Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ВВЕДЕНИЕ
Одним из замечательных явлений в ферромагнетиках может считаться образование магнитной доменной структуры, представляющей собой совокупность намагниченных до насыщения областей (доменов). Они отличаются друг от друга направлением спонтанной намагниченности, а в более общих случаях — размерами и формой.
Гипотеза о существовании областей самопроизвольной намагниченности была выдвинута Вейссом в 1907 г. для объяснения происхождения наблюдаемого на опыте размагниченного состояния ферромагнетика. Впоследствии эта гипотеза была блестяще подтверждена Виттером (1931 г.), а также Акуловым и Дехтяром (1932 г.) с помощью непосредственного визуального наблюдения доменных структур на поверхностях монокристаллов методом порошковых осадков.
Окончательное теоретическое обоснование существования доменных структур в ферромагнетиках выполнено в основополагающей работе Ландау и Лифшица [86], где впервые сформулирована основная причина, ответственная за образование указанных структур.
В настоящее время используют различные экспериментальные методы исследования доменных структур, такие, например, как метод магнитной суспензии, а также магнитооптические, электронно-микроскопические и др. Они позволяют исследовать не только статические свойства доменных стуктур, но и их квазистатическую и динамическую перестройку под действием внешних магнитных полей и упругих напряжений и, кроме того, помогают выяснить тонкие особенности строения переходных слоев (доменных границ), существующих между соседними доменами, намагниченными в разных направлениях.
С доменными структурами удалось связать особенности многих явлений в ферромагнетиках, возникающих при температурах ниже точки Кюри и во внешних магнитных полях ниже поля насыщения.
Широкое использование магнитных материалов на основе ферромагнитных сплавов обусловлено их замечательными свойствами, которые во многих случаях так или иначе связаны с доменными структурами. Неудивительно, что, начиная с первых экспериментальных работ по обнаружению доменных структур и до настоящего времени к природе их образования (зарождения) и поведения в различных условиях всегда проявлялся неослабевающий интерес ученых.
Достижения в исследовании доменных структур связаны с именами Блоха, Ландау и Лифшица, Акулова, Беккера, Кондорского, Деринга, Керстена, Бозорта, Нееля, Брауна и многих других (см. [28, 29, 74,209]).
Современное развитие экспериментальной техники дало возможность
перейти к изучению тонких особенностей строения доменных границ, что, в свою очередь, стимулировало дальнейшее развитие теоретических исследований. В результате были предсказаны и обнаружены новые типы доменных границ в ферромагнетиках, такие, как неелевские доменные границы, границы с переменной полярностью и поперечными связями, асимметричные и заряженные доменные границы и др. (см., например, монографию Хуберта [168 ]).
С экспериментальным обнаружением так называемых цилиндрических магнитных доменов связан новый этап развития физики доменных структур. Если интерес к исследованию доменных структур ранее был стимулирован в основном практическим применением магнитных материалов, необходимые магнитные свойства которых в той или иной мере обусловливались доменной структурой, то новый бурный рост исследований свойств этой структуры был связан с возможностью ее непосредственного использования в технических устройствах.
Толчком к развитию соответствующих исследований послужила работа Бобека [191], обратившего внимание на такие особенности цилиндрических магнитных доменов, как их высокая подвижность и малые размеры. Бобек предложил использовать эти домены в запоминающих устройствах. В результате, появились совершенно новые типы магнитных материалов и новые принципы их получения и использования [94, 99, 105, 116, 179].
Работы по физике цилиндрических магнитных доменов подняли на новый уровень знания о структуре доменных стенок и их динамическом поведении.
При этом наряду с динамикой доменных границ и доменных структур в целом богатый научный материал был получен и о влиянии доменных структур на целый ряд явлений в ферромагнетиках, в частности на характер спиновых волн и их спектры, на ферромагнитный, ядерный и гамма- резонансы, на распространение упругих и электромагнитных волн, на электромагнитные потери в проводящих ферромагнетиках и т.д. При этом если исследования по динамике доменных границ и изолированных доменов изложены в монографиях [94, 99, 106] и [116], то результаты изучения влияния доменных структур на указанные выше явления, за небольшим исключением, можно найти лишь в оригинальных статьях. Пока не существует единого источника, в котором эти явления были бы описаны с единых позиций. По замыслу авторов данная монография призвана хотя бы частично восполнить этот пробел.
В монографию включены также и традиционные вопросы динамики доменных стенок, изолированных доменов и доменных структур. При этом авторы уделили большое внимание вопросам нестационарного движения доменных стенок, а также изучению колебаний решеток цилиндрических магнитных доменов.
Идея написания данной монографии была подсказана профессором Е.А. Туровым, которому авторы благодарны за проявленный интерес и моральную поддержку. Авторы благодарны доктору физ.-мат. наук Б.А. Иванову, который сделал ряд весьма ценных замечаний, а также Т.А. Филипповой, которая неоднократно просматривала черновики рукописи и своими советами улучшила стиль изложения материала.
Глава 1
ДОМЕННЫЕ ГРАНИЦЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБРАЗОВАНИЯ ДОМЕННЫХ СТРУКТУР
В магнитных веществах элементарные (атомные) магнитные моменты, обусловленные спиновым и орбитальным движением электронов в атоме, при определенных условиях могут находиться в упорядоченном состоянии. В таких кристаллах, как Fe, Со, Ni, в некоторых редкоземельных элементах (Cd, Tb, Dy и др.), а также в большом количестве соединений (Ее - 3 мас.% Si, MnBi, MnAl, FePt и др.) упорядоченное состояние соответствует параллельной ориентации элементарных магнитных моментов при температуре Т = ОК. Такие вещества принято называть ферромагнетиками.
Упорядочение приводит к тому, что при любой температуре Т< Тс (Тс - температура Кюри) произвольная макроскопическая область ферромагнетика может обладать суммарным макроскопическим моментом, который при определенных условиях (см. ниже) может быть направлен каким-либо образом относительно кристаллографических осей. Этот момент, будучи отнесенным к единице объема вещества, носит название намагниченности М. При Г = 0 в идеальном кристалле М не зависит от радиус-вектора г точки ферромагнетика и времени t. В более общем случае (например, Т Ф 0, ферромагнетик в пространственно неоднородных и переменных во времени полях и др.) М = M(r, t) .
Взаимодействие, обусловливающее магнитно-упорядоченное состояние вещества, имеет квантовомеханическое происхождение и называется обменным. Согласно принципу Паули часть энергии электростатического взаимодействия электронных оболочек будет зависеть от их полного спина (подробнее см. [28, 4]). Именно эта часть и представляет энергию обменного взаимодействия. Конкретный механизм этого взаимодействия в разных веществах может быть разным. При этом атомы могут взаимодействовать Друг с другом как благодаря перекрытию их электронных оболочек (прямое обменное взаимодействие — Френкель, Гейзенберг), так и косвенным образом, например через немагнитные ионы (Крамере) или электроны проводимости (Рудерман, Киттель). Подробно эти типы взаимодействий описаны в [28].
Интенсивность обменного взаимодействия характеризуется величиной ЛВ/т), называемой обменным интегралом. Если считать, что все атомы ферромагнетика имеют спин 5 = 1/2 и что орбитальное движение электронов не вносит вклада в магнитные свойства вещества, то обменный гамильтониан ферромагнетика, согласно Гайзенбергу (см. [28]), можно пред-
К = -- 2 /№„,№,К = -- 2 /№„,№,2 l^m2 l^m(1.1)(1.1)
К = -- 2 /№„,№,
К = -- 2 /№„,№,
2 l^m
2 l^m
(1.1)
(1.1)
ставить в виде
(1.5)(1.5)(1.6)(1.6)
(1.5)
(1.5)
(1.6)
(1.6)
где St — оператор полного спина атома в узле / кристаллической решетки; R/m — радиус-вектор, соединяющий два взаимодействующих атома, находящиеся в узлах / и т.
Для ферромагнитных веществ 7(R/m) > 0 и быстро (экспоненциально) спадает с увеличением расстояния |R/m |, что позволяет ограничиться при суммировании в (1.1.) приближением ближайших соседей. При этом обычно считают, что взаимодействие между любыми соседними атомами одинаково, так что ДК1т) = J.
Согласно (1.1) в ферромагнетике, где J > 0, энергетически выгодна параллельная ориентация спинов. Нарушение такого упорядочения спинов ведет к увеличению энергии обменного взаимодействия. В макроскопической феноменологической теории этот факт учитывают, вводя положительную часть плотности обменной энергии, связанной с градиентами намагниченности ЭМ^/Эх^ (хк с к = 1, 2, 3 - координаты произвольной точки ферромагнетика). Она может быть представлена в виде [85]
Здесь и далее, если нет специальной оговорки, по дважды встречающимся одинаковым индексам идет суммирование. Симметрия тензора а1т определяется симметрией кристаллической решетки. При этом для кубических кристаллов alm =a&im, где Ь1т — символ Кронекера. Для кристаллов гексагональной сингонии aj i = «2 2 = ai , аз з = а2 , ^ik^ 0 при i Ф к. Таким образом, для указанных кристаллов имеем соответственно
Константы aik называются обменными параметрами и имеют порядок величины
Jal
»вад) ’
где М$(0) — спонтанная намагниченность при Т = ОК; Дв — магнетон Бора; д0 — параметр кристаллической решетки.
Наряду с параметром а часто используют величину
1,
А = - аМ2
21
где Ms = | М | - спонтанная намагниченность.
Параметр А для широкого класса веществ меняется в пределах 10"1 ! — 10"12 Дж/м.
Фундаментальным свойством (1.1), (1.2) является независимость обменного взаимодействия от направления М в кристалле.
Феноменологические выражения (1.2) —(1.4) при определенных условиях (см. ниже) могут быть использованы и для описания веществ с более сложным упорядочением, чем ферромагнитное. В ряде соединений, хотя и имеется упорядоченная спиновая структура, однако характер этого упорядочения таков, что спины соседних узлов оказываются антипараллельны- ми друг другу. Для описания таких структур вводят представление о магнитных подрешетках, объединяя в каждой из них элементарные магнитные моменты одного сорта и направления и вводя для каждой макроскопическую намагниченность.
Нас будут интересовать вещества, в которых суммарная намагниченность всех подрешеток отлична от нуля (ферриты, слабые ферромагнетики). Напомним, что в слабых ферромагнетиках намагниченности подрешеток неколлинеарны (см. [28, 135]). Поведение таких веществ в полях, меньших Не, оказывается аналогичным ферромагнетикам. В полях > Не начинает изменяться исходное магнитно-упорядоченное состояние. Поля имеют обменную природу (см. [135, 147]).
Отмеченное выше вырождение состояний, связанных с (1.1) и (1.2) (независимость состояния ферромагнетика от ориентации суммарной намагниченности) , снимается благодаря релятивистским спин-спиновым и спин- орбитальным взаимодействиям. Хотя эти взаимодействия слабее обменных, они играют чрезвычайно важную роль в объяснении анизотропии магнитных свойств ферромагнетиков. Опыт показывает, что, например, при отсутствии внешних воздействий, вектор М ориентируется строго вдоль избранных кристаллографических направлений, являющихся осями легкого намагничивания (ОЛН). Отклонение М от этих направлений приводит к появлению добавочной энергии кристаллов, которая называется энергией магнитной кристаллографической анизотропии.
Феноменологически плотность этой энергии может быть записана с помощью ее разложения по компонентам М. Число независимых коэффициентов такого разложения определяется симметрией среды и инвариантностью термодинамического потенциала по отношению к обращению знака времени. Учитывая это, для кристаллов кубической и гексагональной симметрии можно записать соответственно
^ = ^ Sya^M^ + М2 М2 + М2М23) + 02Л М2М2гМ2 +. .. ,
1 1 °'7)
Wa = - 01а(М2 + Л/22) + - Ц2а (М2 * Мг2)2 + . . . (1.8)
Индексы 1, 2, 3 в (1.7), (1.8) нумеруют компоненты векторов в системе координат хх, х2, х3, связанной с главными кристаллографическими осями. Величины Руд, Py а и р2д,р2а представляют собой безразмерные константы анизотропии, которые связаны с экспериментально измеряемыми
константами ЗСХА, ОС 1а и ЗСгл > ОС га следующим образом:
.
ЛХА = -НиМ^ ОСгА = - @1АМ»;(1.9)
ЗСха = X-^aMV, ^1а=Х-»1аМ*.
Величины констант анизотропии изменяются в широких пределах. Например, для Fe Л^л =52,3 • 103 Дж/м3 [224], ОС гл = 9,5 • 103 Дж/м3 [288]. Для Со ОГ1а=9 • 105 Дж/м3 [308], Л2а= Ю5 Дж/м3 [308].
Наличие вблизи поверхности кристалла иной симметрии окружения атомов приводит, согласно Неелю [272] (см. также в [128]), к так называемой поверхностной анизотропии. В ряде случаев поверхностная плотность этой энергии может быть представлена в виде
ws = ОС^У(М^(1.10)
гдеу — единичный вектор вдоль нормали к поверхности кристалла, ОС $ — константа поверхностной анизотропии. Согласно оценкам Нееля ОС s « « 1СГ4—10-3 Дж/м2. Экспериментально найденные в [220] ОС $ для сплава 80 мас.% Ni-20 мас.% Fe равны 5 • 10"5 Дж/м2.
Помимо естественной кристаллографической анизотропии, описанной выше, в тонких магнитных пленках, а также в массивных образцах некоторых веществ (например, Fe—3 мас.% Si) весьма важное значение может иметь так называемая наведенная анизотропия, которая появляется в результате, например, термической обработки образцов или в процессе получения тонких магнитных пленок (см. [209, 92]). Во всех случаях она имеет одноосный характер, и плотность ее энергии может быть представлена в виде
wM = Л*м(СмМ)2/Л/2,(1.11)
где См - единичный вектор вдоль наведенной ОЛН; Л\ - константа наведенной анизотропии.
В кубических кристаллах имеются три ОЛН, направленные вдоль осей < 100> и четыре ОЛН, направленные вдоль < 111>, если > 0 и Pi л < 0 соответственно. В гексагональных кристаллах (например, Со) ОЛН направлена вдоль оси (1000). При этом | 01у4 | > |02л I и | Р1а | > I 02а I- ЕСЛИ М ориентирована вдоль этих направлений, то энергия анизотропии указанных кристаллов минимальна.
Итак, согласно сказанному выше обменное взаимодействие в ферромагнитном кристалле приводит к появлению макроскопического магнитного момента М, а ориентация М фиксируется в определенном направлении благодаря анизотропии. Казалось, можно было бы сделать вывод о том, что ферромагнитные вещества всегда должны быть намагниченными до насыщения вдоль одной из ОЛН. Однако опыт не подтверждает такого вывода. В связи с этим еще Вейсс сделал предположение, что ферромагнитный образец может при определенных условиях разбиваться на области (домены) малых, но макроскопических размеров, каждая из которых намагничена до насыщения в одном из возможных направлений, причем направления М в соседних областях различны.
Рис. 1.1. Дробление магнитостатических полюсов (изображены крестиками и черточками) при образовании ДС
а — полюса в отсутствие ДС; б - полюса при наличии ДС
Впоследствии эта гипотеза была блестяще подтверждена в экспериментах Виттера и Акулова. В настоящее время установлено, что доменная структура (ДС) может существовать только в образцах с размерами больше некоторого критического, называемого размером однодоменности [74], и в магнитных полях, тоже меньших некоторого критического, называемого полем насыщения.
Основная причина образования ДС впервые была указана в работе [86]. Она заключается в том, что в ферромагнетиках существуют чисто магнитные диполь-дипольные взаимодействия, которые приводят к образованию на поверхностях намагниченных образцов магнитных ’’зарядов”, (рис. 1.1, а). Связанные с этими зарядами магнитостатические поля могут быть найдены из уравнений магнитостатики
rot H(m) = 0; div B(m) = 0; B(m) = H(m) + 4тгМ (1.12) с соответствующими условиями непрерывности нормальной и тангенциальной составляющих Н<ш) на поверхностях образца. Они приводят к дополнительной энергии ферромагнетика, плотность которой может быть записана в виде
wm = - ImH^). (1.13)
Эта энергия может быть существенно уменьшена, если образец разобьется на ряд намагниченных до насыщения областей, например таких, какие изображены на рисунке 1.1, б. Именно с возможностью уменьшения магнитостатической энергии и связано появление ДС. Однако этот вопрос не так прост, поскольку ясно, что ДС будет образовываться только при тех условиях, когда уменьшение полной магнитостатической энергии кристалла приводит к уменьшению полной энергии образца (см. ниже).
Известно, что ДС состоит из чередующихся областей ферромагнетика со сравнительно медленным и довольно быстрым пространственными изменениями М. При этом характерные размеры пространства, где происходит быстрое изменение направления М вплоть до обратного, значительно меньше характерных размеров областей, где направление М меняется медленно. Это обстоятельство позволяет условно ввести области (домены) с практически постоянным направлением М, совпадающим с ориента-
цией одной из ОЛН в кристалле, а также переходные слои - доменные границы (ДГ), отделяющие друг от друга области с различной постоянной ориентацией М. Их называют также доменными стенками. Поскольку практически все изменение направления М происходит в ДГ, последние должны обладать некоторой энергией. В связи с этим уменьшение энергии магнитостатического поля, происходящее при образовании ДС, одновременно должно приводить к увеличению энергии ферромагнетика, связанному с образованием ДГ. Таким образом, ДС будет образовываться только в том случае, когда сумма энергий ДГ и поля H<w) окажется меньше магнитостатической энергии однородно намагниченного образца. Это лишь одна из возможных ситуаций, реализующаяся, например, в магнитоодноосных кристаллах. В сосуществующих соседних областях магнитомногоосных кристаллов, где направления М могут составлять друг с другом углы, меньшие 180°, наряду с энергией ДГ следует учитывать также так называемую магнитоупругую энергию (см., например: [28,74]).
Происхождение последней связано с тем, что при изменении магнитного состояния ферромагнитной среды последняя деформируется (явление магнитострикции). При наличии анизотропии, играющей важную роль в изменении магнитного состояния ферромагнетика, следует также учитывать и возможные повороты элементов среды. Корректное выражение для плотности магнитоупругой энергии приведено в [4]. Согласно [4], в линейном приближении по тензору дисторсии ^ие!^т она может быть представлена в виде
/Э£70\ di//
WMy = PU^m + Т Uli — .(Ы4)
\дцт / ди
(1.15)(1.15)Здесь все индексы пробегают значения 1, 2, 3; р — плотность ферромагнитной среды; и — вектор смещения ее точек; Х1т — коэффициенты, зависящие от свойств симметрии кристалла и удельной намагниченности д = М/р, причем Xlm = Xml; UQ = wA /р или walp- Из соображений удобства получения (1.14) вместо эйлеровых координат Xj были введены лагранжевы координаты ^т, нумерующие элементы объема среды. По той же причине введено д вместо М. Из-за наличия слагаемого
(1.15)
(1.15)
^Му — ^PXlm _ .2pX/m€/m,
гдегде1 /dui е‘т = т\7Г1 /dui е‘т = т\7Г+ J^\+ J^\
где
где
1 /dui е‘т = т\7Г
1 /dui е‘т = т\7Г
+ J^\
+ J^\
— тензор деформации, магнитоупругая энергия существует и в отсутствие анизотропии.
(1.16)(1.16)Зачастую XIm (fl) представляют в виде ряда по д. В этом случае, ограничиваясь слагаемыми не выше второго порядка малости по Д/, можно записать
(1.16)
(1.16)
w^y^ - Ьи1тМ^е1тМ5 .
Число независимых и отличных от нуля компонент тензора магнитоупругих констант bi)Im определяется симметрией кристалла. Для кристалла кубической симметрии имеются три отличные от нуля константы ^iiir ^1212 и Z>ii22- Учитывая условие |М| = const и оставляя только слагаемые, пропорциональные е^ и М^, для кубического кристалла имеем
^^ = <Ьх!М2ХМ\ехх + М2е22 + М^е33) +
(1.17)(1.17)+ (b2/M$2XM1M2e12 + MxM3ex3*MxM3e23),
(1.17)
(1.17)
где Ьх = ^1111 - ^112 2/ Ь2 = 4Z>! 2 1 2•
Эти константы следующим образом связаны с относительными магнитострикционными удлинениями Хюо и X] 11 кристаллов кубической симметрии вдоль направлений [100] и [111] соответственно, измеряемых экспериментально (см. [74]):
Ьх - — “ ^lOofcll -С12); Ь2 - — ЗАИ1С44,Ьх - — “ ^lOofcll -С12); Ь2 - — ЗАИ1С44,(1.18)(1.18)3
Ьх - — “ ^lOofcll -С12); Ь2 - — ЗАИ1С44,
Ьх - — “ ^lOofcll -С12); Ь2 - — ЗАИ1С44,
(1.18)
(1.18)
где CiK — краткие обозначения компонент тензора модулей упругости. Для Fe bx = - 2,9 • 106 Дж/м3, Ь2 = 3,2 • 106 Дж/м3 [74].
Таким образом, при образовании ДС важную роль могут играть магнитоупругая энергия и энергия магнитостатического поля. В некоторых случаях необходимо учитывать также энергию анизотропии и энергию намагниченности во внешнем постоянном поле Но. Плотность этой энергии равна
(1.19)(1.19)wH =- MH0.
(1.19)
(1.19)
Во всех ситуациях большое влияние оказывает также энергия ДГ. В связи с этим прежде всего необходимо детальное исследование ДГ, определение их структуры и энергии.
12. СТРУКТУРА ДОМЕННЫХ ГРАНИЦВ МАССИВНЫХ ФЕРРОМАГНИТНЫХ КРИСТАЛЛАХ
Хотя направление М в ДГ изменяется довольно быстро, однако из самых общих соображений ясно, что этот разворот происходит не скачком, а на расстояниях, значительно больших параметра решетки а0- Скачкообразному изменению М препятствует энергия обменного взаимодействия, однако плавный разворот М на больших расстояниях приведет к повышению энергии анизотропии. В результате реализуется компромиссная ситуация, когда разворот М будет происходить хотя и на расстояниях, больших межатомных, но меньших расстояний, соизмеримых с размерами доменов. Таким образом, ДГ должна иметь конечную толщину. Забегая вперед, заметим, что эта толщина оказывается порядка сотен межатомных расстояний.
Характер распределения намагниченности в доменной стенке, или, ины- мы словами, ее структура, зависит от целого ряда факторов. В частности, как теперь показано, существенное влияние на структуру ДГ оказывает поверхность кристалла. Это влияние связано с образованием на поверх- 11
Рис. 1.2. Схема, поясняющая изменение направления намагниченности М при переходе от домена с Мх, заданного углами V/, О,, к домену с М2, ориентированному под углами ф, д2
ностях ферромагнетиков магнитных ’’зарядов”, а также с существованием поверхностной анизотропии. В разных условиях распределение М в ДГ определяется обменным взаимодействием, анизотропией и магнитостатическими полями, а также внутренними упругими напряжениями и внешними силами. Таким образом, для каждой конкретной ситуации задача о структуре доменной стенки должна решаться заново. Однако можно выделить большой класс ДГ, для исследования структур которых полезны некоторые общие принципы.
Прежде всего заметим, что образование ДГ связано лишь с поворотом вектора М в пространстве, без изменения его величины. Этот принцип, как уже отмечалось ранее, является следствием закона о сохранении длины вектора намагниченности в ферромагнетиках, и он должен учитываться при исследовании структуры любых доменных границ.
Другим универсальным положением является принцип минимума полной энергии, соответствующей любой рассматриваемой конфигурации М.
Помимо этих общих представлений, используются и другие, которые хотя и являются более частными и не всегда обязательными, но в ряде случаев оказываются весьма полезными. Так, не учитывая свойства поверхности (когда рассматриваются глубинные свойства магнитных материалов) и при отсутствии некоторых внешних воздействий, можно считать, что в доменах намагниченность всегда ориентирована вдоль ОЛН. Кроме того, важное значение имеют те доменные стенки, на поверхности которых выполняются условия неразрывности нормальной составляющей намагниченности
М1П = М2п, (1.20)
где Mi и М2 - намагниченности двух соседних доменов, ап- единичный вектор нормали к переходной области (ДГ), которая предполагается плоской.
Сказанное пояснено на рис. 1.2, где Р — плоская ДГ, a #i и #2 — углы, которые составляют проекции векторов Mi и М2 на плоскость границы с проекцией ОЛН на ту же плоскость. Условие (1.20) означает, что из всех возможных способов поворота М из положения Mi в положение М2 реа- 12
лизуется тот, при котором не возникают магнитостатические полюса на ДГ. В общем случае в магнитомногоосных кристаллах М может составлять некоторый угол ф (см pic. 1. 2) с нормалью п. Согласно (1.20) при переходе через ДГ этот угол должен оставаться постоянным, т.е., поворачиваясь, М движется по поверхности кругового конуса с углом 2ф при вершине.
Используем далее сферическую систему координат с полярной осью х, направленной вдоль п, и положим
Мх - Ms cos ф; Му - Ms sm ф sm6; Mz= М^пфcos О, (1.21) где ф и а — соответственно полярный и азимутальный углы. Будем предполагать, что ф = const, а а зависит только отх (одномерная модель), причем система координат (xyz), связанная с ДГ, произвольным образом повернута относительно системы координат, связанной с кристаллографической системой.
В данных предположениях, учитывая обменную энергию (13), (1.4), а также энергию анизотропии (1.7), (1.8), представим поверхностную плотность энергии доменной границы в виде
°° 1 )
7<6> = / < sin2 i// —)2 + w-n^» Ф) (dx, (1-22)
где wn представляет собой энергию анизотропии одноосного (если я - а) или кубического кристалла (если i? = Л), выраженную через # и ф. Далее везде, где встречается индекс т?, он принимает два значения: а и А, характеризуя величины, относящиеся к магнитоодноосным и к магнитомногоосным кристаллам соответственно. В табл. 1.1 приведены выражения для wA ав некоторых конкретных случаях.
Минимизацию функционала (1.22) проведем, считая, что при х -> ± °°£ принимает соответственно значения
dadxdadx# = #!; #= #2, (1.23) где совместно с ф = const tf! и #2 описывают направления намагниченности в соседних доменах. Будем считать также, что
da
dx
da
dx
= 0. (1.24) х -► ± оо
Сформулированная таким образом задача позволяет исследовать все типы ’’незаряженных” — выполнено условие (1.20) — ДГ с одномерным распределением М.
Варьируя (1.22) и решая с учетом (1.23), (1.24) полученное нелинейное уравнение, найдем
(1.25)(1.25)da
(1.25)
(1.25)
^ = ±6^ / ~■= •-= ----, ;
T(S > = 27n I sin V/1 [ / ‘ [АС»») - Wi)] Чд,(1 -26)
Таблица 1.1. Данные о доменных стенках в кубических магнитотрехосных ^Л > °) и магниточетырехосных («и* 1Л < 0) ферромагнитых кристаллах при ^Л =0
Тип ДГ
Тип плоскости ДГ
Направле- Направление поляр- ние оси, от ной осикоторой
отсчитывается £
*
»!
^2
•^хЛ > 0 (например, Ее)
90°
(ПО)
[110][110]
"/4
0
Я
90°
(Ш)
[111][U2]
1
ar coos——
V3
0
2я
3
90°
(100)
[100][010]
я/2
0
я/2
«У, А < 0 (например, Ni, Y
зРе5О13)
71°
(101)
[101][101]
я/2
-arctg
х/2
2
arctg
VI
2
109°
(101)
[101][010]
я/2
-arctg >Д
arctg
х/2
где
Л =^С», ф); 6ф=Ц8тф; чп = (З^А)^;(1.27)
^ = (А^.
При получении этих формул учитывалось, что
AW^W); о<Ф<п12.
Следуя Лилли [93, 209], определим толщину стенки SL как расстояние между двумя точками пересечения асимптот # (±°°) с касательной £ (х) в 14
ЭС 1 а > 0 (например, Fe)
<^/4)[1 -2шУфУ +
+ (6 sin1 V/ -4sin4 V/)] sin3 $ - - 3sin4 ф sin4#]
0costf(x)=1,727/8
Vs/SshOc/e^)5”
V1 + (5/8)sh3 (xl6A)'
Г11
эс. J —cos4i// +—sin4i// -
L34
- (V21/3)cosi/z sin3 V/ cos3# 1
0cos (3 0/2) = -»(х/5л)1,185я
Г7
эс. a sin2 i/zsin4 V/ -
L8
11
sin4 V/ COS4 #
8J
0t%»=ex*bA1я
^xA *
С 0 (например, Ni, Y3 Fes Ot 2)
— [(1 -2sin2V/)3 +
4
+ (6sin31// - 4sin4ф )sin3 0 - - 3 sin4 ф sin4#]
1x/F / 1 x X
tg 0 = —tg|—— — I0,4614,2642
32 VJ?SA)
l-M, ,
[(1 - 2sina ф)а + 4
+ (6sin2 V/ - 4sin4 V/)sin3 # -
1/1 x x
- - tg a = v2tg|—-— ]1,3683,309
3\^bA)
- 3 sin* V/ sin* ^Э ]
«А<9, *)«А<9, *)КМ М)КМ М)"^Ьа 8lI&a"^Ьа 8lI&a
«А<9, *)
«А<9, *)
КМ М)
КМ М)
"^Ьа 8lI&a
"^Ьа 8lI&a
точке перегиба этой функции. Имеем
8£ =5^18111^18£ =5^18111^1\ЩГЖ\ЩГЖ(1.28)(1.28)
8£ =5^18111^1
8£ =5^18111^1
\ЩГЖ
\ЩГЖ
(1.28)
(1.28)
где ^ — значение О в точке перегиба £ (х). Такое определение справедливо при наличии одной точки перегиба на #(х). Более общее определение 5l см. в [93].
(1.29)(1.29)Рассмотрим далее конкретные кристаллы. Для магнитоодноосного кристалла с плоскостью ДГ, параллельной ОЛН, имеем #i = 0, #2 = я, 0 = = я/2 и
(1.29)
(1.29)
we = <^iesin2#.
Учитывая также, что fa^i) ~ fa (&2) = 0 и выполняя интегрирование в (1.25), получим
cos # = ± th(x/5e).(1.30)
Это и есть искомое выражение, описывающее разворот М в 180-градусной незаряженной доменной стенке. Такая стенка называется блоковской. Заметим, однако, что Блох исследовал стенку в системе дискретных спинов. В модели сплошной среды соотношение (1.30) впервые было получено Ландау и Лифшицем [86]. В настоящее время под термином блоховская стенка понимают широкий класс незаряженных ДГ.
Фактически согласно (1.30) имеются два решения, соответствующие повороту М по часовой стрелке и против вокруг нормали к плоскости ДГ. В рассматриваемом случае (отсутствие внешних полей) оба решения эквивалентны, поскольку ничем не выделены и соответствуют одной и той же энергии, которая согласно (1.26), (1.29) равна
7(6)=4^^la)^ = 4Ta.(1.31)
Возможность существования двух решений (1.30) может привести к появлению ДГ с совершенно новыми свойствами (см. следующий раздел). Для Со, где^д ~9 • 105 Дж/м3 [308], Л = 2 КГ11 Дж/м [28], имеем Ув ^4 • 1СГ3 Дж/м2.
График зависимости ^ от х представлен на рис. 1.3. На рис. 1.4 для наглядности изображен также разворот М. Из рисунка видно, что основной поворот М происходит в довольно узкой области пространства. Согласно (1.28)- (1.30) имеем для ширины этой области
6в=(Л/^1вЛ(1.32)
что для Со дает bL ^ 1,5 • 10“8 м = 150 А. Важно, что, как и предполагалось выше, 5l » я0. Это оправдывает использованное выше континуальное приближение. Как будет показано ниже, размер домена D» bL .
Рассмотрим теперь влияние второй константы анизотропии на структуру и энергию доменной стенки в магнитсГодноосном кристалле. Согласно 7Г
(1.8), (1.21) при “ имеем
wo =^ia(sin2^ +xesin4^),(1.33)
где
^а ^^lal^la*(1-34)
Следует иметь в виду, что даже для одного и того же материала соотношение между константами ^Ха и 3£1а при разных температурах может быть разным. Новые особенности, которые можно ожидать, вводя Л*2а, связаны с изменением характера анизотропии по мере изменения ха . Не останавлияваясь на деталях такого анализа, отметим, что при<^1в < 0, хв <—1/2 вместо анизотропии типа ОЛН, имеющей место при9СХа >0» хв > —1/2, появляется анизотропия типа конуса осей легкого намагничивания (КОЛН). При^1в > 0,xe > —1/2, когда реализуется анизотропия типа ОЛН, вряд ли следует ожидать существенных изменений в структуре доменной стенки по сравнению с ситуацией,когда 9С1а = 0. Поэтому рас- 16
Рис. 1.3. Зависимость О (х) (сплошная кривая), построенная по (1.30) для знака
Прямые, параллельные оси абсцисс — асимптоты к Ф (х) при х -* — °° (нижняя) и #-*+«> (верхняя). Наклонная прямая — касательная к д (х) в точке х = О. Расстояние между вертикальными штриховыми линиями, проведенными через точки пересечения указанной касательной с асимптотами О (х = ± °°) , принимается за размер блоховской ДГб£ [93, 209]
Рис. 1.4. Схематическое изображение поворота М в 180-градусной ДГ
смотрим случай уа > — 1. Такие исследования выполнены Лилли [93]. Наиболее интересен вариант, когда J^1(7 > 0, но —1/2 > ^e > -1, тогда наряду с ОЛН имеется и плоскость легкого намагничивания (ПЛН), перпендикулярная ОЛН. В связи с этим при повороте от одного из двух противоположных направлений вдоль ОЛН (# = 0) к другому (d =тг) намагниченность М на своем пути ’’будет встречать” еще одно из направлений легкого намагничивания, лежащее в ПЛН. Поэтому вместо того чтобы поворачиваться на 180°, намагниченность М будет стремиться повернуться в пределах одной стенки только на 90°. Дальнейший поворот М будет происходить после медленного изменения направления намагниченности в пределах нового образовавшегося домена с вектором М, ориентированным под углом 6 = тг/2, т.е. лежащим в плоскости легкого намагничивания. Это означает, что в указанной области изменения параметров должна появляться тенденция к расщеплению всей 180-градусной доменной стенки на две 90-градусные с полным углом поворота, равным 90°. Однако при на Ф — 1 из-за неравнозначности минимумов wa при ^ = 0 и ^ = тг/2 (l^aminI ^=о > l^aminJd =я/г) такое расщепление в общем случае происходить не будет. Тем не менее в функции, описывающей структуру ДГ, появляются перегибы, указывающие на тенденцию к расщеплению. Исполь-
17172. Зак. 1219
17
17
Рис. 1.5. Зависимость О (х), построенная по (1.35) для различных значений *
1 - ка= 3; 2 - ка = —1/4; 3 - ха = —0,75; 4 - к0 = —0,96; 5 - к0 = —0,999. Штриховая линия — зависимость 0 (х) рдя двух возможных 90-градусных ДГ, на которые распадается 180-градусная ДГ при «а = — 1. Центр обеих ДГ смещен в точку х = 0
зуя (1.33),согласно (1.25) находим
COS fl = ±COS fl = ±\^Vrsh(x/6e)\^Vrsh(x/6e)\/ТЙкГ+Т)^^’\/ТЙкГ+Т)^^’(1.35)(1.35)
COS fl = ±
COS fl = ±
\^Vrsh(x/6e)
\^Vrsh(x/6e)
\/ТЙкГ+Т)^^’
\/ТЙкГ+Т)^^’
(1.35)
(1.35)
Это распределение М представлено на рис. 1.5. Из этого рисунка и из (1.35) видно, что с увеличением хв (при не > 0) расстояние, на котором происходит наиболее резкий поворот М (толщина ДГ), уменьшается,что вполне разумно, поскольку при^хд > 0 вкладке > 0 приводит только к увеличению вкладами в 6£. В области -1/2 <ха <0(^rle > 0) следует ожидать уширения доменной стенки (см. кривую 2 на рис. 1.5), а при —1/2 >кв > — 1 — появления новых перегибов на зависимости А(х), указывающих на ’’склонность” ДГ к расщеплению (рис. 1.5, кривая 5). Штриховые кривые соответствуют случаю, когда реализуется указанное расщепление. Используя (1.33) и (1.26),имеем
7(б) = 2 уа 1 +—— arctg \^ .(1.36)
Отсюда при ^ 2д = 0 получается у^6^ = 4 уа, что совпадает с (1.31). С увеличением^ величина энергии ДГ (1.36) растет, как и следовало ожидать.
Переходя к исследованию ДГ в магнитомногоосных кристаллах, заметим, что в них возможно существование равноправных магнитных фаз (соответствующих одинаковой энергии), намагниченности которых ориентированы относительно друг друга под углом фр * я. Доменные границы в таких ферромагнетиках отличаюся от рассмотренных в предыдущем разделе. Так, помимо 180-градусных ДГ, в магнитомногоосных кристаллах могут существовать 90-градусные, 71-градусные и другие ДГ. Первые из них возможны, например, в Fe, вторые — в NL
Рис. 1.6. Ориентация 180-градусной ДГ в магнитотрехосном кристалле относительно кристаллографических осей х,х2х3Рис. 1.6. Ориентация 180-градусной ДГ в магнитотрехосном кристалле относительно кристаллографических осей х,х2х3
Рис. 1.6. Ориентация 180-градусной ДГ в магнитотрехосном кристалле относительно кристаллографических осей х,х2х3
Рис. 1.6. Ориентация 180-градусной ДГ в магнитотрехосном кристалле относительно кристаллографических осей х,х2х3
Р и с. 1.7. Зависимость относительной энергии ДГ в магнитотрехосном кристалле от X, построенная по (1.39)
Используя (1,7) и (1.25)—(1.28), можно рассчитать основные характеристики таких ДГ. Результаты ддя некоторых типов ДГ в магнитомногоосных кристаллах Сс7/*1Л >0 и ^14 <0 приведены в табл. 1.1. Из нее видно, что ориентация ДГ относительно кристаллографических осей существенно сказывается как на зависимости ^(х), так и на толщине и энергии стенок. Следует заметить, что наименьшей энергией при этом обладают ДГ, параллельные кристаллографическим плоскостям {100}. Однако такие границы не всегда устойчивы (см. ниже). Общим для всех ДГ является быстрое пространственное изменение М.При этом &L оказывается порядка тгбд, что для Fe составляет 614 А. В кубических кристаллах типа Ni ОЛН направлены вдоль <111>. Углы между этими диагоналями равны 2 arctg (1/V2) ^71° и 2 arctg V?^ 109°, т.е. в Ni возможны 71- и 109-градусные ДГ. Характеристики простейших типов ДГ в кристаллах с^зл < 0 приведены в табл. 1.1.
В магнито многоосных кристаллах возможны также и 180-градусные ДГ. Остановимся на их свойствах. Рассмотрим ДГ в кубическом кристалле с ^* 1 л > 0, плоскость которой наклонена под углом X к кристаллографической плоскости {010} (рис. 1.6). Предположим, что поворот М происходит в плоскости ДГ от направления [001] до направления [00Т ]. В данном случае 0 = тг/2, #i =0, #2 = я. При этом
_ л 7 1
/(») = sin2» - дх sin4», дх = - + -со$4Х. (1.37)
Используя (1.25)-(1.27), имеем
(1.38)(1.38)(1.39)(1.39)VI - Дх$Н (х/8л) COS 17 = ±
(1.38)
(1.38)
(1.39)
(1.39)
[1+(1-Дх)$Н2(х/6л)]
^На = 2 [1 + ^^ Arsh^/-^-
V Дх1 - Мх
aaffffРис. 1.8. Схематическое изображение 90- (а) и 180-градусной ДС (б) в кубическом магнитотрехосном кристалле с Х100 > 0 и с ДГ, параллельными кристаллографическим плоскостям {100} _Области А и С намагничены вдоль [100] и [100] и растянуты вдоль этих направлений. Область В намагничена и растянута вдоль [010]. 1, 2 - ДГРис. 1.8. Схематическое изображение 90- (а) и 180-градусной ДС (б) в кубическом магнитотрехосном кристалле с Х100 > 0 и с ДГ, параллельными кристаллографическим плоскостям {100} _Области А и С намагничены вдоль [100] и [100] и растянуты вдоль этих направлений. Область В намагничена и растянута вдоль [010]. 1, 2 - ДГ
a
a
ff
ff
Рис. 1.8. Схематическое изображение 90- (а) и 180-градусной ДС (б) в кубическом магнитотрехосном кристалле с Х100 > 0 и с ДГ, параллельными кристаллографическим плоскостям {100} _
Области А и С намагничены вдоль [100] и [100] и растянуты вдоль этих направлений. Область В намагничена и растянута вдоль [010]. 1, 2 - ДГ
Рис. 1.8. Схематическое изображение 90- (а) и 180-градусной ДС (б) в кубическом магнитотрехосном кристалле с Х100 > 0 и с ДГ, параллельными кристаллографическим плоскостям {100} _
Области А и С намагничены вдоль [100] и [100] и растянуты вдоль этих направлений. Область В намагничена и растянута вдоль [010]. 1, 2 - ДГ
Зависимость (1,38) схожа с полученной для магнитоодноосного кристалла при Л*2с 0 (см. (1.35)). Однако есть и существенное отличие. Прежде всего из (1.38) и (1.39) следует, что имеется анизотропия энергии 180-градусной ДГ и величины ^(х), которых нет в случае магнитоодноосного кристалла.
На рис. 1.7 представлена зависимость ч^Иа от ^ Видно, что наименьшую энергию имеют ДГ, параллельные плоскости (100).Однако в рассматриваемом приближении (см. ниже) этот результат соответствует на самом деле не 180-градусной, а двум 90-градусным ДГ, параллельным {100}, на которые при Дх = 0 (X = 0, я/2) расщепляется 180-градусная ДГ. Тенденция к такому расщеплению имеется и при других значениях угла X, что аналогично магнитоодноосному кристаллу проявляется в виде дополнительных перегибов на зависимости (1.38). Однако полное расщепление происходит только при Дх = 0, поскольку в этом случае, поворачиваясь от оси [001] к оси [001], М’’встречает” на своем пути еще одну ОЛН [100], вблизи которой вектору М нет необходимости быстро изменять свое направление. В результате появляется тенденция к образованию нового домена с М вдоль [100].
Согласно (1.39) энергия ДГ, параллельной кристаллографической плоскости типа (010), равна 2 Ча* Ниже будет показано, что этот вывод действительно верен.
Описанные результаты получены в отсутствие магнитоупругого взаимодействия. Легко пояснить, что наличие последнего коренным образом изменяет сделанные выводы. Рассмотрим 90-градусную ДС с ДГ, параллельными плоскости {100} в Fe (рис. 1.8). В данном кристалле Х100_> 0, так что если в Ее имеется 180-градусная ДС с М вдоль осей [100] и [100], то каждый домен в силу инвариантности магнитострикционного удлинения относительно замены М на - М в целом растянется вдоль [100]. Иная ситуация наблюдается в случае 90-градусных соседств (см. рис. 1.8), где растяжения и сжатия в соседних областях не согласуются. В результате этого возникают дополнительные напряжения, которые были оценены Неелем
и Лифшицем [96]:
△ wMy = A^sinM; Д^* = - (с, ,-Сц) Х2ю0,(140)
4
где Си и с12 — модули упругости. Как и раньше, £ отсчитывается от ОЛН. Добавляя (1.40) к (1.7) и вводя величину
(1.41)(1.42)(1.43)(1.44)(1.41)(1.42)(1.43)(1.44)/л W-^Xwa +4wMy) = sin2 # -sin4 £,
(1.41)
(1.42)
(1.43)
(1.44)
(1.41)
(1.42)
(1.43)
(1.44)
где~~
^ = ^1л+Д^; Um=^ia/^>
согласно (1.25) и (1.26) имеем
V l-MM‘sh(x/6M) COS д' = ± —
[l+(l-MM)sh2(x/6M)]^ ’
7|5>/7M "lb — toh/^', L V Дм '1 - Мм
где 6м = №)%; ^ =
Для Fe clt = 2,41-1011 Дж/м3, ci2 = 1,46-1011 Дж/м3, bx = = — 2,9 • 106 Дж/м3 [74], так что имеем (1— цм) « 1,69 • 10”3, т.е. это настолько малая величина, что из (1.44) следует у<б) « 2 у^.Таким образом, энергия 180-градусной ДГ, параллельной плоскости (100), как отмечалось выше, практически равна энергии двух 90-градусных ДГ, параллельных той же плоскости. Однако в силу конечности величины (1—д^) теперь эта стенка не расщепляется и имеет конечную толщину порядка 18002000 А [103] вместо бесконечной толщины при 1—Цм = 0 (в отсутствие магнитострикции).
Аналогичные особенности образования 180-градусных ДГ имеются и в магниточетырехосных кристаллах типа Ni, иттриевого феррита-граната и др. В таких монокристаллах3£Ха <0 и, как отмечалось выше, в них возможны 71- и 109-градусные ДГ. Такие ДГ при отсутствии магнитострикции могут быть параллельны кристаллографическим плоскостям (101). При этих же условиях 180-градусная ДГ, плоскость которой параллельна, например, плоскости (Ю1)2 а направление намагниченности изменяется от направления [111] до [111], расщепляется на две ДГ. Новым по сравнению с магнитотрехосным кристаллом является то, что расщепление происходит на две неэквивалентных ДГ: 71- и 109-градусные. Наличие магнитострикции ликвидирует такое расщепление.
ДОМЕННЫЕ СТЕНКИ В МАГНИТООДНООСНЫХ ПЛЕНКАХС ОСЬЮ ЛЕГКОГО НАМАГНИЧИВАНИЯ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Представим, что имеется тонкая магнитоодноосная пленка с ОЛН, параллельной ее поверхности. В этом случае Мв доменах также будет параллельна поверхности пленки (рис. 1.9,а). В ДГ, разделяющей такие домены, Мв среднем будет направлена перпендикулярно поверхности
и ”-”) в доменной стенке блоховского типа (а) и неелевского (б) в тонкой магнитной пленке толщиной d
пленки. Следовательно, на ее поверхностях в узких полосках шириной бв, равной толщине блоховской ДГ, будут образовываться магнитостатические заряды. С ними связана дополнительная энергия. Таким образом, в тонких магнитных пленках (ТМП) энергия блоховских ДГ будет больше, а их толщина меньше по сравнению с соответствующими величинами для блоховских стенок в массивных материалах. Однако такие стенки, по-ви- димому, энергетически будут выгодными, когда d > SB. Если d < бв, то можно представить разворот намагниченности при переходе от правого к левому домену, который происходит в плоскости, параллельной поверхности ТМП (см. рис. 1.9,6). В этом случае средняя М будет перпендикулярна поверхности ДГ, на боковых поверхностях которой образуются магнитостатические заряды. На поверхностях пленки указанных зарядов не будет, что, по-видимому, при d <бв будет представлять энергетически более предпочтительную ситуацию. На существование таких стенок впервые обратил внимание Неель [273], поэтому их называют неелевскими.
Для оценок энергий ДГ в пленках Неель представил энергии обмена и анизотропии в виде
z*x 1/5а5\
^^^иг + т); 7о=47а-(1-45)
2\ ббд/
Здесь под б следует понимать бв или б^ (толщина неелевской ДГ) в зависимости от того, какая ДГ рассматривается.
К формуле (1.45) Неель добавил магнитостатические энергии, приходящиеся на единицу поверхности неелевской и блоховской ДГ соответственно:
7<т) = 2лМ2-^- ;^ = 2кМ2—,(146)
Ns d + 6N вSd + ZB
которые он вычислил, заменяя ДГ цилиндром эллиптического сечения в плоскости (ух) (см. рис. 1.9), намагниченным до насыщения вдоль .у их - для стенок Блоха и Нееля соответственно. Добавляя (1.45) к у^^или у<ш> и варьируя по б^ или бв соответственно, можно найти равновесные 8В, ^n и In. Ув« Эти результаты представлены на рис. 1.10, откуда видно, что имеется некоторая толщина dKp, ниже которой неелевские ДГ выгоднее блоховских. Для Х = 2иМ^/^С1а = 20 ^кр^215Апри А = 2-10”11 Дж/м
7н17о-7вПо^«ЛЛ
Рис. 1.10. Зависимость относительных плотностей энергии ДГ Нееля и Блоха и их относительных толщин от толщины кристалла для двух разных х
1 - х = 200; 2 - х = 20. Данные получены по модели Нееля; d — толщина пленки; ^о = d!^a> do кр = dKpl&a
Р и с. 1.11. Зависимости относительных плотностей энергии и относительных толщин блоховской и неелевской ДГ от относительной толщины кристалла, полученные на основе модели Дитце и Томаса для разных х
1 — X = Ю; 2 - х ~ 20; 3 - х = 1°°* Этим случаям соответствуют критические толщины d, равные 2,399; 1,738 и 0,692 соответственно. d0 = d^a; do кр = d^/ba; d - толщина пленки
и Ха ^ 104 Дж/м3. Плотность энергии 7В = 7^ %2,5 у0, что для тех же А и XQ составляет 1,12 • 10~3 Дж/м2.
Впоследствии оценки Нееля были уточнены Дитце и Томасом [207], которые более точно учли энергию обмена, анизотропии и энергию магнитостатического поля. При этом они исходили из следующего выражения для пробной функции, описывающей одномерное распределение (5 = 5^ или 5В):
sin г^ = 52/(52 + х2 ).
Полученные на основе их модели результаты представлены на рис. 1.11. Они подтверждают качественные выводы, сделанные Неелем, и при тех же значениях Ха,Адля х = 2лМ^/Ха = 20 дают dkp « 2054 А и 7^ = = 7в * 1,56 • 10“3 Дж/м2.
Более существенные особенности в строении стенок Нееля были найдены экспериментально Фельдкеллером и Фуксом [214]. Они установили, что ДГ в тонкой пленке должна состоять из двух областей: ядра и протяженного ответвления. В массивных образцах ДГ таких особенностей не имеют. В связи с этими наблюдениями Фукс и Фельдкеллер предложили для описания ДГ следующую пробную функцию:
sin б =sin б =a 5161 + х2a 5161 + х2(1-я) 6?62 +х2 ’(1-я) 6?62 +х2 ’
sin б =
sin б =
a 51
61 + х2
a 51
61 + х2
(1-я) 6?
62 +х2 ’
(1-я) 6?
62 +х2 ’
где а, 5Х и 62 — вариационные параметры.
Результаты расчета по такой модели представлены на рис. 1.12 (сплошные кривые). Для сравнения здесь же нанесены данные Дитце и Томаса, полученные для пермаллоевых пленок. Величина JKp равна 780 Аи 490 А согласно [214] и [207] соответственно.
В [194,254,250, 248, 232, 237] для исследования структуры ДГ развиты численные методы. При этом в [194] установлено, что распределение Мв ответвлении неелевской ДГ имеет логарифмическую особенность. В [248] показано, что на больших расстояниях от ДГ sin #(х) спадает как х-2. Ридель и Зегер [284] получили эти результаты, развив аналитический метод расчета.
Как указывалось выше, при выходе блоховской ДГ нашоверхность пленки образуются магнитостатические полюса. На рис. 1.13,а, б изображены такие полюса для двух идентичных ДГ с вращением М по часовой стрелке и против. Если пленки еще достаточно толстые и появление стенок Нееля невыгодно, энергия ДГ все же может быть уменьшена, если часть стенки будет обладать одной полярностью, а часть — другой (рис. 1.13,в). Такие ДГ называются стенками с переменной полярностью. Они наблюдались в [326]. Переходную область между участками ДГ с разной полярностью принято называть блоховской линией.
В работах [235, 266] и др. обнаружено, что в достаточно тонких пермаллоевых пленках могут возникать доменные стенки с новым типом доменной структуры. Они представляют собой основные протяженные стенки, поперек которых расположены дополнительные короткие участки стенок [264]. ДГ такого типа называют доменными стенками с поперечными связями. Мидцлхук впервые обратил внимание [264] на то, что основная
Рис. 1.12. Зависимости относитель- Д ной поверхностной плотности энергии блоковских и неелевских ДГ, вычисленные на основе модели Фельдткел- лера и Фукса (сплошные кривые), а также модели Дитце и Томаса (штри- 2 хов ые линии) [214]
Расчет проведен для пермалло- 2 л Му евых пленок с d^ = <//Д0, =
^ха1
= 4000, -уД = (Л4тгЛ^)^ До = ^АЦиМ'^= 4000, -уД = (Л4тгЛ^)^ До = ^АЦиМ'^Р и с. 1.13. Конфигурация ДГ с вращением М против часовой стрелки (б) и по часовой стрелке (а) вокруг нормали и при движении слева направо и образование ДГ с переменной полярностью, содержащей одну блоковскую линию (в)Р и с. 1.13. Конфигурация ДГ с вращением М против часовой стрелки (б) и по часовой стрелке (а) вокруг нормали и при движении слева направо и образование ДГ с переменной полярностью, содержащей одну блоковскую линию (в)и поперечная части такой ДГ могут представлять собой 90-градусные неелевские стенки, которые в целом могут заменить энергетически менее выгодную 180-градусную неелевскую стенку. Правомерность такого вывода связана с тем, что у90 < 71 во, гДе 7а — энергия а-градусной неелевской ДГ. Средняя энергия такой ДГ получена в [236] и представлена на рис. 1.15.
= 4000, -уД = (Л4тгЛ^)^ До = ^АЦиМ'^
= 4000, -уД = (Л4тгЛ^)^ До = ^АЦиМ'^
Р и с. 1.13. Конфигурация ДГ с вращением М против часовой стрелки (б) и по часовой стрелке (а) вокруг нормали и при движении слева направо и образование ДГ с переменной полярностью, содержащей одну блоковскую линию (в)
Р и с. 1.13. Конфигурация ДГ с вращением М против часовой стрелки (б) и по часовой стрелке (а) вокруг нормали и при движении слева направо и образование ДГ с переменной полярностью, содержащей одну блоковскую линию (в)
Одной из характерных особенностей всех рассмотренных выше ДГ является их симметричность относительно центральной плоскости х = х0 (х0 = = const), параллельной поверхности ДГ. Эти стенки так и называют: симметричными ДГ. При переходе через поверхность х = х0 компонента Mz обращается в нуль, т.е.
М’ЧМХ + ^у)1х=х<>=1.(1.47)
Если х0 = х0(у) (ось у перпендикулярна к поверхности пленки), то распределение М будет асимметричным относительно любой плоскости, параллельной поверхности ДГ (перпендикулярной х). Такие ДГ называют асимметричными. Возможность их существования можно понять из следующих соображений. Выше отмечалось, что энергия блоховских ДГ в ТМП увеличивается за счет увеличения энергии магнитостатического поля. По этой причине эти ДГ в очень тонкой пленке могут оказаться энергетически невыгод-
t / ////// ^xx-»-».x\ \ \ W I I I I
WUHHt K/^^<\ \ \ и H M
Рис. 1.14. Распределение намагниченности в асимметричной блоковской ДГ [168]. Сплошная линия - х0 (у)
Рис. 1.15. Энергия ДГ разных типов в зависимости от приведенной толщины пленки для различных значений приведенного магнитного поля h = HjHa, На = 2KijMs Кривая 1 и все кривые, соответствующие разным А, лежащие под кривой 1 и от начала координат до метки, соответствуют энергии симметричных стенок Нееля; кривая 2 и все штриховые кривые правее 2 — энергии асимметричных стенок Блоха; кривая 3 от метки до конца вправо и все сплошные линии под ней — энергии асимметричных стенок Нееля; кривая 4 — средняя энергия стенки с поперечными связями; светлые кружки — численные расчеты Ла Бонте [168]Рис. 1.15. Энергия ДГ разных типов в зависимости от приведенной толщины пленки для различных значений приведенного магнитного поля h = HjHa, На = 2KijMs Кривая 1 и все кривые, соответствующие разным А, лежащие под кривой 1 и от начала координат до метки, соответствуют энергии симметричных стенок Нееля; кривая 2 и все штриховые кривые правее 2 — энергии асимметричных стенок Блоха; кривая 3 от метки до конца вправо и все сплошные линии под ней — энергии асимметричных стенок Нееля; кривая 4 — средняя энергия стенки с поперечными связями; светлые кружки — численные расчеты Ла Бонте [168]
Рис. 1.15. Энергия ДГ разных типов в зависимости от приведенной толщины пленки для различных значений приведенного магнитного поля h = HjHa, На = 2KijMs Кривая 1 и все кривые, соответствующие разным А, лежащие под кривой 1 и от начала координат до метки, соответствуют энергии симметричных стенок Нееля; кривая 2 и все штриховые кривые правее 2 — энергии асимметричных стенок Блоха; кривая 3 от метки до конца вправо и все сплошные линии под ней — энергии асимметричных стенок Нееля; кривая 4 — средняя энергия стенки с поперечными связями; светлые кружки — численные расчеты Ла Бонте [168]
Рис. 1.15. Энергия ДГ разных типов в зависимости от приведенной толщины пленки для различных значений приведенного магнитного поля h = HjHa, На = 2KijMs Кривая 1 и все кривые, соответствующие разным А, лежащие под кривой 1 и от начала координат до метки, соответствуют энергии симметричных стенок Нееля; кривая 2 и все штриховые кривые правее 2 — энергии асимметричных стенок Блоха; кривая 3 от метки до конца вправо и все сплошные линии под ней — энергии асимметричных стенок Нееля; кривая 4 — средняя энергия стенки с поперечными связями; светлые кружки — численные расчеты Ла Бонте [168]
ными. Можно представить себе такое распределение М, когда магнитостатические поля будут полностью отсутствовать, т.е.
divM = 0;divM = 0;пМ|$ = 0,пМ|$ = 0,(1.48)(1.48)
divM = 0;
divM = 0;
пМ|$ = 0,
пМ|$ = 0,
(1.48)
(1.48)
где s указывает, что величина пМ берется на поверхности пленки; п— единичный вектор нормали к этой поверхности. ДГ такого типа называются стенками без полей рассеяния. Под полями рассеяния понимают магнитоста-
тические поля в точках вне источников полей. Однако оказывается, что ДГ без полей рассеяния возможны лишь в том случае, если они асимметричны. Только тогда можно согласовать условия (1.47) и (1.48). Первая попытка отказа от рассмотрения симметричных ДГ принадлежит Аарони [180]. Успех в этом направлении достигнут в работах Ла Бонте [253] и Хуберта [238], [236]. Исследования показали, что существуют два класса функций, используя которые можно удовлетворить (1.47) и (1.48). К первому из них относят х0(у), симметричные относительно плоскости у = 0. Такие ДГ в настоящее время называют асимметричными блоховскими стенками. Ко второму классу относятся ДГ, которые несимметричны относительно плоскости у = 0, но имеют точечную симметрию относительно х = 0,у = 0. Такие стенки называют асимметричными неелевскими стенками. На рис. 1.14 показан пример распределения М в этих стенках. Энергии ДГ разных типов приведены на рис. 1.15. В настоящее время существование асимметричных ДГ установлено экспериментально (см. [310, 228,234]). Дальнейшее развитие представлений об асимметричных стенках можно найти в [181,241, 121, 107].
ДОМЕННЫЕ СТЕНКИ В МАГНИТНЫХ ПЛЕНКАХС ОСЬЮ ЛЕГКОГО НАМАГНИЧИВАНИЯ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Ориентация ОЛН перпендикулярно поверхности пленки возможна как в пленках с фактором качества Q< 1 (Q = ^С 1а121гМ$У, так и с Q > I. К первым из них относятся пермаллоевые пленки с так называемой перпендикулярной анизотропией. Примером вторых могут служить пленки ЦМД-материалов. Рис. 1.16 иллюстрирует возможную доменную стенку в пленках с Q > 1. Здесь средняя намагниченность доменной границы направлена параллельно поверхности пленки, поэтому на структуру ДГ оказывают влияние только магнитостатические полюса, связанные с выходом на поверхность пленки намагниченности в доменах. Эти полюса обусловливают появление магнитостатического поля, которое может быть найдено из (1.12) с соответствующими граничными условиями и равно
H(m) = - V I d г М, (г') —— 7- .(1.49)
^Х( Iг — Г I
Здесь и везде далее под Jdr (...) следует понимать fff(.^) dxdydz. Важное значение имеет х — компонента этого поля, которая приближенно равна (z ^ ± J/2)
, хd + 2 z
№ = 4Af,ln —— .(150)
хd - 2 z
Отсюда видно, что Н^т^ имеет противоположные знаки на противоположных поверхностях пленки, что приводит к разной ориентации Мв ДГ на указанных противоположных поверхностях. В результате возникает так называемая скрученная ДГ [302,303,290,291,292,226] (рис. 1.17).
Полная плотность магнитостатической энергии, связанной с образованием
1 Вместо ^ i а во всех приводимых для магнитоодноосных материалов результатах можно подставить также УС и.
Р и с. 1.16. Изображение плоскопараллельной ДС в тонких магнитоодноосных пленках с ОЛН, перпендикулярной поверхности; Q > 1
Рис. 1.17. Схематическое изображение скрученной ДГ в магнитоодноосной пленке с Q > 1, ОЛН перпендикулярна ее поверхности
скрученной ДГ, при d>ba может быть представлена в виде
wm = -H^MS sin 9 sin Ф + 2 тг М^ sin20 sin2 Ф,(1.51)
где 9 - полярный (отсчитывается от ОЛН) угол; Ф- азимутальный угол (отсчитывается от оси у). В этих же переменных плотность обменной и анизотропной энергии может быть представлена в виде
и^ = Л [(V0)2 +8т20(7Ф)2] + ^1а sin20.(1.52)
Поверхностная плотность энергии скрученой доменной границы может быть вычислена согласно
7 = / wdx,(1.53)
где
w = wA^wm.(1.54)
Считая, что изменение 9 происходит точно по такому же закону, как и в простой блоховской ДГ - см. (1.30) - после интегрирования (1.53) с учетом (1.51), (1.52) получим
7 =То + т52 То -nMsba Н^ sin Ф + 5а 4яМ/ sin2 Ф. (1.55) 2 \az у
Если Ф плавно изменяется по толщине пленки, то при d > Ьа вклад обменной энергии в (1.55) мал. Учитывая это и минимизируя функционал
E = MdS,(1.56)
получим
со&Ф^% Ms %хпФ - Н^т^=0.(1.57)
Отсюда для решений Ф = Фо, соответствующих минимуму Е, имеем
8тФ0 =Я<т>/8^; |^т)| <%М$;
sinФо =+ 1; |Мт)| >%MS.(1.58)
Эти результаты пред ставлены на рис. 1.18 (сплошные линии). Точки z = = ^zc определяются из условий Н^т) = ±8М$. Легкопроверить, используя (1.55), что вблизи этих точек малые изменения угла Фо слабо изменяют энергию скрученной ДГ. Из рисунка видно, что в интервалах zc <z <d/2f - d/2 <z <— zc структура ДГ оказывается неелевской. Вблизи центральной плоскости пленки (z = 0) ДГ имеет блоховскую структуру, причем по аналогии с блоховскими стенками двух противоположных полярностей (с вращением М по часовой стрелке и против относительно нормали к
Рис. 1.18. Зависимость угла Фо, описывающего ориентацию М в скрученной ДГ, от г
поверхности ДГ, т.е, с Фо = 0 и ф> = я) здесь также можно ввести две разные скрученные ДГ, так что для одной из них при z = 0, Фо = 0, а для другой Фо = я. На рис. 1.18 эти стенки отвечают участкам— я/2 < Фо <я/2и я/2 <Ф0 <Зя/2 соответственно. Энергии двух таких ДГ одинаковы. Отмеченное вырождение играет важную роль в динамических процессах (см. гл. 3).
Учет обменной энергии приводит к сглаживанию зависимости Фо (z) вблизи точек z = tzc.
При условии d > ba , используя (1.58), можно получить [291]
7=7о(1-^о/С)й,(159)
где 0О ^ 0,612. Отсюда видно, что энергия скрученной ДГ меньше, чем энергия простой блоховской стенки.
Дальнейшие представления о скрученной ДГ содержатся в работах [239, 204, 102, 37, 167, 125, 132]. При этом в [239, 204] для описания скрученных ДГ развиты численные методы. Шир и другие [298] численными методами исследовали влияние на двухмерную структуру ДГ в ЦМД-пленках имплантированных слоев, наносимых на поверхность. В работе [3] развит численный метод, требующий для своей реализации сравнительно малых затрат времени.
ЕЛОХОВСКИЕ ЛИНИИ В ФЕРРОМАГНИТНЫХ ПЛЕНКАХ
В разделе 1.3 мы уже ввели представление о блоховской линии как о переходной области между двумя участками ДГ с разной полярностью. Такое определение будет справедливым для любых рассматриваемых ниже линий. Термин ’’блоховская линия” был введен Де-Блуа и Грехэмом [202]. Появление блоховских линий в пленках с ОЛН, параллельной по-
верхности, согласно сказанному в разделе 1.3, выгодно энергетически. Однако блоковские линии могут существовать и в пленках с ОЛН, перпендикулярной поверхности, а также в пленках с многоосным характером магнитной анизотропии.
В первом случае они существуют как метастабильные образования, и их появление может быть связано с предысторией возникновения соответствующего магнитного состояния или с действием внешних сил. Известно также спонтанное образование линий в процессе движения ДГ (см. гл. 3) . Оказалось, что блоковские линии могут быть вертикальными (ВБЛ) или горизонтальными (ГБЛ), если они перпендикулярны или параллельны поверхности пленки соответственно. Такие понятия были введены Мало- земовым и Слончевским [263].
Елоховские линии могут существовать как в блоховских, так и в нее- левских стенках. В первом случае они, по существу, представляют собой неелевские участки на блоховской стенке, во втором, наоборот, блохов- ские участки на неелевской стенке. Как и ДГ, могут существовать бло- ховские линии двух противоположных полярностей. Пусть с представляет собой ось, вокруг которой происходит поворот М в простой ДГ. Для блоховской и неелевской ДГ с параллельна нормали к плоскости ДГ и плоскости пленки соответственно. Распределение М в ДГ при наличии блоховской линии можно представить, если иметь в виду, что, продвигаясь вдоль направления, перпендикулярного ВБЛ, ось с поворачивается вокруг направления М в одном из доменов. Такой поворот может быть как по часовой стрелке так и против. В соответствии с этим можно вводить блоховские линии противоположных полярностей. Средние по толщине этих линий намагниченности прямо противоположны по направлению.
Хотя блоховские линии могут существовать как в веществах с Q > 1, так и с Q < 1, мы остановимся на первом случае, соответствующем ЦМД- пленкам. Это связано не только с практической важностью ЦМД-пленок, но и с тем, что в данном случае вклад магнитостатических полей мал, и появляется возможность аналитических оценок структуры и энергии блоховских линий.
Для оценки структуры и энергии ВБЛ обычно исходят из следующего выражения для поверхностной плотности энергии ДГ, содержащей ВБЛ [316]:
06(/ЭФ\21
7= J ^х)Л|(—I + sin2 0 I—) |+^iasin20+(1.60)
-°°| L\dx/J
+ 2ir M$ sin2 9 sin2 Ф^, где предполагается, что полярный угол 9 (отсчитывается от оси?, параллельной ОЛН) зависит только от координаты х (ось х перпендикулярна плоскости ДГ), а азимутальный угол Ф (отсчитывается от оси у, параллельной поверхности ДГ) зависит только от .у (рис. 1.19).
Используя условие Q > 1 и решая уравнения, получающиеся в результате варьирования функционала (1.60) по 0 и Ф, с учетом условий, что 0 и Ф на ± °° принимают значения 0 или я, а производные от 9 и Фпо х и у соот-
Рис. 1.19. Изображение ВБЛ в ДГ и координатной системы, связанной с центром ВБ Л и используемой для расчета структуры и энергии ВБЛСтрелки показывают направление немагниченности в центральных сечениях ДГ, ВБЛ и доменовРис. 1.19. Изображение ВБЛ в ДГ и координатной системы, связанной с центром ВБ Л и используемой для расчета структуры и энергии ВБЛСтрелки показывают направление немагниченности в центральных сечениях ДГ, ВБЛ и доменовУУ
Рис. 1.19. Изображение ВБЛ в ДГ и координатной системы, связанной с центром ВБ Л и используемой для расчета структуры и энергии ВБЛ
Стрелки показывают направление немагниченности в центральных сечениях ДГ, ВБЛ и доменов
Рис. 1.19. Изображение ВБЛ в ДГ и координатной системы, связанной с центром ВБ Л и используемой для расчета структуры и энергии ВБЛ
Стрелки показывают направление немагниченности в центральных сечениях ДГ, ВБЛ и доменов
У
У
Рис. 1.20. Схема, иллюстрирующая сужение ДГ вблизи ВБЛ
ветственно на ± 00 равны нулю, получим
cos в = ±th(x/A);(1.61)
cos Ф = ± th (у/А0),(1 -62)
где
д = ба а + хзп^ФГ^Ло^/глл^.х^'1.(1.63)
Таким образом, формально структура ДГ с ВБЛ схожа со структурой блоховской стенки при фиксированных у. Однако с приближением к ВБЛ в ширину ДГ, которая пропорциональна Д, будет давать вклад слагаемое 8а xsin2 Ф, зависящее от у. Поэтому ДГ в месте существования ВБЛ сужается. Это проиллюстрировано на рис. 1.20. Ширина самой ВБЛ пропорциональна Ао. Эта величина, как и следовало ожидать, определяется величиной плотности энергии магнитостатического поля. Поскольку Q > 1, из сравнения Д и Ао следует, что ДГ уже ВБЛ.
Энергия ВБЛ, рассчитанная на единицу ее длины, определяется из соотношения
(1.64)(1.64)(1.65)(1.65)ов = 7 dy^-io).
(1.64)
(1.64)
(1.65)
(1.65)
Согласно [99],имеем oB=8AQ-y\
что, например, для лантан-галлиевого граната [206] при Q = 25,2, Л = = 10"1 2Дж/м дает ав 1,6 • 10-12 Дж/м.
Заметим, что энергия (1.65) соответствует двум типам ВБЛ с противоположной полярностью, соответствующим двум разным знакам в (1.62).
Рис. 1.21. Изображение появления блоковской точки в ДГ со сложной конфигурацией намагниченностиЧерный кружок - точка БлохаРис. 1.21. Изображение появления блоковской точки в ДГ со сложной конфигурацией намагниченностиЧерный кружок - точка Блоха
Рис. 1.21. Изображение появления блоковской точки в ДГ со сложной конфигурацией намагниченности
Черный кружок - точка Блоха
Рис. 1.21. Изображение появления блоковской точки в ДГ со сложной конфигурацией намагниченности
Черный кружок - точка Блоха
Рис. 1.22. Горизонтальная блоковская линия (участок ab) на скрученной ДГ, описываемая зависимостью Фо (z)
Координата z = z; соответствует центру ГБЛ, а координаты z^ и zQ - ее концам
И/БТ=2я43/2^'лИ/БТ=2я43/2^'лТакая ситуация допускает появление так называемой блоковской точки на блоковской линии (pic. 1.21), которая отделяет участки ВБ Л с противоположной полярностью [99]. Энергия WET блоковской точки, представляющая собой разность энергий ВБЛ, рассчитаннык на единицу ик длины при наличии или отсутствии указанной точки, оказывается конечной и равной [99] (при 5>1)
И/БТ=2я43/2^'л
И/БТ=2я43/2^'л
+ 1,901.(1.66) 2тгМ? /
Первые упоминания о точкак подобного типа содержатся в [213].
Обратимся теперь к описанию ГБЛ. В разделе 1.4 показано, что возможны скрученные ДГ разного направления скрученности М. В связи с этим можно представить, что существуют ДГ, одна часть кото рык скручена в одном направлении, другая — в противоположном. Перекодная область, отделяющая участки стенки с разной скрученностью, представляет собой горизонтальную блоковскую линию (рис. 1.22). На этом рисунке ГБЛ ради удобства скематически представлена в виде перекодного участка ab между ветвями скрученной ДГ с углом Ф = 0 в центре пленки. Угол Фо в пределак линии Блока изменяется в интервале (л/2)- Ф/<Ф < (тг/2) + + Ф/, где Ф/ — наибольшее отклонение Фот угла я/2 в пределак ГБЛ. Это изменение проискодит в очень узком интервале z (^ До) вблизи точки z = zi, которую можно принять за центр ГБЛ. В связи с этим обменное взаимодействие в (1.55) при учете ГБЛ будет играть важную роль.
