ЭФФЕКТ КАНАЛИРОВАНИЯ

Заведующий редакцией 瓦区 Сатарова

Редактор О.互 Дунаева

Художественный редактор Л. Л Вульфсон

Технический редактор ЯМ Брудная

Корректор ЕС Арефьева

ИБ № 2886

ЛР№ 010256 от 7.07.92.

Набор выполнен в издательстве. Подписано в печать с оригинала-макета 29.11.93. Формат 60 х 88 1/16. Бумага офсетная № 2. Печать офсетная. Усл. печ. л. 14,70.

У с л. кр.-отт. 14,94. Уч.-изд. л. 15,68. Тираж 500 экз. Заказ 43. С 013.

Энергоатомиздат, 113114, Москва М-114, Шлюзовая наб., 10.

Отпечатано в Московской типографии № 9 Министерства печати и информации Российской Федерации

109033, Москва, Волочаевская ул., 40.

© Автор, 1994© Автор, 19941604110000*013

© Автор, 1994

© Автор, 1994

ISBN 5-283-03889-0

ПРЕДИСЛОВИЕ

Как сказывается регулярность расположения атомов на движении быстрых заряженных частиц в кристалле? Ответ на этот вопрос был дан Штарком еще в начале века. Однако на фоне других актуальных задач эта казалась мало существенной. Понадобилось более полувека, чтобы исследования, как их теперь называют, ориентационных эффектов прочно утвердились в арсенале физики взаимодействия излучений с веществом.

Изучение одного из этих эффектов — эффекта каналирования началось с обнаружения аномально больших пробегов ионов средней энергии в кристалле в условиях параллельности направления падающего пучка выходу одного из плотноупакованных кристаллографических направлений [1]. Открывшиеся вскоре возможности экспрессного анализа структуры кристаллической решетки, времени жизни возбужденных ядер [2], профилей и тестоположения дефектов [3] вкупе с имеющимися в избытке ускорителями заряженных частиц привлекли к эффекту каналирования большое число* исследовательских групп. И в настоящее время интерес； к ориентационным явлениям не ослабевает, особенно в связи с открытием явления излучения легких релятивистских каналированных частиц [4, 5]. Спектроскопия каналированных электронов с энергией порядка нескольких мегаэлектрон-вольт - своеобразного одно- и двумерного аналога характеристического излучения атомов, проверка базовых принципов квантовой электродинамики, достижение в лабораторных условиях ультраквантового предела в излучении —вот далеко не полный список применения этого эффекта сегодня. Именно эти исследования дали толчок существенному обновлению теорш каналирования со времени появления известной работы Линдхарда [6], в которой впервые были введены основные представления и понятияу такие, как непрерывный потенциал идеальной цепочки атомов, значение критического угла каналирования, гипотеза статистического равновесия.

Материал в книге излагается в порядке возрастающей сложности и детальности проработки отдельных вотфосов. Подавляющая масса экспериментальных данных, относящихся к физике взаимодействия быстрых заряженных частиц с кристаллами, допускает классическую интерпретацию в рамках модели бинарных столкновений. С ее описания и краткого введения в физику ориентационных явлений начина-

ется гл. 1. Далее обсуждаются происхождение и обоснование современной концепции непрерывного потенциала. Анализ статистически равновесных угловых и пространственных распределений частиц в кристалле ведется в безразмерных фазовых переменных, допускающих одинаковую трактовку эффекта каналирования как для ионов, так и для легких релятивистских частиц.

Неравновесные осцилляции потока, процесс установления статистического равновесия в фазовом пространстве, происходящий в тонких кристаллах, являются предметом изучения в гл. 2. Здесь же формулируется и решается в ряде частных случаев исходное кинетическое уравнение в фазовом пространстве, уточняющее и дополняющее приближение непрерывного потенциала.

Ответ на один из ключевых вопросов физики эффекта каналирования, сколько частиц остается в канале по мере прохождения определенной толщины, дает гл. 3. Современная трактовка этого вопроса включает в себя кроме традиционной — в терминах уравнения Фок> кера—Планка, еще и интегральную — на основе уравнения Больцмана, учитывающую вклад кратных соударений.

В гл. 4 в рамках полуклассического приближения исследуются неупругие процессы при каналировании — возбуждение атомных электронов и торможение излучением. Надо сказать, что проблеме излучения каналированных частиц посвящены в настоящее время много обзоров и монографий (см., например, [4, 5]). Поэтому в книге делается акцент только на те особенности излучения, которые качественно видоизменяют проявления самого эффекта каналирования. Речь идет о явлении охлаждения пучка суперрелятивистских электронов в кристалле.

Квантовым эффектам в каналировании посвящена гл. 5. Строго говоря, полученные в ней результаты имеют прямое отношение лишь к релятивистским электронам и позитронам с энергией порядка 1 МэВ. чье движение в канале имеет выраженный квантовый характер.

Заключительная часть книги посвящена практическим применениям эффекта каналирования в твердотельных и ядернофизических иссле- дованиж% Поворот пучка частиц в изогнутом кристалле обсуждается в гл. 6 как с точки зрения возможности управления релятивистскими пучками, так и в задаче рассеяния ионов на протяженных дефектах. В гл. 7 изучается задача определения местоположения, профилей и типов дефектов в кристаллах с применением эффекта каналирования. Ее предваряет описание наиболее точного в количественном отношении теоретического метода машинного моделирования, основанного на модели бинарных столкновений с атомами и атомными цепочками. Обсуждаются возможности применения методики каналирования для определения ион-атомного потенциала и электронной плотности кристаллических твердых тел, а также времен жизни возбужденных ядер.

В.А. Рябое

Глава 1. ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО ПОТЕНЦИАЛА

Модель бинарных столкновений

В основе классической теории взагмодействия быстрых заряженных частиц с кристаллической решеткой лежит модель бинарных столкновений, которая следует из возможности представления классической траектории заряженной частицы в среде как результата последовательности столкновений с изолированными атомами. В промежутке между столкновениями частица проходит расстояние порядка или более среднего расстояния между атомами, на котором частица считается практически свободной. Сам же термин ''столкновение" означает внезапное изменение направления движения, а также изменение состояния электронной оболочки атома или ядра в результате взаимодействия.

Последовательность элементарных актов рассеяния частицы на атомах решетки легко реализуется численной имитацией на ЭВМ. поэтому постановка задачи рассеяния в рамках модели бинарных столкновений полезна и в качестве адекватного описания алгоритма известного и широко применяемого на практике метода машинного моделирования. Начиная с первой работы Робинсона и Оуэна [7] по определению пробегов ионов средних энергий, которая в значительной мере пнкци^у二- с-〉 интерес к эффекту каналирования, круг задач с применением метода постоянно расширялся — от проверки разнообразных аналитических моделей до непосредственного сопоставления численных результатов с экспериментальными данными. Ниже при освещении ряда вопросов физики эффекта каналирования результаты машинного моделирования будут как бы "из первых принципов” иллюстрировать точность предположений, сделанных в аналитическом подходе.

Обратимся теперь к более подробному обсуждению модели бинарных столкновений применительно к быстрым заряженным частицам. Малоугловой характер рассеяния быстрых заряженных частиц является исходным пунктом ряда упрощающих предположений о виде траектории движения. Назовем главные из них.

В бинарном столкновении траектория представляется в виде ломаной, состоящей из двух асимптот рассеяния с изломом в поперечной плоскости. При движении под малым углом к атомной цепочке поперечная плоскость выбирается перпендикулярно оси цепочки, при-

чем на каждие столкновение приходится промежуток, равный периоду цепочки d,

Пренебрегается отдачей атома в столкновении, а также скоростью теплового движения атома vT по сравнению со скоростью движения частиц V. Таким образом, за время столкновения г 〜q/v (q — постоянная экранирования) случайное положение атома и считается фиксированным и распределенным в пространстве известным образом. В решетке кубической симметрии это распределение имеет гауссовский вид：

尸⑺=、不呻-丿，l(% W (L1)

где U2 — среднеквадратичное тепловое смещение в одном направлении. Продольные тепловые смещения, как правило, не учитываются.

Угол рассеяния в каждом соударении вычисляется в импульсной аппроксимации [8]*:

(1.2)(1.2)△ 0(s) =J dz V (x/s? + z?'),

(1.2)

(1.2)

pv ds

где p — полный импульс частицы; s - прицельный параметр столкновения (рис. 1.1); 0(R) - потенциал взаимодействия иона заряда Z^e с атомом заряда Ze, находящимся на расстоянии R от иона.

Наиболее употребительны для ион-атомного потенциала следующие аппроксимации:

приближение Мольера для томас-фермиевского потенциала

ZZ/2 3

0(R) = Е %ехр(-0//а).(L3)

R j = 1，，

где% = {0,1； 0,55; 0,35} ; 0广{б,0; 12； 0司；@ = 0,8853 恥亿“？ 土 ± Z J/2)-2/3 _ радиус экранирования Фирсова; q^ — первый боровский радиус;

потенциал Линдхарда (стандартный потенциал)

ZZ.e Г / ЗА \ Г/2

个)=戈 L1" U + d

♦Строго говоря, пределы интегрирования по z должны совпадать с двумя продольными координатами между последовательными столкновениями. К примеру, в режиме осевого каналирования Z12 = ± d/2, где d - период атомного ряда. Но ввиду резкого спада потенциала на расстоянии R ~ d пределы интегрирования можно с хорошей точностыо распространить на бесконечность.

Рис. 1.1 Бинарное столкновение движущейся частицы с атомом цепочки. Положение узла обозначено крестиком, колеблющегося атома - кружкомРис. 1.1 Бинарное столкновение движущейся частицы с атомом цепочки. Положение узла обозначено крестиком, колеблющегося атома - кружком

Рис. 1.1 Бинарное столкновение движущейся частицы с атомом цепочки. Положение узла обозначено крестиком, колеблющегося атома - кружком

Рис. 1.1 Бинарное столкновение движущейся частицы с атомом цепочки. Положение узла обозначено крестиком, колеблющегося атома - кружком

где Q” = 0.8853 ^^亿？/^ + Z V3)*" ^2 - радиус экранирования Линд-

харда；.

потенциал Дойля—Тернера [9]

с коэффициентами 後「b., получающимися из подгонки выражения для электронной амплитуды рассеяния к результатам точного расчета на основе релятивистских хартри-фоковских волновых функций.

Для дальнейшего угол рассеяния Д0($) (1.2) удобно выразить через усредненный вдоль оси z непрерывный потенциал цепочки атомов с периодом d：

4 ⑺ f & nvT^7) =-”询，Тб)

(L7)(L7)d bUc

(L7)

(L7)

△e(s)= pv ds

Аналитические выражения для функции экранирования f(r/d) в рассмотренных выше аппроксимациях потенциала даются формулами:

потенциал Мольера

з

(L8)(L8)(1.9)(1.9)〃О = 2J】 ％K()(0j), t =—；

(L8)

(L8)

(1.9)

(1.9)

стандартный потенциал Линдхарда

fc (^) = 21n( ] + у- ), t =

24№ =ir1 т~ехр24№ =ir1 т~ехр产alВ； Б产alВ； Бssпотенциал Дойля-Тернера

24

№ =ir1 т~ехр

24

№ =ir1 т~ехр

产

al

В； Б

产

al

В； Б

s

s

аЬаЬ(1.10)

аЬ

аЬ

Здесь К。 — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.

Применение каждого из приведенных здесь потенциалов оправдано соображениями удобства использования в конкретных расчетах. Так. например, потенциал Линдхарда (1.10) дает очень простое выражение для угла рассеяния (1.6). По сравнению с потенциалом Мольера, который при больших Z » q ведет себя приблизительно как 1/г, он спадает быстрее - как 1/产.Потенциал Дойля-Тернера, имеющий простую форму фурье-преобразования, допускает аналитическую процедуру усреднения по тепловым смещениям атомов, что очень важно для вычисления усредненных потенциалов, угловых разбросов и разнообразных матричных элементов перехода в квантовой теории. Кроме того, тот факт, что его форма базируется на знании атомных волновых функций, а не на статистической модели атома, делает его применение в детальных расчетах непрерывного потенциала более оправданным. В целом же потенциал Дойля—Тёрнера по сравнению с потенциалом Мольера обеспечивает несколько более слабое экранирование заряда ядра. Наибольшую неточность этот потенциал дает в области малых прицельных параметров s < 0,2 後,соответствующих близким столкновениям; когда кулоновский характер рассеяния должен бы приводить к зависимости типа Uc (г) Inn

Траектория частицы формируется, складываясь из асимптот отдельных бинарных соударений.

Посмотрим теперь, как, складываясь из асимптот отдельных бинарных соударений, формируется траектория частицы в целом. Как уже отмечалось выше, исходной является ситуация, в которой частица движется под малым углом к выходу одного из низкоиндексных направлений в кристалле. Направив ось z вдоль этого направления, рассмоь рим траекторию частицы в поперечной плоскости х. На рис. 1.2 показа-

<100>

ООО о о о о о ° °н° ° (oiif 0 0 0 0 I 000

о。<"。>

оо

ООО

。回。

(110)°°

г : °

<Л1> о

1 оо

ооо

回。。

О 11 о

他。0о

iоо

1°

二他2)

X

Рис. 1.2. Проекция решетки типа алмаза на поперечную плоскость для различных кристаллографических направлений. Светлыми кружками показаны атомные ряды, окружающие элементарную ячейку с основной цепочкой (темный кружок)

ны три различные проекции решетки типа алмаза на плоскость. Вследствие трансляционной симметрии, движение частицы можно рассматривать происходящим в пределах элементарной ячейки (отмечена прямоугольником) ,приходящейся на одну атомную цепочку. Выход из ячейки после ряда столкновений равносилен входу в эквивалентное положение с соответствующим преобразованием направлений движения. Так. в случае оси <110) возможны две различные ориентации единичной ячейки, поэтому переход сопровождается изменением знака - компоненты скорости. Возможно и дальнейшее уменьшение разрешенной области пространства, которое принимает во внимание симметрию самой элементарной ячейки.

Но к этому и другим деталям модели, имеющим прямое отношение к методу машинного моделирования, мы вернемся позже^ в гл. 8.

Бинарные столкновения частицы с атомами соседних с основной цепочек трактуются независимо и точно так же. как и происходящие в элементарной ячейке. Причем, если атомы соседних цепочек находятся в одной и той же поперечной плоскости, соответствующие проекции угла рассеяния 2 векторно складываются. Радиус действия потенциала каждой цепочки достаточно выбрать порядка d.

До сих пор наше рассмотрение предполагало упругое рассеяние на изолированных атомах. Между тем взаимодействие частиц с атомными электронами приводит к торможению* и дополнительному угловому разбросу. Что касается торможения, то оно обь14Ho слабо сказывается на угловых и пространственных характеристиках пучка частиц в диапазоне толщин монокристалла, где существен эффект каналирования. Тем не менее торможение необходимо учитывать в тех случаях, когда интерес представляют энергетические спектры рассеянных частиц

♦Энергетические потери за счет рассеяния на ядрах пренебрежимо малы.

(см. гл. 4). Угловой разброс, о бусловл енный электронным рассеянием, приобретает в условиях каналирования особую важность. В приближении свободных электронов можно считать, что в каждом бинарном столкновении или на большем участке пути частица приобретает дополнительный случайный угол за счет рассеяния на атомных электронах, характеризуемый некоторым средним квадратичным разбросом на единице пути 36；/&丄. Эта величина зависит от эффективной локальной плотности электронов в кристалле. Последняя, вообще говоря, не совпадает с истинной электронной плотностью. В частности, вклад электронов внутренних оболочек в угловой разброс становится заметным только при нарушении условия адиабатичности, т. е. при V > V八(V八-характерная скорость электрона на n-й оболочке). Более подробно к этому вопросу мы вернемся в § 2.7 и 4.5.

Ориентационные эффекты

Постановка задачи рассеяния в рамках модели бинарных столкновений позволяет исчерпывающим образом определить как траекторию частиц в среднем, так и ответить на все вопросы, касающиеся эволюции пространственных и угловых распределений с изменением толщины мишени. При этом следует иметь в виду, что из-за малости углов рассеяния лишь совокупный эффект большого числа столкновений приводит к заметному отклонению траектории движения от прямой линии. В аморфной срепе пространственное распределение прицельных параметров в серии последовательных бинарных столкновений равномерно и изотропно. Поэтому это отклонение происходит диффузионным образом и равновероятно по всем направлениям (рис. 1.3, а).

Совершенно иная ситуация возникает в кристаллической решетке при движении частиц под малым углом к атомным рядам и плоскостям кристалла. Сильная корреляция между последовательными столкновениями качественно меняет вид траектррии движения (рис. 1.3,6). Взаимодействие частиц с атомными рядами и плоскостями кристалла приобретает отяетливо выраженный характер потенциального рассеяния в поперечной плоскости.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим небольшой участок траектории частицы вблизи идеальной атомной цепочки - без тепловых смещений. В каждом бинарном столкновении частица, отклоняясь на угол △0(г), приобретает в поперечном направлении импульс

△р 丄=рДд (г). (LH)

Предполагаемый с самого начала малый угол наклона траектории по отношению к оси цепочки означает помимо всего прочего неизмен-

Рис. 1.3. Траектории быстрой заряженной частицы в среде:

。一аморфной; б - кристаллической

ность расстояния до нее на некотором числе столкновений. Поэтому, поделив приращение импульса Др с учетом (1.2) на время пролета т = d/v, мы сразу найдет среднюю силу, действующую на частицу со стороны цепочки,

尸=一3恥，Г=(")・(1.12)

Она оказалась выраженной через непрерывный потенциал атомного ряда (1.7). Таким образом, корреляция между последовательными столкновениями приводит к появлению специфического потенциального рассеяния, проявляющегося в том, что частицу можно рассматривать как движущуюся в поле экранированной заряженной нити. В этом смысле эффекты, связанные с движением частицы почти параллельно атомным рядам в кристалле, называются ориентационными 一 зависящими от взаимной ориентации пучка по отношению к кристаллографическим направлениям.

Аналогичным образом может быть рассмотрено движение чаоти- цы. под малым углом к атомной плоскости в кристалле. Здесь параметром, характеризующим корреляцию в серии последовательных столкновений, служит неизменное расстояние от частицы до атомной плоскости х. Соответствующий - теперь уже одномерный непрерывный - потенциал получается усреднением ион-атомного потенциала P(R) по участку плоскости, приходящейся на один атом [6], площадью Sp：

О打оо

У (х)=」J drrF(x^+V).(1.13)

sp о

В кристалле площадь S「= (М7р)「где N — число атомов в 1 см3; % — расстояние между атомными плоскостями.

Вследствие упомянутого в предыдущем параграфе условия независимости бинарных соударений с атомами соседних атомных цепочек

Рис. 1.4. Движение частицы в непрерывном потенциале:

。-ионы; б - электроны; 1 - траектория положительнЬй каналированной частицы; 2 - над барьерной; 3 - каналированного электрона

непрерывные потенциалы атомных плоскостей складываются и суммарный потенциал как функция поперечной координаты х обладает уже трансляционной симметрией.

Тепловые смещения атомов приводят к дополнительной "размазке" непрерывного потенциала % (г) по поперечной координате г. В результате усредненный потенциал в отличие от потенциала (1.6) становится конечным в точке г = 0. Надо заметить в этой связи, что в большинстве монокристаллов амплитуда тепловых колебаний 7，сравнима по порядку с постоянной экранирования, поэтому максимальное значение потенциала в месте атомного ряда оказывается порядка U z ~ Z眇］d 〜102 -г 103 эВ. а плоскости У ~Zf3d)〜10・ max /'max /

+ IB зВ.

Снижение размерности задачи рассеяния в приближении непрерывного потенциала позволяет качественно упростить интерпретацию ориентационных явлений и дать простые оценки их важнейшим характеристикам. Из соображений наглядности лучше начать с плоскостного случая, для которого задача потенциального рассеяния одномерна.

Консервативность движения вдоль оси х предполагает сохранение поперечной энергии частицы на всей ее траектории. Для положительных ионов в нерелятивистском пределе она равна

82VX

е =——+ У(х)二 Eg? + У(х), & =——•(1.14)

2m** v

В зависимости от соотношения между поперечной энергией и высотой потенциального барьера Jax возможны два режима движения. Финитный - каналирование, происходит при е < ^тах、когда частица поочередно отражается от стенок канала, образованных атомными плоскостями (см. траекторию 7 на рис. 1.4,а). В надбарьерном режиме движения с е > 々ах 4aстнца (рис. 1.4⑨ свободно пронизывает атомные плоскости, хотя и испытывает с их стороны периодическое воздействие. 12

С ростом поперечной энергии это воздействие ослабевает, осцилляции сглаживаются и в пределе е > 々ах траектория вырождается в прямую линию. 1

Указанные режимы движения можно охарактеризовать и другим параметром —критическим углом каналирования. Он определяется как максимальный угол наклона траектории, при котором возможно каналирование

Wp = 瓦 （L15）

Отличие режима каналирования от надбарьерного режима движения заключается в значении интенсивности близких соударений частиц с атомами （s《а） и связанных с ними вторичных процессов - обратного рассеяния, возбуждения внутренних электронных оболочек атома, ядерных реакций и др. Тот фактл что траектория частицы не подходит к атомной плоскости ближе чем на расстояние минимального сближения %£, определенного соотношением Y（х^） = е, означает, что вероятность близких соударений каналированной частицы с атомами будет экспоненциально подавлена^ так как вероятность нахождения атома в точке х > ”，Р（х） ~ ехр（—炉/勿2）. Напротив, надбарьерные частицы, регулярно пересекая область максимальной плотности ядер, по существу ничем не отличаются от частиц в аморфной среде.

Еще более ярко эффект каналирования проявляется при осевой ориентации пучка. Рассуждения, аналогичные приведенным выше, но для двумерной задачи рассеяния в поперечной плоскости дают большие значения критического угла каналирования

W =何訴- （L16）

Посмотрим теперь, как реализуется эффект каналирования на опыте. Проследим траекторию частицы от момента ее влета в кристалл до выхода из него и попадания в детектор. На рис. 1.5 изображена типичная геометрия расположения детектора, кристалла и пучка частиц. Направление выхода плотноупакованных атомных рядов составляет малый угол 仇 〜 屮 но отношению к входному или выходному направлению пучка. При 6 > W. как уже говорилось выше, выход обратнорассеянных частиц в направлении детектора такой же, как в аморфной среде. Такую ориентацию пучка относительно оси z называют случайной. С уменьшением угла падения £ часть частиц захватывается в канал и для них интенсивность обратного рассеяния резко ослабевает.

Рис. 1.5. Обратное рассеяние частиц в монокристалле в режимах:о - обратной тени; б - прямой тени; в - каналирования; Д — детектор; пунктир - положение атомных плоскостейРис. 1.5. Обратное рассеяние частиц в монокристалле в режимах:о - обратной тени; б - прямой тени; в - каналирования; Д — детектор; пунктир - положение атомных плоскостей

Рис. 1.5. Обратное рассеяние частиц в монокристалле в режимах:

о - обратной тени; б - прямой тени; в - каналирования; Д — детектор; пунктир - положение атомных плоскостей

Рис. 1.5. Обратное рассеяние частиц в монокристалле в режимах:

о - обратной тени; б - прямой тени; в - каналирования; Д — детектор; пунктир - положение атомных плоскостей

Рис. 1.6. Осевая тень для протонов в кремнии <110):

расчет по формуле (1.66); по формуле (1.57); △ - эксперимент [16]; о- машинное моделирование

Как следствие, в выходе обратного рассеяния появляется характерный провал с угловой шириной 屮皿 〜W (рис. 1.6).

Поменяем теперь местами источник частиц и детектор (см. б на рис. 1.5). Теперь траектория частиц, на которых сказывается кристаллическая структура мишени начинается не с поверхности монокристалла, а в узлах решетки после близкого соударения. Каждый атом выступает как изотропный источник частиц, которые впоследствие затемняются плотноупакованными рядами и плоскостями монокристалла. В силу временной обратимости траекторий движения измеренная таким образом форма прямой тени практически совпадает с рассмотренной выше обратной тенью. Такого рода принцип обратимости, имеющий аналог в оптике, устанавливает тесную взаимосвязь двух важнейших ориентационных эффектов - эффекта тени и каналирования.

Еще более детальная картина процесса рассеяния частиц в кристалле проявляется при хорошем энергетическом разрешении детектора. Энергетические потери частиц, обусловленные возбуждением атомных электронов, в известной степени однозначно связаны с длиной пройденного пути в кристалле. Поэтому форма энергетического спектра содержит богатую информацию о временной эволюции пучка в кристалле. Проиллюстрируем это на примере спектра обратного рассеяния.

Рис. 1.7. Энергетический спектр обратного рассеяния：

7 - случайное направление; 2 - нулевой угол падения

В случайной ориентации пучка энергетический спектр частиц (кривая 1, рис. 1.7) такой же, как в аморфной мишени. Небольшой подъем выхода с уменьшением энергии Е и ростом толщины мишени L объясняется растущим сечением упругого рассеяния о 〜 1/£2. Начало спектра отделено от энергии частиц в пучке значением энергии отдачи &)тд, которая тем больше, чем меньше масса ядер мишени М.

При нулевом угле падения теоретически все частищ>1 каналируют, но с разной поперечной энергией. Дело в том, что при влете в кристалл частица сразу попадает в область действия непрерьшного потенциала, не успевая при этом изменить первоначальное направление. Поэтому поперечная энергия частицы складьшается из начальной кинетической энергии E6q и непрерывного потенциала в точке влета. Тем не менее вблизи поверхности пучок еще однороден и выход совпадает со значением, отвечающим случайному направлению. Далее под действием непрерывного потенциала пучок начинает перестраиваться — стенки канала отжимают его от области с повышенной плотностью ядер и в выходе обратного рассеяния появляется первый наиболее резкий провал. Ширина образовавшегося таким образом поверхностного пика при плоскостном каналировании соответствует толщине нескольких атомных слоев, что гораздо меньше периода колебаний, равного по порядку величины dp

7° 〜 ・ Она чрезвычайно ^вствительна к поверхностным наруше-

№

ниям структуры монокристалла, оксидным пленкам и тепловым колебаниям атомов, что широко используется в исследованиях физики поверхности. Последующее затем сжатие пучка чередуется с расширением. И в тот момент, когда частицы касаются атомной плоскости и попадают в область максимальной ядерной плотности на толщине Tov/4, появляется следующий пик. Далее процесс повторяется.

На толщине кристалла порядка нескольких периодов Т° осцилляции затухают из-за ангармонизма потенциала, начальной угловой расходимости пучка, а также многократного рассеяния. Установившееся значение выхода, отнесенное к выходу в случайном направлении, совпадает с долей потока частиц, пересекающих область расположения ядер, где интенсивность рассеяния максимальна. Из очевидных геомет-

рических соображений (см. рис. 1.3) ясно, что ее можно оценить как Xmin 〜〃/dp，а в осевом случае как xmin " Nda?.

С ростом толщины кристаллической мишени на движении каналированных частиц начинают сказываться эффекты многократного рассеяния на электронах и тепловых смещениях атомов, не сохраняющие поперечную энергию. Связанный с ними механизм стохастического роста и диффузии поперечной энергии аналогичен известному в Лизике плазмы ускорению Ферми. Частицы постепенно покидают канал - декана- лируют, что отражается в общем подъеме спектра.

Грубую оценку длины деканалирования ионов L@ можно получить из следующих соображений. Частица во всяком случае выходит из канала, если прирост поперечной энергии за счет углового разброса 66：/6〃 на пути Z 〜станет сравнимым с высотой барьера %ах・ Как уже отмечалось выше, рассеяние каналированных частиц на ядрах мишени подавлено — преобладает рассеяние на валентных электронах) плотность которых близка к однородной по сечению канала 丁 Z^N (Z* 〜2 + 4)・ Тогда прирост поперечной энергии на единице пути не зависит от нее самой и приближенно равенЬе-ЕЬ^1. Огрубленно считая.

что в столкновении с ка клоняется на угол △ 6^ ~что в столкновении с ка клоняется на угол △ 6^ ~электроном на пути △厶 〜d частица от- [ср. с (1.7)], имеем

что в столкновении с ка клоняется на угол △ 6^ ~

что в столкновении с ка клоняется на угол △ 6^ ~

Определенная таким образом длина деканалирования составляет для протонов с энертией 〜1 МэВ значения порядка ^ 104 нм. Для сравнения такое же значение поперечной энергии в аморфной среде набирается на толщине в (Z/Z*)2 раз меньше, так как ядерный угловой разброс 5^2 ~Z?.

Энергетический спектр аксиально каналированных частиц хотя по виду и совпадает с изображенным на рис. 1.7 спектром плоскостного каналирования, но формируется он несколько иначе. Траектории аксиально каналированных частиц можно представить себе как результат последовательности бинарньрс соударений с отдельными атомными ряда- № (уже не малоугловых!). Они также приводят к различимым на эксперименте нескольким осцилляциям выхода с характерной длиной ▲ о〜d/屮.

Относительно небольшая область -финитного движения, или, как его называют, гиперканалирования, находится в центральной части канала между несколькими соседними цепочками. Из-за значительного удаления от атомных рядов эта область движения характеризуется особенно малыми значениями энергетических потерь.

На опыте в большинстве случаев невысокое энергетическое разрешение детектора вкупе с начальным угловым разбросом падающего пуч- 16

ка сглаживают осцилляции потока. Тем не менее его стационарное значение в центре канала вследствие сильного воздействия непрерывного потенциала значительно превышает соответствующее.значение на периферии. Это явление, известное как пикинг-эффект (flux-peaking), широко используется на практике для определения местоположения примесных и дефектных атомов, расположенных в межузлиях.

Рассмотренные выше ориентационные явления в равной мере присущи и релятивистским частицам. Некоторые оговорки, однако» необходимо сделать в связи с изменившимся соотношением энергии и продольного импульса. В частности, меняется выражение для поперечной £俨

энергии: е =U 小 следовательно, критический угол каналиро- вания:屮=х/А/ах庐，&口 особенностей, обусловленных наличием притягивающего непрерывного потенциала, имеет эффект каналирования электронов. Так, канал>фуя в атомной плоскости (см. 3 на рис. 1.4). электроны систематически пересекают область максимальной плотности ядер. Поэтому в отличие от положительных частиц интенсивность вторичных процессов у них не подавлена, а, наоборот, увеличена по сравнению с аморфной мишенью. Кроме того, осевое каналирование электронов характеризуется кроме поперечной энергии другим интегралом движения — угловым моментом М =(Pj_я Az* Его значение при неизменной поперечной энергии может менять вероятность близких соударении на несколько порядков. Так, траектории с моментом, близким к нулю, пересекают ось цепочки (I на рис. 1.8、а), характеризующейся повышенной по сравнению со средней атомной плотностью Р(0) ~ 1/2я Тб? A Nd В то время как электроны, находящиеся на круговой орбите (3) радиуса ге из-за наличия центробежного барьера могут двигаться вдали от оси цепочки, где вероятность их соударения

-彳/2片

с атомами пропорциональна плотности ядерР(г€) ~ е 。< 1 (см.

рис. 1.8,^).

С существованием эффекта каналирования у легких релятивистских частиц связано интереснейшее явление — спонтанное излучение каналированных частиц. В ультрарелятивистском пределе его происхождение связано с кривизной траектории движения, или, другими словами, поперечным ускорением в поле непрерывного потенциала. В этом смысле оно аналогично синхротронному излучению. Градиент электрического поля в осевом канале достигает для электронов рекордных значении %' ~ %ах/° ~181 зВ/см,что позволяет, меняя энергию частиц, с легкостью варьировать тип излучения от дипольного до магнитотормозного и даже улыраквантового.

В области энергии ^ 1 МэВ спонтанное излучение каналированных частиц напоминает характеристическое излучение в атомах. В этой связи здесь будет уместно сделать небольшое отступление. До сих пор наше

Рис. 1.8. Траектории электронов в осевом канале：/ - М = 0; 2 - МФ 0; 3 - круговые； 4- е> 1Рис. 1.8. Траектории электронов в осевом канале：/ - М = 0; 2 - МФ 0; 3 - круговые； 4- е> 1

Рис. 1.8. Траектории электронов в осевом канале：

/ - М = 0; 2 - МФ 0; 3 - круговые； 4- е> 1

Рис. 1.8. Траектории электронов в осевом канале：

/ - М = 0; 2 - МФ 0; 3 - круговые； 4- е> 1

рассмотрение ограничивалось рамками классической механики, исходящей из требования хорошо определенной классической траектории движения. И, действительно, как мы увидим, практически все экспериментальные результаты, относящиеся к тяжелым ионам и легким ультра- релятивистским частицам, допускают классическое описание. Квантовые эффекты в каналировании начинают сказываться лишь у легких релятивистских частиц в области 〜1 МэВ. Укажем на два источника их происхождения. Первый связан с условием квантования поперечного движения частиц в канале. При этом степень классичности движения в целом характеризуется числом уровней в потенциальной яме jax：

力2力2/ах 三 1/ах 三 1力2力2- осевое каналирование;плоскостное каналирование.- осевое каналирование;плоскостное каналирование.

力2

力2

/ах 三 1

/ах 三 1

力2

力2

- осевое каналирование;

плоскостное каналирование.

- осевое каналирование;

плоскостное каналирование.

где aQX и a - характерный размер канала. У ионов при Е 〜1 МэВ "max 〜I。？《вклад квантовых эффектов пренебрежимо мал. Напротив, поперечное движение, скажем, электронов с энергией 1 МэВ, когда N〜1 ♦ 10, сущеетв енн(хкдантовоа.

Излучательные переходы между уровнями поперечного движения электронов наблюдаются на эксперименте в виде хорошо различимых линий в спектре спонтанного излучения. Из-за эффекта Доплера энергия испускаемых 7-квантов превышает расстояние между уровнями △£ 〜Uт^ IN max в，? раз (7 = Е/т^1 - лоренц-фактор).

Другой источник квантовых эффектов в каналировании - когерентность -рассеяния. Речь идет не просто об эффекте дифракции пучка на совокупности рядов и плоскостей решетки — отношение брэгговского угла к критическому, как правило, мало. Существо1 дела состоит в заметной вероятности туннелирования через потенциальный барьер, что приводит к зонной структуре спектра поперечных энергий. Она проявляется, в частности, при излучении, отвечающем квйзидискретным переходам в надбарьерной области спектра, происходящим даже в тех условиях, когда зонное уширение глубоких уровней недбарьерного движения совершенно незначительно.

Рассмотренные выше ориентационные эффекты, конечно, составляют лишь малую долю всего многообразия явлений в физике эффекта ка・ налирования^ но даже этого краткого обзора достаточно, чтобы обозначить обширный круг задач, стоящий на пути практического использования эффекта каналирования в прикладных исследованиях.

Уравнение движения

Итак, мы установили, что происхождение ориентационных эффектов связано с возникновением потенциального рассеяния в поперечной плоскости. Остановимся теперь более подробно на обосновании концепции непрерывного потенциала, принимая во внимание стохастический характер взаимодействия частицы с тепловыми колебаниями атомов решетки； Из условий п. 2, § 1.1 следует, что рассеяние каждой частицы происходит на "замороженной” конфигурации тепловых смещений атомов, поэтому в конечные результаты входит процедура усреднения траекторий пучка по известному пространственному распределению атомов решетки. При зтом оказывается, что "ломаную" траекторию частицы в решетке в первом приближении согласно § 1.1 можно представить как гладкую, однозначно определяемую усредненным по тепловым колебаниям атомов непрерывным потенциалом. Во втором приближении на нее в качестве малого возмущения накладываются угловые флуктуации, вызванные различием точного и усредненного потенциалов.

Осевое рассеяние. Будем следовать способу вывода уравнения движения частицы, в кристаллической решетке, намеченному в § 1.2. Рассмотрим небольшой участок траектории частицы вблизи атомной цепочки с колеблющимися атомами длиной △£, находящейся на расстоянии г от оси цепочки. Условие постоянства г выполняется, очевидно, при

Рис. 1.9. К выводу уравнения движения в непрерывном потенциале:о - положение траектории при осевом каналировании; б - при плоскостном; кружками указано положение колеблющихся атомов, стрелкой - суммарное приращение поперечного импульса -Рис. 1.9. К выводу уравнения движения в непрерывном потенциале:о - положение траектории при осевом каналировании; б - при плоскостном; кружками указано положение колеблющихся атомов, стрелкой - суммарное приращение поперечного импульса -

Рис. 1.9. К выводу уравнения движения в непрерывном потенциале:

о - положение траектории при осевом каналировании; б - при плоскостном; кружками указано положение колеблющихся атомов, стрелкой - суммарное приращение поперечного импульса -

Рис. 1.9. К выводу уравнения движения в непрерывном потенциале:

о - положение траектории при осевом каналировании; б - при плоскостном; кружками указано положение колеблющихся атомов, стрелкой - суммарное приращение поперечного импульса -

малом угле наклона траектории 8 к оси, когда смещение частицы в поперечной плоскости гораздо меньше всех характерных размеров зада* чи — расстояния до оси цепочки г или по крайней мере амплитуды тепловых колебаний атомов:

6△七《тах(?;〃)・(1.17)

На рис. 1.9 изображена проекция траектории частиц в поперечной плоскости при заданной конфигурации случайных тепловых смещений 勺 (точка а). В каждом Ам бинарном столкновении частица приобретав ет поперечный импульс А0,(汽)в направлении прицельного параметра соударения 久 =г - и,. Суммарный переданный импульс в К = △L/d столкновениях равен

К

△р = 2 Др. (s).(1.18)

г = 1“

Согласно центральной предельной теореме при К А 1 он мало отличается от своего среднего значения. В пренебрежении корреляциями между тепловыми смещениями среднее от Ар по распределению прицельных параметров, или. что то же самое, по распределению тепловых смещений (1.1), равно

(1.19)(1.19)Ар = К fduP (u)Ap(s).

(1.19)

(1.19)

(1.20)(1.20)Чтобы получить уравнение движения в поперечной плоскости, поделим обе 严сти уравнения (1.18) на время пролета △才=AZ/v, принимая во внимание выражение для угла рассеяния (1.2),乌 также равенство производных Э/Ss = Э/Эг. В итоге получим

(1.20)

(1.20)

dp/dr = -a’q/ar.

В этом выражении Uc (О обознаяает непрерывный потенциал, усредненный по поперечным тепловым смещениям атомов,

!^(r) = JduP(u)^ (|г - и|).(1.21)

Hajpic. 1.10 изображена форма усредненного непрерывного потенциала q (『) для функции экранирования Мольера при температуре решетки Т = 300 К. Амплитуда тепловых колебаний была рассчитана по дебаевской модели (см. приложение 1). Как видно из рис. 1.10, отличие потенциала Uc от непрерывного Uc заметно лишь в сравнительно небольшой области 夕W 〃・ Но все же это отличие качественное, если учесть, что непрерывный потенциал Uc(r) логарифмически расходится в точке г = 0. С ростом температуры значение %@х спадает- Отметим также, что за редким исключением у большинства монокристаллов амплитуда тепловых колебаний сравнима по порядку с постоянной экранирования, поэтому константа 《ах”/") варьируется в пределах q1Mx & 2 ♦ 4・ Значение максимума потенциала для кристаллов с большими^ таких, как вольфрам, достигает 冷 103 эВ.

Полученные результаты для отдельной атомной цепочки легко обобщаются на случай рассеяния частиц в кристалле. Из-за независимости приращении импульса в бинарных столкновениях (см. § 1.1) потенциалы атомных цепочек складываются. Напомним к тому же, что при выводе уравнения движения была существенна лишь производная от потенциала, а не его абсолютное значение. Это означает, что выбор точки отсчета потенциала можно считать произвольным. Дия положительных частиц обычно полагается равным нулю значение потенциала в точке минимума. С этими замечаниями потенциальный профиль канала в элементарной ячейке определяется как

U(r)= ^(g_1)_ %也. (1.22)

где вектор 1 определяет проекции атомных рядов в плоскости XY, a 4nm есть значение суммы в (1.22) в центре канала — точке, находящейся на границе элементарной ячейки и наиболее удаленной от всех цепочек (на рис. 1.2 она указана крестиком).

На рис. 1.10 изображены эквипотенциали U(r ), рассчитанные для протонов в кремнии при комнатной температуре. Осевое направление соответствует средней проекции на рис. L2. Видно^ что в широкой области значений г вокруг атомного ряда потенциал U (i) обладает аксиальной симметрией. Она нарушается лишь в центральной части канала г ~ d, но по абсолютному значению несимметричная часть значительно меньше максимума потенциала. Очевидно, что такая картина сохраняется только для низкоиндексных направлений, у которых граница ячейки находится на значительном удалении от цепочки.

Для большинства физически интересных следствий эффекта каналирования потеря аксиальной симметрии, связанная с точной формой по-

тенциала U (г), не имеет решающего значения. Поэтому элементарную ячейку для удобства вычислений заменяют круговой с площадью S。= =лго = Nd, приходящейся на одну атомную цепочку^ и центрированную в точке г = 0. Погрешность, вносимая таким приближением, того же порядка, что и при замене U ® 今 U。(г). В дальнейшем там, где это не будет вызывать недоразумений, под U(r) будет пониматься аксиально-симметричная часть точного потенциала U (г). практически совпадающая с усредненным потенциалом одной цепочки (различие составляет несколько процентов при г W 3 ♦ 5 а)・

Завершая обсуждение осевого рассеяния частиц в кристалле, приведем другую, более естественную инвариантную форму записи уравнения движения в поперечной плоскости - в переменных векторах угла наклона траектории, отнесенного к критическому углу 九 0 =p,/pW н *^пpивeдeннoй^^ толщины монокристалла z =丄屮.которая не зависит ни от энергии частицы, ни от характери(ггик решетки:

d8 1・、厂=-У £宀e =(締统d8 1・、厂=-У £宀e =(締统(1.23)(1.23)

d8 1・、

厂=-У £宀e =(締统

d8 1・、

厂=-У £宀e =(締统

(1.23)

(1.23)

Потенциальная энергия измеряется здесь в единицах критической энергии %ах， так "° U — uQmax。3TH переменные из соображений удобства и будут использоваться в дальнейшем.

Плоскостное рассеяние. Условие сильной корреляции бинарных столкновений (1.17) устанавливает однозначную связь между приращением поперечного импульса и расстоянием от частицы до оси атомного ряда. При большом угле наклона 8 更 屮 корреляция нарушается и рассеяние приобретает черты, присущие рассеянию в неупорядоченной среде. Возможна, однако, ситуация, при которой условие (1.17) нарушено, и тем не менее систематическое воздействие со стороны атомов решетки сохраняется. Это - случай падения пучка под малым углом к атомной плоскости кристалла, в котором корреляция между столкновениями задается условием постоянства расстояния от траектории до атомной плоскости х на достаточно большом числе столкновений: 8KAz 《max® u ). Наклон траекторий в перпендикулярном направлении бу при практической реализации эффекта плоскостного каналирования составляет угол порядка нескольких критических по отношению к одному из низкоиндексных направлений в плоскости. Это обстоятельство позволяет при выводе уравнения движения воспользоваться результатами, полученными выше для осевого случая. Атомная плоскость рассматривается при этом как совокупность плотноупакован- ных атомных цепочек [11, а траектория - как состоящая из отдельных участков длиной А£? параллельных плоскости. Длина проекции каждого участка в поперечной плоскости будет равна расстоянию между атомными рядами 山 (см. рис. 1.9,6).

Суммарное приращение поперечного импульса Ар# на пути △£ = =d]/8» усредненное по поперечным тепловым смещениям, теперь отличается от (1.19). Его проекция на ось У обращается в нуль, а в поперечном направлении оказывается равной

△р ^ К jdy f du Р (и) Д0 (s), К = -—. (1.24)

Выполнив интегрирование по у и поделив обе части уравнения (1.24) на время пролета △/ = M/v, получим уравнение движения по поперечной координате х:

疗。(К)Эх疗。(К)Эх(1.25)(1.25)

疗。(К)

Эх

疗。(К)

Эх

(1.25)

(1.25)

где 兀 00 — непрерывный, усредненный потенциал (1.13): 兄(X)= 3由(%)〃(1х-心|),

(1.26)

При выводе (1.26) использовалось очевидное соотношение

工@) = J d〃P(，x2 +『2)=— JdyU (4 + 俨)(1.27)

' So 0*°

Обощение на случай рассеяния частицы в кристалле выглядит совершенно аналогично осевому. В переменных ” = pJpW (угол) и z = =丄屮 (приведенная толщина кристалла) уравнение движения принимает вид

ех = х.ех = х.(1.28)(1.28)

ех = х.

ех = х.

(1.28)

(1.28)

где периодический потенциал У(х) складывается из потенциалов всех атомных плоскостей:

Г(Х)- "” - 7(т - "d》/ ЕГ(Х)- "” - 7(т - "d》/ Е(1.29)(1.29)

Г(Х)- "” - 7(т - "d》/ Е

Г(Х)- "” - 7(т - "d》/ Е

(1.29)

(1.29)

Здесь 々ах 一 максимальное значение выражения в скобках при х = 24

кк2 务〃 12 7Г〃 22 务〃 12 7Г〃 2

к

к

2 务〃 12 7Г〃 2

2 务〃 12 7Г〃 2

Рис. 1.11. Плоскостной (110) потенциал кремния, Т = 300 К：

(1.29); потенциал отдельной плоскости (1.13); ооо - гармоническое приближение

=0, а критический угол равен 屮卩=7 勺@乂似 Основной вклад в (1；29) дают потенциалы соседних атомных плоскостей. На рис. 1.11 изображу на форма потенциала У(х) в пределах элементарной ячейки. Даже для не слишком плотных атомных плоскостей влияние потенциалов соседних плоскостей заметно сказывается на значении максимума потенциала.

Заметим, что процедура суммирования периодически расположенных потенциалов изолированных атомных рядов и плоскостей эквивалентна суммированию по двумерным (одномерным) обратным решеточным векторам. Иногда такой способ записи потенциалов (1.22) и (1.29) предпочтителен, так как он в явном виде выделяет потенциальный фактор от фактора Дебая-Валлера, связанного с усреднением по тепловым смещениям. Для осевого каналирования имеем

U(r) = Е U (k) exp (—ikr - >- к21(}), 左С 2

Ug = Nd§ drUc (г)exp(ikr),

ДЛЯ ПЛОСКОСТНОГО

У(x) = S У (勺)exp (ik x 一 "2),

% (勺)=—f Jxexp ( i^x) У, (x), k* = -^~ PP

Интегрирование проводится в пределах элементарной ячейки.

Из рис. 1.11 видно, что форма потенциала в промежутке между плоскостями близка к параболической (штрихиунктир)

У(х) = (1 一 叫)2, х = 0 + dp,(1.30)

существенно упрощающей аналитические расчеты.

Релятивистские частицы. В малоугловом приближении спиновые поправки для угла рассеяния малы и выражение для переданного импульса Др (1.11) остается справедливым и для релятивистских частиц. Поэтому все полученные результаты без каких-либо оговорок переносятся и на релятивистский предел. Легко убедиться также в том, что иная связь полной энергии с импульсом по существу не меняет уравнений (1.23) и (1.28). В ряде задач, связанных с излучением, приходится учитьшать малую поправку порядка 1/7 = т с1 /Е в соотношении между временем пролета t = L/c и толщиной монокристалла L. Она следует из классического уравнения релятивистской динамики [10]

d / VE ) _ Зи

dt \ с2 J dr

Разделяя это уравнение на два уравнения — для поперечной v丄 и продольной vz компонент скорости и отбрасывая члены порядка v^/c2, получаем

где т - поперечная релятивистская масса.

Переход к притягивающему потенциалу у отрицательно заряженных частиц в уравнениях движения (1.33) и (1.34) осуществляется простой заменой U (г) ~ U (г) или У(х) -> 1 - У(х).

Примениморть приближения непрерывного потенциала. Совершенно ясно, что наряду с движением по гладкой траектории в непрерывном потенциале частица испытывает стохастическое воздействие со стороны колеблющихся атомов решетки. Формально возмущение траектории за счет такого воздействия обусловлено отличием точного приращения поперечного импульса Ар от его среднего значения Др, Мера указанного отличия - среднее квадратичное отклонение D= (Ар — Др)2 будет подробно обсуждаться в гл. 2 в связи с задачей деканалирования. Здесь 26

же хотелось бы обратить внимание на тот факт, что приближение непрерывного потенциала остается справедливым до тех пор, пока возмущение траектории мало \/^斬 《1. Согласно центральной предельной теореме \/Б/А万1/\/^ поэтому соответствующий критерий

применимости непрерывного потенциала сводится в совокупности с (1.17) в осевом случае к условию

Wd < max (к, г),(1.31а)

в плоскостном случае к условию

< max (U, x).(1.316)

Исторически сложилось так, что обоснование концепции непрерывного потенциала, впервые сделанное в работе Линдхарда [6], основывалось на условии сохранения поперечной энергии в серии бинарных столкновений с атомами идеальной цепочки. Соответствующее условие применимости сводилось в [6] к требованию 8 V 屮口，где

y

ZZzje?

-критический угол Линдхарда - угол падения пучка на цепочку, при котором расстояние наибольшего сближения ^установится порядка а. Следует отметить, что вклад "днскретностн" в рассеяние, вызванный различием непрерывного двумерного и точного трехмерного потенциалов идеальной цепочки, дает гораздо более низкую границу применимости приближения непрерывного потенциала по энергии частицы, нежели соотношение (1.31а), что связано с влиянием тепловых смещений. Более подробно этот вопрос будет освещен в § 35

Сложные решетки. Развитый метод вывода уравнений движения в монокристалле легко обобщается на случай сложных решеток с разными по значению зарядами ядер подрешеток. Исходя из условия независимости приращении поперечного импульса в серии последовательных столкновений с постоянным удалением от атомной цепочки, можно считать, что на каждое приращение импульса Ар, /-го сорта атомов с зарядом Z. приходится промежуток времени, равный т. = djv (d.- среднее расстояние между соседними атомами Его сорта). В результате потенциал атомной цепочки оказывается равным

где индекс i с чертой усреднения означает использование Лго значения

средней квадратичной амплитуды тепловых смещений р.. Аналогично для атомной плоскости получаем

Равновесные распределения

После влета в кристалл однородный пучок частиц под действием непрерывного потенциала полностью перестраивается. Мера этой перестройки, которая и определяет роль эффекта каналирования в процессе рассеяния, исчерпывающим образом отражается в поведении функции распределения частиц в фазовом пространстве. Она. представляет собой плотность числа частиц в элементе объема фазового пространства, прошедших слой монокристалла толщиной z・ Последовательный расчет функции распределения, вообще говоря, предполагает знание траекторий движения частиц в кристалле. Но эта задача даже с использованием простых модельных потенциалов чрезвычайно трудоемка.

Однако наиболее важные в качественном отношении следствия эффекта каналирования можно выявить ценой некоторого огрубления функции распределения. Речь идет о пренебрежении в ней толщиной (или, что эквивалентно^ временной зависимостью) функции распределения. Действительно, при объяснении многих ориентационных эффектов вовсе не обязательно знание временной эволюции пучка. Например, в экспериментах с низким энергетическим разрешением измеряются только усредненные по периоду движения характеристикн потока. Оставляя пока открытым вопрос с деталях соответствия точной и приближенной функций распределения (он будет обсуждаться в следующей главе) ? обратимся к стационарной задаче.

Плоскостное каналирование. Наиболее простая в теоретическом отношении задача — это плоскостное каналирование. Она решается в двумерной фазовой плоскости (х, 8工).В общем случае функция распределения F(tt х, 0х) подчиняется уравнению Лиувилля, следующему из условия сохранения объема в фазовом пространстве вдоль траектории (1.28):

Эг Эг 1 ЭУ 3F

& х Эх 2 Эх 3%

Чтобы исключить из всех дальнейших соотношений энергетическую зависимость, так же как и в предыдущем разделе, здесь введены без-

размерные переменные: непрерывный потенциал будем измерять в единицах высоты барьера У^^ угол % = Pjp - ^единицах критического угла % а вместо переменной времени введем "приведенную'' толщину монокристалла z = vf% Тогда стационарное уравнение непрерывности (1.32) переходит в

(1.33)(1.33)bF1 ЗУ 3F

(1.33)

(1.33)

8 -，---…—-=О

* Зк2 Эх 3%

с условием нормировки dp

/ dxf dO FQc. %) = 1. о **

Решение уравнения (1.33) с произвольными граничными условиями удобно выразить через микроканоническое распределение

&(%, %) =L 3(£ - 唯 一 У(х)),(1.34)

относящееся к заданному значению попереодой энергии и являющееся решением уравнения (1.33).

Из условия нормировки следует, что

dp/2 dx

@ =丿 V^，(ЗА

где х€ - расстояние минимального сближения частицы с атомной плоскостью, находящееся из соотношения У(%£)= е. По своему смыслу 7(e) пропорционально периоду траектории частицы. У каналированных частиц, как это видно из рис. 1.4, период равен 4Т, у надбарьерных 27.

Зная начальное распределение частиц по поперечной энергии р0 (е), находим

尸® %) = /de%(“占 ％)・(1.35)

助口 функции Ро (е) определяется граничным условием для F. В частности, в режиме прохождения (см. q 6 на рис. 1；5) пучок частиц падает извне на поверхность кристалла под углом 0О к выбранной совокупности кристаллографических плоскостей. В точке влета х0 частица приобретает поперечную энергию е0 = У(х0) + 8：・

Отсюда, учитывая пространственную однородность падаюшего пучка на поверхности, для начальной функции распределения получаем [11]

(1.36)(1.36)dp/22

(1.36)

(1.36)

Po（£）Po（£）J dx()3(e —兆—У(л：о)) = |У；*1，

Po（£）

Po（£）

Оdp к

где координата х* находится из уравнения

У(/) = £ - %

а поперечная энергия заключена в интервале 8； < е < 8； + 1 •

Доля каналированных частиц, вычисленная из (1.36), равна

2К1

{ = / Po(e)de = ‘

0dP

где во + У(%1) = 1.

Подстановка выражения (1.36) в (1.35) дает функцию распределения 尸(х, 8%) для произвольного угла падения пучка 0。：

dp/2 人1

尸 8 О =— f d%F a，%) = |号*|・(1.37)

P£ P

Пространственная плотность частиц находится из (1.37) интегрированием по углу:

2 dp/2

〃(х) = Jdepo(£)〃 (%)=—— J dxQn (к).(1.38)

e dp °%

Здесь она выражена через плотность частиц для заданной попереч

ной энергии:

空(%) = Jd%£式%. х) = (2Т*£ 一 УС))〕(L38a)

Вне области доступного движения х€< х <d - х€ плотность равна нулю. В пределе е 今 8 плотность пучка стремится к однородной: м(х) ~ △ %(%) = 1/%・

В гармоническом приближении при нулевом угле падения интегрирование в (1.38) дает

Из этого выражения видно, что пространственное распределение частиц в канале существенно неоднородно. Эффект группировки частиц под действием непрерывного потенциала в центреканала - так называемый пикинг-эффект (flux-peaking) широко используется на практике для определения местонахождения примесных и собственных межузельных атомов в решетке (см. гл. 8).

У электронов в соответствии с замечанием нас. 17 доля захваченных в канал электронов { спадает с ростом угла падения быстрее, чем у положительных частиц. В этом легко убедиться, использовав при расчете 1С гармоническое приближение. С заменой У -* 1 - У для электронов следует, что

Г V 1 ~ ®о, ионы;

I = <

°［丄一8о，электроны.

Осевое каналирование положительных частиц. Аналогично плоскостному случаю уравнение для статистической равновесной функции распределения в фазовом пространстве (г, 6) запишется в виде

(1.39)(1.39)"18и 8戶

(1.39)

(1.39)

О — — = 0.

dr2dr Э6

Здесь также введены безразмерные переменные угла 0 = pJpW и потенциала и(г)/%ах・

Условие нормировки

Sdr!d6F(r9 0) = 1.

Пространственное интегрирование по г производится в пределах двумерной симметричной ячейки (см. рис. 1.1), приходящейся на одну атомную цепочку, а интегрирование по углу - в бесконечных пределах. Решение уравнения (1.39), отвечающее заданной поперечной энергии €, запишется в виде

分(г,е)= — 5(€ - U(r)-俨)、分(г,е)= — 5(€ - U(r)-俨)、(140)(140)

分(г,е)= — 5(€ - U(r)-俨)、

分(г,е)= — 5(€ - U(r)-俨)、

(140)

(140)

где 5 e - площадь классической доступной области движения,, Jdr»(e - U(r)), 0 < € < 1;

S€ 二 “ So, €> 1.

Здесь So — площадь ячейки, а »(х) - ступенчатая функция:

1, х》1；

»(%)= 1 0, х < 0.ED

Функция распределения частиц для произвольного граничного условия выражается через распределение (1.40) и начальное распределение по поперечным энергиям р0 (е):

(1.42)(1.42)F(r,e)= jdepQ(e)Fe^ 鈑・

(1.42)

(1.42)

Для случая падения пучка частиц на поверхность кристалла под углом 8о к выбранному кристаллографическому направлению начальная функция распределения р0 (е) равна

Ро (е) =— Jdqb(€ — ®о — и(в)).(1.43)

Интегрирование ведется в пределах элементарной ячейки. При написании формулы (1.43) было учтено, что на поверхности кристалла поток однороден, а каждая частица, попадая в точку Гр приобретает поперечную энергию е()=稣 + U (ip.

Все особенности начального распределения (1.43) по поперечной энергии аналогичны уже рассмотренному плоскостному (1.36). Для доли каналированных частиц имеем

/ = } P^de ^ — fdrQ^U(rQ) - 1 + el).(1.44)

°0So

В приближении круговой элементарной ячейки (см. § 1.3) полученные формулы упрощаются. Площадь доступной области равна

я (г о - 0, е < 1；

е ［叫 е > 1； U&) = е.

Функция распределения (1.42) переходит в

2 飞 driri

尸(％ 8) = — J 5(б0 - U("-吟,

So °

а доля каналированных частиц в

{ = 1 —，；/小 U&i) = 1 —呢.

Поток, т.е. пространственную плотность частиц в кристалле, удобно выразить через соответствующую плотность в доступной области /)：

w(r) = fdepo(€)ne(r),(1・45)

где

»& - * е《1；

пе(г) = <(1.46)

, е〉1・

S。

Интегртрование в (1.45) с учетом (1.43) и (1.46) дает

и0=^+ V/. #-'"(…

(147)(147)Г ^0, Г < 飞；[У > Го,

(147)

(147)

где ri，尸2，'* определяются из соотношений

")=б0； U (г.) =1-”;

U(〃)= U&) — 眛

Первое слагаемое в (1.47) представляет собой однородный вклад в поток надбарьерных частиц, второе — каналированных.

