях (частоты F^ при направлении поля Н вдоль <111> (см. п. 5.3.2). В действительности изменение AFN/FN для низкой частоты гораздо больше, чем изменение ^F^/F^ для высокой частоты, и это отличие можно наблюдать, если записывать при различных давлениях несколько одних и тех же медленных осцилляций, по появлению более быстрых осцилляций, слегка сдвигающихся по отношению к медленным. По величине этого сдвига можно легко определить разность &FN/FN - AFB/FB. Методы этого типа были с тех пор значительно усовершенствованы; подробности см. в работах [431, 433].

Другой возможный метод, связанный с применением гораздо более высоких давлений для достижения ббльших изменений частоты (см., например, [295, 370]), страдает двумя существенными недостатками. Во-первых, давление приходится передавать через твердый гелий, так что трудно обеспечить приложение к образцу чисто гидростатического давления, а во-вторых, уже невозможно использовать точный метод измерения сдвига фазы, поскольку не

удается наблюдать осцилляции в процессе приложения давления. Вместо этого при каждом значении давления нужно производить абсолютные измерения частоты, и если изменение частоты F с давлением составляет только около 1%, то точность абсолютного определения должна быть порядка 10“ 4, чтобы достичь точности 1 % в определении отклонения Д/7. Однако применение такого метода «грубой силы» становится неизбежным, если, как для щелочных металлов при высоком давлении, изменение объема уже не зависит от давления линейно, и требуется исследовать, как изменяется форма ПФ в этой области.

Влияние других видов напряжений, помимо гидростатического давления, гораздо труднее изучать непосредственно, и было осуществлено только несколько экспериментов по влиянию одноосного растяжения и сжатия [158, 163, 294, 330, 401, 450]. В большинстве этих экспериментов использовалась методика фазовых сдвигов для определения очень малых изменений частоты, которые можно было получить до наступления необратимых искажений кристалла вследствие пластической деформации. Экспериментальные трудности здесь состоят в том, чтобы обеспечить надежность передачи к образцу приложенного напряжения (например, без потерь на трение в уплотнении), в создании и измерении однородного напряжения (для этого образец должен иметь цилиндрическую форму) и в исключении изменений ориентации образца в процессе приложения напряжения. Экспериментальные методики были значительно усовершенствованы со времени первого эксперимента, но все же для исследования зависимости формы ПФ от деформации прямой метод уступает в точности, а также в гибкости при определении производных по деформации тем косвенным методам, которые будут описаны в гл. 4.

4

Другие осцилляторные эффекты

Введение

В этой главе мы рассмотрим некоторые другие свойства металла, осциллирующие при изменении магнитного поля. Эти свойства можно разделить на две категории. Первая включает существенно термодинамические свойства, для которых осцилляторные зависимости от поля могут быть непосредственно выведены из осциллирующей части О термодинамического потенциала. К этой категории относятся магнитные свойства, т.е. эффект де Гааза — ван Альфена, который мы уже обсуждали, тепловые свойства (температура и теплоемкость образца), «механические» свойства (размеры образца, т.е. магнитострикция и упругие свойства) и химический потенциал (т.е. осцилляции энергии Ферми).

Ко второй категории относятся неравновесные свойства, которые нельзя получить, используя только термодинамический потенциал. Однако их осцилляторные зависимости от поля Н обусловлены той же основной причиной, а именно прохождением трубок Ландау через поверхность Ферми, и поэтому они имеют существенно тот же период, что и осцилляции термодинамических свойств. Поскольку теория этих неравновесных свойств неизбежно оказывается более сложной, чем для термодинамических величин, мы ограничимся только достаточно упрощенным анализом и обсудим более подробно лишь два эффекта — осцилляции электрического сопротивления (эффект Шубникова — де Гааза) и осцилляции поглощения ультразвуковых волн (включая так называемые «гигантские квантовые осцилляции»). Осцилляции других свойств, например оптических, и ядерный магнитный резонанс будут только кратко упомянуты.

Наконец, для полноты изложения будет упомянут ряд других осцилляторных эффектов, периодичность которых определяется совершенно иными соображениями, но мы ограничимся только объяснением природы соответствующих механизмов.

Осцилляции тепловых свойств

Поскольку, энтропйя $ задается производной от термодинамического потенциала О по температуре, она вместе со своими произво-

дными будет, как и й, содержать составляющие, осциллирующие при изменении поля Н. Наиболее непосредственным образом это проявляется в осцилляциях температуры теплоизолированного образца (магнитотермические осцилляции) и теплоемкости с. Оба эффекта являются слабыми в том смысле, что амплитуда осцилляций обычно составляет менее 0,1% от статической температуры или статической теплоемкости, но благодаря большой чувствительности методов низкотемпературной термометрии (способных обнаруживать отклонения температуры порядка 10“7 или, возможно, даже 10"8 К) осцилляции довольно легко наблюдаются. Магнитотермические осцилляции действительно использовались для определения поверхностей Ферми по измерениям зависимости частоты от ориентации, хотя, как мы увидим, в отношении чувствительности этот способ все же, вероятно, не превосходит методов с использованием осцилляций магнитных свойств. Следует отметить, что теория, которая приводится ниже, в некоторых чертах очень близка к теории метода наблюдения эффекта дГвА при помощи модуляции температуры. Это обусловлено главным образом тем, что в обоих случаях используется производная по температуре от осциллирующей части намагниченности.

Магнитотермические осцилляции

Величину изменения температуры при адиабатическом изменении поля проще всего получить из термодинамического соотношения

(дт\(ds\тГгм\

— I = — — / — I = — I ,(4.1)

XdHjs\дН}т!\дт)нс\гт;н

где с — теплоемкость на единицу объема, определяемая соотношением

с = Т(55/аТ)„.(4.2)

Таким образом, рассматривая только осциллирующую часть ДТ изменения температуры и имея в виду, что изменения величин Тис всегда малы по сравнению с их средними значениями, можно записать

т С11

£т=-- (дМ/дТ)4Н.(4.3)

Как обычно, удобно ограничиться рассмотрением одного осцил- ляторного слагаемого, скажем р-н гармоники определенной часто-

ты дГвА F, для которой

(4.4)(4.4)М = Asm^InpF/H 4- ф^.

(4.4)

(4.4)

Мы вновь будем использовать обозначения, введенные в (3.45):

М = Й0Дг\ z = 1п2ркТ/рН, f(z) = z/sinh z ,(4.5)

а также запишем

О = aof^ = -У-^cos^itpF/H + ф),(4.6)

ZTipr

где Й — осциллирующая часть термодинамического потенциала, заданная формулой (2.151), и Йо — значение при Т = 0. Теперь, используя обычное приближение, допустимое в случае F/H > 1, когда при дифференцировании по Н можно учитывать лишь периодический множитель, мы легко получаем из равенства (4.3)

АТ = ^П и |ДТ|=--^^|М|:(4.7)

сМlupFc М

Величина ДТ отличается по фазе на тг от величины Й, поскольку производная/' (г) отрицательна, а ДТ выражается в виде интеграла от Мо или М.

Прежде чем обсуждать общий результат (4.7), мы рассмотрим два предельных случая, в которых функция Vх teWfc) принимает сравнительно простой аналитический вид:

z < 1.

(Это близко к реальности в случае Bi, когда поле Н направлено вдоль бинарной оси, при Т = 1 К, Н ^ 5 кГс, хотя точность приближения (4.7) теперь не высока, так как отношение F/H уже нельзя считать очень большим.)

zfU)fWzfU)fW_lz2= _lp2z23 зр '_lz2= _lp2z23 зр '(4.8)(4.8)

zfU)fW

zfU)fW

_lz2= _lp2z2

3 зр '

_lz2= _lp2z2

3 зр '

(4.8)

(4.8)

где Zj — значение z для p = 1. Таким образом,

(4.9)

Для этого случая амплитуда р-й гармоники в р раз больше для осцилляций ДТ, чем для М. Если представить \М\ в виде (H2/2'KpF)\6.M/6.H\, то соотношение (4.9) можно переписать как

|ДТ| =|ДТ| =™VT2H2 dM™VT2H2 dMz/VF^ dHz/VF^ dH(4.10)(4.10)

|ДТ| =

|ДТ| =

™VT2H2 dM

™VT2H2 dM

z/VF^ dH

z/VF^ dH

(4.10)

(4.10)

откуда видно, что отношения амплитуд различных гармоник для осцилляций величин ДТ и АМ/АН в этом пределе совпадают .^Однако множитель Н2 приводит к тому, что при z « 1 амплитуда осцилляций ДТ возрастает примерно как Ниг, в то время как амплитуда осцилляций АМ/АН зависит от Н примерно как Я-3/2 (пренебрегая фактором Дингла). Эти особенности качественно иллюстрируются рис. 4.1. Поскольку величина 3F (пропорциональная F/m) незначительно различается для разных частей ПФ, при данном поле Я относительные амплитуды осцилляций разных частот F должны быть близки для ДТ и АМ/АН.

z > 1..

В этом случае имеем

zf\zMf^ ~ (1 — z) — -z = -pzx, поэтому

(4.11)(4.11)H2zx „ ккТН „ |ДТ] ^——1]Л/| =——-|М|.

(4.11)

(4.11)

2 л FcpFc

В этом пределе (такая ситуация обычна на практике) амплитуды различных гармоник в осцилляциях величин ДТ и М находятся в одинаковых соотношениях. Однако при z > 1 амплитуды высших гармоник все равно очень малы, так что зависимость ДТ от р представляет только академический интерес. Поскольку величина ^F на ПФ меняется незначительно, отношения амплитуд осцилляций разных частот F сравнимы для ДТ и М. ’

Оценить порядок величины амплитуды осцилляций температуры и определить необходимые условия, в которых эта амплитуда была бы наибольшей, довольно трудно, поскольку значения с сильно различаются для разных металлов и для разных температур. Эти проблемы кратко обсуждаются в приложении 9 и оказывается, что наибольшая амплитуда величины ДТ изменяется примерно от 10“3 К для Bi (при Т - 0,1 К) до нескольких единиц на 10"4 К для благородных металлов (при Т - 1 К). Эти порядки величин указывают на то, что эффект можно легко наблюдать, так как изменения температуры в 10“7 К обнаруживались в экспериментах Халлорана и Кунцлера [197] в 1968 г., и дальнейшее развитие методов термометрии и электроники, вероятно, еще снизило этот предел.

Экспериментальная методика наблюдения магнитотермических осцилляций довольно проста и не нуждается в особом описании. Следует лишь отметить, что чувствительность удается значительно повысить, используя модуляцию поля, и предела чувствительности 10"7 К или менее можно достичь только таким образом. Теория модуляции поля для магнитотермического эффекта очень близка к соответствующей теории, уже обсуждавшейся в случае эффекта дГвА (п. 3.4.2.1). Если сигнал детектируется на частоте £-й гармоники частоты модуляции, то легко показать, что величина амплитуды слагаемого, содержащего k^t, в выражении для ДТ при данном поле Н определяется коэффициентом 2Jk(\), на который умно-

Рис. 4.1. а — магнитотермические осцилляции в Bi для направления поля Н вдоль бинарной оси при Т ~ 1,3 К [246]; б — осцилляции дГвА величины dM/dH при Т ~ 0,6 К (неопубликованные результаты Беркли и Шенберга, 1974). Скорость развертки поля не постоянна, поэтому расстояние вдоль диаграммы не совсем линейно по Н; соответствующие различным осцилляциям значения поля такие, как показано для кривой а. Спиновое расщепление последней осцилляции (и предпоследней для кривой б) отчетливо видно. Сравнение кривых а и б показывает сходство формы линии двух эффектов и различие в зависимости амплитуды от поля. Однако сравнение может быть только качественным, поскольку кривые а и б сняты при разных температурах на различных образцах и, кроме того, условие z < 1 выполняется только для двух или трех последних осцилляций перед квантовым пределом (при Н ~

- 15 кГс). Осцилляции величины dM/dH в Bi показаны также на рис. 8.8 и 8.9.

12-207

жается величина ДГ при этом значении поля в отсутствие модуляции. Здесь X — параметр модуляции, определяемый формулой (3.25). Таким образом, для модуляционной методики осцилляции слагаемого, содержащего кыТ, при изменении поля имеют амплитуду, определяемую коэффициентом 2JA(X), на который умножается соответствующая амплитуда наблюдаемых без модуляции осцилляций ДТ. При к = 1, 2, 3 функция 2/^^) принимает максимальные значения соответственно 1,164, 0,972 и 0,868, так что на первый взгляд может показаться, что модуляция практически не дает усиления сигнала. Однако модуляция имеет то существенное преимущество, что она дает возможность применять синхронное детектирование и тем самым сильно снизить уровень шума. Кроме того, при использовании модуляции оказывается возможным значительно уменьшить время релаксации т для тепловой связи между образцом и ванной жидкого гелия. При этом на величину т налагается только условие шт > 1 в отличие от требования т > /0, где /0 — время записи одной осцилляции дГвА при развертке поля Н. Поскольку /0 составляет обычно по крайней мере несколько секунд, а величина 1/w может быть порядка миллисекунд, это означает, что при использовании модуляции требования к тепловой изоляции образца могут быть существенно ослаблены.

Экспериментальная методика исследования магнитотермических осцилляций, возможно, несколько проще, чем для наблюдения обычного эффекта дГвА, хотя, если целью является достижение предельной чувствительности, разница становится невелика. Однако если перевести предельную чувствительность обнаружения осцилляций ДТ в чувствительность по М, то оказывается, что прямое измерением обычно дает заметно ббльшую чувствительность. Так (см. приложение 9), если положить, что предел обнаружения IДТ1 составляет 10“8 К, это соответствует пределу обнаружения \М\ в несколько единиц на 10“6 Гс для металла с большой ПФ, т.е. на несколько порядков больше, чем можно получить с помощью магнитных измерений. Магнитотермический метод имеет некоторое преимущество только в случае Bi, для которого эквивалентный предел чувствительности по \М\ может составлять несколько единиц на 10™7 Гс. Один недостаток магнитотермического метода по сравнению с некоторыми дГвА-методами заключается в том, что его нелегко сделать абсолютным из-за трудности достаточно точного определения удельной теплоемкости с. Частично это связано с тем, что входящая в формулы величина с характеризует не только сам образец, но также включает в себя трудно учитываемые теплоемкости крепления образца и тепловой связи.

Наконец, следует отметить, что (как и в случае метода модуляции температуры) комбинация магнитотермического эффекта с модуляцией поля может дать полезный способ измерения величины ДМ/ДТ в неосцилляторных случаях, в частности для ферромагнетиков. Главная трудность здесь заключается в том, чтобы устранить фоновые сигналы термометра сопротивления, например связанные с наведенными э.д.с. и магнетосопротивлением; эффекты нагрева вихревыми токами легко исключить, поскольку они имеют частоту 2w. При наблюдении осцилляторных эффектов фоновые сигналы, конечно, играют менее важную роль, так как (если они не доминируют) они могут изменить только наклон средней линии осцилляций.

Осцилляции удельной теплоемкости

Осциллирующая часть Дс удельной теплоемкости задается соотношением

а /ай\

Ae = nas/d7)H=-г——,

01 \о 1

которое при использовании формулы (4.6) сводится к

Ас =Ас =Tf(z)Tf(z)(4.12)(4.12)

Ас =

Ас =

Tf(z)

Tf(z)

(4.12)

(4.12)

Проще всего оценить порядок величины этого эффекта, если заметить, что

(4.13)(4.13)|Ас|/с = z№

(4.13)

(4.13)

|ДТ|/Т №

Это отношение обращается в нуль при z - 1,6, а затем возрастает до значения 1,56 приг = 3; при ббльшихг (когда, впрочем, амплитуда осцилляций величины Ас или АТ спадает примерно как z,e-^ отношение приближенно равно z(z — 2)/(z — 1)^ Таким образом, принимая во внимание оценки, сделанные для 1ДТ1/Г, мы видим, что осцилляции величины с составляют в лучшем случае несколько процентов (для Bi), но обычно они в 10 или в 100 раз слабее.

Осцилляции удельной теплоемкости с экспериментально наблюдали в Be Салливан и Зайдель [426] способом, отчасти сходным с тем, который применяется в методе модуляции температуры при наблюдении эффекта дГвА. Если образец, имеющий теплоемкость С, соединен с гелиевой ванной связью с тепловым сопротивлением

W и нагревается при помощи источника переменного тока мощностью Р(1 + cosw/), то амплитуда 9 колебаний температуры образца задается соотношением

9 = PW/(\ -Ю>2т2)1/2, (4.14)

где т = CW. Если wr > 1, то мы получаем

= Р/Са) и \9\ = Р\&\/С2а).

Таким образом, осцилляции теплоемкости С проявляются как осцилляции величины 9 при условии медленной развертки поля Н. В эксперименте Салливана и Зайделя время т составляло 1,2 с и частота о)/2тг равнялась 10 Гц.

Как видно из рис. 4.2, амплитуда отчетливо наблюдавшихся осцилляций с приближалась к 1%. Большая амплитуда осцилляций 9 ддя Be отчасти связана с его малой удельной теплоемкостью (~ 5 • 102 эрг • см-3 • К"1 при 1,5 К) и отчасти с тем, что форма соответствующей части ПФ («сигары») близка к цилиндрической, так что особенно велик фактор кривизны, входящий в выражение для амплитуды осцилляций.

Как и в случае магнитотермического эффекта, чувствительность обнаружения осцилляций удельной теплоемкости можно повысить модуляцией поля, но если применяется метод нагрева переменным током Салливана и Зайделя, то частота модуляции поля должна быть существенно ниже частоты тока нагревателя.

3. Осцилляторные механические эффекты

Осцилляторная зависимость термодинамического потенциала от поля должна приводить также к существованию осцилляторной зависимости от поля его производной по напряжению, т.е. деформации при данном напряжении. Это эффект осцилляторной магни-

21,621,822,0 Н,кГс

Рис. 4.2. Осцилляции удельной теплоемкости в Be; поле Н направлено вдоль гексагональной оси, Т ~ 1,5 К [426].

тострикции, амплитуда которого, очевидно, будет пропорциональна производной по напряжению частоты де Гааза — ван Альфена F. Следовательно, возникает возможность исследовать искажение поверхности Ферми в зависимости от приложенного к металлу механического напряжения. Подобным образом производная от величины деформации по напряжению, т.е. упругая сжимаемость, также должна иметь осцилляторную зависимость от поля, которую можно наблюдать по осцилляциям скорости звука. Это дает еще одну возможность исследовать зависимость формы ПФ от напряжения.

Первое наблюдение осцилляций магнитострикции было осуществлено Грином и Чандрасекаром [181] в Bi, а осцилляции скорости звука впервые наблюдались также в Bi Мавруадом, Лэксом, Баттоном и Шапирой [293]. Оба эффекта были впоследствии обнаружены во многих других металлах. Как мы увидим ниже, оказывается, что наблюдения осцилляций магнитострикции, скорости звука и собственно эффекта дГвА в различных комбинациях друг с другом позволяют подробно исследовать зависимость формы ПФ от деформации или от напряжения. Подобные методы оказались гораздо более мощными и гибкими, чем способ прямого наблюдения изменения частоты F в зависимости от приложенного к образцу статического напряжения (см. разд. 3.5), хотя в некоторых отношениях эти подходы дополняют друг друга. Теперь мы обсудим общие принципы этих осцилляторных эффектов и покажем, как из них можно извлечь информацию о зависимости формы ПФ от напряжения. Использование этих принципов в применении к реальным металлам иногда несколько затруднено из-за анизотропии упругих свойств, поэтому практические приложения теории мы рассмотрим не очень подробно. Более углубленно эти вопросы рассматриваются в недавнем обзоре [146].

. Осцилляторная магнитострикция

Если обобщить формулу (2.151) на случай разных дГвА-частот и учесть в явном виде упругие свойства, то можно выразить термодинамический потенциал О как функцию тензора напряжений о,

w / 2 л Г \

О = О + О0 = £ fir COS —- + ф, ) - ^SikpqVikCpq , " (4-15) г \ /

те ^jkpg^o — тензор упругой сжимаемости в отсутствие поля, а обозначение Fr можно использовать как для высших гармоник основной частоты, так и для разных основных частот.

Деформацию ejk при данном напряжении opq можно тогда записать в виде

^ik =^^l^^ik = ^ik + (^ikpq)o^pq >(4.16)

где

Чк = -aa/8oik = E^vrv—sin (—77х + Фг )•(4.17)

г Н vG^ \ Л/

(4.18)(4.19)(4.18)(4.19)Если подобным образом выразить осцилляторную намагниченность М как

(4.18)

(4.19)

(4.18)

(4.19)

то получимто получимМ = ) М, sin I —- + ф, Г\ Н

то получим

то получим

и поэтому

(4.20)(4.20)Cik = -^a\nF,/8a^M,H.

(4.20)

(4.20)

Соотношение между реальным осцилляторным изменением Д/ размера образца I и деформацией eik мы в дальнейшем обсудим, но очевидно, что Д/// того же порядка величины, что и наибольшая компонента тензора eik, и мы будем в широком смысле называть eik осцилляторной магнитострикцией, хотя, строго говоря, осцилля- торная магнитострикция есть Q/L Следует отметить, что если имеется только одна основная частота F (так что индекс г относится только к различным гармоникам), то производная d\nF/doik не зависит от г и формула (4.20) упрощается:

(4.21)(4.21)eik = -^\nF/5aik)MH.

(4.21)

(4.21)

Однако в общем случае величина 91nFr/dojk будет различна (иногда весьма заметно) для разных основных частот FM соответствующих разным сечениям ПФ. Таким образом, соотношение между амплитудами разных частот в спектре осцилляторной магнитострикции может быть совершенно иным, чем в спектре эффекта дГвА (т.е. величины М). В частности, малые экстремальные сечения ПФ, например «шейки» у ПФ одновалентных металлов, или малые сечения ПФ, обычно существующие у поливалентных металлов, гораздо более чувствительны к напряжению, чем большие сечения ПФ, описывающиеся приближением почти свободных электронов. В осцилляциях магнитострикции соответствующие низкие частоты име-

ют ббльшую, чем в осцилляциях намагниченности, относительную амплитуду по сравнению с высокими частотами.

Порядок величины le/AJ легко оценить для сферической ПФ свободных электронов, объем которой просто обратно пропорционален объему образца V при данном напряжении. Для этой простой модели, поскольку частота F пропорциональна площади А диаметрального сечения сферы, имеем

a In F/d<rlk = - ^6 In V^a» . (4.22)

Для конкретного случая одноосного растяжения на единицу площади о соотношение (4.22) можно записать в виде

В In F]Ba = - j( 1 - «)/ у, (4.23) где Y — модуль Юнга, а — коэффициент Пуассона. Для благородных металлов это соотношение дает

с1 In F/до - 5 х 10"13 дин"1-см2.

Прямые эксперименты по влиянию одноосного растяжения [401] показывают, что это действительно разумная оценка для почти сферических частей ПФ благородных металлов, которые качественно описываются моделью свободных электронов. Однако для «шеек» величина dlnF/da значительно больше, обычно порядка 10"11 дин"1 • см2, а в случае Bi при направлении поля вдоль бинарной оси она еще больше, приблизительно 3 • 10"10 дин"1 • см2 [61]. Если дополнить эти оценки (собранные в табл. 4.1) соответствующими оценками величины \М\ (см. табл. П7.1), принимая, что для благородного металла при Н = 105 Гс для почти сферических частей ПФ \М\ = 0,5 Гс и для «шейки» IMI = 0,1 Гс1*, а для Bi при Н = = 5х 103 Гс IMI = 0,05 Гс, то мы получим оценки для осцилля- торной магнитострикции Isl, представленные в табл. 4.1.

Поскольку длина образца / должна быть невелика — обычно несколько миллиметров, — чтобы избежать размытия фазы из-за неоднородности поля, то амплитуды А/ составляют обычно только несколько единиц на 10"8 см. Такие малые изменения длины можно измерить с отношением сигнала к шуму вплоть до 103, преобразуя их в изменения емкости конденсатора или условия резонанса в мик-

!) Эта оценка не приведена в табл. П7.1, но она основана на экспериментальных результатах для Au из работы [400]. Амплитуды \МI для «шеек» Си и Ag значительно меньше.

Таблица 4.1. Грубые оценки величин dlnF/da, lei и v/v

Н, ГсF, ГсdlnF/da,lei

дин"1 • см2

У,и/и

дин-см-2

Благородный металл (централь-•

ное сечение ПФ)1055Х1085х10"п 3x10"*

Благородный металл («шейка» ПФ)1052х10710"1110"’

Висмут (поле направлено вдоль бинарной оси) 5х1О31,4х 104 3x 10“1010“7

10122х 10"4

10125х 10"4

3X10“10"4

роволновой полости. Мы не будем останавливаться на подробностях достаточно сложной электронной техники, используемой для достижения требуемой чувствительности (ссылки на работы, описывающие эти экспериментальные методы, можно найти в обзорах [74] и [146]1)). Отношение сигнала к шуму можно было бы улучшить, применяя модуляцию поля, но избежать при этом осложнений, связанных с вихревыми токами, было бы трудно, поскольку для измерений магнитострикции обычно используются образцы большего диаметра, чем в случае эффекта дГвА.

Как уже указывалось, главная цель изучения осцилляторной магнитострикции состоит в том, чтобы исследовать искажения ПФ под влиянием напряжения или деформации. Однако, прежде чем обсудить, как с помощью соотношения (4.20) можно извлечь эту информацию из результатов по осцилляторной магнитострикции, мы рассмотрим осцилляторную зависимость от поля упругих постоянных и скорости звука.

Осцилляции упругих свойств и скорости звука

Если продифференцировать соотношение (4.16) по напряжению apq. то мы получим

$ikpq = (^ikp^)o "^ $ikpq ,

!) См. также статью Пудалова в [497]. — Прим. ред.

(4.24)(4.24)._ %ik _„/5\nFr\/S\nFr\dM 2

(4.24)

(4.24)

SikM = ^7 = т №7) \^ JdH

есть осцилляторная зависимость от поля тензора модулей податливости sikpq. Иначе это осцилляторное поведение можно описать с помощью осцилляций модулей упругости clkpq. Для этого проще всего исходить из потенциала О', выраженного через деформацию как

(4.25)(4.25)Q — й + ^Cyipq^oEjitEpq ,

(4.25)

(4.25)

где tFikpq^0 — тензор модулей упругости при Н = 0. Тогда напряжение при данной деформации равно 8U'/деik и состоит из осциллирующей части 5ik и постоянной части (cikpq)0 epq. Дифференцируя aik по eik, получаем

^ikpq (^i*p<)o "Ь ^ikpq >

гдегдеggfA = _ у plnFA ZdlnFAdX?,^ggfA = _ у plnFA ZdlnFAdX?,^_ [ ^°ik \ ^ I С Ш Гг \l 1Ш1 Гг \ иМг = fcj= " v v^TJ №7у ан_ [ ^°ik \ ^ I С Ш Гг \l 1Ш1 Гг \ иМг = fcj= " v v^TJ №7у ан(4.26)(4.26)

где

где

ggfA = _ у plnFA ZdlnFAdX?,^

ggfA = _ у plnFA ZdlnFAdX?,^

_ [ ^°ik \ ^ I С Ш Гг \l 1Ш1 Гг \ иМг = fcj= " v v^TJ №7у ан

_ [ ^°ik \ ^ I С Ш Гг \l 1Ш1 Гг \ иМг = fcj= " v v^TJ №7у ан

(4.26)

(4.26)

Разница в знаке между выражениями (4.24) и (4.26) связана просто с обратной пропорциональностью между тензорами s и с.

Осцилляторная зависимость упругих свойств от поля непосредственно проявляется в осцилляциях скорости звука и (на практике обычно ультразвука), которые проще всего выражаются через тензор с, а не через тензор s. Вообще говоря °, можно записать

(4.27)(4.27)V = (с/р)1'2,

(4.27)

(4.27)

где с — линейная комбинация соответствующих компонент тензора cjkp<? (в зависимости от направления распространения звука в кристалле и от направления движения частиц в волне; см. приложение 10). Амплитуда осцилляций плотности р того же порядка величины, что и 5, и, как мы непосредственно увидим, она по крайней мере в 103 раз меньше амплитуды осцилляций величины с, так что мы вполне можем ею пренебречь и считать, что

и/и = ^с/си/и = ^с/с(4.28)

и/и = ^с/с

и/и = ^с/с

!) Мы могли бы также написать и = (1Х$р)1/2, но величина s была бы, вообще говоря, довольно громоздкой функцией отдельных компонент тензора sik , поскольку каждая компонента с.к — сложная функция компонент s.k .

Порядок величины амплитуды осцилляций величины с можно грубо оценить, если не учитывать тензорного характера s и с и просто отождествить с или 1/5 с модулем Юнга У; тогда из формулы (4.24) или (4.26), используя соотношение (4.21), находим

|v|/v = ||c|/c = ||s|/s = |У(51пГ/5а)(2яГ/Н)|£| ч

или

= 1(5In F/5£)(2nF/H)|£I, (4.29)

откуда получаются оценки для и/и, приведенные в табл. 4.1. Экспериментальные результаты Мавруада и др. [293] для Bi и Эйлерса и Свима [5] для «шеек» Au находятся в разумном согласии с оценками табл. 4.1, хотя в этих пионерских экспериментах имеющихся данных по магнитным свойствам было недостаточно для проведения детального сравнения0. Поскольку при использовании подходящего метода величину и можно измерить с чувствительностью 10“7 или лучше, амплитуды осцилляций и (в благоприятных условиях, принятых в наших оценках) должны превосходить предел обнаружения в несколько тысяч раз. Таким образом, осцилляции скорости звука, как и осцилляции магнитострикции, можно легко наблюдать, но запас чувствительности оказывается меньше, чем в случае собственно эффекта дГвА. Мы уже говорили, что осцилляции магнитострикции сильнее, чем эффект дГвА, подчеркивают «низкие» частоты. Это в еще большей степени справедливо для осцилляций скорости звука из-за дополнительной производной частоты F в формуле (4.24) или (4.26) по сравнению с соотношением (4.20).

433. Определение зависимости формы поверхности Ферми от деформации из результатов по осцилляциям

Главная цель исследований осцилляций магнитострикции и скорости звука, конечно, заключается в том, чтобы определить из величин амплитуд вид зависимости формы поверхности Ферми от деформации для сравнения с предсказаниями зонной теории.

Прежде всего осцилляции нужно разложить в ряд Фурье и выделить амплитуду одной определенной дГвА-частоты. Затем следует определить (или, возможно, исключить) амплитуду величины М (или дМ/дН\ чтобы можно было найти из соотношения (4.20) или

° Значение v/v, полученное Эйлерсом и Свимом, было в действительности примерно в 30 раз меньше, чем наша оценка 5 х 10“ 4, но в их эксперименте дингловское затухание было гораздо более значительным, чем мы предположили, температура составляла 4,2 К, а не 1 К, как мы приняли, и направление поля было невыгодным, так что такое расхождение на самом деле несущественно.

производную величины 1пГ по напряжению или деформации. В некоторых ранних экспериментах (см., например, [404]) абсолютная амплитуда величины М определялась прямым расчетом из формулы ЛК с использованием параметров, найденных в предшествовавших экспериментах по эффекту дГвА, а величина фактора Дингла находилась из зависимости от поля исследуемых осцилляций. К сожалению, такой способ оказывается точным только для нескольких металлов, для которых достаточно надежно известны кривизна (1Э2Л/М^1)“1/2 и спиновый множитель cosI/zTrg^/Wo)].

В последующих опытах применялись различные экспериментальные устройства для исключения величины М с помощью одновременного измерения осцилляций дГвА (т.е. измерения М или ДМ/ДЩ и осцилляций магнитострикции или скорости звука. Такие способы дают также возможность непосредственно определить знак производной Э1пГ/Эа. Изящное решение этой проблемы, впервые осуществленное Гриссеном и Сорбелло [185] (см. также работу [184], где описан усовершенствованный вариант этой методики), заключается в одновременных измерениях вращающего момента, связанного с эффектом дГвА, описанным ранее (п. 3.3.2) емкостным методом и измерении магнитострикции по изменению емкости еще одного конденсатора с малым зазором. С помощью кварцевого преобразователя, укрепленного на торце образца, устройство Грис- сена и др. [184] можно было модифицировать для измерения скорости звука вместо магнитострикции одновременно с осцилляциями вращающего момента. Мы не будем рассматривать довольно сложные подробности геометрии этого устройства, но существенно то, что поскольку осциллирующий вращающий момент связан с величиной М множителем (l/^dF/dS), который точно известен (или может быть при желании определен в том же эксперименте), из таких одновременных измерений можно извлечь производную частоты F по напряжению или деформации. Еще один способ исключения из формул амплитуды М состоит в одновременном измерении осцилляций магнитострикции и скорости звука на одном образце и делении одной величины амплитуды на другую.

Теперь мы рассмотрим несколько более конкретно, какие именно аспекты деформационной зависимости определяются в различных экспериментах. Связанное с магнитострикцией изменение длины А1/1 вдоль направления (X, р, р) по отношению к координатным осям связано с тензором деформации eik соотношением

А/// = гх z2 4-t^2 + ^зу2 + 2s4^v + 2e5vz 4- 2e6z^ . (4.30)

где мы использовали обычное сокращенное обозначение двойного индекса ik одним числовым индексом от 1 до 6. В следующем ниже рассмотрении мы считаем, что оси координат совпадают с направлениями симметрии кристалла, например для кубической симметрии индексы 1, 2, 3 относятся к кубическим осям. Мы замечаем, что если измерять Д//7 для трех взаимно перпендикулярных направлений, то Y&/1 сводится к сумме Sj + с2 + 6з 11,111 к ^V/V^ как и должно быть (это следует из соотношений типа X, + Х2 + Х| = 1 и цхрх + д2у2 + Ц.3Р3 = 0). В принципе, измеряя осцилляторные изменения длины по шести различным направлениям в образце (но, конечно, сохраняя постоянной ориентацию поля вдоль определенной кристаллической оси), мы можем определить все отдельные компоненты осцилляторной деформации eik, связанной с данным направлением поля. Например, для кубического кристалла достаточно было бы измерить изменения длины вдоль всех ребер куба и вдоль диагоналей граней. Тогда из отдельных компонент £а (я = 1, . . . , 6) с помощью формулы (4.20) можно определить производные 9\nF/9oa при условии, что величина М известна или исключена каким-либо способом (как описано выше).

Чтобы получить из зависимости от напряжения зависимость от деформации, используем соотношение

(4.31)(4.31)8\nF 8epq8\nF _ с In Г o<rik ^ik 6epq S,kp4 (\q ’

(4.31)

(4.31)

в котором принято правило суммирования по повторяющимся индексам, или в обозначениях с сокращенными индексами (где уже не используется это правило суммирования)

d\nF зdlnF 65XnF

д£u ^ab^^аЬ'

OCT ab=lC£bb'=4O£b’

(4.32)(4.32)(«=1, . . . ,6)

(4.32)

(4.32)

Важно отметить, что для произвольного направления поля Н (т.е. произвольного экстремального сечения поверхности Ферми) для определения зависимости частоты F от напряжения или деформации нужны все шесть компонент производной dlnF/daa или Э1пГ/Эев даже при достаточно высокой симметрии кристалла; в некотором смысле наличие магнитного поля в произвольном направлении нарушает симметрию кристалла. Только для нескольких отдельных направлений поля Н некоторые производные частоты F исчезают, а другие становятся равными.

Определив из соответствующих измерений магнитострикции шесть производных Э1пГ/Эав (соответствующих шести компонентам £а), можно найти шесть производных dlnF/dfa, решая уравнения (4.32). Эти уравнения на практике значительно упрощаются из-за симметрии тензора s^ab = sba) и вследствие ограничений, налагаемых симметрией кристалла [которые, конечно, относятся к невозмущенному тензору s, входящему в уравнение (4.32)]. Например, в случае кубической симметрии, если оси 1, 2, 3 совпадают с кубическими осями, не исчезают только следующие компоненты s:

$11 = $22 ~ $33’ $12 = $23 = $31(= $21 = $32 = $1з)’

$44 = $55 = $66 *(4.33)

Обращаясь теперь к осцилляциям скорости звука, мы видим из (4.26), что осцилляторные компоненты саЬ модулей упругости саЬ более непосредственно связаны с производными 9\nF/9ea, чем осцилляторные части деформаций ёаЭ которые определяют осцилляции магнитострикции. Однако для произвольного направления распространения волны (и произвольного направления Н) величина с, входящая в выражение для скорости звука и [см. (4.27)], является сложной линейной функцией модулей упругости саЬ даже в отсутствие магнитного поля и еще более сложной, если учитывается ос- цилляторное поведение. Этот вопрос обсуждается в приложении 10, но нам не нужно беспокоиться об общем случае, если ставить только задачу извлечения производных dlnF/df^ Для этого достаточно рассмотреть распространение волны только вдоль осей симметрии. Так, для кубического кристалла при распространении вдоль одной из кубических осей осцилляции и задаются (при произвольном направлении поля Н и для одной определенной частоты F) соотношением

1свв_ l/dlnF\2dMH2

V 2cee 2\d£e)dH^’(4'34)

где при а = 1, 2, 3 волны продольные и распространяются вдоль осей 1, 2 и 3 соответственно, а если а = 4, 5 или б, то волны поперечные; для а = 4 направления распространения и смещения совпадают с осями 2 и 3 (или наоборот), аналогично для а = 5 или 6. В соотношении (4.34) невозмущенные модули упругости ввиду кубической симметрии удовлетворяют равенствам

СП ~ С22 — ^33»СП ~ С22 — ^33»С44 ~ с55 — с66 >С44 ~ с55 — с66 >

СП ~ С22 — ^33»

СП ~ С22 — ^33»

С44 ~ с55 — с66 >

С44 ~ с55 — с66 >

но при рассмотрении осциллирующих вкладов кубическая симметрия уничтожается присутствием магнитного поля с произвольной ориентацией, так что в общем случае

Си / С22 + С33>С44 / с55 / с66.

Из формулы (4.34) видно, что если известна производная dM/dH, то измерения скорости звука для продольных и поперечных волн вдоль каждой кубической оси дают шесть отдельных производных частоты F по деформации. Надо заметить, однако, что, поскольку в формулу (4.34) входит квадрат производной, знак dlnT/d£a определить невозможно (осцилляции величин v и ДМ/АН всегда находятся в фазе). Если не считать этого затруднения, зависимость формы поверхности Ферми от деформации можно в принципе определить, измеряя осцилляторную зависимость скорости звука для всех направлений поля Н по отношению к осям кристалла.

Теперь мы опять кратко рассмотрим возможность исключения величины М при помощи комбинирования измерений осциллятор- ной магнитострикции и скорости звука. Это неизбежно приводит к довольно сложным комбинациям производных (dlnF/d£fl). Например, отношение осцилляторной компоненты скорости звука для продольных волн i>L к амплитуде магнитострикции М вдоль оси [100] кубического кристалла задается выражением

(^l)ioo =(4.35)

(Д?//)100 .SuldlnF/deJ + s12(ainF/ae2 + ainF/a£3)

Подобные уравнения, получающиеся при циклической перестановке индексов величин £ (но при неизменных индексах величин Cj р j и ^ 2), определяют это отношение для измерений вдоль осей [010] и [001] (направление поля, разумеется, остается постоянным). Эти три совместных квадратных уравнения можно разрешить и найти значения производных d\nF/dea (а = 1,2, 3). Для скорости поперечной волны коэффициент с1 t в выражении (4.35) заменится нас^и в числителях этих уравнений величины (dlnF/dfJ2 (а = 1, 2, 3) должны быть заменены на (dlnF/d£fl)2 (а' = 4, 5, 6), так что эти производные также могут быть определены. Другая возможность состоит в измерении магнитострикции в поперечном направлении относительно распространения звука. Например, можно было бы измерить отношение (и^и^^^М/П^р которое определяется подобной (4.35) формулой (но со значениями индексов величин £ в знаменателе, равными не 1, 2, 3, а 3, 1, 2), и получить другое соотноше-

ние между производными и деформациями. Если использовать другие направления в кристалле, то можно получить более сложные комбинации производных, которые также могут быть полезны для независимой проверки надежности измерений.

До сих пор мы полагали, что магнитное поле направлено произвольным образом. Это, конечно, связано с тем, что мы считали главной задачей эксперимента определение зависимости формы поверхности Ферми от деформации, что можно в полной мере осуществить, только если деформационная зависимость частоты F найдена для некоторого диапазона направлений поля. На деле, однако, та более ограниченная информация, которая получается при некоторых выделенных направлениях поля, например вдоль осей симметрии, тоже может оказаться весьма полезной, если рассматривать ее в сочетании с параметризованной теорией деформационной зависимости. Такой подход действительно успешно применялся на практике (см. гл. 5). Для таких выделенных направлений формулы часто значительно упрощаются; так, в случае направления поля вдоль оси [100] (т.е. вдоль оси 1) для орбиты, обладающей осью симметрии 4-го порядка (например, центральной орбиты или «розетки» <100>), выражение (4.34) принимает вид

^„^ _ PlnF=0 |о = 456|

Из второго соотношения следует, что для поперечной волны осцилляции скорости звука отсутствуют, если поле направлено вдоль кубической оси. Этот факт подтвержден экспериментально. Обращение в нуль сдвиговых производных связано с тем, что положительные и отрицательные сдвиги с4 или с5 или сб должны одинаково влиять на площадь сечения, нормального к направлению [100] для поверхности с кубической симметрией.

Наконец, следует упомянуть, что до сих пор мы пренебрегали одним осложнением, которое возникает при интерпретации амплитуд осцилляций скорости звука. Дело в том, что при высоких частотах ультразвуковых волн, используемых в экспериментах по скорости звука, длина звуковой волны велика по сравнению с классической глубиной скин-слоя, а вихревые токи стремятся поддерживать постоянным поток через любой замкнутый контур, связанный с частицами металла. Отсюда следует, что деформация и величина В связаны друг с другом, так что при дифференцировании по В [как в (4.26)] возникают дополнительные члены, обусловленные соответствующим изменением локального значения В. Как впервые по-

казали Альфер и Рубин [14], это приводит к изменению скорости звука в магнитном поле, а более подробный расчет Тестарди и Кондона [437] (см. также [114]) показывает, что в общем случае изменяется как постоянная, так и осциллирующая компонента скорости звука. Мы не будем дальше обсуждать это усложнение, а только заметим, что в некоторых случаях этого эффекта можно полностью избежать (в случае распространения продольных волн вдоль поля или сдвиговых волн поперек поля). В общем случае, однако, эффект может иметь значительную величину, и его необходимо правильно учитывать при любой количественной интерпретации результатов по осцилляциям скорости звука.

Осцилляции энергии Ферми

Как обсуждалось в разд. 2.4, осцилляции энергии Ферми должны иметь тот же период, что и осцилляции дГвА, но обладать очень малой амплитудой — для большинства металлов около микровольта или меньше, но, возможно, достигающей милливольт для полуметаллов типа висмута и сурьмы, а также для двумерной системы в инверсионном слое в кремнии. Этот эффект был впервые предсказан Кагановым, Лифшицем и Синельниковым [227], которые предположили, что его можно наблюдать с помощью соответствующих осцилляций контактного потенциала. Вскоре после этого Кулик и Гогадзе [244] предложили практический способ наблюдения осцилляций контактного потенциала. Идея этого метода состояла в том, чтобы сделать кристаллический образец одной из обкладок конденсатора и изменять магнитное поле достаточно быстро, чтобы время одной осцилляции было гораздо меньше времени утечки конденсатора. В этих условиях осцилляции контактного потенциала будут проявляться как осцилляции напряжения на конденсаторе. Этот метод применялся различными авторами [327, 334, 452, 472], и осцилляции действительно наблюдались, хотя их амплитуда иногда оказывалась значительно больше, чем теоретически предсказанная. Кеплин и Шенберг [68] разработали довольно близкий метод, в котором вместо быстрой развертки поля использовалась периодическая модуляция. Эта идея по существу аналогична замене метода импульсного поля методом модуляции поля для наблюдения эффекта дГвА, за исключением того, что измеряется не индуцированная в приемной катушке э.д.с., а напряжение на конденсаторе. Если напряжение V на конденсаторе (т.е. осциллирующая часть контактного потенциала) задано соотношением

V = Fosin(27cF/H + ф) (4.36)

и если к постоянному полю Н добавлена модуляция hcosut, то легко показать, что периодически изменяющееся напряжение v, наложенное на величину И, равно

(4.37)(4.37)Z,(luhF\,. (IkFkit'

(4.37)

(4.37)

v = 2И0 £ ЛНуг" cos/cwt sin — 4-0- — k= 1 \ П /\ Пz ,

Тогда изменение амплитуды напряжения и при медленной развертке поля должно дать искомый осцилляторный эффект. Максимальное значение функции J2 равно 0,486, так что при детектировании на частоте 2а?, если выбрано подходящее значение Н, оптимальная амплитуда cos2wZ должна быть практически равна И^т^тг/7///) 44- 0], т.е. напряжению V.

В практическом осуществлении метода использовался цилиндрический конденсатор, внутренней обкладкой которого служил цилиндрический монокристалл свинца (длиной около 5 мм и диаметром 2 мм), а наружной — пленка алюминия, осажденная на него поверх тонкого слоя моноокиси кремния. Емкость между кристаллом свинца и алюминиевой пленкой была порядка 3000 пФ, а сопротивление утечки — порядка 0,3 МОм, т.е. время утечки было порядка 1 мс. Частота (о)/2тг) была выбрана равной 16 кГц, чтобы можно было пренебречь утечкой за время периода модуляции поля. Наблюдались весьма отчетливые осцилляции, подобные осцилляциям дГвА, с периодом, ожидавшимся для выбранной ориентации кристалла (поле Н было направлено вдоль < 100>), но величина амплитуды была подозрительно большой. Так, наблюдавшиеся значения Ко составляли 0,3 и 0,8 мкВ соответственно для 0- и 7-осцилляций, в то время как расчетные значения не должны были в лучшем случае превышать нескольких единиц на 10“2 мкВ.

На вероятную причину такого расхождения вскоре указал проф. М. Питер во время посещения Кембриджа в 1967 г., а затем Рендлз (см. [332]) экспериментально подтвердил правильность этого предположения. Питер указал, что между осью и периферией кристалла возникает вполне значительное холловское напряжение из-за действия основного магнитного поля на вихревые токи, возбужденные в образце меняющимся во времени полем. Если считать, что частота модуляции ш достаточно низка и не приводит к заметному скин- эффекту, то легко показать, что холловское напряжение Ин равно

^н = i/WBdB/dr, (4.38)

где R — постоянная Холла, о — проводимость, а — радиус цилиндрического кристалла свинца. Это холловское напряжение добавляется к любому истинному контактному потенциалу И, например

определяемому соотношением (4.36). При этом оказывается, что оно вполне может содержать составляющую, которая осциллирует при изменении поля гораздо сильнее, чем сама величина V. Обычно главный вклад в Ин на частоте 2о> определяется дГвА-осцилляция- ми производной dB/dt, и можно показать, что величина этого вклада vH равна

гн = Raa2o)HJ2^7tFh/Н2^4лМ sin 2a)t. (4.39)

В условиях эксперимента Кеплина и Шенберга это напряжение примерно в 20 раз превышало бы величину истинного эффекта, и различные проверки Рендлза подтвердили, что именно эффект вихревых токов доминировал в наблюдениях. С тем же эффектом, вероятно, связаны и большие значения амплитуд, полученные в большинстве экспериментов на основе метода импульсного поля, хотя без знания конкретной геометрии можно оценить лишь порядок величины эффекта вихревых токов. Только в случае висмута [452] и, возможно, сурьмы [327] величина наблюдавшегося эффекта совпадала по порядку с величиной, ожидаемой на основе осцилляций энергии Ферми. Однако даже для этих металлов эффект вихревых токов должен быть сравнимого порядка величины, хотя в этом случае более значительный вклад дают сильные осцилляции коэффициента Холла R (той же природы, что и эффект дГвА), чем осцилляции dB/dt.

Подводя итоги, можно сказать, что имеет место довольно неудовлетворительная ситуация, поскольку до сих пор еще не было сделано достаточно убедительного прямого эксперимента, демонстрирующего существование осцилляций энергии Ферми. При некоторых изменениях геометрии и при особом внимании к зависимости выходного сигнала на частоте 2w от фазы и частоты метод Кеплина и Шенберга все-таки можно было бы сделать пригодным для использования. Как упоминалось в п. 2.3.4, его можно было бы применить к исследованию двумерной электронной системы в инверсионном слое в кремнии, хотя до тех пор, пока не будет достигнуто достаточное понимание свойств такой системы, возможный результат экспериментов не очевиден.

Как обсуждалось в разд. 2.4, осцилляции энергии Ферми обычно слишком слабы, чтобы привести к заметным эффектам модуляции частоты, но Bi составляет резкое исключение. В случае Bi осцилляции энергии Ферми, связанные с низкочастотными электронными осцилляциями дГвА, достаточно велики, чтобы вызвать модуляцию частоты высокочастотных дырочных осцилляций. Модуляция частоты, достигавшая 30%, наблюдалась для эффекта дГвА Брандтом и Любутиной [59] и для эффекта Шубникова — де Гааза Воль-

ским [455]. Форма линии (т.е. отношение амплитуд различных гармоник) низкочастотных осцилляций вблизи квантового предела также должна изменяться из-за «собственной» частотной модуляции, но этот эффект подробно не исследовалсяЧ

Эффект Шубникова — де Гааза

Осцилляции зависимости сопротивления от поля впервые наблюдали в Bi Шубников и де Гааз [371], и, как мы видели в гл. 1, именно это открытие привело к обнаружению осцилляций де Гааза — ван Альфена магнитных свойств. Однако оказывается, что этот эффект отчетливо выражен только в полуметаллах и полупроводниках, а также в условиях магнитного пробоя (см. гл. 7). Обычно же эффект слабей довольно труден для наблюдения, и в действительности он был обнаружен только для небольшого числа металлов. Теория этого эффекта [2] достаточно сложна, поскольку она включает подробное рассмотрение задачи о рассеянии электрона в магнитном поле. К счастью, однако, его природу можно качественно понять с помощью простого рассуждения, принадлежащего Пип- парду [344]. Пиппард указал, что вероятность рассеяния пропорциональна числу состояний, в которые электрон может попасть в результате рассеяния, и поэтому эта вероятность, которая определяет время электронной релаксации т и величину удельного сопротивления, будет осциллировать вместе с плотностью состояний S (f) для энергии, равной энергии Ферми. (Осцилляции плотности состояний обсуждались в разд. 2.5.)

Если рассматриваемая ПФ состоит только из одного листа (как в случае одновалентных металлов), мы могли бы ожидать, что порядок величины 151 /о при Г = 0, т.е. относительной амплитуды осцилляций ШдГ, определяется отношением I ^(f)l /^0(f), где ^0 — статическая плотность состояний. При конечной температуре Т величину амплитуды надо было бы умножить наЯт, температурный понижающий множитель из формулы (2.128). Однако реальная ситуация для поливалентного металла обычно более сложна, поскольку полная проводимость связана с электронами нескольких различных листов ПФ, вклады которых в проводимость зависят не только от отдельных плотностей состояний, но и от других факто-

!) Мы хотим обратить внимание на работу Н. Е. Алексеевского и В. И. Нижан- ковского [498], в которой показано, что при «выключении» магнитострикционного эффекта осцилляции химического потенциала Be обнаружить по измерению контактной разности потенциалов не удается. Авторы объясняют этот факт изменением объема образца в магнитном поле, приводящем к постоянству концентрации элек- гронов проводимости. Следует подчеркнуть, что это может иметь место, если элек- । роны полностью ответственны за сжимаемость металла. — Прим. ред.

ров. Тем не менее можно составить некоторое общее представление о порядке величины амплитуды осцилляций Шубникова — де Гааза, если пренебречь этим усложнением и отождествить lai/а с RT^ GO^oG*)’ где ^oGO — лолиая^плотность состояний всех листов ПФ, а осциллирующая часть ^ (f) относится к одному определенному листу. Величину ^0(f) можно, конечно, определить из измерений электронной удельной теплоемкости.

Другой способ грубой оценки порядка величины состоит в рассмотрении частного случая сферической ПФ, для которого ^0(f) можно записать в явном виде

^о(С) = VmkF/K2h2 = ^¥т/л2Ь3^2т(У'2(4.40)

и, конечно, 1Л" I = 2тг. Для основной составляющей осцилляций \р = 1 в формуле (2.167)] находим

1 \ЭО (eHVi2 (neH\i/2 fHV'2

RdRs SoK) ~\chki)\chAJ\2р) ’(4141)

Этот результат был впервые получен Пиппардом [344]. Если применить его к случаю Си, то мы получим, что при 50 кГс, когда F/H (число трубок Ландау внутри ПФ) равно примерно 104, осцилляции проводимости составляли бы менее 1%, даже если пренебречь множителями T?D и Rs. Для типичных условий (скажем, Т = = 1 К, х = 0,5 К, m/m^ = 1,4, Rs = 0,5) множители RD и Rs вместе с множителем RT (который действует только на а/а, а не на 3 ^УЗД)) могли бы уменьшить эту оценку примерно в 100 раз, так что ожидаемые осцилляции проводимости не превышают 10" 4. Для некоторых случаев осцилляций в поливалентных металлах величина F/H может быть значительно меньше, и можно было бы ожидать большей величины эффекта. В частности, в Bi (и в примесных полупроводниках), для которых квантовый предел достигается в сравнительно умеренных полях, F/H может быть меньше 10 и возможен гораздо более сильный эффект (хотя, конечно, поскольку ПФ не сферическая, формула (4.41) является очень сильным упрощением).

Подробная теория Адамса и Холстейна [2], которая также основана на изотропной модели (т.е. изоэнергетические поверхности считаются сферическими), приводит к результатам, качественно сходным с приведенными выше. Для одного из механизмов рассеяния, а именно рассеяния на фононах, эта теория дает (в наших обозначениях)

2>(4.42)2>(4.42)1 а ^5^ ( ЗГЖ)RTa 2^^) 2 _^0(£)

2

>(4.42)

2

>(4.42)

причем величина 3 (f) в сущности та же, что и в нашем рассмотрении. Первое слагаемое связано с электронами, переходящими в результате рассеяния с последней занятой трубки Ландау в состояния, находящиеся на других трубках, а второе слагаемое связано с рассеянием в пределах одной трубки; физический смысл численных множителей 5/2 и 3/2 не очевиден. Следует заметить, что в разложении Фурье второе слагаемое дает гармоники с фазами, отличными от фаз гармоник первого слагаемого. Поскольку, как мы видели выше, осцилляции плотности состояний обычно слабы, второе слагаемое, как правило, пренебрежимо мало, но для небольших значений F/H, как в случае Bi и полупроводников, оно может быть сравнимо с первым. Совершенно иной механизм — рассеяние на ионизованных примесях — дает результат того же порядка величины, как и формула (4.42), и Адамс и Холстейн делают вывод, что природа механизма рассеяния не имеет решающего значения.

Экспериментальные методы и результаты

Очевидный метод измерения падения напряжения на образце в виде монокристаллической проволоки, через которую течет постоянный ток, применим в том случае, если осцилляции ШдГ не слишком малы; именно такой метод использовался в ранних экспериментах на Bi. Гораздо большей чувствительности можно, однако, достичь, применяя модуляцию поля, как было описано выше при рассмотрении других случаев. В сущности соответствующая теория определяется формулой (4.37), если заменить Ко на z Ы /а2, где z — ток в образце; при синхронном детектировании усиливается только один из членов типа cosnwt, а значительно ббльшая постоянная составляющая исключается. Возможно также применение метода импульсного поля, но в этом случае изменяется частота осцилляций во времени (спадая до нуля в максимуме импульса, когда dH/dt = = 0), так что синхронное детектирование использовать нельзя.

Возможная трудность при использовании методов с быстрым изменением поля (т.е. модуляционного и импульсного методов) состоит в том, что падение потенциала на образце может включать небольшое наведенное напряжение, пропорциональное dB/dt. Величина этого напряжения будет зависеть от конкретной геометрии образца и подводящих проводов, но она тоже должна осциллировать при изменении поля вследствие дГвА-осцилляций величины М. Вследствие этого трудно с уверенностью считать, что любые слабые осцилляции и при изменении поля действительно представляют собой проявление эффекта ШдГ а не побочный эффект, связанный с дГвА-осцилляциями.

В другом способе наблюдения эффекта ШдГ создаются такие же условия, как при исследовании осцилляций дГвА методом импульсного поля (т.е., как описано в п. 3.4.2.1, при использовании образца, помещенного в приемную катушку), но частота модуляции повышается настолько, чтобы сделать заметным эффект вихревых токов. Если фаза синхронного детектора сдвинута на 90° по сравнению с нормальной установкой фазы для наблюдения эффекта дГвА при низкой частоте модуляции со, то амплитуда выходного сигнала содержит сравнимые по величине вклады осцилляций сопротивления и восприимчивости, и таким образом возможно непосредственное сравнение осцилляций двух эффектов (при нормальной установке фазы и низкой частоте w наблюдается только эффект дГвА). Такой метод использовали Лонзарич и Холтам [273] (см. также работу [239]) для исследования довольно больших осцилляций сопротивления в А1 в условиях магнитного пробоя, но широкого применения этот метод, по-видимому, не получит.

Здесь уместно отметить, что точно так же, как необходимо следить за тем, чтобы наведеннь г э.д.с., связанные с эффектом дГвА, не маскировали слабые осциллирующие ШдГ-потенциалы, необходимо при исследовании осцилляций дГвA-методами с использованием переменного поля исключить влияние осцилляций ШдГ, обусловленных вихревыми токами. Так, в методе импульсного поля, когда нет возможност.: пользоваться установкой фазы для разделения эффектов, как в модуляционном методе, наблюдаемые осцилляции э.д.с. в'приемной катушке могут быть обусловлены скорее осцилляциями ШдГ наведенных вихревых токов, чем истинными дГвА-осцилляциями намагниченности. Возможно, что в осцилляциях, которые наблюдали Блик и Ландвер [50] в InSb с помощью метода импульсного поля, доминировал скорее эффект ШдГ, а не дГвА, и гораздо более слабые истинные осцилляции дГвА наблюдались в действительности только методом Фонера [62, 462].

Эксперименты по осцилляциям сопротивления, не связанным с магнитным пробоем (гл. 7), выполнялись большей частью на полуметаллах и примесных полупроводниках (см. обзор [228]), и измерялись главным образом не амплитуды, а частоты, причем обычно они оказывались в хорошем согласии с частотами, определенными из эффекта дГвА. Было сделано несколько отдельных наблюдений сравнительно низкочастотных осцилляций сопротивления в Zn и Sn [6, 7] °, Ga [479] и Pb [439], но попытки систематического изучения

” Эйлерс [7] наблюдал также низкочастотные осцилляции зависимости от поля теплового сопротивления Zn и Sn.

высокочастотных осцилляций, соответствующих главным частям поверхности Ферми, имели только ограниченный успех. Так, Грасси [179], используя метод импульсного поля, в отдельных случаях наблюдал высокочастотные осцилляции ШдГ в Sn и РЬ со значениями lal/a порядка 10-4 — 10-3, но из-за технических трудностей (паразитные сигналы, накладывающиеся на основной эффект) не смог провести сколько-нибудь систематического исследования. Дин [108] предпринял попытку исследования эффекта в Си с помощью метода модуляции поля и мог, возможно, наблюдать осцилляции со значениями lal/a порядка 10“3, но он не сумел достаточно убедительно доказать, что были исключены возможные паразитные эффекты, например подобные рассмотренным выше эффектам, связанным с АВ/At. В этих различных экспериментах величины амплитуд если и измерялись, то лишь очень приближенно, и хотя порядки наблюдаемых величин находятся в разумном согласии с теорией, они дают недостаточно оснований для детального сравнения. Это — задача, которую еще предстоит решить. С улучшением техники эксперимента должны стать доступными для подробного изучения и слабые высокочастотные осцилляции ШдГ, и такие исследования — в первую очередь сравнительно простых одновалентных металлов — вероятно, могут дать ценную информацию для теории рассеяния электронов в магнитном поле.

Как упоминалось в п. 2.3.4, сильный эффект ШдГ наблюдался Фаулером и др. [151] в двумерном электронном инверсионном слое в Si (так называемый МОП-транзистор), в котором число электронов можно варьировать при помощи изменения потенциала затвора V . В этих экспериментах, так же как и во многих других, проведенных впоследствии (например, [231, 329]), использовалась геометрия диска Корбино, так что непосредственно измерялась проводимость at 1 без влияния эффекта Холла. Однако более удобно обсудить недавние эксперименты, в которых применялся четырехконтактный способ и непосредственно измерялись сопротивление рх , и холловское сопротивление ^ 2 (заметьте, что в двумерном случае р и а измеряются соответственно в Ом и Ом-1, а не в Ом см и Ом-1 • см-1, как в трехмерном случае). Связь между р и о задается соотношениями

Р11 = (ТиД^, + ^2) Р12 = -^12/(^11 + <712),

и если проводимость а12 остается конечной, то обращение в нуль о j j несколько парадоксальным образом приводит к исчезновению /> 11, а р12 = — 1/а12. Результаты двух таких экспериментов показаны на рис. 4.3: а — уровень энергии Ферми перемещается относи-

Потенциал затвора Vg

Рис. 4.3. Эффект Шубникова — де Гааза в двумерных системах, а — инверсионный слой в Si (МОП-структура). Показаны зависимости ри (сопротивления) и р12 (холловского сопротивления) от потенциала затвора (т.е. от числа электронов) при температуре 1,4 К и в постоянном поле 250 кГс (из работы [460]). Для каждого номера квантового уровня Ландау существуют четыре пика (показаны только пики, соответствующие номеру 1, и три пика, соответствующие номеру 0). «Малое» расщепление связано с долинным вырождением и последовательные пары пиков соответствуют разным направлениям спина. При обращении сопротивления в нуль уровень Ферми находится между соседними подуровнями, т.е. полностью заселены г подуровней, а холловское сопротивление для каждого плато равно h/re1 [или (25813/г) Ом].

тельно трубок Ландау при изменении потенциала затвора V в МОП-транзисторе в сильном постоянном магнитном поле [460]; б — случай гетероструктуры GaAs — Al^Ga^^s, в которой п ~ - 5- 10й см-2 [128] и трубки Ландау проходят через уровень Ферми при изменении магнитного поля Н.

Яркая особенность этих экспериментов — исчезновение сопротивления рх ! на значительных участках диапазона изменения Vg или Н и появление соответствующих плато на кривой холловского сопротивления рх 2. Эти особенности можно проще всего объяснить, предполагая, что при изменении Н остается постоянным не число электронов п, а ^ хотя это, вероятно, существенное упрощение и интерпретация экспериментов на МОП-транзисторе (см., например, [318]) и гетероструктурах (см., например, [33]), по-видимому, несколько различна в деталях и, кроме того, эту интерпретацию нельзя еще считать исчерпывающей.

Наиболее существенный момент заключается в том, что когда

Измерительный ток равен 1 мкА; б — гетероструктура GaAs - AlxGa1 _jfAs с плотностью электронов ~5 х 10й см-2. Показаны зависимости рп и р12 от Н при температуре 0,35 К (из работы [128]). Последовательные пики в более высоких полях соответствуют противоположным направлениям спина, но с уменьшением поля спиновое расщепление убывает и становится пренебрежимо малым при поле менее 30 кГс. Исчезновение сопротивления и плоские участки объясняются так же, как в случае а. Заметим, что для ри чувствительность уменьшена вдвое в полях выше ~ 100 кГс, так что высота самого высокого пика рн составляет около 8800 Ом. Измерительный ток равен 20 мкА. Эти графики были любезно предоставлены д-ром Вакабаяси и проф. фон Клитцингом; однако они соответствуют экспериментальным условиям, несколько отличным от описанных в опубликованных работах.

значение химического потенциала f попадает между двумя уровнями Ландау, то все уровни ниже f полностью заселены и плотность состояний на уровне f равна нулю. Таким образом, при изменении Н или п плотность состояний на уровне Ферми все время остается равной нулю, за исключением тех «особых^ моментов, когда уровень Ландау проходит через значение f. Соответственно и сопротивление рх 1 должно быть везде равно нулю, за исключением этих особых точек — примерно, как на рис. 4.3, — не считая уширения, связанного с различными усложнениями, например уширением уровней Ландау из-за рассеяния электронов. Плоские участки на кривой зависимости холловского сопротивления рх 2 также имеют простое объяснение, которое оказывается особенно интересным. Как известно,

и если г уровней Ландау, расположенных ниже f, полностью заселены, то электронная плотность задается соотношением

п = N/S = rD/S = reH/nchp ,(4.44)

где N — полное число электронов, S — площадь образца, D — коэффициент вырождения уровней Ландау, определяемый формулой (2.84), и величина р равна 2 или 1 в зависимости от того, раздельно или вместе учитываются спиновые подуровни. Этот результат, конечно, равносилен формуле (2.62)1). Для обоих рассматриваемых примеров спиновые максимумы в действительности хорошо разрешаются, так что р = 2, за исключением малых полей, и тогда холловское сопротивление равно

pvl = 2ик/ге2 = h/re2 = (25813/г) Ом.(4.45)

Это соотношение не только объясняет, почему р1 2 остается постоянным на тех участках, где р^ j равно нулю, но и показывает, что мы имеем случай «квантового эффекта Холла». Тот замечательный результат, что высота плоских участков непосредственно дает деленную на целое число комбинацию фундаментальных констант h/е2, впервые получили фон Клитцинг, Дорда и Пеппер [458]. Более тщательное рассмотрение метода измерения и приведенной выше интерпретации показывает, что этот метод удивительно свободен от необходимости введения каких-либо поправок и потому представляет собой новый вид высокоточного эталона сопротивления. Или, наоборот, сравнивая величину плато с существующими эталонами сопротивления, можно с высокой точностью определить отношение h/e2. На сегодняшний день значения, полученные в разных лабораториях с использованием совершенно различных двумерных систем, согласуются с точностью около 10“7, и это, вероятно, еще не предел.

Осцилляции поглощения ультразвука; гигантские квантовые осцилляции

При распространении ультразвуковых волн в присутствии магнитного поля при изменении Н осциллирует не только скорость (см. п. 4.3.2), но и поглощение звука. В «идеальных» условиях (низкая температура, малое рассеяние электронов и малое размытие

]) Пилообразное изменение числа подвижных электронов в зависимости от Н, которое задается формулой (4.44) или (2.62), предположительно связано со структурой подложки, но природа этого механизма полностью не выяснена.

Рис. 4.4. Гигантские квантовые осцилляции поглощения продольных ультразвуковых волн (р = 100 МГц), распространяющихся вдоль Н в Bi; поле Н направлено вдоль бинарной оси, Т = 1,2 К ([154]; оригинал этого графика был любезно предоставлен проф. Мазе). Разделение самого высокого пика на два спиновых пика схематично показано штриховыми линиями.

фазы) осцилляции поглощения приобретают форму очень резких пиков (рис. 4.4), и поэтому Гуревич, Скобов и Фирсов [194], которые впервые предсказали этот эффект, назвали их «гигантскими квантовыми осцилляциями» (ГКО). В менее благоприятных условиях пики сглаживаются, становясь почти синусоидальными осцилляциями, затухающими при уменьшении поля, и хотя в этом случае название фактически уже не очень приложимо, оно все же используется, поскольку в сущности это тот же эффект, что и в идеальных условиях.

Качественно ГКО можно объяснить как своего рода эффект «ав- тофазировки». Наиболее простой случай — распространение волны вдоль направления поля. При изменении величины поля наступает момент (непосредственно перед прохождением трубки Ландау через поверхность Ферми), когда малая составляющая ин фермиевской скорости ур, параллельная направлению поля (и направлению распространения волны), точно совпадает с величиной скорости звука s(< ^f)- ® этот момент электрон движется точно в фазе с волной и поэтому может забирать от нее значительно больше энергии, чем при других значениях поля. При этом выделенном значении поля и при каждом прохождении трубок Ландау через поверхность Ферми наблюдается пик поглощения, имеющий вид 6-функции, а в промежутках между пиками поглощение очень мало. Очевидно, период ГКО практически равен периоду осцилляций дГвА, однако новая особенность заключается в том, что ГКО наблюдаются при одном

определенном значении к (составляющей вектора к, параллельной Я), и поэтому их амплитуда не ослабляется (как амплитуда осцилляций дГвА) наложением осцилляций при разных значениях к. Таким образом, даже после учета других механизмов размытия фазы (конечной температуры, рассеяния электронов, неоднородности образца) содержание высших гармоник в ГКО оказывается больше, чем в осцилляциях величины дМ/dH или плотности состояний.

Мы не будем рассматривать детальную теорию механизма поглощения, которая обсуждается в обзоре [375], а ограничимся «феноменологическим» анализом, который дает по существу те же результаты, что и детальная теория, но оставляет средний коэффициент поглощения в качестве эмпирического параметра. Однако в нашем рассмотрении впервые, будет систематически учтено размытие фазы, связанное с неоднородностью образца, что, как мы увидим ниже, позволяет объяснить некоторые особенности экспериментальных результатов, которые не совсем правильно понимались ранее \

Необходимые условия для наблюдения гигантских квантовых осцилляций

Условие «автофазировки» можно сформулировать более точно, если представить ультразвуковую волну как поток фононов с энергией ho) и импульсом hq (где, разумеется, ы/q равно скорости волны у) и потребовать сохранения энергии и импульса при поглощении фонона электроном. Из условия сохранения импульса следует, что параллельная Н составляющая импульса электрона после поглощения фонона должна стать равной h (к + q\ если направление распространения волны параллельно полю. Если направление распространения волны составляет с направлением поля угол 6, то величину q следует заменить на q cos 0 во всех нижеследующих формулах, но результаты остаются качественно подобными при условии, что cos6 не настолько мал, чтобы нарушались неравенства, сформулированные для 6 = 0. Поскольку практически энергия фонона гораздо меньше, чем расстояние по энергии между соседними трубками Ландау (т.е. ш < о)с для таких полей, при которых осцилляции еще можно наблюдать), электрон остается на одной и той же трубке Ландау и условие сохранения энергии означает, что

е(л, к) + ho = е^а, к 4- q),(4.46)

где использованы обозначения гл. 2, определяющие энергию через площадь сечения а поверхности постоянной энергии е плоскостью с данным значением кн — к. Если разложить энергию £ по степеням малого изменения импульса q, то получим

hto = q<de/?K>o + ^Ч^Ик2^ .(4.47)

Поскольку производная (де/дк)а равна hvH, где z?H — составляющая скорости электрона, параллельная //, и ш/q = 5, то мы и приходим к условию «автофазировки»

s = vH ,(4.48)

пренебрегая вторым членом в правой части равенства (4.47) (мы непосредственно покажем, что это оправданно).

Значение к, при котором выполняется условие сохранения энергии, можно получить из (4.47), вспомнив, что ин < ирэ т.е. что величина к, если отсчитывать ее (как в п. 2.3.6) от экстремального сечения ПФ, мала по сравнению с размерами ПФ. Таким образом, используя формулу (2.21), получаем

= -^a/fiK^/Wae^ = -кА"к2/2кт ,(4.49)

где А " определяется как производная д2зУ7Эк2, а не ее абсолютное значение, как в формуле (2.112). Еще одно дифференцирование дает

В^йк1 = — A”h2 IlKm(4.50)

и, подставляя дЧ/дк2 в равенство (4.47), мы находим

(4.51)

0 ft А" 2'

Рис. 4.5. Схема, поясняющая условия поглощения фонона при Т = 0 без уширения уровня Ландау для модели свободных электронов. Поглощать могут только те электроны, у которых к = к0 [см. (4.51)]. Положения трубки Ландау (цилиндра с площадью сечения Л — ДЛ для положения а и площадью Л для б) в полях Н — Д// и Н определяются пересечениями плоскости к = к0 со сферическими поверхностями постоянной энергии £ — ^ и f. При расширении трубки Ландау поглощение становится возможным, начиная с положения а (при меньших значениях поля состояние к0 + 4- q было бы занятым), и перестает быть возможным после положения б, поскольку на трубке уже нет электронов с к = к0. Разность радиусов двух поверхностей постоянной энергии с хорошей точностью определяется соотношением 2kp^k = (к0 + + q)2 — Kq = 2k ^f. На приведенной схеме значения к0 и q сильно преувеличены по отношению к kF4чтобы более отчетливо показать различные пересечения.

Это подтверждает, во-первых, то, что вектор к намного меньше, чем kF(~ Ю8 см-1), и во-вторых, что второй член в формуле (4.51) [и, следовательно, в (4.47)] обычно пренебрежимо мал по сравнению с первым. Эти замечания остаются обычно справедливыми и для реальных поверхностей Ферми, поскольку произведение mA" меньше отличается от значения для свободных электронов, чем величины m и А" по отдельности.

До сих пор мы не уточняли, какие именно электроны могут поглощать фононы. При 7 = 0 и без учета уширения уровней (как подразумевалось до сих пор) заняты только те уровни, которые располагаются на ПФ или внутри нее, и поскольку в результате поглощения фонона электрон должен перейти в незанятое состояние, то поглощать фононы способны только электроны находящиеся в тонком слое вблизи ПФ. Эта ситуация схематически поясняется рис. 4.5. Изменение ДН поля Я, которое перемещает трубку Лан-

дау из положения а, где становится возможным поглощение фонона, в положение б, где оно перестает быть возможным, пропорционально разности АД площадей сечений, показанных на рисунке. Интервал Ас энергии Ферми f, в котором может происходить поглощение, также пропорционален этой разности, и легко видеть, что для сферически изоэнергетических поверхностей и приведенных выше числовых значений

АН _ АЛ _ Ас _ 2кд 7

Обычно это отношение составляет очень малую часть относительного изменения ЬН/Н, соответствующего расстоянию между пиками, т.е. H/F, так что вполне допустимо считать зависимость поглощения от поля рядом 6-функций. Как мы увидим ниже, размывающие эффекты, связанные с конечной температурой, конечным уширением уровней Ландау и неоднородностью образца, приводят к уширению пиков, заметно превышающему значение 10“7 для идеального случая. Практически для большинства целей мы можем полностью пренебречь величиной к0 и считать, что поглощение происходит при к = 0, т.е. при прохождении трубки Ландау через ПФ, когда F/H = г + Ут.

Зависимость осцилляций от поля

На основе приведенного выше обсуждения мы можем представить зависимость поглощения Г от поля в «идеальных» условиях (Г = 0, рассеяние электронов отсутствует, совершенный образец) в виде

Г = 2лГ0 X ^ - ^) , г = 0

ГДС ф = 2пР/Н и |Дг = 2л(г + |)(4.52)

и введен нормирующий множитель 2тг, чтобы величина Го равнялась среднему поглощению, связанному с электронами (рис. 4.6).

Теперь нам нужно рассмотреть, как эта формула изменяется в реальных условиях, т.е. при конечной температуре Т, конечном времени релаксации т и наличии неоднородности образца, а также необходимо учесть влияние спина электрона. Как и в п. 2.3.7, мы можем ввести для учета каждого эффекта свою функцию распределения фазы D^, гдег = ф/Х, ф = ф — фг и соответствующее этому распределению размытие фазы ф (4.52). В этом разделе будет

-SkI

H

t= CM

ii

(г + |)2я (г + 4)27г (г+|)2тт xk=2irF/H

Рис. 4.6. Зависимость ГКО от поля при Т = 0 в отсутствие уширения уровней Ландау. Каждая вертикальная линия условно изображает 6-функцию, умноженную на 2тгГ0, и следовательно, площадь под каждым пиком равна 2тгГ0. Поскольку пики расположены на расстоянии 2тг друг от друга, среднее значение Г (т.е. Jrd^/Jd^) равно просто Го.

удобно нормировать функции распределения таким образом, чтобы выполнялось условие \D(z;)d^ = 1 для допустимого диапазона изменения z, и опустить номер гармоники р в определении X; впоследствии, когда нам понадобится рассмотреть ослабление р-й гармоники в разложении Фурье, мы должны будем заменить X на рХ. Для конечной температуры соответствующая функция распределения, как показано в п. 2.3.7.1, имеет вид

(4.53)(4.54)(4.53)(4.54)Dv^= 1/2(1 + coshz) и

(4.53)

(4.54)

(4.53)

(4.54)

zt = 2ккт/рне

Если частота F вследствие неоднородности распределена в соответствии с функцией Лоренца, то P(z), как в п. 2.3.7.3, имеет вид

&г^ = 1/я(1 + z2)(4.55)

и

л2 = 2я(ДГ)0/Н = 2л2кхо/рн ,(4.56)

где (AF)0 характеризует лоренцево распределение частот F, х0 — эквивалентная температура Дингла в эффекте дГвА, связанная с размытием F.

(4.57)(4.57)Однако ослабляющее влияние рассеяния электронов более сложно, чем в эффекте дГвА. Как и прежде, рассеяние электронов сказывается в уширении уровней Ландау, что приводит к размытию фазы того же вида, что и в (4.55), со значением X, равным

(4.57)

(4.57)

z3 = иЬ/рНт = 2л2/с(х — хо)/рн,

где х — полная температура Дингла, наблюдаемая в эффекте дГвА. Но имеется еще одно последствие уширения уровней, которое иногда может оказаться главным источником уширения «идеальных» пиков в виде 6-функций. Дело в том, что условие сохранения энергии (4.46) может быть ослаблено на величину порядка уширения уровней Ландау, т.е. h/т. Это значит, что вместо единственного (и малого) значения к^ при котором электрон может поглотить фонон, существует заметный интервал значений к, для которых разрешено поглощение, и, как показано в приложении 11, это равносильно введению функции распределения фазы

(4.58)(4.58)(4.^9)(4.^9)D4(z) = 1/яг1/2(1 4- z)

(4.58)

(4.58)

(4.^9)

(4.^9)

^2;:^ кт

Здесь также Л" означает d2<o^dx2, а не ldW/dK2l, и следует заметить, что величина z должна быть положительна, изменяясь от 0 до некоторого большого значения, которое можно принять равным бесконечности. Соответственно размытие фазы асимметрично и знак фазовой переменной ф совпадает со знаком Л". Легко показать, что величина 1Х41, определяемая формулой (4.59), обычно значительно превосходит величину Х3, заданную формулой (4.57); для сферической ПФ их отношение равно

M/A3=kpl/q2l\(4.60)

где / — средняя длина свободного пробега, равная и¥т. Полагая / — - 10”2 см, k¥ ~ 108 см-1, g ~ 2 х 103 см-1, получаем

|z4|/z3 - 2.5 х 103.(4.61)

Таким образом, «прямой» эффект уширения, связанный с Х3, должен быть полностью пренебрежимым по сравнению с «косвенным» эффектом, связанным с Х4.

Эффект размытия фазы, обусловленный каждым из этих механизмов в отдельности, очень легко получить с помощью свертки функции распределения фазы с правой частью (4.52), т.е.

Г = 2лГ0 Г £ 6(^ - фг + ф^ф/л^ф/Г).

J г = 0 или

Г = 2лГо g D Л^/Л(4.62)

К г = 0\ Я /

14-207

Если X < 2тг, т.е. если на расстоянии (от пика ^г), много меньшем одного периода осцилляций, величина D становится пренебрежимо малой, то (4.62) дает просто ряд пиков, каждый из которых имеет форму самой функции D ^ Однако, когда одновременно присутствуют различные размывающие эффекты со сравнимыми значениями параметра X, результат усложняется, поскольку все функции распределения должны быть свернуты совместно, и возникают довольно громоздкие выражения, которые мы здесь не приводим. Соответственно усложняется и детальная интерпретация формы линий — ее приходится выполнять методом проб и ошибок. Формы линий осцилляций для каждого эффекта по отдельности показаны на рис. 4.7, где также приведен пример формы линии для нескольких совместно действующих сравнимых эффектов.

Другой предельный случай, X > 2тг, когда размытие захватывает несколько периодов осцилляций, рассматривать значительно проще, поскольку в этой ситуации становится полезным разложить последовательность 6-функций (4.52) в ряд Фурье и, как в п. 2.3.7, учитывать размытие фазы введением соответствующих понижающих множителей RT и др., которые задаются преобразованиями Фурье различных функций распределения. В этом пределе понижающие множители приводят к столь сильному ослаблению высших гармоник, что учитывать следует только первую и, возможно, лишь несколько следующих гармоник (в противоположность случаю X < 2тг, когда число существенных гармоник настолько велико, что разложение Фурье не принесло бы существенного облегчения). Разложение Фурье выражения (4.52) дает

Г = Го[1 +2 f (-I)₽cos2^],(4.63)

и мы можем сразу записать окончательный результат при включении всех механизмов размытия фазы.

Мы получаем, что вклад Гр р-й гармоники осцилляторной зависимости равен

Г„ = 2Г0(- irf-^^-^e-^He-^) \S\X\Y\upAx )

х (ttpI^I) 1/2 cost 2прф ± ^ j •(4.64)

u Если функция D симметрична (как в случае Dp D2 и D3\ то не существенно, подставлять ли в формулу (4.62) хр - хр« или ^ — ^, но для несимметричной функции Вд важно помнить, что она существует только с той стороны от ^ , где знак хрг - хр совпадает со знаком Х4.

Рис. 4.7. Функции распределения фаз, которые определяют форму линии ГКО. а — Vz(l 4- coshz): влияние температуры; б — 1/тг(1 4- z2): влияние размытия фазы; в — l/irz/2(l 4- z): влияние электронного рассеяния; г — свертка функции а с б при Xj = = 0,0233 (Т = 1,34 К, т/т0 = 0,0513, Н = 138 кГс) и Х2 = 0,0110. Штриховой линией показана форма линии до свертки с функцией б, чтобы продемонстрировать возникающее уширение кривой и уменьшение ее высоты. Величина параметра Х2 выбрана такой, чтобы аппроксимировать один из двух пиков на рис. 4.9 для Ga (для одного направления спина), хотя точное сравнение затруднено вследствие нелинейности шкалы на рис. 4.9; д — свертка функций а с б и в при Х1 = 0,034 (Т = 1,2 К, m/mQ = 0,0091, Н = 15,1 кГс), Х2 = 0,044, IХ41 = 0,16. Эти значения выбраны для того, чтобы попытаться аппроксимировать последний пик на рис. 4.4. Заметим, что по оси ординат в случаях а, б и в отложена величина ХГ/2тгГ0, но для гид — величина Г/2эгГ0; знак величины Ф = ф - фг для случая д соответствует отрицательной кривизне Л" (как, например, в Bi); ф возрастает как 1/Я. Свертки, которые любезно вычислил С. М. М. Некс, имеют вид

1 F(0) = 2irX1X2

и 6(0) = — тг1Х41 о

для г

0)<М/(МХ41),/2[1 4- (МХ41)] для д.

В этом выражении все понижающие множители, связанные с разными механизмами, заключены в скобки; и хотя в отношении величин первых трех из них не делалось никаких предположений, последний множитель, который получается из преобразования Фурье функции Z>4(z), можно записать в таком виде только для случая IХ41 > 2тг (общее выражение для этого множителя дано в приложении 11). Фазовый сдвиг Уатт в формуле (4.64) связан с тем, что в пределе 1Х41 > 2тг преобразование Фурье функции D4 (z) содержит равные действительную и мнимую части.

Можно видеть, что при понижении поля, хотя IХ41 остается значительно больше, чем X,, наступает момент, когда е~рХз становится меньше, чем (тг/? IХ41)~1^2. Однако для IХ41 /Х3 ~ 2500 это происходит только при 1Х41 > 12 000 (дляр = 1), когда амплитуда осцилляций поглощения составляет, несомненно, менее 1% от среднего значения Го, так что осцилляции едва заметны. В любом случае, вероятно, существуют другие механизмы, приводящие к слабому ос

циллирующему поглощению, помимо механизма, дающего гигантские квантовые осцилляции, так что формула (4.64), скорее всего, не будет точно справедливой в той области, где решающее значение имеет фактор Дингла е~рХз. Если подставить выражения для параметров X и для в явном виде, то формула (4.64) принимает

видвидГ, = У2ГО(-1)РГ, = У2ГО(-1)Р2п2ркТ/рНsinh 2к2ркТ/0Н2п2ркТ/рНsinh 2к2ркТ/0Н

вид

вид

Г, = У2ГО(-1)Р

Г, = У2ГО(-1)Р

2п2ркТ/рНsinh 2к2ркТ/0Н

2п2ркТ/рНsinh 2к2ркТ/0Н

ТЕ 4(4.65)ТЕ 4(4.65)X ехр( - 2« W/OT Д^т ™(^Г

ТЕ 4

(4.65)

ТЕ 4

(4.65)

Для свободных электронов 1Л" I = 2тг, и мы можем считать, что т = l/v, Vimv2 = f и £/0 = F, так что (4.65) сводится к выражению

Г -У2Г°г n- ^PWI™р it 'sinh 2л2ркТ!pH

х ехр(—2n2pkx/PH)qlх ехр(—2n2pkx/PH)qlН\*/2PF)Н\*/2PF)coscos2upF ~~н~2upF ~~н~})'(4.66)})'(4.66)

х ехр(—2n2pkx/PH)ql

х ехр(—2n2pkx/PH)ql

Н\*/2

PF)

Н\*/2

PF)

cos

cos

2upF ~~н~

2upF ~~н~

})'(4.66)

})'(4.66)

Если не считать фактора Дингла и множителя V2, выражение (4.66) соответствует формуле, полученной Скобовым [403] с помощью более сложного метода. Проф. Скобов любезно подтвердил, что в его работе по ошибке опущен множитель V2.

До сих пор мы пренебрегали влиянием спина; если рассматривать область «истинно» гигантских осцилляций, когда для всех параметров X выполняется соотношение X < 2тг, наличие спина электрона приводит к раздвоению каждого пика. Таким образом, формула (4.52) должна быть заменена следующей:

гдегдеГ = яГ0Г = яГ0£ <>)Ф - фи) + £ W - Ф1,) , г = 0г = 0_£ <>)Ф - фи) + £ W - Ф1,) , г = 0г = 0_^i, = (г + 1 + 1д)2”> Фгг = (г + 2 - 40)2л .^i, = (г + 1 + 1д)2”> Фгг = (г + 2 - 40)2л .(4.67)(4.68)(4.67)(4.68)

где

где

Г = яГ0

Г = яГ0

£ <>)Ф - фи) + £ W - Ф1,) , г = 0г = 0_

£ <>)Ф - фи) + £ W - Ф1,) , г = 0г = 0_

^i, = (г + 1 + 1д)2”> Фгг = (г + 2 - 40)2л .

^i, = (г + 1 + 1д)2”> Фгг = (г + 2 - 40)2л .

(4.67)

(4.68)

(4.67)

(4.68)

После введения соответствующего размытия фазы две последовательности уширенных пиков нужно наложить друг на друга. В пределе значительного уширения (все X > 2тг) при использовании разложения Фурье это наложение приводит просто к появлению в формулах (4.64) — (4.66) еще одного понижающего множителя, равного

(

л т \

Р-^9— (4.69) z т0)

как в случае эффекта дГвА.

ГКО в виде характерных резких пиков экспериментально наблюдали в Zn Королюк и Прущак [242] вскоре после теоретического предсказания Гуревича и др. Поскольку параметр Х4 весьма значительно превышает Х3 [см. (4.61)], осцилляции имеют форму хорошо разделенных пиков только в особенно чистых образцах и в сильных полях. Обычно, если рассеяние на примесях приводит к значению температуры Дингла, превышающему 10“2 К, уширение пиков захватывает несколько периодов осцилляций даже в наиболее сильных полях, так что можно наблюдать только сглаженные осцилляции, определяемые формулой (4.65). Резкие пики в действительности наблюдались только в Zn, Bi [292], Ga [377] и Hg [40], т.е. в тех металлах, которые могут быть сделаны исключительно чистыми и, кроме того, имеют осцилляции с весьма малым значением циклотронной массы (т.е. большой величиной 3), так что все эффекты уширения оказываются сравнительно малыми в достижимых полях.

Общий вид формы осцилляций особенно хорошо демонстрируется на примере Bi (см. рис. 4.4), где их можно проследить во всем диапазоне полей от квантового предела вблизи 15 кГс до нескольких сбтен гаусс, где осцилляции становятся практически синусоидальными, прежде чем полностью исчезнуть. Согласно формуле

в области сильных полей, где пики, соответствующие разным г, заметно не перекрываются, их высота должна линейно зависеть от Н, поскольку все параметры X, связанные с различными эффектами уширения, изменяются как 1///. Сравнение с экспериментом осложняется спиновым расщеплением: для самого последнего максимума пики, связанные с двумя направлениями спина, хорошо разделены и их можно рассматривать по отдельности, но с увеличением г пики быстро сливаются и высоту пятого пика уже разумно считать равной сумме величин пиков с разным направлением спина. Таким образом, приблизительная линейность зависимости от Н подтверждается тем, что проведенная через начало координат и половину высоты пятого пика прямая линия проходит через среднюю высоту двойного пика для квантового предела. Тот факт, что разные направления спина дают пики заметно неравной высоты, возможно, означает, что величина Го различна для двух спиновых состояний в отсутствие поля.

Расчет уширения пиков, связанного с рассеянием электронов, показывает, что пики должны уширяться несимметрично: сильнее со стороны меньших, чем со стороны больших полей в случае Bi, для которого величина А " отрицательна (выпуклг т ПФ), и эту асимметрию легко заметить у хорошо разделенных пиков для квантового предела. Эксперименты на Hg [40] подтверждают, что характер асимметрии зависит от знака величины Л ", и, как можно видеть из рис. 4.8, для случая Hg, когда известно, что соответствующая величина А ” положительна, уширение осцилляций действительно смещено в сторону больших полей в противоположность пйкам в Bi.

Хотя теория дает хорошее качественное описание экспериментов, попытки проведения количественного сравнения имеют только ограниченный успех. Оказалось возможным сравнить с теорией несколько экспериментальных величин, а именно:

405060Н, кГс

Рис. 4.8. ГКО в Hg [40]; v = 20 МГц, Т = 0,45 К, продольные волны распространяются вдоль Н — в направлении [100]. Обратите внимание на небольшую асимметрию пиков (уширение больше со стороны сильных полей). Отношение F/H равно примерно 12 при 67 кГс.

ширину пиков на половине высоты, которая составляет около 0,26 по фазе (0,69 кГс по полю) для последнего пика в Bi на рис. 4.4 (т.е. для одного направления спина);

величину асимметрии пиков, которую можно определить как отношение р ширины на половине высоты с одной стороны максимума к ширине с другой стороны; для последнего пика на рис. 4.4 величина р составляет примерно 2,1;

отношение высоты пика к среднему уровню осцилляций в малых полях. Эти данные доступны только для Bi, для которого последний пик на рис. 4.4 дает отношение Г/2тгГ0 - 2,7 с неопределенностью порядка 10% (или, возможно, больше, если имеются некоторые искажения при логарифмировании сигнала);

затухание осцилляций в области малых полей, где справедлива формула (4.65), должно определять температуру Динглах, обусловленную размытием фазы. Эти данные также доступны только для Bi. Зависимость ln(lf l//~ 1/2sinh z/z) от \/Н (при z = ъАсТ/вЩ оказывается приблизительно линейной (в пределах довольно большого разброса данных в этой области) и соответствует значению х ~ 1 К.

Рассмотрим вначале п. 1 и 2 для последнего пика в Bi. Формула (4.54) дает значение Хр равное 0,034, что соответствует фазовой ширине Дф на половине высоты, равной 0,12 (0,34 кГс), в то время как наблюдаемая фазовая ширина равна 0,26 (0,69 кГс). Очевидно, что существует дополнительное уширение, связанное с параметрами Х2 и Х4, но здесь мы встречаемся с некоторыми трудностями. Если принять Х2 = 0,09, что соответствует х = 1 К (см. п. 4), то вычисление свертки показывает, что дополнительное уширение можно полностью учесть без введения Х4, поэтому наблюдаемая асимметрия (р - 2,1) остается необъясненной. Если, однако, попытаться объяснить наблюдаемую асимметрию, вводя заметную величину Х4 (требуется значение Х4 около 0,3), то полная ширина на половине высоты становится заметно больше наблюдаемой. Набор значений Xj = 0,034, Х2 = 0,044 и Х4 = -0,16 представляет собой компромиссное решение; соответствующая свертка дает зависимость, график которой изображен на рис. 4.7, д. Ширина на половине высоты Дф = 0,22 находится в разумном согласии с наблюдаемой величиной 0,26 и относительная высота пика (Г/2тгГ0 = 1,0) не слишком сильно отклоняется от экспериментального значения 2,7, измеренного со значительной неопределенностью. Однако значение Х2 соответствует температуре Дингла, равной только 0,5 К, а не 1 К, как следует из приблизительной оценки, асимметрия р равна 1,5, в то время как экспериментальное значение составляет 2,1, и, кроме того, коэффициент поглощения спадает слишком медленно с ростом ф.

Эти количественные расхождения могут быть следствием чрезмерных упрощений в теории или неучтенных экспериментальных ошибок (например, недооценки постоянной времени при записи или отклонения пера самописца от перпендикулярности к оси времени),

но, оставляя в стороне эти трудности, можно сделать одно общее заключение. Значение температуры Дингла около 1 К или даже 0,1 К нельзя объяснить рассеянием электронов, вводя величину параметра Х4, соответствующую наблюдаемой асимметрии. Даже при Х4 = 0,4 соответствующее значение х без размытия фазы (т.е. при Х2 = 0) составляло бы лишь около 0,02 К в противоположность гораздо большему значению, которое получается из затухания осцилляций в малых полях, и обычным значениям 0,1 — 1 К, найденным из эффекта дГвА. Это заставляет предполагать, что в чистых металлах главный вклад в температуру Дингла определяется размытием фазы. Данные по Hg и Ga, хотя и более ограниченные, также говорят в пользу такого предположения, и в действительности асимметрия для Hg гораздо меньше, чем для Bi, а для Ga она полностью отсутствует, так что введение размытия фазы, определяемого Х2, еще более существенно. В гл. 8 будет отмечена роль, которую играет величина ГКО для выяснения механизма температуры Дингла. Большая чувствительность ГКО к рассеянию на примесях и возможность использования асимметрии для разделения эффектов уширения, связанных с рассеянием и размытием фазы, позволяют предполагать, что ГКО могли бы служить полезным методом исследования влияния примесей в очень малых концентрациях; поскольку ширина пиков пропорциональна 1/т2 [см. (4.58) и (4.59]), влияние примесей должно быть весьма существенным. Такая возможность до сих пор не использовалась.

-II।1

135137139141 Н,кГс

Рис. 4.9. Расщепленный пик ГКО в Ga для двух направлений спина [377]; у = = 20 МГц, Т = 1,34 К, продольные волны распространяются вдоль Н в направлении оси Ь, отношение F/H составляет около 2,5.

Наконец, следует отметить, что характер температурного уширения осцилляций особенно хорошо подтверждается формами линий ГКО в Ga [377]. В этих экспериментах применялись настолько чистые образцы, что асимметрия, связанная с рассеянием электронов, была несущественной (рис. 4.9) и ширина линии на половине высоты только на 20% превышала величину температурного уширения, определяемую формулой (4.7). Это дополнительное уширение можно объяснить введением температуры Дингла порядка 0,2 К, а вычисление соответствующей свертки (см. рис. 4.7, г) показывает, что расчетная форма линии находится в очень хорошем согласии с экспериментальной (рис. 4.9).

Осцилляции других физических свойств

Оптические свойства

Осцилляции коэффициента отражения металлов в магнитном поле могут быть связаны с двумя различными механизмами. Первый из них — это просто проявление эффекта Шубникова — де Гааза, поскольку оптические свойства при больших длинах волн зависят от электропроводности. Этот эффект впервые наблюдали Дрес- сельхауз и Мавруад [123] в Sb. Второй механизм значительно более сложен и связан с переходами из валентной зоны в зону проводимости через энергетическую щель. Тогда коэффициент отражения изменяется, если энергия фотона совпадает с расстоянием между уровнями Ландау, находящимися в разных зонах. Этот эффект исследовался главным образом в Bi, который удобен тем, что имеет небольшую ширину запрещенной зоны, при этом соответствующие длины волн фотонов попадают в инфракрасную область. Изучая детальную зависимость осцилляций от частоты, ориентации кристалла и других факторов, можно получить ценную информацию о зонной структуре, но интерпретация таких экспериментов сложна и не будет здесь рассматриваться. Первое наблюдение осцилляций такого типа осуществили Браун, Мавруад и Лэке [67], а в последнее время более детальные исследования были проведены Мальцем и Дрессельхаузом [286], а также Векки и Дрессельхаузом [449].

Другие транспортные свойства

Наблюдались не только осцилляции проводимости (см. разд. 4.5), но и большинства других транспортных свойств, например в эффекте Холла, теплопроводности и термоэлектрических эффектах (см., например, [147, 182]). Период осцилляций всегда совпадает с

периодом осцилляций ШдГ и дГвА, но методы расчета амплитуд сложны и еще не полностью разработаны.

Сдвиг Найта в ядерном магнитном резонансе

Небольшое изменение частоты ядерного магнитного резонанса при переходе от металла к диэлектрику («сдвиг Найта») осциллирует при изменении магнитного поля (см., например, [174]). Практически при данной резонансной частоте v наблюдается небольшое отличие Д// резонансного поля для металлического кристалла и для изолятора, содержащего ядра того же изучаемого элемента. Величина ДН/Н, имеющая типичный порядок несколько единиц на 10“3, осциллирует при изменении у (и, следовательно, Н) с амплитудой обычно порядка нескольких единиц на 10“5. Качественно подобный эффект следует ожидать, поскольку магнитное поле, которое «видят» ядра, должно осциллировать вместе с намагниченностью металла, а это означало бы, что амплитуда осцилляций ^Н/Н должна быть порядка 4тг1М1/Н, что не так уж далеко от истины. Однако детальная теория экранирования, обусловленного электронными оболочками исследуемого ядра, а также другими электронами, достаточно сложна, и интерпретация экспериментальных значений амплитуд является непростой задачей.

Магнитные осцилляции других видов

Для полноты упомянем несколько других осцилляторных эффектов, периодичность которых не обусловлена эффектом дГвА. Первые четыре из них более полно обсуждаются в обзоре Чемберса [72].

Циклотронный резонанс Азбеля — Канера

В этом случае высокочастотный импеданс изменяется, когда частота волны о? кратна циклотронной частоте о>с, которая, естественно, пропорциональна Н. Это следует либо из рассмотрения классической орбиты электрона, возвращающегося в скин-слой после целого числа периодов переменного поля1), либо из рассмотрения фотона с энергией hoo, поглощаемого в результате перехода электрона с одного уровня Ландау на другой. Высокочастотный импеданс осциллирует с периодом по 1/77, равным

Д(1/Я) = ^тс,(4.70)

11 Магнитное поле должно быть параллельно границе металла. — Прим. ред.

и этот эффект дает возможность определения циклотронной массы т.

Магнитоакустический эффект («геометрический резонанс»)

В этом случае поглощение ультразвуковой волны имеет осцил- ляторный характер зависимости от поля, но механизм этой зависимости совершенно иной, чем для ГКО, обсуждавшихся в разд. 4.6. Данный эффект определяется совпадением размера орбиты электрона с нечетным числом полуволн ультразвуковой волны, когда электроны моГут забирать энергию от электрического поля, связанного с волной звука. Период задается соотношением

^\1Щ = е/.1Нср,(4.71)

где X — длина ультразвуковой волны, ар — соответствующий поперечный размер ПФ. Этот период, конечно, совершенно отличен от периода ГКО, который по сути совпадает с периодом осцилляций дГвА и совершенно не зависит от длины волны звука. Измерение поперечного размера ПФ р с помощью этого магнитоакустического эффекта дает еще один метод определения ПФ.

Радиочастотный размерный эффект (эффект Гонтмахера)

Этот эффект отчасти подобен магнитоакустическому эффекту с той разницей, что размер электронной орбиты сравнивается с толщиной d плоского образца, а не с длиной волны звука. Если средняя длина свободного пробега электрона велика по сравнению с d, радиочастотный импеданс образца имеет особенности, когда на толщине d помещается целое число электронных орбит, и осцилляции периодичны по Н, а не по \/Н. Период определяется соотношением

АН = pch/ed ,(4 72)

где р, как и в формуле (4.71), — поперечный размер ПФ. Этот эффект не только дает еще один метод определения ПФ, но также позволяет получить информацию о скоростях электронов из тонкой структуры эффекта [161].

Статический размерный эффект (эффект Зондхаймера)

Если средняя длина свободного пробега электронов велика по сравнению с толщиной d плоского образца, его сопротивление в по-

перечном направлении осциллирует при изменении Н. Для электрона с данным кн осцилляции имеют место в том случае, когда время пролета электрона между границами образца совпадает с временем, соответствующим целому числу циклотронных орбит, что приводит к соотношению для периода Ml

АН = (ch/edXaa/8kH)e -(4.73)

Однако поскольку эта величина Ml зависит от составляющей волнового вектора кн электрона, осцилляции при разных значениях кн интерферируют, уничтожая друг друга, и обычно остаются только слабые осцилляции с периодом Ml, соответствующим значению кн в опорной точке поверхности Ферми, для которой (в случае закрытой ПФ)

(да/йк^^ттК"1-2,(4.74)

где К — гауссова кривизна ПФ в опорной точке.

Магнитные поверхностные уровни (см., например, [121, 2331)

В очень чистом металле при весьма слабых магнитных полях, обычно составляющих несколько гаусс, радиус кривизны электронной орбиты может достигать нескольких миллиметров и некоторые электроны могут находиться на «скачущих» орбитах вблизи плоской поверхности образца, отражаясь от нее зеркально при каждом столкновении. Такое периодическое движение квантуется и разрешенные состояния соответствуют набору зависящих от магнитного поля энергетических уровней, расположенных подобно уровням в атоме водорода. Расстояния между этими уровнями сравнимы с энергией hw кванта высокочастотного поля, и, следовательно, высокочастотный импеданс образца имеет на частоте w максимумы поглощения, когда hco совпадает при изменении поля с расстоянием между определенными уровнями. В результате возникает сложная и имеющая довольно нерегулярный вид осцилляторная зависимость импеданса от поля, из которой, однако, можно получить много полезной информации о различных аспектах электронной структуры, в частности о скоростях электронов и о временах релаксации.

Магнитофононный эффект

Заметные осцилляции сопротивления полуметаллов и невырожденных полупроводников имеют место в случае, когда энергия оп-

тических фононов совпадает с расстоянием по энергии между уровнями Ландау, т.е. кратна величине huae Эти «магнитофононные осцилляции», которые можно рассматривать как резонансы в неупругом рассеянии электронов оптическими фононами, были впервые предсказаны Гуревичем и Фирсовым [193]; более общий обзор содержится в работе [200]. Внешне осцилляции напоминают эффект Шубникова — де Гааза, но в действительности это совершенно разные эффекты. Эти осцилляции, так же как эффект ШдГ, периодичны по 1/Я, но их период определяется соотношением

Д(1/Н) = е/а)0тс (4.75)

(w0 — частота оптического фонона), а не площадью экстремального сечения поверхности Ферми. Кроме того, для наблюдения осцилляций требуется заметное возбуждение оптических фононов, и, следовательно, температура Т должна удовлетворять неравенству

kT>ha^. (4.76)

Обычно величина Т порядка 300 К и осцилляции полностью затухают при температурах, при которых возникают осцилляции де Гааза — ван Альфена и Шубникова — де Гааза.

5

Поверхности Ферми и циклотронные массы

Введение

За последние 25 лет исследования эффекта де Гааза — ван Аль- фена привели к заметному прогрессу в наших знаниях о поверхностях Ферми металлов и (в меньшей степени) о дифференциальных свойствах изоэнергетических поверхностей вблизи ПФ. Этот прогресс стал возможным отчасти благодаря параллельному развитию теории зонных структур, но, возможно, в еще большей степени благодаря усовершенствованиям технологии. Продолжающееся развитие способов получения сильных магнитных полей и низких температур, электроники и методов обработки данных, техники выращивания более чистых и совершенных монокристаллов, можно надеяться, приведет к дальнейшему расширению наших знаний.

До сих пор основная часть усилий была направлена на измерение частот F эффекта дГвА для определения ПФ металлов с помощью соотношения Онзагера, и к настоящему времени уже определены ПФ большинства элементарных металлов и многих интерметаллических соединений. Однако достигнутый уровень определения различается как по степени достоверности, с которой установлен качественный характер ПФ, так и по точности количественного описания поверхности. В наиболее благоприятных случаях качественный характер поверхности (т.е. число и форма отдельных листов) надежно известен и размеры отдельных листов определены с точностью порядка 10“3. Однако такая ситуация характерна только для нескольких металлов, а для многих других до сих пор существуют сомнения относительно качественных деталей, и точность определения размеров составляет только несколько процентов.

Циклотронную массу можно определить из температурной зависимости амплитуды эффекта дГвА или из исследований по циклотронному резонансу, и, как будет показано в п. 5.2.2, из детально известной зависимости циклотронной массы от ориентации могут быть получены дифференциальные свойства соседних с ПФ изоэнергетических поверхностей. Это в свою очередь позволяет определить плотность состояний и скорости электронов для всех точек на ПФ. Однако к настоящему времени такая программа была осуществлена только для нескольких металлов и многое еще остается

сделать. Как уже говорилось в разд. 2.6, наблюдаемые значения циклотронной массы (а также полученные из них скорости электронов) заметно превышают за счет многочастичных взаимодействий (особенно электрон-фононного взаимодействия) их значения, полученные из расчетов зонных структур в приближении независимых частиц^. Это увеличение непосредственно связано с интерпретацией сверхпроводящих свойств металлов.

В данной главе мы вначале опишем общие принципы, которые используются при переходе от экспериментальных результатов по частотам и массам к определению деталей поверхностей Ферми и их дифференциальных свойств. Затем мы дадим обзор достижений в этом направлении для нескольких выбранных металлов. Мы не будем пытаться дать сколько-нибудь полное рассмотрение затронутых вопросов, так как это потребовало бы отдельной книги и на самом деле такая книга уже существует [104]; кроме того, имеются современные обзоры, в которых большее внимание уделяется отдельным аспектам (Голд [170] и Лонзарич [271] рассматривают ферромагнитные металлы, Янг [480] дает общий обзор с более подробным рассмотрением редкоземельных металлов, Эдельман [131] рассматривает Bi и Сельмайр [373] — сплавы и соединения). В этих работах приведена достаточно современная библиография по весьма обширной литературе. Наша задача будет состоять скорее в обсуждении простых примеров, иллюстрирующих и подчеркивающих принципиальную сторону методов. Некоторые аспекты выбранных примеров пригодятся в дальнейшем при обсуждении других сторон эффекта дГвА, для интерпретации которых требуется знание конкретного вида ПФ. Мы также дадим краткий обзор экспериментальных результатов по исследованию зависимости формы поверхностей Ферми от деформации и от введения примесей в малой концентрации.

Общие принципы

Определение поверхности Ферми из частот эффекта де Гааза — ван Альфена

Измерение частоты F эффекта дГвА в зависимости от направления магнитного поля позволяет определить экстремальные сечения А поверхности Ферми, нормальные к направлению, определенному

!) Возрастание эффективной массы, естественно, уменьшает скорость электронов. — Прим. ред.

относительно осей кристалла. Это дает немалое количество информации геометрического характера о ПФ, однако однозначно определить из нее действительную форму и размер поверхности Ферми (т.е. соотношение между I Ar I и направлением к) оказывается возможным только при довольно ограниченных условиях. Эти условия состоят в том, что поверхность должна обладать центром симметрии и проходящая через него прямая должна пересекать поверхность только в двух точках. Для такой поверхности Лифшиц и Погорелов [267] сформулировали изящную теорему, которая дает метод вычисления радиуса-вектора поверхности из площадей сечений, проходящих через центр симметрии (в данном случае именно такие сечения и являются экстремальными). К сожалению, однако, многие ПФ не удовлетворяют условиям этой теоремы, а если условия и выполнены, то переход от площадей к радиусам проще осуществить другими способами. Практически восстановление ПФ по значениям частот F обычно представляло собой полуэмпирическую процедуру, основанную на некоторых предварительных соображениях о предполагаемом виде ПФ, полученных из теории зонных структур. Без таких вспомогательных предположений практически невозможно расшифровать сложные F-спектры, подобные изображенным на рис. 5.18 или 5.23. Некоторую вспомогательную информацию иногда можно также получить из других эффектов (аномального скин-эффекта, магнетосопротивления, магнитоакустического эффекта и т.п.; краткий обзор см. в работе [393]).

Теперь мы упомянем несколько общих моментов, которые могут дать ключ к истолкованию самого F-спектра и помогают при выборе возможной модели ПФ. Если в спектре существует несколько весьма близко расположенных ветвей (например, р-ветви на рис. 5.23), то вероятно, что они связаны с группой симметрично расположенных частей ПФ (эллипсоиды на рис. 5.24). Если осцилляции прослеживаются во всем диапазоне ориентаций при вращении в различных плоскостях (как в случае р-ветвей), то вероятно, что соответствующие части ПФ — замкнутые поверхности, например эллипсоиды. Однако это не обязательно. Примером может служить А1 (см. рис. 5.18), где, как мы увидим в п. 5.5.1, оказывается, что непрерывные ветви спектра соответствуют довольно сложной трубчатой поверхности. Даже если имеется надежное указание на простую замкнутую поверхность, ее форму можно однозначно определить из частотных данных, только если известно, что она центрально-симметрична. Например, исходя только из данных по эффекту дГвА, нельзя сделать выбор между двумя не имеющими центра симметрии поверхностями (а), изображенными на рис. 5.1,

Рис. 5.1. Схематическое изображение нормальных сечений а двух симметрично расположенных сигарообразных поверхностей без центра симметрии (это могут быть две из шести поверхностей, расположенных в вершинах шестиугольника) и б одной сигарообразной поверхности, имеющей центр симметрии с той же площадью экстремального сечения, что и у поверхностей а.

и одной центрально-симметричной поверхностью (6), имеющей такую же экстремальную площадь.

Если какая-либо ветвь осцилляций обрывается при некоторых критических ориентациях (например, £ на рис. 5.23), то это указывает на экстремальное сечение ПФ, которое существует только в ограниченном диапазоне ориентаций, и это обычно означает, что соответствующая часть ПФ имеет сложную форму (например, «валет» на рис. 5.24).

После того как создана достаточно подробная качественная модель различных листов поверхности Ферми и произведена проверка этой модели по зависимости F от ориентации в разных плоскостях вращения, модель должна быть задана в более точном количественном виде и должны быть определены ее параметры. Лучше всего, если поверхность может быть задана аналитическим выражением, учитывающим симметрию кристалла и содержащим только несколько параметров, которые находятся эмпирически При подгонке этого выражения к экспериментальным данным по частотам. Задать поверхность таким образом оказывается возможным только для нескольких металлов (например, с помощью разложения по кубическим гармоникам для щелочных металлов, разложения в ряды Фурье для благородных металлов или аппроксимации эллипсоидами в случае Bi). Преимущество такого способа заключается в том, что он дает простое объективное описание поверхности, не связанное с какой бы то ни было теорией зонной структуры. Правда, в последние годы расчеты зонных структур становятся все более надежными и возможен также иной подход (в некоторых случаях единственно применимый) — сопоставление измеренных значений F с предсказаниями параметризованного расчета зонной структуры, параметры которого [например, фазовые сдвиги и энергия Ферми в методе Корринги —- Кона — Ростокера (ККР) или набор коэффициентов псевдопотенциала] используются как подгоночные при аппроксимации экспериментальных данных. Этот подход требует более сложных вычислений, так как переход к F-спектру от принятых

15-207

значений параметров в случае расчета зонной структуры осуществляется не таким прямым путем, как при аналитическом описании поверхности. Правда, при современной вычислительной технике это уже не является серьезным препятствием, и, конечно, метод параметризованной зонной структуры имеет то преимущество, что полученные значения параметров обладают определенным физическим смыслом в отличие от эмпирических параметров прямого метода.

Одна важная особенность применения параметризованного представления поверхности с помощью как параметризованной зонной структуры, так и прямого аналитического выражения, заключается в том, что при малом числе вводимых параметров их значения полностью определяются экспериментальными данными по частотам F для поворотов только в одной или двух плоскостях [например, в плоскостях (100) и (ПО) в случае кубического кристалла). Для нахождения трех параметров требуются только значения F при трех определенных ориентациях (например, < 100>, < 110> и < 111>), а значения F при других ориентациях дают возможность проверки надежности модели. Такой подход требует значительно меньшего количества экспериментальных данных, чем потребовало бы применение теоремы Лифшица — Погорелова, для которого должны быть известны значения F при всех ориентациях (или при достаточно большом их числе, чтобы можно было произвести адекватную интерполяцию).

Эта особенность параметризации, хотя очевидно и выгодная, связана также с некоторым риском, особенно когда результаты для направлений, лежащих только в одной плоскости, используются для определения более двух-трех параметров. Дело в том, что согласие с моделью может оказаться хуже для направлений, не лежащих в выбранной плоскости. В идеальном случае необходимы были бы проверки для нескольких плоскостей, но если целью является достижение очень высокой точности, то следует помнить, что точность определения ориентации может оказаться таким же ограничивающим фактором, как и точность измерения F. Рассмотрим конкретный пример: в случае почти сферических частей ПФ благородных металлов при несимметричных направлениях ориентация должна быть известна с точностью не хуже 0,1°, чтобы соответствовать точности измерения F, равной 10“ 4. Точное определение ориентации сравнительно менее важно только , для направлений абсолютного максимума или минимума частоты F (обычно это симметричные направления).

Остроумный метод улучшения точности определения несиммет-

ричных ориентаций был разработан Мюллером, Виндмиллером и Кеттерсоном [304]. В этом методе используется тот факт, что при изменении направления в произвольной плоскости имеется несколько пар точно эквивалентных ориентаций (благодаря симметрии кристалла), дающих, следовательно, одну и ту же частоту F. Обычно применяемые устройства для поворота образца дают вращение направления поля по конусу (с углом при вершине, близким к 180°) относительно кристалла, и если точно определены угол при вершине и направление оси конуса, то будут также известны ориентации пар кристаллографически эквивалентных положений образца при повороте. Таким образом, если первоначально направление оси и угол при вершине конуса приблизительно известны, их можно затем определить значительно более точно (так же как и все ориентации при повороте) с помощью метода проб и ошибок. Используя направление оси и угол при вершине конуса в качестве подгоночных параметров, последовательными пробами добиваются согласия между расчетными и действительно наблюдаемыми ориентациями пар эквивалентных положений. Измеряя частоту F при поворотах в нескольких несимметричных плоскостях, ориентации которых достаточно точно определены с помощью этой методики, можно добиться более надежного согласования с параметризованной моделью, чем при использовании поворотов только в симметричных плоскостях.

Повышение точности определения поверхностей Ферми оказывается важным в двух отношениях. Во-первых, можно извлечь больше информации из сравнения с расчетами зонной структуры и во-вторых, могут быть более строго проверены теоретические расчеты различных электронных эффектов в металле, требующие точного определения ПФ. Однако существуют некоторые принципиальные причины, помимо чисто технических, которые ограничивают предельно достижимую точность.

Вывод формулы ЛК связан с определенными приближениями, так что считать амплитуду осцилляций пропорциональной sin(2irF//f + ф) с постоянными значениями F и ф можно лишь в пределе больших значений F/H и при весьма низких температурах. Если требуется измерить F с точностью лучше 10"4, то необходимо проследить осцилляции вплоть до достаточно слабых полей и удостовериться в том, что Риф постоянны во всем интервале используемых полей. В принципе форма ПФ может также несколько зависеть от температуры, поскольку колебания решетки приводят к небольшим изменениям зонной структуры из-за электрон- фононного взаимодействия, а также из-за слабой температурной

зависимости энергии Ферми. Обычно изменения F составляют только около 10~4 для интервала температур, в котором наблюдаются осцилляции, но, как обсуждается в разд. 5.5, в особых случаях возможно появление гораздо более сильных эффектов. В ферромагнитных металлах ПФ может заметно изменяться в зависимости от направления собственного ферромагнитного момента из-за спин- орбитального взаимодействия, и поэтому поверхность нельзя однозначно определить с точностью, лучшей примерно 10"3 (а для некоторых частей ПФ железа с точностью только около 10“ 2). В ферромагнетиках возможно также существование весьма слабой температурной зависимости F, обязанной взаимодействию с магнитными возбуждениями. Исследования этого эффекта позволяют получить ценные сведения, касающиеся основных представлений теории ферромагнетизма [271]. Некоторые методы, применяемые для точного определения/7, будут описаны ниже (разд. 9.3) в связи с вопросами абсолютного определения фазы.

Наконец, следует упомянуть осложнения, связанные с двумя эффектами, которые мы еще не рассматривали: магнитным взаимодействием и магнитным пробоем. Как мы увидим, оба этих эффекта могут приводить к появлению комбинационных и разностных частот, а высшие гармоники «основных» частот могут усиливаться магнитным взаимодействием по сравнению с предсказаниями теории ЛК. До тех пор пока не установлено истинное происхождение таких «неосновных» ветвей F-спектра, анализ экспериментальных данных по частотам может давать всевозможные добавочные листы ПФ, которых в действительности вовсе не существует. Некоторые неосновные ветви частотного спектра W показаны на рис. 5.23. Другое осложнение, вызванное магнитным пробоем, заключается в том, что первоначально не связанные друг с другом части ПФ при увеличении магнитного поля становятся связанными, т.е. ПФ как бы имеет разную форму при малых и больших полях (а в промежуточной области ситуация еще сложнее!). В последующих разделах мы ограничимся только упоминанием этих осложнений там, где они существенны, а более подробное обсуждение отложим до гл. 6 и 7.

Определение дифференциальных свойств из циклотронных масс

Как впервые отметили Лифшиц и Погорелов [267], если известны значения циклотронных масс для всех направлений поля и установлен вид поверхности Ферми, то могут быть получены диффе-

ренциальные свойства зонной структуры при значении энергии, равной энергии Ферми f. Значение массы т позволяет непосредственно получить производную (dA/de)e=^ и, поскольку известна экстремальная площадь А сечения поверхности постоянной энергии f, экстремальная площадь А 4- ДД сечения соседней поверхности постоянной энергии 4- Де задается соотношением .

А + ДД = А 4- (ад/де) Ас . (5.1)

Таким образом, если производная (dA/de) известна для всех направлений, то также известна величина Я + ДЛ, и тот метод, который служил для определения ПФ из значений Л (т.е. значений F), может быть теперь использован для определения поверхности постоянной энергии f 4- Де. После того как это определение осуществлено [величина Де должна быть достаточно мала, чтобы выполнялось соотношение (5.1), однако достаточно велика, чтобы расчет был надежным], задачу в сущности можно считать решенной. Так, объем £-пространства, заключенный между поверхностями постоянной энергии f и f 4- Де, непосредственно определяет плотность состояний, а расстояние ДА: между поверхностями вдоль любой нормали немедленно дает grad^e и, значит, скорость электронов [см. (2.6)]. Следует отметить, что в отношении плотности состояний эта процедура эквивалентна определению соответствующего среднего значения т, которое нужно подставить в формулу (2.165а) для плотности состояний в частном случае сферических поверхностей постоянной энергии.