Энергию ГБЛ, рассчитанную на единицу ее длины (вдоль у) представим
в виде
dJ2 ~~
и/, = / dz (7 - 7о),(1.67)
-d/2
где 7о = 7(Ф = Фо) и
7 = 7о - ^Ms 6а Н^ sin Ф + 4л М$ 6а $т2Ф0.(1.68)
Минимизируя функционал (1.67), получим [303]
W, = 8 Л 2~% (sin Ф, — Ф, cos Ф,).(1.69)
Это выражение справедливо при условии, что Н^т^ < 8 М$. Из (1.69) видно, что энергия блоховской линии особенно мала при малых Ф/, т.е. когда ГБЛ находится вблизи точки - zc. Отсюда можно сделать предположение, что ГБЛ сравнительно просто могут зарождаться именно в точках ± zc. Интересно обратить внимание на то, что множитель 8 AQ-V1 в энергии ГБЛ совпадает с энергией ВБЛ.
Глава 2РАВНОВЕСНЫЕ СВОЙСТВА ДОМЕННЫХ СТРУКТУРВ ФЕРРОМАГНЕТИКАХ
ПОЛОСОВАЯ ДОМЕННАЯ СТРУКТУРАВ МАГНИТООДНООСНЫХ КРИСТАЛЛАХ
Равновесные свойства ДС определяются размером и формой образцов, ориентацией их поверхностей по отношению к ОЛН, а также количеством ОЛН, которыми может обладать ферромагнетик.
Выше отмечалось, что появление ДС связано с поверхностями кристалла, на которых неизбежно появлялись бы магнитостатические полюса (одинаковой полярности на одной поверхности) при условии, если бы кристалл оставался в состоянии однородного намагничивания. Добавим, что полюса могут возникать и на внутренних дефектах ферромагнетиков, таких, например, как разрывы сплошности, различного рода магнитные и немагнитные включения, границы кристаллитов и др. Во всех этих случаях могут образовываться ДС. По-видимому, в некоторых случаях их образование можно объяснить и топологическими особенностями поведения М вблизи некоторых дефектов, например вблизи дислокаций. Интересные исследования в этом плане были выполнены Никитенко с соавторами [25, 104] и Николаевым с соавторами [40, 39].
В данном разделе будет рассмотрена плоскопараллельная ДС (см. рис. 1.1 и 1.16) с ДГ, перпендикулярными поверхностям магнитоодноосной плоскопараллельной пластины толщиной d, и с ОЛН, перпендикулярной поверхности пластины. Пусть плоскость пластины параллельна плоскости (ху) системы координат xyz с осью z, параллельной ОЛН, и пусть плоскости ДГ перпендикулярны плоскости пластины. Указанная ДС уменьшает энергию магнитостатического поля Н^т^ от значения 2я ^ до значения
33333. Зак. 1219
33
33
wm. Равновесные свойства рассматриваемой ДС, очевидно, определяются энергией wm и доменных границ.
Найдем плотность магнитостатической энергии
Ly-~у
где 2Ly - размер пластины вдоль у; 2D — период ДС; К — объем пластины. Будем считать ДС периодической, а ДГ — бесконечно тонкими и, имея в виду, что
Mz (х) = Mz<x+2D),(2.2)
запишем
Mz = 5 cneipnx; Pn = imlD,(2.3)
л = —ОО
где коэффициенты Фурье
сп = ^ l^Mz<xV"ip«xdx, сп =с_п.(2.4)
Используя (1.13), (1.49), .(2.1), выполняя интегрирование и суммирование по и, получим
еот = 2тг dcj + 4я'S | cj 2 р"1 (1 - e"p»d).(2.5)
П=1
Вычисляя согласно (2.4) сп и подставляя в (2.5), при d^D имеем [74] em=vM^D,(2.6)
где
16 ОО
^ =— 5 и"3» 1,705.
•п1”=*
(нечетн.)
Приписывая каждой ДГ плотность поверхностной энергии 7 (см. гл.1), для энергии ДГ, рассчитанной на .единицу поверхности кристалла, имеем 7 d)D, так что для суммарной шлотности е энергии доменных границ и магнитостатического поля имеем
„ d
e=vMlD*i—.(2.7)
Минимизация е по ширине домена дает
D=vxQddy\(2.8)
где
/0=7/(4тг^2)*(2.9)
— материальная длина, a vx = (4тг/^)1/а «2,715. 34
Рис. 2.1. Изгибание ДГ вблизи поверхности магнитоодноосного кристалла, перпендикулярной ОЛН [222]
Для СО (4тг М$ = 1,76 • 104 Гс, 7^4- 10"3 Дж/м2) с d = 1 см имеем D % 1,1 • 10"3 см, что значительно больше Ьа.
Из (2.8) видно, что размер домена существенно зависит от толщины пластины. Если подста
вить D из (2.8) в (2.7), то для
объемной плотности Wmin = ет|П/^ образца со слоистой ДС получаем
(2.10)(2.10)/ мМ Wmin=2p7) . \ d /
(2.10)
(2.10)
Сравнение с 2л М$ показывает, что энергия пластины с ДС действительно может быть существенно меньше энергии однородно намагниченной пластины. Конкретно для Со с d = 1 см Wmin«7,3 • 102 Дж/м3, в то время как 2я Л/f 1,23 • 106 Дж/м3. Однако И^р растет с уменьшением d, и в очень тонких пластинах существование ДС может оказаться невыгодным (см., например, [74, 193, 78]).
Приведенные выше оценки» [74] были уточнены в работе Малека и Камберского [260], которые установили, что указанные результаты справедливы для пленок с d> d<>. Ниже d0 происходит быстрое увеличение D, свидетельствующее о переходе пластины с d < dQ в однодоменное (вдоль ОЛН) состояние, что подтверждается экспериментально на поликристал- лических пленках Мп Bi, в которых ОЛН перпендикулярна поверхности [327].
Первые экспериментальные свидетельства о возможности слоистых ДС содержатся в [211]. Дальнейшие экспериментальные .исследования ДС, проведенные на монокристаллических магнитоодноосных образцах с Q > 1 [285, 243, 244, 69, 70, 311, 252], подтвердили,приведенные выше выводы.
При этом дополнительно было установлено, что вид ДС на плоскостях пластины, перпендикулярных ОЛН, зависит от толщины кристалла Так, согласно [285], в тонких монокристаллических пластинах Мп Bi ДС в основном может быть плоскопараллельной; в то время как в более толстых пластинах ДГ на поверхности пластины становятся волнистыми. При дальнейшем увеличении толщины кристалла ДС еще больше усложняется.
Слоистая ДС может существовать также и в метастабильном состоянии. Так, в [243, 69] было выяснено, что вид ДС в остаточно намагниченном состоянии зависит от способа ее получения. Было установлено также, что сложный характер ДС имеет лишь вблизи поверхности образца, оставаясь простой (слоистой) в его глубине. Возможность разветвления (усложнения) ДС вблизи поверхности образца была предсказана еще Лифшицем [96]. Как выяснилось далее, в одноосных кристаллах процессу разветвления ДС предшествует процесс изгибания доменных границ [285].
Теория гакого изгибания построена Гудинафом [222] (см. также [243, 311]). Было выяснено, что изгиб ДГ уменьшается при удалении от базисной поверхности образца (рис. 2.1). В [222] исследованы и более сложные поверхностные конфигурации доменов. Модели разветвленных структур рассчитаны также в [252, 70]. Теория предельного разветвления ДС в магнитоодноосных кристаллах построена в [114]. При этом рассмотрена лишь плоская модель разветвленной структуры.
Выводы, следующие из упомянутых выше исследований, можно сформулировать следующим образом. Слоистая ДС может существовать вблизи базисных поверхностей в магнитноодноосных пластинах с Q > 1, если толщина этих пластин превосходит размер однодоменности, но меньше некоторого критического размера d*. Выше d* более выгодной является ДС с изогнутыми при приближении к поверхности ДГ. В пластинах с d> > dk (d*<dk) выгодной оказывается разветвленная ДС. Следует, конечно, помнить, что слоистые ДС могут существовать также и в метастабильных состояних, о чем упоминалось выше. Указанные критические размеры зависят от констант вещества (обменных и анизотропных параметров и от намагниченности насыщения). Однако конкретные оценки d* и dk в магнитноодноосных кристаллах весьма затруднительны. В [114] показано, что dk ^с 8а, где с — некий численный множитель, требующий для своего определения точного знания энергии неразветвленной ДС. В [70] для dk и d* получены более определенные данные. Так, для пластин Sm Со5 найдено, что d* 30 мкм, a dk % 50 мкм. При этом модельный расчет [70] дает dk ^ 236 1^ (где /0 - уже упоминавшаяся материальная длина),что для пластин Sm Со5 приводит к значению dk, которое лишь в 2 раза отличается от экспериментального.
Возможность усложнения ДС при приближении к поверхности толстых пластин с Q > 1 и d>d* можно объяснить, например, следующим образом. При образовании ДС магнитостатические полюса на поверхности пластин дробятся, но не исчезают полностью. Дальнейшее их дробление могло бы привести к еще большему понижению энергии намагниченности в магнитостатическом поле. Однако при этом сильно возрастет энергия доменных границ, особенно если d > d*. Можно представить себе лишь частичное увеличение площади ДГ за счет образования поверхностной конфигурации доменов, которая приводит к дополнительному дроблению полюсов. В такой ситуации энергия кристаллов с разветвленной ДС (при d > d*^ понизится по сравнению с энергией кристаллов, обладающих слоистой ДС, что и обусловливает появление разветвленной структуры.
Расчеты волнистой [311] и разветвленной ДС [70] дают D*d0,6. Расчеты предельно разветвленной ДС [114] приводят к зависимости/)^^2/3. Несмотря на то что в [114] рассмотрена лишь плоская модель, этот закон действительно выполняется [243, 69].
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДОМЕННЫЕ СТРУКТУРЫВ МАГНИТООДНООСНЫХ КРИСТАЛЛАХС УЧЕТОМ КОНЕЧНОСТИ РАЗМЕРОВ ДГ
Минимизация функционала (1.22) для магнитоодноосного кристалла с<^2д = 0 позволяет получить уравнение для d, первый интеграл которого можно представить в виде
тМ^)=С,(2.11)
где
dSх
17 =—*Л = -; K(^)=-sin2^,(2.12)
^&а
С — постоянная интегрирования.
Обратимся к фазовой плоскости (17, #),на которой 77 (#) представлена для различных значений постоянной С^0. Из рис. 2.2 видно, что случай С = 0 дает сепаратрисное решение, отделяющее на фазовой плоскости решения двух разных типов. Одному из них, соответствующему ОО, отвечает периодическое решение с #, изменяющимся в произвольных пределах. Вектор намагниченности М в данном случае непрерывно поворачивается вокруг оси х, неоднократно проходя около направления ОЛН. Такие периодические решения впервые были рассмотрены Широбоковым [174]. Соответствующие им ДС будем называть широбоковскими.
Другое решение имеет место при — 1 < С < 0. Точнее в данном случае получаются два вырожденных решения, соответствующих одной и той же энергии. Эти решения также периодические, однако они таковы, что при заданном С величина О изменяется в пределах углов, меньших я, около одного из двух противоположных направлений О = я/2 и ^ = - тг/2, лежащих в плоскости пленки. Напомним, что ОЛН перпендикулярна плоскости пленки. Для решений такого типа при продвижении вдоль х М испытывает колебания около направления, лежащего в плоскости пленки, и никогда не проходит через направление, параллельное ОЛН. Задачу указанного поведения намагниченности впервые рассмотрел Кацер [246]. ДС с таким поведением М назовем кацеровской.
Конкретный вид описанных решений легко найти из (2.11). Имеем
cos О = ± к sn (х/5^, к)(2.13)
в случае кацеровской ДС (— 1 < С < 0), и
cos d =± sn(x/5a ^1Д1)(2.14)
в случае широбоковской ДС (С > 0). В этих формулах sn (2, к) — эллиптический синус, а к и кх — модули эллиптических интегралов для С из интервалов — 1 <С<0 и С> 0 соответственно, причем
k=VcTT,k1 = к"х.(2.15)
Поскольку наименьший период эллиптического синуса равен 4 К, где К - полный эллиптический интеграл первого рода, период cos 6 по х равен 4 Ьа кх К^), если О 0 и 46й K(fc), если - 1 <С<0. С другой стороны, эти величины являются периодами 2D (см. рис. 1.1) соответст-
Рис. 2.2. Зависимость т}(^) = ± (С - К($))^2 от а
Жирная линия (С = 0) соответствует сепаратрисному решению, отделяющему на плоскости 77, # периодические решения с С > 0 от периодических решений с - 1 < < С< 0
(2Л6)(2.17)(2Л6)(2.17)вующих ДС, так что для ширины доменов D имеем D=28a ^К(^),еслиС>0;
(2Л6)
(2.17)
(2Л6)
(2.17)
D=28a К(£),если- 1 <С <0.
Параметр С, или фактически Ц определяется из минимизации полной энергии кристалла е, состоящей из энергии обмена, анизотропии и энергии размагничивающих полей.
Оба решения имеют сходный вид (рис. 2.3): cos £ быстро изменяется в пределах очень узких областей (~6а) и весьма медленно в довольно широких областях ^D > 8а ). Однако, как видно из рисунка, при С < 0 cos # не превосходит значения cos #0, которое определяется уравнением
(2.18)(2.18)cos ^0 = к.
(2.18)
(2.18)
Заметим, что при С -► 0 оба приведенных решения переходят в (1.30).
Детальные оценки [247] показывают, что угол #0 может иметь большие значения лишь в пленках с Q < 1. Если Q> 1, то #0 практически равно нулю. В связи с этим следует ожидать что ДС широбоковского типа реализуется в пленках с большим фактором качества Q, например в области толщин do < d < d^, когда на поверхности пленки наблюдается доменная структура в виде полос (полосовая ДС). Видимо, распределение М может также описываться законом (2.14) во внутренней части массивного образца.
Поскольку образованию ДС с распределением М типа (2.13) способствует энергия магнитостатического поля, представляется вероятным, что структура кацеровского типа реализуется в магнитных пленках также с ОЛН, перпендикулярной поверхности, но с 0 ^ 1 в некоторой области толщин вблизи dQ. Тогда d0 представляет критическую толщину пленки, ниже которой указанная ДС оказывается неустойчивой, и вместо нее появляется магнитное состояние пленки с однородной намагниченностью в ее плоскости.
cos#
Рис. 2.3. Зависимость cos (х) для периодической ДС широбоковского типа (сплошная кривая, С > 0) и кацеровского типа (штриховая кривая, - 1 < С < 0)
К пленкам, в которых Q < 1, но ОЛН перпендикулярна поверхности, относятся, например, пермаллоевые пленки, пленки СоА1, Со и др. На поверхностях всех этих пленок в некоторой области толщин, больших #о, наблюдалась регулярная полосовая ДС (см., например: [287, 309, 109]; более полную библиографию по данному вопросу можно найти в [120]). Особый интерес представляют электронно-микроскопические исследования [249, 283, 281], подтверждающие осциллирующий (около плоскости пленки) характер распределения М в полосовой ДС.
Полосовая ДС, однако, наблюдается в некоторых пленках толщиной порядка #0- При d > d0 на поверхности наблюдаются структуры более сложного типа [281]. По-видимому, ее изменения происходят уже на стадии, когда на поверхности еще видна полосовая ДС [110].
Заметим, что на существование критической толщины d0 в пленках с Q < 1, но с ОЛН, перпендикулярной поверхности, указывалось еще в [246], Однако окончательно этот вопрос удается решить только при учете неодномерного характера распределения М [269], а также в рамках теории спонтанного зарождения ДС [233,160, 87, 88,157, 89].
Теперь обратим внимание на то, что при анализе возможности существования кацеровской ДС в [246] пробная функция, минимизирующая функционал w, выбиралась в виде (2.13). Такой подход учитывает влияние магнитостатических полей Н^т^ только в областях с медленным изменением направления М (доменах). В связи с этим укажем на подход [120], в котором учитывалось влияние Н^т^ на область с быстрым изменением М. При этом использовалось следующее приближенное выражение для магнитостатической энергии:
1
wm = ~М] Nz sin2#, (2.19) 2
Nz = (4D/d)Vl - exp^-nd/D^ . (2.20)
Рис. 2.4. Зависимость равновесной ширины полосовых доменов в пленках с ОЛН, перпендикулярной поверхности, от приведенного значения внешнего магнитного поляСплошная линия — расчетная кривая [156], кружки — экспериментальные данные для пленок 83 мае.% Ni - 17мас.% Ее толщиной 14 мкм [108]. Светлые и темные кружки относятся соответственно к увеличению и уменьшению hРис. 2.4. Зависимость равновесной ширины полосовых доменов в пленках с ОЛН, перпендикулярной поверхности, от приведенного значения внешнего магнитного поляСплошная линия — расчетная кривая [156], кружки — экспериментальные данные для пленок 83 мае.% Ni - 17мас.% Ее толщиной 14 мкм [108]. Светлые и темные кружки относятся соответственно к увеличению и уменьшению h
Рис. 2.4. Зависимость равновесной ширины полосовых доменов в пленках с ОЛН, перпендикулярной поверхности, от приведенного значения внешнего магнитного поля
Сплошная линия — расчетная кривая [156], кружки — экспериментальные данные для пленок 83 мае.% Ni - 17мас.% Ее толщиной 14 мкм [108]. Светлые и темные кружки относятся соответственно к увеличению и уменьшению h
Рис. 2.4. Зависимость равновесной ширины полосовых доменов в пленках с ОЛН, перпендикулярной поверхности, от приведенного значения внешнего магнитного поля
Сплошная линия — расчетная кривая [156], кружки — экспериментальные данные для пленок 83 мае.% Ni - 17мас.% Ее толщиной 14 мкм [108]. Светлые и темные кружки относятся соответственно к увеличению и уменьшению h
Рис. 15» Фазовая кривая, отделяющая однородно намагниченные состояния пленки с перпендикулярной анизотропией (над кривой) от состояний с полосовой (под кривой) ДС [156] \hc = Hc/Ha, lc = dc]bQ, Нс> dc - критические поля и толщины пленок, при достижении которых ДС исчезает)
Хотя (2.19) представляет некую модель, однако получающиеся при этом результаты для параметров пленки с полосовой ДС (критические толщина и период доменов) хорошо согласуются с немодельными расчетами [269]. Простота же указанной модели позволяет использовать ее и при анализе более сложных явлений в пленках с полосовой ДС. При этом очень важно, что вид решения ^2.13) не изменяется. Следует лишь заменить величину 6а на &Е = (А/Л*)”,где
ас*=5С- 2TtMlNz,(2.21)
причем оказывается, что в области существования полосовой ДС в пленках с Q < 1 и ОЛН, перпендикулярной поверхности,^* > 0.
Модельные подходы к описанию ДС в пленках с Q < 1 были развиты также в ряде других работ (см. [100] и ссылки в ней).
Рассмотренные выше типы периодического распределения М представляют одномерные решения уравнений Ландау и Лифшица [122]. В работе [72] было проведено обобщение этих решений на случай возможности выхода М из плоскости ДГ. Полученные при этом решения описывают колебания М около плоскости трудного намагничивания (аналогично кацеровской ДС) при одновременной его прецессии вокруг ОЛН. В работах [13, 51, 156] исследовано влияние магнитного поля на периодические ДС. При этом в [156] найдены период доменной структуры, остаточная намагниченность и восприимчивость. В качестве примера на рис. 2.4 представлена зависимость равновесного размера Dp(h) от А = Но!На (Но - внешнее магнитное поле, приложенное в плоскости пленки параллельно доменным границам, На = 2JCU/MS — поле анизотропии). Здесь же нанесены экспериментальные точки [108], снятые на пленках 83% Ni — 17% Fe толщиной 14 мкм. При этом предполагалось, что поле насыщения близко к полю анизотропии.
На рис. 2.5 представлена фазовая кривая, отделяющая однородно намагниченные состояния от состояний с полосовой ДС [15 6, 233, 269]. В [13] исследован фазовый период из однородно намагниченного состояния в состояние ДС в пленках с ОЛН, перпендикулярной поверхности, и с Q > 1. Показано, что такой переход может происходить в полях, близких к 4 я Ms. Он является фазовым переходом первого рода, близким ко второму.
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ МАГНИТНЫЕ ДОМЕНЫ
В магнитных пленках с ОЛН, перпендикулярной поверхности, и с Q > 1 в присутствии внешнего магнитного поля, параллельного ОЛН, могут существовать изолированные области обратной намагниченности цилиндрической формы (рис. 2.6). В отечественной литературе за ними закрепилось название ЦМД - цилиндрические магнитные домены. Замечательными свойствами ЦМД являются их малые размеры и высокие подвижности. Впервые ЦМД наблюдались на монокристаллических пластинах иттриевого ортоферрита Шервудом, Ремейкой и Вильямсом [297]. В настоящее время на основе смешанных ферритов-гранатов с редкоземельными добавками специально разработаны ЦМД-материалы, в которых могут существовать ЦМД микронных и субмикронных размеров (см. ссылки в монографиях [94, 105, 116, 179]. ЦМД оказались перспективными для применения в устройствах памяти вычислительных машин. Толчком к развитию исследований на эту тему послужила работа Бобека [191]. Первая теория ЦМД содержится в [201]. Обстоятельно задача была решена в работах Тиля [313,314].
Вновь рассмотрим пластину толщиной d и с единственной ОЛН, перпендикулярной поверхности. Пластина помещена во внешнее магнитное поле, параллельное ОЛН и направленное вдоль z. Будем предполагать, что размеры пластины вдоль осей х и у значительно больше d. Пусть в такой дитастине имеется ЦМД с образующей г(0), представляющей произвольную функцию 6 (рис. 2.6). Угол 0 отсчитывается от оси х. С конечной энергией границ ЦМД связано сжатие домена. Сжатие возникает также и со стороны внешнего магнитного поля Яо. Сжимающие силы компенсируются силами растяжения со стороны магнитостатического поля. Таким образом, равновесные размеры ЦМД могут быть найдены из минимума полной энергии Е, срстоящей из энергии доменных границ Ew, и энергией Ени Ет намагниченности во внешнем и магнитостатических полях соответственно. Эти энергии могут быть представлены в виде
Ет=-1- / MH^dr;(2.22)
2 я _
EH = dMsH0 / r2(9)d9;(2.23)
о
„2# Г ,/Эг(9)\ 21
Ew=fd /^(9)+/-^-/)^,(2.24)
0\ 39 / J
где К - объем пластины.
Рис, 2.6. Изображение изолированного ЦМД круговой и искаженной формы сечения в магнито одноосной пленке с ОЛН, перпендикулярной поверхности
Стрелки показывают направление намагниченности в пленке и домене
При этом, следуя [313], считаем, что ДГ являются бесконечно тонкими и обладают плотностью поверхностной энергии, равной 7; направление М во всех точках образца совпадает с направлением z или -z; пластина является идеальной. Представим, что в равновесии ЦМД имеет круговое основание радиуса г0, но для определения границ стабильности такого ЦМД предположим, что домен может испытывать малые искажения образующей, описываемые Д(0), так что
г(0) = г0 + Д(0), |Д^| ^ г0.(2.25)
Представим Д(0) в виде ряда
△0 = S &пе‘п9,(2.26)
Л = — ОО
где Д„ - амплитуда Фурье.
Подставляя (2.25.) и (2.26.) в полную энергию Е и разлагая ее в ряд по Д(0) до квадратичных слагаемых, можно получить условия, из которых определяются равновесные размеры ЦМД и границы стабильности домена [313]:
/о
—^ИХ- Е(Х)^(2.27)
а
— - SnQ^ (л2 -1)>0,л^1,(2.28)
aJ
где х = 2rQld\h = H^]HS\HS = 4irMs, a F(X) и Sn(X) - силовая функция и функции стабильности Тиля, которые представим в таком виде [7]:
X2 2Х3 X3 -
2р
F-dIldX;I(X)
= — _ + —
2Зтг 2
/ А (р)р" .° 2» -
е л dp;
(2.29)
X2 s„W= 2 , п2 - 1
7 [^(р)-^(р)] 0
X 1 — е
dp,n + 1,
(2.30)
где Jn (АЗ — функция Бесселя л-го порядка. 42
Рис. 2.7. Зависимость функций /, F, S^, Sp, Sn (с п = 0, 2, 3, 4, 5) от lrQld [6]Рис. 2.7. Зависимость функций /, F, S^, Sp, Sn (с п = 0, 2, 3, 4, 5) от lrQld [6]Рис. 2.8. Зависимость равновесного радиуса ЦМД от величины внешнего магнитного поля для различных значений толщины пленки d//0Рис. 2.8. Зависимость равновесного радиуса ЦМД от величины внешнего магнитного поля для различных значений толщины пленки d//0
Рис. 2.7. Зависимость функций /, F, S^, Sp, Sn (с п = 0, 2, 3, 4, 5) от lrQld [6]
Рис. 2.7. Зависимость функций /, F, S^, Sp, Sn (с п = 0, 2, 3, 4, 5) от lrQld [6]
Рис. 2.8. Зависимость равновесного радиуса ЦМД от величины внешнего магнитного поля для различных значений толщины пленки d//0
Рис. 2.8. Зависимость равновесного радиуса ЦМД от величины внешнего магнитного поля для различных значений толщины пленки d//0
Отсутствие функции 5t связано с трансляционной инвариантностью задачи. Функции/, F и Sn представлены на рис. 2.7. Используя эти данные, можно найти также зависимость г0 (Яо). Она представлена на рис. 2.8. При этом равновесные размеры изменяются в пределах гк < г0 < г2 при изменении поля в интервале
(2.31)(2.31)Н2<Н0<Нк.
(2.31)
(2.31)
Чтобы выяснить смысл границ значений г 0 и Но, заметим, что с увеличением X величины Sn монотонно растут (см. рис. 2.7), причем S2 > Sn с и = 3, 4... при любых X. Это означает, что из условий (2.28) при уменьшении Яо прежде всего нарушается условие с п = 2. Это происходит, когда X достигает некоторого наибольшего значения, равного Х2. Согласно (2.27) ему отвечает наименьшее поле Яо = Н2, ниже которого стабильных ЦМД не существует. Характер неустойчивости, возникающий при Н = Н2 теперь легко определить, если учесть, что в данном случае (и = 2) в (2.26) отличны от нуля только два коэффициента: Д2 и Д_2 . Считая Д2 = | Д2 |expz'io, из (2.25) получаем
г(0) = го + 2|Д2|со8(2^-^0),
что представляет собой уравнение эллипса в параметрической форме. Таким образом, поле Н2 представляет собой поле эллиптической неустойчивости ЦМД. Ему соответствует максимальный радиус ЦМД г 2.
Аналогично можно выяснить, что Нк представляет собой поле необратимого радиального уменьшения размеров ЦМД. Его называют полем коллапса ЦМД. Радиус г к соответствует именно этому полю. Критические размеры гк и г2 зависят от толщины пленки. Эти зависимости таковы (рис. 2.9), что существуют оптимальные толщины, где устойчивые ЦМД могут иметь наименьшие размеры. В соответствии с [313] оптимальные размеры пленок группируются около dll0 = 4. Им соответствуют средние размеры ЦМД 2г0 %8/0, причем г0 может изменяться в пределах ± 50%.
Рис. 2.9. Зависимость гк (нижняя кривая) и г2 (верхняя кривая) от приведенной толщины пластины; стабильным ЦМД соответствует область между кривыми
Рис. 2.10. Изображение жесткого ЦМД и участка его ДГ, содержащего ВБЛ Заштрихованные части верхнего рисунка соответствуют развороту намагниченности в блоховских линиях [179]
Соответствующий значениям d и 2г0 интервал Нк - Н2 ^ ОД 4тгЛ/5, причем поле коллапса равно 0,33 • 4тгЛ/5, а поле эллиптической неустойчивости - 0,23 • 4тгЛГ5. Для среднего поля Яо = {Нк *Н2)Г1, соответствующего устойчивым ЦМД, получаем величину 0,28 • 4тгЛ/5. В настоящее время используются также и пленки с d « 97О [179].
Описанные выше ЦМД называют нормальными. Их свойства хорошо подтверждаются экспериментальными наблюдениями, однако в [312] были описаны цилиндрические домены, статические и динамические свойства которых существенно отличаются от описанных выше. Эти особенности заключаются в том, что полевой интервал их существования оказался больше, чем предсказывала теория Тиля. В связи с этим указанные домены стали называть жесткими (hard) или аномальными ЦМД. Их равновесная форма может быть эллиптической или гантелевидной. Еще более удивительны динамические свойства жестких ЦМД (см. гл. 4).
Первая модель, качественно поясняющая поведение жестких ЦМД, была дана в [312] (см. также [286]). Согласно [301, 286], необычные свойства жестких ЦМД связаны с особой структурой ДГ, а именно с существованием в них ВБЛ. Участок ДГ жесткого ЦМД, содержащий вертикальные блоховские линии, изображен на рис. 2.1.0.
В зависимости от числа линий жесткие ЦМД могут вести себя по-разному. В связи с этим вводят понятие состояния ЦМД, характеризуемого индексом
dФ
S = #— . (2.32) 2тг
где Ф - азимутальный угол М. Согласно определению (2.32) этот индекс представляет собой число полных оборотов, совершаемых М в центре ДГ при обходе ЦМД вдоль контура сечения плоскостью пленки против
Рис. 2.11. Возможные типы распределения намагниченности в ДГ ЦМДа - S - I; б - 5 = - 1; в — S = О (закрученная) ; г— 5 = 2; д — 5=1 (незакрученная)Рис. 2.11. Возможные типы распределения намагниченности в ДГ ЦМДа - S - I; б - 5 = - 1; в — S = О (закрученная) ; г— 5 = 2; д — 5=1 (незакрученная)
Рис. 2.11. Возможные типы распределения намагниченности в ДГ ЦМД
а - S - I; б - 5 = - 1; в — S = О (закрученная) ; г— 5 = 2; д — 5=1 (незакрученная)
Рис. 2.11. Возможные типы распределения намагниченности в ДГ ЦМД
а - S - I; б - 5 = - 1; в — S = О (закрученная) ; г— 5 = 2; д — 5=1 (незакрученная)
часовой стрелки (рис. 2.11). Индекс S может быть положительным, отрицательным и даже дробным. Его величина и знак зависят от числа бло- ховских линий и точек (подробнее см.: [179]). Линии всегда появляются парами, и одна пара может отличаться от другой тем, что при сближении ВБ Л они или аннигилируют (рис. 2.11,д), или такая аннигиляция невозможна (рис. 2.11, в). Стенки первого типа называют незакрученны- ми, а второго - закрученными.
Пленки с ОЛН, перпендикулярной поверхности, могут быть неоднородны вдоль нормали h||z [275] к поверхности, т.е. величины 7, Ms, и другие могут зависеть от z. В то же время они остаются однородными вдоль направлений, параллельных их плоскостям. Неоднородность может появляться в результате ионной имплантации, а также при эпитаксиальном выращивании пленок [275]. В таких пленках могут существовать несквозные (приповерхностные и внутриобъемные) изолированные домены, в частности имеющие форму ЦМД. Приповерхностные ЦМД (ПЦМД) исследованы в [203] (см. также [163,118] и обзор [162]). Теория внутри- объемных доменов (ВД) развита в [159, 158] (см. также обзоры [162, 134]. В настоящее время существование несквозных ЦМД установлено экспериментально [2,95, 169, 171].
В работе Де Бонте [203] показано, что наличие неоднородности М$ вдоль нормали к поверхности приводит к стабилизации приповерхностного домена в области с повышенным Ms. Наличие одной неоднородности 7 недостаточно для указанной стабилизации.
В качестве примера на рис. 2.12 представлены результаты расчетов Де- Бонте для 7м = -0,025 и разных 7W, где 7м и 7W - величины, характеризующие неоднородности Ms и 7 согласно формулам
М,=М,^М,=М,^^*1 мт- 10^*1 мт- 107 = 7(0)7 = 7(0)1+7W~ , ‘о .1+7W~ , ‘о .(2.33)(2.33)
М,=М,^
М,=М,^
^*1 мт- 10
^*1 мт- 10
7 = 7(0)
7 = 7(0)
1+7W~ , ‘о .
1+7W~ , ‘о .
(2.33)
(2.33)
где Ms (0) = Ms (z) |z = о ; 7 (0) = 7 (z )lz = о '
Начало координат выбиралось на поверхности раздела пленка—подложка. На плоскости Z0//zB, 2r0//zB (рис. 2.12), изображены граничные кривые,
Ри с. 2.12. Зависимости l9/hB от 2rQ/hB (г9 - радиус, hB - высота ПЦМД), отделяю- щие области устойчивых ПЦМД [203]
Устойчивые ПЦМД существуют в области между кривыми I, II и III. Приведенные результаты соответствуют линейной зависимости М$ и 7 от z, ^^ = —0,025.Штриховая кривая — Н = const, штрих-пунктирная — 7^ = const
которые соответствуют коллапсу (кривая / ), превращению домена в сквозной (кривая /7) и эллиптическому растяжению домена в сечении плоскостью, параллельной поверхности пленки (кривая ИГ). Эти кривые ограничивают область, внутри которой могут существовать устойчивые ПЦМД. Внутри указанной области приведены два семейства кривых, описывающих поведение стабильных ПЦМД, т.е. зависимость 2г0 от hB при 7W = const (пунктирные линии) и if -Hol4irMs(O) = const (штриховые линии). Если рассматривать кривые, соответствующие разным Н, то можно заметить, что возможны два типа поведения ПЦМД. В одном случае ПЦМД сначала превращается в сквозной ЦМД и лишь при дальнейшем уменьшении И может испытать эллиптическое искажение. В другом случае ПЦМД сначала испытывает эллиптические искажения с уменьшением поля.
Одним из важных выводов является возможность стабилизации ПЦМД при Н= 0.
Последующие исследования [163] показали, что вывод [203] о невозможности стабилизации ПЦМД только за счет неоднородности плотности энергии ДГ 7 не является универсальным и соответствует лишь линейной зависимости 7(2) (2.33). Оказалось, что если [7- 7(0)1/?w = (z/^o)a с а > 1, то стабильные ПЦМД могут существовать только за счет неоднородности 7(2). В качестве примера на рис. 2.13, приведена область существования ПЦМД, найденная в [163] при а = 2. Она имеет несколько иную форму, чем область, показанная на рис. 2.12. В отличие от результатов [203] в данном случае возможны (при 7^ = 0) только два типа неустойчивости: коллапс с одновременным необратимым уменьшением 2г0 и hB — высоты домена (кривая Г) и эллиптическая неустойчивость (кривая 1Г). Прорастание ПЦМД в сквозной домен может происходить только
Рис. 2.13, Зависимости lQlhB от 2r^/hBi отделяющие области устойчивых ПЦМД
Устойчивые ПЦМД существуют в области между кривыми / и 2. Кривая 1 — граничная линия, соответствующая коллапсу ПЦМД с одновременным необратимым изменением Kg и г0. Кривая 2 соответствует эллиптической неустойчивости ПЦМД. Данные получены для квадратичной зависимости плотностей энергии боковой 7 и торцевой ту доменных стенок ПЦМД при тд/ = О и 7/v/T =
Рис. 2.14. Внутриобъемный домен, имеющий форму эллипсоида и находящийся в ЦМД-пластине
Стрелки показывают направление намагниченности в ЦМД-пластине, внутри внутриобъемного домена и направление внешнего магнитного поля
Рис, 2,15. Зависимость относительного размера р внутриобъемного домена от приведенной величины внешнего магнитного поля для разных значений параметра S, характеризующего неоднородность 7
1 - S = 1; 2 - S = 0,5; 3 - S = 0,25; 4 - 5 = 0,1; 5 - S = 0,05. Кружками отмечены значения р, соответствующие коллапсу, точками — эллиптической неустойчивости; Я = Я0/4яМ5
Р и с, 2.16. Зависимость параметра е2, описывающего относительные размеры ВД от величины внешнего магнитного поля для различных значений характеристик неоднородности S, таких, как и на рис. 2.15
Кружки — точки коллапса домена, Й = Яо ]4-nMs
Рис. 2.17. Зависимость относительно поля коллапса (кривая 7) и поля эллиптической неустойчивости (кривая 2) от степени неоднородности ЦМД-пленки S
Кривые 3 и 4 дают границы областей устойчивости домена по отношению к выходу его на поверхность пленки. Кривые 3, 4 — S (Й), при (d/2Z0) = 3 и 10 соответственно
обратимым образом, причем условия прорастания можно менять, выбирая пленки различной толщины.
В [158, 159] исследовались различные формы стабилизируемых ВД при разной зависимости 7 (z) и М (z) ( квадратичной и скачкообразной). В каждом случае имеется своя специфика. Однако главный вопрос о возможности стабилизации ВД во всех случаях решается положительно. Здесь мы приведем некоторые результаты лишь для случая Ms = const и
7(z) = 7(0)[l+^z2]. (2.34)
В этом случае система координат ради удобства помещена в центр пластины. Константа кр характеризует степень неоднородности пластины. В качестве вероятной формы домена в данном случае выберем эллипсоид (рис. 2.14). Как отмечалось выше, эти модельные предположения при а > 1 не играют решающей роли.
Равновесные размеры домена и границы его существования могут быть определены исходя из минимума полной энергии, включающей Ен, Е^м Ет (см. подробнее [158, 159]). На рис. 2.15 и 2.16 представлена зависимость от Я равновесных р и е2, связанных с размерами ВД следующим образом: р =д//0, е2 = (а2/62)- 1 для различныхS = кр1^.
Видно, что при увеличении поля Я размеры ВД уменьшаются вплоть до некоторых значений, отмеченных на рисунке светлыми кружками. Это поведение аналогично поведению сквозного ЦМД, однако новым является возможность существования ВД в полях Я = 0. Это привлекательное с практической точки зрения свойство. Важно также, что нужный интервал полей существования ВД можно выбрать по своему усмотрению, выращивая пленки с соответствующей степенью неоднородности.
В [158] выяснены также и основные типы неустойчивости рассматриваемого ВД. Оказалось, что с увеличением полей ВД может коллапсировать, а в области малых (иногда отрицательных) полей возможна его эллиптическая неустойчивость, когда ок превращается в вытянутый в одном из направлений домен. Такие домены наблюдались Лисовским с сотрудника-
ми [2]. Поля коллапса Н к и эллиптической неустойчивости Нэл, а также положение и ширина области устойчивого существования ВД зависят от степени неоднородности пленки (рис. 2.17). Превращение ВД в сквозной может происходить только равновесным образом. Однако этот вывод справедлив при плавном изменении 7(2). В слоистых пленках [159] возможно также необратимое изменение высоты ВД и превращение его в сквозной ЦМД.
РЕШЕТКА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ МАГНИТНЫХ ДОМЕНОВ
Изолированные ЦМД существуют лишь в сравнительно узкой области достаточно больших магнитных полей смещения. В более широкой области полей наблюдаются регулярные структуры ЦМД. О подобных структурах сообщалось еще в работах [243, 201] (см. также [245]). Такая ДС получается, если исходить из размагниченного состояния, в котором существуют полосовые домены [245, 201]. Если при этом включить внешнее магнитное поле, параллельное ОЛН, то домены, намагниченность которых ориентирована против поля Но, с увеличением Но сжимаются и затем распадаются на отдельные ЦМД, постепенно заполняющие все пространство пластины.
Отдельные ЦМД взаимодействуют друг с другом путем диполь-диполь- ных сил, так что в результате образуются упорядоченные структуры (плоские решетки ЦМД).
Статические свойства решеток ЦМД были исследованы в работе Кейпа и Лемана [197], причем анализ был проведен численными методами. Аналитическое решение вопроса дано в работе [5]. Рассмотрим, как и выше, безграничную плоскопараллельную пластину толщиной d с ОЛН, ориентированной вдоль нормали к поверхности (ось z). Внешнее магнитное поле направим тоже вдоль z. Предположим, что в пластине имеется упорядоченная в плоскости (ху) система ЦМД, намагниченность которых ориентирована против направления Но. В остальной части пластины М||Н0. Далее будем предполагать, что все домены имеют один и тот же диаметр Повыберем в плоскости (ху) элементарную ячейку размерами а и ар вдоль осей х и у (рис. 2.18). Введение параметра р позволяет выяснить тип решетки, возникающей при упорядочении ЦМД. В частности, при р = 1 решетка оказывается квадратной, при р = V51- гексагональной.
Основная трудность, возникающая при исследовании свойств решеток ЦМД, связана с учетом энергии диполь-дипольного взаимодействия. Указанная энергия в довольно общем виде была найдена в работах [197, 210]. Однако мы воспользуемся более простым выражением, приведенным в [5] для случая, когда а > 2r0, a 2r0 d^ что представляет реальную ситуацию для обычных материалов, в которых наблюдаются решетки ЦМД.
Полное выражение для энергии, включающей Ен, Ew и Ет, имеет вид [5] (слагаемые, не зависящие от р, а и г0, опущены).
(2.35)(2.35)е == _^^Уг(^ + ^/г(р)(^)4^у
(2.35)
(2.35)
2itM? Р \а/ г\ d / Р \а/ \а/
4. Зак. 12194. Зак. 12193224р2 24р23224р2 24р2оо оо ^t1 -р2^' S / dt,п=1 пр (-1)”(е"_ 1)оо оо ^t1 -р2^' S / dt,п=1 пр (-1)”(е"_ 1)(2.36)(2.36)
4. Зак. 1219
4. Зак. 1219
3224р2 24р2
3224р2 24р2
оо оо ^t1 -р2^' S / dt,
п=1 пр (-1)”(е"_ 1)
оо оо ^t1 -р2^' S / dt,
п=1 пр (-1)”(е"_ 1)
(2.36)
(2.36)
гдегдеарарРис. 2.18. Схема решетки ЦМДКружки изображают ЦМД; крестик означает направление намагниченности в ЦМД в сторону плоскости листаРис. 2.18. Схема решетки ЦМДКружки изображают ЦМД; крестик означает направление намагниченности в ЦМД в сторону плоскости листаTZ /^(Л'о^оХ1 /2г0\2r\dJ\d ) d \d /2 \d JTZ /^(Л'о^оХ1 /2г0\2r\dJ\d ) d \d /2 \d J(231)(231)и f (z) - дзета-функция Римана.В (2.35) первое и второе слагаемые описывают соответственно плотность собственной энергии ЦМД и плотность энергии магнитостатического взаимодействия отдельных ЦМД друг с другом.Равновесные параметры решетки ЦМД могут быть определены из уравненийи f (z) - дзета-функция Римана.В (2.35) первое и второе слагаемые описывают соответственно плотность собственной энергии ЦМД и плотность энергии магнитостатического взаимодействия отдельных ЦМД друг с другом.Равновесные параметры решетки ЦМД могут быть определены из уравнений— =0;^=0; — =0.Эддг0дрСогласно первым двум уравнениям имеем [5]/р 1 2/р/ 2/р\-= SJ—L h = Htl*nMs\d 3 d A\dJ01— =0;^=0; — =0.Эддг0дрСогласно первым двум уравнениям имеем [5]/р 1 2/р/ 2/р\-= SJ—L h = Htl*nMs\d 3 d A\dJ01(2.38)(2.38)(2.39)(2.39)a2r0гдеa2r0где2^(P)2^(P)(2.40)(2.40)1 I RsAW =1 I RsAW =2SE(X)= -^I(X)-F(X).2SE(X)= -^I(X)-F(X).
где
где
ар
ар
Рис. 2.18. Схема решетки ЦМД
Кружки изображают ЦМД; крестик означает направление намагниченности в ЦМД в сторону плоскости листа
Рис. 2.18. Схема решетки ЦМД
Кружки изображают ЦМД; крестик означает направление намагниченности в ЦМД в сторону плоскости листа
TZ /^(Л'о^оХ1 /2г0\2
r\dJ\d ) d \d /2 \d J
TZ /^(Л'о^оХ1 /2г0\2
r\dJ\d ) d \d /2 \d J
(231)
(231)
и f (z) - дзета-функция Римана.
В (2.35) первое и второе слагаемые описывают соответственно плотность собственной энергии ЦМД и плотность энергии магнитостатического взаимодействия отдельных ЦМД друг с другом.
Равновесные параметры решетки ЦМД могут быть определены из уравнений
и f (z) - дзета-функция Римана.
В (2.35) первое и второе слагаемые описывают соответственно плотность собственной энергии ЦМД и плотность энергии магнитостатического взаимодействия отдельных ЦМД друг с другом.
Равновесные параметры решетки ЦМД могут быть определены из уравнений
— =0;^=0; — =0.
Эддг0др
Согласно первым двум уравнениям имеем [5]
/р 1 2/р/ 2/р\
-= SJ—L h = Htl*nMs\
d 3 d A\dJ01
— =0;^=0; — =0.
Эддг0др
Согласно первым двум уравнениям имеем [5]
/р 1 2/р/ 2/р\
-= SJ—L h = Htl*nMs\
d 3 d A\dJ01
(2.38)
(2.38)
(2.39)
(2.39)
a
2r0
где
a
2r0
где
2^(P)
2^(P)
(2.40)
(2.40)
1 I R
sAW =
1 I R
sAW =
2
SE(X)= -^I(X)-F(X).
2
SE(X)= -^I(X)-F(X).
Графики функций SA, SE и I представлены на рис. 2.7.
Используя (2.39) и (2.40), выражение для плотности безразмерной энергии бреш пластины, содержащей решетку ЦМД, можно переписать в виде
(2.41)(2.41)=8 л /^2г0\ /70\
(2.41)
(2.41)
еРеш"-у ^ д2 )\^Е-^)-
Рис. 2.19. Зависимость критических полей Н^, Нг, Нс и Якр (кривые 1-4 соответственно) и связанных с ними критических диаметров ЦМД, 2г^, 1гс, 2гкр (кривые 5- 7 соответственно) от относительной толщины ЦМД-пленки
Кривая 8 — зависимость относительного периода решетки ЦМД, соответствующего полю //кр. В областях I, II, III могут существовать соответственно полосовые домены, решетки ЦМД и изолированные домены
Рис. 2.20. Зависимость N(p), определяющая ереш
Для сравнения приведем также безразмерную плотность энергии бод пластины, содержащей одиночный ЦМД:
Из (2.41), (2.42) видно, что эти энергии сравниваются при г0 = тс, определяемом из
/2г \ /о
-- = 0.(2.43)
£\ d / d
Поскольку гс есть функция Яо, это произойдет при И, равном
Vold-SA(2rc(d)\3d
hc =;С2-44)
сК
Из (2.40) видно, что при приближении Н к Нс со стороны Яо < Нс период решетки а увеличивается до бесконечности. Таким образом, при Яо >НС решетка ЦМД становится энергетически невыгодной и при приближении Яо к Нс должны существовать изолированные ЦМД. Однако изолированные ЦМД как это следует из рис. 2.19, где изображена зависимость критических полей от d(l0, построенная Кейпом и Леманом [197], могут существовать и в полях Яо < Нс. В интервале Н2 < Но < Нс они являются метастабильными. Следует также отметить, что при Яо > Нс энергия пластины с изолированными ЦМД оказывается выше энергии однородно намагниченной пластины, однако из-за большого энергетического барьера между этими состояниями ЦМД исчезают только в полях
Нк>Нс, так что в области Нс < Но < Нк изолированные ЦМД существуют как метастабильные. В [197] было рассчитано критическое поле Якр, при котором сравниваются энергии полосовой ДС и решетки ЦМД (см. рис. 2.19). При переходе через Яо =Якр, вообще говоря, должен происходить фазовый переход первого рода. Согласно рисунку, где представлены зависимости тк, а/l^ гс, гкр, соответствующие приведенным выше полям, можно сделать вывод о том, что полевая область существования решетки ЦМД при любых толщинах пленок и материальных длинах Zo всегда шире области существования изолированных ЦМД. Интервал существования решетки ЦМД локализуется в области более низких полей смещения, чем интервал для изолированного ЦМД.
Возвращаясь к (2.39) и (2.40), рассмотрим свойства решетки ЦМД вблизи критической точки HQ=HC. Считая Нс - Но <47tMs, имеем
г02=1+,(Ас-А);сгде*= [SS^)]-1;г02=1+,(Ас-А);сгде*= [SS^)]-1;а1т6а1т6£ \^R<pWU1тс hc-h /£ \^R<pWU1тс hc-h /^dS^ х = ^,Е dX ’ с d*С^dS^ х = ^,Е dX ’ с d*С(2-45)НсА =—— ■с 4тгМ$(2-45)НсА =—— ■с 4тгМ$
г0
2=1+,(Ас-А);
с
где
*= [SS^)]-1;
г0
2=1+,(Ас-А);
с
где
*= [SS^)]-1;
а
1т6
а
1т6
£ \^R<pWU
1тс hc-h /
£ \^R<pWU
1тс hc-h /
^dS^ х = ^,Е dX ’ с d*
С
^dS^ х = ^,Е dX ’ с d*
С
(2-45)
НсА =—— ■с 4тгМ$
(2-45)
НсА =—— ■с 4тгМ$
Из (2.45) видно, что диаметр домена в решетке ЦМД линейно уменьшается с ростом внешнего магнитного поля. Что же касается зависимости периода а от А, то (hc -h}~^3.
Используя (2.45),вместо (2.42) имеем
е = - — X2 реш ^ се = - — X2 реш ^ с• Хс \7зlON^p'))• Хс \7зlON^p'))7з (Ас-А)7з (Ас-А)(2.46)(2.46)
е = - — X2 реш ^ с
е = - — X2 реш ^ с
• Хс \7зlON^p'))
• Хс \7зlON^p'))
7з (Ас-А)
7з (Ас-А)
(2.46)
(2.46)
где
N^ = p>kR^.
Выражение для бреш удобно для установления типа решетки, поскольку его зависимость от р входит только через N(p) (рис. 2.20). Видно, что бреш имеет два одинаковых минимума, соответствующих значениям р = х/Т и р = \!<3 . Таким образом, минимум энергии достигается в том случае, когда решетка гексагональная. Заметим, что решетки с р = = VT и l/VTo6e гексагональные и повернуты друг относительно друга на угол 90°. Очевидно, что р = 1, р = xfT, р = \1\Г? - полный набор решений уравнения (2.38).
Дополнительные сведения о свойствах стабильности решеток ЦМД можно найти в [179, 105, 116, 191, 6, 7, 8].
ДОМЕННАЯ СТРУКТУРА В МАГНИТОТРЕХОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ
Существование нескольких ОЛН в магнито многоосных кристаллах дает дополнительные возможности для уменьшения энергии полей Н<т). В кубическом кристалле с ЗСХА >0 три ОЛН направлены вдоль ребер куба. Если кристалл имеет форму параллелепипеда с ограничивающими 52
Рис. £.21. ДС с полностью замкнутым магнитным потоком
Рис. 2.22. Модель ДС в пластине магнитотрехосного кристалла с плоскостью поверхности (100), положенная в основу расчета магнитоупругой энергии
Размер пластины вдоль у равен Ly
плоскостями, перпендикулярными ОЛН, то можно представить ДС с полностью замкнутым магнитным потоком типа показанной на рис. 2.21. Структура такого типа предложена в работе [96] и наблюдалась в железе Вильямсом [74], который привел фотографию такой ДС. Оценки ширины доменов выполнены непосредственно для Fe Киттелем [74]. Несмотря на кажущуюся возможность существования широких доменов, соизмеримых с размерами кристалла, такая ситуация не может реализоваться, поскольку приведет к сильному увеличению магнитоупругой энергии, пропорциональной объему замыкающих областей. Под замыкающими областями будем понимать приповерхностные домены типа В (рис. 2.21) в отличие от основных областей типа А, Области Fe, намагниченные вдоль направлений [100], растянуты в этих направлениях и если объем замыкающих областей невелик, можно считать, что они сжаты основными областями. Таким образом, равновесные размеры доменов можно определить из минимума энергии ДГ и магнитоупругой энергии, которую можно приписать замыкающим областям. Для решения этой задачи фактически необходим расчет упругого равновесия ферромагнитных образцов при учете магнитострикции и ДС. Это удается сделать (см. [153]) лишь в простейшем случае ДС типа представленной на рис. 2.22, если считать пластину настолько тонкой, что нормальные к поверхности пластины компоненты тензора напряжений oik = bwulbe(k равны нулю не только на поверхности пластины, но и во всей ее толще [83]. Здесь wu — плотность энергии, включающая плотность упругой и магнито- упругой энергий. Сказанное позволяет исключить компоненты деформаций ezz, €zx и €zy и получить уравнения только относительно смещений их и иу. Решая эти уравнения при условии, что их и иу периодичны по х с периодом, равным ширине доменов, можно в конце концов определить магнитоупругую энергию, связанную с замыкающими доменами. Относя эту энергию к единице объема пластины, согласно [153], можно записать
-4 + е(1)
2с! 1 му
Рис. 2.24. Расшифровка структуры замыкающих доменов на плоскостях типа (ПО) вблизи их торцов, перпендикулярных оси [100]В В-доменах намагниченность М ориентирована, как и в основных доменах, вдоль оси [001]. В С-доменах Мориентирована вдоль осей [010] и [100]. 90-градусные ДГ, отделяющие два соседних С-домена от В-доменов, на схеме а параллельны плоскостям (111), а на схеме б — плоскостям типа (110) (они наклонены под углом 0t = = я/3 к поверхности пластины), и типа (211) (они наклонены под углом 02 = я/6 к поверхности пластины). Угол а = arctg \fl, т.е. боковые поверхности замыкающих призм, параллельны плоскостям (111). Полностью замкнуть магнитный поток не удается. На заштрихованных участках типа F имеются полюсаРис. 2.24. Расшифровка структуры замыкающих доменов на плоскостях типа (ПО) вблизи их торцов, перпендикулярных оси [100]В В-доменах намагниченность М ориентирована, как и в основных доменах, вдоль оси [001]. В С-доменах Мориентирована вдоль осей [010] и [100]. 90-градусные ДГ, отделяющие два соседних С-домена от В-доменов, на схеме а параллельны плоскостям (111), а на схеме б — плоскостям типа (110) (они наклонены под углом 0t = = я/3 к поверхности пластины), и типа (211) (они наклонены под углом 02 = я/6 к поверхности пластины). Угол а = arctg \fl, т.е. боковые поверхности замыкающих призм, параллельны плоскостям (111). Полностью замкнуть магнитный поток не удается. На заштрихованных участках типа F имеются полюса
Рис. 2.24. Расшифровка структуры замыкающих доменов на плоскостях типа (ПО) вблизи их торцов, перпендикулярных оси [100]
В В-доменах намагниченность М ориентирована, как и в основных доменах, вдоль оси [001]. В С-доменах Мориентирована вдоль осей [010] и [100]. 90-градусные ДГ, отделяющие два соседних С-домена от В-доменов, на схеме а параллельны плоскостям (111), а на схеме б — плоскостям типа (110) (они наклонены под углом 0t = = я/3 к поверхности пластины), и типа (211) (они наклонены под углом 02 = я/6 к поверхности пластины). Угол а = arctg \fl, т.е. боковые поверхности замыкающих призм, параллельны плоскостям (111). Полностью замкнуть магнитный поток не удается. На заштрихованных участках типа F имеются полюса
Рис. 2.24. Расшифровка структуры замыкающих доменов на плоскостях типа (ПО) вблизи их торцов, перпендикулярных оси [100]
В В-доменах намагниченность М ориентирована, как и в основных доменах, вдоль оси [001]. В С-доменах Мориентирована вдоль осей [010] и [100]. 90-градусные ДГ, отделяющие два соседних С-домена от В-доменов, на схеме а параллельны плоскостям (111), а на схеме б — плоскостям типа (110) (они наклонены под углом 0t = = я/3 к поверхности пластины), и типа (211) (они наклонены под углом 02 = я/6 к поверхности пластины). Угол а = arctg \fl, т.е. боковые поверхности замыкающих призм, параллельны плоскостям (111). Полностью замкнуть магнитный поток не удается. На заштрихованных участках типа F имеются полюса
Рис. 2.23. Модель разветвленной ДС в пластине с плоскостью поверхности типа (100), положенная в основу расчета магнитоупругой энергии
где
ем,'(2-48)
„ . [Л— *1 5 ± к (2.49)
ЗСц 6(cn-c12) СИ(СП-С12) 7Г3 п = 1 П3 J
Ci 1, cY2 — компоненты тензора модулей упругости; Ьх — константа магни- 54
Рис. 2.25. Вид ДС на (100) - поверхности кристалла Fe-3Mac.%Si при а= 25°Переход от а к b соответствует увеличению внешнего магнитного поля Яо. Когда Яо = О, имеются два типа замыкающих областей КЛМ (ОПР) и МНО. При увеличении Яо, приложенного так, что внутреннее поле в первых из этих доменов направлено вдоль суммарной намагниченности, а во вторых — против нее, первые области расщи- ряются, а вторые — сжимаются,Рис. 2.25. Вид ДС на (100) - поверхности кристалла Fe-3Mac.%Si при а= 25°Переход от а к b соответствует увеличению внешнего магнитного поля Яо. Когда Яо = О, имеются два типа замыкающих областей КЛМ (ОПР) и МНО. При увеличении Яо, приложенного так, что внутреннее поле в первых из этих доменов направлено вдоль суммарной намагниченности, а во вторых — против нее, первые области расщи- ряются, а вторые — сжимаются,
Рис. 2.25. Вид ДС на (100) - поверхности кристалла Fe-3Mac.%Si при а= 25°
Переход от а к b соответствует увеличению внешнего магнитного поля Яо. Когда Яо = О, имеются два типа замыкающих областей КЛМ (ОПР) и МНО. При увеличении Яо, приложенного так, что внутреннее поле в первых из этих доменов направлено вдоль суммарной намагниченности, а во вторых — против нее, первые области расщи- ряются, а вторые — сжимаются,
Рис. 2.25. Вид ДС на (100) - поверхности кристалла Fe-3Mac.%Si при а= 25°
Переход от а к b соответствует увеличению внешнего магнитного поля Яо. Когда Яо = О, имеются два типа замыкающих областей КЛМ (ОПР) и МНО. При увеличении Яо, приложенного так, что внутреннее поле в первых из этих доменов направлено вдоль суммарной намагниченности, а во вторых — против нее, первые области расщи- ряются, а вторые — сжимаются,
-Но 6
и уже в очень малых внутренних полях исчезают б. При дальнейшем увеличении основные (более крупные домены полностью исчезают. Нижние края рисунков соответствуют боковому, более длинному краю образца, имеющего форму прямоугольника
тоупругой связи; с^ = с12 (1 - с12/си), с'н = с,! (1 -с\2/с} 1). Первое слагаемое в (2,47) представляет магнитоупругую часть энергии однородно намагниченной пластины, второе слагаемое — часть плотности магнитоупругой энергии, связанной с ДС. Зависимость ему от D имеет тот же вид, что оценочное выражение Киттеля [74]. Однако зависимость от констант упругости совсем иная. Если взять для Fe bv = —2,9 • 106 Дж/м3 [74], =5,209 Дж/м3.
Согласно (2.47) наличие ДС приводит к возрастанию магнитоупругой энергии. Она оказывается тем больше, чем шире домены. Для уменьшения €му необходимо, чтобы домены имели возможно меньшие размеры. Однако уменьшение D приводит к увеличению числа доменов, а следовательно, и суммарной энергии доменных границ, которая на единицу объема пластины равна
e7 = Ti /^ + (2 V5T2 - Т1) Цу, (2.50)
где 7! и 72 - соответственно плотности энергии 180-и 90-градусных ДГ. Таким образом, равновесная ширина доменов будет определяться минимумом суммарной плотности энергии ех = е + е^^. Минимизация ех дает 7 му
D^hvL^O^; (2.51)
e.^I^nxIL^+L^^VTli -7i). (2.52) т.е. равновесные размеры доменов пропорциональны \/Т^.
Уменьшить 6^, не увеличивая существенно общую площадь ДГ, можно, учитывая, что при подходе к поверхности ДС ветвится (рис. 2.23). Структура, подобная приведенной на рис. 2.23, рассмотрена в работе [114] для более общей ситуации, когда торец кристалла наклонен к ОЛН и имеется предельное разветвление, В [153] для равновесной энергии структуры, изображенной на рис. 2,23, найдено
е2р= l^ll^1 + L'^ (14у72 - -71),(2-53)
где
сг= (--L- —1 + , .flit fL2_ 0,04736^,(2.54)
\ 162 Сц 162 clt — с12 сц(сц — с12) у
причем для Fe с2 4,178 Дж/м3.
Сравнение е1р и б2р показывает, что разветвленная ДС выгодна в кристаллах с размерами Ly > Lk, где
^ = [(4^72 +7i)/3Vt7(V^- V^7)]2.(2.55)
Для Lk, полагая 7i ^ 7г ^ Ю"3 Дж/м2, получим Lk = 0,1 м, что улучшает оценки Лифшица, впервые предсказавшего ветвление ДС [96].
Более сложная структура замыкающих доменов наблюдается на плоскостях пластин типа (110) вблизи их торцов, перпендикулярных оси [100], лежащей в плоскости пластины [154]. На рис. 2.24 приведена расшифровка этой структуры. На основе такой расшифровки в [154] показано, что если толщина пластины d достаточно мала (~7i/^i), то ширина D основных доменов зависит не только от длины пластины, вдоль которой направлены ДГ основной ДС, но и от d, что связано с зависимостью от d ширины доменов, образующих субструктуру замыкающих областей. При этом оказалось, что D падает с уменьшением d, При больших толщинах пластин Устремится к насыщению. Эти выводы подтверждены экспериментально [154].
На рис, 2.25 схематически показана замыкающая ДС в пластинах с поверхностью типа (ПО), вырезанных так, что ОЛН, лежащая в плоскости пластины, составляет угол а с боковой гранью этой пластины [56].
Глава 3ДИНАМИКА ДОМЕННЫХ СТЕНОК
ИНЕРЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ДОМЕННЫХ ГРАНИЦВ МАССИВНЫХ ФЕРРОМАГНИТНЫХ МОНОКРИСТАЛЛАХ
В гл, 1 показано, что ДГ обладают конечной энергией 7, зависящей от констант вещества. Деринг [38] доказал, что при движении ДГ приобретает дополнительную энергию Д7, пропорциональную квадрату скорости ее движения, которую можно рассматривать как кинетическую энергию стенки массой т*. Существование т* позволяет рассматривать не только вынужденное, но и инерционное движение ДГ. Механизм движения ДГ таков, что при этом обязательно должно возникать магнитное поле, нормальное к ее поверхности.
Дело в том, что наличие внешнего поля Яо, параллельного ОЛН, не может привести непосредственно к повороту М в плоскости ДГ, возникающего при движении стенки, что объясняется гироскопическими свойствами магнитных моментов электронов, Однако с наличием этого поля связан вращательный момент [М X Но], который поворачивает М вдоль нормали п к плоскости ДГ, направленной в сторону движения стенки. Существенно, что эти повороты неоднородны вдоль оси х, направленной параллельно п, так что при наличии 180-градусной ДГ они сосредоточены только в ее пределах. Это означает также, что если при переходе через покоящуюся ДГ М описывает поверхность кругового конуса, то при наличии поля Яо 4= 0, смещающего ДГ, появляются искажения кругового сечения этого конуса. Таким образом, при переходе через ДГ условие divM = 0 нарушается и в силу уравнений (1.12) появляется магнитостатистическое поле Н^т\ Оставаясь в рамках одномерной задачи, из (1.12) можно получить
^(Я(т) + 4яМ )=0. Эхх^(Я(т) + 4яМ )=0. Эхх(3.1)(3.1)дЯ2(,я) дЯ*^
^(Я(т) + 4яМ )=0. Эхх
^(Я(т) + 4яМ )=0. Эхх
(3.1)
(3.1)
—-— = —i— = 0; Эх Эх
Рассмотрим далее только инерционное движение ДГ при Но = 0, В этом случае из (3.1) имеем
Н^ = -47^-4^).(3.2)
Здесь учтено, что при х = ± 00 Н^ = 0, Мх = МХх = М2х, так что константа интегрирования равна 4тгЛ/1х.
Итак, Нхт^ дает компоненту поля вдоль оси х, перпендикулярной плоскости ДГ. С наличием этого поля связана прецессия М в плоскости ДГ, смещающейся вдоль х.
Если ввести сферическую систему координат с полярной осью, направленной вдоль х, с полярным углом ф и азимутальным й, изменяющемся в плоскости ДГ, то в соответствии со сказанным выше
— = gH^ ,(3.3)
St х
где g - магнито механическое отношение.
Будем считать, что ДГ движется равномерно со скоростью и, так что
»=»«),^=х-иг.(3.4)
С учетом (3.4) из (3.3) имеем
Н<'т'* = -- — .(3.5)
(3.6)(3.6)С этим полем связана дополнительная энергия ДГ, зависящая от и:
(3.6)
(3.6)
Ат = — / кН; ) dx. 8я -ОО х
Используя (3.5), формулу (3.6) можно представить в виде
△7 = т*и2/2,(3.7)
где
Величина т* рассчитывается на единицу площади ДГ.
В общем случае, поскольку при движении ДГ распределение М деформируется, ^d^jd^2 отличается от соответствующей величины, определяемой соотношением (1.25), Однако если считать, что эти изменения несущественны, то для определения (d^fd^)2 можно воспользоваться (1.25), Это позволяет представить массу ДГ в виде
(3.9)(3.9).17<‘>
(3.9)
(3.9)
т* = —.
8w 8чуч sin ф
где величины Б^ 7^ и 7^ определяются согласно (1.27), (1.26). Приведенный вывод принадлежит [15]. Отметим, что (3,9) справедливо для довольно широкого класса ДГ массивных монокристаллов. Это могут быть как 180- и 90-градусные ДГ различной ориентации относительно кристаллографических осей, так и ДГ с любым другим углом между намагниченностями соседних магнитных фаз. В частности, для 180-градусной ДГ магнитотрехосного кристалла, согласно (1.39) имеем
1
1 -/ Да 1
1+-Arsky— L(ЗЛО)
Таким образом, эффективная масса ДГ существенно зависит от их ориентации. В частности, для 180-градусной ДГ, параллельной кристаллографичёс- кой плоскости (100), имеем
^♦=(4^25л)-1.(3.11)
Для Fe, учитывая, что g=l,84*107 (Э • с)-1, получим т* ^ 1,2 • 10"10 г/ см2, т.е. эффективная масса ДГ весьма мала. Однако инерционные свойства границ могут играть весьма важную роль в высокочастотных свойствах ферро магне тиков.
Результат (3.9) получен Дерингом на основе строгого рассмотрения [38]. При этом он показал, что в веществах с Q < 1 структура движущейся ДГ, по крайней мере при скоростях и<^1^1т*У/г, действительно слабо отличается (как и предполагалось выше) от структуры покоящейся стенки. В случае магнитоодноосных кристаллов (3.9) для 180-градусной ДГ можно записать
т*= (2^26а)-‘. (3.12)
Строгое обоснование этого результата можно найти в [99, 106]. Он справедлив, например, при малых углах выхода М из плоскости пленки. Такая ситуация может иметь место при скоростях движения, значительно меньших некоторой предельной.
Из приведенных соотношений ясно, что эффективная масса ДГ обратно пропорциональна ее толщине. Это связано с тем, что чем больше энергия анизотропии и меньше энергия обменного взаимодействия, тем труднее вектору М выходить из плоскости ДГ для образования поля Н^, благодаря которому возникает прецессия М, связанная с движением ДГ.
Выше при введении т* предполагалось, что ДГ движется с постоянной скоростью. Однако т* можно ввести и при движении ДГ с переменной скоростью, например при колебательном движении.
В [300] в рамках одномерной модели распределения М в ДГ и в предположении о том, что от координаты х (ось х параллельна нормали к ДГ) зависит только полярный угол (полярная ось направлена вдоль ОЛН), была найдена зависимость т* от величины внешнего магнитного поля. Так, если это поле приложено в плоскости ДГ перпендикулярно ОЛН (ось у), при Q> 1 и \Ну | < На = 2<^1а )М$ имеем
т*= (З^*2^)'1 (1 + Яу/8Лу-1 (1+0^), Ну>-SMs; m*=^irg*28ay^ (1 -Ну^М$ух (1 + а^), Ну < -8^.
Эти результаты получены на основе уравнений движения для намагни- ниченности, записанных в форме Гильберта, в которых магнито механическое отношение g*, вообще говоря, отличается от g (см. [122]). Параметр aD характеризует затухание отклонений намагниченности от равновесных направлений.
Результаты [300] обобщены Морковским и Вигеном [267], которые учли изменение структуры ДГ, связанное с зависимостью от х не только полярного, но и азимутального угла. Они рассчитали т* во всем интервале 0 < | Ну | < На при необязательно больших Q, Оказалось, что линейная зависимость т* от Н имеется лишь при | Н | < Н . При \Н |, близ- ш к Я,, у У о У
В настоящее время имеются достоверные экспериментальные доказательства существования инерционных свойств ДГ. Первые результаты получены еще Радо и др. [115] на поликристаллических ферритах. Измерения радиочастотной восприимчивости, проведенные в [115], могли быть объяс-
йены путем введения представления об инерции ДГ. Наблюдаемый в [111] резонанс на монокристаллах кобальтового феррита также можно интерпретировать инерционными свойствами ДГ. Масса ДГ была измерена также Велла-Колейро и др. [323] на иттрий-гадолиниевом гранате.
ВЫНУЖДЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ ДОМЕННОЙ СТЕНКИПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОСТОЯННОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Стационарное движение ДГ (и = const) возможно также и в присутствии внешнего магнитного поля, приложенного вдоль ОЛН, однако при этом необходимо учитывать диссипативные процессы. Рассмотрим ради определенности движение 180-градусной ДГ в ферро диэлектрике. Энергия, получаемая такой ДГ от внешнего магнитного поляЯ0 в единицу времени, равна WH = 2HqMsx)S, где S - площадь ДГ. Граница будет двигаться стационарно, если WH полностью компенсирует диссипируемую за единицу времени энергию ^,т.е.
Wa = 2HqMsvS.Wa = 2HqMsvS.Величину W можно представить в виде [205]Величину W можно представить в виде [205]WаWа“о1+а^“о1+а^V gMsV gMs(^mV,(— I лMt)(^mV,(— I лMt)(3.13)(3.14)(3.13)(3.14)
Wa = 2HqMsvS.
Wa = 2HqMsvS.
Величину W можно представить в виде [205]
Величину W можно представить в виде [205]
Wа
Wа
“о1+а^
“о1+а^
V gMs
V gMs
(^mV,
(— I л
Mt)
(^mV,
(— I л
Mt)
(3.13)
(3.14)
(3.13)
(3.14)
Вводя аналогично разд. 1.2 полярный ^т азимутальный <? углы, получим
WаWа1 «Д1 ,Г . 2 , — J sin V/ gMs 1 + “n V1 «Д1 ,Г . 2 , — J sin V/ gMs 1 + “n VЭ»у /N\2 dt) \dt )Э»у /N\2 dt) \dt )dt.dt.(3.15)(3.15)
Wа
Wа
1 «Д1 ,Г . 2 , — J sin V/ gMs 1 + “n V
1 «Д1 ,Г . 2 , — J sin V/ gMs 1 + “n V
Э»у /N\2 dt) \dt )
Э»у /N\2 dt) \dt )
dt.
dt.
(3.15)
(3.15)
Считая распределение M в ДГ одномерным, а движение ДГ стационарным, из (3.15) с учетом (3.4) и (3.8) при ф= const получаем
(3.16)(3.16)W = S£l i/sin2^,
(3.16)
(3.16)
и = ^dHqi гдеи = ^dHqi где(3.17)(3.18)(3.17)(3.18)где £1т = 4irgMs. Здесь, как и выше, при вычислении т* следует под ф и # понимать величины, описывающие статическое распределение намагниченности, так что, в частности, для 180-градусных ДГ, для которых справедливо (3.13), следует принять V/ = тг/2. Для 90-градусных ДГ в (3.13) правую часть следует уменьшить в 2 раза, а при вычислении Wa (3.14) — оценить магнитострикционный вклад [76]. Из (3.13) и (3.16) имеем
и = ^dHqi где
и = ^dHqi где
(3.17)
(3.18)
(3.17)
(3.18)
1 1 +аЬ
=—г
2trg ат*
- подвижность ДГ, которая характеризует ее скорость во внешнем магнитном поле единичной величины. Из (3.18) для 180-градусной ДГ магнито-
[010]
Ри с. 3.1. Изображение смещения ’’жесткой” ДГ и возникновения вихревых токов вокруг нее (замкнутая линия со стрелкой)
Показано поперечное сечение (ух) плоскопараллельной пластины плоскостью, перпендикулярной ОЛН, ориентированной вдоль z. Стрелки показывают направление М в соседних доменах
рис. 3.2 Образец, вырезанный в форме рамки из Ре-4мас.% Si [24]
одноосного кристалла с учетом (3,12) имеем
(3.19)(3.19)§ (1+ал)-
(3.19)
(3.19)
Формула (3.17) совместное (3.19) совпадает с соответствующим выражением для скорости ДГ, впервые полученным Ландау и Лифшицем [86]. При этом надо иметь в виду, что параметр затухания X (не путать с углом в (1.37)), введенный в [86], равен aDMs. В [86] было проведено более строгое рассмотрение, из которого следует, что полученный результат справедлив при aD<l и Яо < На = 2^a)Ms. Приведенный вывод и(Я0) был выполнен по аналогии с Киттелем [73] (см. также [76]). Поскольку надо считать,что aD< 1,из (3.18) и (3.19) имеем
(3.20)(3.20)= 11 = £^а
(3.20)
(3.20)
^D lug aDm*’ ^%
Второе из этих выражений совпадает с обычно используемым для подвижности 180-градусных ДГ в ЦМД-пленках [99, 106]. Первое выражение имеет прозрачный физический смысл. Стационарно движущаяся ДГ аналогична шарику массой т, движущемуся в вязкой жидкости с коэффициентом вязкости, пропорциональным aD. Естественно, что чем больше вязкость и масса тела, тем меньше его подвижность.
