Предисловие

Предлагаемая вниманию читателей коллективная монография посвящена оптическим свойствам твердотельных гетеро структур, часто называемых наноструктурами, с характерными масштабами пространственных неоднородностей, лежащими в области от сотен до единиц нанометров. Эти неоднородности играют роль потенциальных ям, в которых в той или иной степени могут быть локализованы внешние электромагнитные поля и различные элементарные возбуждения твердого тела, например, электроны, дырки, экситоны или колебания кристаллической решетки - фононы. Особый интерес представляет случай, когда линейные размеры области пространственной локализации волн и частиц в одном, двух или трех измерениях становятся меньше длины их свободного пробега в неограниченном материале. При выполнении этих условий возникает эффект размерного квантования энергетических спектров волн и частиц. Он заключается в том, что квазинепрерывные зоны разрешенных энергий расщепляются на подзоны при уменьшении размеров области локализации в одном или двух измерениях и на дискретные уровни при уменьшении ее размеров в трех измерениях. Величина расщепления растет с уменьшением размеров и при выполнении упомянутых выше условий становится больше, чем однородная ширина уровней, т.е. эффект размерного квантования может быть обнаружен экспериментально.

В зависимости от того, в каком числе измерений размеры неоднородности меньше длины свободного пробега волн и частиц, принято говорить об дву-, одно-, и нульмерных структурах. Если движение возбуждений твердого тела сильно ограничено в одном измерении, т.е. неоднородность представляет собой, например, тонкий слой материала, то такую структуру называют двумерной. Это связано с тем, что в двух других измерениях область пространственной локализации волн и частиц определяется длиной их свободного пробега так же, как и в обычных “объемных” (макроскопических) однородных материалах. Термин двумерная структура не геометрический и вовсе не означает, что в такой структуре одно из измерений отсутствует. Он лишь подчеркивает, что ее свойства в двух измерениях близки к объемным, а в одном - радикально отличаются от них. Аналогично, если движение возбуждений твердого тела сильно ограничено в двух измерениях, т.е. неоднородность представляет собой волновод или нить с малым поперечным сечением, то такую структуру называют одномерной. Наконец, если волны и частицы локализованы в неод-

породности, все три линейных размера которой меньше длины свободного пробега, то говорят о нульмерной или квазинульмерной структуре. В этом смысле рассматриваемые твердотельные гетеро структуры называют системами с пониженной размерностью или низкоразмерными. Их отличительной особенностью является то, что свойства таких объектов зависят от их размера и формы. В частности, собственные энергии и собственные функции электронной и колебательной подсистем низкоразмерных структур являются существенно более чувствительными к явному виду граничных условий, чем соответствующие величины для объемных твердых тел. Это утверждение в полной мере относиться и к различного рода взаимодействиям элементарных возбуждений низкоразмерных систем с внешними полями и друг с другом.

Стремительное развитие физики твердотельных низкоразмерных систем тесно связано с широкими возможностями, которые предоставляет исследователям оптическая спектроскопия. Информация, получаемая об этих системах в рентгеновском, ультрафиолетовом, видимом и инфракрасном спектральных диапазонах, позволила не только сформироваться новому разделу физики твердого тела, но и послужила базой для создания множества оптоэлектронных устройств, основанных на наноструктурах. Уникальные физические свойства низкоразмерных систем, обнаруженные и изученные преимущественно оптическими методами, стимулировали развитие технологии изготовления наноструктур. В настоящее время нанотехнологии достигли такого уровня, что позволяют конструировать высококачественные низкоразмерные системы с наперед заданными свойствами. Это, в свою очередь, привело к более глубокому пониманию физики таких систем, основанному на данных, полученных оптическими методами, а также к совершенствованию нанораз- мерных оптических устройств, применяющихся в различных областях человеческой деятельности начиная от электроники и кончая биологией и медициной.

Книга предназначена для студентов старших курсов физических факультетов и аспирантов, специализирующихся в области оптики твердого тела, а также для всех желающих познакомиться с новым разделом физики твердого тела, изучающим взаимодействие электромагнитных полей с низкоразмерными системами.

Книга построена следующим образом. Первая глава, написанная С.В. Гапоненко, посвящена фотонным кристаллам, представляющим собой твердотельные среды, диэлектрическая проницаемость которых изменяется в пространстве с периодом порядка длины волны света. Эти чрезвычайно интересные объекты ведут себя по отношению к световым волнам подобно тому, как обычные кристаллы по отношению к электронным возбуждениям. Периодическое изменение диэлектрической проницаемости может приводить к возникновению зонного энергетического спектра электромагнитных волн в фотонных кристаллах. Образование запрещенных зон в спектре световых волн позволяет управлять плотностью фотонных состояний путем конструирования фотонных кристаллов с наперед заданными свойствами, что чрезвычайно

расширяет возможности синтеза различных оптических сред. Полученные к настоящему времени результаты в этом новой области оптики позволяет говорить о ее серьезном влиянии на развитие оптической техники в ближайшие десятилетия.

Во второй главе Н.Н. Розанов детально анализирует различные аспекты распространения оптического излучения в линейных и нелинейных периодических твердотельных структурах, включая фотонные кристаллы. Рассмотренные примеры показывают, что периодическое изменение оптических свойств среды приводит к большому числу эффектов, которые могут быть успешно использованы в различных областях оптики. Пространственная периодическая модуляция свойств среды позволяет управлять частотной дисперсией и дифракцией электромагнитных волн, что крайне важно для реализации новых классов оптических устройств с уникальными характеристиками. По мнению автора, к числу наиболее перспективных относится нелинейно-оптическое направление этого раздела современной оптики, поскольку именно с нелинейно-оптическими свойствами фотонных кристаллов связан возросший в последнее время интерес к оптической бистабильности, оптической памяти, переключению и чисто оптической обработке информации.

В третьей главе Е.Л. Ивченко рассматривает оптические свойства полупроводниковых квантовых ям и сверхрешеток. Эти квазидвумерные структуры играют важную роль в современной оптоэлектронике, так как на их основе создано большое количество разнообразных приборов и устройств, примерами которых могут служить лазеры, светодиоды, терагерцовые излучатели, солнечные батареи, фотоприемники, электрооптические модуляторы и переключающие устройства, а также оптоэлектронные интегральные схемы. В этой главе дается последовательное теоретическое описание как самих структур, так и ряда протекающих в них оптических процессов, модифицированных эффектом размерного квантования, характерном для таких низкоразмерных систем.

Четвертая глава, написанная А.В. Федоровым и А.В. Барановым, представляет собой обзор современного состояния оптики полупроводниковых квантовых точек, в которых, поскольку они являются квазинульмерными структурами, наиболее ярко проявляется эффект размерного квантования. В этой главе, наряду с теоретическим описанием физики низкоразмерных систем, большое внимание уделяется экспериментальным методами стационарной и нестационарной оптической спектроскопии, позволяющим получить информацию о энергетических спектрах и динамике элементарных возбуждений квантовых точек. Здесь же обсуждаются использование квантовых точек в качестве активной среды в полупроводниковых лазерах, а также применение этих нульмерных структур в качестве люминесцентных меток для визуализации биологических объектов разного типа и для сверхчувствительного детектирования биохимических реакций.

В пятой главе А.М. Бонч-Бруевич, Т.А. Вартанян, С.Г. Пржибельский рассматривают оптические резонансы в видимой области спектра металлических наночастиц, линейные размеры которых порядка 1-100 нм. Спектральное положение и вид этих резонансов зависят от материала и формы частиц, а добротность резонансов может доходить до 30, что определяет такое же увеличение действующего на частицу поля по сравнению с полем падающей световой волны. Эффективность вызываемых светом нелинейных процессов в области нахождения частицы повышается из-за этого на много порядков. Возможность манипулировать резонансами металлических наночастиц привлекательна для практических целей. Кроме резонансных особенностей отдельных металлических наночастиц привлекательные и интересные свойства обнаруживаются и у ансамблей частиц, поскольку сближение частиц вызывает смещение резонансов и дополнительное усиление поля в промежутке между ними. Перенос посредством электрической индукции возбуждения в ансамблях частиц открывает перспективу их применения в информационных целях и возможность производить селективное оптическое действие на распределенные системы металлических наночастиц.

Санкт-Петербург, август 2005 г.А. В. Федоров

Оглавление

Фотонные кристаллы

С.В. Гапоненко 1

Концепция 1

Электроны в кристаллическихструктурах 1

Электромагнитные волны в кристаллических структурах9

Фотонное твердое тело: распространение и локализация электромагнитных волн в условиях сильного многократного рассеяния 19

Синтез и свойства фотонных кристаллов 22

Фотонные кристаллы в природе 22

Одномерные периодические структуры 23

Двумерные периодические структуры 25

Трехмерные периодические структуры 28

Испускание и рассеяние излучения в фотонных кристаллах: роль плотности фотонных состояний 33

Интегральная и локальная плотности состояний 34

Спонтанное испускание фотонов 35

Тепловое излучение 38

Комбинационное рассеяние 39

Резонансное (релеевское) рассеяние 40

Заключение 41

Список литературы 43

Оптическое излучение в линейных и нелинейных

периодических структурах

Н.Н. Розанов 49

Введение 49

Однонаправленное распространение в продольно-периодических схемах 54

Квазиоптическое приближение 54

Линзовые волноводы и лазерные резонаторы 59

Одномодовые волоконно-оптические световоды с

нерезонансным периодическим изменением характеристик .. . 61

Мелкомасштабная самофокусировка в периодических системах 64

Квазисинхронное параметрическое взаимодействие 67

Одномодовый световод с брэгговской решеткой 69

Двунаправленное распространение излучения 69

Брэгговские солитоны 73

Оптическая бистабильность и переключение 74

Полупроводниковые микрорезонаторы 79

Связанные световоды 79

Двумерные фотонные кристаллы 90

Неидеальные фотонные кристаллы 96

Нелинейные двумерные фотонные кристаллы 98

Заключение100

Список литературы100

Оптика квантовых ям и сверхрешеток

Е.Л. Ивченко105

Классификация гетеро структур105

Размерное квантование электронных состояний108

Правила отбора при оптических переходах121

Междузонные и внутризонные оптические переходы между подзонами размерного квантования121

Поляризационные свойства оптических переходов из подзон тяжелых и легких дырок125

Резонансное отражение и поглощение света в структурах с квантовыми ямами 126

Вторичное свечение гетеро структур145

Квантовые микрорезонаторы168

Заключение174

Список литературы174

Оптика квантовых точек

А.В. Федоров, А.В. Баранов177

Введение177

Состояния размерного квантования электронных и фононных возбуждений квантовых точек180

Электрон-фононное взаимодействие в квантовых точках194

Динамика электронных возбуждений квантовой точки197

Оптические методы исследования квантовых точек199

Изучение энергетической структуры электронных возбуждений202

Исследование фононных и электрон-фононных состояний квантовых точек216

Исследование динамики элементарных возбуждений квантовых точек232

Оптическая спектроскопия одной квантовой точки245

Применение квантовых точек256

Лазеры на квантовых точках для волоконной связи256

Квантовые точки в биологии и медицине258

Список литературы261

Оптические резонансные свойства металлических наночастиц

А.М. Бонч-Бруевич, ТА. Вартанян, СТ. Пржибелъский 269

Введение269

Резонансы Ми отдельных металлических наночастиц270

Эффект размера 271

Эффекты формы273

Действие окружения на резонансы металлическихнаночастиц279

Электродинамические эффекты 280

Контактные эффекты282

Нелинейные оптические свойства металлических наночастиц284

Генерация высших гармоник285

Оптические комбинационные процессы285

Неоднородные системы металлических наночастиц286

Структурные параметры неоднородных систем287

Измерение релаксационных параметров индивидуальных резонансов в неоднородных системах291

Применения металлических наночастиц, связанные с их оптическими свойствами313

Заключение315

Список литературы315

Фотонные кристаллы

С.В. Гапоненко

Институт молекулярной и атомной физики НАН Белоруссии, Минск, Белоруссия gaponenQimaph. bas -net. by

Концепция

Co времени публикации Луи де Бройлем гипотезы о волновых свойствах материальных частиц [1] волновая механика вещества стала хорошо развитой областью естествознания и позволила дать согласованное описание свойств атомов, молекул, кристаллов, а также предсказать свойства новых искусственных объектов, например квантоворазмерных полупроводниковых структур. На начальном этапе квантовая механика во многом “подпитывалась” представлениями, возникшими в классической волновой физике (например, дифракция и интерференция электромагнитных волн). В наше время наблюдается интересный обратный процесс: результаты квантовой механики, не связанные с квантовой статистикой, зарядовыми эффектами, спиновыми свойствами элементарных частиц, переносятся в оптику и электромагнетизм и создают основу для формирования новых разделов оптики и электродинамики “несплошных” сред и соответствующих направлений прикладных исследований и разработок. Концепция фотонного кристалла возникла на основе аналогий свойств электромагнитных волн со свойствами электронов в периодических структурах с периодом порядка длины электромагнитной волны и длины волны де Бройля соответственно. Формирование и развитие этой концепции стало возможным благодаря переносу представлений квантовой теории твердого тела для одночастичного случая (одноэлектронное приближение) на случай электромагнитных волн. Поэтому изложение основных представлений о фотонных кристаллах целесообразно начать с краткого обзора общих закономерностей движения квантовой частицы в периодическом потенциале.

Электроны в кристаллических структурах

Одномерный случай

Рассмотрим частицу в периодическом потенциале (рис. 1.1), удовлетворяющем условию

Условие (1.1) означает, что потенциальная энергия инвариантна относительно трансляции вдоль оси х на величину а. Рассмотрим общие свойства волновых функций, удовлетворяющих одночастичному стационарному уравнению Шредингера

7г2 б/2

-"тЖ^ + иWto = Ж'(1.2)

2m ах2

с потенциалом, обладающим трансляционной симметрией.

t/№ а(а)

ЬЛАЛААДЛАЛ

Рис. 1.1. Периодический потенциал (а) и амплитудно-модулированная волновая функция (б).Рис. 1.1. Периодический потенциал (а) и амплитудно-модулированная волновая функция (б).

Рис. 1.1. Периодический потенциал (а) и амплитудно-модулированная волновая функция (б).

Рис. 1.1. Периодический потенциал (а) и амплитудно-модулированная волновая функция (б).

Произведя преобразование х —> х + а, получаем уравнение

7z2 d1

- — ф (х + а) + U (х) ф (х + а) = Еф (х + а).(1.3)

2m dx2

Сопоставляя уравнения (1.2) и (1.3), легко видеть, что функции <Дх) и <Д(х+а) удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера с одним и тем же собственным значением энергии Е. Если это значение энергии невырождено, т. е. ему соответствует одна волновая функция, то функции <Д(х) и <Дх + а) могут различаться лишь постоянным множителем:

<Дх + я) = а^х).

Если обе функции нормированы, модуль с должен быть равен единице и, следовательно,

VKx + й)|2 = |<A(x)|2.

Таким образом, частица имеет одинаковую вероятность находиться в точках х и х + а.

Рассмотрим свойства коэффициента с. Применяя дважды операцию

имеемимеемтрансляции на величины аП1 и аП2,

имеем

имеем

v^x + аПх + ап^ = сПхспрКх\

где

ап = па, п = 1, 2, 3, ...

Принимая во внимание очевидное соотношение

^И1 + ^«2 — ^И1+И2’

можем записать ij/(x + аПх + аП2) = ij/(x + аИ1+И2) = cnx+n2i(/(x), откуда следует

СщСп2 = ГИ1+и2.(1*4)

Уравнение (1.4) имеет решение вида

сп = ^ка\(1-5)

где к может принимать любые значения. Таким образом, волновая функция, удовлетворяющая уравнению Шредингера с периодическим потенциалом, может отличаться от периодической функции с периодом а только фазовым коэффициентом вида е1^х\ где f(x) - линейная функция х. Такая волновая функция имеет вид

«А (х) = еЙА'^ (х), Uk (х) = Uk (х + ап).(1.6)

Запись (1.6) означает, что собственная функция гамильтониана с периодическим потенциалом - это плоская волна, промодулированная с тем же периодом, что и потенциал. Это утверждение известно как теорема Флоке (Floquet). Типичный вид волновой функции для одномерного случая показан на рис. 1.16.

Одно из важнейших свойств функций вида (1.6) - их периодичность по отношению к волновому числу к. При добавлении к волновому числу величины кп = 2лп!а значение волновой функции не изменяется, т. е. ^+^и(х) = ^to- Поэтому все волновые числа к\, к^,..., отличающиеся на величину 2лп!а, оказываются эквивалентными. Это свойство является прямым следствием трансляционной симметрии пространства. Все множество волновых чисел оказывается состоящим из эквивалентных интервалов с шириной 2л/а. Каждый из этих интервалов содержит все неэквивалентные значения волнового числа к. Эти интервалы называют зонами Бриллюэна [2]. Выбор интервалов может быть произвольным, например

л, лл, ЗлЗл, 5л

— < к <—; -<к<—; —<к<—;... .а аа аа а

Более удобно, однако, выбирать зоны Бриллюэна в виде отрезков, симметричных относительно начала координат. Множество всех неэквивалентных значений к, имеющих минимальное абсолютное значение в интервале

ааввРис. 1.2. Расширенная (а) и приведенная (б) зависимость Е(к) для частицы в одномерном периодическом потенциале и соответствующие зоны энергий в координатном представлении (в).Рис. 1.2. Расширенная (а) и приведенная (б) зависимость Е(к) для частицы в одномерном периодическом потенциале и соответствующие зоны энергий в координатном представлении (в).

а

а

в

в

Рис. 1.2. Расширенная (а) и приведенная (б) зависимость Е(к) для частицы в одномерном периодическом потенциале и соответствующие зоны энергий в координатном представлении (в).

Рис. 1.2. Расширенная (а) и приведенная (б) зависимость Е(к) для частицы в одномерном периодическом потенциале и соответствующие зоны энергий в координатном представлении (в).

\-л!а<к<л1а\, называют первой зоной Бриллюэна. Зона Бриллюэна с номером п представляет два отрезка

(и - 1) л/а < \к\ < пл/а.(1.7)

Энергетический спектр и дисперсионная кривая Е(к) (т.е. зависимость энергии от к) для частицы в пространстве с трансляционной симметрией также отличаются от случая свободной частицы (рис. 1.2). Дисперсионная кривая имеет разрывы в точках

кп = —и, п = ±1, ±2, ±3, ... .(1*8)

а'

При этих значениях к волновая функция представляет собой стоячую волну, что является результатом многократных отражений и интерференции волн в периодической структуре. Для каждого значения кп, удовлетворяющего условию (1.8), существуют две стоячие волны с различными значениями потенциальной энергии. Это приводит к возникновению разрывов на дисперсионной кривой в точках кп и появлению запрещенных интервалов энергий, для которых не существует распространяющихся волн. Поскольку каждая зона Бриллюэна содержит все неэквивалентные значения волновых чисел, при анализе свойств электронов в периодических структурах обычно рассматривают лишь первую зону Бриллюэна. Путем перемещения различных ветвей зависимости Е(к) на величину ±2лп!а вдоль оси к можно получить так называемое приведенное представление дисперсионной кривой, показанное на рис. 1.26. Величина р = hk для частицы в периодическом потенциале называется квазиимпульсом. Квазиимпульс отличается от обычного импульса своеобразным законом сохранения. Величина р сохраняется с точностью

до 2тг7г/а = И/а. Закон сохранения квазиимпульса в такой форме является прямым следствием трансляционной симметрии пространства. Согласно теореме Нетер (Е. Noether), каждому виду симметрии пространства-времени соответствует свой закон сохранения. Закон сохранения импульса в обычном пространстве является следствием однородности пространства: все точки пространства эквивалентны. В пространстве с трансляционной симметрией эквивалентны точки, координаты которых различаются на целое число периодов. Поскольку квазиимпульс однозначно определяется значением волнового числа, зоны Бриллюэна, содержащие все неэквивалентные значения к, одновременно содержат и все неэквивалентные значения квазиимпульса. Добавление величины nh/a к квазиимпульсу просто означает переход в эквивалентную точку другой зоны Бриллюэна. Как видно из рис. 1.2а, 1.26, зависимость Е(к) для частицы в периодическом потенциале существенно отличается от зависимости Е(к) для свободной частицы. Однако по аналогии с функцией Е(к) = к? к1 Нт, присущей свободной частице, для периодического потенциала можно формально записать

= <L9) zm* (к)

где т*(к) - функция, которую обычно называют эффективной массой. Во многих практически важных случаях эффективную массу можно считать постоянной. В окрестности экстремума Ео(ко) можно записать разложение функции Е(к) в ряд Тейлора

dE I 1 9 d^E I

Е(к) = Eq + (к- ко) — \к=к0 + - ко) —у ^ + ... . (1-Ю) dk 1 2 dk2 1

В экстремуме dE/dk = 0. Отсчитывая энергию и волновое число от точки экстремума, т. е., полагая Eq = 0, ко = 0, можно записать это выражение в более компактной форме

1 9 d^E

Е(к) = -к2 —+ - ■<1Л1>

2 dk2 к=0

Если пренебречь вкладом членов со степенями выше к2, легко видеть, что (1.11) переходит в соотношение (1.9) с постоянной эффективной массой, определяемой выражением

к=0к=0(1.12)(1.12)_ 1 d^Eт

к=0

к=0

(1.12)

(1.12)

Эффективная масса, задаваемая этим соотношением, определяет реакцию частицы на внешнее воздействие через соотношение

где F - внешняя сила, а а - ускорение. Это уравнение формально совпадает со вторым законом Ньютона. Сопоставляя рис. 1.2а (пунктирная кривая) и 1.26, легко видеть, что эффективная масса частицы в окрестности минимума энергии может оказаться заметно меньше, чем ее собственная инертная масса. В некоторых случаях она, в принципе, может оказаться и больше, чем в однородном пространстве. Кроме того, частица в периодическом потенциале может иметь отрицательную эффективную массу. Этот случай соответствует положительной кривизне функции Е(к) в области ее экстремума. Отрицательность эффективной массы - не побочный математический результат, лишенный физического смысла, а принципиальное свойство частицы, взаимодействующей одновременно с фоновым периодическим потенциалом и с внешним возмущающим потенциалом. Отрицательность эффективной массы означает, что импульс частицы уменьшается при появлении внешнего потенциала, т. е. частица под действием возмущения не ускоряется, а затормаживается. Это происходит из-за того, что частица отражается от периодических границ потенциала.

Для периодического потенциала прямоугольной формы стационарное одночастичное уравнение Шредингера решается точно. Такая задача была впервые исследована в 1931 г. Кронигом (R. de Kronig) и Пенни (W.G. Penney) [3] и известна как модель Кронига-Пенни.

Обобщение на трехмерный случай

Обобщение теоремы Флоке на трехмерный случай было выполнено Блохом [4] и известно как теорема Блоха, а функции вида (1.6) часто называют бло- ховскими волновыми функциями. В трехмерном случае волновая функция записывается в виде

= etoUk^, Uk^ = Uk(r + R),(1.14)

где к - волновой вектор, г - радиус-вектор, a R - трехмерный вектор трансляции,

R = niai + И2а2 + изаз,(1.15)

где ai, а2, аз - базисные векторы трехмерной решетки.

Для обобщения понятия зон Бриллюэна на трехмерный случай необходимо введение понятия обратной решетки кристалла. Базисные векторы обратной решетки имеют размерность обратной длины и определяются соотношениями

2л2л2лz х

bi =— а2ха3,Ь2 =— 31Ха3,Ь3= —а2хаь(1.16)

VoVoVo

где Vo - объем элементарной ячейки кристалла:

В выражениях (1.16) и (1.17) знак х обозначает векторное произведение. Параллелепипед, образованный векторами bi, 62, b3, определяет элементарную ячейку обратной решетки, объем которой

V6 = bi(b2xb3) = 8^3/Vo. (1.18)

Согласно определению (1.18), каждый из базисных векторов обратной решетки перпендикулярен к двум базисным векторам прямой решетки с номерами, отличными от номера базисного вектора обратной решетки, т. е. bi±a2,a3; b2±ai,a3; b3±ai,a2. В кубической решетке базисные векторы взаимно перпендикулярны. Поэтому для нее базисные векторы обратной решетки также образуют тройку взаимно перпендикулярных векторов. В случае кубической решетки а\ = аг = аз = а и Ь\ = Ьг = /?3=2тг/а.

Как уже отмечалось, в одномерном случае волновые числа, отличающиеся на величину 2пл1а, эквивалентны. В трехмерном случае эквивалентны волновые векторы, различающиеся на вектор обратной решетки. Таким образом, трансляционная симметрия прямой решетки приводит к трансляционной симметрии волновых векторов в пространстве обратной решетки.

В одномерном случае зоны Бриллюэна представляют собой отрезки на оси волновых чисел, а в двух- и трехмерном пространствах зоны Бриллюэна являются, соответственно, многоугольниками и многогранниками. Волновые векторы кГр, лежащие на границе зон Бриллюэна, удовлетворяют простому соотношению

krpb„ = |b2, (1.19)

где bw = Hibi + И2Ь2 + и3Ь3 - вектор трансляции обратной решетки, а гц, пг, пз - целые числа.

Для построения зон Бриллюэна начало координат выбирают в одном из узлов обратной решетки. Из начала координат к ближайшим узлам решетки проводят векторы Ь„. Плоскости, проходящие через середины этих векторов и перпендикулярные к ним, ограничивают первую зону Бриллюэна. Затем проводятся векторы Ь„ к следующим ближайшим узлам и строятся перпендикулярные к этим векторам плоскости. Между этими плоскостями и плоскостями, ограничивающими первую зону, находится вторая зона Бриллюэна. На рис. 1.3 построены 3 первые зоны Бриллюэна для двумерной квадратной решетки. На рис. 1.4 показаны элементарные ячейки простой (ПК), объемно- центрированной (ОЦК) и гранецентрированной (ГЦК) кубических решеток. Для ПК решетки первая зона Бриллюэна имеет форму куба, а в случае ОЦК и ГЦК решеток первые зоны Бриллюэна имеют форму сложных многогранников.

Классификация электронных состояний в кристаллах проводится выделением в первой зоне Бриллюэна точек и линий, которым соответствуют группы неприводимых представлений. Эти точки и линии обозначают заглавными

Рис. 1.3. Три первые зоны Бриллюэна двумерной квадратной решетки. Первая зона представляет квадрат в двумерном пространстве со стороной 1л!а. Вторая зона состоит из 4, а третья - из 8 треугольных сегментов. Общая площадь каждой зоны составляет (2л/а)2.

Рис. 1.4. Элементарные ячейки для ПК, ОЦК и ГЦК решеток, а также первая зона Бриллюэна для ГЦК решетки.

(100)(100)(110)(111)(110)(111)Рис. 1.5. Обозначение кристаллографических плоскостей с использованием индексов Миллера. В качестве единиц измерения вдоль осей х, у, г выбираются длины базисных векторов решетки ai, а2, а3. Плоскость обозначается набором 3 чисел (hkl), каждое из которых равно наименьшему целому кратному обратых значений длин отрезков, отсекаемых плоскостью, от соответствующих координатных осей.Рис. 1.5. Обозначение кристаллографических плоскостей с использованием индексов Миллера. В качестве единиц измерения вдоль осей х, у, г выбираются длины базисных векторов решетки ai, а2, а3. Плоскость обозначается набором 3 чисел (hkl), каждое из которых равно наименьшему целому кратному обратых значений длин отрезков, отсекаемых плоскостью, от соответствующих координатных осей.

(100)

(100)

(110)(111)

(110)(111)

Рис. 1.5. Обозначение кристаллографических плоскостей с использованием индексов Миллера. В качестве единиц измерения вдоль осей х, у, г выбираются длины базисных векторов решетки ai, а2, а3. Плоскость обозначается набором 3 чисел (hkl), каждое из которых равно наименьшему целому кратному обратых значений длин отрезков, отсекаемых плоскостью, от соответствующих координатных осей.

Рис. 1.5. Обозначение кристаллографических плоскостей с использованием индексов Миллера. В качестве единиц измерения вдоль осей х, у, г выбираются длины базисных векторов решетки ai, а2, а3. Плоскость обозначается набором 3 чисел (hkl), каждое из которых равно наименьшему целому кратному обратых значений длин отрезков, отсекаемых плоскостью, от соответствующих координатных осей.

греческими и латинскими буквами. Центр зоны Бриллюэна (к = 0) обозначают буквой Г. При всех операциях симметрии эта точка преобразуется сама в себя. Особые линии в направлениях [100], [НО], [111] (в кубических кристаллах эти направления перпендикулярны к плоскостям с одноименными индексами, показанным на рис. 1.5) обозначаются буквами А, Е, Л. Эти линии инвариантны относительно операций отражения. Точки пересечения этих линий с гранями зоны Бриллюэна обозначаются буквами X, R, М.

В трехмерной кристаллической решетке обратная эффективная масса является в общем случае тензором второго ранга с компонентами

Эффективная масса в общем случае анизотропна (направление ускорения частицы не совпадает с направлением приложенной внешней силы). Учитывая, что порядок дифференцирования не влияет на величину d^K/dkidkj, получаем

< =^.(1.21)

Это значит, что тензор обратной эффективной массы может быть приведен в диагональному виду, т. е. при соответствующем выборе системы координат все его недиагональные элементы будут равны нулю. Основные представления электронной теории твердого тела изложены в монографиях и учебных пособиях [5-12].

Электромагнитные волны в кристаллических структурах

Одномерный случай

По аналогии с предыдущим разделом рассмотрим свойства электромагнитных волн в среде с периодическим изменением диэлектрической проницаемости е(х) = е(х-^-а) вдоль направления распространения (рис. 1.6). Волновое уравнение

V2E(x, г) + 1£(х)^^ = 0(1.22)

С2 ot2

для электрического поля

E(xj) = Е(х)е^(1.23)

принимает вид уравнения Гельмгольца

2

V2E(x) + eW-^EU) = 0.(1.24)

С2

В уравнениях (1.22)-(1.24) со - частота поля, t - время. Уравнение Гельмгольца (1.24) математически изоморфно уравнению Шредингера (1.2). Как

Рис. 1.6. Оптический аналог квантовомеханической модели Кронита-Пенни: слоистая периодическая среда.

и в случае уравнения (1.2), уравнению (1.24) удовлетворяют функции Е(х), которые имеют вид амплитудно-модулированной плоской волны

Е(х) = Ек(х)е'кх, (1.25)

а состояния поля Е^Дх), различающиеся значениями волнового числа кт = к ± ^mja (т - целое число) оказываются эквивалентными. Функция Е^(х) удовлетворяет условию периодичности Е^(х) = ЕДх + а).

Как и в случае одноэлектронной задачи квантовой механики, периодичность среды приводит к появлению разрывов на дисперсионной кривой а>(к) и образованию интервалов к, для которых нет решений уравнения (1.24) в виде бегущих волн. Точки разрыва функции о)(к) соответствуют стоячим волнам с концентрацией энергии поля либо в подрешетке с низким значением е, либо в подрешетке с высоким значением е. Эти свойства иллюстрируются на рис. 1.7-1.9. Обсудим их подробнее.

На рис. 1.7а показана дисперсионная кривая для электромагнитных волн в вакууме

со^ск (1.26) и в сплошной среде с показателем преломления п = л/е, который не зависит от частоты (магнитная проницаемость среды полагается равной 1),

О) = ск/п. (1.27)

В среде с периодическим изменением п на дисперсионной кривой возникают разрывы для всех значений волнового числа кт = тл/а, где т - целое положительное или отрицательное число. На рис. 1.76 показан интервал [0, 2л7я] с разрывом в точке к = л/а. Все волновые числа, отличающиеся на величину ^тл/а, оказываются эквивалентными. Как отмечалось ранее, это позволяет ввести понятие зоны Бриллюэна - интервала шириной 2л7а, содержащего все неэквивалентные значения к. Для удобства, как и в случае электронов, зоны Бриллюэна выбирают симметрично относительно начала координат (см. выражение (1.7)).

Рис. 1.7. Дисперсионные кривые для электромагнитных волн в однородной (а) и в периодической (б) средах. Показана часть кривых, соответствующая положительным волновым числам. Диаграмма (в) получена из диаграммы вида (б) перемещением 2 верхних ветвей дисперсионной кривой вдоль оси к влево и вправо на величины, кратные 2л/а.

По аналогии с рис. 1.26 для электрона в случае электромагнитных волн можно также переместить различные ветви дисперсионной кривой в первую зону Бриллюэна и рассматривать так называемую приведенную дисперсионную кривую, показанную на рис. 1.7в.

При небольших значениях волнового числа (к « л/а) дисперсионная кривая не отличается от случая сплошной среды. С увеличением к скорость распространения волны daddk уменьшается и при к^ л/а производная doj/dk стремится к нулю. В точке л/а имеем стоячую волну, причем возможны стоячие волны двух типов. В первом случае поле сосредоточено в подрешетке с высоким значением я, а во втором - в подрешетке с низким значением п. С этим и связано происхождение разрыва на дисперсионной кривой. За разрывом при увеличении к дисперсионная кривая снова приближается к прямой линии, присущей сплошной среде.

Сплошным участкам дисперсионной кривой соответствуют блоховские волны, а для запрещенных интервалов частот волновые решения отсутствуют. Эти свойства присущи всем периодическим средам (а не только слоистым) и всем волнам, подчиняющимся уравнению (1.24), например акустическим.

При рассмотрении конечных периодических диэлектрических структур возможно точное численное решение уравнения (1.24) и построение пространственного распределения поля в среде. На рис. 1.8 в одной шкале частот представлены зависимость а>(к) и спектр пропускания Т(м), а на рис. 1.9, 1.10 - распределение поля на частотах бщ и щ>2, соответствующих краям разрешенных зон (полос пропускания) и на частоте mq в центре запрещенной зоны (полоса отражения). В каждой полосе пропускания число резонансных пиков равно числу периодов в среде. Им соответствуют дискретные точки на графике а>(к). На рис. 1.9 видно, что на границах полос пропускания максимумы ам-

Рис. 1.8. Зависимость частоты от волнового числа (а) и спектр пропускания (б) для конечной слоистой периодической структуры. Число пиков пропускания в пределах одной зоны Бриллюэна равно числу периодов в структуре. Ширина полосы отражения (запрещенной зоны) растет с ростом отношения диэлектрических функций сред А и В.

Z, мкмZ, мкмZ, мкмZ, мкмРис. 1.9. Пространственное распределение поля в периодической слоистой среде для полос пропускания непосредственно вблизи границ полосы отражения од (а) и о>2 (б). Расчеты С.В. Жуковского. Пространственное распределение показателя преломления показано серым цветом.Рис. 1.9. Пространственное распределение поля в периодической слоистой среде для полос пропускания непосредственно вблизи границ полосы отражения од (а) и о>2 (б). Расчеты С.В. Жуковского. Пространственное распределение показателя преломления показано серым цветом.

Z, мкм

Z, мкм

Z, мкм

Z, мкм

Рис. 1.9. Пространственное распределение поля в периодической слоистой среде для полос пропускания непосредственно вблизи границ полосы отражения од (а) и о>2 (б). Расчеты С.В. Жуковского. Пространственное распределение показателя преломления показано серым цветом.

Рис. 1.9. Пространственное распределение поля в периодической слоистой среде для полос пропускания непосредственно вблизи границ полосы отражения од (а) и о>2 (б). Расчеты С.В. Жуковского. Пространственное распределение показателя преломления показано серым цветом.

плитуды поля находятся в разных подрешетках периодической многослойной структуры. Наличие запрещенного интервала частот Асо = соэ -и)\ приводит к появлению полосы сильного отражения. Для среды без диссипации электромагнитной энергии, т.е. с чисто действительным показателем преломления, нулевое пропускание в интервале Au) = ц>2 -^1 на рис. 1.8 означает 100%-ное отражение волны от границы раздела сплошной диэлектрик-периодическая среда. Распространение поля внутри среды в полосе отражения описывается экспоненциально затухающей функцией (рис. 1.10). Этот случай аналогичен отражению электромагнитных волн от границы диэлектрик-металл, при котором поле также экспоненциально затухает внутрь металла. Квантовомеха-

нической аналогией является отражение частицы от потенциального барьера с экспоненциальным просачиванием волновой функции внутрь барьера.

Расстояние, мкм

Рис. 1.10. Распределение поля в конечной периодической структуре на частоте coq, построенное на фоне пространственного профиля показателя преломления. Расчеты А.Г. Смирнова.

Для любой конечной периодической структуры коэффициент пропускания в полосе отражения хотя и мал, но отличен от нуля. Этот эффект аналогичен частичной прозрачности тонких металлических пленок, а также туннельному эффекту, известному в квантовой механике с 1928 г. [13]. В квантовой механике туннелирование частицы происходит благодаря тому что волновая функция частицы не обращается в нуль на границе барьера, а экспоненциально затухает в глубь барьера. Таким образом, можно говорить о туннельном характере распространения электромагнитного поля в периодической среде в полосе отражения.

Ширина запрещенной зоны Эм = м2 - ^1 растет с увеличением разности показателей преломления материалов, формирующих решетку. Существует один практически важный частный случай периодических слоистых структур, образованных слоями равной оптической толщины

nidi = п^.(1.28)

В этом случае центральная частота соо^Ал/Ао в полосе отражения определяется из так называемого четвертьволнового условия

Ло/4 = ^1^1 = ^2^2,(1-29)

а спектр пропускания является периодической функцией частоты с периодом 2&>о.

Спектральные свойства сред с периодическим изменением показателя преломления вдоль одного направления исследованы достаточно хорошо в

связи с использованием слоистых тонкопленочных структур для изготовления зеркал и интерференционных фильтров. Анализ их свойств содержится, например, в работах [14-16].

При приближении к границам зоны Бриллюэна нелинейная зависимость частоты от волнового числа приводит к отличной от нуля второй производной d^coldk^. Переходя от частоты со к энергии фотона Е = Тгсо, получаем

d2E

—у^°(1.30)

dk2

что в соответствии с (1.9)-(1.12) позволяет говорить о появлении эффективной массы у фотона (электромагнитной волны). Как отмечалось в разделе 1.1.1, введение эффективной массы для электрона позволяет описать реакцию на внешнее поле, вызывающее его ускорение. В случае электромагнитных волн (фотонов) возможность силового воздействия, при котором проявилась бы эффективная масса, по-видимому, отсутствует. Электромагнитную волну нельзя “разгонять” вдоль дисперсионной кривой, подобно классической частице, связь энергии и частоты с волновым числом (импульсом) “статична”, она лишь указывает на дозволенные состояния фотона (электромагнитные моды), которые могут существовать в среде. Более детальное обсуждение проблемы эффективной массы фотона выходит за рамки настоящей работы. Возможно, к электромагнитным волнам в периодических средах можно применить подход, предложенный при обсуждении сложного закона дисперсии электромагнитных волн в волноводах [17]. В этом случае масса фотона, возникающая при локализации поля в волноводе, рассматривается как эквивалент энергии, высвобождаемой при его делокализации. Понятно, что и в периодических средах нелинейная зависимость частоты от волнового числа связана с локализацией поля, и при снятии условий, вызывающих локализацию (например, при уменьшении разницы показателей преломления или при увеличении периода структуры) произойдет высвобождение энергии (переход от локализованного к делокализованному распределению поля в пространстве). Нельзя исключить, что последовательное рассмотрение свойств излучения в периодических средах и анализ мысленных экспериментов может стимулировать развитие и уточнение наших представлений о квантах электромагнитного поля [18].

Обобщение на 2- и 3-мерные структуры

В средах с периодическим изменением диэлектрической проницаемости в 2 или 3 измерениях

s(r + R) = s(r),(1.31)

где R - вектор трансляции (1.15). При условии ц = 1 (немагнитные среды) волновые уравнения для электрического и магнитного полей принимают вид (см., например, [19])

Рис. 1.11. Примеры периодических диэлектрических структур: двумерная квадратная решетка цилиндрических пор (а) и трехмерная кубическая решетка диэлектрических шаров (б).Рис. 1.11. Примеры периодических диэлектрических структур: двумерная квадратная решетка цилиндрических пор (а) и трехмерная кубическая решетка диэлектрических шаров (б).(б)

Рис. 1.11. Примеры периодических диэлектрических структур: двумерная квадратная решетка цилиндрических пор (а) и трехмерная кубическая решетка диэлектрических шаров (б).

Рис. 1.11. Примеры периодических диэлектрических структур: двумерная квадратная решетка цилиндрических пор (а) и трехмерная кубическая решетка диэлектрических шаров (б).

;<е:е - ■ * ■ »<

VxVx(v х 4-О(г)\ е(г)(v х 4-О(г)\ е(г)^D(r) = О,С2^D(r) = О,С2VxVx| —V х Н(г)U(r) ,| —V х Н(г)U(r) ,ц;2—Н(г) = О,ц;2—Н(г) = О,(1.32)(1.33)(1.32)(1.33)<. *^* < ^ # • Л

Vx

Vx

(v х 4-О(г)

\ е(г)

(v х 4-О(г)

\ е(г)

^D(r) = О,

С2

^D(r) = О,

С2

Vx

Vx

| —V х Н(г)

U(r) ,

| —V х Н(г)

U(r) ,

ц;2

—Н(г) = О,

ц;2

—Н(г) = О,

(1.32)

(1.33)

(1.32)

(1.33)

где D - вектор электрического смещения, а Н - вектор напряженности магнитного поля. При записи уравнений (1.32) и (1.33) в виде задачи на собственные значения, соответствующий оператор в уравнении для магнитного поля оказывается эрмитовым, а оператор для электрического поля - нет. Поэтому расчет зонной структуры проводят на основе численного решения уравнения (1.33) [19, 20]. В расчетах используются различные 2- и 3-мерные решетки с параметрами, присущими реальным диэлектрикам и полупроводникам (табл. 1.1). С целью получения в расчетах запрещенной зоны для всех

Таблица 1.1. Параметры полупроводников и диэлектриков в оптическом диапазоне электромагнитных волн (для полупроводников указаны значения запрещенной зоны Eg и соответствующей длины волны в вакууме Ag; при А < Ag оптическое излучение поглощается).

Материал

Eg, эВ

Ag, нм

n

Si

1.12

1100

11.9

3.45

Ge

0.66

1780

16

4

GaAs

1.42

870

13

3.6

AlAs

2.14

580

10

3.16

InP

1.35

920

12.6

3.55

ZnSe

2.7

460

6.25

2.5

ZnS

3.5

350

5.3

2.3

ZnTe

2.26

550

7.4

2.72

SiO2 (кварц)

2.37

1.54

A12O3 (сапфир)

3.13

1.77

TiO2

7.02

2.65

Na3AlF6 (криолит)

1.78

1.34

направлений распространения волн проводится оптимизация структур (симметрия решетки и материалы). Эта задача оказывается достаточно сложной. В структурах с периодичностью е в одном направлении для этого направления всегда возникает запрещенная зона даже при незначительном пространственном изменении 8. В 2- и 3-мерных диэлектрических решетках реализация запрещенной зоны во всех направлениях требует специальной топологии и применения материалов с максимальными значениями 8 > 10 (Ge, Si, InP, GaAs). Сравнивая свойства электронов в кристаллических материалах со свойствами электромагнитных волн, можно отметить следующее характерное отличие. Наличие заряда у электрона приводит к сильному рассеянию на ионах кристаллической решетки и, соответственно, к большим скачкам потенциала в уравнении Шредингера (1.2) и формированию запрещенных зон. Оптическая прозрачность природных и искусственых кристаллов диэлектриков и широкозонных полупроводников обусловлена, как известно, именно наличием в них электронной запрещенной зоны. Электромагнитные волны в отличие от электронов рассеиваются не на зарядах, а на скачках диэлектрической функции. Отсутствие величины, аналогичной заряду, затрудняет формирование сильных локальных центров рассеяния электромагнитных волн для оптического и, по-видимому, радиодиапазонов. В области рентгеновского и гамма-излучения ситуация еще хуже. Как известно, рентгеновское и гамма- излучение рассеивается материальными объектами еще слабее, чем свет и радиоволны.

Рис. 1.12. Зонная структура двумерной треугольной решетки воздушных пор в диэлектрике с 8 = 13 (а), первая зона Бриллюэна и структура решетки (6)[21 ]

Рассмотрим примеры расчетов для некоторых модельных структур. Для двумерных структур Иоаннопулос с сотрудниками [19, 21] показал, что запрещенная зона возникает для всех направлений в треугольной решетке полых цилиндров (рис. 1.12) при использовании в качестве матрицы материала с 8 = 13 (арсенид галлия). При меньших значениях 8 реализация запрещен-

ной зоны труднодостижима. По-видимому, такая треугольная двумерная решетка обладает параметрами, близкими к оптимальным для формирования запрещенной зоны во всех направлениях в плоскости х-у. Другие варианты решеток (например, квадратные решетки пор в диэлектриках или диэлектрических цилиндров в воздухе, треугольные решетки диэлектрических цилиндров в воздухе) являются менее предпочтительными для возникновения запрещенных зон [19]. Такое заключение подтверждается результатами работы [22], в которой систематически исследована зонная структура различных двумерных решеток (рис. 1.13). Как видно из табл. 1.2, при построении решетки из стержней с 8 = 13 (арсенид галлия) максимальные значения относительной ширины запрещенной зоны ZIcdIcd составляют для треугольной решетки 0.23, в то время как для квадратной и гексагональной решеток - 0.15 и 0.11 соответственно. Предпочтительной оказывается цилиндрическая или гексагональная форма стержней по сравнению с квадратной и прямоугольной. В этих расчетах также выявилась еще одна особенность формирования запрещенных зон для электромагнитных волн: решетка пор в диэлектрике обладает большим значением Jw/w, чем решетка диэлектрических стержней в воздухе при сходных геометрических характеристиках решеток.

Рис. 1.13. Различные типы двумерных решеток, образованных диэлектрическими стержнями: квадратные (а-с), треугольные (d-f), гексагональные (g-i) с прямоугольными (a, d, g), цилиндрическими (b, е, h) и гексагональными (с, f, i) стержнями [22].

Таблица 1.2. Значения фактора заполнения /, при которых достигается максимальная относительная ширина запрещенной зоны Aw! и) для двумерных решеток различной геометрии, образованных рассеивателями различной формы (по данным [22]). Рассматривается пара материалов с 8 = 13 (GaAs) и е = 1 (воздух), a-f - решетки воздушных пор в диэлектрике, g-i - решетки диэлектрических цилиндров в воздухе.

Обозначение на рис. 1.13

Тип решетки

Форма рассеивателей

^CD1 СО

/

а

квадратная

прямоугольная

0.15

0.67

b

квадратная

цилиндрическая

0.04

0.71

с

квадратная

гексагональная

0.025

0.71

d

треугольная

прямоугольная

0.09

0.68

е

треугольная

цилиндрическая

0.2

0.85

f

треугольная

гексагональная

0.23

0.70

g

гексагональная

прямоугольная

0.06

0.43

h

гексагональная

цилиндрическая

0.11

0.2

i

гексагональная

гексагональная

0.11

0.2

Для трехмерных структур выполнена серия расчетов для решеток, образованных плотными упаковками диэлектрических шаров, а также для трехмерных реплик таких решеток (инвертированных решеток) [19, 20, 23-26]. Анализ различных топологий 3-мерных структур выявил следующие закономерности формирования запрещенной зоны для всех направлений. При одинаковой геометрии решетки (простая кубическая, гранецентрированная кубическая, объемноцентрированная кубическая) предпочтительными являются структуры, представляющие собой диэлектрические компоненты в воздухе с незначительной объемной долей заполнения (0.2-0.3). При равных объемных долях заполнения преимущество имеют решетки, в которых диэлектрическая фракция образует непрерывную пространственную структуру. Например, структура, состоящая из небольших (по сравнению с периодом решетки) диэлектрических шаров в узлах кубической решетки, обладает большей шириной запрещенной зоны Лы/а), если шары соединены диэлектрическими стержнями.

Из различных видов кубических решеток наибольшей запрещенной зоной при прочих равных параметрах структуры обладает решетка типа алмаза, являющаяся разновидностью гранецентрированной кубической решетки. Для такой решетки, образованной плотной упаковкой диэлектрических шаров, расчеты [24, 25] показали, что запрещенная зона для всех направлений возникает при отношении показателей преломления шаров и среды между ними ndieil^air > 2. Для получения максимального величины Лоо/а) большое значение имеет объемная доля заполнения / диэлектрика с высоким показателем преломления [24]. Так, например, для решетки типа алмаза, построенной из диэлектрических шаров с ndiei/nair = 3.6 запрещенная зона возникает при / = 0.2, достигает своего максимального значения Лш/а) = 0.15 при / = 0.35, а затем уменьшается до нуля при увеличении / до 0.7. Для решетки типа

алмаза, построенной из воздушных шаров в диэлектрике с п^Па^ = 3.6 запрещенная зона возникает при / = 0.35, достигает своего максимального значения Лоэ/а) = 0.28 при / = 0.8, а затем уменьшается при дальнейшем росте /. В связи с обсуждением роли объемной доли заполнения полезно привести значения / для различных плотных упаковок шаров: / = 0.52 для простой кубической решетки, 0.68 - для объемноцентрированной кубической решетки и 0.72 - для гранецентрированной кубической решетки [11].

Примеры рассчитанных зонных структур для решеток типа алмаза, обладающих запрещенной зоной во всех направлениях, представлены на рис. 1.14.

Рис. 1.14. Зонные структуры решетки типа алмаза, состоящей из шаров оксида кремния (е = 2.1) в кремнии (е = 12) (вверху) и воздушных сфер в кремнии (внизу). Нижняя решетка получена из верхней удалением оксида кремния. Объемный фактор заполнения для кремния составляет 0.5 [27].

Фотонное твердое тело: распространение и локализация электромагнитных волн в условиях сильного многократного рассеяния

В последние десятилетия стремительно сформировалось и развилось крупное направление в оптике и оптической технике, связанное с систематическим переносом представлений о свойствах волн из квантовой теории твердого тела в классическую электромагнитную теорию распространения волн. Рассмотренные в разделе 1.1.2 периодические диэлектрические среды получили название “фотонные кристаллы”. В общем плане поиск существующих и синтез новых конденсированных сред с сильным многократным рассеянием и интерференцией волн, анализ условий распространения волн в таких средах и экспе-

риментальное исследование их оптических свойств можно охарактеризовать термином “физика фотонного твердого тела”. Интересно кратко проследить историю зарождения этого направления.

В 1972 г. Быков опубликовал работу [28], в которой он, развивая идею Перселла [29] об изменении вероятности спонтанных переходов в резонаторах вследствие изменения плотности электромагнитных мод (фотонных состояний), предсказал принципиальную возможность полного подавления спонтанного распада возбужденных атомов в периодических диэлектриках. Позднее в своей книге [30] он указал на возможность создания таких структур путем плотной упаковки коллоидных диэлектрических частиц. В 1987 г. Яблонович [31 ] выдвинул идею создания искусственных периодических сред с полным подавлением спонтанного испускания, что позволило бы, в принципе, создавать беспороговые лазеры. Как известно, пороговая мощность накачки и пороговый ток, необходимые для возникновения генерации в лазерах, определяются потерями в резонаторе и спонтанными переходами в активной среде. В 1989 г. он с сотрудниками экспериментально получил запрещенную зону для всех направлений в трехмерной диэлектрической ГЦК решетке в миллиметровом диапазоне электромагнитных волн [32].

В этот же период Джон [33] перенес в оптику и электромагнетизм идею Андерсона [34] о локализации электронов на флуктуациях трехмерного потенциала, затем они сформулировали проблему локализации классических волн в сильнонеоднородных средах с многократным рассеянием [35, 36]. Параллельно в начале 80-х годов прошлого века теоретические работы по интерпретации проводимости неупорядоченных сред на основе квантовой интерференции электронов в узлах петлевых траекторий [37] (так называемая слабая локализация электронов) инициировали поиски оптического аналога этого явления - обратного когерентного рассеяния света. Последнее было успешно зарегистрировано в 1985 г. [38, 39].

Среди предвестников теории фотонных кристаллов необходимо упомянуть работу Отаки [40], предложившего метод расчета дисперсионного соотношения для регулярных массивов диэлектрических шаров, а также планомерное развитие теории многократного рассеяния применительно к электромагнитным волнам в плотных дисперсных средах [41]. Интересно отметить, что, по-видимому, первым примером плодотворного применения решений уравнения Шредингера к анализу уравнений Максвелла, следует считать разработку в 40-х годах прошлого века в ГОИ им. С.И. Вавилова оптических просветляющих покрытий. Как отмечает Розенберг [42], эта идея возникла на основе аналогии оптической задачи с безотражательным прохождением квантовой частицы над потенциальным барьером определенной формы.

Предсказание сильных физических эффектов и важных практических приложений привело в стремительному развитию нового направления оптической науки и техники, успехи и достижения в этой области обсуждаются в книгах [19, 20, 43-45], спецвыпусках журналов [46-51], обзорах [52-55]. Два принципиальных эффекта, с предсказания которых началось развитие нового

направления, до настоящего времени надежно не зарегистрированы: замораживание спонтанного распада возбужденных квантовых систем и локализация электромагнитных волн [56] продолжают оставаться интригующей проблемой для экспериментаторов. Тем не менее, теория и практика фотонных твердых тел к настоящему времени развились настолько, что можно уверенно предсказывать проникновение фотонных твердых тел в области оптоэлектроники и оптической связи в ближайшем будущем.

В заключение этого раздела приведем сравнение свойств электронов и электромагнитных волн в среде со сложным профилем потенциала или показателя преломления (табл. 1.3).

Таблица 1.3. Аналогия свойств электронов и электромагнитных (ЭМ) волн при распространении в сложных средах

Профиль потенциала/ показателя преломления

Электрон

ЭМ волна

Полубесконечный барьер Отражение/прохождение Отражение/прохождение

Яма конечной ширины

Отражение/прохождение над ямой

Отражение/прохождение над ямой (моды Фабри-Перо в воздушном зазоре между двумя диэлектриками)

Барьер конечной ширины

Отражение/прохождение над барьером

Туннелирование под барьером

Отражение/прохождение над барьером (моды Фабри-Перо тонких диэлектрических пластинок) Туннелирование под барьером (прозрачность тонких металлических пленок)

По следовательно сть одинаковых барьеров/ям

Многократное расщепление стационарных уровней энергии

■ Многократное расщепление резонансных полос пропускания в связанных микрорезонаторах [57]

Одиночная яма между двумя барьерами

Резонансное

туннелирование

Прозрачность интерферометров Фабри-Перо - оптическое резонансное туннелирование

Периодический потенциал

Энергетические зоны, разделенные запрещенными зонами

Частотные полосы пропускания, разделенные полосами отражения

Случайный со слабым беспорядком

Слабая локализация [37]

Когерентное обратное рассеяние [38, 39]

Случайный с сильным беспорядком

Андерсоновская локализация [34]

Андерсоновская локализация [3 3 ]

Квазипериодический

Фрактальный энергетический спектр природных квазикристаллов [58]

Фрактальный спектр пропускания оптических фильтров Фибоначчи [59]

Фрактальный

Не исследовано

Спектрально-масштабируемые спектры пропускания [60, 61]

Синтез и свойства фотонных кристаллов

Возникновение запрещенных зон, которым уделялось основное внимание в предыдущих разделах, позволяет управлять плотностью фотонных состояний путем конструирования фотонных кристаллов с наперед заданными свойствами. Как будет показано ниже, это чрезвычайно расширяет возможности синтеза различных оптических сред.

Фотонные кристаллы в природе

Периодические структуры с выраженной интерференционной окраской часто встречаются в живой природе [62, 63]. Структурами с одномерной периодичностью являются, например, покрытия на крыльях некоторых бабочек, хвостовых перьях павлина, панцирях некоторых жуков. Роль интерференции в окраске перьев павлинов отмечал еще Исаак Ньютон в 1730 г. Структуры с двумерной периодичностью присутствуют в строении глаз насекомых (например, моли), а также человека и других млекопитающих, в строении некоторых видов водорослей [64]. Двумерная периодичность присуща натуральным жемчужинам, состоящим из слоистой упаковки цилиндрических элементов.

Функциональность строения живых организмов, сформировавшихся под влиянием естественного отбора, приводит к мысли о целевом использовании оптических свойств периодических структур в живой природе. Во многих случаях такая целесообразность не вызывает сомнений. Регулярная пористая структура глаз насекомых (рис. 1.15) и роговицы глаз млекопитающих является эффективным антиотражающим интерфейсом, обеспечивающим прохождение света без френелевского отражения с одновременной возможностью физико-химического обмена с окружающей средой для внутренних тканей глаза [63, 65]. Недавно высказано предположение, что периодическая структура диатомовых водорослей способствует более эффективному светосбору, повышая таким образом продуктивность фотосинтеза [66]. Целесообразность интерференционной окраски не получила однозначного толкования. Можно

предположить, что предпочтение интерференции по сравнению с абсорбционным механизмом цветообразования у живых организмов связано с тем, что интерференционная окраска не требует поглощения и диссипации световой энергии, а значит, не сопровождается нагревом и фотохимическим разрушением пигментного покрытия.

Рис. 1.15. Наружная поверхность глаза бабочки Vanessa kershawi [63]. Длина метки равна 2 мкм.

В природе существуют трехмерные периодические структуры в виде коллоидных кристаллов [67]. Они впервые были обнаружены при исследовании вирусов[68]. Полудрагоценный минерал опал представляет собой коллоидный кристалл, состоящий из монодисперсных сферических глобул оксида кремния [69]. Именно интерференцией света в трехмерной периодической структуре определяется их искрящийся цвет, зависящий от угла падения и наблюдения.

Одномерные периодические структуры

Наиболее простой и распространенный способ получения одномерных периодических структур - это вакуумное послойное напыление поликриста- лических диэлектрических или полупроводниковых пленок [16]. Этот метод получил большое распространение в связи с использованием периодических структур при производстве лазерных зеркал и интерференционных фильтров. В таких структурах при использовании материалов с показателями преломления, различающимися примерно в 2 раза (например, ZnSe и NagAlFs (см. табл. 1)) возможно создание полос отражения (так называемых фотонных запрещенных зон) шириной до 300 нм, перекрывающих практически всю видимую область спектра.

Достижения в области синтеза полупроводниковых гетеро структур в последние десятилетия позволяют создавать полностью монокристаллические структуры с периодическим изменением показателя преломления вдоль направления роста, используя методы молекулярно-пучковой эпитак-

сии (molecular beam epitaxy, МВБ) или осаждение из газовой фазы с использованием метал л органических соединений (metal-organic chemical vapour deposition, MOCVD). В настоящее время такие структуры входят в состав полупроводниковых лазеров с вертикальными резонаторами (vertical cavity semiconductor lasers, VECSEL) [70]. Максимальное достижимое в настоящее время отношение показателей преломления материалов, по-видимому, соответствует паре GaAs/A^Os и составляет около 2. Следует отметить высокое совершенство кристаллической структуры таких зеркал и точность толщины слоев на уровне одного периода решетки (около 0.5 нм).

В последнее время продемонстрирована возможность создания периодических одномерных полупроводниковых структур с использованием фотолитографической маски и селективного травления. При травлении кремния возможно создание структур с периодом порядка 1 мкм и более, при этом отношение показателей преломления кремния и водуха составляет в ближней инфракрасной области 3.4 - беспрецедентно большое значение, недостижимое другими методами синтеза [71]. Пример подобной структуры, полученной в Физико-техническом институте им. А.Ф. Иоффе РАН, показан на рис. 1.16.

Рис. 1.16. Периодическая структура кремний-воздух, полученная методом анизотропного травления с использованием фотолитографической маски [71]. Период структуры 8 мкм.

Хотя оптические свойства слоистых периодических сред изучаются достаточно давно, развитие концепции фотонных кристаллов стимулировало новые интересные исследования. Три группы исследователей независимо предсказали возможность всенаправленного отражения света от слоистой периодической среды, вплоть до скользящего падения [72-74]. Оно возможно при значительном превышении показателей преломления слоев относительно внешней среды и отношении показателей преломления внутри структуры, равном или превышающем 2 (рис. 1.17). Для ТЕ- и ТМ- мод при использовании 19-слойной структуры МазА1Бб/2п8е получено отражение около 90% в диапазоне углов ±70°.

При интенсивном резонансном оптическом возбуждении периодических полупроводниковых гетеро структур импульсным лазерным излучением высокая концентрация электронов и дырок приводит к изменению показателя преломления (см., например, [10]) и, соответственно, к динамической пере-

500 550 600 650 700 750 800 850 500 550 600 650 700 750 800 850500 550 600 650 700 750 800 850 500 550 600 650 700 750 800 850X, нмX, нмX, нмX, нмРис. 1.17. Рассчитанные (слева) и измеренные (справа) спектры пропускания 19слойной периодической структуры, состоящей из NasAlFg/ZnSe, для различных поляризаций и углов падения [73]. Спектры пропускания комплементарны по отношению к спектрам отражения, т.е. пропускание, близкое к 1, соответствует нулевому отражению, а пропускание, близкое к 0, соответствует коэффициенту отражения около 1.Рис. 1.17. Рассчитанные (слева) и измеренные (справа) спектры пропускания 19слойной периодической структуры, состоящей из NasAlFg/ZnSe, для различных поляризаций и углов падения [73]. Спектры пропускания комплементарны по отношению к спектрам отражения, т.е. пропускание, близкое к 1, соответствует нулевому отражению, а пропускание, близкое к 0, соответствует коэффициенту отражения около 1.

500 550 600 650 700 750 800 850 500 550 600 650 700 750 800 850

500 550 600 650 700 750 800 850 500 550 600 650 700 750 800 850

X, нм

X, нм

X, нм

X, нм

Рис. 1.17. Рассчитанные (слева) и измеренные (справа) спектры пропускания 19слойной периодической структуры, состоящей из NasAlFg/ZnSe, для различных поляризаций и углов падения [73]. Спектры пропускания комплементарны по отношению к спектрам отражения, т.е. пропускание, близкое к 1, соответствует нулевому отражению, а пропускание, близкое к 0, соответствует коэффициенту отражения около 1.

Рис. 1.17. Рассчитанные (слева) и измеренные (справа) спектры пропускания 19слойной периодической структуры, состоящей из NasAlFg/ZnSe, для различных поляризаций и углов падения [73]. Спектры пропускания комплементарны по отношению к спектрам отражения, т.е. пропускание, близкое к 1, соответствует нулевому отражению, а пропускание, близкое к 0, соответствует коэффициенту отражения около 1.

стройке спектров отражения и пропускания. Недавно была продемонстрирована динамическая перестройка спектра отражения в широком диапазоне длин волн для брэгговских отражателей на основе гетеро структур ZnSe/ZnS при резонансной накачке пико- и фемтосекундными импульсами в область межзонного поглощения подрешетки ZnSe (рис. 1.18) [75]. Время релаксации составляет всего 3 пс и, по-видимому, определяется процессом установления квазиравновесного распределения по энергиям неравновесных электронов и дырок.

Двумерные периодические структуры

Двумерные периодические структуры можно изготавливать, используя селективное травление полупроводников, металлов и диэлектриков. Технология селективного травления отработана для кремния и алюминия в связи с широким использованием этих материалов в микроэлектронике. Пористый кремний сегодня рассматривается как перспективный оптический материал, который позволит создавать интегрированные оптоэлектронные системы высокой степени интеграции [76, 77]. Сочетание высоких кремниевых технологий с квантовыми размерными эффектами и принципами формирования фотонных запрещенных зон привело к развитию нового направления - кремниевой

Л, НМ

Рис. 1.18. Спектр отражения 30-слойной периодической монокристаллической структуры ZnS/ZnSe (а) и его изменение при резонансном возбуждении ультракороткими (150 фс) импульсами лазерного излучения в область собственного поглощения подрешетки ZnSe (390 нм) (б) [75].

фотоники. Использование субмикронной литографии для формирования масок позволяет создавать кремниевые структуры с периодом 300 нм и менее [78]. Из-за сильного поглощения излучения видимого диапазона кремниевые фотонные кристаллы могут использоваться только в ближней и средней инфракрасных областях спектра. Сочетание травления и окисления, в принципе, позволяет перейти к периодическим структурам оксид кремния-воздух, но при этом невысокое отношение показателей преломления, составляющее 1.45, не позволяет сформировать полноценной запрещенной зоны в двух измерениях.

Перспективными представляются двумерные периодические структуры из соединений А3В5, получаемые также методом селективного травления с использованием литографических масок или шаблонов [79]. Соединения А3В5 являются основными материалами современной оптоэлектроники. Соединения InP, GaAs имеют большее по сравнению с кремнием значение ширины электронной запрещенной зоны (табл. 1.1) и столь же высоким, как и кремний, значением показателя преломления (п =3.55 и п =3.6). Весьма интересными представляются периодические структуры на основе оксида алюминия [80]. Они получаются электрохимическим травлением металлического алюминия. С использованием электронно-литографических шаблонов получены совершенные двумерные периодические структуры, напоминающие пчелиные соты с диаметром пор менее 100 нм (рис. 1.19) [81, 82]. Интересно отметить, что селективное травление алюминия при определенном сочетании

Рис. 1.19. Структура с двумерной периодичностью из оксида алюминия, полученная с использованием литографического шаблона [81].

Рис. 1.20. Пористый оксид алюминия с регулярными порами, полученный без использования масок или шаблонов при травлении [83]. Диаметр пор менее 50 нм. Нерегулярность пор обусловлена зернистой структурой исходной поликристалличе- ской пленки алюминия.

условий травления позволяет получать регулярные структуры даже без использования каких-либо масок или шаблонов (рис. 1.20)[83]. Диаметр пор при этом может составлять всего несколько нанометров, что недостижимо для современных литографических методов. Периодичность пор связана с саморегуляцией процесса окисления алюминия при электрохимической реакции. Исходный проводящий материал (алюминий) в ходе реакции окисляется до AI2O3. Пленка оксида алюминия, являющаяся диэлектриком, уменьшает ток и тормозит реакцию. Сочетание этих процессов позволяет достичь режима самоподдерживающейся реакции, в которой непрерывное травление становится возможным благодаря прохождению тока сквозь поры, а продукт реакции образует регулярную сотовую структуру.

Исследование оптических свойств нанопористого оксида алюминия показало необычайно высокую прозрачность этого материала вдоль направления пор. Отсутствие френелевского отражения, неизбежно существующего на границе раздела двух сплошных сред, приводит к значениям коэффициента пропускания, достигающим 98% [83]. В направлениях, перпендикулярных к

порам, наблюдается высокое отражение с коэффициентом отражения, зависящим от угла падения. Примеры расчета спектра пропускания для конечных двумерных периодических структур приведены в книге [20]. Относительно невысокие значения диэлектрической проницаемости оксида алюминия в отличие от кремния, арсенида галлия и фосфида индия не позволяют сформировать полноценной запрещенной зоны в двух измерениях. Однако, несмотря на это, оптические свойства пористого оксида алюминия оказываются достаточно интересными. Например, он обладает выраженным анизотропным рассеянием света [83], а также двулучепреломлением, что позволяет использовать его для вращения плоскости поляризации [84].

Используя различные химические методы, например золь-гель процессы [86, 137], можно заполнять поры различными оксидами, а также оптически активными материалами, например нелинейно-оптическими средами, органическими и неорганическими люминофорами, электролюминесцентыми соединениями.

Трехмерные периодические структуры

Трехмерные периодические структуры представляют наибольшие технологические трудности для экспериментальной реализации. Предложено два подхода создания диэлектрических структур с субмикронным периодом изменения показателя преломления. Первый основан на формировании плотноупа- кованных сферических глобул одинакового размера (коллоидные кристаллы), второй подход основан на построении многослойных структур с периодическим изменением показателя преломления в каждом слое. Рассмотрим эти подходы более подробно.

Для формирования искусственных коллоидных кристаллов используют монодисперсный золь диэлектрических частиц латекса или оксида кремния. В первом случае взвесь частиц осаждается в растворе, помещенном в оптическую кювету, образуя плотноупакованную кубическую структуру, и в таком виде исследуется. По-видимому, впервые такой способ получения трехмерных фотонных кристаллов был предложен авторами работы [87]. Во втором случае золь оксида кремния также осаждается в растворе, однако затем проводится термообработка, в результате которой частицы оксида кремния спекаются, образуя твердую структуру, пригодную для дальнейших физикохимических обработок и механической полировки. Такие структуры получили название искусственных опалов. Несколько групп исследователей независимо предложили рассматривать искусственные опалы как прототипы трехмерных фотонных кристаллов для оптической области электромагнитного спектра [88-91]. Седиментация и спекание глобул оксида кремния приводят к образованию поликристаллов с периодом, варьируемым в пределах 200-500 нм, с монокристаллическими доменами, размер которых в лучших образцах обычно не превышает нескольких сотен микрон (рис. 1.21). Упаковка глобул соответствует ГЦК решетке (рис. 1.22).

Рис. 1.21. Искусственный опал (вверху) и увеличенное изображение фрагмента, обозначенного белой рамкой[92]. Диаметр глобул около 200 нм.

Рис. 1.22. Фрагмент упаковки глобул в искусственном опале, соответствующий элементарной ячейке ГЦК решетки.

Рис. 1.23. Спектры оптического пропускания образца опала с воздушными порами (а) и порами, заполненными жидкостями с показателем преломления (1) 1.328 (метанол), (2) 1.361 (этанол), (3) 1.426 (циклогексан), (4) 1.497 (толуол) (б) [93].

Спектр пропускания искусственных опалов имеет характерный провал, положение которого определяется диаметром глобул и зависит от угла падения (рис. 1.23а). Плотная упаковка диэлектрических сфер в ГЦК решетке соответствует объемной плотности / = 0.72, реальная плотность упаковки несколько выше из-за деформации глобул при спекании. Такое значение / значительно выше оптимального, составляющего около 0.3 (см. раздел 1.1.2). Этот недостаток можно устранить, переходя к инвертированным решеткам и используя опаловую матрицу как трехмерный шаблон. Это возможно благодаря тому что непрерывная топология межглобульного пространства позволяет заполнять поры различными материалами с показателем преломления выше, чем у глобул. Увеличение показателя преломления наполнителя приводит к усилению и смещению в длинноволновую сторону интерференционного минимума пропускания и соответствующего максимума отражения [93] (рис. 1.236). "

Рис. 1.24. Спектр пропускания (а) и отражения (б) 8-слойной периодической структуры, состоящей из диэлектрических шаров с диаметром 280 нм [94].

Для описания спектров пропускания и отражения реальных коллоидных периодических структур Понявина с сотрудниками [94] последовательно применила статистический метод многократного рассеяния в квазикристалличе- ском приближении. В этой модели рассчитываются передаточная характеристика одиночного рассеивающего слоя, состоящего из плотно упакованных шаров одного диаметра, а затем рассчитывается пропускание многослойной системы с учетом многократной интерференции волн, рассеянных различными слоями. Этими расчетами установлено, что интерференция в сочетании с многократным рассеянием приводит к формированию основного и дополнительных минимумов в пропускании и комплементарных им максимумов в спектре отражения (область Л > 600 нм на рис. 1.24). В то же время установлено, что не всегда спектрально-селективный минимум в пропускании обусловлен регулярностью структуры. Коротковолновый минимум (А = 400 нм) связан не с интерференцией света в условиях многократного рассеяния, а с сильным однократным рассеянием для длин волн, близких к диаметру диэлектрического шара. Это подтверждается тем, что, во-первых, спектральное положение резонанса зависит не от расстояния между слоями, а от диаметра шаров, и, во-вторых, минимум пропускания не сопровождается компле-

ментарным резонансным отражением. Регулярная структура, обусловленная интерференцией в параллельных слоях сферических глобул, наблюдалась в спектрах отражения опалов [95]. В спектрах пропускания на рис. 1.23 она не проявилась из-за значительной площади и толщины образцов (порядка 1 мм2 х 1 мм).

Дальнейшее увеличение контраста показателей преломления в трехмерной решетке на основе опаловых матриц возможно при использовании твердотельных наполнителей. В литературе сообщается об успешном заполнении пор опаловых матриц полимерами [92], оксидом титана [96, 97], поли- кристаллическим кремнием [98, 99], поликристаллическими соединениями А2В6, А3В5 [100], жидкими кристаллами [101, 102] и оксидом ванадия [103]. В двух последних случаях возможна управляемая перестройка спектра пропускания и отражения. В опытах с оксидом ванадия перестройка получена с использованием фазового структурного перехода при изменении температуры путем нагревания (рис. 1.25) или облучении импульсным лазером.

т, °с

Рис. 1.25. Зависимость максимума спектра отражения от температуры образца для опала, пропитанного оксидом ванадия [103].

Наконец, после заполнения пор опала твердым веществом можно вытравить исходную матрицу и получить трехмерную ГЦК структуру с объемной плотностью около 30% и контрастом показателя преломления, равным показателю преломления наполнителя. Подобные струкуры реализованы с использованием оксида титана [97], фуллеренов [104] и кремния [98] (рис. 1.26).

Такие структуры получили название “инвертированных опалов” и в настоящее время активно синтезируются и исследуются в различных лабораториях [105]. Однако даже при использовании кремниевых реплик опаловых матриц не удается экспериментально достичь полной запрещенной зоны. Расчеты показывают, что запрещенная зона возникает только для более высоких порядков интерференции (рис. 1.27) [106]. Реальное наблюдение зонной структуры, представленной на рис. 1.27, затрудняется двумя обстоятельствами. Во-первых, для больших частот излучения однократное рассеяние

2 мкм

Рис. 1.26. Трехмерная структура из поликристаллического кремния, полученная с помощью опаловой матрицы [98].

Рис. 1.27. Зонная струкутра (зависимость частоты от волнового вектора для первой зоны Бриллюэна) решетки, показанной на рис. 1.26 [106].

становится настолько сильным, что препятствует формированию когерентного пропускания и отражения (рис. 1.24). Во-вторых, конкретная реализация нанопористой кремниевой структуры неизбежно сопровождается частичным окислением кремниевого остова и уменьшением пространственной модуляции показателя преломления. Наконец, надо отметить, что простая ГЦК решетка не является оптимальной среди трехмерных структур для формирования запрещенной зоны. Лучшими параметрами обладает решетка типа алмаза (рис. 1.14), однако сформировать такую решетку из коллоидных частиц весьма сложно.

Всенаправленная запрещенная зона при использовании полупроводниковых материалов с высоким показателем преломления достигается, если использовать структуру, получившую название “стопка дров” (рис. 1.28). В отличие от коллоидных кристаллов, эти структуры собираются “вручную”. Сначала формируются двумерные периодические структуры путем селективного травления с использованием шаблонов, затем новые слои последовательно присоединяются поверх существующих. Реализованы структуры, состоящие

Mi&iMi&i◄—►0.7 мкм◄—►0.7 мкмРис. 1.28. Решетка типа “стопка дров”, 4-слойная структура из GaAs и рассчитанная зонная структура для такой решетки [107].Рис. 1.28. Решетка типа “стопка дров”, 4-слойная структура из GaAs и рассчитанная зонная структура для такой решетки [107].

Mi&i

Mi&i

◄—►

0.7 мкм

◄—►

0.7 мкм

Рис. 1.28. Решетка типа “стопка дров”, 4-слойная структура из GaAs и рассчитанная зонная структура для такой решетки [107].

Рис. 1.28. Решетка типа “стопка дров”, 4-слойная структура из GaAs и рассчитанная зонная структура для такой решетки [107].

из нескольких периодов с использованием соединений А3В5 [107] и Si [108]. Недостатком таких структур является, однако, высокая трудоемкость и сложность изготовления большого числа периодов.

Карузо с сотрудниками[109] предложил оригинальный подход, позволяющий сформировать регулярную трехмерную металлодиэлектрическую решетку, имеющую структуру инвертированного опала . Метод основан на синтезе монодисперсных полимерных глобул, покрытых тонким слоем золота с последующей организацией глобул в коллоидный кристалл и удалением полимерной серцевины. Такие структуры обладают селективным отражением в ближней инфракрасной области спектра и согласно расчетам [НО] могут обладать фотонной запрещенной зоной, если использовать спектральную область с минимальными потерями на поглощение излучения металлом.

Испускание и рассеяние излучения в фотонных кристаллах: роль плотности фотонных состояний

Квантовые оптические процессы в наноструктурах изменяются по сравнению с объемными твердыми телами и однородными средами вследствие мезоскопических эффектов, которые можно разделить на две группы, отличающиеся характерными масштабными длинами. Первую группу составляют эффекты, обусловленные пространственным ограничением движения электронов (так называемый “электронный конфайнмент”) в наноструктурах с характерными размерами порядка 1-10 нм. Они получили название “квантовые размерные эффекты” и проявляются в квантовании энергетического спектра электронов, изменении вероятностей рассеяния электронов, изменении спектра и вероятностей оптических переходов (см., например, [10, 111]). Другая группа эффектов связана с изменением условий распространения электромагнитных

волн и пространственным перераспределением электромагнитного поля (“фотонный конфайнмент”). В этом случае изменяется вероятность элементарных квантовых процессов испускания фотонов веществом вследствие изменения плотности фотонных состояний [112]. Эти эффекты проявляются в структурах с характерными размерами порядка длины волны света в среде. В настоящем разделе рассматриваются оптические свойства фотонных кристаллов, связанные с изменением взаимодействия вещества и электромагнитного поля вследствие фотонного конфайнмента. К таким процессам относятся изменение спектра, вероятностей переходов и пространственно-угловое перераспределение неравновесного излучения (модификация спонтанного испускания), равновесного (теплового) излучения, комбинационного (нерезонансного) и релеевского (резонансного) рассеяния.

Интегральная и локальная плотности состояний

Плотностью фотонных состояний (электромагнитных мод) D(k), D(u)), D(E) называют число мод в элементарном интервале значений волнового вектора k[k, к + б/к], частоты со\со,со + dcoV или энергии Е\Е,К + dE\ в единичном объеме, а иногда и в единичном телесном угле. Плотность D(k) не зависит от типа рассматриваемых волн (акустические, электромагнитные волны, квантовые частицы) и в однородном изотропном трехмерном (3d) пространстве в расчете на единичный объем имеет вид

1Д

D3(k)=—.(1.34)

2л2

Зависимости D(g)) и D(E) различны для разных волн в силу специфических законов дисперсии и)(к) и Е(к). Для электромагнитных (ЭМ) волн в однородном изотропном Зб/-пространстве из (1.34) вытекает известное выражение

dk

D3((o) = D(k)—=(1.35) du)2л2 с5

где с - скорость распространения волны в среде. Выражение (1.35) изменяется в зависимости от топологии среды: размерности пространства d и однородности по вещественному параметру, задающему скорость распространения волны в среде. В несплошных средах плотность состояний должна рассчитываться явным образом для каждой среды с зависимостью диэлектрической проницаемости 8 от координат и/или направления. Размерным параметром при отнесении среды к группе однородных или неоднородных является длина волны А. В нано структурированных (например, слоистых или пористых) средах с размерами неоднородностей порядка 10-1000 нм формулы (1.34) и (1.35) неприменимы. Более того, в наноструктурах, не обладающих периодичностью функции s(x,y,z), возможно введение лишь локальной плотности состояний с характерной областью определения порядка Ad. Любое локальное

перераспределение ЭМ поля свидетельствует об изменении локальной плотности фотонных состояний. В планарных и сферических резонаторах плотность мод увеличивается на резонансной частоте и уменьшается на других частотах. В фотонных кристаллах тоже происходит спектральное перераспределение плотности ЭМ мод: уменьшение внутри запрещенной зоны и увеличение на краях запрещенной зоны. Другими примерами изменения плотности мод являются возникновение так называемых “горячих точек” (малых областей с повышенной интенсивностью поля) на поверхности металлических наноструктур, а также угловое перераспределение ЭМ поля в пористых анизотропных средах. Согласно теореме Барнетта-Лоудона [113], в мезоскопических средах интегральная плотность состояний, просуммированная по всем частотам со и углам ф, остается неизменной, а структуризация среды на масштабе, соизмеримом с длиной волны, приводит к спектральному и угловому перераспределениям функции D(co, фУ Это утверждение доказывается на основе принципа причинности, что указывает на его весьма общий характер.

Спонтанное испускание фотонов

Из всех оптических процессов в наноструктурах, вероятность которых пропорциональна плотности фотонных состояний в окрестности атома, молекулы или кристаллического тела, в наибольшей степени исследовано спонтанное испускание света. Вероятность перехода квантовой системы из возбужденного состояния с энергией Ei в основное состояние с энергией Eq путем спонтанного испускания фотона равна

Wio = ^D(w) KSo, 1 | Hint |Еь 0 > |2, (1.36)

где (Eq, 1 | - конечное состояние системы вещество-поле (невозбужденный атом + 1 фотон), |Ei, 0 ) - исходное состояние (возбужденный атом, нет фотона) системы, Hint - гамильтониан взаимодействия (см., например, [114]). В настоящее время модифицированное спонтанное испускание света вследствие спектрального и пространственно-углового перераспределений плотности состояний интенсивно исследуется в различных структурах, неполный перечень которых включает не только фотонные кристаллы, но и планарные и сферические микрорезонаторы, границы раздела, металлические нанообъекты, тонкие пленки [114-116]. Развитие идеи Перселла [29] об изменении вероятности спонтанных переходов и формулировка проблемы полного подавления спонтанного испускания в периодических средах Быковым [28] и Яблоновичем [31], дальнейший теоретический анализ проблемы в рамках квантовой электродинамики [117] стимулировали постановку систематических экспериментов в этом направлении. Использование коллоидных кристаллов, не обладающих полной запрещенной зоной, позволило наблюдать систематическое изменение спектра спонтанного испускания для молекул, помещенных в пространство между глобулами, либо встроенных внутрь глобул [92, 116, 118-121]. В спектре испускания появляется провал, положение

которого коррелирует со спектром отражения и пропускания коллоидного кристалла (рис. 1.29). Анализ кинетик затухания люминесценции органиче-

Рис. 1.29. Спектр люминесценции органических молекул, находящихся внутри (сплошная линия) и снаружи (пунктир) опала [92]. Точки - спектр возбуждения фотолюминесценции.

Л, НМ

Рис. 1.30. Спектр отражения опала (а), спектры испускания нанокристаллов CdTe, помещенных внутрь опала (б), и в свободном пространстве (в) [127].

ских молекул в матрицах опала показал систематическое изменение распределения времен затухания с появлением как более быстрых, так и более медленных компонентов [92, 116]. Эти результаты стимулировали теоретический анализ процесса спонтанного испускания квантовыми системами в средах с неполной запрещенной зоной и пространственно-угловым перераспределением плотности состояний. Показано, что в этом случае распад возбужденного состояния квантовой системы имеет немарковский характер и не может быть описан введением вероятности перехода или времени жизни [122-125].

Существенное изменение спектра спонтанного испускания наблюдалось для нанокристаллов полупроводников, помещенных в опаловую матрицу [127]. Как известно, спектр испускания ансамбля нанокристаллов неоднородно уширен вследствие квантового размерного эффекта и распределения нанокристаллов по размерам [111, 126], при этом спектр индивидуальных нанокристаллов может оказаться сравнимым (или более узким) с шириной псевдозапрещенной зоны фотонного кристалла. В этом случае спектры разных нанокристаллов испытают различное изменение при помещении их в матрицу опала. Это хорошо видно на рис. 1.30: изменение спектра не сводится к появлению провала, а характеризуется увеличением интенсивности на одних длинах волн и уменьшением на других. Спектр зависит как от угла наблюдения, так и от угловой апертуры светособирающей системы. Такие изменения можно понять, если использовать представление об интерференции блоховских волн в фотонном кристалле [128]. Отметим, что система “нанокристаллы в фотонном кристалле” является новой искусственной люминес- цирующей средой, свойства которой задаются не химическим составом (в данном случае CdTe, SiO2), а пространственной организацией, т.е. ограничением для движения электронов и распространения электромагнитных волн.

По-видимому, ионы лантаноидов и их комплексы являются наиболее надежными люминесцентными зондами при исследовании изменения вероятности спонтанных переходов квантовых систем в фотонных кристаллах благодаря малой ширине линии испускания и большому времени жизни (порядка 1 мс) при квантовом выходе, близком к 1. Первое свойство позволяет рассчитывать на более сильное, чем в случае молекул, изменение вероятности переходов в реальных фотонных кристаллах с узкой или неполной запрещенными зонами. Второе свойство позволяет надежно зарегистрировать малые отклонения от экспоненциального затухания. Первые опыты с использованием европия в опале [129] и эрбия в 5-слойной кремниевой структуре типа “стопки дров” [108] не позволяют сделать однозначного вывода. Для европия в опале зарегистрирован переход от моноэкспоненциального закона затухания к неэкспоненциальному, подобно случаю для молекул. Для эрбия в кремнии сообщается о замедлении спонтанных переходов (рис. 1.31), однако заметный вклад шума в кривую затухания не позволяет сделать однозначного заключения об изменении кинетики люминесценции. Таким образом, замораживание спонтанного распада возбужденных квантовых систем до сих пор продолжает оставаться интригующей проблемой для экспериментаторов.

Рис. 1.31. Кинетика затухания люминесценции ионов эрбия в 5-слойном фотонном кристалле из кремния (1) и в контрольном образце (2) [108].

Рис. 1.32. Индикатрисы люминесценции ионов европия в пористом оксиде алюминия толщиной 30 мкм (треугольники) и на монокристаллическом кремнии (точки) [130].

Пространственно-угловое перераспределение спонтанного излучения наиболее ярко проявляется в структурах с двумерной периодичностью, таких как макропористый кремний или оксид алюминия (рис. 1.20). В этом случае плотность состояний вдоль пор выше, чем плотность состояний в направлениях, перпендикулярных к оси пор или примыкающих к ним. В этих условиях индикатриса люминесценции имеет выраженный максимум вдоль направления пор (рис. 1.32).

Тепловое излучение

Понятие плотности состояний имеет принципиальное значение при описании равновесного электромагнитного излучения, рассматриваемого как газ фотонов. Спектральная плотность энергии U(u)) излучения, находящегося в равновесии с веществом (излучение абсолютно черного тела), в рамках такого

подхода равна произведению трех величин: энергии фотона Е(щ), плотности состояний D(m) и функции распределения Бозе-Эйнштейна F(^) с нулевым химическим потенциалом

и и = ehdhfh.(1.37)

Это соотношение при подстановке выражения (1.35) принимает известную форму

W = ^ (И /к ТА 1 ’(L38)

предложенную впервые М. Планком в классической работе, положившей начало развитию квантовой физики.

Очевидно, что спектральное и пространственно-угловое перераспределения плотности состояний в фотонных кристаллах и других наноструктурах должны приводить к соответствующему перераспределению мощности теплового излучения [112, 131], что можно использовать на практике, например для повышения энергоотдачи тепловых источников света в видимом диапазоне, конструирования эффективных теплорадиаторов и каналирования тепловых потоков в микроэлектронике [132].

Комбинационное рассеяние

При комбинационном рассеянии света в рассеянном излучении возникают фотоны, частоты которых отличаются от частоты падающих фотонов на частоты собственных колебаний молекулы или кристалла. Спонтанное комбинационное рассеяние рассматривается как виртуальное возбуждение молекулы (кристалла) фотоном с частотой со и испускание нового фотона с частотой со'. По аналогии со спонтанным испусканием вероятность W(co',co) рассеяния потока фотонов N(co) пропорциональна плотности состояний на частоте со' (см., например, [133])

W(w',w)=D^w'Y(1.39)

Tl2

где S - матричный элемент перехода. Поэтому в структурах с модифицированной плотностью фотонных состояний вероятность комбинационного рассеяния изменится в соответствии с изменением В^о\ Несмотря на то что первые экспериментальные свидетельства усиленного комбинационного рассеяния в микрокаплях известны уже 20 лет [134], систематическое рассмотрения эффектов плотности состояний при спонтанном комбинационном рассеянии в наноструктурах до недавнего времени отсутствовало. Простой анализ указывает на очевидные пути повышения вероятности комбинационного рассеяния за счет целенаправленного использования спектрального и

пространственно-углового перераспределений плотности состояний в наноструктурах [135, 136]. Важно отметить, что вклад модифицированной плотности состояний необходимо учитывать при рассмотрении механизмов гигантского комбинационного рассеяния (ГКР), наблюдающегося в металлодиэлектрических наноструктурах. Несмотря на многолетние исследования ГКР и широкое использование этого явления для высокочувствительного спектрального анализа вплоть до детектирования единичных молекул, существующая теория этого явления не объясняет экспериментально наблюдаемого усиления комбинационного рассеяния до 1015 раз, соответствующего условию наблюдения сигнала от единичной молекулы. По-видимому, учет спектрального и пространственного перераспределений плотности мод в ГКР-активных наноструктурах позволит объяснить гигантское увеличение вероятности комбинационного рассечния вблизи металлических нанообъектов и предложить оптимальную топологию ГКР-активных структур для высокочувствительного спектрального анализа. В пользу предположения о роли перераспределения плотности состояний в ГКР свидетельствуют недавние сообщения о сильном ГКР органических молекул на поверхности опаловых матриц, покрытых тонким слоем золота [137], а также о выраженной узкой индикатрисе излучения при ГКР [138].

Резонансное (релеевское) рассеяние

При резонансном (релеевском) рассеянии излучения в отличие от комбинационного рассеяния энергия кванта падающего излучения не изменяется. В этом случае изменение претерпевают направление распространения и поляризация излучения. Однако общее рассмотрение рассеяния фотона как виртуальное возбуждение среды падающим фотоном и последующее испускание нового фотона остается применимым. Плотность состояний, как и в случаях спонтанного испускания и комбинационного рассеяния, также входит сомножителем в выражение для вероятности рассеяния (см., например, [139]). Известная со времен Релея зависимость вероятности рассеяния от частоты W ~ м4, объясняющая, в частности, голубой цвет неба и красный цвет зари, справедлива лишь при выполнении соотношения (1.35) для плотности мод. В несплошных средах этот множитель следует заменить адекватным выражением для D^cdY В частности, в фотонных кристаллах в области запрещенной зоны подавленным окажется не только спонтанное испускание фотонов, но и спонтанное рассеяние.

При рассмотрении рассеяния в фотонных кристаллах и других наноструктурах с модифицированной плотностью фотонных состояний следует сделать следующее замечание. В отличие от спонтанного испускания и комбинакион- ного рассеяния света, при резонансном рассеянии, вообще говоря,нет необходимости привлекать гипотезу о существовании фотонов и, по-видимому, все аспекты рассеяния можно описать на основе классической волновой теории, не привлекая квантовую оптику. В этом случае необходим корректный расчет интерференции многократно рассеянных волн. Однако, если учесть,

что плотность состояний также задается условиями распределения волн, становится понятным, что классическое волновое и квантово-оптическое рассмотрения согласуются. Хотя интерпретация резонансного рассеяния с использованием плотности состояний не расширяет наших представлений о взаимодействии поля и вещества, она позволяет качественно и полуколичественно предсказать диаграммы рассеяния для сложных сред, для которых спектрально-угловое перераспределение плотности мод приблизительно известно. Например, для планарных структур с анизотропными порами (рис. 1.20) можно, не решая полностью задачи теории многократного рассеяния волн, предсказать повышенное рассеяние излучения вдоль осей пор и подавленное рассеяние в ортогональном направлении, что было подтверждено в недавних экспериментах [83] (рис. 1.33).

Рис. 1.33. Диаграмма рассеяния света пористым оксидом алюминия [83].

Заключение

Краткий обзор основных представлений о фотонных кристаллах, методах их изготовления, особенностях распространения через них, испускания и рассеяния ими света позволяет сделать вывод о том, что в оптике возникла новая активно развивающаяся область исследований, которая уже сегодня позволяет говорить о ее серьезном влиянии на развитие оптической техники в ближайшие десятилетия. Подробный анализ возможных применений фотонных кристаллов выходит за рамки настоящей работы, поэтому ограничимся лишь их перечислением. На основе фотонных кристаллов возможно создание новых светоизлучающих структур с заданной диаграммой испускания, новых оптических перестраиваемых фильтров, широкоугольных отражателей

и антиотражающих покрытий, активных матриц для оптических модуляторов и переключателей, лазеров с распределенной обратной связью. Введение локальных дефектов в фотонные кристаллы позволяет создавать микроре- зонатры с очень высокой добротностью. В случае одномерного фотонного кристалла - это хорошо известные многослойные интерференционные фильтры. В случае двух- и трехмерных фотонных Кристалов введение точечных объемных дефектов позволяет создавать микролазеры. Одним из наиболее значительных применений, по-видимому, станут волноводы на основе фотонных кристаллов. Для создания волноводов в 2- или 3-мерной периодической диэлектрической структуре создается протяженный линейный дефект, который и служит волноводным каналом. Поскольку дефект может быть просто воздушным промежутком, появляется возможность избежать потерь, обусловленных поглощением излучения в веществе, которые неизбежны в традиционных волноводах. Наличие фотонной запрещенной зоны за пределами волноводного канала позволяет поворачивать свет на большие углы, что невозможно в традиционных волноводах из-за нарушения условия полного внутреннего отражения.

В заключение представляется интересным обсудить гносеологический аспект нового научного направления. Как хорошо известно, волновая оптика оказала значительное воздействие на развитие волновой (квантовой) механики в конце 20-х годов прошлого века. Затем более полувека спустя произошел обратный процесс. В течение одного десятилетия в период с 1979 по 1990 гг. принципиальные результаты квантовой теории (формирование запрещенных зон в периодических и локализация волн в случайных трехмерных потенциалах) были перенесены и востребованы в оптике и электромагнетизме. Почему получилось так, что многие ныне широко исследующиеся свойства волн в сложных средах вначале были поняты для электронов и только затем (иногда через многие годы, см. табл. 1.5) оказалась осознанной возможность их наблюдения и использования для электромагнитных волн?