Хотя эта программа в принципе проста, практически до сих пор она мало использовалась. Это связано отчасти с вычислительными трудностями, а отчасти с тем, что получение достаточно точных экспериментальных данных по массам гораздо более трудоемко, чем по частотам. Экспериментальный метод определения т основан на формуле (2.128) [или ее приближенной форме (2.129)] для RT — теоретического множителя, определяющего уменьшение амплитуды эффекта дГвА Д (7) по отношению к ее значению при Т = = 0. Если измеряется амплитуда первой гармоники осцилляций (обычно это наиболее удобно), то при данном Н график зависимости In (Д/Т) от Г в пределе высоких температур должен представлять собой прямую с наклоном, равным — 1,47- 105 (т/т^/Н. Однако при низких температурах разница между sinh z и Vie7 [гдег = = 1,47- 105 (т/т^Т/Н] может стать заметной, и тогда экспериментальные точки будут ложиться выше прямой, экстраполирующей данные в области высоких температур. Удобный способ при-

ближенного учета этого обстоятельства с достаточной степенью точности состоит в том, что сначала определяется предварительное значение (т/т0) из высокотемпературных данных, а затем величина е~22 вычитается из ординат всех точек, для которых она оказывается существенной в логарифмическом масштабе графика. Важно помнить, что теоретическая формула (2.128) справедлива только в том случае, если магнитное взаимодействие (см. гл. 6) пренебрежимо мало или соответствующим образом учитывается, но с этой оговоркой и при достаточном внимании к регулированию и измерению температуры (и, разумеется, самих величин А и Н) могут быть получены зависимости с превосходной линейностью. Это подтверждает применимость теории и позволяет определить отношение (т/т^ с точностью несколько единиц на 10“3.

Другая возможность состоит в применении циклотронного резонанса для определения циклотронной массы, но и эта возможность пока мало использовалась. Дело не только в том, что соответствующая экспериментальная методика более сложна, чем в исследованиях эффекта де Гааза — ван Альфена, существуют также трудности при интерпретации экспериментальных данных и измеряемая величина массы несколько отличается от «экстремальной» массы, используемой при вычислении скоростей, так как содержит иной тип интегрирования по кн. Практически при доступном сейчас уровне точности (порядка 1% в случае циклотронного резонанса и несколько лучше при определении по амплитудам эффекта дГвА) не было обнаружено заметных расхождений между значениями массы, определенной этими двумя методами.

Результаты для некоторых металлов

Щелочные металлы

Как можно ожидать, одновалентные металлы имеют наиболее простые поверхности Ферми, а из числа одновалентных щелочные металлы обладают простейшими ПФ, которые лишь слегка отличаются от идеальной сферической поверхности модели свободных электронов. Из-за малой величины этих отклонений частота F лишь незначительно изменяется с направлением, и чувствительный метод измерения М7 состоит в наблюдении осцилляций при вращении образца в постоянном магнитном поле Н. Поскольку отношение F/H имеет обычно порядок нескольких тысяч (3600 для К при 5- 104 Гс), прохождение одной осцилляции при вращении образца соответствует относительному изменению частоты F, равному

Рис. 5.2. Осцилляции дГвА, полученные при вращении образца К в постоянном поле Н - 50 кГс, Г ~ 1,2 К. а —- Шенберг и Стайлз [395] (1964). Цифры обозначают последовательные увеличения и уменьшения фазы на -к (полная фаза IxF/H по порядку величины равна 7400). Вращение происходит в плоскости (110). б — Темплтон [433] (1981). Эта диаграмма, полученная при вращении на угол более 360°, демонстрирует улучшение техники эксперимента по сравнению с 1964 г. Плоскость, в которой происходит вращение, не совпадает точно с плоскостью симметрии, но довольно близка к плоскости (ПО).

10"3 — 10"4, и, таким образом, отклонение AF от опорного значения F может быть определено с очень хорошей точностью. Опорное значение F можно, конечно, измерить обычным способом подсчета числа осцилляций при изменении поля. На рис. 5.2, а показана кривая, полученная при вращении образца К в первом применении этого метода Шенбергом и Стайлзом [395] (1964); зависимость соответствующих изменений ^F представлена на рис. 5.3. Осцилляции, полученные при вращении образца в более поздних экспериментах [433], представлены на рис. 5.2, б для демонстрации значительного прогресса в технике измерений по сравнению с ранними опытами. Особенно поразительно постоянство амплитуды при вращении; на значение этого постоянства мы укажем несколько позже (с. 243).

Поскольку ПФ щелочных металлов являются замкнутыми и имеют кубическую симметрию, для их описания удобно воспользоваться разложением по кубическим гармоникам. В частности, зависимость от направления площадей центральных сечений А можно представить в виде

^^IAq = (А — /10)//10 = с4К4 4- сьК6 4- снК^ 4- <-‘\OKYOl (5.2)

Рис. 5.3. Зависимость от ориентации фазы дГвА (т.е. фазы F или Л) для К при вращении в плоскости (ПО). Точки / получены из изменений фаз, показанных на рис. 5.2, а точки 2 —- из данных эксперимента для другого образца. Изменению фазы на х соответствует изменение площади М/А порядка 1/7400. Кривая рассчитана по формуле (5.2) со следующими значениями параметров: с4 = 7,8х 10“4, с6 = = 3,5х 10"4, с8 = 4,5х 10'4, с10 = 0.

где К — кубические гармоники^, с — коэффициенты, которые должны быть определены при аппроксимации экспериментальных данных этим выражением, и Ло — среднее значение величины А по ПФ. Преимущество такого способа описания заключается в том, что оно позволяет сразу получить явное выражение для радиуса к поверхности, которое становится особенно простым в случае малых относительных изменений к.

° После слагаемого, содержащего Кхо, такие обозначения уже непригодны и требуется введение дополнительного индекса, который здесь для простоты опущен. Явные определения нескольких первых гармоник содержатся в работе Шенберга и Стайлза [395], а выражение с большим числом гармоник, представленное в другой форме, приведено в работе [258] (см. также [155]). Как отметили Мюллер [301] и Мюллер и Пристли [303], такой тип разложения представляет собой частный случай (кубическая симметрия) более общего разложения по сферическим гармоникам (см. также работу Фолди [148], в которой устанавливается соответствие между разложением Мюллера и теоремой Лифшица — Погорелова).

В общем случае можно показать, что

А(&2) _ к2 — ко _ с4К4с6К6 с8К8 с10К10

ко " ко ~ Р4^Р^Р^Ло(О)V )

где Pz(0) — значение Z-го полинома Лежандра в начале координат и тг^2 = л0 (т.е. ко — радиус сферы с диаметральным сечением площади А о). Если считать, что (к - к0) < к0, то левую часть равенства (5.3) можно заменить на 2(к - к^/ко и, вводя численные значения коэффициентов РДО), получим в явном виде разложение по кубическим гармоникам для радиуса к

^к к-ко 48 v 64 v 128 v

63 с‘оК1о + “’

(5.4)

что решает задачу определения радиусов по площадям, если найдены значения параметров с. Можно также показать, что значения kо и А о с хорошей степенью точности соответствуют радиусу и площади диаметрального сечения сферы, имеющей объем реальной поверхности. Если, однако, отношение Ьк/к^ имеет заметную величину, то приближение, дающее равенство (5.4), уже неприменимо и нужно пользоваться формулой (5.3); в этом случае к/к0 задается квадратным корнем из правой части (5.3), увеличенной на единицу. Наибольшие погрешности в величине к, вызванные использованием (5.4) вместо (5.3), составляют примерно 4- 10-7 к0 для Na, 1О-6£о для К, 5 • 1О-5£о для Rb и 4- 10“3 к0 для Cs. Наилучшая достигнутая к настоящему времени точность экспериментального определения к составляет приблизительно 10-5 к0 для Na и К, 4- 10-5£0 для Rb и 3 • 1О-4£о для Cs, так что упрощающее приближение (5.4) становится неприменимым только в случае Cs.

При аппроксимации экспериментальных кривых, подобных приведенной на рис. 5.3, выражением (5.2), начало отсчета АГ или ДА следует рассматривать как подгоночный параметр, т.е. практически график экспериментальной зависимости AF от ориентации нужно перемещать вверх и вниз, пока не будет достигнуто наилучшее согласие с разложением по кубическим гармоникам. Полученная таким образом кривая дает значения ДА, равные Л — А 0, где Ло — среднее значение А по всем направлениям, поскольку все кубические гармоники К4, К6 и т.д. имеют по определению нулевые средние значения. После того как определены коэффициенты с4 и т.д. в разложении (5.2), можно найти значение А0 (и, следовательно, к0), если частота F (и, следовательно, площадь Л) абсолютно измерена

при некоторой определенной ориентации (лучше всего для симметричной ориентации, когда погрешности определения направления имеют меньшее значение). Таким образом, величина А 0 равна просто Л, деленной на правую часть (5.2), увеличенную на единицу. Нетрудно показать, что объем ПФ весьма близок к величине (4/3)и*о, т.е. к объему сферы радиуса к0. В действительности объем ПФ отличается от (4/3)тг*^ на величину, содержащую квадраты коэффициентов с, которая даже для Cs составляет всего несколько единиц на 10" 4. .

В ранних экспериментах Шенберга и Стайлза ПФ К и Rb с точностью до экспериментальной ошибки можно было описать, используя только три гармоники К4, К6 и К8, хотя небольшая добавка К10 несколько улучшала согласие для Rb. Однако более поздние работы Ли и Фаликова [258] (1968) и Темплтона [433] (1981) по К и Гертнера и Темплтона [155] по Rb и Cs показали, что для описания ПФ с точностью, соответствующей точности эксперимента по К, требуется учитывать примерно семь гармоник, для Rb — девять и для Cs — одиннадцать. При дальнейшем увеличении числа гармоник среднеквадратичные отклонения аналитического выражения от экспериментальных данных уже не уменьшались. Наиболее надежные измерения к настоящему времени были проведены Гертнером и Темплтоном [155] и Темплтоном [433], использовавшими введенный Мюллером и др. [304] (см. п. 5.2.1) метод вращения кристалла в «произвольной» плоскости для охвата широкого диапазона несимметричных ориентаций, а также точно измерявшими магнитное поле с помощью ЯМР и применявшими сложные вычислительные методы, позволяющие объективно анализировать большой объем данных. Точность результатов для Na также, вероятно, могла быть значительно улучшена при использовании этих методик. На рис. 5.4, а приведены контурные диаграммы зависимости величины ДА/А0 от направления для К, построенные в стереографической проекции. Видно, что ранние результаты Шенберга и Стайлза вполне хорошо согласуются с гораздо более точными результатами Темплтона [433]. Рис. 5.4, б обсуждается на с. 291. Контурные диаграммы величины М/*о для различных щелочных металлов, основанные на наиболее современных экспериментальных данных, показаны на рис. 5.5.

Объемы ПФ, полученные из точных абсолютных измерений частоты F при определенных ориентациях и из установленных значений коэффициентов с кубических гармоник, отвечают, как и следовало ожидать, одному электрону на атом. Для К, Rb и Cs точность

Рис. 5.4. а — контурная диаграмма ДД/Л0 для К в стереографической проекции, полученная расчетом с помощью семичленной формулы разложения по кубическим гармоникам [433]; контуры, рассчитанные по трехчленной формуле [395], показаны пунктиром там, где они расходятся с результатами расчета [433]. На контурах обозначены единицы х 10”4. 6 — контурные диаграммы величины [Д(dlnД/dp)/cpeднee значение din Л/dp] для К [433]; на контурах обозначены единицы х 10”3.

Примечание: строго говоря, для полного определения всей информации достаточно */б части каждой диаграммы, но включение этих избыточных Уб частей позволяет гораздо яснее представить характер изменения отклонений по поверхности сферы. Диаграммы были любезно предоставлены д-ром И. M. Темплтоном.

определения объема ПФ по эффекту дГвА лучше 10“3 (основная погрешность связана с определением коэффициентов с, а не с измерением абсолютных значений F); это немного превосходит точность теоретической оценки (несколько единиц на 10“3), ограниченной неопределенностью значения постоянной решетки. Для Na и Li объемы ПФ до сих пор еще не определены настолько точно с помощью эффекта дГвА, однако значительных расхождений с расчетными оценками не было обнаружено.

Результаты для Li, показанные на рис. 5.5, а, получены косвенным методом. Их точность существенно хуже, чем для остальных щелочных металлов. Сложность состоит в том, что монокристаллический образец Li, имеющего при комнатной температуре объем- ноцентрированную кубическую структуру (о.ц.к.), при охлаждении ниже 75 К претерпевает мартенситное превращение и перестает быть хорошим кристаллом. Аналогичная трудность существует и в случае Na, но мартенситный переход происходит при более низкой температуре (30 К) и с некоторыми предосторожностями совершен-

ный кристалл может быть охлажден ниже точки перехода без изменения структуры. Хотя для точного и надежного определения ПФ существенны измерения на хорошем монокристалле, некоторую полезную информацию полуколичественного характера можно получить с помощью одного остроумного косвенного метода, разработанного Рендлзом и Спрингфордом [360]. Они обнаружили, что в коллоидных растворах Li и Na в сильных магнитных полях (85 — 100 кГс) и при низких температурах (1,2 К) наблюдаются слабые осцилляции дГвА, и это, видимо, означает, что из-за отсутствия зародышей во многих частицах очень малого размера (типичные значения диаметра 5 мкм для Li и 10 мкм для Na) мартенситного превращения не происходит. Малая амплитуда эффекта связана, конечно, с ослабляющей интерференцией сигналов от случайно ориентированных частиц (см. п. 8.5.4, где этот вопрос более подробно обсуждается). Тот факт, что осцилляции для коллоидного Li примерно в 20 раз слабее, чем для сравнимого объема коллоидного Na, позволяет предполагать, что ПФ Li более искажена по сравнению с ПФ Na.

Этот качественный вывод подтверждается также различными масштабами структур биений в осцилляциях (рис. 5.6); искажения, показанные на рис. 5.5, а, оценены путем сравнения наблюдаемой структуры биений с результатами расчетов, полученными при усреднении осцилляций по всем направлениям на основе нескольких теоретических моделей ПФ. Оказывается, что масштаб структуры биений (т.е. средняя частота биений) довольно нечувствителен к де-

Рис. 5.5. Поверхности Ферми щелочных металлов, изображенные в виде контурных диаграмм отклонений kk/k^ полученных при аппроксимации с помощью разложения по кубическим гармоникам (диаграммы любезно предоставлены д-ром И. М. Темплтоном), а — Li [360]; на контурах обозначены единицы х 10“ 2; б — Na [254], данные аппроксимированы авторами работы [360]; единицы х 10" 4; в — К [433], единицых 10“ 4; г — Rb [155], единицых 10“3; д — Cs [155], единицых 10“2. В случаях г и д на опубликованных диаграммах присутствует сдвиг начала отсчета, они были построены для величины Ак2; на приведенных здесь диаграммах сдвиг начала отсчета отсутствует и результаты пересчитаны для получения значений Ы</ку Следует отметить, что диаграмма а в значительной степени схематична и приведена главным образом для того, чтобы дать общее представление о ПФ Li.

Примечание при корректуре: диаграмма а была ошибочно рассчитана для модели 1 работы [360], в результате чего значения ^k/kQ были увеличены примерно в 2,6 раза по сравнению с данными [360]. Результаты недавних экспериментов по аннигиляции позитронов в Li [504, 505] согласуются с точностью около 20% и дают значения величины 102 х ^k/kQi равные -0,5 для < 100>, 1,3 для < 110> и -0,5 для <111>. Форма ПФ сходна с изображенной на рис. 5.5, а, но величины отклонений заметно меньше, чем следует из дачных [360].

Рис. 5.6. Биения в дГвА-осцилляциях в коллоидных растворах Li и Na [360]. Кривые биения различаются в деталях, но, как правило, сходны по масштабу для разных образцов каждого металла; «частота» биений для Li примерно в 15 раз больше, чем для Na. Штриховой линией показана теоретическая кривая для Na, полученная на основании известной ПФ путем усреднения осцилляций по всем направлениям. Амплитуда измеряется в произвольных единицах, различных для Li и Na.

талям искажения ПФ, а зависит главным образом от величины искажения, определяемой параметром 3, равным

5 = [k(llO)-k(lOO)]/ko; (5.5)

коэффициенты разложения по кубическим гармоникам для каждой модели приняты пропорциональными 3. Наилучшая аппроксимация экспериментальных результатов, основанная на усреднении предсказаний четырех различных моделей, дает 3 = 0,026 ± 0,009, что, как и следовало ожидать, значительно превосходит искажение ПФ Na, для которой 3 = 0,0017. Очевидно, что этот остроумный метод может быть в лучшем случае только полуколичественным, в частности он дает мало сведений о детальной форме ПФ. Кроме того, метод обработки данных, с помощью которого получаются отклонения от сферичности, основан на различных упрощающих предположениях, так что фактическое значение 5 может содержать ббльшую ошибку, чем указывается знаком «± ». К счастью, надежность этого метода можно проверить, применяя его к коллоидному Na и сравнивая полученную из биений оценку величины 5 с ее значением, вычисленным из ПФ, восстановленной по данным экспериментов на монокристаллах. Такая проверка оказывается вполне обнадеживающей: она дает 5 = 0,0018 ± 0,0003, что хорошо согласуется со значением 5 для монокристалла, равным 0,0017. Проверкой может также служить неплохое согласие между экспериментальной кривой биений и расчетной, полученной из известной ПФ (рис. 5.6). Однако при таком способе проверки принимается, что ПФ имеет форму, определенную из измерений на монокристаллах, и необходимо лишь найти масштабный коэффициент. При вычислениях в случае Li так считать уже нельзя, поскольку форма ПФ известна лишь предположительно. .

Циклотронные массы для щелочных металлов были определены как из температурной зависимости амплитуды эффекта дГвА, так и из экспериментов по циклотронному резонансу в поликристалличе- ских образцах; результаты представлены в табл. 5.1. В пределах довольно невысокой достигнутой точности измерений не наблюдается заметной анизотропии массы для Na и К, но для Rb и Cs масса сильнее зависит от ориентации, чем радиус ПФ. Массы, полученные из экспериментов по циклотронному резонансу, как и должно быть, довольно близки к усредненным значениям, найденным из эффекта дГвА. Хотя данные по анизотропии слишком отрывочны и неточны, чтобы имело смысл вычислять распределение электронных скоростей на ПФ, как было описано в п. 5.2.2, можно исполь-

7/7$ ( калориметрические измерения)ж7/7$ ( калориметрические измерения)жТаблица 5.L Циклотронные массы и электронные удельные теплоемкости щелочных металлов

7/7$ ( калориметрические измерения)ж

7/7$ ( калориметрические измерения)ж

Эффект дГвА

Циклотронный резонанс

Li

1,86±10а

—

2,20

Na

1,24г

1,26

К

1,22®

1,217± 0,002я

1,24

Rb

1,19—1,25®

1,20е

1,37

Cs

1,35—1,5е- в

1,44е

1,80

т/т^

Примечание: для сферических поверхностей постоянной энергии должно выполняться соотношение т/т^ = 7/7$, где 7 Г — величина электронной удельной теплоемкости, измеренная калориметрическим методом, у Т — ее значение для газа свободных электронов той же плотности (7S = ВбоИ5 эрг- К 2 для атомного объема И- Точность определения величин т/т^ и 7/7s составляет обычно около ±0,02, за исключением указанных случаев. Данные по циклотронному

резонансу приведены для поликристаллов.

Ссылки на литературу: а — [360], б — [238], в — [155], г — [189], д — данные В. М. Уолша, приведенные в работе [8], е — [188], ж — [289] (в этой работе имеются ссылки на более ранние исследования).

зовать среднее значение массы т для оценки плотности состояний и, следовательно,, электронной теплоемкости, считая изоэнергети- ческие поверхности сферическими. Нетрудно показать, что отношение электронной теплоемкости 7 Г к 7ST, соответствующей модели свободных электронов с той же электронной плотностью, должно равняться просто т/т0. Как видно из табл. 5.1, для Na и К электронные теплоемкости, оцененные таким образом, находятся в разумном согласии с данными калориметрических измерений, но для Li, Rb и Cs существуют, по-видимому, заметные расхождения. Для Li это вполне может объясняться присутствием в образце для калориметрических измерений одновременно о.ц.к.- и г.п.у.-фаз, но причины расхождений для Rb и Cs пока не объяснены. Возможны, что при выделении электронного вклада в наблюдаемую теплоемкость оказывается неучтенной какая-то аномальная особенность решеточной теплоемкости и измерения при еще более низких температурах могли бы внести ясность. Однако следует иметь в виду и ту более интересную возможность, что расхождения имеют причину принципиального характера и стоило бы произвести более систематические и точные измерения по эффекту дГвА, так же как и измерения теплоемкости при более низких температурах.

Поверхности Ферми щелочных металлов исследовались также различными другими методами (см. обзор [393]) помимо использования эффекта дГвА, однако, за одним исключением, точность их пока недостаточна для выявления, не говоря уже об измерении, малых отклонений ПФ от сферичности. Исключение составляет метод аннигиляции позитронов, который обладает тем важным преимуществом, что не требует низких температур и тем самым позволяет избежать трудностей, связанных с мартенситным превращением в Li. В последних исследованиях Пасиги и Уильямса [319] было получено значение параметра анизотропии д = 0,029 [см. (5.5)], заметно меньшее, чем найденная ранее Донаги и Стюартом [122] величина около 0,05, но хорошо согласующееся с величиной, полученной из осцилляций дГвА в коллоидных растворах.

Расчеты зонных структур из первых принципов в целом правильно описывают общий характер изменения искажений ПФ в ряду щелочных металлов: значительные искажения ПФ у Li, почти идеальная сфера у Na и затем последовательное возрастание искажений ПФ у К, Rb и Cs. Однако качество согласия теоретических расчетов с наблюдаемыми величинами пока еще значительно уступает достигнутой экспериментальной точности (ссылки см. в работах [155, 255, 281, 360)). Причина, несомненно, заключается в том, что вычисление малых отклонений чувствительно к многим принятым приближениям; можно надеяться, что наличие точных экспериментальных данных будет способствовать улучшению качества аппроксимации.

Гораздо больший успех был достигнут при использовании параметризованных расчетов зонной структуры (разных степеней сложности), в которых согласие вычисленной ПФ с экспериментом достигается путем подгонки параметров. В простейшем варианте такого подхода (впервые примененном Ашкрофтом [30]) электроны рассматриваются как почти свободные, но вводится возмущение сравнительно слабым локальным псевдопотенциалом, определяемым небольшим числом коэффициентов Фурье Кно, К200, И211 и т.д. Ли [254] экспериментально определил поверхность Ферми Na и сумел добиться хорошего качества ее аппроксимации (с точностью лучше экспериментальной), используя всего один коэффициент И110 и выбрав его равным

| И110| = 0.23 эВ

(знак в этом расчете не определялся). Это значение находится в разумном согласии с результатами расчетов Хейне и Абаренкова [206] с использованием «модельного потенциала», согласно кото-

рым И110 = 4-0,25 ± 0,10 эВ. Однако этот относительно простой подход оказывается менее успешным для других щелочных металлов. Для Li это объясняется тем, что в его ионном остове нет р-электронов, так что для p-состояний уже не происходит компенсации, которая приводит к малой величине эффективного потенциала. Для К, Rb и Cs d-подобные зоны располагаются все ближе к уровню Ферми и применение локального псевдопотенциала уже не является хорошим приближением. Нелокальность впервые учли Ли и Фаликов [258] для К, введя внутри ионного остова квадратичную потенциальную яму, зависящую от орбитального момента количества движения; при этом было улучшено качество аппроксимации поверхности Ферми. Однако наиболее успешный параметризованный расчет [255] был основан на методе присоединенных плоских волн (ППВ) с тремя фазовыми сдвигами (для / = 0, 1 и 2) и энергией Ферми, рассматривавшимися в качестве параметров. С помощью только этих четырех подгоночных параметров оказалось возможным аппроксимировать надежно измеренную ПФ с точностью, отвечающей экспериментальной. Поразительно то, что столь небольшое число параметров оказывается достаточным при описании поверхностей, для определения которых с подобной точностью требуется введение десяти коэффициентов кубических гармоник.

Хотя обычная теория зонных структур, по-видимому, вполне успешно объясняет данные эффекта дГвА, Оверхаузер (см. [315, 316] и обзор с полной библиографией [317]) предложил для К радикально отличную электронную структуру, совместимость которой с экспериментальными результатами является пока спорным вопросом. Первоначальное предложение [315], основанное на данных оптических измерений, заключалось в том, что основное состояние К содержит волну спиновой плотности, но в дальнейшем Оверхаузер предположил, что более вероятна волна зарядовой плотности. Наличие волны любого типа означает, что поверхность Ферми нестабильна и в основном состоянии почти сферическая ПФ искажается, превращаясь в лимонообразную поверхность с осью, расположенной вдоль вектора волны, и с анизотропией линейных размеров, составляющей несколько процентов.

Чтобы объяснить отсутствие подобной анизотропии в ПФ, восстановленной по данным эффекта дГвА, Оверхаузер вначале предположил, что вектор волны зарядовой плотности всегда располагается вдоль магнитного поля в экспериментах по эффекту дГвА. Это означает, что площадь, соответствующая измеряемой частоте дГвА, всегда равна площади сечения, нормального к большой оси «лимона», и должна, как это и наблюдается в действительности,

лишь слабо зависеть от ориентации кристалла. Тогда ПФ, полученная из таких данных, должна представлять собой некоторую «псевдо »-поверхность, объем которой несколько меньше истинного объема, ожидаемого в случае одного электрона на атом. Однако, как говорилось ранее, в наиболее точных измерениях не замечено никакого отклонения объема, которое для этого требуется.

Джульяни и Оверхаузер [166] предположили, что волны зарядовой плотности имеют преимущественные кристаллографические направления (близкие к <110>), так что образец разбивается на отдельные домены. Это опять привело бы к значительному уменьшению анизотропии «лимона» и могло бы способствовать объяснению расхождения, которое в обзоре Оверхаузера названо «трудностью с эффектом де Гааза — ван Альфена». Однако, как указали О’Ши и Спрингфорд [312], такая доменная гипотеза привела бы к значительному размытию фазы (т.е. к интерференции между осцилляциями от различных доменов) и к изменению амплитуды с направлением, в то время как в хороших образцах наблюдается поразительное постоянство амплитуды^. Кроме того, интерференция способствовала бы такому уменьшению абсолютной амплитуды, которое трудно было бы согласовать с результатами экспериментов, описанных в гл. 9, из которых находится величина g, хорошо согласующаяся с определениями, основанными на совершенно иных методах.

Возможно, существует и будет найден убедительный способ согласования гипотезы волн зарядовой плотности с результатами экспериментов по эффекту дГвА, но пока этого не сделано, гипотезу следует рассматривать как недоказанную, несмотря на то что она, по-видимому, поддерживается некоторыми другими данными. Особенно поразительно объяснение, которое дали с помощью теории зарядовой плотности Оверхаузер и Хуберман [216] результатам эксперимента Каултера и Датарса [101]. В этих экспериментах были обнаружены нерегулярные осцилляции связанного с вихревыми токами вращающего момента, действующего на сферический образец К при его медленном вращении в магнитном поле. Возможно, волны зарядовой плотности имеют место в больших образцах, использовавшихся Каултером и Датарсом, но отсутствуют в малых образцах, применяемых в исследованиях эффекта дГвА. Решающим экспериментом было бы исследование анизотропии осцилля-

]) Последующие эксперименты О’Ши и Спрингфорда [506] поддерживают вывод о том, что аномалии в амплитуде осцилляций дГвА в К обусловлены неоднородностью образца. — Прим, при корректуре.

3

ций дГвА на больших образцах, в которых наблюдаются осцилляции вращающего момента, связанные с вихревыми токами.

Благородные металлы

Следующими по простоте поверхностями Ферми обладают одновалентные благородные металлы Си, Ag и Аи. Поскольку d-зоны этих металлов близки к уровню Ферми, их ПФ приобретают новые интересные черты. Как упоминалось в гл. 1, эффект дГвА в благородных металлах был обнаружен уже после того как Пиппард [338] провел исследование ПФ Си с помощью аномального скин-эффекта. Согласно полученным им результатам, ПФ, по-видимому, настолько сильно отличается от сферы, что она пересекается с гранями <111> зоны Бриллюэна (рис. 5.7, а). Это означает, что возникает многосвязная открытая поверхность с качественно новыми чертами. Большинство этих черт вскоре действительно были обнаружены в экспериментах по эффекту дГвА не только в Си, но также в Ag и Au.

Наиболее характерная особенность предложенной Пиппардом модели заключается в том, что в схеме расширенных зон должны существовать «шейки», соединяющие поверхности, расположенные внутри каждой ячейки. Таким образом, при направлении поля вдоль <111> возникают орбиты не только на большом центральном экстремальном сечении (В), но и на минимальном сечении на «шейке» (N). Соответственно должны одновременно наблюдаться низкочастотные осцилляции дГвА, связанные с «шейками», и осцилляции гораздо более высокой частоты, связанные с орбитами

Рис. 5.7. Поверхности Ферми благородных металлов, а — схематическое изображение ПФ в одной зоне, соединенной «шейкой» (N) с поверхностью в соседней зоне; показаны также орбиты на «пузе» в плоскостях, нормальных к направлениям < 1Н> и < 100>; б — г — схематические изображения ПФ в схеме расширенных зон; плоскости рисунка перпендикулярны соответственно направлениям < 100>, < 110> и <111>. Показано также положение четырехугольной «розетки» в б, «собачьей кости» и «лимона» вей шестиугольной «розетки» в г; скрытые части орбит обозначены штриховыми линиями; д — ж — различные экстремальные орбиты на ПФ Си, изображенные в точном масштабе; следует отметить, что в д «лимон» (L) и «собачья кость» (D) находятся в разных плоскостях, в е орбита 4-R и каждая из двух пар орбит В001 также расположены в разных плоскостях, в ж орбиты 6-R и N находятся в одной плоскости, а орбита Вш — в другой плоскости. Масштаб д — ж выбран таким, что наибольший «радиус» орбиты В^ равен l,06^s, где £$ — радиус сферы свободных электронов для* той же электронной концентрации; з — орбита 4-R для Ag приведена, чтобы показать некоторое сходство с «розеткой». Рисунки б — г взяты из работы Ли [256]; схемы д — з любезно рассчитаны Ч. М. М. Нексом.

на центральном сечении. Осцилляции на «шейках» впервые обнаружены в Au, их частота была примерно в 30 раз ниже, чем частота осцилляций на центральном сечении. Это означает, что радиус почти сферической части ПФ должен превышать радиус «шейки» чуть более чем в 5 раз. Вскоре затем были обнаружены «шейки» сравнимого размера в Си и несколько меньшего — в Ag. Характер увеличения частоты осцилляций при отклонении поля от направления <111> свидетельствует о том, что «шейка» имеет приблизительно гиперболическую форму.

Другие следствия многосвязной поверхности Ферми состоят в том, что возможны следующие орбиты:

орбита типа «собачьей кости» (D) в плоскости, нормальной к направлению <110> (рис. 5.7, в и д), площадь которой составляет примерно 0,4 площади центрального сечения; для этого направления, однако, орбита, обязанная центральному сечению, разбивается «шейками», и поэтому осцилляции, соответствующие орбите на центральном сечении, должны отсутствовать;

орбита в виде «четырехугольной розетки»^ (4-R) в плоскости, нормальной к направлению < 100> (рис. 5.7, б, в), площадь которой сравнима с площадью «собачьей кости»; осцилляции, соответствующие «розетке», могут наблюдаться одновременно с осцилляциями на центральном сечении;

орбита в виде «шестиугольной розетки» (6-R) в плоскости, нормальной к направлению < 111> (рис. 5.7, г, ж), ее площадь почти вдвое превышает площадь центрального сечения; соответствующие осцилляции могут наблюдаться одновременно с осцилляциями на «шейке» и на центральном сечении.

Экспериментальное наблюдение осцилляций, отвечающих «собачьей кости» и «четырехугольной розетке» для направлений соответственно < 110> и < 100> (и в небольших областях близлежащих направлений), а также отсутствие осцилляций на центральном сечении при ориентациях вблизи < 110> дают убедительное доказательство того, что низкочастотные осцилляции при ориентации <111> действительно отвечают «шейкам», предусмотренным в модели Пиппарда. Осцилляции, соответствующие «шестиугольной розетке», до сих пор наблюдались только в Ag и лишь несколько косвенным методом. Как будет обсуждаться в п. 6.7.1.3, наблюдать эти осцилляции трудно, поскольку на них накладывается сильная вторая гармоника осцилляций на центральном сечении, связанных с магнитным взаимодействием (частота этой гармоники всего на 5% превышает ожидаемую для «шестиугольной розетки»).

1) Для наглядности при изображении многосвязной поверхности часто используется грубая модель, состоящая из сфер, соединенных короткими перешейками. В такой модели эта орбита действительно напоминает четырехугольную розетку, однако для реальной ПФ оказывается, что она имеет форму почти квадрата, а не розетки (за исключением Ag, см. рис. 5.7, з). Название прижилось, несмотря на то что оно несколько неудачно.

После того как качественный характер модели можно было считать надежно установленным, следующим шагом было возможно более точное определение ПФ по детально измеренным зависимостям частот от ориентации. Ранние исследования методом импульсного поля показали, что частоты осцилляций на центральных сечениях, как и следовало ожидать, близки к расчетному значению

Рис. 5.8. Осцилляции дГвА, полученные при вращении образца Си в постоянном поле (49 кГс) в плоскости (НО) (начальная ориентация <100>) [198]. Одна осцилляция соответствует изменению частоты AF/F ~ 8х 10“5. Буквами обозначены следующие особенности. А; осцилляции 4-R накладываются на осцилляции В1(Ю вблизи < 100> (хотя орбите 4-R соответствует более низкая частота F, но она изменяется в зависимости от угла в 5 раз быстрее, чем частота для орбиты В100); Б: площадь центрального сечения (В^ проходит через минимум (стационарная точка фазы), более быстрые осцилляции связаны с нецентральными сечениями (В2); В: осцилляции В2 проходят через нуль вследствие обращения в нуль спинового множителя; Г: большая амплитуда осцилляций связана с наложением осцилляций от центральных и нецентральных орбит; Д; осцилляции Bj проходят через нуль вследствие обращения в нуль спинового множителя; Е: осцилляции В1 исчезают, потому что орбита разбивается «шейками»; Ж: увеличение вдвое чувствительности самописца. Минимум сразу после отметки 25°, возможно, обусловлен биениями, связанными с неоднородностью образца. Область между В и Д обсуждается также в приложении 5.

для сферы свободных электронов и что они изменяются не более чем на несколько процентов в областях направлений, в которых эти осцилляции наблюдаются. Для достаточно точного измерения этой слабой зависимости частоты от ориентации был разработан более чувствительный метод, чем прямой подсчет числа ^осцилляций, в котором наблюдались биения, возникающие при сложении осцилляций от исследуемого образца и от фиксированного эталонного образца (см. п. 3.4.1). На основе результатов, полученных таким методом [389], Роуф [364] предложил первое аналитическое описание поверхностей Ферми благородных металлов, в котором величины радиусов можно было считать надежно определенными с точностью до 1%.

Однако с появлением сверхпроводящих магнитов этот косвенный метод биений был превзойден гораздо более точным методом подсчета осцилляций при вращении образца в постоянном поле — тем же методом, который был использован для исследования щелочных металлов. Такие осцилляции, полученные Хольсом [198] при вращении кристалла Си в плоскости (ПО), показаны на рис. 5.8. Оставляя пока в стороне некоторые интересные особенности этих кривых вращения, можно сразу отметить, что центральная часть ПФ Си значительно более анизотропна, чем ПФ К, так как при вращении образца в сравнимом угловом интервале возникает гораздо большее число осцилляций. Зависимость от ориентации разности F — Fm, полученная из четко выраженных осцилляций на рис. 5.8, изображена на рис. 5.9 (кривая Вх\ Как можно видеть, в согласии с результатами прямых измерений частоты величина изменения составляет только около 1%, что, однако, примерно в 10 раз превышает соответствующее изменение для К (см. рис. 5.2 и 5.3). Кривую В2 на рис. 5.9 мы обсудим позже.

Простейшим аналитическим описанием ПФ, отражающим кубическую симметрию и многосвязность поверхности, является разложение Фурье вида ([198, 364])

Со = 3 ~ ^cos^akycos^akz + С2ОО(3 — £cosa/cx)

+ С2ц(3 — ^cosa^cos^akycos^akz)

+ С22о(3 - £ cos аку cos akz)

+ С31О(6 - ^cos^akycos^ak2 - £coslakzcos^aky)

+ C222G — cos akxcos akycos akz^

+ C321(6 - ^ cos % akx cos aky cos ^akz

— ^cos^akzCosakyCos^ak^ + ••• ,(5.7)

Рис. 5.9. Зависимость AF/F от ориентации в плоскости (НО) для Си, полученная из осцилляций, изображенных на рис. 5.8 [198]; ДГ = F - Fxw Fs — значение для сферы свободных электронов. Точки — экспериментальные данные, кривые получены расчетом с помощью описания ПФ в виде ряда Фурье; кривые В х и В2 соответствуют центральной и нецентральной экстремальным орбитам.

где а — постоянная решетки, а коэффициенты С служат подгоночными параметрами для согласования с экспериментальными данными. Значения параметров выбираются методом проб и ошибок: для определенных ориентаций вычисляются площади экстремальных сечений при пробных значениях параметров и затем сравниваются с экспериментальными данными по площадям. После того как согласие достигнуто, сравнение площадей при других ориентациях позволяет проверить качество аппроксимации. В принципе для нахождения семи параметров [как в формуле (5.7)] необходимо аппроксимировать семь экспериментально измеренных величин. В ранней работе Роуфа и Хольса абсолютная точность измерения площади составляла лишь около 1%, так что использовались только отношения площадей (т.е. значений /*), которые определялись гораздо более точно, а абсолютная шкала устанавливалась на основе требования равенства вычисленного объема поверхности, расположенной внутри основной ячейки, объему, отвечающему одному электрону на атом. В более поздних работах [56, 91] благодаря использованию ЯМР для измерения поля абсолютная точность была

Таблица 5.2. Значения коэффициентов С в разложении Фурье, описывающем ПФ благородных металлов [91]

сс

0и200

С2цС220С310Сред-

неква- ,дратич-

ное отклонение

Cu(5VI)1,6913140,006574

Ag(51V)-0,898274-0,120728

Au(5Vl)-2,263657-0,167472

-0,426081-0,018050- 0,0362834-10'4

-0,904789- 0,140823- 0,092808ЗЮ'4

-1,263244- 0,102181-0,1202806-10'4

Примечание: обозначения формул [Cu(5VI) и т.д.] принадлежат авторам работы [91]. В последнем столбце приведены среднеквадратичные значения разности между величиной F/F^ рассчитанной по этим формулам, и экспериментальными значениями. В работе [56] было показано, что при использовании тех же экспериментальных данных среднеквадратичные отклонения можно значительно уменьшить, если производить расчет по формуле с семью, а не с пятью членами; в этом случае ошибка аппроксимации становится сравнима с экспериментальной. Следует отметить, что формула Хольса (5.7) приведена в работе [56] не совсем правильно. Улучшенная семичленная формула приведена в недавней работе [92].

повышена и достигла относительной точности. Это позволило осуществить аппроксимацию, основанную только на значениях площадей; вероятно, на сегодняшний день это наиболее надежная аппроксимация поверхности с помощью разложения, подобного (5.7). Значения параметров С приведены в табл. 5.2. Окончательно вычисленный объем ПФ, как и должно быть, согласуется с величиной объема, отвечающей одному электрону на атом, с точностью лучше 0,1%. Это обеспечивает ценную дополнительную проверку надежности описания поверхности.

Как можно видеть из рис. 5.9 (кривая В^, зависимость от ориентации отношения (Г - Fx^/Fs (где Fs — значение для сферы свободных электронов), рассчитанная из выражения Хольса для Си (с семью коэффициентами), хорошо согласуется с экспериментальными значениями, полученными подсчетом осцилляций на кривой вращения. В других угловых диапазонах для различных плоскостей вращения и различных типов орбит наблюдается столь же хорошее согласие. Все это уже служит убедительным доказательством надежности описания поверхности, но еще более впечатляющим подтверждением служит одна из особенностей кривых, изображенных на рис. 5.8 (другие интересные аспекты отмечены в подписи). Это — наличие более быстрых дополнительных осцилляций, которые возникают при отклонении примерно в 15° от направления < 100>, а затем постепенно замедляются и исчезают при угле около 23°.

Рис. 5.10. Расчетные зависимости от IkI/£s площадей сечений на «пузе» ПФ Си, близких к центральным. Показаны зависимости для нескольких сечений, нормальных к различным направлениям в плоскости (110). В области углов от 16 до 23° от направления < 100>, кроме максимума при к = 0 (т.е. центрального сечения) имеется минимум на краю диапазона к, в котором существует замкнутая орбита. Этими нецентральными минимумами обусловлена кривая В2 на рис. 5.9.

Эти дополнительные осцилляции впервые наблюдали Джозеф и Торсен [223], которые правильно установили их происхождение от нецентральных экстремальных сечений ПФ. Эти нецентральные экстремумы являются минимумами, расположенными симметрично выше и ниже центрального максимума (рис. 5.10); их появление вызвано, разумеется, искажениями, связанными с «шейками», и они существуют только в ограниченных диапазонах направлений. Площади нецентральных сечений меняются с ориентацией быстрее, чем центральных, и поэтому дают более быстрые осцилляции. Точки на кривой В2 (рис. 5.9) получены путем подсчета таких осцилляций на нецентральных сечениях. Важно, что экспериментальные точки прекрасно согласуются с аналитическим описанием ПФ, которое было получено из совершенно независимых данных. Кроме того, что на расчетных графиках зависимости площади от к имеются минимумы при тех ненулевых значениях к, при которых наблюдаются дополнительные осцилляции, но и площади этих нецентральных минимальных сечений почти идеально согласуются с экспериментальными точками. Столь же замечательное согласие наблюдается и в других угловых диапазонах, в которых существуют нецентральные экстремумы (подробности см. в работе Хольса [198]). Эти факты находятся в ряду наиболее существенных доказа-

тельств важной роли поверхности Ферми как весьма точного физического понятия.

Наконец еще одним подтверждением подобного рода являются предсказанные Хольсом экстремальные сечения, имеющие форму «лимона» (рис. 5.7, в, д) в плоскости, нормальной к направлению (110>. Для Си расчетная зависимость площади от к, построенная для ориентации <110>, имеет минимум при значении к/к8 = 0,86, что соответствует несколько более низкой частоте осцилляций, чем для орбит типа «собачья кость». Ожидалось, что такие осцилляции должны иметь небольшую амплитуду, поэтому поиск их проводился при очень низкой температуре (0,4 К) и сильном магнитном поле (90 кГс), и они были действительно обнаружены по возникновению биений в более сильных осцилляциях на орбитах типа «собачья кость». Частота биений точно соответствовала ожидаемой. Хольс предсказал, что лимонообразные орбиты должны иметь место также в Au, но отсутствовать в Ag; однако до сих пор эти предсказания не были проверены.

Как и в случае щелочных металлов, оказался весьма успешным другой метод описания ПФ — с помощью расчета зонной структуры при подходящих значениях параметров (фазовых сдвигов и энергии Ферми). Такой подход был впервые применен Ли [256]. Используя только четыре параметра (три фазовых сдвига и энергию Ферми), он сумел достичь такой же точности при аппроксимации экспериментальных данных Хольса для Си, какая была получена самим Хольсом с помощью семичленного разложения Фурье. Еще лучшее согласие было достигнуто Новаком и Ли [308] при аппроксимации более точных экспериментальных результатов Коулриджа и Темплтона [91]. Преимущества такого метода по сравнению с применением разложения Фурье (параметры имеют физический смысл и их число меньше), разумеется, несколько уменьшаются вследствие большей трудоемкости вычислений, требуемых для получения одного значения площади сечения или радиуса ПФ. По-видимому, наиболее надежные значения подгоночных параметров для расчета параметризованной зонной структуры по методу ККР для Си, Ag и Au получены Коулриджем. Эти значения (а также ссылки на другие данные) приведены в таблице VI работы [47]. Было проведено также много других расчетов зонных структур из первых принципов, особенно для Си (см. обзор в работе [117]), но хотя они правильно предсказывают общую форму поверхностей Ферми, качество согласия с экспериментально определенными поверхностями не лучше 1% по радиусу и нелегко установить, какие именно из много-

численных предположений и приближений нуждаются в коррекции для улучшения согласия.

Первое существенное применение схемы расчета, описанной в п. 5.2.2, для получения распределения электронных скоростей на ПФ из зависимости циклотронной массы от ориентации было осуществлено Хольсом [198] для благородных металлов. Однако его расчет был основан на довольно немногочисленных и не очень точных данных. Впоследствии Ленджелер и др. [263] получили гораздо

Рис. 5.11. Зависимости циклотронной массы от ориентации в плоскостях (100) и (ПО) для Си [263]. Кривые получены при аппроксимации экспериментальных данных формулой с пятью подгоночными параметрами. Можно видеть, что 16 экспериментальных точек 7, полученных авторами работы [263], очень хорошо ложатся на расчетные кривые. Другие точки (2 — [95], данные экспериментов по эффекту дГвА, 3 — [240], данные экспериментов по циклотронному резонансу) приведены, чтобы дать некоторое представление о качестве согласия между различными экспериментами.

лучшие результаты, исходя из тщательных измерений зависимости амплитуды осцилляций от температуры при различных ориентациях. Зависимость циклотронной массы от ориентации для Си приведена на рис. 5.11; точность согласия с результатами измерения масс в экспериментах по циклотронному резонансу [240] составляет только несколько процентов, но эти расхождения, вероятно, находятся в пределах ошибки экспериментов по циклотронному резонансу. На основе значений циклотронных масс методом Хольса были построены две поверхности Си5 + и Си5— таким образом, что экстремальные сечения этих поверхностей при данной ориентации должны отличаться от экстремального сечения поверхности Ферми Си5, построенной по пятичленной формуле Хольса, на величину ±(d4/dc)Ac, где производная d4/dc получена из экспериментальных значений циклотронных масс, а малая величина Дс принята равной энергии Ферми для сферы свободных электронов, умноженной на б - 10" 4. (Хольс использовал в 10 раз большее значение величины Дс, что могло привести к заметным ошибкам.) Из формул Си5 + и Си5- вычислялись разности площадей и затем циклотронные массы для всех ориентаций. Зависимости этих расчетных циклотронных масс от ориентации (изображенные сплошными кривыми на рис. 5.11) находятся в прекрасном согласии со всеми шестнадцатью экспериментальными точками, хотя по существу для определения коэффициентов формул достаточно всего пяти точек. (В действительности применялась аппроксимация по методу наименьших квадратов, в которой использовались все имеющиеся точки.)

Отсюда может быть получено значение фермиевской скорости в любой точке на ПФ путем вычисления расстояния вдоль нормали между поверхностями « + » и «- ». Получающаяся в результате зависимость от ориентации отношения v/vs (где vs — скорость для сферы свободных электронов) показана на рис. 5.12 для Си, Ag и Au. Другой метод определения фермиевских скоростей основан на исследовании высокочастотных резонансных спектров магнитных поверхностных уровней. Результаты для Си [120] находятся в разумном согласии с данными экспериментов по эффекту дГвА, а для Ag [113] согласие менее удовлетворительно. Однако для применения этого метода требуются весьма совершенные образцы, и поэтому до сих пор он был использован только для немногих металлов. Кроме того, для получения значения скорости в определенной точке ПФ требуется точно знать радиус кривизны поверхности в этой точке, так что окончательный результат довольно сильно зависит от принятого описания ПФ.

Рис. 5.12. Зависимость скорости электронов от ориентации для благородных металлов [263]; и — значение скорости в точке на ПФ, которая определяется углами, отсчитываемыми от направления < 100) в плоскостях (100) и (ПО), a vs — скорость для сферы свободных электронов с той же электронной плотностью (vs = = 1,58-108 см-с-1 для Си и 1,40-108 см-с-1 для Ag и Au). Кривые для Си и Ag, представленные штрихпунктирными линиями, — результаты экспериментов [120] и [113] (соответственно) по магнитным поверхностным уровням.

Таблица 5.3. Сравнение электронной удельной теплоемкости благородных металлов, полученной из данных экспериментов по эффекту дГвА.и калориметрическим методом

7Z7S

Эффект дГвА [261] Калориметрические измерения [290]

Си

1,382±0,010

1,383 ±0,002

Ag

1,008 ±0,007

1,004± 0,002

Аи

1,074 ±0,007

1,083 ±0,002

Примечание: как объяснено в примечании к табл. 5.1, оценки величины 7Z7S* полученные из экспериментов по эффекту дГвА, по существу эквивалентны оценкам величины m/mQ, где т — значение циклотронной массы, соответствующим образом усредненное по ПФ. Из рис. 5.11 видно, что для Си это среднее значение определяется в основном массами центрального сечения почти сферической части («пуза») ПФ; это также справедливо для Ag и Au.

Вычисление объема £-пространства, заключенного между двумя поверхностями « + » и «— », дает значение плотности состояний для энергии, равной энергии Ферми, и, следовательно, электронную теплоемкость. Как можно видеть из табл. 5.3, полученные таким способом, результаты находятся в прекрасном согласии с непосредственно измеренными значениями электронных теплоемкостей, что служит еще одним подтверждением как точности описания соседних с ПФ изоэнергетических поверхностей, так и надежности теории.

Отношение экспериментально измеренной скорости в данной точке на ПФ к значению скорости, полученному с помощью расчета зонной структуры без учета многочастичных эффектов, дает обратную величину электрон-фононного увеличивающего множителя 1 + Х(*) (как обсуждалось в разд. 2.6, вклад электрон-электронно- го взаимодействия невелик). Зависимость X (Аг), полученная из значений скорости и, вычисленных Ли [257] методом расчета зонных структур, оказывается заметно анизотропной (рис. 5.13). Было найдено, что среднее по ПФ значение X равно 0,11, в то время как теоретические оценки колеблются от 0,12 до 0,15. Учитывая неопределенность скоростей, полученных из расчета зонной структуры, а также погрешность теоретических оценок X (типичная величина ошибки ±0,02), такое согласие следует считать удовлетворительным, хотя, конечно, оно было бы более убедительным, если бы существовали также теоретические расчеты величины анизотропии X.

Рис. 5.13. Анизотропия фононного увеличивающего множителя 1 + Х(к) для Си [263]. Величина множителя 1 + Мк) вычислена из отношения скорости и при данной ориентации, полученной Ли [257] с помощью расчета зонной структуры, в котором не учитывается электрон-фононное взаимодействие, к экспериментальному значению [263].

Наконец, мы должны отметить, что другие методы восстановления поверхностей Ферми, за немногими исключениями, дают результаты, которые полностью согласуются с данными экспериментов по эффекту дГвА. Так, измерения поперечных размеров ПФ с помощью магнитоакустического «геометрического» резонанса (например, Бом и Истерлинг [53]) и с помощью радиочастотного размерного эффекта Гантмахера (Гаспаров и Арутюнян [162]) дают такую же форму и размеры поверхности Ферми, хотя точность линейных размеров, полученных в работе [53], составляет только около 1% по сравнению с точностью 0,1 Vo в экспериментах по эффекту дГвА, а точность порядка 0,2Vo в работе [162] была достигнута только благодаря использованию исключительно чистых образцов и тщательного их ориентирования. Измерения магнетосопротивления подтверждают топологию поверхности и дают примерно правильные размеры «шеек» ПФ [353]. Существуют, однако, некоторые озадачивающие особенности в экспериментах по эффекту Холла и термомагнитному эффекту Ледюка — Риги. Величины этих эффектов должны быть связаны посредством закона Видемана — Франца и по существу определять разность объемов частей ПФ, для которых нормальные к Н сечения являются открытыми или шкрытыми (при данном направлении поля). Для направлений поля вдоль < 100> и <110> результаты измерений эффекта Холла [247] и >ффекта Ледюка — Риги [268] находятся в разумном согласии друг с другом и с предсказаниями, основанными на значениях диаметров

17-^07

«шеек» ПФ; при направлении поля вдоль < Ш> наблюдается резкое разногласие как между данными экспериментов [247] и [268], так и с расчетными значениями. Причина расхождений не выяснена, но следует отметить, что эти эксперименты являются достаточно сложными, и, возможно, некоторые из предположений, принятых в теоретическом расчете, оказываются невыполненными. Так, поле могло быть недостаточно сильным, чтобы обеспечить полное насыщение зависимости от поля измеряемой разности потенциалов или температур, закон Видемана — Франца, возможно, не надежен в присутствии магнитного поля^; полученные результаты оказываются чрезвычайно чувствительными к направлению вблизи <111>. Настораживает также то, что результаты Липсона [268] для направления <Ш>, видимо, сильно меняются от образца к образцу. Вероятно, стоило бы повторить эксперименты обоих типов, используя усовершенствованные методики; лучше всего было бы измерять одновременно эффект Холла и термомагнитный эффект.

Эксперименты по аннигиляции позитронов, имеющие, как уже говорилось, то преимущество, что они не требуют низких температур и, кроме того, нечувствительны к электронному рассеянию, подтверждают форму ПФ благородных металлов, определенную с помощью эффекта дГвА, хотя достигнутая точность составляет в лучшем случае около 1%. Однако интерпретация результатов этих экспериментов — довольно тонкое дело (хороший обзор относящихся сюда вопросов содержится в работе [42]), и однозначное восстановление поверхности Ферми по экспериментальном данным возможно только в относительно простых случаях (например, для щелочных или благородных металлов). В более сложных случаях имеет место скорее обратная ситуация — для известной ПФ можно провести сравнение результатов наблюдений с предсказаниями расчетов зонной структуры и проверить таким образом надежность расчетов. Метод аннигиляции позитронов становится действительно незаменимым для определения ПФ неупорядоченных сплавов, в которых осцилляции дГвА слишком слабы, чтобы их можно было наблюдать. Одним из примеров, демонстрирующих значение этого метода, являются эксперименты в Си, результаты которых указывают на то, что «шейки» ПФ Си продолжают существовать и при увеличении числа электронов на атом вплоть до 30% (например, путем введения 30% Zn); диаметр «шейки» для таких сплавов, грубо говоря, удваивается по сравнению с ПФ чистой меди [43].

!) Выполнимость закона Видемана — Франца зависит от роли неупругих столкновений (см. [507]). — Прим. ред.

Хотя именно исследования аномального скин-эффекта привели Пиппарда [338] к предположению о качественном характере ПФ Си, подтвержденном впоследствии, однако этот эффект дает довольно сложную геометрическую информацию (усредненные по окружности значения радиусов кривизны^), которую нельзя использовать для однозначного восстановления ПФ по экспериментальным данным. Подобно ситуации с экспериментами по аннигиляции позитронов возможен обратный путь — расчет ожидаемой величины скин-эффекта при определенной ориентации поверхности образца, если известна форма ПФ. Такие вычисления впервые были про-

Рис. 5.14. Аномальный скин-эффект в Си (а) и в Ag (б). Кривые — зависимости поверхностного сопротивления, рассчитанные Хольсом [198] по его семичленным формулам для поверхностей Ферми. Точки —- экспериментальные данные [300, 338]. Единица по оси ординат соответствует поверхностному сопротивлению для сферической ПФ.

*> Усреднение производится по линии на ПФ, где vn = 0, п — нормаль к поверхности металла. — Прим. ред.

ведены Роуфом [364] и модифицированы Хольсом [198], использовавшим более точные данные своих экспериментов по определению ПФ; как видно из рис. 5.14, отклонение расчетных значений поверхностного сопротивления Си и Ag от экспериментальных ненамного превышает погрешности эксперимента. Эти небольшие расхождения, вероятно, можно устранить введением очень тЛалых поправок к ПФ, хотя отчасти они могут быть обусловлены неучтенными экспериментальными ошибками.

«Простые» поливалентные металлы

Как в общих чертах отмечалось в историческом введении (разд. 1.2), модель «почти свободных электронов» (ПСЭ), оказывается, дает удивительно точное представление о форме поверхностей Ферми многих поливалентных металлов, которые можно считать «простыми» в том смысле, что их d-зоны не слишком близки к уровню Ферми. В самом грубом приближении «свободных электронов» (СЭ) поверхность — просто сфера в расширенном к -пространстве, объем которой отвечает правильному числу валентных электронов на атом. Если все части этой сферы, попадающие в различные зоны, перенести в периодически повторенную основную зону (в первую зону Бриллюэна), то мы получим несколько отдельных листов ПФ, как показано на рис. 5.15. Решеточный потенциал, или,

Рис. 5.15. Поверхности Ферми в приближении свободных электронов для трех- и четырехвалентных металлов со структурой г.ц.к. [201]. Заметим, что поверхности в третьей зоне смешены на половину вектора обратной решетки в направлении ГХ, чтобы можно было более отчетливо показать форму «монстра», а поверхности в четвертой зоне смещены аналогичным образом в направлении VL.

точнее, эквивалентный слабый псевдопотенциал, искажает поверхность исходной сферы там, где она пересекает границы зоны, что приводит к некоторому изменению в деталях перенесенных листов. Такую модель впервые предложил Голд [168] для интерпретации результатов своих экспериментов по эффекту дГвА в РЬ. Как впоследствии показал Харрисон [201], эта модель довольно универсальна и может быть использована для многих других металлов. Вскоре затем появилось теоретическое объяснение того, почему для описания ПФ достаточно возмущения, вызванного только слабым псевдопотенциалом (см. обзор [207]). Алюминий представляет собой один из наиболее простых примеров для понимания того, как с помощью анализа данных дГвА можно определить значения коэффициентов псевдопотенциала и детальную форму ПФ. Мы также кратко обсудим соответствующий анализ для РЬ, который значительно сложнее, поскольку приходится учитывать спин-орбиталь- ное взаимодействие, и для ряда двухвалентных гексагональных металлов, в которых появляются интересные усложнения вследствие магнитного пробоя.

Алюминий

Характерная особенность А1 заключается в том, что трехэлек-

Гис. 5.16. Плоскость (^200» * ^щО» разделенная на области Л, В, Ср С2 и£>, каждая не которых соответствует характерной топологии ПФ А1 [29]. Величины К^ и II , j j I выражены в ридбергах.

тронная сфера проходит очень близко к вершинам РК первой зоны Бриллюэна, так что даже весьма малый возмущающий потенциал может изменить форму острых углов дырочной поверхности в модели свободных электронов во второй зоне и вид довольно тонких рук «монстра» в третьей зоне (рис. 5.15). Испольвуя только два псевдопотенциальных коэффициента И200 и Кш и расчет с помощью четырех ортогонализованных плоских волн, Ашкрофт [29] показал, что в различных областях значений этих двух параметров возникают различные топологические ситуации. Так, в области А плоскости Поо*Пп* (рис. 5.16) «монстр» имеет ту же связность, что и для Поо = Пи = 0 (случай строго свободных электронов), в области Сх «монстр» разбивается на «четырехугольные кольца» (рис. 5.17), в области D «монстр» полностью распадается на отдельные «сосиски», а между дырочными поверхностями во второй зоне образуются тонкие туннели и т.д.

В каждом из этих топологических случаев имеется несколько очень малых экстремальных площадей, принадлежащих либо сечениям «рук монстра» в местах их присоединения, либо сечениям туннелей, которые соединяют поверхности во второй зоне. Это приводит к сложной зависимости от ориентации соответствующих очень низких частот дГвА (F ~ 3-105 Гс), вид которой различен в каждом топологическом случае. Оказалось, что только в области Сх значения И200 и 1И1П1 воспроизводят экспериментально наблюдаемую картину, а точка а дает почти идеальное количественное

[00?]

Рис. 5.17. «Четырехугольные кольца», на которые разбивается многосвязный «монстр» (рис. 5.15) в А1 для пары значений коэффициентов И200 и 1ИН11, соответствующих точке а на рис. 5.16 [454].

Рис. 5.18. Зависимость периодов осцилляций низкой и средней частоты для А1 в плоскости (100) (а) и в плоскости (ПО) (б). Кривые рассчитаны по модели Ашкрофта; точки — экспериментальные данные [251].

согласие (рис. 5.18) не только для наблюдаемых очень низких частот, но также для средних частот ф ~ ЗЮ6 Гс), соответствующих утолщенным частям «рук», и для высоких частот (Г - 4-108 Гс), отвечающих поверхности во второй зоне. При разработке своей модели в 1963 г. Ашкрофт располагал только довольно отрывочными данными экспериментов по эффекту дГвА — результатами ранних экспериментов Шенберга [381], более обширными данными Ганнерсена [192], предварительными результатами Ларсона и Гордона, работа которых ([251], 1967 г.) еще довольно долго оставалась одним из самых основательных исследований, а также некоторыми высокочастотными данными Пристли [354]. Любопытно,

что в это время в Москве Вольский также занимался подробным изучением осцилляций низких и средних частот, но узнал о расчетах Ашкрофта только после завершения своих* экспериментов. Надежность как теории, так и эксперимента была убедительно доказана почти совершенным согласием, которое Вольский [454] получил между данными своих экспериментов по частотам и tfx расчетными значениями, которые были ему присланы Ашкрофтом.

Разумеется, более высокие частоты, обусловленные поверхностью во второй зоне, менее чувствительны к точному выбору параметров К, чем низкие частоты. Тем не менее выяснилось, что выбор, определяемый согласием с весьма низкими частотами, дает значительно лучшие результаты, чем модель совершенно свободных электронов. Таким образом, несколько парадоксально ключ к точному определению всей ПФ дают именно низкие частоты, связанные с очень тонкими деталями поверхности — случай, когда «хвост размахивает собакой».

Последующие исследования [19, 86] привели к значительному улучшению точности измерений частоты и к прояснению ряда непонятных ранее особенностей с помощью учета эффектов магнитного взаимодействия и магнитного пробоя, но модель Ашкрофта продолжает оставаться пригодной для описания ПФ А1. Полученные им значения коэффициентов V и энергии Ферми подверглись только небольшим изменениям, связанным с использованием более точного значения постоянной решетки и с небольшими изменениями экспериментальных значений F !). То, что значения псевдопотенциаль- ных коэффициентов, полученные из экспериментальных данных по частотам дГвА, действительно имеют приписываемый им физический смысл, подтверждается несколькими обстоятельствами. Во- первых, наблюдается согласие с оценками, полученными из основ зонной теории в пределах довольно значительной неопределенности этих оценок [23]. Во-вторых, с помощью значений псевдопотенциалов можно рассчитать удельное сопротивление жидкого алюминия, и Ашкрофт и Голд [31] получили хорошее согласие с экспериментальными данными. Подтверждением служат также результаты экспериментов по исследованию зависимости формы ПФ от деформации, которые будут обсуждены в разд. 5.9.

^Р. М. Holtham, частное сообщение (1979).

Наконец, следует отметить, что ПФ In в значительной степени подобна ПФ А1 ([217, 448]) и факты, приведенные для А1, по крайней мере качественно верны и для In. ПФ In будет коротко обсуждена в разд. 5.6.

Свинец

Как уже упоминалось, в свинце дело обстоит сложнее, чем в алюминии, поскольку в нем нельзя пренебрегать спин-орбитальным взаимодействием. Андерсон и Голд [18] проанализировали свои весьма подробные данные по эффекту дГвА с помощью четырех

Рис. 5.19. Зависимость периодов осцилляций (в логарифмическом масштабе) для РЬ в плоскости (ПО). Кривые рассчитаны на основе модели с четырьмя параметрами, обсуждаемой в тексте [18].

ортогонализованных плоских волн, используя, как в схеме Ашкроф- та, псевдопотенциальные коэффициенты И200 и К1П, но ввели также параметр спин-орбитального взаимодействия X и рассматривали энергию Ферми f как еще один подгоночный параметр. Как видно из рис. 5.19, им удалось найти набор значений К, X и f, которые дают в целом очень хорошее согласие с экспериментальными данными, в то время как в ранних расчетах без учета спин-орбитального взаимодействия качество согласия в целом было невысоким. Вследствие большей сложности задачи пришлось ввести и больше упрощающих предположений, чтобы сделать вычисления выполнимыми, и точный физический смысл параметров, вероятно, более сомнителен, чем для А1. Можно упомянуть, например, что полученное значение параметра X примерно на 50% превышает его величину для свободного атома — это заметно большее расхождение, чем можно было бы ожидать; кроме того, вероятно, менее надежна концепция локального псевдопотенциала. В более поздних исследованиях Андерсона, О’Салливана и Ширбера [20], заново определивших абсолютные частоты для симметричных ориентаций со значительно улучшенной точностью, было показано, что при учете нелокальности можно получить лучшее согласие с экспериментальными данными.

Двухвалентные гексагональные металлы

Ряд Be, Mg, Zn и Cd представляет интерес как для дальнейшей иллюстрации применения модели свободных электронов, так и в смысле демонстрации сложностей, вызванных магнитным пробоем (см. гл. 7). В результате магнитного пробоя в магнитных экспериментах следует считать, что ПФ имеет разный вид в «слабом» и «сильном» полях. В слабых полях, поскольку спин-орбитальное расщепление разрывает связи в плоскости ALH, следует использовать «однозонную» картину (рис. 5.20, а — е), и соответствующая ПФ свободных электронов состоит из:

дырочных «карманов» в первой зоне;

дырочного «монстра» во второй зоне, который многосвязен в углах как вдоль гексагональной оси, так и в перпендикулярных ей направлениях;

«иголок» или «сигар» вдоль ребер в третьей зоне;

«линзы» в центре третьей зоны;

неполных дисков, которые перекрываются, образуя «четырехкрылые бабочки» в третьей зоне;

электронных сегментов, которые перекрываются и образуют «сигары» в четвертой зоне.,

При достаточно сильном поле (102 — 103 Гс для Be и Mg, но

Рис. 5.20. Поверхность Ферми в приближении свободных электронов для двухвалентного гексагонального металла с отношением с /а, соответствующим Mg (по работе [232]). Все схемы, кроме ж, относятся к однозонной картине, а — дырочный «карман» в первой зоне, центрированный в точке Н (два полных «кармана» на зону); б — дырочный «монстр» во второй зоне; в — «сигара» в третьей зоне, центрированная в точке К (две «сигары» на зону); г — «линза» в третьей зоне, центрированная в точке Г; д — «бабочка» в третьей зоне, центрированная в точке L (три «бабочки» на зону); е — «сигара» в четвертой зоне, центрированная в точке L (три на зону). В двухзонной картине одна /б часть «кармана» а прикладывается к каждой из 12 рук «монстра» сверху и снизу плоскостей типа ALH на схеме б; замыкающие грани двойной зоны расположены на расстоянии НК сверху и снизу граней ALH одинарной зоны. Верхняя (или нижняя) половина каждой «бабочки» соединяется с нижней (или верхней) половиной каждой «сигары» в четвертой зоне, образуя «раковину» ж; на одну зону приходится шесть «раковин». Для понимания схем важно иметь в виду, что на схеме б показано только по одной типичной точке каждого вида; таким образом, в центре каждой прямоугольной грани показанной зоны и соседних зон имеется точка М, в каждой вершине шестиугольной грани имеется точка Н и т.д.

104 — Ю5 Гс для Zn и Cd) происходит магнитный пробой и электроны могут преодолевать малые энергетические щели в плоскости, «не замечая» их; в этом случае следует пользоваться двухзонной картиной. Эффективная ПФ свободных электронов теперь существенно видоизменяется в следующих отношениях:*

«карманы» первой зоны перекрываются с «монстром» в точках Н и «монстр» перестает быть связанным вдоль гексагональной оси, хотя еще соединен в этих точках с соседними «монстрами», расположенными по бокам;

поверхности типа д и в рис. 5.20 комбинируются, и в результате возникают поверхности, напоминающие приоткрытые створки раковин (ж).

Иголки и линза не изменяются. В промежуточных полях ситуация сложнее и ПФ имеет черты обеих схем.

Конкретные размеры фигур в каждой схеме зависят от отношения с/а, а при слишком большом или слишком малом значении этого отношения некоторые из фигур отсутствуют. Кроме того, разумеется, модель свободных электронов представляет собой лишь довольно грубое приближение к истине и в реальных металлах некоторые размеры существенно отклоняются от значений, предсказываемых этой моделью, вплоть до полного исчезновения отдельных особенностей. При столь большом числе различных листов сложной формы каждому направлению поля соответствует довольно много (обычно около шести) экстремальных сечений. Соответственно картина ориентационной зависимости частот дГвА исключительно сложна и с трудом поддается надежной расшифровке.

Избежать осложнений, связанных с магнитным пробоем, можно в экспериментах при достаточно слабых полях. Кеттерсон и Старк [232] показали, что при использовании исключительно чистых образцов Mg возможно наблюдение магнитоакустических осцилляций (см. п. 4.8.2) в полях вплоть до 100 Гс, когда осцилляции дГвА уже нельзя обнаружить вследствие малой амлитуды. Измерения магнитоакустических осцилляций дают экстремальные поперечные размеры поверхности Ферми, что помогает разобраться в ее сложной геометрии.

Много усилий было затрачено на еще более точные измерения частот дГвА и частот магнитоакустических осцилляций, и немалую помощь при определении топологии поверхности и ее изменений в связи с магнитным пробоем оказали результаты измерений магнетосопротивления. Теперь можно считать установленной достаточно четкую картину ПФ как в слабых, так и в сильных полях, и отклонения от модели свободных электронов были успешно объяснены либо с помощью псевдопотенциалов, либо путем расчетов зонной структуры из первых принципов.

Мы не будем пытаться подробно описать все наблюдаемые особенности, а упомянем лишь некоторые из наиболее простых результатов. «Сигары» и «линза» третьей зоны — самые легкие для идентификации части ПФ, их форма и размеры были точно определены. Выяснилось, что их линейные размеры обычно очень близки к предсказываемым моделью свободных электронов. Случай Zn особенно поразителен, поскольку радиус сферы свободных электронов только на 0,5% превышает радиус вписанной в шестиугольник окружности, так что даже малейшее искажение уничтожило бы перекрытие, обусловливающее «иглы». Тем не менее оказывается, что диаметр и длина «иглы» (в данном случае это более подходящее название, чем «сигара», ввиду малой толщины) почти точно совпадают со значениями, предсказываемыми моделью свободных электронов. Трудно, однако, достичь точности сравнения, лучшей 20 — 30%, поскольку размеры очень сильно зависят от отношения с/а, которое для низких температур недостаточно хорошо известно. Частота дГвА для «иглы» Zn (F = 1,5 • 104 Гс) — едва ли не самая низкая из наблюдавшихся частот для всех металлов, не считая Bi. Вследствие сильной зависимости диаметра «иглы» от отношения с/а, эта частота оказывается весьма чувствительной к давлению [313], как видно из рис. 5.31 (см. с. 294), увеличиваясь примерно в 2,1 раза при давлении 3500 атм, что близко к ожидаемому значению при соответствующем изменении (от 1,830 до 1,824) величины с/а. Для Mg «сигара» имеет почти точно треугольное сечение, получающееся в модели свободных электронов, хотя она несколько толще и длиннее [417]. Для Be «сигара» значительно толще, круглее и несколько длиннее, чем следует из модели свободных электронов [465], а для Cd отношение с/а достаточно велико, чтобы ликвидировать «сигару», и она, действительно, не наблюдается [442]. Размеры «линзы» также очень близки к предсказываемым моделью свободных электронов, за исключением Be, у которого «линза» полностью отсутствует (поскольку Be имеет наименьшее отношение с/а, размеры «линзы» также должны быть минимальны).

Изучение «монстра» значительно усложняется вследствие эффектов магнитного пробоя. Сложности обусловлены не только переходом от однозонной к двухзонной схеме и соответствующими изменениями возможных экстремальных сечений, но и тем, что и в двухзонной схеме появляется дополнительная возможность пробоя в целом ряде мест, где зонная щель мала. Таким образом, в достаточно сильных полях становятся возможными самые разнообраз-

К'К'КК

К'

К'

К

К

Рис. 5.21. ПФ Cd [442]. а — в однозонной картине разломанный «монстр» превращается в непрерывный «цилиндр» (он и нарисован), каждое минимальное сечение цилиндра центрировано в точке Н, а каждое максимальное (трехлепестковое) центрировано в точке К. б — в двухзонной картине дырочный «карман» накрывает сверху и снизу часть цилиндра, расположенную между точками Н и Н, образуя замкнутую поверхность, которая центрирована в точке К и почти достигает точек К сверху и снизу (в двойной зоне, разумеется, концевые точки К уже не эквивалентны центральной точке К).

ные виды новых орбит. Классический случай представляют «гигантские» орбиты, которые впервые наблюдались в Mg для направления поля вдоль’гексагональной оси [355]: вместо того чтобы двигаться вокруг «монстра» по орбите, лежащей на его внешней поверхности, в сильных полях электрон «предпочитает» двигаться по большой круговой орбите, составленной из сегментов «монстра» и «сигары» (см. рис. 7.1).

Другая интересная особенность наблюдается в случае Cd [442], где «монстр» разламывается по каждой из «талий» (рис. 5.20). Шесть образующихся частей могут быть затем сгруппированы вокруг ребра зоны НК, образуя гофрированный цилиндр трехлистного сечения, который в периодической зонной схеме неограниченно продолжается вдоль гексагональной оси (рис. 5.21, а). Дырочные «карманы» первой зоны достаточно велики и простираются почти от К до К; в очень сильных полях, когда справедлива двухзонная картина, половина каждого «кармана» накрывает цилиндр сверху и снизу и возникает замкнутая область, показанная на рис. 5.21, б.

С экспериментальной точки зрения в этом ряду металлов Be обладает простейшей ПФ, что несколько парадоксально, так как для

Рис. 5.22. ПФ Be. а, б — сечения двойной зоны, на которых показаны «сигара» и «венок» [464]. ПФ и зона Бриллюэна (в обратных атомных единицах) имеют следующие размеры: «сигара»: ab = 0,180, cd = 0,183, ef = 0,96; «венок»: gh = kl = = 0,23, Г/ = Гл = 0,5 7, on = 0,02; зона Бриллюэна: ГЛ = 0,464, ГК = 0,971; в — перспективное изображение «венка» [274].

нее отклонения от модели свободных электронов выражены сильнее всего. Соответствующее спин-орбитальное расщепление столь мало, что во всех полях, достаточно сильных, чтобы вызвать заметный эффект дГвА, справедлива двухзонная схема; кроме того, «линзы» и «раковины» полностью подавлены. ПФ состоит только из «монстра» в первой и второй зонах (который полностью помещается в зоне и имеет очень тонкие «талии») и «сигар» в третьей зоне; «монстр» иногда называют «венком» (рис. 5.22). Вследствие этой относительной простоты поверхности Уотс [464, 465] смог определить основные размеры и «сигар», и «венка», не прибегая ни к какой конкретной модели; можно с удовлетворением отметить, что, согласно его анализу, объемы «монстра» и «сигар» совпадают в пределах экспериментальной ошибки, как это и должно быть в отсутствие других областей ПФ. Следует заметить, что «сигара» Be имеет центральное сечение минимальной площади в плоскости, нормальной к гексагональной оси, и два нецентральных максималь-

ных сечения по краям. Это приводит к возникновению биений между двумя слегка различающимися частотами; такая ситуация имеет место в некоторых экспериментах, которые мы обсудим в дальнейшем (см. п. 6.7.1.2, разд. 6.8 и 6.9).

Как уже говорилось, выясняется, что отклонения от модели строго свободных электронов могут быть хорошо описаны с помощью псевдопотенциалов, хотя в определенной степени следует учитывать нелокальность и спин-орбитальное взаимодействие, особенно в случае Cd ([234] (Mg), [419] (Zn, Cd), [440] (Be)). Результаты также хорошо согласуются в пределах собственных погрешностей вычислений с расчетами зонной структуры из первых принципов, например Фаликова [141] для Mg и Лаукса и Катлера [274] для Be.

Переходные металлы

Поверхности Ферми поливалентных переходных металлов (как с незаполненными rf-оболочками, так и с незаполненными /-оболочками) сложнее, чем те ПФ, которые мы до сих пор рассматривали. Это объясняется главным образом тем, что уровень Ферми находится как раз в середине rf-зоны, так что модель свободных электронов нельзя использовать даже в качестве грубого приближения при интерпретации сложного спектра частот дГвА. Дополнительное усложнение заключается в том, что в некоторых из этих металлов достаточно сильное обменное взаимодействие приводит к ферромагнетизму, а в Pt и Pd электрон-электронное взаимодействие обусловливает сильный парамагнетизм. Несмотря на эти трудности, за последние 15 лет произошел значительный прогресс в расшифровке сложных ПФ большинства переходных металлов (обзор см. в работе [284]). Это произошло как благодаря усовершенствованиям в технологии, которые дали возможность получать чистые и достаточно совершенные монокристаллические образцы, так и благодаря улучшению измерительной и вычислительной техники и развитию теории зонной структуры. Все это позволило успешно интерпретировать экспериментальные данные. В последующем рассмотрении мы остановимся только на некоторых важных моментах и приведем несколько примеров для иллюстрации сложности результатов. Мы не будем обсуждать редкоземельные металлы (с незаполненными /-оболочками); отметим только, что они обладают особенно сложными поверхностями Ферми, о которых пока еще далеко не все известно; подобный обзор содержится в работе [480].

Неферромагнитные переходные металлы с незаполненными d- оболочками

Существенная общая всем черта рассчитанных зонных структур переходных металлов [270], которая подтверждается экспериментами, заключается в том, что они весьма сходны между собой. Поэтому можно переходить от одного такого металла к другому, имеющему ту же кристаллографическую структуру, просто смещая положение уровня Ферми и производя минимальную подгонку некоторых деталей в отдельных зонах. В качестве хорошего примера использования такого подхода, основанного на представлении о «жесткой зоне», можно назвать проведенное Коулриджем [82] исследование ПФ Rh. В то время еще не было сделано теоретического расчета зонной структуры Rh, однако Коулридж сумел получить хорошее представление о ее характере путем небольшой модификации теоретического расчета для зонной структуры неферромагнитного Ni (которая в свою очередь подобна структуре Си). Ему удалось добиться достаточно детального согласия своих данных по эффекту дГвА с ПФ, основанной на такой «самодельной» зонной структуре, а проведенные впоследствии подробные расчеты зонной структуры специально для Rh [16] подтвердили оправданность этого подхода. Представление о «жесткой зоне» особенно хорошо подтверждается поразительной схожестью ПФ Nb и Та, Мо и W, Pd и Pt. Эти металлы имеют попарно одинаковые кристаллические структуры и в результате одно и то же количество электронов для заполнения зон, так что если зоны практически одинаковы, то одинаковыми должны быть и поверхности Ферми.

Вольфрам служит хорошим примером одного из ранних определений ПФ переходных металлов, выполненного достаточно детально [165]. Сложность спектра частот дГвА (определенных усовершенствованным методом импульсного поля) демонстрируется рис. 5.23. Как упоминалось ранее, в дополнение к основным ветвям F-спектра появляется также много неосновных ветвей (гармоник и комбинационных частот, обязанных магнитному взаимодействию). Последовательная расшифровка спектра была осуществлена главным образом с помощью модели ПФ, основанной на расчетах зонной структуры из первых принципов и слегка модифицированной для согласования с экспериментальными данными. ПФ в окончательном виде показана на рис. 5.24. Оказалось возможным аналитически описать детали различных листов с помощью довольно сложных формул, включающих значительное число подгоночных па-

Рис. 5.23. Спектр частот дГвА для W [165]. Точки — экспериментальные данные, сплошные кривые рассчитаны на основе модели ПФ, показанной на рис. 5.24; греческие буквы относятся к экстремальным орбитам, указанным на рис. 5.24. Штриховой линией показаны некоторые экспериментальные данные, приписываемые гармоникам или комбинационным частотам. Заметим, что масштаб по оси ординат логарифмический.

раметров. Из рис. 5.23 видно, что полуэмпирическая модель ПФ дает прекрасное согласие со спектром частот дГвА. Как уже говорилось, ПФ Мо [412, 210] в общих чертах весьма сходна с ПФ W, хотя конкретные размеры отдельных частей несколько различаются.

В более поздних исследованиях Аргоннской группы (обзор см. в работе [103]) весьма успешно применялся расчет с помощью параметризованной зонной структуры методом ККР. Из значений частот дГвА и циклотронных масс были определены (при сравни-

Рис. 5.24. Изображение ПФ W в перспективе [165]; греческими буквами обозначены экстремальные орбиты, соответствующие различным частотам на рис. 5.23. Для большей наглядности «прямоугольность» тг-орбит несколько преувеличена и показаны лишь эллипсоиды (на которых находятся p-орбиты), лежащие на передних гранях зоны.

тельно небольшом числе введенных параметров) не только поверхности Ферми, но и скорости электронов для Nb, Pd и Pt. Если в случае благородных металлов для хорошего описания ПФ было достаточно трех фазовых сдвигов и энергии Ферми f в качестве параметров, то для упомянутых переходных металлов требуется введение еще одного или двух добавочных параметров. Значения циклотронных масс также могут быть аппроксимированы при исполь-

зовании в качестве подгоночных параметров производных от фазовых сдвигов по энергии. В результате достигается очень хорошее согласие, причем особенно убедительным (как и в случае благородных металлов) является то, что из полученной ПФ следует существование определенных особенностей, например нецентральных экстремумов при некоторых ориентациях, которые Совершенно не использовались при установлении вида ПФ. Другим важным подтверждением надежности определения является превосходное согласие (для Nb и Pt примерно такое же, как для благородных металлов) суммарного объема различных листов ПФ с расчетным значением, полученным из валентности, а также полной плотности состояний, полученной из измерений циклотронной массы, с величиной, найденной из электронной удельной теплоемкости. Однако для Pd результаты калориметрических измерений удельной теплоемкости не очень хорошо согласуются с величинами теплоемкости, вычисленными из значений циклотронной массы. Возможно, это расхождение связано с парамагнонными эффектами [127]. Недавно было показано [215], что определенная калориметрическим методом удельная теплоемкость увеличивается с полем, однако не настолько, чтобы это позволило правдоподобно объяснить расхождение. Надо надеяться, что параметрический метод будет вскоре применен и к остальным переходным металлам, для которых до сих пор было получено менее основательное определение ПФ и ее дифференциальных свойств.

Ферромагнитные металлы

Наблюдение эффекта де Гааза — ван Альфена в ферромагнетиках, впервые осуществленное Андерсоном и Голдом [17] в Ге, представляло некоторую сложность, поскольку требуется наблюдать сравнительно слабые магнитные осцилляции (IMI < 1 Гс) в присутствии огромной ферромагнитной намагниченности насыщения (Ms - 103 Гс). Однако при должном внимании к особенностям, обусловленным ферромагнетизмом, выясняется, что исследование этих осцилляций немногим труднее, чем в случае обычного металла со сложной ПФ. Наличие сильной ферромагнитной намагниченности является не столь большим осложнением, как можно было бы думать, поскольку в тех полях, которые необходимы для наблюдения осцилляций (несколько единиц на 104 Гс), эта намагниченность уже полностью насыщена. Таким образом, при изменении поля (в случае использования метода импульсного поля или модуляцион-

ной методики) единственное существенное изменение намагниченности обусловлено эффектом дГвА1^

Наиболее существенная особенность, появляющаяся в ферромагнетиках, состоит в том, что фаза осцилляций (исключая ее постоянную часть) определяется отношением 2tF/B, а не 2tF/H^ гдеНе — внешнее поле, и что В значительно отличается от Не благодаря ферромагнитной намагниченности насыщения Ms. Для эллипсоидального образца с коэффициентом размагничивания 4тгл (поскольку вклад в величину В, связанный с гораздо более слабой осцилля- торной намагниченностью М, который приводит к эффекту магнитного взаимодействия, обсуждаемому в гл. 6, обычно не существен для ферромагнетиков) имеем

В = Не + 4я(1 — n)Ms.(5.9)

Это соотношение имеет несколько важных следствий. Во-первых, обычная процедура для определения Г, состоящая по существу в построении графика зависимости обратных величин полей, при которых происходят осцилляции, от целочисленного номера осцилляций и определении наклона полученной прямой, уже не может быть использована, поскольку осцилляции более не эквидистантны по \/Не Легко показать, что если ЬНе — разность полей, соответствующих началу и концу ряда из N осцилляций, начинающегося при поле Но, то

F^He/N = [Но + 4я(1 - п)МЛ ЛНС +

+ [Но + 4л(1 — n)Ms]2.(5.10)

Таким образом, зависимость kH^N от ЛЯе или 1/7V от 1/Д//е должна быть линейной при изменении N и постоянном НОэ и из коэффициентов этой зависимости можно определить как Г, так и 4тг(1 — n)Ms. В своих первых экспериментах на Fe Андерсон и Голд [17] установили (используя другую процедуру), что величина 4irMs имеет правильное значение (около 21 кГс), подтвердив тем самым, что эффективное поле, которое «видят» электроны, — это действительно В; то же самое впоследствии было найдено и для других ферромагнетиков.

Другие следствия замены Не на В связаны с наличием коэффициента размагничивания 4ял в формуле (5.9). Размагничивающее поле

j) Однако при использовании метода импульсного поля необходимо наложить значительное постоянное поле, чтобы к началу импульса насыщение было уже достигнуто, иначе огромное изменение намагниченности в сравнительно слабых полях приведет к перегрузке измерительной схемы.

строго однородно по объему образца только в случае эллипсоида, поэтому для предотвращения размытия фазы и, следовательно, потери в величине амплитуды существенно, чтобы форма образца не слишком сильно отличалась от идеального эллипсоида. Кроме того, если требуется вращать образец в постоянном *и однородном поле В (для изучения анизотропии F), то величина п не должна значительно меняться при вращении. Это означает необходимость использования сферического образца или образца в форме диска (причем направление поля должно лежать точно в плоскости диска).

Как уже говорилось, ПФ достаточно сложны и вид некоторых их деталей, особенно в Fe и Со, до сих пор однозначно не установлен. В первом приближении для описания ПФ ферромагнитного металла можно исходить из той рассчитанной зонной структуры, которая соответствовала бы неферромагнитному металлу, а затем ввести постоянное обменное расщепление между «большей» группой электронов со спином, направленным «вверх» (t), и «меньшей» группой со спином, направленным «вниз» (I). Это приводит по су-

Рис. 5.25. Центральное сечение ПФ Ni плоскостью (НО) [271], построенное на основе экспериментальных данных Р. В. Старка, приведенных в работе [463] и (штриховая линия) в работе [441]. Сплошные и штриховые линии соответствуют разным направлениям спина, но характер ПФ может измениться как в местах пересечений сплошных и штриховых линий, так и за счет спин-орбитального взаимодействия (спиновой гибридизации). Обратите внимание, что вблизи точки L ПФ для направления спина вверх имеет «шейку», подобную «шейке» ПФ Си.

ществу к двум отдельным ПФ для t - и I -электронов, с чем отчасти и связана общая сложность картины, но, кроме того, детали ПФ заметно изменяются вследствие непостоянства обменного расщепления по ПФ и гибридизации между sp- и d-состояниями, которая изменяет связность ПФ в отдельных областях.

Другое осложнение заключается в том, что вследствие спин-ор- битального взаимодействия форма ПФ до некоторой степени зависит (более заметно в Ni, чем в Fe) от направления намагниченности насыщения, т.е. от направления поля. Это означает, что поверхность, определенная по площадям экстремальных сечений в различных нормальных к полю плоскостях, т.е. в соответствии с обычной процедурой, строго говоря, вообще не является поверхностью Ферми, если только при расчете не учтен эффект спин-орбитального взаимодействия. До сих пор мало работ было посвящено последовательному изучению циклотронных масс в ферромагнитных металлах, хотя из таких исследований можно было бы получить ценную информацию о плотности состояний для t- и I-электронов.

Рис. 5.26. Центральные сечения ПФ Ее плоскостями (100) и (ПО) [271]. Модель, основанная на комбинации экспериментальных данных и расчетов зонной структуры, имеет пока несколько предположительный характер, но показывает сложность ПФ. Спиновая гибридизация менее существенна, чем для Ni, и не учитывается на этой диаграмме. Обратите внимание, что ПФ для направления спина вниз несколько напоминает ПФ W (рис. 5.24).

Практическая трудность состоит в том, что некоторые циклотронные массы очень велики (например, т/т0 * 10), так что осцилляции можно наблюдать только в экстремальных условиях: в сильных полях и при низких температурах. Из-за существующих трудностей поддержания и измерения температур ниже 1 К точное определение массы является непростым делом. Более подробно ферромагнитные металлы обсуждаются в обзорах [170] и [27] (Ni и Fe). Некоторое представление о сложности поверхностей Ферми Ni и Fe дают рис. 5.25 и 5.26.

Висмут °

Поскольку ПФ Bi очень мала, эффект дГвА можно наблюдать в весьма умеренных полях (вплоть до 100 Гс при 03 К и при довольно высоких температурах (до 20 или 30 К в полях порядка нескольких килогаусс). Висмут — металл, в котором этот эффект был впервые обнаружен; с тех пор, вероятно, более остальных металлов висмут исследовался с помощью почти всех имеющихся способов восстановления ПФ, а также теоретически. В своем основательном обзоре [131], посвященном всем этим исследованиям, Эдельман упоминает, что число публикаций по Bi возрастало приблизительно линейно со временем примерно от десяти работ в год в 50-х годах до (примерно) 70 работ в год в 70-х годах.

Теория эффекта дГвА была первоначально основана на предположении об эллипсоидальной форме изоэнергетических поверхностей и, к счастью, оказалось, что ПФ Bi действительно целиком составлена из почти эллипсоидальных листов. Таким образом, когда были получены первые систематические данные по зависимости осцилляций от ориентации [379], их можно было расшифровать с помощью явной формулы, выведенной Ландау (см. приложение к работе [379]) как раз в это время в предположении, что ПФ состоит из трех эллипсоидов с ромбоэдрической симметрией Bi. Трехэллипсоидная модель Ландау исключительно хорошо выдержала проверку временем, хотя впоследствии, с появлением все более точных экспериментальных данных, и пришлось ввести некоторые поправки. В модель был добавлен один дырочный эллипсоид для объяснения более высокочастотных осцилляций, обнаруженных Брандтом [58] в экспериментах при весьма низких температурах, а более поздние исследования Баргавы [45] с использованием метода модуляции

° ПФ Sb, подобная ПФ Bi, хотя она больше и сложнее, кратко обсуждается в разд. 5.6.

Рис. 5.27. Расположение ПФ Bi в зоне Бриллюэна (по работе [66]). Тщательный анализ данных показывает, что угол наклона ф, несомненно, положительный (= 6,38°), как показано на рисунке, а не отрицательный. Для наглядности размеры эллипсоидов (ср. рис. 1.4) увеличены примерно в 5,6 раза по отношению к размерам зоны.

поля позволили уточнить размеры всех эллипсоидов. В последующем исследовании Эдельмана [130] точность была еще улучшена, и выяснилось, что существуют небольшие, но заметные отклонения формы от эллипсоидальной. Оставляя пока в стороне эти малые отклонения, поверхности Ферми можно хорошо аппроксимировать тремя эллипсоидами, содержащими электроны, и одним эллипсоидом вращения, содержащим дырки (см. рис. 1.4 и 5.27). Преимущество такой модели заключается в том, что все ее геометрические свойства легко вычисляются (см. приложение 1). По отношению к осям кристалла (кх — бинарная, ку — биссекторная и kz — тригональная оси, но следует заметить, что осям Сх и С2 в обозначениях Эдельмана соответствуют ку и кх в наших обозначениях) электронные эллипсоиды описываются следующими уравнениями:

«1к^ + агЦ + a3kz + 2a4k,kz = 1(5.11)

(еще два уравнения получаются пдворотом на ± 120° вокруг оси kz в соответствии с ромбоэдрической симметрией); для дырочного эллипсоида

(^ + ку2)/й? + ед = 1 .(5.12)

Наилучшая аппроксимация данных Эдельмана достигается при еле-

дующих значениях коэффициентов^:

(5.13)(5.13)ах = 3,494 х 10"12см2, аг = 0,0404 х 10"12см2, а3 = 1,987 х 10 12 см2,а4 = -0,2206 х 1012см2

(5.13)

(5.13)

Наличие перекрестного члена 2a^ykz означает, что главные оси эллипсоида (5.11) наклонены в плоскости ку, kz по отношению к осям ку и kz; числовые данные (5.13) соответствуют углу наклона 6 = = 6,38° в направлении, указанном на рис. 5.27 [66}. Длины главных осей определяются выражениями

ех = а”1/2 = 0,535 х 106см"1

с2 = (a2cos20 4- a3sin20 4- 2a4cos0sin0)~1/2

= 7,98 х 106cm-1(5.14)

c3 = (a2sin20 4- a3cos20 — 2a4cos0sin0) 1/2

= 0,705 x 106cm'\

Дырочный эллипсоид является эллипсоидом вращения вокруг оси kz, и его главные оси равны

hY = 1,391 х 106см-1, А3 = 4,628 х Ю6см"1.(5.15)

Можно видеть, что размеры как электронных, так и дырочного эллипсоидов действительно малы по сравнению с размерами зоны Бриллюэна, порядок которых равен 108 см"1 (см. рис. 5.27). Расчет показывает, что полный объем и трех электронных эллипсоидов составляет 37,8 х 1018 см"3, что с точностью до экспериментальной ошибки равно объему дырочного эллипсоида (37,5 х 1018 см”3), как и должно быть. Соответствующее полное число электронов (или дырок) на 1 см3 равно

г/4л3 = 3,0 х 1017см-3.(5.16)

Это означает, что на 1 атом Bi приходится только 1,06 х 10”5 электронов (или дырок).

Зависимость от ориентации периодов осцилляций дГвА, соответствующих этой поверхности Ферми, сравнительно проста (рис.

!) Точность аппроксимации составляет на самом деле только несколько процентов, но коэффициенты а даны с четырьмя значащими цифрами, так чтобы они соответствовали длинам главных осей е, заданным выражениями (5.14). В частности, величина е2 как функция коэффициентов а зависит от разности двух почти равных величин и поэтому крайне чувствительна к значениям коэффициентов а.

Рис. 5.28. Зависимость периодов осцилляций дГвА от ориентации в Bi [45]. а — электроны в бинарно-биссекторной (ху) плоскости; график для углов ^0—60° получается зеркальным отражением графика для 0—30°; б — электроны ^ биссекторно- тригональной (yz) плоскости; верхняя кривая обусловлена двумя эквивалентными эллипсоидами; в — электроны в бинарно-тригональной (xz) плоскости , 2 — дырки в плоскости уг (для плоскости хг график такой же, как для yz, а для плоскости ху период не зависит от угла). На всех графиках точки — экспериментальные данные, кривые рассчитаны по эллипсоидальной модели ПФ, определяемой формулами (5.11) — (5.15) (но с несколько иными числовыми значениями). Экспериментальные данные получены с помощью метода модуляции поля, при этом былИ использованы некоторые приемы, описанные в п. 3.4.2.1, которые помогают выделить различные частоты (наклон оси приемной катушки по отношению к направлению Н).

. Она имеет не более четырех ветвей, две из которых сливаются в тригонально-биссекторной плоскости. При использовании метода вращающего момента часто оказывается домини рующей одна частота либо вследствие того, что другая частота приходится на экстремум ориентационной зависимости (и потому соответствую-

щая амплитуда мала), либо потому, что другие частоты (и соответствующие циклотронные массы) гораздо больше, так что осцилляции значительно ослаблены. На первоначальном этапе исследований эффекта дГвА в Bi это было удачным обстоятельством, поскольку измерение частоты проще осуществить, если доминирует одна частота (ср. рис. 1.3).

Впоследствии Диллон и Шенберг [116] намеренно выбрали такую ориентацию (направление поля Н под углом 78° к тригональной оси в тригонально-биссекторной плоскости), чтобы оставались осцилляции только одной низкой частоты. Это дало возможность подробно изучить форму линии осцилляций (т.е. содержание высших гармоник) вплоть до квантового предела, который для этой ориентации достигается в сравнительно умеренном поле (около 15 кГс). В более поздней работе [34] Беркли и Шенберг также исследовали осцилляции одной частоты, устанавливая направление поля вдоль бинарной оси (где пересекаются две ветви спектра) и применяя более мощный метод модуляции поля. Данные таких экспериментов в полях, приближающихся к квантовому пределу, можно использовать для проверки основных представлений теории, и мы вернемся к ним позже в связи с обсуждением температуры Дингла (гл. 8) и спиновых свойств (гл. 9).

В ранних теоретических работах считалось, что не только ПФ имеет форму эллипсоида, но и что зона является параболической, т.е. поверхности постоянной энергии £ определяются уравнениями (5.11) и (5.12), в которых правая часть заменена на e/f, где f — энергия Ферми (различная для электронов и дырок). С помощью такой «эллипсоидально-параболической» модели легко показать (см. П1.1), что частота дГвА определяется соотношением

F = UP, (5.17) где, как обычно, 0 = eh/тс, am— значение циклотронной массы при энергии, равной энергии Ферми. Это соотношение часто использовалось при интерпретации результатов ранних экспериментов по эффекту дГвА, не только для Bi, но и для других металлов, хотя для них это еще менее оправданно, поскольку их поверхности Ферми иногда даже приблизительно нельзя считать эллипсоидальными.

Предположение о параболичности зоны для дырок в Bi оказывается вполне разумным, но для электронов оно в значительной степени неверно. Основная причина заключается в том, что очень мала энергетическая щель eg между верхним краем заполненной ва-

лентной зоны и дном электронной зоны проводимости; из простого расчета по теории возмущений в первом приближении следует, что электронные поверхности постоянной энергии (е отсчитывается от дна зоны) должны определяться уравнением (5.11), правая часть которого заменена на

_ £(1 + £/£g)

7C(l+C/E,)(5-8)

Это так называемая «модель Лэкса», или «эллипсоидально-непараболическая» модель (см. П.З), которая хотя и является все еще значительным упрощением, но дает удобное явное выражение для соотношения между в и к, которое позволяет сделать различные по- луколичественные предсказания. Главное экспериментальное подтверждение модель Лэкса получила из наблюдений магнитооптических осцилляций [67] (см. п. 4.7.1); в работе [449] для энергетической щели получено значение

£? = 0,0135 эВ.(5.19)

Однако детальная интерпретация экспериментов сложна и не укладывается целиком в рамки модели Лэкса; погрешность определения величины Eg, вероятно, может достигать 10%.

В модели Лэкса вместо соотношения (5.17) имеем (см. П1.34)

(5.20)(5.20)С (1 + У^

(5.20)

(5.20)

Л1+2С/е8) ’

так что величину f можно определить, если известны F, 0 (т.е. т) и Eg. Как указано в П1.2, величина F/m (или А/т) должна быть постоянной, не зависящей от ориентации для любой эллипсоидальной модели и при любом виде функции/(б) в формуле (5.18). Это постоянство дает полезную возможность проверки справедливости эллипсоидальной модели. Как можно видеть из табл. 5.4, изменения А/т с ориентацией невелики как для электронов, так и для дырок, и это служит подтверждением незначительности отклонений от эллипсоидальной формы. Если значение

Л/(т/т0) = 1,47 х 1014см 2 или FKm/m^^ 1,54 х 106Гс

и величину Eg из (5.19) подставить в соотношение (5.20), то получим

f (электроны) = 0.030 эВ.(5.21)

Таблица 5.4. Циклотронные массы т и площади экстремальных сечений А поверхности Ферми Bi

Направление Н

10 А, см 2

Х^т/т^

10"

А /(т/т0), , см-2

Электроны

Бинарная ось

17,7

11,9

1,49

1,38

0,95

1,45

Биссекторная

1,19

0,82

1,45

ось

Тригональная

2,37

—

—

ось

Главная ось эллипсоида вблизи тригональной

8,36

6,3

1,33

оси

Дырки

Бинарная или биссекторная

13,4

8,8

1,52

ось

Тригональная

20,2

21,2

0,952

ось

6,08

6,39

0,951

Примечание: значения масс взяты из первого столбца табл. 6 работы Эдельмана [1311; приведенная для них точность не хуже 0,5%, однако два значения при ориентации вдоль тригональной оси и вблизи нее, по-видимому, имеют ббльшие погрешности. Значения площадей сечений получены на основании эллипсоидальной модели и значений, заданных формулами (5.11)— (5.13) и (5.15); поскольку они получены в результате некоторого сглаживания первоначальных данных, их точность, вероятно, не лучше 2 или 3%.

тельно подтверждается теоретически, и, кроме того, что электронные эллипсоиды должны быть центрированы в точках L зоны Бриллюэна, а дырочный эллипсоид — в точке Т (рис. 5.27). Точность расчетов из первых принципов невелика и допускает только качественное согласие с экспериментом, однако были разработаны также различные параметризованные модели, из которых простейшей является, по-видимому, модель Лэкса.

В недавних работах Мак-Клюра [278] и Мак-Клюра и Чоя [279], в которых применен расчет по теории возмущений, включающий члены высокого порядка, используются десять подгоночных параметров для согласования с детальными данными экспериментов по эффекту дГвА, значениями циклотронных масс (включая значения в опорных точках, которые плохо аппроксимируются моделью Лэкса), а также с данными магнитооптических измерений и с результатами экспериментов по магнитным поверхностным уровням. Интересная особенность этой модели заключается в том, что она позволяет описать малые отклонения от эллипсоидальной формы, обнаруженные Эдельманом. Мак-Клюр показал также, что его модель полностью согласуется с другим подходом, примененным Абрикосовым и Фальковским [1], который основан на том, что решетка висмута может быть получена путем небольшого растяжения вдоль пространственной диагонали гранецентрированной кубической решетки и относительного смещения соседних атомов на этой диагонали. Рассматривая эту деформацию и спин-орбитальное взаимодействие как возмущения по отношению к «исходной» структуре, они смогли предсказать детальный вид зонной структуры вблизи точек L и Т. Вначале казалось, что результаты их рассмотрения расходятся с результатами более обычных расчетов по теории возмущений, но, как показал Мак-Клюр, причина заключается только в том, что в работе [1] не учтен член высшего порядка, которым в действительности нельзя пренебрегать^.

5.3.6. Соединения

Применение эффекта де Гааза — ван Альфена и других методов исследования поверхностей Ферми не только к элементарным металлам, но и к стехиометрическим интерметаллическим соединениям значительно расширило область «фермиологии» и в некотором

!) Недавно появилась новая работа по теории энергетического спектра Bi [499], в которой энергетическая структура Bi-полуметалла связывается со спектром атомов Bi. —- Прим. ред.

Рис. 5.29. ПФ в приближении свободных электронов для гексагонального AuSn, имеющего десять валентных электронов на элементарную ячейку (по работе [133], приведено в работе [373]). Индексы у обозначений симметричных точек соответствуют номерам зон (зоны 1 и 2 заполнены). Показана только однозонная схема, хотя в действительности из-за магнитного пробоя более уместна схема удвоенной зоны.

смысле добавило ей новую размерность. Это стало возможным отчасти благодаря существенному прогрессу в технологии приготовления монокристаллов достаточной степени стехиометричности и совершенства и отчасти благодаря улучшению измерительной техники. Значительное продвижение вперед произошло со времени первого наблюдения осцилляций дГвА в ВИп Торсеном и Берлинкуром [438] и начала систематического исследования некоторых других соединений группой из Оттавы [39]. Основательный обзор всех этих исследований можно найти в работе [373]. К настоящему времени полностью или частично определены ПФ более 50 соединений. Некоторые из них, такие, как /3-латунь (см., например, [220]), сверхпроводящие соединения с высокими критическими полями (см., например, [26]) и слоистые соединения (см., например, [177, 178]), представляют значительный интерес в отношении технических применений и будут, по-видимому, еще более интенсивно исследоваться.

Здесь мы упомянем только, что ПФ металлических соединений, как правило, более сложны, чем ПФ элементарных металлов. Основная причина заключается в том, что электронная структура может содержать гораздо большее число электронов. Для некоторых соединений, которые более или менее удовлетворительно описываются моделью свободных электронов, число электронов на

элементарную ячейку может доходить до 14 и, значит, сфера свободных электронов пересекает на несколько границ зон больше, чем, скажем, в четырехвалентном металле; в результате ПФ чрезвычайно усложняется (ср., например, рис. 5.29 и 5.15). Поскольку модель свободных электронов — лишь приближение к реальной

Рис. 5.30. ПФ Cu2Sb (тетрагональная решетка, 14 электронов на элементарную ячейку), рассчитанная в работе [221]. а — зона 25; б — зона 26; в — зона 27; г — зона 28. Большие буквы обозначают точки повышенной симметрии в основной зоне (указаны вей частично в г).

19-2U7

ПФ, ясно, что существует серьезная опасность неправильной интерпретации сложного спектра частот дГвА. В тех случаях, когда модель свободных электронов неприложима, ситуация становится еще более запутанной, и для сколько-нибудь надежной расшифровки обычно приходится прибегать к теоретическим расчетам зонной структуры. ПФ Cu2Sb, полученная в работе [221] с помощью расчета зонной структуры, приведена на рис. 5.30 в качестве типичного примера сложной поверхности Ферми. Эта поверхность позволяет получить только полуколичественную интерпретацию весьма сложного спектра наблюдаемых частот дГвА.

Зависимость формы поверхности Ферми от деформации

Как мы видели в разд. 3.5 и 4.3, данные по деформационной зависимости ПФ можно получить либо непосредственным образом, прилагая механическое напряжение и наблюдая изменения частоты дГвА, либо косвенно по осцилляторной зависимости магнитострикции и осцилляциям скорости звука. При использовании первого способа влияние растяжения и сдвига можно определить, комбинируя измерения при гидростатическом сжатии (которое для кубической симметрии эквивалентно просто отрицательному растяжению, но для более низкой симметрии дает комбинацию отрицательного растяжения и сдвига) и при одноосном напряжении, действие которого может быть разложено на растяжение и сдвиг. При косвенном методе деформационная зависимость в принципе может быть полностью определена независимым образом, но если производятся только ограниченные измерения, например измеряется осциллятор- ная зависимость магнитострикции только вдоль одного направления в образце, то полученная информация эквивалентна той, которую дает непосредственное приложение одноосного напряжения. В этом разделе кратко рассматриваются некоторые из полученных результатов, в частности для тех металлов, поверхности Ферми которых уже обсуждались в данной главе. Мы увидим, что экспериментальные результаты по деформационной зависимости могут быть полезны для понимания зонной структуры, а также что возможности существующих методик использованы пока лишь частично. Более подробное обсуждение можно найти в обзоре [146].

Щелочные металлы

Поскольку ПФ щелочных металлов очень близки к соответствующим сферам свободных электронов, наиболее очевидное влияние

гидростатического давления должно состоять просто в изменении объема и ПФ обратно пропорционально объему образца V в реальном пространстве. Так как частота дГвА^ пропорциональна площади диаметрального сечения ПФ, которая изменяется как объем в степени Уз, можно ожидать, что с хорошей точностью выполняется соотношение

|dlnF/dp = dlnr/dp = -din И/dp = Jf, (5.23)

где JT — сжимаемость.

До недавнего времени данные экспериментов, которые могли бы подтвердить справедливость соотношения (5.23), казались противоречивыми, однако затем были выявлены различные не учтенные ранее источники ошибок и теперь, как можно видеть из табл. 5.5, нет причин сомневаться в правильности формулы (5.23). Это опровергает предположение [15], что данные экспериментов по эффекту дГвА в К при высоком давлении свидетельствуют в пользу гипотезы волн зарядовой плотности, предложенной Оверхаузером (см. п. 5.3.1).

Определение анизотропии коэффициента пропорциональности в зависимости от давления требует исключительной точности измерений, так как при давлении 25 бар сдвиг фазы осцилляций дГвА составляет только примерно 1,6 осцилляции, так что если анизотропия коэффициента пропорциональности того же масштаба, что и самой ПФ, скажем 10"3 (как в случае К), то изменение сдвига фазы с ориентацией будет составлять лишь около ±0,6°, что сравнимо с ошибкой лучших проведенных до сих пор экспериментов. К счастью, оказывается, что анизотропия коэффициента пропорциональности для К примерно в шесть раз превосходит анизотропию ПФ; в недавних экспериментах Темплтона [433] форма анизотропии была вполне убедительно установлена. Контурная диаграмма анизотропии величины dlnF/dp, полученная с помощью аппроксимации шестичленным разложением по кубическим гармоникам, показана на рис. 5.4, б. Можно видеть, что, не считая масштаба, она подобна контурной диаграмме величины ДЛ/Л (рис. 5.4, а\ т.е. коэффициенты больше всего там, где ПФ сильнее «выпячивается». До сих пор не сделано теоретических оценок величины анизотропии коэффициента в зависимости от давления для К, поскольку масштаб анизотропии сравним с достижимой точностью соответствующего расчета зонной структуры. Представляли бы интерес измерения для Rb и Cs, для которых расчеты зонной структуры предсказывают значительно ббльшую анизотропию зависимости от давления, чем для К [219]. Как видно из табл. 5.5, эти расчетные

Таблица 5.5. Зависимость от давления частоты F для щелочных металлов, сравнение с сжимаемостью (J^)

МеталлЮ^Уг dlnF/dp, дин-1 • см21011дин-1 • см2

а

б

в

г

Na

(1,14)1,25 ±0,03

1,35 ±0,05

К

2,58±О,О1

(2,30; 2,43)2,59± 0,08

2,73 ±0,05

2,70±0,1

Rb

(3,16) 3,21 ±0,02

3,27 ±0,07

3,45 ±0,2

Cs

(4,02 )4,17 ±0,04

4,33±0,09

4,65 ±0,3

(4,4) 4,3 ±0,1

Примечание: а — эффект дГвА, низкие давления (<25 бар); б — эффект дГвА при высоких давлениях (несколько килобар), значения, экстраполированные к р = 0; в — ультразвуковые измерения, так что по существу р = 0 (К: [288], Rb: [195], Cs: [241]); г — данные, полученные при высоких давлениях, экстраполированные к р = 0 (цитированы в работе [21]). Для данных в авторы не приводят величин ошибок; мы несколько произвольно положили ошибку равной ±2%. Замечания по данным для отдельных металлов в столбцах а и б. Na: [135]. Значение 1,14 получено усреднением данных при 0 и 4 кбар; при пересчете с учетом нелинейной сжимаемости для р = 0 получается значение 1,25. К: а — [167, 433); б — в работе [15] приведено значение 2,30 как среднее между 0 и 1 кбар. Темплтон [433] пересчитал это значение для р = 0, учтя нелинейную сжимаемость, и, наконец, Эллиот и Датарс [135] обнаружили ошибку в использованной шкале давлений и установили значение 2,59. Rb: в работе [167] приведено значение 3,16, но не учтена анизотропия производной по давлению; авторы работы [219] приводят скорректированное значение 3,21, полученное усреднением по ориентации на основе теоретической оценки анизотропии. Cs: в работе [167] приведено значение 4,02, которое было скорректировано в работе [219] так же, как для Rb; в работе [38] приводится значение 4,4 с учетом анизотропии, но в [219] учет анизотропии пересмотрен и получено значение 4,3.

[Темплтон [508] измерил анизотропию зависимости от давления ПФ Rb и Cs. Она оказалась значительно больше, чем анизотропия ПФ при нулевом давлении (примерно в 4,7 раза для Rb и в 5,6 раза для Cs). Зависимости от давления, усредненные по ПФ, находятся в прекрасном согласии с данными ультразвуковых измерений сжимаемости, приведенными в табл. 5.5 — Прим, при корректуре.}

значения анизотропии помогают сгладить небольшие видимые расхождения между величинами сжимаемости, полученными из данных экспериментов по эффекту дГвА и данных ультразвуковых измерений.

Простые поливалентные металлы

Деформационная зависимость исследовалась для ряда поливалентных металлов, которые являются простыми в том смысле, что к ним применима модель почти свободных электронов. В результате возникла достаточно последовательная картина, в которой результаты экспериментов успешно интерпретируются в предположении, что зависимость псевдопотенциальных коэффициентов от напряжения имеет вид, предсказываемый теорией.

Один из первых экспериментов по исследованию зависимости от давления осуществил Мелц [295] (1966 г.) в А1, используя методику

прямого приложения высокого давления. Он обнаружил, что частота F медленных 0 -осцилляций для ориентации < 100> возрастает примерно на 10“ 3% на 1 бар, а частота более быстрых 7-осцилляций для <110> уменьшается приблизительно вдвое медленнее. Результаты Мелца в его первоначальной интерпретации противоречили модели Ашкрофта, но впоследствии Сорбелло и Гриссен [411] указали на необходимость учета опущенного Мелцем существенного слагаемого в выражении для зависимости от давления площади сечения ПФ, рассчитанной с помощью псевдопотенциалов. Проведя корректный расчет, Сорбелло и Гриссен сумели получить из данных Мелца зависимость от давления псевдопотенциальных коэффициентов, которая находилась в прекрасном согласии с теоретическими предсказаниями, подтвердив тем самым, что коэффициенты имеют приписываемый им физический смысл.

Влияние одноосного напряжения на форму ПФ А1 также исследовалось Гриссеном и Сорбелло [185]. В этом эксперименте была впервые применена остроумная методика комбинирования измерений осцилляторной магнитострикции и вращающего момента для получения производных по напряжению площадей сечений ПФ (см. п. 4.3.3). Надежность схемы расчета с помощью псевдопотенциалов была еще раз подтверждена прекрасным согласием, которое получили Гриссен и Сорбелло между экспериментальными значениями производных и предсказаниями теории.

Существуют также экспериментальные данные по влиянию гидростатического давления (Андерсон и др. [20]) и одноосного напряжения (Джосс [226]) для ряда экстремальных сечений ПФ РЬ. Джосс успешно интерпретировал эти данные с помощью модели локальных псевдопотенциалов, пренебрегая спин-орбитальным взаимодействием и возможной нелокальностью. Такой расчет дает несколько худшее согласие с данными экспериментов по эффекту дГвА при нулевом давлении, чем расчет Андерсона и др., в котором учтены спин-орбитальное взаимодействие и нелокальность и использованы более точные экспериментальные данные, чем результаты Андерсона и Голда [18]. Тем не менее более простая схема Джосса позволяет лучше аппроксимировать наблюдаемые значения производных большого числа экстремальных площадей по растяжению и сдвигу с помощью набора производных от основных параметров по деформации; при этом достигается разумное согласие с предсказаниями теории. Тот факт, что зависимость от деформации удается почти одинаково хорошо интерпретировать с помощью альтернативных схем, основанных на разных физических концепциях, означает, по-видимому, что для РЬ подгоночные параметры обладают меньшим физическим смыслом, чем для А1.

Рис. 5.31. Зависимость частоты осцилляций для <v тлы» ПФ Zn от давления и температуры, показывающая, что оба эффекта существенно определяются изменением отношения с/а (по работе [313]). / — зависимость от давления, измеренная с помощью эффекта дГвА [313]; 2 — зависимость от давления, полученная с помощью эффекта ШдГ [369], 3 — зависимость от температуры, полученная с помощью эффекта дГвА [44]. Обратите внимание на то, что увеличение давления приводит к уменьшению отношения с/а» а увеличение температуры увеличивает с /а.

Характер зависимости от напряжения для ПФ индия, который имеет тетрагональную решетку, и для ПФ двухвалентных гексагональных металлов также достаточно широко исследовался прямыми и косвенными методами. Сложность, возникающая для этих некубических металлов, состоит в том, что гидростатическое давление более не эквивалентно чистому отрицательному растяжению, так как отношение с/а также является функцией давления. Например, как уже говорилось в п. 5.3.3.3, для «игл» ПФ Zn большая чувствительность частоты к давлению (рис. 5.31) обязана главным образом изменению отношения с/а с давлением. Однако, как и для других «простых» металлов, наблюдаемые зависимости от напряжения находятся в разумном согласии с расчетами, выполненными при помощи псевдопотенциалов, если корректно учитываются не- локальность и спин-орбитальное взаимодействие. Подробности можно найти в работах [158, 186, 411, 470, 471]. В трех работах [158, 470, 471] подчеркивается физическое значение различных вкладов в теоретические выражения для производных по напряжению.

Благородные и переходные металлы

Как мы уже видели, для благородных и переходных металлов общим является то, что их поверхности Ферми могут быть хорошо описаны с помощью параметризованных зонных структур, в которых подгоночными параметрами служат сдвиги фаз т, и энергии Ферми £. При этом наличие у параметров физического смысла опять связывается с тем, насколько хорошо зависимость от деформации выбранных параметров согласуется с предсказаниями теории. •

Сначала мы несколько более подробно рассмотрим благородные металлы, поскольку они имеют сравнительно простые поверхности Ферми, хотя для всех них, не считая Си, деформационная зависимость пока исследована менее полно, чем для некоторых более сложных переходных металлов. К настоящему времени основательнее всего изучена зависимость от давления; наиболее точные результаты, полученные методом передачи давления через жидкий гелий [429, 431], собраны в табл. 5.6. Поскольку ПФ благородных металлов сохраняют некоторое сходство со сферой свободных электронов (хотя, конечно, их искажения гораздо значительнее, чем для щелочных металлов), полезно описать наблюдаемую зависимость частот дГвА (т.е. экстремальных площадей Л) от давления путем сравнения с зависимостью от давления площади Л s диаметрального сечения сферы свободных электронов. Таким образом, если при изменении ПФ сохраняется точное подобие сфере свободных электронов, мы должны получить

dln4/dln4s= 1. (5.24)

Как мы видели, для щелочных металлов это хорошее приближение [заметьте, что соотношение (5.24) равносильно (5.23), так как dlib4s/dp равно (Уз)^], однако для благородных металлов это не более чем грубое приближение, даже для наиболее близких к модели свободных электронов центральных почти круговых орбит, а для «шеек» равенство (5.24) совершенно не выполняется. Убедительной проверкой надежности экспериментальных данных служит следующее: если ПФ металла под давлением описывается параметризованным представлением — либо разложением Фурье, либо по расчету зонной структуры, — то объем ПФ обратно пропорционален объему образца, как, разумеется, и должно быть.

Влияние давления на форму ПФ можно оценить теоретически с помощью расчета зонной структуры из первых принципов, в котором параметр решетки слегка изменяется по сравнению со значением для нулевого давления [107]; как видно из табл. 5.6, для Си до-

Таблица 5.6. Зависимость от напряжения площадей сечений ПФ благородных металлов

d InA/d inAs

Орбита

Гидростатическое давление(

)дноосное натяжение

Си

эксп.

аппрокс.

расчет зонной структуры

експ.

расчет

В<100>

0,94

0,94

1,00

(2,4±0,5а (^2,2 ± 0,1г

3,0

В<111>

0,90

0,90

0,94;

fo,6±O,2a (0,72 ±0,04

1,0

R<100)

0,94

0,95

С-2,1±0,8в-1,7

[-1,5±О,Зг

D < 110>

0,86

0,86

0,85

<13,9 ±0,4'

■-13,3

N < 111>

4,2

4,3

3,2

-44±10а ’ -47±136 1 -56±5В <-40±1г

-46 ср.

-28 (расчет зонной структуры)

Ag, Аи

Ag эксп.

Au эксп.

Ag эксп.

Au эксп.

В<100>

0,93

0,97

2,2±0,За

8±1а

В<111>

0,86

0,83

О,8±О,За

2,6 ±0,4*

R<100>

D<110>

0,87

0,73

0,97

0,73

-2,4±0,5а

4±1а

ср.