Проведенное выше обсуждение относится к веществам с весьма малой проводимостью. В проводящих ферромагнетиках изменение магнитного потока, происходящее при движении ДГ, приводит к появлению вихревых токов. Так, при смещении ДГ из положения 1 в положение 2 (рис. 3.1) ориентация намагниченности изменяется от направления 1 к направлению 2, так что происходит изменение индукции В в направлении z. С этим изменением связано появление вихревых токов в плоскости (ху), а следователь-
(3.21)(3.21)но, и дополнительной диссипации энергии, приводящей к дополнительному торможению ДГ. Диссипируемая в единицу времени энергия при этом может быть представлена в виде
(3.21)
(3.21)
W = J jEdr, v
где j — плотность тока, а Е — напряженность электрического поля.
Задача о вычислении потерь при наличии одиночной движущейся ДГ была решена Поливановым [113], Вильямсом, Шокли и Киттелем [24]. Не останавливаясь на деталях расчета (см. гл. 10), приведем результат, полученный в [24] для ферромагнитного стержня квадратного сечения (геометрия аналогична представленной на рис. 3.1):
(3.22)(3.22)\бвг8ига w * -^—s, J ^с РЕ
(3.22)
(3.22)
где Bs - индукция насыщения; рЕ - удельное электросопротивление; d — размер стержня в поперечном сечении.
Добавляя W. к И^из (3.13) имеем
v = И^(3.23)
(3.24)(3.25)(3.24)(3.25)где pD^ - полная подвижность ДГ, определяемая согласно
(3.24)
(3.25)
(3.24)
(3.25)
^л/ ^d ^j
причем
Ud aD ’32dB$ 1
Часть подвижности ДГ р^ связанная с вихревыми токами, зависит от размеров образца. Как и следовало ожидать, она растет с ростом удельного электросопротивления, так что в ферродиэлектриках, где рЕ -*00, PDj = = Р^ и мы вновь получаем (3.17). Если же р£ мало, так что pD > р.,то скорость ДГ ограничивается в основном процессами, связанными с вихревыми токами.
Подвижность ДГ может быть связана и с другими процессами диссипации энергии, например обусловленными взаимодействием ДГ с дефектами. При этом важно, что во всех случаях в области малых скоростей закон и(Я0) остается одним и тем же. Это позволяет по измерениям и(Я0) выяснить физическую природу подвижности в каждом конкретном случае. Обратим внимание на то, что с дефектами кристалла может быть связано и полное подавление движения ДГ (и = 0) вплоть до некоторых полей Но = Нт. В этом смысле действие дефектов аналогично статическим силам трения в механических системах. В такой ситуации Нт можно представить в виде Нс sign и, где Нс — некое, вообще говоря, локальное коэрцитивное поле, которое в некоторых случаях, например при однородном распределении дефектов, может быть отождествлено с коэрцитивной силой образца. Поле Ят, записанное в такой форме, аналогично силам трения 62
Рис. 3.3. Зависимость скорости движения ДГ от величины внешнего магнитного поля Яо, полученная экспериментально [221] на никелевом феррите (NiOj75 ^ез ,2 5 О4 )
будет препятствовать движению ДГ в какую бы сторону ни была направлена сила, смещающая ДГ, Таким образом, энергия внешнего поля идет не только на пополнение диссипируемой энергии ^, W^ и т.п., но и на преодоление сил трения, связанных с Ят, так, что, добавляя к левой части (3.14) величину 2М$НТ наряду с Wp вместо (3.23) получаем
и = цп1(Н0 - Я), Нт=Нс sign и. (3.26)
Первые эксперименты по изменению и от Яо были выполнены Сиксту- сом и Тонксом [106]. Однако в этих экспериментах движущаяся стенка не была плоской. Эксперименты с плоской ДГ впервые выполнены Вильямсом, Шокли и Киттелем [24] на монокристаллических образцах Fe —4 мае.% Si, вырезанных в виде рамки (рис. 3.2) так, что ОЛН были параллельны сторонам рамки. Такая конфигурация образца позволяла полностью исключить размагничивающие поля и рассмотреть движение единственной ДГ. Авторы [24] нашли, что в достаточно слабых полях Яо < ll4MsdV но при Яо > Ят подвижность плоской ДГ равна и/Я0 % ~ 4 см • с" * Э-1. Это значение ц/Я0 хорошо (с точностью до 20%) согласуется с подвижностью, получаемой на основе механизма торможения ДГ вихревыми токами. В то же время релаксационные механизмы в спиновой системе, описываемые величины aD, для Ее-4 мае. % Si дают \)jH^ « 600 см • Э”1^1.
Первые экспериментальные исследования, подтверждающие существование релаксационного механизма торможения ДГ, связанного с aD, принадлежат Галту [221]. Он также использовал монокристаллический образец в форме рамки, вырезанной параллельно ОЛН, но использованный им материал представлял собой никелевый феррит (Nio 75 Fe2,2sO4), у которого рЕ существенно больше, чем у Ре-4мас.% SL Результаты [221] приведены на рис. 3.3. Видно, что ход и от Я представляет прямую, что согласуется с (3.26). Наклон этой прямой позволяет определить подвижность, которая оказывается равной 2,6 • 10 м/с • Э. Такой порядок величины подвижности может давать релаксационный механизм торможения ДГ.
Эксперименты на магнитоодноосных монокристаллах были выполнены, например, в [323]. В настоящее время имеется также большое ко-
личество измерений, проведенных на пластинах ЦМД-материалов (гранаты на основе ЖИГ с редкоземельными добавками). Измеренные в них значения подвижностей колеблются в пределах от 102 до 104 см/с • Э. Соответствующие данные можно найти, например, в монографии [99]. Интересные данные по подвижности ДГ можно найти также в монографии О’Делла [106].
УОКЕРОВСКАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯДОМЕННОЙ ГРАНИЦЫ
Для исследования поведения ДГ в более общих случаях, чем рассмотренные выше, например в более широком интервале полей, используют уравнения Ландау и Лифшица [86], которые записывают в форме Гильберта [122]:
— = £*[МХН ..] + —1мХ —1,(3.27)
dr 13**J л/Д dr Jv
где
н = но - — ~ " ——(3.28)
Эх.7
и g* = ^(1 + а^), aw- полная плотность энергии ферромагнетика, состоящая из w^(ri = at Л), wq6m, wm, wH и других плотностей.
Запишем (3.27) в сферической системе координат, полагая
М = М sin 0 cos i, М = М sin 0 sin ф, М = М cos 0.(3.29)
X sу SZ S
В отличие от предыдущих разделов здесь полярная ось совпадает с ОЛН, а азимутальный угол ф отсчитывается от оси х, перпендикулярной плоскости ДГ (рис. 3.4). С учетом (3.29) вместо (3.27) имеем
К* — = М 6* sin 0sin20 ♦(3.30)
Ьф sd sV )
8*—=-М^\п0*ф + аМ 0.(3.31)
Здесь 6/60 и 6/6^ - вариационные производные. Явный вид выписанных уравнений зависит от учета взаимодействий, дающих вклад в w. При этом получается сложная система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, решение которой можно получить лишь в частных случаях. Один из таких случаев реализуется в магнитоодноосном кристалле при учете плотности энергии анизотропии вида 3£Ха sin20^Ха > 0). Исследуем стационарное движение плоской 180-градусной ДГ с одномерным распределением М в таком кристалле.
Для сформулированной задачи вновь справедливо решение (3.1), но в данном случае МХх = 0, так как внешнее магнитное поле Но направлено
Р и с. 3.4. Изображение движущейся 180-градусной ДГ и ориентации намагниченности М в ней
Стрелки на оси х вдали от ДГ показывают направление намагниченности в доменах
Рис. 3.5. Зависимость относительной скорости стационарного движения ДГ от приведенной величины внешнего магнитного поля Яо при значениях Q"1 0 (7); 3 (2); 5 (5); 10 (4); 30 (5); * (6) [294]
вдоль ОЛН, параллельной оси z. Таким образом, для w имеем
w = Аw = АmV\Эх/mV\Эх/+ sin20+ sin20(dt^\ 2 Эх/(dt^\ 2 Эх/1 а1 аsin20 + 2тгМ^ sin20 cos2^sin20 + 2тгМ^ sin20 cos2^-Ms Но cos 0,-Ms Но cos 0,(3.32)(3.32)где первое слагаемое учитывает энергию неоднородной части обменного взаимодействия, а третье - магнитостатическую энергию, связанную с зарядами, возникающими на ДГ при ее движении. Из (3.30) и (3.31), используя (3.32), находим0 + aD sin 0 -ф = —^м sin 0 sin ^ cos ^ -где первое слагаемое учитывает энергию неоднородной части обменного взаимодействия, а третье - магнитостатическую энергию, связанную с зарядами, возникающими на ДГ при ее движении. Из (3.30) и (3.31), используя (3.32), находим0 + aD sin 0 -ф = —^м sin 0 sin ^ cos ^ -^i,Q—ism 0 —);sin 0 м Эх V Эх /^i,Q—ism 0 —);sin 0 м Эх V Эх /(3.33)(3.33)aD 0 - sin 0 • ф = G)M+ шн sin e*wMQ^ гдеaD 0 - sin 0 • ф = G)M+ шн sin e*wMQ^ гдеsin 0 cos 6 cos2<i + wM 6 sin 9 cos 0sin 9 cos 9 I — I - —„ I,\ Эх/ Эх2sin 0 cos 6 cos2<i + wM 6 sin 9 cos 0sin 9 cos 9 I — I - —„ I,\ Эх/ Эх2(3.34)(3.34)<oM=4irg*M$, o„= g*H», Q^Jl^, be=<AISCXo^,(3.35) а точка над буквой обозначает частную производную по времени. Уокер (см. [208]) решил эти уравнения, рассмотрев стационарное движение ДГ<oM=4irg*M$, o„= g*H», Q^Jl^, be=<AISCXo^,(3.35) а точка над буквой обозначает частную производную по времени. Уокер (см. [208]) решил эти уравнения, рассмотрев стационарное движение ДГ5. Зак. 12195. Зак. 12196565
w = А
w = А
mV
\Эх/
mV
\Эх/
+ sin20
+ sin20
(dt^\ 2 Эх/
(dt^\ 2 Эх/
1 а
1 а
sin20 + 2тгМ^ sin20 cos2^
sin20 + 2тгМ^ sin20 cos2^
-Ms Но cos 0,
-Ms Но cos 0,
(3.32)
(3.32)
где первое слагаемое учитывает энергию неоднородной части обменного взаимодействия, а третье - магнитостатическую энергию, связанную с зарядами, возникающими на ДГ при ее движении. Из (3.30) и (3.31), используя (3.32), находим
0 + aD sin 0 -ф = —^м sin 0 sin ^ cos ^ -
где первое слагаемое учитывает энергию неоднородной части обменного взаимодействия, а третье - магнитостатическую энергию, связанную с зарядами, возникающими на ДГ при ее движении. Из (3.30) и (3.31), используя (3.32), находим
0 + aD sin 0 -ф = —^м sin 0 sin ^ cos ^ -
^i,Q—ism 0 —);sin 0 м Эх V Эх /
^i,Q—ism 0 —);sin 0 м Эх V Эх /
(3.33)
(3.33)
aD 0 - sin 0 • ф = G)M
+ шн sin e*wMQ^ где
aD 0 - sin 0 • ф = G)M
+ шн sin e*wMQ^ где
sin 0 cos 6 cos2<i + wM 6 sin 9 cos 0
sin 9 cos 9 I — I - —„ I,\ Эх/ Эх2
sin 0 cos 6 cos2<i + wM 6 sin 9 cos 0
sin 9 cos 9 I — I - —„ I,\ Эх/ Эх2
(3.34)
(3.34)
<oM=4irg*M$, o„= g*H», Q^Jl^, be=<AISCXo^,
(3.35) а точка над буквой обозначает частную производную по времени. Уокер (см. [208]) решил эти уравнения, рассмотрев стационарное движение ДГ
<oM=4irg*M$, o„= g*H», Q^Jl^, be=<AISCXo^,
(3.35) а точка над буквой обозначает частную производную по времени. Уокер (см. [208]) решил эти уравнения, рассмотрев стационарное движение ДГ
5. Зак. 1219
5. Зак. 1219
65
65
со скоростью и. При этом он считал, что
(3.36)(3.36)0 = 0(5);^=x-vt\1= const.
(3.36)
(3.36)
С учетом (3.36) уравнения (3.33) и (3.34) можно представить в виде
— =-sin0,(3.37)
d^ А
Н sin 2^ - HQ = cos 0 ( ——(S + " ) ( —) sin22v? + 6 + cos2^
е(3 38)
Н = 2яапМ; v = -cd 5 [1 + (20-'Г*;(3.39)
w D s’ w 2 а 1
Д'1 = Z^\Sin2^.
\ 2и )
Решение (3,38) имеет вид
(3.40)
Отсюда ясно — имея ту же структуру, что и в статическом режиме (см, (1.30)), ДГ движется со скоростью и вдоль х. Видно также, что А играет роль параметра, характеризующего толщину стенки, при этом с изменением и толщина ДГ тоже изменяется. Подробнее об этом будет идти речь ниже. Обращаясь к уравнению (3,38), видим, что оно имеет решение (3,40) только в том случае, если коэффициент при cos 0 и постоянное слагаемое, стоящее в левой части, равны нулю. Это дает:
sin 2ф = h(3.41)
п = Md^0(A/60),(3.42)
A = 5a [1+01cos2^]~'/2,(3.43)
где
h = Ho!Hw; nD=g*6alaD,(3.44)
При h = 0 из (3,41) имеем два решения ^ = ± тг/2, соответствующие в статическом режиме стенкам с двумя различными направлениями разворота М. Выберем для определенности
(3.45)(3.45)771
(3.45)
(3.45)
о? =arcsin И.
2 2
Из приведенных уравнений ясно, что стационарное движение ДГ возможно лишь в интервале полей
(3.46)(3.46)0 < Но < Н ,
(3.46)
(3.46)
при этом Hw играет роль критического поля. Согласно (3.41) при Но = = Hw угол vp = тт/4, т.е. с увеличением поля от 0 до Hw угол ^ уменьша-
ется от значения л/2 до значения л/4. Имея это в виду, (3.43) можно представить также в виде
(3.47)(3.47)д = 5а [1 + (20-1 (1 - 7T-F)]-\
(3.47)
(3.47)
При А = 1 Д = 5Я [1 + (20-1] Уг, v = vw (vw - критическая скорость). Таким образом, с увеличением магнитного поля угол выхода намагниченности из плоскости ДГ увеличивается, скорость доменной стенки растет, а ее толщина уменьшается. При этом стенка движется стационарно, и такое движение возможно вплоть до полей Но = Hw. Заметим также, что выход М из плоскости ДГ происходит в сторону ее движения.
Согласно (3.42) и (3.47) линейный закон v= ^DHQ (3.17) возможен в следующих случаях:
g>i,g>i,О < Яо < Я ;О < Яо < Я ;Q>1,6^1,Q>1,6^1,Но« Н ; и w ’Но« Н ; и w ’Но«2^Н№.Но«2^Н№.(3.48)(3.49)(3.50)(3.48)(3.49)(3.50)
g>i,
g>i,
О < Яо < Я ;
О < Яо < Я ;
Q>1,
6^1,
Q>1,
6^1,
Но« Н ; и w ’
Но« Н ; и w ’
Но«2^Н№.
Но«2^Н№.
(3.48)
(3.49)
(3.50)
(3.48)
(3.49)
(3.50)
Как видно из рис. 3.5, в веществах с Q < 1, помимо критической скорости в критическом поле HW) имеется и максимальная (предельная) скорость ит, возникающая в полях:
hm= {4VG(1+0'[1 ^iQ-^Vo^y^AV1-(3.51)
При этом ит определяется из
(и /и )2 + (Я [Н )2 =2
с учетом (3.51). Несложные преобразования дают
»т =1],(3.52)-
что справедливо для любых факторов качества Q.
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ И НАДКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ180-ГРАДУСНОЙ ДОМЕННОЙ СТЕНКИ
В МАССИВНОМ ФЕРРОМАГНЕТИКЕ
До сих пор рассматривалось лишь стационарное движение ДГ в постоянном поле Но. Интересно выяснить, что произойдет, если к ферромагнетику, содержащему ДГ, приложить поле Н(Г), изменяющееся со временем. С целью продвижения в понимании динамики ДГ будет рассмотрено поведение жесткой (остающейся плоской в процессе движения) 180-градусной ДГ в присутствии поля Н(г) в виде такой ступеньки, что при t< t0 Я=0, а при t> t0 Н = НХт, где t0 - произвольный момент времени. В такой ситуации при решении уравнений (3.33) и (3.34) необходимо выйти за рамки рассмотрения стационарного процесса.
Эта задача решена Шраером и Уокером [294]. Оказалось, что если HXm<Hw, то после включения Н^ происходит постепенное нарастание скорости ДГ с выходом на стационарный режим (и = const). При этом угол выхода М из плоскости ДГ (л/2 - ^) монотонно увеличивается
Рис. 3.6. Зависимость от времени скорости, толщины ДГ и угла выхода намагниченности из плоскости ДГ, возникающая после быстрого (ступенчатая зависимость Яо от времени г) включения внешнего магнитного поля [294], максимальная величина которого меньше критического поля Hw = 8,5 Э; а0 = 0,01; Н^ т = 6 Э; (2Х3 а(М^ = = 80 Э
Для удобства численного счета время нормировалось на велчину w/1 = 1/ lg* IH0 = = 5,68 • 10~8с, что соответствовало полю HQ = 1 Э и гиромагнитному отношению g* *s 1,77 • 10 7 Э-1с-1. Линейные пространственные размеры нормировались на величину 6fl = (Л/^ д) \ В соответствии с этими масштабами рассчитывалась и приведенная на рисунке скорость
Р и с. 3.7. Периодическое изменение скорости ДГ (безразмерные единицы) со временем при быстром включении внешнего магнитного поля (ступенчатая зависимость Я(Г)), максимальная величина которого превосходит критическое поле Hw = 0,85 Э; aD= 0,001; Н, т = 1,0 Э; (2Xt Q[M^ = 80 Э
Здесь временная шкала расширена по сравнению со шкалой на рис. 3.6 в 10 раз
(см. рис. 3.6), а толщина ДГ монотонно уменьшается. Оба параметра через некоторый промежуток времени также выходят на стационарные значения, определяющиеся величиной НХт. Если НХт > Н^, то стационарный режим не достигается ни за какой промежуток времени, а параметры и, и А со временем изменяются периодическим образом (см. рис. 3.7).
В рамках принятых приближений Hw можно рассматривать как поле срыва стационарного режима движения ДГ. Осциллирующее движение ДГ, возникающее при Н > Hw, имеет интересные особенности, заключающиеся в возможности проявления попятного движения ДГ в некоторые интервалы времени. Однако эти интервалы малы по сравнению с интервалами времени основного направления движения ДГ.
Проведенные в [294] численные решения показали, что ^ не зависит от х, а зависимость 0 от х аналогична зависимости для статической ДГ. Таким образом, численные расчеты наводят на мысль, что аналитическое решение может быть найдено в предположении
/х - q (О\
cos 0 = th (—), ф = (Г),(3.53)
\ д(0 г
где q(f) - координата центра ДГ; А - параметр, характеризующий ее 68
толщину. Величины q, Д и ф зависят только от времени. Прямая подстановка (3.53) в (3.33) и (3.34) показывает, что выбранные решения могут удовлетворить этим уравнениям только при дополнительном условии, когда | А”1 (х - q) | < Д"1#. Конечно надо иметь в виду, что для выбранной зависимости 0(х) величину |х - q | можно взять равной нескольким толщинам ДГ (см. подробнее [294]). С учетом указанного ограничения согласно (3.53) из (3.33) и (3.34) можно аналогично тому, как это делалось для случая стационарного решения, получить
△(0 = 5eu+e_lcos^wr4;<3-54)
(1+ар^= шя-ЛдО^вт^ cos(p;(3.55)
(1+а^)<7 = Д(0 [ояад + шмsin ф cos i].(3.56)
Уравнение (3.55) можно легко решить. Считая, что при t = 0 ф = л/2, получим
✓ со V1 - А2* \
1в, = »„-(1-<)й=1в( "Л„-Я„/Яо.(3.57)
Это выражение справедливо как при hw< 1, так и при hw> 1. В последнем случае подкоренные выражения заменяются на h„ — 1, a ctg и на cthu. Точки, приведенные на кривых рис. 3.6, получены согласно (3.54) — (3.57) для тех же параметров, при которых выполнены машинные расчеты. Из (3.54) —(3.56) видно, что при Яо < Hw величины ф, Д и q монотонно изменяются, стремясь при t -* 00 к значениям, получающимся в стационарном режиме. При Но > Hw зависимости ^(0, 4(0 > △(О ~ периодические с периодом
Т = -5— (1 + ^)/VT^.(3.58)
Если поле Но близко к Hw, то период осцилляций становится очень большим.
Комбинируя уравнения (3.55)-(3.56), находим
q = <^м^^\пф cos ф -^ап^ф,(3.59)
Ф =- (ао/Д)<7.(3.60)
Эти уравнения могут быть использованы для физической интерпретации поведения скорости ДГ в надкритическом режиме Яо >HW. С этой целью напомним, что Sw/S^ представляет собой вращающий момент. Согласно (3.33) при ф, не зависящем от х, этот момент равен 2irM$ sin20 sin 2ф, Следовательно, величина Дсом8т^ cos<p, входящая в (3.59), может рассматриваться как вращающий момент, рассчитанный на единицу поверхности ДГ. С его наличием и связано движение ДГ (см. раздел 3.1). Величина этого момента конечна, что связано с конечностью энергии магнитостатического поля, возникающего за счет полюсов на ДГ. Именно эта конечность и обусловливает о сцилл яцио иное поведение скорости ДГ при Но >
> Hw. Действительно, если HQ<HW и ф = 0, величина <ан уравновешивается (qd/A)^, что является следствием баланса энергии (3.13). При этом с увеличением Но должно увеличиваться и q, Но согласно (3.59) это увеличение ведет к росту вращательного момента. Поскольку эта величина ограничена, то начиная с некоторого поля//0 gdh уже не может уравновесить (а^/Д)^ и ф становится отличной от нуля, причем ф будет расти с ростом Но. Это увеличение ^) со временем согласно (3.59) приводит к периодическим изменениям скорости ДГ -q.
Если HQ > HW) то в уравнении (3.60) можно приближенно пренебречь q
слагаемым а— • В этом случае, считая, что при t = 0 1=0, имеем
I = 1^я |Г,(3.61)
что соответствует свободной прецессии (без трения) намагниченности в щюскости пленки. В пределе свободной прецессии при очень больших полях (см. ниже) скорость ДГ при Q > 1 равна
<7 = а^*6вЯ0/(1+а^).(3.62)
Поскольку обычно aD< 1, скорость ДГ при Яо > Hw меньше скорости ее стационарного движения. Наблюдать смещение единичной ДГ можно, например, изменяя импульсно поле смещения, поддерживающее равновесное состояние ЦМД в статическом режиме.
В [324] изучены смещения стенки ЦМД на лютеций-алюминий-гадолини- евом гранате с помощью высокоскоростных стробоскопических измерений. Оказалось, что поведение радиуса ЦМД согласуется с приведенным выше описанием только на начальном интервале времени (~15 нс). Изученная в этих экспериментах предельная скорость равна 93 и 95 м/с, что согласуется с теоретическим значением 98 м/с, рассчитанным для изучаемого материала. В большинстве других случаев, исследованных экспериментально, уокеровский предел, как правило, не наблюдается, что, в частности, может быть связано с возникновением различных неустойчивостей динамической структуры ДГ (см. раздел 3.6).
Уравнения (3.59), (3.60) являются следствием (при 6>1) уравнений, полученных Слончевским [300, 303] (см. также [301]) для более общей ситуации, когда в плоскости пленки имеется дополнительная анизотропия и магнитное поле, а ^ зависит от координат вдоль поверхности ДГ.
МЕТОД БАЛАНСА СИЛ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИДОМЕННЫХ ГРАНИЦ СО СЛОЖНЫМ ХАРАКТЕРОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯНАМАГНИЧЕННОСТИ
Для исследования динамического поведения ДГ Тиль предложил метод, основанный на использовании баланса сил [316]. Этот метод позволяет решать задачи о движении ДГ даже тогда, когда распределение намагниченности в ней не является одномерным, например при наличии горизонтальных или вертикальных блоховских линий. Предположим, что намагниченность, а следовательно, и углы 6 и ^, характеризующие ее ориентацию, зависят от развности г — q, где г — радиус-вектор произвольной точки ферромагне- 70
тика, a q - радиус-вектор, характеризующий положение произвольного распределения намагниченности в кристалле. Силу, действующую на распределение М, можно представить в виде
(3.63)(3.63)ddw
(3.63)
(3.63)
F5 = - — J wdr - /dx = dq V v dr
7^1 dr,7^1 dr,(5 w5 w
7^1 dr,
7^1 dr,
70 + —
6 06
где V - объем ферромагнетика. Будем считать эту силу обратимой. Если воспользоваться (3.30) и (3.31), а также учесть, что
0 = -и70; i = -и7^ ,(3.64)
где v - q, то правую часть уравнения (3.63) можно представить в виде dw
/—dr = -F^-Fa,(3.65)
v dr
где
Р?=/Г^г; Fa = /fa6fr(3.66)
- гиротропная и диссипативная силы, a f^ и f а - их плотности соответственно, причем
MsMs
tg—kXvA-.fai^—dijV,.(3.67)
Входящие в эти выражения величины d^ и g равны
dq —^ddq —^d+ sin20+ sin20g = — sin0 [70 X 7^],g = — sin0 [70 X 7^],(3.68)(3.69)(3.68)(3.69)
dq —^d
dq —^d
+ sin20
+ sin20
g = — sin0 [70 X 7^],
g = — sin0 [70 X 7^],
(3.68)
(3.69)
(3.68)
(3.69)
при этом величину dtj называют диссипативной диадой, a g - гиротропным вектором. Гиротропная сила играет весьма важную роль в динамике ДГ со сложной магнитной структурой. Можно заметить, что она отлична от нуля только в том случае, когда имеется зависимость от координат сразу обоих углов — 0 и I, характеризующих распределение М в кристалле. Следовательно, она отсутствует в ДГ с одномерным распределением М и имеется, когда ДГ содержат вертикальные или горизонтальные блоховские линии. При движении ДГ с блоховскими линиями гиротропная сила приводит в движение эти линии. При наличии фиксированных блоховских линий в изолированных доменах, например в ЦМД, гиротропная сила приводит к отклонению движущихся под действием градиента внешнего магнитного поля доменов от направления этого градиента.
Используя (3.65),вместо (3.63) можно записать
Fa+Fg+Fs = 0.(3.70)
Это уравнение можно рассматривать как баланс сил. Его важность заключа-
ется в том, что решаемые с помощью него динамические задачи не требуют нахождения решения нелинейных дифференциальных уравнений, каковыми являются уравнения Ландау, Лифшица или Слончевского. Для определения, например, скоростей движения ДГ и блоховских линий в них достаточно бывает выбрать для величин 0 и i некие функции, например, такие, какие выбираются при выводе уравнений Слончевского [300].
ДВИЖЕНИЕ ДОМЕННЫХ ГРАНИЦ,СОДЕРЖАЩИХ ЕЛОХОВСКИЕ ЛИНИИ
Используя метод баланса сил, рассмотрим движение плоской (параллельной плоскости (yz) ДГ с равномерно распределенными ВБЛ. В соответствии с геометрией задачи будем считать, что 0 = 0 (х), а кр = ^(у) (см. раздел 1.5). При этом предположим, что (у + 25) = <^ Су) , где 25 - период распределения М по у. При вычислении сил, действующих йа ДГ, для 0 используем выражение (1.61). Что же касается l(y), то для периодического распределения этот угол можно найти из уравнения
_ /dФ\10
Ao I—I -яп2Ф = С,
получающегося варьированием (1.60) по 0 и Ф с учетом того, что ^ = = Ф + тт/2. В рассматриваемом случае имеют смысл только периодические решения с постоянной интегрирования ОО, так что (ср. с (2.14))
(
у \'
Л1|,(3.71)
Ao^i /
где
(3.72)(3.72)кх =(1+С); 5 = 2Ao^i^i).
(3.72)
(3.72)
Варьируя (1.60) и используя приведенное выше уравнение для Ф, вновь находим (1.61), но с
(3.73)
Напомним, что кх представляет собой модуль эллиптического интеграла. Таким образом, используя (1.61), (3.71), выражения для сил (3.63), (3.65) и проводя несложное интегрирование, в пределах малой плотности ВБЛ 5 > яАо и при Н || z, получаем из (3.70)
(3.74)(3.75)(3.74)(3.75)^х — Мэф^О >
(3.74)
(3.75)
(3.74)
(3.75)
Vy _ 'пкххГй' vx 2E(kx)aD ’
где
Дэф = ^DДэф = ^D^кх^дУо"ИЕ^аЬ +^кх^дУо"ИЕ^аЬ +2E(^i)60l4 kxsV0* J2E(^i)60l4 kxsV0* J(3.76)(3.76)
Дэф = ^D
Дэф = ^D
^кх^дУо"
ИЕ^аЬ +
^кх^дУо"
ИЕ^аЬ +
2E(^i)60l4 kxsV0* J
2E(^i)60l4 kxsV0* J
(3.76)
(3.76)
представляет собой подвижность ДГ, содержащей ВБЛ, а gn — подвижность 72
ДГ в отсутствие ВБЛ, Е(^х) - полный эллиптический интеграл второго рода. В этих формулах и х — скорость ДГ, а и у - скорость ВБЛ. Слагаемые, стоящие в квадратных скобках (3.76) наряду с единицей, представляют собой вклад ВБЛ в подвижность ДГ. Как и следовало ожидать, наличие ВБЛ уменьшает подвижность ДГ. Это уменьшение оказывается тем большим, чем меньше период распределения ВБЛ, что также естественно. Поскольку S > тгАо, то ку близко к единице и Е{ку)1. Это позволяет упрос
тить (3.75), (3.76) и представить эти формулы в виде
1
я25л^25а Г*
+ ~+ V /7) I ’(3.77)
uy/vx = it VQ, lota •(3.78)
Заметим, что поскольку Q > 1, a aD, как правило, мало, то скорость ВБЛ оказывается значительно больше скорости самой ДГ, как это следует из (3.78)
В пределе большой плотности ВБЛ, S < ttAq, из тех же формул для сил получаем
vx=g*^0A/(«D+«p).(3.79)
vy
- = S0raDA)-‘ ,(3.80)
где
A = 6a[l+(7rs6;1)-3]~V2(3.81)
По формуле (3.79) напоминает формулу скорости движения ДГ в пределе свободной прецессии (3.62). Однако в данном случае в нее входит не 8Д, а ширина ДГ Д с учетом влияния на нее ВБЛ.
Рассмотрим теперь движение скрученной ДГ (см. раздел 1.4). В этом случае ^ = Ф + тт/2 является функцией z. Напомним, что ось z перпендикулярна плоскости пластины (пленки) и лежит в плоскости ДГ. Ось х перпендикулярна этой плоскости. Будем предполагать, что в процессе движения ДГ могут образовываться ГБ Л (динамическое преобразование ДГ). С этой целью сразу учтем наличие ГБЛ и возможность их движения вдоль оси z со скоростью uz . Скорость ДГ вновь будем считать равной их. В этом случае, помимо силы
F^ =- — Н-М^уобО dr = QAf$HovxLyd(3.82)
(Ly, d — размеры пластины вдоль осей у и z соответственно и Н|| z), действующей на ДГ в целом, имеется еще и сила, действующая на ГБЛ, равная
т 9И/'
Fs =Ly .(3.83)
dz,
Используя (3.66)-(3.68), (3.82), (3.83), а также (f.61), (1.67), (1.68),
из (3.70) при Q> l,ux>0,uz > 0 имеем
dW^dZj = (М5/|^*|)[4Ф/ vx +aDvzWIf2A^(3.84)
\g*\H0=aDvxV + 2Фlvzd-i .(3.85)
Из этой системы уравнений следует, что в магнитных полях, недостаточных чтобы вызвать движение ГБЛ (и2 = 0), может достигаться некое динамическое равновесие, когда ДГ движется стационарно со скоростью
их = p.DH0 ; д^ = 5Jg*|/aD ,(3.86)
а положение ГБЛ фиксировано и определяется из
Н0=Нр ъ(3.87)
где
Нр = aD(4M^dyx(dWl/dzI).(3.88)
При Но > Нр положение ГБЛ меняется, а поскольку скорость движения ДГ зависит от положения ГБЛ, то скорость ДГ становится нестационарной. Следовательно, Нр представляет собой критическое поле, начиная с которого стационарный режим движения ДГ нарушается. Соответствующая этому полю предельная скорость стационарного движения ДГ равна согласно (3.86)
^о = Р-п^р • (3.89)
В разделе 1.5 отмечалось, что энергия ГБЛ особенно мала в точках tzc (критические точки). Именно при г -±zc наиболее вероятно зарождение ГБЛ. Используя такое предположение, можно существенно упростить (3.89), приведя его к следующему виду:
Vpo « d-x. (3.90)
Эта скорость представляет собой предельную (пиковую) скорость Слон- чевского. Выше скорости и р0 движение ДГ становится нестационарным, и в настоящее время не существует строгой теории такого движения ДГ. В связи с этим мы приведем лишь некоторые оценочные формулы скорости насыщения vS) возникающей за пиковой скоростью. Если предположить, что процесс нестационарного движения ДГ связан с пробегом ГБЛ от точки — zc до точки +zc и с зарождением новой ГБЛ в точке — zc в момент аннигиляции ГБЛ, достигшей точки +zc, то средняя скорость движения ДГ по периоду такого процесса [226]
^~0,55ирО , (3.91)
т.е. после достижения пиковой скорости и возникновения нестационарного движения ДГ скорость стенки падает почти в 2 раза. Модель движения ГБЛ, учитывающая попятное движение ДГ, приводит к оценкам [303]
us~0,29up0 • (3.92)
В работе [132] результаты [303] обобщены на случай неоднородных вдоль нормали к поверхности пленок. При этом предполагалось, что константа анизотропии меняется вдоль оси z. Было показано, что в зависи-
мости от характера и степени неоднородности предельная скорость ДГ может вести себя по-разному, и в частности превышать и р0, что в конечном итоге связано с увеличением энергетического барьера, препятствующего началу движения ГБЛ.
Интересно сравнить (3.90) с уокеровской предельной скоростью. При 2Q > 1 имеем
Vpoivw ^ 9АоД/, (3.93) где Ло = (A/IuM^, и, следовательно, для пленок толщиной d > 9Л0 предельная скорость Слончевского ниже уокеровской.
К сожалению, несмотря на обилие экспериментальных данных (подробнее см. [99, 206]) результаты, касающиеся соотношений (3.91) и (3.92) и особенно относящиеся к обратно пропорциональной зависимости ир0 от толщины пленки, пока не нашли своего подтверждения. Однако анализ экспериментальных результатов, выполненный в [99], показывает, что зачастую исследованные экспериментально ситуации не соответствуют условиям применимости теоретических моделей. Установлено [205] для большого числа материалов следующее эмпирическое соотношение:
»5 = 0,4л|£*|баМ5, (3.94)
которое, однако,, пока не нашло своего теоретического обоснования. В работах Волкова, Бокова и др. [19, 27] показано, что на самом деле для целого ряда феррит-гранатовых пленок с редкоземельными добавками (3.94) применимо только в случае, если aD мало.
Ясно, что необходим поиск новых физических механизмов движения ДГ. В этом отношении весьма интересным является богатый экспериментальный материал, полученный на пластинах ортоферритов (см. [71, 97, 172, 251, 319], а также обзор [И] и ссылки в нем).
Г ла ва 4ДИНАМИКА ИЗОЛИРОВАННЫХ ДОМЕНОВ
СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ИЗОЛИРОВАННЫЕ ДОМЕНЫ
Будем характеризовать положение домена (его ’’центр тяжести”) в ферромагнетике радиус-вектором гс с компонентами хс, ус, zc. Заметим, что выражения для энергии Е, использованные в разделах 2.2—2.4 для описания равновесных свойств изолированных доменов, не зависели от координат хс и ус, т.е. от положения доменов в плоскости, параллельной поверхности пластины. Это связано с предположениями об однородности свойств пластины (пленки) вдоль ее поверхности, а также с однородностью полей смещения, стабилизирующих изолированный домен в пленке. Если характеристики материала пленки (намагниченность насыщения Ms, энергия ДГ 7 и др.), или ее толщина, или поле смещения Яо являются функциями координат х и у, то равновесные характеристики доменов (например, радиус ЦМД), а также параметры, характеризующие границы их устойчивости, будут функциями положений доменов в плоскости пленки. Домен
не будет ’’безразличен” к своему положению и начнет смещаться по направлению к участкам, где его энергия минимальна. При этом будут изменяться и его равновесные размеры, и даже форма.
Если характерные размеры неоднородностей величин М$, у, HQ и др. значительно больше размеров домена, то в каждой точке (хс, у^ поверхности пленки его равновесные размеры могут быть найдены из условия
ЭЕ/Эа, = 0, / = 1,2,(4.1)
где под at следует понимать, например, радиус г0 сквозного ЦМД, радиус г о и высоту hB несквозного ЦМД или полуоси а, Ь, с внутриобъемного домена в виде эллипсоида. Равновесные характеристики доменов, определяемые из (4.1), будут локальными.
С зависимостью локально равновесной Е от хс и ус связана сила
ЭЕ
F= = -VE,(4.2)
Эгс
перемещающая домен вдоль поверхности пластины.
В силу сказанного выше ЧЕ связан с градиентами величин аь Но, у, Ms,d (а также возможных других), так что можно записать
^ЕЪЕЪЕЪЕЪЕ
ЧЕ =4d + — Ч Но +—Чу +— 4MS + — Ча,- .(4.3)
ЪdЪНоЭудМ$Ъai
Согласно (4.1) и (4.3) для силы F (4.2) имеем [318]
ЭЕЭЕЭЕЭЕ
Fr= -— 4d-— ЧН0Чу4MS .(4.4)
ЪdЪН0ЭуЪМ$
Если свойства пластины и внешнее магнитное поле однородны, но имеется градиент температуры вдоль поверхности пластины, то из (4.4) получаем
✓ ЭЕ ЪdЭЕ ЭуЭЕ ЪМ$\
ЕТ=Ц — ++— — IV Т.(4.5)
\ Ъd ЪТЭу ЭГЪМ$ ЪТ /
Из (4.5) ясно, что градиент Т в плоскости пленки приводит к возникновению силы, продвигающей домен в этой плоскости. Этот важный вывод указывает на возможность управления движением доменов, например с помощью лазерного луча.
Слагаемые, входящие в (4.5), могут иметь разные знаки и величину, так что в зависимости от вещества результирующий знак в скобках (4.5) может быть разным. Например, в гранате Gd! ^Tbo^FegO^ этот знак отрицателен [318], так что сила Fp совпадает по направлению с ЧТ, и домены должны двигаться от холодных участков к теплым. Иная ситуация складывается в ортоферрите Smo^sTbo^sFeOg [318]. Для него результирующий знак положителен, сила Fr антипараллельна ЧТ, и домены двигаются от теплых участков к холодным.
Если же градиент температуры отсутствует^ доме но со держащий образец однороден вдоль поверхности, но имеется градиент внешнего магнит- 76
ного поля VHq , то из (4.4) имеем
VH = -^H^S Ж^ат» (4.6)
VD
где VD — объем домена. Поскольку Ms всегда больше нуля, коэффициент при VHq отрицателен, и домен должен двигаться в направлении, противоположном направлению V Яо — к участкам с меньшими значениями Но.
Кроме сил, связанных с градиентами £ и вынуждающих домен продвигаться вдоль поверхности пластины, на него также действуют силы, тормозящие его перемещение. Эти силы аналогичны известным из механики силам трения. Силу ’’трения” FTp, действующую на домен, можно представить в виде двух составляющих. Одна из них представляет силу ’’трения покоя” Fc, которая в простейших случаях (например, при наличии однородно распределенных немагнитных включений) может быть связана с коэрцитивной силой Нс. Сила Fc может быть записана в виде [134]
Fc = -2— / tf^z) I vn| dS, (4.7) и2 $
где v — скорость домена; 5 - площадь его поверхности; п — единичный вектор внешней нормали к его поверхности. В более общем случае под Нс следует понимать локальную коэрцитивность ДГ, ограничивающей изолированный домен.
Другой составляющей FTp является сила вязкого трения Fa. Для ее вычисления заметим, что плотность этой силы, действующей на произвольный малый элемент dS доменной границы движущегося домена, пропорциональна нормальной скорости движения указанного элемента v„/i?, где 1? — коэффициент вязкости. Нас в дальнейшем будет интересовать лишь проекция силы Fa на направление движения домена v. Учитывая, что проекция idS на направление vравна v(vf) (dS/v 2), после интегрирования по всей поверхности домена получим
F = - -у / (vn)V* (z) dS^ (4.8) v1 S
где учтено, что в общем случае коэффициент вязкости т? может быть функцией координаты z. Напомним, что направление оси г перпендикулярно поверхности пленки. Знак минус отражает факт, что сила трения всегда препятствует движению домена. Коэффициент 17 может быть связан с параметром затухания aD, входящим в уравнение Ландау-Лифшица-Гильберта (см. ниже).
Указанные выше соотношения справедливы для любого изолированного домена как сквозного, так и несквозного. В них учтена возможная зависимость материальных параметров от координаты z. Однако в проведенном рассмотрении не принималась во внимание стуктура ДГ. Как будет видно ниже, такой подход справедлив лишь в некоторых частных случаях. В общем случае структура ДГ оказывает существенное влияние на движение доменов .
Рис. 4.1. ЦМД кругового сечения конечной толщины
О — центр лабораторной системы координат xyz; Ох — центр локальной системы координат, расположенный в ДГ
В связи с этим рассмотрим вопрос о силах, действующих на изолирован ные домены с более общих позиций, учтя, что реальные доменные стенки могут иметь сложную структуру, связанную, например, с наличием блоковских линий. Однако поскольку в настоящее время структура ДГ хорошо исследована лишь для сквозных ЦМД, то трудно сказать что-либо о структуре стенок несквозных и внутриобъемных доменов. Поэтому приведенные ниже расчеты относятся только к сквозным ЦМД в однородных пленках.
Прежде всего покажем, что, помимо приведенных выше сил, действующих на изолированный домен, структура ДГ приводит к необходимости учета гиротропной силы.
Для расчета этой силы воспользуемся формулами (3.66), (3.67) и (3.69). Переходя к цилиндрической системе координат р, Р, z с началом в центре ЦМД (рис. 4.1) и, имея в виду, что
Э01 Э^
р ьрр ье 9
где ер ие^ — единичные орты вдоль соответствующих координатных осей, получим из (3.66) (3.69)
Gz - f gzdV = -dez / /sin 0 dO—— dp. vо о dp
Здесь учтено также, что в центре ЦМД М направлена вдоль -z, а вне ЦМД — вдоль z, ez —орт вдоль оси z. Полагая, что на периметре домена укладывается п блоховских линий, выполняя интегрирование по 0 Иф, согласно (3.66), (3.67) имеем
М
F# = 2^(M + 2)[ezXv]^- .(4.9)
1^*1
-Ч-/-Ч-/Число оборотов
-Ч
-/
-Ч
-/
Рис. 4.2. Возможные типы ВБЛ в доменной стенке ЦМД и направления отклонений ЦМД с разной структурой ДГ от направлений V Hz [99]. Правая декартовая система координат выбрана так, что ось z-Ц Н, причем Н параллельно намагниченности вне ЦМД
Ось х параллельна V Hz
Если под М понимать намагниченность, направленную вдоль оси z, то силу F^ можно представить также в виде
F„ = 2т/(и + 2) — [М X v] .(4.10)
8k*l
Числа и могут быть как положительными, так и отрицательными, в зависимости от того, к каким ВБЛ они относятся (положительным или отрицательным). Под положительными ВБЛ понимают линии, для которых при обходе контура ЦМД намагниченность в центральной части сечения доменной стенки ЦМД плоскостью пленки поворачивается по часовой стрелке. Заметим, что поскольку суммарный поворот намагниченности при обходе контура ЦМД должен быть кратен 2тг, а поворот намагниченности в одной блоховской линии равен я, то в доменной стенке ЦМД может находиться лишь четное число ВБЛ, т.е. п может быть только четным.
Из (4.9) и (4.10) следует, что для двух отрицательных ВБЛ (рис. 4.2) Fg = 0, поскольку п = — 2. Отметим, что, по-видимому, домен с двумя отрицательными ВБЛ будет иметь и наименьшую энергию, если в плоскости пленки приложено внешнее магнитное поле или имеется плоскостная анизотропия.
Аналогично Fg можно вычислить также и диссипативную силу, действующую на ЦМД, содержащий п ВБЛ. Согласно (3.66), (3.67) и (3.68) при Го > 8а, где г0 - радиус ЦМД, а 5а - толщина его доменной стенки, имеем (см., например, [99])
(4.11)
6 а \ 1ГГ0А0 I |g*|
где Ао = (Л/2лЛф^. Из (4.11) следует, что с наличием ВБЛ связано дополнительное ’’трение”, описываемое вторым слагаемым в скобках. Посколь-
ку обычно (6а/тгг0Л0) ^ 1, при малом числе линий указанный вклад мал, и при ^ап!г0Лотт < 1 сила Fa может быть представлена в виде
(4-12)(4-12)'l<naDrQd Ms
(4-12)
(4-12)
что совпадает с силой вязкого трения, действующей на нормальный ЦМД. Интересно сравнить (4.12) с силой трения, получаемой из (4.8) для нормального сквозного ЦМД, движущегося в однородной пленке, где i?(^ = = ту = const. Проводя интегрирование, из (4.8) легко получить
irrod
Fa = - v.(4.13)
т?
Сопоставляя (4.12) и (4.13),находим
7? = ba\g*\!2aDMs.(4.14)
Таким образом, на примере нормального сквозного ЦМД удается найти связь коэффициента вязкости ту с известными макроскопическими характеристиками ферромагнетика.
В заключение этого раздела приведем соотношение для силы, действующей на сквозной ЦМД в однородной пленке со стороны градиента внешнего магнитного поля. Согласно (4.6)
¥н = -тгго^бН,(4.15)
где ЗН = 2го 7Я0 — перепад значений внешнего магнитного поля на диаметре ЦМД.
ТРАНСЛЯЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ ИЗОЛИРОВАННЫХ ДОМЕНОВ
Ниже рассмотрено стационарное движение изолированных доменов вдоль поверхности ЦМД-пленки. При этом внутренняя структура ДГ и связанные с ней силы учитываться не будут. Для ЦМД такой подход справедлив или при п = -2, или в случае малого числа блоховских линий, укладывающихся на его периметре. Что касается несквозных ЦМД, из-за отсутствия представлений о структуре их стенок предлагаемый подход является единственно целесообразным. Однако при этом трудно судить о рамках его применимости.
Будем исходить из представления о том, что полная сила, действующая на изолированный домен, движущийся стационарно, равна нулю. С учетом этого обстоятельства согласно (4.6), (4.7) и (4.8), предполагая, что ^Hz направлен вдоль х, находим, что домен движется вдоль направления, противоположного VHZ [161], со скоростью
и =-^-ц<8Н-рНс\ 8Н> vHc,(4.16)
где 8Н = 2а| VH| - перепад поля Но на размере 2л изолированного домена вдоль направления движения. Величина
vHc = ^а $ Ms^\nx\dSl $ Ms^dt(4.17)
sVD
имеет смысл порогового перепада поля Но на расстоянии 2а, необходимого - 1
для начала движения домена. Величина —д — подвижность изолированного 2
домена, которая может быть представлена в виде 2
д = — f M^dr/и (nx/^dsy(4.18)
as х
Если имеется сквозной изолированный ЦМД в однородной пленке с Ms(z) ^Ms = const, i? = const, то из (4.16) и (4.18) получаем [315]
1 /—Дьн-2\1 /—Дьн-2\8 \-нА7Г /8 \-нА7Г /85Я > - Нс,и85Я > - Нс,и(4.19)(4.19)
1 /
—Дьн-
2\
1 /
—Дьн-
2\
8 \-нА
7Г /
8 \-нА
7Г /
85Я > - Нс,и
85Я > - Нс,и
(4.19)
(4.19)
О, где теперьО, где теперь8ьн <- нс,л8ьн <- нс,л
О, где теперь
О, где теперь
8ьн <- нс,л
8ьн <- нс,л
(4.20)(4.20)д = 2т)М$.
(4.20)
(4.20)
Согласно (4.14) подвижность д, определяемая по (4.20), может быть представлена также в виде
Д = k*|6a/aD .(4.21)
В такой записи д совпадает с выражением для подвижности 180-градусной ДГ (см. (3.20)). Для смешанных гранатов значения д изменяются в пределах от 102 до 104 см/Э • с. Таблицу значений д можно найти, например, в [99].
Из (4.21) следует, что для увеличения подвижности доменов необходимо уменьшать релаксационную постоянную aD. Можно, конечно, увеличивать толщину ДГ, например уменьшая константу анизотропии X \й (5Д -(А,Хха)У Однако это не всегда может оказаться удобным, поскольку уменьшение X щ приводит к уменьшению фактора качества ЦМД-мате- риала, что не всегда желательно для практики.
(4.22)(4.22)Другая возможность увеличения подвижности домена, казалось бы, могла быть связана с увеличением эффективного гиромагнитного отношения (g*) -1. Такая возможность имеется в многоподрешеточных магнетиках, в которых при условии сильного межподрешеточного обменного взаимодействия можно ввести эффективное значение £эфф в виде [325]
(4.22)
(4.22)
^эфф = ? (sw/g,))
где суммирование идет по магнитным подрешеткам, а М( и gf соответствуют намагниченности насыщения и магнитомеханическому отношению i -той подрешетки. Известно, что при изменении концентрации ионов Ее3* , входящих в тетраэдрические и октаэдрические позиции некоторых гранатов с редкоземельными добавками, например при введении Ga в евро- пий-галлиевый гранат, можно добиться сильного уменьшения результирую-
81816. Зак. 1219
81
81
3
щего механического момента подрешеток 2 (Mt[gty Согласно (4.22) это приведет к резкому возрастанию #эфф. Такое увеличение g действительно наблюдалось в европий-галлиевых гранатах [257]. При зтом#эфф увеличилось до 30. В веществах же с повышением £Эфф наблюдались более высокие скорости ДГ (см. [256])- Однако этот результат скорее связан с увеличением предельной уокеровской скорости, а не с увеличением подвижности. Последнее легко понять, если обратить внимание на то, что в многоподрешеточных магнетиках с сильным обменным взаимодействием между подрешетками, кроме эффективного £эфф, необходимо ввести эффективное значение параметра затухания [225]
«Эфф = 2 а^Г* / 2 Мг^ •(4.23)
ii
Из (4.22) и (4.23) видно, что даже при существенном уменьшении ^gf' величина ^Эфф/аЭфф не обязана изменяться значительно, и согласно (421) подвижность также будет меняться не очень сильно, что и наблюдалось в экспериментах [256].
Перейдем к обсуждению подвижности несквозных доменов в неоднородных вдоль нормали к поверхности пленках. Заметим, что в ряде случаев при изменении концентрации одного из элементов, входящих в состав ферритов-гранатов с редкоземельными добавками, возникает ситуация, когда т? оказывается постоянной величиной, а 4тгЛ^ изменяется. Согласно [170] такое явление наблюдается, например, в висмутсодержащих феррит-гранатовых пленках (Tm Bi)3 (FeGa)5O12 при изменении концентрации Ga. В связи с этим, если предполагать, что пленка выращена так, что Ms оказывается функцией z, а 77 = const и учесть, что несквозной домен локализуется в области максимальных М$, то из (4.18) можно сделать вывод о том, что в данной ситуации в одной и той же неоднородной пленке подвижность несквозного домена будет выше подвижности сквозного. Это особенно ясно видно на примере доменов цилиндрической формы. Действительно, при 7? = const согласно (4.18) имеем
И = 2ч<М$^Х(4.24)
где <Ms(z) > - среднее значение Ms, причем усреднение идет по значениям Ms (вдоль z) в пределах локализации того и другого домена, т.е. в пределах толщины пленки для сквозного домена и в пределах высоты несквозного ЦМД. Поскольку несквозной домен локализуется в местах с повышенным Ms> среднее М$ для несквозного домена будет больше соответствующей величины для сквозного домена. Заметим, что в [2] в аналогичной ситуации действительно было найдено, что подвижность несквозных ЦМД выше, чем сквозных.
Если неоднородные вдоль z пленки выращены так, что Ms = const, а энергия ДГ 7 изменяется, то (4.18) удобно переписать в виде
/\-X
м= M^W/IJ— dg),(4.25)
a vD \sд(^)/
где д (z ) — локальная подвижность, причем д (z) = 2ti(z)Ms (z).
Из мена Ms = 7, и ность.Из мена Ms = 7, и ность.можно сделать вывод о том, что подвижность сквозного до- может быть ниже подвижности несквозного, если учесть, что при- const несквозные домены локализуются в областях с пониженным слоям с меньшими 7 соответствует большая локальная подвиж-
Из мена Ms = 7, и ность.
Из мена Ms = 7, и ность.
Дальнейший анализ подвижности несквозных доменов можно провести лишь моделируя их форму. Предположим, например, что имеется внутриобъемный домен в форме эллипсоида вращения
(4.26)(4.26)х2 + у2 z2
(4.26)
(4.26)
fl2 р =1,
где а и Ъ - полуоси эллипсоида, движущегося вдоль поверхности пленки на некоторой глубине от этой поверхности. Предположим, что пленка такова, что Л = const, a Ms изменяется так, что можно выделить слои с постоянными Ms. Представим, что ЦМД полностью локализован внутри одного из таких слоев с намагниченностью насыщения Ms и коэффициентом вязкости т?. В рассматриваемом случае из (4.18) можно получить [161]
М= ДоМ= До431,431,S2 -1S2 -12£2 - 1^ArshVi ~ !2£2 - 1^ArshVi ~ !£=1;(4.27)£=1;(4.27)
М= До
М= До
4
3
1,
4
3
1,
S2 -1
S2 -1
2£2 - 1^
ArshVi ~ !
2£2 - 1^
ArshVi ~ !
£=1;(4.27)
£=1;(4.27)
43431-е21-е22е2 -1/—7
4
3
4
3
1-е2
1-е2
-■—— arcsin у 1 - { — 1 . / 1 _t2
где До = 2т>Л/5 имеет смысл подвижности сквозного ЦМД в пленке с намагниченностью насыщения Ms; £ = а]в.
Для доменов в форме сильно вытянутых (£ <1) и сильно сплюснутых ($ > 1) эллипсоидов вращения имеем
Д = ДоД = До4- 6 [ 21п2§ - 1 р1,8/3 тг,4- 6 [ 21п2§ - 1 р1,8/3 тг,^> 1;е< l^> 1;е< l(4.28)(4.28)
Д = До
Д = До
4
- 6 [ 21п2§ - 1 р1,
8/3 тг,
4
- 6 [ 21п2§ - 1 р1,
8/3 тг,
^> 1;
е< l
^> 1;
е< l
(4.28)
(4.28)
Из этих соотношений следует, что подвижность внутриобъемных доменов существенно зависит от их формы, причем с увеличением £ подвижность растет.
Заметим, что для домена эллипсоидальной формы v =3 (см. формулу (4.16)). Это означает, что критический перепад внешнего магнитного поля, необходимый для того, чтобы домен пришел в движение, больше соответствующего перепада для нормального ЦМД, у которого v = 8/я (см. (4,19)). Это различие обусловлено разницей в геометрии доменов.
ОТКЛОНЕНИЕ ЦМД ОТ НАПРАВЛЕНИЯ ГРАДИЕНТАВНЕШНЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Выше было рассмотрено движение ЦМД вдоль градиента внешнего магнитного поля. Однако экспериментальными исследованиями (см. [277, 312, 322]) было установлено интересное и на первый взгляд неожиданное явление отклонения (сноса) ЦМД от направления градиента внешнего магнитного поля, В работах [263, 322] одновременно и независимо был сделан вывод о том, что это явление можно связать с существованием ВБЛ в ДГ движущегося ЦМД. Формально указанное явление должно возникать всегда, когда гиротропная сила отлична от нуля. Поэтому и теория сноса ЦМД должна строиться с учетом этой силы. Приравнивая к нулю полную силу, действующую на движущийся ЦМД и состоящую из вкладов (4.10), (4.11), и (4.15),получим
чнгчнгаиl^ko^аиl^ko^+ (м + 2)+ (м + 2)11^*1 Го11^*1 Гоkz X и],kz X и],(4.29)(4.29)где^ а = aDгде^ а = aD253л7ГГоЛо253л7ГГоЛо(4.30)(4.30)
чнг
чнг
аи
l^ko^
аи
l^ko^
+ (м + 2)
+ (м + 2)
1
1^*1 Го
1
1^*1 Го
kz X и],
kz X и],
(4.29)
(4.29)
где^ а = aD
где^ а = aD
253л
7ГГоЛо
253л
7ГГоЛо
(4.30)
(4.30)
(4-31)(4-31)(4.32)(4.32)гдегдеДэфф "* Mo 1 +Дэфф "* Mo 1 +28^ к21 нГо^ /28^ к21 нГо^ /лг0 Лолг0 Ло(4.33)(4.33)
(4-31)
(4-31)
(4.32)
(4.32)
где
где
Дэфф "* Mo 1 +
Дэфф "* Mo 1 +
28^ к21 нГо^ /
28^ к21 нГо^ /
лг0 Ло
лг0 Ло
(4.33)
(4.33)
Предполагая, что >VHZ направлен вдоль оси х и вводя обозначение 6// = = 2го VdHxjdx^, из (4.29) получаем
(л + 2)6а
COSXCH = иу/их = ;
аг0
1
~Мэфф^>
5 = 1+ л/2 - полное число оборотов М при обходе контура ЦМД. Из (4.31) следует, что существует угол отклонения хсн движущегося ЦМД от направления градиента внешнего магнитного поля ЧНХ. Видно также, что отклоняются не только ЦМД, содержащие ВБЛ, нои не содержащие линий, л =0. К этому вернемся позже, а пока обратим внимание на то, что ЦМД с л = -2 совсем не испытывают отклонения в магнитном поле (см. рис, 2.11, в). Такие домены важны для использования в устройствах на ЦМД. Как следует из (4.31), подавление отклонений ЦМД может быть осуществлено не только созданием доменов с л = —2, например с помощью плоскостной анизотропии, но также и при увеличении г0- домены с малым числом ВБЛ, но имеющие достаточно большой радиус г0, так что (6J л + 2| jar^ <1 могут отклоняться лишь на незначительный угол.
Из (4.31) также следует, что отклонение доменов может происходить как вправо по отношению к направлению — VHZi если имеются отрицательные ВБЛ с | л| >2, так и влево, если ВБЛ положительные с л > 0. На рис. 4.2 приведено несколько различных ЦМД и показано их отклоне-
ние от направления градиента. При очень большом числе ВБ Л одного знака, таком, что | л + 2 | ^(аг^ > 1, ЦМД должны двигаться практически перпендикулярно направлению градиента, что и наблюдалось, например, в [277]. Величина (л + 2) ba/arQ может быть немалой даже при малом и (или вообще п = 0), если г0 достаточно мал. Экспериментальные доказательства этого обстоятельства приведены в [99], Там же показано, что отклоняются и ЦМД с п = 0. Дальнейшие экспериментальные доказательства отклонения ЦМД с малым числом ВБЛ содержатся в [261], где также наблюдалось отклонение домена с п = 0 от направления градиента. При этом было показано, что максимальная скорость при заданном градиенте соответствует и = 0.
Формулы (4.31)-(4.33) получены при Нс = 0. Для количественной интерпретации экспериментальных данных учет конечной коэрцитивности необходим. Для этого можно добавить в правую часть (4.29) слагаемое 4Яси/^о1 v|. Однако, как показали экспериментальные исследования [261], хорошего согласия теории с экспериментом можно добиться, если еще учесть коэрцитивность отдельной ВБЛ. Таким образом, совместные теоретические и экспериментальные исследования позволяют сделать важный вывод о существовании коэрцитивности отдельной линии.
(4.34)(435)(4.34)(435)Обратим внимание на то, что движение ЦМД в неоднородном магнитном поле аналогично движению заряженной частицы в скрещенных электрическом и магнитном полях (4.29). При этом роль электрического поля играет 7Я, а магнитного — М [99]. Эта аналогия особенно наглядно проявляется тогда, когда сила трения достаточно мала, так что длина свободного пробега ЦМД Х^ ит, где т - время торможения ЦМД, связанное с ав> много больше как размера ЦМД г0» так и ’’ларморовского радиуса” Rl . Опуская в этих условиях силы трения и считая, что сила в градиентном поле и гиротропная сила уравновешиваются динамической силой инерции znри ,где и -du/dt,amD — масса ЦМД,равная [6]
(4.34)
(435)
(4.34)
(435)
можно записать
m^v = TrrQdM^Hz +(л + 2)[иХМ|.
1^*1
Отсюда видно, что в отсутствие ^Нх ЦМД должен вращаться в плоскости пленки с некоторой ’’ларморовской частотой”
(4.36)(4.36)(4.37)(4.37)(n + 2)AfJg*| *
(4.36)
(4.36)
(4.37)
(4.37)
^L = 16д>
2777*0
которой соответствует радиус орбиты Rl , описываемой ЦМД:
R2ли'"°
L \g*\MAn*^ba
Из (4.36) и (4.37) видно, что как wL, так и RL зависят от (и + 2),т.е. от числа ВБЛ в домене.
Если ЦМД движется при наличии VHZ , то из-за гиротропной силы траектория его будет представлять трахоиду, как и в случае заряженной частицы, движущейся в скрещенных электрическом и магнитном полях. При этом скорость дрейфа равна
и, как видно, ее направление определяется, в частности, знаком (п + 2), В пластине конечных размеров при поддержании постоянного потока ЦМД в каком-либо направлении можно ожидать появления градиента магнитного поля в направлении, перпендикулярном потоку, что представляет эффект, аналогичный эффекту Холла в металлах и полупроводниках.
ИЗМЕНЕНИЕ ФОРМЫ ЦМД ПРИ ЕГО ДВИЖЕНИИ
В настоящем разделе мы выйдем за рамки приближения о сохранении формы ЦМД при его движении и покажем, что как форма домена, так и границы устойчивости зависят от скорости движения. Эти изменения обусловлены кинетической энергией домена [35,230]
1„
Ек = -dm^tyn^dL(4.39)
где п — единичный вектор нормали к произвольной точке боковой поверхности ЦМД; dl — элемент дуги кривой, охватывающей основание домена. При записи (4.39) предполагалось, что ДГ однородна (отсутствуют градиенты М, связанные с азимутальным углом), пленка однородна и скорость и не зависит от г. Разлагая Ек в ряд по степеням 5гл и считая
mVUG-ndM^ = £ < 1,(4.40)
получим
Ек = ^■nM^d'1 Ь(2го - 65г2 ).(4.41)
Заметим, что условие (4.40) означает малость скорости движения ЦМД, а, следовательно, и малость магнитостатических полей, возникающих в процессе движения ЦМД.
Добавляя (4.41) к (2.22)-(2.24) и производя разложение по Д0 аналогично разделу 2.3, для кривой, охватывающей основание домена, получим [35]
1 bdb2r0
“ г о + ——— — 2costf, (4.42)
°2 S^!^ - l0/d l0/d - S2 (2r0/d)
Входящие в (4.42) обозначения - те же, что и в разделе 2.3. Из (4.42) следует, что наряду с изменением радиуса ЦМД при его движении происходят эллиптические искажения формы. При этом домен сжимается в направлении движения.
Видно, что указанные изменения особенно существенны при приближении к точкам Нк и Я2, в которых происходит потеря устойчивости домена, т.е. в точках, где знаменатели первого и второго слагаемых обра-
щаются в нуль, Однако следует иметь в виду, что (4.42) справедливо лишь вдали от этих точек. Оценка влияния скорости движения на поле коллапса и радиус коллапсирующего домена приводит к следующему результату [35] (см. также [6] ):
ииНк^ = Я^(0) + (я/И*и2/2г^(0))Нк^ = Я^(0) + (я/И*и2/2г^(0))1г<М = ГкСО) - -1г<М = ГкСО) - -~ /</50' db(\ —\dX .~ /</50' db(\ —\dX .х=хкх=хк(4.43)(4.44)(4.43)(4.44)
и
и
Нк^ = Я^(0) + (я/И*и2/2г^(0))
Нк^ = Я^(0) + (я/И*и2/2г^(0))
1
г<М = ГкСО) - -
1
г<М = ГкСО) - -
~ /</50' db(\ —
\dX .
~ /</50' db(\ —
\dX .
х=хк
х=хк
(4.43)
(4.44)
(4.43)
(4.44)
где X = 2г0АЛ Хк = 2rк (0)/d, гк (0) = тк (и = 0). Отсюда видно, что с увеличением скорости поле коллапса растет, а радиус коллапсирующего домена уменьшается. Аналогичные формулы могут быть получены и для величин, характеризующих эллиптическую неустойчивость домена.
Глава 5
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХС ИЗОЛИРОВАННОЙ ДОМЕННОЙ ГРАНИЦЕЙ
Задача о спиновых возбуждениях ферромагнетиков с ДГ является чрезвычайно сложной для точного аналитического решения из-за того, что основное состояние системы неоднородно, и соответствующие уравнения для амплитуд колебаний оказываются дифференциальными уравнениями второго порядка с переменными коэффициентами, решение которых в замкнутом виде не всегда удается записать. В связи с этим в теории спиновых возбуждений размагниченных или частично намагниченных ферромагнетиков традиционно развиваются два подхода.
Первый из них - метод эффективной массы, предложенный Дерингом [38], и его более поздняя модификация — метод канонических уравнений Слончевского [99] (см. таже [300]). Указанный метод успешно используется в настоящее время для описания колебаний ДГ с тонкой структурой, когда в них имеются вертикальные или горизонтальные бло- ховские линии, а также вихревые участки и блоховские точки [21, 182, 192,243,305,306, 166,20].
Второй метод — отыскание точных (или приближенных) решений соответствующих уравнений для амплитуд спиновых возбуждений, когда явно учитывается неоднородность основного состояния [133, 242, 328]. В настоящей главе предпочтение отдается второму методу.
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И АМПЛИТУДЫ ВОЗБУЖДЕНИЙ
Начало систематическому исследованию спектра магнонов с учетом неоднородности основного состояния было положено в работе Винтера [328]. Следуя этой работе, рассмотрим простейший случай 180-градусной доменной границы в одноосном ферромагнитном кристалле с ОЛН, совпадающей с главной осью симметрии. Неподвижную систему координат (х, у, z), связанную с осями кристалла, выберем так, чтобы ось z совпадала с указанной
осью симметрии, а поворот спинов в доменной границе происходил в плоскости (yz). Схематически такая доменная стенка изображена на рис. 1.4. В дальнейшем удобно перейти к локальной системе координат (xKZ), осьZкоторой связана с равновесным направлением намагниченности М(г) в данном месте кристалла.
В модели сплошной среды гамильтониан рассматриваемой системы, записанной в локальной системе координат, имеет вид
А Г
^ = ^ТО Г7^)2 Ч^тУЧ^Мг? +
V М‘
22———MYMZ I +dx7———MYMZ I +dx7
2
2
———MYMZ I +dx7
———MYMZ I +dx7
+-^^ [Afysin2^(x) + 2Л/уЛ/2 8Ш1>(х)сО51?(х) +(5 q
+ М у cos2 0 (х) + Мх ] + -^р М у + 2 -пМ2 ।,
где Г — объем ферромагнетика; А — обменный параметр; Х\а - константа кристаллографической магнитной анизотропии;^?' - константа локальной анизотропии. Соответствующее X'слагаемое в (5.1) описывает квази- упругую энергию границы. Последнее слагаемое представляет энергию размагничивающего поля, препятствующую выходу магнитных моментов из плоскости границы.
Рассматриваемая модель базируется на двух очень существенных предположениях.
Во-первых, точное выражение для плотности дипольной энергии заменяется на упрощенное
^1р(г) = 2тг^.(5.2)
Такое приближение справедливо, если длина неоднородности М в плоскости (yz) значительно больше толщины ДГ.
Второе приближение связано с введением эффективной локальной анизотропии, характеризуемой константой и препятствующей поворотам спинов, возникающих при смещении ДГ (см. гл. 3). В настоящее время трудно что-либо сказать о рамках применимости такого приближения. Для ответа на этот вопрос необходимо на основе указанной модели рассмотреть более широкий круг явлений и сопоставить их с экспериментальными данными. К ним, в частности, можно отнести магнитноакустические явления, а также температурную зависимость начальной магнитной восприимчивости [138, 9, 98, 31, 130, 137, 140-142, 278, 280], Одним из возможных механизмов появления локальной анизотропии является закрепление ДГ на дефектах, например дефектах упаковки [279]. Изменение #(х) в ДГ описывается законом (1.30).
Далее будем рассматривать лишь слабые колебания намагниченности около энергетически наинизшего состояния^ (в локальной системе координат), такие, что
M(r) = М, + ДМ(г), IДМ(г)| < Ms.(5.3)
Учитывая при этом, что M2(r) = const и Мх> Му < Ms, а также имея в виду (1.30), плотность энергии (5.1) можно представить в виде
^(г) = ^фМ,)1 + ^МуУА ^0.2HxWx + М2У] +(5.4)
+ М^ *2irMl.
Ml
Слагаемыми более высокого порядка по намагниченности при вычислении энергетического спектра мы пренебрегаем —они ответственны за процессы релаксации в спиновой системе.
Расчет спектра можно выполнить, решая уравнения движения для локальной намагниченности, как это сделано в [328]. Однако представляет интерес провести квантовомеханическое исследование, что особенно важно для динамических и кинетических явлений в ферромагнетиках с ДГ [143].
Используя методику Хольштейна—Примакова, введем операторы рождения и уничтожения спиновых отклонений (см. [4] и [147]) :
М\т) = Мх^ + iMY^ = ^М^'1 [1 - ^e/2MJ<z+(*(r)] 1/2а(г);(5.5)
М\т ) = Мх^ - iMY^ = ^еМ^та\^ [ 1 - (>el2MsV^a«11/2 >
где це = Tig — golds Ch ” постоянная Планка, деленная на 2тг, g0 — фактор спектроскоспического расщепления, р.в — магнетон Бора).
Нас интересуют состояния системы, близкие к основному, т.е. такие, в которых число перевернутых спинов мало и слагаемыми аЧт)а(т) в выражениях (5.5) можно пренебречь. Операторы а(г) и л+(г) подчиняются перестановочным соотношениям Бозе—Эйнштейна
Нг), /(/)] =8(г-г'), [Z(r)V(r')] = [а (г), Я (г')] = 0,(5.6)
где [а, 6] = ab - Ьа.
Поскольку трансляционная инвариантность в плоскости (yz) сохраняется, можно представить операторы а (г) и^г) в виде ряда Фурье по координатам Y и Z:
a(r) = (l/V5)Saki(x)exp(zk1r), kt = (ky,kz);(5.7)
a*(r) = (l/VS)S<Zk1(A:)exp(-zkir), г = (У, Z), ki 1
где S — площадь ДГ. Операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям вида
fo/*), ak/x')] = 8к±к^8 (х - х').
С учетом (5.5) и (5.7) полная энергия малых колебаний магнитных моментов около положения равновесия может быть представлена в виде
^2 = 3^2(r)dt = S /{^k (x)dk (x)zzk (x)+(5.8)
fok,(x) dakl(x) 1.