Основная причина, по-видимому, заключается в том, что постановка соответствующих задач об электроне в сложном потенциале была связана со стремлением описать свойства реальных твердых тел. В них, как уже отмечалось, в силу наличия у электрона заряда реализуется его сильное многократное рассеяние локальными центрами - ионами кристаллической решетки. В оптике при рассмотрении фотонных кристаллов в основном речь идет об искусственных объектах, интерес к которым формировался постепенно по мере развития новых оптических и твердотельных технологий. Другая причина состоит в том, что квантовые эффекты a priori более притягательны для исследователей, они необычны, интригуют и увлекают ученых. Слабая локализация волн (обратное когерентное рассеяние) не требуют для наблюдения в оптике экстремальных условий, однако и в этом случае квантовая теория предшествовала классической волновой. Очевидно, что для большинства физиков проблема квантовой интерференции электронов представляется более интересной, чем обратное когерентное рассеяние света.

Таблица 1.5. Перенос представлений из квантовой теории в электромагнетизм

Явление

Квантовая теория

Электромагнетизм

Энергетические зоны в кристаллах

30-е годы XX в.

80-е годы XX в.

Локализация в случайном потенциале 1958 г. [34]

1984 г.[33]

Слабая локализация

1982 г.[37]

1985 г. [38, 39]

Квазикристаллы

1983 г. [58]

1994 г. [59]

Успехи квантовой теории твердого тела привели к развитию электроники, значительно преобразившей нашу жизнь. Есть все основания ожидать, что развитие технологий, основанных на концепции фотонных кристаллов, может привести к последствиям сравнимого масштаба.

Список литературы

L. de Broglie: Compt. Rend. 177, 507 (1923)

Л. Бриллюэн, М. Пароди: Распространение волн в периодических средах, (ИЛ, Москва 1959)

R. de Kronig, W.G. Penney: Proc. Royal Soc. London 130A, 499 (1931)

F. Bloch: Zeitschrift fur Physik 52, 555 (1928)

A.C. Давыдов: Теория твердого тела, (Наука, Москва 1976)

В.Л. Бонч-Бруевич, С.Г. Калашников: Физика полупроводников, (Наука, Москва 1990)

Ч. Киттель: Введение в физику твердого тела, (Наука, Москва 1978)

А.И. Ансельм: Введение в теорию полупроводников, (Наука, Москва 1978)

В.П. Грибковский: Теория испускания и поглощения света в полупроводниках, (Наука и техника, Минск 1975)

С. Klingshirn: Semiconductor Optics, (Springer, Berlin 1995)

Дж. Блэкмор: Физика твердого тела, (Мир, Москва 1988)

P.Y. Yu, М. Cardona: Fundamentals of semiconductors, (Springer, Berlin 1996)

M.A. Leontovich, L.I. Mandelshtam: Zeitschrift fur Physik 47, 131 (1928)

J.M. Bendickson, J.P. Dowling, M. Scalora: Phys. Rev. E 53, 4107 (1996)

N. Stefanou, V. Yannopapas, A. Modinos: Comput. Phys. Commun. 132, 189 (2000)

И.С. Гайнутдинов, E.A. Несмелов, A.B. Михайлов, В.П. Иванов, Г.И. Абзалова: Свойства и методы получения интерференционных покрытий для оптического приборостроения, (Фэн, Казань 2003)

Л.А. Ривлин: УФН 167, 309 (1997)

The Nature of Light: What Is a Photon? In: Optics and Photonics News 3, N 1 (2003) Ed. by C. Roychoudhuri, R. Roy

J.D. Joannopoulos, R.D. Meade, J.N. Winn: Photonic Crystals: Molding the Flow of Light, (Princeton University Press, New York 1995)

K. Sakoda: Optical Properties of Photonic Crystals, (Springer, Berlin 2001)

R. Meade, K. Brommer, A. Rappe, J. Joannopoulos: Appl. Phys. Lett. 61, 495 (1992)

R. Wang, X.-H. Wang, B.-Y. Gu, and G.-Z. Yang: J. Appl. Phys. 90, 4307 (2001)

K.M. Ho, C.T. Chan, C.M. Soukoulis: Phys. Rev. Lett. 65, 3152 (1990)

E.N. Economou, M.M. Sigalas: Phys. Rev. В 48, 13434 (1993)

R. Biswas, M.M. Sigalas, G. Subramania, K.M. Ho: Phys. Rev. В 57, 3701 (1998)

К. Busch, S. John: Phys. Rev. E 58, 3 896 (1998)

F. Garcia-Santamaria, C. Lopez, F. Meseguer et al: Appl. Phys. Lett. 79, 2310 (2001)

В.П. Быков: ЖЭТФ 62, 505 (1972)

E.M. Purcell: Phys. Rev. 69, 681 (1946)

В.П. Быков: Излучение атомов вблизи материальных тел. Некоторые вопросы квантовой теории, (Наука, Москва 1986)

Е. Yablonovitch: Phys. Rev. Lett. 58, 2059 (1987)

E. Yablonovitch, T.J. Gmitter: Phys. Rev. Lett. 63, 1950 (1989)

S. John: Phys. Rev. Lett. 53, 2169 (1984)

P.W. Anderson: Phys. Rev. 109, 1492 (195 8)

P.W. Anderson: Phil. Mag. В 52, 505 (1985)

S. John: Phys. Rev. Lett. 58, 2486 (1987)

А.И. Ларкин, Д.Е. Хмельницкий: УФН 136, 536 (1982)

8] M.P. van Albada, A. Lagendijk: Phys. Rev. Lett. 55, 2692 (1985)

P.E. Wolf, G. Maret: Phys. Rev. Lett. 55, 2696 (1985)

K. Ohtaka: Phys. Rev. В 19, 5057 (1979)

A. Ishimary: Wave Propagation and Scattering in Random Media, (Academic Press, New York 1978)

B.C. Розенберг: Оптика тонкопленочных покрытий, (Ленинград 1956)

А.М. Jeltikov: Оптика микроструктурированных волокон, (Наука, Москва 2004)

Photonic Band Gap Materials Ed. С. M. Soukoulis, (Kluwer Academic Publishers, The Netherlands 1996)

Photonic Crystals: Advances in design, Fabrication, and Characterization Ed. K. Bush, S. Loelkes, R.B. Wehrspohn (Wiley-VCH Verlag 2004)

Special issue Development and Applications of Materials Exhibiting Photonic Band Gaps Ed. C.M. Bowden, J.P. Dowling, H.O. Everitt: J. Opt. Soc. Amer. В 10, N. 2 (1993)

Special issue Photonic Band Structures Ed G. Kurizki, J.W. Haus: J. Mod. Opt. 41, N. 2 (1994)

Special issue Electromagnetic Crystal Structures: Design, Synthesis, and Applications Ed. A. Scherer et al: J. Lightwave Technol. 17, N. 11 (1999)

Special issue Photonic Bandgaps Ed. A. Bjarklev, A. Lavrinenko: J. Opt. A: Pure and Appl. Opt. 3, N. 6 (2001)

Special issue Photonic Crystals, Mater. Res. Soc. Bull. August (2001)

Special issue Photonic Crystals Ed. A.M. Zheltikov: Appl. Phys. В (2005) .

Th.F. Krauss, R.M. De La Rue: Progr. Quant. Electron. 23, 51 (1999)

A.M. Jeltikov: УФН 170, 1203 (2000)

K. Busch, S.E Mingaleev et al: J. Phys.: Cond. Matt. 15, RI233 (2003)

V. Mizeikis, S. Juodkazis, A. Marcinkevicius, S. Matsuo, H. Misawa: J. Photochem. Photobiol. C: Photochemistry Reviews 2, 35 (2001)

D.S. Wiersma, P. Bartolini, A. Lagendijk, R. Righini: Nature 390, 671 (1997)

A.V. Lavrinenko, S.V. Zhukovsky, K.S. Sandomirskii, S.V. Gaponenko: Phys. Rev. E 65, 036621 (2002)

M. Kohmoto, L.P. Kadanoff, C. Tang: Phys. Rev. Lett. 50, 1870 (1983)

W. Gellerman, M. Kohmoto, B. Sutherland, P.C. Taylor: Phys. Rev. Lett. 72, 633 (1994)

C.B. Жуковский, C.B. Гапоненко, A.B. Лавриненко: Изв. РАН, сер. физ. 68, 29 (2004)

S.V. Zhukovsky, A.V. Lavrinenko, S.V. Gaponenko: Europhys. Lett. 66, 455 (2004)

M. Srinivasarao: Chern. Rev. 99, 1935 (1999)

A.R. Parker: J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2, RI 5 (2000)

B.A. Николаев, Д.М. Харвуд, Н.И. Самсонов: Диатомовые водоросли раннего мела, (Наука, С.-Петербург 2001)

D.B. Ameen, М.Е Bishop, Т. McMullen: Biophys. Journ. 75, 2520 (1998)

Т. Fuhrman, S. Lanwehr, M. El Rhabi-Kucki, M. Sumper: Appl. Phys. 78, 257 (2004)

P. Pieranski: Contemp. Phys. 24, 25 (1983)

R.C. Williams, K. Smith: Nature 45, 119 (1957)

Н.Д. Денискина, Д.В. Калинин, Л.К. Казанцева: Благородные опалы, их синтез и генезис в природе, (Наука, Новосибирск 1988)

P.I. Kuznetsov, VA. Jytov, L.Yu. Zakharov et al: Phys. Stat. Solidi (b) 229, 171 (2002)

B.A. Толмачев, Л.С. Границына, E.H. Власова, Б.З. Волчек, А.В. Нащекин, А.Д. Ременюк, Е.В. Астрова: ФТП 36, 998 (2002)

Y. Fink, J.N. Winn, S. Fan et al: Science 282, 1679 (1998)

D.N. Chigrin, A.V. Lavrinenko, D.A. Yarotsky, S.V. Gaponenko: Appl. Phys. A 68, 25 (1999)

P.St.J. Russell, S. Tredwell, P.J. Roberts: Opt. Commun. 160, 66 (1999)

S.A. Tikhomirov, VV Stankevich, M.V Ermolenko, O.V Buganov, S.V. Gaponenko, P.I. Kuznetsov, G.G. Yakushcheva: Appl. Phys. Lett. (2005)

V. Parkhutik: Solid St. Electron. 43, 1121 (1999)

Towards the First Silicon Laser Ed. L. Pavesi, S. Gaponenko, L. Dal Negro (Kluwer, Dortrecht 2003)

S. Leonard, H. van Driel, K. Busch et al: Appl. Phys. Lett. 75, 3063 (1999)

R.K. Lee, O.J. Painter, B. D’Urso, A. Scherer, A. Yariv: Appl. Phys. Lett. 74, 522 (1999)

G.E. Thomson, G.C. Wood: Nature 290, 230 (1981)

H. Masuda, H. Yamada, M. Satoh, H. Asoh, M. Nakao, T. Tamamura: Appl. Phys. Lett. 71, 2770 (1997)

H. Asoh, K. Nishio, M. Nakao: J. Electrochem. Soc. 148, B152 (2001)

A.A. Lutich, S.V. Gaponenko, N.V. Gaponenko, I.S. Molchan, V.A. Sokol, V. Parkhutik: NanoLetters 4, 1755 (2004)

A.A. Лютич, И.С. Молчан, H.B. Гапоненко: Опт. спектр. 97, 871 (2004)

N.V. Gaponenko: Synthetic Met. 124, 125 (2001)

Н.В. Гапоненко: Пленки, сформированные золь-гель методом на полупроводниках и в мезопористых матрицах, (Беларуская навука, Минск 2003)

J. Martorell, N.M. Lawandy: Phys. Rev. Lett. 65, 1877 (1990)

V.N. Astratov, V.N. Bogomolov, A.A. Kaplyanskii, S.M. Samoilovich, Yu.A. Vlasov: Il Nuovo Cimento 17, 1349 (1995)

V.N. Bogomolov, S.V. Gaponenko, A.M. Kapitonov et al: Appl. Phys. A 63, 613 (1996)

H. Miguez, F. Meseguer, C. Lopez, A. Mifsud, J. S. Moya, L. Vazquez: Langmuir 13, 6009 (1997)

S.G. Romanov, A.V. Fokin, VI. Alperovich, N.P. Johnson, R.M. De La Rue: Phys. Stat. Solidi (a) 164, 169 (1997)

E.P. Petrov, V.N. Bogomolov, LI. Kalosha, S.V. Gaponenko: Phys. Rev. Lett. 81, 77 (1998)

V.N. Bogomolov, S.V. Gaponenko, LN. Germanenko et al: Phys. Rev. E 55, 7619 (1997)

A. Ponyavina, S. Kachan, N. Sil’vanovich: J. Opt. Soc. Am. В 21, 1866 (2004)

Yu.A. Vlasov, M. Deutsch, D.J. Norris: Appl. Phys. Lett. 76, 1627 (2000)

A.M. Kapitonov, N.V. Gaponenko, V.N. Bogomolov et al: Phys. Stat. Sol. (a) 165, 119 (1998)

J.E.G.J. Wijnhoven, W.L. Vos: Science 281, 802 (1998)

Yu.A. Vlasov, X.-Z. Bo, J.C. Sturm, D.J. Norris: Nature 414, 289 (2001)

D.A. Mazurenko, R. Kerst, J.I. Dijkhuis, A.V. Akimov et al: Phys. Rev. Lett. 91, 213903 (2003)

VYu. Davydov, R.E. Dunin-Borkovski, VG. Golubev, J.L. Hutchison et al: Semicond. Sei. Technol. 16, L5 (2001)

K. Yoshino, Y. Shimoda, Y. Kawagishi: Appl. Phys. Lett. 75, 932 (1999)

H.-S. Kitzerow, J.P. Reithmaier. Tunable Photonic Crystals using liquid crystals. In: Photonic Crystals: Advances in design, Fabrication, and

Characterization, Ed. by К. Bush, S. Loelkes, R.B. Wehrspohn (Wiley-VCH Verlag 2004) pp 175-198

V.G. Golubev, V.Yu. Davydov, N.E Kartenko, D.A. Kurdyukov et al: Appl. Phys. Lett. 79, 2117 (2001)

A. Zakhidov, R.H. Baughman, Z. Iqbal, C. Cui et al: Science 282, 897 (1998)

Y. Xia, B. Gates, YYin, Yu Lu: Adv. Mater. 12, 693 (2000)

O. Loader, S. John, K. Busch: Opt. Expr. 8, 217 (2001)

S. Noda, K. Tomoda, N. Yamamoto, A. Chutinan: Science 289, 604 (2000)

MJ.A. de Dood: Emission of light in photonic crystals. PhD Thesis, Amsterdam 2002

D. Wang, V. Salgueirino-Maceira, L.M. Liz-Marzan, F. Caruzo: Adv. Mater. 14, 908 (2002)

[НО] I. El-Kady, M.M. Sigalas, R. Biswas et al: Phys. Rev. В 62, 15299 (2000)

S.V. Gaponenko: Optical Properties of Semiconductor Nanocrystals, (Cambridge University Press, Cambridge 1998)

C.B. Гапоненко: Изв. РАН, сер. физ. 68, 116 (2004)

S.M. Barnett, R. Loudon: Phys. Rev. Lett. 77, 2444 (1996)

B.B. Климов, M. Дюклуа, B.C. Летохов: Квант. Электрон. 31, 569 (2001)

W.L. Barnes: J. Modern Opt. 45, 661 (1998)

S.V. Gaponenko, VN. Bogomolov, E.P. Petrov, A.M. Kapitonov et al: J. Lightwave Technol. 17, 2128 (1999)

С.Я. Килин, Д.С. Могилевцев: Опт. спектр. 74, 974 (1993)

Т. Yamasaki, and Т. Tsutsui: Appl. Phys. Lett. 72, 1957 (1998)

K. Yoshino, S.B. Lee, S. Tatsuhara, Y. Kawagishi et al: Appl. Phys. Lett. 73, 3 506 (1998)

C. Lopez, A. Blanco, H. Migues, F. Meseguer: Optic. Mater. 13, 187 (1999)

M. Megens, J.E.G.J. Wijnhoven, A. Lagendijk, W.L. Vos: Phys. Rev. A 59, 4727 (1999)

Y. Yang, S.-Y. Zhu: Phys. Rev. A 62, 013 805 (2000)

Zh.-Y. Li, L.-L. Lin, Zh.-Q. Zhang: Phys. Rev. Lett. 84, 4341 (2000)

Zh.-Y. Li, Zh-Q. Zhang: Phys. Rev. В 63, 125106 (2001)

Xue-Hua Wang, R. Wang, B.-Y. Gu, G.-Zh. Yang: Phys. Rev. Lett. 88, 093902 (2002)

C.B. Гапоненко: ФТП 30, 577 (1996)

S.V. Gaponenko, A.M. Kapitonov, VN. Bogomolov, A.V Prokofiev et al: Письма в ЖЭТФ 68, 142 (1998)

S.G. Romanov, D.N. Chigrin, V.G. Solovyev et al: Phys. Rev. E 69, 046606 (2004)

E.P. Petrov, D.A. Ksenzov, T.A. Pavich, A.A. Gur’yanov et al: In: Physics, Chemistry and Applications of Nanostructures, ed by V. Borisenko, S. Gaponenko, V. Gurin (World Scientific, Singapore, 2003)

H.B. Гапоненко, И.С. Молчан, C.B. Гапоненко et al: ЖПС 70, 57 (2003)

C.M. Cornelius, J.P. Dowling: Phys. Rev. A 59, 4736 (1999)

J.M. Gee, J.B. Moreno, Sh.-Yu Lin, J.G. Fleming: In: Proc. 29th IEEE Photovoltaic Specialists Conference, (New Orleans, LA, 20-25 May 2002)

M.M. Сущинский: Комбинационное рассеяние света молекулами и кристаллами, (Наука, Москва 1969)

R. Turn, W. Kiefer: J. Raman Spectrosc. 15, 411 (1984)

[13 5] S.V. Gaponenko: Phys. Rev. В 65, 140303 (2002)

6] B.C. Зуев, A.B. Францессон: Опт. спектр. 93, 117 (2002)

С.В. Гапоненко, А.А. Гайдук, О.С. Кулакович, С.А. Маскевич и др.: Письма в ЖЭТФ 74, 343 (2001)

I. Gryczynski, J. Malicka, Z. Gryczynski, J. R. Lakowicz: J. Phys. Chern. В 108, 12568 (2004)

В.Б. Берестецкий, E.M. Лифшиц, Л.П. Питаевский: Квантовая электродинамика, (Наука, Москва 2001)

Оптическое излучение в линейных и нелинейных периодических структурах

Н.Н. Розанов

Научно-исследовательский институт лазерной физики, 199034 Санкт-Петербург Россия

nrosanovQyahoo.com

Введение

Среды и схемы с периодическим пространственным изменением свойств весьма разнообразны и широко используются в различных разделах физики и техники [1], включая линейную и нелинейную оптику. Чтобы несколько ограничить эту обширную тему, прежде всего будем полагать, что в элементарной ячейке, отвечающей периоду пространственной модуляции, содержится значительное число атомов или молекул. Это исключает случай дифракции рентгеновских лучей в кристаллах (межатомные расстояния сравнимы с длиной волны) и позволяет использовать теорию электродинамики сплошных сред, основанную на введении макроскопических восприимчивостей среды [2]. Периодичность свойств уподобляет рассматриваемые системы кристаллам [3] и характеризуется трансляционной симметрией, т.е. оптические свойства остаются теми же при параллельных переносах на отвечающие периоду базисные векторы и их линейные комбинации с целочисленными коэффициентами. Правда, в оптическом случае практически интересно большее разнообразие геометрии. Так, в одномерных системах имеется только один базисный вектор (например, периодическая слоистая среда), в двумерных системах их два и в трехмерных — три (как, собственно, в кристаллах).

Хотя рассматриваемые системы и родственны кристаллам, сами кристаллы в рамках электродинамики сплошных сред после усреднения по физически бесконечно малым объемам становятся эквивалентными (в оптическом диапазоне спектра) однородным средам. При этом исходная периодичность атомной структуры выражается на макроскопическом уровне в оптической анизотропии и дисперсии среды. Это связано со значительным превышением длины волны света над атомными размерами. Для свойств электронов в кристаллах подобное усреднение неправомерно, что приводит к зонной структуре их энергетических уровней [3]. В связи с этим во многих случаях полезна аналогия между распространением света в периодических средах и электронов в кристаллах, что позволяет также ввести понятие фотонного кристалла. В современной литературе этот термин трактуется как в более узком смысле с необходимым требованием наличия запрещенных зон (таких, что излучение с частотой, попадающей в такие зоны, не может распространяться в среде), так и в более широком смысле, когда существование запрещенных зон не обязательно. Мы будем придерживаться здесь более широкого определения

фотонных кристаллов. Приведем сначала некоторые примеры линейных сред и схем с периодическим изменением характеристик.

Дифракционные решетки. Это один из наиболее хорошо изученных классов оптических приборов, в которых имеется периодическое (с периодом Л) повторение большого числа элементов (штрихов) в поперечном по отношению к падающему излучению направлении. В отражательной решетке штрихи наносятся обычно на металл, и наблюдение ведется в отраженном свете. В прозрачных решетках штрихи формируются либо на поверхности стекла, либо как отверстия в непрозрачном экране, а наблюдается прошедшее излучение. Сравнительно недавно были предложены и разработаны высококачественные голографические дифракционные решетки для видимой и ультрафиолетовой областей спектра. В этих решетках периодическая структура создается в фоточувствительных материалах (фоторезистах) вследствие интерференции пучков лазерного излучения, т.е. наводится светом. В дифракционных решетках имеет место поперечное одномерное или двумерное (в отражательных решетках) или полное трехмерное (в прозрачных решетках) периодическое изменение оптических свойств.

При падении на дифракционную решетку плоской монохроматической световой волны дифракция на решетке приводит к появлению рассеянных волн в ряде дифракционных порядков [4]. Нулевой порядок отвечает преломленной (для прозрачной решетки) или зеркально отраженной (для отражательной решетки) волне. Для решетки с периодом штрихов Л волновые векторы рассеянного в m-й порядок излучения (т = ±1, ±2, ...) отличаются от волнового вектора волны нулевого порядка (т = 0) на величину вектора обратной решетки Длт1Л^ где е — единичный вектор, лежащий в плоскости решетки и ортогональный к штрихам. Этим условием задается направление распространения рассеянных волн. Интенсивность волн различных порядков может быть найдена строгим решением уравнений Максвелла, численные методы которого достаточно хорошо развиты. Варьируя профиль штриха, можно добиться желаемого распределения рассеянных в различные порядки волн. Как пример современных приложений дифракционных решеток в лазерной физике и технике приведем разработку дифракционных решеток с многослойным диэлектрическим покрытием, перспективных для компрессии мощных лазерных импульсов [5-7].

При дифракции света на решетке отверстий в непрозрачном экране (металлической пленке) существенное значение имеет соотношение между размером отверстий и длиной волны света. Стандартное описание физической оптики на основе приближения Кирхгофа [4] справедливо только для крупных (в указанном смысле) отверстий. Если же эти размеры сопоставимы с длиной волны света, то требуется как учет конечной проводимости металлической пленки и свойств поверхностных плазмонов в ней, так и строгое решение уравнений Максвелла для субмикронных неоднородностей. Достаточно подробные экспериментальные и теоретические исследования прохождения света через решетку с периодом 425 нм отверстий различной формы

в пленке Au толщиной 200 нм выполнены в [8]. Анализировались три типа наноотверстий: круглые с диаметром 190 нм и прямоугольные с размерами 75x225 и 150x225 нмхнм. Результаты демонстрируют существенную зависимость прошедшего света, дифрагировавшего в различные порядки, от формы отверстия. Так, в случае вытянутых прямоугольников спектр пропускания содержит выраженные пики с максимальным пропусканием, в несколько раз превышающим величину пропускания в приближении геометрической оптики. Еще более высокие значения пропускания наблюдаются в пленках Ag [9], что можно связать с более слабым затуханием поверхностных плазмонов в этих пленках. Расчеты с учетом затухающих (эванесцентных) волн удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными.

Дифракция света на ультразвуке. При распространении акустической волны упругие деформации создают в среде структуру, аналогичную распределенной (объемной) прозрачной дифракционной решетке, причем период распределения плотности и пропорционального ей показателя преломления равен длине звуковой волны. При падении световой волны на такую решетку возникает набор рассеянных волн, отвечающих различным дифракционным порядкам. Если длина L области акустооптического взаимодействия (длина пути, пройденная светом в области, занятой пучком звукового излучения) достаточно велика, интенсивность дифрагированного света может становиться сравнимой с интенсивностью падающего излучения. В настоящее время широко распространены акустооптические устройства, позволяющие управлять параметрами световых пучков и обрабатывать информацию, носителем которой может быть как световая, так и акустическая волна. Основным элементом таких устройств является акусто оптическая ячейка, состоящая из рабочего тела (обычно кристалла), в объеме которого свет взаимодействует с акустической волной, и излучателя звука — пьезоэлектрического преобразователя [Ю, 11].

Соотношение частот звука и света отвечает квазистатическому режиму, т.е. в низшем приближении свет проходит по “замороженной” по времени и периодической по пространству неоднородной среде. В зависимости от длины пути L выделяются два режима дифракции. При условии, что длина волны звука, ультразвука или гиперзвука А и длина волны света удовлетворяют неравенству ЛБ/Л2 « 1 (так называемая дифракция РаманаНата, отвечающая сравнительно небольшим длинам пути) можно считать, что в области акустооптического взаимодействия справедливо приближение геометрической оптики и меняется только фаза света. На выходе из этой области волновой фронт световой волны становится периодически промодулирован- ным (гофрированным). Такой свет разлагается на дискретный набор волн, идущих по отношению к падающей волне под небольшими углами тЛ/А, где т = 0, ±1, ±2,... — порядок дифракции.

При обратном неравенстве XLj^ » 1 и падении света под так называемым углом Брэгга к волновому фронту звуковой волны, #в = arc sin(T/2A), реализуется режим резонансной (брэгговской) дифракции. При этом кроме

прошедшего излучения возникает рассеянное излучение практически только в одном порядке дифракции (интенсивность света, рассеянного в другие порядки дифракции, весьма мала). Это вызвано тем, что только в выделенном порядке дифракции интерференция волн, отраженных от соседних максимумов решетки показателя преломления, оказывается конструктивной.

Классическая дифракционная задача в этой области отвечает рассеянию плоской монохроматической световой волны на бегущей или стоячей акустической волне [4]. При более детальном описании принимаются во внимание следующие дополнительные факторы. Во-первых, акустическая волна в анизотропном кристалле не считается плоской, а характеризуется медленной по сравнению с основным периодом звука зависимостью амплитуды от всех трех пространственных координат (с учетом возбуждения акустической волны пьезоэлектрическим преобразователем в кристалле конечных размеров). Во-вторых, падающий на кристалл свет также является не плоской волной, а, например, гауссовым пучком. Взаимодействие с акустической волной происходит в конечной области, занимаемой кристаллом. Соответственно, рассеянное излучение представляется не дискретным набором плоских волн с постоянными амплитудами (различные дифракционные порядки), а включает медленную пространственную зависимость этих амплитуд. В-третьих, рассматриваются немонохроматические акустические волны (звуковая волна на двух или нескольких частотах), что особенно актуально для систем оптической обработки информации. Существенно, что дифрагированное излучение нелинейно по амплитудам акустических волн. Расчеты с учетом этих факторов позволяют достаточно детально описать реальную картину акустооптическо- го взаимодействия и оптимизировать режимы акустооптических устройств (см., например, [12]).

Электрически переключаемые брэгговские решетки. Такие решетки создаются введением скрещенных пучков когерентного оптического излучения в однородную смесь фоточувствителъного полимеризующегося материала и нематического жидкого кристалла. Полимеризация протекает более быстро в областях с большей интенсивностью света (конструктивная интерференция), а жидкий кристалл преимущественно вытесняется в области малой интенсивности (деструктивная интерференция). Тем самым в пленке композитной среды (характерная толщина 5—25 мкм) создаются слои с одномерным периодическим изменением показателя преломления среды (обычно средний показатель преломления выше у жидкого кристалла). В отсутствие электрического напряжения эффект Брэгга приводит к отражению большей части оптического излучения в узких спектральных диапазонах (длина волны меняется в области 15—30 нм). При приложении электрического поля молекулы жидкого кристалла выстраиваются параллельно этому полю. Условия выбирают так, чтобы обыкновенный показатель преломления жидкого кристалла в электрическом поле совпал с показателем преломления полимера. Тогда модуляция показателя преломления исчезает и пленка становится прозрачной для оптического излучения с обыкновенной поляризацией. Характерные напряжения

переключения составляют несколько десятков вольт, а минимальные времена электрического переключения около 100 мкс. Электрически переключаемые брэгговские решетки перспективны для телекоммуникационных приложений, в волоконно-оптических датчиках, для управления световыми пучками и в других областях [13].

Одним из важных следствий периодического изменения характеристик среды служит возникновение в них частотной дисперсии, значительно превосходящей дисперсию однородных сред. Это свойство, например, дифракционных решеток известно с 18-го века [4] и используется в спектральных приборах [14]. Но это далеко не единственное свойство таких схем, полезное для приложений. Так, в линейной оптике частотная селективность отражения света от одномерно промодулированной среды применяется для создания зеркал в лазерах с распределенной обратной связью и частотных фильтров; линзовые волноводы и эквивалентные им резонаторы лазеров позволяют преодолевать дифракционное расплывание света; подавление спонтанного излучения в спектральных интервалах, отвечающих запрещенным зонам, представляет значительный интерес в лазерной технике и т.д. В последнее время особое внимание исследователей привлекают фотонные кристаллы, что в значительной мере связано с прогрессом в технологии изготовления таких структур. Резко расширяется область применения нелинейно-оптических периодических сред и систем и в особенности нелинейных фотонных кристаллов [15, 16] и родственных микроструктурированных световодов [17].

Указанные примеры со строгой периодичностью отвечают идеальной ситуации. Для многих задач необходим учет таких факторов неидеальности, как ограниченность всей схемы, плавное (по сравнению с периодом модуляции) изменение свойств схемы, наличие отдельных дефектов, в том числе вводимых целенаправленно, и технологически неизбежная разупорядоченность фотонных кристаллов.

Хотя ввиду обширности предмета единый теоретический подход для всех схем с периодической модуляцией практически невозможен, мы пытаемся в настоящей работе дать обзор и сопоставление наиболее общих черт теории распространения света в ряде подобных сред. Классифицировать различные варианты естественно по свойствам среды и излучения. Как уже отмечалось, изменение свойств среды может быть периодическим по одной, двум или всем трем пространственным координатам. При этом удобно выделять продольное и поперечное (по отношению к основному направлению излучения) изменения свойств среды. Для света следует выделить линейный (малые интенсивности) и нелинейный режимы, а также случаи непрерывного (квазимонохроматического) и импульсного излучений. Важное значение имеет и соотношение между длиной волны света и периодом повторения свойств среды. Точное аналитическое решение задачи возможно для одномерного кусочно-однородного изменения свойств среды, а приближенное описание — для слабой модуляции этих свойств, допускающей применение теории возмущений. Эти варианты далеко не исчерпывают практически интересные

ситуации, ввиду чего важное значение здесь имеет численное моделирование. Мы будем уделять большее внимание нелинейно-оптическим задачам, решение которых, однако, ввиду относительной слабости нелинейных изменений свойств среды требует предварительного линейного анализа. Ниже мы рассмотрим в разделе 2.2 сравнительно простой вариант преимущественно однонаправленного распространения излучения в схемах с продольной периодичностью оптических свойств в условиях, далеких от брэгговского резонанса. Здесь мы убедимся, что периодичность приводит к зонам неустойчивости (в другой терминологии — к запрещенным зонам), а также к важному отличию истинно линейных систем от нелинейных, хотя и линеаризированных, вызванному энергообменом во втором случае. Затем в разделе 2.3 будет изучен практически важный случай брэгговского резонанса в волоконном световоде в линейном и, главным образом, нелинейном режиме, в котором возникают такие эффекты, как солитоны, оптическая бистабильность и нелинейное переключение. В разделе 2.4 мы анализируем так называемые дискретные структуры излучения, формирующиеся в периодических системах слабо связанных одномодовых световодов. Здесь также представляют интерес линейные и нелинейные режимы, причем будут продемонстрированы солитоны двух принципиально различных типов — консервативные и диссипативные. Двумерные фотонные кристаллы рассматриваются в разделе 2.5, а общие выводы содержатся в заключительном разделе 2.6. Более детальное изложение отдельных вопросов по этой теме можно найти в монографиях [16-19].

Однонаправленное распространение в продольно-периодических схемах

В этом разделе мы рассмотрим сравнительно простые схемы, в которых оптические свойства периодически меняются только в одном (продольном) направлении. Период изменения здесь будет значительно превышать длину волны света, и тогда излучение остается практически однонаправленным.

Квазиоптическое приближение

Исходные соотношения. Будем исходить из макроскопических уравнений Максвелла для напряженностей Ё, Н, и индукций D, В электрического и магнитного полей, соответственно; среда считается немагнитной (В = Н) и предполагается, что в ней отсутствуют свободные заряды и токи [2, 4]

dll1

rotE =—, divH = (), го!Й=- —, divD = 0.(2.1)

c otc ot

Здесь t — время и с — скорость света в вакууме. Исключая из (2.1) напряженность магнитного поля, найдем, что электрическая напряженность удовлетворяет волновому уравнению

~1 d2D

rot rot Е + ——— = О,с1 at2

а для индукции сохраняется уравнение Максвелла

divD = 0.(2.2)

Специфика среды отражается в виде материальных соотношений между электрической индукцией D и напряженностями Ё и Н электромагнитного поля. Часто полезно вместо индукции вводить поляризацию среды соотношением

D = Ё + 4лР.

В интересующих нас случаях пространственная дисперсия среды несущественна, и поляризация среды Р локально связана с напряженностями Ё, Н (зависит только от величин полей при тех же значениях пространственных координат). Полезно выделить квазистатические и высокочастотные (оптические) составляющие электромагнитного поля. При наличии внешних ква- зистатических полей диэлектрическая проницаемость может зависеть от напряженности не только электрического, но и магнитного статического поля (эффект Фарадея). Применительно же к высокочастотному полю диэлектрическая проницаемость практически определяется электрической напряженностью, так как при малых скоростях движения зарядов г магнитная составляющая действующей на заряды силы Лоренца содержит малый множитель г/с. Соответственно, в линейном по напряженностям высокочастотного поля режиме индукция анизотропной среды может быть записана в виде

з “

£Р(г, О = У, Kp,q(r, r)Eq(r, t-TW,

^=1 о

Для компонент Фурье, отвечающих частоте со, удобнее ввести тензор диэлектрической проницаемости е:

з

Dp(r,to) = У Spql(r,w)Eq(r,w\

который выражается через восприимчивость среды х, являющуюся фурье- преобразованием тензора к:

ем(г, ш) = брд + 4лхР,ч(г, а>),

где брд — символ Кронекера. Тензор е комплексный в среде с диссипацией и даже в прозрачной гиротропной среде при наличии внешнего низкочастотного магнитного поля. Теперь из волнового уравнения следует (частоту в аргументе опускаем)

(2.3)(2.3)rot rot Ё-УЁ = О,с2

(2.3)

(2.3)

а (2.2) можно преобразовать к виду

sVE + (V£)E = 0.

В идеальной неограниченной периодической среде зависимость тензоров X, к и е от координат периодическая, так что

£(г + Л) = £(г).

Здесь для трехмерной геометрии

Л = Ш1Л1 + Ш2Л2 + ШзЛз,Л = Ш1Л1 + Ш2Л2 + ШзЛз,(2.4)(2.4)

Л = Ш1Л1 + Ш2Л2 + ШзЛз,

Л = Ш1Л1 + Ш2Л2 + ШзЛз,

(2.4)

(2.4)

где шхдд — целые числа и Ат — базисные векторы. Базисные векторы образуют элементарную (периодически повторяющуюся) ячейку, которую для однозначности удобно строить по методу Вигнера-Зейтца [3]. В одномерной геометрии имеется только один линейно независимый базисный вектор (“одномерные фотонные кристаллы”, т^ = тз = 0), а в двумерной геометрии их два (“двумерные фотонные кристаллы”, тз = 0). Комбинации базисных векторов (2.4) задают прямую решетку. Диэлектрическую проницаемость, как и любую периодическую функцию координат, можно разложить в дискретный ряд Фурье

ё(г) = 2А8 ехР Об1-)-(2-5)

g

Суммирование в (2.5) проводится по векторам обратной решетки

g = 2л(и1Ь1 + и2Ь2 + и3Ь3),

где ихдз — целые числа, а базисные векторы bm обратной решетки в общем случае трехмерной геометрии определяются соотношениями [3]

bi = -^A2xA3, b2 = ^A3xAi, b3 = -^AixA2.

При этом Vc = ЛДЛ2 х A3) — объем элементарной ячейки.

Приведенные соотношения позволяют строить обратную решетку по известной прямой решетке. Нетрудно видеть, что для всех векторов прямой и обратной решеток выполняется соотношение

exp(zgA) = 1

и что коэффициенты разложения Фурье (2.5) имеют вид

Ag -Ag -1 '1 '£(r) exp (-zgr) dr.£(r) exp (-zgr) dr.

Ag -

Ag -

1 '

1 '

£(r) exp (-zgr) dr.

£(r) exp (-zgr) dr.

Элементарную ячейку обратной решетки, построенную методом Вигнера- Зейтца, называют первой зоной Бриллюэна.

Центральной служит теорема ФлокеБлоха, согласно которой решения волнового уравнения (2.3) в линейной среде с периодической неоднородностью можно представить в форме суперпозиции элементарных решений (блоховских функций) вида

Ёк(г) = exp (zkr) uk(r), (2.6) где функция uk(r) обладает периодичностью прямой решетки:

uk(r + Л) = uk(r).

Волновой вектор к и частота излучения и связаны друг с другом дисперсионным уравнением, которое в отсутствие модуляции в изотропной среде с диэлектрической проницаемостью су имеет вид к2 = (м/с)2^- Вследствие периодического изменения тензора диэлектрической проницаемости физически то же поле будет отвечать волновому вектору, смещенному на любой вектор обратной решетки g. Ввиду этой неоднозначности можно ввести приведенный волновой вектор с наименьшим возможным модулем |к|, т.е. приведенный вектор будет лежать в первой зоне Бриллюэна.

Елоховские функции (2.6) отвечают плоской волне с волновым вектором к, пространственно периодически промодулированной с периодами пространственного изменения диэлектрической проницаемости. Заметим, что волновой вектор к может быть вещественным, и тогда зона Бриллюэна отвечает зоне прозрачности (или устойчивости). Если же волновой вектор комплексный, то говорят о запрещенной зоне (или зоне неустойчивости).

Ввиду линейности волнового уравнения его решениями являются суперпозиции блоховских функций с различными волновыми векторами к и функциями uk. В теории твердого тела известна такая суперпозиция, называемая функцией Ваннье, которая отвечает локализованной (не расплывающейся при эволюции) волновой функции [3]. Поэтому возникает вопрос о возможности локализованных структур электромагнитного поля в линейной среде с периодической модуляцией диэлектрической проницаемости. Детальный ответ требует анализа не только существования локализованных структур, но и их устойчивости по отношению к малым возмущениям. Действительно, уравнения Максвелла в вакууме допускают локализованные структуры поля с широким спектром, в определенной мере родственные структурам Ваннье и получившие название Х-волн [20, 21]. Однако, такие структуры оказываются неустойчивыми относительно малых возмущений и потому метастабильны [22]. Представляется, что в среде с периодическим изменением диэлектрической проницаемости по аналогичным причинам не может быть устойчивых локализованных структур электромагнитного поля. Вместе с тем, аппарат модифицированных функций Ваннье может быть полезен для описания локализованных дефектов в фотонных кристаллах [23].

В общем случае нахождение волновых векторов и соответствующих им блоховских функций (2.6) требует численных расчетов. Более простой случай одномерной периодичности будет рассмотрен ниже. Приближенное аналитическое описание при произвольном виде пространственного изменения

диэлектрической проницаемости возможно в случае его слабой модуляции. Сначала мы обратимся к наиболее простому варианту квазиоптического приближения.

Квазиоптическое приближение. В широком круге задач наличие плавной крупномасштабной неоднородности характеристик среды не приводит к появлению отраженных или рассеянных волн с заметной интенсивностью. Неоднородность только плавно модулирует характеристики падающего излучения, представляющего квазиплоскую и квазимонохроматическую волну. В таких условиях можно использовать квазиоптическое приближение в варианте однонаправленного распространения.

Ниже мы не будем рассматривать непараксиальные эффекты, существенные для пучков излучения с шириной, сравнимой с длиной волны света [19]. Тогда можно использовать квазиоптическое приближение, или приближение медленно меняющейся огибающей, родственное квазиклассическому приближению и предложенное первоначально для задач дифракции Леонтовичем и Фоком [24, 25]. К настоящему времени выведены и проанализированы различные варианты квазиоптического уравнения, отличающиеся учетом различных факторов, см., например, [19, 26-29]. Достаточно общий вид таких уравнений применительно к непараксиальному распространению пучков лазерного излучения в анизотропных (в том числе, дихроических) средах найден в [30].

В квазиоптическом приближении электромагнитное поле локально близко к сумме нескольких плоских монохроматических волн. Амплитуды этих волн считаются медленными функциями координат и времени. Для этого вводятся обозначения

Ё = ^ Ёу = ^ Еу exp (ikjZ, - iojt) + к.с., j j

D = ^ Dy = ^ Dy exp (ikjZ. - icojO + к.с., j j

P = ^ Py = ^ Py exp (ikjZ. - itojt) + к.с.j j

Выбор “центральных” (несущих) частот cDj и волновых чисел kj в определенной мере произволен и определяется в конкретных задачах соображениями удобства. Знак комплексного сопряжения (к.с.) и индекс j далее опускаем там, где это не вызывает недоразумений. Задача состоит в преобразовании точных уравнений Максвелла для быстро меняющихся полей Ё, D и Р в приближенные уравнения для медленно меняющихся огибающих Е, D и Р.

В более простом варианте монохроматического излучения и слабой неоднородности, нелинейности и анизотропии среды частотная дисперсия среды несущественна и волновое число можно выбрать отвечающим фоновой диэлектрической проницаемости sq прозрачной однородной изотропной среды, к = (о)/с) ^ёо, а прочие факторы, включая периодическое изменение характеристик среды, отнести к поляризации среды Р. Тогда квазиоптическое уравнение для поперечных компонент (Е± = (Ех, Е^) и т.д.) принимает вид

Рис. 2.1. Один период линзового волновода, образованного идеальными линзами с чередующимися фокусными расстояниями /1 и /2, расположенными на расстоянии L друг от друга (а). Эквивалентная схема двухзеркального лазерного резонатора длины L, формируемого двумя сферическими зеркалами с радиусами кривизны /?1 и R^ (б). Свет распространяется вдоль оси схемы г.

2гА^ + J±E± + 4л-^-Р± = 0. (2.7) от с1

Здесь J± = V2 = ^ + ^ — поперечный оператор Лапласа, описывающий дифракционные эффекты. Из (2.7) следует и оценка дифракционной длины Ьд = Cw2, где щ — характерный масштаб поперечных изменений огибающей поля или неоднородностей среды. На трассах длины т « Ьд дифракционными эффектами можно пренебречь и использовать приближение геометрической оптики. В следующих разделах мы учтем роль частотной дисперсии и рассмотрим ситуации, когда необходимо привлечение связанной системы квазиоптических уравнений вида (2.7).

Линзовые волноводы и лазерные резонаторы

Рассмотрим распространение света в периодической системе идеальных линз с чередующимися фокусными расстояниями ft и /2, расположенными на расстоянии L друг от друга (рис. 2.1а; традиционно период схемы обозначается здесь через 2L вместо А). Эквивалентной является схема двухзеркального лазерного резонатора с длиной L, образованного двумя сферическими зеркалами с радиусами кривизны 7?i 2 = 2/1,2 (рис. 2.16). Хотя в изображенном резонаторе свет распространяется во встречных направлениях, это не влияет на интересующую нас поперечную структуру поля в линейном режиме; для большего сходства схем можно было бы заменить двухзеркальный резонатор на кольцевой, в котором реализуется однонаправленное распространение излучения.

Схема рис. 2.1а обладает продольной (одномерной) периодичностью (трансляционной инвариантностью) с периодом 2L, однако характеристики светового пучка при распространении через схему в согласии с теоремой Флоке могут меняться непериодически. В этой хорошо изученной задаче говорят не о зонах прозрачности, а об областях устойчивости и неустойчивости [31-35]. Для достаточно широких пучков возможно как геометрооптиче-

ское, так и квазиоптическое описание распространения излучения. В геометрооптическом (и параксиальном) подходе лучи в плоскости, включающей ось схемы, характеризуются двумя величинами — отклонением исходного положения луча от оси и углом наклона луча к оси. Изменение этих величин при прохождении через линзы и при свободном распространении между линзами удобно описывать матричным способом (так называемые ABCD-матрицы [31-35]). В квазиоптическом подходе моды волновода или резонатора имеют вид гауссовых пучков (фундаментального и высших порядков). При распространении между линзами пучки испытывают дифракционные изменения, а идеальные линзы трактуются как фазовые транспаранты с квадратичным по расстоянию от оси изменением фазового набега; преобразование параметров гауссовых пучков также описывается правилом ABCD. Трактовка устойчивости и неустойчивости несколько отличается для геометрооптического и ква- зиоптического описаний, хотя результаты в этих двух подходах совпадают. В приближении геометрической оптики неустойчивость означает, что луч, первоначально близкий к осевому, по мере распространения все более и более удаляется от оси. В квазиоптике устойчивость отвечает возможности формирования ограниченных гауссовых пучков (с конечной мощностью). Если же мощность неограничена и интенсивность излучения в пучке при удалении от оси не убывает, а возрастает, то говорят о неустойчивости волновода или резонатора.

Устойчивость схемы определяется двумя ее параметрами:

LL

Плоскость этих параметров разбивается на области устойчивости и неустойчивости, причем область устойчивости отвечает неравенствам [31]

о < glg2 < 1.

В настоящее время линзовые волноводы в оптической области не столь распространены, тогда как эквивалентные им оптические резонаторы служат одним из основных элементов лазеров. При этом устойчивые резонаторы используются обычно в лазерах с небольшим усилением, а неустойчивые — в мощных лазерах. Весьма полно эта проблематика рассмотрена в монографиях [33, 34]. Среди последующих обобщений фигурируют и формализованные, не всегда физически оправданные подходы. Так, при введении в схему усиливающей среды с неограниченными размерами в [36] были получены парадоксальные результаты, причины некорректности которых указаны в [37].

В дополнение или даже вместо линз в систему типа линзового волновода могут быть введены слои среды с самофокусировочной нелинейностью, которые в определенном приближении отвечают линзам с эффективным фокусным расстоянием, зависящим от мощности падающего излучения. Такие

нелинейные квазиоптические волноводы изучались в [28]. Расчеты демонстрируют тенденцию к подавлению катастрофического коллапса мощных лазерных пучков и увеличению длины распространения лазерного излучения в нелинейной среде. Ниже мы рассмотрим более простую задачу анализа мелкомасштабных возмущений в периодической системе слоев среды с нелинейным показателем преломления.

Одномодовые волоконно-оптические световоды с нерезонансным периодическим изменением характеристик

Волоконно-оптические линии широко используются для передачи информации. При больших длинах передачи частотная дисперсия, вызванная дисперсией среды волновода и в большей степени дисперсией волноводных мод, приводит к расплыванию оптических импульсов. Кроме того, по мере повышения требований к скорости передачи и, соответственно, уменьшению длительности кодирующих информацию оптических импульсов все более существенными в волоконных световодах становятся нелинейные эффекты. Интересно, что этот фактор может служить не помехой, а, напротив, средством решения проблемы дисперсионного расплывания, если кодирующими импульсами становятся оптические солитоны — импульсы неизменной формы, в которых дисперсионное расплывание уравновешивается их нелинейным сжатием [38].

Хотя стекло в сердцевине современных световодов обладает весьма малым поглощением, при распространении на большие расстояния общие потери становятся заметными и сигнал необходимо периодически усиливать. Соответственно энергия солитона периодически убывает (на участках пассивного световода) и возрастает (в усилителях), причем коэффициент усиления выбирается таким, чтобы энергия импульса восстанавливала свое исходное значение (метод управления потерями). Характерное расстояние между усилителями составляет 80-100 км, а длина усиления столь мала, что во многих случаях усилители могут рассматриваться как точечные. Примеры солитонов с управлением потерями можно найти в [18].

Помимо управления потерями, важное значение имеет управление дисперсией. Стекла, из которых изготовляются световоды, обладают самофокусиро- вочной (керровской) нелинейностью. Это означает, что показатель преломления среды п возрастает линейно по интенсивности оптического излучения I = |Е|2:

п = п^о) + n^I, п^ > 0.

Типичное значение коэффициента керровской нелинейности для кварцевого стекла п^ = 2.4 х 10-16 см2/Вт. В продольно-однородном световоде с само- фокусировочной нелинейностью солитоны существуют в случае аномальной частотной дисперсии, реализующейся в определенных спектральных диапазонах. Оказывается, что солитоны в линиях, составленных из участков с чередующимся знаком дисперсии (аномальной и нормальной), значительно

меньше подвержены действию шумов, возникающих благодаря спонтанному излучению в усилителях и приводящих к флуктуациям времени прихода импульсов к приемнику на выходе линии. “Вставки” с инвертированным знаком дисперсии часто выполняются из световодов с наведенной брэгговской решеткой (см. ниже раздел 2.3).

Для солитонных приложений используются одномодовые волоконные световоды. Представляется важным проследить вывод соответствующего квази- одномерного квазиоптического уравнения. По сравнению с вариантом ква- зиоптического уравнения (2.7) возникают следующие изменения. Во-первых, здесь мы не будем интересоваться поляризационной структурой излучения, считая для простоты ее линейной. Во-вторых, что более важно, зафиксируем в связи с одномодовостью световода поперечную структуру излучения. Ввиду этого положим

Ё = eF(x,y)Efo О ехр (/До^ - ^0 + к.с.

Здесь е — единичный вектор вдоль направления электрической напряженности линейно поляризованного излучения, a Е(х,у) — поперечное распределение поля в фундаментальной моде одномодового световода. По традиции волновое число к заменено на постоянную распространения До- В-третьих, для лазерных импульсов учитывается дисперсия линейного показателя преломления его разложением в ряд Тейлора по малому отклонению частоты от несущей ^о (как уже отмечалось, в действительности в дисперсию больший вклад вносят волноводные эффекты):

и0(м) = и0(м0 + (м - м0)) = V. —Лот(^ - woT. (2.8) m^O т

где

Кроме того, в уравнение следует включить члены, отражающие, помимо керровской нелинейности, поглощение и усиление, зависящие от продольной координаты.

Для импульсов с длительностью, заметно превышающей период оптических колебаний и обратную ширину спектральных зависимостей, достаточно ограничиться в разложении (2.8) членом, квадратичным по частотному отклонению. Тогда при переходе к системе координат (z, т), т = t-z/Vg, движущейся с групповой скоростью vg ~ иоь нормированное квазиоптическое уравнение примет вид

8Е 1 д^Е э i i

+ \Е\ Е = "ГЕ + 秹 (2.9) 8z 2 дт2 2 2

Здесь член с d(z) ~ ^02 описывает продольное изменение дисперсии, Г отвечает потерям в волноводе, a g(z) — усилению. Для простоты записи мы не ввели продольной зависимости коэффициента керровской нелинейности. Расчеты показывают формирование со временем солитона с периодическим продольным изменением характеристик в пределах цикла поглощение-усиление

Рис. 2.2. Эволюция профиля интенсивности I солитона с управляемой дисперсией на сегменте схемы при начальной энергии импульса 0.1 пДж и расстоянии между усилителями La = 80 км [18].

(рис. 2.2). Экспериментальные результаты хорошо согласуются с расчетными. Это позволяет оптимизизовать разрабатываемые линии передачи информации с помощью численного моделирования.

В рассмотренной существенно нелинейной схеме ее строгая периодичность не столь принципиальна, равно как и ограниченность схемы в продольном направлении (при превышении длины установления режима солитона с управляемой дисперсией). В некоторых случаях (схемы небольшой протяженности по сравнению с длиной формирования солитона) допустима модель с равномерным распределением усиления по длине. Заметим также, что и потери, и усиление в (2.9) предполагались линейными, т.е. не зависящими от интенсивности излучения. Если же учесть эффекты насыщения, то возможным станет новый класс солитонов — диссипативные оптические солитоны, в которых существенную роль играет баланс притока и оттока энергии. Такие солитоны резко отличаются по свойствам от более традиционных консервативных солитонов и перспективны для информационных приложений с повышенными требованиями к точности и надежности операций [19, 29].

В связи со свойствами солитонов уместно отметить еще одно важное следствие периодического изменения свойств среды. Оно связано, с одной стороны, с частицеподобными свойствами солитонов и, с другой стороны, с тем, что для плавных оптических неоднородностей их градиенты действуют на солитоны как силы на механические частицы. Это позволяет управлять расположением и движением солитонов за счет введения в схему контролируемых периодических неоднородностей. Одним из первых примеров служит схема многоканальной памяти на основе широко апертурных нелинейных интерферометров, возбуждаемых внешним излучением [39]. В отсутствие поперечных неоднородностей солитон может быть возбужден в произвольном месте на сечении интерферометра, тогда как наложение на эту схему слабой пространственной модуляции (например, интенсивности поддерживаю-

щего излучения) локализует солитоны (обычно в максимумах интенсивности поддерживающего излучения). Интересно, что даже если в поперечнооднородной схеме солитоны не существуют, а имеются только волны переключения, то наложение пространственной модуляции может приводить к появлению устойчивых локализованных (солитоноподобных) структур [39], что существенно расширяет возможности солитонных технологий. Чередование во времени наложения на широкоапертурную систему поперечной модуляции (например, за счет интерференции нескольких плоских волн) приводит к возможности реализации аналого-цифрового подхода к оптической обработке информации, сочетающего точность и надежность цифровых методов с присущей аналоговым подходам доступностью параллельных операций [19, 29]. Родственный подход может быть реализован применительно к временным солитонам в нелинейных одномодовых световодах [40]. Здесь наложение внешнего промодулированного сигнала локализует диссипативные солитоны в определенных (движущихся) ячейках, ввиду чего подавляется взаимодействие соседних солитонов, что может позволить повысить скорость передачи информации.

В настоящее время исследования солитонной передачи информации уже вышли из стадии лабораторных. Так, в 2002 г. в Австралии запущена первая коммерческая линия связи на солитонах с управляемой дисперсией (см. ниже) протяженностью 3875 км. В режиме плотного разделения по длинам волн (DWDM) со 160 частотными каналами скорость передачи информации в каждом из каналов составляет 10 Гбит/с, так что общая скорость передачи достигает 1.6 Тбит/с [41].

Мелкомасштабная самофокусировка в периодических системах

Рассмотрим распространение плоской квазимонохроматической волны через периодическую систему слоев среды с керровской нелинейностью, разделенных воздушными промежутками и, возможно, линзовыми системами (телескопами или ретрансляторами). Внутри нелинейной среды скалярное квази- оптическое уравнение для огибающей поля (2.7) имеет вид (состояние поляризации поля фиксировано и усилением в среде мы пренебрегаем, так как оно не принципиально для настоящего анализа)

ЭЕ о

2ikm — + 4±Е + —1£|2£ = 0, (2.10) от, £о

где кт = (со/с) д/^о — волновое число в среде (в отсутствие нелинейности). В воздушном промежутке в (2.10) нужно положить £2 = 0 и заменить значение волнового числа кт на ко = со/с. Излучение распространяется преимущественно вдоль оси z, ортогональной к слоям среды. Толщину слоев среды обозначим через /т, а толщину воздушных слоев — через /о (период системы 1т + /о = d). Поверхности слоев считаются просветленными, так что френелевским отражением от них можно пренебречь (однонаправленный режим распро странения).

Данная задача имеет важное значение в лазерной физике и технике, так как описывает явление модуляционной неустойчивости, или мелкомасштабной самофокусировки — распада широкого пучка, распространяющегося в среде с самофокусировочной нелинейностью, на отдельные интенсивные нити [42]. Для бесконечной периодической системы структура зон устойчивости и неустойчивости получена в [43, 44], см. также [28]. Нас здесь будет интересовать, главным образом, вопрос о распространении подобного подхода на случай конечных систем с перекачкой энергии, проанализированный в [45, 46].

Нетрудно видеть, что решением квазиоптического уравнения (2.10) служит плоская волна, распространяющаяся вдоль оси z, причем в нелинейной среде происходит сдвиг волнового числа:

Е = £0(z) = Аоехр| 1/вДВ = кт—|А0|2.

Естественно, что в линейной среде такой сдвиг волнового числа отсутствует. Пусть на вход системы (г = 0) помимо плоской волны подается слабое возмущение. Ввиду малости возмущения его можно разложить в угловой спектр, характеризуя компоненты с пространственной частотой к амплитудой ЕДг). Соответственно возмущенное поле имеет вид

E(r±, z) = [Ao + Ei(z) exp (гк±г±)] exp I -;Bz

где r± = (x,y) — двумерный вектор поперечных координат, а к± — соответствующий вектор пространственных частот возмущений, причем к^ = к2. Линеаризация (2.10) по амплитуде возмущения ЕДг) приводит к следующему уравнению

(2.11)(2.11)2ikm^E- - i?Ev + B(EV + Е*) = 0,

(2.11)

(2.11)

Для дальнейшего решение (2.11) удобно записать в матричном виде [45, 46]. Для этого представим комплексную амплитуду Еу в виде двухкомпонентного вектора с вещественными элементами

где ф = arg Ex — разность фаз между возмущением и основной волной. Ввиду линейности уравнения (2.11) амплитуды возмущения на входе (Е1” = ЕДг = 0)) и выходе (E°ut = ЕДг = Zm)) слоя можно связать линейным соотношением

:out — uf^

Вид матрицы преобразования U размерности 2x2 определяется решением (2.11). При к2 < 2В

(2.12)(2.12)А / СЙФ --^8ЙФ\\ ^х^ sh Ф ch Ф /

(2.12)

(2.12)

гдегдеШтХк^В-кАЖг ’ВШтХк^В-кАЖг ’В

где

где

ШтХк^В-кА

Жг ’В

ШтХк^В-кА

Жг ’В

При к2 > 2В матрица преобразования U получается из (2.12) заменой X —> IX. Для воздушного промежутка с длиной /о между нелинейными слоями аналогичное преобразование V отвечает матрице поворота на угол Фо = кЧ^КЖ^;

V =V =cos Фо - sin Фоsin Фо cos Фо

V =

V =

Преобразование возмущений в софокусных линзовых системах (оптических ретрансляторах) также описывается матрицей поворота (2.12), но с измененным видом угла Фо [45, 46].

Общая матрица преобразования возмущений в конечной системе W, включающей М нелинейных и М линейных слоев, получается перемножением матриц этих слоев, а в рассматриваемой периодической системе — возведением матрицы одного периода в степень М:

IV = (V х U)M.

Амплитуды возмущений на входе и выходе всей системы связаны соотношением

=

Заметим, что определитель всех матриц преобразования

DetU = DetV = DetW = 1.(2.13)

Собственные значения Г матрицы одного периода определяются из соответствующего квадратного уравнения [43, 44] и ввиду (2.13) произведение модулей этих двух собственных значений |Г1||Г2| = 1- Поэтому можно выделить два варианта. В первом оба собственных значения по модулю отличны от единицы: |Г1|,|Г2| ^ 1- Тогда имеются возмущения, которые при прохождении одного периода возрастают в \1\ | > 1 раз (больший по модулю корень снабжен индексом 1). Возмущения с пространственными частотами, отвечающими этому условию, составляют зоны неустойчивости. Во втором варианте |Гх| = \Г^\ = 1, и возмущения с соответствующими пространственными частотами образуют зоны устойчивости.

В лазерных установках требуется подавление перекачки энергии от невозмущенной волны (основного пучка) к возмущениям (рассеянному излучению), т.е. устранение зон неустойчивости. В ряде случаев этого можно достичь за счет выбора параметров схемы. Но здесь нам необходимо пояснить следующее обстоятельство, в силу которого принципиально различаются представляющие данную задачу “линеаризированные” схемы, в которых

происходит обмен энергией между невозмущенной волной и возмущением, и “истинно линейные” схемы, в которых такого обмена энергией нет. Математически в рассматриваемой задаче развитие возмущений в системе с конечным числом периодов М определяется не собственными значениями матрицы преобразования, а ее сингулярными числами [45, 46], причем рост возмущений возможен и в условиях области устойчивости. Для матрицы W размерности 2x2 имеются два сингулярных числа

Здесь введена норма Гильберта-Шмидта матрицы W:

2

х2=1€

По физическому смыслу сингулярные числа ^max,min представляют максимальное и минимальное отношение глубин модуляции поля на выходе и входе (коэффициент передачи) системы при варьировании относительной фазы ф(г = 0). Сингулярные числа матрицы W совпадают с ее собственными значениями, если эта матрица симметрична (эрмитова). Так как матрица преобразования слоистой нелинейной системы существенно неэрмитова, то именно сингулярные числа, а не собственные значения матрицы определяют рост возмущений в системе. Подчеркнем, что использование собственных значений в качестве коэффициента передачи не приводит к адекватному описанию нелинейной системы, состоящей как из конечного, так и бесконечного числа периодов.

Хотя привлечение понятий зон устойчивости и неустойчивости не дает исчерпывающего описания исходно нелинейной системы, оно полезно в следующем отношении. При наличии зон неустойчивости амплитуды “опасных” (попадающих в эти зоны) возмущений растут с расстоянием (числом периодов) приблизительно экспоненциально. При устранении таких зон рост возмущений сохраняется, но он становится приблизительно линейным по числу периодов [45, 46]. Поэтому оперирование с собственными значениями качественно правильно передает направление оптимизации многоэлементных нелинейно-оптических систем, но для количественного описания необходимо привлечение понятия сингулярных чисел.

Квазисинхронное параметрическое взаимодействие

По-видимому, первым примером периодической нелинейно-оптической системы является предложенная более 40 лет тому назад схема с периодической пространственной модуляцией квадратичной нелинейной восприимчивости [47]. Такая модуляция позволяет использовать новые материалы с сильной

квадратичной нелинейностью, в которых невозможна компенсация волновой расстройки между волнами накачки и второй гармоники традиционными методами (выбором направления распространения волн или температурной настройкой). С современным состоянием вопроса можно познакомиться в обзоре [48]. Эффективные квазисинхронные взаимодействия можно реализовать в кристаллах с регулярной доменной структурой, в которой периодически инвертируется знак коэффициента квадратичной нелинейности [49]. В приближении плоских монохроматических волн и заданного поля накачки с амплитудой Ар и волновым числом кр (фундаментальная гармоника) амплитуда сигнала А с волновым числом к (вторая гармоника) описывается стандартным уравнением

dA

— = -гк(^АрА* exp <-i5kzd, dz

где к — нелинейный коэффициент связи волны накачки и сигнальной волны, обладающий противоположными знаками в соседних доменах, и дк = к - 2кр — расстройка волновых чисел. В соответствии с указанным приближением заданного поля амплитуда накачки Ар считается постоянной, а коэффициент связи к кусочно постоянен. Это позволяет, как и в предыдущем разделе, связать двухкомпонентные векторы, отвечающие вещественной и мнимой частям комплексной амплитуды на входе и выходе каждого нелинейного слоя (домена), матричным соотношением. Аналогичным образом матрица преобразования системы п слоев получается как произведение матриц отдельных слоев, а для периодической системы — как степень матрицы преобразования на одном периоде. Задачей здесь служит определение условий максимального роста сигнальной волны. По причинам, указанным в предыдущем разделе, это максимальное значение вновь определяется сингулярными числами матрицы преобразования, что и решает задачу оптимизации схемы.

Теперь рассмотрим структуры поля в подобной среде, помещенной в планарный волновод, одномодовый по одному из поперечных направлений (вдоль оси у), тогда как по направлению х пучок монохроматического излучения дифрагирует. При этом мы откажемся от приближения заданного поля и будем учитывать пространственное изменение амплитуд сигнала А и накачки Ар в рамках следующих связанных квазиоптических уравнений:

дА 1 д^А

'"Г + 717 + к^ара* ехР (-№) = о, oz 2 ох1

ЭАР1 д^Ар~

i -2- + - —у + к^А1 ехр (№) = 0.(2.14)

oz4 ох1р

Коэффициент нелинейной связи как периодическая функция г в общем случае разлагается в ряд Фурье,

к^/) = ^ кт ехР (imgz).

Рис. 2.3. Контуры интенсивности для пучка накачки в плоскости z-x (а) и пиковые интенсивности для накачки и второй гармоники (б) для параметрического пространственного солитона при квазисинхронном взаимодействии [50].Рис. 2.3. Контуры интенсивности для пучка накачки в плоскости z-x (а) и пиковые интенсивности для накачки и второй гармоники (б) для параметрического пространственного солитона при квазисинхронном взаимодействии [50].

Рис. 2.3. Контуры интенсивности для пучка накачки в плоскости z-x (а) и пиковые интенсивности для накачки и второй гармоники (б) для параметрического пространственного солитона при квазисинхронном взаимодействии [50].

Рис. 2.3. Контуры интенсивности для пучка накачки в плоскости z-x (а) и пиковые интенсивности для накачки и второй гармоники (б) для параметрического пространственного солитона при квазисинхронном взаимодействии [50].

где g = 2л/Л и Л — период нелинейной решетки. Система уравнений (2.14) может быть далее упрощена в резонансном приближении, когда после разложения амплитуд на сумму гармоник Фурье по г с медленно меняющимися коэффициентами удерживаются только низшие резонансные гармоники; однако и в этом приближении основные результаты получаются численно [50]. На рис. 2.3 представлены результаты, демонстрирующие формирование параметрических (двухчастотных) пространственных солитонов в такой периодической нелинейной среде. Видно, что, несмотря на периодические изменения вследствие наличия решетки, солитон устойчив.

В заключение этого раздела, посвященного однонаправленному распространению излучения в средах с периодической чисто продольной модуляцией характеристик среды, укажем на следующее обстоятельство, подчеркивающее важное различие свойств консервативных (в прозрачных средах без диссипации энергии) и диссипативных солитонов (в средах с существенным поглощением и компенсирующим его усилением, см. [19]). Более точный анализ [51 ] показывает, что учет высших гармоник модуляции приводит к делокализации — потоку энергии из центральной области солитона на его периферию. Тем самым, появляется механизм затухания консервативных солитонов в среде со слабой продольной модуляцией характеристик среды. Однако в случае диссипативных солитонов этот механизм неэффективен из-за восполнения их энергии за счет усиления. Это демонстрирует особую устойчивость (жесткость) диссипативных оптических солитонов.

Одномодовый световод с брэгговской решеткой

Двунаправленное распространение излучения

Выше мы рассматривали преимущественно однонаправленный режим распространения излучения в периодических средах. Однако даже если отраже-

Рис. 2.4. Схема брэгговской решетки. Темные и светлые области внутри сердцевины световода показывают периодические изменения показателя преломления.

ние излучения на каждом периоде мало, при резонансных (брэгговских) условиях отраженные волны, складываясь в фазе, могут формировать встречную волну излучения, так что режим распространения становится двунаправленным. Собственно, таковы режимы брэгговской дифракции света на ультразвуке, в электрически управляемых брэгговских решетках и т.д. В простейшем случае поле не зависит от поперечных координат и описание является одномерным, но должны учитываться волны, распространяющиеся в обоих продольных направлениях.

Важным примером квазиодномерной периодической оптической структуры являются волоконно-оптические брэгговские решетки, схема которых приведена на рис. 2.4. Формирование решеток основано на светочувствительности стекла, т.е. способности надолго изменять показатель преломления под действием интенсивного лазерного излучения. В световоде, в котором распространяются встречные волны записывающего лазерного излучения, это излучение поглощается преимущественно в областях конструктивной интерференции (светлые области на рис. 2.4). Поэтому при достаточно длительном воздействии такого излучения на сердцевину световода в нем формируется решетка показателя преломления. Она сохраняется и после прекращения облучения и практически может считаться стационарной. В настоящее время такие решетки служат стандартным элементом телекоммуникационных схем [18, 52, 53]. "

Итак, показатель преломления среды промодулирован по координате z, а его поперечные изменения в световоде учитываются при задании поперечного распределения амплитуды моды F^x,yY

dn(zd = ^ дпт ехр (TjumzJAYт=-оо

Если падающее на решетку с периодом А излучение имеет волновое число £о, то в среде возникают волны с волновыми векторами кт = ко + 2лт/А, где т = 0, ±1, ±2,... — порядок дифракции. Резонанс m-го порядка будет наблюдаться, когда к\т\ = -ко, так что для резонанса первого порядка ко = ^в = л/А. Соответственно длина волны света в вакууме Л и период брэгговской решетки А связаны соотношением Брэгга

Л = 2йЛ,(2.15)

где п — средний показатель преломления среды. Отсюда частота Брэгга ^в = лс/пА.

При условии Брэгга (2.15) в резонанс вступают две волны (прямая и встречная), а остальные волны находятся вне резонанса и поэтому могут рассматриваться как слабые. Можно получить оценку амплитуд высших гармоник (слабых волн) с помощью метода теории возмущений. Но в случае волоконно-оптической брэгговской решетки для этого нужно учесть отличие поперечной структуры высших гармоник от формы моды для основных волн, которое зависит от поперечного распределения показателя преломления световода. В пренебрежении высшими гармониками вместо (2.7) получаются два связанных квазиоптических уравнения для амплитуд прямой А у и встречной Аь волн, которые во втором приближении теории дисперсии для постоянной распространения

19

Д<^) — Pq А- р\^Ю — Юр + -P2(w - <^о)

и для кубической (керровской) нелинейности среды имеют вид [54-57]

dAfdAfВ2 82Af ...,7

-—- +^i —- + г—- i5Ay + ткАь + z'y(|A/-| + 2|А/>| )А/,

dzdt2 dt2

——- + А“7“ += ^Аь + ^f + ^(l^l2 + ^\Af\2)Ab.(2.16)

dz dt 2 dt2

Здесь 5 = (юо - cDB)/vg — относительная частотная расстройка, vg = 1/Д — групповая скорость в световоде без решетки, у — коэффициент кубичной (керровской) нелинейности и к — коэффициент линейной связи волн, пропорциональный амплитуде модуляции показателя преломления на резонансной гармонике:

_ J ^SnxW^y^dxdyк П1№Д|2М '

Система уравнений связанных волн (2.16) описывает целый ряд важных линейных и нелинейных эффектов. Наиболее элементарен и одновременно важен простейший случай линейного режима (у = 0) и монохроматического излучения (dAfy/dt = 0), когда (2.16) превращаются в систему двух обыкновенных линейных дифференциальных уравнений

dAf

—— = i6Af + гкАь,dz

= idAb + iKAf.(2.17)

dz

Поскольку это уравнения с постоянными коэффициентами, их общее решение характеризуется экспоненциальной зависимостью от z*.

Az = /i exp (jqf) + /2 exp (-zgz),

Ab = by exp (z^z) + bi exp (-iqf).(2.18)

Подстановка (2.18) в (2.17) приводит к соотношению амплитуд

(q - 6)fi =кЬ1,(q + 6)fl = -кЬъ

(q - 6)bi = кfi,(q + 6)bi = -Kfi

при условии равенства нулю определителя системы, откуда

q = +^62- к2.(2.19)

Соотношение (2.19) свидетельствует о том, что однородные (распространяющиеся) плоские волны, отвечающие вещественным значениям параметра q (расщепление волнового числа), возможны только при |^| > к2, т.е. при достаточно больших по модулю частотных расстройках б. В области

-к < б < к,

называемой запрещенной зоной, плоские волны становятся неоднородными, как при внутреннем отражении. В диапазоне частот, отвечающем запрещенной зоне, распространение излучения в бесконечной решетке невозможно, и падающая на решетку с достаточной длиной L излучение практически полностью отражается назад. Более точно, максимальный коэффициент отражения (по интенсивности) в центре запрещенной зоны зависит от коэффициента связи и длины решетки:

^max — th (kL).

При характерных параметрах Л =1.55 мкм, бп\ = 10-4 и L = 4 мм получим ^тах =0.93. Доступность таких (и даже больших) значений коэффициента отражения определяет широкое применение брэгговских зеркал, в том числе для лазеров. Кроме того, высокая частотная селективность отражения допускает использование брэгговских решеток как фильтров.

Обобщение на случай импульса в линейном режиме не вызывает затруднений. Важной характеристикой достаточно длительных и плавных импульсов служит значение групповой скорости. В связи с расщеплением волнового числа мы можем определить групповую скорость в световоде с решеткой следующим соотношением:

dq1 dq

g da)vg du)'

Тогда

|Vg| = vg

В разрешенной зоне, вдали от краев запрещенной зоны (|^| » к), групповая скорость та же, что в отсутствие решетки (Vg % vg). Однако при приближении частоты к краям запрещенной зоны (извне зоны) групповая скорость в световоде с решеткой уменьшается, обращаясь в нуль на краях запрещенной зоны, где б = ±к.

Брэгговские солитоны

Одним из важнейших следствий нелинейности уравнений связанных волн (2.16) служит наличие их локализованных (солитоноподобных) решений, которые имеют вид [53]

Af(z, 0 = a+sch(f - i^e",(2.20)

Ab<z, t) = a_sch(f + г^/2)Л(2.21)

где

± v \k(1 -V2) .7^А Нч7Tsm'/'’+ v/ у y(3 - v2)n v(z - VG0 , 4v6 = —.к cos ф—Vb^ (3 - v2)± v \k(1 -V2) .7^А Нч7Tsm'/'’+ v/ у y(3 - v2)n v(z - VG0 , 4v6 = —.к cos ф—Vb^ (3 - v2)z T.-VGt= , KSini/r,V1 -v2z T.-VGt= , KSini/r,V1 -v2arctg[|ctg(<^/2)|cth^].arctg[|ctg(<^/2)|cth^].(2.22)(2.23)(2.22)(2.23)

± v \k(1 -V2) .

7^А Нч7Tsm'/'’

+ v/ у y(3 - v2)

n v(z - VG0 , 4v

6 = —.к cos ф—

Vb^ (3 - v2)

± v \k(1 -V2) .

7^А Нч7Tsm'/'’

+ v/ у y(3 - v2)

n v(z - VG0 , 4v

6 = —.к cos ф—

Vb^ (3 - v2)

z T.-VGt

= , KSini/r,

V1 -v2

z T.-VGt

= , KSini/r,

V1 -v2

arctg[|ctg(<^/2)|cth^].

arctg[|ctg(<^/2)|cth^].

(2.22)

(2.23)

(2.22)

(2.23)

Согласно (2.20)-(2.23), семейство брэгговских солитонов двухпараметрическое. Параметр v меняется в диапазоне -1 < v < 1, а параметр <Д выбирается в диапазоне 0 < ф < л. Частный случай <Д = л/2, отвечающий центру запрещенной зоны, первоначально был изучен в [56]. Брэгговские солитоны отвечают таким комбинациям встречных волн, огибающие которых движутся вместе с уменьшенной скоростью Vq = vvg. Так как параметр v может быть и отрицательным, солитон огибающих может двигаться вперед или назад. Если доминирует Ау (АД солитон движется в прямом (встречном) направлении с уменьшенной скоростью. В случае равных амплитуд солитон неподвижен, Vg = 0 (случай стационарных щелевых солитонов). В пределе |г| —> 1 брэгговские солитоны отсутствуют. Длительность солитона Ts связана с параметрами v и ф и определяется выражением

Ts = Vl - v2/(kVg sin <Д).

Брэгговские (щелевые) солитоны с аналитическим видом огибающих (2.20) и (2.21) входят в более общий класс солитонов, который может быть найден численным решением нелинейных уравнений связанных мод (2.16) при требовании сохранения формы солитона при распространении [58, 59]. Такие локализованные решения существуют и внутри, и вне запрещенной зоны для фокусирующей и дефокусирующей нелинейностей. При сравнительно малых нелинейностях уравнения связанных мод сводятся к эффективному нелинейному уравнению Шредингера (НУШ), солитоны которого хорошо изучены. Анализ подтверждает устойчивость щелевых солитонов в сравнительно широкой области параметров [60]. При взаимодействии с дефектами решетки щелевые солитоны ведут себя подобно классическим частицам, так что в зависимости от параметров возможны захват, отражение и прохождение щелевых солитонов [61].

Экспериментально брэгговские солитоны в световодах с наведенной решеткой впервые обнаружены в 1996 г. [63]. В типичных условиях такие солитоны наблюдались в аподизированном световоде с решеткой длиной 7.5 см.

(а)(а)Рис. 2.5. Экспериментальные зависимости длительности импульсов на выходе решетки (кружки) от отстройки для входных импульсов длительности 80 ПС с пиковой интенсивностью 3 (а) и б ГВт/см2 (б). Сплошные и штриховые линии показывают соответственно результаты расчетов в рамках теории связанных мод и эффективного НУШ [62].Рис. 2.5. Экспериментальные зависимости длительности импульсов на выходе решетки (кружки) от отстройки для входных импульсов длительности 80 ПС с пиковой интенсивностью 3 (а) и б ГВт/см2 (б). Сплошные и штриховые линии показывают соответственно результаты расчетов в рамках теории связанных мод и эффективного НУШ [62].(б)(б)

(а)

(а)

Рис. 2.5. Экспериментальные зависимости длительности импульсов на выходе решетки (кружки) от отстройки для входных импульсов длительности 80 ПС с пиковой интенсивностью 3 (а) и б ГВт/см2 (б). Сплошные и штриховые линии показывают соответственно результаты расчетов в рамках теории связанных мод и эффективного НУШ [62].

Рис. 2.5. Экспериментальные зависимости длительности импульсов на выходе решетки (кружки) от отстройки для входных импульсов длительности 80 ПС с пиковой интенсивностью 3 (а) и б ГВт/см2 (б). Сплошные и штриховые линии показывают соответственно результаты расчетов в рамках теории связанных мод и эффективного НУШ [62].

(б)

(б)

Входные импульсы длительностью 80 нс получались из импульсов Nd:YLF- лазера в режиме модулированной добротности и синхронизации мод (длина волны 1053 нм) с пиковой интенсивностью около 10 ГВт/см2. Результаты, естественно, сильно зависят от отстройки от брэгговского резонанса. На рис. 2.5 представлены экспериментальные (черные кружки) и расчетные (сплошные линии — уравнения связанных волн, штриховые линии — эффективное НУШ) зависимости длительности импульса на выходе решетки от расстройки при длительности входного импульса 80 пс и двух значениях пиковой интенсивности. Результаты подтверждают справедливость эффективного НУШ в области его применимости. Практически возбуждение щелевых солитонов внутри запрещенной полосы затруднительно из-за отражения света в этой области при введении в решетку излучения. Решение этой проблемы возможно при использовании эффекта вынужденного комбинационного рассеяния света, когда импульс накачки с частотой вне запрещенной зоны возбуждает в самой решетке комбинационный щелевой солитон [64].

Оптическая бистабильность и переключение

Другим важным нелинейным эффектом, реализующимся в брэгговских решетках, является оптическая бистабильность, т.е. двузначная зависимость мощности прошедшего решетку излучения от мощности падающего излучения. Этот эффект можно найти решением уравнений связанных волн (2.16) в стационарном случае при соответствующих граничных условиях на двух концах решетки (г = 0 и г = L), причем решение выражается через эллиптические функции [65]. Характерные зависимости показаны на рис. 2.6. Видно, что бистабильность реализуется при превышении отстройкой определенного

Рис. 2.6. Прошедшая мощность в зависимости от падающей мощности для трех значений отстройки внутри запрещенной зоны [65].Рис. 2.6. Прошедшая мощность в зависимости от падающей мощности для трех значений отстройки внутри запрещенной зоны [65].пиковая мощность, кВтпиковая мощность, кВтВремя,нсВремя,нс

Рис. 2.6. Прошедшая мощность в зависимости от падающей мощности для трех значений отстройки внутри запрещенной зоны [65].

Рис. 2.6. Прошедшая мощность в зависимости от падающей мощности для трех значений отстройки внутри запрещенной зоны [65].

пиковая мощность, кВт

пиковая мощность, кВт

Время,нс

Время,нс

(б)(б)(а)

(б)

(б)

Рис. 2.7. Пропускание в зависимости от пиковой мощности на входе, демонстрирующее нелинейное переключение (а); форма импульсов на выходе при нескольких уровнях пиковой мощности входного импульса (б) [67].

критического значения. Качественно эффект можно пояснить, заметив, что эффективная отстройка в нелинейной решетке зависит от интенсивности излучения. При низких интенсивностях (линейный режим) входное излучение с частотой внутри запрещенной зоны отражается от решетки, практически не проникая в нее. Однако при достаточно больших интенсивностях из-за нелинейного сдвига отстройки большая часть излучения проходит через решетку. Более детальные расчеты показывают, что часть верхней ветви при больших интенсивностях становится неустойчивой. Тогда при монохроматическом входном излучении выходное излучение характеризуется периодической или даже хаотической зависимостью от времени [66].

пиковая мощность, кВтпиковая мощность, кВт11оЛ 0,6оЛ 0,6о о m °’4 s о S0>2 I- Z s Оо о m °’4 s о S0>2 I- Z s О0123Время,нс0123Время,нс(б)(б)(а)

пиковая мощность, кВт

пиковая мощность, кВт

1

1

о

Л 0,6

о

Л 0,6

о о m °’4 s о S0>2 I- Z s О

о о m °’4 s о S0>2 I- Z s О

0123

Время,нс

0123

Время,нс

(б)

(б)

Рис. 2.8. Зависимость пропускания решетки от пиковой мощности на входе, демонстрирующая действие И-вентиля (а), и форма импульса на выходе при уровне пиковой мощности 3 кВт, когда на вход подана только одна (штриховая линия) или обе (сплошная кривая) поляризационные компоненты (б) [67].

Как видно из рис. 2.6, выбором отстройки можно достичь и другого нелинейного режима — оптического переключения, характеризующегося резкой зависимостью пропускания от интенсивности входного сигнала. Экспериментально нелинейное переключение в световоде с брэгговской решеткой впервые наблюдалось в 1998 г. в важной для волоконно-оптической связи области длин волн 1.55 мкм [67, 68]. В эксперименте использовалась решетка длиной 8 см с максимальным коэффициентом отражения 98%. Входные импульсы обладали длительностью 3 нс и пиковой мощностью до 10 кВт. На рис. 2.7а виден резкий рост пропускания до 40% при увеличении мощности до 34 кВт. На рис. 2.76 показаны временные профили излучения на выходе при различных мощностях. Формирование нескольких импульсов при больших мощностях связано с упомянутой выше неустойчивостью непрерывного режима.

В световоде с двулучепреломлением компоненты моды с ортогональными поляризациями обладают различными показателями преломления. Запрещенные зоны для этих поляризаций несколько сдвинуты друг относительно друга. Нелинейный сдвиг запрещенных зон также различен для двух поляризаций. При сравнительно малых интенсивностях (предел эффективных НУШ) режимы описываются двумя связанными уравнениями вида [69]

=,Т- (|4'|! + +т4:л-с~2'* <2-24)

"Г + + + ^ААУ^ (2.25) oz, 2 дР \ 3 / 3 7

где Zip = Р^х-Р^ — разность постоянных распространения для ортогональных поляризаций. Эти уравнения имеют решение в виде векторного солитона с равными амплитудами, или связанного щелевого солитона [69].

Связанный щелевой солитон можно использовать для построения чисто оптического w-вентиля. Поляризационные х- и у-компоненты входного излучения служат единицами информации — битами, каждый из которых принимает значение 0 или 1 в зависимости от отсутствия или присутствия соответствующего сигнала. Для вентиля и необходимо, чтобы выходной импульс появлялся, только если присутствуют одновременно обе компоненты. Для этого нужно, чтобы обе поляризационные компоненты отвечали запрещенной зоне. Их суммарная интенсивность может настолько увеличить эффективный показатель преломления, что обе компоненты будут пропущены. Однако, если хотя бы одна из компонент на входе отсутствует (0 бит), обе компоненты отражаются решеткой. В эксперименте такой чисто оптический и-вентиль был реализован в 1988 г., причем был получен контраст переключения 17 дБ при пиковой мощности 2.5 кВт [70]. На рис. 2.8 показана доля прошедшей энергии по отношению к полной энергии импульса в зависимости от пиковой мощности на входе (а) и форма прошедшего импульса при пиковой мощности 3 кВт (б). Когда на вход подается только одна поляризационная компонента, решетка пропускает малую часть энергии. Однако, когда подаются обе поляризационные компоненты, на выходе решетки наблюдается интенсивный импульс в соответствии с результатами расчетов на основе связанных НУШ (2.24) и (2.25).

Детальный теоретический и численный анализ нелинейного распространения излучения в одномерных периодических структурах, ориентированный на приложения к световодам с брэгговской решеткой, выполнен в [71], где изучены такие вопросы, как применимость квазиоптического приближения и метода связанных волн, инерционность отклика нелинейной среды и т.д. Впрочем, полнота этого весьма математизированного анализа вряд ли всесторонняя. В частности, задача здесь сразу считается одномерной, что оставляет нерешенным еще недостаточно изученный вопрос о поперечных эффектах в рассматриваемом световоде (поперечная структура излучения, во-первых, искажается из-за нелинейности среды и, во-вторых, различна для волн различных порядков). Еще более принципиальными представляются эффекты непараксиальности, связанные с ограниченностью параксиального приближения — приближения медленно меняющихся амплитуд. Рассмотрим, например, важный частный случай неподвижного брэгговского солитона. В рамках этого приближения, отвечающего уравнениям (2.16) при djdt = 0, решение обладает инвариантностью к сдвигу по оси г на любую величину, т.е. расположение солитона никак не привязано к решетке показателя преломления. Между тем очевидно, что различные положения солитона физически далеко не эквивалентны, и более точные решения должны обладать симметрией только по отношению к сдвигу по оси z, на период решетки. Такие решения можно получить из (2.3) для одномерной геометрии нелинейного уравнения

Гельмгольца для вещественной амплитуды монохроматического поля с фиксированной поляризацией излучения

(РЕ аР?

+ —г[б:о + ^i cos (2/?вг) + е^Е^АЕ = 0.(2.26)

az с2

Здесь коэффициент 81 отвечает (малой) глубине модуляции линейной диэлектрической проницаемости, а 8^ пропорционален коэффициенту керровской нелинейности. Для справедливости (2.26) в среде с кубичной нелинейностью необходимо, чтобы амплитуда третьей оптической гармоники (с частотой Зи) была пренебрежимо мала (условия синхронизма на этой частоте не выполнены).

Будем искать решение уравнения (2.26) методом теории возмущений в виде

Е^-Е^-г^6Е^\

где Eq{z - го) — приведенное выше решение в (нулевом) приближении медленно меняющихся амплитуд, го — подлежащая определению постоянная, отвечающая координате центра солитона, a dE(z) — малая поправка к приближенному решению. Линеаризованное по dE(z) уравнение (2.26) имеет вид

сРдЕ cP0

+ — [е0 + ei cos (2/3Bz) + Зе2£о |<)£ = -R(d,(2.27)

diz cz

где в правой части стоит известная из нулевого приближения величина

(Ре^ cP0

R^ = ТТ + ^-[£° + £i cos (%z) + е^Е^Ео. az с2

Как известно, условием разрешимости неоднородного линейного уравнения (2.27) служит ортогональность его правой части R(z) решениям отвечающего (2.27) однородного уравнения 6Epz) (однородное уравнение самосопряженное)

R(z)dEo(z)dz = O.(2.28)

Вид функции 6Epz) может быть найден решением (2.27) в приближении медленно меняющихся амплитуд. Тем самым уравнение (2.28) позволяет найти координату центра солитона zo- Решение не может быть единственным, так как (2.28) сохраняется при сдвиге го на период решетки. Поэтому (2.28) дает дискретный и периодический (с периодом решетки) набор равновесных положений солитона, причем для чередующихся решений естественно полагать чередование устойчивости. Родственные рассуждения приложимы и к случаю движущихся брэгговских солитонов, причем здесь выявляется непараксиальный механизм потерь энергии солитона, связанный с движением. В строгом смысле слова устойчивые консервативные брэгговские солитоны неподвижны, тогда как диссипативные солитоны в решетках могут двигаться из-за компенсации потерь усилением.

Полупроводниковые микрорезонаторы

Представленная теория описывает не только световоды, но и широкий круг структур с брэгговским резонансным отражением. Как показано в [72], брэгговский резонанс в полупроводниковых структурах множественных квантовых ям может быть использован для быстрого (субпикосекундного) переключения. Важным примером более сложной геометрии служат полупроводниковые микрорезонаторы, эквивалентные интерферометрам Фабри-Перо, в которых зеркала заменены брэгговскими структурами. На рис. 2.9 показано продольное ступенчатое распределение показателя преломления, формирующее два связанных линейных микрорезонатора, а также соответствующие распределения напряженностей электрического и магнитного полей. Спектр пропускания этой системы, приведенный на рис. 2.10, демонстрирует обострение резонансов при увеличении числа пар слоев внешних зеркал, сопровождающимся увеличением их эффективного коэффициента отражения, а также сближение резонансов при увеличении числа пар слоев среднего зеркала.

Связанные световоды

Важный специальный случай периодического изменения показателя преломления отвечает системе слабо связанных одномодовых волноводов типа изображенной на рис. 2.11. Условие одномодовости, как пояснялось в разделе 2.2

Рис. 2.9. Профиль показателя преломления для двух связанных микрорезонаторов, характеризующихся фазовым набегом ф, коэффициентами отражения зеркал R и г и связанных средним зеркалом с коэффициентом пропускания t (сверху). Профили напряженностей электрического (сплошная линия) и магнитного (штриховая линия) полей (снизу). Показатели преломления принимают значения п\ = 1.45 (SiCy и ^2 =2.3 (ТЮ2) [73].

для одиночного световода, существенно упрощает анализ структуры поля, сводя геометрию схемы фактически к одномерной. Учет же слабой связи одномодовых световодов в приближении связанных мод приводит к замене единственного уравнения (2.7) на систему связанных уравнений для комплексных амплитуд мод различных световодов, вид которой зависит от типа нелинейности и режима излучения (непрерывный или импульсный). В данном случае имеет место одномерное поперечное периодическое изменение свойств схемы. В наиболее простом случае линейной системы одинаковых световодов, непрерывного (монохроматического) излучения и керровской нелинейности эти уравнения имеют вид [75]

Рис. 2.10. Спектры пропускания двух связанных микрорезонаторов. Внешние зеркала состоят из 6 (сплошные линии) или 3 (штриховые линии) пар слоев. Число пар слоев внутреннего зеркала: 2 (а), 4 (б) и 5 (в) [73].

Рис. 2.11. Система слабо связанных оптических волноводов на основе полимеров (перед нанесением полимерного покрытия), состоящая из 75 одномодовых волноводов [74].

/^ +М + С(АИ_! + Аи+1) + у|Аи|Х = 0. (2.29) az

Здесь Ап — амплитуда моды и-го волновода, параметры р и у имеют прежний смысл постоянной распространения и эффективного коэффициента нелинейности, а новым параметром является коэффициент линейной связи волноводов С, причем считается, что такая связь реализуется только для соседних световодов. В идеальной периодической системе световодов с расстоянием между световодами А их число бесконечно. Если система конечна, то вид граничных условий тем не менее может быть несущественным, например для светлых солитонов, у которых поле эффективно отлично от нуля только в ограниченном числе световодов.

Систему (2.29) называют дискретным нелинейным уравнением Шредингера. Она переходит в обычное нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) в так называемом континуальном пределе. В этом пределе (2.29) трактуется как конечно-разностная аппроксимация континуального НУШ с заменой дифракционного члена

d A An-i — 2АИ + АИ+1

дх2 h2 ’

где Ап = А(х = пК) и h — шаг дискретизации. Противоположный (антиконти- нуальный) предел С = 0 отвечает несвязанным световодам. Дискретное НУШ (2.29) обладает двумя интегралами движения, отвечающими сохранению полной мощности Р и величины Н, где

р=е 1л«|2’ я=X й^2+cia» -^-ii2 - iri^i4

В импульсном режиме существен учет дисперсии, для чего (2.29) следует дополнить членами с временными производными. Уже для трех связанных нелинейных световодов система (2.29) не решается аналитически и может обладать даже хаотической динамикой [76, 77]. Прежде чем перейти к представлению результатов численных расчетов, обсудим качественные отличия, вносимые периодичностью и дискретностью рассматриваемой системы, по сравнению со случаем однородной среды.

Напомним, что интересующая нас система служит частным случаем периодических систем. Поэтому в линейном режиме (слабое излучение, предел у —> 0) к ней также применима общая теория Флоке-Блоха. В линейном случае (2.29) имеет простое решение с дискретными функциями Блоха в виде плоских волн с волновым вектором, наклоненным по отношению к основной оси распространения z (ввиду использования квазиоптического приближения угол наклона должен быть малым):

An(z) = A exp (inkxd + ik^zY (2.30)

После подстановки (2.30) в (2.29) получается следующее дисперсионное соотношение между продольной и поперечной компонентами волнового вектора [78]:

^ =^ + 2Ccos(M). (2.31)

Сравним (2.31) с соответствующим дисперсионным соотношением для случая однородной среды с постоянной диэлектрической проницаемостью £?о

= V^o"^ ” ^0 = - V^. (2.32)

Приближенное извлечение квадратного корня в (2.32) отвечает квазиоптиче- скому приближению. Основное отличие (2.31) от (2.32) связано с периодичностью зависимости ^fc) в первом случае, тогда как во втором случае эта зависимость монотонна. Это отвечает возникновению для периодической системы световодов зоны Бриллюэна, отвечающей неравенству

IMI < Л.

Дифракционный параметр, описывающий дифракцию в квазиоптическом приближении и определяемый как Do = d^kjdk^, для однородной среды постоянен и отрицателен, Do = -1До- Для периодической системы световодов Dq = -2СЛ2 cos fcA), т.е. этот параметр периодически зависит от кх и меняет знак. В квазиоптическом приближении дифракция вообще исчезает при кх = (л/2Л)(2и + 1) и становится аномальной в интервалах -тг/2 + пл < кхЛ < тг/2 + пл, п = 0, ±1, ±2, .... Этот эффект, означающий возможность управления характером дифракции в периодических средах, называется дискретной дифракцией.