-100

N < 111 >

10,6

5,6

- 73 ±5а -127±56 - 108±25в

-60±8а " -73±86

-97±9В -100± ±10”

(расчет ► зон

ной структуры)

Примечание: «Аппроксимированные» значения для зависимости от гидростатического давления (приведенные только для Си) получены Фосеттом и др. [146] с помощью подходящего выбора производных от сдвига фаз; аппроксимации такого же качества были получены Темплтоном [431] для Ag и Au, а также для Си. Расчетные данные для зависимости от одноосного натяжения (для Си) представляют собой по существу данные Фосетта и др., но с исправленной ошибкой в вычислениях для значения, соответствующего D < 110> (Дж. М. Перц, частное сообщение); эти величины получены суммированием данных гидростатических экспериментов с расчетными зависимостями от сдвига, найденными в предположении, что сдвиги фаз q такие же, как в недеформированном металле. Данные расчета зонной структуры при гидростатической деформации — результаты-работы [107], а для одноосной деформации — результаты работы [106]. Данные по гидростатическим экспериментам получены Темплтоном [431]; их погрешности составляют приблизительно ± 1 в последнем приведенном знаке. Экспериментальные данные по одноосному натяжению получены в работах [401] (а), [27] (б), [404] (в), [367] (г), [157] (д).

стирается разумное согласие с экспериментом в пределах значительных неопределенностей расчета. Что касается представления зонной структуры с помощью параметров ц и f, то видно, что наблюдаемую зависимость площадей сечений ПФ от давления можно хорошо аппроксимировать при подходящем подборе производных dq/dln/ls и использовании теоретического значения величины df/dln4s [146]. Однако при этом выбранные значения производных drj/dlnHs являются по существу эмпирическими параметрами и их трудно интерпретировать в более фундаментальных терминах.

Физический смысл параметров, соответствующих фазовым сдвигам, проверяется более существенным образом в интерпретации экспериментов по зависимости формы ПФ от сдвига, например в опытах с одноосным напряжением или эквивалентных магнитострикционных измерениях. Результаты таких экспериментов представляют, однако, довольно запутанную картину, как можно видеть из табл. 5.6. Данные магнитострикционных измерений Славина [404] для «шеек» дают значительно ббльшие значения производной dln4/dln4s, чем результаты более ранних «прямых» измерений Шенберга и Уотса [401] по влиянию одноосного растяжения. Это расхождение привело Уотса к предположению о наличии систематического завышения растягивающего усилия из-за трения в системе механической связи. Это предположение, казалось, было подтверждено экспериментами Гэмбла и Уотса [157], в которых были исключены эффекты трения при измерениях влияния одноосного сжатия (но только для «шеек» Au). Однако в недавних магнитострикционных измерениях [367] для нескольких орбит (но только для Си) были получены значения производной dln4/dln4s, которые лучше согласовывались с результатами Шенберга и Уотса, чем с данными Славина. По-видимому, эксперименты [367], в которых совместно измерялась магнитострикция и вращающий момент, следует считать более надежными, чем опыты Славина, в которых абсолютная величина \МI оценивалась по формуле ЛК, но, очевидно, экспериментальная ситуация довольно неудовлетворительна.

Теоретическая интерпретация значений производной dln/l/dln^s для одноосного натяжения основана на разложении возникающей деформации на чистое объемное растяжение (влияние которого известно из зависимости от гидростатического давления) и сдвиговую деформацию с сохранением объема. Для кубического кристалла можно показать, что параметры ц не изменяются при чистом сдвиге, так что по значениям ц недеформированной решетки можно вычислить площади сечений ПФ решетки, подвергнутой сдвигу, и, следовательно, производные площадей по сдвигу. Из табл. 5.6 можно видеть, что сдвиговый вклад в производную dln4/dln4s

обычно является существенным, а для некоторых орбит (например, «шеек») полностью доминирующим. Любопытно, что расчетные значения dlrb4/dlrL4s для одноосного натяжения лучше всего согласуются с результатами Шенберга и Уотса, которые казались наименее надежными, пока их не поддержали данные недавних измерений магнитострикции [367].

Исследовался также ряд других металлов, ПФ которых могут быть успешно описаны при помощи расчетов зонной структуры со сдвигами фаз и энергией Ферми в качестве подгоночных параметров. Наиболее полно к настоящему времени изучен вольфрам (подробности см. в работе [146]). Зависимости от давления различных частот дГвА были определены как прямым, так и косвенным методами путем комбинирования соответствующих производных по деформации, как объяснялось в п. 4.3.3; для определения зависимости от сдвига использовались различные комбинации косвенных методик. Результаты определений зависимости от давления находятся в разумном согласии друг с другом и с теоретическими оценками (обычно с точностью около 5%). Значения сдвиговой производной, полученные разными методами, хорошо согласуются между собой, но согласие с теорией хуже, чем для зависимости от давления, особенно для малых орбит. Расчеты, однако, содержат упрощающие предположения, например приближение жесткой «гофрированной сферы», и, возможно, что эти расхождения помогут указать пути для более реалистичных и точных расчетов.

Ферромагнетики (подробное обсуждение см. в работе [271])

Наличие у ферромагнетиков большой намагниченности насыщения приводит к возникновению новых интересных черт в зависимости эффекта дГвА от напряжений, как и в самом эффекте при обычных условиях. Прежде всего существует сравнительно очевидное усложнение, связанное с тем, что эффективным полем является В [см. (5.9)], и, хотя приложенное поле Яе постоянно, В меняется при приложении давления или напряжения в любой другой форме, поскольку от давления зависит магнитный момент насыщения Ms. Это приводит к небольшому, но существенному сдвигу фазы осцилляций дГвА при наложении давления, который следует учитывать при точном определении зависимости от давления площади сечения ПФ А. Более фундаментальной особенностью является существование специфического «магнитного» вклада в зависимость от давления площади А в дополнение к зависимости, которая имелась бы у немагнитного металла с подобной зонной струк-

турой. Немагнитный вклад можно оценить путем соответствующего пересчета известной зависимости от давления площади А подходящего немагнитного переходного металла (Мо или W можно сравнить с Fe, а Си — с Ni), таким образом, магнитный вклад можно выделить из экспериментально наблюдаемой зависимости от давления. Выясняется, что для Fe магнитный вклад доминирует, а для Ni два вклада имеют сравнимую величину и противоположный знак, так что в результате зависимость от давления величины А для «шейки» значительно слабее, чем в Си. Как подробно обсуждается в работе [2у 1], величина магнитного вклада в зависимость от давления дает ценные сведения о роли зонных электронов в ферромагнетизме. До сих пор для ферромагнитных металлов не проводилось экспериментов по исследованию влияния других видов напряжений, кроме гидростатического давления.

Температурная зависимость поверхности Ферми

Как уже отмечалось в п. 5.2.1, существует ряд эффектов, приводящих к небольшой зависимости формы поверхности Ферми от температуры, так что частота дГвА/ может слегка изменяться в области температур, в которой осцилляции еще наблюдаемы. Такой эффект впервые наблюдали на «игле» ПФ Zn Берлинкур и Стил [44]. В их эксперименте частота F уменьшалась примерно вдвое при увеличении температуры от 4 до 60 К. Более слабая температурная зависимость имеет место, по-видимому, также для Bi [116] и Hg [321], и, вероятно, достаточно большие эффекты могут быть обнаружены в других металлах, имеющих особенно малые участки ПФ. В таких случаях даже очень слабые изменения параметров решетки, например за счет теплового расширения, могут вызывать непропорционально большие изменения размеров малых «карманов» ПФ вблизи границ зоны. Кроме того, для этих малых «карманов» циклотронная масса обычно мала, так что осцилляции дГвА можно проследить в область более высоких температур с соответственно ббльшим изменением F. Другая возможная причина температурной зависимости F — это небольшая температурная зависимость самой энергии Ферми ° f. Для параболической зоны величина ?(П приближенно определяется выражением

/7т2 /LT \2\

=(5.25)

\\ ьо / /

и этот эффект становится заметным, если осцилляции дГвА еще можно наблюдать при температуре Г, сравнимой с ^к.

Для Zn главной причиной температурной зависимости F оказывается тепловое расширение, поскольку величина ^к порядка 300 К и при Г = 60 К лишь несколько процентов большого наблюдаемого уменьшения F может быть вызвано температурной зависимостью t- В пределах экспериментальной ошибки это фактически означает, что существенным фактором является вызванное тепловым расширением изменение отношения с/а. Это было отчетливо показано О’Салливаном и Ширбером [313], которые на одном графике представили изменения F, обусловленные гидростатическим давлением и температурой, в зависимости от соответствующих изменений отношения с/а. Как можно видеть из рис. 5.31, зависимость от температуры имеет, по-видимому, ту же причину, что и зависимость от давления, которая, как обсуждалось выше, обязана главным образом изменению параметров решетки.

Для ббльших частей ПФ влияние температуры меньше, чем для ПФ Zn, однако достижимая сейчас точность измерений делает этот эффект доступным наблюдению. Необходимая для этого методика была впервые разработана Лонзаричем и Голдом [272] в связи с исследованием ферромагнетиков, у которых, как мы увидим ниже, относительное изменение F не превышает 10“6 в диапазоне температур около 10 К, где можно наблюдать осцилляции дГвА. Эти авторы показали, что для достижения существенных результатов на этом уровне точности необходимо принимать во внимание некоторые слабые эффекты, частью обусловленные приборами, частью связанные с приближениями обычной теории, которые приводят к небольшим видимым изменениям F при повышении Т. К счастью, большинство этих эффектов дает линейную зависимость наблюдаемой частоты F от температуры, и поэтому их можно отделить от более фундаментальных изменений, связанных с колебаниями решетки (пропорциональных Г4), или в ферромагнетиках с температурной зависимостью спиновой намагниченности (которая изменяется приблизительно как Т2).

В работе Купера [100] и в неопубликованной работе Лонзарича с помощью этой методики исследовалась зависимость F(T) для «шейки» ПФ Au и был обнаружен малый, но вполне заметный эффект (рис. 5.32). Интересной особенностью является то, что хотя порядок величины эффекта такой, как следует ожидать, исходя из теплового расширения и известной зависимости от давления, величина наблюдаемого эффекта заметно (примерно втрое) больше. По-

Рис. 5.32. Зависимость частоты осцилляций дГвА для «шеек» ПФ Au от температуры по сравнению с расчетной зависимостью, полученной на основе величины теплового расширения (штриховая линия) ([100] и Лонзарич, частное сообщение). Показанные точки были сняты в несколько приемов на двух образцах в поле 71,5 кГс.

видимому, отсюда следует, что с повышением температуры зонная структура претерпевает более фундаментальные изменения, чем те, которые связаны просто с изменением параметров решетки. Для Zn эти эффекты предположительно слабы, поскольку он хорошо подчиняется модели свободных электронов, однако в случае Au, для которого эта модель подходит гораздо хуже, электрон-фонон- ные эффекты вполне могут быть более значительными. Дальнейшие исследования в этом направлении были бы, вероятно, целесообразны, так как они могут дать прямую информацию о том, как электрон-фононное взаимодействие модифицирует зонную струк- туру1).

Как было упомянуто выше, эксперименты этого типа ставились первоначально с целью изучения ферромагнетизма. Для ферромагнетика ожидаемое влияние температуры должно быть обусловлено главным образом температурной зависимостью намагниченности насыщения Ms; значение такого эксперимента заключается в том, что он дает прямые сведения об основном механизме ферромагнетизма. Отрицательные результаты экспериментов (относительное изменение/7 меньше, чем 10“6 в диапазоне температур около 10 К для Fe [272] и для Ni [100, 271]) указывают, что одноча-

j) В работе Лонзарича и Купера [510] содержится подробный отчет об экспериментах по температурной зависимости площади сечения «шейки» ПФ Au, а также феноменологическая интерпретация результатов в терминах электрон-фононного взаимодействия. — Прим, при корректуре.

стичные возбуждения Стонера не дают существенного вклада в намагниченность насыщения. Более подробно эти вопросы обсуждаются в работе [271].

Влияние примесей на поверхность Ферми

Как упоминалось в разд. 1.1, один из самых ранних экспериментов по эффекту дГвА состоял в изучении влияния примесей на осцилляции в Bi [398]. Эксперименты обнаружили две замечательные особенности. Первая особенность, которая оказывается характерной для всех металлов, заключается в том, что даже очень малые количества примесей сильно уменьшают амплитуду осцилляций. Позднее этот факт был объяснен как следствие дополнительного рассеяния электронов атомами примеси, которое увеличивает температуру Дингла. Мы отложим обсуждение этого вопроса до разд. 8.3, а сейчас отметим лишь, что быстрое увеличение температуры Дингла резко ограничивает возможность наблюдения осцилляций дГвА в сплавах (исключая, конечно, соединения стехиометрического состава, уже обсуждавшиеся кратко в п. 5.3.6); обычно осцилляции совершенно затухают при концентрации около 1 ат. %.

Другая особенность, которая проявляется для осцилляций очень низкой частоты, как, например, в Bi, состоит в том, что весьма незначительной концентрации примесных атомов достаточно, чтобы вызвать существенное изменение частоты. Так, было обнаружено, что примесь всего 0,005 % Те удваивает частоту электронных осцилляций в Bi, а 0,07% РЬ уменьшает ее вдвое. В качественном отношении столь высокая чувствительность является следствием очень малого числа носителей в Bi (около 10"5 электронов или дырок на атом). Таким образом, замена только одного из 105 атомов Bi атомами с на единицу ббльшим (Те) или на единицу меньшим (РЬ) числом валентных электронов на атом может радикально изменить ПФ, так же как несколько капель жидкости могут заметно изменить уровень в горлышке бутылки, не влияя практически на полный объем жидкости. В дальнейшем мы рассмотрим эту идею более критически.

Такие эксперименты со сплавами могут представлять интерес как дополнительная проверка любой предложенной зонной структуры. Иногда может возникнуть сомнение при соотнесении определенной ветви F-спектра определенному «карману» поверхности Ферми, предсказанной зонной теорией. Влияние добавления примеси может помочь проверить это соответствие, определенно указывая, является ли ветвь «электронной» или «дырочной», смотря по

тому, увеличивается (уменьшается) или уменьшается (увеличивается) частота осцилляций дГвА при добавлении атомов большей (меньшей) валентности, чем у атомов основного металла. Например, тот факт, что введение Те (валентность 6) увеличивает частоту, связанную с тремя эллипсоидами ПФ Bi, а введение РЬ (валентность 4) имеет обратный эффект, подтверждает, что эти эллипсоиды действительно содержат электроны; аналогично влияние примесей на поверхность, которую мы назвали «дырочным эллипсоидом», обратно их влиянию на электронные эллипсоиды.

Со времени ранних опытов на разбавленных сплавах Bi ставилось много других экспериментов с разнообразными металлами и примесями. Обзор литературы, а также основы теории, можно найти в работе [85]. Здесь мы рассмотрим главным образом одно важное обобщение — «модель жестких зон», которая хотя бы в общих чертах описывает влияние примеси на ПФ основного металла, а иногда, особенно в случае малых ПФ, как у Bi или Sb, может давать неплохую количественную интерпретацию. Эта модель предполагает, что введение примеси приводит только к добавлению или удалению электронов в зависимости от разности валентности основного металла и примеси, в остальном не изменяя зонной структуры. В действительности, конечно, примеси в некоторой степени изменяют решетку, так что «модель жестких зон» может в лучшем случае служить лишь хорошим приближением. Полезным способом проверки ее применимости может служить добавление примеси той же валентности, что и основной' металл, например Sb в Bi; в этом случае «модель жестких зон» предсказывает отсутствие изменений ПФ. Шенберг и Аддин [398] действительно обнаружили, что Sb оказывает примерно в 100 раз меньшее влияние на частоту осцилляций дГвА в Bi, чем гетеровалентные Pb, Sn или Те, так что эту модель можно предположительно считать применимой для гораздо более низких концентраций гетеровалентных примесей, которые еще вызывают заметное изменение частоты.

Для металла, подобного Bi или Sb, с равными числами носителей в электронной и дырочной зонах из «моделей жестких зон» следует, что

Ne - Nh = cAZ, (5.26)

где Ne — число носителей на один атом в электронной зоне, Nh — в дырочной зоне, с — атомная концентрация примеси и AZ — разность валентностей (например, 1 для Те, но — 1 для РЬ или Sn). Если предположить, что форма всех частей ПФ остается неизменной,

т.е. введение примеси приводит к пропорциональному изменению каждой ветви ^-спектра для всех ориентаций (было показано, что это действительно является хорошим приближением для разбавленных сплавов как Bi [45], так и Sb [203]), то мы получим

NNNN(5.27)(5.27)

N

N

N

N

(5.27)

(5.27)

где Fe и Fh соответствуют электронам и дыркам для произвольной ориентации, a N — число электронов и дырок (на один атом) для основного металла. Отсюда немедленно следует способ количественной проверки применимости «модели жестких зон»: если N известно, то (5.27) определяет Ne и Nh по измеренной частоте, и тогда можно проверить соотношение (5.26).

Для разбавленных сплавов Bi из проведенных до сих пор опытов нельзя сделать окончательных заключений главным образом из-за неопределенностей в оценке концентрации примесей. В первом эксперименте, в котором измерялись как дырочные, так и электронные частоты для примеси РЬ в Bi (Баргава [45]), было обнаружено, что для сплавов с атомной концентрацией до 6х 10*5 разность^ - Nh составляла только около — (/2)с, а не -с, как следует из (5.26). Возможно, однако, что средние концентрации в образцах (измеренные с помощью эмиссионной спектроскопии) были существенно выше, чем «эффективные» концентрации, которыми определяются частоты F (в случае неоднородного образца из-за фактора Дингла области с низкой концентрацией будут учитываться с ббльшим весом). Из фазовой диаграммы системы Bi — РЬ следует, что при затвердевании их расплава может возникнуть весьма значительная неоднородность состава, и в ранних экспериментах Шенберга и Аддина (которые определяли концентрацию, исходя просто из количества первоначально введенного свинца) номинальные концентрации, приводившие к такому же изменению частоты, были примерно в 10 раз больше, чем концентрации, измеренные в опытах Баргавы. Ненадежное определение концентрации могло повлиять и на результаты экспериментов Брандта и Разумеенко [60], близкие результатам Шенберга и Аддица, и, возможно, несмотря на меры, принятые Баргавой для обеспечения однородности образцов, они могли быть недостаточно однородны для оценки концентрации лучше, чем с точностью до множителя 2. Трудности с оценкой концентрации можно избежать, если Ne - Nh определяется независимым методом по эффекту Холла в сильных полях (хотя только частично, если образец неоднородный). Этот подход был

использован Бейтом и Эйншпрухом [37], которые исследовали сплавы Bi — Sn и получили достаточно хорошее согласие между величиной Ne — Nh> определенной из эффекта Холла, и значением, рассчитанным по формуле (5.27) (они использовали эффект ШдГ, а не дГвА).

Несмотря на отдельные недостатки, несомненно, что «модель жестких зон» достаточно хорошо подходит для разбавленных сплавов Bi. Однако было бы целесообразно провести новое и более тщательное исследование с использованием действительно надежно известных величин концентраций с измерением как электронных, так и дырочных осцилляций для некоторого диапазона концентраций ряда примесей с валентностью, большей и меньшей, чем валентность основного металла. В детальных исследованиях [125, 203] Sb было получено убедительное свидетельство применимости «модели жестких зон» в пределах ошибки эксперимента. В обеих работах было впервые установлено, что частоты, отвечающие каждому участку ПФ, изменяются в одно и то же число раз независимо от ориентации. Как и в случае Bi, форма различных частей ПФ (фактически близких к эллипсоидам) не изменялась при введении примесей. Из отношений частот F^/F^ и Fh/Eh0 были получены значения Ne и Nh с помощью соотношения (5.27) и значение N (5,51 х 1019 см-3 или 1,66х 10“3 на атом), известное из исследований осцилляций дГвА в чистой сурьме (см., например, [476]), так что можно было подтвердить выполнение равенства (5.26) с экспериментальной точностью (порядка 10%) для диапазона концентраций введенных примесей Sn и Те (см. табл. 5.7, основанную на работе [203]).

Следующая проверка этой модели, произведенная авторами работы [203], была гораздо более тонкой. Требовалось определить изменения Д£е и Afh энергий Ферми электронов и дырок и показать, что они действительно равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Для этого были измерены циклотронные массы т и частоты F для каждого ряда концентраций, а изменение энергии Ферми при произвольной концентрации вычислялось из соотношения -

^2 Г Сплав ^^

АС = ((сплав)- ((Sb) = — —- . (5.28) ^JSb т\А)

где А — площадь экстремального сечения, равная (2ire/ch)F Как видно из табл. 5.7, результаты подтверждают равенство Afe = = — Afh в пределах ошибки эксперимента (около 10%), хотя систематическое расхождение порядка 10%, возможно, указывает на не-

Таблица 5.7. Проверка «модели жестких зон» и модели Лэкса для разбавленных сплавов Sb с Sn и Те [203]

103 с

N^N

N^/N

(We - N^/cbZ

Д^е, мэВ

Д^, мэВ

Sn(AZ

= -1)

1,8

0,51(0,50)

1,69(1,67)

1,09

-39

43

2,6

0,35(0,34)

2,09(2,05)

1,11

-56

63

3,2

0,32(0,32)

2,18(2,16)

0,97

-61

68

3,7-

0,16(0,15)

2,92(2,76)

1,24

-86

98

5,2

0,14(0,12)

3,02(3,00)

0,94

-92

103

5,3

0,10(0,09)

3,28(3,21)

1,00

-100

111

Te^Z

= 1)

1,2

1,40(1,41)

0,74(0,75)

0,92

23

-21

Примечание: результаты представлены здесь в несколько другом виде, чем в первоначальной публикации; опушено несколько строк, в которых данные были неполными или в значении с можно было сомневаться. Величина N здесь положена равной 1,66х 10” 3 на один атом; знак величин Д< определяется по правилу, принятому в формуле (5.28). Значения Ne/N и N^/N, приведенные в скобках, вычислены по формуле (5.30) и находятся в хорошем согласии со значениями, полученными из соотношения (5.27); согласие значительно ухудшается, если (что казалось бы более логичным) подставлять в формулу (5.30) среднее значение Д£ [т.е. */2(Д^ - ДЛ ) вместо Д^ и ’/2(ДГЬ - ДГе) вместо ду. е

полную применимость модели. Баргава произвел подобную, но менее убедительную проверку в своем исследовании сплавов Bi, однако он получал изменения энергии Ферми не из измеренных циклотронных масс, а используя модель Лэкса (см. приложение 1 и п. 5.3.5) с определенными значениями ее параметров fe, fh и £g. Для Sb было возможно действовать обратным образом, т.е. показать приблизительную справедливость модели Лэкса и определить ее параметры из измеренных циклотронных масс. Таким образом, если применимость «модели жестких зон» доказана, введение примесей дает способ исследования зонной структуры с помощью контролируемого изменения уровня заполнения зон.

Поверхность Ферми Sb не только больше, чем ПФ Bi, но также значительно сложнее, поскольку содержит 3 дырочных эллипсоида с непараболической зависимостью к от энергии вместо одного дырочного эллипсоида с параболической зависимостью у Bi. Соответственно модель Лэкса является более сложной и включает две малые щели: £gh — между дырочной зоной и близкой к ней пустой зоной, расположенной выше ее, а также щель £ge — между электронной зоной и расположенной ниже ее заполненной зоной. Если модель Лэкса применима, то мы получаем из формул (П1.33) и (П1.34)

т\2 2mbh2 I = у^ "h т0) кт^ £%т\2 2mbh2 I = у^ "h т0) кт^ £%(5.29)

т\2 2mbh2

I = у^ "h т0) кт^ £%

т\2 2mbh2

I = у^ "h т0) кт^ £%

(5.30)(5.30)NJN-NJN-+ £gh)+ £gh)причем оказывается, что зависимость Qn/m^j2 от А дает практически прямую линию как для дырок, так и для электронов. Из величины отрезков, отсекаемых графиками на осях, и из наклона графиков можно определить тъ и £g и, следовательно [используя формулы (П1.33) или (П 1.34)], также и энергии Ферми fe и fh электронов и дырок для чистой сурьмы. Было найдено, что результаты (£ge = = ПО ± 25 мэВ, fe = 150 ± 10 мэВ, тЪе/т0 = 0,022 ± 0,006 и £gh = 140 ± 140 мэВ, fh = 180 ± 40 мэВ, mbh/m0 = 0,018 ± 0,018), хотя* и являются несколько грубыми, находятся в удовлетворительном согласии с данными, полученными другими способами (например, измерением электронной теплоемкости). Для дополнительной проверки параметров можно вычислить, исходя из них, для каждого сплава величины Ne и ^ с помощью уравнений модели Лэкса

(5.30)

(5.30)

NJN-

NJN-

+ £gh)

+ £gh)

используя эмпирические значения Af, приведенные в табл. 5.7. Эти оценки, представленные в скобках, находятся в разумном согласии с оценками, основанными на соотношении (5.27).

В качестве примера ситуации, когда «модель жестких зон» дает только грубое описание эффекта введения примеси в «простом» металле, мы кратко рассмотрим результаты экспериментов [212] с разбавленными сплавами In с РЬ и Т1. Хотя In имеет тетрагональную решетку, его ПФ [448] очень похожа на ПФ А1, имеющего кубическую решетку (см. п. 5.3.3.1), в частности имеются четырехугольные кольца в третьей зоне, которые приводят к появлению осцилляций дГвА «средних» частот (~5 х 106 Гс) на максимальных сечениях сторон кольца и осцилляций низких частот (~2х 105 Гс) на «шейках» в углах кольца. Хотя расчет эффекта введения примеси РЬ, учитывающий только увеличение валентности (от 3 до 3 + с для атомной концентрации с), дает вполне удовлетворительную величину приращения F (примерно на 2% для с = 0,005) при средних частотах, но для более чувствительных низких частот он дает величину приращения, примерно вдвое превышающую наблюдаемую (около 25% для с = 0,005). Однако более тщательный расчет, при-

нимающий во внимание изменения параметров решетки, коэффициентов псевдопотенциала и спин-орбитального взаимодействия, дает хорошее согласие для обеих частот. Результаты для разбавленных сплавов с Т1 показывают, что простая «модель жестких зон» здесь неприменима. Поскольку Т1 имеет такую же валентность, как и In, «модель жестких зон» предсказывает отсутствие изменения частоты осцилляций дГвА, но в действительности наблюдается уменьшение частоты почти столь же значительное, как ее увеличение при добавлении РЬ. Подробные вычисления показывают, что это уменьшение может быть удовлетворительно объяснено изменениями параметров решетки и т.д., хотя сравнение с теорией несколько затруднено неопределенностью в величинах изменений параметров решетки.

Первое измерение сдвига частоты, вызванного примесями, в благородном металле было проведено с помощью метода импульсного поля Кинг-Смитом [235], который зарегистрировал уменьшение примерно на 0,2% частоты осцилляций на «шейке» ПФ Au при добавлении 0,06% Pt (имеющей валентность на 1 меньше, чем Au) и на 0,3% при добавлении 0,3% Ag, имеющего ту же валентность, что и Au; для Pt уменьшение составляет примерно Уз величины, ожидаемой по «модели жестких зон», а небольшое уменьшение для Ag (по этой модели изменения не должно быть) можно объяснить, если произвести линейную интерполяцию между частотами на «шейках» чистого Au и чистого Ag. Более точные последующие измерения (см., например, [434], библиографию можно найти в работе [85]) на различных разбавленных сплавах показали, что при благоприятных обстоятельствах «модель жестких зон» дает качественное, а иногда даже полуколичественное описание изменений частоты, если принимать во внимание изменение параметров решетки. Однако эта модель начинает давать плохие результаты при больших искажениях решетки или в случае, если разность валентностей примеси и основного металла ^Z больше двух или отрицательна. Дополнительные осложнения возникают также, если примесь является магнитной.

Более глубокая интерпретация изменений ПФ может быть достигнута с помощью метода параметризации зонной структуры, подобного описанному в п. 5.3.2, в котором сдвиги фаз, характеризующие сплав, вводятся как подгоночные параметры. В подходящих системах обнаружено, что параметры, требуемые для аппроксимации наблюдаемых изменений частоты при разных ориентациях, соответствуют не только изменениям частоты, но также анизотропному рассеянию атомами примеси, определяемому из иссле-

дований температуры Дингла. Однако будет удобно отложить рассмотрение этого вопроса до разд. 8.3, где обсуждаются результаты исследования температуры Дингла; в табл. 8.2 показано качество полученных аппроксимаций и приведены также предсказания «модели жестких зон». До сих пор только для некоторых систем разбавленных сплавов благородных металлов были сделаны попытки сопоставить сдвиги частоты с вероятностями рассеяния (т.е. действительную и мнимую части собственной энергии, связанной с примесями). С учетом полученных интересных результатов очевидно, что эти исследования заслуживают продолжения.

6

Магнитное взаимодействие

Введение

При теоретическом рассмотрении эффекта де Гааза — ван Аль- фена до сих пор предполагалось, что магнитное Йоле, действующее на электроны, — это просто поле, создаваемое магнитом, а добавкой от осциллирующей намагниченности М металла можно пренебречь. Однако, хотя амплитуда 14тгМ1 никогда не достигает столь значительных размеров, чтобы быть сравнимой с полем Н^ она может стать вполне сравнимой с периодом осцилляций H2/F в сильных полях и при достаточно низкой температуре (см. таблицу в приложении 7.1). Когда величина 47rldM/d//l становится близкой к 2тг, можно ожидать, что поле, обусловленное осциллирующей намагниченностью электронов, существенно повлияет на форму осцилляций, сделав ее отличной от формы, определяемой формулой ЛК, при выводе которой магнитный момент образца не принимался во внимание.

Это обстоятельство было впервые обнаружено Шенбергом [389] при исследовании эффекта дГвА в благородных металлах. В этой работе замечено (см. рис. 3.5), что гармонические составляющие осцилляций значительно превосходят предсказываемые формулой ЛК, а также что зависимость амплитуды осцилляций от поля и температуры аномальна, если значение 4тг1 dAY/dWI достаточно велико. Постепенно было осознано, что на электроны действует поле В, а не Н, и осциллирующая добавка к индукции 4тгМ должна обусловливать нечто вроде «обратной связи», которая может объяснить обнаруженные аномалии. Этот эффект стал называться магнитным взаимодействием (МВ)0.

Эту главу мы начнем с доказательства законности замены Н на В в формуле ЛК для намагниченности М, а затем изучим следствия такой замены. Сначала покажем, как изменяется форма линий в

!) Первоначально я полагал, что «обратная связь» возникает только из-за размагничивающего поля —4ттМ, однако вскоре А. Б. Пиппард напомнил мне известный факт, что среднее поле, которое «видит» заряд, находящийся в среде, есть В, и это приводит к значительно более сильной обратной связи благодаря добавке АтгМ к эффективному полю.

случае осцилляций дГвА только одной частоты, гармонический состав которых при соответствующих условиях становится более богатым из-за МВ. Затем будут рассмотрены усложнения, связанные с формой образца и анизотропией кристалла, и будет показано, что при достаточно сильном МВ образец может разбиваться на домены [97]. Если одновременно присутствуют осцилляции дГвА нескольких частот, то может возникнуть богатое многообразие новых эффектов, таких, как частотная и амплитудная модуляции одних осцилляций другими, и в общем случае появление комбинационных частот и их гармоник. Из этого многообразия мы изберем для обсуждения только относительно более простые случаи, которые хотя бы качественно соответствуют экспериментально наблюдаемым явлениям.

Оказывается, что идеализированная теория в ряде случаев не в состоянии количественно описать как форму линии, так и амплитудную и частотную модуляции, наблюдавшиеся в опытах. Основная причина этого — неоднородность фазы осцилляций в образце. Теорию, построенную для однородных образцов, следует преобразовать таким образом, чтобы учесть эту неоднородность. Будет показано, что согласие с экспериментом можно значительно улучшить, если необходимое размытие фаз (которое обычно дает основной вклад в фактор Дингла, описывающий уменьшение амплитуды в формуле ЛК) ввести после, а не до того, как принято во внимание магнитное взаимодействие. Будет описано влияние МВ на другие осцилляционные эффекты и в заключение показано, что при экстремально высоких плотностях, подобных тем, которые возникают в астрофизических объектах, МВ может привести к сильной намагниченности без приложения внешнего поля, т.е. возникает нечто вроде ферромагнетизма.

Доказательство законности замены Н на В в формуле для М

(6.1)(6.1)Хотя известно, что усредненное по пространству магнитное поле в среде есть В, не очевидно, каким образом это обстоятельство может быть учтено в теории. Как оказывается, корректная процедура состоит в замене Н на В в формуле ЛК для осциллирующей намагниченности. Итак, если под М0(Н) понимать результат теории ЛК, то осциллирующая намагниченность М при магнитном взаимодействии будет

(6.1)

(6.1)

М = М0(В).

Это равенство было подтверждено микроскопическим анализом [211], показавшим корректность формулы (6.1) при рассмотрении магнитного взаимодействия в приближении Хартри. Более простые аргументы были предложены Пиппардом [347], который, следуя ван Флеку [447], отметил, что электронный диамагнетизм обязан своим существованием некоторому разбалансу между большим диамагнитным орбитальным моментом электронов, движущихся в объеме металла, и большим парамагнитным моментом электронов, сталкивающихся с поверхностью образца и движущихся при этом скачками по периферии металла. Эффект дГвА обусловлен осцилляциями диамагнитного вклада от внутренних электронов, и поскольку флуктуации магнитного поля в объеме происходят на расстояниях, много меньших обычных размеров орбит, то этот вклад определяется средним полем В, которое задает квантованные уровни энергии внутренних электронов. Поле, управляющее движением электронов, сталкивающихся с поверхностью, представляет собой нечто среднее между В и Н, однако это совершенно неважно, поскольку эти электроны не дают вклада в эффект дГвА. Еще раньше Пиппард [341] вывел формулу (6.1) на основе термодинамики, исходя из идеи, что энтропия 8, несомненно, определяется усредненным локальным полем В, так что

8 = S^B\(6.2)

где 80(7/) — энтропия, вычисленная по теории ЛК. Если считать, что металл находится во внешнем поле В, но нет взаимодействия, то

^si^T = (д80(В)/ав)т = (ам0(В)/ат)в.

С другой стороны, для реального металла

(as/aB)T = (ам/ат)я = (ам/атмав/ан)г.

Поделив одно выражение на другое, получим

(ам/ат)в = (ам0(В)/ат)в

и после интегрирования приходим к (6.1), если учесть, что интерес представляет только осциллирующая часть намагниченности М и что она должна исчезать при достаточно высокой температуре Г, так что постоянная интегрирования (которая также является функцией В) тоже должна обратиться в нуль.

Если принять, что соотношение (6.1) дает корректный способ замены Н на В, то можно легко определить, как изменяется термо-

динамический потенциал Й при МВ. Поскольку

м = -(га/ащТ.(б.з)

то имеем

Q=- M0(B)dH =Q=- M0(B)dH =M0(B)dB + 47t MdM,M0(B)dB + 47t MdM,

Q=- M0(B)dH =

Q=- M0(B)dH =

M0(B)dB + 47t MdM,

M0(B)dB + 47t MdM,

(6.4)(6.4)так что

(6.4)

(6.4)

Q = Q0(B) + 2иМ\

где Й0(В) — выражение, получающееся при замене Н на В в формуле ЛК (2.15) для термодинамического потенциала0. Итак, выражение для осциллирующей части термодинамического потенциала не будет правильным, если просто заменить Н на В в соответствующей формуле ЛК. Дополнительный член 2тЛ?2 весьма существен в условиях МВ; его вклад в М равен 4vMdM/dH> а как мы увидим далее, именно в том случае, когда величина 4irdM/dH становится сравнимой с единицей, МВ играет важную роль. Потенциал Й нельзя свести к Й0(В), поскольку формула ЛК для термодинамического потенциала получена в предположении о невзаимодействующих частицах, которое не верно, если принять во внимание магнитное взаимодействие. Очевидно, что формуле (6.4) сопутствует равенство

(6.5)(6.5)м = -(гп0(в)/гв)г.

(6.5)

(6.5)

Теория МВ для осцилляций одной частоты при отсутствии анизотропии и эффектов формы Поскольку в дальнейшем речь пойдет только об осциллирующей части намагниченности М или потенциала Q, то для упрощения записи формул мы опустим знак «~ ». Как правило нас будут интересовать лишь несколько периодов осцилляций, так что удобно ввести обозначения

Н = Но + hН = Но + hи В = Но 4- Ь.и В = Но 4- Ь.(6.6)(6.6)

Н = Но + h

Н = Но + h

и В = Но 4- Ь.

и В = Но 4- Ь.

(6.6)

(6.6)

Мы будем рассматривать осцилляции дГвА с единственной частотой F, так что без МВ они имеют вид

(6.7)(6.7). /2лГ\, . (2кЕН

(6.7)

(6.7)

4кМ = A sin —- + ф = Л sin -2-\ Н/\ Hq

^ Отметим, что вклад в В от неосциллирующей части М здесь игнорируется; обычно это достаточно обосновано.

Здесь h и b — малые добавки к значению Но, которое в основном определяет и //, и В. Значение Но выбрано так, что полная фаза осцилляций дГвА (IttF/Hq 4- ф) равна тг, умноженному на целое нечетное число (т.е. при Н = Но, М = О, В = HQ, а величина dM/dH положительна). Если теперь заменить Н на В, то синусоидальный член вида (6.7) в формуле ЛК с достаточной точностью будет иметь вид

4тгМ = A sin kb,(6 8)

где

к = 2лЕ/Нф.(6.9)

Чтобы не усложнять задачу рассмотрением эффектов, связанных с формой образца, будем считать образец длинным стержнем, ориентированным вдоль поля, так что

В = Н 4- 4лМ или b = h 4- 4лМ.(6.10)

Не будем также делать различия между Н и полем Не создаваемым магнитом, и пренебрежем пока анизотропией, т.е. предположим, что намагниченность М параллельна полю Н. Объединяя (6.9) и (6.10), получим, что намагниченность неявным образом определяется уравнением

4лМ = A sin ЦН 4- 4лМ).(6.11)

Видно, что МВ играет существенную роль (т.е. имеется заметная обратная связь, обусловленная дополнительным членом в аргументе синуса), если амплитуда дополнительного члена 4-пкМ становится сравнима с единицей, т.е.

4n\dM/dB\ > 1.(6.12)

Согласно табл. П7.1, такая ситуация действительно достижима на практике, и сейчас мы установим, что при этом происходит.

Решать уравнение (6.11) удобно в «приведенных» параметрах

” у = 4лкМ, х = kh, в = kb и а = 4n|dM/dB| = Ы.(6.13) В этих обозначениях формулы (6.10) и (6.11) принимают вид1’

!) В некоторых публикациях приняты несколько иные обозначения, вследствие чего в формуле (6.11) слева стоит знак «—», а у определяется как — 4itkM, так что вместо (х 4- у) в (6.14) и (6.15) появляется (х — у). Во время написания тех работ считалось, что такой выбор знака дает некоторые преимущества, однако используемое в нашей книге обозначение, по-видимому, более последовательно и при этом меньше вероятность того, что может возникнуть ошибка при расчетах. Однако следует помнить, что во многих случаях представленное здесь рассмотрение приводит к знаку, противоположному тому, который можно встретить в оригинальных работах.

(6.14)(6.15)(6.14)(6.15)у = <2 sin У = flsin(x + у).у = <2 sin У = flsin(x + у).О = X + у и

(6.14)

(6.15)

(6.14)

(6.15)

у = <2 sin У = flsin(x + у).

у = <2 sin У = flsin(x + у).

Решение уравнения (6.15) проще всего находится путем очевидного графического построения, при котором каждая точка кривой у = 6? sin х сдвигается в направлении отрицательных значений х на расстояние, равное у. Как видно из рис. 6.1, нарушение первоначально синусоидальной формы кривой становится все более значительным по мере того, как а приближается к 1, и при а > 1 значение у (т.е. М) перестает быть однозначным. Соответствующие изменения 9 (т.е. В) представлены на рис. 6.2. Решение можно также

Рис. 6.1. Форма осцилляций дГвА с учетом магнитного взаимодействия при а = = 0,5; 1; 2 и 10. Зависимости представлены в приведенных координатах: у — приведенная намагниченность, х — приведенное поле, а — приведенная амплитуда (= 47rldM/d5l). При а > 1 решение многозначно, однако штриховые участки кривых не реализуются, так что у изменяется скачком при каждом значении х, кратном 2тг. Следует отметить, что шкалы длях и для у различны при а ^ 1 и а > 1. Осцилляции при а = 10 показаны для более широкого диапазона х, чтобы нагляднее выявить периодичность. Обозначения Р, Q, р, q объясняются в тексте.Рис. 6.1. Форма осцилляций дГвА с учетом магнитного взаимодействия при а = = 0,5; 1; 2 и 10. Зависимости представлены в приведенных координатах: у — приведенная намагниченность, х — приведенное поле, а — приведенная амплитуда (= 47rldM/d5l). При а > 1 решение многозначно, однако штриховые участки кривых не реализуются, так что у изменяется скачком при каждом значении х, кратном 2тг. Следует отметить, что шкалы длях и для у различны при а ^ 1 и а > 1. Осцилляции при а = 10 показаны для более широкого диапазона х, чтобы нагляднее выявить периодичность. Обозначения Р, Q, р, q объясняются в тексте.

Рис. 6.1. Форма осцилляций дГвА с учетом магнитного взаимодействия при а = = 0,5; 1; 2 и 10. Зависимости представлены в приведенных координатах: у — приведенная намагниченность, х — приведенное поле, а — приведенная амплитуда (= 47rldM/d5l). При а > 1 решение многозначно, однако штриховые участки кривых не реализуются, так что у изменяется скачком при каждом значении х, кратном 2тг. Следует отметить, что шкалы длях и для у различны при а ^ 1 и а > 1. Осцилляции при а = 10 показаны для более широкого диапазона х, чтобы нагляднее выявить периодичность. Обозначения Р, Q, р, q объясняются в тексте.

Рис. 6.1. Форма осцилляций дГвА с учетом магнитного взаимодействия при а = = 0,5; 1; 2 и 10. Зависимости представлены в приведенных координатах: у — приведенная намагниченность, х — приведенное поле, а — приведенная амплитуда (= 47rldM/d5l). При а > 1 решение многозначно, однако штриховые участки кривых не реализуются, так что у изменяется скачком при каждом значении х, кратном 2тг. Следует отметить, что шкалы длях и для у различны при а ^ 1 и а > 1. Осцилляции при а = 10 показаны для более широкого диапазона х, чтобы нагляднее выявить периодичность. Обозначения Р, Q, р, q объясняются в тексте.

Шкала для а~2Шкала для а~2Рис. 6.2. Зависимость В от Я в приведенных координатах (т.е. 0 от х) при а = 0,5; 1; 2 и 10. Для простоты не реализующиеся участки при а = 10 не показаны и кривая при а = 0,5 нанесена пунктиром, чтобы отличить от наложенной на нее кривой а = 1.Рис. 6.2. Зависимость В от Я в приведенных координатах (т.е. 0 от х) при а = 0,5; 1; 2 и 10. Для простоты не реализующиеся участки при а = 10 не показаны и кривая при а = 0,5 нанесена пунктиром, чтобы отличить от наложенной на нее кривой а = 1.

Шкала для а~2

Шкала для а~2

Рис. 6.2. Зависимость В от Я в приведенных координатах (т.е. 0 от х) при а = 0,5; 1; 2 и 10. Для простоты не реализующиеся участки при а = 10 не показаны и кривая при а = 0,5 нанесена пунктиром, чтобы отличить от наложенной на нее кривой а = 1.

Рис. 6.2. Зависимость В от Я в приведенных координатах (т.е. 0 от х) при а = 0,5; 1; 2 и 10. Для простоты не реализующиеся участки при а = 10 не показаны и кривая при а = 0,5 нанесена пунктиром, чтобы отличить от наложенной на нее кривой а = 1.

легко найти численно, если обратить (6.15):

(6.16)(6.16)х = sin г(у/а) — у.

(6.16)

(6.16)

При а < 1 решение для у можно выразить явно в виде разложения по гармоникам с коэффициентами, даваемыми функциями Бесселя1);

(6.17)(6.17)ииу = £ (2/r)Jr(ra)sinrx Г=1

(6.17)

(6.17)

и

и

dy/dx = 4itdM/dH = £ 2Jr(ra)cos rx • r= 1•

При a < 1 функции Бесселя можно разложить в ряд по степеням а. и с точностью до членов порядка а3 получим

ииу = а{(1 - |a2)sinx 4- |asin2x 4- |a2sin3x} )^

и

и

dy/dx = п{(1 ~|n2)cosx 4- acos2x 4-|a2cos3x} J-

^ Любопытно, что уравнение вида (6.15) было хорошо известно в астрономии уже в 18 столетии и что позднее Бессель (в 1824 г.) ввел функции Jr специально для того, чтобы получить разложение у по гармоникам х (см., например, [180]). Автор признателен проф. А. Сигеру, привлекшему его внимание к результату (6.17).

Этот же результат, очевидно, можно получить при помощи итераций непосредственно из (6.15), если значение у в правой части (6.15) считать малой величиной.

Вернемся к рассмотрению того, что происходит, когда а > 1 и решение (6.15) неоднозначно. Для решения этой задачи надо рассмотреть термодинамический потенциал (2, определяемый формулой (6.4), и при этом иметь в виду, что система стремится принимать состояния с минимальным значением О [341, 347]. Если определить приведенный потенциал Z, согласно формуле

(6.19)(6.19)Z = 4л/с2Й

(6.19)

(6.19)

и вспомнить, что у = a sin У, то (6.4) примет вид

Z = я cos# 4- |a2sin20.Z = я cos# 4- |a2sin20.(6.20)

Z = я cos# 4- |a2sin20.

Z = я cos# 4- |a2sin20.

Рис. 6.3. Зависимость термодинамического потенциала от Н в приведенных координатах (т.е. зависимость Z/a от х) при а = 0,5; 2 и 10. При а > 1 реализуются только состояния, соответствующие сплошным линиям. Обозначения Р, Q,p,q объясняются в тексте. Отметим, что во всех случаях минимальное значение Z/a равно — 1.

Зависимости Z от х( = 0 - у) при различных значениях а легко могут быть построены, если известно значение у при заданном х. Некоторые из этих зависимостей показаны на рис. 6.3. При а > 1, в точке Р для осцилляций М термодинамический потенциал металла будет снижаться, если скачком произойдет переход из точки Р в точку Q, в которой Z имеет то же значение, а затем термодинамический потенциал станет следовать ветви р, а не q. В каком-то смысле это аналог точки на р - v-диаграмме при фазовом переходе газ — жидкость, в которой свободные энергии обеих фаз становятся равными. Вопрос о том, как именно происходит переход PQ, мы обсудим позже, теперь же просто предположим, что переход действительно происходит и что осцилляции у (т.е. М^ 6 (т.е. В) и Z (т.е. Q) имеют форму, показанную сплошными линиями на рис. 6.1, 6.2 и 6.3. При а > 1 легко получить, исходя из (6.16) (и поскольку величина у/а мала), что у, 6, Z с хорошей точностью даются выражениями °

при 2гл х (2г + 2)л.при 2гл х (2г + 2)л.(6.21)(6.21)У = ^а + 1)[(2г + 1)п - х]

при 2гл х (2г + 2)л.

при 2гл х (2г + 2)л.

(6.21)

(6.21)

О = (2г + 1)л + [х - (2г + 1)л]/(и + 1) z — -«;i -[(2г+ 1)л -x]2/2(u + d;

Отметим, что при а > 1 зависимость 0(х) [т.е. В (Я)] принимает форму лестницы. Треугольная форма кривой намагничивания в этом пределе (см. рис. 6.1 для а = 10) напоминает кривую намагничивания сверхпроводника, хотя, конечно, намагниченность сверхпроводника исчезает при критическом поле, так что не возникает периодического повторения за пределами этой области. Эта аналогия будет полезна при рассмотрении эффектов формы.

Осцилляции величины Ау/Дх (т.е. величины 4^dM/d//, которая непосредственно измеряется при использовании метода модуляции поля с малой амплитудой) показаны на рис. 6.4. Отметим, что при а < 1 «размах» у-осцилляций, т.е. полурасстояние по оси у от минимума до максимума, совпадает с той же величиной без МВ, т.е. точно равен а. Однако для dy/dx «размах» стремится к бесконечности по мере того, как а приближается к единице. Действительно, из (6.15) следует

(6.22)(6.22)dy a cos 9

(6.22)

(6.22)

dx 1 — «cos 9

^ г — целые числа ^ 0. — Прим. ред.

Рис. 6.4. Зависимость dj/dx(= 4-кдМ/дН^ от х (т.е. от //) при а = 0,5; 2 и 10. При а > 1 показаны только реализующиеся участки кривых, и dj/dx обращается в бесконечность при х = 0, 2тг и т.д., что показано вертикальными штриховыми линиями.

так что эта производная изменяется от -я/(1 4- а) до а/(1 — а) и полурасстояние между этими значениями, равное

/ dy\ а

ampUrT^' <6-23>

становится бесконечным при а = 1. При а > 1 выражение (6.22) справедливо лишь по отношению к фактически наблюдаемым участкам осцилляций, т.е. в малой области значений 9 вблизи (2г 44- 1)тг, при котором d^/dx = -а^а 4- 1). При скачках у^ производная d^/dx стремится к бесконечности как 6-функция.

Следует отметить, что всегда в условиях заметного МВ существует лево-правая асимметрия осцилляций М и асимметрия верх — низ для (Ш/<Ш. Это имеет практически важное значение, так как позволяет установить знак М и dM/сШ по асимметрии выходного сигнала детектирующей системы в тех случаях, когда этот знак иным способом определить нельзя. В принципе по содержанию гармоник в сигнале можно определить и абсолютное значение а, однако, как будет видно из дальнейшего, на практике эту возможность трудно реализовать из-за влияния эффектов, связанных с размытием фаз.

Влияние анизотропии кристалла и формы образца

Кристаллическая анизотропия и эффекты размагничивания (т.е. эффект формы) изменяют соотношения между В, Не (полем, созда-

ваемым магнитом), Н (полем в материале) и М, так что простое выражение (6.10) перестает выполняться. Полезно сначала рассмотреть общий случай, чтобы выявить условия, при которых влияние формы и анизотропии кристалла можно обсуждать отдельно друг от друга. Будем предполагать, что образец всегда имеет форму эллипсоида, так что если внешнее поле Не однородно в Пространстве, то и Н, и М однородны в пределах образца. Если, как то неизбежно на практике, форма образца отличается от совершенного эллипсоида, то Н и М будут не совсем однородны, однако результаты, предсказываемые для точного эллипсоида, аппроксимирующего реальный образец, останутся качественно верными, за исключением того, что появляется небольшое размытие фаз осцилляций дГвА (если существенно МВ).

Поскольку прямому измерению доступно поле Не а не Н, то надо в (6.10) выразить Н через Не. В общем случае векторные компоненты равны

Нв = Неа - 4кпвЬМь, (6.24)

где 4irnab — тензор размагничивания (индексы а, b принимают значения от I до 3) и подразумевается, как обычно, суммирование по повторяющимся индексам. Отсюда

= Нее + 4^3» - п^Мь. (6.25)

где 6ab = I при а = b и 0 при а Ф Ь. Заметим, что если выбрать оси эллипсоида в качестве осей координат, то тензор паЬ будет диагоналей. Для простоты обсудим детально только два предельных случая (более общее рассмотрение, правда, не столь наглядное, см. в работе [102]). Если образец имеет форму диска и Не лежит в его плоскости, которая одновременно является плоскостью симметрии кристалла, то и вектор М должен лежать в плоскости диска и размагничивание не играет роли (пи = п22 = 0; п33 = I, но это несущественно). В таком случае направление М относительно Не определяется только анизотропией кристалла. Если же, с другой стороны, кристаллической анизотропией можно пренебречь (например, если выбрать направление Не соответствующим экстремуму частоты F как функции ориентации), то остается только эффект формы.

Прежде чем изучать эти противоположные предельные случаи, удобно записать формулу, определяющую термодинамический потенциал О, справедливую в общем случае при наличии анизотропии. Эту формулу, впервые полученную Кондоном [97], легко вывести из выражения (6.3) в обобщенной векторной форме

Ма = -дЛ!дНса,(6.26)

Используя (6.25), отсюда получим

Q = -^MQdHea = -|млавл 4- 4л Ja/J^ - nJdMb.

При изменении Не в общем случае величине Ма пропорциональна Мь, так что эта формула преобразуется в выражение

Q = Q0(B) + 2л(6оЬ - nQb)MaMb.(6.27)

в котором мы воспользовались векторной формой записи (6.5), чтобы получить первый член в правой части.

6.4Л. Влияние анизотропии кристалла

Поскольку F изменяется при изменении ориентации, то должна появиться компонента М2 намагниченности М, перпендикулярная Не наряду с параллельной компонентой МР Они могут быть определены, если воспользоваться векторной формой записи (6.5)

ма= -аа0^/аво>(6.28)

или

мх = -аа0(в^авх и м2 = -аа^в^ав^ (6.29)

Фактически Оо(В) является функцией от р/В) и F изменяется с изменением В2, так как результирующее значение В (которое с достаточной точностью имеет абсолютную величину, равную Вх) отклонено на малый угол В2/Вх от направления внешнего поля. Отсюда точно так же, как и в отсутствие МВ, найдем, что

М2 = -цМг(б.ЗО)

где

8F

<6-3|>

(9 — угол в плоскости МхМ2у

Однако важным новым обстоятельством является то, что отклонение В от Не обусловливает небольшое изменение F, пропорциональное М, и это приводит к дополнительной обратной связи. Для частного случая, когда все векторы лежат в плоскости образца-диска, имеем

В2 = 4лМ2

21-207

так что малый угол наклона равен

де = 4ям2/я = -^mjh^зт^

и F заменяется на Г(1 - Атг^М^Н). Если, как и ранее, отсчитывать поле от подходящим образом выбранного исходного значения Но и ввести это измененное значение в выражение для F, то уравнение, определяющее неявно Mv запишется следующим образом:

АкМх = A sink(h 4- 4я(1 4- ц2)Мх\(6.33)

где к по-прежнему определяется^формулой (6.9). Это уравнение сводится в приведенных величинах к той же самой форме (6.15), т.е.

у = a sin 6 = a sin(x 4- у),

однако теперь приведенные переменные, за исключением х, имеют иной смысл:

у = 4яМ1/с(1 4- д2), х = kh, 6 = k(b 4- Акц2Мх^

а = кА(Д + ^2).(6.34)

Термодинамическое рассмотрение сохраняется почти неизменным, и из (6.27) и (6.28) получим

Q = - jwjBJdB! - |м2(В)дВ2 + 2я(М? + Ml) (6.35)

Поскольку В2 = 4тгМ2, то второй и четвертый члены справа взаимно сокращаются. После несложных вычислений, используя (6.33) и (6.34), получим тот же самый результат (6.20) для приведенного термодинамического потенциала Z, т.е. Z = a cos 6 4- /га^ш2^, но теперь Z определяется несколько иначе:

Z = 4л/с2(1 4- ^2)Q.(6.36)

Решение уравнения (6.15), естественно, точно такое, как и рассмотренное в разд. 6.3, и, как и раньше, при а > 1 лишь отдельные участки на кривых у (х) и 0(х) отвечают стабильным состояниям, скачком изменяющимся при значениях х = 2тглг Qi — целое число). Однако теперь физический смысл результата несколько иной. Так, при данном А параметр а» описывающий взаимодействие, в (1 4- 4- /х2) раз больше, чем в изотропном случае. Этот множитель может достигать значения, скажем, равного 5, как, например, для осцилляций на «сигарах» в бериллии при некоторых ориентациях по-

ля. В таких случаях МВ проявляется при значительно меньших амплитудах Мх, чем в изотропных металлах. Часто, однако, значение р2 совсем невелико: в благородных металлах оно составляет не более 0,2 и, конечно, во всех случаях исчезает при направлениях, соответствующих точкам поворота на зависимости F от угла. Следует отметить, что перпендикулярная компонента М2, которая определяет крутящий момент, действующий на образец, дается формулой (6.30) и в некотором смысле она вторична по отношению кМР Поэтому форма линии для осцилляций Мг просто с точностью до масштабного множителя совпадает с таковой дляМр определяемой из решения уравнения (6.15), описывающего МВ. Как ни мала амплитуда М2 (при малом значении р) при измерении вращающего момента, также имеющего сколь угодно малую амплитуду, может оказаться, что МВ имеет большую величину и вполне обнаружимо. В пределе а ► 1, когда осцилляции Мх приобретают треугольную форму, их амплитуда уменьшается в (1 4- р2) раз по сравнению с изотропным случаем (р = 0). Следствием этого является модификация формы «лестницы», описывающей зависимость b от h (рис. 6.2): почти горизонтальные участки приобретают больший наклон, а скачки между ними становятся меньше. Это видно и из того, что величина 6, определяемая формулой (6.34), не пропорциональна параметру Ь; хотя 6 по-прежнему следует зависимости, имеющей форму прямоугольной лестницы на рис. 6.2, однако значение kb, определяемое формулой

kb = в - , (6.37) 1 + д2

как функция от кН по мере роста р все более приближается к прямой, идущей под углом 45°, т.е. к зависимости, характерной для немагнитных материалов. Описанные эффекты, обусловленные анизотропией кристалла, пока экспериментально не наблюдались. Следует отметить, что если образец имеет более сложную форму, чем рассмотренная здесь, то множитель (1 4- д2) уменьшается из-за эффектов формы; некоторые примеры, подтверждающие это, приводятся позднее.

Влияние формы образца

Рассмотрим теперь противоположный предельный случай, когда анизотропией кристалла можно пренебречь, и обсудим влияние только формы образца; для простоты будем говорить только об образцах, имеющих форму эллипсоида. Если кристаллическая ани-

зотропия отсутствует, то нет необходимости принимать во внимание ортогональные компоненты размагничивающего поля, так как обусловленный ими поворот направления В не приводит к изменению F и потому несуществен. Нетрудно показать, что если направление Не не совпадает с направлением какой-либо из главных осей эллипсоида, то векторы М и В (которые взаимно параллельны, так как намагниченность М определяется индукцией В, а анизотропия отсутствует) слегка отклоняются от направления Не Если поле Не лежит в плоскости осей 1 и 2 и направлено под углом 6 относительно оси 1, то угол между В и Н^ равен sin0cos0(^j - п^АтМ/В. Поэтому компонента М, перпендикулярная Не> не превосходит по порядку величины М2/В и ею вполне можно пренебречь (обусловленная ею связь пренебрежимо мала).

Если пренебречь всеми перпендикулярными компонентами, то (6.25) упрощается до выражения

В = Н 4- 4яМ = Не + 4л(1 - п^М,(6.38)

где 4тгл — коэффициент размагничивания, и п дается формулой

И = пи/2 + Л22/2 + и33/2(6.39)

Здесь Хр Х2, Х3 — направляющие косинусы вектора М относительно главных осей эллипсоида. В предельном случае длинного стержня, расположенного под углом 6 к полю, п = Vi sin2 6, а для тонкой пластины при поле, отклоненном от плоскости на угол 0, л = sin2 0.

Таким образом, (6.11) преобразуется к виду

АкМ = A sin ЦНе + 4л(1 - п^М^(6.40)

где

He = H0^he>

а поле Но выбрано таким же образом, как и ранее.

На первый взгляд вследствие появления нового множителя (1 - — п) магнитное взаимодействие становится более слабым и совершенно исчезает в предельном случае, когда образец имеет форму диска, а поле/7е нормально к его плоскости; при этом п = 1. Однако, как впервые отметил Кондон [97], такое заключение справедливо лишь тогда, когда состояние с однородной намагниченностью [с намагниченностью М, получающейся из решения уравнения (6.40)] отвечает минимуму свободной энергии. Оказывается, что при достаточно сильном МВ состояние с самой низкой свободной энергией для некоторой области полей, соответствующей части периода осцилляций, достигается при разбиении образца на домены, л о-

Рис. 6.5. Влияние формы образца на осцилляции намагниченности при а > 1. Приведены зависимости у от х^ (т.е. М от Яе) при а — п = 0,6, а = 1; б — п = 0,6, а = оо; в — п = 1, а = 2; г — п = 1, а = оо. В случаях в и г показан только участок, соответствующий половине цикла. В образце появляются домены на участках между точками Р и Q и в этой области средняя намагниченность изменяется вдоль прямой PQ, а не по штриховой линии, отвечающей решению уравнения, описывающего МВ.

кальная намагниченность М которых меняет знак при переходе от домена к домену (см. рис. 6.8). По мере роста поля отношение объемов доменов «4-» и «—» непрерывно возрастает от 0 до 100% и средняя намагниченность М образца изменяется линейно с полем Не (рис. 6.5). Рассмотрение вопроса о том, как образуются домены, каковы их размеры и расположение, мы отложим на будущее, а сейчас предположим, что домены действительно возникают, если при этом свободная энергия становится меньше, и изучим условия, при которых это имеет место.

Прежде чем приступить к рассмотрению задачи о доменах, рассмотрим кратко решение уравнения (6.40) при слабом МВ. В приведенной форме это уравнение имеет вид

у = asin# = asin(xe 4- (1 - и)у), (6.41)

гдехе = khe а параметры^, а и 6 определены ранее. Это уравнение можно переписать, придав ему вид формулы (6.15), т.е.

У = a* sin 0 = a' sin(xe + У),(6.42)

если ввести обозначения

У = (l-w)b а' = (1—и)а.(6.43)

Решение при слабом МВ полностью совпадает с полученным ранее, т.е. оно такое же, как представленное на рис. 6.1 и описанное формулами (6.17), (6.18), (6.22) и (6.23) при замене в них у наХ и а на а'.

При возрастании а или а' решение уравнения (6.42) остается однозначным, пока а' = а(1 — п) < 1. Однако если представить Л/ как функцию Л, а не т.е. у как функцию х, а нехе, то (6.41) приобретет прежнюю форму

у = asin(x 4- у)

Решение этого уравнения становится многозначным как только а становится больше 1 независимо от значения п. Два примера, отвечающие условиям а(1 - п) < 1, но а > 1, приведены на рис. 6.5. Физи 1еский смысл этого явления можно истолковать, если, следуя Кондону, представить себе образец как бы разбитым на множество параллельных тонких стержней (или тонких пластин), ориентированных вдоль направления поля. В каждом из этих стержней (или пластин) поле равно Н, а не Не, и потому при а > 1 для Л = О (или 2 гк/к) они могут находиться в одном из двух состояний с равной свободной энергией. При конечном значении коэффициента размагничивания поле h будет оставаться неизменным и равным критическому значению по мере роста he если намагниченность М изменяется таким образом, что

hc - 4лпМ = 0 (или 2гл//с), или

хе — пу = 0 (или 2гл),(6.44)

где г — целое число. Ниже для простоты мы рассмотрим только первый цикл, т.е. примем г = 0. Исследуя цикл намагничивания, видим, что начиная с момента, когда х обращается в нуль, т.е. с точки Р на рис. 6.5, определяемой уравнением

y = asiny(6.44а)

(это уравнение имеет ненулевое решение лишь при а > 1), у может линейно изменяться при возрастании хе в соответствии с (6.44) до

тех пор, пока не будет достигнуто значение, равное другому решению (6.44а), т.е. точка Q. При движении вдоль линии PQ образец разбивается на домены с возрастающей долей «4- »-доменов и убывающей долей «—»-доменов, и этот процесс идет до тех пор, пока доля «+»-доменов не достигнет 100%.

Существенно, что в области доменов на кривой намагниченности наблюдаемые значения^ (т.е. М) и 6 (т.е. В) отвечают средним значениям; соответствующие значения в пределах каждого домена, как показано на рис. 6.6, равны либо Р, либо Q. Таким образом,

Рис. 6.6. В области существования доменов намагниченность М и поле В (т.е. у и 6) остаются постоянными в пределах каждого отдельного домена при изменении внешнего поля (х^. Это отмечено горизонтальными штриховыми линиями на зависимости у от хе (а) и 6 от хе (б). (Заметим, что случай а — тот же самый, что и на рис. 6.5, а.) Следует подчеркнуть, что в любой точке образца величина 6 (т.е. В) не может принимать значений, лежащих между этими линиями. Однако при движении от Р к Q с ростом хе соотношение между объемами, занятыми противоположно ориентированными доменами, меняется от 0 до 100Vo и средние значения у и 6 следуют пунктирным прямым. На рис. 6.6, в представлена функция у (0); значения из области Р, Q не реализуются ни для какой точки образца; усредненные по образцу значения у и 6 следуют пунктирной линии. Все зависимости построены при а = 2 и п = 0,6; график, представленный на рис. 6.6, в, не зависит от значения п.

при изменении внешнего поля периодически возникают такие значения поля В, которых на самом деле нет в том смысле, что ни на каком участке образца такое поле не действует. Это соображение, подчеркнутое Пиппардом [347], окажется весьма важным позднее при обсуждении некоторых явлений в условиях MB. t

Тот факт, что свободная энергия уменьшается при разбиении на домены, т.е. что средняя намагниченность изменяется, следуя прямой PQ [уравнение (6.44)], а не соответствует решению уравнения (6.41), становится почти очевидным, если вспомнить, что при наличии размагничивания вместо формулы (6.3) надо использовать формулу (6.26), так что изменения (2 при изменении Не описываются выражением

ДО = -^MdHe,

или, в приведенной форме,

AZ = — Jydxe.(6.45)

Таким образом, величина ДО пропорциональна площади под кривой намагничивания у (хе) и возрастание О или Z при отходе от точки Р, очевидно, меньше в том случае, если следовать по прямой PQ, а не по кривой, отвечающей решению уравнения (6.41). В точке Q, естественно, ДО опять обращается в нуль соответственно тому, что в образце вновь устанавливается однородное состояние.

Значение О дается выражением (6.27), которое в отсутствие доменов принимает вид

Я = Я0(В) + 2я(1 - п)М2,(6.46)

или, в приведенной форме,

Z = a cos 9 + |(1 — п)я2 sin2 9.(6.47)

Решение уравнения (6.41) задает величины у и 6 как функции хе. Используя их, можно построить зависимость Z (хе) (рис. 6.7). Между точками Р и Q линейная связь между у и хе приводит к параболическому росту AZ (домен) при величине Z, определяемой формулой (6.45). Используя (6.44), найдем

AZ(домен) = ^(хе2о - х«).(6.48)

где х^ — значение хе в точках Р и Q. Как видно из рис. 6.7, кривая,

Рис. 6.7. Зависимость приведенного термодинамического потенциала Z от приведенного внешнего поля хе при а = 2, п = 0,6. На участке между Р и Q значения Z при образовании доменов (пунктирная линия) лежат ниже, чем при однородной намагниченности образца (штриховая линия). Обе линии касаются в точках Р и Q (Z = = 0,08).

описывающая Z для доменного состояния, как и должно быть, лежит ниже соответствующей кривой для состояния с однородной намагниченностью. Обе кривые касаются в точках Р и Q, так как наклон графика для Z дает значение М, которое одинаково в обоих случаях как в точке Р, так и в Q.

Возвращаясь к форме кривой намагничивания в области доменов, интересно исследовать случай а > 1. Приближенные решения уравнения у = a sin у, определяющие значения^ в точках Р и Q, имеют вид

у = ±ая/(а + 1) 2* ±я, (6.49)

а соответствующие значения хе равны пу. Между точками Р и Q намагниченность изменяется по линейному закону в соответствии с (6.44), а остающиеся участки цикла описываются почти прямыми линиями, пересекающими ось хс в точках ±тг (см. рис. 6.5, б). В предельном случае диска (л = 1) при а > 1 область существования доменов распространяется на весь цикл и кривая намагничивания выглядит как зеркальное отражение соответствующей линии при п = 0 (отражение происходит относительно прямой хе = тг/2). Таким образом, и в этом случае возникает замечательное подобие между этим случаем а > 1 и сверхпроводником, если рассматривать лишь ту часть цикла дГвА, которая лежит в отрицательной области, и если масштаб выбран так, что полупериод соответствует критическому полю/7с сверхпроводника. Кроме того, начало отсчета для кривой намагничивания сверхпроводника следует поместить

в точку С (т.е. при хе = -тг). При коэффициенте размагничивания п в образце сверхпроводника появляются домены в той же точке Р, что и при эффекте дГвА, и поле Н остается равным Нс в области существования доменов («промежуточное состояние»). Значения 4тгс1Л//с1Яе на участках СР и РО точно совпадают в обоих случаях:

4лДМ(ДНе = —1/(1 — и) на участке СР

и = 1/и на участке РО (6.50)

Но, конечно, у сверхпроводника намагниченность исчезает в точке О (т.е. при Яе = Яс), и при дальнейшем увеличении поля Я она остается нулевой; в отличие от этого в эффекте дГвА ситуация периодически повторяется.

Обсудим коротко влияние кристаллической анизотропии в случае, когда форма образца тоже играет роль. Рассмотрим два простых случая: сферу (ли = л22 = п33 = /з) и длинный круглый стержень, ориентированный вдоль внешнего поля Яе (ли = 0, и 21 = п33 = /2). Нетрудно рассмотреть и более общий случай, однако получающиеся при этом выражения весьма громоздки, а принципиально новые явления не возникают. Если выбрать плоскость 1,2 так, что в ней лежат и Mv и Л/2, то оба случая — сферы и стержня — можно рассмотреть совместно. Используем упрощенные обозначения пх = пхх (= !/з для сферы, 0 для стержня) и п2 = = п12 (= /з для сферы, /2 для стержня). Наличие размагничивающего поля в направлении оси 2, приводит к

В2 = 4я(1 -п2)М2,

так что выражение для угла наклона, даваемое формулой (6.32), следует умножить на (1 - л2). Если использовать также Ле, а не h по аналогии с (6.33), то надо заменить h на he - Avn^Mp Поэтому (6.33) приобретает вид

4лМх = A sin/c[he 4- 4лМх^\ — и^ + (1 - и2)//2)]- (6.51)

Стоящий справа множитель при 4лМj равен 2/з (1 4- м2) Для сферы и (1 4- ’/2g2) для стержня; для диска он был бы равен (1 4- м2) (в этом случае пх = пг = 0). Если кристиллическая анизотропия отсутствует, то этот множитель равен 2/з, 1 или 1 соответственно. Однако, согласно Кондону, появление нестабильности и доменной структуры определяется соотношением между Мх и h, а не h^ это соотношение имеет вид

4лМх = A sin /с£А 4- 4лМх^\ 4- (1 - n^p^W (6.52)

Таким образом, домены появляются, если Ак(\ + (1 - л2)^2) > L т.е. анизотропия приводит к появлению доменов, обязанных МВ, при меньшем значении А. Ее роль выражена сильнее для диска И^О + м2) > 1), чем в случаях сферы И^(1 + 2/зд2) ^ 1) и стержня (Ак(Д + /2М2) > 1).

Доменная структура: теория

Размеры и форма доменов в эффекте дГвА определяются из соображений, аналогичных используемым при рассмотрении доменов иной природы (в ферромагнетиках и в сверхпроводниках). Чтобы уменьшить избыточную магнитостатическую энергию, связанную с наличием границ между доменами, эти границы должны располагаться примерно вдоль внешнего поля, как показано на рис. 6.8, *хо- тя такая картина нарушается вблизи поверхностей образца, где может произойти «ветвление» границ, слегка уменьшающее свободную энергию по сравнению с той, которая отвечает простой структуре, показанной на рис. 6.8. Поскольку подобные нарушения не изменяют порядок величины размеров доменов, мы ими пренебрежем в ходе нашего рассмотрения, имеющего целью по существу установить характерные размеры. Наш подход подобен предложенному Пиппардом [347] и качественно согласуется с более развитой теорией Кондона [97]. Начнем с предположения, что толщина «стенки» — границы между слоями — по порядку величины равна D — диаметру орбиты (для простоты будем считать орбиту круговой). В этой области намагниченность ни параллельна, ни антипа- раллельна полю, что обусловливает появление дополнительной свободной энергии, пропорциональной площади стенок. Это способствует росту ширины доменов, вследствие чего число стенок уменьшается. Однако при этом должна возрастать магнитостатическая

Рис. 6.8. Схема расположения доменов Кондона в тонкой пластине, плоскость которой перпендикулярна полю Н. Период доменной структуры X сильно преувеличен по сравнению с толщиной Z; последняя преувеличена относительно У (в теории предполагается X < Z < У).

энергия «полюсов» в местах выхода доменов на поверхность. Магнитостатическая энергия тем меньше, чем тоньше домены (и соответственно их число возрастает) и тем самым чем быстрее спадает поле при удалении от поверхности. Минимизация суммы этих добавок позволяет определить оптимальные размеры дрменов, которые, как оказывается, по порядку величины равны среднему геометрическому от толщины образца Z и диаметра орбиты D.

Чтобы упростить вычисления, будем считать, что образец представляет собой тонкую пластину, плоскость которой перпендикулярна полю, и что мы находимся в середине цикла (точка О), так что параллельные и антипараллельные домены имеют одинаковую ширину. Предположим также, что параметр а велик, следовательно осцилляции приобретают форму, соответствующую предельному случаю на рис. 6.5, г. Дополнительную свободную энергию, связанную со стенками между антипараллельными доменами, можно грубо оценить, если считать, что она имеет тот же порядок величины, что и соответствующая значению Z/a = 1 на рис. 6.3, т.е. а/Аттк2 на единицу объема или Da/4лк1 на единицу площади стенки, где к определяется формулой (6.9). Так как на единицу ширины образца приходится 1/Х стенок, то вклад стенок в свободную энергию на единицу объема равен по порядку величины

Ai = аО/2лк2Х. (6.53)

Магнитостатическая энергия системы полос с противоположными по знаку магнитными полюсами ранее была уже вычислена в связи с задачей о ферромагнитных доменах (см., например, книгу Киттеля [237], а также приложение 12). При заданной плотности магнитных полюсов ±М0 [или ± 1/(4^)] их вклад в свободную энергию на единицу объема образца равен (следует иметь в виду, что образец имеет две стороны)

А2 = 0,8525X/16Z/c2. (6.54)

Минимум А! 4- А2 по отношению кХ имеет место при Aj = Д2, отсюда

X = аИ'2, (6.55) где, согласно расчету, а = 1,73д1/2. Однако, учитывая приближенный характер использованного подхода, лучше считать а безразмерной постоянной, которая медленно увеличивается с ростом а. Более детальные расчеты Кондона показывают, что а возрастает от а = 0 при а = 1, до а = 2 при а = 4 и а = 3,5 при а = 10. Не следует, однако, забывать, что уже «диаметр орбиты» — величина

несколько неопределенная, если речь идет не о круговой орбите, и что, очевидно, направление доменной стенки зависит от формы орбиты. В различных экспериментах по наблюдению доменной структуры (см. далее) диаметр орбиты D лежал в пределах 1 — 2х 10-4 см (например, для Be при 23 кГс или для Ag при 90 кГс), толщина Z обычно составляла 0,1 см и а ~ 3. Воспользовавшись оценкой Кондона для а - 2, найдем

X - 7 х 10~3см. (6.56)

Эта величина подтверждает, что период доменной структуры намного больше предполагавшейся толщины доменной стенки D, так что концепция хорошо различимых доменов имеет смысл.

Доменная структура: эксперимент

Размеры и структура доменов в ферромагнетиках и в промежуточном состоянии сверхпроводников определялись многими способами и наиболее наглядно по порошковым фигурам Виттера, образующимся при напылении порошка из магнитных частиц на поверхность образца. Подобная техника пока не использовалась для демонстрации наличия доменной структуры при МВ, хотя масштаб картины, согласно (6.44), в этом случае сравним с масштабом фигур, наблюдавшихся для ферромагнетиков и сверхпроводников. Можно надеяться, что дополнительные трудности, связанные с присутствием сильного магнитного поля и с меньшими размерами образцов, удастся преодолеть в обозримом будущем. Прямое доказательство того, что в образце образуются макроскопические области с различным значением В, было получено в элегантном эксперименте по наблюдению ядерного магнитного резонанса (ЯМР) [99]. Имеется также много косвенных свидетельств в пользу существования доменов, основанных на анализе формы линии магнитных осцилляций, которые наблюдались в подходящих условиях (см. разд. 6.5).

При наблюдении ЯМР в Ag было показано, что на тех участках осцилляций, обусловленных орбитами на «пузе», для которых предсказывалось существование доменов, возникают две хорошо разрешенные резонансные линии, соответствующие различным значениям поля В в «+»- и «—»-доменах. Эти значения В равны

В = Н ±4лМ0. (6.57)

Здесь Мо — намагниченность в точке Р на рис. 6.6 (т.е. намагниченность, соответствующая значению j0 = 4тг£Л70, которое является

Рис. 6.9. Результаты ЯМР-эксперимента, демонстрирующего существование доменов в Ag [99]. Экспериментальные точки U, 2 — различные частоты опорных сигналов, 3 — очень слабый сигнал) отмечают локальные значения поля В, определяемого по частоте ЯМР, при изменяющемся значении приложенного поля Не. Для обоих значений поля за начало отсчета принято значение вблизи середины периода ЛЯ в эффекте дГвА. Важным обстоятельством является то, что два значения В, различающиеся на ДВ, получены для той области периода осцилляций, для которой предсказано существование доменов, а для других участков существует только одно значение В. Штриховая линия — предсказываемая теорией зависимость, качественно подобная представленной на рис. 6.6, б, за тем исключением, что а = 2,6 и п = = 0,84. При этом ЬВ/ЬНе = 0,69 и d8/d//e * 0,73 на участках, где нет доменов.

решением уравнения у = osinj), а поле Я, остающееся постоянным при изменении Яе на участке цикла, соответствующем образованию доменов, равно Яо или Яо с добавкой целого числа периодов.

Результаты, полученные Кондоном и Уолстедом [99], представлены на рис. 6.9. Образец — тонкий кристалл серебра (8 х 8 х х 0,8 мм). Поле порядка 90 кГс было приложено перпендикулярно пластине в направлении < 100>. В опытах использовались два опорных генератора, частоты которых примерно совпадали с ожидаемыми частотами резонанса для двух значений поля, даваемых выражением (6.57). Точное значение резонансной частоты определялось по биениям сигнала, вызываемого свободной прецессией ядер Ag, с колебаниями опорных генераторов. Существование доменов недвусмысленно подтверждается одновременным присутствием резонансов обеих частот как раз на подходящем участке цикла дГвА, в то время как для тех участков цикла, на которых доменов нет,

наблюдается резонанс только одной частоты. По разности значений поля ДД, соответствующей разности резонансных частот Др в области существования доменов, можно определить абсолютное значением. Исходя из определения j0, имеем

а = Уо/sinyo, (6.58)

С другой стороны, у0 дается отношением тгДВ/ДН, где ДД — разность значений поля, соответствующая измеренной постоянной разности частот резонансов в доменной области, MI — период осцилляций дГвА (т.е. 2тг/£). Найденное значение я оказалось равным примерно 2,6, что представляется вполне разумной величиной для образца хорошего качества в условиях этих экспериментов (90 кГс и 1,4 К). Как видно, экспериментальные точки на рис. 6.9 лежат близко к предсказываемым значениям, вычисленным при этом значении а, если принять во внимание, что значение коэффициента размагничивания п для пластины заметно отличается от 1 (для вписанного сплюснутого эллипсоида п * 0,84). Небольшие расхождения могут быть связаны с усложнением картины из-за одновременного присутствия осцилляции дГвА для орбит на «розетках». Дополнительным подтверждением существования доменов служит зависимость от поля амплитуд двух резонансов, которые изменяются в соответствии с соотношением объемов «4-»- и « - »-доменов, как и должно быть. Вне области доменов амплитуды резонансов падают, поскольку вследствие изменения В с Не фиксированные частоты возбуждающих колебаний все больше отличаются от резонансных.

Эксперименты, качественно подтверждающие теорию для осцилляций одной частоты

Как уже упоминалось, эксперименты, проведенные на благородных металлах в импульсных магнитных полях [389], впервые натолкнули на мысль о магнитном взаимодействии. Подобные эффекты вскоре после этого наблюдались на бериллии [349]. Хотя повышенное содержание гармоник и аномальные зависимости амплитуды от температуры и поля в грубом приближении совпадали с предсказаниями теории, описанной в разд. 6.3, ранние эксперименты оказались совершенно недостаточными для критической проверки теории. Лишь несколько позже было предпринято систематическое исследование этого вопроса [64, 97, 400], и эти эксперименты, подтвердив в основном выводы теории, породили ряд загадок, требующих объяснения. Было ясно, что причина наблюдавшихся рас-

хождений связана с недостаточной однородностью поля и образца, что подразумевалось при построении теории, однако лишь значительно позже удалось лучше понять роль размытия фаз, вызванного неоднородностью [394] (см. разд. 6.6).

Обсудим прежде всего эксперименты Шенбергами Вюллемина [400], в которых модуляционным методом исследовались Au и Ag. Измерения проводились на образцах, имеющих форму стержня, так что эффекты, связанные с размагничиванием, не играли существенной роли. При поле, направленном вдоль <111>, доминируют осцилляции на «пузе», и при поле примерно 50 кГс параметр МВ а становится равным 1 при температуре чуть ниже 2 К. Одновременно присутствуют осцилляции от «шеек», имеющие значительно

Рис. 6.10. Осцилляции на «пузе» в Au < 111> при 1,39 К (я) и 2,18 К (б); Н = 48,5 кГс [400]. Период осцилляций ~5,1 Гс, период амплитудной модуляции точно совпадает с периодом осцилляций на «шейках» (которые слишком слабы, чтобы быть непосредственно видимыми в масштабе рисунка). Для обоих случаев снизу показаны осцилляции в области максимумов амплитуды в растянутой шкале. Шкала для У = = 4irdM/dHe и положение нулевой линии для осцилляций являются приближенными. Шкалы полей в случаях а и б различны.

меньшую частоту. Они обусловливают модуляцию как амплитуды, так и частоты осцилляций, связанных с «пузом», но пока мы отложим обсуждение модуляционных эффектов до разд. 6.8 и сосредоточим внимание на том участке цикла осцилляций на «шейке», на котором амплитуда осцилляций на «пузе» максимальна. Как видно из рис. 6.10, при снижении температуры форма осцилляций dM/^Ht резко изменяется от почти синусоидальной (хотя и с вполне заметными отклонениями ) при 2,18 К до сильно отличающейся от синусоидальной при 1,39 К, когда имеются направленные вверх узкие пики и почти плоские участки внизу кривых.

Как показывает рис. 6.11, форма линии при обеих температурах не слишком сильно отличается от предсказанной для образца с подходящим небольшим коэффициентом размагничивания (л = 0,075) и параметром МВ а = 3 при 1,39 К и а = 0,35 при 2,18 К, т.е. изменяющимся с температурой так, как следует ожидать при известной циклотронной массе (т/т0 = 1,09). Вполне вероятно, что предсказываемые теорией узкие пики при а = 3 должны стать значительно меньшими по высоте и ушириться вследствие размытия фаз, в то время как на форму уплощенных нижних участков размытие фаз должно влиять значительно слабее. Поэтому предсказания теории до некоторой степени могут быть проверены, если пренебречь размытием фаз и проследить за глубиной Yb уплощенных нижних участков цикла изменения 4irdM/dlHe и зависимостью глубины от

Рис. 6.11. Зависимость dy/dxe (т.е. 4-KdM/dH^ отхе (т.е. от Н^\ п = 0,075; а = 3 и 0,35 (эти значения приближенно соответствуют условиям эксперимента рис. 6.10). Зависимости рассчитаны по формуле (6.59), за исключением области доменов при а = 3, когда использовалась формула (6.44).

22-207

температуры. Аналогом выражения (6.22) при ненулевом коэффициенте п, справедливым в той области значений 6, где еще не возникают домены, служит соотношение

4ndM/dHe = dy/dx = a cos в/(1 - а(1 - n)cos0). (6.59)

Отсюда глубина уплощенных нижних участков Yb при 0 = тг есть

= а/(1 + (1 - п^(6.60)

Исходя из этого, можно определить значением, если при измерении Yb провести достаточно точную калибровку аппаратуры, чтобы определить абсолютное значение этой величины. Практически, однако, может быть проведена лишь довольно грубая калибровка, поэтому был предложен способ, основанный на изучении зависимости Yb от температуры. Если циклотронная масса известна достаточно надежно, то отношение а (Т^/а (Г), где То — любая фиксированная температура (в качестве То примем самую низкую температуру, при которой проводились измерения, То = 1,39 К), можно считать надежно известной величиной. Формула (6.60) записывается в виде

y'm = "ТтхС^^ + с(1 - п),(6.61)

¥ь<П a(T0)\a(T)J

где Yb(T) — измеренное значение сигнала, ас — калибровочная постоянная, выбранная так, что Yb = cYb. Зависимость X/Y^T^ от а (Тоуа (73 должна быть линейной, и из наклона прямой и ее пересечения с осями можно определить как с, так и «(Т^Х Такой график приведен на рис. 6.12; видно, что зависимость можно считать линейной. Исходя из нее, получаем а = 3,3 при Т = 1,39 К и значение с, согласующееся с точностью до нескольких процентов с более грубым значением, вычисленным по размерам приемной катушки и параметрам приемника. Подобные результаты были получены и при исследовании Ag; при этом значение а оказалось еще большим (~ 11 при 1,33 К), хотя обнаружено более сильное, чем для Au, влияние размытия фаз на положительный пик. То обстоятельство, что значения а как для Au, так и для Ag согласовывались с оценками по формуле ЛК при подстановке в нее вполне правдоподобного

!) В оригинальных публикациях этот анализ был слегка модифицирован, чтобы учесть влияние осцилляций от «шеек». Для простоты эти усложнения опущены, что приводит к небольшим различиям в* цифрах, фигурирующим здесь и в статьях.

Рис. 6.12. Зависимость 1/У^ (т.е. \/^vdM/dH^ в произвольных единицах) от [0(1,39 КУа<П\ (по [400], однако с небольшими изменениями в интерпретации исходных значений). Значения температуры для каждой точки указаны на верхней шкале. Штриховая линия — расчет по формулам для предельного случая (6.61) (высокие температуры) и (6.81) (низкие температуры) с с = 0,29; а0 (1,39 К) = 5,34; 7 = 0,57, как и на рис. 6.17, а. Сплошная линия — линейное приближение по всем точкам, согласно которому с = 0,32 и а0 (1,39 К) = 3,3.

значения температуры Дингла1), в общих чертах подтверждает теорию. Однако это подтверждение не было окончательным. Многие осложнения, возникшие в этих экспериментах, проведенных в 1966 г., были обусловлены недостаточной однородностью магнитного поля и трудностью определения базовой (средней) линии, от которой проводился отсчет Yb. Как мы увидим в дальнейшем, рассматривая влияние размытия фаз, близость к линейной зависимости типа представленной на рис. 6.12 может оказаться случайной и связанной с неправильным выбором базовой линии.

Любопытным оказалось поведение положительных пиков при изменении амплитуды модулирующего поля. Было обнаружено, что эта зависимость существенно нелинейна, как видно из рис. 6.13, и, возможно, это является следствием образования доменной структуры в областях, соответствующих пикам. Если образец недостаточно однороден, то в нем могут присутствовать локальные искажения, препятствующие свободному движению доменных стенок

° В этих экспериментах температура Дингла не измерялась; лишь позднее в работе [48] было установлено, что она может быть определена по зависимости амплитуды осцилляций от поля при высоких температурах, когда МВ отсутствует.

Рис. 6.13. Зависимость выходного сигнала Y' (в произвольных единицах) от амплитуды модуляции h для «пиков» (/) и уплощенных нижних участков (2) осцилляций в тех же образцах Au для которых получены рис. 6.10 и 6.12 [400]. Для максимального приведенного значения 2^Fh/H\= z) величина J^z)^ отличается от z/2 всего лишь на ~ 1%. Отношение высоты пика к глубине плоского участка в этом случае не столь велико, как на рис. 6.10 (когда амплитуда модуляции примерно равна максимальной на этом рисунке); это связано либо с ухудшением качества образца, либо с недостаточно точной геометрией опыта.

при изменении поля. По-видимому, при достаточно малом модулирующем поле эти препятствия преодолеть не удается, что приводит к уменьшению наблюдаемой восприимчивости. Идея о «пиннинге» доменов находит подтверждение в том, что площадь под кривой йМ/йН оказывается не нулевой, хотя она должна быть строго равной нулю при интегрировании по полному циклу, если базовая линия выбрана правильно. Фактически площадь под пиками часто оказывается значительно меньше, чем нужно для компенсации площади в области уплощенных участков, и это различие больше при малой амплитуде модуляции. Позднее в ходе экспериментов, проведенных с дисками из Ag, ориентированными нормально к полю, Смит [407] наблюдал подобные эффекты, и было получено качественное согласие с вычислениями, основанными на модели пиннинга. Дальнейшие эксперименты в этом направлении, опирающиеся на более совершенную технику измерений и посвященные исследованию образцов с параметрами, изменяющимися в более широких пределах, могут дать ценную информацию о деталях доменной структуры. Основная трудность, возникающая в подобных экспери-

п См. формулы (6.17) и (6.18). — Прим. ред.

ментах, связана, конечно, с требованиями очень высокой чувствительности (т.е. большого отношения сигнал/шум), которая необходима при измерениях с предельно малыми амплитудами модулирующего поля.

В экспериментах Пламмера и Гордона [349] было обнаружено сильное МВ для осцилляций дГвА, связанных с «сигарами» в Be. Исследования именно этих осцилляций представляют особый интерес, поскольку для них наблюдаются биения с очень большим периодом. Поэтому при низких температурах с изменением поля эффективное значение а изменяется от величины много меньше единицы, когда амплитуда биений минимальна, до величины, отвечающей МВ в максимуме биений. Это было прекрасно продемонстрировано в более поздних экспериментах [64] с использованием модуляционной техники и при измерении вращающего момента [97]. Как следует из рис. 6.14, картина биений имеет обычную более или менее синусоидальную форму при 4 К, когда а остается малым даже в максимуме биений. Однако при 0,35 К амплитуда в области максимума почти не зависит от а из-за сильного МВ.

Эксперименты Кондона [97] интересны, в частности, тем, что

Рис. 6.14. Биения, проявляющиеся в осцилляциях dM/dHe в Be [64]. При 4 К даже в максимумах биений МВ не играет роли, но при 0,35 К оно уже столь сильно, что амплитуда почти не меняется в значительном диапазоне изменения поля около максимумов. Образец имел форму эллипсоида вращения (отношение осей - 1,6). Длинная ось совпадала с гексагональной осью кристалла и была направлена вдоль Н.

<IM||J

VW

Рис. 6.15. Биения осцилляций вращающего момента в Be при 1,4 К для образцов, имеющих форму стержня, вытянутого по гексагональной оси (а), и диска, плоскость которого перпендикулярна гексагональной оси (б) [97]. Поле было направлено под углом 5° к гексагональной оси и у обоих случаях изменялось от 24,9 до 30,0 кГс в пределах участков, показанных на рисунке. Для обоих случаев нижние диаграммы показывают несколько осцилляций вблизи максимума биений, записанных в растянутой шкале.

они демонстрируют влияние размагничивающего коэффициента в условиях достаточно сильного МВ. Как видно из рис. 6.15, форма осцилляций вращающего момента в области максимума биений приближается к идеальной предельной форме для длинного стержня и диска соответственно, как обсуждалось выше, и это наблюдение привело Кондона к предположению о существовании доменной структуры на определенном участке каждого цикла; этот участок занимает почти весь цикл для образца в форме диска. При измерении вращающего момента измеряется, конечно, только перпендикулярная полю компонента Мг. Но, как показано в п. 6.4.1, эффекты, обязанные МВ, для компоненты М2 должны быть пропорциональны эффектам для параллельной компоненты Мр так что измерение М2 столь же хорошо служит для проверки теории, как и измерение Mv Такие измерения могут также способствовать выяснению роли

кристаллической анизотропии с точки зрения модификации параметра взаимодействия благодаря множителю (1 + p?Y Однако в условиях эксперимента Кондона значение g2 было, по-видимому, слишком мало, чтобы оказать заметное влияние на результаты. Как и в случае благородных металлов, для детальной интерпретации результатов на Be требуется рассмотрение эффектов, обязанных размытию фаз, и теперь мы обсудим, какие изменения следует ввести в теорию, чтобы учесть роль неоднородности.

Роль размытия фаз в условиях МВ

В п. 2.3.7.3 уже говорилось о размытии фаз и его влиянии на осцилляции в условиях, когда МВ можно пренебречь. Было отмечено, что часто основной вклад в фактор Дингла, описывающий уменьшение амплитуды, дает размытие фазы за счет неоднородности образца, а не уширение уровней Ландау вследствие конечного времени столкновений. Однако, если МВ играет важную роль, учет неоднородности образца (или неоднородности поля) становится значительно более сложной задачей. Метод вычисления величин, обязанных МВ, в предположении, что образец однороден и его намагниченность соответствует среднему значению М, перестает быть корректным. Трудность заключается в том, что локальное значение В определяется не средним значением М и (при конечном коэффициенте размагничивания) плотностью магнитных полюсов на поверхности образца, а локальным расположением моментов, т.е. divAf по всему объему образца. Иначе говоря, определение намагниченности М как функции частоты F осцилляций дГвА, меняющейся по образцу от точки к точке, требует рассмотрения сложного уравнения, явное решение которого еще предстоит найти, если оно вообще существует. Однако приближение «среднего поля» [394] позволяет получить решение, которое, по-видимому, неплохо описывает реальную ситуацию и, во всяком случае, лучше приближения, вовсе не учитывающего неоднородность. Ниже мы ограничимся лишь рассмотрением роли неоднородности образца; задача о роли неоднородности поля, если таковая имеет место, является более трудной.

Предположим, что в области R (рис. 6.16), большой по сравнению с размерами орбиты, локальная намагниченность имеет «идеальное» значение М0(В), предсказываемое формулой ЛК при замене Н на В, если при расчете фактора Дингла принять во внимание только рассеяние электронов на примесях. Предположим также, что наблюдаемый фактор Дингла (который можно измерить при температурах, достаточно высоких, чтобы пренебречь МВ) в основ-

Рис. 6.16. Эллипсоидальный образец, имеющий во внешнем поле//е среднюю намагниченность М. Вследствие неоднородности образца намагниченность в разных участках различается по фазе, но не по амплитуде. Схематически показана одна из таких областей R, имеющая намагниченность Мо [394].

ном связан с уменьшением амплитуды вследствие вариаций фазы намагниченности Моф) по образцу. Далее, будем считать, что вне области R намагниченность имеет постоянное значение М, равное средней намагниченности всего образца. Если область R имеет форму сфероида вращения с осью, параллельной Не (а также и М и Мо, если пренебречь эффектом анизотропии), и коэффициент размагничивания равен 4тгл', то для значения В внутри R получим

В = Не — 4л(л — п^М + 4л(1 — л')М0 или

В = Не + 4л(1 - л)М0 + 4л(л - п^М0 - М). (6.62)

Представляется весьма правдоподобным, что в среднем величина п’ близка к значению И, т.е. что в среднем области с однородной фазой похожи на сферы, так что если сам образец имеет форму сферы или несколько удлинен в направлении поля, то величина (л — л') должна быть существенно меньше, чем (1 - л). Кроме того, если ввести множитель у, учитывающий ослабление осцилляций вследствие размытия фаз, определяемый как

у НМ|/|м0|, (6.63) и предположить, что размытие фаз обладает симметрией, так что М и Мо имеют одинаковые фазы, то можно написать

Мо- М =(1 -7)М0.

Итак, если не рассматривать случай слишком сильного размытия фаз (скажем, у < /2), и сильно уплощенные образцы, то последний член в (6.62)*должен быть существенно меньше второго и им можно просто пренебречь. Хотя это и весьма грубое приближение, оно

имеет то достоинство, что позволяет получить решение в явном виде, которое хоть как-то учитывает неоднородность и, как мы увидим далее, по-видимому, неплохо согласуется с экспериментом.

Таким образом, положим, что в области R для поля В справедливо выражение

В = Не + 4л(1 - и)М0,(6.64)

затем вычислим Мо при МВ и наконец введем такое размытие фаз, которое позволит, зная Л/о, получить среднее значение М, являющееся наблюдаемой величиной. Уравнение, которое надо решить, теперь имеет вид

4лМ0 = Aosink(he + 4л(1 - и)М0)(6.65)

вместо (6.40), и если по аналогии с определениями, принятыми для у' на' в (6.42) и (6.43), положить

У о = 4лМ0/с(1 - п\ хе = khe

И я0 = Лок(1 - и) = а0(1 - и),(6-66)

то мы возвратимся к обычной форме

Уо = aosin(xe + у0).(6.67)

При слабом или умеренном МВ (величина а0 должна быть меньше единицы, чтобы не происходило образования доменов) решение, как и прежде [см. (6.17)], имеет вид

Уо = £ (2/г) Jr(ra0)sinrxe.(6.68)

Г — 1

Теперь необходимо разумным образом ввести размытие фаз. Проще всего предположить, что распределение фаз имеет лоренцеву форму. Это согласуется с тем, что график Дингла обычно линеен (см. п. 2.3.7.3). При таком предположении множитель, описывающий уменьшение амплитуды r-й гармоники, будет равен Y, если для основного тона он равен у. Таким образом, решение, учитывающее размытие фаз, приобретет вид

у = fj2/r)/Jr(ra0)sinrxe,(6.69)

г = 1

где .у определяется как 4^(1 — п^М, аМ — средняя намагниченность образца. Если бы размытие фаз было учтено до, а не после

введения МВ, как это первоначально делалось, то индекс «нуль» не появился бы в (6.65) и (6.68) и конечный результат имел бы вид

У = £ (2/r) Jr(raoy)sinrxc>(6.70)

так как амплитуда А 0 была бы заменена на Л = уЛ 0, а а0 — на a = ya0.

Очевидно, если МВ мало, т.е. a0 < 1, обе формулы становятся идентичными, так как главный член в разложении Jг^ пропорционален zr. Однако, если а0 и а сравнимы с единицей («умеренное» МВ), амплитуда, предсказываемая при новом рассмотрении [выражения (6.69)] может оказаться существенно меньше, чем даваемая формулой (6.70), полученной при старом подходе. Например, если а0 = 0,9 и у = 0,5, то, согласно (6.69), амплитуда основного тона (т.е. для г = 1) будет на — 8Vo меньше, чем определяемая по (6.70). Таким образом, если а определяется по измеренной амплитуде основного тона, то, используя старый подход, приводящий к формуле (6.70), получим заниженное значение а.

Другой способ, позволяющий оценить значение а при не слишком сильном МВ, основан на измерении половины абсолютной амплитуды (z) от пика до пика для осцилляций величины У, определенной как 47rdM/dHe или dy/dxe (отметим, что в [394] величина У определена иначе). Этот способ существенно проще фурье-анализа осцилляций, используемого для определения амплитуд гармоник. Несложные вычисления У, а следовательно, и z как функции параметра а, основанные на формуле (6.69), можно обратить, используя итерации, и показать, что

(/91 \7/833271 \

a = V2 + W " 1287 + 24у 4/ Х

х (1 - n)4z4 + j(6.71)

Если же использовать формулу (6.70), то

а = z{l - (1 - nfz2 + 2(1 - n)4z4 + •••}(6.72)

Как показали Бибби и Шенберг [48], результаты экспериментов на сферических образцах золота при обработке по формуле (6.71) приводят к более близкому к прямой линии графику Дингла для значений а при разных полях, чем при использовании формулы (6.72).

Это позволяет думать, что новый подход ближе к истине, чем старый.

Другой метод оценки а по данным эксперимента основан на определении отношения R амплитуд второй гармоники и основного тона для Y. При прежнем подходе, как нетрудно получить из (6.70),

/569\

а(1-n) = R 1+-R2+^K4 + '-(6.73)

у 243 / и/

Новый способ, т.е. использование формулы (6.69), приводит к

1+24F + 576 /+"J

И в этом случае получаются разные значения а, если величийа у мала, a R больше, скажем, 0,3. Однако, исходя из существующих экспериментов, нельзя получить доказательства того, что (6.74) дает лучшее приближение, чем (6.73).

При сильном МВ, т.е. при а0 > 1, различие между старым и новым способами учета размытия фаз становится более существенным. Обсудим только один предельный случай а0 > 1, когда можно вывести явную формулу, описывающую форму линии с учетом размытия фаз. При промежуточных значениях я0 надо сначала решить задачу для МВ, следуя методу, описанному в разд. 6.4, а затем преобразовать результат с учетом функции распределения фаз; но даже при лоренцевом распределении не удается получить конечную формулу в явном виде, и форму осцилляций необходимо рассчитывать численно для каждого частного случая.

При а0 > 1 зависимость Уо = 47rdM0/dHe от Яе приближенно имеет вид прямоугольных выбросов, подобных показанным на рис. 6.11, и для них, т.е. в области существования доменов, имеем

Уо = 1/и при -ц<хе<ц,(6.75)

М = па0^/(1 + ^о)-(б-76)

На «диамагнитном» участке цикла

1о = -«о/(1 + «о(1 - ")) при ц<хе<2п-ц.(6.77)

Размытие фаз можно учесть либо прямым преобразованием (6.75) и (6.77) (эти решения периодически повторяются при изменении хе в обе стороны) при введении подходящего распределения Лоренца, либо, что представляется более простым, разложением этих

выражений в ряд Фурье, уменьшением амплитуд гармоник в соответствии с их номером г в Y раз и проведением синтеза редуцированных гармоник. Окончательный результат имеет вид

«о ftan -1 У Sin(xc + ц) _р(1 + л0(1 - и)) (1 - ycos(xe +/j)

t -i ysin^-p) 1

1 — ycos(xe - ^)J(6.78)

Как видно из рис. 6.17, эта формула может вполне удовлетворительно аппроксимировать экспериментальные данные при подборе единственного параметра 7; при этом а0 (параметр, определяющий /л при коэффициенте размагничивания и) вычисляется по формуле ЛК. В экспериментах Шенберга и Вюллемина со стержнями из Au не производилось независимого определения параметра 7, так что хорошее соответствие расчета и эксперимента могло оказаться случайным, однако хорошее согласие, полученное Бибби [46] для сфер из Au, более значимо, так как в этой работе значение 7 = 0,50 было определено независимо по графику Дингла при Т = 3 К, когда МВ несущественно. Значение 7, использованное при подгонке к эксперименту (рис. 6.17, б), составляло 0,58. Небольшое отличие от значения 0,50, полученного непосредственно, вполне может быть обусловлено небольшой добавкой к фактору Дингла от рассеяния

Рис. 6.17. Форма линии осцилляций на «пузе» в Au при Н вдоль < 111> при довольно сильном МВ [394]. а — для образца в форме стержня, п = 0,075. Экспериментальная кривая взята из рис. 6.10, а (Т = 1,39 К, Н = 48,5 кГс), точки вычислены по формуле (6.78) в предположении, что а0 - 5,34 (это значение следует из формулы ЛК) и 7 = 0,57; б — для сферического образца при Т = 1,21 К и Н = 84,5 кГс. Кривая — результаты эксперимента [46], точки вычислены по формуле (6.78) с а = 11,3 (соответственно формуле ЛК), 7 = 0,58.

электронов. Если предположить, что рассеяние электронов приводит к множителю 7' = 0,85 при амплитуде основного тона, то мы должны учесть это при вычислении а0; тогда получим а^ = 9,6 (вместо значения 11,3, использованного при подгонке). Однако оказывается, что при таком значении а0 и значении 7, учитывающем размытие фаз (7 = 0,59), расчетная кривая практически не отличается от представленной на рис. 6.17. Это весьма удовлетворительно, если учесть, что 0,85 х 0,59 = 0,50, т.е. получается значение, точно равное множителю, который описывает уменьшение амплитуды, определенное независимым способом. Более того, значение 7' = 0,85 разумно согласуется с тем, которое следует ожидать, исходя из величины электросопротивления.

Теперь видно, что предварительный анализ, при котором величина а определялась по значению Yb на уплощенных впадинах [см. (6.60)], верен лишь приближенно. Согласно (6.78), значение Yb (это значение Y при хе = тг) при сильном МВ выражается формулой

(6.79)(6.79)v _2а0.„--1 У8'П^

(6.79)

(6.79)

уб — — (ар _,

^(1 + «0(1 - и))1 + ycos^

и если величина р достаточно мала (для стержня из Au с п = 0,075 и а0 = 5,34 имеем р = 0,23), то (6.79) упрощается к выражению

(6.80)(6.80)Л =2°оУ

(6.80)

(6.80)

b (1 + а0(1 - л))(1 + у) ’

которое дает результат, отличающийся множителем (2/(1 + 7)) х х (1 + я(1 - л))(1 + я0(1 - л))"1 от предсказываемого формулой (6.60). Этот множитель равен 1 при 7=1, как и должно быть, и уменьшается при уменьшении 7. В условиях эксперимента со стержнем из Au он равен —0,8, но (при некоторых значениях а0) составляет лишь 0,5 при 7 = 0,1. Линейная зависимость, предсказываемая формулой (6.61), верна лишь в пределе слабого МВ, т.е. при высоких температурах; в обратном пределе сильного МВ ее следует заменить на

(6.81)(6.81)1 с (1 +у)я(Т0)с(1 +у)

(6.81)

(6.81)

Y'b а(Т^ 2 ат 2у

Эта зависимость отвечает меньшему наклону и более высокой точке пересечения с осью 1/Y'. Неопределенность положения базовой линии, от которой отсчитывается Yb, не позволяет уверенно утверждать, что действительно происходит изменение наклона и сме-

щается место пересечения при переходе от высоких к низким температурам на графике, особенно если учесть, что выражение (6.81) для значений, показанных на рис. 6.12, справедливо лишь для самых низких двух-трех точек. Однако с учетом ограничений, накладываемых погрешностью в положении базовой линии, вполне возможно провести новую интерпретацию данных, согласующуюся со значениями а и 7, использованными при подгонке формы линии на рис. 6.17, а. Соответствующее приближение показано штриховой линией на рис. 6.12; это приближение основано на двух формулах (6.61) и (6.81), верных в предельных случаях. Данные работы [396] для стержня из Ag, когда а0 может достигать значений ~20, также можно пересмотреть подобным способом и получить неплохое согласие, если немного иначе определить положение базовой линии.

Как отмечалось выше, размытие фазы вследствие неоднородности поля, а не образца, довольно трудно учесть в условиях МВ, и мы не будем обсуждать этот вопрос. Ограничимся лишь замечанием, что, по-видимому, влияние небольшой неоднородности поля качественно подобно влиянию неоднородности образца. Совсем иное дело — размытие фаз, обязанное неэллипсоидальной форме образца. Это обстоятельство приводит к размытию фаз только тогда, когда МВ играет важную роль (поскольку без МВ форма образца вообще не существенна). Вследствие этого множитель 7, описывающий уменьшение амплитуды, оказывается различным при низких и высоких температурах: при более низких температурах, когда поле В в неэллипсоидальном образце становится неоднородным, амплитуда уменьшается более значительно.

Магнитное взаимодействие в случае, когда в эффекте де Гааза — ван Альфена присутствуют осцилляции с разными частотами '

4лМ = 4л £ Mr = £ Ат sin4лМ = 4л £ Mr = £ Ат sin(6.82)(6.83)(6.82)(6.83)Часто одновременно наблюдаются осцилляции нескольких частот, наложенные друг на друга; при этом осциллирующий вклад в намагниченность М есть сумма осцилляций с разной частотой, каждая из которых представляет собой периодическую функцию \/В и тем самым зависит от всех других. Таким образом, для однородного образца

4лМ = 4л £ Mr = £ Ат sin

4лМ = 4л £ Mr = £ Ат sin

(6.82)

(6.83)

(6.82)

(6.83)

В = Не + 4л(1 - п^Мг.

Решение этого уравнения, выражающее М как функцию Не, всегда можно получить графически, как и в разд. 6.3. Если известны все значения Аг и фг, то 4irM можно определить как функцию поля В и затем для вычисления поля Не необходимо из значения В вычесть 4ivM. Совершенно так же, как и в случае одной частоты, при достаточно сильном МВ лишь отдельные участки цикла осцилляций оказываются стабильными, и вполне возможно установить критерии образования доменов. Однако рассмотрение общего случая многих частот аналитически не удается провести до конца, поэтому мы рассмотрим лишь несколько относительно несложных частных случаев, которые встречаются на практике и хорошо иллюстрируют те интересные эффекты, которые могут быть обусловлены наличием осцилляций разных частот.

В основном речь будет идти о случае двух частот [391], и мы обсудим амплитудную и частотную модуляции высокочастотных осцилляций осцилляциями низкой частоты, появление составляющей с разностной частотой при взаимодействии осцилляций двух близких частот и подавление относительно слабых осцилляций сильными, имеющими более низкую частоту. В заключение будет рассмотрено МВ основного тона и гармонических составляющих, определяемых формулой ЛК [333]. Усложнения, вызываемые магнитной анизотропией, формой образца и размытием фаз, обсуждаются там, где это представляется уместным.

Общий вид МВ в случае двух частот

Вместо (6.8) теперь имеем

4иМ = A sin kb + A* sin k'b^

b = h4- 4кМ.J(6.84)

Если рассматривать задачу, считая осцилляции обеих частот эквивалентными, то использование приведенных величин перестает быть удобным. Решение этого уравнения при слабом или умеренном МВ [т.е. при (кА + к'А') < 1] имеет наиболее компактную форму для дифференциальной восприимчивости^ 47rdAfZdZ/:

11 Автор признателен проф. С. Накаджиме, указавшему на этот результат в 1965 г. В уравнении (15) работы [391] симметрия по отношению к к и к', очевидная согласно (6.85), маскируется использовавшимися обозначениями величин в приведенной форме, которая не была симметричной.

4л dM/dH = - 1 + f J^ik + jk'^

- ос j= - ос

x J/AXik + jk'))cos((ik + jk')h).(6.85)

В (6.85) член - 1 справа компенсирует член при i — j — 0; следует отметить, что каждый член вида cos((/Zr + jkf)h) повторяется еще раз в записи cos(( — ik — jk'^hY Этот результат легко обобщить с учетом формы образца, умножив величины dM/dH, М, А и А' на (1 - и) и заменив Н на HQ и h на Ае. Другое обобщение, которое будет полезно при рассмотрении роли размытия фаз, сводится к добавлению в (6.84) фаз фиф' соответственно к kb и к* Ь. Изменения в (6.85) при этом сведутся к фазовым добавкам вида Цф + ]Ф'У

При рассмотрении формулы (6.85) видно, что она содержит не только исходные частоты к и к' и все их гармоники, но и все комбинационные и разностные частоты от к и к' и их гармоник. Общая формула полезна как исходная точка при детальном исследовании частных случаев, однако часто и именно для тех случаев, которые мы будем изучать, в ней лишь несколько членов имеют заметную амплитуду. В этих случаях физический смысл становится более прозрачным, если с самого начала ввести соответствующие ограничения, упрощающие анализ, а не использовать общую формулу.

Формулировка задачи при сильном МВ в общем случае значительно сложнее, так как требует рассмотрения стабильности относительно образования доменов. Мы не будем пытаться это проделать, а ограничимся лишь простыми частными случаями. Для случаев как слабого, так и сильного МВ вне областей, в которых образуются домены, можно сразу получить один полезный результат, продифференцировав (6.84). Это дает

л дх</ды 4TtdM/dB a cos kb a cos к'b

4 л dM/dH = --—^=, (6.86)

— 4л dM/dB 1 — (a cos kb 4- a' cos k'b)

где a = Ak, ar = A'к'. Эта формула является аналогом (6.22), она полезна при вычислении расстояния от пика до пика при слабом МВ и независимо от величины МВ дает глубину уплощенных участков для основных осцилляций.

К МВ при высокой и низкой частотах

Когда одна из двух частот намного ниже другой и соответствующие ей осцилляции имеют сравнительно малую амплитуду (этот случай иллюстрирует рис. 6.10), рассмотрение может быть значи-

тельно упрощено, а чтобы сделать смысл решения более наглядным, мы опустим члены более высокого порядка, что не повлияет на качественный характер результата.

Предположим, чтб в (6.84) к* < к и оба значения Ак и А 'к' малы (< 1). Тогда можно разложить (6.84) и, оставляя только члены низшего порядка, получить

4кМ = A {sin kh + ^А\к + /c')sin(k + k')h

— ^А'(к — к') sin (к — k'^hV(6.87)

Это выражение, в котором опущены все члены, относящиеся к низкой частоте, все гармоники к и все боковые частоты более высокого порядка к ± гк’, естественно, можно получить и из общей формулы (6.85). Члены 16Л'*(sin(Ar + k’^h — sin(Ar — k')h) в первом порядке описывают боковые составляющие при слабой частотной модуляции^ вида sin(kh + A 'ksink'h), т.е. частотную модуляцию высокочастотных осцилляций низкочастотными. Члены меньшей величины 16 А ’к' (sin (к + k'^h + sin (к - k'^hY обусловленные добавкой к фазе низкочастотных осцилляций за счет высокочастотных, описывают слабую амплитудную модуляцию.

Глубину частотной или амплитудной модуляции удобно задавать параметрами

mj = (/max - /min)/(/max + /min),(6.88)

Д. = (IMIma. - |M|min)/(|M|max + |M|mi„),(6.89)

ma = (|dM/dH|max - IdM/dHImiJ/ddM/dWIm.. + |dM/d//|mln).

(6.90)

Здесь частота / определяется как величина, обратная конкретному периоду высокочастотных осцилляций, а \М\ и IdAZ/dHl — как полуразность ординат от максимума до минимума тех же осцилляций. Как легко увидеть из (6.87), должно выполняться равенство

т/ = цо = ^а = А'к' = а\(6.91)

Амплитудная модуляция для йМ/ЛН (т.е. т^ естественно, выражена сильнее, чем для М (т.е. да), так как в течение низкочастотного цикла одновременно изменяются и частота, и амплитуда высокочастотных осцилляций.

° При более сильной модуляции величину А'к в (6.87) следует заменить на U^A'kY и, конечно, боковые составляющие высших порядков, присутствующие в (6.85), также будут существенными.

23^207

Это предсказание оказалось верным лишь отчасти. В экспериментах Шенберга и Вюллемина [400] действительно наблюдалась частотная модуляция, но она оказалась на 30% больше непосредственно измеренной амплитуды 4тгс1Л/'/АН (т.е. А’к'^ и, что еще поразительней, наблюдавшаяся амплитудная модуляция была значительно сильнее, чем предсказывает формула (6.91). Можно ожидать, что теория пусть и в довольно грубом приближении описывает те осцилляции ДМ/AH на рис. 6.10, которые соответствуют более высокой температуре и для которых непосредственно измеренное значение параметра А'к' составляло примерно 0,02. Однако глубина модуляции та была близка к 0,25, или в шесть раз больше, чем предсказывает формула (6.91).

Это расхождение почти наверное следует отнести за счет неоднородности образца (и, возможно, также и поля). Наблюдавшаяся более сильная частотная модуляция заставляет предположить, что она характеризует некое «внутреннее» значение 4тг АМ' /АН, имеющее место в пределах однородных областей образца. В то же время измеренная амплитуда 4лАМ'/АН представляет собой среднюю величину, учитывающую размытие фаз. Как мы увидим, развитие этой идеи позволяет правдоподобно объяснить большую величину амплитудной модуляции, если предположить, что фазы низко- и высокочастотных осцилляций коррелируют друг с другом при переходе от одной части образца к другой.

Преобразуем формулу (6.84) в духе нового подхода, описанного в разд. 6.6, т.е. учитывая размытие фаз после, а не до включения МВ. Для этого введем фазы фиф', которые предполагаются неизменными в пределах любых малых однородных областей образца, однако изменяются от области к области. В пределах каждой области амплитуды будут иметь идеальные значения Ао и А^, даваемые формулой ЛК. Намагниченность Мо в пределах каждой такой области равна

4лМ0 = /40sin(kb + </>) + Ло8т(к'Ь + ф'). (6.92) В том же приближении, что и ранее, вместо (6.87) получим

4лМ0 = Л0{зт(к/1 + ф) + |Ло(к + k')sin[(/c + k')h 4- ф + ф'З

^Ло(к - k')sin[(/c - /с')/1 + ф - </>']}. (6.93)

Теперь мы готовы рассмотреть влияние размытия фаз, т.е. провести усреднение по фазам ф и ф'. С этого момента все зависит от того, как эти фазы коррелируют между собой, и мы рассмотрим два предельных случая: фазы полностью скоррелированы или кор-

реляция совершенно отсутствует. При полной корреляции имеем простую связь

Ф' = Хф,(6.94)

где X — подходящая постоянная, которая может быть как положительной, так и отрицательной. Если размытие фаз приводит в отсутствие МВ к уменьшению амплитуды высоко- и низкочастотных осцилляций, описываемому соответственно множителями и и v (эти множители можно определить из графиков Дингла при относительно высоких температурах), то при лоренцевом распределении ф и ф' будем иметь

v = u^'.(6.95)

Размытие фаз сказывается в том, что первый член в (6.93) уменьшается на множитель и, второй — на множитель ull+xl и третий — на множитель м11-х1. Значения этих последних двух множителей, выражающихся через величины и и и, зависят от знака X и от того, больше или меньше единицы значение X, как это иллюстрирует табл. 6.1. Введем обозначение

p = u^x*^/ui), q = u^x-M/uv.(6.96)

Значения р и q приведены в табл. 6.11). Нетрудно показать, что учет размытия фаз сводит (6.93) к виду

АкМ = A {sin kh + ^pA\k + *')sin(fc + k')h

^qA\k - Hsrntk - fc')M>(6.97)

где

A = Aou, A' = AqV.(6.98)

Множители p и q в (6.97) резко изменяют глубину амплитудной модуляции та и заметно влияют на глубину частотной модуляции mj по сравнению с предсказываемым соотношением (6.91). Из формулы (6.97) легко получить, что

(6.99)(6.99)

(6.99)

(6.99)

° Величины р и q в [394] определены несколько иначе, а именно не содержат и в знаменателе [как в (6.96)].

Таблица 6.L Значения понижающих факторов для составляющих на боковых частотах

мн + м

р

„и - XI

q

1 > X > 0

UV

1

и/и

1/1^

X > 1

UV

1

v/u

\/иг

”1 < X < 0

и/и

1/V2

ии

1

X < -1

и/и

1/м2

UV

1

Эти выражения переходят в (6.91), если р = q = 1; в этом случае значение та оказывается равным разности двух почти одинаковых величин. Однако, если р значительно отличается от q. значение та сильно возрастает и может стать даже отрицательным при р < q, Рассмотрим теперь противоположный предельный случай, когда между значениями ф и ф' корреляция совершенно отсутствует. Тогда размытия фаз ф и ф' происходят независимо друг от друга, и их вклады оказываются мультипликативны, так что и второй, и третий члены в (6.93) должны быть умножены на один и тот же множитель ии и (6.93) преобразуется к виду (6.87), как если бы МВ было учтено после, а не до введения размытия фаз или как если бы мы положили р = q = 1. Таким образом, пренебрежение корреляцией размытия фаз приводит к результату (6.91), который, как уже упоминалось, не согласуется с экспериментом.