+ a ^^ - Г^к/^-к^+як/^-к^
OX dx2 х х 1
где
2д,. ЗДеЛ'юUe3C*
к±М = T^AkV ”77^ “s Wx) + ~7Г~ + 2ff^
В = 2nneMs — p.egc'iMs; а = 2yLeA/Ms.
Для диагонализации гамильтониана (5.8) воспользуемся уравнением движения для операторов дк1 и дкг Например, для д^ имеем
M^k^L(5.9)
где точка над ак означает производную по времени. Вычисляя коммутатор в правой части, получим
•^2^kI(*)+
ihaкхМ ^kJxXJx) - » —ГТ- " Ва -kj.(x) •(51°)
Для а ^к± аналогично имеем ...d2alv.(x)
iha^ (х) = --^^СФ -к± (х) + «^ + 5aki(x) •(51 О
ОХ
Решение системы (5.10), (5.11) ищем в виде
Лк±(х)= 2[ukl(x,/)Z>kv + u*k1(x,/)Z>lkI/h(5.12)
а-к±(х) = 2 [u* к1(х, hb -к^ + Vk±(x, />^1 •
Здесь индекс/нумерует решения дифференциального уравнения второго порядка, а коэффициенты преобразования и и и удовлетворяют условию нормировки
HlMk/x,/)!2 - lvkx(x,/)l2Mx=l.(5.13)
Операторы £к± и 6 ^ подчиняются бозевским перестановочным соотношениям:
[^kj/, &kV'l ^kjkl5//'-(514)
Потребуем чтобы гамильтониан (5.8) был диагоналей в операторах b^L и bVr Такое требование означает, что временная зависимость указанных операторов должна иметь вид Z?k± ^ exp^fSk/X b к± ^ exPGek/) (ек± ~ искомый закон дисперсии). Подставляя (5.12) в (5.10), (5.11) и используя линейную независимость операторов />к± и Zt'lkp получим
d^kiC*)-о/х\z
а —г; + Poch 2 (—) «к I (х) + [ек, -Ф kJ “kjx) + Svkjx) = 0; и Xа /
э^ооО!, Эх2э^ооО!, Эх2(5.15)
э^оо
О!,
Эх2
э^оо
О!,
Эх2
„/х\
+ Poch |—1ик|(х)-[ек1 +0^] ик1(х)+£ик (х) = 0, \Оа/
гдегде
где
где
- ^е . ^е^\а Ре^ -^-Ре^Ха.
- ~—Лк±2 ^— +;+ ^P€MS\ р0 = 2—. (5.16)
В этих соотношениях ради упрощения записи аргумент / у Uk± и ц^ опущен.
(5.17)(5.17)Поскольку В не зависит от координаты х, решение системы уравнений (5.15) можно искать в виде
(5.17)
(5.17)
“k/^Gk^kj/OO; fk1W= Gk^^.
Тогда после перехода к безразмерной переменной £ = х/6а из (5.15) имеем
^Фк|Го-^- + [Р1>2 + 2/^4]^= О^Фк|Го-^- + [Р1>2 + 2/^4]^= О(5.18)(5.19)(5.18)(5.19)
^Фк|Го
-^- + [Р1>2 + 2/^4]^= О
^Фк|Го
-^- + [Р1>2 + 2/^4]^= О
(5.18)
(5.19)
(5.18)
(5.19)
Уравнение (5.18) представляет уравнение Шредингера с безотражательным потенциалом 2/ch2£. Его решения состоят, как известно [101], из одного связанного состояния и состояний непрерывного спектра. Связанному (дискретному) состоянию отвечает значение
(5.20)(5.20)(5.21)(5.21)^1=^ = 1,
(5.20)
(5.20)
(5.21)
(5.21)
а состояниям непрерывного спектра — Pi = Р1 =(кх6аУ,
где кх — компонента волнового вектора к, нормальная плоскости доменной границы. Собственные значения определяются из (5.19)— (5.21) путем записи нетривиальных решений для С ] ^^у и Ci k j/.
Состояниям дискретного спектра (5.20) соответствует решение
V^ch^x/S^ch^G)(5.22)
с энергией
/2 ц \2
(5.23)(5.23)е£ = (—Ч Uki+^*') Uki + 2тгМ2), \ /
(5.23)
(5.23)
а состояниям непрерывного спектра (5.21) — решение
Ф(О = exp [±z(MJ£] [±th? + ikxbaA(5.24)
с энергией
(5.25)(5.25)(2ц V
(5.25)
(5.25)
—Ч { А к1 *9СХ а +^сЗ {Ак2 +^С1а+ 2иМ2 ). Ms /
Таким образом, системе уравнений (5.15) удовлетворяют два типа решений :
(5.26)(5.26)и = UxsinO<x\ v= TiSin^^);
(5.26)
(5.26)
и = ^e'^^tcos^^ + Z^x^al, и= Г2е'*х< [cos#(х) + йх6а].(5.27)
Используя соотношения ортонормировки (5.13) совместно с (5.19), для коэффициентов Ux Vx, Ui Г2-преобразования находим
(5.28)(5.28)^ik± =
(5.28)
(5.28)
пк1 =
^2к ~^2к =^2к ~^2к =11— Ак1 + TnUeMs +—U'la + ~ I
^2к ~
^2к =
^2к ~
^2к =
1
1
\2 /
—-+ 1(
(5.29)
где q^ и €к определяются выражениями (5.23), (5.25); D - размер домена в направлении х.
Для дальнейшего полезно ввести обозначения Z> к±о - ^ кх и Z>k±o = ^к± для операторов рождения и уничтожения возбуждений, соответствующих решениям первого типа, и^к^к^ = Ьк» Ь\^кг = ^к для возбуждений, соответствующих решениям второго типа. Такое преобразование, которое выражает поперечные компоненты локальной намагниченности Мх и Му при переходе к представлению вторичного квантования через операторы b к±, &к± и Ь к, Ь^ имеет вид
_ПиеМЛх,г ,..
М *(г) = Мх + М Y = (—Ч{ 2 ^'^siniH*) [^кА +(53°)
\ S I ki
+ ^ik^-kj^l + 2 (cost^(x) — ikx^a^ \Ui к^к + ^2к^—к 11 •
Аналогичное соотношение для М"(г) -Мх - IMy получается из (5.30) заменой 6+ X b с изменением знака укик^. Принимая во внимание (5.30), можно сказать, что полная энергия малых колебаний магнитных моментов около их положения равновесия, определяемая соотношением ^5.8), приводится к сумме энергий элементарных возбуждений — магнонов двух типов:
^2=2 ек «к, + 2екПк + д^о, (5.31)
где «к± = b ki^kp лк = b Xb^ ^о ~ энергия нулевых колебаний.
Таким образом, с классической точки зрения в 180-градусной доменной границе спины могут принимать участие в колебаниях двух типов. Первый тип колебаний связан именно с доменной границей. Эти колебания характеризуются двумя составляющими волнового вектора к± = (к у, kz), параллельного плоскости доменной границы. Амплитуда этих колебаний максимальна в центре границы (при х = 0) и экспоненциально убывает при вы-
ходе из нее. Эти колебания в дальнейшем будем называть ’’внутригранич- нымй’1 Их минимальная энергия при к± = О
4 w = ек^1 = 0) = UeVH^mM^ (5.32) Фа ~ 2УС'/М5) соответствует однородным упругим смещениям (трансляциям) всей границы как целого в направлении оси х. Важно отметить, что амплитуда этих трансляций пропорциональна (дй/дх) и указанная пропорциональность имеет место для всех солитоноподобных основных состояний, каким, в сущности, является доменная граница [17].
Соответствующую частоту Д ^ иногда также называют частотой резонанса доменных границ. Она является структурно чувствительным параметром и изменяется в широких пределах в зависимости от степени совершенства кристаллической структуры ферромагнетика.
Порядок величины Д w можно грубо оценить благодаря тому, что эффективное поле ’’кажущейся” локальной магнитной анизотропии Н’А, фиксирующей равновесное положение доменной границы, может быть выражено через начальную (обратимую) магнитную восприимчивость хсм, обусловленную процессами смещения доменных границ. Оказывается, что [131] (см. раздел 5.2)
В Хем
Например, для достаточно чистого железа (хсм ^ 10-rlO2, (6e/D) ^ 10"3, Ms « 103 Гс [28]) в случае рассматриваемой конфигурации доменной структуры формула (5.33) совместно с (5.32) дает Д^ « 10"264- -ИО*25 Дж.
Второй тип колебаний с минимальной энергией
△d = ek(k = 0) = ие<Н^ГА +"4^£Г (5.34)
Фа = 2^afM^ является аналогом обычных спиновых волн внутри доменов. (В формуле (5.34) мы пренебрегли Н*А, так как НА ^ На» 2itMs.) Соответствующие им колебания намагниченности можно рассматривать как плоские волны с постоянной амплитудой в доменах и с переменной амплитудой внутри доменной границы (с минимумом в центре границы). Частота, соответствующая Д^ и имеющая смысл частоты естественного ферромагнитного резонанса (ФМР), примерно на два порядка больше частоты резонанса доменных границ (для рассматриваемой конфигурации).
Результаты этого раздела также могут быть интерпретированы как взаимодействие спиновая волна-доменная граница (5.18). Как показывает расчет, доменная граница не меняет дисперсии магнонов: дисперсионное уравнение (5.25) для них остается таким же, как и в отсутствие доменной границы. Как следует из выражения (5.24), из-за взаимодействия с доменной границей фаза волновой функции магнонов в асимптотике (х -* ±°°) сдвигается на величину
= 777 “ 2arctg(fcx8a), (5.35) 1^1
что приводит к изменению плотности состояний, которая в этом случае
(5.36)(5.36)(5.37)(5.37)^к±(г) =^к±(г) =ch 1(х/6а)ехр(/к1г)(2л) *,ch 1(х/6а)ехр(/к1г)(2л) *,а за волновые функции состояний непрерывного спектра —а за волновые функции состояний непрерывного спектра —Фк(г) =Фк(г) =-th(x/6„) + i(kxba)_1 "*" i(kx&a)-th(x/6„) + i(kxba)_1 "*" i(kx&a)exp (/кг) (2 л) 3/2.exp (/кг) (2 л) 3/2.Условия ортогональности имеют при этом вид / Фк^ (*Hk'^dT= 8(кг -ki);/4^(№-(r)Jr=8(k-k');Условия ортогональности имеют при этом вид / Фк^ (*Hk'^dT= 8(кг -ki);/4^(№-(r)Jr=8(k-k');(.538)(5.39)(5.40)(.538)(5.39)(5.40)
(5.36)
(5.36)
(5.37)
(5.37)
^к±(г) =
^к±(г) =
ch 1(х/6а)ехр(/к1г)(2л) *,
ch 1(х/6а)ехр(/к1г)(2л) *,
а за волновые функции состояний непрерывного спектра —
а за волновые функции состояний непрерывного спектра —
Фк(г) =
Фк(г) =
-th(x/6„) + i(kxba)
_1 "*" i(kx&a)
-th(x/6„) + i(kxba)
_1 "*" i(kx&a)
exp (/кг) (2 л) 3/2.
exp (/кг) (2 л) 3/2.
Условия ортогональности имеют при этом вид / Фк^ (*Hk'^dT= 8(кг -ki);
/4^(№-(r)Jr=8(k-k');
Условия ортогональности имеют при этом вид / Фк^ (*Hk'^dT= 8(кг -ki);
/4^(№-(r)Jr=8(k-k');
(.538)
(5.39)
(5.40)
(.538)
(5.39)
(5.40)
будет иметь вид [17, 18]
D1 dtp к
р(кх) = — +:
2л2л dk.
Изменение полного числа состояний непрерывного спектра
Ди= J dkxVp(kx)-p0> = -l,
т.е. при прохождении спиновой волны через доменную границу ’’захватывается” одно состояние из непрерывного спектра, которое и образует трансляционную (или голдстоуновскую) ветвь колебаний.
Отметим, что функции (5.22) и (5.24) как собственные функции самосопряженного оператора (5.18) образуют полное множество — базис в пространстве функций переменной х. За волновые функции ’’внутригра- ничных” возбуждений удобно выбрать функции
а условие полноты —
/^к/^к/г^к! ^$к(г)Фк(О<&^(5.41)
ОДНОРОДНАЯ МАГНИТНАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ •
Известно, что доменные границы существенно влияют на поведение ферромагнетика в магнитном поле, и в частности на процессы намагничивания [28]. Имеются процессы намагничивания двух типов:
) рост объемов доменов, намагниченность которых ориентирована относительно приложенного магнитного поля более выгодно, за счет объемов соседних доменов, направление намагниченности которых энергетически менее выгодно; этот процесс идет путем смещения границ между доменами, и его называют процессом смещения;
) изменение направления спонтанной намагниченности отдельных доменов или всего кристалла в целом, происходящее при помощи поворота вектора намагниченности и носящее название процесса вращения. Соответствующие им магнитные восприимчивости называются восприимчивостями смещения и вращения, соответственно хсм и Хвр-
В этом разделе приведены результаты вычисления однородной магнитной восприимчивости (смещения и вращения) ферромагнетика со 180-гра- 94
дусной доменной структурой (в рамках рассмотренной выше модели), которая определяет коэффициент усиления внешнего переменного магнитного поля, действующего на ядерный спин, в случае ядерно го магнитного резонанса (ЯМР) в магнетиках.
Введем некоторые определения. В слабых магнитных полях, когда справедлива теория линейного отклика [65], приращение среднего значения спина / атома равно [147]
(S^ = -цеЪ, е"^' < Sf | Sf>w ht (R,).(5.42)
если гамильтониан взаимодействия ферромагнетика с магнитным полом выбирается в виде
JCi = - MeSMRJe-^'S, .(5.43)
I
Функция Грина < S^\S^. >w задается формулой
<S“Ie'"wW)<[S^-Sf^(5.44)
0(т) = 0 или 1 соотвественно для г < 0 или г > 0, символ < . ..) означает усреднение по ансамблю Гиббса с гамильтонианом электронной подсистемы (например, (5.31)). Зная приращения среднего спина / атома, можно согласно формуле
M(r,r) = MeS6(r-R/)S/(r)(5.45)
I
найти приращение средней плотности магнитного момента, которое будет определяться выражением
(Af“(r,/))= —де S e-iwt<Ma^\S».>h9 (R ,)•(5.46)
рГш 1
Если считать, что магнитное поле однородно и учесть, что
де S S^JdrM9^,(5.47)
для 6 (Ma(r, t) получим следующую формулу [12] :
<Jf“(r, t» = ~^<Ма(г)\ f M^r'jdr'>^ hpe-iut.(5.48)
P“
Определенную таким образом магнитную восприимчивость
х””к (г, ш)=-Jdr «М™(г)|Л/^г') >ш.(5.49)
будем называть локальной магнитной восприимчивостью.
Кроме локальной восприимчивости, нас будет интересовать восприимчивость многодоменного образца, состоящего из плоскопараллельных доменов толщиной D ф> 60 ), разделенных 180-градусными границами, перпендикулярными оси х. Разобьем весь объем образца на блоки плоскостями, проходящими через центры доменов параллельно доменным границам (см. рис. 1.1), Тогда восприимчивость всего образца будет складываться из восприимчивостей отдельных блоков, которые определим следующим
образом:
х^ (W) = ^бл J dr ^ок (г, W).(5.50)
Считая, что восприимчивость всего образца складывается из восприимчи- востей отдельных блоков, каждый из которых имеет одну границу, мы пренебрегаем взаимодействием между ДГ. Однако это взаимодействие всегда есть, и отдельная граница не может перемещаться без того, чтобы не вызвать движение всех остальных или по крайней мере некоторой части границ. В противном случае будут возникать магнитные заряды, что приведет к появлению больших размагничивающих полей. Поэтому, вообще говоря, процесс намагничивания, связанный с процессом смещения ДГ, следует рассматривать как коллективное явление. Однако для малых смещений ДГ в тех случаях, когда толщина ДГ много меньше размеров доменов, влиянием ДГ друг на друга можно пренебречь.
Для вычисления Х^^ Удобно перейти в локальную систему координат, в которой направление оси Z совпадает с направлением равновесной намагниченности. При вычислении х^®к предполагаем, что возбуждения ’’внутригра- ничного” типа (см. (5.22), (5.23), (5.28)) и ’’внутридо менно го” (см. (5.25), (5.27), (5.29)) дают независимый вклад в восприимчивость. Это справедливо при достаточно низких температурах, когда число спиновых возбуждений в электронной подсистеме мало и взаимодействием между ними можно пренебречь. Кроме того, будем пренебрегать функциями <Мz | Mz>^. Приведенные результаты будут справедливы при Т-*№. Приведем результаты вычисления компонент тензора х2^к (5.49). Отметим, что наибольший интерес для последующего изложения представляет область частот со <6^, однако со может быть как больше, так и меньше е^. Нетрудно показать, что при |х | > 6а.
№ (г, со) = -^sin»M + (4л)"1(1 + 2Г*; х™к(г, ^ * (4лег1;
X™K(r,^=^—, sin2»(x); x™K(r,«) = X?°K(r,«) = 0;
Х”°к (г, со) = -Х?°к (г, co)sin»(x) = —*- ^ ир sin2»(t);(5.51)
zxxz4 О)л
V1^ (г, co)”» —^-7 sin2i?(x); X??K (r, co) =—, sin2t?(x');
”4лС8л2
„ .2^1а, ^^,,
^П-^/Д^Г1; Q= г^ ' й=Т^;шА=^н'А .
4лМ;4лМ^
В соответствии с (5.50) магнитная восприимчивость блока равна
Ххх (^) =” "Г (^) +0 + е)-1 ; ^” Н = Х~ И ^Б^ Рр;
Z у U /47ГZ\U / СО д
Х^ * W)"1; хуб; = х£ = Х®ул =Хгбл =0;(5.52)
Х22 (<о) = (8в/Р)рр(1/2ле').
Как и следовало ожидать, возбуждения ’’внутриграничного” типа дают вклад в восприимчивость смещения, а ’’внутридо менно го” — в восприимчивость вращения, &м и Хвр соответственно. В тензор восприимчивости входит компонента Х^, обусловленная процессами вращения намагниченности в доменах и компонента xf^, о бу словленная только процессами смещения ДГ. Компонента \^л определена как процессами смещения ДГ, так и процессами вращения.^бтметим, что расходимость х^л , Х^1, Х^ и ^обусловлена тем, что здесь не учитывалось затухание колебании доменных границ.
5.3. ВЛИЯНИЕ ДИПОЛЬНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙНА СПЕКТР СПИНОВЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ
Проведенный выше анализ спектра спиновых возбуждений базируется на двух предположениях: упрощенная форма записи дипольного взаимодействия и модель, согласно которой граница удерживается в положении равновесия некоторой эффективной локальной анизотропией, препятствующей поворотам спинов, ответственным за упругое смещение доменной границы ферромагнетика.
Попытка более последовательного учета дипольной энергии была предпринята в [242]. Однако полученные в ней результаты не совсем корректны, так как часть слагаемых дипольного гамильтониана была безосновательно отброшена. Последовательный анализ малых колебаний магнитных моментов в 180-градусной доменной границе блоховского типа проведен в работе [32], где задача была сведена к системе интегральных уравнений, допускающих строгое решение в пределе длинных и коротких волн. В промежуточной области параметров при необходимости могут быть получены численные решения.
Уместно также отметить работу [33], в которой рассчитан магнонный спектр ферромагнетика с периодической доменной структурой, когда рассматривались только длинноволновые магноны, для которых можно пренебречь влиянием обменных взаимодействий. Кроме того, доменные границы считались жестко закрепленными, и, естественно, ветвь ’’внутригранич- ных” возбуждений, связанная с трансляциями ДГ, выпала из рассмотрения. В рамках этих приближений было показано, что с доменными границами могут быть связаны еще две ветви магнонов, являющиеся аналогом приповерхностных колебаний на границе раздела различных сред. Как и для ’’внутриграничных” магнонов (или идмагнонов) их волновой вектор имеет компоненты, только параллельные плоскости доменной границы. Для краткости в дальнейшем будем называть их около граничными (или nw-магнонами) .
Одна ветвь MW-магнонов локализована вблизи доменных границ, и амплитуда колебаний, соответствующих этой ветви, экспоненциально убывает при удалении от границы.
Амплитуда колебаний второй ветви, наоборот, максимальна в центре доменов и экспоненциально уменьшается при приближении к границе. Все отмеченные типы возбуждений можно рассмотреть в рамках единой схемы расчета [81] и определить области их существования, а также установить характер их взаимного влияния друг на друга. При этом ограничимся длинами волн Х< Оф — размер домена), в тем чтобы можно было рассмотреть 7. Зак. 1219 97
два безграничных домена, разделенных одной 180-градусной доменной границей. Естественно, что при таком рассмотрении мы не можем учесть ветвь MW-типа, локализованную в доменах, поскольку для ее существования необходимо иметь по крайней мере две границы.
В рассматриваемом случае трансляционная инвариантность сохраняется в плоскости (yz). Тогда гамильтониан дипольного взаимодействия с учетом этого обстоятельства может быть представлен в виде
5€dip = — fdr f —^ Ма OM) — 77 X
Х2тг) I kj_|Эх Эх^
/{exp [zki(ri - ri)] exp [-к±|х -хЦ) ,(5.53)
где ^i = I kxl, r± = (Y,Z). Наличие множителя exp(-^i|x - х'|) в (5.53) означает, что существует предельная длина дипольных корреляций для колебаний намагниченностей в двух параллельных плоскостях. Эта длина корреляции равна ^J1, т.е. если расстояние между указанными плоскостями | х — х'| >*Х^ то дипольные взаимодействия, обусловленные колебаниями намагниченности, становятся экспоненциально малыми.
Наличие предельной длины дипольной корреляции позволяет легко выделить ту часть дипольной энергии, которая является определяющей для той или иной магнонной ветви. Расчет можно провести по схеме, предложенной в [242]. В гамильтониане системы, включающем обменное взаимодействие, энергию магнитной анизотропии, квазиупругую энергию границы,от компонент намагниченности М (г ) переходим к операторам а (г ) и а+ (г ), используя линеаризованные соотношения Хольштейна и Примакова. В свою очередь, эти операторы разлагаются по полной ортонормированной системе собственных функций (5.38), (5.39) :
a(r) = f dk Фк (r)dk + Jdkj ^kl(r)wkjL,(5.54)
Оператор d^ соответствует ’’внутридоменным”, а и^± — ’’внутригранич- ным” возбуждениям. В операторах d^ и Wk± гамильтониан системы без учета диполь-дипольного взаимодействия диагоналей:
^"" ^обм "^ ^ан ^ан “ / (/ке^ d^ d^ + /t/kj^ e^^ w^ w^^ ,(5.55)
причем здесь
е^ = соЕ(до^)2 + сол; е^± = соЕ(аок1)2 + ыл ,(5.56)
wE = ДеЯ^, (НЕ = U/Ms, J -г обменный интеграл); соА = цеНА, а/л = цеН'А (И = 1). При этом дипольная часть гамильтониана принимает вид
^Р = № *47.(5.57)
ГДеdk
^ddip * ^UeM^ny1 Sdi dr’ J — exp (-zk(r - г')) X
X /dkidkz (dkl dk, Фк1(г)Ф£2(О [^lyCOstH-x)-^!*] X
X [fc2ycosi?(x')+zfc2x] + ^1</к1^1(г)Фк1(г')№1Усо$»(х)-
- z*lx] [/c2y cosi?(x')-z*2x] +k.c} ;(5.58)
И ~^^Ms JdkdP^wV^Wk^ +
+ y 5(ki) [wklwlk+wklw^(5.59)
Явный вид слагаемого 5CdipW 3Десь не будет выписан, во-первых, из-за его громоздкости, а во-вторых, из-за того, что в рамках проводимого анализа его влияние можно учесть только качественно. В (5.59)
Р <к1) = < +№ 5- sin ^ -^ J1 (—^4 +
^4(\ 2/
(я*1 5а\1
) ;(5.60)
содд I/л к \ 8а
+ (^ 6а cos Skl)2 X+ (^ 6а cos Skl)2 XQ (kJ = —- [(^ 6а sin Sk±)2 - 1] Л (—^
+ (^ 6а cos Skl)2 X
+ (^ 6а cos Skl)2 X
41\ 2
где сом = 4 л це Ms; 0k± - угол между волновым вектором к± и осью Z.
Весь дальнейший анализ сводится к тому, чтобы корректно выделить соответствующую часть дипольного гамильтониана для каждой из упомянутых выше ветвей спектра и оценить по порядку влияние отбрасываемых слагаемых.
Магноны d-типа. Поведение магнонов d-типа описывается первым и третьим слагаемыми K^ip (5.57). Будем рассматривать только часть К д^*, поскольку, как будет показано ниже, К d7pW Д^т несущественные поправки. Для рассматриваемых колебаний с длиной волны X <D условия в глубине доменов на достаточно большом удалении от доменных границ совпадают с условиями в однодоменном ферромагнетике для магнонов с длинами волн, много меньшими размеров образца. Вследствие этого среди различных ветвей спиновых волн многодоменного ферромагнетика при D>bQ должна быть хольштейн-примаковская ветвь колебаний [4]. Чтобы это показать, разобьем рассматриваемую область многодоменного ферромагнетика на три части, выделив вблизи границы область размером порядка длины дипольной корреляции к'^ (рис. 5.1). На рис. 5.1 изображен случай (k^b^ < 1. При (кхЛа) > 1 за область II следует взять область, занимаемую ДГ.
Рассмотрим колебания, амплитуда которых заметно отлична от нуля во всем объеме доменов, т. е. в областях I и IIL Можно ожидать, что для спектра таких колебаний вкладом от области II в (5.58) можно пренебречь, поскольку ее размеры много меньше размеров областей I и IIL При этом в гамильтониане ^С^Тр^ (5-58), который является двойным интегралом, достаточно выбросить интегрирование по области II только в одном из интегралов, поскольку во втором оно выпадает автоматически благодаря свойству (5.53). Кроме того, в выражении для Фк(г) (5.39) можно заменить th(x/6a ) на signx =х/|х |, что соответствует учету в волновой функции различной ориентации намагниченности в областях I и III. В результате рассматриваемая часть К d7p^ существенно упрощается, однако холь-
Рис. 5.1. Холыитейн-примаковские области (I, III) и области сильной диполЬгдипольной корреляции (II) в ферромагнетике с изолированной ДГ
штейн-примаковский вид она примет только в том случае, если векторы к и г записаны не в лабораторной (х, у, z), а в локальной системе координат (xYZ). Дело здесь в том, что операторы d^ и d^ в силу их определения описывают колебания намагничен
ности одновременно как в левом, так и в правом домене. В то же время хорошо известно, что при учете дипольного взаимодействия энергия и волновая функция спиновой волны зависят от ориентации волнового вектора к относительно равновесного направления намагниченности М. Следовательно, наиболее простой вид рассматриваемая часть ^“^ будет иметь в том представлении, в котором вектор к одинаково ориентирован относительно М как в левом, так и правом домене. Такому представлению соответствуют функции Фк(г) (5.39), если векторы к и г записаны в локальной системе координат. ~
Итак, если указанную часть "Kd^xd записать^ операторах d^, соответствующих разложению (5.54) по функциям Фк(О, то она будет иметь хольштейн-примаковский вид, и, следовательно, для энергии ’’внутри- доменной” ветви возбуждений получается известное выражение [4]
e^^P^kF- (5.63)
^k = ek + -у" sin2 flk; I5kl= —^ $in2 Sk; (5.64)
где 5k - угол между векторами k и M.
Полученный результат для е£ является асимптотически точным при D -* °°. Для конечных D отброшенная часть JCd~d,относящаяся к области II на рис. 5.1, дает поправки, пропорциональные малому параметру ^k^D)*1, т. е. отношению объема области II к объему домена. Что касается волновой функции d-магнона, то ее вид в области II может существенно измениться. Однако сделанные выше приближения не позволяют количественно определить величину этого изменения.
Магноны nw-типа. Выше была рассмотрена ветвь колебаний, амплитуда которых заметно отлична от нуля в объеме доменов. Рассмотрим колебания, локализованные вблизи доменных границ. К таким возбуждениям относятся упомянутые выше nw-магноны, амплитуда которых экспоненциально убывает при удалении от доменной границы на расстояние, большее длины дипольной корреляции х”1. Отсюда следует, что энергетический спектр и w-магнонов должен определяться той частью ^ф^» которая связана с областью II на рис. 5.1,
Рассмотрим случай (^бд) <1, который исследован выше. В этой ситуации можно ожидать, что вкладом области,занимаемой границей, в К^Гр^ в первом приближении можно пренебречь, так как в силу (&L6fl) <1 ее 100
размеры много меньше размеров всей области II. Тогда, заменяя th (х/6а ) на sign(x) и пренебрегая членами с кх8а в выражении для Фк (г) в (5.39), формулу для Я^р запишем в виде
М- г dk ( 001
<2')6(5.6S)
где
1 00
dk, W = — / dkx etkxX dv, к* (х) = ку sign х + i кх. 2 7Г — ое
Преобразование, диагонализирующее гамильтониан К^р^ в форме (5.65), имеет вид
Пк1 = Х^х {wzkiWd^W-^.-кДхМ.^СО} .(5.66)
где
f dx {(мг,^^) I2 - lvi,-ki(x)l2} = l(5.67)
(см. соотношения (5.12) и (5.13)). Коэффициенты u^, иг легко определить, используя найденное в [33] решение для пw-магнонов. В случае, когда рассматривается одна доменная граница, это будет единственная ветвь колебаний, амплитуда которых отличина от нуля только вблизи доменных границ. Оказалось, что
M2,kp u2k^M2,kp u2k^q sinq sin^|х|,^|х|,(5.68)(5.68)
M2,kp u2k^
M2,kp u2k^
q sin
q sin
^|х|,
^|х|,
(5.68)
(5.68)
где
(5.69)(5.69)2 т “a +WM sin2 ykl
(5.69)
(5.69)
(44 + шм) sin2 ^kjL*
0kx — угол между вектором k± и осью Z. Энергия пw-магнонов определяется выражением
е ki =(^л + Шм)^ (ша + WM sin2 SkJ^.(5.70)
которое получено при условии (kj>a) < 1.
Обсудим вопрос: что произойдет с этим спектром при увеличении ki8a? Поскольку энергия d-магнона е£ (5.63) зависит от кх, то согласно (5.64), (5.70) энергия е^ лежит внутри полосы d-магнонов даже при малых кр Таким образом, и w-магноны должны затухать за счет взаимодействия с d-магнонами, так как никакой малости во взаимодействии этих ветвей не существует. Легко оценить величину q (5.69), которая согласно (5.68) определяет неоднородность волновой функции пw-магнона в направлении х, при которой это затухание порядка величины самой энергии (anw^ « e'Vp. Поскольку е^ « сом (5.70), условие алн, « е^ будет выполнено, если взаимодействие между d- и «w-магнонами порядка со^, Нетрудно показать, воспользовавшись для волновой функции d-магнона выражением (5.39), что это может иметь место, когда проекция волнового вектора d-магнона кх ^q. Учитывая далее, что при процессах, приводящих к затуханию, должен выполняться закон сохранения энергии, имеем следу го-
щее условие: cof(^o^)2 ^ ^м (или coA(baq)2 ~ gjm) . Поскольку в одноосных магнетиках обычно gda > изм, для выполнения указанных выше условий должно быть q > 5д1. В действительности nw-магноны сильно затухают уже при q % бд1. Это объясняется тем, что слагаемые, отброшенные при получении (5.65), сильно понижают энергию е^ уже при q 6"1, так что энергии nw- и d-магнонов оказываются одного порядка уже при gde (яо?)2 <^м- Из приведенных оценок, в частности, следует, что ди;-магноны с достаточно малыми 0^ сильно затухают практически при любых к1$ поскольку согласно (5.69) малым 0^ соответствуют большие q.
Указанное выше уменьшение энергии е^ легко понять исходя из следующих соображений. Энергия nw-магнона отличается от энергии d-магнона из-за дипольного взаимодействия колебаний намагниченностей соседних доменов, которые антипараллельны друг другу. При возрастании q вследствие плавного изменения направления магнитного момента в границе на длине корреляции уменьшается доля магнитных моментов, имеющих антипараллельную ориентацию. В результате условия для колебаний вблизи границы приближаются к условиям, существующим внутри доменов, так что и энергия е£™ должна приближаться к энергии е £, которая согласно (5.63) и (5.64) при малых к имеет вид
ek ~ Vwa (wa + Шм sin2 Sk)} И. (5.71)
В заключение этого обсуждения несколько слов о взаимодействии nw- и w-магнонов. Это взаимодействие определяется той частью Kdip, которая соответствует области, занимаемой доменной границей на рис. 5.1. Отношение объема этой области ко всему объему области II равно 6а q. Поскольку амплитуда nw-магнонов порядка 1/у^, аw-магнонов — порядка \]\/оа, матричный элемент взаимодействия nw- и w-магнонов при ^Q^a ) ^ 1 содержит малый параметр (q&a У/г, поэтому соответствующая поправка к энергии будет порядкаqba .
Магноны w-типа. Влияние дипольной энергии на спектр w-магнонов определяется К dipW и ^dipW> причем ЭС^р™ описывает взаимодействие w-магнонов с магнонами d- и пw-типа. С учетом только JCdipW (5.59) энергия w-магнонов определяется выражением *
ew= -VP^J-PWA +|-[P(^)+P(-^)]2-G2(^)J , (5.72)
где P(kL) и Q(kL) даются формулами (5.60) и (5.61). Обсуждение формулы удобнее начать со случая (к±5д) > 1, когда вклад в е^за счет обменного взаимодействия соеСаок^У = ^а (^1^а)2 ^ ^а "^ ^м- В этом предельном случае е^имеет более простой вид:
(5.73)(5.73)е k± = ^А (Кк Sa)2 + -^- [1 + COS2 0kJ .
(5.73)
(5.73)
Как и в случае d-магнонов, имеется целая полоса энергии е^,которая ограничена значениями е^при 0к± = 0 и 0к± = тг/2. Однако если в случае d-магнонов дипольный вклад в е^(при coF(ao^)2 >о?л + gdm) согласно (5.63) и (5.64) меняется от нуля до сцм/2, то соответствующий вклад в е^ (5.72) меняется от gdm!^ до Ым1^- Это обусловлено тем, что плотность намагни- 102
Рис. 5.2. Зависимость e^lvv от угла 9^Рис. 5.2. Зависимость e^lvv от угла 9^
Рис. 5.2. Зависимость e^lvv от угла 9^
Рис. 5.2. Зависимость e^lvv от угла 9^
Р и с. 5.3. Зависимость е^1Н, от кх 6Д при фиксированном 6^ = 0, ± я/2
Рис. 5.4. Спектр спиновых волн ферромагнетика с изолированной ДГ при учете дипольной энергии
ченности неоднородна по границе, поэтому угол между М(г) и к± различен на разных участках границы. Зависимость ^kj01 ®ki приведена на рис. 5.2 (кривая (^±8а) > 1).
С уменьшением kvbQ меняется не только ширина полосы спектра w-тиагнонов, как это имеет место для d-магнонов, но также характер угловой зависимости ej^. Это хорошо видно из анализа условия
Эе^/Э 9к1 = 0,
которое определяет положение экстремумов функции е^и сводится к
двум независимым уравнениям:
(5.74)(5.74)sin2 0к± = 1;sin2 0к± = 1;
(5.74)
(5.74)
sin2 0к± = 1;
sin2 0к± = 1;
причем нужно брать те решения (5.75), которые удовлетворяют условию sin0k, < 0. Функции Jx (х) и J2 (*) определяются формулами (5.62) и протабулированы в [242], Из вида кривых Jx (х) и J2 (*) > приведенных
там, имеем
lim (Ji/J-i)^°°\ lim (J^J^^l; lim ^ (x) = lim J2(x) = 0. x~*0x-*00x->°°x-»-*»
Используя эти данные, легко проанализировать решения уравнений (5.74) и (5.75).
Уравнению (5.74) удовлетворяют корни (0 k t )i ,2 = - ^/2- Уравнение (5.75) имеет корни (0k.)з,4 = 0, ±тг в пределе (^оа) -* °°, когда ej^ описывается формулой (5.7з), и при (^i8e) -► 0. При конечных значениях к^8а корни (5.75) лежат в интервале — тг < (^к^зл 0 симметрично относительно 0к± = — тг/2. Эти значения 0^ соответствуют максимумам e^L(0ki), тг
в то время как значения (0k1)i,2 ~ соответствуют минимумам 6^(0^), причем минимум при (0^)1 = тг/2 лежит ниже минимума при (8^)2 = — л/2. Примером такой зависимости служит кривая рис. 5.2, построенная для (^i5a) = 0,8. В этом случае ширина полосы w-магнонов равна разности энергий (6^(03,4) - €к^(тг/2).
При (^i8a) = 1 и (^i5a) > 1 корни (0к1)э и (0кх)д становятся равными (0^)2 = -тг/2. В этом случае значению 0к± = —тг/2 соответствует максимум е^(0к±), поэтому ширина полосы w-магнонов равна разности (^(-^/2) - - €^(^/2)). Такой характер угловой зависимости eRV#^) сохраняется на всем интервале изменения (kj6a), где уравнение (5.75) не имеет решений. На рис. 5.2 этот тип зависимости представлен кривой для (к±5а) = = 3 и (сод (сом) = Ю"2.
Зависимость е^±(0к±) от к± при фиксированном ^к । также имеет сложный характер. На рис. 5.3 приведена зависимость 6^(0^) ПрИ значениях ^к±= 0, ± л/2. Обращает на себя внимание то, что спектр колебаний (5.72) не обладает четностью по ^15в, т.е. в^кД) Ф ^£(—к±8а). На наш взгляд,
это обстоятельство является следствием выбранной модели изолированной доменной границы. В случае периодической доменной структуры такие затруднения не возникают (см. гл. 6).
Влияние взаимодействия w-магнонов с d- и MW-магнонами можно оценить лишь качественно: как и в рассмотренном выше случае Mw-магнонов, проведенный анализ не позволяет определить вид волновой функции d- и nw-магнонов в области ДГ, где заметно отлична от нуля амплитуда w-магнонов. Качественно взаимодействие с nw-магнонами уже обсуждалось выше: при (дЬа ) < 1 соответствующие поправки к спектру имеют порядок (^5fl), а при №а) > 1 это взаимодействие несущественно из-за сильного затухания я w-магнонов.
Как и в случае ^w-магнонов, взаимодействие w- и d-магнонов должно приводить к сильному затуханию w-магнонов в области пересечения их спектров при (^18а) «1. При (^SJ > 1, когда основной вклад в энергию спиновых волн дает обменное взаимодействие, это затухание меньше энергии €к±, хотя энергии ек± и лежат внутри полосы спектра d-магнонов. Это обусловлено тем, что обменное взаимодействие не дает вклада во взаимодействие d- и w-магнонов, поэтому затухание может быть лишь порядка (jom*
Результаты исследования спектра малых колебаний намагниченности ферромагнетика с изолированной доменной границей для длин волн X < <D представлены на рис. 5.4 и сводятся к следующему.
Существует ветвь обычных объемных d-магнонов, амплитуда которых постоянна в объеме домена и имеет минимум в доменной границе. В асимптотическом пределе kyD 00 энергия d-магнонов совпадает с энергией спиновой волны по Хольштейну и Примакову:
^ = X^E^O^ + WA^E^Kf + СОД + GDM Sin2 0k)] 1/2.
В области, где основной вклад дает обменная энергия со£*(а0^)2, амплитуда d-магнонов зависит от координаты х по закону
d 1 НкхЬвУ *
Снизу от полосы d-магнонов отщепляется ветвь ”внутриграничных” спиновых волн, характеризуемых двумерным волновым вектором ky(w- магнонов). В дипольной области их энергия зависит очень сложным немонотонным образом как от модуля ку, так и от угла 0к± между ку осью Z. На рис. 5.4 видно, что спектр внутриграничных магнонов с учетом дипольной энергии становится несимметричным относительно замены к^ на — кр Кроме того, абсолютный минимум энергии находится не на к± = О, как в работе Винтера [328], а на ку « 8“1. Асимптотический закон дисперсии для w-магнонов в области обменных энергий, когда диполь-дипольные взаимодействие можно рассматривать как возмущение, имеет следующий простой вид:
е кх = шг(а0к±)2 *ы'А + — ым(Д + cos2 0kj).
Амплитуда внутриграничных магнонов в этом приближении максимальна в центре ДГ (х = 0) и экспоненциально убывает к ее границам (I х I > 5а) :
^w = ch"* (х/6а).
В области дипольных энергий для длин волн X > 6а сверху к d-магнонам непосредственно примыкают околограничные колебания («w-магноны), амплитуда которых экспоненциально убывает при удалении от доменной границы:
.= -q\x I
nw>
ГДе ,+ шм sin2 Ski
^=^i ",;— •
+ ^м) sin 0^
Энергия nw-магнонов в соответствии с [32, 33] равна
^i = [(<^4 + шм)(шд + wM sin2 Sk±)] ^,
при q > ^j"1 эти колебания очень сильно затухают благодаря их взаимодействию с d-магнонами.
Глава 6
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХС ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ДОМЕННЫМИ СТРУКТУРАМИ
СПИН-ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕРРОМАГНЕТИКОВС ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ДОМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ
В предыдущей главе были определены спин-волновые моды колебаний в ферромагнетике с изолированной ДГ. Рассмотрим теперь особенности спин-волновых возбуждений в ферромагнитных монокристаллических пластинах с периодической плоскопараллельной ДС, когда намагниченность в доменах направлена перпендикулярно плоскости пластины. Периодическая ДС вносит в спектры спиновых возбуждений особенности, аналогичные тем, которые имеет спектр электронов проводимости, движущихся в периодическом потенциале кристаллической решетки.
Специфика решаемой задачи состоит в том, что в отличие от потенциала кристалла, точный вид которого неизвестен, ’’потенциал”, в котором движется магнон, известен и определяется конкретным законом распределения намагниченности в основном состоянии, соответствующем той или иной ДС. Поэтому задача о спектре магнонов в таких системах может быть решена в некоторых случаях аналитически (а иногда даже и точно). Постановка и решение такой задачи интересны не только с точки зрения изучения магнонных состояний, они также представляют и значительный общефизический интерес.
ДГ (будем, как и раньше, считать, что они перпендикулярны оси х, лежащей в плоскости пластины) делают систему неоднородной вдоль х. Если относительно двух других направлений ( у и z) ферромагнетик однороден, то, строго говоря, спиновые возбуждения можно охарактеризовать двумерным волновым вектором k1 = Qcz, ку). Кроме того, периоди- 106
Рис. 6.1. Периодическая ДС с ДГ конечной ширины (заштрихованы). Локальная намагниченность составляет угол 6 (х) с ОЛН, перпендикулярной поверхности пластиныПеременное поле h(г) направлено под углом р к ОЛН и лежит в плоскости (yz) координатной системы xyz. Локальная система координат xYZ повернута вокруг оси х относительно системы координат xyz на угол 6Рис. 6.1. Периодическая ДС с ДГ конечной ширины (заштрихованы). Локальная намагниченность составляет угол 6 (х) с ОЛН, перпендикулярной поверхности пластиныПеременное поле h(г) направлено под углом р к ОЛН и лежит в плоскости (yz) координатной системы xyz. Локальная система координат xYZ повернута вокруг оси х относительно системы координат xyz на угол 6
Рис. 6.1. Периодическая ДС с ДГ конечной ширины (заштрихованы). Локальная намагниченность составляет угол 6 (х) с ОЛН, перпендикулярной поверхности пластины
Переменное поле h(г) направлено под углом р к ОЛН и лежит в плоскости (yz) координатной системы xyz. Локальная система координат xYZ повернута вокруг оси х относительно системы координат xyz на угол 6
Рис. 6.1. Периодическая ДС с ДГ конечной ширины (заштрихованы). Локальная намагниченность составляет угол 6 (х) с ОЛН, перпендикулярной поверхности пластины
Переменное поле h(г) направлено под углом р к ОЛН и лежит в плоскости (yz) координатной системы xyz. Локальная система координат xYZ повернута вокруг оси х относительно системы координат xyz на угол 6
чность системы вдоль х позволяет ввести также и третью компоненту волнового вектора кх, которая, как обычно, будет определена лишь с точностью до произвольного вектора kn = n2irlD Qi = 1,2,3,...) обратной одномерной ’’решетки” с размером элементарной ячейки 2тг/7), где 2Z) — период ДС. Это означает, что энергия магнонов в црисутствии периодической ДС должна быть периодической функцией кх с периодом кп) волновые функции ф, соответствующие магнонным состояниям, должны иметь вид блоковских функций, известных из теории твердого тела [75]. Рассматриваемые нами ДС допускают полное аналитическое определение блоховских амплитуд, входящих в волновые функции ф.
Представим себе плоскопараллельную пластину размерами d х L (рис. 6.1) с плоскостью поверхности, параллельной плоскости ^ху^ системы координат (х, у, z). В такой пластине могут существовать плоскопараллельные ДС различного типа. В качестве примера ниже будут рассмотрены структуры кацеровского и широбоковского типов, распределения М в которых задаются формулами (2.13) при С < 0 и (2.14) при О 0 соответственно.
В гамильтониан задачи X (5.1) введем внешнее переменное магнитное поле А(г), приложенное в плоскости, параллельной поверхностям ДГ. Следуя [120], в этом разделе по-другому введем размагничивающую энергию, положив ее плотность равной
(2ndD(2ndD(6.1)(6.2)(6.1)(6.2)wm ^ХМХ + МХМ^
(2nd
D
(2nd
D
(6.1)
(6.2)
(6.1)
(6.2)
где
2D
Nx=4u-Nz, Nz=
Такая модель дает правильный предельный переход: при ^ndlD) < 1 и ^ludlD^ > 1 получаем соответственно
\2 - 4 тг и Nz 2D/d.
Если же толщина пленки d стремится к критическим размерам dk (см. разд. 2.2), то результаты вычисления статического распределения М (х) совпадают с результатами самосогласованных расчетов [119]. Модель (6.1), (6.2) позволяет также получить точные решения динамической задачи.
Учитывая сказанное, вводя для удобства, как и в главе 5, локальную систему координат xYZ, связанную с Ms(xV и опуская слагаемые, не зависящие от компонент М, представим56в виде
2
^ = / ^ — ^m,)1 + (w? + (лм2)2 +(-— ) Wи I Ms L\ dx /
d1^^
- 2~- MyMz + ^CaMs Wz sin2 ^(x) + MyMz sin2tf(x) + dx^
* M^-cos1 d(x) + l^iaM$2* M^-cos1 d(x) + l^iaM$2yWJA# +^'^-2^ -yWJA# +^'^-2^ -
* M^-cos1 d(x) + l^iaM$2
* M^-cos1 d(x) + l^iaM$2
yWJA# +^'^-2^ -
yWJA# +^'^-2^ -
(63)(63)- A j (х, t^My + А 2 (*, О Mz ।,
(63)
(63)
где
(6.4)(6.4)hx^x, t) = hy(f) cos Ф(х) +hz(f) sin i>(x);
(6.4)
(6.4)
A2(x, Г) = hy^t) sin tf(x) - hx^ cos #(x); 9Ca = ^1« -~NZM^.
Далее везде считаем ЖXa >NZM^'L Это условие допускает и случай 5£ 1в < < luM^. В отсутствие h(t )МХ = Му = 0, Mz = MS, и из (6.3) находим
/dr к/dr кsin2 яЭsin2 яЭ(6.5)(6.5)
/dr к
/dr к
sin2 яЭ
sin2 яЭ
(6.5)
(6.5)
что совпадает по форме с (1.22) и откуда в соответствии с результатами разд. 2.2 получаем в зависимости от значения постоянной интегрирования С распределения М(х) (2.13) и (2.14), описывающие основное состояние ферромагнетика.
Дальнейшее рассмотрение аналогично проведенному в разделе 5.1 и для коэффициентов и-, и-преобразования имеем уравнения
•*-(Psin2i3(x) + ekj/- <z>kj/) ^ + 5^=0,(6.6)
“ ^r2^ sin2^ ~ eki/ “ S ki/) "kV + BukLf= °’
где
В — neMs(NA ~^Wt МА=Ъ- с5СХа!Мг$,
Sk|, = —Mkl+^e+^-^'+WX),(6.7)
л/Д 2 J
р = 2(.2це^а)М$),
и вк±/ — представляет собой искомый спектр энергии элементарных возбуждений спин-системы, содержащей периодическую ДС. Входящая сюда величина sin2 £ (х) определяется в зависимости от типа ДС формулами (2.13) и (2.14).
Величины Mkj/> Vk^y подчиняются следующим условиям ортонормировки:
Kuk^utj.' -Vkj-Vkj-')dx = 8f/-s
J(vk1/,u-k1/-V-KLf'Ukl/)dx = O.(68>
Полагая аналогично (5.17), что i>kj/и wki/пропорциональны одной и той же функции ^kj/, получим
d2^kir~
+ Ц7(х) - Gkl/] Фк1/ =0(6.9)
И
Ик1/ - ^к1/)С1к1/ - Bk1fCik1f = 0,
(6.10)
-Ciki/^kx/ + (^к±/ + ^ki/) Gk±/ = 0 , где
А±/ = ^ к^ ~Р ~ а6к±/6-2 ; BkLf = В,
(6.10а)
5 = <АрСа^ ; t/(x) = -2cos2^(x)5"2 ; Gkl/ = Gk^S'2 ,
а Сц^у-и Cikif — константы интегрирования (см. (5.17)), которые определяются из условия нормировки Фки • Промежуточная величина Gk^/ неизвестна, но спектр ее значений может быть определен из условий разрешимости (6.9). Знание Gk±/позволяет окончательно определить спектр 6ki/спиновых возбуждений в ферромагнетиках с периодической ДС, поскольку из условия разрешимости (6.10) можно записать
^1/ =V^^ 5к±/ •(6.11)
Используя (6.10), можно найти также
СхкИ = С2к1/ .(6.12)
Aj./ - ек1/
Таким образом, окончательно решение задачи о спектре спиновых возбуждений в ферромагнетике с периодической ДС сводится к реше-
нию уравнения (6.9) с периодическим ’’потенциалом” (/(х), пропорциональным cos2 0 (х). Полученное уравнение позволяет решить задачу для широкого класса одномерных периодических потенциалов, поскольку величина cos2 #(х) пока не конкретизировалась. Однако следует иметь в виду, что уравнение типа (6.9) может быть найдено не при любой структуре исходного гамильтониана (6.3). Так, не удается получить аналогичного уравнения, если учесть энергию намагниченности во внешнем магнитном поле.
Заметим также, что хотя период ДС равен 2D, периодический потенциал, в котором движутся магноны, имеет период D, что формально связано с пропорциональностью его квадрату косинуса, а не самому косинусу. Физически это связано с тем, что все взаимодействия, входящие в (6.3), при h = 0 являются инвариантными относительно замены М на -М.
Согласно сказанному в пространстве{х}можно ввести следующий произвольный вектор прямой решетки (периодической решетки плоскопараллельных доменов): хп = Dn, где л = 1,2,3,..., причем
/ и<х* хл)= U(x). (6.13)
В такой ситуации, как известно, решение (6.9) будет представлять собой функции блоховского типа
^kir = ^ki/(x), (614)
причем
^Дх + х„ ) = Fki/(x) ,(6.15)
т.е. аналогично электронам проводимости в твердых телах волновые функции магнонов при наличии периодических ДС представляют собой плоские волны, характеризующиеся компонентами волнового вектора к = (к±, кх\ амплитуда которых оказывается модулированной в такт ДС. Компонента волнового вектора кх определена лишь с точностью до произвольного вектора ’’обратной” решетки кп = (2к/О)п, л = 1,2,3,... Это означает, что энергия магнонов при наличии периодических ДС должна-быть периодической функцией кх с периодом, равным произвольному вектору обратной решетки кп. Чтобы записать это условие, заметим, что при наличии периодического потенциала спектр возбуждений оказывается состоящим из отдельных разрешенных полос энергии. Условимся нумеровать отдельные полосы индексом о. Имея это в виду, под/ далее будем понимать набор величин кх> о, т.е /= (кх , а), причем индекс о будем писать вверху у соответствующих букв в круглых скобках, например е Кц = е^ кх . Иногда для краткости будем также использовать обозначение к = 0с 1, кх). С учетом сказанного имеем
Это свойство е У )кх позволяет выбрать для значений кх основную область в форме
-•n/D < кх < тг/D ,(6.17)
т.е. считать, что кх изменяется в пределах первой зоны Бриллюена [75].
Если пространство {х } ограничено, то значения кх будут дискретными. Для их определения можно воспользоваться какими-либо граничными условиями. Подчинив ^kl,^ условиям Борна-Кармана [75]
(6.18)(6.18)Ф^ (х + Z) = Ч^Сх) ,
(6.18)
(6.18)
откуда согласно (6.14)-(6.16), считаем, что на длине кристалла L укладывается Nэлементарных ячеек размером D(L = ND\N — четно, а центр системы координат xyz - совпадающим с центром отрезка L и центром ДГ, получим
2п £
кх ~g = ±1,-±2, ±...±W/2.(6.19)
N D
В этом случае все величины можно характеризовать числом g вместо кх, например е^ g, Ф^ g и т.д. Дальнейшее рассмотрение проведем для конкретных типов периодических ДС.
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ
С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ДОМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ ШИРОБОКОВСКОГО ТИПА
Спектр спиновых волн в ферромагнетиках с доменной структурой ши- робоковского типа впервые был найден в работах [149, 146]. Согласно разд. 2.2 данная ДС может существовать при О 0, и распределение #(х) для нее имеет вид (2.14) с кг = (С + 1)Уг. Подставляя cos О в (6.9), получаем
d1^dVd1^dV- (2Л? sn2 е + G^)4r^= О,- (2Л? sn2 е + G^)4r^= О,(6.20)(6.20)
d1^dV
d1^dV
- (2Л? sn2 е + G^)4r^= О,
- (2Л? sn2 е + G^)4r^= О,
(6.20)
(6.20)
где £ = х(&кх.
В пространстве {£} периодический потенциал 2^isn2^ имеет период 2К(&!), где К(^^ — полный эллиптический интеграл первого рода, так что в пространстве (х)этот период равен 2К6^1.Имея в виду сказанное о периоде (/(х) в предыдущем разделе, получим
D = 2Ькх¥Дкху(6.21)
Это соотношение следует рассматривать как связь между Ри модулем эллиптического интеграла кх (или С — константой интегрирования уравнения (2.11), описывающего статическое распределение £(х)). Величина С (или Р) определяется из условия минимизации энергии, включащей в себя энергию магнитостатического поля. Уравнение (6.20) представляет собой частный случай известного уравнения Ламэ [148], решения которого известны и могут быть представлены в виде
(6.22)(6.22)
(6.22)
(6.22)
Входящие сюда величины #>(0, #4(0 представляют тэта-функции Якоби
[148], ^ - некий произвольный параметр, а
Z^=E^-^E(K; Е^= $ dn2 и du ;(6.23)
О
Е - полный эллиптический интеграл второго рода; dn — эллиптическая функция, называемая дельта-амплитудой.
Сравнивая (6.22) с (6.14), можно записать
q,(0)= e-ikxSkvt F^ (^ ,(6.24)
(6.25)(6.25)F^m = c+'"t/2K "^ VW^KS * 51)1 kМ(я/2К)$]
(6.25)
(6.25)
ikxbkx = — + Z^.(6.26)
2 К
В этихформулах F^^ ~F^ ^ = F^ (kxb^). Экспоненциальный множитель в (6.25) выделен для того, чтобы удовлетворить условиям периодичности (6.15). Учет этого условия позволяет правильно записать уравнение (6.26), которое следует рассматривать как уравнение для определения неизвестного ^, входящего в (6.25), по известной компоненте волнового вектора кх (но не наоборот!). Непосредственной подстановкой (6.25) и (6.26) в (6.24) можно убедиться, что при этом (6.24) в точности совпадает с (6.22). Согласно (6.23) и (6.24) амплитуда F^fg) зависит только от кх и не зависит от к^ Тем не менее формально будем оставлять прежнюю запись Ф^ и F^° \ В общем случае ^ — комплексная величина. Считая
Si = u + iv , u = Re ^ , v = Im ^
и отделяя в (6.26) вещественную и мнимую части, получим
Z (и) + к2Z (и) + к2snu спи dnM sc2(u,^i)l+/:i sn2 use2 (и, к)snu спи dnM sc2(u,^i)l+/:i sn2 use2 (и, к)(6.27)(6.27)
Z (и) + к2
Z (и) + к2
snu спи dnM sc2(u,^i)l+/:i sn2 use2 (и, к)
snu спи dnM sc2(u,^i)l+/:i sn2 use2 (и, к)
(6.27)
(6.27)
(6.28)(6.28)IT1
(6.28)
(6.28)
~ + — bnZdO = kx
Dbkx
где
ImZ^^ — Z^k’O +ImZ^^ — Z^k’O +л v2KK'л v2KK'dn (u^/) sc (ц kx) +dn (u^/) sc (ц kx) +
ImZ^^ — Z^k’O +
ImZ^^ — Z^k’O +
л v
2KK'
л v
2KK'
dn (u^/) sc (ц kx) +
dn (u^/) sc (ц kx) +
sn2 и sc (u, kx ) nc (v, k^ de (и, кЛ
(6.29)(6.29)+ £2 —
(6.29)
(6.29)
1 +^1 sn2u SC2 (иД1)
Здесь sn и, cn и, dn и - эллиптические синус, косинус и дельта-амплитуда соответственно. Другие входящие в (6.27) и (6.29) функции представляют
собой попарное отношение трех указанных, причем их обозначения образуются по первым буквам названий указанных функций, так что первая буква соответствует функции, стоящей в числителе, а вторая - функции, стоящей в знаменателе. Например, scu = snw/cnu и т.д. [148]. Функции, обратные snu, спи, dnw, обозначаются перестановкой букв в их названии, например пси = 1/спии т.д. Каждая из названных функций зависит от модуля эллиптического интеграла кх или дополнительного модуля кх = = (1 — к^ . Условимся, что если модуль не выписан, что делается ради краткости записи, то он равен кх. Величина Л^ К (к [у
Легко проверить, что решением уравнения (6.27) является
и = пК; п = 0,1,2,. . .(6.30)
Однако можно заметить, что и= Im£i оказываются разными в зависимости от того, является п четным или нечетным. Таким образом, все решения (6.24), (6.25) распадаются на два типа решений, соответствующих и = 2иК (а = 1)и и = (2п + 1)К (а = 2). При этом мнимая часть ^ , которую теперь снабдим знаками о, кх (т.е. обозначим через и^\ определяется из уравнений
(6.31)(6.31)п / 5i \1 dn (5Ь кх) sn (5Ь к{)
(6.31)
(6.31)
D \ К' / bkx cn^Sx,k^
лDлD15^15^Z(Sa,k^ *ktZ(Sa,k^ *ktsn (S2, kt) сп (52, кх)dn (S2, кх)sn (S2, kt) сп (52, кх)dn (S2, кх)(6.32)(6.32)
л
D
л
D
1
5^
1
5^
Z(Sa,k^ *kt
Z(Sa,k^ *kt
sn (S2, kt) сп (52, кх)dn (S2, кх)
sn (S2, kt) сп (52, кх)dn (S2, кх)
(6.32)
(6.32)
(6.33)(6.33)(6.34)(6.34)k,Kk,KitS2o \2 \ 2К'itS2o \2 \ 2К'\Рк 1) = —;—7 ехР (V / ;;V кх )2КК' /^2 (0 |т)£21 - еще одна тэта-функция; т = iК'/К; т* = т-1;4? = sc2 (^, k\)k? + 1; 1^ = sc2 (S,, к\) —L .\Рк 1) = —;—7 ехР (V / ;;V кх )2КК' /^2 (0 |т)£21 - еще одна тэта-функция; т = iК'/К; т* = т-1;4? = sc2 (^, k\)k? + 1; 1^ = sc2 (S,, к\) —L .(6.35)(6.35)(6.36)(6.36)
(6.33)
(6.33)
(6.34)
(6.34)
k,K
k,K
itS2o \2 \ 2К'
itS2o \2 \ 2К'
\Рк 1) = —;—7 ехР (V / ;;
V кх )2КК' /^2 (0 |т)
£21 - еще одна тэта-функция; т = iК'/К; т* = т-1;
4? = sc2 (^, k\)k? + 1; 1^ = sc2 (S,, к\) —L .
\Рк 1) = —;—7 ехР (V / ;;
V кх )2КК' /^2 (0 |т)
£21 - еще одна тэта-функция; т = iК'/К; т* = т-1;
4? = sc2 (^, k\)k? + 1; 1^ = sc2 (S,, к\) —L .
(6.35)
(6.35)
(6.36)
(6.36)
где ради краткости записи положено So -и^°х • Для того чтобы понять, чему соответствуют решения с а=1 и о = 2,найдем квадрат модуля волновых функций (6.24). Несложные преобразования позволяют записать
I^V^ = ^^ )2 [$п2£ + *2Рь*1')] ,
l^l2 = (f(2) ^ „(2) [сп2^ + fc2 ,(2)],Ккх кхкх
где постоянные коэффициенты Р^ имеют вид
yiV'ixiVW’)1yiV'ixiVW’)1P и с. 6.2. Изображение квадрата модуля волновых функций ’’внутридоменных” мод (о = = 1) в зависимости от х: d^x = Кр т^ОP и с. 6.2. Изображение квадрата модуля волновых функций ’’внутридоменных” мод (о = = 1) в зависимости от х: d^x = Кр т^О
yiV'ixiVW’)1
yiV'ixiVW’)1
P и с. 6.2. Изображение квадрата модуля волновых функций ’’внутридоменных” мод (о = = 1) в зависимости от х: d^x = Кр т^О
P и с. 6.2. Изображение квадрата модуля волновых функций ’’внутридоменных” мод (о = = 1) в зависимости от х: d^x = Кр т^О
Р и с. 6.3. Изображение квадрата модуля волновых функций ’’внутриграничных” мод (» = = 2) в зависимости от х: dv^ ^к1!^
Рис. 6.4. Изображение спектра ’’внутриграничных” (1) и ’’внутридоменных” (2) спиновых волн от волнового вектора кх
На рис. 6.2 и 6.3 схематически представлены зависимости квадратов модулей волновых функций для а = 1 и о = 2 соответственно. Видно, что решения, соответствующие о = 1, таковы, что квадрат модуля соответствующей волновой функции велик лишь внутри доменов. В связи с этим спиновые волны, описываемые решениями о = 1, будем называть ’’внутридоменны- ми” спиновыми волнами. Фактически это те волны, которые существуют и в отсутствие ДГ (см. гл. 5). Квадрат модуля волновой функции для решения второго типа велик лишь в областях локализации доменных границ. В связи с этим данные типы возбуждений будем называть ’’внутригранич- ными” спиновыми волнами. Они представляют собой связанные колебания доменных границ, их называют также трансляционными модами [146, 149].
Используя (6.12), соотношения (5.17) и условия ортонормировки (6.8) для функций и^ (£), и^ (£) (здесь учтена их зависимость от о и kxV через которые согласно (5.5), (5.7) и (5.12) определяются величины М* (г), получим
“к(о) = с^ ф^ (х); v^ = Gк ф^ (х),(6.37)
где,,
r<e> - к Хк V к к • с<?> = ^J к . к |Вк(о)| V 2e^Do ’ 2к Хк V 2e^Do '
(6.38)
Входящие в эти функции величины имеют следующий вид: , \Г1,1„/&i2<
(6.39)
(6.40)(6.40)
(6.40)
(6.40)
Г 1,,
(6.41)(6.42)(6.43)(6.41)(6.42)(6.43)Dx = 2Nbkx\ — (К-Е) +Ksc2(S1,fc1) ki
(6.41)
(6.42)
(6.43)
(6.41)
(6.42)
(6.43)
Y<CT) = xkY<CT) = xkp2=l; 8 = (А/ЖаУ,p2=l; 8 = (А/ЖаУ,D2 = 2N8kx
Y<CT) = xk
Y<CT) = xk
p2=l; 8 = (А/ЖаУ,
p2=l; 8 = (А/ЖаУ,
I2 1^* 2
^эфф = - Ny + ~^2^-
Напомним, что в кристалле конечных размеров L согласно (6.19) вместо кх можно вводить также величину g.
Каждой волновой функции ф^ с о = 1, 2 соответствует свой спектр энергии. При этом для каждого а имеется целый набор энергий, соответствующий разным значениям кх. Таким образом, спектр спиновых возбуждений в ферромагнетиках с периодической широбоковской ДС является полосатым, но в отличие от обычно рассматриваемой для электронов проводимости ситуации число полос спин-волновых возбуждений оказывается ограниченным и равным двум. Этот результат связан с конкретной формой периодического потенциала и, конечно, может измениться при изменении последнего.
Для определения спектра ’’внутриграничных” и ’’внутридоменных” спиновых волн воспользуемся условием разрешимости уравнения Ламэ (6.20), которое может быть представлено в виде [148]
Q = -(l + ^2сп2^).(6.44)
Учитывая (6.30), для а = 1 и а = 2 соответственно имеем
G^ =-(l+^/cn2(S1,fc'1))(6.45)
и
(6.46)(6.46)г(1) _, р ^125П2(52Д1)
(6.46)
(6.46)
dn2(52,^)
Используя (6.39) и (6.40), из (6.11) получаем для спектра’’внутридомен-
ных”и "виутриграничных”спиновых волн соответственно:
-Це-Це(Лк? + X ' + к2 ^д/сп2(Лк? + X ' + к2 ^д/сп2+ 5Са - ./Ги/А? + Л'эфф/И?++ 5Са - ./Ги/А? + Л'эфф/И?+(Si.к\)) X(Si.к\)) Xсп2" (St.k\V.сп2" (St.k\V.(6.47)(6.47)X (Лк?X (Лк?2д.М$+ Л'а2д.М$+ Л'аЛк? + Ж'Лк? + Ж'^akU?^akU?sn2 (s2,k’a dn^S^W)sn2 (s2,k’a dn^S^W)XX+ Л'эффЛ/? -Л\/А? -Xak2k?+ Л'эффЛ/? -Л\/А? -Xak2k?sn2 (S2Л\У dn2(S2,k\\sn2 (S2Л\У dn2(S2,k\\У1У1
-Це
-Це
(Лк? + X ' + к2 ^д/сп2
(Лк? + X ' + к2 ^д/сп2
+ 5Са - ./Ги/А? + Л'эфф/И?+
+ 5Са - ./Ги/А? + Л'эфф/И?+
(Si.к\)) X
(Si.к\)) X
сп2" (St.k\V.
сп2" (St.k\V.
(6.47)
(6.47)
X (Лк?
X (Лк?
2д.
М$
+ Л'а
2д.
М$
+ Л'а
Лк? + Ж'
Лк? + Ж'
^akU?
^akU?
sn2 (s2,k’a dn^S^W)
sn2 (s2,k’a dn^S^W)
X
X
+ Л'эффЛ/? -Л\/А? -Xak2k?
+ Л'эффЛ/? -Л\/А? -Xak2k?
sn2 (S2Л\У dn2(S2,k\\
sn2 (S2Л\У dn2(S2,k\\
У1
У1
(6.48)
Поскольку So = uf , то из (6.48) можно заметить, чго зависимость энергии спиновых волн от компоненты волнового вектора кх. перпендикулярной доменным стенкам, оказывается довольно сложной. Прежде чем переходить к анализу этой зависимости, рассмотрим частный случай: кх ** 1, d>D. В этих условиях ширина доменов Z)-*°°, и мы должны получить результаты, совпадающие с найденными в гл. 5 для изолированной ДГ. Тогда полоса ’’виутриграничных” частот вырождается в дискретный (по кх) уровень (то же самое происходит при кх -* 1, но произвольных d/D), что связано с переходом при кх -► 1 к изолированной ДГ и потерей трансляционной инвариантности. Для ’’виутриграничных” спиновых волн из (6.48) сразу получаем (5.23), поскольку последние слагаемые в обеих простых скобках при кх -* 1 стремятся к нулю. Что касается ’’внутри- доменных” волн, то прежде всего заметим, что при кх -> 1 (^i ^ 0) sn(Sb ^i) = sin Si, cn (Si, к\) = cos Si, dn(Si Д1) = 1, D 00 и из (6.31) имеем
tgSi ^kxb.
С учетом этого равенства приближенно находим
СП2(51Д1) COS2 SiСП2(51Д1) COS2 Si= ЭС а (1 +А282).= ЭС а (1 +А282).
СП2(51Д1) COS2 Si
СП2(51Д1) COS2 Si
= ЭС а (1 +А282).
= ЭС а (1 +А282).
Используя это и имея в виду, что Л^фф при<7/£> > 1 стремится к 2я, из (6.47) получаем (5.25).
ЭТОМ6 кЭТОМ6 кВ более общем случае (произвольные ^J из (6.32) легко найти, что при изменении кх в пределах первой зоны Бриллюена, т.е. - nlD^kx ^itlD, Si = «к, уменьшается от 2К* (при кх = - л/D) до 0 (при кх = njD). При
ЭТОМ
6 к
ЭТОМ
6 к
к'12Л-а)]у-;(6.49)к'12Л-а)]у-;(6.49)= 4? [И^ + МффЛ/?) (Лк? +Л-'
к'12Л-а)]у-;
(6.49)
к'12Л-а)]у-;
(6.49)
fcx = о
= ^ [(^1 +^')(Лк? +к?5Са +^ффм2иу\
(6.50)
что представляет собой энергию ’’внутри грани иных” (трансляционных) спиновых волн соответственно в центре и на границах зоны Бриллюена. Используя эти состояния и считая к\г малым (^i2 < 1), можно оценить ширину Двг энергетической полосы ’’внутриграничных” спиновых волн.
(2Лк2 ^УС ’ + A^M2)(2Лк2 ^УС ’ + A^M2)(6-51)(6-51)Имеем
(2Лк2 ^УС ’ + A^M2)
(2Лк2 ^УС ’ + A^M2)
(6-51)
(6-51)
△вг ТЛ УСак^ Ms
или по порядку величины Двг (ЦрМ^ (^Са/М$^к\2 ^ &'210 '23 Дж. В пределах бриллюеновской зоны е^2' растет с увеличением кх от значения ^к2) (^х = 0) до е^ (кх = ± п//)) (рис. 6.4).
Переходя к анализу ’’внутридоменных” спиновых волн, заметим, что согласно (6.32) при изменении кх от n/D до 00 величина ^ = up) изменяется от 0 до К*, а при изменении кх от — °° — до — it ID, up) изменяется от К1 до 2К* , причем энергия ’’внутридоменных” спиновых волн изменяется от значения
2ц/ к* \ 2
в^= "^ [(^ +A^3f2+tf- (-1 ^a)X
™ м.хк,/
(6.52)(6.52)X (Лк2 + #' +tf ^a)]*
(6.52)
(6.52)
до 00. Последний результат связан с тем, что мы не учитываем дискретности кристаллической решетки ферромагнетика. Заметим, однако, что поскольку ер) периодична по кх с периодом, равным периоду обратной решетки, то, вообще говоря, бесконечно широкую полосу ’’внутридоменных” спиновых волн можно рассматривать состоящей из большого числа полос с щелями между ними, равными нулю. Что касается щели
△ n=e^1) ^ -е£2) w (6-53)
между полосой ’’внутридоменных” и ’’внутриграничных” спиновых волн, то она может быть оценена, например, при условиях УСа,(Дк2 + + А^ЭффЛ/2) < 1; Л*д/(Лк2 + ^')< 1 и приближенно равна
MeУС а (2Лк± + Д^ффЛ/^ + УС )
Д/ "д - ■■■ ”'""- а :— п ~ — ■»(6.54)
Ms VUk2 + (УЭфф^)(Лк2 + ^')
что по порядку величины дает Д n ^ (UeMs) (SYa/M^”5 Ю-23 Дж.
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКЕС ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ДОМЕННОЙ СТРУКТУРОЙКАЦЕРОВСКОГО ТИПА
Как отмечалось в разд. 2.2, в тонких магнитных пленках с так называемой перпендикулярной одноосной магнитной анизотропией (ОЛЫ перпендикулярна поверхности пленки) возможна периодическая ДС (кацеров- ского типа), в которой вектор намагниченности осциллирует около направ-
ления трудного намагничивания, лежащего в плоскости пленки. Важно, что в такой ДС период может быть весьма малым, так что модуль эллиптического интеграла к, который в данном случае равен
k=VCH (-1<С<0),(6.55)
может сильно отличаться от 1. При этом к, а также углы п/2 - 60 (0О = = arccos к см. (2.18)), которые составляют вектор намагниченности М в центрах доменов с плоскостью пленки, уменьшаются с утоньшением пленки.