Для линейной задачи решениями (2.29) будут служить и линейные комбинации дискретных блоховских функций, причем их следует выбирать так, чтобы на входе реализовался задаваемый профиль пучка излучения. Если, например, на входе возбуждается только один световод, то на конечном расстоянии г распределение интенсивностей мод 1п = \Ап^ определяется функцией Бесселя: In = loJ^Czd [18]. Видно, что, несмотря на поперечную периодичность показателя преломления, излучение с ростом г все более расплывается в поперечном направлении за счет перекачки мощности в периферийные световоды. Избежать такого расплывания можно в системе нелинейных световодов, к анализу которой мы и переходим.

Если амплитуды мод в соседних световодах достаточно близки, дискретное НУШ можно заменить его континуальным пределом классического НУШ. Соответствующее решение в виде светлого солитона имеет вид

An(zd = Aosch(X„/wo) exp (ф^ + 2zQ),

где Xn = nA — поперечная координата и-го световода, wq » Л — ширина дискретного солитона и sch(x) = l/ch(x) — гиперболический секанс. Такой солитон отвечает возбуждению большого числа световодов. При отказе от континуального режима численное решение (2.29) показывает возможность формирования весьма узких (локализованных только на нескольких световодах) солитонов с нулевой или ненулевой компонентой скорости движения

в поперечном направлении [75]. Для неподвижных солитонов известны два типа локализованных структур — четные и нечетные. Для четных структур максимум интенсивности достигается на двух соседних световодах и распределение поля (включая его фазу) симмметрично относительно средней координаты между этими световодами. Такие режимы оказываются неустойчивыми. Для нечетных структур максимум поля достигается только на одном световоде и разность фаз меняет знак при переходе через этот центральный световод, причем это устойчивые дискретные солитоны. Направление движения зависит от мощности излучения, что позволяет использовать дискретные солитоны для оптического переключения и управления направлением пучков (см., например, [79]). Ниже мы приведем численные результаты для систем связанных световодов с нелинейным усилением и поглощением, но сначала рассмотрим несколько иной подход, позволяющий более точно описать зонную структуру периодической системы световодов и подчеркивающий принадлежность дискретных систем к фотонным кристаллам [80].

Схема отвечает периодической системе тонкопленочных планарных нелинейных волноводов, вдоль оси которых z, распространяется монохроматическое излучение с частотой що- В направлении у волноводы считаются одномодовыми и соответствующая зависимость исключается так же, как в разделе 2.2. Исходным служит квазиоптическое уравнение для огибающей поля, которое в безразмерной форме имеет следующий вид:

А

i^ + ^ + F(Z,x)A = 0.(2.33)

ox2

Здесь I = |А|2 — безразмерная интенсивность излучения, а вещественная функция F(7, х) описывает периодическое по поперечной координате линейное и квадратичное по амплитуде поля нелинейное изменение диэлектрической проницаемости среды. Для структур излучения с неизменным поперечным профилем можно положить A(x,z) = w(x) exp (/Дг), после чего (2.33) превращается в нелинейное уравнение Хилла

сРи

— + ру, х^и = Ри.(2.34)

ах2

Приближение периодической (с периодом А) системы бесконечно тонких нелинейных слоев отвечает записи Р(1, х) в форме суммы дельта-функций:

ЕЦ, х) = X ^ + пЛ^(2-35)

За счет нормировки интенсивности коэффициент у = +1 для самофокуси- ровочной нелинейности иу = -1 для самодефокусировочной нелинейности. Соотношение (2.35) может быть уточнено за счет введения дополнительных линейных тонких слоев, промежуточных между нелинейными слоями [80].

Модель (2.34), (2.35) более точно, чем (2.29), описывает зонную структуру периодической системы и допускает приближенное аналитическое решение

х + h/2х

Рис. 2.12. Полная мощность в зависимости от постоянной распространения для нечетных (сплошная линия) и четных (штриховая линия) солитонов в самофокусировочной среде (сверху). Штриховка отмечает полосу пропускания. Внизу показаны профили интенсивности локализованных мод, отвечающие отмеченным точкам (а) и (б). Кружки представляют аналитическую аппроксимацию амплитуд в узлах [80].

в ряде предельных случаев [18]. На рис. 2.12 приведены примеры дискретных солитонов, получаемых в рамках этой модели для самофокусировочной нелинейности. Здесь четные структуры также оказываются неустойчивыми. Устойчивые нечетные солитоны отвечают нахождению частоты в запрещенной зоне, что обеспечивает локализацию (экспоненциальное убывание поля на периферии солитона).

Аналогичные структуры найдены и для самодефокусировочной нелинейности (рис. 2.13). Четные структуры здесь по-прежнему неустойчивы, а нечетные могут становиться неустойчивыми при превышении интенсивностью критического значения.

Если в однородной керровской среде связанные состояния солитонов невозможны, то в керровской среде с периодическим изменением такие состояния могут становиться устойчивыми. Они отвечают противофазной комбинации двух светлых дискретных солитонов и называются сцепленными модами. На рис. 2.14 и 2.15 показаны соответствующие результаты для случаев самофокусировочной и самодефокусировочной нелинейностей. Видно, что имеются широкие области устойчивости таких режимов, расположенные вне области пропускания. Неустойчивость (изображена пунктиром) может иметь колебательный характер.

Эксперименты по консервативным дискретным солитонам. Эксперименты выполнялись на материале AlGaAs [81], а также на полимерных материа-

х + h/2х

Рис. 2.13. То же, что на рис. 2.12, для среды с самодефокусировочной нелинейностью [80].

Рис. 2.14. Мощность солитона в зависимости от постоянной распространения для нечетных (сплошная линия) и четных (штриховая линия) сцепленных солитонов в самофокусировочной среде (сверху). Штриховка отмечает полосу пропускания. Внизу показаны профили амплитуды локализованных мод, отвечающих отмеченным точкам (а) и (б) [80]. '

XX

Рис. 2.15. То же, что на рис. 2.14, для среды с нелинейностью самодефокусировочного типа [80].

лах [74]. Схема установки показана на рис. 2.16. В экспериментах на основе AlGaAs система одномодовых волноводов шириной 4 мкм создавалась методом ионного травления. Система состояла из нескольких десятков волноводов с составом Alo i8Gao,82As, разделенных оболочкой, включающей 24% А1. Управление связью между соседними волноводами достигалось изменением расстояния между волноводами в диапазоне от 2 до 7 мкм. Схема всего волновода показана на вставке к рис. 2.16. Для формирования дискретных солитонов использовался синхронно накачиваемый оптический параметрический генератор. Он излучал импульсы длительностью от 100 до 200 фс, центральная длина волны которых перестраивалась в области 1.5 мкм. Максимально доступная пиковая мощность составляла 1.5 кВт.

Входной пучок фокусировался в единственный волновод системы длиной 6 мм. Распределение интенсивности на выходе представлено на рис. 2.17 при трех уровнях входной мощности: 70, 320 и 500 Вт. При мощности 70 Вт распространение было практически линейным и пучок расширялся, охватывая более 30 волноводов (рис. 2.17а). Из этого распределения интенсивности можно найти коэффициент связи между волноводами. При возрастании мощности выходной пучок распространялся на несколько волноводов (рис. 2.176), пока наконец не был максимально ограничен пятью волноводами в режиме дискретного солитона при мощности 500 Вт (рис. 2.17в). Эксперименты находятся в хорошем согласии с результатами расчетов.

Весьма перспективным представляется использование дискретных солитонов для обработки информации в двумерных сетях нелинейных волноводов, предложенное в работах [82, 83]. Такая сеть состоит из ряда ветвей, обра-

СД. 50/50 %СД. 50/50 %Об.х40Об.х40О6.Х25О6.Х25Рис. 2.16. Экспериментальная установка для наблюдения дискретных солитонов. На вставке схематически показана конструкция волновода [81].Рис. 2.16. Экспериментальная установка для наблюдения дискретных солитонов. На вставке схематически показана конструкция волновода [81].

СД. 50/50 %

СД. 50/50 %

Об.х40

Об.х40

О6.Х25

О6.Х25

Рис. 2.16. Экспериментальная установка для наблюдения дискретных солитонов. На вставке схематически показана конструкция волновода [81].

Рис. 2.16. Экспериментальная установка для наблюдения дискретных солитонов. На вставке схематически показана конструкция волновода [81].

зованных идентичными регулярно расположенными одномодовыми световодами, разделенными расстоянием Л. В одной из ветвей сети возбуждается дискретный солитон, перекрывающий 5—7 световодов. Наложением наклона волнового фронта солитон можно заставить двигаться вдоль любой ветви сети. Существенным вопросом являются потери энергии солитона при резких изгибах световодов. Этот вопрос исследовался с помощью численного моделирования [82]; результаты для изгибов на 120° и 90° представлены на рис. 2.18. Потери при изгибах оказываются весьма малыми: (менее 0,7 % при угле изгиба 120° и 5% при изгибе на 90°). Более того, эти потери можно почти полностью устранить модификацией узлов соединения, внося в них соответствующий дефект [84]. В результате сигналы на основе дискретных солитонов могут практически без потерь перемещаться управляемым обра-

* -■■■■— — —.

-■ ■..

■

Рис. 2.17. Изображения выходной грани системы волноводов с длиной 6 мм с расстоянием между волноводами 4 мкм при входной пиковой мощности 70 (а), 320 (б) и 500 Вт (в) [81].

Y, мкмY, мкм

Y, мкм

Y, мкм

Рис. 2.18. а — дискретный солитон, распространяющийся вдоль 120-градусного изгиба; б — интенсивность солитона после прохождения изгиба; в — то же, что на а, но для 90-градусного изгиба; г — интенсивность солитона после изгиба вдоль вертикальной ветви [82].

зом по всей двумерной сети нелинейных волноводов. Недавние обзоры достигнутых результатов содержатся в [85, 86].

Еще одним перспективным направлением создания и применения дискретных солитонов служат волноводы, оптически наведенные в фоторефрак- тивных кристаллах [87]. Волноводы формируются в сильно анизотропном кристалле интерференцией нескольких плоских волн с поляризацией, отвечающей пренебрежимо слабой нелинейности, чтобы исключить нелинейные искажения создаваемых волноводов. Сигнальное излучение обладает поляризацией, отвечающей максимальной нелинейности; при этом оно подвержено и действию периодической модуляции показателя преломления, созданной интерферирующими плоскими волнами.

Экспериментально такая схема реализована в кристалле SBN длиной 6 мм, и результаты показаны на рис. 2.19. На входе лазерный пучок возбуждал один волновод. Уровень нелинейности регулировался внешним электрическим напряжением. При слабой нелинейности (напряжение 200 В) сигнальный пучок демонстрирует линейную дискретную дифракцию. Сильно локализованный дискретный солитон формировался при напряжении 1000 В, причем поля в соседних волноводах были противофазны.

Другой важный класс локализованных структур излучения представляют диссипативные дискретные солитоны. В [88] анализ таких структур, состоящих из слабо связанных одномодовых световодов с нелинейным усилением и поглощением, выполнялся с использованием модельной нелинейности третьей-пятой степени. Реалистичней представляется использование более стандартного вида насыщения нелинейности [19, 29], когда система управ-

600 в600 в1000 в1000 вРис. 2.19. Формирование дискретного солитона в оптически наведенной системе волноводов при усилении самофокусировочной нелинейности приложением внешнего электрического напряжения от 200 (А, Б) до 1000 В (Д, Е). Слева показаны фотографии выходной грани кристалла, справа — разрез соответствующих профилей интенсивности [87].Рис. 2.19. Формирование дискретного солитона в оптически наведенной системе волноводов при усилении самофокусировочной нелинейности приложением внешнего электрического напряжения от 200 (А, Б) до 1000 В (Д, Е). Слева показаны фотографии выходной грани кристалла, справа — разрез соответствующих профилей интенсивности [87].

600 в

600 в

1000 в

1000 в

Рис. 2.19. Формирование дискретного солитона в оптически наведенной системе волноводов при усилении самофокусировочной нелинейности приложением внешнего электрического напряжения от 200 (А, Б) до 1000 В (Д, Е). Слева показаны фотографии выходной грани кристалла, справа — разрез соответствующих профилей интенсивности [87].

Рис. 2.19. Формирование дискретного солитона в оптически наведенной системе волноводов при усилении самофокусировочной нелинейности приложением внешнего электрического напряжения от 200 (А, Б) до 1000 В (Д, Е). Слева показаны фотографии выходной грани кристалла, справа — разрез соответствующих профилей интенсивности [87].

ляющих уравнений (2.29) заменяется следующей:

z—;—^ рАп + C(An-i + Aw+i) + /(|А„|2)А„ = 0,

где

При д = 0 мы вновь получим случай керровской нелинейности и дискретное НУШ (2.29). Новыми параметрами являются ао и go — коэффициенты линейного усиления и поглощения и b — отношение интенсивностей насыщения усиления и поглощения. При ^ = 1 продольная координата г нормирована на длину нерезонансного поглощения.

На представленных ниже рисунках распределения интенсивностей и фаз мод в зависимости от номера солитона N соединены для удобства сплошными линиями. Прежде всего, отметим специфику волн переключения в периодических системах. Под волной переключения мы будем понимать пространственно-неоднородное распределение типа фронта, типичное для широкого круга оптических бистабильных систем [19, 25]. В обычных (однородных) бистабильных системах скорость фронта волны переключения является знакопеременной функцией контрольного параметра, например коэффициента усиления, обращающейся в нуль при одном (“максвелловском”) его значении [25]. Однако это не так в периодически неоднородных системах, в которых скорость волны переключения обращается в нуль в целом диапазоне

значений контрольного параметра [39]. В рассматриваемом случае такой эффект также имеет место. Это видно из приведенных на рис. 2.20 структур, полученных при различных значениях ширины начального распределения. Особенностью дискретных солитонов является резкое (близкое к л) изменение фаз в соседних волноводах, что не имеет аналога в континуальном пределе. Меняя значение коэффициента усиления, можно получить волны переключения, фронт которых движется в ту или иную сторону (рис. 2.21). Естественно, что для периодических структур невозможен реализующийся для однородных систем вариант структур с эволюцией, отвечающей простому переносу, типа Е = Е(х - vz). Движение всегда сопровождается модуляцией с периодом, отвечающим периоду системы. Отметим также видные на рис. 2.21 осцилляции интенсивности вблизи фронта движущейся волны переключения.

Перейдем теперь к локализованным (солитоноподобным) диссипативным структурам. На рис. 2.22 представлены два типа установившихся поперечно неподвижных солитонов с малым изменением фазы у соседних волноводов. Для первого типа (а) максимум интенсивности достигается на одном волноводе, а для второго типа (б) — на двух соседних волноводах. Этот вариант примыкает к континуальному пределу, хотя ширина распределения поля не столь велика. Наконец, на рис. 2.23 изображено установившееся поперечное движение дискретного диссипативного солитона. Фаза от волновода к волноводу меняется сравнительно слабо, хотя солитон обладает небольшой шириной. Здесь также видны периодические изменения формы движущегося солитона.

Таким образом, в рассматриваемой системе реализуются локализованные структуры поля как родственные известным в однородных системах, так и не имеющие аналогов, с почти противофазным распределением полей в соседних волноводах. Напомним, что дискретные диссипативные солитоны, как и другие диссипативные солитоны, обладают повышенной устойчивостью к шумам, что и определяет их потенциал для информационных приложений. Кроме того, как и в случае брэгговских солитонов, поперечное движение консервативных дискретных солитонов приводит к потерям их энергии и торможению такого движения, тогда как для аналогичных диссипативных солитонов потери энергии компенсируются усилением и возможным становится поперечное движение с периодически меняющейся формой солитонов. Это обстоятельство важно для реализации поперечных сдвигов массивов солитонов, которыми кодируется распределенная в сечении системы волноводов информация.

Двумерные фотонные кристаллы

Наиболее распространенные типы современных двумерных фотонных кристаллов можно моделировать решетками цилиндров, оптические свойства которых отличаются от свойств окружающей среды, а оси параллельны друг

Рис. 2.20. Установившиеся профили интенсивности (сплошные линии) и фазы (штриховые линии) для трех пар неподвижных волн переключения, формирующихся при начальном возбуждении различной ширины (ширина возрастает от а к в).

ДРУГУ- Практически их можно получить, формируя лазерным излучением либо разрежения в однородной среде, которые далее могут быть заполнены другой средой, либо, напротив, сгущения в фотополимеризующейся среде. Примеры таких идеальных двумерных фотонных кристаллов представлены на рис. 2.24 для цилиндров одного (а) и двух (б) типов. На рис. 2.25 изображены также трехмерные фотонные кристаллы типа “поленицы”, которые изготавливаются послойно с периодическим изменением направления осей цилиндров. В линейном режиме высокая дисперсия фотонных кристаллов приводит к возможности построения “суперпризм” с аномально высокой чувствительностью угла отклонения к длине волны излучения. В фотонном кристалле, как и в дифракционной решетке, можно управлять распределением излуче-

бб1 -I1 -I20020010010000ввФ300Ф3000 0100 200 300 й0 0100 200 300 й0.5 Ч0.5 Ч-100-100z = 40z = 40ф200100О-100ф200100О-100О 100 200 300 иО 100 200 300 иРис. 2.21. Мгновенные профили интенсивности (сплошные линии) и фазы (штриховые линии) фронта движущихся направо (a, g0 =2.09) и налево (б, g0 =2.113) волн переключения.Рис. 2.21. Мгновенные профили интенсивности (сплошные линии) и фазы (штриховые линии) фронта движущихся направо (a, g0 =2.09) и налево (б, g0 =2.113) волн переключения.Рис. 2.22. Установившиеся профили интенсивности (сплошные линии) и фазы (штриховые линии) для двух типов неподвижных диссипативных дискретных солитонов.Рис. 2.22. Установившиеся профили интенсивности (сплошные линии) и фазы (штриховые линии) для двух типов неподвижных диссипативных дискретных солитонов.

б

б

1 -I

1 -I

200

200

100

100

0

0

в

в

Ф

300

Ф

300

0 0100 200 300 й

0 0100 200 300 й

0.5 Ч

0.5 Ч

-100

-100

z = 40

z = 40

ф

200

100

О

-100

ф

200

100

О

-100

О 100 200 300 и

О 100 200 300 и

Рис. 2.21. Мгновенные профили интенсивности (сплошные линии) и фазы (штриховые линии) фронта движущихся направо (a, g0 =2.09) и налево (б, g0 =2.113) волн переключения.

Рис. 2.21. Мгновенные профили интенсивности (сплошные линии) и фазы (штриховые линии) фронта движущихся направо (a, g0 =2.09) и налево (б, g0 =2.113) волн переключения.

Рис. 2.22. Установившиеся профили интенсивности (сплошные линии) и фазы (штриховые линии) для двух типов неподвижных диссипативных дискретных солитонов.

Рис. 2.22. Установившиеся профили интенсивности (сплошные линии) и фазы (штриховые линии) для двух типов неподвижных диссипативных дискретных солитонов.

ния по порядкам дифракции. Это позволяет реализовать, например, аналог среды с “отрицательным показателем преломления”, что полезно для ряда приложений. Весьма перспективны для приложений и нелинейные фотонные кристаллы.

Для получения достаточно широких запрещенных зон показатель преломления цилиндров выбирается существенно отличающимся от показателя преломления среды. Это обстоятельство исключает возможность применения теории возмущений по глубине модуляции показателя преломления уже в линейном режиме. В частном случае распространения излучения вдоль оси

(а)(а)Рис. 2.23. Мгновенные профили интенсивности (сплошные линии) и фазы (штриховые линии) движущегося диссипативного дискретного солитона; продольная координата изменяется от профиля к профилю на 5г = 6.Рис. 2.23. Мгновенные профили интенсивности (сплошные линии) и фазы (штриховые линии) движущегося диссипативного дискретного солитона; продольная координата изменяется от профиля к профилю на 5г = 6.Рис. 2.24. Двумерные фотонные кристаллы, формируемые цилиндрами одного (а) или двух (б) типов.Рис. 2.24. Двумерные фотонные кристаллы, формируемые цилиндрами одного (а) или двух (б) типов.

(а)

(а)

Рис. 2.23. Мгновенные профили интенсивности (сплошные линии) и фазы (штриховые линии) движущегося диссипативного дискретного солитона; продольная координата изменяется от профиля к профилю на 5г = 6.

Рис. 2.23. Мгновенные профили интенсивности (сплошные линии) и фазы (штриховые линии) движущегося диссипативного дискретного солитона; продольная координата изменяется от профиля к профилю на 5г = 6.

Рис. 2.24. Двумерные фотонные кристаллы, формируемые цилиндрами одного (а) или двух (б) типов.

Рис. 2.24. Двумерные фотонные кристаллы, формируемые цилиндрами одного (а) или двух (б) типов.

двумерной системы параллельных цилиндров — одномодовых волноводов со слабой связью — допустим переход к дискретному описанию, представленному в предыдущем разделе. При этом естественным образом учитывается

Рис. 2.25. Фрагмент трехмерного фотонного кристалла типа “поленицы”.

и нелинейность оптических сред, что позволяет описать двумерные дискретные солитоны. В общей ситуации дисперсионные разложения и структура зон двумерного линейного фотонного кристалла находятся численно с использованием теории Флоке-Блоха и разложением поля в спектр плоских волн. Более прост случай распространения монохроматического излучения с частотой со ортогонально осям цилиндров, когда электрическая напряженность направлена вдоль их осей, Е(г, Г) = Ке[егА(г)ехр(-/бЩ)]. Тогда решению подлежит скалярное уравнение Гельмгольца

V2A(r) + —s(r)A = 0.(2.36)

' с2

Если этот этап выполнен, то далее слабость нелинейно-оптических эффектов позволяет использовать для исследования солитонов тот или иной вариант теории возмущений по интенсивности излучения.

Важным свойством фотонных кристаллов служит возможность целенаправленного введения в них дефектов. Примером служит введение “дефектного стержня” с радиусом rd и диэлектрической проницаемостью 8d в двумерный фотонный кристалл с расстоянием между стержнями а. Это позволяют реализовать принципиально новый тип линейных фотонно-кристаллических волноводов на основе фотонной запрещенной зоны. Напомним, что в обычном волноводе используется явление полного внутреннего отражения, для чего показатель преломления сердцевины выбирается превышающим показатель преломления оболочки. В случае же фотонного кристалла и частоты излучения, лежащей в его запрещенной зоне, излучение будет локализованным около дефектного стержня, так как оно не может распространяться в совершенном кристалле без дефекта (с диэлектрической проницаемостью £?о(г))- Пространственное распределение диэлектрической проницаемости представляется в виде

£(г) = £0(г) + 68d(j\

где при выборе продольной оси координат вдоль оси дефектного стержня г

е zxГ >

[^-^oW, r<rd.

О О О О О О ОО О О О О О О

О О О О О О О

О О О О О О О

оооооооо о о о ^ ^ о о о ° ° °W®° ° ° ° ° °вВв° ° ° оооооооо оооооооо оооооооо

Рис. 2.26. Локализованная мода, поддерживаемая единственным дефектным стержнем с радиусом гd = 0.1а в двумерной решетке стержней с г0 = 0.18а и е0 = 11.56. Положение стержней указано кружками [89].

Теперь уравнение Гельмгольца (2.36) примет вид

V= + (^)2e„(r)V= + (^)2e„(r)СОА(г) = —-Ssa^A.С1СОА(г) = —-Ssa^A.С1(2.37)(2.37)

V= + (^)2e„(r)

V= + (^)2e„(r)

СО

А(г) = —-Ssa^A.

С1

СО

А(г) = —-Ssa^A.

С1

(2.37)

(2.37)

Определяем функцию Грина G(r, г'; со) стандартным соотношением

v! + (^)2*>v! + (^)2*>G(r, г'; со) = -£(г - г').G(r, г'; со) = -£(г - г').(2.38)(2.38)

v! + (^)2*>

v! + (^)2*>

G(r, г'; со) = -£(г - г').

G(r, г'; со) = -£(г - г').

(2.38)

(2.38)

Практически эту функцию нужно находить численно. Тогда уравнение (2.37) записывается в виде

А(г) = ^А(г) = ^G(r, г'; оД^Хг'Жг') d2r'.G(r, г'; оД^Хг'Жг') d2r'.

А(г) = ^

А(г) = ^

G(r, г'; оД^Хг'Жг') d2r'.

G(r, г'; оД^Хг'Жг') d2r'.

Численное решение этого интегрального уравнения позволяет найти профиль мод дефекта А(г). Пример такого решения приведен на рис. 2.26 для случая единственного дефектного стержня с тем же показателем преломления, что и у основных стержней, но с меньшим радиусом. Представленные контуры амплитуды поля подтверждают, что свет с частотой, лежащей внутри запрещенной зоны, локализован в области дефекта.

Такая локализация света дефектом предоставляет возможность формирования волноводов с уникальными свойствами. Это особенно актуально в связи с необходимостью резких изгибов световодов для создания компактных “интегральных оптических схем”. В обычном световоде, основанном на эффекте полного внутреннего отражения, на изгибе теряется значительная часть мощности излучения, которая вытекает из сердцевины и свободно распространяется в оболочке. Так как в волноводе на основе брэгговского отражения излучение с частотой, лежащей внутри запрещенной зоны, не может

распространяться в совершенном фотонном кристалле (вдали от дефекта), в нем потери излучения на изгибах резко уменьшаются. Как показывают расчеты [90] и эксперимент [91], в фотонно-кристаллических волноводах с радиусом изгиба, превышающим длину волны излучения, высокое пропускание достижимо почти для всех частот, отвечающих фотонной запрещенной зоне.

Неидеальные фотонные кристаллы

Выше были продемонстрированы последствия таких отклонений от идеальной схемы бесконечного фотонного кристалла, как учет его пространственной ограниченности, последовательное расположение нескольких ограниченных фотонных кристаллов (связанные микрорезонаторы) и введение отдельных дефектов в фотонные кристаллы. Интересно обобщение рассматриваемых структур на случай не периодического, а квазипериодического изменения характеристик среды. Это аналогично замене кристаллов на квазикристаллы, обладающие только дальним порядком [92]. Численное моделирование показывает возможность фотонных квазикристалов с запрещенной зоной [93, 94]. Примыкают к таким структурам изображенные на рис. 2.27 двумерные решетки Пенроуза, получаемые укладкой на плоскости ромбов двух типов с одинаковой длиной сторон. Хотя эта структура непериодическая, она обладает дальним порядком и вращательной симметрией 10-го порядка. Соответственно картина дифракции на такой решетке в дальней зоне обладает выраженными пиками. Эта картина (рис. 2.28) получена при освещении излучением гелий-неонового лазера образца кварца, в котором были вытравлены цилиндры с диаметром 3 мкм. Цилиндры расположены, как это указано на рис. 2.27, причем длины сторон ромбов составляют 10 мкм. Экспериментальные результаты хорошо согласуются с расчетом, в котором учитывается сравнительно небольшое (5) число векторов эффективной обратной решетки [95, 96].

В реальном фотонном кристалле строгая периодичность распределения показателя преломления нарушается, что ставит вопрос о сохранении запрещенной зоны в них. Для ответа на этот вопрос привлекается численное моделирование [97]. Более проста одномерная геометрия, для которой показатели преломления чередующихся слоев А и В определяются соотношением

«а,в = «о(1 + 5P)±g.

Здесь величина Р принимает случайные значения в диапазоне от -1/2 до 1/2. Тем самым глубина относительных флуктуаций задается параметром д.

В случайной структуре сохраняются моды излучения, но они обладают конечным временем жизни, что отвечает комплексности собственных частот. На рис. 2.29 представлены результаты расчета характеристик мод — вещественные части частот со и времена жизни т — для 1000 структур с различной степенью разупорядоченности б. Видно, что при б < 0.1 флуктуации сужают запрещенную зону, но сохраняют ее существование, тогда как при б > 0.15

частоты мод случайных микрорезонаторов заполняют уже всю зону. Зависимость от 5 столь резка, что практически можно говорить о пороге, причем согласно расчетам пороговое значение ^н ~ V№V^o)73. Сходные результаты справедливы и для двумерных разупорядоченных фотонных кристаллов [97]. В фотонном кристалле с хаотически распределенными вакансиями спектры пропускания содержат сравнительно узкие полосы, причем максимальное пропускание заметно ниже, чем при регулярном расположении вакансий (рис. 2.30).

Рис. 2.27. Двумерная решетка Пенроуза. Черные кружки отвечают полым цилиндрам. Широкие стрелки внизу указывают направление волнового вектора падающего света, черные стрелки и числа в скобках отвечают различным направлениям распространения света. Кривые слева и сверху представляют профили показателя преломления, усредненные по сечениям, ортогональным направлениям (00110) и (10000) [95].

Рис. 2.28. Дифракция света на двумерной решетке Пенроуза [95, 96].

Нелинейные двумерные фотонные кристаллы

Как указывалось выше, оптическая нелинейность может сделать возможным распространение излучения с частотой, даже отвечающей фотонной запре-

Рис. 2.29. Частоты собственных мод со и их времена жизни т для 1000 одномерных разупорядоченных структур с параметром относительных флуктуаций 6 = 0.035, 0.07, 0.1 и 0.15 [97].

Рис. 2.30. Двумерные фотонные кристаллы с хаотически распределенными вакансиями (сверху) и их спектры при концентрации вакансий 3 (а), 6.7 (б) и 8.3 % (в) (внизу, сплошные линии). Штриховые линии показывают спектры пропускания идеального фотонного кристалла, а пунктир — спектры структуры с одиночной вакансией [98].

щенной зоне. Это обстоятельство существенно для формирования двумерных солитонов в фотонных кристаллах с нелинейным показателем преломления.

В качестве примера удобно рассмотреть изображенный на рис. 2.246 фотонный кристалл, составленный из цилиндров (стержней) двух типов [99]. Цилиндры первого типа — линейные с радиусом го, а второго типа — нелинейные (керровская нелинейность), с радиусом гд. Нелинейные стержни можно трактовать как дефекты, погруженные в идеальную решетку линейных стержней. Используется обобщение системы дискретных НУШ (2.29) для амплитуд En,mto = ^(г^и,^) поля в месте расположения дефекта с индексами п,т;

дЕ^dzдЕ^dzЕщт + Jn-k,m-l^dQ + \Ek,l\ ^Е^д.Ещт + Jn-k,m-l^dQ + \Ek,l\ ^Е^д.(2.39)(2.39)

дЕ^dz

дЕ^dz

Ещт + Jn-k,m-l^dQ + \Ek,l\ ^Е^д.

Ещт + Jn-k,m-l^dQ + \Ek,l\ ^Е^д.

(2.39)

(2.39)

Коэффициенты связи Jn-k,m-i определяются функцией Грина идеальной решетки линейных стержней. Практически для получения достаточной точности требуется учитывать при суммировании не менее 10 соседних стержней. Введение в (2.39) дополнительного члена с временной производной позволяет рассматривать случай импульсов излучения, а также проверять устойчивость нелинейных структур поля. Результаты расчета двумерного солитона с частотой, лежащей в запрещенной зоне нелинейного фотонного кристалла, представлены на рис. 2.31. Как и следовало ожидать для консервативных систем, такие солитоны образуют семейство со сплошным спектром, например, максимальной интенсивности.

Нелинейные квазипериодические структуры исследованы еще недостаточно полно. Отметим здесь только существование квазипериодических параметрических солитонов в подобных системах с квадратичной оптической нелинейностью [100].

Еще одной важной областью применения нелинейных фотонных кристаллов служат микро структурированные оптические волокна. В них реализуется усиление нелинейно-оптических взаимодействий, что приводит ко многим практическим приложениям в области предельно коротких лазерных импуль-

оооооосооооооооооосооооооооооосооооооооооосооооооооооосооооооооооосоооооо о со о с0^0 о о0^0 о оо о со о со о со о сСТО о оСТО о оо о о о о ОС о о о о оо о о о о ОС о о о о ооооооосооооо ооооооооооо оооооосооооооооооосооооо ооооооооооо оооооосоооооРис. 2.31. Контуры интенсивности (слева) и объемный вид (справа) солитона с частотой, отвечающей запрещенной зоне двумерного фотонного кристалла [99].Рис. 2.31. Контуры интенсивности (слева) и объемный вид (справа) солитона с частотой, отвечающей запрещенной зоне двумерного фотонного кристалла [99].

оооооосооооо

оооооосооооо

оооооосооооо

оооооосооооо

оооооосооооо

оооооосооооо

о о с

о о с

0^0 о о

0^0 о о

о о с

о о с

о о с

о о с

СТО о о

СТО о о

о о о о о ОС о о о о о

о о о о о ОС о о о о о

оооооосооооо ооооооооооо оооооосооооо

оооооосооооо ооооооооооо оооооосооооо

Рис. 2.31. Контуры интенсивности (слева) и объемный вид (справа) солитона с частотой, отвечающей запрещенной зоне двумерного фотонного кристалла [99].

Рис. 2.31. Контуры интенсивности (слева) и объемный вид (справа) солитона с частотой, отвечающей запрещенной зоне двумерного фотонного кристалла [99].

сов, метрологии, биомедицины и фотохимии. Эти вопросы подробно рассматриваются в монографии [17].

Заключение

Представленные примеры показывают, что периодическое изменение оптических свойств среды или периодическое повторение в схеме каких-либо оптических элементов приводит к широкому кругу эффектов, полезных для использования в различных областях оптики. Уже в простейшем случае линейных систем и почти однонаправленного распространения излучения (вдали от возможных брэгговских резонансов) возникают области параметров, в которых такое распространение неустойчиво (зоны неустойчивости, или запрещенные зоны). Пространственная периодическая модуляция свойств среды ведет к возникновению существенной и управляемой частотной дисперсии и управляемой дифракции, что позволяет реализовать новые классы оптических устройств с уникальными характеристиками.

В значительной степени новые возможности связаны с прогрессом в технологии создания новых сред с периодическим изменением свойств, таких как фотонные кристаллы. По нашему мнению, к числу наиболее перспективных, хотя и требующих интенсивных дальнейших исследований, относятся нелинейно-оптические аспекты этого направления. Именно с нелинейнооптическими свойствами фотонных кристаллов можно связать новый всплеск интереса к оптической бистабильности, оптической памяти, переключению и чисто оптической обработке информации. В нелинейно-оптических фотонных кристаллах и микро структурированных волокнах существенно расширяются возможности преобразования частоты лазерного излучения и генерации предельно коротких импульсов. Особого упоминания заслуживают новые свойства солитонов в периодических структурах, включая солитоны с аномально малой групповой скоростью, а также возможности управления ими за счет контролируемой модуляции оптических свойств среды. Эти исследования ведутся широким фронтом в различных странах, что вызвано перспективностью разработок и революционными последствиями ожидаемых результатов [101].

Автор благодарен Н.В. Высотиной, А.М. Кокушкину, В.Е. Семенову, С.В. Федорову и А.Н. Шацеву за важную помощь при составлении данного обзора.

Список литературы

Л. Бриллюэн, М. Пароди: Распространение волн в периодических структурах (ИЛ, Москва 1959)

Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц: Электродинамика сплошных сред (Наука, Москва 1982)

Дж. Займан: Принципы теории твердого тела (Мир, Москва 1974)

М. Борн, Э. Вольф: Основы оптики (Наука, Москва 1970)

B.W. Shore, M.D. Perri, R.D. Boyd et al: J. Opt. Soc. Am. A 14, 1124 (1997)

В.Д. Винокурова , P.P. Герке: Опт. спектр. 83, 990 (1997)

В.Д. Винокурова, Р.Р. Герке, Е.Г. Салль, В.Е. Яшин: Опт. спектр. 93, 328 (2002)

K.J.K. Koerkamp, S. Enoch, ЕВ. Segerink, N.F. van Hulst, L. Kuipers: Phys. Rev. Lett. 92, 183901 (2004)

T.W. Ebbesen et al: Nature 391, 667 (1998)

В.И. Балакший, B.H. Парыгин, Л.Е. Чирков: Физические основы акустооптики (Радио и связь, Москва 1985)

А. Корпел: Акустооптика (Мир, Москва 1993)

В.Н. Парыгин, А.В. Вершубский: Опт. спектр. 93, 800 (2002)

G.P. Crawford: Opt. Photonic News 14, 54 (2003)

И.В. Пейсахсон: Оптика спектральных приборов (Машиностроение, Ленинград 1975)

К. Sakoda: Optical Properties of Photonic Crystals (Springer, Berlin 2001)

Nonlinear photonic crystals, ed by R.E. Slusher, В J. Eggleton (Springer, Berlin 2003)

A.M. Желтиков: Оптика микроструктурированных волокон (Наука, Москва 2004)

Yu.S. Kivshar, G.P. Agrawal: Optical Solitons. From Fibers to Photonic Crystals (Acad. Press, Amsterdam 2003) [готовится перевод: Ю.С. Кив- шарь, ГП. Агравал: Оптические солитоны. От волоконных световодов к фотонным кристаллам (Физматлит, Москва 2005)]

N.N. Rosanov: Spatial Hysteresis and Optical Patterns (Springer, Berlin 2002)

J. Salo, J. Fagerholm, A.T. Friberg, M.M. Salomaa: Phys. Rev. E 62, 4261 (2000)

K. Reivelt, P. Saari: J. Opt. Soc. Am. A 17, 1785 (2000)

Н.П. Розанов: УФН 175, (2005)

К. Busch, S.F. Mingaleev et al: J. Phys.: Cond. Matt. 15, R1233 (2003)

M.A. Леонтович: Изв. АН СССР, сер. физич. 8, 16 (1944)

[2 5] М.А. Леонтович, В.А. Фок: Изв. АН СССР, сер. физич. 16, 557 (1946)

М.Б. Виноградова, О.В. Руденко, А.П. Сухоруков: Теория волн (Наука, Москва 1979)

А.П. Сухоруков: Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике (Наука, Москва 1988)

С.Н. Власов, В.И. Таланов: Самофокусировка волн (ИПФ РАН, Н.Новгород 1997)

Н.Н. Розанов: Оптическая бистабильность и гистерезис в распределенных нелинейных системах (Наука, Москва 1997)

Н.Н. Розанов: Опт. спектр. 93, 808 (2002)

G.D. Boyd, Н. Kogelnik: Bell Sys. Tech. J. 41, 1347 (1962)

Д. Маркузе: Оптические волноводы (Мир, Москва 1974)

Ю.А. Ананьев: Оптические резонаторы и лазерные пучки (Наука, М., 1990)

Ю.А. Ананьев: Оптические резонаторы и проблема расходимости лазерного излучения (Наука, Москва 1979)

В.П. Быков, О.О. Силичев: Лазерные резонаторы (Физматлит, Москва 2003)

[3 6] В.Н. Кудашов, А.Б. Плаченов, А.М. Радин: Опт. спектр. 93, 843 (2002)

[3 7] Н.Н. Розанов: Опт. спектроск. 95, НО (2003)

Г. Агравал: Нелинейная волоконная оптика (Мир, Москва 1996)

Н.Н. Розанов, В.Е. Семенов, Г.В. Ходова: Квант, электрон. 10, 2355 (1983)

Н.Н. Розанов: Опт. спектроск. 97, 533 (2004)

http://www.marconi.com, Ultra Long-Haul Photonic Line System (June 2004)

В.Н. Беспалов, В.Н. Таланов: Письма в ЖЭТФ 3, 471 (1966)

С.Н. Власов: Квант, электрон. 3, 451 (1976)

С.Н. Власов: Письма в ЖТФ 4, 795 (1978)

Н.Н. Розанов, В.А. Смирнов: Письма в ЖТФ 5, 544 (1979)

Н.Н. Розанов, В.А. Смирнов: Квант, электрон. 7, 410 (1980)

J.A. Armstrong, N. Bloemmergen, J. Ducuing, P.S. Pershan: Phys. Rev. 127, 1918 (1962)

R.L. Byer: J. Nonlinear Opt. Phys, and Materials 6, 549 (1997)

A.C. Чиркин, Д.Б. Юсупов: Квант, электрон. 9, 1625 (1982)

С.В. Clausen, О. Bang, Yu.S. Kivshar: Phys. Rev. Lett. 78, 4749 (1997)

Н.Н. Розанов: Опт. спектр. 98, (2005)

R. Kashyap: Fiber Bragg Gratings (Acad. Press, San Diego 1999)

A. Othonos, K. Kalli: Fiber Bragg Gratings (Artec House, Boston 1999)

A.B. Aceves, S. Wabnitz: Phys. Lett. A 141, 37 (1989)

G.P. Agrawal: Applications of Nonlinear Fiber Optics (Acad. Press, San Diego 2001)

Ю.И. Волощенко, Ю.Н. Рыжов, В.Е. Сотин: ЖТФ 51, 902 (1981)

D.N. Christodoulides, R.L Joseph: Phys. Rev. Lett. 62, 1746 (1989)

8] J. Feng, F.K. Kneubiihl: IEEE J. Quantum Electron. 29, 590 (1993)

C. Conti, S. Trillo: Phys. Rev. E 64, 036617 (2001)

TV. Barashenkov, D.E. Pelinovsky, E.V. Zemlyanaya: Phys. Rev. Lett. 80, 5117 (1998)

R.H. Goodman, R.E. Slusher, M.I. Weinstein: J. Opt. Soc. Am. В 19, 1635 (2002)

B.J. Eggleton, C.M. de Sterke, R.E. Slusher: J. Opt. Soc. Am. В 16, 587 (1999)

B.J. Eggleton, R.R. Slusher, C.M. de Sterke, P.A. Krug, J.E. Sipe: Phys. Rev. Lett. 76, 1627 (1996)

H.G. Winful, V. Perlin: Phys. Rev. Lett. 84, 35 86 (2000)

H.G. Winful, J.H. Marburger, E. Garmire: Appl. Phys. Lett. 35, 379 (1979)

H.G. Winful, G.D. Cooperman: Appl. Phys. Lett. 40, 298 (1982)

N.G.R. Broderick, D. Taverner, D.J. Richardson: Opt. Expr. 3, 447 (1998)

D. Taverner, N.G.R. Broderick, D.J. Richardson, R.I. Laming, M. Isben: Opt. Lett. 23,328 (1998)

S. Lee, S.T. Ho: Opt. Lett. 18, 962 (1993)

D. Taverner, N.G.R. Broderick, D.J. Richardson, M. Isben, R.I. Laming: Opt. Lett. 23,259 (1998)

R.H. Goodman, M.I. Weinstein, P.J. Holmes: J. Nonlinear Sei. 11, 123 (2001)

M. Schaarschmidt, J. Forstner, A. Knorr, J.P. Prineas, N.C. Nielsen, J. Kuhl, G. Khitrova, H.M. Gibbs, H. Giessen, S.W. Koch: Phys. Bev. В 70, 233302 (2004)

M.A. Калитеевский: ФТТ 68, 94 (1998)

T. Pertsch, T. Zentgraf, U. Peschel, A. Brauer, F. Lederer: Phys. Rev. Lett. 88, 93901 (2002)

D.N. Christodoulides, R.J. Joseph: Opt. Lett. 13, 794 (1988)

M.I. Molina, G.P. Tsironis: Phys. Rev. A 46, 1124 (1992)

N. Finlayson, KJ. Blow, L.J. Bernstein, K.W. DeLong: Phys. Rev. A 48, 3 863 (1993)

S. Somekh, E. Garmire, A. Yariv, H.L. Garvin, R.G. Hunsperger: Appl. Phys. Lett. 22,46 (1973)

A.B. Aceves, C. De Angelis, S. Trillo, S. Wabnitz: Opt. Lett. 19, 332 (1994)

A.A. Sukhorukov, Yu.S. Kivshar: Phys. Rev. E 65, 036609 (2002)

H.S. Eisenberg, Y. Silberberg, R. Morandotti, A.R. Boyd, J.S. Aitchison: Phys. Rev. Lett. 81, 33 83 (1998)

D.N. Christodoulides, E.D. Eugenieva: Phys. Rev. Lett. 87, 233901 (2001)

E.D. Eugenieva, N.K. Efremidis, D.N. Christodoulides: Opt. Photon. News 12, 57 (2001)

E.D. Eugenieva, N.K. Efremidis, D.N. Christodoulides: Opt. Lett. 26, 1978 (2001)

D.N. Christodoulides, F. Lederer, Y. Silberberg: Nature 424, 817 (2003)

D. K. Campbell, S. Flach, Yu. S. Kivshar: Physics Today 43 (January 2004)

J.W. Fleischer, T. Carmon, M. Segev, N.K. Efremidis, D.N. Christodoulides: Phys. Rev. Lett. 90 (2003)

[8 8] N.K. Efremidis, D.N. Christodoulides: Phys. Rev. E 67, 026606 (2003)

S.F. Mingaleev, Yu.S. Kivshar, R.A. Sammut: In Soliton-driven Photonics, A.D. Boardman, A.P. Sukhorukov, Eds. (Kluwer, Dordrecht 2001), pp. 487504

A. Mekis, J.C. Chen, I. Kurland, S. Fan, P.R. Villeneuve, J.D. Joannopoulos: Phys. Rev. Lett. 77, 3787 (1996)

M. Tokushima, H. Kosaka, A. Tomita, H. Yamada: Appl. Phys. Lett. 76, 952 (2000)

D. Shechtman, I. Blech, D. Gratis, J.W. Canh: Phys. Rev. Lett. 53, 1951 (1984)

М.Е. Zoorob, M.D.B. Charlton, GJ. Parker, JJ. Baumberg, M.C. Netti: Nature 404,740 (2000)

M.A. Kaliteevski, S. Brand, R.A. Abram, T.F. Krauss, R. De La Rue, P. Millar: J. Mod. Opt. 48, 9 (2001)

M.A. Kaliteevski, S. Brand, R.A. Abram, T.F. Krauss, R. De La Rue, P. Millar: J. Phys.: Cond. Matt. 13, 10459 (2001)

M.A. Kaliteevski, S. Brand, R.A. Abram: J. Mod. Optics 16, 1269 (2004)

M.A. Калитеевский, В.В. Николаев: ФТТ в печати (2004)

M.A. Kaliteevski, J.M. Martinez, D. Cassagne, J.P. Albert: Phys. Rev. В 66, 113101 (2002)

S.F. Mingaleev, Yu.S. Kivshar: Phys. Rev. Lett. 86, 5474 (2001)

C.B. Clausen, Yu.S. Kivshar, O. Bang, P.L. Christiansen: Phys. Rev. Lett. 83, 4740 (1999)

M. Soljacic, J.D. Joannopoulos: Nature Materials 3, 211 (2004)

Оптика квантовых ям и сверхрешеток

Е.Л. Ивченко

Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН ivchenkoQcoherent.ioffе.ru

Классификация гетероструктур

В настоящее время сложилась устойчивая терминология низкоразмерной физики полупроводников. Перечислим и кратко охарактеризуем различные гетероструктуры и сверхрешетки, указывая в скобках соответствующий термин и сокращение на английском языке.

Систематику удобно начать с одиночного гетероперехода между двумя композиционными материалами — полупроводниками А и В (single heterojunction). Один или оба композиционных материала могут быть твердыми растворами, например, Ali_xGaxAs или Cd]vMnvTc. Приведем примеры гетеропар A/В: GaAs/Ali_xGaxAs, Ini-^Al^As/Gai-^Al^As, InAs/AlSb, Gai_xInxAs/InP, CdTc/CdlvMnvTc, Zni-^Cd^Se/ZnS^Sei-^, ZnSe/BeTe, ZnSe/GaAs, Sii_xGex/Si и т.д. Здесь индексы х, 1 - х или у, 1 - у означают долю атомов определенного сорта в узлах кристаллической решетки или какой-либо из подрешеток. По определению, в гетеропереходах типа I запрещенная зона Eg одного из композиционных материалов лежит внутри запрещенной зоны другого материала. В этом случае потенциальные ямы для электронов или дырок расположены в одном и том же слое, например, внутри слоя GaAs в гетеро структуре GaAs/Ali_xGaxAs с х < 0.4. Пусть материал А характеризуется меньшей запрещенной зоной, т.е. Е^ < Е^. Тогда высота потенциального барьера на интерфейсе A/В составляет Vc = Е^ - Е^ для электронов и 14 = Е^ -Е^ для дырок, где EJC,EJV — энергетическое положение дна зоны проводимости с и потолка валентной зоны v в материале / = А, В. Сумма Vc + Vh равна разности Е^-Е^. В широко применяемой гетеросистеме GaAs/Ali_xGaxAs отношение потенциальных барьеров 14/14 составляет 1.5.

В структурах типа II дно зоны проводимости Ес ниже в одном, а потолок валентной зоны Ev выше в другом материале, как в случае GaAs/Ali_xGaxAs с х > 0.4, InAs/AlSb или ZnSe/BeTe. Для указанных гетеропар запрещенные зоны Е^ и Е^ перекрываются. Имеются также гетеропереходы типа II (например, InAs/GaSb), у которых запрещенные зоны не перекрываются и дно зоны проводимости в одном материале лежит ниже потолка валентной зоны в другом материале. К типу III относят гетеропереходы, в которых один из слоев является бесщелевым, как в случае пары HgTe/CdTe.

К

(а)(а)(Ь)(Ь)Рис. 3.1. Зонная схема структуры с одиночной квантовой ямой (а) и одиночным барьером (b). Veih — высота потенциального барьера (или разрыв зон) на интерфейсе в зоне проводимости и валентной зоне соответственно.Рис. 3.1. Зонная схема структуры с одиночной квантовой ямой (а) и одиночным барьером (b). Veih — высота потенциального барьера (или разрыв зон) на интерфейсе в зоне проводимости и валентной зоне соответственно.

(а)

(а)

(Ь)

(Ь)

Рис. 3.1. Зонная схема структуры с одиночной квантовой ямой (а) и одиночным барьером (b). Veih — высота потенциального барьера (или разрыв зон) на интерфейсе в зоне проводимости и валентной зоне соответственно.

Рис. 3.1. Зонная схема структуры с одиночной квантовой ямой (а) и одиночным барьером (b). Veih — высота потенциального барьера (или разрыв зон) на интерфейсе в зоне проводимости и валентной зоне соответственно.

Двойной гетеропереход В/А/В (double heterojunction) типа I представляет собой структуру с одиночной квантовой ямой, если Е^ < Е^ (single quantum well (SQW), рис. 3.1a), или структуру с одиночным барьером, если Е^ > Е^ (рис. 3.1b). В широком смысле квантовой ямой называют систему, в которой движение свободного носителя, электрона или дырки, ограничено в одном из направлений. В результате возникает пространственное квантование и энергетический спектр по одному из квантовых чисел из непрерывного становится дискретным. Ясно, что двойная гетеро структура типа II является структурой с одиночной квантовой ямой для одного сорта частиц, скажем, для электронов, и структурой с одиночным барьером для носителя заряда противоположного знака. Наряду с прямоугольными квантовыми ямами, представленными на рис. 3.1, можно выращивать ямы другого профиля, в частности параболического или треугольного.

Рис. 3.2. Зонная схема периодической структуры с квантовыми ямами (если барьеры широкие) или сверхрешетки (если барьеры тонкие).

Естественным развитием однобарьерной структуры являются двух- (double-) и трехбарьерные (triple-barrier) структуры. Аналогично от одиночной квантовой ямы естественно перейти к структуре с двумя (double QWs) или тремя (triple QWs) квантовыми ямами и структурам с целым набором изолированных квантовых ям (multiple quantum wells (MQWs)), рис. 3.2). Даже если в такой структуре барьеры практически непроницаемы, двухчастичные электронные возбуждения, экситоны, в различных ямах могут быть связаны через электромагнитное поле, и присутствие многих ям существенно влияет на оптические свойства структуры (см. раздел 3.4). По мере того как барьеры становятся тоньше, туннелирование носителей из одной ямы в другую становится заметнее. Таким образом, с уменьшением толщины b квази-двумерные состояния (2D-co стояния), или состояния в подзонах (subband) размерного квантования изолированных ям, трансформируются в трехмерные минизон- ные (miniband) состояния. В результате периодическая структура изолированных квантовых ям, или толстобарьерная сверхрешетка, превращается в тонкобарьерную сверхрешетку, или просто сверхрешетку (superlattice (SL)). Формирование минизон становится актуальным, когда период сверхрешетки d = а + b становится меньше длины свободного пробега носителя заряда в направлении оси роста структуры (в дальнейшем ось z). Эта длина может зависеть от сорта носителя, в частности, из-за различия эффективных масс электрона и дырки. Поэтому одна и та же периодическая структура с квантовыми ямами может быть одновременно как сверхрешеткой для более легких носителей, обычно это электроны, так и структурой с набором изолированных ям для другого сорта носителей, например тяжелых дырок. Последние также могут перемещаться вдоль оси роста, однако это движение носит не когерентный характер, а представляет собой цепочку некогерентных туннельных прыжков между соседними ямами.

Строго говоря, по определению сверхрешетки толщины слоев а и b должны существенно превышать постоянную кристаллической решетки а^. В этом случае для описания электронных состояний можно использовать метод эффективной массы или, в более широком смысле, метод плавных огибающих. Тем не менее, полезно в поле зрения физики низкоразмерных систем в качестве предельного случая включить “ультратонкую” сверхрешетку АтВи, например (GaAs)m(AlAs)„ ст, и = 2 - 4 и даже полупроводниковое соединение типа (GaAs)i(AlAs)i, т.е. GaAlAs2.

Аналогично приведенной выше классификации гетеро структур по взаимному выстраиванию запрещенных зон Е^ и Е^ каждая сверхрешетка принадлежит к одному из трех типов, соответственно типу I, II и III. Сверхрешетки, состоящие из чередующихся слоев различных материалов, называются композиционными. Первоначально для создания квантовых ям и сверхрешеток подбирались гетеропары с практически одинаковыми постоянными решетки, например пара GaAs/AlGaAs. Структуры с рассогласованием постоянной решетки Эао/^о, не превышающим 0.01, называются согласованными, или ненапряженными. Совершенствование технологии роста позволило получить без-

дислокационные сверхрешетки и при заметном рассогласовании постоянных решетки. В таких многослойных структурах, по крайней мере, один из слоев, А или В, должен быть достаточно тонким, чтобы согласование кристаллических решеток происходило за счет внутреннего напряжения, сжатия одного из слоев и, возможно, растяжения другого. Структуры с квантовыми ямами и сверхрешетки с Zla^jaQ > 0.01 называются напряженными. В композиционных спиновых сверхрешетках один или оба слоя А и В содержат магнитные примеси или ионы. Примером служит гетеро структура CdTe/CdMnTe.

Наряду с композиционными сверхрешетками, образованными периодическим изменением состава, сверхрешетки могут создаваться модулированным легированием донорной и/или акцепторной примесью. Такие сверхрешетки, в частности сверхрешетка и-GaAs/p-GaAs или шр/'-структура, называются легированными.

Размерное квантование электронных состояний

В настоящее время разработаны изощренные методы компьютерного расчета квантовых состояний в наноструктурах, основанные на микроскопических моделях псевдопотенциала или сильной связи. В данной главе мы будем исходить из приближенного метода эффективной массы (в случае простых зон) или эффективного гамильтониана (для вырожденных зон или в многозонной модели), более наглядного и позволяющего получать аналитические результаты. В приближенных подходах огибающая волновой функции электрона внутри каждого слоя многослойной структуры записывается в виде суперпозиции линейно независимых объемных решений, а для сшивки на гетерограницах вводятся граничные условия для этой огибающей и ее производной по нормальной координате.

Электронные подзоны в квантовых ямах

Расчеты электронных состояний в полупроводниковых наноструктурах, выполняемые в методе эффективной массы, выглядят часто как практические занятия по квантовой механике. Мы начнем с простейшей структуры с одиночной квантовой ямой А с толщиной а, заключенной между полубесконеч- ными барьерами В. В случае простой зоны проводимости, изотропной и параболической, огибающая записывается в виде

lA(r) = — y(z). (3.1) Vs

Здесь г — главная ось структуры, кц — двумерный волновой вектор с компонентами кх и ^, он описывает движение электрона в плоскости интерфейсов (х,у), S — площадь образца в этой плоскости. Зависящая от г огибающая р^ удовлетворяет следующему уравнению Шредингера:

(3.2)(3.2)Й2 <Рф(Д^2fe||

(3.2)

(3.2)

-г- + Ф^ = Ey(z) внутри ямы , 2шд dzr2т ^

7z2 J2^(z) 2шв &27z2 J2^(z) 2шв &2++ Ve Uz) = Ж?)(2шв )++ Ve Uz) = Ж?)(2шв )в барьерах,в барьерах,

7z2 J2^(z) 2шв &2

7z2 J2^(z) 2шв &2

++ Ve Uz) = Ж?)

(2шв )

++ Ve Uz) = Ж?)

(2шв )

в барьерах,

в барьерах,

где шд,в — эффективная масса электрона в материале А или В.

При конечной высоте барьера Ve имеются два вида решений уравнения (3.2). Если величина Е - Уе - 7г2^/2шв положительна, решения в пределах каждого слоя являются линейными комбинациями двух плоских волн и энергетический спектр в этой области энергий непрерывен даже при фиксированной величине 2Р-волнового вектора кц. В области энергий с отрицательными значениями Е - Уе - 7z2^/2mB, которая рассматривается в дальнейшем, внутри ямы функция ^(z) есть линейная комбинация плоских волн exp (±zfe), а в левом и правом барьерах она экспоненциально спадает как ехр (±кг) соответственно. Здесь

12тАЕ12тАЕ-к2 к =-к2 к =2тв(Уе - Е)7г22тв(Уе - Е)7г2+ к2+ к2(3.3)(3.3)

12тАЕ

12тАЕ

-к2 к =

-к2 к =

2тв(Уе - Е)7г2

2тв(Уе - Е)7г2

+ к2

+ к2

(3.3)

(3.3)

В этом случае возникают размерно-квантованные электронные состояния, которые нумеруются дискретным индексом у (у = 1,2,...), и для электронов в зоне проводимости обозначаются в составным индексом ev. Энергетический спектр этих состояний представляет собой набор ветвей Eev^v называемых подзонами, которые сдвинуты вертикально относительно друг друга. Полная энергия электрона складывается из энергии размерного квантования Е: = Eevo и кинетической энергии Е^ = Eev^ - Eevo при свободном движении электрона в плоскости (х,у).

Рассматриваемая система В/А/В симметрична к операции отражения г —» -Z, если за начало отсчета координаты выбрать середину квантовой ямы. Поэтому совокупность собственных решений уравнения Шредингера разбивается на подгруппы четных и нечетных решений, так что ^(-^) = ^U)- Огибающая ^(z) для четных размерно-квантованных состояний записывается в виде

ф(д =ф(д =С cos (fe), если |z| < а/2 ,

ф(д =

ф(д =

D exp [-k(|z| - а/2)] , если |z| > а/2 .

Коэффициенты С и D находятся из условия нормировки

(3.5)(3.5)^2(г) d^ = 1

(3.5)

(3.5)

и граничных условий, связывающих огибающие ^а^в и их производные (dy/dz)^ (d^/dz)B по обе стороны гетерограницы между материалами А и В. Чаще других используются граничные условия [1,2]

в

Они обеспечивают непрерывность огибающей функции ^(z) и потока частиц через интерфейс. Для решения (3.4) эти граничные условия приводят к системе двух линейных однородных уравнений для коэффициентов С и D

_ ка_ ккак _

Ceos—=D,С sin— =D.(ЗЛ)

2шд2шв

Отсюда простые выкладки приводят к трансцендентному уравнению для энергии четных решений

катх к, х

tg-(3.8)

2шв к

Для нечетных решений огибающая ср(д имеет вид

г ч fС sin (кд ,если И < а/2 ,

"( D sign{z} exp [-k(|z| - а/2)], если |z| >

а энергия удовлетворяет уравнению

ка

а§— = -л.(3.10)

Коэффициент С находится из нормировочного условия (3.5) и может быть представлен как

c=A/?h + —L_^ + lj](з.п)

V а [(1 + г[да \к к)

для решений произвольной четности. Известно, что в симметричной одномерной потенциальной яме всегда имеется хотя бы одно размерноквантованное состояние. Поэтому при конечной высоте барьеров энергетический спектр электрона состоит из конечного числа подзон размерного квантования ev (v = 1, ...,2V) и континуума (электронные состояния с Е - 7г2^/2шв > Ve). При совпадающих эффективных массах шд и тв дисперсия Е^ параболическая, как в однородных композиционных материалах. При относительно небольшом различии масс шд и тв дисперсия подзон почти параболическая.

В пределе бесконечно высоких барьеров, Ve —> оо, размерно-квантованные значения волнового вектора

к = ^тхЕ/Тг2 - к2 = ^2тхЕг

и энергии Е принимают значения

4=^,£((1|) = Д|рР;|,(3.12)

а2шд [\ а /11

где у = 1,3,..., 2п + 1,... для четных решений и у = 2.4...., 2и,... для нечетных.

Подзоны тяжелых и легких дырок

В пренебрежении спином и спин-орбитальным взаимодействием (нерелятивистское приближение) состояния в точке Г на дне зоны проводимости и в потолке валентной зоны объемных полупроводников типа GaAs характеризуются симметрией s- и p-типов. Соответствующие орбитальные, или координатные, функции обозначаются в виде S (г) = S и X, У, Z, они образуют базис неприводимых представлений Гi и Г15 группы Тд. Напомним, что эти функции периодичны с периодом решетки цинковой обманки, так что, например, Х(г + а/) = Х(г), где az — любой их трех базисных векторов решетки Браве. Учет спина удваивает число состояний в Г-точке и их можно представить в виде Т S, ^ S (неприводимое спинорное представление Гб) в зоне проводимости и $ ХД УД 7Л ХЛ УЛ ^ в валентной зоне, где f и — спиновые столбцы.

Спин-орбитальное взаимодействие приводит к расщеплению 6 валентных состояний на квартет и дублет, преобразующиеся при операциях группы Тд по неприводимым спинорным представлениям Г^ и Гу. По аналогии со спин- орбитальным расщеплением р-уровня атома водорода состояниям Г§ приписывают полный угловой момент ,/ = 3/2 с проекциями момента на ось z, равными m = ±3/2, ±1/2. По этой причине блоховские функции Д удобно обозначать как \Г$,т\ В дальнейшем мы используем канонический базис

|Г8,+3/2) = - ^ ——4—,<ЗЛЗ)

|Г8,+1/2)= Л

|Г8,-1/2) = Л

N3

|Г8,-3/2> = ^^Л ’

для представления Гд, преобразующийся как четверка сферических функций ^3/2,

Эффективный гамильтониан для электронов в валентной зоне Г§ представляет собой матрицу размерности 4x4, в базисе (3.13) он принимает вид

^(Г) =^(Г) =(ЗЛ4)(ЗЛ4)Г Н 1 О Н* G О I Г О G -Н О Г -Н* Г .

^(Г) =

^(Г) =

(ЗЛ4)

(ЗЛ4)

где

(3.15)(3.15)F = (А — В)к2 + ^А + ^(кх + к2),

(3.15)

(3.15)

С^А + В^ + ^-^С^ + ф,

В(к2 -к2)-2 i "^j^xkyВ(к2 -к2)-2 i "^j^xky

В(к2 -к2)-2 i "^j^xky

В(к2 -к2)-2 i "^j^xky

Н = -Dkz(kx - iky),

x^z, — кристаллографические оси [100], [010] и [001]. Эта матрица, называемая гамильтонианом Латтинжера и зависящая от трех зонных параметров А, В и С, может быть получена во втором порядке kp-теории возмущений или по методу инвариантов. Она описывает энергетический спектр и электронные (дырочные) состояния в окрестности точки к = 0 в зоне Fg полупроводников с решеткой цинковой обманки, таких как GaAs, InP, CdTe, ZnSe, и в зоне Г^ центросимметричных полупроводников с решеткой алмаза (Ge, Si). Заметим, что симметрия запрещает нечетные члены в разложении гамильтониана по степеням к в кристаллах с центром инверсии, но разрешает такие члены в кристаллах класса Тд.

Дисперсионное уравнение Det||F/^ - E5m-m\\ = 0 есть алгебраическое уравнение четвертого порядка с кратными корнями

Ehhjh = Ак2 ± ^ВЧ4 + (£>2 - ЗВ2) ^Д + к^ + к^ , (3.16)

определяющими дисперсию двух энергетических ветвей. В большинстве полупроводников с решеткой цинковой обманки зонный параметр А < 0, ветви Е^^ ниспадающие и эффективные массы к2 к2/ТЕщ^ отрицательные. Иногда вместо электронного представления (3.14) гамильтониана Латтинжера с отрицательными массами удобнее использовать дырочное представление с положительными массами и заменить F/^ на -Е^Х Энергия в дырочном представлении будет отмечаться верхним индексом h. Обычно значения А, В and D/ V3 близки друг к другу, так как kp-смешивание валентной зоны Г^ с нижней зоной проводимости Г^ самое сильное. В результате дырочная ветвь, обозначаемая сокращенно как hh, обладает слабой дисперсией, т.е. характеризуется тяжелой эффективной массой, и называется подзоной тяжелых дырок. Другая ветвь, обозначаемая lh, получила название подзоны легких дырок. Заметим, что подзоны тяжелых и легких дырок в объемных полупроводниках являются трехмерными зонами и этот термин не следует путать с подзонами размерного квантования в одно- и двумерных наноструктурах.

В методе эффективного гамильтониана волновая функция электрона разлагается по блоховским состояниям вблизи точки экстремума, в данном случае вблизи точки Г, и записывается в виде суммы произведений плавно меняющихся огибающих на блоховские функции (3.13):

^(г) = ^Фт(г)|Г8,т). (3.17)

В структурах с квантовыми ямами огибающие Фт, представленные в форме четырехкомпонентного столбца Ф, удовлетворяют матричному уравнению Шредингера

^O(r) = ЕФ(г). (3.18)

Здесь эффективный гамильтониан 7/ включает гамильтониан Латтинжера 77(Г8\к) с к = -/V и сверхструктурный потенциал V(z), добавляемый к диагональным компонентам TY^. Простейшие граничные условия, накладываемые на Фт(г\ являются обобщением граничных условий (3.6)

Фа = Фв , (^Ф)д = №Ф)вФа = Фв , (^Ф)д = №Ф)в(ЗЛ9)(ЗЛ9)

Фа = Фв , (^Ф)д = №Ф)в

Фа = Фв , (^Ф)д = №Ф)в

(ЗЛ9)

(ЗЛ9)

где нормальная составляющая оператора скорости

(3.20)(3.20)1 Ж

(3.20)

(3.20)

7г дк^

В гетеро структурах, выращенных в направлении [001], состояния тяжелых и легких дырок при кх = ку = 0 квантуются независимо так же, как в случае простой зоны проводимости, и в квантовых ямах формируются две серии дырочных состояний hhv и Ihv, характеризуемых проекциями углового момента J^ = ±3/2 и ±1/2 соответственно. При отличном от нуля значении двумерного волнового вектора кц недиагональные компоненты гамильтониана Латтинжера приводят к смешиванию состояний тяжелых и легких дырок и порождают сильную непараболичность дырочных подзон. В квантовых ямах с идеальными интефейсами огибающую можно факторизовать,

Ф(г) =Ф(г) =^i(kxx+kyy)л/s^i(kxx+kyy)л/sFfe),Ffe),(3.21)(3.21)

Ф(г) =

Ф(г) =

^i(kxx+kyy)л/s

^i(kxx+kyy)л/s

Ffe),

Ffe),

(3.21)

(3.21)

выделив плоскую волну, описывающую движение дырки в плоскости (х,у). Здесь F — четырехкомпонентный столбец, зависящий от г и кц. В отсутствие магнитного поля решения уравнения (3.18) в каждой подзоне hhv, Ihv при заданном волновом векторе кц двукратно вырождены. Будем обозначать дырочные подзоны в виде Е^к,,, Е/^k,, в соответствии с подзонным индексом hhv или Ihv при кц = 0.

В пренебрежении недиагональными членами в гамильтониане Латтинжера, т.е. в пренебрежении гибридизацией тяжелых и легких дырок, подзоны hhv и Ihv являются параболами (см. (3.15))

ph _ т/О , А л I , W \ г 2 и ph _ т/О , /i л I _ W \ г 2

^hhvkw - + + 2 / 11 И ^/Лукн ” + \ Л 2 / 11 ’

где Е^, = Е^ук =0 (j = hhjh\ Смешивание дырочных состояний приводит к антипересечению этих параболических подзон и даже к немонотонной дисперсии некоторых из них.

Влияние непараболичности энергетического спектра в объемном полупроводнике на размерное квантование электронов и дырок в наноструктурах естественно учитывается в многозонной модели. В частности, в модели Кейна огибающая волновой функции электрона в зоне проводимости удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка

7г2 к2

0 ,™. и = Е и ,(3.22)

2т(Е)

где Е — энергия электрона, отсчитанная от дна зоны проводимости Г6 в материале ямы, k = -7V,

12Р2/ 21\

т(Е)3№\Eg^E Eg + E + d) ’‘ 7

Eg — ширина запрещенной зоны, Л — спин-орбитальное расщепление валентной зоны и

Р = 1^ , рст = <S\pz\Z).(3.24)

ш0

Для состояний с кх^ = 0 граничные условия принимают форму

[du\ 1 (du\

их = ив, —— —= —— —.(3.25)

тх(Е) \ & /Атв(Е) \ & /в

Они отличаются от граничных условий (3.6) использованием зависящих от энергии (непараболических) эффективных масс вместо их значений на дне зоны проводимости. Следовательно, энергия размерного квантования при кх = ку = 0 удовлетворяет трансцендентным уравнениям (3.8) и (3.10), в которых фиксированные параметры тх,тв заменены на функции тх(Е\тв(Е\ Заметим, что масса тв(Е) определена для параметров материала барьера с учетом разрыва зон, т.е. тв(Е) = т(Е -Ve\

Электронные минизоны в сверхрешетках

Рассмотрим неограниченную сверхрешетку, изображенную на рис. 3.2. Состояние электрона описывается огибающей (3.1), где функция <р(Д есть линейная комбинация двух экспонент

ф(^) = Е^егк^ + Р_е-гк^ внутри слоев А ,

^(z) = G^lk^ + G_e~lk^ внутри слоев В ,

кх = к, кв = ж, акпк определены согласно (3.3). Коэффициенты E+.G+ могут зависеть от номера слоя. На гетерограницах функция р^ удовлетворяет граничным условиям (3.6). Представим эту функцию и ее первую производную в виде двухкомпонентного столбца

шд 1 dip mj к dzшд 1 dip mj к dzU = А, В).U = А, В).(3.26)(3.26)

шд 1 dip mj к dz

шд 1 dip mj к dz

U = А, В).

U = А, В).

(3.26)

(3.26)

Здесь множитель 1/к введен для того, чтобы риф имели одну и ту же размерность. Матрицей переноса через слой (го, г) называется матрица размерности 2x2, связывающая столбцы (3.26) в точках го и г, а именно

Ф(д = г(г,гоЖго).

При переносе через однородный слой, когда точки го и г лежат в пределах одного материала, матрица переноса имеет вид

?fozo) =?fozo) =cos (kjl) N 1 sin (kjl) -N sin (kjl) cos (kjl)cos (kjl) N 1 sin (kjl) -N sin (kjl) cos (kjl)(3.27)(3.27)

?fozo) =

?fozo) =

cos (kjl) N 1 sin (kjl) -N sin (kjl) cos (kjl)

cos (kjl) N 1 sin (kjl) -N sin (kjl) cos (kjl)

(3.27)

(3.27)

где / = г - го, A = 1 в слое А и А = ша^вМе^а = А в слое В. Заметим, что матрица переноса унимодулярна: Det t = 1.

Согласно теореме Блоха на собственные решения в периодической системе можно наложить условие

ФУ) = Тф)О) = ежафУ),

где К — волновой вектор при распространении волны вдоль главной оси сверхрешетки г (-л/d < К <л^\Т — матрица переноса через период сверхрешетки, она равна произведению ?в?а матриц переноса через слои А и В. В качестве первого шага при выводе дисперсионного соотношения, связывающего К и энергию электрона Е, запишем уравнение Det(T - ez^) = 0 в явной форме

Учитывая унимодулярность матрицы Т, можем переписать это уравнение как cos (М) = 711 722 .(3.28)

Прямым перемножением матриц получаем для диагональных компонент матрицы переноса через период

Тц = cos (к^а) cos (квЬ) - А±х sin (кха) sin (kBb) (i = 1,2).

Подставляя выражения для Гц и Т22 в (3.28), получаем окончательно

cos (Kd) = cos (кха) cos (kBb) - 11N + ^ j sin (kxa) sin (kBb).(3.29)

Для состояний с энергией Е, лежащей ниже барьера Ve, кх и кв принимают соответственно вещественные и мнимые значения, к и 1к. В этом случае уравнение удобно преобразовать к виду

cos (Kd) = cos (ka) ch (кЬ) + - Ь/sin (kd) sh (кЬ),(3.30)

\ л)

где величина ту определена в (3.8). При фиксированном значении кц, например при кц = 0, энергетический спектр ^кц,^ состоит их чередующихся разрешенных и запрещенных минизон. В сверхрешетках с толстыми барьерами нижние разрешенные минизоны с Е < Ve очень узкие и представляют собой уширенные уровни размерного квантования электрона в одиночной квантовой яме той же ширины а. С уменьшением толщины b разрешенные зоны расширяются за счет сужающихся запрещенных минизон. В пределе b —> 0 минизонная структура электронного энергетического спектра превращается в параболическую дисперсию электрона в объемном материале А.

Квазидвумерные экситоны

До сих пор мы описывали одночастичное движение носителей заряда, электронов и дырок, в полупроводниках. Понятие об экситоне, введенное Френкелем в 1931 г. [3], выходит за пределы применимости одночастичного описания. Свободный экситон — это электронное возбуждение, в котором движение электрона и дырки скоррелировано и которое переносит энергию, но не переносит заряда. Первоначальная идея Френкеля непосредственно применима для молекулярных кристаллов. Кроме экситонов Френкеля, или экситонов малого радиуса, различают еще два основных типа этих двухчастичных возбуждений, а именно: экситоны с переносом заряда и экситоны Ванье-Мотта. В полупроводниках актуальны экситоны Ванье-Мотта, или экситоны большого радиуса.

Волновая функция экситона Ванье-Мотта может быть разложена по состояниям пары невзаимодействующих электрона и дырки

4^ = ^ Cske,mkk\ske,mkh),(3.31)

ske,mkh

где s,m — индексы, нумерующие спиновые состояния, ке ^ — электронный или дырочный волновой вектор, |5к5,^к^> — возбужденное состояние кристалла, в котором заполнено только одно состояние |^ке) в зоне проводимости и только одно состояние валентной зоны ^Imk^) незанято. Для удобства мы ввели оператор инверсии времени %, который меняет к на -к и т на -т. Строго говоря, с учетом заполненных валентных состояний ^к^игк/^) является многочастичной волновой функцией. Тем не менее, часто она представляется в виде двухчастичной волновой функции

|ske, mk;,) = ^cske(reV‘lk^rh),(3.32)

где lkcske(re) — блоховская функция электрона в зоне проводимости И ^kh^r^ — аналогичная функция в дырочном представлении, получаемая из соответствующей блоховской функции валентного электрона действием оператора

инверсии времени. При соблюдении должного соответствия между валентными состояниями в электронном и дырочном представлениях использование (3.32) дает ряд преимуществ.

Огибающей волновой функции экситона, зависящей от пространственных координат, называется обратное фурье-преобразование

ГJ = £.(3.33)

кекй

На языке двухчастичной функции (3.32) эксито иная волновая функция принимает вид

>(3-34)

где (Д^,^0 - блоховские функции в точке экстремума, в рассматриваемом случае точка Г.

В приближении эффективной массы огибающая ^^(г^,^) удовлетворяет двухчастичному уравнению Шредингера

^^ ^Cm^'m' ^ke, k^^ ^>5/т/(ге, Г^) = Ефsm(je,Y^ •>(3.35)

где Е — энергия возбуждения экситона, т.е. энергия возбужденного состояния (3.31), отнесенная к основному состоянию кристалла |0), в котором зона проводимости пуста, а валентная зона заполнена. Кроме того, использованы обозначения: ке = -id/dve, k^ = -id/dv^ E{sm^m' (k^,^) - эффективный гамильтониан электронно-дырочной пары, который в однородном полупроводнике имеет вид

(ke, kJ = 5^.14^(kJ + 6SS,-H’mm-(kJ +(3.36)

/\

+ dSS'dmm' I Eq — —"" I

\ 5 K\re-rh\)

и который можно также записать в компактной форме как

Жк., kJ = TYJkj + TY^kJ + Е„.(3.37)

КГ

Здесь 44е и El11 — эффективные одночастичные гамильтонианы для электрона и дырки, г = ге - г^, к — низкочастотная диэлектрическая постоянная, дисперсией которой пренебрегается. Уравнение (3.35) с гамильтонианом (3.36) описывает состояния так называемого механического экситона. При расчете механического экситона обменным взаимодействием электрона и дырки в экситоне пренебрегается.

В объемном полупроводнике с простыми зонами огибающие волновой функции экситона водородоподобны. В частности, основное состояние экситона, или 15-состояние, описывается огибающей

zKRzKRe-rJaBe-rJaB(3.38)(3.38)

zKR

zKR

e-rJaB

e-rJaB

(3.38)

(3.38)

Здесь V — объем кристалла, центр масс экситона

(3.39)(3.39)mere + mhrhте + т^

(3.39)

(3.39)

те^ — эффективная масса электрона или дырки, ав — экситонный боровский радиус

ав-2 ’<ЗЛ0)

Цене1

приведенная эффективная масса цен = тети/(те + т^). Энергия возбуждения 15-экситона равна

И2К2

Е = Е8"Ев + ^ро-41)

где М = те + ти — трансляционная масса, а энергия связи экситона, или экситонный ридберг, определяется как

^ = §й ■(3.42)

Двухчастичный гамильтониан

We, кд) = ^‘(kj + <НЧ^ + Eg- + V^) + Vh^ (3.43)

Фе - Г/,I

для экситона в структуре с квантовой ямой включает электронный и дырочный сверхструктурные потенциалы Ve(z,e\ VhtlhY Представим функции (р$т(уеЛк) в виде многокомпонентного вектора ^(г^,^). Тогда первое из граничных условий (3.6) принимает форму

^Г,, гл)|ге=г_ = ф^, r/,)|z„=z+ ,

У(Ге, ГЛ)|а -г_ = у(ге, ГЛ)|гл=г+ , где ^- и г+ — координата интерфейса при приближении к нему слева и справа. Второе граничное условие (3.6) сводится к условиям

[v''(ka<l]= [vz(k/,)y].

Здесь v^’h — проекция на ось z оператора скорости электрона или дырки

В случае простых зон с эффективными массами те,ти огибающую ^(Ге,^) можно факторизовать

ф^е,пд = хФ^сГи),

(3.45)

где множитель д' зависит только от спиновых индексов 5, т, а скалярная функция ф от s и т не зависит. У спин-независимой функции ф можно частично разделить переменные

(3.46)

где S — площадь образца в плоскости интерфейсов, р = р ph, реН и Кц — составляющие трехмерных радиусов-векторов ге ^ и центра масс R в этой плоскости. Уравнение Шредингера для ^(р,^,^) преобразуется к

^ + < + <Heh^ ф(р, Ze, ^ - \е - Eg - ф(р, Ze, zh),(3.47)

Mh V8Px дРу)

Энергия связи экситона, образованного из электрона в нижней подзоне размерного квантования el и дырки в верхней валентной подзоне /г 1 находится из соотношения

е = Еа+ Ен - W + ^ + <Heh^ ,

(3.48)

где Eei, Ehi — энергии размерного квантования электрона и дырки при кц = 0.

Рассмотрим вначале частный случай широких ям, таких что а » ав и энергия кулоновского взаимодействия превышает энергетическое расстояние между подзонами размерного квантования. В широкой яме можно пренебречь искажением внутреннего (относительного) движения электрона и дырки в экситоне, экситон квантуется как единое целое и огибающая <p(p,ze,Zh) факторизуется:

^(p,Ze,Z^ = F(Z) ^(Г) .

(3.49)

Здесь ^>(r) — волновая функция относительного движения электрона и дырки в объемном материале ямы и Z — z-координата центра масс. Для основного состояния ^(г) определена согласно (3.38), a F(Z) — согласно

/2л2

F(Z) = \ - cos — у аа

(3.50)

Для простоты мы воспользовались простейшим граничным условием F(±a/T) = 0 (бесконечно высокие барьеры). Энергия возбуждения 15- экситона определяется выражением

Е=Е»-Ев+1мУ +Я(3-51)

По мере уменьшения ширины ямы а эффект размерного квантования начинает преобладать над кулоновским взаимодействием и задача сводится к решению уравнения (3.47), например, вариационным методом с использованием факторизованной пробной функции

,(3.52)

где z = т.е - Zh- При простейшем выборе функция относительного движения

/ф,г)=Де^(3.53)

у ла2

имеет один варьируемый параметр — эффективный 2Р-боровский радиус а. При простых расчетах можно также использовать двухпараметрическую пробную функцию [4]

f(p,z) = С(1 + az^e-6^2^1'2 ,

где С — нормировочный множитель.

Правый и левый барьеры в структуре с квантовой ямой прижимают электрон и дырку друг к другу. Поэтому в такой структуре кулоновское взаимодействие между ними усиливается и энергия связи экситона возрастает: в случае бесконечно высоких барьеров она меняется от Ев в толстой яме до величины 2D-pидбepгa E^P = 4ЕВ при я « я#. В то же время эффективный боровский радиус уменьшается до а^ = ав/2. Следовательно, в 2D-пpeдeлe для основного состояния экситона получаем

= Л —— cos — cos — е~2р1ав(3.54)

у л аав а а

при ze,Xh внутри ямы и ^(p,z5,^) = 0, если одно из значений Ze или £h лежит вне ямы.

Рассмотрим теперь экситон с эффективным гамильтонианом Ft6 для простой зоны проводимости Ге и El11 для вырожденной валентной зоны Г^. Эффект размерного квантования приводит к снятию вырождения валентной зоны. В режиме сильного квантования недиагональные компоненты в гамильтониане Латтинжера не учитываются. Поэтому с точки зрения формирования экситона и подзоны проводимости гу, и валентные подзоны hhv, Ihv можно рассматривать как изолированные. Это приводит к двум экситонным подсистемам: экситонам с тяжелой и легкой дырками, характеризуемыми проекциями углового момента т = ±3/2 и ±1/2 соответственно. Запишем диагональные компоненты гамильтониана Латтинжера (3.14) в форме

туйъЧ2ЧЧ ъЧ2

(3.55)(3.55)F(k) = —^- + —^ , G(k) = —£ + —^ ,2т1* 2т^‘2т^ 2т1^

(3.55)

(3.55)

где массы т™,ту_ совпадают с эффективными массами тин, ^Чн тяжелых и легких дырок в объемном материале и определяют энергии размерного квантования EHhv, Eihv в одиночной яме. Две другие массы определены как

Они входят в приведенные эффективные массы в операторе ^^ (см. (3.47)) согласно

Fe-hh = тет™1Кте + т“) и ц^и = тет^ Кте + т1^ .

В пренебрежении смешиванием состояний тяжелых и легких дырок волновые функции экситонов ev-hhV и ev-lhV можно записать как

е*КцНц

(3.56)(3.56)^“С = —^=" фф, Ze, Zh) ^cs^eVm^h) ■

(3.56)

(3.56)

Здесь ^s — спинорные блоховские функции Т^, ^ и ^ — блоховские функции \Г^т) в дырочном представлении. Пробные функции для экситонов ev- hhv' и ev-lhv' можно выбрать в виде

(3.57)(3.57)фИИ^Р, Ze, Zh) — fhh^P,Z) феу^е) ФИНу'^и) ,

(3.57)

(3.57)

фшФ, Ze, Zh) — flh^P,Z) феА^е) фПг/^н) •

Расчет показывает, что модель негибридизированных дырочных состояний является хорошим приближением для “тяжелого” экситона el-hhl, но приводит к заметной ошибке при расчете “легких” экситонов el-ZZzl и особенно экситонов, образованных с участием тяжелой дырки из более высоких подзон hhV.

Правила отбора при оптических переходах

Междузонные и внутризонные оптические переходы между подзонами размерного квантования

В данном разделе мы рассмотрим поглощение света в структурах с квантовыми ямами. Будем использовать кулоновскую калибровку, в которой скалярный потенциал равен нулю и электрическое и магнитное поля световой волны выражаются через векторный потенциал в виде Е = -0Jc)8XI8t, В = rot А (с скорость света в вакууме). Для плоской монохроматической волны имеем

А(г, Г) = Aoe-^+/qr + A*ez^-,qr,(3.58)

где dj, q, Ао — частота, волновой вектор и амплитуда. Удобно записать вектор Ад как произведение вещественной (положительной) скалярной амплитуды Ао и единичного вектора поляризации е. Напомним, что для эллиптически поляризованного света вектор е комплексный. В случае квазимонохромат- рической волны амплитуду векторного потенциала Ао или электрического поля Eq можно считать медленно меняющейся функцией времени. Состояние поляризации света характеризуется поляризационной матрицей плотности dap = <Ео,а^од^’ где а’Р = х'^ оси х^ лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения света, а угловые скобки означают усреднение по времени. Поляризационная матрица полностью задается тремя параметрами Стокса: степенью циркулярной поляризации Рс, степенью линейной поляризации Р/ в осях х,у и степенью линейной поляризации Р^ в осях У,у', повернутых вокруг оси г на угол 45° относительно осей х,у.

В линейной оптике оператор электрон-фотонного взаимодействия равен -(е/2сшо)[рА(г, Г) + А(г, Ор], где р — оператор импульса —1ТгЧ. В дипольном приближении координатной зависимостью вектора А пренебрегается и оператор возмущений принимает форму

-(еА0/с) (е e"l0J1 + e*ez^) v ,

где е — заряд электрона (г < 0), оператор скорости v = -z/zV/mo, mo — масса свободного электрона.

При прямом междузонном оптическом поглощении в нелегированной структуре электроны под действием света совершают переходы из заполненной валентной зоны в незаполненную зону проводимости. Иными словами, поглощение фотона сопровождается генерацией электронно-дырочной пары. Используя золотое правило Ферми, получаем для темпа междузонных оптических переходов между валентной подзоной W и подзоной зоны проводимости ev (количество переходов в единицу времени на единицу площади структуры)

4тг2е2/

Wev,W — НсЗ^СП "S ' J I^^v5,vy/m(k||)| д(^Ееу8^ — Еуу'т^ — TzZj) .(3.59)

w 5ткц

Здесь I = (n^co2/2лс)А^ — интенсивность света, n^ — показатель преломления на частоте со, s и т — спиновые индексы, Уеу5,еу,т(кц) — матричный элемент оператора скорости, Еуут^ — энергия электрона в валентной подзоне в электронном представлении. Напомним, что она взаимосвязана с соответствующей дырочной энергией соотношением Evym^ = -EHjVfh k , где j = hh, th и черта над т означает спин -т. При выводе (3.59) пренебрегалось кулоновским взаимодействием между фотоэлектроном и фотодыркой. Экситонные эффекты обсуждаются в следующем разделе.

Мы ограничимся переходами в окрестности Г-точки. Если пренебречь зависимостью матричного элемента оператора скорости от кц, то его можно

записать как произведение

^eys,w'm — Ev' ^cs,vm •

Первый множитель — это интеграл перекрытия огибающих

феЖЛд<к. •

(3.60)(3.60)(3.61)(3.61)^ с s,vm^ с s,vm1 '^о1 '^оucs^ v Mvm(r) dr ,ucs^ v Mvm(r) dr ,(3.62)(3.62)Второй множитель является междузонным матричным элементом оператора скорости, рассчитанным на блоховских функциях 7^ (г) = ми(г) в Г-точке:

(3.60)

(3.60)

(3.61)

(3.61)

^ с s,vm

^ с s,vm

1 '

^о

1 '

^о

ucs^ v Mvm(r) dr ,

ucs^ v Mvm(r) dr ,

(3.62)

(3.62)

где Qq — объем элементарной ячейки.

В пренебрежении спиновым расщеплением электронных состояний выражение для темпа генерации упрощается:

W 7 /yF ev,hvW 7 /yF ev,hv= а I= а I§ev,hv' №йДw2n0J§ev,hv' №йДw2n0JEv' ^ j I^c5,vml ,Ev' ^ j I^c5,vml ,(3.63)(3.63)

W 7 /yF ev,hv

W 7 /yF ev,hv

= а I

= а I

§ev,hv' №йДw2n0J

§ev,hv' №йДw2n0J

Ev' ^ j I^c5,vml ,

Ev' ^ j I^c5,vml ,

(3.63)

(3.63)

где а — постоянная тонкой структуры е2 j1ic % 1/137.04, g^XE) — приведенная плотность состояний, определенная без учета вырождения состояний по спину. Для иллюстрации аппроксимируем дисперсию свободных носителей в подзонах ev и hv' параболической зависимостью

Eevk — Е^ + Eev +Eevk — Е^ + Eev +2ше2шео ^к2

Eevk — Е^ + Eev +

Eevk — Е^ + Eev +

2ше

2ше

Evvk - Ev ~ Ehv - ” ,

2^

где E^,E^ — положение дна зоны проводимости и потолка валентной зоны в объемном материале A, Eev и Ehv — энергии размерного квантования. При такой зонной структуре приведенная плотность состояний (3.64) есть ступенька

№(Е) = /% 9№ - С) -/JUT№(Е) = /% 9№ - С) -/JUT(3.64)(3.64)

№(Е) = /% 9№ - С) -

/JUT

№(Е) = /% 9№ - С) -

/JUT

(3.64)

(3.64)

где цеи — приведенная эффективная масса, 0(х) — функция, принимающая значения 1 при положительных и 0 при отрицательных х, Е^, — энергетический зазор между подзонами ev и НУ, равный сумме Eg + Eev + Ehv, и Eg = Е^ - Е^. Заметим, что фундаментальный край оптического поглощения в структуре с квантовой ямой

Е^ ЕЕ Е°и = Eg + ЕеХ + Ehx .

В структуре с квантовой ямой, выращенной из полупроводников с изотропными эффективными массами электрона и дырки, в приближении бесконечно высоких барьеров огибающие <pev и ф^у идентичны, так как они не

зависят от эффективных масс. По определению каждый из этих наборов ор- тонормирован и мы приходим к правилу отбора

iw' — ^w' •(3.65)

Следовательно, в этом случае междузонные оптические переходы происходят между подзонами с совпадающими индексами у и V.

При учете конечной высоты барьеров величина эффективной массы влияет на форму огибающей функции и наборы этих функций для электронов и дырок различаются. Тем не менее, это различие не носит решающего характера и можно пользоваться следующими смягченными правилами отбора

iw % 1 и \iw\ <^ 1 при v Ф V .(3.66)

В прямоугольных квантовых ямах сверхструктурный квантующий потенциал обладает центром симметрии и междузонные переходы между состояниями с огибающими (pev, уы противоположной четности запрещены точно.

В объемном полупроводнике с простой зонной структурой прямые внут- ризонные оптические переходы запрещены, так как при таких переходах нельзя одновременно удовлетворить законам сохранения импульса и энергии. Поэтому внутризонное поглощение фотона может происходить при участии “третьей частицы”, фонона, другого носителя или статического дефекта. Такой процесс называется непрямым и описывается во втором порядке теории возмущений. Размерное квантование преобразует энергетический спектр свободных носителей в подзоны в квантовых ямах или минизоны в сверхрешетках. В результате появляется дополнительный механизм поглощения, обусловленный прямыми оптическими переходами между подзонами или минизонами. Приведем выражение для темпа прямых межподзонных переходов el —> е2 в квантовой яме и-типа

^2,а = У |eve2.s-,ei.s(k||)l х(3.67)

narcnJS

^(/еХ^кц — ^2Укц) ^(^2Укц — ^еХ^кц — ^&)) .

Здесь 5, s' — спин электрона в начальном и конечном состоянии, fevskw — функция распределения электрона, остальные обозначения очевидны.

Для композиционных полупроводников с простой зонной структурой межподзонный матричный элемент оператора скорости определяется выражением

v^^^(k,|) = dVs [7гкцец <v^m"4d\v) + ег<у'|р»] ,(3.68)

где

- - -^/ 1 ^8 1

VzZ 2 \ dzdz m(z) / '

Для прямоугольных квантовых ям в пределе бесконечно высоких барьеров это выражение упрощается:

ev^v,№$(k||) = 6,Д (куен 6Vv + к^е^ ,(3.69)

где,

= z- [1 - (-1/+И ^2_ .(3.70)

Прямые межподзонные переходы разрешены в поляризации е || z для подзон разной четности. Следующие из (3.69) правила отбора сохраняются и для барьеров конечной высоты, если эффективные массы шд и шв в материалах ямы и барьера совпадают. Если массы шд,шв различны, то матричные элементы (y'|m-1(z)|y) отличны от нуля не только при V = у, но также при V и у одинаковой четности. Тем не менее, вероятность таких межподзонных оптических переходов очень мала и следует учитывать другие малые поправки к (3.68), например поправки, связанные с непараболичностью зоны в объемном полупроводнике.

Поляризационные свойства оптических переходов из подзон тяжелых и легких дырок

Перейдем теперь к правилам отбора, определяемым вторым множителем в (3.60) или суммой по 5, m в (3.63). В таб. 3.1 представлены междузонные матричные элементы evC5 vm, рассчитанные между состояниями зоны проводимости |Гб,5) = asS (as = Т или ^) и валентными состояниями |Гд,т) в базисе (3.13) и электронном представлении. Напомним, что в электронном

Таблица 3.1. Междузонные матричные элементы оператора скорости evcsxms отнесенные к pcv/ ^то, где е — вектор поляризации света, матричный элемент pcv определен в (3.24).

