ГЛАВА I

ГАМИЛЬТОНИАНЫ С ОБМЕНОМ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ ПО СПИНУ

Изоляторы

Общие соображения

В течение многих десятилетий модель Гейзенберга была основой, на которой развивалась теория магнетизма. Эта модель описьшает изотропные магнетики. Так как у магнетиков с локализованными спинами состояние атома g определяется направлением его спина Sg, то в изотропном пространстве энергия взаимодействия двух атомов g и f может зависеть лишь от скалярного произведения спинов этих атомов. В гамильтониане Гейзенберга эта зависимость считается линейной:

H = -gE4(g_f)Sg.Sf.(1.1)

Естественно, выражение (1.1), будучи билинейным по спинам и, следовательно, двухцентровым» отнюдь не является самым общим видом гамильтониана магнетика с локализованными спинами. Обобщение гамильтониана Гейзенберга возможно в различных направлениях. Прежде всего, оставаясь в рамках билинейной по спинам структуры, можно учесть магнитную анизотропию кристаллов. Предельным случаем анизотропной системы является изинговская модель с гамильтонианом

Я = ~ у S J(g-f)5/5/.(1.2)

Но возможен и выход за рамки билинейного обменного взаимодействия, не нарушающий изотропности системы. Такие обобщенные изотропные магнитные гамильтонианы и будут основным предметом рассмотрения в этой главе.

Начнем с рассмотрения ситуации, когда все магнитные атомы находятся на фиксированных расстояниях друг от друга, и орбитальный момент у атомов отсутствует. Обсудим прежде всего, как можно уточнить описание двухцентрового взаимодействия в том случае, когда спин атомов S превышает 1/2. Тогда, вообще говоря, скалярное произведение спинов атомов 1 и 2 входит в энергию их взаимодействия не только в первой степени, но и в более высоких степенях до 2s включительно:

2S

Я12=- S 勿&$)〃•(13)

м =0

Ограничение суммирования по 幫 значением 2s обусловлено тем, что еще более высокие степени компонент спина выражаются через единичную матрицу и компоненты спина в степенях до 2s. Действительно, рассмотрим, например, оператор (Sz) при и > 25. В матричном представлении, когда он диагоналей, он задается 2s + 1 матричными элементами. Но такая матрица может быть выражена как линейная комбинация того же числа любых диагональных матриц. В качестве одной из них можно взять единичную, а остальные матрицы - в виде (5Z)W с 0 < m《2s.

В ряде работ обменная энергия (1.3) ассоциируется с оператором Pi 2 (^) перестановки спинов произвольной величины 5, введенным Шредингером [279] в обобщение оператора Дирака Pi 2 (1/2),

〃12=— %2 尸 12(S),尸 12s2 尸^ =S|.(1.4)

Для спинов 1/2 и 1 он дается выражениями

P12(l/2)=-^[l+4(S1 -S2)J,(1.5)

Л2(1)=1 -(Si .S?) —(S】У?)?.(1.6)

Выражения для 尸i2(S) при больших S приведены в цитированных выше работах. Для нас же достаточно того факта, что в этих выражениях члены высших степеней по (S】• S2) сравнимы с линейным членом, что видно на примере 尸12(1) (16). Таким образом, если бы постулат (1.4) был верен, то гамильтониан Гейзенберга был бы заведомо неприменим при S > 1/2.

Следует, однако, подчеркнуть, что в работах, где используется соотношение (1.4), оно не обосновьшается, а просто пишется по аналогии со случаем спина 1/2. Если 5 = 1/2, то, действительно, обменная энергия при соответствующем выборе аддитивной постоянной пропорциональна Р12 по той причине, что в этом случае и Я12, и Pi2 линейны по (Si • S2). Но при наличии в (1.3) трех или более коэффициентов (5 > 1) нельзя добиться пропорциональности Pi2 и Я12 путем сдвига начала отсчета энергии. Так как доказательство законности (1.4) в общем виде отсутствует, решить этот вопрос помогают расчеты на конкретных моделях, описанные ниже. Они показьшают, что на самом деле коэффициенты % в (1.3) зависят от особенностей модели и, как правило, интегралы обмена высших степеней по спину малы по сравнению с гейзенберговским Jx. Поэтому модель (1.4) представляет лишь математический интерес и в этой книге обсуждаться не будет.

Далее, в кристалле кроме двухспинового обмена должен существовать еще и многоспиновый. На это было впервые указано в [7] и там же было отмечено, что из условия инвариантности гамильтониана относительно инверсии спинов следует, что в него должны входить произведения только четного числа спинов. В литературе встречаются псевдоспиновые гамильтонианы с произведениями нечетного числа спинов (например, S&S?). Ясно, что такие гамильтонианы не имеют отношения к проблемам магнетизма и что в магнитных гамильтонианах многоспиновый обмен низшего порядка должен быть четырехспиновым 〜SlS2S3S4. Таким образом, в общем случае гамильтониан изотропного обмена имеет вид

〃=一辅 ％(fi..$)(Sf「Sf)..(Sf2i 02〃)，(1.7)

где номера атомов § могут и совпадать друг с другом.

12

При последующем рассмотрении конкретных моделей следует иметь в ^уду, что с их помощью можно получить лишь качественные закономерности и довольно грубые оценки для интегралов негейзенберговского обмена. Получение для них численных значений относится скорее к задачам квантовой химии, чем физики. Но успехи квантовой химии в расчетах из первых принципов весьма скромны. Численные расчеты не всегда приводят даже к правильному знаку интеграла гейзенберговского обмена, чему виной осциллирующий характер d・ и /-волновых функций. Тем более на такие расчеты нельзя полагаться, когда дело касается решения гораздо более сложной задачи - нахождения негейзенберговских интегралов обмена. Их надежные значения можно получить только из экспериментальных данных.

Негейзенберговский обмен в системах со спином N2

Задача о негейзенберговском обмене в системе спинов 1/2 упрощается тем обстоятельством, что в такой системе возможен только многоспиновый обмен, но невозможен, например, биквадратичный обмен типа (S】• S2)2. В качестве исходного для анализа многоспинового обмена целесообразно взять гамильтониан Хаббарда

Н=и^а；аа^а1_аа^_а^^В^-^а1ааТа^Н0^Н19 (1.8) где «В。，％о - операторы рождения и уничтожения электрона на атоме g с проекцией спина а. Считается, что число электронов равно числу атомов, и рассматривается полупроводниковый предел В < U. В этом пределе в нулевом приближении по B/U в основном состоянии на каждом атоме находится по одному электрону, а само это состояние 2 ^кратно вырождено W — число атомов), поскольку энергия системы не зависит от направлений спинов этих атомов.

• Обменное взаимодействие между атомами в модели Хаббарда возникает в результате виртуальных переходов электронов со своих атомов на соседние. Переход электрона на соседний атом возможен, лишь если его спин антипараллелен спину атома, на котором электрон первоначально находится. Это обусловлено тем, что согласно (1.8) переходы электрона с атома на атом происходят без изменения направления спина его атома. Если спины двух соседних атомов параллельны, то электрон с одного из них не может перейти на другой из-за принципа Паули. Если же эти спины антйпарал- лельны, то из-за виртуальных электронных переходов уменьшается степень локализации электронов на атомах, что в соответствии с соотношением неопределенности понижает электронную энергию. По этой причине энергия антиферромагнитного (АФМ) состояния в рассматриваемой модели ниже, чем ферромагнитного (ФМ).

Магнитный гамильтониан строится из (1.8) в соответствии с методикой, развитой в [7]. Виртуальные переходы электронов с атома на атом учитываются не поправками к волновой функции нулевого приближения, а такой перестройкой гамильтониана, чтобы, действуя на волновые функции нулевого приближения, он давал те же результаты для энергии, что и стандартная теория возмущений. Иными словами, перестроенный гамильтониан действует в пространстве 2N волновых функций, соответствующих нахождению на каждом атоме по одному электрону. Следовательно, в этом

пространстве каждый атом имеет спин фиксированной величины 1/2. Это и дает возможность ввести в перестроенный гамильтониан операторы спинов атомов вместо электронных операторов.

Использование операторной формы теории возмущений [7] приводит к следующему выражению для той части перестроенного гамильтониана, которая зависит от спинов:*

4f 二尸{-%(% -現尸必-^Н^Но-Е^Н^Но-ЕоУ1^ -

_从(仇 _£о)т%(% -Ео尸(1 -РуН^Но-ЕоУ1^ +

+ НМ/ 一 Е°『HiPHKHo - Е°尸&} Р + O(Hf),(1.9)

где 尸—оператор проецирования произвольной волновой функции на подпространство волновых функций нулевого приближения с одним электроном на атом. Структура гамильтониана (1.9) гарантирует, что в результате последовательного действия операторов, фигурирующих в Нм, на любую волновую функцию нулевого приближения вновь получится одна из волновых функций этого приближения. В состояниях нулевого приближения с учетом того, что на каждом атоме находится точно по одному электрону, компоненты спина выражаются через электронные операторы при помощи соотношений

&%。二g 7；ехр「тг(В +,},(1.10)

咱 agt = SQ 三 S； — iS；,脸 4gL ^g = S； + 吋・

Гейзенберговский обмен получается как поправка к энергии основного состояния во втором порядке по B/U. Из (L9,1.10) получается следующее выражение для энергии обменного взаимодействия атомов 1 и 2, обусловленной виртуальными переходами электрона с атома 1 на атом 2 (т.е. 1 今2, 2 今 1) или в обратном направлении (с 2 на 1 и обратно):

2匿2-45『2「1 1

从2 =—^а\аа2та2аа\т^—~|^(Si ' S2)- ~ j .(1.11)

Структура выражения (1.11) подтверждает высказанные выше соображения об энергетической выгодности АФМ упорядочения при рассматриваемом здесь механизме обмена.

Найдем теперь поправки к гамильтониану в третьем порядке теории возмущений. В этом порядке электрон, ушедший с атома 1 на атом 3, далее переходит на атом 2 и только после этого возвращается на атом 1. Очевидно, атомы 1, 2, 3 должны лежать в вершинах треугольника, и для такого движения по треугольнику в случае простой кубической (ПК) решетки необходим выход за пределы приближения ближайших соседей. Согласно (1.8—1.10) вклад от такого треугольника в энергию обмена пропорционален】

^а1\а2\а2ца3цазаа1а 二不 +(S1 • S2) — (S2 • S3) — (Si • S3) + O(S 3).

(1.12) После суммирования (1.12) по начальным точкам и направлениям обхода треугольника получается следующий вклад от этого треугольника в 14

магнитный гамильтониан:

^12^23^31 Г3 ]

(1.13)(1.13)从23=―疾勺⑶•S2) + (S2-S3) + (S3-S1)--j .

(1.13)

(1.13)

Таким образом, в третьем порядке теории возмущений лишь ренормиру- ется гейзенберговский обмен, члены же третьего порядка по спину, как и должно быть, взаимно компенсируются.

Негейзенберговский обмен получается лишь в четвертом порядке по Hi. Если он связан с четверкой атомов 1, 2, 3, 4, образующих квадрат с наименьшей возможной стороной, то согласно (1.9, 1.10) соответствующий гамильтониан имеет структуру

"1234"1234制制(Sx *S2)(S3 -SJ-CSx -S3)(S2 -s4) +(Sx *S2)(S3 -SJ-CSx -S3)(S2 -s4) +

"1234

"1234

制

制

(Sx *S2)(S3 -SJ-CSx -S3)(S2 -s4) +

(Sx *S2)(S3 -SJ-CSx -S3)(S2 -s4) +

+ (SX -S4)(S2 -S3)~+ (SX -S4)(S2 -S3)~

+ (SX -S4)(S2 -S3)~

+ (SX -S4)(S2 -S3)~

(1.14)

Как видно из (1.11, 1.14), отношение интегралов четырех- и двухспинового обменов имеет порядок В2 /U2. При B/U^. 0,1 это отношение йе превышает нескольких процентов, т.е. в системах, хорошо описьшаемых такой простой моделью, роль многоспинового обмена невелика. Однако из результатов, полученных в ее рамках, можно сделать важный качественный вывод: поскольку согласно (1.8) ширина запрещенной зоны ПК кристалла 0 равна U - 12|5|, роль негейзенберговского обмена повышается с уменьшением ширины щели Eg. Этот вывод подтверждается и расчетами в других моделях.

Относительная роль негейзенберговского обмена возрастает, если выйти за пределы модели Хаббарда и учесть кулоновское отталкивание на соседних атомах. Как хорошо известно, из-за него возникает обменное взаимодействие между электронами на соседних атомах, которое стремится установить ФМ упорядочение. Поскольку вклады в суммарный интеграл гейзенберговского обмена от виртуальных переходов и прямого кулоновского обмена одного порядка (второго по перекрытию орбит соседних атомов), но противоположных знаков, они могут в значительной степени компенсировать друг друга. Что же касается обмена высших порядков по спинам, то в них оба эти механизма отнюдь не обязаны друг друга компенсировать и могут даже усиливать друг друга. Тогда относительный вклад четырехспинового обмена в полное обменное взаимодействие может быть существенно больше, чем по полученной выше оценке.

Аналогичный механизм обмена реализуется в ядерном айтиферромагнетике -твердом 3Не, спин ядер которого равен 1/2. Разница состоит только в том, что здесь обмен обусловлен не электронными переходами, а виртуальным квантовым туннелированием атомов гелия из одной элементарной ячейки в другую. Специфика переходов атомов между ячейками состоит в том, что атомы имеют конечный объем. Из-за этого роль многоцентрового обмена в гелии оказывается гораздо выше, чем в электронном магнетике, описываемом гамильтонианом Хаббарда. Действительно, из чисто геометрических соображений оказьшается, что легче всего произвести циклические перестановки атомов, в которых принимают участие одно-

aaРис. 1.1. Кольцевые обмены в объемноцентрированной кубической решетке.

a

a

0 — четыре атома, принимающих участие в обмене, и восемь их ближайших соседей^ считающихся фиксированными; 5 — по мере увеличения постоянной решетки первым становится возможным циклический обмен четырех атомов. Как видно из рис. 6x2, двух- и трехспиновые обмены затруднены из-за перекрытия твердых сфер [269]

временно четыре частицы, так как при этом менее всего деформируется их окружение (рис. 1.1). Следующей по трудности оказьшается циклическая перестановка трех атомов, а самой трудной - перестановка двух атомов, поскольку при ней окружение деформируется сильнее всего [269].

Как было показано выше, гейзенберговский обмен возникает не только при переходах частиц с участием двух атомов, но и при переходах с участием большего их числа. Поэтому из того факта, что в гелии двухатомные циклы затруднены, отнюдь не следует, что негейзенберговский обмен в нем гораздо сильнее гейзенберговского: реально они сравнимы друг с другом.

Наиболее компактные циклы в кристаллах гелия, имеющих объемно- центрированную кубическую решетку, изображены на рис. 1.2. Специально

Рис. 1.2. Компактные циклы в о^ъемноцентр ир ов анной решетке.〃 一трехчастичныи цикл; б — четырехчастичные циклы; F — сложенный,尸—плоский циклы [269]Рис. 1.2. Компактные циклы в о^ъемноцентр ир ов анной решетке.〃 一трехчастичныи цикл; б — четырехчастичные циклы; F — сложенный,尸—плоский циклы [269]

Рис. 1.2. Компактные циклы в о^ъемноцентр ир ов анной решетке.

〃 一трехчастичныи цикл; б — четырехчастичные циклы; F — сложенный,尸—плоский циклы [269]

Рис. 1.2. Компактные циклы в о^ъемноцентр ир ов анной решетке.

〃 一трехчастичныи цикл; б — четырехчастичные циклы; F — сложенный,尸—плоский циклы [269]

отметим, что четырехатомные циклы состоят из плоских (J, 2‘, 3： 4') и сложенных (J, 2, 3, 4) четырехугольников. Обменный гамильтониан выражается через операторы 冏,Л/fc, Ptjki двух-, трех- и четырехатомных циклических перестановок [269]:

(О(Т),(尸),

"=_%n亲也+d^因泳+(冏к1]一两>^j因削+ 0阿尸]一 (尸)，

-X 2 陽u +(爲削尸],(1.15)

ijkl

где символы (1), (Т), (Р) и (F) означают соответственно суммирование по всем ближайшим соседям, треугольникам, плоским и сложенным четырехугольникам. Операторы сложных перестановок выражаются через двухчастичные операторы (1.5) соотношениями

尸tjk =尸Mik,Pijk Z= ^ijkPil•(1 • 16)

С использованием (1.5,1.16) гамильтониан (1.15) принимает вид 13(л)1(а)

〃 =2 力 z2 线 2 [(SrS/)(Sfc-Sz) +

2〃 = 1 I </4 а = P, F i<j <k< I

+ (S厂 &) (S厂 SQ -(S厂 SQ (S厂 SJ,(1.17)

仇二 3nn + 3(— 2 % + 仇^ ^^f\.

)2 =2(-2%+//2+<^>),%=JTp/2,(

где (幫)означает суммирование по м-м по дальности соседям. Гейзенберговский обмен между вторыми и третьими по дальности соседями появляется, когда операторы тр^х- и четырехчастичных перестановок выражаются через спиновые. В целом структура гамильтониана (1.17) согласуется с результатами (1.13,1.14), полученными иным путем. Его коэффициенты вычислены в [87,272].

Негейзенберговский сверхобмен при произвольном спине

При спинах, превышающих 1/2, между атомами появляется биквадра- тичный обмен ~(Si • S2)2. В [79] было показано, что при сверхобмене через немагнитные атомы относительны! вклад биквадратичного обмена в энергию магнитного упорядочения при больших спинах может составлять десятки процентов. Й1же будет изложен наиболее простой вариант теории сверхобмена с учетом обменных членов высших порядков по спину. В его основе лежит теория сверхобмена Бломбергена - Роуленда. В ней фактически используется полупроводниковый вариант s - /^модели С.В. Вонсовского: все электроны в кристалле делятся на неподвижные /- или tZ-электроны, локализованные на магнитных ионах, и подвижные (^^^^^-) электроны, которые в основном состоянии кристалла заполняют валентную зону. Подвижные электроны взаимодействуют с локализованными посредством обменных сил. В результате этого взаимодействия появляются виртуальные электроны в зоне проводимости и дырки в валентной зоне, которые и переносят обменное взаимодействие между локализованными спинами.

17172. Э.Л. Нагаев

17

17

(118)(118)(1-19)(1-19)Исходный гамильтониан системы записывается в виде н=%+а

(118)

(118)

(1-19)

(1-19)

% = ?ек 小 4ko + z以理0%0，

% =一方z做 - 6)。。，(脸。擋。，+Ckik+q"

sq$"f.

Здесь a；。，4ko и ci。，Cko 一 соответственно операторы рождения и уничтожения электрона проводимости и дырки, к — их квазиимпульс (дырочные операторы — сопряженные соответствующим операторам для электронов валентной зоны). Гамильтониан Hq описывает свободные электроны проводимости и дырки, а гамильтониан Hi - их обменное взаимодействие с локализованными спинами. Здесь учтен только межзонный s — /-обмен (〜〃*с*). Внутризонный s -/-обмен (〜4*〃илис*с) можно не учитывать, так как число носителей тока в полупроводниках слишком мало, чтобы сказаться на магнитном упорядочении.

Что же касается структуры гамильтониана %, то она соответствует гейзенберговской. В этом легко убедиться, если перейти в электронных операторах от импульсного представления к узельному при помощи соотношения, обратного (1.19). Пользуясь хорошо известными выражениями для матриц Паули и соотношениями типа (1.10),находим, что гамильтониан имеет структуру 〜Sg • Sg/, где Sg/ — межзонный электронный спин. То обстоятельство, что сам s — /-обмен описьшается гамильтонианом Гейзенберга, есть следствие того, что спин подвижного электрона равен 1/2, так что любая функция от Sg • sg； выражается через линейную.

Магнитный гамильтониан находится с использованием формулы (1.18) и (1.9), где под Р в данном случае понимается оператор проецирования на электронно-дырочный вакуум. В результате после обратного перехода к узельному представлению для спинов магнитный гамильтониан принимает вид

Нм = — Z (4(g — f) Sg • Sf — S [重(f 1 — f?, f? — g2 , gi — g2)— —%(fl — gl,gl — g2』2 — g2)+對(gl —^2,^2 — g2,h — g2)] X

x（Sf「sG（Sg「Sg2）,x（Sf「sG（Sg「Sg2）,D2D2J(h)= —rS4%2冗(％,h2,h3)=J(h)= —rS4%2冗(％,h2,h3)=/qh/qhEk + 丄 k+qEk + 丄 k+q(1.20)(1-21)(1.20)(1-21)

x（Sf「sG（Sg「Sg2）,

x（Sf「sG（Sg「Sg2）,

D2

D2

J(h)= —rS4%2

冗(％,h2,h3)=

J(h)= —rS4%2

冗(％,h2,h3)=

/qh

/qh

Ek + 丄 k+q

Ek + 丄 k+q

(1.20)

(1-21)

(1.20)

(1-21)

DD2^22^2E exp{q M +П12 (k? -k]) + ih3 q}(^ki + qj + £% ) (Ek?+q? + £% )(七％+qi + Ek?)

D

D

2^2

2^2

Если выполнено неравенство W » 经》DS、где W — ширина электронной или дырочной зоны,々-ширина щели, то интеграл билинейного обмена в (1.20) имеет порядок D2 IW. Интегралы же биквадратичного обмена 18

~(Si • S2)2, трехспинового обмена ~(S】• S2) (S2 • S3) и четырехспинового обмена 〜(Si • S2) (S3 • S4) имеют порядок Z//W 3. В противоположном пределе Eg > W > DS гейзенберговский интеграл обмена имеет порядок D2 W 2同、а негейзенберговские -D4^ '/呢.Эти оценки легко получаются с использованием простого косинусоидального закона дисперсии для электронов и дырок

£к = 2В[cos кх + cos ку + cos kz](1.22)

разложением энергетических знаменателей в (1.21) по W/&. Ширина зоны связана с блоховским интегралом В и числом ближайших соседей z равенством W = 2z I В I, здесь и ниже волновой вектор берется безразмерным. Из приведенных оценок ясно, что роль негейзенберговского обмена возрастает с уменьшением ширины запрещенной зоны, что качественно согласуется с выводами предыдущего пункта.

Ионы с сильным спинюрбитальным взаимодействием в кристаллическом поле

В магнетиках с сильным спин-орбитальным взаимодействием существуют дополнительные причины возникновения негейзенберговских членов в магнитном гамильтониане. В конечном счете они сводятся к тому, что спины через связанный с ними орбитальный момент чувствуют электрические поля в кристалле. В таких материалах векторы спина и орбитального момента объединены в полный момент J. Под действием кристаллического поля (2 J +1)-кратно вырожденный уровень /-иона расщепляется на компоненты меньшей кратности. Если наинизший мультиплет отделен достаточно широкой щелью от остальных, то магнитные свойства системы определяются только этим мультиплетом. Его состояниям можно приписать эффективный спин S такой, что число 2S + 1 совпадает с числом компонент мультиплета, и в терминах эффективного спина построить магнитный гамильтониан системы. В этом случае, даже если исходить из гейзенберговского выражения через истинные спины для обменной энергии, после его проецирования на низший мультиплет и перехода от истинных спинов к эффективным выражение для получающегося эффективного магнитного гамильтониана становится существенно негейзенберговским [141].

Эта идея была проиллюстрирована в [141] модельным расчетом для иона U применительно к UO2. У этого иона два /-электрона, и его состояние есть 3Н4. В кристаллическом поле оно расщепляется, и обычно принято считать низшим триплетное состояние. Его волновые функции, выраженные через состояния \ JZ > с определенными значениями проекции полного момента J“，интерпретируются как состояния Ф(5 z ) с заданными значениями проекции эффективного спина S z:

Ф(0) = /^[丨2〉- |-2>],

(1.23)

Ф(± 1) = /^|±3〉- /^丨孑1 >•

2*19

Сходство эффективного спина с истинным моментом подчеркивается тем обстоятельством, что среднее значение Jz по состоянию Ф(0) равно нулю, а по состояниям Ф(± 1) они отличаются друг от друга знаком.

В основе расчета лежит модель сверхобмена Андерсона [79], которая отличается от модели Боголюбова (1.8) только тем, что еще учитывается и орбитальный индекс 入 электронного состояния на атоме. В [141] полагается, что блоховский интеграл В не зависит от 入 н что переходы электрона с атома на атом происходят без изменения 入.Тогда во втором порядке по В в полной аналогии с рассмотрением, проведенным в п. 16, получается следующее выражение для гамильтониана обменного взаимодействия между атомами 1 и 2 через операторы электронов на этих атомах:

2В；2**

*12 二-~~J入/入'/“2入or・(L24)

В отличие от (1.11), переход от (1.24) к эффективным спинам производится не при помощи (1.10), а с использованием методов теории атомных спектров, ведущих к громоздким вычислениям. В результате их гамильтониан К12 приобретает вид

5С12 =-^l(Sj -S2)-勿百1，§2)2 - ％[(§：酸)2 +

+ (辞貝)2 + ($：У)2].(1.25)

Принципиально важно, что интегралы билинейного и биквадратичного обменов в (1.25) оказываются одного порядка:

勿=一1,26加/“％ =—0,34В2/и, J3 =0,003 В21U.

Этим гамильтониан (1.25) отличается от (1.21), где интегралы негейзенберговского обмена малы по параметру. То обстоятельство, что анизотропные члены в (1.25) оказались численно малыми, есть результат упрощенной модели, использованной при получении (1.24). По-видимому, вследствие той же причины интеграл % оказался знака, противоположного тому, который необходим для объяснения свойств UO2. Однако результат (1.25) ценен как теорема существования магнетиков, в которых негейзенберговский обмен сравним с гейзенберговским.

Спин-орбитальное взаимодействие может привести к появлению в магнитном гамильтониане системы членов высшего порядаа по полному моменту необменного происхождения. Именно, если орбитальный момент /-электронов L отличен от нуля, то между /-оболочками различных атомов существует мультипольное электростатическое взаимодействие, главную роль в котором играет квадруполь- квадрупольное:

1 в产 д2 / 1 \

Kei 二丁2 Z)a/?(g)D75(f) (т~"), ^gf = I rg - ff I >

26崂疗叫(126)

где e — диэлектрическая проницаемость системы, тензор электрического квадрупольного момента D^ выражается через компоненты орбитального

йомента L соотношением

"8 二五0/0+£0% --|"L2 5a0), a, 6 = X,y, z.(1.2.7)

В системах с сильной спин-орбитальной связью единственным сохраняющимся вектором является полный момент J. Поэтому в формуле (1.27) следует произвести замену

(JL)

L - J—(2—g)J,(1.28)

где g — множитель Ланде. С учетом (1.27), (1.28) энергия электростатического взаимодействия (1.26) приобретает структуру типа энергии биквадратичного обмена, хотя она, вообще говоря, анизотропна. Очевидно, электростатическая энергия (1.26) имеет порядок『р；/", где а - постоянная решетки, р^ 一 радиус /орбиты. В типичных условиях энергия (1.26) соответствует нескольким градусам Кельвина, и потому электростатическое квадруполь-квадрупольное взаимодействие может существенно сказываться на магнитных свойствах кристаллов с низкими точками Кюри.

Магнетики с деформируемыми решетками

До сих пор считалось, что расстояние между магнитными атомами в кристалле фиксировано. Между тем в реальных кристаллах оно меняется с изменением магнитного состояния кристалла. Ниже будет показано, что это явление (магнитострикция) приводит к эффективному негейзенберговскому обмену, если даже исходный обмен был гейзенберговским,

В модели Гейзенберга взаимодействие спинов с решеткой получается естественным образом разложением интеграла обмена между атомами g и f по степеням смещений атомов от положений равновесия ug , uf. В результате гамильтониан всего кристалла представляется в виде

Н = 〃м + Hml + 〃l ,

Hml = ~ у 2 (ug - Uf) • %a(g - f)(Sg ♦ Sf),

〃L =-y^2 Ag +y 2 K。％ —f)(〃；- 〃；)(〃；- 〃；)-

-A产(g)

Члены, входящие в Я (1.29), имеют следующий смысл: Нм - гамильтониан магнитной подсистемы (1.1), HL - гамильтониан решетки, HLM- гамильтониан взаимодействия между ними. Далее,尸°° - внешние напряжения, М — масса атома.

Эффективный магнитный гамильтониан системы проще всего построить посредством канонического преобразования, устраняющего из гамильто-

ниана (1.29) члены, линейные по смещениям атомов. Для этого предварительно перейдем в гамильтониане (1.29) от смещений к фононным операторам %/,bqj：

(1.30)(1.30)Ug= S[2 3q/MN] T2(bqj _ b：qj)lq/ exp (i q . g),

(1.30)

(1.30)

где lq； - вектор поляризации фонона с волновым вектором q и поляризацией / (lq7 = -1 —q/). С учетом (1.30) гамильтониан (1.29) при Fa^ = 0 принимает вид (h = 1)

Н — — — S ^7 (g — f)(Sg • Sf ) + S 3qj bqj b(y -

一 Z [83q/MN]T2(bq；・ _ 万二q/)[exp(iq ♦ g) 一 exp(/q • f)] X

(1.31)(1.31)X [lq/-VJ(g-f)](Sg.Sf).

(1.31)

(1.31)

(1.32)(1.32)Будем считать магнонные энергии ~%/.S малыми по сравнению с фононными 3q/. Тогда спины можно считать классическими и достаточно произвести преобразование фононных операторов, сдвинув их на некоторую константу^

(1.32)

(1.32)

bqj f bqj + Xq/・

Постоянные Xq, в (1.32) определяются из условия исчезновения в гамильтониане (1.31) членов, линейных по фононным операторам. В результате преобразованный гамильтониан принимает вид

я= -ySJ(g-f)(Sg.Sf)-

-|s^(glflg2f2)(Sgi -Sfi)(Sg2 ・Sf?) +矶，

(1.33)

12

^(glflg2f2)=-^S ^q；[lq/- VJ(gl -fJKlq/. Vj(g2-f2)]X

X [exp (iq • gi) — exp (iq • f 1)] [ exp ( —iq ♦ g2 ) — exp (—iq • f2 )] •

Как видно из (1.33) эффективный обмен, осуществляемый через виртуальные фононы, описывается одновременно биквадратичными, трехспино выми и четырехспиновыми членами. Интеграл биквадратичного обмена между ближайшими соседями 第 имеет порядок

方S4方S4din %

方S4

方S4

a 二d In а

где ©d - температура Дебая решетки. При типичных значениях параметров М 〜10-22 г, д = 3 А, а а 5 — 6 величина zKS‘ (з - координационное число) оказывается порядка 10-3 (7с /®d)2 эВ. При больших спинах эта

22

величина в благоприятных условиях может быть сравнима с энергией гейзенберговского обмена.

Как и кулоновское взаимодействие (п. 1 г), магнитострикция может привести к появлению в гамильтониане членов высшего порядка по спину необменной природы. В данном случае они связаны с одноионной анизотропией, гамильтониан которой в общем случае имеет вид

HLA 二-S5g5g(Wg.VCa/?).(1.34)

Исключая из полного гамильтониана системы HL + Н^А члены, линейные по атомным смещениям, получаем аналог (1.33) со структурой

ял =(1.35)

Примеры материалов с сильным обменом высших степеней по спину

Как следует из приведенных выше теоретических результатов, особенно сильно негейзенберговский обмен сказывается на свойствах тех материалов, в которых гейзенберговский обмен по каким-то причинам мал. Одна возможная причина слабости этого обмена уже указывалась в п, 16 — это взаимная компенсация вкладов от различных механизмов обмена. Но даже если доминирует какой-либо один механизм обмена, обменный интеграл между соседними атомами все равно может быть мал: из-за осциллирующего характера d・ и /-функции он может менять знак при изменении расстояния между ними. Если оно близко к тому, при котором обменный интеграл обращается в нуль, становится существенным обмен высших степеней по спину.

Аналогичная ситуация складывается и в том случае, когда гейзенберговские обменные взаимодействия между различными по дальности соседями сравнимы по величине, но стремятся установить различные типы магнитного упорядочения. Тогда, если даже каждый из соответствующих обменных интегралов и не мал, вблизи границы фаз (т.е. при таком соотношении между этими интегралами, при котором меняется тип магнитного упорядочения) они эффективно компенсируют друг друга. Проявлением взаимной компенсации гейзенберговского обмена с разными по дальности соседями является обращение в нуль точки упорядочения на границе фаз для классических спинов (п. 86).

Гейзенберговский обмен оказывается аномально слабым в EuSe, который принадлежит к семейству монохалькогенидов Ей, все члены которого имеют структуру NaCl. В этом семействе по мере роста постоянной решетки происходит переход от ФМ упорядочения у ЕиО (% == 67 К) и EuS (Тс 二 16,3 К) к АФМ упорядочению у EuSe (小二 4,6 К) и EuTe (小二 =9,6 К). (Эти и другие приведенные ниже данные собраны в [48].) Существенно, что ЕиО и EuS ведут себя как почти идеальные гейзенберговские ферромагнетики, a EuTe близок по своим свойствам к идеальному гейзенберговскому антиферромагнетику. Свойства, резко отличные от гейзенберговских, обнаруживает лишь EuSe , у которого аномально низкая температура упорядочения по сравнению с остальными членами этого семейства. Поскольку магнитная анизотропия EuSe ничтожно мала,

естественно связать его аномальные свойства со слабостью гейзенберговского обмена в нем.

Учитывая сходство химических и электрических свойств всех халькогенидов Ей, можно объяснить аномальную слабость обмена в EuSe тем, что постоянная решетки близка к тому значению, при котором интеграл обмена между ближайшими соседями почти полностью компенсируется интегралом обмена между вторыми по дальности соседями. О том, что EuSe находится вблизи границы фаз АФМ - ФМ, свидетельствует его сложная фазовая диаграмма, в частности, тот факт, что очень небольшие давления и магнитные поля переводят его из АФМ в ФМ состояние (п. 246).

Если принять за оценку интенсивности каждого из обменных взаимодействий в халькогенидах Ей значение Тс у Ей О, близкое, к 70 К, и считать, что негейзенберговский обмен на порядок ниже гейзенберговского, то он должен составлять в этих материалах несколько кельвинов, т.е. в EuSe вполне может конкурировать с суммарным гейзенберговским, интенсивность которого характеризуется 小=4,6 К. Одной из причин, по которой обмен высших порядков по*спину может быть существен в EuSe, является узость в нем запрещенной зоны по сравнению с АФМ изоляторами типа NiO. В таких изоляторах негейзенберговские члены составляют до 5% от гейзенберговских. В EuSe согласно результатам п. 16,в они должны быть существенно больше.

Однако слабость или компенсация гейзенберговского обмена не являются непременными условиями существенной роли негейзенберговского обмена. Как обсуждалось в п. 1 б,г, существуют механизмы его возникновения, при которых он всегда порядка гейзенберговского. Такова ситуация в твердом гелии и в UO2. Во всяком случае, хотя точка Нееля UO2 равна 31 К и она ниже, чем у его аналога UTe2 с Tn = 78 К, но не настолько, чтобы можно было говорить об ее аномально низком значении.

Существуют и прямые экспериментальные методы нахождения интегралов биквадратичного обмена. Впервые экспериментально отношение интегралов биквадратичного и билинейного обменов J2 / & было определено при исследовании ЭПР ионов Мп2+ в MgO„ содержащем 1 % Мп [161]. Для ионов Мп2+, являющихся ближайшими соседями, J2 / Jj 〜0,05. С учетом того, что здесь S = 5/2, показатель относительного вклада биквадратического обмена 仇S?/)】 оказывается внушительной величиной: около 30%. Численный расчет сверхобмена между ионами Мп2+ в МпО [150] приводит к результатам, согласующимся по порядку величины с результатами [161]. Так как многие соединения Мп (например, МпО, см. п. 256) имеют аномальные магнитные свойства, это заставляет предположить, что описываемые аномалии обусловлены существенным отличием обмена между ионами Мп2+ от гейзенберговского.

Здесь были приведены только примеры магнетиков с сильным негейзен， берговским обменом. Гораздо более полная информация о таких магнетиках и их свойствах будет дана в гл. IX.

§ 2. Проводники

а. Металлы, описываемые s — f-моделью

В этой книге рассматриваются только проводящие системы, за магнитные свойства которых ответственны локализованные магнитные моменты. Тем самым из рассмотрения исключаются металлические магнетики с коллективизированными электронами. Сначала будут обсуждены металлы, описываемые s — /-моделью С.В. Вонсовского [14]. В применении к металлам в этой модели в отличие от (1.18) учитывается только внутризонный s — /-обмен, который и приводит к появлению косвенного обмена между локализованными /-спинами через подвижные s-электроны:

"=2”〃；。％。-?(%—к(1.36)

у N

где фурье-компонента спина Sq определена в (1.19).

В металлах обычно хорошо выполняется неравенство ”S « £f, где AS 一 энергия s — /-обмена, £f — фермиевская энергия электронов проводимости. На этом основании магнитный гамильтониан в теории Рудер- мана - Киттеля - Касуя — Иосида (РККИ) строится из (1.36) при помощи теории возмущения по /S/Ef • Ведущий член в магнитном гамильтониане теории РККИ соответствует второму порядку теории возмущений. Для него справедливо выражение (1.9), взятое в том же порядке, если условиться, что оператор Р проецирует на основное состояние системы электронов проводимости в отсутствие s — /-обмена. С учетом соотношения

EBqfS—q.s)。％ =gSq・S_q)

это приводит к магнитному гамильтониану следующего вида:

/2几k一几k + q

% =-亍2 夕eff(q)(Sq • S_q),^eff(q) = —— Z Г,

2N £k-Ek + q

(1.37)

где «к — числа заполнения электронных состояний при Т = 0 в отсутствие s — /-обмена.

Однако попытки построить гамильтониан косвенного обмена в высших порядках по спинам Sg с использованием следующих приближений теории возмущений по 4S/Ef привели к расходящимся выражениям. Причина этого становится ясной из результатов работ [21, 140]: энергия рассматриваемой системы неаналитична по 4S/Ef , и эта неаналитичность проявляется тем сильнее, чем сильнее форма поверхности Ферми отличается от сферической. В работах [21, 140] вычислялась энергия подвижного электрона при геликоидальном упорядрчении /-спинов, считающихся классическими векторами. Гамильтониан (136) при условии, что вектор геликоида Q на-

правлен вдоль оси z, в этом случае сводится к выражению

H(Q)= £Ek〃io〃ko ~~ 2 (“if 〃k-Qj +。入％ + 01).(丄38)

Гамильтониан (1.38) диагонализуется линейным преобразованием

〃k = Cf 〃kf + &映—Qj・(1.39)

Составляя уравнение движения для оператора 连 при помощи гамильтониана (1.38), получаем систему уравнений

4s

(Е-Ек)® + —Q = О,

AS

工+ (E _ Ek-Q)Cj = 0,

откуда находится энергетический спектр электронов

耿二 &2 +竺 土 1，(£k-Ek-Q)2+42S2.(1.40)

22

Как видно из (1.40), выполнение неравенства Ef » <S еще не гарантирует возможности разложения электронной энергии по AS/E^, так как существуют области k-пространства, в которых |4 — Ek-Ql< 4s. Из-за таких резонансных областей оказьшается неаналитичной по 4s и полная энергия системы электронов [21].

Очевидно, роль резонансных областей тем выше, чем ниже размерность системы. Если воспользоваться законом дисперсии для электронов (1.22), то легко получить в явном виде точное выражение для энергии АФМ упорядочения, которое наиболее выгодно энергетически, когда число электронов равно числу атомов. Действительно, в этом случае нижняя подзона (1.40) отделена щелью ох верхней и все электроны находятся в нижней подзоне. Интегрированием выражения (1.40) по квазиимпульсам получается в одномерном случае следующее выражение для полной энергии электронов:

2 13 1

Е1 =\/ 1 +М &[(1 +d)T2],(1.41)

где & - полный эллиптический интеграл второго рода.

Если величина а - AS/4 | В | мала, то согласно (1.41) магнитное упорядочение понижает энергию системы на величину порядка а2 In а, в то время как по теории РККИ согласно (1.37) это понижение должно быть порядка а2, т.е. существенно меньше [21]. Следует подчеркнуть, что квазиодно- мерный спектр, когда электронная энергия зависит только от одной компоненты квазиимпульса, свойствен не только сильно анизотропным, но и ряду изотропных кристаллов. Примером их может служить латунь, у которой поверхность Ферми имеет плоские участки.

Аналогичный расчет для изотропного трехмерного электронного спектра показывает, что неаналитичность по а появляется лишь в порядке а41па, что есть следствие обращения в нуль плотности электронных состояний на поверхности Ферми. Отсюда следует, что при таком спектре теория РККИ имеет область применимости, но к ней нельзя искать поправки по теории возмущений.

Сам факт неаналитичности энергии магнитного упорядочения по AS/Ep означает, что независимо от типа электронного спектра эффективный магнитный гамильтониан системы непредставим рядом (1.7) с конечным числом членов, описывающих негейзенберговский обмен. Дополнительные усложнения в структуре магнитного гамильтониана должны возникнуть из-за рассеяния электронов проводимости на магнонах, фононах и примеси, приводящего к размытию поверхности Ферми. В приближении РККИ это означает зарезание дальнодействующей части косвенного обмена, зависящее от температуры [109].

Следует отметить, что существуют магнитные металлы, в которых Ер ~ AS. К их числу относятся сплавы: из-за разной вероятности пребывания электронов проводимости на атомах различных компонент сплава ширина зоны у них уменьшается. У некоторых сплавов из-за этого в энергетическом спектре появляется даже щель, т.е. они ведут себя как полупроводники. В металлах с Ef 〜4s и следует ожидать особенно сильного отклонения свойств от гейзенберговских. В качестве примера такого материала можно привести ферромагнетик РиР. В противоположность металлам, хорошо описываемым теорией РККИ, в нем электроны проводимости сильно поляризованы по спину: нейтронографические исследования пока- зьшают, что их момент достигает 0,35 〃в на электрон [209].

Как следует из сказанного, в металлах для проявления существенной роли негейзенберговского обмена не требуется, чтобы их температура упорядочения была низкой: для этого достаточно относительно низкого значения фермиевской энергии или специальной формы поверхности Ферми. Ввиду крайней трудности, если не невозможности, построения эффективного магнитного гамильтониана для проводников с сильным негейзенберговским обменом, для анализа таких магнетиков остаются две возможности: 1) стараться, там где это возможно, получить надежные результаты непосредственно из гамильтониана (1.36); 2) использовать для них гамильтониан (1.7) с конечным числом членов в качестве модельного.

Вырожденные магнитные полупроводники.

Еще более сильно, чем в металлах, проявляется негейзенберговский характер косвенного обмена через электроны проводимости в вырожденных магнитных полупроводниках: из-за того что концентрация электронов проводимости в них на несколько порядков ниже, чем в металлах, их фермиевская энергия обычно существенно меньше AS. О том, что косвенный обмен в этой ситуации должен резко отличаться от получающегося по теории РККИ, свидетельствует уже тот факт, что в ФМ состоянии при Ер < AS спины всех электронов проводимости при Т 0 должны быть полностью поляризованы. Такое состояние нельзя получить ни в каком конечном порядке теории возмущений по s — /-обмену, если взять в качестве нулевого

приолижения то же состояние, что и в теории РККИ, т.е. полностью деполяризованное по спину. Соответственно нельзя построить магнитный гамильтониан в виде конечного ряда по спинам, т.е. этот гамильтониан должен быть сильно не гейзенберговским. Но в некоторых предельных случаях можно получить выражения для магнитного гамильтониана системы в явном виде.

При высоких степенях намагниченности удается построить магнонный гамильтониан системы, пользуясь теорией возмущений не no s — /-обмену, а по обратному спину 1/S [48]. Для этого в (1.36) производится переход к магнонным операторам bj, % по формулам Холстейна - Примакова (4.7), а затем проводится ка!^ жическое преобразование получившегося гамильтониана, которое устраняет из него члены, линейные по магнонным операторам. Считая выполненными неравенства £f < /S《 W, где W — ширина зоны проводимости, и усредняя канонически преобразованный гамильтониан по электронным состояниям, получаем в главном порядке по 1/S следующее выражение для магнонного гамильтониана системы:

ГAvq2 *

"mag 二'3q +2 2ч bqbq,(1.42)

Lо十q

凉=2m7S,/ > 0,

где магнонные операторы b；, bq связаны с *, bg соотношениями типа (1.19), з； — затравочная частота магнона, соответствующая прямому /- /обмену, “ = n/N - число электронов проводимости на атом, ди * - их эффективная масса.

Неаналитичность косвенного обмена по А проявляется уже в том, что при q « 4о магнонные частоты (1.42) в главном порядке не зависят от А. У коротковолновых же магнонов эта зависимость линейная, а не квадратичная по А, как получилось бы по формуле (1.37) теории РККИ. Радикальное различие между гамильтонианами РККИ и (1.42) видно и из характера зависимости косвенного обмена от расстояния. Если определить эффективный обменный интеграл соотношением

Mff(g) = - ^2 3qexp(-iq・g),(1.43)

то для закона дисперсии (1.42) он экспоненциально убывает на расстоянии дб^, не обнаруживая никаких осцилляций типа рудерман-киттелевских.

Физически причина независимости 3q (1.42) при q《q()от / состоит в следующем. Спины электронов проводимости не ориентированы строго вдоль суммарного момента кристалла, а подстраиваются к направлению локального момента в нем, следуя за его изменением в пространстве. Если эта подстройка полная, то электрон получает максимально возможный выигрыш в энергии s — /-обмена, равный AS/2, как и при идеальном ФМ упорядочении. Естественно ожидать, что полная подстройка возможна, 28

когда направление локального момента меняется в пространстве очень медленно. Следовательно, и изменение электронной энергии при возникновении длинноволнового магнона — а оно-то и определяет вклад косвенного обмена в магнонную частоту — не должно зависеть от А.

Такая трактовка подтверждается анализом выражения (1.40) для энергии электронов при геликоидальном упорядочении. Согласно ему сдвиг энергии электронов с к《q^ при Q《q^ равен AS/2, хотя суммарный момент кристалла равен нулю. Отсюда ясно, что величина s—/-сдвига определяется не дальним, а локальным магнитным порядком. Величину qU можно трактовать как радиус области локального порядка, к моменту которой подстраивается спин электрона проводимости: по условию медленного изменения направления локального момента в пространстве 0《qo локальный порядок внутри этой области + практически идеальный ФМ.

Подстройка спинов длинноволновых электронов проводимости к направлению медленно меняющегося локального магнитного момента оказывается определяющим фактором и в ФМ полупроводнике вблизи точки Кюри %. Учет ее позволяет построить неполный термодинамический потенциал Ландау и тем самым найти сдвиг Тс за счет косвенного обмена и намагниченность вблизи Тс. В соответствующем расчете [54а] используется вариационная методика, основанная на этой идее. Именно, считается, что электрон проводимости, переходя с атома на атом, меняет направление своего спина таким образом, что он всегда направлен вдоль суммарного момента атомов области радиуса R с центром на атоме, где этот электрон в данный момент находится. Очевидно, чем больше R, тем меньше угол 6 между направлениями моментов областей с центрами на соседних атомах. Радиус R и играет роль вариационного параметра.

Действительно, с уменьшением R кинетическая энергия электрона должна возрастать, а энергия s—/-обмена должна уменьшаться. Первое следует из того, что оператор кинетической энергии в (1.36) сохраняет проекцию электронного спина. Следовательно, состояние, в котором проекция спина на любую ось не сохраняется, не может быть собственным состоянием этого оператора. Так как минимальное среднее значение оператора достигается в его собственном состоянии, кинетическая энергия в состоянии с переменным направлением спина заведомо выше этого минимального значения, причем в тем большей степени, чем сильнее нарушен закон сохранения проекции спина, т.е. чем больше 0 и чем меньше R.

Но, с другой стороны, с уменьшением R должна понижаться энергия s— /-обмена. В самом деле, чем меньше R, тем сильнее скоррелированы направления спина центрального атома и спинов остальных атомов в области радиуса R. Следовательно, увеличивается проекция спина центрального атома на направление суммарного момента области, вдоль которого считается ориентированным спин электрона проводимости. Так как согласно (1.36) этот электрон осуществляет обмен только с тем атомом, на котором он находится, энергия такого взаимодействия должна понижаться с уменьшением R.

В процессе вычислений по этой программе энергия электрона с флуктуирующим направлением спина оказывается выраженной через бинарные корреляторы /спинов. С учетом того, что радиус R вблизи Тс мал по срав- 29

нению с корреляционной длиной, их можно представить в виде [54а] )

〈S；S；〉= o4az +S(S+l)〃f,〈S；S；〉= o4az +S(S+l)〃f,(1.44)(1.44)

〈S；S；〉= o4az +S(S+l)〃f,

〈S；S；〉= o4az +S(S+l)〃f,

(1.44)

(1.44)

r 〜43兄，a = xf уf zt

& = [W『/(3/)j2/3& = [W『/(3/)j2/3（謂（謂(1.45)(1.45)где a — намагниченность в расчете на атом. При достаточно малых электронных концентрациях величину % можно считать совпадающей с радиусом прямого f — /-обмена. После минимизации энергии ^«-электрона на дне зоны проводимости по Л в предположении, что затравочный электронный спектр дается формулой (1.22), получается следующее разложение этой энергии по намагниченности:

& = [W『/(3/)j2/3

& = [W『/(3/)j2/3

（謂

（謂

(1.45)

(1.45)

(1.46)

/ = 3rS(S+ 1), W二 12|B |・

Если существенны только электронные состояния вблизи дна зоны, неполный термодинамический потенциал системы, непроминимизирован- ный по намагниченности, может быть представлен в виде

(1.47)(1.47)〜？ dEc

(1.47)

(1.47)

F = F + f n do, о do

где первый член соответствует прямому /-/обмену типа (1.1) (см. (5.5)), а второй - косвенному. Структура второго члена ясна из того, что величина dEJda представляет собой силу, действующую со стороны электрона проводимости на магнитную подсистему, а, следовательно, (dEc/do)do - работа, совершаемая этой силой.

Как следует из (1.45, 1.47), несмотря на негейзенберговский характер косвенного обмена, он не меняет типа фазового перехода: коэффициент перед о' в 戸 остается положительным. В принятом приближении он зависит от W, но не зависит от /S. Для величины Ь£, дающей повышениеТс из-за косвенного обмена, справедлива формула

ЬТс = VS(S + 1)(—丿 〃. (1.48)

Таким обг>азом, при г 〜〃 это повышение оказьшается величиной ~(4S)2/3'w1/3“. Результат (1.48) отличается от результата РККИ не только неаналитичностью по Л, но и характером зависимости от концентрации: б% пропорциональнап, а неп “з

В парамагнитной (ПМ) области, когда корреляционная длина для /-спинов становится меньше q^L к вырожденным полупроводникам становится возможным применять теорию РККИ. Реальным параметром разложения в этом случае оказывается величина AS/W. Противоположный предел 4s » W, представляющий меньший практический интерес, обсужден в [48].

В [48] собраны также экспериментальные данные, свидетельствующие о негейзенберговском характере косвенного обмена через электроны проводимости в вырожденных ФМ полупроводниках ЕиО и EuS. Оценка (1.48) согласуется с ними по порядку величины. Согласуется с развитой теорией и тот факт, что разность ПМ и истинной температур Кюри (0 - Тс) как функция п проходит через максимум, будучи малой в чистых материалах. Действительно, сдвиг 6 из-за косвенного обмена, который по теории РККИ 〜 (j^S2IEF)v, должен превышать при Ер《 《4S сдвиг Тс (1.48). Но с ростом и, когда Ер приблизится к /S, 6ТС должна приблизиться к значению РККИ, т.е. к 56.

В заключение рассмотрим специальный случай, когда удается построить эффективный гамильтониан негейзенберговского обмена в явном виде: косвенный обмен, осуществляемый единственным электроном донора между 户спинами в его окрестности в магнитном полупроводнике с И7 > AS [48]. Если считать, что электрон с равной вероятностью находится на п атомах в окрестности дефекта, то спин электрона должен быть параллелен или антипараллелен суммарному моменту М этой группы атомов. Энергия обмена в этом случае равна ±АМ12п. Переход от этой энергии к магнитному гамильтониану осуществляется заменой М на оператор \[м^, где М = 2 Sg - оператор момента этой группы атомов. При строгом выводе получается следующее выражение для магнитного гамильтониана, справедливое при ап “з《 犷：

±А + !) + “2，(149)

2八 24/

где в % собраны выражения 〜/ ?, имеющие структуру гамильтониана РККИ.

Как видно из (1.49), в рассматриваемом частном случае косвенного обмена через электроны, поляризованные по спину, многоспиновые члены появляются уже в первом порядке по / как результат разложения корневого оператора по скалярным произведениям спинов

R =mS(S+1)+1/4, 0= 2 (SR • Sf). f#g

В сильно намагниченных состояниях нужно учитывать весь ряд (1.50), т.е. учитывать много спиновое взаимодействие, в котором принимают участие все и спинов.

в.Системы с s - f-гибридизацией

Для ряда магнетиков, например соединений Се, четкое разделение электронов кристалла на неподвижные 户 и подвижные s-электроны невозможно из-за смешивания их состояний. Это смешивание обычно описывается в рамках модели Андерсона. При малом смешивании гамильтониан Андерсона ведет к взаимодействию типа обменного между * и /-электронами, форма которого, однако, существенно отличается от (1.36). В свою очередь, из такого квазиобменного s — /-взаимодействия получается косвенный обмен между /-спинами, отличный по своей форме от РККИ [132]. Ниже будет изложена теория такого обмена.

В основе теории лежит гамильтониан Андерсона, записанный в виде

Я = ЯО+ЯХ,(1.51)

% = 2e改几改m +瓦 2MM + -^пмпм\

从=2(腺碇мом +唳破外М), где а^^ 〃м и 〃我垃，акМ — соответственно операторы электронов магнитного атома и электронов проводимости с фиксированным значением полного момента J,M — его z-проекция, к — импульс электрона проводимости, энергии электронов проводимости Ек и /-электронов Eq отсчитываются от фермиевской,пкМ =а^макм^пм苏〃м・

Производится каноническое преобразование операторов в гамильтониане (1.51), устраняющее из него члены, линейные по 腺：

Я =емЯе~м = % + ^[〃，"ij 三％ + 百2・(1.52)

В гамильтониане 友 учитывается условие сохранения чисел электронов в зоне проводимости и на атомах.

Если в системе не один, а много магнитных атомов, то после перехода от сферических волн к плоским с фиксированным значением проекции спина электронов преобразованный гамильтониан принимает вид

“2 = 2〃；d〃kcr(q力g〃”g — 2 j + ] 2 几M"g)K?£‘o, exp [i(k - k') ♦ g].

(1.53) Величины K^k”，имеющие сложную структуру, здесь не приводятся в явном зиде. Из гамильтониана (1.53) вычтен член, соответствующий чистому потенциальному рассеянию электронов проводимости на локализо- ваных электронах без обмена проекций момента с ними.

Гамильтониан s — /-взаимодействия (1.53) сводится к гамильтониану гейзенберговского s -户обмена (1.36) только при J = 1/2. При 丿 > 1/2 негейзенберговский характер взаимодействия (1.53) проявляется в том, что разность М - М‘ может принимать любые значения, а не только ± 1 или 0. Гамильтониан косвенного обмена получается из (1.52, 1.53), как 32

МВ п. 2a, во втором порядке теории возмущений:

(1.54)(1.54)0 = Л'嗽'(*価-%a 3g»

(1.54)

(1.54)

X ^MtaM4 - T~7 m，jM"f)・

Конкретное вычисление величин Е^м довольно громоздко. Если за ось квантования моментов выбрать прямую, соединяющую атомы g и f, то асимптотическое выражение для них имеет вид

К?cos(2%F&f)

磧м ~ __g(M,M)' 卢処,(1.55)

7Г2%FRgf

|唳F ”

K r 一

Е式Eo + S'

Величины G удовлетворяют соотношениям

G(MfM，) = G(M，,M) = G(\M\,\M，\).

Как и должно быть, результат (1.55) при 丿=1/2 сводится к результату РККИ (1.37). При 丿 > 1/2 он сохраняет те не гейзенберговские свойства, которые проявились уже в (1.53): допустимость любых значений разности М — М , Кроме того, обмен (1.55) сильно анизотропен. Согласно [132] при 丿=5/2, соответствующем Се, эти коэффициенты даются выражениями:

G(5/2, 5/2) = 400/49, G(3/2, 3/2) = 16/49,

G (1/2, 1/2)= 25/49,G (5/2,3/2) = -80/49,

G(5/2,1/2)= 100/49, G(3/2,1/2) =-20/49.

Среднее значение G(M, М‘) равно 1. Однако согласно [286] приведенные значения G(M, Л/*) ошибочны и на самом деле отличны от нуля только четыре равных друг другу значения G (土 1/2, ± 1/2).

Следует заметить, что при сильной s — /-гибридизации магнитное упорядочение в рассматриваемой модели ("решетке Кондо”) пропадает. Критическое значение константы гибридизации 〜 腺，начиная с которого система становится немагнитной, стремится к нулю при J ->°° [2646].

3333Э.Л. Нагаев

33

33

ГЛАВА II

СОВРЕМЕННАЯ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ

Общие сведения о магнитных фазовых переходах

^.Дальний, ближний и квадрупольный порядок

Под магнитным фазовым переходом подразумевается изменение типа или исчезновение самопроизвольного дальнего магнитного порядка, происходящее при изменении температуры или внешних условий. Обычно под дальним порядком понимают дипольный дальний порядок, т.е. корреляцию в направлениях спинов сколь угодно удаленных друг от друга атомов. Эта корреляция прежде всего характеризуется вектором структуры Q, определяющим периодичность в ориентациях спинов атомов, т.е. тип магнитной структуры (вектор Q = (0, 0, 0) соответствует ферромагнетику, Q = (я, я, я) 一 неелевскому антиферромагнетику).

Как правило, векторы Q соответствуют каким-то высокосимметричным направлениями в кристалле. В таких случаях существует несколько эквивалентных векторов структуры, образующих звезду, т.е. переходящих друг в друга под действием операций группы симметрии кристалла. Примером их могут служить четыре пространственные диагонали, вдоль которых направлены векторы структуры в антиферромагнетиках типа МпО. Обычно из всей звезды векторов Q реализуется какой-то один, и тогда можно говорить об одновекторной магнитной структуре. Равноправие же векторов Q, образующих звезду, проявляется в существовании доменов с различными Q. Но бывают и более сложные структуры, в которых реализуются два или более эквивалентных Q одновременно. Их примеры будут даны в п. 156, 226.

Кроме самих векторов структуры Q, для ее полного описания нужно еще указать ориентацию спинов атомов относительно векторов Q. Например, в одноосных кристаллах с произвольной величиной вектора Q, направленного вдоль оси кристалла, спины, параллельные Q, соответствуют синусоидальной структуре, а перпендикулярные Q — геликоидальной.

Количественной характеристикой дальнего порядка служит его параметр т. Поскольку упорядочение возможно и в термодинамически неравновесных условиях, вообще говоря, он считается неравновесным, и именно это дает возможность использовать его для построения свободной энергии Ландау (п. 26). Этот параметр должен учитывать вырождение магнитной структуры по направлениям ее векторов и по направлениям спина. Поэтому, вообще говоря, он должен быть многомерным. Например, в полностью изотропном ФМ кристалле, где есть только вырождение по 34

направлениям спина, параметр т должен быть трехмерным по числу компонент вектора спина. Но в АФМ кристалле со структурой МпО, где существует 4 эквивалентных вектора структуры, размерность параметра порядка должна быть в четыре раза больше: каждому значению Q соответствует свой вектор mQ. В общем случае среднее значение Sg спина атома g по некоторому состоянию связано с параметром порядка mQ соотношением

Sg = S exp(zQ g) mQ. (2.1)

При термодинамическом усреднении величин, характеризующих дальний порядок, возникают проблемы, связанные с вырождением состояния по противоположным направлениям намагниченности. Если внешнее поле отсутствует, то оба ее направления равновероятны и поэтому формально средняя намагниченность равна нулю. Чтобы избавиться от ненужного усреднения по направлениям спина, Н.Н. Боголюбов предложил метод квазисредних [68], состоящий в том, что вводится исчезающе малое поле h, снимающее вырождение по направлениям момента ферромагнетика, а затем в окончательных результатах для величины термодинамически усредненного спина это поле устремляется к нулю:

。=lim〈品〉〃，h = (0,0,〃)， (2.2)

где угловые скобки - символ термодинамического усреднения. В случае антиферромагнетика такое поле может снять и вырождение по Q, если выбрать его с должной периодичностью.

Так как направление поля h произвольно и отлична от нуля только средняя проекция спина на его направление, то в отличие от параметра порядка m средняя намагниченность в изотропном магнетике а - не вектор, а скаляр.

Альтернативная возможность ввести термодинамически равновесную намагниченность атомов состоит в использовании корреляторов спинов

а2 = ^ S <SQ S_Q>, (2.3)

где фурье-компоненты спинов даются соотношением (1.19). Преимущество такого определения параметра порядка состоит в его инвариантности относительно направления спинов в пространстве и ориентации вектора структуры. Определение (2.3) с асимптотической точностью совпадает с (2.2) , поскольку на больших расстояниях < Sg • Sf〉〜о?.

Дальний магнитный порядок при подъеме температуры может исчезнуть либо постепенно, либо скачком от конечного значения до нуля. В обоих случаях выше точки фазового перехода остается ближний порядок. Его количественной характеристикой может служить коррелятор 〈Sq * S_q〉с тем значением q, при котором он максимален. В парамагнитной области этот коррелятор связан с восприимчивостью Xq равенством

〈Sq S_q〉=TXq, (2・4)

Так что экспериментально тип ближнего порядка устанавливается по мак3* 35

симуму Xq. Можно ввести степень ближнего порядка

鳥=7XQ ⑺-丁吧 TXQ ⑺.(2.5)

Вообще говоря, существует несколько векторов Qo, образующих звезду, при которых флуктуации максимальны, т.е. ближний порядок — многовекторный.

В случае фазовых переходов второго рода вектор дальнего порядка Q/o У одновекторной структуры совпадает с одним из векторов ближнего порядка О^о. Действительно, если идти со стороны высоких температур к критической точке, то быстрее всего нарастают флуктуации с q = Q。. Радиус корреляции растет, обращаясь в % в бесконечность. Это означает, что в ней ближний порядок обращается в дальний. Какой именно вектор структуры Q/o будет выбран из звезды векторов Q。, зависит от случайных факторов.

При фазовых переходах первого рода совпадение Q/o с одним из векторов звезды Qo не обязательно. Если такое совпадение есть, то ближний порядок в ПМ области — это остатки дальнего порядка, как и при фазовом переходе второго рода. В этом случае можно говорить о фазовом переходе первого рода ^порядок — свой беспорядок". Если же вектор Q/o не совпадает ни с одним из векторов звезды %, то тогда должен происходить фазовый переход первого рода "порядок — чужой беспоря- док,\ Такой переход, по существу, родствен переходу ''порядок — порядок^, отличаясь от него только тем, что дальний порядок в высокотемпературной фазе оказывается неустойчивым относительно тепловых флуктуаций и поэтому превращается в ближний порядок того же типа [51, 56, 57].