В разд. 2.2 для кацеровской ДС было найдено следующее распределение намагниченности:
cos #(х) = — к sn £, £ =х/8,(6.56)
Если, используя (6.10а), подставить (6.56) в (6.9), то получим точно такое же по виду уравнение, как и (6.20), но в нем роль переменной £ теперь будет играть величина x/S, а вместо кх будет к.
Связь ширины домена D с величиной к (или С) в данном случае оказывается следующей:
£> = 2К(£)6; 8 = (Л/^0),л.(6.57)
Для кацеровской ДС указанное уравнение впервые было получено в работах [119] (см. также [120]). В этих работах впервые найден спектр спиновых волн в ферромагнетиках с такой ДС.
Поскольку основное уравнение по внешнему виду оказывается идентичным (6.20), то для волновых функций спиновых волн кацеровской ДС можно записать
^а) (*) = С^ Ф^ (X); v^ (х) = С^ ф^> (х),
ф^ (х) = Ф^ (6) = е ’^F^ (О; а = 1, 2;(6.58)
Г 7Г1Г 7Г1^1) =е/я{/2К^1) =е/я{/2Кр^ =е^Ц2Кр^ =е^Ц2К
Г 7Г1
Г 7Г1
^1) =е/я{/2К
^1) =е/я{/2К
р^ =е^Ц2К
р^ =е^Ц2К
(6.59)
лк ±6к 2ei^Kлк ±6к 2ei^K.= (о) /ек ,’ 2к Хк V 2е^2)„ к'.= (о) /ек ,’ 2к Хк V 2е^2)„ к'Здесь, как и в предыдущем разделе, So = и^ . Коэффициенты С^ и С^ , определяемые из условий ортонормировки (6.8) и уравнений, аналогичных (6.10), имеют вид
лк ±6к 2ei^K
лк ±6к 2ei^K
.= (о) /ек ,
’ 2к Хк V 2е^2)„ к'
.= (о) /ек ,
’ 2к Хк V 2е^2)„ к'
г(а) _ _ к Хк1к "\в^\
(6.60)
Входящие сюда величины Do и Xv°^ определяются соотношениями (6.41) — (6.43).
Однако в данном случае вместо кх следует подставить к. Что касается
А^, В^ и е^, то они равны
/ \2и. Г „1,1/1/ х\ 1
А^ = — Лк? + -NCM2 + - Ж' +Жа 1-1+ -к'2 -G^) , к Ms I 1 22 Ц 2 к /]
(6.61)
В^ = 4г ^ +к'2 ^а -^'-),(6.62)
е^а) = ^ {[Л^ + ЭС* - Ха (1 + G^)] [Ак2 +/VX-
(6.63)(6.64)(6.63)(6.64)-^a(k2+G^)]}y\
(6.63)
(6.64)
(6.63)
(6.64)
где 1
Nc = -[WX+(1+^2)WZ],
а величина G^ имеет вид (6.45) и (6.46) с кх, замененным на к. Можно показать, что решения со=1ио=2 соответствуют ’’внутридоменным” и ’’внутриграничным” спиновым волнам. Законы дисперсии этих волн можно записать в окончательном виде, если воспользоваться (6.45) и (6.46). В результате имеем
е<*> = — (Глк? +3£* +* ^ , 1 [Лк2 + NCM^ + k'2^a +
к Mjl 1сп^Д')]1 1
(6.65)(6.65)k2SCa 11* cn2 (Sj Д') J J ’
(6.65)
(6.65)
е(2) = ^([Ак2+^’- k2k*23fa к Яе(2) = ^([Ак2+^’- k2k*23fa к Яsn2(S2,fc')l—^—/ [Лк2 *NX +к'г5Са - ап (о 2, к ) Jsn2(S2,fc')l—^—/ [Лк2 *NX +к'г5Са - ап (о 2, к ) J
е(2) = ^([Ак2+^’- k2k*23fa к Я
е(2) = ^([Ак2+^’- k2k*23fa к Я
sn2(S2,fc')l
—^—/ [Лк2 *NX +к'г5Са - ап (о 2, к ) J
sn2(S2,fc')l
—^—/ [Лк2 *NX +к'г5Са - ап (о 2, к ) J
Zr2 "и #2 /V7.Л. Л. еН, аZr2 "и #2 /V7.Л. Л. еН, аsn2(S2, ^) 111/2 dn2(52, А;')]/sn2(S2, ^) 111/2 dn2(52, А;')]/(6.66)(6.66)
Zr2 "и #2 /V7.
Л. Л. еН, а
Zr2 "и #2 /V7.
Л. Л. еН, а
sn2(S2, ^) 111/2 dn2(52, А;')]/
sn2(S2, ^) 111/2 dn2(52, А;')]/
(6.66)
(6.66)
1+ —51+ —5sn(S2, fc')cn(S2, к’^dn(S2, к’)sn(S2, fc')cn(S2, к’^dn(S2, к’)(6.68)(6.68)
1
+ —
5
1
+ —
5
sn(S2, fc')cn(S2, к’^dn(S2, к’)
sn(S2, fc')cn(S2, к’^dn(S2, к’)
(6.68)
(6.68)
Величины So = и^, входящие в эти выражения, можно найти из уравнений
(6.67)(6.67)dn(Sb ^')sn(Sb к’)
(6.67)
(6.67)
—;~кх\
сп($!,£)
Используя (6.67) и (6.68), можно проанализировать спектры, описываемые уравнениями (6.65) и (6.66). При этом, как и в разд. 6.2, находим
(6.69)(6.69)e^l = Л7 [^ki +^' - к'^аХАк^ +N#, К |кх=0 Ms
(6.69)
(6.69)
ek} I » = ^r [(^ki + ^ ')(Лк1 + «)]1/2 |^=±Б м>дан ’’внутриграничных” спиновых волн иek} I » = ^r [(^ki + ^ ')(Лк1 + «)]1/2 |^=±Б м>дан ’’внутриграничных” спиновых волн и4°4°кх = ± -Х Dкх = ± -Х D= ^VUk^X'^^(Ак^^М2^= ^VUk^X'^^(Ак^^М2^(6.70)(6.71)(6.70)(6.71)
ek} I » = ^r [(^ki + ^ ')(Лк1 + «)]1/2 |^=±Б м>
дан ’’внутриграничных” спиновых волн и
ek} I » = ^r [(^ki + ^ ')(Лк1 + «)]1/2 |^=±Б м>
дан ’’внутриграничных” спиновых волн и
4°
4°
кх = ± -
Х D
кх = ± -
Х D
= ^VUk^X'^^(Ак^^М2^
= ^VUk^X'^^(Ак^^М2^
(6.70)
(6.71)
(6.70)
(6.71)
для ’’внутридоменных” спиновых волн. При этом энергия ’’внутриграничных” спиновых волн при изменении кх от 0 до ir]D изменяется от значения (кх = 0) (6.69) до значения е^ (кх = — ) (6.70). В достаточ- у D)
но толстых пленках £-►!, и ширина полосы Двг энергии ’’внутриграничных” спиновых волн имеет тот же порядок, что и оцененная в разд. 6.2. ширина полосы энергии ’’внутриграничных” спиновых волн в структуре широбоковского типа, т.е. ДвГ ^ (цеМ5)к12 ^J^) • Однако в тонких пленках к может существенно отличаться от 1 и ширина полосы Двг становится существенно больше, порядка (jieM^ ^CjM^. Что касается ’’внутридоменных” спиновых волн, то при изменении кх от я/Z) до °° энергия их монотонно растет до бесконечности, как и в случае широбо- ковской ДС. Причины такого безграничного роста вновь связаны с не- учетом дискретной структуры кристаллической решетки ферромагнетика. Общий характер зависимости е^ и е£2> имеет вид, представленный на рис. 6.4.
В заключение заметим, что при к -* 1 спектры спиновых волн для ДС кацеровского и широбоковского вида совпадают. Если дополнительно еще считать d(D ^> 1, то спектры ’’внутриграничных” и ’’внутридомен- ных” спиновых волн в ферромагнетике с кацеровской ДС переходят соответственно в спектры (5.23) и (5.25) спиновых волн при наличии изолированной ДГ.
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ СПИНОВЫХ ВОЛНПРИ НАЛИЧИИ ДОМЕННЫХ СТРУКТУР
Параметрическое возбуждение спиновых волн при наличии ДС рассматривалось в серии экспериментальных работ (см. [90]). Попытки теоретического описания параметрического возбуждения указанных волн (см. [200]) наталкиваются на ряд трудностей, связанных с ДС. Поэтому до сих пор не удалось построить теорию параметрического возбуждения спиновых волн при наличии ДС в присутствии внешнего магнитного поля, учитывающую как ’’внутриграничные”, так и ’’внутридоменные” спиновые волны. Расчеты, проведенные в [200], не учитывают возможное влияние на параметрические явления ”внутриграничных” спиновых возбуждений. Возможно, в частности, по этой причине результаты [90]
не согласуются с [200]. В работе [216] для случая периодических ДС, а в [165] - для изолированных ДГ было показано, что учет ’’внутригра- ничных” спиновых волн имеет решающее значение при возбуждении спиновых волн методом аналогичным параллельной накачке [293]. Ниже будут приведены результаты, полученные при отсутствии внешнего постоянного магнитного поля.
Пусть на образец действует переменное внешнее магнитное поле, направленное под углом р к ОЛН, но лежащее в плоскости ДГ (см. рис. 6.1). Исходя из гамильтониана (6.3), методом, аналогичным проиллюстрированному в разд. 5.1, получим следующие уравнения вида (5.10) и (5.11) :
'^kj*) = Фк/х^ОО - “ , 2 " Ва_. (х) - - фРеМ^Ну (х)8к 0, а2 +(6.72)
.. Э
^к/^) = -Ф-к/^)Д-к±(^) + « "г— + Вакк(х) +
+(6.73)
где,
2де , 2це^аPe^t
Ф(х) = — Лк£ +- cos2i?(x) + —— *NApeM, -
MsM,Ms
-peh2(x,t),(6.74)
а В и Na определяются (6.7).
Поле hx (x, г) согласно (6.72) приводит к возбуждению волн лишь с к± = 0. Предполагая, что частота поля накачки не совпадает с частотой спиновых волн, опустим слагаемые, связанные с hx. Таким образом, поле накачки будет входить лишь в величину Фк± (х), имеющую смысл локального эффективного поля. Следовательно, поле Л2 (х, г) приводит к модуляции внутреннего эффективного локального поля, с чем и связан процесс параметрического возбуждения спиновых волн. В этом смысле такое возбуждение эквивалентно методу параллельной накачки [293], хотя направление поляризации внешнего переменного магнитного поля h (г) не во всех точках кристалла совпадает с направлением М.
Используя далее (5.12), соотношения коммутации для операторов b^tf и b^s уравнения (6.6) и условия ортонормировки (6.8) из (6.72) и t6.73) , находим
ihbkkf = ekkfbkkf-pehocosu)t ^ \^.^b*_kkf,(6.75)
-ibb_kkf = ekkfbt_kkf ~ Peho coswZ SA^ (-kJ bkLf,
где
Ay'(kJ = Uff' (kJ sin ^ - Xz/' (kx) cos ф,(6.76)
L/2
^'(^1)= J sini^xHi^'M.^ + u.^w^^^(6.77)
(6.78)(6.78)Z./2
(6.78)
(6.78)
V(kl) = J/2COS»(x)[vkl/-U_kl/+ U-^/Uk!/']^.
Величина hQ представляет амплитудное значение, a co — частоту h(r), причем Ay (г) =/г о cos cor sin i, Az (r) = A0cosartcosi. При получении (6.75) были опущены также слагаемые, связанные с вкладом h(r) в е^у, которые не могут приводить к рассматриваемой ниже нестабильности спиновой системы по отношению к параметрическому возбуждению спиновых волн.
Учтем затухание, сделав замену:
_I Це
Шк±/= ек±//Й -♦ Пк±/ = Wk±/ + Т — А#^/,(6-79)
2 и
где Д^к±/ - эквивалентная ширина линии спиновых волн.
Рассмотрим нестабильность спиновой системы, связанную с одновременным возбуждением двух спиновых волн с к^ и -kj/', причем
^к^к(6.80)(6.80)
^к
^к
(6.80)
(6.80)
Выбирая, как обычно (см. [293]), решение (6.75) в виде
-iwb ft-iw . ;t(6.81)
bkLf~e L ; b^^e и отбрасывая нерезонансные слагаемые, найдем следующее выражение для порогового поля Ао = Акр, начиная с которого возникает раскачка спиновых волн в ферромагнетиках с ДС:
(6.82)(6.82)(М1ч^чГ.\ЧгР \ Л/'/Л> /
(6.82)
(6.82)
Непосредственные вычисления Л^ согласно (6.76) с учетом волновых функций (6.58)-(6 59) и соотношений (6.60)-(6.64) позволяют
, о= 1.2,, о= 1.2,(6.83)(6.83)получить ХУ = 0 для кацеровской ДС.и h^ = —н
, о= 1.2,
, о= 1.2,
(6.83)
(6.83)
■ ^g, -g+Nm (kl)‘ I I sin ip I
где g = 0, 1,2, ,,., Л72 и согласно (6.19) характеризует компоненту ^-волнового вектора спиновых волн, а
пВк-к2
^-g*Nm=7— [1+2$с2(51Д'][К-Е + КЛ28с2(51Д')]*1 ;
'4С(6.84)
(6.85)(6.85)^_g+Nm =[l+(l^'2)SC2№.^)]lE-fc'2K +
(6.85)
(6.85)
+ k2Esc2(SI,k’)A"1.
Формулы (6.83) совместно с (6.84) и (6.85) описывают пороги параметрического возбуждения ’’внутриграничных” и ’’внутридоменных” спиновых волн в ферромагнетиках с кацеровской доменной структурой.
Для достаточно толстых пленок, когда к -► 1 из (6.83) -(6.85), получаем 8е<о) Д^о) Г(о)
h = ,(6.86)
кр йсом I ftr I I sin^l
где
V^ = DI2&; Г(2)=1;(6.87)
ftr =1 ~^a/^m ; wA=g^lMs; GDM=g4nMs.(6.88)
Если учесть, что Г ^ > 1, и считать ^H^g ^^к^’то из приведенных формул следует, что порог параметрического возбуждения ’’внутридоменных” спиновых волн, по крайней мере в случае достаточно толстых магнитных пленок (к -> 1), существенно больше порога параметрического возбуждения ’’внутриграничных” спиновых волн. В [216] был рассчитан также порог одновременного возбуждения ’’внутриграничной” и ”вну- тридоменной” спиновой волны. Не останавливаясь на громоздких формулах, отметим, что и этот порог также оказался выше порога возбуждения ’’внутриграничных” спиновых волн.
Таким образом, по крайней мере при сформулированных выше условиях (к -> 1, ^H^g ^ ^к^’ ПРИ наличии ДС кацеровского типа в первую очередь должны возбуждаться ’’внутриграничные” спиновые волны. Анализ показывает, что этот вывод справедлив во всем интервале изменения к.
Минимальный порог возбуждения ’’внутриграничных” спиновых волн получается при 52 = 0* (т.е. кх = ± я/D) и ^ = я/2. В этом случае из (6.83), (6.85) с учетом условия (6.80) находим
2
^ )min = — |у || Е - к*1 К I.(6.89)
(6-90)(6-90)Величина B^lg зависит от толщины кристалла d как через Nx и Nz, так и через к. Вблизи критической толщины (см. гл. 2), ниже которой ДС не существует,
(6-90)
(6-90)
где
о>'25Ya ,251*
т=\*^а!3Шм—— ; wA=g-—; ^A=g—~ • М$
Если соА ^сом, сом > со^, так что т « 1, то выражение для порога возбуждения ’’внутриграничных” спиновых волн совпадает с соответствующим выражением для порога параметрического возбуждения спиновых волн однородно намагниченного кристалла [293].
Переходя к вычислению порогов параметрического возбуждения спиновых волн в ферромагнетиках с ДС широбоковского типа, получаем ^/(Kl) = 0. Это означает, что пороги возбуждения любых спиновых волн в ДС, когда вращение М происходит непрерывно в одном направлении по всему кристаллу, для метода, связанного с модуляцией внутреннего эффективного поля внешним высокочастотным однородным полем, оказываются равными бесконечности. Физическую суть такого результата можно пояснить следующим образом. Параметрическое возбуждение спиновых волн возникает из-за взаимодействия намагниченности с однородным высокочастотным полем h(O- В рамках рассматриваемой модели плотность энергии wh данного взаимодействия пропорциональна (Axsin^(x) - Azcos^(x)) (М^ + Му). Осциллирующая на частоте накачки часть М (компоненты Мх и Му) совершает вслед за Ms полный оборот вокруг оси х. Поскольку М ориентирована под всеми возможными углами относительно h(r), то wh > 0 для некоторой области х и wh < 0 для других х. В результате симметрии распределения М интегральный вклад положительной и отрицательной части компенсируется.
Это качественное пояснение позволяет понять, в каких случаях указанная энергия взаимодействия отлична от нуля. Видно, что это возможно при Ф, существенно меньшем 2л. Указанная ситуация реализуется для случая кацеровской ДС. Однако, поскольку для этой ДС распределение М симметрично относительно 6 = л/2, вклад от члена hz cos 0 (х) (М^ + + М^) должен быть равен нулю. Именно по этой причине пороги для кацеровской ДС пропорциональны 1/sin^. Таким образом, проведенный анализ показал, что при исследовании параметрического возбуждения спиновых волн в ферромагнетиках с ДС очень важно учитывать ”вну- триграничные” спиновые волны. Кроме того, оказалось, что параметрическое возбуждение волн, связанное с модуляцией внутреннего эффективного магнитного поля однородным внешним высокочастотным полем, весьма чувствительно к типу ДС.
ВОЛНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ СРЕШЕТКОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ МАГНИТНЫХ ДОМЕНОВ
При наличии периодических ДС в виде решеток ЦМД чрезвычайно сложно найти не только спектры волн при каком-либо непрерывном равновесном распределении намагниченности, но и само непрерывное распределение М. В связи с этим были развиты упрощенные теории [30, 231, 307] (см. также [8]), которые позволяют исследовать указанные спектры в предположении, что доменная стенка ЦМД бесконечно тонкая, а намагниченность изменяется скачком при переходе через такую границу. Ясно (см. предыдущие разделы), что такое приближение эквивалентно отбрасыванию ’’внутриграничных” возбуждений. Однако ясно также, что и при таком упрощенном подходе следует ожидать целый ряд особенностей при анализе высокочастотных свойств решеток ЦМД, которые не существуют в описанных выше периодических полосовых ДС.
Прежде всего аналогично плоской атомной решетке, которой подобна решетка ЦМД, можно ожидать существование продольных и попереч-
ных волн, связанных с коллективными колебаниями цилиндрических магнитных доменов. В данном случае силы ’’упругости”, связывающие отдельные ЦМД, имеют магнитостатическое происхождение, и в этом смысле можно ожидать существенно меньших скоростей распространения колебаний ЦМД, чем скорости звука. Правда, поскольку эффективная масса колеблющихся ЦМД существенно больше массы колеблющихся частиц в твердых телах, то параметры ЦМД-пленки могут быть подобраны такими, что указанные скорости могут оказаться сравнимыми со скоростями звуковых волн в твердом теле.
Сами ЦМД в динамических условиях не могут оставаться в виде жестких образований фиксированного объема и формы. В связи с этим следует ожидать, что в решетке ЦМД возможны также волны, связанные с изменением размеров и формы доменов.
Для отыскания спектров указанных волн будем исходить из следующего выражения для энергии решетки [8]:
1
Е = Е0 + Sef + - 2 Vikl(6.91)
i 2 i^k
где Eo — энергия однородно намагниченной пластины; е/ — энергия отдельного ЦМД, находящегося в z-м узле решетки с координатой Rf. Величина Vq представляет собой энергию взаимодействия z-ro и /-го доменов. Такое взаимодействие, как указывалось выше, имеет магнитостатическое происхождение и в общем случае (решетка с произвольной плотностью) оказывается весьма сложным.
Для того чтобы упростить задачу, рассмотрим ситуацию, когда параметр решетки ЦМД а значительно больше и диаметра ЦМД, и толщины пластины, так что энергию Vtk можно аппроксимировать как энергию взаимодействия двух диполей. Принимая при этом во внимание, что магнитный момент каждого ЦМД перпендикулярен вектору R/z = R,-Rz, лежащему в плоскости, параллельной поверхности пленки и соединяющему центры двух взаимодействующих ЦМД, энергию У<к можно представить в виде
где пц - магнитный момент z-ro ЦМД, равный
т<=2М^5ь(6.93)
Sj — площадь основания ЦМД; d — его высота, равная толщине пластины. Коэффициент 2 в (6.93) связан с выделением Eq в (6.91).
Далее будем считать, что имеются малые отклонения ъц ЦМДот положений равновесия R^ (I R° | > | и| ) и малые отклонения ^ni формы ЦМД (в плоскости пленки) от равновесных значений г0, описывающих круговое сечение ЦМД ^ni <rQ).
Считая
R, = R,(o) + и,- и г(9) = г0+£ △щей0,(6.94)
П= — ОО
где г(0) - радиус-вектор точки на образующей ЦМД, рассматриваемой
под углом О к оси х (см. рис. 2.8), и разлагая (6.91) в ряд до квадратичных членов по ut и kni, для изменения энергии Д/Г найдем
Д£ = yS [ qfu* (и^-и» )-Оц До, (До/ - До/ ) +
„ J (1„-(6.95)
+ 2F“u* +S -В0Д§/ + Х В„ |Д„/|,V ’
) /12л=2J
где введены следующие обозначения: 3
с? = 4 (^^о^)215*£ ^ - М^ц;
Dy = (^dM^FC^ ; F“ = 3 (2л^г0)2 2r0R“R^ ;(6.96)
Bo^ndMJ^ror^SoPro/d)--^ +16-^ (2r0/«)3];
2я0 P 'i
Bn = (4яЛИ,)2 (2r0)-1- Sn (^) 1 (и2 - 1);(6.97)
[ 2r0\ J
л = 0, 2, 3,... .
Индексы а и 0 нумеруют проекции соответствующих величин на координатные оси х и у, лежащие в плоскости пленки.
При записи кинетической энергии системы доменов учтем, что полное смещение элементов ДГ происходит как за счет смещения ЦМД, так и в результате изменения его формы при фиксированном положении центра. Это позволяет записать:
(1°°•}
Якин = 2 TmD«/ + S то|Дп/|2 ,(6.98)
/ (2» = —J
где mD - эффективная масса ЦМД кругового сечения в плоскости, параллельной поверхности пленки, так что
^d -m*2irrod,(6.99)
и т* — эффективная масса ДГ, рассчитанная на единицу ее площади. Приближенно она может быть оценена согласно (3.12).
Варьирование суммы (6.98) и (6.95) по ъц и Дл/ позволяет записать следующую систему уравнений:
m*^ + ^{С^ (uf - и^ + ^ д0/) = 0;(6.100)
2m* Д0/ + Во Ао/ + 5 VF“u“ - Оц (Д0/ - Ао/» = 0(6.101)
2m*+ Вп Д„/ = 0.(6.102)
Отсюда видно, что величины △„ при п > 2, описывающие искажения формы доменов, оказываются не связанными со смещениями доменов, и потому уравнение (6.102) фактически описывает волны, распростра- 126
няющиеся по периметру изолированного ЦМД (см. гл. 4). В частности, если положить knt ~ е , то из (6.102) можно найти спектр частот
^П = 4(М$)2 (яб?/тог£) (и2 - 1)^П = 4(М$)2 (яб?/тог£) (и2 - 1)(6.103)(6.103)
^П = 4(М$)2 (яб?/тог£) (и2 - 1)
^П = 4(М$)2 (яб?/тог£) (и2 - 1)
(6.103)
(6.103)
формально совпадающий с соответствующим спектром частот колебаний формы сечения изолированного домена. Однако надо иметь в виду, что в решетке ЦМД равновесный радиус домена меньше, чем радиус изолированного домена, так что частоты соп в решетке ЦМД оказываются выше частот для изолированного домена.
Решение уравнений (6.100) и (6.101) будем искать, полагая ДОп ~ ~ expi(Rnq - tof), где q - волновой вектор. Ограничиваясь лишь случаем малых волновых векторов (qa < 1) и переходя от компонент их и иу к компонентам и1 и и, соответствующих перпендикулярному и параллельному направлениям распространению волн, получим
(6.104)(6.105)(6.104)(6.105)(6.106)(6.106)(со2 —Ctq2)uq =0;
(6.104)
(6.105)
(6.104)
(6.105)
(6.106)
(6.106)
“g(w2 ~^Q2)~i "77 <Z Дод = 0;
16 с,2,,.-
' 77 Г" ^“д + ^ ~ ШР to» Дод = °’ 27*04
где индекс q у Uq, ulq и ДОд обозначает амплитудные значения величин и„,и1П) ДОл соответственно. Кроме того, введены обозначения
ЫоР =ЫоР =8тг^_^Рм8тг^_^Рм(6.107)(6.107)
ЫоР =
ЫоР =
8тг^_^Рм
8тг^_^Рм
(6.107)
(6.107)
wp (^) = u)Op - vpq ;
ииQ =Q =Up =Up =(6.108)(6.108)
и
и
Q =
Q =
Up =
Up =
(6.108)
(6.108)
Величины Сь ct и ир представляют собой скорости распространения продольных и поперечных волн, а также волн пульсаций доменов в решетке ЦМД. В них обозначено
2тт2С44N^M,2тт2С44N^M,dа ’dа ’С1 1 - 11 С 4 4 ;С1 1 - 11 С 4 4 ;Рм mD^D\ Vo-a^pd,Рм mD^D\ Vo-a^pd,(6.109)(6.109)
2тт2
С44N^M,
2тт2
С44N^M,
d
а ’
d
а ’
С1 1 - 11 С 4 4 ;
С1 1 - 11 С 4 4 ;
Рм mD^D\ Vo-a^pd,
Рм mD^D\ Vo-a^pd,
(6.109)
(6.109)
где рм - объемная плотность эффективной ’’массы” ЦМД; Ир - объем элементарной ячейки, которая содержит один ЦМД. При этом рассматривается гексагональная решетка ЦМД, для который р = х/3. Величины N(p) и R(p) связаны соотношением N(p) = р^2К(рУ Форма записи скоростей Cj и ct такова, что величины с^ и с^ по смыслу аналогичны модулям упругости. Напомним, что в отличие от известных в теории упругости модулей, происхождение с^ и с^ связано с магнитным диполь- дилольным взаимодействием ЦМД.
Из (6.104.) ясно,что
co = cuf=c^(6.110)
представляет спектр поперечных волн, связанных с колебаниями решетки ЦМД.
Условия разрешимости двух других уравнений позволяют записать
гдегде(6.112)(6.113)(6.112)(6.113)(ы2 -ш])^1 — Wp (q)) — ? Шор Ш?= о,(6.111)
где
где
(6.112)
(6.113)
(6.112)
(6.113)
wz = c,<?;
(64\4,—, Г /2г0\10
-W3N(p) (2r0/a? So — ) - — 11/L \ « / d
Поскольку qa < \ 3 ^ У-т^аУ ^ 1 и при этих условиях со1 Ф шр, то во всей области изменения волновых векторов второе слагаемое в (6.111) мало по сравнению с первым. В связи с этим из (6.111) имеем
со = со, - ctq (6.114)
(6.115)(6.115)и
(6.115)
(6.115)
со = сор (?) = со0р - ир q ,
причем (6.114) соответствует продольным волнам, связанным с колеба
ниями доменов в решетке ЦМД, а сор дает спектр частот волн пульсаций ЦМД, распространяющихся вдоль всей решетки. С учетом (2.45) скорости с, и ct могут быть записаны в виде
.(6.116).(6.116)Г/ 18 +{Нс-Н}
.(6.116)
.(6.116)
^f = |l—± 31— М,
* |Д 5/ т4л ‘
Если, в частности, положить Нс - Н ^0,14лМ5, 2г0 ^ Ю“4 см, 4irMs ^ 103 Гс,/н* 10”10 г/см2, получим с, «105 см/с; ct « 104 см/с.
Волны пульсаций, а также волны, связанные с продольными и поперечными колебаниями ЦМД, можно возбудить, используя неоднородное высокочастотное поле h(R, ty поляризованное вдоль нормали к поверхности ЦМД-пленки (см. [8]) .
Глава 7
ЯДЕРНЫЙ МАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНСВ ФЕРРОМАГНЕТИКАХС ДОМЕННЫМИ ГРАНИЦАМИ
В 1959 г. был открыт усиленный сверхтонким взаимодействием (СТВ) ядерный магнитный резонанс (ЯМР) в ферромагнетиках. В настоящее время ЯМР — один из самых мощных методов исследования структуры и свойств магнитоупорядоченных кристаллов — ферромагнетиков, антиферромагнетиков и ферритов [112, 142], Замечательная особенность проявления ЯМР в магнетиках заключается в том, что во многих случаях основной вклад в интенсивность резонансного поглощения вносят ядра, расположенные в ДГ.
В первое десятилетие активного изучения ЯМР в магнетиках высказывалось мнение, что указанное обстоятельство лишь затрудняет интерпретацию спектров и дает мало полезной информации из-за усреднения физических характеристик резонанса по толщине ДГ. Однако по мере роста числа теоретических и экспериментальных работ становилось все более ясным, что изучение ЯМР в ДГ представляет самостоятельный научный интерес, поскольку внутриграничный спектр потенциально содержит информацию о внутренней магнитной структуре и динамических свойствах границ.
Настоящая глава вводит читателя в физические проблемы, возникающие при исследовании ЯМР в ферромагнетиках с доменной структурой. На простейшем примере 180-градусной ДГ проиллюстрирована важная роль распределения намагниченности в доменных границах, особенностей амплитуд и спектров спиновых возбуждений в формировании интегральных сигналов ЯМР.
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЯМР В ФЕРРОМАГНЕТИКАХС ДОМЕННЫМИ ГРАНИЦАМИ
И ОСОБЕННОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СИГНАЛОВ
Возможности использования ЯМР для изучения магнитной структуры ДГ основаны, во-первых, на том, что ориентация ядерного спина атома в магнетике однозначно определяется ориентацией магнитного момента электронной оболочки этого атома; во-вторых, на зависимости характеристик ЯМР от направления ядерного спина по отношению к осям кристалла и внешнему магнитному полю. В результате поведение сигналов от различных ядерных спинов оказывается зависящим от их положения в доменных границах. Очевидно, что с помощью ЯМР можно получить информацию не только о структуре доменных границ, но и ее динамических свойствах, поскольку времена релаксации, коэффициент усиления (а, следовательно, и результирующая форма линии) определяются, по существу, динамикой электронной спиновой системы.
Для изучения динамики ядерной спиновой системы в магнетиках в условиях резонанса используются в основном две методики: непрерывного прохождения и ядерного спинового эхо [112], При непрерывном прохождении переменное поле включено непрерывно и измеряются осо- 9. Зак.1219
бенности действительной и мнимой частей магнитной восприимчивости. В случае спинового эхо переменное поле резонансной частоты подается в виде серии импульсов заданной длительности т/ через фиксированные интервалы времени ДГ/. В зависимости от соотношения величин т, и ДГ/ в определенные промежутки времени в ядерной системе индуцируется переменный магнитный момент (сигнал эхо), который регистрируется приемным устройством.
Из упомянутых методик экспериментаторы чаще пользуются второй, поскольку линии ЯМР достаточно широки, а интенсивность сигнала чрезвычайно велика (из-за эффекта усиления). Вследствие этого для создания эхо в магнетиках требуются низкие управляющие напряжения в отличие от диамагнетиков и парамагнетиков, что является несомненным экспериментальным преимуществом. Что же касается теоретического описания ЯМР в ферромагнетиках с доменными границами, то оно достаточно детально разработано лишь для режима непрерывного прохождения У39, 143, 144]. Относительно же теории импульсных ЯМР-мето- дик в^магнетиках с доменной структурой отметим, что, несмотря на имеющиеся работы (см., например, [63, 80]), здесь пока не все ясно. Однако в, последнее время наблюдается повышенный интерес исследователей к методике непрерывных режимов благодаря сильно возросшим возможностям эксперимента (см. [79]). Поэтому в настоящей главе мы сосредоточим внимание на особенностях непрерывных методов ЯМР в ферромагнетиках с доменной структурой.
Частота ЯМР в доменных границах. Все особенности ядерного резонанса в магнетиках обусловлены сильным влиянием на динамику ядерных спинов СТВ магнитных моментов ядер и электронов атомных оболочек. Поскольку нас не интересуют детальные механизмы происхождения этого взаимодействия, мы будем пользоваться феноменологическим описанием [112,142, 1]:
Kcra=v^W, (7.1) тде^а^ — тензор сверхтонкой связи, симметрия которого определяется симметрией окружения данного магнитного атома; m — ядерная намагниченность. В диамагнетиках и парамагнетиках электронная намагниченность из-за тепловых колебаний чрезвычайно мала [1], поэтому сверхтонкие поля на. ядрах:
Н^.^а8М8 (12)
определяют незначительное изменение частоты ЯМР (сдвиг Найта, химический сдвиг и др.). Наоборот,в магнитно-упорядоченных веществах, где тепловые колебания подавлены обменным взаимодействием, так что средняя величина <М> близка к максимальному значению MS) сверхтонкие поля оказываются порядка 105 —106 Э. Это гораздо больше внешних магнитных полей Н, которые обычно порядка 103-104 Э, поэтому как ориентация ядерных спинов, так и частота ЯМР в магнетиках
^п=7п |Н„ +Н |, (7.3) где у„ — гиромагнитное ядерное отношение, определяются полем Н„. За- 130
висимость частоты соп от ориентации ядерного спина прежде всего возникает за счет анизотропии СТВ (7.1). Для выделения этой зависимости в явном виде векторы Нл и Н в (7.3) удобно записывать в системе коорди-! нат, связанной с главными осями сверхтонкого тензора ХУ2:
Mz = MscosOm; Mx = MssuieMcoskpM; Му = Mssm9Msin4^;
Hz^Hcq^Q^ Hx = //sin0Hcos ^н; Hy = ^sin0Hsin^H .(7.4)
Здесь 0M, ^м и 0H, ^H - полярный и азимутальный углы векторов М и Н соответственно. Тогда выражение для сол примет вид [80]
^п = 7n{ ^ZZMS cos0m + НCOS0H )2 +(^^ Mssin6^coskPM +
+ ^sin0H cos0h)2 + UlYYMs sin0M sin^M + ^sin0H sin^)2} /2«(7.5)
В доменных границах углы 0м и ^а следовательно, и частота соп зависят от координат, тем самым частота ЯМР зависит от положения ядерного спина в границе и его окружения. В частности, на этом факте и основана возможность ’’зондирования” ДГ с помощью ядерного спина. В качестве примера рассмотрим эту зависимость для одноосных магнетиков с анизотропией ’’легкая” ось (180-градусная стенка Блоха) и ’’легкая” плоскость» (360-градусная стенка Блоха в магнитном поле).
180-градусная стенка Блоха (см. рис. 1.4). Рассмотрим случай Н^О. Распределение намагниченности в стенке описывается соотношением (1.30). Такая структура реализуется в одноосных магнетиках с ’’легкой” осью, совпадающей с направлением намагниченности в доменах (см. рис. 1.1). Учитывая, что для таких веществ сверхтонкий тензор тоже яв- ляется^ одноосным (у^^ =^уу =^2^ZZ=^i)> а ег0 главные оси X, У, Z совпадают с осями лабораторной системы координат х, у, z, для соп получается выражение
^п(8м) = ^п(^) = 7„{^1^ - (^i -^1)^ып29м W> У2-(7-6)
В частности, если анизотропия сверхтонкого взаимодействия мала (| ^, - -^2 IZ^i « 1), имеем [80,143]
^п (#м) = Шп 00 = «п d - (wnd - wn w)sin29M/00,(7.7)
где
^nd — 'Yn *^ \MSS ^nw ~ 'Yn <^2^s
- частоты ЯМР в доменах и в центре доменной границы соответственно.
Анизотропия сверхтонкого взаимодействия - не единственная причина, по которой различаются резонансные частоты в границе и домене. Имеются еще два обстоятельства, влияющие на координатную зависимость ^л (х): тепловые колебания электронной намагниченности [143, 144] и, если ядерный спин/> 1/2, квадрупольное расщепление [199, 270, 271] . В случае одноосной симметрии окружения их влияние сводится лишь к изменению величин и cjnw.
360-градусная стенка Блоха. Такие стенки, в частности, могут реализоваться в ферромагнетике в анизотропией ’’легкая” плоскость, когда маг-
нитное поле приложено в плоскости базиса. Структура ДГ в этом случае определяется следующим образом [117]:
6М = я/2; sinGM/2) = ch"1 <z!bHY Ьн = \fAIH,'
если направление трудного намагничивания — ось z. Для частоты wn получается выражение
w„(z) = 7„{ G^^cos^+/^2-^l^sin2^} У1.(7.8)
Если предположить, что Н <<^гМ$) то
^п^ = Кп l^2^r+^co$v>m) ,(7.9)
причем в центре границы uonw = уп ^гМ5 _ Ю> а в центре домена cond = ~7n^iMs+H), те- частоты ЯМР в домене и в границе отличаются не из-за анизотропии СТВ, а в результате взаимодействия ядерного спина с внешним магнитным полем.
Коэффициент усиления ЯМР в доменных границах. Вопрос о коэффициенте усиления ЯМР удобно рассмотреть на примере одноосного ферромагнетика с анизотропией ’’легкая” ось, когда реализуется 180-градусная стенка Блоха (см. гл. 1). 180-градусная доменная граница является исключительно удобной модельной системой для анализа такого сложного явления, каким является ЯМР в доменных границах.
Пусть вдоль оси легкого намагничивания приложено переменное радиочастотное (РЧ) поле. Оно будет вызывать намагничивание образца путем смещения доменных границ, которому соответствует неоднородное вращение вектора локальной намагниченности М(г) в плоскости (yz). Поворотные колебания М (г) около оси Z в плоскости (yz') будут приводить к появлению переменной компоненты МY в локальной системе координат. Поскольку относительно электронной подсистемы можно ограничиться линейным приближением и в локальной системе координат указанные колебания должны описываться компонентой электронной восприимчивости xyy (см. гл. 5), можно записать
1,,,,
MY (л) = — $dx xyy (^ x ) \h Y (x ) ^my (x )].(7.10)
Здесь Xy^x’^ ~ функция линейного отклика электронной подсистемы, учитывающая неоднородность ее намагниченности; h Y (х') = h sin0м (х') - проекция РЧ-поля на локальную ось К Второе слагаемое в квадратной скобке (7.10) определяет переменное сверхтонкое поле, действующее со стороны ядерной намагниченности m на электронную. Вид записи этого поля означает, что здесь пренебрегается анизотропией сверхтонкого взаимодействия. Явный вид функции Хуу (х, х') определен в гл. 5, где показано, что
Xyy(x, х) = с sin0M (х) sin0M (х'),(7.11)
с - независящая от х и х' постоянная. С другой стороны, через функцию линейного отклика выражается ’’дважды локальная” восприимчивость в ’’легком” направлении лабораторной системы координат
Xzz (*. *') = Xyy G, х')$т0м G)sin0M G')-(7.12)
Смысл ее состоит в том, что она определяет локальную намагниченность Мх (х) в точке х, когда в точке х' прикладывается поле h^x1^ в виде дельтаобразного импульса. Полная восприимчивость электронной подсистемы в ’’легком” направлении z, обусловленная процессами смещения ДГ, связана с Xzz (*, х') следующим соотношением:
Хем = ^ JxZz(x,x')dxdx'.(7.13)
Соотношение (7.13) с учетом (7.11) и (7.12) позволяет найти постоянную с:
Хуу(х,*') = ^~j Хсм$т0м(х)$т9м(х'),(7.14)
где D — толщина домена; 5а — толщина границы. Теперь, используя (7.10), нетрудно найти напряженность усиленного сверхтонким взаимодействием эффективного РЧ-поля, действующего на ядерный спин:
h ^Ф (х) =^MY = (-^-Lxcm sin9M W(7.15)
\2оа /
Из (7.15) получается коэффициент усиления й^ФФ/О \
т?(х) =—— = I— Ux(w)cm sinSM (х).(7-16)
А\20ду
Коэффициент усиления имеет явно комплексный вид, если учитывать комплексность восприимчивости Хсм^)- При определении h^^ было отброшено второе слагаемое в (7.10) (пропорциональное ту), которое ответственно за корреляцию в движении ядерных спинов в различных точках хих'. Это можно делать при малой концентрации магнитных ядер или при достаточно высоких температурах, когда мала ядерная намагниченность ш.
Анализируя коэффициент усиления i?(x) (7.16), прежде всего обратим внимание на неоднородность величины Т) по толщине границы: т? максимален в ее центре и убывает экспоненциально на краях, т.е. изменение коэффициента усиления по толщине ДГ повторяет изменение электронной намагниченности, на что указывалось еще Портисом и Госсардом. В частности, множитель Dl2ba отражает тот факт, что все изменение М происходит в объеме с размерами границы 5д, но оно все приходится на объем с размерами домена D. Поскольку, как правило, отношение £>/25 а 103 и Хем ^ Ю НО3, коэффициент усиления в центре границы
/ D \
Т1о = г?(х = 0)=^хСм ( — )(7.17)
\2оа /
получается огромным: по порядку величины
т?о 104 -ИО6.(7.18)
Это означает, что значительные изменения сверхтонкого поля возникают в очень слабых внешних магнитных полях h ^ 10”2 -г 10”3 Э. Обе эти осо-
бенности (неоднородность 77 (х) по толщине границы и огромная величина 1?0) существенным образом сказываются на поведении сигналов ЯМР от ядер в ДГ. В частности, одним из следствий неоднородности коэффициента усиления в границах является тонкая структура линии ЯМР в стационарном режиме [199,270,271].
Отметим, что в доменах коэффициент усиления сигнала ЯМР определяется не восприимчивостью смещения, а восприимчивостью вращения и на три-четыре порядка величины меньше коэффициента усиления в центре границы [131, 142].
Времена ядерной магнитной релаксации. Как и любой релаксационный процесс, ядерная магнитная релаксация обусловлена взаимодействием ядерного спина с другими подсистемами, обладающими большим числом степеней свободы (тепловым резервуаром). В магнитных материалах к таким подсистемам относятся колебания намагниченности (спиновые волны или магноны), колебания решетки (фононы), а в металлических магнетиках - еще и электроны проводимости. Все перечисленные подсистемы имеют свою специфику в ферромагнетиках с доменными границами, но, естественно, наиболее чувствительной к доменной структуре является подсистема магнонов. Как уже отмечалось выше (см. гл. 5), подсистема магнонов в многодоменных ферромагнетиках имеет как минимум две ветви колебаний. Первая существует как в доменах, так и в доменных границах. Это обычные (с модулированной по координате, нормальной к плоскости ДГ амплитудой) спиновые волны, которые существуют и в намагниченных ферромагнетиках. Амплитуда колебаний второй ветви максимальная в центре доменной границы и экспоненциально убывает на ее краях, т.е. ее изменение с координатой повторяет изменение ориентации намагниченности по толщине ДГ [17]. Зависимость указанных амплитуд колебаний от координаты приводит к зависимости времен ядерной магнитной релаксации от положения ядерного спина.
В случае малой концентрации магнитных ядер (когда можно пренебречь взаимодействием между ними) скорости продольной (771) и поперечной (Г^1) релаксации могут быть представлены в виде ряда по четным степеням амплитуд магнонов. Это позволяет получить явный вид координатной зависимости величин (Т^1^), не проводя их детальных вычислений [80]. В частности, для блоховской ДГ соответствующие разложения для (Л ^) будут иметь вид [139, 143,144]
77* (х)= Г, (9М) = Л'й + 7ц5т2емМ+712 5т49м(^)+--) (7.19)
Г2"1 (х) = Г2 (9М) = Т^ + 72! sin20M (х) + 722 sin40M (*) + •••, (7.20) где Txa, T^d — скорости релаксации, обусловленные тепловыми (’’внутри- доменными”) магнонами; Ti i, 721 описывают в основном процессы поглощения или испускания одного ’’внутриграничного” магнона; а 712 и 722 ~ в основном двухмагнонные процессы рассеяния (превращение одного ’’внутриграничного” магнона в другой). Из закона сохранения энергии следует, что одномагнонные процессы будут давать существенный вклад в скорость релаксации лишь при условии, что частота ЯМР аэп больше минимальной частоты в спектре ’’внутриграничных” магнонов Aw. В противном случае необходимо рассматривать процессы с участием трех
и более магнонов различных типов. Можно показать, что учет трехмагнон- ных процессов приведет к перенормировке коэффициентов 7i i, 712 (7.19) и 721,722 (7.20), а также к появлению слагаемого с sin6 0^. Наконец, если концентрация магнитного изотопа не мала, то надо учитывать вклад в скорость релаксации, обусловленный сул-накамуровским взаимодействием (косвенным взаимодействием ядерных спинов через спиновые волны [142]), который сводится лишь к перенормировке коэффициента 721 в (7.20) [328].
Как следует из (7.19) и (7.20), величины 7^ и Г2 j дают основной вклад только для внутридоменных областей образца. Для доменных границ (0М=7Г/2) значения Т^г^ определяются слагаемыми С7ц,712, 72 1 и 722, поскольку ’’внутриграничные” магноны, имея малую энергию активации, легче возбуждаются температурой, чем ’’внутридоменные”.
Как показывают многочисленные эксперименты [271, 259, 183], скорость релаксации для ядер в центре ДГ существенно больше скорости релаксации ядер в доменах. Например, в МпР она настолько велика, что сигнал эхо от ядер Р31 в ДГ вообще не регистрируется [271], а в случае Со59 [183] Тх в границах на порядок величины меньше Тх в доменах. К сожалению, в настоящее время еще нет удовлетворительной теории магнитной релаксации ядер в доменных границах, поэтому детальное сравнение теоретических и экспериментальных данных затруднено. Отметим, что вклад в скорость релаксации рассеяния ядерных спинов на ’’внутриграничных” магнонах все-таки невелик, он часто не дает требуемого порядка величины, а иногда даже и не подтверждает измеренную экспериментально температурную зависимость [259], хотя форма линии хорошо описывается при выборе координатной зависимости Тх и Т2 в виде (7.19) и (7.20) [79].
Особенности формирования стационарных интегральных сигналов ЯМР. Первая удачная попытка анализа стационарных сигналов ЯМР в доменных границах принадлежит Мюррею и Маршаллу [270], которые учли влияние неоднородности коэффициента усиления по толщине ДГ и зависящего от координаты сдвига частоты резонанса ол за счет квадрупольного взаимодействия на формирование тонкой структуры спектров.
Их конструктивную идею можно опять же проиллюстрировать на примере 180-градусной границы. Спектр ЯМР определяется выражением.
= 7 q^M № - )] ^м > (7-21) о
где q(6^ — локальная интенсивность сигнала; функция / [со — сол (^ )] описывает форму линии для изолированного ядерного спина в данном месте кристалла; сол(^м) - частота резонанса, определяемая соотношением (7.7):
А^м = krf^N^ ^ . (7.22)
Здесь к — коэффициент пропорциональности (порядок его величины не важен для анализа формы линии); h - амплитуда переменного РЧ-поля; ^(^м)^^м - число яДеР с ориентацией магнитного момента в интервале углов -0М и ^ + J^. Поскольку число ядерных спинов на единицу длины
постоянно, N(x) = Nq/D (No - полное число спинов в домене), N(0М ) = = (N^ID) (dxIdB^. Учитывая распределение намагниченности в ДГ, (d^Jdx) =5; 1 sin 0M ,получим
No dOu <К.ем>19м= kif(x)h2—6a .(7.23)
D sin 0М
Принимая во внимание явный вид i?(0M ) (7.16) и переходя в вместо переменной интегрирования 0М к сол (0М) , получим
Р(ш)» - (— У^Хсм h 2No 7*аХ dwn |sin5M | X
4 ' 5Д /^min
Rw-wn (9M ))
^«(^mV^m
(7.21)(7.21)(7.24)(7.24)Aw)Aw)штах/ dwn I sin 9M |штах/ dwn I sin 9M |w minа дисперсия — wmaxР'^*»/ dw„|sin9M|wminw minа дисперсия — wmaxР'^*»/ dw„|sin9M|wmin5(<о - озп (0М )), ^М /5(<о - озп (0М )), ^М /(7.25)(7.25)^и(^м)^М^и(^м)^М11w- wn(9M)w- wn(9M)(7.26)(7.26)Без учета затухания поглощение Р" (со) определяется выражением
(7.21)
(7.21)
(7.24)
(7.24)
Aw)
Aw)
штах
/ dwn I sin 9M |
штах
/ dwn I sin 9M |
w min
а дисперсия — wmax
Р'^*»/ dw„|sin9M|
wmin
w min
а дисперсия — wmax
Р'^*»/ dw„|sin9M|
wmin
5(<о - озп (0М )), ^М /
5(<о - озп (0М )), ^М /
(7.25)
(7.25)
^и(^м)
^М
^и(^м)
^М
1
1
w- wn(9M)
w- wn(9M)
(7.26)
(7.26)
где «5° - символ главного значения интеграла. В случае 180-градусной доменной границы, когда сол (0М) = сол (х) определяется выражением (7.7), получим
^п^м) .
(со nd — ^nw) 2 sin 0эд cos 0эд . (7.27)
Из (7.25) с учетом (7.27) немедленно следует, что поглощение Р"^) имеет особенность только на частоте ЯМР в границе со = солн> (при 0М = = тг/2) , а дисперсия Р* (со) - как на частоте ЯМР в границе, так и в домене (со = co„d). Характерно, что эти оба сигнала имеют одинаковую интенсивность, определяемую восприимчивостью смещения. Соотношения (7.21), (7.25) и (7.26) наглядно иллюстрируют, к чему приводит неоднородность по толщине доменной границы коэффициента усиления и частоты ЯМР.
Предложенный в [270] качественный анализ позволяет исследовать особенности формирования ЯМР спектров для различных одномерных распределений намагниченности (плоских доменных границ). Эта методика ’’поиска” резонансных особенностей может быть использована не только для одноосных и многоосных ферромагнетиков, но и для многоподреше- точных магнетиков [80, 63]. В частности, она успешно использовалась в работе [271].
Как уже отмечалось выше, в [270] пренебрегалось локальным (неоднородным по толщине границы) уширением линий при формировании спектра ЯМР. Оказывается, что учет изменения ширины линии по толщине границы приводит к более разнообразным возможностям [143, 144, 80, 79]. В зависимости от соотношения между параметрами, характеризующими ширину линии в домене, уширением линии в доменной границе и анизотропией частот ЯМР в спектре могут появляться пики, отвечающие либо центру доменной границы, либо ее краю, или две линии одновременно от ядер на краю и в центре ДГ. Анализу этих возможностей посвящен следующий раздел этой главы.
ТЕОРИЯ ФОРМЫ ЛИНИИ ЯМР В ФЕРРОМАГНЕТИКАХС ДОМЕННЫМИ ГРАНИЦАМИ
Общее выражение для ядерной магнитной резонансной восприимчивости. Полное решение задачи о спектре ЯМР в многодоменных ферромагнетиках в общем виде представляет значительные трудности. Определенный интерес представляют некоторые простые частные случаи, с помощью которых можно выяснить роль отдельных факторов, влияющих на поведение ядерных спинов, а также определить характер информации об электронной спиновой системе, которую можно получить с помощью ЯМР. Будем интересоваться влиянием только сверхтонкого взаимодействия ядерных спинов с флюктуациями электронной намагниченности на интенсивность и форму линии в режиме непрерывного прохождения, поэтому будем считать концентрацию ядерных спинов достаточно малой, чтобы можно было пренебречь взаимодействием между ними. Такой подход позволит ”в чистом виде” определить роль электронной спиновой системы в формировании тонкой структуры спектров в многодоменных ферромагнетиках.
Для решения указанной задачи можно воспользоваться результатами работы [136], в которой получено общее выражение для локальной комплексной магнитной восприимчивости электронно-ядерной спиновой системы. Динамику электронной подсистемы будем описывать в рамках приближений, использованных в гл. 5 при расчете спектра спиновых возбуждений одноосного ферромагнетика со 180-градусной доменной границей.
Гамильтониан рассматриваемой системы запишем в виде
+ ^л + ^Q , (7.28)
где^ — гамильтониан ферромагнетика со 180-градусной доменной границей, его вид приведен в гл. 5 (см. (5.1) и (5.4)). Предполагая, что имеется осевая симметрия, гамильтониан ядерной спиновой подсистемы J^n + #6 q представим следующим образом:
^л+^0 +^2[^ ^1? +
^МЧххМП-Р^^ (7-29) где Мп = 7Л h; Z/ — оператор ядерного спина на узле I; р — параметр квадрупольного взаимодействия. Для простоты здесь учтено взаимодействие
ядерного спина с электронным моментом того же узла. Хотя дипольные взаимодействия ядерного спина с магнитными моментами электронов других узлов меньше учитываемого взаимодействия (7.29), тем не менее они могут давать заметный вклад в результирующее сверхтонкое поле на ядре. В частности, это является одной из причин, по которой могут отличаться частоты ЯМР на ядрах в доменах и доменных границах (подробнее этот вопрос изложен в [142]). Кроме того, предполагалось, что малость концентрации ядерных спинов обусловлена только малостью концентрации магнитного изотопа; во всех остальных отношениях кристалл считался идеальным, поэтому параметры^! ,^2 и Р полагались независящими от L
Влиянием квадрупольного взаимодействия на ориентацию ядерного спина пренебрегаем, так как р <jt v и^2 • В этом приближении направление ядерного спина на узле / определяется только сверхтонким полем, создаваемым электронными спинами, принадлежащими этому же узлу /. Поэтому равновесные направления для электронных и ядерных спинов одного и того же узла совпадают. С учетом этого обстоятельства гамильтониан 36 п л-36q^.29), записанный в локальной системе координат, имеет вид 1
^Q =— 2 { Цп Hflf + - д„ [Я/ If + Н-1ft +
+ р $т2ем(х,) [ ^ ЦП 1) +1 (V у + -а-у | + L 244 J
+ р[1 - 3/2 sin2 9M(x,)](/f )’|,(7.30)
где
Яf = И» - 28^,Wz(rz);(7.31)
Н t = VA + W М ^r,) + 8^,M т (г,)] \.(432)
8^, sin26M(xz).(7.73)
2
Здесь I — максимальное значение ядерного спина. Влияние квадрупольного взаимодействия будем учитывать только в линейном приближении пор. В этом приближении, как нетрудно видеть, в гамильтониане можно пренебречь всеми слагаемыми, содержащими (7/) 2 и (Ц )2.
В случае достаточно малых концентраций магнитных ядер и малых амплитуд РЧ-поля для вычисления характеристик ЯМР можно воспользоваться полученным в [136] выражением для части полной восприимчивости, имеющей особенность на частоте ЯМР:
ДХ0"3^) = 2 п^ Хп1 М.(7.34)
1 ^ni IQ + 1) -т(т - 1)
Xni^ =2 (7.35)
m = -i^i (2/ + 1) Т [со — ^п1 - 'EJco, m)]
по смыслу есть та циркулярная компонента восприимчивости ядерной спин-системы, которая имеет резонансную особенность на частоте ЯМР; Т — абсолютная температура в энергетических единицах; m — магнитное квантовое число ядерного спина;
<и°, = дп(Я^ (7.36)
— частота ЯМР для ядерного спина на узле / без учета взаимодействия с флюктуациями сверхтонкого поля (если h = 1);
Ди (_„ (0)
Sz(w,m) =— «8Я^8Я^+
(7.37)(7.37)2 1+ы-шп1
(7.37)
(7.37)
1„(0)Г /3\
+- <Щ |Нр> + (1 - 2m) р(1 - - $т2вм(х,)) +2wL X 2/
+ _<ЬН^ |8Яf>(0)+ _<ЬН^ |8Яf>(0)- _«8^|8Я, >(0)- _«8^|8Я, >(0)
+ _<ЬН^ |8Яf>(0)
+ _<ЬН^ |8Яf>(0)
- _«8^|8Я, >(0)
- _«8^|8Я, >(0)
(7.38)(7.38)8Я^ = Яf -<Я,2 > .
(7.38)
(7.38)
<13^<13^Символ (...) означает усреднение по ансамблю Гиббса с гамильтонианом, зависящим только от электронных переменных. Функции Грина + <Л \В>^ задаются формулой
<13^
<13^
±<Л \В>^ = - f eiwre(T)<{A(r)B±BA(T)}>dT,
Заметим, что квадрупольное расщепление линии ЯМР определяется зависимостью 2/(со,т) от величины проекции ядерного спина т.
(7-40)(7-40)Ограничимся достаточно низкими температурами, когда можно пренебречь взаимодействием между возбуждениями в электронной спин- системе. Поэтому при вычислении П“^ вместо строгого выражения, полученного в [136] , можно воспользоваться упрощенной формулой
(7-40)
(7-40)
П»0 = Gze”(w)Gz+p(<0) ,
где
G?’ -(«)= д„ Sdt-^^HI^;G?’ -(«)= д„ Sdt-^^HI^;ОАХ>ОАХ>
G?’ -(«)= д„ Sdt-^^HI^;
G?’ -(«)= д„ Sdt-^^HI^;
ОАХ>
ОАХ>
<?^ =HnJdr_<8/f,|^(r)>w
- величины, которые обычно и называют коэффициентами усиления (локальными) .
Локальные характеристики ЯМР в ферромагнетике с изолированной доменной границей. Частота ЯМР для ядерного спина на узле I с учетом
взаимодействия с флюктуациями сверхтонкого поля определяется выражением
ыП1 = Ип <н^>* ReSz(w, ту(7.42)
где ReS, (w, zn) вычисляется при со = w°; = д„ <HZ >-частоте ЯМР без учета взаимодействия с флюктуациями сверхтонкого поля.
Будем интересоваться только областью частот вблизи частоты ЯМР сопЬ поэтому функции Грина в выражении для 2/(со, т) (131) достаточно вычислять при со = и?пГ В этом случае, поскольку можно пренебречь со-со® z по сравнению с энергиями электронных колебаний, у функции Грина + <5Я^|5Я^>§ отлична от нуля только мнимая часть, и в сдвиг резонансной частоты она вклада не дает. В отличие от нее функция Грина ^ 6Hil6Hf>^ имеет и действительную, и мнимую части, следовательно, дает вклад в сдвиг частоты.
Все излагаемые ниже результаты получены для температур, лежащих в интервале (см. гл. 5)
2де
Ahz < Ad < Г<J ,(7.43)
где ^d = €k (к = 0); J - обменный интеграл. Условие Т < J соответст
вует требованию малости числа спиновых возбуждений в электронной подсистеме, чтобы можно было пренебречь взаимодействием между ними. Это являлось основным приближением, которое делалось в [81, 328] (см. также гл. 5) при расчете спектра возбуждений электронной спиновой системы. Заметим, что условие Aj « Т начинает выполняться, как правило, при температурах выше 1 К. Отметим, что при расчете корреляционных функций использовались соотношения, полученные в приближении Винтера [328], поскольку учет пространственной дисперсии в дипольной энергии сильно усложняет исходные формулы (см. гл. 5) и делает более громоздким весь анализ характеристик ЯМР. В то же время можно надеяться, что при этом не сделано существенной ошибки, так как характеристики ЯМР зависят от свойств электронного спектра интегральным образом.
Последовательный расчет функций Грина, входящих в выражение для I, (со, т) (131), удается провести именно при условии Д^ < Д^ < Т. Дело в том, что эти величины выражаются через интегралы, которые расходятся в пределе Aw 0, Д^ 0. Однако можно найти асимптотический вид этих интегралов в пределе kw(T -► 0 и ^d/T 0.
Учитывая сказанное, для частоты ЯМР со® z имеем
^м -2ма <Mz(r,)>=Mnt^i -2ыа х
X ри, - ДМ, - ДМ?(Г) - ДЛ^(7)].‘
Слагаемое
Д^=7Г s |И1к |2sin2eM(x,)(7.45)
описывает ’’сокращение” электронного магнитного момента атома, распо-
ложенного в доменной границе, за счет нулевых колебаний. По порядку величины для центра границы оно равно
^МУМ,^ ^xJ^HeMM • .
Обычно ^хЛ) « 10~24 ^ 10-23 Дж,лв to 10"21 4- Ю'20 Дж.ДеА^ « to Ю"24 4- 10"23(Дж, то {^МуМ^^ 10-3 4-10-4. Это’’сокращение” спинов может служит дополнительной причиной отличия частоты ЯМР для ядер в границе от таковой в домене при Т -► ОК. Слагаемое
(7.46)(7.46)^{^Х^Гз) ^1п sin W
(7.46)
(7.46)
1 8тт J \2Jao / ^w
описывает линейную температурную зависимость среднего значения намагниченности на узле Z, обусловленную ’’внутриграничной” ветвью колебаний. Интересно, что наблюдаемая в СгВг3 [199, 223] разность частот ЯМР в границе и доменах действительно меняется с температурой по линейному закону. Однако надо помнить, что концентрация изотопа Сг5 3 обычно порядка 10%, т.е. не является достаточно малой, чтобы можно было пренебречь эффектами, обусловленными взаимодействием между ядерными спинами.
Отметим, что приводимые формулы справедливы лишь в том случае, когда слагаемые &МЬ ДМ^(Т) и ДД^(7), (7.44) малы по сравнению с Ms, так как в противном случае нельзя пользоваться линеаризованными соотношениями Хольштейна-Примакова (5.5). Это требование существенно сужает область температур, при которых справедливо выражение (7.46), если Aw достаточно мала.
Для величины &М^(Т), которая описывает температурную зависимость средней намагниченности на узле Z, обусловленную ’’внутридоменной” ветвью колебаний, имеем
ДЛ^(7) = ДА^1 (Л + ДМ?“ (Л, (7.47) где
1 ! Т V!
ДМ?1 ^ = Ьтт) 2 Г(3/2 ^(3/2 ^’ (7-48) (2тг) /
F(z) - гамма-функция и ^(z) - дзета-функция Римана [126]. Для ДМ^ЧТ) получаетсяF(z) - гамма-функция и ^(z) - дзета-функция Римана [126]. Для ДМ^ЧТ) получаетсяsin20MM-(7.49)sin20MM-(7.49)
F(z) - гамма-функция и ^(z) - дзета-функция Римана [126]. Для ДМ^ЧТ) получается
F(z) - гамма-функция и ^(z) - дзета-функция Римана [126]. Для ДМ^ЧТ) получается
sin20MM-
(7.49)
sin20MM-
(7.49)
Слагаемое ДМ^(Т) совпадает с известной формулой для температурной зависимости намагниченности однодоменного ферромагнетика [28]. Слагаемое zW^n(T), как и ДМ^Т), экспоненциально убывает за пределами ДГ и имеет такую же температурную зависимость, как и АЛГ^Т). Отно- 141
шение
прй'Т > Aw, М может оказаться сравнимым с единицей даже при Aw < . Это связано с тем, что Inz является слабоменяющейся функцией при
больших значениях аргумента. Таким образом, даже для самой доменной страницы вклад в АМ(Т) от возбуждений ’’внутридоменного” типа, вообще говоря, не является пренебрежимо малым по сравнению с вкладом от возбуждений ’’внутриграничного” типа. Интересно, что сумма этих двух слагаемых, ^М^(Т) и АМ^и(Т), равна
ЬМ^Т) + ДМ^СГ) =
(7.51)(7.51)(2де .
(7.51)
(7.51)
—)sm ’ч'"'
Этот результат является следствием изменения полного числа состояний непрерывного спектра при прохождении спиновой волны через доменную границу (см. соотношение (5.37)).
Флюктуирующие поля йЬР приводят к сдвигу локальной частоты ЯМР
(7.52)(7.52)г 8ы, = ^^Re+ « 8Я*|6^" ><®> = 8^7 + Sw^,
(7.52)
(7.52)
гдебсо^ описывает вклад от возбуждений ’’внутриграничного” типа, а Ь^ - от ’’внутридоменного”. Как показывают результаты расчетов, основной вклад для ядер в доменной границе в зависящий от температуры сдвиг частоты ЯМР дают ’’внутриграничные” возбуждения. Координатная же зависимость 5cdz в силу выбранной одноосной симметрии оказывается пропорциональной sin2^M(xz) [ 143, 144].
Другой важной локальной характеристикой ЯМР в ферромагнетиках с
доменными границами является уширение линии. Локальное уширение линии определяется мнимой частью массового оператора Sz(co, m) (7.37).
Как уже отмечалось выше, при со = со®; у функции Грина — д2^ < ЬН^( /ЪН? >£0> отлична от нуля лишь мнимая часть, а у ~ д2 + < ЫГ^ВН”^^ -
и мнимая, и вещественная, поэтому локальная ширина линии ЯМР за счет взаимодействия с флюктуациями локального поля будет определяться
выражением
7i = ^ + 7? = Jm YI? { + <8Я7|6Я7 Н°) + ^ «8Я; |ЬН" >W j. (7.53)
Локальная ширина линии 7/, как и частота резонанса со® г оказывается резко неоднородной вдоль направления, перпендикулярного плоскости ДГ.
Она может быть представлена в виде суммы трех членов [143, 144] (см. также соотношения (7.19), (7.20)):
7z =7М = 7d + 7i*’sin20M(x) + 72’sin4»MM. (7.54) Здесь 7d — ширина линии для ядер в домене, обусловленная рассеянием ’’внутридоменных” магнонов; а у f и 7^ — два дополнительных вклада для ядер в центре ДГ, обусловленные рассеянием ’’внутриграничных” магнонов. Слагаемое с 7^ соответствует одномагнонным процессам, а с 7^ - двухмагнонным. Обычно 7W = 7^ + 7^ > 7d. Если рассматривать незатухающие магноны, то в случае сол < Aw одномагнонные процессы запрещены законом сохранения энергии, так что в этом случае 7^ = 0. При этом обычно 7W = 72й < 5ох Однако из-за дипольного взаимодействия минимальная энергия ’’внутриграничных” магнонов может быть значительно меньше ее винтеровского значения Aw (см. соотношение (5.72)), что делает более реальной возможность попадания соп в их полосу. В этом случае вклад 7^ в ширину линии (и соответствующий вклад в скорость спин- решеточной релаксации (7.19), (7.20)) может оказаться доминирующим. Кроме того, если учесть затухание ’’внутриграничных” магнонов, то yf * 0 даже при сол < Д^. Если все-таки сол не попадает в полосу ’’внутриграничных” магнонов, то надо рассматривать, помимо двухмагнонных процессов, рассеяние с большим числом магнонов, принадлежащих различным ветвям. В частности, разрешены трехмагнонные процессы, как прямые с участием только трех реальных магнонов, так и косвенные, когда ядерный спин испускает виртуальный магнон (благодаря СТВ), а последний благодаря обменному взаимодействию рассеивается на трех реальных магнонах. Здесь следует заметить, что в отличие от однодоменных образцов, для которых роль косвенных процессов сводится лишь к усилению прямых, в данном случае между ними существует различие, связанное с разной координатной зависимостью соответствующего вклада в у(х). Косвенные процессы снова дают вклад только в 7^, в то время как прямые дают еще вклад в 7^ и, кроме того, приводят к появлению в (7.54) дополнительного слагаемого с 7^sin69M(x).
Коммутаторные функции Грина в выражении (7.37) для 5/(о), ап) описывают вклад СТВ в квадрупольное расщепление линии ЯМР. При обычных значениях различных параметров эти функции оказываются много меньше мнимой части S/(cj, ап) , определяющей ширину линии ЯМР, поэтому их вкладом в резонансные характеристики можно пренебречь.
Коэффициент усиления определяется тензором П^ (см. соотношения (7.40) и (7.41)). Компоненты этого тензора должны быть записаны в лабораторной системе координат (х, у, z). В выражениях (7.40) и (7.41) ^(г) и Л^(г) тоже должны относиться к этой системе координат. Выразив М*, № иМ2 через компоненты М1 и Mz локальной системы координат, можем затем перейти в (7.41) к операторам рождения и уничтожения магнонов ’’внутриграничной” и ’’внутридоменной” ветвей, используя соотношения (5.5) и (5.30). Каждая из этих ветвей будет давать независимый вклад в G01**, так что
GT’ ^ = G“* Ч^ + G“* Ч^- (7.55)
G у; + = G у; wl wlG у; + = G у; wl wlGx + = GX- wl wlGx + = GX- wl wl^Xzz”(w)^Xzz”(w)CO + 2co^CO + 2co^sin6M(x,)p„ =sin6M(x,)p„ == - iun4xb= - iun4xbCO + 2^^16^^CO + 2^^16^^(7-57)(7-57)
G у; + = G у; wl wl
G у; + = G у; wl wl
Gx + = GX- wl wl
Gx + = GX- wl wl
^Xzz”(w)
^Xzz”(w)
CO + 2co^
CO + 2co^
sin6M(x,)p„ =
sin6M(x,)p„ =
= - iun4xb
= - iun4xb
CO + 2^^
16^^
CO + 2^^
16^^
(7-57)
(7-57)
Приведем окончательные результаты расчета коэффициентов G“* ±(со), оставляя в них наибольшие, отличные от нуля члены. Соответственно имеем для ядер в доменной границе:
(7.56)(7.56)D \_
(7.56)
(7.56)
— l^)Cz(w)sin0Af(^z)Pn =Unfl<xly, ^а) zz
0;
для ядер в доменах (|х| > 8а):
Ч; *=ч"=°. ч, ‘-Ч"-1 ^x^t*(7.58)
Ч; * = - Ч;' =1 ^м,8»<7-59)
Знак ’’плюс” берется для ядер, расположенных справа от ДГ и ’’минус” - для ядер, расположенных слева от границы. Для ядер внутри доменной границы главным образом существенна восприимчивость, связанная с процессами смещения, а для ядер в доменах усиление ЯМР происходит за счет вращения намагниченности в них.
В формулах (7.56)-(7.59) пренебрегается анизотропией СТВ, поскольку она несущественно влияет на качественную картину ЯМР через коэффициент усиления и может быть весьма важной благодаря ее вхождению в локальные частоты. Как и следовало ожидать, для ядер внутри доменной границы коэффициент усиления имеет максимальное значение при РЧ-поле, направленном вдоль ОЛН (оси симметрии кристалла z). В то же время для ядер внутри доменов РЧ-поле, как обычно, должно быть перпендикулярным намагниченности доменов. При этом усиление для ядер в доменной границе (в ее центре) значительно превосходит усиление для ядер в домене. Действительно, согласно (7.40) и (7.56)-(7.59)
— 4 Г" ^Л2.(7.60)
^d \ ^а Хвр (б) 1
Это отношение настолько велико, что интенсивность сигнала ЯМР от доменных границ, несмотря на малость относительного объема, занимаемого ими, будет во много раз больше, чем от доменов.
Проведенный выше на простом примере 180-градусной доменной границы анализ локальных характеристик ЯМР показывает, каким образом структура ДГ (распределение намагниченности) входит в эти характеристики. Оказывается, что в формировании локального ЯМР спектра исключительно активную роль играет ’’внутриграничная” ветвь колебаний.
При расчете локальных характеристик одним из главных предположений была гипотеза о малой концентрации магнитных ядер, когда можно пренебречь корреляцией в движении ядерных спинов. Эта корреляция может привести к динамическому сдвигу частоты (ДСЧ) сор [142]. При анализе ДСЧ в случае ферромагнетиков с доменными границами нужно учитывать, что в величину сор дают вклад не все ядерные спины, а лишь те, для которых различие в частотах ЯМР удовлетворяет условию сор > 5coz. В этом случае для 180-градусных ДГ получается выражение [82, 138]
(7.61)(7.61)7Г
(7.61)
(7.61)
Wp(xz)= - wni7(X;)m0/Af$.
В другом предельном случае, сор < &соь дают вклад только те ядерные спины, которые имеют одну координату х (и одинаковую частоту ЯМР). В этом случае
со„ /НА т^
где НЕ = 2J/MS иНА = 2^£XaIMs - обменное поле и поле магнитной анизотропии соответственно; т^ — равновесное значение ядерной намагниченности.
Интегральная восприимчивость многодоменных образцов. При хаотическом распределении по кристаллу атомов, обладающих ядерным магнитным моментом, можно считать, что ядерный спин присутствует на каждом атоме с вероятностью с, где с — концентрация магнитных ядер. Тогда выражение для восприимчивости многодоменного ферромагнетика (см. разд. 5.2) можно записать в виде
^^^cSx^w),' (7.63)
где / пробегает уже по всем значениям координат атомов в решетке, а не только тех, которые обладают ядерным спином.