Зависимость потока от угла падения показана на рис. 1.12. С ростом 0О и уменьшением доли каналированных частиц поток становится более пологим, переходя при б。= 1 в константу 1/SO. При нулевом угле падения интегрирование в (1.47) дает

打⑺打⑺(1.48)(1.48)

打⑺

打⑺

(1.48)

(1.48)

Рис. 1.12 Зависимость пространственной плотности пучка протонов Н* в канале < 110> Si = 300 К от угла падения 0О = = 0(1); 0,2⑵ 0,7⑶：

00=0, 0= 1

Пикинг-эффект при осевом каналировании, как это следует из сравнения выражений (1.48) и (1.38), выражен еще сильнее, чем при плоскостном. Логарифмическая особенность в центральной части канала при，〜，о является следствием пренебрежения начальным угловым разбросом падающего пучка, а также эффектами многократного рассеяния (см. гл. 3)・ Учет углового разброса с эмиттансом а вблизи направления 0о сводится к усреднению начальной функции по нормальному распределению*

、1 f ® - во)21 /、

Рс(£)=JdGexp - Ро (в).

° 27roI 2。

Выполнив интегрирование по углу? получим

(1.49)(1.49)1 「°

(1.49)

(1.49)

Ро (е) =—TS dr г ехр

& I I

где б? = € - U%), а % (х) = е~хIQ(x) - модифицированная функция Бесселя.

Осевое каналирование электронов. В отличие от положительных частиц осевое каналирование релятивистских электронов финитно. Поэтому адекватное описание траектории каналированного электрона требует введения дополнительного интеграла движения. В приближении круговой ячейки потенциал U(r) аксиально симметричен, поэтому вторым интегралом движения может служить угловой момент М = [р^г]2； в безразмерных единицахр^ он равен М= [ 0х г]^.

Нормированное решение уравнения (1.39) для отрицательно заряженных частиц имеет вид

尸(厶 8) = 2— 8(е - и - 62)3(М- [er]J.(1.50)

Тем-

Полупериод Т€М финитного движения в доступной области находится из соотношения

r2 dr 『2dr、

加=/ у = У /产)(L51)

产

а сама доступная область заключена в кольце rt < г <г2> где радиусы ，i и，2 являются корнями уравнения

е = Фм0 = ~ + %)•(1，51а)

Таким образом^ радиальное движение каналированного электрона происходит в эффективном потенциале % О зависящем от момента. Равновесное пространственное распределение частиц в кольце rt < < г < г2 получается из (1.50) интегрированием по 0:

^W =(%f必丐尸，f "〃珈⑺=L (L52)

Центробежный барьер не позволяет электронам приблизиться к атомной цепочке на расстояние ближе чем 〃. В этом сказывается определенное сходство между электронами в осевом канале и положительными частицами.

Заметим? что при допустимых значениях момента высота центробежного барьера в положительной области поперечной энергии не превышает нескольких процентов 4n@х • Зтосв只занос относительно медленным спаданием ~ 1/г потенциала атомной цепочки при г > 2а. Поэтому с хорошей точностью можно считать, что все финитные состояния поперечного движения ограничены сверху значением е = 1.

Начальное распределение каналированных электронов по попереч* ной энергии и угловому моменту при падении на поверхность монокристалла находится из условия, что в точке входа г, электрон приобретает поперечную энергию ео = 0о + ^(々)и угловой момент М = = 仇г]. Это приводит к выражению

Po(G M =——Jd*(e -羽-。(咽5(〃— [eor.]).(1.53)

So

Интегрирование по начальной координате в (1.53) дает [12]

Ро (в, М)^7 一 一“_7(L54)

行。一"2 I

где значение момента М, дается соотношением

Mf = eQrf,"兆 + U(r^.

Заметим, что независимо от угла падения существует максимальное значение / ах，11PH котором еще возможно финитное движение, определяемое из условия: пйпФ” = 1. Кроме того, при МФ 0 заполнен- 做max

ные состояния по поперечной жергии начинаются с некоторого значения, находящегося выше минимума эффективного потенциала (ср. с рис. 1.8). Это означает, что практически все электроны двигаются по эллиптическим траекториям. И лишь при одном значений момента 乂卜=8炉卜 электрон может двигаться по круговой орбите радиуса г^ (猊」%I，

В над барьерной области инфинитного движения равновесную функцию распределения, так же как у положительных частиц, можно считать не зависящей от момента

尸(В/)5(е - в2 - С/(г)), "о

а плотность совпадающей с 1/SO.

Зависимость доли захваченных в режим каналирования электронов от угла влета, как и в плоскостном случае, характеризуется более резким спадом при небольших углах по сравнению с ионами. При 8。= =0 основная масса частиц сосредоточена вблизи энергии е= 1. Поэтому даже небольшой сдвиг пучка от направления 0О =0 приводит к попаданию большинства частиц в надбарьерный режим движения. Повышенная чувствительность фракции наиболее низколежащих состояний к начальному угловому разбросу наблюдается и на опыте [5].

ЭсЬфект тени

Пространственная неоднородность потока частицу канале приводит к угловой анизотропии интенсивности близких столкновений. Чтобы понять как это происходит, вычислим выход продуктов реакции при условии малости сечения вторичных процессов, о《а?〉связанных с близкими столкновениями, что позволяет считать их точечными.» т. е. происходящими в месте встречи частицы и ядра атома решетки. Вследствие этого выход продуктов реакции [обратного рассеяния, характеристического рентгеновского излучения (ХРИ), продуктов ядерной реакции] пропорционален перекрытию пространственной плотности каналированных частиц и атомов решетки.

Плоскостная тень Абсолютный выход рассеянных частиц в монокристалле толщиной 丄 равен

dp/2

= 2cLNdn / dxP (х)п(х).(1.55)

сР 0 人

На опыте часто измеряется не абсолютный, а нормированный выход продуктов реакции, отнесенный к соответствующему значению в аморфной среде 0ам ти измеренному в случайном направлении (далеком от низкоиндексных) в том же монокристалле. Поделив (1.55) на бам = NgL и распространив верхний предел интегрирования в (1.55) до беконечности (это можно сделать, так как dj〃 > 1)丿 получаем

Х(8о)=生~ = — J dxP (х)п(х). (1.56) 4M 2 0 х

Другая полезная формула для нормированного выхода, выраженная через распределение по поперечной энергии, следует из подстановки в (1.55) выражения для потока (1,38):

(1.57)(1.57)Х(8о) = fdep(€)П(е).

(1.57)

(1.57)

Функция П(€)— нормированный выход для частиц с заданной по- 1еречной энергией.

(1.58)(1.58)1 у dx& (х) ге Je- У(х)

(1.58)

(1.58)

Из этого выражения видно, что интенсивность близких столкновений для каналированных частиц экспоненциально спадает с увеличением расстояния минимального сближения П(е) 〜 ехр(т；/2伙？), и в этом их главное отличие от над барьерных частищ у которых П 1.

С начальным распределением Ро(£) (1.36) выражение (1.57) переходит в

Х(8о)= 士 X б/х0П(е0).(1.59)

dp О

Угловая зависимость выхода, рассчитанная по формулам (1.58) и (1.59) [11] с потенциалом Мольера, представлена на рис. 1.6. (пунктир). Провал в интенсивности при малых 0О связан с отмеченным выше экспоненциальным спадом П, в результате которого в рассеянии участвует лишь узкий по энергии е слой частиц се ~ 1, локализованных вблизи точки，£ = 0 шириной Ах ~ 仇 ・ Брустверы распределения, максимальное значение которых заметно превышает единицу, являются следствием " зависания” частиц над барьером.

Значения важнейших параметров тени — минимального выхода 小也 и ширины провала на середине высоты 屮“？ в приближении статического равновесия несколько отличаются от результатов машинного моделирования. Так, в гармоническом приближении аналитический расчет дает значение Xmin 二 4#/^3/2^, отличающееся от точного значения, которое получено в рамках модели бинарных столкновений, более чем в 2 раза. Еще более сильно различие в высоте бруствера тени. Главный источник расхождения - многократное расеяние на тепловых колебаниях атомов. Оно особенно велико у частиц с поперечной энергии е ^1, дающих основной вклад в интеграл (1.58).

Полученные результаты для формы тени могли бы быть получены совершенно иначе - в геометрии прямой тени (см. рис. 1.5), когда источником частиц являются атомы решетки. Согласно свойству обратимости классических траектории (к вопросу о его применимости мы вернемся позже, в гл. 3) формы прямой и обратной теней должны совпадать. Полезно еще раз воспроизвести вывод выражения для выхода прямой тени, так как он использует равновесные угловые распределения частиц в канале, с которыми мы еше не сталкивались. Воспользовавшись микроканоническим распределением (1.34), имеем

(©о) = J ^х06 (е - У(хо) — %)•

£2%0

(1.60)(1.60)Чтобы получить распределение частиц по поперечной энергии р®・ учтем, что в момент вылета под углом 8 к атомной плоскости частица приобретает поперечную энергию е =俨 + У(〃％). Считая начальное распределение по углам вылета изотропным, получаем

(1.60)

(1.60)

Р(е) = SdOSdu^^b^ 一 М 一 Y^u^).

Как легко проверить, результат усреднения углового распределения )^(9о) по распределению (1.60) совпадает с (1.59).

Осевая тень. Выход обратного рассеяния при осевой ориентации падающего пучка вычисляется аналогично (1.56):

(1.61)(1.61)X(G) = S0/drP(r)W(r).

(1.61)

(1.61)

Или выраженный через нормированный выход частиц с поперечной энергией е:

(1.62)(1.63)(1.62)(1.63)Х0) = /</ер(е)П(е) = — Jdron(eo). So

(1.62)

(1.63)

(1.62)

(1.63)

где

П(е) = So/drP (r)we(r).

П(е)=《厂 expП(е)=《厂 expВ приближении круговой ячейки зависимость выхода от расстояния минимального сближения г€ выглядит особенно просто:

П(е)=《厂 exp

П(е)=《厂 exp

(1.64)

Результаты расчета выхода (1.62) для протонов в кремнии в сравнении с результатами машинного моделирования для двух различных энергий в рамках модели бинарных столкновений приведены на рис. 1.6. Хотелось бы обратить внимание на отсутствие брустверов у углового распределения, рассчитанного в приближении непрерывного потенциала, что и отличает осевой случай от плоскостного. Форма углового распределения совпадает с точным результатом только в случае большой энергии частицы (см. сплошную кривую на рис. 1.6). Между тем в выбранных нами безразмерных переменных никакой энергетической зависимости, казалось бьц не должно быть.

Объяснение этому факту лежит в ограниченной применимости исходного предположения о пропорциональности выхода перекрытию потока и атомной плотности*Р(г). Поясним это на примере прямой тени, повторив рассуждения, предшествующие выводу формулы (1.60). Мы полагали, что, вылетая из атома под углом % частица приобретает поперечную энергию £о = 8 + U(，) с вероятностью Р(，). Совершенно ясно, однако, что приращение поперечного импульса и связанное с ним ''включение” непрерывного потенциала U (г) происходит несколько позже, в момент соударения частицы со следующим атомом, когда частица успевает сместиться из первоначального положения г в поперечной плоскости на расстояние ~ Wd・ Анализ, проведенный в [6], показал, что наименьшая погрешность в определении поперечной энер*

уии получается, когда е определяется в плоскости, лежащей посредине между источником и первым сталкивающимся атомом< т. е. отстоит от г на расстояние 6d/2・ При этом начальное распределение поперечных энергии дается выражением

Р* (е) = — jd"dZ(e -俨一 U(7*))P(办(1.65)

где

F* = г += /产 + ~— + 0dcos<p.

Угловое распределение частиц с поперечной энергией е находится интегрированием по координатам ячейки микроканонического распределения (1.40):

Хе(®о) s - / 力:〃6(£ - U(rd)-羽). 「о о

Результат усреднения функции 左仇)по распределению (1.65)

Х(9о) = fdep* (е)хе(®о)(1.66)

в пределе ^d < U или 产=г совпадает, очевидно^ с (1.62). Расчетная кривая (1.66) на рис. 1.6 (сплошая линия) в приближении полуплоскости дает правильную энергетическую зависимость бруствера тени и уже хорошо согласуется с точным результатом на основе модели бинарных столкновений и экспериментом.

Важнейшая характеристика осевой тени - минимальный выход /in = Х(。) так же сильно подв^жена влиянию многократного рассеяния, как в плоскостном случае. Значение %山，полуденное по упрощенной формуле (1.62)? замечательно тем, что не содержит в себе зависимости вида потенциала

= 2"2用.(L67)

Результаты машинного моделирования [13] и эксперимента [14] подтверждают квадратичную зависимость %皿 от амплитуды тепловых колебаний, однако дают гораздо больший коэффициент пропорциональности, что связано с гипотезой статистического равновесия и эффектом многократного рассеяния. В целом эта величина оказьюается довольно чувствительной к начальному угловому разбросу падающего пучка, рассеянию на поверхностных аморфных пленках, а также сдвигу источ- 40

ника из узла решетки. Все это позволяет использовать результаты измерения минимального выхода в прикладных исследованиях - для изучения структуры реальных кристаллов и особенностей протекания ядерных реакций (см. гл. 8.).

Глава 2. РАССЕЯНИЕ БЫСТРЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ТОНКИХ МОНОКРИСТАЛЛАХ

Осцилляции потока прй плоскостном каналировании

В предыдущей главе мы не интересовались зависимостью угловых и пространственных распределений от толщины. Считалось, что единственным параметром, различающим частицы, является поперечная энергия, остающаяся неизменной на траектории движения. Оставался в тени и вопрос о том, каким образом однородное на поверхности монокристалла пространственное распределение ・ частиц преобразуется в статистически равновесное, полностью определяемое видом непрерывного потенциала. Эти вопросы приобретают особую важность в тонких монокристалла% где для объяснения целого класса явлений называв*, мых неравновесными, требуется более детальная проработка задачи рассеяния, нежели даваемая приближением поперечной энергии. С одной сторон吗 фазовое различие траекторий движения приводит к осциллирующему поведению всех характеристик потока частиц в кристалле. С другой - многократное стохастическое рассеяние частиц на тепловых колебаниях атомов и электронах приводит к изменению самой поперечной энергии» В этом смысле термин ^^тoнкий^^ кристалл будет относиться к толщине порядка £ ~ 10 -г 102Т<£ j при которой неравномерность распределения выражена достаточно явственно, а многократное стохастическое рассеяние можно еще рассматривать как малое возмущение» В этой главе мы ограничимся рассмотрением чисто потенциального рассеяния, происходящего в непрерывном периодическом потенциале атомных рядов и плоскостей кристалла.

Несмотря на кажущуюся простоту задачи плоскостного каналирования частиц, трудности на пути количественного анализа функции распределения F(z, %, х) кажутся практически непреодолимыми. Связано это с тем, что задача эволюции нелинейного осциллятора не имеет решений в элементарных функциях. Тем не менее часть наблюдаемых характеристик неравновесных процессов удается достаточно точно объяснить на основе простых модельных потенциалов.

Общий подход в задаче рассеяния частиц, трактории которых подчиняются уравнению движения, основан на уравнении Лиувилля (1.36).

В безразмерных переменных оно имеет вид

а尸 а尸 1 ay а戶_

3z x Эх 2 9x a%

Приведенная толщина z в (2.1) выражается через толщину кристалла L соотношением z = Ljp. Трансляционная симметрия потенциала У(х) учитывается периодическим условием для функции распределения на границе ячейки в точках х = 0 и х = dp (см. § 1.3).

Решение уравнения Лиувилля с любыми граничными условиями будет удобно предстшить через дельтаобразное распределение, связанное с уравнением траектории x(z, к。, 0хО), являющимся решением уравнения движения (1.28):

3(z, х, %; Хо, б。)= 6(х - x(z, %, Go))5(8 - &)?(2.2)

где

% =完 ％ -上二；％ = х(0); 8。=%(0).(2.3)

Например, в случае падения пучка на кристалл под углом 8。распределе- roie частиц в фазовом пространстве представляется с помощью функции г посредством соотношения

22(2.4)(2.4)d〃2 八

2

2

(2.4)

(2.4)

/ d%F(z; x, %; x0, 8o)・

Пространственная плотность пучка получается из 尸 интегрированием по углу 8. Результат интегрирования можно записать в виде

п(29 х) = ^п(29 х) = ^Эх (z, ^о, хрЭх (z, ^о, хр(2・5)(2・5)

п(29 х) = ^

п(29 х) = ^

Эх (z, ^о, хр

Эх (z, ^о, хр

(2・5)

(2・5)

где сумма берется по всем решениям уравнения 買z, б。，х*) = х

В гармоническом приближении уравнение траектории выглядит особенно просто:

(2.6)(2.6)х =%mSin3(z + z。)； tg3Zo = зХаШ、

(2.6)

(2.6)

况 + У(Хо) = У(Хт)，3 = 2/%

Рис. 2.1. Осцилляции пучка в кристалле Q) и энергетический спектр пучка ионов Не+3 Е = 2МзВ, обратнорассеянных в плоскости (НО) Ge при Т = 300К ⑹

и при нулевом угле падения из (2.5). (2.6) получаем

• 3(|cos3z I - 2|x|/d )

久(X z)=；;L一.

dplcoswz I

Таким образом, плотность каналированного пучка осциллирует с периодом 2Г = тг/з = irJp/2 (илиу вернувшись к толщине кристалла с периодом, Lq = 7rdp/2屮卩)・ С осцилляциями плотности тесно связа* ны осцилляции выхода обратного рассеяния, предсказанные Барретом (131 и наблюдавшиеся на эксперименте [16] (см. рис. 2.1). Максимум выхода достигается в момент пересечения потоком области максимальной плотности атомов: х = 0、dp ... (см. рис. 1.3,6) • Происходит это на толщине zn = 2nTt где л = 0, lt 2 .... Если обратное рассеяние регистрируется на межузельных дефектах, расположенных в центре канала, а не на ядрах кристалла, то вся картина осцилляций оказывается сдвинутой на четверть периода [16].

Наблюдаемые на опыте осцилляции выхода быстро затухают; причины этого — ангармонизм потенциала, начальный угловой разброс и многократнсГе рассеяние. Что касается первого фактора, то отличие фор-

—,е < 1;dP2я\/Гdp arccos (€ I/?)—,е < 1;dP2я\/Гdp arccos (€ I/?)(2.7) > 1.(2.7) > 1.

—,е < 1;

dP

2я\/Г

dp arccos (€ I/?)

—,е < 1;

dP

2я\/Г

dp arccos (€ I/?)

(2.7) > 1.

(2.7) > 1.

Рис. 2.2. Зависимость периода осцилляции в канале от поперечной энергии:

— — ионы;— электроны

мы потенциала от параболической наглядно демонстрируется зависи* мостью колебаний з частицы в канале от поперечной энергии (рис. 2.2). В центральной части канала форма потенциала близка к параболической и зависимость частоты з = тг/2T от поперечной энергии сравнительно слабая. Максимум длины волны колебаний приходится на центральную часть канала, где амплитуда колебаний минимальна. Корневая особенность Т ~ l/\/Fвблизи точки € = 1 связана с эффектом зависания над барьером. При переходе в надбарьерную область поперечных энергий частота практически скачком увеличивается вдвое вследствие условия "сшивки" траектории на границе ячейки (см. рис. 1.3, 6). Тем же самым объясняется и постепенный рост з с повышением е. В гармоническом приближении

Следует отметить, что выход x(e(),z) (1.56) ck(x z) (2.5) формируется в основном частицами с поперечной энергией, лежащей вблизи вершины барьера е ~ 1, где ангармонизм особенно велик. В таких условиях полная фаза траектории 9= 3Z,а именно она определяет процесс периодического собрания или расхождения пучка в точках z〃. имеет тенденцию к перемешиванию. Поясним это на простом примере. Рассмотрим фазовую диаграмму толщинкой зависимости угла 9= з(е”. В начальный момент все фазы равны нулю, что соответствует положению частиц на поверхности кристалла. Из-за различия частот, соответствующих разным радиусам движения е, фазы с тернием времени постепенно расходятся. Через достаточно большое время т фазы даже сколь угодно близких траекторий с q > G разойдутся под углом Ад 〜1, так что значение длины затухания т можно оценить как

(2.8)

Через время т наступает явление перемешивания - распределение фаз по кругу станет близко к равномерному П5].

Подобные рассуждения приводят к простой-<щенке влияния ангармонизма потенциала на длину затухания осцилляций т. Энергетический слой траектории частиц, участвующих в обратном рассеянии с х^《〃. имеет вид Де У'(*)衣.Различие частот при е ~ 1 характо)изуется постоянной ангармонизма d^lde ~ 1/Jp. Отсюда с учетом (2.8) следует, что осцилляции должны затухать на расстоянии порядка нескольких периодов т ~ 5 ♦ 10 Т Эта оценка согласуется и с экспериментальными наблюдениями [14,16].

Рассмотренный выше механизм перемешивания сам по себе еще не обеспечивает переход функции распределения (2.4) к статистически равновесной (1.44). Через достаточно большое время (цикл Пуанка* ре) все фазы вновь соберутся в одну точку. Численные расчеты пространственного распределения (2.5), выполненные в работе Эллисона [17], обнаружили довольно сложную картину эволюции потока как функции z, с разрывами и особенностями, которая даже отдаленно не указывает на тенденцию к установлению статистического равновесия в фазовом пространстве. Следует отметить, однако, что в большинстве прикладных задач измеряемые значения связаны не с мгновенным значением потока, а с его значением усредненным по некоторой глубине слоя, как правило, превышающей период осцилляций. Результат такого усреднения уже мало отличается от равновесного значения. Действительно, легко убедиться в том, что усредненное по периоду траектории дельтаобразное распределение (2.2) в точности совпадает с равновес*. ным — микроканоническим (1.38):

127$ 八1

——J dzF(z,x8J =——8(e 一 У -吁).

2% о%2%,%

И только зависимость периода траектории от е не позволяет распространить это утверждение на распределение в целом.

Зависимость периода траектории от поперечной энергии впервые исследовалась экспериментально в ставшей уже классической работе окриджской группы [18]. В ней измерялись энергетические спектры ионов, прошедших через тонкий слой монокристалла золота, в режиме плоскостного каналирования. Жесткая ориентация пучка и детектора (см・ рис. 1・5,б) позволила произвести селекцию траекторий по фазе. Испытав п осцилляций, в детектор попадали только частицы с длиной

6 z ± 2|z()I

волны Т = z/n — группа а либо с длиной Т = — группа

и

6・ Каждая группа траектории идентифицировалась по потерянной энергии, а сам факт существования этих групп свидетельствовал об ангармонизме плоскостного потенциала. В итоге наблюдаемая зависимость

Т(е) была использована для реконструкции потенциала У(х) с помощью соотношения

х(У) =— J 臂Г住)(У — ПТ*. 7Г О

являющегося обратным преобразованием функции Т(е) (1.34а).

Более детальный анализ экспериментов, направленных на определение непрерывного потенциала, требует введения в рассмотрение стохастического многократного рассеяния, поэтому мы еше раз к ним вернемся в следующей главе.

Осевое каналирование

По сравнению с плоскостным осевое каналирование в тонких монокристаллах имеет ряд особенностей, связанных с удвоенной размерностью задачи рассеяния. В этом параграфе мы обсудим два наиболее интересных явления, наблюдавшихся на опыте при использовании в качестве мишени тонких монокристаллов - осцилляций выхода обратного рассеяния и кольцевых угловых распределений прошедших частиц. И если первое явление связано с малыми углами падения в0 < 1 (или наблюдения в режиме обратной тени) и до некоторой степени аналогично эффекту осцилляция потока в плоскостном канале, то второе такого аналога не имеет и наблюдается при углах падения, больших критического.

Будем, как и прежде, исходить из уравнения Лиувилля в периодическом двумерном потенциале U(г), являющемся обобщением стационарного уравнения (1.37):

Решение этого уравнения, выраженное через дельтаобразное распределение P(z, % г) на траектории движения r(zt 0Ог Го)> совершенно аналогично (2.2). И все же прежде чем продвинуться дальше, будет полезно в качестве отправной точки количественного анализа функции распределения 尸(z, г, 0) начать с простой модели бинарного столкновения пучка с одной атомной цепочкой, предположив, что пучок падает на нее извне. Последнее условие означает пренебрежение неизбежным рассеянием на торцах цепочки прмипересечении пучком входной и выходной поверхностей монокристалла. Несмотря на простоту, описанная модель имеет прямое отношение к действительности и в частности, к экспериментам на прохождение частиц через тонкие монокристаллы под углом, большим критического (рис. 2.3). Интенсивность рассеянного

Рис. 2.3・ Геометрия осевого рассеяния пучка в тонком монокристаллеРис. 2.3・ Геометрия осевого рассеяния пучка в тонком монокристалле

Рис. 2.3・ Геометрия осевого рассеяния пучка в тонком монокристалле

Рис. 2.3・ Геометрия осевого рассеяния пучка в тонком монокристалле

пучка вследствие сохранения поперечной энергии расположится по кольцу радиуса 6 = х = 0 + 2тг.

Все особенности получаемого таким образом кольцевого распределения F (в9 х) в цилиндрической системе координат (г, 9, G, х) могут быть прослежены, пртнимая во внимание задачу рассеяния на одной цепочке. Уравнение траектории положительной частицы вблизи атомного ряда без рассеяния на торцах имеет вид

(2.10)(2.10)外=比+ U(浊 m = %Go.

(2.10)

(2.10)

В пределе z ->°° угол рассеяния в поперечной плоскости равен

△хОо)=△хОо)=тг — X/ = 2Afтг — X/ = 2Af号=,(z8)j号=,(z8)j(2.И)(2.И)

△хОо)=

△хОо)=

тг — X/ = 2Af

тг — X/ = 2Af

号=,(z8)j

号=,(z8)j

(2.И)

(2.И)

а нормированное угловое распределение

尸（X）=—

dx

G(z 今 8)= Go.

(2.12)

Cdx喙МCdx喙М(2.13)(2.13)Отсюда видно, что величина \dyQ/dx\ выполняет роль одномерного дифференциального сечения рассеяния do/奴. Подстановка потенциала типа U (г) = С/r в (2.12) дает

Cdx喙М

Cdx喙М

(2.13)

(2.13)

1 do(x)=——

4

Особенность вблизи начального направления связана с траекториями, имеющими большие прицельные параметры по отношению к цепочке, которые в кристалле не превышают расстояния di между цепочками.

Что произойдет^ если включить в рассмотрение взаимодействие частицы с соседними цепочками? Ясно, что интенсивное рассеяние в поперечной плоскости приведет к уширению распределения (2.12) по азимуту, которое увеличивается с толщиной кристалла. Просто оценить эволюцию углового распределения можно, предположив, что цепочки в поперечной плоскости расположены хаотично. Тогда с известным сечением рассеяния о(х)и плотностью цепочек Nd кинетическое уравнение для углового распределения запишется в виде

8尸"[^。丿严0)[尸g一"-尸仅)].8尸"[^。丿严0)[尸g一"-尸仅)].(2.14)(2.14)

8尸"

[^。丿严0)[尸g一"-尸仅)].

8尸"

[^。丿严0)[尸g一"-尸仅)].

(2.14)

(2.14)

Его решение для сечения (2.13) и дельтаобразного начального условия 尸(О, X)= 3 (х) дается выражением [19, 201

(2.15)(2.15)1 ch (z/zjyNdC

(2.15)

(2.15)

尸(X)= , z"1 =

27r ch (z/z ) - cosxGo

Уравнение (2.14) допускает и точное решение в виде ряда для произвольной формы сечения [20]

尸(х) =~ 7Г尸(х) =~ 7ГОО[=ОО[=exp(-z/z/cos〃x + 上，exp(-z/z/cos〃x + 上，(2.16)(2.16)

尸(х) =~ 7Г

尸(х) =~ 7Г

ОО

[=

ОО

[=

exp(-z/z/cos〃x + 上，

exp(-z/z/cos〃x + 上，

(2.16)

(2.16)

где

z丁 = 4NdG0 J da (x)sin2 .

〃о2

Из выражения (2.15) ясно прослеживается тенденция к установлению статического равновесия. При z > zc распределение частиц в кольце становится номерным. Хотелось бы подчеркнуть, что стохастич- ность в полученный результат была заложена предположением о неупорядоченности расположения цепочек в поперечной плоскости. Забегая

вперед, отметим, что похожий результат получается и в строгой постановке задачи рассеяния с регулярным расположением цепочек.

С уменьшением угла падения кольцо сжимается^переходя при 冃。< < 1 в один пик,центрированный в направлении цепочек.

На рис. 2.4 показаны экспериментальные профили [21] двумерного углового распределения протонов Е = 15 ГэВ (рис. 2.4,〃) и я--мезонов (рис. 2.4. б)? прошедших слой 0,7 мм монокристалла Ge вблизи направления <110> (положения сканирования схематически указаны на рис. 2.4 пунктирной стрелкой). Направление падаюшего пучка и его начальный угловой разброс показаны прямоугольником. Первые четыре профиля 1-4 соответствуют начальному углу падения, меньшему критического угла. Протоны дают минимум, я~-мезоны - максимум вблизи оси. Это означает, что угловая диффузия по поперечной энергии для хорошо каналированных отрицательных частиц гораздо сильнее, чем для положительных. Интенсивность рассеяния пучка по азимуту здесь почти лостоянна, что свидетельствует о наступлении статистического равновесия по поперечному импульсу. Профили 5- 7 соответствуют начальным углам 6。 = 1 ； 2. Здесь и у протонов^ и у я~-мезонов наблюдается минимум вдоль оси, причем статистическое равновесие наступает только у тг~-мезонов. И^наконеи? для больших углов падения (кривые 8-22) б。= 2 ♦ 3 равновесие воо&це не наступает.

Таким образом, тенденция к наступлению равновесия сильнее выра* жена у отрицательных, нежели положительных частиц> что. объясняется более сильным поворотом траектории в потенциале притягивающего типа. Заметим? что этот вывод не мог быть установлен из формулы (2.16), поскольку как у отрицательных, так и положительных частиц с потенциалом типа 1/г получается одинаковое выражение для угла рассеяния (2.12). Другой вывод, который подтверждает зависимость z。~ 1/в0 в (2.16) и следует из рис. 2.4? состоит в том, что частицам с более высокой поперечной энергией требуется больше столкновений с цепочками, чтобы наступило статистическое равновесие.

Что касается радиального распределения частиц по кольцу, то можно указать на две причины уширения последнего: многократное стохастическое рассеяние на тепловых колебаниях атомов (оно будет обсуждаться в следующей главе) и потенциальное рассеяние на торцах атомных цепочек на входной и выходной поверхности монокристалла. На входной поверхности распределение частиц по поперечной энергии находится в пределах е £ 呢♦(兆 + 1) с хорошо выделенным пиком

вблизи е = во (см. § 1.4). Выходной угол % = у/е - U(г^ для каж-

дой группы частиц с энергией е также сосредоточен вблизи угла 6『= =во> но Уже со стороны меньших значений % < “вплоть до 6f < 0О. Рбчь идет, в частности, о частицах, которые вошли в кристалл в цент-

ральной части ячейки г 〜Го> где U (г)〜0, а вышли в точке максимума потенциала (г 0), где U(г) * 1, в направлении, близком к на*

правлению оси.

—6 —q -z 0 Z 4 0 2 什也

Рис, 2.4. Профиль кольцевого распределения протонов (q) и я~-мезонов (б)

Интенсивность в кольцевом распределении как функция азимутального угла не является монотонной, как этого следовало ожидать из модели хаотического расположения цепочек (2.15).^Хорошо видимые провалы в кольцевом распределении по азимуту [21] отвечают направлениям выхода наиболее низкоиндексных плоскостей. Двигаясь в поперечной плоскости в направлении, соединяющем ближайшие атомные цепочки, с небольшим параметром столкновения, частица подвергается интенсивному азимутальному рассеянию и быстро покидает это направление. Такого рода эффект тени, но уже в поперечной плоскости совершенно аналогичен обычному эффекту тени (см. § 1.5). Ширина и глубина провала тени здесь тем больше, чем больше степень упаковки соответствующей плоскости： К этому вопросу мы еще вернемся в следующем параграфе в связи с задачей переходного режима каналирования. .

Многие детали температурной зависимости кольцевых распределений, а также формирования своеобразной звездообразной картины двумерного углового распределения за счет переходного режима каналирования ось-плоскость были выяцдены также в экспериментах с ионами [22]. Однако худшее соотношение между интенсивностью континуального потенциального и стохастического теплового (последнее здесь более выражено) механизмов рассеяния делают эксперименты с ультра релятивистскими частицами более предпочтительными с точки зрения надежности информации об эффекте каналирования.

Роль регулярности в расположении атомных рядов хорошо видна и в толщинной зависимости выхода обратного рассеяния [23]. В случае нулевого угла падения пучка частиц на кристалл, ориентирозанный в осевом направлении, временная (глубинная) зависимость выхода аналогична плоскостной (рис. 2・2)・ Отжатая от каждой цепочки аксиально-симметричная волна пространственной плоскости, распространяясь по радиусу, последовательно пересекает соседние атомные цепочки. Их расположение указано на рис. 1.2. В момент ее пересечения с координационными окружностями происходит всплекс интенсивности. Он отчетливо виден в месте встречи с первой координационной окружностью и второй, но не виден на третьей. Анализ траектории в поперечной плоскости <111> ОЦК решетки показал [231, что суммарную интенсивность второго пика определяют вовсе не атомы, лежащие на второй и третьей окружностях. Его происхождение однозначно связано с атомами четвертой координационной окружности. Причиной такого неожиданного поведения выхода является фокусировка потока атомами второй и третьей окружностей.

Интересно, что установившееся значение минимального выхода xmin заметно превышает равновесное значение, даваемое формулой (1.67). Схожая ситуация наблюдается в угловой зависимости х(。) 一 эффекте тени. Аналитический расчет, основанный на статистически равновесной модели (см. § 4.1), дает значение 屮刀？，большее точного результата,

следующего из машинных расчетов, приблизительно на 15%. Все эти различия связаны главным образом с нарушением гипотезы о статистическом равновесии.

Переход частиц из осевого канала в плоскостной (переходный) режим каналирования происходит при увеличении полярного угла падения пучка относительно кристаллографической оси при азимутальном угле, соответствующем направлению вдоль атомной плоскости. Коррелированные столкновения частиц с цепочками приводят к тому, что движение частиц в плоскостном канале может быть как устойчивым, так и неустойчивым в зависимости от времени удержания в плоскостном канале. Сами же фокусированные траектории частиц в поперечной плоскости могут быть классифицированы по двум группам: а) траектории начинаются и заканчиваются вблизи рядов; б) траектории лежат в плоскостном канале и осциллируют. Сама фокусировка осуществляется за счет одного из трех механизмов. Наиболее простой - фокусиробка двумя соседними рядами [24].

Фокусное расстояние здесь дается углом рассеяния на цепочке Дх(^) (2.11)：

1 16яДХ2 (д) 工 dQ

=, b = —— .(2.17)

/ d；M2

Кроме того, поскольку угол Дх(^) уменьшается нелинейным образом с увеличением прицельного параметра, возможна фокусировка и одной цепочкой. Геометрия такого рода рассеяния очень сходна с фокусирующим действием секторного магнита, используемого в масс- спектрометрии. И хотя область прицельных параметров, формирующих фокус, сравнительно невелика в обоих случаях, вклад фокусированных и осциллирующих траекторий в угловые и пространственные характеристики пучка оказывается весьма существенным.

Кроме явления фокусировки упорядоченность в расположении атомных цепочек приводит и к противоположному явлению, а именно блокировке пучка рядом соседних цепочек [24—26]. К нему мы еще вернемся в § 2.4 в связи с вопросом правомерности гипотезы о наступлении статравновесия в фазовом пространстве.

Рассеяние в сверхтонких монокристаллах

Двухчастичное рассеяние. Близкая к рассмотренной в § 1.5 ситуация возникает при рассеянии частиц в приповерхностном слое, когда один из поверхностных атомов создает тень частицами, рассеянных на другом атоме в более низколежашем слое. Заметим, что подобная двухатомная модель формирования тенн> предложенная Оуэном [27], была первым объяснением эффекта теней. Будем считать оба атома, атом-источник и атом, создающий тень, неподвижными, а угловое распределение час-

т叫 испущенных из атома-источника, изотропным. Тогда для конечного угла вылета G = 6。+ ^(dGo) (см. рис. 1.1) сразу получаем угловое распределение при фиксированном положении атомов (вдоль оси Z)

• 0, " %；

Здесь вс - точка минимума в зависимости 夕(б。) ： G‘ (6^) =0. К примеру, для кулоновской части непрерывного потенциала, AG = ^Ze1 )Ert значение 8c оказывается порядка критического угла каналирования: 0с = Cy/Ze^fEd (。芯 1 ・2)・

Чтобы учесть в угловом распределении относительные тепловые колебания обоих атомов 〃 = 〃2 - 7、усредним (2.18) по угловому смещению 0 = 〃/d оси, соединяющей о& атома:

xT(G) = Jdu尸(立2(6 - %)・ (2.19)

В центре тени интегрирование в (2.19) дает

ХДО) = 0e~°Ki(0), 0 =屮』〃2犬・ (2.20)

При больших значениях 0 (малая амплитуда тепловых колебаний) X? -> 0, что соответствует полной блокировке потока. Напротив, для малых 0 (большая энергия частиц) тень практически исчезает 石(0) Q 芯1.

Если весь процесс обратного рассеяния и затенения происходит в первых поверхностных слоях решетки, то направление минимума тени точно идентифицирует положение поверхностного атома. Это обстоятельство использовалось для определения степени деформации поверхностного монослоя [28], обусловленной наличием свободной поверхности, а также местоположением атомов эпитаксиального монослоя чужеродных атомов на поверхности кристаллов (29] (см. гл. 8).

Поверхностный пик. Будет полезно взглянуть на двухчастичную модель с другой стороны - с точки зрения обратного рассеяния. Если принять интенсивность обратного рассеянного пучка от первого слоя монокристалла за единицу,石=1, то доля рассеянных в случайном направлении частиц во втором сдое 沦 при нулевом угле составит значение, равное (2.20). Тень, созданная атомами первого монослоя перпендикуляр, но пучку, резко уменьшает обратное рассеяние на атомах второго слоя Ясно, что с увеличением глубины доля рассеянных с iwro слоя частиц бу дет все более уменьшаться. Легко видеть, что указанная картина рассеяния частиц на торцевых атомах цепочек имеет непосредственное отно-

шение ,к процессу формирования поверхностного пика в спектре обратно рассеянных частиц, упоминавшемуся в § 1.2. В прикладном плане исследование поверхностного пика оказалось полезным для изучения тепловых колебаний поверхностных атомов, поверхностных фазовых переходов и тонких аморфных пленок на поверхности монокристаллов [30] (см. гл. 8). В области энергий 1 МэВ; когда Wd《0, двухчастичной модели действительно уже недостаточно — для количественной интерпретации формы поверхностного пика следует учитывать рассеяние и на других атомах цепочки. Суммарный вклад в интенсивность обратного рассеяния можно интерпретировать как эффективное число слоев, дающих вклад в поверхностный пик при нулевом угле падения [31]： 吗ф = Е 麓(0) = j] Xmin(z) z〃 id".(221)

Каналирование и хаос

Вопрос об установлении статистического равновесия в фазовом, пространстве особенно актуален при осевом каналировании^ когда сложность и запутанность траекторий движения обращается в преимущество —они могут стать эргодиадскими и заполнить всю доступную область фазового пространства. В этом случае пространственные и угловые распределения частиц, как мы видели в § 1.3, становятся особенно простыми и допускают аналитическую трактовку. Нетривиаль- ность постановки задачи об эволюции распределения 尸(z, г, в) к статистически равновесному (1.40) связана с относительно малым вкладом в процесс перемешивания собственно стохастических механизмов рассеяния частиц - теплового и рассеяния на атомных электронах. Вместе с тем процесс рассеяния пучка на периодической двумерной решетке атомных рядов, казалось бы, должен бьпь регулярным. И тем не менее согласно существующим представлениям [32] динамический хаос может возникать даже в отсутствие случайных сил — только под влиянием периодического воздействия.

Определяющим фактором сто хаотичности движения частицы в двумерном потенциале является число интегралов движения [32]. Любое финитное движение с двумя интегралами движения будет регулярным и квазипериодическим. Если же в системе существует только один ин- теграл, движение будет стохастическим. Для положительных частиц один интеграл движения очевиден — это поперечная энергия. Второй интеграл - также поперечная, связанная с финитным движением каналированных частиц в плоскостном канале в сравнительно обширной области азимутальных углов, а также с гиперканалированием положительных частиц вблизи с = 0. Таким образом, существование второго интеграла движения доя положительных и надбарьерных отрицательных частиц вовсе не является обязательным [33,34].

Рис, 2.5. Сечения Пуанкере для протонов в кремнии <100)

Выявить меру стохастичности движения можно на основе метода сечений Пуанкаре [32]. Суть метода в следующем: траектория частицы в фазовом пространстве (F(z), 0(z)) лежит на трехмерной поверхности е " const. Рассмотрим точки пересечения фазовой траектории с некоторой плоскостью (у, %)? проходящей через край элементарной ячейки. Тогда в случае существования второго интеграла движения J совокупность последовательных пересечений траектории с данной плоскостью будет лежать на некоторой кривой у = у(ву, /), определяемой интегралом движения. В противном случае, когда второй интеграл движения отсутствует, точки пересечения случайным образом заполняют некоторую часть фазового пространства.

Результаты вычислений сечении Пуанкаре 口кн различных значений е представлены на рис. 25 Видно, что в зависимости от начальных условий для положительных частиц практически повсюду наряду с регулярным возможно хаотическое движение. В области хаотического движения, тде упо рядо ценность в расположении атомных цепочек несущественна, распределение точек близко к однородному. Для резонансного типа движения фазовый объем системы возврашается с течением времени в исходное состояние и статистическое описание невозможно.

В двумерном движении однородному распределению точек на поверхности сечения й постоянной пространственной плотности 〃£&) в доступной области соответствует микроканоническое распределение (1.40). Резонансная же область, занятая кривыми у 二 у(8у,力,у ионов соответствует повышенной плотности при больших г (см. рис. 2.3). Вопрос о том, как количественно определить подобное возрастание плотности, на которую указывают измерения xm，n [16] и энергетических потерь [35], требует дополнительного анализа.

В предыдущем параграфе мы уже видели, как эффект фокусировки и затенения положительных частиц регулярным массивом атомных рядов приводит к усилению потока вблизи атомных цепочек. Этот зф~ фект, приводящий в конечном счете к наблюдаемому на эксперименте

口6} и в машинных расчетах [13] увеличению %加 в 1,7 раз по сравнению с равновесным значением (1.77), может быть альтернативно интер* претирован как результат плоскостной блокировки аксиально каналированных частиц. Такая точка зрения наводит на мысль о концепции ограниченного равновесия, согласно которой из всего многообразия аксиально каналированных траекторий исключаются траектории, соответствующие планарному каналированию 一 блокировке [36]. Исходным пунктом концепции ограниченного равновесия является взаимосвязь между распределением по поперечному импульсу 6 и поперечной координате г. Как можно понять из результатов § 2.2, если распределение по 6 изотропно, то пространственное распределение, усредненное по глубине, соответствующее нескольким столкновениям с цепочками, будет также однородным. Усиление потока вблизи цепочек будет связано поэтому с анизотропией рассеяния, вызванной регулярным расположением цепочек в поперечной плоскости. На языке более общего подхода, сформулированного выше, это означает, что систематическое отклонение от статистического равновесия на изоэнергетической поверхности должно бьпь связано с существованием дополнительного (кроме е) интеграла движения, такого, например, как поперечная энергия плоскостного каналирования. Эти интегралы движения разделяют поперечное фазовое пространство на две части в зависимости от то叫 каналирует частица вблизи некоторой низкоиндексной плоскости, пересекающей данную ось, или нет.

Рассмотренная ситуация представлена на рис. 2.6,а, на котором показана стереограмма областей плоскостного каналирования вблизи оси <100> в кремнии для области 4 на рис. 2.6,6・ Заштрихованный круг представляет область 8 < %, расположенную вдали от оси. Плоскости занимают угловой интервал ~ 2屮卩.Облаф! блокировки пучка по азимуту указаны штриховкой в поперечной плоскости для двух положений траекторий А и Ja также для случая вылета частиц из цепочки. Если частица излучается или движется вблизи цепочки, плоскостная блокировка рядом атомных цепочек предотвращает заселение плоо коканалированных траекторий. И, поскольку такие частицы вынужде* ны двигаться вдали от цепочки и для нйх устанавливается статистическое равновесие с постоянной плотностью (1.46), 9,заселившиесям траектории дают усиление потока вблизи цепочек.

В центре канала, как это видно на рис. 2.6, некоторые интервалы азимутального угла х также объединяются благодаря плоскостному блокингу. "Пропавшие" траектории соответствуют планарному каналированию и остаются вдали от цепочек, в то время как "заселившие- ся5' траектории фокусируются на цепочки. Машинные расчеты, проведенные в [23], подтверждают подобную качественную картину деления всего объема фазового пространства на две части, приводящего к стабильному усилению потока в непосредственной близости от г€ после нескольких соударений частицы с цепочками.

Рис. 2.6. Переходный режим каналирования

Итак, количественная реализация описанной модели состоит в исключении из всей области фа・ зового пространства плоскока- налированных траекторий и рассмотрении ограниченной области фазового пространства, в которой равновесие наступает быстро (z 〜Т).

Учесть указанный эффект можно, домножив микроканоническое распределение (1.40) на некоторый множитель, завися* щий от 0 и г и равный нулю или единице в зависимости от типа траектории. После усреднения по перечному импульсу вместо (1.56} для пространственного распределения получается

(2.22)(2.22)〃£&) = (1 - В △，" €))空&)/&(€)・

(2.22)

(2.22)

где Дх — размер угловой области, обедненной планарным блокингом (на рис. 2.6,0 она заштрихована), a R (е) — пространственное среднее от выражения в скобках в (2.22).

Ограничение особенно велико в центре канала (R 〜 0,6), оставаясь, впрочем, заметным и в широкой области ячейки (рис. 2.6,6). Вблизи цепочек, где нет ограничения, согласно (2.22) увеличение потока дается множителем /? ~1 (е) 比 1,5. Аналитическую оценку фактора ограничения в центре канала можно получить из линдхардовской модели ряда цепочек [6] (см. рис. 2.6.Q. При углах 6 ~ i полуширина тени, как это следует из (2,13), приблизительно равна 力修= =(次18())2/3(С а ® ~ для потенциала Линдхарда). Полученное таким образом пространственное распределение (2.22) приводит в отличие от статистически равновесной оценки (1.67) к большому (около 100 %) значению %也，уже более близкому к экспериментально наблюдаемому или следующему из расчетов машинного моделирования [13] в тонких монокристаллах (когда можно пренебречь многократным рассеянием).

Рис. 2.7. Траектории частиц в канале идеальной решетки:

А - реальная траектория; В- в непрерывном потенциале; С - приводящая к деканалированию

Указанный эффект, казалось бы, должен исчезать на больших толщинах^ когда становится важным рассеяние на атомных электронах. Однако описание самого процесса деканалирования на больших толщинах, использующегося при формулировке кинетического уравнения гипотезу статистического равновесия, должно учитывать указанный фактор (см, § 3.4). И все же следует иметь в виду, что развитые здесь представления справедливы только для небольших глубин, когда еще можно пренебречь обменом частиц между двумя рассмотренными частями фазовой плоскости. Это соответствует такой области глубин, в которой важен лишь ядерный механизм рассеяния (при е 〃1). При больших глубинах, когда становится заметной роль электронного рассеяния, плоскостная блокировка разрушается и статистическое равновесие наступает во всем фазовом пространстве изоэнергетической поверхности. А так как потенциальный барьер при плоскостном каналировании типично меньше на порядок осевого барьера, тенденция к статистическому равновесию становится ощутимой на масштабе глубин, характерных для осевого каналирования. Это объясняет наблюдаемое отсутствие плоскостных эффектов в осевом деканалировании при больших толщинах (см. гл. 3).

Дискретность. Другим известным аспектом проблемы хаоса в кана* пировании является влияние дискретного строения атомного ряда (плоскости) на движение каналированных частиц. Если отвлечься от случайного теплового рассеяния〉которое будет рассмотрено в следующей главе, речь идет о возмущении траектории в непрерывном потенциале, вызванном его отличием от трехмерного периодического потенциале -суммы индивидуальных ион-атомных потенциалов U(R), усредненных по тепловым смещениям. Происхождение такого рода возмущения связано с нарушением условия сильной корреляции (1.31) и, следовательно, с вопросом применимости самого приближения непрерывного потенциала. На рис. 2.7 представлены возможные типы траекторий ионов, в которых нарушается условие постоянства прицельных параметров удара на соседних столкновениях. Траектория А наиболее близка к типу, сохраняющему поперечную энергию, и поэтому может быть аппроксимирована гладкой кривой В (1.23). На траектории С столкновения частицы с атомами настолько интенсивны, что уже после нескольких из них частица покидает канал. Если обратиться к опре> делению траектории в непрерывном потенциале (1.23), можно считать, 58

то на медленное, но сильное воздействие со стороны непрерывного потенциала накладывается временное периодическое возмущение, приводящее, вообще говоря, к несохранению поперечной энергии. В случае осевого каналирования оно равно

k W Оk W О-U(r)=-U(r)=ikR —亍 к^入 2ikR —亍 к^入 2(2.23)(2.23)

k W О

k W О

-U(r)=

-U(r)=

ikR —亍 к^

入 2

ikR —亍 к^

入 2

(2.23)

(2.23)

в случае плоскостного каналирования

a嗫=户7-

-У(х) =Рк『х)е*"_ 5 狂置

Для достаточно больших энергий частиц чисто динамическое поведение частицы не нарушается и дискретность атомного ряда не приводит к сколько-нибудь заметному дополнительному (к тепловому и электронному) стохастическому расселению. Этот вывод подтверждают аналитические оценки и машинные расчеты [37].

Принцип обратимости и усиленное обратное рассеяние

С принципом обратимости мы уже встречались в § 1.5 при доказательстве эквивалентности формы прямой и обратной теней. Правомерность же этого принципа при учете стохастических эффектов многократного рассеяния, вообще говоря, нуждается в дополнительном обосновании. Речь идет о том, насколько точно траектория частицы в массиве случайным образом расположенных атомов совпадает с таковой же. но взятой в обратном направлении, или, другими словами, при условии инверсии времени t -> Т, Очевидно, что если пренебречь отдачей в ядерных столкновениях (Af -*°°) и энергетическими ионизационными потерями, то траектории обратимы. В этом смысле добавление сто лк новител ьно го интеграла к уравнению Лиувилля не нарушает правила обратимости, установленного для статистически равновесных распределений. А именно, вероятность всех процессов для ионов. пада> ющих извне на кристалл и достигающих определенных узлов, равна вероятности процессов для ионов, стартовавших из тех же узлов и покидающих кристалл вдоль первоначальных направлений падения пучка. Ясно, однако, что такая идеализированная картина взаимодейст-

вия движущегося иона с ансамблем атомов является лишь неплохим приближением к реальной ситуации, в которой конечность массы атомов вместе с их внутренними степенями свободы нарушает обратимость траекторий. Подобное нарушения наблюдалось экспериментально [16] при сравнении профилей прямой и обратной теней в толстых монокристаллах.

Интересную возможность изучения корреляции между прямой и обратной траекториями движения в среде (необязательно кристаллической) дает эффект усиленного обратного рассеяния на угол 七 180° [39], заключающийся в более чем двукратном превышении выхода обратного рассеяния быстрых ионов с небольших толщин поликристалла L 〜10 + 20 Т при углах, отличающихся на десятые доли градуса от △8 = 180°. Расчеты методом машинного моделирования, проведенные сразу после экспериментального обнаружения эффекта усиления, подтвердили роль обратимости траекторий в формировании пика усиленного рассеяния. Однако совершенно нетривиальным фактором в анализе формы пика оказался вопрос о выборе положений атомов в выходной (обратнорассеянной) части траектории. Считать их одинаковыми или можно допустить какую-то степень различия - стохастичность, присущую реальному процессу? В этом смысле эффект усиленного обратного рассеяния оказался также напрямую связанным с проблемой хаоса в механике. Что касается первого — нестохастического механизма усиления, то его происхождение легко понять из двухчастичной модели Оуэна, рассмотренной нами в § 2.4. Будем считать положения атома А на поверхности решетки и атома В в следующем моно слое фиксированными, тогда ясно, что вероятность попадания в атом В после рассеяния на атоме А (входная часть траектории) дается подынтегральным выражением в (2.19). Вероятность же выхода под углом 0' дается тем же выражением^ но с несколько измененным параметром столкновения: §' = d6‘ - u + dA6(§). Конволюция двух потоков, прямого и обратного, усредненная по распределению тепловых смещений, хщет искомую угловую зависимость выхода обратного рассеяния на угол А8 = 180° 彳 8:

%(8)=^/百纥тн®Х2(；) * (|в-~|). (2.24)

С учетом (2.20) из этого выражения сразу видно, что при углах 〜0с выход х§(6) действительно превышает единицу, а при 6 》8。 Х2 f L Полученный вывод справедлив и в аморфной среде, где меняется лишь процедура усреднения по координате центра. Оценка усиления в рамках двухчастичной модели в аморфной мишени дает, однако, заниженное значение максимума по сравнению с экспериментальным. Расчеты методом машинного моделирования выявили две причины такого отличия. Во-первых, обратимые траектории могут включать боль- 60

шее чис^о столкновении, которые сопровождаются заметным изломом траекторий движения. Во-вторых, многократное малоугловое рассеяние даже в значительно большей степени обеснечивает эффект фокусировки, чем однократное рассеяние.

С точки зрения правила обратимости Линдхарда поток частиц в среде может рассматриваться, с одной стороны, как вероятность близкого соударения с атомом, с другой — как ненормированная вероятность обратного рассеяния пучка на угол 180° из того же атома. По аналогии с (1.61) отсюда следует, что нормированный выход обратного рассеяния равен

Х2(“ z) = 50 fdrn2 (0, r)P(r). ' (2.25)

Полученный результат известен как нормированный выход обратного рассеяния в режиме так называемой двойной тени, когда положение детектора и коллиматора пучка, изображенный на рис. 1.5, совпадают. Таким образом, указанный эффект усиления есть еще одно проявление флакс-пикинг эффекта (§ 1.4), но в отличие от известного в капали* ровании этот проявляется и в аморфной среде.

Чтобы понять стохастическую природу эффекта, рассмотрим параллельный пучок <астиц, падающих на поверхность аморфной мишени. За каждым рассеивающим центром на поверхности образуется тень - пространственная область, внутри которой поток равен нулю. Сразу же областью тени поток увеличен по сравнению со значением на поверхности. По мере проникновения в глубь кристалла многократные столкновения с другими атомами постепенно уменьшают степень неоднородности потока. В соответствии с обрисованной картиной эволюции потока меняется и профиль усиленного обратного рассеяния. От нулевого значения на поверхности он возрастает до своего максимального значения, где поток наибольший, и затем постепенно убывает с расстоянием до поверхности. С возрастанием плотности среды максимум сдвигается к поверхности, а ширина профиля усиления уменьшается. Ясно, что подобная картина, являющаяся следствием модели флакс-пикинга качественно не зависит ни от деталей траектории иона, ни от ион-атомного потенциала.

Для понимания угловой зависимости эффекта усиленного рассеяния, сопровождаемого исчезновением пика при углах разориентации AG — —180° ~ 1°, такого объяснения уже недостаточно. Не обходимо учитывать либо корреляцию между входной и выходной частями траектории рассеянного пучкаг о которой уже говорилось ранее, либо статистическую корреляцию между потоком и вероятностью рассеяния на угол 180°. Природа такой корреляции может быть понята из рис. 2.8, где изображены тени от двух атомов на поверхности мишени. Рассеянный поток теперь представляется суперпозицией рассеяний от двух изолированных атомов. Пунктирная линия определяет грани-

л

Р&с. 2.8. Пространственное распределение пучка, рассеянного двумя соседними атомами поверхности монокристалла

цу теневой области, а заштрихованная область показывает распределение усиленного потока на двух различных глубинах ниже поверхности. В плоскости % перекрытие потоков невелико и эфбект усиления может быть представлен просто как удовоенное значение от каждого рассеивателя. В этой области z усиление может быть связано только с нестохастической корреляцией между входной и выходной частями траектории частицы. В области значительного перекрытия потоков z = d? вероятность рассеяния на угол 180° уже не пропорциональна сумме квадратов потоков от двух атомов — она ближе к квадрату суммы и во всяком случае превьппает то значение, которое следует из раздельного рассмотрения вкладов от каждого атома. Сделанный вывод является результатом статистической природы эффекта и не может быть понят из рассмотрения индивидуальных ионных траекторий.

Подводя итог сказанному, следует подчеркнуть, что даже в пренебре- жении эффектов отдачи и энергетическими потерями число частиц, рассеянных строго назад вдоль начальной траектории (точная обратимость), невелико. Ключевой момент в понимании приближенной обратимости и подобия траекторий связан с особенностями эффекта блокировки траекторий, качественно воспроизводимого простой двухчастичной моделью. Хорошее же согласие с экспериментальной зависимостью формы пика от энергии частиц и параметров мишени (плотность, заряд) дает лишь стохастическая модель усиления、основанная на флакс-пикинг-эффекте. '

Глава 3. ДЕКАНАЛИРОВАНИЕ

Кинетическое уравнение в фазовом пространстве

Степень достоверности разнообразной информации, получаемой с помощью эффекта каналирования^ в значительной мере зависит от точности количественного описания эффектов многократного рассеяния. Их происхождение связано со случайным воздействием атомных электронов и тепловых смещений атомов решетки на траекторию частицы в непрерывном потенциале, которое формально обусловлено отличием точного потенциала решетки - с фиксированной конфигурацией тепловых смещений атомов от усредненного непрерывного потенциала. Это утверждение, вообще говоря, нуждается в пояснении. Как уже отмечалось выше, наиболее точное описание процесса рассеяния частиц в кристалле дает метод машинного моделирования, основанный на модели бинарных столкновений. Адекватную математическую формулировку задачи рассеяния на языке функции распределения в фазовом пространстве дает уравнение Больцмана:

арaр

4" 0 —

8zdr

=J”pjK(r, pj - p丄)宙(p]〃)- F(Pi, r)],(3.1)

в котором упорядоченность расположения атомов решетки учитывается неоднородностью интегрального ядра. Ясно, что в общем случае конкретный вид пространственной зависимости К (г, р丄—р丄)установить чрезвычайно сложно и лишь малоугловой характер рассеяния быстрых заряженных частиц позволяет довести решение этой задачи до конца. *

Осевое каналирование. Воспользуемся намеченной в § 1,3 процедурой вывода уравнения траектории частицы в канале, которая с точки зрения кинетического уравнения представляет собой разложение столк- новительно^ члена в (3.1) в ряд по степеням приращения поперечного импульса. Первый порядок разложения приводит к уравнению Лиувилля (1.32) и, таким образом, описывает эволюцию функции распределения в непрерывном потенциале атомных рядов и плоскостей кристалла, усредненном по тепловым смещениям атомов. Второй учитывает в диффузионном приближении случайные угловые флуктуации частицы на гладкой траектории движения в непрерывном потенциале. Столкновения с атомными электронами участвуют в этом процессе аддитивно.