До сих пор речь шла об упорядочении магнитных диполей. Во многих случаях существенно мультипольное магнитное упорядочение, например в случае магнетиков с биквадратичным обменным взаимодействием. Ниже будет рассматриваться только квадрупольное упорядочение. Тензор квадрупольного момента Dj° выражается через спиновые операторы соотношением

理3 r Sg-互0 s (S+ 1)/3.(2.6)

В тех системах, где квадрупольное упорядочение сосуществует с дипольным и является его следствием, ось квантования задается направлением магнитного момента атома. Однако в некоторых системах квадрупольное упорядочение возможно и в отсутствие дипольного. В принципе, в этом случае можно воспользоваться методом боголюбовских квазисредних, введя эффективное поле, действующее на квадрупольные моменты, а затем устремив его к нулю. Тогда можно определить тензорный параметр дальнего квадрупольного порядка dQ по аналогии с параметрами дипольного порядка (2.1):

酸3 飞 exp(iQ ・g)d鉀(2.7)

Можно также по аналогии с (2.3) ввести термодинамически равновесную квадрупольную намагниченность

f2 =N- SSp<DgDf>exp{zQ (g-f)}.(2.8)

б. Гипотеза универсальности и ее применимость

При фазовом переходе второго рода ряд физических величин обнаруживает особенности, которые принято описывать в терминах критических показателей. Именно, считается, что в отсутствие магнитного поля теплоемкость С, восприимчивость xq, корреляционная длина гС9 намагниченность а и корреляторы зависят от температуры т = Т/Тс — 1 по степенному закону:

I Т га, XQ 〜I т 1~Л rc^\r\~v при всех г, 。〜|т|° при т<0,(2.9)

〈So • Sg〉〜gTf при g«乙，丁>。・

В сильном магнитном поле Л вводятся другие критические индексы

С〜〃 Y,(2.9а)

X 〜〃 1/8 Т ,

В некоторых случаях степенные законы (2.9) оказываются довольно грубым приближением. Например, если какая-то величина расходится при т -> 0 только логарифмически, соответствующий критический показатель полагается равным нулю, как если бы такая величина совсем не расходилась. Напротив, в двумерных сферической модели и модели Гейзенберга гс расходится экспоненциально по 1/Г при Т->0 (п. 6в). В этом случае показатель “ принято считать бесконечно большим.

Ряд результатов, касающихся критических показателей, можно получить без микроскопических расчетов, исходя из гипотезы универсальности (см., например, [63]). Она состоит в следующем. В области больших флуктуаций радиус корреляций гс больше любого линейного размера, характеризующего силы взаимодействия частиц в системе. В такой ситуации естественно ожидать, что детали поведения межатомных сил несущественны для описания флуктуаций, и потому радиус межатомного взаимодействия не может характеризовать флуктуации. В принципе, в качестве характерной длины для флуктуаций кроме гс можно ввести, еще размер области, внутри которой флуктуации температуры имеют порядок I Т - Тс |. Основное предположение теории скейлинга [39, 63] состоит в том, что этот размер совпадает с гс, т.е. существует только одна характерная длина гс. Если принять эту длину за единицу, то картина флуктуаций становится универсальной для всех значений Т- Тс.

Из гипотезы универсальности следует, в частности, что критические индексы не должны зависеть от отношения интегралов обмена между различными по дальности соседями и величины спина. Они должны быть одинаковыми для всех систем, имеющих однотипное разложение Ландау (см. (2.12)). Про такие системы принято говорить, что они принадлежат одному и тому же классу универсальности. Более точно однотипность можно определить в терминах ренормгруппы: системы имеют одну и ту же стабильную точку покоя (§ 4,5).

Однако в рамках гипотезы универсальности возможны специальные системы, у которых критические индексы зависят от отношения обменных

интегралов [180]. Для этого надо, чтобы в гамильтониан входил член типа ZSg и чтобы при Т f Тс коррелятор < So • Sg > спадал с расстоянием g при больших его значениях как g 一孑 где d 一 размерность системы. Этому условию удовлетворяет, в частности, точно решаемая двумерная модель [10], эквивалентная двум решеткам Изинга, связанным друг с другом четырехспиновым взаимодействием.

Гипотеза универсальности приводит к равенству критических показателей в (2.9) по обе стороны от % (естественно, за исключением тех, которые имеют смысл только с одной стороны от %)• Кроме того, между ними установлены следующие соотношения:

(2 - т?)р = у, 2-а =)+20 = 0(6 + l) = 〃d. (2.10)

Доводом в пользу гипотезы универсальности является подтверждение в точно решаемых моделях соотношений (2.10). В частности, в сферической модели критические показатели при Т > Тс получаются одинаковыми не только для разных наборов обменных интегралов «7(f), но и для разных типов магнитного упорядочения (п. 6б,в). Однако условие равенства критических показателей выше и ниже Тс выполнено не всегда. Так, в сферической модели р (Т > %)二 1, а 〃 (Т W %) = +°° [96]. В точно решаемой модели сегнетоэлек грика Либаа(Г> %) не равно а (Г < Тс) [214].

Что же касается приближенно решаемых моделей, то обращает на себя внимание зависимость критических показателей для гейзенберговских магнетиков, найденных разложениями в ряды, от величины спина [39]. Это не согласуется с гипотезой универсальности. Вместе с тем имеются работы, посвященные прямому теоретическому доказательству универсальности критического поведения гейзенберговских магнетиков по спину [213]. Причина расхождений пока еще окончательно не выяснена.

Следует отметить, что соотношения (2.10), строго говоря, сформулированы для одномерного параметра порядка. В случае многомерного параметра порядка они справедливы рыше Однако в критической точке происходит понижение симметрии системы, и поэтому некоторые величины, фигурирующие в (2.9), становятся тензорами. Так в гейзенберговском магнетике значения продольной и поперечной восприимчивости Хц и Х1 резко отличаются друг от друга. Из изотропности пространства следует, что сколь угодно малое поле, перпендикулярное к вектору самопроизвольной намагниченности, поворачивает его на угол я/2, т.е. вызываем конечное изменение намагниченности. Поэтому независимо от температуры значение х丄 при q = 0 обращается в бесконечность, т.е. индекс 7 для Xi следует положить равным бесконечности. То же самое относится и к корреляционной длине: для поперечных корреляций р = °°.

Имеются серьезные основания считать, что и продольные корреляции в гейзенберговском магнетике нельзя описать степенными законами (2.9, 2.9а). Действительно, в спин-волновом приближении легко получить

〈S；S6〉=〈S^ >2 +〈S6S&〉2/4S2. (2.11)

Поперечный коррелятор% фигурирующий в правой части (2.11), убывает с расстоянием как g"1 (его фурье-компонента 〜q"). Поэтому зависящая от расстояния g часть продольного коррелятора убывает с g 38

не экспоненциально, а как g~2. На это обстоятельство было впервые обращено внимание в [11], где было также указано, что длинноволновые магноны сохраняют смысл вплоть до %，хотя объем области фазового пространства, в которой их затухание мало, стремится к нулю при Т -^^.Соответственно соотношение типа (2.11) с заменой в нем 52, S”〉？ остается

справедливым в качестве длинноволновой асимптотики и при Т однако граница, начиная с которой работает степенная асимптотика, уходит на бесконечность при Т->ГС. Ввиду сказанного возможность введения конечного р при Т<ТС отнюдь не самоочевидна.

Доводом в пользу справедливости гипотезы универсальности является тот факт, что критические показатели, полученные на ее основе методом ренормгруппы (см. п. 4а), с точностью до четвертого знака совпадают с показателями, полученными наиболее надежными микроскопическими методами, включая точно решаемые модели. Следует, однако, иметь в виду, что для приближенно решаемых моделей критические показатели удалось получить с высокой точностью только для достаточно простых магнитных структур и типов обменного взаимодействия. Нельзя исключить возможность, что для одной и той же модели гипотеза универсальности при одних типах магнитного упорядочения справедлива, а при других — нет. В пользу такой возможности говорят, например, результаты [208]. В этой работе проведен численный расчет критических показателей квадратной решетки Изинга с вы. о дом за пределы приближения ближайших соседей. Оказалось, что для АФМ упорядочения с Q = (я, 0) показатели зависят от отношения обменных интегралов между различными по дальности соседями. Для других же структур такой зависимости не обнаружено.

Наконец, проявлением неуниверсальности могло бы оказаться отсутствие стабильных неподвижных точек для преобразований ренормгруппы для ряда магнитных структур (п. 46). Обычно этот факт интерпретируется как свидетельство фазового перехода первого рода, но имеются экспериментальные данные, не согласующиеся с такой интерпретацией (§ 26).

Из сказанного ясно, что хотя гипотеза универсальности и кажется правдоподобной, доказательство ее справедливости крайне необходимо.

Флуктуационная теория фазовых переходов

Основы метода ренормгруппы

Как уже указывалось, фазовый переход порядок - беспорядок может быть и второго, и первого рода. В принципе, тип перехода можно установить исходя из микроскопического гамильтониана системы. Но реально сделать это достаточно сложно. Флуктуационная теория фазовых переходов в рамках своих постулатов устанавливает критерий типа фазового перехода, который во многих случаях (но не всегда) не зависит от деталей микроскопического взаимодействия. Согласно этой феноменологической теории существуют магнитные структуры, для которых фазовый переход второго рода невозможен вообще.

Флуктуационная теория фазовых переходов первоначально была сформулирована для нахождения критических показателей в фазовых переходах второго рода [63]. Современную форму она получила в результате использования методов ренормгруппы [13] (см. также [39, 63]). В основе

этой теории лежит максимально полный учет флуктуаций параметра порядка, которые не учитываются в теории фазовых переходов Ландау — Лифшица. Эта теория основана на гипотезе универсальности (см. п. 36). Ее математический аппарат позволяет найти критические показатели, практически ничего не зная о системе, кроме ее свойств симметрии в упорядоченной фазе. Следует указать, что не все приемы, использованные в ней, математически обоснованы.

Сколь ни изящны методы, которыми получаются критические показатели в теории Вильсона [13], все же эти результаты не являются существенно новыми. В то же время критерий типа фазового перехода, о котором здесь идет речь, специфичен для теории Вильсона и является ее оригинальным результатом.

В этой книге не ставится цель изложить методы ренормгруппы — им посвящены специальные монографии, например [39, 63]. Будут только изложены общая идея метода и конкретные результаты, касающиеся типа фазовых переходов в различных физических системах. Вопрос о критичес- ческих показателях обсуждаться здесь не будет: получение их методами ренормгруппы описано в [39, 63].

Считается, что система описывается гамильтонианом Ландау — Гинзбурга "f=;/笛"2(\7~)2 +/2〃孑 +32几{ "}],(2.12)

где fk^mi^ 一 величины четвертого порядка по mh инвариантные относительно преобразований группы симметрии. Коэффициент при градиентном члене положен равным 1, чтобы исключить из рассмотрения эквивалентные гамильтонианы, получающиеся из (2.12) изменением нормировки параметра порядка Wj = z г 加》. В Л и 5 считается включенным еще и множитель 1/Т.

Гипотеза универсальности может быть сформулирована следующим образом: при корреляционной длине, стремящейся к бесконечности, физическая картина фазового перехода не меняется, если объединить спины в блоки, состоящие из Ld спинов, и заменить их средними значениями моментов этих блоков (d — размерность системы). Это подразумевает, что гамильтониан при Г = Гс должен сохранять свою форму при объединении спинов в блоки. Чтобы не менять плотность числа степеней свободы из-за образования блоков все длины можно уменьшить в L раз. Кроме того, следует еще произвести ренормировку параметра порядка. Обозначим через R совокупность всех этих трех операций: объединения спинов в блоки, изменения масштаба длин и изменения параметра порядка. При определенном выборе множителей, ренормирующих параметр порядка, операции R обладают групповым свойством А 】& 二火 12 •

Фундаментальный постулат теории ренормгруппы состоит в том, что если при Т=Тс последовательно применять к исходному гамильтониану Гинзбурга - Ландау преобразования ренормгруппы, то в конечном счете исходный гамильтониан Hf перейдет в гамильтониан Н , который является точкой покоя *) группы ренормировок: RH* = Я*. Поведение системы вблизи Я* и определяет характер фазового перехода.

Изменение Hf при преобразованиях ренормгруппы можно описать системой нелинейных дифференциальных уравнений относительно параметров, определяющих вид гамильтониана (2.12),

位尸& =7{"尸}， (2.13)

е = In Z. (2.14)

Рост W соответствует приближению к Тс, а начальное условие задается затравочным гамильтонианом Нр. Простейший вид предельного поведения таких систем при W 今 8, если /{HF} не зависит от 扌 явным образом, соответствует точкам покоя Я, когда 8〃*/8扌 и / {〃*} обращаются в нуль. Критические показатели определяются скоростью приближения системы к точке покоя.

Принято изображать решение таких систем уравнений в пространстве параметров, определяющих вид гамильтониана (2.12), в виде траекторий, направление которых соответствует возрастанию 扌.Вообще говоря, может существовать несколько точек покоя, к которым ведут траектории *). В пространстве параметров траектории, ведущие к одной точке покоя, отделены от траекторий, ведущих к другой точке покоя, сепаратриссами. К какой из этих точек покоя подойдет траектория, зависит от начальных условий. Системы, которые описываются га мил ьтониа на ми Ландау — Гинзбурга одинаковой структуры, если они имеют одну и ту же точку покоя, называются принадлежащими к одному и тому же классу универсальности. Для них получаются одинаковые значения критических показателей.

Естественно, для того чтобы точка покоя соответствовала фазовому переходу второго рода, требуется положительная определенность тернарного члена в предельном гамильтониане Я*, который считается имеющим ту же структуру (2.12), что и исходный. Как будет обсуждено детально ниже, это условие выполнено не всегда и не всегда траектории ведут к точкам покоя — существуют нестабильные точки покоя, из которых траектории уходят, удаляя, а не приближая систему к ним. Такие точки покоя не могут соответствовать фазовому переходу второго рода. Заметим, что когда строятся траектории точки (4 . . . 8. . . ), изображающей гамильтониан (2.12) в пространстве параметров, обычно коэффициент Л перед квадратичным членом не учитывается, так как существует только единственный инвариант второго порядка, и поэтому преобразования ренормгруппы не изменяют его формы. Изменение же масштаба Л при ренормировке существенно для определения температуры Кюри при фазовом переходе второго рода, но не сказывается на таком сугубо качественном результате, как тип фазового перехода.

Касаясь методики расчета, следует прежде всего отметить, что на самом деле операция R, примененная к гамильтониану (2.12), не сохраняет его структуры, так как появляются члены высших степеней по параметру порядка. Структура (2.12) сохраняется, лишь если 5 = 0. Соответственно отклонения от нее малы, если мало взаимодействие между флуктуациями, пропорциональное В. Это условие выполнено для размерностей пространст-

ва d, превышающих 4. В случае однокомпонентного параметра порядка, когда гамильтониан Hf представляется точкой (В), стабильной точкой покоя для них является гауссова точка (О) (параметр А в точке %，естественно, равен нулю). В окрестности этой точки можно пользоваться теорией возмущений по Нр - Я *, где Я* дается (2.12) с А =3 = 0. При d 之 4 гауссова точка покоя неустойчива.

В методе Вильсона применяется следующий прием, дающий возможность использовать теорию возмущений около гауссовой точки покоя и при d < 4. Считается, что размерность пространства равна 4 — е, где е < 1. Тогда, кроме неустойчивой гауссовой, существуют одна или несколько точек покоя, параметры которых имеют порядок е или выше. Если среди них есть устойчивые точки покоя, то фазовый переход второго рода возможен и критические показатели при d = 3 отыскиваются экстраполяцией к е = 1.

В случае однокомпонентного параметра порядка получаются две точки покоя, координаты которых в первом порядке по е таковы:

8：=0,In 2.(2.15)

Первая (гауссова) точка неустойчива — из нее траектории выходят, вторая 一 устойчива, так как траектории от всех точек на положительной полуоси В, где лежат начальные значения этого параметра, ведут к точке Bf (рис. 2.1). Точки же на отрицательной полуоси В не могут быть использованы в качестве начальных значений для гамильтониана Нр (2.12), так как при В < 0 в нем нельзя ограничиться тернарными членами — флуктуации могут быть как угодно велики. Положительность 8； гарантирует непрерывность фазового перехода. В принятом приближении по е

Т= 1 +е/6, р= 1/2 + 6/12, т? = 0,(2.16)

что при с = 1 отличается от результатов микроскопических расчетов примерно на 10%. В следующих порядках по е удается получить значительно лучшее согласие с ними.

w0мо^ 歹”

Рис. 2.1. Стабильная В： и нестабильная В* точки покоя при однокомпонентном параметре порядка

Таким образом, фазовый переход первого рода при положительно определенном тернарном члене в затравочном гамильтониане Ландау - Гинзбурга для систем с однокомпонентным параметром порядка исключен: флуктуации не могут изменить тип фазового перехода. В случае многокомпонентного параметра порядка роль флуктуаций оказывается гораздо более важной.

Флуктуационные фазовые переходы первого рода

Гипотеза универсальности предполагает, что у гамильтониана (2.12) есть устойчивая точка покоя и что траектории параметров этого гамильтониана идут именно к этой точке. Как было показано в предыдущем пункте, именно так обстоит дело в случае однокомпонентного параметра. Однако 42

для систем с многокомпонентным параметром порядка эти предположения могут оказаться неверными. Во-первых, как было впервые показано в [8, 9, 90], существуют системы, у которых стабильные точки покоя отсутствуют вообще (см. ниже рис. 2.2). Этот факт является следствием магнитной симметрии системы, отраженной структурой затравочного гамильтониана Hf Ландау - Гинзбурга (2.12), и не зависит от значений его параметров. Во-вторых, может оказаться, что устойчивая точка покоя у системы есть, но при данных начальных условиях (т.е. значениях параметров затравочного гамильтониана) она недостижима. Такая ситуация возможна, когда структура гамильтониана Яр допускает сразу несколько упорядоченных магнитных фаз, например фазы I и II на рис. 2.3 (см. ниже). Если стабильная точка покоя лежит внутри области затравочных значений параметров, при которых реализуется фаза II, то она не может быть достигнута из той их области, которой соответствует фаза I. Таким образом, исчезновение порядка в фазе I должно происходить скачком, т.е. и в этом случае сразу по магнитной симметрии системы можно сказать, вызван ли фазовый переход флуктуациями или какими-то другими причинами.

Во избежание недоразумений следует указать, что недостижимость критической точки не всегда определяется симметрией системы. Иногда это зависит от параметров микроскопического гамильтониана. Например, тип перехода в синусоидальное состояние зависит от величины магнитной анизотропии (п.5г).

Из того что траектория не оканчивается в устойчивой точке покоя, следует с неизбежностью, что рано или поздно она выйдет из области положительной определенности членов четвертого порядка, в которой она, по предположению, начиналась. На основании этого делается допущение принципиального характера, что отсутствие стабильных точек или их недостижимость означает, что фазовый переход - первого рода. Однако это допущение не следует воспринимать как само собой разумеющееся и в пионерских работах [9,90,91] отмечался его гипотетический характер.

Прежде всего, не очень ясно, насколько достоверна нестабильность точек покоя. Расчет методами ренормгруппы производится для (4 — е)-мерного пространства с е « 1, и затем производится переход к е = 1. Точка покоя, неустойчивая при d = 4, может оказаться устойчивой в трехмерном случае. Иллюстрацией неопределенности, связанной с е-разложением, служит следующий факт: иногда оказывается, что в первом и втором порядках по е получается разное число точек покоя. Например, при анализе геликоидальных структур получается, что точка покоя, неустойчивая в первом порядке по е, во втором порядке расщепляется на устойчивую и неустойчивую (см. п. 5г). При той же процедуре для ТЬР (п. 56) одна неустойчивая точка расщепляется на четыре.

Но если даже допустить, что используемая процедура корректно передает устойчивость или неустойчивость точек покоя в трехмерном случае, все равно физический смысл их неустойчивости не всегда самоочевиден. Дело в том, что существуют физические системы, у которых точка покоя нестабильна, но тем не менее фазовый переход первого рода в них заведомо невозможен. Так обстоит дело в модели Изинга с примесями [159]. Но примесь заведомо не может сделать скачкообразным фазовый переход второго рода. Наоборот, как обсуждалось в п. 4в, на основании результа- 43

тов [70, 159, 160] можно утверждать, что она размазывает фазовый переход. Таким образом, нужны какие-то дополнительные критерии, чтобы решить, к каким именно отклонениям от универсальности приводит отсутствие стабильной точки покоя.

Эти критерии, по-видимому, не столь тривиальны, как могло бы показаться на первый взгляд, о чем свидетельствует следующий экспериментальный факт. В весьма совершенных кристаллах NdSn3 (п. 5в), магнитная симметрия которых не допускает стабильной точки покоя, вместо фазового перехода первого рода наблюдается, наоборот, весьма размытый фазовый переход с сохранением остатков дальнего порядка значительно выше Tn・ Поэтому в [164] было высказано мнение, что и в идеальных кристаллах отсутствие стабильной точки покоя не обязательно означает скачкообразность фазового перехода, оно может свидетельствовать и о других его аномалиях. Эксперименты по Dy, Hg, Tb позволяют даже предположить, что отсутствие стабильной точки покоя или ее недостижимость могут означать любое нарушение гипотезы универсальности, включая четко определенный фазовый переход второго рода, но с критическими показателями, зависящими по каким-то причинам от свойств конкретного материала [31] .Детальное сравнение флуктуационной теории с экспериментом дкно в п. 26а.

Разумеется, раз флуктуационная теория основана на гипотезе, не вытекающей из первых принципов, и в ней использованы приемы, не имеющие строгого математического обоснования, желательна независимая проверка ее результатов другими теоретическими методами. К ним прежде всего относятся численные расчеты методом Монте-Карло для реального трехмерного пространства, исходя из микроскопических гамильтонианов. Имеющиеся сейчас расчеты не привели к однозначным выводам относительно справедливости флуктуационной теории (см. п. 56, в, д).

Качественно результаты флуктуационной теории совпадают с результатами других теорий в частном случае фазовых переходов первого рода, близких ко второму, в сжимаемых изинговских решетках (п. 106). Этот факт, во всяком случае, свидетельствует о наличии у флуктуационной теории области применимости.

Необходимо решить вопрос о взаимоотношении результатов флуктуационной теории и сферической модели [96] (п. 66). Эта точно решаемая модель эквивалентна обобщенной модели Гейзенберга с числом и компонент спина атома, стремящимся к бесконечности [290]. На ее основе развита техника вычисления критических показателей для моделей с конечным п путем разложения по 1/м (см. [39, 63]). В сферической модели возможны только фазовые переходы второго рода. С другой стороны, как и гейзенберговская модель, она допускает ряд структур, у которых стабильные точки покоя при и = 3 во флуктуационной теории отсутствуют, например структуру типа МпО с двенадцатикомпонентным параметром порядка или слоистую АФМ структуру в простой кубической решетке с девятикомпонентным параметром порядка [9]. Возможно, конечно, что по каким-то причинам разложение по i/几 для таких структур недопустимо.Тогда скачкообразность фазового перехода у указанных выше структур при 几=3 не противоречит его непрерывности при п ->°°. Но если разложение по 1/м законно, это ставит под вопрос справедливость флуктуационной теории фазовых 44

Переходов первого рода. Возможно, противоречие между обеими теориями можно снять, если допустить, что отсутствие стабильной точки покоя не обязательно означает скачкообразность фазового перехода (о возможности такой интерпретации говорилось выше).

Отметив проблемы, которые нужно еще решить для полного обоснования этой теории, перейдем теперь к обсуждению некоторых ее аспектов. Прежде всего необходимо указать, что флуктуации не всегда способствуют скачкообразности фазового перехода. В п. 5а указана ситуация, когда, наоборот, они превращают фазовый переход первого рода в переход второго рода. Это еще более затрудняет возможность физически наглядной интерпретации результата флуктуационной теории, согласно которому непрерывные переходы с необходимостью превращаются в скачкообразные лишь при определенных симметриях магнитной структуры, для которых размерность параметра порядка и0, во всяком случае, превышает 3.

Иногда говорят, что скачкообразность есть следствие того, что при всех этих симметриях возможны несколько эквивалентных векторов структуры, и система при приближении к критической точке ,,колеблется,,> какой из них выбрать. Эти колебания разрешаются скачкообразным переходом, в результате которого оказывается выбранным один из векторов. Однако такая интерпретация не вполне согласуется с тем фактом, что существуют магнитные структуры с несколькими эквивалентными векторами структуры, для которых флуктуационная теория допускает фазовый переход второго рода. Примером может служить слоистая АФМ структура в кубическом кристалле с моментом вдоль вектора структуры, направленным вдоль одной из тернарных осей. Таких осей три, и потому 几о = 3.

Сам факт, что флуктуационная теория работает лишь в ближней окрестности Тс，гДе параметр порядка мал, предполагает, что фазовые переходы первого рода флуктуационной природы не должны быть сильно выраженными. В некоторых случаях можно с определенностью утверждать, что скачок параметра порядка должен быть очень малым. Например, в случае АФМ структуры слоистого типа с ФМ плоскостями (10 0), кроме упоминавшегося случая, когда момент плоскости параллелен вектору структуры, возможен и случай, когда он к нему перпендикулярен. Тогда и0 = 6, и фазовые переходы второго рода запрещены (п. 5в). Но ориентация момента определяется магнитной анизотропией, энергия которой, как правило, на несколько порядков ниже энергии обмена. Коль скоро именно эта малая энергия меняет тип фазового перехода, то и скачок параметра порядка при фазовом переходе первого рода должен быть мал в меру малости энергии анизотропии.

Флуктуационные фазовые переходы первого рода

в конкретных структурах

Двухкомпонентный и трехкомпонентный параметры порядка

В этом параграфе будут изложены результаты флуктуационной теории Для конкретных структур. Случай двухкомпонентного параметра порядка соответствует, например, ферромагнетику или антиферромагнетику с тетрагональной решеткой и анизотропией типа ^легкая плоскость>,. В обоих случаях имеются ФМ плоскости (х, у), внутри которых лежат две проекции

45

Рис. 2.2. Фазовая диаграмма для тетрагонального ферромагнетика (〃 = 2). Область I соответствует несимметричной (〃S) фазе с тх Ф ту, область II - симметричной фазе S с тх = ту. Из трех точек покоя устойчива только точка на границе этих фаз [ 38, 241, 273]

момента тх и ту. Роль параметра порядка (2.1) играет величина

т=та cos Qz,(2.17)

где 0 = 0 для ФМ и б = ^ для АФ упорядочения, z взята в постоянных решетки вдоль тетрагональной оси.

Гамильтониан Ландау без учета градиентных членов, т.е. свободная энергия (2.12), записывается в виде

F = A (mJ + mJ) +

+ 81 (閹+吗)+/吟吗.(2.18)

Чтобы в рамках теории Ландау фазовый переход был второго рода, тернарный член должен быть положителен. Для этого, очевидно, требуется выполнение неравенств )

& >0, В2 +281 >0. (2.19)

Ниже точки перехода система переходит в упорядоченное состояние, тип которого определяется из условия минимума свободной энергии. При 28] > В2 должно реализоваться симметричное решение с mJ =呜,т.е. с намагниченностью в направлении [110]. В противоположном случае должно реализоваться несимметричное решение с/пх=/=0,ту ~0 или тх = 0,加^ W 0, т.е. с намагниченностью, направленной по оси [1 00] или [010]. Вне этой области должен происходить фазовый переход первого рода из парамагнитного в состояние, точная природа которого может быть выяснена лишь при учете членов высшего порядка.

Ренормировка параметров 5】и В2 осуществляется при помощи уравнений ренормгруппы (2.13). В первом порядке по е система иг теет три точки покоя в области, где по теории Ландау должен происходить разовый переход первого рода: значения Ь* 二 В；/8： соответственно равны 0, 2 и 6 [38, 241, 273]. Стабильная точка Ь* = 2 как раз лежит на границе между симметричной и несимметричной фазами и является изотропной, т.е. соответствует единственному отличному от нуля инварианту четвертой степени (S 北)2 • Остальные две точки неустойчивы (рис. 2.2).

Как видно из сказанного, действительно, флуктуации существенно сужают по сравнению с теорией Ландау область параметров Bi и В2, при кото-

рых оказываются возможными фазовые переходы второго рода, превращая в остальной части эти фазовые переходы в фазовые переходы первого рода.

Однако описанный выше расчет недостаточно точен, если тернарный член в затравочном гамильтониане (2.12) определен отрицательно, т.е. когда по теории Ландау должен происходить фазовый переход первого рода. Тогда флуктуации, наоборот, могут превратить его в переход второго рода [101]. В этом случае следует рассматривать вместо Нр (2.12) эффективный гамильтониан, включающий в себя и шестерные члены. В [101] был рассмотрен простейший гамильтониан такого типа

"尸=；/ [(▽ “У + Ат2 + Вт4 + Dm6 ]产乙 (2.20) где коэффициент В считается отрицательным, a Z) — положительным. Если размерность параметра порядками, то получается следующее выражение для ренормированного значения В параметра В:

~ 3

8 = 8 + ——-5+4)А (2.21)

Таким образом, флуктуации сдвигают трикритическую точку В = 0 на отрицательную полуось значений затравочных параметров В, расширяя область существования фазовых переходов второго рода. Этот сдвиг оказывается пропорциональным величине D. Именно по этой причине он отсутствует на рис. 2.3, полученном исходя из Hf (2.20) с Z) = 0.

Проведенный в [110] расчет показал, что в первом порядке по е при всех размерностях параметров порядка меньше 4 существует изотропная стабильная точка покоя, т.е. фазовый переход второго рода заведомо возможен. Максимально возможная размерность параметра порядка для фазового перехода без изменения кристаллографического периода равна как раз 3 (три проекции спина у ферромагнетика). Таким образом в ферромагнетике фазовый переход второго рода не запрещен флуктуационной теорией. То же самое относится и к ряду АФМ структур: шахматной неелев- ской структуре, слоистой структуре в кубическом кристалле, когда момент ФМ плоскости перпендикулярен к ней, т.е. параллелен вектору структуры. Этот же вектор может принимать три значения: Qx = (я, 0,0),^ = =(0, я, 0), Qz = (0, 0, я), и соответственно параметр порядка трехмерен.

Иная ситуация складывается, когда размерность параметров порядка превышает три. Для многих структур в этом случае стабильная точка покоя в области положительной определенности тернарной части HF (2.12) отсутствует. Таким образом, при любых значениях параметров затравочного гамильтониана Нр фазовый переход второго рода невозможен.

Коллинеарные магнетики с восьми- и четырехкомпонентными параметрами порядка

В [8] был исследован фазовый переход в антиферромагнетиках типа МпО, имеющих кубическую гране центрированную решетку магнитных атомов. В ней спины направлены одинаково в плоскостях типа (1 1 1), перпендикулярных к пространственным диагоналям [1 1 1] куба, а знаки их чередуются при переходе от одной плоскости к соседней. Звезда векто-

ров такой структуры состоит из Q1 =7Г(1,1,1), 02=я(-1,1,1), Q3 = ^ (1, -1, 0, q4=行(1，1,-1)，

(2.22)(2.22)Реально осуществляется структура с одним из таких векторов, но, в принципе, возможны и более сложные структуры, когда отличны от нуля сразу все четыре вектора Q. Намагниченность, соответствующая вектору Q/, определяется формулой

(2.22)

(2.22)

Sg7- = m, ехр { 0 • g } • (2.23)

Компоненты векторов т, и служат параметрами порядка с учетом трех компонент спина. Таким образом, в общем случае размерность параметра порядка равна 12. Однако при достаточно большой анизотропии она понижается. Возможны два случая: либо спины атомов направлены по осям < 11 1 >, т.е. параллельны Q,, либо они перпендикулярны к Q/. В первом случае роль параметра порядка играют четыре компоненты гл,： векторов ту, параллельные векторам Q/. Во втором случае размерность параметра порядка равна, очевидно, восьми. В [8] был исследован только случай с и = 4, а в [237] — оба случая. Более общее рассмотрение было проведено в [9]. Хотя согласно нейтронографическим данным реально в МпО осуществляется ситуация с и = 8 [102], расчет [8] сохраняет ценность не только в методическом, но и в практическом отношении, так как соответствует вполне реалистической ситуации (например, TbP, TbAs).

В случае и = 4 свободная энергия Ландау дается выражением

Л、 В、а 丛

F = - 2":+— 2崂 +- S

2‘24'4

mjmj + B3mlm2m3m4.mjmj + B3mlm2m3m4.(2・24)(2・24)Решение уравнений (2.13) проведено в [8] в главном порядке по е.

mjmj + B3mlm2m3m4.

mjmj + B3mlm2m3m4.

(2・24)

(2・24)

Результаты решения представлены на рис. 2.3. Сплошными линиями изобра

жены интегральные кривые системы в переменных и = В/В、、и = 63/81. Условие положительной определенности членов четвертого порядка в (2.32) требует, чтобы 生⑸ была положительна. Как видно из рис. 2.3, система имеет 4 точки покоя 0, Л, 8士, но все они неустойчивы. Область положительной определенности тернарных членов в (2.24) находится справа внутри угла, образуемого пересечением штриховых линий (их уравнения 1 + 9〃 一 6 I и I 二 0). Переход первого рода происходит либо в точках пересечения траектории с штриховой линией, либо в результате ухода траекторий направо на бесконечность, что соответствует обраще-

Р и с. 2.3. Траектории в случае 4-компонентного параметра порядка [8]

нию В1 в нуль. Если осуществляется последний случай, то, как видно из (2.24), в упорядоченном состоянии должна быть отлична от нуля только одна компонента т『(тогда тернарный член обращается в нуль). В первом же случае переход должен происходить в симметричное состояние со всеми компонентами mh равными друг другу по абсолютной величине.

В [237] точки покоя бь^пи найдены с точностью до членов ~ е2 включительно. В этом приближении одна из точек покоя расщепляется на 4, но все равно все точки покоя оказываются неустойчивыми. Аналогичный вывод получен в [237] для 几=8.

В [9] был исследован случай предельно малой анизотропии, когда характер перехода определяется всеми 12 компонентами параметра порядка. Вывод о том, что в антиферромагнетиках такого типа фазовый переход должен быть первого рода, остается неизменным. В сферической модели с такой симметрией фазовый переход получается второго рода (п. 66, в).

В [257] был проведен машинный эксперимент относительно характера фазового перехода в системе с четырехкомпонентным параметром порядка. Рассматривался кристалл с гранецентрированной кубической решеткой, описываемый гамильтонианом типа Изинга с учетом взаимодействия между первыми (и и) и вторыми (и п и) по дальности соседями:

Н= J 2 量S； -a J 2 5g5/, (2.25) /7 〃 П П П

где направление оси z совпадает с направлением вектора структуры. При а < —0,5 в системе должно установиться слоистое АФМ упорядочение с ФМ плоскостями, перпендикулярными к пространственным диагоналям < 1 1 1 >, числом которых (4) определяется размерность параметра порядка. Соответственно при всех а < -0,5 по флуктуационной теории должен обнаруживаться фазовый переход первого рода. Однако численный расчет обнаружил его только в интервале а от -0,5 до -1, где получился скачок параметра порядка и его гистерезис. При меньших значениях а признаков фазового перехода первого рода обнаружено не было.

Это можно было бы приписать малости скачка при а < --1, но такое объяснение ставится под сомнение тем фактом, что аналогичное явление наблюдается и при а > 0, когда в системе, описываемой гамильтонианом (2.25), стабильно слоистое АФМ упорядочение с ФМ плоскостями, перпендикулярными к осям четвертого порядка < 1 0 0 >. В этом случае параметр порядка трехмерен, и потому в системе допустим фазовый переход второго рода. Согласно результатам численного расчета при 0 < а < 0,25 осуществляется переход первого рода, а при а > 0,25 - второго рода. Поэтому возникает вопрос, не связаны ли в обоих случаях скачки параметра порядка, получающиеся вблизи границ фаз а = -0,5 и а = 0, с какими-то машинными эффектами, в результате которых к описанным выше фазам примешивается третья фаза, стабильная между а = 0 и а = —0,5.

ъ.Магнетики с шестикомпонентным параметром порядка

Рассмотрим теперь слоистую АФМ структуру в кристалле с простой кубической решеткой. В ней спины в плоскостях (10 0) упорядочены ферромагнитно, а моменты ближайших друг к другу ФМ плоскостей антипа- раллельны друг другу. Очевидно, вектором структуры служит Qi = (я, 0,0) н в его звезду входят еще два эквивалентных вектора Q2 = (0, я, 0) и

49494. Э.Л. Нагаев

49

49

Q3 = (О, О, я). Структура будет полностью определена, если указать, что направления моментов лежат в плоскости, перпендикулярной к вектору структуры. Таким образом, для каждого Q имеются два возможных взаимно перпендикулярных направления момента, и потому здесь параметр порядка mia имеет 6 компонент (i = 1, 2, 3 — номер эквивалентного вектора структуры, а = (х, у, z) — направление спина). В этом случае затравочная свободная энергия дается выражением [91]

F= — ^Аат^а^Вх^т^а^Вг Е 欣&欣6 +

2ia 小 0

+ B3 (m}ymlz +加纟加乳 ^rn}xm}y^m\zmlx +mlxmly + 加*加3)+

+ & (^lz^2z +^2x^3x +m；y"Wy) +

+ 4 (m]zmlx +"弘"h+加3加扌z).(2.26)

Подобное выражение годится для NdSn3 и UO2, хотя в последнем материале решетка гранецентрированная кубическая, так как они принадлежат одному и тому же классу универсальности.

В четырехмерном пространстве такой гамильтониан не имеет стабильных точек [91], но процедура перехода от него к трехмерному пространству, как уже говорилось в п. 46, не имеет строгого математического обоснования. Поэтому желательна независимая проверка утверждения, что этот результат означает скачкообразность фазового перехода. Для этой цели был проведен численный расчет в микроскопической модели, учитывающей обмен между первыми и вторыми по дальности соседями и одноионную кубическую анизотропию [233]. Был использован метод Монте-Карло на решетке из 143 спинов. В отличие от приближения самосогласованного поля, приводящего к фазовому переходу второго рода, в [233] (рис. 2.4) были обнаружены практически скачкообразное изменение безразмерного параметра порядка от 0,4 до 0,2 и температурный гистерезис. Большая неточность в значениях параметра порядка внутри критической области, близкая к величине скачка (~ 0,1), и большое значение параметра порядка выше точки перехода (0,2 вместо 0) объяснены в [233] тем, что вблизи точки фазового перехода, даже если он скачкообразен, радиус корреляции

Рис. 2.4. Результат расчета методом Монте-Карло температурной зависимости намагниченности подрешетки антиферромагнетика с шестикомпонентным параметром порядка. Штриховая линия - результат расчета в приближении самосогласованного поля [ 233]

велик. Поэтому в модели с конечным числом узлов появляются ошибки. Однако, к сожалению, это утверждение осталось в [233] не проверенным расчетом для системы с большим числом узлов. Кроме того, следовало бы провести аналогичный расчет для системы с л = 3, для того чтобы убедиться, что гистерезис есть свойство исследуемого объекта, а не артефакт. Поэтому пока еще рано говорить о том, что результаты расчета методом Монте-Карло четко подтверждают флуктуационную теорию.

Рассмотрение более общей ситуации, когда при той же звезде векторов структуры отличны от нуля и компоненты 加1乂，加2у, ”3z，проведено в [9]. Если анизотропия такова, что доминируют именно эти три компоненты параметра порядка, то фазовый переход в согласии с результатами [1 1 0] может быть и второго рода. Таким образом, в этом случае изменение величины анизотропии может менять тип фазового перехода. Во всяком случае, согласно [9] в пренебрежении анизотропией фазовые переходы второго рода невозможны. (В сферической модели они возможны (п. 66).) В [9] проведена также оценка свободной энергии системы вблизи точки перехода. Согласно ей после пересечения траекторией границы устойчивости должен происходить фазовый переход первого рода. Невозможен фазовый переход второго рода и в кубическом объемноцентрированном кристалле, для которого размерность параметра порядка равна шести [9].

В [22] обсуждена также ситуация в кристаллах типа MnS2 со структурой пирита. В них магнитные ионы образуют гранецентрированную кубическую решетку, построенную из четырех простых кубических решеток. В каждой из этих эквивалентных решеток магнитная структура описывается тремя комплексными векторами (2.31) с Q = (я, 0, 0) и еще двумя векторами его звезды. У них сильная анизотропия типа ^легкая ось", и потому можно считать, что каждый из векторов т, имеет по одной, вообще говоря, комплексной компоненте 加/+ + im— (Их направления, вообще говоря, не совпадают с направлением векторов структуры.) Соответственно размерность параметра порядка равна шести.

Свободная энергия Ландау в этом случае имеет вид

F=— Е I Wj I?+81 2 I ”[• I’+ б? S I mz 12 \m；\2. (2.27)

2 Y /

Интересно отметить, что к тому же классу универсальности относятся (т.е. для них тоже справедливо (2.27)) не только К21гС16, имеющий ту же

Рис. 2.5. Магнитная структура Nd

магнитную структуру, что и MnS2, но и TbD2 и Nd, имеющие совсем иную структуру [237]. В TbD? с гранецентрированной кубической решеткой реализуется продольная синусоидальная магнитная структура с вектором Q(2, 0,0), в звезду которого входят еще 5 векторов (-0,0,0), (0, ± Q, 0), (0, 0, ± 2). Но намагниченность всегда параллельна Q. У Nd гексагональная

структура и тоже 6 эквивалентных векторов структуры, лежащих в базисной плоскости (рис. 2.5). Синусоидальная намагниченность в каждой плоскости направлена вдоль вектора структуры. Направления же намагниченностей в соседних базисных плоскостях противоположны.

В [91] было показано, что выражение (2.27) имеет одну устойчивую точку покоя. Однако, как было установлено в [22], она достижима только для симметричных структур, когда отличны от нуля все три вектора mx, m2, m3 (рис. 2.6). Для реализующейся же в MnS2 несимметричной структуры, когда из всех компонент параметра порядка отлична от нуля лишь компонента 加1 + , эта стабильная точка покоя оказывается недостижимой. Поэтому переход в соответствующее состояние должен быть обязательно первого рода, т.е. реализуется ситуация, представленная на рис. 2.6.

Она интересна тем, что одних симметрийных соображений оказывается достаточно, чтобы установить, достижима ли стабильная точка покоя. Так бывает далеко не всегда: часто для выяснения этого вопроса нужны расчеты, основанные на микроскопических моделях. Если анизотропия мала, то фазовые переходы второго рода в рассматриваемых системах невозможны вообще.

Магнетики с модулированными структурами

В [22, 91, 94] был исследован характер фазовых переходов в спиральных и синусоидальных структурах. В [91] рассмотрены кристаллы с объем- ноцентрированной кубической решеткой, в которых осуществляется либо геликоидальная, как в Ей, либо синусоидальная, как в Сг, структура. В обоих случаях звезда векторов структуры состоит из 6 элементов

(2.28)(2.28)0х± = (±0,0,0), Q^ = (0,±e,0), Qz± = (0,0,±2)

(2.28)

(2.28)

(в отличие от (2.22) здесь надо учитывать оба возможных направления вектора геликоида, так как Q не переходит в —Q при сдвиге на постоянную обратной решетки). В плоскости, перпендикулярной к вектору структуры, все спины направлены одинаково. Их суммарный момент, следовательно,

может принимать два эквивалентных взаимно перпендикулярных направления. Таким образом, размерность параметра порядка в этом случае равна 12. В [91] было доказано отсутствие для

таких систем с анизотропией типа "легкая плocкocть^^ стабильных точек покоя, свидетельствующее о скачкообразности фазового перехода. В [22] было показано, что этот вывод остается в силе и при чисто обменном взаимодействии, когда размерность параметра порядка возрастает до 18.

В случае одноосных кристаллов (гексагональных или тетрагональных типа Dy, Tb, Но) вектор модулированной структуры направлен по оси кристалла, и потому раз-

Р и с. 2.6. Траектории ренормгруппы для Nd и MnS2. SFP- стабильная точка покоя, лежащая в области симметричной фазы [22, 91]

мерность параметра порядка оказывается ниже. Магнитная структура таких веществ описывается одним комплексным вектором

m = m0 cxp(iQz) = т+ + im .

Синусоидальной волне отвечают т+ и т , параллельные друг другу, а геликоидальной волне - перпендикулярные друг другу и равные по величине. Свободная энергия выражается через эти векторы следующим образом [22]:

月二/(加j + 加：)+ 告(加j + m2 ) +-++

+ 十(当—2B3)mlm2_ +-^-(m+m„)2.(2.29)

Параметр 〃 описывает анизотропию системы. При положительных его значениях это анизотропия типа "легкая плоскость", при отрицательных — типа "легкая ось".

При д = 0 из (2.29), когда размерность параметра порядка равна 6, получается, что фазовый переход второго рода в такой системе невозможен. Если траектория приводит к границе устойчивости Вх (?) = 0, то должно реализоваться состояние либо с т+ ^ 0, т_ = 0, либо с т+ = 0, т_ ^ О, либо с т+ = ± т_ . Во всех этих сбстояниях появляется синусоидальная волна. При пересечении других границ устойчивости должно скачком возникнуть геликоидальное упорядочение. Какая из этих возможностей реализуется на самом деле, зависит от затравочных параметров в свободной энергии Ландау. При 々(0) > В3 (0)〉0 происходит переход в спиральную структуру, а при В3 (0) > 0 - переход в синусоидальную структуру.

При симметрии "легка只 плocкocть^^ размерность параметра порядка уменьшается до 4, так как становятся существенными только компоненты намагниченности, перпендикулярные к вектору структуры. В этом случае система в первом порядке по е имеет две неустойчивые точки покоя О и Л на оси и = Вз/В] (рис. 2.7). Во втором порядке по е точка О расщепляется на устойчивую О _ и неустойчивую О + , что следует из аналогичного

I

Рис. 2.7. Точки покоя для ге

ликоидальной и синусоидаль-।

ной структур [22]I

-< О А-о … « оА I

А〃_О*〃

расчета, проведенного в [236]. Качественно ситуация оказывается следующей. В области 〃(О) < иА система движется на -оо, где, как и раньше, происходит переход первого рода в синусоидальное состояние. В области "а < 〃(0) < 〃+ все траектории сходятся в устойчивую точку О _ , где происходит переход второго рода в то же синусоидальное состояние. Наконец, в области и (О) > и+ система вновь будет двигаться до границы стабильности парамагнитной фазы, обозначенной на рис. 2.7 штриховой ли-

нией, где произойдет переход первого рода в геликоидальное состояние. Очевидно, точки А и О+ являются трикритическими. Отметим, что при учете анизотропии фазовый переход в геликоидальное состояние оказывается обязательно первого рода, в то время как переход в синусоидальное состояние может быть и второго рода.

В случае симметрии "легка只 ось" векторы т+ и т_ направлены вдоль этой оси, т.е. упорядочение синусоидальное. Размерность параметра порядка понижается до 2, а в такой системе возможны фазовые переходы второго рода (см. п. 5а).

Следует отметить, что модулированные структуры в легкоплоскостных магнетиках были исследованы в {91], где было доказано существование для них стабильной точки покоя и найдены критические экспоненты. Хотя этот вопрос в [91] детально не обсуждается, сравнение полученных там результатов с результатами [22] позволяет заключить, что эти критические индексы соответствуют фазовому переходу в синусоидальное, а не геликоидальное состояние.

Фазовые переходы в геликоидальных структурах были исследованы также в [94], где тоже был сделан вывод о том, что они обязательно первого рода. Там же указаны условия, при которых фазовый переход первого рода близок к переходу второго рода. В [94] обсужден вопрос о фазовых переходах в тетрагональных кристаллах типа DyC2 и ТЬАи2, в которых вектор структуры Q лежит в базисной плоскости, а синусоидально модулированная намагниченность направлена по тетрагональной оси. Если структура характеризуется одним вектором Q, то переход обязательно первого рода. Если же реализуются одновременно два взаимно перпендикулярных вектора Q, то тогда он может быть и второго рода.

В [93] были исследованы фазовые переходы в кристаллическом я дерном магнетике 3 Не, обладающем, как принято считать сейчас, четырехпод- решеточной АФМ структурой (См. п.246). Твердый 3 Не имеет объемно- центрированную кубическую решетку, а магнитная структура представима ФМ плоскостями (1 0 0), моменты которых чередуются в последовательности ССЮЮ (С - север, Ю 一 юг).

Векторы структуры в данном случае даются формулами (2.28) с Q = n/2. Для такой структуры остаются в силе многие результаты, полученные в [22, 91] для спиральных структур. В частности, фазовый переход оказывается первого рода и при чисто обменном взаимодействии, и при наличии заметной легкоплоскостной анизотропии, понижающей размерность параметра порядка с 18 до 12, как у Сг и Ей.

Последовательность ФМ плоскостей ССЮЮ наблюдалась и в EuSe со структурой МпО. Однако эти плоскости перпендикулярны пространственным диагоналям, т.е. векторы структуры отличаются от (2.22) множителем 1/2. Хотя расчет для этого случая пока не проведен, естественно ожидать. что и в этом случае флуктуационная теория должна привести к фазовому переходу первого рода.

Изменение типа фазового перехода под действием внешних полей, понижающих симметрию

Коль скоро тип фазового перехода зависит от симметрии кристалла, естественно ожидать, что ее понижение может привести к превращению фа-

зов ого перехода из скачкообразного в непрерывный. Ясно также, что очень малое изменение симметрии не изменит типа фазового перехода — для этого необходимо внешнее поле достаточно большой величины. Действительно, если поле и приводит к появлению стабильной точки покоя у системы, у которой ее не было, то это отнюдь еще не означает, что возникшая точка достижима (под термином "поле, понижающее cиммeтpию^^ здесь понимается любое внешнее воздействие, например одноосное напряжение).

Воздействие внешнего поля Л на систему можно описать, добавив к гамильтониану Ландау-Гинзбурга (2.12) член

, fc м

Я = ~^[(п~к) ^ т] - к 2 т；]. (2.30)

При очень больших Л такой член резко повышает энергию системы, когда в ней возникают флуктуации компонент параметра порядка m^+i ... тп. Тем самым эти флуктуации подавляются полем, и эффективная размерность параметра порядка понижается до к. Если при этой размерности порядка фазовый переход — второго рода, то это означает, что на фазовой диаграмме (力,Т) должна появиться трикритическая точка, в которой изменяется тип фазового перехода. Теоретическая деятельность в этом направлении была стимулирована экспериментами по Мп О [103], показавшими, что одноосное напряжение в направлении [1 1 1] превращает скачкообразный фазовый переход в непрерывный. В рамках флуктуационной теории этот факт можно объяснить уменьшением размерности параметра от 8 до 2.

В [136] было исследовано влияние внешнего поля с к = 1, понижающего симметрию системы, на двухкомпонентную систему. Такая система, как обсуждалось в п. 5а, имеет стабильную точку покоя, но для некоторых областей на (Вь ^2)-Диаграмме она из-за флуктуаций оказывается недостижимой, в частности в области 3? > 65 】> 0 (III на рис. 2.2).

Было подтверждено, что в этом случае на (Л, Г)-диаграмме (рис. 2.8,〃) появляется трикритическая точка, в которой фазовый переход в области В2 〉6 5] > 0 превращается опять из скачкообразного в непрерывный. Еще более сложной становится ситуация в поле, нарушающем симметрию,

///

а

Рис. 2.8. Фазовая диаграмма для системы с 〃 = 2 в поле, понижающем симметрию. Сплошная линия соответствует фазовым переходам первого рода, штриховая - второго рода.

а 一 начальная точка в области III рис. 2.2; б — начальная точка в области IV рис. 2.2 [ 136]

в области -2 31 < В2 < О (IV на рис. 2.2), где кроме трикритической точки Т2 появляется критическая конечная точка С. Критическая линия I отделяет неупорядоченную фазу от несимметричной упорядоченной с ту=0, а линия II соответствует переходу в фазу с отличной от нуля ту [186] (рис. 2.8,6).

В [186] были также исследованы качественно еще более сложные системы, у которых вообще отсутствуют стабильные точки покоя. Хотя фазовые диаграммы у них сложнее, общая тенденция к превращению скачкообразного фазового перехода в непрерывный, естественно, сохраняется и у них.

Более детальную информацию о превращении фазовых переходов первого рода в переходы второго рода под действием полей, понижающих симметрию, можно получить микроскопическими расчетами.

В [193] было проведено детальное исследование изменения типа фазового перехода в микроскопической модели, соответствующей (2.26), т.е. слоистой АФМ структуре в простой кубической решетке со спинами в ФМ плоскостях (и = 6), описанной в п. 5в. Если система подвергается одно-

Р и с. 2.9. Температурная зависимость намагниченности в антиферромагнетике с и = 6 при отрицательных (〃) и положительных (6) напряжениях, полученная методом Монте-Карло [193]

осному напряжению вдоль оси z, то параметр порядка расщепляется на 3 параметра размерности 〃 = 2:(加打 加22)，("зх, 忆3了)，(加2х, miy) (i 一 номер вектора структуры в 加以，а - направление спина). Микроскопически гамильтониан включал в себя обмен между первыми и вторыми по дальности соседями и одноионную анизотропию, выделяющую направления вдоль осей куба. Напряжение к вводится изменением интегралов обмена между ближайшими соседями по оси z по закону % -> «7】(1 + к), в то время как в остальных направлениях он остается равным ^. Структура с 〃 = 6 осуществляется при положительных 仇,поэтому положительные к стабилизируют структуры miz W0 и m2z W0 с ФМ упорядочением спинов вдоль оси z. Отрицательные к стабилизируют структуры т3х W 0 н т3у W0.

При расчете методом Монте-Карло получилось, что при отрицательных к разрыв в намагниченности, представленный на рис. 2.9, с ростом напряжения исчезает в интервале между -0,05 и т0,30, т.е. в этом интервале лежит трикритическая точка. При положительных к трикритическая точка отсутствует и фазовый переход остается первого рода. (Естественно, замечания, сделанные в п. 5в по поводу расчета при к = 0, остаются в силе и здесь.) Результаты высокотемпературных разложений, проведенных в [193], тоже проинтерпретированы там как свидетельство существования трикритической точки (считается, что о фазовом переходе первого рода свидетельствует нерегулярное поведение членов разложения).

Наконец, в [193] количественный расчет был проведен еще и с помощью методов ренормгруппы. Для этой цели с помощью микроскопического гамильтониана (1.1) в обычном приближении самосогласованного поля (ПСП) находится свободная энергия. Это выражение разлагается по т2 с точностью до членов 〜加'включительно, и коэффициенты разложения отождествляются с соответствующими коэффициентами в (2.12). При достаточно больших по модулю отрицательных к гамильтониан Нf имеет структуру (2.18) с компонентами m3xf т3у. Коэффициенты 8】и В2 становятся зависящими от к в результате интегрирования по остальным четырем компонентам параметра порядка. Если | к | очень велико, то начальные

Рис. 2.10. Траектории ренормгруппы для антиферромагнетика с и = 6. Штриховая линия показывает зависимость затравочного гамильтониана от напряжения. Квадратом обозначена трикритическая точка [ 193]

условия Bi(O) и В2 (0) попадают в область притяжения стабильной точки покоя I (см. рис. 2.2) • Однако по мере уменьшения | к | начальные условия переходят в область III и переход становится первого рода (рис. 2.10). Значение к, соответствующее трикритической точке, оказывается равным -0,025. Это заметно отличается от полученного' методом Монте-Карло, что можно объяснить грубостью аппроксимаций, но качественное согпасие результатов несомненно.

При положительных к полученный тем же способом гамильтониан Я戶 имеет ту же структуру (2.18), но с компонентами "iz, 〃2z・ Начальные условия для него при всех к попадают в область III рис. 2.2, и потому напряжение не меняет типа фазового перехода в согласии с результатами метода Монте-Карло. Следует указать, что для определенной области значений параметров приведенные здесь качественные результаты совпадают с полученными в ПСП с учетом магнитострикционных эффектов (в частности, изменение рода фазового перехода с первого на второй под действием внешнего напряжения [103], см. п. 10а).

В [94] обсуждено влияние одноосного напряжения по оси [1 0 0] на фазовые переходы в Ей и Сг . В первом из них, где упорядочение геликоидальное, такое напряжение не меняет типа фазового перехода - он остается первого рода. Во втором, с синусоидальной структурой, фазовый переход может стать второго рода.

ГЛАВА III

СФЕРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КАК НУЛЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ МОДЕЛИ ГЕЙЗЕНБЕРГА

Термодинамика сферической модели

Статистическая сумма

В предыдущей главе была изложена феноменологическая теория фазовых переходов, этой же главой начинается изложение их микроскопической теории. Естественно начать ее с магнетиков с билинейным обменом. Смысл термина "сложное обменное взaимoдeйcтвиe^^ в применении к ним лучше всего объяснить, противопоставив его простым обменным взаимодействиям, соответствующим двум пределам: приближению ближайших соседей и бесконечно большому радиусу обмена. Для таких простых взаимодействий существуют весьма точные математические методы - высокотемпературные разложения для первого из этих пределов и приближение самосогласованного поля для второго из них. Однако для сложных обменных взаимодействий столь эффективных методик нет. Приближение самосогласованного поля (ПСП) может привести к ошибкам не только количественным, но и качественным. Использование же высокотемпературных рядов при наличии нескольких интегралов обмена резко затрудняется и из-за их сложности, и из-за ненадежности процедуры приближенного аналитического продолжения.

В этой главе будет подробно изложена сферическая модель и будет обосновано ее применение для описания гейзенберговских магнетиков при произвольной зависимости обменного интеграла от расстояния. Сферическая модель [96] — вторая после двумерной модели Изинга, для которой было получено точное решение. В отличие от модели Изинга, точное решение сферической модели существует при произвольной размерности пространства и произвольной зависимости обменного интеграла от расстояния. Математика сферической модели несравненно более простая, чем модели Изинга.

Причина, по которой сферическая модель долгое время не привлекала к себе внимания в теории магнетизма, состоит в том, что в ней допускаются нефизические флуктуации величин спинов атомов, и эти флуктуации не малы: согласно [96] средняя величина S； втрое превышает ее истинное значение. Казалось бы, при таких больших нефизических флуктуациях трудно рассчитывать на то, что модель сможет сколь-нибудь точно .передать свойства реальных магнетиков с фиксированной величиной спинов атомов. Поэтому считалось, что сферическая модель представляет только математи-

ческий, но не физический интерес. На самом же деле на термодинамике магнетика одноцентровые флуктуации величин спинов не сказываются. Поскольку обменные взаимодействия двухцентровые, на термодинамику влияют лишь двухспиновые флуктуации типа〈 Sj S『>,которые достаточно малы. Поэтому сферическая модель хорошо передает свойства магнетиков, описываемых моделью Гейзенберга.

В основе сферической модели лежит гамильтониан вида (1.1), но вместо задания величины спина каждого атома в ней задается только суммарный спин системы Адатомов:

ZS； = ^2.(3.1)

В оригинальной работе [96] спины считались однокомпонентными. Ниже будет считаться, что они «-компонентны [52].

Условие (3.1) подразумевает, что дозволены любые значения спинов атомов, совместимые с ним. На практике, конечно, очень большие флуктуации величин спинов маловероятны и средняя флуктуация тем меньше, чем выше j число компонент спина п. Действительно, относительная флуктуация величины спина должна быть порядка 1 / \fn, т.е. исчезать при п ->оо. По существу, именно на этом основан результат работы [290], в которой доказана эквивалентность сферической модели с w = 1 и обобщенной модели Гейзенберга с п ->оо. Заметим, что еще до работы [96] условие (3.1) использовалось для определения равновесных спиновых конфигураций в магнетиках при Т = 0 [217].

После перехода в соотношении (3.1) к фурье-компонентам спина (1.19) оно принимает вид

NS2 = S(Sq -S^q) = S S S；S：q.(3.2)

qq a = 1

Гамильтониан системы (1.1) соответственно переписывается в следующем виде:

"=-Z ^(Sq • S_q),

4(3.3)

0 = S J(f)e^-f.

Все термодинамические свойства системы находятся из статистической суммы, которая с учетом (3.2,3.3) дается выражением

Z(^) = А^)1А^Ъ•(3.4)

4(6)= /Г! J|5q|expU 2 北|5；|2卜(В— 2 |S；/).

0 q,a" q,a丿 q,a

Равновесная магнитная структура определяется из условия, чтобы ее лектору Q соответствовал максимум 0q как функции волнового вектора q - тогда свободная энергия системы минимальна по Q.

Методика вычисления статсуммы (3.4) по [96] состоит в следующем. Для 5"функции используется представление

“NS? — 2|邕『)=J_ / Зхр{(е — 2|S：|2)p}.(3.5)

Если переставить в (3.4, 3.5) интегрирования но | % | и р, то тогда все интегрирования по I S^ | элементарно выполняются и (nN + 1)-кратный интеграл сведется к однократному. Но для возможности такой перестановки необходимо, чтобы интегралы по | 5^ | были сходящимися в бесконечных пределах, а при %〉0 зто условие в (3.4) не выполнено. Чтобы обойти эту трудность, показатель экспоненты в подынтегральном выражении (3.4) с использованием (3.2) представляется в виде

2& IS； |2 =5^-77 2 1^ I? +2备 |S； I2.(3.6)

При выборе 7? достаточно большим (»>%0) интегралы по | 5q | оказываются равномерно сходящимися при всех р. Сдвигая линию интегрирования но р на », получаем

4(6)dpexpSNp) П，d I S； | ехр ]一X

2Я/q,a о 4 I \2/

Nn

X 2 |S； |2 卜 二—/ dpexp{Ng(p)},(3.7)

a = 14丿 \ 2 /27U "一?8

гдеg(P)= s?"粉 U(P-能).гдеg(P)= s?"粉 U(P-能).(3.8)(3.8)

где

g(P)= s?"粉 U(P-能).

где

g(P)= s?"粉 U(P-能).

(3.8)

(3.8)

Z(6) =Z(6) =exp[A^(pJ]，^硒FJ/(O)exp[A^(pJ]，^硒FJ/(O)В парамагнитной области интеграл (3.7) вычисляется методом наибыстрейшего спуска. Роль большого параметра играет число атомов N、так что результат вычисления является асимптотически точным. Получается

Z(6) =

Z(6) =

exp[A^(pJ]

，^硒FJ/(O)

exp[A^(pJ]

，^硒FJ/(O)

(3.9)

где седловая точка ps определяется из уравнения ) пТ、_,

(3.10)(3.10)^2= — 2 (2p"-2q)7.

(3.10)

(3.10)

Из (3.9) в пределе N-> 8 получается следующее выражение для свободной энергии:

п ис

(З.П)(З.П)*F = A^rU(pJ -^ + у 1п(〃/2s2)

(З.П)

(З.П)

Намагниченность и корреляторы

Очевидно, уравнение (3.10) имеет решение только при вещественных положительных значениях 2凸 7\ превышающих или равных%. Дифферен-

61

цируя (3.10) по Т, легко убедиться, что в области 2口7>% величина ps является аналитической функцией от температуры. Тогда и свободная энергия (3.11,3.8) является аналитической функцией температуры, и в этой области температур сингулярности у ее производных отсутствуют, т.е. фазового перехода нет. С понижением температуры сингулярность свободной энергии появляется при той температуре, при которой 2psT становится равным Jq . Она и есть точка фазового перехода.

В одно- и двумерном случаях интеграл в правой части (3.10) расходится при 2р"с =%• Чтобы его произведение на Тс оставалось конечным, необходимо обращение критической температуры в нуль. Таким образом, дальний порядок в низко раз мерных системах, описываемых сферической моделью, при конечных температурах невозможен независимо от числа компонент спина.

В трехмерном случае интеграл в (3.10) остается конечным при 2ps Тс = = 4q, и потому оказывается отличной от нуля критическая температура

б? ( 1б? ( 1(3.12)(3.12)

б? ( 1

б? ( 1

(3.12)

(3.12)

Очевидно, ниже Тс должен установиться дальний порядок с вектором структуры Q. Результат (3.12) и последующие обобщают результаты [96] не только на значения 〃，большие 1, но и на произвольные типы магнитного упорядочения (в [96] считалось Q = 0) и на произвольные зависимости »(f) от f (в [96] использовалось приближение ближайших соседей).

Вычислим теперь бинарные корреляторы. Согласно (3.7) в парамагнитной области

5〈唠宀 27 言 EZ=7r^^〈Sq.S—q〉. (3.13) где принято обозначение 2р5 Г = Л2 +%. Очевидно, параметр Л обратно пропорционален корреляционной длине, которая становится бесконечной в Тс・ Из сравнения (3.10) и (3.13) становится ясным физический смысл равенства (3.10). Его можно переписать в виде

52 $ 2 <Sq -S_q> = <5| >,(3.14)

т.е. оно получается усреднением по температуре равенств (3.1,3.2). Таким образом, в сферической модели средний квадрат спина атома остается равным 52.