1

1 v, + 3/2 | V, + 1/2

| v, - 1/2|

| v, - 3/2

сЛ 1/2

с, - 1/2

- (ех + iey)2eJ ^

0 -(ех + 1еД з

(е, - iey)/ V3

/3 2ez/V3

0

ех - iey

и дырочном представлениях проекции углового момента валентных состояний различаются знаком. Поэтому матричные элементы М оптических переходов в этих двух представлениях связаны соотношением M(evs, Wm; кц) = M^evs, W,m; -кц). Учтем далее, что в квантовых ямах размерное квантование тяжелых и легких дырок при кх = ку = 0 происходит независимо. Используя табл. 3.1 и изменяя знак у m на противоположный, приходим к следующей поляризационной зависимости темпа генерации электронно-дырочных пар |вУ5 ; hhv, m) и |eys ; Ihv, m) в структурах с квантовыми ямами

\M(ev, +1/2 ; hhv, +3/2)|2 сс |^ + /е/ ,(3.71)

1Ж±1/2; Ш±3/2)|2 = О,

, \ех + геу|2\M<ev, +1/2 ; Ihv, ±1/2, )|2 сс 3,

|Л/(еу,+1/2; Ihv, + 1/2)|2 ос.

Для циркулярно поляризованного света (г+, распространяющегося вдоль оси z, выполняются соотношения

ОЛ + /Оу99

е =—— , ez = 0 и К + iey\ = 0, К - 1е^\ = 2 ,

V2

тогда как для света <т_-поляризации имеем

где ох, Оу — единичные векторы, ориентированные в направлениях х и у соответственно. Видно, что при междузонных переходах проекция углового момента на ось г сохраняется,

(3.72)

где М = ±1 для а±-поляризации и Л( = О для света, линейно поляризованного по оси г.

Резонансное отражение и поглощение света в структурах с квантовыми ямами

В трехмерных кристаллах состояния фотона и экситона в области пересечения их дисперсионных кривых сильно смешиваются и эти возбуждения превращаются в гибридную квазичастицу, называемую экситонным поляритоном, или светоэкситоном. Природу экситонного поляритона удобно пояснить на языке эффективной двухосцилляционной модели. Несмешанные, или “голые”, фотонный и экситонный осцилляторы с одним и тем же волновым вектором q имеют исходные собственные частоты Mphotto) = cq/ д/кь и ^ехс(д) = ^о + /г^2/(2М), где кь — фоновая диэлектрическая проницаемость, а>о — резонансная частота экситона при q = 0 и М — трансляционная эффективная масса экситона. Степень смешивания управляется величиной продольно-поперечного расщепления экситона (хД], так что дисперсионное уравнение для связанных осцилляторов может быть представлено в виде

("phot(?) - ш2\ш«М - "2) = 2ш2шигш0 •(3.73)

Это есть эквивалентная форма записи более привычной формулы

cqV2/q?6j0<^ltKWvi

— = <со, Ч) = кь^ ~ кь +—.(3.

w- <^^ехс(^) - W

Проявление экситонных поляритонов в различных оптических явлениях, включая отражение, пропускание и поглощение света, фотолюминесценцию и резонансное рассеяние света, интенсивно изучалось в 60 и 70-е годы. Новый интерес и значительное развитие в этой области было стимулировано созданием наноструктур высокого качества: многослойных гетеро структур, периодических структур с квантовыми ямами, сверхрешеток и т.д. Более того, само понятие эксито иного поляритона претерпело существенное изменение в первую очередь применительно к длиннопериодичным структурам с квантовыми ямами.

Линейный отклик одиночной квантовой ямы

Задача об отражении света от одиночной квантовой ямы, заключенной между полубесконечными барьерами, была решена в 1991 г. [5, 6] и стала важной вехой в развитии квантовой электродинамики, изучающей взаимодействие трехмерных фотонов с низкоразмерными экситонами. Для простоты мы рассмотрим нормальное падение света на структуру с квантовой ямой, выращенную на основе материалов с решеткой цинковой обманки, пренебрежем различием между диэлектрической проницаемостью барьера еь и фоновой диэлектрической проницаемостью материала ямы еа. Затем конечный результат будет обобщен на случай наклонного падения и ^ Ф еа. Векторные амплитуды электрических полей падающей, отраженной и прошедшей волн обозначаются в виде Ед,Ег и Е, соответственно. В структуре, выращенной в направлении [001], эти три вектора параллельны, и мы можем использовать скалярные амплитуды EQ,Er, Et вместо векторных. Электрическое поле Е^ Й вне слоя ямы содержит только экспоненты

Eq exp {-ia)t + iqz) + Er exp {-ia)t - iqz), если z<-a/2,

Et exp ^-icot + i^),если z> a/2,'

где q = ^ at/с и точка z = 0 лежит в середине ямы. Заметим, что в рамках линейной оптики множитель ехр(-1о)^ можно опустить. Амплитудные коэффициенты отражения и пропускания определены согласно

Ег Et

rQW = — , ^qw = — •(3.76)

Амплитудный коэффициент зеркального отражения от реальной четырехслойной структуры ’’вакуум (О)-покрывающий слой (1)-одиночная квантовая яма (2)-полубесконечный барьер (3)” связан с tqW соотношением

_foifipe2^1_ roiJ2Qwe2^‘

Г Го1 + 1 - ri0rQwe2^i rQW 1 - ri0rQwe2^i ’

Здесь Kjj (= -Гр) и tjj — амплитудные коэффициенты отражения и пропускания света, падающего из полубесконечной среды i (/ = 0 в вакууме и / = 1 в слое 1) на полубесконечную среду у, фх = q(di + а/2), di — толщина слоя 1. Таким образом, задача расчета спектра отражения R = |г|2 сведена к нахождению линейного отклика tqw(^), который является комплексной функцией частоты света м.

Получим выражение для tqw в области частот, примыкающей к выделенному эксито иному резонансу що> скажем, “тяжелому” экситону el-hhl(ls). С этой целью воспользуемся волновым уравнением

^ = " ( с ^ ° = ~ ( с )2 VKbE + 4лР»^ ’ (3-78)

где D — электрическая индукция и PexcU) ~ экситонный вклад в диэлектрическую поляризацию, зависящий от электрического поля Е. Этот вклад нелокален и определяется выражением [7]

(3.79)(3.79)4лР^) = G(uj) Ф^) Ф\г)Е^) dz,

(3.79)

(3.79)

Ф(г) = ^(0, z, z),Ф(г) = ^(0, z, z),ФЧд = Ф^), G(oj) =ФЧд = Ф^), G(oj) =зла^кьазиг

Ф(г) = ^(0, z, z),

Ф(г) = ^(0, z, z),

ФЧд = Ф^), G(oj) =

ФЧд = Ф^), G(oj) =

coo - со - iE '

Здесь E(z) — полное электрическое поле внутри квантовой ямы, ав и ^т — боровский радиус и продольно-поперечное расщепление для трехмерного экситона, Г — нерадиационное эксито иное затухание, функция ф(р, ze,Zh) определена в (3.46). Заметим, что для основного состояния экситона e\-K\X\s) Ф(z) есть четная функция z.

Перепишем уравнение (3.78) в более удобной форме

d^E

(3.80)(3.80)— + q^E = -4^PCxc(z) ,dz1

(3.80)

(3.80)

где go = wk. Используя метод функций Грина, это же уравнение можно преобразовать к

E(z) = Еге^E(z) = Еге^+ Е2е-^ + 2тгг— q J+ Е2е-^ + 2тгг— q Jdz е* г'1 Pexc(z') •dz е* г'1 Pexc(z') •(3.81)(3.81)

E(z) = Еге^

E(z) = Еге^

+ Е2е-^ + 2тгг— q J

+ Е2е-^ + 2тгг— q J

dz е* г'1 Pexc(z') •

dz е* г'1 Pexc(z') •

(3.81)

(3.81)

Первые два слагаемых представляют собой пару линейно независимых решений однородного уравнения, т.е. уравнения с Рехс = 0. Они описывают плоские волны, падающие на квантовую яму из левого и правого полупространств. Иными словами, амплитуды Ех и Е^ задаются внешними условиями. В частном случае световой волны, падающей слева, имеем Ех = Eq.E^ = 0. Третье слагаемое в (3.81) есть частное решение неоднородного уравнения (3.80). Оно описывает электрическое поле вторичной световой волны, индуцированное 2D-3kchtohom.

Из (3.79) и (3.81) следует, что при Е^ = Е^.Е^ = 0 электрическое поле удовлетворяет интегральному уравнению

E(z) = Еое^ + ДбН 2^E(z) = Еое^ + ДбН 2^</z' е* г,|Ф(/) Ф(/')Е(г") </z" ,</z' е* г,|Ф(/) Ф(/')Е(г") </z" ,(3.82)(3.82)

E(z) = Еое^ + ДбН 2^

E(z) = Еое^ + ДбН 2^

</z' е* г,|Ф(/) Ф(/')Е(г") </z" ,

</z' е* г,|Ф(/) Ф(/')Е(г") </z" ,

(3.82)

(3.82)

которое допускает точное решение при произвольной функции Ф(z\ Действительно, после почленного умножения на Ф(Э и интегрирования по г получаем линейное алгебраическое уравнение для интеграла Л = J Ф(z)E(z)dz. Опуская промежуточные выкладки, приведем решение этого уравнения

(3.83)(3.83)_Eo J Ф^ COS qz dz

(3.83)

(3.83)

1 - i^l^ G(od) J J dzЗнаменатель может быть упрощен, учитывая, чтоe^lz-z I _ cos ^ cos q^ + s-n ^^ s-n q^r + ^ s«n ^^ _ ^ .

Вводя параметры

1зГо = -q wLt naB-1 з Г Гш0 = <о0 + -q <yLT лав .получаем окончательно1зГо = -q wLt naB-1 з Г Гш0 = <о0 + -q <yLT лав .получаем окончательно12Ф(г) cos qz dz ,12Ф(г) cos qz dz ,(3.84)(3.84)dz dzf Ф^)Ф(г') sin (q\z - z'|),dz dzf Ф^)Ф(г') sin (q\z - z'|),

1з

Го = -q wLt naB

-1 з Г Г

ш0 = <о0 + -q <yLT лав .

получаем окончательно

1з

Го = -q wLt naB

-1 з Г Г

ш0 = <о0 + -q <yLT лав .

получаем окончательно

12

Ф(г) cos qz dz ,

12

Ф(г) cos qz dz ,

(3.84)

(3.84)

dz dzf Ф^)Ф(г') sin (q\z - z'|),

dz dzf Ф^)Ф(г') sin (q\z - z'|),

(3.85)(3.85)(м0 -cd- IE) f Ф(Э cos qz dz

(3.85)

(3.85)

A-Eo~——

u)o - о - i(E + Го)

Учитывая далее, что вне ямы функция Ф(z) равна нулю, можно пред

ставить амплитудные коэффициенты отражения и пропускания в виде (см.

(3.82))

Ф^О cos qz'dz , ?qw = 1 + ^qw ■Ф^О cos qz'dz , ?qw = 1 + ^qw ■(3.86)(3.86)А п( Xrqw - — 'z™ G(oi)£0 2^

Ф^О cos qz'dz , ?qw = 1 + ^qw ■

Ф^О cos qz'dz , ?qw = 1 + ^qw ■

(3.86)

(3.86)

Подставляя сюда Л из (3.85), находим после некоторых преобразований

'■qw(^) - т, rqw(^) - т.(3.87)

6Эо — cd — ?(Г + Го)6t>o — О) — цГ + Го)

Теперь легко пояснить физический смысл параметров (3.84): то = (2Го)-1 есть радиационное затухание 2Г-экситона и о)о — его перенормированная резонансная частота. Эти параметры описывают вызванное экситон-фотонным взаимодействием преобразование комплексной собственной частоты экситона от u)o - iE к о)о - /(Г + Го).

Для типичных структур значения ИГо лежат в пределах 0.02-0.2 мэВ, например ЬГо = 0.12 мэВ в квантовой яме CdTe/Cdo igZno svTe толщиной 100 А [12] и ЬГо ~ 27 мкэВ в квантовой яме Ino.o4Gao.96As/GaAs толщиной 85 А [13, 14]. Для грубых оценок можно использовать приближение бесконечно высоких барьеров и положить а = а^^ = ав!'1 (см. (3.54)). Тогда имеем

Экситонные поляритоны в периодических структурах с квантовыми ямами

Рассмотрим распространение света в бесконечной эквидистантной системе квантовых ям, центры которых расположены в точках z,n = ^^, где п — целое число, d = а + b — период структуры, равный сумме толщин отдельной ямы и разделяющего соседние ямы барьера (рис. 3.2). Барьер будем считать достаточно толстым, чтобы можно было пренебречь перекрытием волновых функций экситонов, возбуждаемых светом в соседних ямах. В этом случае экситонный вклад в диэлектрическую поляризацию равен сумме вкладов отдельных ям

Pexc(z) = ^PS)c(z) (3.89)

и выражение для P^U) дается формулой (3.79), в которой огибающую функцию Ф(г) нужно заменить на функцию Фпи) = Ф(г - zw) со сдвинутым аргументом. Следовательно, имеем

(3.90)(3.90)Рехс(?) = —7-^ фп(^ фпУЖ^ dz .4тг J

(3.90)

(3.90)

Полное электрическое поле складывается из поля первичной волны и поля, индуцированного возбужденным 2Р-экситоном:

£(z) = Е^^ + £2e"^z + 2т— У [dz' P*(z').(3.91)

q .

п

Собственные возбужденные состояния системы находятся из решения уравнений (3.90), (3.91) при С, = Е2 = 0. В резонансной области частот cd ~ w^ эти состояния имеют смешанную экситон-фотонную природу, они включают как электромагнитную, так и экситонную составляющие. Таким образом, это ничто иное, как экситон-поляритонные возбуждения, хотя они и существенно модифицированы по сравнению с поляритонами в объемных кристаллах. В отсутствие диссипации, когда Е = 0, экситонный поляритон распространяется неограниченно далеко, испытывая непрерывные когерентные превращения из экситона в фотон и из фотона в экситон.

Чтобы вывести дисперсионное уравнение для экситонных поляритонов в периодической структуре с квантовыми ямами, воспользуемся методом матрицы переноса. С этой целью рассчитаем вначале матрицу переноса через слой В/А/В толщины d с квантовой ямой посередине. Мы определяем здесь матрицу переноса Т следующим образом

/е;\\Е1//е;\\Е1/7п ^127^21 7^227п ^127^21 7^22/Е+\\Е_/ '/Е+\\Е_/ '(3.92)(3.92)

/е;\

\Е1/

/е;\

\Е1/

7п ^12

7^21 7^22

7п ^12

7^21 7^22

/Е+\

\Е_/ '

/Е+\

\Е_/ '

(3.92)

(3.92)

Амплитуды Е±,Е± определены соответственно в точках г = -d^ и d/2 так, что волны, налетающая и выходящая слева от квантовой ямы, записываются в

виде Е+ exp ViqU + ^/2)] и Е_ exp \-iqU + ^/2)], а волны по правую сторону от квантовой ямы — в виде Е'_ ехр [-/^(г - d/ЗД и Е'+ exp UqU - dl2)Y Обозначим коэффициенты отражения и пропускания при таком определении амплитуд в виде г, L Они связаны с аналогичными коэффициентами (3.87), привязанными к центру квантовой ямы, фазовым множителем eiqd\ г = eiqdr^, t = eiqdt^. Матрица переноса выражается через эти коэффициенты в виде

(3.93)(3.93)1 F - г2 г

(3.93)

(3.93)

1 -г 1

Перейдем теперь от одиночной квантовой ямы к регулярной многоямной структуре с периодом d = а + Ь. Для эксито иных поляритонов, распространяющихся вдоль главной оси неограниченной структуры, зависимость частоты cd от волнового вектора К может быть найдена, если использовать теорему Блоха и искать блоховские решения E(z, -v d) = exp (iKd)E(z,). Учитывая соотношение (3.93) между Tij и г, t, получаем

F - г2 + 1d*qw

c^Kd=—= cos qd + sin qd .(3.94)

2r1 + rQW

Подставляя сюда выражение (3.87) для tqW, применимое при ка = кь, приходим к дисперсионному уравнению [6]

cos Kd = cos qd— sin qd .(3.95)

&o - cd - IE

Вещественная часть К определена в зоне Бриллюэна сверхструктуры -л/d < Re{E} < л Id. В дальнейшем мы опускаем символ “тильда” над cdq, напоминающий, что Го — это перенормированная резонансная частота экситона. Подчеркнем, что в отличие от знаменателей в (3.87) в знаменателе правой части (3.95) не содержится радиационное затухание экситона. Это согласуется с общим свойством эксито иных поляритонов, а именно: в отсутствие диссипации экситона поляритоны являются стационарными возбуждениями, экситон-фотонное взаимодействие само по себе не приводит к оптическому поглощению.

Полезно переписать уравнение (3.95) как

(cos qd - cos Kd) (cdq - cd - IE) = Го sin qd .(3.96)

Аналогично (3.73) эта форма записи допускает физическую интерпретацию дисперсионного уравнения на языке двухосцилляторной модели эксито иных поляритонов. Действительно, выражения в первой и второй скобках в левой части (3.96) обращаются в нуль при частотах, определяющих собственную частоту “голых” фотонов cd = сК/ д/кь и частоту “голых” экситонов, которая совпадает с резонансной частотой 2Г-экситона в одиночной яме. Выражение в правой части (3.96) характеризует силу экситон-фотонной связи, эта связь определяется не только затуханием Го, но зависит от произведения периода на частоту.

В короткопериодных структурах с квантовыми ямами или сверхрешетках, период которых d меньше длины волны света Л = 2тг/д, применимо приближение оптически однородной среды. В этом случае можно вводить эффективную диэлектрическую функцию ке^о)^ и применять методы резонансной спектроскопии, развитые для объемных кристаллов.В длинноволновом пределе |^б/|2, (qd)2 « 1 уравнение для Keff в коротко- периодной структуре с квантовыми ямами выводится путем приближенного разложения тригонометрических функций: cosKd % 1 - (Kd)2/2 , cosqd % 1 - (qd)2/2 , sin^ % qd. В результате уравнение (3.95) принимает вид [8]В короткопериодных структурах с квантовыми ямами или сверхрешетках, период которых d меньше длины волны света Л = 2тг/д, применимо приближение оптически однородной среды. В этом случае можно вводить эффективную диэлектрическую функцию ке^о)^ и применять методы резонансной спектроскопии, развитые для объемных кристаллов.В длинноволновом пределе |^б/|2, (qd)2 « 1 уравнение для Keff в коротко- периодной структуре с квантовыми ямами выводится путем приближенного разложения тригонометрических функций: cosKd % 1 - (Kd)2/2 , cosqd % 1 - (qd)2/2 , sin^ % qd. В результате уравнение (3.95) принимает вид [8]- ^енС^) = Kb +- ^енС^) = Kb +Kb О)Kb О)MQW LTMQW LTa>o - a) - IF ’a>o - a) - IF ’(3.97)(3.97)гдегдеmqw _ 2 Гр^LT q(wo)d ‘mqw _ 2 Гр^LT q(wo)d ‘(3.98)(3.98)Используя (3.88), можно получить в 2D-пpeдeлe следующую оценкуИспользуя (3.88), можно получить в 2D-пpeдeлe следующую оценкуMQW _ &аВМ|Т - —— 6JLT .MQW _ &аВМ|Т - —— 6JLT .(3.99)(3.99)При значениях d, сопоставимых с а в, продольно-поперечное расщепление m^W заметно превышает объемное значение ^lt- Физически это возрастание силы осциллятора экситона можно понять, имея в виду, что барьеры прижимают электрон и дырку, возбуждаемые в квантовой яме, ближе друг к другу, тем самым увеличивая вероятность найти их в одной и той же точке, что приводит в увеличению константы экситон-фотонной связи.Приближение однородной эффективной среды применимо также и для сверхрешеток, в которых огибающую волновой функции экситона можно записать приближенно какПри значениях d, сопоставимых с а в, продольно-поперечное расщепление m^W заметно превышает объемное значение ^lt- Физически это возрастание силы осциллятора экситона можно понять, имея в виду, что барьеры прижимают электрон и дырку, возбуждаемые в квантовой яме, ближе друг к другу, тем самым увеличивая вероятность найти их в одной и той же точке, что приводит в увеличению константы экситон-фотонной связи.Приближение однородной эффективной среды применимо также и для сверхрешеток, в которых огибающую волновой функции экситона можно записать приближенно как^ехс^е» Г/г)^ехс^е» Г/г)ezKR= — fWU^W^.VvezKR= — fWU^W^.Vv(3.100)(3.100)

В короткопериодных структурах с квантовыми ямами или сверхрешетках, период которых d меньше длины волны света Л = 2тг/д, применимо приближение оптически однородной среды. В этом случае можно вводить эффективную диэлектрическую функцию ке^о)^ и применять методы резонансной спектроскопии, развитые для объемных кристаллов.

В длинноволновом пределе |^б/|2, (qd)2 « 1 уравнение для Keff в коротко- периодной структуре с квантовыми ямами выводится путем приближенного разложения тригонометрических функций: cosKd % 1 - (Kd)2/2 , cosqd % 1 - (qd)2/2 , sin^ % qd. В результате уравнение (3.95) принимает вид [8]

В короткопериодных структурах с квантовыми ямами или сверхрешетках, период которых d меньше длины волны света Л = 2тг/д, применимо приближение оптически однородной среды. В этом случае можно вводить эффективную диэлектрическую функцию ке^о)^ и применять методы резонансной спектроскопии, развитые для объемных кристаллов.

В длинноволновом пределе |^б/|2, (qd)2 « 1 уравнение для Keff в коротко- периодной структуре с квантовыми ямами выводится путем приближенного разложения тригонометрических функций: cosKd % 1 - (Kd)2/2 , cosqd % 1 - (qd)2/2 , sin^ % qd. В результате уравнение (3.95) принимает вид [8]

- ^енС^) = Kb +

- ^енС^) = Kb +

Kb О)

Kb О)

MQW LT

MQW LT

a>o - a) - IF ’

a>o - a) - IF ’

(3.97)

(3.97)

где

где

mqw _ 2 Гр

^LT q(wo)d ‘

mqw _ 2 Гр

^LT q(wo)d ‘

(3.98)

(3.98)

Используя (3.88), можно получить в 2D-пpeдeлe следующую оценку

Используя (3.88), можно получить в 2D-пpeдeлe следующую оценку

MQW _ &аВ

М|Т - —— 6JLT .

MQW _ &аВ

М|Т - —— 6JLT .

(3.99)

(3.99)

При значениях d, сопоставимых с а в, продольно-поперечное расщепление m^W заметно превышает объемное значение ^lt- Физически это возрастание силы осциллятора экситона можно понять, имея в виду, что барьеры прижимают электрон и дырку, возбуждаемые в квантовой яме, ближе друг к другу, тем самым увеличивая вероятность найти их в одной и той же точке, что приводит в увеличению константы экситон-фотонной связи.

Приближение однородной эффективной среды применимо также и для сверхрешеток, в которых огибающую волновой функции экситона можно записать приближенно как

При значениях d, сопоставимых с а в, продольно-поперечное расщепление m^W заметно превышает объемное значение ^lt- Физически это возрастание силы осциллятора экситона можно понять, имея в виду, что барьеры прижимают электрон и дырку, возбуждаемые в квантовой яме, ближе друг к другу, тем самым увеличивая вероятность найти их в одной и той же точке, что приводит в увеличению константы экситон-фотонной связи.

Приближение однородной эффективной среды применимо также и для сверхрешеток, в которых огибающую волновой функции экситона можно записать приближенно как

^ехс^е» Г/г)

^ехс^е» Г/г)

ezKR

= — fWU^W^.

Vv

ezKR

= — fWU^W^.

Vv

(3.100)

(3.100)

Здесь V — нормировочный объем, Ue(ze) и Uh(Zh) — одночастичные огибающие функции на дне минизоны проводимости el и в вершине валентной минизоны /zl, они нормированы соотношением J^ U2(z)dz = d, /(г) — огибающая, описывающая относительное движение электрона и дырки, эта функция удовлетворяет эффективному уравнению Шредингера. Для диэлектрической проницаемости в рассматриваемом приближении получаем

К^О?) = КЬ +К^О?) = КЬ +кь^т o)q - о) - ir 'кь^т o)q - о) - ir '(3.101)(3.101)

К^О?) = КЬ +

К^О?) = КЬ +

кь^т o)q - о) - ir '

кь^т o)q - о) - ir '

(3.101)

(3.101)

где продольно-поперечное расщепление определено согласно [8]:

О)\О)\.sl _ , 4 авLT - ^LT2.sl _ , 4 авLT - ^LT2d1 Гd1 Гща2 d v L оща2 d v L оUMIMzW .UMIMzW .(3.102)(3.102)

О)\

О)\

.sl _ , 4 авLT - ^LT2

.sl _ , 4 авLT - ^LT2

d

1 Г

d

1 Г

ща2 d v L о

ща2 d v L о

UMIMzW .

UMIMzW .

(3.102)

(3.102)

Здесь ai и at — продольный и поперечный боровские радиусы, которые являются вариационными параметрами в выражении для пробной функции

_ х1/(г) = ехр_ х1/(г) = ехрcd /cd /

_ х1

/(г) = ехр

_ х1

/(г) = ехр

cd /

cd /

Резонансная брэгговская структура

Проанализируем спектр экситонных поляритонов (3.95), (3.96), сосредоточив внимание на резонансных брэгговских структурах. Проводить такой анализ будет легче и понятнее, если пренебречь нерадиационным затуханием, положив Г = 0.

Как и для любой другой частицы или квазичастицы, распространяющейся в периодической системе, структура спектра экситонных поляритонов включает разрешенные и запрещенные энергетические (или частотные) зоны, или минизоны. Разрешенные зоны определены условием |С(м)| < 1, где С (и) — правая часть уравнения (3.95). При |С(м)| > 1 значения Г (и) имеют мнимую часть даже при Г = 0 и соответствуют пространственно затухающим модам. Края запрещенной зоны находятся как решения следующих уравнений:

DbW\dfUW^d_

W\ = U)o + Го Ctg — , 6J2 = Wo - Го tg —-— .(3.103)

2c2c

Они касаются разрешенных зон в точках К = 0 и ±л^ соответственно. Если значение фо = HbWodjc находится на достаточном удалении от целого числа тг, то запрещенная зона лежит между частотами

oi = о0 + Го ctgфо , 0)2 = wo - Го 1§фо .(3.104)

Например, в структуре с периодом q(o)o)d = тг/4,тг/2 (антибрэгговская структура) или Зл/4, запрещенные зоны определены парами частот о)о + (1± ^2)Гд, о)о ± Го и о)о + (± V5 - 1)Г0 соответственно.

Приближение (3.104) неприменимо для резонансных брэгговских структур, удовлетворяющих условию

q(wo)d = л или d = ^^ s(3.105)

где Л(що) — длина волны света на частоте о)о в среде с диэлектрической проницаемостью кь. В спектральной области вблизи резонансной частоты экситона, т.е. в области |щ - щ0| ^ wo, значения К близки к ±n/d, и функции cos Kd, cos qd, sin qd в (3.95) или (3.96) можно записать приближенно как

Л 1\211 w - О)о\О) - О)о

-1 + - (Kd + л) , -1 + - I лI и - л

2 \ Од /Wq

соответственно. В результате дисперсионное уравнение приводится к виду

2 Го со — со о л coq со - coq + iE2 Го со — со о л coq со - coq + iE(3.106)(3.106)/ К а _ \ м - ^о

2 Го со — со о л coq со - coq + iE

2 Го со — со о л coq со - coq + iE

(3.106)

(3.106)

\ 7Г /\ ^о

При м = м0 блоховский волновой вектор К равен ±тг/б/ и экситон-фотонная связь исчезает, что следует немедленно и из (3.95), так как sin^(dJo)^ = sin л = 0. Это можно понять, учитывая, что при со = соо световая волна и состояние 2Р-экситона характеризуются противоположными четностями, экситон- фотонное смешивание запрещено и свет эффективно находится в однородной среде с диэлектрической константой кь. Действительно, мы рассматриваем здесь основное состояние 2Р-экситона, описываемое огибающей функцией, симметричной по отношению к зеркальному отражению z -z. С другой стороны, при q(coo)d = л, нормальной световой волной в резонансной брэгговской структуре является стоячая волна с электрическим полем E(z) = Eq sin ^z/d), где начало отсчета координат выбрано в центре одной из квантовых ям, так что E(z) — функция, нечетная по отношению к отражению в плоскости, перпендикулярной к оси роста и проходящей через центр любой ямы.

Расстройка частоты со от м0 снимает симметрийные ограничения и при К % л/d, Г = 0 дисперсия экситонных поляритонов трансформируется в [9]

илиили(3.107)(3.107)2 ЛоЛ СОо2 ЛоЛ СОоДисперсия при К вблизи точки -л/d получается из последнего выражения умножением его на -1. Из (3.107) следует, что спектр экситонных поляритонов имеет широкую запрещенную зонуДисперсия при К вблизи точки -л/d получается из последнего выражения умножением его на -1. Из (3.107) следует, что спектр экситонных поляритонов имеет широкую запрещенную зону/2Го^оУ/2\ л //2Го^оУ/2\ л /(3.108)(3.108)с частотой соо, расположенной в центре этой зоны.В квазибрэгговских структурах условие (3.105) выполнено на частотес частотой соо, расположенной в центре этой зоны.В квазибрэгговских структурах условие (3.105) выполнено на частотелс^В = д , nbdлс^В = д , nbd(3.109)(3.109)незначительно отличающейся от резонансной частоты экситона:незначительно отличающейся от резонансной частоты экситона:\ов - Oo\nbd/c = тг|мв - О?о1/^В « 1 .\ов - Oo\nbd/c = тг|мв - О?о1/^В « 1 .В этом приближении в спектре поляритонов имеются две запрещенные зоны. При соо > со в частоты внутри этих зон удовлетворяют условиям [10]В этом приближении в спектре поляритонов имеются две запрещенные зоны. При соо > со в частоты внутри этих зон удовлетворяют условиям [10]

или

или

(3.107)

(3.107)

2 Ло

Л СОо

2 Ло

Л СОо

Дисперсия при К вблизи точки -л/d получается из последнего выражения умножением его на -1. Из (3.107) следует, что спектр экситонных поляритонов имеет широкую запрещенную зону

Дисперсия при К вблизи точки -л/d получается из последнего выражения умножением его на -1. Из (3.107) следует, что спектр экситонных поляритонов имеет широкую запрещенную зону

/2Го^оУ/2

\ л /

/2Го^оУ/2

\ л /

(3.108)

(3.108)

с частотой соо, расположенной в центре этой зоны.

В квазибрэгговских структурах условие (3.105) выполнено на частоте

с частотой соо, расположенной в центре этой зоны.

В квазибрэгговских структурах условие (3.105) выполнено на частоте

лс

^В = д , nbd

лс

^В = д , nbd

(3.109)

(3.109)

незначительно отличающейся от резонансной частоты экситона:

незначительно отличающейся от резонансной частоты экситона:

\ов - Oo\nbd/c = тг|мв - О?о1/^В « 1 .

\ов - Oo\nbd/c = тг|мв - О?о1/^В « 1 .

В этом приближении в спектре поляритонов имеются две запрещенные зоны. При соо > со в частоты внутри этих зон удовлетворяют условиям [10]

В этом приближении в спектре поляритонов имеются две запрещенные зоны. При соо > со в частоты внутри этих зон удовлетворяют условиям [10]

U)_ < G) < 0>в ^оГо < О) < (O-V ,(3.110)

2 а)В

где

+ о)В о)о - о)В \2 2~Z±)+ y°"° ■

При расстройке противоположного знака, т.е. при м0 < ^в, запрещенные зоны определены условиями

Л О)В - 0)0

О)_ < О) < 6Эд — Го , О)в < О) < О)+ .(3.111)

2 О)В

Перейдем далее к рассмотрению периодических структур с конечным числом ям. Время жизни поляритона, распространяющегося в неограниченном объемном кристалле или неограниченной структуре с квантовыми ямами, определяется нерадиационным затуханием. В отличие от этого конечная структура с квантовыми ямами открыта и возбуждаемые в ней экситонные поляритоны затухают как за счет нерадиационных, так и радиационных процессов. Пусть гетеро структура состоит из N эквидистантных квантовых ям, помещенных между полу бесконечными барьерными слоями. Барьеры, разделяющие ямы, достаточно толстые и препятствуют туннельному переносу экситонов между ямами. Поэтому экситонные состояния в различных квантовых ямах связаны только через электромагнитное поле. Учет этой связи снимает А-кратное вырождение подсистемы “голых” экситонов. Частоты связанных мод u)j = cd'j + io)" распределены в нижней комплексной полуплоскости а) с отрицательными значениями Im{dj}. Эффекты радиационной связи экситонов в разных ямах, т.е. многократное когерентное переизлучение и перепоглощение фотонов, может сильно влиять на резонансные оптические свойства совершенных структур с квантовыми ямами, как линейные, так и нелинейные, в условиях стационарного возбуждения, а также в экспериментах с временным разрешением.

Анализ отражения и пропускания света через систему из N эквидистантных ям начнем с простого предельного случая слабой экситон-фотонной связи, когда коэффициент отражения (3.87) от одной квантовой ямы мал. Это условие выполнено, если

Го ^\о)о - о) - ir\ .

Тогда при нахождении коэффициента отражения от всей системы в целом можно пренебречь многократными процессами и суммировать амплитуды волн, отраженных от отдельных ям:

rN = (1 + e2iqd + e4iqd...)= el(N-i)qd s^n^^ r .(3.112)

sin qd

При определенных значениях периода, когда произведение qd становится равным целому числу л, коэффициент отражения по потоку энергии Rn = \rN\2

достигает максимальных значений. Первый максимум достигается для периода, удовлетворяющего условию (3.105). Условие d = Л/4 (“антибрэгговское” условие) определяет еще один характеристический период. В этом случае вклады отраженных волн от соседних ям взаимно сокращаются и коэффициент отражения равен нулю, если N четно, а при нечетном N он совпадет с коэффициентом отражения от одной квантовой ямы.

Если коэффициент tqw не мал по сравнению с единицей, то необходимо учитывать многократные процессы отражения световой волны и результирующий коэффициент отражения от N квантовых ям определяется более сложным выражением. Для вывода этого выражения заметим, что собственные значения матрицы переноса (3.93) равны exp(±iKd\ где К — волновой вектор эксито иного поляритона, распространяющегося на частоте м в неограниченной периодической структуре с квантовыми ямами. Он удовлетворяет дисперсионному уравнению (3.95). Собственные двухкомпонентные столбцы матрицы переноса можно представить в виде

А,2 -А,2 -1^1,21^1,2_ rQW01,2 “ e"i5^^riKd '_ rQW01,2 “ e"i5^^riKd '(3.113)(3.113)

А,2 -

А,2 -

1

^1,2

1

^1,2

_ rQW

01,2 “ e"i5^^riKd '

_ rQW

01,2 “ e"i5^^riKd '

(3.113)

(3.113)

Использование этих собственных столбцов позволяет привести коэффициенты отражения и пропускания к виду

a\a^lNKd - e”lNKd)ai -

Гм = aieiNKd - a2e-'NKd ’= aveiNKd - a2e"iNKd '

Подставляя выражения (3.113) для я 1,2, получаем

=г sin (А^Ы) и

fN sin (NKd) - Г sin [(W - 1)M] ’’

t sin (Kd)

tN ~ sin (NKd) - 7 sin [(У - 1)^] ’

где f = e^rqw, t = eiqdtq^, а коэффициенты tqW, ^qW определяются выражениями (3.87).

Обратимся теперь к резонансным брэгговским структурам с конечным числом ям. Согласно (3.106) в области частот |щ - щ0| ^ мо Для волнового вектора экситонного поляритона имеем

г\21V2

VС /"-"о)2Г0

А = ± —II .

d\ о)о ) ла)о о) - ojq + if

(3.115)(3.115)Для У-ямной структуры в спектральном диапазоне, удовлетворяющем условию

(3.115)

(3.115)

тгУ|5| « 1 ,

отношения

sin [(TV - l)KdA sin (NKd)sin (NKd) ’ sin (Kd)

можно заменить на -(N - l)/N, (-l)^-1^, а коэффициенты r, i — на -tqw> ~^qw- В результате коэффициенты (3.114) принимают достаточно простую форму [11]

(3.116)(3.116)г =iNF0 =м - 1Г

(3.116)

(3.116)

£Эд — (л) — i(F + NFр)бэр — и) — 1^Г + N Гр)

Видно, что коэффициент отражения от резонансной брэгговской структуры получается из выражения (3.87) для коэффициента отражения от одной квантовой ямы простой заменой Гр на NFq. Различие общих знаков в (3.87) и (3.114) связано с различным выбором фаз у отраженных волн.

Чтобы проанализировать общие формулы (3.114) и частный результат (3.116), требуется изучить аналитические свойства линейных откликов r^aF), tN(w\ Для этого учтем, что полюса коэффициентов rN, tN, рассматриваемых как функции комплексной переменной и = а/ + 1иУ', совпадают с комплексными частотами экситон-поляритонных мод. Так же как и в случае N связанных осцилляторов, система из N квантовых ям характеризуется N собственными частотами u)j. Структуре с одиночной ямой отвечает одна собственная частота мр - /(Г + Гр). В общем случае в структуре с N квантовыми ямами, даже одинаковыми, все частоты cDj разные и коэффициент отражения имеет N различных полюсов. Соответствующие нестационарные собственные состояния являются экситонными поляритонами в конечной структуре с квантовыми ямами, т.е. смешанными возбуждениями, в которых 2Г-экситоны связаны между собой трехмерными фотонами. Система с конечным N открыта и, следовательно, мнимые части собственных частот отличны от нуля даже в пренебрежении нерадиационным затуханием. Вещественные части щ'. определяют положение пиков, провалов и других характерных особенностей в спектрах отражения. Различие вещественных частей ссЛ может приводить к временным биениям в оптическом отклике на импульсное оптическое возбуждение. Мнимые части описывают динамику и затухание поляритонных мод и размытие спектральных пиков или провалов. Картина расположения частот a>j на комплексной плоскости зависит от периода d и числа квантовых ям N.

Если резонансная частота экситона ^д и период структуры d удовлетворяют неравенству \q^aF)d - л\ <^ 1, или, точнее, условию (3.105), коэффициенты отражения и пропускания определяются формулами (3.116). В такой структуре функция rN(w) имеет только один полюс

(3.117)(3.117)= 6Эд — ^(Г "*" ^Гд).

(3.117)

(3.117)

Это означает, что в резонансных брэгговских структурах среди N собственных состояний N-1 мод оптически неактивны, их частоты равны u)j = u)q-IF (J = 1, ...,N- 1), они не перенормируются экситон-фотонным взаимодействием, и только одна мода, которую можно назвать сверхизлучательной, оптически активна, у нее сила осциллятора и радиационное затухание возрастают по сравнению с одиночной ямой в N раз. Заметим, что формула (3.116)

применима в частотной области, в которой выполнено неравенство (3.115). Вне этой области конструктивная интерференция световых волн нарушается и необходимо использовать более сложные формулы (3.114) для г^ и ^. Для резонансной брэгговской структуры зависимость спектральной ширины пика отражения от N остается линейной вплоть до нескольких десятков квантовых ям, пока NFq ^5 = 2 У2(г)оГо/7г, а затем насыщается до значения ширины фотонной запрещенной зоны б, определенной согласно (3.108).

Согласно (3.116) в брэгговских структурах амплитуда и полуширина резонансного контура отражения должны сильно возрастать. Экспериментально резонансные брэгговские структуры изучались для гетеропар CdTe/CdMgTe, CdTe/CdZnTe, CdMnTe/CdZnMgTe, GaAs/GaAlAs, InGaAs/GaAs. На рис. 3.3a представлены спектры отражения от брэгговской и антибрэгговской структур. Во второй структуре полуширина и амплитуда пика отражения намного меньше, чем в первой структуре. Рис. 3.3b иллюстрирует эффекты гигантского возрастания силы осциллятора и спектрального уширения в квантовых ямах InGaAs/GaAs. Отступление от брэгговского условия на 15% приводит к полному видоизменению спектра. Линейность зависимости полуширины пика отражения от N (см. (3.117)) экспериментально проверялась в работе [14].

Независимой проверкой теории являются эксперименты с временным разрешением, которые показывают, что по сравнению с одиночной ямой сигнал отражения от брэгговской структуры высокого качества спадает после возбуждения коротким импульсом значительно быстрее [15].

Резонансная брэгговская структура служит примером резонансного одномерного фотонного кристалла. Фотонными кристаллами принято называть среды, у которых диэлектрическая проницаемость периодически меняется в пространстве с периодом, допускающим брэгговскую дифракцию света. В настоящее время физика фотонных кристаллов оформилась в самостоятельную область твердотельной оптической спектроскопии, в которой активно проводятся фундаментальные исследования, а также технологические поиски и разработки будущих технических применений.

Электрооптика гетероструктур

Здесь мы обсудим кратко эффекты внешнего электрического поля F на оптические свойства структур с квантовыми ямами и сверхрешетки. Воздействие поля Ец || (х,у), приложенного в плоскости интерфейсов, на свободные носители и экситоны в квантовой яме похоже на то, что происходит в объемном полупроводнике, а именно: свободные носители совершают дрейф и вносят вклад в электрический ток, а экситонные состояния становятся нестационарными уже в умеренных электрических полях F ~ 103 - 104 В/см. Если поле приложено перпендикулярно к интерфейсам, F± ± (х,у), то электронный транспорт в структуре с квантовой ямой отсутствует, так как ему препятствуют потенциальные барьеры, образованные разрывом зон на интерфейсах. Барьеры препятствуют также диссоциации экситона: экситонные состояния хо-

рошо определены вплоть до электрических полей F± ~ V/|e|a ~ 105 В/см, где V — высота барьера, а — толщина ямы, тогда как энергия возбуждения экситона в таких полях может уменьшиться на величину, сопоставимую или даже превышающую 2Р-экситонный ридберг. Этот сдвиг экситонного резонанса к красной области спектра получил название размерно-квантованного эффекта Штарка.

В периодической структуре с достаточно толстыми квантовыми ямами транспорт вдоль оси роста z подавлен, так как он может происходить только благодаря некогерентным туннельным прыжкам из одной ямы в другую. В короткопериодных сверхрешетках с трехмерным характером энергетического спектра свободных носителей электрическое поле F± приводит к локализации носителей вдоль оси роста, называемой локализацией Ванье-Штарка. Размерное квантование и анизотропия, наведенная интерфейсными химическими связями в гетеро структурах, приводят к размерно-квантованному эффекту Поккельса.

Размерно-квантованный эффект Штарка

Индуцированное электрическим полем изменение энергии возбуждения 2D- экситона включает три вклада

ЛЕж = дЕе1 + дЕм - де, (3.118)

где дЕеХМ — изменение одночастичной энергии квантования и де — изменение энергии связи экситона. Штарковский сдвиг (3.118) главным образом определяется первыми двумя вкладами.

В слабом поле, таком что \eF\a « (Tz2/2m*)(7r/ti)2, сдвиг dEv электронного (или дырочного) уровня размерного квантования у квадратичен по полю F = Е^. Этот сдвиг можно рассчитать во втором порядке теории возмущений. Для нижнего уровня у = 1 имеем

где Zyi — матричный элемент координаты z и Ev — не возмущенная полем энергия носителя тока в подзоне у при кх = ку = 0. В симметричной квантовой яме состояния характеризуются определенной четностью и, следовательно, только четные у вносят вклад в сумму (3.119). Для бесконечно высоких барьеров имеем Z21 = (4/Зтг)2я, Е^- Ех = 3F1, Ех = (7г2/2т*)(л7я)2. В результате получаем оценку для вклада состояния у = 2: дЕх % -CteFa)1 )ЕХ , С = (1/3) (4/Зтг)4, где множитель С = 0.0108295... незначительно отличается от точного ответа С = 0.0108152..., получаемого с учетом остальных слагаемых в сумме (3.119).

Штарковская лестница в сверхрешетке

В 1960 г. Ванье предсказал, что под действием электрического поля трехмерные энергетические зоны совершенного кристалла превращаются в дискрет-

ный эквидистантный набор подзон, получивший название штарковской лестницы, а само явление называется локализацией Ванье-Штарка. Это явление впервые надежно удалось наблюдать в полупроводниковых сверхрешетках с периодом d, который намного превышает микроскопическую постоянную решетки.

Формирование штарковской лестницы в сверхрешетке легче всего понять в приближении сильной связи, когда перекрытие одноямных волновых функций в соседних ямах мало и электронную огибающую можно представить в виде

У>(г) = —= ехр(Жцр) У Сп1рп^. (3.120)

Здесь Кц — волновой вектор в плоскости интерфейсов, индекс п нумерует ямы, ц)п^ = ^(z - nd\ ф(Д — огибающая для размерно-квантованного состояния ev в одиночной яме, центрированной в точке z = 0 (в дальнейшем у = 1), S — площадь образца и N — полное число периодов в периодической структуре. Коэффициенты сильной связи удовлетворяют системе линейных уравнений

1Сп_х + (Ео + \е\Е^Сп + 1Сп^ = ЕСп , (3.121)

где Е — энергия электрона, Eq = ЕеЛ — энергия размерного квантования в одиночной яме, I — интеграл переноса между ближайшими ямами (для состояний el параметр I отрицателен) и Е — электрическое поле F^ предполагаемое для определенности положительным. Для блоховских электронов в невозмущенной сверхрешетке коэффициенты Сп пропорциональны схр(/Еу//7) и электронная минизона имеет косинусоидальную дисперсию

Е(ЕД = Ео + 2/ cos K^d . (3.122)

В электрическом поле уравнение (3.121) для коэффициентов Сп можно преобразовать к виду

x(Cn-i + Cw+i) = 2(и - А)Сп , (3.123) где для удобства введены безразмерные переменные х = A\I\!\e\Fd и А = (E-Eo)/\e\Fd. Напомним, что функции Бесселя удовлетворяют рекуррентным соотношениям

^-ito + y^to] = 2^(Х). (3.124)

Для решений системы уравнений (3.121), конечных при п —> +оо, собственное значение А = hq есть целое квантовое число и эти решения можно выразить через функцию Бесселя

Сп « Jn-no I ДЕ ] и Е„о = Ео - eFdno . (3.125) у \е\г ci /

В результате электронная минизона в сверхрешетке разбивается на серию подзон, сдвинутых друг относительно друга на величину, кратную \eF\d. Протяженность электронной волновой функции вдоль направления роста определяется параметром Nf = 21/\eF\d. Квантовое число ио совпадет с номером

квантовой ямы, в которой вероятность найти электрон в состоянии (3.125) максимальна. По мере удаления от этой ямы вероятность найти электрон убывает, оставаясь заметной при \п - Ио1 < Ыр, если Np ^ 1, или в пределах только ио-й ямы, если Ыр < 1 (предел сильной локализации). В сверхрешетке GaAs/AlxGai_xAs с а = 40 А, b = 20 А, х = 0.35 ширина нижней электронной минизоны Л ~ 0.07 эВ и параметр Ыр становится порядка единицы при F ~ 105 В/см. На рис. 3.4 представлены экспериментальные спектры фототока, индуцированного электрическим полем в сверхрешетке GaAs/AlGaAs. В спектрах, наряду с пиком, обусловленным внутриямными переходами с п = п\ наблюдается серия пиков с энергиями Епп- = Eqo + (n-n'^Fd, отвечающими переходам между состояниями штарковской лестницы в зоне проводимости и валентной зоны. В сильном электрическом поле состояния свободных носителей в соседних ямах настолько сдвинуты по энергии, что носители оказываются локализованными практически в одной яме, коэффициенты Сп при п Ф п^ пренебрежимо малы, интегралы перекрытия для междузонных переходов с n'Q Ф по также малы и в спектре фототока видны только внутри- ямные переходы.

Магнитоэкситоны в структурах с квантовыми ямами

В приближении эффективной массы гамильтониан для экситона в полупроводнике, помещенном во внешнее магнитное поле В, можно представить в виде суммы невозмущенного гамильтониана и двух слагаемых, линейного и квадратичного по В. В слабом поле магнитооптические эффекты рассчитываются по теории возмущений по малому параметру р = hcDd^EB = ав!Хв, где сос = \е\В/ц\\с — циклотронная частота с приведенной массой ^ц электрона и дырки при их движении в плоскости интерфейсов, Ев и ав — энергия связи и боровский радиус экситона, Лв = (7гс/ИВ)1/2 — магнитная длина. При р « 1 учет линейного по полю слагаемого приводит к расщеплению экситонных спиновых уровней (эффект Зеемана), тогда как квадратичное слагаемое вызывает диамагнитный сдвиг ЛЕ^ ос В2. В противоположном предельном случае очень сильных полей, когда р » 1, циклотронное движение свободных носителей квантуется с образованием уровней Ландау, характер движения электрона и дырки эффективно меняется с трехмерного на одномерный, а кулоновское взаимодействие рассматривается как возмущение. При междузонных оптических переходах квантовые числа Ландау N сохраняются (Nc = Av), так что переходы идут вблизи энергетических зазоров

Ecv,n = Eg + ^А + — j hcDc , (3.126)

где N = 0,1,2,... . Магнитное поле приводит также к росту энергии связи и силы осциллятора экситона. В результате спектр поглощения состоит из серий линий, привязанных к энергиям ECV_N. Такие квази-одномерные электронно-дырочные возбуждения существенно отличаются от обычных

трехмерных экситонов и называются диамагнитными экситонами. Учет электронно-дырочных возбуждений из континуума приводит к асимметричной форме каждого пика поглощения.

В структурах с квантовыми ямами движение носителей вдоль направления роста г квантуется и поэтому в сильном магнитном поле В || z их состояния локализованы во всех трех направлениях. Плотность состояний в этом случае есть сумма (^-функций, а спектр поглощения состоит из отдельных пиков, ширина которых определяется однородным и неоднородным уширениями. Так как уширение происходит одинаково в сторону высоких и низких энергий, пики междузонного магнитопоглощения в квантовых ямах симметричны.

Мы обсудим эффект Зеемана и тонкую структуру экситонных уровней в следующем разделе, а здесь сосредоточимся на диамагнитном эффекте в структурах с квантовыми ямами в поле В || z. При приближенном расчете огибающая волновой функции экситона ev-hv ищется в факторизованной форме

= F(pesp>ev^hv^ , (3.127) где огибающая F(pe,p^ удовлетворяет уравнению Шредингера с гамильтонианом

(3.128)(3.128)^ехс - Eg + Eev + Ену + Vc(pe p^ +

(3.128)

(3.128)

1Ъпе1Ъпе' Э J1лAfae) + з— оре с Jzm^' Э J1лAfae) + з— оре с Jzm^д е-Vh— + "Мр^ . dph сд е-Vh— + "Мр^ . dph с22

1

Ъпе

1

Ъпе

' Э J1

лAfae) + з— оре с Jzm^

' Э J1

лAfae) + з— оре с Jzm^

д е

-Vh— + "Мр^ . dph с

д е

-Vh— + "Мр^ . dph с

2

2

Здесь Eev, Е^у — энергии размерного квантования, Vc — эффективный кулоновский потенциал:

еVc(p) = кеVc(p) = кdzedzhdzedzh^р1 + fo - ZhV^р1 + fo - ZhV

е

Vc(p) = к

е

Vc(p) = к

dzedzh

dzedzh

^р1 + fo - ZhV

^р1 + fo - ZhV

и для векторного потенциала

(3.129)(3.129)А = ^Вхр.

(3.129)

(3.129)

Решения для двухчастичной собственной функции можно искать в форме [17]

F<Pe>Pd = exp [^ Rll (р - | в хр)] ехр(/^рР)/(р -Ро),(3.130)

где р = ре - Ри, R|| — положение центра масс в плоскости интерфейсов, Р — обобщенный 2Р-экситонный импульс и

о = ^f?xP^ V=^LZ^£

0 Й \ В / ’ ть + те '

Для экситонов ev-hv огибающая функция, описывающая относительное движение электрона и дырки, удовлетворяет уравнению

ew=ew=. « 2Мц 2^, р ^Р. « 2Мц 2^, р ^Р(3.131)(3.131)

ew=

ew=

. « 2Мц 2^, р ^Р

. « 2Мц 2^, р ^Р

(3.131)

(3.131)

1в7 / д \

--1В рх- +Vc(p+p0) М,

2дцс \ др)J

где М\\ = те + m/„ Е^ = Eg + Eev + Ejlv, и Jp = д2)дх2 + д2/ду2. Далее мы рассматриваем только аксиально симметричные эксито иные состояния, возбуждаемые при нормальном падении света, полагаем импульс Р, а значит, и зависящий от импульса сдвиг р0 равными нулю и ищем решения, не зависящие от азимутального угла, так что /(р) = f(pY Это позволяет отбросить слагаемое в (3.131), пропорциональное у, и свести Ар к

1£/ — \

рдр\др) '

В пределе слабого поля диамагнитный сдвиг 5-состояний экситона с не зависящей от угла огибающей /(р) дается выражением

f<P)p3 dp,f<P)p3 dp,л е2 В2 Э^сПа — Т у 4 p,,c2

f<P)p3 dp,

f<P)p3 dp,

где функция /(р) рассчитана в отсутствие поля.

В очень сильном магнитном поле функцию относительного движения для аксиально-симметричных экситонов можно приближенно представить в виде

1( р2 )( р2 )

fN(p) = -== U — ехр -— ,

^N\XBU^J( 44)

где Lylrj = ЬдДх) — полином Лагерра

U(x) = ех— (е”^) .dxN х '

Для энергии возбуждения экситона имеем

(3.132)(3.132)E = £<v) + |lV+l|M-£,\2 /

(3.132)

(3.132)

где 8 — энергия связи экситона, которая в рассматриваемом приближении определяется тройным интегралом

^N,v^N,vе1'к .ое1'к .оЪхрАрЪхрАрdzedZh,\/' + (Ze - Z.h)2dzedZh,\/' + (Ze - Z.h)2

^N,v

^N,v

е1'

к .

о

е1'

к .

о

ЪхрАр

ЪхрАр

dzedZh,

\/' + (Ze - Z.h)2

dzedZh,

\/' + (Ze - Z.h)2

Аналитические результаты можно получить в пределе бесконечно высоких барьеров, узких ям и очень сильных магнитных полей, таких что а < Лв < ав- В этом случае получаем

е

£n,v =,(3.133)

«Ав

где безразмерный коэффициент DN стремится к конечному значению при уменьшении отношения а/Ав, в частности Do ~> ^^лTA. [17] Таким образом, энергия (3.132) растет линейно с увеличением В благодаря квантованию Ландау и содержит дополнительный отрицательный вклад, пропорциональный л/В и возникающий из-за кулоновского взаимодействия.

Вторичное свечение гетероструктур

В полупроводниках в зависимости от характера излучательных процессов различают люминесценцию собственную, несобственную и экситонную. Собственная, или зона-зонная, люминесценция обусловлена рекомбинацией свободных электронов и дырок. Несобственная, или примесная, люминесценция возникает при излучательной рекомбинации свободного электрона с дыркой, связанной на акцепторе, или свободной дырки со связанным на доноре электроном, а также при излучательной донорно-акцепторной рекомбинации или оптических переходах между энергетическими уровнями одного и того же примесного центра. Экситонная люминесценция формируется в результате рекомбинации экситонов, свободных, связанных на примеси или локализованных. Среди других экситонных механизмов вторичного свечения отметим также экситон-поляритонную, биэкситонную и трионную люминесценцию. Если кинетическая энергия свободных носителей или экситонов, вовлеченных в рекомбинационное излучение, существенно превышает тепловую энергию, вторичное свечение называется горячей люминесценцией.

Низкотемпературная люминесценция структур с квантовыми ямами обычно связывается с излучательной рекомбинацией экситонов, локализованных на шероховатостях интерфейсов и флуктуациях состава твердого раствора. Флуктуации в ширине ямы и составе модулируют сверхструктурный потенциал и порождают локализованные состояния, формируя хвост локализованных экситонных состояний. Если туннельные прыжки между локализованными состояниями неэффективны, то форма полосы фотолюминесценции определяется полностью плотностью этих состояний. В режиме многократных прыжков заселенность хвоста экситонных состояний, а значит, и спектр фотолюминесценции формируются в результате конкуренции между экситонной рекомбинацией и индуцированным акустическим фононом переходом с верхних на нижние локализованные уровни.

При умеренно высоких температурах экситоны делокализуются и характеризуются квазиравновесным больцмановским распределением

Ж||) = СеХр(-Ж2/2МЖь

где Кц — 2D-вoлнoвoй вектор экситона, кв — постоянная Больцмана, нормировочный коэффициент С пропорционален TN, N — 2D-кoнцeнтpaция экситонов. Следовательно, эффективное излучательное время жизни определяется

выражениемвыражением'L Sd^f(Kn)

выражением

выражением

(3.134)(3.134)где тг(К\\) = [2Го(^ц)]-1 — радиационное время жизни экситона. Учитывая, что только экситоны с К\\ < (а)о/с)пь могут испускать фотоны, а экситоны с К\\ > (а)о/с)пь этим свойством не обладают, приходим к следующему соотношению для времени затухания фотолюминесценции

(3.134)

(3.134)

(3.135)(3.135)При выводе предполагалось, что значение теплового волнового вектора экситона Кт = (2MkBT/h4m значительно превосходит значение волнового вектора света пъ^/с.

(3.135)

(3.135)

Локализованные экситоны, их тонкая структура

Обычно оптические свойства наноструктур изучаются при освещении макроскопической области образца. Поэтому макроскопическая спектроскопия фотолюминесценции исследует большие ансамбли локализованных состояний в квантовых ямах. В этом случае узкие спектральные особенности индивидуальных квазиодномерных экситонов скрыты в спектральном пике фотолюминесценции, неоднородно уширенном и сглаженном. В настоящее время в спектроскопии фото- или катодолюминесценции появилась возможность зондировать всего несколько центров локализации с использованием техники микронного и даже субмикронного разрешения в комбинации с высоким спектральным и временным разрешением. Это достигается или путем уменьшения размера лазерного пятна на образце, или за счет уменьшения области образца, доступной для освещения, например покрытием полупроводниковой структуры тонкой непрозрачной металлической пленкой и созданием в пленке круглых отверстий малого диаметра [19]. Эта новая измерительная методика получила название микроспектроскопии.

С учетом спина свободных носителей основное состояние экситона и = 1 вырождено даже для простых зон. Для прямозонных экситонов в Г-точке вырождение основного состояния равно произведению чисел вырожденных состояний в точке к = 0 зоны проводимости и валентной зоны. При преобразованиях симметрии волновые функции вырожденного основного состояния преобразуются по представлению Dexc = Ге х Гн, где представления Ге и Г и характеризуют симметрию электронных и дырочных состояний в точке экстремума. Представление Dexc приводимо и может быть разложено на неприводимые представления группы симметрии рассматриваемой системы, объемного материала или наноструктуры. Электронно-дырочное обменное взаимодействие частично снимает вырождение эксито иных состояний и приводит к расщеплению эксито иного уровня 15 на подуровни, отвечающие неприводимым представлениям.

Мы рассмотрим здесь тонкую структуру нульмерных экситонов, сосредоточившись на анизотропном расщеплении радиационного дублета тяжелого экситона el - hhAXXsY локализованного на флуктуациях ширины квантовой ямы типа I или на одном из интерфейсов в гетеро структуре типа II. В структурах, выращенных вдоль оси г || [001], обменные расщепления для обоих типов экситонов описываются единой матрицей обменного взаимодействия. В базисе экситонных состояний |1), | - 1), |2), | -2) эта матрица имеет вид

Г SoеЧФ1д200Д -1е/ф^2S000rtexch — 200-So00e№1Si-SoГ SoеЧФ1д200Д -1е/ф^2S000rtexch — 200-So00e№1Si-So(3.136)(3.136)

Г So

еЧФ1д2

0

0

Д -1

е/ф^2

S0

0

0

rtexch — 2

0

0

-So

0

0

e№1Si

-So

Г So

еЧФ1д2

0

0

Д -1

е/ф^2

S0

0

0

rtexch — 2

0

0

-So

0

0

e№1Si

-So

(3.136)

(3.136)

Здесь ±1,±2 — проекции углового момента экситона на ось z, равные суммам проекций электронного спина s = ±1/2 и дырочного углового момента m = ±3/2; константы ^о>^ь^2 соответственно описывают расщепления экситонного квартета на дублеты | ± 1) и | ± 2), нерадиационного дублета на состояния (|2) ± е/Ф1| - 2»/V2 и радиационного дублета на состояния (|1) ± е/ф2| - 1))/ V2, которые являются дипольно активными в направлении прямоугольных осей, повернутых вокруг оси г на угол Ф2^ относительно фиксированных осей х и у. Заметим, что расщепление до сохраняется даже в приближении аксиальной симметрии, отличное от нуля значение #i возникает с учетом тетрагональной симметрии D^a идеальной квантовой ямы, а расщепление, связанное с 62, полностью определяется пониженной симметрией потенциала, локализующего экситон. Удобно ввести частоты Qj (j = 0,1,2), определяемые соотношениями Wo = до» ^1 = £2 cos 02, ^2 = §2^Ф^- Тогда матрица (3.136) для двух состояний | ± 1) принимает вид

'lexch — 2'lexch — 2Qo ^1 — Ю2Qi + Ю2 QoQo ^1 — Ю2Qi + Ю2 Qo(3.137)(3.137)

'lexch — 2

'lexch — 2

Qo ^1 — Ю2

Qi + Ю2 Qo

Qo ^1 — Ю2

Qi + Ю2 Qo

(3.137)

(3.137)

Рисунок 3.5 иллюстрирует зависимости энергии и обменного расщепления основного и возбужденных состояний локализованного экситона от размера островка, или флуктуации ширины ямы. За пределами островка квантовая яма состоит из целого числа N мономолекулярных слоев (в GaAs ширина монослоя яо/2 = 2.8 А), один из интерфейсов является плоским, а второй интерфейс в области островка сдвинут на моно слой в сторону барьера, т.е. в этой области ширина ямы равна (N + 1)яо/2. Островок выбран в форме прямоугольника, ориентированного вдоль осей х и у. По оси ординат на рис. 3.5а отложена энергия локализованного экситона Епп,, отсчитанная от энергии свободного 2Р-экситона в идеальной яме шириной (N + 1)яо/2. Вследствие дальнодействующего обменного взаимодействия уровень Епп- расщепляется на два подуровня Епп^х, Епп^у, поляризованные вдоль осей х и у соответственно. Знак расщепления 62 = Епп^х - Епп^у в основном определяется знаком разности между средними квадратами (^) и (К^\ При п = п' расщепление уровня Епп- отрицательно, если Еу < Ех, и положительно, если Еу > Ех, что

согласуется с кривыми 11 и 22 на рис. 3.5b. По мере роста квантового числа п (или п') дисперсия (^) (или (^)) возрастает. Поэтому при близких размерах Ех и Ц знаки разностей Епп^х-Епп^у ип-п' совпадают. Если стороны прямоугольного островка развернуть вокруг относительно фиксированных осей х,у на угол Ф, в спиновом гамильтониане (3.136) угол Ф2 становится отличным от нуля и равным 2Ф.

В работе [19] изучена фотолюминесценция структур с квантовой ямой GaAs/AlGaAs в режиме ближнего поля и измерен спектр вторичного излучения одиночной квантовой точки, сформированной большим мономолеку- лярным островком. При этом впервые удалось обнаружить тонкую структуру основного и возбужденных состояний локализованного экситона. Каждый из обнаруженных экситонных уровней состоял из двух подуровней, линейно поляризованных в ортогональных направлениях [110] и [НО]. Величина расщепления подуровней зависела от номера уровня и менялась в пределах ± (20 - 50) мкэВ. Последовательность знаков расщепления для основного и четырех возбужденных уровней, наблюдаемая в [19], воспроизводится на рис. 3.5b для значений Еу, лежащих между 420 и 480 А.

Оптическая ориентация спинов свободных носителей и угловых моментов экситонов

В последние годы возник большой интерес к спинтронике, нацеленной на изучение роли электронных спинов в физике твердого тела и влияния на спиновую динамику электрического и магнитного полей, а также на создание электронных приборов, использующих спиновую степень свободы. По той же причине интерес представляет и поведение не только электронных, но и дырочных или экситонных спинов в полупроводниках и полупроводниковых гетеро структурах.

Принципы оптической ориентации

Начиная с пионерской работы Лампеля [20] оптическая ориентация спинов свободных носителей и экситонов стала эффективным методом бесконтактного неразрушающего исследования зонных и кинетических параметров полупроводников. Суть этого метода заключается в наблюдении зависимости поляризации фотолюминесценции от состояния поляризации возбуждающего света. Вначале сформулируем основные принципы оптической ориентации свободных носителей, а затем обсудим особенности поляризованной люминесценции экситонов.

Принцип 1. При междузонном оптическом возбуждении циркулярно поляризованным светом проекция ±1 углового момента циркулярно поляризованного фотона <т± преобразуется в ориентированный угловой момент (или спин) фотоносителя.

В условиях стационарного возбуждения уравнения кинетики для плотностей и+ и п_ электронов со спином $ (или 1/2) и J, (или -1/2) имеют простой вид

(3.138)(3.138)и+ 1

(3.138)

(3.138)

— + — (п+-п_) = g+ ,

То2т s

п_ 1 ..

— + —(п_ -п^ = g_ .

То ^Ts

п+ - п_Р =п+ + п_п+ - п_Р =п+ + п_Здесь g± — скорости фотогенерации, то — время жизни фотоэлектронов в зоне проводимости, т$ — время их спиновой релаксации. Введем обозначения: п = п+ + п_ для полной концентрации фотоэлектронов, g = g+ + g_ для полной скорости генерации, s^ = (и+-и_)/2 для полного среднего электронного спина и

п+ - п_

Р =

п+ + п_

п+ - п_

Р =

п+ + п_

(3.139)

для степени спиновой поляризации электронов. Тогда решение уравнений (3.138) можно представить в виде п = gTo и р = ро(Т/то), где

Ро =Ро =8+"8- 18++ 8- ’ Т8+"8- 18++ 8- ’ Т111, То Ts111, То Ts(3.140)(3.140)

Ро =

Ро =

8+"8- 1

8++ 8- ’ Т

8+"8- 1

8++ 8- ’ Т

11

1, То Ts

11

1, То Ts

(3.140)

(3.140)

Т — время жизни ориентированного спина фотоэлектрона.

Отсюда следует Принцип 2; если время жизни фотоэлектрона то не слишком длинное по сравнению со временем спиновой релаксации т5, то ориентированные по спину электроны сохраняют спиновую поляризацию при стационарном возбуждении:

Ро грРо TsTo

=;—g.(3.141)

22 То + т$

Начальная степень спиновой поляризации ро пропорциональна степени циркулярной поляризации падающего света: ро = кР^. Коэффициент пропорциональности к зависит от правил отбора: для междузонных переходов П —> Г^ в объемном полупроводнике типа GaAs к = -1/2, а для оптических переходов hh\ —> el в структурах с квантовыми ямами на основе GaAs к = -1.

Принцип 3. В силу тех же правил отбора для междузонных оптических переходов рекомбинационное излучение спин-поляризованных фотоносителей оказывается циркулярно поляризованным. Для степени циркулярной поляризации фотолюминесценции имеем

Рс = кр = Р^к1 — .(3.142)

То

Это уравнение справедливо для рекомбинации фотоэлектронов с неполяри- зованными дырками. Если степень спиновой поляризации дырок ри также отлична от нуля, то выражение для Рс имеет более сложный вид. В частности, для рекомбинации электронов el и тяжелых дырок hh\ в квантовой яме, т.е. при к = -1, это выражение принимает вид

(3.143)(3.143)Ph” Ре

(3.143)

(3.143)

1 - PePh '

Принцип 4. Поперечное магнитное поле приводит к деполяризации фотолюминесценции. При падении света вдоль оси z, изотропном g-факторе электрона и магнитном поле В || х получаем

, sJB) =QlT , 5,(0),= 0,(3.144)

;1 + фьТУ }1 + (QLT)2

где 5г(0) — средний электронный спин в отсутствие магнитного поля, QL = |Ql| — частота ларморовой прецессии спина в магнитном поле, равная ^/ZbIBI/^z (рв — магнетон Бора). Видно, что в поперечном поле средний спин поворачивается вокруг вектора ^ь и деполяризуется. Такое действие магнитного поля на спин называется эффектом Ханле.

Оптическая ориентация и выстраивание экситонов в квантовых ямах

Аналогично свободным носителям экситонные спины (или угловые моменты) также можно оптически ориентировать. В отсутствие внешнего магнитного поля спин-поляризованные экситоны генерируются при циркулярно поляризованном возбуждении. Согласно (3.71) матричные элементы оптического возбуждения тяжелого экситона в базисе т = ±1, ±2 можно представить в виде

M±i = М0(ех + ie^ , М±2 = 0 ,

где еа (а = х,у) — компоненты единичного вектора поляризации света, Мо — постоянный коэффициент. При нормальном падении на квантовую яму циркулярно поляризованного света сг+ имеем ех = 1/V5, ^ = i/ ^ и М\ ос ех - ie^ Ф 0, М_\ ос ех + ie^ = 0, тогда как при сг_-возбуждении М^ = 0, М-i ^ 0, в согласии с законом сохранения проекции углового момента (3.72). Из этого же правила отбора следует, что рекомбинация спин-поляризованных экситонов сопровождается излучением циркулярно поляризованного света, что допускает оптическое детектирование спиновой поляризации.

Оптическая ориентация экситонных спинов является частным случаем более общего явления — селективного оптического возбуждения экситонных подуровней. Другим примером селективного фотовозбуждения является так называемое оптическое выстраивание экситонов линейно поляризованным излучением: в отличие от оптической ориентации, означающей различие в заселенности экситонных состояний \т) со спином т = ±1, линейно поляризованное возбуждение приводит к преимущественному заселению состояния (|1)+е,ф|—1»/ V2 с определенным направлением осциллирующего дипольного момента (фаза Ф определяется направлением плоскости линейной поляризации).

Для расчета селективного заселения экситонных подуровней решается кинетическое уравнение для спиновой матрицы плотности экситонов ртт'. Если экситонное состояние представлено волновой функцией ^ = ^т cmWm, где Тт — одна из экситонных базисных функций, матрица плотности определяется как ртт- = стс^,. В смешанном состоянии произведение стс^, усредняется по

статистическому ансамблю. Диагональные компоненты ртт определяют вероятность найти экситон в состоянии т, а недиагональные компоненты ртт- с т Ф т' — корреляцию между состояниями т и т'. Для чистых состояний \Ртт' I = РттРт'т' •

Чтобы сделать рассмотрение поляризованной фотолюминесценции физически более понятным, представим здесь упрощенный подход к описанию оптической ориентации и выстраивания экситонов на языке эффективного псевдоспина. В условиях резонансного возбуждения и в отсутствие спиновой релаксации экситонов между парами состояний т = ±1 и ±2 оптически неактивные подуровни остаются незаселенными, отличны от нуля компоненты спиновой матрицы плотности экситонов ртт- с ш, ш' = ±1 и экситон el-hhl(ls) ведет себя как двухуровневая система. Напомним, что любые два квантовых уровня (или подуровня) можно рассматривать как два состояния эффективного трехмерного псевдоспина S = 1/2. Спиновая матрица плотности ртпДтрп' = ±1), имеющая размерность 2x2, может быть выражена через компоненты среднего псевдоспина в виде

p = ^^|+S<r),(3.145)

где д"а^а = х, у, г) — псевдо спиновые матрицы Паули и N — стационарная концентрация экситонов. Чистые экситонные состояния |1) и | - 1) эквивалентны состояниям псевдоспина, поляризованного соответственно параллельно или антипараллельно оси г. Экситонные состояния

\Х) = (Ц) + | - 1»/ V2 , |У> = -I (| 1> - | - 1»/ V2 ,

дипольно активные в направлениях осей х и у, описываются псевдоспином 5V = 1/2 или -1/2 соответственно. Наконец, состояния |Х') = (|Х) + |К»/ V2 и |У'> = (|Х) - |У»/ V2, поляризованные вдоль направлений х* и у', соответствуют псевдоспину с отличной от нуля компонентой 5^ = 1/2 или -1/2. Отсюда следует простая связь между степенями поляризации экситонной фотолюминесценции PbPbPc и компонентами псевдоспина

Pt = 25 х , Рр = 25 , Рс = 25 г.(3.146)

Матрицу генерации экситонов Gmm, для трпг = ±1 можно также разложить по матрицам Паули

G = Go (1 + S°o-j .(3.147)

При резонансном возбуждении имеем

=(3.148)

где параметры Стокса Рр Р^ и Р^ характеризуют поляризацию возбуждающего света, S0 — экситонный псевдоспин в момент фотовозбуждения. Следует

отметить, что если экситоны формируются в результате связывания свободных электронов и дырок, то матрица G пропорциональна произведению одночастичных спиновых матриц плотности рер^ в момент связывания электрона и дырки. В этом случае можно наблюдать только оптическую ориентацию экситонов.

Воздействие магнитного поля на поляризацию экситонного излучения также удобно интерпретировать в псевдоспиновых терминах. В частности, экситонный спин-гамильтониан (3.137) вместе с зеемановским членом в продольном магнитном поле В || z сводятся к следующему гамильтониану для псевдоспина:

77 = | (<^A + ^-^2 + <^ц) , (3.149)

где W\\ — зеемановское расщепление состояний | ± 1), энергия отсчитывается от Wq. Псевдоспин S вращается вокруг вектора Q = ^Qy.Q^.Q^ с эффективной ларморовой частотой, равной модулю Q = ^^ + £?| + ^. В реальном случае, когда

^Q\ + ^| » 1, (3.150)

прецессия приводит к деполяризации составляющей исходного псевдоспина, перпендикулярной к вектору Q, тогда как компонента, параллельная Q, остается неизменной. Это означает, что стационарное значение S можно получить простым проектированием вектора S0 на направление вектора Q, т.е. S = Q(QS°)/|Q|2. Следовательно, соотношение между вторичной и исходной поляризациями можно представить как

Pi=AijP°j <iJ = U',c),Pi=AijP°j <iJ = U',c),(3.151)(3.151)

Pi=AijP°j <iJ = U',c),

Pi=AijP°j <iJ = U',c),

(3.151)

(3.151)

где матрица Л определена согласно

Q^ Q^Q^ Q\Q\\Q\Q^ Q^ Q^^wQ^ Q^Q^ Q\Q\\Q\Q^ Q^ Q^^w(3.152)(3.152)

Q^ Q^Q^ Q\Q\\

Q\Q^ Q^ Q^^w

Q^ Q^Q^ Q\Q\\

Q\Q^ Q^ Q^^w

(3.152)

(3.152)

Видно, что при ненулевом анизотропном обменном расщеплении ^2 продольное магнитное поле в условиях циркулярно поляризованного возбуждения восстанавливает циркулярную поляризацию фотолюминесценции и индуцирует линейную. Отсюда также следует, что при линейно поляризованном возбуждении магнитное поле приводит к двум эффектам: подавляет выстраивание и частично переводит линейную поляризацию фотолюминесценции в циркулярную.

В работе [21] вместо измерения степеней поляризации фотолюминесценции Р/, Р// и Рс при фиксированном положении поляризатора использовалась модуляционная методика, в которой анализатор находится в фиксированном положении, а образец возбуждается светом, поляризация которого модулируется во времени на некоторой частоте, меняясь скачками от циркулярной или

линейной на ортогональную. В этом случае измеряются эффективные степени поляризации

7110 _ 71107100 _ 70107(Г+ _ ja-

I _V _ LaLa с _1

Ра "" ЛЮ . ню ’ Ра "" /юо . 70Ю ’ р« ""+;

где 1^ обозначает интенсивность фотолюминесценции в конфигурации (а,/А) анализатора и поляризатора и а,р — линейные поляризации вдоль осей [100], [010], [ПО], [110] или циркулярные поляризации сг+,сг_. Можно показать, что в условиях резонансного возбуждения и в пренебрежении эффектами антипересечения уровней набор (3.153) совпадает со степенями поляризации Р^, Р^ и Р“, где а указывает положение поляризатора.

На рис. 3.6 представлены зависимости рса^В^ и р^В?), измеренные с одной из сверхрешеток GaAs/AlAs типа II в области спектрального максимума фотолюминесценции (А = 6684 А). Из рис. 3.6а видно, что степень р^В^ в слабых полях Bz 20 Гс резко возрастает от 2.5 до 5% и затем нарастает медленнее до уровня 20% при В: = 2.5 кГс. Рисунок 3.6b ясно демонстрирует индуцированную полем конверсию ориентация-выстраивание: р^ф^) достигает максимального значения 5% в поле В: % 0.7 кГс и меняет знак при инверсии поля. Более того, в согласии с теорией рспо(В^) отличается знаком от измеренной зависимости р^ф^). Влияние продольного магнитного поля на выстраивание проиллюстрировано на рис. 3.6с. Заметим, что основное изменение р1по происходит в тех же магнитных полях В % 0.7 кГс, что и для функции р^В^ на рис. 3.6а. Рисунок 3.6d подтверждает, что эффект преобразования ориентации в выстраивание обратим: экспериментальные зависимости р^ф^) и р1а ф?) близки друг к другу.

Сплошные кривые на рис. 3.6 представляют теоретическую подгонку с использованием теории оптической ориентации экситонов, в которой учтено обменное расщепление с Q\ Ф 0, Q^ = 0 в соответствии с механизмом анизотропного обменного расщепления в короткопериодных сверхрешетках GaAs/AlAs типа II [22]. Быстрый рост р^ в слабом поле связан, по-видимому, с вкладом в фотолюминесценцию пар пространственно разделенных локализованных электронов и дырок, которые характеризуются малыми значениями обменного расщепления. При подгонке этот вклад учитывается добавлением постоянного значения 5% к рассчитанной кривой рс ф^). За исключением узкой области вблизи нуля, экспериментальные данные удовлетворительно описываются при дополнительном учете спиновой релаксации экситонов между излучательными и безызлучательными состояниями, а также с учетом потерь ориентации и выстраивания в процессе квазирезонансного фотовозбуждения [21]. Так как в сверхрешетке GaAs/AlAs типа II имеются два сорта экситонов, локализованных на противоположных интерфейсах GaAs/AlAs и AlAs/GaAs и различающихся знаком Qi, рассчитанные кривые, описывающие конверсию ориентации в выстраивание и выстраивания в ориентацию, нужно умножить на фактор разбаланса

’

где N^ обозначает концентрацию экситонов, локализованных на интерфейсах AlAs-na-GaAs и GaAs-Ha-AlAs соответственно. Таким образом, измерение индуцированной магнитным полем конверсии между циркулярной и линейной поляризациями позволяет оценить важный структурный параметр, а именно фактор разбаланса /. Кривые на рис. 3.6 рассчитаны при д2 = 1-8 мкэВ и / = 0.9. Так как в сверхрешетках GaAs/AlAs типа II частота Q2 равна нулю и Q\T » 1, теория в полном согласии с экспериментом предсказывает отсутствие оптического выстраивания экситонов при возбуждении светом, поляризованным вдоль осей [100] или [010] (у матрицы (3.152) компонента Арр = 0) и отсутствие преобразования поляризации V-с или c-V (ЛСР = Лрс = 0).

Эффект Зеемана, электронный и дырочный g-факторы в квантовых ямах и сверхрешетках

Частота электронного парамагнитного, или спинового, резонанса (сокращенно ЭПР) определяется величиной эффективного фактора Ланде, или g- фактора, для электрона. Этот важный зонный параметр описывает зеемановское расщепление спиновых подуровней электрона в магнитном поле и проявляется не только в экспериментах по ЭПР, но и в различных магнитооптических явлениях, в особенности в фотолюминесценции и рассеянии света.

В общем случае зеемановский вклад для пары крамерсово-сопряженных состояний в электронный эффективный гамильтониан разлагается по матрицам Паули сга (а = х, у, г) в виде

*Яв = I Ив У, o-agapBp, (3.154) ар

где В — магнитное поле, Цв магнетон Бора и вещественный тензор g для низко симметричной системы характеризуется девятью линейно независимыми компонентами. Частота ЭПР находится из условия hoj = Эв, где зеемановское расщепление спиновых подуровней равно

(3.155)(3.155)

(3.155)

(3.155)

Если система обладает аксиальной симметрией, то тензор gap имеет только две линейно независимые компоненты, которые традиционно принято обозначать как

^|| —’ §-L = §ХХ = §ХХ >

где z, — главная ось системы. В этом случае выражение (3.155) сводится к

(3.156)(3.156)JB = ЦвВ ф^ cos2 0 + й sin2 6 >

(3.156)

(3.156)

где В = |В| и 0 — угол между Виг

Для электрона в нижней зоне проводимости Г6 в объемном полупроводнике с решеткой цинковой обманки (точечная симметрия Т^) g-фактор изотропен: gap = g5ap. Пользуясь kp-теорией возмущений, можно показать, что

§ =- go + —m0 u пФ с§ =- go + —m0 u пФ с^,1/2/ " Kl/2;/^,1/2/ " Kl/2;/(3.157)(3.157)

§ =- go + —

m0 u пФ с

§ =- go + —

m0 u пФ с

^,1/2/ " Kl/2;/

^,1/2/ " Kl/2;/

(3.157)

(3.157)

но в видено в видегде фактор Ланде свободного электрона go ~ 2, ^5;и = {сЕ^, s\px ± 1Щп\ спиновый индекс .у = ±1/2 и р — оператор импульса. В типичных полупроводниках с решеткой цинковой обманки основной вклад в g вносят верхние валентные зоны Г^Гп и выражение для g-фактора записывается приближен

но в виде

но в виде

(3.158)(3.158)4 |pcv|2 Л

(3.158)

(3.158)

£ - #0 “ 77777—“7 + ^g »

3 mo Eg (Eg + J)

где Zig — вклад далеких зон, рассматриваемый как подгоночный параметр, зонные параметры Eg,A,pcv определены в (3.23), (3.24). Используя для GaAs значения 2|pcv|2/то = 28.9 эВ, Eg = 1.52 эВ, Л = 0.34 эВ, получаем g = - 0.32, тогда как эксперимент дает gexp(GaAs) = -0.44. Это различие можно связать с вкладом далеких зон Zig = -0.12. Таким образом, в объемном GaAs go и вклад в g спин-орбитально расщепленных зон Fg, Г7 в значительной мере компенсируют друг друга.

Согласно (3.158) эффективный электронный фактор Ланде сильно зависит от ширины запрещенной зоны и спин-орбитального расщепления верхней валентной зоны. Величина g меняется от полупроводника к полупроводнику в широких пределах от больших отрицательных значений (например, около -50 в InSb) до -0.44 в GaAs и положительных значений g < 2 в широкозонных материалах. В твердом растворе AlxGai_xAs ширина запрещенной зоны возрастает с ростом состава х. Соответственно, g-фактор электрона обращается в нуль при некотором составе xq ~ 0.12 и становится положительным при х > хо. В частности, g(Alo.35Gao.65As) % 0.5.

Очевидно, выражение, аналогичное (3.157), можно использовать и для квантовых ям и сверхрешеток [23]. Однако в этом случае индекс п пробегает не только по всем зонам, но и по подзонам или минизонам, сформированным в результате размерного квантования. В то же время низкоразмерные структуры позволяют использовать альтернативные методы, учитывающие пространственное квантование электронной волновой функции [24]. Здесь мы представим два упрощенных, физически более прозрачных подхода, позволяющих делать оценки g-фактора.

В первом приближенном подходе электронный g-фактор в квантовой яме или сверхрешетке, состоящей из слоев А и В, например GaAs и AlGaAs, получается путем усреднения

§ = gA^A + gB WB ,

(3.159)(3.159)И’д.В -И’д.В -^1^Жв(?№,^1^Жв(?№,где gA,B — g-фактор в соответствующем объемном материале и и’д.в — вероятность найти электрон в слое А или В,

(3.159)

(3.159)

И’д.В -

И’д.В -

^1^Жв(?№,

^1^Жв(?№,

^а = 1 в пределах слоев А и ^А = 0 в слоях В, тогда как 6В = 1 - 0А- С уменьшением ширины квантовой ямы вероятность wa = 1 - wB убывает от 1 до 0 и, следовательно, электронный g-фактор меняется в пределах от gA до gB. Так как в гетеро структуре GaAsZAlo.35Gao.65 As значения gA и gB различаются знаками, электронный g-фактор должен менять знак при определенной толщине ямы. Так как gA и gB близки по абсолютной величине, их вклады в (3.159) существенно сокращаются в широкой области толщин. По этой же причине поправки, не учитываемые в (3.159), могут играть заметную роль.

Другой упрощенный метод основан на рассмотрении приближения бесконечно высоких барьеров как для электронов в зоне проводимости, так и для дырок в валентной зоне. В этом случае согласно правилам отбора (3.65) отличны от нуля только матричные элементы pCsv,vmv Для квантово-размерных состояний с совпадающими квантовыми числами у = у'. Тогда для продольного и поперечного g-факторов в подзоне el получаем

(3.160)(3.160)2 |/Лч |2 „

(3.160)

(3.160)

£||,± = #0 - Т А3 т0

где

312

7? и =,

Eg + Еех + Е^у Eg + Еех + Еу^ Eg + Д + Ее\ + Eso\

Eg + Ееу + Eihi Eg + J + Ee\ + Esoy

Ee\,En\ — энергии размерного квантования в нижней подзоне проводимостиEe\,En\ — энергии размерного квантования в нижней подзоне проводимости(el), нижних подзонах тяжелых (и = /z/zl) и легких (Z/zl) дырок и нижней(el), нижних подзонах тяжелых (и = /z/zl) и легких (Z/zl) дырок и нижнейподзоне, отщепленной спин-орбитальным взаимодействием (501). Выражеподзоне, отщепленной спин-орбитальным взаимодействием (501). Выражения (3.160) можно вывести, используя формулу (3.157) для g|| и аналогичнуюния (3.160) можно вывести, используя формулу (3.157) для g|| и аналогичнуюформулуформулуg±g±= go~= go~2 уч ^е{^сД/2;Л;с-1/2}2 уч ^е{^сД/2;Л;с-1/2}(3.161)(3.161)

Ee\,En\ — энергии размерного квантования в нижней подзоне проводимости

Ee\,En\ — энергии размерного квантования в нижней подзоне проводимости

(el), нижних подзонах тяжелых (и = /z/zl) и легких (Z/zl) дырок и нижней

(el), нижних подзонах тяжелых (и = /z/zl) и легких (Z/zl) дырок и нижней

подзоне, отщепленной спин-орбитальным взаимодействием (501). Выраже

подзоне, отщепленной спин-орбитальным взаимодействием (501). Выраже

ния (3.160) можно вывести, используя формулу (3.157) для g|| и аналогичную

ния (3.160) можно вывести, используя формулу (3.157) для g|| и аналогичную

формулу

формулу

g±

g±

= go~

= go~

2 уч ^е{^сД/2;Л;с-1/2}

2 уч ^е{^сД/2;Л;с-1/2}

(3.161)

(3.161)

для g±. Если пренебречь в энергетических знаменателях Е^-Е^ энергией размерного квантования дырки, то получим изотропный g-фактор, выражение для которого отличается от (3.157) заменой Eg на Eg + Ее^. Учитывая энергии размерного квантования Епх в соответствующих энергетических знаменателях, приходим к следующей оценке для разности поперечного и продольного g-факторов:

2\pCTV gi. ~ ^н = «о2\pCTV gi. ~ ^н = «о(3.162)(3.162)11

2\pCTV gi. ~ ^н = «о

2\pCTV gi. ~ ^н = «о

(3.162)

(3.162)

Eg + Ееу + Еш Eg + Ееу + Ем

Из (3.160, 3.162) получаем для относительной анизотропии g-фактора

gi. - g|| ~ з Е1И - Е^ Eg+dg± ~ 2 J nEg ’

где

3 Eg(Eg + zl)moЛ 12 zl|pcv|2 "

Отсюда следует, что в гетероструктурах электронный g-фактор должен характеризоваться значительной анизотропией. Последовательный расчет электронного g-фактора подтверждает эти оценки [23, 24].

При выводе (3.160) мы рассматривали ненапряженные гетеро структуры с согласованными постоянными решетки композиционных материалов. В структурах с заметным рассогласованием нужно включить в расчет деформационные сдвиги 6ЕС, 6ЕП в зоне проводимости и валентных подзонах. В результате в приближенных выражениях (3.160) знаменатели Eg + Ее\ + Епх заменяются на Eg + 6ЕС + Ее\ + 6ЕП + Еп\. Таким образом, подзоны тяжелых и легких дырок расщепляются как за счет размерного квантования, так и вследствие напряжения квантовых слоев. В гетеросистеме CdTe/CdMgTe оба эффекта действуют в одном направлении, увеличивая расщепление между подзонами /z/zl и //zl, а значит, и анизотропию g-фактора.

Детальные измерения поперечного g-фактора электрона проведены в структурах с квантовыми ямами GaAsZAlo.3Gao.7As, изучена зависимость g± от ширины ямы а, смена знака функции g±(£z) происходит при а % 65 А. Кроме того, в соответствии с предсказаниями теории обнаружено значительное различие между компонентами g|| и g± в гетеро структурах, выращенных на основе полупроводников как А3В5 (GaAs/AlGaAs, GaAs/AlAs, GalnAs/InP), так и А2Вб (CdTe/CdMgTe). С этой целью проводились эксперименты по оптической ориентации свободных носителей в наклонном магнитном поле, оптически детектируемому магнитному резонансу, квантовым биениям и резонансному комбинационному рассеянию света с переворотом спина (см. литературу, цитируемую в [24]).

Что касается дырочного g-фактора в гетеро структурах, то для тяжелой дырки он обладает сильной анизотропией. Более того, в приближении аксиальной симметрии поперечный g-фактор тяжелой дырки gM вообще равен нулю: в недиагональном матричном элементе проекция углового момента тяжелой дырки на ось г меняется на Лт = ±3, тогда как слагаемые, линейные по магнитному полю В ± ^ обеспечивают изменение т на ±1. С учетом кубической (неизотропной) симметрии объемных композиционных полупроводников значение gM конечно: в структуре с квантовой ямой GaAs/AlGaAs, выращенной по оси [001], это значение составляет 0.04 ± 0.01 [25]. Заметим, что здесь величина g^v определена как спиновое расщепление в магнитном поле, отнесенное к цвВ.

Комбинационное рассеяние света

В объемных полупроводниках свет может рассеиваться (1) на свободных носителях, включая рассеяние на флуктуациях плотности заряда (одночастичные возбуждения и плазмоны) и флуктуациях спиновой плотности (переходы с переворотом спина), (2) на фононах, оптических (рамановское, или комбинационное, рассеяние) или акустических (мандельштам-бриллюэновское рассеяние), и (3) статических дефектах (релеевское рассеяние). В гетеро структурах с квантовыми ямами и сверхрешетках появляются дополнительные возможности: в структурах с квантовыми ямами вклад в рассеяние могут вносить не только внутриподзонные переходы, но и переходы между электронными подзонами размерного квантования (рассеяние на межподзонных флуктуациях плотности заряда или спиновой плотности); комбинационное рассеяние обогащается участием размерно-квантованных и интерфейсных оптических фононов (confined and interface optical phonons), а также акустических фононов co “сложенным” спектром (folded acoustic phonons) в сверхрешетках.

Мы будем использовать обозначения цц, qi, ex и ^2, q2, ^2 для частоты, волнового вектора и единичного вектора поляризации у исходной (первичной) и рассеянной (вторичной) электромагнитных волн соответственно. Если частица (или квазичастица), участвующая в процессе рассеяния, сталкивается с фотоном и изменяет свою энергию и волновой вектор Ex, кх на Е2, k2, то законы сохранения гласят:

Ткщ + Ei = 7z6l>2 + Е^ , qx + kx — q2 + к2 . (3.164)

Если же рассеяние фотона сопровождается испусканием или поглощением элементарного (квазичастичного) возбуждения, характеризуемого частотой Q и волновым вектором Q, то законы сохранения принимают вид

— ^2 + ^ t qi — 42 + Q , (3.165) бщ + Q = 0)2,4i + Q — 42 •

При испускании (поглощении) возбуждения частота фотона уменьшается (возрастает) на 12. При этом говорят о рассеянии в стоксову или антисток- сову область спектра, а процесс рассеяния называют стоксовым или антистоксовым соответственно. При одновременном поглощении света в среде, когда векторы qx,2 комплексны, в закон сохранения следует подставлять вещественные части соответствующих волновых векторов.

Структуры с квантовыми ямами не обладают трансляционной симметрией вдоль оси роста г. Поэтому закон сохранения компонент волновых векторов на ось г исключается из (3.164), (3.165).