Расчет характеристик углового разброса на траектории движения частицы является прямым продолжением процедуры вывода уравне-

ния движения (1.20). Среднее приращение поперечного импульса 2Г^ = N 一

= Е Ар|・ на пути △丄 (см. рис. 1.9) пропорционально производной по координате от непрерывного усредненного по тепловым смещениям потенциала ряда. Случайное же отличие Ар丄 от его среднего значения согласно центральной предельной теореме имеет распределение, близкое к гауссовому. Средний квадратичный разброс разности случайного и среднего приращений поперечного импульса на пути AZ равен

0％)=占(7。一我("0 -即6)=

(3.2)(3.2)1 一 —、

(3.2)

(3.2)

=—(А%Ар0 - А%Ар0)・

Усреднение по тепловым смещениям в (3.2) приводит к

"黑=W (硏3 - ^а^

Из-за резкого спада локальных коэффициентов диффузии。邙 как функции г вкладами от соседних цепочек в пределах элементарной ячейки можно пренебречь и считать их в отличие от потенциала U (г) аксиально-симметричными.

Итак, в диффузионном приближении кинетическое уравнение для функции распределения в фазовом пространстве приобретает вид

dFр 丄dFbu

Hr m Эг dr

(3.3)(3.3)1zxa2F

(3.3)

(3.3)

2°8p『P0

В безразмерных переменных приведенной толщины z = L ф, потенВ безразмерных переменных приведенной толщины z = L ф, потенциала U (г)циала U (г)U") шахU") шахи угла 0 =и угла 0 =уравнение (3.3) перепишется вуравнение (3.3) перепишется в

В безразмерных переменных приведенной толщины z = L ф, потен

В безразмерных переменных приведенной толщины z = L ф, потен

циала U (г)

циала U (г)

U") шах

U") шах

и угла 0 =

и угла 0 =

уравнение (3.3) перепишется в

уравнение (3.3) перепишется в

виде

bFа 尸1 bu 3F 1^F

17 +8^ FMF = £ 久。⑺ ^^ '(34)

где тензор локального углового разброса равен

%6(…喝-党。%6(…喝-党。(3.5)(3.5)

%6(…喝-党。

%6(…喝-党。

(3.5)

(3.5)

Учитывая аксиальную симметрию процесса рассеяния, правую часть этого уравнения можно диагонализировать, совершив переход к новым, более естественным угловым координатам, учитывающим аксиальную симметрию процесса рассеяния (см. рис. 23)

(3.6)

где компонента вг представляет собой проекцию вектора 0 на направление г, а 0屮一перпендикулярен к %. После несложных преобразований уравнение (3.4) в приближении круговой ячейки переходит в

(3.7)(3.7)

(3.7)

(3.7)

Важной особенностью многократного рассеяния, которая ясно видна из уравнения (3.5), записанного в безразмерных переменных, является энергетическая зависимость, отсутствовавшая ранее в левой части уравнения, а также малость многократного сто хаотического рассеяния по сравнению с потенциальным. В качестве малого параметра в рассеянии выступает, как это видно из (3.3)》величина d^/a^ помноженная на резко спадающую функцию от координаты. Отсюда следует, <гго поворот траектории частйцы в условиях каналирования происходит главным образом за счет рассеяния в непрерывном потенциале. Стохастическое же тепловое рассеяние выступает здесь как возмущение. С ростом энергии особенно для легких ультрарелятивистских частиц это возмущение становится все более малым. Учет рассеяния на атомных электронах производится добавлением к %。соответствующего изотропного углового разброса De (г) , который будет рассчитан в следующем параграфе.

Интегральное уравнение. Несмотря на то что вывод уравнения (3.4) был сопряжен с рассмотрением большого числа столкновений, его столк- новительная часть оказалась связанной с характеристиками отдельного бинарного столкновения. В самом деле, в пренебрежении корреляции между тепловыми смещениями каждое бинарное столкновение является независимым с точки зрения случайного приращения направления движения частицы от его среднего значения:

56 8 б = Дб(8)-而(『)・(3.8)

Поэтому без ограничения общности можно считать, что во всех приведенных выше рассуждениях фактически речь идет о требовании постоянства г лишь в двух соседних столкновениях. Отсюда и следует критерий применимости приближения сильной корреляции между столкновениями (1.17) со значением Az = d.

Условие независимости приращений 50 позволяет сразу записать вероятность изменения направления 0 на участке траектории движения в непрерьшном потенциале длиной AL = d в виде [40]

1

W(0,8j) =—5(9' — 8 — 8fl(s, г)).(3.9а)

В результате наиболее общий вид кинетического урвнения в фазовом пространстве, который учитывает рассеяние как на малые углы - диффузию, так и однократные столкновения, сопровождаюшиеся отклонением на большой угол, можно представить как [40]

а戶а尸1 зи а尸_

££浦- e-

=id^W (г, 0, 8)(尸(0)一月(6)).(3.96)

Легко проверить, что разложение столкновительного члена в пра* вой части этого уравнения в ряд по степеням 50 с точностью 0(58') Приводит к уравнению (3.4). Следствием такого разложения является логарифмическая расходимость диффузных коэффициентов (2.36) при усреднении по тепловым смешениям. Эта особенность (типичная для диффузионного приближения) связана с вкладом близких столкновений, сопровождающихся большой передачей импульса. В наиболее простом варианте теории многократного рассеяния [61 она устраняется ограничением области интегрирования по прицельному параметру соударения s .снизу некоторым малым значением s min, соответствующему максимально переданному импульсу. Такая процедура страдает одним существенным недостатком. Кроме логарифмической точности в определении диффузионных коэффициентов само решение диффу- 66

зионного уравнения (3.4) хорошо воспроизводит кинетику рассеяния л煦ь в области углов 8 G《 7Dz、

Наряду с гауссовым поведением, обусловленным малоугловым многократным рассеянием, в угловом распределении рассеянных частиц всегда представлен медленно спадающий ^^xвocт^^ за счет однократного и кратного рассеяния на большой угол, который не учитывается диффузионным приближением. В аморфной среде эта трудность обходится с помощью самосогласованной процедуры перенормировки углового разброса (теория Бора—Вильямса) (411. Смысл ее сводится к тому, что бинарный угол рассеяния Дв^, разграничивающий области многократных и кратных столкновений, берется приблизительно равным угловой ширине 8 G гаУссового пика в угловом распределении, соответствующей заданной толщине мишени L, При этом угловое распределение остается по виду гауссовым, однако зависимость среднего квадратичного углового разброса от толщины становится нелинейной:

(ЗЛО)(ЗЛО)

(ЗЛО)

(ЗЛО)

Не вдаваясь в подробности такого подхода, отметим, что обобщение метода самосогласованного расчета диффузионных коэффициентов на случай неоднородного пространственного распределения рассеивателей невероятно усложнило бы расчет функции распределения.

Возможен, однако, приближенный интегральный подход [401, основанный на уравнении (3.9). Действуя по аналогии с теорией Бора—Вильямса, разделим в столкновительном интеграле (3.9) вклады далеких |fl^ - в| <0т и близких столкновений I© - 8| \

4=〃 + 4・

Первое слагаолое, учитывающее малоугловые бинарные столкновения с атомами на угол, меньший 8加,совпадает с правой частью уравнения (3.4). но содержит диффузионные коэффициенты 与。с параметром обрезания $тк>，определенным из уравнения △^(^^) = %• Второе слагаемое в ингерале столкновений, связанное с близкими столкновениями, допускает при достаточно малом значении %也 паьнейтее упрощение. В самом деле, оптимальный выбор угла разделения % требует, чтобы он был, с одной стороны, достаточно велик. Тогда будет задействовано главное преимущество диффузионного приближения - аккумуляции вкладов большого числа малоугловых столкновений с большим сечением рассеяния. Это пршодит к условию А8 < 6т или ^^^也《& С другой стороны, 8m должен быть достаточно малым, чтобы правиль-

но воспроизвести кинетику той части распределения, которая имеет заведомо не диффузионный характер поведения с толщиной мишени.

Другими словами^ нижняя граница для угла разделения вт следует из условия применимости диффузионного приближения, которое в свою очередь сводится к требованию большого среднего числа столкновений на заданной толщине

N*、L » 1,

где os 二7rs；jn ~ полное сечение однократных столкновений.

Полученное соотношение своей зависимостью от толщины вносит определенное неудобство в постановку задачи, лишая ее универсальности 一 пределы интегрирования в интеграле столкновений становятся зависимыми от толщины. Кроме того, эффективная плотность рассеивателей N* в условиях каналирования или в условиях, близких к нему, сильно варьируются в зависимости от близости траектории частицы к цепочке. Для наших целей, однако, будет достаточно применить указанное соотношение, задавшись некоторой фиксированной толщиной Lm, на которой за счет многократного рассеяния диффузионное уширение пучка 8G становится порядка критического утла. Такая ситуация типична для задачи деканалирования. Полагая механизм деканали

рования тепловым, нижнюю границу для угла разделения вт оцениваем. тогда из условия，力z^ 〜1. Оба условия заведомо удовлетворяются,= если вт 〜△夕(“)~屮 2 dl % откуда для значения минимального прицельно-；

го параметра следует оценка smin 〜dW・ Подобное значение параметра

разделения sminразделения smin=—без особого 4=—без особого 4обоснования было использованообоснования было использовано

разделения smin

разделения smin

=—без особого 4

=—без особого 4

обоснования было использовано

обоснования было использовано

в интегральных расчетах функции деканалирования, проведенных йенской группой [42].

Вследствие малых s《〃 угловые флуктуации на траектории за счет однократных столкновений можно положить равными бинарным углам рассеяния: 58 ~ △6(s). А их локальность позволяет заменить распределение 尸(s) в вероятности рассеяния (3.9а) на Р (г). В итоге для вероятности рассеяния (3.9а) получаем

(3.11)(3.11)Р (г) do

(3.11)

(3.11)

WG △) = , △ = 1в — 0|.

d dA

Соответственно интеграл столкновений, обусловленный однократными соударениями^ переходит в

(3.12)(3.12)=—7 do(^)(F^ + А)-尸(8))・ d % К

(3.12)

(3.12)

В приведенных формулах do^ чение рассеяния,

—классическое резерфордовское се-

△《L△《L(3.13)

△《L

△《L

Плоскостное каналирование. Движение частиц при плоскостном каналировании характеризуется неисчезающим средним приращениех>. поперечного импульса только в направлении х - перпендикулярном плоскости. Угловой разброс тем не менее присущ обоим поперечным направлениям хну. Для вывода выражения для среднего квадратичного разброса снова обратимся к рис. 19,6〉где схематически указана траектория частицы вблизи атомной плоскости yz, проекция которой пересекает под углом, большим критического, одну из плотноупакован- ных атомных цепочек, лежащих в плоскости.

Вычисляя, как и при выводе уравнения движения (1.24), разность приращений поперечного импульса в обоих поперечных направлениях на пути △£, имеем

。吋=6 % S = %，乂(3・14)

Переходя от суммирования no i к интегрированию по у и wx)получаем [37, 43]

О(2)(х) = vp’Nd §- Дй 2).(3.15)

°Р % а

Ввиду быстрого спада подынтегрального выражения как функции х интегрирование по 7 в пределах элементарной ячейки можно распространить на бесконечность.

С учетом (3.15) кинетическое уравнение для функции распределения

в виде

方方+旦曳т Эг+旦曳т ЭгНу 3FНу 3F8х8х102Р102Р132f132f(3.16)(3.16)

方

方

+旦曳т Эг

+旦曳т Эг

Ну 3F

Ну 3F

8х

8х

102Р

102Р

132f

132f

(3.16)

(3.16)

В большинстве случаев представляет интерес диффузия частиц только вдоль оси х, которая описывается усредненной по у, % Функцией

распределения

F* Р%，^) = J 叫 J dy尸(p, г, Г)

и подчиняется уравнению (3.16). проинтегрированному по переменным J, Ру

В безразмерных переменных z =屮，8% = pJpW〉"'max 0H0 принимает вид

(3.17)(3.17)3fxа尸1 ау а尸i a?F

(3.17)

(3.17)

——8- — - -- -~ = — D(X)

dz X ax 2 Эх а% 2 * ае：

с угловым разбросом вдоль оси х: 与"4/力0一巧):

4P =(W~)吗点，(318)

Обобщение диффузионного уравнения (3.17) на случай кратных соударений не представляет труда. По аналогии с осевым случаем имеем:

а尸а尸dzdzа戶1dr2а戶1dr2bYЭхbYЭхa尸~ъеXa尸~ъеX

а尸

а尸

dz

dz

а戶1

dr2

а戶1

dr2

bY

Эх

bY

Эх

a尸

~ъе

X

a尸

~ъе

X

(3.19)(3.19)=JM%&, 0, X)[尸(% x)-尸(仇 X)].

(3.19)

(3.19)

Локальная вероятность рассеяния на одной атомной цепочке, лежащей в плоскости и отделенной от соседних расстоянием d 】)равна

1x

w (吟 ％ х) = — fdy5(“ - б - 50(s, г)).(3.20)

Разложение столкновительного интеграла в правой части кинетического уравнения (3.19) с учетом (3.20) приводит к диффузионному уравнению (3.16) с коэффициентами (3.15)

Локальный угловой разброс

Тепловое рассеяние. Расчет компонент локального углового разброса (3.7), как уже отмечалось, сопровождается процедурой устранения расходимости на малых прицельных параметрах. Проиллюстрируем ее на примере расчета полного поперечного углового разброса:

马⑺=Dxx + Dyy ^ Dr +心=0。严-尸；).(3.21)

Интегрирование по угловым переменным дает

'00—а(，2 +$2)

广；=2а Jdssf'；e/°(2哂)；(3.22)

$min

—8-a(r2 + s2)

// = 2a J dssfs e厶(2"s)・

Логарифмическая расходимость, содержащаяся в f； и связанная с кулоновским поведением угла рассеяния при малых s (△& = 2Ze2/pvs), устраняется здесь введением нижнего предела интегрирования по s：s<Smix

В простейшем варианте теории параметр обрезания $巾広 полагается равным: для ионов — расстоянию наименьшего сближения в кулоновском соударении [6], а для релятивистских частиц - дифракционному радиусу ядра [12]

"Z2e(m + М) , ионы;

s . = <1,29МЕ(3.23)

[1J4Z5/3/q37)3, е土

Чтобы проанализировать зависимость углового разброса от расстояния до цепочки г, выделим в подынтегральном выражении для g (3.22) слагаемое, пропорциональное ~ 4/s2, ответственное за близкие столкновения кулоновского типа, ограничив интегрирование по s также и сверху некоторым малым значением $тах《"бсновно访 вклад здесь при интегрировании по s дают значения s & поэтому

才-а户$max

Jo =—— ^ 8ае 上.L = In .(3.24)

п п „、'

ssmin

Оставшиеся слагаемые в (3.21)

^ = /；-—-斤 (325)

уже не содержат особенности в нуле, и интегрирование по s с точностью до членов порядка O(s I* можно проводить, начиная с точки s = =0.

Рассмотрим теперь слагаемые (3.24) и (3.25) в отдельности. Совершив в первом из них замену переменной s представим его в несколько ином виде:

(3.26)(3.26)P(r) 2'max /、оDh =。0丿。=—% d”n(A)A ."min

(3.26)

(3.26)

Стоящая под знаком интеграла величина пропорциональна среднему квадратичному угловому разбросу в аморфной среде：

bzbz=N/d”n (△)△?.=N/d”n (△)△?.

bz

bz

=N/d”n (△)△?.

=N/d”n (△)△?.

8в ам с=87r8Z8в ам с=87r8Z2NL . n2NL . nИли, возвращаясь от безразмерных к обычным единицам, с учетом (3.24)

8в ам с

=87r

8Z

8в ам с

=87r

8Z

2

NL . n

2

NL . n

(3.27)

Для ионов максимальный прицельный параметр в кулоновском логарифме Ln полагается равным параметру Экранирования % так что [61

1,29E〃L = Inn Ze21,29E〃L = Inn Ze2MMM + mM + m(3.28a)(3.28a)

1,29E〃

L = Inn Ze2

1,29E〃

L = Inn Ze2

M

M

M + m

M + m

(3.28a)

(3.28a)

Если же обратиться к более последовательной квантовой теории многократного рассеяния легких ультрарелятивистских частиц (см. гл. 5), то все ее отличие от классической сводится к замене сечения скл на его квантовый аналог. Для близких столкновений различие обоих сечений несущественно и замена сКл 今 Окв осуществляется ограничением интегрирования в (3.26) снизу минимально переданным импульсом pA^min = 力/& Тогда с учетом выражевдя для ^皿皿(3.23) получаем для электронов и позитронов [44]

(3.286)(3.286)丄口 = 21n(183Z~1/3).

(3.286)

(3.286)

* ехр(-а户)学* ехр(-а户)学尸")3絞D. (г) =—^?丄5 Nd 加尸")3絞D. (г) =—^?丄5 Nd 加ИтаК, для локального углового разброса, обусловленного близкими столкновениями, мы приходим к

* ехр(-а户)学

* ехр(-а户)学

尸")3絞

D. (г) =—^?

丄5 Nd 加

尸")3絞

D. (г) =—^?

丄5 Nd 加

(3.29)

Обратимся теперь ко второму слагаемому (3.25). При г » 也 основной вклад при интегрировании no s в (3.22) вн吵т область s 〜％ Это позволяет разложить разность (3.25) в ряд по степеням tt2, ограничившись первым членом разложения по Проще всего это сделать исходя непосредственно из разложения для приращения угла 68(〃 $) (3.8) в пределе 以〃《1:

ЭЭ/

60 — — и —・ ЭгЭг

В результате получим

生丄=^5(q+厂) (з・зо)

Сравнивая выражения (3.28) и (3.30), видим, что в области г > > (2 + 3)〃 слагаемое D^L преобладает над гауссовым (см. рис. 3.1). Напротив, при малых т 〜伙 основной вклад в локальный угловой разброс дает гауссово слагаемое (3.28). Исторически сложилось так, <гго формулы (3.28) и (3.30), полученные вначале различными методами, долгое время эксплуатировались в задаче деканалирования совершенно независимо. Выражение (3.30), впервые полученное Линдхардом [6], дает в целом удовлетворительное описание теплового рассеяния каналированных ионов, расстояние минимального сближения которых с цепочкой 歹£ в широкой области поперечных энергий значительно превышает апмлитуду тепловых колебаний.

В то же время многочисленные расчеты в задаче деканалирования электронов (см“ например, [43]) использовали аппроксимацию локальной плотности (3.29), впервые полученную в работе Китагавы и Отзуки [45] как результат учета многофононных возбуждений в рамках общего и довольно громоздкого квантовомеханического подхода. Опять-таки для электронов использование лишь одного этого приближения не вносило большой погрешности в расчете, поскольку геометрический фактор 〜凡/ 〃 . характеризующий резкое возрастание эффективной плотности ядер вблизи цепочки, дает основной вклад в средние по доступной области у электронов. Такие средние фигурируют в уравнении Фоккера—Планка по поперечной энергии (без углового момента — см. ниже, § 3.4).

Потребность в более точном описании функции деканалирования в сравнении с имеющимися экспериментальными данными привела 貫 использованию в расчетах суммы обоих вкладов (Мацунами и Хау [46], см. также [47]) и впоследствии точного выражения для диффузионных коэффициентов с минимальным параметром разделения smin> оптимизирующим вклады кратных и многократных столкновений [48].

Завершая обсуждение локального углового разброса при осевом каналировании, приведем здесь формулы для обеих - радиальной Dr и азимутальной D^ компонент тензора D^'.

Р^ = — J dsf：厶(2т)ехр[—а(户 +№)];(3.31)

'smin

а также их асимптотик при больших г:

Плоскостное каналирование. Усреднение по тепловым смещениям в выражениях для углового разброса (3.15) проводится аналогично осевому случаю. Из квадрата производной выделяется кулоновская часть 4/s2:•

[4—

・ SSГ* _

(3.32)(3.32)i = x, 乂

(3.32)

(3.32)

Ло тариф мическая особенность, связанная с близкими столкновениями, содержится в первом слагаемом этого выражения:

(3.33)(3.33)8 лс с

(3.33)

(3.33)

<fd")=- “ — ехр(-х /2〃 )£ *

7】т

Следовательно, приближение близких столкновений, сводящееся к ограничению области интегрирования по s в (3.32) сверху некоторым малым значением smax сразу приводит к известному результату, полученному в рамках квантовой теории [49].

Гауссоподобный спад функций D.(x) при х〉〃？ сменяется более медленным, с коэффициентом пропорциональности ~%?:

(3.34)

(3.35)

=Nd d.

Отметим、что развитый здесь подход нечувствителен к ориентации пучка относительно направлений плотноупакованных рядов в плоскости. Расчеты методом машинного моделирования без учета тепловых смещений, сделанных в [37], выявили резкую азимутальную зависимость углового разброса, связанную с аномальным рассеянием по отдельным высокоиндексным цепочкам, лежащим в плоскости. Однако введение в рассмотрение тепловых смещений ''замазывает" эту тонкую структуру и в целом, малоугловая диффузия достаточно хорошо определяется выражениями (3.32) [37]. Вклад "дискретностн" плоскости, так же как и ,,дискретностим атомных цепочек, начинает проявляться только в случае сравнительно малых энергий частиц, при нарушении критерия сильной корреляции (см. § 1.3).

Подобно осевому случаю пространственное среднее от (3.34) в пределах элементарной ячейки (х £ 0 ♦ dj близко к своему предельному значению в аморфной среде, поскольку основной вклад в среднее дает гауссовое слагаемое (3.33), связанное с близкими столкновениями.

Угловой разброс на электронах. Задача рассеяния каналированных частиц на атомных электронах требует, строго говоря, квантово-механического рассмотрения. Даже при условии внезапности v » 必 элект»

роны уже нельзя рассматривать как совокупность закрепленных кулоновских центров с заданной пространственной плотностью. Причин этому несколько. Во-первых, в области малых передач импульса атомный электрон уже нельзя считать свободным. Более того, оболочки сильно связанных электронов адиабатически подстраиваются к полю движущегося заряда. По этой причине число электронов, участвующих в процессе рассеяния, заведомо отличается от заряда ядра. Схожая картина присуща и ультрарелятивистским частицам, поскольку условие адиабатности включает в себя не только соотношение скоростей, но и степень удаления траектории от атома (см. гл. 4)

Вторая причина связана с коллективизацией электронов внешних оболочек в твердом теле. Их вклад в многократное рассеяние выглядит несколько иначе, чем у нейтральных атомов, и в задаче многократного рассеяния их следует рассматривать отдельно от вкладов внутренних оболочек.

И все же, несмотря на перечисленные доводы, оказывается возможным путем незначительной деформации классического подхода, ана» логичного развитому выше для ядер, получить довольно точное выражение для локального углового разброса на электронах, оправданное хотя бы с точки зрения наглядности и простоты.

Применение классических аргументов опирается в данном случае на локальность взаимодействия электрона с движущейся частицей. В самом деле, чтобы передать заметный поперечный импульс тяжелой

частице, прицельный параметр соударения с электроном должен быть много меньшим по крайней мере постоянной экранирования. Это позволяет, с одной стороны, считать электрон свободным, с другой - дает возможность применить аппроксимацию локальной плотности, рас» смотренную выше в задаче теплового рассеяния. Она сводится здесь к интегрированию квадрата угла рассеяния на электроне △%($)= =e^/Es по конечному промежутку s в (3.26) с известной локальной электронной плотностью р . (г) вместо Р(г)

Pj 6) = / dz I *(4万 +户)I2,(3.36)

выраженной через волновую функцию электрона на /-оболочке W,(R)・ Максимально переданный импульс в близком столкновении с элект

роном равен АРтах = 2加^% минимально переданный определяется энергией связи на оболочке 力 з, ： Apmin =方 3,/v.

В итоге после интегрирования по прицельным параметрам и сумми» рования по оболочкам приходим к выражению

8”4“ Г 12mV2/ 2m v v\2]

= —V — ? Ру (0 bi + NZ In (———).(3.37)

5丄(pv) \ d j 1 卞 3jv \ 力 3卩 / J 丿

Суммирование здесь распространяется только на те оболочки, для которых выражение, стоящее под знаком логарифма, значительно превышает единицу (v/vp2 » 1. Второе слагаемое в (3.37) представляет вклад делокализованных валентных электронов (см. § 47), полученный также в приближении локальной плотности.

Обобщение полученного выражения на случай релятивистских тяжелых частиц сводится к замене максимально переданной энергии [44] в кулоновском логарифме L, так что в итоге

(3.38)(3.38)In , протоны;

(3.38)

(3.38)

In , электроны.

友3j

Выражения, полученные с помощью последовательной квантовой теории, лишь в несущественных деталях отличаются от приведенных. Более подробное обсуждение всех вопросов, связанных с рассеянием каналированных частиц на атомных электронах, будет дано в следующей главе.

Рис. 3.1. Локальный угловой разброс каналированных частиц при осевом каналировании. Расчет приведен для потенциала Линдхарда, кремний <110> Г = 300 К：

на тепловых смещениях (3.21)； ，一 - гауссов (3.29); —на атомных электронах в приближении локальной плотности (3.36) ; горизонтальный пунктир - вклад валентных электронов (число валентных электронов Zv = 3)

Сравнение интенсивностей двух механизмов многократного рассеяния —теплового и электронного — приведено на рис. 3.1 для монокристалла кремния при Т = 300 К・ Расчет проводился для потенциала Линд- харда по формулам (3.21) и (3.29) со значениемsm，n = 0,377^ соответствующим А£超 = 2,2 и £〃 = 8,3 у протона £ = 1 МэВ. Пунктирной линией показан ход кривой приближения локальной плотности - первое слагаемое в (3.36) и валентных электронов - второе слагаемое. Видно, что начиная с расстояния г = 2,0а. электронный механизм многократного рассеяния начинает доминировать над ядерным. Напомним, что в аморфной среде всегда преобладает последний. Гауссовое лри- ближение (3.29) с 1л = 3,3 спадает гораздо круче точного результата, который после /• ~ 2д практически совпадает с приближенным - Линд・ хардовским (3.30) (штрихпунктир).

Деканалирование в тонких монокристаллах

Кинетические уравнения (3.4) и (3.17) описывают угловую диффузию, происходящую на фоне потенциального рассеяния в поперечной плоскости, и в этом главное отличие задачи каналирования от задачи рассеяния частиц в аморфной среде. Вкупе с пространственной неоднородностью коэффициентов диффузии это обстоятельство неизбежно затрудняет получение аналитических результатов и интерпретацию экспериментальных данных. Тем не менее при некоторых упрощающих предположениях удается найти решение кинетических уравнений (3.4) и (3.17) и использовать эти решения при анализе спектров обратного рассеяния, а также угловых распределений прошедших частиц в тонких монокристаллах.

Плоскостное каналирование. Если в уравнении (3.17) положить угловой разброс Dx (х) не зависящим от координаты х, а для непрерывного потенциала У&) использовать гармоническое приближение (1.30), то функция источника для уравнения (3.17), в которую переходит дельтаобразное распределение 戶(2.2) при учете стохастического рассеяния, оказывается равной [50]

[(8 COS 3Z -[(8 COS 3Z -人3

[(8 COS 3Z -

[(8 COS 3Z -

尸00, &O； x. e； z) = exp

irD Z

3 = 2я/ T.(3.39)3 = 2я/ T.(3.39)— 00 + 5SiH3Z)2 +(CJXCOSCJZ - XqCJ - ^sincoz)]

3 = 2я/ T.

(3.39)

3 = 2я/ T.

(3.39)

Профиль обратного рассеяния xmin (z) получается отсюда с помощью формулы (1.61), в которой вместо равновесной подставлена осцил

лирующая плотность каналированных частиц:

(3.40)(3.40)"р/2 л

(3.40)

(3.40)

п(х9 z) = 2 jddo Jd6 J dxo尸(Хо, 00； % 8; z).

Некоторым оправданием условия постоянства коэффициента диффузии D* в (3.17) может служит тот факт, что основной вклад в осцилляции Xmj@(z) Дают траектории с амплитудой, близкой к %/2・ Они периодически пересекают область максимальной плотности ядер, поэтому средний по траектории угловой разброс действительно близок к значению в аморфной среде (3.27).

На pic. 2.1 приведены экспериментальные [51] и теоретические кривые толщинной зависимости минимального выхода для ионов Не+5 £ = 2 МэВ, каналированных в плоскости (110) монокристалла германия. Наилучшее согласие наблюдается в сравнении» с результатами машинного моделирования (сплошная линия). Но и теоретическая кривая (3.39) с значением Т = 61,2 нм. взятым из эксперимента, с хорошей точностью демонстрирует все особенности осцилляций — высоту пиков и общий подъем спектра, несмотря на грубое описание над барьерного режима движения и пренебрежение ангармонизмом потенциала. К этому следует добавить^ что усредненное по периоду значение Х^ дает правильную энергетическую и температурную зависимость, видимую из выражения (3.39) [50]. Заметим, что уравнение (3.17) допускает аналитическое решение и при учете слабого ангармонизма, подробное обсуждение которого содержится в [52].

Данные, полученные из экспериментов по обратному рассеянию в тонких монокристаллах, используются при анализе формы«он-атомного потенциала (см. § 8.6).

Трансмиссионные угловые раслфеделеяия. Вернемся вновь к кольцевым угловым распределениям, наблюдающимся при прохождении частиц вблизи осевого направления. Что касается роли многократного рассеяния здесь, то она должна возрастать с увеличением угла падения б。по отношению к направлению оси. Это объясняется уменьшением расстояния минимального сближения частицы с цепочкой г$ с ростом 8。・ Это же обстоятельство отражается также в выделении фракции каналированных частиц на фоне остальных. На рис. 3.2 показаны кривые интенсивности прошедших протонов энергии 15 ГэВ в кристалле германия разной толщины. Кривые а—е относятся к разным углам падения по отношению к оси <110>, их интервалы значений указаны цифрами, а все результаты приведены в зависимости от квадрата начального угла падения ©о/% поэтому в какой-то мере эти кривые отражают картину распределения по поперечной энергии. Все пики центрированы вблизи 0о и уширены: а) торцевым рассеянием» б) начальным угловым разбросом и с) многократным тепловым рассеянием. Но всюду интенсивность прошедших частиц вдоль оси значительно выше, нежели при углах выхода е『> L Что касается соотношения интенсивностей пик-фон, то оно также меняется для всех трех толщин из-за увеличения углового

Рис. 3.2. Угловое распределение прошедших протонов [21]: L = 0,3 мм;I = 0,77 мм;L =4,2 мм; на рис. б и е сплошная кривая - теория

разброса (в случайном направлении). В тоже время угловая ширина трансмиссионного пика во всех трех случаях остается неизменной 一 порядка критического угла каналирования. Здесь определяющим является торцевое рассеяние. Сравнительно небольшое уменьшение пика интенсивности при переходе к толстому монокристаллу показывает, <гго в данном случае деканалирование мало. В этом смысле использование ультрарелятивистских частиц для изучения самого эффекта каналирования предпочтительно, поскольку при неизменной интенсивности потенциального рассеяния роль процесса деканалирования уменьшается с ростом Лоренц-фактора. Роль деканалирования ослабевает для небольших углов падения 8 < 0,6, так из рис. 3.2,① б видно, что прошедший пучок совершенно нечувствителен к толщине мишени. Напротив, для больших углов падения (рис. 3,2,0-е) и особенно для углов порядка критического эффект деканалирования приводит к сильному разли» чию кривых, соответствующих разной толщине.

Если выходные распределения прошедших частиц не усреднять^ по азимуту, как это сделано на рис, 3.2, а интересоваться двумерным угловым распределением, то на такой более полной картине кроме центрального пика положительных частиц будут явственно видны также области повышенной интенсивности вдоль выходов наиболее низкоиндексных плоскостей, пересекающих осевое направление. Такого рода звездообразные распределения, где вместе с осевым выражено и плоскостное каналирование, практически не наблюдаются у отрицательно заряженных частиц, центральный пик которых является более широким и размытым в результате более интенсивного теплового рас» сеяния「21] и отделяется от 8。= 0 лишь при углах, близких к критическому.

С ростом угла падения пучка по отношению к оси в полной мере начинает проявляться эффект азимутального рассеяния в непрерывном потенциале. И, поскольку, как уже отмечалось ранее, этот механизм многократного рассеяния более эффективен, нежели стохастический, ширина углового распределения прошедшего пучка более чем на 100 % может превышать то значение, которое можно было бы ожидать от углового разброса в аморфной мишени. Более того, несмотря на многократность столкновений, сама форма углового распределения не яв» ляется уже гауссовой и обнаруживает особенности, вызванные знаком заряда. На рис. 3.3 представлены интегральные (по азимуту) угло» вые распределения протонов (рис. 3.3, а) и я~-мезонов (рис. 3.3,6) с энергией Е = 15 ГэВ, прошедших под разными углами монокристалл германия толщиной 4,2 мм. В случайном направлении (здесь 8。> 1) угловое распределение очень хорошо интерпретируется теорией Мольера [53] (сплошная кривая). Часть кривой, связанная с многократным ма> лоугловым рассеянием, описывается более простым —гауссовым распределением с дисперсией，切？ = 0,50 мрад, близкой к значению (3.10) ，L6『I&L = 0,53 мрад (пунктир). Для хорошо каналированных про 80

Рис. 3.3. Распределение углов выхода рассеянного пучка:

▲_ 0-0,25Wn； ・一3-?,5 屮л; о- случайное направление

тонов многократное рассеяние сильно подавлено, в отличие от я-мезо- нов, у которых наблюдается некоторое увеличение （弋 20 %） углового разброса 36；・ И у тех и у других частиц отчетливо видна область углов падения 6о 4 4 + 5, где угловой разброс значительно больше того, который следует из результатов теории многократного рассеяния в аморфной мишени, а сама форма распределения отличается от гауссовой. Это уже результат влияния потенциального — цепочечного рассеяния в поперечной плоскости. Как уже говорилось выше, этот тип рассеяния^ не меняя полярного угла между осью и направлением пучка, вращает пучок по азимуту, в то время как многократное стохастическое рассеяние только размывает первоначально резкое распределение. Область такого рода аномального рассеяния простирается очень далеко: 8夕> > 10.

Различие в интенсивности многократного рассеяния у положительных и отрицательных частиц видно и на рис. 2.4. Так, форма распределений, повернутьк по азимуту на 90° и на 180° относительно плоскости падения пучка, более крутая со стороны оси. Это объясняется тем, что даффузия по углу у положительных частиц с малой е невелика, а у частиц с е ^ 1, наоборот, как у частиц в случайном направлении. Ситуация меняется на противоположную у отрицательно заряженных частиц. Более того, усиленная диффузия по углу вблизи е а 0 приводит

к видимой тенденции образования центрального пика вдоль осевого направления (см. кривые 7-4 рис. 2.4, б).

В целом измерения уширения угловых распределений играют важную роль во многих экспериментах с частицами высоких энергий (например, градуировочных), поэтому особое внимание должно уделяться тому, чтобы направление падающего пучка не попало в ближайшую окрестность какой-либо низкоиндексной оси в кристаллической или поли- кристаллической мишени.

Уравнение Фоккера—Планка

В толстых кристаллах £ > Г под действием тепловых смещений атомов и рассеяния на атомных электронах часть частиц выбывает йз канала —деканалирует. Явление деканалирования представляет собой главное препятствие для практического применения эффекта каналирования в физике твердого тела и ядерной физике. В то же время оно дает полезную возможность дня изучения структурных характеристик кристаллов, такнх, например, как дефекты.

Характерная длина; на которой меняется функция распределения по поперечной энергии — длина деканалирования, как правило, значительно превышает не только период колебаний частиц в канале, но и длину установления статистического равновесия. Это обстоятельство позволяет отказаться от детального и трудоемкого с точки зрения ко-, личественного описания подхода, основанного на кинетическом уравнении в фазовом пространстве, и использовать в качестве переменных приближенные интегралы движения — поперечную энергию, а в случае электронов еще и угловой момент. При этом все соотношения для пространственных и угловых распределений (см. § 1.4) остаются в силе с той лишь разницей, что вместо начальной функции распределения по поперечной энергии в них будет фигурировать распределение р(е, z), являющееся решением соответствуютего кинетического уравнения. К его выводу, начиная с осевого случая, мы сейчас и приступим.

Полагая пространственное распределение частиц на изоэнергетической поверхности статистически равновесным, разделим пространственные и угловые переменные в (3.7) с помощью преобразования 仇г-> 6 г:

尸(г,仇 z)d0dr = р(е z)ne(r)dedr. (3.41)

Гипотеза статистического равновесия устанавливает симметрию функции распределения F по азимуту х направления 6. Поэтому после за* мены 6夕,6屮今8， X и интегрирования по х для правой части уравнения (3.7) имеем

р.(Г) 1 аа 尸

(3.42)(3.42)=Л— — 6 —、= D + D .

(3.42)

(3.42)

2?加as 丄 '9

Подстановка (3.41) в уравнение (3.7) с учетрм (3.42) после интегрирования по координате г дает [54, 55]

ЭраЭ2

~т— = —~ g〉P + "TV〈(£ - U)D^p.(3.43)

2zde丄 de丄

Угловые скобки в (3.43) обозначают усреднение по распределению 空(г) (1.46)..

Первое слагаемое в правой части уравнения Фоккера-Планка (3.43) описывает среднее возрастание поперечной энергии частицы, второе диффузию. В этом можно легко убедиться, составив уравнение для соответствующих моментов функции распределения р (е) в точке е = е0. До множим обе части уравнения (3.43) на е* (左=1,2) и проинтегрируем по всем е, считая начальное распределение р0 (в) в точке е = е0 дельтаобразным: р (z =0) =5(е- е0). В результате приходим к уравнениям

8e/6z =①丄〉“；(3.44)

6//6z = 2<(е -力％〉気・’(3.45)

Полученные выражения имеют простой физический смысл. Приращение поперчной энергии е = 6? + U(f) связано лишь с приращением поперечной кинетической энергии частицы, пропо(мщональным среднему квадратичному угловому разбросу: 5е = 502. Отсюда следует первое равенство. Что касается значения среднего квадратичного отклонения, то с учетом 5е2 = 262 6G? мы сразу приходим к равенству (3.45).

Уравнение (3.43) можно записать в сокращенной форме - уравнения Фика, если воспользоваться очевидным соотношением, следующим из (3.44):

1 Э

①丄〉=_ — S€<(e 一 U)D^.(3.46)

С учетом (3.46) уравнение (3.43) переходит в

Эраэр

= —Sq《(€ V 縫％0 f―— .'(3.47) ЭиЭе 毋д€ Se

В над барьерной области поперечных энергий S^ =尸。〉поэтому предел интегрирования по г ^ зависит от е В результате (3.47) упрощается:

ЭраЭр

—=@с _ g) --— , 4] = {Di >0, а = 8D> °.(3.48)

3z&de丄

Коэффициент диффузии является здесь уже линейной функцией е.

Перейдем теперь к плоскостному каналированию. Как и в осевом случае, считая распределение по поперечной координате х статистически равновесным, факторизуем функцию распределения в фазовом пространстве одновременной заменой переменных (вх, х)今 е：

尸J%,% z)dOxdx = 2\/е- Yp(e. z)ne(x)decfx(3.49)

Подстановка (3.49) в (3.17) после интегрирования обеих частей уравнения по х дает [56]

加 аа?

—=<D> 0 + 2―- <(е — Y)D]p・(3.50)

& de ““

Угловые скобки здесь обозначают усреднение по пространственному распределению 九£(х) (1.38а).~

.Применяя к уравнению (3.50) соотношение

(D ) = Т〈(е— Y)D

% 2Те де%

в справедливости которого легко убедиться прямой проверкой, можно получить сокращенную форму записи уравнения Фоккера-Планка：

2 T<Dx(e Y).(3.51)

Отличие динамики движения отрицательно заряженных частиц в осевом канале сказывается и в кинетике. Введем переменную углового момента М = 6屮夕,считая пространртвенное распределение частиц в кольце г2(€, М) < г < 々(в, М) равновесным (1.52). Разделяя далее угловые и пространственные переменные в функции распределения

尸(г, 8, z)drdO= р(е§/%M&)dedM,

теле интегртрования по г получаем [57]

э2 . э2 * э

+ 丽d .(352)

Угловые скобки здесь означают статистически равновесное простран- 84

ственное усредйение по координате г:

drX (г)drX (г)fем」!Г1 Ve - U - M2/rfем」!Г1 Ve - U - M2/r(353)(353)

drX (г)

drX (г)

f

ем」!

Г1 Ve - U - M2/r

f

ем」!

Г1 Ve - U - M2/r

(353)

(353)

Несколько слов по поводу граничных условий к уравнениям (3.47) и (3.50)・ Отсутствие потока частиц в отрицательную область значений е вблизи дна потенциальной ямы приводит к соотношению

а

〈D?p = — < (е - С7)^1> Р» ось;

(3.54)(3.54)〈％〉。= 2 — < (е'- Y)D^р, плоскость.

(3.54)

(3.54)

Вблизи вершины барьера при 疋弋 1 резкое увеличение коэффициент тов 5e/5z и 5e2/5z у ионов до значений^ присущих аморфному пределу, позволяет приближенно рассматривать точку е = 1 как сток — поглощающую границу:

р(е = 1) = 0. (3.55)

При этом пренебрегаем обратным потоком частиц в канал — рекана- пированием. Для электронов, напротив, как мы увидим ниже, этот процесс является определяющим в кннетике, поскольку основная масса частиц при 8()《1 сосредоточена вблизи точки е = 1.

Сформулированные уравнения Фоккера—Планка в переменных интегралов движения были основаны на предположении, что установление статистического равновесия в фазовом пространстве происходит гораздо быстрее, нежели изменение функции распределения 尸 за счет стохастического многократного рассеяния:

L > <D>.

Справедливость этого предположения следует из доминирующего характера потеШшального рассеяния быстрых частиц над стохастическим рассеянием. Это условие нарушается лишь в небольшой области вблизи атомной цепочки (плоскости), где ядерная плотность максимальна. В этом случае правомерность уравнения Фоккера-Планка, казалось бы, находится под вопросом и нам пришлось бы вернуться к исходному уравнению в фазовом пространстве (3.4), [40]. Однако область значений s, где условие малости стохастического рассеяния нарушено, сравнительно невелика: s W 〃 ♦ Кроме того, измеряемые на эксперименте значения являются, как правило, интегральными характеристика-

ми функции распределения 尸 по доступной области, поэтому применение уравнения Фоккера—Планка в задаче деканалирования в большинстве случаев вполне оправдано.

Кинетические коэффициенты. Расчет кинетических коэффициентов в уравнении Фоккера-Планка сводится к усреднению локального среднего квадратичного углового разброса по статистически равновесному пространственному распределению^ поэтому зависимости 5e/5z и S^e/Sz от поперечной энергии можно понять из обсуждавшейся в гл. 2 пространственной зависимости коэффициентов угловой диффузии. В частности, локальная скорость возрастания поперечной энергии, как это видно из (3.45), в безразмерных единицах совпадает с D丄(г).

Если воспользоваться для теплового рассеяния приближением локальной плотности (3,29), то результат усреднения по доступной области в осевом случае равен

бе5z〃бе5z〃~2~ ~ ехр(-г|/2«2) - ионы;

бе

5z〃

бе

5z〃

尸；(1 — ^P (—陷2 置2)) — электроны.

Отсюда сразу видно различие в интенсивности многократного рассеяния у электронов и ионов. Первые локализованы в области атомного ряда и механизм теплового рассеяния для них доминирует, в то время как ионы испытывают столкновения в основном только с той частью ядер, которая находится за пределами расстояния минимального сближения г^ Для этой области поперечных энергий определяющим является вклад валентных электронов, плотность которых в первом приближении можно считать однородной по сечению канала:

3ej5z =〈加〉=&e；/5z = const.

Из рис. 3.1 видно, что вплоть до значений 0 > е > 0,7 электронный механизм рассеяния у ионов доминирует над ядерным. Для ионов оба момента вероятности перехода (3.45) являются монотонно возрастающими функциями е - при уменьшении расстояния минимального сближения в процесс рассеяния вовлекается все большее число ядер и электронов.

Совсем иначе выглядит та же зависимость у релятивистских электронов, если их кинетику описать более простым уравнением (3.47) и пренебречь зависимостью от углового момента. Доступная область движения у электронов распространяется тогда на область локализации атомной цепочки 0 < г < г^ поэтому тепловой механизм рассеяния всюду доминирует над электронным. 86

В над барьерной области движения ^е > 1 коэффициенты диффузии линейно зависят от поперечной энергии и определяются средней по сечению канала плотностью атомов. Определяющикг5десь является вклад гауссового слагаемого (3,24). Легко убедитьси в том, что результат усреднения °丄 6) (3.21) по доступной области близок к значению 6^M/5z. Этот вывод остается справедливым и в пределе амплитуды тепловых колебаний, стремящихся к нулю. Хотя пик вблизи г = О в Р&) сужается при 〃-> 0, интеграл по г сохраняет неизменное значение.

Сделанные выводы о зависимости кинетических коэффициентов поперечной энергии справедливы и в плоскостном случае. Небольшое различие связано с относительной долей влияния теплового и электронного механизмов деканалирования. В плоскостном случае температурная зависимость как коэффициентов, так и интенсивности самого процесса деканалирования в целом менее выражена, нежели в осевом.

Интегральное уравнение

Осевое каналирование положительных ионсив. Теоретическое описа« ние деканалирования в рамках диффузионного приближения по поперечной энергии, как мы увидим ниже, в целом дает вполне удовлетворительное описание эффекта деканалирования в кристаллах^ Одаако применение диффузионной модели к задаче деканал>фОВШ11Я |й дефектах особого успеха не имело. Основная причина этого закл^^гся <в том, что для многих типов дефектов велика роль кратных сё^^ё^б. Роль последних отмечается и в идеальных кристаллах с большим 2, например в вольфраме [42].

Последовательная интегральная формулировка задачи деканалирования в толстых кристаллах с учетом столкновений малой кратности основана на кинетическом уравнении (3.9). Подставляя в него статистически равновесную функцию распределения (3.41) и интегро руя по доступной области, после несложных преобразований приходим к уравнению для функции распределения по поперечной энергии [55]

? = J dF[W(e, F)p(F) - W(F, е)р®](3.56)

dz

с вероятностью перехода [40]

+ 川& е) =— j d^(e - € - 802 - 2600(f))> = d о

1127r

=—Sdrn. (r) J duP(u) J d^b (e - e -

d e0

一602 - 26的 COS9)・(3.57)

Первое слагаемое в (3.56) описывает "приход” частиц в интервал е, е + de из интервала е\ е + de, второй "ухой” из него в каждом бинарном столкновении частицы с атомом церочки. Нетрудно убедиться в соблюдении принципа детального равновесия для полученной вероятности перехода;

S尸(J, е) = SjW(e, е')・(3.58)

Происхождение разности в аргументе 5-функцйи (3.57) становится понятным^ если вспомнить, что случайное приращение е — е, связан* ное с отклонением угла рассеяния AG (s) от его среднего значения △百(г), происходит с вероятностью P(r) dr, так что

€ - е =価у) + 80]2 - 0,彳=7е - U*(3.59)

Может возникнуть вопрос, как учтено в этом выражении изменение потенциальной энергии U (г), связанное с перемещением частицы в поперечной плоскости. Согласно концепции непрерывного потенциала соответствующее такому перемещению значение приращения 4U、каза・ лось бь^ полностью компенсирует изменение кинетической энергии 02,вызванное средним приращением угла рассеяния △бAz, обеспечивая тем самым сохранение поперечной энергии. Как в этом балансе скажутся случайные малые приращения угла рассеяния? Чтобы ответить на этот вопрос, будет полезно вернуться к геометрии бинарного столкновение и рассчитать приращение поперечной энергии из первых принципов, не прибегая к процедуре преобразования кинетического уравнения (3.9). Впервые такого рода расчет был проделан в работе Линдхарда для идеальной цепочки атомов [6] в целях определения критерия применимости приближения непрерывного, потенциала.

Чтобы учесть тепловые смещения, обратимся вновь к рис. 1.1. Обозначим положение частицы в полуплоскостях, находящихся посредине между соседними атомами цепочки, как ft и 〃・ Тогда результирующее изменение € за счет расстояния на угол Аб равно

_ е = (0 + Дб)2 + US) —诉一U(rJ・

Как это видно из рис. 1.1, координаты ti и г2 в малоугловом приближении связаны между собой соотношениями

□ = г 一 證/2; r2 = г + (6^ ^0)d/2.

Разложим теперь приращение поперечной энергии в ряд по степеням 0 и 69 в соответствии с критерием (1.31а), оставляя лишь слагаемые ~川：

Зе = ДР2 + 2弘6 - U；d8 - U；dA6/2.

Отсюда с учетом соотношения Ur = 2E^0/d получаем

5е = АМ9 + 2080.—

Как и следовало ояшдать, это выражение с точностью до несущественного слагаемого 50Д0, тепловое среднее от которого равно нулю, совпадает с (3.59).

Связь интегрального уравнения (3.56) с уравнением Фоккера-Планка (3.43) получается разложением правой части (3.56) в ряд по степеням Де = е — е, в котором явно учитывается асимметрия вероятности перехода W(e, е)丰 W(£‘, £)• Вводя вероятность приращения для столк- иовительного интеграла

方(£, 一 A) =W(e‘，£), имеем

JdA成(А + е,А)р(е + А) - W(e, -Д)р(е)]=

Э8е1M3/

= “- - P + - F - P .

de3z2 de3z

Первый и второй моменты распределения по Де равны

~^~ = JdA方(爲 А)М = JdFW(F, £)(£‘- £)"; к = 1,2. (3.60)

Прямой подстановкой (3.57) и (3.60) с учетом слагаемых, пропорциональных первой степени 6。', можно убедиться в идентичности выражений для моментов в выражениях (3.60) и (3.45).

Интегральный подход к задаче деканалирования впервые применялся в [5 8] и [4 2]. В отличие от развитого выше подхода [40, 48] в [5 8] приращение угла рассеяния 60 (г, s) в (3.57) вычислялось по приближенной формуле (3.22), линейной по амплитуде теплового смещения. Такое разложение вносит большую неточность в описание деканалиро- ванйя при больших поперечных энергиях е ^ 1.

Более последовательное применение интегрального уравнения в задаче осевого деканалирования было предпринято в работе йенской группы [42]. В отличие от (3.57) процедура разложения приращения поперечной энергии, аналогичная (3.59), включала слагаемые порядка △03, хотя подобная точность вряд ли необходима. Кроме того, в расчетах [42] использовался непрерывный осевой потенциал Uc (г) вместо усредненного U(г). Моменты вероятности перехода (3.60), а также вероятность кратных соударений рассчитывались в [42] моделированием бинарных столкновений. Все эти различия не привели, впрочем^ к какой-либо заметной разнице в более поздних расчетах [48] в рамках представленного выше гораздо более простого метода.

Чтобы качественно проиллюстрировать зависимость вероятности перехода W(F, е) (3.57) от поперечной энергии воспользуемся моделью кратных столкновений для столкновительного интеграла； Переходя в (3.57) от интегрирования по прицельному параметру в пределе s — Ок интегрированию по углу AJ(s) с помощью кулоновского сечения %л S') ： 2nsds = Л；кЛ (Аб), имеем

W(F, e) =g /^г%(г)〃％л(Ае)3(е' - е - 2бД0 - △#)

(3.61)

Подстановка сюда кулоновского сечения (3.13) дает

электроны.электроны.(3.62)(3.62)

электроны.

электроны.

(3.62)

(3.62)

Методы решения кинетических уравнений

Известные способы решения уравнений Фоккера-Планка (3.43) и интегрального (3.56) [40, 42] предполагают переход к разностной форме записи столкновительного члена. При этом весь интервал энергий е, представляющих интерес, делится на конечное число интервалов (рнс. 3.4)・ Группа i объединяет частицы с поперечной энерги- ей^ находящейся в промежутке J _〔 < е < е^, так что

年'max + I

々•(z) = J dep(e), E p. = 1.(3・63)

弓 _ Ii = 1

Граничный интервал emax < e < 00 co значением emax, намного превышающим высоту барьера, рассматривается как сток. Совершая переход от интегрального (3.56) к разностному уравнению, получаем

粤364)

,——,6z) 凡^/4£,——,6z) 凡^/4£aitL^iaitL^i

,——,6z) 凡^/4£

,——,6z) 凡^/4£

aitL^i

aitL^i

Рйс. 3.4. К выводу уравнения для приращения поперечной энергии

(3.65)(3.65)Q4 = М. — 必 E W..・

(3.65)

(3.65)

Матрица % есть вероятность перехода иона из группы i в группу / на единице длины пути. Матрицу Q.. мы будем называть матрицей дека

налирования.

Для близких столкновений, сопровождающихся большой передачей импульса, вероятность W(e‘, е) является плавной функцией е и е, поэтому выражение для W.. может быть получено сразу из (3.56) применением теоремы о среднем значении:

(3.66)(3.66)&,宁 W(e‘，е)

(3.66)

(3.66)

吗=J de J de = 一二一，\i-j\ > 1.

Для процесса диффузионного типа с малыми изменениями поперечной энергии функция W(e： е) имеет резкий пик в окрестности ^е = =е [см. (3.62) ], поэтому теорема о среднем значении здесь не применима.

Для нахождения Q.. в осевом случае воспользуемся диффузионным приближением (3.47). Изменение заселенности /-й группы в зависимости от толшины запишем с учетом (3.47) и (3.63) в виде

где

(3.68)(3.68)% = 2((е 一 С/)%〉； △ = 6e/8z -叫麻.

(3.68)

(3.68)

Выделение слагаемого, пропорционального △(£). сделано из соображении удобства. Согласно (3.48) в надбарьерной области, где площадь доступной области S ^ не зависит от поперечной энергии, △ (е) = 0.

Предполагая, что р(е) есть плавная функция от е, можно аппроксимировать первую производную по р в точке % линейной интерполяцией величины р (f )/Де (см. рис. 3.4). Подстановка этих выражений в равенства (3.64) и (3.67) дает

叫) 1 А(е.)

。(弓)1 △(9 .，%。=0・

Отсюда с учетом (3.68) для электронов получаем

Для ионов радиус доступной области г. в скобках заменяется на 片")几・"

Один из известных способов решения дифференциального разностного уравнения (3.64) с коэффициентами (3.65) - разностный по глухне [42]. Фунйхия распределения р^) на глубине z находится последовательно, шаг за шагом, исходя из разложения

%•1_ d2P.

用(z + Az) = p.(z) + Az ——+ — Az2—士' /dz 2 , dz

где производные no z даются исходным Уравнением (3.64).

В расчетах [42] шаг на глубине Az выбирался таким образом, чтобы максимальное изменение всех р. не превышало 2 %. Сохранение нормы распределения р. следует из очевидного равенства §0», = О, проверяемого с помощью (3.65) непосредственно.

Простейшее приближение fmax ^ 1, когда рассматриваются только две группы частиц - каналированные р* и надбарьерные р2, предложенное в работе Бёха [60], будет рассмотрено в § 8.3 в связи с задачей рассеяния каналированных частиц на точечных дефектах.

Другой путь решения уравнения (3.64) основан на методе диагонализации матрицы .деканалирования Q [59] диагональным преобразо-

ванием

В результате решение уравнения (3.64) можно сразу записать в виде

Pi(z)= %е~°* 万I р/0).丿(3.70)

Заметим, что данный метод используется и в квантовой задаче кинетики деканалирования [12? 106] (см. § 5.3).

В задаче излучения суперрелятивистских частиц полная энергия частицы в момент излучения меняется не малой порцией, а скачком △Е ~ Е. В [61] была разработана процедура моделирования случайной "траектории" случайного блуждания частицы в пространстве поперечной энергии согласно разностному уравнению типа (3.64). Средняя длина пробега до перехода в соседнюю ячейку по поперечной энергии в процедуре моделирования совпадает с 0；[〔 », а однократные близкие соударения реализуются с вероятностью

~ 二务s；—《P(r)〉U(3・71)

В последнем случае разыгрывался угол рассеяния △©($), s £ 0, $小, и по нему определялось новое значение поперечной энергии

d = е + 2，е - U (г) Двсоз^ + △俨.(3.72)

Угол 屮 распределен равномерно в интервале (0,2 я)・ Координата г в (3.72) также разыгрывалась согласно плотности распределения Р(г)・

Нштичие дополнительной переменной - углового момента у электронов создает ^дополнительные вычислительные трудности при формулировке разностного уравнения в рамках уравнения Фоккера-Планка. В приближении кратных столкновений этих трудностей можно избежать, вычисляя в каждом "столкновении" приращение момента

Mf = М - Дв г sin ^, М = %г, 6 = q—，，sina = М/гб.

Главное преимущество описанных численных методов решения задачи деканалирования по сравнению с методом машинного моделирования траекторий по модели бинарных столкновений состоит в значительном уменьшении затрат машинного времени. Так, если D последнем методе каждый акт столкновения происходит на длине Az = d с сечением о ~ d?, то в методе случайного блуждания по е средняя длина до "столкновения" за счет аккумуляции большого числа малоугловых столкновений в диффузионных коэффициентах значительно уменьшена: D J4&《1/d.

Функция деканалирования

Осевое деканалирование ионов. Важнейшей характеристикой процесса деканалирования является функция деканалирования, которая представляет собой долю частиц, покинувших канал:

1

/(z) = 1 - J dep(e, z) = 1 - 4 (z)・(3.73)

о

Эта функция часто сравнивается на эксперименте с нормированным выходом обратного рассеяния Xmin(2). Такого рода связь следует из пространственной однородности потока в надбарьерной области поперечных энергий. Так, из (1.62) и (1.64) следует, что

1

XminG) = 1 - <(z)+」^ер(е,и)П(е).(3.74)

о

Второе слагаемое - вклад каналированных частиц можно оценить, полагая их плотность в ближайшей окрестности цепочки постоянной ~р (1, z)・ Тогда, разлагая U(r) * 1 - рг при г£ 〃 , получаем ，

△g加〜叫(/).

Для не слишком больших толщин z《z^, когда p(l,z) < 1 и граничное условие (3.55) еще не сильно нарушено обратным потоком частиц в канал из над барьерной области, можно считать, что вклад второго слагаемого в (3.74) невелик по сравнению с величиной 1 - {・

Как это видно из уравнения (3.43), которому подчиняется функция распределения р(§ z), оба кинетических коэффициента 6e/6z и 62e/6z одного порядка. Это означает, что рост поперечной энергии, так же как и диффузия, являются процессами, идущими с одинаковой интенсивностью, и поэтому должны учитываться одновременно. С этой то* ки зрения оценка длины деканалирования, сделанная в § 1.2 на основе

Э бе

одного лишь гидродинамического члена ~ — — р, является слиш- de 8z

ком грубым приближением. В литературе оно носит название приближения монотонного возрастания поперечной энергии [6].