В упорядоченной области прямое интегрирование в выражении для статсуммы (3.4, 3.7) становится весьма сложным из-за неаналитичности подынте г рал ьных выражений. Однако те же результаты, что и в [96], можно получить и без такого интегрирования гораздо более простым и наглядным способом. Как следует из (3.2, 3.3), энергию системы можно записать в виде

S = — — S (》Q — Jq)(Sq • S_q).(3.15)

22 q^Q4

Пока коррелятор〈 Sq • S_q > макроскопически велик, все моды с q#Q можно рассматривать как не взаимодействующие друг с другом, т.е. при вычислении статсуммы можно производить интегрирование по всем I S^ | в бесконечных пределах. Тогда получается ：

<Sq *S_q> =

2п d 00 (в] пТ

(3.16)

Средняя намагниченность (2.3) на основании (3.12, 3.14, 3.16) равна:

S《Sq S-qMNu?二NS?(\ - T/Tc)・(3.17)

Чтобы выяснить, насколько велики в сферической модели нефизические флуктуации спинов, вычислим их коррелятор в парамагнитной области

〈S；S；>二』2 exp{ig・@ +q2)+ if・(q3+q4)}〈S；>.

e “ N 厶41 4 2 Чз Ч4

(3.18)

Полагая S； = | S； | exp (i^qa), получаем подобно (3.7)

"+>8

XqQ Ь|^1^ехр{-(р--^-) JJ5« |^X

X|S；J|%jN3||*|exp{i(9q/+9qj+9q30+9q40)}.(3.19)

Чтобы интеграл по углам в (3.19) был отличен от нуля, в подынтегральном выражении должен исчезнуть множитель, зависящий от углов. Для этого необходимо, чтобы волновые векторы qiQ, Чз, Чд распадались на пары равных по величине и противоположных по направлению, так как 9q& = =—9_qa・ Таким образом, с учетом (3.14) получается

〈S»；〉=二 2〈5三〉+

g f W q, f q3 -q3

2•

+ 高 2〈%| S[qJ〈S；2 SLq,〉exp{i(g — f)・(q】 +q2)}, т.е.

2sу

〈S^SRS"4 - 1 = <Sg -Sf>2 三kg_f.(3.20)

В отличие от подобных расцеплений в приближении хаотических фаз результат (3.20) асимптотически точный. При g = f и w= 1 он переходит в уже упоминавшийся результат [96].

Как следует из (3.20), нефизические флуктуации величин спинов исчезают при 〃->8, н тогда обобщенная модель Гейзенберга становится эквивалентной сферической модели с тем же числом компонент спина. Этот результат сходен с теоремой Стенли (п. 6а).

в. Фазовые переходы .

С помощью равенств (3.13, 3.14) легко определить критические показатели (2.10) сферической модели выше %• Очевидно, здесь т? = 0,7 = 2〃. Значение р находится из (3.13—3.14). Имеем при

= Т/Тс — 1-0

% 館二 =SF (32)

Очевидно, при Л ->0 существенный вклад в (3.21) дают только значения q〃 вблизи звезды векторов Q. Так как % по условию стабильности структуры максимален, то разложение Jq 一 & начинается с членов 〜(Q — q) ?. Следовательно, А 〜7, т.е. р = 1,у = 2. Можно показать исходя из (3.11), что а = —1. 二

Ниже % ДЛЯ критического показателя намагниченности 0 согласно (3.17) получается значение 1/2. Этот факт, а также равенство т? =0, породили ошибочное мнение, что результаты сферической модели соответствуют ПСП. На самом деле остальные критические показатели у них отличаются друг от друга — выше Тс показатели р и у для сферической модели вдвое больше, чем в ПСП. Ниже Тс согласно (3.16) корреляционная длина независимо от температуры равна бесконечности, т.е. следует положить в (2.10) ^ = —8. Таким образом, скейлинговое соотношение, требующее равенства критических показателей выше и ниже %，в сферической модели не выполняется.

Однако сферическая модель характеризуется универсальностью результатов, сходной с получаемой в ПСП: критические показатели не зависят не только от деталей обменного взаимодействия, но даже и от типа симметрии магнитной структуры. Соответственно в сферической модели оказываются непрерывными фазовые переходы в структурах типа МпО и других, для которых флуктуационная теория приводит к противоположному вьшоду (§ 5). Результаты сферической модели служат нулевым приближением по 1/м для моделей с конечными п [39,63]. Естественно ожидать, что разложение по 1/п приведет к изменению значений критических индексов по сравнению со сферической моделью, но не изменит типа фазового перехода. В таком случае существует противоречие между результатами флуктуационной теории и сферической модели.

Так как результаты флуктуационной теории получаются путем е-разложения для четырехмерной модели Гейзенберга (§ 4, 5), то встает вопрос, какое из этих двух разложений — по 1/〃 или по е — более корректно. Возможно, конечно, что оба эти разложения корректны, а причина противоречия в результатах состоит в интерпретации нестабильности точек покоя как однозначного свидетельства скачкообразности фазового перехода. Однако в § 4 упоминалось о возможности и иной интерпретации этого факта — как свидетельства любого нарутемя универсальности фазовых переходов. Например, критические показатели могут зависеть от отноше-

ний обменных интегралов между разными по дальности соседями. С другой стороны, нельзя заранее утверждать, что такой зависимости не возникнет при разложении по 1/〃. Таким образом, вполне вероятно, что более широкая интерпретация нестабильности точки покоя снимает противоречие между обеими теориями.

Обсудим теперь подробнее двумерную систему. Из (3.15) становится ясным, почему сферическая модель не обнаруживает дальнего порядка в двумерном случае 一 это общее свойство систем, энергия элементарных возбуждений в которых квадратична по квазиимпульсу. Следует подчеркнуть, что элементарные возбуждения, описьшаемые (3.15), не эквивалентны обычным магнонам. Это очевидно из того, что выражение (3.15) сохраняет смысл и для однокомпонентной сферической модели, являющейся аналогом модели Изинга, в которой магноны невозможны. В этом случае элементарные возбуждения (3.15) соответствуют нефизическим колебаниям величин спинов атомов.

Согласно (3.13) в неупорядоченной области бинарный коррелятор асимптотически убывает с расстоянием по экспоненциальному закону с корреляционной длиной Л. В приближении ближайших соседей, когда

& = 2 J (cos qx +cosqy),(3.22)

корреляционную длину можно вычислить точно. Интегрирование (3.13), после подстановки в эту формулу выражений (3.14, 3.22), выполняется с использованием преобразования Лапласа и интегрального представления для модифицированной функции Бесселя /0 (х)

°0°2/ 2\

1/30=/ dp ехр{ -(X2 + 2) р} 11(р) = ■— -力，(323)

07Г(入 +2)+ 2 /

е = т125s2,入2 =?V724s2,

где 冗(x) - полный эллиптический интеграл первого рода. При 0 <1 из (3.23) получается

入=4\/2 ехр(7г/30),

т.е. корреляционная длина, стремится к нулю при приближении к "крнтн- ческой точкеГ = 0 не по степенному закону (2.10), а по экспоненциальному. Тем самым выяснено, что означает расходимость критических показателей для двумерной сферической модели, установленная в [63] при приближенном решении задачи.

7. Использование результатов сферической модели для гейзенберговских магнетиков

а. Сравнение с результатами, полученными другими методами

Причина, по которой сферическая модель на первый взгляд кажется плохой аппроксимацией для гейзенберговских магнетиков, естественно, состоит в нефизических флуктуациях величин спинов. Как видно из (3.20), во всей парамагнитной области < 5| > отличается от своего правильного значения S’ в (1 + 2/〃)раз, что отнюдь не является малой величиной не только для модели Изинга, но и для модели Гейзенберга. На самом же

Э.Л. Нагаев65

деле сферическая модель, в общем, хорошо аппроксимирует гейзенберговскую [52]. Это связано с тем, что средняя энергия системы выражается через корреляторы〈 Sg • Sf〉с g # f н потому нечувствительна к флуктуациям величин спина отдельного атома. Из-за двухцентрового характера обменного взаимодействия на среднюю энергию влияют лишь корреляторы величин спинов Sg и ”，но поведение ( SgS^ ) совершенно иное, чем 〈S£〉. О нем можно составить представление из той же формулы (3.20).

nTS2nTS2Согласно (3.20) корреляции между величинами спинов исчезают в пределе высоких температур независимо от п. Поэтому можно ожидать, что в пределе высоких температур результаты сферической модели переходят в результаты гейзенберговской модели. Это заключение нетрудно подтвердить прямым расчетом. Как следует из (3.12, 3.14), в этом случае в первом порядке по 3qS 21Tполучается

nTS2

nTS2

nT-3qS2 ' с результатамиnT-3qS2 ' с результатами(3.24)

nT-3qS2 ' с результатами

nT-3qS2 ' с результатами

что совпадаетчто совпадаеттермодинамической теории возмущений

что совпадает

что совпадает

для магнетиков с фиксированной величиной спинов атомов S » 1. Результаты обеих моделей совпадают друг с другом при любых % размерностях решетки и характерах зависимости “(f) от f.

Перейдем теперь к более низким температурам, ограничившись трехмерными кристаллами. Тогда степень близости результатов сферической и гейзенберговской моделей зависит от закона убывания обменного интеграла с расстоянием. Количественной характеристикой нефизических флуктуаций может служить величина 左(R), равная сумме величин kf (3.20) по всем атомам, удаленным от центрального менее чем на радиус обменного взаимодействия R. Очевидно, наибольшего значения k(R) достигает вблизи Тс・ Используя фурьеобраз (1.19) коррелятора (3.13), получаем в предположении, что R и корреляционная длина к -1 велики по сравнению с постоянной решетки %

W)=W)=4тг/2[1 — ехр(—2kR)]4тг/2[1 — ехр(—2kR)]343Ks4343Ks4(3.25)(3.25)

W)=

W)=

4тг/2[1 — ехр(—2kR)]

4тг/2[1 — ехр(—2kR)]

343Ks4

343Ks4

(3.25)

(3.25)

к2 = 3A2/S J(g)g2,/= 3九？/4行2 J(g)g2.

Как следует из (3.12), при Т~ % величина / - порядка а3 /R2, так что k(R) убывает с ростом R как R ~ при к R » 1 как R ~3 при к R « 1. Физический смысл результата очевиден ： при достаточно больших R на радиусе обмена происходит усреднение по нефизическим флуктуациям величин спинов, точно так же, как происходит усреднение по физическим флуктуациям направлений спинов. Таким образом, чем больше радиус обмена, тем лучше сфертческая модель аппроксимирует гейзенберговскую. В пределе R ->°° формулы (3.12-3.14) сводятся к результатам приближения самосогласованного поля (ПСП), в чем легко убедиться, заметив, что в этом пределе 藹=^Q^Qq. С другой стороны, как известно, в том же пределе результаты ПСП являются точными для модели Гейзенберга. Следовательно, результаты этих двух моделей совпадают.

Обсудим теперь поведение магнетиков с конечным радиусом обмена. Из (3.20) видно, что вблизи Тс радиус корреляций между квадратами спинов резко возрастает, и потому эти нефизические флуктуадии могут существенно повлиять на длинноволновые свойства системы, такие, как точный характер особенностей термодинамических величин в Тс. Но влияние этих флуктуаций на те характеристики фазового перехода, которые определяются коротковолновыми корреляциями, должно быть гораздо более слабым. К числу их согласно (3.12) относится температура Кюри. Можно ожидать, что если флуктуации величин спинов не очень велики, то выражение (3.12) дает Гс гейзенберговского магнетика с хорошей точностью.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим наиболее не благоприятный для согласия двух моделей случай - приближение ближайших соседей в простой кубической решетке. В этом случае согласно (3.13, 3.20) при Тс величина 左厶(%) (△ 一 вектор, соединяющий ближайших соседей) составляет всего лишь 0,074, т.е. даже в критической точке двухцентровые нефизические флуктуации не очень велики. Прямой расчет по (3.12) в приближении ближайших соседей (трехмерное обобщение (3.22)) приводит к значению Гс, равному 0,22556 %^2, что только на 5% меньше наиболее точного значения 入，полученного высокотемпературными разложениями (его точность около 1 % [45]).

Из приведенных оценок ясно, что точный результат сферической модели очень хорошо воспроизводит Тс гейзенберговского магнетика не только в пределе очень большого радиуса обмена, но и в противоположном пределе малого радиуса. В п. 8а будет показано, что формула (3.12) правильно воспроизводит и Тс магнетиков со знакопеременным обменным взаимодействием конечного радиуса. Таким образом, выражение (3.12) имеет важное преимущество как перед результатами высокотемпературных разложений, так и перед результатами ПСП, состоящее в его универсальности: оно пригодно независимо от характера зависимости интеграла обмена от расстояния. Высокотемпературные же разложения обеспечивают высокую точность только в приближении ближайших соседей, а ПСП хорошо работает в пределе большого радиуса обмена, но в приближении ближайших соседей приводит к ошибке около 50%, т.е., как минимум, на порядок больше, чем ошибка (3.12).

Обсудим теперь, насколько точно корреляторы сферической модели аппроксимируют гейзенберговские. Совершенно ясно, что коль скоро коррелятор (3.13) — типа Орнштейна—Цернике, он не может совпадать с гейзенберговским коррелятором, у которого критический показатель 〃 близок к 0,04 [39]. Но это не все. Сферическая модель приводит к значению критического показателя р для обратной корреляционной долины, равному 1, что существенно отличается от значения 0,7, принятого для гейзенберговских магнетиков [39]. Аналогичная ситуация возникает и в отношении критических показателей 入 для восприимчивости в этих Двух моделях. Причина, по которой сферическая модель плохо аппроксимирует гейзенберговскую при Т->Гс, уже указьшалась выше: в критической точке система особенно чувствительна к нефизическим флуктуациям, которые согласно (3.20) максимальны в Гс, и максимален их радиус.

Можно, однако, ожидать, что при отходе от Тс точность аппроксимации (3.13) существенно повысится, так как уже при 7 = Т/Тс — 1 = 0,2 величина ^д втрое меньше, чем в %: она составляет только 0,025. При Т »% ве・ личина ^д согласно (3.20, 3.24) равна 0,06 Т^/Т?，т е- пренебрежимо мала. Для дальнейшего анализа удобно выразить обратную к о ррел яционную длину Л в (3.13) через температурно-зависящий показатель “ (т), определенный соотношением

А(т) = СтР(т).

Численный расчет по формуле (3.14) в приближении ближайших соседей показьшает, что в промежутке от 7 = 0 до 7 =0,15 показатель р (т) быстро падает от 1 до 0,7, а затем остается практически на том же уровне вплоть до т = 3 (рис. 3.1). На первый взгляд значение 7 =0,15 лежит достаточно

Рис. 3.1. Экстраполяционная процедура нахождения критического показателя р для гейзенберговской модели по результатам сферической модели

далеко от критической области. Но по сравнению с шириной флуктуационной области, которая с учетом полученной выше оценки для % простирается, по крайней мере, до 7 = 5,интервал т от 0 до 0,15 является близкой окрестностью %・ Во всяком случае, корреляционная длина при г =0,15 составляет две постоянные решетки, т.е. критические флуктуации при таких температурах все еще чувствуются.

Таким образом, существует возможность приближенно определить критические показатели модели Гейзенберга, экстраполируя результаты сферической модели из области 7 ^0,15 к т =0. Такая экстраполяция выглядит вполне обоснованной, если учесть, что в методе высокотемпературных разложений приходится экстраполировать к т = 0 от гораздо более удаленной области 7 » 1 н что процедура приближенного аналитического продолжения не имеет надежного математического обоснования. Получающееся описанным выше способом значение р = 0,7 согласуется с результатами других методов. Этот факт — достаточно серьезный аргумент в пользу изложенной методики: следует напомнить, что и разумность расчетов критических показателей методом ренормгруппы (п. 4.а) проверялась сравнением их результатов с результатами высокотемпературных разложений.

Как уже говорилось в п. 6в, все переходы в сферической модели независимо от магнитной симметрии — второго рода, как в ПСП для гейзенберговской модели. В этом проявляется определенное качественное сходство двух методик исследования гейзенберговских магнетиков - ПСП и более точной, основанной на сферической модели. Количественно же они существенно различны, и это дает возможность сформулировать критерий применимости ПСП. Действительно, при обмене конечного радиуса, поскольку

ЦСП заведомо работает при Т->°°, оно может давать неплохие результаты и npi конечных температурах. Естественно ожидать, что ПСП применимо, если разность температур | Т — % I превышает расхождение между температурами Кюри, найденными по (3.12) и в ПСП, Тс и Т^:

\т\>тт/=Т^1Тс-19(3.26)

Т 可=§2%/з・

Критерий (3.26) имеет иной смысл, чем критерий Леванюка — Гинзбурга применимости ПСП [16, 37], поскольку в этих работах ПСП понимается более широко, чем здесь. Леванюк и Гинзбург подразумевают под ПСП любую процедуру частичного учета взаимодействия между флуктуациями, которая приводит к тем же значениям критических показателей, что и в феноменологической теории Ландау — Лифшица. В отличие от микроскопического критерия (3.26), в критерий Леванюка — Гинзбурга вообще не входит значение 户с・

Критерий (3.26) более жесткий, чем в [16,37]. Так, если обмен убывает с расстоянием по простому экспоненциальному закону на длине Re, то

В аналогичном критерии Леванюка — Гинзбурга фигурирует не К£, а &L ・ В приближении ближайших соседей из (3.26) следует, что ПСП применимо при т > Tmf =05. В отличие от критерия Леванюка - Гинзбурга, который основан на сравнении спонтанной намагниченности с флуктуациями и потому применим только ниже %，нет рснований для того, чтобы применять (3.26) только с одной стороны от Тс.

В упорядоченной области сферическая модель хуже аппроксимирует гейзенберговскую, чем в неупорядоченной, - выражение (3.17) недостаточно корректно воспроизводит температурную зависимость гейзенберговского магнетика. Это обусловлено тем, что при понижении температуры относительная роль нефизических флуктуаций величин спинов не убывает по сравнению с ролью физических флуктуаций их направлений. Действительно, как уже обсуждалось в п. 6в, элементарные возбуждения (3.15) с законом дисперсии типа магнонного в значительной мере, если не целиком, определяются нефизическими колебаниями величин спинов. Их вкладе (3.15) не зависит от температуры.

Подводя итоги, можно заключить, что результаты трехкомпонентной сфертческой модели - корреляторы выше Тс и само значение Тс -являются хорошим приближением для гейзенберговских магнетиков с классическими спинами. При этом существенно, что в отличие от высокотемпературных разложений использование сферической модели позволяет получить корреляторы во всей зоне Бриллюэна, а не только их длинноволновую асимптотику.

Улучшенное приближение само согласован ного поля

Можно попытаться обобщить результаты сферической модели на более Широкий класс гейзенберговских магнетиков, чтобы ими охватывались и магнетики с квантовыми спинами. Это можно сделать тем или иным ва-

риантом метода ПСП, отличным от стандартного. В частности, для ферромагнетика с 5 = 1 /2 ниже Тс такая программа была фактически проведена в [68]. Хотя результаты этих работ интерпретируются самими авторами как интерполяционное приближение между спин-волновым при Т->0 и обычными ПСП при Т-^Тс，на самом деле при Т —Тс они переходят в квантовый аналог результатов сферической модели. Поэтому результаты Боголюбова-Тябликова [68] на самом деле гораздо точнее стандартного ПСП.

Методика Боголюбова—Тябликова основана на использовании аппарата двухвременных функций Грина. Самосогласование осуществляется при расцеплении высших функций Грина на низшие путем замены фигурирующих в них операторов 5| на их среднее значение а. Если перевести язык расцеплений функций Грина на язык качественных физических представлений, которым эти расцепления эквивалентны, то картина будет такова. Фактически считается, что при конечных температурах можно пользоваться формулами спинволновой теории, но с ренормированными магнонными частотами

3q =。(％ - Jq)三 2о%・ (3.27) Соответственно рождение такого эффективного магнона сопровождается изменением проекции спина системы не на 1, а на 2 а. Поскольку среднее число магнонов дается обычной функцией распределения Бозе —Эйнштейна, то самосогласованное уравнение для намагниченности имеет вид

2。 「「 /2оз八 『

• 88)

Полагая в (3.28) а = 0, получаем с использованием (3.27) выражение для Тс，отличающееся от (3.12) только спиновым множителем (оно совпадает с (3.38) при 5 = 1/2). Критический показатель 0 получается равным 1/2. В [67, 120] приближение Боголюбова-Тябликова было обобщено на случай ферромагнетиков с произвольными спинами. Однако методика [68] оказалась не очень эффективной в применении к антиферромагнетикам, и при всех типах упорядочения она непригодна выше Тс.

Ниже будет развит вариант ПСП, позволяющий распространить результаты сферической модели на магнетики с квантовыми спинами как выше, так и ниже Тс при произвольном типе упорядочения в них. Прежде всего заметим, что для корреляторов спинов должно выполняться точное равенство

1

(3.29)(3.29)~ 2〈Sq ・S_q〉= S(S+l),

(3.29)

(3.29)

являющееся обобщением уравнения (3.14) на случай квантовых спинов. Оно получается из условия фиксированности спина атома

S 戸 S(S+ 1)

после фурье4iреобразования, обратного (1.19), и последующего термодинамического усреднения с учетом периодичности системы. Конкретный вид гамильтониана при этом не существен.

В ПСП соотношение (3.29) оказьшается нарушенным. В этом легко убедиться, подставив в (3.29) корреляторы (3.24), получаемые в ПСП (для квантовых спинов в (3.24) надо заменить S? на S(S + 1)). Особенно сильно оно нарушено в низкоразмерных случаях, когда интегралы в левой части (3.29) оказываются расходящимися. Это свидетельствует о том, что ПСП неприменимо к таким системам даже качественно (действительно, ПСП ошибочно предсказывает для них существование дальнего порядка при конечных температурах). В трехмерном случае соотношение (3.29) нарушено тем сильнее, чем меньше радиус обменного взаимодействия. Причина нарушения (3.29) в ПСП объяснена ниже.

Поскольку левая часть (3.29) есть среднее значение спина атома, отсюда следует, что ПСП дает его значение неправильно. Таким образом, условие фиксированности * величины спинов в ПСП оказывается нарушенным даже сильнее, чем в сферической модели, где соотношение (3.14) вьшолняется.

Основная идея проводимой ниже модификации ПСП состоит в том, чтобы потребовать в рамках этого приближения вьшолнения равенства (3.29). Подчинить флуктуации правилу 守мм (3.29) можно введением аналога химического потенциала для них. Эту модификацию можно трактовать и иначе. Соотношение (3.29) можно интерпретировать как кинематическое (т.е. не зависящее от параметров гамильтониана) взаимодействие между флуктуациями. Оно особенно существенно вблизи Тс，поскольку оно ограничивает нарастание локальных флуктуаций при приближении температуры к Тс・ В развиваемом ниже подходе динамическое взаимодействие между флуктуациями, как и в ПСП, учитываться не будет, но зато будет точно учтено кинематическое взаимодействие между ними. Это соответствует •допущению, что роль динамического взаимодействия менее существенна, чем кинематиче ского.

В соответствии с намеченной выше программой обменное взаимодействие между спинами вместо гамильтониана (1.1) описывается гамильтонианом ПСП (точнее, семейством гамильтонианов, зависящим от волнового вектора q и внешнего поля h):

Нт 仆,q) = -SJ(g-f)<Sg>-Sf-S(h-Sg) e»q・g, (3.30) где < Sg > 一 среднее значение спина, найденное с гамильтонианом (3.30). Очевидно, это среднее должно зависеть от q и h, и потому флуктуации с заданным q соответствует свой гамильтониан Н mf (q), отличный от гамильтонианов для флуктуаций с другими q. Именно потому, что в ПСП каждый коррелятор〈 Sq • S_q > вычисляется со своим гамильтонианом 〃加八0), а не с одним и тем же для всех q, и оказывается нарушенным соотношение (3.29) •

Кинематическое взаимодействие в обобщение подхода Дайсона [45] учитывается добавлением к (3.30) должным образом подобранного эффективного гамильтониана Нк. Его структура устанавливается исходя из свойств симметрии системы. Естественно, как и Hmf (3.30), гамильтониан Нк должен быть линеен по Sg. В ПМ области скаляр 〃改，линейный по Sg, можно построить как комбинацию либо членов типа (h • Sg), либо (< Sf > • Sg), так как других векторов, кроме h и < Sf > , в системе нет. Члены первого типа соответствуют ренормировке внешнего поля и потому

не могут привести к сдвигу % по сравнению с ПСП. Члены же второго типа соответствуют ренормировке молекулярного поля и потому существенны. Так как для определения параметров гамильтониана Н^ имеется только одно равенство (3.29), это гамильтониан должен быть однопараметрическим. Исходя из сказанного эффективный гамильтониан Нк в ПМ области естественно взять в виде

〃？м =_д S<sg>-Sg. (3.31) Параметр кинематического взаимодействия 〃, являющийся аналогом химического потенциала, не зависит от q.

Ниже % структура эффективного гамильтониана 〃改 должна зависеть от типа магнитного упорядочения. Обсудим для определенности ФМ упорядочение. По-прежнему эффективный гамильтониан строится как линейный по компонентам векторов Sg, но теперь надо учитьшать анизотропию свойств магнетика вдоль вектора спонтанной намагниченности и поперек него. Ту часть гамильтониана, которая соответствует поперечному полю, естественно выбрать в виде〈 > Sj +〈靠〉Sj. Что же касается продольной компоненты спина , то она может комбинировать как с намагниченностью < 5^ > — а, наведенной внешним полем, так и с самопроизвольной намагниченностью а. Таким образом, с учетом и поперечных, и продольных членов эффективный гамильтониан должен включать в себя три аналога химического потенциала одновременно:

"：m = -2[%0+也(〈護〉--д?[〈蘸〉5； +〈/〉5加. О О ОО ОО

(3.32)

Естественно, для определения трех параметров гамильтониана (3.32) одного условия (3.29) недостаточно. Потребуем дополнительно, чтобы, во-первых, намагниченность а обращалась в нуль при той же температуре, что и обратная корреляционная длина. Во-вторых, наложим еще условие на поперечный коррелятор, вытекающее из изотропности пространства в отсутствие поля: он должен обращаться в бесконечность при q ->0. Этими тремя условиями коэффициенты (3.32) определяются полностью.

В ПМ области с использованием (3.30, 3.31) получается следующее уравнение самосогласования ；

<5g > = Sp15g exp(— _^_) |/sp&p(—牛)} , (3.33)

〃产/f(h,q)+〃：M

Уравнение (3.33) решается в первом порядке по 1/Т путем подстановки:

(3.34)(3.34)1~

(3.34)

(3.34)

> = -^= exp(iq.g)〈 ％ >п •

Это даетZZ 18〈%〉…Это даетZZ 18〈%〉…(3.35)(3.35)

Это дает

ZZ 18〈%〉…

Это дает

ZZ 18〈%〉…

(3.35)

(3.35)

Как и в (3.13), здесь вместо параметра 〃 введен связанный с ним параметр Д, обратно пропорциональный корреляционной длине, Л2 = 3T/S (5 +1)-

Связь восприимчивости х с бинарным коррелятором спинов устанавливается точной формулой Кубо

Х&а 二 /сШ 入入S： 〉，0=図 ・(3.36)

где H — точный гамильтониан системы при Л = 0. В классическом пределе это дает

Тх* =〈>-<>2.(3.37)

人q q -q q

Квантовые поправки (3.37) можно получить, разлагая операторные экспоненты в (3.36). Каждый член такого разложения соответствует учету корреляций одновременно между большим числом спинов. С другой стороны, (3.37) можно получить и прямым дифференцированием (3.33) по полю. Отсюда следует, что приближение (3.33) соответствует пренебрежению многоспиновыми корреляциями.

Полагая в (3.35) Л = 0 и пользуясь (3.37) , (3.29), получаем квантовый аналог выражения (3.12) для Тс:

Тс= S(\+D ｛「[ % 一 •(3.38)

При Т > Тс подстановка (3.35, 3.37) в (3.29) позволяет определить температурную зависимость параметра Л.

В упорядоченной области, ограничиваясь классическими спинами, получаем с помощью (3.30, 3.32)

Х^ = X? = [% — 〃,『，(3.39)

。/S = cth(3oTc/ST) - ST/3。厶•(3.40)

Для продольной восприимчивости x；z остается в силе формула (3.35) с параметром Л, в который вошли все три "химических потенциала" из (3.32).

Обсудим полученные результаты. Прежде всего необходимо указать, что в классическом пределе уравнения (3.29, 3.35, 3.38) точно совпадают с соответствующими уравнениями сферической модели, и, следовательно, использованная выше процедура обеспечивает высокую точность результатов. Результаты остаются достаточно точными и в случае квантовых спинов. Так, в приближении ближайших соседей Тс (3.38) только на 8% отличается от наиболее точного результата для S = 1/2, полученного высокотемпературными разложениями. Ошибка обычного ПСП превышает 50%. При любом спине в пределе бесконечного радиуса обмена результаты (3.29, 3.35, 3.38) переходят в результаты ПСП, которые в этом пределе точны.

Процедура определения критического индекса р, описанная в п. 7а, остается применимой и здесь, приводя к тому же значению, 〃. Интересно

73

отметить, что при такой методике критический показатель оказьшается не зависящим от величины спина, в то время как в высокотемпературных разложениях такая зависимость получается, а это противоречит гипотезе универсальности.

Следует, однако、указать, что вблизи границы между магнитными фазами результаты (3.39, 3.35, 3.38) могут оказаться несправедливыми. Из-за квантовых флуктуаций спинов там становятся возможными скачкообразные фазовые переходы порядок — беспорядок вместо непрерывных (п. 8в).

Что же касается результатов (3.29, 3.39, 3.40) ниже Тс, то они существенно отличаются от результатов сферической модели, в которой все корреляторы спадают с расстоянием по степенному закону (см. (3.16)), и иной характер носит температурная зависимость намагниченности (3.17). Формула (3.40) отличается от обычного результата ПСП выражением ддя Тс，входящим для нее. Но это различие приводит к важным последствиям: формула (3.40) при больших спинах в интервале температур Тс <Т < Тс /S переходит в результат спин-волнового приближения, которое применимо в этом интервале. Это дает дополнительное подтверждение справедливости полученных выше результатов, тем более убедительное, что магноны не вводились явным образом при выводе (3.40). Но вблизи Тс формула (3.40) неточна, приводя к тому же значению критического показателя 0 для намагниченности, что и обычное ПСП (то же значение 1/2 получается и для сферической модели).

Переход от двумерного к трехмерному поведению

Развитая в .этом и предыдущем параграфах методика позволяет исследовать одну из общих проблем физики твердого тела - переход от двумерного； к трехмерному поведению у кв азида у мерных систем, которые в чисто двумерном случае не обнаруживают упорядочения при конечных температурах. Среди гейзенберговских магнетиков такими системами являются' слоистые магнетики с сильным обменом внутри слоев и слабым обменом между слоями [53].

Сложность рассмотрения предельно анизотропных систем обычными методами состоит в неаналитичности результатов по малому параметру системы — интегралу обмена между слоями. Между тем использование формулы (3.38) позволяет автоматически учесть эту неаналитичность. Рассмотрим слоистый ФМ кристалл с аномально слабым обменом между слоями, используя приближение ближайших соседей. Если обозначить интегралы обмена внутри слоя и между слоями через И м gj соответственно, то из (3.38) получается при^< 1

2丿 /32「

Гс = — ^S(S + 1)^1п ——j , (3.41) т.е. Тс квазидвумерно го кристалла обращается в нуль при изменений g как (Ing) "I

Исследуем теперь анизотропию корреляций в такой системе. Для коррелятора

So • SR > =——Z /q・R〈Sq ・S_q〉 (3.42) N q

в ПМ области явное выражение получается с учетом (3.35, 3.37) путем использования преобразования Лапласа, позволяющего заменить трехкратный интеграл по q однократным. При этом имеется в виду, что фурье- компонента обменного интеграла в рассматриваемом случае дается выражением

Jq = 2 J (cos qx + cosq» +^cos qz).

Используя интегральные представления для модифицированных функций Бесселя 1„ (х), получаем из (3.42)

〈So ・Sr〉= 36 J exp {一(入2 +2+g)p}I«p)Iy(p)Iz3)dp,(3.43)

о

6 = T/24S(S+1),入2 = a2/2“s(s+d

При x, у, z » 1 для модифицированных функций Бесселя справедлива асимптотика по индексу и

以吟~画(：+尸"exp^E +1п "77^]} •(3.44)

Используя метод перевала при вычислении интеграла (3.43, 3.44), получаем для RX"1 > х,у, z/g

1

〈"％〉а у^=-ехр(_<Т京)，

(3.45)

R = л/%? +歹2 +z2gT

Как видно из (3.45), достаточно близко к Тс корреляционная длина вдоль слоев в g-i/2 больше, чем перпендик ул ярно к ним, т.е. в направлении слабого обмена. С ростом температуры анизотропия корреляций уменьшается.

ГЛАВА IV

МАГНЕТИКИ С КОНКУРИРУЮЩИМИ

БИЛИНЕЙНЫМИ ОБМЕННЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ

Гейзенберговские магнетики

Магнитные структуры и квантовые флуктуации спинов вблизи гра- ницы фаз

Если обменные взаимодействия между различными по дальности соседями конкурируют друг с другом в определении типа магнитного порядка, свойства таких магнетиков оказываются гораздо более сложными, чем это вытекает из элементарной теории магнетизма, основанной на ПСП. Эти свойства существенно зависят от числа компонент спина, так что поведение Гейзенберговских магнетиков в ряде случаев качественно отлично от поведения изинговских. Мы начнем с анализа Гейзенберговских магнетиков. Прежде всего необходимо выяснить, какие магнитные структуры возможны в таких системах.

Если спины считать классически* большими, то минимум энергии системы с гамильтонианом (1.1) достигается при той структуре, для которой максимальна фурье-компонента обменного интеграла Jq (3.3). Именно через ее значение и проявляется конкуренция между различными обменными взаимодействиями. Проиллюстрируем это на примере простой кубической решетки с интегралами обмена 仇 и 仇 между первыми и вторыми по дальности соседями соответственно. Фурье-компонента обменного интеграла в этом случае дается выражением

У = 2 % (cos Qx cos qv + cos<?z) +

+ 4 仇(cos qx cos qy + cos qy cos qz + cos qz cos qj (4.1) В соответствии co сказанным, если оба & и J2 положительны, то устанавливается ФМ упорядочение с Qo = (0, 0, 0). Если же ^ отрицателен, а ?2 положителен, то установится АФМ упорядочение шахматного типа с QN = (я, я, я) (рис.4.1,а). Еще две АФМ структуры, в дополнение к шахматной, возможны, если % отрицателен. Положительным 式, если I 方丨 достаточно велик, соответствует слоистое АФМ упорядочение с ФМ слоями (1 0 0). Ему соответствует вектор структуры Q4 = (я, 0,0) (или любой другой вектор его звезды), описывающий конфигурацию, в которой моменты ближайших друг к другу ФМ плоскостей антипарал- лельны друг другу (рис. 4.1, б).

Переход от ФМ к слоистому АФМ упорядочению происходит при отношении обменных интегралов г = — J2/ %, равном 0,25. Этот результат, следующий из (4.1), имеет простой физический смысл. Каждый атом взаимодействует с одним ближайшим соседом и четырьмя вторыми по дальности соседями из соседней плоскости (10 0). Таким образом, энергия этого взаимодействия при угле 0 между моментами плоскостей равна

ЕрР^-{ ^i +4J2)S2cos0 = -仇(1 -4r)S2cos6. (4.2)

Как видно из (4.2), значение г -г ь - 0,25, при котором ФМ упорядочение заменяется слоистым АФМ, соответствует обращению в нуль энергии обмена между ФМ плоскостями.

Если 少? по-прежнему отрицателен, a J】меняет знак с положительного на отрицательный, то при 仇==0 слоистое АФМ упорядочение заменяется на ниточное АФМ, когда спины всех атомов вдоль линий [1 0 0] направлены одинаково, а моменты ближайших друг к другу линий анти- параллельны друг другу (рис. 4.1, в). Вектор такой структуры есть Qf = (0, я, я). При дальнейшем росте I 久 I, начиная с г = — 0,25, становится стабильной шахматная АФМ структура.

Во всех этих структурах вектор Q лежит либо в центре, либо на границе зоны Бриллюэна. Однако возможны ситуации, когда в результате кон-

ааРис. 4.1. Антиферромагнитные структуры в простой кубической решетке:4 — шахматная; б - слоистая; в — ниточнаяРис. 4.1. Антиферромагнитные структуры в простой кубической решетке:4 — шахматная; б - слоистая; в — ниточнаяРис. 4.2. Модель магнетика с тетрагональной структурой. В случае однокомпонентных спинов получила название АНННИ моделиРис. 4.2. Модель магнетика с тетрагональной структурой. В случае однокомпонентных спинов получила название АНННИ модели

а

а

Рис. 4.1. Антиферромагнитные структуры в простой кубической решетке:

4 — шахматная; б - слоистая; в — ниточная

Рис. 4.1. Антиферромагнитные структуры в простой кубической решетке:

4 — шахматная; б - слоистая; в — ниточная

Рис. 4.2. Модель магнетика с тетрагональной структурой. В случае однокомпонентных спинов получила название АНННИ модели

Рис. 4.2. Модель магнетика с тетрагональной структурой. В случае однокомпонентных спинов получила название АНННИ модели

куренции между обменными взаимодействиями становится стабильной структура с вектором Q, лежащим внутри зоны Бриллюэна. Рассмотрим магаетик, состоящий из слоев с ФМ обменом внутри них. Что же касается обмена между атомами, принадлежащими различным слоям, то по-прежнему будем учитывать только интегралы 3G и 仇 между первыми и вторыми по дальности соседями вдоль оси z (рис. 4.2). В этом случае

»q = 4丄(q丄)+ 仇 COS qz + 少2 cos 2%, (4.3) где 久 一интеграл обмена внутри ФМ слоя, q丄=(q*, q^). Из (4.3) следует, что в интервале отношений обменных интегралов 夕=-崑 / % от 0,25 до — 0,25 максимум 笃 достигается при геликоидальном упорядочении с Q = (0,0, бЛ ), где

Qh~ - arc cos(l/4r). (4.4)

При этом требуется, чтобы % был отрицателен.

С учетом квантовых эффектов граница между фазами с волновыми векторами Qi и Q2 уже не соответствует равенству Jq = % . Ниже эти эффекты будут рассмотрены применительно к границе между ФМ и слоистой АФМ фазами в простом кубическом магнетике. Они на ней должны проявляться особенно сильно, поскольку нулевые колебания спинов могут существенно понизить энергию АФМ состояния по сравнению с энергией ФМ состояния. Поэтому и граница фаз, в классическом пределе лежащая при г ь = 0,25, должна сдвинуться к меньшим значениям г .

Действительно, классическое ФМ состояние со всеми спинами, направленными строго в одну сторону, является точным собственным состоянием гамильтониана Гейзенберга (1.1). Поэтому значение энергии ФМ состояния

"ом = - 4s 2/2 (4.5)

является точным. Но классическое АФМ состояние не является собственным состоянием гамильтониана Гейзенберга. Следовательно, и классическая энергия АФМ состояния

脸м=-%£/2 (4.6) превышает истинную энергию основного состояния антиферромагнетика £афм, так как в соответствии с вариационным принципом минимальная энергия системы достигается при истинном основном состоянии системы. Отсюда ясно, что на классической границе фаз, где Jo = %『 энергия АФМ состояния с учетом квантовых эффектов ниже энергии ФМ состояния.

Ниже будет проведен расчет энергии £АФМ слоистого АФМ упорядочения в модели (4.1) с учетом квантовых эффектов. Вблизи границы фаз нам понадобятся магнонные частоты не в обычном главном, а в следующем за ним приближении по 1/S. Именно с этой точностью и следует использовать преобразование Холстейна — Примакова, выражающее спиновые операторы через бозонные соответственно для двух эквивалентных

подрешеток антиферромагнетика

Sg = 6"的-Sg = 6"的-〃g 4g〃g 4g4s4s

Sg = 6"的-

Sg = 6"的-

〃g 4g

〃g 4g

4s

4s

S； = V5J(1 — «^1储，S^ S-ala^(4.7a)

Sj =_S + b；bf.(4.76)

Но когда речь идет о поправках к энергии, достаточно ограничиться в (4.7) главными членами по 1/S. После подстановки их в гамильтониан (1.1) и фурье-преобразования операторов а*, ag и b；, bf типа (1.19) получается

H = NE；&M+2B*：Qc+b： bn)+ ZC；(〃：%),

афм q q q q q q q q q q

8； = 2s {仇(1 — cosq* — cosq),) — 2 仇(cos qx cosqy + 1)},

C； = - 2S cos% [ 7 + 2 32(cosqx + cosq^ .(4.8)

Диагонализация гамильтониана (4.8) проводится, как обычно, бого- любовским 〃 - и-преобразованием: вместо старых бозевских операторов д*, 〃 и b*, b вводятся новые, связанные с ними соотношениями %=〃k〃k+竝 ％,

” = %〃k+〃kb：，(4・9)

Mk - uk = 1 •

После перехода к операторам (4.9) из (4.8) получается

^ = ^АФМ+ Ез；3；%+0；%),(4.Ю)

Еаом =Е£фм -歹 2(8；-з；),(4.11)

3； =\/(В；)2 - (С；)2 = {[ ^Ql - 少q] [ %L - "q+ Q/J }l/2.

Очевидно, второй член в правой части (4.10), имеющий порядок 1/5 от первого, дает энергию нулевых колебаний. Численный расчет показывает, что на границе фаз он составляет 0,14/5 от первого, т.е. поправки к энергии за счет нулевых колебаний спинов весьма значительны. Однако выражение (4.10) справедливо только для г > гь, так как при г < гь частоты (4.11) становятся мнимыми. Это отражает тот факт, что магнойные частоты, а следовательно, и энергия антиферромагнетика не являют-

ся аналитическими функциями 1/S в классически не достияшмой для него области г < гь. Но из соображений непрерывности ясно, что энергия АФМ состояния должна оставаться ниже энергии ФМ состояния (4.5) в некотором интервале значений г , меньших гь. Следовательно, в этом интервале ФМ структура, бывшая стабильной в классическом пределе, из-за квантовых эффектов теряет свою стабильность. Чтобы убедиться, что в этом классически недостижимом для АФМ структуры интервале она по крайней мере относительно стабильна, вычислены магнонные частоты с учетом членов более высокого порядка по 1/S в (4.7) [51, 52]. Эти частоты Остаются вещественными вплоть до

rm ^гь -0,07/5. (4.12)

Величину гт можно взять за оценку снизу граничного значения rq, разделяющего АФМ и ФМ фазы. По порядку величины она согласуется с той оценкой, которая получается из сравнения £фм (4.5) и £АФМ (4.11) (числовое значение энергии нулевых колебаний уже было приведено выше). Тогда согласно (4.12) при S = 1/2 область стабильности ФМ состояния сужается почти вдвое.

Фазовые переходы порядок — беспорядок 6 магнетиках с класса ческими спинами 一

Здесь будут обсуждены фазовые переходы порядок'"^- беспорядок вблизи границы магнитных фаз [52]. Спины атомов считаются классическими. В числе рассматриваемых ниже магнитных структур находится и слоистая АФМ. Согласно флуктуационной теории п. 5в при чисто изотропном взаимодействии между магнитными атомами фазовый переход в такой структуре должен быть первого рода. Как уже обсуждалось в п. 6в, этот вывод противоречит результатам сферической модели. Но в данном случае нет особой необходимости противопоставлять эти- теории друг другу. Достаточно предположить существование небольшой одноосной анизотропии, и фазовый период будет второго рода и по флуктуационной теории.

Характерная черта гейзенберговской модели состоит в том, что тип дальнего порядка, появившегося при понижении температуры в критической точке, не изменяется при ее дальнейшем понижении до Т = 0. Действительно, согласно (3.13, 3.24) восприимчивость в & расходится при том значении волнового вектора Q, которому соответствует максимум 扌q. Поэтому в 厶 устанавливается структура с этим волновым вектором. Но максимальность 岂 обеспечивает одновременно и минимум энергии системы (1.1) при Г = 0, что гарантирует стабильность такой структуры вплоть до Г = 0.

Нас будет интересовать вопрос, как появляется дальний порядок, когда 备 достигает максимума сразу при двух неэквивалентных друг другу значениях волнового вектора Qi и Q?. Начнем с границы между ФМ и слоистой АФМ фазами в модели простой кубической решетки, обсужденной в п. 8a. Согласно (4.1) ей соответствует значение гь = 0,25 и выполнено соотношение

少o(h)=%Jh)= ?о(О)・

С учетом (3.26) из него следует, что в ПСП температура Кюри с ростом г от 0 до 0^5 падает наполовину, оставаясь конечной приг^, и совершенно не изменяется при изменении типа магнитного упорядочения.

Такой результат ПСП представляется физически мало правдоподобным. И действительно, из формулы (3.12) следует, что на самом деле Тс долж*- на обратиться в нуль на границе фаз. Это подтверждается и формулой (4.2), согласно которой на границе фаз каждая ФМ плоскость оказывается эффективно не связанной с другими плоскостями обменными взаимодействиями. Поэтому исчезают причины установления порядка в направлениях их моментов. На равенство Тс нулю указывает и спин-волновая теория: частота длинноволновых ФМ магнонов S( % - %) согласно (4.1) на границе фаз пропорциональна не q2, a q4. Поэтому среднее число магнонов на атом расходится при любой конечной температуре.

Равенство Гс нулю на границе фаз подтверждается и выражением для энергии системы в точке Кюри, получаемым из (1.1) с помощью (3.12,3.13),

% S 2 %

Е(Тс)= -у^- S 5^ <Sq- S^q>= - —— + ——• (4.13)

Причина, по которой формула (3.12), получающаяся в сферической модели, оказывается точной для гейзенберговского магнетика на границе фаз, качественно ясна из (3.15). При Т = 0 основные состояния обеих моделей совпадают, поскольку нефизические колебания величин спинов, отличающие эти модели друг от друга, являются элементарными возбуждениями для сферической модели и потому при Т = 0 отсутствуют.

С математической точки зрения & (3.12) обращается в нуль вследствие того, что при заданном г обменный интеграл % как функция q достигает максимума только в одной точке зоны Бриллюэна (максимумы в эквивалентных точках отождествляются друг с другом). При г = 0,25 происходит превращение максимума 久 при q = 0 в минимум, если г растет, и превращение максимума Jq на звезде вектора QL в седловую точку, если г убывает. Соответственно при q 今 0 на границе фаз обращаются в нуль все квадратичные по q члены и подынтегральное выражение в (3.12) становится 〜q-4 Кроме того, появляется дополнительная расходимость этого выражения за счет обращения в нуль одного из коэффициентов перед (4° - 2^)2 в разложении 久 вблизи QL. С физической же точки зрения обращение % в нуль происходит потому, что структура, стабильная с одной стороны от границы фаз, абсолютно нестабильна с другой ее стороны. Поэтому на границе нестабильны обе структуры.

Обращение Тс в нуль в подобных случаях носит общий характер, о чем свидетельствуют другие примеры (рис. 4.3). Именно, равенство Тс нулю имеет место на границе между слоистой и ниточной АФМ фазами ( 4=0, & < 0) и на границе между ниточной и шахматной АФМ фазами (扌1, 少2 < 0,夕ь = — 0,25). Однако в некоторых случаях Jq как функ-

8181Э.Л. Нагаев

81

81

ция q может иметь два максимума в неэквивалентных точках, и тогда реализуется та структура, которой соответствует более высокий максимум. На границе фаз просто происходит инверсия максимумов. Поэтому подынтегральное выражение в (3.12). не имеет особенности на границе фаз, и Тс на ней в нуль не обращается. Такая ситуация осуществляется в рассматриваемой модели при положительном 舊，когда при 實 =О происходит переход от ФМ к шахматному АФМ упорядочению.

Рис. 4.3. Зависимость критической температуры от отношения обменных интегралов в простой кубической решетке. Типы а, 6, в АФМ структур соответствуют рис. 4.1 [52]

Физически причина, по которой Тс не обращается в этом случае в нуль, состоит в следующем. При ^ = 0 кристалл распадается на две не связанные друг с другом эквивалентные трехмерные подрешетки, каждая из которых упорядочена ферромагнитно. Таким образом, при % = 0 в этих подрешетках не происходит изменения типа упорядочения, и Тс (3.12) есть просто температура разрушения ФМ упорядочения этих подрешеток. Если же определить Тс всего кристалла как температуру, при которой становится бесконечной корреляционная длина не только для атомов из одной и той же подрешетки, но и из разных подрешеток, то при 力=О ее тоже следует считать равной нулю.

Можно приближенно найти законы, по которым происходит обращение Тс в нуль на границах фаз. При подходе к границе ФМ — АФМ со стороны ФМ фазы Тс ведет себя как 6b — г)0,6, на границе же между слоистой и ниточной АФМ фазами Тс обращается в нуль медленнее, чем I % 丨 но быстрее, чем MINI.

Затруднения в установлении дальнего порядка, проявляющиеся в обращении % на границе фаз, в какой-то мере компенсируются легкостью установления ближнего порядка, который оказывается аномально сильно развитым вблизи Тс・ Действительно, согласно (3.13, 4.1) в Тс корреляции убывают по обычному асимптотическому закону 1/& но их амплитуда на больших расстоянияхR пропорциональна Тс \гь - г |^1 〜\ rb - г |~0,4. Численный расчет показывает, что при г = 0,245 коррелятор между ближайшими соседями равен 0,675 2 , в то время как в отсутствие конкурирующего обмена (г = 0) он равен лишь 0,3152.

Квантовые фазовые переходы первого рода “ метамагнетизм Проведенное выше рассмотрение для классических спинов нельзя авто матически перенести на случай квантовых спинов, так как классическая 82

формула Кубо (3.37) для них в пределе Т — 0 неточна. Ее использование оправдано лишь при малой степени корреляции между спинами, позволяющей пренебречь тройными, четверными и более высокими корреляциями (п. 76). В отсутствие конкурирующих взаимодействий корреляции между спинами вблизи Тс малы независимо от того, классические они или квантовые. В приближении ближайших соседей они порядка обратного координационного числа даже для таких соседей. Но при наличии конкурирующих друг с другом взаимодействий корреляции вблизи Тс，как обсуждалось выше, аномально велики и нужно пользоваться квантовой формулой Кубо (3.36). Как будет показано ниже, учет квантовой природы спинов качественно меняет картину установления дальнего порядка в непосредственной окрестности границы фаз [51].

Ниже будет идти речь только о границе ФМ — слоистый АФМ в модели (4.1), соответствующей простой кубической решетке. Как уже обсуждалось в п. 8а, граница фаз в квантовом случае не определяется более равенством Jo = ^ql- Принципиально важно, что, в отличие от классических гейзенберговских магнетиков, для нее получаются разные значения, если определять ее по минимуму энергии основного состояния или по тому, какие флуктуации нарастают быстрее всего при приближении Т к Тс. Действительно, согласно (4.12), при Т = О ФМ фаза должна быть устойчивой не до гь = 0,25, а до меньшего значения rq, хотя в интервале rq<r < < rb интеграл обмена % максимален при q = 6. Это обусловлено тем, что квантовые флуктуации спинов атомов стабилизируют АФМ упорядочение (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Фазовая диаграмма квантового магнетика вблизи границы фаз ФМ 一

АФМ [51]

Однако в критической точке степень магнитного порядка меньше, чем при Г = 0, и потому роль квантовых флуктуаций существенно менее значительна. Вдали от границы фаз о слабом их влиянии на критические свойства свидетельствует тот факт, что Тс пропорциональна S (5 + 1) независимо от типа магнитного упорядочения. Этот результат получается и в ПСП, и по (3.38), и очень близкая зависимость % от спина получается высокотемпературными разложениями [45]. Хотя вблизи границы фаз роль квантовых флуктуаций должна быть важнее, все же сделанное выше качественное утверждение остается в силе. Поэтому граница между фаза-

ми гс, определяемая по критическим свойствам, должна отличаться от классической границы гь слабее, чем граница гс, определяемая по основному состоянию.

В [51] анализом магнонного спектра была доказана устойчивость АФМ упорядочения в интервале [rq,rb]. Этот интервал распадается на два интервала [rq, гс] и [rc, гь], поведение системы в которых должно существенно отличаться друг от друга. Как уже говорилось, в интервале [rc, гь] квантовые флуктуации чувствуются и вблизи Тс, приводя к тому, что там устанавливается дальний АФМ порядок. Но при более высоких температурах, когда роль квантовых флуктуаций уменьшается, до минирующим должен стать ФМ ближний порядок, так как наибольшая флуктуация должна соответствовать наибольшему 少q (см. (3.35)). Таким образом, в этом интервале при понижении температурььдолжно происходить изменение типа ближнего порядка в ПМ области с ФМ на АФМ. После фазового перехода второго Rona в % устанавливается АФМ порядок, остающийся стабильным вплоть до Г = 0.

Иная ситуация в интервале [rQ, гс], где по предположению в Тс должен был бы установиться ФМ дальний порядок, но при Т = 0 должно быть стабильно АФМ упорядочение. Отсюда следует необходимость скачкообразного изменения типа порядка. Имеются две возможности. 1) При понижении температуры сначала происходит фазовый переход второго рода из парамагнитного состояния с ФМ ближним порядком в ФМ состояние, а затем фазовый переход из ФМ в АФМ состояние (г < 夕小).2) При понижении температуры происходит непосредственно фазовый переход первого рода из парамагнитного состояния с ФМ ближним порядком в АФМ состояние (а* > 夕小).Такой фазовый переход относится к типу порядок — чужой беспорядок (п. За).

В принципе, переход от ФМ ближнего к АФМ дальнему порядку мог бы происходить через целый каскад промежуточных структур, как в изин- говских магнетиках (п. 9). Однако маловероятно, чтобы вблизи границы фаз АФМ - ФМ, где другие структуры должны быть гораздо менее энергетически выгодны, они могли реализоваться хотя бы в узком интервале температур.

В интервале [rQ, rb] ФМ состоянию отвечает относительный минимум энергии, так как магнонные частоты в этом состоянии остаются положительно определенными, пока максимум 佑 достигается при q = 0. Поэтому внешнее магнитное поле должно вызывать скачкообразный переход из АФМ в ФМ состояние, причем величина необходимого для этого поля тем меньше, чем ближе г к гь. Обычно метамагнитные свойства кристаллов являются следствием их очень большой магнитной анизотропии [14]. Поэтому метамагнетизм рассматриваемого здесь типа необычен, коль скоро он вызван спецификой изотропного обменного взаимодействия. Следует отметить, что физические следствия квантовых флуктуаций спинов (метамагнетизм изотропных магнетиков, описанные выше фазовые переходы первого рода) сходны со следствиями обмена высших порядков по спину (п. 126, 14а). Однако есть и различие: метамагнитное состояние квантового происхождения отличается от метамагнетизма других типов магнитной памятью. Если поле убрать, то при Т = 0 кристалл может сколь угодно долго оставаться в метастабильном ФМ состоянии.

В [25], исходя из флуктуационной теории фазовых переходов, было высказано мнение, что подобные явления возможны и из-за термических флуктуаций без учета квантовых эффектов. Там рассматривается ситуация, когда фурье-компонента интеграла обмена 北 имеет максимумы одновременно при q = 0 и q = Q, где Q — вектор АФМ структуры. Соответственно в координатном пространстве обменный интеграл 3 представляется как сумма 夕/ и 夕"ФМ и АФМ частей. Считается также , что оба максимума 藹 близки друг к другу, но ФМ обмен несколько сильнее АФМ обмена. Зато радиус АФМ обмена существенно превышает радиус ФМ обмена.

В этих условиях в рамках ПСП при понижении температуры в Гс должно было бы установиться ФМ упорядочение и оставаться стабильным до Т = 0. Согласно же [25] учет взаимодействия между флуктуациями вблизи Тс должен сильнее сказаться на нарастании ФМ флуктуаций с q = 0, чем АФМ флуктуаций с q = Q, так как из-за большого радиуса АФМ обмена взаимодействие между АФМ флуктуациями несущественно, и ПСП является для них хорошим приближением. Поэтому, несмотря на более сильный ФМ обмен, наиболее сильно нарастающими флуктуациями будут АФМ, и именно АФМ упорядочение должно установиться первым. После дальнейшего понижения температуры должен произойти фазовый переход из АФМ в ФМ состояние, стабильное при Т = 0.

Приведенная выше аргументация подкреплена расчетами методом ренормгруппы для классических спинов [25] и другим приближенным методом [26]. Но эти результаты не согласуются с точными результатами сферической модели, являющейся хорошим приближением для гейзенберговской: согласно (3.13) при приближении к 7c первым должно установиться то упорядочение, для которого 2q максимален, т.е. в данном случае ФМ.

Фазовые переходы порядок - беспорядок и порядок - порядок в геликоидальных структурах

В случае геликоидальных структур флуктуационная теория и сферическая модель противоречат друг другу: первая предсказывает^скачкообразный фазовый переход порядок - беспорядок (п. 5г), вторая - непрерывный. Однако вблизи границы ФМ и геликоидальной фаз из соображений непрерывности следует, что если даже фазовый переход и первого рода, то он близок ко второму. Поэтому не будем обращать внимания на возможный скачок параметра порядка, считая его пренебрежимо малым.

Исследуем особенности точки Кюри вблизи границы фаз геликоид- ферромагнетик. В отличие от ситуации, обсужденной в п. 86, здесь переход одной фазы в другую при изменении параметров обмена происходит непрерывно. Поэтому нет оснований ожидать, что на границе между фазами % обратится в нуль. В модели, описываемой формулой (4.3) при положительном знаке 斤 1 и отрицательном знаке J2 , когда 夕=-仇/ Ji близко к граничному значению гь = 0,25, производные от Гс по г, пропорциональные производным по давлению Р, обращаются в бесконечность с обеих сторон от границы фаз при приближении к ней [52]

dTc/dr-\r-rbr1/2

В принципе, особенности dTc/必 при приближении к границе фаз могут быть обнаружены на эксперименте.

До сих пор никак не учитывалась магнитная анизотропия. Между тем здесь она может влиять на свойства магнетиков не только количественно, но и качественно, вызывая фазовые переходы между коллинеарными и неколлинеарными структурами, например переход ферромагнетик — геликоид [313]. Геликоидальная структура может реализоваться только в легкоплоскостных магнетиках» где спины могут свободно вращаться в плоскости, перпендикулярной к оси трудного намагничения. Соответствующий гамильтониан записывается в виде

№-izJ(g-f)SgSf+D2；(5p2,(4.14)

где константа одноосной анизотропии D положительна. Считается, что из всех фурье-компонент обменного интеграла максимальна %, так что в рсновном состоянии кристалл ферромагнитен (энергия анизотропии не входит в энергию основного состояния, так как спины лежат в легкой плоскости).

В отсутствие анизотропии геликоидальному упорядочению не соответствовал бы даже локальный минимум энергии. Но он может появиться, если анизотропию учесть. Разумеется, магноны в геликоидальном состоянии мягче, чем в ФМ. Поэтому с ростом температуры энтропия геликоидального состояния растет быстрее и свободная энергия понижается быстрее, чем в ФМ состоянии. Это и делает возможным переходы из ФМ в геликоидальное состояние при повышении температуры.

Расчет в [313] проведен в спин-волновом приближении. Чтобы найти магнонный спектр в геликоидальном состоянии, вводятся локальные системы координат на каждом атоме так, чтобы локальная ось Zg была направлена вдоль спина узла g, а ось у^ лежала в базисной плоскости. Ось Xg направлена вдоль оси z общей системы координат. Операторы спина в локальной и орщей системах координат связаны преобразованиями.

S^ =醴 cos% -財 sin%, % = (Q g),

5^ = 5g sin 0g+5^ cos0g, S^ =-S^.*

В локальной системе координат можно перейти от операторов спина 5g к магнонным посредством (4.7). Проводя также фурье-преобразование операторов магнонов и используя далее процедуру, аналогичную использованной при выводе (4.11), получаем

3q =S {[20+ % 一 询卜Q 一 £»Q+q - ^~%-q] }.(416)

Из (4.16) видно, что при D В 0 магнонные частоты вещественны и при отличном от нуля векторе геликрида Q.

Свободная энергия системы в спин-волновом приближении дается выражением

尸(Q)二一NS(S+ 1) Jq + 丄》3q - Т1пП2ехр[--^3-^).(4.17)

q 〃q l т J

Чтобы выяснить характер фазового перехода, удобно разложить свободную энергию (4.17) в ряд по Q:

F(e)=F(o)+^e2 +%•

Расчет коэффициентов А и 5 в зависимости от микроскопических параметров системы показывает, что при температуре, когда А обращается в нуль, коэффициент 5 может быть как положительным, так и отрицательным, т.е. фазовый переход ферромагнетик — геликоид может быть как второго, так и первого рода.

Каскады фазовых переходов порядок — порядок в модели Изинга

АНННИ модель “ “чертова лестница " фазовых переходов

Этот параграф посвящен исключительно интересным свойствам изин- говских магнетиков с конкурирующими взаимодействиями. Когда речь идет о структурах, которые в модели Гейзенберга коллинеарны и, следовательно, допустимы и моделью Изинга, свойства гейзенберговских и изин- говских магнетиков весьма сходны. Так, одинаковую структуру имеют их фазовые диаграммы, и обращение Тс в нуль на границе фаз происходит не только в модели Гейзенберга, но и в модели Изинга. Для границы ФМ — слоистый АФМ это непосредственно видно из (4.2). (Мы не касаемся здесь вопросов, связанных с возможным различием типа фазовых переходов порядок — беспорядок по флуктуационной теории, обусловленного различием чисел компонент параметра порядка.)

Существенное различие между обеими моделями появляется, когда в модели Гейзенберга должна была бы установиться геликоидальная структура, которая в модели Изинга невозможна. Как было показано в п. 8, в этом случае даже небольшая анизотропия приводит к переходу порядок — порядок. Тем более сильно это свойство должно проявляться в изингов- ских системах, где анизотропия достигает максимально возможной степени. Как было показано в [92, 106], в них возможны целые каскады фазовых переходов.

В основу рассмотрения там положена АНННИ модель (аббревиатура английского выражения "анизотропная модель Изинга в приближении вторых ближайших со седей5 5). Взаи модействия в этой модели соответствуют изображенным на рис. 4.2. Как и в п. 8а, считается, что интеграл обмена внутри слоя 勿 положителен. Каждый из атомов взаимодействует только со своими ближайшими соседями из слоев, наиболее близких к его слою и вторых по дальности к нему. Из соответствующих обменных интегралов Jj считается положительным, а 仇一отрицательным. Гамильтониан системы, таким образом, имеет вид

Н=—今£5依£+笈—7ZS：gS3,g —%ZS：gS；+2,g，(4.18)

где g — координата атома внутри слоя /.

Идея о существовании каскада фазовых переходов возникла на основании следующих рассуждений. В ПСП коррелятор для модели Изинга в парамагнитной области дается выражением типа Кюри — Вейсса (3.24) с п = S2 =1. Согласно ему, при достижении критической точки должна

установиться структура с волновым вектором Q (4.4), при котором максимальна фурье-компонента обменного интеграла & (4.3). Однако в модели Изинга, в отличие от модели Гейзенберга, это не геликоидальная, а синусоидальная структура. На плоскости (夕=—%/夕i, Г) точка с координатами гь = 0,25, Г = % = 4勿 + 1,5% является точкой Лифшица: в ней сходятся три фазы — парамагнитная, ферромагнитная и синусоидальная (рис. 4.5).

Точка Лифшица в АНННИ моде-

С другой стороны, при Т = 0 магнитную структуру можно найти точно. При малых г основное состояние ферромагнитно. Затраты энергии на создание доменной стенки, как видно из рис. 4.6, равны 2 % + 4%. Поэтому при г = 0,5 ФМ состояние становится неустойчивым относительно образования доменных стенок, и при г > 0,5 должно возникать максимальное их число. Это значит, что "домен” должен содержать минимальное число слоев, т.е. два. Таким образом, должна образовываться четырех- подрешеточная АФМ структура ССЮЮ (С 一 север, Ю 一 юг) с Q = тг/2.