Рассеяние на межподзонных электронных возбуждениях

Рассмотрим рассеяние света на межподзонных электронных переходах ev + 1i,G)i —> ^^ + ^2 в структуре с квантовой ямой и-типа, в которой валентная зона заполнена, а в зоне проводимости имеется 2Е-электронный газ. Это

рассеяние представляет собой двухквантовый процесс. Он включает поглощение первичного фотона с переходом электрона из валентной подзоны Wr в подзону eV и последующее излучение вторичного фотона с переходом равновесного электрона ev в вакантное состояние в подзоне vv". Предположим для простоты, что энергия фотона Ткщ лежит вблизи запрещенной зоны квантовой ямы. Тогда при расчете вероятности рассеяния света можно учесть только резонансный вклад в матричном элементе второго порядка и записать спектральную интенсивность вторичного излучения в виде

1(62,*,^) К У W^fi (1 - fi-WEy + ПШ2 - Ei - М),(3.166)

., л V ^rieiplz^Xz^je^pIz^

Мн ос Ао У ^7г•

Еу - Еу, - Тга>1

Здесь \i\ |f), \i") — электронные состояния в подзонах ev, eV и vvM соответственно, Ei — энергия электрона в состоянии |/), ft — электронная функция распределения, (f|p|f') — междузонный матричный элемент оператора импульса р, Ао — скалярная амплитуда векторного потенциала первичной электромагнитной волны. Используя (3.166) и пренебрегая кулоновским взаимодействием между носителями и смешиванием валентных подзон при к ^ О, можно получить следующее выражение для дифференциального сечения рассеяния на межподзонных возбуждениях в одиночной квантовой яме

= hto2 AW

dcodQ J\S Ащ2А Q^

= Д — "7 EE ^^сф^ S , ys)|

x ' y'yk Vs

X /yk (1 — /y'k) d(Eev'k + M — Eev^ — TitOy) ,

где введен тензор рассеяния

Ra^V S , vs) = — ) llE и 0 wRa^V S , vs) = — ) llE и 0 w(3.168)(3.168)

Ra^V S , vs) = — ) llE и 0 w

Ra^V S , vs) = — ) llE и 0 w

(3.168)

(3.168)

Поясним остальные обозначения: AW — вероятность рассеяния света в единицу времени в элемент телесного угла AQ^ и в частотный интервал Аа^, S — площадь образца в плоскости интерфейсов, Jy — интенсивность исходного излучения, индекс v пробегает три валентные подзоны объемного полупроводника, включая подзоны тяжелых и легких дырок, а также подзону, отщепленную спин-орбитальным взаимодействием, т — спиновый индекс дырки, P^s vm — междузонный матричный элемент, рассчитанный между объемными блоховскими функциями, iev,w' — интегралы перекрытия (3.61). Рассматривается геометрия рассеяния назад при нормальном падении, когда падающая и рассеянная волны распространяются навстречу друг другу и параллельно

нормали к плоскости интерфейсов. В силу второго закона сохранения (3.164) волновой вектор электрона к в процессе рассеяния не меняется.

При междузонных оптических переходах четность огибающих функций сохраняется. Поэтому она сохраняется и при рассеянии на межподзонных переходах. Следовательно, рассеяние разрешено для переходов el —> еЗ и запрещено для переходов el —> е2. В реальных условиях отступление от указанного правила отбора может быть связано с дополнительным рассеянием фо- товозбужденных электронно-дырочных пар на статических дефектах и несовершенствах гетеро структуры, а также с гибридизацией состояний тяжелых и легких дырок при к ^ 0. В асимметричных квантовых ямах, например односторонне легированных, основной причиной рассеяния на межподзонных возбуждениях е^-е\ является асимметричная форма огибающих ^ev(z),^w(z), при которой интегралы перекрытия iev,ws iev,w" могут одновременно быть отличными от нуля. Заметим, что выражение (3.167) выведено в одночастичном приближении, когда переданная энергия фотона совпадает с разностью одночастичных энергий Еу - Еу Учет кулоновского взаимодействия между электронами приводит к перенормировке энергии межподзонного возбуждения, вследствие чего рамановские сдвиги при рассеянии на межподзонных возбуждениях с сохранением и переворотом спина различаются [26].

Рассеяние на размерно-квантованных оптических фононах

Микроскопически рассеяние света на фононах в нелегированном полупроводнике или полупроводниковой структуре описывается как процесс третьего порядка с составным матричным элементом

Мру УП'П MnQ

(Еп, - /кщ ± hQ - 1КГп,ХЕп - hco\ - ihEn) ’

где Mnp — матричный элемент однофотонного перехода из основного состояния системы |0) в возбужденное состояние |и), представляющее собой электрон-дырочную пару или экситон и характеризуемое энергией возбуждения Еп и затуханием Гп; Vn-n — матричный элемент электрон-фононного взаимодействия, включающего также взаимодействие фонона с дыркой; Q — частота фонона. Как и при выводе (3.166), (3.168), здесь учтен только резонансный вклад. Перед актом рассеяния электронная подсистема находится в основном состоянии |0), фононная подсистема включает N фононов с частотой Q и волновым вектором Q, имеется 7V(^i) первичных фотонов, а фотоны с энергией кванта Тга>2 отсутствуют. После акта рассеяния электронная подсистема вновь оказывается в основном состоянии, число первичных фотонов уменьшается на единицу, рождается фотон щ2> а число фононов увеличивается на единицу в стоксовом процессе рассеяния и убывает на единицу при антистоксовом рассеянии. Согласно (3.169) на первой ступени трехступенчатого процесса рассеяния первичный фотон возбуждает электронную подсистему в промежуточное состояние \п\ Затем рассеяние на фононе вызывает

квантовый переход из |и) в другое промежуточное состояние |и'). На заключительном этапе электронная подсистема возвращается в основное состояние, излучая при этом рассеянный фотон.

Чтобы понять особенности оптических колебаний в гетеро структурах, рассмотрим слой квантовой ямы с шириной а. Оптические фононы в объемных материалах характеризуются слабой дисперсией с ниспадающей дисперсионной кривой. При малых значениях волновых векторов Q можно ограничиться членами нулевого и второго порядков в разложении частоты, например, продольного оптического фонона

7z О2Olo(Q) ^lo^ -,

2 АУ

где для удобства введен положительный параметр М, имеющий размерность массы. Если частоты QmW в слоях ямы и барьера заметно различаются, то оптические фононы испытывают размерное квантование аналогично тому, как это происходит с электронными состояниями в квантовой яме. В результате составляющая волнового вектора фонона Q принимает дискретные значения, близкие к лу/а, где у - положительные целые числа. В континуальном приближении относительный сдвиг и = щ - пл между катионной (С) и анионной (А) подрешетками рассматривается как непрерывно изменяющаяся величина. При решении задачи о собственных колебаниях нужно вводить граничные условия для и и скалярного потенциала Ф(г) электрического поля, порождаемого этими колебаниями.

При упрощенном описании размерно-квантованных LO-фононов в периодических структурах с квантовыми ямами полагают, что на интерфейсах в нуль обращается относительный сдвиг и^. Тогда для скалярного потенциала имеем Фу(г) ос sin(7rvz/^), если у нечетно, и Фу(г) ос cos (тгу^/я), если у четно. В работе [27] предложены решения

sin (тщуг/а) + Cvzla ,sin (тщуг/а) + Cvzla ,Ф^ ос <Ф^ ос <cos (ул^/я) - (-l)v/2cos (ул^/я) - (-l)v/2У = 3,5,... ,у = 2,4,6,... ,У = 3,5,... ,у = 2,4,6,... ,(3.170)(3.170)

sin (тщуг/а) + Cvzla ,

sin (тщуг/а) + Cvzla ,

Ф^ ос <

Ф^ ос <

cos (ул^/я) - (-l)v/2

cos (ул^/я) - (-l)v/2

У = 3,5,... ,

у = 2,4,6,... ,

У = 3,5,... ,

у = 2,4,6,... ,

(3.170)

(3.170)

которые удовлетворяют одновременно условию обращения в нуль как для Ф(<), так и для и^. При этом учитывается, что линейная функция у(х) = ci + C2Z удовлетворяет однородному уравнению d2y(z)ld^ = 0. Константы Цу и Су находятся из условия обращения в нуль функции Фу(^) и ее первой производной на интерфейсах г = ±а/2. При таком описании мода у = 1 исключается из набора (3.170), так как ее нужно последовательно рассматривать как интерфейсную моду. Физически интерфейсный оптический фонон представляет собой поверхностное возбуждение (поверхностный фонон), передаваемое от интерфейса к интерфейсу и распространяющееся вдоль оси z неограниченно далеко (в пренебрежении процессами рассеяния и распада оптического фонона).

В симметричных структурах с квантовыми ямами GaAs/AlAs(001) (точечная группа D^ размерно-квантованные оптические фононы характеризуются

симметрией Ai и В^. Напомним, что в группе D^d простейшими примерами базисных функций для представлений Ai и В2 могут служить константа и координата г соответственно. Согласно (3.170) для фононных мод с четными v скалярный потенциал ФДЭ имеет симметрию Ах, а огибающая функция wy(z) преобразуется по представлению В^, тогда как для фононов с нечетными у, функции Фу и uv(z.) соответствуют представлениям В2 и Ар Заметим, что симметрия оптического колебания определяется симметрией скалярного потенциала ФДЭ-

Возвращаясь к рассмотрению рассеяния света на размерно-квантованных оптических фононах, напомним, что для краткого обозначения геометрии рассеяния обычно используются четыре символа — два в скобках и два вне скобок — например x(yz)y, z(xx)2 или z(cr+, <т_)2. Внутренние символы указывают поляризацию, внешние — направление распространения первичного и вторичного фотонов. В частности, конфигурация Дху)2 означает, что исходное излучение распространяется вдоль оси г и поляризовано по оси х, а рассеянный свет распространяется в обратном направлении и регистрируется его составляющая, поляризованная по у.

В рассеяние п ^ пг электронно-дырочного возбуждения на продольном оптическом фононе, т.е. в рассеяние, описываемое в (3.169) матричным элементом Уи/и, вносят вклад два механизма: фрелиховский, или дальнодейству- ющий, и деформационный, или короткодействующий. В первом механизме LO-фонон воздействует на электронную подсистему через скалярный потенциал Ф(Э электрического поля, индуцированного оптическим колебанием решетки. При деформационном механизме происходит индуцированное фононом смешивание состояний тяжелых и легких дырок, т.е. в этом случае переход п пг совершается за счет взаимодействия дырки с оптическим фононом.

При возбуждении вблизи края фундаментального поглощения в квантовой яме GaAs/AlAs основной вклад в рассеяние вносят промежуточные состояния eVhhA. В соответствии с (3.52), (3.57) запишем огибающую двухчастичной волновой функции в виде /пО^Фе^е^Фнм^н)» где fn(p) ~ огибающая относительного движения электрона и дырки в плоскости интерфейсов в эк- ситонных состояниях или электронно-дырочных состояниях из континуума. Тогда при рассеянии на LO-фононе за счет дальнодействующего механизма имеем

Vn-n = е6п,п [^ (z) - фу]Л (z)] Ф(z)dz .

При симметричных функциях ^^?^^^ этот интеграл отличен от нуля лишь для симметричного потенциала Ф(Э- Это согласуется с правилом отбора, следующим из теоретико-группового анализа: оптические моды с четными v (симметрия Ai) рамановски активны в параллельных конфигурациях Дхх)2 или z(yy)2.

Деформационный механизм проявляется в недиагональном рассеянии Дху)2 или Дху)2 на продольных оптических колебаниях симметрии В^, т.е. с нечетными у.

На рис. 3.7 показаны спектры комбинационного рассеяния на размерноквантованных оптических фононах, измеренные на толстобарьерной сверхрешетке GaAs/AlAs, содержащей 400 двойных слоев шириной а = 20 А, b = 60 А. Фононные моды с квантовым числом у обозначены в виде LOV. При нерезонансном возбуждении сечения рассеяния на фононах LO2/+1 и LO2/, наблюдаемые соответственно в конфигурациях Дху)2 и Дхх)2, сопоставимы по величине. В согласии с предсказаниями микроскопической теории при резонансном возбуждении, когда hu)\^ % Е^ ннх и фрелиховский механизм преобладает над деформационным, наблюдается только рассеяние на LO2/- фононах. Наличие тех же линий LO2/, хотя и заметно меньшей интенсивности, в скрещенной геометрии Дху)2 может быть связано с влиянием статических дефектов на фрелиховское взаимодействие носителей с оптическими фононами. Комбинационное рассеяние в сверхрешетках и квантовых ямах является привлекательной альтернативой неупругому рассеянию нейтронов для определения дисперсии оптических фононов в объемном полупроводнике.

Рассеяние на акустических колебаниях со “сложенным” спектром

Мы ограничимся здесь рассмотрением рассеяния света на продольных акустических (LA) колебаниях в полупроводниковых сверхрешетках. Дисперсионное уравнение для таких колебаний по форме совпадает с уравнением (3.29), в котором нужно подставить в качестве £д,в волновой вектор фонона kj = Q!sj (Q — частота фонона, sj — скорость продольного звука в материале j = А, В), а параметром N является отношение PbSb/PaSa (Pj — плотность вещества j\ Учитывая далее, что для типичных полупроводниковых сверхрешеток параметр

Рв^в - Р as а8 = ——

a/PaPbSaSb

мал по сравнению с единицей, уравнение дисперсии удобно представить в виде

12

cos (Qd) = cos (к^а + квЬ) - - sin (&aA> sin (£в/?) s ,(3.171)

где Q — волновой вектор, описывающий распространение блоховского фонона вдоль главной оси сверхрешетки z, d = а + b — период структуры. В пренебрежении слагаемыми, пропорциональными е\ получаем линейную дисперсию

Qd = к^а + kBb = Q/s, s - d {as~^ + bs^f1 .(3.172)

В схеме приведенных зон волновой вектор задается в первой зоне Бриллюэна сверхрешетки: \Q) < л/d.B этом случае линейная зависимость (3.172) превращается в “сложенную” линию, прямые ветви которой описываются формулой ^/й = 4^|/| + 161 sign/V(3.173)

Отсюда следует, например, что в точке 2 = 0 имеются колебания с частотами Q, кратными частоте Qi = ^sjd. Для обозначения ветвей вводится индекс /, пробегающий значения 0, ±1, ±2,... . Заметим, что при / = 0 в (3.173) вместо sign / нужно подставить единицу. При учете второго слагаемого в правой части (3.171) в спектре “сложенных” акустических фононов в точках излома 2 = 0, ±n/d появляются запрещенные зоны. При малых значениях 8 ширина запрещенной минизоны вблизи частоты Qi равна 2(^/б/)|^г sin [^aC^iMI.

Феноменологически рассеяние света на акустических фононах можно описывать, добавляя к материальному соотношению между диэлектрической поляризацией среды Р и электрическим полем первичной световой волны Е вклад

dPa = ^ХарСУ» ЙЕ а = Ра^Хр Еа Ыхр(У> Й •

Здесь и^т^Й — тензор деформации, возникающей при акустическом колебании, Рархр — тензор фотоупругих коэффициентов, который в сверхрешетке зависит от координаты z. При таком описании спектральная интенсивность рассеянного света пропорциональна среднему квадрату флуктуации диэлектрической восприимчивости

КшъчХ I^¥(q2 -qi,^2 - wi)|2 е^ьЧ1),

где Eq — амплитуда первичной волны, бх^ЕЙ — пространственная и временная фурье-компоненты флуктуации (^(г, Й-

При рассеянии на LA-фононах в параллельной конфигурации z(xx)2 или z(yy)2 вклад вносит только фотоупругий коэффициент Рхх^ = Pi2. Разложим функцию Рц(й в ряд Фурье

P12(z)= У ,

где Gm = ^mjd,

Р№ = ->Рх + ЬР^ , = (РА - рв) -L sin ^ (m * 1).d лт d

Елоховская акустическая волна, распространяющаяся в сверхрешетке, представляет собой набор пространственных гармоник с волновыми векторами 2 + Gm. Оценки показывают, что обычно при рассеянии в сверхрешетках пространственная модуляция фотоупругого коэффициента играет более существенную роль, чем смешивание пространственных гармоник в акустическом фононе. Поэтому сечение рассеяния света на сложенном акустическом фононе при Q <^л|d пропорционально Р№.

В короткопериодной сверхрешетке волновой вектор света мал по сравнению с л|dvl^ рассеянии участвуют фононы с малым значением 2 = Qx - Qi ~ 2^1. С другой стороны, при рассеянии назад это значение достаточно велико, чтобы можно было использовать линейно-ломанную дисперсию (3.173). В результате спектр рассеяния, помимо пика мандельштам-бриллэновского

рассеяния, отвечающего фонону ветви I = 0, содержит дублеты ±/ с не зависящим от I расщеплением Эм = 2^/1 и со средним рамановским сдвигом Щх - Щ2 = ±2тг5|/|/б/. Здесь знак ± отвечает рассеянию в стоксову и антисток- сову области спектра.

Экспериментальные спектры рассеяния света в области переданных частот, отвечающей акустическим колебаниям, показаны рис. 3.8. Измерения проводились в конфигурации z(yy)2 на трех гексагональных сверхрешетках GaNZAlo.28Gao.72N с различными периодами [29]. Для каждой структуры в стоксовой и антистоксовой областях спектра удалось наблюдать только первый дублет, отвечающий “сложенным” акустическим фононам с Z = ±1. В согласии с теорией расщепление дублета для трех сверхрешеток принимает практически одно и то же значение, а средний рамановский сдвиг этого дублета возрастает по мере убывания периода.

Квантовые микрорезонаторы

В разделе 4 рассмотрены естественные пути для усиления взаимодействия света с веществом — настройка на резонансные условия возбуждения и размерное квантование экситонов в квантовой яме. Квантование электромагнитного поля в микрорезонаторе со встроенной квантовой ямой, или квантовом микрорезонаторе, открыло путь для дальнейшего значительного увеличения коэффициента экситон-фотонной связи [30]. Интерес к квантовым микрорезонаторам вызван рядом причин. Укажем три из них. Во-первых, эти структуры перспективны для создания низкопороговых вертикально излучающих лазеров. Во-вторых, фундаментальные вопросы взаимодействия двумерных фотонов с веществом открыли новый раздел в квантовой электродинамике. Наконец, квантовые микрорезонаторы представляют новые возможности для нелинейной оптики, так как по сравнению с линейным нелинейный отклик сильнее зависит от константы экситон-фотонной связи.

Полупроводниковый микрорезонатор представляет собой многослойную структуру, состоящую из активного слоя В толщиной Ьь, заключенного между оптическими зеркалами, или распределенными брэгговскими отражателями (рис. 3.9). Последние состоят из достаточно большого числа чередующихся слоев Ci и С2 с различающимися показателями преломления гц и п^ и ширинами ах, а^. Толщины слоев удовлетворяют условиям

пь—Lb = Nb^ , гц — сц = n^ —сц = , (3.174) c c c 1

где пь — показатель преломления активного слоя, Nb — его толщина, выраженная в целых числах полуволн Т/2 = л^с!й)Пь\ й) — произвольно выбираемая частота, которая при выполнении условий (3.174) оказывается резонансной частотой 2D-фoтoннoй моды. В квантовом микрорезонаторе в середину активной области помещается одна или несколько квантовых ям (слой А на

рис. 3.9) с резонансной частотой экситона що> близкой к частоте о). В дальнейшем для простоты предполагаем, что структура содержит одну квантовую яму и Nb — четное число, так что электрическое поле фотонной моды имеет пучность в середине активного слоя.

Смешивание экситонных и фотонных состояний в квантовом микрорезонаторе приводит к образованию 2Р-экситонных поляритонов. Анализ таких связанных экситон-фотонных возбуждений можно проводить в модели двух классических осцилляторов, один из которых представляет экситон в квантовой яме, а другой — фотонную моду. Роль колеблющихся величин играют средняя поляризация P(t) = a-1 J ^Pexcfe, О, индуцируемая 2Р-экситоном, и электрическое поле E(t) в квантовой яме. Заметим, что в пределах тонкого слоя квантовой ямы зависимостью электрического поля от г можно пренебречь. Эти две величины удовлетворяют стандартной системе уравнений для связанных осцилляторов

d2d

-^PW + ^Р(Г) + 2Г-Р(0 = qvE^ ,(3.175)

dtdt

d2эd

-ТдЕ<Ь + £(0 + 27—E(t) = q^f), dt1dt

где Г, у — нерадиационное затухание 2Р-экситона и затухание фотонной моды, которое определяется неидеальной отражательной способностью зеркал, обусловленной конечностью числа пар Сд и С2 в распределенных брэгговских отражателях. Собственные решения ищем в виде экспоненциальных функций P(t) = Ро~ш\ E(t) = EeTlG)t. Если затухания Дуй разность затравочных резонансных частот о)о - о) малы по сравнению с самими этими частотами, система уравнений для амплитуд упрощается:

(0)0-0)- 1Г)Р = ухЕ ,(3.176)

(О) - О) - 1у)Е = у2Р .

Здесь вместо qx и q^ введены другие параметры yj = qjj^o). Для них, а также для затухания у можно получить аналитические выражения [31, 32]

е КьО)

У1 = ^о , Уг = - , f = z, q =(3.177)

Д litqaс

1_ _ 2с

У = У/ + Уг , У/ = ~ (1 - RmiW , Г = —= ,

У у8 v’ nb(L + Еь)

„~ 1 л^f _ ЛС П^

~ 14 I_.

Поясним физический смысл введенных параметров: уj — затухание фотонной моды, обусловленное выходом фотона из микрорезонатора в левую (j = /) или правую (j = г) внешнюю среду с диэлектрической проницаемостью nj; Го — введенное в (3.84) радиационное затухание экситона в структуре с одиночной

квантовой ямой, Rmj — коэффициент отражения света от брэгговского зеркала j при падении на него со стороны активного слоя, Nj — число пар слоев Ci и С2 в этом зеркале, длина L определяет глубину проникновения фотонной моды в брэгговский отражатель.

Решая однородные уравнения (3.176), получим следующие комплексные собственные частоты экситон-поляритоиных мод:

W± = - [&>0 + W - ^Г + у)] + ^yiy2 + - [w0 - ^ - КГ - у)]2 .(3.178)

Заметим, что согласно (3.177) произведение У1У2 равно произведению Г Eq.

Проанализируем случай, когда частота фотонной моды <Э настроена на резонанс с экситонной частотой: м = mq. В режиме слабой связи, определяемом условием (Г - у)2 > 4ухУ2, имеем для собственных частот

± ?У , У = " 7172 ,

т.е. их реальные части совпадают, а мнимые различаются. В режиме сильной связи, когда (Г - у)2 < 4ухУ2, у собственных частот различаются вещественные части:

В этом случае разность м+ - м_ = 2X2 называется частотой Раби.

Отметим, что обычные структуры с изолированными квантовыми ямами являются открытыми системами, в которых 2D-вoзбyждeния, экситоны, взаимодействуют с ЗР-фотонами и экситон-фотонное взаимодействие приводит в основном к радиационному затуханию экситона. В квантовом микрорезонаторе с качественными оптическими зеркалами как экситонные, так и фотонные состояния размерно квантованы в направлении главной оси структуры. Поэтому в этом случае возможна сильная перенормировка энергии исходных (“голых”) частиц. В реальных полупроводниковых квантовых резонаторах расщепление Раби составляет несколько миллиэлектронвольт, а в некоторых случаях даже превышает 10 мэВ.

Для расчета коэффициента отражения от квантового микрорезонатора, например, при падении света слева нужно добавить в правую часть второго уравнения (3.176) слагаемое -(i/Fy^FE^ где Eq — амплитуда падающего света, t't — амплитудный коэффициент пропускания света через левое брэгговское зеркало при падении со стороны левой внешней среды. Электрическое поле волны, выходящей через левое или правое зеркало, связано с полем Е в квантовой яме соотношением

где tmj — амплитудный коэффициент пропускания света через зеркало j при падении света со стороны активного слоя. В режиме сильной связи собственные частоты со+ в спектре оптического отражения проявляются в виде двух провалов, а в спектре пропускания — в виде двух пиков.

Для иллюстрации режима сильной связи на рис. 3.10 представлен спектр отражения от квантового микрорезонатора, в котором брэгговские зеркала выращены из чередующихся слоев AlAs (гц = 2.95) и GaAs (п^ = 3.61), активная область шириной Л — из GaAs, одиночная квантовая яма Ino.o4Gao.96As расположена в центре активного слоя, резонансные частоты м и м0 совпадают. Свет на структуру падает по нормали к плоскости интерфейсов. В спектре четко различимы два минимума, определяющие положение собственных частот 2Р-экситонных поляритонов щ±. Расщепление Раби составляет ~ 3 мэВ и существенно превышает ширину спектральных провалов м+ им.

При наклонном падении света в микрорезонаторе возбуждаются поляритоны с отличным от нуля 2D-вoлнoвым вектором дц. В микрорезонаторе с однородным активным слоем, не содержащим квантовой ямы, дисперсия 2D- фотонов имеет простой вид

"photon) = 7^7777 ■

Эта формула получается из дисперсии фотонов

= <clnb)q = (сМ) 7 +

в активном слое и квантования компоненты q^ в микрорезонаторе. При малых значениях 2Р-волнового вектора, когда q\\ <с q = (м/с)^, применимо параболическое приближение

^phot(^||) = ^ +,(3.180)

где введена эффективная масса 2D-фoтoнoв т = n^hojjc1. В квантовом микрорезонаторе экситонная и фотонная моды смешиваются. В результате для верхней и нижней ТЕ-поляризованных ветвей дисперсионной кривой получаем

z х (Dq -V й) Nii( (Dq — й)Nii )

соМО =± А 7172 +•3.181

24т\ V 24т )

м±(^||) - м0 + —- ± 4тм±(^||) - м0 + —- ± 4тЗдесь для простоты пренебрегается экситонным и фотонным затуханием. Кроме того, экситонная эффективная масса считается бесконечной, так как фотонная масса т очень мала и обычно имеет порядок (1О-5-1О-4)шо. В структурах с совпадающими частотами мо и й) дисперсия принимает вид

м±(^||) - м0 + —- ± 4т

м±(^||) - м0 + —- ± 4т

(3.182)

где введена константа экситон-фотонной связи V = ^yiy2 = V^o- Дисперсия ТМ-поляризованных поляритонов рассмотрена в [32].

Из многочисленных нелинейных оптических явлений, изученных в квантовых микрорезонаторах, мы рассмотрим нелинейное рассеяние поляритонов при наклонном падении возбуждающего света под определенным углом, получившим название “магического”. Речь идет о процессе рассеяния поряри- тонов в пределах нижней ветви

(w_, qp) + (w_, qp) (w_, 0) + (w_, 2qp),

в котором два идентичных исходных поляритона с волновыми векторами qu = qp, превращаются в пару поляритонов с волновыми векторами 0 и 2q^, где q^ — составляющая волнового вектора света накачки, лежащая в плоскости интерфейсов. Поляритон с qn = 0 высвечивается по нормали к интерфейсам и называется сигнальным; поляритон с qu = 2q^ получил название холостого (idler). Значение q^ находится из законов сохранения энергии и волнового вектора

2^_(^,) = м_(0) + ^_(2^,).(3.183)

Для частиц с параболической дисперсией такой процесс рассеяния запрещен. Сильная связь между экситоном и фотоном в микрорезонаторе приводит к антипересечению их затравочных дисперсионных кривых и к образованию ветвей щ±(#ц) (см. (3.181)). Нижняя ветвь G)_(q\\) характеризуется сильно выраженной непараболичностью, допускающей необычное двухполяритонное рассеяние. Пусть частота микрорезонатора й) настроена на резонанс с м0. Подставляя Щ-(^ц) из (3.182) в (3.183), приходим к трансцендентному уравнению

V1 + 4х2 - V4 + х2 + 1 - х = 0

для безразмерной переменной х = hq^J'lmV. Это уравнение имеет два решения: тривиальное хх = 0 и нетривиальное Х2 = 1. Следовательно, изучаемое поляритон-поляритонное рассеяние происходит при qp = yjlVm/li и критический, или “магический”, угол падения возбуждающего света равен

0р = arcsin(c^/dJo) = arcsin^ ^Q/c^oj .(3.184)

Здесь учтено, что при нулевых расстройке w -wq и параметрах затухания Г, у расщепление Раби 2X2 равно 2V.

В работе [34] указанное рассеяние наблюдалось в двухпучковой постановке эксперимента: свет накачки падал на структуру наклонно, а второй (пробный) пучок, когерентный первому, — по нормали. Наблюдалось стимулированное усиление отражения второго пучка, когда угол падения света накачки приближался к магическому углу. Процесс рассеяния характеризуется богатой поляризационной зависимостью [36]. Этот же процесс удается наблюдать и при использовании только одного источника света [35]. При достижении некоторой критической интенсивности накачки при угле падения

6Р начинается сверхлинейное нарастание интенсивности света, выходящего из структуры по нормали к поверхности образца. В этом случае дно поляритонной подзоны и играет роль ловушки, которая “всасывает” поляритоны и формирует макроскопическое поляритонное состояние, эффективно излучающее свет наружу

Заключение

В настоящее время оптоэлектроника структур с квантовыми ямами и сверхрешетками находит широкое применение в самых разных сферах деятельности человека. Полупроводниковые лазеры, охватывающие диапазон от видимой до дальней инфракрасной областей, используются в системах волоконнооптической связи, в системах записи и считывания информации, в множительной технике, в технологии обработки материалов, в медицине, экологии и других областях. Кроме лазеров с двойными гетеро структурами, или ДГС лазерами, в последние годы большое внимание уделяется созданию каскадных и вертикально излучающих лазеров. Другие области применения, такие как светоизлучающие диоды, терагерцовые излучатели, солнечные батареи (включая каскадные солнечные фотоэлементы), фотоприемники, электрооптические модуляторы и переключающие устройства, оптоэлектронные интегральные схемы, позволяют говорить о сформировавшейся индустриальной области - нанотехнологии. Дальнейшее развитие этой области подпитывается продолжающимся революционным прогрессом в области низкоразмерной физики и интенсивным исследованием структур с квантовыми проволоками и квантовыми точками.

Список литературы

D.J. BenDaniel, С.В. Duke: Phys. Rev. 152, 683 (1966).

G. Bastard: Phys. Rev. В 24, 5693 (1981).

J.I. Frenkel: Phys. Rev. 37, 17, 1276 (1931).

R.L. Greene, K.K. Bajaj: Sol. St. Commun. 45, 831 (1983).

L.C. Andreani, F. Tassone, F. Bassani: Sol. St. Commun. 77, 641 (1991).

Е.Л. Ивченко: ФТТ 33, 23 88 (1991).

Y. Fu, M. Willander, E.L. Ivchenko, A.A. Kiselev: Phys. Rev. В 55, 9872 (1997).

E.L. Ivchenko, V.P. Kochereshko, P.S. Kop’ev, V.A. Kosobukin, LN. Uraltsev, D.R. Yakovlev: Sol. St. Commun. 70, 529 (1989).

E.L. Ivchenko, M. Willander: Phys. St. Sol. (b) 215, 199 (1999).

L.I. Dey ch, A.A. Lisyansky: Phys. Rev. В 62, 4242 (2000).

Е.Л. Ивченко, А.И. Несвижский, С. Йорда: ФТТ 36, 2118 (1994);

Superlatt. Microstruct. 16, 17 (1994).

Merle d’Aubigne, A. Wasiela, Н. Mariette, Т. Dietl: Phys. Rev. В 54, 14003 (1996).

C. Ell, J. Prineas, T.R. Nelson, Jr., S. Park, H.M. Gibbs, G. Khitrova, S.W. Koch: Phys. Rev. Lett. 80, 4795 (1998).

M. Hubner, J.P. Prineas, C. Ell, P. Brick, E.S. Lee, G. Khitrova, H.M. Gibbs, S.W. Koch: Phys. Rev. Lett. 83, 2841 (1999).

S. Haas, T. Stroucken, M. Hubner, J. Kuhl, B. Grote, A. Knorr, F. Jahnke, S.W. Koch, R. Hey, K. Ploog: Phys. Rev. В 57, 14860 (1998).

E.E. Mendez, F. Agullo-Rueda, J.M. Hong: Phys. Rev. Lett. 60, 2426 (1988).

И.В. Лернер, Ю.Е. Лозовик: ЖЭТФ 51, 588 (1980)

S.V. Goupalov, E.L. Ivchenko, A.V. Kavokin: ЖЭТФ 113, 703 (1998).

D. Gammon, E.S. Snow, B.V. Shanabrook, D.S. Katzer, D. Park: Phys. Rev. Lett. 76, 3005 (1996).

G. Lampel: Phys. Rev. 20, 491 (1968).

R.I. Dzhioev, H.M. Gibbs, E.L. Ivchenko, G. Khitrova, V.L. Korenev, M.N. Tkachuk, B.P. Zakharchenya: Phys. Rev. В 56, 13405 (1997).

Е.Л. Ивченко, А.Ю. Каминский, И.Л. Алейнер: ЖЭТФ 104, 3401 (1993).

Е.Л. Ивченко, А.А. Киселев: ФТП 26, 1471 (1992)

А.А. Kiselev, E.L. Ivchenko, U. Rossler: Phys. Rev. В 58, 16353 (1998).

X. Marie, T. Amand, P. Le Jeune, M. Paillard, P. Renucci, L.E. Golub, V.D. Dymnikov, E.L. Ivchenko: Phys. Rev. В 60, 5811 (1999).

A. Pinczuk, S. Schmitt-Rink, G. Danan, J.P. Vallarades, L.N. Pfeiffer, K.W. West: Phys. Rev. Lett. 63, 1633 (1989).

Kun Huang, B. Zhu: Phys. Rev. В 38, 13377 (1988).

A.K. Sood, J. Menendez, M. Cardona, K. Ploog: Phys. Rev. Lett. 54, 2111 (1985).

V.Yu. Davydov, A.A. Klochikhin, I.E. Kozin, V.V. Emtsev, LN. Goncharuk, A.N. Smirnov, R.N. Kyutt, M.P. Scheglov, A.V. Sakharov, W.V. Lundin, E.E. Zavarin, A.S. Usikov: Phys. St. Sol. (a) 188, 863 (2001).

C. Weisbuch, M. Nishioka, A. Ishikawa, Y. Arakawa: Phys. Rev. Lett. 69, 3314 (1992).

V. Savona, L.C. Andreani, P. Schwendimann, A. Quattropani: Solid State Commun. 93, 733 (1995).

E.L. Ivchenko, M.I. Kaliteevskii, A.V. Kavokin, AT. Nesvizhskii: J. Opt. Soc. Am. В 13, 1061 (1996).

G. Khitrova, H.M. Gibbs, F. Jahnke, M. Kira, S.W. Koch: Rev. Mod. Phys. 71, 1591 (1999).

P.G. Savvidis, J.J. Baumberg, R.M. Stevenson, M.S. Skolnick, D.M. Whittaker, J.S. Roberts: Phys. Rev. Lett. 84, 1547 (2000).

R.M. Stevenson, VN. Astratov, M.S. Skolnick, D.M. Whittaker, M. Emam- Ismail, AT. Tartakovskii, P.G. Savvidis, J.J. Baumberg, J.S. Roberts: Phys. Rev. Lett. 85, 3680 (2000).

A. Kavokin, P.G. Lagoudakis, G. Malpuech, J.J. Baumberg: Phys. Rev. В 67, 195321 (2003).

Рис. 3.3. (а) Сравнение спектров оптического отражения в области экситонно- го резонанса el-hhl(ls) для двух структур с набором из десяти квантовых ям CdTe/CdYZni-YTe с покрывающим слоем одной и той же толщины Л/2 и с периодами d, близкими к Л/2 (образец I) и Л/4 (образец II). Пунктирные кривые — расчет, выполненный при ЙГ0 = 0.12 мэВ и КГ = 0.3 мэВ [12]. (Ь) Спектры поглощения и отражения для структуры, содержащей тридцать квантовых ям Ino.o4Gao.96As/GaAs. (i) Зависимость коэффициента поглощения от энергии фотона. Экспериментальная (сплошная кривая) и теоретическая (пунктир) кривые практически неразличимы, (ii)

Энергия, эВ

Рис. 3.4. Низкотемпературные спектры фототока в сверхрешетке GaAsZAlo.35Gao.65As при различных значениях напряженности электрического поля F || z [16]. Для удобства спектры сдвинуты друг относительно друга по вертикали. Числа 0, ±1, ±2 при пиках, наблюдаемых в поле 18 кВ/см, указывают разность п - п' между квантовыми числами для оптических переходов hhnr —> е\п. Аналогичные переходы из подзон легких дырок обозначены символами 0/ и -1/.

Рис. 3.5. Уровни энергии Е1т- локализованного экситона (а) и расщепление д2 между локализованными состояниями |и, п',х) и |и, п',у) (Ь) в зависимости от длины Ц при фиксированном значении Lx = 950 А (см. вставку) в квантовой яме GaAsZAlo.3Gao.7As

Продольное магнитное поле, кГс

Рис. 3.6. Эффект воздействия продольного магнитного поля на оптическую ориентацию и выстраивание локализованных экситонов в сверхрешетке GaAs/AlAs типа II: (а)/Уг , (b) pj10 , (с) /У110 , (d) //г. Экспериментальные данные (Т = 4.2 К) показаны квадратами; сплошные кривые — теоретическая подгонка [21].

Рис. 3.7. Спектры нерезонансного (а) и резонансного (Ь) комбинационного рассеяния на размерно-квантованных оптических фононах в толстобарьерной сверхрешетке GaAs/AlAs с шириной слоев а = 20 А, b = 60 А. Пик справа от частоты фонона LOs обусловлен интерфейсной модой [28].

Рис. 3.8. Спектры рассеяния, измеренные при комнатной температуре в сверхрешетках GaNZAlo.28Gao.72N с тремя различными периодами d = 61, 128 и 23 8 А. Возбуждение осуществлялось светом в длиной волны 21 = 4880 А [29].

квантовой ямой А

Рис. 3.9. Схематическое изображение квантового микрорезонатора.

1.475 1.480 1.485 1.490 1.495 1.500

Йео, эВ

Рис. 3.10. Спектр оптического отражения от квантового микрорезонатора с активной областью шириной Л, в центр которой вставлена квантовая яма [33].

Оптика квантовых точек

А.В. Федоров, А.В. Баранов

ГОИ им. С.И. Вавилова, Санкт-Петербург a_v_fedorov@inbox.ru

Введение

Важнейшим объектом физики низкоразмерных полупроводниковых гетероструктур являются так называемые квазинульмерные системы или квантовые точки. Дать точное определение квантовых точек достаточно трудно. Это связано с тем, что в физической литературе квантовыми точками называют широкий класс квазинульмерных систем, в которых проявляется эффект размерного квантования энергетических спектров электронов, дырок и экситонов. К этому классу, прежде всего, относят полупроводниковые кристаллы, у которых все три пространственных размера порядка боровского радиуса экситона Rex в объемном материале. Данное определение предполагает, что квантовая точка находится в вакууме, газовой или жидкой среде, либо ограничена каким-либо твердотельным материалом, отличающимся от материала, из которого она изготовлена. В этом случае трехмерное пространственное ограничение элементарных возбуждений в квантовых точках обусловлено наличием границ раздела между различными материалами и средами, т. е. существованием гетерограниц. Такие квантовые точки часто называют микро- или нанокристаллами. Однако это простое определение не является полным, поскольку есть квантовые точки, для которых гетерограницы в одном либо двух измерениях отсутствуют. Несмотря на это, движение электронов, дырок или экситонов в таких квантовых точках пространственно ограничено из-за наличия потенциальных ям, возникающих, например, благодаря механическим напряжениям или флуктуациям толщины полупроводниковых слоев. В этом смысле можно сказать, что квантовая точка - это любая трехмерная потенциальная яма, заполненная полупроводниковым материалом, с характерными размерами порядка Rex, в которой движение электронов, дырок и экситонов пространственно ограничено в трех измерениях. В настоящее время для изготовления квантовых точек применяют практически любые полупроводниковые соединения, например AiB7, А7Вб и А3В5, а также Ge и Si.

Среди всего многообразия различных квантовых точек можно выделить несколько основных типов, которые наиболее часто используются в экспериментальных исследованиях и приложениях. Прежде всего, это нанокристаллы в жидкостях, стеклах и в матрицах широкозонных диэлектриков (рис. 4.1). Если они выращиваются в стеклянных матрицах, то, как правило, имеют сферическую форму. Именно в такой системе, представлявшей собой квантовые

точки из CuCl, внедренные в силикатные стекла, при исследовании однофотонного поглощения был впервые обнаружен эффект трехмерного размерного квантования экситонов [1]. Эта работа положила начало бурному развитию

стекло

Рис. 4.1. Квантовые точки в стеклянной матрице, представляющие собой сферы с радиусом R.

физики квазинульмерных систем. Квантовые точки в кристаллической диэлектрической матрице могут быть прямоугольными параллелепипедами, как это имеет место для квантовых точек на основе CuCl, встроенных в NaCl. Нанокристаллами являются и квантовые точки, выращенные в полупроводниковых матрицах методом капельной эпитаксии.

Рис. 4.2. Самоорганизованные квантовые точки, выращенные методом Странски- Крастанова. 1 и 4 - буферные слои GaAs, 2 - квантовые точки InAs, 3 - смачивающий слой InAs, 5 - легированная подложка GaAs.

Другим важным типом квантовых точек являются так называемые самоорганизованные квантовые точки, которые изготавливаются методом Странски-Крастанова с помощью техники молекулярно лучевой эпитаксии (рис. 4.2). Их отличительной особенностью является то, что они связаны между собой посредством сверхтонкого смачивающего слоя, материал которого совпадает с материалом квантовых точек. Таким образом, в этих квантовых

точках отсутствует одна из гетерограниц. К этому же типу, в принципе, могут быть отнесены пористые полупроводники, например пористый Si, а также потенциальные ямы в тонких полупроводниковых слоях, возникающие благодаря флуктуациям толщины слоев.

Квантовые точки, индуцированные механическими напряжениями, можно отнести к третьему типу (рис. 4.3). Они образуются в тонких полупроводниковых слоях благодаря механическим напряжениям, которые возникают из-за рассогласования постоянных решетки материалов гетерограниц. Эти механические напряжения приводят к появлению в тонком слое трехмерной потенциальной ямы для электронов, дырок и экситонов. Из рис. 4.3 видно, что

Рис. 4.3. Структура с индуцированными механическими напряжениями InGaAs квантовыми точками. 1 - накрывающий слой GaAs; 2 - самоорганизованные InP квантовые точки, которые задают механические напряжения, приводящие к возникновению трехмерных потенциальных ям в слое InGaAs; 3 и б - буферные слои GaAs; 4 - тонкая InGaAs квантовая яма, в которой образуются индуцированные механическими напряжениями квантовые точки; 5 - квантовые точки; 7 - подложка GaAs. Точечными линиями показаны профили механических напряжений.

такие квантовые точки не имеют гетерограниц в двух направлениях.

Технология изготовления различных квантовых точек описана в большом числе научных публикаций, среди которых следует отметить специальные главы в монографиях [2-4].

Как упоминалось выше, характерный линейный размер области пространственного ограничения движения электронов, дырок и экситонов в квантовой точке столь мал, что возникает эффект размерного квантования их энергетических спектров. Однако трехмерное пространственное ограничение приводит не только к размерному квантованию электронной подсистемы твердого тела, но и к квантованию других его подсистем, обладавших в исходном объемном материале непрерывным энергетическим спектром, например колебательной ядерной подсистемы (фононы). Кроме того, пространственное ограничение модифицирует взаимодействие различных квазичастиц квантовой точки друг с другом и с внешними полями. Перестройка энергетического спектра квантовых точек по сравнению с объемными материалами и

изменение взаимодействий их элементарных возбуждений, индуцированное пространственным ограничением, проявляется в откликах таких объектов на внешние возмущения. В частности, радикально модифицируются такие оптические отклики квантовых точек, как одно- и многофотонное поглощение, квазиупругое, комбинационное и гиперкомбинационное рассеяние света, а также различные типы люминесценции. Меняются спектральные положения линий, их ширины и относительные амплитуды, а кроме того, существенно изменяются скорости дефазировки оптических переходов и скорости релаксации возбужденных состояний, которыми определяются нестационарные отклики квантовых точек на импульсное оптическое возбуждение.

Неослабевающий интерес к квантовым точкам вызван не только тем, что они обладают уникальными физическими свойствами. Кроме этого, квантовые точки являются чрезвычайно перспективными объектами в смысле практических приложений. На их основе уже создано достаточно большое число различных электронных и оптоэлектронных устройств и приборов, примером которых могут служить лазеры и фотоприемники. Квантовые точки служат рабочим элементом в одноэлектронных транзисторах, используемых для построения процессоров и оперативной памяти компьютеров. Нанокристаллы различных типов применяются даже в биологии и медицине, например в качестве сенсоров и люминесцентных меток. Возможность практического использования квантовых точек в различных областях человеческой деятельность основана, прежде всего, на размерной зависимости их физических свойств. Вследствие этой зависимости, варьируя лишь размеры квантовых точек, можно получать такие их параметры, которые важны для практики. Есть все основания полагать, что со временем прикладное значение квантовых точек будет возрастать.

Состояния размерного квантования электронных и фононных возбуждений квантовых точек

Прежде чем обсуждать оптические свойства полупроводниковых квантовых точек, необходимо подробнее остановиться на эффектах размерного квантования, возникающих в таких системах. Сделаем это на примере достаточно простых физических моделей, в рамках которых удается получить аналитические результаты, качественно описывающие свойства практически любых объектов с трехмерным пространственным ограничением.

Размерное квантование электронной подсистемы квантовых точек

Эффект размерного квантования заключается в том, что при уменьшении линейных размеров объекта квазинепрерывные энергетические спектры и волновые функции его элементарных возбуждений радикально модифицируются. В случае квантовых точек вместо непрерывного спектра возникают дискретные уровни размерного квантования (рис. 4.4). Рассмотрим этот эффект

для случая полупроводниковых квантовых точек простой формы, встроенных в диэлектрическую среду [5].

Рис. 4.4. Схема, иллюстрирующая трансформацию непрерывного энергетического спектра зоны проводимости Ес(к) и валентной зоны Ev(k) объемного полупроводника в дискретный спектр состояний квантовой точки. Eg и Е^т - ширины запрещенной зоны в объемном материале и в квантовой точке.

Для описания энергетического спектра и волновых функций низкоразмерных систем наиболее часто используется та или иная форма метода эффективной массы (kP-теория возмущений) [6], детально разработанного для объемных твердых тел [7]. Привлекательность этого подхода основана на том, что он в ряде случаев позволяет получать аналитические результаты, явно учитывающие граничные условия и форму наноразмерных структурных элементов. Кроме того, в рамках kP-теории возмущений относительно легко учесть взаимодействия электронной подсистемы низкоразмерных систем с колебаниями решетки, статическими деформациями и внешними полями. Удивительным успехом данного подхода является то обстоятельство, что он позволяет объяснить многие качественные закономерности, присущие низкоразмерным системам, даже на основе простейшей двухзонной модели полупроводника, которая явно учитывает лишь одну зону проводимости (с) и одну валентную зону (г).

Основная идея kP-теории возмущений заключается в том, что волновая функция электрона (дырки) представляет собой линейную комбинацию произведений быстро осциллирующих в области элементарной ячейки кристалла блоховских амплитуд ми(г) и медленно меняющихся в масштабе элементарной ячейки огибающих волновых функций ^и(г)

Ф(г) = У у„(г)и„(г). (4.1)

В (4.1) суммирование ведется по вырожденным состояниям. В случае простой орбитально-невырожденной зоны (например, зоны проводимости в прямозонных полупроводниках А3В5) в (4.1) остается лишь одно слагаемое, используя которое, можно получить с помощью стандартной процедуры [7]

уравнение Шредингера для огибающих волновых функций квантовой точки

--— + V(r)2m*--— + V(r)2m*<Дг) = Еф(г\<Дг) = Еф(г\(4.2)(4.2)

--— + V(r)

2m*

--— + V(r)

2m*

<Дг) = Еф(г\

<Дг) = Еф(г\

(4.2)

(4.2)

где т* - эффективная масса носителя заряда в рассматриваемой зоне, a V(r) - трехмерная потенциальная яма, которая пространственно ограничивает движение носителей заряда. Отсюда следует, что для однозонной модели квантовой точки задача на собственные значения сводится к хорошо известной из курса квантовой механики (например, [8]) задаче о движении частицы в потенциальной яме.

Известно, что в ряде случаев уравнение (4.2) может быть решено аналитически. Прежде всего, предположим, что потенциальная яма V(r) обладает бесконечно высокими стенками. Это предположение является вполне оправданным, если квантовая точка находится, например, в стеклянной матрице. Будем считать также, что квантовая точка представляет собой сферу радиуса R (рис. 4.1). Тогда потенциальная яма имеет вид

У(г) = / °’ I1*' “ R’ (4 3) W (ОО, |г| > 7?. 1 ;

Благодаря сферической симметрии задачи переменные в (4.2) разделяются. Волновые функции и энергии электрона (дырки) в квантовой точке при условиях ^>(0) + оо и ^>(г)||Г|=^ = 0 определяются следующими выражениями:

^/m(r) = S¥1тф\ Еп1=^. (4.4)

В (4.4) п, I и т - главное квантовое число, угловой момент и его проекция, соответственно, ji(x) и Yim(Q) - сферические функции Бесселя и сферические гармоники [9], kni = %ni/R, §ni - и-й корень функции Бесселя /-го порядка ^ji^nt) = 0). Из (4.4) прямо следует, что трехмерное пространственное ограничение движения носителей заряда в квантовой точке приводит к расщеплению их непрерывного энергетического спектра Ec(v)(k) = #к212тС(у) на дискретные уровни размерного квантования Еп[ (рис. 4.4). Кроме того, оказывается, что энергия дискретных уровней обратно пропорциональна квадрату радиуса квантовой точки. Аналогичные результаты могут быть получены для квантовых точек в форме прямоугольного параллелепипеда [10]:

^>W = Л г г г sin ^Х) sin <М sin ^А Е« = vA (4-5) V LxLyLz у 2m*

где вектором п = (п^п^п^ обозначен набор трех квантовых чисел пх, пу и nz, принимающих целые значения; kHi = nni/Li для / = x,y,z; Д - длина ребра параллелепипеда в /-м направлении; кп = л(и2/£2 + и2/£2 +и|/£|)1/2. В случае цилиндра с высотой h и радиусом основания ро волновые функции и энергии равны

^иги/(г) —^иги/(г) —2 Ji(knip)^ лИр^ Ju^nL)2 Ji(knip)^ лИр^ Ju^nL)sin ^Иг^ с ^, En?ni —sin ^Иг^ с ^, En?ni —W^ + ^)2ш*W^ + ^)2ш*(4.6)(4.6)

^иги/(г) —

^иги/(г) —

2 Ji(knip)

^ лИр^ Ju^nL)

2 Ji(knip)

^ лИр^ Ju^nL)

sin ^Иг^ с ^, En?ni —

sin ^Иг^ с ^, En?ni —

W^ + ^)

2ш*

W^ + ^)

2ш*

(4.6)

(4.6)

где п^ п и I - квантовые числа, Мх) - функции Бесселя [9], кп? = nnjh, kni = ^ndp^. Cni - и-й корень функции Бесселя /-го порядка Ц^пй = 0).

До сих пор мы рассматривали одночастичные состояния электронной подсистемы квантовых точек (4.4)-(4.6), однако во многих случаях интерес представляют ее двухчастичные состояния. Это связано с тем, что при межзонных переходах в квантовых точках, как и в объемных полупроводниках, возникают электрон-дырочные пары. Разноименно заряженные частицы, составляющие пару, связаны друг с другом кулоновским взаимодействием, которое меняет ее энергию и может приводить к образованию экситона. Чтобы выяснить пределы применимости одночастичного описания электронной подсистемы квантовой точки, сравним суммарную энергию размерного квантования электрона и дырки Esum = Есп + Evn с энергией их кулоновского взаимодействия 1Кои/1 = ^2/^о|Гс ~ 1\Ф Здесь sq - низкочастотная диэлектрическая проницаемость материала квантовой точки, а гс и rv - координаты электрона и дырки. Очевидно, что кулоновскими поправками к энергии электрон-дырочной пары можно пренебречь при выполнении неравенства Esum » lVC0Md Для сферической квантовой точки с радиусом R при условии, что |rc - rv| % R, это неравенство сводится к

Rex = ^»R,(4.7)

где р = mcmv/(mc + mv) - приведенная масса электрона и дырки. Таким образом, одночастичное описание электронного энергетического спектра квантовой точки применимо, если боровский радиус экситона Rex существенно превышает ее радиус R. Про такие квантовые точки говорят, что они находятся в режиме сильного конфайнмента (пространственного ограничения) [11]. Противоположный предельный случай Rex «R принято называть режимом слабого конфайнмента, или экситонным режимом.

Рассмотрим квантовую точку с электроном в зоне проводимости и дыркой в валентной зоне, которые связаны кулоновским взаимодействием. В отличие от (4.2) такая система описывается следующим уравнением Шредингера:

" hX.2тс" hX.2тс1mv1mv+ V(rc, rv)+ V(rc, rv)eo|rc - r„|eo|rc - r„|^(rc, rv) = E^(rc, rv),^(rc, rv) = E^(rc, rv),(4.8)(4.8)

" hX.

2тс

" hX.

2тс

1mv

1mv

+ V(rc, rv)

+ V(rc, rv)

eo|rc - r„|

eo|rc - r„|

^(rc, rv) = E^(rc, rv),

^(rc, rv) = E^(rc, rv),

(4.8)

(4.8)

где два первых слагаемых в левой части уравнения соответствуют кинетическим энергиям электрона и дырки, V(rc, rv) = V(rc) + V(rv) - сумма трехмерных потенциалов для частиц, образующих электрон-дырочную пару. Отметим, что уравнение Шредингера (4.8) не может быть решено точно даже в простейшем случае сферической потенциальной ямы У(Гф)) с бесконечно высокими стенками (4.3). Это связано с тем, что мы, по существу, имеем дело с задачей трех тел, в которой роль третьей частицы играет потенциальная яма [12]. Получим приближенное аналитическое решение уравнения (4.8),

которое наиболее близко по форме к решению хорошо известной задачи об экситоне Ванье - Мотта в объемном полупроводнике [13]. Для этого в (4.8) перейдем к системе координат, связанной с движением центра масс электрона и дырки и их относительным движением,

(4.9)(4.9)(4.Ю)(4.Ю)X = (mcrc + mvYv)IM, х = rc - rv,

(4.9)

(4.9)

(4.Ю)

(4.Ю)

где М = тс + mv. В этих координатах уравнение (4.8) имеет вид

^1 ^хе2 1

"^ " ^7 + V^ х) " -И ^х’Х) = Е^х’Х)-

Zp ZM£0|х|

причем потенциал квантовой ямы приобретает достаточно сложную форму V(x, X) = V(X + xpv) + V(X - xpc\ где рф) = т^М, и не допускает разделения переменных. Таким образом, собственные функции задачи об экситоне в квантовой точке ^>(х, X), вообще говоря, нельзя представить в виде произведения волновых функций, описывающих движение его центра масс ^(Х) и относительного движения электрона и дырки ^(х)- Чтобы обойти эту трудность в режиме слабого конфайнмента (Rex «R) вместо V(x,X) используют “псевдопотенциал”, который выбирают из условий физической разумности и максимальной простоты. Начиная с работы [5] при аналитическом описании экситонного режима вместо V(x, X) часто применяется потенциал V(X), имеющий форму (4.3). Такая аппроксимация уместна, поскольку для положения центра масс естественным, хотя и несколько завышенным, граничным условием является неравенство |Х| < R. Очевидно, что указанная замена - достаточно грубое приближение - приводит к существенным потерям при описании экситона в квантовой точке. Действительно, потенциал V(X) учитывает влияние конфайнмента только на трансляционное движение экситона как целого, относительное же движение электрона и дырки остается невозмущенным. Единственным, но очень важным достоинством V(X) является чрезвычайная простота такого потенциала, позволяющая точно решить задачу о движении экситона. В результате для сферической квантовой точки собственные функции и собственные энергии экситона определяются выражениями

фпЧ'т',nlm^t^) = фпЧ^(Х)фп1тО^-\ Епфп1 = Eg — Еп/ Ч ,(4.11)

где ффт,(х) - водородоподобные волновые функции объемного экситона [14]

Фпч-пАх) = ^Frt Y^AQY(4.12)

Т?3/2 \n'Rex)

в состояниях относительного движения, характеризуемых квантовыми числами и', V и т', Nn-y = 2[(и' - V - 1)!/((и' + /Д!)3]1/2/п^,

Fnq\x) = /

Е^х) - обобщенный полином Лагерра; волновая функция ^>и/т(Х), описывающая трансляционное движение экситона, совпадает с выражением (4.4), в котором нужно сделать замену г —> X; Eg - ширина запрещенной зоны объемного полупроводника; Еп, = Ry,n^ - энергии ионизации уровней неподвижного объемного экситона; Ry = /^/(З^/г2) - эксито нный ридберг; энергии размерного квантования трансляционного движения экситона Т^к^^М получаются из (4.4) путем замены т* —> М. Из (4.11) видно, что экситонное состояние описывается удвоенным набором квантовых чисел, одна половина которых относится к относительному, а другая - к его трансляционному движению. Другой важной особенностью задачи об экситоне в квантовой точке является то, что энергии размерного квантования определяются суммарной массой электрона и дырки М. Легко показать, что волновые функции и энергии экситона в квантовых точках в форме прямоугольного параллелепипеда и цилиндра могут быть получены из (4.11), если для волновых функций трансляционного движения и энергий размерного квантования использовать выражения (4.5) и (4.6), в которых должна быть проведена замена т* —> М.

Следует заметить, рассмотренный подход, основанный на аппроксимации V(x, X) % V(X), имеет физический смысл, если волновые функции фП'рт'(х) ос exp(-x/n'Rex) локализованы в области n'Rex <с R\ где R* - характерный размер квантовой точки. Это существенно ограничивает применимость такого подхода, в частности, при описании многоквантовых процессов, когда необходим учет большого числа промежуточных состояний. С другой стороны, используя иную аппроксимацию V(x, X) % V(X) + V(x) [15], можно получить аналитические выражения для собственных функций и состояний экситона, которые имеют более широкую область применимости и учитывают влияние конфайнмента на относительное движение электрона и дырки (V(x)). Основная сложность, возникающая в этом случае, состоит в выборе потенциала V(x), для которого трудно задать даже граничную поверхность. Действительно, для расстояния между электроном и дыркой (например, в сферической квантовой точке) можно указать лишь область, в которой должна находиться граница R < |х| < 2R. Нижний предел этого двойного неравенства соответствует случаю, когда одна из частиц экситона находится в центре квантовой точки, а верхний предел достигается, если электрон и дырка расположены на противоположных концах диаметра квантовой точки. Если предположить, что для относительного движения потенциальная яма имеет форму (4.3), и учесть с помощью подгоночного параметра ту неопределенность положения ее границы, то полный “псевдопотенциал” будет иметь вид

(4.13)(4.13)V(X) + VQqxY

(4.13)

(4.13)

Задача на собственные значения для экситона в этом псевдопотенциале решается точно. Волновые функции, как и прежде, определяются выражением (4.11), причем ^>и/т(Х) совпадают с волновыми функциями трансляционного движения в псевдопотенциале V (X), а радиальная часть фп,рт,(х) теперь дается выражением

F^vto = An,v \^ exp [-^] М ^у + Г + 1,2/' + 2, ^],

где М \аП'р + /' + 1,2/' + 2, сп,рх/Щ - регулярная в нуле функция Куммера, Ап,р - нормировочная постоянная. Граничное условие Fn'p(j]R) = 0 является, по существу, уравнением на собственные значения. Необходимо раздельно рассмотреть области отрицательных и положительных собственных значений. В первом случае энергия относительного движения электрона и дырки равна

, Ry

Еп'р — Ry ' Еп'1'№ — — —^ ——,

при этом d = R/Rex - относительный радиус квантовой точки, ап-р = -Nn-p(d\ сП'р = 2d/Nn’p(d\ Nn’p(d) - п'-й корень уравнения

ММ-Nn,p(dVV + 1,2/' +2,-Nn,p(dVV + 1,2/' +2,2dr)N^)2dr)N^)= 0.= 0.

М

М

-Nn,p(dVV + 1,2/' +2,

-Nn,p(dVV + 1,2/' +2,

2dr)N^)

2dr)N^)

= 0.

= 0.

Во втором случае

En-v = Ry ■ En,p(d) = Ry • к^рУ), где kn’p(d) - соответствующий корень уравнения

Re < exp ^-idrikn,p (d)) MRe < exp ^-idrikn,p (d)) Mikn,p(d)ikn,p(d)+ /' + 1,2/' + 2, Hdrik^pid) f = 0,+ /' + 1,2/' + 2, Hdrik^pid) f = 0,

Re < exp ^-idrikn,p (d)) M

Re < exp ^-idrikn,p (d)) M

ikn,p(d)

ikn,p(d)

+ /' + 1,2/' + 2, Hdrik^pid) f = 0,

+ /' + 1,2/' + 2, Hdrik^pid) f = 0,

т.е. an,p = i!kn,p(dY cn,p = i2dkn'p(d). Таким образом, полную энергию экситона в псевдопотенциале (4.13) можно представить как

EnU'V = Eg + Ry • Xn'p(d) + ^^Z,

следовательно, формально мы получили весь энергетический спектр как при положительных, так и при отрицательных значениях Xn’p(d). Перечислим его основные особенности, связанные с влиянием конфайнмента на относительное движение электрона и дырки. Во-первых, при каждом фиксированном d число уровней с отрицательной величиной 2п,р^ конечно, причем последовательно уменьшается с уменьшением d и существует такое критическое значение dc, при котором уровни данного типа исчезают полностью. Характер этого исчезновения таков, что с уменьшением d отрицательные энергии стремятся к нулю, а затем меняют знак, т.е. имеет место индуцированный конфайнментом эффект выталкивания уровней из кулоновской потенциальной ямы. Во-вторых, конфайнмент снимает вырождение по орбитальному моменту относительного движения /', которое присуще чисто кулоновской задаче.

Приведенные выше результаты содержат важные качественные особенности, характерные для квантовых точек. Видно, что энергетический спектр зависит как от их размеров, так и от их формы. Кроме того, геометрическая

симметрия квантовых точек, проявляющаяся в явном виде огибающих волновых функций электронных (экситонных) состояний, определяет правила отбора при различных квантовых переходах между этими состояниями. В то же время ясно, что собственные функции и собственные энергии, полученные в рамках столь радикальных приближений, не могут быть универсальными и не описывают свойства многих реальных низкоразмерных систем. Действительно, одним из чрезвычайно сильных предположений, позволившим найти аналитические выражения для энергетических спектров электронной подсистемы квантовых точек, является утверждение о бесконечной глубине потенциальных ям для электронов, дырок и экситонов. Отсюда немедленно следует, что в качестве граничных условий может использоваться требование равенства нулю огибающих волновых функций на границе раздела материалов. Однако, как уже отмечалось, модель с бесконечными потенциальными ямами может быть более или менее адекватна для изолированных наноструктур, находящихся в вакууме или газовой среде, а также для квантовых точек, выращенных в стеклах или широкозонных диэлектриках. Если же квантовые точки встроены в полупроводниковые матрицы, то необходимо учитывать конечную глубину потенциальных ям, причем она будет различной для электронов и дырок. При этом возникают две проблемы. Первая из них связана с тем, что на границе раздела сред должна быть непрерывной полная волновая функция, которая является произведением блоховской амплитуды и медленной огибающей, а также нормальная к границе раздела составляющая градиента полной волновой функции. Однако в методе эффективной массы блоховские амплитуды явно не определены и входят в теорию только через различные матричные элементы. Другая проблема связана с тем, что границы квантовых точек являются резкими, т.е. соответствующий им потенциал существенно меняется на расстоянии порядка постоянной решетки. Быстрое изменение потенциала может приводить к значительному перемешиванию состояний рассматриваемой зоны и состояний, принадлежащих другим зонам. Этот эффект не может быть удовлетворительно описан в рамках метода эффективной массы, который применим лишь к медленно меняющимся потенциалам [6, 7]. Строгий учет конечной глубины потенциальных ям и резкой границы раздела сред возможен лишь в результате сложных численных расчетов. Тем не менее, в настоящее время, общепринятым является использование метода эффективной массы с граничными условиями, сформулированными для огибающих волновых функций ^А, ^>в и эффективных масс тА, шв в материалах А и В: m^A = ш^в, ^д 1+а)^А/^ = т^1^ дфв / dz. Численные расчеты (см., например, [16, 17]) показали, что величина а лежит в области от -1/2 до 0. Так, например, для сферической квантовой точки в режиме сильного конфайнмента использование приведенных выше граничных условий дает следующий результат [18] для волновых функций электронов в конечной потенциальной яме с глубиной V:

фп1т^) — ¥1т(^^Кп^г\фп1т^) — ¥1т(^^Кп^г\(4.14)(4.14)

фп1т^) — ¥1т(^^Кп^г\

фп1т^) — ¥1т(^^Кп^г\

(4.14)

(4.14)

RniW = ^jKxv)ki-iU2)ku4U2V1/2

ГW^j^xyrlR), г < R, Xii^kt^rlRY г > R, где

%i = R ^'lm\Enil№, X2 = R д/2т2(У - Е„/)/7г2,

к; - модифицированная сферическая функция Бесселя, mi и m2 - эффективные массы электрона внутри и вне квантовой точки. Энергии электронных состояний Eni определяются секулярным уравнением

т^хук^х^з'^х^ = тух^х^Ш^У

Дальнейшее уточнение энергетического спектра электронной подсистемы квантовых точек связано с отказом от двухзонной модели полупроводника. Действительно в полупроводниковых материалах с симметрией О и и Ед валентная зона обладает сложной структурой, т. е. состоит из подзон тяжелых, легких и спин-орбитально отщепленных дырок. Учет этого важного обстоятельства возможен при использовании многозонных моделей, основанных на kP-теории возмущений [6, 7]. В простейшем варианте такой модели подзоны валентной зоны считаются независимыми друг от друга. При этом энергетический спектр электронных и экситонных состояний квантовых точек будет суперпозицией спектров изолированных зон. Единственным, но крайне важным достоинством такой модели является возможность получения простых аналитических результатов, необходимых для качественной оценки влияния конфайнмента на свойства низкоразмерных систем. Более адекватное описание зонного спектра электронной подсистемы квантовых точек, путем последовательного учета kP-возмущений, смешивающих различные зоны или подзоны валентной зоны, требует громоздких численных расчетов собственных энергий и собственных функций. Анализ различных аспектов этой проблемы и результаты вычислений, относящиеся к квантовым точкам, приведены, например, в работах [19-24].

Кроме обсуждавшихся выше режимов сильного и слабого конфайнмента, несомненный интерес представляет промежуточный случай, когда характерный размер наноструктуры равен по порядку величины Rex. В этом режиме промежуточного конфайнмента при определении энергетического спектра квантовых точек необходим учет экситонных эффектов, причем пространственное ограничение оказывает существенное влияние как на трансляционное, так и на относительное движение экситона. Очевидно, что задача на собственные значения и собственные функции в режиме промежуточного конфайнмента может быть решена лишь численными методами даже в рамках двухзонной модели полупроводника и в предположении о бесконечно высоких потенциальных барьерах [12, 25].

Энергетический спектр и волновые функции электронной подсистемы квантовых точек рассчитывались и другими методами. Так, например, в работах [26, 27] для этого использовались модели, основанные на приближении

сильной связи, а в [28, 29] различные модификации модели псевдопотенциала. Достаточно подробное изложение различных подходов к данной проблеме с большим количеством ссылок на оригинальные работы можно найти в обзорах [11, 30]. Там же обсуждаются различные аспекты тонкой структуры энергетического спектра электронов, дырок и экситонов в квантовых точках, связанной со спин-орбитальным и обменным взаимодействиями. Кроме того, в [30] приведены результаты исследования самоорганизованных квантовых точек различной формы, выращенных в разнообразных полупроводниковых матрицах. Эти данные существенно дополняют монографию [3].

Размерное квантование колебательной подсистемы квантовых точек

Ясно, что трехмерное пространственное ограничение модифицирует не только электронные состояния квантовой точки, но и колебания ее решетки, т. е. акустические и оптические фононы (рис. 4.5). Рассмотрим эту проблему на

Рис. 4.5. Схема, иллюстрирующая трансформацию непрерывного энергетического спектра продольных и поперечных акустических и оптических фононов объемного полупроводника со структурой цинковой обманки в дискретный спектр колебательных состояний сферической квантовой точки.

примере изолированного нанокристалла, полагая, что он обладает свободной либо жестко закрепленной границей. В этом случае решеточные колебания квантовой точки не взаимодействуют с окружающей ее средой. Для описания фононного спектра нанокристалла мы воспользуемся моделью изотропного упругого континуума, в рамках которой удается получить ряд полезных аналитических результатов, качественно характеризующих и более реалистические с физической точки зрения системы.

Рассмотрение начнем с акустических фононов, представляющих собой звуковые волны. Амплитуды колебаний и изотропного упругого континуума описываются следующим хорошо известным векторным уравнением [31]:

—- = v^grad div u - v^ rot rot u,(4.15)

где vl = V^ + ^РУР и vr = ^lp ~ скорости продольных и поперечных волн, р - плотность массы, а Л и р - упругие постоянные материала. Предположим, что изолированная квантовая точка имеет сферическую форму Если поверхность S нанокристалла свободна, то нормальная компонента тензора механических напряжений д" на границе обращается в нуль

<^NU=0,(4.16)

где N - единичный вектор нормали к S. Если же поверхность S жестко закреплена, то в нуль обращается вектор механических смещений

u|reS =0.(4.17)

В обоих случаях собственными функциями уравнения (4.15) являются чисто поперечные колебательные моды частоты щ, которые часто называют торсионными,

ur(r) = rlmMbn(kTrX(4.18)

и смешанные продольно-поперечные колебательные (сфероидальные) моды

IIм (г) = pimLbn(kLr) + qbn^bn(kTr\(4.19)

где R - радиус квантовой точки, к* = w/vt, kL = ш/vi, коэффициенты рЬп, qim и r/m определяются граничными условиями и условием нормировки; L/m, M/m, N/m - векторные сферические гармоники, которые выражаются через функции V^kr) = ji(kr)Yim(Q\

Um(kr) = ^ОктХк

Mbn(kr) = гофг^Дг)] = уК^М/ДАт),(4.20)

к

^Im(kr) = уГ01М/тДг).к

Легко показать, что угловым моментом I = 0 могут обладать только сфероидальные моды, которые в этом случае становятся чисто продольными. Оба граничных условия (4.16) и (4.17) приводят к размерному квантованию энергетического спектра акустических фононов (рис. 4.5). Для торсионных колебаний (4.18) уравнение на собственные значения в случае свободной поверхности квантовой точки (4.16) имеет вид

а в случае жестко закрепленной поверхности (4.17) частоты размерно квантованных акустических фононов

(4.22)(4.22)т vT§nl

(4.22)

(4.22)

R ’

где ^ni - и-й корень функции Бесселя /-го порядка (ji(^ni) = 0). Для сфероидальных колебаний уравнение на собственные значения существенно сложнее:

(4.23)(4.23)^Im^lm PlmVlm — 0,

(4.23)

(4.23)

где величины а, /3, у и б в случае свободной поверхности квантовой точки определяются следующими выражениями:

aim = -M^jiQ^R) +aim = -M^jiQ^R) +2ц^]^Ю kL dR?2ц^]^Ю kL dR?^-l(l+l\rdR^-l(l+l\rdR(ji^\\ ^ /(ji^\\ ^ /

aim = -M^jiQ^R) +

aim = -M^jiQ^R) +

2ц^]^Ю kL dR?

2ц^]^Ю kL dR?

^-l(l+l\rdR

^-l(l+l\rdR

(ji^\

\ ^ /

(ji^\

\ ^ /

птттт; ^ (0dji<kiR> №lR)

Ть„= >1)^2——

- (/2 + / - 2)- (/2 + / - 2)№TR}R№TR}RA - 11(1 ЛЛ^ M2-^1^ 6lm- V^+D^l ^2

- (/2 + / - 2)

- (/2 + / - 2)

№TR}R

№TR}R

а для жестко закрепленной поверхности

^lm —^lm —1 ар№ kL dR1 ар№ kL dR, Pim = V + 1), Pim = V + 1)AkTRAkTR

^lm —

^lm —

1 ар№ kL dR

1 ар№ kL dR

, Pim = V + 1)

, Pim = V + 1)

A

kTR

A

kTR

Yim = V^D2^, 6lm = <KbVV)^-^R№TR^-

В случае чисто продольных акустических колебаний (/ = 0) уравнение (4.23) заметно упрощается и для граничных условий (4.16) и (4.17) сводится к

(4.24)(4.24)- (Л + 2iT)kLRj0(kLR) + 4дh(kLR) = 0

(4.24)

(4.24)

И к

h(kLR) = 0, (4.25)

соответственно. Из (4.25), например, следует, что частоты продольных акустических фононов в изолированной квантовой точке с жестко закрепленной поверхностью

, L _ ^L^nV"° R

Проведенный анализ задачи об акустических фононах изолированной квантовой точки показывает, что их энергии, в отличие от энергий электронов, дырок и экситонов, растут с уменьшением размера нанокристалла как 1/7? (см. (4.22) и (4.26)).

Рассмотрим теперь оптические фононы в изолированной квантовой точке из полярного полупроводника с двумя атомами в элементарной ячейке. Как и прежде, будем пользоваться моделью изотропного упругого континуума.

Однако, в отличие от задачи об акустических фононах, величины и теперь имеют смысл смещения положительного иона относительно отрицательного иона. Поскольку в ионных материалах продольные оптические колебания решетки приводят к появлению электрического поля Е = -gratis, то для решения задачи об оптических фононах необходимо использовать уравнения Максвелла. Мы в дальнейшем будем пренебрегать запаздыванием электромагнитных полей и, следовательно, можем ограничиться одним из этих уравнений для вектора электрической индукции D, зависящего от Е и и,

divD = О,

которое дополняет феноменологическое уравнение для и

—- = -сотои - PL grad div и + рт rot rot и + — Е,

(4.27)(4.27)(4.28)(4.28)где сото ~ частота поперечного оптического фонона в объемном материале в центре зоны Бриллюэна при к = 0 (рис. 4.5), pL и Рт - параметры, характеризующие кривизну дисперсионных ветвей оптических фононов в объемном материале, а = соТо V^o - ^оо)р/4тг, £?о и ^оо - низко и высокочастотные диэлектрические проницаемости полупроводника, р - плотность приведенной массы положительных и отрицательных ионов. В (4.28) знаки слагаемых, содержащих pL и рт, выбраны в соответствии с рис. 4.5, т.е. так, чтобы с увеличением волнового вектора к частоты объемных фононов уменьшались. Чтобы система (4.27) и (4.28) была замкнутой, необходимо задать зависимость D от Е и и. Мы будем использовать хорошо известное в теории полупроводников [13] соотношение

(4.27)

(4.27)

(4.28)

(4.28)

D = ^Е + 4лаи.

(4.29)(4.29)Общее решение уравнений (4.27), (4.28) и (4.29) может быть получено методом, изложенным в работе [32], однако оно достаточно громоздко [33] и его детальный анализ выходит за рамки нашей работы. В то же время необходимо упомянуть ряд важных выводов, основанных на таком анализе. Во-первых, как и в случае акустических фононов, для оптических фононов имеет место эффект размерного квантования. Так, например, в случае квантовых точек с жестко закрепленной поверхностью частоты чисто поперечных оптических колебаний имеют вид

(4.29)

(4.29)

а для чисто продольных колебаний (/ = 0)

где сото = у^ьо+ ^na/s^p - частота продольного оптического фонона в объемном материале в центре зоны Бриллюэна. Во-вторых, собственными функциями рассматриваемой задачи являются чисто поперечные моды

иго(г), определяемые выражением (4.18), в котором нужно сделать замену

кт кто = ^/^кт кто = ^/^- м2 ЦЗт, а также смешанные моды

кт кто = ^/^

кт кто = ^/^

+ simRgrad (Э У/т(&)+ simRgrad (Э У/т(&)(4.32)(4.32)uM0(r) = phnLim(kLOr) + qimNim(kTOr)

+ simRgrad (Э У/т(&)

+ simRgrad (Э У/т(&)

(4.32)

(4.32)

где последнее слагаемое описывает вклад поверхностных оптических колебаний, kL0 = -^ci)^ - cd2 Ц3[ . Из (4.32) следует, что угловым моментом / = О могут обладать только смешанные моды, которые в этом случае становятся чисто продольными. Коэффициенты pim, qim, rim, sim и энергетический спектр смешанных мод определяются граничными условиями (4.16) или (4.17) и условием нормировки, к которым нужно добавить требование непрерывности на границе электрического потенциала ср и нормальной компоненты вектора электрической индукции D.

Необходимо иметь в виду, что модель изолированной квантовой точки может применяться лишь к ограниченному числу реальных систем. Действительно изолированным являются нанокристаллы в вакууме, которые имеют свободную поверхность. Менее обосновано использование такой модели для описания квантовых точек в газовых и жидких средах. Если же нанокристаллы находятся в твердотельной матрице, то представление об изолированной квантовой точке, по крайней мере в отношении акустических колебаний, теряет смысл [34]. Контакт нанокристалла с диэлектрической или полупроводниковой матрицей приводит к тому, что акустические фононы материалов с квантовыми точками являются единой подсистемой для точек и матрицы. Эффект размерного квантования для таких акустических волн отсутствует. В этом случае условия (4.16) и (4.17) должны быть заменены на

o"N|reS+ = <rN|reS_, u|reS+ = u|reS. (4.33)

и граничными условиями на поверхности образца. Здесь S + и S - граничные поверхности внутри и вне квантовой точки. Таким образом, получается типичная задача рассеяния с непрерывным энергетическим спектром и с собственными состояниями акустических фононов, которые являются хорошо известными стационарными состояниями рассеяния [34].

Для описания оптических колебаний модель изолированной квантовой точки имеет более широкую область применимости, чем для описания акустических фононов. Это связано с тем, что не все твердотельные материалы, используемые в качестве матриц, обладают оптическими колебаниями решетки. К ним в первую очередь относятся разнообразные стекла и кристаллы с одним атомом в элементарной ячейке. Кроме того, если законы дисперсии оптических фононов в материалах, из которых изготовлены нанокристаллы и матрица, не перекрываются, то модель изолированной квантовой точки может быть использована при описании оптических колебаний нанокристалла.

В противном случае, когда такое перекрывание имеет место, необходимо использовать представление о единой системе оптических фононов для всего макроскопического образца с граничными условиями (4.33). При этом, как и для акустических фононов, для таких оптических колебательных волн эффект размерного квантования отсутствует.

Электрон-фононное взаимодействие в квантовых точках

Как уже упоминалось ранее, трехмерное пространственное ограничение элементарных возбуждений квантовой точки приводит не только к эффекту размерного квантования их энергетического спектра, но и к модификации взаимодействия возбуждений друг с другом. В частности, существенно изменяется связь между электронной и колебательной подсистемами, которая играет важную роль во многих физических эффектах и процессах в этих объектах.

Изучение электрон-фононного взаимодействия в квантовых точках началось практически одновременно с исследованием их электронной структуры. Анализу влияния трехмерного конфайнмента на электрон-колебательную связь в таких квазинульмерных объектах посвящено большое число экспериментальных и теоретических работ. Поскольку квантовая точка сохраняет свойства кристаллов, то для ее описания наиболее продуктивным является подход, основанный на методах физики объемных твердых тел. В его рамках удается выделить основные особенности электрон-фононного взаимодействия, характерные для квантовых точек.

Рассмотрим различные типы электрон-фононного взаимодействия в квантовых точках. В физике твердого тела [13] принято различать четыре типа электрон-фононной связи. Это, прежде всего, деформационное взаимодействие электронной подсистемы кристалла с акустическими фононами. Когда кристаллическая решетка деформируется, электронные и экситонные энергии меняются пропорционально тензору деформации. Коэффициент пропорциональности Dac называется деформационным потенциалом, причем его величина зависит от того, к каким именно энергетическим зонам принадлежат электроны и дырки. Вообще говоря, явная форма взаимодействия через деформационный потенциал зависит от симметрии кристалла, но в большинстве интересных случаев главный вклад в потенциальную энергию электронов и дырок можно описать выражением

У^/х) = Dac div u(r). (4.34)

В дальнейшем мы ограничимся анализом именно этой части деформационного взаимодействия акустических фононов с электронной подсистемой квантовых точек. В частности, согласно (4.19) и (4.34) в изолированных сферических нанокристаллах электроны и дырки связаны лишь со сфероидальными акустическими модами

VXjW = Dac div uM(r) = -1Уер1п1Ккьл(.кьг)У1т(.д), (4.35)

где г - радиус-вектор носителя заряда. В случае экситона его потенциальная энергия взаимодействия с акустическим фононами является линейной комбинацией выражений типа (4.35). Оценки, основанные на результатах предыдущего параграфа, показывают, что деформационное взаимодействие электронной подсистемы квантовой точки с акустическими фононами зависит от ее радиуса R как

^/г) ос 1 (4.зб)

В пьезоэлектрических полупроводниках деформация решетки, обусловленная акустическими колебаниями, сопровождается возникновением электрической поляризации, которая воздействует на заряженные частицы. Таким образом, осуществляется пьезоэлектрическое взаимодействие между электронной подсистемой квантовой точки и акустическими фононами [35]. При однородной акустической деформации, характеризуемой тензором

электрическая поляризация может быть в континуальном приближении представлена в декартовых координатах (к = x,y,z) следующим образом:

^(r) = £ PkijUiM(4.38)

i,j=x,y,z

где Pkjj - пьезомодули. Этой поляризации соответствует распределенный в пространстве связанный заряд

р(г) = -divP(r),(4.39)

являющийся источником электрического поля, потенциал которого ^>(г) удовлетворяет уравнению Пуассона

z/^c(r) = 47rdiv Р(г).(4.40)

Потенциальная энергия заряженных частиц, обусловленная пьезоэлектрическим взаимодействием с акустическими фононами, определяется этим потенциалом (4.40):

V£(r) = -е^^.(4.41)

Более подробное изложение этого вопроса применительно к квантовым точкам можно найти в работе [33]. Важно отметить, что в отличие от деформационного взаимодействия (4.36) пьезоэлектрическое взаимодействие зависит от радиуса квантовой точки R как

V,» ос 1(4.42)

Следующим типом электрон-фононного взаимодействия в квантовых точках является связь их электронной подсистемы с оптическими фононами через деформационный потенциал. Однородная оптическая деформация кристалла с двумя атомами в элементарной ячейке описывается вектором u(r) = Ui(r)-U2(r), задающим относительное смещение этих атомов. Соответствующая потенциальная энергия носителей заряда в деформационном потенциале оптических фононов может быть представлена в виде скалярного произведения

О) = X D7<v^ (4-43)

где D0^ - константы деформационного потенциала оптических фононов. Из (4.43) видно, что для такого взаимодействия в кристалле должен существовать материальный вектор Т)ор. В кубических полупроводниках для невырожденных электронных (дырочных) энергетических зон с экстремумами в центре зоны Бриллюэна вектор Dop “некуда направить”, и деформационное взаимодействие с оптическими фононами отсутствует. Такова, например, ситуация в зоне проводимости GaAs и в верхней валентной зоне CuCl. В то же время для сложных зон, таких как четырехкратно вырожденная валентная зона Si, Ge и GaAs, деформационное взаимодействие с оптическими фононами отлично от нуля [7]. Применительно к квантовым точкам проблема связи экситонов с оптическими фононами через деформационный потенциал детально рассмотрена в работе [36].

Наконец, четвертым и самым изученным типом связи электронной и колебательной подсистем квантовых точек является полярное взаимодействие с оптическими фононами (см., например, [15, 36-41]. Особый интерес к связи этого типа определяется тем, что большинство исследовавшихся квантовых точек были изготовлены из материалов с достаточно высокой степенью ионности. Как уже упоминалось в предыдущем разделе, продольные оптические колебания решетки таких материалов сопровождаются электрическим полем. Воздействие этого поля на заряженные частицы и приводит к полярному электрон-фононному взаимодействию. В случае квантовых точек электрическое поле индуцируются не только чисто продольными фононами, но и колебаниями смешанного типа (4.32). Потенциальная энергия электронов и дырок в этом поле имеет следующий вид:

v;>) = -^(г), (4.44)

где электрический потенциал фор^ получается в ходе решения задачи о собственных оптических колебаниях в квантовой точке (4.27)-(4.29). В одной из первых работ, посвященных полярному электрон-фононному взаимодействию в нанокристаллах [37], потенциал фор(г) был вычислен для квантовых точек сферической формы. Авторы этой работы использовали упрощенную модель оптических колебаний решетки, в рамках которой они пренебрегали пространственной дисперсией фононов. В этом случае смешанные оптические моды не возникают и в квантовых точках существуют чисто продоль-

ные и чисто поверхностные оптические фононы, индуцирующие электрические поля. В частности, было показано, что продольные оптические фононы с квантовыми числами и, /, т сопровождаются электрическим полем с потен

циалом

ФХ(Г) =ФХ(Г) =47rfiwL()£* ji(knir)R^i ji+i^ni)47rfiwL()£* ji(knir)R^i ji+i^ni)Ylm^\Ylm^\(4.45)(4.45)

ФХ(Г) =

ФХ(Г) =

47rfiwL()£* ji(knir)

R^i ji+i^ni)

47rfiwL()£* ji(knir)

R^i ji+i^ni)

Ylm^\

Ylm^\

(4.45)

(4.45)

а поверхностные оптические фононы (SO) с квантовыми числами /, т индуцируют внутри квантовой точки электрический потенциал

Ф$1т^ =Ф$1т^ =^ОО + (^ + 1)^б7^ОО + (^ + 1)^б7R^°R^°(^ Ybn(Q),(^ Ybn(Q),(4.46)(4.46)

Ф$1т^ =

Ф$1т^ =

^ОО + (^ + 1)^б7

^ОО + (^ + 1)^б7

R^°

R^°

(^ Ybn(Q),

(^ Ybn(Q),

(4.46)

(4.46)

где 8* = sj - sQ \ ес/ - диэлектрическая проницаемость окружающей нанокристалл среды, ^° - частоты поверхностных оптических фононов

, .so _ . .- <^ТО, .so _ . .- <^ТОIsq + (/ + 1)^ feoo + (/ + 1)^^Isq + (/ + 1)^ feoo + (/ + 1)^^(4.47)(4.47)

, .so _ . .

- <^ТО

, .so _ . .

- <^ТО

Isq + (/ + 1)^ feoo + (/ + 1)^^

Isq + (/ + 1)^ feoo + (/ + 1)^^

(4.47)

(4.47)

Эта же упрощенная модель оптических колебаний квантовых точек была использована в работах [15, 36] для описания экситон-фононного взаимодействия. В [39] полярное электрон-фононное взаимодействие исследовалось с учетом пространственной дисперсии.

Динамика электронных возбуждений квантовой точки

Эффект размерного квантования и модификация взаимодействия элементарных возбуждений друг с другом приводят к тому, что в квантовых точках существенно изменяются скорости различных квантовых переходов и, следовательно, процессы энергетической и фазовой релаксации по сравнению с объемными материалами. Действительно, из-за дискретности энергетического спектра электронных, дырочных и экситонных состояний для перехода между какими-либо двумя электронными уровнями E2(R) и Ei(R) должно существовать элементарное возбуждение (например, фонон), энергия которого Тга> попадает а резонанс с этими уровнями (см. рис. 4.6). Если предположить, что эффект размерного квантования имеет место не только для электронной подсистемы квантовой точки, но и для других ее подсистем, то такой резонанс мог бы быть реализован лишь при определенном размере R* квантовой точки, который удовлетворяет соотношению E2(R*) - Ei(R*) = hu)(JC\ При другом размере R Ф R* резонанс отсутствует и переходы между уровнями E2(R) и Ei (7?) с участием возбуждения Twd(R) будут запрещены законом сохранения энергии. Эта ситуация иллюстрирует одно из возможных проявлений эффекта “бутылочного горла” в процессе энергетической релаксации электронной подсистемы квантовых точек. Другим проявлением этого эффекта

Рис. 4.6. Схема, иллюстрирующая переход электрона квантовой точки из состояния Е2 в состояние Еу с испусканием элементарного возбуждения с энергией Коэ.

является замедление скорости релаксации в квантовых точках при уменьшении их размера. Такое замедление было теоретически предсказано в работах [42, 43], в которых рассматривалась релаксация с участие акустических фононов. Начиная с работы [42] возник не ослабевающий до сих пор интерес к проблеме динамики электронных возбуждений квантовых точек, который поддерживается не только наличием важных физических эффектов в таких системах, но и широкими перспективами их практического использования для создания различных электронных и оптоэлектронных устройств.

На начальном этапе исследований главным образом изучалась динамика носителей заряда квантовых точек, вызванная взаимодействием с различными элементарными возбуждениями, которые локализованы внутри самих точек или на их поверхности. Так, например, в работах [44-46] исследовалось влияние размерно-квантованных оптических фононов на электронную динамику квантовых точек, а в [47] была рассмотрена роль поверхностных оптических фононов в процессе внутризонной релаксации. Была исследована также многофононная релаксация с участием продольных оптических и акустических фононов [47-49]. Оказалось, что во многих случаях скорости квантовых переходов не столь сильно ослаблены, как этого следовало бы ожидать, исходя из существования эффекта “бутылочного горла”. Для объяснения достаточно быстрой внутризонной кинетики носителей заряда в квантовых точках, наблюдавшейся в экспериментах, предлагался многофононный механизм с участием дефектов [50-52]. Кроме того, в качестве эффективного механизма внутризонной релаксации в квантовых точках рассматривался Оже-процесс [53, 54].

Следует отметить, что реально исследуемые образцы с квантовыми точками представляют собой сложные гетеро структуры, состоящие из многих структурных компонентов, например матриц, покрывающих, буферных и смачивающих слоев и т.п. (рис. 4.2 и 4.3). Несмотря на это, относительно мало работ посвящено изучению влияния элементарных возбуждений окружения на электронную динамику квантовых точек [34, 42, 43, 46, 47]. В них исследовалось взаимодействие электронной подсистемы квантовых точек с барьер-

ными/матричными оптическими и акустическими фононами. В последнее время в связи с развитием наноэлектроники проблема влияния окружающей среды на релаксационные параметры квантовых точек становится все более актуальной. Перспектива создания больших интегральных схем, элементами которых будут одноэлектронные транзисторы, логические элементы и ячейки памяти на основе квантовых точек, приводит к возникновению вопроса о предельно допустимой плотности упаковки таких устройств. Ясно, что этот предел определяется таким расстоянием между элементами схемы, на котором их взаимным влиянием можно пренебречь. Поскольку как сами интегральные схемы, так и их элементы состоят из большого числа структурных компонентов, включая легированные полупроводниковые слои, подложки и сеть металлических проводников, то могут возникнуть дополнительные механизмы релаксации носителей заряда квантовых точек. Один из таких новых механизмов внутризонной релаксации был предложен в работах [55-59]. Релаксационный процесс заключается в том, что электрон или дырка квантовой точки, переходя из верхнего в нижнее состояние, передает энергию плазмон- LO-фононным модам легированной подложки, удаленной от квантовой точки на достаточно большое расстояние (вплоть до 100 нм). Проявление этого механизма было обнаружено экспериментально в спектрах люминесценции квантовых точек на основе InAs, встроенных в и-GaAs/GaAs гетеро структуру [55, 56]. Проведенные теоретические оценки показали, что рассматриваемый релаксационный процесс может оказаться самым быстрым из всех известных, если расстояние между легированными компонентами гетеро структуры и квантовыми точками составляет несколько десятков нанометров.

Оптические методы исследования квантовых точек

Оптические методы являются самыми мощными и универсальными методами изучения полупроводниковых квантовых точек. Это связано с тем, что они позволяют резонансно возбуждать и селективно исследовать те или иные состояния различных наноструктур. В ряде случаев только оптические методы применимы для исследования квантовых точек. Такая ситуация имеет место для нанокристаллов, выращенных в диэлектрических матрицах, а также помещенных в жидкости или полимеры. Линейные и нелинейные оптические методы открывают возможность изучения широкого круга параметров, эффектов и процессов в квантовых точках в стационарном и нестационарном режимах. С их помощью может быть получена информация об энергетической структуре элементарных возбуждений, например энергетические спектры электронной и колебательной подсистем, о взаимодействии элементарных возбуждений между собой и с внешними полями, о перенормировке энергетических спектров и возникновении коллективных возбуждений, а также о динамике элементарных возбуждений и релаксационных процессах. Кроме того, оптические методы позволяют осуществлять характеризацию и

контроль качества квантовых точек, т. е. определять их химический состав и размеры, а также качество границ раздела и наличие дефектов.

Как известно [8], взаимодействие электромагнитного излучения с электронами и дырками главным образом определяется выражением

V = —Ар,(4.48)

тс

где т - масса свободного электрона, А = eAo - векторный потенциал световой волны с поляризацией е, р = -ihV - оператор импульса заряженной частицы. Взаимодействие (4.48) приводит к межзонным и внутризонным переходам электронной подсистемы квантовой точки, в результате которых поглощаются или испускаются фотоны. Такими переходами обусловлено большинство оптических процессов, включая поглощение и рассеяние света, а также люминесценцию (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Схема межзонных электронных переходов в квантовой точке, иллюстрирующая процессы поглощения (а), люминесценции (Ь) и рассеяния света (с), ho - энергия поглощенных или излученных фотонов, hoi и ho^ - энергии падающих и рассеянных фотонов.

Для того чтобы выяснить, каким образом трехмерное пространственное ограничение модифицирует электрон-фотонное взаимодействие, рассмотрим матричный элемент (4.48), вычисленный на полных волновых функциях типа (4.1). Для простоты будем использовать двухзонную модель полупроводника (зона проводимости с и валентная зона г) и предполагать, что в сферической квантовой точке, находящейся в режиме сильного конфайнмента, потенциальная яма для электронов и дырок имеет бесконечно высокие стенки, т. е. огибающие волновые функции имеют вид (4.4). Необходимо различать два качественно различных типа оптических переходов. Первый из них, называемый внутризонным, имеет место, когда начальное и конечное электронные состояния принадлежат одной и той же зоне, например зоне проводимости. В этом случае матричный элемент взаимодействия (4.48) имеет вид

К,у1;с,у0 = [ dYu*Wv^№(4.49)

где символами vi и vq обозначены наборы из трех квантовых чисел nxJx.mx и HoJo^o, характеризующие конечное и начальное состояния соответственно.

В дипольном приближении (4.49) упрощается

Vv с,У1 ;с,у0Vv с,У1 ;с,у0(4.50)(4.50)” drv*Vi(r)VVvo(r) = -i^^ ^(-l)pepV%V(1, Jс р=0,±1

V

v с,У1 ;с,у0

V

v с,У1 ;с,у0

(4.50)

(4.50)

где тс - эффективная масса электрона в зоне проводимости,

у(р) -2&i zi ио/о ^1Х тх ;1ото

v,;vo" -(С^СЗ^ттжгтл’

Ск™й = V№±mo)(/o±mo + 2)

^ЦтрЛто = ^тьто^/ь/о+1 ^1 ” mo ” ^Wo-l ^0 ” Шо]’

e+i = +fe ± ^у)/ V2, во = вг, ej - декартовы компоненты вектора поляризации (j = x,y,z). Для дырок валентной зоны внутризонный матричный элемент Vv,yi;v,y0 дается выражением (4.50), в котором необходимо сделать замену тс —> mv и поменять знак на обратный. Согласно (4.50), правила отбора при внутризонных переходах определяются символами Кронекера и переходы имеют место только между состояниями, угловой момент которых отличается на единицу.