На рис. 3.5 результаты расчета xminno формулам интегрального метода (3.74), (3.64) и (3.69) сравниваются с экспериментальными данными, полученными в работе Педерсена и др. [62] для протонов Е = 2 МэВ в решетке вольфрама. Здесь же приводятся результаты рас-

Рис. 3.5. Зависимость минимально го выхода обратного рассеяния от глубины (протоны £ = 2 МэВ в вот>фраме) \100>):

диффузионное приближение (Шиет); - ин

тегральное уравнение (3.56); -・•-・•- - в пренебрежении близкими столкновениями; ... 一 в пренебрежении энергетическими по> терями; —1-一 一 два валентных электрона вместо шести. При Т = =293 К ряд кривых практически совпадает，

чета xmin по приближенной диффузионной модели уравнения (3.47) с (3.30) [63]. Наибольшее различие между кривыми на&модается при высокой температуре кристалла (Т = 973 К), где диффузионная модель дает заниженное по сравнению с экспериментом значение xm(n на больших глубинах. Интегральный подход обеспечивает наилучшее согласие для обеих температур мишени. Чтобы разобраться в физических причинах подобного различия, необходимо выяснить роль различных механизмов деканалирования, которые обсуждались в § 3.4,3.5.

Рост Xmin с возрастающей глубиной является слишком малым, если только электронное или только тепловое рассеяние принимается во внимание. Например, в первом случае xmin примерно удваивается при L = 3 мкм. Одновременный учет обоих механизмов многократного рассеяния дает гораздо больший вклад в Xm1n> нежели их учет в отдельности. Налицо неаддитивность электронного и теплового рассеяния, а точнее, взаимное усиление воздействия. Роль другого фактора - близких однократных соударений - проверялась сравнением расчетов с участием только диффузионных приращений (О.. = 0 при |/ - /| > 1) и этих же приращений, но с привлечением слагаемых (3.66). Как видно из рис. 3.5, Xmin(z)в первом случае для малых глубин меньше, чем во втором. Ситуация меняется на прямо противоположную для больших глубин. Это означает, что в сравнении с более точной диффузионной моделью с коэффициентами (3.22) [см. уравнение (3.43)] в [46] была занижена ядерная часть деканалирования и завышена электронная. Учет же однократных столкновений в рамках интегрального подхода, меняя значение xmin почти на 12 %, улучшает согласие с экспериментом в решетках с большим Z и поэтому им не следует пренебрегать в последовательном анализе задачи деканалирования. Что касается механизма деканалирования на электронах, то, как это видно из сравнения кривых для двухвалентных (6s)1 вместо шести (5J) и (6s) электронов в формуле для углового разброса, деление электронов, на валентные и внутренние [см. (3.63) ] не сильно сказывается на зна-

чении Xm n 弋 7 %. Вклад энергетических потерь в Xmin(^) оказался W 5 %. В 厶2] они учитывались параметрически — как монотонное уменьшение полной энергии частицы с ростом толщины.

Несколько иная ситуация в кристаллах с меньшим зарядом ядра. Мацунами и Хоу [46] провели обширное исследование поведения функции деканалирования в кремнии и германии для разных направлений и температур. Теоретический анализ деканалирования в [46] также был основан на диффузионном приближении. Но в отличие от [58], где применялось разложение кинетических коэффициентов в ряд по степеням К2, в [46] при расчете Xmin(^) использовалась сумма гаус- сового (3.29) и линдхардовского (3.30) слагаемых (см. § 3.3). Такое приближение дает заметное отличие от точного результата (3.21) только в сравнительно небольшом интервале расстояний до цепочки 勿 < < г < 2а.

Однако в расчетах [46] в целях наилучшего согласия с экспериментом по ходу кривой ^^(z) подгонялось значение электронной плотности в центре канала. В итоге для каждой оси значения электронной рлотности оказались разными. Расчет по интегральной модели [42] показал, напротив, малую чувствительность xmjn к значению электронной плотности цепошси. Замена Zy = 3 в (3.36) на Z^ = 4 приводила к △xmio < 2 %, что ставило под вопрос правомерность подгонки электронной плотности в значении 乂皿也・ Интегральный подход [42, 61], который не содержал подгоночных параметров, все же давал лучшее согласие с экспериментом, хотя роль близких однократных столкновений в кремнии и германии оказалась незначительной 仔 5 %).

Для очень больших толщин в экспериментальных данных зависимости Xmin(z) отчетливо прослеживается эффект насыщения - выпола- живанйя функции деканалирования. Он также лучше воспроизводится интегральным подходом.

Если проанализировать наклон кривых на рис. 3.5, отвечающих разным температурам» то окажется, что при малых z как распределение по поперечным энергиям, так и доля каналированных частиц ведут себя как функция переменной z “上 Это объясняется тем, что у частиц с е ~ 1» деканалирующих вблизи поверхности, доминирует тепловое рассеяние, для которого коэффициенты 6e/6z и 62e/6z (3.45) пропорциональны 〃2. при дальнейшем возрастании z рост и диффузия поперек ной энергии у ионов с малыми е определяются в значительной степени

рассеянием на электронах, поэтому пропорциональность квадрату амплитуды тейловых смещений пропадает.

Длина деканалирования. Монотонный характер возрастания функции деканалирования с толщиной (в логарифмическом масштабе почти линейный) наталкивает на мысль об использовании простой экспоненциальной аппроксимации для функции деканалирования, опреде-

Bic. 36 Деканалирование ультраре- лятивистских электронов 1ГэВ f f Si <110* 300 К

ляемой лшпь одним параметром — длиной деканалирования z/

/(z) = 1 - eT"d. (3.75)

Ее происхождение можно связать с простейшими аналитическими решениями уравнения Фоккера-Планка [64]. Вряд ли целесообразно останавливаться на них здесь подробно в связи с сильной чувствительностью решений кинетического уравнения к форме зависимости кинетических коэффициентов (3.45) от поперечной энергии.

Электроны. Явлению деканалирования легких ультрарелятивист- ских частиц в целом присущи те же черты, что и тяжелых. С точки зрения диффузионного пртближения все различие у частиц с разным знаком заряда сводится к разным значениям кулоновского логарифма. Возросшая же интенсивность многократного рассеяния у электронов по сравнению с положительными частицами приводит к гораздо меньшей длине деканалирования. Кроме того, кинетика деканалирования электронов имеет две хорошо различимые стадии. Первая связана с интенсивным перераспределением по е и М хорошо каналированных состояний с € < 1. Вторая связана с более медленной эволюцией око- лобарьерных частиц € ~ L Электроны, сосредоточенные при 8。#= 0 в момент падения на поверхность вблизи точки е а 1 + 睞 в отличие от ионов испытывают вначале тенденцию к уменьшению поперечной энергии — реканалированию, связанную с диффузионным расплыванием начального пика. Вследствие этого на начальном участке кинетики деканалирования с ростом глубины пик отделяется от точки е = =1 и движется в сторону больших поперечных энергий (рис. 3.6). При нулевом угле падения экспериментальное исследование эффекта деканалирования у ультрарелятивистских частиц представляет известные трудности, так как выход обратного рассеяния Xmjn(^) чрезвычайно мал. Косвенные данные по выходу 6-электронов или по интенсивности ХРИ [64] включают ряд дополнительных усреднений плотности каналированных частиц по прицельному параметру столкновений, а поэтому

не вполне адекватны данным по функциям деканалирования. В качестве примера можно привести расчеты (67], которые дают значение Ld 整 10 мкм для электронов сЕ= 1 ГэВ, каналирующих в Si, Ge и W.

Угловые распределения. С ростом толщины мишени z ^ zd тени вдоль высокоиндексных осей и плоскостей исчезают, а от низкоиндексных сливаются. Прим叩ст подобного поведения может служить показанная на обложке книги протонограмма [2] — угловое распределение обратиуассеянных протонов, зафиксированное на фотопластинке с ядфной. эмульсией, в пределах большого телесного угла. Используя индексы МЕлера, можно просто установить взаимное соответствие между выходами плоскостей и высокоиндексных осевых направлений, отчетливо видимых на рисунке. Плоскостные тени представлены здесь прямыми линиями, толщина которых убывает как ростом ивдекса. Толщинная зависимость в эффекте теме# появляется здесь двояким образом. С одной стороны, рост толщины выявляет все большее количество низкоиндексщ>1х осей и плоскостей кристалла за счет рассеяния на непрерывном потенциале. С другой — вклад стохастического многократного рассеяния в эффект теней сводится к засыпке минимума тени и уменьшению высоты брустверов тени при 6 al.

Глава 4. НЕУПРУГИЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ КАНАЛИРОВАНИИ

Метод прицельного параметра

Изучение электронных возбуждений при каналировании, включая явление ионизации, характеристического рентгеновского излучения (ХРИ), торможения, началось одновременно с открытием самого эффекта каналирования [66, 68, 69]. В последние годы основной акцент теореппеских и экспериментальных работ, выполняемых в этой области, сместился с изучения интегральных величин, таких, как, скажем, тормозная способность частиц при каналировании, к исследованию дифференциальных величин - спектров ХРИ и вторичных электронов с использованием методики совпадений. Все большее признание приобретает метод рентгеноспектрального анализа с ионным возбуждением — PIXE (Particle Induced Xray Emission) в сочетании с эффектом каналирования для анализа положения примесных атомов, изучения механизмов возбуждения и генерации ХРИ многозарядными ионами.

Интерес к детальному исследованию торможения при каналировании возник в связи с экспериментами группы Датца и др. [18] на ионах средних энергий, в которых была обнаружена линейная завись 98

мость тормозной способности от частоты колебаний частицы в кана* ле. Для быстрых частиц изменение полной энергии ионов на длине деканалирования, как правило» не превышает 10 %, поэтому в целом торможение слабо сказывается на траекториях движения. Вместе с тем подавляющую часть экспериментальных измерений составляют энергетические спектры рассеянных частиц. И с этой точки зрения процесс торможения представляет также немалый интерес. Достаточно сказать, что сами каналированные частицы часто определяются по аномально низким энергетическим потерям или, наоборот, в случае легких ультрарелятивистских частиц по аномально высокому радиационному сбросу энергии. Вопросам, связанным с торможением, посвящено много обзоров (например, [16]). Наше рассмотрение будет ограничено лишь быстрьтми частицами с v > vB = ^ lht механизм электронного торможения которых доминирует над ядерным и в неупорядоченной среде хорошо описывается теорией Бете-Блоха [70].

Вследствие классической определенности траекторий движения каналированной частицы неупругие процессы в кристалле являются позиционно зависимыми. И здесь нужно сразу отметить качественное различие между процессами возбуждения электронной и фононной подсистем кристалла. В пренебрежении отдачей атомов при рассеянии, или, другами словами, процессом возбуждения фононов, можно отказаться от громоздкого фононного описания состояний кристалла [71] и рассматривать его как совокупность точечных рассеивающих центров с заданным пространственным распределением [72]. Такое приближение не всегда оправдано в отношении неупругого рассеяния на атомных электронах. С точки зрения квантовой механики в процессе взаимодействия характерные времена электронных переходов могут быть сравнима или меньше времен взаимодействия с полем движущейся частицы. Кроме того, в области малых передач импульса электрон уже нельзя считать свободным. В таких условиях движение электрона должно рассматриваться как существенно квантовое.

Последнее обстоятельство не мешает рассматривать траекторию самой частицы У(г) классической и считать ее источником зависящего от времени электрического поля с потенциалом

户户Z

户

户

(4.1)(4.1)Vе а) = е

(4.1)

(4.1)

」1 i^-rwi

Суммирование в (4.1) ведется по положениям электронов г/3 при этом интенсивность неупругих процессов (возбуждение и ионизации) определяется по тому возмущению, которое производит Потенциал (4.1) в электронной подсистеме. Сформулированная модель составляет основу полу классического приближения, или, как его еще называют,

метода прицельногоf параметра. Различные подходы в рамках этога метода различаются лишь способом описания электронных воэбуж дений.

Что касается пределов применимости метода прицельного параметра то они связаны лишь с требованием классической определенности тра ектории движения и незначительности ее изменения за характерные в реме на перехода, что практически всегда выполняется для ионов и легки! ультрареляткцистских каналированных частиц. Этим полуклассическо приближение выгодно отличается от борновского, неприменимого случае сильносвязанных электронов в атоме. К этому следует добавить что строгое квантово-механическое решение задачи неупругого # рассея ния быстрых заряженных частиц в кристалле в квазиклассическом пределе приводит непосредственно к результатам полуклассического прибли жения (см. гл. 5, а также [72-74]).

При рассмотрении электронных возбуждений в кристалле необходимс учитывать эффекты, связанные с перестройкой волновых функций элект ронов в результате взаимодействия соседних атомов мишени. Слабо связанные валентные электроны делокализованы и их с хорошей то^ ностью можно рассматривать как свободный ферми-газ. Возбуждени же локализованных электронов внутренних оболочек происходит прак тически независимо, и влияние трансляционной симметрии кристалл< обычно не сказывается на результатах. А поскольку волновые функции валентных электронов и эозбужденных состояний ортогональны волновым функциям внутренних оболочек, задачу возбуждения электронов атомного остова можно рассматривать как задачу для изол1фованного атома. С этой задачи мы и начнем анализ результатов полуклассического приближения.

Имея в виду малоугловой характер рассеяния каналированных час тиц на атомах рететк% достаточно ограничиться в расчетах вероятносп возбуждения прямолинейным участком траектории с прицельным па раметром 6 относительно отдельного атома F(r) = b + v4 f (рис. 4.1)*

Гамильтониан электронов атома в пале движущегося заряда равен 分⑴=£о+片&Ь)・

Здесь Яо - гамильтониан атома, характеризующийся собственными вол новыми функциями |а> и энергиями е窗.Зависящий от времени потен циал (4Л) вызывает переходы между основным |0> и возбужденными состояниями |а>.

Учитывав что общий вид временной эволюции волновой функции электронов даотся выражением

W(%, 0 = Ю>е + S /оа(О1а>е а ,(4.2)

Рис. 4・1・ Неупругое столкновение иона с атомом

спектр энергетических потерь иона на атоме можно охарактероо- вать гауссовым распределением с двумя моментами по переданной энергии △a = Ga~ €0 : вредней потерей энергии - торможением

△ WQ)=落％(4.3)

и разбросом (страгглингом)

△2 Е ©) = ^ △：% - А О ©)(4.4)

Вероятность перехода является функцией прицельного параметра и выражается через амплитуду перехода

w°Q(b) = %(Ь)『.(45)

В первом порядке временной теории возмущений амплитуда равна [75]:

Jg(b)=-T 7 d〃0|片⑴⑷ exp(i ? f)・(4.6)

Совершая в (4.6) фурье-преобразование по пространственным переменным

и интегрируя (4.7) по г, для амплитуды рассеяния получаем следующее выражение:

Здесь введено обозначение для обобщенной силы осциллятора

(4・8)

(4.9)

Отсюда сечение перехода находится из

% 二，加％加)=—^~ 1%а(明 8(%v"J・У」。)

С этой величиной связаны тормозная способность аморфного вещества или потери в случайном, направлений

5£ /3£ = УД€.

ат

и эффективное торможение на атоме

^ = ^ЬАЕ(Ь) = Z %力3。〃.(4.11)

Тормозная способность каналированной частицы при осевом канали* ровании находится суммированием вкладов от каждой цепочки, состав ляющей канал

661

(b) =— Z A£(b-厶)，(4.12)

6Ld 7工丄

при плоскостном каналировании

(%)=叫 汐耳*e ('%-版%)2+号:

Кроме того, эти выражения следует усреднить еще по поперечным тепловым смещениям атомов:♦

б €(Ь)б €(Ь)5丄5丄Z △ G (b - u - 1.);，丄，Z △ G (b - u - 1.);，丄，(4」3)(4」3)代p, 5丄代p, 5丄

б €(Ь)

б €(Ь)

5丄

5丄

Z △ G (b - u - 1.);

，丄，

Z △ G (b - u - 1.);

，丄，

(4」3)

(4」3)

代p, 5丄

代p, 5丄

Для дальнейшего будет удобно выразить торможение в аморфной среде через динамический формфактор:

S/,3)^^^\4(^-^,S/,3)^^^\4(^-^,(4.14)(4.14)

S/,3)^^^\4(^-^,

S/,3)^^^\4(^-^,

(4.14)

(4.14)

который отражает все свойства однородной многочастичной электрон-

ной системы в процессе неупругого рассеяния. Для торможения (4.3), в частности, получаем

_4/d3k /3 \—

=工 У / d33，(弓 - —丿 S«, з)・.(4.15)

Если произвести подстановку

q = ka - %; k =」(ki + k2), 2

то приведеннью формулы можно представить в несколько иной форме:

△ ^ф) = fdq.e 丄 Jd33 x К

d%6(匕 一 <Wv)S(q,欠 3)

x / J •(4.16a)

(k+-^»q 丄)2(kq 丄)2

где

S(q, к, з)=常(3 - woa)Foa(k +

+ - 41)勺0(k - ；q).秋(4.166)

Дальнейший анализ задачи требует либо конкретизации водновых функции, либо использования приближенного метода суммирования в (4.14), (4.16).

В практических расчетах электронного торможения каналированных частиц на электронах атомного кора (внутренних оболочек) вполне достаточно применения модели водородоподобного акша. Одночастичные электронные состояния описываются кулоновскими волновыми функциями с эффективным зарядом, учитывающим внеишюю и внутреннюю экранировку электрона в атоме. Для каждой подоболочки % / он выбирается согласно равенству Z* = Z - Z*» где константа экра* нирования дается правилом Слэтера. Энергия связи электрона на данной подоболо<же W〃/ связана с эффективным зарядом соотношением £力[=与〃]Z：；/2/?. где 晶/ - параметр внешней экранировки. Обычно

предполагается» что эффективный заряд и экранировка не меняются для возбужденных состояний атома. Еще большей простотой обладает модель, в которой волнжые функции каждой подоболочки заменяются на 1 $>подобные с эффективным зарядом Z* =\/~2Е10. В дальнейшем она будет именоваться водородоподобной. В целях сокращения записи прицельный параметр в рамках водородоподобной модели будет измеряться в единицах а。= 0^/^* Приведем в качестве примера энергию связи на оболочках кремния. Для двух электронов Кюболочки она рав・ на Ej = 1824 эВ, для двух Zj-электронов^2 = 151 эВ и для шести!2- электронов G2 = 108 эВ.

Кроме очевидных преимуществ в вычислительном плане модель водородоподобного атома позволяет установить масштабные соотношения в вероятности перехода для разных скоростей и зарядов, а кроме того, допускает простое обобщение на случай многоэлектронной модели атома Хартри-Фока.

Неоднородность в распределении прицельных параметров каналированных частиц с атомами решетки вызывает совершенно различные механизмы возбуждения электронов. К примеру, гиперканалированные частицы, находясь вдали от узлов решетки, испытывают аномально малое торможение в основном со стороны коллективизированных почти свободных электронов, эффективная плотность которых гораздо меньше средней по кристаллу. Напротив, ,,зависающием над областью наибольшей плотности атомов надбарьерные частицы с е ~ 1 могут возбуждать локализованные электроны кора - внутренних оболочек. В результате энергетические потери этой группы частиц превышают соответствующее значение в случайном направлении. По этой причине в точном подходе целесообразно разделить вклады в вероятность неупругого рассеяния от внешних и внутренних электронов.

Приближение средней частоты

Метод Деттмана-Робинсона. Приближенное решение задачи торможения каналированных частиц на связанных атомных электронах опирается на теорему суммирования. В своем простейшем варианте приме* нение теоремы суммирования основано на замене продольного передавав- з（）а一

мого импульса % =——— в （4.16） на некоторое среднее значение 左= wov

= — ・ В этом случае суммирование по состояниям в （4.166） с учетом условия полноты сразу дает

S（k], к2, з） = 5（to —我）（尸00® - %）-尸oo也2）尸%。（比）），

（4.17）

Для основного состояния в рамках водородоподобной модели, ко。 ДО ^о [1/(1Г<^)11/2ехр(-г/а0) (^о =勺区*), формфактор (4.9) равен 尸。о(左)《 + *))

Так что после подстановки (4.17) в (4.16) и ннтегрмрования по импульсам получаем [76]

△ e0) =2^]彳 №0加(2加 2b)fdf 一 万 0

^К^НШ, 2^H)fd^ };(4.18)

Н(?С, у) = g dWzKi(z), Go = 2еБ, где

z = Qc2 + у2 — 2xycosW);扌=v0/v;

Г = (1 + 4Г2) О：

В этом выражении в качестве средней частоты &йо в пределе v А % используется величина удвоенной энергии связи ^сЗ^ = —2W】=Й2/те^.

При больших Ь А “о (4Л8) переходит в

△е(6) = W#限;(〃％) + Ki 叫)]2, ba = — .(4.19)

vo

Как это будет показано ниже, область применимости приближения средней частоты ограничена условием f = v0/v < 1. Другими словами, оно пригодно лишь для слабосвязанных электронов. При этом дипольный характер спадания асимптотики выражения (4.19) при (《1

△WQ) = 4e°f(%/b)2, b《4，专《1,(4.20)

сменяется адиабатическим

△ G(6) = 4f(%/b)Fexp(-2b/%), b А 坛.(4.21)

Происхоядхение такого рода спада связано с тем, что волновая функция электрона (4.2) при достаточном удалении частицы от электрона (на расстояние, большее адиабатического радиуса ba = q()v/%) успевает подстроиться под изменение электрического поля (4.1). Отсутствие

внезапности столкновения экспоненциально уменьшает вероятность возбуждения. Таким образом, кроме малости геометрического сечения с ростом Z*b вероятности возбуждения появляется дополнительная сильная зависимость от скорости частицы. Подобный экспоненциальный характер спадания известен, впрочем, и из {Результатов классико-механического подхода.

В отличие от первого - дипольного варианта полуклассической теории (4.19) [70] формула (4.18) не обнаруживает расходимости на малых прицельных параметрах, оставаясь конечной: А£(0) = Ео|2 (я2 /3 — 1).

Метод Деттмана. Обобщение полученного результата на случай многоэлектронного атома в приближении Хартри-Фока было сделано в работе Деттмана [77]. Существенно, что торможение на каждом электроне кора может рассматриваться совершенно независимо от всех остальных электронов, без каких-либо ограничений, связанных с принципом Паули, что позволяет в значительной мере воспользоваться результатами, полученными в рамках одноэлектронной задачи. Для дальнейшего следует отметитц <гго приближенные методы расчета торможения, включая теорию Бете—Блоха [75], предполагают деление всего интервала передаваемых импульсов к.=方3『〃v <к < Л = 2movM на два, в каж- min jmax

дом из которых удается получить простое асимптотическое выражение для формфактора. Так, в области малых передаваемых импульсов 左min < 左 < 履 применяется дипольное приближение. В области же больших передаваемых импульсов kQ < к < Лтах фактическая независимость от энергии возбуждения позволяет воспользоваться правилом сумм. Импульс Ло, разделяющий указанные области, будем для огфеде- ленности полагать равным kq = 2“—£,勺,что соответствует пфеходам в пределах удвоенной энергии связи. Из сказанного ясно, что» приближение средней частоты необходимо применять для каждой ^оболочки лишь в первой дипольной области, в которой результат уже известен (4.19). Не останавливаясь здесь на деталях самосогласованной процедуры выбора значения средней частоты fedy на каждой оболочке, которая сводится к сравнению среднего по расстоянию Ь локального торможения с известным эффективным торможением, получаемым в дипольном приближении из более простого выражения S (匕 з) (4.14), по аналогии с (4.19) имеем

.А€Дап Q) = J • 2 (?)尹К；(鸣)+ 終(鸣)],

b A〈/I 河/〉，(4.22)

Ь「回0厂方而.

Матричный элемент берется по волновым функциям |/> основного состояния ^оболочки.

В области больших передач импульса становится пригодным правило сумм. Это хорошо видно на примере однородного формфактора. При q丄 »Qz можно пренебречь зависимостью q от 力3。@ в (4.15), так что интеграл по з, равный

《3〉= Jd(^GjS(С4 к) = 23九1尸加|2,(4.23)

с помощью формальной замены матричного элемента 加加弓@ на матричный элемент от производной по времени оператора F переходит в

А д i% 人Z^2

〈3〉="%%• 匸 T広％ = x. (4.24)

Полученный результат имеет простую интерпретацию - при больших передаваемых импульсах электрон ведет себя как свободный и его связь с атомом становится несущественной. Поэтому формфактор, по своему смыслу пропорциональный вероятности передачи электрону импульса 方к и энергии 左з, оказывается близок к 6*функции 5(cd - ^2/2те), свойственной свободной частице. В сказанном можно убедиться и непосредственно, вычислив с помощью правила сумм аналогично (4.24), второй момент по з:

332s(к,з)上)+ —</lp2l/>.(4.25)

Отсюда с учетом (4.24) следует, что

《a?〉一。〉？8《川俨I/〉/

«1

(3户3^2,

Обрисованная здесь картина без каких-либо оговорок справедлива и в случае обобщенного формфактора, записанного в виде (4.166), у которого роль передаваемого импульса в формуле (4.166) также играет вектор К:

Остающаяся сумма по а условием полноты сводится здесь к фурье-Остающаяся сумма по а условием полноты сводится здесь к фурье-Ру (q) = jdre l"・(r)l ・Ру (q) = jdre l"・(r)l ・(4.28)(4.28)

Остающаяся сумма по а условием полноты сводится здесь к фурье-

Остающаяся сумма по а условием полноты сводится здесь к фурье-

Ру (q) = jdre l"・(r)l ・

Ру (q) = jdre l"・(r)l ・

(4.28)

(4.28)

(4.27)

Теперь, принимая во внимание, что к2/2те > з『а значения q из-за эффекта экранировки в (4.26) не превышают q0 ^ 1/^, пренебрежем слагаемыми q/2 в знаменателе (4.166). В результате получаем вклад близких столкновений

Д€близ(Ь) =— V2 ^ Wqp/.g)/") ； d33 / ^ & (与一

(4.29)(4.29)Интегрирование по cd и к дает 2ttJmov2

(4.29)

(4.29)

△7лиз(Ь)=к "№)Ш 亏

Сюда входит усредненная вдоль оси z двумерная электронная плотность. Отсюда видно, что в противовес дипольной область больпшх энергий возбуждения характеризуется сильной локальностью. Согласно (4.29) передача импульса электрону происходит так же, как если бы он был свободным и распределенным с заданной пространственной плотностью ^е (г) в поперечной плоскости. Легко показать, что данный результат получается и в классической трактовке задачи рассеяния (см. § 3.2). Действительно, полагая, что в каждом столкновении с атомом покояще- муся электрону в точке г Фр (rj передаются импульс Ар” = -

а。:

и энергия ДЕ 二 ,а все значения импульса ограничены интервалом

%о < Дре <・％тах，сразу приходим к (4.29). Эти соображения в духе приближения локальной плотности являются основой классического соотношения между угловым разбросом и средней переданной энергией [41J：

△б") = = A』Q)・(4.30)

Окончательное выражение для зависимости торможения от прицель но го параметра с учетом вклада далеких столкновений, а также (4.22) и (4.29)

△WS)= А£дал9)+ А7"нз(Ь)，△WS)= А£дал9)+ А7"нз(Ь)，(431)(431)

△WS)= А£дал9)+ А7"нз(Ь)，

△WS)= А£дал9)+ А7"нз(Ь)，

(431)

(431)

полученное в рамках модели Деттмана для многоэлектронного атома, как мы увидим ниже9 обладает одной особенностью 一 эта величина, будучи умножена на плотность % всегда превышает половину тормозной способности в случайном направлении, получаемом из (4.15).

Окончательные выражения содержат сумму по средним частотам на каждой оболочке. По этому поводу хотелось бы отметить, что известное из теории Бете—Блоха [75] выражение для тормозной способности

(432)(432)4 +2m V

(432)

(432)

=Г Nin

5 2mJ/

с всего лишь одним значением среднего потенциала возбуждения I = =Z* 10,7 эВ очень хорошо (с точностью лишь несколько процентов) воспроизводит экспериментальные результаты по торможению протонов в аморфном веществе. Это обстоятельство наводит на мысль о существовании такого соотношения для А£(Ь), которое также включает лишь один параметр средней частоты в теории. Такая задача была решена в работе Эсбенсона и Головченко [78], которые к тому же показали, что отношение торможения случайной и каналированной частицы могут превышать 2.

Метод Эсбенсена- Головченко. Существенным фактором, использо- ванньш в [78], является периодичность расположения атомов в решетке, несмотря на то что все расчеты проводились для локализованных электронных состояний. Конечно, это обстоятельство не является в теории решающим» поскольку торможение как функция прицельного параметра, рассчитанное для отдельного изолированного атома после суммирования по двумерным положениям цепочек, должно совпадать с результатами, полученными в условиях трансляционной снмметрш. А если учесть к тому же в целом резкий характер спадания AW (Ь) с ростом Ь, то становится ясно, что торможение, по крайней мере в той ее части, которая связана с возбуждением кора, определяется вкладом лишь соседнего с траекторией каналированной частицы атома. Тем не менее с вычислительной точки зрения учет только процессов переброса, сопровождающихся передачей электрону импульса, равного вектору обратной решетки К, как мы увидим, является решающим.

Итак, принимая во внимание периодичность расположения цепочек, представим (4.166) в виде

4яе А£(Ь) =—г т V е(2叫\ dx4яе А£(Ь) =—г т V е(2叫\ dxiKbZe J (К)iKbZe J (К)2叫2叫丁)、％ % =0" 2 …,丁)、％ % =0" 2 …,(4・33)(4・33)

4яе А£(Ь) =—г т V е

(2叫\ dx

4яе А£(Ь) =—г т V е

(2叫\ dx

iKb

Ze J (К)

iKb

Ze J (К)

2叫

2叫

丁)、％ % =0" 2 …,

丁)、％ % =0" 2 …,

(4・33)

(4・33)

где суммирование ведется по двумерным обратным решетчатым векторам, а функция J0c) равна

2 S(k, К,з)・2 S(k, К,з)・(4.34)(4.34)]dkb (kz — з/v )

2 S(k, К,з)・

2 S(k, К,з)・

(4.34)

(4.34)

(К) = —- j d з，27r

Теперь среднее no прицельным параметрам в пределах двумерной элементарной ячейки после интегрирования по к в пределах 方з/v < к < < 2mV с учетом (4,24) в дипольном приближении (К —0) сразу сводится к формуле Бёте-Блоха

—4тге*

△е = —J-7(0),(4.35)

где 2m v22m v2

丿(°)= E(n1n =Zln —.(4.36)

Силы осциллятора fnQ берутся здесь по многоэлектронным волновым функциям, поэтому, чтобы подчеркнуть их различие с оболочечными состояниями |/> в модели Деттмана, основное состояние здесь нумеруется индексом |0).

Кардинальное упрощение расчета функции J(K) связано с тем, что ьшнимальный импульс, переданный электрону,《皿必=2тг/d всегда много больше 左皿皿 二 卞30nM поэтому несложная, но трудоемкая оценка интегралов по ^ в (4.35) показьшает, что и в дипольной, и области близких столкновений j (К) совпадают и равны с учетом (4.25)

(4.37)(4.37)2т V“К) j(K)m ^

(4.37)

(4.37)

Полученное в итоге выражение

(4.38)(4.38)

(4.38)

(4.38)

удобно представить в несколько иной форме

,2一 + c(b),,2一 + c(b),(4.39)(4.39)2яе42m

,2

一 + c(b),

,2

一 + c(b),

(4.39)

(4.39)

△we) s~ yi [Z + pe(b)]ln —-

в которой поправочное слагаемое

iKb2m I

C^ = ^ "K)1n 14^

уже не зависит от скорости частицы, а величина

(4.40)(4.40)iKb

(4.40)

(4.40)

%8) = *(К)е

есть электронная плотность в канале, усредненная по оси z.

Модель Линдхарда. Выражение (4.39) без поправочного члена С(Ь) первоначально было предложено Линдхардом [6] исходя из феноменологических соображений, основанных на законе равнораспределения. Как это хорошо известно из теории Бёте-Блоха, вклады близких и далеких столкновений в эффективное торможение близки друг к другу. А поскольку вклад близких столкновений, сводящийся к пропор- циональноста Д€(Ь) локальной плотности р(Ь), приводит к более резкому характеру зависимости от прицельного параметра, нежели вклад далеких столкновений, замена последнего константой представляется вполне разумной:

2яе4 •1

△е (Ь) =^ к + (1 - a)% (b)] In2 —у-, а н £ . (4.41)

4.3. Торможение на валентных электронахКоллективизация слабосвязанных валентных электронов в металлах и полупроводниках приводит к совершенно иной систематике электронных возбуждений, нежели в отдельном атоме, хотя определенная аналогия и существует при делении всего интервала переданных им> пульсов, отвечающих далеким и близким столкновениям.Первым отвечают плазменные возбуждения, которые без учета эффектов дисперсии и затухания характеризуются лишь одной - плаз- /4 я2^е^4.3. Торможение на валентных электронахКоллективизация слабосвязанных валентных электронов в металлах и полупроводниках приводит к совершенно иной систематике электронных возбуждений, нежели в отдельном атоме, хотя определенная аналогия и существует при делении всего интервала переданных им> пульсов, отвечающих далеким и близким столкновениям.Первым отвечают плазменные возбуждения, которые без учета эффектов дисперсии и затухания характеризуются лишь одной - плаз- /4 я2^е^менной частотой перехода 3口 =менной частотой перехода 3口 =(Zy - эффективное(Zy - эффективноеприходящееся на один атом число электронов, которые участвуют в коллективном движении). Передаваемые импульсы ограничены сверху значением ^0 =方з/$ (v尸=方// (3ffZyW)1/3 - скорость Ферми).Вторым отвечают некогерентные одночастичные возбуждения с передаваемыми импульсами, лежащими, как и ранеев интервале 无о < <к < 々та* 二 2mj. В отличие от электронов, участвующих в плазменных колебаниях, последние характеризуются слабой пространственной неоднородностью:京(г) = (г)МСказанного о плазменных возбуждениях с учетом правила сумм (4.24) достаточно, чтобы записать динамический формфактор (4.14) в видеприходящееся на один атом число электронов, которые участвуют в коллективном движении). Передаваемые импульсы ограничены сверху значением ^0 =方з/$ (v尸=方// (3ffZyW)1/3 - скорость Ферми).Вторым отвечают некогерентные одночастичные возбуждения с передаваемыми импульсами, лежащими, как и ранеев интервале 无о < <к < 々та* 二 2mj. В отличие от электронов, участвующих в плазменных колебаниях, последние характеризуются слабой пространственной неоднородностью:京(г) = (г)МСказанного о плазменных возбуждениях с учетом правила сумм (4.24) достаточно, чтобы записать динамический формфактор (4.14) в виде2V к2S (к, з) = — 8 (з - з ).2тРПодставляя это выражение в (4.15), получаем2V к2S (к, з) = — 8 (з - з ).2тРПодставляя это выражение в (4.15), получаем(442)(442)岭岭4я7у е42m„v=j— In eP4я7у е42m„v=j— In eP(4.43)(4.43)В области одночастичных возбуждений можно сразу воспользоваться результатом предыдущего параграфа, а именно: считая передаваемые импульсы большими 无а 《к < 2加6丫, воспользуемся приближением локальной плотности (4.28), в котором вместо р. (Ь) фигурирует эффективная локальная плотность валентных электронов Z^ (b)“В области одночастичных возбуждений можно сразу воспользоваться результатом предыдущего параграфа, а именно: считая передаваемые импульсы большими 无а 《к < 2加6丫, воспользуемся приближением локальной плотности (4.28), в котором вместо р. (Ь) фигурирует эффективная локальная плотность валентных электронов Z^ (b)“△气дН9)Н△气дН9)Н4я7л (d)e 2m vv口m v?力3eP4я7л (d)e 2m vv口m v?力3eP(4.44)(4.44)

4.3. Торможение на валентных электронах

Коллективизация слабосвязанных валентных электронов в металлах и полупроводниках приводит к совершенно иной систематике электронных возбуждений, нежели в отдельном атоме, хотя определенная аналогия и существует при делении всего интервала переданных им> пульсов, отвечающих далеким и близким столкновениям.

Первым отвечают плазменные возбуждения, которые без учета эффектов дисперсии и затухания характеризуются лишь одной - плаз- /4 я2^е^

4.3. Торможение на валентных электронах

Коллективизация слабосвязанных валентных электронов в металлах и полупроводниках приводит к совершенно иной систематике электронных возбуждений, нежели в отдельном атоме, хотя определенная аналогия и существует при делении всего интервала переданных им> пульсов, отвечающих далеким и близким столкновениям.

Первым отвечают плазменные возбуждения, которые без учета эффектов дисперсии и затухания характеризуются лишь одной - плаз- /4 я2^е^

менной частотой перехода 3口 =

менной частотой перехода 3口 =

(Zy - эффективное

(Zy - эффективное

приходящееся на один атом число электронов, которые участвуют в коллективном движении). Передаваемые импульсы ограничены сверху значением ^0 =方з/$ (v尸=方// (3ffZyW)1/3 - скорость Ферми).

Вторым отвечают некогерентные одночастичные возбуждения с передаваемыми импульсами, лежащими, как и ранеев интервале 无о < <к < 々та* 二 2mj. В отличие от электронов, участвующих в плазменных колебаниях, последние характеризуются слабой пространственной неоднородностью:京(г) = (г)М

Сказанного о плазменных возбуждениях с учетом правила сумм (4.24) достаточно, чтобы записать динамический формфактор (4.14) в виде

приходящееся на один атом число электронов, которые участвуют в коллективном движении). Передаваемые импульсы ограничены сверху значением ^0 =方з/$ (v尸=方// (3ffZyW)1/3 - скорость Ферми).

Вторым отвечают некогерентные одночастичные возбуждения с передаваемыми импульсами, лежащими, как и ранеев интервале 无о < <к < 々та* 二 2mj. В отличие от электронов, участвующих в плазменных колебаниях, последние характеризуются слабой пространственной неоднородностью:京(г) = (г)М

Сказанного о плазменных возбуждениях с учетом правила сумм (4.24) достаточно, чтобы записать динамический формфактор (4.14) в виде

2V к2

S (к, з) = — 8 (з - з ).

2тР

Подставляя это выражение в (4.15), получаем

2V к2

S (к, з) = — 8 (з - з ).

2тР

Подставляя это выражение в (4.15), получаем

(442)

(442)

岭

岭

4я7у е42m„v

=j— In eP

4я7у е42m„v

=j— In eP

(4.43)

(4.43)

В области одночастичных возбуждений можно сразу воспользоваться результатом предыдущего параграфа, а именно: считая передаваемые импульсы большими 无а 《к < 2加6丫, воспользуемся приближением локальной плотности (4.28), в котором вместо р. (Ь) фигурирует эффективная локальная плотность валентных электронов Z^ (b)“

В области одночастичных возбуждений можно сразу воспользоваться результатом предыдущего параграфа, а именно: считая передаваемые импульсы большими 无а 《к < 2加6丫, воспользуемся приближением локальной плотности (4.28), в котором вместо р. (Ь) фигурирует эффективная локальная плотность валентных электронов Z^ (b)“

△气дН9)Н

△气дН9)Н

4я7л (d)e 2m vv口

m v?力3

eP

4я7л (d)e 2m vv口

m v?力3

eP

(4.44)

(4.44)

В итоге тормозная способность частицы в канале, обусловленная валентными электронами, равна сумме обоих вкладов △£ = △気 + + де (Ь).

одн ' '

Типичные значения плазменной энергии колебаний находятся в пределах 15 - 25 эВ и соответственно 2丫 ~ 2 子 4. Эффективная локальная плотность Z/ слабо неоднородна и обычно близ導к Z . Например, в канале [111] монокристалла кремния по данным [69] она составляет a Z и 3.8.

Торможение на электронах внутренних оболочек

С ростом энергии связи электрона адиабатический радиус R. = a^v/vy уменьшается и процесс неупругого взаимодействия становится адиабатическим. При этом показатель в логарифме (4.29) может стать меньше единицы, и приближение средней частоты становится непригодным. И хотя в большинстве случаев это обстоятельство из-за небольшого значения сечения торможения в целом слабо сказывается на суммарном значении торможения в атоме, некоторая неопределенности в процедуре выбора среднего потенциала возбуждения4 с точки зрения точного результата не является вполне удовлетворительной.

Точные аналитические результаты, касающиеся зависимости торможения от прицельного параметра, не связанные с требованием малой энергии связи^ были получены В .А. Рябовым и Г .Л. Юдиным [79]. Воспользовавшись соотношением

1

Ьп— = П(з - a。。),

з - а。。+ 10

выразим обобщенный динамический формфактор (4.166) через функцию Грина для электрона в атоме:

GQ,门，з) = £ 一—Г- • /(445)

° з-Зоа + iO

Получим

S(P「Р2, 3)= Im J dqi J dq?就 Q -

—Pi)G(p2, Pi, 3。)屮o(p2 — qz)・(4.46)

Интегральное представление для фурье-преобразования кулоновской функции Грнна, полученное Швингером [80], имеет вид

m p3 / iexp {m\lp}\

GQz, Pi, 3)= — e —— x

(力-入/p d x © dzz. — idz(力-入/p d x © dzz. — idz* ； I 2sin (яХ/р) /

(力-入/p d x © dzz. — idz

(力-入/p d x © dzz. — idz

P(P1 一 P2)+ Z -

(4.47)(4.47)+ 3； + p2)(pl + p2)-~3

(4.47)

(4.47)

4z 」

p2 = 一2%(3.+ iO)/方；Rep > 0 ； X =左/%.

Контур интегрирования в (4.47) проходит вдоль единичной окружное сти от z = 1 + Ю до z = 1 - iO.，

После интегрирования по импульсам выражение для формфакто： ра переходит в

163 / iexp (inX/p)、

S(Pi,P2, з) = - т Х pl ——; ? ； I х 方 е \ 2sin (яХ/р) /

(°) -Np У 。

х { ^z—- - (Az? - 28z + %2)T|入办=入；(448)

/12=[①不入 1产+ ^i][(p + X2)2 + 总];

8 = 4山(qi, q?) + (M + 济-Р?)(芯 + 矗 一 Р?)・

Действительные значения параметра р в (4.48) отвечают связанно-связанным переходам в атоме - возбуждению, мнимые - связанно-свободным переходам - ионизации.

Связанно<вязанные переходы. Как нетрудно убедиться, мнимая часть в (4.48) определяется сингулярностью знаменателя:

1

ImS(pi,p2, з) ~ Im =

Sin [ —

—я X (―1) “5 (.

«= 1\Р /.

Кроме того, для переходов в состояния дискретного спектра корни квадратного трехчлена в・ знаменателе подынтегрального выражения 114

Э2sin 九 «x 3入 18入2sin фЭ2sin 九 «x 3入 18入2sin ф(4.48) комплексные и по модулю- больше единицы. Следовательно, стоящая под конкретным интегралом в (4.48) функция не имеет других особенностей, кроме полюса n-го порядка в*^очке z = 0. Поэтому 电 точке z = 1 контур можно замкнуть и применить к вычислению интеграла теорему о вычетах. В итоге

Э2sin 九 «

x 3入 18入2sin ф

Э2sin 九 «

x 3入 18入2sin ф

ОО

S(P1, Р2, 3)=，&(3 - 3九) и = 2'

(4.49)(4.49)(и - 1)/2 a…

(4.49)

(4.49)

X —

An + 1)/2

42几

Дальнейшее упрощение полученных формул не представляется возможным, поэтому обратимся к асимптотическим оценкам для некоторых важных случаев. Но прежде, руководствуясь соображениями удобства, перепишем формулу для вклада торможения, связанную с переходами из К・о争лочки в произвольное состояние с главным квантовым числом 胃,так, чтобы выделить в явном виде вероятности пе

рехода: 、

(4.50)

冷("力I > 1.冷("力I > 1.、16%（力）=言、16%（力）=言Для каналов возбуждения, сопровождающихся переходами между внутренними оболочками (^ > 1), подынтегральное выражение в (4.49) факторизуется по переменным рх ир2 и вычисление интеграла по р дает

冷("力I > 1.

冷("力I > 1.

、16

%（力）=言

、16

%（力）=言

(4.51)

$ Интегрирование по р】и р? существенно упрощается и при больших прицельных параметрах (Ъ/а^ > 1), т. е. в дипольном приближении, когда основной вклад в интегралы вносят значения р丄 а。« 1：

(1 - 1/«)2и ~ 5

* ~7Т；；；% + 5 (К： 6") + ^(^)).(1 + 1/и)

Сечения переходов (4.10)

+ 詩Md"-"；"”」

4=1 — 1/л; 5=1 + 1/〃，

рассчитанные аналогично (4.49) с помощью формфактора (4.15)

®2еТР(°*)

S (к, з) = § dz х

2Usin—1

P

X z"P "2 (X - P) 2 - 2z (入2 一 2P2) + (入+ p)2]

{z [(入-p)2 +q2]_[(入+ p)2 +q2]}'/

в пределе J < 1 совпадают с полученными в работе Бете, но в отличие от последних пригодны и для сильно связанных электронов.

Связанносвободные переходы. Из представления (4.50) видно, что использование метода функции Грина фактически свелось к суммированию вероятностей перехода w , , ,(Ь), известных для боль

шинства конкретных переходов, по вырожденным состояниям. Для переходов в непрерывный спектр такая проблема не стоит. Дело в том, что волновые функций непрерывного спектра в параболических координатах не содержат зависимости от орбитального момента 7 и его проекции т [75]. Поэтому амплитуда рассеяния (4.8) вычисляется непосредственно [81]:

(4.53)(4.53)

(4.53)

(4.53)

При больших передаваемых импульсах Ti>k^ 1

о—^——(%：("方)； dk \ ^v /1 - exp (-2Я/А:) \ " /

"=RY +i)/2.(4.54)

В дипольйом приближении (i? <k + 1)

dw(b)2】％Г 2/

dk \ «v /3(1 - ^p(-2irlk)) eXP Г *

X arctg ~ L —r [KQ (»b) + K] ("b)l;(455)

1 -k2 J (A? +

' arctgx, x > 0;

arctg x = J

?r+ arctg x, x < 0.

Интегрирование по прицельному параметру в (4.53) приводит к известной формуле для сечения ионизации

dk3入2 ｛启 у 1 - exp (-2п/к) »2 к+1(4.56)dk3入2 ｛启 у 1 - exp (-2п/к) »2 к+1(4.56)Зк + 1 +Зк + 1 +[(х + 1- Р)2 +4Л2]3[(х + 1- Р)2 +4Л2]3exp <exp <2-arctg2-arctg

dk3入2 ｛启 у 1 - exp (-2п/к) »2 к

+1

(4.56)

dk3入2 ｛启 у 1 - exp (-2п/к) »2 к

+1

(4.56)

Зк + 1 +

Зк + 1 +

[(х + 1- Р)2 +4Л2]3

[(х + 1- Р)2 +4Л2]3

exp <

exp <

2

-arctg

2

-arctg

В итоге суммарная тормозная способность частицы с прицельным параметром в одном' столкновении с водородоподобным ^атомом равна

8力 2 入2 oo ' d

△ £(b) =£+ —— / dk(k2 -Ы) — (ЬУ (4.57)

〃=2 〃/ 2me i0dk

Из-за малого значения адиабатического радиуса электроны глубоких внутренних оболочек практически не участвуют в неупругом рассеянии.

Здесь следует отметить важную роль тепловых колебаний атомов решетки. Как только адиабатический радиус становится сравнимым с амплитудой тепловых колебаний, усредненная зависимость вероятности возбуждения (4.13) начинает отличаться от экспоненциальной ^ехр (~Ь/а0). В пределе 6。《^ она становится гауссовой и ее форма вообще перестает зависеть от характера спадания вероятности возбуадения

、(4.58)

Хотя полученные выше результаты относятся, строго говоря, лишь к ^-оболочке, все сказанное о роли адиабатичности в зависимости от прицельного параметра может быть перенесено и на случай 丄・,М・，Мн т.д. оболочек. С количественной точки зрения все изменения сведутся к расчету формфактора S (р】，р2, з), вьшисленного на соответствующих волновых функциях основного состояния, вместо функции W1G). Систематика полюсов в контурном интеграле типа (4.48) останется без изменений.

Обобщение формулы для торможения в приближении средней частоты на релятивистский случай без учета релятивистских эффектов в оболочке сводится к замене максимально переданной энергии 2/v? на соответствующее значение, различающееся у тяжелых частиц электронов и позитронов (см. § 3.2).

Торможение частиц в канале

Обратимся теперь к количественной оценке средних потерь энергии в канале. На рис. 4.2 приведены результаты расчета А£(Ь) для врдо- родйподобного атома по формулам《4.16), (4.19) для различных энергий связи. Видно, что погрешность, вносимая приближением средней частоты (4.18), для валентных электронов ^ < 1 относительно мала. В то же время у электронов внутренних оболочек точный результат спадает гораздо быстрее.

Если сравнить между собой потери на ионизацию и возбуждение, то при «малых b доминирует ионизация, при больших — возбуждение. С ростом скорости протона роль ионизации возрастает, и в пределе 自《 《1 можно пренебречь энергией связи электрона и рассматривать его. как свободный.

Следует отметить, что при малых прицельных параметрах приведенный расчет дает завышенный результат - начинает сказываться искривление траектории налетающей частицы из-за взаимодействия с ядром аюмц-мишени. Тем не менее точка 6 = 0 интересна как точка ^привяз- ки,5 к области геометрического сечения а ~ ag/Z?. Если сравнить ве- 118 、

Рис. 4.Х Зависимость эффективного торможения от прицельного параметра на водородоподобном атоме:

приближение средней частоты (4.25)

Рис. 4,3. Средние потери для рассеяния протона на атоме аргона: расчет с точными волновыми функциями;приближение ДеАма

на-Робинсона; вклад ионизации и отдельных подоболочек

роятности отдельных каналов возбуждения при Ь = 0, то окажется, что энергетические потери частицы максимальны при ^ ^ 1 [179]. Относительный же вклад процесса ионизации с ростом 扌 быстро падает.

Для понимания особенностей торможения на многоэлектронном атоме необходимо учитывать переходы на оболочках с главным квантовым числом 打 > 2. Результаты расчета △ £ (Ь) для состояний 2s, 2р, 3^ и Зр, проведенные в [83] непосредственным вычислением амплитуды, схожи с теми, которые наблюдаются на рис. 4.2 для 1 s-состояния. Но есть и отлнчие - возникает широкая область прицельных параметров, где торможение меняется слабо, тогда как плотность электронов в этой области меняется в несколько раз. Этот факт резко контрастирует с данными на основе приближения локальной плотности (4.28) по причине, уже отмечавшейся выше.

На рис. 4.3 приводятся кривые ДЕ (ft) для рассеяния протона на атоме аргона, рассчитанные по формуле (4.25) в модели Хартри-Слэте- ра в реализации Германа—Скиллмана [84] (сплошная линия). Волновые функции непрерывного спектра находились в самосогласованном потенциале основного состояния. При больших прицельных параметрах Ъ > 1 основной вклад в средние потери дают внешние оболочки, для которых в широкой области прицельных параметров средние потери меняются слабо. При малых b становится значительным вклад глубоких подоболочек, который растет по мере увеличения энергии протона. Как это вид

Рис. 4,4. Контур тормозной способности у ионов Не с Е = 2 МэВ в канале <100)кремния, рассчитанный согласно трехкомпонентной модели (4.74):

а — трехкомпонентная модель; б — модель Лиццхарда (4.41); данные нормированы на. значение в случайном направлении

но из рис. 4.2, вклад возбуждения в полные потери мал. Однако это утверждение справедливо не для всех элементов. Как показано в [85], он заметен при 19 & Z《30, 37 & Z « 45, Z > 54, причем основной вклад в потери дают электроны внешних d・ и р-подоболочек. Отличие от приближжия средней частоты модели Деттмана [77] и приближения локальной плотности [6] наиболее значительно только при малых Ъ. При Ь > 1 результаты практически одинаковы. Это объясняет, почему все эти модели в целом хорошо описывают тормо痂ние при каналировании.

В твердотельной мишени вклады электронов кора и валентных электронов соседних цепочек складываются:

△ £(т) = △号十 Д€с + А£р.(4.59)

Чтобы подчеркнуть различие торможения на отдельном атоме и в канале, вместо переменной b здесь используется г.

Полный расчет потерь по формуле (4.59) был сделан для золота [83] и кремния [86]. В [86] вклад электрона кора вычислялся в приближении локальной плотности ДЕс=€СоЛ^(г) , причем коэффициент^ пропорциональности W。。определялся из условия равенства среднего значения <AGC> е=】аморфному Д€ам (г). Для вычисления плотностей Nc ⑦ н М (г) использовались волновые функции Рутана-Хартри— Слэтера [87].

Суммарная тормозная способность ДЕ (г) каналированных ионов в направлении < 110> в кремнии изображена на рис. 4.4. Разница между двумя моделями, отчетливо видная на рис. 4.4, сказывается на полных энергетических потерях каналированных частиц (см. § 4.6).

Энергетические спектры каналированных частиц

Полученное в предыдущей главе кинетическое уравнение. (3.7) не учитывало измжения полной энергии частицы за счет неупругих процессов по мд)е прохождения ее в глубь кристалла. Основанием такого приближения служил тот факт, что интересовавшие нас угловые и пространственные распределения частиц сами по себе слабо зависят от потерь энергии. Если же мы интересуемся непосредственно измеряемыми на эксперименте энергетическими спектрами прошедщих иди обратнорассеянных частиц, ситуация метнется. Соответствие энергетических спектров частиц толщине, на которой они испытали сильное рассеяние, толщине аморфных поверхностных пленок, местоположению и профилю дефектов - эти и много других вопросов так или иначе связаны с задачей торможения.

Обратное рассеяние. Типичный спектр обратно рассеянного пучка частиц в случайном и каналированном направлении в кристаляе показан на рис. 1.7. Часть энергии частиць! тратится на энергию отдачи ядра мишени при близком упругом соударении, поэтому начальное положение поверхностного пика приходится на энергию \

MicosO + (Af? -Misin20)1/2

£ = &>К,,К1 =( ?——? ) ,(460)

\/

где 0 - угол рассеяния в лабораторной системе координат (Afi <№)• Отсюда, кстати, видно, что тяжелая примесь (Mj》肋)легко отделяется в спектре благодаря ivranoii переданной энергии. К этому вопросу мы еще вернемся в гл. 7.

Если сопоставить энергетический спектр с определенными группами траектории каналированных частиц (см. рис. 1.7), то получится следующая картина. Часть траектррии частицы в режиме каналирования сопряжена с малыми потерями и, что еще более важно, аномально низкой вероятностью обратного рассеяния. Именно это обстоятельство, а не, скажем, различие в значении торможения является решающим в видимом различии спектров каналированного YC(E) и случайного пучков 耳(Е». Однако указанная разница в торможении нарушает однозначное соответствие между энергией и глубиной проникновения частицы £ до момента обратного рассеяния. Для того чтобы можно было сравнить экспериментальные данные, полученные в разных условиях, и производить однозначное сопоставление теория с экспериментом, все данные анализируются соответственно так называемой црхусской конвенции, согласно которой как входная, так и выходящая часть траектории частицы характеризуется значением торможения в аморфной среде 6 线м/6 丄.С этим предположением глубина рассеяния однозначно определяется в пределах суммарного энергетического разброса - начального

и страгглинга.

Функция деканалирования, обычно определяемая на спектрах %(Е) и У「(Е), равна, таким образом,

Х0)二 У(£)/У(£)..,

Это уже третье после (1.48) и (1.53) определение функции деканалирования,-которое содержит иногда значительное отличие от предшествующих. Связано это отличие с зависимостью торможения от поперечной энергии. Продемонстрируем эту разницу на примере спектров каналированных и неканалнрованных частиц, испытавших резонансное обратное рассеяние. Такого рода наблюдения в отличие от резерфордовского обратного рассеяния позволяют выделить определенную глубину, на которой в основном происходит рассеяние. Например, сечение упругого рассеяния протона на ядрах Si имеет сильный резонанс при Ер = 2000 кэВ с шириной Г = 18 кэВ. Таким образом, протоны с Е> 后 р, достигнув на определенной глубине в результате торможения резонансной энергш Ер, с большой вероятностью испытывают обратное рассеяние, что отразится на спектре в появлении пика (рис. 4.5, верхняя кривая). Предшествующий пику минимум в сечении вызван интерференцией резерфордовского рассеяния с упругим перерассеянием из возбужденного ядра 2 9P. Кроме случайного на рис. 4.5 представлены также спектры обратнорассеянных пучков, ориентированных в осевом <110> и плоскостном <111> направлениях. Видно, что положение пика в осевом случае отличается от двух других. Таким образом, эффективное торможение в <110> канале ниже, а в <111> плоскостном канале лишь ненамного ниже случайного. Наибольшая разница наблюдается в форме пиков. В каналированных направлениях они значительно уширены, скрывая тем самым интерференционный минимум, свойственный случайному спектру. Это вызвано частицами с низкими энергетическими потерями во входящей части траекигорий, для которых, вероятность обратного рассеяния сильно уменьшена. "Вклад же в максимум спектра дают частицы, деканалировавшие перед тем, как достигли резонансной энергии.

Результаты машинного моделирования спектра в данных экспериментальных условиях также представлены на рис. 4.5 сплошными линиями [88]. Вклад электронных потерь учитывался по модели Деттмана и Робинсона (4.18).. Валентные электроны предполагались однородно распределенными по сечению канала. Нормировка случайного спектра производилась из условия совпадения идентичного правого края моделирован-

Рис. 4.5. Спектр протонов с Е = 2.3 МэВ, обратнорассеянных в резонансной реакции Si (р, р')：

)(| - эксперимент; результаты машинного моделирования;случайное направление; -。ось <110>;плоскость (111). Угол рассеяния в геометрии расположения пучка и детектора -165° указан в правом верхнем уТлу

ного и экспериментального спектров. Видно, что высота рассчитанных пиков заметно превышает экспериментальные значения,.что, вероятно, связано с вкладом в обратное рассеяние большего, чем единица, числа близких столкновений. В общем же, моделируемый спектр хорошо передает все особенности эксперимента, что свидетельствует о правильно использованной зависимости торможения от прицельного параметра.

Спектры прохождения. Здесь различие спектров каналированных и надбарьерных частиц напрямую связано с тем, что среднее торможение 8E/8L как функция поперечной энергии согласно рис. 4.4 падает приблизительно в 1,5 раза при уменьшении е от 1 до 0. При малой толщине L это различие скажется в разном положении пиков в спектре црошед- ших частиц. При больших толщинах различие проявится в двухпиковой структуре спектра. Первый пик соответствует хорошо каналированным частицам, второй - деканалированным. Наиболее четко зависимость торможения от поперечной энергии видна на угловой зависимости трансмиссионных спектров.

Прямое экспериментальное наблюдение угловой зависимости энергетических потерь прошедших частиц было сделано в работе Джина и Гибсона [89]. В их эксперименте хорошо коллимированный пучок ионов £ = 2 МэВ Не* пропускался через монокристалл кремния толщиной 880 нм вблизи оси〈 100>. Для улучшения энергетического разрешения прошедший пучок направлялся на пленку золота толщиной 15 нм, и

обратнорассеянные ионы Не+ регистрировались детектором. С помощью вращения кристалла кремния измерялось отношение наиболее вероятных энергетических потерь (положение пика) каналщ)ованных частиц и частиц в случайной ориентации пучка 屮： 〉

К0) W △£(&)/△%).