Принципиально важно, что в модели Изинга, если 0,25 < г < 0,5, периодичность структуры, возникающей при Тс, иная, чем при Г = 0 (вектор первой дается формулой (4.4), второй — равен я/2). Отсюда следует, что при понижении температуры в модели Изинга должны происходить

T=0 一7>/<7产45

"I 川川11HIL

-JО5 z

I72口产中4

「

II ir II IP

и

Рис. 4.6. Конфигурация АНННИ модели при Т = 0:

仅-ФМ фаза, б - ФМ фаза с одной доменной стенкой, в - ССЮЮ фаза

Рис. 4.7. Дисконтинуум Кантора

фазовые переходы с изменением типа упорядочения. Расчеты [92, 106] показали, что происходит целый каскад фазовых переходов, сильно напоминающий "чертову лестницу” фазовых переходов, понятие о которой введено в [85].

Термин "чертова лестница” взят из теории разрывных величин (фракталов) [218]. В этой теории рассматривается дисконтинуум Кантора, получаемый следующим образом. На первом этапе из отрезка [0, 1] изымается центральная треть [1/3, 2/3]. Из двух оставшихся отрезков, в свою очередь, изымается центральная треть: ([1/9,2/9] из [0, 1/3] и [7/9, 8/9] из [2/3, 1]), — и такой процесс продолжается до бесконечности. ,5Чертова лecтницa^^ описывает величину М(х), представляющую собой массу, сосредоточенную в интервале [0, х], при условии, что на участках, изъятых из интервала [0, 1], массы нет (на рис. 4.7 они изображены горизонтальными участками ступенек). Характерной особенностью чертовой лестницы является чередование ступенек самых разнообразных длин — от 1/3 до исчезающе малых, причем по мере роста х длины ступенек меняются немонотонным, на первый взгляд даже хаотическим образом.

Когда идет речь о каскадах фазовых переходов подобного типа, различают полную и неполную чертовы лестницы [86]. В первом случае вектор структуры q заперт (т.е. остается постоянным, внутри некоторого интервала △力 только на всех соизмеримых значениях (т.е. период структуры дается отношением целых чисел). Несоизмеримые же значения q достигаются только на множестве меры нуль значений Т. Во втором случае несоизмеримые значения q достигаются на множестве значений Т конечной меры. Кривая q(T) по-прежнему заперта на каждом соизмеримом значении, но интервалы запирания, вообще говоря, малы, так что между большими ступеньками кривая q (7) выглядит как непрерывная.

В [85] чертова лестница фазовых переходов была получена при рассмотрении фазовых переходов в одномерной модели кристалла с дислокациями Френкеля — Конторовой, происходящих при Т = 0 вследствие изменения давления. На чертовой лестнице скачки параметра порядка могут быть столь малыми, что каскад фазовых переходов будет выглядеть практически как один непрерывный переход. Однако, в отличие от истинного фазового перехода второго рода, чертова лестница фазовых переходов должна проявляться через гистерезис. Вопрос о стабильности чертовых лестниц фазовых переходов относительно термических и квантовых флуктуаций остается пока открытым.

Фазовая диаграмма в АНННИ модели

Проще всего получить информацию о каскаде фазовых переходов в АНННИ модели методом ПСП. Использованный в [92, 106] вариант ПСП является обобщением стандартной процедуры на случай пространственно- модулированных структур. Именно, считается, что средние спины и поля зависят от номера слоя:

. J百+力)

% = th,

〜丁，，z(419)

力=Z J(g,/； g, / )。/, J =〈 S ),

"2方"2方4204204乃4乃4〃247^4〃247^Рис. 4.8. Зависимость вектора структуры 彳=0/2〃 от температуры в ПСП для:

"2方

"2方

420

420

4乃

4乃

4〃247^

4〃247^

4— %/：% =—0,6； 6 — %/«% = =-0,7 ( 106, 92]

где Л - внешнее поле. Числовой расчет по (4.19) производился следующим образом. Считалось, что элементарная магнитная 〜ячейка включает в себя N слоев (реально рассматривались лишь N < 17). Для каждого N уравнения (4.19) решались итерациями. В качестве исходной конфигурации использовалась либо синусоидальная структура с тем же периодом, либо уже известное самосогласованное решение для близкой температуры. При каждой температуре находилось N, обеспечивающее минимум свободной энергии.

Результаты исследований для г= 0,6 и 0,7 представлены на рис. 4.8. Как видно

из рис. 4.8, а, при г = 0,6 более 95% фазовой диаграммы занято простыми структурами с 7 = 2/2я, равными 1/4, 1/5 и 1/6. Однако и другие волновые векторы стабильны, но только в очень узких температурных интервалах. Например, структуры с 0 = 2/9 и 3/14 стабильны в интервале △ Т = 0,0004Гс, с ^ = 3/16 一 в интервале ДГ = О,ОЗГС . Существенно, что некоторым значениям q минимум свободной энергии не соответствует ни при каких температурах. Таким образом, ? нельзя считать непрерывной функцией Т. Кроме того, ^меняется с Т немонотонно.

Интересно отметить, что при подходящем подборе обменных интегралов, если выбрать решетку гранецентрированной кубической, как в CeSb, можно получить в ПСП периоды фаз Л^ = 4,11; 8,7 и 3 в той же последовательности, в какой они наблюдались в этом материале (п. 24в). Кроме наблюдавшихся фаз, получился и ряд других, пока не наблюдавшихся, хотя интервалы их стабильности очень узки [106]. Однако такая процедура не дает возможности получить4слои с нулевой намагниченностью, наблюдавшиеся в этом материале экспериментально. Кроме того, в [106] фазовый

переход порядок — беспорядок второго рода, в то время как в Се Sb он первого рода и типа порядок — чужой беспорядок. Впрочем, учитывая крайнюю упрощенность использованной в [106] модели по сравнению с реальным CeSb и низкую точность ПСП, вряд ли следует воспринимать это частичное количественное согласие с экспериментом слишком всерьез.

Хотя результаты, представленные на рис. 4.8, и напоминают рис. 4.7, по ним трудно судить, действительно ли в АНННИ модели реализуется чертова лестница фазовых переходов. Не могут дать определенный ответ на этот вопрос и численные расчеты методом Монте-Карло, проведенные в [281] для простой кубической решетки с числом атомов 6 X 6 X 40 (последняя цифра - число атомов в направлении вектора структуры). При г = 0,6 получается, что почти до Т = 0,77 % сохраняется структура ССЮЮ с q- 1/4, и намагниченность подрешеток практически не изменяется. Но с дальнейшим ростом температуры прямоугольная модуляция переходит в синусоидальную (рис. 4.9), a q при Г,стремящемся к Гс，стремится к значению 0,188, даваемому высокотемпературными разложениями.

В [262] были проведены расчеты АНННИ модели методами ПСП, Монте-Карло и высокотемпературных разложений. Результаты ПСП показывают, что вектор структуры растет с температурой от 1/4 до значения (4.4), принимая между ними все соизмеримые значения. Этот результат отличается от полученного в [92], где некоторые соизмеримые значения оказались неустойчивыми. Не получилось в [262] и полного численного согласия с [281] при расчете методом Монте-Карло.

Солитонная теория модулированной фазы

Приведенные выше результаты численных расчетов, свидетельствующие о существовании модулированных структур с рациональными значениями q = г/s (г, s — целые числа, отличные от 1), получили в [92] интерпрета-

ЛЛО—7ОО—7Ооо&=0&=00,770,77

Л

Л

О

—7

О

О

—7

О

о

о

&=0

&=0

0,77

0,77

干八/WWWV

Wwwwv”

Рис. 4.9. Расчет структуры в АНННИ модели методом Монте-Карло [281а]Рис. 4.9. Расчет структуры в АНННИ модели методом Монте-Карло [281а]

Рис. 4.9. Расчет структуры в АНННИ модели методом Монте-Карло [281а]

Рис. 4.9. Расчет структуры в АНННИ модели методом Монте-Карло [281а]

цию в терминах солитонной теории. Здесь солитоны представляют собой статические стенки между доменами простой фазы с 彳=1/s, прежде всего с s = 4, т.е. фазы, соответствующей основному состоянию системы. Она оказывается стабильной, пока возникновение солитонов энергетически невыгодно. Как только оно становится выгодным, периодичность системы ме~ няется из-за возникновения подрешетки солитонов. Однако плотность солитонов остается конечной из-за взаимодействия между ними, повышающего их энергию.

Аналитически такую картину можно получить построением разложения Ландау для свободной энергии в рамках ПСП. Чтобы найти свободную энергию, вводится внешнее поле /if, действующее на спин f, и используется соотношение

6F〜

二力f = Т arcthaf -力 f, f = (g, Z).(4.20) 5 “

Левая его часть является точным термодинамическим равенством, а правая следует из (4.19). Интегрирование (4.20) с последующим устремлением 力f к нулю дает неполный термодинамический потенциал, выраженный через флуктуации параметра порядка

F = -у S J(f-f z)afaf, + TS /arcthodo.(4.21)

о

Чтобы получить полный термодинамический потенциал, надо проминимизи- ровать F из (4.21) по о(, что, естественно, приводит к уравнениям (4.19).

После разложения F (4.21) по Of и перехода к фурье-образам (1.19) получается выражение.

^ = —у2 [Jq - r]aqa_q + — Е Oq, Oq,徇3 Oq, △“，()).(4.22)

qq ~

В последнем члене (4.22) посредством A(q, 0) учитывается возможность изменения суммарного волнового вектора взаимодействующих друг с другом спинов на обратный вектор решетки (т.е. процессы переброса).

Достаточно близко к Тс можно ограничиться рассмотрением малых флуктуаций вокруг волнового вектора Q = (0, 0, я/2). Разложение (4.22) с учетом только наименьших векторов обратной решетки ± 27T при % = ^ в (4.17) принимает тогда вид (q -> Q + q)

F=^{A ^ Dqz ^ Cq^ C'q^o^o _q_q +

(4.23)(4.23)+ T'b°Q+q】 °Q+q2°-Q+q3°-Q+q4 + lT(°Q+qi°Q+q2°Q+q3°Q+q4)+

(4.23)

(4.23)

+ °-Q+q】Q+q2 ^—Q+q3 °-Q+q$

где приняты обозначения

Л = Г-4^ +2J2, 。= 2 加，С=—4 仇，С'=4*.

Вводятся непрерывные параметры порядка

%(r)=B/exp(±"iqd q,%(r)=B/exp(±"iqd q,(4.24)(4.24)

%(r)=B/exp(±"iqd q,

%(r)=B/exp(±"iqd q,

(4.24)

(4.24)

описывающие волну плотности спина. С помощью (4.24) из (4.23) получается следующий эффективный функционал Гинзбурга — Ландау:

F = ff(r)d3rt

4 Т4 Т+§国丄灯+口小内，+§国丄灯+口小内，(4.25)(4.25)

4 Т

4 Т

+§国丄灯+口小内，

+§国丄灯+口小内，

(4.25)

(4.25)

В терминах параметра порядка 。土 (г ) волна плотности спина дается соот

ношением

(4.26)(4.26)о(г)二寸 j(z)exp(吟z).

(4.26)

(4.26)

Чтобы найти минимум функционала (4.25), предполагается, что вблизи простой соизмеримой фазы с 2Z = я/2 амплитуда параметра порядка постоянна, в то время как фаза меняется в пространстве:

(4.27)(4.27)o±(z) = Gexp{±z@(z)}.

(4.27)

(4.27)

Амплитуда G находится из (4.25) 一 (4.27) с 0 (z ) = const. Таким образом, при произвольной 0 (z ) из тех же формул получается

F=fcG2[i(wF=fcG2[i(w—6 ) +и (1 + cospO) dz,—6 ) +и (1 + cospO) dz,(4.28)(4.28)

F=fcG2[i(w

F=fcG2[i(w

—6 ) +и (1 + cospO) dz,

—6 ) +и (1 + cospO) dz,

(4.28)

(4.28)

где приняты обозначения

р = 4, 6 = %/4%, и = —TG2/96 仇，

G2 =3(4% — 2% - T)/二

Первый член в (4.28) минимален при несоизмеримом векторе структуры Qz = я/2 + 5, второй же член - при простом соизмеримом Qz = я/2. Переход от простой соизмеримой к несоизмеримой фазе происходит в ре「 зультате конкуренции между этими двумя членами. Для фазы 0, минимизирующей (4.28), получается синус-уравнение Гордона

0"(z) + 4и sin 4ф = 0.0"(z) + 4и sin 4ф = 0.(4.29)

0"(z) + 4и sin 4ф = 0.

0"(z) + 4и sin 4ф = 0.

93

Одно из его решений есть солитонное:

(4.30)(4.30)O(Z)= я/4 一 arctg(4\ZVz).

(4.30)

(4.30)

Солитон описывает доменную стенку, которая разделяет две почти соизмеримые области (рис. 4.10). В общем случае решение (4.29) описывает регулярно расположенные солитоны, т.е. солитонную решетку. Отклонение

Рис. 4.10. Солитонное решение при (一厶/&) = 2 и температуре, кдгда соизмеримая фаза ста- новитс兑 неустойчивой. Штриховые стрелки соответствуют решению в ПСП [92]

q среднего волнового вектора от Q в направлении z обратно пропорционально расстоянию мевду доменами 丄：

7= 2я/р£,(4.31)

т.е. 7 есть просто плотность солитонов. Эта величина определяется из уравнения

@=4L2衣(〃)8(〃)，

где 力 и & — полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно, а 〃 определено уравнением

(и/%)"? = ят? / 2 ^ (г? ), где vc = я262/16.

Вблизи соизмеримой фазы свободная энергия (4.28) принимает асимптотический вид

° / 4\/V\16，iT/ 2 ял/у"\

F/CG2 = II 5 I尸 +q exp (——-—(4.32)

Первый член в (4.32), пропорциональный плотности солитонов, есть не что иное, как энергия образования солитонов. Второй член описывает отталкивание между солитонами.

Фаза ССЮЮ с ^ = 0 стабильна при таких температурах, когда первый член в (4.32) положителен. Расшифровывая в нем обозначения из (4.28), получаем, что он меняет знак при

Tei = 4 仇-2 % + я2 3力8 仇,(4.33)

и соответственно в ССЮЮ фазе появляются солитоны (%1 — температура,

при которой теряется стабильность ССЮЮ фазы). В терминах солитонов фазы, полученные численным расчетом (п. 9.6), получают естественное объяснение. Например, структуры с 2 = 2яЛ/(4А: + 1) образуются в результате включения одной доменной стенки на каждые к периодов ССЮЮ структуры. Вблизи Tei изменение q происходит как фазовый переход второго рода, согласно (4.31)歹 изменяется как

7 〜-1пТ(Т - Та).(4.34)

Такой крутой ход q вблизи %1 согласуется с полученным численным расчетом (рис. 4.8,6).

Проведенный выше расчет в ПСП предполагал, что доменные стенки фиксированы. На самом деле они колеблются, и их колебания понижают свободную энергию структур с солитонной решеткой. Это обстоятельство де стабилизует соизмеримые структуры, и некоторые из них осуществляться не могут, у других же сужаются интервалы существования по сравнению с полученными в ПСП.

Следует, впрочем, отметить, что в [303], где сложные структуры в АНННИ модели тоже связывались с солитонами, был сделан иной вывод о характере каскада фазовых переходов в АНННИ модели. Там тоже используется ПСП, но в ином варианте, чем в [92]: свободная энергия считается суммой билинейной функции намагниченности подрешеток и функции, квадратичной по намагниченности каждой из них. Из анализа этого выражения получается, что взаимодействие между солитонами не обязательно отталкивательное. Если оно притягивательное, то вместо чертовой лестницы фазовых переходов должна реализоваться мбезвредкая лестница", состоящая из конечного числа фазовых переходов.

Низкотемпературные и высокотемпературные разложения

В [281] была развита аналитическая методика исследования АНННИ модели, основанная на разложениях по ехр (—2 % /Т) и (夕 一0,5), которая пригодна для 4 % > ^. В этих работах точно находилось основное состояние и исходя из него определялись энергии и структура элементарных воз- буадений. Показано, что клин между ФМ фазой и АФМ ССЮЮ фазой, обозначенной через <2 > на рис. 4.11, заполнен бесконечным счетным множеством соизмеримых фаз с волновыми векторами 0左=%тт/(2% + 1). Это значение Qk построено следующим образом: знаменатель задает периодичность, а числитель обеспечивает правильную последовательность знаков в главной гармонике cos {Qkz + 屮左)• Таким образом, фаза (3, 2^-1) с четным номером к характеризуется элементарной ячейкой, состоящей из тройки одинаково направленных спинов и из (% — 1) двоек спинов:

СССЮЮСС . .. ССЮЮ .

(% — 1) пар

В случае нечетного к ячейка удваивается, поскольку в нее входит аналогичная структура, но с противоположно направленными спинами.

Все эти фазы при Г = 0 сходятся в точке г - 1/2, являющейся, таким образом, мультифазной: энергии всех этих структур в ней равны (разумеется,

Рис. 4.11. Схематическая диаграмма для АНННИ модели в окрестности мультифаз- нойточки [281в]; ± = -%/4

учет следующих по дальности соседей снимает вырождение по фазам в этой точке). График волнового вектора структуры как функции г при заданной температуре согласно [281] имеет форму лестницы (рис. 4.12). Это не истинная чертова лестница в первоначальном смысле этого слова (п.9.а). Но можно говорить о мчертовой верхней cтyпeнькe^^ при к -><», когда Q достигает значения 以=Q《2〉=行/2. Там соответствующие границы фаз гк(Т), обозначающие точки скачков, становятся все ближе и ближе друг к другу, так что изменение Q становится квазинепрерывным, подчиняясь закону

。8 -。亿 Т)〜1 / In [r^T) - r],(4.35)

когда г приближается к границе простой соизмеримой фазы ССЮЮ.

Рис. 4.12. Температурная зависимость среднего волнового вектора при низких температурах. Верхняя ступенька ''чертовой лестницыдостигается при q^ =тг/2 [281в];

% = -力/当.Д0(Т) =Г/Лехр(-8^0/П

Соответствующие расчеты [281] здесь не излагаются, поскольку эти же результаты, а также и ряд других можно получить посредством более строгого рассмотрения. Оно было проведено в [64] в предположении, что внут- риплоскостной обмен 力 гораздо сильнее межплоскостных обменов % и 仇 и внешнего поля Л (4.18). Поэтому гамильтониан межплоскостного обмена 4] расематривается как возмущение, и статистическая сумма разлагается по нему в ряд. Каждая плоскость характеризуется собственным параметром порядка о, = си7c 〃/ = ± 1. Поэтому свободная энергия, найденная по теории возмущений, формально имеет структуру, соответствующую одномерной системе. Фактически ее можно рассматривать как гамильтониан одаомерной системы спинов 〃/. В нулевом приближении последовательность значений 〃, произвольна, т.е. состояния системы 2%<ратно вырождены. Взаимодействие между плоскостями снимает вырождение.

В первом порядке теории возмущений взаимодействие включает в себя члены типа ^^1+1 и i?zi?z +2, т.е. связывает плоскость / с плоскостями / +1 и / +2, как в исходном гамильтониане (4.18). В следующем порядке возникнут члены типа

〃/力+2〃Z + 2〃Z + 3 二力力+ 3，

〃Z〃Z + 2〃Z + 2〃Z + 4 二 〃Z〃Z + 4，

т.е. в эффективном гамильтониане появятся члены, связывающие третьих и четвертых по дальности соседей. Остальные же члены в этом порядке приведут лишь к малой ренормировке взаимодействий между первыми и вторыми по дальности соседями, и их можно не учитывать. Таким образом, построение эффективного гамильтониана сводится к отбору в каждом порядке теории возмущений тех членов, которые связывают друг с другом наиболее удаленных соседей. Коэффициенты этого гамильтониана, получаемые температурным усреднением Н； с гамильтонианом внутриплос- костного обмена 〃о, естественно, должны выражаться через температурные характеристики двумерной модели Изинга. Таковыми являются намагниченность о и восприимчивость х, которая появляется из-за усреднения пар спинов, принадлежащих одной и той же плоскости. В результате в 〃・м порядке теории возмущений получается

△尸м =N(j2( —X 仇)"1 ,(〃 厶 〃№/ + 2м - 1 + ”2〃Z〃Z + 2m)， (4.36) где N — число слоев.

Малым параметром в (4.36) является величина х & или х %• Так как при Т = 0 восприимчивость х обращается в нуль, а при Т 今8 имеет порядок 1/ % , разложение (4.36), будучи формально высокотемпературным, йа самом деле пригодно и при 0.

Анализ выражения (4.36) при м = 1 позволил установить фазовую диаграмму АНННИ модели при Т = 0. Линии раздела фаз г = 0,5 являются линями бесконечнократного вырождения. Такая высокая степень вырожде- ЗДя создает неустойчивость структуры относительно добавок к свободной энергии (4.36) с n > 1. Они приводят к появлению новых структур с длин-

97977 Э.Л. Нагаев

97

97

ными периодами в малой окрестности линии вырождения. Эти структуры соответствуют полученным в [281] (рис. 4.11).

Развитая в [64] методика позволила выяснить типы магнитного упорядочения в АНННИ модели и при наличии внешнего магнитного поля. Решение этой задачи гораздо более сложное и громоздкое. Основные выводы таковы: при Г = 0 на фазовой диаграмме существуют четыре мульти- фазные линии, исчезающие при конечных температурах. При TWO возникают три мультифазные линии и бесконечное множество линий тройных точек. Введение дополнительных слабых взаимодействий между третьими и четвертыми по дальности плоскостями позволяет построить фазовую диаграмму, весьма сходную с экспериментальной фазовой диаграммой CeSb (п. 246). Однако авторы [64] ставят под сомнение те экспериментальные результаты по этому материалу, которые интерпретируются в терминах магнитно-неупорядоченных плоскостей. Некоторые расхождения с экспериментом имеются и по части интенсивности брэгговских рефлексов.

В [69] АНННИ модель в магнитном поле исследовалась в предположении, что магнитная структура квазиодномерна, т.е. что интеграл обмена 久 внутри ФМ плоскости мал по сравнению с интегралом & обмена между ближайшими соседями из смежных плоскостей. Считается также, что % и 少2 отрицательны, причем | ^ | > | 少2 丨• В этих условиях в отсутствие поля стабильно обычное АФМ упорядочение < А> типа СЮ. Однако магнитное поле вызывает сначала переход в трехподрешеточное состояние < В > типа ССЮ, а затем в ферромагнитное. Характер перехода из состояния СЮ в состояние ССЮ зависит от соотношения между 仇 и 仇.При % >| 仇I он первого рода без промежуточных фаз. При противоположном знаке неравенства он происходит через промежуточные структуры

<В> <> <АВ> <А2В> <АЛВ> с <А>.

Структура < А”В > состоит из п троек ССЮ и одной двойки СЮ. Ей со ответствует намагниченность п/{3п + 2). Той же теме посвящена и рабо та [86], где рассматривалась одномерная модель Изинга с произвольными по дальности взаимодействиями в магнитном поле. В предположенир выпуклости обменного интеграла, т.е. неравенства J(/ + 1) + J(/ - 1) > > 2 J(/), показано точным расчетом, что основное состояние таког системы — периодически модулированная структура, а изменение ее водно в ого вектора с полем представляет собой полную чертову лестниц) (п. 9а). В [282] доказана возможность бесконечно большого числа фа: в широком классе моделей Изинга.

В [112] показано, что когда взаимодействие между ФМ плоскостям! осуществляется дальнодействующими дипольными силами, могут возник нуть модулированные структуры, в которые входят неупорядоченньп плоскости. Для этого кристалл должен быть низкой симметрии.

ГЛАВА V

МАГНЕТИКИ С ДЕФОРМИРУЕМОЙ РЕШЕТКОЙ

Влияние магнитострикции на фазовые переходы

Фазовые переходы первого рода порядок - беспорядок при сильной магнитострикции

Билинейное обменное взаимодействие существенно усложняется в магнетиках с деформируемыми решетками. Это усложнение может влиять на свойства магнетиков не только количественно, но и качественно: фазовые переходы порядок — беспорядок из непрерывных могут превратиться в скачкообразные, могут стать возможными переходы порядок — порядок. Как показано в п. 1 д, состояние магнетика с деформируемой решеткой при определенных условиях описывается гамильтонианом с обменом высших степеней по спину. Однако такое описание не универсально. Например, оно не пригодно при малых спинах, если магнонные частоты не малы по сравнению с фононными. Далее, эффективный магнитный гамильтониан с обменом высших порядков по спину (1.33) получен в гармоническом приближении по смещениям атомов, а иногда принципиально необходим учет ангармонизма решетки (п. 10в). Далеко не всегда удается описать при помощи гамильтониана типа (1.33) или (1.35) свойства ян-теллеровских магнетиков (§ 11). Наконец, прямой учет деформации решетки позволяет в ряде случаев получить физически более наглядную и легче интерпретируемую картину, чем при помощи гамильтониана (1.33). Все это делает необходимым специальное исследование свойств магнетиков с деформируемыми решетками вне рамок магнетиков с обменом высших порядков по спину.

В этом пункте будут обсуждены переходы порядок - беспорядок. Изложение, как и в пионерских работах [95] и др., будет основываться на стандартном ПСП. Такой простой подход оказывается вполне достаточным для доказательства скачкообразности фазового перехода порядок — беспорядок при сильной магнитострикции.

Физическая причина изменения типа фазового перехода из-за магнитострикции состоит в следующем. При установлении магнитного упорядочения происходит деформация решетки, позволяющая получить дополнительный выигрыш в энергии магнитного упорядочения. При повышении температуры решетка старается сохранить этот выигрыш, и потому разрушение магнитного упорядочения происходит медленнее, чем в абсолютно жесткой решетке (рис. 5.1). Но, с другой стороны, положение критической точки в сжимаемой решетке должно быть тем же, что и в абсолютно жесткой, 7* 99

гак как в ней магнитострикция исчезает. Поэтому, если решетка удерживает упорядочение выше Тс, фазовый переход обязательно должен быть первого рода. На рис. 5.1 такой ситуации соответствует кривая 5. Непрерывное движение по этой кривой к % невозможно, так как состояния с положительными do/dT термодинамически неустойчивы. Поэтому должен произойти скачок параметра порядка, обозначенный штриховой линией. В отсутствие магнитострикции переход-второго рода (кривая 7). Фазовый переход первого рода в отличие от флуктуационных (п. 4, 5) совершенно не связан с магнитной симметрией системы и может произойти при любом типе магнитного упорядочения.

Рис. 5.1. Зависимость намагниченности от температуры в деформируемой решетке. Штриховая прямая означает фазовый переход первого рода

В излагаемом ниже расчете расематривается однородная изотропная деформация решетки ферромагнетика и производится самосогласование как по намагниченности о, так и по смещениям решетки и. Согласно (1.29) гамильтониан системы в ПСП имеет вид

(5.1)(5.1)Нту—— % о? — % о ESg — lou ZSgH—&— — PNu,

(5.1)

(5.1)

"z/＜叫力)乎优 / = Eh .▽勿h), L J -%。尸，〃g = 〃g.

У°2У°222Средняя намагниченность о и средняя деформация решетки и должны быть найдены из условия минимума свободной энергии системы. Последняя с учетом (5.1) дается выражением (на атом)

У°2

У°2

2

2

к〃2((2S+l)oJ‘ 。少

+ + 3 Ри — Т In sh — In sh1,

2I 2T2T J

(5・2)(5・2)(5.3)(5.3)少=% + 〃厶

(5・2)

(5・2)

(5.3)

(5.3)

так что условия минимума 力 по а и и имеют вид

ЗР 1о2 u =+,

к 2 K

(5.4)(5.4)25(5+1)25(5+1)

(5.4)

(5.4)

25(5+1)

25(5+1)

где Bs - функция Бриллюэна

2S+1/25+ 1 \1 х

®(х)二—cth\ГТГХ)-五 с’11 章•

Выражая смещения в (5.2) через намагниченность по (5.3), можно построить разложение Ландау для свободной энергии

F = Fq Ао2 Во’，

9 с

Fo =——кР? 一 Tln(2S+ 1), 2

(5.5)

彳_歹。S(S+1) 妄一 3，尸

3 к

Обсудим сначала полученный результат при нулевом внешнем давлении Р. Очевидно, при / = 0 коэффициент 6 всегда положителен, т.е. фазовый переход - второго рода. Однако при достаточно большой магнитострикции, определяемой величиной /, и малых объемных модулях упругости к коэффициент В вблизи % может стать отрицательным, т.е. фазовый переход может превратиться в скачкообразный.

На типе фазового перехода может существенно сказаться внешнее давление Р. Хотя, в принципе, можно обсуждать и гипотетический случай отрицательных давлений, физически реализуемы только положительные. В этом случае, если / < 0, величина Jo растет с давлением, а с ней растет и второй член в выражении для В. Поэтому давление может превратить фазовый переход первого рода в переход второго рода. Если же / > 0, то, наоборот, давление может сделать фазовый переход второго рода переходом первого рода.

Может оказаться, что интеграл обмена наиболее чувствителен не к изотропному давлению, а к одноосной деформации. Такова, например, ситуация в АФМ кристаллах со структурой МпО (рис. 5.2,〃). В них число ближайших соседей данного атома со спинами, параллельными его спину, равно числу соседей с антипараллельными спинами (и тех и других 6). Таким образом, в недеформированной решетке обмен атома с его ближайшими соседями не дает вклада в магнитную энергию системы. Но если кристалл деформировать вдоль одной из пространственных диагоналей < 1 1 1 >, то симметрия в расположении ближайших соседей с противоположно направленными спинами нарушается и вклад в магнитную энергию от обмена атома

2 Л2 Л

2 Л

2 Л

Рис. 5.2. Магнитные структуры в гранецентрированных кубических антиферромагнетиках

с его ближайшими соседями становится отличным от нуля. Именно поэтому в таких магнетиках магнитострикция проявляется в ромбоэдрическом искажении решетки ниже точки Нееля. Проведенный выше расчет буквально переносится и на этот случай [103], если в (5.1) поди понимать угол ромбоидального искажения, под к — упругую постоянную кристалла С44, а внешнее напряжение считать направленным по оси [111].

Причина превращения скачкообразного фазового перехода в непрерывный под действием одноосного напряжения достаточно ясна. Скачкообразность фазового перехода в кристаллах типа Мп О есть следствие того, что магнитное упорядочение обязательно сопровождается искажением решетки, а упругие силы препятствуют этому искажению. Если же к кристаллу приложить внешнее напряжение, создающее в ПМ фазе ту же симметрию, которая спонтанно

возникла бы ниже 厶 в отсутствие напряжений, то изменения симметрии решетки при фазовом переходе не происходит. Поэтому упругие силы не

препятствуют переходу, и он становится второго рода.

Интересно отметить, что результаты ПСП в рассматриваемом здесь случае качественно сходны с результатами флуктуационной теории, в которой магнитострикция вообще не учитывается и в которой эффект целиком приписывается магнитной симметрии структуры. Размерность параметра порядка в МпО такова, что фазовый переход по флуктуационной теории обязательно первого рода. Одноосное напряжение понижает его размерность, в результате чего становятся возможными фазовые переходы второго рода (п. 5б,д). Однако превращение фазового перехода второго рода в переход первого рода под действием одноосного напряжения в рамках флуктуационной теории, в отличие от ПСП, невозможно. Экспериментальные данные по антиферромагнетикам со структурой МпО обсуждены в п. 256. Они скорее свидетельствуют в пользу магнитострикционного механизма фазового перехода первого рода в МпО.

В обсужденных выше случаях магнитострикционная энергия в (5.1) считалась линейной по деформации решетки. В определенных случаях может быть существенна и квадратичная магнитострикция. Такая модель была рассмотрена в [15а] с целью воспроизвести уникальные свойства Мп As (п. 25а). Использовалось следующее выражение для термодинамического

(5.6)(5.6)потенциала:

(5.6)

(5.6)

F = аии2 ^but^ ^aaG2 +bCTa4 + Ja6 ^ go2u2.

о =0

1 1

[и=О

Считается, что при высоких температурах все коэффициенты в (5.6) положительны. При понижении температуры коэффициент аи первым меняет знак на отрицательный при Тси. Соответственно этому происходит фазовый переход второго рода в состояние с деформированной решеткой, но без намагниченности Q W 0, о = 0). При дальнейшем понижении температуры меняет знак коэффициент Ьо, а коэффициент ао хотя и остается положительным, но становится малым. Тогда при некоторой температуре 7\ происходит фазовый переход первого рода в состояние с отличной от нуля намагниченностью. Деформация решетки при таком переходе исчезает, если константа g связи решетки с магнитной подсистемой достаточно велика (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Фазовая диаграмма системы с квадратичной магнитострикцией. Сплошная вертикальная линия — фазовый переход первого рода, штриховая - второго рода [ 15]

Фазовые переходы первого рода, близкие ко второму

Проведенное выше рассмотрение линейной магнитострикции в ПСП недостаточно точно, чтобы учесть дальнодействующий характер взаимодействия, возникающего между спинами из-за конечной сжимаемости решетки. Между тем это обстоятельство для изинговских магнетиков принципиально важно： в них любое сколь угодно слабое магнитострикционное взаимодействие превращает непрерывный переход в скачкообразный. Чем слабее это взаимодействие, тем меньше скачок намагниченности, т.е. тем ближе фазовый переход первого рода к переходу второго рода [36].

Для гейзенберговских магнетиков остается в силе результат ПСП, согласно которому фазовый переход становится скачкообразным, лишь начиная с некоторого порогового значения магнитострикции. В конечном счете различие в свойствах изинговских и гейзенберговских магнетиков обусловлено тем, что в предположении несжимаемости решетки у изингов- ского магнетика теплоемкость расходится в %，а у гейзенберговского магнетика остается конечной [39].

Очень эффективным в исследовании фазовых переходов в сжимаемых решетках оказался метод ренормгруппы. В [275] такое исследование было проведено для упруго-изотропной среды. Гамильтониан Ландау - Гинзбурга является обобщением (2.12):

"F = /p|£|A^(r)+^j|(^y+8( g|“(r))2 +

+ (； — ^)(divu)2+%2 (^^) + g Е т^(г) div ujj3r. (5.7)

Первых три члена в (5.7) описывают магнитную часть свободной энергии, соответствующую обменному гамильтониану с размерностью спина п (л = 1 — модель Изинга, п = 3 — модель Гейзенберга). Инвариант четвертого порядка здесь изотропный. Далее, и — вектор смещения решетки, Н и Е - объемный модуль сжатия и модуль сдвига, деленные на температуру.

При расчете поверхность кристалла считается свободной, т.е. объем кристалла не фиксирован. Как и в [36], из атомных смещений выделяется однородная деформация решетки

диа/дг^ = иа& + ^； Z %a〃a(k)exp (ik • г). (5.8)

Вместо использования канонического преобразования операторов, устраняющего связь между спинами и решеткой (п. 1 д), эффективный магнитный гамильтониан строится следующим образом. В статистической сумме

Z = Spexp(_〃F) (5.9) производится интегрирование по всем фононным переменным. Интегралы по “а。и 〃&(%) (фурье-образам иа(г)) в (5.7), (5.9) гауссовы и потому легко вычисляются. В результате статистическая сумма представляется в виде

Z = ZL Sp exp {-/fF [wa(k)]} , (5.10) где ZL — фононная часть статсуммы, a 〃f [^] — эффективный магнитный гамильтониан Ландау - Гинзбурга (ср. с (4.22))

〃F[Z(k)] = Z(4 + %2)m(k) • m(-k) +

+ 〃 Z (m(&) • m(k2))(m(k3) • m(k4))A(k, 0) +

+ bP」(E(m(k)・m(_k))2. (5.11)

Суммирование по волновым векторам обрезается сверху на обратной постоянной решетки, параметры 〃 и и определены равенствами

Если член с четырехспиновым взаимодействием ~〃 в (5.11) отрицателен (〃 < 0), то фазовый переход заведомо первого рода, и для его описания нужно учитывать члены высшего порядка.по намагниченности. Отрицательным же этот член при исходном положительном В может стать лишь при достаточно сильной магнитострикции, т.е. ренормировка этого члена приводит к эффекту, уже исследованному в ПСП в предыдущем пункте. Если же 〃〉0, то при анализе гамильтониана (5.11) следует учитывать тот факт, что он соответствует модели с бесконечным радиусом взаимодействия 104

четвертого порядка по спинам. Чтобы убедиться в этом, достаточно перейти в последнем члене в (5.11) в координатное представление.

Расчет методами ренормгруппы с использованием магнитного гамильтониана 〃f (5.11) производится в первом порядке по е. Уравнения ренормгруппы (2.13) обнаруживают четыре точки покоя. Среди них есть стабильные, но в случае изинговских магнетиков они недостижимы. По флуктуационной теории ( § 4, 5) это означает, что фазовые переходы в таких магнетиках должны быть первого рода. Но этот переход при малых и реально очень близок к переходу второго рода. В частности, согласно (5.12), он вообще исчезает при модуле сдвига, равном нулю. То же самое происходит и при фиксированном объеме.

В случае гейзенберговских магнетиков ситуация оказывается иной: стабильные точки покоя достижимы. Это значит, что если фазовый переход не стал первого рода по обычному магнитострикционному механизму, то он не станет таковым и из-за флуктуационных эффектов. Более того, конечная сжимаемость решетки не сказывается даже на значении критических экспонент гейзенберговского магнетика. Как уже говорилось, разница в поведении изинговских и гейзенберговских магнетиков со сжимаемыми решетками обусловлена различием в знаках их критических показателей для теплоемкости а.

Иная методика доказательства существования фазовых переходов первого рода, близких ко второму, использована в [249] (п. 12а). В методическом отношении важно, что здесь предсказания флуктуационной теории совпадают с результатами, полученными иными методами, включая и метод Монте-Карло [121]. В [114] было показано, что учет анизотропии упругой среды усиливает тенденцию к скачкообразности фазовых переходов.

Фазовые переходы порядок - порядок, вызванные термическим расширением решетки

Как было впервые указано Киттелем [190], в магнетиках со сжимаемой решеткой возможно изменение типа магнитного упорядочения при изменении температуры. Это обусловлено тем, что интеграл обмена зависит от постоянной решетки. В результате теплового расширения решетки он может изменить знак, что и приведет к изменению типа магнитного упорядочения. Теория обменной инверсии Киттеля крайне проста. Считается, что обменный интеграл между ближайшими соседями зависит от постоянной решетки по закону

3=旷(…с),屮二 djr/d〃| …с, (5.13)

где ас — значение постоянной решетки, при котором обменный интеграл меняет знак. В предположении, что при изменении типа магнитного упорядочения абсолютная величина намагниченности о не меняется, свободная энергия системы записывается в виде

尸=^ (〃 — а7)2 -少‘("一 "0)。2 cos e, (5.14) где ат - равновесное значение постоянной решетки при данной температу-

ре в отсутствие взаимодействия со спинами, 8 — угол между моментами двух эквивалентных подрешеток, на которые разбивается кристалл (6 = 0 соответствует ФМ, а 0 =тт — АФМ упорядочению). Постоянная решетки 〃 находится из условия минимума F (5.14)

а - ат Aacose, Да =公夕/尤 (5.15)

Подстановка (5.15) в (5.14) дает

F = ~Hfro2(aT _ %)cose — [。4(方，)2 cos? d]/2 к. (5.16)

Из (5.16) следует, что когда ат достигает ас, происходит скачкообразный фазовый переход из ФМ в АФМ состояние. Согласно (5.15) в точке перехода происходит изменение постоянной решетки на 2Да.

Следует подчеркнуть, что выражение для свободной энергии (5.14) не выводится, а постулируется, и степень его корректности не очевидна. Например, свободная энергия (5.2), написанная для аналогичной системы в ПСП, имеет гораздо более сложную структуру даже без учета ангармонических эффектов, приводящих к тепловому расширению решетки. Обычно первый член в формуле (5.16), следующей из (5.14), трактуется как билинейный обмен, а второй член - как обмен высшего порядка по спину в полной аналогии с (1.33). При Г = 0 такая интерпретация вполне законна, но при TWO ситуация сложнее, так как выражением (5.16) дается не энергия системы, а ее свободная энергия, а в ней члены четвертого порядка по намагниченности появляются и при чисто билинейном обмене.

Наконец, недостаточность выражения (5.14) очевидна из того, что оно не позволяет определить температурную зависимость о. Может оказаться, что она обращается в нуль еще до того, как ат достигнет ас, и тогда переход порядок - порядок невозможен. Обобщение, сделанное в [176], когда в разложении (5.13) обменного интеграла по а - ас учитываются и квадратичные члены, не снимает трудностей теории.

Более перспективен чисто микроскопический подход типа использованного в [128]. В этой работе расчет производился в спин-волновом приближении и учитывалась ренормировка магнонного и фононного спектров из-за взаимодействия между этими квазичастицами. Работа построена как перевод на язык элементарных возбуждений результатов [190]. К сожалению, в [128] не было сделано численных оценок, по которым можно было бы судить об условиях, при которых может осуществляться обменная инверсия, и не была исследована возможность перехода в ПМ состояние еще до ее достижения.

Попытка дальнейшего развития теории Киттеля была предпринята также в [265], где обменное взаимодействие считалось не зависящим от температуры, а эффект связывался с инверсией знака двухионной магнитной анизотропии вследствие теплового расширения решетки. Такая сильно анизотропная модель позволяет одновременно описать и метамагнитные свойства кристаллов во внешнем магнитном поле.

Следует, однако, указать, что обменная инверсия вряд ли является распространенным явлением, поскольку она предполагает существенное изменение постоянной решетки с температурой в упорядоченной области. В частности, обменной инверсией заведомо невозможно объяснить низко- 106

температурные фазовые переходы порядок 一 порядок, так как линейное расширение при температурах много ниже дебаевской пропорционально Т4, т.е. практически отсутствует. Однако такие фазовые переходы естественным образом объясняются чисто магнитными причинами. В определенных условиях переходы могут быть вызваны магнитной анизотропией (п. 8г, § 9), но к числу таких переходов не относится переход ФМ-АФМ, исследованный в [190]. В этом отношении более универсален механизм переходов порядок - порядок, обусловленный обменом высших порядков по спину (п. 126). Оба последних механизма могут объяснить и каскады фазовых переходов порядок - порядок, которые теория Киттеля объяснить не может.

Ян-теллеровские магнетики

Ян-теллеровские ионы в кристаллах

Качественно новые свойства по сравнению с ранее исследованными системами появляются у магнетиков с орбитально вырожденными состояниями ионов, которые принято называть ян-теллеровскими из-за того, что искажение решетки снимает это вырождение. В дополнение к магнитным и решеточным степеням свободы вырождение ионов создает еще орбитальные степени свободы, которые можно описать, введя эффективные спины атомов 7g. Так как обменное взаимодействие между двумя ионами зависит от орбитального состояния их обоих, в гамильтониане системы появляются члены, билинейные одновременно по истинным спинам Sg и эффективным спинам %. Отсюда сразу следует, что упорядочение по спинам связано с упорядочением по орбиталям. С другой стороны, поскольку орбитали сильно связаны с решеткой, упорядочение по орбиталям вызывает структурный фазовый переход, представляющий собой кооперативный эффект Яна — Теллера. Это значит, что в ян-теллеровских магнетиках существует корреляция между магнитными и структурными фазовыми переходами. Необычны и другие магнитные свойства этих систем, например сильная анизотропия обмена и сильная его температурная зависимость.

Последующее изложение в значительной мере основано на обзоре [33], однако здесь не обсуждаются немагнитные явления в ян-теллеровских магнетиках типа чисто структурных переходов.

Начнем изложение с описания ян-теллеровских ионов в кристаллах. Если речь идет о соединениях переходных элементов, то в них орбитальные состояния J-электронов пятикратно вырождены соответственно значению / = 2. В кристалле этот уровень расщепляется его полем, однако при достаточно высокой симметрии орбитальное вырождение снимается не полностью. Так, в поле кубической симметрии (например, в октаэдрическом окружении, рис. 5.4, 〃) одноэлектронный d-уровень расщепляется на трехкратно вырожденный уровень f2g и двукратно вырожденный eg. В тетраэдрическом окружении происходит инверсия термов и уровень eg лежит ниже, чем f2g (рис. 5.4, б).

В много электронном атоме эти уровни заполняются последовательно электронами с параллельными спинами в соответствии с правилом Хунда; очевидно, однако, что орбитальное вырождение может при этом сохраниться. Так, в пренебрежении спинюрбитальным взаимодействием невы>

107

Рис. 5.4. Расщепление d-уровня иона в октаэдрическом (仅)и тетраэдрическом (5) окружении [33]

рожденным состоянием в октаэдре обладали бы только ионы с конфигурациями d з, J5, J8. Все остальные ионы были бы орбитально вырождены (двукратно, если есть один электрон или дырка на eg-уровне, и трехкратно при любом неполном заполнении f2g -уровня).

Для ^-уровней орбитальный момент полностью заморожен: ^-состояния характеризуются действительными волновыми функциями d2z2 -х2-у2 = I 0 > (далее эту функцию будем обозначать J22) и Jx2 _^2 = =(1/依(12>+ I-2»,где I /z > - состояние с заданным /?. Для них спин- орбитальное взаимодействие несущественно, так как его гамильтониан имеет структуру L • S, и потому отличны от нуля только его матричные элементы между состояниями с lz, отличающимися друг от друга на ± 1. Соответствующие ионы с конфигурациями в октаэдрическом окружении d‘ (Сг2+ , Мп3+ ) и J9 (Cu2+ , Ag2+ ) или в тетраэдрическом окружении d1 (Ti3+ , V4+ ) и J6 (Fe2+ , Ni3+ ) называют обычно ян-теллеровскими ионами в узком смысле этого слова.

Для ионов, в которых частично заполнена r2g-оболочка, электронные волновые функции - это dxy, dxz, dyz. Их можно о характеризовать эффективным моментом / = 1 с собственными функциями, нумеруемыми его проекциями I 0 > = dxy, | ± 1 > = (+ l/V^) (d* 土 idyz). В них спин-орбиталь- ное взаимодействие может снять вырождение. Но в ряде материалов происходят ян-теллеровские переходы, в результате которых спин-орбиталь- ное взаимодействие становится неэффективным. К таким материалам относятся, в частности, магнетики содержащие ионы Fe2 + , Со2 + .

Качественно характер расщепления уровней кристаллическим полем можно понять из формы электронных облаков е^ и r2g-электронов, приведенной на рис. 5.5. Из простых электростатических соображений очевидно, что отталкивание электронного облака катиона от соседних анионов в октаэдрическом окружении сильнее для eg-орбиталей, поскольку они направлены прямо на эти ионы. Этим и объясняется большая энергия eg-уровней сравнительно с f2g в этом случае. В тетраэдрическом окружении картина обратная. Очевидно также, что при сохранении идеальной кубической симметрии сами eg- или r2g-уровни имеют одинаковую энергию.

В отличие от соединений переходных элементов, редкоземельные соединения характеризуются сильным спин-орбитальным взаимодействием, объединяющим спин и орбитальный момент атома в полный момент /. Кристаллическое поле расщепляет (2/ + 1)-кратно вырожденный мульти-

плет на уровни меньшей кратности. Ян-теллеровские ионы в этом случае появляются как результат неполного снятия вырождения, если это вырождение орбитальной,а не спиновой природы, т.е. не крамерсовского типа. Примером материалов, где ожидается кооперативный эффект Яна — Теллера, могут служить некоторые редкоземельные цирконы с общей формулой RX04, где R - трехвалентный редкоземельный ион, а X - это V, As или Р. Например, в TmV04 уровень 3Я6 иона Тт3+ расщепляется в кристаллическом поле таким образом, что нижний подуровень оказывается дублетом,

Рис. 5.5. Распределение электронной плотности для eg- (d?2, 4*2_>2)眩 ^2g- (dxy&z，dyz)орбиталей [33]

отделенным от следующего уровня на достаточно большое расстояние. В DyV04, где ион Dy3+ находится в состоянии 6Я15/2, т.е. обнаруживает крамерсовское вырождение, два крамерсовских дублета разделены при высоких температурах только на 9 см"1, т.е. практически вырождены. В TbV04 с основным состоянием 3F6 иона ТЬ3* внутри интервала 18 см"*1 лежат синглет, дублет и еще один синглет, т.е. вырождение практически четырехкратное, так как эффект Яна — Теллера раздвигает эти уровни на 50 см"*1 (данные взяты из [151]).

Четырехкратно вырожденному уровню в рассмотренных выше случаях соответствует четверка состояний | 土/*〉, | 士/'〉, каждое из которых является собственной функцией соответствующей компоненты момента с собственным значением / и (-/). Пары состояний | 士/*〉 и | 士/，〉 имеют облака зарядов в виде плоских ''блинов'', пересекающихся вдоль оси z. Это приближенно соответствует электрическим или магнитным квадруполям.

Взаимодействие орбиталей с решеткой

Обсудим теперь взаимодействие вырожденных орбиталей с решеткой. Начнем со случая отдельного иона. Орбитальное состояние считается двукратно вырожденным. При описании ^-функций вводятся матрицы Паули для эффективного спина т, определенного соотношениями для 山】= =厶2 _у2 И W2 ~dz2

产山1=w1, 产W2=-w2,

7"w1 =w2, 产W2 = Wl.・ '

Электронная волновая функция представляет собой линейную комбинацию Wi и W2 ：

屮=WiC0S(e/2) + i//2sin(0/2),(5.18)

где 8 - произвольный угол. Коэффициенты при 办 и 弘 в (5.18) можно

трактовать как компоненты спинорной функции, на которую действуют операторы 7.

В терминах операторов псевдоспинов 7 гамильтониан взаимодействия орбиталей с решеткой можно представить в виде

Н= S 3q/ bqf bqj —

占•Zexp(ik ・f)Sk/_ 亡к/)(£Н+@&т；)，(5.19)

где использованы те же обозначения, что и в (1.31). Устраняя из (5.19) фононные операторы, подобно тому как это было сделано при переходе от (1.29) к (1.31), получаем гамильтониан эффективного взаимодействия между орбиталями через решетку:

H-^^^-f^T^^^-f)^],(5.20)

痒⑴=弋 I g； |2з&； exp(iq • f).

При выводе (5.20) не учитывалась некоммутативность тх и т2.

Очевидно, кроме взаимодействия через решетку, между вырожденными орбиталями должно существовать прямое электростатическое взаимодействие квадруполь-квадрупольного типа. В случае eg-орбиталей его тоже можно описать гамильтонианом, билинейным по псевдоспинам 三 сделав в (1.26,1.27) замену £ f т.

В случае f2gорбиталей и взаимодействие через решетку, и прямое электростатическое выражаются через компоненты эффективного момента / = 1, из которых составляются инварианты [(Р)2-2/3], [(/V-(^)2] и т.д.:

公屮Ed^ 證)2 —訊(")2_|.] +

+ 嗚)2-(*][(斤 У-(济]} +

+ 炉(g -f)吟)冤)+ 冕)從)n(7；)(彳)+ (>) (7匐

(5.20а)

Характерная черта полученных таким образом псевдоспиновых гамильтонианов состоит в их сильной анизотропии, причем она двоякого рода. Во-первых, как видно из (5.20), гамильтониан анизотропен в фиктивном пространстве, в котором определены операторы ? (5.17) : симметрия этого гамильтониана ниже, чем у (х — у)-модели. Во-вторых, взаимодействие между парой ионов существенно нецентральное, т.е. зависит от направления радиуса-вектора, соединяющего эти ионы.

Билинейные псевдоспиновые гамильтонианы, хотя их структура и сложнее, чем у магнитных гамильтонианов Гейзенберга или Изинга, должны тоже приводить к упорядочению. Естественно, упорядочение псевдоспинов реально означает упорядочение орбиталей. Но согласно (1.30) равновесные положения атомов зависят от электронного состояния системы. Поэтому 110

появление орбитального упорядочения должно сопровождаться структурным фазовым переходом. В этом и состоит кооперативный эффект Яна — Теллера. Упорядочение псевдоспинов сходно с упорядочением настоящих спинов в том смысле, что возможны псевдоспиновые ФМ, АФМ, скошенная АФМ и несоизмеримые структуры.

Магнетики с двукратно орбитально вырожденными ионами

Кроме взаимодействий, не зависящих от спинов, между ионами с орбитально вырожденным состоянием, вообще говоря, существуют еще и взаимодействия, зависящие от спинов. При двукратном вырождении можно говорить о зависимости интеграла обмена от псевдоспинов

〃 =—3 Е 询£ {7g, 7f }(Sg • Sf). (5.21)

Поскольку операция инверсии псевдо спинов, в отличие от инверсии истинных спинов, не обязана оставлять гамильтониан инвариантным, разложение операторной функции 亀f по т может содержать и нечетные степени:

^f = %f + ЪЛ^(т1 + ») + Z 皖實寸т；・ (5.22) Отсутствие членов типа St в (5.21) соответствует отсутствию спин-орби- тального взаимодействия.

Вывод гамильтониана обмена типа (5.21,5.22)в ян-крамерсовской системе из многоэлектронного гамильтониана был проведен в [33] по той же схеме, что и в п. 1 б, г. Отличие от случая, описанного в п. 16, состоит в том, что в индексы электронных операторов входит еще и орбитальный индекс т?二入.Операторы псевдоспинов вводятся через электронные операторы 畸入,о，〃g,入,° посредством соотношений типа (1.10)

号畸土 1/2, о =1/2 ±7； ИТ.Д.

В исходном гамильтониане, кроме хаббардовского отталкивания между электронами на одном и том же ионе, учитывается еще и хундовский обмен между ними.

Гамильтониан (5.21, 5.22) имеет относительно простую изотропную структуру

〃=-3 Z{%(Sg • Sg+R) +

+ ^tG* • 7g+ Z*)+ 4少加(7g • 7g + K)(Sg * Sg+ △*)} (5.23) только при очень сильных и не вполне реалистичных модельных предположениях. В реальных веществах необходимо учесть, что блоховские интегралы 5 в исходном электронном гамильтониане типа (1.8) зависят как от типа орбиталей, так и от взаимного расположения узлов, поскольку распределение электронной плотности на них не является сферически симметричным. Поэтому гамильтонианы оказываются сильно анизотропными по псевдоспинам.

Не приводя здесь чрезвычайно громоздкого выражения для гамильтониана перовскитов (е^-ионы в узлах простой кубической решетки), получаемого из многоэлектронного гамильтониана указанным выше методом, ограничимся обсуждением основного состояния таких систем. Спины в

111

них упорядочены антиферромагнитно: плоскости (0 0 1) ферромагнитны по спину, и направления спинов соседних плоскостей противоположны друг другу. Орбитальное упорядочение характеризуется чередованием состояний dj^—z? и dy2_z2 (рис. 5.6). В пространстве псевдоспинов это соответствует скошенному АФМ упорядочению с чередованием углов ±2я/3 в плоскости (т“, т2). В этом легко убедиться, воспользовавшись формулой (5.18) и заметив, что фигурирующие в ней функции могут быть представлены в виде

о о(2z? - х2 一 歹2)

W 1 =。2 一 У2 )f&), w2 =厂/0,

где /(г) зависит только от радиуса. Множитель “3 появляется из условий нормировки.

Возможны два эквивалентных по энергии типа орбитального упорядочения, изображенные на рис. 5.6. При каждом из них сильно перекрываются орбиты соседей по оси z. Так как они заполнены наполовину, то в соответствии с правилами Гуденафа - Канамори - Андерсона обмен между этими соседями антиферро магнитен. Обмен в плоскостях (х, у) слабый и ферромагнитный. Изложенные соображения объясняют, почему кристалл KCuF3, по структуре близкий к кубическому, ведет себя как квазиодно- мерный магнетик. Для перовскитов с ионами Мп3+ и Сг2+, у которых один электрон на eg-уровне и три на 马且―уровне, орбитальная структура несколько отличается от изображенной на рис. 5.6: чередующиеся углы оказываются иной величины, что обсуловлено взаимодействием между Cg・ и f2 g・з〃ектронами・

Рис. 5.6. Орбитальное упорядочение в перовскитах типа KCuF3, вызванное взаимодействием спинов и орбиталей:

〃 н 6 — два возможных эквивалентных типа упорядочения [ 33 ]

Структура, изображенная на рис. 5.6, получается при учете только обменного взаимодействия, которое в данном случае определяет не только магнитное, но и орбитальное упорядочение. Структурный фазовый переход в данной ситуации является вторичным эффектом. В общем случае орбитальное упорядочение устанавливается одновременно с обменным, ян-телле- ровским и квадрупольным упорядочениями.

г. Магнетики с сильным спин-орбитальным взаимодействием

В этом пункте будут обсуждены свойства ионов переходных элементов с трехкратным орбитальным вырождением ионов редкоземельных эле мен- 112

тов, когда они взаимодействуют друг с другом и с решеткой. Существенное отличие таких ионов от обсужденных в п. 11в состоит в том, что в них большую, а иногда и определяющую роль играет спин-орбитальное взаимодействие.

Рис. 5.7. Два способа расщепления г 2g-уровня: а — снятие вырождения по ян-теллеровскому за счет спин-орбитального взаимодействия (33 ]Рис. 5.7. Два способа расщепления г 2g-уровня: а — снятие вырождения по ян-теллеровскому за счет спин-орбитального взаимодействия (33 ]В рассматриваемом здесь случае снятие орбитального вырождения может происходить по двум каналам — по сиин-орбитальному и по ян-теллеров- скому, причем оба эти механизма в определенном смысле оказываются

Рис. 5.7. Два способа расщепления г 2g-уровня: а — снятие вырождения по ян-теллеровскому за счет спин-орбитального взаимодействия (33 ]

Рис. 5.7. Два способа расщепления г 2g-уровня: а — снятие вырождения по ян-теллеровскому за счет спин-орбитального взаимодействия (33 ]

каналу; б — снятие вырождения

взаимоисключающими. Проиллюстрируем это рассмотрением случая одного электрона на 灰g-уровне. При сжатии октаэдра вблизи такого иона hg-уровень расщепляется, как показано на рис. 5.7, а. Невырожденный уровень с волновой функцией dxy, которой в терминах эффективного момента Z = 1 соответствует обозначение | 0 > (п. 11а), смещается вниз на энергию Еят・ Другие два уровня с волновыми функциями dyz и dxz остаются вырожденными и сдвигаются вверх на △£ = £Ят/2 - Эти два состояния даются линейной комбинацией состояний I 1 > и | — 1 >, следовательно, вырождены и они. В одноэлектронном случае такая деформация выгодна с точки зрения ян-теллеровской энергии £Ят- При ней, однако, равна нулю не только проекция эффективного момента Zz, но и проекция истинного момента lz. Поэтому и энергия спин-орбитального взаимодействия < О I Х(1 • s) I 0 > обращается в нуль.

Пусть теперь произошла тетрагональная деформация другого знака, соответствующая растяжению октаэдра. При этом происходит инверсия термов (рис. 5.7, б): низшим оказывается дублет | ± 1 >. Энергия терма и в этом случае понизилась из-за эффекта Яна - Теллера, однако при равной деформации это понижение вдвое меньше, чем в первом случае, и соответственно с точки зрения эффекта Яна — Теллера энергетически более выгодна деформация сжатия, с/а < 1. Зато теперь основное состояние обладает незамороженным орбитальным моментом, и потому оно расщепляется далее спин-орбитальным взаимодействием с дополнительным выигрышем в энергии 入S. Спин в этом случае ориентируется по оси деформации z, т.е. возникает спиновая анизотропия. Параллелен или антипарал- лелен спин орбитальному моменту, зависит от знака 入.

Очевидно, таким образом, что в упорядоченной фазе ян-теллеровское и спин-орбитальное взаимодействия стабилизируют противоположные типы деформации (для одного Г2^-электРона с!а < 1 или с/а > 1 соответ-

113113Э.Л. Нагаев

113

113

ственно). Какая из них реально произойдет, зависит от соотношения энергии Яна — Теллера Еят н спин-орбитального взаимодействия 入S. Вообще говоря, в кристаллах на основе 3dэлементов эти величины одного порядка и реально наблюдаются переходы, идущие как по ян-тел- леровскому каналу, так и по спин-орбитальному. При этом переход ян- теллеровского типа, если это взаимодействие доминирует, является чисто структурным переходом, а магнитное упорядочение происходит при другой, более низкой температуре. Такова ситуация в шпинелях NiCr2O4, NiRhzCU； CuRh2 04. Ионы Ni2+ и Cu2+ в них находятся в тетраэдрическом окружении и обладают трехкратным орбитальным вырождением.

Переходы, определяемые спин-орбитальным взаимодействием, происходят одновременно с магнитным упорядочением: легко понять, что если спины упорядочатся, скажем, по оси z, то за счет спин-орбитального взаимодействия автоматически стабилизируются орбитали | ± 1 > и произойдет соответствующая деформация решетки. И обратно, если бы первичным было соответствующее упорядочение орбиталей, одновременно с ним возникло бы и спиновое упорядочение. Таким образом, в этом случае деформация решетки возникает в точке Кюри и внешне выглядит просто как магнитострикция. Однако ее природа отличается от магнитострикции в материалах, содержащих орбитально невырожденные ионы типа Ni2 + или Fe3+, где она обусловлена зависимостью интеграла обмена от деформации решетки (п. 10а).

По величине соответствующие деформации оказываются примерно на порядок больше, чем в невырожденном случае. Характер деформаций (направление осей симметрии низкотемпературной фазы) однозначно связан с направлением упорядочения спинов. Так, в СоО и KC0F3, где спины при Т< 小 направлены по оси [0 0 1], возникает тетрагональная деформация с с/〃 < 1 (ион Со2+ с конфигурацией d1 имеет одну дырку на Г2^-оболочке, и, в соответствии с приведенной выше аргументацией, для него эффект Яна — Теллера стабилизировал бы дырочную орбиталь I 0 > при c/q > 1, а орбитали | ± 1 > стабилизируются при сжатии, с/а < 1). В соединении же FeO спины в упорядоченной фазе направлены по оси [1 1 1]. Соответственно в этом соединении осуществляется тригональное искажение решетки.

Обменное взаимодействие в магнетиках с /2g-электронами можно описать выражением, аналогичным (5.21, 5.22) с заменой псевдоспинов г на инварианты из компонент /, фигурирующих в (5.20а). Так, в кристалле типа перовскита для пары ионов, расположенных по оси z, с учетом конкретного вида f2g"Функций получается из многоэлектронного гамильтониана

%f = J(g - f) (% + Sg • Sf) {审)2 席)2 + 碇干 +

+ 啖 УТ/]肝—(7『)2] +

+(V^ ЧТ)<7^ + V?)-(7； )2 -(V )2 } . (5.23a)

Получающийся гамильтониан слишком сложен, чтобы из него сделать однозначные выводы об орбитальной структуре. Однако он может оказаться весьма полезным при анализе магнитного упорядочения: если из 114

независимых соображений известен тип орбитального магнитного упорядочения, то из (5.23а) можно получить эффективный магнитный гамильтониан. Такое рассмотрение, проведенное для CaCu3Ti4 0i2 в [207], позволило описать довольно сложную магнитную структуру, наблюдаемую в этом соединении (согласно [33] в [207] некорректно рассмотрена одноионная анизотропия).

Свойства соединений редких земель качественно сходны со свойствами тех соединений переходных элементов, у которых спин-орбитальное взаимодействие играет доминирующую роль. В частности, в них искажение решетки тоже происходит одновременно с появлением магнитного упорядочения. Свойства таких магнетиков могут быть описаны при помощи гамильтониана, построенного из эффективных спинов, описывающих соответствующий мультиплет уровня (вырожденного по направлениям полного момента иона). Такой гамильтониан содержит не только билинейные члены, но и члены высших порядков по эффективному спину (п. 1г).

Помимо того что в соединениях переходных элементов с ионами спин- орбитальное взаимодействие может навязать свой тип магнитного упорядочения и характер установления обоих типов порядка, оно существенно влияет на магнитную анизотропию и магнитострикцию. Действительно, если доминирует спин-орбитальная связь и кристалл ниже Tn, скажем, является тетрагональным, то спины параллельны моменту /, т.е. направлены по оси деформации. Отклонение спинов от этого направления требует либо разрыва спинюрбитальной связи, либо переориентации оси деформации. Оба эти процесса сопровождаются значительной затратой энергии, и, в итоге, магнитная анизотропия таких веществ оказывается большой (особенно хорошо известный пример такого рода - ион Со2+).