Мы уже отмечали, что в экспериментах Шенберга и Вюллемина наблюдалось заметно большее значение т^ и значительно большее та> чем предсказывает формула (6.91), т.е. при обычном способе рассмотрения или в рамках аппроксимации, не учитывающей корреляцию фаз. Однако в этой работе не было проведено измерений при высоких температурах для определения значений и и v. Более

^ Отметим, что по определению та [формула (6.90)1 эта величина всегда положительна. Однако в случае корреляции фаз удобно приписать положительный знак значению тц, если максимум I dA//d/ZI совпадает с максимумом 6М* /6Н низкочастотных осцилляций, и отрицательный если dA//d/7 имеет минимум. Это соглашение уже в неявном виде предполагалось выполненным при выводе (6.100).

Таблица 6.2. Параметры амплитудной и частотной модуляции осцилляций

Образец А, <ш> з К, 68 кГс

Образец В, <111>, 3 К, 68 кГс

Образец В, 6° от <111> 2,17 К, 67,3 кГс

Л*(1 - л)х 103

48

78

6,4‘

ЛЧ'(1 - nJxlO3

5,2

9,0

9,3

и

0,34

0,56

0,064

V

0,39

0,68

0,60

X

-0,87

-0,67

0,19

Р, q»

есть корреляция

6,6; 1

2,2; 1

1; 2,8

Р, q,

нет корреляции

1; 1

1; 1

1; 1

mJ

есть корреляция

0,02

• 0,014

0,017

нет корреляции

0,0052

0,0090

0,0093

измерение

0,0079

0,0147

0,0156

та

есть корреляция

0,46

0,18

-0,21

нет корреляции

0,010

0,018

0,019

измерение

0,083

0,07

-0,040

Примечание: отношение к' /к равно 0,0341 для двух первых столбцов и 0,0346 для третьего. Знак X отрицателен или положителен соответственно тому, совпадает ли максимум амплитуды осцилляций, обязанных траекториям на «пузе» IdAf/dHI , с максимумом или минимумом осцилляций ДМ/ДН^ на «шейке». Значения X получены по формуле (6.95). Предсказываемые значения т. и т вычислены по формулам (6.99) и (6.100) с подходящими значениями р и q, взятыми из табл. 6.1, и с (1 - я) = Уз, соответствующим сфере. Заметим, что в [394] р ид определены иначе.

того, однородность поля, по-видимому, не была адекватна поставленной задаче, так что эти эксперименты не совсем подходят для того, чтобы основывать на них проверку теории. Вероятно, для этой цели более пригодны измерения на сферах Au [46], и их результаты представлены в табл. 6.2.

Эти эксперименты проводились при достаточно высокой температуре, чтобы считать, что пренебрежение членами более высокого порядка является хорошим приближением. Но это упрощение было достигнуто ценой того, что частотная модуляция оказалась весьма слабой, и необходимо было прибегнуть к специальным ухищрениям, чтобы измерить т^ с достаточной точностью. Для этого очень тщательно измерялась амплитуда поля модуляции, при которой исчезал сигнал осцилляций, связанных с «пузом» (достигался «нуль» функции Бесселя, см. п. 3.4.3.1). Поскольку амплитуда модуляции

прямо пропорциональна периоду осцилляций дГвА и ее можно измерить довольно точно, такой способ оказывается подходящим, чтобы проследить за малыми (-1%) изменениями частоты дГвА при проходе цикла осцилляций на «шейке» (подробнее об этом методе см. приложение 13).

Как видно из табл. 6.2, наблюдавшиеся значений т^ оказались во всех случаях больше предсказываемых в модели некоррелированных фазовых сдвигов, зато в некоторых случаях они очень близки к тем, которые получаются с учетом корреляции. Значения же та, полученные в эксперименте, хотя и оказались во всех случаях намного больше, чем предсказанные в отсутствие корреляций, были слишком малы по сравнению с ожидаемыми при 100%-ной корреляции. Возможно, это указывает на то, что между фиф' существует лишь частичная корреляция в том смысле, что коэффициент корреляции X значительно меняется по образцу. Однако не следует забывать, что при теоретическом рассмотрении делались многие упрощения, иногда весьма грубые, как, например, предположение о лоренцевом распределении фаз. Поэтому едва ли можно полагать, что полученные формулы хороши в количественном отношении.

Некоторый свет на механизм размытия фаз может пролить исследование величины и знака параметра X, определяемого множителями и и V» согласно формуле (6.95), и фазами амплитудной модуляции относительно цикла низкочастотных осцилляций, обязанных «шейке». Если размытие фаз обусловлено вариациями ориентации, т.е. мозаичностью структуры относительно направления <111), то должно быть X — 0,1; если оно вызвано неоднородностью поля (хотя, конечно, в этом случае распределение Лоренца неприменимо), то X - 0,03; если размытие фаз обязано вариациям механических напряжений вдоль <111>, то X ~ -0,3; и, наконец, при чисто сдвиговых напряжениях (т.е. эффект от напряжений вдоль < 111 > за вычетом эффекта от соответствующего уменьшения объема), то X * — 1. Поэтому большое и отрицательное значение X для двух образцов < 111 > заставляет предположить, что в этих случаях основной причиной размытия фаз служат неоднородные напряжения, хотя аргументов явно недостаточно, чтобы установить, какой тип деформации превалирует. При отклонении от направления <111> на 6° получен положительный знак X. Это наводит на мысль, что доминирующий вклад в размытие фаз связан с неоднородностью ориентации, хотя, возможно, неоднородные напряжения также дают свой вклад и искажают ту тесную связь между ф и Ф*, которую можно ожидать для случая только неоднородной ориентации. Вариации напряжений, по-видимому, связаны с наличием

дислокаций (см. гл. 8), и весьма вероятно, что значения ф н ф\ обязанные только деформациям, не должны быть полностью коррелированными, поскольку локальные значения X определяются распределением полей локальных деформаций, зависящих от направления относительно осей кристалла, и едва ли они одинаковы повсюду.

Другие аспекты влияния низкочастотных осцилляций на высокочастотные в условиях МВ были исследованы в экспериментах на свинце. В РЬ низкочастотные 7-осцилляции относительно более интенсивны, чем осцилляции, обязанные «шейкам» в Ап. Кроме того, благодаря длиннопериодным биениям (поскольку 7-осцилляции содержат две слегка различающиеся частоты) роль амплитуды низкочастотных осцилляций удобно изучать, изменяя магнитное поле в пределах периода биений. С другой стороны, отношение частот высокочастотных а- и низкочастотных 7-осцилляций составляет всего 8,8, а не 30, как для отношения частот, обязанных «пузу» и «шейке» в Ап. Поэтому в некоторых случаях приближения, использующие условие к/к* > 1, для РЬ оказываются хуже, чем для Ап. Тонкие эксперименты, проведенные Аоки и Огавой [24, 25], изучавшими а- и 7-осцилляции в РЬ, не только продемонстрировали справедливость основной формулы (6.85), но и показали, что, согласно полученным результатам, МВ следует учитывать до, а не после введения размытия фаз. В этих экспериментах проводился фурье- анализ осцилляций; таким образом, возможно было определить амплитуду каждой фурье-компоненты в (6.85) и ее зависимость от амплитуды низкочастотных осцилляций.

Наиболее яркое проявление МВ заключалось в том, что при достаточно сильных низкочастотных осцилляциях практически полностью исчезала составляющая на частоте высокочастотных осцилляций (но, конечно, не боковые линии). Так, если Та и Т^ представляют собой амплитуды а- и 7-компонент фурье-разложения осцилляций 47rdM/d//, то, согласно (6.85), получим^

Та (старый) = |2Л(Лк) J0M'k)|, (6.101)

Тт (старый) = |2J0(^^') ЛМЖ (6.102)

Однако в рамках нового подхода, когда в (6.85) фазы 1ф + ]ф' вводятся в комбинационные составляющие ik + jk' с одновременной заменой Л и Л' на Ло и Л^ и лишь после этого учитывается размы-

!) Для простоты при последующем анализе опущен множитель (1 - и), который, однако, учтен при сравнении с экспериментом (рис. 6.18).

Рис. 6.18. Влияние низкочастотных (7) на высокочастотные (а) осцилляции в условиях МВ в РЬ <110> при Т = 1,04 К (согласно [24], обозначения модифицированы). При расчете теоретических кривых по формулам (6.105) (штриховая линия) и (6.106) (сплошная линия) использована шкала Г , которая не очень точна. Фактически Т определяется как (1 - п^'к', а не просто как А'к' и при калибровке предполагалось п = 0,24. Предполагавшееся значение 0,54 для фактора Дингла 7-осцилляций (использовавшееся при определении А^ по известному значению А') также весьма приближенно. Для простоты при построении расчетной кривой не учитывалось изменение магнитного поля на периоде биений 7-осцилляций от 38,8 кГс в пучности (7^ * 0,002) до 40,7 кГс в узле (7^ * 0,16).

(6.103)(6.103)(6.104)(6.104)тие фаз, получается

(6.103)

(6.103)

(6.104)

(6.104)

Та(новый) = |2иУ1(Лок) Jo(^ok)|,

Тоновый) = |2^о(Ло/с')-,1('4о*с')1-

(6.105)(6.106)(6.105)(6.106)Здесь и и v — множители, описывающие уменьшение амплитуды вследствие размытия фаз ф и ф' соответственно (т.е. А = «Ло, А' = vAg). Отметим, что вопрос о корреляции фаз здесь не возникает, так как речь идет о раздельном размытии фаз ф и ф', а не их комбинации. В описываемых экспериментах значения Аок, Аок' и A^i' (и, следовательно, Ак, Ак', А'к") были достаточно малы (но не А^к или А'к), так что в разложении соответствующих функций Бесселя можно оставить лишь основной член, и предыдущие уравнения упростятся до

(6.105)

(6.106)

(6.105)

(6.106)

Ти (старый) = Ак\У0(Л'к)|, Т7(новый) = Ак\ 70(Л'0к)|.

и

Гу(старый) = Т7 (новый) = А* к’ (6.107)

Таким образом, как старый, так и новый подходы предсказывают, что при изменении А' и А^ на периоде биений низкочастотных 7-осцилляций значение Та должно уменьшаться и проходить через нуль, когда аргумент при Jo становится равным 2,4 (соответствующий эффект в Ап выражен значительно слабее, так как прц этом величина А^к в лучшем случае едва превышает 1,5). Отметим, что поскольку величина А’к' мала, МВ не влияет на фурье-компоненту на частоте к'. Поэтому независимо от подхода значение Т^ должно быть равно А’ к\ и, таким образом, оно прямо определяет амплитуду А’, поскольку величина к’ известна. Как видно из рис. 6.18, нечто похожее на предсказываемое формулой (6.105) или (6.106) в действительности имеет место в том смысле, что значение Та проходит через глубокий минимум при изменении Т в цикле биений. Аоки и Огава измерили и абсолютное значение Т^ (т.е. А'), так что было возможно сделать выбор между предсказаниями в рамках старого и нового подходов в отношении положения минимума. Как видно из рис. 6.18, экспериментальные результаты значительно лучше согласуются с предсказанием в рамках нового подхода. То, что наблюдается лишь глубокий минимум, а не спад до нуля значения Та при изменении Г , объясняется, по-видимому в первую очередь тем, что при фурье-анализе использовалось по меньшей мере пять периодов 7-осцилляций для определения как Та, так и Т . Это составляет вполне заметную часть периода биений, так что речь идет о значениях Га, соответствующих размытию аргумента ^(Л^) по некоторому диапазону значений А^. Кроме того, не следует забывать, что при новом подходе использована в высшей степени идеализированная модель, и едва ли при этом можно получить больше, чем неплохое приближение к действительности.

Несколько иной эксперимент поставили Эверетт и Гренье [139], чтобы продемонстрировать роль формы образца при МВ. Они использовали образец РЬ в форме диска, ориентированного так, что одна из осей < 110> была направлена вдоль оси с малым коэффициентом размагничивания (л = лр параллельно плоскости диска), а другая ось <110> — вдоль направления, соответствующего сильному размагничиванию (л = л2, по нормали к плоскости диска). Благодаря множителю (1 — л), на который надо умножить А и А ’ при теоретическом анализе, если п непренебрежимо мало, модуляция частоты Шу должна быть сильнее при малом значении л, чем при большом, и это было подтверждено экспериментом. К сожалению,

результаты этой работы нельзя адекватно интерпретировать на основе формулы (6.99), так как членами более высокого порядка,отброшенными при ее выводе, пренебречь нельзя. Если оставить члены более высокого порядка (как предложено г приложении к статье [394]), то становится возможной вполне правдоподобная интерпретация в рамках нового подхода, однако при несколько произвольных предположениях о степени корреляции фаз. В любом случае ясно, что эти результаты нельзя объяснить при старом подходе, но трудно оценить, насколько правильно новое рассмотрение, учитывая отсутствие абсолютных измерений амплитуды и независимой информации о множителе, описывающем ее ослабление из-за размытия фаз. Модуляция высокочастотных осцилляций низкочастотными наблюдалась также при изучении высокочастотных осцилляций на ПФ во второй зоне и низкочастотных „осцилляций на ПФ в третьей зоне в А1 [19] и в In [448]. Однако систематического исследования этого эффекта не проводилось, и даже не ясно, является ли МВ единственной причиной обнаруженной модуляции.

Уже много раз упоминалось, что неоднородность поля также обусловливает размытие фаз. Однако мы лишь кратко рассмотрим ее влияние, поскольку это инструментальный эффект, не носящий фундаментального характера. В отличие от других механизмов, приводящих к размытию фаз, в этом случае функция распределения не имеет ничего общего с лоренцевой. Точный анализ можно произвести в том простом случае, когда и градиент поля, и сечение образца постоянны, и АН есть разность значений поля на концах образца. В этом случае распределение фаз имеет вид «шляпы с плоским верхом» (подобное распределение использовалось в п. 2.3.7.3), и множитель, описывающий уменьшение амплитуды осцилляций одной частоты F, дается формулой (2.143), т.е.

R^h = sin л/Л с Л = nF АН/Н2. (6.108)

Очевидно, что вблизи значения X = тг, т.е. при АН = №/F, когда амплитуда становится мала, она очень чувствительна к малым изменениям F. Из (6.108) вытекает, что если частота F слегка модулирована, то возникает амплитудная модуляция (обусловленная только этой причиной), глубина которой та равна

tan Яz ’tan Яz ’(6.109)(6.109)

tan Яz ’

tan Яz ’

(6.109)

(6.109)

где mf — параметр частотной модуляции, равный №/F(\6F\ — максимальное отклонение F от среднего значения). Таким образом.

амплитудная модуляция сильно возрастает, если неоднородность поля такова, что значение X близко к тг. Другой инструментальный эффект, приводящий к обнаруживаемому усилению амплитудной модуляции, связан с использованием модулирующего поля большой амплитуды в модуляционном методе. Этот вопрос обсуждается в приложении 13. Оба этих инструментальных эффекта экспериментально изучались в работах [13, 214], и результаты в общем соответствовали теоретическим предсказаниям. Подобные исследования, несомненно, нужны для выяснения экспериментальных условий, которые необходимы, чтобы избежать инструментальных ошибок при изучении фундаментальных явлений.

В заключение раздела рассмотрим кратко, что происходит, если амплитуда низкочастотных осцилляций не мала, так что имеет место сильное «самовзаимодействие» (как, например, для Au при низких температурах, см. рис. 6.10, aY Как и в случае слабого МВ, при качественном подходе можно ожидать, что амплитудная модуляция в отсутствие корреляции фаз пренебрежимо мала. Однако последовательные вычисления приводят к сложным трудно интерпретируемым выражениям. Решение основного уравнения (6.84) можно было бы получить численно, что позволило бы проследить, как изменяется картина за цикл низкочастотных осцилляций с учетом термодинамической нестабильности в пределах каждого цикла высокочастотных осцилляций. Однако если задать в (6.84) произвольные фазы ф и ф' и провести скоррелированное размытие этих фаз, то задача становится значительно более трудной.

Довольно простое и понятное приближение состоит в предположении, что низкочастотные осцилляции вносят малое возмущение в решение задачи при сильном МВ только для высокочастотных осцилляций. Это решение, приводящее к треугольной форме кривой намагниченности М [см. (6.21)], в фурье-компонентах имеет вид

4лМ0 = £ (2/pk)( - 1 )₽ sin pkh. (6.1Ю) р

В этом разложении, которое определяет намагниченность за счет высокочастотных осцилляций (до размытия фаз) в пределе а — оо, учтем низкочастотные осцилляции, добавив к полю В обусловленную ими намагниченность. Это дает

4тгЛ/0 = ^^/p/cX-l^sin^kf/i 4- X'sin Ас'Л)). (6.111)

Если низкочастотные осцилляции достаточно слабы в том смысле, что ркА' < 1, то такое приближение при введении скоррелирован-

ного размытия фаз приводит к точному ответу. В отличие от случая нескоррелированных фаз возникает сильная амплитудная модуляция. Однако такие вычисления не в состоянии адекватно описать весьма характерное поведение намагниченности, экспериментально наблюдавшееся для Au (см. рис. 6.10, а^ а именно то обстоятельство, что низкочастотная модуляция проявлялась только на узких пиках, в то время как положение уплощенных нижних частей оставалось практически постоянным. Вычисления предсказывают, что на плоских участках модуляция проявляется слабее, чем на пиках, в (1 - w)/(l + и) раз, где и — множитель, описывающий ослабление амплитуды высокочастотных осцилляций вследствие размытия фаз. Поскольку значение и обычно близко к 0,6, то соответствующая комбинация равна примерно Уд (для осцилляций, обязанных «пузу»), а как видно из рис. 6.10, а, относительные вариации уровня плоских участков составляют не более - Vis от модуляции пиков. Однако вычисления методом возмущений едва ли могут дать количественно верный результат, поскольку в условиях эксперимента критерий «слабого» возмущения А'к < 1 не выполнен, так как на самом деле А 'к ~ 0,9. Более того, из экспериментов, проведенных при высоких температурах (слабое МВ), известно, что имеет место лишь частичная, а не полная корреляция фаз.

МВ при двух примерно равных частотах осцилляций

Эта задача привлекла к себе значительное внимание вскоре после того, как впервые было рассмотрено МВ. Причиной послужило то, что, как оказалось, эксперимент полностью расходился с предсказаниями теории. Самым загадочным было экспериментальное наблюдение составляющей с разностной частотой, амплитуда которой была много больше предсказываемой теорией МВ. Так, для благородных металлов в некоторых случаях наблюдались только низкочастотные осцилляции разностной частоты от близких по периоду осцилляций на центральной и нецентральных орбитах на «пузе», а не сами эти осцилляции [224]. Для Be наблюдалась интенсивная составляющая разностной частоты между центральным и нецентральным сечениями «сигары» [349, 3 50], а Кондон в [97] сообщил о довольно сильных осцилляциях разностной частоты при исследовании магнитотермических осцилляций. Оказалось, что некоторые из этих результатов обязаны главным образом инструментальным эффектам, и кажущееся расхождение с теорией исчезает, если учесть условия проведения экспериментов. Ниже мы опишем

основные моменты теории и ее предсказания, ограничившись пока рассмотрением осцилляций момента, магнитотермические осцилляции будут обсуждаться отдельно в разд. 6.8.

Так как к' приближенно равно к, то в (6.84) удобно заменить к*b и kb на kb 4- /20 икЬ - /2 0, где

ф = (к - к )Ь - (к - k^h и к=^к^к').(6.112)

Таким образом, ф есть фаза, медленно меняющаяся за цикл биений, обусловленных осцилляциями с частотами к и к'. Теперь можно переписать (6.84) так, как будто имеется одна частота £, но ампли-

туда и фаза медленно меняются:

(6.113)

4кМ = Csm0d) + и),

где

С = (Л2 4- А*1 4- 2ЛЛ'со80)1/2

(6.114)

и

А — А*ф

tan и = -- tan х •

А + А2

(6.115)

Отметим, что С = 2Лсо$0/2, и = О при А = А’.

Если теперь использовать вполне обоснованное приближение, что в течение каждого отдельного цикла осцилляций как и^ так и С можно считать постоянными величинами, то задача становится идентичной задаче для случая осцилляций единственной частоты, рассмотренной в разд. 6.3. Если величина Ск сравнима с единицей, то форма линии будет все больше и больше искажаться по мере движения по циклу биений, однако симметрия положительных и отрицательных участков на зависимости намагниченности М от поля будет сохраняться неизменной, так что компонента с разностной частотой к - к* появиться не должна. Это утверждение остается справедливым и при Ск > 1, хотя при этом появляются области неустойчивости.

При Ск < 1 не требуется предполагать, что С и и остаются постоянными в течение цикла осцилляций, и, как мы видели ранее, уравнение (6.84) имеет точное решение (6.85). В фурье-разложении теперь появляются компоненты с частотами (^ - к'), имеющие относительно небольшую величину. Если проинтегрировать соответствующие члены в (6.85), то мы найдем [считая малым значение (* - ИА\

(6.116)(6.116)(4лМ)к_к. = -^к - к')АА'ат(к - k')h.

(6.116)

(6.116)

Амплитуда этой составляющей мала по сравнению с максимальной амплитудой Стах; их отношение есть

\м\к-к.Стах\м\к-к.Стах(6.117)(6.117)

\м\к-к.

Стах

\м\к-к.

Стах

(6.117)

(6.117)

Оно приближенно равно Уг^к - к * )А', если А' /А < 1, что имеет место в случае благородных металлов.

Детальное исследование случая сильного МВ показывает, что и при этом должна появиться слабая компонента на разностной частоте [391]. Отношение ее амплитуды к амплитуде основной компоненты (определямой как половина сигнала от пика до пика для осцилляции треугольной формы) при А' /А < 1 приближенно равно

(6.118)(6.118)|Мк-г ^k-kV/n.сильное МВ

(6.118)

(6.118)

Отношения амплитуд, даваемые формулами (6.117) и (6.118), надо уменьшить дополнительно, введя множитель (к — к'^/к, если речь идет о значении dM/dH, а не самой намагниченности М.

На первый взгляд представлялось загадочным, почему в экспериментах [349] наблюдался сигнал разностной частоты со значительной амплитудой, наложенный на сигнал биений осцилляций двух близких частот от «сигар» в Be, тем более что измерялась величина dM/dH. Возможно, это был инструментальный эффект, обязанный вихревым токам, возникающим в образце при модуляции поля [239, 350]. Пока частота модуляции ш достаточно низка, так что глубина скин-слоя велика по сравнению с размерами образца, выходной сигнал должен быть строго пропорционален dM/dH. Если, однако^ глубина скин-слоя сравнима с размерами образца или меньше их, то отношение между выходным сигналом и значением dM/dH перестает быть линейным, если 4тг dM/dH > I, т.е. именно при выполнении условия МВ. В режиме сильного МВ острые пики осцилляций 4irdM/dH обусловливают относительно больший выходной сигнал, чем уплощенные нижние участки, и, таким образом, нулевая линия осцилляций смещается на некоторую величину, изменяющуюся за цикл биений. В результате в выходном сигнале проявляются относительно сильные осцилляции разностной частоты.

В экспериментах [224], в которых наблюдались интенсивные осцилляции разностной частоты, обусловленные центральной и нецентральными орбитами на «пузе» в благородных металлах, измерения проводились методом крутильных весов. Объяснение эффекта в этом случае несколько иное (обсуждение см. в работах [381,

396]). В методе крутильных весов измеряется перпендикулярная полю компонента намагниченности М^ а не параллельная полю компонента Мх. Покажем, что при сильном МВ осцилляции Мг содержат относительно бблыиую, чем в Mv компоненту разностной частоты.

Как было показано выше, на осцилляции Мх при МВ анизотропия существенно не влияет, для ее учета достаточно ввести в основное уравнение дополнительный множитель (1 + д2), где д = = (l/F)(dF/96) [см. (6.33)]. Если величина д мала (что имеет место в случае благородных металлов), этим множителем можно пренебречь, и для простоты мы так и будем делать. Тогда для компоненты намагниченности Мх справедливо выражение (6.113), т.е.

4кМх = Cxsm(kb + ux^(6.119)

где

^i = кА2 4- А'2 4- 2/1/4'cosф)^2

и

/А — ЛЛ ф

1 ^Л^/З "(6120)

Однако при рассмотрении перпендикулярной компоненты М2 возникает существенное новое обстоятельство [по сравнению с (6.30)], состоящее в том, что значения д могут быть разными для осцилляций разных частот. Для центральной и нецентральной орбит на «пузе» в благородных металлах значения д и д' могут сильно различаться, и типичное значение отношения д'/д равно 2. Именно это обстоятельство и приводит к появлению осцилляций разностной частоты при сильном МВ. Ниже будет удобно использовать обозначение

Р = д7д..(6.121)

применяя которое, получим (опуская далее черту усреднения над к)

(6.122)(6.122)4кМ2 = С2 sin(kb 4- u2)

(6.122)

(6.122)

где

С2 = д(Л2 4- р2А’2 4- 2рАА' совф)112

И(А — рА’\ ф

tanu2 = Н——77 tan - .(6.123)

\Л 4- рА /2

Как и ранее, параллельная компонента намагниченности является определяющей, т.е. в (6.122) надо подставить решение (6.119), дающее значение b как функции А, чтобы получить зависимость М2 от И.

Если МВ не слишком велико (т.е. Схк < 1),^то, очевидно, в рамках приближения, рассматривающего все коэффициенты С и и постоянными в течение каждого отдельного периода осцилляций, получим, что не должно возникать значительного сигнала разностной частоты, поскольку, как и ранее, положительные и отрицательные участки осцилляций Мг почти симметричны. Однако ситуация изменяется, если Схк > 1, поскольку в этом случае не все участки цикла, описываемого формулой (6.119) [или (6.122)] стабильны. Рассмотрим для простоты только случай очень’ сильного МВ (Схк > > 1), когда решения уравнения (6.119) для Мх и для kb имеют вид, приведенный на рис. 6.1 и 6.2. В явном виде

С к

4иМх[я — (М + Mi)](6.124)

и

kb + М1 = к - [я - (kh + uJJ/U + С^).(6.125)

Эти выражения верны при изменении kh + их от 0 до 2т (мы рассматриваем только один цикл и пренебрегаем размагничиванием), после чего происходит скачок. 4^^ на 2тгС1£/(1 + С^) и начинается следующий цикл. Если подставить (6.125) в (6.122) и иметь в виду, что значение kb + их близко к я во всей области изменения кН 4- uv то'

4кМ2 = С2^-у^у^^- mJ - sin(u2 - ujj. (6.126)

Если к тому же иг - их < 1, что справедливо при условии А*/А < < 1, выполняющемся в случае благородных металлов, то приближенно получим

4яМ2 =+ (р - l)^sin ^|,(6.127)

т.е. величину, пропорциональную Мх (но с биениями, даваемыми отношением Ст/Сх\ к которой добавлен член sini^, содержащий разностную частоту. Следует отметить, что эти осцилляции разностной частоты сдвинуты по фазе на я/2 относительно биений, т.е. они проходят через нуль в узлах и пучностях биений. Это противоположно случаю возникновения разностного сигнала из-за вихревых токов, который находится в фазе с биениями. Отношение амплитуды осцилляций разностной частоты к амплитуде осцилляций треугольной формы (определяемой как полуразность ординат

от минимума до максимума), приближенно равно

|М2|к_к7|М2|к^(р-1)Л'к/л|М2|к_к7|М2|к^(р-1)Л'к/л(6.128)(6.128)

|М2|к_к7|М2|к^(р-1)Л'к/л

|М2|к_к7|М2|к^(р-1)Л'к/л

(6.128)

(6.128)

(так как Сх — А, если А * /А < 1). Хотя само по себе это отношение не очень велико (для Ag р — 1 ~ 1 и при поле 50 кГс и температуре 1 К А'к - 1, так что это отношение имеет величину порядка 0,3), оно много больше соответствующего отношения для Mv равного примерно А’ (к - к'Утг [см. (6.118)]. Результаты измерений вращающего момента, приведенные в [224], представлены в этой работе недостаточно полно, чтобы провести детальное сравнение эксперимента с теоретическими оценками, однако есть основания полагать, что наблюдавшийся сигнал разностной частоты существенно превосходил ожидаемый согласно формуле (6.128).

Как предположили Вандеркой и Датарс [445], это вполне может быть связано с эффектом «вращательного взаимодействия» (ВВ), который является чисто инструментальным. О нем уже упоминалось в п. 3.3.2, и сейчас мы его кратко рассмотрим. Поскольку приложение вращающего момента приводит к повороту образца на конечный угол и поскольку частота F эффекта дГвА зависит от угла, то возникает обратная связь, и вращающий момент Т определяется уравнением

. /2лГ . 2л dF Т\

T = ?sin Нр + '/’ + ТГад-Ь (6Л29) \ п п аи с /

где с — вращающий момент при повороте образца на единичный угол (жесткость подвеса). По форме это уравнение идентично уравнению МВ, что очевидно, если ввести параметр взаимодействия р, определяемый по аналогии с (3.6) выражением

(6.130)(6.130)_2луГ/1 dF\

(6.130)

(6.130)

Р~ с HXFdej

и безразмерные параметры

2л £ Л dF\с H\F<W/2л £ Л dF\с H\F<W/х = kh-х = kh-(6.131)(6.131)

2л £ Л dF\с H\F<W/

2л £ Л dF\с H\F<W/

х = kh-

х = kh-

(6.131)

(6.131)

В приведенной форме выражение (6.129) принимает вид (как и при МВ)

y = psin(x + y).(6.132)

Как и при МВ, форма линии для осцилляций у (т.е. вращающего момента) все более искажается по мере возрастания параметра р.

i^xn

Рис. 6.19. Влияние «вращательного» взаимодействия на форму осцилляций, а — для осцилляций одной частоты при р = 5, точки — результат численного решения уравнения у = 5 sin(x 4- у^, где х — приведенное поле, у — приведенный вращающий момент. При возрастании х система становится нестабильной в точках типа Р и скачком переходит на соседнюю, вышележащую ветвь; при уменьшении х скачки происходят в точках типа Q. При р ► 1 среднее значение момента для пикообразных осцилляций равно ^р{2р - тгУ(2р + тг) соответственно при росте и уменьшении х; б — биения осцилляций двух частот, зависимость которых от угла одинакова. Точки соответствуют решению уравнения у = 5sin(x 4- у) 4- sin[l,l(x 4- .у)]. Среднее по каждой осцилляции значение изменяется с разностной частотой (пунктир) с периодом 20т; в — то же, что и б, но с большей зависимостью от угла менее интенсивных осцилляций (с большей частотой). Точки соответствуют решению уравнения у = 5sin(x 4- у) 4- sin(l,lx 4- 2^). Видно, что осцилляции с разностной частотой в этом случае, который ближе к реальной ситуации, имеют сложную форму. (Автор признателен Дж. Дж. Лонзаричу за проведение расчетов.)

Однако при р ^ 1 ВВ проявляется совершенно иначе, чем МВ. В обоих случаях зависимость у от х становится многозначной при р ^ 1 или я > 1, но когда речь идет о ВВ, то не может возникать неоднородное состояние с меньшей свободной энергией, существующее при МВ. Как видно из рис. 6.19, а, многозначность приводит к существенному ослаблению осцилляций вращающего момента и значительному гистерезису. Существенным обстоятельством в настоящем рассмотрении является то, что положительные и отрицательные участки осцилляций Т становятся неэквивалентными и средний уровень сильно зависит от значения р, т.е. от амплитуды вращающего момента. Поэтому по мере изменения р при продвижении по циклу биений средний уровень осциллирует с разностной частотой на большей части цикла (если р > 1) (рис. 6.19, б). Надо сказать, что подробная теория КВ [445] довольно сложна и для получения результата недостаточно учесть вариации единственного параметра р за цикл биений. Это связано с тем, что значение (l/F)dF/d0 может различаться для двух частот, создающих биения, и влияние такого различия на форму осцилляций видно из рис. 6.19,в. Дальнейшее усложнение имеет место в том случае, когда поле изменяется слишком быстро, так что поворот образца происходит с заметным отставанием от изменений вращающего момента. Точные условия проведения экспериментов [224] не были описаны, однако, судя по содержащимся в этой работе указаниям, представляется вероятным, что наблюдавшиеся там осцилляции разностной частоты обязаны в основном присутствию КВ, а не МВ.

Шенберг и Темплтон [396] сделали попытку проверить теорию, предсказывающую появление осцилляций разностной частоты в перпендикулярной компоненте момента Мг т.е. проверить формулу (6.127). В этой работе измерялся не вращающий момент, а сигнал, наводимый при модуляции поля в катушке, перпендикулярной Н. Авторам [396] удалось достичь в грубом приближении согласия с теорией; точность измерений была невысока вследствие того, что выходной сигнал пропорционален dM2/dH, а не Мг» и сигнал, соответствующий осцилляциям разностной частоты, был весьма слабым. В этом эксперименте оказалось возможным наблюдать разностную компоненту в составляющей момента и проверить справедливость формулы (6.118). Хотя и в этом случае погрешность измерений довольно велика, амплитуда соответствующего сигнала была, как правило, в несколько раз больше предсказываемой формулой (6.118). Это расхождение отчасти может быть следствием возбуждения вихревых токов (о влиянии которых говорилось несколько ранее), если частота модуляции недостаточно низка. С дру-

гой стороны, это может быть обусловлено сильной корреляцией размытия фаз, что должно сопровождаться меньшим затуханием амплитуды разностных биений, чем самих составляющих. Однако ни одна из этих причин недостаточна, чтобы объяснить большую величину наблюдавшегося различия, и были бы желательны дальнейшие эксперименты для выяснения его происхождения.

МВ в случае сильных осцилляций одной частоты в присутствии слабых осцилляций более высокой частоты

При направлении поля вдоль < 111 > в благородных металлах существуют осцилляции большой амплитуды от орбит на «пузе». Одновременно кроме них должны присутствовать слабые осцилляции от орбит на шестилепестковой «розетке», частота которых в 1,9 раза выше. Однако существование этих осцилляций не было достаточно надежно продемонстрировано на эксперименте, за исключением, пожалуй, случая Ag (см. ниже). Их трудно наблюдать, так как при тех условиях, когда высокочастотные осцилляции должны иметь значительную амплитуду, для доминирующих осцилляций на «пузе» МВ становится сильным, и они могут быть замаскированы интенсивными гармониками осцилляций, обязанных «пузу» (т.е. составляющей с частотой 1к\ Покажем, что при сильном МВ для доминирующих осцилляций более слабые осцилляции высшей частоты действительно сильно маскируются и их можно выделить лишь при очень тщательном фурье-анализе.

Начнем, как и прежде, с формулы (6.84), т.е. с уравнения

4яМ = A sinkb 4- Л'sin Ас'£>»(6.133)

где теперь к' > к. Предположив, что Ак > 1, но А’к’ < 1, мы можем рассматривать член с А ’ как возмущение решения при сильном МВ для осцилляции одной частоты. Невозмущенное решение соответствует тому, что kb мало отличается от тг в области 0 < < kh < 2тг, так что

sin kb = к - kb.

Таким образом, (6.133) имеет вид

4лМ = А(л — kb) 4- A’sin к'Ь,

и подставляя

b = h 4- 4лМ,

(6.134)(6.135)(6.134)(6.135)получим

(6.134)

(6.135)

(6.134)

(6.135)

И h-^-Ак A'sin k'b 1 4- kA + 1 4- kA

Поскольку k'A' < 1, то в первом приближении можно пренебречь вторым членом в (6.135), много меньшим первого, при подстановке значения b из (6.135) в формулу (6.134). Для области 0 < £А < 2тг найдем

= GT^),’r-fcft) + <T^?)sin(T4^ + *)' (6136)

Здесь введено обозначение

ф = кАк^Х 4- kA)

Видно, что сильное МВ для доминирующих осцилляций значительно уменьшает как амплитуду, так и частоту наблюдающихся осцилляций, связанных с орбитой большего сечения (поскольку кА > > 1). Поэтому дополнительные осцилляции невозможно обнаружить, пытаясь выделить соответствующий их частоте малый сигнал, наложенный на доминирующие осцилляции треугольной формы. При к'/к < 1 + кА (обычно это условие выполнялось в экспериментах, когда делались попытки обнаружить осцилляции от шестилепестковой «розетки») период дополнительных осцилляций больше периода доминирующих. Это, конечно, не означает, что их невозможно обнаружить. Проведенный в работе [391] анализ показал, что положение «скачков» для осцилляций треугольной формы слегка смещается из-за присутствия дополнительных осцилляций; скачки имеют место не строго при kh = 2г тг, а приблизительно при тельно при

kh = 2гя — к'A sin k'h, (6.137) т.е. фактически происходит частотная модуляция доминирующих осцилляций вследствие наличия дополнительной частоты. Если произвести фурье-преобразование осцилляций, то должны проявиться компоненты, соответствующие комбинационным частотам. В рассматриваемом случае к' = (2 — е)к, причем е < 1, и можно показать, что в фурье-разложении каждая гармоника с частотой рк должна сопровождаться боковыми составляющими с частотами (р ± е.)к, отношение амплитуды которых к амплитуде составляю-

щей с частотой рк приблизительно равно рА* /2А. Таким образом, амплитуды всех боковых составляющих приближенно равны А’ /2Ак. в частности, боковая составляющая с частотой (2 - с)^, точно равной дополнительной частоте к', оказывается в 1Ак раз меньше, чем без МВ. Некоторые свидетельства в пользу наличия таких боковых полос были получены в неопубликованных предварительных экспериментах Ли, Мак-Ивена и Вандеркоя (цитировано в [198], с. 520) и частота осцилляций для шестилепестковой «розетки», полученная из этих измерений, была в хорошем согласии со значением, вычисленным по известной поверхности Ферми. Однако эти результаты не подвергались проверке и более того, подобный эффект для Си и Au не наблюдался. Совсем недавно более подробные измерения, но опять только для Ag, проведенные на установке высоких полей Амстердамского университета, продемонстрировали подобные эффекты1).

6.7.2. Роль гармоник при МВ для осцилляций одной частоты

В разд. 6.3 при обсуждении влияния МВ на осцилляции одной частоты F полностью игнорировалось то обстоятельство, что даже без МВ в спектре осцилляций присутствуют все гармоники с частотами rF (будем называть их гармониками Лифшица — Косевича, или ЛК-гармониками, чтобы отличать их от гармоник, обязанных МВ). Пренебрежение ЛК-гармониками при рассмотрении осцилляций на «пузе» в благородных металлах вполне оправданно, так как в типичных условиях экспериментов они очень слабы. Однако часто это не так, и мы теперь обсудим влияние МВ на осцилляции, содержащие кроме основной частоты F также все ЛК-гармоники. Задача состоит в том, чтобы решить уравнение, получающееся при подстановке в формулу (2.152) величины В вместо Н. Если записать В = Во 4- b и выбрать Во так, чтобы значение F/B^ было целым, то модифицированная ЛК-формула (2.152) для оциллирующей намагниченности, параллельной полю, примет вид

4лМ = — У Лr sin ( rkb + ~Y (6.138) \ 4/

f) L. W. Roeland, частное сообщение.

где Аг — коэффициенты при sm((2irrF/H) - (тг/4)) в (2.152)).

При умеренном или слабом МВ решение уравнения (6.138), т.е. выражение М как функции й(= Н — В^, может быть получено итерациями (согласно [333]). В основе метода лежит установление иерархии амплитуд на основе фактора Дингла 7. Так, значение Аг пропорционально V^ и его следует считать имеющим тот же порядок величины, что и /Ц. В этом смысле любой член вида кА^кА^ следует считать имеющим порядок) ха 4- jp. При каждой итерации учитываются только члены до определенного порядка г, и они, будучи подставлены в 6, дают следующее приближение. Так, используя очевидные обозначения, имеем

4яМ(1) = — Ах sin^kh + ^,(6.139)

4яМ(2) = — Ах sinfk(/i 4- 4яМ(1)) + "Н —

— Л 2 sin— Л 2 sin( 2kh 4- -J \v( 2kh 4- -J \v

— Л 2 sin

— Л 2 sin

( 2kh 4- -J \v

( 2kh 4- -J \v

Последнее выражение преобразуется к виду

4лМ(2) = -41Sin(wj + ?V(^-42)яп(ш + £\4/ \2^2 J \4

(6.140)(6.140)А 2/

(6.140)

(6.140)

2^2\4>

и т.д. Видно, что коэффициенты при соответствующих гармониках становятся все более сложными по мере дальнейших итераций. Филлипс и Голд в [333] провели итерации до М(4), т.е. до членов четвертого порядка в указанном смысле. Аппроксимация до членов более высокого порядка оказалась необходимой при интерпретации экспериментов на Na [331], и выражения для коэффициентов при

первых четырех гармониках вплоть до восьмого порядка были вычислены с использованием ЭВМ. Эти сложные выражения мы здесь не приводим, однако упомянем, что они составлены так, что позволяют учесть конечное значение размагничивания, и их легко модифицировать таким образом, чтобы учесть размытие фаз в рамках как старого, так и нового подходов. Основная цель Подобных довольно громоздких расчетов состоит в том, чтобы интерпретировать спектр Фурье наблюдавшихся осцилляций намагниченности М или dM/dH, считавшихся периодическими функциями А. Как видно уже из относительно простого выражения для Л/(2), фазы гармоник перестают быть простыми числами, если амплитуды ЯК-гар- моник сравнимы с амплитудами гармоник, обязанных МВ. Мы еще вернемся к этой теме в гл. 9, когда будем обсуждать, каким образом определить g-фактор по фурье-компонентам наблюдаемых осцилляций при не слишком сильном МВ или по весьма экзотичной форме линий осцилляций при сильном МВ.

Проявление МВ в осцилляциях других термодинамических величин

Соотношения, связывающие осцилляции различных термодинамических величин (температуры, магнитострикции и упругих постоянных) с магнитным моментом М. выведенные в гл. 4, остаются справедливыми и в условиях МВ. Таким образом, если решена задача о МВ и определено значение намагниченности М как функции Н (или //е, если существенна форма образца), то осцилляции других термодинамических величин вычисляются прямым путем. Однако осцилляции скорости ультразвука требуют особого рассмотрения, поскольку осцилляции упругих постоянных на высоких частотах, как оказывается, существенно отличаются от осцилляций в статическом случае.

МВ при магнитотермическом эффекте

Как показано в п. 4.2.1, осцилляционное изменение температуры ДГ по существу представляет собой производную по температуре интеграла от намагниченности М по полю Н [см. (4.3)]. Это означает, что при слабом МВ гармоники в случае единственной частоты относительно столь же интенсивны в осцилляциях как ДТ, так и М (поскольку ослабление гармоник при интегрировании по Н компенсируется их усилением при дифференцировании по 7). Однако при сильном МВ проявляются и новые черты, такие, как обострение формы линии осцилляций и прогрессирующее ослабление ос-

цилляций ДТ по мере увеличения параметра взаимодействия при его значении, превышающем единицу. Если присутствуют осцилляции двух почти равных частот, в результате чего возникают биения, то осцилляции разностной частоты, возникающие вследствие МВ, которые, согласно п. 6.7.1.2, имеют малую амплитуду длянамагниченности М, играют ббльшую роль в случае измерения ДТ и при сильном МВ становятся доминирующими. Проводя анализ этих эффектов, будем для простоты игнорировать осложнения, обусловленные анизотропией и формой образца. Большинство излагаемых теоретических результатов было получено Кондоном [97].

Магнитотермический эффект при МВ для осцилляций одной частоты

При слабом МВ (а < 1) можно воспользоваться явным решением (6.17) и с помощью (4.3) найти, что

гх. ( dlnaW -Т ® 2а

(6.141)(6.141)ДТ = —— -г-гг Z —JAra^cosrkh ).

(6.141)

(6.141)

\ оТ у\4кксг=1 г/

Здесь знак минус в первых скобках введен для того, чтобы заключенная в них величина была положительной. Базовая (средняя) линия отсчета ДТ выбрана так, чтобы устранить постоянный вклад. Если разложить (6.141) по степеням а и пренебречь членами более высокого порядка, чем а3, то получим

-V^acoslkh + ta2cos3/c/i], (6.142)

т.е. с этой точностью гармонический состав осцилляций ДТ такой же, как и осцилляций М [см. (6.18)], но все фазы сдвинуты на 90°.

В пределе сильного МВ осцилляции момента М имеют треугольную форму [см. (6.21)], т.е.

(6.143)(6.143)4ккМ = - Q ■ (я - kh) а + 17

(6.143)

(6.143)

при 0 < kh < 2я. Отсюда, воспользовавшись формулой (4.3), найдем, что при отсчете ДТ от значения температуры при h = 0

Рис. 6.20. Магнитотермический эффект при МВ. ДТ — разность между температурой образца при поле h и при h = 0. Константа пропорциональности равна а = = -4n*2c/(dlna/dT). Зависимость при а = 0,3 вычислена по формуле (6.142) (базовая линия смещена соответствующим образом); зависимости при а = 2 и а = 10 вычислены по (6.144). Отметим, что нулевые значения ДТ различны для каждой из кривых и что х = kh.Рис. 6.20. Магнитотермический эффект при МВ. ДТ — разность между температурой образца при поле h и при h = 0. Константа пропорциональности равна а = = -4n*2c/(dlna/dT). Зависимость при а = 0,3 вычислена по формуле (6.142) (базовая линия смещена соответствующим образом); зависимости при а = 2 и а = 10 вычислены по (6.144). Отметим, что нулевые значения ДТ различны для каждой из кривых и что х = kh.

Рис. 6.20. Магнитотермический эффект при МВ. ДТ — разность между температурой образца при поле h и при h = 0. Константа пропорциональности равна а = = -4n*2c/(dlna/dT). Зависимость при а = 0,3 вычислена по формуле (6.142) (базовая линия смещена соответствующим образом); зависимости при а = 2 и а = 10 вычислены по (6.144). Отметим, что нулевые значения ДТ различны для каждой из кривых и что х = kh.

Рис. 6.20. Магнитотермический эффект при МВ. ДТ — разность между температурой образца при поле h и при h = 0. Константа пропорциональности равна а = = -4n*2c/(dlna/dT). Зависимость при а = 0,3 вычислена по формуле (6.142) (базовая линия смещена соответствующим образом); зависимости при а = 2 и а = 10 вычислены по (6.144). Отметим, что нулевые значения ДТ различны для каждой из кривых и что х = kh.

Эти вариации периодически повторяются, как показано на рис. 6.20. Можно увидеть, что по мере увеличения а амплитуда этих осцилляций, имеющих острые минимумы, уменьшается из-за присутствия множителя а/^а 4- I)2. Амплитуда, определяемая как полурасстояние от пика до пика, содержит дополнительный множитель [!/2 7г/(1 4- я)]2 по сравнению с той, которая была бы в отсутствие МВ. Даже и без МВ амплитуда ДТ падает при уменьшении температуры вследствие уменьшения множителя (-Э1па/Э7); дополнительный множитель [!/2тг/(1 4- а)]2 приводит к более быстрому спаду.

Результаты (6.144) можно получить непосредственно, исходя из термодинамического потенциала, записанного в приведенной форме, так как

т т гаа\ т Jaz\ дт =—А$ = -Д™=TT2-Ah^

сс \ЭТ4idrc \дТ

(6.145)(6.145)

(6.145)

(6.145)

где Д означает отклонение Н или h от значения, принятого за точку отсчета. Подставляя сюда величину Z из выражения (6.21), соот-

ветствующего сильному МВ, имеем

ДТ =ДТ =(kh - (2г + 1)л)2 +(kh - (2г + 1)л)2 +— Т 51па\[ -а4^”df" / [2(1 + а)2

ДТ =

ДТ =

(kh - (2г + 1)л)2 +

(kh - (2г + 1)л)2 +

(6.146)

Эта формула справедлива в пределах каждого цикла 2rir ОЛ С (2г + 2)тг для значения ДТ, отсчитываемого от температуры при h = 0. Поскольку все циклы идентичны и (dZ/da)h=0 = ^(тг2/^ + 4- I)2 — I, то (6.146) совпадает с (6.144).

Описанный альтернативный метод расчета наглядно демонстрирует, что уменьшение амплитуды осцилляций температуры ДТ с ростом параметра а при сильном МВ обусловлено возрастанием промежутков между разрешенными значениями b и уменьшением значения Z на соответствующих участках цикла. Довольно громоздкое выражение (6.146) приведено для того, чтобы иметь возможность обсудить роль биений в случае осцилляций с двумя близкими частотами.

Магнитотермический эффект в условиях МВ в случае осцилляций с двумя близкими частотами

Подобная ситуация уже рассматривалась в п. 6.7.1.2. В этом случае значения к и к', входящие в (6.84), примерно одинаковы и, как и в (6.113), удобно будет использовать запись

(6.147)(6.147)4кМ = A sin kb 4- Л' sin k'£> = С sin (kb 4- и(

(6.147)

(6.147)

Здесь С ни определены так же, как и в (6.114), (6.115). При слабом МВ, как было показано ранее, входящая в магнитный момент М компонента с разностной частотой (к - к') имеет малую амплитуду, определяемую формулой (6.116). Однако при интегрировании по h при вычислении ДТ эта компонента становится значительно более сильной. Действительно, нетрудно показать, что при Э1пД/дТ = Э1пА'/ЭТ = д\па/дТ (правда, для осцилляций с близкими частотами от «сигар» в Be это условие верно лишь приближенно) выполняется соотношение

(6.148)(6.148)( д1пд\/ТЛЛ'\

(6.148)

(6.148)

ДТ)*_Г = -—- -т— cos(k-k)/i,\ оТ )\ 4нс /

где а = Ск — амплитуда осцилляций с учетом биений. Если срав-

нить это^выражение с членом, дающим, согласно (6.142), основной вклад в ДГ при слабом МВ, когда имеются осцилляции момента с одной частотой £ и амплитудой С, то получим

|ДУ|к_.г/|ДТ|к = ЫЛ7С. ' , (6.149)

Это отношение изменяется от кАА' /<А + Л') в максимуме биений до кАА*/^А — Л') в их минимуме. Оно может иметь значительную величину при слабом (но не слишком) МВ, если кА и к'А' сравнимы по величине и не очень малы по сравнению с единицей. Такая ситуация иллюстрируется рис. 6.21, а.

Если МВ оказывается сильным в пределах всего цикла биений, то осцилляции с разностной частотой (£ - £') проявляются еще сильнее. Это видно из формулы (6.146), если входящее в нее значение а постепенно изменяется, т.е. если а = Ск, причем а > 1 даже в минимуме биений. При этом возникают важные отличия от (6.146), состоящие в том, что последний член теперь является постоянной, зависящей от того, при каком поле значение ДТ полагается равным нулю, кроме того, необходимо включать фазу и (которая изменяется в пределах цикла биений). Таким образом, получим

(

—Т 51па\( —а

Т~П~~лт~) им ^ [^ + “ ~ (2г + !)”] 4як2с ЗТ / (2(1 + аУ

1 я2а0 1

+ " Н 2 U J 161501

Эта формула верна при 2пг ^ kh 4- и С (2г 4- 2)тг; а0 — значение а при поле h = 0 (максимум биений), и ДТ отсчитывается от значения температуры образца при этом поле.

Первый член в (6.150) имеет практически тот же вид, что и формула (6.144), описывающая ДТ при осцилляциях с одной частотой (с тем отличием, что фаза и амплитуда изменяются на периоде биений). Важное новое обстоятельство — присутствие доминирующего второго члена, т.е. а. При изменении h его значение, естественно, изменяется от (Л 4- А ’ )к в максимуме биений до (Л — А ’ )к в минимуме. Наличие осцилляций при сильном МВ даже в минимуме биений демонстрируется на рис. 6.21, б.

Если за цикл биений значение а изменяется от а > 1 (сильное МВ) до а < 1 (слабое МВ), то ситуация становится довольно сложной, так как для промежуточной области нет формулы, описывающей осцилляции в явном виде. Грубое представление о том, что происходит, можно получить, если экстраполировать каждую из

Рис. 6.21. Магнитотермический эффект в случае осцилляций с двумя почти равными частотами при МВ. Шкала для ДТ та же, что на рис. 6.20. а — слабое МВ (высокая температура), амплитуда Л Аг = 0,5, Д'к' = 0,3. Кривые построены на основе упрощенного расчета, учитывающего только члены с частотами к, к' и к - к'. Точками представлена линия, соответствующая середине между огибающими (т.е. разностной частоте). Схематически показано несколько отдельных осцилляций. На периоде биений укладывается примерно 34 осцилляции; б — сильное МВ (низкая температура), Ак = 5; А ’к' = 3. Каждая осцилляция имеет теперь обостренную форму (ср. с рис. 6.20), и их амплитуда'максимальна в минимуме биений; в — достаточно сильное МВ в максимуме биений и довольно слабое МВ в их минимуме (промежуточная температура); Ак = 1,25; А*к' = 0,75. Сплошные линии — расчет по соответствующим предельным формулам. Участок графика в области слабого МВ смещен вниз, так чтобы его продолжение в область сильного МВ разумным образом перешло в это решение. В действительности при указанных значениях А к и А'к' ни одна из предельных формул не является строго справедливой и график в значительной степени схематичен. Заметим, что форма осцилляций изменяется от заостренной в максимуме биений до синусоидальной в минимуме.

Н, кГс

Рис. 6.22. Магнитотермические осцилляции в Be при разных температурах [97]. Можно видеть, что на этих экспериментальных кривых проявляются основные качественные особенности расчетных зависимостей, приведенных на рис. 6.21. Смещение кривых вверх при увеличении поля обусловлено магнетосопротивлением угольного термометра, а также медленным дрейфом температуры; шкала для ДГ уменьшается снизу вверх.

соответствующих формул немного за пределы тех областей, где они справедливы, и гладко сшить между собой кривые, как это сделано на графике 6.21, в. При необходимости, естественно, можно выполнить более точные расчеты на ЭВМ.

Халлоран и Хсу [196] провели эксперименты на Be. Они наблюдали магнитотермический эффект в случае биений осцилляций от «сигар». Их результаты, цитировавшиеся в [97] с дополнительными подробностями по сравнению с оригинальной статьей, представлены на рис. 6.22. На этих графиках видны все основные черты, предсказываемые теорией. Среди них возникновение осцилляций разностной частоты, которые становятся доминирующими при возрастании МВ, ослабление осцилляций основной частоты, когда температура становится ниже некоторого значения, перемена местами максимума и минимума биений, если МВ становится силь-

ным на всем периоде биений, и своеобразная форма огибающей в том случае, когда вследствие биений МВ изменяется от слабого до сильного. При имеющихся результатах трудно провести детальное количественное сравнение с теорией отчасти потому, что образец, данные для которого приведены на рис. 6.22, не был эллипсоидом (это был куб), отчасти из-за влияния размытия фаз, а также потому, что нет результатов прямого измерения намагниченности того же образца в идентичных условиях. Одно обстоятельство, предсказываемое теорией, — форма линии для основных осцилляций ДТ при сильном МВ в виде заостренных парабол — не следует из опубликованных результатов. Для более детальной проверки теории желательны дальнейшие эксперименты.

Влияние МВ на осцилляции магнитострикции и упругих постоянных

Соотношение между осцилляциями магнитострикции и намагниченности, полученное в гл. 4, остается справедливым и при МВ. Это проще всего видно из общего термодинамического соотношения

^бН^ЙМ!^ (6.151)

которое всегда справедливо независимо от механизма, приводящего к появлению момента М. Поэтому если решение задачи с учетом МВ имеет вид (4.18), т.е.

М = ^Mrs\n\—- 4- фг\ = ^МГ1

где суммирование ведется по всем гармоникам и комбинационным составляющим основных частот, то использование формулы (6.151) при обычном предположении, что Fr/H^ > 1, приводит немедленно к (4.20), т.е. к

eik = -^5\nFr/aoik)MrH (6.152)

(различие между Н и Не не существенно для конечного результата). Производная по напряжению (dlnF/do^), очевидно, одна и та же для всех гармоник любой «основной» частоты, поэтому форма линии для осцилляций магнитострикции та же, что для момента М. Члены, содержащие комбинационные частоты от двух различных основных частот, имеют, однако, различные относительные амплитуды, так как соответствующие производные от Fr в общем случае

различны. Такое рассмотрение впервые проведено Пудановым и Хайкиным [357] в связи с измерениями магнитострикции олова, в ходе которых было обнаружено довольно сильное искажение осцилляций из-за МВ. Как и в случае осцилляций намагниченности М, по форме линии осцилляций магнитострикции одной частоты можно оценить абсолютную величину амплитуды осцилляций М. Если же при этом известна абсолютная величина магнитострикции, то по формуле (6.152) можно определить производные частоты по компонентам напряжений. На практике, как мы видели ранее, такой способ определения абсолютной амплитуды М не очень точен из-за размытия фаз, обусловленного неоднородностью образца. Исключение составляет лишь случай очень слабого МВ, но при этом, естественно, точность измерений оказывается невысокой.

Осцилляции упругих постоянных в условиях МВ также должны описываться формулами, полученными в гл. 4 [т.е. (4.24) и (4.26)], если напряжения изменяются во времени не слишком быстро. Это условие, однако, не выполняется для переменных напряжений в поле ультразвуковой волны, и требуется особое рассмотрение осцилляций скорости звука при МВ [437]. Существенно, что если напряжения или деформации меняются слишком быстро, то в образце возбуждаются вихревые токи и возникает тенденция к стабилизации поля В при изменении М. Поэтому для высокочастотных ультразвуковых волн упругие постоянные следует вычислять, считая постоянным В, а не Н, как это предполагалось в гл. 4. Если МВ пренебрежимо мало, то мало и отличие В от Н и ранее полученные результаты остаются верными. Однако при заметном или сильном МВ необходимо задачу рассмотреть заново0. Возвращаясь к выводу формулы (4.26), видим, что происходящие при изменении поля осцилляции напряжения oik при постоянной деформации описываются выражением, аналогичным (6.152), т.е.

8» = !,^-Я». (6.153)

Здесь, как и ранее, Мг — различные компоненты момента М, являющегося функцией //е, при решении задачи о МВ. Дальнейшее рассмотрение задачи может быть выполнено непосредственно лишь в случае, когда имеется единственная основная частота, так что г яв-

0 Во избежание ненужных осложнений будем игнорировать эффект Альфера — Рубина, упоминавшийся в п. 4.3.3. Это оправданно, если продольный звук распространяется вдоль оси симметрии.

ляется номером ее гармоники и Fr = rF. В этом случае производные d\nFr/deik не зависят от г и можно написать

_ 51пГ ~

5ik=-—МН.(6.154)

Теперь продифференцируем (6.154) при постоянном В (а не Н) и в результате получим

(6.155)(6.155)~ p5ik\ /д In F\(dM\

(6.155)

(6.155)

С1ки==p^fcA

(6.156)(6.156)Но поскольку Н - В - 4иМ (для простоты игнорируем роль формы образца), то легко видеть, что

(6.156)

(6.156)

(бМ/се^в = (5M/Epq)H/(dB/dH).

Далее, при нашем предположении Fr = rF имеем (дМ/дгИ)н = -1Цд1пЕ^<16№.

так что окончательная модификация формулы (4.26) имеет вид

(6.157)(6.157)^ In FWain F\ WdM\

(6.157)

(6.157)

. ^*Даеи/ \dS/.

В серии элегантных экспериментов, в которых опять изучались осцилляции от «сигар» в Be, Тестарди и Кондон [437] произвели прямое измерение ДМ /ДВ (см. разд. 6.10) при одновременном измерении осцилляций скорости звука с частотой 20 МГц. Если вновь в качестве хорошего приближения можно сделать правдоподобное предположение, что осцилляции с биениями имеют одну частоту, но изменяющуюся с полем амплитуду и фазу, то на основании (6.157) можно ожидать, что осцилляции скорости звука должны быть подобны осцилляциям dM/dB. Как видно из рис. 6.23, это действительно так при 4,2 К даже при максимальной амплитуде, когда МВ уже заметно, но недостаточно сильно для того, чтобы образовывались домены. Однако при 1,4 К, когда должны формироваться домены на протяжении почти всего цикла биений, осцилляции скорости звука более не следуют осцилляциям dAf/dB и для них видна интенсивная компонента с разностной частотой.

Тестарди и Кондон предположили, что причина такого различия заключается в том, что доменные стенки вообще не могут двигать-

25-207

Рис. 6.23. Осцилляции dM/dB и и/и при 4,2 К (слабое МВ) и при 1,4 К (сильное МВ) в Be [437]. Горизонтальные линии для и/и показывают начало отсчета при определении и.

ся с частотами ультразвука^. Поэтому для той части цикла, на КО’ торой образуются домены, величина dM/dB которую нужно подставить в (6.157), имеет значение, соответствующее диамагнетизму с любой стороны от доменной области. Как следует из формулы (6.15), -47rdM/dS (или -dy/d0) = а в середине области вне доменов и при а > 1 становится лишь слегка меньше а на ее границах (возле точек Q и Р на рис. 6.6, в). Это означает, что осцилляции скорости должны соответствовать лишь малым изменениям — dy/d6 вблизи значения а и должно появиться сильное положительное смещение нулевой линии от «истинного» нуля (соответствующего нулевому изменению скорости звука). Как видно из рис. 6.23, именно это и имеет место. При движении по циклу биений это смещение изменяется, что и приводит к появлению осцилляций разностной частоты. В заключение отметим, что сами осцилляции dM/dB, показанные на рис. 6.23, находятся в разумном согласии с теорией МВ: значение 47rdM/dB близко к единице в доменных областях и равно асо$9 вне их, т.е. близко к —а при а > 1. Имеются некоторые различия в деталях, обусловленные, по-видимому, влиянием размытия фаз и неэллипсоидальности образца.

Другие осцилляции в условиях МВ [347]

До сих пор обсуждалось влияние МВ только на осцилляции, которые связаны термодинамическими соотношениями с осцилляциями свободной энергии и намагниченности. Однако нетрудно распространить рассмотрение на другие осцилляторные эффекты, имеющие ту же периодичность, т.е. на эффект Шубникова — де Гааза и гигантские квантовые осцилляции (ГКО) поглощения звука, если допустить, что МВ проявляется только в одном: в необходимости рассматривать осцилляции как функцию поля В, а не Н (или Не если существенна форма образца). Исходя из уже построенной теории, описывающей связь В с Не в условиях МВ, на следующем этапе можно получить форму осцилляций как функцию Не. Существенным обстоятельством при сильном МВ является то, что при изменении Не ббльшая часть значений В оказывается исключенной (см. рис. 6.6,6) и вследствие этого (как и при эффекте дГвА) «выживает» только малая часть осцилляций.

!) Оценки по порядку величины показывают, что вихревые токи, возбуждаемые при движении доменной стенки, препятствуют ее движению, если частота намного больше 100 кГц.

Рис. 6.24. Влияние сильного МВ на осцилляции, которые в отсутствие МВ имели бы форму U = wsin(x 4-ф). Предполагается, что при сильном МВ можно считать U = = wsin(0 4- 0), но при этом исключаются области значений в (т.е. BY соответствующие возникновению доменов в образце (см. рис. 6.6). Чтобы вычислить U как функцию хе в области вне доменов (от Q до Р'), использовано решение уравнения (6.41) при значении 0, близком к тг; в явном виде это дает U = wsin[(7r — *3/(1 44- я(1 - п) - 0)] при изменении хе от яятг/(1 4- а) до 2тг - яятг/(1 4- а\ В области существования доменов (между Р и Q) значение U есть взвешенное среднее от значений -wsin[7r/(l 4- а) 4- 0] в точках Р и Р* и usin[7r/(l 4- а) - 0] в точке Q. С хорошей точностью это дает U = м [(xe/^)cos 0 — sin0] между Р и Q. Зависимости вычислены при и = /2 (что является подходящим значением, если речь идет о поперечном магнетосопротивлении) и при а = 10 для 0=0, — тг/З и тг/2. Осцилляции при 0 = 0 идентичны осцилляциям М (т.е. подобны представленным на рис. 6.5 при соответствующем выборе значений а и п). Осцилляции с 0 = тг/2 должны соответствовать осцилляциям р/р в эффекте ШдГ, когда обрезается ббльшая часть осцилляций, за исключением их нижнего участка.

Это иллюстрируется рис. 6.24, на котором приведены осцилляции, имеющие в отсутствие МВ вид U = wsin(x + ф) (в приведенных обозначениях), где ф описывает сдвиг по фазе относительно осцилляций дГвА у = ^zsinx. При МВ они приобретают вид U = = wsin(0 + ф) и могут быть представлены, как функции хе, аналогично тому, как разъяснено в подписи к рис. 6.24 для случая сильного МВ. Очень узкие разрешенные области значений 9 (вне доменов) сильно расширяются и располагаются между точками Q и Р' при переходе к зависимости от хе. В нереализующихся областях значений 9 (отмеченных штриховыми линиями между точками Р и Q) величина U равна среднему от значений U(P) и C/(Q), взятых с весами, соответствующими отношению объемов Р- и Q-доменов. Как видно из рис. 6.24, уменьшение амплитуды осцилляций вследствие появления областей запрещенных значений В сильно за-

висит от фазы ф и это уменьшение особенно значительно при ф = = тг/2, что характерно для осцилляций ШдГ с фазой, совпадающей с фазой осцилляций dM/dH [см. разд. 4.5 и формулу (2.166)], или при ф = -7г/2.

Как упоминалось в п. 4.5.1, известно лишь немного результатов систематического исследования осцилляций магнетосопротивления, которые не связаны с магнитным пробоем. В «чистом» виде эффект ШдГ является сильным только для электронов от малых участков ПФ, а для них амплитуда дГвА слишком мала, чтобы привести к заметному МВ. Однако изложенная выше идея исключения «запрещенных» областей значений В при сильном МВ вполне приложима и в том случае, когда осцилляции магнетосопротивления связаны с магнитным пробоем, а не с осцилляциями плотности состояний. Интересной иллюстрацией тому служит работа Рида и Кондона [361], в которой наблюдались осцилляции магнетосопротивления, связанные с «сигарами» в Be (рис. 6.25). Осцилляции сопротивления р в этом случае обусловлены магнитным пробоем для орбит, проходящих по центральным сечениям «сигар» (см. рис. 5.22). С этими орбитами связана компонента осцилляций М, имеющая меньшую амплитуду и частоту, чем доминирующая составляющая. В результате в осцилляциях намагниченности возникают биения. Механизм магнитного пробоя мы сейчас не будем обсуждать (см. гл. 7). Достаточно знать, что пробой происходит только для электронов одной из двух экстремальных орбит, дающих вклад в эффект дГвА. Поэтому осцилляции сопротивления при 4,2 К, когда МВ несущественно, не обнаруживают значительных биений (рис. 6.25, а). Однако по мере снижения температуры, когда МВ становится сильным на всем периоде биений, амплитуда осцилляций сопротивления обрезается так, как обсуждалось выше. Более того, вследствие небольшого различия частот осцилляций р и М сдвиг фазы р относительно фазы М изменяется от узла до пучности биений, так что «запрещенная» область смещается от максимума осцилляций р в узле биений (Ф = — тг/2) до их минимума в пучности (Ф = тг/2) (рис. 6.24). Детальная интерпретация эксперимента в рассматриваемом случае весьма сложна, так как аппроксимация, соответствующая рис. 6.24, в действительности не верна, в частности в минимуме биений. Риду и Кондону в [361] удалось, используя правдоподобные предположения, вычислить осцилляции, которые весьма похожи на наблюдавшиеся в эксперименте. Одно из обстоятельств при наблюдении магнитного пробоя состоит в том, что вклад в намагниченность от центрального сечения «сигары» ослабевает по мере увеличения поля, так что биения для М должны по-

Т=4,2КЛМ

dH \

—М»н®ж<||||

2629 Н, кГс 3337,5

a.

^vyVIl^ийййв

2629 н, кГс 3362629 н, кГс 33637,537,5

2629 н, кГс 33

6

2629 н, кГс 33

6

37,5

37,5

Рис. 6.25. Осцилляции поперечного магнетосопротивления р7р0 и осцилляции dM/dH для Be при Н вдоль оси шестого порядка при 4,2 К (я); 1,35 К (б) [361]. Анализ записей показывает, что осцилляции р имеют частоту, равную 33/и частоты осцилляций dM/dH; это происходит потому, что осцилляции р обусловлены пробоем на центральном сечении «сигары», а в осцилляциях dM/dH доминируют нецентральные сечения. Как амплитуда осцилляций р/р0, так и среднее значение р (7/)/р0 имеют порядок величины ~ 103 (р0 — сопротивление при Н = 0).

степенно исчезать. Это отряжается в соответствующем исчезновении биений для осцилляций сопротивления при поле примерно 60 кГс (см. рис. 3 в цитируемой статье). Однако для этих больших полей не были представлены осцилляции М в деталях, так что невозможно проверить, ведет ли себя амплитуда осцилляций сопротивления так, как ожидается. Было бы интересно также проверить,

насколько точно форма линии осцилляций соответствует предсказываемой на рис. 6.24 в области биений.

Стоило бы попытаться усовершенствовать технику измерения малых осцилляций сопротивления, с тем чтобы проверить теорию в более подходящей ситуации, например при наблюдении осцилляций, обязанных траекториям на «пузе» в благородных металлах, когда не возникает усложнений картины из-за магнитного пробоя и биений. Однако требуемая для этого чувствительность должна быть еще выше, чем та, о которой шла речь в разд. 4.5, что обусловлено предсказываемым уменьшением амплитуды в условиях сильного МВ.

Роль запрета на отдельные области значений В при сильном МВ должна стать еще значительней в случае гигантских квантовых осцилляций, хотя до сих пор подобный эффект не наблюдался. Как говорилось в разд. 4.6, в «идеальных» условиях ГКО должны проявляться в виде 6-образных пиков в затухании ультразвука, которые возникают, когда трубки Ландау проходят через ПФ очень близко от экстремального сечения, т.е. когда

F/B = и + i ,

если предположить, что речь идет о S, а не Н. Однако, как показано на рис. 6.26, при а > 1 лишь малые области от

F 11,11

отвечают устойчивым значениям В [знак «± » соответствует тому, какого вида экстремум имеет место: максимум ( + ) или минимум (-)]. Среднее для всего образца значение В, конечно, может принимать любую промежуточную величину (в соответствующем диапазоне значений Не, если имеется размагничивание), однако в любой данной точке, т.е. в пределах любого домена поле В не может принимать промежуточных значений. Поэтому в «идеальном» случае значения В, отвечающие ГКО, никогда не реализуются и осцилляции должны не частично ослабляться, как осцилляции магнетосопротивления, изменяющиеся с полем непрерывно, а совершенно исчезать. Фактически, как установлено в п. 4.6.1, по целому ряду причин гигантские пики обычно размазаны так, что приобретают форму, близкую к синусоиде [см. (4.64)], как и для осцилляций магнетосопротивления, сдвинутых по фазе на тг/2 относительно осцилляций М. В этих условиях эффект МВ должен быть подобен эффекту в случае осцилляций магнетосопротивления, т.е. должно наблю-

Рис. 6.26. Иллюстрация того, как сильное МВ может практически полностью уничтожить гигантские квантовые осцилляции. Реализуемые значения В отмечены прямоугольными рамками при о = 2 и заштрихованы для а = 10. Для максимального сечения эти области отвечают значениям внутри интервалов п + !4 т ^(l + а) (во избежание недоразумений области разрешенных значений в случае минимального сечения не показаны). Видно, что даже при значительном уширении пики ГКО, расположенные вблизи значений F/B = п + Уг, почти целиком оказываются внутри запрещенных областей даже при а = 2. Чтобы получить зависимость истинной формы линии от Не для малых участков кривых, попадающих в разрешенные области, следует перестроить шкалу таким образом, чтобы перейти от В кНй аналогично тому, как разъяснено в подписи к рис. 6.24.

даться постепенное уменьшение амплитуды осцилляций по мере того, как параметр, описывающий МВ, становится больше единицы.

Как исключить МВ (в определенных пределах)

В некоторых случаях бывает полезно избегнуть усложнений, обусловленных МВ, с тем чтобы непосредственно изучить предсказания теории ЛК для момента М как функции В. Этого можно добиться, если ввести обратную связь, подав в дополнительную катушку, расположенную вокруг образца, ток, пропорциональный М. Коэффициент пропорциональности и знак следует выбрать так, чтобы создать поле — 4тг(1 — п)М. Таким путем поле В в образце поддерживается точно равным Не, и если модулировать поле Не, то сигнал с приемной катушки должен определяться значением М, даваемым формулой ЛК, если в ней Н заменить на В. Например, при модуляции с малой амплитудой и при детектировании сигнала, имеющего частоту ш, выходное напряжение должно быть пропор-

ционально dM/cLB и все искажения, обусловленные МВ, подавляются.

Все это, однако, верно лишь до тех пор, пока l47rdA7/d5l < 1. Как только величина l47rdM/dBl становится больше единицы, в образце с неизбежностью появляются домены на части каждого цикла дГвА и определяющее обратную связь значение М оказывается функцией усредненного по образцу поля В (см. рис. 6.6, в). Поэтому только при l47rdAf/dBl < 1 МВ может быть полностью подавлено.

Как упоминалось ранее (п. 6.8.2), эту идею использовали Те- старди и Кондон [437] в ходе исследования Be. Им удалось продемонстрировать, что лишь при слабом МВ последнее может быть исключено (рис. 6.23). Позже Голд и Ван Шиндел [172], используя более гибкую систему обратной связи, показали, что боковые составляющие с частотами а ± п^, возникающие при слабом МВ между высокочастотными (а) и низкочастотными (7) осцилляциями в РЬ, можно практически подавить, подобрав коэффициент обратной связи. При такой настройке гармоники для осцилляций, обязанные МВ, пренебрежимо малы и ЛК-гармоники, получаемые в чистом виде, можно изучать непосредственно, не проводя сложных расчетов, которые иначе оказались бы необходимыми.

Хотя такой метод «исключения» МВ (по крайней мере слабого МВ) в принципе весьма прост для совершенных образцов, он не слишком хорошо работает на практике, если образец неоднороден. Так происходит потому, что сигнал обратной связи с неизбежностью пропорционален среднему значению М и невозможно удовлетворительно скомпенсировать локальный момент М в каждой точке образца. Вероятно, именно небольшое остаточное МВ не позволило в экспериментах [172] полностью подавить боковые составляющие, хотя они и были сильно ослаблены.

ЛОФЕР-состояние; МВ в звездах?

Поскольку намагниченность М является функцией В = Н + + 4тгЛ/, то существует хотя бы в принципе возможность того, что может возникнуть постоянная намагниченность в нулевом внешнем поле под действием одного лишь поля 4-кМ. Такой механизм, аналогичный механизму, обусловливающему электронный спиновый ферромагнетизм, был рассмотрен Ли и сотр. [253], которые предложили термин ЛОФЕР (от «Ландау орбитальный ферромагнетизм») для подобного состояния, если оно осуществимо. Расчеты Ли [252] показывают, что для электронов в металле подобный эффект может появиться лишь при чрезвычайно низких температурах

(ниже 10“7 К при наиболее благоприятных условиях) и при этом возникнет лишь очень слабая постоянная намагниченность. Однако если плотность электронов аномально высока, как это имеет место в некоторых звездах, то критическая температура ЛОФЕР- состояния становится намного выше и возникающий, постоянный магнитный момент значительно больше. Именно в этом астрофизическом контексте Ли и сотр. [253] впервые выдвинули идею ЛОФЕР-состояния, предположив, что оно может быть важным механизмом появления сильного магнитного поля у некоторых звезд. Однако, как будет показано ниже, необходимо учитывать образование доменов и релятивистское вырождение, и поэтому маловероятно, чтобы такой механизм мог иметь существенное значение в астрофизике, за исключением, пожалуй, очень специальных случаев (см. также [309]).

Расчет условий существования ЛОФЕР-состояния производится непосредственно. Если для газа свободных электронов записать ЛК-формулу (2.152), в которой Н заменяется на 4тгМ, то получим

Р 7

м,/2 = 6,3 X 10“—-ехр(-1,47 х 105х/4лМ) sinhz

X + ф\(6.158)

\ 2м / где

z = \Д1 х Ю5 Т/4лМ,(6.159)

Наиболее благоприятная (хотя, как мы увидим, совершенно нереальная) ситуация соответствует х = 0, т.е. металл «идеален», и Г = 0, т.е. z = 0 и z/sinh z = 1. При этих идеальных условиях выражение (6.158) принимает вид

М = 3,9 х 10"21 F2sin2[|(F/M) + фу(6.160)

Видно, что существует бесконечное число решений и все получающиеся значения М меньше намагниченности М^ определяемой формулой

Мо = 3,9 х 10’21Г2,(6.161)

[Это можно получить, рассматривая пересечения прямой у = М с графиком функции у = M^mHVHF/M) + ф).^ Для газа свободных электронов, плотность которых равна плотности электронов в Си, частота/7 = 6,1 х 108; отсюда найдем

Мо = 1.5 х 10"3Гс(6.162)

Если же учесть фактор Дингла, то появление ЛОФЕР-состояния невозможно даже при Г = О, если только температура Дингла не экстремально мала. Итак, вместо (6.160) имеем (при подстановке F = 6,1 х 10е)

М = 1,5 X 10~3 ехр( —2,34 х 104x/M)sin2(|(F/M) + ф\

Теперь решение существует, если только величина х достаточно мала. Легко показать, что это условие приближенно сводится к

х < 1,6 х 10~8К, что предполагает совершенно недостижимое совершенство образца. Если бы тем не менее удалось достичь того, чтобы величина х была меньше этого критического значения, то наибольшее значение М было бы чуть меньше половины от Мо по (6.162) и осталось бы лишь несколько решений с меньшими значениями М,

Если учесть влияние конечной температуры 7, то нетрудно видеть, что, как и при конечной температуре Дингла, решение* возможно лишь при температуре 7, меньшей критической температуры Те Если величинаz не исчезающе мала, то (6.160) следует заменить на

М = M0(z2/sinh2 z)sin2(|(F /М) + ф\(6.163)

Вспомнив определение z, получим, что решение для М может быть найдено лишь при

Т < 8,5 х 10~5 M0(z3/sinh2z).(6.164)

Поскольку максимальное значение выражения z3/sinh2z равно 0,76 (при z = 1,29), то видно, что решение существует лишь при 7 < 7С, где

7С = 6,5 х 10-5 Мо а 10'7К,(6.165)

и при 7 = 7С наибольшее значение М составляет примерно 0,59 Мо. Как и при конечном значении х, при конечной температуре существует лишь конечное число решений для М и совсем мало при приближении 7 к 7С.

Легко показать, что для металлов с иными ПФ, с другими плотностью электронов, эффективной циклотронной массой и фактором спинового расщепления, чем предполагалось выше, значения А/о и 7С, даваемые формулами (6.162) и (6.165), преобразуются к виДУ Мо = 1,5 х 10”3(7/70)2(т/т0)”2(2л/4")со$2(^лдги/т0), (6.166) 7С = КГ7 (7/70)2(т/т0)”3(2л/Л")со$2(|лдт/т0),(6.167)

где F, т, А" и# — параметры в (2.152), описывающие конкретный металл, а значения Ро и т0 относятся к металлу со свободными электронами, который рассматривался до сих пор. В лучшем случае (для орбиты на «пузе» в Ag при направлении < 111)) эти множители приводят к увеличению Мо примерно в 5, а Тс — примерно в б раз; при наиболее предпочтительной ориентации* в Bi они же уменьшают значения Мо и Тс — появляются множители порядка 3 х 10“3 и 0,4 соответственно. Таким образом, модель свободных электронов не приводит к сильному преувеличению трудности достижения ЛОФЕР-состояния в реальных металлах.

Если бы даже и удалось как-либо удовлетворить чрезвычайно жестким условиям, предъявляемым к температуре и к качеству образца, все еще остается открытым вопрос, может ли в действительности существовать макроскопическая постоянная намагниченность. Ли [252] показал, что каждое решение, описывающее ЛОФЕР-состояние, должно быть стабильным в том смысле, что необходимо преодолеть энергетический барьер, чтобы система перешла в состояние, отвечающее соседнему решению. Он предположил, что требуется чрезвычайно большое время для преодоления барьера с помощью тепловых флуктуаций. Можно полагать, что максимального возможного значения М можно было бы достичь, постепенно уменьшая внешнее приложенное поле до тех пор, пока не будет пройдено поле, равное 4тгМ. Но и при этом вполне возможно, что любая постоянная намагниченность будет нейтрализована вследствие образования доменов, как только будет удалено «ведущее» поле.

Хотя это обсуждение носит скорее академический характер для реальных металлов, оно становится более реалистичным в астрофизическом контексте, так как в звездном веществе реализуются намного большие плотности электронов. Как видно из формул (6.166) и (6.167), Мо и Гс пропорциональны F2; последняя величина в свою очередь изменяется как и4/3, где п — плотность электронов. Поскольку плотность электронов в звездах может достигать значений, в 108 раз больших, чем для Си, то видно, что Тс может достичь 103 — 104 К, а 4тгЛ/0 вырасти до 108 — 109 Гс. На самом деле рост Тс и 4тгЛ/0 замедляется, когда п становится больше ~ 1029 см”3 вследствие релятивистского вырождения [245, 309]. Однако предсказываемый порядок величин Тс и 4тгЛ/0 все еще остается достаточно высоким, позволяя предполагать, что ЛОФЕР-состояние может отчасти объяснить появление при остывании высоких значений магнитного поля у некоторых очень плотных звезд. Более подробное обсуждение этой весьма умозрительной идеи можно найти в цитированных статьях.

7

Магнитный пробой

Введение

Как уже упоминалось (см. разд. 1.3, п. 5.3.3.3), идея существования магнитного пробоя (МП) возникла, когда Пристли [355] (1963 г.) обнаружил на Mg в спектре частот эффекта де Гааза — ван Альфе- на частоту, отвечающую «гигантской» орбите. В обзоре последних достижений на конференции в Куперстауне [388] отмечалось, что существование орбит, сечение которых превышает гексагональное сечение зоны Бриллюэна, представляется невозможным и их наблюдение относится к одной из загадок фермиологии, которые требуется разрешить. Вскоре после того объяснение было дано Коэном и Фаликовым [81]. Они указали, что в достаточно сильном магнитном поле электроны могут туннелировать с орбиты, проходящей по одному участку поверхности Ферми, на орбиту, проходящую по другому участку, если их разделяет малая энергетическая щель. «Магнитный пробой», как они назвали это явление, приводит к существованию новых орбит, аналогичных гигантским орбитам в Mg, наблюдавшимся Пристли благодаря туннелированию в подходящих точках через щели между зонами (рис. 7.1).

Критерий возникновения МП, предложенный Коэном и Фаликовым, заключался в том, что расстояние между уровнями Ландау hu)c должно быть равно или больше энергетической щели £g. Однако Блаунт [52] показал, что это не совсем так и условие надо заменить значительно более мягким:

Йшс > £g/Ct (7.1) где f — энергия Ферми. Поскольку нередко отношение £g/f может быть меньше 0,01, этот критерий налагает значительно менее жесткие ограничения на магнитное поле, и в благоприятных условиях МП может играть заметную роль уже в полях всего в несколько килогаусс.

Если же МП играет заметную роль, т.е. если выполнено условие (7.1), то концепция хорошо определенных квазиклассических траекторий на ПФ, которая до сих пор присутствовала в нашем рассмотрении, перестает быть справедливой. Эта концепция по-

Рис. 7.1. Экстремальное сечение сети круговых орбит ПФ свободных электронов гексагонального металла, нормальное к гексагональной оси. В слабых полях поведение электронов отличается от свободных электронов, сеть разбивается на большие дырочные орбиты вида а (но амплитуда осцилляций, связанных с этими орбитами, мала) и малые орбиты треугольной формы вида б (орбиты на «иглах» в Zn или «сигарах» в Mg). В больших полях, когда возникает магнитный пробой, становится возможным движение по «гигантским круговым орбитам в с вероятностью, возрастающей с полем.

прежнему верна в пределах либо очень слабых полей, когда МП не возникает, либо таких сильных полей, когда пробой происходит через все щели. Часто, однако, приходится иметь дело с промежуточной ситуацией/ когда проявляются черты, присущие этим обоим предельным случаям, а наряду с ними возникают и новые эффекты «смешивания». В эффекте дГвА это приводит к сложному спектру частот, в котором присутствуют комбинации частот, характерных для режима слабых полей. В этом отношении следствия МП в некотором смысле подобны следствиям МВ, хотя в принципе между ними можно провести различие, исходя из ряда критериев, обзор которых дан в разд. 7.4.

Как указали Коэн и Фаликов, впервые высказав идею о МП, пробой должен привести к значительным изменениям гальваномагнитных свойств, и это действительно было обнаружено. Так, из орбит, открытых в слабых полях, могут сформироваться замкнутые орбиты при возникновении МП, или из «дырочных» орбит образуются «электронные», что приводит к нарушению компенсации. Вследствие эт^ого неограниченный вначале рост магнетосопротивления, соответствующий топологии ПФ, будет сменяться спадом и произойдет постепенный переход к насыщению. В режиме МП име-

ют место также поразительные осцилляторные гальваномагнитные эффекты, если металл достаточно чист. Осцилляции возникают как из-за МП, участие в котором принимают электроны на малых замкнутых орбитах, так и при МП между открытыми орбитами; в последнем случае возникает нечто подобное интерференции [420].

Формализм квантовой механики, используемый в теории МП, приводит к возникновению трудных вопросов принципиального характера, особенно из-за несовместимости в деталях квантования, обусловленного периодической структурой кристалла, и квантования из-за магнитного поля. Однако, к счастью, интуитивные идеи, основанные на рассмотрении вероятностей различных переходов в местах пересечений в сети связанных орбит, как оказалось, позволяют хорошо описать многие наблюдавшиеся явления. Эти идеи, предложенные Пиппардом [340, 342, 343; 346], приводят к довольно сложным аналитическим построениям, особенно при рассмотрении эффектов переноса. Мы не будем пытаться заходить слишком далеко и опишем лишь выдающиеся черты явлений, дадим качественное теоретическое толкование и представим обзор случаев МП, наблюдавшихся экспериментально. Детальное рассмотрение и более подробный список литературы можно найти в обзоре Старка и Фали- кова [418]1).

Вероятность МП и критерий Блаунта

Вероятность МП и тем самым критерий существования эффекта могут быть наиболее наглядно установлены, если следовать простым соображениям, учитывающим дифракцию. Такой подход предложен Старком и Фаликовым [418]. Существенно, что ПФ поливалентных металлов разбивается на отдельные участки, расположенные в разных зонах, вследствие того, что электроны с волновым вектором ^F, движущиеся в определенных направлениях, испытывают брэгговское отражение. Однако в магнитном поле траектории электронов искривляются, так что электрон проходит лишь небольшое расстояние R^6, пока направление его движения остается в малой области углов Д0, в которой возможно брэгговское отражение (здесь R — радиус траектории электрона, рис. 7.2, а). Поэто-

]) Современная теория магнитного пробоя, построенная в работах А. А. Слуц- кина, последовательно и подробно изложена в обзорах М. И. Каганова и А. А. Слуцкина (см. [497], гл. Ill, IV). Обзор экспериментальных результатов содержится в гл. V [497], написанной Н. Е. Алексеевским и В. И. Нижанковским. В этих обзорах можно найти перечень работ, не вошедших в список литературы, составленный Шенбергом. — Прим. ред.

Рис. 7.2. а — к расчету брэгговского отражения и прохождения электрона, Движущегося по искривленной траектории. После прохождения по решетке расстояния d направление траектории поворачивается на угол Д0 = d/R, где R — радиус траектории, и лишь часть электронов, доля которых равна e~d/^ продолжает движение по траектории, остальные, доля которых равна (1 - е-^), отражаются; б — две орбиты в к -пространстве, расстояние между которыми М, различимые в слабых полях, но связанные между собой из-за МП (штриховые линии) в сильных полях.

му если £ — глубина проникновения в «запрещенную» область, то доля электронов, которые окажутся в состоянии продолжать движение по траектории свободного электрона, не испытав брэгговского отражения, будет равна ехр(-ЯД0/£). Это и есть вероятность магнитного пробоя.

Значения как Д0, так и £ по порядку величины можно выразить через расстояние Ак между двумя участками ПФ в отсутствие МП (рис. 7.2,6). По порядку величины это значение Ак равно

(7.2)(7.2)^k|kv-^>

(7.2)

(7.2)

где £g — энергетическая щель на границе зоны, f — энергия Ферми и £F — радиус сферы свободных электронов.

Так как из условия брэгговского отражения следует sin0 — 1/AF, то естественно сопоставить область углов Д0, при движении в которой электроны испытывают брэгговское отражение, с «неопределенностью» волнового вектора ДА:, определяемого формулой (7.2), и с точностью до множителя порядка единицы имеем

Д9-ДА/Ар.(7.3)

Аналогичным образом глубина проникновения £ также, по- видимому, связана с Ак, так что

(7.4)(7.5)(7.4)(7.5)£ - 1/ДА.

(7.4)

(7.5)

(7.4)

(7.5)

Кроме того (для свободных электронов), имеем

R = Гр/шс = chkF/eH

(7.6)(7.6)^h^llm.

(7.6)

(7.6)

Таким образом, вероятность Р магнитного пробоя может быть представлена в виде

(7.7)(7.8)(7.7)(7.8)р = q-ho/h ,

(7.7)

(7.8)

(7.7)

(7.8)

где поле пробоя Но определяется выражением

Н.

0 ей £ йсос £

Таким образом, критерий того, что МП играет заметную роль, т.е. что Н > //0, эквивалентен условию (7.1).

Другой простой способ рассмотрения МП сводится к аналогии с зинеровским пробоем [229, 481], при котором электроны под действием электрического поля туннелируют через энергетическую щель, создаваемую в диэлектрике или полупроводнике. Как показал Блаунт [52], вероятность МП в слабых полях можно вычислять так же, как и вероятность зинеровского пробоя, если электрическую силу еЕ заменить на силу Лоренца evH/c.

Последние аргументы пригодны лишь для случая слабого поля, поскольку магнитное поле рассматривается как возмущение, наложенное на потенциал решетки, определяющий зонную структуру. Именно он формирует энергетическую щель cg и приводит к разбиению ПФ на отдельные участки. Пиппард [340] рассмотрел задачу для другого предельного случая, когда псевдопотенциал возмущает структуру уровней, задаваемую сильным магнитным полем, т.е. применил метод возмущений в случае полного магнитного пробоя. В отсутствие возмущений применима модель свободных электронов, и уровни энергии определяются просто как \п + Q/i>i\hu)c. При введении слабого возмущающего потенциала первоначально узкие уровни уширяются на величину Д, которая, как показал Пиппард, равна

Д/е^^Л)1''2- (7.9)

Пиппард показал также, что вероятность Q ухода электрона с траектории свободного электрона дается выражением

2~(Д/йшс)2.(7.10)

Воспользовавшись формулами (7.8) и (7.9), найдем отсюда

б ~ £2/йшсС = Но/Н.(7.11)

26-207

Именно этого следует ожидать, если соотношение (7.7) остается справедливым и в пределе сильного поля, когда величина Q мала, а Р приближается к единице, поскольку, конечно, имеет место равенство

P + Q = 1. (7.12)

Другие способы вывода соотношения (7.7) были даны Блаунтом [52], впервые установившим это условие, а затем рядом авторов (см. ссылки в [418]). Было показано также, что это условие справедливо и в промежуточной области полей. Значение поля пробоя Но, определяемого формулой (7.8), является приближенным. Более общее рассмотрение, выполненное Блаунтом, привело к формуле

(7.13)(7.13)н = — £* ,4 eh

(7.13)

(7.13)

где vx и vy — перпендикулярные Н компоненты скорости электрона, соответственно нормальная и касательная к плоскости зоны Бриллюэна. Если щель возникает непосредственно вследствие брэгговского отражения, как это рассматривалось на рис. 7.2, а, то произведение vjDy точно равно (У1)и^$п\26, но формула (7.13) применима и в более общем случае, например если щель (расположенная не обязательно на границах зоны Бриллюэна) связана со снятием вырождения спин-орбитальным взаимодействием.

Чемберс [71] показал, что соображения, основанные на модели почти свободных электронов, применимы и для более общих моделей. В частности, он вывел полезное выражение, определяющее Но только через локальные характеристики поверхности Ферми в области пробоя. Для ПФ, схематически показанной на рис. 7.3, значение Но может быть с хорошей точностью определено формулой

(7.14)(7.14)_Khcf kg у/20 е + b)

(7.14)

(7.14)

где \/а и \/Ь — радиусы кривизны сечений участков 1 и 2 поверхности Ферми, a kg — расстояние между ними. В специальном случае почти свободных электронов а 4- b - l/kg и к^/к¥ ~ £g/f \к% — практически то же, что и М в (7.2)]. Легко видеть, что в этом случае (7.14) дает тот же результат, что и (7.8). Можно показать, что (7.14) точно преобразуется к виду (7.13).

Как отмечалось во введении, важное значение формул (7.7) и (7.8) [или более общей формулы (7.13)] состоит в том, что они предсказывают появление МП'в значительно меньших полях, чем казалось ранее, поскольку поле Но, согласно критерию Блаунта, из-

Рис. 7.3. Область пробоя между двумя орбитами на ПФ (по [71]). Это обобщение случая, показанного на рис. 7.2, б, с заменой Д£ на £g. Радиусы кривизны участков 7 и 2 равны соответственно 1/я и \/Ъ.

за множителя cg/f меньше значения, которое предполагалось ранее Коэном и Фаликовым [81]. Даже и в этом случае необходимо существование чрезвычайно узких щелей, чтобы возможно было наблюдать МП в умеренных полях. Если, например, принять значение cg - 0,1 эВ, которое характерно для малой щели на границе зоны, возникающей под действием псевдопотенциала, то, согласно (7.8), поле Яо имеет величину порядка 100 кГс. Фактически для типичных случаев МП, например при возникновении гигантских орбит в Mg, измеренное значение Но оказывается равным лишь нескольким килогауссам, что соответствует cg — 0,02 эВ. Как отмечено в работе [356], существование таких узких щелей можно правдоподобно объяснить снятием случайного вырождения благодаря спин-орбиталь- ному взаимодействию.

Сеть связанных орбит1)

Чтобы как-то разрешить трудную квантовомеханическую задачу движения электронов при МП, Пиппард в [340, 343] ввел концепцию сети связанных орбит в реальном пространстве. Она приводит к наглядной картине движения электронов, которая позволяет рассчитать МП, изменение энергетических уровней электронов при МП

!) В отечественной литературе используется также термин «МП-конфигурация» вместо «сети орбит». — Прим. ред.

Рис. 7.4. Искусственная модель цепи связанных орбит вдоль одного направления в пространстве, которое перпендикулярно направлению изменения потенциала решетки. Символы ае1х, ке21Х и т.п. означают комплексную амплитуду электронной волны в различных точках.

(и тем самым эффект дГвА), а также зависимость сопротивления от магнитного поля.

Эту идею лучше всего проиллюстрировать на искусственной модели, приведенной на рис. 7.4, в которой потенциал решетки изменяется только вдоль одного направления, перпендикулярного магнитному полю Н. В реальном пространстве электрон движется по цепи из круговых траекторий вдоль направления, перпендикулярного И и направлению изменения потенциала. Вероятность перескока с одной круговой орбиты на другую в точках их пересечения определяется вероятностью МП, и цепочку связанных орбит можно считать подобной электрической цепи со специфической структурой уровней энергии, которым отвечает электронная волна, распространяющаяся по сети.

Прежде чем обсуждать характеристики сети, весьма существенно сформулировать правила изменения фазы волновой функции электрона при его движении вдоль любого отрезка траектории. Если векторный потенциал А выбран так, что

А = |Я х г,

где г измеряется от центра рассматриваемой орбиты, то решение уравнения Шредингера дает волновую функцию, амплитуда которой имеет заметное значение лишь вблизи классической траектории, а ее фаза изменяется равномерно при движении по орбите. Фаза равна произведению площади сектора в реальном пространстве, ограниченного соответствующими ^йдиусами-векторами, на значение eH/hc. Так, при движении по пути АМВ (рис. 7.5) изменение

Рис. 7.5. К определению по соответствующей площади фаз О, X их, используемых на рис. 7.4 и в формулах (7.16) — (7.21), а также фаз £ и а. Различные показанные площадки соответствуют рис. 7.4, масштаб выбран так, что обозначенные греческими буквами фазы равны площади в реальном пространстве, умноженной на (eH/hc), или площади в £-пространстве, умноженной на фс/еЩ. Отметим, что $ = 2Х - 0, о = 2х + 0 и 2(£ + а) = @ = фс/еН^А^ где Ао — площадь круга в к- пространстве.

фазы равно eH/hc, умноженному на площадь сектора О^АВ. (Заметим, что изменение фазы для всей круговой орбиты соответствует правилу квантования Онзагера, приведенному в гл. 2, и точно равно фазе l^F/H в эффекте дГвА.) Как показал Пиппард [343] (см. также [71]), это простое правило применимо и в случае, когда электрон перескакивает с одной орбиты на другую в результате брэгговского отражения, если при каждом перескоке дополнительно прибавляется фаза 6. Эту добавочную фазу 6 также можно выразить через площадь, умноженную на коэффициент eH/hc (мы еще не раз будем использовать этот рецепт)^. Если электрон перескакивает с окружности 1 на окружность 2 в точке А, то эта площадь есть просто площадь треугольника Ох АО2, взятая со знаком плюс, если направление поворота Ох — А — О2 совпадает с направлением вращения при движении по каждой из окружностей.

Установим теперь условия, при которых электрон может двигаться по сети, показанной на рис. 7.4. Соответствующий анализ подобен рассмотрению интерферометра Фабри — Перо в оптике, но имеются и два существенных отличия. Во-первых, «падающая» и «отраженная» волны разнесены в пространстве: волна 7 приходит снизу, а волна с единичной амплитудой — сверху; и, во- вторых, надо потребовать выполнения условий периодичности, допускающих изменение фазы на некоторую величину w при переходе

^ В ранней работе Пиппарда [342] добавка фазы 0 в явном виде отсутствовала, но полученный там ответ был правильным, так как эта фаза учитывалась неявно при подсчете изменения фазы для орбит на «линзах».

от одной ячейки к другой. Если предположить, что исходная волна с единичной амплитудой делится на волны с амплитудами р и q, описывающие электрон, испытавший соответственно МП или брэгговское отражение, то легко показать, что требование сохранения числа частиц удовлетворяется в том случае, если эти волны сдвинуты по фазе на тг/2. Поэтому удобно переобозначить их амплитуды, введя \р и q, где и р, и q — действительные величины. При таких обозначениях имеем

р2 4- q2 = 1, р2 = Р, q2 =

и»(7.15)

р = е-Н0/2Н_е-Н0/Н)1/2 J

где Р и Q — вероятности для потоков частиц, введенные в разд. 7.2.

Условия непрерывности в точках А и В при использовании обозначений рис. 7.4 принимают вид

а = qexe 4- ipve2U,(7.16)

и = ip 4- qve”x6 + 2U ,(7.17)

Р = qye16 + ipue2u,(7.18)

v = que"ie + 2U + ipy.(7.19)

Требование периодичности, согласно которому ф(К) = е^ф^') и (//(ZJ-e^tL'), приводит к равенствам

а = е|(<0- 2/)(7.20)

у = ^ei(‘o + 2z).(7.21)

Исключая а, /3, 7, и и v из формул (7.16) — (7.21), найдем после некоторых преобразований условие

cos cd = ^sin(5 4- сг) 4- q2 sin^ — cr)]/2^sin^,(7.22)

где £ и о — площади, обозначенные на рис. 7.5, такие, что £ = = 2Х - 6 и о = 2х 4- 6.

При заданной энергии с отношение а/£ есть постоянная, которую обозначим буквой 5, так что (7.22) можно переписать в виде cos cd = [sin(l 4- s)£ 4- q2 sin(l — s)£]/2gsin £.(7.23)

Так как значение cosoo не выходит за пределы отрезка — 1, 1, то условие (7.23) определяет спектр разрешенных значений £, и поскольку в эту формулу входят только тригонометрические функции, то спектр должен иметь периодическую структуру.

Определение фаз £, о и т.п. через площади в реальном пространстве, умноженные на еН/he, эквивалентно соотношениям

= фс/2еЩАк, £(1 + 5) = фс/2еН)А0 , (7.24)

гдеЛь и А 0 — площади в импульсном пространстве «линз» и «кругов», соответствующих энергии с. Поэтому спектр разрешенных значений $ (или «фазовый спектр») можно интерпретировать как отличающийся лишь множителем (ЙсЛь/2е) спектр значений \/Н, отвечающих системе с энергией с, который удобно называть полевым спектром. Если, кроме того, с — энергия Ферми f, то любая регулярная периодичность с периодом Д£ в спектре $, определяемая формулой (7.23), в «полевом спектре» соответствует умноженному на (hcA^/^ периоду Д(1/Я), который и описывает периодичность дГвА-осцилляций. Соответствующая частота F осцилляций дГвА равна, естественно,

(7.25)(7.25)hcAL hcA0

(7.25)

(7.25)

2е^ = 2еД£(1 + s) ’

где теперь A L и Ло — площади сечений поверхности Ферми.

Спектру значений £ можно также сопоставить энергетический спектр при постоянном поле Н. Следовательно, если начало отсчета энергии выбрать так, чтобы все синусы в (7.23) были равны нулю независимо друг от друга, и использовать определение циклотронной массы (2.21), то с точностью до аддитивных постоянных, равных целым числам, умноженным на тг, найдем

mLC7tEehHmLC7tEehHиитоскеehHтоскеehH(7.26)(7.26)

mLC7tEehH

mLC7tEehH

и

и

тоскеehH

тоскеehH

(7.26)

(7.26)

где mL и т0 — циклотронные массы для орбиты L и полной круговой орбиты © (последняя масса в нашей модели равна массе свободных электронов)^. Таким образом выражение (7.23) можно при-

!) В модели свободных электронов эти равенства справедливы при любой энергии, но в реальных металлах циклотронная масса зависит от энергии £, так что формулы (7.26) верны лишь для ограниченного диапазона значений £, однако поскольку много периодов £ (т.е. много уровней Ландау) соответствует этому ограниченному диапазону, то это обстоятельство не очень важно.

вести к виду

(7.27)(7.27)cos со = 8*Пу£ + ^^'/^("кМ) - 1]2qsiny£(mL/m0)

(7.27)

(7.27)

где

у = moCitjehH = л/йсосО. (7.28) Это условие определяет спектр разрешенных значений энергии с при постоянном поле Н, и, как легко видеть, с учетом масштабного множителя спектр 8 можно получить из спектра $, заменив в (7.23) параметр 5, равный а/^ [т.е. (AoMJ - 1], на (mo/mj - 1 и $ на 8.

Рассмотрение периодичности полевого и энергетического спектров в простых предельных случаях помогает понять их физический смысл. Обратимся сначала к предельному случаю q < 1, когда роль брэгговского отражения мала и имеет место почти полный МП. В этом пределе условию (7.23) можно удовлетворить только в случае, если

£ + о = ил + <5(7.29)

при

— 1 < bflq sin ^ < 1.

Это означает, что существуют довольно узкие уровни допустимых значений £, повторяющиеся через интервалы Д£, равные тг/(1 + 5). Эти интервалы соответствуют дГвА-частоте Fo для полной круговой орбиты площадью Ло, т.е. Fo = /?сЛ 0/2тге, что и следует ожидать в отсутствие брэгговского отражения. Однако если величина q не равна точно нулю, то уровни уширены на величину 4gsin£. Это уширение периодически изменяется с периодом Д£ = тг, что соответствует дГвА-частоте FL для орбиты на «линзе». Поэтому при фурье-анализе спектра £ появляются компоненты с частотами FL и Fo. Аналогично энергетический спектр содержит эквидистантные весьма узкие уровни, разделенные интервалами, такими, что 7Дс = = 7Г, ИЛИ

Де = ehH/moc = faocO,(7.30)

т.е. представляет собой циклотронные резонансные уровни энергии для круговых орбит. В этом спектре уровни также слегка уширены и уширение периодически зависит от поля с интервалами повторения ehH/mv с, равными циклотронному расщеплению для орбит на «линзах».

В противоположном пределе q -* 1, т.е. при сильном брэгговском отражении и малой вероятности пробоя, спектр $ оказывается

практически непрерывным, что соответствует наличию открытых траекторий, но возникают периодические нарушения непрерывности каждый раз, когда $ или о принимают значения, близкие к тг, умноженному на целое число. Детальный анализ показываем, что

5 б

।11

ОVz1

Ч

Рис. 7.6. Зависимость от q (вероятности брэгговского отражения) спектра фаз { (эквивалентного полевому спектру) для частного случая о/^ = ‘/з (по [340], но с использованием других обозначений). Разрешенные значения £ или а изменяются непрерывно в пределах заштрихованных областей, а щели между ними соответствуют запрещенным значениям. Состояния в пределах областей, закрашенных черным цветом, сливаются при q = 1, где они переходят в многократно вырожденные уровни £ = П1Г.

преобладает периодичность, соответствующая периоду дГвА-ос- цилляций на «линзе», хотя при параметре q, не строго равном единице, присутствуют и слабо выраженные осцилляции с периодом круговой орбиты. Аналогично в энергетическом спектре преобладают циклотронные резонансные уровни на «линзах», но проявляются и уровни круговых орбит, если q не равно точно единице.

Проведенные Пиппардом расчеты, в ходе которых при заданном значении q численно определялись значения £ через равные интервалы изменения ы (при отношении а/^ = и/з), демонстрируют (рис. 7.6), как узкие уровни при q = 0 уширяются по мере увеличения значения q. При одном из значений q(q = 1/V2) он провел фурье-анализ спектра £ и показал, что его периодические изменения, как и ожидалось, соответствуют площадям орбит на «линзе» и на окружности, а также различным комбинациям их гармоник. Прежде чем описывать спектр более подробно, будет, однако, удобно изложить иной подход к задаче, предложенный Фаликовым и Стаховяком [144], который приводит к более простому методу расчета спектра дГвА. Оба метода дают одинаковые амплитуды составляющих, соответствующих различным частотам.

Как изложено в разд. 2.5, для определения осциллирующей добавки к свободной энергии достаточно вычислить плотность состояний системы. Фаликов и Стаховяк показали, что это можно сделать, не производя детального расчета всех состояний, содержащегося в методе Пиппарда. Их метод основан на теореме, связывающей плотность состояний с Фурье преобразованием функции Грина. Эта функция Грина соответствует сумме квазиклассических волновых пакетов, которые возвращаются в заданную точку сети связанных орбит по всем возможным путям. Их амплитуды при этом уменьшаются соответственно числу брэгговских отражений и магнитных пробоев на этих траекториях, а фазы соответствуют площадям секторов. Конечный результат весьма прост и, будучи однажды сформулирован, представляется почти очевидным; он и в самом деле был независимо получен Чемберсом [71] с помощью интуитивных соображений^.

Результат сводится к тому, что осциллирующая часть свободной энергии определяется суммой членов, таких же, как и ЛК фор-

В статье Чемберса ошибочно утверждалось, что спектр Пиппарда, определяемый формулой (7.22), следует считать энергетическим, но не полевым спектром, т.е. что $ и другие аналогичные величины должны быть пропорциональны периметрам, а не площадям орбит. Проф. Чемберс любезно согласился пересмотреть этот вопрос и обнаружил у себя алгебраическую ошибку. Теперь он подтверждает результаты Пиппарда.

мула (2.151), по всем замкнутым орбитам, возможным в сети, с тем изменением, что каждый член следует умножить на «понижающий МП-множитель» Rb, определяемый формулой

Ль = Wxqn\ (7.31)

где nv п2 — число точек ветвления рассматриваемой орбиты, в которых происходит пробой или брэгговское отражение соответственно. Фазовый множитель i, который обычно несуществен, необходим при рассмотрении сложных орбит, когда одна и та же площадь может быть получена при обходе по разным неэквивалентным путям, которые вовсе не обязательно отвечают одинаковым фазам. Это обстоятельство следует иметь в виду при сложении разных вкладов в составляющую, соответствующую частоте F в формуле ЛК.

Используя формулу ЛК при вычислении вклада каждой орбиты, некоторым путям необходимо приписать дополнительный весовой множитель С, который обязан асимметрии и равен числу способов, каким может быть построена эта орбита в пределах одной ячейки (табл. 7.1). Если также какой-то замкнутый участок проходится более одного раза, скажем р раз, то вклад от него в формуле ЛК точно соответствует р-й гармонике от орбиты, проходимой один раз. Циклотронная масса, которую следует подставить в формулу ЛК

Таблица 7.1.

Сечение

m/mQНомерВесовойКоличествоКоличество

гармоники множительпробоев набрэгговских

Страектории nt отражений п^

L '

L ►

L , © 1 ©(a)J 2© № 2© (в) 2© - L L 4- ©

1102

0,52104

3106

11140

.2180

21262

21244

1,51142

1,51242

Примечание: представленные величины слегка отличаются от фигурирующих в табл. 2 работы (418]. Так, сечения и массы для гармоник здесь те же, что и для основного тона, поскольку номер гармоники р явно входит в формулу (2.151); однако указанные значения п^ и п^ учитывают, что p-я гармоника соответствует р проходам по исходной орбите. Весовой множитель соответствует числу способов построения орбиты с заданной площадью (см. рис. 7.7). Массы соответствуют углу ф на рис. 7.4., равному 45°.

для каждой орбиты, как можно легко показать, пропорциональна периметру орбиты (поскольку это есть мера времени, необходимого для прохождения по орбите). При этом масса на основной круговой орбите 0 равна массе свободных электронов. Однако для р-й гармоники, связанной с любой орбитой, проще использовать массу

Рис. 7.7. Примеры типичных орбит в системе, показанной на рис. 7.4, при ф = 45° (по [418]). Точками отмечены места брэгговского отражения, засечками — места магнитного пробоя. Частота орбиты 2© может появиться при проходе по разным путям: наиболее очевидным образом (отмечено (а) в табл. 7.1) как гармоника частоты орбиты ©, т.е. при двойном проходе по круговой орбите; две другие возможности, (б) и (в), и аналогично L + © реализуются при асимметричной конфигурации орбиты. Отметим, что есть единственное разрешенное направление вращения, так что комбинации, подобные © - L, возникнуть не могут.

Но/Н

Рис. 7.8. График Дингла для осцилляций, связанных с некоторыми из орбит, перечисленных в табл. 7.1. График был бы горизонтальной линией, если бы не было МП, так как при вычислениях предполагалось, что Г = 0 и что образец является совершенным. Для этой идеализированной ситуации по оси у отложенное значение Any^F/F^ - ¥i\n<rm/m^ с точностью до постоянной равно 1п(1Л/1 Я-1/2). Здесь г — номер гармоники, FQ — частота, соответствующая полной круговой орбите (Э (напомним, что А” на сечениях, получающихся при пересечении сфер, изменяется пропорционально т/т^.

и площадь «однократной» орбиты и ввести р явным образом, как в формуле (2.151). Соответствующим значением ld^4/d*2l, как легко показать, служит величина 2irm/m0 для орбиты с циклотронной массой, равной т.

Способ использования метода поясняет рис. 7.7, где показаны некоторые важные орбиты из сети, включая альтернативные версии асимметричных орбит!). Массы на различных орбитах и значения величин nv пг и С приведены в табл. 7.1. Зависимость 1п(1Л/l//-172) от \/Н, т.е. по существу «график Дингла», представлена на рис. 7.8 для дГвА-осцилляций с несколькими частотами при Т = 0. В отсутствие МП эти зависимости должны описываться горизонтальной линией. При этом, конечно, только для орбиты L амплитуда будет иметь конечное значение. Наиболее важное обстоятельство, вытекающее из этих графиков, состоит в том, что L- осцилляции подавляются, а осцилляции от «гигантской» орбиты 0

!) Обратите внимание на то, что асимметрия может заключаться в неэквивалентности точек пересечения окружностей (см. рис. 7.7, 6). — Прим. ред.

становятся доминирующими при увеличении поля по мере того, как МП начинает играть все более важную роль.

Изменение амплитуды осцилляций, связанных с площадью 20, иллюстрирует последствия учета фазового множителя i в формуле (7.31). Так, из-за множителя (ip)6 = -р6 вклад варианта б орбиты 2© вычитается из вклада вариантов а и в (рис. 7.7). Вследствие этого результирующая полная амплитуда осцилляций 2© пропорциональна р4(р2 - 2g2)2, что приводит к усложнению вида зависимости амплитуды от поля: осцилляции исчезают при таком поле, когда р2 = 2g2 (т.е. при Н^/Н = In (3Л) = 0,405). Вклад от гармоники только орбиты ®, содержащий множитель (ip)6, ведет себя более нормально. Однако, как заметил Чемберс [71], в более реалистическом случае, когда имеется заметный потенциал решетки, площади различных орбит 2© не равны точно друг другу (рис. 7.9). Вследствие этого фазовые соотношения между членами, соответствующими вариантам а, б ив, изменяются с полем и можно ожидать появления сложной картины биений, когда вклады от членов, пропорциональных р4, 4g4 и Ар^1, становятся сравнимыми.

Хотя рассмотренная нами одномерная модель сети связанных орбит и не соответствует какой-либо реальной ситуации, мы намеренно обсуждали ее в деталях, поскольку она существенно проще, чем самые простые реальные ситуации. Это облегчает иллюстрацию основных принципов. Обратимся теперь к наиболее изученному реальному случаю, наблюдаемому при МП в Mg или Zn при поле, направленном вдоль гексагональной оси. Как говорилось в гл. 5,

Рис. 7.9. Схема двух орбит вида 2®, б и 2®, в (см. рис. 7.7), на которых участки вблизи точек отражения или пробоя показаны более реалистически. Осуществляющиеся траектории показаны сплошными линиями, а другие возможные пути (или их части) представлены штриховыми линиями. Площадь орбиты слева, как легко видеть, равна 2® + а - Ь, а площадь орбиты справа равна 2® + 2а - Th. Поскольку в общем случае а Ф Ь, эти площади слегка отличаются как друг от друга, так и от площади орбиты 2®, соответствующей точной гармонике.

приближение почти свободных электронов неплохо описывает ПФ этих металлов и сеть связанных орбит в этом случае простирается в двух, а не в одном, направлениях, как показано на рис. 7.1. Пип- пар д в [342], впервые детально рассмотрев эту задачу, распространил на нее свой подход, использованный при изучении гипотетического одномерного случая. Решение двумерной задачи об уширении уровней при МП становится более сложным не только вследствие того, что приходится удовлетворить большему числу граничных условий [теперь появляется 12 уравнений непрерывности типа (7.16) — (7.19), а не четыре], но возникают также трудности принципиального характера. В случае одномерного реального пространства вдоль сети орбит нет дополнительной пространственной периодичности, обязанной кристаллической решетке. Поэтому величина периода сети (которая, естественно, обратно пропорциональна полю //), несущественна. Однако для двумерной сети это уже не так, поскольку пространственная периодичность решетки проявляется теперь в обоих измерениях и лишь при особых дискретных значениях поля Н точки, эквивалентные относительно периодической сети орбит, разнесены на целое число периодов решетки. При других значениях Н периоды не соизмеримы, и точки, эквивалентные относительно сети, не эквивалентны относительно решетки. Поэтому задание граничных условий, аналогичных условиям (7.16) — (7.19), становится невозможным.

Легко показать, что дискретные значения Н, при которых пространственная периодичность сети орбит соизмерима с периодичностью решетки, определяются из простого условия, что поток через элементарную ячейку двумерной сети, вершины которой совпадают с центрами гигантских орбит, должен быть равен целому числу квантов потока 2irhc/e; это целое число имеет тот же порядок величины, что и значение F/H для гигантских орбит. Поскольку Н нельзя изменять непрерывно, спектр фаз, который можно определить (путем сложных алгебраических построений) при любом разрешенном дискретном значении Н, нельзя трансформировать в полевой спектр при постоянной энергии, что существенно усложняет интерпретацию результатов анализа. Это обстоятельство, имеющее принципиальное значение, обсуждалось также Чемберсом [73] для случая прямоугольной, а не гексагональной сети орбит. В этой работе показано, что можно вычислить фазовый спектр при таких значениях Н, что поток содержит рациональное число квантов ^vhc/e^N/NT) (где N иМ — целые числа). Хотя это и представляет собой известное достижение, но не позволяет обойти все затрудне-

ния и все еще есть необходимость добиваться большей ясности вопроса.

Фаликов и Стаховяк предположили, что это принципиальное затруднение можно обойти, исходя при вычислении амплитуд составляющих в эффекте дГвА из плотности состояний в фиксированном поле Н так же, как и в случае одномерной сети. Вычисление понижающего множителя Яь, аналогичного (7.31), и весового множителя С для реальной двумерной сети оказывается лишь немногим более сложным, чем в одномерном случае. Дополнительно приходится учитывать лишь появление большего числа замкнутых орбит, а также то, что значение С может достигать шести. Определение С в этом случае требует несколько большего внимания, чем для одномерной сети; простейший способ — положить значение С равным 6/D, где D — порядок оси симметрии орбиты (значение/) следует принять равным б для полной круговой орбиты). Значения С для различных орбит, показанных на рис. 7.10, приведены в табл. 7.2

Рис. 7.10. Некоторые из возможных орбит в гексагональной сети [144]. Как и на рис. 7.7, точки показывают места брэгговских отражений, засечки — места магнитного пробоя. Площадь х считается отрицательной. Этим учитывается вращение электронов по этой дырочной орбите в направлении, противоположном вращению по орбитам ®, 0 и X. Характеристики различных орбит приведены в табл. 7.2. Заметим, что некоторые орбиты, имеющие идентичную площадь, обладают различной симметрией, а потому и различными весовыми множителями С (ср. (5) с (11) или (8) с (7), (9) или с (10).

Таблица 7.2. Характеристики орбит, показанных на рис. 7.10 (по [144])

№

Орбита

m/m^

Весовой множитель С

Количество пробоев на траектории л^

Количество брэгговских отражений п^

1

О

1

1

12

0

2

е

За

2

0

3

3

X

1 — ба

1

0

6

4

X

^ + 2а

3

4

2

5

X + 20

1

6

4

8

6

2Х — 0

2

— + а

3

6

6

3

7

ЗХ - 0

1

3

8

4

8

ЗХ - 20

1

6

8

4

9

ЗХ - 20

1

2

6

б

10

ЗХ - 20

1

3

8

4

11

X + 20

1

3

4

8

Примечание: параметр а при некоторых значениях т/т^ есть отношение размера дуг, ограничивающих треугольную орбиту 6 («игла» или «сигара»), к полной дуге окружности. Значения а равны 0,023 для Mg и 0,0023 для Zn; эти величины приводят к разумному согласию с экспериментально установленным отношением масс для разных орбит. Однако было установлено, что масса для гигантской орбиты © равна 1 ,40azz„, а не mQ [417]. Отметим, что весовой множитель С здесь определен несколько иначе, чем в [418].

вместе с числами узлов пх и л2, в которых происходит пробой или брэгговское отражение; кроме того, в ней указаны значения циклотронных масс, вычисленные из периметров орбит. Знание этих величин позволяет непосредственно рассчитать множитель R ь и результирующую амплитуду осцилляций дГвА.