Как и следовало ожидать, отношение потерь повторяет в целом ход кривой выхода х(0) (см. рис. 1.6). Однако Измеренная угловая ширина распределения R(6) QW»?寸，52 ± 0,02°) оказалась значительно меньше угловой ширины выхода《2屮и? = 0,82 ± 0,2°). Согласно модели Линдхарда (4.41) часть вклада а ~ 1/2 в торможение, обусловленная близкими столкновениями, пропорциональна локальной электронной плотности р(^), откуда сразу следует, что величина R, относящаяся к группе ионов с поперечной энергией е, равна [6]

R® =彦)/管)ам

Полуколичественный анализ этого соотношения на основе измеренной зависимости R (0) позволил оценить в [38] усредненную плотность электронов Z оболочки, адиабатический радиус которой не слишком мал по сравнению с размером канала. Более подробный анализ спектра методом машинного моделирования % использованием трехкомпонентной и Линдхардовской моделей энергетических потерь показал [86], что различие между двумя моделями слабо сказывается на форме спектра.

Наблюдаемые закономерности формирования энергетических спект- Мв прошедших частиц можно описать аналитически в диффузионном приближении. Учет изменения полного импульса (энергии) частицы производится путем добавления к правой части кинетического уравнения (3.4) дополнительных слагаемых, Пропорциональных позиционно зависимому эффективному торможению и страгглингу.

В толстых монокристаллах, когда не требуется детализация спектра на толщинах с шагом Az Т, можно воспользоваться процедурой усреднения позиционно зависимого торможения по статистически равновесному распределению. Это приводит к появлению двух добавочных слагаемых в столкновительной части уравнения Фоккера—Планка:

Страгглингом по энергии будет в дальнейшем пренебрегаться, посколь ку, как мы уже видели в § 4.5, за разброс энергии в спектрах канали рованных частиц ответственна главным образом зависимость эффектив

ного торможения иона от положения в канале (хотя в случайном направлении пучка этот эффект, конечно, должен учитываться).

При выводе этого уравнения в правой части егобыло опущено слагаемое, ответственное за так называемый дэмпинг эффект — охлаждение пучка в пространстве поперечной энергии. Происхождение его можно понять из следующих соображений. Потеря энергии частицы △£ влечет за собой уменьшение поперечной кинетической энергии: Де = △£ -02 (Ь), результат усреднения которой и приводит к появлению монотонного убывания Е, На этот процесс можно взглянуть и с другой стороны. В безразмерных узловых переменных увеличение критического угла

каналирования за счет торможения % = \/2Ктах/(р - Ap)v = =“о (1 + △£/£) приводит к уменьшению наклона траектории к атомной цепочке (плоскости), которое и . учитывается слагаемым ~头"~吵.Сравнение уменьшения е за счет электронного

торможения Ае ~ — -— е по сравнению со средним возрастанием т Е

поперечной энергии Де ~ E802/8z говорит о малом вкладе в деканалирование эффекта демпинга за счет соударений с атомным электроном. Поэтому этим слагаемым в уравнении (4.61) также пренебрегается. Исключение вставляет случай радиационного торможения суперреля-. тивистских частиц, который будет обсуждаться в § 4.10.

Х8о)Х8о)Резонансные ядерные реакции. Нормированный на случайное направление выход резонансной ядерной реакции получается обобщением формулы для выхода обратного рассеяния (1.61) на случай резонансного поведения сечения с энергией частицы:

Х8о)

Х8о)

(4.62)(4.62)7? dz 徒SdEF(z,瓦 e) о(E) П (e), о

(4.62)

(4.62)

где введено сечение。切 ~ с энергией резонанса

(Е - Ер)? + Г2/4

Ер и шириной Г; 7= SdEo(E).

Наиболее простой вид это выражение приобретает в тонких кристаллах Т « z « 2小 когда из-за незначительного перераспределения пучка по поперечной энергии достигается однозначная связь между глубиной проникновения пучка и энергией частицы. Считая, что торможение каждой частицы определяется только начальной поперечной энергией в точке входа е0, решение уравнения (4.61) имеет вид

尸(z,e, £) = ро(е)5(Е-Ео тА£(е)).

Основанием для такого приближения может служить незначительность

изменения поперечной энергии по сравнению с изменением полной энергии. Действительно, из (4.41) следует, что

т z1\

f 1) Де《

и m <,2R (е) /

Подставляя найденное( решение в (4.62) с учетом (1.63) и ограничиваясь наиболее интересным случаем узкого резонанса「/抬曰”尸《 < zd, получаем

x(К) = gp® /公。(/?(%)5(%))7,(4.63)

£o>U(D.

где критический угол вычислен в точке £0 (е0 = 0 j + С/(г)). Как видно из сравнения (1.61) и (4.63); отличие от формы тени при резерфордов- ском обратном рассеянии сводится к появлению фактора R"1 (е)》0,5 перед пространственной плотностью, который усиливает поток в центре канала и ослабевает его на периферии. Это приводит к возрастанию минимального выхода Xmin，особенно заметному при регистрации продуктов реакции на межузельных дефектах, находящихся в центре канала, где /?(б)^0,5 [90].

Чтобы проследить связь между минимальным выходом и потерянной энергией и понять, насколько хорошо энергетическая шкала соответствует глубине проникновения частицы в [91], методом машинного моделирования были проведены вычисления минимального выхода Xmin(z)，△£ — средней потерянной энергии и страгглинга о = ДЕ2 — △ё2 для ионов гелия 0 £ = 1 МэВ, каналирующих вдоль плоскости (ПО) монокристалла кремния. Из результатов расчета следовало некоторое различие в положении пиков у Xmin (z) и AE/Az. Последняя величина получилась дифференцированием смоделированного значения средних потерь △£ по z. Кроме того, наблюдаемое соответствие осцилляций в эффективном торможении и страгглинге с осцилляциям» X (и) находилось не в фазе, а среднее торможение в этих расчетах на несколько процентов превышало соответствующее значение в случайном направлении и монотонно убывало с толщиной z.

В тонких кристаллах пики функции x(z) формируются за счет частиц с амплитудой колебаний ~%/2, имеющих максимальное торможение. На большой глубине становится все более заметным вклад частиц, которые вначале каналировали с малой амплитудой и, следовательно, потеряли небольшую энергию. Этот эффект сказьгеается на росте страгглинга с толщиной: начиная с нескольких осцилляций он растет с z почти линейно [91], тогда как страгглинг в аморфной среде \/Г.

Гиперканалирование. Этот термин был введен Апплтоном и др. [92] для обозначения режима осевого каналирования частиц с поперечной 126

энергией, лежащей ниже минимума потенциала плоскостных каналов, пересекающих осевое направление. Первое указание на существование этого эффекта было сделано в работе Ейзена [93], где была обнаружена небольшая фракция протонов £ = 75 кэВ, прошедших через слой кремния толщиной 2,2 мкм в направлении [НО], энергетические потери которых оказались меньшими, чем в самых открытых плоскостных каналах. С точки зрения спектров торможения каналирование легче всего можно наблюдать для медленных тяжелых ионов, энергетические потери которых описываются теорией Линдхарда-Шарфа [94]. Эта область торможения характеризуется зависимостью АЕ 〜v (в отличие от области применимости теории Бете-Блоха, где △£1/v2), а также

более резкой зависимостью торможения от прицельного параметра столкновения с атомными цепочками.•

Наряду с гиперканалированиеМ возможен и противоположный процесс, сопровождающийся гораздо большими удельными энергетическими потерями, чем в аморфной среде. С ростом угла падения пучка все большая доля частиц принимает участие в надбарьерном движении. Причем частицы, находящиеся вблизи вершины барьера с е 力 1, испытывают эффект зависания над барьером, приводящим к логарифмической особенности в е-зависимости периода траектории (см. § 2.6). Находясь долгое время в области максимальной плотности атомов, частица наиболее эффективно возбуждает их внутренние оболочки и ее удельные энергетические потери возрастают. Наибольшей интенсивности этот процесс достигает при 0О 1, когда корневая особенность в заселенности р ~ 1/\/е -储 приходится на вершину барьера е = 1 и пзависа- ющая" надбарьерная фракция- частиц максимальна. В итоге высокоэнергетическая фракция наиболее сильно представлена при малых углах падения, когда большинство частиц каналирует в центральной части канала. Ее вклад падает практически до нуля при 0 ~ 1, где доминируют надбарьерные частицы С 0 ~ 1 ・ Сравнение плоскостных каналов между собой говорит о том, что этот эффект особенно отчетливо проявляется в наиболее открытых каналах [16].

\4.7. Угловой разброс на атомных электронах

Классическую трактовку задачи многократного рассеяния каналированных частиц на атомных электронах вряд ли можно считать вполне удовлетворителвной. Во-первых, выбор пределов интегрирования по передаваемому импульсу с использованием ''квантовой" косметики включает произвольный элемент вывода 4 & ) [см. (3.37)]. Во-вторых, использованное приближение локальной плотности не позволяет оценить вклад в рассеяние электронов внутренних оболочек,. Как это уже было показано в задаче торможения, рост адиабатического радиуса с энергией связи электрона приводит к экспоненциально подавленной за/'127

висимости вероятности возбуждения от прицельного параметра. Более аккуратного подхода по сравнению с моделью изолированных атомов требуют и коллективизированные электроны внешних оболочек в кристалле. Учитывая сказанное, вычислим локальный угловой разброс De (г) в рамках метода прицельного параметра для двух случаев: однородного электройного газа и локализованных атомных электронов.

Газ валентных электронов. Из формулы для сечения перехода (4.10) следует, что при условии пространственной однородности величина 嗫(Ю S(k, з) со значением формфактора (4.14) представляет собой вероятность передачи электронному газу импульса к и энергии 方з・ Поэтому соответствующий коэффициент диффузии по углу может быть записан сразу в виде

以⑺=~ГТ 〃3jdk%k以⑺=~ГТ 〃3jdk%kS (k, з)

以⑺=~ГТ 〃3jdk%k

以⑺=~ГТ 〃3jdk%k

возбуждений, характеризующихся большимивозбуждений, характеризующихся большимиВоспользуемся теперь известным из § 4.3 выражением для динамического формфактора S (к, з) в пределах малых и больших передаваемых импульсов. Плазменный вклад, определяемый (4.42), приводит к

возбуждений, характеризующихся большими

возбуждений, характеризующихся большими

Вклад одночастичныхВклад одночастичных

Вклад одночастичных

Вклад одночастичных

передаваемыми импульсами, дается выражением

4e‘4e‘maxmax"丄"丄^― NZ*(pv)2方 3p^― NZ*(pv)2方 3p

4e‘

4e‘

max

max

"丄

"丄

^― NZ*

(pv)2方 3p

^― NZ*

(pv)2方 3p

Здесь учтено, что статический формфактор в указанной области изменения к равен

S$ (k)匸 JS (к, cS)da) ■= Z(N、

Из сравнения обоих полученных выражений следует, что вклад одночас-

тичных возбуждений превышает пламенный вклад на фактор

и только близкие столкновения участвуют в передаче поперечного импульса.

Атомные электроны. Расчет угловой диффузии на связанных электронах в рамках метода прицельного параметра представляет известные трудности, поскольку в отличие от энергии импульс электрона не является хорошим^ квантовым числом. Тем не менее средние значения по передаваемому импульсу и комбинации из его компонент в полуклас- сическом подходе оказываются просто связанными с амплитудой перехода. Вводя оператор импульса р. = —i方“2%, действующий на движущуюся частицу со стороны электрона, можно выразить коэффициент диффузии по поперечному импульсу через квантовое среднее по волновым функциям электрона: .

方竄=jdr/；屮協屮；i, к = x, у.

Подставляя сюда выражения для волновой функции электрона (4.2) и интегрируя по координатам с учетом ортогональности базисных электронных волновых функций, для углового разброса на одном атоме получаем

60Z е* р2 а 木о bbf60Z е* р2 а 木о bbfа%0 —方2々％ а% 『Ь2а%0 —方2々％ а% 『Ь2Е 1/】е)|2.(4・64) аКоЕ 1/】е)|2.(4・64) аКо

60Z

е* р2 а 木о bbf

60Z

е* р2 а 木о bbf

а%0 —方2々％ а% 『Ь2

а%0 —方2々％ а% 『Ь2

Е 1/】е)|2.(4・64) аКо

Е 1/】е)|2.(4・64) аКо

При движении частицы в канале угловой разброс от отдельных атомов складывается, поэтому локальный коэффициент диффузии вблизи ряда выражается через 30 2 как

(4.65)(4.65)以⑺П7此・

(4.65)

(4.65)

Более строгий вывод полученного соотношения, не предполагающий с самого начала классичность движения иона, будет дан в гл. 5. Фурье-преобразование этой формулы с учетом соотношений (4.8) и (4.16)

Ji«丄-%j)b

6或=Jd3jJeX

次(b)2、1Jh

(4.66)(4.66)xRz - F）3（"； - ？）s（k，к，,з）

(4.66)

(4.66)

впервые было получено в [86] на основе довольно громоздкого квантово-механического метода.

Проанализируем поведение поперечного углового разброса

0丄 S) = OJ% =厅。銹g(4.67)

как функции прицельного параметра b и параметра адиабатичности & в рамках модели водородоподобного атома.

Приближение средне^ частоты. По аналогии с (4.25) заменим к2 в (4.66) на qj + (^c5/v)2 и, применяя условие полноты [см. (4.17)], после интегрирования по импульсам кик" получим известный классический результат (3.37), сводящийся к приближению локальной плотности [47]:

=丄[Jds A©°(s)p(s-г) - (，dsA0°(s)p(s - г))?].(4.68)

丄 d

Ограничение пределов интегрирования по §, связанное с приближением средней частоты 5 < 5тах =方/2加^卩 и локальностью столкновений s > $min 二 方/\/2加je(), приводит к малости квадрата среднего передаваемого импульса по сравнению со средним квадратом. В пренебрежении вторым слагаемым состоит основное отличие в применении приближения локальной плотности к атомным электронам по сравнению с тепловыми смещениями [ср. с (3.2)].

Другое, более простое, хотя и менее точное выражение для 珏(歹), также в приближении локальной плотности получается из выражения для части потерь, которая связана с близкими столкновениями (4.29). Учитывая классическую связь торможения (4.30) с угловым разбросом для модели Линдхарда, приходим к [6]

%(г)е = ТРе^Ъ ~— •(4・69)

d(pv)2/

Выражение для томас-фермиевской плотности электронов в атоме мо-

жет быть получено из соотношения Пуассона. В частности, для потенциала Линдхарда имеем [6],

Р&) = ― , С d 行(4.70)

Приближение средней частоты можно реализовать и дифференцированно -по отношжию к каждой из /-подоболочек подобно тому, как это делалось в заЕдаче торможения (модель Деттмана). Соответствующий результат может быть записан после интегрирования в (4.68) как

сV

。丄⑺ 二 ^2p#)ln -7—・(4.71)

d(pv)2 ； 7力3/

В адиабатическом пределе г ABj =,fly/v (сильносвязанные электроны) приближение средней частоты непригодно, поэтому здесь следует воспользоваться точным выражением для обобщенного динамического формфактора (4.16) и разброса (4.66), полученным в рамках модели водородоподобногО атома.

Зарядовое состояние многозарядных ионов

При скорости протона v》v^ его заряд в среде практически не отличается от единицы. Иная картина наблюдается у многозарядных ионов, зарядовое состояние которых в среде, вообще говоря, непрерывно меняется за счет столкновений. Соответственно меняются потенциал взаимодействия иона с атомами решетки и вероятность неупругих процессов. Причем речь здесь идет не о динамическом экрани^ювании движущегося кулоновского центра валентными электронами, роль которого для таких скоростей несущественна, а о хорошо локализованных электронных оболочках. Переменный заряд иона в среде можно охарактеризовать средним равновесным зарядом q и, соответствующим средним квадратичным отклонением △%. Но сразу же следует отметить, что ни потенциал взаимодействия, ни вероятность неупругих процессов не могут быть определены только этими величинами, поскольку соответствующие средние по зарядовому состоянию не линейны по Zj. В частности, энергетические потери иона описываются так называемым эффективным зарядом. Его значение для однородного электронного газа

Zeff= 4(1 - exp(-137Z72/3v/c)j

отличается от равновесного.

На опыте равновесный заряд и отклонение ^22/ определяются по зарядовому распределению ионов, вылетевших из кристалла (эффект подхвата электронов на выходной поверхности при таких скоростях иона несуществен). Эффективный же заряд иона с учетом квадратичной зависимости торможения от заряда находится из измеренных значений тормозной способности:

У каналированных ионов, кроме того, указанные величины являются позиционно зависимыми, что приводит к соответствующей угловой - ориентационной зависимости зарядового состояния рассеянных ионов. Зволюция зарядового состояния с ростом толщины мишени описывается кинетическим уравнением, учитывающим процессы эмиссии и захвата электрона На незаполншную оболочку движущейся частицы.

В отличие от газовых мишеней высокая пространственная плотность атомов и, следовательно, высокая скорость электронных соударений приводят к тому, что образовавшиеся в процессе соударения воз* бужденные состояния не успевают распасться (vr^> d) и часто столкно вения уже нельзя рассматривать как независимые. Однако большинство измерений, проведенных в газовых и твердых мишшях, показали, что разница между соответствующими значениями тормозной способности, как правило, невелика. Поэтому сечшия перехода рассчитываются обыч* но либо в приближжии изолированных ион<*атомн^1х столкновений (связанные электроны), либо в приближении однородного электронного газа (свободные электроны). Такое же утверждение можно сделать относительно кристаллических эффектов, за исключением процесса резонансного кулоновского возбуждения (см. ниже). В этом смысле значение сечения на атом дается простым скейлингом для газов к результатам для твердотельных мишеней. Равновесное зарядовое состояние достигается, как правило, почти сразу после прохождения входной поверхности (при Z ~ 1, Е ~ 1 МэВ/нуклон), поэтому все соотношения, полу-, ченные выше для каналированных частиц, остаются в силе, за исключе* нием дополнительного фактора Z^ в нон-атомном потенциале.

Когерентное возбуждение частиц в кристалле

Периодическое воздействие на каналированную частицу со стороны продольной дискретной составляющей электрического поля канала уже обсуждалось в § 2.4 в связи с задачей деканалирования. Ион, движущийся вдоль кристаллической оси, испытывает со стороны атомов регулярные толчки с периодом, кр&тным периоду цепочки т0 = d]Y. В [96] 132

было предложено использовать этот эффект для возбуждения ядер и электронных оболочек атомов.；

В пренебрежении стохастическим тепловым рассекшем кроме непрерывного потенциала на частицу воздействует малое возмущение, вызванное дискретной структурой атомных цепочек (2.23):

”(R) ^/(R-U-l) — U(r),(4.72)

где R = У产 + z2. а усреднение nd тепловым смещениям атомо^ ведется по всем трем координатам (здесь это существенно). В движущейся (сопутной) системе координат (z‘ = z — vf) действие потенциала на частицу, находящуюся на траектории 代Г), эквивалентно периодическому возмущению с медленно меняющейся по сравнению с периодом т0 амплитудой Л (/):

△，(Г) = £ 4©е^/?К = ±1, ±2, +3・・.，(4.73)

где

4K(?V)) = ' Jdz И° (Л/产 + ;*)eg"=、

*/ TiF i№/d

=e fdz (vrx + г )e

В релятивистском пределе из-за лоренцевского сокращения длины частота резонансного перехода и его амплитуда Ак возрастают в 7 раз. Из этого выражения видно, что в принципе каждая из гармоник с частотой КЗ。может рассматриваться как квант электромагнитного поля с энергией 力Кз。， инициирующая в пролетающей частице фотопереходы на резонансной частоте (斗，一 £$)/龙= Кз°. Однако не все гармоники равнозначны между собой. В частности, высокие гармоники с большими К, наиболее привлекательные с точки зрения экспериментальных возможностей т^м, что позволяют максимально уменьшить скорость частицы для наблюдения резонанса, оказываются подавленными.

Во-первых, с ростом номера гармоники к. как это видно из (4.73), ее амплитуда экспоненциально спадает из-за продольных тепловых сме- -К?以 2

щетий атомов 〜е , нарушающих когерентность временного возмущения. Во-вторых, сильная зависимость амплитуды Л^ от прицель* ного параметра соударения с цепочкой 7(f) приводит к тому, что когерентно складываются амплитуды перехода лишь ограниченного числа атомов, находящихся в непосредственной близости от траектории движе* ния. В этом смысле использование каналирования для наблюдения эффекта когерентного возбуждения вовсе не обязательно. Двигаясь даже

в случайном направлении, частица через некоторый промежуток времени (но апериодически) будет сближаться с какой-либо атомной цепочкой и подвергаться периодическому воздействию. Таким образом, каждую траекторию, а точнее, один ее участок на длине z ~ Т можно охарак* теризовать эффективным числом атомов 乂f ~ 〃％，когерентно участвующих в возбуждении. Последнее означает, что по сравнению с сечением простого кулоновского возбуждения о когерентное сечение будет квадратичной функцией числа соударений Ocoh 。崂.

Кроме теппобых колебаний на когерентности взаимодействия сказывается наклон траектории частицы и торможение, которые не учитывались в потенциале (4.73). Последнее приводит к постепенному уменьшению периода — = 江у I и фактически выделяет во всей толщине кристалла некоторую область толщин, в пределах которой сохраняется когерентность одиночных взаимодействий.

Соответствующая оценка для эффективного числа слоев 空,получается из условия, что фаза для последовательных Nst соударении час

тицы с атомами цепочки меняется на угол ~тг: АГ^ я. Отсюда

2

следует [96]

Это число приблизительно соответствует числу соударений, при котором соударение частицы, испытывающей торможение, совпадает с (N§t - 1)-м соударением частицы, которая не испытывала бы торможения. Численная оценка для когерентного возбуждения уровня 110 кэВ ядра 29F дает ~ 103.

В дополнение к сказанному следует отметить, что тормозные потери в определенном смысле благоприятствуют наблюдению когерентного кулоновского возбуждения. Независимо от степени многохроматич- ности пучка и толщины кристалла экспериментальные условия всегда можно подобрать таким образом, что по мере торможения каждая частица рано или поздно попадает в резонансную область энергий.

Что касается влияния угла наклона траектории, то его вклад сводится, очевидно, к уменьшению основного периода соударения

dcosGWdcosGW

dcosGW

dcosGW

меняющегося со временем. В случайном направлении вместо & в приведенной оценке следует использовать растущий с толщиной угол многократного рассеяния △8 = 、/力丄£.

КЬгерешнйе возбуждение внутренних оболочек. Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, равновесный заряд многозарядных ионов при энергии порядка несколько мегаэлектрон-вольтле нуклон отличен otZ, что делает их атомные оболочкй подходящими одя наблюдения эффекта резонансного возбуждения. Последний регистрируется либо по увеличению интенсивности спонтанного излучения ионов на частоте перехода [97], либо по его зарядовому состоянию [98]. Действительно, сечение ионизации для возбужденного состояния гораздо больше, чем для основного. В этом случае эффект резонансного возбуждения определяется по характерному провалу зависимости зарядового состояния иона от его скорости.

Необходимо иметь в виду, что действие поперечной составляющей кулоновского паля атомных цепочек — непрерывного потенциала приводит к штарковскому сдвигу уровней электронов на оболочках. В этом смысле характерный размер оболочки должен быть гораздо меньше размеров канала, чтобы подавить влияние конкурирующих прямых механизмов ионизации. Кроме того, если ион (будем для определенности считать, что речь идет об одноэлектронных ионах) возбуждается в м = 2 состояние, поперечное поле непрерывного потенциала снимает вырождение и расщепляет уровень на четыре состояния. Такого рода воздействие варьируется в широких пределах для разных групп траекторий каналированных частиц. Например, в центральной части осевого канала (гиперканалирование) ,где bU/br = 0, сдвиг (а точнее, линейный штарк-эффект) отсутствует, тогда как в несимметричных положениях иона в ячейке он выражен максимальным образом.

На рис. 4.6 приведен пример резонансного возбуждения ионов С+4,

прошедших qep曲 слой монокристалла золота 160 нм в направлении <100> [98]. Энергия основного резонанса 耳,= =18,634 МэВ и соответствующая скорость иона V приведены для перехода 1s 今屮；左=1 (n = 1) ТО (л = 2) без учета штарковского сдвига ^-состояний. Чтобы выделить определенную область прицельных параметров соударения с це-

Рис. 4.6. Зависимость доли ионов С+4» прошедших через монокристалл Au толщиной 160 нм в канале (110)от начальной скорости, отаесжной к резонансной v「:

q・- профили для двух разлит.ых скоростей V

почками, отбирались только те частицы, которые попадали в интервал углов 8 < 0,3 мрад. Аналогичный результат наблюдался и для второй гармоники 左=2 резонанса для ионов F*8. Отличие состояло в более узком провале (FWHM-0,0037 v/vf), локализованном при v/vr = 0,9985.

Радиационное торможение суперрелятивистских части

Как уже отмечалось, в ионизационном механизме торможения ширина энергетического распределения составляет лишь малую долю торможения 不鹿《、e、 что служило оправданием для использования диффузионного приближения в части интеграла столкновений, связанной с энергетическими потерями. И хотя при достаточно больших толщинах монокристалла это условие нарушается, тем не менее согласно теории Ландау речь всегда идет о пике в спектре прошедших частиц, сдвигающемся в сторону меньших энергий и асимметрично уширяющимся с ростом толщины. Качественно отличное поведение спектра торможения присуще частицам сверхвысоких энергий Е ~ 100 ГэВ. В экспериментах, проведенных в ЦЕРНе [99], было обнаружено аномальное увеличение интенсивности в жесткой части спектра излучаемой энергии при уменьшении угла между направлением подающего пучка и осью канала. Для объяснения этого явления пришлось отказаться от диффузионной модели торможения [см. (4.61) ]. Главная причина этому - каскадность процесса торможения, в результате которой каналированная частица, излучая порции этергии, сравнимые с ее собственной, переходит в область небольших энергий и сразу формирует там пик. Оказалось необходимым привлечь для объяснения спектра торможения наряду с многократным рассеянием и эффект радиационного охлаждения пучка, приводящий к уменьшению поперечной энергии частиц за счет потерь полной энергии (см. §4.6).

Процесс излучения для каналированных, частиц такой большой энергии носит магнитно-тормозной характер, согласно которому длина формирования излучаемых 7-квантов много меньше периода осцилляции в канале, и таким образом излучение происходит спонтанно в определенной точке пространства г, а его вероятность определяется только ускорением в этой точке г. Кроме того, в процессе излучения каналированных суперрелятивистских частиц достигался ультраквантовый предел — параметр квантовой отдачи к = U； превосходил единицу и в

излучении были представлены 7-кванты с энергией 力з ~ 瓦.Усредняя известную локальную вероятность излучения [44] W (г, Е,方 з), мы приходим к каскадному уравнению, описывающему эволюцию спектра 136

электронов заданной поперечной энергии с толщиной кристалла:

叭32叭32ОО={ + J d力 зоОО={ + J d力 зо〈W(r, Е 十力з, %з)〉р*Е + 力з)-〈W(r, Е 十力з, %з)〉р*Е + 力з)-

叭32

叭32

ОО

={ + J d力 зо

ОО

={ + J d力 зо

〈W(r, Е 十力з, %з)〉р*Е + 力з)-

〈W(r, Е 十力з, %з)〉р*Е + 力з)-

Е

(4.74)(4.74)- J d方3%(瓦力з)%(Е)・ о

(4.74)

(4.74)

Второе слагаемое в столкновительном интеграле учитывает зависи* мость вероятности излучения от полной энергии частицы, которая отсутствует в ионизационном механизме потерь. Уравнение (4.74) описывает также уменьшение поперечной энергии Де частицы, зависящее от часто-

Рис. 4.7. Спектры торможения электронов (Е = 150 ГэВ) в Ge (Т = 100 К) для различных направлений падающего пучка:

? - вдоль оси (110); 2-^о = 17 мкрад; 3 - б。= 96 мкрад; экспериментальные точки взяты из [99]

ты излученного 7-кванта и ее энергии до излучения■}

△е(瓦方з) =-%2 ⑺方з/Е.(4.80)；

Уравнение (4.74) для < 110> осевого каналирования электронов с； энергией Fo = 150 ГэВ в германии при температуре 100 К решалось ме・ ； тодом машинного моделирования [100]. Из результатов, представ-] ленных на рис. 4.7, видно, что максимум распределения рб (Б) формируется при достаточно больших потерянных энергиях ДЕ ~ 瓦 по мере: прохождения слоя порядка эффективной радиационной толщины, зави^ сящей от радиуса доступной области ге. Вероятность процесса излучения) с %з ~ 自 возрастает при уменьшении % за счет увеличения зффектив^ ных сил, действующих на электрон в центральной части канала. В резуль< тате пик в распределении излучающих частиц формируется на границе： спектра АЕ ~ Ео，по существу скачком меняя ^привязку*' от точки Ео- к точке Е ~ 0.

Глава 5. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ЭФФЕКТА КАНАЛИРОВАНИЯ]

Спектр состояний поперечного движения1

Квазиклассический характер движения каналированных частиц и, как! следствие, отсутствие проявлений квантовых эффектов в эксперимент тальных наблюдениях, которые велись в основном на пучках ионов, долгое время лишали актуальности все попытки квантово-механической го рассмотрения эффекта каналирования. Результаты работ Ю. Кагана и] Ю. В. Коконца [71, 101], Нитты и Отзуки [49, 74], В. А. Рябова [12； 72], В. А. Базылева и В. В. Головизнина [102] для ионов, а также ультрарелятивистских легких частиц в лучшем случае воспроизводят результаты классического подхода (см. [72,57,43]).

Ситуация коренным образом изменилась сравнительно недавно для электронов и позитронов в области энергий Е ~ 1 МэВ, движение кото・： рых в канале носит существенно квантовый характер. На это указывают два физически различных квантовых параметра — малое число уровней в канале и ненулевая вероятндсть туннелирования через поперечный потенциальный барьер вблизи максимума. В целом картша поперечного движения легких частиц напоминает зонную структуру спектра валентных электронов в металле. Оттуда по существу заимствованы и соответствующие теоретические методы расчета всех наблюдаемых величин. Как и в классическом подходе, задачу рассеяния частиц на кристалле можно разбить в духе теории возмущений на две части. В первой рассматривается упругая задача, которая описывает процесс перестройки

плоской волны на поверхности кристалла в суперпозицию поперечных блоховских состояний, являющихся собственными волновыми функциями уравнения Шредингера в периодическом потенциале атомных рядов (плоскостей) кристалла, во второй части — неупругая часть задачи, связанная с рассеянием на тепловых колебаниях атомов решетки и атомных электронах.^.

Следует отметить, что в полном соответствии с классической картиной рассеяния, в которой продольный импульс частицы полагался неизменным, можно считать, что потенциал решетки слабо сказывается на продольном движении частицы, и с точностью до поправок ~屮 ее волновую функцию можно представить в виде произведения плоской волны в продольном направлении и блоховской волновой функции r поперечном. По причине малоуглового характера рассеяния нет необходи- мостй использовать в качестве исходного уравнение Дирака — роль спиновых и релятивистских поправок имеет тот же порядок малости.

Плоскостное каналирование. С точки зрения квайтовых эффектов йа- иболее интересен эффект каналирования электронов: ввиду узости потенциальной ямы в ней располагается меньшее число уровней. Учитывая сказанное выше, волновую функцию частицы представим в виде

%z + Q у

屮$ = е匕(к),(5.1)

/,

(5・2)(5・3)(54)(5・2)(5・3)(54)где функция Ф, (х) удовлетворяет уравнению Шредингера с релятивистской массой т = уте'

(5・2)

(5・3)

(54)

(5・2)

(5・3)

(54)

периодическим граничным условиям

%“ + %)二 us^

и условию.нормировки

dp/2

J 1%(к)|2 = 1.

Индекс s = (% %) в схеме приведенных зон обозначает номер зоны п и приведенный волновой вектор 以，все значения которого заключены в первой зоне Брюллюэна:

-тг/2dp 《% 《電 12dp.-

Рис. 5.1. Потенциал, энергия уровней поперечного движения и пространственное распределение электронов с Е = 4 МэВ в плоскости (110) монокристалла никеляРис. 5.1. Потенциал, энергия уровней поперечного движения и пространственное распределение электронов с Е = 4 МэВ в плоскости (110) монокристалла никеля

Рис. 5.1. Потенциал, энергия уровней поперечного движения и пространственное распределение электронов с Е = 4 МэВ в плоскости (110) монокристалла никеля

Рис. 5.1. Потенциал, энергия уровней поперечного движения и пространственное распределение электронов с Е = 4 МэВ в плоскости (110) монокристалла никеля

Полная энергия электрона в кристалле, следовательно, равна

Е = р；/2 加 + 笃 + PzC・(5・5)

На рис. 5.1 [104] вместе с потенциалом У(х) изображены волновые функции подбарьерных зон при £ = 4 МэВ и % = 0 для плоскости (110) в кремнии. С точки зрения интенсивности многократного рассеяния самое низколежащее состояние л = 0 в обоих случаях является наиболее короткоживущим, так как оно локализовано в области максимальной плотности ядер. В то же время состояния с нечетным числом узлов волновой функции, а также высоколежащие связанные состоя

Рис. 5.2. Зонный спектр электронов с Е = 4 МэВ в плоскостном канале (110) кремния:1

результат точного расчета (5.2) [104]. Используется сопутная система координат; приближенный расчет [103]

ния являются долгоживущими. Несмотря на это, описанная картина кореннным образом отличается от эффекта Бормана, известного в физике рассеяния медленных нейтронов и рентгеновского излучения. Суть его заключается в том, что при условии малости потенциала взаимодействия волновая функция этих частиц в кристалле с хорошей точностью может быть представлена в виде двух модулированных с периодом dp плоских волн, одна из которых локализована в узлах решерси и характеризуется сильным поглощением, другая (в меж- узлиях) — аномально малым поглощением. Фурье- разложение блоховских фикций Ts(x9, отвечающее связанным состояниям электронов в канале (см. рис. 5.1), включает более трех десятков плоских волн. Такая ситуация^ является типичной для эффекта каналирования ~ сильная связь состояний в канале обусловлена низкой вероятностью туннелирования в соседний канал. В самом деле, ширина разрешенной зоны - порядка значения расщепления уровня, которое появляется за счет туннелирования из одной потенциальной ямы в другую [72]:

△£р 〜方* ехр(— ； dp [2加(1 +е)]〃2)

Оценка этой величины показывает, что при F > 1 МэВ только самые вы соколежащие подбарьерные зоны имеют заметную ширину.

На рис. 5.2 изображена зонная структура спектра поперечных состоя ний, соответствующих рис. 5.1. Слабая дисперсия (зависимость от вол

нового вектора) подбарьерных зон является следствием локальности связанных состоянии. По той же причине мала ширина запрещенных зон в надбарьерной области. Все это позволяет просто сконструировать спектр и волновые функции электрона в рамках приближений, ш>фоко используемых в зонной теории твердых тел.

Подбарьерные состояния электрона можно рассмотреть в приближе* нии сильной связи [103, 104], согласно которому функция 〃九q%Q) представляется в виде суперпозиции

]00⑵J片

%("一瓦Oe,(5.7)

* 五无=-8

где 屮 口 — kd) - уровневая волновая функция в Ьм канале с энергией £〃. Дисперсия в зоне дается выражением

F = % + 2%8 s — ,(5.8)

где ширина зоны равна

%= ,dx%?)yQMQ_dp)・•'(5.9)

Результаты расчета [103] надбарьерных зон по (5.8), а также уровней для потенциала У(х) = ch-2 (х/%) приведены на рис. 5.2. Сдвигом р』12ap

уровней с меньшими % на фактор епренебрегалось. Положе

ние самых нижних надбарьерных зон рассчитано в приближении слабосвязанных /электронов с учетом брэгговского отражения в точке qx = тг店р [п = 1 в плоскости (100)] и в точке q% = 0[п = 2 в плоскости (ПО)]. Выше этих зон спектр представлялся кусками параболы, соответствующей спектру свободной частицы (пунктир). В этом же приближении ширина запрещенной зоны равна удвоенному фурье-образу потенциала:

В случае плоскости (100) Si и % = 1 она равна 46 эВ, а энергия на границе зоны Брюллюжа

€0 =(务力尸/2 叫彳=20,4 эВ.(5.11)

С ростом энергии частицы число подбарьерных зон увеличивается в соответствии с формулой

〃=q2/方 2,(5.12)

max * max p_

а дисперсия зон уменьшается — зоны практически вырождаются в ло- калью>1е уровни. Переходы между ними хорошо видны в спектрах излучения каналироваьшых частиц [106]. По сравнению с зонной уровневая модель эффекта каналирования чрезвычайно упрощает теоретический анализ таких спектров, а также позволяет установить простые масштабные соотношения для различных кристаллографических плоскостей и энергий налетающих частиц.

На эксперименте положение уровней определяется по энергии фотонов АЕу, излученных на различных переходах. Причем для электронов ситуация облегчается неэквидистантностью уровней, что позволяет легко выделить одни энергии перехода на фоне других. С учетом* доплеровского преобразования частота перехода для излучения вперед имеет вид

△耳=2у2Де(5.13)

Наблюдающаяся на эксперименте [115] температурная зависимость перехрда (5.13) наиболее заметна у низколежащих переходов, что объясняется в основном изменением положения минимума потенциала У (х) (см. рис. 5.1). Чувствительность же спектра излучения каналированных частиц к форме потенциала позволила развить целую методику спектроскопии излучения легких релятивистских частиц для исследования атомных потенциалов [165], дефектов [162] и динамики решетки [115]. Для измерений спектров каналированных электронов Можно использовать ток, не превышающий Ю"1^ А. Время экспозиции для получения одного спектра составляет 20—30 мин, что соответствует повреждающей дозе КГ12 смещения на атом. Таксим образом, метод исследования кристаллов с помощью излучения каналированных частиц можно считать неразрушающим.

Аксиальное каналирование. Если пренебречь влиянием соседних цепочек, то в поперечной плоскости релятивистский электрон, взаимодействующий с атомным рядом, представляет собой своеобразный двумерный атом с соответствующей систематикой уровней. Учитывая азимутальную симметрию изолированного атомного ряда, в полярной системе координат собственные волновые функции поперечного движения могут быть записаны в виде

整=%⑺三 е土吗 / = о,1,2.・.，(5.14)

V2tt

где п - главное квантовое число; М =由-квантовый угловой момент; /?/(г) — радиальная волновая функция, удовлетворяющая урав・

нению Шредингера:

Э2Ф .1 ЭФя. /尸、

^Г~ + 7+ yNm^nl ^U^ —不)屮献=°，

%=加%公加.(5，15)

По аналогии с трехмерной задачей в центральном поле состояния с угловыми моментами / = 0, 1, 2 ... именуются как состряния s, р, d ...Все состояния с / =# 0 дважды вырождены. Главное Квантовое число п нумерует состояния в эффективном потенциале [ср. с (1.39)]:

,2

(5.16)

т

Число узлов функции 屮加 равно л = / - 1. На рис. 5.3 показана схема расположения уровней вместе с потенциалом для каналированных электронов с Е = 4 МэВ в монокристалле кремния, ось <110> . Для состояний с / # 0 наиболее подходящей аппроксимацией для потенциала ряда с точки зрения простоты и точности результатов является функция1 вида

(5.17)

где константы 0? и 『/ можно подобрать из условия наиболее точного совпадения эффективного потенциала (5.16) с приближенными:Ф； (г)= =_де)+“/2眩户[12].

Ортогональность волновых функций с разными значениями обеспечивается ее угловой частью в (5.14). Значения энергий уровней е2р и ^3d совпадают с экспериментально наблюдаемыми значениями, полученными из спектров спонтанного излучения [107]. Для потенциала (5.17) их положение дается выражением

一俗25甯m%ax『

e - — — , 5-.

rl (27 + 2〃+ I』方 2

Пользуясь одноцепочечными орбиталями (5.15), так же как и в плоскостном случае, можно развить приближение сильной связи и вычислить зоннуч)структуру спектра поперечных состояний. Елоховские волновые функции представляются в виде [107]

ik * а

к】=^"&(г -a)EC/Q”a,,、("8)

Рис. 5・3・ Уровни поперечной энергии в непрерывном потенциале атомного ряда - изолированном (ИР) (слева) и в кристалле (справа). Приближения: СС - силь> ной связи; МП - многопучковое. На вставке показан зонный спектр верхних уровней

где суммирование в условиях слабого туннелирования ведется по положениям соседних цепочек а〃，а также по вырожденным состояниям 力

9； = -i—(1+«/о)~1/2со8/Ф, 7 = 0, 1,2, 3 …；(5.19)

q = ~^~「sinZ Ф,q = ~^~「sinZ Ф,=1,2,3 ...=1,2,3 ...

q = ~^~「sinZ Ф,

q = ~^~「sinZ Ф,

=1,2,3 ...

=1,2,3 ...

Здесь угол Ф отсчитывается от направления 无丄.Энергия в зоне е求丄 представляет собой аналитическую функцию 左丄，выраженную через интеграл перекрытия. Вырождение 7 В 0 состояний учитывается по теории возмущений.

Для примера, рассмотрим направление <100> в кристалле с решеткой типа алмаза, где цепочки образуют квадратную решетку с периодом d] = <//\/8". Двумерная секулярная матрица диагональна на базисе

действительных функции (5.18). Вырохсд'енный одноцепочечный уро-

вень %? в кристалле расщепляется в две зоны

esl(kl) = 4esl(kl) = 4(5.20а)(5.20а)(5.206)(5.206)4 + 2%cps 勺办 + 27ycos 弓内

esl(kl) = 4

esl(kl) = 4

(5.20а)

(5.20а)

(5.206)

(5.206)

1 +20,соз 无 ％di + 2a严 зку П

/ - четное;

i = 1,2; j * °7

3 t — нечетное.

Коэффициенты a., 0r z равны

a, = /ЛФ5/(г)Фу/(г 一 at);

4 = _1〃屮式(Г)2€/(Г一如)；

刀=-J dr Ф . (r) U(r ~ at) Ф , (r - a!).

Вектор 中 соединяет две соседние цепочки (см. рис. 1.2). Зона els (к丄) получается из уравнений (5.19), (5.20) с i = 1. Для четных I значения 01 и 02 равны между собой и оба состояния вырождены в точке к丄=0. Результаты расчета зонной структуры спектра (5.14) многопучковым методом (МП), в приближении сильной связи (СС) (5.19), (5.20), а также в приближении одноцепочечной орбитали (5.15) показаны на рис. 5.3. Некоторое видимое отличие для 3d-зоны связано с тем, что в теорию возмущений не включено смешивание с другими состояниями, присутствующее в действительности.

Другой источник неточности приближений, использующих модель изолированной цепочки, связан с влиянием соседних цепочек. Так, если для 1s- и двух вырожденных 2рсостояний не заметно каких-либо отличий ох одноцепочечных орбиталей (5.14), то этого нельзя сказать о двух вырожденных 3d-орбиталях [107]. Их интенсивность в максимумах обнаруживает сильное влияние соседних цепочек, не укладывающееся в зависимость sin2 2Ф, присущую одноцепочечной орбитали. Схожая ситуация наблюдается у 2«состояния, к которому примешивается 3(/состояние с 4 Ссимметрией.

Еще более замечательная ситуация имеет место для направления [ПО] в решетке типа алмаза, где атомные цепочки расположены попарно и уровни поперечного движения электрона характеризуются молекулярным типом связи [108].

Упругое рассеяние

Плоскостное каналирование. Квантовомеханиче^сая задача рассеяния частиц на кристалле в представлении собственных волновых функций (5.1) сводится во временном формализме (Г =丄/v) к решению уравнения Шредингера

，哼-券 АТ»(5-21)

с соответствующим начальным условием. Для случая падения пучка на кристалл начальная волновая функция поперечного движения на поверхности совпадает с плоской волной

%"

Ф(Г = 0, х) = е ,(5.22)

где qx = рбо/方—начальный волновой вектор падающей волны. Как и прежде, будем считать, что входная поверхность перпендикулярна некоторому семейству кристаллографических плоскостей. В схеме приведенных зон (см. рис. 5.2) вектор qx должен быть приведен к первой зоне Брюлпюена:-

二-[pferk。，Ко=^-

Скобки обозначают целое.

Решение уравнения Шредингера с учетом (5.4) можно записать в виде

W(r, Г) = SC Ф^е $ ,(5.23)

где коэффициенты

dp/2 iq х

C(q) = J_ J dxe %*)•(5・24)

…写一%2

В каждой л-зоне заселяется только один уровень с квазиимпульсом 卷.Для каналированных частиц, характеризующихся слабой дисперсией, коэффициенты (5.24) всюду близки к уровневому пределу [72]:

- оо 如 X

+(%)=——J dxe “ W〃Q)・(5.25)

Rig 54 Заселенность уровней поперечного движения электрона с £ = =4 МэВ в плоскостном канале (110) 虱 300 К. Угол падения пучка приведет в единицах угла Брэгга:

-приближение локальных уровней (5.25) [103] .

Зная волновую функцию (53), можно наити все интересующие нас величины. Плотость частиц на глубине L =ct равна

0 — %，)£

л(х, О = |Ф(х, Г)Р = E/$$*Q)5/Q)e,(5.26)

где величина

3 = J”)J(%)(5.27)

представляет собой матрицу плотности частиц W представлении блохов* ских волновых функции (5.3). Без учета эффектов неупругого рассеяния она выражается через произведение фурт»е-компонент базисных волновых функций (5.3). Диагональные элементы матриць! плотности р$ = IG(4)产 представляют собой начальную заселенность данного состояния.

На рис. 5.4 представлена зависимость заселжности от угла падения. Видно, что при 0 < 1, Е = 4 МэВ основную роль в каналировании играют первые три зоны (7-3), а выбором угла падения пучка можно в широких пределах варьировать заселенность каждой из них. При нулевом угле падения почти половина частиц захватывается третьей надбарьерной зоной — в этом результате содержится качественное отличие от классики. Действительно, в квазиклассическом пределе заселяются в основном состояния, лежащие в промежутке 餡之 £ V 储 + 1 [91], а при нулевом угле падения надбарьерные частицы практически отсутствуют.

Междутем, как это следует из рис. 5.4 при угле падения больше критического небольшая доля частиц заселяет и подбарьерные зоны.

Заселенность подбарьерных зон

Рл = \Сп(Я^\2(5・28)

хорошо описывается аналитически уровневой моделью [103, 104] с использованием потенциала Пёшля—Теллера (см. рис. 5.4) •

Учет начальной угловой расходимости пучка сводится к усреднению заселенностей ps (0О) по гауссовому распределению (1.38). При этом становится отличной от нуля заселенность нечетнвбс подбарьерных зон при б。= 0. Что касается толщинной зависимости плотности 〃(х, Г), то ее удобно представить в виде двух слагаемых: регулярного, не зависящего от九•・

Нрег(х)=,乙仇)№$(х)|2(5・29)

и осциллирующего

%сн(х)声 2 tPss^^s^e •(5.30)

s^s

В квазиклассическом пределе (Nm > 1) регулярная часть плотности в точности совпадает со статистически равновесным значением 〃(х) (1.22) [72].

Осцилляции (5.30) также аналогичны классическим, но эта анало* гия неполная - наряду с квазиклассической частью выражение (5.30) включает интерференцию между различными состояниями, которая представляет собой чисто квантовое явление. Из-за ангармонизма осциллирующая часть плотности (5.30), так же как и в классике, быстро усредняется на врем«<ах Г > % [ср. (2.9) ]. Кроме того, как мы увидим в следующем параграфе, недиагональные элемшты матрицы плотности из-за неупругих процессов затухают, создавая тем самым дополнительный механизм исчезновения толщинных осцилляций плотности.

Осевое кашишровшие. Наиболее наглядно картина осевого каналирования выглядит в уровневой модели изолироважкж цепочки, применимой для достаточно глубоких уровней. Начальная заселенность состоянии (5.28) дается выражением [12,107]

2(2 - % )8

Рп 网)=—^~ U 〃〃о(®)&献 б)]?,

qo = 6б2бо・

Для состояний (5.13) зависимость заселенности от начального угла пад«<ия дается формулами [12]

一 96*：р480qjK-qj)

"2二洒户力5 -，

48心:

Аналитические выражения достаточно точно передают ход экс- перименталыа>1х кривых [12]. Учет начальной угловой расходимости пучка приводит к ненулевым значениям заселенности с / 力 0 (точное значение ведет себя при малых углах падения как р§ 〜6?).

Квантовое кинетическое уравнение

Тепловые смещения атомов и рассеяние на атомных электронах приводят к неупругому рассеянию каналированных частиц — переходам между базисными состояниями (5.1). Наиболее последовательная формулировка задачи неупругого рассеяния каналированных частиц была дана в [101] на основе формализма матрицы плотности, точно учитывающей процесс возбуждения фононных состояний кристалла в результате рассеяния. Между тем в такой точности постановки задачи нет особой необходимости, коль скоро жергетическими потерями за счет рассеяния на ядрах мишени пренебрегается. Условие внезапности столкновений (см. § 1.1) позволяет существенно упростить вывод исходного квантового кинетического уравнения для матрицы плотности р飘 частицы в кристалле, использовав подход [72], аналогичный развитому в [109] для аморфной среды. Суть его состоит в том, что рассеяние частиц рассматривается происходящим на смещенных из узлов решетки неподвижных атомах с известным пространственным распределшием. В этом смысле постановка неупругой задачи совершенно сходна с классической. А поскольку в малоугловом рассеянии можно пренебречь спиновыми эффектами ^Un/E, задача теплового рассеяния выглядит практически одинаково как для ионов, так и для легких релятивистских каналированных частиц.

Итак, неупругое тепловое рассеяние обусловлено отличием точного статического потенциала атомов решетки от непрерывного. Для плоскостного случая это отличие равно

"=^ F°(r~Rn -un) - У(х)・(5.31)

Учет граничного условия во времжном подходе эквивалентен ^включе- нйю^^ возмущетия (5.31) в момент Г = 0. Суммирование ведется по узлам Rn одной атомной плоскости решетки. Под действием возмущения (5.31) между базисными состояниями (5.1) происходят переходы, вероятность которых определяется в первом порядке временной теории возмущений.

Из уравнения Шредингера

ЭФ

‘丁 = В%Л，+与汽(5.32)

можно составить уравнение для матрицы плотности частицы 倉窃，= = %%，в точном потевдиале:

号生+明「%)%敗=

=-*3%1少%佐-%К厶%%). a=-*3%1少%佐-%К厶%%). a(5.33)(5.33)

=-*3%1少%佐-%К厶%%). a

=-*3%1少%佐-%К厶%%). a

(5.33)

(5.33)

Усредним теперь (5.33) по попожжиям ядер. Цепочка уравнений для средних Ei =^^7^2 И & =金的紋△ %依2, входящих в правую часть усредненного уравнения (5.39), расцепляется с помощью соотношения

△匕△%£ = △%△%$, (534)

справедливого в борновском приближении [109]. Тогда из (5.33) следует

察 + 冷 -％)尸L -i% = -i%g%a，A%a，，％，，a「

~ Дра1а,ДКа,,а2ра,а^;

- △暗饱△%«%№)； ^^ 〃(5.35)

Интегрируя уравнения (5.35) с нулевыми начальными условиями, имеем 尸j = -i 工 〃exp【i(%,-与/(т-Г)Е/, i = 1,2.(5.36)

-综 [109]. В итоге по--综 [109]. В итоге по-В приближении внезапных столкновении, когда время м^сду соударениями %》d/v много больше времени соударения % ~ 窗/v, в интервале (5.36) основной вклад в уравнение (5.35) дает слагаемое, пропорцио

-综 [109]. В итоге по-

-综 [109]. В итоге по-

нальное 5*функции от разности энергий Е. лучаем [71, 72]

而一♦ М% -%)入К2 =行券公匕7F%”x

+ A%a，，%，ia恤]6(% 一 %，)•(加".37)

Недиагональные элементы матрицы плотности ра^ описывают интерференцию между различными состояниями движения частиц. В отличие от "чистой" матрицы плотности, равной произведению волновых функций %]屮窃2‘ ^менты О勿 & затухают со временем. Если этот процесс происходит в аморфной среде, то, как это показано в [71],

закон спадания оказывается пропорциональным 。门匕 е (с = DQvaQa/gjM). Этот факт сам по себе нетривиален, поскольку реше* ние уравнения (5.37) в простейшем приближении времени релаксации на первый взгляд должно бы давать более медленный — экспоненциальный закон затухания недиагональных элементов.

В задаче деканалирования основной интерес представляет временная эволюция диагональных элементов матрицы плотности. Для них уравне* ние (5.37) переходит в

Эр，

s - n, qx，(5.38)

Здесь q = p* — p — изменение проекции импульса в плоскости yz.

Усреднение по тепловым смещениям вероятности перехода в (5.38) дает [43, 102, 110]

+ (27r)££5(q-K)"e-'J.,(5.39)

Вклад когерентного рассеяния — второе слагаемое (5.39) — с учетом за* кона сохранения энергии для улырарелятивистских частиц пренебре* жимо мал. Лишь при малых энергиях электрона £ < 1 МэВ он становит* ся сравнимым с некогерентным вкладом.

Если интересоваться эволюцией только связанных состояний попе* речного движения вдоль оси X、то, произведя суммирование по q и интегрирование по импульсу р в (5.38), получим

Эр

寸=当忆，仇,一吗，(5.40)

гдегде

где

где

%У 二%% =°.(5.41)

С учетом очевидного соотношения

'對丿 4% = 5 =，dq|吟『(5.42)

выражение для вероятности перехода можно записать в несколько ином виде [102]:

%Т Jdq(唱 2 一 еГ * 子：)•(5.43)

Для каналиров анных частиц можно пренебречь дисперсией, а интегрирование по q заменить интегрированием по у:

” =ndp\Tyf) sdy(f —)♦(")

Пример расчета коэффициентов перехода 心献 (5.44) [115] для эпектронор с Е = 4 МэВ для связанных - основного л = 0и надбарьер* ного л = 11 (заштриховано) состояний в канале (111) монокристалла ник зля при комнатной температуре показан на рис. 5.5. Видно, что быст* рый обмен происходит между глубокими связанными уровнями п = = 0,1, а также надбарьерными состояниями М А 5. Причем из основного состояния в соседнее 〃‘ = 1 рассеяние происходит гораздо более ин* тенсивно, чем в надбарьерные.

В квазиклассическом пределе квантовое кинетическое уравнение (5.40) переходит в классическое (3.9). Проще всего в этом убедиться, использовав выражение для вероятности перехода в уровневом прибли» жении (5.44). Запишем уравнение (5.40) в интегральной форме:

加и

J = 〃£'®(£,£)р- G(e', е)р ],(5.45)

с несимметричным интегральным ядром.

G& # = Т-1^^, €).(5.46)

Переходя в столкновительном интеграле к новым переменным

炉

%1

(5.48)(5.48)(5.49)(5.49)

(5.48)

(5.48)

(5.49)

(5.49)

02 4 6 6 10 12 14 16 18 20 Z2 Z什 26 力

Рис. 5.5. Вероятности перехода при плоскостном каналировании электронов с £ = 4МэВв№ (111) при Т = 300К

Jd"[G(e -小")0(£ — 力一G(e, ri)p^(5.47)

и разлагая его по степеням т/, получаем

°% 一 Me М 2P.

旷 决2 ；

А. = Jd加 G(e,e-г/), i = 1,2.

Возвращаясь к суммированию по состояниям, имеем

4・®)= ：(% — /%，•

Вычислим теперь кинетические коэффициенты (5.49) в квазиклас- сическом пределе. В выражении для первого момента по е можно ис* пользовать правило сумм аналогично примененному в задаче вычисления средних потерь (4.24). А именно, вводя формально оператор производной по времени /, преобразуем сумму (5.49) к диагональному матричному элементу от коммутатора:

纱32舔，-ё) = 一；就叫紋(5.50)，

Соответственно

石1加，1‘胤，一ё尸=曲1m・MD

Подставляя в (5.51) выражение для оператора f [8]

f = i 出J] = (p U + —- ^у)» 2m, х Эх Эх х

получаем

4 =沙3a一%)=我*)；(5.52)

В квазиклассике процедура вычисления диагонального матричного элемента совпадает с усреднением рассматриваемого оператора по периоду классических осцилляций:

F = Г = 1 J 岁尸(%)•(5.53)

T Q x

Оставшееся усреднение по тепловым смещениям у разности (5.44) при。 водит к известному классическому результату

Л1 = <6e/6z>.

Предельный переход для второго момента по энергии проще выпол* нить несколько иным способом, вычисляя временную производную квазиклассического выражения для матричных элементов оператора f:

%，= - f^f^x(t))e丸

Таким образом

…冲*g-%)，=[偿户J

и в результате сразу приходим к (3.50):

A2 = 2((e-7)金(6/&〉.

Рассеяние на атомных электронах. К вероятности перехода за счет тепловых колебаний (5.44) следует добавить слагаемое W^ , обусловленное столкновениями частицы с атомными электронами. Процесс неупругого рассеяния на различных атомах кристалла некогерентен и, кроме того, как и в классическом пределе, коллективными возбуждениями электронов при расчете вероятностей перехода W；J можно пренебречь. Поэтому достаточно рассмотреть рассеяние на одном атоме решетки, сопровождающееся большой передачей поперечного импульса.

Учет передачи только поперечного импульса в рассеянии позволяет пренебречь также запаздыванием, поэтому в первом приближении вероятность отдельного перехода по параметру Ф определится выражением

w. = — SI(s>|S rIO,s>px

dP a 7

xSks-q + ^Б^ + 电7>+如/・(554)

Суммирование ведется по всем возбужденным состояниям атома |窃〉к положениям электронов ге в атоме. Чтобы перейти от вероятности неупругого рассеяния на одном атоме к вероятности перехода в канале, необходимо усреднить (5.54) по поперечным тепловым смещениям и умножить его на плотность атомов в плоскости. Используя при этом фурье-представление потенциала (4.7) н интегрируя по продольному переданному импульсу, получаем [ПО]

^г 二 ，du Р ⑺，dq J ~~— х

X%®)%°(q2)[e、L」e %M 打 n

q = %，%;尸(q) = ze

(5.55)

С условием полноты собственных функций | а) интегрирование по их и суммирование по всем электронным возбуждениям может быть проведено аналитически:

х 卜 1 ]^[е2 ]у$ {[F(qi)F*(q2)]oo-Foo(qi)FOo(q2)}.

(5.56)

Осевое каналирование. Обобщение полученных выражений на случай осевого каналирования не представляет труда, поэтому сразу выпишем наиболее важные окончательные результаты без вывода. Вероятности перехода в квантовом кинетическом уравнении для матрицы плотности, отличающемся от (5.44) только обозначением индексом, равны [12,111]

к］储3）小）, k =勺，勺.к］储3）小）, k =勺，勺.

к］储3）小）, k =勺，勺.

к］储3）小）, k =勺，勺.

Использование диффузионного приближения в квазиклассическом пределе для релятивистских электронов переводит уравнение (5.40) с коэффициентами (5.57) в классическое уравнение (3.52) в переменных углового момента М = /й и поперечной энергии %?. При этом диффузионные коэффициенты

п !