С учетом обозначений, введенных в предыдущем разделе, полную высокочастотную восприимчивость, определяемую соотношениями (7.34)(7.35), можно переписать следующим образом:
m m Nn i соп(т, x^ + zy^) - co ’ где
_ 3[/(/+1) - m(m - 1)1
m 2/(7+1X2/+1)
— коэффициенты, определяющие относительные интенсивности различных квадрупольных компонент (XJ^ = 1); a Xn(Nn - статическая восприим- m*
чивость, приходящаяся на один ядерный спин.
В рассматриваемой геометрии наибольшее усиление испытывает компонента РЧ-восприимчивости Xzz(^)- Тогда, учитывая, что внутри каждого
14514510. Зак. 1219
145
145
блока суммирование по / может быть заменено интегрированием по правилу
у _ ^ Р^ID — D/2у _ ^ Р^ID — D/2dx.dx.
у _ ^ Р^
ID — D/2
у _ ^ Р^
ID — D/2
dx.
dx.
где No - число атомов в блоке, для Xzz(w) получим
х„М=£х"И
x“^-xnJm\^W -(7.66)
(w)= ?/2 sin2 Ум (^/5д№/8а)
^ W -DU Afi + cos2yM(x/8a) + z[Г^ + ГГ5т2Ум(х/8а)+ГГмп4Ум(х/8а)] ' (7-67)
В (7.67) введены безразмерные величины
- отклонение частоты от ее резонансного значения в центре ДГ,
~ W_ w
(7.69)(7.69)pd='. 1^ = —; r2w =—
(7.69)
(7.69)
5 ы(ди)8co(m)5co(m)
- значения параметров уширения линии, отнесенные к сдвигу частоты ЯМР в центре границы по сравнению сдоменом.3ависимости<опд(7и)и8со(?и) обусловлены квадрупольным расщеплением. Поскольку sin 0М (х) экспоненциально уменьшается при (Р/8а)>1, то пределы интегрирования в (7.67) можно заменить на ± *>.
Частотная зависимость Xzz(^) определяется ^т^) с точностью до Х2^л(<^) в (7.66). Поскольку в дальнейшем анализируются лишь два случая, когда и)п < Aw и о)„ > Aw, частотная зависимость, вносимая Xz л(ы), будет существенна на крыльях резонансных кривых.
Относительно ядер в доменах отметим, что для них наибольшие усиления испытывают ххх и Хуу — компоненты РЧ-восприимчивости, которые соответственно равны
Х^М = Xn Im Г^Х®”]2Х^М = Xn Im Г^Х®”]2Х^Ч^ = Xn Im Uxy6”]2Х^Ч^ = Xn Im Uxy6”]2^ndW ^ndO^-H^-GD 9<^nd W^nd^^i^-u)^ndW ^ndO^-H^-GD 9<^nd W^nd^^i^-u)(7.70)(7.70)
Х^М = Xn Im Г^Х®”]2
Х^М = Xn Im Г^Х®”]2
Х^Ч^ = Xn Im Uxy6”]2
Х^Ч^ = Xn Im Uxy6”]2
^ndW ^ndO^-H^-GD 9
<^nd W^nd^^i^-u)
^ndW ^ndO^-H^-GD 9
<^nd W^nd^^i^-u)
(7.70)
(7.70)
Из (7.70) следует, что восприимчивость в домене описывается лоренцовой формой линии. Это справедливо лишь в случае малой концентрации магнитных ядер, когда можно пренебречь взаимодействием между ними.
Ситуация для ДГ сложнее: там для каждого изолированного ядра будет лоренцова форма линии, но поскольку все магнитные ядра находятся в
Х"(ш), Х*(ш)
неодинаковых условиях, то необходимо провести интегрирование по всей границе. В результате Xzz(co) имеет очень сложный вид. Мы приведем ее только для двух предельных случаев. В случае сэп > Д^ основную роль играют одномагнонные процессы (Г^ > f2w). Рассмотрим две возможности 1. 5cd ^ 7” > у™. Тогда на кривой поглощения (XzzM) ^ Im .^т(са)
имеется лишь один максимум при ДЮ = — 1, что соответствует резонансной частоте сорез = cond для ядер в домене. Вблизи этой частоты Im ^ш(со) может быть приближенно описана формулой
(7.71)(7.71)IT , 1б[1+(гГ)2] In 2 [1+(Г")2] (ДП + 1)2 +(Fd)2
(7.71)
(7.71)
Этот логарифмический пик находится на правом краю всей полосы поглощения (рис. 7.1,я,б). Он симметричен, и его полуширина (на половине высоты, отсчитываемой от верха широкой полосы) равна
(△^)й = 2х^А^Г^ЬГГ? (7.72)
Заметим, что в эксперименте часто снимается производная от (Хгг(^)У\при этом ширина линии определяется как расстояние между максимумом и минимумом этой производной (т.е. расстояние между точками максимального наклона кривой (Xzz^))”- Определенная таким образом ширина линии в отличие от (7.72) равна 7d.
2. 6 со > 7^. В этом случае наряду с логарифмическим пиком на правом краю полосы поглощения (ДЮ = — 1) появляется также второй максимум при ДЮ = 0,т.е. на частоте Gonw = cond - 5со на левом краю (рис. 7.1,в). Вблизи этой частоты
Im 5Fm (w) «ТГГГ/ ТТч/ТЩПЧГТТ (V (АП)1 + (ГГ? - ДП)%.
(7.73)
Левая полуширина (Дсо)”2 % 1,3 7^, а правая - (Дсо)^ « 53 7 Г- При этом одновременно с корневым пиком (7.73) на левом краю полосы поглощения может наблюдаться также логарифмический пик на правом краю, если неравенство 5 со > 7^ не очень сильное, и ширина линии в доменах имеет достаточно малую величину.
Не менее сложный и необычный вид имеет функция (Xzz(^)V- Максимум и минимум этой кривой независимо от значения 7 Г находятся на краях всей полосы поглощения вблизи частот conw и cond. Кроме того,надо помнить, что в общем случае при достаточно большем затухании движения ДГ кривая поглощения будет суперпозицией кривых (Xzz^)) и (xzz(^)Y-
В случае соп < Д^ Г^ =0 (при этом обычно 5со> 7^=72 и максимум поглощения имеет место при ДЮ = 0), что соответствует резонансной частоте сорез = Unw Асимптотический вид (Xzz(^)Vвблизи этой частоты совпадает с формулой (7.73), если в ней сделать замену Г* -► Г^. Этот острый пик возникает на левом краю широкой полосы поглощения, простирающейся между частотами conw и cond рис. 7,2п. По мере увеличения параметра Г^ пик на чаете conw перестает сильно возвышаться на фоне полосы
Рис. 7.2. Кривые поглощения (I) и дисперсии (II) в случае Г w X r2w X 1 a - rw~ Ю"1;!^ 10'3;6- Г2 w = 10'1; Td = 10'3Рис. 7.2. Кривые поглощения (I) и дисперсии (II) в случае Г w X r2w X 1 a - rw~ Ю"1;!^ 10'3;6- Г2 w = 10'1; Td = 10'3
Рис. 7.2. Кривые поглощения (I) и дисперсии (II) в случае Г w X r2w X 1 a - rw~ Ю"1;!^ 10'3;6- Г2 w = 10'1; Td = 10'3
Рис. 7.2. Кривые поглощения (I) и дисперсии (II) в случае Г w X r2w X 1 a - rw~ Ю"1;!^ 10'3;6- Г2 w = 10'1; Td = 10'3
поглощения, и центр тяжести всей кривой все больше смещается направо, в сторону частот = а ширина кривой поглощения на половине высоты становится порядка 5 со (рис. 7,2,6). При этом, однако, максимум на частоте cond не возникает.
Аеимтотическое поведение (XzzC^))'вблизи conw и co„d описывается следующими функциями соответственно
^е^т (^)^е^т (^)+IrF)? - д п]й/ [<д п)2 + (г л2 г,+IrF)? - д п]й/ [<д п)2 + (г л2 г,(7-74)(7-74)_1Re^ zn (^) " “^_1Re^ zn (^) " “^(ДП + 1)2 +(rd)216(ДП + 1)2 +(rd)2161. Г 7Г. 1+ - rd - - arctg (Д n + 1)/Pd I.1. Г 7Г. 1+ - rd - - arctg (Д n + 1)/Pd I.
^е^т (^)
^е^т (^)
+IrF)? - д п]й/ [<д п)2 + (г л2 г,
+IrF)? - д п]й/ [<д п)2 + (г л2 г,
(7-74)
(7-74)
_1
Re^ zn (^) " “^
_1
Re^ zn (^) " “^
(ДП + 1)2 +(rd)2
16
(ДП + 1)2 +(rd)2
16
1. Г 7Г. 1
+ - rd - - arctg (Д n + 1)/Pd I.
1. Г 7Г. 1
+ - rd - - arctg (Д n + 1)/Pd I.
(7.75)
Заметим, что максимум и минимум кривой дисперсии находятся на краях всей полосы поглощения соответственно вблизи conw и GDnd. Правда с увеличением Г^ максимум на частоте Gjnd становится меньше, в то время как минимум на частоте GDnd по модулю возрастает.
Некоторые экспериментальные исследования ЯМР в доменных границах магнетиков. Идея, развитая в теоретических работах [80, 139, 143, 144, 270], использовалась экспериментаторами-радиоспектроскопистами для анализа особенностей спектров ЯМР в доменных границах одноподрешеточ- ных [183, 195, 196, 199, 271] и многоподрешеточных (ортоферритов
Р и с. 7.3. Производная кривой ЯМР поглощения для СгВгх из работы [195 ]:
а — эксперимент; б — теория (соотношение (7.67), Г^ = 0,02; Г^ - 0,08). Расщепление на правом краю обусловлено квадрупольным взаимодействием для ядер Ст5 3)/= %
[63, 64, 330] и гексагональных ферритов [61, 62, 79, 259]) магнетиков. Обратимся сначала к одноподрешеточным магнетикам.
Среди работ, посвященных исследованию ЯМР в одноподрешеточных магнетиках, особое место занимают работы по СгВг3 [195, 199, 223] и МпР [196, 271], где с особой тщательностью была изучена форма линии стационарного сигнала ЯМР. Для анализа особенностей спектра ЯМР Сг53 в ферромагнитном диэлектрике СгВг3 авторы использовали выражение (7.67), причем считали, что 7^ = 0. Серией хорошо продуманных экспериментов они показали, что наблюдаемые ’’два резонанса” (рис. 7.3) в СгВг3 действительно представляют собой краевые особенности полосы ЯМР, усиленного доменной границей. Для объяснения эксперимента авторы предположили, что мнимая (поглотительная) часть локальной ядерной восприимчивости полностью насыщена и сигналы ЯМР связаны с ее действительной (дисперсионной) частью. Последняя может давать вклад в ЯМР поглощение (определяемое мнимой частью полной восприимчивости Х^М (7.66)) благодаря тому, что она модулирует потери энергии РЧ-поля в электронной подсистеме. Эта дисперсионно-подобная часть полной кривой ЯМР поглощения формально может быть получена из (7.66), если учесть, что коэффициент усиления Па^(х) (7.40) является комплексным в силу комплексности электронной восприимчивости.
На образцах МпР был проведен анализ спектров ЯМР Мп5 5 (/ ~ 5/2) и Р31 (Z = 1/2) в ферромагнитном и антиферромагнитном состоянии. В ферромагнитном состоянии и образце присутствуют только 180-градусные доменные границы, параллельные бс-плоскости (с — ’’легкая” ось). В этом состоянии как для ядер Мп55, так и Р31 на фоне широкой полосы поглощения наблюдались по две особенности, которые авторы связывали с внут- риграничным и внутридоменным ЯМР. Обе линии имели примерно одинаковую интенсивность, поэтому, по-видимому, правильнее было бы говорить о ЯМР, соответствующем центру и краю доменной границы. Для анализа экспериментальных данных использовалась форма вида (7.66), только предполагалось, что ширины линий ЯМР в домене и границе совпадают. При этом учитывалась анизотропия сверхтонких полей (орторомбическая
Рис. 7.4. Несчитанные формы линии поглощения (сплошные) и дисперсии (пунктирные) для ЯМР Р31 в МпР (соотношение (7.67); Г^ = Г^е = j [271]
Рис. 7.5. Сравнение рассчитанных (пунктирная) и теоретических (штрихпунктир- ная) форм линии ЯМР Р31 в МпР (с учетом смешивания дисперсии и поглощения) с экспериментальными результатами [271 ]
1 — экспериментальная кривая; 2 — 70% поглощения + 30% дисперсии; 3 - 30% поглощения + 70% дисперсии
симметрия окружения ядерного спина), а для Мп (/ = 5/2) - и квадрупольное расщепление, которое тоже неоднородно по толщине границы. В отличие от СгВг3 здесь не пришлось предполагать, что мнимая часть локальной ядерной восприимчивости насыщена, а только учесть смешивание сигналов поглощения и дисперсии (рис. 7.4 и 7.5).
Отметим, что сигнал от ядер в центре и на краю доменных границ наблюдался также в гексагональном Со59 [183].
Указанная идентификация линий ЯМР поглощения позволяет исследовать времена релаксации для ядер в центре доменной границы и на ее краю. В частности, для МпР на краю доменной границы Тх (Мп55) « 10 мкс., а Тх (Р31) ~ 400 мкс, время релаксации для ядер в центре границы, по-ви- димому, существенно короче, так как даже не удалось зафиксировать сигналй эха. Для гексагонального кобальта Тх на краю границы — порядка 0,35 мс, а в ее центре — 0,027 мс [183].
Большой успех был достигнут при изучении структуры доменных границ с помощью ЯМР в орто- и гексаферритах [61—64, 79, 259, 330]. Отличительная особенность спектров ЯМР в кристаллах редкоземельных ортоферритов — наличие у них двух резонансных линий, возникающих вследствие специфической для ортоферритов анизотропии сверхтонких полей Нп на ядрах Fe57. Для ортоферритов характерны два типа доменных границ: в одних поворот спинов происходит в плоскости ас, в других - в плоскости ab. В отсутствие внешнего магнитного поля внутриграничные спектры для ас- и д/>-доменных границ неотличимы: и в том и другом случае интегральный спектр имеет по две особые точки, отвечающие наибольшей плотности распределения ядерных спинов по частотам внутри доменной границы. ’’Ответственными” за сигналы ЯМР оказываются-ядра, расположенные в промежутке между краем и центром доменной границы. Отличие спектров для границ обоих типов проявляется лишь при наложении внешних магнитных полей по осям а и Ь, что позволяет экспериментально
определять тип ДГ [64, 330]. Наряду с характерными для ортоферритов ДГ с поворотом спинов в дс-плоскости (ДГ дс-типа) в ортоферрите диспрозия (DyFeO3) при температурах выше фазового перехода Морина (Г> Тм = 40 К) обнаружены ДГ нового типа, не имеющие аналога в обычных ферромагнетиках. Вектор антиферромагнетизма в таких границах поворачивается в плоскости ab, а вектор ферромагнетизма сохраняет свою ориентацию вдоль оси с, но изменяется по абсолютной величине, проходя в центре доменной границы через нуль.
Не менее интересные результаты получены при изучении ЯМР спектров многоподрешеточных гексагональных ферритов [61, 62, 79, 259]. Было установлено, что форма линии стационарного внутриграничного спектра для каждой из подрешеток может состоять из одной линии на краю ДГ или в центре ее либо из двух линий одновременно. Для интерпретации указанных спектров успешно использовалась теория внутриграничных ЯМР, развитая в [139, 143, 144, 270], что указывает на ее применимость к сложным ферримагнетикам.
Анализ экспериментальных данных показал необходимость нелинейного обобщения теории, которое позволило бы последовательно учитывать эффекты насыщения ЯМР в доменных границах из-за большой величины локального коэффициента усиления. Проведенный в [139] расчет показал, что форма сигнала ЯМР в условиях насыщения сильно зависит от амплитуды РЧ-поля.
Приведенные теоретические и экспериментальные данные по ЯМР в доменных границах ферромагнетиков указывают на то, что описанное явление может использоваться для изучения магнитного строения доменных границ. Его целесообразно привлекать для этого тогда, когда уже имеется какая-то информация о структуре ДГ из других источников. Исходя из симметрии кристалла и предполагаемого вида магнитной структуры, находят изменение характеристик ЯМР по толщине границы. Затем в интегральном сигнале выделяются особенности в спектральной плотности резонирующих ядер, которые проявляются как максимумы интенсивности сигналов ЯМР. Сравнение с наблюдаемыми сигналами ЯМР позволит судить о правильности исходных предположений относительно магнитной структуры границ. Как следует из проведенного анализа, условием применимости стационарных сигналов для изучения структуры границ является неравенство
I ^nd — ^л w I ^ Г,
где Г — однородная и неоднородная ширина линии ЯМР, связанная со случайным разбросом частот cond и о>л w.
Проведенный анализ относился к так называемым одномерным магнитным структурам (или плоским доменным границам). Полученные результаты, по-видимому, могли бы быть обобщены на случай двумерных структур, в частности на доменные границы с вертикальными и горизонтальными блоховскими линиями [99].
Глава 8
ВЛИЯНИЕ ДОМЕННЫХ СТРУКТУРНА СПЕКТРЫ МЕССБАУЭРА
МЕХАНИЗМ ВЛИЯНИЯ ОРИЕНТАЦИИ НАМАГНИЧЕННОСТИНА СТРУКТУРУ МЕССБАУЭРОВСКИХ СПЕКТРОВ
Эффект Мессбауэра представляет собой резонансное поглощение гамма-квантов атомными ядрами, жестко связанными с кристаллической решеткой; при этом отдачи ядер не происходит (см. [23]). При резонансном поглощении ядра переходят с одних энергетических уровней на другие. Структура этих уровней зависит от ряда факторов. Остановимся на взаимодействии квадрупольного момента ядра Qe с градиентом электрического поля (ГЭП), создаваемого другими зарядами. Такое взаимодействие приводит к расщеплению ядерных уровней, что дает полное или частичное снятие (27 + 7) -кратного вырождения этих уровней (7 — спин ядра), существующего в отсутствие ГЭП или при сферически симметричном распределении заряда в ядре.
Важно, что энергия квадрупольного расщепления ядерных уровней весьма чувствительна к взаимной ориентации направления ГЭП (оси ГЭП), совпадающего с осью симметрии кристалла, в частности с ОЛН, и направления магнитного поля на ядре. При отсутствии внешнего магнитного поля, поле на ядре по направлению совпадает с намагниченностью М кристалла (дляизотропного сверхтонкого взаимодействия).
Энергия, связанная с квадрупольным расщеплением, может быть представлена в форме [23]
Д Е = 1 е2 qE Qe (3 cos2 6, - 1), (8.1)
где е — заряд электрона; qE - величина ГЭП; 5/ - угол между вектором Ми ОЛН в отсутствие внешнего магнитного поля. Таким образом, как следует из (8.1), любое отклонение Мот ОЛН должно сказываться на квадрупольном расщеплении и, следовательно, на характере мессбауэровского спектра, что позволяет исследовать магнитную структуру.
Если в любой точке однофазного ферромагнитного кристалла намагниченность М направлена вдоль ОЛН, то указанный спектр будет состоять из шести пиков (секстет пиков) различной интенсивности, характерных для ферромагнитного монокристалла (см. [23]). Если же, помимо участков, где намагниченность М направлена вдоль ОЛН, имеются еще и участки, в которых М отклонена от указанного направления на определенный угол 6Ь то мессбауэровский спектр будет состоять из двух секстетов, наложенных друг на друга.
Наличие ДС всегда предполагает существование участков в кристалле, где М отклонена от ОЛН (доменные границы). Следовательно, ДС должна сказываться на характере мессбауэровских спектров. Однако, очевидно, что влияние доменной структуры будет существенным только при определенных условиях, которые будут обсуждены ниже.
Из-за наличия ДС мессбауэровские спектры могут усложняться. Для
Рис. 8.1. Системы двойников с ОЛН, повернутыми на 90° по отношению друг к другу и модельное представление зависимости 0(х), описывающей ориентацию М в каждой точке кристалла
60 — максимальное значение 0,Д — толщина переходной области между направлениями М в соседних двойниках
расшифровки таких спектров необходимо, чтобы области, в которых имеются отклонения от ОЛН, и углы 6Ь на которые происходят эти отклонения, были достаточно большими. В этом случае интенсивности пиков секстета, связанного с отклоненными М, и их сдвиги (хотя бы некоторые) относительно пиков основного секстета также будут большими и могут быть выявлены. Эти условия фактически означают, что объемы, занятые ДГ, должны ненамного отличаться от объемов, занятых доменами. На первый взгляд, такие условия кажутся нереальными, однако есть объекты, где они выполняются. Указанные требования были выполнены в экспериментальных исследованиях [50, 320], где наряду с обычным для ферромагнетика секстетом пиков наблюдался наложенный на него секстет, соответствующий повороту намагниченности Мна угол в 24° относительно ОЛН. Эксперименты выполняли на сплавах FePd и FePt эквиатомного состава, упорядочивающихся по типу CuAu Ic переходом от фазы с гранецентрированной кубической решеткой в фазу с тетрагональной кристаллической решеткой.
При упорядочении указанных сплавов в них возникают пластинчатые образования (двойники), ограниченные плоскостями типа (101) и имеющие толщины порядка 100—1000 А. ОЛН в каждом из двойников наклонена под углом 45° к его поверхности, поэтому два соседних двойника имеют взаимно перпендикулярные ОЛН [178] (рис. 8.1). В сплавах FePt и FePd совокупность пластин-двойников может образовывать нечто вроде отдельных кристаллитов. Эти кристаллиты произвольным образом повернуты относительно друг друга. Однако, поскольку для квадрупольного расщепления важно лишь отклонение намагниченности относительно ОЛН, указанная выше разориентация кристаллитов в месбауэрор- ских спектрах роли не играет (по крайней мере в том аспекте, о котором речь шла выше). В связи с этим достаточно иметь дело лишь с одним таким кристаллитом, т.е. с одной совокупностью двойников, которая представляет собой не что иное, как слоистую среду с очень малыми поперечными размерами отдельных слоев. Важно заметить, что толщины этих слоев очень малы и не сильно отличаются от размеров ДГ. В такой слоистой среде объем областей, где намагниченность будет отклонена от ОЛН, может быть соизмерим с остальным объемом ферромагнетика, и тогда ДС может сильно влиять на мессбауэровские спектры. Ниже будет показано, что в
сплавах с указанной слоистой структурой должна существовать своеобразная ДС, свойства которой, вообще говоря, отличаются от свойств ДС, рассмотренных в предыдущих главах. Существование этой доменной структуры позволяет объяснить экспериментально наблюдаемые мессбауэровские спектры от FePd и FePt.
В заключение данного раздела заметим, что сплавы FePt, FePd и CoPt интересны не только как объекты, в которых в упорядоченном состоянии доменная структура может оказывать влияние на спектры Мессбауэра, но и как практически важные материалы. Дело в том, что эти сплавы обладают большими потенциальными возможностями в смысле их применения в качестве постоянных магнитов. Так, в частности, для сплавов FePt теоретический предел плотности магнитной энергии 0№)тах > > 4 • 107 Гс • Э. Возникновение в процессе упорядочения двойниковой структуры, о которой речь шла выше, не дает возможности получить постоянные магниты с такой энергией. В связи с этим исследование процессов упорядочения указанных сплавов, в частности изучение особенностей мессбауэровских спектров, является весьма актуальным. Именно на этом пути удалось добиться существенных успехов, повысив (ВЯ)тах сплава FePd до 8 • 106 Гс • Э [50, 320].
РАВНОВЕСНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ДОМЕННЫХ СТРУКТУРВ СПЛАВЕ С ИДЕНТИЧНЫМИ ДВОЙНИКАМИ
Под идентичными будем понимать два соседних двойника, геометрические размеры и материальные константы которых одинаковы. Отличаются они лишь ориентацией ОЛН. А в других случаях, двойники будем считать неидентичными.
Граница раздела между двойниками не является границей в обычном смысле слова, например такой, как граница кристаллитов. В частности, на ней нет ни примесных атомов, ни дислокаций. В связи с этим следует ожидать, что между атомами, находящимися по разные стороны от границ двойников в магнитоупорядоченном веществе, существует обменное взаимодействие. Это обстоятельство является решающим при установлении характера распределения намагниченности в двойниковых системах. Впервые на него было обращено внимание в работе [320].
Указанное обменное взаимодействие будет приводить к тому, что магнитные моменты, находящиеся на границе двойников по разную сторону от них, будут выстраиваться параллельно друг другу, что неизбежно приведет к отклонениям намагниченности от ОЛН. Такие отклонения будут иметь место в слое некоторой толщины Д. Если при этом Д « D, где D - толщина двойника, то отклонения намагниченности М будут возникать по всей его толще, так что фактически намагниченность нигде не будет ориентирована вдоль ОЛН. Если Д < Л, то на расстояниях от границы двойника, больших Д, намагниченность М будет направлена в каждом из двойников вдоль своей ОЛН. В этом случае возникает своеобразная 90-градусная доменная структура с очень узкими доменами порядка размеров двойников и с ДГ, очень близкими к неелевским. Важно, что в отличие от всех известных ДС ее период является фиксированным и определяется не из равновесных условий, а задается периодом самой слоистой структуры.
Пусть поворот намагниченности М при переходе от одного двойника к другому происходит в плоскости, в которой лежат ОЛН двойников (плоскость (ху)), и пусть этот поворот осуществляется от равновесного направления М, лежащего под углом 0о в одном двойнике, к равновесному направлению М, лежащему под углом - 0О в другом двойнике (см. рис. 8.1), причем в общем случае 0О ^ ^/4, но 0О “* я/4 при D -> <*.
В принципе можно представить себе, что при повороте от направления, задаваемого углом 0О, к направлению, задаваемому углом - 0О, намагниченность М может лежать и на поверхности конуса. ДГ в таком случае будет блоховской, однако, как показано в [320], для рассматриваемых сплавов эта граница оказывается энергетически менее выгодной, чем неелевская (см. ниже).
Полная энергия Е системы двойников, состоящая из обменной энергии ^обм > энергии анизотропии Еан и энергии магнитостатического поля Ет, имеет вид
= ^обм + ^ан + Ет> (8.2) где
о 1 / Э 0\2
^обм ~2a^s2D \дх/ ^х> $3)
11 D dx d/2
Е"> =J ^ М (х) Н ^(х, ;);(8.4)
25 -Dd -d/2
1 М$ Г 0_ / л \ D1
(85)(85)^ан =/^Sin2( - + 0(х)) + J Jx sin2 |--5(х)
(85)
(85)
2^ Ld \4/ 0\4,
ц(т) — магнитостатическое поле; а — обменный параметр; 01а — безразмерная константа анизотропии (см. гл. 1). Угол в(х), описывающий распределение намагниченности, отсчитывается от оси х, перпендикулярной границе двойника. Вдоль направлений у и z, лежащих в плоскости, параллельной поверхности двойника, 0 считается однородным. Ради простоты считаем также, что кристаллит имеет форму пластины толщиной d с поверхностями, перпендикулярными оси z. Причем ее размеры вдоль осей х и у значительно больше толщины d>D, так что при вычислении Е будем полагать эти размеры бесконечными. Для определенности считаем, что поверхность пластины совпадает с кристаллографической плоскостью типа (100). В рассматриваемой геометрии границы двойников оказываются перпендикулярными поверхности образца.
Согласно сделанным выше предположениям Н^ = 0, а Я^^хотя и отлично от нуля, но вклада в Ет не дает, поскольку Мх = 0, что связано с изменением направления намагниченности при переходе от двойника к двойнику в плоскости ху.
Учитывая, что
Мх (х) = Мх(х +2D), (8.6)
имеем
2D
Мх (х) = 2 сп е,ЧпХ; С„=— f Мх (x)e"‘qnXdx;(8.7)
П2D 0
qn = -nn/D-, п =0, ± 1, ± 2,.. .
Используя (1.49), с учетом (8.7) для компоненты Я^ имеем
ОО со 2^Л(«+«О
Н^ = спдИ dujdvj dz*- :; -(8.8)
п „оо -оо d V и2 + и2 + (z-Z У •
Вычисляя входящие сюда интегралы, окончательно получаем
Hw = -2 5' с„е‘ч"х [1 -е'^^П ch|^n |2].(8.9)
хп
Штрих у с^ммы означает, что п^ 0. Подставляя (8.9) в (8.4) и учитывая, что Н^ -^,MZ =0, а также вновь используя (8.7), получим
Ет=2л^' kj^l-e-1»"1^2-^^-].(8.10)
И LQn d/2 J
Для дальнейшего упрощения задачи сделаем следующие модельные предположения (см. рис. 8.1):
(8.11)
причем
(8.12)(8.12)0(x) = -0(x+Z>).
(8.12)
(8.12)
При записи (8.11) было учтено, что из-за обменного взаимодействия через границу раздела между двойниками магнитные моменты, находящиеся в непосредственной близости от этой границы, но по разные стороны от нее, выстраиваются параллельно друг другу. Вообще говоря, из-за изотропного характера обменного взаимодействия суммарный магнитный момент может ориентироваться относительно нормали к границе раздела между двойниками произвольным образом. Можно проверить, что в данном случае не снимает этого вырождения и кристаллографическая анизотропия. Указанное вырождение может быть снято, например, за счет анизотропии формы кристаллита, если учесть, что реально его размеры вдоль х и у являются конечными. Если для определенности считать, что размеры кристаллита вдоль х больше его размеров вдоль у, то суммарный маг-
нитный момент двух ближайших к поверхности раздела двойников магнитных моментов будет ориентирован вдоль оси х. Таким образом, в непосредственной близости к поверхности раздела двойников (х = 0) магнитные моменты выстроены параллельно друг другу. Поскольку при
этом возникает дополнительная энергия анизотропии, магнитные моменты при удалении от поверхности раздела двойников будут поворачиваться в направлении оси анизотропии. Из-за наличия неоднородного обменного взаимодействия такой поворот должен происходить плавно на расстоянии Д. Используя (8.7), (8.10)-(8.12),из (8.3)-(8.5) имеем
em — Eml^\a Мs — (2 тг/^i а ) [(8дг/^о) /2 + cos 2 0о —
3 sin 2 0О \/ 8^ \2' п
—)-(——) (cos 0О — sin 0О/0О) ],(8.13) 2 0О / \ do /
еобм - Еобм1Р1аМ$-2 0o/do 6n>(8.14)
Сан =Еан(в1аМ^ = - <-sin 2 Уо +— [(cos 2 90 - 1)/2 0о + sin 2 90] Ь 4 Ido'(8.15)
(8.16)(8.16)6Л = Д/6а, d0=D/6a, 8a=(alfiia)v\
(8.16)
(8.16)
Минимизируя
^N — ^т + еобм + ^ан
по 6о и &N, находим равновесные значения этих величин и минимальное значение е^ в зависимости от толщины двойников. Заметим, что при этом для сплавов FePt и FePd вклад €т в mine^ мал. Это связано с тем, что, во-первых, для данных веществ велика р1а ф1а = 106 для FePt и 36,3 для FePd [50]), а во-вторых, для достаточно тонких двойников (d0 < < 8д^) из-за сильного обменного взаимодействия мало 0 и div М тоже мала.
Учитывая сказанное, после минимизации eN для сплаВов с р1а > 1 имеем
_16
8^ =;(8.17)
cos 2 0о - 1 + 2 0О sin 2 0о
do -do -(8.18)(8.18)(1-4 0q) cos 2 0О - 1 + 2 0О sin 2 0Оcos 2 0О V 0о (cos 2 0О — 1 + 2 0О sin 2 0О$
do -
do -
(8.18)
(8.18)
Построив 8^ от 0О и do от 0О, можно рассчитать минимальное значение eN. Она представлена на рис. 8.2, кривая 7. На этом же рисунке (кривая 2) приведена зависимость энергии блоховской ДГ (тоже отнесена к РхаМ^ от D]ba. Она рассчитана в [320]. Видно, что более выгодной является неелевская граница. Заметим, что на самом деле ДГ не будет точно неелевской. Наличие небольшой размагничивающей энергии приводит к незначительному выходу намагниченности из плоскости (ху), так что намагниченность М будет описывать часть поверхности конуса, в основании которого лежит сильно сплюснутый эллипс. Однако для веществ типа FePt, FePd и CoPt указанное отличие ДГ от неелевской приводит лишь к незначительному изменению min eN.
Рис. 8.2. Зависимость энергии неелевской eN (/) и блоховской еБ (2) ДГ, отнесенной к 0хаМ$» от толщины двойников D/ba. е = еБ, eN
Рис. 8.3. Зависимость ширины стенки 6^ = Alba, равновесного угла 0О, описывающего ориентацию М в центре двойника, и угла 9В, усредненного по толщине двойников, от приведенной толщины этих двойников
Полученные согласно (8.17) и (8.18) значения 80 8В и Д/8а в зависимости от D(bQ представлены на рис. 8.3. Из рисунка видно, что при малых толщинах двойников равновесное направление намагниченности М может сильно отклоняться от ОЛН. Небольшие отклонения имеются даже в случае, когда толщина двойников в несколько раз превосходит толщину ДГ, которая стремится к нулю при стремлении к нулю толщины двойников и выходит на ’’насыщение” при достаточно большой толщине Л > 8а . Такое поведение вполне понятно, если учесть, что в очень тонких двойниках из-за сильного обменного взаимодействия (см. выше) угол 80 уменьшается, стремясь к нулю.
РАВНОВЕСНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ДОМЕННЫХ СТРУКТУРВ СПЛАВАХ С НЕИДЕНТИЧНЫМИ ДВОЙНИКАМИ
Предположим, что два соседних двойниковых слоя с теми же ориентациями ОЛН, что и выше, имеют разные материальные константы (^Cia, а) и разные толщины Л1 и Л2. Изменение величин ^1а и а в некоторых двойниках упорядочивающихся сплавов может происходить при получении из них порошков путем дробления и может быть связано с тем, что по мере измельчения происходит неоднородное разрушение дальнего порядка, причем этот процесс может сопровождаться фрагментацией доменов двойниковой ориентации [67].
Рассмотрим [50] модель распределения намагниченности в двойниковой структуре, которая изображена на вставке рис. 8.4 и является обобщением распределения намагниченности, описанного в предыдущем разделе:
' 02, -Л2/2< х < -Д2/2;
— 02^2
9Р + 2 —^ х, 0 < х < Д,.
△1
Рис. 8.4. Фазовые кривые, разделяющие области однородной и неоднородной намагниченности в зависимости от соотношения констант (^t^) t и (^10)2 в соседних двойниках
На вставке изображена модель распределения намагниченности в двойниковой структуре: d£> = dx *dt -период ДС; dXI = ^1,2 /x/“i /01а» 1 - dx = = dJ3;2 - dx =d2 ;3 - dx = 3d2
Здесь #i,2 ~ углы между направлением намагниченности и нормалью v к границе двойника в первом и втором двойнике; 0р - угол между М и v на границе раздела двойников; Ai >2 /2 — полутолщины ДГ в первом и втором двойниках. Константы вещества и толщины первого и второго двойников будем отмечать индексами 1 и 2 соответственно. При этом без ограничения общности, но для определенности, можно считать ^Xa\Dx > (Ж 10)2^2•
Для плотности энергии eN стенки неелевского типа в тех же приближениях, что и в предыдущем разделе, имеем
Е(МГЙЗЕ(МГЙЗ12,
Е
(МГЙЗ
Е
(МГЙЗ
— (dD *pd^ = ———(9,-92) + 4аdD oXN
а2 2^i-5uv . _ bXN cos 2 0! — cos 2 0p
+(0O - 02)2sin20i +- +
«1 dD b^N^dn&dD 0x — 0p
d2 - ^2N .^2N
+ рsm202 - р
4dD%dD
cos 2 02 — cos 2 0p
(8.20)
02 — 9p
Здесь
(Р1а)1 д = (2^! Д д/М2; «1,2 = 2 A! д/М^
^in.in ” ^1,2^1 n^ dx>1=Dxti!bXN\ dD=dx+d2
P = (^ie)2/(^*ia)l J ^1N = (al/№la)l)^-
Далее в качестве примера рассмотрим случай «i = а2, Р = 1» dx = d2.
Равновесные характеристики ДС в системе двойников в этом случае определяются из системы пяти уравнений относительно 0х д, 9р, bXN ^n-
(8.21)(8.21)d eN _ d eN _ d eN _
(8.21)
(8.21)
3 0i)2^S1^>2^ d 0p
Легко показать, что одним из решений уравнений (8.21) является
01 =02 = 0р = л/4(8.22)
при произвольных 517V И ^2N*
Далее ограничимся исследованием решений (8.22), поскольку только они представляют интерес с точки зрения объяснения экспериментальных фактов.
Наличие минимума ед- обеспечивается условиями
Э едЭ2 eN
^2 eN
3 62дврдб,
3 0р3 0г
Э2 ед д2 ед
d2 €n
0 =
д8хд6р дб»
Э $ 1 ^ 62
> 0;(8.23)
Э2 eN Э2 eN
Э2 6,
3 9г30р 3 0х дв2
3 91
I2 вууЭ2 eN
з
б^р3 0р3 0Х
З2 6yv
а
|2 eNd2 eN
> 0 ; ^- >
Э92
0.(8.24)
36
'Абрзо2х
Потеря устойчивости состояния (8.22) наступает при D =0, откуда
22dx ~„1/ 2 ^
-—^ + -— $ + "Т" О +- 5 in (-+^
О i д&2N\ 3
аг . I А
(8.25)(8.25)-р - (#-I)2-(р52Л,/2)1--^ 2 +^j = o,
(8.25)
(8.25)
где
(8.26)(8.26)
(8.26)
(8.26)
1 — &\N№d\ ^XN 4
3 dx dx bXN
Уравнение (8.25) обладает при заданных р, dx, d2 бесчисленным множеством решений, связывающих 5 xn с 52 д. Из этого множества мы должны выбрать решение с таким d =dmin (при фиксированном р), ниже которого (8.23) уже he выполняется. Рассматривая с этой целью (8.25) как неявную функцию
(8.27)(8.27)(8.28)(8.28)F ^\N^2N^d ^\N»^2nY /1,Р)-0,
(8.27)
(8.27)
(8.28)
(8.28)
где lx =dx/dD, из условий
Э dj^/Ъ 51 д = Э dplb &2n = 0
находим необходимые 5^ и 52д.
Получающиеся из (8.27), (8.28) три уравнения легко сводятся к одному, связывающему 5^ и 51 д/^рпри заданных 1Х и р. Это уравнение имеет вид (8.25) с
dx ~ ^xndx ~ ^xn18-5^12-6^18-5^12-6^dl - ^2Ndl - ^2N18 ^P^2NnPd22N18 ^P^2NnPd22N(8.29)(8.29)
dx ~ ^xn
dx ~ ^xn
18-5^
12-6^
18-5^
12-6^
dl - ^2N
dl - ^2N
18 ^P^2NnPd22N
18 ^P^2NnPd22N
(8.29)
(8.29)
Решение этого уравнения получено численными методами. Результаты приведены на рис. 8.4. Фазовые кривые 1—3 отделяют область однородно намагниченной фазы (ей соответствует область под кривыми) от областей, 11. Зак. 1219
в которых существуют неоднородные магнитные состояния. В областях ниже фазовых кривых, в двойниках с ( ^Tia)2^2 < ( 2i£ ia) 1^1 намагниченность поворачивается на угол 90° по отношению к собственной ОЛН и, следовательно, совпадает с направлением намагниченности в соседнем двойнике.
КВАДРУПОЛЬНОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИМЕССБАУЭРОВСКИХ СПЕКТРОВ
Рассмотрим прежде всего случай идентичных двойников. Будем считать, что величина квадрупольного расщепления определяется в данном случае средним значением cos2 9, т. е.
—-—2 Д/2/тг\1sin2 90
cos2 9- — / cos2 |- -0(x)|Jx = - + .(8.30)
Д о\4/22 0o
Введем некий средний угол 9В согласно условию
cos2 7В = cos2 9.
Используя (8.30), можно построить 9В в зависимости от d0. Эта зависимость представлена на рис. 8.3. Угол 9В можно выбрать за меру некоторого среднего отклонения намагниченности от ОЛН. Из рис. 8.3 и также из формул (8.30) следует, что при &N <d0 (это может иметь место в экспериментальных условиях)
-/ А Ц О
9В = arccosh/- + — 1^25 ,
\ V 2тг/
что хорошо согласуется с экспериментальными данными, полученными Цуриным и Ермаковым [320].
На рис. 8.5 приведен мессбауэровский спектр сплава FePd эквиатом- ного состава. Наличие пиков В и А приведенного спектра можно связать соответственно с существованием областей намагниченности, отклоненной от ОЛН, и с областями М внутри двойников, а также больших рекристаллизационных зерен, где М мало отклонена от ОЛН. Во всяком случае, измеренное квадрупольное расщепление и вычисленные из него согласно (8.1) углы 9j для пиков А и В равны нулю и 24° соответственно. Дополнительные обоснования этого вывода можно найти в [320].
Согласно расчетам на начальной стадии упорядочения, когда d0 ~ bN, т. е. векторы М отклонены от ОЛН во всех точках двойников и нет рекристаллизационных областей, интенсивность пика В должна быть наибольшей. По мере упорядочения d0 растет и в конце концов может оказаться, что d0 >8уу. При этом будет расти объем областей, в которых М направлена вдоль ОЛН, т. е. при увеличении dQ должен появиться пик Л, и его интенсивность должна постепенно расти с ростом d0. Именно эти закономерности и наблюдались в сплавах FePt и FePd [320]. В [320] можно найти также дополнительные экспериментальные исследования, подтверждающие сделанные выше выводы.
Рассмотрим теперь случай неидентичных двойников. В предыдущем разделе было показано, что при ( ^ ia)2^2 < ( ^ia)i^i намагниченность во втором двойнике в равновесном состоянии повернута на угол 162
Скорость, см/сСкорость, см/сРис. 8.5. Мессбауэровский спектр FePd-сплава, близкого к эквиатомному составуа — фольга, отожженная при 500°C в течение 28 ч; b — аэрозольный порошок (средний размер частиц 700 А), отожженный при 500 °C в течение 10 ч; с— фольга, упорядоченная при 600 °C в течение 4 ч при наличии напряжения 1,244 кН/мм2; d — упорядоченная фольга (600 °C, 100 ч) , пластическая деформация ~ 50% (при 500 °C, 1 ч 45 мин). Диаграммы А, В, С в нижней части рисунка дают положение пиков в трех секстетах, из которых состоит полный спектрРис. 8.5. Мессбауэровский спектр FePd-сплава, близкого к эквиатомному составуа — фольга, отожженная при 500°C в течение 28 ч; b — аэрозольный порошок (средний размер частиц 700 А), отожженный при 500 °C в течение 10 ч; с— фольга, упорядоченная при 600 °C в течение 4 ч при наличии напряжения 1,244 кН/мм2; d — упорядоченная фольга (600 °C, 100 ч) , пластическая деформация ~ 50% (при 500 °C, 1 ч 45 мин). Диаграммы А, В, С в нижней части рисунка дают положение пиков в трех секстетах, из которых состоит полный спектр
Скорость, см/с
Скорость, см/с
Рис. 8.5. Мессбауэровский спектр FePd-сплава, близкого к эквиатомному составу
а — фольга, отожженная при 500°C в течение 28 ч; b — аэрозольный порошок (средний размер частиц 700 А), отожженный при 500 °C в течение 10 ч; с— фольга, упорядоченная при 600 °C в течение 4 ч при наличии напряжения 1,244 кН/мм2; d — упорядоченная фольга (600 °C, 100 ч) , пластическая деформация ~ 50% (при 500 °C, 1 ч 45 мин). Диаграммы А, В, С в нижней части рисунка дают положение пиков в трех секстетах, из которых состоит полный спектр
Рис. 8.5. Мессбауэровский спектр FePd-сплава, близкого к эквиатомному составу
а — фольга, отожженная при 500°C в течение 28 ч; b — аэрозольный порошок (средний размер частиц 700 А), отожженный при 500 °C в течение 10 ч; с— фольга, упорядоченная при 600 °C в течение 4 ч при наличии напряжения 1,244 кН/мм2; d — упорядоченная фольга (600 °C, 100 ч) , пластическая деформация ~ 50% (при 500 °C, 1 ч 45 мин). Диаграммы А, В, С в нижней части рисунка дают положение пиков в трех секстетах, из которых состоит полный спектр
Рис. 8.6. Мессбауэровские спектры порошка сплава FePt в исходном состоянии и при различных временах дробления материала
Диаграммы А, В и С указывают положение пиков трех различных секстетов; А — упорядоченная фаза с эффективным полем на ядре Нэф = 281 кЭ и квадрупольным расщеплением; ^Eq = 0,315 мм/с; В - Нэф = 321 кЭ; AEq = -0,154 мм/с; С — Нэф = 302 кЭ; AEq = 0; секстет В хорошо заметен только при промежуточных времена^, дробления (1—3 ч), его отрицательное квадрупольное расщепление означает, что на начальных стадиях дробления в сплаве имеются области, где равновесное направление М составляет с ОЛН угол, близкий к 90 °
тг/2 по отношению к ОЛН этого двойника. Согласно (8.1) такой угол должен приводить к отрицательному квадрупольному расщеплению. Именно такое квадрупольное расщепление соответствует секстету пиков в мессбауэровском спектре, состоящем из трех секстетов, снятом Цури- ным и Ермаковым на порошках сплавов FePt [50] (см. рис. 8.6). Замечательно, что этот секстет пиков появляется только в результате дробления порошков указанного сплава, что и может привести к возникновению двойников с константами вещества, отличными от констант в других двойниках (подробности см. в [50]).
Глава 9
ВЛИЯНИЕ ДОМЕННЫХ ГРАНИЦНА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ
В настоящей главе описываются особенности поглощения и распространения звуковых волн в ферромагнетиках с доменными границами. Благодаря магнитоупругому взаимодействию при распространении ультразвука в магнетиках возбуждаются спиновые волны, что приводит к добавочному поглощению энергии звуковой волны, причем это поглощение носит резонансный характер при совпадении частоты звуковой и спиновой волн. В многодоменных ферромагнетиках по сравнению с однодоменными имеются добавочные ветви спектра, связанные с доменными границами (см. гл. 5,6), возбуждение которых тоже приводит к дополнительному поглощению энергии. Например, в случае 180-градусных доменных границ, когда имеется внутриграничная ветвь колебаний с частотой и^± (5.23), условие резонанса имеет вид
slql =gdrv (91) где $ — скорость звука; q - волновой вектор. При таких значениях q, когда обменной энергией в сок± можно пренебречь, из (9.1) имеем
^ = I Ql = AJs; (^ = 1). (9.2) По оценкам, например, для Fe Aw ~ 108 109 с-1, s « 105 см/с и длина волны ультразвука X = 27Гб?"1 оказывается порядка 1(Г3-10”4 см, что больше толщины ДГ 5а « 10~5 -г 10~6 см. Однако чем менее анизотропен материал, т.е. чем меньше ^1Д , тем толще доменные границы, и длина звуковой волны может оказаться сравнимой с толщиной ДГ. Следовательно, при анализе магнитоупругих явлений в ненамагниченных ферромагнетиках могут представиться два случая: Z>> X > 5tf и£)>Х~5д ф — размер домена и образца с изолированной ДГ).
В первом случае несущественны размеры и форма магнетика и, кроме того, можно пренебречь обменной энергией, считая ДГ геометрической. Тогда и деформации можно считать однородными. Спектр магнитоупругих колебаний такой системы в присутствии плоскопараллельной периодической ДС исследован в [31], а в изолированной ДГ - в [280]. Во втором случае необходимо учитывать обменное взаимодействие в со^, неоднородное распределение намагниченности в ДГ и неоднородные деформации, создаваемые ею [140, 141].
РЕЗОНАНСНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ УЛЬТРАЗВУКА В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ С ДОМЕННЫМИ ГРАНИЦАМИ
Плотность потенциальной энергии ферромагнетика складывается из обменной энергии, энергии магнитной кристаллографической анизотропии, упругой и магнитострикционных энергий, а также энергии сверхтонкого взаимодействия. Благодаря энергии магнитострикции электронные спины
взаимодействуют с колебаниями решетки, описываемыми тензором
е^=- (—+ — ),(9-3)
2 хдхр Ьха/
где и — вектор упругого смещения точек среды; Xj — эйлеровы координаты.
В динамических процессах в принципе возможен еще один механизм магнитоупругой связи — изменение энергии магнитной анизотропии, обусловленное малыми вращениями элементов объема, которые характеризуются антисимметричной частью тензора дисторсии — тензором вращения [4]:
1 /диа Ъи^
^ар = — (-
2 'Эх^ Ъха
Не будем анализировать роль этих механизмов магнитоупругой связи в формировании динамических свойств ферромагнетиков с ДС.
Пусть в ферромагнетике с ДГ распространяется ультразвук, вызывающий упругие смещения атомов:
u = u0 e'sin (qr - сл).(9.4)
Здесь Ио - амплитуда; е - единичный вектор поляризации и q - волновой вектор звуковой волны. Колебания решетки благодаря магнитострикции вызовут колебания намагниченности М. Соответствующую магнитоупругую энергию можно записать в виде
^му = biklmM^ $MtMk elm dt = Я?му (q) e-'wf+Ji?My (-q) eiwt,(9.5)
где
«о.
^му (± q) =- biklm (et qm + ew q^2 J^/(r Wk (r ) e±,qrdr. (9.6) 4
Используя теорию линейного отклика на возмущение (9.5) [65], можно найти следующее общее выражение для количества теплоты, выделяемой в единицу времени ультразвуком благодаря магнитоупругому взаимодействию:
е = -2о;1т„«^у (—q) |^му (q) »w(9.7)
Через 1т_ О^у (- q)|^My (q)»^ обозначена мнимая часть компоненты Фурье двухвременной запаздывающей функции Грина от операторов «^му (-q) и ^му (q) в гейзенберговском представлении (см. гл. 5 и 7). Отметим, что в силу эрмитовости оператора^му (q)
му (q) =«^му (- q) •
Обратимся к коэффициенту поглощения ультразвука. По определению [84, 130], коэффициент поглощения ультразвука а равен отношению Q (9 7) к удвоенному среднему потоку энергии в волне, т.е.
a = e/2sE,(9.8)
где
_ 1
V”x Е = —ри^и?\(9.9)
2
р — плотность кристалла; V — объем сйстемы. Согласно этому определению амплитуда волны убывает с расстоянием как ехр(—ах) [130]. Исходя из (9.8), учитывая (9.7) и (9.9), получим, что коэффициент поглощения ультразвука определяется формулой
2
<х = -— Im_«^y (q)l^My (q)»^.(9.10)
Vs PUq GJ
Если функция -«3^y (q) |^My (q)»cj вычисляется только с гамильтонианом электронной спин-системы, то формула (9.10) дает энергию, поглощаемую самой этой системой, включая и доменные границы. Если же указанную функцию вычислять с гамильтонианом, учитывающим еще и сверхтонкое взаимодействие, то в (9.10) можно выделить магнитно-ядерный вклад, пропорциональный резонансной восприимчивости какого- либо ядра (см. гл. 7). Сама же функция Грина. «7^ у (q) |Хму (q)»cj как функция частоты со имеет полюса двух типов: вблизи частот собственных колебаний электронной подсистемы и благодаря наличию сверхтонкого взаимодействия — вблизи частоты ЯМР. Нас будет в основном интересовать вклад внутриграничных возбуждений в коэффициент поглощения ультразвука и особенность а на частоте ЯМР.
Из всех механизмов магнитоупругой связи мы будем рассматривать лишь магнитострикционный. Магнитострикционная энергия для кубического кристалла приведена в главе 1 (см. (1.17)), а для гексагонального (точечные группы £)3h , С6и ,#6,Ф 6л) имеем
^му = Л£2 {[(»ц-bX)Wl + (612-Ь1Э)М^ехх +
+ [(612-ЬХЭ)М^ (bll-bl3)M^]eyy + (633 -63i)Mz2ezz +
+ 2(6Н -b13)MxMy€xy*2b44(MxMz€xz*MyMzeyz)>, (9.11)
где переход от тензорных обозначений в Ьщт (см. (9.5)) к матричным совершен по обычной схеме: хх -* 1, уу -* 2, zz -* 3, yz = zy -► 4, xz = zx -* 5 иху -yx -*6.
Остановимся кратко на особенностях взаимодействия между ядерными спинами и фононами в магнитоупорядоченных веществах.
Как отмечено в [142], между ядерными спинами и колебаниями решетки может существовать взаимодействие, обусловленное одним из трех механизмов.
Во-первых, это косвенное взаимодействие ядерных спинов с решеткой через спиновые волны. Посредством магнитоупругой связи колебания решетки вызывают колебания электронных спинов, а последние, в свою очередь, благодаря сверхтонкому взаимодействию действуют на ядерные спины.
Во-вторых, это модуляция колебаниями решетки сверхтонкого или
дипольного взаимодействий между ядерными и электронными магнитными моментами.
И, наконец, механизм, обусловленный изменением квадрупольного взаимодействия при деформациях решетки.
Ограничимся косвенным взаимодействием ядерных спинов с колебаниями решетки через спиновые волны.
Рассмотрим на примере кубического ферромагнетика поглощение ультразвука вблизи частоты собственных колебаний электронной спиновой системы, (см. соотношение (1.17). Ограничимся также механизмами поглощения ультразвука, обусловленными одномагнонными процессами. Как и в гл. 5 и 7, будем анализировать случай 180-градусной ДГ блоховско- го типа, перпендикулярной оси х. Тогда в соответствии с (9.10) для выделения слагаемых, линейных по амплитудам колебаний электронных спинов, в (1.17) необходимо перейти в локальную систему координат, ось / которой совпадает с равновесным направлением намагниченности, и ограничиться линейными слагаемыми по компонентам Мх иМу. В результате имеем
•^му V) ”MS MyU^ Ms2 sin 2 0 (х) [еуу - ezzl +
+ b2 Ms2 cos 2 а (х) €yZbMs Mx{b2 Ms2 [eyx sin ^ (x) +
+ exz cos 6 (x)]).(9.12)
Далее после перехода при помощи формул (5.30) к представлению вторичного квантования, (9.12) после интегрирования по объему принимает вид
/^eMsS\Vi(/ /^х5аХ\-1
^My(q) = (1 irSa\UbiM;4qx&a2Uh()) х
\ 2/1\ \ 2 //
х ^уу ^xz^ ~b2Ms (яДа Ichх ^уу ^xz^ ~b2Ms (яДа Ich^ Qx 5д ь 2
х ^уу ^xz^ ~b2Ms (яДа Ich
х ^уу ^xz^ ~b2Ms (яДа Ich
Х ^41 + ^-Я1 ) + 1“ * ^2 Ms (Ях ^а ) ph I ) I Рху + \ \ 2 н
+ b2 Ms (^х^д)^^^ ~ уу Рхх ] (^1 q£“ ^1 q^ ) (h q^ — h-q^)l, (9*13) где ^iq±, ^iqi - амплитуды диагонализирующего и, ^-преобразования для w-магнонов. Здесь выписана часть К^у (q), обусловленная возбуждениями ’’внутриграничного” типа. Вектор q^ = (qy> цД. При выводе соотношения (9.13) были учтены следующие фурье-образцы:
^Qx^aV
Jexp(z</Xx)sin2^(x) sin^ (x)dx = i*nba ;(9.14a)
(
^ Qx ^a\
2 '
(9.146)(9.146)/ exp(iqxx) sin# (x) cos 2# (x)dx = - irba
(9.146)
(9.146)
(
(»x8a)2(»x8a)2^Qx^a — 2
(»x8a)2
(»x8a)2
/exp(zt7xx)sin2 ^ (x)dx = ir^a—-;(9.14b)
, РЧх^а \shlI
\ 2'
(flx ^a)
J exp(iqxx) sin # (x)cos # (x) dx = z я5а ;(9.14г)
(^Qx ба
1 f exp(zz/xx)sin# (х)#х = я6д 1 (9.14д)
(
^Qxба — 2 кроме того, ооозначено 1
Раф = ~ (eaq^ epqaY(9.15)
4
Ради простоты будем считать, что скорость распространения звуковых волн не зависит от направления распространения и поляризации волны (приближение Дебая [75]) и выражается соотношением
s^coq'1.(9.16)
Сделаем предварительно некоторые численные оценки, которые будут полезны при дальнейшем анализе. Рассмотрение проведем на примере железа [278] (см. также гл. 1). Энергия колебаний ДГ ек зависит от величины поля ’’локальной” анизотропии Ид (5.33) и, следовательно, в какой- то мере от совершенства образца. Типичное значение Aw = 3 • 10“26 Дж [278] соответствует энергии ’’локальной” анизотропии £а'н « 10"28 Дж и энергии размагничивающего поля Ет «10"23 Дж. Если Д^ = 3 • 10"26 Дж, скорость звука 5 ~4 • 103 м/с, то q « 103 см-1 и можно видеть, что (q&a) ^ « 10”2 -г 10"3, так как толщина ДГ 5а « 10"510”6 см. Кроме того, по
скольку (qa0A « 1(Г5 для а0 ^ 10~8 см, величина (2pe(Ms)J (aQq)2 « « Ю'30 -г 10"3* Дж, если (2peJ]MY) to 1О~20 Ю"21 Дж, т.е. можно пренебречь (2 pjMY) J (^qV по сравнению с Aw и 4irpeMs и даже реНд. Тогда, оставив в (9.13) слагаемые наинизшего порядка по (<7x5d), получим
JtMy(q) = (I (-iV6„b2M^ (UlqL -VlqL)(b+qL-blqi)Pxyy X 2*(9.17)
и соответствующий коэффициент поглощения ультразвука будет равен
28а Ms
«му 88Н’д ^мсУР1у XWL^, Aw),(9.18)
D sp
гдеизмс =pe(b2M^)) (fi = 1);
ЦыА) = <(ы2 -Д^ + Л^) + (2wAw)3F‘;(9.19)
Aw - параметр затухания ’’внутриграничных” возбуждений. Отметим, что указанный параметр меняется в довольно широких пределах - от 2 • 10"27 до 10"25 Дж [278], в зависимости от совершенства материала, т.е. может быть и так, что Aw > Aw. Естественно, что введение параметра затухания с помощью аналитического продолжения частоты со в комплексную область [147] справедливо лишь при малых Aw (Aw < Aw). Коэффициент поглощения о^у имеет максимальное значение, равное
Ш
2 8Д Ms , — ) — Н'а^У^(9.20)
D / s3p
в случае, когда со2 - Д„ + Л^ = 0. Поскольку, например, для Fe Ms « * 1,4 • 103 Гс, 62 « 6,4 • 10® Дж/м3, 2 8JD ~ 10"210"3, р * 104 кг/м3,
$ «4 • 103 м/с и если Aw «10"26 Дж, то
«му ~ (Ю^ ^ Ю"5) см"1.
Это все-таки достаточно малая величина.
Аналогично определяется коэффициент поглощения звука а на частоте ’’внутридоменных” колебаний о^у. Сравнение а^у и аму показывает, что «му значительно меньше из-за малости параметров (2 5d/Z>) и (5в/Х) (Л — длина волны). Однако это не означает, что вклад ’’внутриграничных” возбуждений невозможно выделить: во-первых, их частота заметно отличается от частоты ’’внутридоменных” возбуждений, во-вторых, как показывает анализ, они возбуждаются поперечными звуковыми волнами, поляризованными и распространяющимися в плоскости (ху), в то время как d-магноны таким звуком не возбуждаются [278]. Физически малость (9.20) можно объяснить тем, что звук не смещает доменную границу, а лишь изгибает ее. Соотношение (9.20) описывает интегральный коэффициент поглощения звука. Отметим, что можно было бы ввести локальный коэффициент поглощения звука в центре ДГ, который будет в /У25в раз больше интегрального.
Если вычислять а (9.10) с гамильтонианом, учитывающим электронноядерное сверхтонкое взаимодействие, то можно выделить магнитно-ядерный вклад, пропорциональный резонансной восприимчивости какого- либаядра/ [137]:
2( _
<£ =— Im n^^Hq.^.^l/f»,,,(9.21)
Ks pUo co1
где
п'а^б (q, w) =ЬМ3Р^РУЬ Jexp(-zq(r -r’))x
x SR^R,^ nlf(r,r')dr dr;(9.22)
nV = - (r ) | 6 H[ »ш _«6 I Mj (r') »w(9.23)
где b — некая постоянная, составленная из различных комбиций Ьц. Гре-
ческие индексы нумеруют орты неподвижной системы координат. R( (х) — некоторая функция угла £ (х), появляющаяся вследствии перехода в локальную систему координат. Отметим, что здесь не учтена пространственная корреляция в движении ядерных спинов которая, как известно, является следствием рудерман-киттелевского взаимодействия ядерных спинов через электроны проводимости, сул-накамуровского взаимодействия ядерных спинов через спиновые волны (см. [142]) и ядерно го диполь- дипольного взаимодействия [1]. Предмет нашего исследования — непроводящие материалы, поэтому к пространственной дисперсии в таком случае может приводить, по-видимому, лишь сул-накамуровское взаимодействие. Однако, так как мы с самого начала ограничились малой концентрацией ядерных спинов, то и этим взаимодействием можно пренебречь.
Поскольку частота ЯМР соп « 10® т 109 с"1, можно ограничиться опять первым неисчезающим приближением по (qx^a) и пренебречь 2peJ(qoqV IMS по сравнению с Дw, 4л деMs. В этом случае, когда косвенное взаимодействие ядерных спинов с решеткой осуществляется через ’’внутриграничные” магноны, для величины П^ т8 получим
Пху, ху = Мл Н^ Uq СО нс ^ху L2 (<*>, А^,) X
х [Ф (со, Aw) ]2 sin2 £ (xz),(9.24)
гдеНп=^М5,
Ф(о>, Aw) = {[а>(а? -Д^ + Л2,) - i Aw (w2 + Д^ + Л^)] +
+ ^[(со-/Л„)2-Д^]}.(9.25)
Ради простоты при получении (9.24) рассмотрен случай, когда волновой вектор и вектор поляризации звуковой волны^лежат в плоскости (ху), перпендикулярной ОЛН. Из (9.24) видно, что П1 р^ есть ничто иное, как квадрат амплитуды переменного магнитного поля, создаваемого на ядрах ультразвуковыми колебаниями. Интересно отметить, что зависимость величины П^у х-у от X/определяется, как и в случае ЯМР, функций sin2 £(xz). Кроме того, поскольку учтено затухание в системе электронных спинов, сигнал дисперсии смешивается с сигналом поглощения. Для оценки порядков величин этим смешиванием можно пренебречь. Тогда нетрудно показать, что коэффициент поглощения ультразвука ядрами в ДГ, когда косвенная связь ядерных спинов с колебаниями решетки осуществляется через ’’внутриграничные” магноны в случае 1 = 1/2, будет равен
4М$ [ico + сол\
<Х^М^Рху ()lmx" (w),(9.26)
SpCO *\ СОм '
где х“ (ы) определяется формулой (7.66).
Таким образом, здесь, как и при интегральной РЧ-восприимчивости на частоте ЯМР (см. гл. 7), следует различать два случая: 1) а>л < Д^ и 2) соп > Aw. В первом случае имеет место резонансное поглощение звуковой энергии на частоте ЯМР в ДГ, во втором - как на частоте ЯМР в ДГ, так и в домене.
В первом случае, когда co„w « 5 • 107 с-1. Хем ~Ю2 ^Ю3, (conwfcoM) «
« 10”3, Nn « 1020 см”3, Г^ « 10”2, (cj„w/6cj) « 102 (что больше всего соответствует Fe57),
1
a” ^ = wnw) «(10”3 - 104)-см4.(9.27)
T
Во втором случае, если взять Г^ «0,1 -М, Fd « 10”3, а другие параметры такими же, как и выше, получим
1
о^ ^ = wnw) «(104 ^10”5) - см4.(9.28)
Т
Когда косвенное взаимодействие осуществляется через d-магноны, для принятых нами значений параметров получим
1
о£ (си = cond) « (104 - 10-5) - см”1.(9.29)
Т
Сравнивая а„ (co = conw) (9.28) и а^ (со = cond) (9.29), видно, что они незначительно отличаются друг от друга, хотя, как казалось бы на первый взгляд, в том случае, когда косвенная связь между ядерными спинами и колебаниями решетки осуществляется через ’’внутридоменные” магноны, поглощение должно быть более интенсивным, поскольку ультразвук все-таки слабо возбуждает колебания ’’внутриграничного” типа. Однако здесь необходимо учитывать то обстоятельство, что взаимодействие ядер- ных спинов с w-магнонами оказывается более интенсивным, чем с d-магно- нами, так как щель в спектре w-магнонов Aw гораздо меньше щели в спектре d-магнонов ^d. Вследствие этого косвенное взаимодействие ядер- ных спинов с колебаниями решетки через w-магноны оказывается довольно эффективным (несмотря на малый объем, занимаемый ДГ), так что в результате по порядку величины коэффициенты поглощения а^ и а£ оказываются сравнимы.
Интересно сравнить также отношение мощности локальных потерь звука при ядерном магнитоакустическом резонансе (ЯМАР) на ядрах в центре ДГ к таковой для ядер в доменах:
«М ~ №ЬаУ (Хсм/Хвр)2 (<^„/^л)2 М^мУ'1 •(9.30)
Оценка локального отношения дает, что обычно ^п lan^ ^ L так что поглощение ультразвука ядерными спинами более интенсивно должно происходить в ДГ. Это отношение может быть чрезвычайно большим.
МАГНИТОУПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ ДОМЕННЫХ ГРАНИЦВ ФЕРРОМАГНЕТИКАХ
Проанализируем спектр связанных однородных (трансляционных) магнитоупругих колебаний изолированной 180-градусной ДГ с учетом неоднородных магнитострикционных деформаций, создаваемых ею [9]. Такая задача впервые была решена в работах Турова и Лугового [140,141]. Следуя этим работам, рассмотрим гексагональный кристалл (например,
1,2^У - ~ ^1 1 (бхх + €уу^1,2^У - ~ ^1 1 (бхх + €уу^точечной группы^) за, ^би^б, ^б/i) с ОЛН, направленной вдоль оси z и со 180-градусной ДГ, плоскость которой перпендикулярна оси х. Плотность энергий складывается из трех слагаемых: магнитного, магнитоупругого и упругого вкладов. При записи магнитной части энергии предполагается, что обменное взаимодействие изотропно, а в энергии анизотропии учитываются константы^ха w^ia- Точное выражение для магнитостатической энергии заменяется на приближенное 2nMXi соответствующее одномерной задаче и однородным в плоскости границы колебаниям М. Плотность магнитоупругой энергии выбиралась в виде (9.11). Что касается плотности упругой энергии, ее запишем следующим образом:
1,2
^У - ~ ^1 1 (бхх + €уу^
1,2
^У - ~ ^1 1 (бхх + €уу^
+ Сз з€22 + Сх 2 ^хх^уу *с1 з(ехх€22 + €yy€zz^ +
(9.31)(9.31)+ 2<?44(e^z+e2z) + (cH -с12)е^,
(9.31)
(9.31)
где сq - упругие модели.
Основное состояние. Для определения основного состояния удобно, как и в предыдущих главах, перейти к угловым переменным 6 и ф, задающим пространственную ориентацию вектора М, т.е.
Мх + iMy = Mssin6 expOV).
Граничные условия для переменных в и ip, обеспечивающие существование 180-градусной ДГ, имеют вид (1.24). Минимизация полной энергии по 0,Ф и Ut с учетом граничных условий и условий совместности Сен-Венана для деформаций приводит к следующим результатам [140] (см. также М):
e®k(i *к) = fo = 0;
21 -1
-<-33;
С1 1+ с12J
611 — 611
е$х = UL sin20ОS(9.32)
сц
(
X \
1 + rosh2 —I =/(х) ;(9.33)
5а /
Т0 = Х^'<934)
eft |
Здесь
^1 =^1«+(6ц +612 -2613)^1-(6зз -Й31)Ц|;(9.3S)
Л 2 =*^2 а (9.36)
2<-ц
- перенормированные магнитострикцией первая и вторая константы анизотропии. Приведенное основное состояние является устойчивым, если Л\ > 0, то > 0. При т0 = 1 № = 0) из (933) получается обычная блоховская ДГ (см. соотношение (1.30). Отметим, что в приведенных выше 172
формулах центру ДГ соответствует х = 0. При этом основное состояние вырождено относительно смещений доменной границы вдоль оси х. Это вырождение можно снять, учтя квазиупругую силу, удерживающую границу в положении равновесия [328, 279].
Уравнения движения и спектр однородных колебаний. Как следует из (9.32), (9.33), основное состояние как магнитной, так и упругой подсистем является сильно неоднородным. Это обстоятельство приведет к тому, что исходная система динамических уравнений, состоящая из уравнений Ландау-Лифшица-Гильберта [122] и уравнений движения упругой среды будет системой дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами. Записать решение такой системы в аналитическом виде чрезвычайно трудно. Для качественного анализа однородной магнитоупругой динамики, по-ви- димому, можно воспользоваться приближенным методом описания - каноническими уравнениями Слончевского [300] (см. также [99]).
В соответствии с подходом Слончевского предполагаем, что динамическая структура стенки имеет вид
(9.37)(9.37)x-q^ ctg0 =- уто ch; ч> = ^(0.
(9.37)
(9.37)
Рассматриваем только однородные колебания, считая q и ^р независящими от координат х, у, z. Тем самым пренебрегаем и пространственной дисперсией, которая может быть связана в динамическом режиме с магнитным диполь-дипольным взаимодействием. Это означает, что из рассмотрения выпадает взаимодействие звука с поверхностными магнитостатическими колебаниями, существующими вблизи доменных стенок [31,280].
В отсутствие затухания уравнения движения ДГ могут быть записаны следующим образом:
(9.38)(9.38)(9.39)(9.39)Э£ 2М$ . Э£2Мs .
(9.38)
(9.38)
(9.39)
(9.39)
=q, = - ^ Ng Ng
где
£=7 dx£[0(x),i, €ffc(x)]dx
- энергия, приходящаяся на единицу площади ДГ. Систему (9.38) необходимо дополнить уравнениями теории упругости
РЧ =РЧ =Э"3x7Э"3x7ЪЕ 1 + 6/^ _ Э ^Е 1 + 6/хЬе^ 2 Эх Эб/Х 2ЪЕ 1 + 6/^ _ Э ^Е 1 + 6/хЬе^ 2 Эх Эб/Х 2(9.40)(9.40)
РЧ =
РЧ =
Э"3x7
Э"3x7
ЪЕ 1 + 6/^ _ Э ^Е 1 + 6/х
Ье^ 2 Эх Эб/Х 2
ЪЕ 1 + 6/^ _ Э ^Е 1 + 6/х
Ье^ 2 Эх Эб/Х 2
(9.40)
(9.40)
Полагая
(9.41)
после линепризации системы уравнений по переменным задачи q, ф, их, иу и
(9.42)(9.43)(9.42)(9.43)ЬiJ — ^12^ ф2р со2 - $укгЬiJ — ^12^ ф2р со2 - $укгUxW =(Z> 12 — b i з)^Дк^)pco2 - S,^24 >UzCk) =Ьаа1кф(к)UxW =(Z> 12 — b i з)^Дк^)pco2 - S,^24 >UzCk) =Ьаа1кф(к)uyW =uyW =Здесь введены следующие обозначения:Здесь введены следующие обозначения:1 т *1 т *ng1 Jdx/(x) 1 +ng1 Jdx/(x) 1 +(6i i +6i2 — 26i3X/£4лЛ^2(6i i +6i2 — 26i3X/£4лЛ^2(6 i 2 — Ь i з Х^Ь ii — Ь i a — 612(6 i 2 — Ь i з Х^Ь ii — Ь i a — 612AtrM^ iAtrM^ i(9.44)(9.45)(9.46)(9-47)(9.44)(9.45)(9.46)(9-47)
(9.42)
(9.43)
(9.42)
(9.43)
ЬiJ — ^12^
ф2р со2 - $укг
ЬiJ — ^12^
ф2р со2 - $укг
UxW =
(Z> 12 — b i з)^Дк^)
pco2 - S,^2
4 >
UzCk) =
Ьаа
1кф(к)
UxW =
(Z> 12 — b i з)^Дк^)
pco2 - S,^2
4 >
UzCk) =
Ьаа
1кф(к)
uyW =
uyW =
Здесь введены следующие обозначения:
Здесь введены следующие обозначения:
1 т *
1 т *
ng1 Jdx/(x) 1 +
ng1 Jdx/(x) 1 +
(6i i +6i2 — 26i3X/£4лЛ^2
(6i i +6i2 — 26i3X/£4лЛ^2
(6 i 2 — Ь i з Х^Ь ii — Ь i a — 612
(6 i 2 — Ь i з Х^Ь ii — Ь i a — 612
AtrM^ i
AtrM^ i
(9.44)
(9.45)
(9.46)
(9-47)
(9.44)
(9.45)
(9.46)
(9-47)
их получим однородную систему из пяти связанных уравнений. Если выбрать в качестве вынуждающей силы переменное магнитное поле, направленное вдоль ОЛН: hz(t) = hов~1^19 тогда все переменные задачи будут определены однозначно и после преобразования Фурье имеем
2Msh01т* и? [J(со)- В-1 (со)]iuDgm*
-а;
Ш$В^ 4
— обратная эффективная масса ДГ; s, — скорость звука, распространяющегося вдоль нормали к поверхности границы (х) и поляризованного вдоль ochz(s2 =сц/р;$у = (сц -с1г)12р; s2 = с44/р);
J(w) = 0Ф (Пх);(9.48)
со2st
Д(со) = 1 + аФ (S2J + v^zY ^j =, сод,= ;(9.49)
С0Д|.1Гба
_ (611 -Ь1гУт*828а Jbtl -613 V pbq 654mV6a Aps^M^ ’\ ps, / т*Aps^M^
(9.50)
Ф(П) = я2 / 7^-= Ф1(П)-/Ф2№),(9.51)
_ * fi - ккЬа/ 2 + z0
= V/i(n)-zV/2(n).= V/i(n)-zV/2(n).(9.52)(9.52)/я V ” к1 [гф(Л)] 1dk ^ =(- I /
= V/i(n)-zV/2(n).