На рис. 7.11 приведены графики расчетных зависимостей от поля значений IdM/dHI (обычно измеряемая величина) для нескольких важных орбит в Mg (зависимости для Zn качественно подобны изображенным). Чтобы эта иллюстрация более соответствовала реальному случаю, учтен температурный множитель z/sinh z [с z = = 1,47 X 105 ^т/т^Т/Щ, в котором принято Т = 1 К, так что амплитуды осцилляций, соответствующих орбитам с большей массой, спадают при уменьшении поля быстрее, чем при малых массах (подчеркнем, однако, что при расчетах не учитывались спиновое расщепление и фактор Дингла, так что реальные амплитуды должны быть меньше предсказанных). Видно, что амплитуда для гигантской орбиты ® становится большой лишь в полях, превышающих примерно 5//0, так что необходимы довольно сильные поля,

27-207

Рис. 7.11. Зависимость от поля значения ldM/d/71 для Mg при 1 К для основных орбит 0, 6, х и X на рис. 7.10 при наличии и в отсутствие МП. Графики построены без учета спинового расщепления и фактора Дингла. Для основных параметров приняты следующие значения: Но = 5,8 кГс, m/mQ = 1,4; 0,1; 0,86 и 0,39; F = 625; 2,24; 316 и 5,38 МГс. Эти величины основаны на результатах работы [417]; поскольку х- осцилляции не наблюдались, то соответствующие им значения m/mQ и F были вычислены на основании сравнения периметра и площади этой орбиты с теми орбитами, поведение осцилляций для которых известно. Штриховые линии (отмеченные символами со штрихом) соответствуют отсутствию МП. При расчетах не учитывалось МВ, которое, конечно, существенно при I dAZ/dTY I - 1/4тг.

чтобы эти осцилляции стали заметными (Но * 5,8 кГс для Mg). Отчасти это обусловлено тем, что орбита проходит через много (12) точек пробоя, а отчасти тем, что при большой циклотронной массе l,4w0 температурный множитель (при Т = 1 К) не мал лишь при поле > 30 кГс. Гексагональная орбита х по внутреннему периметру «монстра» всегда проявляется значительно слабее, чем орбита, возникающая при пробое, в сильных полях вследствие того, что МП приводит к очень малому значению множителя q6 (при 1О//о этот множитель равен примерно !/i 200), а в слабых полях амплитуда соответствующих осцилляций падает в связи с влиянием температуры (при Н = 2Н^ когда q6 * 0,06, температурный множитель для Mg равен 4 х 10-4). Таким образом, неудивительно, что эта орбита не наблюдалась в экспериментах.

Поведение осцилляций на 9-орбите, которая проходит по «игле»

Рис. 7.12. График Дингла для амплитуд дГвА-осцилляций вращающего момента С, связанных с «иглами» в Zn при Н, направленном под углом - 20° к гексагональной оси; С измеряется в произвольных единицах, О — Т = 4,2 К; + — Т = 1,6 К (по [116]). Этот график был бы линеен, если бы не МП, уменьшающий амплитуду в ^ь = = И - е ) раз, и это иллюстрирует почти прямая штриховая линия, на которую ложатся экспериментальные точки после вычитания значения lgRb. При этом для HQ принято значение 2,7 кГс, вытекающее из гальваномагнитных измерений (см. табл. П14.1); отклонение от линейности не чувствительно к точному значению Но; так, Пиппард получил столь же хорошую прямую линию (но с меньшим наклоном) при Яо = 6 кГс.

в Zn или по «сигаре» в Mg, послужило наиболее ранним свидетельством существования МП. Как видно из рис. 7.11, амплитуда этих осцилляций должна быстро спадать при росте поля, когда оно становится больше Но. Такой спад действительно наблюдали в Zn Диллон и Шенберг [116], но он оставался загадочным, пока Пиппард [342] не интерпретировал его как следствие МП. Добавление множителя q3 к выражению для амплитуды действительно хорошо объясняет спад в сильных полях на графике Дингла для Zn (рис. 7.12). Подобное же согласие получено и для Mg [418]. Фаликов и Стаховяк провели подробные расчеты зависимости от поля амплитуды для других орбит более сложной формы (подобных показанным на рис. 7.10). Как и для одномерной сети, существуют такие значения площади, которые можно получить разными способами, некоторые из них сопровождаются изменением знака вследствие множителя (ip Г1, что опять-таки ведет к усложнению зависимости

амплитуды от поля. Как и ранее, дальнейшее усложнение картины обусловлено тем, что эти различные орбиты с «эквивалентной» площадью строго равны лишь в модели свободных электронов. Реально эти площади слегка различаются, что приводит к сложной картине биений.

Поведение усложненного дГвА-спектра в Mg было экспериментально исследовано Старком [417], и ко времени написания обзора [418] казалось, что предсказания теории Фаликова и Стаховяка хорошо согласуются с экспериментом. Однако затем появились эксперименты, проведенные на очень чистом Mg, в которых были выявлены серьезные расхождения с теорией. Так, Эдди и Старк [129] не только обнаружили, что в дГвА-спектре присутствуют частоты, которые невозможны в схеме Фаликова и Стаховяка, но и что спектр сильно изменяется при малом изменении диапазона поля, в котором проводится фурье-анализ осцилляций (например, при переходе от интервала 50,11 — 50,25 кГс к интервалу 50,25 — 50,39 кГс). Более того, зависимость от поля амплитуды наиболее ярко выраженных осцилляций совершенно не согласуется с теорией.

Эти новые данные заставляют усомниться, действительно ли предположение, положенное в основу подхода Фаликова и Стаховяка, позволяет обойти трудности, связанные с несоизмеримостью пространственной периодичности сети орбит и кристаллической решетки. Старк (частное сообщение) считает, что соизмеримость играет все более важную роль по мере того, как с улучшением качества образца возрастает длина когерентности при движении электрона, становясь существенно больше периода сети орбит в реальном пространстве. Возможно, сравнительно простой метод Фаликова и Стаховяка может остаться хорошим приближением в пределе сравнительно слабой когерентности, хотя, по-видимому, он перестает работать при ббльших длинах когерентности. Очевидно, этот вопрос, который связан с поведением почти макроскопической квантовой системы, принципиально интересен и требует более основательного исследования.

В заключение отметим, что в ходе всего обсуждения мы игнорировали еще одно усложнение. Оно состоит в том, что параметр пробоя //0 может заметно изменяться при изменении к (т.е. fcH) в том диапазоне значений к, которые дают существенный вклад в амплитуду осцилляций. Этот эффект, как оказывается, пренебрежимо мал в случае «игл» в Zn, но играет значительную роль для Mg и его необходимо учитывать при точных расчетах. В [273] показано, что этот эффект особенно важен при наблюдении осцилляций очень

малой частоты, обязанной /3-орбите в А1, когда при увеличении к поле пробоя Но довольно быстро возрастает от значения, меньшего 1 кГс для центральной плоскости (к = 0). Множитель Rь, определяющий в этом случае амплитуду эффекта де Гааза — ван Альфена, получается соответствующим усреднением значения ^2, т.е. величины (1 — е-н°/н\ Эффективная область значений к расширяется пропорционально Нх/г (см. разд. 2.3.6), поэтому благодаря быстрому росту Яо с к множитель Яь не приводит к столь же сильному спаду амплитуды в сильных полях, как в случаях Zn и Mg. Численное интегрирование по к показывает, что в широком диапазоне значений Н график Дингла хотя и проходит ниже, чем в отсутствие МП, остается приближенно линейным, что подтверждается экспериментом. Вероятно, можно найти много других случаев в металлах со сложными поверхностями Ферми, когда подобные усложнения играют важную роль при определении зависимости амплитуды осцилляций от поля.

Сравнение МВ и МП

Иногда бывает нужно установить, каким механизмом обусловлено появление необычайно сильных гармоник или комбинационных частот или необычная зависимость от поля амплитуды эффекта де Гааза — ван Альфена — магнитным взаимодействием или магнитным пробоем. Хотя трудно дать точные правила, позволяющие различить эти механизмы, поскольку в обоих случаях присутствуют многие факторы, затрудняющие анализ, все же можно предложить некоторые простые критерии, которые, как правило, позволяют установить, что же именно, МВ или МП, лежит в основе наблюдаемых особенностей. Если имеются сведения о гальваномагнитных характеристиках, то наличие МП становится очевидным благодаря тем замечательным явлениям, к которым оно приводит. Это будет подробнее обсуждаться в следующем разделе. Если же имеются данные, касающиеся только эффекта дГвА, то критерии, позволяющие отличить МВ от МП, таковы.

Абсолютное значение амплитуды осцилляций. Как только значение l4irdA//d//l становится сравнимым с единицей, учет МВ делается необходимым. Следует, однако, напомнить, что существенна величина l47rdAf0/d//l, т.е. амплитуда осцилляций, которую они имели бы без ее уменьшения из-за размытия фаз (см. разд. 6.3), дающего вклад в фактор Дингла. Поэтому МВ может быть в какой-то степени замаскировано. ’

Зависимость амплитуды от температуры, особенно для составляющих с комбинационными частотами. Множитель Rv описывающий изменение амплитуды осцилляций при МП, не должен зависеть от температуры. Если же компонента с некоторой частотой, являющейся комбинацией двух исходных частот, обусловлена

МВ, то ее амплитуда содержит произведение функций, описывающих температурную зависимость каждой из составляющих [см., например, формулу (6.85)]. Поэтому амплитуда этой составляющей при возрастании температуры уменьшается значительно быстрее, чем в случае, когда причиной появления комбинационных частот является МП. '

Зависимость амплитуды от магнитного поля. Обычно это уе может служить решающим критерием, поскольку, как мы видели, зависимость амплитуды осцилляций от поля усложняется вследствие целого ряда эффектов как при МВ, так и при МП. И все же, если амплитуда спадает до величины, значительно меньшей, чем можно ожидать, исходя из линейной экстраполяции графика Дингла в область сильных полей, и этот спад не зависит от температуры, то скорее всего имеет место не МВ, а МП, приводящий к появлению понижающего множителя, содержащего степени значения q (как, например, для «игл» в Zn).

Знание в деталях поверхности Ферми. Если имеются такие сведения, то обычно возможно идентифицировать те места, где при заданной ориентации поля может произойти МП. Это позволяет априори понять, может ли МП быть причиной наблюдаемых особенностей. Более того, если ПФ хорошо известна, то возможно даже предсказать, какие именно частоты из всевозможных комбинаций могут наблюдаться при МП. При МВ в принципе могут проявляться все комбинационные частоты и обычно амплитуды составляющих с частотами Fx ± F2 при F2 < Fx не должны сильно различаться. В то же время при МП, как понятно из описанных выше примеров, появление составляющей с частотой Fx — F2 вообще невозможно. Однако результаты, полученные недавно в [129], показывают, что этот последний критерий может оказаться и непригодным.

Гальваномагнитные эффекты и МП

Уже упоминалось, что ярким подтверждением МП служат гальваномагнитные эффекты, в этом разделе мы дадим их краткий обзор и опишем причины их возникновения. Более подробное рассмотрение с более полным цитированием оригинальных публикаций можно найти в обзоре [418]. Начнем с рассмотрения магнетосопротивления в гипотетическом случае одномерной цепи связанных орбит, что позволит значительно проще проиллюстрировать основные принципы, чем при описании любого реального металла.

Одномерная сеть орбит

Для простоты рассмотрим предельный случай, когда орбиты на «линзах» относительно очень малы, так что электрон почти все время проводит на больших дугах окружностей. Тензор проводимости в этом случае можно вычислить довольно просто, опираясь на метод «эффективного пути» [342, 343], когда считается, что ток с плотностью J, возникающий при приложении электрического поля Е, определяется средним смещением электрона L (в реальном пространстве), начавшим движение в произвольной точке сети. Если электрическое поле приложено в плоскости сети, то можно пока-

зать (компактный вывод этого соотношения см. в [346]), что

пескгН JoпескгН JoL<- Ех$тф + Eycosф)йф*L<- Ех$тф + Eycosф)йф*<732)<732)

пес

кгН Jo

пес

кгН Jo

L<- Ех$тф + Eycosф)йф*

L<- Ех$тф + Eycosф)йф*

<732)

<732)

Здесь исходная точка электронаР определяется углом ф (рис. 7.13), г — радиус окружности, п — число электронов в единице объема. Заметим, что член в скобках равен проекции Е на направление скорости электрона в точке Р, совпадающее с направлением нормали к ПФ. Предполагается, что эффективное смещение L определяется только случайным блужданием электрона по сети траекторий, но не столкновениями, которые для простоты будем считать отсутствующими^. Электроны, начавшие движение от точки Р на верхней дуге, закончат путь в среднем в точке с координатами (х, у) относительно центра окружности О или в комплексных обозначениях в точке Z = х + iy; стартовавшие же в точке Р' на нижней дуге придут в точку -Z. Поскольку координата точки старта есть ге1ф, то для вектора L можно написать

Г Z - геХф для 0 < ф < к,

L = < _\'<133)

( — Z — re ^ для к<ф<2к.

На первый взгляд определение конечной точки Z представляется чрезвычайно сложной комбинаторной задачей, однако, как показал

Рис. 7.13. Связанные орбиты, аналогичные представленным на рис. 7.4, однако пересекающиеся таким образом, что «линзы» можно рассматривать в качестве переключателей.Рис. 7.13. Связанные орбиты, аналогичные представленным на рис. 7.4, однако пересекающиеся таким образом, что «линзы» можно рассматривать в качестве переключателей.

Рис. 7.13. Связанные орбиты, аналогичные представленным на рис. 7.4, однако пересекающиеся таким образом, что «линзы» можно рассматривать в качестве переключателей.

Рис. 7.13. Связанные орбиты, аналогичные представленным на рис. 7.4, однако пересекающиеся таким образом, что «линзы» можно рассматривать в качестве переключателей.

!) Речь идет о стохастическом магнитном пробое (СМП) по принятой терминологии. При СМП малоугловое рассеяние, разрушая когерентность в движении электрона по МП-сети, превращает это движение в случайное блуждание (см. ниже, а также цитированные обзоры). — Прим. ред.

Пиппард [343], ее можно решить довольно просто, исходя из соображений симметрии. Каждую маленькую линзу (т.е. два рядом расположенных узла) можно рассматривать в качестве «переключателя», направляющего электрон либо вперед с вероятностью Г, либо назад с вероятностью 5. Эти вероятности связаны с параметрами р и q или с вероятностями Р и Q довольно сложно, и будет удобнее пока отложить обсуждение этого вопроса. Если переключатель посылает электрон, начавший движение в точке Р, на следующую окружность слева от точки О, этот электрон неизбежно достигнет следующего переключателя, и конечная точка его перемещения окажется смещенной влево на 2г, т.е. будет точкой Z - 2г. Если же переключатель оставит его на той же окружности, то конечной точкой его движения станет точка — Z, соответствующая старту от точки Р'. Эти альтернативы осуществляются с вероятностью соответственно Т и 5, поэтому

Z = T^Z — 2r) - SZ,

а так как

S+ Т= 1.

то найдем

(7.34)(7.34)Z = — Tr/S.

(7.34)

(7.34)

Подстановка этого выражения в формулы (7.32) и (7.33) дает для

тока

пес~Н~пес~Н~+ \ЕХ+ \ЕХ(7.35)(7.35)

пес

~Н~

пес

~Н~

+ \ЕХ

+ \ЕХ

(7.35)

(7.35)

т.е. тензор проводимости имеет вид

пес а = ~нпес а = ~н[4Т nSV[4Т nSV(7.36)(7.36)

пес а = ~н

пес а = ~н

[4Т nS

V

[4Т nS

V

(7.36)

(7.36)

А тензор удельного сопротивления, обратный тензору проводимо

031)031)сти, я / 0 1 Р=—, 4Г

031)

031)

пес — 1 —

frSI

Теперь следует вернуться к вычислению вероятностей Т и S. До сих пор мы, не упоминая о том, игнорировали изменение фазы электронной волны при ее движении по большой дуге окружности

Рис. 7.14. Прохождение через переключатель волны 7, вошедшей в него в точке Л, на следующую орбиту слева или возврат ее на исходную орбиту. В случае а при движении через переключатель сохраняется когерентность. Комплексные амплитуды на разных участках приведены на рисунке, и потоки частиц равны Т = I a 12, S = 1р12. В случае б когерентность в пределах переключателя не сохраняется; потоки обозначены на рисунке.

и рассматривали только поток частиц. Обычно это оправдано на практике, так как фазовая когерентность нарушается при большой длине пути вследствие малоуглового рассеяния на дислокациях или по другим причинам. Подобная некогерентность, конечно, подразумевает, что амплитуда эффекта дГвА, обусловленного электронами, движущимися по большой круговой орбите, оказывается сильно уменьшенной. Однако в хороших образцах может иметь место фазовая когерентность для электронов на малой орбите вокруг «линзы». Если такая когерентность возникает, то при сложении волн в каждом узле следует учитывать их фазы, а вероятности в этом случае определяются квадратами амплитуд. Если же фазовой когерентности нет даже при движении в пределах каждого «переключателя>>, то с самого начала надо иметь дело с квадратами амплитуд. Эти предельные случаи иллюстрируются рис. 7.14, а и б, где приведены обозначения амплитуд и фаз в когерентном случае и потоков частиц (т.е. квадратов амплитуд) в некогерентном случае. Эти обозначения будут использованы ниже.

а. Когерентный случай

Как и при выводе формул (7.16) — (7.19), комплексные амплитуды после прохождения каждого узла составляются из амплитуд падающих волн, умноженных на ip или q, в зависимости от того, имеет ли место МП или брэгговское отражение. Поэтому [как и при выводе формул (7.16) — (7.19) с тем отличием, что 7 = 0, т.е. в точке В нет волны, падающей слева] получаем

а = qe16 + ipre2iA»

и = ip + que-'6^2^

P = ipue2'\

v = que"'6^2^ •

(7.38)

Вспомнив, что дГв A-фаза ^ для малой орбиты на линзе (т.е. 2-kF/H^ равна 2£ = 4Х — 20, из этих уравнений легко найти

Т= |а|2 = 2Q(1 - cosiA)/(l - 2Qcosi// + Q2), S = |j8|2 = P2/(l - 2Qcos^ + Q2).

(7.39)

Для отношения T/S, определяющего проводимость, отсюда получим

T/S = 2g(l — cos^)/P2.

(7.40)

Эта величина осциллирует от 0 до 4Q/P1 при изменении поля (и тем самым ^).

б. Некогерентный случай

В этом случае можно либо получить результат, усреднив0 выражения в (7.39) по углу ^, либо, что проще, провести прямой расчет, используя, как и выше, требование непрерывности, но уже для потока частиц, а не для комплексных амплитуд. Используя обозначения, указанные на рис. 7.14, б, имеем

U = P-^QV> Т = PV^Q> V QU.

S =PU.

(7.41)

Отсюда

Т = 26/(1 +6)^ = P/U + 6) T/S = 2Q/P

(7.42)

Заметим, что значение Т/S в некогерентном случае возрастает при

° Отметим, однако, что хотя усреднение формул (7.39) по тД приведет к правильному результату для Т и S, совпадгуошему с формулами (7.42), среднее значение отношения Т/S, определяемого формулой (7.40), не равно отношению соответствующих средних величин.

Рис. 7.15. Поперечное магнетосопротивление Р^Р^ для цепи связанных орбит по рис. 7.13: а— в некогерентном пределе; б — полная когерентность при движении электрона по «линзе»; в — линия, проведенная по средним точкам осцилляций. При построении этих зависимостей предполагалось, что электронные столкновения отсутствуют (т = оо), так что линии а и b стремятся к бесконечности при уменьшении поля (пунктирные линии). При конечном значении т, таком, что о>ст > 1, поведение зависимостей а и b в области слабых полей показано схематически штриховыми линиями (при Н = 0 ордината слишком мала, чтобы быть показанной отличной от нуля в масштабе диаграммы). Влияние конечного времени т на осцилляции b довольно сложно, но ясно, что они должны исчезать при шт < 1, т.е. в достаточно слабых полях. При построении кривой частота осцилляций F для орбиты на «линзе» принята равной 1ОЯо.

Р — 0 не столь быстро, как усредненное по \р значение, получаемое по формуле (7.40), для когерентного случая.

(7.43)(7.43)Изменение с полем Н сопротивления, пропорционального HT/S, показано для обоих случаев на рис. 7.15. Используя формулы (7.11), (7.37) и (7.42) или (7.40), найдем, что в пределе больших полей Н сопротивление р22 (при токе, перпендикулярном направлению цепи орбит в реальном пространстве или параллельном ее направлению в £-пространстве) насыщается, приближаясь к значению

(7.43)

(7.43)

Рнас = %Н01ипес

в некогерентном случае, а в когерентном случае осциллирует от нулевого до значения, вдвое большего, чем (7.43). В пределе слабых полей сопротивление бесконечно возрастает и при Н < Н^ имеем

(Н/Н0)ен°/н когерентность отсутствует, р22 рнас =(я/Яо)е2Но/н(1 _СО§|Д) движение когерентно.

Рост до бесконечности при Н -* 0, конечно, обязан предположению об отсутствии сопротивления, связанного с рассеянием электронов. Если ввести время релаксации т, описывающее рассеяние, то вычисления сильно усложняются [143], но нетрудно видеть, что происходит в предельных случаях. При Н = 0 сопротивление обусловлено только столкновениями и, как обычно, р0 = т/пеЧ, так что

Ро^нас = л/8юот, (7.45)

где w0 — циклотронная частота при Н = Но. При Н < Н^ реализуется ситуация металла с открытыми орбитами, расположенными перпендикулярно Н, и сопротивление растет с полем квадратично, пока постепенно по мере перехода в диапазон полей Н > Но не станет преобладать механизм, обязанный магнитному пробою. При Н > Но малый вклад, обусловленный столкновениями, определяется, как и при движении по замкнутым орбитам, и дополнительное сопротивление имеет то же значение, что и в нулевом поле. Эту малую добавку можно рассматривать как дополнительное сопротивление, включенное последовательно с сопротивлением, соответствующим насыщению только вследствие МП, и при конечном значении т найдем

Рнас(т) = Рнас(°°)Е1 + (л/8бОот)], (7.46) где рнас (оо) дается формулой (7.43). Если выполнено условие wot > > 1, которое достигается в очень чистых образцах, то основным механизмом сопротивления в сильных полях служит МП, а не рассеяние электронов. Поведение в промежуточной области полей схематически показано на рис. 7.15. Видно, как квадратичный рост сопротивления, характерный для металла с открытыми орбитами, сменяется насыщением, характерным для некомпенсированного металла с замкнутыми орбитами. Если движение по малым орбитам вокруг «линз» когерентно, так что вероятность переключения осциллирует с частотой эффекта дГвА на «линзе», то магнетосопротивление осциллирует вместе с намагниченностью в той мере, в какой достигается тот или иной предельный режим.

Двумерная сеть с гексагональной симметрией

Хотя одномерная модель является лишь весьма грубым приближением к реальной ситуации, однако, как видно из рис. 7.16, наблюдаемые экспериментально зависимости от поля поперечного магнетосопротивления для Mg и Zn (при Н вдоль гексагональной

Рис. 7.16. Измеренные Старком зависимости от поля поперечного магнетосопротивления (рп) и холловского сопротивления (р12) для Zn при 1,6 К (д) и для Mg при 1,2 и 1,1 К (б и в соответственно) (из работ [142, 418]); б — показаны только огибающие осцилляции; в — получено при исследовании очень чистого образца, представлено только сопротивление р1Г

оси) качественно подобны предсказаниям модели. Если образец достаточно хорош, так что движение по малой орбите когерентно, то проявляются и осцилляции сопротивления. Подобное поведение наблюдалось и в случае Be (см. рис. 6.28), хотя, как мы видели ранее, в этом случае картина сильно усложняется из-за влияния МВ. Следующим шагом послужит рассмотрение модели, лучше соответствующей реальности, а именно двумерной сети, показанной на рис. 7.1. 1

При Н < HQ имеется равное число «электронов» (орбиты на «иглах» и внутренние круговые орбиты на «монстре») и «дырок» (на «гексагональных» орбитах). Все эти орбиты замкнуты, и в отсутствие МП сопротивление возрастает пропорционально Н1. Однако при включении МП точная компенсация нарушается, но орбиты остаются замкнутыми. При Н > Но все носители тока, т.е. те, которые движутся по гигантским орбитам, и те, которые движутся по внутреннему поясу «монстра», носят электронный характер, и поэтому магнетосопротивление насыщается. Осцилляции имеют частоту, соответствующую малой орбите треугольной формы (на «игле» в Zn или на «сигаре» в Mg и Be). Именно эти орбиты можно рассматривать как переключатели (см. рис. П14.1), несколько более сложные, чем «линзы» на рис. 7.13. Вероятность переключения на них осциллирует в соответствии с фазой дГвА, если имеется достаточно явно выраженная когерентность при движении электронов по малой орбите. Представляется правдоподобным, что свойства такой модели, более близкой к реальной ситуации, качественно должны быть подобны свойствам простой одномерной модели, хотя имеются различия в деталях и даже упрощенный метод расчета для двумерной гексагональной сети траекторий оказывается значительно более сложным.

Подробности расчета (основанного на работе Фаликова, Пип- парда и Зиверта [142]) представлены в приложении 14. Здесь мы лишь обобщим основные моменты. Как и для одномерной модели, расчет тензора проводимости основан на методах эффективного смещения, и эффективное смещение для любой точки сети может быть вычислено, если известны вероятности перехода электрона на ту или иную траекторию при прохождении «треугольного переключателя». Если движение по малой орбите является когерентным, то вероятности переключения осциллируют с частотой эффекта дГвА для малой орбиты (на «игле» или на «сигаре») и соответственно этому осциллирует и магнетосопротивление. Средний ход зависимости сопротивления от поля можно приближенно вычислить, если рассчитать вероятности переключения в отсутствие когерентности,

хотя в принципе более корректным является использование когерентной модели с последующим усреднением конечного результата по фазам, как это проделано в [142]. В приложении 14 показано, что конечные результаты обоих методов вычисления среднего значения сопротивления практически мало различаются, однако, следуя [142], будем основывать дальнейшую дискуссию на результатах, получаемых при усреднении по фазам после того, как проводимость уже вычислена.

В эксперименте, конечно, измеряется тензор сопротивлений, а не тензор проводимости, так как обычно измеряется разность потенциалов (как вдоль, так и поперек тока) при заданном токе через образец. Поэтому для возможности сравнения с экспериментом следует обратить тензор проводимости, вычисленный в приложении 14. При Н < Но вероятность пробоя Р, равная е~н^/н, становится пренебрежимо малой по сравнению с членом а/ЬН (см. табл. П14.1), и обращение формулы (П14.14) приводит просто к

Ри =Р11 = Нг(а,

—Ри = Ри = 0.55(ЬН3/а2)е~Но/н-

Таким образом, в слабых полях магнетосопротивление квадратично (что, конечно, уже было заложено в основу расчета, приведенного в приложении 14, путем введения члена а/Н2 в формулу для проводимости), а р12, т.е. холловское сопротивление, очень быстро спадает в полях, меньших примерно Я/З. Если использовать более простую теорию, которая приводит к формуле (П14.11), то получается качественно подобный результат с тем отличием, что напряжение Холла спадает еще быстрее при Н — 0.

При Н > Но имеем Q - Н^/Н, и в формуле для проводимости (П14.11) (которая в этом пределе не зависит от того, используется ли простая или более строгая теория) член а/ЬН оказывается меньше одной десятой от Н^/Н (как в случае Zn, так и в случае Mg) и с хорошей точностью

Рп = Ри = HJb, -р21 = р12 = Н/^Ь, фА^

т.е. магнетосопротивление насыщается, а напряжение Холла изменяется линейно с полем.

Как видно из рис. 7.17, характер зависимости от поля неосциллирующей части рн и р12, вычисленной в [142] для случая промежуточных значений поля, в основных чертах удовлетворительно согласуется с экспериментом для Zn (рис. 7.16). Однако теоретиче-

И, кГсН, кГс

Рис. 7.17. Теоретические зависимости от поля величин рп и ри для Zn (а) и Mg (б), вычисленные в работе [142], как разъясняется в тексте. В случае б приведены только огибающие осцилляции.

ская зависимость р12(//) для Mg заметно отличается от измеренной. Детального анализа монотонной части гальваномагнитных характеристик в случае Be пока не производилось; как отмечалось в разд. 6.9, осцилляции магнетосопротивления в этом случае сильно усложняются за счет магнитного взаимодействия. Из сравнения значений полей, при котором в этих трех металлах рост сопротивления сменяется его уменьшением, можно заключить, что Но в случае Be в несколько раз больше, чем для Mg, и, по-видимому, имеет порядок 25 кГс. Отрицательное холловское сопротивление р12 на начальном участке зависимости для Mg качественно можно объяснить тем, что электроны и дырки характеризуются различными значениями параметра шст (до того, как начинается МП), и это нарушает полную компенсацию, которая при вычислениях предполагалась выполненной. Подобное изменение знака эффекта Холла наблюдалось также для менее чистых образцов Zn, чем тот, для которого получены результаты, приведенные на рис. 7.16. Другое важное уточнение теории связано с учетом зависимости Но от к, о чем упоминалось ранее. Это существенно в случае Mg и не важно для Zn. Как показано в [142], согласие теории и эксперимента мож-

но несколько улучшить при таком уточнении (см. обсуждавшийся ранее случай с А1).

Если вернуться к сравнению предсказаний теории относительно осциллирующей части сопротивления и эффекта Холла, то согласие с экспериментом оказывается лишь качественным и возникают* загадочные расхождения. Одно из них заключается в том, что хотя вычисленная амплитуда осцилляций для Mg качественно и согласуется с наблюдавшейся для того образца, для которого представлены результаты на рис. 7.16, а, но при этом расчет полностью игнорировал размытие фаз, т.е. предполагалось, что температура Дингла равна нулю. Образец действительно был довольно хорошим, однако в более поздних экспериментах Старка [418], в которых изучал* ся еще более совершенный образец с чрезвычайно низкой плотностью дислокаций, наблюдались осцилляции с амплитудой I Арн I - ~ 5 х 10”8 Ом • см (см. рис. 7.16, в); это примерно в семь раз превосходит вычисленное значение амплитуды, отмеченное на рис. 7.17, Поскольку учет конечной температуры Дингла может привести только к уменьшению вычисленной амплитуды, это расхождение трудно устранить, оставаясь в рамках описанной теории.

Возможно, причину расхождения следует искать в том, что осцилляции для образца, результаты для которого представлены на рис. 7.16, в, кроме доминирующих низкочастотных осцилляций на «сигаре» содержат и компоненту со значительно большей частотой (на рисунке она не показана). Эти осцилляции имеют частоту, соответствующую орбите на «линзе» (сечение которой в 25 раз больше сечения «сигары»). Таким образом, образец, по-видимому, столь хорош, что фазовая когерентность отчасти сохраняется и при движении по более длинному пути вдоль периметра линзы, и условия оказываются промежуточными между полностью «квантовомеханическим» режимом, когда сохраняется фазовая когерентность при движении по всем орбитам, и полуклассическим случаем, лежащим в основе расчета в [142], когда предполагалась фазовая когерентность лишь при движении по самой малой орбите (по «сигаре»). Именно полностью квантовомеханический режим рассматривался ранее в связи со структурой уровней энергии при МП. Пиппард в [342] показал, что процессы переноса можно рассматривать как осуществляемые квазичастицами нового типа, квазиимпульс которых, пропорциональный параметру со, связан с энергией е соотношением, являющимся обобщением (7.27) для двумерного случая. Согласно этой теории, осцилляции магнетосопротивления в идеальном квантовом режиме должны быть значительно больше, чем

обычно наблюдаемые. Но, как было показано позже [343], вследствие дефектов образца амплитуда осцилляций оказывается значительно меньше этого «идеального» значения. Таким образом, представляется правдоподобным, что осцилляции аномально большой амплитуды на рис. 7.16, в следует интерпретировать как приближение к идеальному квантовому режиму, в то время как чаще наблюдавшиеся для менее совершенных образцов осцилляции меньшей амплитуды характерны для полу классического случая, рассмотренного в [142].

Вызывает, однако, беспокойство то обстоятельство, что некоторые последние результаты Старка (частное сообщение), по-види- мому, противоречат такой интерпретации. В этой работе изучались еще более совершенные образцы, чем тот, результаты для которого представлены на рис. 7.16, в, но осцилляции оказались менее, а не более интенсивными. Более того, было обнаружено, что амплитуда осцилляций зависит от плотности тока У, протекающего по образцу, изменяясь пропорционально у2 и спадая до ничтожного уровня при экстраполяции j = 0. Поскольку плотность тока j не варьировалась при проведении предыдущих экспериментов, то картина еще далека от завершенности. По-видимому, существующая теория вообще не в состоянии объяснить осцилляции магнетосопротивления наиболее совершенных образцов, т.е. в том случае, когда (как предполагалось ранее) речь идет о приближении к идеальному квантовому режиму. И все же, как и в случае эффекта дГвА, теория, игнорирующая или обходящая трудности, связанные с несоизмеримостью, по-видимому, дает пол у количественное описание осцилляций магнетосопротивления в полуклассическом случае, характерном для не слишком совершенных образцов.

Квантовый интерферометр Старка

Осцилляции магнетосопротивления Mg, обязанные необычному проявлению МП, при котором возникает аналогия с оптическим интерферометром, интенсивно изучались Старком и сотр. [420]; ссылки на более поздние работы есть в [422], см. также [368]. Необычность состоит в том, что МП осуществляется между открытыми орбитами, вдоль которых электроны движутся в одном направлении и частота осцилляций определяется площадью петли, по периметру которой не может течь круговой ток. Принцип явления иллюстрирует сильно упрощенная схема на рис. 7.18: электрон может проследовать по открытой орбите по пути а или б и относительные вероятности реализации этих возможностей зависят от МП в узлах Jx и JT

Как легко видеть, вероятность того, что электрон продолжи! движение по открытой орбите от точки Рх к точке Р2, равна (в тер* минах потока частиц)

(7.49)(7.49)Т= |^2е^2 - р2ёф'\2 = Р2 Q2 - 2Р<2 cos ф = ф2 — Фх = (hc/eH)A.

(7.49)

(7.49)

где А — площадь петли в £-пространстве, а р, q, Р, Q имеют тот же смысл*, что и раньше. Существенно отметить, что хотя ф и выглядит точно так же, как и фаза в эффекте дГвА, однако возникновение соответствующих осцилляций в эффекте дГвА невозможно», так как электрон не может циркулировать по петле площади А (как это происходит, например, на малых треугольных орбитах в двумерной гексагональной сети, рассматривавшейся выше). *

Итак, мы видим, что поток электронов от Рх к Р2 в этой упрощенной модели осциллирует при изменении Н, и эти осцилляции подобны осцилляциям де Гааза — ван Альфена. Соответственно осциллирует и сопротивление, обусловленное током по открытым траекториям. Одна важная особенность, отличающая эти осцилляции от тех, которые обусловлены собственно эффектом дГвА, — их нечувствительность к температуре. Для циклических орбит площадь А зависит от энергии с и, как было показано ранее, влияние конечной температуры эквивалентно размытию фаз из-за различи^ площадей орбит для различных энергий с в пределах размытия фермиевской ступеньки. Поэтому основным параметром, описывающим размытие фаз и уменьшение амплитуды, является циклотронная масса, пропорциональная cL4/d£. В рассматриваемом же случае, как показано на рис. 7.18, траектории электронов, имеющий

Рис. 7.18. Схема, иллюстрирующая идею квантового интерферометра (по [421}). Штриховыми линиями схематически показано, что траекторию, соответствующие участкам а и б, при малом изменении энергии смещают в к-пространстве, так, чт^ ' площадь петли остается в первом приближении неизменной.’Рис. 7.18. Схема, иллюстрирующая идею квантового интерферометра (по [421}). Штриховыми линиями схематически показано, что траекторию, соответствующие участкам а и б, при малом изменении энергии смещают в к-пространстве, так, чт^ ' площадь петли остается в первом приближении неизменной.’

Рис. 7.18. Схема, иллюстрирующая идею квантового интерферометра (по [421}). Штриховыми линиями схематически показано, что траекторию, соответствующие участкам а и б, при малом изменении энергии смещают в к-пространстве, так, чт^ ' площадь петли остается в первом приближении неизменной.’

Рис. 7.18. Схема, иллюстрирующая идею квантового интерферометра (по [421}). Штриховыми линиями схематически показано, что траекторию, соответствующие участкам а и б, при малом изменении энергии смещают в к-пространстве, так, чт^ ' площадь петли остается в первом приближении неизменной.’

Рис. 7.19. Осцилляции поперечного магнетосопротивления чистого Mg, обусловленные квантовой интерференцией при направлении Н вдоль [1010] и при токе вдоль [1120]. Верхняя кривая получена при Т = 1,5 К, нижняя — при Т = 4,2 К [421].

энергию, слегка отличную от энергии Ферми f, смещаются в одну сторону, и при этом площадь остается неизменной.

При практической реализации идеи «квантового интерферометра», как назвал это явление Старк из-за аналогии с двухлучевым оптическим интерферометром, измерялось сопротивление весьма совершенного кристалла Mg при магнитном поле, направленном вдоль [1010] (перпендикулярно гексагональной оси), и токе вдоль [1120]. Осцилляции, обусловленные квантовой интерференцией, — это низкочастотные осцилляции на рис. 7.19. Видно, что в соответствии с предсказаниями они почти не чувствительны к температуре. Механизм явления на самом деле существенно сложнее, чем для описанной выше простой модели. Соответствующие орбиты в £-пространстве показаны на рис. 7.20. Связь между ними при МП возможна в узлах трех типов (показаны черными точками), характеризуемых различными значениями поля пробоя. Площадь А, задающая частоту осцилляций при квантовой интерференции, определяется каждой из заштрихованных областей. Не представляется удивительным, что благодаря связи этих областей между собой из- за магнитного пробоя осцилляции должны содержать как слагаемое, пропорциональное cos^, так и слагаемое cos2^, где ф выражается через площадь А по формуле (7.49). Амплитуда слагаемого с cos^ должна проходить через нуль при таком поле, при котором

Рис. 7.20. Траектории электронов в Аг-пространстве для Mg в схеме повторяющихся зон при Н вдоль [ЮТО] и при к = 0; Л, Я, К и L — точки симметрии в зоне Бриллюэна. Штриховые и сплошные линии, дающие контуры ПФ, показывают траектории для дырок в первой и второй зонах (на «шляпке» и на «монстре» соответственно). Узлы, в которых происходит пробой, отмечены черными точками [421].

Рх = /2, где Рх — вероятность пробоя на входе и выходе из «квантового интерферометра». Такое исчезновение осцилляций действительно наблюдалось в эксперименте, и по значению магнитного поля, при котором это происходит, можно довольно точно определить поле пробоя Hv Частые осцилляции на рис. 7.19, амплитуда которых зависит от температуры как при обычном эффекте дГвА, связаны с циркуляцией электронов по орбите на «шляпке».

Детальное описание квантового интерферометра довольно сложно, и мы лишь укажем на некоторые существенные стороны явления. Во-первых, весьма важно, что наблюдавшиеся эффекты очень чувствительны к ориентации магнитного поля. Это связано с дефазировкой при различных значениях к. Как и в эффекте дГвА,

вклад в осцилляции дают только электроны со значениями к, лежащими в узком диапазоне вблизи значения импульса, при котором соответствующая площадь экстремальна. Если магнитное поле даже незначительно отклоняется от точного направления оси симметрии, то картина, соответствующая рис. 7.20, перестает быть строго периодичной вдоль открытой орбиты как в £-пространстве, так и в реальном пространстве. Лишь на коротком отрезке открытой орбиты площадь Л, определяющая период осцилляций, будет близка к значению, экстремальному по к. Как показано в п. 2.3.6, расфазировка вследствие интегрирования по к приводит к тому, что в осцилляции дают вклад лишь электроны, импульс которых лежит В узком диапазоне значений Keff, и эта область «эффективности» рпределяется выражением

KeU = kHI\(^FI(V\V'\ (7.50)

Если поле отклонено на угол 6 от плоскости симметрии, то площади повторяющихся участков на расстояниях вдоль орбиты, бдль- Ших кеГ/6, выпадут из области значений, дающих эффективный вклад. В частности, при

5 > кс„/К (7.51)

(где К — период повторения вдоль орбиты) только единственная ячейка интерферометра (а именно та, площадь которой близка к экстремальной по к) даст заметный вклад в осцилляции. Фактически до сих пор мы молчаливо предполагали, что нет нужды учитывать наличие нескольких последовательно включенных ячеек. Это оправданно, поскольку значение угла 6, даваемое формулой (7.51), столь мало, что очень трудно сориентировать кристалл с надлежащей точностью. Так, при Н = 10 кГс получаем Keff = 0,7 х 105 см"1, и поскольку К - 1,3 х 108 см-1, то критическое значение 6 * 0,03°. Естественно, при меньших полях критический угол еще меньше. Соблюдая достаточные предосторожности, образец можно сориентировать с точностью до ~ 0,01 °, но два обстоятельства могут свести на нет все старания. Во-первых, уже в пределах самого образца ориентация может быть не выдержана с такой точностью хотя бы цз-за слабой мозаичности структуры или из-за малого изгиба кристалла. Во-вторых, ориентация поля никогда не бывает достаточно однородной в пространстве из-за наличия дополнительного поля, обязанного протеканию по образцу измерительного тока. В условиях опытов Старка и Фридберга измерительный ток составлял не менее 0,5 А, и он создавал на поверхности образца поле около 2 Гс,

приводящее к наклону внешнего поля ~ 10 кГс на угол ~ 0,01 °. В своих экспериментах они заметили, что если наклонять внешнее поле, то существует область углов наклона примерно ±0,03° вблизи оптимального направления, в пределах которой амплитуда осцилляций практически неизменна.

В последующих экспериментах [362, 422] и особенно [368] были приняты дополнительные меры по улучшению качества образца и измерения велись при меньшем токе, и тогда удалось найти новый режим при поле, установленном строго вдоль оси. В этом режиме «вдоль оси» проявились новые особенности формы линии осцилляций, и их анализ показал, что именно этого и следует ожидать, если работают несколько последовательно включенных интерферометров, а не один интерферометр.

До сих пор мы полагали, что электронные столкновения отсутствуют, т.е. что время релаксации т бесконечно. Очевидно, что если время релаксации меньше характерного времени tx движения электрона в интерферометре, то осцилляции должны исчезнуть. Даже при т, существенно большем, чем tv процессы релаксации будут влиять на осцилляции. Аналогично и характерные особенности осцилляций, обязанные движению строго «вдоль оси», будут смазаны, если время т много меньше времени Z2, в течение которого электрон переходит от одной ячейки интерферометра к другой, и точно так же и при т > t^ рассеяние повлияет на характеристики осцилляций. При поле, равном - 10 кГс, значение tx - 1 х 10“12 с, и, как показывает точная теория, осцилляции (а именно, зависимость от поля отношения амплитуд гармоник) чувствительны к рассеянию электронов уже при т « 10"10 с. При том же поле ~ 10 кГс значение /2 — 2 х 10'11 с, так что характеристики осцилляций, обязанные движению «вдоль оси», изменяются уже при значительно более редких столкновениях. Детальный анализ показывает, что для этого достаточны столкновения с временами -10'8 с. Зависимость свойств квантового интерферометра от времени релаксации позволяет измерять длительные времена релаксации, хотя приложения этого метода весьма ограничены требованием специфической формы поверхности Ферми. Одним из достоинств метода является то, что при заданном значении т осцилляции не чувствительны к температуре, так что оказывается возможным изучать температурную зависимость времени релаксации, обусловленную электрон-фононными столкновениями. При этом не возникает усложнения картины, обязанного влиянию температуры на распределение Ферми. До сих пор единственным приложением метода явилось измерение т в сверхчистом Mg [363] и в разбавленных сплавах Mg с Zn и Cd [153].

8

Температура Дингла

Введение

Как отмечалось в историческом обзоре (гл. 1), между результатами ранних экспериментальны^ работ по исследованию осцилляций де Гааза—ван Альфена в. Bi [379] и теоретической формулой Ландау наблюдалось хотя и небольшое, но загадочное расхождение. Оно состояло в том, что измеренная зависимость амплитуды эффекта от магнитного поля и температуры не согласовывалась с теорией. Согласие достигалось (и с хорошей точностью), только если при подгонке параметров вводилась температура, несколько ббльшая температуры образца. Объяснение этому расхождению было дано Динглом [119]. Он показал (об этом уже говорилось в п. 2.3.7.2), что вследствие столкновений электронов уровень Ландау уширяется и это приводит к уменьшению амплитуды осцилляций, почти точно такому же, какое было бы обусловлено увеличением температуры от ее истинного значения Г до Г 4-х. Эта дополнительная температура х, которую следует ввести для согласования теории и эксперимента, известна как температура Дингла, и мы будем называть множитель ехр(-2тг2^х//3//), описывающий уменьшение амплитуды, фактором Дингла. Предложенный Динглом механизм позволил объяснить и остававшееся ранее загадочным уменьшение амплитуды осцилляций, наблюдавшееся в Bi при добавлении к нему любой примеси [398]. Такое уменьшение следует ожидать, поскольку добавление примеси приводит к росту вероятности рассеяния электронов.

Долгое время температура Дингла определялась лишь от случая к случаю в ходе исследований, имевших целью в первую очередь определение ПФ из измерения частоты осцилляций. Однако систематического исследования этой величины не производилось и не тфедпринималось серьезных попыток интерпретации полученных результатов. Лишь постепенно было осознано, что систематические исследования могут дать ценную информацию о процессах рассеяния электронов, в частности об их рассеянии на примесных атомах, вводимых в чистый исходный материал. Это обстоятель- ..ство было подчеркнуто в обзоре Шенберга [392], в котором анали-

зировались возможности и предварительные результаты соответствующих исследований; эта работа была доложена в 1968 г. в Цюрихе на конференции^, посвященной проблеме изучения свободного пробега электронов в металлах. Как только была развита соответствующая экспериментальная техника (и при этом, как будет показано в разд. 8.2, пришлось обойти многие подводные камни), начали появляться подробные результаты, полученные для различных сплавов с малой концентрацией примесей (так называемые «разбавленные сплавы»). На базе математических методов обращения данных оказалось возможным по зависимости температуры Дингла от ориентации магнитного поля относительно осей кристалла установить, каким образом вероятность рассеяния на примесных атомах изменяется в зависимости от положения электрона на поверхности Ферми. В настоящее время накоплен значительный объем экспериментальных результатов и развита теория в этой области; их обзор дан в разд. 8.3.

Намного менее удовлетворительным является положение с относительно чистыми металлами, для которых температура Дингла определяется вовсе не рассеянием на примесях. Уже на довольно ранних этапах исследований было установлено, что температура Дингла для чистых образцов (которая обычно составляет несколько десятых кельвина) оказывается намного больше (в 10—100 раз) того значения, которое следует ожидать, исходя из соотношения (2.136) междух и временем релаксации т, оцениваемым по электропроводности (см., например, [381]). Вскоре выяснилось также, что величина х чувствительна к механическому состоянию образца. Так, незначительная деформация образца при неаккуратном обращении с ним может привести к заметному росту х, при этом лишь едва повлияв на электропроводность. Стало ясно, что наблюдаемая большая температура Дингла и ее зависимость от качества образца связаны с дефектами кристалла, такими, как дислокации или мозаичность структуры.

Влияние дислокаций на понижение амплитуды осцилляций рассмотрено в разд. 8.4, в частности для предельных случаев г < d и г > d, где г — размер орбиты, d — характерный размер области, в

1} Труды этой конференции (Physik der Kond. Materie, v. 9, p. 1—210, 1969) и двух последующих конференций в Орегоне и Норвиче, состоявшихся в 1974 г. (Phys. Cond. Matter, v. 19, p. 1—434, 1975), демонстрируют быстрый прогресс в этой области.

которой деформация решетки, обусловленная дислокациями, значительно изменяется. При малых значениях отношения r/d затухание осцилляций обусловлено в основном размытием фаз вследствие зависимости частоты дГвА от деформации. При больших значениях r/d затухание носит характер диффузионного процесса, сопровождающего рассеяние на малые углы. Однако и в этом случае качественные оценки могут быть получены, если исходить из рассмотрения размытия фаз. Те немногочисленные эксперименты, в которых дислокационная структура образцов была установлена достаточно надежно, согласуются с вычислениями в лучшем случае лишь качественно. Это неудивительно, если учесть как то, что модель слишком идеализирована, так и что, что при расчетах были сделаны различные упрощающие предположения. Существует, однако, одна загадка, которую не может объяснить большинство теорий, а именно почему «график Дингла», как правило, представляет собой прямую линию, т.е. почему множитель, описывающий затухание, имеет вид ехр(—//0///) во всем диапазоне полей Н, в котором проводились наблюдения и который весьма широк.

Затухание осцилляций вследствие мозаичности структуры, обсуждаемое в разд. 8.5, легче поддается рассмотрению, и расчеты, основанные на простом приближении размытия фаз, по-видимому, удовлетворительно согласуются с измерениями в тех немногих случаях, когда состояние образца было установлено достаточно хорошо. Предельная форма мозаичности — совершенно случайное распределение по ориентациям, т.е. поликристалл. Оказывается, что для металлов с почти сферической ПФ, несмотря на значительное размытие фаз, осцилляции, хотя и уменьшаются по амплитуде, полностью не исчезают. Действительно, слабые осцилляции наблюдались на коллоидах щелочных металлов и в поликристаллической меди.

В заключение мы вернемся к краткому рассмотрению вопроса, который уже был поставлен в п. 2.6.1.2, а именно проследим, каким образом рассеяние электронов на тепловых фононах может отразиться на температуре Дингла. Как мы видели ранее [321], в полном согласии с теорией многочастичных взаимодействий и в противоположность интуитивным соображениям для ртути не наблюдается заметного изменения температуры Дингла при возрастании температуры образца. В разд. 8.6 эксперимент [321] и его интерпретация обсуждаются несколько подробнее, а также рассматривается специфическое влияние многочастичных эффектов на картину квантовых осцилляций, следующее из современных экспериментов, проведенных в более экстремальных условиях [137].

Измерение температуры Дингла

Зависимость от магнитного поля амплитуды А р гармоники с номером р осцилляций дГвА определяется формулой (случаи отклонения от этой формулы обсуждаются ниже)

Ар = CpTH-nRD/sinh(apT/H\ (8.1) где Rd —- описывающий уменьшение амплитуды фактор Дингла, который при определенных предположениях должен иметь вид

KD = ехр( — арх/Н) при а = 1.469(m/m0) х 105 Гс -1 (8.2) Значения Ср и п зависят от того, какая именно величина измеряется на опыте. Например, если измеряется намагниченность М, то, как видно из (3.1), л = /2; если же измеряется (dM/d//) с помощью модуляции магнитного поля, имеющей малую амплитуду, то п = = 5/2. Однако если в процессе измерений амплитуда модуляции изменяется пропорционально //2, с тем чтобы переменное поле все время составляло одну и ту же долю периода осцилляций, то значение п опять становится равным У?; в методе же измерения вращающего момента [см. (3.5)] п = —/2. Зависимость коэффициента Ср от номера гармоники р обычно непосредственно следует из основной формулы (2.152), хотя она и несколько усложняется при использовании модуляции большой амплитуды в методе модуляции поля. Конечно же, коэффициент Ср включает в себя и зависящий от спинового расщепления множитель, который также является функцией р. Однако мы пока не будем обсуждать зависимость Ср(р) в явном виде.

При благоприятных условиях возможно измерить амплитуду как основного тона, так и нескольких гармоник в некотором диапазоне изменения поля, хотя зачастую гармоники слишком слабо выражены, чтобы их можно было измерить с достаточной точностью. Обычная процедура определения температуры Динглах по зависимости от поля амплитуды Ар (нет необходимости знать ее абсолютное значение) состоит в построении так называемого «графика Дингла». Это график зависимости Xn^ApH” smh(apT/H) от 1///, который должен быть линейным, если справедливо выражение (8.2), Наклон прямой непосредственно дает величину арх. Отметим, что для выполнения этой процедуры необходимо с достаточной точностью знать параметр а (т.е. т/т^; эта же величина нужна и для вычисления х из наклона графика. Упрощенный вариант процедуры — построение графика зависимости 1п(Лр//Л) от \/Н в случае арТ/Н > 1, что позволяет заменить sinh( ) на (1/г)ехр( ).

Наклон прямой для этого графика дает значение ар(х + 7), и опять необходимо знать величину а, чтобы определить значение (х 4- 7); однако линейность графика уже не зависит от выбора а. Отметим, что значение х «в точке», т.е. при одном значении поля Н, невозможно определить ни по абсолютному значению Ар, ни по отношению амплитуд гармоник, например по А2/Ах, если неизвестен фактор спинового расщепления (а также множитель, учитывающий кривизну ПФ, если измерено только значение Лр), так как и спин, и кривизна определяют значение Ср. Скорее интерес представляет обратная задача: если определено значение х, то абсолютное значение Ар или А 2/А j можно использовать для получения информации о спиновом расщеплении и кривизне ПФ. Эта задача подробно рассмотрена в гл. 9.

Хотя в большом числе случаев формула (8.2) оказывается действительно справедливой, это соотношение может нарушаться по ряду причин; главным образом либо потому, что механизм затухания более сложен, чем мы предполагаем, либо потому, что условия эксперимента оказались неблагоприятными. Наиболее очевидной проверкой справедливости (8.2) служит линейность графика Дингла в максимальном диапазоне наблюдения осцилляций по магнитному полю; другая возможность контроля —- совпадение значений х, определенных для разных гармоник и при различных температурах. Если при таких проверках обнаруживается расхождение и есть уверенность, что оно не связано с неудачными условиями проведения экспериментов, то это означает, что мы имеем дело с интересной ситуацией, позволяющей кое-что узнать о механизме, определяющем уменьшение амплитуды.

Рассмотрим кратко различные обстоятельства, которые могут обесценить график Дингла. Будем предполагать, что если осцилляции имеют достаточно выраженные гармоники, то возможен адекватный фурье-анализ, гарантирующий, что следующие из измерений значения Ар действительно представляют собой амплитуды соответствующих гармоник.

Искривление графика Дингла может быть обусловлено как МВ, так и МП, и важно распознать, имеет ли отношение к делу хотя бы один из таких эффектов. Обсуждение признаков, позволяющих распознать эти эффекты, проведено в разд. 7.4, и нет необходимости его повторять. Следует, однако, подчеркнуть, что для решения вопроса, имеет ли место МВ, надо принимать во внимание «локальное» значение 47rldA/0/d//1, т.е. значение 4тг I dA//d7ZI, деленное на нечто вроде фактора Дингла (см. разд. 6.6). Иногда утверждают, что МВ пренебрежимо мало, поскольку мало значение 4тг I AM/dH I. Однако в действительности может иметь место «скрытое» МВ, если «локальное» значение 4тг I dA/0/d//1 вовсе не так мало (см., например, «Замечание при корректуре» в статье [48]).

Важно быть твердо уверенным в том, что отсутствуют длиннопериодные биения, обусловленные осцилляциями с двумя очень близкими частотами. Пример такого явления, представленный на рис. 8.7, демонстрирует, что при измерениях в ограниченном диапазоне полей может создаться впечатление, будто график Дингла отклоняется от прямой. Однако, если диапазон измерений сделать достаточно широким, биения проявляются вполне отчетливо и «истинный» график Дингла, будучи выделен для осцилляций каждой из частот, оказывается вполне линейным. Этот пример будет обсуждаться несколько позже.

Неоднородность магнитного поля может обусловить зависящее от поля ослабление сигнала, если вариации поля в пределах образца сравнимы с периодом дГвА. Из формулы (2.142) видно, что для исключения этого эффекта необходимо выполнить условие ^Н/Н < H/^F, где Д// — вариации поля в пределах образца. Для F = 5 х 10 Гс и Я = 5 х 104 Гс это условие требует однородности поля лучше чем 10“5.

Дефекты кристалла, такие, как мозаичность структуры, дислокации и др., явно нежелательны в тех случаях, когда целью является исследование свойств идеальных кристаллов. Влияние мозаичности, рассмотренное в разд. 8.5, особенно существенно, если магнитное поле сильно отклоняется от направления осей симметрии. Грубых искажений, таких, как изгиб кристалла или включение блоков с другой ориентацией, можно избежать тщательным изготовлением кристалла и аккуратным с ним обращением, однако некоторые остаточные дефекты не удается полностью устранить. Как мы увидим далее эти остаточные дефекты часто дают основной вклад в наблюдаемый фактор Дингла, так что скотче следует обсуждать их влияние как основной механизм, а не считать его экспериментальным артефактом.

Каждый конкретный способ исследования эффекта дГвА имеет свои подводные камни. Так, в методе вращающего момента подвес не должен быть слишком податливым, чтобы не возникло искажений из-за значительного поворота образца (см. п. 3.3.2 и 6.7.1.2). В методе импульсного поля (п. 3.4.1) амплитуда осцилляций может зависеть сложным образом от условий эксперимента вследствие резонансов в детектирующей системе, а также за счет вихревых токов, возбуждаемых в образце и приводящих к неоднородности поля и нагреву. В модуляционном методе (п. 3.4.2.1) весьма важен адекватный учет влияния амплитуды модуляции на форму осцилляций, если необходимо получить сравнимые по амплитуде осцилляции при различных значениях магнитного поля. Существенно также правильно учесть роль вихревых токов, влияние которых, вообще говоря, зависит от магнитного поля за счет магнетосопротивления. Лучше всего сделать их влияние пренебрежимо малым, работая на достаточной низкой частоте, хотя это и может привести к снижению чувствительности измерений.

лжны пересекаться в одной точке, скажем в точке j0. Конечно, построенные по экспериментальным точкам графики Дингла не будут пересекаться в одной точке вследствие случайных погрешностей измерений, но если их все провести так, чтобы они проходили через одну и ту же точку при \/Н = 0, выбранную из подходящей оценки значения j0 (это может быть просто среднее из все& фактических пересечений), то вклад статистической погрешности определения температуры Дингла для каждого случая может быть значительно снижен. Это происходит благодаря тому, что прямая, проходящая через экспериментальные точки, в диапазоне от \/Нх до 1///2 должна непременно пройти через избранную точку при \/Н = 0 и погрешность снижается тем значительней, чем больше значение \/Нх по сравнению с интервалом 1///2 ~ VHX. Значение самой температуры Дингла, конечно, определяется с систематической погрешностью, зависящей от погрешности определения^, однако легко показать, что разности температур Дингла не содержат этой погрешности. Поэтому влияние изменяемого параметра (что является целью измерений) выявляется более определенно благодаря этой процедуре. Однако желательно соблюдать некоторую осторожность. Решающую роль в этом методе играет предположение о независимости значения Ср от исследуемого параметра. Если же величина Ср не совсем постоянна, то обнаруживаемые при обработке эксперимента вариации температуры Дингла могут хотя бы отчасти отражать вариации Ср. Анализ в общих чертах метода, предложенного Паулем и Спрингфордом, дан в приложении 15.

Разбавленные сплавы

В экспериментах с разбавленными сплавами, имевших целью определение вероятности рассеяния электронов чужеродными атомами, внимание было сосредоточено на измерении изменений х в зависимости от содержания примеси. То обстоятельство, что даже для номинально чистых образцов температура Дингла х имеет довольно большое и невоспроизводимое значение вследствие дефектов в кристаллах, учитывалось хотя бы грубо тем, что результаты экстраполировались к нулевой концентрации. Как видно из рис. 8.1, измеренные при разных концентрациях примеси с (часто в качестве наиболее реалистичной меры концентрации используется значение остаточного сопротивления) значения х довольно хорошо соответствуют линейной зависимости. Особенно четко она проявляется в более поздних работах, в которых были предприняты меры к воспроизводимому изготовлению образцов. Можно отметить, что

Рис. 8.1. Зависимость температуры Динглах от концентрации примеси: а — ранние измерения для сплавов Sn(Hg)(o) и Sn(In)(+); р/р0 — отношение сопротивлений при 4,2 К и при комнатной температуре; значение р/р0 = 10“ 2 соответствует добавке по весу примерно 0,23% как Hg, так и In [381]; б — Au(Ag), ориентация < 111>, орбита на «пузе» [275].

в таких случаях (см. рис. 8.1, б) остаточное значение х, обязанное дефектам, пренебрежимо мало. Линейность зависимости х(с) означает, что мы имеем дело с предельным случаем малой концентрации, когда каждый атом примеси рассеивает электроны независимо от других. Поэтому наклон линии х(с) дает вероятность рассеяния в единицу времени на один атом примеси при заданном направлении поля, если, конечно, предположить, что любой вклад в х, связанный с рассеянием на дефектах, не зависит от с. Эта вероятность рассеяния есть среднее по экстремальной орбите ПФ, нормальной к //, и мы в дальнейшем обсудим возможность определения на основе такой информации вероятности рассеяния электрона, расположенного в любой точке к на поверхности Ферми.

Радние эксперименты с разбавленными сплавами Sn с Hg или In [381], носящие характер скорее качественного исследования, позволяли надеяться на то, что можно будет показать, что время релаксации по порядку величины такое же, как и определяемое по значениям сопротивления или измеряемое каким-либо другим способом. Прошло довольно много времени, прежде чем эти надежды нашли воплощение в опытах Кинг-Смита [235], измерившего температуру Дингла для некоторых благородных металлов и их разбавленных сплавов. Эта работа, как и более поздние значительно более подробные и тщательные исследования в основном благородных металлов, проведенные в Сассексе, Лидсе, NRC (Оттава) и Орегоне

(подробную библиографию см. в работе [85]), ire только подтвердили закономерность совпадения по порядку величины между временами релаксации в разбавленных сплавах, получаемыми по эффекту дГвА и по сопротивлению, но и показали, что возможна их более основательная интерпретация на основе знания электронной структуры, которая за это время была досконально изучена. Еще позднее в работе [269] исследовалось рассеяние на примесях в К, где можно было ожидать, что благодаря почти сферической ПФ интерпретация результатов будет проще, чем в иных случаях.

Прежде чем перейти к обсуждению результатов по измерению анизотропии рассеяния, рассмотрим, что можно узнать, исходя из среднего значениях, если его анизотропия не слишком велика [57]. Для свободных электронов различие между эффективной вероятностью рассеяния \/тр, которая определяет электрическое сопротивление р, и величиной 1/т, определяющей температуру Дингла, состоит в том, что в сопротивление входит весовой множитель (1 - cos 0), благодаря которому возрастает вклад от рассеяния на большие углы 0. Поэтому при вероятности P(0)d0 рассеяния в диапазон углов от 0 до 0 4- Д0 имеем

Фр =Фр =(8.3)(8.3)Р(9)( 1 - cos У) sin У dy V Р(9) sin 9 dy. о/ Jo

Фр =

Фр =

(8.3)

(8.3)

Отсюда сравнение тр и т дает непосредственно информацию о функции Р$\ Брайлсфорд [57] рассмотрел частный случай рассеяния на потенциале вида K(r) ~ e~qr/r, где \/q — параметр, определяющий размеры области действия потенциала (при q -* оо потенциал К(г) стремится к 6-функции). Соответственно вероятность Р(0), вычисленная в борновском приближении (которое не всегда справедливо), пропорциональна (и — cos0)-2, где и =14- q2/2k^. Подстановка в (8.3) дает

— = (и - 1){^(и + 1) In [(и + 1)/(и - 1)] - 1}. (8.4)

Значение т/тр возрастает от нуля при и = 1 (что приводит к бесконечно большому весу рассеяния на нулевой угол) до 1 при и = оо (соответствует изотропному рассеянию на 6-подобном потенциале).

В количественном аспекте эта идея приложима только к щелочным металлам и к почти сферическим участкам ПФ благородных металлов. В этих случаях лежащее в основе рассмотрения предположение о близости изоэнергетических поверхностей к поверхностям свободных электронов и об изотропии т выполняется лучше

всего. Прежде чем рассматривать результаты экспериментов, отметим, однако, одно деликатное обстоятельство: априори не ясно, какая именно эффективная масса должна быть использована при вычислении т и тр из х и р соответственно. Как отмечалось в разд. 2.6, хотя электрон-фононное взаимодействие и перенормирует циклотронную массу, определяющую затухание амплитуды осцилляций с температурой, оно не влияет на массу, входящую в множитель Дингла. Итак, температурное затухание содержит перенормированную массу т, а в правильное выражение для множителя Дингла входит «голая» масса тъ, и эти массы связаны соотношением

т = mb(l + Я),(8.5)

где параметр X обычно имеет значение, лежащее в интервале между 0,1 и 1. Если, как это обычно делалось, пренебречь этим усложнением и использовать формулы (2.136) и (2.137) для определения т, подставив в формулу для 0 перенормированную массу, то «голое» время релаксации т0 будет связано временем т, вычисленным по значениям х, соотношением

т0 = т/(1 + А).(8.6)

Об этом следует помнить, если рассматривается абсолютное значение времени релаксации, и это особенно важно в случае, когда значение X анизотропно. Однако в рамках проводимого нами рассмотрения значение X почти изотропно (см. рис. 5.13), и нас интересует только отношение т0 к «голому» резистивному времени релаксации то0; возникающие осложнения легко устранить, введя «эффективное» время тр. Сопротивление, связанное с рассеянием на примесях, определяется выражением

Р = ть/ме2тр0 ,(8.7)

так что если определить «эффективное» время тр соотношением

р = т/пе2тр,(8.8)

где т — перенормированная масса (8.5), то мы увидим, что

ТроЛо = ТРЬ =2 ^= х/х .(8.9)

(ппе [диктор р' ’

Таким образом, отношение «голого» и «эффективного» времен релаксации может быть приравнено к отношению температуры Дингла х (определенной традиционно) к «резистивной» температуре Дингла хр [см. формулу (8.9)], содержащей перенормированную массу.

29-207

Таблица 8.1. Оценка отношения х/хр (т.е. т /т)

и значения х на ат. Vo примеси для некоторых разбавленных сплавов

Си + Аи':1,3 (15); Ge1:!,4 (ПО); Ni':l,3 (28); Fe2:l,0 (280);Pd3:l,8 (33);

Pt3:l,2 (51); Rh:1,3 (90); Zn:2,6 (18); H:1,6 (50)

Ag + Au6,7:!,! (9)

Au + Cu®:!,2 (10); Ag’:l,5 (9); Zn:2,2 (35); Fe®:0,7 (120); вакансии*:!,2 (38)

К + Na’°:2,3 (1); Rb:l,9 (5)

так как полное время обращения по орбите равно 2тстс/еН (т.е. 2тг/а)с). Поскольку, кроме того,

(8.11)(8.11)he dk_ h Cdk_

(8.11)

(8.11)

eHv'(k) И ™ 2л e v\k) >

мы получим hХ~*2ккмы получим hХ~*2ккdk IC dk т(ку(к); j v\k)dk IC dk т(ку(к); j v\k)(8.12)(8.12)

мы получим h

Х~*2кк

мы получим h

Х~*2кк

dk IC dk т(ку(к); j v\k)

dk IC dk т(ку(к); j v\k)

(8.12)

(8.12)

Здесь dkr — скалярный элемент длины орбиты в импульсном пространстве, а и' (к) — компонента скорости, лежащая в плоскости орбиты. Если известны форма ПФ и распределение скоростей на ней, то формула (8.12) явным образом определяет связь междух и локальными значениями т^кУЧ Для контроля процедуры вычислений полезно использовать то обстоятельство, что знаменатель в (8.12) должен получаться равным 2irm/h.

Чтобы решить задачу обращения (8.12) и получить т(к) из значений температуры Дингла, измеренных при разных ориентациях, надо начать с разложения функции т<к) в ряд по подходящему базису. Коэффициенты разложения и являются подлежащими вычислению параметрами. Для кристаллов кубической симметрии подходят те же методы, которые использовались в гл. 5 при определении формы поверхности Ферми, и, как и при обращении данных для определения ПФ, для благородных металлов лучше подходит разложение в ряд Фурье (5.7), а для щелочных металлов— разложение по кубическим гармоникам (5.2). Более общий способ обращения, основанный на параметризации зонной структуры, будет рассмотрен позднее. Если в общем случае разложение представить в виде

1/т(к) = ^с^к^ , (8ЛЗ) где ^( — выбранные базисные функции, то для любого направления магнитного поля (8.12) можно преобразовать в

x = ^cixi (8.14) с

Х‘ 2лк J v\k) j J и\к) ‘ (8.15)

!) Для удобства вычислений интегралы по Аг' в (8.12) преобразуются в интегралы по углу поворота радиуса-вектора из произвольно выбранного центра к точкам орбиты [275].

Значения xt определяются, таким образом, путем прямого (хотя и громоздкого) расчета, использующего известную электронную структуру. После того как эти вычисления проделаны для всех направлений поля, представляющих интерес, определение параметров с, сводится к решению системы независимых линейных уравнений вида (8.14), содержащих измеренные значения х. Очевидно, число имеющихся различных значений х должно быть не меньше числа подлежащих определению коэффициентов с,, и результаты окажутся более осмысленными, если с, определяются методом наименьших квадратов из значений х, число которых значительно превышает число коэффициентов с,.

Достаточно надежное представление об анизотропии т^ в благородных металлах было получено с применением лишь трехчетырех членов с, в фурье-разложении вида (5.7). При этом использовалось всего шесть значений х для тех орбит, на которых F как функция угла имеет экстремумы. Это обеспечивало минимальное влияние мозаичности кристалла на результаты. Было установлено, что учет значений х, измеренных при других ориентациях, изменяет значения тук) не более чем на несколько процентов, если ввести соответствующую коррекцию, учитывающую возрастание х, связанное с мозаичностью (см. разд. 8.5). Однако использование большего числа членов в разложении приводит к более значительным изменениям; так, использование не трех, а семи членов приводит к изменениям т(*) примерно на 10% и даже достигает 50% в направлении < 100>. Для К (это пока единственный щелочной металл, изученный в рассматриваемом аспекте) с малой примесью Rb или Na хорошая аппроксимация экспериментальных данных достигается всего с тремя членами из разложения по кубическим гармоникам, аналогичным (5.2), и согласие с экспериментом не улучшается сколько-нибудь существенно при учете большего числа гармоник [269].

Некоторые типичные результаты по определению анизотропии т представлены на рис. 8.2. Не вызывает особого удивления, что анизотропия выражена сильнее в благородных металлах, чем в щелочных. Отметим также, что анизотропия т обычно в 10—100 раз превосходит анизотропию радиуса-вектора из центра зоны к ПФ. Относительно слабая анизотропия вероятности столкновений в К не поддается качественной интерпретации. Напротив, в сплавах благородных металлов основные закономерности анизотропии рассеяния на качественном уровне могут быть истолкованы вполне правдоподобно [352].

Так, совершенно по-разному ведут себя благородные металлы

Рис. 8.2. Диаграмма вероятностей рассеяния для сплавов Cu(Ni) (sr), Cu(Ge) (б), Cu(Au) [352] (в), K(Na) [269] (г). Нанесены линии равных значений 1/т, где т — время релаксации, вычисленное по температуре Дингла с использованием фактического, а не «голого» значения эффективной массы т. Числа приведены в единицах 1012с-1 на ат Ло для рис. 8.2, г; 1013 — для а и в и 1014 — для б.

при добавлении к ним примесей той же валентности, иной валентности или переходных элементов. Например, следует ожидать, что при добавлении Au, Ge или Ni к Си рассеяние возрастет сильнее для тех участков на ПФ, на которых волновая функция электронов проводимости в Си носит характер S-, р- или d- состояний соответственно. Для сплава Cu(Au) рассеяние действительно близко к изотропному на большей части «пуза» на поверхности Ферми, где электроны 5-подобны, и становится существенно более слабым на «шейках», где волновая функция р-подобна, р-Подобный характер

означает, что в исходной решетке амплитуда волновой функции максимальна между атомами. Поэтому добавление гомовалентной примеси, потенциал которой отличается от потенциала замещенного ею атома лишь в непосредственной близости от его местоположения, обусловливает сравнительно слабое рассеяние. Это обстоятельство было отмечено уже в ранней работе Кин^-Смита [235]. Для Cu(Ge) примесь обладает зарядом, поэтому при введении атома Ge потенциал изменяется на гораздо бблыпих расстояниях, чем при добавлении гомовалентного атома. Вследствие этого рассеяние на р-подобных участках становится более существенным и рассеяние на «шейках» сильнее, чем на большей части «пуза». При этом изменения p-подобной компоненты на «пузе» ПФ обусловливают в этой области более сильную анизотропию, чем на «пузе» в сплаве Cu(Au). Анизотропия рассеяния в Cu(Ni), наибольший вклад в которую дают d-подобные состояния, как оказывается, является почти точно дополнительной к анизотропии в Cu(Ge) в том смысле, что там, где рассеяние для одного сплава сильнее, чем среднее, оно слабее для другого. Паулсен и др. [352] предположили, что сплав, содержащий Ni и Ge в отношении 5:1, должен иметь почти изотропное значение т(*), и это подтвердилось недавно при исследовании эффекта Хрлла [156].

Любое более детальное рассмотрение анизотропии рассеяния усложняется тем обстоятельством, что примесный атом приводит к рассеянию не только за счет изменения потенциала вблизи него, но также вследствие нарушения строгой периодичности решетки кристалла. Хотя влияние искажений решетки отчасти может быть учтено соответствующим выбором потенциала при решении задачи рассеяния, очень непросто описать таким способом малоугловое рассеяние, обусловленное напряжениями в решетке, простирающимися на ббльшие расстояния от примесного атома. К счастью, в благородных металлах этот эффект хотя и заметен, но не слишком велик, чтобы иметь существенное значение в изученных сплавах [467]. Однако в щелочных металлах вклад вх от малоуглового рассеяния на поле напряжений вполне сравним с рассеянием на потенциале примесного атома. Как будет видно дальше, это значительно усложняет интерпретацию анизотропии столкновений.

Примечательно, что для благородных металлов подробная интерпретация не только анизотропии времени релаксации т(£), но также изменений ПФ (см. разд. 5.6) и электросопротивления в разбавленных сплавах может быть дана на основе фундаментальных расчетов зонной структуры. Такое рассмотрение, проведенное, в частности, в работах [87, 213, 259, 299], представляет прекрасный

пример того, как исследование эффекта дГвА в благоприятных условиях позволяет выявить довольно тонкие аспекты поведения электронов в металлах. Мы не будем стремиться дать полную картину, а ограничимся лишь обсуждением основных положений теории, оставив в стороне — это следует особо подчеркнуть — серьезное рассмотрение вопросов, касающихся применимости теории в конкретных случаях. Обсуждение этих вопросов можно найти в трудах Орегонской конференции 1974 г. (Phys. Cond. Matter., 19, р. 219, 1975). Во всех деталях теория изложена в обзоре Коулриджа [85].

Как отмечалось в гл. 5, ПФ чистых благородных металлов с довольно хорошей точностью описываются зонной структурой, полученной методом МТ-потенциала (muffin tin), параметрами которой служат фазы трех волн ту}1 (7 = 0, 1, 2). Вводя разные наборы фазовых сдвигов ту}, характеризующие атомы примесей, можно, как оказывается, вычислить различные свойства разбавленных сплавов, используя разности фаз

М, = п\~П^(8.16)

и некоторые другие параметры, которые можно определить, исходя из зонной структуры чистого исходного металла.

Так, при любом заданном направлении поля значение х (или, что эквивалентно, величина обратная т) и изменение площади сечения ДЛ при концентрации примеси с выражаются следующими формулами:

li 2/ 1 Л А \

‘817>

Д4/с = £ iД4/с = £ i1 ал\Ш)1 ал\Ш)smфlcosфlsmфlcosфlгде ф{ — так называемый «фриделевский сдвиг фаз», 4>t = Ml + 9i.где ф{ — так называемый «фриделевский сдвиг фаз», 4>t = Ml + 9i.(8.18)(8.19)(8.18)(8.19)

Д4/с = £ i

Д4/с = £ i

1 ал\

Ш)

1 ал\

Ш)

smфlcosфl

smфlcosфl

где ф{ — так называемый «фриделевский сдвиг фаз», 4>t = Ml + 9i.

где ф{ — так называемый «фриделевский сдвиг фаз», 4>t = Ml + 9i.

(8.18)

(8.19)

(8.18)

(8.19)

Здесь 6{ — фаза комплексного коэффициента «рассеяния назад», 1{ в (8.17), (8.18) — нормирующий множитель. Значение (1/Zz)(d Л/Эту^) можно вычислить, исходя из зонной структуры чистого металла, оно выражается через сдвиг фаз ту}1. Если фриделевские сдвиги фаз считать подгоночными параметрами, их значения можно определить, исходя из измеренных значений какх/с, так и ДЛ/с, или из обеих этих величин, определенных для ряда различных направлений магнитного поля. Существенно, что возможна проверка результа-

тов, основанная на том, что фазы ф, должны удовлетворять (или почти удовлетворять, если теория не полностью адекватна, поскольку не учитывает влияние искажений решетки вблизи атомов примеси) правилу сумм Фриделя

2

^ = -У (2/ + 1)ф, = AZ , (8.20) я !

где ^Z — разность валентностей атомов примеси и основных атомов решетки. Отметим, что (8.17) содержит только sin2^,, так что правило сумм играет очень важную роль и потому, что дает дополнительное основание для определения знаков фазовых сдвигов ф;.

Наконец, можно вычислить и сопротивление р, исходя из тех же самых параметров, т.е. из значений ф, и зонной структуры чистого металла. Эти расчеты довольно сложны, и мы их не будем здесь приводить, отсылая читателя к статьям [83, 84, 87].

Для применимости теории необходимо, чтобы искажения решетки были не слишком велики и разность валентностей была мала (грубый критерий, оправдываемый опытом, Д/ ^ 2)г\ Эти условия достаточно хорошо выполняются для ряда сплавов благородных металлов (табл. 8.2). Видно, что для некоторых сплавов может быть найден единый набор фм с помощью которого хорошо описываются все три эффекта, т.е рассеяние электронов, изменение площади сечений ПФ и электросопротивления. Следует отметить, что предсказания в рамках модели «жесткой» зонной структуры, касающиеся изменения площади сечений, хотя и являются качественно верными, не соответствуют измеренным значениям столь же хорошо, как полученные на основе более сложного теоретического анализа. Для гомовалентных сплавов Au(Ag) и Ag(Au) достигается существенно лучшее согласие, если использовать различные наборы ф, при аппроксимации данных различных экспериментов. Возможно, это является следствием относительно слабого влияния примеси гомовалентного металла по сравнению с влиянием примеси иной валентности, так что искажения решетки в этом случае начинают играть ббльшую роль. Если в гомовалентных сплавах поменять ролями основной металл и примесь, знаки всех фазовых сдвигов ф( из-

^ Коулридж и Темплтон [502] показали, что для разбавленных сплавов Си при Z > 1 можно получить хорошие результаты, используя модель жестких зон, если ввести эффективную разность зарядов AZ, меньшую фактического значения AZ; соответствующий множитель равен ~ 0,9 npji AZ = 2; 0,75 при-AZ = 3 и 0,45 при AZ = 4. — Прим, при корректуре.

Таблица 8.2. Фазовые сдвиги, обусловленные введением примесей

a. Au(Ag)1, 2

*0

*1

*2

Фит 1 (AF)

-0,22

-0,047

0,069

-0,01

Фит 2 (г)

-0,28

-0,072

0,051

-0,15

Фит 3 (комбинированный)

-0,26

-0,052

0,079

-0,01

^/cF&

(на ат. %)

х<т/т^/<.

:(К/ат.Уе)

Измерение

Фит 1

Фит 3ИзмерениеФит 2

Фит 3

^100

-0,027

-0,026

-0,03111,1

11,0

10,9

0,018

0,023

0,02510,1

10,3

10,7

N

-0,011

-0,010

-0,0110,82

0,82

0,72

R

-0,013

-0,011

-0,0139,2

8,4

8,7

D

0,007

0,020

0,0227,6

7,4

7,3

р/с (мкОм-см/ат.%), измерение: 0,36; расчет: фит 2: 0,36; фит 3: 0,41

б. Ag(Au)3, 4

*0

*1

*2

Фит 1 (AF)

0,135

0,032

-0,050

-0,01

Фит 2 (г)

0,176

0,087

-0,085

0,01

Фит 3 (комбинированный)

0,238

0,047

-0,077

-0,003

kF/cF^

xQn/m^/c

Измерение

Фит 1

Фит 3Измерение Фит 2

Фит 3

^100

-0,002

-0,001

0,0088,2

8,2

9,0

^111

-0,032

-0,031

-0,0388,0

8,1

8,8

N

0,014

0,015

0,0221,3

1,3

0,6

R

0,005

0,009

0,0087,3

7,2

7,0

D

-0,011

-0,008

— 0,01В7,0

7,0

7,0

р/с, измерение: 0,38; расчет: фит 2; 0,39; фит 3: 0,37

в. Cu(Zn)5ф0</>1ф2

Фит 1 (AF)

Фит 2 (г)

Фит 3 (комбинированный)

0,315

0,154

0,206

0,190

0,190

0,186

0,145

0,136

0,150

1,023

0,894

0,946

AF/cFs

х(т/т0Ус

ИзмерениеФит 1

Фит 3

МЖЗИзмерениеФит 2

(Д2 = 1)

Фит 3

В\оо0,670,67

0,62

0,6524

24

28

Вш0,670,68

0,65

0,6625

25

29

N0,180,18

0,18

0,218,2

8,1

8,2

Продолжение табл. 8.2

&F/cF$х^т/т^/с

Измерение

Фит 1

Фит 3

МЖЗ

(AZ = 1)

Измерение

Фит 2

Фит 3

R

-0,62

-0,62

-0,60

-0,63

24

24

27

D

-0,58

-0,59

-0,56

-0,61

23

23

26

q/c, измерение: 0,33; расчет фит 2: 0,36; фит 3: 0,42.

г. Си (Pd)6

фо = -0,41 ФФх = 0,20 Фе = -0,165» = -1,14

AF/cFs

х(т/тоУс

Измерение

Фит

МЖЗ (Д7= — 1)

Измерение

Фит

5100

-0,72

-0,74

-0,65

47

48

5ц1

-0,79

-0,76

-0,67

48

46

N

-0,18

-0,18

-0,21

9,3

9,1

R

0,67

0,68

0,65

40

40

D

0,61

0,64

0,61

39

38

q/c, измерение 0,89; расчет: 0,72

д. Au(Ga)7

Фо = 0,72

Ф, = 0,36

Ф2 = 0,28

2,03

№cFs

хкт/т^/с

Измерение

Фит

МЖЗ (Д7 = 2)

Измерение

Фит

5юо

1,30

1,27

1,41

115

115

5ц1

1,23

1,24

1,32

ПО

109

N

0,30

0,28

0,35

21

20

R

-1,17

-1,16

-1,26

100

98

D

-1,04

-1,08

-1,22

87

92

р/с, измерение: 2,15; расчет: 2,37

Обозначения: Вюо и В\ 11 — орбиты на «пузе» при соответствующем направлении поля, N, R, D — на «шейке», на «розетке» и на «собачьей кости» соответственно. — Прим.перев.

Литература: 1 - 1275]; 2 - [87]; 3 - [435]; 4 - [65]; 5 - [94]; 7 - [93]; 7 - [84].

Примечание: Д-р Р. T. Коулридж оказал автору весьма существенную помощь при подготовке этой таблицы, и некоторые из содержащихся в ней величин изменены по сравнению с приведенными в оригинальных публикациях в соответствии с более поздними результатами или пересчитаны заново, чтобы представить всю информацию идентичным образом. Чтобы не усложнять таблицу, в ней не указаны погрешности; полученные в экспериментах значения округлены таким образом, что, как правило, числа верны с точностью до 2—3 единиц последнего разряда. Следует отметить, что все частоты даны в долях FM частоты для сферы свободных электронов, а не в долях истинного значения F. Экспериментальные значения скорректированы с учетом искажений решетки. В случаях «а»—«в» приведены результаты трех различных подгонок («фитов») для иллюстрации того, что, используя различные наборы значений фаз, можно достичь лучшего согласия с опытом при описании изменения сечений «а» и столкновений «б», чем при использовании набора, получаемого при совместной подгонке; в случае «в» приближение к эксперименту улучшается незначительно. Для случаев «г» и «д» приведен только один набор фаз, поскольку он обеспечивает подгонку в пределах погрешности измерений. В таблице приведены также данные полученные при использовании модели жестких зон (МЖЗ), которые показывают, что, хотя эта модель и обеспечивае. довольно неплохое качественное описание изменения частот, количественно она подходит хуже, чем подгонка с использованием приближения фазовых сдвигов.

менятся на противоположные, но не произойдет значительного изменения их абсолютной величины. Это вызывает доверие к результатам и свидетельствует о физической значимости проведенного анализа.

Для установления связи между ф, и более фундаментальной величиной Ату/ требуется рассмотреть рассеяние назад электронов решетки исходного вещества на атоме примеси. Детальный анализ [259] показывает, что и в этом случае результаты имеют физический смысл. Следует отметить, что в некоторых ранних работах не делалось различия между ф7 и Atjz, так что полученные там значения вовсе не имели того смысла, который им приписывался. Необходимо помнить, сравнивая результаты различных работ, что выбор значений т/р описывающих зонную структуру исходного чистого металла, зависит от выбора энергии Ферми f. Тем не менее эмпирически установлено, что величины Д/Т^йА/йт^ используемые при анализе результатов, не зависят от значения ф,.

Хотя эта теория адекватна в случае ее приложения к избранным сплавам благородных металлов, она не в состоянии сколько-нибудь удовлетворительно описать рассеяние и его анизотропию в сплавах щелочных металлов K(Na) и K(Rb) вследствие играющих большую роль эффектов, связанных с искажениями решетки. Так, чтобы аппроксимировать данные Левеллина и др. [269] по анизотропии температуры Дингла, приходится в (8.17) для одного из 5т2ф7 использовать отрицательное значение, что явно абсурдно. Наилучшая подгонка достигается в случае, если принять ф2 = ф3 = 0 и подобрать фх так, чтобы усредненное по всем направлениям рассеяние согласовывалось с экспериментом. Однако при этом расчетная анизотропия оказывается значительно слабее измеренной. Альтернативная теория анизотропии рассеяния, основанная только на рассмотрении искажений решетки, была предложена в работе [41], но и она не согласуется с экспериментом. Левеллин и др. [269] предположили, что лучшее согласие может быть достигнуто, если использовать комбинацию обоих подходов, и недавно выполненные вычисления [298] служат шагом в этом направлении.

До сих пор выполнено сравнительно мало работ по систематическому исследованию анизотропии рассеяния в разбавленных сплавах поливалентных металлов, хотя изменение частоты осцилляций (и тем самым изменение ПФ) изучено для ряда систем (см. разд. 5.6). Коулридж в [85] обсуждал применимость теории псевдопотенциала как при рассеянии, так и при изменении ПФ в сплавах; в этой же работе приведены ссылки на опубликованные результаты экспериментов.

Дислокации и температура Дингла

Обсуждение механизмов затухания амплитуды дГвА вследствие дефектов в химически чистых монокристаллах металлов будет касаться большей частью рассмотрения роли дислокаций, поскольку нарушения структуры в значительном числе случаев описываются комбинацией различных дислокаций. Но дефекты двух типов требуют особого рассмотрения.

Один из них — это вакансии. Однако, как видно из табл. 8.1, их влияние весьма похоже на влияние атомов примесей. Это неудивительно, так как аналогично атомам примесей вакансии ведут себя как рассеиватель, сконцентрированный в малой области. Чтобы получить результаты, приведенные в табл. 8.1, Ленгелер [261] быстро охлаждал нагретые до высокой температуры образцы. При этом получались образцы с довольно высокой концентрацией вакансий (обычно порядка 10“2 атЛо), вызывавших измеримый рост температуры Дингла на — 0,5 К. Кристаллы, изготовленные обычным путем с той или иной степенью отжига, содержат слишком мало вакансий, и вклад последних в температуру Дингла пренебрежимо мал. Поэтому мы более не будем обсуждать роль вакансий как нарушений решетки, влияющих на температуру Дингла; в любом случае их вклад естественнее было бы рассматривать при обсуждении примесей.

Еще одним типом дефектов, которые следует рассматривать самостоятельно, является мозаичность структуры. Такие дефекты можно было бы рассматривать как дислокации, расположенные специальным образом, но значительно проще вести рассмотрение, считая образец состоящим из большого числа малых (однако не слишком малых!) зерен со слегка различной ориентацией и вследствие этого со слегка различными частотами дГвА. Тогда задача сводится к рассмотрению размытия фазы, что рассматривается в разд. 8.5. Мы увидим, что обычно мозаичность сильно сказывается на температуре Дингла только при ориентациях, далеких от направлений, при которых частота F имеет экстремум, например от направлений симметрии. Таким образом, влияние мозаичности структуры может быть обычно исключено, если проводить измерения вдоль этих экстремальных направлений.

Возвращаясь к рассмотрению роли дислокаций, мы должны сразу подчеркнуть, что в нашем обсуждении природа дислокаций будет представлена весьма упрощенной и результаты в лучшем случае будут приближаться к реальной ситуации лишь по порядку величины. Так, мы будем рассматривать в основном краевые дисло-

кации и только простые их наборы, а не такие сложные образования, как дислокационные петли. В некоторых случаях нам придется иметь в виду, что дислокации можно приписать знак, определяющий знак создаваемого ею поля деформаций. Иногда дислокации с противоположными знаками подходят близко друг к другу, образуя пару, аналогичную диполю. В этом случае они действуют как рассеивающие центры, сконцентрированные вдоль линий, и ведут себя как ряды вакансий, у которых отсутствуют медленно спадающие с расстоянием поля деформации, характерные для дислокаций, далеко отстоящих друг от друга.

Важными параметрами, которыми мы будем пользоваться, являются характерный масштаб d, на котором изменяется поле деформаций вблизи дислокации в кристалле, и его отношение к другому важному параметру размерности длины — радиусу орбиты г. Если для определенности считать, что дислокации расположены в виде квадратной сетки и их плотность равна D см"2, т.е. постоянная решетки равна/)"1/2, то можно предположить, что

(8.21)(8.21)d = D~vl\

(8.21)

(8.21)

На расстояниях от дислокации, намного меньших d, поле деформаций определяется главным образом полем деформаций уединенной дислокации, спадающим как \/R. Поля соседних дислокаций, которые столь же часто имеют знак плюс, как и минус, имеют тенденцию к взаимной компенсации. На расстояниях, ббльших d, основную роль начинает играть дислокация, ближайшая к рассматриваемой точке, и т.д.

Еще один важный параметр — длина вектора Бюргерса 6, имеющего атомные размеры, типичное значение которого 3 х 10“8 см

Таблица 8.3. Оценка параметров, играющих важную роль при рассмотрении роли дислокаций в Си и Bi

108 Ь, см

10" 8, к, см-1

10“ 8 F, Гс

dlnF/ds

р. = irbk (d\nF/ds)

ну°'Л- Гс- см

Си («пузо»)

2,5

1,4

5,8

0,29

3,l

26

Си («шейка»)

2,5

0,27

0,22

2,9

5,9

Ю

Bi (Я II

бинарной

оси

4,5

6,5х 10“ 3

1,4х 10"4

-150

— 14

-0,6

Примечание: обозначения определены в тексте. Оценки значений dlnF/ds основаны на результатах приложения 16, и они известны лишь чуть точнее, чем по порядку величины, особенно для Bi.

(табл. 8.3). Как показано в приложении 16, величина b определяет деформацию вокруг дислокации. Деформация на расстоянии R от дислокации по порядку величины равна b/lirR, если/? > Ь. На расстояниях R ~ b понятие деформации теряет смысл и b следует рассматривать как расстояние, на котором при вычислениях надо обрезать интегрирование по R.

Искажения в непосредственной близости от дислокации (т.е. при /? — /?) имеют тот же порядок величины, что и вызываемые вакансиями или атомами примеси, и дают такой же вклад в температуру Дингла, что и линия из таких точечных дефектов. Этот вклад, однако, оказывается совершенно не существенным, так как плотность дислокаций D на практике слишком мала. Легко видеть, что плотности D линий соответствует в грубом приближении концентрация с точечных рассеивающих центров, определяющаяся соотношением

с ~ D/n1!\ (8-22) где п — полное число атомов в 1 см3. Если положить D = = 10ю см-2 (довольно высокое значение для обычно исследуемых образцов), принять п » 1О23 см-3, то получим с ~ 5 х 10“6, т.е. 5 х 10"4 ат.%. При такой концентрации, согласно табл. 8.1, температура Дингла возрастает лишь на ~ 0,1 К или менее, а остаточное сопротивление — на ~5 х 10"3 мкОм • см. Правильный порядок величины, вытекающий из такой грубой оценки, подтверждается прямыми измерениями остаточного сопротивления, связанного с дислокациями [36]: оно возрастает на - 10"3 мкОм • см при D = 1010 см"2. Фактически измеренное значение остаточного сопротивления служит мерой возможного вклада от рассеяния на точечных дефектах в температуру Дингла, обусловленную дислокациями. Если этот вклад ощутим, он может быть оценен и вычтен из полного измеренного значениях; тогда остаток будет характеризовать влияние одних только деформаций на больших расстояниях вокруг дислокаций.

Особенность поля деформаций на больших расстояниях от ядра дислокации [масштаб длины d задается выражением (8.21)] состоит в том, что рассеяние электронов на нем происходит только на очень малые углы (поскольку длина волны электрона значительно меньше d). Поэтому наличие деформаций приводит к ничтожно малому росту сопротивления, однако весьма существенно влияет на температуру Дингла даже при относительно низкой плотности дислокаций D. Покажем теперь, как можно дать грубую оценку множителя, описывающего затухание амплитуды дГвА в двух предель-

ных случаях: а) малых орбит, г < d и б) больших орбит, г > d. Оценка для промежуточного случая г ~ d может быть в еще более грубом приближении дана путем интерполяции результатов, полученных в предельных случаях.

Малые орбиты, г < d

Если орбиты достаточно малы по сравнению с расстоянием d, их можно рассматривать как проходящие по областям с почти постоянной деформацией и таким образом с определенной частотой дГвА F. Можно полагать, что затухание амплитуды обусловлено в основном размытием фаз, обязанным различию частот F в разных областях. Эта задача уже обсуждалась в п. 2.3.7, и было установлено, что множитель, описывающий уменьшение амплитуды, зависит от функции распределения kF (или фазы) по образцу; в свою очередь эта функция зависит от распределения деформаций s.

Если предположить, что вследствие деформации s изменение частоты равно

AF = sdF/ds,(8.23)

то формула (2.138), определяющая сдвиг фазы ф в эффекте дГвА, преобразуется (для гармоники с номером р) к виду

ф = 2nps(dF/ds)/H.(8.24)

Не будем сейчас заниматься уточнением определения 5; этому посвящено приложение 16. Если считать, что функция распределения 5 по образцу имеет вид D^s/a\ где о — характерная деформация^, при которой происходит обрезание функции D(s/a), т.е. ее значение быстро падает, если I s I превосходит а, то соответствующее распределение фаз можно представить в виде D (фН/рН0), где

Но = 2na(dF/ds),(8.25)

и мы видим, что рН^/Н играет ту же роль, что и параметр X в (2.118). Множитель, описывающий затухание за счет размытия фаз, приобретает вид

^D = I/WH)|//(O),(8.26)

J) Как и в п. 2.3.7, предположим, что функция распределения содержит только один «масштабный» параметр о. Это более чем упрощенная картина и при детальном теоретическом рассмотрении в п. 8.4.3, где вводится более одного параметра, проведение фурье-анализа усложняется.

где/(X) — фурье-образ £>(z) с «частотой», равной X [см. (2.122)]. Два вида функций распределения просты в математическом отношении. Это распределение Лоренца

D(s/a) ос 1/[1 + (s/a)2](8.27)

и распределение Гаусса

D(s/a) осе" s2ia2(g.28)

[нет необходимости заботиться о нормировке этих распределений, так как она автоматически достигается благодаря наличию знаменателя в (8.26)]. Множители, описывающие затухание, имеют вид

/?о = е-ряо/я>(8 29)

RD = e"plH^4H1(8.30)

соответственно для распределений Лоренца и Гаусса. Результат (8.29), получаемый для распределения Лоренца, принимает обычный вид фактора Дингла ехр( —2тг2/?А:вх//ЗН), если для температуры Дингла выбрать значение

х = рно/2л2кв = Po(dF/ds)/7tkB .(8.31)

Однако при дальнейшем обсуждении удобнее описывать затухание при помощи параметра Но, а не х.

Как будет видно далее, зависимость от поля Н вида (8.29) удивительно хорошо удовлетворяет эксперименту. Предполагая, что исходное допущение г < d действительно справедливо, следует заключить, что распределение деформаций близко к распределению Лоренца. Мы увидим, что этот результат вовсе не так уж понятен, если исходить из реальной картины дислокаций. Порядок величины а (и тем самым //0, если известно dF/ds^ может быть грубо оценен по плотности дислокаций D и по известному полю деформации около дислокаций. Как показано в приложении 16, соотношение

<j~bDm-b/d(8.32)

должно приводить к разумной оценке величины а (здесь b — вектор Бюргерса). Итак, из (8.25) найдем

Но - iTibD^dF/ds^ = 2Mb/dXdF/ds\„ „

В некоторых случаях удобно выразить Но через безразмерный параметр ^, характеризующий материал и определяемый как

ц = Ttbk^d ln/7ds),(8.34)

где к¥ — радиус орбиты в /сР-пространстве. Легко видеть, что

Но = 2FpDV2/kF = IFn/kpd.(8.35)

Удобство использования параметра ^ состоит в том, что при этом легче увидеть связь между значениями HQ/H и отношением r/d (которое определяет, является ли орбита «малой» или «большой».) Так, из (2.4) и (2.7) следует, что

Н = 2F/rkp(8.36)

и мы приходим к

HQ/H = pr/d.(8.37)

Грубые оценки р, основанные на результатах приложения 16, приведены в табл. 8.3. Можно видеть, что значения р, полученные для сильно различающихся ситуаций, близки между собой и что предположение р ~ 10 не приведет к слишком большим ошибкам. Это означает, что нельзя продвинуться слишком далеко в режим «больших» орбит (r/d > 1), поскольку множитель RD в (8.29) приведет при этом к такому падению амплитуды, что осцилляции станут слишком малы и ненаблюдаемы.

Согласно формулам (8.33) и (8.35), параметр Но и, следовательно, температура Динглах должны изменяться какD1/2. Некоторые грубые оценки значений Нц/ПУ1 приведены в табл. 8.3. Однако мы отложим сравнение с экспериментом до тех пор, пока не обсудим случай «больших» орбит и не дадим некоторое представление о более детальных вычислениях.

Большие орбиты, г > d

В этом режиме электрон пересекает много областей с разной степенью деформации (т.е. с изменяющейся частотой F) во время своего движения по орбите. Оценим среднее изменение фазы (относительно фазы, соответствующей постоянному значению F), используя аргументы Уотса [468]; при этом ограничимся весьма упрощенной версией этого подхода: происходящее в действительности непрерывное изменение фазы (т.е. деформаций) при движении по орбите заменим рядом из N одинаковых мгновенных изменений ±Д, происходящих через равные интервалы пути, которые примем равными d (т.е. D“1/2). Для р-й гармоники следует рассмотреть р обращений по орбите, а не одно. Важным обстоятельством является то, что полное изменение фазы Ф при р обращениях должно иметь гауссово распределение вида

а(Ф)осеф2/я2(8.38)

30-207

но X2 изменяется как \/Н. Поэтому довольно неожиданно то, что в окончательной форме понижающий множитель е“х2/4 (см. табл.

2.2) по-прежнему имеет вид фактора Дингла e"*Ho/Hj№ параметр Но нетрудно определить.

Прежде всего отметим, что число N резких изменений фазы при р-кратном прохождении орбиты

N = 2лрг/а = (2лр/р)(Н0/Н)(8.39)

[здесь использована формула (8.37)]. Порядок величины Д соответствует одной l/N-й части того изменения фазы, которое имело бы место, если бы обусловленное деформацией изменение фазы было неизменным при всех р оборотах, т.е.

А = ^po/NH^dF/ds^ = pH0/NH = р/2л .(8.40)

Полное изменение фазы Ф есть

Ф = ± А + А + А + • • • всего N слагаемых,(8.41)

и, как показано в П17.1, параметр X, определяющий гауссово распределение Ф, описываемое выражением^

Л2 = 2NA2 = (р///л)(7/0/Н),(8.42)

так что уменьшение амплитуды описывается множителем

Rd = ехр(-^2) = ехР[-(рд/4я)(Н0/Н)] .(8.43)

Итак, этот множитель для случая больших орбит не только имеет ту же форму фактора Дингла, как в случае малых орбит при лоренцевом распределении деформаций, но поскольку д/4тг обычно порядка единицы, коэффициент при 1///, а следовательно, и температура Дингла, не слишком отличается от значения для случая малых орбит.

8.43., Развитие теории

В этом разделе мы в общих чертах опишем попытки Уотса [466, 468, 469] и Ченга и Хиггинса (ЧХ) [7 5] дальнейшего развития теории, предпринятые для того, чтобы придать проведенному в предыдущих разделах рассмотрению «на пальцах» более строгую количественную форму. В этих работах принималась во внимание более

!) При выводе этого выражения предполагается, что Д, т.е. ^/2тг, является малой величиной, в то время как в действительности ^/2тг ~ 1. К счастью, это не приводит к слишком сильным изменениям качественных выводов.

реалистичная картина поля деформаций, создаваемых набором дислокаций. Задача формулировалась таким образом, что весь диапазон от «малых» до «больших» орбит был описан единообразно. Хотя рассмотрение в своей основе и носило весьма общий вид, при конкретных приложениях теории нужны были дополнительные особые предположения и упрощения. Уотс предполагал, что имеются случайным образом распределенные в плоскости краевые дислокации, перпендикулярные к плоскости орбит. Ченг и Хиггинс предположили регулярное расположение дислокаций, что предполагает необходимость специальных приемов при изготовлении образцов. В обоих случаях были сделаны математические упрощения для получения результата в явном виде, и возможно, что некоторые особенности в конечных формулах отражают именно эти упрощения, а не подлинные свойства модели.

В основе расчетов лежал учет размытия фаз и в сущности использовался тот же подход, что и примененный нами при рассмотрении предельных случаев малых и больших орбит1). Формально понижающий множитель RD определяется выражением

RR_ 1_ 1^^А^хо, Уо) Jg^^А^хо, Уо) Jg(8.44)(8.44)

R

R

_ 1

_ 1

^^А^хо, Уо) Jg

^^А^хо, Уо) Jg

(8.44)

(8.44)

где dS — элемент подходящим образом выбранного большого участка с площадью S, плоскость которого совпадает с плоскостью орбиты, и А^(к0> ^о) — Фаза, усредненная по орбите с радиусом г, центр которой лежит в точке (х0, j0). Это среднее (для круговой орбиты) равно

Г2я

Д<А(х0, у0) = — §ф (х0 + г cos ф, у о + г sin ф) йф,(8.45)

л

(8.46)(8.46)где Ьф^х, у) — сдвиг фаз в точке (х, у), определяемый для р-й гармоники обычным образом

(8.46)

(8.46)

Ьф^х.у^ = 2npdF(x,y)/H .

Очевидно, в случае малых орбит подынтегральное выражение в (8.45) практически постоянно, так что не возникает различия между М^хо> ^о) и ^^хо> УоУ Если функцию распределения ЬР (или Д^) ввести в формулу (8.44), то это приведет к тем же результатам, которые мы получили ранее. Наши аргументы «на пальцах» в случае

11 Теоретическое доказательство правомерности такого подхода дали Вл. Л. Гинзбург и А. О. Максимов [164].

больших орбит равносильны грубой оценке выражения (8.45), получаемой в предположении гауссова распределения фаз в (8.44) с шириной, зависящей от магнитного поля.

Ченг и Хиггинс не вводили функцию распределения, а задали поле деформаций в явном виде и выполнили численный счет интегралов для конкретных значений параметров, выбранных так, чтобы они соответствовали условиям их экспериментов. В одном из примеров, который они привели для иллюстрации того, как вычисленное значение затухания изменяется с полем (для орбит на «шейке» в меди и при D = 1,5 х 107 см-2), проявляется странное обстоятельство: стремление амплитуды к нулю, т.е. резкое возрастание эффективной температуры Дингла при критическом поле порядка 16 кГс (при котором г - /г/)-^). Скорее всего, это является следствием сделанных при расчете упрощений, таких, как предположение о строго периодичном расположении дислокаций и о том, что все дислокации имеют один и тот же знак. Однако это делает несколько неопределенной степень доверия к полученным ими результатам даже в полях, сильно отличающихся от критического. Количественное сравнение результатов (их расчетов) с экспериментом будет проведено в п. 8.4.5.

Уотс в своей позднейшей работе [469] рассмотрел краевые дислокации, случайно распределенные в плоскости (однако все они считались расположенными перпендикулярно к плоскости орбит) и аналитически вычислил интегралы (8.44) и (8.45) в довольно общем случае. Сначала он показал, что поле деформаций, обусловленное любой краевой дислокацией, которая пронизывает орбиту, дает строго нулевой вклад в интеграл (8.45); если же дислокация лежит вне орбиты и проходит перпендикулярно ее плоскости, то вклад от дислокации равен d^(x0, j0), т.е. точно соответствует влиянию деформации в центре орбиты. Итак, для любой конкретной орбиты изменение фазы Д^ представляет собой сумму вкладов в центре орбиты от деформаций, обусловленных всеми дислокациями, проходящими вне орбиты.

Воспользовавшись общей теоремой статистики и предположив случайное распределение дислокаций (что, может быть и не совсем верно), он в конечном итоге смог получить компактное выражение для множителя RD, обязанного размытию фаз, не определяя в явном виде функцию распределения деформаций^. Его результат для

!) Результат (8.47), конечно, подразумевает определенный закон распределения деформаций, который в явном виде рассматривался ранее в [466], хотя в той работе и делались слегка иные предположения.

основной гармоники (р = 1), записанный в наших обозначениях при p/2ir < 1, приближенно можно представить в виде

In Яо = -^-(Я0/Я)21п[1 + UivH/H0Yl,(8.47)

оЛ

где величина pi определяется формулой (8.34) и

v = t/d.(8.48)

Дополнительный параметр v вводит длину корреляции /, выбранную таким образом, что полем деформации от дислокаций, расположенных от точки (х0, j0) дальше, чем Z, можно пренебречь. Не очень ясно, как велик должен быть параметр у; при нашем рассмотрении «на пальцах» мы фактически положили v — 1, однако, как будет видно далее, его следует считать значительно большим (~ 10), чтобы достичь согласия с экспериментом. Отметим, что в пределе g/2?r < 1 в выражение, связывающее ln/?D и HQ/H, входит единственный параметр pv. Для /г/2л < 1 и полей, столь малых, что Но/Н > pv, выражение (8.47) асимптотически переходит в

18Л9)

В другом предельном случае, также при Н^/Н > pv (т.е. r/d > у), справедливом, однако, при любом р, таком, что р < [(2тг/у) х х (Н^/Н^ , имеем

In Rd =In Rd =( / и1 \

In Rd =

In Rd =

-W1 ^ + о Е! - Jo^№ - W№)

[ypvnL)

(8.50)

Отметим, что в эту формулу параметры р и v входят раздельно. Выражение (8.50), как и должно быть, упрощается до (8.49), если (/г/2л) < 1. При р > 1 и Hq/H < 1 необходимо использовать еще более сложную формулу, которую мы не будем приводить, однако в действительности (8.47) неплохо аппроксимирует более точный результат даже при p/2ir = 1,75, что является самым большим значением, которое будет фигурировать в нашем обсуждении.

Характерное поведение RD, предсказываемое формулой Уотса, в широком диапазоне изменения Н^/Н иллюстрирует рис. 8.3 и в более узком диапазоне, имеющем, однако, практический интерес, — рис. 8.6. Что касается вычислений ЧХ, то в этом случае график Дингла сильно искривлен в области малых орбит и становится более или менее прямым при столь слабых полях, при которых амплитуда осцилляций слишком мала, чтобы их можно было обнаружить.

Рис. 8.3. Примеры графиков Дингла, построенных в широком диапазоне значений HQ/H по теории Уотса [469]. а — д = 4,1; б — = 11, v = 8 в обоих случаях. Эти параметры подобраны таким образом, чтобы обеспечить наилучшее согласие с экспериментальными результатами Ченга и Хиггинса [75] для орбит на «пузе» и «шейке» в Си (см. рис. 8.6). Значение поля HQ, отвечающего этим величинам д, составляет примерно 130 кГс для орбит на «пузе» и 70 кГс для «шейки». Хотя лишь небольшая область диаграммы, лежащая ниже значения ln/?D ~ -10, имеет практический интерес, поскольку при меньших полях амплитуда столь мала, что осцилляции невозможно наблюдать, однако графики продолжены в эту область, чтобы показать, как происходит переход к асимптоте (штриховая линия). Для сравнения тонкой линией показана зависимость, описываемая простой формулой ln/?D = —HQ/H.Рис. 8.3. Примеры графиков Дингла, построенных в широком диапазоне значений HQ/H по теории Уотса [469]. а — д = 4,1; б — = 11, v = 8 в обоих случаях. Эти параметры подобраны таким образом, чтобы обеспечить наилучшее согласие с экспериментальными результатами Ченга и Хиггинса [75] для орбит на «пузе» и «шейке» в Си (см. рис. 8.6). Значение поля HQ, отвечающего этим величинам д, составляет примерно 130 кГс для орбит на «пузе» и 70 кГс для «шейки». Хотя лишь небольшая область диаграммы, лежащая ниже значения ln/?D ~ -10, имеет практический интерес, поскольку при меньших полях амплитуда столь мала, что осцилляции невозможно наблюдать, однако графики продолжены в эту область, чтобы показать, как происходит переход к асимптоте (штриховая линия). Для сравнения тонкой линией показана зависимость, описываемая простой формулой ln/?D = —HQ/H.

Рис. 8.3. Примеры графиков Дингла, построенных в широком диапазоне значений HQ/H по теории Уотса [469]. а — д = 4,1; б — = 11, v = 8 в обоих случаях. Эти параметры подобраны таким образом, чтобы обеспечить наилучшее согласие с экспериментальными результатами Ченга и Хиггинса [75] для орбит на «пузе» и «шейке» в Си (см. рис. 8.6). Значение поля HQ, отвечающего этим величинам д, составляет примерно 130 кГс для орбит на «пузе» и 70 кГс для «шейки». Хотя лишь небольшая область диаграммы, лежащая ниже значения ln/?D ~ -10, имеет практический интерес, поскольку при меньших полях амплитуда столь мала, что осцилляции невозможно наблюдать, однако графики продолжены в эту область, чтобы показать, как происходит переход к асимптоте (штриховая линия). Для сравнения тонкой линией показана зависимость, описываемая простой формулой ln/?D = —HQ/H.

Рис. 8.3. Примеры графиков Дингла, построенных в широком диапазоне значений HQ/H по теории Уотса [469]. а — д = 4,1; б — = 11, v = 8 в обоих случаях. Эти параметры подобраны таким образом, чтобы обеспечить наилучшее согласие с экспериментальными результатами Ченга и Хиггинса [75] для орбит на «пузе» и «шейке» в Си (см. рис. 8.6). Значение поля HQ, отвечающего этим величинам д, составляет примерно 130 кГс для орбит на «пузе» и 70 кГс для «шейки». Хотя лишь небольшая область диаграммы, лежащая ниже значения ln/?D ~ -10, имеет практический интерес, поскольку при меньших полях амплитуда столь мала, что осцилляции невозможно наблюдать, однако графики продолжены в эту область, чтобы показать, как происходит переход к асимптоте (штриховая линия). Для сравнения тонкой линией показана зависимость, описываемая простой формулой ln/?D = —HQ/H.

Для сравнения приведен также график Дингла, полученный на основе рассуждения «на пальцах», т.е. зависимость

(8.51)(8.51)1пЯо = — Но/Н.

(8.51)

(8.51)

Прежде чем сравнивать теоретические предсказания с экспериментом, отметим, что необходимы некоторые оговорки о возможности приложимости идеализированных моделей, которые предполагались при вычислениях \

Некоторые оговорки

До сих пор предполагалось, что образцы однородны в том смысле, что однотипные дислокации распределены одинаковым образом в пределах всего образца, имеют однородную плотность D и одинаковую функцию распределения деформаций. За исключением, возможно, случаев, когда образцы подвергались специальной обработке (как в работе Ченга и Хиггинса), это является чрезмерным упрощением. На самом деле обычно на одних участках образца имеется очень много дислокаций, а другие участки макроскопических размеров имеют сравнительно высокое качество. Чтобы обойти эту трудность, можно, например, считать образец состоящим из большого числа областей, в пределах каждой из которых множитель Rd постоянен, и затем провести усреднение по всему образцу. Если в идеальном случае зависимость RD(H) для всех участков имеет один и тот же вид, скажем е-н°/н, то можно ввести функцию распределения D'(HQ) для параметра Но, определяющего затухание для каждой точки. Тогда для полного затухания в пределах всего образца найдем'

Rd = ^D\HoKHo,HdHo I ^D\H0)dH0.(8.52)

Едва ли есть необходимость развивать математический формализм (включая преобразования Лапласа) для решения этой задачи, поскольку маловероятно, что функция D' на практике имеет какую- либо достаточно общую форму. Более того, уже предположение зависимости е~И°/н для локального затухания слишком специально.

Однако выражение (8.52) можно использовать для иллюстрации (также исходя из идеализированных представлений) некоторых ситуаций, которые могут возникнуть и привести к существенному усложнению интерпретации эксперимента.

Образец, содержащий участки высокого качества: предположим, что /-я часть образца характеризуется постоянным значением Н^, а остальная часть, (1 - /), — идеальный кристалл (HQ = 0). Множитель, описывающий уменьшение амплитуды осцилляций для всего образца, будет равен

Rd = (1 - Л + jVHolH.(8.53)

График ln/?D от \/Н не будет прямой линией; если величина / мала, то приближенно

lnKD= -/(1 -еНо/н)

и график будет существенно искривлен при Н < HQ.

Обратный случай — образец, содержащий участки очень низкого качества: предположим, что участки, доля которых равна /, столь плохи, что они вообще не дают вклада в осцилляции, в то время как часть (1 — /) характеризуется разумным значением Н^. Тогда

lnRD = ln(i-/)-H0/H.(8 54)

График Дингла в этом случае представляет собой прямую линию, наклон которой дает правильное значение Но, но его пересечение с осью приводит к ошибочной оценке абсолютной амплитуды эффекта.

П-образное распределение: предположим, что параметр Н^ равномерно распределен между значениями Нох и //02, тогда из (8.52) следует

Rd =5I °'e-H»iHdH0 =(е-»02/я _ е-я01/ях

^01 — НО2)нО2Н01 — Н02

(8.55)

При значениях Н, превышающих как HQX, так и Н02, график Дингла приближается к прямой линии с наклоном, соответствующим среднему между Я01 и Ног однако если Н ~ Я01 — //Q2, то график Дингла искривляется, а при достаточно слабых полях его наклон равен меньшему из значений HQ1 и Я02.

Выше всегда предполагалось, что функция распределения деформаций симметрична относительно нуля, так что уменьшение амплитуды не сказывается на фазе осцилляций (см. п. 2.3.7). На самом деле маловероятно, чтобы в неоднородных образцах это предположение выполнялось для каждого локального участка. Вследствие этого подход того типа, который привел к формуле (8.52), слишком упрощен, поскольку игнорирует возможные вариации локальной средней фазы, которые должны сопутствовать локальным вариациям Но. Это должно еще больше усложнить картину.

Наконец, следует еще раз подчеркнуть, что все модели, на которых были основаны расчеты, сильно упрощены и некоторые упрощения, использованные для окончательного выполнения расчетов могут быть в общем случае не адекватными реальной ситуации. Трудно сказать априори, в какой мере подобные упрощения отражаются на результатах соответствующих расчетов.

Экспериментальные результаты

Начнем с обзора попыток определения того, какому режиму соответствуют эксперименты: больших или малых орбит. Затем будут описаны те немногие экспериментальные данные, которые сопоставимы с теорией и позволяют судить о справедливости теоретических расчетов, о которых говорилось выше.

Какой режим?

а. Наиболее прямой способ дать ответ на этот вопрос — определить плотность дислокаций D и сравнить D-A (величину, которая в простейшем варианте теории дает d, характерный масштаб вариации деформаций) с радиусом орбиты г (определяемым формулой г = 6,6 х 10“8 к¥/Н\ Значения поля//, соответствующего выполнению условий г = DV1 при различных D, представлены в табл. 8.4 для Си (орбиты на «шейке» и на «пузе») и для Bi (И параллельно бинарной оси). Фактически лишь для немногих кристаллов, использовавшихся при исследовании дГвА, измерялась плотность дислокаций D путем подсчета ямок травления. Коулридж и Уотс (КУ) [96] и Тервиллигер и Хиггинс (ТХ) [436] исследовали кристаллы Си, у которых значение D лежало в пределах от 105 до б х 107 см"2. Ченг и Хиггинс также изучали Си, и их образцы имели/) s 1,4 х 107 см"2. Однако в этой работе использовалась техника изготовления образцов, обеспечивающая существенно более регулярное и определенное распределение дислокаций. Кроме этих работ, имеется лишь одно исследование (Беркли и Шенберга [34], а также их неопубликованная работа), в ходе которого определялось значение D для Bi (при Н, параллельном бинарной оси). Распределение дислокаций по образцу было весьма неоднородным и плотность дислокаций D, по-видимому, лежала между -106 и 107 см"2. Рис. 8.4 иллюстрирует довольно регулярное распределение дислокаций на специально приготовленных образцах Ченга и Хиггинса и в противоположность этому совершенно нерегулярную картину для образцов Беркли и Шенберга.

Результаты этих экспериментов мы будем обсуждать ниже. Пока заметим лишь, что, согласно приведенным выше значениям D, как видно из табл. 8.4, в случае «шеек» в Си (наименьшее поле при

Таблица 8.4. Сравнение расстояния между дислокациями d = D-V1 с радиусом орбиты г

D, см 2

106

107

108

109

10ю

Си («пузо»)

9

29

90

290

900

Си («шейка») Bi (Я 1!

1,8

5,6

18

56

180

бинарной оси)

0,04

0,14

0,43

1,4

4,3

Примечание: в таблице приведены значения Н (в кГс), при которых г = d — D 1/2 (г = = 6,6х 10“ 8 к^/Н с теми же к^ что и в табл. 8.3).

0,19 мм0,19 мм0,53 мм—0,53 мм—Рис. 8.4. Микрофотографии ямок травления для поверхности < 111> специально приготовленного образца Си [75] (я) и плоскости скола кристалла Bi, аналогичного тем, которые использовались при измерениях в работе [34] (б).Рис. 8.4. Микрофотографии ямок травления для поверхности < 111> специально приготовленного образца Си [75] (я) и плоскости скола кристалла Bi, аналогичного тем, которые использовались при измерениях в работе [34] (б).

0,19 мм

0,19 мм

0,53 мм—

0,53 мм—

Рис. 8.4. Микрофотографии ямок травления для поверхности < 111> специально приготовленного образца Си [75] (я) и плоскости скола кристалла Bi, аналогичного тем, которые использовались при измерениях в работе [34] (б).