сводятся к своим классическим аналогам (3.52) [12,57].

Что касается неупругого рассеяния на атомных электронах, то в осевом случае вероятности перехода между уровнями поперечного движе* ния, сопровождающие электронный переход |0> ->|а>, равны

(5.58)

Полученные формулы позволяют найти более строгое обоснование выражения для локального коэффициента диффузии D^ (4.67). Действительно, средняя скорость возрастания поперечной эн^)гии, определенная с помощью выражения (5.49) и равная для перехода 0 -> а О f £

бе” 上七(%-0，

преобразуется методом суммирования, аналогичным использованному при выводе формулы для теплового коэффициента, к виду

吋黄等广

Здесь исключена зависимость от тепловых колебаний атомов (〃 = 0). Учитывая квазиклассическую интерпретацию диагонального матричного элемента, о которой говорилось выше, мы приходим к формуле (444) с Dj (4.67).

Уравнения (5.40), (5.57) полностью решают задачу эволюции заселенности состояний с толщиной монокристалла при условии z » Т, т.е. в условиях статистического равновесия.

Ширина уровней

Экспериментально наблюдаемые линии излучательных спонтанных переходов между состояниями поперечного движения каналированных частиц характеризуются некоторой шириной Г, обычно сравнимой для энергий ~ 1 МэВ к е ~ 1 с расстоянием между соседними линиями. Доминирующим механизмом уширения линий у электронов по сравне* нию, скажем, с зонным или уширением за счет конечных продольных размеров кристалла Г'〜1/Z является неупругое рассеяние на тепловых смещениях атомов и электронах.

Неупругая ширина z-го уровня равняется полной вероятности ухода с него частиц в единицу времени:

-=+心')•(5・59)

Рассмотрим по отдельности вклады теплового и электронного рассеяния. Воспользовавшись условием полноты для базисных волновых 158

функций, получаем для осевого каналирования [12,107]

。黑V (备j产-尸一产s +产)1(5.60)

и плоскостного каналирования [102,43]

F?=市NdpSdy俨П 一产-产П +尸"2).(5.61)

Для глубоких уровней каналированных электронов, ширина которых определяется в основном тепловым рассеянием, рассчитанные значения этих величин согласуются с экспериментальной шириной [107].

Для больших значений момента, при которых электрон, двигаясь по спирали, не приближается к атомам цепочки, выражение (5.61) можно разложить в ряд по степеням ^2 [12]:

「*=(击)Z'Qs Т'”2).(5.62)

В более общем случае анализ выражения (5.60) можно упростить, перейдя к фурье*преобразованию функции экранирования по координате

「Г =(备力 dgf：,% *

考(匕 + 朽)(“2 _ kg [ % - k2)r

iktr-ik “1

-[e ]ss [e ] j(5.63)

Для потенциала Линдхарда

乙=±,加j。(切厶&)= 2(； 一%(成)).

Формфакторы в фигурных скобках для волновых функций 1s- и 2р- состояний (5.63) равны”

ikr-炉/2500

(е)is = е；

3叭Р(4%+炉严2

Аналогичным образом из выражений (5.63) могут быть получены значения ширин для неупругого рассеяния на атомных электронах [ПО]. Для осевого случая имеем

一 к'*'$」「'%“? {/о(к'—к)-歹оо(к)尸^о(к)上(5.64)一 к'*'$」「'%“? {/о(к'—к)-歹оо(к)尸^о(к)上(5.64)

一 к'*'$」「'%“? {/о(к'—к)-歹оо(к)尸^о(к)上(5.64)

一 к'*'$」「'%“? {/о(к'—к)-歹оо(к)尸^о(к)上(5.64)

Для плоскостного случая неупругое рассеяние на электронах не столь существенно.

Для высоколежащих уровней степень локализации каналированного электрона в центральной части канала гораздо м耽вше как амплитуды тепловых колебании атомов, так и характерного размера орбиты атомных алектронов. Вследствие этого экспоненту в "(q) в (5.64) можно разложить в ряд по преданному импульсу. В итоге получим [102]

啖=嘗⑴“665)

吋〉-средний квадрат радиуса Z-ro электрона, а

JdrlW/FJdrlW/F

JdrlW/F

JdrlW/F

Аналогичным образом можно оценить вклад коллективизированных валентных электронов. Считая их делокализованными в пределах плоскости, получаем [106]

(5.66)(5.66)(V)— 4/dk(「[e，：J

(5.66)

(5.66)

1/V J

s ddc『 Y (炉 +qj)

При выводе этой формулы было учтено, что с разумной точностью

так что

力 q：/2% =力 Зр.

Из сравнения вкладов внутренних (5.64) и валентных электронов следует, что вклад валентных электронов в неупругую ширину возрастает с приближением уровня л к границе непрерывного спектра. Валентные электроны играют определяющую роль в состояниях с большим моментом, которые локализованы вдали от атомов. И в сравнении с тепловым рассеянием этот вклад доминирует в полном соответствии с классической картиной. Аналогичное (5.65) разложение дает для валентных электронов более простое выражение

Г, ~ (2万)3闷产〈01n _L_ , (5.67)

где < r；n > — средний квадрат координаты каналированного электрона в s «состоянии; q()〜1/d Сопоставление этих величин показывает, что для большинства уровней вклад валентных электронов мал по сравнению с тепловым в отношении 〜q/Z?. В отличие от ионов из-за отсутствия адиабатики возможен процесс возбуждения у сильно связанных электронов.

В табл. 5.1 приведены рассчитанные [105] значения ширины уровней в сопутной системе координат. Экспериментальные значения взяты из [106]. Как видно из табл. 5.2, суммарная ширина линий 恵)= = 272(Г^ + Г*，％ меньше экспериментальных значений. Указанное различие может быть вызвано дефектами кристалла, а также корреляцией между тепловыми смещениями атомов решетки.

Сравнение расчетной и измеренной [107] температурных зависимо* стей излучательной ширины Го + Г1 для электронов с Е = 4 МэВ в никеле (100) показано на рис. 5.6. Пунктирная линия соответствует выражению (5.61), которое учитывает только межуровневые, а точнее, межзонные

Таблица 5.1. Положгаия уровней и их ширин, эВ, для электронов с £ = 3,5 МэВ в канале (100)Si

Уровень

€「(s)「(е)「(v)

68,4300-25

96,179118

1033016

106,91015

Таблица 5. 2. Экспериментальные и теоретические значения энергий переходов, кэВ, и ширины переходов, эВ, для электронов Е = 3,6 кэВ в <100/ Si

Переход

方3г

[105][106][105].[106]

2P - Is

3d - 2P

3s - 2P

3,423,35425540

1,341,34465490

0,84-475-

переходы. Сплошной линией показан результат более точного расчета, принимающего во внимание специфическое для радиационных процессов уменьшение ширины, связанное с внутризонными переходами [106].

Кроме ширин линий важнейшей характеристикой спектра излучения каналированных частиц является заселенность уровней поперечного движения. Их эволюция с толщиной монокристалла описывается квантовым кинетическим уравнением (5.40). Решение уравнения (5.40) с граничным условием, отвечающим начальной заселенности р0 (0О) (5.28), есть [12]

一入儿f

乙二嚷е tkmpQm，(5.68)

где 入左-собственные значения матрицы вероятностей перехода,

-'Fkk"限卜”*跟“忆”(5 69)

Рис. 5.6. Температурная зависимость ширины уровней: точки 一 эксперимент [107]Рис. 5.6. Температурная зависимость ширины уровней: точки 一 эксперимент [107]Рис. 5,7. Кинетика суммарной заселенности уровней

Рис. 5.6. Температурная зависимость ширины уровней: точки 一 эксперимент [107]

Рис. 5.6. Температурная зависимость ширины уровней: точки 一 эксперимент [107]

Пример расчета толщинной зависимости заселенносюй согласно кинетическому уравнению (5.40) для рассмотренного ранее слушан электронов с £ = 4 МэВ в Ni (см. рис. 5.5) приведен нурнс. 5 7. Для начать- но го угла падения, равного половине брэгговского, на входной поверхности монокристалла согласно (5.12) заселены только нижние пять зон. С ростом толщины за счет переходов, как эго видно из рис. 5.7, начинают заполняться более высокие зоны. Скорость распада состояний с большой начальной заселенностью отражает разницу в ин генсивности рассеяния, которая наиболее значительна в основном состоянии и заметно слабее в связанных состояниях с 〃 = 3.4. Как и следовало ожидать из данных рис. 5.5, заполнение надбарьерных состояний (заштриховано) медленно меняется с номером зоны. На глубинах z〉！ мкм отношение достигнутых значений заселенностей к статистическим равновесным составляет приблизительно 2 для уровней 〃 & 9 H 1/2 для более высоких.

Итак, в отличие от электронов с энергией ~ 1 ГэВ, для которых характерна классическая диффузионная картина ^^pacплывaния^^ уровней, в рассмотренном случае (рис. 5.7) возможен прямой интенсивней обмен между каналированными и надбарьерными состояниями.

При значительно больших толщинах z » 1/F эффект реканалирования полностью определяет кинетику заселенности подбарьерных уровней. Она, как и в классике, характеризуется малыми значениями заселенности рп ~ 10"*1 ― 10"2, спадающими в плоскостном случае по закону ^\j\fz\ а в осевом ~l/z. А поскольку все распределение по уровням является квазистационарным (bps/dt = 0), распре о,еление заселенностей по уровням определяется граничной заселенное? ь， [барьерных состояний р$ ~ Рп . Подобный закон равнорасирек?」 出 “с урсн ням в толстых монокристаллах был обнаружен эксперимс1｛；а ilho [113J.

Глава 6. КАНАЛИРОВАНИЕ В ИЗОГНУТЫХ КРИСТАЛЛАХ

Поворот пучка заряженных частиц в изогнутом кристалле

Рекордные по напряженности электрические ноля, в которых 卜胃/川久. ходит движение каналированных частиц, достшающис £ 亠(力/Z > 〜 Ю12 эВ/см, указывают на возможность их использования в ккчесг^е эффективного средства управления пучками заряженных чаоиц. Особенно актуальна эта проблема для пучков частиц с энергией £〉I ГзВ、 поворот которых в ускорителе традиционным способом требует <и рамных магнитных полей. Например, при радиусе изгиба А 二 16 см нрокъ ны с энергией Е = 100 ГэВ, каналирующие между плоскостями (И0)

монокристалла кремния толщиной 0,1 мм, поворачиваются на угол 60 мрад. Эквивалентное действие магнитного поля в этом случае должно достигать 2 • 103 Тл! Предсказанное Е.Н. Цыгановым [116] явление поворота пучков частиц высокой энергии изогнутыми монокристаллами было вскоре подтверждено экспериментально [117,118].

Интерес к проблеме каналирования в деформированных кристаллах возник гораздо раньше — в связи с задачей деканалирования на дислокациях [119]. Последние, создавая вокруг себя медлжно спадающее с расстоянием поле деформаций, действуют как дополнительный источник потенциала взаимодействия с каналированными частицами. Весь этот круг задач вылился в настоящее время в целое направление исследований не только прикладного плана — в части применений изогнутых кристаллов в пучковой оптике, но и имеющих своей целью изучение неясных вопросов самого эффекта каналирования.

Плоскостное каналирование. Рассмотрим движение частиц в изогнутом плоскостном канале постоянной кривизны, или, другими словами, с постоянной второй производной от среднего поперечного смещения канала, по длине пути

dL2

1

R

(6.1)

Модификация исходного уравнения движения (1.28) сводится в этом случае к переходу во вращающуюся систему координат [(и = п (£),

dnz—丄 d2x—1ЗУ+ 1

dL R' dL?”8% R

(6.2)

При этом воздействие поворота учитывается добавлением к ускорению скорости изменения угла поворота (6.1), взятой с обратным знаком. В ^зразмерных переменных это уравнение запишется в виде [120]

х = - - — (У + Лх) = - - —, к =—.

2 Эх2 ЭхR

(63)

Таким образом, действие изгиба в канале эквивалентно введению дополнительного постоянного электрического поля, пропорционального энергии частицы. Как видно из рис. 6.1, каналированные траектории находятся в промежутке поперечных энергий 1 — ^ <е <Yb 筋)，гДе % - положение минимума потенциала Yb (х); △=版％/2:

号觴)=-%• 164

(6.4)

ftic. 6.1. Эффективный потенциал изогаутого канала (110) для протонов Е = 10 ГэВ с радиусом кривизны R = 10 см

В гармоническом приближении для потенциала У (х) рассмотренная картина выглядит наиболее просто. В эффективном из- гибном потенциале

，⑺二輔（65）

максимальная амплитуда колебании каналированной частицы равна хт = dp/2 - к/р. Каналирование пропадает при хт = 0, т.е. при к = =0dp/2. Деканалирование происходит, когда текущая координата осцилляций в канале становится по модулю больше dp/2. С учетом многократного рассеяния этот процесс фактически происходит несколько раньше — когда частица попадает в область интенсивного ядерного многократного рассеяния хт ~%/2. В феноменологической трактовке многократного рассеяния на языке критического параметра сближения % ~。считается, что частица деканалирует, как только ее координата в канале достигает величины 空=%/2 — ％• Это произойдет при ”>1, откуда и следует известное условие Цыганова [116]:

pv/R > %/%・ (6.6)

При радиусе изгиба меньше критического

(6.7)(6.7)R - kx = pvx IY

(6.7)

(6.7)

с с 1 с1 т

все частицы деканалируют. Экспериметтальные значения критического радиуса изгиба приблизительно на порядок больше полученного значения, что свидетельствует о более интенсивном механизме воздействия многократного рассеяния, чем это следует из феноменологического рассмотрения.

Рис. 6.2. Фазовая диаграмма траекторий поперечного движения протонов с Е =100 ГэВ в одно； родно деформированном плос-* костном канале (ПО) Si, R = =50 см:

〃 - эффективный потенциал; б - фазовая плоскость; начальное распределение по поперечной энергии (〃d и бб) и соответствующие положения в фазовом пространстве {АА и ВВ); числа вдоль фазового потока - расстояния протонов от входной поверхности монокристалла, мкм

Оставляя пока в стороне вопрос о деканалировании, обратимся к более подробному анализу уравнения движения (6.3). Интегрирование его дает

g2(z) + Y(x(z) + kx(z )) = е0,(6.8)

где е0 — поперечная энергия на входной поверхности.

Удобно проиллюстрировать движение ионов в поперечном фазовом пространстве х, вх. В пренебрежении многократным рассеянием по мере прохождения канала ион находится на изоэнергетической поверхности (6.8) (рис. 6.2). При нулевом начальном угле падения фазовые траектории, находящиеся внутри критического,овала (е = 1), замыкаются. Такие ионы будут следовать изгибу канала решетки по осциллирующим траекториям с одновременным поворотом 1/R без изменения поперечной энергии. Несмотря на однородность распределения координаты входа х, каналы типа изображенного на рис. 6.2 являются неравнозначными в том смысле, что начальная координата х0 относится лишь к первому входному каналу, который занимает крайнее левое положение. Для протонов Е 〜100 ГэВ кремния несколько примеров фазовых траекторий показаны на рис. 6.2. Видно, что частицы, падающие под углом гораздо больше критического (траектория /77), рано или поздно испытают отражение от стенок канала. Соответственно их фазовый объем по мере прохождения серии плоскостных каналов сначала уменьшается, а после отражения снова увеличивается.

Деканалирование в изогнутых кристаллах

Модель деканалирования, основанная на понятии^критического расстояния сближения %с с плоскостью, позволяет установить ряд простых зако но мерно стей и масштабных соотношений между вероятностью деканалирования и характеристиками изгиба канала, а также энергией [121]. Условие деканалирования для произвольной поперечной энергии, как это следует из рис. 6.1, дается неравенством

е + к(хс + X。)> 1.(6.9)

Отсюда следует, что при условии равномерного изгиба и параллельного падающего пучка вероятность деканалирования (доля оставшихся в канале частиц) равна

ld -，(6.10)

где

У(-&)一 k\ 二 У(П)+ 左％・(6.11)

При xa = 0, что равносильно условию Цыганова, она составляет 厶=50% и достигает 100% при к = У'(хс).

Другим важным деканалирующим фактором является неравномерность деформации по длине канала. На рис. 6.3 показаны распределения протонов, прошедших изогнутый трехточечным способом нагружения монокристалл кремния [122]. Регистрировались только те частицы, которые в процессе трансмиссии теряли минимум энергии, т.е. с самого начала были захвачены в канал. Такая процедура необходима, поскольку в большинстве экспериментов с частицами таких больших энергий начальный угловой разброс у/G значительно превышал критический угол каналирования (обычно на порядок). Различие в способах нагружения приводило к различию в степени деформации как функции толщины. На рис. 6.3 первый пик формируют частицы, деканалировавшие до начала изгиба. Другой пик соответствует полному повороту пучка вместе с кристаллом. Угловая ширина его — порядка двух критических углов, что соответствует точному выполнению условий каналирования для частиц в течение всего пути вдоль кристалла £ = 3 мм. Однако в трехточечной схеме нагружения виден третий пик, находящийся примерно посредине между повернутым и неповернутым пучками. Его форма и высота сильно зависят от энергии частиц и связаны с локальным изгибом вблизи точек нагружения. Такого рода пики, но гораздо меньшие по высоте, видны и вблизи точек нагружения в четырехточечной схеме, но нагрузка на кристалл здесь гораздо меньше. Наиболее показателен в этом отношении график изгиба как функции коорди-

Рис. 6.3. Поворот пучка протонов с Е = 60 ГэВ с неоднородно изогнутым кристаллом Si (а) и зависимость кривизны от L (б)Рис. 6.3. Поворот пучка протонов с Е = 60 ГэВ с неоднородно изогнутым кристаллом Si (а) и зависимость кривизны от L (б)

Рис. 6.3. Поворот пучка протонов с Е = 60 ГэВ с неоднородно изогнутым кристаллом Si (а) и зависимость кривизны от L (б)

Рис. 6.3. Поворот пучка протонов с Е = 60 ГэВ с неоднородно изогнутым кристаллом Si (а) и зависимость кривизны от L (б)

Рис. 6.4. Угловые распределения протонов с Е = 1 ГэВ на разной глубине в изогнутом кристалле (110)

наты z внутри кристалла (см. рис. 6.3,5). Положение пиков совпадает с точками наибольшей концентрации напряжений.

На рис. 6.4 представлены угловые распределения протонов [124] на разных глубинах изогнутого монокристалла для угла ориентации пучка относительно (110) плоскостей на входе 2° = 0,4 мрад. Стрелками помечены углы изгиба кристалла на данной глубине L ： 2『=L/R. На малых глубинах (гистограмма £ = 10 мкм) имеется один максимум, ширина которого обусловлена только многократным рассеянием. На больших глубинах появляется второй максимум. Положение минимума распределения совпадает с конечным углом изгиба монокристалла, причем его ширина составляет Дф 〜2. Его появление связано с тем, что частицы, постепенно приближаясь к отражающей стенке, испытывают за счет эффекта "зависания'' более интенсивное (чем в случайном пучке) многократное рассеяние и быстро покидают этот угловой интервал. Для неко-

торой доли потока частиц, наоборот, происходит захват изогнутыми плоскостями. Вместе со смещением минимума в-сторону больших 0Х происходит перекачка частиц из области 0х > 0^. в область 2% < В「И на больших глубинах в угловом распределении оказывается четко выраженный один максимум отклонения при 8% < 0^, направленный в сторону, противоположную изгибу, который соответствует отраженным частицам пучка. Так как точка входа %。не совпадает с точкой выхода частицы, пучок отклоняется от первоначального направления. Таким образом, кроме каналирования в изогнутом кристалле оказывается чрезвычайно эффективным отражение надбарьерных частиц на углы, в десятки раз превосходящие углы каналирования.

Объемный захват

В ряде экспериментов, проведенных в ЛИЯФ на ультрарелятивист- ских протонах в изогнутом кремнии [125]. Было показано, что фракция каналированных протонов увеличивается по мере проникновения пучка в кристалл. Другими словами, ионы захватываются в канал не на входной поверхности монокристалла, а внутри его — происходит объемный захват.

Обратимся вновь к рис. 6.2, где показаны траектории частиц, отражающиеся в непрерывном потенциале изогнутых плоскостей. Ясно, что доля каналированных частиц определяется на входной поверхности и нет никаких переходов из случайной части пучка в режим каналирования. Объяснить наблюдаемое явление можно двумя механизмами - изменением кривизны канала вдоль траектории [126] и процессом реканалирования, происходящим за счет многократного теплового рассеяния в непосредственной близости от отражающего канала (на рис. 6.2 он изображен кривой /).

Обсудим вначале первый из них, не рассматривая многократное рассеяние. На рис. 6.5 даны примеры фазовых диаграмм для ситуации, изображенной на рис. 6.2, с радиусом кривизны, внезапно меняющимся от R = Т5 см до 7? = °° на расстоянии £ = 12 мм от входной поверхно-

Рис. 6.5. Фазовый портрет протонов в канале (110) с переменным изгабом：

траектории протонов, испытавших объемный захват; надбарьерные протоны в неизогнутом кристалле; о - положение блокировки траектории

сти. Угол наклона пучка составляет 57 мрад, в то время как критический угол 屮卩二 16 мрад. Таким образом, с самого начала отсутствуют частицы, захваченные в режим изогнутого каналирования. Видно, что протоны, фазовая траектория которых находится внутри критического овала неизогнутого канала, находящегося на глубине £ = 12 мм, могут перейти в режим каналирования.

Если сравнить долю каналированных частиц, прошедших через изогнутый монокристалл кремния для разных углов падения б。, то окажется [127], что доля каналированных частиц ненамного меньше при 0О ^ 0, чем в случае каналирования при 8。= 0 в идеальном кристалле. В сравнении с результатами предыдущего параграфа это доказывает высокую эффективность поворота пучка в кристалле с нагрузкой, приложенной в точке, которая расположена по ходу движения пучка. Кроме того, при большом начальном угловом разбросе в режим каналирования захватывается гораздо большая часть пучка, нежели в условиях неизогнутого кристалла. Ионы, захваченные в изогнутый канал с различных углов падения Д0О ~ \/^ > 1, после прохождения неизогнутой части кристалла выходят под углом порядка критического % ~ 1. Подобное уменьшение фазового объема особенно важно для использования изогнутых монокристаллов в пучковой оптике.

Другой механизм объемного захвата за счет многократного рассеяния [127, 128] происходит даже в условиях постоянного изгиба кристалла. Суть его сводится к тому, что частицы, двигаясь в надбарьерном режиме вблизи отражающей стенки (четвертый канал на рис. 6.3), в момент прохождения над барьером подвергаются сильному многократному рассеянию. В результате часть пучка оказывается захваченной в режим каналирования, причем выйти из него за счет деканалирования она может, только двигаясь в сторону, противоположную направлению изгибной составляющей эффективного поля. В этом существенное отличие от обычного явления реканалирования.

Деканалирование ионов на протяженных дефектах

Близкая по физической сущности к рассмотренной задаче — задача деканалирования частиц в изогнутых каналах реальных кристаллов также допускает трактовку на языке непрерывного потенциала. Речь идет о рассеянии каналированных частиц полями длинноволновых деформаций решетки, для которых радиус сравним или меньше частоты колебаний каналированной частицы 1/R 《1/Т. Постановка задачи сводится к определению энергетической зависимости сечения деканалирования как функции энергии частицы, которое затем используется б стандартной процедуре расчета функции деканалирования (см. § 3.1). Сечение определяется как минимальный размер области вокруг дефекта 170

(дислокации, двойниковой границы, поры и т.д.), внутри которой все частицы деканалируют. Строго говоря, такой прдход является весьма грубым приближением. В действительности возможно каналирование и внутри кора, сопровождающееся просто переходом частицы в соседние каналы, и, напротив, аномальное деь шкалирование в области вне кора, вызванное изгибом [130]. Однако наглядность и простота модели изогнутого канала вкупе с правильной теоретической интерпретацией энергетической зависимости функции деканалирования делают основанные на ней расчеты вполне конкурентоспособными с расчетами в рамках метода машинного моделирования.

Первую оценку влиянию поля дислокаций на сечение деканалирования получил Кверр [119] из условия ревенства силы, действующей на каналированную частицу со стороны непрерывного потенциала и центробежной силы, возникающей в результате изгиба. Предсказанная энергетическая зависимость сечения де каналирования ~\J Е вскоре подтвердилась на эксперименте. Важность этого результата связана с тем, что в значительной степени именно энергетическая зависимость сечения деканалирования определяет тип дефекта [119].

Все отличие от'постановки задачи предыдущего параграфа заключается в виде поля деформаций. Теперь оно сосредоточено в некоторой области вблизи ядра дислокации и является функцией двух пространственных, переменных z, х. Координата х 士 几d。屮口 (〃 = +1, ± 2 ...) определяет положение канала в поперечной плоскости относительно ядра дислокации.

[130][130]Краевая дислокация. Уравнение движения каналированного иона в искривленном плоскостном канале вокруг краевой дислокации дается уравнением

[130]

[130]

(6.12)(6.12)bxzKing соs8

(6.12)

(6.12)

— *— , W = X COS u,

канала. Так какканала. Так какх отсчитываетсях отсчитываетсяотот7rdp (Z?+严)2

канала. Так как

канала. Так как

х отсчитывается

х отсчитывается

от

от

координата

Бюргерса параллелен линии дислокации, уравнение (6.12) остается без изменений для ионов, движущихся в любом направлении и любом канале относительно точки z, х = 0.

Вероятность деканалирования иона в канале может быть рассчитана с помощью уравнении движения (6.12). При этом, как и ранее, полагается, что ион деканалирует, как только выполнен критерий деканзлирова- ния. На рис. 6.6 показаны примеры фазовых траекторий ионов Не+ с £ = 2 МэВ в канале (110) кристалла PbS(Se) вблизи направления 〈001〉. Канал находится в 20 нм от краевой дислокации параллельной оси < ПО) с вектором Бюргерса 4/2《110), т. е. расположенной перпендикулярно плоскостному каналу. Глубина проникновения, нм, иона z указана на рис. 6.6 цифрами у кривых, а начало координат z = 二 0 выбрано на глубине залегания дислокации. Примеры деканалирую-

Рис. 6.6. Фазовый портрет протонов в канале вблизи дислокации： о — деканалированная траектория; 6 8 - каналированные траектории

щих траекторий показаны кривыми 〃 и 6. Следует отметить, что поперечная энергия иона, показанная кривой % больше критической y(d/2— 1) при z = 0, однако после прохождения через область изгиба снова становится меньшей критического значения. Критерий деканалирования в модели критического расстояния сближения дается условием

|x|>dj2-L (6.13)

В численных вычислениях сечения деканалирования прослеживаются все возможные траектории ионов, начиная от некоторой глубины z0, где изгиб канала несуществен. При этом в качестве начальных условий (х0, 8о) выбираются все точки внутри критического овала неискаженного кристалла J； + У(х°) V 1. Для дальнейшего удобно выделить область начальных точек фазового пространства, с которых начинаются деканалированные траектории. Эта область расположена на линии, которая начинается и заканчивается на критическом овале. Это обстоятельство, которое еще не получило строго математического обоснования, позволяет просто определить интенсивность деканалирования без детального расчета всех возможных траекторий. Причем вместо условия (6.13) можно использовать аналогичное условие деканалирования для поперечной энергии (6.11):

У(х) ^ кх> 1. (6.14)

Полагая функцию распределения в фазовом пространстве до момента рассеяния на дислокациях статистически равновесной, можно ввести вероятность деканалирования как функцию поперечной энергии и положения канала W(x, е), определив ее как отношение длины овала попереч- 172

ной энергии € внутри, деканалирующего критического овала к полной длине вдоль овала. Таким образом, полная вероятность деканалирования в канале х становится равной

0(х) =/dep(e, z)W(e, х), (6.15) где распределение по поперечной энергии р (е, z) учитывает перераспределение с толщиной за счет других механизмов многократного рассеяния. В итоге сечение деканалирования на единице пути дислокации да* ется выражением

入=2/ 必0(х). (6.16) о

К примеру, для Не ионов с 方内 1 МэВ в алюминии (ПО), сечение 入= =57 v^ где 入 выражено в мм, а Е в МэВ. Для винтовой дислокации в алюминии, которая параллельна оси < 110> с вектором Бюргерса d/2 < 1100>, расчет по формулам (6.15), (6.16) дает 入=31、豆

Отметим, что зависимость сечения от энергии согласно полученным формулам также ~ \ГЁ、но в отличие от первоначального результата Кверра 入士 Ъ/ 7Г0 зависимость от модуля вектора Бюргера и dp является более сложной. На эксперименте энергетическая зависимость сечения определяется из сравнения энергетических спектров каналированных частиц и случайного пучка в области интенсивного деканалирования, т. е. вдали от поверхности» Вычисленные значения сечения деканалирования согласно формулам (6.15) и (6.16) обычно несколько превышают наблюдаемые значения [131]. На эксперименте требуемая для уверенного анализа сечения концентрация дислокации обычно так велика (~ 1010 см-1), что применимость формул для единичной дислокации становится под вопросом. И, кроме того, определенную погрешность вносит эффект многократного рассеяния, который лучше всего здесь учесть в рамках метода машинного моделирования. К этому и другим вопросам идентификации дефектов и их профилям в кристаллах мы вернемся ниже, в гл. 8.

Глава 7. ПОВЕРХНОСТНОЕ КАНАЛИРОВАНИЕ

Режимы движения

Быстрые заряженные частицы, падающие на атомно гладкую поверхность конденсированного вещества, необязательно кристаллического, в геометрии скользящего рассеяния, так же как и в объеме кристалла, подвергаются коррелированному воздействию со стороны поверхностных атомов. Возникающий при этом эффект поверхностного каналирования по своей сути лишь в некоторых деталях отличается от эффектов

Рис. 7.1. Геометрия падения пучка на поверхность монокристалла относительно низкоиндексного осевого направления в плоскости

осевого к плоскостного каналирования в кристаллах. Так, в частности, траектория движения частицы вблизи поверхности в режиме плоскостного каналирования представляет собой полуволну осцилляции частицы в объемном канале. Тем не менее малая кратность соударений и отсутствие рассеивающей среды на пути отраженного пучка приводят к появлению ряда новых качественных аспектов в физике рассеяния. Становятся доступны наблюдению процессы прямой и оже-электронной эмиссии, генерации низко энергетических 7-квантов (рис. 7.1).

Рассмотрим геометрию типичного эксперимента, в котором пучок падает на поверхность кристалла под углом 0 к поверхности (рис. 7.1). Как и в объемном каналировании, поперечный угол падения пучка 夕歹 по отношению к одному из низкоиндексных направлений 〈 hkD, лежащих в плоскости, задает режим плоскостного или осевого каналирования (в данном случае отражения). При условии 外 < 屮口，6),〉屮卜心 (критический угол осевого каналирования, относящийся к направлению 〈hkf>) мы имеем дело с режимом гшоскостного каналирования, при котором почти весь пучок отразится от поверхности, не проникнув в кристалл. В случае 屮〉夕彳〉屮？ 8), < W поперечная энергия частицы е 二 Eg? - Е(咚 + 吟)больше, чем поверхностный потенциал У(х). Это позволяет ионам проникнуть в глубь кристалла, но часть из них в 174

Рис. 7.2. Режимы движения быстрых ионов, падающих на поверхность монокристалла (150 кэВ Н+ 今(110) Ni вблизи оси <110), потенциал Мольера)Рис. 7.2. Режимы движения быстрых ионов, падающих на поверхность монокристалла (150 кэВ Н+ 今(110) Ni вблизи оси <110), потенциал Мольера)силу неравенства £<% тем не менее отразится от атомных цепочек, лежащих на поверхности. Такого рода режим движения, названный каналированием в полуканалах или полуканалированием, является спецификой эффекта поверхностного каналирования [132].силу неравенства £<% тем не менее отразится от атомных цепочек, лежащих на поверхности. Такого рода режим движения, названный каналированием в полуканалах или полуканалированием, является спецификой эффекта поверхностного каналирования [132].5 Т -3 —2 -7 夕 У 23 勿-ера а5 Т -3 —2 -7 夕 У 23 勿-ера аYXА~ Поверхностный. ^^^- Зернальное каналотражение]^^~ Плоско cm moil 仗阂-歌旣篇7"°' ко”а 力движениеYXА~ Поверхностный. ^^^- Зернальное каналотражение]^^~ Плоско cm moil 仗阂-歌旣篇7"°' ко”а 力движениеО—Случайное рассеяниеО—Случайное рассеяние

Рис. 7.2. Режимы движения быстрых ионов, падающих на поверхность монокристалла (150 кэВ Н+ 今(110) Ni вблизи оси <110), потенциал Мольера)

Рис. 7.2. Режимы движения быстрых ионов, падающих на поверхность монокристалла (150 кэВ Н+ 今(110) Ni вблизи оси <110), потенциал Мольера)

силу неравенства £<% тем не менее отразится от атомных цепочек, лежащих на поверхности. Такого рода режим движения, названный каналированием в полуканалах или полуканалированием, является спецификой эффекта поверхностного каналирования [132].

силу неравенства £<% тем не менее отразится от атомных цепочек, лежащих на поверхности. Такого рода режим движения, названный каналированием в полуканалах или полуканалированием, является спецификой эффекта поверхностного каналирования [132].

5 Т -3 —2 -7 夕 У 23 勿-ера а

5 Т -3 —2 -7 夕 У 23 勿-ера а

YXА~ Поверхностный. ^^^- Зернальное каналотражение

]^^~ Плоско cm moil 仗阂-歌旣篇7"°' ко”а 力движение

YXА~ Поверхностный. ^^^- Зернальное каналотражение

]^^~ Плоско cm moil 仗阂-歌旣篇7"°' ко”а 力движение

О—Случайное рассеяние

О—Случайное рассеяние

На рис. 7.2 показаны различные режимы каналирования при движении протонов, падающих на поверхность (ПО) монокристалла № вблизи оси [110]. Режим чисто поверхностного плоскостного каналирования, приводящий к полному отражению пучка, обозначен пересекающейся штриховкой. Внутри его находится небольшая область связанного движения, обусловленного притягивающим потенциалом сил изображения [49]. Далее темным заштрихованным полукругом обозначен режим поверхностного полуканалирования, в котором осевое и плоскостное каналирование частично интерферируют. Внутри полукруга находится область гиперканалирования, характеризующаяся большими прицельными параметрами сближения с атомными рядами и аномально малой интенсивностью неупругих процессов. Линейной штриховкой указаны угловые области объемного плоскостного каналирования в наиболее низкоиндексных каналах, разделенные широкими областями случайного и переходного рассеяния.

Надо сказать, что наибольшее число работ, посвященных плоскостному каналированию, приходится на средние энергии ионов, не являющихся предметом изучения в данной книге. Их критические углы не слишком малы, а требования к чистоте поверхности не такие строгие, как у быстрых ионов диапазона энергий ^ 1 МэВ.

Для практических приложений наибольший интерес представляют области чисто поверхностного каналирования и полуканалирования — первая с точки зрения возможности управления пучками заряженных частиц, вторая из-за возможности частичного проникновения пучка за пределы первого моно слоя — для поверхностной диагностики (см. §8.2).

Прежде чем перейти к траекторному анализу поверхностного каналирования, следует указать на ряд отличий от объемного с точки зрения концепции непрерывного потенциала. Что касается осевой ориентации поверхностного каналирования, то изменения в форме потенциала ряда незначительны, за исключением того обстоятельства, что сами атомные ряды, находящиеся в поверхностном монослое, ориентироваг ны относительно нижележащих иначе, нежели в объеме. Здесь сказьша- ется эффект поверхностной релаксации, который проявляется в изменении постоянной решетки в направлении, перпендикулярном поверхности. Кроме того, возможна некоторая деформация потенциала, связанная с особенностью спада электронной плотности вблизи поверхности. В плоскостном случае поправка порядка нескольких процентов в непрерывный потенциал поверхностного монослоя возникает из-за отсутствия вкладов недостающих атомных плоскостей [см. (7.14)]. Как следствие, высота плоскостного потенциала постепенно возрастает до своего объемного значения на расстоянии нескольких периодов решетки в глубь кристалла. Этот эффект может быть ответствен за проникновение некоторой доли частиц с поперечной энергией е W Е W； за пределы первой плоскости и отражения на последующих без участия эффектов многократного рассеяния.

Другое различие непрерывных приповерхностного и объемного потенциалов связано с различием амплитуды тепловых колебаний атомов.

Температура Дебая у поверхностных атомов обычно меньше, чем в глубине. К тому же даже в кубических решетках возможен эффект анизотропии тепловых колебаний ”；力 ％炉 = 〃哀 также приводящий к деформации потенциала Ys (л).

Полуканалирование

Из рассмотрения осевого каналирования (см. § 2.2) ясно, что эффекты пространственной фокусировки и блокировки пучка атомными цепочками на поверхности кристалла являются определяющими в задаче отражения. На их важность было впервые указано в [25]. Затем в работах В. И. Шульги [24] и Томсона [65] были введены параметры фокальной длины и энергии фокусировки, простейишм образом описывающие указанные эффекты. Фокусирующий угол %，ПРИ котором ионные траектории, рассеявшись двумя атомными соседними рядами, фокусируются в пол у канал, согласно модели бинарного столкновения в поперечной плоскости равен (2.12)

%广[一%"(由/2)/e].(7.1)

Азимутальный угол рассеяния на цепочке 屮(6) равен (2.11) 176

00 dr (г )

9(b) =-b / —4乙. (7.2)

Степень фокусировки траектории на нижнюю цепочку зависит от различия % и 京炉.Это видно из рис. 7.3, где рассчитаны траектории ионов Аг с £ = 200 кэВ, падающих на поверхность (100) Си вдоль < 110> направления (屮口 = 0,4°, ” 二 0) [133]. В случае 0% < %『фокус лежит в промежутке между верхним и следующим за ним монослоем. Поэтому только небольшая доля частиц отразится от нижнего ряда в свободное полупространство. Большинство частиц, испытав рассеяние на нижней цепочке с углом 屮 < тг/2, внедряется в кристалл.

Когда угол падения 8% равен углу фокусировки, фокус траекторий точно приходится на цепочку и доля отраженных частиц резко возрастает. Случай вх > 0盯 схож с 0% < 0对 с той лишь разницей, что фокус находится ниже цепочки. Коэффициент отражения пучка от поверхности (условия те же, что и на рис. 7.3), рассчитанный методом машинного моделирования [133], при условии зеркального отражения △% = =2% представлен на рис. 7.4. Ясно виден фокусирующий эффект в зависимости от ”.

Вклады в зеркальное отражение от верхних и нижних цепочек в сумме представляют собой сечение двумерного углового -профиля, изображенного на рис. 7.4, вдоль Дб^ = 0. Фокусирующий угол, равный 0对=2,2° для £ = 200 кэВ Аг, точно совпадает со значением, вычисленным из выражения (7.2). При ” < 屮口 = 0,4° почти все частицы отражаются первым слоем.

Видимая на рис. 7.4 двухпиковая структура двумерного углового распределения рассеянных частиц с минимумом при △” = 0 обусловлена эффектом блокировки на цепочках. Провал между ними увеличивается, а сами пики раздвигаются, если сместить детектор от зеркального

Рис. 7.3. Траектории отраженных частиц при различных углах падений пучка на поверхность

направления и сделать угол наблюдения 6] = △% — % меньшим угла падения. Такая картина находится в полном соответствии с эффектом осевой тени в объеме (см. § 2.2).

На эксперименте разделение отраженной части пучка на первом и втором слое производится с помощью энергетических спектров. На рис. 7.5 показан энергетический спектр рассеянных ионов Не* (0,7 МэВ) плоскостью (001) монокристалла SnTe в скользящей геометрии при осевой〈 100> ориентации пучка. При угле падения 0% = 5,2 мрад, меньшем критического ф^ 100) = 18 мрад, азимуте падения пучка 6у = 0, угол рассеяния составлял △% = 9,9 мрад. Пик по энергии самый близкий к начальной энергии дают ионы, рассеянные верхним моно- слоем. Сложная структура других пиков связана с частичным внедрением отраженных частиц в кристалл. Но в отличие от рассмотренного выше случая с кристаллом меди поверхность (001) монокристалла SnTe не содержит полуканалов. Это обстоятельство сразу отражается на азимутальной зависимости коэффициента отражения. Если нарисовать потенциальный профиль такой поверхности, то в случайном направлении 0у > W《I。。〉 он одномерный и не имеет никаких особенностей. В то же время осевой < 100> профиль таков, что ионы, проникая через промежуток между атомными рядами верхнего монослоя, уже не будут фокусироваться на нижние ряды.

Азимутальное угловое распределение рассеянных частиц показано на рис. 76 В отличие от плоскости (001) ОЦК решетки (см. рис. 7.2) в полном выходе и выходе ионов изнутри кристалла наблю-

Рис. 7.5. Энергетический спектр ионов Не+ с Е = 0,7 МэВ, рассеянных (001) поверхностью кристалла SnTc

Рис. 7.6. Азимутальная зависимость коэффициента отражения ионов Не+ с £ " ★ 0,7 МэВ от поверхности (001) SnTe % = 5,2 мрад:

а - полный выход; б - ионы, отраженные поверхностным монослоем; в ~ ионы, испытавшие рассеяние в объеме кристалла

дается пик при Д0у= 0, который отсутствует у ионов, отраженных верхним монослоем. Этот пик становится более узким и меньшим по высоте при уменьшении %. И наоборот, при больших углах пик уширя» ется и в нем появляется провал, вызванный (100) каналированием. При углах 0Х, больших критического, в коэффициенте отражения становят

ся видны провалы за счет внедрения ионов в (100), (ill) и (110) плоскостные каналы. Пик при этом исчезает.

Следует отметить, что расчеты в рамках модели бинарных столкновений показали, что на идеальной поверхности в энергетическом спект-

ре в действительности виден только один резкий пик в угловом распределении и один широкий минимум при Дв = 0. Эти результаты свидетельствуют о том, что ионы не проникают через верхний моноспой при # 0. Другими словами, имеет место зеркальное отражение, а фокусировки через седловину потенциала оси [100], как это случается при % =0, не происходит.

Выход из противоречия с экспериментально наблюдаемой картиной был найден в предположении, что ионы проникают в глубь кристалла благодаря атомным ступенькам на поверхности. Моделирование подтвердило указанное предположение. Вес пиков в спектре оказался связанным со структурой ступенек — их плотностью и размером по высоте. И все же этот вывод не является единственным объяснением наблюдаемой картины. Частицы из пучка с % ~ 〃 могли диффузной* ным образом за счет многократного рассеяния проникнуть в первый плоскостной канал вблизи поверхности и таким же образом рассеяться из него в верхнюю полусферу. Подобному явлению может способствовать и уменьшенная высота барьера у плоскостного потенциала верхних слоев, о чем упоминалось во введении.

Зеркальное отражение

В режиме зеркального отражения (см. рис. 7.2) падающий пучок рассеивается преимущественно на угол △£% = 20%・ Такая ситуация имеет место при падении пучка на поверхность под углом % < Wp и в случайном направлении по отношению к любому из плотно упакован

ных атомных рядов в плоскости % > W・ Привлекательность такого режима движения частиц — в полной определенности и уравнительной

простоте траектории движения, что особенно важно для практического применения поверхностного каналирования в комбинации с неупругими процессами для анализа состояния поверхности (см. § 8.2) •

Энергетический спектр ионов Не* с £ = 0,7 МэВ, рассеянных на поверхности (001) SnTe на угол △% = 2% = 10,5 мрад, показанный на рис. 7.5, состоит из нескольких хороню определенных пиков, разделенных равным промежутком по энергии. Выход от первого пика составляет около 70% полного выхода. Энергетические потери частиц в первом пике составляют приблизительно половину энергетического промежутка между соседними пиками. Положение пика, как это видно из рис. 7.5, определяется энергетической потерей — частицы, совершившей одну осцилляцию 丄 =4Т в плоскостном канале. Это обстоя

тельство служит указанием на то, что рассеянные ионы в первом пике отражаются от первого атомного слоя, а другие, внедряясь в глубь кристалла, перед тем как выйти на поверхность, совершают несколько осцилляций в плоскостном канале. Причина, по которой ионы пронизывают атомную плоскость, как и в объемном каналировании, - мно-

гократное рассеяние на тепловых смещениях атомов, электронах и поверхностных дефектах.

Угловое распределение ионов в эксперименте имеет максимум при угле рассеяния △% приблизительно дважды превышающим угол падения В*. Такая картина зеркального отражения сохраняется и при других углах падения. Угловая ширина полного выхода обычно несколько выше, чем угловая ширина первого пика. Рост ширины пиков с углом падения обусловлен уменьшением % и, как следствие, возрастающей интенсивностью многократного рассеяния.

В целом наблюдаемые закономерности можно объяснить в рамках диффузионной континуальной модели с учетом отличий в форме непрерывного планарного потенциала поверхности, указанных в § 1.3. Так, кинетическое уравнение для частиц, взаимодействующих с поверхностью, можно записать в виде (2.40)

(7.3)(7.3)

(7.3)

(7.3)

Простейшая аппроксимация решения этого уравнения получается* если пренебречь пространственным разбросом траекторий, т. е. считать, что угловая диффузия происходит на точно определенной траектории частиц в непрерывном потенциале 厶. Тогда коэффициент угловой диффузии является функцией z и угловое распределение получается усредаением по пространственной координате

尸虱）=舄:ех?]где尸虱）=舄:ех?]где(城+8о)2(城+8о)2(7・4)(7・4)

尸虱）=舄:ех?]

где

尸虱）=舄:ех?]

где

(城+8о)2

(城+8о)2

(7・4)

(7・4)

dxD(x)кdxD(x)к(75)(75)J = / dzDQ(z)) = 2 / ；=/"- У$(х)・

dxD(x)к

dxD(x)к

(75)

(75)

Результаты расчета угловой ширины распределения d% [134] за счет теплового рассеяния согласно линдхардрвскому пределу (3.30) (% » А 仅，& ~ 么2) и электронного — в приближении близких столкновений (4.30) показали, что сумма обоих вкладов меньше наблюдаемой ширины. В результате авторы работы [134] пришли к выводу о значительном отличии поверхностной дебаевской температуры от объемной. Чтобы согласовать теоретический результат по угловой ширине с экспериментальным им пришлось более чем в 2 раза увеличить используемую в расчетах амплитуду тепловых колебаний. На самом деле такое расхождение могло быть следствием по крайней мере двух причин.

Во-первых, в области углов падения, близких к критическому, где и наблюдается наибольшее расхождение, расстояние минимального сближения пучка с плоскостью 嚓〜〃 • При таких малых прицельных параметрах ход коэффициента тепловой диффузии более близок к гауссовскому типу, нежели к приближению Линдхарда [см. § 3,1]. Во-вторых, приближение хорошо определенных траектории, вообще говоря, занижает значение среднего углового разброса. Пространственный разброс траекторий приводит к разбросу значений %• В результате часть частиц, которые подходят к атомной плоскости на расстояния, меньшие чем х€, подвергнется более интенсивному рассеянию.

Кристаллические зеркала. Доля отраженного пучка, равно как и приобретенный в результате многократного рассеяния угловой разброс, определяют эффективность использования кристаллов в качестве элемента управления заряженными пучками. По сравнению с методом поворота пучка в изогнутом кристалле эффект зеркального отражения имеет определенные преимущества. Как видно из приведенного выше анализа, доля повернутого пучка значительно выше, чем в объеме, а интенсивность многократного рассеяния, приводящая к угловому разбросу повернутого пучка, значительно ниже. Малость угла поворота пучка А^х = 20% < 2屮口 можно обойти применением системы кристаллических зеркал, расположив их таким образом, чтобы на каждом выполнялось условие зеркального отражения.

Необходимым условием работы всех зеркальных систем с использованием эффекта каналирования является исключительно высокая степень коллимации входного пучка. Начальный эмиттанс пучка должен находиться в пределах плоскостного критического угла каналирования. Требования к степени чистоты поверхности для частиц с £ ^ 1 МэВ также очень высоки. Среднее расстояние между атомными ступеньками на поверхности L§ должно подчиняться по крайней мере условию Ls > 〃jWp с тем, чтобы рассеянные частицы не внедрялись в кристалл. А размер всей атомно гладкой поверхности 厶 должен быть связан с поперечным размером пучка/?^ неравенством видаL >丸2P " 〜勺

Аморфные зеркала. Скользящий режим столкновений возможен и на поверхности аморфных тел и жидкостей. Впервые на такую возможность было указано М・ А. Кумаховым и А. С. Сабировым [135]. Заменяя в (1.26) гауссово распределение 尸％(〃) на равномерное в полупро- странсзве л* < 0, что соответствует полностью хаотическому распределению атомов, сразу получаем

ОО8,]8

У(х) = 2тгЛ; J dy / dr г Р°(，户 +)*) = / t/y У (у).

'X 0dp X

(7.6)

Для потенциала Мольера имеем

Уо = ^NZe2a2. (7.7)

Критический угол, связанный с высотой барьера Ym = У(х -> — 8) = =Уо, равен 屮口 = “ Yo/pv, что меньше критического угла (WJ на фактор ~W/dp.

Отражение релятивистских электронов. На первый взгляд может показаться, что отрицательно заряженные частицы в принципе не могут отражаться от поверхности систематическим рассеянием — отрицательный скачок потенциала на поверхности может только способствовать их внедрению в кристалл. И остается лишь механизм кратных близких столкновений, сечение которых невелико (о《〃2). Однако это не совсем так. Особенности взаимодействия релятивистского электрона с атомной цепочкой, рассмотренные в § 1.4, указывают на реальную возможность обеспечить при определенных условиях степень рефракции, близкую к единице. Речь идет об азимутальном механизме поворота траектории надбарьерного электрона с е> 1 в притягивающем потенциале атомного ряда (см. рис. 1.8).

Рассмотрим пучок электронов 7 > 1, падающий на цепочку в направлении 0О- Каждая траектория в промежутке —心/2 < у < dJ2 характеризуется сохраняющейся поперечной энергией е = 6； и угловым моментом М =方6()sin9・ Угол рассеяния при повороте пучка вокруг цепочки как функция прицельного параметра с цепочкой Ь дается выражением (2.11). При поперечных энергиях, близких к единице, е《1,05, электрон может совершить более одного оборота вокруг оси цепочки. Минимальное расстояние сближения с цепочкой будет определять таким образом интенсивность многократного теплового рассеяния в процессе поворота.

Обратнорассеянными являются частицы, у которых х > я/2. Результаты расчета зависимости коэффициента отражения для различных углов падения % при ” = 0 с использованием формулы (2.11) показали [136], что он может достигать единицы при % ~° н резко спадает при угле падения 6工,сравнимым с критическим или больше его.

Неупругие процессы на поверхности кристаллов

Специфика неупругого взаимодействия быстрых заряженных частиц с поверхностью проявляется прежде всего во взаимодействии с коллективизированными электронами, поскольку моды их возбуждения отличаются от объемных. Новое звучание приобретают неупругие про-

цессы с передачей импульса атомным электронам — возбуждение и перезарядка (в том числе резонансная) многозарядных ионов, анизотропия спектров конвойных электронов, излучение.

Если обратиться к уже рассмотренным спектрам торможения (см. рис. 7.5), то, как уже указывалось выше, интерпретация большей их части возможна в рамках механизма объемного торможения, поскольку процесс их формирования связан с проникновением ионов в глубь кристалла.

Интерес к процессам неупругого взаимодействия быстрых частиц с поверхностью в значительной мере мотивируется еще и более простой кинетикой неупругих переходов в атомах и электронном газе, так как в отличие от объемного каналирования здесь выделен только один акт рассеяния на атомной плоскости.

По сравнению с объемным каналированием исследования неупругих эффектов при плоскостном каналировании в геометрии? зеркального отражения содержат известное преимущество. При объемном каналировании представлены сразу все поперечные энергии частицы 0 < е < < 1 и, следовательно, расстояния сближения до атомной плоскости. И, если не применять довольно трудоемких методов выделения определенных групп траекторий, таких, например, как метод Датца и др. (см. § 2.1), из трансмиссионных спектров довольно трудно получить детальную информацию о неупругих процессах. В случае поверхностного каналирования ситуация более благоприятная, так как угол падения пучка задает только одно значение расстояние минимального сближения с плоскостью н, таким образом, одну группу траекторий.

Что касается задачи торможения, то непосредственно с поверхностным каналированием связан лишь первый пик в спектре зеркально отраженных частиц (см. рис. 7.5). Причем из анализа зависимости наиболее вероятных потерь энергии — положения пика △£* зеркально отраженных ионов Не+ с F = 0,7 МэВ как функции угла падения для рассмотренного выше эксперимента [134] — следует, что энергетические потери не зависят от угла падения. То же постоянство ДЕ наблюдается и с вариацией энергии ионов Не+ в промежутке 0,7-2 МэВ. В случае рассеяния протонов энергетические потери зеркально отраженной части пучка также не зависят ни от угла падения, ни от начальной энергии, хотя они составляют одну треть от значения потерь ионов Не*. Такая картина отвечает сильной энергетической зависимости ~ 1/ x/F тормозной способности при поверхностном каналировании, которая пока не получила правдоподобного объяснения. Наиболее близкую к экспериментальной дает зависимость 5С (х) ~ л/Т, что вряд ли оправдано, поскольку такого рода пропорщиональность справедлива лишь в области низких энергий ионов. Более разумным представляется объяснение зависимости AF 〜1/ \/^Е растущим с 1/% вкладом в торможение электронов внутренних оболочек, обсуждавшихся в § 4.3. Часть торможения, связанная с этим механизмом, как раз обратно пропорцио- 184

нальна периоду колебаний S ~ з ~ 1/ \/1^ Данные о зарядовой фракции ионов Не* и Не* + в первом пике (см. рис. 7.4) каГк функции 8 показа* ли, что она оказывается не зависящей ни от заряда падающих ионов, ни от угла падения и азимутальной ориентации пучка. Это указывает на установление равновесного заряда в процессе взаимодействия. Яв* пение эмиссии вторичных электронов с поверхности твердых тел под воздействием полного облучения ввиду ее особой чувствительности к состоянию поверхности и очень небольшой глубине слоя, с которого излучаются возбужденные электроны, — важный фактор к пониманию всей проблемы неупругого взаимодействия ионов с поверхностью твердых тел. Из двух механизмов эмиссии — потенциального и кинетического [137] второй доминирует при скоростях иона v > 107 см/с. В отсутствие каналирования % > 屮口 кинетический механизм электронной эмиссии обеспечивает закон 1/sii?% для полного выхода I вторичных электронов. При углах падения порядка критического угла каналирования наблюдается резкое уменьшение выхода. В этом смысле поведение выхода эмиссии ничем не отличается от других неупругих процессов, протекающих в условиях каналирования - появление у пучка минимального расстояния сближения до атомной плоскости при вх < 屮「 экспоненциально уменьшает выход.

Структура азимутальной зависимости выхода эмиссии электронов в режиме полуканалирования отчасти коррелирует с выходом рассеянных ионов (см. рис. 7.5)・ Выход резко возрастает вблизи ^ = 0, что объясняется внедрением частиц в полуканалы — в глубь кристалла и резко увеличившейся интенсивностью близких столкновений ионов с валентными электронами.

Глава 8. ПРИМЕНЕНИЕ ЭФФЕКТА КАНАЛИРОВАНИЯ В ФИЗИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА И ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ

Метод машинного моделирования

Точность количественного анализа процесса взаимодействия быстрой заряженной частицы с кристаллом часто является главным препятствием на пути к практическому использованию эффекта каналирования в прикладных исследованиях. Наиболее точным и вместе с тем достаточно простым в реализации является метод машинного моделирования. Первоначально [7] идея метода заключалась в прямом численном моделировании процесса рассеяния — представлением его как последовательности отдельных столкновений частицы с атомами решетки, смещенными из узлов. Там, где требуется рассмотрение больших толщин кристалла и модель бинарных столкновений приводит к невоспроизводимым затратам машинного времени, применяется метод моделирования случайных траекторий в непрерывном потенциале —

согласно кинетическим уравнениям, описанным в гл. 2, 3. В процессе расчета траекторий определяются угловые и пространственные распределения частиц в канале, энергетические спектры, выход обратного рассеяния как функции глубины проникновения, ориентации, энергии пучка и т. д. Моделироваиия траекторий частиц в рамках модели бинарных столкновений и континуальной модели сильно различаются, поэтому мы рассмотрим их отдельно.

Модель бинарных столкновений. Описание самой модели бинарных столкновений содержится в § 1.1. Здесь же мы остановимся на некоторых особенностях численной реализации процесса столкйовений на ЭВМ. В той части, которая относится к расчету угловой зависимости выхода обратного рассеяния, в литературе используются две модификации метода Монте-Карло — в режиме прямой и обратной тени. В первой, развитой в [138, 139], угловое распределение частиц, вылетевших из узла и рассеянных решеткой, рассчитывается непосредственно в интересующем интервале углов. Во второй, предложенной Барретом [13], в процессе моделирования траекторий движения для каждого направления влета вычисляется математическое ожидание весовой функции, представляющей собой вероятность близкого столкновения с атомами решетки, нормированной на поток. Оба указанных метода расчета не вполне адекватны и будут рассмотрены раздельно.

Текущие координаты траекторий ограничиваются пределами элементарной ячейки (см. рис. 1.2). Переход из одной ячейки в другую в процессе моделирования заменяется эквивалентной процедурой трансляции или отражения в фазовом пространстве, следующим из соображений симметрии (см. § 1.1). Участки траектории между атомами, с которыми разыгрываются столкновения, представляют собой отрезки прямых. Выбор этих атомов в каждом столкновении, а точнее, атомных цепочек, не принадлежащих элементарной ячейке, но участвующих во взаимодействии, определяется значением максимального прицельного параметра соударения: s < /ах ~壮.В некоторых программах это условие заменяется приближением ближайших (с элементарной ячейки) соседних цепочек, на каждом атоме которых последовательно разыгрываются столкновения. Текущая координата г (z0) является одновременно координатой излома направления движения 0Q), происходящего в результате бинарного соударения. Новое направление движения после столкновения 外十】=^ + АО(久) определяется выражением для угла рассеяния (1.7). В простейшей геометрии столкновения для режима осевого каналирования (см. рис. 1.1) точка излома находится в поперечной плоскости, в которой находится колеблющий атом (продольными тепловыми колебаниями пренебрегается, так как они вносят погрешность U2/d2),

Связь между тремя последовательными координатами столкновения дается соотношением

_ 2г, + гц =山60)二，s. = rf -储； si—

(8・1)

Если в сферу действия (s < ^max) одновременно попадают атомы других цепочек, их углы рассеяния △# складываются. В режиме плоскостного каналирования погрешность определения прицельного параметра столкновения в поперечной плоскости 〜 ％ ~ 〃 может оказаться значительной, поэтому применяется более точная процедура определения координаты [138]. Столкновение рассматривается в новой системе координат с началом в точке г, _ 】и с двумя ортами 〃[，и 九у , лежащими в плоскости рассеяния вдоль направлений движения nz = 0/6 и перпендикулярного ему вектора r^ = [if х [п х а]], где а - rf _х + d?— -и, (см. рис. 1.1). Новые координаты траектории в системе координат Ox z выглядят особенно просто:

г； = (О, ап；);

%— (1 一 ^/2, △&(О), 叫;< %ах・(8・2)

Поворот в исходную систему координат завершает расчет г, и 6..