Однако даже в тех случаях, когда упорядочение идет по ян-теллеровско- му каналу, можно ожидать заметной анизотропии. Основное состояние в этом случае — орбитальный синглет, и магнитная анизотропия появляется за счет примешивания возбужденных состояний, в которых момент не заморожен. Обычное рассмотрение при этом проводится по теории возмущений, в которой малым параметром служит отношение константы спин- орбитального взаимодействия 入 к расстоянию △ между основным и ближайшим к нему возбужденным уровнем. Оно дает в магнитном гамильтониане системы член, соответствующий одноионной анизотропии, вида

а0Еп - £о

В обычных случаях △ - это расстояние между eg- и 2g-Уровнями, т.е. величина порядка 1 эВ. В случае же систем с ^2g-электронами и с орбитальным упорядочением ян-теллеровского типа указанная разность 一 порядка Еят, т.е. гораздо меньше. Соответственно и константы анизотропии для ,таких веществ должны быть гораздо больше, чем для магнетиков с невырожденными ионами. Аналогичная аргументация показывает также, что в этом случае велики будут и константы магнитострикции. Действительно, деформация решетки существенно влияет на орбитальное состояние 〃@-ионов, и вследствие спин-орбитального взаимодействия это влияние передается на спиновую подсистему. Для ионов типа Со2+ это хорошо известно экспериментально. 8*

д. Температурная зависимость обменных интегралов, фазовые переходы и метамагнетизм

Характерная особенность ян-теллеровских магнетиков состоит в сильной температурной зависимости обменного взаимодействия, определяющего магнитное упорядочение. Об этом свидетельствуют экспериментальные данные, приведенные в [33]. Наиболее сильная она в гейзенберговском ферромагнетике К2 СиСЦ • 2Н2О, в котором ионы Си2+ образуют объем- ноиентрированную кубическую решетку. Согласно данным ЭПР и ЯМР обменный интеграл для ближайших соседей уменьшается в 5 раз при повышении температуры от 77 до 300 К (рис. 5.8) [130, 184, 251]. Заметная

Рис. 5.8. Зависимость обменных интегралов в К2 СиС14 • 2H, О от температуры по данным ЭПР [130, 184, 251]

наблюдалась по обменному сужению линий ЭПР и в слоистых соединениях с ФМ плоскостями, образуемыми ионами Си2+ , таких, как К2 CuF4, (С„ Н2 „ +! NH3)2 СиСЦ, а также в некоторых других соединениях меди. Объяснить этот эффект тепловым расширением решетки трудно, так как относительное изменение постоянной решетки с температурой в К2 СиСЦ • 2Н2О на два порядка меньше, чем изменение

обменного интеграла.

В ян-теллеровских магнетиках существуют специфические и более сильные механизмы зависимости обмена от температуры. Первый из них обусловлен зависимостью обменного взаимодействия от орбитального упорядочения, т.е. многоцентровой природы. Второй заключается в том, что обменное взаимодействие вызывает переходы между вырожденными орбитальными состояниями ионов, а они тормозятся из-за взаимодействия орбиталей с решеткой. Начнем с первого из них.

Если взять за основу гамильтониан (5.23), то эффективный интеграл магнитного обмена должен даваться выражением

厶=?s + 4%〈展•壷+不〉•(5.24)

Конкретный характер изменения J5 с температурой зависит от деталей орбитального упорядочения. В общем случае ясно только, что соответствующее изменение наиболее сильно в окрестности структурного фазового перехода, где коррелятор псевдоспинов меняется с температурой быстрее всего. Вдали от точки этого перехода зависимость обмена от температуры, обусловленная температурной зависимостью орбитальных корреляций, чувствуется довольно слабо.

Детальный анализ влияния орбитальных корреляций на магнитный обмен был проведен в [179, 297] в предположении, что все три обменных

интеграла %, »丁，夕力в (5.23) отрицательны, но магнитный интеграл % — наименьший из них по модулю: \ CfT\> \ Cfm\>\ %|.В обычных магнетиках при отрицательном Cfs установилось бы АФМ упорядочение, ян-тел- леровский же магнетик ведет себя подобно обычному антиферромагнетику только при ТА%: тогда его магнитная восприимчивость подчиняется закону Кюри — Вейсса с отрицательной парамагнитной температурой Кюри. Однако при приближении температуры к точке установления орбитального упорядочения коррелятор 〈^ •石+不》,будучи отрицательным, растет по абсолютной величине. Поэтому эффективный интеграл магнитного о6ме・ на 少$ (5.24) убывает по модулю и при достаточно низких температурах меняет знак, становясь положительным. Таким образом, в системе должно установиться спиновое ФМ упорядочение невзирая на отрицательность обменных интегралов. В ПСП при понижении температуры сначала устанавливается АФМ орбитальное упорядочение, а затем ФМ спиновое. При учете ближнего порядка методом постоянной связи возможен обратный порядок этих фазовых переходов.

В рассматриваемом случае схема ПСП в [179] проводилась следующим образом. Соответственно параметрам порядка в системе < Sg >,〈力， <5gTg > вводятся самосогласованные поля, пропорциональные им, так что гамильтониан ПСП принимает вид (S = 1/2)

公-z%Z〈S； + n〉S； —zOtZ〈W+n〉t；-

-4z% 2〈5；+^+必“一z5№8一

-Edt/Qg — S产S；7%q・g, (5.25) где z — число ближайших соседей, векторы h, d и тензор / представляют внешние поля, сопряженные соответствующим переменным. Им сопоставляются восприимчивости (см. (3.34, 3.35))

X^Q = NiMS；询а,

X^(q) = 7V-1/2d<TqWa,

X 优 а。= 4%т/2a〈S%0 |q >/bfa(i. (5.26) Вычисление этих восприимчивостей при помощи гамильтониана (5.25) производится обобщением стандартной схемы ПСП (п. 76) на случай нескольких полей.

В области самых высоких температур, когда не упорядочены ни спины, ни орбитали, все три восприимчивости даются соотношениями типа Кюри 一 Вейсса

X^(q)= T一等(q)]‘, ^«(q) = 7一_2^_「，

X* 叫 q)=X* 叫 q)=т-т-»m (q) ~4»m (q) ~4(5・27)(5・27)

X* 叫 q)=

X* 叫 q)=

т-

т-

»m (q) ~4

»m (q) ~4

(5・27)

(5・27)

Поскольку наибольший из всех обменных интегралов по предположению

ТсТ = —I % I должТсТ = —I % I долж7r(Q), где Q - вектор АФМ структуры, первым при

ТсТ = —I % I долж

ТсТ = —I % I долж

но установиться орбитальное АФМ упорядочение без магнитного дальнего

порядка.

Ниже Тст орбитальная восприимчивость дается той же формулой, что и для обычного антиферромагнетика в упорядоченном состоянии, а спиновая и смешанная восприимчивости уже не подчиняются закону Кюри — Вейсса и существенно зависят от параметра орбитального упорядочения (产〉=入：

Х^ = [т^^^(1-4^^[т2^-

—9/4 少m %(1 —入2)},(5.28)

X户气仍卜+-^<1 - 4入2)卜一；(q)— %(q)j -

-% 力 %(1 一入2)「.

С учетом того что в приближении ближайших соседей, используемом здесь, »(Q) = -J(0), из (5.28) следует, что *^°(。)и хГ'^З) при понижении температуры становятся расходящимися при одной и той же температуре Тс^. В предположении Tcs ^ Тст，т.е. X 1,

tcS-%（°）—厶（°）】・ 4

Ниже этой температуры устанавливается спиновый ФМ порядок при сохранении орбитального АФМ порядка.

Свойства систем, описываемых гамильтонианом (5.23), чувствительны еще и к электрон-фононному взаимодействию. Это приводит к иному механизму зависимости обменного интеграла от температуры [33]. Он состоит в изменении положений равновесия атомов в решетке при изменении орбитального состояния электрона внутри данного узла. Поэтому он нечувствителен к орбитальному упорядочению в кристалле в целом. В [33] приведены результаты расчетов, согласно которым зареза- ние обменного взаимодействия благодаря электрон-фононной связи резко повышается с ростом температуры. В теории полярона фононное торможение движения квазичастицы, наоборот, ослабляется с ростом температуры [48]. Причина различия результатов в этих двух случаях пока не ясна.

Наличие двух параметров порядка, спинового и орбитального, может существенно повлиять на поведение веществ в магнитном поле. Магнитное поле, действующее на спины, одновременно влияет и на орбитальную структуру, а при этом изменяются и обменные параметры спиновой системы. В результате зависимость момента АФМ кристалла от поля становится нелинейной, если даже обменное взаимодействие изотропное билинейное. При росте магнитного поля оказываются возможными и скачкообразные переходы между различными типами магнитных и соот-

ветственно орбитальных структур. Это фактически означает возможность метамагнетизма (т.е. сильно нелинейного, вплоть до скачкообразного, изменения магнитного момента с полем) в случае изотропного обменного взаимодействия. Как уже указывалось в п. 4в, где были даны другие механизмы метамагнетизма в изотропных магнетиках, в подавляющем большинстве случаев изотропные магнетики метамагнитными свойствами не обладают 一 они типичны для сильно анизотропных магнетиков. Таким образом, в ян-теллеровских магнетиках с изотропным взаимодействием возможен новый механизм метамагнетизма по сравнению с изложенными в п. 4в, 14а.

Механизм возникновения нелинейности и метамагнитного поведения в этом случае легко понять на простой модели с гамильтонианом (5.23). В дополнение к эффективному интегралу магнитного обмена (5.24) можно аналогичным образом написать эффективный интеграл орбитального обмена

Jr= Jr + 4 Jw〈Sg・Sg + /〉， (5.29) зависящий от спинового коррелятора. Магнитное поле меняет спиновую структуру и тем самым влияет на 彳 丁. Например, при % < 0 и % < < Зт < 0 основное состояние антиферромагнитно по спину и ферромагнитно по орбитам, так как при〈 Sg • Sg+/〉=-1/4 величина Ут = Зт -Зт положительна. С ростом поля коррелятор 〈Sg・Sg+/〉из-за скашивания спинов растет. Поэтому, начиная с некоторого значения поля, обменный интеграл 2丁 (5.29) сменит знак, т.е. орбитальное упорядочение станет АФМ. Поэтому эффективный спиновый обмен (5.24) станет более слабым и может вообще даже изменить знак. Таким образом, появляющаяся зависимость 4 s от поля и приводит к метамагнетизму.

В реальных системах физическая картина может быть еще более сложной, например, в кристаллах типа KCuF3 (рис. 5.6) со слоистой АФМ структурой в отсутствие поля. Если поле включить, то при некотором его значении эта структура превращается в шахматную АФМ структуру, скошенную внешним полем [33]. Соответствующее превращение сопровождается скачком намагниченности, как у метамагнетиков. После превращения момент непрерывно растет с полем, пока не достигнет насыщения. Однако по оценкам [33] такие эффекты возможны только в гигантских магнитных полях.

Кроме магнитного поля, на состоянии ян-теллеровских магнетиков может существенно сказаться одноосное напряжение, которое является аналогом магнитного поля для орбитальной системы. .

В магнетиках с 灰 g-ионами, если в них доминирует ян-теллеровский канал, поле может сделать доминирующим спин-орбитальный канал, изменив тем самым характер искажения решетки.

Возможно, гранат Ca3Mn2СезО12 [28] представляет собой пример ян- теллеровского метамагнетика. В нем при 4,2 К наблюдается скачок намагниченности и имеются указания на кооперативный эффект Яна — Теллера при 400 К в этом материале.

•ГЛАВА VI

МАГНЕТИКИ С ОБМЕНОМ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ ПО СПИНУ

Коллинеарные системы с чисто дипольным упорядочением

Фазовые переходы порядок - свой беспорядок

Как было показано в гл. I, обмен высших порядков по спину может быть существен в достаточно широком классе магнетиков. В магнитных изоляторах, в дополнение к обычному билинейному обмену, достаточно ограничиться учетом членов четвертого порядка по спину, так как члены более высоких степеней малы по соответствующим параметрам. В проводниках, вообще говоря, необходимо учитывать обмен произвольно высокого порядка по спинам. Тем не менее и для них гамильтонианы, включающие в себя члены второго и четвертого порядков по спину, сохраняют смысл в качестве модельных.

При анализе таких гамильтонианов необходимо различать случаи четырехспинового и би квадратичного обменов. В первом случае упорядочение носит обычный дипольный характер, во втором наряду с дипольным возможно еще и квадрупольное упорядочение (разумеется, при 5 = 1/2 возможен только четырехспиновый обмен). Целесообразно проанализировать эти случаи по отдельности.

В этом пункте будут в основном обсуждены свойства магнетиков, описываемых гамильтонианом изотропного обмена, в котором билинейные члены сравнимы с членами, содержащими четверку спинов

Я = -|х J(f, g)(Sg-Sf)-| E%(f, g, k,l)(Sf Sg) (Sk . Si) _ 〃 z S3

(6.1) причем во втором члене ни один из номеров атомов не совпадает с другими. Нас будет здесь интересовать ситуация, когда билинейный и четырехспиновый обмены стремятся установить один и тот же тип магнитного порядка. Наряду с изотропным гамильтонианом (6.1) будет рассматриваться и его изинговский аналог, когда все векторы спина в (6.1) заменены на их z-проекции.

Качественное отличие свойств модели (6.1) по сравнению с гейзенберговской (1.1) состоит в том, что четырехспиновый обмен может превратить непрерывный фазовый переход порядок — беспорядок в скачкообразный [43, 107, 219]. Физические причины этого весьма просты. При приближении к % четырехспиновый член в (6.1) становится порядка а2 по сравнению с билинейным. Потому в ПСП положение Тс полностью опреде-

ляется билинейным обменом, и при больших % возможна ситуация, изображенная на рис. 5.1: при повышении температуры кривая о(Т) описывает петлю и приходит в % со стороны высоких температур. Из-за неустойчивости системы на участке с do/dT> 0 это означает, что фазовый переход — первого рода.

Анализ фазового перехода в модели (6.1) в ПСП чрезвычайно прост. Если считать упорядочение ФМ, то уравнение само согласования в отсутствие внешнего поля имеет вид

hmrS^Bs 啓、2sз/В& (*) ,(6.2)

力m广%。+ 2。3%,Jo=S^(f,g),%0= z %(g,h,k,f),

gg,h,k

Bs - функция Бриллюэна (5.4).

Из (6.2) следует, что фазовый переход второго рода возможен, лишь если

^Г>1(1 + Т)3[(1 + ^)4"Ш4] •(63)

Чтобы получить (6.3) из (6.2), достаточно найти выражение для намагниченности о при малых ее значениях. Например, при S 今8 .получается

а2(3/5 -2Х052/J0) = 52(rc/T- 1), Гс = %S2/3.(6.4)

Условием существования решения (6.4) является положительность коэффициента при о?, откуда и следует (6.3). Согласно этой формуле тенденция к скачкообразности фазового перехода при малых спинах сильнее, чем при больших.

Результат (6.4), согласно которому Tq не зависит от четырехспинового обмена, есть следствие ПСП. В [73] использованием метода функций

Рис 6.1. Зависимость намагниченности ферромагнетика от поля выше точки фазового перехода первого рода. Нумерация кривых в порядке возрастания температуры [41]

Грина типа Боголюбова — Тябликова [68] получено, что Tq растет с*。. Там получено также изменение типа фазового перехода с ростом 3ro, однако критическое значениеXQ оказалось вдвое больше, чем по (6.3).

Для учета внешнего поля 力 в ПСП достаточно заменить в левой части (6.2) hmf на hmf — h. Поскольку система неустойчива при duldh < О, из рис. 6.1 видно, что поле сдвигает точку фазового перехода первого рода в сторону более высоких температур и уменьшает величину скачка параметра порядка. В достаточно сильных полях скачок исчезает вообще.

Напротив, если температура превышает температуру фазового перехода первого рода, то магнитное поле сначала плавно увеличивает момент кристалла, а затем происходит скачок в сильно намагниченное состояние, как при метамагнитнвм переходе [43].-

Полученный выше качественный результат о скачкообразности фазового перехода при достаточно сильном четырехспиновом обмене в равной степени справедлив и для модели Гейзенберга, и для модели Изинга. Методом, более точным, чем ПСП, можно показать, что в модели Изинга фазовый переход будет скачкообразным при сколь угодно слабом четырехспиновом обмене, если он соответствует взаимодействию между двумя парами ближайших соседей, не зависящему от расстояния между этими парами. Такое взаимодействие моделирует дальнодействующее взаимодействие между спинами через решетку, обсужденное в п. 106. Но оно может соответствовать и фазовым переходам первого рода, близким ко второму, и иной (нефононной) природы.

Гамильтониан системы записывается в виде [249]

Н=—% ZS；S；+R —今{ZS；S；+^}2(6.5)

Для вычисления функции распределения использовалось тождество 吋佇)=焉工4呻(-§+砂

С использованием его статистическая сумма системы (6.5) записывается в виде

Z=Sp exp (- Н/Т) =

=青 jd”xp(i/2gxp侶2 +《争广]g"；s；+N

力i•(6.6)

После замены в (6.6) переменной у =工(27^缁)1/2 статсумма оказывается выраженной как

Z = (7V瑞加)1/2 / Jx ехр(- N照炉^Z^(x)),(6.7)

где

Z齐俏” S exp(%ZS；S；+ 不户 exp W%6)]

есть статсумма для несжимаемой модели Изинга с 贸二冗2 + 2х^, а величина Wo終)отличается только множителем (-1/Т) от свободной энергии на один спин /0 в этой модели.

Интеграл (6.7) при N f°° вычисляется методом перевала, что дает для свободной энергии /

0六 min [Хх2 一崎⑺],0= 1/Т,(6.8)

где X - множество корней уравнения

必(冗) = х = (1/2к) рг/苏2 — 1], К= ?4/夕2・ (6・9)

Дальнейший анализ для одно- и двумерных систем упрощается благодаря тому обстоятельству, что для них известно точное выражение для изин- говской свободной энергии на спин. В частности, для одномерной цепочки получается, что при 3 = 0 справедливы результаты ПСП, т.е. она обнаруживает фазовый переход при конечных температурах. Этот результат ни в коей мере нельзя считать неожиданным, так как теорема Ландау о невозможности фазовых переходов в одномерных системах предполагает конечный радиус взаимодействия. При бесконечном радиусе обмена фазовый переход возможен и в одномерной изинговской цепочке, к которой сводится модель (6.5) при 少2 = 0 путем подстановки = S； S； + 】.

Для двумерных систем скачкообразность фазового перехода при сколь угодно малых 勿 доказывается с использованием точных результатов для модели Изинга. Оказывается, что решение (6.9), минимизирующее свободную энергию (6.8), испытывает скачок, что и означает скачкообразность фазового перехода. В трехмерном случае тот же результат получается при использовании выражения для ф0(Ж), полученного из низко- и высокотемпературных разложений с точностью ~10"5, что делает и этот результат практически точным. Естественно, чем меньше &, тем ближе фазовый переход к непрерывному. Результаты [249] подтверждены в [121] численным расчетом методом Монте-Карло.

В [111] в предположении бесконечно большого радиуса обмена, не зависящего от расстояния между спинами, исследовалась модель Гейзенберга с четырехспиновым обменом (она неточно названа в этих работах моделью с биквадратичным обменом). Поскольку в этих работах считался бесконечным и радиус билинейного обмена, результаты точного решения этой задачи свелись к ПСП. Подтверждено, что для гейзенберговских магнетиков существует критическое значение четырехспинового обмена, начиная с которого фазовый переход становится скачкообразным.

Весьма информативными оказались расчеты методом Монте-Карло для изинговского варианта (6.1) с короткодействующим обменом [234]. Они показали, что, начиная с некоторого критического значения XIУ, фазовый переход действительно становится скачкообразным. В области же значений КЦ где переход непрерывен, критический показатель для намагниченности 0 в согласии с гипотезой универсальности не зависит от%“

В рассматриваемом случае существенно, что независимо от того, был ли фазовый переход из ФМ в ПМ состояния непрерывным или скачкообразным, выше точки перехода остается ФМ ближний порядок. Это видно из того, что в ПМ области в ПСП четырехспиновый обмен не сказывается на виде корреляторов, и они имеют обычную структуру (3.24), при заданной температуре достигая максимума, как и 4q при q = 0. Таким образом, здесь ближний порядок выше Тс представляет собой остатки дальнего ФМ порядка, существовавшего ниже %・ Такие переходы классифицированы в п. За как фазовые переходы типа порядок - свой беспорядок.

Фазовые переходы порядок - порядок и порядок - чужой беспорядок

Взаимодействие высших порядков по спину может вызвать также переходы порядок - порядок типа АФМ - ФМ или между различными АФМ структурами. Такой механизм, предложенный в [43] и исследованный далее в [31, 56, 57], видимо, имеет гораздо более широкую область применимости, чем обменная инверсия Киттеля (п. 10в). В частности, им можно объяснить низкотемпературные фазовые переходы, переходы между негейзенберговскими структурами, каскады фазовых переходов порядок —порядок в магнетиках с малой анизотропией.

Физическая причина рассматриваемых здесь переходов состоит в конкуренции между билинейным обменом и обменом высших степеней по спину, например четырехспиновым, когда эти два типа взаимодействия стремятся установить различные типы магнитного упорядочения. Температурная зависимость этих взаимодействий различная: с ростом температуры четырехспиновый обмен ослабляется сильнее, чем двухспиновый. Если допустить, что при Т=0 доминирует четырехспиновый обмен, то именно он определяет тип основного состояния магнетика. Но с ростом температуры относительная роль четырехспинового обмена падает и доминирующую роль начинает играть билинейный обмен, который и определяет высокотемпературные свойства магнетика. Возможны два случая. 1) Билинейный обмен становится доминирующим еще при температурах, когда в системе возможен соответствующий ему дальний порядок. Тогда должен осуществляться переход порядок — порядок. 2) если же дальний порядок уже невозможен, то будет происходить фазовый переход порядок 一 чужой беспорядок (п. За).

Проиллюстрируем сказанное на примере системы, описываемой гамильтонианом (6.1). Имея в виду переход ФМ 一 АФМ, разобьем кристалл на две эквивалентные подрешетки и будем считать отличными от нуля только те обменные интегралы O(f, g) и JT(f, g, h, k), которые описывают связь между этими подрешетками (атомы g и f в 4(f, g) принадлежат разным подрешеткам, а из четырех аргументов величины 冗 три соответствуют одной, а четвертый 一 другой подрешетке). Допустим, что J< 0, a JT> О и что в основном состоянии для эффективного интеграла обмена выполнено неравенство J (0) = J+ 2XS 2 > 0. Тогда основное состояние кристалла ферромагнитно. При конечных температурах вместо J (0) следует ввести температурно-зависящий эффективный интеграл обмена 2 (Т)= =ZX+2%2. Очевидно, при повышении температуры, когда намагниченность станет достаточно мала, J (Г) должет изменить знак на противоположный, т.е. ФМ упорядочение станет неустойчивым.

После инверсии знака J (Т) могло бы стать устойчивым АФМ упорядочение. Однако выше точки инверсии дальний АФМ порядок может оказаться неустойчивым и появится только ближний АФМ порядок. Это и будет означать, что вместо перехода порядок — порядок произошел переход порядок - чужой беспорядок. Такой фазовый переход отличается от обычного перехода порядок - беспорядок тем, что ближний порядок в ПМ фазе не является остатком дальнего порядка, существовавшего в упорядоченной фазе [30, 31,56, 57, 198]. 124

По существу, переход порядок 一 чужой беспорядок можно рассматривать как ''перегретый'' переход порядок — порядок, происходящий при столь высоких температурах, когда дальний порядок в высокотемпературной фазе оказывается неустойчивым и от него остается только однотипный с ним ближний порядок. Отсюда следует, что относительно небольшие воздействия на кристалл могут расщепить переход порядок 一 чужой беспорядок на пару переходов: порядок 一 порядок и порядок 一 свой беспорядок. Воздействия противоположного знака приводят к превращению перехода порядок 一 чужой беспорядок в переход порядок 一 свой беспорядок.

При определенных значениях параметров системы возможна ситуация, граничная между переходом порядок — порядок и переходом порядок — чужой беспорядок: фазовый переход с исчезновением низкатемпературной фазы происходит при температуре, совпадающей с точкой Кюри высокотемпературной фазы (точнее говоря, в точке перехода корреляционная длина для бинарного коррелятора высокотемпературного параметра порядка обращается в бесконечность). Тогда в этой точке фазовой диаграммы оказываются совмещенными друг с другом фазовые переходы первого и второго рода ) (не следует путать эту точку фазовой диаграммы с три- критической) .При этом возникает специфическая ситуация, когда фазовый переход первого рода, каковым в целом этот комбинированный переход является, сопровождается особенностями некоторых термодинамических величин того же типа, что и переход второго рода. Например, если низкотемпературная фаза — АФМ, а ближний порядок в неупорядоченной фазе - ФМ, то при повышении температуры восприимчивость в точке перехода скачком становится бесконечной. В других точках кривой сосуществования фаз такого магнетика, а также при переходе первого рода типа порядок 一 свой беспорядок скачки восприимчивости конечны.

Вблизи этой граничной точки возможен весьма своеобразный гистерезис. При нагреве происходит только один фазовый переход типа порядок — чужой беспорядок. При охлаждении же, когда возможно метастабильное переохлажденное состояние, фазовых переходов оказывается два: сначала переход из неупорядоченного в метастабильное состояние с высокотемпературным дальним порядком, а затем уж переход с установлением низкотемпературного порядка.

Следует, однако, указать, что переход порядок 一 чужой беспорядок не обязательно расщепляется на переход первого рода и переход второго рода. Он может расщепиться и на пару переходов первого рода: скачкообразным будет не только переход порядок — порядок, но и порядок — свой беспорядок.

Разумеется, понятие переходов порядок — чужой беспорядок имеет смысл не только в применении к системам с альтернативой ФМ или АФМ упорядочения и даже не только к магнетикам. Эта понятие применимо ко всем системам, в которых фазовый переход порядок — беспорядок не сопровождается исчезновением периодичности в расположении атомов кристалла. В общем случае фазовый переход порядок — чужой беспорядок можно определить несовпадением векторов дальнего и ближнего порядков

ниже и выше точки переход^ соответственно. В отличие от фазового перехода порядок — свой беспорядок, который может быть как первого, так и второго рода, переход порядок - чужой беспорядок всегда первого рода.

Во избежание недоразумений необходимо подчеркнуть, что ближний порядок в ПМ области отнюдь не является малосущественным фактором, слабо отражающимся на физических свойствах кристаллов. Достаточно хотя бы указать на восприимчивость Xq, которая пропорциональна коррелятору флуктуаций < Sq • S_q >. Именно по максимуму Xq как функции q определяется вектор ближнего порядка 0so.

Ближним порядком определяется и ПМ температура Кюри, которая с учетом (3.24) для простой кубической решетки в приближении ближайших соседей равна

2

" с7cm ,im ["•§△〉]•(6.Ю)

Совершенно ясно, что изменение знака корреляций ведет к изменению знака 0. Поэтому при фазовых переходах порядок - чужой беспорядок возможна на первый взгляд парадоксальная ситуация, когда, например, у кристалла с ФМ дальним порядком оказывается отрицательная 0. К числу других свойств, определяющихся ближним порядком в ПМ области, относятся также электрические и оптические, в частности положение края оптического поглощения в магнитных полупроводниках и изоляторах [48]. Вскоре после теоретического предсказания переходов порядок - чужой беспорядок в [56,57] такие переходы были обнаружены экспериментально (UAs, Се Sb и др., п. 266).

Система, исследованная в [56, 57], несколько отлична от обсужденной выше. Она эквивалентна описываемой анизотропным гамильтонианом

^=-f 2S；S“

-洋 一 - {S；(s£#2s；+M +(s；)2s；+№；+n+n，}，(6.П)

включающим в себя трехспиновые (точнее, четырехспиновые трехатомные) члены с 5 > 1. Переходы порядок — порядок и порядок — чужой беспорядок связаны здесь с конкуренцией билинейного и трехспинового обменов, что проявляется в противоположных знаках констант 2 и 力 в (6.11). Мы выберем J > 0 и Jf < 0. Из структуры (6.11) очевидно, что при повышении температуры роль трехспинового обмена падает быстрее, чем билинейного.

Исследование проводится в ПСП. Ввиду наличия в (6.11) членов ~(Sg“)2, кроме обычного дипольного среднего поля вводится еще и квадрупольное среднее поле, так что гамильтониан (6.11) переписывается в виде (в единицах JzS2)

н = Hmf + Н「(6.12)

1 ,,

Нту = -mdN cos а + d cos а 2 Xg -—七加2cos а 2 疗，

где приняты обозначения

加=〈S； )/5, Xg = 5g/5, d = m(kq- 1),

q =〈(S；)2〉/S2,七= 2(z-2)|%|S2/仇

a a — угол между моментами двух подрешеток (0 или я).

Свободная энергия Fmf, соответствующая гамильтониану Hmf, дается выражением (на атом)

Fmf=-T in Z, Z = Z exp (-Hmf/r), t=7/zJ52.(6.13)

Среднее от 从，вычисленное с гамильтонианом Hmf, равно нулю, так что выражение (6.13) дает непосредственную оценку свободной энергии рассматриваемой системы. Стационарные значения вариационных параметров 加 и q находятся из условия минимума по ним 尸皿/ (6.13):

w = S х exp (~Hm //t)/Z, q-^ x2 exp (-Hm 〃t)/Z.(6.14)

XX

Как следует из (6.13), при %〉1 и Т = О АФМ упорядочение энергетически выгоднее, чем ФМ. Однако с ростом температуры величина q убывает, и при Л < 3 дипольное поле d (6.12) выше некоторой температуры Т* становится отрицательным, что означает абсолютную неустойчивость АФМ состояния. Таким образом, оно должно замениться на ФМ или ПМ состояние. Нетрудно видеть, «то в любом случае фазовый переход должен быть первого рода и должен происходить ниже Т*. Действительно, если бы он был второго рода, тогда поле d должно было бы оставаться положительным при всех т, что невозможно, так как при т -> 0 значение q стремится к 1 /3 (здесь и ниже в качественных рассуждениях, но не в численном расчете, не учитываются члены 〜1/2S).

ФМ состояние возможно, если величина к не слишком близка к 3, так как для его стабильности разность (1 — %q), входящая в выражение для d, должна существенно превышать т при т — т* = 7*/z J52. Величина же q, будучи меньше, чем в АФМ фазе, в ФМ фазе все же должна быть заметно больше своего значения в ПМ состоянии, равного 1/3. Анализ уравнений (6.14), показывает, что переход из ФМ в ПМ состояние должен быть второго рода. Это следует из того, что в окрестности точки Кюри Тс,

Tc=zCfSF，^с = у ( 1 -у)，(6.15)

намагниченность при приближении Т к Tq со стороны низких температур убывает непрерывно. Действительно, из (6.14) получается

,15(3—%)

加2 = 丁(Тс — 7).(6.16)

9+侬-131 ' e丿

Так как коэффициент в правой части (6.16) при 左 < 3 положителен, то это выражение имеет смысл при всех т <тс.

Согласно (6.15) Гс растет при убывании к. Если Т* меньше Гс, то при повышении температуры от Т = 0 неизбежно должен происходить фазовый переход первого рода АФМ — ФМ, а уж затем фазовый переход второго рода ФМ — ПМ. Действительно, точка 以 первого из них должна быть ниже

Рис. 6.3. Фазовая диаграмма магнетика с трехспиновым обменом [57]

Рис. 6.2. Температурная зависимость параметров порядка магнетика с трехспиновым обменом в ФМ (аифм) и АФМ (тАфМ) состояниях [57]

Т*, а следовательно, и %• Ниже же Тс состояние ФМ термодинамически выгоднее ПМ. Если же Т* превышает Тс, то в зависимости от того, ниже или выше Тс точка перехода ТА, происходит переход либо сначала в ФМ, затем в ПМ, либо непосредственно в ПМ состояние с ФМ ближним порядком. Тип ближнего порядка легко устанавливается здесь с использованием (6.10), учитывая тот факт, что здесь 0 совпадает с. % и потому положительна. Таким образом, при ТА > Тс ФМ упорядочение как бы проскакивается.

Результаты численного решения системы уравнений (6.14) подтверждают это качественное рассмотрение. На рис. 6.2 представлены результаты численных расчетов для случаев ^ = 1,5 (сплошные линии) и ^ = 1,8 (штриховые линии) при S = 7/2. Верхняя из двух линий, соответствующих заданному значению к, изображает температурную зависимость параметра АФМ порядка 加афм，нижняя - то же самое для параметра ФМ порядка ^фм. Стрелками указаны температуры, при которых свободная энергия (6.13) АФМ фазы сравнивается с ее значением в ПМ фазе. Свободная энергия ФМ состояния ниже, чем ПМ состояния, при всех т < тс. Отсюда следует, что при ^ = 1,5 должен происходить сначала переход АФМ — ФМ, а уж затем ФМ — ПМ. При А: = 1,8 АФМ состояние сразу переходит в ПМ с ФМ ближним порядком. С учетом того что здесь Тс совпадает с (6.15), можно заключить, что при к > 3 происходит фазовый переход АФМ — ПМ типа порядок —свой беспорядок. Фазовая диаграмма рассматриваемой системы представлена на рис. 6.3. Более сложные случаи фазовых переходов порядок -чужой беспорядок описаны в п. 15а, 246.

в. Фазовый переход порядок 一 тот же порядок

В предыдущих пунктах было исследовано взаимодействие четвертого порядка по спинам. Возникает вопрос, какие качественно новые эффекты могли бы появиться при учете членов более высоких порядков. В применении к магнитным изоляторам этот вопрос носил бы чисто академический характер: крайне маловероятно, чтобы билинейный и четырехспиновый обмены одновременно были сравнимы и друг с другом, и с шестиспиновым обменом. Однако для металлов, в которых негейзенберговский обмен не 128

сводится к обмену четвертого порядка, а включает в себя сравнимые друг с другом взаимодействия сколь угодно высоких порядков по спину (п. 2а), исследование модели, учитывающей и обмен шестого порядка, вполне оправдано.

Ниже будет показано, что к числу таких новых эффектов, появляющихся в рассматриваемой здесь модели, относится фазовый переход порядок —тот же порядок. Этим термином обозначено скачкообразное изменение параметра самопроизвольного упорядочения с температурой без изменения типа упорядочения ♦). Во внешнем магнитном поле скачки，ФМ параметра порядка возможны и без шестиспинового обмена: если в отсутствие поля происходит фазовый переход порядок - беспорядок, то поле превращает его в переход порядок — тот же порядок (рис. 6.1). При учете членов шестого порядка по спинам такой переход может происходить и в отсутствие поля и возможны скачки не только ФМ, но и АФМ параметра порядка [58].

Гамильтониан рассматриваемой системы записывается в виде

Н=-； Z »(0£)(»| 斗)一

一 Т Z%(f] , f2 , f3, f4)(S& • ,) (Sf3 Sf4)-

一 =Z£ (f 1, f2, f3, f4, f5, f6)(Sfl • Sf,) (Sj • Sf4) (Sf5 • Sf。)•(6.17)

Его параметры можно выбрать так, чтобы он допускал только один тип магнитного упорядочения. Например, если все величины

少=2 少(f]f2), %= S 力(*$$$), ff f 3 f4

£=2£(fl,f2,f3,f4,f5,f6)

положительны, то при всех температурах термодинамически выгодным может быть только ФМ упорядочение и аналогичные условия можно написать для термодинамической выгодности двухподрешеточного АФМ упорядочения.

В применении к ферромагнетику ПСП приводит к следующему уравнению для средней намагниченности m-(Sz)/S для спина 5 = 1/2:

加=th! (6.18)

т = 477J, %=”/4夕，/ = £/16 J.

Как следует из анализа уравнения (6.18), если к < 1/3, то существуют положительные значения /, при которых это уравнение имеет три нетривиальных решения (рис. 6.4). Два из них, для которых dm/dr < 0, соответствуют стабильному и метастабильному самопроизвольно намагниченным

состояниям, третье же решение с dm/dr > 0 абсолютно неустойчиво. Сравнение свободных энергий состояний с dm/dT < 0 показывает, что с ростом температуры должен происходить фазовый переход первого рода из состояния с большей в состояние с меньшей намагниченностью. После этого происходит фазовый переход второго рода в ПМ состояние.

Рис. 6.4. Зависимость ратуры при фазовом же порядок [58]Рис. 6.4. Зависимость ратуры при фазовом же порядок [58]Физически причину скачка параметра порядка можно объяснить следующим образом. Допустим, что между атомами существуют только ФМ двухспиновое и шестиспиновое взаимодействия. Последнее можно учесть

Рис. 6.4. Зависимость ратуры при фазовом же порядок [58]

Рис. 6.4. Зависимость ратуры при фазовом же порядок [58]

намагниченности от темпе-переходе порядок - тот

как поправку 〜加4 K интегралу двухспинового обмена. Таким образом, эффективный интеграл обмена J, учитывающий вклад обоих взаимодействий, убывает с уменьшением намагниченности. Но в свою очередь, намагниченность убывает с уменьшением J- Это значит, что между 夕 и 加 существует обратная связь положительного знака, которая и приводит к срыву непрерывного хода в зависимости от температуры.

Коллинеарные системы с дипольным и квадрупольным упорядочениями

а. Статистическое квадрупольное упорядочение

В случае, когда наряду с билинейным обменом существует еще и сравнимый с ним биквадратичный обмен, ситуация оказывается существенно иной, чем рассмотренная в § 12: наряду с упорядочением диполей появляется еще и упорядочение квадруполей. Таким образом, задача о магь <тном упорядочении становится задачей об упорядочении в системе двух взаимодействующих друг с другом полей. Гамильтониан такой системы имеет вид

4 = — ^ Z J(h) (Sg • Sg+h) — у z*(h) (Sg • Sg+h)2 •(6.19)

В этом пункте все взаимодействия в (6.19) будут считаться ферромаг» нитными.

Исследование систем с биквадратичным обменом в ПСП производится введением двух самосогласованных полей: дипольного и квадрупольно го [41, 122, 242]. Соответственно, если ограничиться ближайшими соседя

МИ, гамильтониан системы принимает вид

Hmf=-5uES； -^fS(5g)2,(6.20)

彳= z(j-^)，K=?zK, C =〈(S；)2〉_ S(：+D ,尸〈*〉.

Ниже будет считаться, что спины классически велики. Так как по предположению *S? ^ У, классичность спинов гарантирует положительность величины ». Квантовые эффекты будут обсуждены в следующем пункте.

Параметры дипольного и квадрупольного порядков о и j выражаются через статистическую сумму

z= ^ехр!-^^

(6.21)

соотношениями

I в / 歹。/+凉门2 ] т ainZ a = Z'1S/exp =—

> 屮力 “exp{^q

T dlnZ

7 8京

(6.22)

Как следует из (6.22), при малых к = JT/J фазовый переход ФМ - ПМ остается второго рода. Для параметров порядка вблизи Тс получаются

выражения

За2/8Ks2\% I

5 s2 \15-4kS2 /T

202〜.

f =г- , Тс = JS2/3.

5-(4/3) к52с /

(6.23)

Чтобы вычислить корреляторы параметров порядка, к гамильтониа ну (6.20) следует добавить еще гамильтониан взаимодействия с внешни

ми полями

“ =—〃 Z е 旧 * Sf -к^е^ f。产, ^Г = (^f)2 ~52/3.

(6.24)

Поле 左，действующее на квадруполи, типа одноосной анизотропии. Физическй его можно реализовать, если создать в кристалле одноосное напряжение.

В ПМ области после стандартных вычислений получаем для коррелятора спинов в классическом пределе выражение (3.24), в которое к《S" не входит *)・ Для корреляторов же квадрупольных моментов с использованием стандартной методики ПСП получается

4s2

…15Т-2s%

,叭=М 工冲 К.(6.25)

*)Оценка к《5~‘ следует из того факта, что при сравнимых друг с другом энергиях биквадратичного и билинейного обменов KS4 ~ JS?.

9*

Из (6.23, 6.25) видно, что в классическом пределе биквадратичный обмен не сдвигает %• Из условия вещественности а при Т < % следует, что непрерывный фазовый переход возможен только при к< к】=1,255一2, после чего он становится скачкообразным. Согласно (6.25) в точке Кюри коррелятор〈О；?。：；〉в отличие от〈S；S：p〉остается конечным при всех волновых векторах р, т.е. параметр порядка f не критический. В ПМ области он равен нулю, а ниже % становится отличным от нуля вследствие того, что отличен от нуля。: согласно (6.23) f пропорционален а2.

Как следует из сказанного, при не слишком больших к свойства магнетиков с биквадратичным обменом не отличаются качественно от свойств магнетиков с четырехспиновым обменом (п. 12а). Однако при дальнейшем

росте к между ними появляется важное различие: становится возможным квадрупольное упорядочение, не являющееся следствием дипольного, т.е. f ВО при а = 0. При квадрупольном упорядочении все спины направлены вдоль одной и той же оси, но направление спина в какую-либо сторону столь же вероятно, как и в противоположную. Фазовая диаграмма магнетика, описываемого гамильтонианом (6.20), представлена на рис. 6.5.

Квадрупольная фаза, разделяющая ФМ и ПМ состояния, появляется при к? ~ (3 —4)S~2 [41]. Характер фазового перехода из ПМ в квадрупольную фазу становится очевидным из того, что в свободной энергии Ландау возможны члены 〜«Т Действительно, параметр квадрупольного упорядочения (2.7), будучи тензором, преобразуется по представлению D2 полной группы вращений. Симметричный же куб этого представления содержит единичное представление [242]. Таким образом, согласно [34] этот фазовый переход должен быть первого рода.

Что же касается перехода из квадрупольной в ФМ фазу, то он первого рода при к, не намного превышающих к?. При больших же к, превышающих некоторое значение к3, он становится второго рода. Причина этого

Статистическое

汽 кбадрупольное состояний

“\Рис. 6.5. Фазовая диаграмма изотропного ферро'\магнетика с биквадратичным обменом при S > 1

пм и Ji > 0. Сплошные линии - фазовые переходы К2первого рода, штриховые - второго рода [41]

修A

очевидна: при Л*-> 00 рассматривав мая система становится аналогом изин- говской, так как спины могут быть направлены только параллельно или антипараллельно друг другу. Стало быть, квадрупольное упорядочение в этом пределе эквивалентно неупорядоченному изинговскому состоянию. Но, как хорошо известно, фазовый переход из него в ФМ состояние всегда второго рода. Численно Кз/к? меняется от 1,74 при 5 = 2 до 1,91 при 5 ->°°.

В области значений к <к2, где происходит непосредственно фазовый переход ФМ — ПМ, его следует классифицировать как принадлежащий к 132

пшу порядок — свой беспорядок. Это очевидно из отмеченного выше факта, что коррелятор спинов в ПМ области дается формулой (3.24). Впрочем, тип фазового перехода можно было предвидеть заранее: в классическом пределе биквадратичное взаимодействие не может изменить ФМ ближний порядок, существовавший в его отсутствие, на АФМ ближний порядок. Следует отметить, что о ФМ ближнем дипольном порядке можно говорить и в квадрупольной фазе: корреляторы < 5^5g+^ > здесь тоже положительны, но, в отличие от ПМ фазы, коррелятор с а = z превышает все остальные.

Качественно фазовую диаграмму рис. 6.5 можно описать, выбрав феноменологическое выражение для свободной энергии Ландау в виде

F=^- +— а4 +—f2 -—广-g— f .(6.26)

24232

с положительной константой связи g. Подобное разложение было написано в [231] и указана связь его коэффициентов с восприимчивостями системы относительно полей, действующих на диполи и квадруполи.

• Если при понижении температуры первым обращается в нуль коэффициент а。, то из условия минимума F по f получается в согласии в (6.23):

апо2 а4л

j=g。?/”，F =+ 工(bo - 2g2吟•(6.27)

По смыслу задачи коэффициент Ьо следует считать положительным. Из структуры коэффициента перед а4 в (6.27) видно, что с ростом связи между дипольным и квадрупольным полями фазовый переход ФМ — ПМ превращается из непрерывного в скачкообразный.

Если же первым обращается в нуль коэффициент 〃«, то имеются две возможности. Во-первых, может произойти переход первого рода в состояние, где не только f, но и а отличен от нуля. Во-вторых, возможен переход в состояние с чисто квадрупольным упорядочением, т,е. с f В 0, но с а = 0. Тогда переход в состояние с дипольным упорядочением произойдет при более низкой температуре, когда величина ао — gf из-за роста f изменит знак.

^.Квантовое квадрупольное упорядочение и квадруплоны

В предыдущем пункте, когда расематривались спины, превышающие 1, квадрупольное состояние возникало как своего рода по л у упорядоченное в результате термического разрушения дипольного упорядочения. Квантовые эффекты там не учитывались. Однако при малых спинах, в особенности при 5 = 1, эти эффекты существенны. Так, при S = 1 квадрупольное состояние при положительных 4 и%в (6.20) может реализоваться как основное состояние системы. Причина этого заключается в конкуренции между билинейным и биквадратичным обменами. Очевидно, первый из них стремится установить ФМ упорядочение. Биквадратичный же обмен индифферентен к тому, параллельны или антипараллельны друг другу спины, лишь в классическом пределе. С учетом квантовых эффектов при ЛГ> 0 он стремится установить АФМ упорядочение.

Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим систему двух спинов. Их скалярное произведение выражается через их суммарный спин St

соотношением

2(Si • S2)= S； - S『-S^・ (6.28) В состояниях с определенными значениями квадратов спинов их операторы в (6.28) можно заменить их собственными значениями. Для каждого из спинов они равны 5 (5 + 1), а для суммарного спина они равны 25 (2S + 1) при ФМ упорядочении и 0 при АФМ упорядочении. Отсюда следует, что при ФМ упорядочении (Si • S2)2 равно 54, а при АФМ упорядочении S 2 (S + 1) 2, т.е. при Х> 0 оно энергетически выгоднее.

Ясно, что в результате конкуренции между билинейным и биквадратич- ным обменами не может установиться неколлинеарная структура типа скошенной АФМ, так как при неколлинеарно направленных спинах энергии обоих обменных взаимодействий возрастают. Вместе с тем из уравнений ПСП (6.22) следует, что в определенном интервале значений к =K/J ни АФМ, ни ФМ упорядочение не стабильны относительно перехода в квадрупольное состояние без дальнего дипольного порядка [41, 105, 122]. Действительно, возможны два решения уравнений (6.22) при Т->0. При f > 0 в суммах по / достаточно удержать член с / = S, и тогда получается решение, соответствующее ФМ упорядочению: а = 5, f = S 2 — S(S + 1)/3. При f < 0 следует удержать член с / = 0, и тогда упорядочение - чисто квадрупольное: a = O,f = -5(5 + 1)/3. Оно соответствует спинам, свободно вращающимся относительно выделенной оси, к которой они перпендикулярны.

Сравним теперь энергии магнетика при этих двух типах упорядочения. Из (6.19) при 5 = 1 получается

£ =NJ (о2 + Ki) + const. (6.29)

Из (6.29) следует, что при к > 3 квантовое квадрупольное упорядочение энергетически выгоднее, чем ФМ.

Чтобы обосновать устойчивость квантового квадрупольного состояния, следует найти спектр элементарных возбуждений в нем. Предварительно заметим, что проекции полного спина системы коммутируют с гамильтонианом (6.19), но компоненты тензора полного квадрупольного момента с ним не коммутируют. Поэтому, в отличие от магнонов, в системе, вообще говоря, нельзя ввести их аналоги, описывающие отклонения от основного квадрупольного состояния.

Впервые попытка исследовать элементарные возбуждения в квадрупольном состоянии была предпринята в [168], где взаимодействие между атомами считалось чисто квадрупольным. Состояние | 0 >, в котором у всех атомов 5g = 0, считалось основным, а состояния с 5g = ± 1 — возбужденными. Учитывалось, что оператор Sg выступает в качестве оператора рождения магнона, когда он действует на состояние с S； = 0, и в качестве оператора его уничтожения, когда он действует на состояние с S； = —1. Аналогичную двойственную природу имеет и оператор 5£.

По-видимому, лучше всего идея двойственной природы операторов 5g реализована в [41], где гамильтониан системы включал и билинейный обмен и использовалась регулярная процедура, в которой роль малого параметра играло обратное координационное число 1/z. В этой работе вво- 134

дятся два разных типа операторов для одного узла:力£“ 力gi - операторы отклонения спина от значения S； = 0, описывающие переходы между состояниями с проекциями спина +1 и 0:

d*16(5g,0) = 6(Sg,l), ^gl6(5j,l) = 6(5g,0),(6.30)

或2, 'g2 — аналогичные операторы, описывающие переходы между состояниями с проекциями спина 0 и -1:

或2& (S；, 0) = 5 (S；, -1), %2& (S；, -1) = 5 (S；, 0),(6.31)

где 5 (х, у) — функция дискретного аргумента со значениями 1 или 0.

Очевидно, bg 19 bg2 - операторы рождения, a bgi，bgi - операторы уничтожения соответствующих спиновых отклонений, причем, как и в [168], вакуумной волновой функции соответствует случай, когда все атомы находятся в состоянии с нулевой проекцией спинов на ось z (основное состояние ПСП). Такие операторы можно связать со спиновыми следующим образом:

S； = C(诚i+%2), S£ = 6(bgi+诚2),“^、

- 纹2%，(S；)2 二纹 1% + b；2%2・

Так как физический смысл имеют только состояния с проекциями спина О и ± 1, то необходимо ввести ограничения на числа заполнения магнонных состояний, т.е. принять коммутационные соотношения, описывающие кинематическое взаимодействие,

%•畸二％%・ = 0・(6.33)

Чтобы обеспечить однозначность физических состояний, возникающих из вакуумного под действием введенных выше операторов, следует положить также

%1 %2 = %2 dgl =纹 1 屮2 =屮2 纹 1 = %1 坟2 = %241 = °-(6.34)

Кроме того, должны выполняться коммутационные соотношения для спиновых операторов, выраженных через операторы вторичного квантования. Последнее условие дает бозевские соотношения для операторов, относящихся к разным узлам, и соотношение для операторов, относящихся к одному и тому же узлу:

^gl^gl = 1 - b£bgi - Ь；2bg2 二 %2纹2・(6.35)

Используя (6.32—6.36), гамильтониан (6.19) в приближении ближайших соседей можно записать в представлении вторичного квантования:

Я= - ЕNz + z 贫 2(〃门 + 〃f2)+

+ (%-力 2(味纹 2 + bfl%2)- J"唯%1 + 42%2)-

3贸1 /

_-^— 2(〃fi+〃f2)5gl + 仆2)-工(少一 —js(Mf! - Wf2)(^gl- Mg2)-

(6.36)135(6.36)135一%2 好也 f2 纹2%1 三 £o+色 + "4,

(6.36)

135

(6.36)

135

где £0 — энергия вакуумного состояния, 42 H 也—формы соответственно второй и четвертой степеней по операторам вторичного квантования, п« = ” f「

2 J \2 J \При расчете магнонного спектра делается предположение, подтверждаемое полученными ниже результатами, что в главном приближении по 1/z членом Я4 в (6.36) можно пренебречь, а операторы Ь^. 9Ь(. в % можно считать бозевскими. Тогда после фурье-преобразования операторов (1.19) магнонный спектр легко находится перепутыванием операторов рождения и уничтожения обоих типов. Как и в обычном антиферромагнетике, магнонный спектр оказывается двукратно вырожденным с линейным при малых квазиимпульсах q законом дисперсии:

2 J \

2 J \

(6.37)(6.37)3； = Z?贫2(1 —7q)(l +7q _

(6.37)

(6.37)

т

7q = _ g exp(iq F). Z N

Однако, в отличие от анти ферромагнетика, равенство 3q=3n_q(n = =(я, я, я)) здесь не справедливо, т.е. магнитный период кристалла совпадает с кристаллографическим.

Для ренормированной энергии основного состояния получается выражение

后。一%小+h一书] (638)

Как видно из (6.37), магнонные частоты положительны, а, значит, квантовая квадрупольная структура устойчива хотя бы относительно, если % > J〉0.

Если брать ПСП в качестве нулевого приближения, то квадрупольное состояние может быть энергетически выгодным по сравнению с ФМ или АФМ лишь при 5 = 1. Казалось бы, оно могло быть стабильным и при S〉1, хотя и в более узком интервале значений параметров. Впрочем, возможно, значение 5 = 1 в задаче о биквадратичном обмене, будучи граничным, выделено: вклад биквадратичного обмена в магнонные частоты при ФМ упорядочении пропорционален (S — 1), т.е. при 5 = 1 биквадратичный обмен вообще не сказывается на них.

Поведение рассматриваемой системы cS = 1 при конечных температурах, полученное из уравнений ПСП (6.22), представлено на рис. 6.6 [41,122,123]. Статистическое квадрупольное упорядочение при S = 1 невозможно. Таким образом, при S = 1 ситуация противоположна случаю 5> 1, когда в ПСП получается статистическое квадрупольное состояние, но не получается квантового (рис. 6.5). В той области, где происходит непосредственный переход из ФМ в ПМ состояние, обе фааовые диаграммы однотипны: на обеих существует трикритическая точка, разделяющая линии фазовых переходов первого и второго рода. При S = 1 ей соответствует к i = 1,5.

В [3] были исследованы магнетики с квантовым квадрупольным упорядочением в магнитных полях. Оказалось, что их свойства неотличимы от свойств антиферромагнетиков. Их продольная восприимчивость равна нулю. Если ввести в гамильтониан системы еще энергию одноионной ани- 136

эотропии, то в зависимости от знака ее константы квадрупольные магнетики имитируют антиферромагнетики типа легкая плоскость или легкая ось. В продольном по отношению к спиновому директору поле (направление директора есть ось квантования) с ростом поля происходит фазовый переход, сопровождающийся опрокидыванием директора в плоскость, перпендикулярную к полю. Результаты [3] указывают на способ экспериментального обнаружения квадрупольного упорядочения: при поведении магнетика в поле, имитирующем АФМ, нужно еще, чтобы нейтронографически дипольное АФМ упорядочение не обнаруживалось.

Рис. 6.6. Фазовая диаграмма изотропного магнетика с биквадратичным обменом при S = 1. Обозначения рис. 6.5 [41]

О том, что ФМ состояние перестает быть устойчивым при достаточно больших 冗，свидетельствуют также спектры элементарных возбуждений в нем. Как уже упоминалось, при S = 1 магнонные частоты нечувствительны к биквадратичному обмену, и поэтому одномагнонные возбуждения имеют положительные частоты при всех%/夕[41]. Иная ситуация - с двух маг ионными возбуждениями, представляющими собой связанное состояние пары магнонов. Они возможны и в гейзенберговских магнетиках, но в трехмерном случае они осуществляются только при больших квазиимпульсах таких комплексов, и область их существования стремится к нулю при 5 °® [45]. При наличии квадрупольного обмена двухмагнонные комплексы представляют особый интерес, поскольку в ФМ состоянии двукратное отклонение спина на одном и том же атоме есть как раз возбуждение квадрупольного типа. Однако такие возбуждения ("квадруплонм'') не могут быть стационарными, поскольку, как уже говорилось, тензор квадрупольного момента (2.6) при 夕 #%не коммутирует с гамильтонианом (6.19), взятым в приближении ближайших соседей.

Специальный интерес представляет случай 4 二*, когда квадрупольный момент и гамильтониан коммутируют друг с другом. При таком равенстве симметрия гамильтониана оказывается выше: он инвариантен не только относительно вращений спинов в трехмерном пространстве, т.е. операций симметрии группы SU(2), но и относительно операций группы SU(3) [127]. Поэтому при 冰，достаточно близком к J, имеет смысл понятие о квад- руплонах как слабо затухающих элементарных возбуждениях, сосуществующих с магнонами.

При больших квазиимпульсах квадруплонов би квадратичный обмен не приводит к качественным изменениям картины по сравнению с гейзенберговскими магнетиками. Хотя энергия квадруплона ниже энергии двух свободных магнонов с тем же суммарным квазиимпульсом, она остается

все-таки положительной, т.е. ФМ состояние устойчиво относительно появления таких элементарных возбуждений.

Качественное отличие от гейзенберговских магнетиков проявляется при малых квазиимпульсах: с приближением JT/J к 1 формируется виртуальный двухмагнонный уровень, и при 况\5 > 1 он становится реальным уровнем, лежащим ниже непрерывного магнонного спектра. Так как в нем нет щели, это значит, что энергия квадруплона стала отрицательной, т.е. что ФМ состояние теперь неустойчиво [4].

В [3] квантовые квадрупольные состояния получены в иной, довольно- таки специальной модели: в элементарную ячейку магнетика входят два спина величины 1/2, взаимодействующих друг с другом посредством четырехспинового обмена типа (Sji)sj2))(S,i)S*). Спины из разных ячеек связаны друг с другом билинейным обменом и четырехспиновым обменом, в котором принимают участие одновременно оба атома из каждой элементарной ячейки. В такой модели возможен еще один тип квантового

квадрупольного упорядочения кроме рассмотренного выше.

в. Сильно анизотропные системы с квадрупольным упорядочением

Свойства сильно анизотропных систем с биквадратичным обменом в некоторых случаях могут качественно отличаться от свойств изотропных систем. Такие системы изинговского типа описываются гамильтонианом типа (6.19), в котором все скалярные произведения спинов заменены на произведения их z-компонент (Si • S2 — SjS幻.В [123] система, описываемая таким гамильтонианом, проанализирована в полной аналогии с процедурой ПСП, примененной в п. 13а. Для спина было выбрано значение 3/2 соответственно величине эффективного спина в DyVO4, для объяснения свойств которого работа [123] и предназначалась (см. п. 25а). Если % = = 2%(h) положительна, то наиболее существенное отличие результатов такой модели от полученных для систем с изотропным гамильтонианом состоит в том, что фазовый переход из ПМ в квадрупольную фазу здесь не первого, а второго рода, в остальном же фазовая диаграмма рис. 6.5 сохраняет свой вид. Как и в случае четырехспинового обмена (рис. 6.1), в магнитном поле фазовый переход первого рода из ФМ в ПМ состояние сдвигается в сторону больших температур, а скачок намагниченности

уменьшается, пока не исчезает вообще.

Принципиально новая ситуация возникает при отрицательных 贫.Если при положительных 第 средние мультиполи у каждого атома были одинаковы, то при Л* < 0 и »= 2 4(h) «|%| становится возможным антиквадрупольное упорядочение, являющееся аналогом АФМ: кристалл разбивается на две подрешетки с равными, но противоположными по знаку значениями квадрупольного момента. При понижении температу-

Р и с. 6.7. Фазовая диаграмма анизотропного ферромагнетика с биквадратичным обменом при X < 0. Обозначения рис. 6.5 [123]

ры происходит сначала фазовый переход второго рода из ПМ в антиквад- рупольное состояние, в котором дипольное упорядочение отсутствует. После этого происходит фазовый переход первого или второго рода (в зависимости от того, насколько велико к = | 女|⑺ в ферримагнитное состояние, когда в одной подрешетке момент насыщения равен 3/2, а в другой 1/2 (рис. 6.7). При меньших к анти кв адрупо льная фаза не реализуется, но в определенном интервале значений к при понижении температуры последовательно происходят фазовые переходы из ПМ в ферромагнитное и из ферромагнитного в двухподрешеточное ферримагнитное состояние.

Неколлинеарный антиферромагнетизм и метамагнетизм изотропных магнетиков

Основное состояние и магнонный спектр неколлинеарных антиферро магнетиков. Метамагнетизм

Под неколлинеарным, или скошенным, антиферромагнитным (НКАФМ) упорядочением понимается такое, когда кристалл разбит на две эквивалентные подрешетки, но их моменты Mt и М2 не анти параллельны друг другу, а направлены под произвольным углом 26 (рис. 6.8). В результате полный момент кристалла М = Mi + М2 оказывается отличным от нуля и перпендикулярным к вектору антиферромагнетизма L = Mi — М2. Такая структура запрещена в регулярной модели Гейзенберга независимо от того, по какому закону спадает обмен с расстоянием. Действительно, энергия НКАФМ состояния дается выражением

$2

Е = —^~【(»о + %) + (%- Jq)cos26],

где 北—фурье-компонента обменного интеграла, Q — вектор АФМ структуры. Ясно, что это выражение экстремально либо при 6=0, либо при

Рис. 6.8. Магнитная структура неколлинеарного антиферромагнетика

Установлено экспериментально и теоретически, что НКАФМ структура возможна в АФМ кристаллах определенной симметрии за счет релятивистских взаимодействий. По существу, скос моментов обусловлен внутренним магнитным полем, создаваемым спинами самого кристалла. Будучи магнитным диполем, каждый спин создает магнитное поле. В кристаллах высокой симметрии суммарные поля остальных спинов, действующие на данный спин, не имеют составляющей, перпендикулярной к вектору антиферромагнетизма, и потому не могут вызвать скоса момента. Существует, однако, класс АФМ кристаллов, в которых составляющая, перпендикулярная к L, 139

отлична от нуля и направлена одинаково в обеих подрешетках. Тогда внутреннее поле отклоняет моменты решеток навстречу друг другу в полной аналогии с тем, как это сделало бы внешнее поле, перпендикулярное к L. Ввиду того что симметрийный анализ НКАФМ структуры, вызванной релятивистскими взаимодействиями, уже вошел в учебники [35], воспроизводить его в этой книге нецелесообразно.

Ниже речь пойдет только о НКАФМ структуре, возникающей вследствие обмена высших порядков по спину. Она была первоначально исследована в [43] в модели с четырехспиновым обменом, а затем в [42] этот анализ был обобщен на модель с би квадратичным обменом. Важнейшее отличие рассматриваемого здесь механизма возникновения скощенной структуры от [35] состоит в том, что он может осуществляться в кристаллах с любой симметрией, даже с самой высокой. Но, в отличие от скоса релятивистского происхождения, появляющегося при сколь угодно малом внутреннем поле, здесь скос может появиться лишь начиная с некоторого порогового значения интеграла не Гейзенбергов ского обмена. В последнее время появились четкие экспериментальные подтверждения существования НКАФМ структур нерелятивистского происхождения (п. 22а).

Обмен высших порядков по спину вызывает появление у магнетиков еще одного необычного свойства: если в отсутствие поля в кристалле реализуется коллинеарное АФМ упорядочение, то с ростом поля может произойти скачкообразное увеличение намагниченности кристалла [42, 43, 56, 57], т.е. изотропный негейзенберговский магнетик может обнаруживать метамагнитные свойства. До этих работ считалось что метамагнетизм может быть вызван только очень большой анизотропией [14]. Впоследствии были указаны другие механизмы изотропного метамагнетизма (п. 4в, Не). Примером изотропного метамагнетика может служить Eu Se (п. 246).

Рис. 6.9. Общая и локальная системы координат при НКАФМ упорядочении. Ось Oz направлена по полному моменту кристалла

Рассмотрение в [47] проводилось следующим образом. Вводятся локальные системы координат для каждого атома f так, чтобы ось Zf совпадала с моментом подрешетки, которой принадлежит этот атом. Кроме того, вводится общая система координат, ось которой z направлена по биссектрисе между направлениями моментов подрешеток. Оси у у всех систем координат совпадают (рис. 6.9). Между компонентами спина в локальной 140

и общей системе координат имеют место соотношения

gj = W；cos е - Sfsin 8 ехр(/П • f),

W； = Sjsin 6 ехр(/ П • f) + Sf cos 仇(6.39)

评=S#, П =(я, я,я).

От компонент спина в локальной системе координат 6° производится переход к операторам рождения и уничтожения магнонов (4.7а). (Форма записи (6.39) предполагает, что решетка простая кубическая, а АФМ структура в отсутствие скоса неелевская.)