Как видно из (4.50), важной особенностью электрон-фотонного взаимодействия при внутризонных переходах является зависимость его матричных элементов от размера квантовой точки. Для режима сильного конфайнмента эта зависимость достаточно простая - матричный элемент пропорционален обратной величине характерного размера квантовой точки. Можно показать, что эта закономерность справедлива для квантовых точек любой формы.

Рассмотрим теперь в режиме сильного конфайнмента межзонные переходы, в результате которых образуется электрон-дырочная пара, т. е. электрон из валентной зоны переходит в зону проводимости. Матричный элемент взаимодействия (4.48), описывающий такой переход, может быть представлен следующим образом:

(4.51)(4.51)Vc,vi;v,vo = dru’^Vv^WUvWv^Y

(4.51)

(4.51)

В дипольном приближении выражение (4.51) упрощается

^c,vi ;v,vo^c,vi ;v,vo^ги*.(г)Ущ,(г) dVtp^ (r')y>Vo(r')^ги*.(г)Ущ,(г) dVtp^ (r')y>Vo(r')(4.52)(4.52)

^c,vi ;v,vo

^c,vi ;v,vo

^ги*.(г)Ущ,(г) dVtp^ (r')y>Vo(r')

^ги*.(г)Ущ,(г) dVtp^ (r')y>Vo(r')

(4.52)

(4.52)

и для сферической квантовой точки из полупроводников с кубической симметрией имеет вид

K?,vi ;v,voK?,vi ;v,vofieApPV3 Йс ’fieApPV3 Йс ’(4.53)(4.53)

K?,vi ;v,vo

K?,vi ;v,vo

fieApP

V3 Йс ’

fieApP

V3 Йс ’

(4.53)

(4.53)

где Р = TipCylmQ = Tz2{S |d/dz|Z>/m, т - масса свободного электрона, pc,v - межзонный матричный элемент импульса электрона. В силу ортогональности огибающих волновых функций из (4.52) следует, что независимо от формы квантовой точки межзонные переходы идут между уровнями размерного квантования с одинаковыми квантовыми числами vi = vq. Для сферических квантовых точек это правило отбора выражается символами Кронекера в (4.53).

Аналогичный анализ электрон-фотонного взаимодействия можно провести и для квантовых точек в режиме слабого конфайнмента. В этом случае в качестве огибающих волновых функций нужно использовать, например, выражения (4.11). В частности, для матричных элементов электрон-фотонного взаимодействия, описывающих генерацию экситонов в сферических квантовых точках из материалов с кубической симметрией, можно получить следующий результат:

v -Л л л л [2 еАрР ( 2R\3^1

V^w^vo = iOv,oOm,^Oi^om^ л - —— ———,(4.54)

V 3 пс \Rex) лпп5/2

где квантовые числа со штрихами описывают относительное движение электрона и дырки в экситоне, а без штрихов - трансляционное движение экситона как целого. Из (4.54) следует, что при однофотонных переходах могут рождаться экситоны только с нулевыми угловыми моментами Г = 0 и / = 0. Отметим, что матричный элемент (4.54) пропорционален радиусу квантовой точки в степени 3/2. Появление этой размерной зависимости качественно отличает генерацию экситонов от генерации электрон-дырочных пар (режим сильного конфайнмента), для которой матричный элемент электрон-фотонного взаимодействия (4.53) не зависит от размера квантовой точки.

Результаты проведенного выше обсуждения электрон-фотонного взаимодействия позволяют описать большое число оптических методов, применяющихся при изучении квантовых точек.

Изучение энергетической структуры электронных возбуждений

Рассмотрим оптические методы исследования электронной структуры квантовых точек. Среди них наиболее часто используются спектроскопия поглощения света и фотолюминесценции.

Одно- и двухфотонное поглощение квантовыми точками

Начнем обсуждение со спектроскопии поглощения света, с помощью которой был обнаружен эффект размерного квантования в полупроводниковых нанокристаллах [1]. Предположим, что образец представляет собой квантовые

точки из полупроводника с кубической симметрией, внедренные в диэлектрическую матрицу, например, стекло. Тогда нанокристаллы в этой матрице имеют почти сферическую форму, и для описания их электронной подсистемы можно воспользоваться моделью квантовой точки с бесконечно высокими потенциальными барьерами для электронов, дырок и экситонов. Пусть на образец падает электромагнитная волна, энергия фотонов которой ha) попадает в область межзонных переходов в нанокристаллах (см. рис. 4.8), а ее интенсивность (7) не слишком высока. Одно фотонные межзонные переходы

Рис. 4.8. Схема межзонных электронных переходов в квантовой точке в режиме сильного и слабого конфайнмента, иллюстрирующая процесс однофотонного поглощения.Рис. 4.8. Схема межзонных электронных переходов в квантовой точке в режиме сильного и слабого конфайнмента, иллюстрирующая процесс однофотонного поглощения.

Рис. 4.8. Схема межзонных электронных переходов в квантовой точке в режиме сильного и слабого конфайнмента, иллюстрирующая процесс однофотонного поглощения.

Рис. 4.8. Схема межзонных электронных переходов в квантовой точке в режиме сильного и слабого конфайнмента, иллюстрирующая процесс однофотонного поглощения.

будут приводить к поглощению света квантовыми точками. Для описания этого процесса применим простейшую двухзонную модель полупроводника [5]. Как известно из курса квантовой механики (см., например, [8]), вероятность перехода в единицу времени между начальным vq и конечным vi состояниями дискретного спектра электронной подсистемы с поглощением фотона Тио в первом порядке теории возмущений определяется следующим выражением:

W(1) = ^ X K^W, -Evo -М,(4.55)

Vl,Vo

где VVbVo - матричный элемент электрон-фотонного взаимодействия, вычисленный с использованием полных волновых функций. Если полупроводниковая квантовая точка находится в режиме сильного конфайнмента, то, используя выражение (4.53) для межзонного матричного элемента электрон- фотонного взаимодействия, получим

иу =иу =_J6?1VP2Z_ЗЙ3с<у2е1/2(<у)_J6?1VP2Z_ЗЙ3с<у2е1/2(<у)У (2Z + 1)5 —+ Е„ - ЙшУ (2Z + 1)5 —+ Е„ - Йш(4.56)(4.56)

иу =

иу =

_J6?1VP2Z_

ЗЙ3с<у2е1/2(<у)

_J6?1VP2Z_

ЗЙ3с<у2е1/2(<у)

У (2Z + 1)5 —+ Е„ - Йш

У (2Z + 1)5 —+ Е„ - Йш

(4.56)

(4.56)

где £?(цД - диэлектрическая проницаемость материала квантовой точки на частоте света, ц - приведенная масса электрона и дырки. В режиме слабого конфайнмента скорость генерации экситонов в нанокристалле согласно (4.55) и (4.54) равна

гдегдеиу =иу =16е2Р2/ЗЙ3с<у2е1/2(<у)16е2Р2/ЗЙ3с<у2е1/2(<у)/ 2Р \3 уч 1 / И2л2п2 1^1 2-1 и2п'Зд1 2MR2х СА' пд'х/ 2Р \3 уч 1 / И2л2п2 1^1 2-1 и2п'Зд1 2MR2х СА' пд'х- Two- Two(4.57)(4.57)Еех - ЕЕех - Еце4^е^п2це4^е^п2(4.58)(4.58)

где

где

иу =

иу =

16е2Р2/

ЗЙ3с<у2е1/2(<у)

16е2Р2/

ЗЙ3с<у2е1/2(<у)

/ 2Р \3 уч 1 / И2л2п2 1^1 2-1 и2п'Зд1 2MR2

х СА' пд'х

/ 2Р \3 уч 1 / И2л2п2 1^1 2-1 и2п'Зд1 2MR2

х СА' пд'х

- Two

- Two

(4.57)

(4.57)

Еех - Е

Еех - Е

це4^е^п2

це4^е^п2

(4.58)

(4.58)

- энергии уровней неподвижного объемного экситона, М - масса экситона. Каждый член в суммах (4.56) и (4.57) описывает отдельный однофотонный переход. Строго говоря, оптические переходы обладают конечной спектральной шириной у, которая определяется временем жизни электронов, дырок и экситонов. Поэтому закон сохранения энергии при оптических переходах, выражаемый ^-функциями в (4.56) и (4.57), выполняется лишь с точностью до величины порядка Tty. Чтобы учесть это обстоятельство, необходимо заменить (5-функции соответствующими лоренцианами

6 (xv) -> L(Xy) =6 (xv) -> L(Xy) =1 ^Уул х2 + 7г2у2 '1 ^Уул х2 + 7г2у2 '(4.59)(4.59)

6 (xv) -> L(Xy) =

6 (xv) -> L(Xy) =

1 ^Уу

л х2 + 7г2у2 '

1 ^Уу

л х2 + 7г2у2 '

(4.59)

(4.59)

16л2е2Р2К3№са)81^(а))16л2е2Р2К3№са)81^(а))Зная вероятность однофотонного перехода в единицу времени, легко получить коэффициент поглощения света К ансамблем идентичных квантовых точек с объемной концентрацией N. Для этого (4.56) и (4.57) нужно умножить на энергию поглощаемого фотона и N, а также поделить на I. В результате получаем

16л2е2Р2К

3№са)81^(а))

16л2е2Р2К

3№са)81^(а))

^i+i)d-l + Eg-hWy (4.60)

nJ\ М/

к») =к») =X6e2P2NЗЙ2с<уе1/2(<у)X6e2P2NЗЙ2с<уе1/2(<у)/ 2R \3 ^ 1/ Й2л2п2fe/ Н n2n2\2MR2х СА' пд'х/ 2R \3 ^ 1/ Й2л2п2fe/ Н n2n2\2MR2х СА' пд'х- hco- hco(4.61)(4.61)

к») =

к») =

X6e2P2N

ЗЙ2с<уе1/2(<у)

X6e2P2N

ЗЙ2с<уе1/2(<у)

/ 2R \3 ^ 1/ Й2л2п2

fe/ Н n2n2\2MR2

х СА' пд'х

/ 2R \3 ^ 1/ Й2л2п2

fe/ Н n2n2\2MR2

х СА' пд'х

- hco

- hco

(4.61)

(4.61)

Из (4.60) и (4.61) следует, что спектр (зависимость К от частоты света) однофотонного межзонного поглощения ансамблем идентичных квантовых точек представляет собой набор линий с полушириной на полувысоте, равной Еуп1 для (4.60) и hynn- для (4.61). Каждая линия в наборе соответствует однофотонному переходу, разрешенному правилами отбора. Следовательно, при однофотонном поглощении квантовыми точками в режиме сильного конфай- нмента рождаются электрон и дырка с одинаковыми квантовыми числами. При поглощении света квантовыми точками в режиме слабого конфайнмен- та возникают экситоны с нулевым угловым моментом. Низкоэнергетический край поглощения квантовых точек сдвинут в сторону высоких энергий по отношению к краю поглощения в объемных материалах на величину 7г2 тг2 /З^Р2 для режима сильного конфайнмента и на величину Т^л2 j^MR2 для режима слабого конфайнмента. Из (4.60) видно, что при прочих равных условиях амплитуда линий в спектре поглощения квантовыми точками в режиме сильного конфайнмента возрастает с увеличением углового момента электронов и

дырок как 2/ + 1. В случае квантовых точек в режиме слабого конфайнмента (4.61) спектр поглощения формируется главным образом самым низкоэнергетическим переходом п = 1,п' = 1, поскольку амплитуды линий, соответствующих высокоэнергетическим переходам, убывают с ростом эксито иных квантовых чисел как и-2и'-3. Кроме того, из (4.61) следует, что амплитуда спектра поглощения экситонами пропорциональна объему квантовой точки -R3.

Чтобы понять, насколько изложенное выше теоретическое описание однофотонного поглощения квантовыми точками соответствует реальности и выяснить, какая информация об электронной структуре нанокристаллов может быть получена с помощью спектроскопии такого типа, кратко обсудим экспериментальные данные, опубликованные в работе [60]. Прежде всего, следует отметить, что прямое измерение спектра поглощения одиночной квантовой точки невозможно из-за ее малого размера. Следовательно, необходимо использовать образцы, содержащие большое число квантовых точек. Так как существующие в настоящее время технологии не позволяют изготовить совершенно идентичные нанокристаллы, то в образце будут присутствовать квантовые точки с различными размерами. В зависимости от технологии изготовления распределение нанокристаллов по размерам может иметь различный вид, описываемый например, функциями Гаусса или Лифшица - Сле- зова [61]. Эти распределения характеризуются средним размером квантовых точек R^ который может быть определен методом малоуглового рентгеновского рассеяния. На рис. 4.9 приведены спектры однофотонного поглощения

Рис. 4.9. Спектры однофотонного поглощения нанокристаллов CuCl с различными средними радиусами. RQ = 3.1 (1), R^ = 2.9 (2) и /?0 - 2.0 нм (3) [60].

нанокристаллов в стеклянной матрице, изготовленных из кубического полупроводника CuCl. Измерения проводились при температуре Т = 4.2 К для образцов, содержащих ансамбли квантовых точек со средними радиусами 3.1, 2.9 и 2.0 нм. Поскольку боровский радиус экситона Rex в CuCl равен

0.7 нм, то можно считать, что нанокристаллы во всех трех образцах находятся в режиме слабого конфайнмента. Кроме того, верхняя валентная зона и зона проводимости в CuCl - простые (вырождены только по спину) и, следовательно, для описания спектров поглощения можно было бы, в принципе, использовать выражение (4.61). Однако из рис. 4.9 видно, что наблюдаемые в спектрах линии крайне широкие и асимметричные. Это обстоятельство объясняется тем, что ансамбли квантовых точек в образцах характеризуются широким несимметричным распределением по размерам. Действительно, нанокристаллы разных размеров обладают различными энергиями однофотонных переходов

hat = + ЕеЕ(4.62)

2MR2 пv 7

При изменении частоты и свет будет поглощаться теми квантовыми точками, для которых удовлетворяется уравнение (4.62), и полный спектр поглощения представляет собой суперпозицию линий (4.61) от нанокристаллов различных размеров. Отсюда следует, что форма экспериментально наблюдаемых линий качественно воспроизводит размерное распределение квантовых точек, а ширина линий определяется шириной этого распределения. Этот эффект, называемый неоднородным уширением оптических спектров (переходов), имеет место в режиме слабого и сильного конфайнмента. Его можно учесть при теоретическом описании коэффициентов поглощения, если провести усреднение выражений (4.60) и (4.61) с соответствующей функцией распределения квантовых точек по размерам f(Ry

К^ = [ dRJXR)^, К* = [ dRKR)^.(4.63)

Таким образом, спектральное положение максимумов линий поглощения соответствует однофотонным переходам в нанокристаллах с радиусами, близкими к Rq, и может быть использовано для экспериментального определения среднего радиуса квантовых точек.

Из рис. 4.9 видно, что при уменьшении среднего радиуса нанокристаллов их спектры поглощения смещаются в высокоэнергетическую область. Анализ, проведенный в [60] показал, что этот сдвиг достаточно хорошо описывается выражением Тг^л2/2MR2 в соответствии с предсказанием простой теории межзонного поглощения квантовыми точками в режиме слабого конфайнмента. В то же время каждый спектр на рис. 4.9 состоит из двух линий, достаточно близких по амплитуде. Энергетическое расстояние между этими линиями не согласуется с величиной 3/г2тг2I2MR^ равной энергетическому зазору между двумя нижайшими экситонными уровнями размерного квантования, однофотонный переход в которые разрешен правилами отбора. Таким образом, интерпретировать вторую (высокоэнергетическую) линию спектра поглощения не удается в рамках двухзонной модели полупроводника. Чтобы объяснить наличие высокоэнергетической линии, необходимо вспомнить, что валентная зона полупроводников с кубической симметрией обладает сложной

Рис. 4.10. Энергетическая зонная структура кубических полупроводников. Eg - ширина запрещенной зоны, Zho - спин-орбитальное расщепление. Символами vh, vl и vs обозначены подзоны тяжелых, легких и спин-орбитально отщепленных дырок соответственно.

структурой (рис. 4.10). Она состоит из подзон тяжелых и легких дырок, вырожденных в центре зоны Бриллюэна, и подзоны спин-орбитально отщепленных дырок, отделенной от двух первых энергетическим зазором Aso. Трехмерное пространственное ограничение приводит к размерному квантованию всех трех подзон валентной зоны. В случае нанокристаллов CuCl верхней является подзона спин-орбитально отщепленных дырок. Отсюда следует, что низкоэнергетическая линия спектров поглощения, представленных на рис. 4.9, соответствует генерации экситонов, образованных электроном зоны проводимости и дыркой из этой подзоны валентной зоны. Вторая же высокоэнергетическая линия связана с возбуждением экситонов, в которые включены дырки из подзон легких и тяжелых дырок. Энергетическое расстояние между парой линий можно приближенно описать выражением

(4.64)(4.64)7г2тг2/г2тг2

(4.64)

(4.64)

2(mc + mvs)R^ 2(тс + mvx)R^

где mvs и mvh - эффективные массы спин-орбитально отщепленных и тяжелых дырок.

Как упоминалось в разд. 4.1.1 данной работы, учет сложной структуры валентной зоны в простейшем варианте может быть выполнен в рамках модели, в которой подзоны валентной зоны считаются независимыми друг от друга. При этом полный энергетический спектр электронных, дырочных и эксито иных состояний квантовых точек будет суперпозицией спектров изолированных зон. Данная модель позволяет выполнить тривиальное обобщение теории однофотонного поглощения. Действительно, полный спектр поглощения является простой суперпозицией спектров, сформированных оптическими переходами между изолированными подзонами валентной зоны и зоной проводимости. Каждый же частный спектр может быть описан выражениями (4.63) с соответствующими зонными параметрами.

Следует отметить, что интерпретировать спектры однофотонного поглощения квантовых точек в режиме сильного конфайнмента значительно труднее, чем в режиме слабого конфайнмента. На рис. 4.11 представлен коэффициент поглощения нанокристаллов со средним радиусом 3 нм в воде, изготовленных из кубической модификации CdSe. Поскольку боровский радиус

Рис. 4.11. Коэффициент однофотонного поглощения квантовых точек из CdSe в воде.

Средний радиус нанокристаллов 3 нм.

экситона в CdSe равен 5.7 нм, можно считать, что квантовые точки находятся в режиме сильного конфайнмента. Трудность интерпретации таких спектров обусловлена тем, что спектральные особенности коэффициента поглощения, например на рис. 4.11 в области 2.25 и 2.8 эВ, связанные с переходами из подзон тяжелых/легких дырок и спин-орбитально отщепленных дырок соответственно, являются полосами. Они сформированы не одной неоднородно уширенной линией, а целыми сериями линий одиночного нанокристалла (4.60), которые соответствуют оптическим переходам с различными угловыми моментами (г, / = 0 с, / = 0; г, / = 1 —> с, / = 1; v, I = 2 —> с, I = 2; ...). Из-за достаточно большого неоднородного уширения линии с различными угловыми моментами спектрально не разрешаются и не удается определить квантовые числа перехода, которому соответствуют максимумы спектральных особенностей коэффициента поглощения.

Поскольку двухфотонные переходы обладают правилами отбора, отличающимися от правил отбора при однофотонных переходах, несомненный интерес представляет исследование двухфотонного поглощения квантовыми точками. Последовательная теория этого процесса, основанная на простейшей многозонной модели полупроводника кубической симметрии, была развита в работе [62] применительно к сферическим нанокристаллам в режиме сильного конфайнмента. Теоретический анализ и экспериментальные данные показали, что прямое использование спектроскопии двухфотонного поглощения не является оптимальным методом изучения электронной структуры кванто-

вых точек из-за достаточно большого неоднородного уширения оптических переходов. Однако поскольку полученные результаты имеют важное значение для понимания физики более сложных многофотонных методов, применяющихся для исследования состояний размерного квантования в нанокристаллах, мы их кратко обсудим.

Скорость двухфотонной генерации электрон-дырочных пар линейно поляризованным светом с частотой о может быть представлена во втором порядке теории возмущений по электрон-фотонному взаимодействию V следующим образом

w<2) = ^^ |MV1,V0|2 S(£V| - £Vo - 2М,(4.65)

V1,VO

где

^У1,У2^У2,У0/л ггх

Муьуо = > . 7;7•(4.66)

EV2 - EVo -Ко- iKyV2

В уравнениях (4.65) и (4.66) индексы vq, vi и У2 обозначают наборы квантовых чисел, соответствующих начальному, конечному и промежуточному состояниям электронной подсистемы, параметр yv - скорость дефазировки перехода v ^ у. Составной матричный элемент (4.66) будем вычислять в приближении эффективной массы для четырехзонной модели полупроводника кубической симметрии Oh или Тд; зона проводимости с, подзона тяжелых дырок v/z, подзона легких дырок г/ и подзона спин-орбитально отщепленных ДЫрОК V5.

Поскольку в кубических полупроводниках однофотонные межзонные переходы vj <-> с (j = /z, /, 5) разрешены в дипольном приближении, каждый член в сумме (4.66) содержит произведение межзонного (4.53) и внутризонного (4.50) матричных элементов. Используя явные выражения для этих матричных элементов, легко вычислить скорость двухфотонной генерации электрон- дырочных пар:

где формфункция двухфотонных переходов из валентной зоны у/ в зону проводимости с дается выражением

(^1^/1,/о+1 + Ф^/Ь/0-1)

^тс№^тс№К^вЪп^В?К^вЪп^В?+ Egj - 2Ко+ Egj - 2Ко(4.68)(4.68)

^тс№

^тс№

К^в

Ъп^В?

К^в

Ъп^В?

+ Egj - 2Ко

+ Egj - 2Ко

(4.68)

(4.68)

(4.69)

В (4.68) и (4.69) индексами Дх и До для простоты обозначены пары квантовых чисел nJi и nolo соответственно, mVj - эффективная масса дырки в j-и подзоне, Egj = Eg при j = hj и Egs = Eg + Л$О. При выводе (4.67) предполагалось, что исследуемые образцы содержат большое число квантовых точек со случайной ориентацией кристаллографических осей по отношению к вектору поляризации света и было проведено усреднение по этой ориентации. Важным свойством рассматриваемых двухфотонных переходов являются правила отбора. Согласно (4.68) возможна генерация только таких электрон-дырочных пар, для которых огибающие волновые функции электрона и дырки обладают квантовыми числами 1^т\ и lomo соответственно, удовлетворяющими соотношениям J/ = /1 - /о - ±1 и Лт = mi - то = 0, ±1. Таким образом, правила отбора для однофотонных [5] и двухфотонных переходов отличаются друг от друга.

Выражение (4.67) для скорости двухфотонной генерации электрон- дырочных пар применимо к полупроводникам симметрии О и и Т^. В то же время в материалах второго типа существует второй важный канал двухфотонных переходов с правилами отбора, как у однофотонных. Этот канал описывает переходы, для которых промежуточные состояния принадлежат зонам, отличным от с и у/, и существует благодаря тому, что в полупроводниках без центра инверсии (например, Т^) двухфотонные переходы разрешены в дипольном приближении.

Приближение эффективной массы основано на предположении [7], что явно учитываемые зоны (в нашем случае с и vj) отделены от остальных достаточно широкой энергетической щелью ЛЕ. Критерием применимости метода эффективной массы для описания двухфотонных переходов является неравенство Theo <с ЛЕ. Его выполнение позволяет представить матричные элементы (4.66) в виде произведения независящих от частоты со констант и квадратичной комбинации декартовых компонент векторного потенциала. Для группы симметрии Т^ лишь одна такая константа Q отлична от нуля. Тогда усредненная скорость генерации электрон-дырочных пар в случайно ориентированных квантовых точках

-L ! V \ V! V ! . _ _

где

ФС„=У (2/+1)5 —^+^-2ЙШ . (4.71) nl )

Из (4.71) следует, что этот канал двухфотонных переходов удовлетворяет тем же правилам отбора, что и однофотонные переходы (4.56), т. е. п\ = по = и, /1 = /о = /, mi = то = т.

Из-за эффекта размерного квантования скорости генерации электрон- дырочных пар W^2) and W^ обладают линейчатым энергетическим спектром, который представляет собой суперпозицию вкладов от переходов из трех валентных зон в зону проводимости (см. (4.67) и (4.70)). Следует отметить, что положение линий в спектре W^ и спектре скорости однофотонной генерации электрон-дырочных пар W^ совпадают друг с другом (если 27гм в (4.71) заменить на /гм), поскольку последняя скорость в случае четырехзонной модели определяется теми же формфункциями Фс^ (4.56), что и двухфотонная скорость W^V

На рис. 4.12 изображены низкоэнергетические спектры формфункций Фс^ (а) и FC.VJ (b), рассчитанные по формулам (4.68) и (4.71) для двух значений радиуса квантовой точки R = 1.6 и 2.5 нм. Расчеты выполнялись для кристалла CdS кубической модификации со следующими параметрами: Zlso = 0.075 эВ, Eg = 2.42 эВ, тс = O.2O5mo, mvh = 1.348mo, mvi = O.192mo, mvs = O.33mo, у = уд = 0.06 эВ.

Рис. 4.12. а, б - спектры формфункций Фс^ (а) и FC)Vj (б) для квантовой точки на основе кристалла CdS кубической модификации. Кружки, треугольники и квадраты соответствуют переходам из валентных зон vh, vl и vs в зону проводимости с. в)- спектры коэффициентов поглощения К^\ К^ и К^ для системы квантовых точек. Е = Йо» для Oc,vj и К^; Е = 2Йа> для Fcyj, К^ и К^У Левая панель соответствует R-Rq-\.6 нм, правая панель - R = Rq = 2.5 нм.Рис. 4.12. а, б - спектры формфункций Фс^ (а) и FC)Vj (б) для квантовой точки на основе кристалла CdS кубической модификации. Кружки, треугольники и квадраты соответствуют переходам из валентных зон vh, vl и vs в зону проводимости с. в)- спектры коэффициентов поглощения К^\ К^ и К^ для системы квантовых точек. Е = Йо» для Oc,vj и К^; Е = 2Йа> для Fcyj, К^ и К^У Левая панель соответствует R-Rq-\.6 нм, правая панель - R = Rq = 2.5 нм.

Рис. 4.12. а, б - спектры формфункций Фс^ (а) и FC)Vj (б) для квантовой точки на основе кристалла CdS кубической модификации. Кружки, треугольники и квадраты соответствуют переходам из валентных зон vh, vl и vs в зону проводимости с. в)- спектры коэффициентов поглощения К^\ К^ и К^ для системы квантовых точек. Е = Йо» для Oc,vj и К^; Е = 2Йа> для Fcyj, К^ и К^У Левая панель соответствует R-Rq-\.6 нм, правая панель - R = Rq = 2.5 нм.

Рис. 4.12. а, б - спектры формфункций Фс^ (а) и FC)Vj (б) для квантовой точки на основе кристалла CdS кубической модификации. Кружки, треугольники и квадраты соответствуют переходам из валентных зон vh, vl и vs в зону проводимости с. в)- спектры коэффициентов поглощения К^\ К^ и К^ для системы квантовых точек. Е = Йо» для Oc,vj и К^; Е = 2Йа> для Fcyj, К^ и К^У Левая панель соответствует R-Rq-\.6 нм, правая панель - R = Rq = 2.5 нм.

Спектры Фсл? и Ес^ обладают как сходными, так и существенно различными чертами. С одной стороны, у всех спектров имеется низкоэнергетический

порог, сдвигающийся к высоким энергиям при уменьшении радиуса квантовой точки. Когда это имеет место, энергетическая плотность линий или число линий в заданном энергетическом диапазоне уменьшается. С другой стороны, из-за различных правил отбора, положение линий в спектрах Фс v и FGV не совпадают друг с другом. В частности, порог в спектре FGV имеет место при энергиях больших, чем в спектре Фсл?. Поведение амплитуд линий в зависимости от радиуса квантовой точки также различно для Фс^ и FC)V. Фсу-амплитуды не зависят от R и определяются только величиной 2/ + 1, в то время как Fc v-амплитуды являются сложными функциями R. Зависимость этих функций от R иллюстрируется рис. 4.13, где показана амплитуда линии для перехода |v/z, 1,1) —> |с, 1,0). Здесь второй и третий индексы соответствуют п и I. Для кубической модификации CdS с перечисленными выше пара-

Рис. 4.13. Зависимость амплитуды линии Fcyh, соответствующей нижайшему двухфотонному переходу |v/z, 1,1) —> |с, 1,0), от радиуса квантовой точки.

метрами этот переход является самым низкоэнергетическим. Форма кривой на рис. 4.13 определяется двумя факторами, первый из которых, F-2, связан с внутризонным матричным элементом (4.50), а второй обусловлен зависимостью от R энергетического знаменателя в выражении (4.69).

Другим важным отличием H^2) от W^ и W^ является ее сложная зависимость от эффективных масс носителей заряда. Как следует из уравнения (4.71), эффективные массы контролируют только спектральное положение линий для W^ и И^. Скорости W^ и W^ зависят от приведенной эффективной массы электрона и дырки ц, = mcmVj/(mc + mV7) таким образом, что при уменьшении pj вклад от vj-зоны в полный спектр сдвигается к высоким энергиям, в то время как последовательность линий, связанная с этой зоной, остается неизменной. Совершенно другое поведение демонстрирует Wp\ которая зависит от величин тс и mVj по отдельности. При этом, кроме высокоэнергетического сдвига спектра как целого с уменьшением тс или mVj, последовательность линий, контролируемая отношением mVj!mc, может

меняться. Например, если mVj/mc = 1, каждая линия является дублетом. В отличие от W^ и W^, амплитуды линий Н^2* зависят от эффективных масс носителей.

Используя приведенные выше результаты, легко вычислить коэффициент двухфотонного поглощения в среде, содержащей квантовые точки одного размера. Для этого достаточно умножить соответствующую скорость двухфотонной генерации электрон-дырочных пар на энергию, поглощаемую в одном переходе 27kJ, и на концентрацию квантовых точек N, а затем разделить полученное выражение на интенсивность света I. Если же экспериментально исследуемые образцы представляют собой системы случайно ориентированных квантовых точек, обладающих размерной дисперсией, то для получения коэффициента двухфотонного поглощения, как и в случае однофотонных переходов, необходимо выполнить размерное усреднение соответствующих скоростей генерации электрон-дырочных пар

К® = 2%ojy dRf(R)W®,К® = 2%ojy dRf(R)W®,К® = 2Й^у dRf^W®.К® = 2Й^у dRf^W®.(4.72)(4.72)

К® = 2%ojy dRf(R)W®,

К® = 2%ojy dRf(R)W®,

К® = 2Й^у dRf^W®.

К® = 2Й^у dRf^W®.

(4.72)

(4.72)

На рис. 4.12с показаны спектры коэффициентов двухфотонного поглощения К^ и К^ квантовых точек с распределением Лифшица-Слезова для средних радиусов Ro = 1.6 и 2.5 нм. Там же для сравнения изображен спектр однофотонного поглощения. Важной особенностью распределения Лифшица- Слезова является его резкая асимметрия, которая приводит к сдвигу положений максимумов коэффициентов поглощения по отношению к положению соответствующих линий в W^, H^2) и W^.

Важно отметить, что полный коэффициент двухфотонного поглощения для квантовых точек из полупроводника без центра инверсии является суммой К^ = K^-vK^\ Таким образом, крайне сложно обнаружить сдвиг между K^s и Ks в экспериментально измеряемых спектрах.

Проведенный анализ спектроскопии одно- и двухфотонного поглощения квантовыми точками показал, что эти оптические методы дают лишь качественную информацию об электронной структуре нанокристаллов. Это связано с достаточно большим неоднородным уширением оптических спектров квантовых точек. Для детального исследования уровней размерного квантования необходимо использовать другие методы, позволяющие в значительной степени подавить эффект неоднородного уширения. К ним относятся - спектроскопия сужения линий флуоресценции [63-65], спектроскопия выжигания долгоживущих провалов в контуре поглощения [66-68] и спектроскопия возбуждения фотолюминесценции [69, 70].

Фотолюминесценция квантовых точек

Среди оптических методов, применяемых для изучения электронных и эксито иных состояний размерного квантования в нанокристаллах, наиболее часто

Рис. 4.14. а - схема формирования сигнала фотолюминесценции неоднородно уширенного ансамбля квантовых точек. Фотоны с энергией hu)e одновременно возбуждают квантовые точки с радиусами Ry, R^ и R3. После релаксации в первое состояние (пунктирные стрелки) эти квантовые точки излучают фотоны с энергиями ^мг1, tico^ и Пшг3. б - схема формирования спектра возбуждения фотолюминесценции неоднородно уширенного ансамбля квантовых точек. Фотоны с энергиями Кй)еу, tico^ и Йа>ез последовательно возбуждают уровни квантовых точек с радиусом R. Излучение этих квантовых точек после их релаксации в первое состояние (пунктирные стрелки), регистрируется детектирующей системой настроенной на фотоны ^мг1.Рис. 4.14. а - схема формирования сигнала фотолюминесценции неоднородно уширенного ансамбля квантовых точек. Фотоны с энергией hu)e одновременно возбуждают квантовые точки с радиусами Ry, R^ и R3. После релаксации в первое состояние (пунктирные стрелки) эти квантовые точки излучают фотоны с энергиями ^мг1, tico^ и Пшг3. б - схема формирования спектра возбуждения фотолюминесценции неоднородно уширенного ансамбля квантовых точек. Фотоны с энергиями Кй)еу, tico^ и Йа>ез последовательно возбуждают уровни квантовых точек с радиусом R. Излучение этих квантовых точек после их релаксации в первое состояние (пунктирные стрелки), регистрируется детектирующей системой настроенной на фотоны ^мг1.

Рис. 4.14. а - схема формирования сигнала фотолюминесценции неоднородно уширенного ансамбля квантовых точек. Фотоны с энергией hu)e одновременно возбуждают квантовые точки с радиусами Ry, R^ и R3. После релаксации в первое состояние (пунктирные стрелки) эти квантовые точки излучают фотоны с энергиями ^мг1, tico^ и Пшг3. б - схема формирования спектра возбуждения фотолюминесценции неоднородно уширенного ансамбля квантовых точек. Фотоны с энергиями Кй)еу, tico^ и Йа>ез последовательно возбуждают уровни квантовых точек с радиусом R. Излучение этих квантовых точек после их релаксации в первое состояние (пунктирные стрелки), регистрируется детектирующей системой настроенной на фотоны ^мг1.

Рис. 4.14. а - схема формирования сигнала фотолюминесценции неоднородно уширенного ансамбля квантовых точек. Фотоны с энергией hu)e одновременно возбуждают квантовые точки с радиусами Ry, R^ и R3. После релаксации в первое состояние (пунктирные стрелки) эти квантовые точки излучают фотоны с энергиями ^мг1, tico^ и Пшг3. б - схема формирования спектра возбуждения фотолюминесценции неоднородно уширенного ансамбля квантовых точек. Фотоны с энергиями Кй)еу, tico^ и Йа>ез последовательно возбуждают уровни квантовых точек с радиусом R. Излучение этих квантовых точек после их релаксации в первое состояние (пунктирные стрелки), регистрируется детектирующей системой настроенной на фотоны ^мг1.

используют размерно-селективную фотолюминесценцию или, как ее чаще называют, спектроскопию возбуждения фотолюминесценции.

Чтобы разобраться в основах этого важного метода рассмотрим следующую простую схему фотолюминесценции, представленную на рис. 4.14а. На этом рисунке изображена зависимость энергии нескольких нижайших межзонных переходов от обратного квадрата радиуса квантовой точки. Сечение этого рисунка вертикальной прямой дает систему межзонных переходов для нанокристалла с фиксированным радиусом R*. Его сечение горизонтальной прямой дает набор квантовых точек различного размера из неоднородно уширенного ансамбля, возбуждаемых фотоном с энергией Ксое в первое, второе и т.д. состояния. Если квантовая точка возбуждается не в первое состояние, то после возбуждения происходит достаточно быстрая релаксация, в результате которой нанокристалл оказывается в первом состоянии. После этого электрон-дырочная пара рекомбинирует с испусканием фотона 1иог. Эти фотоны и формируют спектр фотолюминесценции. Если регистрирующая система настроена таким образом, что фиксируются фотоны, излучаемые квантовыми точками с радиусом R, то будет наблюдаться следующая картина фотолюминесценции (рис. 4.146). Когда энергия возбуждающего фотона Тга)е приближается к энергии разрешенного оптического перехода в этих квантовых точках, амплитуда фотолюминесценции будет резонансно возрастать, а при удалении от него - уменьшаться. В результате, сканируя возбуждающими фотонами полосу поглощения ансамбля нанокристаллов, в зависимости амплитуды фотолюминесценции 1(а)е) можно получить серию пиков, соответствующих оптическим переходами в различные состояния одной и той же

квантовой точки. Именно такие зависимости и называются спектрами возбуждения фотолюминесценции. Меняя энергию регистрации Тга)г(Н), можно сканировать нанокристаллы различных размеров. В результате будет получена размерная зависимость энергии оптических переходов и, следовательно, уровней размерного квантования в нанокристаллах.

Спектроскопия одно- и двухфотонного возбуждения люминесценции широко используется для изучения энергетической структуры квантовых точек (см., например, [3, 69, 70]). Так, например, в работе [69] методом однофотон- но возбуждаемой люминесценции был проведен детальный анализ размер-

Рис. 4.15. а - экспериментальный спектр возбуждения фотолюминесценции, полученный при 10 К от квантовых точек на основе CdSe [69]. Регистрирующая система настроена на нанокристаллы с радиусом 1.8 нм. Буквами а, Ь, ..., g обозначены максимумы, соответствующие резонансу возбуждающего излучения ^Mf с первым, вторым, третьим и т.д. однофотонными оптическими переходами, б - размерная зависимость энергии этих оптических переходов. По оси х отложена энергия первого перехода Ea(R\ т.е. размер квантовой точки. По оси у отложены разности между энергией Ej(R) у-го перехода (j = а, b,..., g) и Ea(RYРис. 4.15. а - экспериментальный спектр возбуждения фотолюминесценции, полученный при 10 К от квантовых точек на основе CdSe [69]. Регистрирующая система настроена на нанокристаллы с радиусом 1.8 нм. Буквами а, Ь, ..., g обозначены максимумы, соответствующие резонансу возбуждающего излучения ^Mf с первым, вторым, третьим и т.д. однофотонными оптическими переходами, б - размерная зависимость энергии этих оптических переходов. По оси х отложена энергия первого перехода Ea(R\ т.е. размер квантовой точки. По оси у отложены разности между энергией Ej(R) у-го перехода (j = а, b,..., g) и Ea(RY

Рис. 4.15. а - экспериментальный спектр возбуждения фотолюминесценции, полученный при 10 К от квантовых точек на основе CdSe [69]. Регистрирующая система настроена на нанокристаллы с радиусом 1.8 нм. Буквами а, Ь, ..., g обозначены максимумы, соответствующие резонансу возбуждающего излучения ^Mf с первым, вторым, третьим и т.д. однофотонными оптическими переходами, б - размерная зависимость энергии этих оптических переходов. По оси х отложена энергия первого перехода Ea(R\ т.е. размер квантовой точки. По оси у отложены разности между энергией Ej(R) у-го перехода (j = а, b,..., g) и Ea(RY

Рис. 4.15. а - экспериментальный спектр возбуждения фотолюминесценции, полученный при 10 К от квантовых точек на основе CdSe [69]. Регистрирующая система настроена на нанокристаллы с радиусом 1.8 нм. Буквами а, Ь, ..., g обозначены максимумы, соответствующие резонансу возбуждающего излучения ^Mf с первым, вторым, третьим и т.д. однофотонными оптическими переходами, б - размерная зависимость энергии этих оптических переходов. По оси х отложена энергия первого перехода Ea(R\ т.е. размер квантовой точки. По оси у отложены разности между энергией Ej(R) у-го перехода (j = а, b,..., g) и Ea(RY

ной зависимости уровней размерного квантования электронной подсистемы нанокристаллов CdSe. На рис. 4.15 приведен типичный спектр возбуждения фотолюминесценции, который получен для случая, когда регистрирующая система была настроена на детектирование сигнала от квантовых точек с радиусом 1.8 нм. Видно, что в спектре хорошо разрешаются несколько оптических переходов между нижайшими уровнями размерного квантования валентной зоны и зоны проводимости. Изменяя энергию детектирования, авторы получили зависимость энергии этих переходов от R в достаточно широкой области размеров нанокристаллов.

Приведенный пример демонстрирует, что спектроскопия возбуждения фотолюминесценции является мощным методом исследования электронной структуры ансамблей квантовых точек с большим неоднородным уширением оптических переходов. Более того, как будет видно в дальнейшем, он позволяет изучать также фононные и электрон-фононные состояния.

Исследование фононных и электрон-фононных состояний квантовых точек

Для изучения фононных состояний и электрон-фононного взаимодействия в квантовых точках наиболее часто используют спектроскопию комбинационного рассеяния света. Процесс комбинационного рассеяния можно схематически представить себе следующим образом. Фотон падающего на образец излучения исчезает, а его энергия Wl расходуется на возбуждение, например, электронной поляризации Ре. Эта поляризация служит источником вторичного рассеянного излучения. Благодаря взаимодействию электронной подсистемы с различными элементарными возбуждениями образца, например фононами с энергией W, наведенная электронная поляризация осциллирует не только на частоте возбуждающих фотонов, но и на комбинационных частотах:

Р6 = Ре^сой + Ve^COL ± £) + ... + Ре^ь ± W) + ..., (4.73)

где п - число фононов, участвующих в процессе. Таким образом, рассеянное излучение будет обладать следующим частотным спектром a>s = u)l ± W с п = 0, ±1, ±2,..., причем при /7 = 0 мы имеем дело с упругим рассеянием, поскольку частоты возбуждающего и рассеянного излучений совпадают. Если п Ф 0, то говорят о и-фононном комбинационном рассеянии света. При и > О в процессе рассеяния в образце исчезает и-фононов, энергия которых nW идет на рождение рассеянного фотона с энергией Ws большей, чем энергия падающего фотона Wl- Такой процесс называется антистоксовым. Если же п < 0, то имеет место стоксово рассеяние, в результате которого в образце рождается и-фононов.

Поскольку концентрация квантовых точек в исследуемых образцах не слишком высока, то, как правило, применяют резонансный вариант спектроскопии комбинационного рассеяния. Это связано с тем, что при приближении энергии возбуждающих фотонов к энергии какого-либо электронного перехода в квантовой точке интенсивность рассеянного света резко возрастает.

В значительной части работ, посвященных колебательным спектрам и электрон-фононному взаимодействию в квантовых точках, изучалась величина и размерная зависимость полярной связи электронной подсистемы квантовой точки с продольными оптическими (LO) фононами [37, 41, 71-75]. Взаимодействие электронной подсистемы квантовых точек с поверхностными (SO) и поперечными (ТО) фононами было рассмотрено в работах [36, 76]. В частности, в [36] была развита теории электрон-фононного взаимодействия,

которая с единых позиций рассматривала полярное и деформационное взаимодействия электронной подсистемы квантовой точки со всеми типами оптических фононов. Она применима для описания широкого круга оптических, динамических и кинетических эффектов в квантовых точках, в том числе эффектов перенормировки электрон-фононных состояний благодаря колебательному резонансу Было показано, что при увеличении размера квантовой точки величина матричных элементов электрон-фононного взаимодействия уменьшается. Их размерная зависимость определяется типом связи (полярная или деформационная), типом оптического фонона (продольный, поперечный или поверхностный) и явным видом эксито иных состояний, между которыми вычисляется матричный элемент перехода.

Теория комбинационного рассеяния в квантовых точках развивалась в работе [77]. Был рассмотрен случай, когда их электронная подсистема в режиме сильного конфайнмента связана с LO фононами полярным взаимодействием. В работе [36] была построена теория комбинационного рассеяния, учитывающая в рамках единого подхода деформационное и полярное взаимодействие экситонов со всеми типами оптических фононов. В дальнейшем теоретические исследования этого спектроскопического метода были сосредоточены в нескольких направлениях. В [78] на основе простейшей феноменологической модели учитывалась размерная зависимость частоты оптических фононов. В [79] описаны особенности рассеяния света в квантовых точках цилиндрической формы, а в [80] развита теория многофононного рассеяния.

При экспериментальном изучении размерной зависимости электронной и колебательной структуры квантовых точек было обнаружено, что их энергетический спектр заметно меняется, когда разность энергий экситонных уровней приближается к энергии оптического фонона, т. е. реализуется колебательный резонанс. Одна из первых попыток наблюдения модификации энергетического спектра экситонов и фононов в условиях колебательного резонанса была предпринята при исследовании однофотонно возбуждаемой люминесценции сферических квантовых точек на основе CuCl, выращенных в стеклянной матрице [81]. Снятие вырождения в системе “экситон+фонон” для пары нижайших экситонных состояний квантовой точки CuCl в матрице NaCl наблюдалось в спектрах двухфотонно возбуждаемой люминесценции [82]. Численный расчет перенормировки энергии полно симметричного оптического фонона, индуцированной колебательным резонансом между экси- тонными состояниями одинаковой четности, был проведен в работе [83] для сферических квантовых точек на основе CuCl. Результаты использовались для объяснения уменьшения энергии LO фонона, наблюдавшейся в спектрах однофотонно возбуждаемой люминесценции и выжигания провалов.

Последовательное теоретическое описание колебательного резонанса в квантовых точках в форме сферы и прямоугольного параллелепипеда, а также его проявление в спектрах двухфотонно возбуждаемой люминесценции было дано в работе [84]. На основе полученных результатов были детально проанализированы экспериментальные данные по двухфотонно возбуждае-

мой люминесценции CuCl квантовых точек, выращенных в кристалле NaCl [84], а также интерпретированы данные работы [82].

Задача о взаимодействии электронной подсистемы квантовых точек с акустическими фононами не менее важна, чем проблема ее связи с оптическими фононами. Очевидно, для понимания физики оптических переходов и релаксационных процессов в таких квазинульмерных объектах необходима детальная информация об этом взаимодействии [85].

Суть проблемы заключается в том, что в изолированных от окружающей среды квантовых точках из-за трехмерного конфайнмента энергетический спектр акустических фононов должен быть дискретным [86]. Это обстоятельство крайне затрудняет процессы энергетической релаксации в квазинульмерных системах, поскольку безызлучательные переходы между электронными (экситонными) уровнями размерного квантования и распад фонона на пару фононов с меньшими энергиями возможны лишь в особых случаях. Чтобы эти процессы имели место, необходимо совпадение энергии акустического фонона с энергетическим зазором между электронными состояниями или с суммарной энергией фононов, возникающих в результате распада. Однако такое совпадение возможно лишь для квантовых точек вполне определенного размера.

Представление о дискретности спектра акустических фононов было использовано в ряде теоретических и экспериментальных работ [85-89], посвященных исследованию квантовых точек. Однако в реальных системах квантовые точки встроены в диэлектрические или полупроводниковые матрицы и не являются изолированными. Следовательно, идея о дискретности спектра акустических фононов, игнорирующая влияние матрицы, представляется неадекватной. Более того, она противоречит экспериментальным данным. Например, в спектрах резонансного низкочастотного комбинационного рассеяния квантовыми точками [89, 90] наблюдаются достаточно широкие полосы акустических фононов, а не узкие пики, связанные с размерно квантованными акустическими фононами.

Из общих соображений ясно, что квантовые точки и матрица должны рассматриваться как единая неоднородная макроскопическая система с непрерывным спектром акустических фононов. Такая постановка задачи, существенно более адекватная для реальных экспериментальных условий, чем подход, основанный на идее о дискретном энергетическом спектре акустических фононов, была предложена в работе [91]. Близкий подход использовался в работе [92] для описания нерезонансного комбинационного рассеяния света.

Комбинационное рассеяние света с участием оптических фононов

Как отмечалось ранее, спектроскопия резонансного комбинационного рассеяния света представляет собой один из самых мощных инструментов изучения систем с пространственным ограничением. В частности, она широко используется для исследования полупроводниковых квантовых точек

[37, 41, 73, 74], обеспечивая прямую информацию о фононной подсистеме и электрон-фононном взаимодействии. Эти данные очень важны для более глубокого понимания физики низкоразмерных систем и построения улучшенной модели квантовой точки. Для иллюстрации сказанного рассмотрим экспериментальный спектр резонансного комбинационного рассеяния квантовых точек на основе CuBr (см. рис. 4.16). Из этого рисунка видно, что в спектре имеется полоса ТО фононов, интенсивность которой сравнима с полосой LO фононов. Этот факт ясно демонстрирует важную роль связи экси-

Стоксов сдвиг, см'

Рис. 4.16. Интенсивность резонансного комбинационного рассеяния CuBr квантовыми точками, встроенными в стеклянную матрицу. Средний радиус квантовых точек 3.2 нм, энергия возбуждающих фотонов 3.022 эВ, спектральное разрешение 10 см-1 [36].

тонов и фононов квантовой точки через деформационный потенциал. Таким образом, большой интерес представляет описание резонансного комбинационного рассеяния с учетом полярного и деформационного взаимодействий между экситонами и оптическими фононами всех типов (LO, TiO, Т2О и SO) в рамках единого подхода. Эта проблема была решена в работе [36] для сферических квантовых точек в режиме слабого конфайнмента. Предполагалось, что материал квантовой точки представляет собой прямозонный полупроводник симметрии Т^ или О и и экситоны локализованы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Анализ матричных элементов экситон-фононного взаимодействия, с точки зрения резонансного комбинационного рассеяния, показал, что только ТО фононы с угловым моментом I = 0 дают вклад в процесс посредством полярной связи, в то время как деформационная связь приводит к тому, что ТО, Т2О и SO фононы с / = 1 участвуют в рассеянии света. Отсюда немедленно следует, что ТО- и ТО-полосы, наблюдавшиеся в спектрах резонансного комбинационного рассеяния квантовыми

точками на основе CuBr, определяются Т2О фононами с / = 1 и LO фононами с /= 0. Более того, форма спектров между Т2О- и LO-полосами позволяет предсказать существование дополнительных линий в этой области, например линий, связанных с LO и SO фононами с / = 1. Действительно, эксперименты, выполненные с большим спектральным разрешением [75], позволили обнаружить полосу SO фононов.

Дифференциальное сечение однофононного резонансного комбинационного рассеяния для падающего света с частотой cdf и рассеянного света с частотой cos дается следующим выражением:

(2еР\4 (e^V (2ws\2 „

(4./4)

(10 $ dCDs\ Ян С / \ 8^ / \ 3(jDF /

где параметр Р определен ранее (см. формулу (4.53)), индексы F и D обозначают полярную и деформационную связи, 0S - телесный угол, 8^ и 8Шь - диэлектрические проницаемости на частоте света. В общем случае множители SF^ представляют собой достаточно громоздкие выражения, которые сложным образом зависит от параметров света и квантовых точек. Тем не менее, можно получить относительно простые выражения для сечения рассеяния в случае резонанса с низкоэнергетическими эксито иными состояниями, связанными с тремя валентными зонами i = v/z, г/, vs. Рассмотрим ряд таких случаев.

Прежде всего ограничимся системами случайно ориентированных квантовых точек и рассмотрим сечения рассеяния, усредненные по ориентациям квантовых точек при условии, что угол между векторами поляризации eF и es падающего и рассеянного света фиксирован. Кроме того, будем рассматривать только стоксово рассеяние.

Предположим, что энергия генерации спин-орбитально расщепленных экситонов меньше, чем энергия генерации тяжелых и легких экситонов. Примером такой ситуации является полоса Z3 экситонов в квантовых точках на основе CuCl, которая связана с валентной зоной vs. Кроме того, предположим, что величина спин-орбитального расщепления Д$о достаточно велика, чтобы можно было пренебречь интерференцией между спин-орбитально расщепленными и другими экситонами. Тогда, если падающий свет попадает в Z3-полосу, то сечение резонансного комбинационного рассеяния определяется только полярным взаимодействием и множитель EF может быть представлен в виде

^Е = - ""°) (^ + 0 №) 1^’л1 ’<4'75)

где N^ = ^exp(7z^0/T) - 1) , Т - температура в энергетических единицах, a Mvs,n определяется общим выражением

jn,Q',Q jH,Q\i

Min=d^ > ——1^^-G , , .(^G®. , Аш^, (4.76)

dt = R/R^ Rex - радиус экситона, связанного с /-й валентной зоной, G^l\ ,= (Е^1\ , х -hu)i -ч - скорости дефазировки

соответствующих переходов, индекс v^HpHi) является упрощенной записью шести квантовых чисел {и', 0,0; и/, 0,0}, характеризующих состояние размерного квантования экситона, относящегося к /-й валентной зоне (см. обозначения в уравнении (4.11)). Здесь /^, Гп^х 0 и ^ДуД, 0 - параметры полярного электрон-фононного взаимодействия, явный вид которых приведен в [36]. Заметим, что в процессе рассеяния участвуют только LO фононы с Z = 0. В противоположном случае, когда энергии генерации тяжелых и легких экситонов меньше, чем энергия генерации спин-орбитально расщепленных экситонов, ситуация становится более сложной. Экситонная полоса Z12 в квантовых точках на основе CuBr является типичным примером такого случая. Если dso достаточно велика для пренебрежения интерференцией со спин-орбитально расщепленными экситонами, то сечение комбинационного рассеяния при резонансе с полосой Z12 будет определяться полярной и деформационной связями. Для простоты предположим, что эффективные массы mvh и mvi приблизительно равны друг другу. Вероятно, это предположение не слишком плохое при грубой интерпретации спектров резонансного комбинационного рассеяния, полученных от квантовых точек на основе CuBr. Положив mvh = mv/, получаем следующие выражения:

Sf = ^Z6^~ У A + 0 №)' K,„|2,(4.77)

У = X 6 ^L^1)0^ + 1) U\ \M^\2,(4.78)

где ф = 4(3 + (еле5)2)/5,

рД;^ ^пД;0;2Д

= yvhdv7 У j^i£^£^2g(v/)((4 79)

А,Иv Vf/ / 137 Уя(ИрИ1)Х 7V 7

Ua, ^q.^’q - параметры деформационного электрон-фононного взаимодействия, явный вид которых приведен в [36], индекс А обозначает тип фонона (LO или Т2О).

Для интерпретации экспериментальных данных принципиальное значение имеет анализ профилей возбуждения резонансного комбинационного рассеяния различными типами фононов, который позволяет идентифицировать как эксито иные состояния, вовлекаемые в процесс рассеяния, так и определить модовый состав LO- и Т2О-ПОЛОС, т. е. главные квантовые числа фононов п. Профилем возбуждения называется зависимость интенсивности света, рассеянного определенным типом фононов, от энергии возбуждающих фотонов. Из (4.77) и (4.78) следует, что сечение рассеяния содержит составные матричные элементы М^п и М^^ (см. (4.76) и (4.79)), представляющие со-

бой суммы членов, каждый из которых имеет смысл канала рассеяния. Каждый канал обладает двумя резонансными знаменателями, которые приводят к входному (7) и выходному (О) резонансам в профиле возбуждения. Соответствующие спектральные положения пиков в профиле возбуждения сдвинуты друг относительно друга на энергию Z1qi = ^(^ И2) + ^^д ” ^от ту Возможность спектрального разрешения входного и выходного резонансов зависит от соотношения между Л oil ft и скоростями дефазировки экситонных переходов у^, п^ и у^, п^. Значения параметров у, как правило, не известны. Более того, даже основной механизм уширения экситонных состояний является предметом интенсивных исследований и дискуссий. Однако заранее очевидно, что при низких температурах для квантовых точек встроенных в диэлектрические матрицы одним из главных механизмов уширения будет взаимодействие экситонов с акустическими фононами. Это связано с тем, что акустические фононы в таких системах обладают непрерывным энергетическим спектром. Для простоты будем считать, что феноменологические параметры у обладают одной и той же величиной для всех экситонных состояний. Важно отметить, что одни и те же резонансные знаменатели появляются в выражениях для большого числа каналов, но не все из них вносят существенный вклад в амплитуды входных и выходных резонансов. Относительный вклад того или иного канала в конкретный входной или выходной резонансы определяется величиной матричных элементов экситон-фононного и экситон-фотонного взаимодействий, а также величиной второго энергетического знаменателя. Согласно (4.77) и (4.78) различные каналы резонансного комбинационного рассеяния могут интерферировать друг с другом. Следовательно, для амплитуды входных и выходных резонансов важны фазовые соотношения между каналами.

С экспериментальной точки зрения, наибольший интерес представляют профили возбуждения резонансного комбинационного рассеяния в области нижайших по энергии входного и выходного резонансов, связанных с экси- тонным состоянием ЕУа^уу Спектральное положение входного и выходного резонансов определяется в этом случае энергетическими знаменателями ^уй(1Д) - ^l ~ i^y и EVa^ - Тщу + hu)p - Ury соответственно. Для численных оценок будем использовать параметры квантовых точек на основе CuBr, полагая, что их радиус равен 3.2 нм (d^ = 2.56). Расчеты показывают, что профиль возбуждения резонансного комбинационного рассеяния с участием Т2О фононов с / = 1, п = 1 (рис. 4.17) формируется тремя каналами, диаграммы переходов которых (а, b и с) представлены на рис. 4.18. Амплитуды входного и выходного резонансов отличаются друг от друга благодаря интерференции между каналами. Эта интерференция является деструктивной для входного резонанса и конструктивной для выходного резонанса. В случае больших величин у входной и выходной резонансы спектрально не разрешаются и в результате имеется только один пик. Спектральное положение этого пика сдвинуто в сторону высоких энергий от его положения в отсутствие ин-

2000

1000

0

d 400 о

СО

S 200 о

•< О

60

40

20

0

01012323

01

01

23

23

^®СЕд^А

Рис. 4.17. Профили возбуждения резонансного комбинационного рассеяния с участием Т2О фононов (деформационное взаимодействие), вычисленные для различных значений скорости дефазировки у экситонных состояний в СпВг квантовых точках с радиусом 3.2 нм. Пунктирная и сплошная линии соответствуют случаям, когда Mojj-ojs) равно энергии фононов с квантовыми числами Z=l,n=lnZ=l,n = 2 соответственно. Все энергетические параметры нормированы на энергию LO-фонона. Стрелками показаны положения входного (IR) и выходного (OR) резонансов.

терференции. В то же время, как видно из рис. 4.17, амплитуды профилей возбуждения для Т2О фононов с и > 1 очень малы.

Значительно сложнее провести анализ профилей возбуждения резонансного комбинационного рассеяния с участием LO фононов с I = 0, п = 1 и Z = 0, и = 2. В первом случае каналы а - е (рис. 4.18) вносят существенный вклад в профиль возбуждения, тогда как в последнем случае вместо d и е нужно учитывать каналы / и g. Анализ показывает, что амплитуда входного резонанса для фононов с и = 1 много больше, чем для фононов с п = 2, в то время как амплитуда выходного резонанса для тех и других фононов одного порядка величины. Таким образом, профиль возбуждения для фононов с и = 2 значительно асимметричнее профиля возбуждения для фононов с п = 1. Следовательно, в случае больших значений у положение пика первого профиля сдвигается от положения пика второго профиля в сторону высоких энергий. Что касается LO фононов с I = 0, п > 2, расчеты показывают, что профили возбуждения резонансного комбинационного рассеяния с участием таких фононов имеют очень маленькую амплитуду. Из проведенного

Рис. 4.18. Диаграмма каналов резонансного комбинационного рассеяния, которые вносят существенный вклад в амплитуды процесса в области нижайших по энергии входного и выходного резонансов. Сплошные и пунктирные линии соответствуют однофотонным и однофононным переходам. Eq - энергия основного состояния квантовой точки.

выше обсуждения следует, что LO-полоса экспериментального спектра резонансного комбинационного рассеяния квантовыми точками на основе CuBr (рис. 4.16) наиболее вероятно является суперпозицией вкладов от LO фононов с Z = 0, zi = 1 и / = 0, и = 2, в то время как Т2О-полоса может быть отнесена к Т2О фононам с / = 1, п = 1.

Электрон-фононные состояния квантовых точек

Эффекты перенормировки энергетического спектра электронных и фононных возбуждений из-за электрон-фононного взаимодействия хорошо известны для объемных полупроводников. Соответствующие теоретические модели, использующие “гибридные электрон-фононные”, или “поляроноподобные” состояния как собственные функции системы, также широко известны [93] и предсказывают резкую модификацию спектров в условиях колебательного резонанса, т.е. когда энергия оптического фонона совпадает с энергетическим зазором между электронными состояниями. Дискретный энергетический спектр полупроводниковых квантовых точек делает их уникальным объектом для исследования колебательного резонанса, особенно в системе с широким распределением квантовых точек по размерам. В этом случае из- за размерной зависимости энергии электронных состояний всегда найдется пара уровней, для которой реализуется колебательный резонанс. Меняя энергию фотонов, можно последовательно возбуждать квантовые точки, для которых энергетический зазор между этой парой уровней непрерывно меняется в области колебательного резонанса. На такую особенность ансамбля квантовых точек было указано в работе [81]. Модификация спектров может быть экспериментально обнаружена при резонансном оптическом возбуждении перенормированных состояний, т.е. в условиях двойного резонанса. В

этом случае одно и то же возбужденное состояние квантовой точки связано электрон-фотонным взаимодействием с основным и электрон-фононным взаимодействием с другим возбужденным состоянием.

Для наблюдения колебательного резонанса особый интерес представляет резонансная флюоресценция и люминесценция, для которых спектральное положение полос определяется электронным спектром квантовых точек. Для уверенной регистрации полос вторичного свечения оптические переходы в поглощающие и излучающие состояния должны быть разрешены в дипольном приближении, а однородная ширина резонансных уровней не должна быть слишком велика. Последнее подразумевает проведение низкотемпературных экспериментов, когда существенно модифицируется лишь энергетически более высокое состояние пары электронных уровней, резонансно связанных электрон-фононным взаимодействием. Именно это состояние и должно возбуждаться в результате межзонного оптического перехода. Из-за быстрой внутризонной релаксации основная доля вторичного свечения обусловлена межзонными переходами из нижайшего возбужденного состояния квантовой точки. Таким образом, следует ожидать, что колебательный резонанс будет наиболее отчетливо проявляться в спектрах люминесценции, формируемых двумя нижайшими уровнями размерного квантования, для которых однородная ширина оптических переходов минимальна. Поскольку эти состояния обладают противоположной “четностью”, то для наблюдения эффекта необходимо использовать двухфотонное возбуждение, так как в этом случае все оптические переходы являются дипольно-разрешенными (см. раз. 4.2.1).

Одна из первых попыток наблюдения модификации энергетического спектра экситонов и фононов в условиях колебательного резонанса была предпринята при исследовании однофотонно возбуждаемой люминесценции сферических квантовых точек на основе CuCl, выращенных в стеклянной матрице [81]. Однако из-за низкого спектрального разрешения экспериментальные данные не позволили получить достоверных оценок.

Для описания колебательного резонанса воспользуемся гамильтонианом электрон-фононной системы в представлении вторичного квантования

H = He^Hph^He,pb(4.80)

где

Не = У Епа*ап,Не,Ph = У hQp(bpbp + 1/2)(4.81)

- гамильтонианы невзаимодействующих электронов (экситонов) и фононов, а

Не,Ph = У ^гЬр + V^b^a^a»,(4.82)

П1,пъР

оператор взаимодействия между ними. В уравнениях (4.81) и (4.82) а^ и ап - операторы рождения и уничтожения электрона (экситона) в состоянии с энергией Еп; Ь^ и Ьр - соответствующие операторы для фононов с энергией

Wp, принадлежащих р-й моде. В условиях колебательного резонанса (например, ЕИ2 - ЕП1 % Wp) происходит перемешивание электронных (экситонных) и фононных состояний и соответствующие волновые функции не могут быть представлены в виде простого произведения электронной и колебательной частей. В этом случае возникают поляроноподобные состояния квантовых точек, являющиеся собственными для полного гамильтониана (4.80) системы “электроны+фононы”. Диагонализация гамильтониана (4.80) не может быть выполнена точно в общем случае, поэтому мы будем использовать предположения, упрощающие эту задачу и имеющие ясный физический смысл. Прежде всего, ограничимся LO фононами, связанными с электронной подсистемой полярным взаимодействием, так как именно оно наиболее эффективно в полупроводниковых материалах (AiB7, А2В6, А3В5), из которых изготовлены квантовые точки, широко исследуемые в настоящее время. Далее будем использовать приближение нулевой температуры и предположим, что взаимодействие удовлетворяет соотношению V^nJWp < 1, т. е. не слишком велико. Это позволяет в расчетах ограничиться бесфононным и однофононным базисом невозмущенного гамильтониана Не + Нр^:

|и; 0) = \ЕпЖРь \Щ р) = \EnWP\(4.83)

где

\Еп) = <|0)„ \hQp) = ^Ю)^,(4.84)

10)^ и |0)е - вакуумные состояния колебательной и электронной подсистем.

Если разность энергий электронных (экситонных) уровней Е^-Е^ близка к энергии предельного оптического фонона Quo, то в разложении волновых функций полного гамильтониана можно ограничиться нулевым приближением для всех состояний, кроме тех, энергия которых не слишком сильно отличается от Е^. Волновые функции последних представляют собой линейные комбинации почти вырожденных состояний:

|£,) = с®|2;0) + с®|1;1) + .^к = 1,2, ...,р + 1.(4.85)

Используя базис (4.85), легко получить систему линейных однородных уравнений относительно коэффициентов ср\ т. е. стандартную задачу на собственные значения, которая имеет аналитическое решение только для к < 4. Однако, как будет показано в дальнейшем на конкретных примерах, особый интерес представляет случай взаимодействия с одной колебательной модой (к = 2), для которого

£i,2 = |(E2 + E1+M1±6),|£1,2> = с1,2|2;0>±с2,1|1;1>,(4.86)

где

с, = (Е2 - Ei - Wx + 6) /J, с2 = 2^/21,(4.87)

Л = ((Е2 - Ev - Wv + 6)2 + 4|V^l2)1^,

6 = ((Е2 -Ex- hQx? + 4| V^l2)172.(4.88)

Из (4.86) следует, что при точном резонансе Е^-Е\ = Qi вырождение состояний |2; 0) и |1; 1) полностью снимается электрон-фононным взаимодействием, причем расщепление уровней энергии равно 2| V'^l. Более низкое по энергии состояние Ei, несмотря на резонансную связь с Е^, остается неизменным.

При описании полупроводникового материала воспользуемся для простоты одной зоной проводимости (с) и одной валентной зоной (г) и будем считать, что глубина потенциальной ямы для электронов и дырок бесконечна. Рассмотрим квантовые точки в форме прямоугольного параллелепипеда с длиной ребер Lz (i = х, у, г) в режиме слабого конфайнмента. Анализ задачи для случая сильного конфайнмента и сферических квантовых точек можно найти в работе [84]. В режиме слабого конфайнмента краевые оптические спектры квантовых точек определяются состояниями экситонов Ванье, для классификации которых необходимо использовать шесть квантовых чисел. Три квантовых числа (без штрихов) относятся к трансляционному движению экситона как целого и три (со штрихами) описывают относительное движение электрона и дырки в экситоне. С экспериментальной точки зрения, наибольший интерес представляет полярное взаимодействие экситонов, находящихся в основном состоянии относительного движения электрона и дырки п' = 1, Г = 0, ш' = 0. В дальнейшем мы ограничимся именно этим случаем и для простоты в математических выражениях будем опускать индексы п', Г, т'. Тогда в прямоугольных квантовых точках матричные элементы такого взаимодействия имеют следующий вид:

(4.89)(4.90)(4.91)(4.89)(4.90)(4.91)СП1 = efnGxGyGzB(kn\

(4.89)

(4.90)

(4.91)

(4.89)

(4.90)

(4.91)

= Г16тг^о£11/2

'П [ LxLyL^ .’

= 4й2/П1№(1-Н)^

” («I, + пи - п,Т - 4и1,ли

S(^n) = (1 + ^п/4)"2 - (1 + ^п/4)"2.

Здесь кп = л(п^/L^-v п?, /Е^ -V п^/Е^У^, е* = е;У -^д1’ ^оо и ^о - высоко- и низкочастотная диэлектрические проницаемости полупроводника, Wlo - энергия предельного LO фонона, квантовые числа с индексами 1 и 2 описывают эк- ситонные состояния, а без индексов - фононную моду, а^ = (pc^Rexti1 > ph = mpJM, рс = тс/М. Наличие множителя В(кп) крайне существенно, так как он чувствителен к зонным параметрам полупроводника (эффективные массы электронов и дырок) и влияет на размерную зависимость взаимодействия. В частности, если эффективные массы совпадают, то эта часть взаимодействия равна нулю. В случае knRex « 1, В(кп) = k^R^x(mh - тс)/2М.

Правила отбора, содержащиеся в приведенных выше матричных элементах, ограничивают число фононных мод, связывающих пару экситонных состояний. Однако оставшихся мод еще слишком много, чтобы можно было

получить аналитическое решение задачи на собственные значения для поляроноподобных состояний, возникающих в условиях колебательного резонанса. Для прямоугольных квантовых точек правила отбора определяются функциями Gj (4.91) и сводятся к требованию, чтобы суммы квантовых чисел И2/ + Иц + Hj (i = x,y,z) были нечетными числами. Расчеты матричных элементов электрон-фононного взаимодействия показывают, что в наиболее интересном, с экспериментальной точки зрения, случае колебательного резонанса между нижайшими эксито иными состояниями одна фононная мода связана с ними на порядок сильнее, чем другие. Физический смысл этого ограничения легко понять на примере прямоугольных квантовых точек, если обратить внимание на природу функций Gj. Они возникают благодаря интегрированию соответствующих пространственных частей волновых функций электронных состояний и фонона по длине ребра квантовой точки. Для достаточно больших длин такие интегралы аппроксимируют символами Кронекера или даже ^-функциями, которые являются математическим выражением закона сохранения волнового вектора. Таким образом, функции Gj являются дискретным аналогом символов Кронекера и обладают острым максимумом при некоторых значениях фононных квантовых чисел и/. В частности, для пары нижайших электронных состояний ni = (1,1,1) и П2 = (2,1,1) функции Gj максимальны для фононной моды п = (2,1,1) и асимптотически спадают с ростом Hj как гГ3. Именно это обстоятельство и позволяет ограничиться одномодовой моделью электрон-фононного взаимодействия при описании колебательного резонанса.

Поскольку при увеличении размера квантовой точки экситон-фононное взаимодействие резко уменьшается, то для наблюдения колебательного резонанса в режиме слабого конфайнмента следует выбирать полупроводниковый материал, для которого Rex не слишком велик. В этом смысле наиболее подходящими являются квантовые точки на основе CuCl (sq = 5.95, 8^ = 4.84, TiQlo = 25.6 мэВ, тс = O.5mo, mvs = 1.бшо и Rex = 0.7 нм [81]). На рис. 4.19 приведены результаты расчета перенормировки энергетического спектра кубических CuCl квантовых точек при колебательном резонансе между двумя нижайшими экситонными состояниями. На этом же рисунке показаны энергии Ex + W\ и Е^, пересекающиеся для квантовых точек такого размера, при котором реализуется точный колебательный резонанс. В то же время перенормированные энергии 8х и 82 не пересекаются. Такое поведение энергетического спектра называется антипересечением.

Для исследования перенормировки энергетического спектра квантовых точек, индуцированной колебательным резонансом между низкоэнергетическими состояниями экситонов, удобно анализировать спектры двухфотон- но возбуждаемого вторичного свечения неоднородно уширенного ансамбля квантовых точек на основе CuCl в матрице NaCl. Использование кристаллической матрицы связано с тем, что ширины полос в спектрах люминесценции квантовых точек уже, чем для квантовых точек в стеклянной матрице, что позволяет провести более точные измерения их положения в спектре. В

Рис. 4.19. Кубические квантовые точки на основе CuCl в режиме слабого конфайн- мента. Зависимости энергии поляроноподобных состояний 81д от размера квантовой точки для случая колебательного резонанса пары нижайших экситонных состояний с продольным оптическим фононом. Пунктирные линии показывают размерную зависимость состояний |2; 0 > и |1; 1 >.

то же время параметры экситонов в квантовых точках на основе CuCl в матрице NaCl достаточно хорошо известны [94-96]. Установлено, что нанокристаллы CuCl имеют не сферическую форму, а кубическую [94, 95] или даже форму прямоугольного параллелепипеда [96]. Надежно установлено [96], что размерная зависимость энергии нижних экситонных состояний хорошо описываются выражением типа (4.11).

Для проверки развитой модели колебательного резонанса был выбран образец, представляющий собой кристалл NaCl, содержащий квантовые точки CuCl со средним размером 2.4 нм. Ансамбль квантовых точек характеризовался большой дисперсией по размерам. Диапазон изменения энергетического зазора между нижайшим (111) и следующим по энергии (211) состояниями экситонов находился в области энергий LO фонона объемного кристалла CuCl и мог быть просканирован в одном образце без существенных потерь в интенсивности сигналов. Здесь и далее для обозначения экситонных состояний используются квантовые числа трансляционного движения экситона.

Селективное по размерам квантовых точек двухфотонное возбуждение спектров вторичного свечения дает возможность тестировать энергетическую структуру квантовых точек разных размеров при изменении энергии возбуждающих фотонов. На рис. 4.20 приведена схема, иллюстрирующая формирование спектра вторичного свечения ансамбля квантовых точек с широким распределением по размерам. Возбуждающее излучение с определенной энергией фотонов hoj одновременно генерирует экситоны как в нижайшем энергетическом состоянии квантовых точек подходящего размера, так и в высокоэнергетических состояниях точек большего размера, удовлетворяющих выражению 27гм = Еп = En;ioo, где En;ioo определена в (4.11). Тогда спектры вторичного свечения формируются за счет аннигиляции экситонов в нижайшем энергетическом состоянии (111), как непосредственно возбуж-

Рис. 4.20. Схема, иллюстрирующая формирование спектра двухфотонно возбуждаемой люминесценции (ДФЛ) на примере ансамбля кубических квантовых точек с широким распределением по размерам при возбуждении излучением с удвоенной энергией фотонов Theo. L - длина ребра куба. Еех - энергия экситона в объемном материале. Сплошные линии - размерная зависимость энергий нижних экситонных состояний (обозначения см. в тексте). Пунктирная линия относится к состоянию “экситон+LO- фонон”. Волнистые линии показывают каналы внутризонной релаксации экситонов из возбужденных состояний в основное. РЛ - полоса резонансной люминесценции в спектре ДФЛ. Отмечена область колебательного резонанса между нижайшим и следующим по энергии экситонными состояниями.

даемом светом, так и заселяемом за счет внутризонной релаксации из высокоэнергетических состояний. Анализ зависимости энергии полос от энергии возбуждающих фотонов с использованием формулы (4.11) позволяет получить данные об энергетической структуре квантовых точек. Обычно для этого используют зависимость энергетического зазора (стоксова сдвига) между полосой резонансной люминесценции (РЛ), т. е. излучения на частоте, совпадающей с частотой оптического перехода в канале возбуждения, и другими полосами в спектре Е - Ерд от индуцированного конфайнментом сдвига энергии нижайшего эксито иного состояния Ещ- Еех, где Еех = Eg-Ry энергия экситона в объемном материале. Очевидно, что в случае селективного по размерам возбуждения Ещ = 27гщ>. Здесь анализируются полосы, связанные с состояниями 211 и 111+LO, при возбуждении квантовых точек в области колебательного резонанса между двумя нижайшими экситонными уровнями (рис. 4.20). Как показано выше, при колебательном резонансе должно сниматься вырождение состояний 211 и 111+LO, что будет проявляться как эффект антипересечения. На рис. 4.21 приведены как экспериментальные, так и теоретические зависимости стоксовых сдвигов этих полос от 27цц - Еех, ясно демонстрирующие эффект антипересечения в области колебательного резонанса. Экспериментальные данные сопоставлялись с расчетом, выполненным

2h(D-E^ мэВ

Рис. 4.21. Зависимость стоксова сдвига полос вторичного свечения при двухфотонном возбуждении от 2ha>-Eex, демонстрирующая эффект антипересечения состояний 211 и 111+LO при колебательном резонансе между состояниями 211 и 111 в квантовых точках на основе CuCl. Диаметр кружков соответствует экспериментальным ошибкам определения энергии полос. Пунктирные линии - энергии соответствующих состояний при отсутствии экситон-фононного взаимодействия. Сплошные линии - результат расчета для квантовых точек в форме прямоугольного параллелепипеда.

в рамках разработанной выше модели колебательного резонанса между нижайшими экситонными состояниями в квантовых точках, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда (4.11). Оказалось, что наилучшее совпадение теории и эксперимента (рис. 4.21) достигается для параллелепипеда, два ребра (L) которого, у и z, равны между собой, а третье, х, в а раз больше. В этом случае энергии поляроноподобных состояний описываются выражениями (4.86)-(4.88), в которых энергии нижайших экситонных состояний имеют следующий вид:

^2тг2 / 1 \ 1^71^ /4 \

Еил = Еех + 37777 ~ + 2 , Е^п = Еех + 37777 “ + 2 ’ (4.9 3)2ML2 \а2 / 2ML2 \а2 /

а соответствующий матричный элемент экситон-фононного взаимодействия V^ = V^iiWi^fen), где ^^ и В(С2ц) определены выражениями (4.89) и (4.92). На рис. 4.21 показано, что результаты расчета стоксовых сдвигов анализируемых полос и экспериментальные данные совпадают при а = 1.45, определенном методом наименьших квадратов.

Следует отметить, что в соответствии с правилами отбора в колебательном резонансе участвует фонон с квантовыми числами 211. Энергия этого фонона (24 мэВ), используемая в расчетах, была определена из стоксова сдвига lll+LO-полосы, измеренного в пределе малых 2Еи) - Еех. Детальный анализ показывает, что вдали от резонанса при больших 2hcD-Eexs соответствующих возбуждению квантовых точек малых размеров, энергия поляроноподобного

состояния стремится к асимптотическому значению Ещ -vW^\ гораздо медленнее, чем в случае малых Thu)-Eex. Такое поведение связано с сильной размерной зависимостью экситон-фононного взаимодействия. Эта зависимость приводит к тому, что для квантовых точек достаточно малых размеров влияние колебательного резонанса на энергетический спектр существенно даже вдали от колебательного резонанса.

Исследование динамики элементарных возбуждений квантовых точек

В этом параграфе мы остановимся на динамике электронных возбуждений (экситоны, электроны и дырки) квантовой точки. Она определяется двумя процессами: изменением энергии возбуждения (переходом в другое энергетическое состояние), характеризуемом временем распада населенности (временем жизни) исходного состояния, Ti, и дефазировкой волновой функции состояния без изменения его энергии, характеризуемой временем “чистой” дефазировки, Тра, в результате различного типа взаимодействий. Информация об этих процессах и механизмах, приводящих к ним, может быть получена из спектрального и временного анализа оптических переходов между исследуемым состоянием возбуждения и основным. Это оказывается возможным, поскольку в большинстве случаев основное состояние можно считать стационарным. Соответствующая однородно уширенная спектральная линия имеет полуширину на половине высоты (HWHM - half width on half of maximum) У2 = У1/2 + 7pd = T;' = ((2T1)"1 + Tp^X где yi и ypd - скорости релаксации населенности и чистой дефазировки соответственно, а Т^ - время полной дефазировки. Время жизни Т\ определяется радиационным распадом состояния, а также безызлучательными переходами в другие возможные состояния в результате неупругих (с изменением энергии) столкновений с другими возбуждениями, например переходами с рождением или уничтожением фононов, индуцированными электрон-фононным взаимодействием. Tpj определяется упругими столкновениями, в результате которых одновременно рождается и уничтожается виртуальное возбуждение того же или другого типа, например фонон.

Таким образом, знание двух характерных времен из этого набора полностью характеризует динамику возбуждения. Конкретные механизмы, определяющие динамику, могут быть найдены из их зависимостей от различных внешних параметров. В частности, сравнительный анализ температурных зависимостей Ту и Т^ часто используется для анализа процессов дефазировки в квантовых точках.

Простейшим случаем является двухуровневая система с временем жизни, определяемым радиационным распадом и чистой дефазировкой, связанной с упругим рассеянием на фононах. При температурах о нескольких десятков градусов Кельвина вклад оптических фононов пренебрежим из-за низкой плотности фононов [97]. Тогда процесс чистой дефазировки определяется

упругими столкновениями с акустическими фононами, имеющими непрерывный спектр, что приводит к резкой зависимости от температуры Трд ос Т-1 скорости чистой дефазировки и, естественно, той же температурной зависимости Т^. Наличие тонкой экситонной структуры с характерным энергетическим зазором Де, что обычно для большинства систем квантовых точек, дает совершенно другую температурную зависимость. Возможность осуществления реальных переходов между энергетическими состояниями с рождением или поглощением акустических фононов с энергией Де приводит к возникновению дополнительного вклада в Т^ связанного с температурной зависимостью как Т\, так и Трд. В низкотемпературном пределе (Де > квТ), Т\ и Тра будут пропорциональны Т-1 и Т2 соответственно. В противоположном случае Ту не зависит от температуры для переходов с испусканием фононов и Д ~ ехр(Де/квТ) для переходов с поглощением фононов. Именно этот процесс отвечает за наблюдавшуюся в низкотемпературных (5-40 К) экспериментах [98, 99] линейную температурную зависимость скорости дефазировки в квантовых точках InxGai_xAs. Отсюда следует, что процесс дефазировки в этих системах при низкой температуре в основном определяется 1\. В то же время физика чистой дефазировки в квантовых точках остается не совсем ясной. В частности, предсказываемая нелинейная зависимость Tpd °C (Т2^ bTV до сих пор надежно не наблюдалась в системах квантовых точек, хотя вклад чистой дефазировки в динамику фундаментального эксито иного перехода в квантовых точках InxGai_xAs сопоставим с вкладом релаксации населенности Тр

Обычно исследуемые реальные образцы содержат ансамбль квантовых точек, поэтому спектр их оптических переходов неоднородно уширен из-за неодинаковых размеров и формы квантовых точек, различного локального окружения, а также несколько различного состава. В результате, формы линий резонансной люминесценции и соответствующей полосы поглощения становятся несимметричными, а их спектральные ширины даже при температуре 2 К составляют от единиц до десятков миллиэлектронвольт [11]. Поэтому экспериментальные измерения G и Т2 для одной квантовой точки представляют не простую задачу.

Для измерения G обычно используют прямые измерения кинетики затухания резонансной люминесценции при возбуждении носителей в квантовых точках световым импульсом с длительностью, существенно меньшей G, и энергией фотонов, достаточной для возбуждения высокоэнергетических состояний квантовых точек или состояний барьерного слоя (подложки). В этом случае нижайшее возбужденное состояние квантовой точки заселяется за счет быстрой термической релаксации носителей. Искомые времена затухания, как правило, лежащие в диапазоне 10 нс - 10 нс, могут быть прямо измерены с помощью стрик-камер, техники счета фотонов в комбинации с методом задержанных совпадений или техники ап-конверсии [100]. Такие измерения, однако, дают величины Ti, усредненные по ансамблю квантовых точек, и к их использованию надо подходить с осторожностью.

Для получения информации о Т2 в ансамблях квантовых точек используют как спектральные, так и временные методы, развитые при изучении неоднородно уширенных переходов молекулярных ансамблей [101]. Первый из них - метод выжигания стационарных провалов в спектре поглощения квантовых точек [102], который позволяет измерять однородную ширину спектрального перехода одной квантовой точки из исследуемого ансамбля, а второй - техника четырехволнового смешения и фотонного эха [98, 99, 103, 106] - позволяет определять время полной дефазировки Т2, соответствующей всему ансамблю, возбуждаемому импульсом. Очевидно, что они должны давать одни и те же значения в случае одинаковой электронной динамики квантовых точек в ансамбле. Остановимся кратко на результатах, полученных этими методами.

Спектроскопия выжигания стационарных провалов

Техника выжигания стационарных провалов является одним из методов размерно-селективной спектроскопии квантовых точек. Здесь неоднородно уширенный ансамбль освещается спектрально узким излучением, ширина которого много меньше ожидаемой спектральной ширины исследуемого перехода, а энергия фотонов резонансна фундаментальному переходу какой-либо из квантовых точек, входящих в ансамбль. В результате происходит селективное резонансное возбуждение подансамбля точек с одинаковыми параметрами в пределах однородной ширины перехода. Меняя длину волны возбуждения, можно последовательно возбуждать все квантовые точки. Непременным условием выжигания стационарных провалов является наличие механизмов, в основном связанных с наличием матрицы (ионизация при уходе носителей в матрицу, фотохимическая реакция и т. и.), которые приводят к стационарному изменению населенности основного состояния точек, резонансно возбуждаемых светом. При этом соответствующая полоса поглощения исчезает из спектра поглощения ансамбля или заметно уменьшается по интенсивности. Если теперь записать спектр поглощения ансамбля, используя слабое зондирующее излучение, то в контуре поглощения будет наблюдаться спектральный провал с HWHM равной 2у2 = 2Т”1. Таким образом, провал имеет ширину в два раза больше однородной ширины оптического перехода. Это происходит из-за того, что такая методика использует процесс поглощения дважды - при выжигании провала и при его детектировании. Для применения этого метода необходимо, чтобы была возможность прямого измерения спектров поглощения, что возможно только для квантовых точек, внедренных в диэлектрические матрицы.

Такие измерения были неоднократно проведены для фундаментального перехода квантовых точек в режиме как сильного (CdSe и Cui), так и слабого (CuCl и CuBr) конфайнмента (см., например, [104, 105]). На рис. 4.22 показан пример спектра выжигания провалов в неоднородно уширенной полосе поглощения квантовых точек на основе Cui, находящихся в режиме сильного конфайнмента. В частности, в работе [104] для перехода 1S3/21S^ в квантовых

Энергия фотонов, эВ

Рис. 4.22. Выжигание провалов в квантовых точках Cui, внедренных в стеклянную матрицу, при 2 К. а - спектр поглощения исходного образца. Отмечена полоса, соответствующая неоднородно уширеному фундаментальному переходу экситона Zi ^. б - изменения в спектре после облучения образца излучением узкополосного лазера с энергией фотонов 3.13 эВ. Кружком помечена линия резонансного перехода, треугольниками - линии переходов с участием акустических фононов [102].

точках CdSe/ZnS, внедренных в полимерную матрицу, спектр стационарных провалов был получен с использованием двух перестраиваемых диодных лазеров со спектральной шириной излучения 0.4 мкэВ. Спектр состоял их узкой линии резонансного перехода, перекрывающегося с более широкой линией, соответствующей переходу с участием акустических фононов. При температуре 2 К минимальная однородная ширина перехода 2^у2 составляла 32 мкэВ. Ее зависимость от температуры была существенно нелинейной (при 10 К 2^у2 = 670 мкэВ), показывая, что основной вклад в уширение вносит процесс чистой дефазировки, вызванной упругим рассеянием электронных возбуждений на акустических фононах. Этим же методом была измерена однородная ширина и ее температурная зависимость для фундаментального перехода Z3- экситона в квантовых точках на основе CuCl, выращенных в кристалле NaCl. При температуре 2 К ее однородная ширина оказалась равной 0.4 мэВ для точек с радиусом 3.5 нм. В отличие от CdSe-точек, ее зависимость от температуры была близка к линейной, показывая, что процесс дефазировки связан с рождением акустических фононов с энергией 2.2 мэВ.

Эксперименты по выжиганию провалов в ансамблях квантовых точек, внедренных в разные матрицы, показывают сильное влияние материала матрицы и способа внедрения точек на величину однородной ширины перехода и на ее температурную зависимость. Наличие такой зависимости понятно, поскольку в большинстве случаев именно взаимодействие квантовой точки и матрицы приводит к возможности выжигания долгоживущих провалов. Это обстоятельство можно использовать для изучения влияния матрицы на элек-

тронную динамику квантовых точек, однако, для понимания динамики возбуждений в самой квантовой точке такое влияние желательно минимизировать.

Четырехволновое смешение и фотонное эхо

При низких температурах однородные ширины спектральных переходов квантовой точки во многих случаях по величине близки к разрешению дифракционных спектрометров, что затрудняет их измерения. Поэтому для получения информации о 72 в неоднородно уширенных ансамблях квантовых точек широко используются нелинейные оптические методы нестационарной спектроскопии, например фотонное эхо [107]. Этот метод особенно подходит для изучения квантовых точек, выращенных в полупроводниковых гетероструктурах, где наличие подложки и буферных слоев делает невозможным измерение спектров поглощения точек.

Детальное описание реализации этого метода, который основан на зондировании пробным коротким импульсом зависимости интерференции поляризаций элементов ансамбля, созданной парой коротких возбуждающих световых импульсов, от времени задержки между ними, можно найти в [100]. Для реализации метода необходимо выполнение условий фазового синхронизма между волновыми векторами возбуждающих импульсов (ki и к2), зондирующего импульса (кз), а также импульса фотонного эха (кД Поэтому сигнал фотонного эха наблюдается только в определенном направлении, например ке = 2к2 - ki при кз = к2 или ке = к2 при кз = ki. Если интенсивность второго возбуждающего импульса, задержанного относительно первого на ^2, удовлетворяет определенным требованиям, то сигнал фотонного эха, генерируется еще через /12 и определяется макроскопической поляризацией всего ансамбля. Интенсивность сигнала уменьшается с временем задержки, причем по-разному для разных конфигураций эксперимента: ехр (-4^2/72) для ke = 2к2-кх и ехр (-2^2/72) для ке = к2. В обоих случаях появляется возможность измерения времени полной дефазировки в неоднородно уширенном ансамбле. Индуцированная интерференционная картина является, вообще говоря, динамической. Однако в некоторых случаях интерференция поляризаций приводит к формированию в исследуемом объеме образца квазистационарной интерференционной картины, связанной с движением населенностей. В этом случае говорят об аккумулированном фотонном эхе, сигнал которого на 2-3 порядка превышает сигнал обычного фотонного эха [102, 103, 106, 108]. Характерной особенностью аккумулированного фотонного эха является линейная зависимость его интенсивности от мощности возбуждающих импульсов. Очевидно, что эффект аккумулированного фотонного эха характерен для тех же ансамблей квантовых точек, где наблюдается выжигание стационарных провалов [102].

Этот метод измерения 72 был впервые продемонстрирован для ансамбля квантовых точек CuBr [109], а в работе [103] он был использован для исследования дефазировки Z3-экситона в сферических квантовых точках CuCl,

внедренных в стекло. Время релаксации когерентности Т^ при температуре 2 К оказалось равным 130 нс, что соответствует Тгу2 - Ю мкэВ. Сравнение Т^ с Ть измеренным в независимом эксперименте, показало, что Т^ при 2 К в пределах ошибок эксперимента (~ 10%) совпадает с 2Тх. Это свидетельствует о том, что, как и в атомных системах, динамика экситона в исследуемых квантовых точках определяется в основном его энергетической релаксацией, а процессы чистой дефазировки весьма слабы. Обратно пропорциональная температурная зависимость Т^ в области 2-50 К так же показала, что дефази- ровка связана, прежде всего, с неупругими процессами, влияющими на время релаксации населенности Тр В этих экспериментах было обнаружено, что Т^ увеличивается с уменьшением мощности возбуждающих импульсов, поэтому значение Т^ было получено при мощностях, минимально возможных для регистрации сигнала. Не исключено, однако, что реальные предельно длинные времена дефазировки Z3-экситона так и не были достигнуты. Модификация метода аккумулированного фотонного эха с использованием фазовомодуляционной техники [106] позволила существенно уменьшить мощности возбуждения (меньше одного фотона на точку) при сохранении чувствительности измерений. В результате были измерены времена полной дефазировки фундаментального перехода Z3-экситона в примерно одинаковых по размеру квантовых точках на основе CuCl, внедренных в стеклянную матрицу (CuCl/стекло) и в кристалл NaCl (CuCl/NaCl), при температурах до 0.7 К. На рис. 4.23 показаны примеры полученных кривых для разных температур. Использовалась геометрия эксперимента, в которой уменьшение интенсивно-

Рис. 4.23. Зависимости сигналов фотонного эха квантовых точек CuCl от времени задержки между импульсами возбуждения, Ц2 для разных температур. Пустые и заполненные кружки - данные для CuCl/NaCl и CuCl/стекло соответственно. Сплошные линии - аппроксимация данных би-экспоненциальным распадом. Время затухания медленных компонент для кривых в направлении сверху вниз: 310, 117, 65, 55, 9.6 и 9.5 пс соответственно [106].

сти сигнала эха описывается выражением ехр (-2^2/72). Экспериментальные

зависимости хорошо описывались биэкспоненциальным распадом, в котором медленный компонент соответствовал распаду когерентности фундаментального перехода, а быстрый (10-30 пс) - переходу с участием оптического фонона. Видно, что при температуре 2 К времена дефазировки квантовых точек, внедренных в разные матрицы, существенно различаются. Для матрицы NaCl Т^ = 620 пс, а для стекла Т^ = 334 пс (/272 равно 1 и 1.9 мкэВ соответственно). В области 2-50 К наблюдался линейный рост 72 с повышением температуры, что демонстрирует преобладающий вклад в дефазировку энергетической релаксации экситона. Однако при температурах меньших 2 К для квантовых точек CuCl/NaCl эта зависимость становится существенно нелинейной (рис. 4.24), что свидетельствует о наличии дополнительных механизмов дефазировки, индуцированных окружением. Интересно сравнить данные о Т2, полученные из экспериментов по фотонному эху, с временами Т i, о пределен-

Рис. 4.24. Зависимость однородной ширины Z3 экситона в CuCl квантовых точках, внедренных в кристаллическую (пустые кружки) и стеклянную (заполненные кружки) матрицы, от температуры [102].