Рис. 8.4. Микрофотографии ямок травления для поверхности < 111> специально приготовленного образца Си [75] (я) и плоскости скола кристалла Bi, аналогичного тем, которые использовались при измерениях в работе [34] (б).

измерениях 25 кГс) и для Bi (наименьшее поле 130 Гс) эксперименты соответствуют или почти соответствуют режиму малых орбит. Однако для орбит на «пузе» в Си, если учесть, что измерения также начинались с поля -25 кГс, при больших значениях D и при меньших полях нарушалось условие малых орбит и происходил переход к режиму больших орбит, который, правда, полностью не достигался. Впрочем, не следует подходить к этому вопросу чересчур догматично, поскольку критерий г — d( или, как в теории Уотса, г = vd) нельзя использовать буквально; вполне допустимо, что с величиной d или с d/2 следует сравнивать 2г или даже 2тгг, а в таком случае режим малых орбит даже для шеек в Си или для Bi в полной мере осуществляется лишь в области наибольших полей, использованных в экспериментах.

б. Если отсутствует непосредственная информация о плотности дислокаций D, то косвенный, но простой критерий можно получить, исходя из фактически наблюдаемой величины ослабления амплитуды. В случае если график Дингла не слишком’ искривлен, можно экстраполировать его к значению \/Н = 0, не внося слишком большой погрешности, и тем самым получить оценку значе-

ния lntfD при любой величине 1///. Если теперь отождествить — lnl?D с Н^/Н (что имеет смысл только в том случае, если график Дингла представляет собой прямую линию) и использовать формулу (8.37), то можно оценить значение r/d и определить, какому режиму соответствуют измерения. Этот метод при использовании значений р, приведенных в табл. 8.3, дает оценку r/d, которая сопоставима с оценкой r/d, получаемой прямым методом, согласно «а», в тех немногих случаях, когда имеются экспериментальные результаты.

в. Как уже отмечалось, множитель RD(p) для р-й гармоники при некотором поле Н должен быть тем же самым, что и для основного тона [т.е. flD(l)] при поле Н/р, однако лишь тогда, когда для обоих полей имеет место один и тот же режим. Само по себе это еще не говорит о том, какой именно режим имеет место, однако если имеются еще и другие основания считать, что при некотором значении поля осуществляется случай малых орбит, то поведение гармоники при поле, в р раз большем, может служить подтверждением этого. В том специфическом случае, когда график Дингла представляет собой прямую, т.е. когда — ln/?D пропорционален \/Н, надо надеяться, что график -lnl?D(p) также будет прямой линией, наклон которой в р раз больше, чем для — ln/^D(l). Как мы увидим далее, экспериментальные результаты, относящиеся к гармоникам, не оправдывают этих ожиданий.

г. В разд. 6.5 было показано, что влияние магнитного взаимодействия на амплитуду и гармонический состав осцилляций дГвА будет различным соответственно тому, определяется ли фактор Дингла «микроскопическими» эффектами (рассеянием на примесях и, возможно, влиянием дислокаций в режиме больших орбит) или размытием фаз. Предположение, что в образцах области весьма удовлетворительного качества имеют размеры больше размеров орбит, т.е. что осуществляется режим малых орбит, по-видимому, подтверждается многими измерениями, проведенными с благородными металлами в полях больше 5 0 кГс [48, 394] и с Na [3 31]. Было бы желательно повторить подобные эксперименты, используя образцы с известной плотностью дислокаций, чтобы получить независимое подтверждение этого вывода.

д. Если квантовый предел достижим в практически доступном поле, как в случае Bi при Н, параллельном бинарной оси, то исследование формы линии одной-двух последних осцилляций дГвА позволяет судить о механизме, ответственном за уменьшение амплитуды осцилляций в более слабых полях. Для этих нескольких последних осцилляций удобнее рассматривать форму линии, а не про-

водить разложение в ряд Фурье, поскольку даже при наличии уширения (и за счет конечной температуры и столкновений и за счет размытия фаз) линия лишь несколько отклоняется от того идеального пика, какой наблюдался бы при полном отсутствии уширения (как видно из рис. 8.7). Влияние размытия фаз в таком случае лучше всего установить по тем искажениям линии, которые отличают ее от идеальной. В принципе возможно определить если не саму функцию распределения фаз, то по крайней мере ширину этого распределения, сравнивая форму линии, вычисленную с той или иной пробной функцией, с экспериментально установленной. Если таким образом определить размытие фаз по измерениям в квантовом пределе, то становится возможным предсказать поведение амплитуды осцилляций в меньших полях, когда из-за размытия фаз исчезают все гармоники, кроме одной-двух. Если множитель, описывающий уменьшение амплитуды при меньших полях, следует предсказаниям, можно с достаточным основанием быть уверенным в том, что для всей области полей реализуется один и тот же случай соотношения размеров орбиты и расстояния между дислокациями. Экспериментальные результаты, полученные при исследовании Bi (см. далее), действительно позволяют утверждать, что вплоть до полей порядка 150 Гс осуществляется тот же режим, что и в квантовом пределе (-15 кГс), когда размеры орбиты заведомо малы по сравнению с характерным расстоянием между дислокациями.

е. Для гигантских квантовых осцилляций затухания ультразвука (см. разд. 4.6) характерна значительно более острая форма пиков, чем для осцилляций дГвА. В отсутствие затухания они должны иметь вид 6-функций. Для хороших образцов при низких температурах осцилляции проявляются в виде острых пиков и можно исследовать их уширение по крайней мере в той же степени, как, скажем, и для десятой осцилляции ниже квантового предела. Согласно теории, изложенной в разд. 4.6, если температура Дингла (имеющая величину, например, порядка 0,5 К) обязана «микроскопическим» механизмам, т.е. рассеянию электронов на примесях и, возможно, на дислокациях в режиме больших орбит, то ГКО должны ушириться настолько, что совершенно теряют характер пиков. Поэтому если осцилляции все еще выглядят как узкие пики, то можно заключить, что рассеяние электронов дает лишь небольшой вклад (порядка 0,05 К или меньше) в наблюдаемое значение х. Как показано в разд. 4.6, уширение пиков, превышающее температурное, после выделения температурного вклада может быть далее разделено на уширение, обязанное неоднородности образца (т.е. размытию фаз в режиме малых орбит), и уширение, обязанное «микро-

скопическим» механизмам; последнее распознается по характерной асимметрии линии. В принципе сопоставление вклада, обязанного размытию фаз, и спада амплитуды в слабых полях позволяет судить, в какой степени один и тот же параметр описывает ситуацию в сильных и слабых полях. Существующие данные (см. разд. 4.6) свидетельствуют о том, что параметр, описывающий уширение (т.е. температура Дингла, которая должна была бы наблюдаться в эффекте дГвА), практически один и тот же как в слабых полях, так и вблизи квантового предела. Однако желательно проведение дальнейших экспериментов для более точной проверки этого обстоятельства. В идеальном случае следовало бы на одних и тех же образцах изучать как дГвА, так и гигантские квантовые осцилляции.

Эксперименты на Си

Как уже упоминалось, при проведении различных экспериментов (КУ, ТХ, ЧХ) использовались образцы, изготовленные с помощью разной технологии. Вследствие этого у них были различны как вид дислокационных линий, так и однородность их распределения по кристаллу. Если на время пренебречь этим различием, а также не обращать внимание на небольшую кривизну некоторых из графиков Дингла, полученных в работе ЧХ, то можно попытаться сравнить экспериментальные результаты с предсказаниями нашей теории, построенной «на пальцах» [формула (8.33) и (8.35)], предполагая, что имеет место случай малых орбит.

Начнем с установления зависимости //0 (т.е. в рамках простой теории наклона графика — lnl?D относительно 1///) от плотности дислокаций D. Если соотношение (8.35) справедливо, то следует ожидать зависимость видаР1/2. Однако, как видно из рис. 8.5, результаты скорее соответствуют зависимости, пропорциональной D, чем ВЛ, хотя разброс точек довольно велик0. Если пренебречь этим различием и воспользоваться формулой (8.35), подставив в нее значение В из середины диапазона, скажем В = 4 х 107 см“2, то можно сравнить предсказываемые и наблюдаемые величины //0. В соответствии с табл. 8.3 для «шеек» следует ожидать HQN « « 60 кГс, в то время как измеренное значение //0N ® 100 кГс. Для

° Недавние эксперименты [35], проведенные на кристаллах с большой плотностью дислокаций (D * 2 х 109 см-2), заставляют предполагать зависимость, даже более медленную, чем DV1. Возможно, что оценки D на самом деле дают значения, более далекие от действительности, чем это нам представляется, и другие характеристики дислокаций могут быть различны в разных экспериментах.

орбит на «пузе» эти величины составляют соответственно 160 кГс и 100 кГс.

Примечательно, что простая теория дает правильный порядок величины, хотя не следует забывать, что вследствие иной зависимости от D, чем предсказанная, отношение вычисленного и измеренного значений Но будет уменьшаться при D > 4 х 107 см-2 и возрастать приР < 4 х 107 см-2. То обстоятельство, что для «шеек» вычисленное значение Н^ меньше, а для «пуза» — больше измеренного, не должно нас слишком беспокоить: в приложении 16 при вычислениях значений dlnF/ds, фигурирующих в формуле (8.35), использовалась идеализированная модель, и сделанные при этом упрощения вполне могут различным образом повлиять на результаты для «шейки» и «пуза».

В теории Уотса график Дингла искривлен и его средний наклон не определяет значения//0, как в простой теории. Если определить х по среднему наклону графика Дингла в соответствующем диапазоне полей, используя в теории Уотса параметры, выбранные так, чтобы правильно описывалось отклонение графика от прямой при одном из значений!) (1,5 х 107 см-2) (об этом см. ниже), то зависимость x(D) приобретает вид, показанный штриховой линией на рис. 8.5. Она значительно лучше согласуется с экспериментом, чем предсказанная в простой теории. Чтобы сравнить с экспериментом теорию ЧХ, требуется произвести сложное численное интегрирование, что было проделано только в случае «шеек». Хотя при этом и оказывается возможным достичь согласия с экспериментом, как видно из рис. 8.5, значения параметров, которые приходится при этом задавать, представляются не слишком правдоподобными.

При рассмотрении задачи «на пальцах» поле Но играет роль масштабного параметра в том смысле, что значение — ln/?D должно быть функцией от Н^/Н, в частности линейной функцией при лоренцевом распределении деформаций, однако о том, какой вид имеет функция распределения, априори ничего нельзя сказать. Более детальные расчеты, суть которых описана выше, дают некоторые сведения о виде зависимости — ln!?D от поля и, как уже упоминалось, предсказывают существенную нелинейность графика Дингла в режиме малых орбит. Однако экспериментальные результаты плохо этому соответствуют. В ранних экспериментах КУ и ТХ график Дйнгла достаточно убедительно описывается прямой линией. Однако, согласно экспериментам ЧХ, проведенным на образцах с более определенными характеристиками, графики Дингла для осцилляций, обязанных орбитам как на «пузе», так и на «шейке», в некоторых случаях были заметно нелинейными (рис. 8.6). Возмож-

Рис. 8.5. Зависимость средней температуры Дингла х от плотности D дислокаций для осцилляций, обязанных орбитам на «пузе» (б) и «шейке» (а) в Си. Поле Яо (в Гс) равно 2,0 х 105х для «пуза» и 6,8 х 104х для шейки. Точки — результаты эксперимента: 1,2 — [75], два разных образца; 3 — [436]; 4 — [96]. Теоретические линии: пунктирная — простая теория, дающая для х = 1,28 х 10" 4 D1/2 («пузо») и 1,48 х 10"4 £>1/2 («шейка»); штриховая — по теории Уотса [469] с v = 8 и д = 4,1 («пузо») и 11,0 («шейка»); штрихпунктирная — для «шейки» по теории Ченга и Хиггинса [75]. В недавних экспериментах [35] получены значения х ~ 1 К («пузо») и ~3 К («шейка») при D ~ 2 х 109см~2, но это значение D следует рассматривать лишь как очень грубую оценку.

Рис. 8.6. Графики Дингла для осцилляций в Си < 111>, обязанных орбитам на «пузе» (а) и на «шейке» (б). Представленные точки — экспериментальные результаты [75], но начало отсчета по оси у смещено таким образом, чтобы достичь согласия с теоретической кривой по Уотсу (штриховые линии). Параметры теоретической кривой: v = 8 и д = 4,1 («пузо») и 11 («шейка») (т.е. те же, что и при построении рис. 8.5); этот выбор представляет собой некоторый компромисс; большое значение v необходимо, чтобы избежать излишнего искривления графика.

но, для образцов с менее регулярным расположением дислокаций, чем у ЧХ, кривизна графика несколько уменьшается, но сейчас пока трудно сказать, почему это может быть так.

Искривленные графики Дингла, полученные ЧХ, можно описать почти количественно, используя любой из рассмотренных выше теоретических подходов, хотя при подгонке как к той, так и к другой теории приходится делать маловероятные предположения. На рис. 8.6 приведен результат подгонки по теории Уотса. Два обстоятельства говорят не в пользу теории ЧХ: первое, что приходится использовать явно нереальные значения параметров при задании зависимости F от деформации, и второе, что вычисленная температура Дингла (а с ней и — lnl?D) расходится при поле вблизи 16 кГс, хотя следует отметить, что это происходит уже вне диапазона наблюдения осцилляций. При расчете по Уотсу подгоночными параметрами являются значения /х, определяющее//0, и у, равное отношению длины корреляции к ВЛ (величина//0//z paBHa(2F/£)D1/2 и потому перестает быть подгоночным параметром при известном значении В). Довольно неплохое согласие с экспериментом для осцилляций, обязанных орбитам как на «шейке», так и на «пузе», достигается при выборе р = 8ид = 4,1 для «пуза» и 11,0 для «шейки». То обстоятельство, что эти значения р заметно больше, чем их оценки, приведенные в табл. 8.3 (3.1 и 5.9 соответственно), не должно нас серьезно беспокоить, так как эти оценки основаны на весьма идеализированной модели. Однако необходимость задания столь высокого значения у = 8, чтобы избежать чрезмерного искривления графика Дингла, непросто объяснить. Другое обстоятельство, требующее внимания, состоит в том, что теория Уотса предполагает случайное распределение дислокаций, и, казалось бы, она не приложима к описанию экспериментов ЧХ, исследовавших образцы с регулярным расположением дислокаций. Возможно, однако, что регулярность не была столь совершенной, чтобы полностью исключить наличие случайности. Конечно, наиболее сомнительным является то, что при обоих подходах расчет приводит к искривленному графику Дингла, в то время как в подавляющем большинстве экспериментов не было обнаружено сколько-нибудь заметной нелинейности.

ЧХ представили некоторые результаты по исследованию поведения второй гармоники для осцилляций, обязанных орбитам на «шейке» в одном из образцов (к сожалению, он был не из числа тех, для которых проявлялась нелинейность графика Дингла для основной гармоники осцилляций). Если после исключения зависящего от температуры множителя и множителя 1/V2 амплитуда гар-

моники есть Д/^ » а амплитуда основной гармоники М\, то должно выполняться соотношение

М’г1М\=с^ах1Н(8.56)

где с — отношение множителей G2/Gx, определяемых спиновым расщеплением, и величина а определяется формулами (3.3). Если значение с известно достаточно надежно, то при любом поле Н> зная отношение М2/Мх , можно определить и значение х. Таким способом ЧХ установили, что х изменяется на вполне заметную величину и это изменение линейно по полю, что, как они заключили, подтверждает предсказания теории о нелинейности графика Дингла. Однако этот способ определения х чувствителен к ошибкам при преобразовании исходных данных к форме, в какой они входят в (8.56). Таким образом, весьма желательны дальнейшие экпери- менты по исследованию гармонического состава осцилляций для различных образцов.

В заключение упомянем еще об одном интересном результате ЧХ. Они показали, что понижающие факторы для осцилляций, обязанных орбитам на «шейках», измеренные при четырех эквивалентных направлениях <111>, имеют разное значение вследствие различия углов между разными направлениями типа <111> и направлением дислокаций. При поле, направленном вдоль той оси < 111>, которая почти параллельна дислокациям (они были ориентированы вдоль [121], т.е. под углом —20° к [111]), температура Дингла была минимальной (0,35 К) и увеличивалась до своего наибольшего значения (0,79 К) при поле, перпендикулярном дислокациям. Столь существенная анизотропия, которая качественно согласуется с расчетами ЧХ, служит дополнительным подтверждением того, что уменьшение амплитуды осцилляций обязано дислокациям.

Эксперименты на Bi

При поле, параллельном бинарной оси, циклотронная масса исключительно мала {m/mQ = 0,0091) и при температуре —0,6 К удается наблюдать осцилляции, начиная от квантового предела при -14 кГс вплоть до поля -130 Гс. Это дает возможность исследовать механизм размытия фаз в необычайно широком диапазоне изменения магнитного поля -1 : 100. Попытка использовать эту возможность была предпринята Беркли и Шенбергом (БШ) [34], но, к сожалению, эксперименты не были доведены до конца и некоторые из предварительных заключений, опубликованных в [34], позднее не оправдались. Возможно, приведенное ниже краткое описа-

ние этих экспериментов, при котором будет проведен пересмотр, результатов, послужит стимулом к продолжению исследований в этом направлении, обещающем много интересного. Как уже упоминалось, весьма информативными были бы и независимые измерения гигантских квантовых осцилляций затухания звука.

Проведение исследований при поле вдоль бинарной оси удобно потому, что при этой ориентации две из трех частот, обязанных трем электронным эллипсоидам, малы и должны быть точно равны друг другу, а осцилляции от третьего электронного эллипсоида и от дырок имеют значительно бблыпую частоту. Вследствие этого во всех полях, за исключением области больших полей, должны наблюдаться лишь осцилляции низкой частоты (и ее гармоники), что упрощает анализ их амплитуд. В предварительных экспериментах осцилляции наблюдались лишь в полях выше -400 Гс и ярко выраженная нелинейность графика Дингла (левая часть графика на рис. 8.7) была приписана влиянию дислокаций с гауссовым распределением. Однако, когда несколько позднее исследования были продолжены вплоть до поля ~ 130 Гс, стало очевидно, что кривизна обязана биениям с очень большим периодом между осцилляциями

Рис. 8.7. График Дингла для Bi при поле Я, направленном почти по бинарной оси. Т = 0,57 К (Беркли и Шенберг, 1975 г., не опубликовано). Точки — результат прямых измерений значения In [амплитуда х Я%5тЬ(г/г)], на которых проявляются биения осцилляций двух частот (строго равных при Н вдоль бинарного направления). Значения ln/?D, которые должны иметь место при точной ориентации, вычисленные соответственно приложению 18 и скорректированные с учетом более высоких гармоник, помечены знаком О. Экстраполяция их положения 1 /Н = 0 дает начало отсчета для ln/?D. Наклон линейного графика определяет Яо = 500 Гс и соответственно х = 0,37 К.

двух номинально равных частот. В действительности эти частоты строго равны друг другу лишь при точной ориентации вдоль бинарной оси, и совсем небольшого (порядка 0,3°) отклонения поля от этого направления (а оно вполне могло иметь место) достаточно, чтобы появились наблюдавшиеся биения^. Если принять такое объяснение аномалии графика Дингла, то нетрудно скорректировать его с учетом отклонения от точной ориентации (см. приложение 18) и, как видно из рис. 8.7, скорректированный график Дингла достаточно линеен. Наклон графика Дингла дает //0 = 500 Гс (х = = 0,37 К), и, исходя из очень грубой оценки плотности дислокаций D ~ 10б — 107 см-2, найдем H^/D1 ~ 0,16 — 0,5 Гс • см, что сравнимо с очень грубой оценкой 0,6, приведенной в табл. 8.3. Видно также, что поскольку даже при самом слабом поле отношение* Hq/H равно всего лишь примерно 4, то реализуется режим малых орбит, так как отношение r/d должно составить лишь /и от значения Hq/H, т.е. r/d - 0,3. Это опять сопоставимо с результатом прямого расчета г ~ 3,3 х 10-4 см (при 130 Гс) и d = D~2 ~ - (3 — 10) х 10"4 см.

Дополнительным подтверждением возможности использования экспоненциального фактора Дингла, характерного для лоренцева распределения и режима малых орбит, служат результаты анализа гармонического состава осцилляций ДМ/ДН в относительно больших полях, аналогичных показанным на рис. 8.8. После введения поправок на изменение огибающей в пределах одной осцилляции графики для 8-й и 13-й осцилляций были оцифрованы и подвергнуты фурье-анализу. Амплитуды гармоник Ар и их фазы приведены в табл. 8.5. Результаты, получающиеся при этом анализе, весьма чувствительны к точному значению спинового фактора cos(1/2 7rpgm/m0). Эксперименты, которые будут обсуждаться в гл. 9, показывают, что этот множитель можно записать в виде cosp(tt + х), где х — малый угол, равный х = 16,9° с точностью ~ 1°. Если подставить это значение в формулу ЛК для ДМ/ДН, то выяснится, что р-гармоника должна иметь следующую зависимость отр:

exp(~pH0/H)p1/2(cospx/sinhpz)sin(27tpF/H + |л), (8.57)

!) При выполнении работы [130] была обеспечена точность ориентации -Г; при поле, направленном вдоль бинарной оси, наблюдались осцилляции до поля -100 Гс, амплитуда которых спадала монотонно. Аналогично при поле вдоль бис- секторной оси при Н ^ 200 — 300 Гс, когда оставались лишь самые длиннопериод- ные осцилляции только от одного эллипсоида, их амплитуда изменялась монотонно. — Прим, перев.

Рис. 8.8. Форма линии для осцилляций 8 и 13 (переснято с экспериментальной записи) для Bi при Н вдоль бинарной оси (осцилляция в квантовом пределе считается первой). Огибающие показаны штриховыми линиями. Значения dM/dH представлены в произвольных единицах; для приведения масштабов к одной величине ординаты для линии 13 надо увеличить в 1,27 раза по сравнению с линией 8. Шкалы для поля указаны на рисунке, они тоже различны. Средние значения Н и Т равны - 1,75 кГс, 0,58 К для осцилляции 8 и 1,06 кГс, 0,59 К для осцилляции 13 (Беркли и Шенберг, 1974, не опубликовано).

Таблица 8.5. Фурье-анализ двух осцилляций, показанных на рис. 8.8

р

А Р

Ар sinh/H

Р p^wpx

/ А' \ _1Р 1 — и /И Ы Тс

град

/ 0

X Р - 1/

“О’ *

Осцилляция № 8, Н =

1750 Гс

1

4,54

-43,9

—

2,22

—

—

2

1,85

-133,5

45,7

1,63

0,31(0,33)

540(570)

3

0,73

-218,7

87,0

1,22

0,29(0,33)

510(570)

4

0,25

63,3

121,1

0,97

0,23(0,31)

400(550)

Осцилляция № 13, Н =

1060 Гс

1

5,60

-58,6

—

4,90

—

—

2

1,56

-160,3

43,1

2,90

0,52(0,54)

560(570)

3

0,43

-254,1

78,3

1,86

0,45(0,48)

470(510)

Примечание: Ар — амплитуда р-й гармоники (в произв. ед.), фр — ее фаза, отсчитываемая от произвольно выбранного начала; для х принято значение 16,9. В скобках приведены значения, получающиеся при х = 16,0°. Представленное в таблице значение рф^ - ф вычислено без учета таких малых эффектов, как вариации энергии Ферми при изменении поля, что приводит к поправкам в формуле ЛК при небольших квантовых номерах, а также без учета небольшого МВ, влияния биений вследствие небольшой разориентации и, возможно, систематических фазовых сдвигов за счет мозаичности структуры, хотя последний эффект должен быть пренебрежимо мал (см. табл. 8.6). В той степени, в которой можно оценить вклад этих эффектов, достигающих примерно 5°, они, скорее, приведут к ухудшению, а не улучшению согласия величины рф^ - ф с формулой (8.59). Р

где z = l^kT/^H и предполагается, что фактор Дингла имеет экспоненциальный вид. Поэтому если измеренная амплитуда (в произвольных единицах) равна Ар, то должно выполняться соотношение

Ар = ^P(sinhpz)/(p1/2cospx) ос ехр(-рН0/Н) (8.58)

и значение Но можно определить по отношению А р /Ар _ р которое не зависит от коэффициента пропорциональности. То обстоятельство, что значения //0, определенные таким способом, не сильно отличаются от величины 500 Гс, полученной по графику Дингла, построенному для основной гармоники, вызывает доверие к результатам. Не следует обращать серьезное внимание на относительно небольшие расхождения, поскольку результаты чувствительны к величине используемого значения х (так, уменьшение х ДО 16,0° приводит к лучшей согласованности, хотя при этом среднее значение Но увеличивается). Кроме того, введение поправки на изменение огибающей может привести к заметным ошибкам, особенно для более высоких гармоник. Рассмотрение фаз гармоник дает основания полагать, что при фурье-анализе получены вполне разумные величины. Значения фаз фр, определенных в этих экспериментах, отсчитываются от произвольно выбранной начальной фазы, однако, как легко видеть [см. (9.15)], если выполнено условие (8.57), то имеет место равенство

РФ1 -ФР = (Р- 1)л/4 , (8.59)

которое выполняется вполне удовлетворительно (табл. 8.5), особенно если не забывать об упоминавшихся погрешностях анализа, о которых шла речь. .

Сведения о размытии фаз при еще ббльших полях можно получить, исследуя форму линии последней из осцилляций^ (рис. 8.9). В этом случае оказывается более удобным, не проводя гармонический анализ, прямо проследить, как сглаживается «идеальная» линия при Т = 0 вследствие влияния конечной температуры и размытия фаз (обусловленного либо рассеянием электронов, либо неоднородностью образца). Экспериментальная кривая имеет сложную форму за счет присутствия осцилляций более высокой частоты (обязанных дыркам и третьему электронному эллипсоиду), а также за счет спинового расщепления. Некоторое представление об идеальной форме

^ В принципе для этого можно использовать и осцилляции с л = 2 или п = 3, но более определенные результаты получаются при п = 1.

Н.кГс **

Рис. 8.9. «Последняя» осцилляция в Bi при Н вдоль бинарной оси при Г = 0,6 К [34]. Более частые осцилляции обязаны другим участкам ПФ. Штриховая линия дает представление о ^эм, какими должны быть осцилляции при Т = -0 для совершенного образца, если бы высокочастотные осцилляции отсутствовали. Присутствие двух ступенек (а не одной) связано со спиновым расщеплением (см. п. 9.5.1).

линии можно получить, нарисовав от руки сглаженную линию, проходящую через середины частых осцилляций, с «обрывами» равной высоты, расположенными там, где уровни Ландау для каждого из двух направлений спина при увеличении поля опустошаются скачком. Влияние температуры и размытия фаз, естественно, должно быть наиболее отчетливо выражено для этих «обрывов», и едва заметно на большей части кривых, описывающих плавное приближение к ним.

Если идеальная форма линии описывается функцией v(^), где фаза ^ = 2icF/H, то размытие фаз с нормированной функцией распределения О(ф/К) приведет к изменению у(^), определяемому выражением

t/W = Гг(еД -Ь </>)£>(</>/Л)d(</>/A).(8.60)

Это эквивалентно сглаживанию идеальной формы линии и(Н\ так что для зависимости от поля Н получим

Г , х /2яГй\ ,/2яГй\/о

u^H)= u(H + /i)Dl—zjldl—уг).(8.61)

J\ п A J \ п А )

Как показано в п. 2.3.7, дляР и X Можно использовать следующие выражения:

= 1/2(1 + coshz), Ai = 2пкТ/0Н,(8.62)

описывающие температурное размытие, и

D2(z) = 1/я(1 + z2), А 2 = Но/Н = 2п2кх/рН, (8.63) описывающие размытие фаз при их лоренцевом распределении, если е" Я«/4Я2—понижающий множитель для амплитуды основной гармоники осцилляций в слабых полях. Порядок, в котором производится это сглаживание, не играет роли. Если распределение является гауссовым, а не лоренцевым, то (8.63) следует заменить на

D'2(z) = n-1/2e"z2, Х2 = На/Н,(8.64)

_-Н2/4Н2

с понижающим множителем в слабых полях, равным е о .

Были проведены расчеты, описывающие сглаживание линий 1). Сначала определялся температурный вклад (соответствующий значению температуры 0,6 К, при которой проводились эксперименты), а затем вводилось описываемое лоренцевым или гауссовым распределением размытие фаз при различных значениях /70. К сожалению, присутствие высокочастотных осцилляций не позволяет с уверенностью судить, какое из распределений лучше описывает экспериментальную форму линии. При лоренцевом распределении, в пользу которого свидетельствует линейность графика Дингла в слабых полях, лучшая подгонка достигается при //0 ~ 300 Гс. Это заметно меньше значения 500 Гс, получаемого по наклону графика Дингла, однако высокочастотные осцилляции делают оценку уширения спада по данным эксперимента весьма неопределенной и потому вполне можно допустить, что практически никакого расхождения нет. Итак, мы видим, что один и тот же параметр //0 ~ ~ 500 Гс описывает уширение линии в диапазоне полей с отношением ~ 100 : 1. Правда, в сильных полях возможно его некоторое уменьшение.

В проведенном рассмотрении «идеальная» зависимость в квантовом пределе была получена графически «на глазок». Несколько лучшая ее версия может быть установлена на основе теории зонной структуры. В работе [365] был произведен расчет искажения линии,

!) При этих расчетах, поскольку наибольшее внимание обращалось на область вблизи последнего скачка на рис. *8.9, формула (8.61) была несколько упрощена путем подстановки F/H = 1. Это упрощение не должно приводить к большой ошибке.

использующий это приближение, для оценки температуры Дингла как для чистого Bi, так и для его сплавов. И в этом случае удалось показать, что одно и то же значение температуры Дингла приводит к хорошему приближению как при больших, так и при малых полях.

Мозаичная структура

Образцы, номинально считаемые монокристаллами, часто состоят из множества зерен, каждое из которых является совершенным кристаллом со случайным отклонением ориентации от некоторой средней, которая характеризует образец в целом. Затухание осцилляций вследствие мозаичности структуры, впервые обсуждавшееся Шенбергом [389] и Пристли [354], может быть как весьма незначительным при тех ориентациях поля, при которых частота F экстремальна, так и приводить к исчезновению осцилляций, если частота F быстро изменяется как функция угла. В этом разделе будет вычислен понижающий множитель, обязанный мозаичности структуры, для некоторых простых ситуаций, и проведено сравнение с довольно скудным экспериментальным материалом. В дальнейшем мы будем предполагать, что размер зерен велик по сравнению с радиусом орбиты. Предельный случай мозаичной структуры — поликристалл, в котором равновероятны всевозможные ориентации, и мы покажем, что в отдельных случаях, несмотря на усреднение по всем ориентациям, все же могут наблюдаться осцилляции вполне заметной амплитуды. В ходе вычислений будет предполагаться без особых оснований, что разброс ориентаций в мозаичной структуре подчиняется гауссову распределению0. Согласно немногочисленным имеющимся экспериментальным результатам, такое предположение, по-видимому, оправданно, однако вид закона распределения не играет большой роли при оценке порядка величины понижающего множителя и его зависимости от «ширины» распределения.

!) При нашем анализе мозаичной структуры неявно предполагается, что описание разброса ориентаций за счет мозаичности относительно какого-либо направления в кристалле не зависит от того, о каком именно направлении идет речь. Можно показать, что это предположение верно, если а) нет «текстуры» в мозаичном кристалее; б) разброс ориентаций можно описать распределением вероятностей единственного угла Vs который определяет отклонение кристаллографического направления какого-либо зерна от средней ориентации [т. е. при гауссовом распределении dP = 2а^^ехр(-а^2)], и в) диапазон углов отклонения ориентаций можно считать малым. Более общее описание текстурированных структур дано в статье [503]. — Прим, при корректуре.

Естественно, если бы было проведено специальное исследование реального распределения ориентаций рентгеновскими методами, то оказался бы возможным более объективный численный расчет уменьшения амплитуды осцилляций.

Ориентация, при которой частота F экстремальна

Если ПФ состоит из одного участка, то частота F экстремальна по отношению к изменению угла при симметричных направлениях (таких, как <100>, <111> и <110> в кубическом кристалле); частота/7 может быть экстремальна и при несимметричных направлениях. Например, это имеет место для Си при поле, лежащем в плоскости (ПО) и направленном под углом 16° к оси < 100>, когда наблюдается абсолютный минимум, или под углом 12° к оси < 100> в плоскости (100), где имеется седловая точка. Однако если ПФ состоит из нескольких участков, связанных между собой преобразованиями симметрии, как, например, из трех эллипсоидов в Bi, то в симметричных направлениях могут пересекаться отдельные ветви спектра частот F, но при этом частота не обязана быть экстремальной.

Поскольку обычно мы будем ограничиваться лишь расчетом в небольшом диапазоне углов (за его пределами размытие фаз эффективно подавляет осцилляции), то без большой погрешности можно будет использовать прямоугольные координаты (а, 0), чтобы задать угловое отклонение оси какого-либо зерна от средней ориентации (0, 0), выбранной за начало отсчета. Предполагается, что эта ориентация соответствует экстремуму частоты F. Тогда можно задать гауссово распределение ориентаций в виде ехр[—(а2 + + 02)/u2]dad0 со среднеквадратичным отклонением (т.е. <а2 + + 02УЛ = и). Такое распределение предполагает, что все направления, лежащие на конусе с заданным углом между его образующей и направлением (0, 0), являются равновероятными, но это не обязательно должно быть верным. Поскольку частота F экстремальна при направлении поля (0, 0), то фазовый сдвиг Д^ для направления (а, 0) можно представить в виде

Ai// = аа2 + bp2, (8.65)

если оси (аг 0) выбраны надлежащим образом. Если а и b имеют одинаковый знак, то направление (0, 0) соответствует либо абсолютному максимуму, либо абсолютному минимуму, а если же их знаки различны, то седловой точке. Значения а и b равны соответственно значениям d2F/da2 и d2F/d02, умноженным на т/Н, если речь идет об основном тоне, и в р раз больше для р-й гармони-

ки. Понижающий множитель Ям (индекс «М» соответствует «мозаичности») для основной гармоники определяется формулой

Rm =Rm =exp[i(aa2 + ЬД2)]ехр[-(а2 + ^Ми1^ dad)3exp[i(aa2 + ЬД2)]ехр[-(а2 + ^Ми1^ dad)3ехр[ —(a2 + 02)/u2]dad£.ехр[ —(a2 + 02)/u2]dad£.(8.66)(8.66)

Rm =

Rm =

exp[i(aa2 + ЬД2)]ехр[-(а2 + ^Ми1^ dad)3

exp[i(aa2 + ЬД2)]ехр[-(а2 + ^Ми1^ dad)3

ехр[ —(a2 + 02)/u2]dad£.

ехр[ —(a2 + 02)/u2]dad£.

(8.66)

(8.66)

Предполагается м < 1, так что подынтегральные выражения пренебрежимо малы, когда а и 0 становятся столь большими, что их «плоское» представление перестает быть точным. Поэтому не возникает большой ошибки при использовании такого представления и интегрировании от - оо до + оо. Двойное интегрирование без труда разделяется и после несложных алгебраических преобразований получается следующий результат:

RM = ^ а2и4у1<4^ Ь2и4^

= [1 +(nF';u2/H)2]"1/4[l +№u2///)2]"1/4,(8.67)

где F" = d2F/da2, F'^ = d2F/d02. Возникает также сдвиг фазы 6] результирующей осцилляции:

^i = ^an"4TiF;u2/H) + tan-47tF^u2/H^.(8.68)

Важен особый случай а = Ь. Он реализуется, например, при направлениях < 100> или < 111> (но не при < 110>) в кубических кристаллах при единственном участке ПФ. В этом случае

(8.69)(8.69)Ям = (1 + У2) 1/2,<$1 = tan

(8.69)

(8.69)

где у = nF'V/H .

Причина появления сдвига фазы заключается в том, что при любом отклонении от экстремальной ориентации частота F изменяется в одном направлении.

Некоторые значения F” приведены в табл. 8.6. Там же для разумных значений Н указаны величины tF" иг/Н, т.е. у, в предположении и = 3 х 10”3 (0,2°). Такое значение и типично (хотя при достаточном старании можно достичь и значительно меньшего разброса ориентаций кристаллов). Как видно, обычно множитель Ям при экстремальной ориентации не сильно отличается от единицы, за исключением тех случаев, когда на ПФ имеются углы, как,

Таблица 8.6. Параметры, используемые при оценке влияния мозаичности структуры

-10-8Г" Гс,7 = 4ir/H)F” u2\RM

Си

Си

«Пузо», <100>-2,30,130,992

«Пузо», <111>-6,70,380,94

Минимум в плоскости (100), 12° от оси < 100>2,9; -0,070,16; 0,0040,994

Минимум в плоскости (ПО),

• 16° от оси < 100>3,1; 0,250,18; 0,0140,992

«Шейка», < 111 >0,90,050,999

«Собачья кость», < 110>12,3; 6,40,70; 0,360,88

«Розетка», < 100>11,50,650,84

К

<100>-0,060,003

<111>-0,020,001

< 110>0,01; 0,0060,0006; 0,0004 1 — 5х 10'6

Na

<100>-0,010,0006

<111>-0,060,003

<110>-0,01; 0,030,0006; 0,002

Al

ПФ во второй зоне <111>,<110)-50-5-0,2

<100>-300- 30- 0,03

Bi

Н II бинарной оси-0,0001т * 0,0001-0,998

F;ax-104rc,rF'u/H -

- 5х10~2

Примечание: F” * d*F/<№2, и — среднеквадратичное отклонение ориентации в мозаичном образце; представленные значения — оценки, основанные на опубликованных табличных значениях или графиках, описывающих зависимость частоты F от ориентации; в лучшем случае их точность порядка ЮФо; значения, представленные со знаком -, верны лишь по порядку величины. Первое из двух значений для несимметричных направлений в Си относится к вариации частоты в соответствующей плоскости, второе — в плоскости, перпендикулярной к ней; минимум в плоскости (ПО) является абсолютным, в плоскости (100) — седловой точкой. Все другие двойные значения относятся к направлению <П0>; первое из них описывает вариацию частоты в плоскости (100), второе — в плоскости (ПО). Значения Лм вычислены по формуле (8.67) или (8.69), за исключением случая Bi, где использована формула (8.76), так как для двух соответствующих эллипсоидов ПФ величина F' имеет конечное значение при поле вдоль бинарной оси. Значения и и Н выбраны соответствующими типичным условиям экспериментов, хотя и может быть и много меньшим для особо совершенных кристаллов. Для Си, К и Na эти значения таковы: и = 3 х х 10'\ Н * 5х 104 Гс; для Al и » 7х 10”3, Н * 1,4х 105 Гс и для Bi и * Зх 10"3, Н = = 2х 103 Гс.

Ям =Ям =ехр[—(a2 + j82)/u2] dad/?,ехр[—(a2 + j82)/u2] dad/?,(8.71)(8.71)

Ям =

Ям =

ехр[—(a2 + j82)/u2] dad/?,

ехр[—(a2 + j82)/u2] dad/?,

(8.71)

(8.71)

например, для ПФ А1 во второй зоне, форма которой близка к модели свободных электронов (см. рис. 5.15). Пристли [354] действительно не удалось наблюдать осцилляции в направлении < 100> с предсказываемой для этого случая частотой даже при поле 150 кГс, и обязанный мозаичности понижающий множитель, равный ~ /зо, вполне может это объяснить (при этой ориентации амплитуда осцилляций даже для совершенного кристалла должна быть очень малой вследствие малой величины ld2?4/d^l ~,/2).

Заметим, что, хотя значение RM обычно близко к единице для экстремальных ориентаций, сдвиг фазы 8t может быть вполне заметным. Как отметили Ченг и Хиггинс [75], наличие такого сдвига фаз можно установить (если значение у достаточно велико) при точном измерении относительного сдвига фаз 28 j — 82 между основной и второй гармониками ф = 2). Поскольку при круговой симметрии (а = Ь) имеем 82 = tan-12y, то, опуская вклад от постоянной фазы тг/4, согласно формуле ЛК,

281 - 82 = 2tan"1 у - tan"1 2у = tan-1 [2у3/(1 + Зу2)]. (8.70)

Для меди это вполне ощутимая величина в случае осцилляций, обязанных траекториям на «пузе» при направлении < 111> (в условиях, предполагавшихся в табл. 8.6, 26j — 82 - 4°), однако она едва ли наблюдаема для «шеек» в Си (—0,1°). Хотя разность 28, ~ 82 и может быть слишком мала для наблюдения, само значение 8j намного больше (~3° для «шеек» в меди и -20° для «пуза» при направлении <111>) и этот сдвиг фазы может играть важную роль при измерении абсолютного значения фазы.

Неэкстремальная ориентация

Рассмотрим особый случай, когда ПФ обладает круговой симметрией относительно направления экстремума [т.е. а = Ь в (8.65)], однако поле направлено под малым углом ф к этому направлению. В этом случае понижающий множитель принимает вид

exp[i(2aa</> + a(a2 + Д2))]ехр[ —(a2 + /?2)/и2] dad/?

где значения а и 0 отсчитываются от направления магнитного поля. Двойные интегралы опять разделяются на два, и получаем ре-

зультат (чтобы произвести интегрирование, показатель первой экспоненты в подынтегральном выражении в числителе дополнен до полного квадрата)

*м = (1 + у2Г1/2ехр*м = (1 + у2Г1/2ехрФ2 У2 \ и2 1 + у2/Ф2 У2 \ и2 1 + у2/(8.72)(8.72)

*м = (1 + у2Г1/2ехр

*м = (1 + у2Г1/2ехр

Ф2 У2 \ и2 1 + у2/

Ф2 У2 \ и2 1 + у2/

(8.72)

(8.72)

где 7 определяется так же, как в (8.69). Сдвиг фазы описывается формулой

^ = tan 1 у —^ = tan 1 у —y3(02/u2)1 + у2y3(02/u2)1 + у2(8.73)(8.73)

^ = tan 1 у —

^ = tan 1 у —

y3(02/u2)1 + у2

y3(02/u2)1 + у2

(8.73)

(8.73)

Нетрудно обобщить формулы (8.72) и (8.73) за пределами параболической области (в которой F* = фЕ" ), а также на случай а Ф Ь, однако, мы не будем приводить здесь соответствующие довольно громоздкие выражения. Ченг и Хиггинс [75] получили результат, учитывающий первое из обобщений, но в предположении а = Ь, которое представляется нереалистичным за пределами параболической области.

Сдвиг фазы, определяемый формулой (8.73), может оказаться довольно большим, если значение ф/и велико (например, при ф = = 4° и и = 0,2°), даже если величина 7 мала, что делает почти невозможным определение абсолютного значения фазы осцилляций, за исключением случаев, когда направление поля соответствует экстремуму F или когда речь идет о малых участках ПФ, для которых значение 7 исключительно мало. Относительный сдвиг фаз между основной и второй гармониками равен

2^ - ^2 = tan~x[2y3/(l + Зу2)] 4- 6у3ф2/и2(1 4- у2)(1 4- 4у2).

(8.74)

Формула (8.72) упрощается в двух предельных случаях. Если, как это имеет место для ПФ А1 во второй зоне, 7 > 1, то приближенно

*м = (1/у)е"ф /у2 (8.75) и осцилляции имеют заметную амплитуду только в узком диапазоне углов (порядка и) около средней ориентации. Другой предельный случай имеет место при очень малых значениях у, когда формула (8.72) переходит в

RM = ехр[—(тгГ'м/Н)2] (8.76)

(поскольку в нашем приближении Г' = фр" ). Этот результат, разумеется, можно получить и непосредственно, если с самого начала

предположить, что зависимость частоты F от угла в плоскости отсчета угла задается прямой линией, проходящей перпендикулярно направлению экстремума, так что при разложении F по степеням угла а вблизи неэкстремального направления можно пренебречь квадратичными членами. Однако этот приближенный подход эквивалентен предположению F" = 0, что приводит к нулевому сдвигу фазы, а не к конечному, хотя и малому, значению, определяемому формулой (8.73) в пределе малых, но ненулевых значений 7 (т.е. F"

Надо отметить, что если вместо гауссова распределения предположить лоренцево, то простой расчет можно произвести лишь в этом предельном «линей: ом» случае. Как легко видеть на основании формулы (2.140), понижающий множитель при р = 1 равен

Ям = ехр(-2лГ'и/Я), (8.77)

если распределение таково, что объем зерен, ориентация которых лежит в пределах а и а 4-da, пропорционален (1 4- a2/w2)-1.

Экспериментальные результаты [75, 96] по исследованию затухания осцилляций в Си при неэкстремальных направлениях, хотя имеют большой разброс, в общем согласуются с предсказаниями, основанными на использовании гауссова распределения. Так, значения 1пДм при заданном поле Н изменяются линейно с ф2 и наклон этой зависимости находится в разумном согласии со значением параметра и, который описывает мозаичность, оцененным из рентгеновских измерений. Ченг и Хиггинс [75] наблюдали также нелинейность графика Дингла, согласующуюся с формулой (8.76), и получили качественное подтверждение предсказанного относительного сдвига фазы [формула (8.74)].

Кроме отдельных качественных результатов, согласующихся с теорией при объяснении того, почему те или иные осцилляции особенно слабы или вовсе ненаблюдаемы (см., например, [354]), можно упомянуть еще один единственный случай, когда,было получено полуколичественное подтверждение теории. Речь идет об интерпретации экспериментов по исследованию разбавленных сплавов благородных металлов [297]. При определении анизотропии рассеяния на примесях (см. разд. 8.3) необходимо было предварительно сделать коррекцию на мозаичность структуры, и лишь после этого температуру Дингла можно было достаточно надежно считать связанной исключительно с рассеянием на примесных атомах. Было установлено, что значения, полученные при неэкстремальных направлениях, плохо согласуются с ожидаемыми для описывающей

столкновения модели, параметры которой основаны только на результатах измерений при экстремальных ориентациях (когда поправками на мозаичность уверенно можно пренебречь). Если же значения для неэкстремальных направлений скорректировать, используя формулу (8.76) и предполагая одно и то же значение и при всех ориентациях одного и того же образца, то согласованность результатов значительно улучшается. В конце концов методом последовательных приближений можно построить более точную модель, основанную на всех результатах, а не только на полученных при экстремальных ориентациях. Это обстоятельство, хотя и не прямым образом, свидетельствует в пользу гауссова распределения. Современными методами рентгеновского анализа возможно непосредственно определить распределение ориентаций, однако до сих пор это не было сделано, если не считать грубой оценки разброса ориентаций вследствие мозаичности.

Предельное значение понижающего множителя

При обсуждении понижающего множителя до сих пор предполагалось, что размытие фаз описывается непрерывной функцией распределения. Однако в задачах, связанных с мозаичностью структуры, следует учитывать, что имеется лишь конечное число зерен ^, в пределах каждого из которых фаза имеет определенное значение. Если величина N достаточно мала, то результат вычислений, основанных на непрерывном распределении, может оказаться неверным. Эти соображения, вероятно, менее важны при рассмотрении размытия фаз вследствие переменных деформаций, так как поле деформаций от дислокаций непрерывно, хотя деформации и могут иметь почти постоянное значение в пределах областей, больших по сравнению с размерами орбит.

Интуитивно представляется разумным ожидать, что по мере уменьшения поля Н до таких значений, когда разность фаз осцилляций для разных зерен становится очень большой, теряется всякая фазовая корреляция и значение множителя, описывающего уменьшение амплитуды, выходит на постоянный уровень порядка \/VN, а не продолжает уменьшаться по мере уменьшения поля в соответствии с формулами (8.76) или (8.77). Это интуитивное предположение (впервые высказанное Шенбергом и Стайлзом [395]) подтверждается статистическим анализом, хотя, что не удивительно, статистические флуктуации амплитуды от образца к образцу при одном и том же значении N сравнимы с самой амплитудой. Этот анализ (см. приложение 17.2) показывает, что для образца из N зерен ожидаемое значение понижающего множителя R' определяется

формулойформулойN - 1NN - 1NR2R21 + NR2N1 + NR2N(8.78)(8.78)

формулой

формулой

N - 1

N

N - 1

N

R2

R2

1 + NR2N

1 + NR2N

(8.78)

(8.78)

где R — понижающий множитель для бесконечного числа зерен (т.е. при истинно непрерывном распределении фаз)/ Отметим, что при R = 1, что соответствует отсутствию размытия фаз, R' = R, как и следует ожидать, но при R < 1/VTV (т.е. при достаточно малых полях или при достаточно широком распределении ориентаций) доминирующим в (8.78) становится первое слагаемое. При хорошей технике измерений в благоприятных условиях возможно регистрировать осцилляции даже при значениях R < 10“3 (что согласно (8.76) может иметь место, например, при гауссовом распределении с w = 3 х 10"3 в поле —40 кГс, если F* = 107 Гс). В этом случае для образца, составленного из 106 зерен, истинный понижающий множитель R' будет в V2 раз больше вычисленного значения R. Было бы интересно обнаружить этот эффект экспериментально, т.е. наблюдать выравнивание графика Дингла в слабых полях для образцов, у которых размер зерен относительно велик. Но здесь следует упомянуть некоторые обстоятельства, усложняющие картину.

Во-первых, корень квадратный из вариаций действительно наблюдаемого понижающего множителя становится сравнимым с его ожидаемым значением по (8.78), когда слагаемое \/N сравнимо с R1. Как показано в приложении 17.3, отношение дисперсии И(Я'2) к квадрату ожидаемого значения R'1 приближенно равно (если R < 1, N > 1, но TV/?2 s 1)

V^R'2) 1 + 2NR2

<R'2> ~ (1 + NR2)2 ’ (8,79)

Значение этого отношения приближается к единице, когда ТУЯ2 становится меньше единицы; это означает, что вариации амплитуды осцилляций между образцами с одинаковым количеством зерен TV, находящимися в идентичных условиях, должны быть сравнимы с самой амплитудой.

Второе усложнение связано со следующим. До сих пор молчаливо предполагалось, что электронные орбиты всегда малы по сравнению с размерами зерен. Об этом действительно можно не беспокоиться; например, для образца с размерами ~ 1 мм число зерен TV ~ 106, а характерное значение размера зерна -10“3 см, что все еще в 20 раз больше размеров орбиты на «шейке» в Си в рассматриваемых условиях. Нет сомнения, однако, что если размеры зерен

слишком малы, то надо провести вычисления в пределе «больших орбит» (ср. п. 8.4.2), но пока таких попыток не предпринималось.

Наконец, следует также отметить, что при использовании высокочастотной модуляции для исследования осцилляций дГвА (как, например, в экспериментах Шенберга и Стайлза [395] на щелочных металлах) эффективное значение N может значительно уменьшиться за счет скин-эффекта (добавится множитель порядка отношения глубины скин-слоя к размерам образца).

Поликристалл как предельный случай мозаичности

Если образец состоит из зерен со случайной ориентацией, распределенной по в<?ему телесному углу (т.е. представляет собой то, что обычно называется «поликристаллом» в отличие от «монокристалла»), то едва ли следует ожидать для него осцилляций дГвА большой амплитуды вследствие огромного разброса фаз по всем случайным ориентациям. Однако недавние эксперименты показали, что остаточные осцилляции, хотя и имеют малую амплитуду, но вполне обнаружимы. В связи с этим обсудим два примера, когда этот эффект действительно был обнаружен.

Первый случай был несколько курьезным. Проверяя свою установку в университете Ватерлоо, Гродский и Диксон [191]° с удивлением обнаружили слабые дГвА-осцилляции при поле — 100 кГс, хотя в приемной катушке вообще не было образца. Осцилляции имели частоту, характерную для траектории на «пузе» в Си, кроме того, наблюдались длиннопериодные биения. Авторам удалось показать, что осцилляции обязаны проводу из поликристаллической меди, из которого была намотана катушка, и, как сейчас будет показано, простой анализ, при котором поликристалл рассматривается как предельный случай мозаичности, позволяет правдоподобно объяснить их результаты. Существенным исходным пунктом анализа является то, что лишь для тех зерен, ориентация которых при заданном направлении поля близка к экстремальной, когерентность фаз оказывается достаточной для «выживания» осцилляций.

Имея в виду это соображение, начнем рассмотрение, опираясь на формулу (8.66), и посмотрим, что произойдет с амплитудой, если ориентации распределены равномерно в широком диапазоне углов вокруг экстремального направления. Широкий диапазон означает, что эффективное значение и следует взять столь большим,

!) Автор признателен д-ру Гродскому за информацию об этом наблюдении, что стимулировало проведение описываемых здесь расчетов. До тех пор не было известно публикаций, посвященных наблюдению или теории этого эффекта.

32-207

чтобы множитель ехр[—(а2 4- 02Уи2^ можно было положить равным единице. Это, однако, требует изменения нормировки в (8.66), которая верна лишь при достаточно малых значениях и, но легко видеть, что в пределе равной вероятности всех ориентаций знаменатель надо просто заменить на 4тг. Поэтому вклад в амплитуду от тех зерен, ориентация которых близка к экстремальной ориентации (О, 0), равен

А=^4яА=^4яei(-«2 + Wdadj? -ei(-«2 + Wdadj? -(8.80)(8.80)

А=^

4я

А=^

4я

ei(-«2 + Wdadj? -

ei(-«2 + Wdadj? -

(8.80)

(8.80)

где А' — амплитуда осцилляций для монокристалла с ориентацией (0, 0). Здесь мы, естественно, предполагаем, что лишь малая область углов (a, 0) дает вклад в (8.80) вследствие быстрой расфазировки вне пределов области а а2 4- Ь02 ~ тг. Другими словами, предполагается, что все еще допустима плоская система координат для задания углов (а, 0) в диапазоне, который существен. Из табл.

8.6 видно, что это вполне оправданно, за исключением разве случая щелочных металлов. Мы также пренебрегаем тем обстоятельством, что при достаточном отходе от направления (0, 0) мы приближаемся к другой экстремальной ориентации. Вклад от других экстремальных ориентаций можно просто учесть, повторив анализ для нового центра системы координат каждого из экстремумов в пределах телесного угла 4тг, который включен в нормирующий множитель.

Соотношение (8.80) преобразуется в

А = A’l^abV1^ = Л^^ЛТ^1'2).(8.81)

Легко показать, что фаза осцилляций изменяется от своего значения для монокристалла до ф 4- ф в поликристалле, где ф = тг/2,

ф = ^к, если а и b положительны (абсолютный минимум), ф = — ^л, если а и b отрицательны (абсолютный максимум),' *

ф = 0, если а и b имеют противоположные знаки (седловая точка).

Это изменение фазы, по-видимому, имеет лишь академический интерес, поскольку его трудно обнаружить. Если теперь рассмотреть ПФ в Си, то получим для разных экстремумов на «пузе» значения, приведенные в табл. 8.7. После*учета числа повторения каждой из

Таблица 8.7. Понижающий множитель для осцилляций в поликристаллах Си и Na

Орбита

R для одной орбиты

Число направлений в пределах угла 4тг

R (полное)

Си

«пузо»,

< 100>

0,35 х 10"4

6

2х 10"4

«пузо»,

минимум при 12° от

<100> в плоскости (100)

1,8х10"4

24

42х 10"4

«пузо»,

минимум при 16° от

< 100> в плоскости (ПО)

0,9х10~4

24

22х10~4

«пузо»,

<Ш>.

0,12х 10~4

8

lx 10"4

«шейка»,

< 111)

lx 10-4

8

8х 10"4

Na

<ioo>

80х 10"4

6

-0,05

< ио>

50х 10"4

12

-0,06

<111>

13х 10"4

8

-0,01

Примечание: R — число, на которое следует умножить амплитуду, вычисленную для монокристалла по форме ЛК, чтобы получить амплитуду осцилляций для соответствующей орбиты в поликристалле со случайной ориентацией зерен. Представленные величины получены при Н = = 105 Гс по формуле (8.81) с использованием значений F" из табл. 8.6. Вклады от других экстремальных орбит, например от «розетки», <100), или «собачьей кости», <110), малы (по сравнению с «пузом», < 111)), и ими можно пренебречь. Оценки значений R для Na весьма приближенны не только потому, что значения F" известны с большой погрешностью, но и потому, что формула (8.81) в лучшем случае верна лишь качественно.

ориентаций в пределах телесного угла 4тг становится ясно, что основными кандидатами на «выживание» являются осцилляции, соответствующие минимумам. Фактически для монокристаллов амплитуда осцилляций при этих ориентациях особенно велика, так что они доминируют для поликристаллов еще сильнее, чем это отражено в табл. 8.7. Частоты осцилляций для этих минимумов различаются на 0,31 ^7о, так что следует ожидать присутствия биений в наблюдаемых осцилляциях с периодом биений, включающим примерно 320 осцилляций. Это примерно то, что фактически наблюдалось (период биений не удалось установить достаточно точно, поскольку из-за быстрого исчезновения осцилляций их удалось наблюдать лишь в диапазоне полей, слегка превышающем один период биений).

Осцилляции от ансамбля случайно ориентированных малых кристаллов были обнаружены также Рендлзом и Спрингфордом на Li и Na ([359, 360]; см. рис. 5.6). Об этом уже упоминалось в п. 5.3.1. ПФ для Na очень близка к сфере, так что фазы для различных экстремальных ориентаций различаются очень мало (при 100 кГс это

различие составляет примерно 5тг для направлений <111> и любым из направлений < 110> или < 100>; для этих последних фазы различаются меньше чем на тг). Поэтому едва ли следует ожидать, что результаты простого рассмотрения (в ходе которого предполагалось, что в широкой области между экстремумами происходит полная расфазировка) дают более чем грубую оценку. Тем не менее наблюдавшаяся частота биений 3,1 х 10 5 Гс довольно близка к разности частот осцилляций, соответствующих направлениям <111> и любому из направлений < 100> или <110>, равной 2,5 х 105 Гс. На первый взгляд удивительно и то, что биения имеют ту самую амплитуду, которую предсказывает расчет, поскольку представляется естественным, что осцилляции при направлении <111> должны подавляться примерно в 5 раз сильнее, чем доминирующие осцилляции при направлениях (100) и (110). Однако должны присутствовать биения и со значительно большим периодом от осцилляций этих двух почти равных частот (погрешность определения разности этих частот, согласно измерениям Ли [254], в несколько раз превосходит оценку этой величины), и весь диапазон полей, при которых проводился эксперимент, должен совпасть с областью минимума этих длиннопериодных биений.

Более реалистичный расчет формы осцилляций для ансамбля случайно ориентированных частиц был проделан Рендлзом и Спрингфордом на основе описания ПФ рядом кубических гармоник. Исходя из этой модели, они вычислили функцию распределения частот для набора случайных ориентаций, а затем нашли зависимость формы осцилляций от магнитного поля. Как следует из рис. 5.6, предсказанные вариации амплитуды очень похожи на фактически измеренные. Рендлз и Спрингфорд вычислили, что понижающий множитель для Na равен примерно 0,2 (частное сообщение, полученное от д-ра Спрингфорда). Это удовлетворительно согласуется с грубой оценкой по формуле (8.81), согласно которой он должен быть порядка 0,1 (см. табл. 8.7). Рендлз и Спрингфорд приводят лишь грубую оценку измеренной амплитуды осцилляций при 1,2 К (IA/I ~ 2 х 10 4 Гс), и эта величина составляет всего лишь ~2 х х 10“3 от той амплитуды, которая измерена в сходных условиях для монокристалла (IA/I - 10“1 Гс, см. [331]), что намного меньше значения 0,1, отвечающего сделанной оценке. Это расхождение, скорее всего, указывает на то, что качество отдельных частиц коллоида было значительно хуже (т.е. они имели более высокую температуру Дингла х), чем качество монокристаллического образца, исследовавшегося в [331]. Увеличение х на 1 К почти полностью устраняет расхождение.

Амплитуда осцилляций для коллоидов Li была еще приблизи-

тельно в 20 раз меньше, чем для Na, биения были более сложными, и их частота в 10—15 раз выше частоты биений в случае коллоида Na. Эти обстоятельства согласуются с тем, что ПФ Li сильнее отличается от сферы. Как показано в п. 5.3.1, Рендлз и Спрингфорд смогли получить полуколичественную модель ПФ лития путем сравнения экспериментально измеренной картины биений с рассчитанной для ряда пробных моделей.

Рассеяние электронов фононами (см. также п. 2.6.1.2)

Исходя из построенной в гл. 2 теории для невзаимодействующих частиц следует ожидать, что вклад в температуру Дингла должны давать любые процессы рассеяния электронов, в том числе электрон-фононные столкновения. Однако лишь для металлов с аномально малой температурой Дебая подобный эффект — возрастание температуры Дингла при увеличении температуры — может быть существенным при тех температурах, при которых амплитуда осцилляций дГвА достаточно велика, чтобы их можно было наблюдать. Наиболее многообещающим в этом отношении металлом явилась ртуть, для которой, согласно оценкам, основанным на температурной зависимости электро- и теплопроводности, можно ожидать, что зависящий от температуры вклад в х должен быть вполне заметен при 4 К, а при 17 К он должен достигать нескольких градусов (изменение х в первом приближении должно быть пропорционально Г3). Можно было ожидать, что этот эффект проявится как при непосредственном определении х по обычному графику Дингла, построенному при разных температурах, так и в отклонении от линейности графика зависимости 1п(Л/Г) от температуры Т при фиксированном поле Н. Поэтому оказались совершенно неожиданными эксперименты Пейлина [320, 321], в которых ни один из этих эффектов не наблюдался, а результаты в области температур до 17 К и полей до 80 кГс свидетельствовали о том, что температура Дингла не изменяется сколько-нибудь заметно с изменением температуры.

Как уже указывалось в п. 2.6.1.2, этот отрицательный результат и следовало ожидать, исходя из многочастичной теории электрон-фононного взаимодействия [138], вследствие баланса вкладов от действительной и мнимой частей собственной энергии возбуждений. Прежде чем переходить к рассмотрению ситуации в более экстремальных условиях, при которых многочастичная теория предсказывает отклонения от результатов, получаемых при рассмотрении невзаимодействующих частиц (т.е. от формулы ЛК),

упомянем об альтернативной интерпретации отрицательного результат Пейлина без ссылок на многочастичное взаимодействие.

Гантмахер [160] предположил, что отсутствие заметного температурного вклада может быть обусловлено главным образом тем, что при достаточно низких температурах импуль^ фононов слишком мал, чтобы они могли вызвать рассеяние с переходом электрона с одной трубки Ландау на другую. Он показал, что вследствие этого вероятность рассеяния на фононах изменяется как НТ3/2, а не по закону Г3, и это приводит к тому, что наклон графика Дингла не зависит от значения Г, как получено Пейлином. Однако при этом график зависимости 1п(Л/Т) от температуры Т должен стать слегка нелинейным и циклотронная масса, определяемая по его среднему наклону, должна заметно возрастать при увеличении поля Н. В противоположность этому Пейлин нашел, что соответствующий график с хорошей точностью линеен и масса почти не зависит от поля (если не учитывать возможный небольшой рост, о котором будет сказано ниже). В трактовке Гантмахера вызывает сомнение и то, что это объяснение применимо лишь при низких температурах, при которых выполняется условие

kT/h(Dc « ^ms2/kTV12, (8.83)

где 5 — скорость звука. Это условие даже при самых больших полях, использовавшихся в эксперименте, выполнено ниже 4 К. Однако удивительным было отсутствие заметных вариаций температуры Дингла лишь при Т > 4 К. Поэтому, хотя соображения Гантмахера о столкновениях электронов с фононами при сильных полях и низких температурах интересны с принципиальной точки зрения, они едва ли играют существенную роль при объяснении отрицательного результата Пейлина.

Как изложено в п. 2.6.1.2, многочастичная теория не только объясняет результаты Пейлина, но и указывает условия, при которых должны наблюдаться отклонения от предсказаний теории независимых частиц, обязанные взаимодействию. Оказывается, что наиболее благоприятны для наблюдения таких отклонений условия сильных полей и самых низких температур и что заметные эффекты можно обнаружить не только для ртути, но и для ряда других металлов (подробнее см. в [302]).

В действительности эксперименты Пейлина содержали указание на наличие отклонений того типа, о которых сказано выше. Это проявлялось в росте циклотронной массы (на 2—3%) при увеличении поля от 40 до 90 кГс, однако это изменение едва ли превосходило погрешность измерений. Позднее Эллиот и др. [136, 137] в до-

Рис. 8.10. График Дингла для основной (г = 1) и второй (г = 2) гармоник 3- осцилляций на монокристалле Hg при 2,2 К [137]. Предсказываемое теорией многих частиц отклонение от формулы ЛК, полученной в рамках теории невзаимодействующих частиц, показано штриховыми линиями. Их ход качественно согласуется с точками при г = 1 и не противоречит точкам при г = 2. Небольшое различие места пересечения прямых графиков с осью у для случаев г = 1 и г = 2 согласуется с известным отличием значения (cosrS/cosS) от 1, однако наклон прямой для г = 2 всего лишь на 10 Vo превосходит наклон прямой для г = 1 вместо предсказываемого теорией увеличения вдвое.

вольно тонких экспериментах получили более определенные результаты (также для Hg). Их результаты иллюстрирует рис. 8.10. Видны отклонения от линейного графика Дингла, которые, хотя и невелики (-5% по амплитуде), однако, по-видимому, превосходят погрешность эксперимента и вполне сопоставимы с предсказаниями теории. Загадочным представляется, однако, тот результат, что соотношение между графиками Дингла для первой и второй гармоник не таково, каким оно должно быть в области малых полей, где все еще должна быть применима обычная теория. Если предполагать, что в этой области графики Дингла линейны и для всех полей выполняются условия «малых орбит», то наклон графиков для гармоник должен изменяться пропорционально номеру гармоники г. Фактически, однако, соответствующие углы наклона для г = 1, 2, 3 относятся как 1 к 1,1 и к 1,5!). Поскольку понижающий множитель

1} На рис. 8.10 приведены значения амплитуд только двух гармоник (г = 1 и г = = 2). — Прим. ред.

близок к единице (он равен примерно 0,7 при поле, лежащем между 1/// = 0 и его самым низким значением поля), то весьма вероятно, что режим малых орбит реализуется при всех полях (см. п. 8.4.4.1). Поэтому трудно объяснить несогласованность поведения гармоник.

Как мы уже видели ранее, теория фактора Дингла далека от завершения и, кроме того, имеется много причин, которые должны приводить к нелинейности графика Дингла. Поэтому несколько рискованно было бы допустить, что наблюдавшееся в сильных полях отклонение от прямой в сторону более высоких амплитуд обусловлено исключительно многочастичными эффектами, а не какой-либо другой пока не обнаруженной причиной. Против этих сомнений можно возразить, что в большинстве случаев имеют место отклонения от линейного графика другого знака, чем наблюдавшиеся в этом случае, и что измеренные фазы гармоник прекрасно согласуются с теорией ЛК. Это заставляет думать, что при постановке эксперимента не было допущено серьезных система i ических ошибок. Очевидно, было бы очень интересно продолжить эти эксперименты с целью поиска дальнейшего подтверждения теории многочастичных взаимодействий.

9

Фаза осцилляций и спиновое расщепление

Введение

Как уже упоминалось в п. 2.3.7.4, спиновое вырождение электронов проводимости снимается в магнитном поле, приводящем к различию энергий для электронов со спином, направленным по полю и против поля. Эта разность энергии равна

^ = \дРоН = ^-g^-^H (9.1)

[см. (2.145)]. Дл свободных электронов g = 2 и спиновое расщепление совпадает с расстоянием между уровнями Ландау (обе величины точно равны 0^Н\ Однако в реальных металлах спин- орбитальное и многочастичное взаимодействия могут существенно повлиять на g-фактор. Спин-орбитальное взаимодействие играет особенно важную роль для малых участков поверхности Ферми, которые связаны с брэгговским отражением электронов на границах зон. Напротив, электрон-электронное взаимодействие обычно более существенно для больших участков поверхности Ферми. Поэтому измерение спинового расщепления, т.е. g-фактора, представляет интерес как источник сведений, способствующих установлению детальной теории электронов в металлах.

В благоприятных условиях спиновое расщепление, описываемое формулой (9.1), можно наблюдать и измерять непосредственно как расщепление пиков осцилляций в магнитном поле вблизи квантового предела. Чаще, однако, наблюдаемые осцилляции соответствуют большим квантовым числам и гармонические составляющие в них выражены слабо. В этом случае наложение друг на друга осцилляций со спином по полю и против поля не дает «расщепленных» пиков, но приводит к изменению амплитуды основной гармоники и первых гармоник, описываемому множителем cosQAp'Kgm/m^ [см. (2.148)]. Поэтому измерение абсолютной амплитуды осцилляций в принципе позволяет определить g-фактор. Ниже описаны практически используемые методы, основанные на этой идее.

К сожалению, как разъяснено в разд. 9.2, и прямое наблюдение спинового расщепления вблизи квантового предела, и косвенный метод, основанный на измерении амплитуды, имеют тот недостаток, что не позволяют однозначно определить g-фактор, так как

результаты измерений можно описать не единственным, а любым из целого ряда значений g-факторов. Если в прямом методе удается проследить структуру осцилляций вплоть до квантового предела, то неопределенность может быть плоностью или частично снята, что, однако, редко удается, поскольку для этого обычно требуются очень сильные поля. При использовании косвенных Методов выбор возможных значений может быть сужен (хотя многозначность и не устраняется полностью), если известна абсолютная фаза осцилляций. Поэтому, прежде чем обсуждать измерение спинового расщепления, естественно рассмотреть методы определения фазы. Определение фазы осцилляций интересно и само по себе, так как позволяет проверить справедливость формулы ЛК и тем самым справедливость условий квантования, лежащих в основе теории. Отклонения от предсказаний теории ЛК могут быть связаны с такими явлениями, как магнитное взаимодействие, магнитный пробой, рассеяние ца примесях, зависящее от направления спина, или неоднородность образца. Исследование этих отклонений в некоторых случаях позволяет уяснить физическую картину явления.

В этой главе мы сначала обсудим неоднозначность определения g-фактора и важность знания фазы осцилляций для снижения степени неоднозначности. Далее описываются экспериментальные методы и результаты экспериментов по определению фазы. Затем мы переходим к рассмотрению основного вопроса данной главы — определению g-фактора. В заключение кратко рассмотрены некоторые особые случаи, когда требуется усовершенствование обычной теории в связи с тем, что величина спинового расщепления оказывается не пропорциональной полю и не выражается простой формулой (9.1), или в связи с тем, что амплитуды осцилляций для спинов по полю и против поля по тем или иным причинам оказываются неравными. Подобные явления наблюдаются, например, для сплавов с малой добавкой переходных металлов и в своей предельной форме — в ферромагнетиках.

Неоднозначность определения g-фактора

Понять причину неоднозначности нетрудно, обратившись к диаграмме на рис. 9.1, показывающей «положение» осцилляций на шкале \/Н. Это именно те значения 1/Я, при которых трубки Ландау касаются ПФ. Они даются формулой

F/H = м + у ± iS , (9.2)

где значение у обычно должно быть близким к /г (мы сохраняем более общую форму- записи для удобства при дальнейшем обсужде-

Рис. 9.1. Демонстрация неоднозначности соотношения между фактическим и видимым спиновым расщеплением. Вертикальные сплошные отрезки указывают значения F/H, отвечающие выполнению условия F/H = п + Vi ± ViS, где S = г ± SQ (п иг — целые числа). Здесь принято 50 = 0,2, а случаи а — е соответствуют значениям S = So, 1 - So, 1 + So, 2 - So, 2 + So и 3 - So. Во всех случаях видимое расщепление одно и то же, и лишь при малых значениях F/H в случаях б, г, д присутствует один, а в случае е — два нерасшепленных уровня. Перечеркнутые вертикальные отрезки соответствуют отрицательным значениям F/H и поэтому не могут проявиться на эксперименте.

нии; при построении рис. 9.1 принято у = Vi), а параметр спинового расщепления S, как и в (2.148), равен

S = ^gm/m0.^ ^

Эту диаграмму можно рассматривать и как диаграмму уровней энергии, в которой исходные уровни, отстоящие друг от друга на 0Н, расщеплены на ±'Ag(m/m0)l3H, Однако в общем случае (за исключением случая квадратичного спектра) значение 0 изменяется по мере увеличения энергии от дна зоны до уровня Ферми, так что на рис. 9.1 диаграмма уровней энергии представлена лишь схематично.

Из диаграммы следует важный вывод, что, за исключением первых одной-двух осцилляций вблизи квантового предела, при раз-

личных значениях g-фактора может быть получено одно и то же видимое расщепление. Эти значения таковы:

2г

9 = 7—,—;±9о или$ = г±$0,(9.4)

(ш/mo)

где g0 — наименьшее из значений g и г — целое число,

So = 19отМо ($0 < |) .(9.5)

Знак g-фактора тоже неопред елен, однако естественно считать его положительным, т.е. полагать, что энергия электронов со спином, направленным по полю, меньше, чем у электронов со спином против поля, и в дальнейшем мы будем предполагать, что это действительно так. Как уже упоминалось, в благоприятных условиях спиновое расщепление непосредственно проявляется в виде расщепления осцилляций. В идеальных условиях (совершенный образец и Т = 0) значения поля, определяемые формулой (9.2), соответствуют скачкам осцилляций магнитного момента М, острым пикам при наблюдении гигантских осцилляций затухания ультразвука или пикам сопротивления при магнитном пробое.

Если расщепление удается наблюдать непосредственно (как в случае, показанном на рис. 9.6), то с хорошей точностью можно считать, что положение наблюдающихся пиков соответствует идеальному, определяемому формулой (9.2), и если значение 7 известно, то по положению пиков в магнитном поле можно установить, является ли значение г в (9.4) четным или нечетным, и тем самым вдвое сократить возможный выбор. Выражение (9.2) можно представить в следующем эквивалентном виде:

F/Н = И — 4 + 4 + У + 2-^0 >0) £)

где гГ — целое число, и знак перед % выбирается следующим образом: плюс при четном г и минус при нечетном. Поэтому если представить зависимость значений (1/7Y), соответствующих пикам, от последовательно возрастающих целых чисел, то две точки, в которых графики пересекают ось целых чисел при \/Н — 0, будут лежать вблизи значений [(/2) — 7] =f /2S0 при нечетном г или (1 - - 7) =f (/2 )S0 при четном г0. Если 7 = /2, то легко различить эти !) Здесь и далее существенно иметь в виду, что под точкой пересечения обычно понимают разность между координатой этой точки и ближайшим меньшим целым числом. Однако одно и то же «меньшее» целое число следует использовать для обоих расщепленных пиков, так что если точка пересечения отвечает малой положительной величине для одного направления спина, то это будет малая отрицательная величина для другого направления.

два случая. Однако если середина между точками пересечения не лежит близко от значения 0 или 1/2 и нет априорных сведений о значении 7, то неопределенность в выборе четного или нечетного г сохраняется.

Если возможно достичь столь высоких полей, чтобы оказаться вблизи квантового предела, то можно получить дополнительную информацию, определив положение и структуру последних одной- двух 'осцилляций. Как видно из рис. 9.1, значения поля, при которых должны наблюдаться последние осцилляции, и их форма (одиночные или двойные пики) совершенно различны при альтернативных значениях g. Практически, как мы увидим на подробно рассмотренных ниже примерах, интерпретация эксперимента осложняется не только тем, что значение 7 может отличаться от /2, но и тем, что вследствие зависимости энергии Ферми от поля в сильных полях нарушается периодичность расположения пиков. Однако, используя сведения, полученные из других экспериментов, и теоретические расчеты зонной структуры, диапазон возможных значений g можно значительно сузить.

Различие между случаями четного и нечетного г в (9.4) фактически отражает различие фазы на тг между случаями а, г, д и б, в на рис. 9.1, и это различие сохраняется, когда значение g-фактора определяется путем измерения множителя cospirS для основной гармоники и последующих составляющих осцилляций, если спиновое расщепление не проявляется непосредственно.

Формула ЛК для амплитуды р-й гармоники осцилляций намагниченности может быть представлена в следующей компактной форме0:

Мр = арsin I + фр I (9.7)

где ар — положительная величина, содержащая множитель lcOS/77rS I , И

фр 1 1 1

^ = 5±5-ур±Г (9.8)

Знак перед ХА принимается таким же, как и знак cospirS, а знак перед Уг выбирается в зависимости от того, является ли площадь се-

0 Здесь обсуждается только эффект дГвА, однако прямое обобщение в случае наблюдения других осцилляторных эффектов или производной от намагниченности не представляет сложности.

чения минимальной (+) или максимальной (—); у — фазовый множитель Онзагера; обычно следует ожидать, что он близок к 16. Любое целое число, конечно, можно добавить или вычесть из правой части в (9.8). Будем полагать, что подходящее целое число уже учтено в этой формуле, так что значение фр/2тг лежит в диапазоне от 0 до 1. Отметим, что для свободных электронов с g = 2, m/mQ = 1,7= /2, а поскольку экстремальное сечение максимально, то выражение (9.8) сводится к V% при всех значениях р.

Итак, мы видим из формулы (9.8), что если можно определить абсолютное значение фр, то знак спинового множителя cospirS оказывается однозначно определенным, если известно, является ли экстремальное сечение ПФ минимальным или максимальным, и если значение фр согласуется с предполагавшимся при построении теории значением 7 = /2. Если же такого согласия нет, то выражение (9.8) определяет два возможных значения 7 соответственно двум возможным знакам спинового множителя. Можно ограничиться рассмотрением знака спинового множителя только для основной гармоники осцилляций (р = 1), так как нетрудно показать, что рассмотрение более высоких гармоник никак не способствует дальнейшему ограничению неопределенности. Если установлен знак множителя costtS, то возможные значения g-фактора, при которых измеренные значения соответствуют этому множителю, определяются формулой (9.4); при этом допустимые значения г являются четными при знаке плюс и нечетными при знаке минус. Таким образом, измерение фазы фх и тем самым определение знака спинового множителя позволяет вдвое уменьшить неопределенность при определении g-фактора.

Экспериментальные методы определения фазы

Задача определения фаз фр по формуле (9.8) по существу сводится к задаче измерения абсолютного значения поля Н с достаточно высокой точностью. Будем говорить лишь об определении фазы фх для основной гармоники осцилляций ф = 1), поскольку, как показано ниже, абсолютные значения фаз гармоник легко установить, если известно значение фх (ниже мы будем обозначать его просто ф). Характерными и проще всего идентифицируемыми точками на осцилляциях моментаМ служат нули, их максимумы и минимумы. Если осцилляции по форме близки к простым гармоническим колебаниям, определяемым формулой (9.7) ср = h то эти особые точ-

ки отвечают условиям

F]H = - (ф/2л) + и + i ± {

для нулей (знак «+» или «~» выбирается совпадающим со знаком производной ДМ/ДН\м = 0) и

F/H = — (ф/2л) + л ± {(9.9)

при максимальном (+) или минимальном (—) значениях М.

Полезно отметить, что координата середины между пиками в паре «идеальных» осцилляций, возникающих из-за спинового расщепления [см. формулу (9.6)], определяется выражением, вытекающим из (9.8)

F/H = - (<£/2л) + и + | ± |(9 10)

со знаком «+», если экстремальное сечение ПФ максимально, и со знаком «—», если оно минимально, независимо от четности г в формуле (9.4). Это значение F/H на Уг или на У% больше соответствующего максимуму для гармонических осцилляций, определяемому формулой (9.9).

Чтобы определить ф по осцилляциям, содержащим только основной тон, можно использовать очевидную процедуру: отложить на графике ряд значений \/Н, соответствующих какой-либо особенности осцилляций, для последовательности целых чисел п. При этом должна получиться прямая линия с наклоном \/F. Дробная часть координаты точки пересечения этой прямой с осью п при 1/// = О дает искомую фазу ф/2тг в соответствии с формулой (9.9). В принципе положение нулей определяется с большей точностью, чем положения максимумов или минимумов, и это может оказаться существенным, если требуется более высокая точность. Когда форма осцилляций заметно отличается от гармонической, то ошибка, обусловленная искажениями из-за присутствия гармоник, может быть уменьшена, если использовать среднее от значений ф, определенных по положению нулей намагниченности М при положительном и отрицательном значениях ДМ/dH.

Нетрудно оценить погрешность определения фазы ф по такому графику, если известны погрешность ^Н/Н в определении значений полей, при которых расположены нули, число этих точек N (предполагается, что они расположены на равных расстояниях друг от друга), а также наибольшее и наименьшее значения поля Н, при которых проведены измерения и которые обозначим соответственно Нх и Нг. Согласно статистической формуле (П15.3), можно пока-

зать, что неопределенность значения ф/2тг равна

А(№) =А(№) =(9.11)(9.11)4 F [1 -K^/HJ + ^/HJ^AH(3N)1/2 Н2 1 - (H2/HJ н

А(№) =

А(№) =

(9.11)

(9.11)

если считать, что А///// не зависит от значения Й [в действительности это может быть и не так, но можно показать, что даже в предположении, что само значение А// не зависит от поля Н, ответ не будет заметно отличаться от формулы (9.11)]. Для типичного случая, когда речь идет об очень большой фазе (скажем, для орбиты на «пузе» в благородных металлах), можно иметь значение Н2/Нх = Vi, при этом F/H2 = 2 х 104, и, например, при N = 10 найдем, что

А(ф/2л)-5 х 104(АН/Я).

Итак, если необходимо определить значение ф с погрешностью не более 20°, то необходимо Ы1/Н < 10"6. Даже если принять N = = 2 х 104 т.е. измерять значение 1/// для каждого нуля (что почти невозможно, так как требует большого времени и весьма утомительно), то и тогда необходимо, чтобы значение ^Н/Н составляло несколько единиц на 10"5. Единственный практически доступный метод, позволяющий достигнуть такой точности при измерении поля Н, основан на наблюдении ядерного магнитного резонанса (ЯМР), и неудивительно, что определение абсолютного значения фазы осцилляций для больших ПФ началось лишь после того, как при исследовании дГвА стала использоваться техника ЯМР [91]. Мы опишем практическую реализацию этого метода несколько позже.

При много меньших значениях фаз осцилляций, что типично для малых поверхностей Ферми, требования к точности измерения магнитного поля не являются столь жесткими, и абсолютные фазы осцилляций для Bi и для низкочастотных осцилляций в некоторых других металлах были установлены уже на самых ранних стадиях изучения осцилляций [116, 379, 381]. В экспериментах с висмутом (рис. 9.2) значение Н2/Нх составляло примерно 0,2, F/H2 — примерно 10, N — также примерно 10, так что

А(</>/2л)^ 10АЯ/Я.

Поэтому даже при относительно грубых методах тех времен, когда точность определения ^Н/Н была порядка 1%, можно было установить значение ф с погрешностью в пределах примерно 40°. С современной техникой измерения тока и намагниченности эту точность можно улучшить в десятки раз, даже не прибегая к ЯМР.

Рис. 9.2. Пример одной из первых попыток определения фазы (Шенберг [379]). Значения 1/Я, при которых осцилляции дГвА в Bi (аналогичные показанным на рис. 1.3) пересекают среднюю линию, представлены для последовательного ряда целых чисел г. Разные серии точек отвечают различным ориентациям кристалла (учет знака для каждой серии осцилляций осуществлялся выбором четного или нечетного значения г по отношению к началу отсчета). Наклон каждой из прямых определяет частоту F осцилляций дГвА, а их пересечение с осью г дает значение фазы. Во время проведения этих измерений (а это было до того, как роль спина стала понятной) считалось, что осцилляции должны иметь форму, описываемую зависимостью — s\n(2irF/H — тг/4), но эксперимент приводил к значению тг (с точностью примерно тг/4), а не к тг/4. Как было установлено позднее, более точное значение фазы равно Зтг/4. 1 — теория (шкала для 1/Я выбрана произвольно).

Непосредственно использовать графический метод можно и при частотах, значительно больших, чем в случае Bi, если поле измеряется с точностью, присущей методу ЯМР, однако если значение F/H становится намного больше, скажем, нескольких тысяч, то возникают осложнения. Они связаны с тем, что в диапазоне полей от Н2 до Нх, который должен быть достаточно широким, чтобы значение (1 - Н2/Нх) не было слишком малым [а это необходимо, чтобы величина Д(ф/2тг) по (9.11) оставалась малой], укладывается много осцилляций — порядка тысячи и более. Все они должны быть зарегистрированы и надежно пересчитаны, хотя прецизионные измерения поля достаточно произвести лишь для нескольких осцилляций. Остроумный способ, позволяющий избежать точного счета большого числа последовательных осцилляций, был предложен Коулриджем и Темплтоном (КТ) [91]. Он основан на принципе, аналогичном используемому при оптической интерферометрии для точного определения дробной доли от числа волн.

33*207

При некотором поле очень медленно записывается несколько осцилляций, чтобы определить локальный наклон прямой. Развертка поля останавливается в нескольких последовательных точках, отвечающих нулям осцилляций, и в этих точках измеряется магнитное поле с использованием ЯМР. Нулями считаются те точки, ординаты которых лежат посередине между максимумами и минимумами; если точки остановок и не совпадают с этими срединными точками, то нетрудно сделать соответствующую небольшую поправку. Эти точно измеренные значения Н для нулей осцилляций должны удовлетворять формуле (9.9), при этом и имеет значение порядка 104, если речь идет о больших ПФ (для простоты будем полагать, что рассматриваются только нули, отвечающие отрицательному значению dM/AH\ Значение F можно определить с точностью порядка 10" 4, исходя из точно измеренных значений поля в начале и в конце диапазона развертки, включающего несколько сотен осцилляций. Такая точность достаточна, чтобы определить значение п с точностью до нескольких единиц, если значение F/H имеет порядок 104. Пусть это оценочное значение F есть F0) и предположим, что

Fo/H = n + т + f , (9 12) где т — небольшое целое число, если значение F^ определено достаточно хорошо, а/ — остаточная дробная часть. Значения т mJ не должны заметно изменяться для нескольких последовательных нулей. Вычитая (9.9) из (9.12), получим

(Т0-Т)/Н = т+/ + </>/2л. (9 13)

Если повторить эту процедуру для нескольких значений поля, разделенных между собой большими интервалами, в пределах которых поле изменяется быстро и счет осцилляций не производится, то между величинами / (к которым необходимо добавлять 1 или вычитать из них 1 каждый раз, когда т изменяется на 1) и значениями 1/77, соответствующими точкам остановки, должна возникнуть линейная связь. Наклон прямой, описывающей эту связь, дает значение (Fo - F), а ее пересечение при 1/77 = 0 с вертикальной осью — значение (—ф/2тг). Для проверки можно повторить процедуру, используя уточненное значение частоты F'o, основанное на определенной из первого линейного графика разности (Fo — F). Эта оценка F'o должна уже с точностью до нескольких единиц на 10“6 совпадать с истинной частотой, так что величина т, входящая в формулу (9.13), должна обратиться в нуль, а / — стать постоянной величиной, равной во всем диапазоне полей — ф/2тг. Другими словами, график зависимости / от \/Н должен стать горизонтальной

Рис. 9.3. Иллюстрация метода КТ [91] измерения абсолютной фазы и частоты ос- оилляций: а — запись осцилляций 62M/dH2 для траектории на «собачьей кости» в Ag при Н \\ < 110> в поле ~27 кГс и при 1,1 К (F = 2,01323 х 108 Гс). Интервал полей между последовательными осцилляциями составляет примерно 3 Гс, а полное время записи, представленной на рисунке, — около 5 мин. Горизонтальные участки соответствуют полной остановке поля, измеряемого в это время методом ЯМР. Форма осцилляций отвечает зависимости a' cos(2irF/H 4- ф 4- тг/2) [ср. с (9.7)] с положительным значением а'. Значение ф определялось из равенства F/H 44- ф/2тг 4- /4 = г 4- ф, где г — целое число (отметим, что мы используем иное обозначение, чем КТ, у которых было Фп = Ф (2тг 4- /4). 6 — анализ записей, подобных а. Дробная доля / определялась, как описано в тексте, при подходящем выборе пробного значения F^ частоты F и значения ф — / (к которым в соответствующих местах добавляется единица) представлены в зависимости от I///. Пересечение проходящей через точки прямой с вертикальной осью дает значение ф/2тг 4- /4, а наклон — значение F - FQ (в этом примере 5,0 х Ю4 Гс). Штриховая линия — результат повторного построения при значениях /, вычисленных при новом пробном значении частоты F'Q = FQ 4- 5 х Ю4 Гс.

прямой, пересекающей вертикальную ось там же, где и предыдущий график. Пример, иллюстрирующий эту процедуру, представлен на рис. 9.3.

Выше для простоты предполагалось, что мы имеем дело с «идеальной» ситуацией, когда осцилляции описываются единственной частотой. Если другие частоты отвечают лишь более высоким гармоникам, то можно приблизиться к «идеальному» случаю, либо работая при более высокой температуре, когда гармоники подавляются в достаточной мере, либо используя модуляцию поля такой амплитуды, при которой доминирующие гармоники сглажи- ваются^. Если же спектр частот осцилляций более сложен, то необходимо производить их фурье-анализ и определение абсолютного значения фаз каждой из составляющих становится более сложным и неизбежно менее точным.

Абсолютные значения фаз гармоник можно определить сравнительно просто, если известна абсолютная фаза основной гармоники. Если осцилляции разложить в ряд Фурье, отсчитывая поле от какой-либо точки (значение поля в этой точке может быть известно без особой точности), то, зная относительные фазы гармоник, нетрудно пересчитать их в абсолютные. Пусть,например, поле//0 выбрано за точку отсчета и в результате анализа нескольких осцилляций вблизи поля //0 получены выражения, описывающие гармоники М с номером р:

М„ = арsin[2лрр(-1---^-) + </>;] .(9.14)

Сравнивая это выражение с (9.7), получаем

Ф'р = ФР + ^pF/H0 ,

так что

Фр - РФ\ = Фр~ РФ\ •(9.15)

Этот результат (который в ином контексте уже использовался в п. 8.4.5.3) позволяет определить все фазы фр) если известна фаза фх (т.е. фаза ф).

!) Следует заметить, что модуляция большой амплитуды не влияет на фазу основной гармоники, подлежащую измерению, если возбуждаемые переменным полем вихревые токи не приводят к появлению дополнительного вклада вследствие эффекта Шубникова — де Гааза, имеющего иную фазу. Если сигнал детектируется на частоте л о), кратной частоте модуляции ш, то фаза основной гармоники выходного сигнала соответствует фазе <\пМ/<\Нп.

Экспериментальные результаты по определению фаз осцилляций

Как уже упоминалось, впервые фаза осцилляций была определена для Bi Шенбергом [379]. Было замечено загадочное обстоятельство, а именно то, что фаза основной гармоники, т.е. при р = 1, для многих ориентаций отличалась примерно на тг от предсказываемой теорией Ландау0. Значительно более точные измерения, проведенные позднее Диллоном и Шенбергом [116], подтвердили наличие такого расхождения, и, более того, было обнаружено, что подобное различие существует для всех нечетных гармоник. Как видно из рис. 9.4, форма экспериментально наблюдавшихся осцилляций хорошо описывалась кривой, вычисленной согласно формуле Ландау,

Рис. 9.4. Осцилляции вращающего момента в Bi вблизи квантового предела при поле Н, отклоненном на 12° от биссекторной оси в тригонально-биссекторной плоскости [116]; С — вращающий момент при единичном объеме; 1 — Т ~ 1,5 К, 2 — Т ~ 1,0 К — экспериментальные значения, иллюстрирующие нечувствительность осцилляций к температуре в сильных полях; 3 — вычисленные значения, полученные суммированием ряда Фурье в предположении, что в формулу Ландау для термодинамического потенциала надо ввести множители (-1/7 и учесть вклад от слагаемых, сдвинутых по фазе на тг/2 (которыми обычно можно пренебречь), возникающих при дифференцировании выражения для термодинамического потенциала.

° Это отличие, согласно оригинальной работе, составляло (3/4)тг с погрешностью Примерно (!Л)7г (см. рис. 9.2).

если дополнить ее множителями (- 1)р для каждой гармоники с номером р (требуется также ввести поправки, учитывающие тот факт, что при достижении квантового предела предположение F/H > 1 более не выполняется). Причина расхождения, конечно, заключается в том, что в теории Ландау не учитывался спин. Однако, как впервые отметили Коэн и Блаунт [80] (об этом еще пойдет речь), сильное спин-орбитальное взаимодействие приводит к тому, что g -фактор становится очень большим и близким к значению 2/(т/т0); поэтому множитель cost'/^Trg (а?7//?70)] (т.е. cospirS) действительно близок к значению cos/7tt, или (— 1)^.

Результаты немногочисленных ранних исследований по измерению фаз сравнительно низкочастотных осцилляций, проведенные с галлием, графитом и цинком [44, 116, 381], показали существование расхождений с теорией. Наиболее явно эти расхождения проявились в случае осцилляций на «иглах» в Zn, где значение фазы основного тона ф/2тг [определяемой формулой (9.7)] оказалось равным 0,58. Учитывая, что экстремальное сечение «иглы» максимально, и воспользовавшись формулой (9.8), получим, что это соответствует значению 7 либо 0,3, либо 0,8 (соответственно тому, является ли спиновый множитель отрицательным или положительным), а не ожидаемому по теории значению /2. Поэтому до получения дополнительных сведений знак спинового множителя остается неопределенным. Поскольку в методе крутильных весов, использовавшемся при проведении этих экспериментов, требуется, чтобы ориентация была отлична от экстремальной, то на первый взгляд может показаться, что это расхождение обязано сдвигу фазы, обусловленному мозаичностью [см. формулу (8.73)]. Однако оценки показывают, что это совершенно невероятно. Более того, последующие эксперименты [314, 416] с использованием иной техники измерений, когда поле было ориентировано строго вдоль гексагональной оси и использовались образцы лучшего качества, подтвердили наличие расхождений. Их причиной, по-видимому, является магнитный пробой и межзонное взаимодействие, что может привести к заметному изменению значения 7 [366], хотя теория этого явления не завершена. Мы вернемся к рассмотрению этого вопроса при обсуждении результатов измерения g-фактора в п. 9.6.1.

Большинство результатов по измерению фазы высокочастотных осцилляций было получено исследовательской группой в Оттаве, использовавшей описанную выше технику Коулриджа и Темплтона [91] или ее модификации. Данные для благородных металлов суммированы в табл. 9.1; видно, что они согласуются с предсказаниями теории, предполагающей значение 7 = /2. Для большинства

Таблица 9.1. Абсолютные фазы осцилляций в благородных металлах [91] Орбита на

«пузе»

< 111>

«пузе»

<100>

«розетке»

< 100>

«собачьей кости» < 1 Ю>

«шейке»

<1

п>

Си

эксп.

0,64

0,35

0,57

0,62

0,12

0,12

теория

0,625

0,375

0,625

0,625

0,625(—)

0,125(+)

0,125(—) 0,625(4-)

Ag

эксп.

0,34

0,37

0,65

0,63

0,12

—

теория

0,375

0,375

0,625

0,625

0,625(—)

О,125(+)

0,125(—) 0,625(+)

Аи

эксп.

0,61

0,42

0,61

0,63

0,13

0,59 + 0,06

теория

0,625

0,375

0,625

0,625

0,625(—)

0,125(—)

О,125(+) 0,625(+)

Примечание: приведены значения ф/2тг, за исключением последнего столбца, где даны значения Ф2/2тг для орбит на «шейке» при Н\\ < 111>. Погрешность экспериментальных значений составляет ±0,05 для осцилляций на «пузе», «розетке» и «собачьей кости» и ±0,01 для «шейки», за исключением особо отмеченных случаев. Следует подчеркнуть, что используемое нами определение фазы ф отличается от принятого КТ; соотношение между нашим и их значениями ф^ определяется формулой ф/2тг = ф0 - %. Предполагается, что спиновый множитель отрицателен для всех орбит на «пузе», «розетке» и «собачьей кости». Для «шейки» предполагаемый знак спинового множителя указан в скобках.

экстремальных орбит (на «пузе», «розетке», «собачьей кости») следовало ожидать, что спиновый множитель для р = 1 имеет тот же знак, что и в модели свободных электронов, т.е. что он отрицателен. Измеренные фазы соответствуют этому предсказанию, и в формуле (9.8) знак перед % должен быть минусом, а перед У% выбран в согласии с известной формой ПФ. Однако для «шеек» отсутствовали априорные сведения о знаках спинового множителя. Определенные в экспериментах абсолютные значения фазы оказались полезными при выборе этих знаков, что позволило уменьшить неопределенность при выборе значений g-факторов по результатам измерения амплитуды осцилляций. Более подробно этот вопрос обсуждается в п. 9.5.2.

Экспериментальные и теоретические значения ф/2тг согласуются между собой в пределах погрешности измерений, которая обычно составляла ±0,05 или менее. Таким образом, значение 7 не может отличаться от /2 более чем на эту величину. Однако отклонения от /2, предсказываемые теорией Рот [366], должны иметь значительно меньшую величину, и требуется значительно повысить точность измерений, чтобы их выявить. Подобные же измерения абсолютной фазы были выполнены для алюминия [86], кадмия [90], калия

И, кГс

Рис. 9.5. Относительные фазы гармоник для осцилляций в Na при 1,2 К [331]. Точки — результаты эксперимента. Теоретические кривые соответствуют двум пробным значениям множителя cos тг5 (0,38 и 0,42) согласно «старому» и «новому» подходам при расчете МВ (штриховые и сплошные линии соответственно). В слабых полях начинают доминировать гармоники, обусловленные МВ, но при росте поля гармоники ЛК приобретают сравнимую амплитуду. При учете только МВ значения Ф2 - 2фр Ф3 - Зфр ф4 - 4ф1 должны быть равны 270, 180 и 90° соответственно.

[430] и рубидия [155]. Результаты всех этих работ показывают, что 7 = И с той же точностью, что и для благородных металлов.

Мы уже говорили, что для висмута измеренные относительные фазы гармоник соответствуют предсказываемым формулой ЛК (см. табл. 8.5). Из результатов, полученных для Na [331], можно

видеть, как знание относительных фаз гармоник позволяет установить природу явлений, приводящих к изменению формулы ЛК. В случае Na гармоники, обусловленные МВ, имеют амплитуду, сравнимую с амплитудой гармоник ЛК, поэтому относительные фазы заметно изменяются при изменении поля. Как видно из рис. 9.5, изменение с полем относительных фаз гармоник хорошо согласуется с предсказаниями теории (см. п. 6.7.2).

Определение коэффициента спинового расщепления (g-фактора)

Прямое наблюдение спинового расщепления

Как было замечено в разд. 9.1, спиновое расщепление уровней энергии в магнитном поле при благоприятных обстоятельствах может проявляться непосредственно как расщепление осцилляций. .Наиболее благоприятные условия реализуются при наблюдении осцилляций с малыми квантовыми номерами, т.е. вблизи квантового предела, и для осцилляций, имеющих форму узких пиков. И на гигантских квантовых осцилляциях затухания ультразвука (рис. 4.4), и на осцилляциях АТ (рис. 4.1), дМ/<Ш (рис. 8.9), д^М/дН1 (рис. 9.6), и на осцилляциях магнетосопротивления при магнитном пробое (рис. 7.16) проявляется спиновое расщепление при приближении к квантовому пределу, если, конечно, образец достаточно хорошего качества, а температура достаточно низка. При этом существенно, чтобы гармонический состав осцилляций был достаточно богатым и чтобы размытие фаз, обусловленное температурой, электронными столкновениями и дефектами, не превышало разности фаз осцилляций для электронов со спинами, направленными по полю и против поля. Разность фаз, обусловленная разным направлением спинов, не зависит от поля Н (она равна ngm/mo), в то время как размытие фаз, обусловленное разными причинами, изменяется пропорционально \/Н [оно по порядку величины равно 2тт2к(Т 44- хУ0Щ, так что наблюдаемое расщепление осцилляций быстро исчезает при уменьшении поля. По мере того как значение 2тг2£(Т+ 4- хУ^Н увеличивается, становясь заметно больше единицы, гармоники все сильнее подавляются и непосредственно расщепление уже не может проявляться. В этом случае спиновое расщепление влияет лишь на интерференцию двух почти гармонических осцилляций, т.е. отражается лишь на амплитуде результирующих осцилляций; это явление будет обсуждаться в п. 9.5.2. Если можно прямо наблюдать спиновое расщепление, то определение возможных значений g-фактора производится непосредственно, хотя решение

вопроса, связанного с многозначностью, может потребовать довольно тонкого анализа. Ниже мы подробно обсудим некоторые результаты.

Расщепленные по спину пики ГКО в галлии показаны на рис. 4.9. Зависимость от поля положения середины между пиками позволяет продемонстрировать использование принципов, описанных в разд. 9.2. Расщепление пиков, выраженное в долях F/H, т.е. параметр So, равно 0,031 (±0,002), а так как m/mQ = 0,066, то, согласно (9.4), возможные значения S и g равны (округленно)

S = г ± 0.031, д = 30г ± 1, т.е. = 1, 29, 31, 59, 61 и т.д.

Однако, согласно результатам, полученным в работах [375, 377], прямая на графике зависимости значений F/H для середин между пиками от последовательных целых чисел пересекает ось чисел в точке /2 (с погрешностью ±0,1), и поэтому, согласно формуле (9.6), должно выполняться равенство (с учетом того, что можно добавить 1, чтобы значение у оставалось положительной долей целого числа)

-у+i+{=2

(« — » при четном, « + » при нечетном г). Очевидно, следует считать 7 = */2, как предполагается в теории, и поэтому число г должно быть четным. Следовательно, нечетные г можно исключить из рассмотрения и тем самым возможный набор значений g-фактора сокращается вдвое, т.е.

д = 1,59,61, 119, 121 ит.д.

Такая возможность снижения неопределенности осталась без внимания в оригинальных публикациях. Дальнейшие основания для выбора дают расчеты зонной структуры (см. п. 9.6.1), согласно которым следует предпочесть g = 1.

Следующий пример — Bi, для которого прямое спиновое расщепление осцилляций наблюдалось многими способами. Некоторые примеры уже упоминались (см. рис. 4.1, 4.4 и 8.9). Влияние ориентации на спиновое расщепление в Bi описано в обзоре Эдельмана [131]. Здесь мы рассмотрим лишь частный случай, когда поле Н направлено вдоль бинарной оси. При этом расщепление осцилляций можно проследить вплоть до квантового предела. Измеренные в различных экспериментах значения расщепления согласуются друг с другом и близки к So = 0,1 (Смит и др. [405] получили 0,07; Эдельман [131] получил 0,09 ± 0,01). А поскольку, как уже упоминалось, измеренная абсолютная фаза осцилляций соответствует то-

му, что спиновое расщепление почти точно равно расщеплению уровней Ландау, то ясно, что в формуле (9.4) следует учитывать лишь нечетные числа г, т.е.

S = 1 ± So 3 + So и т.д.

соответственно случаям б, в, е на рис. 9.1. Однако 3 ± Яо и более высокие значения S следует отбросить, так как при таких величинах должны были бы присутствовать дополнительные нерасщелленные пики в полях выше поля, отвечающего последнему «дублету», которые не наблюдались. Следует заметить, что в одном важном аспекте ситуация для Bi отличается от того, что предполагается согласно рис. 9.1 (б или в). Дело в том, что энергия Ферми f при достижении квантового предела существенно зависит от поля. Таким путем поддерживается равенство числа электронов и дырок («электронейтральность»), и энергия Ферми изменяется так, что последняя трубка Ландау не может опустошиться при росте поля (т.е. частота F растет при увеличении поля и F/H не может достигнуть требуемого низкого значения). Поэтому не может появиться осцил- ляционный пик, соответствующий нижнему уровню на рис. 9.1.

Выбор между значениями 1 + So и 1 - So можно сделать на основании исследования зависимости спинового расщепления от ориентации. Если поворачивать поле в бинарно-тригональной плоскости, то при отходе от бинарной оси расщепление уменьшается и становится равным нулю при отклонении от бинарной оси на угол 65°. Естественно интерпретировать этот результат так, что истинное значение So непрерывно уменьшается от значения ~ 1,1 при поле, направленном вдоль бинарной оси, до значения меньше 1 при угле больше 65° и достигает минимального значения 5 = 0,35 вблизи тригональной оси. Можно было бы, наоборот, предположить, что значение 5 возрастает от -0,9, проходя через 1 при 65°, и достигает максимального значения 1,65 вблизи тригональной оси, однако, согласно расчетам зонной структуры, эта возможность невероятна. Итак, если считать, что 5 = 1,1 соответствует правильному выбору, то по формуле (9.3), учитывая, что m/mQ =. 0,009, получим g = 240. Важность для теории этого вывода мы обсудим в п. 9.6.1.

Спиновое расщепление наблюдалось также для дГвА- осцилляций б2М/АН 2 на «иглах» в Zn [314]°, для осцилляций про

!) При наблюдении осцилляций вращающего момента в работе Диллона и Шенберга [116] расщепление пиков не проявлялось из-за низкого качества образца. Кроме того, содержание гармоник в сигнале от вращающего момента существенно ниже (в р1 раз для гармоники с номером р), чем в осцилляциях (F-M/dH1.

Рис. 9.6. Осцилляции d2M/dH2 на «иглах» в Zn при Н вдоль гексагональной оси и при Т = 1,2 К, полученные модуляционным методом при детектировании сигнала с частотой 2ш [314].

водимости при магнитном пробое [416] и.затухания ультразвука [305]. Во всех трех экспериментах получены близкие результаты для g-фактора, и мы ограничимся поэтому лишь рассмотрением осцилляций d2Af/d//2, показанных на рис. 9.6. Видно, что каждая осцилляция содержит по два хорошо разрешенных пикаЛ и В, и без большой погрешности их положение можно считать совпадающим с «идеальным» положением, о котором шла речь в разд. 9.2 [см. формулы (9.2) и (9.6)]. Значения F/H, средние для пиков Л и 5, в самом худшем случае (если бы пики были просто максимумами простых гармонических сигналов), согласно формулам (9.9) и (9.10), отличаются от «идеального» значения не более чем на У% [в (9.10) следует выбрать знак «-», так как экстремальная площадь максимальна] .

Прямое измерение среднего расстояния между пиками типа Л и В для разных осцилляций дает для величины So, входящей в формулу’ (9.5), значение So = 0,36 (согласно работе Старка [416]). Поскольку m/mQ = 0,0075, согласно формуле (9.4), получим

5 = г ± 0.36 и д = 267(г ± 0.36)

Итак, для г = 0, 1, 2 и т.д. имеем (округленно)

S = 0.36,0.64,1.36,1.64,2.36 и т.д., д = 96,170,360,440,630 и т.д.,

что качественно соответствует случаям а — d на рис. 9.1. Однако ситуация усложняется тем, что, как уже упоминалось, значение у существенно отличается от Уг. Если воспользоваться формулами (9.2) и (9.4) для описания положения расщепленных по спину пиков, наблюдавшихся в работе [314] (см. рис. 4 в этой работе), то полу-

г,зг f/h з,32г,зг f/h з,32

г,зг f/h з,32

г,зг f/h з,32

'0,82

’ 1।

J1 ।। 1

•111

111

ill1

111

1,82

11

1 11 1

11

11

1

2,82

111

111'1

1 11 11

0,32

1,32

у =0,32 8\ в6\ Л|

Рис. 9.7. Положение расщепленных пиков для Zn. Наименьшие наблюдавшиеся в [314] значения F/H помечены стрелками. Приведены значения F/H = п * -у ± ± XAS (S = г ± 0,36) при у = 0,32 и 0,82 и при г = 0, 1,2. Эксперименту могут соответствовать только значения, приведенные в строках а, г, д. Б, В (более жирные штрихи).

чим, что параметр 7 должен принять одно из двух значений 0,32 или 0,82, что хорошо согласуется с ранее определенными менее точными значениями 0,3 и 0,8 [116]. Значения F/H, при которых могут наблюдаться пики, с учетом этих возможных значений 7, показаны на рис. 9.7, который представляет собой модификацию рис.

Так как электроны на «иглах» составляют лишь ничтожную долю общего числа электронов проводимости в Zn, то предположение о постоянстве энергии Ферми (и тем самым постоянстве частоты F) даже в квантовом пределе вполне обоснованно. Таким образом, при построении рис. 9.7 подразумевалось, что сохраняется периодичность по обратному полю 1///, в противоположность случаю Bi, когда частота/7 возрастает при росте поля, вследствие чего пик при очень малом значении F/H оказывается ненаблюдаемым. Итак, видно, что возможные значения g-фактора, совместимые с положением наблюдавшихся пиков, распадаются на две группы:

g = 96,440,630 и т.д., если у = 0.32 (четные г)^, g = 170,360 и т.д., если у = 0.82 (нечетные г).

Чтобы сделать выбор между этими возможностями, требуются дополнительные сведения. Их можно было бы получить, если продолжить эксперименты в область значительно более сильных полей. Так, присутствие пика вблизи значения F/H = 0,50 (// = 31 кГс) позволило'бы исключить значения g = 360 и 630; присутствие же

!) Значения 440, 630 и еще более высокие (для г > 2) были отброшены Старком [416] на том основании, что при этом появляются отрицательные значения F/H при малых п и, требуется выбрать знак «—» в формуле (9.2).

пика при F/H = 0,14 (// = НО кГс) несовместимо со значениями g = 170 и 440. Если бы были обнаружены оба этих пика, то мы имели бы однозначно g = 96. Однако этот решающий эксперимент еще предстоит сделать, хотя может оказаться, что осуществить его трудно вследствие магнитного пробоя, приводящего к значительному уменьшению амплитуды сигнала в таких больших полях.

В работе О’Салливана и Ширбера [314] был использован остроумный косвенный метод, позволяющий сделать выбор между возможными значениями g, и было установлена, что g = 170 или 440. Отмечалось, что циклотронные массы для двух расщепленных по спину состояний должны заметно различаться (на величину, пропорциональную F/H; при 5 кГс разница составляет -4%). Поэтому амплитуды осцилляций для спина по полю и против поля должны в сильных полях и при высоких температурах заметно различаться. Расчеты, проведенные в [314], показали, что при температуре выше ~4 К в осцилляциях, приобретающих при таких температурах почти синусоидальную форму, должен доминировать вклад от состояния с меньшей массой, которое является состоянием с более высокой энергией в паре расщепленных по спину уровней. Далее, проведя измерения зависимости положения осцилляций от давления, О’Салливан и Ширбер нашли, что расстояние между сателлитами пары, выраженное в долях F/H, т.е. значение So, определенное формулой (9.4), уменьшается с увеличением давления. Отношение с/а для цинка уменьшается с ростом давления и возрастает с увеличением температуры, и поскольку имеются достаточные основания предполагать, что влияние температуры и давления главным образом обязано изменению отношения с/а (см. разд. 5.5), то значение So должно возрастать при увеличении температуры. Однако если только осцилляции, отвечающие меньшей массе, при высоких температурах имеют заметную амплитуду, то регистрируемые пики должны при нагреве образца смещаться в сторону меньших значений F/H (относительно середины между двумя пиками) при g = = 170 или 440 и в сторону больших F/H при других возможных значениях g (см. рис. 9.7). В первом случае фаза0 ф должна увели- п Следует соблюдать осторожность при сопоставлении фазы ф, определенной для простых гармонических осцилляций (что приближенно имеет место для осцилляций вращающего момента в Zn, особенно при высоких температурах), а фазой Ф, определенной в работе [314] как место пересечения графика значений F/H для пиков с осью целых чисел. Если пики представляют собой максимум простых гармонических осцилляторов, то Ф = ф/2тг - У*. Однако если речь идет об «идеальных» острых пиках, но ф по-прежнему есть фаза только основной гармоники, то Ф = Ф/2тг - 441 [см. (9.10)]. В [44] фаза 6 определена иначе, так что она отличается на тг от введенной здесь фазы ф.

чиваться при увеличении Т, во втором —уменьшаться. В экспериментах [44], о которых упоминалось ранее, было обнаружено не только значительное уменьшение У7 от 1,57 до ~0,8 х 104 Гс (см. разд. 5.5), но и увеличение значения ф/2тг примерно на % при росте температуры от 4 до 60 К. Знак изменения фазы указывает, что следует предпочесть одно из двух значений g = 170 или 440, и вычисления О’Салливана и Ширбера [314] подтверждают, что при таком предположении и абсолютное значение изменения фазы хорошо согласуется с экспериментом. Результаты рассмотрения, основанного на известной зонной структуре (см. ниже в п. 9.6.1), удовлетворительно согласуются с выбором g = 170.

Спиновое расщепление, проявляющееся в виде непосредственного расщепления пиков было изучено также для сурьмы [209]. В этом случае имеет место суперпозиция пиков от осцилляций разных частот, что приводит к весьма сложной картине. Мы не будем обсуждать ее интерпретацию, а лишь упомянем, что ее расшифровка приводит к значениям S, лежащим в диапазоне от 0,2 до 0,5 (они изменяются с ориентацией и различны для электронов и дырок). Соответственно значения g лежат в пределах от 4 до 6.

Определение g-фактора из отношения амплитуд гармоник к амплитуде основной гармоники

Ниже будут описаны разные способы определения множителя costtS и тем самым g-фактора. Результаты, полученные для щелочных и благородных металлов, представлены в табл. 9.3. Выбор или принципиальная возможность использования одного из методов зависит от конкретного металла и конкретной орбиты. В общем случае полезно использовать все допустимые способы, чтобы проверить теорию ЛК или теорию МВ, учет которого часто бывает необходим. По-видимому, обе теории вполне справедливы на том уровне точности, которая достигается в современных экспериментах. Однако эта точность не слишком высока (обычно порядка нескольких процентов) и желательна повторная проверка на более высоком уровне.

Метод отношения амплитуд гармоник (ОАГ)

Как уже упоминалось, прямое наблюдение спинового расщепления перестает быть возможным при слабо выраженном гармоническом составе осцилляций. Однако если гармонический состав и недостаточен, чтобы осцилляции расщепились на хорошо разрешенные пики, амплитуды гармоник могут быть установлены при

фурье-анализе, и их сравнение с. амплитудой основной гармоники позволяет определить значение g. Метод измерения отношения амплитуд гармоник впервые был реализован Шенбергом и Вюллеми- ном [400] при измерении g-фактора для орбит на «шейках» в золоте и позднее применялся в работах [238, 358] и др.

Как видно из ЛК-формулы (2.152), отношение амплитуды гармоники ср = 2 к амплитуде основной гармоники (р = 1) для намагниченности М определяется выражением

(9.16)(9.16)аг _ 1 cos2ttS ехр( -2т?кх/рЩ aY 2V2 cos ttS cosh(27i2AT/7?H)

(9.16)

(9.16)

[если измеряется &Mf&H или более высокая производная намагниченности по полю, то правую часть в (9.16) следует умножить на 2 или соответствующую степень числа два]. Таким образом, можно определить значение lcos2TrS/cosTrS I по отношению амплитуд, если известны температура Динглах и £(= eh/mcY При этом подразумевается, что затухание р-й гармоники, обязанное размытию фаз, описывается выражением ехр(-Ът^ркх/рН). Как обсуждалось в гл. 8, это не всегда верно, но возможность использования такого выражения, конечно, может быть проверена по соответствующему графику, построенному в логарифмическом масштабе, а построение такого графика при р = 1 просто необходимо для определения температуры Дингла х. К достоинствам метода ОАГ относится то, что требуется измерять лишь относительные амплитуды, так что можно обойти трудности, связанные с калибровкой аппаратуры и точным измерением объема образца (что существенно при работе со щелочными металлами). Кроме того, и это, по-видимому, особенно важно, множитель, описывающий кривизну поверхности Ферми IX" | ,/? (который для краткости будем обозначать буквой С), выпадает из отношения. Последнее обстоятельство играет большую роль, если ПФ имеет сложную форму или если она определена недостаточно точно, так что значение С нельзя оценить с достаточной надежностью.

Определение IcosttSI по отношению Icos2ttS/costtS I не вполне однозначно, если только это отношение не больше 1. Если же оно меньше 1, то заданному значению отношения отвечают два возможных значения IcosttSI, однако, как разъяснено в приложении 19, эту неопределенность можно снять, если измерить относительные фазы гармоник или если можно измерить амплитуды более высоких гармоник. Конечно, знание IcosttSI все еще допускает неоднозначность в определении S и самого g-фактора. Это обсужда-

лось в разд. 9.2, где показано, что выбор может быть вдвое сокращен, если известна абсолютная фаза основной гармонии осцилляций.

В методе ОАГ обычно фигурирует вторая гармоника, поскольку, как правило, только она может быть измерена с достаточной точностью. Если же и другие гармоники достаточно интенсивны, то их изучение может привести к новым возможностям. Так, остроумный вариант метода ОАГ был использован в [171, 172] при измерении g-фактора в свинце. В этих работах измерялась гармоника р = 3 и в основу расчета было положено то обстоятельство, что комбинация амплитуд а^/^^з! определяется лишь отношением (cos27rS)2/lcos7rScos37rS I и не зависит от температуры Дингла. Поэтому в принципе измерение амплитуд при одном поле достаточно для определения значения S. На практике, однако, как уже упоминалось, необходимо проверять тот факт, что амплитуды гармоник действительно затухают как ехр(— l^pkx/^H), поэтому исключение температуры Дингла из расчета фактически не дает тех преимуществ, которые имеются на первый взгляд.

Теперь пора рассмотреть те осложнения, которые сопровождают метод ОАГ в любой его форме и которые мы до сих пор не принимали во внимание. Дело в том, что те же самые условия (т.е. низкие температуры и большие поля), которым необходимо удовлетворить, чтобы амплитуды гармоник, определяемых формулой ЛК (ЛК-гармоник, как будем их называть), имели заметную величину, совпадают с условиями появления гармоник, обязанных магнитному взаимодействию (МВ-гармоник). MB-гармоники оказываются сравнимыми или даже больше ЛК-гармоник для осцилляций, обязанных большим сечениям ПФ (т.е. для орбит на «пузе» в благородных металлах или для щелочных металлов). Их влияние менее существенно для меньших сечений ПФ, поскольку их амплитуда приблизительно пропорциональна F 2/1Л " I 1/1 и ооычно совсем несущественно при F < 106 Гс.

Если условия эксперимента (поле и темпера, /а) могут быть выбраны так, что ЛК-гармоники уже достаточно интенсивны, чтобы их можно было аккуратно измерить, и в то же время МВ- гармоники еще не стали подавляюще сильными, их можно отделить друг от друга, так как их фазы относительно основной гармоники различны. Для ЛК-гармоник [см. (9.8)] разность фаз ф2 — 2фх равна ттг/4, если спиновый множитель отрицателен, и ±Зтг/4, если он положителен (верхний знак — для случая минимального, нижний — для максимального сечения). Эта же разность фаз равна тг для МВ-гармоник в пределе слабого взаимодействия [см. (6.18)].