= V/i(n)-zV/2(n).
(9.52)
(9.52)
\2 / _ оо п- irk6a/2 + zO
Здесь к — компонента волнового вектора, нормальная к ДГ,/(&) и ф(к) — фурье-образы соответственно от функций Дх) (9. 33) и ф(х) = sin20o. Их явный вид зависит от области изменения параметра т0 (934). Для 0 <т0 <1 имеем
При т0 > 1 в этих формулах необходимо произвести замену (1 — т0) на (т0 - 1) и arch (2/т0 — 1) на arccos (2/т0 - 1). Отметим, что в пределе т0 1 соотношения (953) и (954) переходят соответственно в соотношения (9.14 в) и (9.14 г), если в последних левую и правую часть разделить на 2л. Функции Ф1 (или фх) и Ф2 (или i/^) являются соответственно действительной или мнимой частями комплексной функции Ф (или ф) и связаны друг с другом соотношениями Крамерса-Кронига. Действительная часть определяется интегралом вида (951) и (952) в смысле главного значения.
Из решения (9.42) следует, что наряду с голдстоуновской модой, соответствующей полюсу о) = 0 и связанной с вырождением основного состояния относительно равновесных трансляций ДГ, по-видимому, могут существовать и другие моды колебаний, связанные с обращением в нуль квадратной скобки знаменателя (9.42). Это и будут резонансные (квази- локальные) моды колебаний. Их полюса будут комплексными, что связано с генерацией звука осциллирующей ДГ.
Частоты резонансных мод определяются корнями уравнения
Re^-1 (w) - J(w)] = 0, (9.55)
если таковые имеются. Естественно, что резонансными могут считаться лишь такие корни а>рез, для которых величина Imf#"1^^)—J(wpe3)] является достаточно малой.
Рассмотрим сначала случай ’’слабой” магнитострикции, который реализуется в большинстве ферромагнетиков:
cij^^cij^^< 1.< 1.(9.56)(9.56)
cij^^
cij^^
< 1.
< 1.
(9.56)
(9.56)
(9.57)(9.57)В этом случае можно пренебречь членами порядка £ по сравнению с единицей в выражении для обратной эффективной массы (9.47)
(9.57)
(9.57)
—” % irg2 JKx)dx, т*
(9.58)(9.58)а затем и слагаемыми с а и р. В результате дисперсионное уравнение (9.48) примет вид
(9.58)
(9.58)
ф^па^г1.
Вид функции Ф1 зависит только от одного параметра - т0 (9.34). Простейшим является случай блоховской границы. Для него
-4Ф1№) = —77-4Ф1№) = —77sh2sh2.3.3dxГ2, - jcdxГ2, - jcФ2 (^)Ф2 (^)4П?Trsh2^4П?Trsh2^(9.59)(9.59)
-4
Ф1№) = —
77
-4
Ф1№) = —
77
sh2
sh2
.3
.3
dx
Г2, - jc
dx
Г2, - jc
Ф2 (^)
Ф2 (^)
4П?
Trsh2^
4П?
Trsh2^
(9.59)
(9.59)
1( сх\ \1
Г1 = I21 —(9.60)
X 612 - 613 / 2ттр&5а)
Уравнение (9.58) имеет корни, если
S 1 < Ф1№шах)-
В этом случае, как показывает анализ, имеются два корня, причем резонансным может считаться только верхний, так как соответствующее ему затухание достаточно мало [140]. Для существования резонансной моды постоянная /Г1 должна быть, во всяком случае, меньше 1, поскольку Ф1 (^тах) ^ 0,3. Между тем даже при очень благоприятном соотношении параметров (например, b^ « 107 Дж/м3; с^ « 1011 Дж/м3; р ~ 104 кг/м3 и 8а « 10“8 м) для Р”1 получаем величину порядка 104. Только в некоторых экстремальных ситуациях, а именно в ферромагнетиках с гигантской магнитострикцией (Ьц/су « 10~3) и очень широкими ДГ (8а > 10~7 м) возможны значения /Г1 ^ 1. Однако эта ситуация уже не соответствует малому параметру магнитоупругой связи £ (956) и В (со) # 1.
Как показывает анализ, проведенный в [140], соотношение параметров Ф1(^пах) и 0”1 может быть изменено в лучшую сторону при уменьшении т0. При этом на кривых Ф^^) [Ф2№)] имеется уже два максимума (минимума). Это указывает на принципиальную возможность существования двух резонансных уровней, соответствующих двум возможным корням уравнения (9.58), для которых затухание мало. Однако при малых т0 основное состояние системы (9.32), (9. 33) становится неустойчивым и 180-градусная ДГ испытывает тенденцию к расщеплению на две 90-градусные, о чем, по-видимому, и свидетельствуют два максимума на кривой Ф1№тах) (СМ.ГЛ. 1).
Таким образом, резонансные (квазилокальные) моды могут появиться лишь в том случае, когда потенциальная яма, связанная с магнитострикционными деформациями, будет достаточно глубокой (большие Ьц « « 108 Дж/м3) и широкой (большие bQ ^ 10~7 м), а состояние системы должно быть близким к неустойчивому (малые т0).
Реальными системами, в которых также могут наблюдаться изученные резонансные моды, соответствующие относительным колебаниям ДГ и созданным ею деформациям, являются антиферромагнетики [98]. Кроме того, резонансные моды могут, по-видимому, наблюдаться в ферромагнетиках с анизотропией ’’легкая плоскость”, когда в плоскости базиса приложено постоянное магнитное поле и толщина ДГ зависит от него: с уменьше-
нием Н растет толщина ДГ [117]. Другой системой, где могут наблюдаться подобные явления, будут, по-видимому, ферромагнетики с плоскопараллельной доменной структурой, когда магнитное поле приложено перпендикулярно легкой оси в плоскости ДГ и по величине близко к полю анизотропии [120].
МАГНИТНАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬИ ПОГЛОЩАЕМАЯ МОЩНОСТЬ
Полученные решения (9.42) —(9.46) позволяют исследовать особенности магнитной динамической восприимчивости связанной системы доменная граница—неоднородная деформация. С учетом собственной частоты ДГ соо, обусловленной действующей на нее квазиупругой силой (см. гл. 3 и 5), а также собственного затухания А^ решение (9.42) примет вид
_ 2Msh01
т* coq - zcoA^, - со2 [I?"1 (со) -/(со)]
Учитывая, что приращение намагниченности равно q
bMz = 2MS —=xho,
для динамической восприимчивости получим
COq
X (ы) = Хо —2—.ir-fz <Т, ТГ = XI + 1X1 •(9.62)
COq - zcoAw - со [В 1 (со) -/(со)]
Здесь Хо = 2M$lm*G)oD - статическая начальная восприимчивость. Поглощаемая мощность на единицу объема
( со ^/2я)1
P=-Re / hz ^Mzdt = - a;x2(^)l*ol2.(9.63)
[ 2я оJ2
Поглощение Р будет резонансным вблизи частот, определяемых уравнением co^co^e^"1^) -/(^)].(9.64)
Для наиболее простого случая слабой магнитоупругой связи (a, v < 1) рассмотрим две предельные ситуации: со<сооисо>соо.
Исследуем сначала Xi (ы) при со >соо. Выделяя мнимую часть в функциях Ф (£2) иФ(П) (9.51) и (9.52),имеем
COq
Xi (^>) ^ Хо —з <AW + а> [аФ2 (Пу) + № (Пх) + рФ2 (П2 ) ]) , “(9.65)
Ф2 (П) = ——1 - То11Ф2(П) = - —7Г 1 -1/2 12. Зак. 1219ЛП\1И sin2 1 — archl — - 1) I L 7Г\ T0 /J^—'—;(9-66) sh И rH/2\1Hsin 1— archl— 1 7Г\ .T0/ J— —— •(9.67)T0ch2H177Ф2 (П) = ——1 - То11Ф2(П) = - —7Г 1 -1/2 12. Зак. 1219ЛП\1И sin2 1 — archl — - 1) I L 7Г\ T0 /J^—'—;(9-66) sh И rH/2\1Hsin 1— archl— 1 7Г\ .T0/ J— —— •(9.67)T0ch2H177где в соответствии с (9.51) -(9.54) для т0 ^ 1
Ф2 (П) = ——
1 - То
11
Ф2(П) = - —
7Г 1 -
1/2 12. Зак. 1219
ЛП\1
И sin2 1 — archl — - 1) I L 7Г\ T0 /J
^—'—;(9-66) sh И rH/2\1
Hsin 1— archl— 1 7Г\ .T0/ J
— —— •(9.67)
T0ch2H
177
Ф2 (П) = ——
1 - То
11
Ф2(П) = - —
7Г 1 -
1/2 12. Зак. 1219
ЛП\1
И sin2 1 — archl — - 1) I L 7Г\ T0 /J
^—'—;(9-66) sh И rH/2\1
Hsin 1— archl— 1 7Г\ .T0/ J
— —— •(9.67)
T0ch2H
177
Для То > 1 необходимо произвести замену (1 - т0) "* (т0 - 1) и /2\/2
arch!— -Ij-^arccosl— — 1
Vo/Vo
ФункцииФ2(£2)иФ2 №)являютсясильнонемонотонными,имея
один или более(взависимости отвеличины то) максимумов.Соответст
вующие максимумы в поглощении энергии, обусловленные излучением звуковых волн колеблющейся ДГ, по-видимому, связаны с геометрическим резонансом: возбуждаются волны с длиной волны X «6а и частотами go порядка sba"V что соответствует в (9.49) £2 « 1.
Для первой ситуации (со <соо) функция Х2 (^) может быть представ
лена в виде
Х2 (<^) ~ ХоХ2 (<^) ~ ХосоЛ^(со)GOqсоЛ^(со)GOq(9.68)(9.68)гдегдеAw(gj) Aw +ITAw(gj) Aw +ITР V — ^Дх 7ГР V — ^Дх 7ГДхДх
Х2 (<^) ~ Хо
Х2 (<^) ~ Хо
соЛ^(со)
GOq
соЛ^(со)
GOq
(9.68)
(9.68)
где
где
Aw(gj) Aw +
IT
Aw(gj) Aw +
IT
Р V — ^Дх 7Г
Р V — ^Дх 7Г
Дх
Дх
(9.69)
- эффективный коэффициент затухания доменной границы. При получении (9.69) полагалось т0 < 1. В обратном случае (т0 ^ 1) выражение в квадратных скобках (9.69) следует заменить на [arccos(2/T0 - 1)]/\Ао “ 1-
Соотношения (9.44) —(9.46) позволяют также рассчитать амплитуды звуковых волн, генерируемых доменной границей, и исследовать особенности рассеяния звука на ДГ. Детально эти вопросы изложены в [141].
Глава 10
ВЛИЯНИЕ ДОМЕННОЙ СТРУКТУРЫНА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОТЕРИВ ПРОВОДЯЩИХ ФЕРРОМАГНЕТИКАХ
ВВЕДЕНИЕ В ПРОБЛЕМУ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОТЕРЬ
При изменении состояния намагниченности ферромагнитного кристалла часть энергии, передаваемая этому кристаллу, превращается в тепло, т.е. затрачивается бесполезно, теряется. В мощность полных потерь, возникающих при перемагничивании ферромагнетиков разных типов, могут вносить вклад разные физические механизмы, например связанные со спин-спино- вой и спин-решеточной релаксацией, с возникновением вихревых токов и др. Обычно из полных потерь в ферромагнетиках выделяют так называемые гистерезисные, мощность которых оценивают по площади квазистати- ческой петли гистерезиса.
С практической точки зрения большой интерес представляет исследование потерь в проводящих ферромагнитных веществах, например в электро-
технических сталях, используемых в промышленности [47]. При огромном объеме применения этих материалов снижение в них потерь даже на несколько процентов представляет собой весьма важную задачу. Выполнение последней немыслимо без детального понимания физических явлений, влияющих на формирование электромагнитных потерь (ЭП).
Остановимся на результатах исследования потерь в проводящих ферромагнетиках, в частности в электротехнических сталях, которые представляют собой сплавы железа с кремнием (например, Fe - 3 мас.% Si) и обладают разной степенью совершенства кристаллографической текстуры. Широко применяются стали в виде тонких плоскопараллельных листов с госсовской текстурой. При госсовской текстуре кристаллиты ориентированы так, что одна из трех ОЛН, которыми обладает каждый кристаллит, имеющий ОЦК-решетку, лежит в плоскости, близкой к поверхности листа, а две другие наклонены под углом, близким к 45°.
В проводящих ферромагнитных веществах потери энергии в основном связаны с вихретоковой и гистерезисной составляющими ЭП. При расчете на один цикл перемагничивания плотность энергии, связанная с гистерезисными потерями, может быть представлена в виде
1
QT= — #HJB=fHJM, (10.1) 4я
где В - индукция; М - намагниченность; Н - магнитное поле в ферромагнетике. Интегрирование производится по замкнутой петле гистерезиса. Далее везде индексы ”г” и ”в” у величин, характеризующих те или иные потери, будут обозначать соответственно гистерезисные и вихретоковые потери. Те же величины без индекса будут представлять собой полные потери, состоящие из вихретоковых и гистерезисных.
Часто вводят также величины
Wr = fQT, (10.2) где f — линейная частота изменения внешнего магнитного поля и
^ = wjp = /ег/р, (юз)
где р — плотность вещества. Эти величины представляют соответственно плотность энергии и удельную энергию, диссипируемые за единицу времени. Иными словами, Wr - плотность мощности потерь, а Рг - удельная мощность потерь.
Величина Рг зависит от максимальной индукции образца Вт, размеров зерен поликристаллического образца, наличия дефектов, типа и совершенства магнитной и кристаллографической текстуры, ориентации поверхностей, ограничивающих монокристалл, по отношению к кристаллографическим осям и других факторов. Из сказанного становится очевидным, что ее значения должны колебаться в широких пределах. Так, в крупнозернистой горячекатаной электротехнической стали с толщиной листа 0,35 мм и содержащей ~ 0,015% углерода, Рг « 0,5 Вт/кг при Вт = 1 Тл [47]. В то же время на пластинах Fe - 3 мас.% Si с высоким совершенством текстуры и толщиной 0,37 ммРг = 0,4 Вт/кг при существенно большем значении индукции: Вт = 1,7 Тл [176]. В монокристаллических пластинах
(Ю.5)(Ю.5)
(Ю.5)
(Ю.5)
Рис. 10.1. Схема появления в плоскости (ух) вихревых токов (замкнутая линия со стрелками) при изменении индукции в направлении оси г в однородной плоскопараллельной пластине с плоскостью поверхности, параллельной координатной плоскости (xz)
Fe-З мас.% Si с госсовской ориентацией поверхности и небольшим наклоном одной из ОЛН к торцам пластины Рг =0,1 Вт/кг при Вт = 0,75 Тл [60].
Вихретоковые потери связаны с изменением магнитной индукции В со временем, т.е. с существованием величины dbjdt, приводящей к возникновению токов с плотностью j. Плотность мощности потерь WB можно найти по формуле
= — S ^dt, (10.4) V v
где Ре — удельное электросопротивление, которое предполагается однородным; V — объем ферромагнетика, а черта сверху означает усреднение по периоду Т изменения индукции ферромагнетика
_ 1 т а= - fa^dt. Т о
Плотность тока / может быть найдена из уравнения Максвелла, которые с учетом однородной и изотропной удельной электропроводности имеют
ВИД 1 ЭВ
rotj = — —;(10.6)
срЕ dr
divj=O.(10.7)
Пусть имеется плоскопараллельная ферромагнитная пластина толщиной d и шириной 2£ (см. рис. 10.1), которая обладает однородной и изотропной проницаемостью д, так что величина ЭВ/dr однородна. Выберем систему координат xyz так, чтобы ось z была направлена вдоль ЭВ/dr и лежала в плоскости пластины. Используя уравнения (10.6), (10.7) и граничные условия, заключающиеся в том, что на всех поверхностях пластины нормальные составляющие тока j„ равны нулю, получим/2 = 0 и
4 /ЭВД -(-1)" + 1
/ = -1 — I S—- cos q„у sh qn х,(10.8)
cp^d \ЭГ J n=o qncnq„L
4 /ЭВД - (-1)” + 1
ix =t(~) 2 "TT—7 sin<7„.y(ch<7nx-cM„£),(10.9)
cpEd\ dr / n = o qno\\qnL
где
Qn = з(2и + О- d
Полагая Bz = Вт cos cot, где Вт - амплитудное значение Bz, со - частота изменения индукции BZ) и используя (10.4) с учетом (10.8) и (10.9), получим
W^ = -2 V J ™L(10.10)
6 pEc
где.
192 / d\ -1 L\
Sv = X - —(-) 2 -*- .(10.11)
irs \2£/n = i n5 \ d)
нечетн
Выражение ^кл^ описывает так называемые классические потери, т.е. потери, получаемые в предположении однородной изотропной и постоянной проницаемости. Выражение (10.10) справедливо для пластины с произвольным соотношением 2L и d. В частности, если пластина тонкая, т.е. 2L/d ^>1,то из (10.10) получаем 5! ~ 1 и
, х Л <dirfBmY
^(кн) = _ 1(10.12)
б Р^'Г
В случае, если сечение образца представляет собой квадрат, 2L=d, то 51 = 0,424 и классические потери при прочих равных условиях становятся наименьшими.
Из (10.10) видно, что классические потери на вихревые токи квадратично зависят от частоты и амплитудного значения индукции. Весьма важно, что Р|/Кл) зависит от толщины листа, поскольку это открывает возможности снижения потерь за счет перехода к более тонким листам. Другая возможность снижения вихретоковой составляющей потерь связана с использованием сталей с возможно большим Ре- Одним из способов повышения Ре является увеличение процентного содержания Si в Fe—Si- сплавах. Однако такое повышение возможно лишь до некоторых пределов, поскольку оно приводит, во-первых, к снижению индукции насыщения BS) что не всегда допустимо, а также к ухудшению механических свойств стали.
Ниже будет показано, что представления, лежащие в основе получения (10.11), справедливы только тогда, когда домены в ферромагнитном кристалле имеют достаточно малые размеры D, значительно меньшие, чем размеры кристалла d. Если это условие не выполняется, то ДС играет определяющую роль в вихретоковых потерях. На это впервые было обращено внимание еще в работе Вильямса, Шокли и Киттеля [24] (см. также [113, 190, 282]), которые показали, что так называемые дополнительные потери (разница между экспериментально измеренными суммарными потерями и вычисленной суммой WT + И/^^ связаны с дисперсией магнитной проницаемости, обусловленной существованием ДС.
Следует заметить, что с ДС связано существование не только вихретоковой, но и гистерезисной составляющей ЭП, а потому проводимое
разделение полных потерь на вихретоковые и гистерезисные, вообще говоря, является условным и неоднозначным (см. также [16]). В связи со сказанным ясно, что такое разделение может служить источником дополнительных ошибок в оценках мощности потерь, а потому вопрос о разделении должен решаться в каждом конкретном случае отдельно.
Если говорить о конкретных механизмах гистерезисных потерь, то их следует связать с задержкой движения ДГ на магнитных и немагнитных включениях, на межзеренных границах и всевозможных несовершенствах решетки отдельных кристаллитов. В связи с этим становится ясным, что имеются большие трудности на пути создания теории гистерезисных потерь. Такие теории в настоящее время развиваются в работах [41, 185]. Что касается вихретоковой составляющей ЭП, то, на наш взгляд, здесь за время, прошедшее с момента опубликования работы [24], достигнут существенный прогресс. Это связано с большим вниманием, которое уделялось исследованию именно вихретоковой составляющей ЭП. Дело в том, что по мере совершенствования выпускаемой промышленностью электротехнической стали (создание стали с высокой степенью совершенства кристаллографической текстуры и высокой степенью чистоты) гистерезисные потери удалось снизить настолько, что определяющую роль стали играть вихретоковые потери и возникла проблема их уменьшения. В электротехнических сталях с высоким совершенством текстуры весьма важную роль в ЭП начинает играть ДС. При этом выяснилось, что недостаточно знать только статическую ДС. Оказалось, что даже для качественного описания целого ряда закономерностей в потерях важное значение имеет и динамическое поведение ДС. Поскольку это поведение не сводится к колебательному (поступательному) движению ДГ в переменном (постоянном) во времени магнитном поле, а в общем случае происходят сложные динамические изменения формы ДГ и при определенных условиях и динамическая перестройка ДС в целом, задача об исследовании ЭП становится весьма интересной не только в прикладном, но и в фундаментальном научном плане.
ПОТЕРИ, СВЯЗАННЫЕ С ДВИЖЕНИЕМЖЕСТКОЙ ИЗОЛИРОВАННОЙ ДОМЕННОЙ СТЕНКИ
Предложим, что в однородной монокристаллической плоскопараллельной проводящей ферромагнитной пластине шириной 2L и толщиной d имеется изолированная жесткая ДГ, которая разделяет всю пластину на два домена (рис. 10.2) с противоположным М. Под жесткой будем понимать ДГ, которая не меняет своей формы в процессе движения. При движении ДГ под действием магнитного поля, направленного вдоль намагниченности одного из доменов, магнитная индукция В (далее везде полагаем В~4тгМ, так как в ферромагнетиках это выполнено в большинстве реальных ситуаций) изменяется со временем. При этом в ситуации, изображенной на рис. 10.2, dK/dt направлена вдоль z. Согласно (10.6) с наличием d^/dt связаны вихревые токи j, которые можно найти, непосредственно используя (10.6) и (10.7). Далее предположим, что ДГ является бесконечно тонкой (приближение геометрической стенки). В этом
Рис. 10.2. Схема возникновения вихревых токов (замкнутые линии), связанных с движением одиночной доменной границы, параллельной координатной плоскости (zy), в плоскопараллельной пластине толщиной d и с плоскостью поверхности, параллельной плоскости (xz)
случае в областях 1 и 2 (рис. 10.2) rot j = 0, divj = 0.
(10.13)(10.14)(10.13)(10.14)На доменной стенке согласно (10.6) и (10.7) получаем следующие условия сшивания:
(10.13)
(10.14)
(10.13)
(10.14)
/1х1х-хо - j^x 1х = х0
И
/1,у1х = х0 /2у1х = х0 ^$!Рес^0»
(10.15)(10.15)(10.16)(10.16)где В^^4тгЛГу — индукция насыщения; х0 - величина смещения ДГ из положения равновесия; x^-dx^/dt. Из (10.15) и (10.16) соответственно следует, что нормальная составляющая тока через поверхность ДГ непрерывна, а тангенциальная терпит разрыв, величина которого определяется скоростью изменения магнитной индукции
(10.15)
(10.15)
(10.16)
(10.16)
В= BsxQm
(10.17)
где х0 - скорость движения ДГ.
На поверхностях пластины из (10.7) получаем равенство нулю нормальных составляющих плотности тока j:
/Х(х = ±L) = 0;
(10.18)
/
^V ” ±2/ =0'
Можно также заметить, что в силу симметрии задачи jy(y)=jy(-yY
Решения уравнений (10.13), (10.14), подчиняющиеся (10.15) —(10.20), могут быть представлены в виде
.45$ . - (-1)" sh(L-x)<?„sh(Z+x0)<7n .
L „=о qnd&qnL ^iqnL
(10.19)
(10.20) условиям
(10.21)
.4^ • ” (-1)”
chqn(L - x)^qn(L +х0)
(10.22)
/11' лс С Х0,
Pt- n=o qnd
cos^^^y chqnLshqnL
для области 1 (см. рис. 10.2) и
.4В$ . - (-1)” shqn(L + x)shqn(L - х0)
/2х = -*о 2 — -sm<?„^,
рЕс n=o qndsnqnLchqnL
4BS . ~ (-1)" shq„(L - x0)chq„(L + x)
/2^=O./^л'., .,-COS^
n=o qndchqnLshqnL
для области 2.
В (10.21)—(10.24) введено обозначение qn = ^(<Г)^2п + 0-
(10.23)
(10.24)
Мгновенная мощность потерь на вихревые токиИ^в^), рассчитанная на единицу длины пластин вдоль оси z, может быть найдена согласно формуле
^В (?) = Ре / dx J dy(ft + /|). — L -d)l
Подставляя сюда найденные токи, получаем
~1652Xq ~1ch2^„Z, - ch2<?„x0
^В М2^3к Л 7
Рес а л=о qnsx\2qnL
(10.25)
(10.26)
При малых смещениях доменной стенки х0 < L, движущейся с постоянной скоростью х0 = u = const, находим [24]
16B$v2d2 °°1irL
^в =2 з 2 3th •
РеС 7Т л=1пd
нечетн
(10.27)
2тгЛ
При q = — > 1 приближенно можно записать fVB = \6B2v2d2[it3рЕс2.
(10.28)
Отсюда видно, что при стационарном движении границы мощность потерь на вихревые токи в проводящем ферромагнетике пропорциональна квадрату скорости движения ДГ.
Представим теперь, что ДГ совершает колебательное движение с частотой со, так чтоВ = В^ coscor. Используя (10.26), после усреднения И^в (г) по периоду колебаний Т = 2тг/со (см. (10.5)), имея в виду,что 1^3 = = WB (t)!2Ld9 получим при q > 1
%d^(Bmj\? ~1
WB = — (~) q 2 —.
Ре \ ^с 1”=1 п
нечетн
(10.29)
Отсюда, в частности, с учетом (10.12) находим
. ч 48 'LL ~11L
^в(кл) =— - 2—= 1.628—,
в/1Г d п=1п3d
нечетн
(10.30)
т.е. учет движения ДГ дает потери, которые могут быть существенно боль-
ше классических. Следует, однако, иметь в виду, что в реальных ситуациях 2L/dHe может сильно отличаться от 1 (при 2L/d > 1), поскольку в пластинах с 2L/d > 1 наличие одиночной ДГ не соответствует минимуму энергии. В случаях пластин достаточно больших размеров по сравнению с их толщинами вместо 2Z следует подставлять ширину доменов D, при этом вполне реальна ситуация D/d ^ 1. Такой результат является следствием и более точного рассмотрения (см. раздел 10.4). Отметим также, что Й/В/И^кл) > 1 и в других ситуациях. Так, wpnqBmIBs < 1 (например, малые смещения ДГ) имеем
^(ВтЛ2
^в = — qS2(10.31)
Ре \лс /
где
оо1irL
52 = 2 —th—(10.32)
n=i пd
нечетн
Для стержня квадратного сечения в плоскости, перпендикулярной оси 2, S2 ^ 0,97. Учитывая это, а также (10.10) и (10.11), для указанного случая имеем
И/в/^кл) «3,54.(10.33)
Таким образом, именно учет ДС позволяет решить вопрос о так называемых аномальных потерях (см. [16]), что впервые было продемонстрировано в работе Вильямса, Шокли и Киттеля [24]. Заметим, что при учете ДС автоматически учитывается неоднородность изменения d^/dt (неоднородность проницаемости д). Величины dbjdt и д очень велики в районе смещения ДГ и весьма -Малы в остальных точках кристалла. При этом среднее значение Е2 = j2 Ре* которому пропорциональна мощность потерь, всегда больше для неоднородного распределения dbjdt, чем для однородного, даже если общее изменение потока в обоих случаях одинаково [24]. Это приводит к тому, что ^/IV^J1^ > 1.
ПОТЕРИ В ФЕРРОМАГНИТНЫХ ПЛАСТИНАХС ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ДОМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ
Для получения более детальной информации о влиянии ДС на вихретоковые потери в проводящих ферромагнетиках необходимо исследовать многодоменные образцы. Ориентируясь на широко распространенные в технике тонкие листы электротехнической стали с госсовской текстурой высокого совершенства, рассмотрим монокристаллическую пластину толщиной^, поверхности которой совместим с плоскостями у = ±dj2 координатной системы с центром в середине одного из доменов (рис. 10.3). Предположим, что одна из ОЛН параллельна поверхности пластины, и направим вдоль нее осьг. Размеры пластины вдоль осей*иг будем считать достаточно большими, чтобы можно было пренебречь влиянием ее границ, перпендикулярных этим осям, на вихревые токи. Пусть пластина настолько тонкая, что обладает сквозной 180-градусной ДС с шириной доменов D и с ДГ, перпендикулярными ее поверхности и оси*. Предположим, что в ис-
18518513. Зак. 1219
185
185
Рис. 10.3. Периодическая ДС с ДГ, изгибающимися в процессе движения под действием переменного внешнего магнитного поля, поляризованного вдоль направления zФункция х0(у) описывает мгновенную форму ДГ. Штриховые линии — равновесное положение ДГРис. 10.3. Периодическая ДС с ДГ, изгибающимися в процессе движения под действием переменного внешнего магнитного поля, поляризованного вдоль направления zФункция х0(у) описывает мгновенную форму ДГ. Штриховые линии — равновесное положение ДГ
Рис. 10.3. Периодическая ДС с ДГ, изгибающимися в процессе движения под действием переменного внешнего магнитного поля, поляризованного вдоль направления z
Функция х0(у) описывает мгновенную форму ДГ. Штриховые линии — равновесное положение ДГ
Рис. 10.3. Периодическая ДС с ДГ, изгибающимися в процессе движения под действием переменного внешнего магнитного поля, поляризованного вдоль направления z
Функция х0(у) описывает мгновенную форму ДГ. Штриховые линии — равновесное положение ДГ
ходном (статическом) состоянии ДС является плоскопараллельной, а ДГ - бесконечно тонкими. Под действием переменного во времени магнитного поля, направленного вдоль оси z, ДГ будут испытывать колебательное движение. При этом в общем случае их форма может быть сколь угодно сложной, так что смещение точек стенки из положения равновесия будем описывать некоторой функцией х0(у, г). В ряде случаев, например для стенок, обладающих большой поверхностной энергией (жесткие ДГ), х0 не будет зависет от^. Эти случаи позволяют получить аналитические выражения для мощности вихретоковых потерь и ниже будут рассмотрены специально.
Для вычисления мощности потерь в общем случае вновь воспользуемся уравнениями (10.6) и (10.7). При этом в силу малости слагаемого
4л
- — ЭН/Эг по сравнению с - — ЭМ/дг, где Н - напряженность внутреннего сс
магнитного поля в образце, заменим в (10.6) dB/dZ на 4лдМ/дг. В силу сделанных выше предположений как в статическом, так и в динамическом режимах *
< М(у, х) = М(у, x + 2D).(10.34)
Для выбранного положения начала координат в центре домена М(х, у, t) является четной функцией х. Поскольку ДГ считаются бесконечно тонкими (влияние конечности толщины ДГ на потери - см. разд. 10.8), имеем Мх = Му = 0, a Mz(x, у, t) = М^-х, у, г) и
М$, 0<х< х0(у, t)+Dj2
(10.35)(10.35)Mz(x,y, г) =
(10.35)
(10.35)
Решение системы (10.6) и (10.7) будем искать при дополнительных условиях
)у(х, у))у(х, у)(10.36)(10.36)d =0; j(x,y)=j(x + 2D,y).
)у(х, у)
)у(х, у)
(10.36)
(10.36)
2
Первое условие (10.36) означает, что нормальная составляющая токов на
поверхности листа обращается в нуль. Второе - является условием периодичности токов в динамическом режиме с периодом ДС, равным 2D.
(10.37)(10.37)Согласно геометрии задачи распределение вихревых токов будет таким, что
(10.37)
(10.37)
/хО) = -/х(~У).
Решение системы (10.6) и (10.7) сводится к решению неоднородного уравнения Лапласа
(10.38)
для всей области монокристаллической пластины.
Согласно условиям периодичности решение уравнений (10.38) может быть представлено в виде разложения в двойной ряд Фурье.
Таким образом, имея в виду, что для выбранной системы координат Mz является четной функцией и, учитывая (10.34)-(10.37), из (10.38) получаем
8Д5* оо knJni(t)
iy=^;— 2 2 Тг7 cos^zy sin^„x,(10.39)
cudpE и=1 /=о к„ * qf
%BS ~ - q,J„^0 ./0.0
/х = -— 2 2 —-smqo-cosknX*•(10.40)
xDdpE n=i/=o k„+q,рв
jz=0,(10.41)
где
(10.42)(10.42)(10.43)(10.44)(10.43)(10.44)d!2 ./«IT\
(10.42)
(10.42)
(10.43)
(10.44)
(10.43)
(10.44)
Jn&V / ^oO. Ocosl— + x0(y, t)kn Icosqtydy; — d)2\2/
У .,,
/О, 0 = - — fxo(y , t^dy ;
cD 0
ИЛЛ
k„=—; di= ~ (21 + 1); Bs= 4irMs Da
и =1,2,...; 1 = 0,1,2,...
Точки над буквами обозначают частные производные по времени.
Мгновенную плотность мощности WB (г) на вихревые токи можно определить согласно формуле
Dp D d 12
w» ^=^^ ^ а^ *& •(1045)
2Dd -D -d/2
Подставляя в (10.45) токи jxnjy, определяемые согласно (10.39) и (10.40), получим
W»(0 =W»(0 =1 (^РЕ 'cDd1 (^РЕ 'cDd~ ” Jnl^и=1/=о кп -^qf~ ” Jnl^и=1/=о кп -^qf(10.46)(10.46)
W»(0 =
W»(0 =
1 (^
РЕ 'cDd
1 (^
РЕ 'cDd
~ ” Jnl^и=1/=о кп -^qf
~ ” Jnl^и=1/=о кп -^qf
(10.46)
(10.46)
Усредняя согласно (10.5) это выражение по периоду изменения индукции
для плотности мощности потерь, получаем [53, 217, 219]
2 ~ “ JnlV)п=н-о к„ + qj2 ~ “ JnlV)п=н-о к„ + qj2 df^S—+ — J f1^, Ody. PEd о2 df^S—+ — J f1^, Ody. PEd о(10.47)(10.47)
2 ~ “ JnlV)п=н-о к„ + qj
2 ~ “ JnlV)п=н-о к„ + qj
2 df^S—
+ — J f1^, Ody. PEd о
2 df^S—
+ — J f1^, Ody. PEd о
(10.47)
(10.47)
Таким образом, плотность мощности потерь удается представить в виде функционала ^[х^, г)] от функции х0(у, 0> описывающей форму ДГ в динамическом режиме. При этом о виде функции х0(у, г) неявно использовалось лишь самое общее предположение, заключающееся в ее симметричности относительно центральной плоскости пластины, параллельной поверхности. Однако (10.47) легко обобщить и на случай, когда указанного ограничения не существует. Таким образом, дальнейшая задача об ЭП сводится к определению функции х0(у).
10.4. ВИХРЕТОКОВЫЕ ПОТЕРИ, СВЯЗАННЫЕ С ДВИЖЕНИЕМЖЕСТКИХ ДОМЕННЫХ СТЕНОКПЕРИОДИЧЕСКОЙ ДОМЕННОЙ СТРУКТУРЫ
Рассмотрим случай границ, которые при движении не изменяют своей формы (жесткие ДГ), оставаясь плоскими, как и в статическом состоянии. Мощность потерь для этого случая при учете периодической ДС была найдена в работе Прая и Бина [282]. Воспользуемся для получения WB формулами (10.47), (10.42)-(10.44) и рассмотрим важный случай синусоидальной индукции, когда можно положить
х0 = <Bm!Bs^DIl sin cot. (10.48)
Выполняя в (10.42) и в (10.43) несложное интегрирование, получаем
(10.49)(10.50)(10.49)(10.50)sh (£><?z)sh (£><?z)г2 / DuoByy. \ Г (—1 У* 2^ / Вуу. \ Jni =( ) 1 +— jlknD— I
(10.49)
(10.50)
(10.49)
(10.50)
sh (£><?z)
sh (£><?z)
d2 , ,2)4c2 /’d2 , ,2)4c2 /’' ^qiBs / I ^«D Bm \В J
d2 , ,2)
4c2 /’
d2 , ,2)
4c2 /’
2 d[2 1
— / /2(У, Ody^ — d1 do6
где Jx (z) - функция Бесселя первого порядка.
Подставляя (10.49) и (10.50) в (10.47) получим
~ Ы21 Л /° В™ , °
П=1 кп (k2+q2)lq2 Bs lq2
(10.51)
Воспользовавшись интегральным представлением функции Jx и поменяв местами операции интегрирования и суммирования, данную сумму можно свести к табличным выражениям, где /i(z) - функция Бесселя мнимого аргумента, а также к
(10.52)(10.52)00\ D1
(10.52)
(10.52)
2 —:г = ” cth фцЛ - ——
"=i k„+q2 lq^lq2
и производя суммирование по /, где это возможно, получим
(10.53)
что представляет собой известную формулу, полученную впервые Праем и Бином [282]. В [184] получена формула, аналогичная (10.53), для случая, когда изменение индукции со временем представляет периодическую последовательность треугольных импульсов.
Весьма существенным результатом, следующим из (10.53), является зависимость мощности потерь от ширины доменов. Причем если ДС очень мелкая, т.е. D[d < 1, то из (10.53) получаем WB = И^кл), где hVkji^ определяется согласно (10.12). При увеличении ширины доменов потери увеличиваются. Если Bm!Bs и Did не малы, то вклад второго слагаемого в фигурны^ скобках мал и приближенно можно записать
WB!W^~cx^-, (10.54) d
48 1 где сх = —г— S — % 1,628.
7Г3 п И3нечетн
Таким образом, мощность потерь линейно растет с ростом ширины доменов D. Этот результат показывает, что потери можно уменьшить, если удается уменьшить ширину доменов. Согласно результатам главы 2 величина D растет с ростом размера кристалла1. Отсюда следует, что для уменьшения вихретоковой составляющей потерь в электротехнической стали с высоким совершенством текстуры2 необходимо получение сталей с более мелким зерном (см. [46, 123, 129]). Однако, как следует из экспериментальных данных, по-видимому, потери могут уменьшаться лишь при уменьшении размеров зерен до некоторых конечных величин, т.е. существует некоторый оптимальный размер зерна. Это особенно отчетливо следует из [129], где удалось сознательно варьировать размер зерен и форму. К сожалению, природа оптимального размера зерна пока не ясна. Следует думать, что при измельчении зерна необходимо как-то позаботиться о сохранении индивидуальности зерен (в магнитном отношении), которая, безусловно, теряется при получении совершенной текстуры.
Эксперименты [46, 123, 129] подтверждают снижение вихретоковой составляющей потерь при уменьшении размера зерна вплоть до критического. При этом оптимальные размеры зерна в текстурованной трансформаторной стали Ее — мае. 3% Si - оказываются порядка нескольких
Здесь имеется в виду размер вдоль ОЛН, лежащей в плоскости пластины.
Совершенная кристаллическая текстура необходима для повышения рабочей индукции при малых внешних полях и для снижения гистерезисных потерь.
миллиметров (см. [46,123,129]). Современные высокотекстурованные электротехнические стали зачастую имеют зерна больших размеров. В связи с этим имеются дополнительные резервы уменьшения потерь. Такие возможности были продемонстрированы в [289], где путем нанесения царапин на отдельные зерна удавалось дробить ДС. В[59, 124] дополнительное ’’дробление” зерен производилось с помощью локальных деформаций с последующим отжигом образцов. В результате образовывались узкие субструктурные прослойки, приводящие к дроблению ДС.
Еще одним способом уменьшения размеров доменов, а следовательно, и потерь является растяжение кристалла. В промышленных условиях такое растяжение получается при нанесении электроизоляционных покрытий на листы электротехнической стали с иным коэффициентом термического расширения ап. Если коэффициент термического расширения стали ас > ап, то при Т < Тп и при достаточно жестком сцеплении покрытия с листом последний будет растянут.
В силу явления магнитострикции растяжения в ферромагнетике должны приводить к увеличению энергии замыкающих областей и, как следствие, к уменьшению размеров доменов. Расчеты, проведенные в [55, 215], показали, что для монокристаллических пластин Ее — 3 мас.% Si изменение отношения толщины двухстороннего покрытия h к толщине пластины d от нуля до 0,03 может приводить к уменьшению ширины доменов в 2,53 раза, что представляет существенный эффект.
Приведенная в [215] формула для мощности вихретоковых потерь показывает, что имеются возможности оптимизации положительного эффекта от покрытий не только за счет подбора коэффициентов ап и ас, но и подбора соответствующих модулей упругости. Существующие экспериментальные исследования [48, 173, 212, 265] показывают, что покрытия действительно могут улучшать магнитные характеристики сталей, однако их роль сводится не только к дроблению ДС, но и к изменению ее вида, например к ликвидации 90-градусной ДС. Однако, судя по экспериментальным исследованиям ферромагнитных образцов из Ее Si [45, 268, 329], здесь имеются большие проблемы. Так, согласно [44, 45] (см. также [46]) существует некоторая оптимальная ориентация зерен кристаллитов (плоскости зерен должны быть наклонены под углами /3 = 2 -^ т 3й к плоскости поверхности листа), при которой нагрузки порядка 3 кгс/мм2 приводят к снижению мощности потерь при индукции 1,7 Тл и частоте / = 50 Гц на 25— 30%.
Заметим, что наклон поверхности монокристалла к оси [100] сам по себе уменьшает ширину доменов из-за необходимости дробления дополнительных магнитостатических полюсов, которые могут возникнуть на наклоненной поверхности, а также из-за увеличения энергии замыкающих доменов. Однако такое простое изменение ДС возможно лишь при малом угле наклона /3.
Подводя итог, можно сказать, что трудно переоценить значение результата о зависимости мощности потерь от ширины доменов, следующего из (10.53). Фактически он открывает целые направления исследований и указывает дальнейшие пути совершенствования электротехнических сталей.
Остановимся также на ряде других закономерностей, следующих из 190
^ /с Зрг ■см 3^ /с Зрг ■см 3100200 ^Гц100200 ^ГцРис. 10.4. Зависимость мощности вихретоковых потерь от отношения Did - толщины домена D к толщине пластины d для различных частот1,1* — 20; 2,2* — 60; 3,3* — 120 Гц. Сплошные линии, проходящие через точки, — эксперимент, штриховые — теория Прая и Бина [282]. Эксперименты проведены на монокристаллических пластинах Fe—3 мае.% Si с плоскостью поверхности типа (1 Ю) . Амплитудное значение индукции Вт = 5 • 103 ГсРис. 10.4. Зависимость мощности вихретоковых потерь от отношения Did - толщины домена D к толщине пластины d для различных частот1,1* — 20; 2,2* — 60; 3,3* — 120 Гц. Сплошные линии, проходящие через точки, — эксперимент, штриховые — теория Прая и Бина [282]. Эксперименты проведены на монокристаллических пластинах Fe—3 мае.% Si с плоскостью поверхности типа (1 Ю) . Амплитудное значение индукции Вт = 5 • 103 Гс
^ /с Зрг ■см 3
^ /с Зрг ■см 3
100200 ^Гц
100200 ^Гц
Рис. 10.4. Зависимость мощности вихретоковых потерь от отношения Did - толщины домена D к толщине пластины d для различных частот
1,1* — 20; 2,2* — 60; 3,3* — 120 Гц. Сплошные линии, проходящие через точки, — эксперимент, штриховые — теория Прая и Бина [282]. Эксперименты проведены на монокристаллических пластинах Fe—3 мае.% Si с плоскостью поверхности типа (1 Ю) . Амплитудное значение индукции Вт = 5 • 103 Гс
Рис. 10.4. Зависимость мощности вихретоковых потерь от отношения Did - толщины домена D к толщине пластины d для различных частот
1,1* — 20; 2,2* — 60; 3,3* — 120 Гц. Сплошные линии, проходящие через точки, — эксперимент, штриховые — теория Прая и Бина [282]. Эксперименты проведены на монокристаллических пластинах Fe—3 мае.% Si с плоскостью поверхности типа (1 Ю) . Амплитудное значение индукции Вт = 5 • 103 Гс
Рис. 10.5. Зависимость мощности потерь от частоты изменения индукции образца / при (D/d) = 3,1 и различных амплитудных значениях индукции Вт
1Д' —5 • 103;2,2* —8 • 103;5,У — 104 Гс. Сплошные линии, проходящие через точки, — эксперимент, штриховые — теория [282]. Экспериментальные исследования проведены на пластинах Ее—3 мас.% Si с плоскостью поверхности типа (110)
Прежде всего обратим внимание на то, что плотность мощности потерь Wв слабее зависит от толщины кристалла, чем это следует из классических представлений, предсказывающих квадратичную зависимость И^в от d (см. (10.12)). Эти отличия наиболее существенны в тонких образцах или при наличии достаточно широких доменов, когда Djd > 1.
Интересно обратить внимание также на то, что при сделанных выше предположениях о неизменности формы доменных стенок и доменной структуры в целом (кроме, конечно, расширения и сжатия 180-градусных доменов) мощность вихретоковых потерь точно так же зависит от частоты, как и И'вкл) , т.е. квадратично. Практически аналогичной И^1^ оказывается и зависимость WB от амплитудного значения индукции.
Экспериментальные исследования зависимости WB от D(d проводились, например, в [164]. На рис. 10.4 представлены данные для WB/f от Did, измеренные Зайковой и приведенные в работе [60] (см. также [155, 218]). Из рисунка видно, что WB действительно растет с ростом D/d, как и предсказывает (10.53). Однако имеются количественные и качественные расхождения теории (штриховые линии) и эксперимента (сплошные кривые, проведенные через точки). Эти расхождения особенно существенны при повышенных частотах. Прежде всего следует отметить нелинейный характер зависимости WB от Djd, следующий из экспериментов. Кроме того, обращает на себя внимание то, что при увеличении Djd и частоты мощность потерь, как правило, становится ниже, чем соответствующая мощность, предсказываемая формулой (10.53). Аналогичные закономерности в поведении WBlf от Djd имеются и при увеличении амплитудного значения индукции Вт [155]. Такие же особенности наблюдаются и при исследовании зависимости WBjf от частоты. Соответствующие данные приведены на
рис. 10.5 [60]. Видно, что с увеличением частоты при всех исследованных значениях Вт потери становятся ниже потерь, предсказываемых формулой (10.53). В области сравнительно небольших частот (~50 Гц) потери могут быть больше вычисленных согласно (10.53). Опять особо следует отметить нелинейный характер зависимости Wb]f от/.
Детальное исследование доменной структуры в динамическом режиме проведено экспериментально в [42, 175, 177, 227, 229]. При этом выяснилось, что в переменном магнитном поле, приложенном, например, вдоль ОЛН, лежащей в плоскости пластины, изменения ДС не сводятся только к колебаниям ДГ. Оказалось, что в процессе движения ДГ могут изгибаться (см. [42, 229]) так, что индукция на поверхности,образца и средняя по сечению образца могут сильно отличаться друг от друга. При увеличении амплитудного значения индукции при фиксированной частоте, а также при увеличении частоты при фиксированном значении индукции происходит изменение числа доменов (эффект динамического дробления ДС), и, таким образом, ширина доменов становится зависящей от частоты изменения индукции (см. [175, 177, 227, 276]). Интересно отметить, что такой же процесс дробления и некоторые другие особенности поведения ДС были обнаружены на неметаллических ферромагнетиках, таких, как Y3Fe5O12 [26]. Возможно, что это указывает на общность природы динамического дробления ДС, не обязательно связанную с вихревыми токами.
Еще одним замечательным эффектом является движение ДС как целого в ту ли иную сторону в образце при действии внешнего переменного магнитного поля [43]. Оказалось, что в динамическом режиме поведение ДС может сильно отличаться .от ее квазистатического поведения, и эти существенно динамические особенности, безусловно, будут сказываться на характере вихретоковых потерь. В частности, по-видимому, естественно связать с ними нелинейную зависимость потерь от частоты и D)d. В настоящее время имеются попытки объяснения динамического дробления ДС [175, 177, 225, 296], но не существует теорий, описывающих движение ДС как целого в переменном магнитном поле. Поэтому ниже остановимся детально лишь на учете динамического изгиба ДГ и влияния этого изгиба на ЭП.
10.5. ИЗМЕНЕНИЕ ФОРМЫ ДОМЕННОЙ ГРАНИЦЫВ ПРОЦЕССЕ ДВИЖЕНИЯ И ВИХРЕТОКОВЫЕ ПОТЕРИ
Первые теоретические исследования вихревых токов, учитывающие динамический изгиб ДГ в процессе их движения, принадлежат Сикстусу и Тонксу [299]. Однако использованные в [299] оценки довольно грубы и по этой причине не могут быть использованы для объяснения особенностей поведения потерь, описанных в предыдущем разделе. Расчеты магнитной проницаемости, приведенные в работах Поливанова [113], а также Бишопа и Ли [190] учитывают лишь малый изгиб ДГ, который, как будет видно далее, возможен лишь в случае малых частот (малых скоростей движения ДГ) или малых амплитудных значений индукции. Теория потерь при учете произвольного изгиба ДГ впервые была построена в работах Бишопа [186—189], который одновременно аналитически вычислил форму ДГ при движении с постоянной скоростью, а также в режиме синусоидаль-
Рис. 10.6. Профиль доменной стенки (сплошная жирная линия), изгибающейся в процессе движения вдоль оси х, в пластине с плоскостью поверхности, параллельной координатной плоскости (xz) (ось z перпендикулярна плоскости чертежа)
Здесь же приведена ступенчатая модель ДГ (сплошная ломаная линия), положенная Бишопом [186] в основу расчета потерь. Знаки ’’кружок с точкой” и ’’кружок с крестом” показывают направление намагниченности в пластине соответственно к нам и от нас
Ри с. 10.7. Зависимость мощности потерь за цикл (левая шкала по оси ординат) и относительной скорости поверхностных сегментов ДГ (правая шкала оси ординат) от средней скорости ДГ (верхняя шкала оси абсцисс) и частоты (нижняя шкала оси абсцисс) изменения индукции
1 — расчет И^у/по [282]; 2-5 — расчеты Бишопа [187]. Кривые 2 и 3 соответствуют расчету И'дУ/при числе сегментов ДГ N, равном 8 и 16 соответственно. Кривые 4 и 5 дают относительную среднюю поверхностную скорость ДГ при индукциях, соответствующих перемагничиванию 3/4 поверхности и всей поверхности соответственно. Кружок и точка — экспериментальные данные Хельмисса [229], выполненные на рамке FeS, причем кружок соответствует потерям, а крестик скоростям
ной индукции. Им рассмотрено также движение пары стенок [187], которые на некотором интервале периода могут объединяться с образованием некого замкнутого магнитного домена со стенками, параллельными оси z, лежащей в плоскости пластины. Ниже мы кратко остановимся на модели и результатах теории Бишопа.
Предположим, что имеется плоскопараллельная пластина, содержащая ДГ, которая изгибается при движении вдоль оси х под действием внешнего магнитного поля, приложенного вдоль оси z, параллельной поверхности пластины. Профиль ДГ в плоскости ух представлен на рис. 10.6. Для упрощения задачи Бишоп предложил заменить истинную ДГ границей, состоящей из ряда вертикальных сегментов, соединенных горизонтальными участками так, как это указано на рис. 10.6. Естественно, что в такой модели структуры ДГ изменение М связано только с движением вертикальных прямолинейных сегментов, что позволяет достаточно просто вычислить потери способом, предложенным в разделе 10.2. С этой целью Бишоп рассмотрел динамическое равновесие каждого сегмента в отдельности. На рис. 10.6 показаны силы поверхностного натяжения ДГ Г12 и Т32, действующие со стороны первого и третьего сегментов соответственно на второй. Индексом х сверху обозначены проекции Тц на направление
Рис. 10.8. Форма доменной стенки в поперечном сечении монокристаллической плоскопараллельной пластины плоскостью, перпендикулярной ОЛН
Эта плоскость совпадает с плоскостью листа. Намагниченность в пластине направлена от листа по одну сторону стенки и за лист — по другую. Цифрами снизу обозначены относительные скорости соответствующих ДГ. Утолщение на вершине стенки появляется при относительных скоростях ДГ (м> > 21
движения ДГ. В [186, 187] найдена конфигурация отдельной ДГ, движущейся в режимах постоянной скорости и синусоидальной индукции. Найдена также конфигурация пары стенок при изменении индукции со временем, представляющей последовательность треугольных импульсов.
Одновременно была рассчитана зависимость WB(f от /. Она представлена на рис. 10.7. Предполагалось, что поведение индукции со временем описывается последовательностью треугольных импульсов с изменением
В(0 на периоде от — Вт до—Вт и обратно, до —Вт. Такие специальные расчеты проделаны для того, чтобы сравнить их с экспериментальными данными [229], полученными при указанном изменении индукции на монокристаллической рамке Fe - 3 мас.% Si, в каждом плече которой содержалось две ДГ. Из рис. 10.7 видно, что в области повышенных частот ход И/в//отклоняется от линейного и описывается законом/1/3. Именно при этих частотах и скоростях имеется сильный изгиб ДГ. Результаты вычислений уже при N = 16 не зависят от N. Имеется хорошее согласие с экспериментом [229]. На этом же рисунке представлена зависимость отношения относительной скорости поверхностных сегментов us к относительной скорости (и) = N"1 S us, усредненной по конфигурации сегментов ДГ (us = 8 B$d2vs[(ir3ipEc2), где vs - скорость s-ro сегмента; у - энергия ДГ).
При исследовании движения ДГ сегментная модель приводит при <и) = = const, начиная с (и) = <и)с = 17,3 к нестабильности доменной границы, связанной с неограниченным смещением некоторых сегментов относительно других. В связи с этим Бишоп усовершенствовал модель [188, 189], рассмотрев сегменты, наклоненные к оси х, и полностью исключив горизонтальные участки, соединяющие эти сегменты. Получающиеся при этом результаты подтверждают прежние расчеты и показывают, что указанная выше неустойчивость не возникает. Был найден любопытный результат: при больших скоростях <и) > 21 на вершине изогнутой стенки появляется утолщение (см. рис. 10.8), которое еще при больших скоростях (<и>> > 50) может оторваться от остальной части стенки.
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФОРМЫ ДОМЕННОЙ ГРАНИЦЫИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
В [151] было сформулировано уравнение, позволяющее определить форму ДГ в динамическом режиме при синусоидальной индукции. Однако полученные решения этого уравнения были справедливы лишь в случае сравнительно малых изгибов. Для получения данных о форме ДГ при наличии периодических ДС в [52] (см. также [218, 217]) был предложен метод восстановления формы ДГ из экспериментальных данных, независимых от измерения электромагнитных потерь, и справедливый при сколь угодно больших изгибах стенок.
Заметим, что поскольку обычно индукция задается синусоидальной, наиболее общий вид ДГ может быть описан формулой
хо«, 0 = у Л(0 sin (^ + ^(0), ? = 2yld.(10.55)
В данном случае амплитуда Л® и фаза фв(Ю колебания отдельных точек ДГ являются некоторыми произвольными функциями координаты у. Запись (10.55) означает, что изгиб ДГ может быть связан как с различием в амплитудах колебаний разных точек ДГ, так и с разницей в фазах колебаний указанных точек. Реально, конечно, существует одновременно и тот и другой эффект. Дальнейшая задача заключается в определении функций Л (?) и Фв(0 • Для того чтобы это сделать, можно воспользоваться, например, теми экспериментальными возможностями, которые имеются в настоящее время. Экспериментально задается средняя по объему индукция В у с амплитудным значением Вт. Кроме того, используя стробоскопическую или другую аналогичную технику, можно путем визуальных наблюдений измерить поверхностную индукцию Впов с амплитудным значением Во, а также сдвиг фаз Дф между В у и Ва. Существование Дф, а также отличие Ву от Впов связано с изгибом ДГ. Используя (10.55), можно выразить указанные величины через Л(0 и ФвЮ • Имеем
(10.56)%(10.56)%В у = Вт sin (ш? + фу); Впов =Во sin (wt + ^в(1))>
(10.56)
%
(10.56)
%
Дф=1в(0 -фу, где
Вт=вДи А^) sin фВ в) d^ + ( / AU) cos фВ (0 d^ оо
(10.57)(10.57)tg ф V = ( / А (0 sin фВ (0 d0/( } А (0 cos фВ (0 d^), оо
(10.57)
(10.57)
5а=Л(1)Л„ A<\) = A^)\y=dll, фв(Х) = фв^)\у=Ф-
Обычно условия эксперимента таковы, что х0(^, 0 -^о(?, 0- Это означает, что ДГ должна быть симметричной относительно оси у = 0. Кроме того, будем считать
= 0,(10.58)
О? | ^ = ± 1
т.е.,что стенка не закреплена на поверхностях.
Таблица 10.1. Экспериментальные данные о зависимости величии В^ Ъ и Ле от частоты /
Вт = 5 • 105 Г сВт = 104 Гс
/. ГцДф,
град
Ву» ГсbА^Дф»Во* ГсbА^
град
2010
303
500
600
800
1000
63500,36750,121037124000,2550,2228
66000,11020,1260701270000,25 31
720000,2062001350000,3280
800000,2812001460000,4312
820000,3000001600000,5625
860000,3575001760000,7175
Представим Л (О и ^в ($) в виДе многочленов по f:
А^ = а0 *а2? ^а^\Фв^ = Ь2^ ^Ь^,(10.59)
где 0О, ^2, ^4, ^2 и Ь^ - неизвестные константы. Используя (10.58), (10.59) и выражение для В а (10.57), получим
А (П = ^ - Ло (1 - |2)2; ФВ (О = ^г (2 -12).(10.60)
Из первого соотношения (10.57) и последнего соотношения (10.56) находим уравнения для определения неизвестных коэффициентов Ло и Ь:
Вт = ct (b)s2 (b) - st (b)c2 (b) (10 61)
в$ [s2 (b) -c2(b)tg(b - Дф)] |со$(б - Дф)| ’'
_ SCT С, (Z,)tg(»- Аф)-$1(г>)
Лп -,(10.62)
В, s2 (b) - с2 (b)tg(b - Дф)
где
с, = / cos [бе2 (2 - е2)] ^; $i = / sin №2 (2 - I2)] d?;(10.63)
оо
с2 = /а -е2)2 cos [*е2 (2-е2)] de; s2 =/а -е2)2 sm [бе2 (2-е2)] de. оо
В частности, если Дф =0, то из второго уравнения (10.57) и последнего уравнения (10.56) имеем b = 0. Тогда выражение для Л 0 приобретает
простой вид:
(10.64)(10.64)_ 15 Во-Вт Ло —
(10.64)
(10.64)
8 Bs
Таким образом, измеряя Во и Дф при различных частотах и заданном значении Вт, можно найти параметры Ло и b как функции частоты, т.е. согласно (10.60) определить Л (£) и фв (£), а следовательно, согласно
Рис. 10.9. Измерение формы ДГ в процессе динамического перемагничиванияа — при наличии сдвига фаз между отдельными точками колеблющейся доменной стенки; б — при отсутствии указанного сдвига фаз; £/</ = 2,09; а — соответствует 20 Гц; б -• 100 Гц; Bm = S -103 Гс. Кривые построены на основе экспериментального восстановления формы ДГ (описано в тексте) . Эксперименты проводили на монокристаллических пластинах Ее—3 мас.%81 размерами 120 X 5 X 0,39 мм3 с плоскостью поверхности типа (ПО). Цифры у кривых нумеруют последовательные положения стенки через равные промежутки времени в течение периодаРис. 10.9. Измерение формы ДГ в процессе динамического перемагничиванияа — при наличии сдвига фаз между отдельными точками колеблющейся доменной стенки; б — при отсутствии указанного сдвига фаз; £/</ = 2,09; а — соответствует 20 Гц; б -• 100 Гц; Bm = S -103 Гс. Кривые построены на основе экспериментального восстановления формы ДГ (описано в тексте) . Эксперименты проводили на монокристаллических пластинах Ее—3 мас.%81 размерами 120 X 5 X 0,39 мм3 с плоскостью поверхности типа (ПО). Цифры у кривых нумеруют последовательные положения стенки через равные промежутки времени в течение периода
Рис. 10.9. Измерение формы ДГ в процессе динамического перемагничивания
а — при наличии сдвига фаз между отдельными точками колеблющейся доменной стенки; б — при отсутствии указанного сдвига фаз; £/</ = 2,09; а — соответствует 20 Гц; б -• 100 Гц; Bm = S -103 Гс. Кривые построены на основе экспериментального восстановления формы ДГ (описано в тексте) . Эксперименты проводили на монокристаллических пластинах Ее—3 мас.%81 размерами 120 X 5 X 0,39 мм3 с плоскостью поверхности типа (ПО). Цифры у кривых нумеруют последовательные положения стенки через равные промежутки времени в течение периода
Рис. 10.9. Измерение формы ДГ в процессе динамического перемагничивания
а — при наличии сдвига фаз между отдельными точками колеблющейся доменной стенки; б — при отсутствии указанного сдвига фаз; £/</ = 2,09; а — соответствует 20 Гц; б -• 100 Гц; Bm = S -103 Гс. Кривые построены на основе экспериментального восстановления формы ДГ (описано в тексте) . Эксперименты проводили на монокристаллических пластинах Ее—3 мас.%81 размерами 120 X 5 X 0,39 мм3 с плоскостью поверхности типа (ПО). Цифры у кривых нумеруют последовательные положения стенки через равные промежутки времени в течение периода
(10.55) - и форму ДГ как функцию частоты. Соответствующие измерения были проведены Зайковой, Тиуновым и Драгошанским [52] (см. табл. 10.1). На рис. 10.9 приведены графики, иллюстрирующие форму ДГ и ее изменение со временем для двух различных частот: /=20 Гц и/ = = 100 Гц. Исследования проводили на монокристаллической полоске размером 120 X 5 X 0,39 мм, поверхность которой совпадала с плоскостью (110), а длинная ось - с осью [001]. Перемагничивание осуществлялось путем смещения 180-градусной ДГ. ДС выявляли с помощью эффекта Керра, а ее поведение в процессе перемагничивания регистрировали с помощью ’’лупы времени”.
ПОТЕРИ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ФОРМЫ ДОМЕННОЙ ГРАНИЦЫВ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ДОМЕННОЙ СТРУКТУРЕ
Используя полученные в предыдущем разделе данные, можно вычислить зависимость мощности электромагнитных потерь от частоты изменения индукции и ширины доменов. С этой целью, используя (10.55), представим (10.47) в следующей форме:
1(w5sd)2 D ~1irpE с1d п= 1 2п — 11(w5sd)2 D ~1irpE с1d п= 1 2п — 1X (2л - 1) Cos — т? (2л - 1)X (2л - 1) Cos — т? (2л - 1)Dpna*^,-r^Dpna*^,-r^11л/d? Г ^Л^Л^соз-? X002MM£/2)£(Lt?)) + shpnD11л/d? Г ^Л^Л^соз-? X002MM£/2)£(Lt?)) + shpnD
1(w5sd)2 D ~1
irpE с1d п= 1 2п — 1
1(w5sd)2 D ~1
irpE с1d п= 1 2п — 1
X (2л - 1) Cos — т? (2л - 1)
X (2л - 1) Cos — т? (2л - 1)
Dpna*^,-r^
Dpna*^,-r^
11л
/d? Г ^Л^Л^соз-? X
002
MM£/2)£(Lt?)) + shpnD
11л
/d? Г ^Л^Л^соз-? X
002
MM£/2)£(Lt?)) + shpnD
х1^пФП>аЧ^ Л^.ГОМ
V (6,1?) + 2
(10.65)(10.65)shp„Dp„(D/2)<z'(?,r?)
(10.65)
(10.65)
X Л- а, 1?) + 2Г;(рп ф12)а"а, 1?)) G-(t П) } + ^ + W2,
1S-г?!! х2 J1S-г?!! х2 Jгде
1S-г?!! х
2 J
1S-г?!! х
2 J
1 fu)Bsd\2 11Г5+ т?
^=--— (— $d^$di)A^A^ 1-^— йрЕ \ с / о оL 2
X cos [iB (?) - is (17)]; 1 /ыВМ\2 1 ,12
^2 = () fH [(I^(|l?)cOSlB(?7?)</l?) +
ърЕ \ с / о о
1
+ (f^(^,n)sin>pB(^)dn) №, Рп = ~(2п - 1) оd
и, кроме того,
^ (1,1?) = М2 (I) + Л2 (г?) ± 2А^А(i?)cos(iB(n - iB(i?))]% ;
+^(?)Л(г?)
G «’ ^ = * 7^7^77 sin ^ ® - »в (»7)];
D* (I, п) = - G* (?, 1?) + cos [is (?) - is (i?)];
л (?1?)=л(г)|х = tn is(|i?) = ^BWlx = t4 ;
In (X) — функция Бесселя мнимого аргумента и-го порядка; F" (Д') — неполные цилиндрические функции;
F;W =F;W =(7/2)"Г (И) Г (и + И)(7/2)"Г (И) Г (и + И)тг/2
F;W =
F;W =
(7/2)"
Г (И) Г (и + И)
(7/2)"
Г (И) Г (и + И)
J e-Xcos® sm2n6d0.
О
При получении (10.65) мы заменили cth (pnD) на 1, так как уже при и = 1, D(d = 1 cth (pnD)« 1,0037.
Заметим, что при Дф = 0 ^ + W2 = 0. При Дф ^ 0, как показали численные расчеты, сумма Wt + W2 пренебрежимо мала в сравненйи с первой суммой в (10.65).
Используя данные предыдущего раздела, мы рассчитали по формуле (10.65) WB)f от / Результаты для двух значений индукции представлены на рис. 10.10 (кривые 7 и 2). Здесь же нанесены экспериментальные данные, полученные Зайковой с соавторами [52] на тех же образцах, на которых были измерены поверхностная и объемная индукции и сдвиг фаз между ними. Для сравнения приведены также прямые 1а и 2а, соответствующие результатам Прая и Бина. Наглядно хорошее совпадение теории с экспериментом.
Если параметр Ло в (10.60) равен нулю, то в отличие от предыдущего случая весь изгиб ДГ обусловлен только сдвигом фаз (Дф ^ 0). В этом случае мощность вихретоковых потерь может быть больше потерь, рассчитанных для плоских ДГ. Реально это возможно лишь при достаточно больших сдвигах фаз Дф, соответствующих некоторым ограниченным интервалам значений Did.
На рис. 10.11 приведена зависимость WB// от D]d, рассчитанная по (10.65) при 6 = 2(Дф=61°), и для сравнения — аналогичная зависи- 198
Рис. 10.10. Зависимость мощности вихретоковых потерь за цикл от частоты.
1а, 2а — расчеты по [282], сплошные кривые 7 и 2 — расчеты на основе изогнутой ДГ, штриховые кривые с точками соответствуют экспериментам на монокристаллических пластинах Fe—3 мас.% Si с плоскостью поверхности, параллельной кристаллографической плоскости типа (ПО); T)/d = 2,O9. Нижняя группа кривых соответствует Вт = 5 • 103 Гс верхняя - Вт = 1б4 Гс
Рис. 10.11. Зависимость мощности вихретоковых потерь за цикл от D/d по теории [282] (7) и по теории, учитывающей изгиб ДГ (2) приЛ0 = 0,Ь =2
мость, построенная по формуле Прая и Бина. Обращает на себя внимание нелинейный ход WB,f от Did, который качественно согласуется с экспериментальными данными [42], полученными при большом сдвиге фаз.
Таким образом, результаты, полученные в разделах 10.6 и 10.7, показывают, что при наличии периодической ДС нелинейную зависимость мощности потерь от частоты и ширины доменов можно связать с изгибом доменных границ.
ВЛИЯНИЕ НА ПОТЕРИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ПЕРЕСТРОЙКИДОМЕННОЙ СТРУКТУРЫ И НЕКОТОРЫХ ДРУГИХ ФАКТОРОВ
Пусть имеется образец в форме прямоугольной пластинки с поверхностью типа (110) и со сторонами а иЦЬ>а). Пусть пластина вырезана так, что ОЛН, лежащая в ее плоскости (ось типа [001]) наклонена под углом а к 6. Если вдоль b приложить внешнее переменное магнитное поле, то в такой пластине вместо колебаний ДГ основных доменов (широкие домены, наклоненные под углом а к стороне Ь) происходит периодическое движение торцевых ДГ более мелкой доменной структуры, первоначально существующей около края стороны b (см. рис. 2.25). Эта вторичная ДС имеет меньшие размеры доменов, чем основная ДС. При этом при любых а на поверхности кристалла видны домены двух размеров dv nd2.
Внутренняя структура этих доменов исследована в [58] (см. также [155, 217, 218]). Характер ее изменяется с изменением а от 0 до 90°. При а<ас, где ас = arctg V?^ 55°, в этой ДС имеются дополнительные ДГ, параллельные поверхности пластины. Если а>ас, то дополнительные стенки, отделяющие домены с М, параллельными осям типа [100] и [010], оказываются перпендикулярными поверхности пластины. Площади 199
Таблица 10.2. Экспериментальные данные о зависимости ширин доменов dx и d2, а также мощности вихретоковых потерь от угла а
а, градd, мм
d2, ммda,MMВт = 7,5 • 103
Рв = ^в/Р,Рв = Wb!p,
Вт • кг-1,Вт • кг 1,
(теория)(эксперимент)
250,25
550,22
700,25
900,26
0,390,200,680,61
0,280,261,170,98
0,150,211,010,77
0,100,130,570,33
этих ДГ стремятся к 0 при а-*ас. Квазистатическая перестройка этих ДС исследована в [56—58]. В [58] показано, что вихретоковые потери в данном случае связаны с движением стенок вторичной ДС, отделяющих эту ДС от основных доменов. Из-за больших расстояний, пробегаемых этими стенками при фиксированной Вт, несмотря на малые размеры вторичной ДС, потери оказываются большими. В [58] было получено следующее выражение для (^/р) = Рв:
ко 2аг24рко 2аг24рfd2B2m \ИреС1 /fd2B2m \ИреС1 /(1 -^и)2(1 -^и)2cos2 (а — ас),cos2 (а — ас),(10.66)(10.66)
ко 2
аг
24р
ко 2
аг
24р
fd2B2m \
ИреС1 /
fd2B2m \
ИреС1 /
(1 -^и)2
(1 -^и)2
cos2 (а — ас),
cos2 (а — ас),
(10.66)
(10.66)
где ко — подгоночный параметр, который выбирается по IVB при а = 25°;
- 2^Ь8- ""Г- 2^Ь8- ""Г1V
- 2^Ь
8- ""Г
- 2^Ь
8- ""Г
(10.67)(10.67)7 to + 3dt -х/Т^рДмУг*^)
(10.67)
(10.67)
4J
и v = 1, если и = 1 и vn = 0, если и = 2. Измеряя величины d, dx> d^ (см. табл. 10.2 [58]), по (10.66), (10.67) можно было построить зависимость WB от а. Результаты для Вт = 7,5 • 103 Гс представлены на рис. 10.12 (кривая 1. Здесь же нанесены экспериментальные данные, качественно согласующиеся с расчетными. Штриховая кривая соответствует Рпб ~cos-2a и построена по формуле Прая и Бина, обобщенной на случай переменного поля, действующего под углом а к ОЛН, лежащей в плоскости пластины. Предполагается, что Вт = const при всех а. При малых Вт « 2,5 • 103 Гс потери, рассчитанные по закону cos""2а, качественно согласуются с экспериментом (вставка на рис. 10.12). При больших Вт нет ни качественного, ни количественного согласия с указанной зависимостью.