ными в прямых измерениях времени затухания резонансной люминесценции квантовых точек при температуре 0.7 К. Для системы CuCl/NaCl Ту =3.56 нс, что соответствует /272 -0.1 мкэВ. Величина 72 оказалась существенно меньше полученной из эксперимента по фотонному эху (0.5 мкэВ), показывая наличие быстрых процессов чистой дефазировки в квантовых точках CuCl в кристаллической матрице. В то же время для квантовых точек в стекле Ту = 0.6 нс, а /272 - 0.55 мкэВ очень близка к ее значению, измеренному в экспериментах по фотонному эху. Таким образом было показано, что динамика нижайшего по энергии конфайнментного экситона квантовых точек при низких температурах зависит от их окружения. Аналогичный вывод был сделан и при изучении тем же методом динамики электронных возбуждений в квантовых точках в режиме сильного (CdSe) и промежуточного (CuBr) кон- файнмента [НО].

Высокочувствительная техника гетеродинного детектирования сигнала четырехволнового смешения света [111] была использована для изучения электронной динамики в самоорганизованных квантовых точках InGaAs/GaAs в режиме сильного конфайнмента [98]. Линейная зависимость Т"1 от температуры наблюдалась в области ниже 30 К. При 7 К Г2 = 630 пс (fr/2 -2 мкэВ). При экстраполяции температурной зависимости к 0 К значение Т^ стремилось к удвоенному значению времени энергетической релаксации (Ti), показывая, что в данной системе процесс дефазировки фундаментального перехода определяется неупругими столкновениями дырок с акустическими фононами. При этом из температурной зависимости Т^ была определена энергия активации этих фононов (16 мэВ). Об измерениях времени распада когерентности фундаментального перехода в самоорганизованных квантовых точках InAlGaAs/GaAlAs методом четырехволнового смешения также сообщалось в работе [99]. Здесь среднее время дефазировки при 5 К составило 372 пс, что соответствует Тгу2 = 1-75 мкэВ. В то же время прямое измерение кинетики распада основного состояния этих квантовых точек дало значение его времени жизни 800 пс. Отсюда видно, что при ненулевых температурах (выше 5 К) вклад чистой дефазировки в распад когерентности существенно превышает вклад энергетической релаксации. Простая экстраполяция температурной зависимости к 0 К показывает, что в этом случае сбой когерентности в исследуемых точках может определяться релаксацией населенностей. Однако такой вывод надо принимать с осторожностью, поскольку, как и для квантовых точек на основе CuCl, заметные отклонения от линейной температурной зависимости могут иметь место при температурах ниже 2 К.

Важно отметить, что в некоторых из обсуждаемых выше систем квантовых точек (CuCl, CuBr и CdSe) возможно измерение Т^ как методом выжигания провалов, так и с использованием техники фотонного эха. Сравнение данных, полученных этими методами, показало, что результаты могут сильно различаться [102]. Так же отмечено существенное различие времен дефазировки, полученных при временных нелинейно-оптических измерениях и при анализе однородной ширины линии фотолюминесценции одиночной квантовой точки. Природа различия в большинстве случаев остается непонятной. Поэтому важной задачей является развитие новых методов измерения времен дефазировки в неоднородно уширенных ансамблях квантовых точек, совместимых с уже существующими.

Мы предложили использовать для этих целей метод когерентного контроля вторичного свечения неоднородно уширенного ансамбля переходов [112]. Физические особенности этого метода применительно к изучению динамики квантовых точек изложены в следующем разделе.

Когерентный контроль спонтанного вторичного свечения

Поскольку процессы дефазировки в наноструктурах ослаблены по сравнению с объемными материалами, фемто- и пикосекундная экспериментальная

техника позволяет при их изучении использовать различные схемы квантового контроля, разработанные для атомных и молекулярных систем (см., например, [ИЗ]). Самой распространенной из них является схема когерентного контроля электронной подсистемы наноструктур, резонансно возбуждаемой парой коротких сфазированных импульсов света. Эффект заключается в том, что поляризации и населенности, наведенные первым импульсом, контролируются вторым и в зависимости от времени задержки т полные поляризации и населенности могут увеличиваться или уменьшаться, т.е. представляют собой осцилляции на частотах, близких к несущей частоте импульсов со[. Благодаря конструктивной и деструктивной интерференции между поляризациями, индуцированными в исследуемой системе возбуждающими световыми импульсами, оптические отклики в зависимости от времени задержки имеют вид интерферограмм, подобных осцилляциям Рамсея [114]. Вследствие затухания индуцированной поляризации увеличение времени задержки приводит к уменьшению амплитуды осцилляций и, следовательно, к падению эффективности когерентного контроля. В то же время, поскольку форма интерферограмм определяется скоростью потери когерентности, техника двухимпульс- ного возбуждения может быть использована для изучения динамики спектроскопических переходов. При этом регистрироваться могут сигналы индуцированного отражения [115] (метод накачка-зондирование), четырехволнового смешения [116] или спонтанного вторичного свечения как в режиме реального времени [117, 118], так и интегрированные по времени [119]. Важной особенностью схемы когерентного контроля является то, что высокочастотные осцилляции измеряемых сигналов промодулированы медленной огибающей, форма которой содержит информацию о скорости дефазировки резонансного оптического перехода.

Другой интересной особенностью когерентных процессов, развивающихся при оптическом возбуждении квантовой системы парой сфазированных импульсов, является возможность контроля электронных волновых функций системы в диапазоне времен, сравнимых с временами дефазировки квантовых состояний. Использование техники когерентного контроля позволяет получить информацию об амплитудах и относительных фазах волновых функций, а также манипулировать ими, меняя время задержки и взаимную поляризацию пары импульсов. Таким образом, возникает возможность переводить систему в заданное квантовое состояние и детектировать наличие системы в том или ином состоянии. Техника когерентного контроля успешно использовалась и в полупроводниковых материалах, включая квантовые ямы, для которых была продемонстрирована возможность контроля фототока [120], населенности и ориентации экситонов [115], а также люминесценции [119]. Оказалось, что времена фазовой релаксации электронных состояний в таких системах не превышают десятка пикосекунд, задавая, тем самым, предельное время хранения квантовой информации. Ожидается, что использование квантовых точек позволит существенно увеличить это время: из общих фундаментальных законов сохранения энергии и импульса следует, что для идеальных

квантовых точек времена фазовой релаксации при низких температурах могут быть ограничены радиационным временем жизни, т.е. составлять несколько наносекунд [121]. Таким образом, существуют многообещающие перспективы применения когерентного контроля квантовых точек в различных схемах квантовых вычислений и даже когерентной обработки информации на уровне индивидуальных квантовых систем [122], поскольку возможен когерентный контроль одиночной квантовой точки [123].

С точки зрения определения релаксационных параметров наноструктур, особый интерес представляют интегрированные по времени сигналы резонансного спонтанного вторичного свечения, поскольку измерения в режиме реального времени существенно сложнее. Кроме того, для устойчивой регистрации спонтанного вторичного свечения можно использовать импульсные световые поля, достаточно слабые по сравнению с теми, которые применяются в методе накачка-зондирование и экспериментах по четырехволновому смешению. Это позволяет исключить влияние возбуждающего излучения на величину констант энергетической и фазовой релаксации. Схема когерентного контроля с регистрацией интегрированного по времени квазиупругого вторичного свечения была успешно использована для определения скорости дефазировки оптических переходов в экситонные состояния квантовых ям [119]. При изучении квантовых точек возникает дополнительная трудность, связанная с большим неоднородным уширением их оптических спектров. Ее можно обойти с помощью новой и чрезвычайно сложной техники зондирования одиночной квантовой точки, которая будет рассмотрена в следующем разделе.

Привлекательность метода когерентного контроля заключается в том, что при определенных условиях интегрированный по времени сигнал /(т) оптического отклика на двухимпульсное возбуждение в зависимости от времени взаимной задержки т между импульсами может быть представлен в виде интерферограммы

Дт) ос 1 + ТДт) cos(G)jT\ (4.94) осциллирующей на высокой частоте щ/ и промодулированной медленно меняющейся огибающей функцией К(т\ которая содержит информацию о скоростях дефазировки резонансных оптических переходов.

Для выяснения потенциальных возможностей когерентного контроля с точки зрения исследования динамики элементарных возбуждений квантовых точек, обладающих большим неоднородным уширением оптических переходов, были рассмотрены три компоненты спонтанного вторичного свечения: квазиупругое вторичное свечение [124], вторичное свечение с участием оптического фонона [125] и термализованная люминесценция [126]. Соответствующие им оптические переходы представлены на рис. 4.25. Анализ проинтегрированных по времени сигналов спонтанного вторичного свечения показал, что в общем случае они не могут быть представлены в виде одиночной интерферограммы, подобной (4.94). На самом деле, сигналы представляют собой суперпозицию интерферограмм, осциллирующих на различных часто-

(а)(б)(в)

Рис. 4.25. Диаграммы энергетических уровней квантовой точки и оптических переходов при возбуждении парой сфазированных лазерных импульсов с переменной взаимной задержкой т. В результате возникает: квазиупругое вторичное свечение (а), вторичное свечение с участием оптического фонона (б) и термализованная люминесценция (в). Зависимость сигналов от т показана схематически на вставке.

тах и промодулированных различными огибающими функциями. Кроме того, сигналы сильно зависят от формы возбуждающих импульсов и спектральных свойств регистрирующей системы. Для того чтобы проинтегрированные по времени компоненты вторичного свечения могли быть описаны выражением (4.94), необходимо выполнение ряда условий. Прежде всего, спектральная ширина лазерных импульсов ст должна быть много больше, чем скорости дефазировки оптических переходов у. В этом случае рассматриваемая система большую часть времени эволюционирует в отсутствие каких-либо внешних возмущений, т. е. затухание свободной поляризации, населенностей и сигналов вторичного свечения контролируется только релаксационными константами у. С другой стороны, величина сг должна быть достаточно мала, чтобы несколько уровней системы не могли возбуждаться одновременно. Таким образом, необходимо выполнение следующего двойного неравенства у « сг « As, где As равна частоте оптического фонона Q или частотному зазору между резонансным и ближайшим к нему экситонным уровнем. Кроме того, рассмотрение неоднородно уширенных ансамблей квантовых точек было ограничено системами, для которых неоднородные ширины экситонных переходов значительно превышают сг.

Если перечисленные выше условия выполняются, то сигнал квазиупруго- го вторичного свечения (рис. 4.25а) может быть описан выражением (4.94), когда при изучении неоднородно уширенного ансамбля квантовых точек используется фильтр с узкой полосой пропускания ГD. Соответствующие параметры интерферограмм представлены в табл. 4.1. Если скорость чистой дефазировки ypj много меньше, чем обратное время жизни экситона ух, то

Таблица 4.1. Параметры интерферограммы (^(т) и со^ для квазиупругого вторичного свечения: u)D - частота детектирования; 72 = Ух/^+Ура - полная скорость дефазировки резонансного оптического перехода; у0, Уь и ypd - обратные времена жизни фотона, экситона и скорость чистой дефазировки, соответственно.

Гв « сг

exp[-(rD + у0/2)т], u)D для ypd « угexp[-(rD + 2у2)т], (JD для ypd » ух

будет наблюдаться квазиупругое рассеяние. В противоположном случае сигнал осциллирующий на частоте детектирования а>п может быть отнесен к резонансной люминесценции. Важно отметить, что в неоднородно уширенных ансамблях проявляется эффект “насыщения” огибающей. Он состоит в том, что при уменьшении полосы пропускания фильтра огибающая стремится к функции ехр(-уот/2) или ехр(-2у2т), где уо - обратное время жизни фотона. Второе проявление неоднородного уширения заключается в том, что затухание люминесценции контролируется удвоенной величиной у2.

Естественным ограничением когерентного контроля спонтанного вторичного свечения при исследовании релаксационных параметров является требование достаточно большого резонансного усиления сигнала. В противном случае полезный сигнал будет замаскирован паразитным светом или сигналом поверхностного рассеяния. В этом смысле, большой интерес представляет когерентный контроль спонтанного вторичного свечения на частоте, отличной от несущей частоты импульсов, например на стоксовой частоте вторичного свечения с участием оптического фонона или на частоте термализованной люминесценции.

Для вторичного свечения с участием оптического фонона (рис. 4.256) наиболее важные случаи, когда проинтегрированный по времени сигнал может быть представлен одиночной интерферограммой, собраны в табл. 4.2. В случае неоднородно уширенного ансамбля, когда используется узкопо-

Таблица 4.2. Параметры интерферограммы (К(т) и <dz) для вторичного свечения с участием оптического фонона при входном резонансе: ypd и Q - обратное время жизни и частота оптического фонона.

Гп « сг

expV-(rD + Ури/ВД, cod^Q для ypd « угexp[-(rD + 2у2 + Урн/ВД, a>D + Q для ypd » ух

лосный фильтр, сигнал может быть приписан резонансному комбинационному рассеянию, если ypd « yi и резонансной люминесценции, если Ура » Уь Неоднородное уширение приводит к эффекту насыщения оги-

бающей, которая стремиться при уменьшении yD к функции ехр(-у^т/2) или ехр[-(у2 + Трн/^тА, где урр - обратное время жизни фонона. Сигнал резонансной люминесценции осциллирует на частоте u)d + & и его затухание контролируется параметром 2у2 + у^/2 . Таким образом, для определения у2 необходимо из независимых экспериментов найти ури и наоборот.

Для изучения скоростей релаксации высокоэнергетических экситонных переходов можно осуществить когерентный контроль термализованной люминесценции (рис. 4.25в). Соответствующие параметры интерферограмм представлены в табл. 4.3. Анализ показал, что когерентный контроль терма-

Таблица 4.3. Параметры интерферограммы (^(т) и oj^ для термализованной люминесценции: у2о и ую - скорости полной дефазировки переходов с частотами м2о и ^ю в возбужденное и основное экситонное состояние, а - отношение между конфайн- ментными энергиями возбужденного и основного экситонных состояний.

ехр[-(у20 + а(у10 + Fd))t], м2о - «(^ю - ^о)

лизованной люминесценции может быть использован при изучении неоднородно уширенных ансамблей квантовых точек, если неоднородное уширение может быть описано статистической моделью линейной регрессии, в которой частоты экситонных переходов являются случайными и взаимозависимыми величинами с сильной корреляцией. Тогда, сигнал термализованной люминесценции для узкополосного фильтра, как и в случаях рассмотренных выше, проявляет эффект насыщения огибающей. В результате эта функция стремится к предельной величине ехр[-(у2о + ^ую)т] для Гп « У20 + ^Ую» где ую - скорость дефазировки перехода с частотой щю в основное экситонное состояние. Кроме того, осцилляции сигнала происходят на частоте u)^-a(u)\Q-u)D\ в то время как их затухание определяется линейной комбинацией у2о + аую, где а > 1 - отношение между конфайнментными энергиями возбужденного и основного экситонных состояний. Следует подчеркнуть, что эффект насыщения термализованной люминесценции прямо показывает, что упомянутая выше статистическая модель может описывать неоднородное уширение оптических спектров.

Теория когерентного контроля спонтанного вторичного свечения полупроводниковых квантовых точек показывает, что этот спектроскопический метод может применяться для исследования динамики элементарных возбуждений в ансамбле точек с большим неоднородным уширением. Установлены релаксационные параметры, которые могут быть надежно определены данным методом и найдены оптимальные условия проведения экспериментов. Полученные результаты были успешно использованы при изучении индуцированных механическим напряжением квантовых точек на основе InGaAs/GaAs [112]. Применение теоретической модели когерентного контроля вторичного свече-

ния с участием оптического фонона к такой системе позволило определить, что ширина основного экситонного перехода Тгу2 = 6.3 ±1.5 мкэВ.

Оптическая спектроскопия одной квантовой точки

Как видно из предыдущего параграфа, ряд методов оптической спектроскопии позволяет получать информацию о спектральных параметрах переходов и динамике возбуждений в индивидуальной квантовой точке из анализа спектров неоднородно уширенного ансамбля квантовых точек. Однако эта информация все же не является прямой и в ряде случаев может быть оспорена, поскольку эти методы используют ряд приближений, которые не всегда реализуются в исследуемых ансамблях. Поэтому вполне логичным является интерес к исследованию одиночной квантовой точки. Развитие высокочувствительных приемников оптического излучения, например структур с переносом заряда (ПЗС-матриц) и лавинных диодов, в сочетании с оптической микроскопией с дифракционно-ограниченным пространственным разрешением (200-500 нм) позволило решить эту проблему и получить новые данные о сверхтонкой структуре электронного спектра одиночной квантовой точки, как присущей ей самой, так и индуцированной внешними факторами, такими как световое поле, постоянные электрические и магнитные поля, наличие анизотропных напряжений и т.п.

Существуют два основных способа селекции одиночной квантовой точки из приготовленного ансамбля. В первом из них используется образец с малой поверхностной плотностью квантовых точек так, чтобы в области перетяжки возбуждающего излучения находилась одна или несколько квантовых точек. Этого сравнительно легко добиться в случае коллоидных нанокристаллов разных размеров, синтезируемых в растворах [127], которые далее в необходимых концентрациях внедряются в полимерные пленки или другие матрицы, допускающие фиксацию положения точек и проведение низкотемпературных экспериментов. В случае квантовых точек, выращенных в полупроводниковых гетеро структурах, получить образцы с малой поверхностной плотностью квантовых точек и с различными размерами достаточно трудно. Как правило, чем меньше поверхностная плотность, тем больше размер квантовой точки. В этих системах в совокупности с минимально возможной плотностью квантовых точек применяют технику приготовления меза-структур, в которых для возбуждающего излучения становятся доступными только считанное количество квантовых точек или всего одна квантовая точка [128]. Довольно экзотический способ использован при исследовании одиночных квантовых точек, создаваемых флуктуациями толщины сверхтонкого слоя (квантовой ямы) GaAs [123]. Здесь на поверхность слоя наносилось небольшое количество полимерных наносфер с диаметром от 50 до 500 нм, после чего структура покрывалась тонким слоем алюминия. Оказалось, что наносферы могут быть легко удалены с металлизированной поверхности, при этом остаются открытыми участки слоя с квантовой точкой, доступные для возбуждения светом.

Ниже будет видно, однако, что такую технику надо применять с осторожностью, поскольку некоторые параметры квантовой точки могут зависеть от размера меза-структур.

Резонансная фотолюминесценция

Одной из первых прямых демонстраций “атомоподобной” электронной структуры квантовых точек явилась работа группы исследователей из Массачусетского технологического института (США) [127]. В этой работе были получены низкотемпературные (10 К) спектры резонансной фотолюминесценции одиночных коллоидных нанокристаллов на основе CdSe, внедренных в 50-нанометровый слой полиметилметакрилата. Нанокристаллы со средним диаметром 3.9, 4.5 и 5.0 нм были приготовлены методом высокотемпературного металлоорганического синтеза в органическом растворителе и далее внедрены в полимерную матрицу в концентрации, обеспечивающей малую поверхностную плотность (менее одной квантовой точки на квадратный микрон). Для возбуждения и регистрации фотолюминесценции использовался оптический микроскоп, сопряженный со спектрометром, оборудованным охлаждаемым жидким азотом ПЗС-приемником. Диаметр освещаемой объективом области образца составлял 32 мкм, однако оптическая схема позволяла выбирать для записи спектров ФЛ различные одиночные квантовые точки. На рис. 4.26а показаны типичный спектр резонансной фотолюминесценции обычного образца, содержащего большое число CdSe квантовых точек (средний диаметр точек около 4.5 нм), и спектр одной квантовой точки из этого ансамбля. В обоих спектрах легко различима структура, соответствующая LO фонону CdSe. Уже здесь видно, что спектральная ширина линии фотолюминесценции одной квантовой точки на порядок меньше, чем для ансамбля точек. В правой части рисунка показано, как полоса фотолюминесценции ансамбля квантовых точек формируется из более узких полос, соответствующим одиночным квантовым точкам, входящим в ансамбль.

Оказалось, что наблюдаемые ширины линий одиночных квантовых точек определяются так называемым процессом спектральной диффузии: обратимыми многократными смещениями положения спектральной линии за время измерения (несколько минут) из-за ионизации квантовых точек и захвата носителей окружающей матрицей. Снижение интенсивности возбуждающего излучения и времени регистрации сигналов позволили авторам уменьшить влияние этого эффекта и продемонстрировать, что реальные ширины линий фотолюминесценции одиночной квантовой точки могут быть меньше спектрального разрешения используемой аппаратуры (менее 120 мкм) (рис. 4.27).

Таким образом, атомоподобная структура электронных состояний квантовых точек была продемонстрирована для наиболее очевидного типа ква- зинульмерных квантовых наноструктур. Появились реальные возможности экспериментального исследования процессов, определяющих динамику элек-

2.12 2.13 2Л4 2Л52.12 2.13 2Л4 2Л5

2.12 2.13 2Л4 2Л5

2.12 2.13 2Л4 2Л5

Энергия, эВ

ЮКЮК120 мкэВ120 мкэВРис. 4.26. а - сопоставление спектров резонансной фотолюминесценции обычного образца, содержащего большое число квантовых точек CdSe, и одной квантовой точки из этого ансамбля (диаметр точек около 4.5 нм). Легко различима структура, соответствующая LO фонону CdSe. Указаны HWHM линий резонансной фотолюминесценции, б - иллюстрация формирования спектра фотолюминесценции ансамбля квантовых точек. Спектр ансамбля квантовых точек (средний диаметр -3.9 нм) и набор спектров одиночных квантовых точек из этого ансамбля. Спектры получены при температуре 10 К [127].

ЮК

ЮК

120 мкэВ

120 мкэВ

н о о т CD S о т 0) н т S

2Л922Л96

Энергия, эВ

Рис. 4.27. Спектр люминесценции одиночной квантовой точки CdSe с минимальной из измеренных шириной линии резонансной фотолюминесценции, полученный при малой мощности возбуждающего излучения. В этом эксперименте ширина линии ограничена спектральным разрешением, поэтому реальная ширина меньше 120 мкм [127].

тронных возбуждений в таких структурах, путем спектрального и временного анализа фотолюминесценции одиночной квантовой точки.

Особенно важна информация об этих процессах для квантовых точек, фабрикуемых в полупроводниковых гетеро структурах, совместимых с имеющимися эпитаксиальными технологиями изготовления полупроводниковых устройств наноэлектроники. В частности, одним из рассматриваемых перспективных областей применения квантовых точек является их использование в качестве элементов квантовых компьютеров и криптографов [132]. Основными элементами таких устройств являются двухуровневые квантовые биты (quantum bits, Q-bits), которые хранят квантовую информацию в форме линейной суперпозиции двух состояний. Атомоподобные электронные состояния квантовых точек рассматриваются как перспективные для таких элементов. Основным параметром Q-bits является время сохранения когерентности состояний, поскольку оно определяет времена хранения информации и скорость выполнения операций. Поэтому информация о физических процессах (важнейшим из которых является электрон-фононное взаимодействие), приводящих к сбою когерентности электронных возбуждений в квантовых точках, весьма важна. Поскольку те же процессы определяют однородную спектральную ширину линии соответствующего оптического перехода, то эта информация может быть получена из анализа температурной зависимости ширины линии фотолюминесценции одиночной квантовой точки.

В первых работах [99, 121, 133-135] сообщалось, что низкотемпературные значения времен дефазировки Т^ = у"1 фундаментального перехода, полученные из экспериментов по фотолюминесценции одиночной квантовой точки, не превышают 50 пс. Этот результат сильно ограничивал использование квантовых точек для хранения квантовой информации. Поскольку скорость полной дефазировки у2 = ух/2 + ypd определяется скоростью релаксации населенности ух и скоростью чистой дефазировки оптического перехода ура, именно большой вклад чистой дефазировки в у^ может отвечать за достаточно короткие времена Т^ в исследуемых системах. Основной физической причиной этого является связь электронных возбуждений квантовой точки с ее собственными фононами и фононами окружения. Интерес к этой проблеме возрос снова после того, как две исследовательские группы сообщили о наблюдении в экспериментах по четырехволновому смешению времени низкотемпературной дефазировки Т^ в несколько сотен пикосекунд [98, 99]. В работах [98, 99] различия результатов измерения скоростей дефазировки методами четырехволнового смешения и спектроскопии фотолюминесценции одиночной квантовой точки объяснялись в основном эффектом спектральной диффузии. Однако это объяснение было опровергнуто работой [128], в которой Т^ = 730 пс было получено в фотолюминесцентных экспериментах с одиночной квантовой точкой. Использование спектральной аппаратуры с высоким разрешением, охлаждаемого жидким азотом ПЗС-приемника и техники литографического изготовления меза-структур для изоляции одиночной квантовой точки позволило авторам этой работы провести прямые измерения

Т=2КТ=2КТ=77КТ=77КТ=100КТ=100КГ=200КГ=200К7"=250К7"=250К^^rH»*^'^^^^rH»*^'^^Т=300КТ=300Коднородной ширины линии излучения, соответствующей распаду основного состояния экситона в самоорганизованных квантовых точках Ino.6Gao.4As, выращенных на подложке GaAs в диапазоне температур от 2 до 300 К. Спектральная ширина аппаратной функции используемого спектрометра составляла 2 мкэВ, поэтому использование процедуры деконволюции позволяло уверенно определять форму линий фотолюминесценции с шириной более 0.5 мкэВ. На рис. 4.28 приведен представительный набор спектров фотолюминесценции одной из исследуемых квантовых точек для ряда температур.

Т=2К

Т=2К

Т=77К

Т=77К

Т=100К

Т=100К

Г=200К

Г=200К

7"=250К

7"=250К

^^rH»*^'^^

^^rH»*^'^^

Т=300К

Т=300К

е

-0 I— о о т CD

о т ф I- т

1.201.221.241.26 1.28

Энергия, эВ

Рис. 4.28. Спектры фотолюминесценции одной квантовой точки Ino.6Gao.4As/GaAs в диапазоне температур от 2 до 300 К [128].

В этой работе были получены важные сведения об ограничениях использования меза-структур для селекции одиночных квантовых точек, которые, по-видимому, не позволяли ранее получать столь узкие линии резонансной люминесценции, присущие одиночным квантовым точкам в гетеро структурах. Измерения ширины линии фотолюминесценции, проведенные при температуре 2 К, для мез разного размера, показали резкое уширение линий с уменьшением размера меза-структуры. В верхней части рис. 4.29 приведены эти зависимости для двух типов возбуждения фотолюминесценции квантовых точек: нерезонансного (через возбуждение электрон-дырочных пар GaAs буферных слоев) и резонансного (прямое возбуждение высокоэнергетических состояний квантовой точки). Легко видеть, что выбор меза-структуры слишком малого размера приводит к уширению линии фотолюминесценции на один-два порядка, по-видимому, из-за взаимодействия электронной подсистемы квантовых точек с материалом покрытия, используемым для приготовления меза-структур (обычно это металл). Физическая природа взаимодействия в настоящее время не совсем ясна. В частности, это может быть взаимодействие с плазмонами металлической пленки, аналогичное рассмотренным ранее в этой главе. В нижней части рис. 4.29 приведены примеры спектров линии фотолюминесценции двух разных одиночных квантовых точек, изме-

Поперечный размер мезы, нм

100200300400500

CD 160 оCD 160 оzzq 80q 80№Z№Za. 40 s30a. 40 s30возбуждениеО резонансное■ нерезонансное

CD 160 о

CD 160 о

z

z

q 80

q 80

№

Z

№

Z

a. 40 s

3

0

a. 40 s

3

0

J 5 о z mJ 5 о z mЯ 3.41 мкэВ

J 5 о z m

J 5 о z m

Е = 1.3146 эВк

О^О^ОООоОоСуРОо^о" ^^

Р С 3.56 МКЭВ .

Е= 1.2852 эВ */ if—bi l□□□пz□□□□□□oаzппd■El*^Win°ci*

-0.02-0.010.000.01

Энергия, мэВ

Рис. 4.29. a - ширина линии фотолюминесценции одиночной квантовой точки Ino.6Gao.4As, измеренная при = 2 К, как функция поперечного размера меза- структуры, содержащей квантовую точку б - спектры фотолюминесценции двух разных одиночных квантовых точек, полученные при 2К для размера мез ~ 400 нм. Для простоты сопоставления линий энергии, соответствующие центрам линий, были вычтены. Их величины показаны на каждом из спектров [128].

ренных при больших пространственных размерах мез (400 нм), когда ширина спектральной линии не зависит от их размера. Спектры демонстрируют узкие линии лоренцева типа с шириной 3.4±0.4 мкэВ. Деконволюция линий с аппаратной функцией спектральной аппаратуры с шириной 2 мкэВ позволила получить истинное значение 2^у2 = 1.8 ± 0.4 мкэВ (Т^ ~ 730 нс) при 2 К. Температурные измерения показали, что однородная ширина линии линейно растет с температурой до 60 К: у 2 = у 20 + УасТ, где у20 соответствует нулевой температуре, а Тгуас = 0.5 мкэВ обусловлена рассеянием электронных возбуждений на акустических фононах гетеро структуры. Простая экстраполяция к нулевой температуре показывает, что величина Тг/20 явно меньше 1.5 мкэВ. Это значение соответствует времени полной дефазировки в 900 нс. Слабое взаимодействие с акустическими фононами (уас, по крайней мере, в 5 раз меньше, чем для квантовых ям [136]) и то обстоятельство, что Т2, в основном определяется временем жизни экситона (прямые временные измерения показали, что время затухания фотолюминесценции этих точек равно при-

мерно 1 нс) подтверждают перспективность использования квантовых точек в системах обработки квантовой информации.

Когерентный контроль фундаментального перехода в одиночной квантовой точке

Различия в данных о динамике электронных возбуждений, получаемые при изучении ансамблей квантовых точек и одиночных квантовых точек, формируемых в гетеро структурах, поставили задачу привлечения новых дополнительных методов исследования. Одним из таких перспективных направлений является применение техники когерентного контроля спонтанного вторичного свечения, описанной в предыдущем разделе этой главы, к исследованию одиночной квантовой точки. Первое сообщение об экспериментальной реализации когерентного контроля оптических переходов в одиночной квантовой точке появилось в 1998 году [123]. Квантовые точки, исследованные в этой работе, формировались из-за флуктуаций толщины 4-нанометрового слоя GaAs, находящегося между 25-нанометровыми барьерами Alo.3Gao.7As. На слои наносилась пленка А1 с толщиной 100 нм, где были сформированы отверстия с диаметром 500 нм, через которые возбуждалась одиночная квантовая точка. На рис. 4.30 показана энергетическая экситонная структура этих

Рис. 4.30. Кривая затухания интегрированного во времени сигнала резонансной люминесценции одиночной квантовой точки GaAs при увеличении времени задержки между двумя сфазированными лазерными импульсами с энергией фотонов, резонансной переходам в экситонные состояния Ехх и Еху [123]. На вставке - энергетическая структура экситонных состояний в индуцированной флуктуациями толщины одиночной квантовой точки GaAs. Указаны основное состояние экситона Eq и следующее возбужденное состояние, расщепленное на два: Ехх и Еху. Показана схема оптических переходов, обсуждаемых в тексте.

одиночных точек, установленная в предварительных фотолюминесцентных экспериментах. Помимо основного экситонного состояния Eq, было установлено наличие двух возбужденных состояний, одно из которых Ei было расщеплено на два Е^х и Е^у с однородными ширинами 2^у2 ~17 мкэВ, что соответствует Т^ ~ 39 нс. В то же время спектральное разрешение используемой аппаратуры не позволяло определить ширину фундаментального перехода в фотолюминесцентных экспериментах. Этого не удалось сделать и при использовании техники когерентного контроля соответствующей резонансной люминесценции. Действительно, в этом случае энергия детектируемых фотонов резонансной люминесценции совпадает с энергией фотонов возбуждающего света и наличие интенсивного рассеяния возбуждающего излучения от исследуемой гетеро структуры не оставляло надежд на выделение полезного сигнала. В результате оказалось возможным реализовать когерентный контроль фундаментального перехода только при резонансном возбуждении светом Е\х~ и Eiy-co стояний квантовой точки, энергия которых была на 2.6 мэВ выше Eq. Основное состояние экситона заселялось за счет переходов с высокоэнергетических состояний, а анализируемая люминесценция могла быть селектирована спектрально. Таким образом, в этой работе был реализован когерентный контроль термализованной люминесценции, теория которой для ансамбля квантовых точек приведена в предыдущем разделе этой главы, применительно к одиночной квантовой точке. В результате эксперимента была получена кривая затухания интенсивности интегрированной во времени резонансной люминесценции квантовых точек с характерным временем около 40 нс (рис. 4.30), что практически совпадает с Т^ = у-1 ~ 39 пс, определенной из спектрального анализа однородной ширины линий оптических переходов из состояний Е\х и Е\у. Несмотря на то что в цитируемой работе не удалось определить характерные времена релаксации фундаментального перехода, ее результаты продемонстрировали работоспособность этого метода и совпадение полученных данных с результатами традиционных спектральных экспериментов.

Дальнейшие работы в этом направлении [137] показали, что для исследования динамики фундаментального перехода в одиночной квантовой точке может служить когерентный контроль спонтанного вторичного свечения с участием оптических фононов. Проинтегрированный по времени сигнал вторичного свечения с участием оптических фононов от одиночной квантовой точки (схема возможных переходов показана на рис. 4.31), возбуждаемой парой сфазированных импульсов с несущей частотой cor и взаимной задержкой т, может быть представлен следующим образом:

Дт) =Дт) =V '(2лс)3 v оV '(2лс)3 v оdu)RU?RG(a)R - u)d)du)RU?RG(a)R - u)d)dtW^dtW^(4.95)(4.95)

Дт) =

Дт) =

V '

(2лс)3 v о

V '

(2лс)3 v о

du)RU?RG(a)R - u)d)

du)RU?RG(a)R - u)d)

dtW^

dtW^

(4.95)

(4.95)

где W^W - вероятность испускания фотона (Dr с участием оптического фонона, G(ojr - (Dd) - спектральная функция регистрирующей системы, а>п -

а b с

Рис. 4.31. Схема возможных переходов, определяющих спонтанное вторичное свечение с участием оптических фононов. и)е, со^ cor и Q - частоты экситонного перехода, падающего света, испускаемого света и оптического фонона, а - случай входного резонанса, b и с - случаи выходного резонанса. Процессы а и b соответствуют резонансному рассеянию и люминесценции. Процесс с - так называемая термализованная люминесценция, состоящая из генерации экситона с участием фонона, распада фонона из-за ангармоничности и испускания фотона.

частота детектирования и V - нормировочный объем. Вводя плотность состояний оптических фононов g(Q\ WOR(t) можно выразить через вероятность испускания фотона с рождением или аннигиляцией оптического фонона с частотой Q;

^(/) = f dQg(Q)W^(0.(4.96)

В дальнейшем ограничимся низкотемпературным пределом, когда температура Т « WIUb (кв - постоянная Больцмана), и будем рассматривать только стоксову компоненту вторичного свечения. Предположим, что cdr близка к частоте экситонного перехода щ^, т.е. реализуется входной резонанс (рис. 4.31, а). Тогда при условии, что спектральная ширина импульсов удовлетворяет стандартным для схемы когерентного контроля неравенствам ур « ст « ЛЕ, hQ (ЛЕ - энергетическая щель между резонансным и ближайшим к нему эксито иным состоянием, у^^ = 1,2, ph) - релаксационные константы), легко получить следующее выражение для величины 1(т);

/(т) = Хбтго^о) 1+e-^cos^r,

71(4 + ^2)2

где

P^d) -P^d) -dQg(Q)a(Q)G(zlDQYdQg(Q)a(Q)G(zlDQY(4.98)(4.98)

P^d) -

P^d) -

dQg(Q)a(Q)G(zlDQY

dQg(Q)a(Q)G(zlDQY

(4.98)

(4.98)

a(Q) =a(Q) =еК5О2(4лс)3еК5О2(4лс)3(4.99)(4.99)

a(Q) =

a(Q) =

еК5О2(4лс)3

еК5О2(4лс)3

(4.99)

(4.99)

^DQ - We - 0)D - Q, Zip - 0Je - Wp, Z1rq - 0Je~ OJr ~ Q, (5q - Z1rq - dL, 8 -

диэлектрическая проницаемость, V^ = V^ = <z| (-er)en |g) (ту = L, R), er - оператор дипольного момента, ё^ и ё^ - векторы поляризации, EL - напряжен

ность электрического поля, Vq = (/| Vo (г) |/) - матричный элемент электрон- фононной связи, |g) и |/) - основное и возбужденное электронные состояния. При выводе (4.97) считалось, что полоса пропускания детектирующей систе

мы Гв » 72 + 7Ph!^.

Этот результат крайне важен для определения полной скорости дефазировки резонансного оптического перехода. В самом деле, недостаточно хорошо известные параметры системы g(Q\ a(Q) и G(z1dq) факторизуются и входят в выражение (4.97), описывающее сигнал как постоянный множитель. Отсюда следует, что форма измеряемого сигнала не зависит от природы оптических фононов, участвующих в процессе вторичного свечения, и не зависит от типа электрон-фононной связи. Это могут быть собственные фононы квантовой точки и/или фононы барьеров и матрицы, связанные с электронной подсистемой квантовой точки через полярное взаимодействие и через деформационный потенциал. Во всех этих случаях сигнал является одиночной интерферограммой, осциллирующей на частоте электронного перехода и)е. Огибающая функция интерферограммы ехр(-у2т) определяется только полной скоростью дефазировки 72. Важно отметить, что разделение сигна

ла на резонансное рассеяние и резонансную люминесценцию невозможно в принципе для широкополосного фильтра. Если неравенство Гв » 72 + Урк/^ нарушается, то упомянутая выше факторизация невозможна и определение 72 из экспериментально наблюдаемого затухания интерферограммы становиться более сложной задачей.

Известно, что сигнал вторичного свечения с участием оптических фононов может возникать также и при выходном резонансе (см. рис. 4.31, b и с): u)l ~ сое + Q. Можно показать, что в этом случае даже для широкополосного фильтра факторизация возможна лишь при специальных предположениях о плотности фононных состояний и/или о матричных элементах электрон- фононной связи. Спектральная ширина g(Q)a(Q) должна быть много меньше спектральной ширины лазерных импульсов. Физически это соответствует очень узкой плотности фононных состояний и/или острому пику в зависимости электрон-фононной связи от фононной частоты, т.е. случаю, когда система может рассматриваться в одномодовом приближении. Тогда анализируемый сигнал также является одиночной интерферограммой, осциллирующей на частоте сое + Ц), где Qq - центральная частота функции g(Q)a(Q\ Огибающая интерферограммы ехр(-72 - 7^/2) определяется как скоростью дефазировки электронного перехода, так и обратным временем жизни фонона и, следовательно, для определения 72 нужны независимые данные о урр.

Проведенное выше рассмотрение подразумевает, что неоднородное уширение фундаментального перехода пренебрежимо мало для одиночной кван-

товой точки. Однако предполагалось, что расхождение между величинами Тгу2, измеренными для одиночной точки (несколько десятков микроэлектронвольт [99, 134, 135]) и для ансамбля точек (несколько микроэлектронвольт [98, 99]) возникает из-за неоднородного уширения перехода, обусловленного флуктуациями зарядового окружения (спектральная диффузия) [98, 99]. В результате ширины линий, получаемые методом фотолюминесцентной спектроскопии одиночной квантовой точки с длительным временем накопления сигналов, отражают это неоднородное уширение в то время, как спектроскопия четырехволнового смешения дает правильное значение 7^ поскольку характерное время флуктуаций много больше, чем время между первым импульсом и сигналом эха. Это предполагает, что фундаментальный экси- тонный переход в одиночной квантовой точке неоднородно уширен и его исследование линейными оптическими методами не может дать надежную информацию о процессах дефазировки. Однако заранее неясно каков вклад флуктуаций в спектральную ширину перехода и как он зависит от условий возбуждения, параметров квантовой точки и ее окружения, а также конструкции исследуемого образца. Недавнее наблюдение экстремально узкой лорен- цевой линии люминесценции (Тгу2 = 0.9 мкэВ) в одиночной квантовой точке показало, что спектральной диффузии можно избежать, подходящим выбором размера мезы и резонансным возбуждением состояний квантовой точки. Эти условия полностью соответствуют схеме когерентного контроля. Тем не менее, рассмотрим сигнал когерентного контроля в условиях неоднородного уширения благодаря флуктуациям зарядового окружения. Поскольку верхний предел для ширины Эм этого неоднородного уширения составляет несколько десятков микроэлектронвольт, оно может быть легко учтено в рассматриваемой модели. Для этого /(т) необходимо усреднить по некоторой функции распределения. Используя условие Эм « о^Г^ получаем

-16л-о-2Д^д) 1+e“^TF(r) cos,л ,nm

Дт) =,(4.100)

+ °"2)

где F(t) - фурье-образ функции распределения, jK^n) и J^ получаются из У (со У) и ЛL путем замены сое на среднюю частоту электронного перехода що- В случае гауссовой функции распределения F(coe - ^о) = (лЛсоУ^1^ exp [-(ц^ - бъ>о)2!Ли?\ огибающая функция интерферограммы будет равна К(т) = ехр(-у2т -Эм2т2/4). На рис. 4.32а представлена функция К^т), вычисленная для различных отношений 72/^60. Форма кривых не зависит от абсолютных величин у2 и Эм. На рисунке их величины были выбраны так, чтобы полуширина фотолюминесцентной линии одиночной квантовой точки на полувысоте сохранялась постоянной (21.25 мкэВ) в соответствии с работой [99]. Можно видеть, что присутствие неоднородного уширения можно легко обнаружить. Количественные данные о у2 и Эм могут быть получены простой подгоночной процедурой. Вообще говоря, те же данные можно найти, анализируя спектральную форму линии люминесценции. Однако анализ формы включает две процедуры: деконволюцию спектральной функции

Рис. 4.32. а - логарифм огибающей сигнала когерентного контроля как функция взаимной задержки т между импульсами для различных относительных вкладов лорен- цева однородного и гауссова неоднородного уширений (г = y2M(j\ Сплошная линия - чисто лоренцево однородное уширение с Йу2 = 21.25 мкэВ; штриховая линия - г=1/1; пунктирная линия - г=1/2.5; штрихпунктирная - г=1/14. Абсолютные значения у2 и /Ioj выбирались таким способом, чтобы HWHM фотолюминесцентной линии одиночной квантовой точки сохранялась постоянной (21.25 мкэВ) в соответствии с работой [99]. б - контур Фойгта фотолюминесцентной линии одиночной квантовой точки, вычисленный для тех же параметров, что и в случае а.

измерительного прибора и подгонку контуром Фойгта. Это приводит к дополнительным ошибкам. На рис. 4.326 построены формы линий фотолюминесценции одиночной квантовой точки при тех же отношениях у^/Ла), что и на рис. 4.32а. Видно, что наиболее информативная часть спектральных линий - их крылья, где трудно добиться хорошего отношения сигнал/шум. В то же время, соответствующие изменения ^Г(т) наиболее отчетливы в области, где сигнал когерентного контроля может быть получен с достаточной точностью. Таким образом, метод когерентного контроля можно использовать для изучения эффектов флуктуации зарядового окружения в оптических и релаксационных процессах.

Применение квантовых точек

Лазеры на квантовых точках для волоконной связи

Развитие оптоволоконных телекоммуникаций привело к необходимости создания эффективных полупроводниковых лазеров и оптических усилителей, работающих в спектральной области минимальных потерь волноводов (1.251.65 мкм). Наибольшая длина волны, достигнутая лазерами на квантовых ямах InGaAs/GaAs, составляет 1230 нм - для устройств, генерирующих с торца [138], и 1260 нм для лазеров с вертикальным резонатором [139]. Достаточно большие пороговые токи, низкая рабочая температура и невысокая

температурная стабильность таких лазеров не всегда удовлетворяют требованиям, предъявляемым к высокоскоростным телекоммуникационным устройствам.

Прогресс в изготовлении многослойных структур самоорганизованных квантовых точек соединений А3В5, достаточно однородных по размеру и форме при большой поверхностной плотности, привел к созданию полупроводниковых лазеров с квантовыми точками в качестве активной среды [140]. В результате спектральная область 1.0-1.7 мкм стала доступной для генерации как для лазеров традиционной конструкции [141], так и для лазеров с вертикальным резонатором [142], использующих квантовые точки InGaAs и подложки GaAs. В частности, оба типа лазеров могут генерировать излучение с длиной волны 1.3 мкм с чрезвычайно низкими пороговыми токами [143] и высокой выходной мощностью [144]. Недавно был продемонстрирован широкополосный лазер на квантовых точках, излучающий на 1.5 мкм с плотностью тока всего в 70 А/см2 на один слой квантовых точек при комнатной температуре [145]. Оптические усилители на основе квантово-точечных структур представляют интерес для высокоскоростной обработки сигналов со скоростью свыше 40 Гбит/с [146]. Существенно, что развитые GaAs-технологии позволяют изготавливать достаточно дешевые монолитные лазеры на квантовых точках с вертикальным резонатором с распределенными брегговскими зеркалами на основе пар AlAs/GaAs и AlOVGaAs [142].

Следует отметить, что благодаря неоднородному уширению электронных переходов в квантовых точках возникает возможность расширения области непрерывной перестройки длины волны генерации. При некотором увеличении пороговых токов она может достигать 200 нм (1.033-1.234 мкм) [147].

Лазеры, использующие InAs-квантовые точки и InP-подложки, также представляют интерес, поскольку они позволяют получать генерацию в более длинноволновом диапазоне (1.8-2.3 мкм), важном для применений в молекулярной спектроскопии и дистанционном контроле газовых атмосфер с помощью лидаров. В то же время, генерация излучения с длиной волны 1.9 [148] и 2 мкм [149] лазера с активной средой из такой гетеро структуры была получена пока только при низкой (77 К) температуре. Интересно, что генерация на длинах волн 1.6 [150] и 1.78 мкм [151] была также продемонстрирована для лазеров на InAs квантовых проволоках - одномерных квантовых структурах на (001)1пР-подложке. И наконец, непрерывная генерация в области 2 мкм получена при комнатной температуре при использовании в качестве активной среды лазера квантовых точек на основе InAsSb, выращенных на (001)1пР-подложке [152].

Интенсивное развитие этого направления привело к тому, что в настоящее время некоторые типы полупроводниковых лазеров с активной средой на основе квантовых точек стали коммерчески доступны, [153].

Квантовые точки в биологии и медицине

Одной из наиболее активно развивающихся областей применения полупроводниковых квантовых точек является использование коллоидных квантовых точек (полупроводниковых нанокристаллов в органических и водных растворах) в качестве люминесцентных меток для визуализации структуры биологических объектов разного типа и для сверхчувствительного детектирования биохимических реакций, которые крайне важны в молекулярной и клеточной биологии, медицинской диагностике и терапии. Люминесцентная метка представляет собой люминофор, связанный с молекулой-линковщиком, которая может селективно связываться с детектируемой био структурой (мишенью). Метки должны быть растворимыми в воде, иметь большой коэффициент поглощения, обладать высоким квантовым выходом люминесценции в узкой спектральной полосе. Последнее особенно важно для регистрации многоцветных изображений, когда различные мишени в клетке помечены разными метками. В качестве люминофоров меток обычно используются органические красители. Их недостатками являются низкая устойчивость к фотообесцвечиванию, не позволяющая проводить долговременные измерения, необходимость использования нескольких источников света для возбуждения различных красителей, а также большая ширина и асимметрия полос люминесценции, затрудняющие анализ многоцветных изображений.

Последние достижения в области нанотехнологий позволяют говорить о создании нового класса люминесцентных меток, использующих в качестве люминофора полупроводниковые квантовые точки - коллоидные нанокристаллы [154-156].

Синтез нанокристаллов на основе соединений А2Вб (CdSe, CdS, CdTe, ZnS) и A3B5 (InP и GaAs) известен достаточно давно [157-160]. Еще в 1993 году был предложен высокотемпературный органометаллический синтез квантовых точек CdSe [157] и получены нанокристаллы с хорошей кристаллической структурой и узким распределением по размерам, но с квантовым выходом, не превышающим 10%. Резкое увеличение квантового выхода квантовых точек до 85% при комнатной температуре было достигнуто, когда нанокристаллы стали покрывать тонкой (1-2 моно слоя) оболочкой из другого материала с большей шириной запрещенной зоны (например, для CdSe это ZnS, CdS, CdO) [161, 162]. Такие структуры называются квантовые точки яд- ро/оболочка (core/shell QDs). Диаметр квантовых точек (от 1.5 нм и выше) можно контролировать, варьируя время реакции, проходящей при температуре около 300°С, от минут до нескольких часов или просто отбирая необходимое количество продукта через разное время после начала реакции [160]. В результате оказалось возможным получить набор квантовых точек одного состава, но с разными размерами. Например, положение полосы люминесценции CdSe/ZnS КТ может меняться в диапазоне от 433 до 650 нм (2.8621.906 эВ) при ширине полосы около 30 мэВ [163]. Использование других материалов позволяет существенно расширить спектральную область перестройки полосы люминесценции нанокристаллов (рис. 4.33). Существенно,

Рис. 4.33. Спектры люминесценции полупроводниковых нанокристаллов различного состава и разных размеров. Сплошные линии соответствуют нанокристаллам CdSe с диаметрами 1.8, 3.0 и 6.0 нм, пунктирные - нанокристаллам InP с диаметрами 3.0 и 4.6 нм, штриховые - нанокристаллам InAs с размерами 2.8, 3.6, 4.6 и 6.0 нм.

что нанокристаллы демонстрируют более узкие и симметричные полосы люминесценции, чем обычные органические красители. Это является чрезвычайно важным преимуществом при анализе многоцветных изображений. На рис. 4.34 в качестве примера сопоставлены спектры люминесценции нанокристаллов CdSe/ZnS и молекул родамина 6Ж.

Рис. 4.34. Сопоставление полос люминесценции квантовых точек и молекул родамина 6Ж.

Дополнительным преимуществом является то, что нанокристаллы одного состава обычно имеют широкую полосу поглощения с высоким молярным коэффициентом экстинкции (до 10-бсм-1М-1), соответствующую переходам в высокоэнергетические состояния. Ее положение слабо зависит от размера квантовой точки. Поэтому в отличие от красителей оказывается возможным

эффективное возбуждение люминесценции нанокристаллов разных размеров одним лазерным источником света. Однако основным преимуществом является то, что нанокристаллы имеют великолепную фотоустойчивость [156, 163166]: они не выцветают в течение нескольких часов и даже дней, в то время как характерные времена фотообесцвечивания обычных люминофоров ограничены единицами минут (рис. 4.35).

Рис. 4.35. Фотоиндуцированная деградация люминесценции меток на основе CdSe/ZnS нанокристаллов CdSe/ZnS и традиционных молекулярных люминофоров под действием излучения ртутной лампы [172].

Поверхность таких квантовых точек, полученных в результате химической реакции, покрыта гидрофобными молекулами, используемыми при синтезе, поэтому они растворимы только в органических растворителях. Поскольку биологические объекты (протеины, ДНК, пептиды) существуют только в водных растворах, были разработаны методы модификации поверхности нанокристаллов, которые делают их водорастворимыми [154, 155, 163, 164, 167, 168] как с положительно, так и с отрицательно заряженной поверхностью. Предложены несколько типов молекул-линковщиков, позволяющих селективно связывать нанокристаллы с анализируемыми биомолекулами. В качестве примера, на рис. 4.36 приведен пример нанокристалла CdSe, покрытого оболочкой из ZnS, который ковалентно связан с протеином молекулой меркаптоуксусной кислоты [155].

В самое последнее время люминесцентные метки на основе полупроводниковых квантовых точек для мишеней различного типа стали коммерчески доступными [169].

Для использования квантовых точек in vivo необходимо предпринять меры, уменьшающие их токсичность. В этих целях предложено помещать квантовые точки в инертные полимерные сферы с диаметрами 50-300 нм [170— 172] и уже их использовать в качестве люминофоров в случаях, когда относительно большие размеры нано сфер не препятствуют их применению. Исполь-

Рис. 4.36. Схематическое изображение люминесцентной метки на основе CdSe/ZnS нанокристаллов CdSe/ZnS, ковалентно связанных с протеином молекулой меркапто- уксусной кислоты [155].

зование наносферы с квантовыми точками дает ряд преимуществ по сравнению с одиночными квантовыми точками. Действительно, пространственное разрешение оптических измерений ограничено обычно дифракционным пределом 200-300 нм для видимой области спектра. Поэтому качество изображений не теряется в случае использования наносфер. В то же время в наносферу можно внедрить до 104 квантовых точек, что существенно повышает интенсивность свечения метки и, следовательно, чувствительность измерений. Кроме того, в нано сферу можно внедрить нанокристаллы, отличающиеся длинами волн люминесценции, в различных концентрациях, сформировав таким образом “цвет” суммарного излучения метки. Это существенно расширяет возможности манипулирования оптическими параметрами метки с использованием ограниченного количества типов квантовых точек [170-172]. И, наконец, оптические параметры квантовых точек, внедренных внутрь наносфер, слабо подвержены влиянию среды, окружающей биоструктуры.

Эти особенности делают квантовые точки и наносферы с квантовыми точками идеальными люминофорами для сверхчувствительного анализа в молекулярной биотехнологии и биоинженерии. Хотя ряд аспектов их использования еще требует выяснения, люминесцирующие метки на основе квантовых точек уже продемонстрировали свои большие возможности в биологическом анализе [169].

Список литературы

A.I. Ekimov, А.А. Onushchenko: JETP Lett. 34, 345 (1981)

S.V. Gaponenko: Optical Properties of Semiconductor Nanocrystals, (Cambridge University Press, Cambridge 1998)

D. Bimberg, M. Grundmann, N. N. Ledentsov: Quantum dot hetero structures, (John Wiley, New York 1999)

J.-C. Lee: Growth of self-organized quantum dots. In: Semiconductor Quantum Dots. Physics, Spectroscopy and Applications, ed by Y. Masumoto, T. Takagahara (Springer, Berlin Heidelberg New York 2002) pp 1-57

Ал.Л. Эфрос, А.Л. Эфрос: ФТП 16, 1209 (1982)

E.L. Ivchenko, G.E. Pikus: Superlattices and other hetero structures, Springer Ser. Solid-State Sei. V. 110, Springer, Berlin 1997

Г.Л. Бир, Г.Е. Пикус: Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках, (Наука, Москва 1972)

Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц: Квантовая механика, (Наука, Москва 1999) рр 58-94

Справочник по специальным функциям, под ред. М. Абрамовича, И. Сти- ган (Наука, Москва 1979)

Е. Hanamura: Phys. Rev. В 37, 1273 (1988)

A.D. Yoffe: Adv. Phys. 42, 173 (1993)

Y. Kayanuma: Phys. Rev. В 38, 9797 (1988)

А.И. Ансельм: Введение в теорию полупроводников, (Наука, Москва 1978)

Р. Нокс, Теория экситонов, (Мир, Москва 1963)

А.В. Федоров, А.В. Баранов: ЖЭТФ 110, 1105 (1996)

S.R. White, L.J. Sham: Phys. Rew. Lett. 47, 879 (1981)

T. Ando, S. Wakahara, H. Akera: Phys. Rev. В 40, 11609 (1989)

К. Vahala: IEEE J. Quantum Electron. 24, 523 (1988) 523-530.

J.-B. Xia: Phys. Rev. В 40, 8500 (1989)

P.C. Sercel, KJ. Vahala: Phys. Rev. В 42, 3690 (1990)

M.A. Cusack, P.R. Briddon, M. Jaros: Phys. Rev. В 54, 2300 (1996)

H. Fu, L.-W. Wang, A. Zunger: Phys. Rev. В 57, 9971 (1998)

ALL. Efros, M. Rosen: Phys. Rev. В 58, 7120 (1998)

E.P. Pokatilov, V.A. Fonoberov, V.M. Fomin, J.T. Devreese: Phys. Rev. В 64, 245328-1 (2001)

T. Takagahara: Phys. Rev. В 47, 4569 (1993)

von H.H. Grunberg: Phys. Rev. В 55, 2293 (1997)

V. Albe, C. Jouanin, D. Bertho: Phys. Rev. В 57, 8778 (1998)

A. Tomasulo, M.V. Ramakrishna: J. Chem. Phys. 105, 3612 (1996)

L.W. Wang, A. Zunger: Phys. Rev. В 59, 15806 (1999)

A.D. Yoffe: Adv. Phys. 50, 1 (2001)

Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц: Теория упругости, (Наука, Москва 1965)

Е Comas, С. Trallero-Giner, М. Cardona: Phys. Rev. В 56, 4115 (1997)

Т. Takagahara: Electron-phonon interactions in semiconductor quantum dots. In: Semiconductor Quantum Dots, ed by Y. Masumoto, T. Takagahara (Springer, Berlin Heidelberg New York 2001) pp 113-147

A.V. Fedorov, A.V. Baranov, Y. Masumoto: Solid State Commun. 122, 139 (2002)

В.Ф. Гантмахер, И.Б. Левинсон: Рассеяние носителей тока в металлах и полупроводниках, (Наука, Москва 1984)

[3 6] A.V. Fedorov, A.V. Baranov, К. Inoue: Phys. Rev. В 56, 7491 (1997)

[3 7] M.C. Klein, F. Hache, D. Ricard, C. Flytzanis: Phys. Rev. В 42, 11123 (1990)

[3 8] S. Nomura, T. Kobayashi: Phys Rev. В 45, 1305 (1992)

[3 9] E. Roca, C. Trallero-Giner, M. Cardona: Phys. Rev. В 49, 13704 (1994)

J.C. Marini, B. Stebe, E. Kartheuser: Phys. Rev. В 50, 14302 (1994)

G. Scamarcio, V. Spognolo, G. Ventruti, M. Lugara, G.C. Righini: Phys. Rev. В 53, 10489 (1996)

U. Bockelman, G. Bastard: Phys. Rev. В 42, 8947 (1990)

H. Benisty: Phys. Rev. В 51, 13281 (1995)

X-Q. Li, Y. Arakawa: Phys. Rev. В 57, 12285 (1998)

X-Q. Li, H. Nakayama, Y. Arakawa: Phys. Rev. В 59, 5069 (1999)

F. Gindele, K. Hild, W. Langbain, U. Woggon: Phys. Rev. В 60 R2157 (1999)

A.V. Baranov, V. Davydov, H.-W. Ren, S. Sugou, Y. Masumoto: J. Lumin. 87-89, 503 (2000)

T. Inoshita, H. Sakaki: Phys. Rev. В 46, 7260 (1990)

R. Heitz, M. Veit, N.N. Ledentsov, A. Hoffman et al: Phys. Rev. В 56, 10435 (1997)

P.C. Sersel: Phys. Rev. В 51, 14532 (1995)

D.F. Schroeter, D.F. Griffits, P.C. Sersel: Phys. Rev. В 54, 1486 (1996)

X-Q. Li, Y. Arakawa: Phys. Rev. В 56, 10423 (1997)

U. Bockelmann, T. Egeler: Phys. Rev. В 46, 15574 (1992)

A.L. Efros, VA. Kharchenko, M. Rosen: Solid State Commun. 93, 281 (1995)

A.V. Baranov, A.V. Fedorov, I.D. Rukhlenko, Y. Masumoto: Phys. Status Solidi (c) 0, 1217 (2003)

A.V. Baranov, A.V. Fedorov, I.D. Rukklenko, Y. Masumoto: Phys. Rev. В 68, 205318 (2003)

A.V. Fedorov, A.V. Baranov, I.D. Rukhlenko, Y. Masumoto: Solid State Commun. 128, 219 (2003)

[5 8] A.B. Федоров, A.B. Баранов: ФТП 38, 1101 (2004)

A.B. Федоров, A.B. Баранов: Опт. спектр. 97, 63 (2004)

A.L Ekimov: Physica Scripta 39, 217 (1991)

И.М. Лифшиц, B.B. Слезов: ЖЭТФ 35, 479 (1958)

A.V. Fedorov, A.V. Baranov, K. Inoue: Phys. Rev. В 54, 8627 (1996)

M. Nirmal, C.B. Murray, M.G. Bawendi: Phys. Rev. В 50, 2293 (1994)

A. Mews, A.V. Kadavanich, U. Banin, A.P. Alivisatos: Phys. Rev. В 53, R13242 (1996)

ALL. Efros, M. Rosen, M. Kuno et al: Phys. Rev. В 54, 4843 (1996)

Y. Masumoto: J. Lumin. 70, 3 86 (1996)

S.V. Gaponenko: Semiconductors 30, 315 (1996)

U. Woggon: Optical Properties of Semiconductor Quantum Dots, (Springer, Berlin 1997)

DJ. Norris, M.G. Bawendi: Phys. Rev. В 53, 1633 8 (1996)

D. Bertram, O.I. Micic, A J. Nozik: Phys. Rev. В 57, R4265 (1998)

А.В. Баранов, Я.С. Бобович, В.И. Петров: Опт. спектр. 65, 1066 (1988)

А.Р. Alivisatos, A.L. Harris et al: J. Chern. Phys. 90, 3463 (1989)

A.V. Baranov, Ya.S. Bobovich, V.I. Petrov: Solid State Commun. 83, 957 (1992)

JJ. Shiang, S.H. Risbud, A.P. Alivisatos: J. Chern. Phys. 98, 8432 (1993)

K. Inoue, A. Yamanaka, N. Tanaka, A.V. Baranov, A.V. Fedorov: J. Korean Phys. Soc. 32, S569 (1998)

ALL. Efros, A.I. Ekimov et al: Solid State Commun. 78, 853 (1991)

M.P. Chamberlain, C. Trallero-Giner, M. Cardona: Phys. Rev. В 78, 1680 (1995)

C. Trallero-Giner, A. Debernardi et al: Phys. Rev. В 57, 4664 (1998)

E. Menendez-Proupin, C. Trallero-Giner, S.E. Ulloa: Phys. Rev. В 60, 15747 (1999)

R. Rodriguez-Suarez, E. Menendez-Proupin, C. Trallero-Giner, M. Cardona: Phys. Rev. В 62, 11006 (2000)

T. Itoh, M. Nishijima, A.I. Ekimov C. Gourdon, ALL. Efros, M. Rosen: Phys. Rev. Lett. 74, 1645 (1995)

K. Edamatsu, M. Tsukii et al: Nonlinear Optics 18, 295 (1997)

L. Zimin, S.V. Nair, Y. Masumoto: Phys. Rev. Lett. 80, 3105 (1998)

А.В. Федоров, А.В. Баранов, A. Itoh, Y. Masumoto: ФТП 35, 1452 (2001)

T. Takagahara: Phys. Rev. Lett. 71, 3577 (1993)

A. Tamura, T. Ichinokawa: J. Phys. C 16, 4779 (1983)

E. Duval, A. Boukenter, B. Champagnon: Phys. Rev. Lett. 56, 2052 (1986)

S. Okamoto, Y. Masumoto: J. Lumin. 64, 253 (1995)

L. Saviot, B. Champagnon at al: J. Non-Crystal. Solids 197, 23 8 (1996)

P. Verma, W. Cordts, G. Irmer, J. Monecke: Phys. Rev. В 60,5778 (1999)

A.V. Fedorov, A.V. Baranov, Energy spectrum of acoustic phonons in nanocrystals embedded to matrixes, Abstracts of the 24th International Conference on the Physics of Semiconductors, Jerusalem, Israel, 1998, v. 2, Th-P150

C.B. Гупалов, И.А. Меркулов: ФТТ 41, 1473 (1999)

И.Б. Левинсон, Э.И. Рашба: УФН 111, 683 (1973)

Т. Itoh, S. Yano, N. Katagiriet, Y. Iwabuchi, C. Gourdon, A.L Ekimov: J. Lumin. 60-61 396 (1994)

N. Sakakura, Y. Masumoto: Phys. Rev. В 56, 4051 (1997)

J. Zhao, M. Ikezawa, A. Fedorov, Y. Masumoto: J. Lumin. 87-89, 525 (2000)

A.V. Uskov, A.-P. Jauho, B. Tromborg et al: Phys. Rev. Lett. 85, 1516 (2000)

P. Borri, W. Langbein, S. Schneider et al: Phys. Rev. Lett. 87, 157401 (2001)

D. Birkedal, K. Leosson, J. M. Hvam: Phys. Rev. Lett. 87, 227401 (2001)

В. Демтредер: Лазерная спектроскопия. Основные принципы и техника эксперимента, (Наука, Москва 1985)

Modern problems in condensed matter science, ed by V.M. Agranovich, R.M. Hochstrasser (North-Holland, Amsterdam 1983)

Y. Masumoto: Homogeneous width of confined excitons in quantum dots - experimental. In: Semiconductor Quantum Dots. Physics, Spectroscopy and Applications, ed by Y. Masumoto, T. Takagahara (Springer, Berlin Heidelberg New York 2002) pp 325-351

R. Kuribayashi, K. Inoue, K. Sakoda et al: Phys. Rev. В 57, 15084 (1998)

P. Palinginis, H. Wang: Appl. Phys. Lett. 78, 1541 (2001)

Y. Masumoto, T. Kawazoe, N. Matsuura: J. Lumin. 48-49, 189 (1998)

M. Ikezawa, Y. Masumoto: Phys. Rev. В 61, 12662 (2000)

Э.А. Маныкин, B.B. Самарцев: Оптическая эхо-спектроскопия, (Наука, Москва 1984)

W.H. Hesselink, D.W. Wiersma: Phys. Rev. Lett. 43, 1991 (1979)

T. Kuroda, F. Minami, K. Inoue, A.V. Baranov: Phys. Rev. В 57, 2077 (1998)

Y. Masumoto, M. Ikezawa, B.-R. Hyun et al: Phys. Status Solidi (b) 224, 613 (2001)

P. Borri, W. Langbein, J. Mork et al: Phys. Rev. В 60, 7784 (1999)

A. V. Baranov, V. Davydov, A. V. Fedorov et al: Phys. Rev. В 66, 075326 (2002)

M.M. Salour, C. Cohen-Tannoudji: Phys. Rev. Lett. 38, 757 (1977)

N.F. Ramsey: Phys. Rev. 76, 996 (1949)

A.P. Heberle, JJ. Baumberg, K. Kohler: Phys. Rev. Lett. 75, 2598 (1995)

M.U. Wehner, M.H. Ulm et al: Phys. Rev. Lett. 80, 1992 (1998)

[H7] X. Marie, P. Le Jeune et al: Phys. Rev. Lett. 79, 3222 (1997)

M. Woerner, J. Shah: Phys. Rev. Lett. 81, 4208 (1998)

M. Gurioli, F. Bogani, S. Ceccherini, M. Colocci: Phys. Rev. Lett. 78, 3205 (1997)

E. Dupont, P.B. Corkum et al: Phys. Rev. Lett. 74, 3 596 (1995)

D. Gammon, E. S. Snow, E. S. Shanabrook et al: Science 273, 87 (1996)

S. Lloyd: Science 261, 1569 (1993)

N. H. Bonadeo, J. Erland, D. Gammon et al:Science 282, 1473 (1998)

A.B. Федоров, A.B.Баранов,Y.Masumoto:Опт.спектр. 92,797 (2002)

A.B. Федоров, A.B.Баранов,Y.Masumoto:Опт.спектр. 93, 56 (2002)

A.B. Федоров, A.B.Баранов,Y.Masumoto:Опт.спектр. 93, 604 (2002)

S.A. Empedocles, D.J. Norris, M.G. Bawendi: Phys. Rev. Lett. 77, 3 873 (1996)

M. Bayer, A. Forchel: Phys. Rev. В 65, 041308 (2002)

V. Turek, S. Rodt, R. Heitz, R. Engelhardt, U. W. Pohl, D. Bimberg, R. Steingriiber: Phys. Rev. В 61, 9944 (2000)

A. V. Baranov, V. Davydov, A. V. Fedorov et al: Phys, status solidi (b) 224, 461 (2001)

Н. Htoon, D. Kulik, О. Baklenov et al: Phys. Rev. B. 63, 241303 (2001)

The Physics of Quantum Information, ed by D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger (Springer, Berlin 2000)

Y. Toda, O. Moriwaki, M. Nishioka, Y. Arakawa: Phys. Rev. Lett. 82, 4114 (1999)

K. Leosson, J.R. Jensen, J.M. Hvam, W. Langbein: Phys. stat, solidi (b) 221, 49 (2000)

L. Besombes, K. Kheng, L. Marshal, H. Mariette: Phys. Rev. В 63, 155307 (2001)

6] P. Borri, W. Langbein, J.M. Hvam, F. Martelli: Phys. Rev. В 59, 2215 (1999)

A.V. Fedorov, A.V. Baranov, Y. Masumoto: Solid State Communs. 124, 311 (2002)

8] N. Tansu, J.-Y. Yeh, L.J. Mawst: Appl. Phys. Lett. 82, 403 8 (2003)

C. Asplund, P. Sundgren, S. Mogg et al: Electron. Lett. 38, 635 (2002)

V.M. Ustinov, A.E. Zhukov, A.Yu. Egorov, N.A. Maleev: Quantum Dot Lasers, Series on Semiconductor Science and Technology (Oxford Univ. Press 2003)

D.L. Huffaker, G. Park, Z. Zou et al: Appl. Phys. Lett. 73, 2564 (1998)

N.N. Ledentsov: IEEE J. Sei. Top. Quantum Electron. 8, 1015 (2002)

G. Park, O.B. Shchekin, D.L. Huffaker, D.G. Deppe: IEEE Photonics Technol. Lett. 12, 230 (2000)

A.R. Kovsh, N.A. Maleev, A.E. Zhukov et al: Electron. Lett. 38, 1104 (2002).

N.N. Ledentsov, A.E. Zhukov, A.R. Kovsh et al: Electron. Lett. 39, 1126 (2003)

M. Sugawara, N. Hatori, T. Akiyama et al: Jpn. J. Appl. Phys., Part 2 40, L488 (2001)

P.M. Varangis, H. Li, G.T. Liu, et al: Electron. Lett. 36,123 (2000)

S.V. Zaitsev, N.Yu. Gordeev, V.I. Kopchatov et al: Jpn. J. Appl. Phys., Part 1 38, 601 (1999)

A.E. Zhukov, V.M. Ustinov, A.R. Kovsh et al: Semicond. Sei. Technol. 14, 575 (1999)

R.H. Wang, A. Stintz, P.M. Varangis et al: IEEE Photonics Technol. Lett. 13, 767 (2001)

R. Schwertberger, D. Gold, J.P. Reithmaier, A. Forchel: IEEE Photonics Technol. Lett. 14, 73 5 (2002)

Y. Qiu, D. Uhl, S. Keo: Appl. Phys. Lett. 84, 263 (2004)

web-site ”Zia Laser, Inc.”: www.zialaser.com

M. Bruchez, M. Moronne, P. Gin, S. Weiss, A.P. Alivisatos: Science 281, 2013 (1998)

W.C.W. Chan, S. Nie: Science 281, 2016 (1998)

[15 6] X. Gao, S. Nie: Nature 413, 450 (2001)

C.B. Murray, D.J. Norris, M.G. Bawendi: JACS 115, 8706 (1993)

[15 8] M.A. Hines, P.Guyot-Sionnest: J. Phys. Chern. 100, 468 (1996)

А.Р. Alivisatos: Science 271, 933 (1996)

X.G. Peng, J. Wickham, A.P. Alivisatos: JACS 120, 5343 (1998)

D.V. Talapin, A.L. Rogach, A. Kornowski et al: Nanoletters 1, 207 (2001)

Z.A. Peng, X. Peng: JACS 123, 183 (2001)

W.C.W. Chan, D. J. Maxwe et al: Curr. Opin. Biotech. 13, 40 (2002)

B. Dubertret, P. Skourides, D. J. Norris: Science 298, 1759 (2002)

J.K. Jaiswal, H. Mattoussi, J.M. Mauro et al: Nat. Biotech. 21, 47 (2003)

A. Sukhanova, J. Devy, L Venteo et al: Anal. Biochem. 324, 60 (2004)

M.E. Akerman, W.C.W. Chan, P. Laakkonen et al: PNAS USA 99, 12617 (2002)

H. Mattoussi, J.M. Mauro, E.R. Goldman et al: Phys. stat. sol. (b) 224, 277 (2001)

Quantum Dot Corporation, USA, web site: www.qdots.com

M. Han, X. Gao, J. Z. Su, S. Nie: Nat. Biotech. 19, 631 (2001)

B.J. Battersby, G.A. Lawrie, A.P.R. Johnston, M. Trau: Chern. Commun. 14, 143 5 (2002)

V. Stsiapura, A. Sukhanova, M. Artemyev, M. Pluot, J.H.M. Cohen, A.V. Baranov, V. Oleinikov, I. Nabiev: Anal. Biochem. 334, 257 (2004)

Оптические резонансные свойства металлических наночастиц

А.М. Бонч-Бруевич, Т.А. Вартанян, С.Г. Пржибельский

ВНЦ ‘ТОЙ им. С.И. Вавилова”, tigran®vartanyan.com

Введение

Современный интерес к металлическим наночастицам, линейные размеры которых порядка 1-100 нм, связан с их оптическими резонансами в видимой области спектра [1]. Спектральное положение и вид этих резонансов зависят от материала и формы частиц [2]. Добротность резонансов может доходить до 30, что определяет такое же увеличение действующего на частицу поля по сравнению с полем падающей световой волны. Эффективность вызываемых светом нелинейных процессов в области нахождения частицы повышается из-за этого на много порядков. Возможность манипулировать резонансами металлических наночастиц привлекательна для практических целей.

Кроме резонансных особенностей отдельных металлических наночастиц привлекательные и интересные свойства обнаруживаются и у ансамблей частиц. Так, сближение частиц вызывает смещение резонансов и дополнительное усиление поля в промежутке между ними. Перенос посредством электрической индукции возбуждения в ансамблях частиц открывает перспективу применения их в информационных целях и возможность производить селективное оптическое действие на распределенные системы металлических наночастиц.

Исследованиям линейных оптических свойств отдельных наночастиц около 100 лет. В 1908 г. в основополагающей теоретической работе [3] Ми описал рассеяние света на малых диэлектрических шариках. В дальнейшем было обращено внимание на то, что диэлектрические свойства материала шарика могут обусловить появление резонансов в рассеянии на частотах, ничем не выделенных в самом материале. Это явление описывается формально выражением

Е Е 8^ - 8s^° е(со) + 2£5(м)

где Е и Еш - комплексные амплитуды поля в шарике и в падающей волне, а 8(g)) и es(w) - комплексные диэлектрические проницаемости материала шарика и окружающей его среды на частоте а). Отметим, что приведенное выражение (5.1) получается из теории Ми без учета эффекта запаздывания. В этом приближении учитывается возбуждение только основной, дипольной, моды колебаний, частота которой согласно выражению (5.1) не зависит от размера шарика.

Появление резонанса в рассеянии света на шарике объясняется существованием коллективных колебаний электронов в среде [4, 5], которые называют плазменными колебаниями. В модели Друде - Зинера электроны в металле считаются свободными и диэлектрическая проницаемость определяется формулой

e(w) = 1—■— ,

иг + 10)7

что в условиях вакуума £5 = 1 определяет положение резонанса м2 = щ2/3 - у2/2, смещаемого фактором затухания в красную сторону. Здесь шр - плазменная частота, а у - скорость затухания коллективных колебаний, которая в модели Друде - Зинера определяется свойствами материала металлических наночастиц.

Фундаментальная проблема в современных исследованиях оптических свойств металлических наночастиц сводится к выяснению, в какой степени оптические свойства частиц определяются диэлектрическими характеристиками массивных материалов? Сложность решения этого вопроса, поставленного довольно давно, связана с рядом обстоятельств.

С одной стороны, движение электронов в металлических наночастицах с большим числом атомов (более 103) должно мало отличаться от движения, происходящего в массивных телах. С другой стороны, оптические характеристики частиц зависят от поверхностных эффектов, которые сказываются как на движении электронов у поверхности, так и на релаксации электронного возбуждения. Таким образом, оптические свойства металлических наночастиц должны, вообще говоря, определяться не только оптическими характеристиками их материала, но и зависеть от размера и формы частиц, а также от свойств окружающей среды. О свойствах поверхности металлических наночастиц в местах их контактов с конденсированными средами сведений мало, и понимания эффектов границ в плазменных колебаниях недостаточно для истолкования наблюдаемых явлений.

Экспериментальные исследования обозначенных проблем технологически сложны из-за трудности получения металлических наночастиц с контролируемыми формами и размерами. Кроме этого, во многих случаях исследование возможно только с неоднородными ансамблями частиц, что маскирует оптические свойства отдельных металлических наночастиц. И, наконец, во многих случаях частицы находятся в условиях, затрудняющих использование современных эффективных методов исследования. Например, сканирующая туннельная микроскопия трудно совмещается с условиями высокого вакуума, необходимыми для обеспечения чистоты поверхности.

Резонансы Ми отдельных металлических наночастиц

Оптические резонансы в ансамблях металлических наночастиц были выявлены давно, но прогресс экспериментального исследования резонансов индивидуальных частиц начался недавно, когда были разработаны химические и

литографические технологии их получения из серебра и золота с контролируемыми формами и размерами. В этих исследованиях применялись разные техники выявления резонансных свойств металлических наночастиц: рассеяние света, возбуждение люминесценции, нелинейно-оптические методы.

Если отвлечься от влияния окружения, то резонансные свойства отдельных частиц зависят в основном от их размера и формы. Эти зависимости обсуждаются далее.

Эффект размера

В работе [6] исследовались спектры релеевского рассеяния света шариками из золота и серебра, диаметры которых с 15 %-ной вариацией были 20, 40, 60, 80 нм - для золота, и 100 и 150 нм для серебра. Частички помещались в иммерсионную среду с однородным показателем преломления п = 1.5 и с помощью метода микроскопии темного поля наблюдалось тиндалевское рассеяния света на индивидуальных шариках. Из анализа формы спектров рассеяния сделан вывод о хорошем согласии экспериментальных результатов с предсказанными на основании теории Ми для золотых и об удовлетворительном согласии для серебряных наночастиц. Последнее объясняется недостаточным контролем за формой и состоянием поверхности частичек серебра более химически активного, чем золото. Из результатов измерений получены следующие энергии дипольных плазменных колебаний в шариках: 2.19 эВ - для золота и 2.72 эВ - для серебра.

Интересно отметить, что форма наблюдавшихся резонансов шаровых частиц с диаметром менее 100 нм оказалась близкой к лоренцевой, что позволило связать ширины резонансов (на полувысоте) с временем затухания собственных плазменных колебаний. Это время существенно менялось в зависимости от размера частиц: от минимального ~ 1 фс для самых больших до предельно большого 5 фс для малых частиц золота и 4-6 фс для малых частиц серебра.

Обнаруженное влияние размера частиц на затухание плазменных колебаний объясняется дипольным излучением: чем больше размер частицы, тем интенсивнее излучение и, следовательно, больше ширина резонанса. Вместе с этим, радиационная релаксация вызывает красный сдвиг резонанса в соответствии с формулой м2 = и?р1Ъ - у2/2. Радиационное затухание влияет незначительно на резонанс металлических наночастиц в случае шаров с диаметром менее 40 нм, что позволило связать предельно большие измеренные времена релаксации с временем нерадиационного затухания плазменных колебаний.

В случае частиц с диаметром более 100 нм обнаружено значительное отклонение формы резонансов от лоренцевой. Это было объяснено возбуждением мультипольных плазменных колебаний в больших шариках, для которых характерно неоднородное распределение поля по объему.

Полученные результаты дают положительный ответ, по крайней мере в частном случае, на поставленный вопрос о применимости квазистатического

274 А.М. Бонч-Бруевич, T.A. Вартанян, С.Г. Пржибельский приближения теории Ми для описания оптических свойств металлических наночастиц. Однако при этом следует учитывать вклад радиационной релаксации. Этот вклад определяется формой и размером частиц с учетом того, что в мнимой части диэлектрической проницаемости в приближенной формуле Ми должен учитываться вклад радиационной релаксации, которая определяется формой и размером частиц. Таким образом полученный ответ не универсальный, так как в других условиях эффекты формы, размера и окружающей среды могут быть иными, чем выявленные в рассмотренном исследовании.

Радиационное уширение спектров упругого рассеяния света на серебряных одиночных частичках цилиндрической формы - таблетках - высотой 15 нм с диаметром 68-260 нм, находящихся на прозрачном диэлектрике, было обнаружено и в работе [7]. Из анализа зависимости сдвига и уширения спектров рассеяния эванесцентного поля от диаметра частичек было оценено время (8-10 фс) нерадиационного затухания плазменных колебаний в таблетке. Это время заметно больше 5 фс, определенных в предыдущей работе. Причина различия связана, по-видимому, с несферической формой металлических наночастиц и влиянием подложки, на которой находилась таблетка. Именно ширина резонансной полосы, определенная из данных измерений, не является универсальной характеристикой времени затухания плазменных колебаний, так как форма резонансной полосы, в принципе, нелоренцева и зависит от геометрии металлических наночастиц и окружающей ее среды. Теоретическая спектральная форма резонанса рассеяния света таблеткой, находящейся на подложке, точно не известна, поэтому соответствующие оптические материальные характеристики таблетки определяются из экспериментальных данных лишь приближенно при известной диэлектрической проницаемости массивного серебра.

Нетривиальное влияние размера металлических наночастиц на их резонансные характеристики было обнаружено в работе [8], в которой регистрировался спектр излучения отдельных серебряных сплющенных шариков с размером 1.5-12 нм, полученных осаждением атомов из паров на подложку А^Оз/МЗАЦНО). Люминесценция отдельной частицы вызывалась инжекцией в нее электронов, вышедших из острия сканирующего туннельного микроскопа, который использовался одновременно для выбора частиц нужной формы и желаемого размера. Инжектированные электроны уходили из частицы в NiAl-подложку через диэлектрическую пленку Ah Оз с толщиной 0.5 нм. Спектральный максимум люминесценции наблюдался около 3.7 эВ. Этот резонанс объяснен нормальными к поверхности дипольными колебаниями электронов в частице. Были обнаружены синий сдвиг резонанса и его расширение с уменьшением размера частицы. Размерный эффект в уширении резонанса объяснен сокращением времени жизни плазменных колебаний в частице из-за рассеяния электронов на ее поверхности. При наибольшем диаметре (12 нм) ширина линии доходила до предельного значения 0.23 эВ.

Зависимость положения резонанса от размера малых металлических наночастиц обусловлена свойствами плотности электронов около поверхности.

Ввиду того, что электроны проводимости в серебре находятся в гибридном 5s-4d- состоянии, они стремятся одновременно и распространиться за поверхность и локализоваться на ней. Первая тенденция, связанная с 55-состоянием, смягчает плазменную дипольную моду, вторая, определяемая 4d- состоянием, увеличивает ее частоту. Так как с уменьшением размера частицы относительная доля поверхностных электронов возрастает и при этом наблюдается синий сдвиг резонанса, то это свидетельствует о преобладании влияния М- состояния. Зависимость положения резонанса ha) от диаметра частицы (d) хорошо аппроксимируется формулой Кео (эВ) = 3.61 (эВ) + 0.54/б/(нм).

Эффекты формы

Давно установлено, что форма металлических наночастиц влияет на характер рассеянного ими света, в частности, вызывает окрашивание рассеянного белого света. Резонансы в рассеянии определяются собственными плазменными колебаниями электронов в частичках. У эллипсоидальных наночастиц есть три собственных моды дипольных колебаний вдоль главных осей. Разности частот этих собственных мод могут значительно превосходить ширины их спектров и три резонанса могут обнаруживаться даже в неоднородных системах металлических наночастиц. Модовая структура плазменных колебаний несферических частиц многократно наблюдалась в спектрах экстинкции и отражения света от островковых металлических пленок [9, 10].

В настоящее время вопрос об эффекте формы ставится так: насколько на него влияют материальные оптические характеристики металлических наночастиц? В предыдущем разделе обсуждалось, что влияние размера наночастиц на материальные оптические характеристики обусловлено поверхностными эффектами, которые существенны в малых (<10 нм) частиц. Поэтому, казалось бы, форма частицы, размер которой превышает 10 нм, не влияет на релаксационные характеристики, определяющие параметры плазменных резонансов. Однако свойства материала металлических наночастиц влияют на эффект формы, и это влияние обусловлено частотной дисперсией поляризуемости частиц, которая порождается, по крайней мере, двумя факторами: частотной дисперсией диэлектрической проницаемости материала частиц и скоростью радиационного затухания дипольных колебаний, пропорциональ- нои со3 .

Эффект формы, связанный с последним, был выявлен в работе [11]. Объектом исследования была система упорядоченно расположенных примерно идентичных частичек серебра, изготовленная посредством метода электронной литографии. Цилиндрические частицы высотой 45 нм и эллипсовидным сечением с осями 40x80 нм, одинаково ориентированными у всех частиц, располагались на слое индий-оловянного оксида, нанесенном на кварц. В спектре экстинкции света этой системы обнаруживались два пика (рис. 5.1)

Максимумы пиков в спектре соответствуют энергиям квантов 2.1 и 2.9 эВ. Низко- и высокочастотный резонансы обусловлены плазменными колеба-

Рис. 5.1. Спектры экстинкции эллипсоидальных наночастиц серебра. Отмечена энергия лазерного кванта.

ниями вдоль длинной и короткой осей соответственно. Ширина обоих резонансов ~ 0.4 эВ на полувысоте.

Дипольные плазменные колебания в наночастицах возбуждались двумя идентичными последовательными лазерными импульсами с энергией фотонов 2.99 эВ и длительностью 40 фс. Кроме этого, действующее на металлические наночастицы поле вызывало в них двухфотонное возбуждение, которое регистрировалось по выходу фотоэлектронов из частиц в зависимости от времени задержки между импульсами и направления поляризации их поля. С помощью метода корреляционной спектроскопии по зависимости величины сигнала двухфотонного отклика от времени задержки определялось время затухания плазменных колебаний.

Это время зависело от поляризации электрического поля импульсов, что можно объяснить тем, что интенсивность вынужденных колебаний собственных мод в частице определяется ориентацией вынуждающей силы. При совпадении вектора поляризации с осью эллипса возбуждается только одна мода и не возбуждается другая. Соответствующие модам движения зарядов - различные, как и скорости релаксации этих движений. Эти скорости определяются как безызлучательной, так и радиационной релаксациями, из которых в исследуемом случае вторая заметно превышает первую. Высокочастотные колебания должны затухать быстрее, чем низкочастотные. Экспериментальный результат получился обратным: время затухания низкочастотных колебаний оказалось на 5 фс короче, чем у высокочастотных.

Такой парадоксальный результат объясняется двумя свойствами эффекта формы. Первое связано с тем, что скорость радиационного затухания моды

зависит не только от ее частоты, но и от “силы ее осциллятора”. В общем случае такая характеристика затухания неизвестна, но для эллипсоида она определяется через А/-фактор деполяризации поля, индуцированного вдоль соответствующей оси (/=1,2,3), причем Ai +А2+А3 = 1. С учетом этого фактора скорость релаксации плазменных колебаний, возбуждаемых в эллипсоиде вдоль оси i внешним полем с частотой со, определяется формулой

в которой первое слагаемое - скорость безызлучательной релаксации, одинаковая у всех мод, а V - объем эллипсоида. Частоты собственных колебаний Oi эллипсоида также определяются фактором деполяризации

V1/A-1

В асимптотическом пределе при неограниченном удлинении одной из осей соответствующее ей значение А, ^ 0 и при этом радиационная составляющая скорости релаксации (~ Ai) также стремится к нулю.

Факторы деполяризации реальных сплющенных частиц были аппроксимированы значениями Ai = 0.061 и А2 = 0.145 для длинной и короткой осей соответственно. При этих значениях времена затухания на резонансных частотах cot и ц>2? соответствующих 2.1 эВ и 2.9 эВ, оказались близкими к значению, определяемому по ширине пиков 0.4 эВ в спектре экстинкции: Г1(ЦЦ) Г2(О2).

Кроме этого, так как скорость радиационного затухания колебаний сильно зависит от частоты, то кинетика переходных процессов, происходящих в осцилляторе, которая и выявляется в автокорреляционном методе определения времени жизни колебания, также зависит от частоты возбуждения. Причем, чем больше частота возбуждения превышает резонансную, тем быстрее заканчиваются переходные процессы по сравнению с происходящими при резонансном возбуждении. В эксперименте импульсы возбуждали почти резонансно высокочастотное колебание и поэтому для него измеренное время жизни оказалось соответствующим ширине резонансного пика на полувысоте. Низкочастотная мода возбуждалась лазерным полем с энергией кванта 2.99 эВ, что заметно выше резонансной частоты цц. Поэтому измеренное время жизни низкочастотного колебания оказалось заметно короче, чем определяемое шириной его спектрального пика на полувысоте.

Нетривиальное влияние формы частицы на добротность плазменных резонансов было выявлено в работе [12], в которой определялись спектры рассеяния света отдельными частицами серебра. Условия эксперимента и метод исследования - микроскопия темного поля - были теми же, что и в обсужденной выше работе [6]. Рассеяние наблюдалось как от шарообразных частиц с размером 20-150 нм, так и от стержневидных частиц с диаметром 15-20 нм и длиной 15-100 нм. Для исследования выбирались стержни небольшого объема с целью нивелирования радиационного вклада в затухание плазменных

Т1% А.М. Бонч-Бруевич, Т.А. Вартанян, С.Г. Пржибельский колебаний в стержнях, который, напомним, становился незначительным только для частиц с характерным размером менее 20 нм.

Результаты исследования плазменных колебаний в шаровых частицах такие же, как и в рассмотренной выше работе [6]. Результаты для плазменных резонансов стержней получились иными, чем для шаров. Во-первых, резонансы в соответствии с электродинамической теорией сдвигались в красную сторону по мере удлинения стержней. Во-вторых, вместе с этим сужался спектр рассеяния и ширина линии (на полувысоте) достигала предельного значения 80 мэВ, которое соответствовало времени затухания электрического поля диполя стержня, равного 18 фс. Соответствующее значение для шаров составляло 6 фс. Добротности колебаний (отношение частоты резонанса к его ширине) в стержнях и шарах также значительно различались. У серебряных стержней с резонансом, находящимся около 1.8 эВ, добротность достигала 25, а у шариков добротность колебаний не превышала 10.

Столь существенное влияние формы металлических наночастиц на добротность плазменных колебаний в них объясняется здесь связью механизма нерадиационного затухания плазменных колебаний с их частотой. Затухание плазменных колебаний происходит, кроме прочего, из-за генерации электронно-дырочных пар электрическим полем коллективных колебаний. В серебре видимое излучение вызывает как внутризонные движения, так и межзонные электронные переходы. Причем для перехода из заполненной 4б/-зоны в незаполненную 55 нужна энергия фотона больше 1.8 эВ. Следовательно, межзонный переход не происходит и не вносит вклада в затухание плазменных колебаний, если энергия их кванта ниже указанного значения. Этим и объясняется узость резонансов в спектре рассеяния света в низкочастотной области. Отмечается, что у золотых шариков малого размера (<10 нм) высокие значения добротности (до 23) объясняются отсутствием в золоте межзонных переходов на резонансных частотах наночастиц.

Формой частиц определяются не только их спектральные оптические характеристики, но и электрические поля около них, что важно для целей применения металлических наночастиц в качестве усиливающих действие света элементов. Рекордное усиление света было достигнуто в работе [13]. Объектами исследования были шарообразные и стержневидные наночастицы золота, полученные посредством электролитического метода. Диаметр первых был 35 нм, длина вторых не превышала 20 нм при контролируемых отношениях длины к толщине 2.0, 2.6, 3.3, 4.3 и 5.4. В спектрах экстинкции у шаров плазменный резонанс был на длине волны ~ 520 нм, а у стержней наблюдались два резонанса: коротковолновый - около 520 нм, соответствующий поперечной моде, и длинноволновый - от продольных колебаний, смещающийся от 600 до 810 нм прямо пропорционально удлинению стержня. Исследовалась люминесценция частиц в области длин волн 550-590 нм, вызываемая действием света с длиной волны 480 нм, находящейся в области коротковолнового резонанса.

В случае шаровых частиц люминесценция оказалось неизмеримо слабой, а для стержней квантовый выход люминесценции составил 10-3-10-4, что на 6-7 порядков больше, чем наблюдаемая люминесценция с поверхности массивного металла. Спектры люминесценции стержней имеют максимум, смещающийся от 548 до 588 нм прямо пропорционально длине стержня при неизменной толщине. Существенно, что положение области люминесценции находится около коротковолнового резонанса в спектре экстинкции.

Наблюдавшиеся явления объясняются усилением действия светового поля на частицы. Усиление поля у шариков мало из-за сильного радиационного затухания, характерного для больших по размеру частиц. Стержни имеют малый объем и поэтому для них радиационная релаксация незначительна. Попадание частот падающего и излучаемого света в область плазменного резонанса вызывает двойной эффект усиления фотолюминесценции. Кроме этого, удлиненная форма частиц обеспечивает эффект “громоотвода”: большие напряженности поля наблюдаются около торцов. Указанные факторы усиления проявляются в зависимостях измеренных величин от длины стержня. Совокупность этих усиливающих действий для стержневидных наночастиц дает рекордное увеличение квантового выхода фотолюминесценции, которое, как и фотолюминесценция массивного золота, связывается, во-первых, с образованием дырок в (7-зоне при возбуждении межзонных d —> ^-электронных переходов и, во-вторых, с последующей излучательной рекомбинацией дырок с 5-электронами из зоны проводимости.

Эффект “громоотвода”, то есть влияние заостренностей на поверхности металлических наночастиц на их оптические свойства и локальное усиление напряженности электрического поля вблизи острий, исследовался теоретически в работе [14]. В двумерной геометрии рассчитано рассеяние света на серебряных проволоках в зависимости от поляризации, длины волны (в диапазоне 300-600 нм) и направления падения излучения, а также от формы и величины поперечного сечения проволоки (в диапазоне 10-100 нм). Электрический вектор падающего света считался направленным перпендикулярно к оси проволоки, а вектор магнитного поля - вдоль нее. Результаты получены для сечений, имеющих вид прямоугольных треугольников с радиусами скругления углов 0.25 нм. Были обнаружены множественные острые резонансы в спектрах рассеяния. Характер и положение резонансов зависели сложным образом от направления падения света, размера и вида треугольного сечения. При этом сечения рассеяния на резонансных частотах сравнивались с геометрическими сечениями, а усиление поля рассеиваемого света достигало около граней призм нескольких сотен (~ 400).