34-207

*пан*панРис. 9.8. Иллюстрация использования методов ОАГ, МВ и АА (по [238]). Образец с п ~ 0,1 находился при температуре 0,55 К в поле -84 кГс. Осцилляции с периодом -39 Гс зарегистрированы модуляционным методом. Фурье-анализ дает абсолютное значение 4тДМ/(Ш = 0,141 sin АА + 0,0161 sin(2£ А + 281,3°), где h отсчитывается от поля, соответствующего нулю производной намагниченности. Член, описывающий вторую гаромонику, можно разложить на вклад от МВ, равный 0,0189sin(2AA 4+ 270°), и на ЛК-вклад 0,0045 sin(2AA 4- 45°). После этого значения IcosttSI можно вычислить тремя способами; при этом получается а) 0,60 в методе ОАГ из отношения 0,0045/0,141; б) 0,67 в методе МВ по абсолютной величине 4тг I dA7/d/71 = 0,149, полученной как отношение 0,0189/0,141, и в) 0,64 по непосредственному измеренному абсолютному значению 4TrldA7/dZZI = 0,141.Рис. 9.8. Иллюстрация использования методов ОАГ, МВ и АА (по [238]). Образец с п ~ 0,1 находился при температуре 0,55 К в поле -84 кГс. Осцилляции с периодом -39 Гс зарегистрированы модуляционным методом. Фурье-анализ дает абсолютное значение 4тДМ/(Ш = 0,141 sin АА + 0,0161 sin(2£ А + 281,3°), где h отсчитывается от поля, соответствующего нулю производной намагниченности. Член, описывающий вторую гаромонику, можно разложить на вклад от МВ, равный 0,0189sin(2AA 4+ 270°), и на ЛК-вклад 0,0045 sin(2AA 4- 45°). После этого значения IcosttSI можно вычислить тремя способами; при этом получается а) 0,60 в методе ОАГ из отношения 0,0045/0,141; б) 0,67 в методе МВ по абсолютной величине 4тг I dA7/d/71 = 0,149, полученной как отношение 0,0189/0,141, и в) 0,64 по непосредственному измеренному абсолютному значению 4TrldA7/dZZI = 0,141.

*пан

*пан

Рис. 9.8. Иллюстрация использования методов ОАГ, МВ и АА (по [238]). Образец с п ~ 0,1 находился при температуре 0,55 К в поле -84 кГс. Осцилляции с периодом -39 Гс зарегистрированы модуляционным методом. Фурье-анализ дает абсолютное значение 4тДМ/(Ш = 0,141 sin АА + 0,0161 sin(2£ А + 281,3°), где h отсчитывается от поля, соответствующего нулю производной намагниченности. Член, описывающий вторую гаромонику, можно разложить на вклад от МВ, равный 0,0189sin(2AA 4+ 270°), и на ЛК-вклад 0,0045 sin(2AA 4- 45°). После этого значения IcosttSI можно вычислить тремя способами; при этом получается а) 0,60 в методе ОАГ из отношения 0,0045/0,141; б) 0,67 в методе МВ по абсолютной величине 4тг I dA7/d/71 = 0,149, полученной как отношение 0,0189/0,141, и в) 0,64 по непосредственному измеренному абсолютному значению 4TrldA7/dZZI = 0,141.

Рис. 9.8. Иллюстрация использования методов ОАГ, МВ и АА (по [238]). Образец с п ~ 0,1 находился при температуре 0,55 К в поле -84 кГс. Осцилляции с периодом -39 Гс зарегистрированы модуляционным методом. Фурье-анализ дает абсолютное значение 4тДМ/(Ш = 0,141 sin АА + 0,0161 sin(2£ А + 281,3°), где h отсчитывается от поля, соответствующего нулю производной намагниченности. Член, описывающий вторую гаромонику, можно разложить на вклад от МВ, равный 0,0189sin(2AA 4+ 270°), и на ЛК-вклад 0,0045 sin(2AA 4- 45°). После этого значения IcosttSI можно вычислить тремя способами; при этом получается а) 0,60 в методе ОАГ из отношения 0,0045/0,141; б) 0,67 в методе МВ по абсолютной величине 4тг I dA7/d/71 = 0,149, полученной как отношение 0,0189/0,141, и в) 0,64 по непосредственному измеренному абсолютному значению 4TrldA7/dZZI = 0,141.

Здесь речь идет о фазах, определяемых формулой (9.8), для осцилляций в обратном поле 1///. В гл. 6 аргументом служила разность между полем Н и фиксированным полем Но; легко показать, что при такой замене разность ф2 - 2^ изменяется на тг. Полезно также вспомнить, что приведенные выше значения ф2 — 2фх изменяются на тг/2, если речь идет об осцилляциях ДМ/АН, а не самой намагниченности М. Пример того, как практически проводится разделение ЛК- и MB-гармоник для калия, представлен на рис. 9.8 (взятом из работы [238]).

Видно, что анализ этого случая дает не только отношение ЛК- гармоник, по которому можно определить g-фактор, но и отношение MB-гармоник, дающее оценку абсолютного значения I dAZ/d/Y I, не требующую знания калибровочной постоянной и объема образца. К определению абсолютного значения амплитуды, а по нему g-фактора мы еще обратимся в дальнейшем.

Метод ОАГ перестает быть столь простым, когда значение l4;rdM/d//1, а следовательно, и MB-гармоники становятся слишком большими при тех условиях, когда ЛК-гармоники приобрета-

ют амплитуду, достаточную для измерений. В этом случае как амплитуды, так и фазы наблюдаемых гармоник становятся сложными функциями истинных амплитуд и фаз ЛК-гармоник и истинное отношение гармоник может быть установлено лишь методом проб и ошибок. Довольно грубое первое приближение для значений costtS и температуры Дингла х можно получить, если пренебречь усложнениями, и эти величины могут быть выбраны в качестве пробных (значение costtS, естественно, определяет мнржители costtS для всех гармоник). С этими пробными значениями ЛК- формула позволяет вычислить пробные амплитуды основной гармоники и других гармоник, какими они были бы в отсутствие МВ. Эти значения можно использовать в качестве исходных при проведении итераций по схеме Филипса и Голда (см. п. 6.7.2), чтобы вычислить амплитуды и фазы гармоник, модифицированных магнитным взаимодействием^, в случае, если бы пробные значения параметров были правильными. Сравнение зависимостей от поля предсказанных амплитуд и фаз с реально наблюдаемыми показывает, как следует изменить пробные параметры. Проведение такой процедуры проб и ошибок оказалось необходимым при исследовании Na [331], когда (благодаря большой частоте осцилляций) МВ оказывается более сильным, чем в случае других щелочных металлов (сравнение рассчитанных фаз с экспериментом проведено на рис. 9.5). При еще более сильном МВ, как, например, для осцилляций орбит на «пузе» в благородных металлах в условиях, когда ЛК- гармоники становятся существенными, содержание гармоник полностью определяется магнитным взаимодействием (исключение составляет Си). При этом становится невозможным извлечь какую- либо информацию о ЛК-гармониках.

Как уже упоминалось в разд. 6.10, другой способ обойти трудности, связанные с МВ, успешно использованный в работе [172] при изучении g-фактора для 7-осцилляций в свинце, состоит в подаче по цепи обратной связи сигнала, пропорционального намагниченности М, который добавляется к магнитному полю, действующему на образец. Если сигнал обратной связи подобран правильно, то поле, действующее на электроны (которые в отсутствие обратной связи было бы равно индукции В в образце), опять становится равным Не, т.е. полю, создаваемому магнитом. Таким образом,

1) Как обсуждалось в гл. 6, если температура Дингла х обязана в основном размытию фаз, то влияние МВ различается в зависимости от того, когда вводится размытие фаз: до или после учета МВ («старый» и «новый» подходы).

МВ эффективно подавляется, если оно является не слишком сильным и если размытие фаз не слишком велико (см. разд. 6.10). Если MB-гармоники оказываются устраненными, то остаются только ЛК-гармоники, и по их отношению можно определить g-фактор. Полезным побочным результатом применения такого метода является то, что при правильно подобранной обратной связи (о чем можно судить по минимуму амплитуды боковых составляющих, обязанных МВ, в спектре частот вблизи более высокой частоты а) ток в катушке обратной связи служит мерой величины 4тгА/(1 —и), где 4тгл — коэффициент размагничивания образца. Таким образом, и в этом случае усложнения, обязанные МВ, можно использовать для измерения абсолютной намагниченности, не зная объема образца и без калибровки установки (хотя, конечно, постоянную катушки обратной связи знать необходимо).

Метод «спинового нуля»

Для некоторых орбит в ряде металлов существуют особые ориентации, при которых спиновый множитель по случайным обстоятельствам точно обращается в нуль, и это проявляется в том, что исчезает основная гармоника осцилляций (или, что менее ярко выражено, случайно исчезает та или иная гармоника). Если это имеет место, то можно сразу утверждать (имеется в виду случай исчезновения основной гармоники), что

coseS = cosf^g—= 0 , (9.17) V т0/

поэтому

5 = г + у или д = (2r + l)/(m/m0), (9.18) где г — целое число. Следует отметить, что в этом случае степень неопределенности та же, что и в случае, когда знак при costt5 еще не известен (так как нуль не имеет знака!).

Подобный спад амплитуды до нуля вследствие спинового расщепления впервые наблюдали ° Джозеф и Торсен [222] для осцилляций на «шейке» в меди при ориентациях по обе стороны от направления <111> (рис. 9.9). Позднее подобное поведение было обнаружено для некоторых ориентаций на «шейках» в Ag и Au [223] и на «пузе» в Си [225, 198]. Масса на «шейке» в меди близка к ^^2, так

° Впервые исчезновение осцилляций вследствие спинового расщепления наблюдали Н. Б. Брандт, T. Ф. Долголенко, Н. Н. Ступоченко [511] на висмуте. —Прим перев.

Рис. 9.9. Положение «спиновых нулей» для осцилляций на «шейках» в меди [222]. Осцилляции наблюдались методом вращающего момента, и спад амплитуды до нуля при углах -13° по обе стороны от направления < 111> при повороте в плоскости (ПО) обязан «спиновым нулям», т.е. тому, что cos(ttS) становится равным нулю при этих ориентациях. Исчезновение осцилляций при к правлении <111> обусловлено, конечно, тем, что частота F имеет здесь минимум по отношению к ориентации. Быстрый спад амплитуды за пределами диапазона углов ± 20°, по-видимому, отчасти связан с плохим качеством образца; орбиты на «шейках» существуют до углов -25° по обе стороны от направления <111>.

Рис. 9.10. Осцилляции вращающего момента для «шеек» в Си при повороте поля на 6,1° от направления < 111> в плоскости (110) при 1,2 К и при поле -67 кГс. Очевидное присутствие интенсивной второй гармоники объясняется близостью к условию «спинового нуля» [399].

что если значение g близка к 2, то значение S близко к /2; если масса на «пузе» близка к 3/2, то при g = 2 значение 5 близко к 3А Даже при ориентациях, далеких от этих избранных, значение costtS для меди невелико, обычно порядка 0,1 для «шейки» и 0,2 для «пуза». Это означает, что значение costtS близко к - 1 и что вторая гармоника необычайно интенсивна по сравнению с основным тоном в широком диапазоне ориентаций поля. Это находит отражение в том, что спиновое расщепление проявляется непосредственно в появлении двух раздельных максимумов^ (рис. 9.10). Спад амплитуды основного тона до нуля был обнаружен и для других металлов: сурьмы [476] и платины и палладия [477].

Метод абсолютной амплитуды (АА)

По мере усовершенствования техники измерений и уточнения формы поверхностей Ферми постепенно получала признание идея, что g-фактор можно определить, измерив абсолютную амплитуду осцилляций в случае, когда содержание ЛК-гармоник пренебрежимо мало. Впервые такой метод начал систематически использовать Кнехт [238], разработавший описанный в п. 3.4.2.1 способ калибровки приемной катушки путем ее использования в качестве модулирующей и наблюдения нулей функции Бесселя для осцилляций с известной частотой F. Чтобы определить спиновый множитель costtS по измеренной амплитуде осцилляций, надо знать множитель С (т.е. 1Л"1_,/2), описывающий в формуле ЛК кривизну ферми- поверхности, и, естественно, значения/7 и т/т^. Для щелочных металлов, изучавшихся Кнехтом, поверхность Ферми близка к сферической, так что для них С — (2тт)-1/2. Малые отклонения значения С от (2тг)-1/2, обязанные малым отклонениям от сферичности, можно оценить и учесть (эти отклонения по порядку величины равны 0,1% для Na, 1% для К, 5% для Rb и достигают 20% для Cs). Значения costtS, полученные методом АА для щелочных металлов, совпадают с полученными методом ОАГ. Это обстоятельство свидетельствует о том, что формула ЛК правильно описывает не только форму, но и абсолютную величину осцилляций.

!) Расстояние между максимумами составляет 0,37 периода, а значение S, определенное в работе [358] методом ОАГ, при той же ориентации равно 0,44. Различие, по видимому, связано с тем, что пики для осцилляций со спином по полю и против поля недостаточно остры. Это приводит к взаимному сближению плохо разрешенных осцилляций. Осцилляции в Zn, о которых шла речь раньше, имеют вид относительно более узких пиков, и определение 5 по расстоянию между ними более обоснованно.

Такое согласие стимулировало использование метода АА для исследования орбит на «пузе» в благородных металлах [48], когда метод О АГ не может быть применен из-за чрезвычайно сильного магнитного взаимодействия. Единственное, что следовало сделать, чтобы ослабить МВ, — это в достаточной степени повысить температуру, чтобы уменьшить 47rldAf/d//l до величины, значительно меньшей 1, и тем самым сделать МВ либо пренебрежимо малым, либо таким, чтобы можно было его учесть как поправку. Кривизну можно вычислить, зная модель ПФ, которая, как уже говорилось, известна с высокой точностью [47]. Расчеты показывают, что значения С, полученные с использованием совершенно разных формул, одинаково хорошо описывающих поверхности Ферми, замечательно согласуются для большинства ориентаций. Небольшие различия порядка 10% возникают лишь при направлениях вблизи < 111>, если сравнивать модель, основанную на параметризации зонной структуры (ККР-метод), и представление ПФ в виде фурье-разложения, особенно в случае Au (возможно, это связано с пренебрежением релятивистскими эффектами в методе ККР).

Полезной проверкой всей процедуры в случае Си послужило то, что в случае меди имеется много направлений, когда исчезает основная гармоника для осцилляций, обязанная траекториям на «пузе» (эти направления на стереографической проекции расположены вдоль отдельных линий). Поэтому для многих ориентаций можно методом «спинового нуля» определить точные значения S (а тем самым, и g). Это позволило с помощью интерполяции предсказать значения S и при других ориентациях [358]. Оказалось, что результаты, полученные в работе [48] методом АА, прекрасно совпадают с интерполированными значениями, хотя сравнивались даже значения costtS, а не менее чувствительные к углу значения S. Такое согласие рождает доверие к результатам, полученным методом А А для Ag и Au.

Метод магнитного взаимодействия

Фактически это разновидность метода АА, когда абсолютная амплитуда осцилляций определяется по проявлению МВ-гармоник или по напряженности поля обратной связи в схеме, описанной в [172]. При этом не требуется калибровать аппаратуру и знать объем образца. Однако значения С (т.е. \А" l_,/2), F, (т/т^ и х по- прежнему необходимы для вычисления множителя costtS из абсолютного значения амплитуды. Если МВ не слишком сильно и если ЛК-гармоники также слабы, то MB-гармоники легко выделить,

тщательно измеряя относительные фазы гармоник (пример см. на рис. 9.8). Естественно, надо знать форму образца; как разъяснено в п. 6.4.2, если размагничивающий множитель равен 4тгл, то отношение амплитуды второй ф = 2) MB-гармоники к амплитуде основной гармоники для ДМ/ДНе в пределе слабого МВ определяется формулой

(“гЛМмв = WW<W1 -и). (9.19)

Поэтому можно получить абсолютное значение IdAf/d/ZI, выделив из а2/ах отношение (я2/а1)мв- Если же МВ становится более сильным, то компоненты ямв и ялк, каждая из которых имеет свою фазу, перестают быть аддитивными и начинают играть роль члены более высокого порядка (по Филипсу и Голду). В этом случае следует использовать описанный в п. 9.5.2.1 метод проб и ошибок, который фактически представляет собой комбинацию методов ОАГ и МВ.

Обсуждение результатов по измерению g -фактора

Как упоминалось, основные механизмы, приводящие к отличию g-фактора от значения для свободных электронов g = 2, — это спин-орбитальное и электрон-электронное взаимодействия. Обычно одно из них настолько доминирует, что достаточно рассматривать только его. Очень большие значения g-фактора, подобные тем, какие наблюдаются для Zn и Bi (обычно они имеют порядок величины Х/фг/т^ характерны для спин-орбитального взаимодействия, когда очень малые орбиты расположены в ^-пространстве там, где зона проводимости отделена от соседней малой энергетической щелью. Спин-орбитальное взаимодействие пропорционально Z4, где Z — атомный номер элемента, и поэтому оно особенно существенно для «тяжелых» металлов; это может послужить критерием при сравнении результатов для ряда подобных металлов с различным зарядом ядра Z, например для ряда благородных металлов: Си, Ag, Аи.

Другой критерий основан на сравнении значений g с теми, которые получаются при измерении спинового резонанса. Если единственным механизмом, ответственным за спиновое расщепление, является спин-орбитальное взаимодействие, то эти значения должны быть равными, но это не так, если существенно электрон- электронное взаимодействие. Дело в том, что электрон- электронное взаимодействие, хотя и приводит к изменению разно-

сти энергий ддя состояний со спином по полю и против ПОЛЯ, но обязанное ему эффективное магнитное поле по направлению всегда совпадает с мгновенным направлением спинового магнитного момента и не влияет на резонансную частоту. К сожалению, имеются два обстоятельства, затрудняющие использование этого критерия. Во-первых, электронный спиновый резонанс в металлах трудно наблюдать из-за скин-эффекта и, во-вторых, возникают осложнения вследствие анизотропии g-фактора. Резонансные измерения дают значения g, усредненные по всей ПФ, и не всегда очевидно, как их сравнивать с сильно анизотропными значениями g-фактора, полученными при исследовании осцилляций дГвА. Тем не менее мы увидим ниже, что исследования спинового резонанса часто оказываются очень полезными.

Наконец, прежде чем переходить к обсуждению результатов, полученных для конкретных металлов, сделаем замечание общего порядка о'точности измерений. Поскольку, как показано в разд. 9.2, S = Vigm/mQ можно представить в виде г ± So, где г — целое число, a So < /2, то относительная точность определения S, а с ним и g может быть более высокой, чем точность экспериментального измерения величины. Конечно, при этом предполагается, что значение г достаточно надежно известно, (например, из сравнения значений g-фактора, полученных в разных экспериментах или из теоретических оценок). Например, для Na, К и Rb получаем 5 = 2 — So, так что значение bS/S по крайней мере втрое меньше, чем bS^/S^ (фактически ошибка значения So меньше в пять и более раз). Более того, само значение So вычисляется либо из значения cos?rS0 (в методе АА), либо из cos27rS/cos7rS (в методе ОАГ), так что bS0/S0 сложным образом зависит от относительной точности измеренных величин. Так, в методе АА, если значение So близко к /2, то большая ошибка при определении множителя cos?rS0 приведет к значительно меньшей ошибке для So, однако если значение So близко к О, то все будет наоборот. Аналогично в методе ОАГ, если So ~ Уд, то значение cos2?rS0 мало и опять довольно большая ошибка измерения отношения амплитуд гармоник соответствует значительно меньшей ошибке определения величины So. При исчезновении основной гармоники осцилляций значение So равно точно /2, и единственный источник погрешности при определении g-фактора — это погрешность измерения отношения масс т/т0. Для примера можно упомянуть, что для Na, К и Rb и для Си при тех ориентациях, когда наблюдается «спиновый нуль», значения g- фактора, определенные по эффекту дГвА, имеют точность лучше 0,5%, которая ограничивается в основном погрешностью значения

т/т^. В этом случае точность много выше, чем при определении спинового расщепления по абсолютной или относительной амплитуде, когда она обычно составляет несколько процентов.

Спин-орбитальное расщепление

Проблема расчета спин-орбитального расщепления в металлах на основе теории зонной структуры обсуждается в обзоре Яфета [478] (в основном в связи с интерпретацией экспериментов по электронному парамагнитному резонансу). Мы не будем пытаться описать соответствующую довольно сложную теорию, а приведем лишь некоторые относительно простые соображения, которые помогут оценить порядок величины наблюдаемых эффектов.

Для малых участков ПФ, на которых электроны при движении по экстремальным орбитам претерпевают ряд брэгговских отражений, Пиппард [345, 346] провел полуколичественное рассмотрение, позволившее объяснить, почему наблюдаемые значения g-фактора велики, и дать оценку сверху их возможной величины. При движении со скоростью и по периодической решетке в созданном ею электрическом поле grad V электронный спин «видит» магнитное поле (и х grad V)/c и его взаимодействие со спиновым магнитным моментом /хв (равным магнетону Бора) дает добавку к энергии

£ = ±^у"1г х grad И- (9.20)

Знак ± зависит от того, параллелен или антипараллелен спин магнитному полю. Множитель /2 обязан релятивистской природе собственного момента электрона; он не играет существенной роли при качественном рассмотрении, проводимом нами. В задаче спин- орбитального взаимодействия большую роль играет потенциал V в области атомного ядра, где он значительно (более чем в 104 раз) превышает псевдопотенциал V*, определяющий зонную структуру. Аналогично и скорость в этой области v может в десятки раз превышать обычную скорость орбитального движения. Если для простоты предположить, что потенциал решетки изменяется только вдоль одного направления (ср. с рис. 7.4) как cos(x/a), где а — постоянная решетки, то энергия спин-орбитального взаимодействия (9.20) будет изменяться как sin(¥/a). Подстановка численных значений показывает, что ее величина (т.е. Уг^и! И1/са) может стать сравнимой с энергией в поле псевдопотенциала (т.е. с el И' I), а в исключительных случаях даже оказаться доминирующей.

Если спин-орбитальное взаимодействие действительно доминирует, что, как можно полагать, соответствует верхнему пределу спин-орбитального расщепления, то изменение фазы при переходе от cos(x/a) к sin(x/a) эквивалентно в некотором смысле сдвигу кристаллографических плоскостей на четверть периода в противоположных направлениях соответственно двум направлениям спина. Аналогично фазы при брэгговском отражении будут различаться на тг для электронов с разными спинами. Поэтому для орбит, реализующихся благодаря многократным брэгговским отражениям (например, для трех на «иглах» в Zn), условия Онзагера оказываются различными при разных направлениях спина на величину разности фаз, равную тг, умноженному на число брэгговских отражений /, т.е. на /тг. Поскольку разность фаз 2тг соответствует переходу от одного уровня Ландау к соседнему, это означает, что спиновое расщепление равно расщеплению уровней Ландау, умноженному на //2, и S = //2. Если условие е ► е I К' I не выполняется, то, естественно, спиновое расщепление уменьшается, так что, вообще говоря, можно установить лишь верхний предел значений S или g:

S^%1 д^1/(т/т0). (9.21)

Подобные аргументы вполне приложимы к «иглам» в Zn, так как энергетические щели, отделяющие их от «монстра», как можно думать, целиком обязаны спин-орбитальному взаимодействию. В этом случае / = 3 и, таким образом, можно ожидать, что значение S должно быть близким к 1,5 (g — 400). Это соответствует обращению в нуль амплитуды осцилляций из-за спинового расщепления, что, однако, не наблюдаетсяк Как показано в п. 9.5.1, скорее всего S = 0,64 (g = 170). Это не противоречит неравенству (9.21), но значительное различие между величинами 1,5 и 0,64 указывает на то, что энергия с, определенная формулой (9.20), не превышает значительно вклад от псевдопотенциала. Обсуждение ситуации с цинком на основе детальной зонной структуры проведено в [446]. Согласно этой работе, g = 170 является наиболее вероятным значением, но вывод этот не совсем однозначен.

Зонная структура Bi такова, что каждый из электронных эллипсоидов ПФ формируется при двукратном брэгговском отражении, и из этого следует, что5 ^ 1. Измеренное значение есть5 = 1,1 (см. п. 9.5.1), и это противоречит тому, что значение S = /2/ соответствует верхнему пределу. Однако эта оценка была получена с использованием чрезмерных упрощений. Коэн и Блаунт [80] для несколько идеализированной модели зонной структуры получили, что значение S точно равно 1.

В общем случае следует ожидать, что значение S достигает верхнего предела /2/, установленного Пиппардом, если спин- орбитальное расщепление в спектре атома для состояний, соответствующих волновой функции электронов проводимости, много больше энергетической щели в зонной структуре металла. Это именно так в случае Bi, для которого расщепление уровней атома равно примерно 2 эВ, а энергетическая щель составляет всего лишь примерно 0,02 эВ. Для Zn атомное расщепление равно 0,07 эВ, а энергетическая цель—примерно 0,02 эВ, так что в этом случае ситуация выглядит еще не очень близкой к предельной. Не располагая более детальной информацией о зонной структуре Ga, чем имеется в настоящее время, трудно настаивать на применимости рассмотрения Пиппарда при обсуждении спинового расщепления ГКО, но можно отметить, что S = 2 — So (одно из возможных значений, отмеченных в п. 9.5.1) соответствует оценке (9.21) при четырех брэгговских отражениях. Однко маловероятно, что спин- орбитальное взаимодействие для Ga столь экстремально велико, и более вероятным представляется значение S = So (т.е. g =^ 1). Критерий Пиппарда был использован в работе [172] для ограничения возможных значений g-фактора, удовлетворяющих эксперименту для 7-осцилляций в свинце. Из двух значений g = 0,70 или 6,44, согласно этому критерию, следует предпочесть меньшее.

Для тех металлов, о которых сейчас шла речь, прямые измерения, основанные на наблюдении электронного парамагнитного резонанса, известны только для Bi [406]]). Результаты этих измерений согласуются с предположением, что спиновое расщепление приближенно равно циклотронному на большей части поверхности Ферми.

Для орбит, проходящих по большим участкам ПФ, на которых значение g ближе к 2, полезные соображения о величине g-фактора (когда речь идет о влиянии спин-орбитального взаимодействия) были изложены в работе [126]. Они основывались на приближении сильной связи и позволили установить верхний предел отклонения bg от значения для свободных электронов g = 2,0023. Этот верхний предел определяется выражением

с 4/2 А

1^1”» - (2/+ 1}- • (9.22)

!) Наблюдавшиеся в [406] особенности импеданса висмута ошибочно интерпретировались как обязанные электронному парамагнитному резонансу. Впоследствии было установлено, что в [406] наблюдался циклотронный резонанс на орбитах, наклоненных в реальном пространстве к магнитному полю (см. [512]). — Прим, перев.

Таблица 9.2. Максимальное отличие g-фактора от значения g0, обязанное спин- орбитальному взаимодействию [126]

/

Л, эВ

ДЕ, эВ

Теория, " «о'тах

ЭПР,

дГвА

Си

1

0,03

1,9

0,02

0,03

0,18 («пузо»)

2

0,25

0,42

— 0,10 («шейка»)

Ag

1

0,11

4,0

0,04

-0,02

0,28 («пузо»)

2

0,55

0,44

— 0,08 («шейка»)

Аи

1

0,47

2,4

0,26

0,026

0,04 («пузо»)

2

1,52

2,0

-0,8 («шейка»)

Na

1

0,002

2,3

0,0012

0,0007

0,64

К

1

0,007

1,2

0,008

0,0026

0,80

Rb

1

0,029

1,3

0,03

0,0039

0,83

Примечание: Л — спин-орбитальное расщепление уровней в атоме для состояний с азимутальным квантовым числом Ц ЬЕ — щель между ближайшими зонами с подходящим типом симметрии, gQ = 2,0023. При построении таблицы использована формула (9.22) и комбинация параметров, взятых из работ [126, 238, 358]. Два значения для ЭПР (электронного парамагнитного резонанса) в Au цитировались в [358], однако имеются сомнения в достоверности большего значения. Приведенные в графе дГвА значения соответствуют среднему при направлениях < 100> и <111> для «пуза» и направлению <111> для «шейки».

где Л — наибольшее из спин-орбитальных расщеплений атомных орбиталей, дающих вклад в волновую функцию электронов на ПФ; / — соответствующее ей азимутальное квантовое число и ДЕ — расстояние по энергии до ближайшего состояния с подходящей симметрией. Оценки значений ldglmax для щелочных и благородных металлов приведены в табл. 9.2 вместе со значениями, полученными при исследовании парамагнитного резонанса и дГвА. Сопоставление этих величин показывает, что вычисленные значения действительно превосходят значения 6g, определенные из резонансных измерений, однако они не могут объяснить значительно большие значения 6 g, полученные из эффекта дГвА, за исключением, разве, результатов для «шеек» в благородных металлах. Причиной расхождения, как уже отмечалось, является электрон- электронное взаимодействие, которое не проявляется при резонансных исследованиях, но дает доминирующий вклад в изменение g- фактора в щелочных металлах и для орбит на «пузе» в благородных

металлах. Измеряемые по электронному парамагнитному резонансу значения g усреднены по всей ПФ, и, поскольку в благородных металлах «пузо» составляет основную часть ПФ, можно заключить, что спин-орбитальное взаимодействие дает малый вклад в значения g для орбит на «пузе». Однако оно может быть важным эффектом в случае орбит на «шейках», которые имеют выраженный p-подобный характер, хотя и в этом случае электрон- электронное взаимодействие может играть важную роль.

Многочастичные взаимодействия

И в этом случае мы не будем пытаться дать описание теории (что выходит за рамки данной книги), а ограничимся изложением основных результатов, которые имеют отношение к интерпретации экспериментов. Основы теории многих частиц изложены, например, в книгах [336, 348].

Как уже отмечалось в разд. 2.6, формула ЛК остается справедливой как при электрон-электронном (ЭЭ), так и при электрон- фононном (ЭФ) взаимодействиях, если они не экстремально велики; только параметры, входящие в эту формулу, должны быть соответственно модифицированы (перенормированы). Эти перенормированные значения можно вычислить по теории ферми-жидкости Ландау, и для изотропного металла взаимодействия описываются коэффициентами Ло, Ах и т.д. и Во, Вх и т.д. разложения по полиномам Лежандра симметричной и антисимметричной по спину частей функции взаимодействия Ландау. Все результаты, о которых будет говориться ниже, соответствуют приближению, основанному на предположении, что все коэффициенты А и В малы.

Для g -фактора перенормировка сводится [230] к

y = ys/d+B0) (9.23)

где gs — значение, которое получилось бы при измерении ЭПР, т.е. оно включает спин-орбитальное взаимодействие, но не многочастичные эффекты. Коэффициент Во учитывает как ЭЭ-, так и ЭФ- взаимодействия, и его можно записать (используя очевидные обозначения) в виде

(1 + В^ = (1 + Воээ)(1 + В^у (9.24)

Как мы увидим далее, обычно Во имеет малую отрицательную величину (-0,29 для К), хотя и В33 , и В^ф имеют несколько большую величину и разные знаки (В^ф положительно). Значения, полученные по эффекту дГвА, как оказывается, хорошо согла-

суются с теоретическими оценками и с оценками, сделанными на основе других экспериментов.

Перенормированная циклотронная масса равна

т = mb(l + Л0ЭФ) = wc(l + Л0ЭФ)(1 + Лзэ), (9.25) где тс — зонная масса электрона в кристалле, полученная из расчета зонной структуры в пренебрежении ЭЭ- и ЭФ-взаимодей- ствиями, wb — «голая» масса, учитывающая ЭЭ-, но не ЭФ- взаимодействия. Видно, что параметр А ^ф идентичен параметру Д, определенному выражением (2.189). Обычно значение Лр мало (типичное значение < 0,1), так что массы тъ и тс почти равны, а Л^ф имеет значительно большее значение (обычно между 0,1 и 1).

Еще одно важное соотношение имеет вид

5оЭФ = ^о3®(9.26)

Оно означает, что комбинация параметров gQn/m0), определяющая амплитуду эффекта дГвА, зависит только от ЭЭ-взаимодействия и не зависит от ЭФ-взаимодействия. Таким образом,

11тс(1+Л33)

19'27)

Существует также связь между g -фактором и парамагнитной (спиновой) восприимчивостью х-

Z/Zo =(9.28)

\9о/ V”o/

где Хо — воприимчивость газа свободных электронов той же плотности. Приближенное равенство со значением S справедливо для щелочных и благородных металлов, поскольку для них значения как gs, так и g0 очень близки к 2.

Сравнивая измеренные значения с теорией, выводы которой перечислены выше, следует учитывать, что теория не претендует больше чем на приближенное описание и что она построена для изотропного металла. Последнее означает, что для благородных металлов она в лучшем случае дает лишь качественное описание, поскольку благородные металлы обладают весьма заметной анизотропией. Чтобы провести сравнение, будем несколько произвольно предполагать, что усреднение свойств для направлений <111> и < 100> на «пузе» представляет собой нечто подобное тому, что имело бы место для изотропного металла с той же плотностью электронов.

Значения g-фактора (или, что эквивалентно, значения Во или х/хо)> получающиеся из данных по эффекту дГвА, можно сравнить с оценками, основанными на других экспериментах. Наиболее существенно сравнение с результатами исследования нового типа спиновых волн, открытых Шульцем и Данифером [372]°. Эти спиновые волны проявляются как резонансы поглощения электромагнитной энергии, обязанные стоячим волнам в пластине металла, помещенной в сильное магнитное поле и облучаемой высокочастотными колебаниями. Спиновые волны возникают исключительно благодаря многочастичному взаимодействию, их не должно быть в системе невзаимодействующих электронов, и по их спектру можно непосредственно определить параметр Во. Как видно из табл. 9.3, значение параметра Во, полученное таким способом, прекрасно согласуется с результатами дГвА для К. Однако для Na и Rb можно говорить о согласии только в том случае, если считать, что погрешность измерений значительно превосходит ее оценку. Конечно, не исключено, что расхождения для Na и Rb действительно существуют и являются следствием того, что теория, использовавшаяся при определении значений Во на основе соответствующих измерений, является слишком приближенной. Спиновые волны в благородных металлах до сих пор не наблюдались. В табл. 9.3 проведено также сравнение восприимчивостей х/Хо» вычисленных как по значениям S, определенным при исследованиях эффекта дГвА, так и по параметру Во, определенному при наблюдении спиновых волн [использовались формулы (9.23) и (9.28)].

Эти значения х/Хо можно сравнить со значениями, полученными из результатов измерения сдвига Найта (а), амплитуды парамагнитного резонанса на электронах проводимости (б) и с прямыми измерениями магнитной восприимчивости при учете вклада иной природы, чем спиновый парамагнетизм (в). Эти величины имеют довольно значительную погрешность, обычно порядка 10%. Однако, как видно из табл. 9.3, они неплохо согласуются с более точными значениями, полученными при исследовании эффекта дГвА. Это согласие подтверждает, что нам удалось корректно разрешить неопределенность при определении g-фактора, т.е. выбор целых чисел в (9.4) произведен правильно.

Существует много попыток расчета на том или ином уровне сложности многочастичных эффектов для определения g-фактора

^ Существование спиновых волн в нормальных металлах было предсказано в 1957 г. В. П. Силиным [513]. —Прим. ред.

Таблица 9.3. Оценки параметра BQ и относительной восприимчивости х/х0, основанные на значениях g-фактора для щелочных и благородных металлов

х/х0

Металл

g (дГвА)

*s

дГвА

спиновые волны

т/т^

дГвА

спиновые волны

сдвиг Найта

амплитуда ЭПР

прямое измерение

теория Воско [459]

приближенная теория

Na

2,64(2)

2,00

0,241(7)

0,215(30)

1,24(1)

1,63

1,58

1,7

1,62

1,62

1,64

К

2,80(1)

2,00

0,286(3)

0,285(20)

1,217(2)

1,70

1,70

1,6

1,70

1,79

1,71

Rb

2,83(5)

2,00

0,295(12)

0,21(5)

1,22(2)

1,72

1,54

1,6

1,93

1,78

1,66

Си

2,18(5)

2,03

0,07(2)

1,36(2)

1,50

1,41

Ag

2,28(15)

1,98

0,14(6)

0,93(1)

1,05

1,05

Аи

2,04(18)

2,00

0,02(8)

1,10(4)

1,13

1,08

Примечание: экспериментальные значения g-фактора взяты из работ [331] для Na, [238] для К и Rb (данные для Cs опущены ввиду того, что интерпретация весьма неопределенна); [48] для Си, Ag, Аи. Ссылки на источники, откуда заимствованы другие величины, приведены в этих работах. Значения BQ вычислены по формуле (9.23). Числа в скобках показывают погрешность последней значащей цифры каждой из величин. Для благородных металлов приведенные величины являются средними для орбит на «пузе» при направлениях < 100> и < 111>, и в этом случае погрешность определяется в основном анизотропией. Значения в первых двух столбцах для х/х0 получены по формуле (9.28) и фактически несут ту же информацию, что и значения BQ; они приведены для удобства сравнения с другими расчетами. Значения в столбце «приближенная теория» вычислены по линейной экстраполяции (9.33) за пределы малых значений г*, при которых эта формула верна.

как с использованием коэффициентов Ландау А и В, так и с использованием более фундаментальных расчетов на основе зонной структуры. В табл. 9.3 приведены значения х/Хо для щелочных металлов, вычисленные в работах [282, 459]. Они вполне удовлетворительно согласуются с результатами измерений, особенно с полученными из эффекта дГвА. Другие теоретические оценки, цитируемые в [238], мало от них отличаются.

Еще один способ представления результатов связан с определением величины, содержащей только члены, описывающие ЭЭ- взаимодействие. Эти члены, как можно ожидать, зависят только от электронной плотности, и именно эту зависимость надлежит сравнивать с теорией. Подобной величиной является

X = gm/gsm6 = toxo№o/9^4mo/me), (9.29)

поскольку, согласно (9.23)—(9.28),

X = (1 + Лрэ)/(1 + 5рэ). (9.30)

Таким образом, значение X — комбинация g-фактора, измеренного в эффекте дГвА, gs, определенного по парамагнитному резонансу, и зонной массы тс —- является функцией только ЭЭ-взаимодействия и для изотропного металла должно зависеть только от электронной плотности, или, что эквивалентно, от среднего расстояния между электронами rs, определяемого соотношением

г$ = п-113/а0, (9.31)

где п — плотность электронов, а0 — боровский радиус. К сожалению, этот аргумент слишком наивен, поскольку игнорирует экранирование ионного остова. Эту трудность до некоторой степени можно обойти, считая, что экранирование эквивалентно рассмотрению среды с диэлектрической проницаемостью 8. Можно показать, что в реальном металле значение X должно быть равно Х(г*), если X = X(rs) в чисто электронном газе, причем

Г? = (rs/s)(mc/m0). (9.32)

Параметр е можно определить из оптических измерений, используя экстраполяцию результатов к бесконечной частоте, хотя достоверность такой процедуры не слишком высока (табл. 9.4). Зависимость Х(г*) показана на рис. 9.11. Видно, что с точностью до погрешности измерений, которая, правда, довольно велика, точки и для благородных, и для щелочных металлов ложатся на одну кривую, которая в свою очередь неплохо согласуется с теорией. Име-

Таблица 9.4. Параметры, определяющие значения X и г* [48]

Металл gm/m^

"V'”or$sг*X

Na3,26(1)

К3,40(1)

1,023,931,093,681,60(2)

1,014,861,15,

1,214,16(12)1,68(2)

Rb3,45(2)

0,995,201,25;

1,264,10(4)1,74(3)

Си2,96(4)

Ag2,12(13)

Au2,25(18)

1,262,666,0;7,00,52(4)1,16(2)

0,933,002,3;3,80,9(2)1,15(7)

1,013,007,0;7,80,41(2)1,11(9)

Примечание: поскольку именно величина gm /т0 непосредственно измеряется в эффекте дГвА, то ее относительная погрешность обычно несколько меньше погрешности самих значений g, приведенных в табл. 9.3 (эти значения включают в себя также погрешность массы т). Приведенные для е два значения — результаты, полученные в разных экспериментах (ссылки см. в [48]); при вычислении г* использовано среднее от этих значений. Погрешность г* отражает лишь различие в значении двух величин, и фактически она может быть существенно большей.

Рис. 9.11. Зависимость X [см. (9.30)] от г* [см. (9.31), и (9.32) и табл. 9.4] для благородных и щелочных металлов [48]. Приведены экспериментальные значения для (слева направо) Au, Си, Ag, Na, Rb и К. Черточки возле точек дают представление о погрешности величин. Сплошная линия — теория [199], штриховая — асимптотическое теоретическое значение (9.33) при малых значениях г*

ется несколько расчетов этой зависимости, и их результаты мало различаются между собой в тех областях, где они перекрываются. Мы для сравнения с экспериментом выбрали расчет Хаммана и Оверхаузера [199], поскольку в этой работе приведен результат в явном виде для всего диапазона значений г*. Значения £ для благородных металлов довольно велики (7 для меди и для золота). Поэтому точки для благородных металлов оказались бы смещенными слишком далеко вправо, если в качестве аргумента взять rs, а не г*. Поскольку существует неопределенность в том, что следует считать истинным значением £ и как его установить, исходя из оптических измерений, горизонтальные черточки, показывающие погрешность значений г*, вероятно, должны быть больше показанных на рисунке. Погрешности, приведенные на рисунке, учитывают только разброс значений £, определенных из разных экспериментов.

Теоретическая зависимость Х(г*) имеет особенно простой вид при малых значениях г*, когда можно ограничиться первым членом разложения по степеням г*. В этом случае (см. например, [336])

X = 1 4- 0.166г*. (9.33)

Удивительно, что расчеты при г* > 1 приводят к значениям X, не сильно отличающимся от тех, которые получаются из простой линейной зависимости (9.33). В табл. 9.3 в столбце «приближенная теория» приведены значения (х/хо), вычисленные по формуле (9.29) с использованием значений X, полученных из (9.33). Видно, что они согласуются с экспериментом не хуже, чем результаты более сложных теорий.

В заключение следует прокомментировать одно обстоятельство, которое на первый взгляд выглядит парадоксальным. Оно заключается в том, что роль ЭЭ-взаимодействия возрастает при увеличении г* (т.е. при уменьшении электронной плотности), что прямо противоположно здравому смыслу. Дело в том, что важна не абсолютная энергия ЭЭ-взаимодействия, а ее отношение к кинетической энергии. Взаимодействие является электростатическим и изменяется как 1/г, а кинетическая энергия (это по существу энергия Ферми) пропорциональна 1/г2. Поэтому, когда электроны располагаются ближе друг к другу, электростатическое взаимодействие должно становиться относительно более слабым.

Случаи аномального поведения

До сих пор молчаливо предполагалось, что осцилляции, обязанные электронам со спином по полю и со спином против поля, имеют эквивалентную амплитуду и что спиновое расщепление уровней

энергии пропорционально полю Н. В этом разделе мы рассмотрим, что происходит, если эти предположения перестают быть верными, и потому влияние спина более не описывается добавлением постоянных множителей costt^S к амплитудам гармоник. Нарушение этих предположений впервые было обнаружено при исследовании разбавленных сплавов, содержащих магнитные примеси [88, 89]. С одной стороны, рассеяние на магнитной примеси зависит, вообще говоря, от направления спина, поэтому амплитуды осцилляций для электронов со спином по полю и против поля заметно различаются. С другой стороны, имеется расщепление из-за обменного взаимодействия, которое в первом приближении не зависит от поля Н. Поэтому эффективный g -фактор становится зависящим от поля. Исследование этих эффектов оказалось полезным с точки зрения изучения взаимодействия электронов проводимости с магнитными примесными атомами. Мы ограничимся, однако, лишь кратким описанием существующих возможностей и полученных результатов; подробнее с этими вопросами можно ознакомиться в обзоре [208].

Если вернуться к выводу формулы, описывающей влияние спинового расщепления на амплитуду осцилляций (см. п. 2.3.7.4), но при этом предположить, что разность фаз ф = 2тг5 между осцилляциями для электронов со спином по полю и против поля зависит от его напряженности и что, кроме того, их амплитуды могут быть различными, скажем равными(/2>4 (1 4- а) и (!/2)Л (1 - а), то суперпозиция осцилляций приведет к намагниченности

4. / ф\ /1 - <Л . Л </Л1

М = А) sin ( ф + - I 4-1) sin ( ф - - I >(9.34)

где, как обычно ф = (2тгF/H) ± тг/4. Это выражение можно переписать в виде

/ ф Ф\ш

М = A I cos2 — 4- a2 sin2 -- I sin(^ 4- 9)

где(9.35)

ф tan У = titan — 2

В разбавленных сплавах с магнитной примесью зависимость фазы ф от поля обязана обменному взаимодействию, наложенному на обычное расщепление (У^^/^о^Н. Если обменное взаимодействие носит антиферромагнитный характер (как это экспериментально установлено ДПя систем, рассматриваемых ниже), то разность

фаз ф удобно представить в виде

, Г1 / НСД т )

Ф = 2л ^ 9 - -тг —>.(9.36)

где поле Нех связано с энергией обменного взаимодействия Дех (т.е. расщеплением, обязанным обмену) формулой

^т/т0)РНС1 = Дсх(9.37)

Ситуация упрощается в том частном случае, когда нет заметного различия амплитуд осцилляций для электронов с разным спином, т.е. если а = 0. При этом (9.35) упрощается до

М = Лсо$^^\;П|^(9.38)

т.е. исчезает изменение фазы, но обязанный спину косинусоидальный множитель зависит от поля.

Подобная ситуация реализуется в разбавленных сплавах Сг в Си, в которых наблюдались необычные особенности осцилляций дГвА [88]. Поскольку для чистой меди значение gm/m^ близко к 3 для осцилляций на «пузе» и близко к 1 на «шейках», то оказывается возможным осуществить условия «спинового нуля», изменяя поле Н до тех пор, пока значение (g - Нех/Н)(т//и0) не станет точно равным 3 или 1. Это обстоятельство иллюстрируется рис. 9.12. Видно, что экспериментально установленная зависимость амплитуды осцилляций от поля хорошо описывается формулой (9.38) при соответствующем подборе параметра Нех. Другая возможность обнаружения этого же эффекта связана с наблюдением осцилляций при повороте образца в неизменном поле. Было обнаружено, что спад амплитуды до нуля вследствие спинового расщепления происходит при разных ориентациях для разных напряженностей поля и эти направления отличаются от направлений для чистой меди (рис. 9.13).

Значение поля Нех (т.е. Дех) при заданной ориентации, определяемое из подобных экспериментов, представляет интерес для теории. В грубом приближении следует ожидать, что

bex = c\J\S ,(9.39)

где с — концентрация магнитной примеси, J — обменный интеграл между атомом магнитной примеси и электроном проводимости и S — спиновое квантовое число для примеси (для хрома равное И).

Зависимость от поля Н II < 111> амплитуды осцилляций на «пузе» в Си + 34 х х 10~6Сг при ~1 К. Точки — эксперимент (получены методом модуляции поля), кривая построена по формуле (9.38) с параметром Яех, выбранным так, чтобы достичь согласия с экспериментом [88].

10111213 U 1516171819

Угол, град

Рис. 9.13. Положение «спиновых нулей» для осцилляций на «шейках» в чистой меди (верхняя запись) и в сплаве Си + 15 х Ю~6О (нижняя запись). Осцилляции получены при повороте образца в фиксированном поле 50 кГс в плоскости (110) при Т ~ ~ 1 К; наблюдения производилась модуляционным методом. Угол отсчитывается от направления <111> [88].

Таким способом можно определить важный параметр J, который описывает также эффект Кондо. Фактически теория выглядит значительно сложнее (см., например, [402]), и энергия Дех может существенно зависеть от поля и температуры. Эксперименты, как оказалось, описываются более точной теорией и приводят к значениям J, согласующимся с полученными при исследдвании эффекта Кондо.

Существование довольно ярко выраженного спада амплитуды до нуля в сплавах Си — Сг, т.е. независимость рассеяния от направления спина, является, по-видимому, счастливой случайностью. В общем случае рассеяние существенно зависит от направления спина, так что а Ф 0 и «спиновый нуль» не может иметь места. В этом случае извлечение информации из наблюдаемой картины осцилляций становится более трудным. Для достаточно разбавленных сплавов вместо спада до нуля наблюдается минимум амплитуды, когда ф = тг [см. формулу (9.35)]. В этом случае значения как а, так и поля Нех могут быть установлены при помощи формул (9.35) и (9.36). Однако точность при этом снижается, поскольку амплитуда А также быстро изменяется с полем и ориентацией и это делает процедуру определения напряженности поля или его ориентации, соответствующих ф = тг, менее точной. Более того, на кривой зависимости от поля полной амплитуды осцилляций исчезает минимум, если изменение значения А становится доминирующим.

При условиях, когда ЛК-гармоники достаточно интенсивны, чтобы быть измеренными, но МВ еще не слишком сильно, возможно, по крайней мере в принципе, исследовать как зависимость от поля g-фактора, так и зависящее от направления спина рассеяние без того, чтобы осуществлялись условия, близкие к «спиновому нулю». Подобный подход был впервые реализован в работах [10, 12] и далее развит в [77]. Из-за ограничений, накладываемых требованием слабости MB-гармоник при достаточной интенсивности ЛК- гармоник, этот метод неприменим для орбит на «пузе» в благородных металлах, за исключением разве случая меди вблизи «спинового нуля», но его можно с успехом использовать при изучении осцилляций на «шейках» в Си и Au с магнитными примесями.

Предположим сначала, что магнитным взаимодействием можно полностью пренебречь. Тогда первые три гармоники осцилляций намагниченности М имеют вид

Мх = АМх = Аzsinzsin+ z'sin+ z'sin

Мх = А

Мх = А

zsin

zsin

+ z'sin

+ z'sin

= Ax^z2 + z2 -4- Izz С08ф)1/2 sin(i// + 0J

M2 = A2 z2 sin ( 2ф 4- ^ 4- ф у 4- z'2 sin f 2ф. 4- ^ — ф

= Л2(г4 4- z4 4- 2z2z'2 cos 2ф)т sin I 2ф 4- ^ 4- 62

= A 3(z6 4- z6 4- 2z3z'3 cos Зф)1/2 sin I Зф 4- j 4- 03

(9.40)(9.40)

(9.40)

(9.40)

где z и z' — факторы Дингла для двух компонент и

z — z’ фz2 — z2 .

tan 0i =; tan—, tan02=-4^1апф,

. z 4- z 22 z2 4- z

z3 — z'3 Зфtan ^^T/^Tz3 — z'3 Зфtan ^^T/^T(9.41)(9.41)

z3 — z'3 Зф

tan ^^T/^T

z3 — z'3 Зф

tan ^^T/^T

(9.41)

(9.41)

Здесь ф, как и прежде, есть (2ttF/H) =е тг/4, но формулой (9.34) для описания зависящей от направления спина амплитуды пользоваться неудобно, если речь идет о нескольких гармониках. Верхние знаки (=f) в (9.40) и (±) при определении ф соответствуют минимальному, нижние — максимальному сечению ПФ. При выводе этой формулы предполагалось, что фактор Дингла каждой из двух спиновых составляющих для р-й гармоники имеет обычную форму

zp = ехр(-рах/Н) и z,p = ехр(- рах'/Н). (9.42)

Следует подчеркнуть, что анализ становится практически невозможным, если, что вполне возможно, это предположение не верно. Предполагается также, что масса т не зависит от направления спина. Если масса т известна, то отношения А г/А t и А3/Ах при заданных значениях Н и Т можно вычислить по формуле ЛК. Таким образом, исходя из отношений измеренных амплитуд \Мг\ /\МХ \, \М3 \ /\МХ\ и относительных сдвигов фаз 9г — 2ВХ и 63 — 36 х при известных значениях Н и Т, можно получить четыре уравнения для определения трех неизвестных z, z' (т.е. х и х*) и ф, т.е. имеется некоторая избыточность для проверки самосогласованности результатов. Исследование изменений значений z, z' и ф при изменении Н и Т дает возможность дополнительной проверки справедливости исходных предположений. Если МВ играет существенную, но еще

не подавляющую роль, то его можно учесть путем примерно таких же итераций, какие предложили Филипс и Голд [333], модифицировав должным образом формулы (9.40) и (9.41). Хотя окончательные выражения и выглядят довольно сложно, они все еще поддаются численному решению на ЭВМ.

При исследовании осцилляций на «шейке» в сплаве Си 4- 93 х х 10“6 Fe, проведенном в [10], третья гармоника была слишком слабой и можно было использовать только два уравнения из четырех. Однако оказалось, что применяя полу эмпирическую процедуру, основанную на зависимости измеренных величин от поля, возможно установить значениях, х* и ф. Хотя температуры Динглах их' заметно различались (они равны примерно 1,1 и 1,4 К), было установлено, что фаза ф скорее постоянна, чем подчиняется ожидаемой зависимости (9.36) от обратного поля. Само значение g-фактора было примерно на 0,13 меньше значения для чистой меди. Авторы работы [10], применив с довольно сильной натяжкой формулу (9.36), определили обменное поле//ех, которое оказалось пропорциональным полю Н. Их результат, приведенный к единичной концентрации, плохо согласуется с тоже довольно грубой оценкой Коулриджа и др. [88], получившими примерно вдвое больший сдвиг g-фактора. Возможная причина расхождения заключается в том, что в [10] при измерениях использовалась модуляция поля довольно высокой частоты. Предполагалось, что используя теорию вихревых токов в условиях скин-эффекта, можно получить точные значения амплитуд гармоник намагниченности М на основе непосредственно измеренных величин. Однако, как указывал Кнехт [239], это предположение может и не выполняться из-за неоднородности образца, что способно привести к серьезным ошибкам при определении характеристик слабых гармоник.

В случае когда исследовались разбавленные сплавы золота, третья гармоника была достаточно интенсивна, однако введение поправок на МВ также было необходимым. Некоторые из предварительных результатов описаны в обзоре [208], где было отмечено что эта методика, хотя она и довольно сложна, открывает интересные возможности при исследовании магнитных примесей. Упомянем лишь о двух полученных к настоящему времени результатах. При добавке Fe к Au [78] было определено обменное поле Нех, которое изменялось всего лишь от ~ 10 кГс при Н = 40 кГс до примерно 13 кГс при Н = 75 кГс. Д том же диапазоне полей температуры Дингла были практически постоянны и различались втрое (к = 0,3 К, х' = 0,9 К). Значение обменного интеграла/, вычисленное по Нех при наибольшем поле, хорошо согласовывалось с вы-

числениями, основанными на результатах измерения полной намагниченности и электросопротивления. При добавлении Со [76], как оказалось, среднее значение х изменяется линейно с концентрацией с, а разность х — х* изменяется, по-видимому, каке2. Такое поведение было воспринято как указание на возрастающую роль пар атомов Со при увеличении концентрации. При малых концентрациях рассеяние обусловлено почти полностью изолированными атомами Со, которые, как предполагается, не несут магнитного момента. Поэтому и рассеяние не зависит от направления спина. При увеличении концентрации образуются пары атомов Со, обладающие локальным магнитным моментом, и поэтому они по-разному рассеивают электроны с разным направлением спина и их вклад становится заметным.

Приложение 1 Эллипсоидальные поверхности постоянной энергии'

П1.1. Квадратичный закон дисперсии

Приближение эллипсоидальных поверхностей постоянной энергии дает несколько более реалистичную интерпретацию общих формул по сравнению с приближением сферических поверхностей свободных электронов. В частности, оно позволяет описать анизотропию реальных кристаллов. Кроме того, поскольку для изоэнергети- ческих поверхностей некоторых реальных металлов (например, Bi и частей зонной структуры многих поливалентных металлов) эллипсоидальные поверхности служат хорошим приближением, те формулы, которые мы получим ниже, могут иметь практическую ценность.

Если зависимость е(к) — квадратична, т.е. в случае параболической зоны, в общем виде эллипсоидальную изоэнергетическую поверхность в прямоугольной системе координат, связанной с осями кристалла, можно описать уравнением

= 2moe/h2, (П1.1)

где индексы означают 1,2,3 или х, у, z и а,у = ау7. В этом уравнении — безразмерные коэффициенты; например, для сферической поверхности а- = Ь^. Следует отметить, что уравнение (П1.1), вообще говоря, не удовлетворяет требованиям симметрии кристалла, если на коэффициенты а,у не налагаются дополнительные условия или если нет других поверхностей, расположенных в соответствии с симметрией кристалла и описываемых уравнением (П1.1). Например, если коэффициенты а- произвольны, то требуется 24 эллипсоида, чтобы этот набор имел кубическую симметрию (это достигается соответствующей перестановкой х, у, z и знаков компонент к). Если отдельные эллипсоиды не центрированы в соответствующих симметричных точках зоны Бриллюэна, то может потребоваться еще большее число эллипсоидов.

Если поле Н имеет направляющие косинусы (рр р2> ^з) п0 отно-

шению к осям (кх, ку, к7), то нетрудно показать^, что площадь а сечения эллипсоида (П1.1) плоскостью, нормальной к Я и расположенной на расстоянии к от начала координат, равна

(П1.2)

где

(П.1.3)(П.1.3)Vi(®22«23 - *23) + 2v2v^av2aY) - а2з31 J +

(П.1.3)

(П.1.3)

4- подобные слагаемые, получаемые циклической перестановкой индексов,

и к0 — значение величины к для касательной к эллипсоиду плоскости, нормальной к Н. Нетрудно показать, что

_ 2zn0£ IV(П1.4)

где D — определитель

«И «12«13

D =D =«12«13«12«13«22«23«22«23«23«33«23«33(П1.5)(П1.5)

D =

D =

«12

«13

«12

«13

«22

«23

«22

«23

«23

«33

«23

«33

(П1.5)

(П1.5)

Можно заметить, что объем и эллипсоида и число N электронов в образце объема V связаны с величиной D соотношениями

(П1.6)

и величина D инвариантна по отношению к повороту системы координат, как и должно быть ввиду единственности значений и и N. Из формулы (П1.2) можно сразу получить, что циклотронная масса т не зависит от £ и к и определяется соотношением

!) Наиболее простой путь — преобразовать уравнение (П1.1) к осям (X, Y, Z), таким, что ось Z имеет направляющие косинусы (рр р2, р3) по отношению к осям (kx, ky> k?Y Затем можно записать уравнение эллиптического сечения этой поверхности плоскостью Z = к и вычислить площадь сечения.

так что формулу (П1.2) можно записать в виде

^к) = а(е,0)(1(П1.8)

где

а(е,0) = 2лте/Ь2.

Поучительно также рассчитать движение по винтовой линии в реальном пространстве для квазичастицы, скорость которой определяется формулой (2.6). Мы не будем приводить вычисления полностью, но последовательность их состоит в том, чтобы вначале преобразовать эллипсоид (П1.1) к осям (X, Y, Z), где ось Z направлена вдоль Н, так что величина Z эквивалентна к или кн (см. примечание на с. 556), а затем, используя соотношение (2.5) между составляющими их, иу скорости в плоскости, нормальной к Я, и соответствующими компонентами X, ¥ вектора к, получить дифференциальные уравнения для временных зависимостей X и ¥ (разумеется, при постоянной величине Z). Решение имеет вид

(П1.9)(П1.9)X = A coscdJ + aZ , Y = Bcos(wcf — ф) + PZ n

(П1.9)

(П1.9)

где постоянные Л, В, a, 0 и ф связаны с параметрами изоэнергети- ческой поверхности [преобразованной к осям (X, Y, Z)] довольно сложным образом, а ыс — циклотронная частота, определяемая соотношением

шс = еН/тс.(П1.10)

Тогда составляющие скорости в реальном пространстве определяются по формулам

Ьих = дг,/дХ5 hvy = dF/dY, hvz = dc/dZ,

и можно показать, что проекция траектории на плоскость (у, у) подобна, как и должно быть, эллиптическому сечению изоэнергети- ческой поверхности плоскостью Z = к, повернутому на 90° (коэффициент подобия г) определяется формулой (2.9)). Компонента скорости vz состоит из монотонной и периодической частей и может быть компактно представлена в виде

\ 1/2"1 I COSCDct\ 1/2"1 I COSCDct(П1Л1)(П1Л1)

\ 1/2"

1 I COSCDct

\ 1/2"

1 I COSCDct

(П1Л1)

(П1Л1)

где т' — «продольная» масса, определяемая из соотношения

(П1.12)(П1.12)т' _W _ h2Ko е т0 D 2тое *

(П1.12)

(П1.12)

величина к0 определяется формулой (П1.4), Zo — радиус-вектор точки на эллипсоиде в направлении Н (рис. П1.1). В явном виде величина Zo описывается выражением

2т0£

го=^-р№ (П1.13)

Заметим, что начало отсчета / в формулах (П1.11) и (П1.9) не совпадают.

Можно видеть, что периодическая часть компоненты и^ обращается в нуль при к = к0, когда эллиптическое сечение в нормальной к Н плоскости сжимается в точку, а когда поле Н направлено вдоль главной оси эллипсоида, то при Zo = к0. Хотя монотонная часть иг обращается в нуль при к = 0, периодическая часть, вообще говоря, отлична от нуля.

Если проинтегрировать соотношение (П1.11), то мы получим смещение z в реальном пространстве в направлении поля, и, следовательно, шаг Р движения по винтовой линии можно вычислить как смещение за один циклотронный период. Шаг Р равен

(П1.14)(П1.14)2кЬтск Inch Dт'еН еН W3,2,K*

(П1.14)

(П1.14)

Этот результат можно, конечно, также получить (причем гораздо проще) из формулы (П1.2), применив общее выражение (2.13) для Р.

Теперь рассмотрим квантование движения и, используя соотношения (П1.2), (П1.4), (П1.7) и (П1.12), получим из формулы (2.30)

2ктг а(с,к) = -р-2ктг а(с,к) = -р-лк2тт'лк2тт'= (г + |)= (г + |)2л£Нch2л£Нch(П1.15)(П1.15)

2ктг а(с,к) = -р-

2ктг а(с,к) = -р-

лк2тт'

лк2тт'

= (г + |)

= (г + |)

2л£Нch

2л£Нch

(П1.15)

(П1.15)

Таким образом, квантованную энергию можно выразить в явном виде■

с = (г + ^РН + h2K2/2m* ,(П1.16)

где

(П1.17)(П1.17)Р = eh/mc .

(П1.17)

(П1.17)

Заметим, что выражение (П1.16) имеет тот же вид, что и для газа свободных электронов, но масса свободного электрона должна быть заменена циклотронной массой т в дискретном слагаемом и продольной массой т' в непрерывном слагаемом. Это соотношение полезно тем, что позволяет легко применить любой результат, полученный в модели свободных электронов, к анизотропной эллипсоидальной модели путем простой замены т^ на т или т* . Величины т и т' , разумеется, нетрудно получить, вычислив определитель D и величину W для данного направления поля.

Форма трубок Ландау также может быть рассчитана путем исключения энергии £ из соотношения (П1.15) и уравнения эллипсоида, приведенного к осям (X, Y, Z) (где величина Z эквивалентна к), например,

Q(X,Y^:=2m0^h2,(П1.18)

где Q — соответствующая квадратичная функция. Трубка Ландау номера г задается уравнением

которое можно преобразовать к виду

а(Х - pZ)2 + ЦУ - qZ)2 + 2/(Х - pZ^Y - qZ^

где р nq выражаются через коэффициенты функции Q. Это уравнение определяет цилиндр эллиптического сечения, ось которого имеет направляющие косинусы, пропорциональные ф, q, 1), т.е. составляет с осью Z угол 0 = tan-1(p2 4- qT\A. Этому результату можно дать простую геометрическую интерпретацию, как показано на рис. П1.1. Сечение поверхности постоянной энергии е' плоскостью Z = к0 (касательной плоскостью к поверхности е) представляет собой эллипс, идентичный центральному сечению поверхности постоянной энергии е, и центр его расположен в точке касания С = = (Хо, Уо, к0). Трубка Ландау определяется двумя эллипсами, и ее ось имеет направляющие косинусы, пропорциональные (Хо, Уо, к0), т.е. это линия точек касания концентрических эллипсоидов плоскостью, нормальной к Н. Нетрудно (хотя и несколько утомительно) показать, что ф, q, 1) действительно пропорциональны (Хо, Уо, к0), так что детальный анализ подтверждает простые геометрические соображения.

Рис. П1.1. Иллюстрация используемых в тексте обозначений и схема построения трубки Ландау. Две эллипсоидальные поверхности постоянной энергии 8 и 8' таковы, что а (8, 0) = а(8', к^ = (г + W)№, где а (8, к) — площадь сечения поверхности е плоскостью Z = к. Трубка Ландау — эллиптический цилиндр, соединяющий два показанных на рисунке сечения; направление его оси указано штриховой стрелкой.

В случае эффекта дГвА частота F определяется площадью экстремального сечения поверхности постоянной энергии f, где f — энергия Ферми [см. (2.111)]. Таким образом,

F = (сй/2тгф(С,0) = mc^eh = UP • (П1.19)

Важное свойство частоты F для этой модели заключается в том, что частота имеет особенно простую зависимость от ориентации. Из формулы (П1.2) очевидно, Что

1/F2oc W,

и если предположить, что направление поля (ри у2> ^з) вращается в некоторой произвольной плоскости, то величины v можно представить в виде

vt = ^ cos <Д + mv sin «Д, v2 = /2cos^ + m2sin«Д,v3 = /3 cos ф + m3 sin ф ,

36*207

где ф — угол поворота, отсчитываемый от некоторого направления Цх> ^2> ^)» а (т1> ^2» тз) — направляющие косинусы прямой, перпендикулярной этому направлению и лежащей в плоскости вращения. Таким образом, из определения (П1.3) величины РИ получаем общее соотношение

= /4'cos2i^ 4- В sin21/, 4- С cos sin г

= A* cos 2^ 4- В* sin 2ф 4- С ,(П1.20)

где Л, В, С и А’, В', С' могут быть выражены через параметры эллипсоида и направляющие косинусы (7Р /2, /3) и (тХ) т2, т3\ Если плоскость вращения поля Н перпендикулярна одной из главных осей эллипсоида, а ф отсчитывается от другой главной оси, то соотношение (П1.20) упрощается, поскольку обращаются в нуль коэффициенты С и В'. Формула (П1.20) дает полезный критерий эллип- соидальности поверхности Ферми.

С помощью соответствующего выбора знаков коэффициентов а,У в уравнении (П1.1) значительная часть приведенного анализа может быть использована не только для эллипсоидов, но и для гиперболоидов. Мы обсудим только один частный случай, который имеет практическое значение. ПФ благородных металлов для ориентаций вокруг <111> могут быть с хорошей точностью аппроксимированы гиперболоидом вращения

р(/с2 4- /с2) - к2 = с(П1.21)

где ось к7 направлена вдоль <111>, и мы получаем

F2(0)/F2(i^) = cos2 ф - -sin2 ф

Р

где ф — угол между полем Н и направлением < 111>. Выпишем еще один полезный результат

62А/?кн = 2л pl cos2 фsin2 ф 1 .(П1.22)

П1.2. Неквадратичный закон дисперсии

Рассмотрим теперь, как следует изменить приведенные выше рассуждения в случае эллипсоидальных изоэнергетических поверхностей, но непараболической* зоны, т.е. когда энергия с не является квадратичной функцией к. Формулу (П1.1) необходимо тогда

заменить более общим соотношением

(П1.23)(П1.23)^^ijkikj = -^у- /(е)

(П1.23)

(П1.23)

(здесь функция /(е) определена так, что ее размерность совпадает с размерностью энергии е).

Для тех формул, которые не содержат дифференцирования [например, (П1.2), (П1.4) или (П1.6)], единственное изменение состоит в замене правой части £ на/(е). Заметим, что площадь центрального сечения теперь определяется соотношением

(П1.24)(П1.24)(П1.25)(П1.25)а^О^гяшоЖ/^1'2

(П1.24)

(П1.24)

(П1.25)

(П1.25)

и формулу (П1.19) нужно переписать в виде

F = ^M=W, еп

где 0Ъ = eh/mbc, а тъ обозначает здесь постоянную массу, определяемую соотношением (П1.7), т.е. равную /^о/И^2.

й2 т(е) = —й2 т(е) = —= mbf(e)= mbf(e)В действительности циклотронная масса w(e) уже не является независимой от энергии с. Она равна

й2 т(е) = —

й2 т(е) = —

= mbf(e)

= mbf(e)

(П1.26)

и соответственно

(П1.27)

Индекс b использован для обозначения «дна зоны», поскольку обычно следует ожидать, что вблизи с= О зона параболична и производная /' (е) стремится к единице. Следует отметить, что величины F0b, FP^)> F/mb и F/m^ не зависят от ориентации; это дает удобную возможность проверки эллипсоидальности поверхностей.

Квантованные уровни энергии, вообще говоря, можно выразить только в неявной форме; легко показать, что формула (П1.16) должна быть переписана в виде

(П1.28)(П1.28)/(к) = (г + ^рьН + h2K2/2m'b ,

(П1.28)

(П1.28)

где ть — продольная масса для дна зоны [т.е. m0W/D, как следует из соотношения (ГИЛ 2)]. Форма трубок Ландау не зависит от вида функции/(с), поскольку она получается исключением/(с) из уравнения эллипсоида и соотношения, определяющего энергетические уровни.

Расстояние по энергии между соседними уровнями (Дг = 1) задается в пределе больших г соотношением

Аг = pbH/f^ = Р^Н = ho Де) ,(П1.29)

где wc = еН/т^ с. Таким образом, расстояние между уровнями Де зависит от е и определяется действительной циклотронной массой т (е), а не постоянной массой тъ. Результат (П1.29), который точно выполняется для параболической зоны (для которой /' (е) = = 1), становится несколько неопределенным в общем случае, так как не указано, при каком значении е берется производная /' (е); возникающая погрешность возрастает с уменьшением г.

П1.3. Модель Л экса

Полученные результаты можно проиллюстрировать на конкретном примере модели Л экса [67], которая дает удобное приближение для электронных изоэнергетических поверхностей Bi. В этой модели функция /(е) задается соотношением

М = Ц\ + s/eg),(П1.30)

где sg — малая энергетическая щель между заполненной валентной зоной и электронной зоной проводимости.

Уровни энергии определяются уравнением

/ р \

J 1 + - = (г + 1 ± 1)РьН +,(П1.31)

\£g/2ть

которое можно разрешить и получить величину £ в явном виде

е=-у + ]у + е8 0- + 1 + ЖН +—- У (П1.32)

для состояний в зоне проводимости. Слагаемое со знаком «±» отвечает вкладу спина электрона.

Поскольку/' (г) = 1 + 2s/6g, величины т^ и 0(e) задаются соотношениями

т^ = ть(1 4- 2e/eg) и Д(е) = Дь/(1 + 2e/£g)(П1.33)

Из соотношения (П1.25) мы получаем также выражение для частоты

•<п,м>

где, как обычно, 0 означает 3^. Из соотношения (П1.32), задающего уровни энергии, можно, конечно, определить параметры 0Ъ и т^ при данной ориентации, если известна ПФ, но иногда удобнее выразить 0Ъ через известные величины F, f и eg с помощью формулы (П1.34). Для определения продольной массы требуется, кроме того, также знать объем ПФ и или число заполняющих ее электронов N^ = уИ/4тг3). Если в соотношении (П1.6) заменить с на/(с), то легко показать, используя определения величин тъ и т^ и формулу (П1.34), что продольная масса т^ равна

, W f37t2h2cN\2 I

(П1.35)(П1.35)ть = т0- = (^р-) RO + U^V

(П1.35)

(П1.35)

Приложение L

Замечание по термодинамике, проиллюстрированное на примере свободных электронов

При построении теории в различных работах использование термодинамического потенциала 0 и дифференцирование при постоянном значении f либо считается не требующим доказательства как очевидное (как в работе [266]), либо обосновывается не вполне корректным образом (например, в работе [169] (см. с. 55—58) или в работе [71] (см. уравнение .(22)), в которой правильный ответ получается благодаря компенсирующим друг друга ошибкам). Это довольно тонкий вопрос, и он разобран в этом приложении достаточно подробно для тех читателей, которые (как и автор) не являются теоретиками.

Как указано в тексте, обычная свободная энергия F и термодинамический потенциал (2 определяются из соотношений

F-E-TS (П2.1) и

И = F - N^ , (П2.2) где f—'химический потенциал, N— число частиц в системе (остальные обозначения общепринятые). Для простоты мы не будем учитывать изменения объема и другие виды деформации, а также не будем принимать во внимание векторный характер намагниченности М и магнитного поля Н. Это эквивалентно рассмотрению только составляющей М вдоль направления поля Н; более общий случай не дает ничего принципиально нового, но усложняет обозначения. Дифференцируя и применяя второй закон термодина

мики, получаем

dF = — SdT — М dH + (dN ,Щ2,3)

dQ = — SdT — MdH - Nd; .(П2.4)

Таким образом, при постоянной температуре Т (и постоянном объеме или деформации) имеем

М = -^F/aH)N = -ДОН^ ,(П2.5)

C = (?F/M)h, N =(П2.6)

Поскольку температуру Т мы будем в дальнейшем считать постоянной, индекс Т можно не писать, хотя, конечно, о нем следует помнить. Для определения М можно взять любое из соотношений (П2.5), но поскольку в выражения статистической механики для О и F, записанные в наиболее простой форме, входит в явном виде не N, a f, то проще использовать производную O^l/dH^. Если же мы все-таки захотим использовать (dF/dH)N, то также придем к правильному ответу, но вычисления будут сложнее. Исходя из соотношения (П2.2), получаем

(6F\ (8Q\ (dF\ /6N\

\ан\~ \анд \ен)^лан\ (

Таким образом, если свободная энергия F выражена через f, то мы должны определить, кроме производной -(dF/dH)^ также и второе слагаемое в правой части, и это может оказаться значительно сложнее, чем просто исходить из производной термодинамического потенциала О.

В качестве иллюстрации рассмотрим конкретный пример газа свободных электронов без спина при Т = 0. Для любой системы, подчиняющейся статистике Ферми — Дирака, при Г = 0 из формул (2.39) и (2.43) следует

F = Ц , (П2.8)

Я = Це - С) (П2.9)

(для вырожденных уровней слагаемое £ или £ — f повторяется столько раз, какова кратность вырождения, а в случаях непрерывного изменения энергии уровня £ суммирование заменяется интегрированием). Для нашего частного случая (см. приложение 1) имеем

£ = (г 4- ^РН 4- h1^ 11m , (П2.10)

как в формуле (2.31) (для простоты нулевые индексы здесь опущены). Таким образом, учитывая кратность вырождения D, определимую соотношением (2.37), получаем

еНУ Ск°^

F = 4Zt£L VV *^рН *ЬгкгЦт\йк ,(П2.11)

СП г J-K^

еНУ ГКо(г)

П =Цг + № + Ь2к2/2т-№,(П2.12)

ZU СП r J -кп(Н

где величина к0(г) задается формулой (П2.10) при с = f, т.е. она равна половине длины заполненной части г-й трубки Ландау (здесь — прямого кругового цилиндра), а суммирование продолжается до наивысшего заполненного уровня Ландау. Число N просто равно числу состояний внутри сферы Ферми, т.е.

N =N =еНУ2 л ^й.еНУ2 л ^й.*кэ(г)~ко(г)*кэ(г)~ко(г)a «HVV , ,dK = A6?'»W'a «HVV , ,dK = A6?'»W'(П2.13)(П2.13)

N =

N =

еНУ

2 л ^й.

еНУ

2 л ^й.

*кэ(г)

~ко(г)

*кэ(г)

~ко(г)

a «HVV , ,dK = A6?'»W'

a «HVV , ,dK = A6?'»W'

(П2.13)

(П2.13)

[Заметим, что это соотношение можно получить также из формул (П2.6) и (П2.12).] Выполняя интегрирования и подставляя к0(г), получаем

рНУп

F = ^a№ I K-(r + №]1/2[( + (2г + 1)/Ш],

(П2.14)

leHV (Ъп\Иг п

П="з5г№ ZK-(r + W]3/2,(П2.15)

еНУп

N = ^^i) ^-(r + W]1'2(П2.16)

(л — наибольшее значение г, при котором выполняется неравенство Г (г + Vi^HY

жению личинужению личинуТаким образом, мы получили величины F и (2 в виде явных функций Я и f, но только в виде неявных функций Н nN, посредством соотношения (П2.16). Применение соотношения (П2.5) к выра- для термодинамического потенциала (2 немедленно дает ве- М:

жению личину

жению личину

илиилиЗтгсА^У г = о(П2П)

или

или

M/N0 = (p№12 t Г^Нг + |)1|^Ч(г + 1) .(П2.18)

Если, однако, исходить из выражения для F и использовать соотношение (П2.7), то для достижения того же результата потребуется значительно больше алгебраических выкладок. Следует отметить, что, хотя величина М получается при дифференцировании 12 при постоянном значении f, из формулы (П2.18) не следует, что f

не зависит от Н; единственное условие накладывается соотношением (П2.16), связывающим f и N. Если значение f поддерживается постоянным, то число N осциллирует с полем Я, а если число N постоянно, то f осциллирует при изменении Я. Эти соображения, имеющие достаточно общий характер, более подробно рассматриваются в основном тексте.

Для частного случая газа свободных электронов нетрудно рассчитать намагниченность, если при изменении Я поддерживается постоянным не f, aN. Если f0 — значение энергии Ферми для N электронов при Я = 0 [см. (2.23) и (2.24)], то легко показать, что условие (П2.16) можно переписать в виде

(WW12 = | f Ют - (г + |))1/2 • (П2.19)

Это соотношение вместе с формулой (П2.18) позволяет вычислить зависимость M/N0 от величины ^/(Ш (которая непосредственно пропорциональна 1/Я), а не величины V0H. В действительности при V0H >> 1 величины f0 и f почти точно совпадают, поскольку правая часть формулы (П2.19) стремится к ^/^НУг по теореме Эйлера — Маклорена, так что различие между случаями постоянного числа частиц N и постоянного значения химического потенциала f существенно только при малых значениях ^/(Ш. Степень этого различия иллюстрируется на рис. 2.14 (с. 100).

Здесь уместно отметить, что результат (П2.18) может быть обобщен в двух отношениях. Во-первых, нетрудно показать, что он справедлив для любой параболической зоны независимо от определения эллипсоидальных изоэнергетических поверхностей. Хотя величина т в (П2.10) и последующих формулах должна быть заменена продольной массой т' из соотношения (П1.12), а величина 0 определяется формулами (П1.7) и (П1.17), дополнительные параметры W и D, определяющие эллипсоид, входят в выражения для Я и f таким образом, что вид соотношения (П2.18) не изменяется.

Другое обобщение связано с учетом спина. Если предполагать, что спиновый момент равен магнетону Бора, так что спиновое расщепление точно совпадает с расстоянием между уровнями Ландау (это, однако, верно только для модели свободных электронов, но не для произвольной параболической зоны), то в выражение для энергетических уровней (П2.10) следует добавить величину 3lQA^H . Легко показать, что тогда выражение (П2.18) принимает вид

M/NP = 1 + 2 £ (~ - г ^ - .г . (П2.20) г= 1 \рп ) \рп 2 у

Приложение Э

Расчет по формуле суммирования

Пуассона

Формула Пуассона легко получается с помощью фурье- разложения бесконечного ряда равноудаленных 5-функций. Такой ряд можно представить в виде функции непрерывной переменной х как

£ <)[х - (г + у)]

где г — целое число, а 7 — фазовый множитель, который в данном случае мы примем равным ^ . Фурье-разложение этой периодической функции определяется выражением

J[x -(r + i)] = 1 +2 J^cos^x-j)].(П3.1)

Умножая выражение под знаком суммы на произвольную функцию /(х) и интегрируя, получаем

£ /(х)<5[х - (г + |)]dx

Jo Г = - 00

= /(x)dx + 2 X /Wcos[2np(x - i)]dx .(П3.2)

JoJo рИ

Рднако ледая часть равна просто

/(Г + 1)

г-0 так что мы имеем

X fV + i) = I У W dx + 2 X fWcos[2np(x - I)] dx .

r = °P=1(ПЗ.З)

Это и есть формула суммирования Пуассона, которую мьд теперь применим для вычисления суммы

Di^r- С)

г-0

[см. (2.45)]. Чтобы использовать формулу, мы должны определить /(г) как (сг - f) при значениях г вплоть до г = п (наивысший занятый уровень) и/(х) = 0 при г > п . Непрерывная переменная х и ее значение X при £ = f определяются так же, как в формулах (2.48) и (2.49), и мы получаем

dQ./D = Г (s(x) - 0dx + 2£ (с(х) — ()cos[2^p(x - 2)]dx.

JoJoР= 1

(П3.4)

Произведя дважды интегрирование по частям для вычисления второго интеграла, находим

(W)-Q £\р = I(W)-Q £\р = Isin[2^p(x - |)]уsin[2^p(x - |)]у^р^роо№2№2р = 1р = 1со$[2яр(х - j)]VЛ2р2 /осо$[2яр(х - j)]VЛ2р2 /о

(W)-Q £

\р = I

(W)-Q £

\р = I

sin[2^p(x - |)]у

sin[2^p(x - |)]у

^р

^р

о

о

№

2

№

2

р = 1

р = 1

со$[2яр(х - j)]V

Л2р2 /о

со$[2яр(х - j)]V

Л2р2 /о

dxdx*х Н d#(x) у со$[2лр(х - |)] о 2 dx ^п2 р2

dx

dx

Выражение во второй строке обращается в нуль на рбоих пределах [поскольку е^Х) = fl, а выражение в третьей строке может быть определено на нижнем пределе с помощью соотношения

Л cos 2кр0Р=1 л2р2Л cos 2кр0Р=1 л2р2= e^-e-v^= e^-e-v^

Л cos 2кр0

Р=1 л2р2

Л cos 2кр0

Р=1 л2р2

= e^-e-v^

= e^-e-v^

K8T9P9S справедливо при 0 ^ 0 1. К последнему интегралу опять можно применит^ друегрирование по частям и показать, что его вклад по сравнению с главным периодическим слагаемым определя

ется понижающим множителем порядка (dln/3(x)/dx)x=x, т.е. вклад последнего интеграла обычно порядка \/Х или 1/л, и поэтому им можно пренебречь в нашем приближении (для параболичес

кой зоны понижающий множитель, разумеется, точно равен нулю).

Таким образом, окончательно получаем

[£(x)-C]dx + ^(0)H[£(x)-C]dx + ^(0)H(П3.5)(П3.5)у1 cos[2np(X -1)]^”2Р2у1 cos[2np(X -1)]^”2Р2

[£(x)-C]dx + ^(0)H

[£(x)-C]dx + ^(0)H

(П3.5)

(П3.5)

у1 cos[2np(X -1)]

^”2Р2

у1 cos[2np(X -1)]

^”2Р2

что совпадает с фурье-разложением формулы (2.55), полученной методом Эйлера — Маклорена. В действительности, рассматривая эти два вычисления, можно заметить, что по существу они различаются только тем, что при использовании формулы Пуассона разложение Фурье производится в начале вычислений, а при использовании метода Эйлера — Маклорена — в конце.

Приложение 4

Постоянная восприимчивость

П4.1. Спиновая восприимчивость

Первое слагаемое в выражении (2.55) для свободной энергии 60 в двумерном случае при Т = 0 без учета спина можно записать в более наглядном виде, если вспомнить определение (2.48) величины х. Вклад этого слагаемого после интегрирования по к равен

^k)-()dv .(П4.1)

Здесь dv — элемент объема к -пространства, а интегрирование распространяется на весь объем поверхности Ферми. Отсюда ясно, что 0s — значение свободной энергии в отсутствие поля. Другое полезное выражение для 0s получается интегрированием по частям:

V ГV Г4 л34 л3г(е) deг(е) de(П4.2)(П4.2)

V Г

V Г

4 л3

4 л3

г(е) de

г(е) de

(П4.2)

(П4.2)

где v(e)— объем, ограниченный поверхностью постоянной энергии е.

Если теперь учесть влияние спина, то двукратное вырождение каждого состояния снимается и в простейшем случае, когда спиновое расщепление одинаково для всей зоны, два состояния, первоначально имевшие энергию е(к), будут иметь энергии, равные

(П4.3)(П4.3)£±(к) = г^к") + ^цН

(П4.3)

(П4.3)

где g — постоянный магнитный момент, обычно записываемый как Vz ^/30 (g — спиновый множитель, не зависящий от е, а /?0 — удвоенный магнетон Бора). Теперь состояния заняты вплоть до = f для антипараллельных спинов и до е_ = f для параллельных спинов. Таким образом, вместо формулы (П4.2) имеем

Qs =

v Г р~^дН

r(£)de+ r(c)de

(П4.4)

Вводя обозначение

^(O=fy(c)d£(П4-5)

Jo

и разлагая в ряд Тейлора вплоть до членов Н 2, получаем

V г2 И7

П,-П,о= -^?^Г^Н2’<П46)

где величина Qs0 равна - ИИ^^^тг3, т.е. значению 0s при Н = 0. Поскольку

c^WIcX1 = (dr/de)^ = 4k^XMV.(П4.7)

где ^(е) — плотность состояний^, формулу (-П4.6) можно переписать в виде

Qs-Qs0= -VA^H1

(для параболической зоны это выражение равно — г/\б№1?НгУ^У Соответствующий парамагнитный спиновый момент равен

Ms = -?QJ?H = VA^H ,(П4.8)

а для параболической зоны он составляет 3A(N р2Н)/^. Это, разумеется, известный спиновый парамагнетизм Паули.

Приведенный вывод аналогичен выводу Лифшица и Косевича [266], но при упрощающем предположении Г = 0; полученный результат может служить хорошим приближением, если кТ < f. По существу Это обычный способ вывода спинового парамагнетизма Паули, в котором не учитывается орбитальное квантование Ландау. Следует подчеркнуть, что это рассуждение, основанное на квазинепрерывности состояний, предполагаемой при записи формулы (П4.1), оправдывается только процедурой разделения различных вкладов в выражении (2.55), в котором учитывается орбитальное квантование. Одно из двух других слагаемых в формуле (2.55) отвечает постоянному диамагнетизму, как обсуждается ниже в разд. П4.2, и в нашем приближении не зависит от введения спина, а другое определяет осцилляторное поведение, амплитуда которого

^ Здесь плотность состояний определяется таким образом, что два спиновых состояния в ячейке к-пространства считаются различными состояниями. Введенная в работе Лифшица и Косевича [266] плотность состояний р^ составляет половину нашей величины ^(с).

уменьшается при введении спина, как подробно обсуждалось в п.2.3.7.4.

Теперь рассмотрим, как следует обобщить соотношение (П4.3), если спиновое расщепление изменяется по зоне и, более того, асимметрично. Предположим для простоты, что используемые параметры зависят только от энергии с; если они изменяются на поверхности постоянной энергии £, то подразумеваются их средние значения. Таким образом, вместо (П4.3) записываем

£±Ж = г^ ± |//(е)Я + Цг)Н2. (П4.9)

При соответствующей переформулировке соотношения (П4.4) требуется некоторая осторожность. Во-первых, пределы интегрирования недостаточно заменить просто на f т Vip^H — Х^Н1, поскольку в действительности необходимо использовать величину р^ т VipH\ так что с достаточной точностью пределы можно записать как Г т Vip^H + Vtp^W/d^H1 - ШН1* Поправка к величине X опущена, так как она дает слагаемые Н3 и Н*. Во- вторых, при интегрировании по частям, которое приводит к замене интегрирования по и на интегрирование по £, формула (П4.4) справедлива только при постоянной величине pH. После преобразований с учетом этих соображений получаем

Н дц(£) ~2~дГН дц(£) ~2~дГу (х^н2

Н дц(£) ~2~дГ

Н дц(£) ~2~дГ

de

\ + i №H + iM«) (мо/аан2 - Л(он2vU)

о

н М^ л , д№)2 дг 6гн М^ л , д№)2 дг 6гde.de.(П4.10)(П4.10)

н М^ л , д№)

2 дг 6г

н М^ л , д№)

2 дг 6г

de.

de.

(П4.10)

(П4.10)

Оставляя только члены вплоть до Н\ мы видим, что слагаемые, пропорциональные др/де, взаимно уничтожаются, а слагаемое, пропорциональное дХ/де, также исчезает после интегрирования по частям. Окончательно формула (П4.10) принимает вид

^ - П.о -^ - П.о -3>М:ЩгАйк Н23>М:ЩгАйк Н2ОО(П4.11)(П4.11)

^ - П.о -

^ - П.о -

3>М:ЩгАйк Н2

3>М:ЩгАйк Н2

О

О

(П4.11)

(П4.11)

Жш2^ - 2Жш2^ - 2(X'Q(r,)A(f.)dr.о.(X'Q(r,)A(f.)dr.о.Н .Н .(П4.12)(П4.12)

Жш2^ - 2

Жш2^ - 2

(X'

Q(r,)A(f.)dr.

о.

(X'

Q(r,)A(f.)dr.

о.

Н .

Н .

(П4.12)

(П4.12)

Как можно ожидать на основе элементарных рассуждений, слагаемые для направлений спина вверх и вниз взаимно уничтожаются везде, кроме окрестности поверхности Ферми, если рассматривать симметричную часть спинового расщепления (т.е. ± хАр,Н), и единственное существенное изменение связано с несимметричной частью ХН\ вклад которой определяется всеми электронами, а не только находящимися на ПФ. Эти соображения будут проиллюстрированы на конкретном примере в разд. П4.3. Следует отметить, что мы везде пренебрегали многочастичными взаимодействиями; как показано в п.9.6.2, они существенно видоизменяют теорию спиновой восприимчивости.

П4.2. Постоянная диамагнитная восприимчивость .

Второе слагаемое в формуле (2.55) дает вклад dfiD в величину dfi, отвечающий постоянному диамагнетизму. Этот вклад после интегрирования по к равен!)

Qd =Qd =еН2У4&n2chеН2У4&n2chР(0)йк,Р(0)йк,(П4.13)(П4.13)

Qd =

Qd =

еН2У4&n2ch

еН2У4&n2ch

Р(0)йк,

Р(0)йк,

(П4.13)

(П4.13)

где интегрирование производится по всей области изменения к, а

(П4.14)(П4.14)^(0) = 2не/^сЦса/?г\ при o = oL

(П4.14)

(П4.14)

Соответствующий диамагнитный момент равен

MD= -MD= -еНУ24к2сИеНУ24к2сИР^бк .Р^бк .(П4.15)(П4.15)

MD= -

MD= -

еНУ24к2сИ

еНУ24к2сИ

Р^бк .

Р^бк .

(П4.15)

(П4.15)

Для параболической зоны (и, в частности, для свободных электронов) величина 3(0) не зависит от к и равна просто eh/тс, где т определяется формулой (П1.7); интегрирование производится от -к0 до +к0, где к0 задается соотношением (П1.4) при f = f. Используя формулы приложения 1 для общего случая эллипсоида, мы легко

!) Легко показать, что учет спина приводит только к появлению членов более высокого порядка, чем Н2, так что в этом разделе мы не будем учитывать влияния спина.

получаемполучаем_ 1 np2h2_ 1 np2h2ИИMD =MD =\N02HИГ\N02HИГ(П4.16)(П4.16)

получаем

получаем

_ 1 np2h2

_ 1 np2h2

И

И

MD =

MD =

\N02H

ИГ

\N02H

ИГ

(П4.16)

(П4.16)

Этот результат является точным. Для свободных электронов величина pt в формуле (П4.8) и величина 0 в формуле (П4.16) совпадают (обе равны 0О, удвоенному магнетону Бора), так что мы имеем известное соотношение MD — — Уз Ms.

\ _ еН г Г dk'2 48лсй де j (де/дк’п)\ _ еН г Г dk'2 48лсй де j (де/дк’п)Однако в случае непараболической зоны формула (П4.13) не приводит к правильному результату, который впервые был получен Пайерлсом с помощью более строгих вычислений. Как мы увидим ниже, корректный результат определяется только поведением электронов на ПФ, в то время как в формуле (ПЛЗ) учитываются электроны всех энергий. Причина этого расхождения лежит в предположении, что фаза 7 равна точно Уг. Это предположение допустимо при рассмотрении осцилляций дГвА в том приближении, которому мы везде следовали (пренебрегая членами, в п раз меньшими, чем удерживаемые), но для корректного определения величины постоянного диамагнетизма необходимо использовать лучшее приближение. Эта задача впервые была подробно рассмотрена Рот [366]; мы будем исходить из ее результата для 7, полученного в следующем более высоком приближении. Если не учитывать такие усложнения, как особенности изоэнергетических поверхностей (например, самопересекающиеся орбиты при некоторых значениях е и к) и межзонные эффекты, то этот результат в наших обозначениях можно записать в следующем виде:

\ _ еН г Г dk'

2 48лсй де j (де/дк’п)

\ _ еН г Г dk'

2 48лсй де j (де/дк’п)

д2 е д2е / 62е уск2 дк2 \дкхдку) _

(П4.17)(П4.17)dG

(П4.17)

(П4.17)

= Н — (е,к) , де

где интегрирование производится по орбите к', определяемой пересечением поверхности постоянной энергии е с плоскостью кхку (поле Н направлено вдоль к7 или к), a dk' — элемент орбиты к' ; к'п — нормальная к орбите составляющая, лежащая в этой плоскости (таким образом, дъ/дк'п = hv'n , где v'n — нормальная составляющая скорости в плоскости). Все производные берутся при постоянном значении к.

Для параболической зоны выражение в квадратных скобках представляет собой постоянную, не зависящую от е, а интеграл

^Akf /фе/bk^ равен просто (da/d£\, т.е. 2ttw/A2, и тоже не зависит от £. Таким образом, величина 7 - /2 точно обращается в нуль, как, разумеется, и должно быть. Это — следствие детального решения уравнения Шредингера для движения свободного электрона (или соответствующей квазичастицы для параболической зоны) в магнитном поле. Однако в общем случае величина 7 - Vi не обращается в нуль. Некоторое представление о ее порядке можно получить, если считать величину в квадратных скобках постоянной порядка А4//л2, где т — некоторая эффективная масса. Если отождествить величину т с циклотронной массой и рассматривать ее как функцию £, то из формулы (П4.17) следует

1 Н 6 (eh\

<П418)

Эту величину можно оценить для примера, приведенного в приложении 1. Используя формулу (П1.33) со значением eg/2f ~ 0,3, легко показать, что она не превышает примерно 0,03/п для уровня с квантовым номером п. Это, конечно, очень грубая оценка, но она показывает, что пренебрежение величиной 7 — /2 вполне оправданно при расчетах осцилляций дГвА, когда отбрасываются слагаемые, пропорциональные \/п. Однако при вычислении постоянного диамагнетизма такое приближение уже недостаточно, поскольку в нашем случае двумерного слоя при Т = 0 само постоянное слагаемое по порядку величины в п раз меньше осцилляторного слагаемого.

Теперь мы вновь вычислим термодинамический потенциал в двумерном случае, исходя из уравнения (2.47), но считая, что величина 7 определяется формулой (П4.17). Непрерывной переменной х теперь соответствует величина г 4- 7, при этом величина 7 сама является функцией х, так что справедливо соотношение

dr = dx - (dy/dx)dx .

Таким образом, вместо формулы (2.52) следует записать

^Qfn + yf” + yду(х)

=[8W - a dx -[8(х) - С] dx

UJy(O)Jy(O)

+ НФ + У) - С] + НФ(0)) - а

, £ <^п + у) ге(у(О)) + 12) ^

Здесь мы используем обозначение 7 для величины 7 вблизи уровня Ферми, а 7(0) — для значения вблизи дна двумерной зоны. Переменная 7 обозначается 7(г) или 7(c). Записывая последнее слагаемое в правой части, мы также положили d7/dx < 1, что заведомо оправданно, так как можно показать, что эта величина порядка 1/я2. После интегрирования по частям второй интеграл принимает вид (с учетом знака «-»)

[С - е(л + у)] [у - у(0)] + | y'd£[y(£) - у(0)] . (П4.20)1 г(у(О))

Далее, с помощью таких же преобразований, как при переходе от формулы (2.52) к (2.53), выражение (П4.19) принимает вид (обозначаем е(у(О)) через е0)

ап"dап"d>х

ап

"d

ап

"d

оо[е(х) - С dx + W - у(О)[ео + У(0)у(0)Н - С]

о

о

[у(£) - у(0)] d£ - УНЙ + 1(£0 - О + У(0)у(0)Н

(П4.21)(П4.21)+ -Мун- жн]-

(П4.21)

(П4.21)

В этой формуле второе и третье слагаемые в правой части возникают при изменении пределов интегрирования первого интеграла, а первый член выражения (П4.20) сокращается при изменении верхнего предела интеграла в (П4.20).

eHJ/dK3 2 к2л спeHJ/dK3 2 к2л спТеперь предположим, что величина с квадратично зависит от кх и ку вблизи значения с0, откуда следует, что 7(0) = /2, и подставим величину 7(c) — /2 из выражения (П4.17); тогда формула (П4.21) принимает вид

eHJ/dK

3 2 к

2л сп

eHJ/dK

3 2 к

2л сп

( P[£(x)-C]dx + lW2-^ + i)I Jo

^^тн + HVG^k^-G^kH^^тн + HVG^k^-G^kH(П4.22)(П4.22)

^^тн + HVG^k^-G^kH

^^тн + HVG^k^-G^kH

(П4.22)

(П4.22)

Таким образом, единственное отличие от формулы (2.55) определяется видом последнего слагаемого, что, очевидно, изменяет величину постоянного диамагнетизма, но оставляет осциллирующую часть 69 [т.е. второй член в формуле (П4.22)] без изменения. Часть термодинамического потенциала, пропорциональная Н 2 (т.е. отвеча-

ющая постоянному диамагнетизму), равна

_£H^ctoO)

D 2n2ch { 24

6\, \28kx8ky)6\, \28kx8ky)(П4.23)(П4.23)( е f dk' F32s 62e 48ясй ;£=н^Ж)

6\, \2

8kx8ky)

6\, \2

8kx8ky)

(П4.23)

(П4.23)

e f dk' 82e 62e

” 48^ J£=£o(Nd^) [dk2 dk2

Легко показать, используя свойства общего вида квадратичной зависимости е(к) (см. приложение 1), что для параболической зоны (как в окрестности значения £0) последний член в фигурных скобках в формуле (П4.23) становится равен —/3(0)/24 и поэтому сокращается с первым членом. Остается среднее слагаемое, которое характеризует только свойства электронов на поверхности Ферми. Интегрируя по к, получаем .

е2Н2 Г f dk' д2е 62е/ 82е \2

96я3с2й2] К je^^K^/Sk'^ _8кх8ку \6кх8ку) _

(П4.24)

Простые геометрические соображения позволяют преобразовать это выражение к виду

(П4.25)(П4.25)е2Н2 * dS 62е 82е/ 82е \2

(П4.25)

(П4.25)

96л3с2й2 . пф(^/^^п) _8к2дк2 \8кх8ку) _

где dS — элемент поверхности ПФ, а кп — нормаль к ПФ. Это согласуется с формулой, полученной в работе Пайерлса [325], для частного случая Г = 0 и для различных упрощающих предположений, сделанных при записи формулы (П4.17). Другие выводы полученной формулы были даны Уилсоном [475] и Рот [366]. Мы здесь привели еще один вывод в основном для того, чтобы продемонстрировать, как слабая зависимость величины 7 отЯ и е ликвидирует неприятную особенность расчетов при постоянном значении 7 — кажущуюся зависимость величины постоянного диамагнетизма от вида е(к) внутри ПФ. Используя слегка меняющуюся величину 7, мы получили, как и следовало ожидать, что постоянный диамагнетизм определяется только зонной структурой на ПФ.

Наконец, следует подчеркнуть, что мы здесь рассматривали только простейший случай — изолированную зону квазичастиц с

произвольным законом дисперсии. Вычисление постоянной восприимчивости для более реалистичного случая гораздо сложнее и включает учет эффектов взаимодействия между зонами, вкладов от заполненных зон и ряд других эффектов. Детальный расчет впервые был произведен Хебборном и Зондхаймером [204]; эта проблема также подробно обсуждается в работе Рот [366], где можно найти ссылки на более ранние работы0.

П4.3. Постоянная восприимчивость в модели Лэкса

Ряд формул двух предыдущих разделов можно проиллюстрировать на примере модели Лэкса, в которой рассматриваются эллипсоидальные изоэнергетические поверхности, но непараболическая зона. Хотя эта модель, возможно, несколько искусственна, однако она достаточно хорошо описывает поведение висмута и имеет то преимущество, что позволяет произвести вычисления в явном виде. В этой модели (см. приложение 1) изоэнергетические поверхности определяются соотношением

"Laijkikj"Laijkikj2т0/ s2 = -^6 + -Й \ £g2т0/ s2 = -^6 + -Й \ £g(П4.26)(П4.26)

"Laijkikj

"Laijkikj

2т0/ s2 = -^6 + -

Й \ £g

2т0/ s2 = -^6 + -

Й \ £g

(П4.26)

(П4.26)

а уровни энергии задаются формулой (П1.32), т.е.

(П4.27)(П4.27)£± = -т+ т + £8 (£ + l±i^bW + —

(П4.27)

(П4.27)

(параметры Зь и т^ определены в приложении 1). Для г > 1 дополнительное слагаемое со знаком «± » можно считать малым и разложение в ряд Тейлора приводит, по существу, к формуле (П4.9), в которой коэффициенты g и X определяются соотношениями

д(8) = Р(Дд(8) = Р(Д/2е\

д(8) = Р(Д

д(8) = Р(Д

(П4.28)(П4.28)Де) =1 + — I »

(П4.28)

(П4.28)

X 8g /

где, как и в формуле (П1.33), величина 3(e) равна

Ж = Дь/(1 + 2£/£g),

a 3(e)Н — расстояние между уровнями Ландау (а также расстояние

между спиновыми подуровнями) для уровня энергии е; величина

° См. также [514]. — Прим. ред.

3(e) зависит, конечно, от направления Я, как объясняется в приложении 1, но мы здесь не будем явно учитывать эту ориентационную зависимость. Легко показать, что плотность состояний ^(е)

равнаравнаS(£)_3^(i_+^iS(£)_3^(i_+^i(П4.29)(П4.29)

равна

равна

S(£)_3^(i_+^i

S(£)_3^(i_+^i

(П4.29)

(П4.29)

где N — полное число электронов внутри ПФ, определяемое соотношением

C“(i + £) ' (П4'30)

Если эти параметры подставить в соотношение (П4.12), то мы получим после некоторых алгебраических преобразований

м = 3NpHpp2£p)

8 С 0 + СДЯ)

ххLL^W 2((ДЦ)1 2(1 + CAg)1/2LL^W 2((ДЦ)1 2(1 + CAg)1/2cosh 1 ( 1 +cosh 1 ( 1 +2С ^g2С ^g

х

х

LL^W 2((ДЦ)1 2(1 + CAg)1/2

LL^W 2((ДЦ)1 2(1 + CAg)1/2

cosh 1 ( 1 +

cosh 1 ( 1 +

2С ^g

2С ^g

(П4.31) где первый член в квадратных скобках образуется из первого члена в формуле (П4.12), т.е. из обычной формулы для парамагнетизма Паули, а остальные два члена образуются из второго члена в формуле (П4.12). В окончательном виде мы можем записать

3^^(1+2CAJ22;\

4 " Гб - i -Wр -J . (П4.32)

Для электронных эллипсоидов в Bi f/e - 2,2, и если эту величину подставить в формулу (П4.31), то мы получим, что вклад последних двух членов, связанных с \Н\ т.е. с асимметрией спинового расщепления, примерно на 40% превышает вклад одного первого члена, т.е. полная величина Ms примерно в 2,4 раза больше, чем результат расчета по обычной формуле, не учитывающей асимметричного спинового расщепления. В качестве полезной проверки формулы (П4.31) или (П4.32) можно удостовериться, что при eg — — оо, т.е. при f/eg -* 0, результат приближается к соответствующему результату для параболической модели. Это действительно так, поскольку cosh-1(l + х) -* (2х),/2 при малых х, так что выражение (П4.32) сводится к результату (П4.8) для параболической зоны, когда — 0.

’ j g

Теперь вычислим диамагнитную восприимчивость в модели Лэкса. Вначале рассмотрим только слагаемое 3(0)Н/24 в формуле (П4.22), т.е. то, что мы получили бы, если равенство 7 = /2 было точным. Магнитный момент 3(0) определяется формулой (П1.33) при значении е, для которого площадь а (с, к) = 0, т.е. это значение равно величине е0(к), определенной в предыдущем разделе, и задается соотношением

& 2 2

•(П4.33)

е, 2mb

Полный вклад в величину 0D равен

По —По —еН2У2itchrеН2У2itchr№)dK,№)dK,(П4.34)(П4.34)

По —

По —

еН2У

2itchr

еН2У

2itchr

№)dK,

№)dK,

(П4.34)

(П4.34)

где к(р определяется формулой (П4.33) при е0 = f. Заменяя переменную интегрирования к на е0 с помощью соотношения (П4.33) и используя формулы из приложения 1, после некоторых преобразований получаем

По = -|(П, - П$о) и MD = -|М$, (П4.35) т.е. соответственно тот же результат, что и для параболической зоны; разумеется, это не общий результат, а частное свойство модели Лэкса. Полная восприимчивость в этом случае соответствует парамагнетизму и составляет 2/з спиновой восприимчивости. Можно с удовлетворением отметить, что этот результат для модели Лэкса точно согласуется с формулой, приведенной в работе [280]1}, полученной другим методом в предположении 7 = Vi.

Наконец, мы вычислим постоянный диамагнетизм с помощью формулы Пайерлса, учитывающей небольшое непостоянство величины 7. Вычисление упрощается, если заметить, что для эллипсоидальных поверхностей выражение в последней скобке под интегралом в формуле (П4.24) или (П4.25) является функцией только от к. Таким образом, при интегрировании по контуру £ = f при постоянном значении к это выражение можно считать просто постоянной вида А + В к2 и формула (П4.24) может быть записана в виде

П° - 96^W Jak2П° - 96^W Jak2д2е уdkxdky) _д2е уdkxdky) _

П° - 96^W Jak2

П° - 96^W Jak2

д2е уdkxdky) _

д2е уdkxdky) _

!) Следует заметить, что в уравнении (12) этой работы величина NQ относится ко всем трем эллипсоидам и, следовательно, в три раза больше, чем определенная здесь величина N; кроме того, sinh-1* = cosh-1(l 4- x2)V1.

содержащем только интегрирование по к. Окончательный результат удобно выразить в виде

_ Np2H2 п°-"ЧбГ_ Np2H2 п°-"ЧбГ(П4.36)

_ Np2H2 п°-"ЧбГ

_ Np2H2 п°-"ЧбГ

MD= -MD= -(П4.37)(П4.37)Соответственно

MD= -

MD= -

(П4.37)

(П4.37)

Первый множитель в обоих этих выражениях — результат для параболической зоны, который имеет место, если J7eg — 0. Для f/sg = 2,2 формула (П4.37) дает 60% величины для параболической зоны и лишь 25% величины, полученной без учета непостоянства у. Еще раз подчеркнем, что величина MD, определяемая формулой (П4.37), вместе с величиной Ms, определяемой формулой (П4.32), ни в коей мере не определяет полной величины постоянной восприимчивости; например, в модели Лэкса состояния в заполненной зоне, энергии которых определяются формулой (П4.27) со знаком «—» вместо знака «4-» перед фигурной скобкой, дают значительный вклад в диамагнитную восприимчивость (см., например, [280]).

Приложение Э

Спираль Корню и некоторые связанные с ней вопросы

П5.1. Спираль Корню

Если заменить бесконечный верхний предел на конечный предел и в интегралах по к в формуле (2.107), то получим

Гр^ху^рхт^р

= C^cosi/, + S(r) sin <Д

= {[С№2 + [5(г)]2}1/2= {[С№2 + [5(г)]2}1/2cos ф ± tan——- ,С(и)cos ф ± tan——- ,С(и)(П5.1)(П5.1)

= {[С№2 + [5(г)]2}1/2

= {[С№2 + [5(г)]2}1/2

cos ф ± tan——- ,

С(и)

cos ф ± tan——- ,

С(и)

(П5.1)

(П5.1)

где использованы обозначения

(П5.2)(П5.2)2крХ0 = 2прЕЩ = ф, ^й" = рХ"к2,

(П5.2)

(П5.2)

a C(v), S (v) — интегралы Френеля

С(г) =С(г) =—~— du, 2—~— du, 2S(v) =S(v) =ки я-y-du.ки я-y-du.(П5.3)(П5.3)

С(г) =

С(г) =

—~— du, 2

—~— du, 2

S(v) =

S(v) =

ки я

-y-du.

ки я

-y-du.

(П5.3)

(П5.3)

Зависимость величины Гр от и можно проиллюстрировать с помощью графика зависимости S(v) от С (и). Это — известная спираль Корню, показанная на рис. П5.1. Очевидно, что для данного значения и амплитуда 1р, если ее рассматривать как функцию ф, есть просто длина хорды спирали от начала координат до точки и (легко показать, что величина и в действительности равна длине спирали от начала координат), а фазовый угол есть наклон хорды к оси С (и). Ясно, что при v -* оо длина хорды стремится к пределу 1/х^2, а фазовый угол стремится к 45°, что дает обычную формулу (2.109), в которой значение и было принято равным бесконечности. Для выпуклой замкнутой поверхности Ферми предел интегрирования и, разумеется, конечен, и теперь мы рассмотрим, к какой ошибке приводит приближение и = оо, на примере эллипсоида. Для эллипсоида соотношение

X = Хо~1^"(0)к2

Рис. П5.1. Спираль Корню: функции С (и) и S(v) определяются формулами (П5.3), v — длина вдоль спирали от начала координат до некоторой определенной точки (цифрами обозначены значения и). Длина хорды от начала координат дает амплитуду осцилляций (П5.1), а наклон хорды к оси С (у) дает величину фазового угла tan" ^S^yC (v)).

является точным, так что формула (П5.1) должна быть применима, если положить предел и соответствующим граничному значению к0 переменной к и выбрать нижний из возможных знаков. Это граничное значение задается формулой (2.105) (оно равно значению к, при котором X = 0), и мы видим, что

1ци2 = лрХ”ко = 2крХ0 = 2npF/H = ф. (П5.4)

Таким образом, для эллипсоида предел интегрирования и не есть просто постоянная величина, а связан с переменной ф осцилляций; в частности, при приближении к квантовому пределу F/H = 1 величина и становится порядка 2тг. Это приводит к необходимости некоторой осторожности при использовании спирали Корню, поскольку истинная амплитуда уже не равна точно [С 2(t?) + 5 2(w)]2, как следует из формулы (П5.1). В действительности при достаточно большой величине и спираль Корню можно с хорошей точностью считать окружностью радиуса Wirv с центром в точке С = = 5 = !/z (рис. П5.2), так что если величина и задана формулой

SM

Рис. П5.2. При больших значениях и можно с хорошей точностью локально рассматривать спираль Корню как окружность с центром в точке J * (!4, /2) и радиусом 1/тги. В этом приближении координаты произвольной точки Р, очевидно, равны (14 + (l/%i;)sin0, Vi - (l/w)cos5), где величина 6 определяется как наклон касательной к оси С и задается соотношением 6 = Vntv1 (точнее,tan 6 = tan !4 тгу2). Для особой точки Р, соответствующей значению к (= кдля касательной плоскости к эллипсоидальной ПФ, как показано в тексте, выполняется соотношение !4irv2 = = 1крР/Н = V» так что угол 6 можно отождествить с Vs а из построения видно, что С(у)со5^ + 5(и)$т^ = (l/V2)cos(V* - 45°).

(П5.4), то справедливы соотношения

С = 1 + — sin<A,S=4~— cos^.(П5.5)

2 яг2 яг'

Даже при значении величины рХ0 (т.е. pF/H), равном 1 (т.е. и = = 2), это приближение справедливо с точностью до 1%, и если его использовать для вычисления Гр, то мы видим, что корректирующие слагаемые взаимно уничтожаются и из формулы (П5.1) с нижним знаком получается точно обычный результат

T2C0ST2C0S2лpF ПГ2лpF ПГя4я4(П5.6)(П5.6)

T2C0S

T2C0S

2лpF ПГ

2лpF ПГ

я

4

я

4

(П5.6)

(П5.6)

Этот результат можно получить также с помощью геометрического построения рис. П5.2.

В следующем более точном приближении величины С (у) и 5 (у) определяются соотношениями

(П5.7)(П5.7)(П5.8)(П5.8)С(р) = I + 7(0 sin ф - д^ cos ф, S(v) = | — Ди) cos ф — g^v) sin ф,

(П5.7)

(П5.7)

(П5.8)

(П5.8)

где /(v) и g(v) задаются в виде разложений в ряд по 1/v

№ = ---к + ЯГ ЯР

9^ = 4т - '''

irv1

Если использовать это приближение, то поправки /(v) в первом уравнении (П5.1) точно уничтожаются, и в результате имеем

,,* /2npF л\1

(П5,9)

Таким образом, заметная поправка требуется только в случае непосредственной близости к квантовому пределу (т.е. F/H = 1) для основной составляющей (р = 1). Эта поправка непериодична по 1///, но даже для F/H = 1 она составляет только величину порядка 2% от амплитуды, заданной обычной формулой. Так или иначе, поскольку при построении теории мы отбрасывали члены, в F/H раз меньшие, чем удерживаемые, то при F/H ~ 1 мы должны рассматривать наши результаты только как приближенные.

Вероятно, результаты приведенного выше анализа остаются качественно справедливыми и в случае, когда ПФ не эллипсоидальна, но везде выпукла и замкнута. Если экстремальное сечение ПФ минимально, а не максимально или если существует несколько экстремумов (чередующиеся максимумы и минимумы), то полученные выше результаты уже неприменимы (нет ясности в определении предела интегрирования по к; кроме того, если экстремум является минимумом, то в формуле (П5.1) должен быть выбран другой знак). Каждый такой случай нужно рассматривать особо, и обычно для нахождения поправок к стандартной формуле нет другого пути, кроме численного интегрирования.

П5.2. Почти цилиндрическая ПФ

Почти цилиндрическая ПФ служит хорошим примером случая, когда может потребоваться значительная модификация обычной формулы. Существенной чертой такой поверхности является то,

что фактор кривизны X" становится малым и при разложении величины X вблизи ее экстремального значения Хо нужно учитывать члены высшего порядка. Обычная формула в этом случае становится неудовлетворительной не из-за конечности пределов интегрирования, а из-за присутствия членов более высокого порядка. Простая модель для этого случая, имеющая некоторое отношение к ПФ меди при определенных ориентациях поля //, обсуждалась в работе Шенберга и Темплтона [397]. В этой модели предполагается, что следует учитывать только члены четных степеней по к, и удерживаются члены вплоть до к 4, т.е.

X = Хо ± ^Х"к2 ± ^Xwk4,(П5.10)

где

X” = |(д2Х/ак2К = 0Ь X" = |(д4^/дк4)к = 0| .(П5.11)

Знак «±» перед слагаемым к2 выбирается, как и прежде, в зависимости от того, имеет ли величина X (т.е. площадь сечения ПФ) при к = 0 минимум или максимум. Если для члена к 4 выбирается тот же знак, что и для к2, то изменение величины X продолжается монотонно при увеличении к, а если выбирается противоположный знак, то характер изменения становится обратным при значении к, определяемом соотношением

(П5.12)(П5.12)к2 = 6Х”1Хх\

(П5.12)

(П5.12)

Задача сводится к замене величин С и 5 в формуле (П5.1) на величины С' и 5' :

ииС08Цлм2(1 + aw2)] du

и

и

(П5.13)

S' =S' =sin[^u2(l + au2)]dusin[^u2(l + au2)]du

S' =

S' =

sin[^u2(l + au2)]du

sin[^u2(l + au2)]du

где

(П5.14)(П5.14)a = X^^X"?

(П5.14)

(П5.14)

и знак «+ » или «— » выбирается в зависимости от того, имеют ли производные й4Х/йк4 и Э^/Эк2 одинаковые или противоположные знаки соответственно. Явные выражения для величин С' и S' приводятся в справочниках (см., например, [176], с. 398); в предельных случаях a < 1 или a > 1 они принимают сравнительно простой вид.

Рис. П5.3. Изменение амплитуды при прохождении ориентации через значение, при котором Xм = 0 (X ~ F). На графике представлена величина I = а1/4 (С'2 + S' 2)1/j в зависимости от sa-'A, где $ — знак, выбранный в формуле (П5.13), а величина а определяется формулой (П5.14); величина 5а“1/2 изменяется с ориентацией (приблизительно линейно в небольшой области) и проходит через нуль, когда X* = 0. Если бы величина Л^ была постоянна во всей области, то / была бы точно пропорциональна амплитуде осцилляций дГвА [397].

Рис. П5.4. Изменение фазы ф при прохождении ориентации через значение, при котором Xм = 0; величина ф определяется как tan -1(5'/С') и отложена на графике в зависимости от$а-1/2. Кривая справа построена в растянутом масштабе по ф [397].

Зависимости амплитуды и фазы результирующих осцилляций от величины а изображены на рис. П5.3 и П5.4, где предполагается, что изменение а обусловлено изменением Xм при постоянном значении XXN (это не слишком далеко от реальности в случае меди, когда направление магнитного поля проходит через критическую ориентацию, при которой X” обращается в нуль). Если в формуле (П5.13) выбирается знак «-» (соответствующий отрицательным значениям по оси абсцисс на графиках), то кривая зависимости X от к проходит через минимум (или максимум) с каждой стороны от центрального максимума (или минимума), и полную амплитуду можно рассматривать как результат наложения двух осциллирующих слагаемых с несколько различными частотами, одна из которых обусловлена центральным экстремумом, а другая — двумя идентичными нецентральными экстремумами. При данном значении Н эти осцилляции двух частот попеременно находятся в фазе и противофазе при удалении от нуля величины X" (и 1/а), что объясняет осциллирующий характер кривой в левой части рис. П5.3. Интересная особенность заключается в том, что наибольшая амплитуда достигается не при X” = 0 (т.е. 1/а = 0), а при малом конечном значении величины Xм, при котором два интерферирующих слагаемых впервые находятся в фазе друг с другом^. Когда знаки производных Э^/Эк2 и Э4А7Эк4 становятся одинаковыми, остается только центральный экстремум и амплитуда монотонно уменьшается при увеличении Xм (правая часть графика). Результирующая фаза осцилляций может быть рассмотрена подобным образом, и следует отметить, что при величине X* , точно равной нулю, фаза, равная в обычной формуле тг/4, принимает значение тг/8. На рис. П5.5 приведены результаты эксперимента для образца Си + 1% Fe, полученные при изменении величины а с помощью изменения ориентации; можно видеть, что кривая изменения амплитуды осцилляций качественно подобна кривой, показанной на рис. П5.3. Однако предположения простой модели, использованной при вычислениях, слишком грубы, чтобы можно было ожидать детального согласия с экспериментом.

!) В действительности это лишь приблизительно верно, поскольку простая интерпретация с помощью двух совершенно независимых осциллирующих слагаемых (каждое из которых может быть получено независимо путем интегрирования до и = = оо) перестает быть справедливой при очень близких частотах, а также потому, что амплитуды отдельных осциллирующих слагаемых зависят от а таким образом, что максимум сдвигается в сторону меньших значений величины Xм , чем следовало бы только из соотношения между фазами.

Рис. П5.5. Осцилляции величины ^М/ЛН1 в поле Н = 50,5 кГс при Т = 1,2 К, полученные при изменении ориентации кристалла Си 4- 1 Vo Fe при прохождении через критическую ориентацию, при которой X" = 0 (при направлении, составляющем угол примерно 23,3° с осью < 100> в плоскости (ПО)). График по существу аналогичен области вокруг точки D на рис. 5.8, показанной в увеличенном масштабе; введение небольшого количества Fe уничтожило обращение амплитуды в нуль, связанное со спином, которое в чистом Си приводит к дополнительному усложнению. Осциллирующее изменение амплитуды слева и монотонное убывание справа качественно согласуются с результатами расчета по идеализированной модели, представленными на рис. П5.3 ([88], цитируется в [397]).