Удобно использовать операторы проецирования в определенную подрешетку, вводимые равенствами

1-

Р± ( f) = — [1 ± ехр(/ П • f)].(6.40)

С помощью формул (6.1, 6.39, 6.40) получаются следующие условия экстремальности энергии основного состояния:

(6.41)(6.42)(6.41)(6.42)sin 20 =0,

(6.41)

(6.42)

(6.41)

(6.42)

L +2S? %+_

где приняты обозначения

少士 =2 4(f)尸土(f), f(6.43)

力土土 = Z %(f,g,h,k)尸土(f—g)尸土(h—k), ghk

причем, очевидно,

Как видно из равенства (6.41), энергия коллинеарных структур экстремальна всегда. Кроме того, возможен экстремум энергии и при неколлинеарной структуре, если параметры системы таковы, что правая часть равенства (6.42) по модулю меньше единицы. При этом условием минимума энергии является отрицательность 贸—一.Пороговый характер скоса моментов проявляется в требовании достаточно большого | 冗__ |, чтобы при нем равенство (6.42) имело смысл.

Условие (6.42) обеспечивает обращение в нуль тех членов в гамильтониане (6.1), которые после подстановки в него (6.39) и (1.42) оказываются линейными по магнонным операторам. Квадратичная форма диагонали- зуется обычным преобразованием Фурье по номеру узла и перепутыванием операторов рождения и уничтожения магнонов. Ниже будет выписано выражение для магнонных частот в скошенной структуре с учетом взаимодействия только между ближайшими и следующими за ними соседями:

з；=(0+2£ JT__53sin220)(l -7q2)2-

(6.44)(6.44)一2£ Jf__53sin220(l-7ql)(l-Vq2), £=少+S + 2*++S3+2 贫+_S3cos 2仇 7qZ=z丁& exp(iq •第)，/= 1,2.

(6.44)

(6.44)

б/

Вектор М соединяет два соседних (первых и вторых соответственно) узла, Z/ — число этих соседей.

С учетом того что величина 冗一一 отрицательна, из (6.44) следует, что для устойчивости рассматриваемого состояния достаточно выполнения неравенства

X>2|JT__ |53sin20.

Физически оно означает достаточно сильную ФМ связь между атомами одной и той же подрешетки.

Как следует из (6.44), в НКАФМ структуре, как и в любой другой структуре с самопроизвольной намагниченностью, магнонные частоты при малых квазиимпульсах про по рцио наль ны q? . Вблизи же q = П они ведут себя подобно частотам антиферромагнетика, будучи про порци о нал ьны 丨 П - q I (если перейти от кристаллографической к магнитной зоне Бриллюэна, то магнонный спектр будет тогда состоять из акустической и оптической ветвей).

Обсудим теперь свойства не гейзенберговских магнетиков во внешнем магнитном поле 力.Добавляя взаимодействие с ним к гамильтониану (6.1), легко получить выражение для поперечной магнитной восприимчивости, пригодное как для коллинеарных, так и неколлинеарных при h = 0 структур:

d cos е

= -52[2( J_ +2 处+/2—2 空/2)+24 冗 _S2cos2町

Так как в (6.45) входит cos 6 , зависящий от поля, то и сама восприимчивость, в отличие от гейзенберговского магнетика, зависит от поля. При 力一 _ < 0 восприимчивость с полем убывает. Этот результат справедлив независимо от того, имел ли кристалл самопроизвольную намагниченность при % = 0 или нет. В первом случае из (6.45) следует, что отношение восприимчивости Хо при 力 今 0 к восприимчивости в поле схлопывания моментов подрешеток Ху равно

(6.46)(6.46)上-1 /3

(6.46)

(6.46)

X/ 2 \ cos2£ о

где 6 о — значение угла 0 при h = 0. На границе коллинеарного и неколлинеарного упорядочений, когда 6 о 今 я/2, начальная восприимчивость согласно (6.46) расходится как cos~20 °.

Если К_ _ > 0, возможно только коллинеарное АФМ упорядочение. По условию его большей выгодности по сравнению с ФМ упорядочением величина % + 2 冗+ _ 5 2 должна быть отрицательной. Поэтому магнитная восприимчивость с ростом 力 возрастает. В частности, если I 斤一 + 2 冗+ _ 5 2 I < 10 力S 2, восприимчивость при некотором значении поля 力 8 обращается в бесконечность. Это означает, что после достижения полем величины 力 магнитная структура превращается скачком из неколлинеарной двухподрешеточной в ФМ. 142

Неколлинеарные антиферромагнетики при конечных температурах

Для исследования поведения негейзейберговских магнетиков при конечных температурах используется ПСП. В [68] на примере гейзенберговского магнетика с 5 = 1/2 показано, что это приближение можно получить из вариационного принципа. Ниже для вывода уравнений самосогласованного поля используется более общий вариант вариационного принципа.

Вводятся молекулярные поля, действующие на спины атомов. Очевидно, направление молекулярного поля 力 f должно совпадать с направлением среднего спина атома f. Роль вариационных параметров играют угол 0 (рис. 6.9) и величина молекулярного поля 力.Удобнее, однако, вместо h ввести связанный с ней вариационный параметр m таким образом, чтобы на спин рассматриваемого атома действовало молекулярное поле остальных спинов Sg (m, 6 ), величина которых равна Sm:

ЭЯ

力(m, 6) = - -73 = Sm(夕+ + & cos 2 6) +

^* Sg = Sg(m)

+ 2S3〃3(%++ +2%+一 COS26 + JT__ cos220),

Sg(m) = Sm {sin0 exp(i П • g), 0, cos0}.

Равенство (6.47) означает, что после взятия операторной производной от гамильтониана (6.1) в нее вместо операторов Sg подставлены с-числа Sg (m).

Гамильтониан (6.1) представляется в виде (力=0)

H = Hm#H 一 〃mf= —〃(也 6)2 定，(6.48)

где Hmf — гамильтониан молекулярного поля.

Вариационный принцип для свободной энергии записывается в стандартном виде

?=6/加\

F《Fm 三 FmfW, Fmf = NTME exp — ,(6.49)

s\ T /

где угловые скобки — символ температурного усреднения с гамильтонианом Нт「Равновесные значения параметров m и 0 находятся из условия минимума по ним "модельной'' свободной энергии Fm

Sm = <5f >,(6.50)

sin2 0[ 7一〃尸 +2S2m4( *+一 + JT__cos2 0)] =0.(6.51)

При T = 0 условие (6.51), как и должно быть, переходит в (6.42, 6.41). Таким образом, по-прежнему свободная энергия может быть экстремальна при трех значениях угла 0 . Однако условие минимальности свободной энергии имеет существенно более сложный вид, чем условие минимума

энергии при Т = 0:Ът2 3#\ Ът Э0 丿энергии при Т = 0:Ът2 3#\ Ът Э0 丿Ът2Ът2>0.>0.

энергии при Т = 0:

Ът2 3#\ Ът Э0 丿

энергии при Т = 0:

Ът2 3#\ Ът Э0 丿

Ът2

Ът2

>0.

>0.

Если при Г = 0 система находилась в НКАФМ состоянии, то согласно (6.51) температурная зависимость угла скоса должна определяться выражением

cos 2 6 =cos 2 6 =J_ + 2s2M 贸+_ 2s2MJ_ + 2s2M 贸+_ 2s2M(6.52)(6.52)

cos 2 6 =

cos 2 6 =

J_ + 2s2M 贸+_ 2s2M

J_ + 2s2M 贸+_ 2s2M

(6.52)

(6.52)

а фигурирующая в ней намагниченность, связанная с полем соотношением (5.3), определяется из (6.47). Легко видеть, что т с ростом температуры падает. Поэтому рано или поздно числитель в (6.52) достигает знаменателя и НКАФМ структура становится далее невозможной. Тип коллинеарной структуры, в которую переходит неколлинеарная, определяется знаком величины 少一：если она положительна, то происходит переход в ФМ состояние, если отрицательна — то в АФМ состояние. Однако этот фазовый переход второго рода может и не реализоваться, так как при еще более низких температурах система может перейти скачком в коллинеарное или неупорядоченное состояние.

Если *< 0, но I ZX_ + 2 S 2 ”+ _ I > 2| 冗I 5 2, становится

возможным фазовый переход от АФМ к ФМ состоянию через промежуточное НКАФМ состояние. Для этого требуется, чтобы величины 少一 и 冗+一 были разных знаков, причем I У_ I < 2S?| ,^f + _ I. Тогда при Г = 0 должна установиться коллинеарная структура, тип которой определяется знаком 冗+一. Но с повышением температуры разность ?_ + 2s 2m 2 冗+一 должна изменить знак. Вблизи температуры, где она обращается в нуль, эта величина меньше по модулю, чем 2s々2?力 Согласно (6.52) в этом интервале возможна НКАФМ структура. Но по мере дальнейшего роста температуры она вновь заменяется коллинеарной структурой, тип которой противоположен типу низкотемпературной коллинеарной структуры. При 力> 0 переход от ФМ к АФМ структуре был бы скачкообразным (п. 12а). Впрочем, и в рассматриваемом здесь случае нельзя отвергать заранее возможность фазовых переходов первого рода в другое упорядоченное или неупорядоченное состояние.

в. Системы с неколлинеарными дипольным “ квадрупольным упорядо^ чениями

Ряд результатов, полученных выше для четырехспинового обмена, остается качественно справедливым и для моделей с биквадратичным и трехспиновым обменом. К ним относится метамагнетизм изотропных систем. Восприимчивость коллинеарного антиферромагнетика, описываемого гамильтонианом (6.19), в приближении ближайших соседей дается выражением [42]

Х = —3[6* + 2(6cos20 — 1)(2S—I)? %1『，(6.53)

аналогичным (6.45). Если 仇 < 0, % > 0, то с ростом поля восприимчивость растет и возможно ее обращение в бесконечность. Метамагнетизм 144

возможен и в модели с трехспиновым обменом, описываемой изотропным аналогом (6.11).

Вместе с тем в системах с биквадратичным обменом появляются и новые черты, обусловленные возможностью в них квадрупольного упорядочения [42]. В частности, в них возможно не только неколлинеарное дипольное, но и неколлинеарное квадрупольное упорядочение. Чтобы описать их, будем учитывать в (6.19) взаимодействия первых J】и Л\ и вторых ZX2 и JT2 по дальности соседей. Величины J2 и 贸2 будем считать положительными, что позволяет разбить систему на две подрешетки. Упорядочение может стать неколлинеарным, если 附 < 0. Тогда биквадратичный обмен стремится развернуть моменты подрешеток перпендикулярно друг другу.

〜,5(5+1)〜,5(5+1)Если использовать ПСП, то роль вариационных параметров играют угол 20 между моментами подрешеток и величины

〜,5(5+1)

〜,5(5+1)

a=〈禺〉

где под z понимается собственная ось квантования атома, совпадающая с направлением момента подрешетки, которой он принадлежит. Гамильтониан ПСП имеет тогда вид

Hmf = — ( ?2 + % cos е) о 2 s j - 3 cos2 20 -1\〜

—丿 f 2( Sf)?,(6.54)

и статистическая сумма выражается через (6.54) по аналогии с (6.21). Минимизация свободной энергии дает уравнения для определения о и J, аналогичные (6.21).

Как следует из этих уравнений, для спинов 5 = 1 при Т = 0 может быть наиболее энергетически выгодной ортогональная квадрупольная структура с cos2d = 0, а = 0, f =# 0. Для этого требуется выполнение неравенств *2 > 3 仇，—> 31 仇 I. В полной аналогии с расчетом п. 136 можно рассчитать магнонный спектр такого квадрупольного состояния. Из-за наличия двух подрешеток он состоит из двух ветвей, частоты которых при малых q пропорциональны q. При повышении температуры такое ортогональное квадрупольное состояние квантовой природы скачком переходит в ПМ.

Когда условия существования квантового квадрупольного состояния не выполнены, основное состояние системы может быть дипольным НКАФМ. В этом случае угол между моментами подрешеток определяется равенством, аналогичным (6.42):

3 仇 + %1s2

cos2d = .(6.54a)

4s 2%]

Магнонный спектр оказывается качественно того же типа, что и (6.44). Однако при повышении температуры в рассматриваемом случае возможны новые ситуации. Именно, в зависимости от параметров системы она мо-

145145Э.Л. Нагаев

145

145

жет переходить из НКАФМ не в АФМ или ФМ состояние, а в статистическое квадрупольное ортогональное состояние с cos 20 = 0, а = 0,十 В 0. При дальнейшем подъеме температуры тогда происходит фазовый переход первого рода из квадрупольного в ПМ состояние. Определенная специфика появляется при 衣i .V 0 и у систем, параметры которых таковы, что соотношение (6.54а) для них при Т = 0 теряет смысл (формально I cos 261 > 1). Поэтому они упорядочены ФМ или АФМ. В этом случае в полной аналогии с ситуацией, обсужденной в предыдущем пункте, при повышении температуры может произойти переход в НКАФМ состояние. Но далее наступает различие в свойствах этих двух систем: следующий фазовый переход здесь происходит в статистическое квадрупольное состояние.

В заключение заметим, что формула (6.53), будучи справедлива и для НКАФМ структур, точно переходит в этом случае в (6.46), т.е. характер особенности восприимчивости на границе коллинеарной и неколлинеарной фаз не чувствителен к модели.

Негейзенберговские многоподрешеточные структуры

и каскады фазовых переходов

Коллинеарные структуры

Не гейзенберговские структуры, возможные в магнетиках с очень малой анизотропией, не ограничиваются НКАФМ. К их числу относятся и кол- лцнеарные мно го по дрешеточные структуры, из которых в реальных магнетиках наиболее распространена четырехподрешеточная АФМ. В ней спины внутри определенных плоскостей ((10 0) или (1 1 1)) упорядочены ФМ, а моменты последовательных плоскостей чередуются по закону ССЮЮ. Такая структура естественным образом возникает в модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями между первыми и вторыми по дальности соседями (АНННИ модель, п. 9а). Но в гейзенберговском магнетике при том же соотношении мевду обменными интегралами установилась бы спираль с вектором структуры, даваемым (4.4).

Далее, материалы, в которых реализуется ССЮЮ структура, обычно обнаруживают один или несколько фазовых переходов порядок — порядок, а фазовый переход порядок — беспорядок у них первого рода, во многих случаях с чужим беспорядком. Как обсуждалось в п. 126, причиной таких переходов может быть обмен высших порядков по спину. Очевидно, он может стабилизировать и негейзенберговскиэ структуры в изотропных магнетиках. Действительно, как указывалось в п. 13а, гамильтониан с биквадратичным обменом (6.19) в пределе Л* -> 00 термодинамически эквивалентен модели Изинга, отличаясь от нее только тем, что ось квантования направлена в пространстве произвольно. Но и при конечных 力 биквадратичный обмен, стремясь установить коллинеарное упорядочение, может сделать энергетически невыгодной спираль по сравнению с ССЮЮ моделью.

Можно построить модельные гамильтонианы с обменом высших степеней по спину, которые максимально полно описывали бы совокупность свойств конкретных магнетиков. Наиболее детально из изотропных магне-

тиков с коллинеарными структурами изучен Eu Se (п. 246). В этом материале плоскости (1 1 1) упорядочены ферромагнитно, а различные типы упорядочения, возможные в нем, возникают в результате различных ориентаций моментов ФМ плоскостей относительно друг друга. При повышении температуры последовательно сменяются друг другом следующие структуры: двухподрешеточная СЮ типа МпО, трехподрешеточная "ферримагнитная" ССЮ и четырехподрешеточная ССЮЮ, которая переходит в ПМ посредством фазового перехода порядок — чужой беспорядок. Этот материал обладает и довольно сложными метамагнитными свойствами.

Хотя по своим свойствам Eu Se сходен с сильно анизотропным магнетиком Се Sb, магнитная анизотропия Eu Se ничтожно мала. (Это заставляет предположить, что и в Се Sb не обязательно анизотропия ответственна за каскады фазовых переходов). Ниже описана модель, которая позволяет воспроизвести фазовые переходы, наблюдавшиеся в EuSe [57]. Считается, что магнетик с 5 > 1 можно разбить на плоскости, внутри которых обмен между атомами ферромагнитен. Его можно считать обычным гейзенберговским с интегралом обмена 夕丄 между ближайшими соседями в плоскости нормальной величины. Аномально мал лишь интеграл гейзенберговского обмена % между ближайшими соседями из смежных плоскостей, поэтому нужно учитывать еще гейзенберговский обмен между атомами из вторых по дальности плоскостей 仇 и трехспиновый обмен, когда два атома - ближайшие соседи из одной и той же плоскости, а третий принадлежит смежной плоскости (его интеграл есть 力).Наконец, вводится биквадратичный обмен между ближайшими соседями из смежных плоскостей, обеспечивающих стабильность коллинеарных структур. Пользуясь теми же обозначениями, что в гамильтониане АНННИ модели (4.26), запишем гамильтониан системы в виде

Н =^― Z(S；,g • S/,g+N)—仇 Z(S；,g • S/+ i>g)—

-少2 E(S/,g -S/+2,g)- GZ(S/,g • S/+i,g)2 -

—冗E [(S； g • S/, g + X)(S/, g + △ • S/+ 1, g)+

+ (Sz + 1, g • & + 1, g + K) (S/ + 1, g + К • sz, g)].(6.55)

Параметры (6.55) подбираются так, чтобы наиболее термодинамически выгодными были следующие структуры: две гейзенберговские ФМ (СС) и СЮ и две негейзенберговские ССЮ и ССЮЮ. Для этой цели в (6.55) выбираются следующие знаки обменных интегралов: 仇 > О, & > 0, 少2 V °, %< 0. Такая модель несколько проще, чем реальный Eu Se, в котором ФМ плоскости существуют по геометрическим причинам.

В зависимости от величины параметров к = 2z t \ J^ \S21 少】 и U =1 ?21/夕] (Z, -число ближайших соседей в слое), при Т = 0 может оказаться энергетически наиболее выгодной любая из структур СЮ, ССЮЮ или ФМ. В частности, СЮ состояние основное при к > 2v + 1. Состояние ССЮ не может быть основным: при % В 2и + 1 его энергия превышает энергию по крайней мере одного из основных состояний. Точка 左=2и + 1 10*147

является мультифазной: в ней энергии СЮ, ССЮ и ССЮЮ состояний совпадают. Фазовые переходы между структурами, как и в п. 126, обусловлены температурной зависимостью эффективного интеграла обмена между смежными плоскостями J х, учитьшающего как билинейный, так и трехспиновый обмен. При подъеме температуры меняется соотношение между 4 1 и J2 и даже знак 伙т) (т = Т/ J\).

Расчеты производятся в приближении самосогласованного поля совершенно аналогично тому, как это сделано в п. 126. Их результаты таковы: рассматриваемая здесь система, действительно, может обнаруживать целый каскад фазовых переходов первого рода. Так для р = %Z//& = 0^; г = GS 2/ 41 =05； и =05； к = 2,1 получается следующая их последовательность, соответствующая EuSe (см. ниже рис. 9.12): при г = 0,216 переход СЮ — ССЮЮ, при г = 0,378 переход ССЮ — ССЮЮ, при г = 0,43 переход в ПМ состояние. Первые два перехода представляют собой переходы типа порядок — порядок и происходят по механизму, подробно описанному в п. 126.

Покажем, что переход ССЮЮ — ПМ является фазовым переходом типа порядок — чужой беспорядок. Для определения характера ближнего порядка здесь нужно вычислить только корреляторы типа〈 Sog • Sz g >, так как в принятой модели корреляторы внутри плоскостей положительны. С учетом того что вектор ближнего порядка соответствует максимальному значению коррелятора < Sq • S_q >, получаем из (6.55) для него значение q$()= 0 при 1 —左/З > 4и или

1 -左/З

*0 = arc cos 4и при противоположном знаке этого неравенства. В первом случае ближний порядок выше 入 ферромагнитный, во втором — модулированный. Но в обоих случах вектор ближнего порядка выше Т^ не совпадает с вектором дальнего порядка ниже 厶，равным я/2.

Таким образом, модель (6.55) позволяет воспроизвести не только переходы порядок — порядок в Eu Se, но и характер перехода порядок — беспорядок. В ней получаются и метамагнитные свойства: при Т = 0 восприимчивость обратно пропорциональна [(^ - 1) — 3r cos 0 ] и потому при приведенных выше значениях параметров с повышением поля расходится. Однако не ясно, вызывает ли поле переход в ССЮ ели непосредственно в ФМ состояние. Иными словами, учет не гейзенберговского обмена позволяет объяснить практически все аномальные свойства Eu Se.

При других значениях параметров vf р, г, к можно получить и другой каскад фазовых переходов. Так, для и = 0,1; р = 0，； г = 0,4;七=1,3 получаем следующую цепочку фазовых переходов первого рода: СЮ — СЮЮ при т = 0,201; ССЮ — ССЮЮ при т = 0,205; ССЮЮ - ФМ при т = =0,2055. При т = 0,35 происходит фазовый переход второго рода в ПМ состояние. Таким образом, здесь фазовый переход порядок — чужой беспорядок исчезает, превращаясь в пару фазовых переходов порядок — порядок и порядок — свой беспорядок. Экспериментально такая ситуация наблюдается в Eu Se при приложении к нему давления (п. 246, 266). 148

Заметим, что аналогичные каскады фазовых переходов можно получить и в анизотропной модели, если в гамильтониане (6.55) подобно (6.11) сохранить только z-компоненты спинов. Можно выбрать параметры так, что ССЮ фаза будет вообще нестабильной и будут происходить только фазовые переходы СЮ — ССЮЮ, как в анизотропных магнетиках UAs или Се Bi.

При исследовании ядерного магнетика 3Не следует исходить из гамильтониана с четырехспиновым обменом (1.17). Он приводит либо к коллинеарной четырехподрешеточной структуре типа ССЮЮ, но, в отличие от EuSe, с ФМ упорядоченными плоскостями (100), либо к неколлинеарной четырехподрешеточной фазе, когда моменты четырех подрешеток образуют квадрат. С экспериментом согласуется первая из них. Расчет в ПСП показывает [269], что с повышением температуры она скачком переходит в ПМ фазу. С ростом поля происходит переход ССЮЮ структуры в обычную двухподрешеточную СЮ, скошенную полем. Исследование свойств 3Не было проведено также на основе (1.17) с использованием спин-вол ново го приближения, в котором учитывается ренормировка спектра из-за магнон-магнонного взаимодействия [175].

В [198] гамильтониан с четырехспиновым обменом был использован для доказательства возможности фазового перехода первого рода типа "ССЮЮ дальний порядок — СЮ ближний порядок”，когда вектор ближнего порядка вдвое превышает по величине вектор дальнего порядка.

Представляет интерес выяснить характер магнонного спектра в много- подрешеточных АФМ структурах. Рассмотрим для этого простейшую модель магнетика, допускающего такую структуру, — одномерную цепочку с гейзенберговским обменом между первыми и вторыми по дальности соседями и биквадратичным обменом между ближайшими соседями

"=—Ji 2 S/•§/+]— »2 2S/・S/+2 — <R2 (S, • S/ + 1 )2. (6.56)

Для стабильности ССЮЮ структуры необходимо, во-первых, чтобы %, будучи отрицательным, превышал по модулю I % I /2 и чтобы положительная константа & была

G>G〃 = [I 少2 丨一，3^ - У；/4 ] SR

Последнее условие гарантирует энергетическую выгодность ССЮЮ структуры по сравнению с геликоидальной.

Для перехода от спиновых операторов к магнонным вводится знаковый множитель

Z/ = cos (” 5一 / + i} =), (6.57) принимающий значения +1, + 1, -1, —1 при изменении / от 0 до 3. Вводятся также операторы проецирования

尸土⑴二-у ( 1 ± z)

Тогда переход от спиновых к магнонным операторам производится при

помощи формул

Sf= Zi(S-b：b》

(6.58)

S；=6®P+Q)+b：P_(D],

Диагонализация магнонного гамильтониана, получающегося подстановкой (6.58) в (6.57), производится, как обычно, фурье-преобразованием (1.19) и спутыванием операторов Ь^, Ь^_п, Ь^ и 方^一左.В результате получаются следующие выражения для двух ветвей магнонного спектра:

з%/) = -4 42s2血2%(2&52 -2?2CoNZ- %),

з式%) = 852(2 8 52 -仇 sin4) (2&S2 — 2% cos4 - %).

Первая ветвь соответствует акустическим, а вторая — оптическим магнонам. Если бы зона Бриллюэна бралась не кристаллографическая, а магнитная, то получились бы четыре попарно вырожденные ветви.

Неколлинеарные многоподрешеточные структуры

Прежде всего нужно указать, что неколлинеарные многоподрешеточные структуры с нулевой намагниченностью могут появиться как результат реализации одновременно нескольких векторов структуры — всей их звезды или только части. На рис. 6.10 изображена такая ситуация для простой квадратной решетки, в которой векторами структуры являются Q = (я, 0) и Qy = (0, я) • В каждой из этих структур спин параллелен #*才*

ее вектору. В данном случае многоподрешеточная структура есть просто суперпозиция двух этих эквивалентных структур. При гейзенберговском обмене энергия такой многоподрешеточной структуры в точности совпадает с энергией каждой из двух двухподрешеточных структур, на которые она распадается. Существуют, однако, физические механизмы, стабилизирующие многовекторные структуры. Один из возможных - это квадрупольное взаимодействие [77], хотя ту же роль может играть и кристаллическое поле [226].

Рис. 6.11. Ортогональное четырех подрешеточное упорядочение

Четырехподрешеточная структура с неколлинеарными моментами подрешеток в магнетиках с обменом высших порядков по спину впервые была исследована в [24, 23]. Рассматривалось упорядочение в магнетике с гранецентрированной кубической решеткой. Такой кристалл в магнитном смысле представляет собой систему из четырех вставленных друг в друга простых кубических подрешеток, каждая из которых образована соответственно ионами типа (0,0,0), (0, 1/2, 1/2), (1/2,0, 1/2), (1/2, 1/2,0). Обозначим через S1? S2, S3, S4 спины, соответствующие этим подрешеткам. Гамильтониан системы записывается в виде, учитывающем все типы обмена четвертого порядка по спину и двухспиновую анизотропию, и используется приближение ближайших соседей.

Кроме вектора намагничения М вводятся еще три вектора антиферромагнетизма :

М 二 S] + S? + S3 + S4,L]二 S] + S2 一 S3 一 S4,

L j = S1 — S2 + S3 — S4,L3 = Si — Sj — S3 + S4.

В такой системе оказьшаются возможными две структуры: коллинеарная двухподрешеточная

L] В 0, L2 = L3 = М = 0

и неколлинеарная четырехподрешеточная (рис. 6.11)

L] = L? = L3, L]丄 L?丄 L3, М = 0.

Чтобы вторая структура была энергетически выгоднее первой, необходимо выполнение условия

5 =少 + 2%一4&>0, где J — интеграл биквадратичного обмена иона с ближайшим к нему ионом из другой под решетки, %— интеграл четырехспинового обмена,仓 — интеграл трехспинового обмена. Здесь использованы те же обозначения,

что и в [23,24], где магнитный гамильтониан отличается знаком от используемых в этой книге.

При четырехподрешеточном упорядочении магнонныи спектр системы состоит из четырех ветвей. В отсутствие анизотропии, если не учитьшать в гамильтониане членов четвертого порядка, то в спектре системы было бы четыре бесщелевые моды: три — линейные по волновому вектору и четвертая — квадратичная по нему. Между тем симметрия системы допускает существование только трех голдстоновских мод. Это правило сразу становится выполненным, если учесть в гамильтониане члены четвертого порядка： в ветви с квадратичным законом дисперсии появляется щель 〜$• Этот результат подтверждает принципиальную важность негейзенберговского обмена для существования четырехподрешеточной структуры. Описанные выше результаты дают одно из возможных объяснений свойств UO2 (п. 226). .

В [259] где, кроме гейзенберговского обмена, учитывался еще и би- квадратичный обмен между подрешетками и внутри них, получена четы- рехподрешеточная коллинеарная структура с нулевой намагниченностью, в которой моменты подрешеток образуют не квадрат, как в [23, 24], а ромб. Угол в этом ромбе зависит от параметров системы.

ГЛАВ А VII

ВЛИЯНИЕ КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ПОЛЯ НА МАГНИТНОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ

Синглетные магнетики

Общие свойства и модели

В ряде материалов на магнитном упорядочении существенно сказывается расщепление частично заполненных d・ или /-уровней полем кристалла. К их числу относятся синглетные магнетики, или, точнее сказать, магнетики с синглетным (немагнитным) состоянием ионов. Их необычность проявляется уже в том, что, несмотря на идеальную периодичность системы, обменное взаимодействие не всегда приводит к установлению в ней дальнего магнитного порядка. Во многих случаях такие системы даже при Т=0 обнаруживают только ближний порядок. Но зато в них уникальны фазовые переходы по давлению. При Т= 0 нарастание флуктуаций по мере приближения давления к критическому, начиная с которого появляется дальний порядок, происходит точно так же, как и при температурном фазовом переходе порядок — беспорядок. Обычно фазовые переходы по давлению существенно отличаются от температурных, примером чему служит фазовый переход второго с половиной рода** И.М. Лифшица.

Все синглетные магнетики - это редкоземельные элементы или их соединения. У них спин и орбитальный момент частично заполненной /оболочки объединены в полный момент J. Вырождение по направлениям J полностью или частично снимается кристаллическим полем. Если число /-электронов четное, то возможны ситуации, когда нижняя компонента такого мультиплета оказьшается синглетной, и тогда в основном состоянии все три проекции момента в среднем равны нулю. Тогда ион, несмотря на отличный от нуля момент, ведет себя как немагнитный. В магнитном поле проекция момента на поле отлична от нуля за счет смешивания низшей компоненты уровня с более высокими. Магнитную поляризацию такого иона может вызвать и его обменное взаимодействие с соседними ионами.

Проиллюстрируем сказанное примерами. Ион Рг3 +, имеющий конфигурацию 4/2, находится в состоянии ^Я4. В поле кубической симметрии его девятикратно вырожденный уровень расщепляется на синглет Г\, триплет Г4, дублет Г3. и триплет Г5 (рис. 7.1). Наинизший триплет Г4 лежит от синглета на расстоянии △〜0,001 эВ, дублет же Г3 и триплет Г5 — соответственно на расстояниях (12/7) △ и ЗА [129]. Выражения для волновых функций нижних компонент через волновые функции с определен-

ным значением проекции момента | 尸 > имеют вид [205]

I -〉= 0,4564[| 4>+|-4>] + 0,7638 | 0 >,

|Г$> = 0,7071 [|4>- 1-4>],(7.1)

I Г$ > = 0,3536 |±3> + 0,9354 | + 1 >.

Ясно, что в состоянии I Г\〉 средние значения всех проекций J равны нулю. Однако смешивание | Г\〉 с I Г® > делает отличным от нуля 〈尸〉，а смешивание | Г 】〉с 丨 Г/ > — остальные две проекции J.

Рис. 7.1. Расщепление уровня 3Я4

в поле кубической симметрии

В полях более низкой симметрии может оказаться, что и первое возбужденное состояние — тоже синглетное. Например, в поле гексагональной симметрии два наинизших сиглета иона Рг 3 + описываются волновыми функциями [155]

I 1〉= (V)( 13〉+ 丨―3〉)， (7.2)

|0> = (1/х/2)(|3>-|-3>).

Очевидно, из всех матричных элементов оператора момента на функциях I 0 > , I 1 > отличны от нуля лишь < 1 I Jz I 0 > = < 0 I J2 I 1 > = с.

Для описания сйнглетных магнетиков обычно используются две эквивалентные друг другу модели ： "магнитная” и ^^экcитoннaя^^. В экситонной модели, соответствующей учету только двух синглетных состояний на каждом атоме, гамильтониан системы записывается в виде

с2

h=或%—丁 ? J(f-g)(或+ %)(*+ 比). (7.3) Здесь d*, dg — операторы рождения и уничтожения экситона на атоме g (электронные переходы | 0〉之I 1>). Эти oneраторы—паулиевские, т.е. подчиняются бозевским перестановочным соотношениям при g Wf и фермиевским при g =f, причем, очевидно, (dg)2 = (Z?*)2=0. Kak и в (7.2), здесь отличны от нуля только не диагональные матричные элементы только одной проекции момента, которая выбрана за Jx. Таким образом, величина с("+%) рсть оператор 丿j в выбранном представлении, т.е. второй член, по существу, эквивалентен модели Изинга.

С учетом того что по аналогии с преобразованием Холстейна — Примакова первому члену в (7.3) может быть сопоставлен оператор J|, гамиль- 154

тониан синглетного магнетика можно представить как модель Изинга в поперечном поле:】

公-△?電--у 2J(f-g)碇 吓.(7.4)

Следует подчеркнуть, во избежание недоразумений, что моменты в (7.4)- не истинные моменты ионов, а псевдомоменты, описывающие основное (/х = 1) и возбужденное (J* = -1) состояния и переходы между ними. Свойство гамильтониана (7.4) — отличие от нуля ( Jz〉 при всех температурах —вовсе не означает, что истинная намагниченность всегда отлична от нуля.

Экситонная модель может бьпь обобщена на произвольное число компонент в первом возбужденном мультиплете путем введения нескольких типов экситонных операторов — своего для каждой компоненты. Возможны соответствующие обобщения и "магнитной” модели. Например, если ближайшим к основному синглету является дублет, гамильтониан синглетного магнетика может бьпь выбран в том же виде, как и для легкоплоскостного магнетика с/ = 1:

° 1

〃 =△ 2 (" Уf 一 g) (% • Jf).(7.5)

Гамильтониан (7.5) допускает формально как дипольное, так и квадрупольное упорядочение. Синглетным магнетикам соответствует только первое из них. В этой модели наинизший синглет описывается состоянием с

В одномерном случае гамильтониан (7.4) диагонализуется точно [292]. В многомерных случаях приходится прибегать к приближенным методам.

Температура Кюри и намагниченность

Наиболее существенные черты синглетных магнетиков можно выяснить, воспользовавшись ПСП [100] . Естественно ожидать, что наиболее точные результаты оно дает для металлов с синглетным основным состоянием магнитных ионов (Рг и др.), так как в них обмен, будучи косвенным, носит дальнодействующий характер.

Будем исходить из гамильтониана (7.3) и на его основе найдем сначала условия существования дальнего порядка и его температурную зависимость для систем синглет синглетного типа (7.2). Гамильтониан самосогласованного поля, получаемый из (7.3), при ФМ упорядочении имеет вид

/广-% + 2/於)， 2 g

Hmf(^ = ^bl b%-c3Q。(纹 + %),(7.6)

о = с〈 ％ + 诚〉，

где 少q — фурье-компонента обменного интеграла. С учетом паулиевского характера экситонных операторов собственная функция гамильтониана Hmf (g) представляется в форме

Wg = (X+y 发)10〉，(7.7)

где I 0 >* - вакуумная функция для экситонных операторов. Из формул

155

(7.6,7.7) сразу же получается следующее выражение для собственных значений гамильтониана:

+奠雜二,(7.8)

24

爲=-爲=-0又 cYПЕц0又 cYПЕц(%。。)？]~^~ J(%。。)？]~^~ J(7.9)(7.9)

爲=-

爲=-

0又 cYПЕц

0又 cYПЕц

(%。。)？]

~^~ J

(%。。)？]

~^~ J

(7.9)

(7.9)

Согласно (7.7) величина (诚+bg), квантовомеханически усредненная по состоянию %, равна

bg+b^2XY.(7.10)

Таким образом, уравнение самосогласования принимает на основании (7.8-7.10) вид о =

Если намагниченность о отлична от нуля, то согласно (7.8,7.11) она определяется из уравнения

(7.12)(7.12)

(7.12)

(7.12)

"=々(2%m).

(7.13)(7.13)Из (7.12) следует, что при Т = 0 намагниченность равна О(0) = С(1 -I??)"?.

(7.13)

(7.13)

Таким образом, согласно (7.13) самопроизвольная намагниченность в синглетных магнетиках возможна лишь при достаточно сильном обмене, когда 7? меньше 1. Это условие имеет простой физический смысл: согласно (7.8,7.13) наименьшая из энергий Еп при Т = 0 равна △(】一")/2, т.е. на границе 17 = 1 она перестает быть отрицательной, и возникновение намагниченности перестает быть энергетически выгодным.

'Следует заметить, что в случае синглет-триплетных систем типа (7.1) ПСП приводит к возможности намагниченности, отсутствующей при Т = 0 и появляющейся при конечной температуре. При дальнейшем подъеме температуры она, пройдя через максимум, исчезает [189]. Причиной эффекта является больший статистический вес магнитного триплетного сос； тояния по сравнению с немагнитным синглетным.

Чтобы выяснить характер исчезновения дальнего порядка в %，следует написать разложение Ландау для собственной энергии синглетного магнетика. При помощи (7.6) с точностью до аддитивной константы в расчете на атом получается △ △

/ Jo с2 △ △ \ М д S Т Т а4

\ 2 4»2 2T 丿 2 16 …△ 4!

7?4ch2 ——

Как следует из (7.14), фазовый переход порядок — беспорядок должен бьпь второго рода и должен происходить при

Тс = М2 Arth") . (7.15)

Легко видеть, что при △ = 0 выражение (7.15) переходит в обычный результат модели Изинга. При стремлении же т? к граничному значению 1 температура Гс обращается в нуль по логарифмическому закону

Тс = — Мп^尸• (7.16)

Формула (7.15) проверялась экспериментально в [315] на синглет- синглетной системе LiTbpYi—pF. Ввиду дальнодействующего косвенного обмена полагалось 1? (р) =рт? (1). Согласие с экспериментом оказывается очень хорошим для всех р, превышающих Pc =0,2i, т.е. значение, при котором по (7.13) намагниченность должна исчезать. На опьпе же она существует и при меньших р.

Согласно (7.15) у синглетных магнетиков Тс должна быть ниже, чем у обычных магнетиков с той же интенсивностью обмена. И действительно, если у обычных магнитных металлов с косвенным обменом через электроны проводимости точки Кюри лежат, как правило, выше 100 К, то у синглетных магнетиков с таким же обменом они существенно ниже (у ФМ гранецентрированного Рг и Рг3Т1 они лежат соответственно при 20 и 11,6 К [129]). О близости параметра » в Рг3Т1 к критическому значению (т.е. к 1) свидетельствует и тот факт, что при Т = 0 его момент на ауом равен лишь 0,7 дв вместо 3,2 дв, как у свободного иона. У ФМ металла Ргз8е4 точка Кюри близка к 7 К и соответственно момент на атом еще ниже: он равен 0,5 дв [115]. Особенно низки Тс у синглетных магнетиков — полупроводников: например, у АФМ а = Pr2S3 точка Нееля T"N = 2,48 К; у TmTl точка Нееля TN =0,21 К [115].

Фазовый переход в синглетных магнетиках носит сглаженный характер: особенности различных физических величин при нем выражены гораздо слабее, чем в обычных магнетиках. Так, для скачка теплоемкости из (7.14) получается следующее выражение:

(7.17)(7.17)

(7.17)

(7.17)

При △->0 оно переходит в обычный результат для изинговского магнетика, а при "今 1 с учетом (7.16)

6С~3(" - I)2 In6С~3(" - I)2 In(1 -") 2(1 -") 2(7.18)(7.18)

6С~3(" - I)2 In

6С~3(" - I)2 In

(1 -") 2

(1 -") 2

(7.18)

(7.18)

Таким образом, вблизи границы фаз порядок — беспорядок (т.е. " = 1) особенность теплоемкости исчезает. Этот результат согласуется с экспериментальными данными [83], согласно которым теплоемкость Рг3Т1 в Tq имеет горб на порядок ниже, чем у обычных магнетиков.

Перейдем теперь к вычислению бинарных корреляторов. Для этого к гамильтониану (7.3), как обычно, следует прибавить гамильтониан 'взаи-

модействия с внешним полем 无(g):

必=一 с Z (b； + bgM(g),无(g)=无 exp(zq • g).(7.19)

Вычисляя в этом поле〈 bg + bg〉и дифференцируя это среднее по Л с последующим переходом Л ->0, получаем для коррелятора фурье-компонент намагниченности с учетом (2.7) при Т》Тс

(%。-〉= T。2卜/2小于- e2 Jqj , Oq=c(bq+%. (7.20)

Очевидно, при 2TA△ выражение (7.20) приводит к обычному закону Кюри - Вейсса с ПМ температурой Кюри 6 = с2 Jo- Этот результат не зависит от величины ", т_е. от того, существует или нет дальний порядок при низких температурах. Что же касается поведения корреляторов (7.20) вблизи Тс，т0 оно, наоборот, очень сильно зависит от q ：

<oqo_q> = Tc2 [Л2 +c2(J0 - %)]т,(7.21)

館=e4 英(1 _"2)(7_%)/T3

Наиболее интересные следствия вытекают из (7.21) при »今 1: корреляционная длина Л*1 остается аномально большой не только в непосредственной окрестности %，но и при температурах гораздо выше ее. Таким образом, малоугловое рассеяние нейтронов, амплитуда которого пропорциональна < % o_q〉, должно бьпь очень сильным не только в непосредственной окрестности Гс, но и вдали от Гс. Это означает, что пик критического рассеяния нейтронов в синглетных магнетиках сильно сглажен.

Аналогично могут не обнаруживаться и аномалии электросопротивления в металлах вблизи Гс, поскольку они тоже выражаются через спиновые корреляторы (см. [48]). Именно так обстоит дело у ФМ Рг3Т1 [83].

Причина, по которой сильно развитый ближний порядок сохраняется в синглетных магнетиках до высоких температур, состоит в следующем. Если бы не необходимость для момента иона преодолевать энергетический зазор А, дальний порядок существовал бы до более высоких температур, чем % (7.15). Сильно развитый ближний порядок выше Тс как бы является виртуальным дальним порядком, не состоявшимся из-за энергетического зазора.

Заметим, что и ниже Т。и даже при Г = 0 этот зазор уменьшает степень дальнего порядка, что проявляется в ненасыщенной намагниченности при Г = 0 (7.13). Поэтому естественно ожидать, что, например, в ферромагнетике даже при Г = 0 наряду с дальним порядком, соответствующим q =0, будут существовать и сильные флуктуации с q#0, т.е. дальний порядок будет сосуществовать с ближним.~

Хотя ПСП достаточно хорошо передает основные свойства синглетных магнетиков, использование других методов позволяет в ряде случаев уточнить результаты ПСП. В [250] для исследования фазовых переходов были использованы высокотемпературные разложения. Гамильтониан системы брался в виде (7.4), соответствующем синглет -синглетной системе (7.2). Для кубических решеток трех различных типов было вычислено 10 членов. Обработка этих рядов привела к заключению, что критическая экспонента у не зависит от △ в широком интервале значений △ и равна примерно 1,25 для ГЦК решетки. 158

В [263] высокотемпературные разложения использованы для вычисления Тс У РгзТ1, гранецентрированных Рг и TbSb, в которых выше основного синглета лежит триплет Г4 (ситуация типа изображенной на рис. (7.1)). В этой работе выделялся гамильтониан Hmf самосогласованного поля и разложение велось по Н — 〃小/ с учетом пяти членов. Особенно сильно результаты [263] отличаются от ПСП вблизи граничного значения ". Этот вывод справедлив для всех трех типов кубических решёток, исследованных в [263]. Получено хорошее согласие с экспериментом [156].

Возможность получить корректные результаты для синглетных магнетиков открывает использование техники Вакса - Ларкина - Пикина [11], предполагающей большой радиус г0 обменного взаимодействия и использующей ПСП в качестве нулевого приближения [71].

В [71] рассмотрен синглет-синглетный магнетик, описываемый гамильтонианом (7.4). В этой работе удалось получить выражение для Тс при малых (1 — "), когда выполнено неравенство

[(1-1?)(г0/л)3]1/2<1.

Результат [71] существенно отличен от (7.16):

Тс 〜△[(】 -")&о/〃)3] "2.

Кроме того, в [71] найдены теплоемкость магнитной системы, спектр элементарных возбуждений и их затухание.

Следует заметить, что гамильтониан (7.5), в отличие от (7.3) при », близких к 1, приводит к температурным фазовым переходам первого рода. Однако, как уже указывалось выше, этот гамильтониан не вполне адекватен для синглетных магнетиков, поскольку допускает квадрупольное упорядочение в отсутствие дипольного.

в. Фазовые переходы под давлением “ элементарные возбуждения

Кроме фазового перехода из ненамагниченного, состояния в намагниченное при изменении температуры, в синглетных магнетиках возможен еще и такой переход при изменении параметра т?, т.е. фактически давления, которым можно менять этот параметр. Как обычно, фазовый переход по давлению будет рассматриваться при Т= 0. В основном состоянии системы термические флуктуации параметра порядка, естественно, отсутствуют. Но зато есть квантовые флуктуации, и по их зависимости от давления можно судить о характере фазового перехода.

Следует иметь в виду, что для 7 = 0 результат (7.20) несправедлив, так как при его Выводе использовалась классическая (3.37), а не квантовая (3.36) формула Кубо. В рассматриваемом случае удается получить выражение для коррелятора в ПМ области, используя специфический вариант теории возмущений по 力△. Именно, в гамильтониане (7.3) паулиевские операторы заменяются на бозевские, что при малых ?/△ оправдано малостью среднего числа экситонов на атом. Это число остается достаточно малым и в точке перехода. Боголюбовское смешивание операторов рождения и уничтожения бозонов приводит к следующему выражению для экситонных частот [155]:

3^=7坟-2>С.(7.22)

Через эти частоты можно выразить и коррелятор намагниченности при

(7.23)(7.23)абсолютном нуле 】

(7.23)

(7.23)

〈°q°-q〉二 ~ЛГ

3qS — 3q)

Как видно из (7.22), экситонная частота с ростом У впервые! обращается в нуль при » = 1 .я При том же значении » становится расходящимся коррелятор моментов (7.23) в длинноволновом пределе. Отсюда непосредственно следует, что смягчение экситонной моды означает фазовый переход по параметру » в намагниченное состояние. Критическое значение 1 параметра ", получающееся из (7.22, 7.23), совпадает с полученным в ПСП из (7.13).

Несмотря на большое сходство картин фазовых переходов по температуре и по давлению, между ними существует и важное различие. Именно, согласно (7.23) при » = 1 коррелятор квантовых флуктуаций на больших расстояниях R убывает как 1/Л2, в то время как коррелятор термических флуктуаций (7.21) обнаруживает в Тс обычную зависимость 1/R (более точные теории, возможно, изменят закон убывания (7.23)).

В [256а] были использованы разложения в ряды для исследования фазового перехода по ту. Расчет проведен для простой кубической решетки с учетом в (7.4) только ближайших соседей. Поскольку рассматривается основное состояние системы, можно использовать обычную^ теорию возмущений по ». Получено разложение намагниченности по » с точностью до членов четвертого порядка включительно, а затем теми же методами, что и в теории высокотемпературных разложений, построено приближенное аналитическое продолжение этого ряда к " = 1. В результате получено о〜(1 — »2) В с0 = 0,43 вместо 0,5, как в (7.13).

В отличие от температурного, такой фазовый переход по » возможен и в одномерных системах. В [292] строго доказано, что критическое поведение одномерной системы, описываемой гамильтонианом (7.4), точно такое же, как у двумерной модели Изинга при изменении температуры.

Экспериментально переход порядок — беспорядок под давлением наблюдался в [156] : давление 8 к бар делает Рг3Т1 немагнитным. Тот же эффект вызывает замещение 7% Рг на La в этом материале [83]. Однако эксперимент показывает,^что момент при Т = 0 растет почти линейно с Тс，в то время как из результатов ПСП (7.13, 7.16) следует гораздо более медленный. рост (значения момента должны быть экспоненциально малы по △/%)• Это свидетельствует о неприменимости ПСП вблизи " = 1. Сильное влияние давления на свойства ФМ металла Pr3Se4 обнаружено в [157].

Вернемся теперь к проблеме элементарных возбуждений. Результат (7.22) строго обоснован лишь в пределе » » 1. Вблизи » = 1 более надежные результаты можно получить, используя методику [11], как это сделано в [71, 89а]. Если в [71] исследование синглет-синглетной системы позволило установить основные черты энергетического спектра синглетных магнетиков, то рассмотрение синглет-дублетной парамагнитной системы в [89а] привело к результатам, непосредственно сопоставимым с экспериментом. Именно, там найдены температурные зависимости энергии и затухания квазичастиц и установлена форма линий на нейтронограммах. Теоретические результаты хорошо согласуются с эк спе ри ментальными данными по той модификации Рг, в которой он имеет структуру с двойной гекса-

гональной упаковкой [89в] (в отличие от кубической модификации Рг не упорядочен в ней вплоть до Т = 0).

Менее обоснованы результаты, полученные при произвольных ", где в качестве базисных функций для экситонных состояний используются одноатомные функции (7.7), найденные в ПСП (например, [155]). Тем не менее имеются экспериментальные указания, что при не слишком малых » спектр, полученный таким образом, близок к реальному [315].

Исследование элементарных возбуждений в магнитоупорядоченной фазе на основе гамильтонианов (7.4) или (7.5) производится при больших намагниченностях элементарно путем перехода от операторов момента к операторам отклонений момента при помощи соотношений типа (4.7). Гораздо более сложна задача о них при температурах выше точки Кюри. Ее решению посвящена работа [192], выполненная техникой функционального интегрирования. Основной вывод теории — существование элементарных возбуждений с малым затуханием типа магнитных экситонов как ниже, так и выше Тс - подтверждается экспериментами [129, 261,118].

Следует упомянуть, что в Рг3Т1 [78] и LiTbp Yi _pF4 [315] наблюдался так называемый центральный пик неупругого рассеяния нейтронов (т.е. вблизи нулевой частоты). Такой пик характерен для многих сегнетоэлектриков типа смещения, с которыми синглетные магнетики схожи в механизме установления упорядочения. Сейчас не существует единого мнения о природе центрального пика: его связывают и с дефектами в междоузлиях, и с антифазными флуктуациями, и с затуханием мягкой моды, зависящей от частоты (см. [6]).

г. Ядерный магнетизм синглетных магнетиков

Кроме обычного упорядочения спинов электронов в синглетных магнетиках возможно еще упорядочение ядерных спинов, обусловленное их косвенным обменным взаимодействием через электроны. Этот эффект особенно заметен, когда параметр » лишь не намного превышает критическое значение!. Тогда дальний порядок среди электронных спинов отсутствует и единственный дальний порядок, который осуществляется в системе, —это ядерный. С другой стороны, если » велико, то флуктуации поляризации электронных спинов малы, а потому и косвенный обмен между ядерными спинами слабый [80, 135].

Теория косвенного обмена между ядерными спинами через /-электроны строится по аналогии с теорией сверхобмена Бломбергена — Роуленда (п.1в). Ядро атома взаимодействует с /-электронами посредством сверхтонкого взаимодействия

Нр= —Л S Jg . Sg, (7.24) где Sg — оператор спина ядра. Во втором порядке теории возмущений по сверхтонкому взаимодействию получается поправка к электронной энергии, зависящая от ядерных спинов:

%= — 至|〈0| 〃团 lk〉|2/cok, Uk> = 0klO>, (7.25)

где экситонная частота 3卜 дается формулой (7.23), а экситонный оператор 31 получается боголюбовским спутыванием операторов (4.9), входящих в гамильтониан (7.3). Таким образом, оператор момента /-элект-

Э.Л. Нагаев 161

ронов выражается через экситонные соотношением

Z {(〃к 儷 + %0-к) exp (ik g) + к.с.} •(7.26)

Символами I 0〉 и I Ik〉 обозначены вакуумная волновая функция для экситонов и одноэкситонные состояния, 〃к н Uk в (7.26) — коэффициенты боголюбовского преобразования, диагонализующего (7.3).

В приближении ближайших соседей для электронного обмена из (7.237.26) получается следующее взаимодействие между ядерными спинами:

品 K(7.27)

8л/8

Kgf=exp{-("-l)i/2\/7|gif I/"},

где z — число ближайших соседей. Таким образом, в принятой модели вследствие электронной анизотропии взаимодействие между спинами ядер тоже анизотропно. Оно стремится установить ФМ порядок.

Естественно, область применимости (7.27) ограничена значениями 17, не слишком близкими к 1. В других моделях косвенное обменное взаимодействие между ядрами может бьпь и АФМ. Следует отметить, что появление дальнего порядка среди ядерных спинов приводит к появлению аналогичного порядка среди электронных спинов, хотя его параметр и очень Мал. Но в отсутствие взаимодействия с ядерными спинами упорядочение электронных спинов отсутствовало бы вообще. Таким образом, в рассматриваемом случае упорядочение, по существу, является ядерно-элект- ронным.

Примером синглетных магнетиков с АФМ упорядочением ядерных спинов может служить PrCu2 с Tn = 58 мК [80]. В PrSn3, где » < 1, наблюдалось совместное электронное и ядерное упорядочение [183]. Естественно, что здесь 7\ =8,6 К на несколько порядков выше. Ядерное упорядочение наблюдалось также в Cs2 Na Но С16 [294], Pr Си5 [82], Рг Сиб [81], PrNi5 [201].

Системы с расщепленными f-уровнями

и обменом высших порядков по спину.

Самостоятельный интерес представляют системы с /-уровнями, у которых основное состояние ионов может бьпь и синглетным, но которые связаны друг с другом, кроме билинейного обмена, еще и обменом высших степеней по моментам, например биквадратичным. Примером таких систем могут служить синглетные магнетики, в которых наряду с дипольным возможно еще и квадрупольное упорядочение.

В [105в] исследована модель, описываемая гамильтонианом

Н一无 ZJ； -Z2(g_f)J；中△2D/ _

-SJT(f-f)^ 牛z(7.28)

° J(J+1)

При 冰=0 он является анизотропным аналогом (7.5), а при △ = 0 — аналогом (6.19).

В ПСП расчет, как и в п. 13а, производится введением дипольного и квадрупольного самосогласованных полей, для которых получаются анизотропные аналоги уравнений (6.22). Естественно, численный анализ их более сложен, чем (6.22), и физических возможностей здесь гораздо больше. В общем, даже при J =#= 1 фазовая диаграмма таких магнетиков сходна с диаграммой для изотропного магнетика сД = 0и5 = 1 (см. рис. 6.6), если взять △/# в районе 4/3. Как и на рис. 6.6, основное состояние системы с ростом JT/J* превращается из дипольного в квадрупольное. Переход в ПМ состояние из квадрупольного здесь всегда первого рода, а переход в него из дипольного состояния может бьпь и второго рода.

При изменении △/* граница между ФМ и квадрупольным (КВ) состояниями отклоняется от горизонтали вверх или вниз, и тогда становятся возможными при повышении температуры по еле довательно сти фазовых переходов ФМ — КВ - ПМ или КВ - ФМ - ПМ. В п. 166, где обсуждалась ситуация в синглет -триплетных магнетиках, уже указывалось на то, что ФМ упорядочение может отсутствовать при Т = 0, но появиться при конечных температурах. Здесь ситуация в какой-то мере сходная, стой, только разницей, что причиной появления магнитного упорядочения служит его конкуренция с квадрупольным упорядочением. Фазовые переходы ФМ - КВ в цепочке ФМ - КВ - ПМ всегда первого рода.

В том же приближении исследована и более сложная модель, соответствующая магнетикам типа TmCd или TmZn [264а]. В них состояния ионов Тт 3 + с J = 6 расщеплены кристаллическим полем таким образом, что основным состоянием является немагнитный дублет Г3, а из овальных уровней к нему наиболее близок триплет Г5. Подобно синглетным магнетикам в таких системах момент появляется в результате смешивания состояний Г3 и Г5 из-за обменного взаимодействия с другими ионами. Однако существенное отличие от синглетных магнетиков состоит здесь в том, что матричные элементы тензора квадрупольного момента, взятые между компонентами дублета Г3, оказываются отличными от нуля. За счет этого появляется возможность упорядочения не только дипольного, но и квадрупольного.

Соответствующий гамильтониан берется в виде, отвечающем кубической симметрии,

4=2% -2冤心f.)一2m若厅+； PgP,_

-Z£fg(尸；"F +尸？砰z + 尸尸尸£),(7.29)

尸=(尸)2 _(JP)2, РХУ =Jxjy +jyjx9

где Vе — потенциал кристаллического поля, выраженный через операторы моментов. При вычислениях при помощи гамильтониана самосогласованного поля учитывается, что он имеет 5 различных собственных значений по суммарному числу уровней в компонентах Г3 и Г5.

11*

Фазовая диаграмма такой модели представлена на рис. 7.2. Система в зависимости от значений ее параметров может обнаруживать чисто квадрупольное, чисто дипольное или оба типа упорядочения сразу. При пониже* нии температуры возможны либо прямой фазовый переход первого рода из ПМ состояния в состояние с дипольным упорядочением, либо переход в него через квадрупольное состояние. Переход из квадрупольной в ФМ фазу может бьпь как скачкообразным, так и непрерывным, переход же из ПМ в квадрупольную фазу всегда скачкообразен. Наконец, возможна

Рис. 7.2. Фазовая диаграмма магнетика с би- квадратичным обменом и основным немагнитным дублетом. Обозначения рис 6.5 [264а]

ситуация, когда дипольное упорядочение не появляется вообще. По-видимому, так обстоит дело в Tm Cd, где не обнаружен магнитный порядок до 40 мК, н。происходит структурный переход при 3,16 К, который можно интерпретировать как квадрупольный. Напротив, TmZn упорядочивается ферромагнитно при 10 К, и одновременно происходит тетрагональное искажение решетки (п. 25а).

Выход за пределы ПСП приводит к результату, согласно которому при некоторых значениях параметров фазовые переходы в рассматриваемой системе невозможны вообще. По-видимому, из таких работ наиболее последовательна [296], где развит метод постоянной связи для магнетика, описью аемо го гамильтонианом (7.28), который удобно переписать здесь в форме, соответствующей ближайшим соседям,

Н=2"^+С (730)

H^+穴=一 2 少 sg Sg+N - 2%s； s；+K -f 箍 + $； + К)，

где (-0) соответствует A Sg 三 S；,S = L Важным отличием от первоначального варианта метода постоянной связи, введенного для билинейного обмена [66], является наличие двух эффективных полей ： дипольного Л и квадрупольного 匕 Вводится двухчастичная матрица плотности для пары соседних ионов

р(2) = ехр(-0Яе)/8р {ехр(-0 %)} , (7・31) выраженная через эффективный гамильтониан этой пары, который выбирается в виде

儿=-2%Sg+L 2%s；s*x-〃(sg + Sg+X)~鹏 + %+#• (7・32)

В соответствии с общей идеологией метода, пробная свободная энергия минимизируется по двум вариационным параметрам т - is) 9 q = (s2 ) 9 и тогда находятся поля Л и как функции температуры. Свободная энергия может быть найдена из соотношения

一0戶(0,加,q) = - f E(0‘, m, q)d0' + \ng(m,q),(7.33)

о

где E(0, m9 q) - средняя энергия, a g (加,q) — статистическая сумма при T -> 8 для фиксированных 加 и q. Она выражается следующим образом:

Nz

-0戶0,加，q) = ~ In [Sp exp(-0儿)]+ BN{-mzh + q(D - zk)} +

・ N(z-D . 、, (q + 加)

+— I (q + 加)In—-- +

+ (q-m) In —-- +2(1 -q)ln(l -q)j.(7.34)

При написании (7.34) использовано равенство

Е= ^Nz Ер (р(2)Н(2)) =

= ^Nz !-二 Spexp0HJ + Sp[(H(2) _ 儿)exp(—%)]]・

Минимизация свободной энергии (7.34) no 加 и q приводит к уравнениям

(~—)=ехр(2^Л), - ~ . J—=exp[-20(0-z切.

\q-m)(4(1 —q)2 J

(7.35)

С другой стороны, можно получить mnq через р^2^ (7.31):

加= ^Sp{p(2)(Sg+Sg+K)} , q=gsp{p(2)(s；+s；+K)}・(7.36)

Подстановка (7.36) в (7.35) превращает их в уравнения относительно h и к. О высокой точности такого приближения свидетельствует тот факт, что для одномерной цепочки оно приводит к результатам, совпадающим с точными результатами работы [200j.

Для трехмерных систем результаты такого приближения в некоторых случаях качественно отличны от результатов ПСП. Например, при J = О и 2)侪 = —4z/3 здесь, в отличие от ПСП, не получается фазового перехода из квадрупольного в ПМ состояние: равенство q = 2/3 не выполняется ни при каких температурах. При 2 # 0 фазовые переходы очень чувствительны к константе 女 Возможен один переход из квадрупольного или ФМ в ПМ состояние, причем КВ — ПМ всегда первого рода, а ФМ — ПМ может быть и первого, и второго рода. Возможна также пара переходов: сначала переход первого рода КВ - ФМ или ФМ - КВ, а затем переход в ПМ

состояние. Таким образом, при »》0 расчет методом постоянной связи приводит f качественным результатам, согласующимся с ПСП (рис. 7.2).

В [274] исследованы элементарные возбуждения в магнетиках с би- квадратичным обменом и сильным расщеплением уровня иона с заданным значением I в кристаллическом поле. Примером таких магнетиков может служить Dy Sb, в котором 16-кратно вырожденный уровень Dy расщепляется на подуровни меньшей кратности, так что его основное состояние есть крамерсовский дублет Г6,а первое возбужденное — квартет Г8. В такой системе возможны магнитные экситоны, слабо затухающие как ниже, так и выше %• Смешивание эксито иных переходов Г6 -* Г8 с обычными магнонами и квадруплонами, специфичными для систем с биквадратичным взаимодействием (п. 136), приводит к довольно сложной картине элементарных возбуждений в таких системах.

Фазовые переходы в системах с магнитными экситонами

Изменение мультиплетности магнитных ионов

Рассмотрим теперь фазовые переходы, происходящие с изменением мультиплетности магнитных ионов. Под ними прежде всего понимается изменение величины магнитного момента иона, например переход иона из низкоспинового в высокоспиновое состояние. Но в некоторых случаях такое изменение мультиплетности может быть связано с переходами между различными компонентами уровня с одним и тем же значением полного момента J, расщепленного кристаллическим полем, если по каким-то причинам матричные элементы момента между этими компонентами равны нулю и их смешивания, типа обсужденного в п. 16а, не происходит.

Ситуация, когда разные компоненты не смешиваются друг с другом была рассмотрена в [104], где была предпринята попытка построить теорию фазового перехода порядок - беспорядок первого рода в UO2 (п. 256). Ионы U4+ в этом материале находятся в состоянии 3Н4 с 丿=4, и их основное состояние является синглетным Гх. Но, в отличие от схемы, изображенной на рис. 7.1 для Рг3 + с тем же J, из триплетов здесь низшим является Г5. Из соображений симметрии следует, что матричные элементы момента между Гх и Г5 равны нулю.

Состояния триплета подобны состояниям атома со спином единица: в одном из них среднее значение 1 равно нулю, в двух других оно равно ± с (см., например, (7.1)). Поэтому под действием молекулярного поля, описывающего обменное взаимодействие атома с соседями, одна из компонент опускается вниз, а другая поднимается. Допустим, что при Т = 0 нижняя компонента триплета лежит ниже синглета. Тогда в системе установится магнитный дальний порядок. Но с подъемом температуры параметр порядка о убывает и нижняя компонента поднимается вверх. В результате при достаточно высоких температурах низшим уровнем окажется синглетный, т.е. кристалл должен перейти в немагнитное состояние.

Характер такого перехода устанавливается анализом выражения для параметра порядка, легко получаемым в ПСП,

о = с(е" - е~х)(еа/т + 1 + е" + е-^)"1, х = с% о/Т,

где △ - энергия экситона Г1 -> Г5, Z/q — фурье-компонента интеграла гейзенберговского обмена, соответствующая вектору структуры Q. При достаточно малых △/% фазовый переход порядок — беспорядок - второго рода, но, начиная с некоторого критического значения этого параметра, он становится первого рода. Естественно, параметр A/^q можно менять давлением, в связи с чем открывается возможность перевести кристалл из немагнитного в магнитное состояние посредством давления или изменить давлением тип фазового перехода.

В принципе, аналогичные эффекты возможны и в соединениях переходных элементов, где тоже возможны относительно низкочастотные экситоны, рождение которых изменяет спин магнитных атомов. Допустим, что в кубическом поле решетки d-уровень расщепляется на трехкратно вырожденный f2g-Уровень и двукратно вырожденный eg-уровень (рис. 5.4), и первый лежит ниже второго. Тогда при заполнении d-уровней возникает конкуренция между этим расщеплением и обменным взаимодействием между J-электронами, в соответствии с правилом Хунда стремящимся сделать спин J-электронов максимально возможным. Из-за этой конкуренции разность энергий между состояниями иона с различными значениями S может оказаться небольшой.