Тепловые смещения атомов моделируются согласно гауссовому распределению 尸(и).

В расчетах времени жизни составного ядра т кроме теплового смещения разыгрывается дополнительное смещение, распределенное по экспоненциальному закону с постоянной сдвига 入=vt :

% = 一入 ln£(8.3)

Число 与 распределено равномерно на интервале (0,1).

Позиционно зависимые энергетические потери △£(!：) рассчитываются в каждом столкновении по формуле (4.60). Если требуется меньшая точность в определении полной энергии Е, например, при расчете угловых и пространственных распределений, текущее значение Е уменьшается с постоянной скоростью согласно среднему значению торможения в аморфной среде (4.32). Аналогичным образом разыгрывается локальный угловой разброс на валентных электронах и электронах внутренних оболочек (3.37), или его суммарное значение на некотором участке пути Az » d. В толстах монокристаллах при определении выхода обратного рассеяния учитывается также 1/Е? зависимость сечения упругого рассеяния.

Начальные координаты частицы г0 в режиме прямой тени (см. рис. 1.1) совпадают с тепловым смещением одного из атомов решетки. Начальный угол разыгрывается согласно равномерному распределению в пределах нескольких критических углов. Если в процессе моделирования направление частицы 0 выходит за границу рассматриваемого углового интервала 8『＜ (3 +5)屮,ее дальнейшая эволюция рассматривается далее как происходящая в аморфной среде. При расчете угловых распределений по схеме прямая тень такой возможности нет и возникает трудность, связанная с диффузионным оттоком частиц по углу 8 за пределы 8『• Для небольших толщин ее можно преодолеть, выбирая границу % достаточно далеко от критического угла оси или плоскости, так что сток на границе не успеет сказаться на интересующей области углов, как правило, порядка (2 千 3) W. В толстых кристаллах можно применить операцию зеркального отражения нормальной к границе компоненты направления в. + Дв^, вышедшего за пределы граничной области [138].

С математической точки зрения такая операция соответствует обращению в ноль нормальной к границе компоненты потока. Ее применение оправдано тем обстоятельством, что угловое распределение пучка, как правило, однородно вдоль направления нормали к границе ячейки. Это утверждение, впрочем, справедливо и в анизотропной области периферии осевой тени, где выходы большинства плоскостных теней также характеризуются нулевой производной по направлению к нормали к границе.

Начальные координаты в схеме обратная тень или режиме трансмиссии пучка разыгрываются в пределах элементарной ячейки (см. рис. 1.2) или ее части с учетом "право-левой" симметрии. Начальное направление 0О задается или разыгрывается с учетом начального гауссова углового разброса пучка о.

Другая модификация метода Монте-Карло, соответствующая схеме обратная тень и предложенная Барретом [13], сводится к расчету математического ожидания вероятности близкого столюювения на траектории Р (г^, нормированной на поток через S = S0 8sB - площадь, приходящуюся на один атом в направлении падающего пучка 0:

I \ N

Х(6) = X — 2 〃(#, 7?=S?(r?). (8.4)

В случае выхода текущего направления движения 9. за пределы граничного 8『дальнейшая траектория не разыгрывается, а к значению (8.4) добавляется значение выхода в аморфной среде, отвечающего оставшейся толщине пробега. Для определения профилей W(L) и местоположения га примесных атомов ввиду невысокой их концентрации в решетке обычно вычисляется свертка рассчитанного потока n(r, z) с заданным профилем W(z):

x = /dz W(z) fdrn(r, z)尸(r — rj.(8.5)

Здесь % — равновесное положение дефекта в кана^.

Следует иметь в виду, что примесный атом благодаря симметрии элементарной ячейки с равной вероятностью занимает целый набор эквивалентных позиций. Поэтому расчет потока можно проводить для одной позиции га в пределах наименее допустимого из соображений симметрии сечения ячейки. Обе модификации метода дают в силу обратимости траекторий (в пренебрежении энергетическими потерями) эквивалентные результаты. Преимущество метода Баррета состоит в том, что значение выхода х® можно вычислять выборочно - всего лишь в нескольких точках 0 с погрешностью ^1/\/Х Такая потребность возникает при расчете ymin или х(8) в узкой области вблизи 8 = 0,1 в задаче сдвига составного ядра [140]. Между тем как в геометрии прямой тени неизбежно вычисляется вся гистограмма распределения, представляющая собой двумерный массив к х к, дисперсия каждого элемента которой \Г^7 N. Недостатки же метода Баррета — невозможность учета энергетических потерь и выполнения некоторых модельных расчетов, к примеру, на идеальной решетке.

Конпшуалъные модели. При существующем быстродействии ЭВМ модель бинарных столкновений не позволяет пока продвинуться за границу толщин L 103 нм при погрешности « 1% на угловой интервал А8 〜IO' 屮.Существенное увеличение доступных расчету толщин кристалла достигается использованием концепции непрерьшного потенциала. Речь вдет о решении кинетических уравнений (3.56), (3.47), (3.50) и (3.52), описывающих движение частицы в непрерывном потенциале U&) или У(» с учетом теплового и электронного механизмов стохастического рассеяния. В принципе подобная цель достигается традиционным методом решения кинетических уравнений с использованием разностных схем [59, 141]. Не касаясь здесь этих методов, которые хорошо освещены в литературе, мы обсудим более простой способ их решения на основе метода машинного моделирования.

Простейшая реализация метода сводится к конволюции решения уравнений движения частицы в непрерывном потенциале со случайным разбросом по направлению движения согласно кинетическим коэффициентам диффузионного уравнения (3.21), (3.36) [48]. Шаг по глубине AL выбирается достаточно малым △£ < Т, чтобы можно было пренебречь погрепшостью определения текущих координат rf ,夕,，но и достаточно большим с периодом решетки △£ > d, чтобы задействовать преимущество быстродействия континуальной модели по сравнению с бинарной.

Существует и другой, принципиально отличный от рассмотренного метод моделирования, основанный на усредненном кинетическом уравнении (3.56) в переменных полной и поперечной энергии [61]. В [61] разыгрывалось случайное блуждание поперечной энергии согласно раз- 189

костному дифференциальному уравнению (3.64). По сравнению с исходным кинетическим уравнением, записа!шым в диффузионной (3.4) или интегральной форме (3.56), его характеризует малость сечения перехода Q.. в соседние ячейки по поперечной энергии j W i по сравнению с сечением рассеяния в исходном уравнении Размер ячейки Ае выбирается из условия малости отличия плотности р. в соседних ячейках. Розыгрыш траектории е； начинается с энергии е°, определенной случайным образом согласно начальному распредгле- нию (1.49). На каждом шаге с помощью полной вероятности "ухода"

1

моделируется выход частицы из ячейки i в соседнюю или в ячейку с / ¥= f ± 1. Это событие происходит по прошествии пути Az, равному

△z$=-%lnK g е 0-^-1. (8.6)

Затем согласно матрице вероятностей перехода Q.. разыгрывается новое положение ячейки поперечной энергии. С подавляющей вероятностью этот переход происходит в соседнюю ячейку i =i ± 1. Гфоцесспродолжается до тех пор, пока суммарное значение пробега X Az не превы- сит заданной толщины кристалла. Число попаданий случайного значения поперечной энергии е в каждую ячейку на большом числе траекторий дает распределение р(е).

В эту схему без труда вписывается и изменение полной энергии частицы, что особенно важно в случае суперрелятивистских частиц. На каждом шаге вместе с (8.6) определяется аналогичный пробег до излучения

△Z)=-入Ph In Е (8.7)

co средней длиной пробега 入Р11(砂 =，dE‘ W^(Er ,Ef €). Сравнением двух длин (8.6) и (8.7) выясняется, какой процесс имеет место. И ес- ли Az, < Az$, происходит розыгрыш нового значения полной энергии согласно распределению %(£“，瓦 е) к нового значения поперечной энергии в результате эффекта охлаждения (4.80).

Завершая описание метода машинного моделирования, следует сказать несколько слов о точности получаемых результатов. Относительная погрешность вычисляемых величин, например х(6) в точке в, опре-

деляется либо разбросом значений в точках, соседних с данной точкой, либо по результатам серии численных ,,эксперим§дтов>, со сдвинутым рядом псевдослучайных чисел, используемых в моделирующем алгоритме. В силу специфики самого метода Монте-Карло наибольшую погрешность дает расчет маловероятных событий или неустойчивых по отношению к начальным параметрам задачи. Примером такого неустойчивого поведения может служить угловой вход нормированного выхода вблизи бруствера тени. В этой области разброс значений видимым образом превышает таковой в области 6 * W”？ или в случайном направлении. Заметим, что подобная картина наблюдается и на эксперименте.

Поверхностные слои монокристалла и пленочные покрытия

Эффект каналирования в сочетании с RBS (Rutherford back scattering), NRA (nuclear reaction analyses), PIXE (particle induced X・ray emission) составляет в настоящее время основу мощного метода исследования структуры реального кристалла. В этом параграфе будет дан краткий обзор возможностей различных методов для изучения объемных и поверхностных характеристик монокристалла, его химического состава, плотности, структуры, а также динамики кристаллической решетки.

Обратное рассеяние (RBS). Этот метод даже без применения эффекта каналирования, т. е. в аморфных и поликристаллических мишенях, может давать ценную информацию о химическом составе атомов решетки и поверхностных покрытий. На примере пленочных покрытий наиболее просто это осуществляется в случае меньшей массы атомов подложки по сравнению с массой атома покрытия. Разница в энергии отдачи, потерянной ионом при близком столкновении, позволяет выделить в энергетическом спектре определенную группу атомов.

Подобная методика оказывается полезной и в обратном, не вполне однозначном для интерпретации случае — пленки с меньшей, чем в матрице, массой атомов на тяжелой подложке. Основная трудность — выделение пика обратного рассеяния, уменьшенного по интенсивности в (ZJZ)2 раз, на фоне основного спектра от подложки — в зна> чительной мере удается обойти подходящим выбором начальной энергии пучка, а также скользящей геометрии обратного рассеяния (нормальное падение пучка на поверхность при скользящем угле наблюдения) ・

Анализ ядерных реакций (NRA ). Еще более точная идентификация сорта атомов в покрытиях может быть произведена с использованием резонансных ядерных реакций. Область используемых энергий ионов, как правило, находится немного выше кулоновского барьера, так

как при более высоких энергиях плотность резонансов слишком велика и становится трудно выделить отдельный резонанс. По той же причине предпочтительны магические ядра, имеющие сильно разделенные резонансы.

Впечатляющие результаты NRA дает в исследованиях монослойных покрытий, тем более что динамика и положение адсорбированных атомов на поверхности твердых тел практически не изучены. Предел чувствительности метода по степени покрытия составляет 1/50 полного монослоя.

Обратное рассеяние + блокинг (RBS/B). Использование обратного рассеяния в сочетании с эффектами теней и каналирования позволяет наряду с составом и толщиной изучать кристаллическую структуру пленочных покрытий, степень их совершенства. Эти методы оказались весьма эффективными для исследования гетероэпитаксиальных напряженных пленочных структур, обещающих ряд новых возможностей в микроэлектронике. Эти структуры получаются последовательным наращиванием эпитаксиальных слоев с различной комбинацией материалов. Так как каждый слой в равновесии (в объеме) имеет слегка отличающийся друг от друга период решетки, в процессе роста возникают сдвиговые и нормальные напряжения. Эпитаксиальный рост энергетически возможен, если деформация структуры не слишком велика (比 1%), а слои не слишком толстые (* 10нм). Присутсгвие натяжения слоев принципиально, так как потеря когерентности означает обычно образование дефектов, таких, как дислокации несоответствия (misfit), которые нарушают электрические и оптические свойства материала. Более того, для определенных структур — сверхрешеток SLSL (strained-layer superlattice) и квантовых стенок SQW (single quantum waUs) интересные физические свойства возникают как раз благодаря присутствию в слоях напряжений. Чувствительность эффектов каналирования к деформации решетки проявляется в трех аспектах — положения теней, аксиального деканалирования и катастрофического деканалирования.

На рис. 8.1 изображена ситуация с тонким напряженным гетеро эпитаксиальным слоем, соизмеримым с подложкой, у которого равновесный период решетки 厶 больше периода подложки d> При соизмеримом росте, например, в условиях молекулярно-пучковой эпитаксии, когда отличие 随 от 也 невелико и толщина слоев невелика, слои растут с одинаковой структурой в плоскости пленки: d^=dit Решеточное несоответствие приводит к когерентному растяжению пленки, и ее период в перпендикулярном направлении благодаря эффекту Пуассона меняется:

d丄 2 —心=—(d|| -弘)，

% 1

где Ci i и c12 — упругие константы.

Рис. 8.1. Схематическое изображу ние решетки гетероэпитаксиального слоя：

0 — напряженный слой; б 一 с частичным снятием напряжения

•Как видно из рис. 8.1, в направлении роста < 100> атомные ряды остаются прямыми, в то время как в направлении < 110> они претерпевают излом. Сдвиг угла, соответствующий тетрагональной решетке, относительно кубической в направлении < 110> равен

d I,

△屮=arctg - arctg —- .(8.8)

dl叫

Для толстой подложки d丄]=d и = d] •

Таким образом, измеряя сдвиг осевой тени относительно выхода < 110> ряда, который составляет угол 45° по отношению к направлению < 100>, можно определить параметры деформации. На рис. 8.2 показан пример измерении эффекта тени от слоя 10 нм GaAsx_xSbx на GaAs [142]. Использовался пучок ионов Не с Е 比 2 МэВ. Выделение RBS от слоя производилось по энергетическому сдвигу на ядрах Sb, a RBS от подложки — на ядрах Ga и As, лежащих на глубине ниже поверхности контакта (интерфейса) GaAs1_xSbJC/GaAs. Большое значение минимального выхода от пленки связано с вкладом поверхностного пика, который при малых толщинах частично накладывается на тень. Угол между тенями < 110> и < 100> в GaAsx^xSbx-oioe составлял 屮=(44,32 土 0,3)°. Следовательно, угол △▽ =45° 一屮=0,77° соответствует перпендикулярному натяжению 气？ =(办？ 一 ^2)/02 = 2,7%. Из равенства (8.8) следует, что параметр х в композиции GaAs」％ = =Sb лежит в промежутке 0,18—0,19, который соответствует отношению f = 232一山)/(心 + 心)=1,4%.

Аналогичный метод применяется для измерения релаксаций атомов поверхностного монослоя [28]. И хотя эти измерения ведутся главным

82 Форма тот в напряжен- гетероэтгт9ксиально# плойке

образом на ионах средних энергии, которые не рассматриваются в книге, в идейном плане методика определения положения теней является одинаковой. Имея в виду процесс формирования двухчастичной тени (модель Оуэна, см. § 2.3) на смещенных вдоль оси z поверхностных атомах^ направление падения пучка выбирают таким, чтобы либо не нарушалась пространственная однородность пучка после рассеяния на первом слое (случайное направление), либо для усиления эффекта, наоборот, пучок направлялся вдоль неискаженного высокоиндексного направлеьшя так, чтобы атомы второго слоя попадали в затененную область.

Сдвиг тени по сравнению с объемным направлением определяет смещение узлов поверхностного монослоя, а величина xmin дает значение относительной амплитуды тепловых колебаний, перпендикулярных низкоиндексному направлению.

Обратное рассеяние + каналирование (RBS/C). Вернемся к SL-структурам. Энергия натяжения в когерентно-деформированном слое возрастает с толщиной пленки и решеточным несоответствием /. При некотором критическом значении того и другого становится энергетически выгодно часть напряжения сбросить за счет образования сетки 60° 〈110> дислокаций несоответствия вблизи интерфейса (см. рис. 8.1, б). Релаксация может начинаться на толщинах, значительно больших равновесного значения J2 • В этом случае более подходящим для изучения остаточных деформаций решетки слоя является метод каналирования.

На рис. 8.3 показан спектр обратнорассеянных ионов 4Не+ в случайном и низкоиндексном направлениях [100] на толстом InAs-слое, выращенном на подложке арсенида галлия [142]. Константа решеточного несоответствия здесь / = 7,2% велика, а толщина 205 нм достаточно большая, чтобы сброс напряжения имел место. Процедурой, описанной выше, измерялся угловой сдвиг теней за счет деформации (却=0,07°), который соответствовал всего лишь 2% значения / структуры с пол-

^min^min88Z”xmZ”xm2 май He2 май HeUMsUMsKlln6InAs|Klln6InAs|勿勿4s 61nAs勿旅 a/Ag6fitMs) Спектр m4s 61nAs勿旅 a/Ag6fitMs) Спектр m66Случайный, слентрСлучайный, слентр*<• Подложка / (Ga As)*<• Подложка / (Ga As)•Г ' ^Т^^^Л

^min

^min

8

8

Z”xm

Z”xm

2 май He

2 май He

UMs

UMs

Klln6InAs|

Klln6InAs|

勿

勿

4s 61nAs

勿旅 a/Ag6fitMs) Спектр m

4s 61nAs

勿旅 a/Ag6fitMs) Спектр m

6

6

Случайный, слентр

Случайный, слентр

*<• Подложка / (Ga As)

*<• Подложка / (Ga As)

•/^弋нтвр中証сд

444254254D04D0375375350350Канал и.рооан- ныв частицКанал и.рооан- ныв частицD\ i325D\ i325*加=4,8% Дефекты

4

4

425

425

4D0

4D0

375

375

350

350

Канал и.рооан- ныв частиц

Канал и.рооан- ныв частиц

D\ i

325

D\ i

325

<W0>

Рис, 83 Спектр обратного рассеяния в кристалле с толстым покрытием большой толщины:

относительные вклады от пленки и подложки

ным напряжением. Указаны разделяющиеся вклады в выход от разных ядер. Видно заметное увеличение деканалирования вблизи контакта InAs—GaAs (область заштрихована) , связанное с вкладом дефектов роста l дислокациями несоответствия. Напротив, каналирование при тех же условиях при соизмеримом росте тонкой гетероэпитаксиальной пленки давало результаты, близкие к объемному.

Обычно плотность дефектов несоответствия для напряжешююслаб- ленных слоев самая высокая вблизи интерфейса и быстро спадает с удалением от него. Именно такой тип поведения и прослеживается на рис. 8.3 — максимум интенсивности деканалирования приходится на интерфейс. Ниже поверхности контакта /也 спадает до 4,8% — значения, лишь на 1,8% превосходящего ожидаемое xmjn для совершенного кристалла. Переходя от энергетической шкалы к толщинной (см. рис. 8.3), можно утверждать, что плотность дефектов резко спадает на толщинах порядка 200 нм от интерфейса даже в случае очень большого несоответствия периодов.

Рис. 8.4. Изменение формы поверхностного пика при фазовом переходе на поверхности кристалла. На верхней горизонтальной шкале указано число монослоев, 7； К：

。一 295; 6- 452; 8-581; г - 597; 0- 599; е -600,5; ж - 600,8

Метод RBS/C сильно чувствителен и к аморфным покрытиям на поверхности кристаллов — оксидным пленкам, областям разупорядоченности и т. д. Влияние поверхностной аморфной пленки эквивалентно дополнительному угловому уширению падающего пучка. Таким образом, интерпретация ширины поверхностного пика, однозначно связанного с толщиной аморфной пленки, по существу ничем не отличается от анализа спектра деканалирования как функции начального углового разброса пучка (1.44).

Хорошей иллюстрацией данного метода могут служить исследования структурных фазовых переходов на поверхности монокристаллов. Предсказывалось, что переход типа порядок - беспорядок на поверхности происходит при температуре хотя и очень близкой, но все же ниже объемной температуры плавления Тт. Исследования методом RBS/C подтвердили эту картину.

Эксперимент [143] проводился на поверхности (НО) кристалла РЬ с тонким аморфизированным слоем. На рис. 8.4 показана деформация 196

поверхностного пика с ростом температуры решетки от комнатной до несколько большей точки плавления. Спектры 〃 и ^^казывают на хорошо упорядоченную поверхность. Область поверхностного пика занимает промежуток 2,5 и 3,1 монослоев, согласующийся при энергии протонов Е = 975 кэВ с оценками § 2.3. При повышении температуры спектры ясно указывают на процесс разупорядочения поверхности - Ь - е. Детальный анализ формы поверхностного пика свидетельствует о том, что фазовый переход начинается при температуре 0,75 Тт с частичного разупорядочения поверхностного слоя. Ближе к точке плавления происходит полное разупорядочение поверхностного слоя с толщиной, резко увеличивающейся при Т f Tm.

Метод RBS/C в скользящей геометрии. Резко увеличить разрешение метода обратного рассеяния при исследовании тонких слоев удается в специальной — скользящей геометрии обратного рассеяния. Располагая детектор под касательным углом 0 < 1 к поверхности образца, можно значительно растянуть масштаб отношения энергия — толщина. Частицы, деканалировавшие на разной, но малой глубине кристалла z】 и Z?, пройдут в случайном направлшши существенно разный путь zJ0 и z2/0, который по энергии разрешается гораздо легче. Ясно, конечно, что такая постановка эксперимента требует высокой стабильности и чистоты поверхности образцов. Указанный метод успешно применялся для анализа внедренных в объеме матрицы гетероэпитакотальных слоев BHS (buried heteroepitaxial layers) [142].

^равновесное каналирование. Принципиально отличный от рассмотренных метод, использующий неравновесное каналирование на малых глубинах (см. § 2.3), применялся для анализа эпитаксиальных сверхрешеток SLS (super lattice structure). SLS состоит из чередующихся слоев эпитаксиально-выращенных материалов с / 〜1%. Как и в случае отдельных слоев, соизмеримый рост достигается здесь за счет малых толщин слоев и малого решеточного несоответствия. Буферный слой обычно выращивается с периодом решетки в плоскости dq, совпадающим с равновесным значением SLS структуры. Это значение находится в промежутке между равновесными константами 由 и 心 слоев так, что чередующиеся напряжения сжатия и сдвига в слоях находятся в равновесии и не накапливаются при чередовании слоев.

Значения d丄 и △▽ на каждом интерфейсе могут быть установлены из (8.8) измерениями сдвига теней (KBS/B). Следует отметить, Что измерения угла между наклонной < 110> и ростовой < 100> осями, которые определяют абсолютную деформацию в верхнем слое, не дают никаких сведений об относительной деформации (△▽) между SLS-слоями, так как периоды *и 心，как правило, неизвестны. Угловые сдвиги вдоль оси < 110> между верхним и нижним чередующимися слоями дают только нижнюю границу △▽ и, как уже обсуждалось ранее, сканирование пучка в скользящей геометрии в верхнем слое может дать только приближенную оценку уменьшения углового сдви-

га соседних слоев； Традиционный количественный анализ спектров деканалнрованця здесь затруднен и требует проведения обширных ра^ счетов методом машинного моделирования.

В [144] был предложен эффективный метод измерения относительного углового сдвига △「между слоями SLS-структуры, использующий неравновесное каналирование. Основное требование, предъявляемое к параметрам пучка и мишени, заключается в близости длины полуволны осцилляции в канале 丄 =2Т продольному периоду сверхрешетки Ls. При этом условии у каналированных ионов в SLS-решетке наблюдается явление, названное катастрофическим деканалированием. Суть его состоит в том, что уравнение движения в плоскостном канале при условии скачкообразного изменения угла наклона траектории по отношению к оси канала z можно записать в виде

❷+ 丄 尸=4屮£ (-l)/5(z-jd)・ (8.9) dz 2 * /«о

Траектории, являющиеся решением уравнения (8.9) в гармонии* ском потенциале У = (Wd。)'，изображены на рис. 8.5, а. Начальный угол падения равен нулю, но составляет угол Л = AW/2 по отношению к первому слою, a £d =2Г = dp, что является необходимым условием наступления резонансного деканалирования. И хотя на рис. 8.5 ясно видно, что превышение критического ухла каналирования всего потока по отношению к плоскости набирается уже в четвертом слое, для дальнейшего будет полезно проследить эту картину на фазовой диаграмме (2x/dp, 6J (рис. 8.5, 6). Горизонтальная линия в первой позиции соответствует частицам с углом % = 0, равномерно распределшошм m координате х 6 + dJ2・ В момент влета в первый слой часть шь стиц с е > 1 сразу деканалирует. Если отсчитывать начальное угловое положите от направления первого канала, то это - частицы, лежащие на прямой % = 一AW/2 за пределами единичного круга. Приz -Тчастицы соб>фаются в точку, оставаясь равномерно распределенными по % на конечном отрезке (вертикальная линия 曲).После прохождения первого слоя на толщине z -Ld отрезок прямой — сегмент, вращаясь с постоянной угловой скоростью при z = "d，повернется в положение о' У , снова соответствующее однородному распределению, но уже с другим углом наклона по отношению к z-направлению второго слоя: % = =—3AW/2. При этом часть частиц, координаты которых опять выходят за пределы единичного круга, покинут канал. Вращаясь далее, сегмент последовательно занимает вертикальнре положение и переходит в горизонтальное с утлом 0 = 5AW/2 по отношшию к третьему спою. Каждый полный поворот в фазовой плоскости сопровождается уменьшением размера сегмента, т. е. числа каналированных частиц. И, наконец, в третьем интерфейсе, как это видно из рис. 8.5, Q, практически все частицы покидают канал.

рис. 8.5. 1^М1^ктории частиц при катастрофическом каналировании в SLS>pemerxe

尸 ”/z6 ^*fS a Поверх- ность尸 ”/z6 ^*fS a Поверх- ность2222Х〃％/2丿Х〃％/2丿2丿2丿△夕△夕Ут аэтармшшша штда- циала кфюодит 阮ледств 诵汕 висймостй 7 间 к тфавяоМ^ ному ШИ^Ву пршк>л1шейй1х участив 咄 фазовой 血а!》ам。 ме, но в дежж xajmw декана- лироват емй <фежней.

尸 ”/z

6 ^*fS a Поверх- ность

尸 ”/z

6 ^*fS a Поверх- ность

22

22

Х〃％/2丿

Х〃％/2丿

2丿

2丿

△夕

△夕

На рма &6 厘ящигся спектр RBS/C аш Ш* в плоскости (110) &е樣绅Е餌 GaAsP/GaP с п^юдам Е м 32,5 нм для раз- лтаЗс 严тв падения. Глуби- wm4Wj4^^ 専Е臟 鬱 ВЙЕйшышЙ 血h・ ли^дЙЬт Вуалируют, М ответетвует участкам подъема cneicipa. Три различных угла па- д图晔 g №HW»^囂A*，于 金电t5货й^№ШШB6 ci犠赢 эквивалентны трем различ» ным фазам пучка, указанным на рис. 8.6

Вводу высокой чувствительности ж Малым деформациям метод, основшшый на явлении катастрофического деканалирования, оказался особенно полезен для измерений в структурах с малым решеточным неоютветствием (& 0,5%).

%афйноствое каналирование (SC)»Интересный метод исследования поверхностных слоев монокристалла дает эффект поверхностного каналирования. В гл. 7 уже обсуждались возможности метода SC для изучения структуры чистых кристаллов. Большинство измерений такого рода проводится на ионах средних энергий, имеющих большое по сравнению с быстрыми частицами сечение рассеяния и по причине небольших Г, не так чувствительных к качеству поверхности. В свою очередь быстрые ионы (F ^ 1 МэВ) имеют более предсказуемую траекторию (не считая, конечно, траекторий с однократными и двукратными соударениями) .По этой причине целесообразно обсудить возможности по-

伊4夕£“0

ftic. 8.6. Спектр обратнорассеянных ионов Не* с Е = 1,2 МэВ в SLS-решетке СаАзкР] _ x/GaP при резонансных условиях

верхностного каналирования в той его части, которая напрямую связана с режимом каналирования и физически одинакова как для быстрых, так и для ионов средних энергий.

Особый интерес для приложений представляют исследования, использующие вместе с измерениями выхода рассеянного пучка в скользящей геометрии измерения сечений неупругих процессов, котортле пр своей природе так или иначе связаны с химическими, структурными и электронными свойствами поверхности. Что касается применения обратного рассеяния и ядерных реакций для идентификации сорта атомов, то в условиях плоскостного каналирования все выглядит примерно так же, как и в рассмотренном выше объемном каналировании.

В отличие от RBS и NRA эмиссия характеристического рентгеновского излучения и оже-эпектронов, обусловленная ионизацией внутренних оболочек атомов мишени или налетающего иона, характеризуется большими прицельными параметрами столкновений, поэтому соответствующие тени здесь гораздо мельче. Кроме того, детектирование излучения более приемлемо дпя тяжелых атомов, в которых наблюдается сравнительно высокий выход флюоресценции и большая

<001><001>

<001>

<001>

Рйс. 8.7. Отроение поверхности чистого никеля (1 х 1) Ni (110) 3), реконструи- рованного кислородом (2 х 1) О/Ni (НО) по типу "пила” ⑹ и с "пропущенным** рядом (в). Верхний ряд рисунков - вид сверху, нижний ряд — вид сбоку, парал* лельно оси <001>

(при большой энергии квантов) вероятность детектирования Si (Li) детекторами.

Дополнительные возможности открывает регистрация оже-электро- нов, сопровождающих столкновения поверхностно-каналированных ионов. При объемном каналировании они не наблюдаются из-за малого пробега электронов. Для атомов с небольшим Z выход оже-эпектронов намного превосходит выход флюоресценции. Для высоких Z оже- анализ IIAEA (ion induced auger electron analysis) можно переключать с JC-линий на £： Моболоики и таким образом добиваться приемлемых значений сечений ионизации и выхода флюоресценции. Главный недостаток IIAEA при поверхностном каналировании — большой фон вторичных электронов.

В качестве примера такой методики можно сослаться на работу [146], в которой изучалась структура чистой поверхности (110) никеля, а также реконструированная кислородом (2 х 1) O/Ni (ПО). Для пучка ионов Н+ с энергией 150 кэВ в режиме каналирования вдоль осей < 001 > и < 110> выход NiLaKKi оже-электронов измерялся как функция угла падения 6 при азимутальном угле Ф = 1,0°. Расположение поверхностных атомов никеля показано на рис. 8.7. Для чистой поверх-

Вне. 8.8. Выход № I3KK оже-электронов под действием поверхностно-каналированных протонов (150 кэВ). На грани (110) чистого (今 и реконструирован* ного (с) под действием кислорода никеля, Т = 300 К, во = 1»06. Результаты машинного моделирования:

Ni (110);"пила"; ... - пропущенный ряд

&с 8.9. Влияние «томной ступеныси на траекторию частицы, полуканалирован* ной в нашравлеями &10> поверхности (110) ОЦК ранетки. Масштаб длины в направлении атомного ряда уменьшен

юсти < 110> выход оже-электронов при цад^ии пучка вдоль обош направлений характеризуется такой же угловой зависимостью» как в объеме. На покрытой кислородом поверхности, реконструированной в решетку 2x1 (рис. 8.7, 6, в), ширина т«ш вдоль оси < 110> уменьшена по сравнению с чистой поверхностью (рис. 8.8). Действительно, отношение критических углов при увеличении периода < 110> ряда в 2 раза по сравнению с объемным значением равно W(O/Ni)/W(Ni) = =1/V2. Вдоль оси < 001 > период при реконструкции не меняется и профиль тени остается неизменным.

В принципе реконструкция 2x1 возможна в двух модификациях: пропущенного ряда б) и зубчатого в) (см. рис. 8.7). Сравнение профиля тени с результатами машинного моделирования свидетельствует в пользу первой модификации. Этот вывод подтверждается также измерениями другими методами. Чтобы определить локализацию абсорбированного кислорода, профиль тени измерялся для кислородных KL23L23 оже-электронов в тех же направлениях падения пучка. Сравнение теней < 110> и < 001) показало, что атомы кислорода расположены между рядами < 110> никеля и затенены рядами《001 >, значение Xmin в направлении < 110> сильно увеличено. Другими словами, ато- 202

мы кислорода локализованы посредине между атомами никеля в верх» них рядах 《001 > реконструированной решеткиГ^Сравнение экспериментальных и теоретических профилей тени, рассчитанных методом машинного моделирования, позволило установить расстояние кислородных узлов над верхним споем никеля 0,25 нм.

Другое известное применение метода поверхностного каналирования — для исследования атомных ступенек на поверхности кристалла чрезвычайно актуально для проблемы катализа и абсорбционной кине- тики. На рис. 8.9 показано, как поверхностное каналирование может применяться для определения среднего расстояния между атомными ступеньками. Ионы, падающие под скользящим углом 8 к поверхно* сти (ПО) вдоль < 110> направления ГЦК решетки, фокусируются атомными рядами 1 на ряд 2 второго слоя и отражаются им преимущественно в направлении нормальном к поверхности. На своем пути ионы могут быть либо захвачены рядом 3 ступеньки в режиме осевого каналирования, либо отразиться. Ясно, что на периодически повторяющейся ступенчатой структуре поверхности наклон траектории 6 задает некоторую длину ухода Les частиц с поверхности. Если расстояние максимального сближения с рядом г€ поддерживать постоянным, то из 6’ = U(%) следует, что £ej ^у/е. Следовательно, среднее расстояние между ступенькши£е^ можно шфеделить, юмеряя^жфгетмческую за- вжжмость выхода рассеянных поверхностью шгстяц. Постогаетво поперечной энергии, равно как и 入,поддерживается подаодяшям наклоном угла в (см. § 1.4).

Указанным методом в [147] исследовалась шестая поверхность кр* стаяла ЬН%%,* Пучок ионов падал на поверхность (110) вдоль направления < 100). При условии отражения иона от nbS^OoeiM измеряв* ся выход ультрафиолетового излучения (УФ) от возбужд^шых ноюв Не* • На рис. 8.10 приведен профиль тени в выходе УФ для двух энергий налетающих частиц. В случае Е = 75 кэВ длина 1е« достаточно корот-

ftic. 8.10. Выход УФ-излучения от возбуж* деиных ионов Не*, рассеянных поверх* ностыо (1 х 1) Ni0>6Fe<^6 (110):

1 - % = 1,0°. Е = 200 кэВ; 2 - % = = 1,63°, Е =75 кэВ

ка, чтобы многие ионы, которые фокусируются на ряд 2 и затем отражаются, могли покинуть поверхность без внедрения в ступеньку. Поэтому при 6=0 наблюдается максимум выхода. Напротив, при£ = 200 кэВ ионы, отражаясь от цепочки 2, захватываются в канал и максимум исчезает. Сравнение с результатами машинного моделирования дало среднее расстояние между ступеньками, равное 75 х d = 75 х 0,25 нм.

Профиль дефектов и местоположение примесных атомов в решетке

Другая и, пожалуй, самая обширная область применения эффекта каналирования приходится на исследования реальных кристаллов. В этом параграфе будут обсуждаться методы исследования точечных дефектов, образованных собственными и чужими внедренными атомами. Со времени публикации известного обзора Гэммепа [16], где речь шла в основном лишь о примесных межузельных атомах и областях аморфизации, круг задач, связанных с применением эффекта каналирования, чрезвычайно возрос. В рамках одного параграфа можно ограничиться лишь кратким описанием с необходимыми иллюстрациями собственно методики каналирования и в сочетании с NRA, PIXE, РАС (perturbed yy-Angular Correlation), ME (Messbauer effect), составляющих в настоящее время целое направление исследований реальных кристаллов.

Спектры (RBS/C). Обратное рассеяние в комбинации с каналированием и блокировкой - наиболее традиционный метод исследования местоположения и профилей дефектов. Источником полезной информации служат измерения спектров деканалирования и угловых профилей теней. Ограничимся пока спектрами RBS/C. В самой простой модели [60] процесс деканалирования на дефектах — межузлиях или смешанных атомах характеризуется одним параметром — сечением рассеяния а При этом скорость деканалирования пропорциональна произведению доли каналированных ионов 1 — x(z), умноженной на вероятность деканалирования 5td (z)：

dx/dL = (l~X)Cda, (8.10) где Cd(L) - концентрация дефекта по глубине. ^^Пpивeдeннoe^^ сечение в принципе является сложной функцией температуры и типа дефекта, что делает процедуру получения количественной информации о профиле дефектов не вполне однозначной.

Наиболее простая ситуация с точки зрения возможности интерпретации —с межузельными атомами в решетке. При анализе вопроса о соответствии спектра RBS/C профилю дефектов в шкале глубин £ следует иметь в виду различие траекторий деканалированных частиц. По степени влияния на спектры деканалирования их можно разбить на четыре группы:

траектории, деканалированные на поверхности, которые дают поверхностный пик;

траектории с начальной поперечной энергией, близкой к барьеру, и деканалирующие на глубине, меньшей 丄;

траектории с поперечной энергией вблизи барьера е ~ 1 к моменту достижения глубины £;

хороню каналированные траектории (е< 1) на глубине L.

Частицы групп 1 и 2 имеют обычную вероятность деканалирования — их энергетические потери не обеспечивают информации о дефектах на глубине L. Траектории группы 2 имеют высокую вероятность деканалирования как на точечных, так и на протяженных дефектах, так как для этого им требуется сравнительно небольшая передача поперечного импульса.

Хорошо каналированные частицы имеют малые энергетические потери и слабо деканалируют на протяженных дефектах. Что касается точечных дефектов, то для них сечение деканалирования в этом случае определяется только близкими столкновениями, сопровождающимися рассеянием на угол порядка критического.

Другим определяющим фактором в определении приведенного сечения рассеяния является значение поперечного смещения атома в элементарной ячейке (двумерной). Если это смещение мало (га < 24 % 比 10c нм), как, например, релаксационное в случае пары вакансия + + атом, обнаружить такой сдвиг по спектру RBS/C чрезвычайно трудно (см. ниже). Однако во многих случаях, таких, как межузельные комплексы или захват атомов в многовакансионные ловушки в ГЦК металлах, смещения атомов достаточно велики и интеграл перекрытия с потоком (8.5) оказывается зависящим не только от сдвига га , но и от угловой ориентации вектора сдвига га в ячейке.

Если говорить о собственных сдвинутых атомах решетки (в металлах это межузельные атомы, в полупроводниках - области частичной аморфизации), то профиль и местоположение последних - наиболее трудная в количественном отношении задача, поскольку в ней никак нельзя отделить процесс рассеяния на дефектах от рассеяния на атомах решетки. А так как рассеяние на дефектах включает в себя, как уже указывалось выше, эффекты кратного рассеяния, диффузионная модель деканалирования не является вполне приемлемой, наиболее подходящим методом для расчета Xmj«(^) может служить метод машинного моделирования или матричньш метод (см. § 3.6). Обсудим последний в приложении к точечным дефектам [148].

RBS/Счшектр получается из решения интегрального уравнения (3.64) с помощью очевидного соотношения

XminG)=号 & G) [(l-M(z))Hi + ^(z)n.d],(8.11)

в котором nf и И： обозначают вероятности близкого столкновения 205

с колебпющимсл атомом решетки (1.63),с колебпющимсл атомом решетки (1.63),(8.12)(8.12)и атомом<дефектом в точке гаи атомом<дефектом в точке га夕(£一u(3)夕(£一u(3)(8・13)(8・13)

с колебпющимсл атомом решетки (1.63),

с колебпющимсл атомом решетки (1.63),

(8.12)

(8.12)

и атомом<дефектом в точке га

и атомом<дефектом в точке га

夕(£一u(3)

夕(£一u(3)

(8・13)

(8・13)

Отсюда следует, что, если % распределено равномерно по сечению канала, П? = 1.

Заселенность f-ro участка определяется из уравнения (3.64), в котором к вероятности перехода добавлен вклад от рассеяния на точечных дефектах. Поскольку механизмы электронного, теплового и дефектного рассеяний статистически независимы, матрица деканагафова* ния определяется из

。广药+ [＞仙(z)】缢+储(z)Q；，。广药+ [＞仙(z)】缢+储(z)Q；，(8.14)(8.14)

。广药+ [＞仙(z)】缢+储(z)Q；，

。广药+ [＞仙(z)】缢+储(z)Q；，

(8.14)

(8.14)

где элементы Qj рассчитываются в полной аналогии с ядерны с той лишь разницей, что вместо теплового распределения Р (и) в

будет фигурировать распределение по смещениям га : Р (г - %)・

Таким образом, зная экспериментальный спектр хт|д(^), профиль точечных дефектов получим из уравнения

W2>+ f

%(z) = 石谭一• (8.15)

Оно решается вместе с уравнениями (3.64) и (8.11). Начиная с точки z = 0 значение 仙(z), найденное в первом шаге из (8.15), используется в следующем шаге для вычисления p(z, + Az) согласно уравнениям (3.64) и (8.15).

Наиболее интересен для практических приложений случаи малых концентраций точечных дефектов, когда минимальный выход определяется главным оЦраэом каналирующей частью и вклад прямого рассеяния относительно мал. На рис. 8.11 приводится экспериментальная зависимость разности Axmin от глубины, обусловленной дефектами при двух температурах монокристалла Si [148]. Эта разность получалась из сравнения RBS/C-спектров облученного монокристалла Si ионами Н* с Е = 2 МэВ и того же кристалла с последующим отжигом. Дефектная концентрация 询(z), рассчитанная по формулам (8.14), (8.15) и (8.11) из измеренной зависимости Axmin(^) для разных зна- 206

Рис. 8.11. Приращение минимального выхода для ионов Не+ 1 МэВ в канале (111) Si при разной температуре мишени и условиях предварительного облучения. За облучением Не* (2 МэВ, 40 К) при флюенсе 3,6 • 1016 (верхние кривые) и 4- 1015 ион/см2 (нижние кривые) следовал отжиг 10 мин при 290 К. Теоретические кривые получены с 力=0,055 нмРис. 8.11. Приращение минимального выхода для ионов Не+ 1 МэВ в канале (111) Si при разной температуре мишени и условиях предварительного облучения. За облучением Не* (2 МэВ, 40 К) при флюенсе 3,6 • 1016 (верхние кривые) и 4- 1015 ион/см2 (нижние кривые) следовал отжиг 10 мин при 290 К. Теоретические кривые получены с 力=0,055 нм

Рис. 8.11. Приращение минимального выхода для ионов Не+ 1 МэВ в канале (111) Si при разной температуре мишени и условиях предварительного облучения. За облучением Не* (2 МэВ, 40 К) при флюенсе 3,6 • 1016 (верхние кривые) и 4- 1015 ион/см2 (нижние кривые) следовал отжиг 10 мин при 290 К. Теоретические кривые получены с 力=0,055 нм

Рис. 8.11. Приращение минимального выхода для ионов Не+ 1 МэВ в канале (111) Si при разной температуре мишени и условиях предварительного облучения. За облучением Не* (2 МэВ, 40 К) при флюенсе 3,6 • 1016 (верхние кривые) и 4- 1015 ион/см2 (нижние кривые) следовал отжиг 10 мин при 290 К. Теоретические кривые получены с 力=0,055 нм

Ric. 8.12. Профиль дефектов при различном смещении источника

чений % , показана на рис. 8.12. Рассчитанная температурная зависимость AXmin на глубине z = 2 мкм в сравнении с экспериментальной позволила выделить из использованных значении га лишь одно — га = 0,055 нм (рис. 8.13, а). Это значение подтверждается и другой зависимостью - разницей в значениях ^Хт^а для двух температур. Видимое различие рассчитанной кривой зависимости величины ”Xmin(%)= AXmin(280 冷 一 A/in(40 七，полученной для равномерного распределения по % , н фиксированного значения га =0,055 нм говорит в пользу последнего (рис. 8.13, б). К тому же при этом значении % профиль повреждений хорошо согласуется с независимым расчетом числа смещений как функции глубины (на рис. 8.12 показан пунктиром) •

Факт увеличения Д2хт1П с ростом смещения % и ее знак могут быть поняты из качественной картины градации траекторий каналированной частицы, данной в начале этого параграфа. Атомы, сдвинутые на большое расстояние、, действуют приблизительно так же, как электроны в центральной части канала — приводят к постепенному росту поперечной энергии до значений с е ~ где становится доминирующим ядерный вклад в деканалирование, зависящий от температуры. Поэтому возрастание температуры усиливает роль таких дефектов в процессе деканалирования (/$加 оказывается положительным и растущим с % ) • Напротив, при малых га деканалирующий вклад дефектов

Рис. 8.13. Температурная зависимость AXmin на глубине L =2 мкм при различных ra Q) и зависимость приращения Д2Х =^Xmm (280 К)； - Хщщ (40 К) от сдвига "@：

заштрихованная область - статистическая погрешность расчета; прямая линия 一 зависимость 々Xj^ при условии равномерного распределения ”； точки - эксперимент

больше напоминает тепловой, причем доминирует над ним вследствие % > % • В итоге температурная зависимость интенсивности деканалирования оказывается более слабой, чем в совершенном кристалле, н А?х < <0.

Что касается энергетической зависимости xmjn в кристаллах с точечными дефектами, то следует отметить, что для малых концентраций точечных дефектов сечение рассеяния а пропорционально Е"1 (кратные соударения), для больших 彌，а 〜(многократное рассеяние). Из (8.11) следует, что наблюдаемые значения xmin будут находиться в промежутке между этими зависимостями. Это подтверждается и приведенными выше экспериментальными данными, в которых Mmin ~Е$ с показателем, находящимся в промежутке $ =0,65 子 ■г 0,95 для различных энергетических областей и положений га .

Дефектный анализ RBS/C-спектров обладает тем преимуществом перед эффектом тени RBS/B (см. ниже), что позволяет исследовать более низкие (1% по сравнению с 10%) концентрации точечных дефектов. Однако хорошая статистика спектра требует сравнительно постоянного профиля дефектов (丄 > 1 мкм), в противном случае увеличение xmjn за счет дефектов оказывается слишком малым.

Более простая ситуация - с чужими дефектными атомами, отличающимися от атомов основной решетки. Рассеяние от них выделяется на 208

общем фоне методами NRA, PIXE, а также разделением спектров RBS/C в случае тяжелой примеси. Измеряя минимальный выход отдельно от решетки x„mn> и от растворенных атомов х/1т1^ вдоль различных каналов < 1тп >, можно просто установить межузельные позиции растворенных атомов. К примеру, в ОЦК решетки растворенные атомы в объемноцентрированных (октаэдрических) позициях находятся в центре < 110> каналов, где выход < 110> максимален (х'"。】=2,5, Т « z « z ) и затеняется вдоль; < 100> и《111> каналов (х^ 110 > = =х< ио> ® < 111> =%《111>)

Подобного рода триангуляционный метод [149, 3] позволяет приближенно оценить долю занятых позиций в данном《lmn> канале. Это важнейшая характеристика дефекта наряду с типом конфигурации окружающих атомов и смещением дает ценную информацию о потенциале взаимодействия примесного атома с атомами матрицы. Из (8.11) и (8.13) следует

(8.16)(8.16)*mn] xglmn] _ WlmnD/q—x」11n吟・

(8.16)

(8.16)

Эта фракция является суммой фракций 厶 смещенных атомов в У-x решеточных узлах, взвешенных фактором эффективности потока в f-м узле:

(8.17)(8.17)^[Imn] = § 右gjlmubjlmn].

(8.17)

(8.17)

где gPmnl - геометрический фактор, равный доле узлов, которые проектируются на данное направление канала [1шп]; и llmnl — поток 〃(г) в f -м узле.

Пример рассчитанной доли смещенных атомов /1тп серебра, захваченных в межузельные конфигурации в осевом < 110> и плоскостном (100) каналах монокристалла А1 с атомным содержанием 0,05% Ag при облучении ионами Не* Е = 1 МэВ, содержался в [149]. Облучение проводилось при Т = 70 К в случайном направлении. Повреждающая доза (флюенс), указанная на рис. 8.14, дана в единицах 1015 ион/см2. Сюда же включены дефекты от анализирующего потока. Этот эксперимент интересен тем, что в нем с ростом дозы меняется стабильность смешанной гантельной конфигурации в результате захвата дополнительных межузельных атомов. Если положение Ag-aio- мов в межузельной позиции не менялось бы с ростом флюенса, отношение п°>//^；°°> оставалось бы константой. Постоянное же значение этого отношения при использовании данных для оси < 100> давало значение f jj。。* выходящее на насыщение при 4 • 1015 ион/см2. Это отношение резко возрастало, что указывало на изменение межузельной конфигурации, включающей атом серебра, с ростом дозы. Так как от-

Рис, 8.14. Форма тени в кристалле с дефектами:

0 — от основной решетки; б - от тяжелой примеси

Рис. 8.15. Нормированный выход обратного рассеяния (о и сплошная линия) и ядерной реакции D(3He, сО’Н в направлении <100> у ионов 3Не с £ = 0,75 МэВ (•и—-)

ношение фракций для < 100 > смещений оказалось равным приблизительно трем, расчеты показали, что захват сразу нескольких межузельных атомов вызывает изменение направления сдвига (< 100)). Таким образом, из данных RBS/C следует, что смешанная гантель Al-Ag не является стабильной, когда дополнительные межузельные атомы захватываются атомом серебра.

Угловые распределения RBS/B. Еще более наглядный и обширный источник информации дает в сочетании со спектром RBS/C эффект тени. По сравнению с методом RBS/C он расширяет объем обрабатываемой информации о спектрах RBS с угла 0=0 (каналирование) на диапазон углов порядка критического. Хорошей иллюстрацией метода может служить рассмотренный выше случай смешанной гантели Al-Ag в решетке А1 с атомным содержанием 0,05% Ag. Тяжелая примесь позволяет произвести спектральное разделение теней от атомов А1 и Ag. На рис. 8.14 показана также форма решеточной и примесной теней при различных дозах облучения. Видно, что дефектная структура слабо сказывается на форме тени от основной решетки А1 и сильно — на тени от примеси. Примесной пик в центральной части тени возникает при сме> 210

щении, большем га = 0,12 нм [5]. Подобная ситуация наблюдается, когда < 100> — смешанная гантель закрывает канал < 110> в большей степени, нежели каналы < 111 > и < 100>.

Высота пика, так же как и приближенные значения смещенных фракций 6?11 > для осей < 111> и < 100>, указывают на < 100>- смещение г*。 〜6,1 нм. Кроме того, видна сильная зависимость от точного значения сдвига — изменение только на Дгд 〜0,02 нм приводит к наблюдаемому изменению < 110> пика при большой дозе. Этот результат подтверждает сделанный ранее вывод о нестабильности смешанной гантельной конфигурации при больших дозах.

Метод RBS/B в комбинации с NRA и PIXE. Регистрация продуктов резонансных ядерных реакций или характеристического рентгеновского излучения наряду с обратным рассеянием позволяет не только разделить вклады в обратное рассеяние от различных компонент сплава (скажем, с легкой примесью RBS/C, спектр которой перекрывается основным спектром), но и с более высокой точностью по сравнению с методом RBS/C определить профиль дефектов.

Подходящий пример использования этой методики в применении к водоро до содержащим сплавам переходных металлов содержится в [151]. Значение местоположения водорода и его изотопов в решетках этих сплавов важно как с фундаментальной, так и прикладной точек зрения, так как обеспечивает необходимый базис для понимания диф> фузионных свойств гидридов переходных металлов, применяющихся в ядерной энергетике.

Предмет исследования [151]-дейтерий в Nb° gMo0 2D0 075 интересен тем, что небольшая примесь молибдена в ниобии сильно меняет взаимодействие водорода с решеткой, вплоть до изменения позиций. Измерялся нормированный выход Ка линии отдельно у атомов Nb и Мо, а также в чистом ниобии при облучении ионами 3SC1 с F = 80 МэВ в стандартной теневой методике. Атомы дейтерия, предварительно растворенные в образце, анализировались с помощью ядерной реакции D(3He, а)' Н пучком 3Не 0,75 МэВ. Оказалось, что ширина тени (FWHM) от атомов обоего сорта одинакова в сплаве, но гораздо меньше, нежели в чистом ниобии. Это объясняется сильной решеточной деформацией, обусловленной введением растворимой компоненты.

После введения в сплав атомов дейтерия ширина теней от атомов Мб и Nb увеличивается и оказывается почти такой же, как у чистого ниобия (рис. 8.15). Это, по-видимому, означает, что водород способен снять напряжение решетки вокруг небольшого* пс размеру атома Мо. Существование сильного взаимодействия атомов Мо с дейтерием оказьь вает влияние и на преференс (предпочтение) определенных узловых позиций. Этот факт подтверждает форма RBS-тени от 3Не вдоль оси < 100> и плоскостей (ПО) и (100), а также нормированный выход ядерной реакции (см. рис. 8.15). Видно, что с увеличением угла падения пучка Не от —6° до 6° выход реакции возрастает почти в 2,7 раза,

Рис. 8.16. Выход обратного рассеяния и продуктов ядерной реакции в плоскостях (100) и (ИО)

что означает захват дейтерия на решеточные дефекты, вводимые в процесс ионного анализа. Выход RBS/B от Не имеет в точке 6=0 минимум, а выход ядерной реакции, напротив, максимум. Отсюда следует, что часть атомов дейтерия находится в межузлиях, а вопрос, каких именно, проясняет рис. 8.16, где представлена форма плоскостной (ПО) и (100) тени RBS и продуктов реакции. Пик формируется вдоль (110) плоскости, а провал вдоль (100). Следовательно, дейтерий занимает тетраэдральные позиции, такие, как и в чистом ниобии.

Прямая тень и каналирование С/В. Измерения с внедренными радиоактивными изотопами занимают особое место в методике определения местоположения примесных атомов. Кстати сказать, они были самыми первыми измерениями такого рода, использующими эффекты теней и каналирования [152]. По сравнению с RBS/C—B главное преимущество современной модификации этого метода состоит в комбинации его с измерениями сверхтонкого ядерного взаимодействия, чувствительного к деталям кулоновского взаимодействия примеси с окружающими атомами. Речь идет о комбинации эффекта каналирования с эффектами

Мессбауэра (ME) [153] и эффектом возмущенной угловой корреляции 7-квантов (РАС).

Поскольку оба метода схожи между собой, огрймчимся здесь короткими комментариями о последнем из них Положение радиоактивного примесного ядра, к примеру 11 xIn, в решетке характеризуется электрическим полевым градиентом (ЭПГ) 勺~ 8^°/8七8弓，который определяется на дочернем ядре 111 Cd, образующемся в результате / -распада, посредством измерения частоты спиновой процессии. Последняя является результатом сверхтонкого взаимодействия ЕПГ с электрическим квадрупольным моментом Q ядра 11 xCd. Сама частота определяется из значения зависящего от времени возмущения R(r) — угловой корреляции между испущенным в каскаде 71 -квантом, который заселяет промежуточное состояние ядра 111 Cd, и у2-квантом, который образуется в процессе перехода, у-кванты регистрируются четырьмя детекторами стандартной совпадатепьной методикой. Отношения восьми скоростей счета регистрируемых у-квантов дают временное возмущение

R(r)=/(e)G«),

где 4@) — коэффициент анизотропии, зависящий от положения детекторов, а зависящий от времени фактор G определяет долю f. ядер

Cd, характеризуемых константой связи 以。 = —力* (圖 глав, ная собственная компонента тензора ЭПГ, связанная с долей f. дефектов одного типа). Измерение РАК дает также сведения об отклонении ЭПГ от аксиальной симметрии, которое выражается параметром 〃 =^хх - 4丿/"zz・ В итоге ориентация дефекта в узле может быть установлена расположением у-детектора вдоль разных кристаллографических осей. Хотя ЕПГ измеряется на дочернем ядре, его значение отражает симметрию положения именно ядра так как за время жизни возбужденного состояния 111 Cd (84 нс) положение ядра не успевает измениться. Ясно, что для дефектов, находящихся в симметричных позициях в кубической решетке, например позициях замещения, а также тетраэдральных и октаэдральных межузельных позици* ях, в ГЦК решетке этот метод непригоден, поскольку градиент поля в этих позициях равен нулю. Сила РАК метода в том, что он позволяет выявить различие между несколькими несимметричными позициями, эквивалентными с точки зрения каналирования, по значению частоты г •

Аналогичным образом по изомерному сдвигу как мере электронной плотности в точке нахождения мессбауэровского ядра и фактору Лэмба—Мессбауэра, связанному с амплитудой его тепловых смещений, получают сходную информацию в мессбауэровских измерениях.

В [153] вместе с РАК- и МЕ-спектрами измеряли 〈 110 >-угловой профиль х(6) от конверсионных электронов ядер Х111п, имплантированных в монокристалл меди. Из РАС-спектра, показанного на рис. 8.17 и полученного сразу после имплантации 120 кэВ 1х11п+ при флюенсе IO】' см~2, не следует асимметрия дефектных конфигураций. Эмиссионный же максимум в зависимости х(&) объясняется, очевидао, большой долей позиций замещения у атомов In. В мессбауэровском же спектре наблюдались две различные линии, которые представляли незамещенные позиции замещения и комплексы вакансий, связанные с 26%-ной долей предварительно имплантированных li9In+ (60 кэВ при флюенсе 1012 см~2) мессбауэровских ядер.

После отжига при 500 К РАС-спектры обнаруживают хорошо выраженные дефекты (см. рис. 8.17, б), в то время как каналирование не 214

дает видимых изменжий в доле межузельных позиций. Дефектная линия в мессбауэровском спектре, однако, значительно уменьшается. Как известно из других данных, подобное поведени^мессбауэровского спектра связано с вкладом индии-вакансионных комплексов, в которых атомы In занимают тетраэдральные межузельные позиции. Взаимодействие квадрупольного типа, отличное от указанного выше и наблюдаемого в РАС-спектрах, связано с захватом In в малые дефекты упаковки тетраэдрального типа. Таким образом, различие в условиях имплантации в обоих экспериментальных ситуациях породило различную кинетику агломерации вакансионных комплексов, не видимую при измерениях эффекта каналирования. В этой связи хотелось бы подчеркнуть, что именно комбинация различных методов вместе с каналированием дает действительно полную характеристику местоположения и строения дефектов в металлах и полупроводниках.

В последнее время получила распространение методика определения местоположения водородной примеси, основанная на применении шюн- мюонного каналирования. Разница между пионом и протоном заключается в том, что положительный пион распадается со средним временем тя = 26 нс согласно реакции

II+ - ЛГ + рм

на мюонное нейтрино &乂)и м°ноэнергетический положительный мюон (М+). Мюон изотропно излучается из пионного узла, обладая энергией Е = 4,12 МэВ. При этом никакого остаточного дефекта в кристалле не создается. Как и ранее, в зависимости от вида позиции - межузельной или замещения - наблюдается каналирование или блокировка мюона в направлении кристаллографических направлений или плоскостей. Очень важно, что имплантированные пионы в отличие от протонов ввиду малой массы не создают заметного количества дефектов. В результате надежная информация о местоположении пиона (следовательно, водорода) может быть получена в экстремальных условиях — при низкой растворимости и при изучении эффекта квантовой диффузии, которую также из-за малой массы легче наблюдать у мюонов, чем у протонов.