Характер угловой зависимости, даваемый (10.66), определяется особенностями изменения ДС, связанными с изменением а (подробнее см. [58]). Отметим, что при получении (10.66) считалось, что вклад в Рв от 90- и 180-градусных ДГ одинаков. В [152] были рассчитаны потери для 90-градусной ДС, представленной на рис. 10.13. При этом было найдено, 200
Рис. 10.12. Зависимость удельной мощности суммарных (кружок), вихретоковых (точка) и гистеризисных (двойной кружок) потерь от величины угла между ОЛН, лежащей в плоскости пластины и наибольшим ее ребромДанные получены для Вт = 7,5 • 103 Гс, /= 60 Гц, D/d = 3,2 -г 3,5 (основные домены) . Значения ширин доменов вторичной ДС при разных а см. в табл. 10.2.Кривая 1 дает рассчитанные потери при учете наблюдаемой перестройки доменной структуры; 2 — вычисленные вихретоковые потери по формуле Р~ 1/cosa. Сплошные кривые на а — экспериментальные данные, полученные на монокристаллических пластинах Ffe—3 мас.% Si; на б — вихретоковые потери при Вт = 2,5 • 103 ГсРис. 10.12. Зависимость удельной мощности суммарных (кружок), вихретоковых (точка) и гистеризисных (двойной кружок) потерь от величины угла между ОЛН, лежащей в плоскости пластины и наибольшим ее ребромДанные получены для Вт = 7,5 • 103 Гс, /= 60 Гц, D/d = 3,2 -г 3,5 (основные домены) . Значения ширин доменов вторичной ДС при разных а см. в табл. 10.2.Кривая 1 дает рассчитанные потери при учете наблюдаемой перестройки доменной структуры; 2 — вычисленные вихретоковые потери по формуле Р~ 1/cosa. Сплошные кривые на а — экспериментальные данные, полученные на монокристаллических пластинах Ffe—3 мас.% Si; на б — вихретоковые потери при Вт = 2,5 • 103 Гс
Рис. 10.12. Зависимость удельной мощности суммарных (кружок), вихретоковых (точка) и гистеризисных (двойной кружок) потерь от величины угла между ОЛН, лежащей в плоскости пластины и наибольшим ее ребром
Данные получены для Вт = 7,5 • 103 Гс, /= 60 Гц, D/d = 3,2 -г 3,5 (основные домены) . Значения ширин доменов вторичной ДС при разных а см. в табл. 10.2.
Кривая 1 дает рассчитанные потери при учете наблюдаемой перестройки доменной структуры; 2 — вычисленные вихретоковые потери по формуле Р~ 1/cosa. Сплошные кривые на а — экспериментальные данные, полученные на монокристаллических пластинах Ffe—3 мас.% Si; на б — вихретоковые потери при Вт = 2,5 • 103 Гс
Рис. 10.12. Зависимость удельной мощности суммарных (кружок), вихретоковых (точка) и гистеризисных (двойной кружок) потерь от величины угла между ОЛН, лежащей в плоскости пластины и наибольшим ее ребром
Данные получены для Вт = 7,5 • 103 Гс, /= 60 Гц, D/d = 3,2 -г 3,5 (основные домены) . Значения ширин доменов вторичной ДС при разных а см. в табл. 10.2.
Кривая 1 дает рассчитанные потери при учете наблюдаемой перестройки доменной структуры; 2 — вычисленные вихретоковые потери по формуле Р~ 1/cosa. Сплошные кривые на а — экспериментальные данные, полученные на монокристаллических пластинах Ffe—3 мас.% Si; на б — вихретоковые потери при Вт = 2,5 • 103 Гс
Рис. 10.13. Изображение 90-градусной ДС
tp — угол, образуемый ОЛН и осью z, параллельной ДГ; 0 — угол, образуемый намагниченностью М и осью z. Такое отклонение М от ОЛН возможно, если вдоль х приложено внешнее магнитное поле
ЧТО
~1 ( -nnD5— { cth +и = 1 п I dнечетн~1 ( -nnD5— { cth +и = 1 п I dнечетн(10.68)(10.68)_ нвт<^ D 190 i^PeC2 d cos2<p
~1 ( -nnD
5— { cth +
и = 1 п I d
нечетн
~1 ( -nnD
5— { cth +
и = 1 п I d
нечетн
(10.68)
(10.68)
( nnBmD
—
Bsdcos6 cos^
+ cosy COScp
imBmD nnD sh
dBs d
Предполагается, что вдоль оси х, перпендикулярной ДГ, направлено внешнее магнитное поле, так чтоМв доменах составляет углы У и я - У с ОЛН. Сравнение W90 и W180 при фиксированных со и Вт (В задано под углом ^) показывает, что в данном случае эти величины отличаются слабо.
Важно отметить, что рассмотренная ДС такова, что возникающие вихревые токи циркулируют в плоскости, перпендикулярной поверхности пластины. В принципе разнообразие 90-градусных ДС может допускать и такое изменение индукции при смещениях ДГ, что вихревые токи будут существовать не только в плоскости, перпендикулярной поверхности
20120114. Зак. 1219
201
201
Рис. 10.14. Зависимость относительной мощности вихретоковых потерь от относительной толщины ДР
1 ~WD = 4WB ’ 2-bw=0
пластины, но и в параллельной ей плоскости. В такой ситуации W90 может существенно превышать W18o (см. оценки [127]). Интересно также было выяснить влияние конечности толщины ДГ 6W на вихретоковые потери. Соответствующие результаты были получены в [54], и их можно представить в виде
WB(6w)=—WDItWB(6w)=—WDIt”1 sh2x„ Г2/1 <nqL^
WB(6w)=—WDIt
WB(6w)=—WDIt
L — С1ПЯ«^£ +
n=i n3 x„ LnqL^m sh (itqLn)
нечетн.
- cthx„+xM/sh2x„ + — (5wld) \ ,(10.69)
где^ = nBm!Bs; qL=D]d\xn = mb„l2d\ WD = qLWB^Kn^ (cm. (10.12)); 5W - толщина ДГ.
На рис. 10.14 представлена зависимость WB (bw)(WD от bw(d при nqL > >l (прямая 7). Прямая 2 соответствует 5w=0. Видно, что учет конечности ДГ может быть существен лишь в тонких магнитных пленках. При (6w/J)^0,2 увеличение WB на 26% связано с дополнительными токами в плоскости, параллельной поверхности пленки.
В работе [198] рассмотрено влияние конечности размеров образца в направлении, перпендикулярном к ДГ (ось х, рис. 10.3). Было показано, что при малом числе доменов N (в [198] приведены результаты для N = 2—5) с увеличением D)d мощность рассчитанных потерь для нечетных N стремится к мощности потерь, найденной Праем и Бином [282]. При четном Nимеется отличие от [282].
Наконец, отметим, что в работе [295] исследовано влияние ДС, существующей около немагнитных включений, на гистерезисную составляющую ЭП. Была найдена зависимость этих потерь от частоты и показано, что в тонких пластинах Ге- 3 мас.% Si толщиной 0,3 мм и шириной доменов 1 мм гистерезисные потери могут быть больше вихретоковых в области частот, меньших 19 Гц. В области частот 50 Гц вихретоковая составляющая может в несколько раз превосходить гистерезисную, связанную с рассмотренным в [295] механизмом частотной зависимости гистерезисных потерь (см. также [41]). О вкладе в потери необратимых смещений ДГ можно найти данные в работе [185].
ЛИТЕРАТУРА
А брагам А. Ядерный магнетизм. М/. Изд-во иностр, лит., 1963.552 с.
Аваева И.Г., Лисовский Ф.В., Мансветова Е.Г., Сальникова Е.И., Чер- воненкис А.Я. Влияние структурной стратификации эпитаксиальных пленок магнитных гранатов на свойства несквозных цилиндрических магнитных доменов //ФТТ. 1979. Т. 21, №2. С. 405- 415.
Антонов Л.И., Осипов СТ.» Ха- паев М.М. Численное исследование структуры доменных стенок в ЦМД материалах //ФММ. 1984. Т. 57, № 5. С. 892-897.
Ахиезер А.И.» Барьяхтар В.Г., Пелетминский С.В. Спиновые волны. М.: Наука, 1967. 368 с.
Барьяхтар В.Г.» Ганн В.В., Горобец Ю.И. Теория цилиндрической доменной структуры в тонких ферромагнитных пленках //ЖТФ. 1975. Т. 45, №2. С. 386-395.
Барьяхтар В.Г., Ганн В.В., Горобец Ю.И., Смоленский ГЛ., Филиппов Б.Н. Цилиндрические магнитные домены //УФН. 1977. Т. 121, № 4. С. 593-628.
Барьяхтар ВТ., Горобец Ю.И., Филиппов Б.Н. Теория цилиндрических магнитных доменов. I. Статические и динамические свойства изолированного цилиндрического домена //ФММ. 197 7. Т. 43, № 2. С. 231-256.
Барьяхтар ВТ., Горобец Ю.И., Филиппов Б.Н. Теория цилиндрических магнитных доменов. II. Стати стические и динамические свойства решетки цилиндрических магнитных доменов // ФММ. 197 7. Т. 4 3, № З.С. 45 5 -469.
Барьяхтар ВТ.» Иванов БЛ. Упругие свойства магнетика с доменами //ФММ. 19 75. Т. 39, № 3. С. 478- 485.
Барьяхтар ВТ., Иванов Б Л., Сукстанский А.Л. О спиновых волнах в ферромагнетике с доменной структу
рой //ФТТ. 19 79. Т. 21, № 10. С. 3003- 3011.
Барьяхтар ВТ., Иванов Б Л., Четкий М.В. Динамика доменных границ в слабых ферромагнетиках //УФН. 1985, Т. 146, № 3. С. 418-454.
Барьяхтар ВТ., Криворучко В.Н., Яблонский ДЛ. Функции Грина в теории магнетизма. Киев.: Наук, думка, 1984. 336 с.
Барьяхтар ВТ., Попов ВЛ. К теории доменной структуры ферромагнетиков //ФММ, 1972. Т. 34. № 1. С. 5-11.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функций. М.: Наука, 1973. Т.1.294 с.
Беккер Р. Динамика граничного слоя и проницаемость при высоких частотах //Ферромагнитный резонанс /Под ред. С.В. Вонсовского. М.: Изд-во иностр, лит., 1952. С. 303- 311.
Беккер Дж. Связь между структурой ферромагнитных материалов и их магнитными свойствами //Магнитные свойства металлов и сплавов /Под ред. СБ. Вонсовского. М.: Изд-во иностр, лит., 1961. С. 99-129.
Бишоп А. Солитоны и физические возмущения //Солитоны в действии. М.: Мир. 1981. С. 72-102.
Богдан М.М., Ковалев А.С. Точные многосолитонные решения одномерных уравнений Ландау-Лифшица для неизотропного ферромагнетика // Письма в ЖЭТФ. 1980. Т. 31, № 8. С. 453-457.
Боков ВЛ., Волков В.В., Карпович В.И., Шер Е.С., Зайцева Н.В., Трофимова Т.К. Скорость доменных стенок в области насыщения в гранатовых пленках //ФТТ. 1980. Т. 22, №4. С. 1120-1125.
Борисов А.Б., Талуц ГТ, Танке ев АЛ., Безматерных Г.В. Вихри и солитоны двумерного синус-Гордон- уравнения //Современные проблемы
магнетизма /Под ред. В.Г. Барьяхтара. Киев.: Наук, думка, 1986. С. 103-111.
Борисов А.Б., Танкеев А.П., Шагалов АТ. Вихри и двумерные солитоны в легкоплоскостных магнетиках //ФММ. 1985. Т. 60, № 3. С. 467479.
Боровик А.Е., Кулешов В.С, Стржемечный МЛ. Эффективные уравнения движения доменных стенок в ферромагнетике //ЖЭТФ. 1975. Т. 68, № 6. С. 22 35-2246.
Вертхейм Г. Эффект Мессбауэра. М.: Мир, 1966. 172 с.
Вильямс X., Шокли В., Киттель Ч. Изучение скорости движения границ между ферромагнитными областями // Ферромагнитный резонанс /Под ред. С.В. Вонсовского. М.: Изд-во иностр, лит., 19 52. С. 322-3 30.
Власко-Власов В.К., Дедух Л.Н., Никитенко В.И. Поляризационно-оптическое исследование процессов намагничивания вокруг индивидуальных дислокаций в монокристаллах иттрий-желе- зистого граната //ЖЭТФ. 1973. Т. 65, №2. С. 377-395.
Власко-Власов В.К., Дедух Л.М., Никитенко В.И., Успенская Л.С. Динамические изменения периода доменной структуры в пластинах иттриевого феррограната //ФТТ. 1982. Т. 24, №4. С. 1255-1257.
Волков В.В., Боков ВЛ., Карпович В.И. Эмпирическое выражение для скорости насыщения доменной стенки в гранатовых ЦМД-пленках //ФТТ. 1982, № 8. С. 2318-2324.
Вонсовский С.В. Магнетизм. М.: Наука, 1971.1032 с.
Вонсовский С.В., Шур Я.С. Ферромагнетизм. М.; Л.: Гостехиздат, 1948. 816 с.
Ганн В.П., Горобец Ю.И. Колебания решетки цилиндрических магнитных доменов //ФТТ. 1975. Т. 17, № 5. С. 1305-1309.
Гилинский И.А. Магнитоупругие волны в присутствии доменной структуры //ЖЭТФ. 1971. Т. 61, № 5. С. 19962005.
Гилинский И.А. Колебания магнитных моментов в доменной границе //ЖЭТФ. 1975. Т. 68, № 3. С. 10321048.
Гилинский И.А., Минц Р.Г. Спектр магнитостатических колебаний в присутствии доменной структуры //ЖЭТФ. 1970. Т. 59, № 10. С. 1230-1233.
Гилинский И.А., Рязанцев К.А. Спектр магнитостатических колебаний в присутствии доменной структуры и магнитного поля// ФТТ. 1974. Т. 16, № 10. С. 3008-3010.
Горобец Ю.И. Влияние движения цилиндрического ■ магнитного домена на его форму и устойчивость // ФТТ. 1974. Т. 16, № 10. С. 3128-3130.
Гуревич А.Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках. М.: Наука, 1973. 592 с.
Гуревич В.А., Моносов Я.А. Изменение структуры границы между доменами в ферромагнетике в слабом магнитном поле //ФТТ. 1976. Т. 18, № 10. С. 2897-2906.
Деринг В. Инерция границ между ферромагнитными областями //Ферромагнитный резонанс /Под ред. С.В. Вонсовского. М.: Изд-во иностр, лит., 1952. С. 312-319.
Диченко А.Б., Николаев В.В. О распределении намагниченности одноосного ферромагнетика с дислокацией //ЖЭТФ. 1982. Т. 82, № 4. С. 12301233.
Диченко А.Б., Николаев В.В., Танкеев А.П. Локальное изменение констант магнитной анизотропии, обусловленное линейными дефектами //ФММ. 1978. Т. 45, №5. С. 958-967.
Дорофеева Е.А. К вопросу о природе магнитного гистерезиса в мягких магнитных материалах: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: ЦНИИЧермет, 1979.84 с.
Драгошанский Ю.Н.,_ Зайкова В.А., Тиунов В.Ф. Влияние изгиба 180° доменных границ на электромагнитные потери в монокристаллах кремнистого железа //ФММ. 1975. Т. 39, №5. С. 519-523.
Драгошанский Ю.Н., Хан Е.Б., Зайкова В. А. Непрерывное поступательное движение доменной структуры в переменных полях и его влияние на величину электромагнитных потерь в сплаве Fe-3% Si //ФММ. 1975. Т. 39, №2. С. 289-294.
Драгошанский Ю.Н., ЗайковаВ.А., Хан Е.Б., Векслер А.З. Зависимость магнитных потерь в кристаллах Fe-3% Si от кристаллографической ориентации их поверхности //ФММ. 1972. Т. 34, № 4. С. 987-994.
Драгошанский Ю.Н., ЗайковаВ.А., Шур Я.С. О влиянии упругого растяжения на доменную структуру кристал-
лов кремнистого железа и кобальта // ФММ. 1968. Т. 25, № 2. С. 289-297.
Драгошанский ЮЛ., Зайкова В.А., Шур Я.С. Физические предпосылки улучшения магнитных свойств анизотропных электротехнических сталей //Физические свойства магнитных материалов. Свердловск: Изд-во УНЦ АН СССР, 1982. С. 20-25.
Дружинин В.В. Магнитные свойства электротехнической стали. М.: Энергия, 1974. 240 с.
Дружинин ВЗ., Чистяков В.К., Зайкова В А., Хан EJS. Влияние электроизоляционных покрытий на магнитные свойства текстурованной электротехнической стали // ФММ. 1974. Т. 37, №4, С. 769-774.
Ермаков А.Ё., Соколовская Н.И., Пурин В А., Иванова Г.В., Магат ЛМ. Постоянные магниты на основе упорядочивающегося сплава Fe-47 ат.% Pd // ФММ. 197 8. Т. 46, № 9. С. 7 3 3-740.
Ермаков А.Е., Сорокина ТА., Пурин В А., Лебедев Ю.Г., Филиппов Б Л., Илющенко Н.Г., Чернов ЯЗ. Влияние пластической деформации на структурные особенности—и- магнитные свойства сплава FePt // ФММ. 1979. Т. 48, №6. С. 1180-1188.
Ерухимов MJU. Влияние магнитного поля на основное состояние ”за- критических” пленок // ФММ. 1973. Т. 35, № 2. С. 263-268.
Жаков С.В., Тиунов В.Ф., Филиппов Б.Н., Зайкова В А., Драгошанский ЮЛ. О влиянии изгиба 180-граду с- ных доменных границ на мощность электромагнитных потерь в сплаве Fe-3% Si // ФММ. 1977. Т. 41, № 6. С 1185-1190.
Жаков С3., Филиппов Б Л. К теории электромагнитных потерь в кристаллических ферромагнитных листах при наличии в них доменной структуры // ФММ. 1974. Т. 3 8, № 3. С. 468-476.
Жаков С.В., Филиппов Б Л. О потерях электромагнитной энергии в моно- кристальных пластинах ферромагнитных проводников при учете доменной структуры // ЖТФ. 1975. Т. 45, № 1. С. 181- 183.
Жаков СМ., Филиппов БЛ. Влияние покрытий на доменную структуру высокотестурованной электротехнической стали // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1982. Т. 46, №4. С. 655-659.
Жаков С.В., Филиппов ЬЛ., Драгошанский ЮЛ. Доменная структура
и процессы намагничивания в трехосных монокристаллах в поле, приложенном под углом к оси легкого намагничивания // ФММ. 1979. Т. 47, № 2. С. 310-318.
ЗайковаВА.. ВеденевМА., Дрож- жина В.И. Анизотропия магнитных свойств и доменная структура кристаллов кремнистого железа // ФММ. 1973. Т. 35, № 3. С. 484-492.
Зайкова В.А..ДрагошанскийЮЛ., Жаков С.В., Филиппов БЛ. О роли доменной структуры в формировании электромагнитных потерь в кристаллах Fe-3% Si // ФММ. 1977. Т. 43. № 5. С. 979-990.
Зайкова В А., Есина Н.К., Драгошанский ЮЛ. Ориентационная и структурная зависимость электромагнитных потерь-локально деформированных монокристаллов Fe-3% Si // ФММ. 1979. Т. 48, №3. С. 520-5 29.
Зайкова В А., Филиппов БЛ., ШурЯ.С. Доменная структура и электромагнитные потери в трансформаторной стали // Структура и свойства электротехнической стали. Свердловск, 1977. С. 4-16 (Тр. ин-та физики металлов УНЦ АН СССР; № 33).
Залесский АЗ. Идентификация внутриграничных линий ЯМР для одноосного ферромагнетика по их частотному смещению в магнитном поле // ФТТ. 1982. Т. 24, № 8. С. 2500-2502.
Залесский А.В., Дорошев В.Д., Кривенко В.Г. Спектры ЯМР ядер Ге57 в доменах и доменных границах гексагональных ферритов со структурами М nW Ц ФТТ. 1982. Т. 24, № 1. С. 20-27.
Залесский А.В., ЗвездинА.К., Кривенко В.Г., Балбашов АМ., Химич ТА., Евдищенко ЕА. Спиновое эхо на ядрах в доменных стенках кристаллов иттриевого ортоферрита //ЖЭТФ. 1981. Т. 80. № 8. С. 2480-2492.
Залесский А.В., Саввинов АМ., Желудев И.С., Иващенко АЛ. ЯМР на ядрах Fe57 и спиновая переориентация в доменах и доменных границах кристаллов ErFeO3 и РуГеО3// ЖЭТФ. 1975. Т. 68, №4. С. 1449-1459.
Зубарев ДЛ. Неравновесная статистическая термодинамика. М.: Наука, 1971. 416 с.
Иванов Л.П., Логгинов А.С., Ран- дошкин В.В., Телеснин Р.В. О движении цилиндрических магнитных доменов в неоднородном импульсном магнитном поле // ФТТ. 1977. Т. 19, № 6. С. 1874- 1877.
Иванова Г.В., Щеголева Н.Н., Магат Л М., Шур Я.С. Влияние пластической деформации на структурное состояние и коэцитивную силу высоко- эрцитивных сплавов // ФММ, 1972. Т. 34, №5. С. 1014-1021.
Игнатченко В.А., Дегтярев И.Ф., Захаров Ю.В. Поведение доменной структуры при перемагничивании // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1961. Т. 25, №12. С. 1439-1444.
Кандаурова Г.С. О существовании в одноосных кристаллах доменных структур разного типа // Тр. ин-та электрон, управляющих машин. 1971. Вып.12. С. 38-71.
Кандаурова Г.С.» Бекетов В.Н. Модель слоистой доменной структуры магнитноодноосного кристалла //ФТТ. 1974. Т. 16, №7. С. 1857-1862.
Ким ПД., Хван Д.Ч. Вынужденное колебание доменной стенки на высоких частотах // ФТТ. 1982. Т. 24, № 8. С. 2300-2304.,
Кирова Н.Н., Елеонский В.М. Периодические распределения намагниченности с чередованием доменных стенок Блоха и Нелля // ФММ. 1973. Т. 36, №2. С. 231-236.
Киттелъ Ч. Инерция и постоянная затухания границ между ферромагнитными областями // Ферромагнитный резонанс / Под ред. С.В. Вонсовского. М.: Изд-во иностр, лит., 195 0. С. 320-322.
Киттелъ Ч. Физическая теория ферромагнитных областей самопроизвольной намагниченности // Физика ферромагнитных областей / Под ред. С.В. Вонсовского. М.: Изд-во иностр, лит., 1951. С. 19-116.
Киттелъ Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. 680 с.
Киттелъ Ч., ГалтЯ. Теория ферромагнитных областей // Магнитная структура ферромагнетиков / Под ред. С.В. Вонсовского. М.: Изд-во иностр, лит., 1959. С. 459-5 06.
Клепарский ВТ, Рандошкин В.В. Исследование ’’баллистического” движения цилиндрических магнитных доменов методом многократной высокоскоростной фотографии // ФТТ. 1977. Т. 19, №11. С. 3 250-3 254.
Кондорский Е.И. К теории однодоменных частиц // Докл. АН СССР. 3952. Т. 82, №3. С. 365-368.
Кунцевич С.П., Безлепкин АЛ., Попков ЮЛ. ЯМР ядер Fe57 в гексаферрите ВаРе13О19 // ЖЭТФ. 1985. Т. 88, №5. С. 1820-1826.
Куркин М.И., Иванов С.В. Особенности ЯМР в доменных границах // Динамические и кинетические свойства магнетиков / Под ред. С.В. Вонсовского и Е.А. Турова. М.: Наука, 1986. С. 197 — 222.
Куркин М.И., Танкеев А П. Спиновые волны в ферромагнетике с доменными границами с учетом дипольной энергии // ФММ. 1973. Т. 36, № 6. С. 1149-1158.
Куркин М.И., Танкеев А.П. Эффекты усиления и динамического сдвига частоты ЯМР и их связь с локальными свойствами магнетиков // ФММ. 197 6. Т. 4 2, № 5. С. 915-930.
Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Механика сплошных сред. М.; Л.: Гос. изд-во технико-теорет. литературы, 1944. 624 с.
Ландау ЛД., Лифшиц ЕМ. Теория упругости. М.: Наука. 1965. 204 с.
Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Элек- тр одинам йка сплошных сред. М.: Наука, 1982. 623 с.
Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел // Л.Д. Ландау. Собр. тр. М.: Наука, 1969. Т. 1. С. 128- 143.
Лебедев Ю.Г., Титяков И.Г., Филиппов БД. Критические параметры ферромагнитных пленок с полосовой доменной структурой // ФТТ. 1975. Т. 17,№11. С. 3149-3155.
Лебедев ЮТ., Титяков ИТ., Филиппов Б.Н. К теории зарождения доменной структуры в ферромагнитных пленках (одноосных пластинах) с перпендикулярной анизотропией // ФММ. 1976. Т. 41,№6. С. 1159-1168.
Лебедев ЮТ., Филиппов Б.Н. О перемагничивании ферромагнитных пластин с кристаллографической анизотропией типа ’’легкая плоскость” // ФММ. 197 2. Т. 3 4, №5. С. 905-910.
Ледебева ЕЛ. Пильщиков А.И., Седлецкая Н.С. Нестабильность спиновых волн в ферритах при наличии доменной структуры // ФТТ. 1966. Т. 8, № И. С. 3 204-3 207.
Леманов В.В. Магнитоупругие взаимодействия // Физика магнитных диэлектриков / Под. ред. Г.А. Смоленского. Л.: Наука, 1974. С. 284-355.
Лесник АТ. Наведенная магнитная анизотропия. Киев: Наук, думка, 1976. 164 с.
Лилли БЛ. Энергия и толщина граничных слоев между областями са-
мопроизвольной намагниченности // Проблемы современной физики. Ферромагнетизм / Под. ред. А.П. Комара. М.: Изд-во иностр, лит., 1953. № 2. С. 624.
Лисовский Ф.В. Физика цилиндрических магнитных доменов. М.: Сов. радио, 1978. 192 с. '
Лисовский Ф.В., Мансветова ЕТ. Внутриобъемные домены в эпитаксиальных пленках магнитных гранатов // Письма в ЖЭТФ. 1978. Т. 4, №21. С. 1268-1271.
Лифшиц ЕМ. О магнитном строении железа // ЖТФ. 1945. Т. 15, № 3. С. 97-107.
ЛоггиновА.С., Непокойчицкий. Сверхвысокие скорости волны опрокидывания магнитного момента в пленках ферритов-гранатов // Письма в ЖЭТФ. 1982. Т. 35, № 1. С. 22-25,
Луговой А.А., Туров Е.А. Магнитоупругие колебания доменной границы в антиферромагнетиках // ФТТ. 1981. Т. 23, №9. С. 265 3-2662.
Малоземов А., Слонзуски Дж. Доменные стенки в материалах с цилиндрическими доменами. М.: Мир, 1982. 382 с.
Мицек А.И. К теории за критического состояния тонких ферромагнитных пленок // Физика магнитных пленок. Иркутск: Гос. пед. ин-т, 1968. С. 83-87.
МорсФ., ФешбахГ. Методы математической физики. М.: Изд-во иностр, лит., 1960. Т. 2. 886 с.
НедлинГМ., Шапиро Р.Х. Движение доменных стенок в магнитных пленках // ФТТ. 1975. Т. 17. № 7. С. 2076-2085.
Неель Л. Некоторые свойства границ ферромагнитных областей // Физика ферромагнитных областей / Под ред. С.В. Вонсовского. М.: Изд-во иностр, лит., 1951. С. 194-214.
Никитенко В.И., Осипьян ЮЛ. Влияние дислокаций на оптические, электрические и магнитные Свойства кристаллов // Проблемы современной кристаллографии. М.: Наука, 1975. С. 239-261.
О’Делл Т. Магнитные домены высокой подвижности. М.: Мир., 1978. 198 с.
О'Делл Т. Ферромагнитодинамика: (Динамика ЦМД доменов и доменных стенок) М.: Мир, 1983. 253 с.
Осипов С.Г. О структуре доменных стенок в слабоанизотропных ферро
магнитных пленках // ФММ. 1984. Т. 58, №3. С. 421-426.
Палатник Л.С., ЛубяныйЛ.З., Лукашенко Л.И. Зависимость ширины полосовых доменов ’’закритических” пленок от внешнего магнитного поля // ФТТ. 1971. Т. 13, №2. С. 6 27-6 2 9.
Палатник Л.С., Лукашенко Л.И., РавликАТ. Исследование пленок пермаллоя с ’’закритической петлей гистерезиса” // ФТТ. 196 5. Т. 7, № 9. С. 28292833.
НО. Палатник Л.С., Равлик А.Г., Самофалов В.Н. Влияние одноосных напряжений на доменную структуру пленок с перпендикулярной анизотропией // ФТТ. 197 7. Т. 19, № 3. С. 830-836.
Перекалина ТМ., Аскочин- скийАА., СанниковД.Г. Резонанс доменных границ в кобальтовом феррите // ЖЭТФ. 1961. Т. 4 0, № 2. С. 441-444.
Петров М.П. Электронно-ядерные взаимодействия // Физика магнитных диэлектриков. Л.: Наука, 1974. С. 177-283.
Поливанов КМ. Ферромагнетики. М.: Энергоиздат, 1957. 256 с.
Привороцкий И.А. Термодинамическая теория ферромагнитных доменов // УФН. 1972. Т. 108, № 1. С. 4380. .
Радо Д., Райт Р., Эмерсон В. Ферромагнетизм при очень высоких частотах. III. Два механизма дисперсии в феррите//Ферромагнитный резонанс/ Под ред. С.В. Вонсовского. М.: Изд-во иностр, лит., 195 2. С. 284-297.
Раев В.К., Ходенков Г.Е. Цилиндрические магнитные домены в элементах вычислительной техники. М.: Энергоиздат, 1981. 214 с.
Райдугин Ю.Г., Куркин М.И., Танкеев А.П. Спектр спиновых колебаний 360° доменной границы//ФММ. 1986. Т. 61, №3. С. 472-477.
Редько ВТ., Скобелин Г.В. Теория сквозных и несквозных цилиндрических магнитных доменов в многослойных пленках//Микроэлектроника. 1983. Г. 12, №2. С. 143-150.
Саланский Н.Н., Ерухимов М.Ш. Спектр спиновых волн в пленках с периодической доменной структурой // ФТТ. 1972. Т. 14. № 2. С. 606608.
Саланский Н.Н., Ерухимов М.Ш. Физические свойства и применения магнитных пленок. Новосибирск: Наука, 1975. 224 с.
Семенов В.С. Структура и энер- 207
гия двумерных стенок Блоха в тонких и Толстых магнитных пленках//ФММ. 1981. Т. 51, №6. С 1175-1182.
Скроцкий Г.В., Курбатов Л.В. Феноменологическая теория ферромагнитного резонанса//Ферромагнитный резонанс. М.: Наука, 1961. С. 25-97.
Соколов Б.К. Методы управления структурой трансформаторной ста- ли//Физические свойства магнитных материалов. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982. С. 20-25.
Соколов Б.К., Губернаторов В.В., Зайкова В.А., Драгошанский Ю.Н. Влияние характера распределения субструктуры на электромагнитные потери в трансформаторной стали//ФММ. 1977. Т. 44, №3. С. 517-522.
Соколов Ю.Ф. К теории доменных границ и полосовой доменной структуры в сильноанизотропных одноосных ферромагнетиках//ФТТ. 1980. Т. 22, №3. С. 652-659.
Справочник, по специальным функциям/Под ред. М. Абрамовича и И. Стигана. М.: Наука, 1979. 830 с.
Стародубцев Ю.Н. К теории намагничивания кристаллов кремнистого железа//ФММ. 1975. Т. 39, № 3, № 3. С. 473-477.
Суху Р. Магнитные тонкие пленки. М.: Мир, 1967. 424 с.
Счастливцева И.К., Соколов Б.К., Титоров Д.Б., Губернаторов В.В. О регулировании размера и формы зерен в трансформаторной стали//Структура и свойства электротехнической стали. Свердловск, 1977. С. 20-25. (Тр. ИМФ УНЦ АН СССР; Вып. 33).
Такер Дж.» Рэмптон В. Гиперзвук в физике твердого тела. М.: Мир, 1975. 453 с.
Танкеев А.П. К теории ЯМР и ЯМАР в доменных границах ферромагнетиков: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Свердловск: Ин-т физики металлов УНЦ АН СССР, 1970. 157 с.
Танкеев А.П., Береснев В.И., Филиппов Б.Н. Критические скорости движения доменных границ в неоднородных ЦМД пленках//ФММ. 1984. Т. 57, № 1. С. 28-37.
Танкеев А.П., Райдугин Ю.Г. Спин-волновая динамика ферромагнетиков с доменными границами в слабых магнитных полях//ФММ. 1983. Т. 56. № 1. С. 30-40.
Танкеев А.П., Филиппов Б.Н. Домены в материалах, неоднородных по
объему//Динамические и кинетические свойства магнетиков/Под ред. С.В. Вон- совского и Е.А. Турова. М.: Наука, 1986. С. 127-163.
Туров Е.А. Физические свойства магнитоупорядоченных кристаллов. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 224 с.
Туров Е.А., Куркин М.И. К теории ядерной магнитной резонансной восприимчивости магнитных веществ//ФТТ. 196 8. Т. 10, № 11. С. 3 2 22-3 23 2.
Туров ЕЛ., Куркин М.И., Танкеев А.П. Динамические эффекты доменной структуры ферромагнетиков// Изв. АН СССР. Сер. физ. 1972. Т. 36, №6. С. 1146-1154.
Туров ЕЛ., .Куркин М.И., Танкеев А.П. Некоторые динамические эффекты доменных границ в ферромагне- тиках//Тр. Междунар, конф, по магнетизму. М.: Наука, 1974. Т. 2. С. 5-18.
Туров ЕЛ., Куркин М.И., Танкеев А.П., Иванов С.В. Ядерный магнитный резонанс в ферромагнетиках с доменными границами//Проблемы физики твердого тела. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1975. С. 171-183.
Туров ЕЛ., Луговой АЛ. Магнитоупругие колебания доменных границ в ферромагнетиках. I. Резонансные моды//ФММ. 1980. Т. 50, № 4. С. 717- 729.
Туров ЕЛ., Луговой АЛ. Магнитоупругие колебания доменных границ в ферромагнетиках. II. Генерация и рассеяние звука//ФММ. 1980. Т. 50, №5. С. 903-913.
Туров ЕЛ., Петров М.П. Ядерный магнитный резонанс в ферро- и антиферромагнетиках. М.: Наука, 1969. 260 с.
Туров ЕЛ., Танкеев А.П., Куркин М.И. К теории ядерной магнитной резонансной восприимчивости многодоменных ферромагнетиков. I. Анализ локальных частот//ФММ. 1969. Т. 28, № 3. С. 385-401.
Туров ЕЛ., Танкеев А.П., Куркин М.И. К теории ядерной магнитной резонансной восприимчивости многодоменных ферромагнетиков. И. Локальный коэффициент усиления и интегральная восприимчивость//ФММ. 1970. Т. 29, №4. С. 747-756.
Туров ЕЛ., Танкеев А.П., Куркин М.И. Спиновые волны и ядерный магнитный резонанс в доменных границах ферромагнетиков//Изв. АН СССР. Сер. физ. 1970. Т. 34, № 5. С. 982-990.
Туров Е.А., Фарзтдинов М.М. К теории спиновых волн в ферромагнетиках с периодической доменной структурой//ФММ. 1970. Т. 30, № 5. С. 1064-1066.
Тябликов СВ. Методы квантовой теории магнетизма. М.: Наука, 1965. 334 с.
Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. М.: Наука, 1963. Т. 2. 515 с.
Фарзтдинов М.М., Туров Е.А. Теория спиновых волн в ферромагнетике с доменной структурой//ФММ. 1970. Т. 19. №3. С. 458-470.
Фарзтдинов МЛ., Туров Е.А. К теории начальной магнитной восприимчивости в ферромагнитных образцах с доменной структурой//Теория спиновых волн в ферромагнетиках и антиферромагнетиках с магнитными неоднородностями. Уфа: Башкирский ун-т, 1972. С. 114-122.
Филиппов Б.Н., Жаков С.В. К теории динамических свойств ферромагнитных монокристаллических пластин, обладающих доменной структу- рой//ФММ. 1975. Т. 39, № 4. С. 705-717.
Филиппов Б.Н., Жаков С.В. О влиянии движения 90-градусных доменных границ на электромагнитные потери //ФММ. 1977. Т. 44, № 5. С. 1100- 1101.
Филиппов Б.Н., Жаков СВ. Расчет магнитоупругой энергии в пластинах с плоскостью поверхности (100) при заданном распределении намагничен- ности//ФММ. 1979. Т. 47, № 2. С. 441- 443.
Филиппов Б.Н., Жаков С.В., Драгошанский Ю.Н., Стародубцев Ю.А., Лыков Е.А. К теории доменных структур в трехосных ферромагнитных, кри- сталлах//ФММ. 1976. Т. 4 2, № 2. С. 260- 277.
Филиппов Б.Н., Зайкова В.А., Жаков С.В., Драгошанский Ю.Н. Динамика доменной структуры и электромагнитные потерн//Изв. АН СССР. Сер. физ. 1978. Т. 42, № 8. С. 1744-1752.
Филиппов Б.Н., Лебедев Ю.Г., Оноприенко Л.Г. К теории полосовой доменной структуры тонких ферромагнитных пленок//ФММ. 1974. Т. 38, № 4. С. 702-713.
Филиппов Б.Н., Лебедев Ю.Г., Раевский Е.И. Доменные структуры многоосных монокристаллических ферромагнитных пленок с поверхностью типа
(111)//ФММ. 1978. Т. 46, № 6. С. 1744- 1752.
Филиппов Б.Н., Лебедев Ю.Г., Раевский Е.И., Танкеев А.П. Несквозные (внутриобъемные) магнитные домены в неоднородных по толщине магнитоодноосных пленках//ФММ. 1980. Т. 49, №6. С. 1169-1183.
Филиппов Б.Н., Лебедев Ю.Г., Раевский Е.И., Танкеев А.П. Внутриобъемные цилиндрические магнитные домены в многослойных ферромагнитных пленках//ФММ. 1980. Т. 50, № 6. С. 1196-1207.
Филиппов Б.Н., Лебедев Ю.Г., Титяков И.Г. О зарождении доменной структуры и перемагничивания ферромагнитных пластин (пленок) с осью легкого намагничивания, наклоненной к поверхности образца//ФММ. 1975. Т. 40, №6. С. 1149-1161.
Филиппов Б.Н., Танкеев А.П, Береснев В.И. Динамика изолированных несквозных доменов//ФММ. 1985. Т. 60, №6. С. 1242-1245.
Филиппов Б.Н., Танкеев А.П., Чиркин Г.К. Магнитные домены в неоднородных материалах//ФММ. 1985. Т, 60, №6. С. 104 5-1075.
Филиппов Б.Н., Шматов Г.А. О стабильности приповерхностных магнитных доменов в неоднородных плен- ках//ФММ. 1986. Т. 61, № 6. С. 1094- 1102.
Хан Е.Б., Зайкова В.А., Шур Я.С. Связь электромагнитных потерь с доменной структурой в монокристаллах кремнистого железа//ФММ. 1971. Т. 31, № 3. С. 538-542.
Ходенков ГЕ. Порог продольного и параметрического возбуждения спиновых волн в ферромагнетиках, содержащих блоховскую доменную грани- цу//ФТТ. 1974. Т. 16, № 6. С. 1593- 1598.
Ходенков Г.Е. Некоторые точные многомерные решетки уравнений Ландау-Лифшица в одноосном фер- ромагнетике//ФММ. 1982. Т. 54, № 4. С. 644-649.
Ходенков Г.Е. К.теории скрученной доменной границы//ФТТ. 1982. Т. 24, № 1. С. 134-138.
Хуберт А. Теория доменных стенок в упорядоченных средах. М.: Мир, 1977. 307 с.
Черновенкис А.Я., Балба- шов А.М., Павлова С.Г., Черкасов А.П. Статические, динамические и оптиче-
ские свойства бистабильных цилиндрических доменов//ФТТ. 1978. Т. 20, № 5. С. 1477-1482.
Червоненкис А.Я., Павлова С.Г., Клин В.П., Козлов В.И. Влияние диффузионного отжига на магнитные свойства и динамику доменных границ в пленках (TmBi) э (FeGa), 0,2 //Тез. докл. XVI Всесоюз. конф, по физике магнит, явлений. Тула: ТГПИ им. Л.В. Толстого. 1983. С. 70-71.
Червоненкис А.Я., Рыбак В.И. Бистабильные цилиндрические домены в Bi-содержащих гранатовых пленках// Письма в ЖТФ. 1978. Т. 4, № 1. С. 24- 28.
Четкий М.В., Гадецкий С.Н., Ахуткина А.И. Сверхзвуковая динамика доменных границ в ортоферрите ит- трия//Письма ЖЭТФ. 1982. Т. 35, № 9. С. 373-375.
Шейко Л.М. Влияние механических напряжений электроизоляционных покрытий на доменную структуру и магнитные свойства кремнистого железа: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. Запорожье: Гос. пед. ин-т, 1984. 176 с.
Широбоков М. К теории механизма намагничения ферромагнетиков// ЖЭТФ. 1945. Т. 15, № 1. С. 57-76.
Шур Я.С., Зайкова В.А., Хан Е.Б. Доменная структура монокристаллов кремнистого железа в переменном магнитном поле//ФММ. 1970. Т. 23, № 4. С. 770-776.
Шур Я.С., Драгошанский Ю.Н. О виде замыкающих доменов внутри кристаллов кремнистого железа//ФММ. 1966. Т. 22, № 5.Х. 702-710.
Шур Я.С., Хон Е.Б., Зайкова В.А. Структура монокристаллов кремнистого железа в переменных полях и электромагнитные потери // ФММ. 1971. Т. 31, №2. С. 286-292.
Щеголева Н.Н., Магат Л.М. Микроструктура эквиато много сплава FePd // ФММ. 1975. Т. 39, № 3. С. 528- 532.
Эшенфельдер А. Физика и техника цилиндрических магнитных доменов. М.: Мир, 1983.496 с.
l^O.Aharoni A. Two -dimensional model for a domain wall Ц J. Appl. Phys. 1967. Vol. 3 8, N 7. P. 3196-3 200.
Aharoni A. Asymmetry in domain walls // Phys, status solidi (a). 1973. Vol. 18, N3.P.661-667..
Argyle B.E., Jantz W., Slonczew- ski. Wall oscillations of domain lattices in
_ underdamped garnet films // J. Appl. Phys. „ 1983. Vol. 54, N 6. P. 3370-3386.
Bailey S.G., Creach D.C., Wilson G. V.H. Domain wall and domain Co5 * NMR in hexagonal cobalt //Phys. Lett. A. 197 3. Vol. 44, N 3. P. 229-230.
Bertotti G., Fiorillo F., Mazzet- ti P., Soardo G.P. Dynamics of microscopic magnetization processes and magnetic losses // J. Appl. Phys. 1982. Vol. 53, N 11. P. 8287-8292.
Bertotti G., Mazzetti P., Soardo G.P. A general model of losses in soft magnetic materials // J. Magn. and Magn. Mater. 1982. Vol. 26, N 1/3. P. 225-233.
Bishop J.E.L. The influence of domain wall bowing on eddy current drog // Phys, status solidi (a). 1971. Vol. 7, N 1. P. 117-124.
Bishop J.E.L. The analysis of eddy-current-limited magnetic domain wall motion, including severe bowing and merging // J. Phys. D: Appl. Phys. 1973. Vol. 6, NT-l.P. 97-115.
Bishop J.E.L. Improved simulation of domain wall bowing in metallic laminations using a new spline model // J. Magn. and Magn. Mater. 1979. Vol. 10, N 1. P. 75-83.
Bishop J.E.L. Steady-state eddy- current dominated magnetic domain wdll motion with severe bowing and necking // Ibid. Vol. 12, N 2. P. 102-107.
Bishop J.E.L., Lee E.W. The behaviour of ferromagnetic sheets in alternating electric and magnetic fields. 1: A domain theory of the skin-effect impedance and complex permeability // Proc. Roy. Soc. London A. 1963. Vol. 276, N 1364. P. 96-111.
Bobeck A.H. Properties and device applications of magnetic domains in orto- ferrites // Bell Syst. Techn.J.1967. Vol. 46, N8.P. 1901-1925.
Borisov A.B., Tankey ev A.P., Shagalov A.G., Bezmaternih G.V. Multivortex-like solutions of sine-Gordon equation // Phys. Lett. A. 1985. Vol.Ill A, N 12. P. 15-18.
Brown W.F. Criterion for uniform micromagnetization // Phys. Rev. 1957. Vol. 105, N 5. P. 1479-1482.
Brown W.F., La Bonte A.E. Struc- ture and energy of one-dimensional domain walls in ferromagnetic thin films // J. Appl. Phys. 1965. Vol. 3 6, N 4. P. 1380- 1384.
Butler M.A. Domain wall enhanced NMR in anisotropic ferromagnets// J. Phys.
Soc. Jap. 1973. Vol. 34, N 5. P. 1419- 1420.
Butler M.A. Wall resonances in ferromagnets // Intern. J. Magn. 1973. Vol. 4, N 2. P. 131-138.
Cape J.A., Lehman G.W. Magnetic domain structures in thin uniaxial plates with perpendicular easy axis // J. Appl. Phys. 1971. Vol. 42, N 13. P. 5732-5756.
Charap S.H. Eddy current losses in magnetic sheet with simple bar-like 180° domain structures // Ibid. 1979. Vol. 50, N 11, pt II. P. 7 701-7 706.
Cobb C.H., Jaccarino V., Butler M.A., Remeika J.P., Yasuoka H. Low- temperature Cr5 3 NMR in a ferromagnetic CrBrs single crystal // Phys. Rev. B. 1973. Vol. 7, NLP. 307-318.
Courtney W.E. Effect of domain structure in cubic ferromagnets // Electron. Lett. 1965. Vol. 1, N 1. P. 21-22.
Cooy C., Enz V. Experimental and theoretical study of the domain configuration in thin layers of BaFe13O19 // Philips. Res. Rep. 1960. Vol. 5, N 1/6. P.7-29.
De Blois R.W., Graham C.D. (jun.). Domain observation on iron whiskers // J. Appl. Phys. 1958. Vol. 29, N 6. P. 931-939.
De Bonte W.J. The static stability of half-bubbles // Bell Syst. Techn. J. 1972. Vol. 51, N 9. P. 1933-1955.
De Bonte W.J. Twisted domain wall structure for stripe domains in bubble films // IEEE Trans Magn. 1975. Vol. 11, N3.P.3-8.
De Leeuw F.H. An empirical relation for the saturation velocity in bubble domain garnet materials // Ibid. 1978. Vol. 14, N 5. P. 596-598.
De Leeuw F.H., Doel R. van den, Enz V. Dynamic properties of magnetic domain walls and magnetic bubbles // Rep. Progr. Phyi. 1980.Vol. 43.N6. P. 689-783.
Dietze H.D., Thomas H. Bloch und Neel-WSnde in diinner ferromagne- tischen Schichten // Ztschr. Phys. 1961. Bd. 163,N5.S. 523-534.
Dillon J.F. (jun.). Dynamics of domain walls // Magnetism. Vol. 3: Spin arrangements and crystal structure, domains and micromagnetics / Ed. G.T. Rado, H. Suhl. N.Y.: Acad, press. 1963. P. 415- 464.
Doring W. Mikromagnetismus: Handbuch der.Physik, Ferromagnetism us. B. etc.: Springer, 1966. Bd. XVIII/2. S. 341 — 438.
Drayvesteyn W.F., Dorlein J.W.F. Calculations some periodic magnetic domain structures; consequences for bubble device // Philips Res. Rep. 1971. Vol. 26, Nil.P.11-28.
Elmore W. C. The magnetic structure of iron crystals // Phys. Rev. 1942. Vol. 6 2, N 9/10. P. 486-493.
Evans J.D., Van Hoile A.L. Evidence for the effectiveness of stress coating in altering magnetic properties of commercially produced grain-oriented 3% siliconiron // IEEE Trans. Magn. 1979. Vol. 15, N6.P. 1580-1585.
Feldkeller E. Mikromagnetisch ste- tige und unstetige Magnetisierungskonfigu- ration // Ztschr. angew. Phys. 1965. Bd 19, N 6. S. 530-536.
Feldtkeller E., Fuchs E. Zur Wand- struktur in dunnen magnetischen Schichten // Ibid. 1964. Bd. 18, N 1. S. 1-7.
Filippov B.N. Effect of the coating on the domain structure of grain-oriented silicon iron // J. Magn. and Magn. Mater. 1984. Vol. 41, NLP. 21-24.
Filippov B.N., Lucomskii V.P., Lebedev Yu.G. Parametricexitationof spin waves in ferromagnets with domain structure // Phys, status solidi (b). 1974. Vol. 65, N1,P. 111-122.
Filippov B.N., Zaikova V.A. Influence of domain structure on eddy-current losses in Fe - 3% Si crystals // Proc. Third Intern. Conf. Soft. Magn. Mater. 1977. Pt 2. P. 712-721.
Filippov B.N., Zajkova V.A. Vplyv domenovej Straktury na straty virivymi pradmi v кг у stalo ch Fe - 3% Si //-Electro-f techn. cas. 1978. Roc. 29, N 7. S. 501-510,
Filippov B.N., Zhakov S.V., Lebedev Yu.G. Influence of domain structure on some dynamic properties of ferromagnets Ц IEEE Teans.Magn. 1979. Vol. 15, N 6. P. 1849-1854.
Froit Z. Thin ferromagnetic films: Ferromagnetic resonance // Phys, status, solidi. 1962. Vol. 2, N 11. P. 1417-1459.
Galt J.K. Motion of individual domain walls in a nickel-iron ferrite // Bell Syst. Techn. J. 1954. Vol. 33, N 5. P. 1023-1054.
Goodenough J. Interpretation of domain patterns recently found in BiMn and SiFe alloys// Phys. Rev. 1956. Vol. 102, N 2. P. 356-365.
Gossard A.C., Yaccarino V., Remeika J.R. Experimental test of the spin-wave theory of a ferromagnet // Phys. Rev. Lett. 1961. Vol. 7, N 4. P. 122-124.
Graham CD. Temperature dependence of anisotropy and saturation magnetization in iron and iron-eilicon alloys // J. Appl. Phys. 1960. Vol. 31, N 5. P. 150S-153S.
Hagedorn F.B. Domain wall motion in bubble domain materials // AIP Conf. Proc. 1972. Vol. 5, N 1. P. 72-90.
Hagedorn F.B. Dynamic conversion during magnetic bubble domain wall motion // J. Appl. Phys. 1974. Vol. 45, N 7. P. 3129-3140.
Holler T.R., Kramer J J. Observations of dynamic domain size variation in a silicon-iron alloys // J. Appl. Phys. 1970. Vol. 41, N3.P. 1034-1035.
Harrison C, Leaver K. The analyses of two-dimensional wall structure by Lorentz microscopy // Phys, status solidi (a), 1975. Vol. 27, N 1. P. 69-74.
Helmiss H. Durchbiegen von Blochwanden in folge Wefels from Damp- fung // Ztschr. angew. Phys. 1969. Bd. 28, N l.S.24-29.
Henry G.R. Effects of wall inertia on cylindrical magnetic domains // J. Appl. Phys. 1971. Vol. 42, N 8. P. 3150-3153.
Hofelt M.H. Elastic constants and wave phenomena in bubble lattices // Ibid. 1973. Vol. 44, N 1. P. 414-418.
Holz A., Hubert A. Wandstruk- turen in diinnen magnetischen Schichten // Ztschr. angew. Phys. 1969. Bd. 26, N 2. S. 145-152.
Holz A., Kronmiiller H. The nucleation of stripe domains in thin ferromagnetic films//Phys, status solidi. 1969. Vol. 31, N 2.P. 787-798.
Hothersall D. Electron images of two-dimensional domain walls // Phys, status, solidi (b). 1972. Vol. 51, N 2. P. 529-536.
Huber E.E., Smith D.O., Goode- noudh J.B. Domain-wall structure in permalloyfilms // J. Appl. Phys. 1958. Vol. 29, N3.P. 294-295.
Hubert A. Stray-field-free magnetization configuration Ц Phys, status solidi (a), 1969. Vol. 3 2, N 2. P. 519-5 34.
Hubert A. Symmetric Neel walls in thin magnetic films//Comput. Phys. Communs. 1970. Vol. 1, N 5. P. 343- 348.
Hubert A. Stray-field-free and related do main-wall configurations in thin magnetic films//Phys, status solidi. 1970. Vol. 38,N2.P.699-713.
Hubert A. Statics and dynamics of domain walls in bubble materials //
J. Appl. Phys. 1975. Vol. 46, N 5. P. 2276-2288.
Hubert A., Heiniche W., Kranz J. Magnetische berflachenstrukturen auf Goss- blech // Ztschr. angew. Phys. 1965. Bd. 19, N 6.S.521-529.
Jakubovics J. Application of the analytic representation of Bloch walls in thin ferromagnetic films to calculations of changes of walls structur with increasing anisotropy//Philos. Mag. B. 1978. Vol. 37,N7.P.761-771.
Yanak J.F. Quantum theory of domain-wall motion//Phys. Rev. 1964. Vol. 134, N 28. P. A411-420.
Kaczer J., Gemperle R. The thickness dependence of the domain structure of magnetoplumbite // Czechosl. J. Phys. B. 1960. Vol. 10,N 7. P. 505-510.
Kaczer J., Gemperle R. The rotation of Bloch walls//Ibid. 1961. Vol. 11, N3.P. 157-170.
Kaczer J., Gemperle R. Honeycomb domain structure // Ibid. N 7. P. 510-522.
Kaczer J., Zeleny M., Suda P. Transitional periodic domain structure in thin films of magnetically uniaxial materials//Ibid. 1963. Vol. 13, N 8. P. 579- 586.
Khodenkov H.Ye. Linear equation of motion of Bloch domain wall in fer- romagnet//Phys. Lett. A. 1976. Vol. 58, N 2. P. 135-136.
Kirchner R., Boring W. Structure and energy of a Neel walls // J. Appl. Phys. 1968. Vol. 39, N 2. P. 855-856.
Koikeda T., Suzuki K., Chika- zumi S. Electron-microscopic observation of ’’stripe” or ’’dense-bended” magnetic domains in nickel-rich permalloy films // Appl. Phys. Lett. 1964. Vol. 4, N 9. P. 160-162.
Kollette R. Shape and energy of Neel walls in very thin ferromagnetic films // J. Appl. Phys. 1964. Vol. 35, N 11. P. 3294-3301.
Konishi S., Kawamoto T., Wada M. Domain-wall velocity in YFeO3 exceeding the Walker critical velocity // IEEE Trans. Magn. 1974. Vol. 10. P. 642-645.
Kozlowski G., Zietek W., Zietek K. Theory of the thickness-dependence of the domain with in regular layer-like domain structures of uniaxial ferromagnets // Acta phys.pol.A.1972.Vol.42,Nl. P. 87-106.
La Bonte A.E. Two-dimensional Bloch-type domain walls in ferromagnetic films//!. Appl. Phys. 1969. Vol. 40, N 6. P. 2450-245 8.
La Bonte, Brown W.F One-dimensional zero-degree double Bloch walls in this films//Ibid. 1966. Vol. 37, N 3. P. 1299-1303.
Lants W. Resonant oscillations of magnetic bubble domains with vertical Bloch lines//Ibid. 1982. Vol. 53, N 3. P. 2543-2545.
Le Craw R.C., Blank S.L., Vella- Coleiro C.P. New high-speed bubble garnet based on large gyromagnetic rations (high g)//Appl. Phys. Lett. 1975. Vol. 26, N 7. P. 402-404.
Le Craw R.C., Remeika J.P., Matthews H. Angular momentum compensation in narrow linewidth ferromagnets // J. Appt Phys. Vol. 36, N 3, pt II. P. 901- 905.
Le Craw R.C., Spencer E.G., Gordon E.L Extremery low loss acoustic resonance in single-crystal garnet spheres // Phys. Rev. Lett. 1961. Vol. 6, N 11. P. 620-622.
Lutgemeier H., Veler Gonsales A., Zietek W., Zinn W. Nuclear spin-lattice and spin-spin relaxation in domain walls of hexagonal bariumferrite BaFe12O19// Proc. Intern. Conf. Magnetism 76. Amsterdam etc.: North-Holland, 1977. Pt III. P. 1363-1364.
Malek Z., Kambersky V. On the theory of the domain structure of thin film of magnetically iniaxial materials // Czechosl. J. Phys. 1958. Vol. 8. N 4. P. 416-422.
Malozemoff A.P. Mobility of bubbles with small numbers of* Bloch lines // J. Appl. Phys. 1973. Vol. 44, Nil. P. 5080-5 089.
Malozemoff A.P., Luca J.C. de. Ballistic overshoot in gradient propagation of bubbles in garnet films // Appl. Phys. Lett. Vol. 26, N 12. P. 719-721.
Malozemoff A.P., Slonczewski J.C. Effect of Bloch lines on magnetic domainwall mobility//Phys. Rev. Lett. 1972. Vol. 29,N14.P. 952-954.
Middelhoek S. Domain walls in thin Ni-Fe films//J. Appl. Phys. 1963. Vol. 34,N4.P. 1054-105 9.
Mohri K., Takenchi S., Fujimoto T. Effective domain and grain observation methods and iron losses in coated Si-Fe//IEEE Trans. Magn. 1979. Vol. 15, N6.P. 1598-1600.
Moon R.M. Internal structure of cross-tie walls in thin permalloy films through high-resolution Bitter techniques // J. Appl. Phys. 1959. Vol. 30, N 4. P. 82- 83.
Morkowski J., Wigen P.E. Magnetic field dependence of the domain-wall mass // Ibid. 1981. Vol. 5 2, N 3. P. 2344-2346.
Moses A.J. Effect on applied stress on the magnetic properties of high permeability silicon-iron // IEEE Trans. Magn. Vol. 15, N 6. P. 1575-1579.
Murayama Y. Micromagnetics on stripe domain films. I: Critical cases//!. Phys. Soc. Jap. 1966. Vol. 21, N 11. P. 2253-2266.
Murray Gillian Л., Marshall W. A new interpretation of nuclear magnetic resonance in dilute ferromagnetic alloys // Proc. Phys. Soc. 1965. Vol. 86, N 2. P. 315-330.
Nagai H., Hihara I., Hirahara E. Nuclear magnetic resonances of Mns s and P31 in ferromagnetic and antiferromagnetic MnP//J. Phys. Soc. Jap. 1970. Vol. 29, N3.P. 622-632.
Neel L. Th^orie du trainage mag- n6tique de diffusion//!. Phys.Radium. 195 2. Vol. 13,N5.P. 249-264.
Neel L.M. fenergie des parois de Bloch dans les couches minces // Cj. Acad. sci. 1955. Vol. 241. P. 533- 536.
Nose H. Spin wave resonance in Ni films // !. Phys. Soc. lap. 1960. Vol. 15, N9.P. 1714-1715.
Oeffinger T.R., Roland C.W., Braginski A.I., Patterson R.W. Eistable magnetic bubbles: conditions leading to stability in liquidphasepitaxial garnet films// Appl. Phys. Lett. 1974. Vol. 24, N 1. P. 32-34.
Passon S. Uber die Beobachtung ferromagnetischer Bereiche bei Magnetisi- rung in Wechselfeldern bis zu 20 kHz // Ztschr. angew. Phys. 1968. Bd. 25, N 2. S. 56-61.
Patterson R.W., Braginski A.L, Humphrey F.B. Bubble deformation during translation//IEEE Trans. Magn. 1975. Vol. 11,N5.P. 1094-1096.
Paul D.I. Interaction of elastic waves with ferromagnetic spin waves in Bloch walls // !. Appl. Phys. 1965. Vol. 36, N9.P. 27 99-2802.
Paul D.J. So lit ion theory and the dynamics of a ferromagnetic domain wall // !. Phys. C: Solid State Phys. 1979. Vol. 12, N3.P. 585-593.
Peuzin J.C. Magnetoelastic domain wall wave in a ferromagnet // Solid. State. Communs, 1974. Vol. 15, N 7. P. 1203-1208.
Prossen R.J., Holmen J.O., Cron B.E. Rotatable anisotropy in thin
permalloy turns//J. Appl. Phys. 1961. Vol. 32, N3.P. 91-92.
Pry R.H., Bean C.P. Calculation of the energy loss in magnetic steel materials using a domain model//Ibid. 1958. Vol. 29, N3.P. 532-533.
Puchalska I.B., Ferrier R.P. High- voltage electron microscope observation of stripe domains in permalloy films evaporated at oblique incidence // Thin Solid Films. 1968. Vol. 1, N 6. P. 437-445.
Riedel H., Seger A. Micromagne- tic treatment of Neel walls // Phys. Status Solidi (b). 1971. Vol. 46, N 1. P. 377- 384.
Roberts B.W., Bean C.P. Large magnetic Kerr rotation in BiMn alloy // Phys. Rev. 1954. Vol. 96, N 6. P. 1494- 1497.
Rosenzweig A., Tabor W.J., Nelson T.J. New domain-wall configuration for magnetic bubbles // Phys. Rev. Lett. 1972. Vol. 29'N 14. P. 946-948.
Saito N., Fujiwara H., Sugito Y. A new type of magnetic domain structure in negativ magnetostriction Ni-Fe films // J. Phys. Soc. Jap. 1964. Vol. 19 N 7. P. 1116-1125.
Sato H., Chandasekhar B.S. Determination of the magnetic anisotropy constant К^ of cubic ferromagnetic substances // Phys, and Chern. Solids. 1956. Vol. 1, N 2. P. 228-234.
Sato T., Kuroki K., Tanada O. Approaches to the lowest core loss in grain-oriented 3-percent silicon steel with high permeability // IEEE Trans. Magn. 1978. Vol. 14, N 3. P. 350-35 2.
SchlBman E. Domain walls in bubble films. I: General theory of static properties//!. Appl. Phys. 1973. Vol. 44, N4.P. 1837-1849.
Schloman E. Domain walls in bubble films. П: Static properties of thick films // Ibid. P. 1850-1854.
Schloman E. Domain walls in bubble films. Ill: Wall structure of stripe domains//Ibid. 1974. Vol. 45, N 1. P. 369- 373.
Schloman E., Joseph R.I. Instability of spin waves and magnetostatic modes in a microwave magnetic field applied parallel to the de field // Ibid. 1961. Vol.32 , N6.P. 1006-1014.
Schryer N.L., Walker L.R. The motion of 180° domain walls in uniform de magnetic fields//Ibid. 1974. Vol. 45, N12. P. 5406-5421.
Seagle D.J., Charap S.H. Frequen
cy dependent hysteresis loss in SiFe // Ibid. 1982. Vol. 5 3, N 11. P. 8 299-8301.
Sharp M.R., Horner J.T. A theoretical analysis of the frequency dependence of domain wall spacing in a ferromagnetic sheet//J. Phys. D: Appl. Phys. 1973. Vol. 6, N 15. P. 1835-1842.
Sherwood R.C., Remeika JP., Williams HJ. Domain behaviour in some transparent magnetic oxides //J. Appl. Phys. 1959. Vol. 30, N 2. P. 217-225.
Shir C.C., Lin Y.S. Micromagnetic structure of planarcharged walls // Ibid. 1979. Vol. 50, N 3. P. 2270-2272.
Sixtus K.J., Tonks L. Propagation of large Barkhausen discontinuities // Phys. Rev. 1931. Vol. 37, N 8. P. 930-957
Slonczewski J.C. Dynamics of domain walls // Intern. J.Magn. 1972. Vol. 2, N3.P. 85-97.
Slonczewski J.C. Translational mobility of hard ferromagnetic bubbles // Phys. Rev. Lett. 1972. Vol. 29, N 25. P. 1679- 1682.
Slonczewski J.C. Dynamics of magnetic domain walls//AIP Conf. Proc. 1972. Vol. 5. NLP. 170-175.
Slonczewski J.C. Theory of domain wall motion in magnetic films and platelets//J. Appl. Phys. 1973. Vol. 44. N 4. P. 1759-1770.
Slonczewski J.C. Force, momentum and topology of a moving magnetic domain //J. Magn. and Magn. Mater. 1979. Vol.12 N2.P. 108-122.
Slonczewski J.C. Modes of natural vibration for magnetic domain // Ibid. 1981. Vol. 23,N3.P. 305-311.
Slonczewski J.C. Direct excitation of standing-wave vibrations of domain walls// Ibid. 1983. Vol. 31/34. P. 119-120.
Sokolski M.M., Tanaka T. Excitation spectra of magnetic bubble lattices // J. Appl. Phys. 197 4. Vol. 45, N 7. P. 3091- 3101.
Sucksmith W., Thompson J.E. The magnetic anisotropy of cobalt // Proc. Roy. Soc. London A. 1954. Vol. 225, N 11. P. 362-375.
Sugita V., Fujiwara H„ Saito N. A new type of magnetic domain in thin Ni-Fe films // J. Phys. Soc. Jap. 1964. Vol. 19.N3.P. 421-422.
Suzuki T., Hubert A. Determination of ferromagnetic domain wall widths by means of high voltage Lorentz microscopy // Phys, status solidi (a.). 1970. Vol. 38, N 1. P. K5-K7.
Szymczak R. The magnetic struc-
ture of ferromagnetic materials of uniaxial symmetry // Electron. Technol. 1968. Vol. 1,N l.P. 5-43.
Tabor W.J., Bobeck A.H., Vella- Coleiro G.P, Rosenzweig A. A new type of cylindrical magnetic domain (bubble isomers) // Bell System Techn. J. 1972. Vol. 51, N 6. P. 1427-1431.
Thiele A.A. Theory of cylindrical magnetic domains // Ibid. 1969. Vol. 48, N 10. P. 3287-3335.
Thiele A.A. The theory of static stability of cylindrical domains in uniaxial platalets // J. Appl. Phys. 1971. Vol. 41, N3.P. 1139-1145.
Thiele A.A. Device implications of the theory of cylindrical magnetic domains II Bell Syst. Techn. J. 1971. Vol. 50, N3.P. 725-773.
Thiele A.A. Applications of the gyrocoupling vector and disspation dyadic in the dynamics of magnetic domains // J. Appl. Phys. 1974. Vol. 45, N 1. P. 377- 393.
Thiele A.A. Excitation spectrum of a magnetic domain Bloch lines 11 Phys. Rev. B. 1976. Vol. 14, N 7. P. 3130-3165.
Thiele A.A., Bobeck A.H., Della Torre E., Gianola J. The energy and general translation force of cyclindrical magnetic domains 11 Bell Syst. Techn. J. 1971. Vol. 50, N3.P. 711-724.
Tsang C.H., White R.M. Domain wall Mobilities in YFeO3 // J. Appl. Phys. 197 8. Vol. 4 9, N 3. P. 183 8-1840.
Tsurin V.A., Ermakov A.E., Lebedev Yu.G., Filippov B.N. A Mossbauer study of the structural characteristics of equiatomic FePd and FePt alloys // Phys, status solidi (a). 1976. Vol. 33, N 1. P. 325-332.
Vella-Coleiro G.P. Overshoot in the translational motion of magnetic bubble domains // J. Appl. Phys. 1976. Vol. 47, N 7. P. 3287-3290.
Vella-Coleiro G.P. Walker-type velocity oscillations of magnetic domain walls // Appl. Phys. Lett. 1976. Vol. 29, N7.P. 445-447.
Vella-Coleiro C.P., Rosenzwaig A., Tabor W.J. Dynamic properties of ’’Hard” magnetic bubbles // Phys. Rev. Lett. 1972. Vol. 29,N14. P. 949-951.
Vella-Coleiro G.P., Smith D.H., Van Uitert L.G. Resonant motion of domain walls in yttrium gadolinium iron garnets // J. Appl. Phys. 1972. Vol. 43, N 5. P. 2428-2430.
Wangsness R.K. Sublattice effects in magnetic resonance // Phys. Rev. 1953. Vol. 91, N 5. P. 1085-1091.
Williams H.J., Sherwood R. Magnetic domain patterns on thin films // J. Appl. Phys. 1957. Vol. 28, N 5. P. 548-555.
Williams H.J., Sherwood R.C., Foster F.G., Kelley E.M. Magnetic writing on thin films of MnBi // Ibid. N 10. P. 1181-1184.
Winter J.M. Bloch walls excitation // Phys. Rev. 1961. Vol. 124, N 2. P. 452-461.
Yamomoto T., Nozawa T. Effects of tensile stress on total loss of single crystal of 3% silicon-iron // J. Appl. Phys. 1970. Vol. 41, N 10. P. 2981-2984.
Zalessky A.V., Zheludev I.S. Application of NMR technique to studies of the domain structure of ferromagnets // Atom. Energy Rev. 1976. Vol. 14, N 1. P. 133-172.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1 ДОМЕННЫЕ ГРАНИЦЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ 5
Глава 2 РАВНОВЕСНЫЕ СВОЙСТВА ДОМЕННЫХ СТРУКТУР В ФЕРРОМАГНЕ
ТИКАХ 33
Глава 3 ДИНАМИКА ДОМЕННЫХ СТЕНОК 57
Глава 4 ДИНАМИКА ИЗОЛИРОВАННЫХ ДОМЕНОВ 75
Глава 5 СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ С ИЗОЛИРОВАННОЙ ДО
МЕННОЙ ГРАНИЦЕЙ 87
Глава 6 СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ
ДОМЕННЫМИ СТРУКТУРАМИ 106
Глава 7 ЯДЕРНЫЙ МАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ С ДОМЕН
НЫМИ ГРАНИЦАМИ 129
Глава 8 ВЛИЯНИЕ ДОМЕННЫХ СТРУКТУР НА СПЕКТРЫ МЕССБАУЭРА 153
Глава 9 ВЛИЯНИЕ ДОМЕННЫХ ГРАНИЦ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ 164
Глава 10 ВЛИЯНИЕ ДОМЕННОЙ СТРУКТУРЫ НА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОТЕРИ
В ПРОВОДЯЩИХ ФЕРРОМАГНЕТИКАХ 178
ЛИТЕРАТУРА 203
1 " 52 д/2 d^
3 J2 Р d2 b2N
Б.Н.Филиппов А.П.Танкеев
ДИНАМИЧЕСКИЕЭФФЕКТЫв
ФЕРРОМАГНЕТИКАХС ДОМЕННОЙСТРУКТУРОЙ
АКАДЕМИЯ НАУК СССРУРАЛЬСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТРИнститут физики металлов
Б.Н.Филиппов А.П.Танкеев
ДИМАМИЧЕСОЕЭФФЕКТЫ
В ФЕРРОМАГНЕТИКАХС ДОМЕННОЙСТРУКТУРОЙ
Ответственный редакторпрофессор Г.Г. ТАЛУЦ
МОСКВА ’’НАУКА” 1987
УДК 537.611.3: 537.622.4:537.624
Филиппов Б.Н., Т а н к е е в А.П. Динамические эффекты в ферромагнетиках с доменной структурой. М.: Наука, 1987.
В монографии изложены теоретические и экспериментальные результаты исследований динамики доменных границ, динамической перестройки доменных структур и их влияния на различные физические явления в ферромагнетиках: существование и возбуждение спиновых волн, ядерный магнитный и гамма-резонансы, распространение и поглощение звуковых волн, электромагнитные потери, возникающие при перемагничивании и др. Основное внимание уделяется вопросам, не нашедшим к настоящему времени достаточного отражения в монографиях и обзорах.
Для студентов старших курсов физических факультетов университетов, аспирантов и научных работников, занимающихся исследованиями в области магнитных явлений, а также специалистов по прикладным вопросам магнетизма.
Табл. 3. Рис. 89. Библиогр. 330 назв.
Рецензенты:
В.Г. Барьяхтар, К.Б. Власов, В.В. Тарасенко
Борис Николаевич ФилипповАнатолий Петрович Т а н к е е вДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ С ДОМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ
Утверждено к печати Институтом физики металлов УНЦ
Редактор издательства М.С. Райкова. Художник С. А. КиреевХудожественный редактор Н.Н. Власик. Технический редактор Н.М. БуроваКорректор З.Д. Алексеева
Набор выполнен в издательстве на наборно-печатающих автоматах
ИБ № 35295
Подписано к печати 27.02.87. Т. - 05636. Формат 60X90 1/16. Бумага офсетная № 1Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная. Усл.печл. 13,5. Усл. кр.-отт. 13,8
Уч.-нздл. 14,7. Тираж 600 экз. Тип. зак. 1219. Цена 2 р. 30 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство ’’Наука”117864 ГСП-7, Москва В-485, Профсоюзная ул., д. 90Ордена Трудового Красного Знамени 1-я типография издательства ’’Наука”199034, Ленинград В-34, 9-я линия, 12
© Издательство ’’Наука”, 1987© Издательство ’’Наука”, 19872605000000-095
© Издательство ’’Наука”, 1987
© Издательство ’’Наука”, 1987
Ф 303-87-11
042 (02)-87