Контролировать острые выступы и резкие изломы на поверхности наночастиц практически трудно. Конечно, грани нанокристаллов могут быть достаточно острыми для обеспечения значительного усиления поля, но острые грани металлических наночастиц термодинамически неравновесны.

Эффекты значительного усиления поля наблюдаются при агрегации металлических наночастиц. В связи с тем, что рекордное, ~ 1014-1015, усиление

в гигантском комбинационном рассеянии света молекулами, адсорбированными на частицах коллоида серебра, наблюдалось [15] только при высокой концентрации наночастиц, был поставлен вопрос о роли агрегации частиц в усилении поля. Можно указать на две причины возрастания усиления поля при агрегации частиц. Первая, связана с образованием удлиненных структур, которые могут иметь свойства громоотвода и антенны для излучаемого рассеянного поля. Второй фактор связан с усилением поля в промежутке между близко расположенными металлическими наночастицами.

В промежутке между двумя шаровыми частицами, находящимися в электрическом поле Eq, направленном по оси симметрии, напряженность поля возрастает до

D d

£in ~ Eq —— ,d

если диаметры частиц (D) много больше наименьшего расстояния между их поверхностями (б/). Соответствующее этому эффекту усиление гигантского комбинационного рассеяния будет порядка (D/d)^ » 1 .

В теоретической работе [16] оценено предельно возможное усиление гигантского комбинационного рассеяния света молекулами, находящимися между частицами серебра и золота, в зависимости от формы частиц. Так, межчастичные промежутки в форме щели могут обеспечить усиление ~ 107, выступы и острия на поверхности - до ~ 10й, а гладкие поверхности ~ 108. Поэтому рекордное усиление (~ 1014-1015 ) в комбинационном рассеянии не может объясняться только эффектами формы частиц в области их сближений.

В работе [17] исследовано комбинационное рассеяние света молекулами ДНК в коллоидных растворах Ag. Сечение нерезонансного комбинационного рассеяния в ближнем ИК диапазоне достигало величины ~ 10-16 см2 на одну молекулу и не зависело от размеров кластеров, которые образуются из наночастиц в растворе (в диапазоне размеров 0.1-20 мкм). Результаты объяснены усилением поля в областях между металлическими наночастицами, образующими кластер.

Усиление гигантского комбинационного рассеяния ~ 103 наблюдалось [18] на отдельных частицах серебра с диаметром ~ 60 нм. Возбуждающее ИК излучение не попадало в резонанс с плазменной частотой частиц. Однако при агрегации этих частиц в кластер размером 250 нм или больше усиление достигало ~ 1014. Это явление объяснено тем, что возбуждалась коллективная плазменная мода агрегата, при том, что частота этой моды не резонансна ни плазменной моде изолированных частиц серебра, ни комбинационно рассеивающим свет адсорбированным молекулам.

В работе [19] утверждается, что необходимо сближение, как минимум, двух частиц для больших эффектов усиления в гигантском комбинационном рассеянии света молекулами, адсорбированными на поверхности металлических наночастиц. Обнаруженная сверхлинейная зависимость интенсивности гигантского комбинационного рассеяния от интенсивности возбуждения связывается с молекулами, “зажатыми” между двумя наночастицами.

В работе [20] исследовалось возбуждение комбинационного рассеяния света молекулами гемоглобина (НЬ) в растворе с коллоидом серебряных частиц размером ~ 100 нм. Наблюдавшееся увеличение до ~ 1010 сечения комбинационного рассеяния в присутствии частиц объяснялось усилением вблизи них поля возбуждающего излучения (длина волны 514.5 нм). С помощью сканирующего микроскопа посредством метода спектроскопии одиночных молекул установлено, что наибольшее усиление достигается в димерах частиц Ag, между которыми находится молекула НЬ, когда электрическое поле возбуждения направлено вдоль оси димера. Интенсивность свечения молекул около одиночных частиц примерно на 4 порядка слабее, чем максимальная интенсивность свечения молекул, зажатых между частицами димера. В то же время, если молекула НЬ находилась между частицами димера, но плоскость поляризации возбуждающего поля была перпендикулярна к оси димера, то никакого усиления не обнаруживалось.

Вид поля около фрактальных кластеров и их оптические спектры исследовались в работе [21]. Регистрацией ближнего поля около кластера и расчетами установлено, что у кластера имеется множество резонансных частот, причем основной резонанс связан с индивидуальным резонансом металлических наночастиц, составляющих кластер. При действии света на основной резонансной частоте поле около кластера оказывается сильно неоднородным, а именно, вблизи кластера обнаруживаются области повышенных напряженностей поля - так называемые “горячие пятна”. Результаты исследования показывают возможность усиления локальным полем гигантского комбинационного рассеяния в ~ 1010 раз.

Действие окружения на резонансы металлических наночастиц

Интерес к влиянию окружения на оптические свойства металлических наночастиц объясняется как потребностями изучения физики контактов частиц со средами, так и возможностью применения “эффекта присутствия” в элементах сенсорных устройств.

Окружение металлических наночастиц действует на их плазменные колебания по двум причинам. Первая, электродинамическая, обусловлена поляризацией полем частиц прилегающих к ним сред. Величина этого действия, “смягчающего жесткость осцилляций”, определяется диэлектрической проницаемостью и геометрией как наночастиц, так и их окружения. Электродинамическое действие вызывает “красное смещение” плазменного резонанса, оценить которое можно из выражения (5.1), для случая шаровой металлической наночастицы в диэлектрической среде. Величина относительного смещения в красную сторону резонансной длины волны (J*) определяется в модели Друде (без учета вклада релаксации) выражением

Л = V(2eo + D/3 - 1 ,

где Ео = es(w*) - ^о* Практически это выражение хорошо аппроксимируется зависимостью zl* = (ио - 1)/3. При произвольных форме частиц и геометрии прилежащих к ним сред характер зависимости Zk(no) неизвестен.

Вторая причина влияния прилегающей среды связана с релаксацией плазменных колебаний на контакте металлических наночастиц со средой. Как известно [22], в отражении света от границ металлов и диэлектриков экспериментально обнаруживаются заметные несоответствия формулам Френеля, что указывает на недостаточность диэлектрического формализма для описания поля около резких границ раздела сред.

На оптические свойства металлических наночастиц может заметно повлиять адсорбция на них молекул. Так, в частности, в [23] указывалось, что наблюдавшееся в экспериментах уширение резонансов наночастиц в “реактивных” матрицах можно объяснить возрастанием релаксации электронного возбуждения, связанным с переносом заряда на границе сред.

Электродинамические эффекты

Влияние диэлектрических сред на оптические свойства находящихся в них металлических наночастиц обнаружено давно. Трудность исследования этого эффекта для наночастиц, находящихся на подложках, связана с общей проблемой контроля за формой контакта частиц с подложкой.

Электродинамическое действие среды на оптические свойства металлических наночастиц разной формы исследовалось в работе [24]. В диапазоне длин волн 450-750 нм определялись спектры экстинкции серебряных наночастиц, упорядоченно расположенных на различных прозрачных подложках (плавленый кварц, боросиликатные стекла, слюда и специальные сильнопре- ломляющие стекла). Специально разработанный метод создания ансамблей металлических частиц состоял в вакуумном осаждении металла через маску, образованную самоорганизованной решеткой из калиброванных диэлектрических наносфер. Образовывались частицы двух видов: эллипсоидальные и в виде усеченного тетраэдра. Размеры частиц доходили до 100 нм. Определялся вид спектра и смещение его максимума в зависимости от показателя преломления подложки при разных размерах частиц. Обнаружилось, что влияние подложки на спектры экстинкции эллипсоидальных частиц выражено заметно слабее, чем в случае тетраидальных частиц. Причем чем меньше была их высота, тем сильнее был эффект подложки. На основании анализа данных измерений сделан вывод, что возможна ситуация, когда сдвиг резонансной длины волны на 1 нм будет вызываться изменением показателя преломления на 0.005. Рисунок 5.2 показывает зависимость относительного сдвига резонанса у частиц с формой усеченного тетраэдра при размере основания более 100 нм и высоте 25 нм. Отметим, что теоретические результаты, полученные численно, основаны на решеточной модели поляризуемых сред. Видно, что расчет по методу дискретной дипольной аппроксимации (DDA) дает завышенные значения красного сдвига. Тем не менее, удивление вызывает то, что полученная зависимость Э*(ио) линейная, как предсказывает простая теория,

Рис. 5.2. Смещение максимума спектра экстинкции света наночастицами серебра на подложках с разными показателями преломления

при том что в исследовавшихся больших частицах сложной формы спектры поглощения излучения определяются вкладами мультипольных резонансов.

Работа [25] является продолжением и развитием предыдущей. В ней определена величина удельного красного сдвига резонанса, равная для усеченного тетраэдра 87 нм на единицу изменения показателя преломления подложки. Отмечено, что это значение вдвое меньше предсказываемого теорией. С целью выяснения влияния эффекта “глубины погружения” частицы в среду были измерены смещения максимумов спектров экстинкции частиц разных размеров, помещенных в среду. Удельное смещение резонансов ранее исследованных металлических наночастиц варьировалось от минимального значения 206 нм (для слюды) до максимального 256 нм (для спецстекол) на единицу изменения показателя преломления. В случае погружения в отличие от случая нахождения наночастиц на подложке теоретические результаты согласуются с экспериментом, что указывает на влияние состояния поверхности частиц в местах их контакта со средой. В частности, предполагается, что частицы серебра вне контакта их с подложкой покрыты оксидами, и это влияет на положение плазменного резонанса.

Результаты исследования этих же проблем для малых (2.0 ±0.5 нм) частиц серебра изложены в кратком обзоре [26]. Для частиц серебра, образовавшихся в потоке атомов в атмосферах разных инертных газов (Аг, Кг, Хе), были определены спектры экстинкции. Положения максимумов в спектрах зависели от режимов получения частиц. Это позволяло оценить их размеры по смещениям спектральных максимумов. Так было установлено, что вариация размера частиц не превышает 30%. Обнаруженные резонансы оказались неожиданно

узкими. Их добротность превосходила 10. Получаемые частицы осаждались на подложки SiO2 и СГ2О3 и затем определялись спектры экстинкции покрытий. При изменении температуры подложек наблюдалось смещение максимумов резонансных полос, что было объяснено изменениями формы кластеров на подложке и размером контактной области. Зависимость указанного смещения от температуры подложки для шаровидных кластеров диаметром 2 нм на поверхности SiO2 показана на рисунке 5.3.

Рис. 5.3. Положение максимума в спектре экстинкции шарообразных частиц серебра с диаметром 2 нм, осажденных на кварцевую подложку при 160 К с последующим нагревом подложки до 300 К. Сверху изображены предполагаемая форма частиц при низкой и высокой температурах.

Из полученных зависимостей оценены максимальные площади плоских контактов: ~ 0.5 нм2 для SiO2 и ~ 0.1 нм2 для СГ2О3.

Контактные эффекты

Как отмечалось выше, в резонансных свойствах серебряных кластеров малого размера заметно проявляются поверхностные эффекты, гибридизация электронных состояний и межзонные 4d - 5 ^-переходы. В обсуждавшейся выше работе [26] исследованы поверхностные эффекты у частиц, погруженных в диэлектрические матрицы. На осажденные на поверхности частицы напылялись диэлектрические материалы. В полученных таким образом средах около частиц стехиометрические соотношения отличались от соответствующих в кристаллических материалах. Были определены спектры экстинкции частиц серебра в разных матрицах. Положение максимума в этих спектрах

Оптические резонансные свойства металлических наночастиц 285 зависело от диэлектрической проницаемости среды, что показано на рисунке 5.4.

2468Ю

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ МАТРИЦЫ

Рис. 5.4. Положение максимума спектра экстинкции наночастиц серебра в зависимости от диэлектрической проницаемости матрицы, в которой они находятся. Линия - расчет по теории Ми, точки - данные эксперимента для: 1 - вакуума, 2 - CaFx, 3 - LiF^, 4 - MgF2_x, 5 - SiO^, 6 - SrTiOx, 7 - SbO^, 8 - CrO^, 9 - SiO^, 10 - Si(+Ox)

Обнаруженное здесь смещение частот плазменных колебаний в металлических наночастицах, обусловлено, как отмечалось выше, поляризацией подложки и поверхностными эффектами. Результат расчета по теории Ми первого вклада в смещение резонанса представлен на рис. 5.4 пунктирной линией. Отклонение экспериментальных данных от этой линии объясняется проявлением контактных эффектов, которые вызваны изменением распределения плотности зарядов на границе металл—диэлектрик. Из анализа деформации спектров экстинкции матриц с металлическими наночастицами сделан вывод о существовании статического и динамического переносов зарядов на границе металлическая наночастица—диэлектрик.

Эти поверхностные эффекты детально рассмотрены в работе [27]. Поверхностные эффекты проявляются заметным образом в зависимостях спектральных свойств малых (R<10 нм) металлических наночастиц от их размера R. Природа таких зависимостей объясняется влиянием свойств границы металл—диэлектрик на движение электронов в наночастицах. В частности, характер рассеяния электронов на этой границе влияет на релаксацию плазменных колебаний в металлических наночастицах.

Зависимость скорости релаксации плазменных колебаний от размера наночастиц хорошо описывается феноменологической формулой

AvУ = Уо + — ,

где первое слагаемое определяет вклад объемных процессов релаксации, а второе определяется частотой соударений электронов с поверхностью. Если v - скорость электронов на поверхности Ферми, то А % 1/4 при условии, что частица граничит с вакуумом. Если металлическая наночастица граничит со средой, то считается, что А = Ag + Ат, где первое слагаемое не зависит от свойств окружающей среды, а второе определяется окружением.

Особое внимание уделено ситуации, когда окружающая среда представляет собой адсорбированные на поверхности металлических наночастиц атомы или молекулы. В этом случае, согласно идеям Персона [23], на оптические свойства наночастиц существенное влияние оказывает перенос заряда на их границе. Различают статический и динамический переносы. В последнем случае на границе происходит перенос не только заряда, но и энергии возбуждения электронов.

В обсуждаемой работе утверждается, что на эффективность указанных переносов влияют в значительной степени диэлектрические свойства металлических наночастиц, определяемые вкладом заполненных зон и межзонных переходов. Процессы переноса могут приводить как к увеличению, так и к уменьшению величины Ат и соответственно к уширению или сужению резонансов Ми. В частности, межзонные переходы в серебре должны обусловливать уменьшение параметра Ат.

Нелинейные оптические свойства металлических наночастиц

Интерес к нелинейным оптическим процессам с участием металлических наночастиц вызван рядом причин. Во-первых, в нелинейных оптических явлениях контрастнее проявляются резонансные свойства наночастиц и усиление действия поля около них, что может найти практическое применение. Во- вторых, методы нелинейной оптики являются эффективным средством изучения физических процессов и параметров нанообъектов.

В классической работе [28] отмечалось, что нелинейные восприимчивости у металлов должны быть на 6-10 порядков меньше, чем у диэлектриков, а генерация второй гармоники на поверхности металлов в большей степени связана не со свободными носителями, а с ионной структурой поверхностей. Большие значения нелинейных восприимчивостей могут быть связаны с диэлектрическими свойствами материала металлических наночастиц, определяемыми не свободными носителями, а электронами остова. Это обусловливает интерес к нелинейным оптическим явлениям, так как они позволяют исследовать малоизученный вопрос строения остова металлических наночастиц и их контакта с диэлектрическими подложками.

Генерация высших гармоник

Вторая гармоника в металлической наночастице генерируется на ее поверхности, где нарушена изотропия поляризуемости [29]. Фазы гармоник определяются местом на поверхности, где они генерируются. На противоположных сторонах частицы поляризации оказываются в противофазах. Поэтому интерференция может погасить излучение на удвоенной частоте, если частица имеет центр симметрии, а размер ее меньше длины волны [30].

На эффективность излучения металлическими наночастицами второй гармоники должна существенно влиять подложка. Тому есть две причины. Во- первых, в области контакта частиц с подложкой нелинейная поляризуемость должна отличаться от соответствующей поляризуемости на границе поверхности с вакуумом. Поэтому наличие подложки должно ослаблять подавление излучения второй гармоники, которое вызывается интерференцией с излучением с противоположных сторон поверхности наночастицы. Во-вторых, как отмечалось, нелинейные восприимчивости в диэлектрических средах могут быть на много порядков больше, чем в металлах. Если диэлектрик подложки поляризуется на удвоенной частоте, то генерируемое в подложке излучение должно быть существенно сильнее, чем с поверхности металлической наночастицы, так как область диэлектрика, в которой полем частицы генерируется вторая гармоника, значительно больше излучающей вторую гармонику области поверхности наночастицы.

Оптические комбинационные процессы

Несмотря на то что именно комбинационное рассеяние света на молекулах, адсорбированных на поверхности металлических наночастиц, явилось поводом для возрождения интереса к оптическим свойствам этих наночастиц и вызвало лавину дальнейших исследований [31], работ, в которых исследуются оптические комбинационные процессы в самих частицах, а не в адсорбированных на них молекулах, крайне мало. Неупругое рассеяние света на металлических наночастицах наблюдалось в работе [32]. Объектом исследования были частицы серебра с диаметрами от 3.1 до 7.1 нм, содержащие от 700 до 3000 атомов, которые находились в созданной напылением пленке окиси алюминия с толщиной 250 нм. Регистрировался спектр рассеянного света в окрестности частоты падающего излучения, которое перестраивалось в области резонанса (~420 нм) плазменных дипольных колебаний. На расстоянии ±10 см-1 от частоты падающего света обнаружены резонансные полосы, происхождение которых объяснено комбинационным рассеянием света на механических деформационных колебаниях наночастиц. Это подтверждается зависимостью (рис. 5.5) смещений частоты J от диаметра частиц D; J ~ s/D, где s - скорость звука в металлическом серебре.

Ширины полос спектров комбинационного рассеяния получились такого же порядка, как и их смещения. Форма и ширина полос считаются связанными с неоднородностью по размерам и формам частиц. Именно этой неод-

1/D, нм1

Рис. 5.5. Смещение максимума спектра возбуждения резонансного комбинационного рассеяния в зависимости от обратного диаметра частиц.

нородностью объясняется и наблюдавшаяся зависимость сдвига максимума спектра комбинационного рассеяния от частоты падающего света: с уменьшением частоты происходит “покраснение” сдвига. Такое возможно при неупругом рассеянии света на эллипсоидальных частицах, для которых понижение частот плазменных и механических деформационных колебаний взаимосвязаны.

Неоднородные системы металлических наночастиц

Гранулированные или островковые пленки являются неоднородными системами металлических наночастиц. Неоднородностью - неотъемлемым свойством этих систем - оплачивается относительная простота изготовления таких пленок.

Определение структуры субмикронных островковых пленок возможно при использовании электронной, ближнепольной или атомно-силовой микроскопии. Эта довольно сложная техника применима далеко не всегда, зачастую измерение структурных параметров пленки с помощью этой техники возможно только при размещении микроскопов непосредственно в вакуумной напылительной камере. Еще более сложной представляется задача контроля за изменениями характеристик пленок в таких случаях.

Структурные параметры неоднородных систем

В работе [33] предложен оптический метод определения субмикронных параметров островковых пленок. Метод основан на изучении флуктуаций интенсивности отраженного или прошедшего лазерного луча, фокус которого сканируется по пленке. Идея метода состоит в том, что эти флуктуации определяются двумя характеристиками: числом островков, попадающих в луч, и их сечениями рассеяния или поглощения - величинами, определяемыми размерами островков. Если островки расположены случайным образом, то можно выразить распределение по размерам островков через распределение флуктуаций интенсивности рассеянного или поглощенного света. В принципе возможно полное решение задачи восстановления статистики распределения островков по размерам из данных измерений. Однако такое полное восстановление осуществимо только для очень небольших размеров луча или не очень плотной пленки, когда в область освещения попадает лишь небольшое число островков. Если эти условия не выполнены, то можно определить только такие характеристики, как средняя концентрация и средний размер островков.

В эксперименте сканирование луча по поверхности пленки получалось посредством вращения подложки таким образом, чтобы ее плоскость оставалась перпендикулярной к падающему лучу. Отраженная назад от пленки модулированная случайным образом по интенсивности часть излучения подвергалась статистической обработке. Каждый цикл измерений давал 25000 значений коэффициента отражения.

По предложенному методу были определены средняя концентрация и средний размер островков напыленной в вакууме пленки натрия на сапфире. Для контроля метода то же самое было сделано для островковой пленки индия с известным из электронной микроскопии строением.

Из полученных для каждой пленки 25000 значений интенсивности отраженного света численно определялись плотности вероятности распределения интенсивностей, которые хорошо аппроксимировались гауссовым законом (рис. 5.6).

Из статистического анализа корреляций отраженного и прошедшего излучений были определены концентрация и средняя поляризуемость островков в пленке индия. Эти величины дают при известной диэлектрической проницаемости индия средний размер островков. Его значение, полученное посредством оптического метода, согласуется с видимым в электронном микроскопе средним размером островков ~ 60 нм по порядку величины. Различия в данных прямых измерений параметров пленки с помощью электронной микроскопии и полученных посредством оптического метода, могут быть объяснены сложностью и разнообразием форм островков.

Недоступные для электронной микроскопии пленки Na на сапфире исследовались с помощью оптического метода при разных толщинах. Коэффициенты отражения от исследуемых пленок не превосходили 20%, а относительные флуктуации коэффициента отражения были менее 1%. Из анализа статисти-

Рис. 5.6. Зависимость плотности распределения числа реализаций от отклонения отраженного сигнала R от его среднего значения <R> для пленки индия, кружки - экспериментальные значения, сплошная линия - гауссово распределение.

ки флуктуаций отражения и прохождения были определены средний диаметр кластеров (85 нм) и среднее их число в фокальном пятне (от 40 до 400 в зависимости от толщины пленки).

Действие оптического излучения на структуру неоднородных систем металлических наночастиц имеет как академический, так и прикладной интерес. Кроме теплового действия света на островки, возможна и фотодесорбция с поверхности металла собственных атомов. Так как механизмы теплового действия и фотоэмиссии атомов разные по природе, то они могут по-разному менять структурные параметры неоднородных систем металлических наночастиц. Выяснению этой возможности посвящена работа [34].

Исследование структурных изменений островковых пленок Na, вызванных нагревом и облучением, проводилось с использованием разработанного в [33] метода флуктуационной спектроскопии. Сфокусированное пятно на пленке Na имело диаметр 5 мкм. При вращении кварцевой подложки с пленкой световое пятно сканировалось по ней таким образом, чтобы луч оставался перпендикулярным к поверхности. Отраженная от пленки и прошедшая через нее модулированные по интенсивности части излучения регистрировались двумя фотодиодами. Полученные сигналы флуктуаций отражения и пропускания усиливались и подавались на вход аналогового измерителя корреляционных функций. Чувствительность установки была настолько велика, что с ее помощью легко регистрировались субмикронные неоднородности поверхности полированного кварца (шестой класс чистоты), хотя флуктуации рассеяния и прохождения света через кварц были существенно меньше

аналогичных для металлической пленки. По оценке, число частиц, попадающих в фокальное пятно с диаметром 5 мкм составляло от 1000 до 10000. При этом размеры островков изменялись от 10 до 30 нм.

На основании модели испарения островков был определен временной ход различных моментов функции распределения частиц по размерам. На рис. 5.7 показана кинетика уменьшения среднего квадрата объема частицы, определенная по двум методикам.

время испарения, мин

Рис. 5.7. Изменение со временем произведения среднего квадрата объема островков на среднее число островков в пятне. Близость результатов, полученных по разным методикам, служит свидетельством в пользу механизма испарения атомов с поверхности частицы.

Цель эксперимента заключалась в выявлении изменений структурных параметров островковых пленок под действием термического нагрева подложки и оптического воздействия на металлические островки. В связи с этим оптические параметры исследуемой пленки измерялись в ряде циклов последовательного нагрева подложки с пленкой до 60° С в течение 1-2 минут или воздействия на нее в течение 10-15 минут мощного сфокусированного непрерывного излучения ксеноновой лампы ДКСШ-100, монохроматизированного с помощью светофильтров. Каждый цикл состоял из 8-15 воздействий на пленку и регистрации изменений ее оптических параметров, вызванных нагревом подложки и действием светового облучения. Полученные результаты измерений приведены на рис. 5.8.

Зависимость а на рис. 5.8 показывает действие нагрева подложки на структурные параметры пленки. Ясно видно, что по мере испарения пленки размер и концентрация островков монотонно и пропорционально друг другу

Рис. 5.8. Зависимости произведения среднего квадрата объема островков на среднее число островков, попадающих в фокальное пятно, от произведения среднего объема островка на среднее число островков, попадающих в фокальное пятно, в трех процессах испарения пленки: а - нагрев подложки на 40 К, б - освещение широкополосным излучением, в - освещение длинноволновым излучением.

уменьшаются. Некоторые отличия от прямой пропорциональности наблюдаются лишь в конце испарения, когда пленка становится очень тонкой, где, возможно, меняется и дисперсия размеров островков. Зависимости б и в на рис. 5.8 показывают действие на пленку оптического излучения различного спектрального состава, причем первая зависимость получена при действии излучения в области 400-700 нм, а вторая зависимость - при действии красного света с длиной волны, большей 700 нм. Зависимости а и б на рис. 5.8 схожи между собой и отличаются от зависимости в, где при некотором значении первого момента распределения наблюдается резкое уменьшение второго момента. Так как второй момент содержит вклад от дисперсии распределения частиц по размерам, то его уменьшение при почти неизменной средней плотности пленки можно интерпретировать как уменьшение флуктуаций размеров островков, то есть под действием длинноволнового излучения испаряющаяся пленка становится гораздо более однородной.

Различие в действии излучения разного спектрального состава и нагрева подложки объясняется следующим образом. Действие света не связано с его тепловым эффектом, так как, по оценкам, нагрев островковой пленки при облучении не превышает 1 К, что не может привести к заметным изменениям в структуре пленки. В экспериментах по термическому воздействию на подложку сравнимые изменения в структуре пленки наступают лишь при нагреве на 40 К.

Единственным эффективным нетепловым механизмом испарения светом металлических островков может быть только фотоатомная эмиссия, квантовый выход которой порядка 10-6. Так как при фотоатомной эмиссии и нагреве подложки кинетика уменьшения островков одинаковая (в обоих случаях атомы испаряются в вакуум с поверхности островка), то обнаруженное различие действия света разного спектрального состава на пленку можно связать только с различием этого действия на островки разной формы.

При резонансе частоты излучения с частотой плазменных колебаний островка действующее на его поверхности поле усиливается, что усиливает и эффективность фотоатомной эмиссии. Частоты плазменных мод зависят от формы островка, причем у сильно вытянутых и сплющенных островков есть мода, значительно смещенная в красную сторону от соответствующей частоты шарообразного островка.

Обнаруженную селективность действия длинноволнового излучения можно связать с сильно деформированными островками. Резонансное воздействие на них вызывает заметное изменение формы у сильно деформированных островков благодаря наибольшему усилению светового поля на заостренностях формы, где ускоренная фотоатомная эмиссия вызывает сглаживание и уменьшение деформации. В результате этого уменьшается дисперсия распределения островков по форме, что и обнаруживается в эксперименте как заметное изменение величины mv^ при малых изменениях объема основной массы островков. Широкополосное оптическое излучение, действующее на островки различной формы одинаковым образом, селектирующими свойствами не обладает и действует примерно так же, как и нагрев подложки.

Измерение релаксационных параметров индивидуальных резонансов в неоднородных системах

Линейная спектроскопия широко используется для определения характеристик металлических наночастиц. Громадный объем информации о структуре и динамике свободных, взвешенных и осажденных на поверхность наночастиц был получен путем исследования их спектров экстинкции. В то же время линейная спектроскопия не может быть использована для однозначного определения такого важного параметра, как время дефазировки плазмонного резонанса. Дело в том, что неоднородное уширение вносит неконтролируемый вклад в спектральную ширину резонанса. Таким образом, по ширине спектров поглощения можно определить лишь нижнюю границу времени жизни плазмона, которая при значительном неоднородном уширении, характерном для большинства методов приготовления металлических наночастиц, оказывается, по сути, бесполезной. Несколько лет назад появились работы, в которых для однозначного определения времени жизни плазмона предлагалось использовать автокорреляционную методику, основанную на генерации второй и третьей гармоник падающего на кластеры излучения. При этом считалось, что подобные измерения, выполненные с интерференционной точностью при использовании фемтосекундных лазерных импульсов, дают воз-

можность непосредственно измерить время жизни плазмона по увеличению ширины автокорреляционной функции второй гармоники, полученной от кластеров, по сравнению с длительностью импульса, определенной из подобного же эксперимента с нелинейным кристаллом, отклик которого можно считать мгновенным [35, 36]. Однако непосредственный расчет автокорреляционной функции излучения второй гармоники [37] показал, что неоднородное уширение существенно сказывается и на этом методе измерения времени жизни плазмона. Более того, между линейными спектрами поглощения и автокорреляционными функциями второй и третьей гармоник при произвольном неоднородном распределении резонансных частот имеется интегральное соотношение, в принципе позволяющее рассчитать одну характеристику через другую [38].

Влияние неоднородного уширения на достоверность результатов измерения времени дефазировки поверхностного плазмона по автокорреляционной методике

Линейная спектроскопия состоит в измерении спектра экстинкции, который в случае малых металлических частиц определяется поглощением в них падающего излучения. Моделируя резонансные оптические свойства плазмона с помощью классического гармонического осциллятора, имеющего собственную частоту Q и постоянную затухания Г, запишем уравнение движения коллективной координаты х в виде

х + 2Гх + О^х = /(О ехр(-тя) ,(5.2)

где cd - частота падающего излучения, a f(t) пропорциональна его амплитуде. Безразмерная постоянная, связывающая f(t) и амплитуду поля, обычно записывается в виде е/т, где е - заряд, ат- масса электрона. Коллективные колебания, описываемые уравнением (5.2), можно представить себе как смещение центра масс всех электронов относительно однородного положительно заряженного фона, представляющего собой покоящиеся атомные остатки металлической частицы. Установившееся решение уравнения (5.2) при /(0 = const, имеет вид т = то ехр(-тЯ), где амплитуда колебаний хо представляется в виде

= м

Х° Q2 - cd2 - HcdP *

Когда частота падающего излучения cd приближается к собственной частоте локализованного плазмона Q , а именно, если выполнено неравенство

|ба-^|«^,(5.4)

наблюдается хорошо известный резонанс в сечении поглощения, если, конечно, ширина резонанса много меньше резонансной частоты, то есть

В окрестности резонанса, когда выполнены оба неравенства (5.4) и (5.5), выражение (5.3) можно упростить

Выражение (5.6) можно вывести непосредственно из упрощенного варианта уравнения движения, справедливого в окрестности резонанса:

(5.7)(5.7)х + (iQ + Г)х = У (Г) exp(-icot) ,

(5.7)

(5.7)

где /(0 = if(t)l2Q. Для справедливости (5.7) необходимо не только, чтобы выполнялись неравенства (5.4) и (5.5), но и чтобы /У) изменялась не слишком быстро. Более точно, для лазерного импульса с длительностью т должно выполняться следующее неравенство:

сот » 1 ,

означающее, что импульс должен состоять из достаточно большого числа оптических периодов.

(5.8)(5.8)Решение (5.6), полученное для случая, когда /(О постоянно, остается справедливым и при изменяющемся /У), если только изменение происходит достаточно медленно. В этом случае можно говорить о мгновенном следовании амплитуды колебаний за амплитудой действующего поля. Отклонение от мгновенного следования, которое становится заметным при более быстром изменении амплитуды действующего поля, можно оценить величиной относительной ошибки, составляющей

(5.8)

(5.8)

тшах{Г, |Q - 6j|} '

Таким образом, существует широкий интервал длительностей импульсов (2&)"1 « т < Г"1 ,

в котором уравнение (5.7) справедливо, но для описания поведения системы при резонансном возбуждении нельзя ограничиться установившимся решением (5.6).

Идея автокорреляционных измерений времени дефазировки плазмонных колебаний в металлических наночастицах [35, 36] основана на оценке (5.8). Если считать, что время дефазировки составляет примерно 10 фс, то при использовании лазерных импульсов с длительностью около 50 фс, настроенных в резонанс с плазмоном, можно ожидать относительного отклонения от мгновенного следования, составляющего до 20%, то есть легко измеримую величину. Анализ автокорреляционной методики, проведенный в [37], основан на решении уравнения (5.7), дополненного нелинейным членом ах2,

который описывает слабый ангармонизм коллективных колебаний. Предполагается, что постоянная а достаточно мала, чтобы нелинейный член, описывающий генерацию второй гармоники, можно было учесть по теории возмущений следующим образом. Сперва решается уравнение (5.7) без возмущающего члена, и его решение подставляется в ах2. Затем это же уравнение решается вновь с вычисленным уже ангармоническим членом в качестве вынуждающей силы. Поскольку фундаментальная частота падающего поля и его вторая гармоника не могут одновременно быть в резонансе с плазмонным колебанием, представляют интерес два случая, когда к собственной частоте плазмонных колебаний близка либо частота падающего поля, либо частота второй гармоники. Для нерезонансной частоты отклик системы можно считать мгновенным, в то время как при резонансном возбуждении необходимо пользоваться переходным решением уравнения (5.7).

При автокорреляционных измерениях на систему последовательно действуют два одинаковых лазерных импульса, один из которых задержан относительно другого на время Т, которое можно изменять. Если через g(t) обозначить зависящую от времени амплитуду первого импульса, то амплитуду суперпозиции двух наложенных импульсов можно представить в виде

№ = g(f) + exp(jwT)g(t - Т) .

Если нелинейная среда, используемая для генерации второй гармоники, не имеет резонансов ни на частоте падающего поля, ни на частоте второй гармоники, то ее нелинейный отклик можно считать мгновенным. В этом случае амплитуда второй гармоники E(t) пропорциональна квадрату амплитуды падающей волны [/(О]2- Измеряемой в эксперименте величиной является автокорреляционная функция S(T\ описывающая зависимость интегральной интенсивности второй гармоники от времени задержки между импульсами Т,

S(t) = \E(t)\2dt .

Если задержка Т превышает длительность импульса т, то S (Т) сводится к сумме двух равных вкладов от каждого из импульсов. С другой стороны, при нулевой задержке амплитуда действующего поля увеличивается вдвое, а интенсивность второй гармоники увеличивается при этом в 16 раз по сравнению с интенсивностью, получаемой от одиночного импульса. Очевидно, что ширина автокорреляционной функции S (Т) служит хорошей мерой длительности импульса. На рис. 5.9 приведена нормированная теоретическая автокорреляционная функция и ее верхняя и нижняя огибающие. Расчет выполнен для гауссовых импульсов с временной зависимостью ехр(-^2/т2) при т = 26 фс. Оптическая частота соответствует длине волны А = 820 нм. Горизонтальная линия, проведенная на уровне 0.125, является асимптотой для всех трех кривых. Быстрые осцилляции S(T) обусловлены интерференцией между двумя импульсами.

Рис. 5.9. Нормированная теоретическая автокорреляционная функция и ее верхняя и нижняя огибающие построены для гауссовых импульсов с временной зависимостью ехр(-Е/т2) при т = 26 фс. Оптическая частота соответствует длине волны Л = 820 нм. Горизонтальная линия, проведенная на уровне 0.125, является асимптотой для обеих огибающих.Рис. 5.9. Нормированная теоретическая автокорреляционная функция и ее верхняя и нижняя огибающие построены для гауссовых импульсов с временной зависимостью ехр(-Е/т2) при т = 26 фс. Оптическая частота соответствует длине волны Л = 820 нм. Горизонтальная линия, проведенная на уровне 0.125, является асимптотой для обеих огибающих.

Рис. 5.9. Нормированная теоретическая автокорреляционная функция и ее верхняя и нижняя огибающие построены для гауссовых импульсов с временной зависимостью ехр(-Е/т2) при т = 26 фс. Оптическая частота соответствует длине волны Л = 820 нм. Горизонтальная линия, проведенная на уровне 0.125, является асимптотой для обеих огибающих.

Рис. 5.9. Нормированная теоретическая автокорреляционная функция и ее верхняя и нижняя огибающие построены для гауссовых импульсов с временной зависимостью ехр(-Е/т2) при т = 26 фс. Оптическая частота соответствует длине волны Л = 820 нм. Горизонтальная линия, проведенная на уровне 0.125, является асимптотой для обеих огибающих.

Если генерация второй гармоники происходит на металлических наночастицах, имеющих собственные частоты плазмонных колебаний, близкие к частоте падающего излучения, форма автокорреляционной функции изменяется. Для ее расчета необходимо воспользоваться решением уравнения (5.7), учитывающим неустановившиеся коллективные колебания электронов под действием фемтосекундного лазерного импульса. Это решение имеет вид

(5.9)(5.9)х(Г) = exp(-icL)t) ехр{-[Г + i(Q - 6j)]/}/(£ - t'^df •

(5.9)

(5.9)

о

Согласно выше сказанному, квадрат (5.9) следует подставить в уравнение (5.7) в качестве вынуждающей силы и решить его вновь. В этом, однако, нет необходимости, поскольку в данном случае вторая гармоника нерезонансна плазмонным колебаниям и отклик на нее можно считать мгновенным. Квадрат интеграла в (5.9) удобно переписать в виде повторного интеграла. Таким образом, амплитуда второй гармоники, генерируемой частицей с собственной частотой плазмонных колебаний Q, представляется в виде

E(t,Q) =E(t,Q) =expHr + zX^-^JsltZs ./ф-Урф/ф- оо

E(t,Q) =

E(t,Q) =

Влияние скорости дефазировки на автокорреляционную функцию можно увидеть следующим образом. Если скорость дефазировки велика по сравнению с обратной длительностью импульса, то внешнее интегрирование эффективно ограничено очень малыми значениями 5, что в свою очередь сводит внутренний интеграл к величине, очень близкой к [/(О]2, характерной для нерезонансного случая. Если же скорость дефазировки сравнима или меньше обратной длительности импульса, внешнее интегрирование в (5.10) захватывает достаточно большие значения 5, так что подынтегральная функция во внутреннем интеграле равна произведению амплитуд в два различных момента времени, а не квадрату амплитуды [/(О]2- Это приводит к лучшему перекрыванию, а следовательно, и к большим значениям автокорреляционной функции при временах задержки, превосходящих длительность лазерного импульса. Таким образом, автокорреляционная функция второй гармоники, полученной в резонансной среде, оказывается уширенной по сравнению с автокорреляционной функцией второй гармоники, генерированной в нерезонансной среде. На рис. 5.10 показана верхняя огибающая автокорреляционных функций при различных скоростях дефазировки, рассчитанных для случая, когда частота падающего излучения совпадает с частотой плазмонного резонанса в металлических наночастицах со = Q.

Рис. 5.10. Верхняя огибающая автокорреляционных функций, рассчитанных для случая, когда частота падающего излучения совпадает с частотой плазмонных резонансов в металлических наночастицах со - Q. Неоднородное уширение отсутствует, J = 0. Кривые соответствуют следующим значениям безразмерного параметра Гт: 0.6, 0.72, 1.2, 1.8, 2.4, 3.0, 3.6, 4.8, 6.0, 12.0. Нижняя кривая совпадает с автокорреляционной функцией лазерного импульса, которая может быть получена в нерезонансной нелинейной среде.

Подобным образом можно рассмотреть и тот случай, когда в резонанс с собственной частотой плазмонных колебаний попадает вторая гармоника падающего излучения. Поскольку падающее излучение при этом нерезонансно, отклик на него можно считать мгновенным. Амплитуда второй гармоники находится из решения уравнения (5.7) при подстановке в него [/(О]2 в качестве вынуждающей силы. В результате получаем

(5.11)(5.11)Е(г, £) = ехр{-[Г + 1ф - ^Jr'mCf - t'^dt' .

(5.11)

(5.11)

Влияние скорости дефазировки на уширение автокорреляционной функции качественно не отличается от обсужденного выше случая резонанса с частотой падающего поля.

Главной целью настоящих вычислений является выяснение влияния неоднородного уширения на автокорреляционную функцию. Предположим, что собственные частоты плазмонных колебаний в разных частицах распределены по гауссовому закону с дисперсией J вокруг центральной частоты Qq. Если амплитуду второй гармоники, генерируемой отдельной частицей с собственной частотой Q, обозначить E^t,Q\ то амплитуда поля, генерируемого всем ансамблем частиц,

Е(0 = —Е(Г, 12) ехрЛ утг JЕ(0 = —Е(Г, 12) ехрЛ утг J(Q - QqY(Q - QqYdQ .dQ .(5.12)(5.12)

Е(0 = —Е(Г, 12) ехрЛ утг J

Е(0 = —Е(Г, 12) ехрЛ утг J

(Q - QqY

(Q - QqY

dQ .

dQ .

(5.12)

(5.12)

Амплитуды полей, генерируемых отдельными частицами, складываются когерентно, как это предположено в (5.12), при регистрации второй гармоники в направлении вперед, а если частицы расположены на оптически гладкой плоской поверхности, то и в направлении зеркально отраженной волны. Если E{t,Q) в (5.12) заменить на (5.10) или (5.11), интегрирование можно выполнить аналитически. В случае резонанса с падающей волной получаем

В случае резонанса со второй гармоникой получаем

с ( ^^)

Е(0 = ехр <[Г + i(Q0 - 2ц;)]/ > [/(Г - f^df .

Внимательное рассмотрение выражений (5.13) и (5.14) показывает, что дисперсия неоднородного распределения собственных частот J играет теперь ту же роль, что и скорость дефазировки Г. Даже в том случае, если время жизни плазмона неограниченно велико (Г=0), изменение s в (5.13) или f в (5.14) ограничено величиной 2zM, то есть обратной шириной неоднородного распределения собственных частот. Следовательно, если амплитуда лазерного импульса не изменяется заметно за время 2/Г1, автокорреляционная функция будет примерно такой же, как и в нерезонансном случае, независимо от скорости дефазировки.

Т/т

Рис. 5.11. Верхние огибающие автокорреляционных функций, рассчитанных для случая, когда частота падающего излучения совпадает с частотой плазмонных резонансов в металлических наночастицах оо - Qq. Время жизни плазмонного возбуждения считается бесконечно большим Г = 0. Кривые соответствуют следующим значениям безразмерного параметра Ат\ 0.6, 0.9, 1.2, 1.5, 1.8, 2.4, 3.0, 3.6, 4.2, 4.8. Нижняя кривая совпадает с автокорреляционной функцией лазерного импульса, которая может быть получена в нерезонансной нелинейной среде.

На рис. 5.11 приведены верхние огибающие автокорреляционных функций, рассчитанных для случая, когда частота падающего излучения близка к собственным частотам плазмонных резонансов в металлических наночастицах Q - Q^. Время жизни плазмонного возбуждения считается бесконечно большим Г = 0. Кривые соответствуют различным ширинам неоднородного распределения собственных частот. Сравнивая рис. 5.10 и 5.11, видим, что одинаковые ширины и очень близкие формы автокорреляционных функций получаются для совершенно различных комбинаций однородных и неоднородных ширин. В общем случае, когда отличны от нуля и Г, и ф ширину

верхней огибающей автокорреляционной функции 6t можно качественно оценить, приравняв показатель экспоненты в подынтегральном выражении (5.13) к константе, близкой к единице,

Л2(.6О2~4Л2(.6О2~4+ F6t = const .+ F6t = const .(5.15)(5.15)

Л2(.6О2

~4

Л2(.6О2

~4

+ F6t = const .

+ F6t = const .

(5.15)

(5.15)

Количественные результаты были получены непосредственным численным определением ширины автокорреляционной функции, рассчитанной по формуле (5.13), как функции двух переменных - однородной ширины плазмонного резонанса Г и дисперсии J неоднородного распределения собственных частот. Результаты расчета представлены на рис. 5.12. Кривые на рисунке близки к параболам (5.15). Из полученных результатов следует, что неод-

Л, мэВЛ, мэВРис. 5.12. Зависимости уширения верхней огибающей автокорреляционной функции от времени дефазировки плазмона Г-1 и ширины неоднородного распределения собственных частот J в случае резонансного возбуждения w = Q^. Цифры около кривых - величины уширения в процентах. В скобках приведены абсолютные уширения 5t. По оси абсцисс отложено произведение неоднородной ширины J на длительность импульса т.Рис. 5.12. Зависимости уширения верхней огибающей автокорреляционной функции от времени дефазировки плазмона Г-1 и ширины неоднородного распределения собственных частот J в случае резонансного возбуждения w = Q^. Цифры около кривых - величины уширения в процентах. В скобках приведены абсолютные уширения 5t. По оси абсцисс отложено произведение неоднородной ширины J на длительность импульса т.

Л, мэВ

Л, мэВ

Рис. 5.12. Зависимости уширения верхней огибающей автокорреляционной функции от времени дефазировки плазмона Г-1 и ширины неоднородного распределения собственных частот J в случае резонансного возбуждения w = Q^. Цифры около кривых - величины уширения в процентах. В скобках приведены абсолютные уширения 5t. По оси абсцисс отложено произведение неоднородной ширины J на длительность импульса т.

Рис. 5.12. Зависимости уширения верхней огибающей автокорреляционной функции от времени дефазировки плазмона Г-1 и ширины неоднородного распределения собственных частот J в случае резонансного возбуждения w = Q^. Цифры около кривых - величины уширения в процентах. В скобках приведены абсолютные уширения 5t. По оси абсцисс отложено произведение неоднородной ширины J на длительность импульса т.

породное уширение уменьшает ширину автокорреляционной функции таким образом, что однозначное определение времени дефазировки плазмонного резонанса становится невозможным. При большой ширине неоднородного распределения собственных частот уширение автокорреляционной функции становится настолько малым, что не может быть определено экспериментально. В верхней части рис. 5.13 [37] показаны автокорреляционные функции, полученные от наночастиц калия с большой дисперсией собственных частот, а в нижней, для сравнения - нерезонансный сигнал второй гармоники, полу-

ченный от нелинейного кристалла. Верхняя огибающая построена для тех же параметров, что и на рис. 5.9. Видно, что, несмотря на резонансный характер взаимодействия падающего излучения с наночастицами, уширение автокорреляционной функции в пределах экспериментальной точности не наблюдается.

Рис. 5.13. Автокорреляционные функции, полученные от наночастиц калия (вверху) и нерезонансный сигнал второй гармоники, полученный от нелинейного кристалла (внизу). Верхняя огибающая построена для тех же параметров, что и на рис. 5.9.

Универсальная связь между линейными спектрами поглощения и результатами автокорреляционных измерений

Расчет автокорреляционной функции, выполненный в предыдущем подразделе, был основан на конкретном виде неоднородного распределения собственных частот плазмонных резонансов в металлических наночастицах. Здесь бу-

дет выведено общее соотношение, связывающее автокорреляционную функцию с линейным спектром поглощения для произвольного распределения собственных частот [38].

Уравнению движения коллективной координаты (5.7) отвечает лоренцев контур линейного поглощения

Г

полуширина которого на половине высоты равна Г. Таким образом, в отсутствие или при малом неоднородном уширении по сравнению с Г затухание можно получить непосредственно из линейного спектра экстинкции. В то же время при большом неоднородном уширении его учет становится необходимым. Пусть G(£?) будет нормированной функцией распределения резонансных частот:

G^dQ = 1 .

5(ц>) =5(ц>) =F^G^QW(Q - юУ + Г2F^G^QW(Q - юУ + Г2(5.17)(5.17)В предыдущем подразделе была использована гауссова функция распределения с центральной частотой Qq и дисперсией J, для которой G(£?) имеет вид

5(ц>) =

5(ц>) =

F^G^QW(Q - юУ + Г2

F^G^QW(Q - юУ + Г2

(5.17)

(5.17)

В этом случае спектральная ширина линии поглощения определяется не только затуханием отдельного осциллятора, но и дисперсией неоднородного распределения частот. В предельном случае очень широкого неоднородного распределения уравнение (5.17) приводит к S (щ) ос G(a>) и спектр поглощения не содержит информации о затухании отдельного осциллятора.

Для учета неоднородного уширения формулу (5.10) необходимо усреднить по распределению частот G(Q\ В результате правая часть (5.10) принимает вид

A(s) exp^isa^ds о где

A(s) = ехр[-(Г - iQ)s\dG .

Непосредственным вычислением можно показать, что при значениях 5 > 0, которые только и входят в (5.18), A(s) пропорционально фурье-образу спектра S(a)\ полученного в (5.17),

A(s) = - лA(s) = - лS(cD)cxp(-icDAdtD . (5.19)

A(s) = - л

A(s) = - л

Таким образом, если известен спектр линейного поглощения, то с помощью выведенных выше уравнений можно рассчитать автокорреляционную функцию второй гармоники. Строго говоря, это означает, что в автокорреляционной функции второй гармоники не содержится никакой дополнительной информации о системе по сравнению со спектром линейного поглощения. Этот вывод получен здесь без каких-либо предположений о конкретной форме неоднородного уширения и не зависит от нее.

Несмотря на все сказанное выше, с точки зрения эксперимента, автокорреляционные измерения могут быть в некоторых случаях полезны. Дело в том, что как спектр поглощения, так и автокорреляционная функция могут быть надежно измерены лишь в своих центральных частях вблизи соответствующих максимумов. Крылья из-за меньшего отношения сигнала к шуму измеряются с большей погрешностью. С этой точки зрения автокорреляционные измерения могут дать дополнительную информацию о системе по сравнению с линейной абсорбционной спектроскопией, поскольку надежно измеряемая центральная часть автокорреляционной функции определяется крыльями линейного спектра поглощения. Действительно, согласно равенству (5.18) центральная часть автокорреляционной функции определяется значениями A(s) при 5, меньших длительности импульса. В то же время, согласно (5.19) эти значения A(s) существенным образом определяются всем спектром S(g)\ включая далекие крылья, где данные линейной спектроскопии наименее надежны. Подобным же образом центральная часть спектра поглощения определяет значения A(s) при 5, больших Г-1, которые в свою очередь определяют трудно измеряемые крылья автокорреляционной функции. Эти соображения оправдывают попытки комбинации результатов линейной абсорбционной спектроскопии и автокорреляционных измерений для определения времени затухания плазмонного резонанса. Проведенный выше анализ показывает, однако, что однозначное определение времени затухания из таких измерений возможно только при том условии, что характер неоднородного распределения собственных частот известен из независимых измерений.

Выжигание постоянных провалов в спектрах поглощения ансамблей металлических наночастиц

В предыдущем разделе было показано, что автокорреляционная методика не позволяет измерять время дефазировки в условиях сильного неоднородного уширения. В нелинейной оптике известно несколько стандартных методов

исключения неоднородного уширения. К ним относятся резонансная флуоресценция, фотонное эхо, выжигание спектральных провалов [39]. До самого последнего времени ни одна из указанных нелинейно-оптических методик не применялась для исследования дефазировки поверхностных плазмонов, локализованных в нанометровых металлических частицах. Первым был реализован метод измерения скорости дефазировки поверхностных плазмонов, основанный на выжигании постоянных спектральных провалов. Хотя возможность селективной фотомодификации металлических наночастиц была известна из экспериментов на коллоидных системах [40-42], развитие метода потребовало создания соответствующего теоретического аппарата, так как выжигание постоянных спектральных провалов в ансамблях металлических наночастиц, сформированных на диэлектрических подложках, имеет ряд особенностей, которые не встречаются при применении этого метода к другим системам.

Прежде чем излагать идею метода, необходимо более подробно описать систему, для исследования которой он предназначен. Металлические наночастицы выращиваются на прозрачной диэлектрической подложке путем осаждения на ее поверхность атомов металла. Атомы, адсорбированные на поверхности, диффундируют по ней и образуют зародыши металлической фазы, которые затем вырастают в наночастицы. Хотя средним размером частиц металла можно управлять с помощью времени осаждения, образующиеся частицы имеют различные размеры и формы. Между размером и формой частиц, выросших в таких условиях, существует определенная корреляция, которая была установлена с помощью атомно-силовой микроскопии и линейной спектроскопии [43]. Маленькие частицы имеют почти шаровую форму, в то время как более крупные частицы сплюснуты в перпендикулярном к поверхности направлении. Наибольший интерес представляют металлические наночастицы с размерами, много меньшими длины волны излучения, соответствующего собственной частоте коллективных возбуждений. Причина этого состоит в том, что потери на излучение растут вместе с объемом частицы, так что время жизни поверхностных плазмонов, локализованных в крупных частицах, мало, а следовательно, и добротность резонансов в таких частицах мала. Собственные частоты поверхностных плазмонов, локализованных в частицах, размеры которых много меньше длины волны, не зависят от их размера, а определяются только их формой. В довольно грубом, но достаточном для наших целей приближении форму частицы можно охарактеризовать отношением полуосей наиболее близкого к ней по форме сплюснутого эллипсоида. В отличие от сферы, имеющей одну собственную частоту плазмонных колебаний, эллипсоид вращения имеет две собственные частоты коллективных возбуждений, одна из которых выше, а другая ниже собственной частоты плазмонных колебаний сферы. При нормальном падении излучения, а также при наклонном падении ^-поляризованного излучения электрический вектор параллелен поверхности, так что возбуждается только низкочастотная мода, соответствующая коллективным колебаниям электронов вдоль длинной оси эллипсоида.

Таким образом, весь ансамбль частиц, сформированных на подложке, можно охарактеризовать функцией распределения по собственным частотам коллективных возбуждений. Как правило, это распределение оказывается намного шире, чем однородная ширина резонансов, так что ширина спектра экстинкции всего ансамбля частиц определяется именно неоднородным распределением резонансных частот, а не временем дефазировки локализованных плазмонов. Для теоретического описания метода измерения времени дефазировки локализованных плазмонов необходимо прежде всего параметризовать спектр экстинкции неоднородно уширенного ансамбля возможно более общим образом.

Обозначим сечение поглощения металлической наночастицы с собственной частотой Q и объемом V на частоте м через cr(6j, Q\ Если принять, что оптические свойства металла описываются зависящей от частоты комплексной диэлектрической постоянной е = гд + /82 , то квазистатическое выражение для сг(<г>, £?) можно привести к виду

( V<o [l-e,^)]2^)

cr(w, Q) = ,(5.20)

c lev(Q) - ei(w)]2 + e^Q)

где с - скорость света. В том случае, если металл хорошо описывается моделью Друде с плазменной частотой и)р и затуханием у, диэлектрическая постоянная имеет простой аналитический вид

<У2

адсп + zy)

Тогда (5.20) упрощается до

Уу^р1

Да», Q) =-;- ,(5.22)

4с (о» - QY + (у/2)2

если только у <с Q и |м-Х2| <^ Q. В этом случае сечение поглощения имеет лоренцев спектральный контур, ширина которого не зависит от собственной частоты металлической наночастицы. Такая форма спектральной зависимости сечения поглощения полностью соответствует представлению о локализованном плазмоне как о гармоническом осцилляторе с затуханием. Это представление можно обобщить на реальные металлы, диэлектрическая постоянная которых может сильно отличаться от (5.21), если определить зависящую от частоты ширину плазмонного резонанса согласно [1] как

_2s2(^)Q Wdex^ldwA^ ’_2s2(^)Q Wdex^ldwA^ ’(5.23)(5.23)

_2s2(^)

Q Wdex^ldwA^ ’

_2s2(^)

Q Wdex^ldwA^ ’

(5.23)

(5.23)

и максимальное значение сечения поглощения в резонансе

a^Q) =a^Q) =V£[l -£1(S)]2V£[l -£1(S)]2С £2^)С £2^)

a^Q) =

a^Q) =

V£[l -£1(S)]2

V£[l -£1(S)]2

С £2^)

С £2^)

Тогда для частот со, близких к собственной частоте плазмона Q, уравнение (5.20) можно записать как

Q) = А^;Й^Т^ .(5.25)

- Qy + (Го/2)2

Это выражение подобно (5.22), за исключением того, что теперь спектральная ширина резонанса и максимальное значение сечения поглощения зависят от собственной частоты плазмона, которая в свою очередь определяется формой металлической наночастицы. Использование выражения (5.25) оправдано до тех пор, пока Гq изменяется незначительно при изменении Q на ±Fq, то есть, если \Гq+f - Fq\ <с Fq. Это условие нарушается во всяком случае при тех частотах, при которых 8\(£Г) достигает экстремума и ширина Fq, определенная в (5.23), стремится к бесконечности.

Уравнение (5.25) можно обобщить еще больше, заменив ширину Fq на феноменологический параметр F^om(Q). Эта ширина всегда больше, чем Гq и включает в себя, помимо учтенных в (5.23), все остальные механизмы уширения, такие как рассеяние электронов при столкновениях с поверхностью наночастицы, уширение, связанное с химическим окружением, и радиационные потери.

Спектр поглощения всего ансамбля частиц дается выражением

S(co) = /(QMw^W,S(co) = /(QMw^W,(5.26)(5.26)

S(co) = /(QMw^W,

S(co) = /(QMw^W,

(5.26)

(5.26)

где f(Q) - функция распределения собственных частот плазмонных резонансов, обусловленная различием форм частиц. Подставляя в (5.26) <r(co,Q) из (5.25), получим спектр поглощения до лазерного воздействия в виде

51П51ПKQ)Ao)KQ)Ao)(rhom(£)/2)2(ю - ЙУ + (rhom(S)/2)2)"(rhom(£)/2)2(ю - ЙУ + (rhom(S)/2)2)"(5.27)(5.27)

51П

51П

KQ)Ao)

KQ)Ao)

(rhom(£)/2)2

(ю - ЙУ + (rhom(S)/2)2)"

(rhom(£)/2)2

(ю - ЙУ + (rhom(S)/2)2)"

(5.27)

(5.27)

Следующий шаг состоит в расчете температуры, которой достигают металлические наночастицы при лазерном воздействии. Будем считать, что вся поглощенная наночастицей световая энергия превращается в тепло. Так как подложка прозрачна для действующего излучения, она нагревается только за счет тепла, идущего от металлических наночастиц. Если иметь в виду использование нано секундных лазерных импульсов, то расчет температурных полей можно проводить, считая частицу точечным источником на поверхности полубесконечной среды, причем интерес представляет только установившийся температурный режим. Если плотность энергии в лазерном импульсе обозначить через F, а длительность импульса через т, то подъем температуры частицы, имеющей собственную частоту Q , под действием лазерного излучения с частотой Ql можно записать как CqFoAQ[.,FF , где

Cq = ———

kXRqt

- константа, определяемая теплопроводностью подложки Л и радиусом контактной площадки между частицей и подложкой Rq [44]. Если начальную температуру обозначить То , то температура во время облучения

Т^ = То + CqFo-(Ql, Q) . (5.29)

Если подъем температуры достаточно велик, то различные термически активированные процессы могут приводить к изменению объема и формы наиболее нагретых частиц. Рассмотрим, прежде всего, испарение атомов. Скорость испарения атомов и получающееся в результате испарения изменение объема частиц пропорциональны экспоненциальному фактору cxp\-EJ квТ(О)\ , где Еа - энергия активации испарения, а кв - постоянная Больцмана. Предполагая, что процесс испарения описывается кинетикой первого порядка с предэкспоненциальным фактором у, который имеет порядок характерной частоты колебаний 1012 с-1, для пропорционального объему максимального сечения поглощения получим уравнение

= -У(Го(й) expE-E^TX^)] . (5.30)

Если времена освещения малы, так что и изменения объема малы, то изменение максимального сечения поглощения

5Ай) = -а(й) expV-EJkBT(Q)l , (5.31) где a^Q) = утсг°(£) меняется при изменении Q гораздо медленнее, чем экспоненциальный активационный фактор. Вообще говоря, испарение может приводить и к изменению формы частиц, а следовательно, и к сдвигу собственной частоты коллективных колебаний электронов на некоторую величину 6Q. Для 6Q естественно использовать выражение, аналогичное (5.31). Если изменение формы в большей мере обусловлено поверхностной диффузией атомов, а не их испарением, то энергия активации, входящая в выражение для 6Q, может отличаться от энергии активации испарения. Обозначим энергию активации, соответствующую изменению формы частиц, через Еь. Тогда

5Q = Ь^№р\_-Еь!квТ^А , (5.32)

где b(Q) - функция Q, медленно меняющаяся по сравнению с экспоненциальным фактором. Подставляя новые значения максимального сечения поглощения и собственной частоты в уравнение (5.27), получим спектр поглощения ансамбля частиц после лазерного воздействия

S2H =S2H =ДЙ)[Ай) + 5о-°(^)]ДЙ)[Ай) + 5о-°(^)](Thom(QW(ti-Q-6Q)4(MQW ’(Thom(QW(ti-Q-6Q)4(MQW ’(5.33)(5.33)

S2H =

S2H =

ДЙ)[Ай) + 5о-°(^)]

ДЙ)[Ай) + 5о-°(^)]

(Thom(QW

(ti-Q-6Q)4(MQW ’

(Thom(QW

(ti-Q-6Q)4(MQW ’

(5.33)

(5.33)

Форма спектрального провала определяется разностью спектров поглощения после и до лазерного воздействия

(5.34)(5.34)6S (бс>) = S 2(&Д — 5 । (^) •

(5.34)

(5.34)

Из проведенного расчета очевидно, что наибольшие изменения объема и формы претерпевают те частицы, собственные частоты которых близки к частоте лазерного излучения. Вследствие этого можно ожидать, что ширина разностного спектра окажется близкой к однородной ширине резонанса в тех частицах, собственная частота которых совпадает с частотой лазерного излучения.

Ограничиваясь случаем малых изменений 6<t°(Q) и 6Q, получим

гдегде&S» = dSa(G)) + 68^ .(5.35)

где

где

(5.36)(5.36)_ , . f ™ ^°(^)(ГЬот(^)/2)25Sa(w)= /(£)- 2/DA/^2^ '

(5.36)

(5.36)

J (co Q) + ЦьотС^)/2)

и

5Sb(co) =5Sb(co) =K (^ - ^У + (Fhom(QWK (^ - ^У + (Fhom(QW(5.37)(5.37)

5Sb(co) =

5Sb(co) =

K (^ - ^У + (Fhom(QW

K (^ - ^У + (Fhom(QW

(5.37)

(5.37)

Для того чтобы сделать следующий шаг, необходимо более подробно рассмотреть экспоненциальные функции в выражениях (5.31) и (5.32). Начнем с (5.31). Введем безразмерные величины

(5.38)(5.38)п _квТо ti _ kBCQF<T°(Q)

(5.38)

(5.38)

, “la —

ЕаЕа

которые соответствуют начальной температуре и максимальному увеличению температуры в ходе облучения. С помощью этих величин экспоненциальная функция запишется следующим образом:

ехр[-ЕаДв7Х^)] = ехрехр[-ЕаДв7Х^)] = ехр19°й + в1« l+(O-Ot)2/(rhom(O)/2)2 .19°й + в1« l+(O-Ot)2/(rhom(O)/2)2 .(5.39)(5.39)

ехр[-ЕаДв7Х^)] = ехр

ехр[-ЕаДв7Х^)] = ехр

1

9°й + в1« l+(O-Ot)2/(rhom(O)/2)2 .

1

9°й + в1« l+(O-Ot)2/(rhom(O)/2)2 .

(5.39)

(5.39)

Эта функция достигает своего максимального значения

ехрехр1^0а + @1а1^0а + @1а(5.40)(5.40)

ехр

ехр

1

^0а + @1а

1

^0а + @1а

(5.40)

(5.40)

(5.41)(5.41)при Q = Q[. Поскольку 0оа считается много меньшей единицы, а 0ia того же порядка, что и 0оа или больше, то экспоненциальная функция (5.39) при Q Ф Ql убывает очень быстро. Эффективная ширина области, в которой она принимает значения, сравнимые с максимальным (5.40), описывается неравенством

(5.41)

(5.41)

гдегде№ - Ц)| < ^1а >

где

где

00а + 01а

^^ТаГhomI

В этой области равенство (5.39) упрощается и принимает вид

expV-Ea/kBT(Q)^ = expexpV-Ea/kBT(Q)^ = exp1@0а + 9 la1@0а + 9 laexpexp(^-^а2(^-^а2(5.43)(5.43)

expV-Ea/kBT(Q)^ = exp

expV-Ea/kBT(Q)^ = exp

1

@0а + 9 la

1

@0а + 9 la

exp

exp

(^-^а2

(^-^а2

(5.43)

(5.43)

Здесь Aja представляет собой половину ширины гауссова профиля по уровню ехр(-1) . Подставляя (5.43) в равенства (5.31) и (5.36), получим

SS а^О)^SS а^О)^(5.44)(5.44)ехр [-^У] (Лют№)/2)2(^ - QY + (rhom(^)/2)2

SS а^О)^

SS а^О)^

(5.44)

(5.44)

гдегдеA(Q) = f(Q)a(Q)expA(Q) = f(Q)a(Q)exp1@0a + 9 la1@0a + 9 laАналогичным образом получимАналогичным образом получимdSb(a>) =dSb(a>) =exp -^^ (g> - £)(rhom(£)/2)3B^—dQ ,[(^ - QY + (rhom(S)/2)2]2exp -^^ (g> - £)(rhom(£)/2)3B^—dQ ,[(^ - QY + (rhom(S)/2)2]2гдегдеB(Q) = 2/№)сг0СОД&)ехрB(Q) = 2/№)сг0СОД&)ехр1@0a + 9 la1@0a + 9 laи по аналогии c (5.38), (5.42) и (5.45)и по аналогии c (5.38), (5.42) и (5.45)_ квТо _ квС&Ра\&) _6^ь + @ib,b~^’ lb - ^r^QL)l2) '_ квТо _ квС&Ра\&) _6^ь + @ib,b~^’ lb - ^r^QL)l2) '(5.45)(5.46)(5.47)(5.48)(5.45)(5.46)(5.47)(5.48)

где

где

A(Q) = f(Q)a(Q)exp

A(Q) = f(Q)a(Q)exp

1

@0a + 9 la

1

@0a + 9 la

Аналогичным образом получим

Аналогичным образом получим

dSb(a>) =

dSb(a>) =

exp -^^ (g> - £)(rhom(£)/2)3B^—dQ ,

[(^ - QY + (rhom(S)/2)2]2

exp -^^ (g> - £)(rhom(£)/2)3B^—dQ ,

[(^ - QY + (rhom(S)/2)2]2

где

где

B(Q) = 2/№)сг0СОД&)ехр

B(Q) = 2/№)сг0СОД&)ехр

1

@0a + 9 la

1

@0a + 9 la

и по аналогии c (5.38), (5.42) и (5.45)

и по аналогии c (5.38), (5.42) и (5.45)

_ квТо _ квС&Ра\&) _6^ь + @ib

,b~^’ lb - ^r^QL)l2) '

_ квТо _ квС&Ра\&) _6^ь + @ib

,b~^’ lb - ^r^QL)l2) '

(5.45)

(5.46)

(5.47)

(5.48)

(5.45)

(5.46)

(5.47)

(5.48)

В том случае, если Aia и А1Ь настолько малы, что в равенствах (5.44) и (5.46) все члены за исключением экспоненциального могут считаться постоянными и выносятся из-под интеграла, указанные равенства упрощаются и принима

ют видют вид6Sa^G)) = - ^zYoMQl)6Sa^G)) = - ^zYoMQl)(Fho.YQLW(Fho.YQLW(^ - QlY + (rhom(^L)/2)2(^ - QlY + (rhom(^L)/2)2(5.49)(5.49)

ют вид

ют вид

6Sa^G)) = - ^zYoMQl)

6Sa^G)) = - ^zYoMQl)

(Fho.YQLW

(Fho.YQLW

(^ - QlY + (rhom(^L)/2)2

(^ - QlY + (rhom(^L)/2)2

(5.49)

(5.49)

88 ь(ы) = y^AnB^iY88 ь(ы) = y^AnB^iY(5.50)(5.50)(<Z> - QtYBhom^LY^Y[{co-QLY + kr^Q^llY]2

88 ь(ы) = y^AnB^iY

88 ь(ы) = y^AnB^iY

(5.50)

(5.50)

Объединяя оба вклада в (5.35), получим

= A (rhom№a/2)2+ 5 (to ~ ^)(ГЬот(^а/2)3

" (to - QlY + (,rhom(.QL)/2Y [(to - QlY + (rhom(^L)/2)2]2 ’

где А и В не зависят от м .

Таким образом, в отличие от обычных случаев применения техники выжигания спектральных провалов разностный спектр является суммой двух

вкладов различной четности. Первый, четный, вклад описывает уменьшение объема резонансных частиц за счет испарения. Второй, нечетный, вклад вызван изменением формы резонансных частиц, которое в основном сводится к тому, что частица становится менее сплюснутой. Собственная частота при этом возрастает. Постоянные А и В определяют вклады четного и нечетного контуров в общую форму разностного спектра, который мы по-прежнему будем называть провалом, хотя он может иметь и более сложную, знакопеременную, структуру. В использованном здесь приближении ширина провала равна однородной ширине резонанса, в то время как в большинстве обычных применений техники выжигания провалов ширина провала вдвое больше однородной ширины. Такое различие возникает из-за особой селективности термически активированных процессов фотомодификации. Этот вывод справедлив только при очень низких интенсивностях лазерного воздействия.

При увеличении интенсивности лазерного воздействия ширина провалов увеличивается, так как за счет нерезонансного поглощения в крыльях в процессы фотомодификации вовлекаются частицы, собственные частоты которых лежат все дальше от частоты лазерного излучения. Формально уравнение (5.51) справедливо в пределе, когда полевые ширины Aia wAib много меньше однородной ширины Гнош^ь)- В действительности полевые ширины не могут быть сделаны как угодно малыми ни при каких интенсивностях лазерного воздействия. Согласно (5.42), отношение AiJIX^Ql) достигает минимального значения V^oL когда 9ia = 6^а. Более того, с точки зрения эксперимента повышение интенсивности воздействия может оказаться желательным для увеличения отношения сигнала к шуму. Для того чтобы результаты измерений при значительных полевых уширениях можно было использовать для определения однородной ширины резонансов, полученные из эксперимента ширины провалов необходимо экстраполировать к нулевым интенсивностям лазерного воздействия. С этой целью интегралы (5.44) и (5.46) были рассчитаны более точно с учетом конечной ширины экспоненциальных функций. При этом оказалось возможным учесть также и медленную зависимость от частоты других членов, входящих в (5.44) и (5.46), а именно, А(£?) и A(Q). Если эту зависимость моделировать гауссовыим функциями с центральными частотами О0А и Х20в и дисперсиями АОа и АОв, то

ИИА(Х2) = A(QL) expА(Х2) = A(QL) expB(Q) = B(QL) expB(Q) = B(QL) exp^ь - ОоаУА2ОА^ь - ОоаУА2ОА(Ql - ОовУ^QB(Ql - ОовУ^QB№ - QqA1 ехр^ L ^ОА№ - QqA1 ехр^ L ^ОАеХР^еХР^(5.52)(5.52)(5.53)(5.53)

И

И

А(Х2) = A(QL) exp

А(Х2) = A(QL) exp

B(Q) = B(QL) exp

B(Q) = B(QL) exp

^ь - ОоаУ

А2ОА

^ь - ОоаУ

А2ОА

(Ql - ОовУ^QB

(Ql - ОовУ^QB

№ - QqA1 ехр^ L ^ОА

№ - QqA1 ехр^ L ^ОА

еХР^

еХР^

(5.52)

(5.52)

(5.53)

(5.53)

Удобство такого выбора заключается в возможности представить произведение двух гауссовых функций как одну гауссову функцию с центральной частотой и дисперсией, определенными формулами

А2

<+4а<+4аQa-^L^ №оА - ^ь)™5—1а 2 ^А^а+^А

<+4а

<+4а

в случае (5.44) и

Qb = ^l + №ов - ^йQb = ^l + №ов - ^й^Ib + ^ов^Ib + ^ови^в =и^в =^Ib^OB^Ib + ^ов^Ib^OB^Ib + ^ов(5.55)(5.55)

Qb = ^l + №ов - ^й

Qb = ^l + №ов - ^й

^Ib + ^ов

^Ib + ^ов

и^в =

и^в =

^Ib^OB^Ib + ^ов

^Ib^OB^Ib + ^ов

(5.55)

(5.55)

в случае (5.46).Таким образом, получаем

ии58 а^ = А*58 а^ = А*58 ь^ = В*58 ь^ = В*ехр[-^у](ГНо^(^-X2)2 + (rhom(W2)2ехр[-^у](ГНо^(^-X2)2 + (rhom(W2)2dQ ,dQ ,(5.56)(5.56)ехр _ ML (w _ &)(rhom(£)/2)3—-,dQ .[(^ - Q? + (ГЬот№)/2)2]2ехр _ ML (w _ &)(rhom(£)/2)3—-,dQ .[(^ - Q? + (ГЬот№)/2)2]2(5.57)(5.57)

и

и

58 а^ = А*

58 а^ = А*

58 ь^ = В*

58 ь^ = В*

ехр[-^у](ГНо^

(^-X2)2 + (rhom(W2)2

ехр[-^у](ГНо^

(^-X2)2 + (rhom(W2)2

dQ ,

dQ ,

(5.56)

(5.56)

ехр _ ML (w _ &)(rhom(£)/2)3

—-,dQ .

[(^ - Q? + (ГЬот№)/2)2]2

ехр _ ML (w _ &)(rhom(£)/2)3

—-,dQ .

[(^ - Q? + (ГЬот№)/2)2]2

(5.57)

(5.57)

(5.58)(5.58)Величины А* и В* не зависят от м. Интеграл (5.56), известный в атомной спектроскопии как фойгтовский контур, может быть выражен через интеграл вероятностей от комплексного аргумента [45]. Интеграл (5.57), также может быть выражен через интеграл вероятностей от комплексного аргумента. При небольших величинах А^/Гнот и ^в/Г^от спектральные профили 58 а и 58 ь близки к (5.49) и (5.50) соответственно, так что их можно представить в виде, подобном (5.51):

(5.58)

(5.58)

(to-^)2 + (ya/2)2[(to-£B)2 + (r6/2)2]2 ’

где А и В можно выразить через А* и В* соответственно. Эффективные ширины уа и уь четного и нечетного контуров, входящих в (5.58), отличаются от однородной ширины плазмонного резонанса Г^от^ь) на малые величины, пропорциональные Ад и Ав :

_13 А^а7й hom 4(ГЬот/2)2_13 А^а7й hom 4(ГЬот/2)2, Tb — T^hom, Tb — T^hom2 (ГНот/2)22 (ГНот/2)2(5.59)(5.59)

_13 А^а

7й hom 4(ГЬот/2)2

_13 А^а

7й hom 4(ГЬот/2)2

, Tb — T^hom

, Tb — T^hom

2 (ГНот/2)2

2 (ГНот/2)2

(5.59)

(5.59)

Полученные выражения представляют теоретическую основу [46, 47] применения техники выжигания спектральных провалов для определения однородной ширины плазмонных резонансов в металлических наночастицах. Вариацией параметров функция (5.58) подгоняется к разностным спектрам, измеренным при различных интенсивностях лазерного воздействия, а определенные таким образом эффективные ширины используются для определения Г^От(^ь) путем экстраполяции к нулевой интенсивности лазерного воздействия. Если индуцированное освещением увеличение температуры частиц заметно превышает начальную температуру, а полевая ширина остается меньше однородной, то в соответствии с (5.59) экстраполяция будет линейной.

Первое применение техники выжигания постоянных спектральных провалов для определения времен дефазировки поверхностных плазмонов, локализованных в металлических наночастицах, было описано в [46]. Дальнейшие применения опубликованы в [47-52].

hto, эВ

Рис. 5.14. Спектры экстинкции, измеренные до (1) и после (2 - 5) облучения наночастиц серебра на сапфировой подложке лазерными импульсами с плотностью энергии 26, 30, 35, 40 и 45 мДж/см2. По оси абсцисс отложена энергия фотонов. Вертикальная линия показывает энергию фотонов лазерного излучения.

На рис. 5.14 приведены спектры экстинкции наночастиц серебра на сапфировой подложке до и после облучения. Средний радиус частиц составлял около 10 нм. Для частиц такого размера вклад рассеяния в ослабление проходящего излучения мал, так что спектр экстинкции практически полностью обусловлен поглощением. Длительность импульсов излучения, полученного от оптического параметрического генератора, составляла 2-4 нс, а энергия фотонов 2.93 эВ была близка к максимуму поглощения неоднородно уширенной полосы при 2.91 эВ. Изменения в спектре экстинкции надежно регистрировались уже при плотности энергии в импульсе 26 мДж/см2. Эксперимент подтверждает теоретический вывод о возможности селективной фотомодификации металлических наночастиц. Изменения поглощения наблюдаются только для тех частиц, собственные частоты которых близки к частоте лазера. При увеличении плотности энергии в импульсе спектральная область, в которой изменяется поглощение, расширяется.

На рис. 5.15 показан разностный спектр, полученный при плотности энергии в импульсе 30 мДж/см2. Асимметричный контур имеет минимум -1.3 % при 2.85 эВ. Затем следует область увеличения поглощения с максимумом 0.75% при 3.05 эВ. Аналогичные кривые получаются при других плотностях энергии в импульсе. Теоретическая модель (5.58) хорошо воспроизводит форму разностного спектра. Для сокращения числа подгоночных параметров можно было положить уа = 7ь - У и Qa = Qb без заметного ухудшения качества подгонки.

Полученные в результате подгонки значения приведены на рис. 5.16 в зависимости от плотности энергии в импульсе. Эксперимент подтверждает

Рис. 5.15. Разностный спектр экстинкции до и после облучения лазерными импульсами с плотностью энергии 30 мДж/см2 (кружки). Сплошной линией показана теоретическая кривая (5.58), наилучшим образом подходящая к экспериментальным данным. Пунктирная и штриховая линии дают вклады четного и нечетного контуров по отдельности.

Рис. 5.16. Зависимость эффективной ширины разностного спектра (в мэВ) от плотности энергии в импульсе лазерного излучения. Однородная ширина определяется путем линейной экстраполяции результатов измерений По оси абсцисс отложена плотность энергии в импульсе в мДж/см2.

Оптические резонансные свойства металлических наночастиц 315 возможность линейной экстраполяции, в результате которой была получена однородная ширина резонанса с собственной частотой 2.93 эВ Гнот(2.93) = (230 ± 20)мэВ, которая соответствует времени дефазировки локализованного плазмона Т2(2.93) = (5.7 ± 0.5) фс.

В работе [49] метод выжигания спектральных провалов был использован для определения времени дефазировки локализованных плазмонов в зависимости от размера наночастиц. Было показано, что время дефазировки не зависит от радиуса частицы в интервале от 4 до 12 нм. Это исследование было продолжено в [51] на частицах с радиусом до 2 нм. В этом случае обнаружилось сокращение времени дефазировки, которое можно связать со столкновениями электронов с поверхностью наночастицы [1]. Было обнаружено также сокращение времени дефазировки в наночастицах, расположенных на поверхности кварца, по сравнению с наночастицами на поверхности сапфира. Этот эффект можно связать с различным характером рассеяния электронов на поверхности раздела между металлом и подложкой в зависимости от электронной структуры материала подложки [23, 53, 54]. В работе [52] с помощью метода выжигания спектральных провалов было исследовано влияние адсорбции газов на поверхности металлических наночастиц на время дефазировки локализованных в них плазмонных возбуждений.

Применения металлических наночастиц, связанные с их оптическими свойствами

Применения металлических наночастиц, основанные на их особых оптических свойствах, используют большие сечения поглощения оптического излучения, селективный характер этого поглощения и высокую концентрацию электромагнитной энергии вблизи наночастиц в области, много меньшей длины волны излучения.

В работах [55-57] предложено использовать металлические наночастицы для повышения квантового выхода быстродействующих фотодетекторов. Ультрабыстрые фотодетекторы могли бы найти многочисленные применения в оптических сетях особенно для связи между модулями интегральных схем. К сожалению, быстродействие фотодетектора жестко связано с его толщиной: чем толще кристалл, тем больше времени занимает диффузия носителей к его границам. С другой стороны, утоньшение кристалла приводит к снижению его поглощения и, следовательно, квантового выхода фотодетектора. Таким образом, в настоящее время повышение быстродействия может быть достигнуто только ценой уменьшения квантового выхода. Особенно неблагоприятная ситуация складывается в случае наиболее технологичного материала - кремния, который обладает непрямой запрещенной зоной и вследствие этого относительно слабым поглощением. В литературе имеются сведения о демонстрации фотодетекторов со структурой металл—полупроводник—металл и толщиной кремния 3 мкм, работающих на частотах до 1 ГГц, а также с толщиной 100 нм, работающих на частотах до 140 ГГц. Однако квантовая

эффективность таких устройств низка. Падающий на фотодетектор свет может быть использован значительно лучше в том случае, если на поверхности устройства создать слой наноразмерных металлических кластеров. Физическая причина увеличения квантового выхода состоит в том, что металлическая частица может поддерживать высокодобротные коллективные колебания входящих в нее электронов - локализованные поверхностные плазмоны. Выбором подходящего материала, а также формы и размеров частиц можно добиться резонанса между собственными плазмонными колебаниями металлических наночастиц и падающим излучением. В этом случае металлическая наночастица действует как настроенная в резонанс антенна, многократно увеличивая вблизи себя интенсивность падающего излучения. В результате эффективное поглощение в фоточувствительном слое также многократно возрастает.

Высокая концентрация энергии вблизи металлических наночастиц при возбуждении в них резонансных плазмонных колебаний стала основой для предложений использовать цепочку близко расположенных частиц как эффективный проводник возбуждений, способный работать на оптических частотах. По сравнению с оптическими волноводами такое устройство обладает тем преимуществом, что его поперечный размер не связан с длиной волны излучения и, следовательно, может быть сделан много меньше поперечного сечения волновода, который при малых сечениях теряет способность эффективно удерживать электромагнитное поле внутри себя. Дополнительным преимуществом является также возможность передавать электромагнитную энергию вдоль цепочки наночастиц, расположенных не прямолинейно и не по плавной кривой с закруглениями большого радиуса, а по резко изломанной траектории. Авторы работы [58], озаглавленной “Плазмоника - путь к наноразмерным оптическим устройствам”, рассчитали такие устройства и проверили свои расчеты на увеличенной модели с использованием излучения с длиной волны 3.7 см. Было показано, что излучение эффективно направляется вдоль структуры, в том числе при повороте под прямым углом, причем 90% энергии было сосредоточено на расстоянии одной двадцатой части длины волны. Для изготовления прототипа реального устройств с размером элементов 50 нм была использована электронно-лучевая литография, а при использовании атомно-силового микроскопа были получены структуры с размером элементов 30 нм. Серьезной проблемой при реализации плазмонных волноводов могут быть потери, которые согласно теоретическим оценкам [59] приводят к постоянной затухания порядка 1 мкм-1.

Концентрацию электромагнитного поля вблизи металлических наночастиц можно использовать для создания оптического пинцета [60]. Известно, что пондеромоторная сила втягивает диэлектрические частицы в область сильного поля. Поскольку область высокой плотности энергии вблизи резонансно возбужденной металлической наночастицы имеет порядок ее собственных размеров, оптический пинцет, использующий такую наночастицу, может обладать высоким пространственным разрешением. Это устройство

может быть использовано, в частности, для манипуляций биологическими объектами в водных растворах, поскольку биологические материалы имеют показатель преломления, близкий к 1.4, что заметно больше, чем показатель преломления воды, равный 1.33. Таким образом биологические объекты будут втягиваться в область сильного поля вблизи металлической наночастицы и в водных растворах.

Заключение

В оптике металлических наноструктур остается еще много нерешенных вопросов как фундаментального, так и технологического характера. С теоретической точки зрения наиболее интересные проблемы состоят в последовательном учете поверхностных эффектов при описании коллективных электронных возбуждений в системах с больших числом электронов. Если эти проблемы будут решены, станет ясно, каковы предельно достижимые добротности коллективных электронных возбуждений. С практической точки зрения наибольший интерес представляет поиск недорогих технологий массового производства однородных ансамблей металлических частиц с заданными формами и размерами. Несмотря на значительные трудности, возникающие при решении указанных выше проблем, металлические наноструктуры находят все более широкое практическое применение.

Работа была поддержана Российским Фондом фундаментальных исследований (грант 03-02-16168), Государственной программой поддержки научных школ (грант НШ- 270.2003.2), а также ICTS грант 2679.

Список литературы

U. Kreibig, М. Vollmer: Optical properties of metal clusters, Springer Series in Materials Sciencies, v.25 (Springer, Berlin 1995)

C.E Bohren, D.R. Huffman: Absorption and scattering of light by Small Per tides (Wiley, New York 1983)

G. Mie: Ann.Phys. 25, 377 (1908)

D. Pines: Phys. Rev. 92, 626 (1953)

W. Ekardt: Phys. Rev. В 31, 6360 (1985)

C. Sonnichsen, T. Franzl, T. Wilk, G. von Plessen, J. Feldmann: New Journal of Physics 4, 93 (2002)

C. Sonnichsen, S. Geier, N.E. Hecker, G. von Plessen, J. Feldmann, H. Ditlbacher, B. Lamprecht, J.R. Krenn, F.R. Aussenegg, VZ. Chan, J.P. Spatz, M. Moller: Appl. Phys. Lett. 77, 2949 (2000)

N. Nilius, N. Ernst, H.-J. Freund: Phys. Rev. Let. 84, 3994 (2000)

T. Gotz, W. Hoheisel, M. Vollmer, F. Trager: Z. Physik D, 33, 133 (1995) [10] J.H. Parks, S.A. McDonald: Phys. Rev. Lett. 62, 2301 (1989)

М. Scharte, R. Porath, Т. Ohms, М. Aeschlimann, J.R. Krenn, H. Ditlbacher, ER. Aussenegg, A. Liebsch: Appl. Phys. В 73, 305 (2001)

C. Sonnichsen, T. Franzl, T. Wilk, G. von Plessen, J. Feldmann, O. Wilson, P. Mulvaney: Phys. Rev. Lett. 88, 077402 (2002)

M.B. Mohamed, V. Volkov, S. Link, M.A. El-Sayed: Chern. Phys. Lett. 317, 517 (2000)

J.P. Kottmann, O.J.F. Martin, D.R. Smith, S. Schultz: Optics Express 6, 213 (2000)

S.M. Nie, S.R. Emory: Science 275, 1102 (1997)

H. Xu, J. Aizpurua, M. Kall, P. Apell: Phys. Rev. E 62, 4318 (2000)

K. Kneipp, H. Kneipp, V.B. Kartha, R. Manoharan, G. Deinum, I. Itzkan, R.R. Dasari, M.S. Feld: Phys. Rev. E 57, R6281 (1998)

K. Kneipp, H. Kneipp, I. Itzkan, R.R. Dasari, M.S. Feld: Chern. Rev. 99, 2957 (1999)

A.M. Michaels, J. Jiang, L. Brus: J. Phys. Chern. В 104, 11965 (2000)

H. Xu, E.J. Bjemeld. M. Kall, L. Borjesson: Phys. Rev. Lett. 83, 43 57 (1999)

V.A. Markel, V.M. Shalaev, P. Zhang, W. Huynh, L. Tay, T.L. Haslett, M. Moskovits: Phys. Rev. В 59, 10903 (1999)

В.А. Кизель: Отражение света (Наука, Москва 1973)

B.N.J. Persson: Surface Science 281, 153 (1993)

T.R. Jensen, M.L. Duval, K.L. Kelly, A.A. Lazarides, G.C. Schatz, R.P. Van Duyne: J. Phys. Chern. В 103, 9846 (1999)

M.D. Malinsky, K.L. Kelly, G.C. Schatz, R.P.J. Van Duyne: Phys. Chern. В 105, 2343 (2001)

A. Hilgera, N. Cuppers, M. Tenfelde, U. Kreibig: Eur. Phys. J. D 10, 115 (2000)

A. Pinchuk, U. Kreibig, A. Hilger: Surface Science 557, 269 (2004)

N. Blombergen, Y.R. Shen: Phys. Rev. 141, 141 (1966)

E.K.L. Wong, G.E. Richmond: J. Chern. Phys. 99, 5500 (1993)

A. Leitner: Molecular Phys. 70, 197 (1990)

A. Wokaun: Solid State Phys. 38, 223 (1984)

B. Palpant, H. Portales, L. Saviot, J. Lermer, B. Prervel, M. Pellarin, E. Duval, A. Perez, M. Broyer: Phys. Rev. В 60, 17107 (1999)

A.M. Бонч-Бруевнч, T.A. Вартанян, Н.Б. Леонов, С.Г. Пржибельский, В.В. Хромов: Опт. спектр. 89, 43 8 (2000)

А.М. Бонч-Бруевич, ТА. Вартанян, Н.Б. Леонов, С.Г. Пржибельский, В.В. Хромов: Опт. спектр. 91, 830 (2001)

М. Simon, F. Traeger, A. Assion, В. Lang, S. Voll, G. Gerber: Chern. Phys.

Lett. 296, 579 (1998)

B. Lamprecht, A. Leitner, F.R. Aussenegg: Appl. Phys. B. 64, 269 (1997)

T. Vartanyan, M. Simon, F. Trager: Appl. Phys. B. 68, 425 (1999)

8] ТА. Вартанян, Ф. Трегер: Известия акад, наук, сер. физич. 65, 581 (2001)

S. Mukamel: Principles of Nonlinear Optical spectroscopy (Oxford University Press, New York, 1995)

А.В. Карпов, А.К. Попов, СТ. Раутиан, В.П. Сафонов, В.В. Слабко, В.М. Шалаев, М.И. Штокман: ЖЭТФ 48, 528 (1988)

A.V. Butenko, Р.А. Chubakov, Yu.E. Danilova, S.V. Karpov, A.K. Popov, S.G. Rautian , V.P Safonov, V.V. Slabko, V.M. Shalaev, M.I. Stokman: Z. Phys. D. 17, 283 (1990)

V.P. Safonov, V.M. Shalaev, V.A. Markel, Yu.E. Danilova, N.N. Lepeshkin, W. Kim, S.G. Rautian, R.L. Armstrong: Phys. Rev. Lett. 80, 1102 (1998)

F. Stietz, F. Trager: Philosoph. Mag. B. 79, 1281 (1999)

A.M. Prokhorov, VI. Konov, I. Ursu , LN. Mihailescu: Laser heating of metals (IOP Publishing Ltd. 1990)

M. Абрамовиц, И. Стиган: Справочник по специальным функциям (Наука, Москва 1979)

Е Stietz, J. Bosbach, Т. Wenzel, Т. Vartanyan, A. Goldmann, F. Trager: Phys. Rev. Lett. 84, 5644 (2000)

T. Vartanyan, J. Bosbach, F. Stietz, F. Trager: Appl. Phys. B. 73, 391 (2001)

J. Bosbach, C. Hendrich, F. Stietz, T. Vartanyan, T. Wenzel, F. Trager: SPIE Proceedings 4274, 1 (2001)

J. Bosbach, C. Hendrich, T. Vartanyan, F. Stietz, F. Trager: Eur. Phys. J. D. 16, 213 (2001)

T. Vartanyan, J. Bosbach, C. Hendrich, F. Stietz, F. Trager: SPIE Proceedings 4636, 31 (2002)

J. Bosbach, C. Hendrich, F. Stietz, T. Vartanyan, F. Trager: Phys. Rev. Lett. 89, 257404 (2002)

C. Hendrich, J. Bosbach, F. Stietz, F. Hubenthal, T. Vartanyan, F. Trager: Appl. Phys. B. 76, 869 (2003)

H. Hoevel, S. Fritz, A. Hilger, U. Kreibig, M. Vollmer: Phys. Rev. B. 48, 18178 (1993)

U. Kreibig, M. Gartz, A. Hilger: Ber. Bunsenges. Phys. Chern. 101, 1593 (1997)

E. Chen, S.Y Chou: Appl. Phys. Lett. 70, 753 (1997)

B.F. Levine, J.D. Wynn, F.P. Klemens, G. Sarusi: Appl. Phys. Lett. 66, 2984 (1995)

H.R. Stuart, D.G. Hall: Appl. Phys. Lett. 73, 3815 (1998)

S.A. Maier, M.L. Brongersma, P.G. Kik, S. Meltzer, A.A.G Requicha, H.A. Atwater: Adv. Mater. 13, 1501 (2001)

M. Quinten, A. Leitner, J.R. Krenn, F.R. Aussenegg: Optics Lett. 23, 1331 (1998)

L. Novotny, R.X.Bian, X.S.Xie: Phys. Rev. Lett. 79, 645 (1997)

1/ (£-£0)2

G(S) = —— exp-

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОПТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. С. И. ВАВИЛОВА

ОПТИКАНАНОСТРУКТУР

Санкт-Петербург

2005

УДК 538

0-60

0-60 С. В. Гапоненко, Н. Н. Розанов, Е. Л. Ивченко, А. В. Федоров, А. М. Бонч-Бруевич, Т. А. Вартанян, С. Г. Пржибельский. Оптика наноструктур. Под редакцией А. В. Федорова: СПб «Недра», 2005 г. - 326 с.

Книга известных специалистов в области физики низкоразмерных систем посвящена оптическим свойствам твердотельных гетеро структур с характерными масштабами пространственных неоднородностей от сотен до единиц нанометров. Представлены результаты теоретических и экспериментальных исследований таких важных объектов, как фотонные кристаллы, квантовые ямы и сверхрешетки, квантовые точки и металлические наночастицы. Книга предназначена для студентов старших курсов физических факультетов, а также аспирантов и научных работников, специализирующихся в области оптики твердого тела.

© «Недра», 2005© «Недра», 2005ISBN 5-94089-059-8

© «Недра», 2005

© «Недра», 2005