Такова, в частности, ситуация с ионами Со3+. В LaCoO3 шесть J-электронов иона при Г = 0 находятся в диамагнитном состоянии (^geg)，которое только на 0,05 эВ ниже магнитного состояния (z^gC^) с 5 = 2 [98]. Аналогичная ситуация в НоСоОз [97] и Со2О3 [126]. Однако кооперативный характер переход из низко- в высокоспиновое состояние приобретает, лишь когда энергия взаимодействия между экситонами сравнима с энергией экситона. По-видимому, в указанных выше материалах это условие не выполняется, и магнитные экситоны возбуждаются независимо друг от друга. Поэтому ионы в высокоспиновом и низкоспиновом состояниях сосуществуют друг с другом практически при всех температурах (при очень высоких температурах в LaCoO3 и НоСоО3, по-видимому, происходит делокализация J-электронов). Возможно, фазовый переход с изменением спина происходит в MnAs [12] (см. и. 25а).

Надежно установлено существование фазовых переходов первого рода с изменением мультиплетности спина в некоторых органических соединениях, включающих в себя/ Fe2 + . Их примером может служить Fe (phen) 2 (NCS) 2. В этом материале при охлаждении до 174 К ион железа переходит из магнитного (Г^2 eg) в немагнитное (%) состояние, т.е. при Т = 0 материал диамагнитен [288]. В точке перехода структурных изменений не наблюдалось. Родственные материалы с еще более сложной химической структурой указаны в [195]. Во всех этих органических соединениях железа магнитный порядок в состоянии с в некоим спином отсутствует. В [247] существование фазового перехода объяснено возникновением напряжений в кристалле при изменении спинового состояния ионов.

В проводящих магнетиках фазовый переход из низко- в высокоспиновое состояние может быть вызван взаимодействием экситонов с носителями тока, осуществляющими косвенный обмен между моментами, появившимися на атомах в результате возбуждения на них магнитных экситонов. Ниже будет рассмотрена физическая ситуация, соответствующая одновременному переходу кристалла из низкоспинового с высо-

ко спиновое состояние и изменению типа его проводимости с полупроводниковой на полу металлическую. Она возможна в магнитных полупроводниках с узкой запрещенной зоной [220].

Считается, что переходы электронов из валентной зоны в зону проводимости не затрагивают электронов частично заполненных оболочек атомов (такие переходы соответствуют уходу электрона из полностью заполненной оболочки немагнитного аниона в полностью пустую внешнюю оболочку катиона, магнитные же d-злектроны катиона остаются на месте) .В основном состоянии спин магнитного атома равен нулю, рождение на нем экситона соответствует появлению у атома спина единица.

При появлении экситона включается взаимодействие между ним и электронами проводимости (s — d-обмен). За счет него одновременно сужается запрещенная зона и уменьшается энергия экситонов. Первый из этих эффектов тем сильнее, чем больше экситонов, второй — чем больше концентрация носителей тока. Поэтому между носителями тока и экситонами возникает положительная обратная связь, стремящаяся вызвать совместный фазовый переход в такой системе. Магнитный порядок после перехода в ней, вообще говоря, не появляется.

Численные расчеты показали, что существует область значений параметров системы, при которых возможен фазовый переход из полупроводникового в полуметаллическое состояние. При не очень малых частотах экситона △ он второго рода, но -с уменьшением △ он становится скачкообразным: на несколько порядков скачком возрастают концентрация носителей тока и магнитная восприимчивость, пропорциональная числу экситонов. Внешнее магнитное поле, если оно достаточно сильное, может вызвать- резкий переход из изолирующего диамагнитного в проводящее ФМ состояние.

Изменение типа магнитного упорядочения при возбуждении экситонов светом

Возбуждение экситонов Френкеля на магнитных ионах изменяет не только их моменты, но и обменное взаимодействие ионов с соседями и магнитную анизотропию кристалла. В результате может измениться тип магнитного упорядочения. Это изменение может, в частности, состоять в переориентации моментов, что наблюдалось в ЕгСгО3 [202]. Этот материал в темноте обнаруживает при 9,4 К термодинамически равновесный спин-переориентационный фазовый переход первого рода из высокотемпературной фазы Г4 в низкотемпературную Г j. Ниже точки перехода в магнитном поле могут сосуществовать обе фазы. Наблюдение за одной из линий поглощения в спектре Ег3+ показало, что при переходе она сдвигается. Когда фазы сосуществуют, видны обе линии Г】и Г4.

Освещение кристалла лазером при температурах ниже 9,4 К приводит к полному переходу кристалла в состояние Г4, если в темноте он находился в двухфазном состоянии. Сразу после облучения линии Г4 сильно расширяется и сдвигается. Оба эти эффекта значительно превышают те, которые обусловлены разогревом кристалла под действием света. Судя по характерным временам процессов определяющим должен быть не разогрев, а прямое фото магнитное воздействие света на кристалл.

Еще более впечатляющи результаты, полученные при исследовании АФМ резонанса в EuCrO3 возбужденным импульсным лазером на длине 168

волны 5 32 нм с мощностью в импульсе 280 кВт [18]. При Т < 50 К, начиная с некоторой пороговой мощности накачки и достаточной ее длительности, наблюдался сигнал. нового резонансного поглощения, сдвинутый относительно исходного АФМ резонанса. После включения накачки старый сигнал АФМР либо сильно уменьшал свою интенсивность, либо исчезал полностью в зависимости от мощности накачки. Изменение картины АФМР во времени происходит следующим образом. В первые минуты после выключения лазера наблюдалось быстрое увеличение интенсивности нового сигнала и сдвиг его по прлю (рис. 7.3). Далее интенсивность сигнала практически не менялась, а сдвиг резонансного поля замедлялся и затем это поле тоже прекращало сдвигаться. Новый сигнал сохранялся в течение суток.

Авторы работы [18] полагают, что у исследованных ими кристаллов термодинамически равновесное состояние не реализуется при обычном охлаждении и что достичь его можно только освещением кристаллов лазером. Экситоны, возникающие под действием света, нормальные в том смысле, что их частота положительна. Однако при объединении экситонов вызванном силами притяжения между ними, в достаточно большие комплексы энергия этих комплексов оказывается ниже энергии исходного состояния. Если экситонов мало, то они не успевают объединиться в комплексы и аннигилируют. Этим объясняется пороговый характер эффекта. Описанная выше задержка появления нового сигнала обусловлена тем, что для образования новой фазы нужно достаточно много времени, пока экситоны диффундируют друг к другу. Считается, что свет вызывает переход иона Еи3+ из немагнитного состояния в магнитное. Стабилизация возбуждения обусловлена обменным взаимодействием между ионами Ей3 + , представляющим собой сверхобмен через ионы Сг3 + .

Иная интерпретация результатов [18] дана в [59]. Там считается, что образование экситонных комплексов приводит не к появлению истинно стабильной фазы, а к появлению дол го живущей эксито иной фазы.

Рис. 7.3. Зависимость сигнала АФМР в EuGrO, от времени. Линии 3-6 записаны через каждые 2 мин после включения лазера. Стрелками указаны моменты включения и выключения лазера [254]

Действительно, если бы экситонная фаза была истинным основным состоянием, то его можно было бы достичь не только оптическим возбуждением кристалла, но и другими путями, например, очень медленным охлаждением, чего на эксперименте не получается.

Как показано в [59], большое время жизни возбужденной эксито иной фазы при низких температурах можно объяснить тем, что вероятность аннигиляции экситонов при определенных условиях экспоненциально убывает с ростом размеров эксито иной области. Экситоны могут аннигилировать посредством как излучательных, так и безызлучательных пере-

ходов. Последний канал наиболее мощный. Будем считать, что первоначально в кристалле под действием света возникают высо ко часто тные экситоны. Посредством безызлучательных переходов они превращаются в низкочастотные, длй которых излучательные переходы запрещены.

Допустим, что такие низкочастотные экситоны в исходном состоянии возбуждены на всех L атомах некоторой односвязной области G, а в конечном состоянии один из них аннигилировал. В результате в области G образовалась эксито иная дырка, которая движется по всей области. Ее движению препятствует взаимодействие с фононами. Нас будет интересовать случай, когда это взаимодействие не настолько сильное, чтобы вызвать автолокализацию дырки, и потому она движется по атомам когерентно, подобно тому, как обычные электрон или дырка движутся по кристаллу. Альтернативой когерентному движению дырки служит ее движение по типу полярона малого радиуса, происходящее при достаточно сильном взаимодействии дырки с колебаниями атомов (см., например, [48]). В этом случае зависимость времени жизни экситона от размеров экситон- ной области отсутствует.

Аннигиляция экситона сопровождается изменением положения равновесия атомов решетки. В соответствии с теорией безызлучательных много- фононных переходов (например, [266]) вероятность перехода в электронной подсистеме пропорциональна следующей величине:

((A一 Eg

М了〜ехр 卜— j,(7.37)

где

0=М2з 各 |60q/|2,

/2 =MZ3^|6Eqj|2(2“・+l), 50qj =鄧厂以戸

△ — энергия экситона с учетом его взаимодействия с другими экситонами в области G. По предположению, △ велика по сравнению с шириной экситонной зоны и энергией Ер. Далее, 0&, и Q^ - положения равновесия фононов в исходном и конечном состояниях, 〃qj — функция распределения для фононов из ветви / с волновым вектором q, 3q, — их частота,^ — масса атомов.

Поскольку гамильтониан экситон-фононного взаимодействия имеет структуру типа P-q Qq// где p_q — фурье-компонента экситонной плотности, величины 0qj пропорциональны < p_q >. Поэтому при появлении экситонной дырки положения равновесия осцилляторов решетки сдвигаются на величину

60qj 2 exp(zq • g) = 6 <p_q > = <pLq > - <p£q >.(7.38)

L gwG

Как следует из (7.38), для фононов, длина волны которых меньше размеров области, 60qy мало. С ростом/ число таких фононных мод возрастает. Следовательно, уменьшается величина о?, а с ней и вероятность перехода.

Согласно (7.37) при Т > 3q, процесс аннигиляции экситонов — активированный, с энергией активации Д2/4Fp. При Т = 0 это процесс происходит в результате квантового туннелирования решетки от исходного к 170

конечному положению равновесия ее атомов. Детальный расчет показывает, что если до минирующую роль играет взаимодействие экситонов с акустическими фононами, то энергия активации получается пропорциональной т.е. вероятность аннигиляции убывает экспоненциально с ростом L. Еще более быстрым оказывается ее убывание с L при Т -> 0: показатель экспоненты в (7.37) пропорционален .

Коль скоро аннигиляция экситонов в экситонном конденсате при£ ->°° оказывается запрещенной, естественно, наиболее эффективно этот процесс должен идти через их испарение из эксито иной фазы. Экситон, вышедший из конденсата, аннигилирует обычным путем, т.е. с наибольшей вероятностью в результате захвата на дефект решетки, снимающий ограничения на аннигиляцию из-за закона сохранения квазиимпульса. Таким образом, энергия активации для аннигиляции экситона, входившего в конденсат, выше, чем у отдельного экситона, на энергию его выхода из экситонного конденсата.

В пользу изложенной здесь теории говорит резкое падение эффективности аннигиляции триплетных экситонов с ростом их концентрации до Ю20 см"3, обнаруженное в молекулярном кристалле бензофеноне при 4,2 К [20].

ГЛАВА VIII

ОСОБЕННОСТИ СВОЙСТВ ПРОВОДЯЩИХ МАГНЕТИКОВ

Негейзенбфговские структуры в проводящих магаетиках

Многоподрешеточные коллинеарные антиферромагнитные структуры

Рассмотрение, проведенное в гл. VI, показало, что из-за членов высшего порядка по спину в изотропных магнетиках возможен ряд негейзенберговских структур, таких как многоподрешеточные коллинеарные, двухподре- шеточные скошенные и т.д. Это рассмотрение основывалось на феноменологических гамильтонианах, включающих в себя члены четвертого порядка по спину. Чтобы соответствующая структура была устойчива, необходимо допустить определенные порядки величин и знаки параметров этих гамильтонианов. Но, когда речь идет о проводящих негейзенберговских магнетиках, необходимо иметь в виду, что гамильтонианы типа использованных в гл. VI имеют для них сугубо модельный смысл. Как подробно обсуждалось в гл.1, гамильтониан негейзенберговского обмена в металлах и вырожденных полупроводниках не представим рядом типа (1.7) с конечным числом членов. Поэтому для проводящих магнетиков особенно желательно проведение расчетов, основанных на микроскопических моделях. В этом параграфе будут изложены расчеты, доказывающие возможность в проводящих магнетиках коллинеарных многоподрешеточных АФМ и скошенных двухподрешеточных АФМ структур [49].

Как уже обсуждалось в п. 2а, чтобы косвенный обмен между локализованными моментами через электроны проводимости был сильно негейзенберговским, нужно, чтобы их энергетический спектр был сильно анизотропен —в простейшем случае квазиодномерен. Такой спектр возможен и в изотропных металлах, если на поверхности Ферми имеются плоские участки.

В работе [21], где было впервые обращено внимание на негейзенберговский характер косвенного обмена в металлах, были исследованы только геликоидальные структуры, возможные и при гейзенберговском обмене. Было показано, что наиболее энергетически выгодная геликоидальная структура должна иметь вектор геликоида, близкий к экстремальному диаметру поверхности Ферми. Установление геликоида с таким вектором приводит к понижению энергии всех электронных состояний ниже уровня Ферми, повышаются же лишь энергии незаполненных состояний. Этот эффект представляет собой обобщение пайерловского удвоения решетки на случай несоизмеримых структур.

Однако аналогичное понижение энергий заполненных состояний могут вызвать и соизмеримые структуры. Заранее не очевидно, что не будет происходить их запирания, т.е. что в определенном интервале электронных концентраций такие структуры с фиксированным периодом не окажутся энергетически выгоднее несоизмеримых с периодом, непрерывно меняющимся с концентрацией. Согласие [49] при определенных условиях соизмеримые негейзенберговские структуры ССЮЮ и СССЮЮЮ (т.е. коллинеарные четырех- и шестиподрешеточные АФМ) энергетически выгоднее гейзенберговской геликоидальной в широком интервале концентраций электронов проводимости. Этот результат получен для систем, не обладающих магнитной анизотропией, и является только следствием негейзенберговского характера косвенного обмена. Он подтверждает возможность использования изотропных магнитных гамильтонианов с обменом четвертого порядка по спину в качестве модельных для магнитных металлов (в п. 15а ССЮЮ структура была получена с использованием такого гамильтониана) .

,Во избежание недоразумений необходимо подчеркнуть, что доказательство энергетической выгодности коллинеарных структур по сравнению с геликоидальной проведено в [49] лишь для частного случая одномерных систем с простым косинусоидальным законом дисперсии для электронов проводимости. Поэтому из указанных работ отнюдь не следует, что геликоидальная структура всегда менее энергетически выгодна, чем коллинеарные структуры. Их энергии мало отличаются друг от друга и потому должны быть чувствительны к детальному виду закона дисперсии. Можно ожидать, что при других законах дисперсии несоизмеримая структура будет иметь более низкую энергию, чем соизмеримые структуры.

Гамильтониан используемой ниже модели с введенным знаковым множителем (6.57) записывается в виде, представляющем собой частный случай (1.36) для упорядочения классических спинов по типу ССЮЮ:

”4 = B^ag aag±Ya — Л 5 S ozgag(Jag^ ст.(8・1)

Одномерность рассматриваемой системы, с одной стороны, обеспечивает максимально возможную степень негейзенберговости косвенного обмена (п. 2а), а с другой стороны, позволяет провести все расчеты до конца. Из-за малой разницы в энергиях геликоидального и коллинеарного ССЮЮ упорядочения при заполнении зоны на 1/4 необходимо найти их энергий с максимально возможной точностью, используя численные расчеты.

е4(^, ±, ±) = ± [ 2 + М ± 2| а2 + cos2 уе4(^, ±, ±) = ± [ 2 + М ± 2| а2 + cos2 уСпектр системы (8.1), двукратно вырожденный по спину, состоит из четырех подзон

е4(^, ±, ±) = ± [ 2 + М ± 2| а2 + cos2 у

е4(^, ±, ±) = ± [ 2 + М ± 2| а2 + cos2 у

,а =,(8.2)

J 2|5|

где за единицу энергии взят | В | (е =£/| В |).

Вначале будет предположено, что зона проводимости заполнена точно на 1/4, т.е. нижняя из подзон (8.2) заполнена полностью, а остальные пусты. Энергия £\ структуры, равная сумме энергий всех занятых электронных состояний, находится численным интегрированием (8.2). Ее следует срав-

173

нить с наименьшей энергией Es геликоидального упорядочения при том же заполнении зоны проводимости. Электронный спектр для спиральной структуры с вектором геликоида 2 г дается выражением

е$(2 г) = -2(cosrcosp ± \/ sin2p sinr + а2/4 ), р = к - т,(8.3)

получающимся из (1.40) в приближении ближайших соседей. Его интегрирование по занятым состояниям дает полную электронную энергию при геликоидальном упорядочении Eg (2г). При заполнении зоны на 1/4 период геликоида должен быть близок к периоду ССЮЮ структуры. Однако в спиральной структуре с г = тг/4 спины не коллинеарны, а ортогональны друг другу. Это различие между ССЮЮ и геликоидальной структурами весьма существенно: оно приводит к совершенно различным типам спектра для них (8.2) и (8.3), отличающимся друг от друга даже по числу подзон.

Более точно величина г находится следующим образом. Чтобы энергия Е$ была минимальна, надо, чтобы нижняя подзона (8.3) была наполовину заполнена, а верхняя пуста. В этом случае для Es (2г ) можно получить выражение в явном виде через полный эллиптический интеграл второго рода 8(х):

Т(2 г) = -^卜osr +Т(2 г) = -^卜osr +(8.4)(8.4)

Т(2 г) = -^卜osr +

Т(2 г) = -^卜osr +

(8.4)

(8.4)

Оптимальное значение г т , находимое из условия минимума (8.4), меньше тг/4 на величину Иг, малую по параметру а：

(8.5)

По условию минимума энергии при г = гт разность энергий △£ = =Es(2rm) - ® (行/2) имеет порядок (△ r/rw)2, что согласно (8.5) составляет 10~5 Es при а = 0,1 и (ICT? + Ю-2)£5 при а = 0,3 0,5- Таким образом, разность △£ пренебрежимо мала по сравнению с разностями энергий Es(7г/2) и Е4, приведенными в табл. 8.1. Фигурирующие в них значе-

Таблица 8.1

а

и = 1/4

и = 1/6

一 e»

-Е$(7г/2)

_马

~Е2

ФМ

~Е6

-Е$(7Г/3)

0,1

0,0055

0,0051

0,0028

0,0014

0,3

0,0378

0,0347

0,0202

0,0125

0,0244

0,0371

0,0363

0,5

0,0891

0,0816

0,0568

0,0344

0,0620

0,0826

0,0806

1,0

0,2646

0,2452

0,2362

0,1304

ния энергии в расчете на атом отсчитаны от энергии системы при а = 0, и для большей точности энергия Es вычислялась не по (8.4), а численным интегрированием (8.3). В этой же таблице для сравнения приведены энергии £\ и 七2 ①М и двухподрешеточной АФМ структур, полученные численным интегрированием (8.3) при г = 0 и тг/2. Кроме того, приведена энергия Е： м четырехподрешеточной ферримагнитной структуры СССЮ, вычисленная по той же схеме, что и энергия Е6 (8.6).

Как видно из таблицы, выигрыш в энергии при установлении ССЮЮ или геликоидального упорядочения в несколько раз выше, чем при установлении ФМ или двухподрешеточной АФМ структур. Он существенно превышает и выигрыш при установлении СССЮ структуры, что иллюстрирует энергетическую невыгодность других четырехподрешеточных структур по сравнению с ССЮЮ. Энергии же ССЮЮ и геликоидальной структур отличаются друг от друга только на 10%. Но при всех значениях, приведенных в таблице, ССЮЮ структура энергетически выгоднее геликоидальной. Разность Es —七4 хотя и невелика, но сравнима с типичными значениями магнитной анизотропии в редкоземельных металлах. Это свидетельствует о том, что не гейзенберговский косвенный обмен может быть главной причиной аномальных свойств металлов типа CeSb, в особенности тех, которые нельзя объяснить магнитной анизотропией (п. 24в).

Если же зона проводимости заполнена точно на 1/6, конкурентом геликоидальной структуры является СССЮЮЮ шестиподрешеточная коллинеарная АФМ структура. Точная диагонализация гамильтониана, аналогичного (8.1), приводит к дисперсионному уравнению шестой степени, отражающему тот факт, что зона проводимости в этом случае расщепляется на 6 вырожденных по спину подзон. На практике удобнее находить из него не энергию е как функцию квазиимпульса к, а обратную функцию 七(е )• Ее производная по е есть не что иное, как плотность уровней, так что энергия СССЮЮЮ структуры £6 дается выражением

1е(")

耳=--{貝")"-/ deZ(e)},(8.6)

37Ге(0)

k(e) = arc cos 1~(е2 —а2 )3—3 е4 +k(e) = arc cos 1~(е2 —а2 )3—3 е4 +где.

k(e) = arc cos 1~(е2 —а2 )3—3 е4 +

k(e) = arc cos 1~(е2 —а2 )3—3 е4 +

2 а2

При численном интегрировании (8.6) берется та ветвь функции 七(е ), которая отвечает нижней подзоне. Минимальной энергии геликоида соответствует здесь его вектор, близкий к тг/З. Энергия Es (я/З) и в этом случае находится численным интегрированием (8.3). Результаты вычислений представлены в табл. 8.1. Из нее видно, что и в этом случае многоподрешеточная структура энергетически выгоднее геликоидальной, хотя разность их энергии меньше, чем при заполнении на 1/4.

Естественно, многоподрешеточные структуры остаются энергетически выгоднее спиральных в некоторых интервалах заполнений р с центрами 1 /4

и 1/6. Интервал [1/4 -〃_ , 1/4 + ^+ ], внутри которого Е《меньше Es , определяется соотношением, вытекающим из (8.2), (8.3):

(8.7)(8.7)%=±("s- £4)[，2+館 一"2+储与 2a「I

(8.7)

(8.7)

ЛЛСогласно (8.7) при а, изменяющемся в пределах 0,3+0,5, значения 〃土 близки к 0,05. Аналогичная оценка показывает, что ширина интервала стабильности СССЮЮЮ структуры близка к 0,02. Таким образом, на фазовой диаграмме рис. 8.1 ССЮЮ и СССЮЮЮ структуры разделяет только узкий

Л

Л

Рис. 8.1. Фазовая диаграмма одномерного проводящего магнетика [49]

а 乃 о^д 0,20р ©羽

интервал [0,18: 0,20], внутри которого геликоидальная структура, возможно, стабильна.

Естественно, магнитная анизотропия расширяет интервалы стабильности многоподрешеточных структур. К тому же приводит и конечная сжимаемость решетки, делающая возможным возникновение волны плотности заряда. Если зона проводимости Заполнена на 1/4, то в кристалле с ССЮЮ упорядочением происходит удвоение, а не учетверение кристаллографического периода, как это было бы в немагнитном кристалле. Кристаллографическое учетверение было бы энергетически выгодно, если бы оно создавало щель на поверхности Ферми. Но из-за магнитного учетверения щель там уже существует, и при достаточно больших а изменение электронной энергии £4 вследствие деформации 〃 оказывается порядка о^и, а не м21пм, как это было бы при пайерлсовской деформации решетки. Поэтому именно симметрия ССЮЮ структуры определяет характер деформации решетки: относительное смещение ближайших соседей с параллельными спинами должно быть равно по величине и противоположно по знаку смещению соседей с антипараллельными спинами.

Приведенные соображения подтверждаются расчетом, в котором учитывается зависимость блоховского интеграла В от изменения расстояния между соседними атомами. Удобно вместо номера атома g ввести номер элементарной магнитной ячейки п и номер атома / внутри ячейки так, что g = 4几 +/. Разложением блоховского интеграла по смещениям атомов 〃八/ получается поправка к электронному гамильтониану (8.1) вида

N/4 з

Н — В Z { Z Uj+\jdn j o^nj+i.o +

л = О / = 1

+ "1,4〃；，4,or〃zi + l, 1,0} + K.c.,(8・8)

где 〃j+i" = 〃nj+] _〃％/ При/&3 и "1,4 二〃八+1,] _〃％4・

Диагонализацией гамильтониана Н〃 +Н‘ (8.1, 8.8) после суммирования по квазиимпульсам и проекциям спина получается следующее выражение для поправки к электронной энергии:

(8.9)(8.9)а2 75’

(8.9)

(8.9)

5 典二(〃2 1 + 〃43 - 〃2 3 - 〃14),7 = _ , _ ,

27r2 |B I

К выражению (8.9) следует добавить упругую энергию деформированной решетки, которая в приближении ближайших соседей записывается (тоже в расчете на атом) в виде .

Eel 二 [公 1 + w43 + 公3 + 公4】，к = -—Г-(8.10)

Согласно (8.9), (8.10) энергетически выгодно удвоение периода решетки с изменением расстояния между атомами

2 а27

"2 1 二"4 3 二一"23 = 一 "4i =，

7ГК

что приводит к понижению энергии системы на 2а4у2 /к.

Двухподрешеточная неколлинеарная антиферромагнитная структура в вырожденных полупроводниках

Как было показано в п. 14а, в изотропных магнетиках с негейзенберговским обменом возможно скошенное АФМ упорядочение с отличной от нуля суммарной намагниченностью. В отличие от аналогичной структуры релятивистского происхождения, негейзенберговское НКАФМ упорядочение может реализоваться в любых кристаллических системах независимо от их симметрии. Однако оно носит пороговый характер — для его возникновения необходимо, чтобы степень негейзенберговости обмена превышала некоторую критическую.

Первой работой, посвященной НКАФМ структурам в проводящих магнетиках, была [152]. В ней рассматривался вырожденный АФМ полупроводник с узкой зоной проводимости и считалось, что энергия каждого электрона зависит от угла 2 0 между моментами подрешеток как cos 6. В то же время энергия прямого гейзенберговского обмена, устанавливающего АФМ упорядочение в кристалле в отсутствие электронов проводимости, пропорциональна cos 2 6. Поскольку электроны проводимости стремятся установить ФМ упорядочение и зависимость от энергии от угла 2 0 иная, чем у энергии прямого обмена, минимум полной энергии достигается при отличной от нуля намагниченности кристалла (cos 6 W0). Скос моментов подрешеток по [152] пропорционален концентрации электронов п. Таким образом, пороговый характер НКАФМ упорядочения в изотропных системах в [152] получить не удалось.

Более последовательный подход [47] позволяет дать микроскопическое описание НКАФМ структуры в вырожденном полупроводнике, согласующееся со свойствами симметрии системы. Рассмотрим модель вырожденного АФМ полупроводника, ширина W зоны проводимости которого намного

17717712. Э.Л. Нагаев

177

177

превосходит энергию s — /-обмена AS (предел, противоположный рассмотренному в [152]). Здесь не гейзенберговский характер косвенного обмена проистекает из того, что не выполнено условие применимости теории РККИ: из-за относительной малости концентрации носителей тока п их фермиевская энергия 〃 существенно меньше AS (см. п. 26).

Будем исходить из гамильтониана s — /-модели (1.36) и будем считать с самого начала, что в кристалле реализуется НКАФМ структура. Проводя преобразование Холстейна - Примакова при помощи (6.39), (4.7), получаем следующее выражение для электронной части гамильтониана:

* 4sl **

HQ\ = ^Е^оа^оа^о— Z (“kt “k+йЧ + ^k|^k+nt),

(8.11)

£ko =Ek -/S||。， S||=Scose, 5± = 5 sin 0, П = (я, я, я).

Диагонализуя гамильтониан (8.11) смешиванием операторов ”, и ” +巾, получаем выражение для энергии электронов при НКАФМ упорядочении

£k——2——± K("f+由)2+/名,(8.12)

Ограничиваясь в (8.12) членами второго порядка по AS/W и добавляя к электронной энергии энергию гейзенберговского обмена, находим следующее выражение для полной энергии системы:

вJeff(n)52 , JzS?

石 0(6) = ^Екопко ——-у——TV sin2 0 ——-—Ncos26,(8.13)

где 几ко - фермиевская функция распределения при Т= 0, Jeff - интеграл косвенного обмена (1.37), ? — интеграл прямого обмена между ближайшими соседями.

Равновесное значение угла 6 находится из условия минимума энергии (8.13) с учетом неизменности электронной концентрации

闻卜》+ %3] + ^(乙-%)=0,(8.14)

где р I и р I — числа электронов проводимости на атом со спинами вверх н вниз. Если 〃( W 0, они определяются из равенства химических потенциалов электронов со спинами вверх и вниз:

(8.15)(8.15)(6тг)2/3 2/32/3、V

(8.15)

(8.15)

勺—几() = /S||, по = Swka.

Анализ уравнений (8.14, 8.15) показывает, что они имеют решение с S|| W0 начиная с некоторого порогового значения пА :

3/2匕

2z|J|=——

8 Мл

,3年・(8」6)

С ростом п момент растет как у/п —乙 при малых 几一几厶.Он достигает насыщения при концентрации пр , равной

3

几尸=彳万7"4.(8/7)

Как видно из (8.17), интервал концентраций, внутри которого выполнено необходимое условие существования НКАФМ упорядочения, тем шире, чем дальше система от гейзенберговской (напомним, что в пределе 〃 А/S косвенный обмен описывается теорией РККИ с гейзенберговским гамильтонианом) .Чтобы выяснить, действительно ли НКАФМ упорядочение устойчиво в этом интервале, необходимо исследовать магнонный спектр системы. Элек трон-магнонный гамильтониан, получаемый из (1.36) посредством преобразований (6.39), (4.7), (1.19), имеет вид

Нт = Н\ + 必，

"1 = - / ^^^ Z {(S；,o"k + (s а,а )^-к} ар,о “р + к, а%

/(8.18)

“2 一斤 £力六九，{。COS 6 “；,or〃p-k + k；or + Лр,аЛр + П-к + к*,-а}«

Члены, линейные по Ь^, Ь^ после суммирования с соответствующими членами из гамильтониана прямого гейзенберговского обмена по условию (8.14) исчезают.

Дальнейший расчет выполняется при помощи теории возмущений по 1/2S: гамильтониан Hi учитывается во втором порядке, а % — в первом. С учетом членов из гамильтониана прямого обмена получается следующее выражение:

со^ = {(1 —)k)於 cos 26 + ( R五—k —争三)sin?6 +

+ (部k- ^))cos20} {^(cos 20 -7k)+ ^>k-练 cos2g_ 争亢 siMQ,

/?S z 几p,or —几p + k, pr . R ；《S z 几p,or—几p + k§or 4N£p,or —&+k,-o47V&,0r — & 十 k,o

(8.19)(8.19)^ = zSCf ,)k=zT Z exp(ik • △).

(8.19)

(8.19)

При 几 > 1,7 几/, когда все электроны поляризованы по спину, это выражение для коротковолновых магнонов приобретает вид

3k =1伊I3k =1伊I(8.20)(8.20)

3k =1伊I

3k =1伊I

(8.20)

(8.20)

где концентрации nAnnF даются формулами (8.15, 8.17).Согласно (8.20), если 几尸〉4几/ , то в интервале [4«л，几尸]частоты коротковолновых магно-

17917912*

179

179

нов мнимые. Таким образом, хотя в этом интервале энергия НКАФМ состояния ниже, чем ФМ или АФМ состояний, тем не менее этого недостаточно для стабильности НКАФМ состояния в этом интервале. Однако оно может быть стабильным, если nF < 4〃力.

Расчет, провёденный в [47] в том же пределе, что и в [49], т.е. для узких зон проводимости W<AS9 позволил найти пороговую концентрацию пА, начиная с которой НКАФМ упорядочение энергетически выгоднее коллинеарных. При законе дисперсии для электронов (1.22) для нее получилось

И^ = (?У[2 Т (2S+l)3/2『，

и при малых п - пА намагниченность растет с м по корневому закону. Однако исследовать магнонный спектр в этом пределе не удалось, и потому вопрос о стабильности такого скошенного состояния остается открытым.

Неколлинеарная антиферромагнитная структура в металлах

В предыдущем пункте была рассмотрена ситуация, когда НКАФМ структура возникала вследствие конкуренции прямого гейзенберговского обменам косвенного обмена через электроны проводимости, негейзенберговость которого была обусловлена только относительной малостью числа электронов проводимости. Совершенно ясно, что в металлах с нормальной шириной зоны проводимости такой механизм реализоваться не может. В гипотетических металлах с очень узкой зоной проводимости W<AS косвенный обмен через электроны останется негейзенберговским и при больших концентрациях электронов, но модель, использованная в [47], для них не годится, так как необходимо учитывать отталкивание между электронами —хотя бы как хаббардонское. Поэтому нельзя заранее сказать, приведет ли в таких системах негейзенберговский обмен к НКАФМ упорядочению или к чему-либо другому. .

В этом пункте будет показано, что существуют типы электронных спектров, при которых НКАФМ структура в металлах энергетически выгоднее АФМ или ФМ структур. Проводимое ниже рассмотрение не предполагает существования дополнительного механизма обмена типа прямого взаимодействия. Это означает, что НКАФМ структура может стабилизоваться одним только косвенным обменом.

Будет рассматриваться та же одномерная модель металла, что и в п. 19а, однако при гораздо больших заполнениях зоны проводимости - она должна быть заполнена более чем наполовину [49]. Качественно причина установления НКАФМ упорядочения в такой модели совсем иная, чем геликоидального или много подрешеточного коллинеарного. Это не сингулярность в плотности состояний на поверхности Ферми, а конкуренция между двумя группами электронов проводимости, о суще ствляющими косвенный обмен. Электроны делятся на две группы щелью, появляющейся внутри зоны проводимости при установлении любого двухподрешеточного упорядочения. Считается, что нижняя подзона зоны проводимости заполнена полностью, а верхняя — лишь частично. Электроны первой из них стремятся установить АФМ, а второй - ФМ упорядочение. При определенных типах электронного спектра зависимости этих двух обменных взаимодействий 180

от угла между моментами оказываются различными. Именно благодаря этому и возникает скос моментов подрешеток.

Причина, по которой НКАФМ упорядочение при заполнении зоны проводимости более чем наполовину энергетически выгоднее геликоидального или многоподрепюточных, состоит в следующем. Эти длиннопериодные структуры не могут создать особенность в плотности состояний на поверхности Ферми, ведущую к понижению энергии заполненных электронных состояний. Поэтому пропадают причины, по которым длиннопериодные структуры стали бы энергетически выгодны.

Исходным для анализа в рассматриваемой здесь одномерной модели является выражение для электронной энергии (8.12). В качестве выражения для затравочной электронной энергии берется

Ек = 2(31 cos 七 +82 cos 2七).(8.21)

Интегрируя (8.12, 8.21), получаем следующее выражение для энергии £4 нижней полностью заполненной подзоны:

2&(х),,

El =+ C2cos20 + C4cos20, (cos0 < 1),(8.22)

a4xГa2 1 - 7

& 二[力(%) — &(x)], x = 1 + — I , 47rL4 J

где JT (x) и&(х) — полные эллиптические интегралы первого и второго рода. Про коэффициент С4 достаточно знать, что он, как и С2, положителен. Негейзенберговский характер косвенного обмена проявляется в (8.21) в аномально большом отношении С4/С2, которое при малых а оказывается порядка (In a>\ а не порядка а?, как следовало бы из теории возмущений по а. Еще сильнее этот характер проявляется при малых sin 6, когда ведущий член, определяющий угловую зависимость EL, оказывается пропорциональным a2sin20 In sin 0.

В соответствии с общим правилом для геликоидальных структур энергия (8.22) минимальна при АФМ упорядочении. При половинном заполнении зоны проводимости НКАФМ упорядочение могло бы появиться только в результате конкуренции с гейзенберговским упорядочением, стремящимся установить ФМ упорядочение (ситуация в отношении знаков гейзенберговского и негейзенберговского обменов здесь противоположна обсужденной в предыдущем пункте).

Нужда в дополнительном механизме обмена для установления НКАФМ упорядочения пропадает, когда частично заполнена и верхняя подзона зоны проводимости. Так как по предположению заполнение верхней подзоны невелико, скос моментов подрешеток может произойти, лишь если энергия верхней подзоны зависит от cos 6 гораздо сильнее, чем энергия нижней. При В2 = 0 в (8.21) это требование заведомо невыполнимо, так как тогда обе кривые Е(к) были бы симметричны относительно оси к. Но при В2, отличном от нуля, максимум нижней подзоны и минимум верхней могут находиться при разных к, и тогда разложения энергий верхней и нижней подзон по cos 6 имеют разные структуры. Этому условию можно, в частности, удовлетворить при отрицательных 5】и В2, если

выполнены неравенства

a > 20 + a/2 - S +储/4> 0, 0 =丛/々•

Тогда максимумы обеих подзон лежат при 左= тг/2, а минимумы - при 左= Он% = тг, и состояния обеих подзон отделены друг от друга щелью (рис. 8.2).

При cos 0 = 0 оба минимума при к = 0 иЛ = тг эквивалентны друг другу, но при появлении намагниченности один из них сдвигается вверх, а другой —вниз. Если степень заполнения верхней подзоны невелика, то все

Рис. 8.2. Энергетические зоны одномерного металла с удвоенным магнитным периодом [49]

электроны могут сосредоточиться в том из ее минимумов, который опустился. Тот же, который поднялся, останется пустым. В этих условиях изменение энергии электронов верхней подзоны согласно (8.12) пропорционально намагниченности:

(8.23)(8.23)叫-1/2

(8.23)

(8.23)

ЗЕ。二一acosS^F 1+——，左f = 2tt〃,

4 J

где p - число электронов на атом в верхней подзоне. Оставляя в (8.22) лишь член 〜cos20 и минимизируя энергию EL + 6Е。по cos 6, получаем его равновесное значение

27r七尸/ с?、т/2

cos 6 =—— [ %(x) - ^(х)]-1, х=( 1 + — )(8.24)

С учетом (8.24) из (8.12) вытекает условие того, что в верхней подзоне заполнен только один минимум, а второй пуст:

4тгх[%(х)_ Е(х)] > 七戶(40 — Х/2).(8.24а)

Очевидно, при малых р неравенство (8.24а) выполнено всегда, т.е. НКАФМ упорядочение с моментом, даваемым формулой (8.24), энергетически выгоднее ФМ и АФМ упорядочений. Но, разумеется, это еще не гарантирует абсолютной стабильности НКАФМ структуры.

Если неравенство (8.24а) не выполнено, то электроны проводимости заселяют оба минимума верхней подзоны, и разложение 6Е。 по cos 6 начинается с члена 〜cos? 6. Коэффициент перед ним пропорционален р"1 , и его расходимость при 〃 — 0 как раз отражает невозможность такой ситуации. Но уменьшение этого коэффициента с ростом р указывает на то, что 182

при больших заполнениях верхней подзоны НКАФМ упорядочение в обсужденной модели невозможно.

Естественно, НКАФМ упорядочение можно получить и в других моделях магнитных металлов. Во всяком случае, эксперимент четко доказывает возможность НКАФМ упорядочения при изотропном обменном взаимодействии (п. 22а).

Ферро-антиферромагнитное состояние однородных вырожденных полупроводников

Как ясно из п. 196, НКАФМ структура есть промежуточная между АФМ структурой, реализующейся в .полупроводнике в отсутствие электронов проводимости, и ФМ структурой, которая должна установиться при максимально возможных концентрациях электронов в полупроводнике. Но возможны промежуточные состояния и совершенно иного типа — пространственно-неоднородные, когда кристалл разбивается на чередующиеся друг с другом ФМ и АФМ области и все электроны проводимости сосредоточиваются в первых из них [29]. Такая структура может быть истолкована как суперпозиция нелинейных волн плотности спина и заряда. Но более физична ее иная интерпретация.

Рассмотрим сначала предел малых концентраций, когда каждый электрон движется независимо от других. Он стремится установить в кристалле ФМ упорядочение, так как согласно (1.36) при этом его энергия понижается на AS/2. Но этому препятствует обменное взаимодействие между ионами АФМ полупроводника, определяющее тип упорядочения в нем. Естественно, один электрон не может изменить тип магнитного упорядочения в кристалле макроскопических размеров. Однако он может сделать ФМ небольшую область АФМ кристалла и стабилизировать ее своей автолокализацией внутри нее [48]. Такая квазичастица, состоящая из ФМ микрообласти и автолокализованного в ней электрона проводимости, получила название феррона, а само такое явление названо гетерофазной автолокализацией носителей тока. Рассматриваемая ниже структура тоже возникает в результате гетерофазной автолокализации носителей тока, но только происходящей как кооперативное явление во всем коллективе электронов проводимости сразу.

Нормально вырожденный полупроводник представляет собой "примес- ный мeтaлл^^: электроны примесных атомов делокализованы и свободно движутся по кристаллу. Естественно, если электроны в вырожденном АФМ полупроводнике перешли в автолокализованное состояние, то при не очень больших их концентрациях п "примесннй металл" превратится в изолятор. Все электроны окажутся локализованными в ФМ областях небольшого радиуса, а основная часть кристалла остается АФМ. Так как все электроны сосредоточились в ФМ областях, в АФМ части кристалла их не осталось, и в электрическом отношении она представляет собой изолятор. Изолятором является и кристалл в целом из-за того, что высокопроводящие ФМ области отделены друг от друга изолирующими АФМ слоями (рис. 8.3,〃). Каждый электрон заперт в своей ФМ области и не может переносить ток.

С ростом концентрации электронов растут число и размеры ФМ областей. Начиная с некоторого критического значения пр концентрации ФМ области

183

начинают соприкасаться друг с другом, т.е. наступает перколяция электронной жидкости: электроны могут свободно перетекать из одной ФМ области в другую, перенося ток. Изолирующие АФМ области теперь представляют собой как бы острова в электронной жидкости, которые обходятся электронами при их движении по кристаллу (рис. 8.3, 6). Поэтому такое смешанное ФМ — АФМ состояние является высокопроводящим.

Материалы с п<пр и п>пр должны обнаруживать качественно разные типы зависимости проводимости от температуры и магнитного поля. При

Рис. 8.3. Пространственно-неоднородное состояние вырожденного полупроводника. Заштрихована ФМ, а не заштрихована АФМ часть кристалла [ 29].

а — Изолирующее ФМ — АФМ состояние; б — высокопроводящее ФМ — АФМ состояние

подъеме температуры магнитное упорядочение разрушается и кристалл становится магнитно-однородным ПМ. Как следствие этого пропадают причины, вызвавшие сосредоточение электронов в отдельных областях кристалла, и они растекаются по всему кристаллу. Магнитно -однородным, но не ПМ, а ФМ, делает кристалл и достаточно сильное магнитное поле. При п<пр переход в магнитноюднородное состояние должен сопровождаться переходом изолятор — металл, так как электроны, запертые ранее в изолированные друг от друга капли, могут теперь передвигаться по всему кристаллу. Поэтому прц подъеме температуры, когда исчезает магнитное упорядочение, кристаллы с п<пр должны одновременно переходить из изолирующего в высокопроводящее состояние. То же самое должно происходить и при Т-> 0, если к кристаллу приложено магнитное поле. Что же касается кристаллов с 〃>〃「, то подъем температуры или включение магнитного поля должны относительно слабо сказываться на их проводимости, поскольку и в исходном ФМ — АФМ состоянии они были высоко- проводящими.

Расчет проводится следующим образом. Считается, что при п<пр включения ФМ фазы в АФМ матрице представляют собой периодически расположенные сферы радиуса R. При n>npi наоборот, АФМ сферы радиуса R расположены периодически внутри ФМ матрицы. Полная энергия ^ единицы объема кристалла дается выражением

Е =Ек + Em + Eq + Е$, (8.25)

где Ек — кинетическая энергия электронов проводимости в ФМ части кристалла, Ет — магнитная энергия, включающая в себя энергию s 一 / обмена, прямого обменного взаимодействия и взаимодействия с внешним полем,

Eq — энергия кулоновского взаимодействия между отрицательно заряженными ФМ областями и положительно заряженными АФМ областями кристалла и внутри этих областей, Es — поверхностная энергия раздела ФМ и АФМ областей.

Считается выполненным условие сильного легирования кристалла: 〃》。2〃1/3/€, где £ _ диэлектрическая проницаемость кристалла. Это условие позволяет считать электронную плотность постоянной внутри ФМ капель части кристалла. В АФМ части кристалла она считается равной нулю. Можно показать, что при AS А д переход электрона из ФМ в АФМ часть кристалла лишь повышает энергию системы, чем и обосновывается допущение о полном отсутствии электронов проводимости в АФМ части кристалла. При том же условии AS > д следует принимать во внимание полную поляризацию по спину электронов в ФМ части кристалла.

С учетом только что сказанного напишем явные выражения для энергий, фигурирующих в (8.25), через среднюю концентрацию носителей тока в кристалле п и отношение х объемов АФМ и ФМ фаз в кристалле. При этом имеется в виду, что концентрация электронов в ФМ части кристалла равна л (1 +х).

Выражение для кинетической энергии электронов с учетом их полной поляризации по спину имеет стандартный вид

М〃)〃(1 +х)“з, 〃⑺ • (8.26) 5 2加

Роль поверхностной энергии играет энергия квантования электронного движения в ограниченных объемах. Так как локализация электронов в ФМ части кристалла в соответствии с принципом неопределенности приводит к повышению электронной энергии, то это гарантирует положительность поверхностной энергии Es. В квазиклаСсическом приближении поверхностную энергию нетрудно найти, воспользовавшись разложением электронной плотности состояний g(E) по обратному произведению фермиевского импульса на характерный размер системы. В первом порядке по нему получается

где VF — объем ФМ части кристалла, SF - площадь поверхности раздела ФМ и АФМ частей кристалла. Внешнюю поверхность кристалла можно не учитывать, так как ее площадь мала по сравнению с SF.

Вычисляя при помощи (8.27) электронную энергию, приходим к следующему результату: первый член в (8.27) дает обычную кинетическую энергию Ек (8.26), а второй — поверхностную энергию

/7г\1/з 5 Ек

4 = 0(8.28)

\ 6/16 Md+»/3r，

где 0 = 3 для ФМ сфер и 0 = Зх для АФМ сфер. В приближении ближайших соседей обменное взаимодействие между магнитными атомами не дает

вклада в поверхностную энергию: увеличение энергии обмена целиком определяется числом перевернутых спинов, т.е. только объемом ФМ области, а не ее формой. Соответственно магнитная энергия Ет и магнитный момент на атом о представляются в виде

[ASn l#|S 力 2 sxhS I

Em=生~5 +；+ г ,(8.29)

Ах1 +21强Ах1 +21强L 2(1+х)〃з4|^| a3(l +x)(l+x)〃3」

Ах

1 +

21强

Ах

1 +

21强

(8.30)(8.30)o = 1 + x

(8.30)

(8.30)

(q-з и I * I S - объем кристалла и энергия замены АФМ ~ ФМ на атом).

Кулоновская энергия Eq вычисляется путем разбиения кристалла на ячейки Вигнера, т.е. на сферы, окружающие включения иной фазы, проведенные таким образом, чтобы суммарный заряд внутри сферы.равнялся нулю. В главном приближении по (Rn^^y1 кулоновская энергия дается выражениями:

для ФМ сфер

(8.31)(8.31)Eq =— n2e2R2 [2x + 3-3(1 +х)2/3],

(8.31)

(8.31)

для АФМ сфер

27r

= - мe2 R 2%[3% + 2一3炉/3(1 +x)2/3j (8.32)

Равновесные значения параметров х и К находятся из условия минимума по ним полной энергии системы (8.25). Эта энергия после подстановки в нее равновесных значений х и R должна быть сравнена с энергией однородного состояния кристалла. При п<пА, где пА дается (8.16), это АФМ состояние. В интервале [пА ,nF], где nF дается (8.17), это НКАФМ состояние. При п>Пр это ФМ состояние.

Ряд результатов удается получить из (8.25 — 8.32) аналитически. Прежде всего можно установить критерий энергетической выгодности неоднородных ФМ — АФМ состояний по сравнению с однородным состоянием в пределе х “з « 1

? >25/3[；4(几尸)+)(几户)],)=[阳2几1/3同1/3 (8.33)

В пренебрежении вторым членом в (8.33), описывающим кулоновское взаимодействие, критерий (8.33) очень близок к критерию автолокализации для отдельных электронов [48].

Со стороны больших концентраций область существования неоднородных ФМ - АФМ состояний ограничена предельной концентрацией, пь находимой из условия ЪЕ/Ьх = 0 прих = 0. Из (8.25 — 8.33) получается

(8.34)(8.34)0,4"(",) + 1,5 7(",)=并卜-金卜

(8.34)

(8.34)

Как видно из (8.34), с ростом поля область существования неоднородных состояний сужается. Можно показать также, что в отсутствие поля при 186

приближении к “】долях объема, занимаемого АФМ включениями, стремится к нулю, но радиус каждого АФМ включения стремится к конечному пределу.

Численный расчет характеристик неоднородного ФМ — АФМ состояния произведен для значений параметров, близких Eu Se: S = 7/2, е = 10, а"3 = =4 • 1022 см"3 [48]. Энергия I 俨 I S, равная 10"4 эВ, соответствует тому, что поле 2 кЭ переводит метамагнитный Eu Se в ФМ состояние (см. рис. 9.9) . Величина AS = 0,3 эВ определена из сдвига края оптического поглощения в этом поле [48]. Пока отсутствуют экспериментальные данные об эффективной массе электронов проводимости в Eu Se. Поскольку в изоморфном материале ЕиО она близка к истинной массе электрона [48], естественно выбрать то же значение и для Eu Se.

При таких значениях параметров получено ), что концентрация протекания пр равна 2,2 • 1019 см~3. При ней отношение х объемов АФМ и ФМ в согласии с изложенными выше качественными соображениями оказалось близким к единице. Радиус ФМ капли вблизи пр равен 34 А, число электронов в капле — семь, %fR = 4,7. С уменьшением п параметр k、R быстро уменьшается. Поэтому при и <ир квази классический расчет не может обеспечить достаточной точности при определении энергии неоднородного состояния. Ориентиром для нее может служить выигрыш в энергии из-за автолокализации отдельного электрона в ФМ области. Вычисленный при тех же значениях параметров с использованием соотношений, приведенных в [48], он получился равным 0,1 эВ. Это четко свидетельствует об энергетической выгодности неоднородного АФМ — ФМ состояния Eu Se. Оно, действительно, было обнаружено экспериментально ( § 23). Экспериментальное значение пр лежит в интервале (1 + 3,5) • Ю19 см"3, что хорошо согласуется с приведенной выше теоретической оценкой.

Были проведены также численные расчеты намагниченности гейзенберговского магнетика, находящегося в двухфазном АФМ — ФМ состоянии (примером может служить Ей Те (§ 23)). Получено, что намагниченность образца возрастает с полем как за счет намагничивания АФМ части кристалла, так и за счет увеличения объема ФМ части кристалла. Поэтому пр с ростом поля падает.

Следует заметить, что аналогичную тенденцию к переходу в состояние с неоднородно распределенными намагниченностью и электронной плотностью обнаруживают и вырожденные ФМ полупроводники при температурах, сравнимых с Тс [48].

Фотоиндуцированные фазовые переходы порядок - беспорядок

К числу нестандартных эффектов в физике магнитных явлений относятся фазовые переходы порядок — беспорядок，происходящие под действием света. Ранее в п. 18а обсуждались фотоиндуцированные переходы порядок —порядок, но, по существу, специфика фотоиндуцированных фазовых переходов там не рассматривалась. Выяснялась лишь причина аномально большого времени жизни фотоиндуцированной фазы. Между тем имеются экспериментальные данные (см. [32]), свиде тел ьств ующие в пользу того,

что под действием освещения Тс ферромагнитных полупроводников поднимается. В связи с этим возникает необходимость построения теории фотоиндуцированных фазовых переходов — прежде всего фазовых переходов второго рода. Этому вопросу посвящены работы [32, 54, 59, 60].

Принципиальное отличие фотоиндуцированных фазовых переходов от обычных состоит в том, что они происходят в термодинамически неравновесных условиях, так как энергия поглощенного света диссипируется. Поэтому для описания таких переходов нельзя использовать понятие свободной энергии и нельзя говорить об особенностях ее производных, например теплоемкости, в точке перехода. По существу, единственно четко определенной величиной, характеризующей неравновесные процессы, является скорость производства энтропии $ , и потому именно ее особенности надлежит исследовать в теории неравновесных фазовых переходов. Естественно, встает вопрос, можно ли построить для неравновесных фазовых переходов величину, которая играла бы для них ту же роль, что свободная энергия для равновесных, т.е. чтобы стационарные состояния и условия неравновесного фазового перехода могли быть найдены из экстремума этой величины и чтобы из нее определялась генерация энтропии 8 .

Ниже будет показано, что, во всяком случае, для некоторых систем такую величину ввести удается. Производство энтропии линейно зависит от производной от этой величины по частоте света, и потому ее по аналогии с термодинамическим потенциалом можно назвать синергетическим потенциалом. Стационарные состояния соответствуют митшмуму синергетического потенциала системы. В ПСП производные от £ по интенсивности и частоте света, а также по температуре должны обнаруживать скачки в Гс, подобные скачкам темплоемкости в теории Ландау — Лифшица.

Рассматривается следующая модель: магнетик является полупроводником, и влияние света на его свойства вызывается возбуждением фотоэлектронов, осуществляющих косвенный обмен между магнитными атомами. По аналогии с (1.47) вводится величина F*, отличающаяся от F только тем, что число электронов п не считается здесь термодинамически равновесным. Оно определяется из кинетического уравнения, связывающего п с генерацией носителей светом за единицу времени G и временем их рекомбинации 7,

dn/dt = G(o) - п/т. (8.35)

В отличие от термодинамически равновесного случая, здесь нельзя заранее утверждать, что намагниченность в стационарном состоянии можно определить из условия минимума величины 尸*. Но в этом можно убедиться, рассматривая неравновесный фазовый переход как кинетическое явление. Для этого необходимо, кроме (8.35), написать еще уравнение движения для намагниченности. Эти уравнения линеаризуются при Т> Т^, где Т^ - температура Кюри в отсутствие освещения, и с их помощью исследуется нарастает или затухает со временем флуктуация намагниченности пр» включении света. Такая программа была последовательно проведена I [59, 60] путем введения термостата, с которым взаимодействует магнитна) подсистема, и написания квантовых уравнений движения для спинов ато мов и переменных термостата. Ниже мы ограничимся анализом уравнение 188

движения для намагниченности о, написанного в ПСП из эвристических соображений, но приводящего к качественно тем же результатам, что и методика [59, 60]:

do/dt = -{а- М。)} Км, (8.36)

где。瓜。)—намагниченность в неравновесном молекулярном поле. При Т f Тс она дается выражением

5(5+1)

。扒。)二方一%(。)，

О 1J /丿

/ Ъ2Ес\1 3当

%(0)= Jo -好

」\ Эа2 / a = o N bo

где Et — средняя энергия системы, Ec — положение дна зоны проводимости. Первое слагаемое в выражении для Hs^— вклад в него от прямого обмена Qo = zJ), второе - от фотоэлектронов (р = n/N).

Как следует из (8.36, 8.37), флуктуации при Т> Т^ становятся нарастающими, если выполнено неравенство

,d2Ec,d2Ec5(5+1) 力。-T-5(5+1) 力。-T-(8.38)(8.38)

,d2Ec

,d2Ec

5(5+1) 力。-T-

5(5+1) 力。-T-

(8.38)

(8.38)

Если в (8.38) вместо знака неравенства поставить знак равенства, то тем самым будет определен фотоиндуцированный сдвиг точки Кюри как функция относительной концентрации фотоэлектронов. Но точно к такому же выражению для Тс приводит и формула (1.47) для F*, и условие минимума F* правильно указывает, с какой стороны от Тс находится намагниченная фаза. Уравнение (8.36), из которого определяется намагниченность, в стационарном случае есть условие экстремальности F* по а.

Убедившись, что из условия минимума F*, действительно, определяется стационарное значение намагниченности, покажем теперь, что, в пренебрег жении зависимостью времени рекомбинации т от о, величина F* является потенциалом по отношению к § . Действительно, генерация фотоэлектронов должна быть пропорциональна плотности уровней в зоне проводимости, т.е.

С=К(з-%-々Му/?, (8.39)

где R пропорциональна интенсивности света, з — его частота,与— ширина запрещенной зоны при о = 0, Е? — коэффициент при о2 в (1.45). При написании (8.39) не учитывалась зависимость спектра дырок от намагниченности, поскольку в большинстве полупроводников она очень слабая. Далее, частота света считалась недостаточно большой для того, чтобы вызвать переходы электронов в состояния с энергетически невыгодным направлением спина относительно локального момента (аналоги состояний верхней спиновой подзоны в (1.40)). Далее, считается, что интенсивность света не слишком велика, так что он вызывает переходы электронов в состояния выше квазиуровня Ферми фотоэлектронов.

Поскольку вся поглощенная энергия света в конечном счете превращается в тепло, скорость производства энтропии связана с количеством 189

энергии зС, поглощенной за единицу времени, соотношением

@ = зб/Т.(8.40)

Из (1.47, 8.35, 8.38 - 8.40) следует, что в стационарных условиях $ выра жается через производную от F* по частоте формулой

2(о) = $ (0) + •(8.41)

Это оправдывает термин ^синэргетический пoтeнциaл^^ в применении к 尸*

Определим теперь сдвиг Гс из-за фотоэлектронов. С помощью (8.39) полная электроная энергия (второй член в (1.47)) может быть представлена в виде

Et = -bo2 +。(尸)，(8.42)

b = \E2\n{^R\ n(^fR) = TG(Q).(8.43)

Используя для Е в (1.47) стандартное разложение Ландау (5.5), получаем дляГ* в стационарных условиях

3

尸* =万(T 一 — 2勿3)02 +804/4(8.44)

(поскольку доминирует прямой обмен, ренормировка члена 〜о', вызванная фото электронами, несущественна). Как следует из (8.44), сдвиг Тс из-за' фотоэлектронов тоже дается выражением (1.48). Соответственно в принятом приближении фотоэлектроны не меняют корневого закона зависимости намагниченности от (Гс 一 Т). При типичных значениях параметров полупроводников, фигурирующих в (1.48), чтобы сдвиг % составлял несколько десятых градуса, как это наблюдалось в Eu Se, нужны концентрации фотоэлектронов порядка 1018 см"3.

Перейдем теперь к особенностям величины F* и ее производных в критической точке. Поскольку величина F* при 几 W 0 не является термодинамическим потенциалом, первая производная от нее по температуре не имеет смысла энтропии, а вторая — теплоемкости. Формально эти производные можно ввести, и вторая производная согласно (8.44) обнаруживает скачок, как в теории Ландау термодинамически равновесных переходов. Однако ее физический смысл нуждается в расшифровке. Сказанное остается в силе и для смешанных производных от F* по Ги 3,R.

Кроме указанных величин, обнаруживает еще особенность и величина, имеющая четкий физический смысл, - скорость производства энтропии. В принятой модели она выражается при помощи (8.41) через 3户*/Зз. Особенность $ есть следствие характера ее зависимости от.а, определяемой согласно (8.40) соответствующей зависимостью G. Последняя с учетом (8.39) дается соотношением

23 "с

G =GQ + go2, g = — (8.45)

4(3-%)7

(использованы также (8.43) и (1.48)). 190

превращается в тепло:8 g 2g зВ△=-」——三人， ат зтпревращается в тепло:8 g 2g зВ△=-」——三人， ат зтПодставляя в (8.40, 8.45) стационарное значение намагниченности, определенное из (8.44), находим, что в принятом приближении испытывают скачки производные от § по Г и по параметрам системы, энергия которой

превращается в тепло:

8 g 2g зВ

△=-」——三人， ат зт

превращается в тепло:

8 g 2g зВ

△=-」——三人， ат зт

э s а % а $

△= — X , △=—入.(8.46)

а& ак аз Зз

Согласно (8.43) аналогичные скачки испытывают и производные от концентрации электронов Ъп/ЪТ, 8几/3R, 8几/Зз.

Свет может приводить и к фазовым переходам первого рода, если он попадает в полосу пропускания кристалла, когда тот не намагничен, и поглощается, когда он намагничен (как указывалось в п. 26, в последнем случае дно зоны проводимости лежит ниже). Тогда косвенный обмен через фотоэлектроны включается лишь при достаточно больших о, когда свет уже может поглощаться. Вместе со скачком намагниченности происходит и скачок $ . Такое намагниченное состояние можно реализовать, если предварительно намагнитить кристалл внешним полем, а затем включить свет, который будет поддерживать намагниченность и в отсутствие поля.

Заметим в заключение, что фо той ндуци ров энная намагниченность возможна и в синглетных магнетиках, а в некоторых АФМ полупроводниках можно ожидать появления под действием света НКАФМ структуры [44]. Кроме того, в них возможно ферро-антиферро.магнитное состояние типа обсужденного в § 20, когда фотоэлектроны образуют внутри кристалла ФМ области и локализуются в них.

ГЛАВА IX

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ

ПО НЕГЕЙЗЕНБЕРГОВСКОМУ УПОРЯДОЧЕНИЮ И ФАЗОВЫМ ПЕРЕХОДАМ ПЕРВОГО РОДА

Неколлинеарные антиферромагнитные структуры нерелятивистского происхождения

Структура с отличной от нуля намагниченностью

В п. 14а,б было показано, что изотропные гамильтонианы с негейзенберговским обменом (четырехспиновым, биквадратичным) допускают двух- подрешеточную неколлинеарную АФМ структуру (рис. 6.8). В п. 196,в были теоретически исследованы проводящие магнетики и было установлено, что негейзенберговский характер косвенного обмена в них может сделать стабильной НКАФМ структуру. Приведенные ниже экспериментальные данные четко подтверждают существование НКАФМ упорядочения в ряде проводящих магнетиков, симметрия которых не удовлетворяет требованиям, необходимым для НКАФМ структур релятивистского происхождения.

Идея о возможности НКАФМ структуры была высказана в [312] для объяснения полученных в этой работе экспериментальных данных по магнитным свойствам АФМ полупроводника LaMnO3, сильно легированного Са, Sr или с избытком кислорода. Нелегированный материал согласно [312] магнитным моментом не обладал (более точные эксперименты [166] обнаружили в нем слабый ферромагнетизм релятивистского происхождения). По мере роста степени легирования у него появлялся значительный магнитный момент, хотя и меньший момента насыщения. Одновременно в спектрах рассеяния нейтронов при 4,2 К кроме рефлексов, соответствующих АФМ упорядочению, появлялись рефлексы, со от ветствующие ФМ упорядочению.

Сами авторы [312] не настаивали на том, что это непременно обусловлено НКАФМ упорядочением, поскольку часть их результатов (поведение рефлексов в магнитном поле, см. ниже) не согласовывалось с такой гипотезой. В качестве альтернативы они предложили смесь ФМ и АФМ фаз. Это предположение лучше согласовывалось с экспериментом, но авторы [312] не видели причин Для двухфазного состояния однородных кристаллов. Сейчас ясно, что такая ситуация возможна в сильно легированных полупроводниках из-за гетерофазной автолокализации носителей тока (§ 20). В литературе работу [312] принято считать доказательством существования НКАФМ упорядочения в легированном LaMnO3. Хотя такая точка зрения ошибочна, эта ошибка в известном смысле оказалась полезной, стимулировав построение теории НКАФМ упорядочения нерелятивистского

происхождения и эксперименты в поисках такой структуры в других материалах.

Наиболее последовательно и полно доказано существование НКАФМ упорядочения в интерметаллическом соединении GdMg [228]. Этот материал имеет очень простую кристаллографическую структуру типа CsCl, и анализ его магнитных свойств сильно упрощается благодаря тому факту, что ионы Gd3+, из которых он построен, не имеют орбитального момента. Поэтому его магнитная анизотропия мала. Интерес к GdMg возник при исследовании его самопроизвольной намагниченности [74]: он упорядочивается при 110 К, но намагниченность на атом Gd при 4,2 К равна всего лишь 4,54 〃в , т.е. существенно меньше момента иона Gd3+, равного 7 聞• Во внешнем магнитном поле момент возрастал, но не достигал насыщения даже при 150 кЭ.