Приложение 6

Электрон-фононное взаимодействие

П6.1. Свойства собственно-энергетической функции

Собственно-энергетическая функция Е(у), где у = £ - Г, определяется выражением

Цу) ее А(у) - 1Г(у)

Ltп = оLtп = о^0^0a2(v)F(v)dva2(v)F(v)dvГ 00Г 001 -fM + g(v) + /И + gWу — х — v + if? у — х + v + it;1 -fM + g(v) + /И + gWу — х — v + if? у — х + v + it;dx,dx,

Ltп = о

Ltп = о

^0

^0

a2(v)F(v)dv

a2(v)F(v)dv

Г 00

Г 00

1 -fM + g(v) + /И + gW

у — х — v + if? у — х + v + it;

1 -fM + g(v) + /И + gW

у — х — v + if? у — х + v + it;

dx,

dx,

(П6.1)

где /(г) и g(p) — функции Ферми и Бозе соответственно:

/(х) = \/^кт + 1),^(v) = W/kT - 1),(П6.2)

a0O — характеристическая функция электрон-фононного взаимодействия, F(p) — спектральная функция фононов, р — энергия, равная Йо?, если а) — реальная угловая частота.

Действительная и мнимая части Д и Г, выделенные из формулы (П6.1), определяются равенствами

л(„, ["„WMd.p Г Г^^ + М±*1ЪХ

JoJ-ooL У - X - V у - X + V _

(П6.3)

где Р обозначает главное значение интеграла, и

Пу) = л J a2(v)f(v)[2y(v) + /(v + у) +/(v - у)] dv (П6.4)

[соответствующие слагаемые под знаком внутреннего интеграла в формуле Ш6.1) дают величины — 1тг[1 - /(х) + £00]6(х - у + р) и -IttI/'M + g00]5(x - у - р), а 1 - Дх) = Л~х)]. Функции А и Г связаны соотношением Крамерса — Кронига, которое можно записать в виде

Д(у) =Д(у) =Р ГГ(у + У)-Г(у-р) — | —dv.

Д(у) =

Д(у) =

Л JoV

ЯА.9П9

Для удобства расчета проще всего определить функцию Г из формулы (П6.4) (используя данные экспериментов по туннелированию в сверхпроводниках для получения величины ^F^ и затем вычислить функцию Д по формуле (П6.5). График зависимости a2F от v для Hg приведен на рис. П6.1, а графики функций Д ц Г представлены на рис. 2.16.

Мы рассмотрим также собственно-энергетическую функцию при мнимом аргументе (скажем, iw). Она определяется той же формулой, что и для действительного аргумента, т.е. (П6.1), при замене у на iw и исключении и/. Нетрудно показать, что величина E(iu) является чисто мнимой, так что удобно ввести функцию Z(u), определенную как iE(iu). Тогда имеем

Z(u) = iZ(iu)

’” it vet ха Г" Г1 ~ f W + 9М Дх) + g(vH= a2(v)r(v)dv—:h dr.

JoJ-coL iw - x - V 1U — x + v_

(П6.6)

Рис. П6.1. График зависимости величины a2 (v)F(v) (которая является безразмерной характеристикой электрон-фононного взаимодействия) от энергии фононов у для Hg [137]. Заметим, что кТ = 1 мэВ для Т = 11,6 К.

Z(u) =Z(u) =F(z)dz z2 4- и1F(z)dz z2 4- и1Значение внутреннего интеграла может быть получено в явном виде, и результат для конкретного аргумента w = (2/ 4- 1)ткТ приводится ниже [см. (П6.17)]. Мы можем также выразить функцию Z^ через Г с помощью соотношения Крамерса — Кронига или с помощью некоторых простых преобразований (П6.6) (используя равенство 1 - /(х) = /(—х)). Получаем

Z(u) =

Z(u) =

F(z)dz z2 4- и1

F(z)dz z2 4- и1

(П6.7)

Прежде чем приступить к рассмотрению интеграла в формуле (2.184), полезно вывести некоторые простые предельные свойства функций Д и Г. Удобно ввести «характеристическую» частоту р0, такую, что в обоих пределах величина а1^^^ пренебрежимо мала: как при v < vQ, так и при v > v^. Очевидно, что величина р0 сравнима с кВ, где О •— температура Дебая (около 60 К для Hg). Как видно из рис. П6.1, для Hg величину р0 можно принять равной, нескольким миллиэлектронвольтам (£0 составляет примерно 5 мэВ).

Заметим вначале, что из формулы (П6.4) следует

.Г(—у) = Г(у) >(П6.8)

т. е. Г — четная функция у, а из формулы (П6.5) видно, что Д(-у)=-Д(у),(П6.9)

т. е. Д — нечетная функция у и, в частности, Д(0) = 0.

Затем вычислим наклон функции Д(у) при кТ < р0 и у < р0. Из формулы (П6.5) получаем

— 2у С^ГМ.

Д(у) =-dv,

Я Jo

и поскольку при кТ < v функция — f (у) практически совпадает с 6- функцией, то дифференцирование формулы (П6.4) дает

Г'(х) = ^a2(x)F(x),

так что

Jo V

a2(v)F(v).dv .va2(v)F(v).dv .vЭто точно соответствует линейной зависимости (2.185), где величина X определена как

a2(v)F(v).

dv .

v

a2(v)F(v).

dv .

v

(П6.11)

Этой величиной X определяется увеличивающий множитель (1 4- X) для перенормированной массы.

Г(у) — 0 ,Г(у) — 0 ,Для функции Г(у) также можно привести простые предельные выражения в случае как высоких, так и низких температур. При кТ < р0 и у < р0 все слагаемые в квадратных скобках в формуле (П6.4) экспоненциально малы, так что

Г(у) — 0 ,

Г(у) — 0 ,

(П6.12)

а при кТ > р0 и любой величине у первое слагаемое lg^ равно IkT/v и гораздо больше двух остальных слагаемых в формуле (П6.4), так что мы получаем

f” a2(v)F(v)

(П6.13)(П6.13)Г(у) = 2лкТV1 м dv = ккТХ .

(П6.13)

(П6.13)

Jo v

Поскольку в этом пределе функция Г(у) практически не зависит от у, то из соотношения (П6.5) следует

А(у)~0.А(у)~0.(П6.14)

А(у)~0.

А(у)~0.

П6.2. Интеграл в формуле (2.184)

Для упрощения записи мы опустим в последующих выражениях номер гармоники р и будем считать, что р = 1; на любом этапе вычислений результат для высших значений р можно немедленно получить путем замены Н на Н/р. Интеграл в формуле (2.184), который определяет влияние электрон-фононного взаимодействия на температурный понижающий множитель, имеет тогда следующий вид:

(П6.15)(П6.15)= J ехр ^(у - Д(у) + if(y)) Ayl^lkT + 1).

(П6.15)

(П6.15)

В основном тексте мы уже показали, используя предельные выражения для функций Д и Г и не вычисляя интеграл в явном виде, что в двух предельных случаях а) 0Н < р0, кТ < р0 и б) кТ > р0 влияние электрон-фононного взаимодействия сводится к увеличению ци-

клотронной массы (т. е. к уменьшению 0) в (1 + X) раз, где величина X задается формулой (П6.11). Теперь мы покажем, что этот простой результат с хорошей точностью также справедлив в значительно более широкой области значений Н и Т. Мы не будем приводить математических выкладок, необходимых для интегрирования (которое может быть произведено либо интегрированием по контуру, либо путем представления множителя ехр[(—2тп//?//)(Д(у)- — 1Г(у))} в виде разложения в бесконечный ряд Тейлора по степеням у и почленного интегрирования), а только выпишем результат. Он имеет следующий вид:

2ккТ ® Г-2я г)

1 = —£ expi-—titkl\2l + 1) + Z(Ttkl\2l + 1), rm.

1 z = o ( pH'

(П6.16)

Следует отметить, что величина в квадратных скобках является чисто действительной, a Z^kT^ll 4- 1), Г) является функцией температуры по двум причинам: во-первых, Т входит в аргумент nkTQl 4- 1), а во-вторых, вид Z(y) зависит от Т через функции Ферми и Бозе; довольно неуклюжее обозначение Z(^kT(2l 4- 1), Г) введено для указания на эту двоякую зависимость.

Z(7tkT(2/ + 1),Т) = 2лкТZ(7tkT(2/ + 1),Т) = 2лкТ'°0 dva2(v)F(v)о V'°0 dva2(v)F(v)о V27tqkT\227tqkT\2(П6.17)(П6.17)Величина Z^kT^-l + 1), Т) может быть получена явно путем вычисления внутренного интеграла в формуле (П6.6); мы опять приведем только окончательный результат:

Z(7tkT(2/ + 1),Т) = 2лкТ

Z(7tkT(2/ + 1),Т) = 2лкТ

'°0 dva2(v)F(v)

о V

'°0 dva2(v)F(v)

о V

27tqkT\2

27tqkT\2

(П6.17)

(П6.17)

(П6.(П6.

(П6.

(П6.

Здесь, разумеется, учтены оба вида зависимости от температуры.

Теперь мы можем более четко установить, насколько могут быть сближены границы предельных областей в рассмотренных выше предельных случаях без серьезных отклонений от результата, дающего простое увеличение массы. Прежде всего заметим, что если для всех существенных значений / выражение в фигурной скобке в формуле (П6.17) приближенно равно (2/ + 1) (т. е. если (2тг Iк Т/v 0)2 < 1), то формула (П6.17) сводится к

Z^kT^ll 4- 1), Г) = ккТХ(21 4- 1)

[см. (П6.11)] и выражение (П6.16) с хорошей точностью принимает вид

7 = 2тгкТ ^ ехр[^2я2^Т(2/ 4- 1)(1 + /ДО\

1/ = о

2ккТ ехр[-2л2/сТ(1 + л)/ДН]

i (1 -ехр[-4л2/сТ(1 + XWHT*

i sinhi sinhлкТлкТ2л2/сТ(1 4- z)2л2/сТ(1 4- z)(П6.19)(П6.19)

i sinh

i sinh

лкТ

лкТ

2л2/сТ(1 4- z)

2л2/сТ(1 4- z)

(П6.19)

(П6.19)

Это точно совпадает с обычным результатом ЛК с массой, увеличенной в (1 4- X) раз.

На первый взгляд могло бы казаться, что Угот случай имеет место, если кТ < р0, но в действительности условие 0Н < v0 оказывается более существенным. Это можно объяснить, замечая, что с ростом / влияние ослабляющего множителя ехр[— Т^кТ^И 44- \У0Н\ в формуле (П6.16) становится все более значительным, так что наибольшее значение /, которое еще дает заметный вклад в сумму ряда, можно оценить из соотношений

4л2/сТ(2/ 4- 1) - ЗрН или 2лкТ - 0H/2(2l -4- 1).

Для этого значения / выражение в фигурных скобках в формуле (П6.17) принимает вид

(П6.20)

и если 0Н < р0, сумма ряда (П6.20) действительно близка к 2/ 4- 1 для всех существенных значений v и по-прежнему достаточно введения увеличенной массы. Чтобы последний член ряда (П6720) отличался от 2, скажем, более чем на 10%, нужно, чтобы величина j8///4p0 не превышала примерно 0,3, так что условия 0Н ^ р0 уже достаточно, чтобы погрешность при введении увеличенной массы была пренебрежимо малой. Если положить величину v0 равной, скажем, 5 мэВ, то это означает (при m/m^ = 0,06, т. е. до увеличения), что // < 25 кГс.

При повышении температуры условия, налагаемые на величину Н, становятся менее жесткими, как можно видеть в пределе больших Т. Если ^кТ/^Н > 3, то заметную величину имеет только первый член (/ = 0) в формуле (П6.16) (следующий примерно в 20 раз меньше), так что необходимо учитывать лишь величину Z при / = 0 (которая равна тг^ГХ), и в результате получаем

ТикТ‘

(П6.21)(П6.21)1 = —— ехр[-2л2/сТ(1 + ЭДНД .

(П6.21)

(П6.21)

Это выражение служит весьма хорошим приближением к общему результату (П6.19), поскольку здесь ^кТ/^Н > 3. В этом пределе высоких температур при Т/Н (кГс) > 0,18 погрешность в величине амплитуды при простом увеличении массы должна составлять менее 5%.

Полезный способ представления результатов этих вычислений •— построение линий постоянного отклонения в координатах (Н, Т\ На рис. П6.2 приведена такая контурная диаграмма, рассчитанная Эллиотом и др. [137] на основе спектра агР, изображенного на рис. П6.1, и можно видеть, что результаты нашего рассмотрения в предельных случаях разумно подтверждаются. Основная за-

Рис. П6.2. Зависимость связанных с электрон-фононным взаимодействием отклонений от формулы ЛК для Hg от температуры и поля. Кривые — линии постоянной величины и, где еи — отношение амплитуды в многочастичной теории к амплитуде, которую дает формула ЛК (в предположении фононно-увеличенной массы). Поскольку величины и малы, то их с хорошей точностью можно считать совпадающими с относительным увеличением амплитуды.Рис. П6.2. Зависимость связанных с электрон-фононным взаимодействием отклонений от формулы ЛК для Hg от температуры и поля. Кривые — линии постоянной величины и, где еи — отношение амплитуды в многочастичной теории к амплитуде, которую дает формула ЛК (в предположении фононно-увеличенной массы). Поскольку величины и малы, то их с хорошей точностью можно считать совпадающими с относительным увеличением амплитуды.

Рис. П6.2. Зависимость связанных с электрон-фононным взаимодействием отклонений от формулы ЛК для Hg от температуры и поля. Кривые — линии постоянной величины и, где еи — отношение амплитуды в многочастичной теории к амплитуде, которую дает формула ЛК (в предположении фононно-увеличенной массы). Поскольку величины и малы, то их с хорошей точностью можно считать совпадающими с относительным увеличением амплитуды.

Рис. П6.2. Зависимость связанных с электрон-фононным взаимодействием отклонений от формулы ЛК для Hg от температуры и поля. Кривые — линии постоянной величины и, где еи — отношение амплитуды в многочастичной теории к амплитуде, которую дает формула ЛК (в предположении фононно-увеличенной массы). Поскольку величины и малы, то их с хорошей точностью можно считать совпадающими с относительным увеличением амплитуды.

дача этой диаграммы — показать, что даже для экстремальных условий отклонения от обычной формулы с увеличенной массой составляют только 10 или 20% по амплитуде. Такое отклонение не очень заметно в логарифмическом масштабе, и, как обсуждается более подробно в гл. 8, для получения убедительных экспериментальных доказательств этих отклонений требуется значительная точность.

Наконец, следует указать, что любое отклонение приводит к увеличению амплитуды. Это можно видеть из формул (П6.16) и (П6.20). Таким образом, если поле Н является не «слабым», а «сильным», некоторые члены ряда (П6.20) будут меньше, чем при слабых полях, и соответственно вклад в величину Z в формуле (П6.16) будет меньше, чем (2/ 4- 1)ткТ при данном /, что приводит к большей амплитуде. В экстремальном случае, когда все члены ряда (П6.20), кроме первого, становятся пренебрежимо малыми, так что величина Z равна просто Х-ккТ, а не (2/ 4- 1)Хтг^Т, выражение (П6.16) сводится к

лкТ ехр( —2л2ХкТ/ДН)

= 1 ыпЬ(2лЧТ/^Н) ’(П6.22)

В этом случае возрастание амплитуды по сравнению с результатом для увеличенной массы определяется множителем

^J^ J ■(П6.23)

Это максимальное возможное отклонение; его наибольшее значение при гл^ТС! + Х)/РН -« 1 равно просто (1 + X), но при 2т2кТ/$Н^ 2: 1 его величина быстро приближается к 1 (она равна 1,15 при ТкЧТ/рН = 1 и X = 1,6).

Приложение /

Численные оценки величин \М/Н\ и I dA//dZ/l

П7.1. Оценки для трехмерной системы

Амплитуды обеих величин (М/Н) и ДМ/ДН [см. (3.1)—(3.3)] как функции Н имеют максимумы при значении поля Я,о, заданном неявным уравнением

(П7.1)(П7.1)ах аТ f аТ

(П7.1)

(П7.1)

—+-coth-r = n

«О «О «О

где п = Уг или Уг для \М/Н\ и \ДМ/ДН\ соответственно. Здесь удобно отметить значения Но и соответствующие максимальные амплитуды для двух достаточно экстремальных случаев: х = О («совершенный» образец) и х = Т = 1 К (типично для «плохого» образца). Получаем

х = 0

аТ/Я0 = 1.288 (и = 3/2) или 2.464 (и = 5/2),(П7.2)

|М/Я|тах = 4.03 X 10-14(2nM")1/2GFT"1,2(m/m0)"3/2(П7.3)

(Яо = 1.14Т(т/т0) х 105Гс),

|dM/dfl|max = 3.23 х \О-1Ч2к/А"У'2СЕТ-3'МтоГ5'2 (П7.4) (Яо = 5.96T(m/m0) х 104 Гс ),

х= Т=1К

а/Я0 = 0.437(и = 3/2) или 1.116(п = 5/2),(П7.5)

|М/Я|тах = 191 х 1G 14(2nM")1/2GF(m/m0)3/2(П7.6)

(Яо = 3.36 (т/т0) х 105Гс ),

|dM/dЯ|max = 6.25 х 10’^^кА-'У^СЕ2^^^"5/2(П7.7)

(Яо = 1.32 (т/т0) х 105Гс ).

Равенства (П7.3)—(П7.7) дают полезные оценки наибольших амплитуд восприимчивости, которые можно получить при изменении Н. но ими нужно пользоваться с осторожностью по двум причинам. Во-первых, оптимальное значение поля Но может оказаться

больше реально достижимого или может приближаться к квантовому пределу Н = F или превышать его. В этом случае величина наибольшей амплитуды определяется подстановкой в равенстве (3.1) или (3.2) наивысшего доступного значения поля или поля, равного, скажем F/3 (берется наименьшее из этих значений поля). Во- вторых, величина наблюдаемого в эксперименте сигнала может быть пропорциональна не просто М/Н или ДМ/ДН, а восприимчивости, умноженной на Н или Н2, в зависимости от конкретного экспериментального метода. Это означает, что условие максимальности выходного сигнала может не совпадать с условием максимальной восприимчивости. Возможно даже, что максимум отсутствует, а наибольшая величина сигнала достигается при наибольшем используемом поле. Поэтому полезно вычислить не только максимальные амплитуды, определяемые равенствами (П7.3)—(П7.7) для некоторых типичных металлов, но и вычислить также амплитуды, заданные формулами (3.1) и (3.2) для одного или двух фиксированных значений поля.

Результаты этих вычислений приведены в табл. П7.1 для двух достаточно экстремальных примеров большой и малой поверхности Ферми, а именно а) гипотетического металла в приближении свободных электронов с электронной плотностью, соответствующей благородным металлам, и б) висмута при ориентации поля вдоль бинарной оси. В случае (а) одно из выбранных фиксированных значений поля составляет 105 Гс, что соответствует максимальному достижимому полю большинства лабораторий, а другое равно Я = 2 х 104 Гс, что типично для наибольшего поля, которое можно получить с помощью обычного электромагнита с железным ярмом. Для случая (б) фиксированное значение поля выбрано равным 5 х 103 Гс, что примерно равно одной трети F и соответствует приблизительно тому наибольшему значению поля, при котором формулы еще справедливы. Влияние температуры иллюстрируется некоторыми результатами при 5 К для (а) и при 5 и 20 К для (б). Поскольку для ориентации вдоль бинарной оси в висмуте два из трех эллипсоидов дают одинаковые площади экстремальных сечений, все численные значения вдвое превышают результаты формул (третий эллипсоид дает гораздо более высокую частоту, и здесь им можно пренебречь). Все данные табл. П7.1 относятся к величине Мь а соответствующие значения для величин М JH или ДМ ^/ДН определяются формулой (2.114), т. е. получаются умножением данных табл. П7.1 на соответствующие значения величины (l/F)(dF/d0). ПоряДки величины этого множителя анизотропии указаны в табл. П7.2 для некоторых типичных случаев,

Таблица П7.1. Амплитуды восприимчивости

а) металл в модели свободных электронов: F = 5 х 108 Гс, ^/А" У1 = 1, IGI = 1, т/т0 = 1

Т, к

х, К

10"5хЯ, Гс

105х 1Л//Я1

IdAf/d^l

Г 1,1 для

\М/Н\тах, °’6 ДЛЯ ldM/d//lmax

2,0

0,80

1

° /

1

1,8

0,63

0,2

0,06

0,09

Г3,4 для

УМ/НУ max» !’3 ДЛЯ ’d^/^^imax

1,0

0,16

1

1 )

1

0,4

0,14

0,2

4х10“5

6х 10“5

5

0 *

1

0,03

0,008

5

1

1

0,006

0,002

б) висмут, Н вдоль бинарной оси: F = 1,4х 104 Гс, (2я7Л")1/2 = 11, IGI = 1, ^т/т^ = 10“2

Г, К

х, К

10"3хЯ, Гс

105х \М/Н\

104х ldA//d//l

1,1 для \м/н\ тах, 0,6 для 1ал//ая1тах

1,2

14

5

0,8

1,3

3,4 для \М/Н\ тах, 1,3 для ldA//d//lmax

0,6

2,7

11

5

0,6

1,0

5

0

5

0,6

1,0

20

0

5

0,03

0,04

Примечание: поскольку основная цель этой таблицы — дать представление о порядках величин, данные представлены только с одной или двумя значащими цифрами. М означает осциллирующий магнитный момент единицы объема.

Таблица П7.2. Порядки величины (l/F^dF/dB)

МеталлМеталлТипичная величинаТипичная величина(VFXdF/d6)(VFXdF/d6)

Металл

Металл

Типичная величина

Типичная величина

(VFXdF/d6)

(VFXdF/d6)

до 5х 10“2 (Cs)до 5х 10“2 (Cs)Гипотетический со сферической ПФ 0

до 5х 10“2 (Cs)

до 5х 10“2 (Cs)

Щелочные металлы10“3 (для Na и К)

Благородные металлы5х10”2

Висмут1

Малые участки ПФ в поливалентных металлах1

но следует подчеркнуть, что этот множитель значительно меняется с ориентацией, а также зависит от конкретного металла.

П7.2. Оценки для двумерной системы

Для иллюстрации порядков величины рассмотрим пример инверсионного слоя в кремнии, который, как обсуждалось в п.2.3.4, должен вести себя как двумерный металл с магнитным моментом, определяемым формулой (2.61) или (2.80) при Т = 0 без учета рассеяния и влияния спина. Спиновые эффекты, вероятно, .сложны вследствие зависящих от поля многочастичных электрон- электронных взаимодействий, но мы просто пренебрежем ими, поскольку они, по-видимому, не меняют порядок величины амплитуды осцилляций. Мы также пренебрежем эффектами, связанными с междолинным вырождением зонной структуры Si. Понижающие множители, связанные с влиянием температуры и рассеяния, должны быть подобны соответствующим множителям для трехмерного металла, так что мы получаем для основной составляющей осциллирующего момента единицы площади, который обозначим через «X чтобы отличать его от магнитного момента М единицы объема, следующее выражение^:

JT= /?rRD(n^)sin(2EF/H),(П7.8)

где

F = — п = 2.06 х 10'7 е

2и2кТ/рНт smh(2nkT/pH)’

„/ ктс\

RD = exp —— .(П7.9)

\ епт /

Здесь п — число электронов на единицу площади образца, а частота F выражена в гауссах. Величина п обычно лежит в пределах 1012 — 1013 см-2, так что

F = 2x 105 — 2 х 106 Гс .

^ Формулы для понижающих множителей справедливы только при F/H > 1. При приближении величины F/H к 1 (квантовый предел) влияние температуры и электронного рассеяния требует более тщательного рассмотрения, поскольку становятся существенны осцилляции энергии Ферми (см. [515]). — Прим, автора к русскому изданию.

Таблица П73. Величины 1.^1 и ld.^7d//l для двумерного образца

Н, кГс

RT

rd

1^1 х 108, Гс-см

Id^/d^l х 10й, см

(1012) 0,6

1,4

2,0

30

0,8

(1013) 0,005

0,1

1,5

(1012) 0,7

1,9

1,0

50

0,92

(1013) 0,04

1,1

5,6

(1012) 0,8

2,3

0,5

80

0,97

(1013) 0,14

4,0

8,1

Примечание: два

значения,

приведенные для

каждого поля, соответствуют л = 1012 и л =

= 101J см . Величины Ry

приведены для Т

= 1,2 К. ^ — дипольный момент единицы пло-

щади.

Типичная величина массы определяется отношением т/т0 = 0,2, т. е. 0 * 10"19; время релаксации т зависит от концентрации носителей п; оно имеет максимальное значение « 2,3 х 10“12 с при п = = 1012 см"2 и уменьшается до 2,3 х 10"13 с при п = 1013 см"2.

Используя эти значения, мы получаем величины 1^1, приведенные в табл. П7.3. Можно видеть, что в лучшем случае величина 1^ I составляет только несколько единиц на 10"8 Гс • см, и это ненамного превышает нижний предел обнаружения при современной технике, даже при использовании возможности модуляции п с помощью потенциала затвора и изготовлении специальных образцов большого периметра. Заметим, что площадь образца S, которая может достигать 0,1 см2, не связана непосредственно с оптимальными условиями наблюдения сигнала.

Приложение О

Калибровка системы модуляции поля для образца конечных размеров

Как было объяснено в тексте, для калибровки измерительной системы с целью определения намагниченности образца по величине разности потенциалов должны быть известны параметры tix и т/2, которые определяют поле на единицу тока в приемной и модуляционной катушках в области расположения образца. Параметр т? j задает постоянную связи с в формуле (3.27), а т,2 определяет амплитуду модуляции h0 (и, следоватеЛьно, величину X), если известна амплитуда тока /0, так что амплитуда А простых гармонических осцилляций дГвА может быть определена из измерения амплитуды 1^1 к-й гармоники сигнала, если известны величины -qx и ту2. В методе Кнехта параметры ^j и ^2 определяются путем использования каждой катушки поочередно в качестве модуляционной и измерения амплитуды тока /0, при которой сигнал с другой катушки исчезает (нуль функции Бесселя). Если детектирование производится на частоте Wo? и величина Хо такова, что Jk(K0) = 0, то, как в формуле (3.37), '

П1 или Иг = ^QH2/2nFiQ . (П8.1)

Для простоты мы примем в последующих формулах к = 1 (для этого значения Хо = 3,83), но результаты можно обобщить для любого к.

Цель этого приложения — обсудить, какие поправки следует

ввести, если образец нельзя считать «малым», т. е. если величины

*ПХ и i?2 заметно изменяются в области, занятой образцом. Если мы обозначим через г)х(Р) и *п1(Р>) величины, относящиеся к некоторой точке Р образца, то из формулы (3.27) очевидно, что амплитуда сигнала напряжения sin wf в катушке 1 для тока /2 в катушке 2 рав

на

(П8.2)(П8.2)Г Г2лГ .,

(П8.2)

(П8.2)

Г1 =Г1 =-гЛюр/аР)^ -птПгкРУ! dT,

Г1 =

Г1 =

а если катушки поменять ролями, то она будет равна

Г ГЬР 1v2=-2Aio Пг^РУг -772-rii(P)ii dr,п

где dr — объем элемента образца, а интегрирование производится по всему образцу. Если напряжение Vj обращается в нуль при токе /02 в катушке 2, и образец не слишком велик, величина Jx должна быть мала по всему объему образца, так что ее значение в любой точке Р с достаточной точностью определяется формулой

Г1Г^*/2(Р)<О2Г1Г^*/2(Р)<О2dJ^dAdJ^dA. РлГ /пх.

Г1Г^*/2(Р)<О2

Г1Г^*/2(Р)<О2

dJ^dA

dJ^dA

I чтт^РУог -^о . (П8.4)

A = AoLH

и аналогичным образом при перемене катушек местами. Таким образом, напряжение t^ обращается в нуль, если

(П8.5)(П8.5)2лГГГ

(П8.5)

(П8.5)

^1'02 ^i(P)^2(F)dr = A0 >71(^)dT, лJ

и аналогично напряжение v2 обращается в нуль при токе z01 в катушке 1, когда

2лЕ ^Т-О!2лЕ ^Т-О!'МРЫПат = Ао гу2( Р) dr.'МРЫПат = Ао гу2( Р) dr.(П8.6)(П8.6)

2лЕ ^Т-О!

2лЕ ^Т-О!

'МРЫПат = Ао гу2( Р) dr.

'МРЫПат = Ао гу2( Р) dr.

(П8.6)

(П8.6)

При обычном использовании катушек мы измеряем напряжение и j для некоторого тока /2 и хотим получить абсолютную амплитуду А осцилляций дГвА из формулы (П8.2). Рассмотрим два случая: а) случай малой модуляции /2, для которого формула (П8.2) принимает вид

(П8.7)(П8.7)2яР Г

(П8.7)

(П8.7)

Di = -^р^А ^(Р^Р^т,

(П8.8)(П8.8)и б) случай модуляции /2, при которой достигается максимум функции Бесселя. В этом случае сравнительно небольшие изменения величины т/2 в объеме образца приведут только к эффектам второго порядка, и с достаточной точностью величину J^V^F/H ^^^P^iA можно заменить на Jx max, т. е.

(П8.8)

(П8.8)

Таким образом, калибровка достигается в случае «а», если известно значение I = jiji(P)42(P)dT, и в случае «б», если известно значение 1Х = bi(^)d7; мы будем также пользоваться обозначением /2 = j,2(P)dT.

Из формул (П8.5) и (П8.6) видно, что величины 1//01 и 1//02 определяют отношения ///2 и 1/1х соответственно, т. е.

К -(х°н1\ 1 _ 12 \2кЕ )i01/,К -(х°н1\ 1 _ 12 \2кЕ )i01/,ИИ4я2\2nF /4я2\2nF /1^011^01/к/к(П8.9)(П8.9)

К -(х°н1\ 1 _ 1

2 \2кЕ )i01/,

К -(х°н1\ 1 _ 1

2 \2кЕ )i01/,

И

И

4я2\2nF /

4я2\2nF /

1^01

1^01

/

к

/

к

(П8.9)

(П8.9)

Заметим, что если образец можно считать точкой, то К2 = 1/1х = = 1>2 и ^1 = 1Л2 = г,], так что уравнения (П8.9) принимают вид (П8.1).

Если 7?10 и ч2о— соответствующие средние значения величин ^(Р) и q2(^)> то можно записать

Ч1(Р) = Пю[1 + W)],t2(P) = t?20[l+W)]. (П8.10)

Если величины З^Р) и 82(Р) не превосходят, скажем, 0,1, что соответствует допустимым размерам образца, сравнимым с размерами наименьшей из двух катушек, мы покажем, что Iv 12и I задаются величинами Кх V, K2V и КХК2V с точностью, лучшей 1% (К — объем образца). Это те же самые величины, что и для «точечного» образца (для которого 3j(P) = 32(Р) = 0), так что процедура калибровки не нуждается ни в каких заметных поправках, хотя параметры т)х пл2 могут изменяться на 10% по объему образца. Положим

(П8.11)(П8.11)(П8.12)(П8.12)p1(P)dx = D1, p2(P)dt = D2

(П8.11)

(П8.11)

(П8.12)

(П8.12)

И>

p1(P)82(P)dT = D12 ,

тогда

Л = ^lot^ + DJ, 12 = П2о^П2) и

I = ПюПго^ 4- Di 4- D2 + ^12)-

Поскольку мы предполагаем, что З^Р) и 32(Р) < 0,1, то DJV <0.1, D2/V <0Л и Р12/И<0.01, а обычно знак < можно заменить на <.

Таким образом, с точностью, лучшей 1% (а обычно с гораздо большей), можно полагать,

^i = ^ ” ^ю^1 + у + у ylj у ’(П8.13)

т. е.

Z^KiK и аналогично I2 = K2V, 1 = К{К2У. (П8.14)

Это доказывает наше утверждение, что калибровка определяется измерением токов /01 и /02, так же как для точечного образца. Для конкретной геометрии всегда, разумеется, возможно оценить весьма малые поправки, связанные с величинами Z>12/K, D^/У2 и D^/V2. Причина того, почему сравнительно большой образец можно рассматривать как точечный, заключается, конечно, в том, что изменение связи между образцом и катушками вследствие конечных размеров образца влияет на процедуру калибровки и на величину сигнала практически одинаковым образом.

Приложение 9

Амплитуда магнитотермических

осцилляции

Мы будем рассматривать только основную составляющую осцилляций (т. е. р = 1) и запишем формулу (4.7) в виде

^Т\ = -гГ^—-\М0\.(П9.1)

litre

Зависимость теплоемкости с от температуры задается соотношением

с = аТ + ЬТ\(П9.2)

но обычно в используемой области температур оказывается существенным только член аТ, так что, подставляя величину z = = 1,47 х 105(T/H)(m/m0), из формулы (П9.1) получаем

|ДТ| = - 1,47 х 105 -■^ ^(П9.3)

2лга

Наибольшая величина Н\М0\ достигается при максимальном до- ступном_значении поля Н, скажем Но, и при этом значении амплитуда 1ДТ1 будет наибольшей при значении z, соответствующем максимуму I/' (z)l. Это значение z равно 1,6 (а максимальное значение I/' (z)l равно 0,3), и поэтому оптимальная рабочая температура задается равенством

То = L6H0 х 10"5/l,47(mH).(П9.4)

Таким образом, если Но ~ 105 Гс и m/m^ - 1,0 (как в случае типичной большой ПФ, например для благородного металла), то

Т0-1К.

Мы уже знаем (см. табл. П7.1), что в этих условиях 1Л/01 - 1 Гс, так что, подставляя F = 5 х 108 Гс и а = 103 эрг ■ см-3 • К-2 (для Си) в формулу (П9.3), мы получаем для типичной «большой» ПФ оценку порядка величины наибольшей достижимой амплитуды

На практике некоторые из наших предположений могут оказаться слишком оптимистичными (особенно если величина М ограничена магнитным взаимодействием), так что 10"4 К, вероятно, является более реалистичной оценкой амплитуды в практически осуществимых экспериментальных условиях.

Предположение о преимущественно электронном характере удельной теплоемкости нарушается в случае висмута, для которого вплоть до ~0,1 К доминирует решеточное слагаемое ЬТ3. Если мы опять выразим амплитуду IА Л как произведение только функции z и функции Н, то получим

I АТ| = -I АТ| = -2л2ку Иг> |М0|р ) litFbz1 Н ’2л2ку Иг> |М0|р ) litFbz1 Н ’(П9.6)(П9.6)

I АТ| = -

I АТ| = -

2л2ку Иг> |М0|р ) litFbz1 Н ’

2л2ку Иг> |М0|р ) litFbz1 Н ’

(П9.6)

(П9.6)

Поскольку функция I/' (z)/z2l неограниченно возрастает при уменьшении z, а величина 1М01/Я нечувствительна к полю Н в области своего максимального значения (порядка 10"5 для Bi), то выгодно понижать температуру и увеличивать поле насколько это возможно. Однако формула (П9.6) справедлива только до температуры Т * 0,1 К, ниже которой становится существенным малый электронный член а Т в величине теплоемкости с, а поле Н не может превышать ~ 5 х 103 Гс из-за близости квантового предела, так что наименьшее значение z приблизительно равно 0,03 (полагая m/mQ = 10"2). Соответствующее значение \J' (z)/z2l составляет около 10. Если мы теперь подставим величины b = 9 х 102 эрг х х см"3 • К"4, Г = 1,4 х 104 Гс и (2тгЧ/0) = 1,5 х 103, то получим для Т = 0,1 К и Н = 5 х 103 Гс

|АТ| - 4 х 10"3 К .(П9.7)

При более удобной рабочей температуре 1 К величина IATI будет в десять раз меньше.

Теперь мы приблизительно оценим возможности магнитотермических осцилляций (по сравнению с эффектом дГвА) как метода обнаружения очень слабых осцилляций величины М. Будем предполагать, что осцилляции ослаблены из-за фактора Дингла, но величины Н и Т выбраны оптимальным образом для получения наибольшей амплитуды Т. Минимальные обнаружимые величины амплитуд связаны соотношением (П9.1), т. е.

|M|min =|M|min =^FcJ^^FcJ^|AT|mil|AT|mil(П9.8)(П9.8)

|M|min =

|M|min =

^FcJ^

^FcJ^

|AT|mil

|AT|mil

(П9.8)

(П9.8)

Если (возможно, несколько оптимистично) положить (A7)min ~ - 10“8 К, то для типичного металла с большой ПФ имеем F = = 5 х 108 Гс, т/т0 = 1, Т = 1 К, Я = 105 Гс, с ~ 103 эрг х х см-3 • К-1 иг = 1,6, и мы получаем

|M|min-4x 10~6Гс,

в то время как минимальная обнаружимая величина \М\ при {использовании дГвА-методов может быть значительно меньше (сжа- жем, 10"9 Гс). Понижение поля Н и/или повышение температуры Т приведут к дальнейшему увеличению этого разрыва.

В случае Bi метод магнитотермических осцилляций несколь ко более конкурентоспособен. Полагая F = 1,4 х 104 Гс, m/mQ = = 10"2, Т = 0,1 К, Н = 5 х 10 3 Гс ис - 2 эрг • см"3 • К"1, шо- лучаем

|M|min-2x 10~7 Гс ,

что все же значительно хуже чувствительности, которая мож^ет быть получена с помощью эффекта дГвА. При более удобной теем- пературе Г = 1 К величина с ~ 103 эрг • см-3 • К-1 и мы по л умаем IAflmin ~ 10"6Гс.

Приложение 1U

Осцилляции скорости звука

Как показано в учебниках (см., например, [351]), скорость звука v в твердом теле с плотностью р для произвольного направления распространения, имеющего направляющие косинусы (Пр л2, л3), определяется уравнением (кубическим по v2)

(zH-pu2)>12>13

>12(>22-0^)>23

= 0,

(П10.1)

>13>23(>33 ~ Ру2)

(П10.2)(П10.2)где

(П10.2)

(П10.2)

^чт ^iklm^k^l

Отношения направляющих косинусов вектора смещения задаются (для каждого значения ри2) уравнениями

а1(Яц - рг2) + «2212 + «3213 = 0 ,

аМ12 + $2(^22 ~ Р^2) + «3Х2З = 0 >(П10.3)

«1213 + а2223 + а3(233 - ри2) = 0 ,

и можно показать, что хотя гри возможных вектора смещения взаимно перпендикулярны, они, вообще говоря, не являются либо параллельными, либо перпендикулярными к направлению распространения («р л2, л3). Таким образом, для произвольного направления распространения три возможные моды не являются ни продольными, ни поперечными. Однако для таких особых направлений распространения, как направления высокой симметрии, одно из трех решений совпадает с (пх, п2, п3), так что становятся возможными точно продольные или поперечные волны (подробное обсуждение см. в работе [55]). Поскольку для получения производных по деформации обычно достаточно изучать распространение волн только вдоль таких особых направлений, мы ограничимся рассмотрением сторого продольных и поперечных волн.

Для этого частного случая существует возможность следовать более коротким путем для получения скоростей звука. Она состоит в выборе в качестве координатных осей 1, 2, 3 направления распространения звука и двух направлений поперечных смещений, а не кристаллических осей, которые обычно используются. При этом скорости распространения трех типов колебаний задаются соотношениями

(П10.4)(П10.4)Р^ = ^s)РУ2 = ^б)Р^ = ^s)РУ2 = ^б)(поперечные),(поперечные),pv2 = с 11 (продольные)

(П10.4)

(П10.4)

Р^ = ^s)

РУ2 = ^б)

Р^ = ^s)

РУ2 = ^б)

(поперечные),

(поперечные),

где величины с'аЬ относятся к выбранным нами осям. Теперь остается лишь выразить с'аЬ через обычные коэффициенты саЬ, относящиеся к кристаллическим осям. Это легко можно сделать стандартным умножением матриц. Если направляющие косинусы направления распространения и двух направлений поперечного смещения равны (л}, п^. п\), (л^, л^, л^) и (л^, п^ п^) соответственно, то мы имеем

C\jkl = ^^WVpqrs (П10.5)

(заметьте, что мы должны использовать обозначения с четырьмя индексами для тензора с, чтобы выполнялось правило суммирования по повторяющимся индексам).

Поскольку особые направления, которые мы рассматриваем, обычно обладают высокой симметрией, то соотношение (П10.5) на практике значительно упрощается. Так, для кубической симметрии при распространении вдоль [100] с поперечными колебаниями вдоль [010] и [001] мы получаем очевидный результат

<1=<’1Н ^55=^55 И Сб6=^66. (П10.6)

Для распространения вдоль [ПО] и поперечных колебаний вдоль [Т10] и [ПО] (заметьте, что направляющие косинусы в V2 раз меньше этих индексов) получаем

(П10.7)(П10.7)си - 4(^11 + с22 + 2П2 + 4ci6 4- 4с26 + 4с66)

(П10.7)

(П10.7)

^5 5 — 1(С55 + С44 + 2с45)

^66 — 4(С1 ! 4* С22 — 2С1 2)

л\.пш vol 1 в равпы n^jirv, и Mvuiav 1 ил раэлтпи мил\ду мидуллми Сц ис22 и между с44, с55 и сбб, которые должны быть одинаковы. Этол\.пш vol 1 в равпы n^jirv, и Mvuiav 1 ил раэлтпи мил\ду мидуллми Сц ис22 и между с44, с55 и сбб, которые должны быть одинаковы. ЭтоМожно заметить, что, хотя рассматривается кубический кристалл, в формуле присутствуют модули типа с1б, с2б, с45, которые должны быть равны нулю, и делается различие между модулями сн и

л\.пш vol 1 в равпы n^jirv, и Mvuiav 1 ил раэлтпи мил\ду мидуллми Сц ис22 и между с44, с55 и сбб, которые должны быть одинаковы. Это

л\.пш vol 1 в равпы n^jirv, и Mvuiav 1 ил раэлтпи мил\ду мидуллми Сц ис22 и между с44, с55 и сбб, которые должны быть одинаковы. Это

довольно тонкий момент: коэффициенты следует записывать так потому, что точная кубическая симметрия кристалла уничтожается присутствием магнитного поля в произвольном направлении0. Обычно равные нулю модули и разности между обычно совпадающими модулями представляют собой осцилляторные компоненты, которые весьма малы по сравнению с основными величинами (с отличными от нуля модулями). Таким образом, если мы используем наше обычное обозначение с для осцилляторных компонент, равенства (П10.6) и (П10.7) можно записать в более наглядном виде

Си = Си + Си, С55 = с44 + с55, С'66 = с44 + с66(П10.8)

Си =1(^11 + С12 + 2^44) + №1 + ^22

+ 2с12 + 4с1б + 4с26 + 4сбб),

(П10.9)

С55 — с44 + 2(с55 + С44 + 2с45) ,

4б = 1(^11 - ^12) + 4(^11 4- с22 - 2с12), J

Для полноты мы приведем также решение для распространения вдоль [111] с векторами продольного смещения вдоль [111] и поперечного вдоль [011] и [211]. После некоторой утомительной перенуме-

1} Как может показаться на первый взгляд, отсутствие кубической симметрии делает некорректным наш подход, поскольку волны, распространявшиеся вдоль направлений высокой симметрии в отсутствие поля, теперь уже не будут строго продольными или поперечными. Однако поскольку искажения кубической симметрии очень малы (~ 10“ 4), то векторы смещений отклоняются от направлений симметрии на достаточно малые углы (~ 10"4 рад), которыми можно пренебречь. Строгий подход с помощью определителей приводит к сложному кубическому уравнению, которое, однако, дает те же результаты, что и наш простой подход, если решать это уравнение, рассматривая малые осцилляторные части модулей как возмущения решения в отсутствие поля.

рации членов получаем

= 4(сц + 2с12 + 4с44) + |[(си + с22 4- с33)'

+ 2(с12 + с23 + с31) 4- 4(с44 + с55 + с66)

+ 4(с14 + сх5 + с16 + с24 + с25 + с26 +€34

+ ^35 + ^Зб) + 8(с45 + с56 + с64)]

С55 ~ 1(С11 — С12 + С44) + |[(2£ц + 2^22 + 2^33^>

+ (^23 “ 2с12 — 2с13) + (2с44 + |с55 + |сбб)

+ (2с15 + 2с16 — 4с14 + 2с24 — с25 — с26

+ 2с34 — с35 — с36) 4- (с5б — 2с45 — 2с46)]

С66 = з(С11 — С12 + С44) + |[(^22 + ^33 ~ 2^23 + ^55 + С56) + 2( —С25 + С26 + С35 — С36 — С56)]

(П10.10)

Главные члены в формулах (П10.8)—(П10.10) дают правильные выражения для скоростей продольного и поперечного звука при Н = 0, как, разумеется, и должно быть. Следует отметить, что постоянные части модулей с'55 и с^ для распространения вдоль [111] равны друг другу, отражая тот факт, что в плоскости, перпендикулярной [111], возможен любой вектор смещения и что скорость поперечного звука не зависит от направления, нормального к [111]. Однако осцилляторные части, вообще говоря, зависят от направления поперечного смещения, нормального к [111]; так, например, они различаются для смещений вдоль [01Т] и [211]. Поучительно проверить, что для особого случая направления поля вдоль [111], когда оси 1, 2, 3 эквивалентны, осцилляторные части также идентичны для обоих рассматриваемых направлений поперечного смещения.

Приложение 11

Ослабление гигантских квантовых осцилляций вследствие рассеяния электронов

Как обсуждалось в п.2.3.7.2, при наличии рассеяния электронов с временем релаксации т уровни Ландау уширяются и вероятность нахождения уровня энергии в интервале от с до £ + de равна

к (е — Er)Z + (h/2t)z

Таким образом, значение поля, при котором r-я трубка Ландау пересекает поверхность Ферми при к = к0 (где к0 задается формулой (4.51) и обычно пренебрежимо мала), размывается так же, как в случае эффекта дГвА (когда, разумеется, величина к0 точно равна нулю). Тогда можно применить те же рассуждения, что и в п.2.3.7.2, и они приводят к размытию фазы, которое описывается функцией D2(z), определяемой формулами (4.55) и (4.56).

Однако из-за уширения уровней Ландау условие сохранения энергии (4.46) должно быть переписано в виде

е(я, к) + ha) = г\а, к + q) + А ,(П11.2)

где А — дополнительная энергия в пределах уширения уровня. С учетом этой поправки получаем

к = к0 4- 2Km^/(h2qA"^ .(П11.3)

Отношение дополнительного слагаемого к величине к0 равно A/hqs, и оно обычно существенно. Так, если принять А ~ h/т как характеристику уширения, то отношение будет порядка 1/ыт, и даже для достаточно чистых металлов с временем т ~ 10~10 с мы получаем для типичного значения ы, скажем 2тг X 108 с"1, что это отношение больше 10. Для простоты^ мы просто пренебрежем малым слагаемым к0 в последующем рассмотрении. Заметим также,

!) Как указал Свирский [427], это пренебрежение не всегда оправданно. В частности, для особо чистого металла, для которого шт > 1, величина к0 становится несколько более существенной.

что дополнительный член может составлять заметную часть размера поверхности Ферми. Так, для сферической ПФ имеем

K/kv ~ m^/h2qkf. - mi/hqkF = \/ql ,(П11.4)

где / — средняя длина свободного пробега электродов, которая для сравнительно чистого металла может быть равна 10“2 см. Таким образом, при ^ ~ 2 х 103 см-1 отношение к/к¥ ~ /20. Для менее чистого металла это отношение вполне может достигать единицы, и некоторые из приводимых ниже результатов, полученных в предположении ql > 1, могут потерять справедливость в количественном отношении.

Поскольку величины энергии Д распределены в интервале порядка й/т, существует соответствующее распределение для фазы, при которой происходит поглощение фонона. Изменение фазы ф, соответствующее поглощению при значении к, отличном от нуля, а не при к = 0 (т. е. на экстремальном сечении), определяется соотношением

Ф = М1Ак’(ГШ15)

и, подставляя сюда выражение (П11.3) (опуская к0), получаем

(n,L6)

Функция распределения величины Д подобна функции распределения с (но не совпадает с ней, поскольку она включает свертку двух распределений по с) [пределы области распределения Д определяются формулой (П11Л)]. Легко видеть, что вероятность найти значение Д в интервале от Д до Д + dA задается соотношением

P'(A)dA = dA Р(с)Р(с + A) de ?(П11.7)

где функция Р(е) определяется формулой (ПИЛ). Можно показать, что после некоторых преобразований формула (П11.7) сводится к

(ПИ.8)(ПИ.8)P'(A)dA = (h/т) dA/л [А2 + (h/т)2],

(ПИ.8)

(ПИ.8)

т. е. мы опять получаем распределение Лоренца, но характерная ширина его в 2 раза больше, чем для первоначального распределения Лоренца. Если преобразовать функцию распределения Д в

(П11.9)(ПИЛО)(П11.9)(ПИЛО)функцию распределения фазы ф, то получим

(П11.9)

(ПИЛО)

(П11.9)

(ПИЛО)

л (ф/Я)1/2(1 + ф/z)

где

: 2л кт

Поскольку величина ф/Х должна быть положительна, фаза ф должна Иметь тот же знак, что и А ” , т. е. для выпуклой ПФ с отрицательной А" возможны лишь отрицательные значения ф, а если А" положительна, то возможны только положительные значения ф. Функция распределения совершенно асимметрична, как показано на рис. 4.7, в. Функция D соответствует D4 из формулы (4.58), а X соответствует Х4 из формулы (4.59). Следует отметить, что функция О(ф/\) нормирована так, что

(П11.11)(П11.11)W)W = 1,

(П11.11)

(П11.11)

О

поскольку фаза ф может только монотонно удаляться от нуля (к — оо или к + оо).

Для вычисления р-й гармоники в разложении Фурье гигантских квантовых осцилляций нам нужно знать фурье-образ /(р 1X1) функции P(z); тогда соответствующий понижающий множитель для амплитуды равен 1/{р1Х1//(О)1; возникает также фазовый сдвиг, равный фазе комплексной величины /(pIXI)//^). Полагая у2 = = ф/рХ и опуская в дальнейшем для удобства знак модуля у величины X, получаем

(П11.12)(П11.12)ЛрА)//(О) = -Ге-1'’^ау/(1 + /), Л Jo

(П11.12)

(П11.12)

и это выражение преобразуется к виду1)

/(рЯ)//(О) = [(1 - С - 5)со8рЯ + (С - S)sin рЯ]

— iC(C — S)cosрЯ — (1 -С-5)8шрЯ], (П11.13)

Я благодарен проф. Т. Цудзуки из университета Кюсю, который показал мне, как вычислить этот интеграл. Знак «-» в показателе нужен для вогнутой поверхности Ферми, поскольку все фазы ф отрицательны. Если величина Л" положительна, то знак изменяется на «+» и тем самым изменяется знак у сдвига фазы тг/4.

где С и S — интегралы Френеля для аргумента

г = (2рЯ/л)1/2,

т. е. [как в формуле (П5.3)]

С(г) = I cosy ли2 du,S(r) =sin { пи2 du.(П11.14)

JoJo

Если тгХ < 1, то мы получаем

Кд = |/(рЯ)//(0)| = 1 - (2рЯ/л)1/2 + рЯ/л ... .(П11.15)

В противоположном предельном случае X > 2тг величины С и S определяются приближенными равенствами

С(г) = ~ + — $т|лг2,

2 лг

(П11.16)

5(г) = cos + лг2, 2 лг

и формула (П 11.12) принимает вид

/(рЛ)//(О) =1(1 - i) = fl- - * ) .

Таким образом,

Кд = 1/(рЛ)//(0)| = 1/(ярх)*/2 ,(П11.17)

и фаза р^ гармоники заменяется на (рхр — тг/4).

Эти результаты можно получить гораздо более прямым способом путем непосредственного интегрирования выражения ei(^ + ф) по к, причем элементы йк имеют вес, соответствующий нормированному распределению вероятности. Тогда смысл приближения X > 1 заключается в том, что лоренциан становится постоянной величиной на всей части интервала интегрирования, для которой подынтегральное выражение сохраняет заметную величину. Приближение (П 11.17) также непосредственно следует из формулы (П11.12), поскольку если X > 2тг, то величиной у1 в знаменателе можно пренебречь во всей существенной области, и немедленно получается формула (П11.17).

Приложение 1Z Потенциальная энергия системы полосок с переменным знаком заряда

Проф. сэр Б. Пиппард, которому автор весьма признателен, предложил следующий элегантный вывод формулы (6.54). Задача состоит в том, чтобы вычислить потенциальную энергию, приходящуюся на единицу площади плоской системы из бесконечно длинных полосок, каждая из которых имеет ширину (/2)^, а плотность магнитных полюсов попеременно принимает значения Л/о и -Л/о. Если х есть координата поперек полосок, то распределение плотности магнитных полюсов a(x) можно представить рядом Фурье

4М0 -1к и = о 2и -н 14М0 -1к и = о 2и -н 1. 2п(2п 4- 1 ).х sin-. 2п(2п 4- 1 ).х sin-XX(П12.1)(П12.1)

4М0 -1

к и = о 2и -н 1

4М0 -1

к и = о 2и -н 1

. 2п(2п 4- 1 ).х sin-

. 2п(2п 4- 1 ).х sin-

X

X

(П12.1)

(П12.1)

Для полюсов, распределенных по закону

<т(х) = A sin qx , потенциал на расстоянии z от плоскости равен

(П12.2)(П12.2)VU, z) = re + y2sin qx

(П12.2)

(П12.2)

соответственно тому, положительно или отрицательно значение z. Коэффициент v надо выбирать таким, чтобы скачок z-компоненты напряженности поля, т. е. — dV/dz, при переходе через плоскость z = О был равен AirAsmqx. Отсюда находим

(П12.3)(П12.3)(П12.4)(П12.4)г = IjiA/q ,

(П12.3)

(П12.3)

(П12.4)

(П12.4)

АМ^Х ™1. 2л(2м 4- 1)х

И(х,0)И(х,0)хsin

И(х,0)

И(х,0)

л п^о(2л 4 I)2X

Потенциальная энергия U, приходящаяся на единицу площади, равна

U =U =т 1 ГL^ IL Joт 1 ГL^ IL JoH^OMxidx .H^OMxidx .(П12.5)(П12.5)

U =

U =

т 1 Г

L^ IL Jo

т 1 Г

L^ IL Jo

H^OMxidx .

H^OMxidx .

(П12.5)

(П12.5)

Члены, представляющие собой произведения составляющих с различными п и возникающие при перемножении рядов (П12.1) и

(П12.4), исчезают при интегрировании, в результате чего получаем

it ^^n2L

Л fL d.x . 22я(2п + 1)х л = о Jo (2и + I)3 X

Ш^Х_ '1

тг2 Ло(2п + I)3 ‘

(П12.6)

Поскольку

£l/(2n + I)3 = 1.0517 ,

то, учитывая, что энергия, приходящаяся на единицу объема, согласно определению, данному в п. 6.4.2.1, равна Д2 = 1U/Z (поскольку толщина пластины равна Z, и у нее имеются две стороны, с каждой из которых связана энергия 17), найдем

Д2 = 0.8525 М^ X(Z .

(П12.7)

Это точно совпадает с результатам Киттеля [237], полученным несколько иным способом. Подставив Мо = 1/(4^), придем к формуле (6.54).

Приложение 1J

Техника модуляции поля, используемая в случае, когда одновременно имеются осцилляции высокой и низкой частот

Покажем, что на степень модуляции высокочастотных осцилляций низкочастотными можно влиять, используя модуляцию большой амплитуды. Ниже мы увидим, что использование модуляции с амплитудой, при которой исчезает составляющая выходного сигнала для высокочастотных осцилляций (достигается нуль функции Бесселя), позволяет измерить степень частотной модуляции ВЧ- осцилляций из-за присутствия НЧ-осцилляций.

Начнем с того, что в уравнении (6.87) учтем зависящее от времени поле A0coswt, что приводит к выражению

4лМ = A\sin k(h 4- h0 cos cot)

4- ^A'(k 4- k) sin(k 4- k'^h 4- h0 cos cot)

- ^A\k - k) sin(k - k'^h 4- h0 cos cot)}.(П13.1)

Разложив синус по гармоникам ш1, найдем амплитуду ип гармоники с номером л сигнала приемной катушки. Значение ип, пропорциональное dMn/dt э при нечетных п дается выражением

г„ = С (Jn(z) cos kh + |Л'к(1 4- a) J„[(l 4- a)z] cos(k 4- k)h -$A'k(l — a)Jn[(l — a)z] cos(k - k)h},

(П13.2) где C — константа пропорциональности, которая для нас в данном случае не представляет интереса, а

a = к !кz = kh0 .(П13.3)

При четных л все косинусы в скобках следует заменить на синусы.

При А' к < 1 максимумы и минимумы ип по отношению к Н лежат очень близко от значений кН = 2г тг и (2г 4- 1)тг соответственно, где г — целое число. Поэтому при произвольной фазе НЧ- осцилляций имеем

knl = C{J„(z) + ^A'kcosk'h^l + a)J„[(l + a)z]

-(1-a)J„[(l-a)z]}.(П13.4)

Легко показать, что такой же результат справедлив для четных п. Поскольку а < 1, то можно предположить, что и az < 1, даже если само значение z достаточно велико, чтобы сделать /„(z) малой величиной. При этом имеем

ЛГИ ± Ф] = J„(z) ± azj;^ ,

и (П13.4) упрощается:

| vn| = С^Ш + А'кЪШ + z j;(z)] cos к'й}.(П13.5)

Если z < 1, то z^i (z) = ^(z) = 0/2)2, и для значения IVj I, которое пропорционально ДМ/ЛН, найдем

1^11 = |Cz{l + 2А'к' cos k'h},

т. е. то же, что дает формула (6.91), а именно глубина амплитудной модуляции та мала и для ДМ/АН составляет лишь 2А* к* .

Если же z достигает значения z0, при котором Jn^ = 0 (для п = 1 имеем z0 = 3,83), то член U^te) становится много больше, чем Jn^ (отметим также, что они имеют разный знак), и амплитудная модуляция может стать значительной даже при малой величине А 'к' . Если значение z очень близко к z0, то знак в правой части (П13.5) может измениться на цикле НЧ-осцилляций, так что фаза сигнала меняется на тг.

Для некоторого заданного значения k'h амплитуда l^^l становится нулевой при значении z, слегка отличающемся от z0, и удобно рассматривать малое смещение положения нуля функции Бесселя. Поскольку это смещение мало, можно считать, что

ЛОО = (z - z0) J'n^

при значении z, при котором 1^„(2)1 = 0, и с хорошей точностью это значение можно определить из условия

z — z0

= — А'к' cosk'h = —mycosk'h(П13.6) zo

Таким образом, относительное смещение нуля служит мерой частотной модуляции ВЧ-осцилляций, обусловленной НЧ- осцилляциями, как мы и предполагали в тексте. Легко показать, что это утверждение остается справедливым с неплохой точностью даже в рамках более общего подхода, которому соответствует формула (6.97), описывающая боковые составляющие произвольной

1212ааамплитуды. В этом случае множитель A'k' cosк'к в (П13.5) заменяется на

1

2

1

2

а

а

Л(г) + 1[(р + <?) + а(р - q)lzJ'n(z)

(П13.7)

и смещение нулей функции Бесселя с хорошим приближением определяется формулой

- "1+1_аА'к' cos k'h- "1+1_аА'к' cos k'hz - zo _ -1UP + tf) + а(р — ^НЛ'/с' cos /с'Аz - zo _ -1UP + tf) + а(р — ^НЛ'/с' cos /с'А(П13.8)(П13.8)

- "1+1

_а

А'к' cos k'h

- "1+1

_а

А'к' cos k'h

z - zo _ -1UP + tf) + а(р — ^НЛ'/с' cos /с'А

z - zo _ -1UP + tf) + а(р — ^НЛ'/с' cos /с'А

(П13.8)

(П13.8)

Только тогда, когда знаменатель этого выражения мало отличается от 1, оно с хорошей точностью приводит к тому же результату для значения -mjcosk' к, что и формула (6.99). Однако при выводе как (6.99), так и (П13.8) было использовано много соотношений, верных лишь приближенно, и, по-видимому, нет особых оснований ожидать, что знаменатель в (П13.8) сильно отличается от 1 при тех условиях, при которых справедливы эти приближения.

Приложение 14

Проводимость двумерной сети

Орбиты треугольной формы в точках, подобных точке О' на рис. П14.1 (эти орбиты показаны в большем масштабе на рис. П14.2), будем рассматривать в качестве переключателей с пренебрежимо малыми размерами и проведем вычисления в три этапа: 1) рассчитаем вероятность переключения для электрона, подошедшего к треугольному электронному переключателю; 2) определим координаты точки, в которую попадет электрон, начавший движение в произвольной точке Р, и тем самым определим средний вектор смещения электрона L; 3) вычислим тензор проводимости, используя уравнение (7.32).

П14.1. Вероятность переключений

Как и при рассмотрении одномерной сети, мы можем провести вычисления либо а) для ситуации, когда имеется полная когерентность, либо б) когда когерентность полностью отсутствует, т. е. когда фактически происходит усреднение по фазам результата «а».

когерентный случай

На рис. П14.2, а указаны комплексные амплитуды электронной волны в точках U, V, W. Амплитуда исходной Падающей волны в

Рис. П14.1. Участок гексагональной сети орбит в реальном пространстве, на которой треугольные участки, получающиеся при пересечении орбит, показаны как точечные переключатели О', Ov О2 и т.п.

Рис. П14.2. Схема переключателей в увеличенном масштабе для сети орбит по рис. П14.1. а — при движении электрона в пределах переключателя полностью сохраняется когерентность; а, и и т.п. — комплексные амплитуды электронной волны около узлов U, К, W. Падающая волна может либо пройти через них, либо испытать на них брэгговское отражение, б — движение совершенно некогерентно; символы 1, а, 0, 7, Л, В, С означают потоки частиц.

точке U равна 1. Поскольку нас интересуют только значения I а 12, Idl2 и lei2, то нет необходимости вводить в явном виде изменение фазы 9 при переходе с одной окружности на другую, если принять, что изменение фазы при прохождении каждой дуги равно (14 W, где есть фаза в эффекте де Гааза — ван Альфена, равная 2ir F/H для треугольной орбиты, а не полному значению С/зМ + 0 [ср. с подобным рассмотрением при выводе (7.38)]. Если теперь поступить аналогично тому, как это делалось при выводе формулы (7.38), то

получим

(П14.1)(П14.1)а = q 4- ipvve1^3' и = qwe^^3 4- ip b = 1рие'ф!3

(П14.1)

(П14.1)

v = que'^3 с = ipre1^3

w = gre*^3 ,

Отсюда, учитывая, что p2 = P, q2 = Q, P 4- Q = 1, найдем

A - H2 = Q(1 - 2Q1/2cosi// + 0/(1 - 2Q3/2cosi// + 63) = 1 -B(l +Q)

В = \b\2 = P2/(l — 2Q3/2cosi// 4- Q3)

(П14.2)(П14.2)C = |c|2 = P2Q/U - 2Q3/2cosi// + g3) = QB

(П14.2)

(П14.2)

(отметим, что A 4- В 4- С = 1, как и должно быть).

некогерентный случай

Обозначения на рис. П14.2, б в этом случае указывают потоки частиц и требование сохранения числа частиц приводит к равенствам

А = Q + Ру а = Qy + Р

В = РаР = Qa(П14.3)

С = Рр7 = QP

Отсюда вытекает, что

л = е(1 + 20/(1 + е + е2) = 1 - fid + 0

B = P/^+Q + Q2)(П14.4)

С = PQ/Ц + Q + Q2) = QB.

Этот же результат можно получить, усреднив уравнения (П14.2) по *ф и воспользовавшись формулой

Рл

— I dx/(l + acosx) = (1 — а2)"1/2(П14.5)

Заметим, что, как и при рассмотрении интерферометра Фабри—Перо, уравнения как (П14.2), так и (П14.4) можно получить, проследив за возможностью многократного прохождения электрона по треугольной орбите и просуммировав соответствующие бесконечные ряды. Например, для некогерентного случая при таком подходе получим а = Р + PQ3 4- PQ6 4- ... = Р/(1 - Q3), и, следовательно, приведенное выше значение В, и аналогично можно вычислить пары значений 3 и С, 7 и А .

П14.2. Конечная точка пути электрона

Как и ранее, будем использовать комплексные обозначения координат точек сети. Так, точку (х, у) обозначим z = х 4- iy. Электрон, находящийся на дуге в точке Р (см. рис. П14.1), должен подойти к переключателю в О' и затем, двигаясь по сети, попасть в некоторую конечную точку Z относительно центра О" или Z 4- г относительно О' . Пройдя переключатель О' , он попадет в точки Рх, Р2 или Р3 с вероятностями А, В и С, которые вычислены выше. Для электрона, находящегося на той же дуге, на которой расположена точка Р1, конечной точкой движения, очевидно, будет точка Z, расположенная относительно центра О' с осями координат, повернутыми на 60° по часовой стрелке, так что эта точка в прежней

системе координат с центром в О' будет просто Ze-X1tn. Аналогично для электрона на дуге, содержащей точку Р2, конечная точка в той же системе координат есть Zel7r/3. Для дуги, содержащей точку Р3, получим соответственно — Z. Поэтому, учитывая относительные вероятности событий, получаем

Z + г = AZe"w + BZeiK/3 - CZ

ИЛИ „■(П14.6)

Z = — г/(1 - Ле"'”-3 - веп/3 + С).

П14.3. Расчет проводимости

Если теперь определить конечные точки движения электронов, начавших движение с дуг, содержащих точки Pv, Р\ , Р^ , относительно начала координат О, то эффективное смещение L, которое надо подставить в формулу (7.32), получится путем вычитания из соответствующих величин значения гехф, где ф определяет точку начала движения. Итак,

ЦР^ = Ze~in/3 4- г - гёф '

(П14.7)(П14.7)ЦР^ = Z + ге*л/3 - гёф

(П14.7)

(П14.7)

ЦР'') = Zein/3 + ге2‘л/3 - гёф

Конечные точки для дуг, лежащих ниже точки О, отличаются лишь знаком от соответствующих точек для противоположных верхних дуг, так что вклад в интеграл в (7.32) от нижних полуокружностей равен вкладу от верхних. При вычислении (7.32) нет необходимости следить за членом Е , поскольку при поле Я, направленном вдоль гексагональной оси, тензор проводимости должен обладать симметрией шестого порядка. Вследствие этого Jx+ 4- Uy имеет вид (а 4- i/3)^ 4- (ia - 0^Еу или (а 4- iL0yEx 4- УЕу\ Если определить комплексный коэффициент при Ех, то он будет и коэффициентом при Е = Ех 4- *\Еу. Итак, в (7.32) Ех можно заменить на Е, тогда найдем

2 пес~.7ие2 пес~.7ие(Ze'i7t/3(Ze'i7t/34- г) sin фАф4- г) sin фАф

2 пес

~.7ие

2 пес

~.7ие

(Ze'i7t/3

(Ze'i7t/3

4- г) sin фАф

4- г) sin фАф

4- re217r/3)sin фАф4- re217r/3)sin фАф

4- re217r/3)sin фАф

4- re217r/3)sin фАф

Г2п/3Си

(Z 4- ге,л/3) sin ф Аф 4- (Zei7r/3к;3J 2я/3

r(cos ф 4- i sin ф) sin ф Аф

ЧТО сводится к

,3 пес Г (Z .1л)

J = ---[rE\- - + е ' +т ■(П14.8)

л Н { \г

Если теперь воспользоваться формулой (П14.6) и соотношениями С = QB, Л = 1 - В(1 + Q), которые справедливы независимо от выполнения условий когерентности, то формулу (П14.8) можно преобразовать к виду

, Зпес Г Г . .,е”,л/3 "J ini

1+ т} • <n,4S”

Это выражение эквивалентно полученному Пиппардом [343] или Фаликовым и др. [142] [см. их формулу (3.4)], если принять в расчет противоположный выбор системы координат у Пиппарда (так что электроны вращаются в направлении, противоположном тому, которое принято у Фаликова и др. и в нашем случае).

Чтобы сравнить результаты с реальной ситуацией для Zn и Mg, формулу (П14.9) необходимо несколько модифицировать. Во- первых, следует учесть вклад от электронных орбит, проходящих по внутреннему пояску «монстра». В слабых полях (// < //0) эти электроны вместе с электронами на орбитах вокруг «игл» или «сигар» точно компенсируют вклад от дырок на гексагональных орбитах. Поперечная проводимость ан должна в этом случае изменяться как а/Н2 (если поле Н достаточно велико, так что шст > 1), а холловская проводимость а21 должна стремиться к нулю. Чтобы удовлетворить требованиям, накладываемым этими соображениями, необходимо в (П14.9) добавить а/Н 2 (а — действительная величина) к коэффициенту при Е и заменить член i?r/3 на iV3. Другое важное обстоятельство, которое необходимо учесть, связано с тем, что поверхность Ферми в действительности не является цилиндром, как это до сих пор неявно предполагалось. Так можно было считать потому, что идеализированная двумерная картина справедлива лишь в очень узком диапазоне значений кн, которые значительно меньше полного размера «иглы» или «сигары». Чтобы учесть это обстоятельство, следует провести интегрирование по кн с учетом зависимости вероятности В от импульса вдоль поля. Однако вполне разумной аппроксимацией является замена множителя Зпес/л эмпирическим коэффициентом Ь. И наконец, необходимо принять во внимание конечное значение времени т; его роль качественно рассмотрена в тексте книги.

С учетом этих изменений выражение (П14.9) принимает вид

_ _ Г а b\н HLl-iy/3B(Q + e^3)_ _ Г а b\н HLl-iy/3B(Q + e^3)11(П14.10)(П14.10)

_ _ Г а b

\н HLl-iy/3B(Q + e^3)

_ _ Г а b

\н HLl-iy/3B(Q + e^3)

1

1

(П14.10)

(П14.10)

Если для В использовать формулу, верную для некогерентного случая, то после ряда вычислений найдем тензор проводимости

_ЬУ a 3Q(1 - 6)

(П14.11)(П14.11)!2 н\_ЬН 1-2Q + 4Q2

(П14.11)

(П14.11)

= узь (1 - 02

°12 Н 1 - 2g + 4Q2

При Q — 0 (т. е. при Н/Н^ > 1) или при Р — 0 (т. е. при Н/Но < < 1) из этих формул получим следующие предельные зависимости (оставляя только линейные члены по Q и Р соответственно, за исключением тех случаев, когда основную роль играют квадратичные члены):

'a 3Qb

Q 0: ап _ а22 _ —

<^21 = -<^12

(П14.12)

_а РЬ

Р^О: <7И =<т22 =-^ + —,

_УЗР2Ь

<72*<Т12-3 н •

В «когерентном» случае не удается получить для В наглядного выражения и проще всего, подставив значения Q и непосредственно в формулу (П14.10), провести численный расчет. Ситуация усложняется тем, что осцилляции, происходящие при изменении ^, имеют существенно не синусоидальную форму, и поэтому неверно считать, что значениям тД = 0 и тД = тг соответствуют экстремумы осцилляций. Однако если учесть затухание осцилляций (обусловленное интегрированием по кн, температурой и другими эффектами, приводящими к размытию фазы), то их амплитуда значительно уменьшается и высшие гармоники сильно подавляются. Обсуждение формы осцилляций было дано в тексте.

Если усреднить по ^ формулу для а в когерентном случае [проще всего это сделать, исходя непосредственно из формулы

(П14.10), в которой выражение в скобках записать в виде а 44- 0/(1 4- tzcosi^) и использовать равенство (П14.5)], то получим

^/Зе-w P2(Q + еН7Г/3))

х [ГП^У^УЙсГТс^^ 2iV3P2(l + Q^Q + е"‘”/3)]1/2у

(П14.13)

По этой формуле зависимость средней проводимости а от Q (т. е. фактически от поля Н) можно рассчитать численно. Нетрудно провести расчет для предельных случаев Q — 0 и Р — 0. При Q — 0 получим точно тот же результат, что и (П14.12). Однако при Р -* — 0 мы придем к результату, хотя и похожему на (П14.12), однако заметно отличающемуся в деталях:

(П14.14)(П14.14)P^Q: <Тц = <т22 ="^2 + 0.729^-пп

(П14.14)

(П14.14)

^21 — — аХ1 — 0.548—— -п

Подобное различие (но в противоположную сторону) уже отмечалось при обсуждении одномерной сети. Возможно, что в принципе более корректным было бы усреднять по фазам конечный результат, а не вероятности переключения. Во всяком случае, не очевидно, что следует усреднять электропроводность, а не сопротивление, и ответ в этих случаях, вообще говоря, будет разным (хотя в частном случае одномерной сети ответы совпадают). Однако поскольку это принципиальное обстоятельство не сказывается на качественных выводах, мы будем его просто игнорировать и основы-

Таблица П14.1.

Zn Mg

10" 8 а, кГс/Омсм

0,17

0,52

10"8 Ь, кГс/Om- см

0,67

1,75

а/b, кГс

0,25

0,30

Яо, кГс

2,7

5,85

вать обсуждение (см. основной текст) на сравнении экспериментально измеренного тензора сопротивлений с тензором, обратным вычисленному усредненному тензору проводимости.

Чтобы понять, насколько существенны те или иные члены в приведенных выше формулах, необходимо оценить значения параметров a, b для Zn и Mg. Эти величины были определены Фа- ликовым и др. [142] в ходе проделанной ими работы по сравнению теории с экспериментом (см. табл. П14.1). Как отмечено в этой работе, приведенные в таблице параметры разумно согласуются с оценками из первых принципов.

Приложение 15 Усовершенствование процедуры построения графика Дингла (по работе [323])

Пусть имеется некоторое количество экспериментальных точек ^хг, Уг\ нанесенных на график Дингла, где х обозначает \/Н, у — логарифм амплитуды и г изменяется от 1 до п. Обычно наклон графика а и место пересечения с осью b определяются по наилучшей аппроксимации системы точек прямой линией

У = ах + Ь(П15.1)

Температура Дингла пропорциональна значению а. При использовании метода наименьших квадратов имеем

«Hn£xryr-£xr£yJ/[n£xr2HlX)2] 1

ь = ^уЫ - Ых,ул№^ - £х,)2]J.(П1512)

Можно показать, что если бы подобная процедура повторялась многократно, то среднеквадратичное отклонение от истинных значений а0 и Ьо было бы равно

- (^)2^ 1

Ф - Ао)2 =- (^Х,)2] J ’'

где отклонение vr определяется как

= yr - ахг - b ,(П15.4)

Строго говоря, в правой части (П15.3) следовало бы добавить множитель п/^п — 2), чтобы учесть небольшое отличие между отклонением vr от прямой, которая построена по экспериментальным точкам, и погрешностью ег, отсчитываемой от «истинной» линии. Однако при п > 1, что обычно имеет место, это различие несущественно.

Если же известно, что график должен пересечь ось у в точке (О, ^0), то можно определить наклон а' с меньшей случайной погрешностью, чем по формуле (П15.3). В этом случае приближение по методу наименьших квадратов при зависимости

У = а'х + у0(П15.5)

приводит к

а' = ХхЛь - Уо)/1хг , (П15.6) и можно показать, что теперь неопределенность значения а' описывается выражением

(а' - а0У = ^г^/и^х2, (П15.7) где мы опять пренебрегли наличием в правой части множителя на этот раз п/ф - 1), а

»г = У,- a’xr - у0 . (П15.8)

Покажем, что случайная погрешность, определяемая формулой (П15.7), может быть значительно меньше, чем соответствующая (П15.3), но это достигается путем введения систематической погрешности, соответствующей погрешности Ду0 выбора фиксированной точки пересечения у0. Как следует из (П15.6), эта систематическая погрешность равна

(а' - «o)s = (Ауо)£л/2Х2 (П15.9)

Если для значения (Ау0)2 принять получаемую из (П15.3) величину ф -60)2 и добавить ф' - а0)2 к случайной погрешности (П15.7), то мы опять вернемся к результату, получаемому для ф - а0У из формулы (П15.3).

Польза от снижения случайной погрешности ценой введения систематической ошибки ощутима в том случае, когда мы хотим изучить изменение наклона в зависимости от какой-либо переменной и когда известно, что значение ^0 не сильно изменяется. Как видно из формулы (П15.6), при условии, что всехг имеют одни и те же значения для разных графиков Дингла^, изменения значений а' не зависят от выбора у0.

Установим, насколько изменяется случайная погрешность при намеренном проведении прямой через точку (0, у0\ Множитель 7, описывающий это уменьшение, равен

У =У =liz^il1'2,(а' - а0)2-liz^il1'2,(а' - а0)2-1/21/2.Z^2 №2.Z^2 №2(zEXj2](zEXj2](П15.10)(П15.10)

У =

У =

liz^il1'2,(а' - а0)2-

liz^il1'2,(а' - а0)2-

1/2

1/2

.Z^2 №2

.Z^2 №2

(zEXj2]

(zEXj2]

(П15.10)

(П15.10)

Нетрудно показать, что

IX2 = Е^2 + (Уо - Ь)2["Ех,2 - (£хг)2]/£х2 ,(П15.11)

^ Точное требование состоит в том, что не должно измениться значение Ех/Ех^; это условие автоматически выполнено, если значения хг одни и те же для разных графиков.

где b определяется формулой (П15.2). Видно, что если величину (у0 — й)2 считать равной случайной погрешности (b — &0)2, соответствующей приближению по методу наименьших квадратов (П15.3), то второй член в правой части в (П15.11) точно равен Lv^/n и им спокойно можно пренебречь (отметим, что его можно сделать еще меньше, если в качестве ^0 использовать значение, усредненное по нескольким графикам Дингла). Таким образом, уменьшение случайной погрешности характеризуется множителем

(П15.12)(П15.12)У = [«^/(«S^ - (^г)2)]1'2

(П15.12)

(П15.12)

Очевидно, этот множитель велик, если точки сгруппированы в области значений х, узкой по сравнению с минимальным значением хг. Обычно так и бывает при построении графика Дингла, так как диапазон полей, в пределах которого наблюдаются осцилляции, весьма ограничен. Некоторое представление о порядке величины множителя 7 можно получить, рассмотрев особый случай равномерного распределения значений хг с интервалом d, т. е.

(П15.13)(П15.13)хт = (Р + ^d (г меняется от 0 до п — 1).

(П15.13)

(П15.13)

Легко показать, что при таком распределении точек

(П15.14)

При выводе этого равенства считалось, что п > 1. Обычно отношение р/п по крайней мере не меньше единицы, так что 7 > 5; для того примера, который приводился в работе [323], р/п « 3, так что 7 ~ 12.

Следует отметить, что описанная здесь процедура несколько отличается от приведенной в статье [323]. Вместо того чтобы проводить график точно через точку (0, у0\ авторы этой работы добавляли эту точку как равноправную к другим и проводили линейную аппроксимацию по (л 4- 1) точкам, используя для определения значений а и (а - а^1 формулы (П15.2) и (П15.3). Достигаемое при этом снижение погрешности характеризуется множителем 7', который меньше значения, определяемого формулой (П15.12), и равен

(П15.16)(П15.16)В особом случае расположения точек, согласно (П15.13), это выражение при п > 1 преобразуется к виду

(П15.16)

(П15.16)

При р/п = 3 и п = 6 (как в эксперименте, описываемом в [323]), формула (П15.16) приведет к 7' = 5 (а для фактически использовавшихся значений хг получается 7' = 4,5). Эта формула имеет весьма странное свойство: чем больше точек используется для построения графика, тем меньше выигрыш в точности^.

В заключение отметим, что из формулы (П15.6) вытекает критерий того, что значение у0 можно считать константой по отношению к соответствующей переменной, а именно изменения у0 должны быть малы по сравнению с изменением^, обусловленным изменением этой переменной, где yr = Lxryr/Exr. Другими словами, относительное изменение коэффициента Ср в формуле (8.1) при изменении соответствующего параметра должно быть мало по сравнению с относительным изменением наблюдающегося при этом изменения среднего взвешенного значения ординаты.

!) По-видимому, дело в том, что роль одной (добавляемой) точки уменьшается с ростом числа используемых точек. — Прим. ред.

Приложение 16 >

Поле деформаций вблизи дислокаций и оценка значения d In F/As

Будем рассматривать только случай, когда дислокации расположены параллельно полю, и пренебрежем анизотропией кристалла. Допущение изотропии существенно упрощает анализ и, по- видимому, мало влияет на результаты. Поле деформаций краевой дислокации в плоскости, перпендикулярной ее направлению в системе координат (Я, 6, z) (эти оси будем обозначать ниже 1, 2, 3), определяется формулами

b cos0

'<п162>

где b — длина вектора Бюргерса, который, как предполагается, перпендикулярен к оси z и направлен вдоль 0 = 0, а v — коэффициент Пуассона. Поле деформаций винтовой дислокации содержит только сдвиговую составляющую е2з в плоскости 6, х, равную

b

<П16-3>

(мы пренебрегаем здесь чистыми поворотами, которые, однако, дают вклад в эффекты, вызываемые мозаичностью структуры).

Поскольку существующие экспериментальные результаты получены для образцов с краевыми дислокациями, мы не будем обсуждать случай винтовых дислокаций. Отметим лишь, что как анализ, так и результаты по порядку величины в обоих случаях схожи.

Если магнитное поле (и дислокации) направлены вдоль оси2) <111> кристалла кубической структуры (единственный случай, ко

п Автор признателен д-ру Б. Р. Уотсу, сообщившему результат (П16.7), а также за полезное обсуждение.

Реально дислокации не могут быть направлены вдоль < 111>, а могут располагаться лишь под углом - 20° к этому направлению. К счастью, этот угол достаточно мал, чтобы не повлиять на качественные следствия, основанные на модели, игнорирующей это обстоятельство.

торый мы будем рассматривать), то можно ожидать, что сдвиговые деформации е12 от краевой дислокации слабо влияют на сечение поверхности Ферми, расположенное в их плоскости, и мы будем пренебрегать этой составляющей деформации. Остающиеся

компоненты £п и е22 эквивалентны расширению, сопровождающемуся сдвигом в плоскостях R, z и 0, z, так как их можно записать в

виде

L 0 0^/ie0 00/о 0 0 \080 0= 10 ^° ® +0 |е0 00\°0|е0/+ tao 0 0 \\0 0-^о/L 0 0^/ie0 00/о 0 0 \080 0= 10 ^° ® +0 |е0 00\°0|е0/+ tao 0 0 \\0 0-^о/ОООООО\00 -^е0/ •\00 -^е0/ •(П16.4)(П16.4)

L 0 0^

/ie0 00

/о 0 0 \

080 0

= 10 ^° ® +

0 |е0 0

0

\°0|е0/

+ tao 0 0 \

\0 0-^о/

L 0 0^

/ie0 00

/о 0 0 \

080 0

= 10 ^° ® +

0 |е0 0

0

\°0|е0/

+ tao 0 0 \

\0 0-^о/

ООО

ООО

\00 -^е0/ •

\00 -^е0/ •

(П16.4)

(П16.4)

е000^/б0/(1 + V)00'0е00= 080/(1 + V)0000[00е0/(1 + V)е000^/б0/(1 + V)00'0е00= 080/(1 + V)0000[00е0/(1 + V)(П16.5)(П16.5)Здесь первая матрица в правой части описывает расширение, а две другие — сдвиги. Теперь можно было бы оценить влияние деформаций на частоту F дГвА-осцилляций, обязанных орбитам на «пузе» и на «шейке» в благородных металлах, аналогично тому, как сделано в работе [401]!), однако проще систему деформаций представить в несколько иной форме:

е0

0

0^

/б0/(1 + V)

0

0'

0

е0

0

= 0

80/(1 + V)

0

0

0

0

[0

0

е0/(1 + V)

е0

0

0^

/б0/(1 + V)

0

0'

0

е0

0

= 0

80/(1 + V)

0

0

0

0

[0

0

е0/(1 + V)

(П16.5)

(П16.5)

/v£0/(l+v) 00

+ оve0/(l + v) 0

\°°-6o/(l+v)y

. *) При анализе в [401] рассматривался сдвиг е, определенный не так, как общепринято, поэтому коэффициенты в формулах (7) и (8) требуют модификации, если определять сдвиговые деформации, как принято. Для одноосного растяжения поле деформаций эквивалентно расширению и сдвигу в двух кристаллографически эквивалентных плоскостях, перпендикулярных друг другу, в которых лежит ось растяжения. Если каждый из этих сдвигов обозначить буквой е, то коэффициенты У* и Уг в (7) и (8) следует заменить на Уг и 1 соответственно. Если считать, что материал изотропен, а не обладает кристаллической анизотропией, то коэффициент /3 в этих формулах надо положить равным (1 + ^)/(1 - 2^). Для Си имеем v ~ !/з, так что этот коэффициент будет равен примерно 4 по сравнению со значением 2,7 при направлении < 111> [видоизмененная формула (7)] или с 8,3 при < 100> [видоизмененная формула (8)].

Эта запись соответствует суперпозиции гидростатического давления Р и одноосного растяжения 5 вдоль оси 7,, равных

Р = -ЗК£0/(1 + V) и S = - Уе0(1 + V),(П16.6)

где К — модуль объемного сжатия, а У — модуль Юнга.

Тогда для частоты F (или для Л — площади сечения ПФ) можно написать

dlnFdin Fl Nbsin6

dlnF = din ЛdlnF = din Л(П16.7)(П16.7)—+ (l-2,)™Ji5r—^

dlnF = din Л

dlnF = din Л

(П16.7)

(П16.7)

где N — модуль жесткости, связанный с Y и К соотношением

У 3K(l-2v)

2(1 + v) 2(1 4- v) ‘

Формула (П16.7) связывает влияние деформаций с величинами, которые можно непосредственно измерить. Будет удобно разбить (П16.7) на два множителя, один из которых есть деформация 5, определяемая как

s = bsm9/2uR ,(П16.8)

а другой можно рассматривать как производную d InF/ds, т. е.

dlnF N PainF м xainFl

ds (l-v)[dP +(1 2v)-dS~J(П16.9)

Таким образом, уравнение (П16.7) принимает вид

dlnF = 5dlnF/ds.(П16.10)

Именно на таком соотношении было основано обсуждение, проводившееся в основном тексте. Способ разделения формулы на отдельные составляющие, естественно, произволен; смысл имеет только их произведение. Однако введенная нами деформация того же порядка величины, что и фактические деформации в образце.

Для оценки величины «характерной» деформации о вычислим среднеквадратичное значение 5 по кругу, центр которого совпадает с центром одной из дислокаций. При этом будем предполагать, что в формуле (П16.8) происходит обрезание, когда радиус R становится равен радиусу ядра дислокации. Ответ мало чувствителен к точному значению R, при котором происходит обрезание, и вполне резонно положить его равным b. Можно показать, что вклад в среднеквадратичное значение от области в пределах ядра пренебрежимо мал. Проведем также обрезание на большом радиусе, ограничившись интегрированием до некоторого радиуса R^, выбранного так,

что при R < Ro можно считать, будто поле деформации определяется центральной дислокацией, а при R > Ro деформация, обязанная этой дислокации, в среднем компенсируется полями разных знаков, создаваемыми соседними дислокациями. Разумно полагать, что R 0 есть примерно половина среднего расстояния между дислокациями, и мы положим R0 = (/г^-*72, где D — плотность дислокаций (при регулярном расположении дислокаций в узлах квадратной решетки это соответствует усреднению по кругу с диаметром, равным длине стороны единичной ячейки). Основываясь на этих довольно грубых, но разумных предположениях, получим

Rob227tRdRVi2

> 4tc2R2 /

Если подставить сюда Ro = (/2)О-1/2 и sin20 = /2, то это равенство преобразуется к виду

(

11 V/2

?‘П2Ш™).(П16.11)

Множитель, заключенный в скобки, мало меняется при изменении плотности D в широких пределах. При b = 2,5 х 10“8 см (значение, характерное для Си), он возрастает от 0,73 при D = 1010 см-2 до 1,00 при D = 106 см-2. Поэтому мы сильно не ошибемся, если будем считать его постоянной, которую для простоты положим равной 1,0. Тогда

a = bDv'2.(П16.12)

Теперь оценим значение d InF/ds, определяемое формулой (П16.9) для орбит на «пузе» и «шейке» в меди. Для этого будем использовать значения d InF/dP и d InF/dS, измеренные в [429] и в [401] соответственно. Эти значения приведены в табл. П16.1 вместе со значениями dlnF/ds, вычисленными по формуле (П16.9). Видно, что

Таблица П16.1. Зависимость частоты F в Си от напряжений и деформации

1012 dlnF/dP 1012 dlnF/dS dlnF/ds

Орбита на «пузе»0,43- 0,090,29

Орбита на «шейке» 1,86,92,9

Примечание: здесь Р — гидростатическое давление, S — одноосное напряжение, заданное в дин/см2, а производная dlnF/ds вычислена по формуле (П16.9) с N = 4,8 х 10й дин/см2 и v = = 0,34 и с использованием величин, приведенных в двух первых столбцах таблицы (числа взяты из работ [429] и [401]).

41-207

для «пуза» доминирует первый член в (П16.9), а для «шейки» оба члена дают сравнимые вклады.

Значения d In/Vds для Bi, приведенные в табл. 8.3, едва ли верны с точностью, большей, чем по порядку величины. Они основаны на результатах измерения осцилляций магнитострикции [28]. Поскольку ни тип дислокаций, ни их ориентация в образцах висмута не были известны, мы решили взять нечто вроде среднего геометрического из наибольшего и наименьшего значений d InF/ds (а они различаются в 3 раза) при разных направлениях; таким образом было получено значение 150. Предполагалось также, что формула (П16.12) дает правильную оценку характерной деформации, которая входит в формулу для определения поля Яо.

Приложение 17"

Статистический анализ задач, связанных со сложением фаз

П17.1. Сложение фаз, имеющих одинаковый порядок величины, но случайные знаки

Предположим, как и при выводе формулы (8.41), что отклонение фазы Ф на всей орбите составлено из N одинаковых по величине вкладов Д, знак которых, однако, случаен, и попытаемся вычислить размытие фаз, обусловленное разбросом значений Ф относительно нуля. Это эквивалентно вычислению модуля среднего значения <е’ф> от е’ф. Можно думать, что каждая составляющая 1к фазы Ф описывается функцией распределения D(0), не зависящей от к и равной

0(0) = {[5(0 - А) + 5(0 + А)]

Поскольку все вклады статистически независимы, то имеем

<е'ф> = d0! •d0NO(01)-O(0N)eiIe-

d0O(0)eied0O(0)eieNN

d0O(0)eie

d0O(0)eie

N

N

= [i(e^ + e'^)]N

= (cos A)N

Так как эта величина действительна, то ее модуль имеет тот же порядок величины, и потому имеем

(П17.1)(П17.1)KD = |(cos Д)^

(П17.1)

(П17.1)

что представляет собой общую форму понижающего множителя в рассматриваемой модели. Другим способом этот же результат можно получить, рассмотрев распределение вероятности различных значений Ф и применив метод преобразования Фурье. Вероятность реализации значения Ф, являющегося суммой г вкладов Д и N — г

^ Автор признателен д-ру Лонзаричу за бблыиую часть вычислений, произведенных им для этого приложения.

вкладов — Д, т. е. Ф = (2r — N^. описывается биномиальным распределением

(П17.2)(П17.2)D(r) = M2‘N/(N - г)! г! .

(П17.2)

(П17.2)

Поэтому среднее значение от е'ф равно

У"^У"^<е‘ф> = £е‘(2'-”,4Р(г) = e“iNA

У"^

У"^

Величина, стоящая в скобках, есть фурье-образ Z> (г), соответствующий частоте 2Д, и, используя известную теорему, придем к прежнему результату

/е2'А + 1V

<е‘ф) = е wa I —-— ) = (cos A)N .

Если значение Д (или, что то же, р/2тг) мало, то приближенно

( A2V

При больших N это выражение переходит в

(П17.3)(П17.3)RD = exp(-^NA2) or lnRD=-j^^, 4Я ri

(П17.3)

(П17.3)

если подставить N из (8.39) и Д из (8.40). Таким образом, получаем формулу (8.43). Однако этот результат, полученный при гауссовом распределении фаз Ф, справедлив только в этом приближении (т. е. при Д или р/2тг < 1). В общем случае, исходя из (П17.1), можем

написатьнаписать

написать

написать

(П17.4)(П17.4)ln|cos д/2л|/рН0lnR”--wsry

(П17.4)

(П17.4)

Эта формула приводит к величинам, которые при р/2тг > 1 сильно отличаются от даваемых выражением (П17.2), а при значениях /л/2я, равных я/2, я и т. п., вытекающий из нее результат абсурден. Такие ответы в этих случаях, которые, будучи физически абсурдными, являясь математически корректными следствиями модели, возникают из-за того, что модель слишком груба, чтобы верно описывать непрерывно изменяющееся поле деформаций в тех случаях, когда добавки к фазе слишком велики. Однако формула (П17.3) позволяет, как нам кажется, дать правильную оценку значения In /?D даже и при р > 1.

П17.2. Суперпозиция N осцилляций со статистически распределенными фазами

Предположим для простоты, что размеры зерен, составляющих поликристалл, одинаковы^, однако фазы осцилляций отличаются от фазы ф для совершенного образца на значения ф( для зерна с номером /. Тогда осцилляции для всего образца можно описать выражением

гдегде(П17.5)(П17.5)(П17.6)(П17.6)a sin(^ 4- ф) = ах sin ф 4- а2 cos ф

где

где

(П17.5)

(П17.5)

(П17.6)

(П17.6)

ai^^cos^, a2 = T7Esin^

N iMi

При такой записи справедливы условия

а2 = а 1 -V а2 и tan ф = аг]ах

Амплитуду а следует нормировать так, чтобы она равнялась единице для совершенного образца, т. е. в том случае, когда все фазы ф, равны нулю. Поэтому можно написать

(П17.7)(П17.7)а1 = ^ + ^ X <cos Ф1cos Ф) + sin Ф(sin ФИ •

(П17.7)

(П17.7)

Если теперь предположить, что фазы ф; представляют собой независимые случайные величины из бесконечного набора с непрерывной функцией распределения, то для математического ожидания значения а2 (которое мы обозначим < >), учитывая, что в (П17.7) под знаком суммы содержится N(N — 1) членов, получаем

11

<а2> = — 4- ———«соафУ 4- <sin</>>2).(П17.8)

Если распределение вероятностей значений ф симметрично (т. е. четно по ф), то член <8шф> равен нулю. Для частных случаев гауссова распределения (е"ф2/х2) или лоренцева распределения (1/[1 44- (0vX2)]) найдем соответственно (см. табл. 2.2)

R = <со8ф> = е"л2/4 или е“\

!) Если размеры зерен различны, то каждой фазе ф( должен быть приписан свой вес, однако если эти веса распределены случайно и не коррелируют со значениями Ф^ то ни один из результатов, полученных при игнорировании весовых множителей, не изменяется.

т. е. получим понижающий множитель, вычисленный для бесконечного, а не конечного ансамбля. Окончательно имеем

R”-:v + ^J-R2-fi,(l+^(n,79)

здесь математическое ожидание значения а? обозначено R'2, R/ имеет смысл понижающего множителя для образца, составленного из N зерен. Видно, что при уменьшении значения NR2 (что происходит при уменьшении поля), понижающий множитель/?' приобретает постоянное значение, равное 1/VN при NR2 < 1. Однако приЛТ?2 > 1 с хорошей точностью R' = R.

П17.3. Вариации понижающего множителя

Вариации квадрата амплитуды а вычислить проще, чем вариации самой амплитуды. Они описываются выражением

Ца2) = «а2 - <а2»2> = <а4> - <а2>\(П17.10)

где а2 определяется формулой (П17.7). Исходя из этого, получаем

^2) =+ 1<У; + М2> - №[1 + (N - 1)«с>2 + <s>2)]2

<fl2>2N2[l + (N - 1)«с>2 + <s>2)]2

(П17.11) где cosфj и s\nфi сокращенно обозначены как с, и st.

Для простоты будем считать, что функция распределения фаз 0Z является четной, так что члены вида <Sj> и <stSj> равны нулю^. После соответствующих преобразований, учитывая, что фазы ф1 статистически независимы, найдем при N > 1

И«2) _ 2[2W«c2><c>2 - <с/) + <с2У + <s2>2]

<а2>2(1+N<c>2)2‘ (П17Л2)

Чтобы вычислить значения <с2> и <sz), отметим, что они равны (‘/2)(1 ± <cos20z>) и что <cos20z> точно равен понижающему множителю при удвоенных значениях соответствующих параметров. Поэтому для гауссова распределения <cos20z> = е-х2 = R\ для ло- ренцева распределения <cos20z> = е“2Х = R2. При этом и другом

° При i Ф j. — Прим. ред.

распределениях имеем также <с> = R, так что (П17.12) сводится к

(П17.13)(П17.13)У(а2) _ 2NR\1 + R^ - 4NR4 + 1 + R2»

(П17.13)

(П17.13)

<а2>2 ""1 + 2NR2 + N2R*

где у = 2 для распределения Лоренца и у = 4 для распределения Гаусса. Если NR2 > 1, что реализуется в случае не слишком малых R , найдем

<а2>2 NR2 и2(1 - R1)2<а2>2 NR2 и2(1 - R1)2при распределении Лоренца,

<а2>2 NR2 и

2(1 - R1)2

<а2>2 NR2 и

2(1 - R1)2

(П17.14)

при распределении Гаусса.

Если же множитель R достаточно мал, так что NR2 < 1 (хотя все еще N > 1), то для обоих распределений

(П17.15)(П17.15)V(a2) _ 1 + 2NR2 <а2>2 ~ (1 + NR2)2 *

(П17.15)

(П17.15)

Поэтому по мере уменьшения NR2 (либо вследствие уменьшения поля, либо потому, что N не слишком велико), это отношение приближается к единице, т. е. корень квадратный из вариаций а2 становится равен самому значению а2. Это означает, что математическое ожидание значения понижающего множителя выходит на уровень 1/VN при малых NR2, его фактическое значение меняется от образца к образцу с равным количеством зерен на величину, сравнимую с самим понижающим множителем.

Приложение 16

Длиннопериодное колебание амплитуды

Рассмотрим осцилляции с двумя слегка различающимися частотами и амплитудами. Их сумма есть

У = 1(1 + £)sin(l + а)0 + 1(1 - е)sin(l - а)0(П18.1)

(здесь 6 — средняя фаза litF/H и 2а = ^F/F). Если значение а положить равным нулю, то амплитуда у станет равна единице. Если значение а мало, то можно считать, что у соответствует осцилляциям с одной частотой, равной среднему из двух частот, но с медленно изменяющимися амплитудой и фазой:

У = (cos2 «0 + £2 sin2 «0)1/2 sin(0 + ф) ,(П18.2)

где фаза ф такова, что tan0 = ctana^.

Амплитуда минимальна при а0 = т/2 и при этом равна е. Значение с можно установить по глубине минимума на рис. 8.7 относительно прямой линии. При отходе от минимума точное значение е знать не нужно. Так, если ctana0 « 1, то (П18.2) переходит приближенно в

y = cosa0(l + |е2 tan2a0)sin(0 + ф)(П18.3)

и при с = 0,047 (значение, следующее из рис. 8.7) поправочный член в скобках меньше 1% при аб < 0,4 тг и при аб > 0,6 тг.

Положение минимума определяет значение а. Если за положение минимума принять 81-ю осцилляцию [учитывая, что затухание осцилляций из-за фактора Дингла приводит к тому, что минимум, соответствующий формуле (П18.2), оказывается слегка смещенным влево от наблюдаемого минимума амплитуды], то аб = тг/2 при в = 81 х 2тг. Отсюда a = 1/(4 х 81) и ^F/F = 1/162. Ошибка в ориентации на 0,3°, в бинарно-биссекторной плоскости достаточна, чтобы возникло такое расщепление частот. Чтобы ввести поправку на биения, следует разделить амплитуду каждой из наблюдавшихся

осцилляций на множитель

I 22 ИЛ У/21 + e2tan2 —lOZ JI 22 ИЛ У/21 + e2tan2 —lOZ J

I 22 ИЛ У/2

1 + e2tan2 —

lOZ J

I 22 ИЛ У/2

1 + e2tan2 —

lOZ J

где п — номер осцилляции.

Этот анализ несколько упрощен в связи с тем, что предполагается независимость значения в от поля (т. е. от 6). На самом деле относительные амплитуды осцилляций обеих частот слегка изменяются с полем, однако более сложный анализ показывает, что эти вариации не играют роли: когда £ заметно отклоняется от значения в минимуме, вклад от члена с £2 становится пренебрежимо малым.

Конечное значение £ обусловлено тем, что осцилляции двух слегка разных частот обязаны слегка неэквивалентным экстремальным сечениям при небольшом отклонении от бинарной оси. Этим сечениям отвечают слегка различающиеся циклотронные массы и различные температуры Дингла, что приводит к небольшому различию амплитуд. Анализ показывает, что наблюдавшееся значение £ = 0,047 в минимуме на рис. 8.7 согласуется с величиной разори- ентации, отвечающей разности частот.

1(1 — p) ± 1(1 - p)1(1 — p) ± 1(1 - p)cos uS+cos uS+cos kS4-cos kS4-ФР РФ12л 2лФР РФ12л 2л1 ± 1(1 — р)1 ± 1(1 — р)-2Р ± 1(1 * Р)-2Р ± 1(1 * Р)(П19.3)(П19.3)

1(1 — p) ± 1(1 - p)

1(1 — p) ± 1(1 - p)

cos uS+

cos uS+

cos kS

4-

cos kS

4-

ФР РФ1

2л 2л

ФР РФ1

2л 2л

1 ± 1(1 — р)

1 ± 1(1 — р)

-2Р ± 1(1 * Р)

-2Р ± 1(1 * Р)

(П19.3)

(П19.3)

Приложение

Неоднозначность определения g-фактора по отношению амплитуд гармоник

Обсудим сначала вычисление значения S, исходя из измерения отношения R , определяемого как

(П19.1)(П19.1)R = |cos 2n$/cos л$|

(П19.1)

(П19.1)

Не трудно показать, что измеренному значению R отвечают уравнения

Если R > 1, то знак «4-» не может иметь места, так как абсолютная величина синуса и косинуса не может быть больше 1; в таком случае значение IcosttSI определяется однозначно и неоднозначность связана лишь с определением S по величине IcosttSI . Как обсуждалось в тексте книги, неоднозначность можно сократить вдвое, если знак при costtS определить, измерив абсолютное значение фазы.

Если R < 1, то выбор знака «4-» или «— » может быть произведен путем определения знака при cos2ttS (или при cos2/ttS для любого целого /). Этот знак можно установить, измерив разность фаз ф2 ~ ^Ф\ (или в более общем случае ф2/ — ИФ\У Чтобы продемонстрировать это, вычислим значение фр - рфх. Воспользовавшись формулой (9.8), имеем соответственно знакам при costtS и

cosp ttS

О ± |( 1 - р)

где, как обычно, из двух знаков «±» выбирается «4-» для минимального и « — » для максимального сечений, и, конечно, остается в силе соглашение, что величины в правой части могут быть уменьшены или увеличены на такое целое число, чтобы их значение попало в диапазон от 0 до 1.

при четном р,при четном р,Видно, что

при четном р,

при четном р,

1 ± 1(1 - р)О ± |(1 - Р)1 ± 1(1 - р)О ± |(1 - Р)если cos/?ttS > ОcospirS < О

1 ± 1(1 - р)

О ± |(1 - Р)

1 ± 1(1 - р)

О ± |(1 - Р)

ФР РФ1

2тг 2л

i + ir' - р) О ± i(l - р)i + ir' - р) О ± i(l - р)cos^ttS/costtS < Оcos^ttS/costtS > Оcos^ttS/costtS < Оcos^ttS/costtS > Опри нечетном р.(П19.4)при нечетном р.(П19.4)

i + ir' - р) О ± i(l - р)

i + ir' - р) О ± i(l - р)

cos^ttS/costtS < Оcos^ttS/costtS > О

cos^ttS/costtS < Оcos^ttS/costtS > О

при нечетном р.

(П19.4)

при нечетном р.

(П19.4)

В качестве конкретного примера рассмотрим осцилляции, обязанные траекториям на «шейках» в благородных металлах, когда ЛК- гармоники могут стать достаточно отчетливо выраженными, и при этом MB-rapMQHHKH не будут играть роли. Сечение «шеек» минимально, так что следует взять знак «+», и формула (П19.4) дает

Ф1 _ 2^! _ ресли COS 2лХ is +

2л 2 л {jcos 2лХ is —

Таким образом, если измерить значение ф2 - 2ф1$ то знак при cos2ttS будет установлен, и тем самым устранена неоднозначность, присутствующая в формуле (П19.2) в случае R < 1.

Если измеряется отношение, содержащее амплитуду третьей гармоники (обозначим его Ipl), где р определяется формулой

р = cos 3 лХ/cos лХ (= 4 cos2 kS — 3)

то знак р определяется по разности фаз, так как, согласно (П19.4), имеем

и, таким образом, значение IcosttSI определяется однозначно. Подобные аргументы можно предложить и когда речь идет об измерении отношения амплитуд разности фаз гармоники более высокого порядка. В некоторых случаях это может подтвердить обоснованность измеренных значений и интерпретации экспериментов.

Литература

Обозначения, используемые в литературе

EFS — Electrons at the Fermi Surface, M. Springford, Ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1980.

FS — The Fermi Surface, Proceedings of an international conference held at Cooperstown, N. Y., W. A. Harrison, M. B. Webb, Eds., Wiley, New York, 1960.

LT9 — Proc. 9th Int. Conf. L. T. Phys., Columbus, Ohio 1964, Plenum, New York, 1965.

LT10— Proc. 10th Int. Conf. L. T. Phys., Vol. 3, Moscow 1966, VINITI, 1967. [Имеется на русском языке: Труды 10-й Международной конференции по физике низких температур, Москва, 1966 г. — М.: ВИНИТИ, 1967.]

LT14 — Proc. 14th Int. Conf. L. T. Phys., Vol. 3, Otaniemi, Finland, 1975, North- Holland, Amsterdam, 1975.

LT16 — Proc. 16th Int. Conf. L. T. Phys., Los Angeles 1981, Physica 108, 1981.

PLT — Progress in Low Temperature Physics, C. J. Gorter, Ed., North-Holland, Amsterdam.

PM — The Physics of Metals 1. Electrons, J. M. Ziman, Ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1969. [Имеется перевод: Физика металлов, 1. Электроны. Под ред. Дж. Займана. — М.: Мир, 1972.]

SF — Solid State Physics, Vol. 1, Electrons in metals, J. F. Cochran, R. R. Haering, Eds., The Simon Fraser University lectures, 1968.

SSP — Solid State Physics, F. Seitz, D. Turnbull, Eds., Academic Press, New York.

Абрикосов A. А., Фальковский JI. A. — ЖЭТФ, 1962, t. 43, c. 1089.

Adams E. N., Holstein T. D., J. Phys. Chern. Sol., 10, 254 (1959).

Akhieser A., C. R. Acad. Sci. URSS, 23, 874 (1939).

Алексеевский H. E., Гайдуков Ю. П. — ЖЭТФ, 1959, т. 37, с. 672.

Alers G. A., Swim R. Т. Phys. Rev. Lett., 11, 72 (1963).

Alers P. В. Phys. Rev., 101, 41 (1956).

Alers P. B. Phy?. Rev., 107, 959 (1957).

AllenS.J., Rupp L.W., Schmidt P.H., Phys.Rev. B, 7, 5121 (1973).

AllesH.G.,HigginsR.J.,Rev. Sci.Inst., 44,1646 (1973).

AllesH.G.,HigginsR.J.,Phys. Rev. B, 9, 158 (1974).

AllesH.G.,HigginsR.J.,Rev. Sci.Inst., 46,963 (1975).

Alles H. G., Higgins R. J., Lowndes D. H., Phys. Rev. Lett., 30, 705 (1973).

Alles H. G., Lowndes D. H., J. Phys. E 6, 895 (1973).

Alpher R. A., Rubin R. J., J. Low Temp. Phys., 9, 67 (1954).

Altounian Z., Datars W. R., Canad. J. Phys., 58, 370 (1980).

Andersen О. K., Mackintosh A. R., Sol. State Comm., 6, 285, (1968).

Anderson J. R., Gold A. V., Phys. Rev. Lett., 10, 277 (1963).

!) Литература, отмеченная звездочкой, добавлена автором при корректуре английского издания и редактором перевода. — Прим. ред.

Anderson J. R., Gold A. V., Phys. Rev., 139, A1459 (1965).

Anderson J. R., Lane S. S., Phys. Rev. B, 2, 298 (1970).

Anderson J. R., O’Sullivan W. J., Schirber J. E., Phys. Rev. B, 5, 4683 (1972).

Anderson M. S., Gutman E. J., Packard J. R., Swensen C. A., J. Phys. Chem. Solids, 30, 15 87 (1969).

Ando T, Fowler A. B., Stern F., Rev. Mod. Phys., 54, 437 (1982).

Animalu A. O., Heine V., Phil. Mag., 11, 379 (1965).

Aoki H., Ogawa K., J. Low Temp. Phys., 32, 131 (1978).

Aoki H., Ogawa K., J. Low Temp. Phys., 3 5, 329 (1979).

Arko A. J., Lowndes D. H., Muller F. A., Roeland L. W., WolfratJ.,vanKassel

A. T, Myron H. W„ Mueller F. M., Webb G. W„ Phys. Rev.Lett.,40,1590

(1978).

Aron P. R., J. Low Temp. Phys., 9, 67 (1972).

Aron P. R., Chandrasekhar B. S., Phys. Lett., 30A, 86 (1969).

Ashcroft N. W., Phil Mag., 8, 2055 (1963).

Ashcroft N. W., Phys. Rev., 140, A935 (1965).

Ashcroft N. W., Guild L. J., Phys. Lett., 14, 23 (1965).

Азбель M. Я„ Камер Э. A. — ЖЭТФ, 1956, т. 30, с. 811.

3. Baraff G. A., Tsui D. C., Phys. Rev. В, 24, 2274 (1981).

Barklie R. C., Shoenberg D., Phys. Cond. Matt., 19, 175 (1975).

Basinski Z. S., Howie A., Lonzarich G. G., Sigfusson T, частное сообщение, 1981.

Basinski Z. S., Saimoto S., Canad. J. Phys., 45, 1161 (1967).

Bate R. T., Einspruch N. G., Phys. Rev., 153, 796 (1967).

Beardsley G. M., Schirber J. E., J. Low Temp. Phys., 8, 421 (1972).

Beck A., Jan J.-P., Pearson W. B., Templeton I. M., Phil. Mag., 8, 351 (1963).

Bellessa G., Phys. Rev. B, 7, 2400 (1973).

Benedek R., Baratoff A., Sol. State Comm., 13, 385 (1973).

Berko S., J. de Physique, 39, Suppl. C6, 1568 (1978).

Berko S., in Electrons in Disordered Metals at Metallic Surfaces, P. Phariseau, B. L. Gyorffy, L. Scheire. Eds., Plenum Press, London—New York, p. 239, 1979.

Berlincourt T. G., Steele M. C, Phys. Rev., 95, 1421 (1954).

Bhargava R. N., Phys. Rev., 156, 785 (1966).

Bibby W. M., Ph. D. Thesis, University of Cambridge, 1976 (рис. 3 и табл. II из этой работы цитируются в [394]).

Bibby W. М., Coleridge Р. Т, Cooper N. S., Nex С. М., Shoenberg D., J. Low Temp. Phys., 34, 681 (1979).

Bibby W. M., Shoenberg D., J. Low Temp. Phys., 34, 659 (1979).

Blackman M., Proc. Roy. Soc., A, 166, 1 (1938).

Bliek L. M., Landwehr G., Z. Naturf., 23A, 1861 (1969).

Bloch F, Z. Phys., 52, 555 (1928).

Blount E. I., Phys. Rev., 126, 1636 (1962).

3. Bohm H. V.» Easterling V. J„ Phys. Rev., 128, 1021 (1962).

Bommel H. E., Phys. Rev., 100, 758 (1955).

5. Borgnis F E„ Phys. Rev., 98, 1000 (1955).

Bosacchi B., Franzosi P., J. Phys. F,6, L99 (1976).

7. Brailsford A. D., Phys. Rev., 149, 456 (1966).

БрандтH.Б.— ЖЭТФ, 1960, t. 38, c. 1355.

БрандтH.Б,Любутина Л. Г.— ЖЭТФ, 1964,т.47,с.1711.

БрандтН.Б.,Разумеенко М.В.— ЖЭТФ, 1960,т.39,с.276.

БрандтН.Б,Рябенко Г. А. —ЖЭТФ, 1959, т.3 7, с.389.

Brignail N. L., J. Phys. C,7, 4266 (1974).

Brignall N. L„ Shoenberg D., J. Phys. C,7, 1499 (1974).

Broshar W., McCombe B., Seidel G., Phys. Rev. Lett., 16, 325 (1966).

Brown H. R„ Myers A., J. Phys. F, 2, 683 (1972).

Brown R. N., Hartman R. L., Koenig S. H., Phys. Rev., 172, 598 (1968).

Brown R. N., Mavroides J. G., Lax B., Phys. Rev., 129, 2055 (1963).

Caplin A. D., Shoenberg D., Phys. Lett., 18, 238 (1965).

Casimir H. B. G., Helv. Phys. Acta, 41, 741 (1968).

Chambers R. G., Canad. J. Phys., 34, 1395 (1956).

Chambers R. G., Proc. Phys. Soc., 88, 701 (1966).

Chambers R. G., PM, p. 175, 1969.

3. Chambers W. G., Phys. Rev., 140, A135 (1965).

Chandrasekhar B. S., Fawcett E., Adv. in Phys., 20, 775 (1971).

Chang Y. K., Higgins R. J., Phys. Rev. B,12, 4261 (1975).

ChungY.,Lowndes D.H.,Sol. State Comm., 21,647 (1977).

ChungY.,Lowndes D.H.,Hendel C. L., J. LowTemp. Phys.,32, 599 (1978).

ChungY.,Lowndes D.H.,Hendel C. L., Rode J.P., Sol. StateComm., 20, 101

(1976).

Cochran J. R, Haering R. R., Eds., SF, 1968.

Cohen M. H., Blount E. L, Phil. Mag., 5, 115 (1960).

Cohen M. H., Falicov L. M., Phys. Rev. Lett., 7, 231 (1961).

Coleridge P. T, Proc. Roy. Soc. A,295, 476 (1966).

ColeridgeP.T,J. Phys.F,2,1016 (1972).

ColeridgeP.T,J. Phys.F,9,473 (1979).

ColeridgeP.T,EFS, p.321,1980.

ColeridgeP.T,HolthamP. M„ J. Phys. F,7, 1891 (1977).

Coleridge P. T, Holzwarth N. A. W., Lee M. J. G., Phys. Rev. B,10, 1213 (1974).

Coleridge P.Coleridge P.Coleridge P.Coleridge P.Coleridge P.Coleridge P.Coleridge P.Coleridge P.Coleridge P.Coleridge P.Coleridge P.Coleridge P.Coleridge P.Coleridge P.T, Scott G. B., Templeton I. M., Canad. J. Phys., 50, 1999 (1972).

Coleridge P.

Coleridge P.

Coleridge P.

Coleridge P.

Coleridge P.

Coleridge P.

Coleridge P.

Coleridge P.

Coleridge P.

Coleridge P.

Coleridge P.

Coleridge P.

Coleridge P.

Coleridge P.

T, TempletonLM.,Phys.Lett.A,27, 344 (1968).

T, Templeton1.M„Phys.Rev.Lett., 27, 507 (1971).

T, Templeton 1. M., J. Phys. F,2, 643, (1972).

T, TempletonLM.,Phys»Rev.B,25, 7818 (1982).

T, Templeton1.M.,Toyoda T,J. Phys. F, 11, 2345(1981).

T, Templeton 1. M., Vasek P., J. Phys. F,14, 2963 (1984).

Canad. J. Phys., 49, 2379 (1971).Phil. Mag., 24, 1163 (1971).Canad. J. Phys., 49, 2379 (1971).Phil. Mag., 24, 1163 (1971).Coleridge P. T, Watts B. R.,

Canad. J. Phys., 49, 2379 (1971).

Phil. Mag., 24, 1163 (1971).

Canad. J. Phys., 49, 2379 (1971).

Phil. Mag., 24, 1163 (1971).

Coleridge P. T, Watts B. R.,

Condon J. H„ Phys. Rev., 145, 526 (1966).

Condon J. H., Marcus J. A., Phys. Rev., 134, A446 (1964).

Condon J. H., Walstedt R. E., Phys. Rev. Lett., 21, 612 (1968).

Cooper N. S., Ph. D. thesis, University of Cambridge, 1979.

Coulter P. G., Datars W. R., Phys. Rev. Lett., 45, 1021 (1980).

Crabtree G. W., Phys. Rev. B,16, 1117 (1977).

Crabtree G. W., Dye D. H., Karim D. P., Ketterson J. B., J. Magnetism Mag. Mat., 11, 236 (1979).

Cracknell A. P., Wong К. C., The Fermi Surface, Clarendon Press, Oxford, 1973. [Имеется перевод: А. Крэкнелл, К. Уонг. Поверхность Ферми. — М.: Атомиз- дат, 1978.].

Croft G. Т, Donahoe F. J., Love W. Е, Rev. Sci. Inst., 26, 360 (1955).

Davis H. L., Colloques Int. du Centre Nationale de la Recherche Scientifique, No. 188, Grenoble, 1969.

Davis H. L., Faulkner J. S., Joy H. W., Phys. Rev., 167, 601 (1968).

Dean С.N.,D.Phil, thesis, University of Sussex, 1976.

de HaasW.J.,Proc. Netherlands Roy. Acad. Sci., 16, 1110(1914).

de HaasW.J.,van Alphen P. M., Proc. Netherlands Roy.Acad. Sci.,33, 680

(1930).

de Haas W. J., van Aplhen P. M., Proc. Netherlands Roy. Acad. Sci., 33, 1106 (1930).

de Haas W. J., van Alphen P. M., Proc. Netherlands Roy. Acad. Sci., 35, 454 (1932).

Deimel P., Doezema R. E„ Phys. Rev. B,10, 4897 (1974).

de Wilde J., Doctoral thesis, Free University of Amsterdam, 1978.

de Wilde J., Meredith D. J., J. Phys. E,9, 62 (1976).

Dhillon J. S., Shoenberg D., Phil. Trans. Roy. Soc. A,248, 1 (1955).

Dimmock J. O., SSP 26, 103 (1971).

Dingle R. B., Proc. Roy. Soc. A,211, 500 (1952).

Dingle R. B., Proc. Roy. Soc. A,211, 517 (1952).

Doezema R. E„ Koch J. F, Phys. Rev. B,5, 3 866 (1972).

Doezema R. E„ Koch J. F, Phys. Cond. Matt., 19, 17 (1975).

Donaghy J. J., Stewart A. T., Phys. Rev., 164, 391 (1967).

Dresselhaus M. S., Mavroides J. G., Sol. State Comm., 2, 297 (1964).