В [154] местоположение мюонов исследовалось в меди как функция временной задержки распада в интервале 6 < 60 нс после пионной имплантации. Теория дает две — октаэдральную (О -узлы) и тетраэдральную (Т-узлы) — межузельные позиции для атома водорода в меди (рис. 8.18). Из потенциального контура следует метастабильность Т- узлов, а их проекции вдоль осей < 100> и < 110> указывают на четкую возможность различия двух видов позиций методом мюонного каналирования.

На рис. 8.19 показана форма тени вдоль направления < 100> при двух температурах и двух временах жизни пиона. Вдоль направления < 110> кривые не приводятся: на них, как и следует ожидать из рис. 8.19, на-

Рис. 8.18. Проекции 普 и О-узлов вдоль направлений (100)и <110> в ГЦК решетке

Рис. 8.19. Нормированный выход мюонов при температуре 373 К (0 и 80 К (о) решетки и времени жизни пиона Т = 0 + 20 нс ⑷ н Т=20 + 60 нс (б)

блюдаются максимумы. После термализации 20 нс (торможения и захвата в равновесное положение) пионы локализуются в О -узлы во всем интервале температур. Пик при Т》300 К в центральной части указывает на то, что часть "старых” пионов занимает метастабильные Т-уэлы. Оставляя в стороне вопрос об интерпретации полученных результатов с точки зрения квантовой динамики и диффузионной кинетики поведения пионов в решетке, отметим, что полученные результаты при условии точного численного анализа углового распределения дают возможность детального анализа задач, связанных с растворимостью водорода, аккумуляцией его на примесях и радиационных повреждениях решетки.

Неравновесное каналирование. Рассмотренные методы в основном дают информацию об определенных позициях примесного атома в решетке либо их конечном наборе, следующего из активационной устойчивости комплекса примесный атом — дефекты. В полупроводниковых кристаллах из-за сильного деформационного потенциала возможна ситуация с некоторым непрерывным распределением расстояния примеси до атомного ряда (плоскости). Трудность ее решения в отличие от случая с определенным местоположением примеси с распределением гауссовского типа (85) очевидна — ряд усреднений по потоку^ глубине частиц в итоге приводят к опосредованной картине проявления эффекта каналирования. И даже машинное моделирование не в состоянии однозначно провесжтакое разделение.

Интересной попыткой решить подобную проблему можно считать метод, разработанный в МГУ, основанный на неравновесном каналировании [155]. Суть метода показана на рис. 8.20, на котором изображены траектории частиц в гармоническом плоскостном канале при ненулевом угле падения. Фокусировка потока в точку местонахождения

Рис. 8.20. Фокусировка потока на несимметричном дефектеРис. 8.20. Фокусировка потока на несимметричном дефектеРйс, 8.21. Осцилляции выхода рассеяния* ионов Не+ (1,4 МэВ) при разных углах падения в плоскостном канале (100) Si с дефектами

Рис. 8.20. Фокусировка потока на несимметричном дефекте

Рис. 8.20. Фокусировка потока на несимметричном дефекте

примеси приводит к резкому возрастанию обратного рассеяния. Изменением же угла падения можно варьировать пучность потока и, следовательно, выход оси дефектов, находящихся на различном удалении от атомной плоскости.

На рис. 8.21 показан экспериментальный RBS/C-спектр а-частиц с Еа = 1,4 МэВ как функция угла падения на плоскостной канал (100) монокристалла кремния с имплантированными атомами As. Результаты обрабатывались на ЭВМ в рамках континуальной модели с угловой диффузией. Подбор функции распределения расстояния атомов As до плоскости (100) Si—Р(х) осуществлялся из условия наилучшего согласия всей формы экспериментального двумерного распределения с расчетной. Полученное таким образом распределение Р(х) для смещенных атомов Si в канале Si/As, смещенных атомов As в Si/As канале и смещенных атомов Si в канале Si имело высокую (~10%) степень определенности. Последующий анализ распределения в условиях отжига монокристалла позволил авторам сделать вывод о том, что наблюдаемый пик распределения 尸窃(力，центрированный в точке х = 0, является композицией трех пиков с разной степенью локализации и удаления от стенок канала, соответствующих трем равновесным позициям дефектов в насыщенном мышьяком кремнии.

Время протекания ядерных реакций

Методику измерения среднего времени жизни возбужденного ядра т с использованием эффекта каналирования на сегодняшний день можно считать единственной в диапазоне времен г = Ю-17 4- Ю"19 с. Она

основана на эффекте деформации углового профиля тени при сдвиге источника из узла решетки [2]. Последний пропорционален произведе* нию временной задержки, вызванной конечным временем жизни составного ядра и его скорости v^ = nMJM^ приобретенной в результате столкновения v т.

Я

Искажение формы тени, вызванное сдвигом источника, зависит от проекции среднего сдвига р =叱 vj на поперечную плоскость канала. Ясно, что при 户《 〃 наблюдение каких-то изменений в угловом распределении затруднительно. И, напротив, при 户》d распределение точки вылета можно считать равномерным по сечению канала и тень от ядер решетки р < U (эталонная тень) сменится в этом случае каналирующим максимумом в полном соответствии с рассмотренной в § 8.2 картиной рассеяния на межузельных точечных дефектах.

Наиболее типичные значения среднего сдвига составного ядра в теневой методике измерения времен жизни колеблются вблизи 夕 ~ (2 彳 ♦ 3) 〃. Параметры тени, чувствительные к сдвигу составного ядра: 1) параметр засыпки тени АХт^； 2) сдвиг минимума тени △▽; 3) асимметрия брустверов углового распределения As/s; 4) параметры наполнения — интегральные угловые характеристики тени:

а* = / d妳(1- ХМ);

& j 川卜7(-6)- xTW]

—= i = 1 2.

6/叫(6)，'

Конечно, только детальное сравнение всей угловой зависимости формы тени, измеренной экспериментально и теоретически, даст наиболее точное значение р . Достоинство же указанных параметров тени состоит в простой их зависимости от сдвига и слабой подверженности влиянию эффектов многократного рассеяния. Например, расчет в рамках модели непрерывного потенциала по формулам (1.64) и (1.5 力 с экспоненциальной функцией распределения

дает для осевой тени

△X = 2CNd電尸 2, с = 14-3.(8.18)

Более точные расчеты методом машинного моделирования выявили зависимость параметра засыпки и от ориентации вектора сдвига в осевом

канале [156]. Чувствительность рассчитанных в [157] различных параметров тени к значению сдвига источника р для а<частиц (Е = 2 МэВ) из реакции 2 7Al(р, a)2 4Mo вблизи оси < 110> демонстрирует рис. 8.22. Пунктиром показана зависимость (8.18) при С = >/J Наименьшую статистическую погрешность при одинаковой статистике и малых р обеспечивает параметр А»

Неравновесное каналирование. В [158] был предложен метод измерения времени жизни возбужденных ядер, основанный на эффекте .неравновесного каналирования. Суть метода в применении к сдвигу составного ядра сводится к следующему. Перечисленные выше параметры тени ввиду осциллирующего поведения потока продуктов реакции в тонких слоях монокристалла также являются осциллирующими. Ясно, что осцилляции можно наблюдать только при соблюдении условия Г(6£/6£) т《 Т, когда слой, излучающий продукты реакции, лежит на достаточно хорошо определенном расстоянии от поверхности 丄 ~ 〜(Ео -Ер)/(6Е/М) т. В противном случае — широкого резонанса — усреднение по глубине залегания резонанса приведет к практически статистически равновесной картине каналирования.

Неэкспоненциальный распад. Методика эффекта тени позволила установить ряд особенностей в динамике прохождения барьера деления возбужденных ядер изотопов Np. Существование двугорбого барьера

Рис. 8.22. Зависимость различных параметров тени от сдвига составного ядра:Рис. 8.22. Зависимость различных параметров тени от сдвига составного ядра:R (ОАфДХR (0)屮XR (ОАфДХR (0)屮XРис. &23. Зависимость приращения 厶/也

Рис. 8.22. Зависимость различных параметров тени от сдвига составного ядра:

Рис. 8.22. Зависимость различных параметров тени от сдвига составного ядра:

R (ОАфДХ

R (0)屮X

R (ОАфДХ

R (0)屮X

О, □- эксперимент;расчет в двугорбом потенциальном барьере; расчет без учета времени задержки во второй потенциальной яме при % = 10 град

в делении ядер приводит к неэкспоненциальному закону распада возбужденных ядер и несовпадению средней длительности процесса деления (задержки) со средней длительностью распада по любому другому каналу. Экспериментальное определение времени задержки позволяет получать информацию о плотности уровней возбужденных квазистацио- нарных состояний во второй потенциальной яме.

Эксперимент [159] проводился на пучке дейтронов с Е = 7,5 ♦ + 15,6 МэВ, взаимодействующим с монокристаллом UO? естественного изотопного состава и обогащенного др 90% изотопом 235U. Информация о времени протекания ядерной реакции извлекалась из параметра △Xmin — разности выхода осколков деления. Зависимость Д^^ для двух углов падения пучка 0О =10° и 0О =60° от энергии дейтронов представлена на рис. 8.23. Из теории деления было известно, что основной вклад в Дх в случае реакции 238U(d, xnf) при энергии дейтронов в интервале 7/ ♦ 10 МэВ обусловлен делением i3yNp, а в интервале 11 -г 16,6 МэВ — делением i38Np. В промежуточной области (10— И МэВ) вклад в Дх вносят оба эти ядра. В случае реакции 235U(d, xnf)

основной вклад в ^ХтЕ ПРИ использованных энергиях дейтронов Е^ = =13,1 ♦ 15,3 дает делящееся ядро 23SNp. При анализе экспериментальных данных учитывалось также, что наряду с образованием составного ядра в результате слияния дейтрона с ядрами-мишенью возможны процессы прямого взаимодействия — реакции “срнва”： 23SU(dp) 236и и 2 3 8и(%р)2 3 9и Длительность деления этих ядер, имеющих широкий спектр энергий возбуждения, также вносит вклад в наблюдаемый эффект конечного времени жизни.

Учитывая сказанное, можно считать, что влияние сдвига источника на Дх обусловлено делением как ядер изотопов Np, так и ядер изотопов U:

△Xmin = °NpAXNp+ %夂丁

Доля осколков деления возбужденных ядер 236»239и в общем выходе осколков на основе данных по сечениям реакций (d/), (dp), (d, pf) на 235U и 238U составляла

o(dp)p,。(")

где

也Л dE ,竺也dE也Л dE ,竺也dEdEdEdEdE

也Л dE ,竺也dE

也Л dE ,竺也dE

dE

dE

dE

dE

—вероятность деления конечного ядра в реакции U(a, р). Вклады от деления этих ядер в экспериментально наблюдаемое значение Дх были

определены на основе данных по измерению времени жизни 236,239U в реакциях 235,238U(n/). Оценки показывают, 4孰氏向句 составляет менее 1% для реакции 238U(d/) и менее 4% в случае реакции 238U(d/).

Штриховыми линиями на рис. 8.23 представлены результаты теоретического расчета Дх в рамках традиционной теории деления с учетом влияния угловой анизотропии выхода осколков деления. Сильнее расхождение между расчетом и экспериментом указывает на существование дополнительной задержки в распаде ядра по каналу деления. Как показали более детальные последующие расчеты динамики процесса надбарьерного деления возбужденных ядер в рамках модели двугорбого барьера, существование дополнительной задержки можно связать с временем жизни возбужденных квазистационарных переходных состояний во второй потенциальной яме. При этом разница между временем распада по каналу деления и временем распада по любому другому каналу

△т = ту - п = й/Г2

сильно подвержена влиянию плотности состояний во второй потенциальной яме (здесь Г2 — полная ширина распада состояний во второй потенциальной яме). Учет задержки деления в двугорбом барьере (сплошная линия на рис. 8.23) в свою очередь обнаружил увеличение плотности уровней во второй потенциальной яме, что является также нетривиальным результатом, следующим из сравнения теории и эксперимента.

Кроме того, сравнение экспериментальных данных, относящихся отдельно к каждому из ядер — изотопов Np, обнаруживает зависимость задержки в длительности реакции деления от конкретной формы барьера деления.

Тип и профиль протяженных дефектов

В отличие от точечных дефектов (дислокации) дефекты упаковки (двойники) создают на пути каналированных ионов дополнительный потенциальный барьер, свойства которого меняются с расстоянием от канала до ядра дислокации. Вдали от ядра канал изогнут неравномерно, и режим каналирования можно охарактеризовать повышенной вероятностью деканалирования в соответствии со сказанным в § 6.4. А именно, уменьшение расстояния до ядра почти эквивалентно уменьшению радиуса изгиба и, следовательно, увеличению интенсивности деканалирования вплоть до критической — когда все частицы выбывают из канала. Это не означает, однако, что частицы, проходящие предельно близко к ядру дислокации обязательно деканалируют. К примеру, в случае краевой дислокации край ^^лиIш^eй^^ плоскости, перпендикулярной движению, являющийся центральной частью ядра дне» локации, эквивалентен новой поверхности монокристалла. В момент 221

9Г d^o^c ssi 3siu9Г d^o^c ssi 3siuРис. 8.24. Энергетическая зависимость сечения деканалирования

9Г d^o^c ssi 3siu

9Г d^o^c ssi 3siu

ее пересечения поперечная энергия частицы определяется углом наклона траектории на данном участке и потенциалом в точке входа, отсчитанной теперь уже от лишней атомной плоскости. Обрисованная картина рассеяния каналированных частиц протяженными дефектами достаточно сложна для количественного анализа спектров деканалирования.

Кверром [119] была предложена простая модель так называемого деканалирующего цилиндра дислокаций, согласно которой процесс деканалирования описывался лишь одним параметром — его радиусом или сечением деканалирования %• Частицы, траектории которых пересекали цилиндр, считались деканалированными. Простые оценки энергетической зависимости сечения 入* приведенные в § 6.4, свидетельствуют о возможности идентификации типа протяженного дефекта по виду энергетической зависимости сечения деканалирования. Например, для винтовых и краевых дислокаций % 〜\/^ (6.4), для дефектов упаковки % не зависит от энергии и т. д.

Дальнейшие, более детальные численные расчеты действительно подтвердили в целом такую возможность, хотя и обнаружили значительные отклонения от приведенных простых закрнов. На рис. 8.24 изображены имеющиеся на сегодняшний день данные об энергетической зависимости сечения деканалирования для различных типов дефектов [160], которые обсуждались в § 6.4. К сожаленшо, подобную идентификацию на практике трудно назвать исчерпывающей по ряду причин:

при достаточно большой концентрации даже однотипных дислокаций (сетка, стенка и т. д.) как энергетическая зависимость, так и вообще возможность интерпретации спектра деканалирования на языке только одного параметра — сечения 入d в целом перестают быть однозначными;

вклады от различных дефектов нельзя рассматривать аддитивно, поэтому, как правило, трудно выделить одни дефекты на фоне других;

рассчитанные значения % обычно рассматриваются как некоторые средние по ориентации вектора Бюргерса. Веса же последних на практике сильно зависят от типа конкретного об^зиа, способа закалки, роста и т. д. Несмотря на перечисленные трудности, вместе с другими методами, такими, как трансмиссионная электронная микроскопия (ТЕМ), метод RBS/С может обеспечить экспрессную количественную информацию о типе и плотности залегания протяженных дефектов.

Предполагая пока, как и в случае точечных дефектов, что деканалирование, обусловленное дислокациями, аддитивно к электронному и тепловому и к тому же связано лишь с однократным рассеянием (на угол порядка критического), из (8.10) для доли деканалированных частиц получаем [60]

Xd = Xmin(D+ [(l-Xmina))][l-exp(T(L))]・(8.19)

Здесь XminQ) - минимальный выход на глубине L в бездефектном кристалле; р(£) - вероятность деканалирования на пути 0 -М. Полученную отсюда вероятность деканалирования

“(z) = -In —-一~包〔(8.20)

1 - Xmin")

можно выразить через сечение деканалирования в расчете на единицу длины дислокационной линии посредством соотношения

“(z)=入%(丄)，(8.21)

где %(£) — длина проекции единицы длины дислокации на ось Z.

Более точная в количественном отношении трактовка аксиального деканалирования частиц в кристалле с дислокациями возможна в рамках матричного метода Гэртнера [160]. Так же как и в случае с точечными дефектами, вклад дислокаций в деканалирование дается соответствующей добавкой в матрицу деканалирования 吟迥，зависящую от типа дислокации (см. § 6.4). При этом уравнение для заселенности (3.64) переходит в

^Pi

=户(歸 + " + Fl(z)。尸)& О(8.22)

Так как кратным рассеянием в случае дислокации можно пренебречь (см. обсуждение в § 6.4), минимальный выход запишется в виде

XminG) =^ &(2)П»(2)(8.23)

с И,, равным (8.12). Из (8.23) и (8.22) восстанавливается профиль

Рис. 8.25. Зависимость приращения АХт^ в кремнии до и после облучения от толщины кристалла, Г = 293 К:

О, △- <100〉>〈111〉дефекты упаковки; □- <111> петля; линии - расчет

дислокации по глубине:

竺一 J斗[。护+密)]P/(z) 毋)=・(8・24)

Решая (8.23) вместе с (8.24) пошаговым образом и стартуя с точки z =0, определяем 〃黑? (6.41).

Экспериментально деканалирование на дислокациях изучалось во многих работах с помощью облучения и последующего отжига монокристаллов [161], причем плотность и тип дислокаций предварительно определялись методом трансмиссионной электронной микроскопии. Разница в xmjn до и после облучения для ионов Не+ с£ = 1,8 МэВ, па> дающих на монокристалл кремния вдоль осей〈 100> и < 111 > с разными дислокационными структурами, показана на рис. 8.25.

В < 100 >-ориентированном кристалле Si имела место регулярная двумерная сетка краевых (100) дислокаций несоответствия (< 100>- мисфит) с направлениями вектора Бюргерса, лежащими вдоль направлений < 011 > и <001> для дислокационных линий, ориентированных в направлениях < 011 > и < 001 > соответственно.

Во втором образце с направлением < 111 > падения пучка сетка дислокаций несоответствия была параллельна плоскости (111) (< HD- мисфит) .Направления векторов Бюргерса < 011 >,〈 101 >,〈 110> принадлежали дислокационным линиям вдоль осей < 211 >, < 121 > и < 112>

соответственно. В третьем образце дислокационные петли располагались параллельно (111) поверхности (< 111 >-петли) с векторами Бюргерса, ориентированными в направлениях〈 110>, < 101 У*и < 011 >. Оба мис- фита — краевые дислокации с а = тг/2 и петли трактовались согласно подходу, изложенному в § 6.4. Рассчитанные с абсолютным значением вектора Бюргерса Ъ = 0,384 нм и отношением Пуассона р=0,42 дислокационные профили %isl(z) из измеренной разности Axmin (^) приведены на рис. 8.26. Наблюдаемое различие профилей от резко выраженного пика до двухпиковой структуры распределения связаны с различием в условиях имплантации и отжига всех трех образцов. Точность в определении профиля связана главным образом со статистической погрешностью эксперимента. Особенно это касается области больших глубин, где Ах в случае < 111 > -мисфита 入 даже спадает с z.

Сравнение значений интегральной плотности дислокаций 7Vdisl = = / 〃disl(z)dz, полученных из формул (8.10) (Кверр), матричным о

методом (8.22) и данных ТЕМ, показано в табл. 8.1. Наилучшее согласие достигнуто с наиболее точным — матричным методом. Деканали-

Ria 8.27. Энергетическая зависимость сечения деканалирования 7(“)с 厶/ = =0,19 мкмдля：

О — (100)-дислокации несоответствия; △ — (111) -дислокации несоответствия с Ld = 0,30 мкм; □ -〈111〉-петель с £^ = 0,45 мкм. Экспериментальные данные взяты из [161];теория;зависимость 〜Е”'

Таблица 8.1. Интегральная плотность дислокаций, см

Дислокационная структура

Метод Кверра Метод ГэртнераТЕМ

< 100)-мисфит 〈111〉-мисфит < 111 > -петля

1,6 • 1046,2 •104(6,2 + 0,6)•104

4,7 • 1042,0 •105(2,0 + 0,4)•Ю5

5,8 • 1051,2-10б(2,0+ 1,0)•106

рование на малых петлях было несколько завышено, поэтому 笃欣] для < 111 > -петель ниже значения ТЕМ.

Температурная зависимость вероятности деканалирования (8.20), вычисленная для < 111 > -мисфита, находится в согласии с экспериментальной зависимостью и простейшей оценкой 7 ~ 〃. Энергетическая зависимость 7 более интересна, так как она типична именно для дислокаций. На рис. 8.27 она приведена для глубины L < L^ В случае узкого распределения〈 100>-мисфита она показывает ожидаемую Е”】. зависимость. С увеличением ширины распределения (< 111 >-мисфит и петли) влияние электронного и теплового механизмов деканалирования, которые характеризуются зависимостью 7 〜Е"^ с уменьшением £, становится все более заметным. Поэтому энергетическая зависимость в целом выражена слабее, чем Е”？ для низких энергии.

Если сравнить оба рассмотренных подхода — на основе сечения деканалирования и матричного метода, то можно указать на неаддитивность различных механизмов деканалирования и невозможность последовательного описания спектра с одним лишь значением сечения. Однако простота и качественно правильное описание спектра делают модель деканалирующего цилиндра вполне приемлемой для оценочного анализа типа и профиля протяженных дефектов в реальных кристаллах.

Спектры излучения легких релятивистских каналированных частиц. Чувствительность спектра излучения релятивистских частиц с Е ~ 1 МэВ к незначительным деталям формы плоскостного потенциала делают его мощным инструментом для изучения деформаций решетки с дефектами. Хорошим примером такого рода исследовании могут служить эксперименты по излучению каналированных электронов и позитронов в кристаллах природного алмаза [162].

В наиболее распространенных кристаллах алмаза (98%) типа к сегрегированные атомы азота образуют пластинчатые включения - конгломераты, параллельные атомным плоскостям. Эксперименты [162] проводились в кристаллах типа к толщиной 12 мкм и типа Па толщиной 23 мкм, где конгломераты отсутствуют. ТЕМ-фотографии показали, что диаметр конгломератов в Малмазах варьируется от 4 до 20 нм со средним расстоянием между ними ~50 HM [или 450 нм, расположенными в одном плоскостном канале (100)].

^произб.ед.

Рис. 8。28. Спектры излучения каналированных электронов в кристаллах природного алмаза:

0 - I0； • 一 II0

Радиационные спектры для электронов сЕ = 30,5 МэВ, каналирующих вдоль плоскости (ПО), показаны на рис. 8.28. Видно изменение спектра, соответствующее вероятности деканалирования ~3,5% в расчете на один конгломерат. Но, что наиболее интересно, вдоль (100) явно виден 8%-ный сдвиг линии перехода 1 今 0 м 3%-ный — перехода 2 fl. Схожая картина наблюдалась и при энергии электронов Е = 54,5 МэВ, где сдвиг линии 1 今 0 достигает 4%, а переход 2fl отсутствовал (два уровня в яме). При обеих энергиях в плоскости (100), где плотность рассеивателей небольшая, уменьшение интенсивности линий в к алмазе было настолько велико, что они вообще не наблюдались.

Приведенный результат ясно показывает, что в квантовом пределе изгиб канала, вызванный дефектами, приводит, с одной стороны, к увеличению интенсивности деканалирования, с другой — к изменению систематики уровней поперечного движения. Анализ наблюдаемого сдвига положения уровней навел авторов [162] на мысль объяснить происходящее изменением формы плоскостного потенциала за счет введения некоторой эффективной амплитуды тепловых колебаний. Наилучшее согласие достигалось при амплитуде 0,0055 нм (сравним известное значение 0,004 нм). Это означает, что конгломераты дают дополнительный вклад в амплитуду, равный 0,0038 нм. Оказалось, что именно это значение получается с учетом среднего диаметра конгломератов 14 нм и расстоянием между ними 450 нм.

Подобное объяснение сдвига уровней, конечно, не является единственным. Как уже говорилось в гл. 5, наличие изгиба канала эквивалентно действию дополнительной центробежной силы, которая приводит к сдвигу штарковского типа. Кроме того, неоднородная по сече-

нию каутя интенсивность многократного рассеяния (без Изменения потенциапа) приводит не только к уширению линий, но и их сдвигу.

Но гос или иначе спектроскопия релятивистских электронов дает по существу новый по сравнению с каналированием положительных ионов источник информации о дефектах.

Потенциал взаимодействия и электронная плотность

Положительнь<е ионы. Успешное начало детальному измерению параметров ион-атомного потенциала было положено работами Датца и др. [18] (см. также обзор [16]), обсуждавшимися в § 2.1 и 2.6. В них с помощью трансмиссионной методики плоскостного каналирования были вьзделены хорошо определенные группы осциллирующих траекторий и по зависимости Т(е) восстанавливался ангармоничесмий потенциал плоскостного канала. Логическое продолжение эти работы получили в дальнейшем при изучении RBS/Счшектров, относящихся к тонким поверхностным слоям монокристалла. Основной принцип, заложенный в основу обоих методов, остался прежним — использование неравновесных осцилляции потока каналированных частиц в плоскостном канале, чувствительных к форме экранирующей функции (1.6) и тепловым колебаниям атомов решетки.

Наиболее точное описание экспериментальных данных по RBS/C- спектрам дает метод машинного моделирования. Как известно (см. рис. 2.1), RBS/Сч^пектр в области небольших потерянных энергий обнаруживает хорошо видимые пики, отвечающие моменту пересечения осциллирующего потока каналированных (и близких к барьеру надбарьерных) частиц с атомными плоскостями, ограничивающими канал. Существуют три по сути близких между собой метода сравнения теоретического и экспериментального спектров в целях тестирования потенциала взаимодействия Р°(&), так или иначе использующих ос- цилляционную структуру спектра. Употребление термина птестирова- нне” более точно отражает ситуацию — при сопоставлении теории с экспериментным в машинном расчете заданный потенциал /проверяется с точки зрения наилучшего согласия между ними. /

Чтобы ввести читателя в курс дела и указать на различие в методах исследования осцилляционной структуры спектра, следует сказать несколько слов по поводу его формирования. Обратимся к рис. 2.1,на котором показана геометрия эксперимента по определению зависимости Xmin(z)・ Разделение по энергии между соседними пиками, как это видно из рис. 2.1, связано с длиной четверть периода Т (1.34а) и тормозной способностью в случайном направлении Sr соотношением

明.宀=JS/PEo)黑迎 + TKPSr(E^, (8.25) vont

где К - кинематический фактор (4.60), зависящий от угла рассеяния 仇 а 尸一отношение тормозной способности канал 1фованных мзюв с большой амплитудой х(е) к таковой в случайном направлении. В первом методе используется вариация отношения cosfl.n/cosflont в целях получения из эксперимента значений Г и Р. Во втором — косинусоидальном методе, предложенном Барретом [163], те же величины определяются измерением угла наклона начального пучка, который приводит к максимуму выхода. И, наконец, более последовательный, третий метод [91] сводится к сопоставлению всей формы спектра с теорией.

Обсудим все эти методы более подробно. Для этого применим (8.25) к расчету средней потерянной энергии частицы, прошедшей спой толщиной L:

Е =К(Е°- Д^п)— AF0Ut，(8.26)

где

£

Mg = / 斗口弘=〃S。〉；(8.27)

%ut = 8s%/8S%毗(%?丄

—энергия входной и выходной частей траектории о братнорассеянно й частицы, показанной на рис. 1.5.

Если сравнить точки с одинаковыми 丄 в спектре, измеренном с разными углами 6, % 11 "ut » т^ ^е будет одинаково для всех спектров, но К м △£，out останутся различными. Из равенства (8.26) и (8.27) следует, что величина Eq -Е]К как функция координаты < 5out>coe 斗 - прямая линия с пересечением оси ординат в точке

{S^)L и наклоном L. Подходящее значите для <*S'0Ut> должно находиться между〈 Зои^&Зо -ДЕ^))) и 〈 Sout (£) >. Оно может быть оценено из известных литературных данных [164] и использовано как первое приближение для 厶^也.

Альтернатива такому методу используется, если зависимость Sout от энергии очень слаба и следует выбрать в качестве координаты величину cos в^/Kcos flout. Из получившейся прямой линии извлекают значения 〈5也〉£ и〈 Sout>£. Оба рассмотренных приема дают расстояние Т между пиками и составляют основу ко синусоидального метода. Было отмечено также [163], что статистическая погрешность измеренных таким образом значений отношения гораздо больше, нежели ожидаемая в расчетах, даже если для увеличения статистики используется обширный выбор материалов, энергий, размеров канала dp и прочих параметров задачи. Поэтому, чтобы улучшить точность косинусоидального

метода, в [163] было предложено производить добавочные измерения угла прорыва 屮加，при котором первый субповерхностный пик в Xmin (L) достигает максимума. Эти измерения обеспечивают по существу независимое значение длины волны траектории согласно

Т =勿dp/〃 ,

где q — безразмерная константа, приблизительно равная 1,4, которая зависит от вида потенциала и определяется моделированием. В комбинации с косинусоидальным этот так называемый д・метод дает улучшенную процедуру определения как торможения〈 S〉，так и потенциала [163].

При использовании косинусоидального метода необходимо точно определять положения наблюдаемых пиков в RBS/C-спектрах. Это не простая задача, так как относительное разрешение вершин пиков и наклона лежащего под ними фона меняются с углом наблюдения. К тому же сжатие масштаба глубинного разрешения вызывает сдвиг в положении пиков. Это утверждение наиболее очевидно для поверхностного пика, который достигает максимума при энергии ниже КЕ° из-за кон- волюции асимметричной формы спектра с конечным разрешением по глубине. В [163] трудность обходили процедурой аппроксимации спектра суммой гауссианов, размещенных на подложке из фона с квадратичной зависимостью от глубины (см. рис. 2.1).

Спектроскопия излучшия легких каналированных частиц. Положение хорошо разрешенных линий спонтанных переходов между состояниями поперечного движения электронов и позитронов ввиду их особой чувствительности к деталям потенциала и тепловых смещений атомов использовалось для уточнения формы потенциала, а также плотности электронов. Пример такого влияния дан на рис. 8.29, на котором указано положение линий для трех видов потенциалов: стандартного потенциала Линдхарда, потенциалов Мольера и Хартри-Фока. Но сам по себе факт такого влияния еще не означает прямой возможности сравнения экспериментальных и теоретических значений положений уровней. Видимые на рис. 8.29 изменения в принципе того же порядка, что и обусловленные различием аксиально-симметричного и точного потенциального профилей, неоднородным тепловым уширением линий и т. д. Тем не менее некоторые результаты подобного спектроскопического анализа потенциалов и электронной плотности на сегодняшний день уже имеются.

Для корректировки потенциала плоскости (111) алмаза авторы [165] использовали два метода: уточнение атомного формфактора F(q) при малых q по данным рентгеновской дифракции и построение непрерывного потенциала плоскости по спектрам излучения кана* лированных электронов с энергией Е = 30,5 МэВ. Полученные формы спектров приведены на рис. 8.30.

Рис. 8.29. Непрерывный потенциал плоскости (111) алмаза:

1 一 потенциал Хартри-Фока; 2 - корректированный по данным рентгеновской дифракции; 3 - восстановленный по спектру излучения электронов с Е = = 30,5 МэВ

Рис. 8.30. Вычисленные и измеренные спектры излучения для электронов с £ = =30,5 МэВ в плоскостном канале (111) алмаза:

точки - эксперимент; 1 - расчет для свободного атома; 2 - расчет по данным рентгеновской дифракции

Форма потенциальных кривых может быть использована для нахождения распределения электронной плотности. Без учета вырождения связь между ними дается уравнением Пуассона. Разумеется, и здесь речь идет не о полном пространственном профиле электронной плотности в элементарной ячейке в кристалле, а лишь усредненной ее части вдоль оси или плоскости. Однако соответствующие измерения для разных каналов в принципе позволяют в известной мере восстановить именно указанный профиль.

Обьпшо электронная плотность в кристалле находится по данным рентгеновской дифракции и требует одновременного учета большого числа рефлексов, так как для описания пространственной неоднородности ~ требуется знание фурье-гармоник с волновыми вектора, ми 1/AL. В то же время пространственный масштаб измерения плотности задает минимальное значение вектора К, так что по каждой координате общее число гармоник, необходимое для адекватного восстановления электронной плотности, превышает 1/AL. И в этом смысле должна положительно сказаться избирательность каналированных электронов, локализованных в области наибольшего градиента плотности. Из анализа формы спектра изучения электронов с Е = 4 МэВ, каналированных в направлении < 110> монокристалла алмаза, оказалось, что измерение плотности электронов в центре канала приводит к сдвигу энергетических уровней группы 2s и 2р, что отражается на положении линий излучения 2р Ь. Определенная таким образом плотность электронов в центре ковалентной связи согласуется с данными рентгеновской дифракции.

Приложение. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ о структуре и динамике решетки

Таблица Ill. Структурные и динамические параметры одноэлементных кристаллов

Z

М

Элемент

Структура

0,04685ZT/3 нм

0,К

U(293°K)*hm

Период, нм

6

12,01

С

ГЦК (алмаз)

0,0258

2000

0,004

0,3567

13

26,98

ГЦК

0,0199

390

0,0105

0,4050

14

28,09

ГЦК (алмаз)

0,0194

543

0,0075

0,5431

23

50,94

ОЦК

0,0165

360

0,0082

0,3024

24

52,00

ОЦК

0,0162

485

0,0061

02884

26

55,85

ОЦК

0,0158

420

0,0068

0,2867

28

58,71

ГЦК

0,0154

425

0,0065

0,3524

29

63,54

ГЦК

0,0152

315

0,0084

0,3615

32

72,50

ГЦК (алмаз)

0,0148

290

0,0085

0,5657

41

92,91

ОЦК

0,0136

275

0,0079

0,3300

42

95,94

ОЦК

0,0135

380

0,0057

0,3147

45

102,91

ГЦК

0,0132

340

0,0061

0,3803

46

106,4

ГЦК

0,0131

275

0,0074

0,3890

47

107,87

ГЦК

0,0130

215

0,0093

0,4086

73

180,95

ОЦК

0,0112

245

0,0064

0,3306

74

183,85

ОЦК

0,0112

310

0,0050

0,3165

78

195,09

ГЦК

0,0110

225

0,0066

0冲3

79

196,97

ГЦК

0*0109

170

0,0087

0,4078

82

207,19

ГЦК

0,0108

88

0,0164

0,4951

♦Амплитуда тепловых колебаний: 〃 = 1,21 { [Ф(Х)/Х + 1/4]/(М*О)，^2, где Ф(х) - функция Дебая; х = Т/0.

Таблица П.2. Периоды осевых d- и плоскостных d^-каналов в единицах d。

ЧислоОсиПлоскости

Сгрукtура атомов в-"-

ел, ячейке <100><110><111>(100)(110)(111)

ГЦК4ОЦК2ГЦК (адмаз)8ГЦК4ОЦК2ГЦК (адмаз)8/2〃12 1/2〃12 1/4333 ^^/4333 ^^Z2/2/4Z2/2/41/2 21/2 21/2 21/2 21/2 21/2 21/31/2 31/4 3, 3/41/31/2 31/4 3, 3/4

ГЦК4

ОЦК2

ГЦК (адмаз)8

ГЦК4

ОЦК2

ГЦК (адмаз)8

/2〃12 1

/2〃12 1

/4

3

3

3 ^^

/4

3

3

3 ^^

Z2/2/4

Z2/2/4

1/2 2

1/2 2

1/2 2

1/2 2

1/2 2

1/2 2

1/3

1/2 3

1/4 3, 3/4

1/3

1/2 3

1/4 3, 3/4

Таблица П.З. Параметры потенциала Дойля-Тернера

Элемент

= 1+4

1 ； 4

Si

14,3659

0,8444

0,1787

0,0356

22,0423

2,1119

0,2997

0,0387

Si

2,1293

2,5333

0,8349

0,3216

57,7748

16,4756

2,8796

0,3860

Ge

2 4467

2,7015

1,6157

0,6009

55,8930

14,3930

2,4461

0,3415

С

0,7307

1,1951

0,4563

0,1247

35,9951

11,2966

2,8139

0,3456

* [115].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Davis J. A.// Phys. Scripta. 198 3. Vol. 28. P. 294- 328.

Тулинов А. Ф.// УФН. 1965, T. 87, № 4. C. 585-598.

Feldman L. C., Mayer J. W., Picraux S. T. Materials Analysis by ion channeling. A. P. 1982.

Кумахов M・ А., Комаров Ф. Ф. Излучение заряженных частиц в твердых телах. Минск. Изд. Б ГУ, 1985.

Andersen J. U., Bonderup Е., Pautell R. Н.// Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 1983. Vol. 33. P. 45 3-487.

Lindhard J.// Dansk. Selsk. mat.-fys. Medd. 1965. Vol. 34, N 14.

Robinson M. T., Oen O. S.// Phys. Rev. 1963. Vol. 132. P. 2385-2391.

Ландау JI. Д., Лифшиц E. M. Механика. M.: Наука, 1973.

Doyle P. A., Turner P. S.// Acta Cry st. 1968. Vol. 24A. P. 390-393.'

Ландау JI. Д・,Лифшиц E. H. Теория поля. M.: Наука, 1969.

И. Andersen J. U. К.// Dansk. Vid. Selsk. 1967. Vol. 36, N 7.

Рябов В. А.// ЖЭТФ. 1982. T. 8. C. 1176-1187.

Barret J. H.// Phys. Rev. 1971. Vol. B3. P. 1527-1537.

Fuschini E., Uguzzoni A.// Rad. Eff. 1983. Vol. 69. P. 113-128.

Заславский Г. M. Статистическая необратимость в нелинейных систем吵. М.: Наука, 1970.

Gemmel D. S.// Rev. Mod. Phys. 1974. Vol. 46, N 1. P. 129-227.

Ellison J. A.// Phys. Rev. 1978. Vol. 18, N 11. P. 5 948-5 964.

Datz S., Moak C. D., Noggle T. S. e. a.// Phys. Rev. 1969. Vol. 179. P. 129- 141.

Golovchenko J. A.// Phys. Rev. 1976. Vol. 13. P. 4672-4679.

Кумахов M. А., Ширмер Г. Атомные столкновения в твердых телах. М.: Атомиздат, 1980.

Andersen S. К., Fich О., Nielsen Н. е. a.// Nucl. Phys. 1980. Vol. В167. Р. 1-40.

Жукова Ю. Н., Иферов Г. А., Куликаускас В. С., Тулинов А. ◎•〃 I Всесоюзное совещание по физике взаимодействия заряженных частиц с монокристаллами. М.: Изд-во МГУ, 1975. С. 125-133.

Barret J. Н.// Phys. Rev. Lett. 197 3. Vol. 31. P. 15 42-15 45.

Shulga V. I.// Rad. Eff. 1975. Vol. 26. P. 61-17.

Urasova Y. E., Shulga V. I., Karpuzov V. E.// Proc. 8th Intern. Conf. Phen in Ion G, 1967. P. 50-52.

Mukherjee S. D., Thompson M. W・〃 Rad. Eff. 1981. Vol. 55. P. 223-236.

Oen O. S.//Phys. Lett. 1965. Vol. 19. P. 358-362.

Saris E. M.// Nucl. Instrum. Meth. 1982. Vol. 194. P. 625-631.

Varelas C., Carstanjen H. D., Sizmann R.// Phys. Lett. 1980. Vol. A77. P. 469- 476.

Frenken J. W. M.// Nucl. Instr. Meth. 1988. Vol. B33. P. 884-894.

Jackson D. P., Barret J. H.// Nucl. Instrum. Meth. 1984. Vol. B2. P. 318-322.

Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.; Наука, 1974.

Khodyrev V. A.// Phys. Lett. 1985. Vol. ША. P. 63-67.

Болотин Ю. П^ Гавчар В. Ю., Трутень В. И., Шульга Н. Ф. и др.// ДАН СССР. 198 8. Т. 296. С. 1104-1107.

Izmailov S. Z., Sirotinin Е. I., Tulinov A. F.// Nucl. Instrum. Meth. 1980. Vol. 170. P. 123-129.

Andersen J. U., Uguzzony A.// Nucl. Instrum. Meth. 1990. Vol. B48. P. 181186.

Andersen J. U., Bak J., Bondenip E.// Nucl. Instrum. Meth. 1988. Vol. B33. P. 34-38.

KimbaU J. C., Petschel G., Cue N.// Nucl. Instrum. Meth. 1988. Vol. B33.

HoUand O. W., Barret J. H.// Phys. Rev. 1987. Vol. B35. P. 6495-6501.

Ryabov V・ A.// Phys. Lett. 1989. Vol. 142A. P. 41-44.

Бор H. Прохождение атомных частиц через вещество: Пер. с англ. М. Изд-во иностр, лит. 1950.

Garter К., Hehl К., Schlotzhauer G.// Nucl. Instrum. Meth. 1983. Vol. 216. P. 275-286.

Рябов В. А.// ЖТФ. 1988. T. 58. C. 1479-1482.

*44. Берестецкий В. Ф., Лифшиц Е. М., Питаевскии Л. П. Релятивистская квантовая теория. М.: Наука, 1968. Т. 1.

45： Kitagava М., Ohtsuki Y. Н.// Phys. Rev. 1973. Vol. В8. Р. 3117-3122.

Matsunami N., Howe L. M.// Rad. Eff. 1980. Vol. 51. P. 111-132.

Yamashita Y.// Phys. Lett. 1984. Vol. 104A. P. 109-115.

Kononets Yu. V., Ryabov V. A.// Nucl. Instrum. Meth. 1990. Vol. B48. P. 187191.

Отзуки E.-X. Взаимодействие заряженных частиц с твердыми телами: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. С. 257.

Рябов В. А.//ЖЭТФ. 1972. Т. 65. С. 1096-1106.

Gulbertson R. J., Withrow S. Р., Barret J. U・〃 Nucl. Instrum. Meth. 1984. Vol. B2. P. 19-24.

Kumakhov M. A., WedeU R.// Rad. Eff. 1976. Vol. 30. P. 1-14.

MoHer G. Z.// Naturforsch. 1947. Vol. 2A. P. 133-151.

Белошицкий В. В., Кумахов М. А.// ЖЭТФ. 1972. Т. 62. С. 1144.

Bondenip Е., Esbensen Н., Andersen J・ U., Shiott Н. Е.// Rad. Eff. 1972. Vol. 12. Р. 261-282.

Белошицкий В. В., Кумахов М. А.// ДАН СССР. 1973. Т. 272. С. 846-849.

Белошицкий В. В., Кумахов В. М., Рябов В. А.// ЖЭТФ. 1984. Т. 87, № 9. С. 878-884.

Oshyama Т., Mannami М・ J・〃 Phys. Soc. Jap. 1982. Vol. 51. P. 2255-2261.

Uguzzoni A., Fuschini E., Gartner K., Hehl K.// Nucl. Instrum. Meth. 1986. Vol. B13. P. 32-37.

Bogh E.// Can J. Phys. 1968. Vol. 46. P. 65 3-662.

Kononetz Yu. V., Ryabov V. A.// Instrum. Meth. 1990. Vol. B48. P. 274-277.

Pedersen M. J., Andersen J. U., Elliot D. J., Lagsgaard E.// ICASCV Gatlinburg. 197 3. P. 863-884.

Schiott H. E., Bondenip E., Andersen J. U., Esbensen H.// IC ACS V, Gatlinburg. 197 3. P. 843-862.

Beloshitsky V. V., Komarov P. F., Kumakhov M. A.// Phys. Rept. 1986. Vol. 139. P. 29 3-3 38.

Thompson M. W., Pabst H. L.// Rad. Eff. 1978. Vol. 37. P. 105-114.

Davies J. A., Eriksson L., Johansson N. G. E., Mitchel I. V. e. a.// Phys. Rev. 1969. Vol. 181. P. 548-554.

Taratin A. M., Vorobiev V. A.// Phys. Stat. Sol. 1984. Vol. 124. P. 641-649.

8. Brandt W., Khan J.M.,Potter D. L.// Phys. Lett. 19 65. Vol. 14. P. 42-46.

Appleton B. R., Erginsoy C., Gibson W. M・〃 Phys. Rev. 1967. Vol. 161. P. 330349.

Bloch F. Z.// Physica. 1933. Vol. 81. P. 363-384..

Каган Ю・，Кононец Ю. В.// ЖЭТФ. 1973. Т. 64. С. 1042-1064.

Рябов В. А.//ЖЭТФ. 1974. Т. 67. С. 15 0-160.

Nitta Н., Namiki S., Ohtsuki Y. Н.// Phys. Lett. 1988. Vot A128. P. 501-505.

Nitta H., Ohtsuki Y. H., Kubo K.// Phys. Rev. 1984. Vol. B34. P. 7549-7571.

Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Квантовая механика. M.: Наука, 1988.

Dettman К., Robinson М.Т.// Phys. Rev. 1974. Vol. 10. P. 1-6.

Dettman K.// Z. Phys. 1975. Vol. 272A. P. 227-234.

Esbensen H., Golovchenko J. A.// Nucl. Phys. 197 8. Vol. 298A. P. 381-396.

Рябов В. А., Юдин Г. Л.// ЖЭТФ. 1980. Т. 78. С. 474-484.

Schwinger J・〃 J. Math. Phys. 1964. Vol. 5. P. 1606-1609.

Крайнов В. П., Юдин Г. Л.// ДАН СССР. 1979. Т. 249. С. 5 89-595.

Юдин Г. Л.// ЖЭТФ. 1982. Т. 83. С. 908-915.

Kabachnic N. М・,Kondratiev V. N., Chumanova О. V.// ICACS 15 Brighton, 1987. Р. 637- 639.

Hennann F., Shillman S. Atomic Structure calculation. New Jersey: Prentic Hall, 1963.

Me Guire E. J.// Phys. Rev. 1982. Vol. 26. P. 1858-1864.

DigoA., TurosA.// Phys. Lett. 1988. Vol. A129. P. 34-37.

Clementi E., Roetti C.// Atomic Data Nucl. Date Tabi. 1974. Vol. 14. P. 177-

Ohtsuki Y. H., Kitagava M.// Phys. Lett. 1972. Vol. A40. P. 313-317.

Jin H. S., Gibson W. M・〃 Nucl. Instrum. Meth. 1986. Vol. B13. P. 76-81.

Деев А. С, Олейник В. А., Светашов П. А., Скакун H. А.// Труды XI Всесоюзного совещания по физике взаимозаряженных частиц с кристаллами. М.: Изд-во МГУ. 1987. С. 57-59.

Smulders Р. J. М., Boerma D. О.// Nucl. Instrum. Meth. 1987. Vol. B29. P. 471. 92. Eisen F. H.// Phys. Lett. 1966. Vol. 2 3. P. 401-404.

3. Appleton B. R., Darz S., Moak C. D. e. a.// Phys. Lett. 197 2. Vol. 2 8. P. 1307- 1310.

Lindhard J., Scharf M.// Phys. Rev. 1961. Vol. 124. P. 128-130.

Betz H. D.// Rev. Mod. Phys. 1972. Vol. 44. P. 465-478.

Окороков В. В. Письмо ЖЭТФ. 1965. Т. 2. С. 175-179.

Fujimoto F., Komaki К., Ootuka А. е. a.// Nucl. Instrum. Meth. 1988. Vol. ВЗЗ. P. 354-361.

МШег P. D., Krause H. F., Biggerstaff J. A. e. a.// Nucl. Instrum. Meth. 1986. Vol. B13. P. 56-60.

Belkacem A., Bologna G., Chevalier M. e. a.// Phys. Lett. 1986. Vol. 177. P. 211-215.入

Кононец Ю. В., Рябов В. А.// Письма ЖЭТФ. 1988. Т. 48. С. 303-306.

Каган Ю., Кононец Ю. В.// ЖЭТФ. 1970. Т. 58. С. 226-244.

Bazflev V.A.,Golovizmin V. V.// Rad. Eff. 1982. Vol. 60. P. 101-108.

3. Рябов В. А.// ФТТ. 1982. T. 24. C. 2141-214 8.

Andersen J. U., Eriksen K. R., Loegsgaard E.// Phys. Scripta. 1981. Vol. 24. P. 588-596.

Михеев С. А., Тулупов А. В.// ФТГ. 1986. T. 2 8. C. 2447-2454.

Andersen J. U., Bondenip E., Loegsgaard E.// Topics in Current Physics, 1985. Vol. 38. P. 127-164.

Andersen J. U., Bondenip E., Loegsgaard E. e. a.// Nucl. Instrum. Meth. 1982. Vol. 194. P. 209-224.

Воробьев С. А. Каналирование электронных пучков. M.: Энергоатомиз- дат, 1984.

Мигдал А.// ДАН СССР. 1955. Т. 105, № 6. С. 7 7-7 9.

ПО. Базылев В. А., Глебов В. И., Головчзнин В. В.// ЖЭТФ. 1986. Т. 91. С. 25-41.

Lervig P., Lindhard J., Nielsen V.// Nucl. Phys. 1967. Vol. A96. P. 481-498.

Burenkov A. F., Dudehic Y. T., Komarov F. F.// Rad. Eff. 1984. Vol. 83. P. 241-248.

Gouanere M., Sillow D., Spighel M. e. a.// Nucl. Instrum. Meth. 1982. Vol. 194. P. 225-231.

Gouanere M., Sillow D., Spighel M. e. a.// Phys. Rev. 1988. Vol. B38. P. 4352- 4361.

Andersen J. U., Bonderup E., Loegsgaard E., Sorensen A. H.// Phys. Scipta. 198 3. Vol. 28. P. 308-3 30.

Tsyganov E. N. Fermilab T. 1976. TM-684.

Elishev A. F., Filatova N. A., Golovatyuk V. M. e. a.// Phys. Lett. 1979. Vol. 88B. P. 387-391.

Bak J., Melchart G., Uggerhoj E. e. a.// Phys. Lett. 1980. Vol. 93B. P. 505- 509.

Quere Y.// Phys. Stat. Sol. 1968. Vol. 30. P. 713-724.

Kudo H.// J. Phys. Soc. Jap. 1976. Vol. 40. P. 1645-1651.

Kudo H.// Nucl. Instrum. Meth. 1981. Vol. 189. P. 609-614.

Gibson W. M., Kim I. J., Pisharody M. e. a.// Nucl. Instrum. Meth. 1984. Vol. B2. P. 51-59.

Ellison J. A., Baker S. L, Carrigan R A.// Nucl. Instrum. Meth. 1983. Vol. B2. P. 9-12.*

Taratin A. M., Vorobiev S. A.// Phys. Stat. Sol. 1986. Vol. 133. P. 511-521.

Андреев В. А., Баулис В. В., Дамаскинский Е. А. и др.// Письма ЖЭТФ. 1982. Т. 36, №9. С. 340-343.

Mannami М., Kimura К., Otsuki Y. е. a.// Nucl. Instrum. Meth. 1988. Vol. ВЗЗ. P. 62-65.

Таратин A. M., Воробьев С. А.//ЖТФ. 1985. Т. 55, № 8. С. 15 98-1603.

Сумбаев О. И.//ЖТФ. 1987. Т. 57, вып. И. С. 2067-2077.

Carrigan R. A.// Relativistic channeling eds. Carrigan R. A., Ellison J. A. N. Y.: Plenum. 1987. P. 3 39-348.

Kudo H.// Phys. Rev. 197 8. Vol. B18. P. 5 995-5 601.

Kimura K., Mannami M., Natsnaki N.// Jap. J. Appl. Phys. 1982. Vol. 12, N 12. P. 1769-1773.

Sizman R., Varelas C.// Nucl. Instrum. Meth. 1976. Vol. 132. P. 633-639.

3. Yamamura Y., Takeuchi W.// Phys. Lett. 198 3. Vol. 98A. P. 109-113.

Kimura K., Mannami M.// Nucl. Instrum. Meth. 1987. Vol. 98A. P. 442-447.

Кумахов M. А., Сабиров А. С.// Поверхность. 1986. T. 6. C. 36-4 2.

Ганн В. В.// BAHT. Сер. Физика радиационных повреждений. 1983. Т. 5.

Sternglass Е. J.// Phys. Rev. 1957. Vol. 108. Р. 1-11.

Рябов В. А.// ФТТ. 1968. Т. 10. С. 3436-3439.

Morgan D. V., Van Vliet D.// Can J. Phys. 1968. Vol. 46. P. 503-508.

Бормот О. В., Меликов Ю. В., Рябов В. А.// Вестник МГУ, 1980.

Телегин В. И., Хоконов М. X.// ЖЭТФ. 1982. Т. 83. С. 260-273.

Picraux S. Т., Dawson L. R., Tsao J. е. а. // Nucl. Instrum. Meth. 1988. Vol. ВЗЗ. P. 891-897.

Frenken J. W. M., Maree P. M. J., Van der Veen J. F.// Phys. Rev. 1986. Vol. B14. P. 7506-7513.

Picraux S. T., Allen W. R., Biefeld R. M. e. a.// Phys. Rev. Lett. 1985. Vol. 55. p 2355—2359

Han D. Y.// Phys. Rev. 1987. Vol. B35. P. 4159-4161.

Schuster M., Varelas C.// Surf. Sci. 198 3. Vol. 134. P. 195-202.

Graser W., Varelas C.// Surf. Sci. 1985. Vol. 157. P. 74-83.

Gartner K., Hehl K., Schlotzhauer B.// Nucl. Instrum. Meth. 1984. Vol. B4. P. 55-62.

Swanson M. L.// Rept. Progr. Phys. 198 2. Vol. 45. P. 47-61.

Воронов В. А. и др.// Материалы ХЕХ Всесоюз. сов. по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. - М.: Изд-во М『У."90. С. 138.

Naramoto Н., Kawatsura К., Sataka М. е. a.// Nucl. Instrum. Meth. 1988. Vol. ВЗЗ. P. 595-598.

15 2. Dbmei B.〃 Ark. Fys. 1966. Vol. 32. P. 17 9-191.

Hofsess H.// Nucl. Instrum. Meth. 1986. Vol. B13. P. 71-75.

Fabritius G., Feldman R., Flik G.// Nucl. Instrum. Meth. 1988. Vol. ВЗЗ. P. 4952.

Pokhil G. P., Tulinov A. F., Turinge A. A. e. a.// Nucl. Instrum. Meth. 1986. Vol. B13. P. 84-86.

Hashimoto Y., Barret J. H., Gibson W. M.// Phys. Rev. Lett. 1973. Vol. 30. P. 995-998.

Ryabov V. A.// ICACS 7. Moskow. 1981. P. 107-109.

Бормот О. В., Похил Л. П., Меликов Ю. В., Туликов А. Ф. и др.// Труды VIIIВСФВЗЧМ. М.: Изд-во МГУ, 1977. С. 102-106.

Melicov Yu. V., Khamin V. A., Platonov S. Yu. e. a.// Nucl. Instrum. Meth. 1988. Vol. B33.P. 81-85.

Gartner K., Uguzzoni Aj/ Nucl. Instrum. Meth. 1988. Vol. ВЗЗ. P. 607-612.

Gruska B・，Gotz G.// Phys. Stat. Sol. 1981. Vol. 67a. P. 129-135.

Datz S., Fearick R. W., Park H. e. a.// Nucl. Instrum. Meth. 1984. Vol. B2. P. 74-81.

Barret J. H.// Phys. Rev. 1979. Vol. B20. P. 3535-3540.

Ziegler J. F. Helium Stopping Power in All Elements. New York: Pergamon Press, 1977.

Berman B. L., Dahling B. A., Datz S.// Nucl. Instrum. Meth. 1985. Vol. B10. P. 611-617.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 3

Глава1. Приближение непрерывного потенциала 5

Модель бинарных столкновений 5

Ориентационные эффекты 10

Уравнения движения 19

Равновесные распределения 28

Эффект тени 37

Глава 2. Рассеяние быстрых заряженных частиц в тонких монокристаллах 41

Осцилляции потока при плоскостном каналировании 41

Осевое каналирование 46

Рассеяние в сверхтонких монокристаллах 52

Каналирование и хаос 54

Принцип обратимости и усиленное обратное рассеяние 59

Глава3. Деканалирование 63

Кинетическое уравнение в фазовом пространстве 63

Локальный угловой разброс 70

Деканалирование в тонких монокристаллах 77

Уравнение Фоккера-Планка 82

Интегральное уравнение 87

Методы решения кинетических уравнений 90

Функция деканалирования 94

Глава 4. Неупругие процессы при каналировании 98

Метод прицельного параметра 98

Приближение ^едней частоты104

Торможение на валентных электронах112

Торможение на электронах внутренних оболочек113

Торможение частиц в канале118

Эн^гетические спектры каналированных частиц. . . 121

Угловой разброс на атомных электронах127

Зарядовое состояние многоз^)ядных ионов131

Когерентное возбуждение частиц в кристалле132

Радиационное торможение суперрепятивистских частиц136

Глава 5. Квантовая теория эффекта каналирования138

Спектр состояний поперечного движения138

Упругое рассеяние147

Квантовое кинетическое уравнение150

Ширина уровней 158

Глава 6. Каналирование в изогнутых кристаллах163

Поворот пучка з^)яженных частиц в изогнутом кристалле163

Деканалирование в изогнутых кристаллах167

Объемный захват169

Деканалирование ионов на протяженных дефектах1?0

Глава 7. Поверхностное каналирование173

Режимы движения173

Полуканалирование176

Зеркальное отражение180

Неупругие процессы на поверхности кристаллов183

Глава 8. Применение эффекта каналирования в физике твердого тела и ядериой физике185

Метод машинного моделирования185

Поверхностные слои монокристалла и пленочные покрытия191

Профиль дефектов и местоположение примесных атомов в решетке 204

Время протекания ядерных реакций217

Тип и профиль протяженных дефектов221

Потенциал взаимодействия и электронная плотность228

Приложение. Краткие сведения о структуре и динамике решетки233

Сшгсок литературы 235

ФОРТСВ, ОБНИНСК

Калужская обл.г тел. (08439) 24087.

СБОР И РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТАЛЛИЧЕСКОГО ЛОМА,НЕРЖАВЕЮЩЕЙ СТАЛИ, ЦВЕТНЫХ И ДРАГОЦЕННЫХМЕТАЛЛОВ ПО САМЫМ ВЫСОКИМ ЗАКУПОЧНЫМ ЦЕНАМ.

ВАРябов

ЭФФЕКТ

каналирования

s

Москва - Энергоатомиздат • 1994

УДК 539.2:548.55

Рябов В.А. Эффект каналирования.-М.: Энергоатомиздат, 1994. - 240 с. - ISBN 5-283-03889-0.

Освещено современное состояние физики ориентационных эффектов, возникающих при взаимодействии быстрых заряженных частиц с монокристаллами. Приведены основные результаты теории эффекта каналирования и связанных с ними методов расчета угловых и пространственных распределений частиц в кристаллах, широко используемых в многочисленных приложениях. Рассмотрены процессы многократного рассеяния каналированных частиц на тепловых колебаниях атомов решетки, электронах и дефектах кристаллической структуры. Приведши примеры использования эффекта каналирования в физике твердого тела и ядерной физике.

Для научных работников в области радиационной физики твердого тела и ядерной физики.

Табл. 4, Ил. 84. Библиогр.： 165 назв.

Рецензент ЯД КАЛАШНИКОВ

Научное издание

Рябов Валерий Александрович