Поскольку Gd сильно поглощает тепловые нейтроны, в [228] исследовались спектры отражения горячих нейтронов с длиной волны 0,5 А. При 130 К наблюдается только когерентное ядерное рассеяние, соответствующее структуре CsCl. При 12 К эти линии^силиваются, и одновременно появляются новые рефлексы (Л,左,1/2). Это совместимо с существованием ФМ и АФМ вкладов в рассеяние с моментами на атом Gd соответственно 〃бм = 4,9 〃в и 〃афм = 5,1 дв . Направление АФМ компонент перпендикулярно к вектору Q = (0, 0, 1/2). Что же касается направления векторов момента М и антиферромагнетизма L, полученные значения 从©м и Дафм свидетельствуют об их взаимной перпендикулярности в любой однофазной системе: в противном случае момент на атом Gd был бы больше, чем у свободного Gd3+. Иначе говоря, если система однофазна, упорядочение должно быть НКАФМ.

193193Однако остается еще возможность, на которую в аналогичной ситуации было обращено внимание еще в [312]: суперпозиция АФМ и ФМ рефлексов может возникать из-за некогерентной смеси АФМ и ФМ фаз. В [312] был предложен способ, как отличить однофазную систему от двухфазной по поведению рефлексов в слабом поле h, параллельном вектору рассеяния нейтронов к. Интенсивности ФМ и АФМ рассеяний соответственно

193

193

Рис. 9.1. Зависимость интенсивности рассеяния нейтронов от угла рассеяния 2е в LairCaxMnO?с 18% Мп + при 4,2 К за вычетом интенсивности при 300 К (в относительных единицах). Заштрихованные рефлексы - АФМ, незаштри- хованные - ФМ. Штриховые линии - тот же спектр в поле 4,5 кЭ [312]

% 13. Э.Л. Нагаев

пропорциональны:Г (к・М)2] /фм 〜I】 —пропорциональны:Г (к・М)2] /фм 〜I】 —/AФМ〜卜一盘可•/AФМ〜卜一盘可•

пропорциональны:

Г (к・М)2] /фм 〜I】 —

пропорциональны:

Г (к・М)2] /фм 〜I】 —

/AФМ〜卜一盘可•

/AФМ〜卜一盘可•

В случае двух фаз поле А, меньшее поля опрокидывания подрешеток антиферромагнетика, влияет только на вектор М, ослабляя ФМ рассеяние. АФМ же рассеяние должно остаться неизменном. При однофазном упорядочении векторы М и L связаны друг с другом, и потому изменение ФМ рассеяния влечет за собой и изменение АФМ рассеяния.

Как видно из рис. 9.1 [312], в LaMnO3 поле 4,5 кЭ резко понижает интенсивность ФМ рефлексов, практически не влияя на АФМ рефлексы. Отсюда очевидна двухфазность этого материала.

На рис. 9.2 [228] представлена зависимость интенсивности различных рефлексов в GdMg от поля, когда оно направлено вдоль вектора рассеяния. ФМ рефлекс [1 1 1] исчезает уже в полях А 〜400 Э. Это объясняется тем, что [1 1 1] — ось легкого намагничения и в поле растет домен с М || к за счет остальных семи. Интенсивность рефлекса [10 0] падает только в результате переориентации вектора магнетизма, происходящей по достижении полем поля анизотропии hA, равного 2 кЭ. Что же касается АФМ рефлексов, то рефлекс [ 1, 0, 1/2] усиливается в поле, выходя на насыщение при hA, как и должно быть в том случае, когда поворот вектора М влечет за собой поворот перпендикулярного к нему вектора L • Тот факт, что интенсивность линии [0,0, 1/2] не зависит от Л, есть следствие перпендикулярности L этому направлению при А = 0.

0刀0刀ООинтенсивности рассеянияинтенсивности рассеяния5 ZT J «Z 7 ^ f・wow.x.2DW5 ZT J «Z 7 ^ f・wow.x.2DW26°26°Рис. 9.2. поля [228]Рис. 9.2. поля [228]ЗависимостьЗависимость5口5口石 кос%'"I ТС-1ЮК石 кос%'"I ТС-1ЮК100 Т.К^0100 Т.К^0нейтронов в GdMg от магнитногонейтронов в GdMg от магнитного

0刀

0刀

О

О

интенсивности рассеяния

интенсивности рассеяния

5 ZT J «Z 7 ^ f・wow.x.2DW

5 ZT J «Z 7 ^ f・wow.x.2DW

26°

26°

Рис. 9.2. поля [228]

Рис. 9.2. поля [228]

Зависимость

Зависимость

5口

5口

石 кос%'"

I ТС-1ЮК

石 кос%'"

I ТС-1ЮК

100 Т.К^0

100 Т.К^0

нейтронов в GdMg от магнитного

нейтронов в GdMg от магнитного

Рис. 9.3. Зависимость угла 26 между продрешетками и АФМ и ФМ моментов на атом (мАФМ и мФМ) от температуры [228]

Значение момента в НКАФМ состоянии 2 0 =91 ± 7° здесь гораздо больше, чем в тех материалах, где оно вызвано релятивистскими взаимодействиями. С ростом температуры угол между моментами подрешеток уменьшается, и при 85 К происходит фазовый переход из НКАФМ в ФМ состояние (рис. 9.3 [228]). С ростом давления до 17 кбар НКАФМ упорядочение превращается в обычное АФМ [309].

По-видимому, НКАФМ упорядочение осуществляется и в TbMg, имеющем ту же структуру CsCl [74, 276]. Однако его магнитные свойства гораздо сложнее, чем у GdMg, так как ионы ТЬ3+ имеют орбитальный момент. В частности, намагниченность в поле при 4,2 К обнаруживает гистерезис: величина намагниченности зависит от того, производится ли охлаждение в поле или без него. Нейтронографические исследования свидетельствуют о со существовании ФМ и АФМ рефлексов с 从 ©м = 4,5 Дв и дАФМ = 5,1 4в, одновременно исчезающих при 81 К. Таким образом, здесь не происходит фазового перехода из НКАФМ в АФМ или ФМ состояние. Однако провести нейтронографические исследования в поле, подобные описанным выше, здесь не удается из-за большого поля анизотропии.

Имеются убедительные доказательства того, что НКАФМ структура реализуется в PrAg, имеющем структуру CsCl [181]. Этот материал упорядочивается антиферромагнитно ниже 九=10,5 К. Нейтронографические исследования показывают, что вектор АФМ структуры Q = (я, я, 0) [229]. Если считать АФМ структуру коллинеарной, то спины лежат в плоскости (0 0 1). Но тот же спектр соответствует и ряду неколлинеарных многоосных структур с нулевой намагниченностью, и потому нейтронография не в состоянии дать однозначный ответ о типе АФМ упорядочения. Но, как бы там ни было, ниже % = 6,9 К у кристалла появляется отличная от нуля намагниченность, о чем свидетельствует сильная деполяризация поляризованных нейтронов. Таким образом, ниже 6,9 К у структуры, кроме АФМ составляющей, появляется и ФМ составляющая.

Необычным оказывается поведение PrAg под давлением [135]. Точка Кюри с ростом давления до 7 к бар достигает точки Нееля, которая от давления зависит очень слабо. На участке от 7 до 10 к бар обе эти точки совпадают друг с другом. Заметим, что это предполагает фазовый переход первого рода из ПМ в НКАФМ состояние, но этот вопрос в [135] не исследован. При 10 к бар происходит структурный фазовый переход, и одновременно происходит расщепление магнитной точки перехода: Tn становится равной 13 К, а % — 7 K.e дальнейшим ростом давления Тс быстро падает. Намагниченность при Т = 0 как функция давления проходит через максимум при 10 кбар.

Специфическая НКАФМ структура наблюдалась в НоР [1466]. Этот кристалл имеет структуру NaCl, так что ионы Но3+ образуют гранецентрированную кубическую решетку. При понижении температуры происходит сначала фазовый переход второго рода ПМ - ФМ при 5,6 К, а затем при 4,7 К фазовый переход первого рода из ФМ в дипольное ортогональное состояние. В нем решетка ионов Но3+ разбивается на две подрешетки, состоящие из чередующихся плоскостей (1 1 1). Направления моментов подрешеток перпендикулярны друг другу. О сильной анизотропии этого материала свидетельствует тот факт, что направление суммарного момента не удается повернуть даже очень сильным полем. В принципе, такая ортогональная структура получается теоретически, когда доминирует биквадра- тичный обмен с отрицательным обменным интегралом 勿丄 в (6.54). Легко обобщить рассмотрение [42] на случаи сильной анизотропии, разрешив только те направления моментов, которые совпадают с легкими

осями типа < 1 0 0 >, а оси в данном случае ортогональны друг другу. Фактически это и было сделано в [187].

К числу материалов, обнаруживающих сосуществование намагниченности и двухподрешеточной структуры, относится также NiS2 , в котором ионы Ni2+ образуют гранецентрированную кубическую решетку. В ней согласно [248] при 40 — 60 К устанавливается АФМ упорядочение с чередующимися слоями (0 0 1), спины в которых Направлены одинаково (первого рода по [66]). Ниже 30 К сосуществуют друг с другом АФМ упорядочения первого и второго типов, в которых ФМ слои перпендикулярны диагонали куба (см. рис. 5.2). Кроме того, появляется слабый ферромагнетизм вдоль оси <00 1 >. НКАФМ структура, по-видимому, существует и BNiSi,6Se(),4 [221].

Пожалуй, из всех известных ныне материалов, в которых сосуществуют ферромагнетизм и антиферромагнетизм, наиболее сложна магнитная структура у ТЬ3Со с орторомбической симметрией [153]. Ниже 81 К в нем устанавливается модулированная АФМ структура, а ниже 72 К — намагниченная вдоль оси с с АФМ компонентами вдоль осей а и Ь. Такая структура не только не коллинеарная, но и не компланарная. Этот кристалл, к тому же, обнаруживает и метамагнетизм, что, по-видимо му, указывает на его сильную анизотропию.

Следует отметить, что НКАФМ упорядочение наблюдается также в ряде сплавов ферромагнетиков с антиферромагнетиками, например в сплаве ФМ FePd3 с АФМ FePt3, ФМ MnSb или СгТ1 с АФМ CrSb [50]. В таких неупорядоченных материалах оно возможно и при чисто гейзенберговском обмене из-за хаотичности обменного интеграла [46], однако детальное рассмотрение такого механизма скоса выходит за рамки этой книги.

Ненамагниченные структуры

Как указывалось в п. 156, неколлинеарные многоподрешеточные структуры с нулевой намагниченностью могут возникать как многовекторные в результате суперпозиции различных АФМ структур с эквивалентными векторами структуры Q (см. рис. 6.11). Таких систем довольно много. Их примером могут служить соединения UX (X = N, Р, As,Sb) [226]. В UAs реализуется двух-Q структура типа ССЮЮ: в такой последовательности чередуются х- и ^-компоненты спинов вдоль направлений х и у. В USb осуществляется трех-Q структура типа СЮ со спинами вдоль < 1 1 1 >. В DvCu наблюдалась трех-Q структура [77]. Она состоит из 4 пар спинов вдоль Каждой из осей [ 1 1 1 ], спины каждой пары параллельны друг другу (рис. 9.4). Имеются экспериментальные данные [134], по которым много-Q структура реализуется в NiS 2, обсужденном в п. 22а в связи с наличием у него слабого ферромагнетизма.

В UP со структурЬй NaCl при понижении температуры сначала при 122 К в результате фазового перехода первого рода устанавливается одно-Q двухподрешеточная АФМ структура (типа I по [66]), а при 22,5 К она переходит в двух-Q ^структуру того же типа [117]. Намагниченность подрешеток при этом скачком изменяется от 1,7 до 1,9 дв на атом. Раньше такое изменение приписывалось фазовому переходу порядок — свой порядок. В UP(),9 Se0>1 при 98 К устанавливается одно-Q структура 196

типа ССЮЮ, которая при 58 К переходит в двух-Q структуру [1166]. Двух-Q структура наблюдалась и в СеВб [139]. Таким образом, много-Q структуры — достаточно частое явление.

Возможно, что четырехподрешеточная структура, в которой моменты соседних ФМ плоскостей ортогональны друг другу, реализуется в кристаллах UO2 [143] и РгО2 [185]. Именно эти представления о магнитном упорядочении в UO2 легли в основу теории [21, 24], связывающей его с обменом высших степеней по спину. Однако неопределенность в нейтронографических данных не позволяет однозначно установить, действительно ли

Рис. 9.4. Трехвекторная структура в Dy Си, состоящая из 4 пар параллельных спинов. Спины каждой пары направлены по одной из осей [Ш][77]

упорядочение в этих материалах многоподрешеточное; те же спектры могут быть следствием многодоменности кристаллов с двухподрешеточным упорядочением. Положение дел еще более усложняется эффектом Яна - Теллера, наблюдаемом в UO2. В РгО2 смещения ионов не наблюдаются, но имеющиеся экспериментальные данные согласуются с предположением о существовании в этом материале динамического эффекта Яна — Теллера.

В UO2 фазовый переход порядок - беспорядок - первого рода. Естественно, это можно объяснить негейзенберговским обменом, необходимым для установления четырехподрешеточной структуры. Но скачкообразность фазового перехода можно связать и с эффектом Яна - Теллера, а в [104] ему предложено объяснение через магнитные экситоны (п. 18а).

В п. 156 говорилось также о том, что существуют условия, при которых взаимодействия высших порядков по спину приводят к возникновению многоподрешеточных неколлинеарных структур с нулевой суммарной *намагниченностью и произвольным углом между моментами подрешеток. К их числу относится Tb3N i с 《=62 К, магнитная структура которого отличается от ТЪ3Со, обсужденного в п. 22а, только тем, что упорядочение антиферромагнитно не только по осям 〃 и Z>, но и по оси с [153]. Интересна ситуация и в МпТе2 с 小=85 К [182]. В нем магнитная структура сходна с АФМ структурой первого типа для гранецентрированной кубической решетки (см. рис. 5.2), но спины неколлинеарны. Угол между спином и осью симметрии растет от 23° при 4,2 К до 30° при 60 К, а затем уменьшается до 0 при 70 К. Теория таких структур с учетом четырехспинового обмена и анизотропии развита в [162].

Таким образом, неколлинеарные ненамагниченные структуры встречаются в природе не менее часто, чем неколлинеарные намагниченные.

Ферро-антиферромагнитное состояние однородных вырожденных полупроводников (эксперимент)

В § 20 была изложена теория смешанного ферро-антиферромагнитного состояния вырожденных полупроводников. Эта теория получила экспериментальное подтверждение при исследовании ряда материалов. Как уже указывалось в п. 22а, в терминах таких состояний можно объяснить результаты нейтронографических исследований LaMnO3, представленные на рис.9.1 [312]. Еще более четкое подтверждение теории дают результаты исследования сильно легированных АФМ полупроводников EuSe и ЕиТе [252, 304, 306, 283].

Магнитные измерения свидетельствуют, что в этих кристаллах при низких температурах сосуществуют АФМ и ФМ фазы, причем ФМ фаза появляется в результате легирования полупроводников. Наличие АФМ фазы устанавливается по пику магнитной восприимчивости х в очень слабых полях. Хотя кристалл и легирован, его 小 остается точно такой же, как у чистого кристалла независимо от степени его легирования. Это подтверждает вывод теории § 20 об отсутствии электронов проводимости в АФМ частях кристалла. Иначе косвенный обмен через них понизил бы 入・ Сказанное иллюстрируется рисунком 9.5, где изображена восприимчивость стехиомет- ричного и нестехиометричных образцов EuSe с избытком Ей [283]. У всех них обнаруживается пик при Tn 二 4,6 К (пик х У чистого образца при 2,8 К связан с низкотемпературным фазовым превращением (п. 246) и не имеет отношения к расе мат рив ае мо му явлению) • Аналогично ведет себя и Ей Те, легированный иодом (рис. 9.6 [252]). Легирование иодом не меняет и значения х для Ей Те при заданной температуре в области линейной зависимости намагниченности от поля (рис. 9.7 [252], аналогичный результат получен в [304]). Так как линейная зависимость момента от поля типична для гейзенберговских антиферромагнетиков, это значит, что в легированных кристаллах имеются участки АФМ фазы с точно такими же свойствами, что и в чистом кристалле.

Однако в слабых полях легированные образцы ведут себя существенно иначе, чем чистые: они обнаруживают резкий взлет намагниченности М, величина которого растет с концентрацией электронов проводимости п. Взлет намагниченности ЕиТе в полях порядка 100 Э, слишком слабых, чтобы заметно изменить угол между моментами подрешеток антиферромагнетика, можно объяснить только ориентацией полем ^^гoтoвыx^^ магнитных моментов достаточно большой величины. Судя по тому, что линейная зависимость М от h начинается уже в полях % 〜1 кЗ (при 4,2 К), вклад мгото- выхп моментов в таких полях уже достиг насыщения. Это значит, что в кристалле имеются области с самопроизвольной намагниченностью. Ее величина оценивается экстраполяцией кривой M{h ) к /г = 0.

Возможность того, что кристалл хотя и обладает спонтанной намагниченностью, все же находится в однородном магнитном состоянии, исключается данными по эффекту Фарадея в области оптических частот: при легировании у ЕиТе появляется очень большое фарадеевское вращение, не зависящее от частоты света, которое типично для ферромагнетиков. Его величина в области полей, где намагниченность линейна по полю, зависит от поля очень слабо. Если бы образец был намагничен однородно, то 198

Рис. 9.5. Начальная магнитная восприимчивость стехиометрического и с избытком Ей образцов EuSe с концентрациями электронов проводимости при 300 К:%” 一 6 • 10弋 ”6，，一 з,5 . io19 см ? [283】Рис. 9.5. Начальная магнитная восприимчивость стехиометрического и с избытком Ей образцов EuSe с концентрациями электронов проводимости при 300 К:%” 一 6 • 10弋 ”6，，一 з,5 . io19 см ? [283】Рис. 9.6. Начальная магнитная восприимчивость чистого и легированного иодом образца ЕиТе с концентрацией носителей 1019 см-3 при 77 К (э.м. единицы/г кЭ) [252]

Рис. 9.5. Начальная магнитная восприимчивость стехиометрического и с избытком Ей образцов EuSe с концентрациями электронов проводимости при 300 К:

%” 一 6 • 10弋 ”6，，一 з,5 . io19 см ? [283】

Рис. 9.5. Начальная магнитная восприимчивость стехиометрического и с избытком Ей образцов EuSe с концентрациями электронов проводимости при 300 К:

%” 一 6 • 10弋 ”6，，一 з,5 . io19 см ? [283】

Рис. 9.7. Зависимость намагниченности от поля при 4,2 К тех же образцов ЕиТе, что и на рис 9.9 (э.м. единицы/г) [252]

вращение было бы пропорционально его намагниченности, чего не наблюдается. То, что фарадеевское вращение связано именно с ФМ областями, подтверждается его исчезновением при 40 К, когда исчезает взлет намагниченности в слабых полях. Другим свидетельством в пользу магнитной неоднородности легированных кристаллов Ей Те служит деполяризация поляризованного света, распространяющегося вдоль приложенного к кристаллу магнитного поля 3 кЭ [305]

Хотя чистые кристаллы EuSe метамагнитны, в легированных образцах метамагнетизм исчезает, и кривая зависимости намагниченности от поля сходна с кривой на рис. 9.7. О существовании у образцов спонтанной намагниченности свидетельствует также плечо х на рис. 9.5, тем сильнее выраженное и сильнее сдвинутое в сторону высоких температур, чем больше 〃.

Результаты электрических измерений подтверждают теоретические представления о существовании двух типов смешанных ФМ - АФМ состояний: изолирующего и высокопроводящего. В первом случае кристалл можно перевести в проводящее состояние, разрушив двухфазность магнитным полем или подъемом температуры. Особенно убедительны результаты, полученные на образцах EuSe, где роль донорной примеси играют вакансии

анионов [283]. Сравниваются электрические свойства двух образцов "а" и ”6". В первом из них надежно оценить объем ФМ фазы не удается. Ясно только, что он мал. Во втором он превышает 60%. При высоких температурах оба образца ведут себя как обычные вырожденные полупроводники, хотя во втором концентрация носителей в 4,5 раза выше (при 300 К в образце ”〃" она равна 7,8-Ю18, в образце "6" - 3,5-1019 см~3). Соответственно их проводимости при 70 К отличаются только на порядок. Однако при дальнейшем понижении температуры свойства этих образцов становятся радикально отличными друг от друга (рис. 9.8).

Образец "б" продолжает вести себя как вырожденный полупроводник и при низких температурах, хотя он и обнаруживает пик сопротивления, типичный для ФМ полупроводников вблизи % [48]. При 1,6 К магнитное поле слабо влияет на его проводимость, хотя вблизи пика р это влияние несколько более сильное (максимум отрицательного магнетосопротйвле- ния вблизи Тс тоже типичен для ферромагнитных полупроводников). Сходство поведения этого образца с поведением ФМ полупроводника служит дополнительным подтверждением того, что все электроны сосредоточены в ФМ части кристалла, занимающей в этом образце большую его часть, как на рис. 8.4.

Образец "а" при понижении температуры переходит в изолирующее состояние, сопротивление которого настолько высоко, что его не удается даже измерить. Переход в изолирующее состояние, как видно из рис. 9.8,〃 и 9.5, происходит одновременно с появлением магнитного порядка (ФМ областей) .О том, что, действительно, магнитная неоднородность кристалла является причиной изолирующего состояния кристалла (ситуация типа рис. 8.3) свидетельствует тот факт, что магнитное поле 10 кЭ, переводящее

р^ОМ'Смр^ОМ'Смр, 0M ・смр, 0M ・смОО60 7；К60 7；КРис. 9.8 Температурная зависимость сопротивления без поля и в различных магнитных полях образцов EuSe с концентрациями электронов при 297 К:Л -7.8 • 1018 см'3; 5-3,5 • Ю19 см'3 [283]Рис. 9.8 Температурная зависимость сопротивления без поля и в различных магнитных полях образцов EuSe с концентрациями электронов при 297 К:Л -7.8 • 1018 см'3; 5-3,5 • Ю19 см'3 [283]2040б2040б2090 ^^ 60 О2090 ^^ 60 О

р^ОМ'См

р^ОМ'См

р, 0M ・см

р, 0M ・см

О

О

60 7；К

60 7；К

Рис. 9.8 Температурная зависимость сопротивления без поля и в различных магнитных полях образцов EuSe с концентрациями электронов при 297 К:

Л -7.8 • 1018 см'3; 5-3,5 • Ю19 см'3 [283]

Рис. 9.8 Температурная зависимость сопротивления без поля и в различных магнитных полях образцов EuSe с концентрациями электронов при 297 К:

Л -7.8 • 1018 см'3; 5-3,5 • Ю19 см'3 [283]

2040

б

2040

б

2090 ^^ 60 О

2090 ^^ 60 О

весь кристалл в ФМ состояние, делает вновь его высокопроводящим. Это не очень большое поле уменьшает сопротивление, как минимум, на 9 порядков, приближая его к высокотемпературному значению. Причина эффекта состоит в том, что после перехода кристалла в магнитнооднородное состояние электроны, запертые ранее в изолированные друг от друга ФМ капли, растекаются по всему кристаллу.

В Ей Те наблюдалось только двухфазное изолирующее состояние [252]. Качественные закономерности касательно зависимости сопротивления от температуры и магнитного поля оказываются такими же, как у образца "а" на рис. 9.8. Результаты расчета, проведенного в § 20 для значений параметров, близких к ЕиТе (рис. 8.5), согласуются с экспериментом с точностью около 100%, что следует считать очень хорошим согласием.

Фазовые переходы порядок - порядок и многоподрешеточные коллинеарные структуры

^.Фазовые переходы порядок 一 порядок в магнетиках с гейзенберговскими структурами

Фазовые переходы с изменением типа магнйтного порядка — довольно распространенное явление. Первой теорией, объясняющей переходы АФМ — ФМ, была теория обменной инверсии Киттеля [190] (п. 10в). В ней такой переход связьшался с изменением знака интеграла обмена при тепловом расширении решетки. Но существуют и чисто магнитные механизмы таких фазовых переходов, которые, в отличие от обменной инверсии, могут осуществляться и при низких температурах. В [313] было доказано, что при учете магнитной анизотропии возможны переходы ФМ — геликоид (п. 8е). Более универсальный механизм магнитных переходов, в основе которого лежит конкуренция между билинейным обменом и обменом высших порядков по спину (п. 126), был предложен в [43].

Начнем с переходов между коллинеарными ФМ и АФМ структурами. В Mn(),9Lio,iSe со структурой NaCl в интервале температур от 77 до 71 К осуществляется ФМ упорядочение. При 71 К происходит переход в АФМ состояние с упорядочением третьего типа (см. рис. 5.2), сопровождаемый перестройкой решетки тетрагональная фаза N кубическая фаза [14]. В Мп з GaC с кубической структурой типа перовскита при 246 К устанавливается ФМ упорядочение, которое при 150 К превращается в АФМ [14]. Проведенный в [225] анализ показал, что свойства этого материала нельзя объяснить теорией обменной инверсии, так как она предсказывает знак скачка объема при переходе, противоположный наблюдаемому. У Mn3Ge2 при 283 К устанавливается ФМ упорядочение, которое при 164 К заменяется на АФМ [14]. Укажем еще некоторые материалы того же типа: FeRh с Тс = 675 К,小=350 К [14]; Cr5S6 с Тс = 305 К, TN = 158 К [137]; Mn3ZnC с Тс = 183 К,厶=140 К [145].

В некоторых материалах последовательность фаз обратная. Так, в UFeO4 с орторомбической структурой сначала устанавливается АФМ структура при 55 К, а затем она переходит при 42 К в ФМ состояние со слабой АФМ компонентой [88]. Аналогично в NpC с кубической решеткой

20120114. Э.Л. Нагаев

201

201

при 310 К устанавливается АФМ упорядочение, сменяющееся при 200 К на ФМ [268].

Особенно интересна ситуация в слоистом SmMn2 Ge2, где сначала при 348 К устанавливается ФМ упорядочение, затем при 196 К оно сменяется на коллинеарное АФМ, а при 64 К вновь устанавливается ФМ структура [147]. Эти переходы можно объяснить существованием нескольких механизмов негейзенберговского обмена с различными температурными зависимостями. Пусть, например, основные взаимодействия в системе в порядке убьшания их интенсивности — это четырехспиновое, трехспиновое и билинейное. Допустим также, что первое и последнее стремятся установить ФМ упорядочение, а трехспиновое — АФМ упорядочение. Если учесть, что ослабление этих взаимодействий с температурой происходит в той же последовательности, то ясно, что обсужДаемая система допускает последовательность переходов ФМ — АФМ — ФМ.

Очень многие материалы обнаруживают переход из ФМ или АФМ состояния в геликоидальное или синусоидальное. Детально этот вопрос с точки зрения магнитной симметрии изложен в [27], здесь же мы его коснемся с интересующей нас точки зрения — механизма таких переходов. Хотя в отличие от перехода ФМ — АФМ переход ФМ — спираль может быть и второго рода, обычно он все же первого рода. Примером может служить МпР [284]. В нем при 291 К происходит переход второго рода ПМ — ФМ, а при 47 К в результате перехода первого рода устанавливается геликоидальная структура с периодом 〜9〃・ Во внешнем поле 16,5 кЭ реализуется точка Лифшица, в которой на фазовой диаграмме при Т = 121 К сходятся ПМ, ФМ и веерная (т.е. геликоидальная деформированная полем) фазы.

В обратном порядке расположены упорядоченные фазы в Но, Dy, Tb, но переходы геликоид - ФМ тоже оказываются первого рода [65]. Такой переход может быть вызван не только магнитной анизотропией, но и обменом высших степеней по спину, который по-видимому, особенно сильный в Dy, поскольку у этого материала гигантская магнитострикция, ведущая к такому обмену (п. 1 д).

Многоподрешеточные коллинеарные структуры и каскады фазовых переходов в изоляторах

В некоторых магнетиках наблюдаются целые каскады фазовых переходов порядок — порядок между различными коллинеарными структурами, часть из которых принципиально невозможна в модели Гейзенберга. Такими свойствами обладают и изоляторы, и проводники, хотя первые из них почти идеально изотропны, а вторые очень сильно анизотропны. Этот пункт посвящен магнитным изоляторам, обнаруживающим такой полиморфизм: EuSe и 3Не.

Подробная библиография по EuSe дана в [48]. Структура EuSe та же, что и NaCl. Ионы Еи2+ не обладают Орбитальным моментом, и поле анизотропии составляет всего лишь 100 Э. Фазовая диаграмма EuSe представлена на рис. 9.9. Все структуры, реализующиеся в EuSe, можно представить как совокупность ФМ плоскостей (1 1 1), моменты которых параллельны или антипараллельны друг другу. При понижении температуры при 4,6 К устанавливается АФМ упорядочение типа ССЮЮ. Далее, при 2,8 К ССЮЮ упорядочение скачком переходит в ''ферримагнитное" с отличным от нуля,

но ненасыщенным магнитным моментом. Предполагается, что это состояние - двухфазное: одна фаза - типа МпО (т.е. СЮ), другая — намагниченная трехподрешеточная. типа ССЮ. Соотношение между этими фазами 5:13; Поэтому результирующий момент на ион Еи2+ не 7 〃в，а всего лишь 1,68 Дв : При 1,8 К происходит еще один переход в АФМ состояние типа МпО.

К числу других необычных свойств EuSe относится изотропный метамагнетизм, причем магнитные свойства EuSe оказьшаются довольно сложными. В областях стабильности АФМ состояний обоих типов слабое магнитное

Рис. 9.9. Фазовая диаграмма EuSe [308]

поле переводит кристалл скачком сначала в ССЮ состояние, и только в более сильном поле происходит скачок в ФМ состояние. Однако диаграмма 9.9, по-видимому, несколько упрощает поведена EuSe в поле. Согласно [142] в поле 4 кЭ ниже 小 температурные производные констант анизотропии обнаруживают аномалии, несовместимые с полным ФМ упорядочением, которое соответствует такому полю на рис. 9.9. При 1,3 К намагниченность не достигает насыщения даже при 19 кЭ. Согласно [204], если поле и температура изменяются циклически, магнитные фазовые переходы обнаруживают гистерезис. Между ССЮ и ФМ фазами существует какая-то промежуточная.

Другая особенность EuSe состоит в том, что в нем реализуется переход порядок — чужой беспорядок (п. 266).

Магнитное упорядочение в EuSe легко меняется давлением. Исследования ЯМР [167] при 1,7 К показали, что с ростом давления фазы меняются в следующей последовательности: СЮ - ССЮ - ССЮЮ 一 СС (т.е. ФМ). Последняя фаза стабильна, начиная с 4,8 кбар, причем магнитный момент Еи2+ ниже насыщающего. Важный результат был получен в [310]: вблизи 7n под давлением 5,8 кбар между ПМ и ССЮЮ фазами появляется ФМ фаза, а с ростом давления весь образец становится ФМ.

Естественно, сложную фазовую диаграмму EuSе, включающую негейзенберговские структуры ССЮЮ и ССЮ, нельзя объяснить обменной инверсией, поскольку тепловое расширение решетки при гелиевых температурах пренебрежимо мало. Однако эта диаграмма получает естественное объясне- нение как результат конкуренции между гейзенберговским и негейзенберговским обменами. Как обсуждалось в п. 1е, в EuSe негейзенберговский обмен должен играть особо важную роль, поскольку в нем гейзенбергов-

ский обмен аномально мал. Детальная теория свойств EuSe, основанная на таких представлениях [57], изложена в п. 15а.

Аналогичными свойствами обладает и ядерный магнетик 3Не, но эти свойства изучены значительно слабее. Основным источником информации являются эксперименты по ЯМР и высокотемпературным разложениям термодинамических величин [269]. Для восприимчивости такое разложение имеет вид

Х-1 〜т — 6 + В/Г

Эксперимент дает В > 0, что невозможно при чисто гейзенберговском обмене. Отсюда следует необходимость учета четырехспинового обмена. Что же касается ЯМР, то бросающейся в глаза его особенностью является большой сдвиг резонансной частоты (~ 800 кГц) в АФМ фазе. Этим свойством не обладают обычные гейзенберговские структуры в объемно-центрированной кубической решетке. Геликоидальные структуры тоже не дают согласия с экспериментом, однако оно получается, если допустить, что моменты ФМ плоскостей (1 0 0) упорядочены по типу ССЮЮ. Допустимы также более сложные структуры, например СССЮЮЮ, но из общих соображений ССЮЮ структура кажется более вероятной. Наличие трех наборов резонансов можно объяснить тем фактом, что вектор структуры может принимать три эквивалентных значения типа (тг/2, 0, 0). Чтобы дипольная энергия была минимальной, спины должны лежать в ФМ плоскостях.

Важную информацию дает исследование фазовой диаграммы 3Не в поле (рис. 9.10). По значению константы Кюри - Вейсса 6 можно было бы ожидать близкое значение 小 〜 2 ・3 мК, но оно оказывается существенно ниже, около 1 мК. Вместо значения схлопывания моментов подрешеток 〜30 кГс, соответствующего такому 6, получается значение 4,4 кГс. Все это свидетельствует о конкуренции гейзенбергового и негейзенберговского обменов.

В полях выше 4,4 кГс намагниченность составляет 60% от насыщающей и не зависит от поля вплоть до 30 кГс. Слабо зависит она и от температуры. Предполагается, что соответствующее упорядочение - типа НКАФМ. При достаточно высоких температурах эта фаза переходит в ПМ фазу. Переход

Рис. 9.10. Фазовая диаграмма для 3Не, полученная расчетом в ПСП. На ней нанесены экспериментальные точки: светлые кружки — точки перехода первого рода, темные кружки - точки перехода второго рода [269]

низкополевой фазы ССЮЮ в высокополевую происходит скачком, т.е. 3 Не является ядерным метамагнетиком (еще один пример метамагнетизма в магнитно-изотропных системах, п. 14а).

Что же касается перехода порядок — беспорядок, то для низкополевой фазы он первого рода. Ранее считалось, что для высокополевой фазы он непрерывный, но в [253] приведены доказательства его скачкообразности, что тоже есть свойство систем с сильным негейзенберговским обменом. О возможности перехода порядок - чужой беспорядок в 3Не см. п. 266.

Многоподрешеточные коллинеарные структуры и каскады фазовых переходов в металлах

Явления, подобные описанным в предыдущем пункте, реализуются и в ряде металлических соединений редких земель и актинидов, в частности в монопниктидах урана и церия со структурой NaCl. Для этих материалов специфично сильно анизотропное обменное взаимодействие: ФМ связь между моментами в плоскостях (0 0 1) очень сильная, взаимодействие же между ФМ плоскостями оказывается существенно слабее. Моменты ФМ плоскостей перпендикулярны к этим плоскостям. Что же касается взаимной ориентации моментов ФМ слоев, то наиболее распространена двухпод- решеточная структура типа СЮ с вектором Q = (я, 0, 0), наблюдаемая в СеР, Се As, CeBi, UN, UP, UAs, USb. При понижении температуры в CeBi и UAs при Т ^ Tn/2 происходит переход в состояние ССЮЮ. Наиболее необычны свойства CeSb, обнаруживающего еще больше магнитных структур, чем EuSe. Для CeSb и CeBi характерно, что появление магнитного порядка сопровождается структурным фазовым переходом со значительной тетрагональной деформацией решетки, в то время как в монопниктидах урана деформации решетки в Tn не наблюдается [271 ]. В CeSb и UAs обнаружены фазовые переходы порядок — чужой беспорядок (п. 26 б).

Сильная анизотропия взаимодействия в этих материалах проявляется, в частности, в анизотропии рассеяния вблизи Tn・ Она наблюдается и при переходах первого рода в UAs [287] и CeSb [158], и при переходе второго рода в CeBi [146а]. В каждом из трех возможных типов доменов флуктуации, поперечные направлению моментов в нем, ненаблюдаемо малы. Продольные флуктуации расходятся при 小,давая значения критических показателей: 7 = 1,16 ± 0,12; р = 0,6 3 ± 0,06 и 0 = 0,317 ± 0,0005. Они хорошо согласуются со значениями для трехмерных изинговских систем, имитирующих обменные взаимодействия в рассматриваемых системах.

Фазовая диаграмма CeSb, в котором обнаружено 14 различных фаз, представлена на рис. 9.11. В отсутствие поля всегмагнитные структуры в CeSb построены из четырех блоков ФМ плоскостей, спин которых параллелен [0 0 1 ], и ПМ плоскостей ''О”，не обладающих моментом вдоль этой оси: Ф+ ~ СС, Д+ = СОЮ и Ф_ , Д_ , моменты которых направлены противоположно Ф+ , Д+. Число плоскостей п в элементарной магнитной ячейке меняется с температурой без определенного закона (см. табл. 2).

Новые фазы появляются в магнитном поле, направленном вдоль вектора структуры. Оно переводит ПМ плоскости в намагниченное состояние. Согласно [224] по мере роста поля сначала происходит переход из ССЮЮ 205

Рис. 9.11. Фазовая диаграмма Се Sb. Фазы обозначены дробями, пропорциональными волновому вектору структуры Q (п. 9г) [146а]

состояния в ферримагнитное состояние ССЮ, а в еще более сильных полях около 40 кЭ - в ФМ состояние. Согласно же [270а] в слабых полях возможно еще и ферримагнитное состояние типа ССЮЮСЮЮ. Частично упорядоченные слои существуют в поле даже при Т〉Tn , но этот эффект сильно анизотропен [224].

Хотя в целом фазовые диаграммы EuSe и CeSb (9.9), (9.11) качественно сходны друг с другом, наиболее существенное различие между ними состоит в том, что в EuSe намагниченная фаза ССЮ существует и без поля, в то время как в CeSb намагниченные фазы появляются только в поле. Кроме того, в EuSe отсутствуют ПМ плоскости ”0''. Точная магнитная структура этих плоскостей неизвестна, но имеются указания на то, что они, действительно, немагнитны [116а]. Поле, направленное по пространственной диагонали, должно было бы ориентировать моменты Се3+ в плоскостях, перпендикулярных к вектору структуры, но нейтронографические исследования [116а] этого не обнаружили. В принципе, такая ситуация была бы возможна, если бы в ПМ плоскости произошло удвоение периода и из наиболее близких друг к другу ионов Се3+ образовались бы "молекулн"

Таблица2

Температурный интервал (кельвины)

Структура

Число плоскостей в элементарной магнитной ячейке

Температурный интервал (кельвины)

Структура

Число плоскостей в элементарной магнитной ячейке

16,1 - 15,9

Д_

3

11,3 - 11,0

Ф+Д-Ф_Ф+Д,Ф+Ф.

18

15,9 - 15,3

Ф^Д-Ф-Д+

13

11,0- 8,9

Ф+Ф_Ф+Д.Ф_

11

15,3 - 13,7

-

-

8,9 - 2,2

4

13,7 - 11,3

Ф+Д-Ф.

7

2,2-0

—

—

(Ce3+)2- ПМ плоскости исчезают при давлениях выше 13 к бар, хотя и там тоже наблюдается магнитный полиморфизм [1216].

При интерпретации свойств CeSb, несмотря на их сходство с изотропным EuSe, центральным моментом считается его анизотропия. Легкая ось в нем не совпадает с [1 1 1 ], как это должно было бы быть, если бы ее направление определялось кристаллическим полем. Объяснение анизотропии обмена в CeSb было дано в [286] на основе теории косвенного обмена с учетом гибридизации 户состояний с состояниями зоны проводимости (п. 2в) [132]. Конкретизация общих результатов [132] привела к заключению, иго при наблюдаемой в CeSb магнитной структуре, когда моменты перпендикулярны к слоям (1 0 0), обменное взаимодействие внутри слоя оказывается гораздо сильнее, чем между слоями, но и в том и в другом случае оно ФМ. Чтобы объяснить АФМ упорядочение плоскостей (1 0 0), нужно допустить существование дополнительного механизма обмена. В [286] не удалось также обосновать существования ПМ сдоев. В [131] высказано предположение, что они возникают в результате конкуренции между кристаллическим полем, стремящимся ориентировать моменты в направлении [111], и обменом Кокблена — Шриффера [132], стремящимся направить их вдоль [10 0].

Во всяком случае, результаты [286] указывают на то, что АНННИ модель (п.9а) передает какие-то черты CeSb, и потому сопоставление ее результатов с экспериментом по CeSb обоснованно. Как отмечалось в п.96, соответствующим подбором параметров модели удалось получить в рамках ПСП ту же последовательность фаз, которая наблюдалась экспериментально. Но не следует переоценивать этого успеха: совпадают лишь периоды фаз, а не их структуры. ПМ слои в АНННИ модели не получаются. Кроме того, в ПСП фазовый переход АФМ - ПМ получается второго рода, а в CeSb он первого рода. Хорошее качественное согласие с экспериментом относительно фазовой диаграммы в магнитном поле получено в [64] (п. 9г), где не использовалось ПСП. Такое согласие кажется довольно удивительным, если учесть, что косвенный обмен Кокблена — Шриффера (1.55), в отличие от АНННИ модели, дальнодействующий.

Разумеется, если связывать специфику CeSb только с магнитной анизотропией, остается открытым вопрос, почему свойства этого материала столь схожи со свойствами почти идеально изотропного магнетика EuSe. Альтернативный подход к CeSb состоит в учете негейзенберговского характера косвенного обмена в этом материале. Такой характер может быть вызван не эффектом Кондо, а особенностями структуры поверхности Ферми в этом материале. Как показано в [49] (п. 19а), ССЮЮ структура может быть наиболее энергетически выгодной и в абсолютно магнитноизотропном материале, если его поверхность Ферми имеет соответствующую структуру. Кроме того, негейзенберговский характер обмена может быть связан и с большой магнитострикцией CeSb, проявляющейся при переходе ПМ — АФМ через тетрагональную деформацию решетки.

ССЮЮ структура с ФМ слоями (0 0 1) реализуется и в Се Bi, изоморфном Се As, ниже 12,5 К. Выше этой температуры до 25,2 К стабильна СЮ структура [119].

Укажем еще некоторые материалы, в которых осуществляется ССЮЮ структура. Как уже указывалось в п.22б,в, такая структура, но с двумя векторами Q одновременно реализуется в UAs. В сплавах UP — USe ниже Tn возникает ССЮЮ структура с одним Q, которая при дальнейшем понижении температуры переходит в даух-Q структуру. Далее, ССЮЮ структура реализуется в кристаллах с тетрагональной структурой NdFe2Si2, PrFe2Ge2 [295] и UCu2Ge2 [210]. (В первых двух ионы железа не обладают магнитным моментом.)

§ 25. Дипольные и квадрупольные фазовые переходы и деформация решетки

Магнитные и структурные фазовые переходы, не совпадающие друг с другом

Для ряда магнетиков характерны не совпадающие друг с другом магнитные и структурные фазовые переходы, которые могут быть как первого, так и второго рода. Из этих магнетиков рекордное число работ посвящено MnAs, свойства которого исследуются уже в течение 30 лет, но однозначной картины его свойств все еще не создалось. Этот материал при Т->0 имеет гексагональную структуру. Согласно [12] ниже 232 К он упорядочен антиферромагнитно, а при этой температуре происходит переход в ФМ состояние с изменением спина ионов Мп2+. При Гс = 313 К происходит фазовый переход первого рода в ПМ состояние с понижением симметрии решетки до ромбической типа МпР. Дальнейшее повышение температуры приводит к постепенному уменьшению искажений решетки, и при Tt 二 339 К происходит структурный фазовый переход второго рода с возвращением симметрии к исходной Ni As.

Согласно [17] магнитное поле выше Тс л^ожет вызвать скачкообразный переход в ФМ состояние, подобный описанному в § 12 (см. рис. 6.1). В [316] построена фазовая диаграмма Мп As, на которой имеется трикритическая точка (рис. 9.12). Одно из возможных объяснений свойств MnAs выше 7jq приведено в § 5: эффект может быть обусловлен квадратичной магнитострикцией.

Рис. 9.12. Фазовая диаграмма MnAs [316]. Темные точки соответствуют переходам из орторомбической фазы типа МпР в гексагональную фазу типа Ni As, светлые точки - переходам в обратном направлении

В TmZn с кубической симметрией структурный фазовый переход первого рода при 8,55 К предшествует переходу ПМ - ФМ при 8,12 К [227]. Тип магнитного перехода не установлен. Кристалл TmCd, аналог TmZn , обнаруживает только структурный переход первого рода при 3,16 К. Дипольного магнитного упорядочения в нем не обнаружено до самых низких температур. В [230] произведен детальный анализ свойств этих материалов, а в [264а] развита теория их свойств с учетом расщепления уровней Тт2+ кристаллическим полем ( § 17).

Сходные явления наблюдались и в соединениях редких земель с Cd, имеющих структуру CsCl [76]. В CeCd наблюдались последовательно два структурных перехода при 216 и 107 К, а затем переход второго рода ПМ — АФМ при 16,5 К. В PrCd кроме структурного перехода при 125 К наблюдается еще магнитный переход при 41 К и переход первого рода при 18 К. Однако эти материалы исследованы экспериментально в недостаточной мере, чтобы пытаться интерпретировать их свойства.

Интересны свойства DyVO4, в котором наблюдается при 14 К фазовый переход, связанный с появлением кооперативного эффекта Яна — Теллера, а при 3 К - переход ПМ - АФМ [171]. О том, что оба эти перехода - второго рода, свидетельствуют данные по теплоемкости и по тепловому расширению решетки. Наличие пары переходов свидетельствует о сильном биквадратичном обмене в этом материале. Возможно, это есть следствие сильного расщепления уровня Dy3+ с Z = 4 в кристаллическом поле. Основным состоянием иона является квадруплет, которому соответствует эффективный спин 3/2 [244]. Как обсуждалось в п. 1г, самого факта расщепления уровня достаточно для появления в гамильтониане системы членов высшего порядка по эффективному спину. Обмен высшего порядка может также появиться из-за ян-теллеровских смещений ионов (п. 11г). Если ян-тел- леровский механизм доминирует, то структурный переход при 14 К должен одновременно сопровождаться появлением квадрупольного упорядочения. В частности, причиной этого может быть электростатическое квадруполь- квадрупольное взаимодействие (1.26) —(1.28), имеющее структуру обменного высшего порядка по /. Замена ионов Dy3+ с £ = 5 на ионы Gd3+ с £ = 0 разрывает связь магнитных ионов с полем решетки и смещениями ионов. Поэтому если переход при 14 К имеет первопричиной квадруполь- квадрупольное взаимодействие, то при такой замене он должен исчезать. Именно это наблюдалось в [99]: переход в Dyp Gd1_pVO4 исчезает при р = 0,45. Из сказанного следует, что свойства DyVO4 хорошо описываются моделью п. 13в.

Не вполне ясна ситуация в ТЬРО4. Согласно [260], появление АФМ упорядочения при 厶=2,2 К сопровождается структурным фазовым переходом при TD = 2,15 К с понижением симметрии от тетрагональной до моноклинной. Структурный переход не является коллективным эффектом Яна — Теллера, и нет оснований идентифицировать низкотемпературную фазу как квадрупольную. Та же последовательность магнитного и структурного переходов (T"N = 2,28 К; TD = 1,17 К) была обнаружена в [240], но в [293] их последовательность обратная (7\ 二 2,12 К; 32,24 К).

Антиквадрупольное упорядочение с Q = ~ (1, 1, 1) наблюдалось в кон- довской системе СеВ6, основным состоянием /ионов в которой является квартет Г8 [139]. Такое упорядочение устанавливается при 3,2 К, а при

2,4 К переходит в дипольное двух-Q упорядочение с Q = — (1/2, 1/2, 1). При антиквадрупольном упорядочении квартет Г8 расщепляется на два дублета с квадрупольными моментами противоположных знаков и анизотропной магнитной восприимчивостью и /ионы образуют две подрешетки соответственно знакам моментов.

Магнитные фазовые переходы первого рода с сильной деформацией решетки

Ряд материалов переходит в магнитоупорядоченное состояние посредством фазового перехода первого рода с одновременным искажением решетки. К их числу принадлежит МпО, имеющий гранецентрированную кубическую решетку и в котором осуществляется АФМ упорядочение второго типа (см. рис. 5.2). Скачкообразность перехода ПМ —АФМ, происходящего при 166 К, выражена очень сильно: намагниченность подрешеток сразу достигает 60% от максимальной [102]. В результате перехода в решетке возникает ромбоэдрическое искажение. Угол между осями [10 0] и [0 1 0] составляет 0,01 радиан при 4 К. О сильной перестройке решетки свидетельствуют и данные нейтронографических исследований [196].

Очень важный результат был получен в [103] (рис. 9.13): небольшое одноосное напряжение 5,5 кбар вдоль пространственной диагонали делает

Рис. 9.13. Зависимость параметра порядка в МпО от температуры при различных давлениях [103]

переход непрерывным, сдвигая его 小 к 133,5 К. Критический показатель £ для намагниченности равен 03» что близко к его значению 0,25 в трикритической точке. Однако всестороннее сжатие 33 кбар не меняет типа перехода, уменьшая лишь на 10% скачок параметра порядка при переходе. Наконец, следует указать на еще один важный результат, проливающий свет на причину скачкообразности перехода в МпО. Именно,в [280] обнаружено сильное уменьшение упругой константы С44 при приближении к 7\ со стороны высоких температур начиная с 150 К: вблизи 入 она

уменьшается на 1/3. Упругие постоянные Сц и С13, ответственные за изотропную деформацию, изменяются гораздо меньше. Тем самым резко облегчается ромбоэдрическое искажение решетки, происходящее при фазовом переходе. i

Согласно [280] интеграл обмена между ближайшими соседями в МпО аномально сильно зависит от постоянной решетки: Э In Их1Ъ\па = —24. Интеграл обмена между вторыми по дальности соседями зависит от 〃 слабее: ain 4/а1па = -12. Ссылки на другие экспериментальные работы по МпО даны в [1976].

Данные [280] свидетельствуют в пользу того, что фазовый переход первого рода обусловлен магнитоупругими эффектами. Соответствующая теория была развита в [103] (п. 10а), где в ПСП было получено, что под действием одноосного напряжения переход превращается из скачкообразного в непрерывный. Разумеется, в рамках ПСП нельзя надеяться на получение очень точных результатов, и потому найденные в [103] теоретические значения параметров можно считать хорошо согласующимися с экспериментальными. Альтернативное объяснение свойствами МпО дает флуктуационная теория фазовых переходов (п. 5 б,д), но величина скачка намагниченности в МпО столь велика, что вряд ли возможна в области применимости этой теории. Нельзя исключить также обстоятельство, отмеченное в п. 1е: скачкообразный переход может быть вызван сильным обменом высших степеней по спину, который наблюдается в ряде случаев между ионами Мп, будучи не связан с деформацией решетки.

Другим примером материалов, в которых одновременно происходят магнитный и структурный переходы первого рода, может служить DySb со структурой NaCl. Ниже 9,5 К в нем устанавливается АФМ структура, в которой чередуются моменты ФМ плоскостей (1 1 1), направленные вдоль оси четвертого порядка [199]. Появление АФМ структуры сопровождается понижением симметрии решетки, в основном тетрагональным, но с небольшой моноклинной компонентой. В магнитном поле система обладает сложными свойствами. Скачкообразность фазового перехода объясняют сильным квадруполь - квадрупольным взаимодействием, возникающим из-за конечной сжимаемости решетки. О его роли свидетельствует сильное уменьшение разности модулей упругости (см. [751).

К рассматриваемому классу материалов принадлежит и MnSe. В [173] измерениями восприимчивости, теплового расширения и электросопротивления было установлено, что переход ПМ — АФМ в нем первого рода. В [40] нейтронографическими исследованиями было показано, что ниже rN = 135 К происходит частичный переход кубической модификации в гексагональную типа NiAs. Гистерезис очень широк: обратный переход происходит лишь при 240 - 275 К. Магнитное упорядочение в гексагональной модификации сохраняется вплоть до температуры структурного превращения.

В CeMg со структурой CsCl при 19,5 К происхддит переход первого рода в АФМ состояние, в котором слои (00 1) ферромагнитны и моменты их чередуются. Этот переход сопровождается сильной тетрагональной деформацией решетки [256]. Совместный магнитный и структурный переходы обнаруживает и слоистый АФМ FePS3 при 120 К [178]. Следует упомянуть

также и U02, магнитная структура которого все еще не установлена однозначно (п. 226). При магнитном фазовом переходе видимого макроскопического искажения решетки не происходит, но считается, что происходит внутренняя ее перестройка: пара атомов кислорода удаляется друг от друга, а пара приближается. На этом основана теория [285].

Необычно и искажение решетки при магнитном фазовом переходе первого рода у ФМ MnBi: решетка очень сильно разупорядочивается за счет того, что 15% атомов Мп выходит в междоузлия [267]. Попытка построить теорию такого перехода была предпринята в [169], где считалось, что атомы, ушедшие в междоузлия, не связаны магнитно с остальным кристаллом. Возможно, однако, что ситуация в MnBi еще сложней, так как при подъеме температуры происходит разложение этого вещества с выделением Bi, выходящего на поверхность [125].

Сложные свойства Се Sb и CeBi обсуждены в п. 24в.

Скачкообразные и неуниверсальные переходы порядок — беспорядок в слабо деформируемых решетках

Переходы порядок - свой беспорядок

В §25 обсуждены переходы порядок - беспорядок первого рода, происходящие с сильной деформацией решетки. В этом пункте будут изложены и проанализированы экспериментальные данные по фазовым переходам такого типа в слабо деформируемых решетках. Кроме того, будут описаны данные по фазовым переходам второго рода, не укладывающиеся в общепринятую схему, в основе которой лежит гипотеза универсальности.

Существуют два основных подхода для объяснения фазовых переходов первого рода. Первый из них не связан с симметрией магнитной структуры и основан на конкретной структуре магнитного гамильтониана системы. Именно, он должен включать в себя члены высшего порядка по спину, сравнимые с билинейными. Происхождение таких членов несущественно: они могут появится по любому из механизмов, описанных в гл. I. В случае малых спинов переход первого рода может реализоваться и из-за квантовых эффектов вблизи границы фаз. Члены высшего порядка по спину тогда не обязательны (п. 8в).

Во флуктуационной теории (§ 5.6), наоборот, могут быть неважны детали обменного взаимодействия и определяющую роль играет магнитная симметрия системы. В частности, в ней деформация решетки при фазовом переходе считается несущественным моментом и потому не учитывается. Результаты обеих теорий, вообще говоря, не совпадают. Например, во флуктуационной теории фазовые переходы обязательно должны быть первого рода и для ряда структур, стабильных при чисто билинейном обмене, когда в микроскопическом ПСП они получаются второго рода. С другой стороны, во флуктуационной теории не получается переходов первого рода порядок — чужой беспорядок, получающихся в микроскопической теории (п. 126). В некоторых случаях предсказания обеих теорий совпадают: ряд типов магнитного упорядочения, осуществим, лишь когда негейзенберговский обмен играет принципиально важную роль для стабилизации таких структур. (Примером таких негейзенберговских структур может служит структура типа ССЮЮ.) В этом случае трудно различить роль обоих меха-

низмов. Различить их можно только в случае гейзенберговских структур, когда подтверждением флуктуационной теории должна быть универсальность скачкообразности фазового перехода для всех материалов с такой симметрией.

При обсуждении экспериментальных данных по различным структурам, проводимом ниже, необходимо учитывать, что при малых величинах скачка параметра порядка, соответствующих флуктуационной теории, экспериментальные данные существенно зависят от степени совершенства кристаллов. Естественно, зависят они и от чувствительности методики. По-видимому, этим объясняется противоречивость данных по ряду материалов.

Ферромагнетики.

Число ферромагнетиков, обнаруживающих фазовый переход порядок — беспорядок первого рода, невелико, например Cr3As [14]. Скачкообразность фазового перехода в них может быть обусловлена только негейзенберговским обменом.

Антиферромагнетики типа МпО с « = 8.

Для таких магнетиков флуктуационная теория однозначно предсказывает переход первого рода (п. 56). Под действием одноосного напряжения, понижающего размерность параметра порядка « от 8 до 2, переход может превратиться в непрерывный (п. 5д). Хотя скачкообразный переход действительно происходит в МпО и он превращается в непрерывный под действием одноосного напряжения, эти факты нельзя рассматривать как непосредственное подтверждение флуктуационной теории: переход сопровождается сильной деформацией решетки с предварительным сильным уменьшением упругой постоянной С44, так что, скорее, его скачкообразность следует приписать магнитострикционным эффектам. Кроме того, очень большая величина скачка (60% от насыщения) при переходе свидетельствует о том, что он происходит вне флуктуационной области.

С флуктуационной теорией лучше согласуются результаты по ErSb. О скачкообразности перехода свидетельствуют данные по теплоемкости [170] и рассеянию нейтронов [194]. Однако и в этом материале наблюдается достаточно сильное убывание С44 при приближении к 入，так что и здесь скачкообразность может быть вызвана магнитострикцией. Существенной деформации кристалла ниже TN в ErSb не обнаружено, что можно объяснить небольшой величиной скачка.

Остальные кристаллы со структурой МпО по имеющимся сейчас данным обнаруживают непрерывный фазовый переход. Хотя ранее утверждалось, иго в *MnS переход первого рода, последующие исследования показали [1916, 301], что на самом деле он второго рода. Особенности магнитных свойств в интервале от 152 до 130 К, обнаруженные в MnS, связаны с перестройкой доменов. Ниже TN = 152,7 К критический показатель для намагниченности равен 0,4.

Единственная работа, в которой утверждается, что в NiO имеет место небольшой скачок параметра порядка, - это [191а], где проводились измерения оптическим методом с высоким разрешением на хорошо отожженном образце. Однако в [289] этот вывод не подтверждается прямыми измерениями восприимчивости при | Т/Тс - 1 | < 0,03. В значениях показа-

теля 0 получается довольно большой разброс: 0,3 согласно [243] и 008 согласно [302]. В [289] получено, что непрерывный фазовый переход имеет место и в СоО.

Укажем другие материалы с той же структурой, обнаруживающие фазовые переходы второго рода: GdSb, GdBi [222], ErP [149], EuTe [311].

Антиферромагнетики с о структурой TbP (w = 4).

Согласно флуктуационной теории (п. 56) в материалах с такой структурой фазовый переход тоже должен быть скачкообразным. Ряд материалов этой группы, действительно, обнаруживает такой переход: FeO [289], ТЪР [197а] и TbAs [211]. Вместе с тем в гораздо большей группе магнетиков с такой структурой фазовый переход оказывается второго рода: CeS, CeSe, СеТе [254], GdS, GdSe, GdTe [172], TbS, TbSe, TbTe [171], TbSb [291],TbBi [211].

Однако тот факт, что переход в TbP (7\ =7,1 К) и в других материа- алах — первого рода, еще отнюдь не означает, что он вызван именно критическими флуктуациями. В [1976] была исследована зависимость температуры фазового перехода в ТЬР от магнитного поля. Было установлено, что она понижается с ростом поля как Л2. Теоретически тот же результат получается в ПСП, если учесть обмен высших порядков по спину. С другой стороны, по флуктуационной теории [136, 186], как видно из рис. 9.14, с ростом поля 7"n должна возрастать. Поэтому в [1976] был сделан вывод, что причина скачкообразности перехода в ТЬР — не критические флуктуации, а квадрупольное взаимодействие между спинами. Оно типично для систем, в которых состояния ионов с заданным моментом J расщеплены полем решетки (п. 1г).

""年46% 7 %力仞""年46% 7 %力仞В [238] для объяснения видимой непрерывности перехода в CeSe и СеТе выдвинута идея, что в кубических кристаллах точка покоя почти стабильна, и потому параметр порядка должен обнаруживать очень малый скачок. Если встать на эту точку зрения, то тогда следует считать, что все достаточно большие скачки параметра порядка в кубических кристаллах, доступ-

""年46% 7 %力仞

""年46% 7 %力仞

Рис. 9.14. Фазовая диаграмма ТЬР. На правой шкале - результаты ренормгруппового расчета [186) Сплошные линии - переход первого рода, штриховые - второго рода [ 197в]

ные экспериментальному обнаружению, вызваны не критическими флуктуациями, а чем-то иным.

Кубические антиферромагнетики с 几=6.

Согласно результатам п. 5в они тоже должны обнаруживать переходы первого рода. Возможно, что к числу таких магнетиков относятся UO2 и РгО2, если в них осуществляется одновекторная структура. В этом случае

вектор структуры направлен вдоль одного из ребер куба, а момент лежит в плоскости, перпендикулярной к Q (нейтронографические данные совместимы и с более сложными магнитными структурами в этих материалах, см. п. 226) • К этому классу материалов принадлежит и TmCuco структурой CsCl, в котором возможны 6 значений вектора магнитной структуры Q: он направлен по одной из диагоналей граней (я, я, 0), а вектор момента направлен по тому ребру, которое перпендикулярно к этой грани [232]. Этот материал упорядочивается посредством перехода первого рода, а при еще более низких температурах он переходит скачком в амплитудно-модулированное состояние с несоизмеримым вектором структуры и тетрагональным искажением решетки.

Возможны и другие объяснения скачкообразности фазовых переходов в этих материалах. Как указывалось в п. 25а, в UO2 она может быть вызвана эффектом Яна — Теллера. Кроме того, предложено ее объяснение экси- тонным переходом из триплетного в синглетное состояние (п. 18а). Наконец, если в UO2 имеет место сильный обмен высших степеней по спину (это может проявиться в 4 стабильности многоподрешеточной структуры типа обсужденной в п. 156), то такого обмена самого по себе достаточно, чтобы сделать переход скачкообразным. Что же касается TmCu, электронная структура которого сходна с TmZn и TmCb, то можно ожидать, что и в этом материале подобно его аналогам скачкообразность перехода обусловлена квадруполь-квадрупольным взаимодействием (п. 25а). С другой стороны, существование в TmCu перехода порядок — порядок, происходящего с сильным искажением решетки, свидетельствует о возможной роли магнитострикции и при переходе порядок — беспорядок. Как уже многократно указывалось, она может сделать этот переход скачкообразным.

Неплохо соответствует предсказаниям флуктуационной теории MnS2 со структурой пирита. В нем ионы Мп образуют гранецентрированную кубическую решетку и осуществляется АФМ упорядочение третьего типа (см. рис. 5.2). Хотя для кристаллов с такой симметрией существует стабильная точка покоя, но она недостижима [23]、Скачкообразность фазового перехода при 48 К установлена по дифракции нейтронов [163], по магнитной восприимчивости и тепловому расширению [99]. В [174], •где тоже исследовалась нейтронная дифракция, установлено, что напряжение в направлении [100] сглаживает скачкообразность перехода. Такое поведение качественно исходно с поведением МпО под действием напряжения в направлении [111] и соответствует теоретическим результатам п. 5д.

Однако в NdSn3 фазовый переход находится в прямом противоречии с флуктуационной теорией. В этом материале ионы Nd образуют простую кубическую решетку. Если структура одновекторна, то ее вектор направлен по одному из трех ребер Ky6a,Q = (я, 0,0), а момент перпендикулярен к нему, т.е. здесь тоже 九=6. Однако вместо скачкообразного перехода в нем реализуется переход, аномально размытый даже по сравнению с обыч* ным непрерывным фазовым переходом (рис. 9.15, [164]). Остатки дальнего порядка в нем существуют значительно выше TN =4,3 К: даже при 6 К наблюдается острый АФМ пик рассеяния нейтронов, хотя и очень низкий. Но вблизи 7\ не наблюдаются ни гистерезис, ни критическое рассеяние нейтронов.

ОО500050002r2 2/ ^0^ 草 令2 ^65.02r2 2/ ^0^ 草 令2 ^65.050005000N3FO езмзрнзл.工上N3FO езмзрнзл.工上九彳〃 7%" 徵" %；" 7%，九彳〃 7%" 徵" %；" 7%，2 О .град2 О .градйОООйООО〃，自71,97 7另9715,97 16,97〃，自71,97 7另9715,97 16,972д, град2д, градРис. 9.15. Фазовый Порядок - беспорядок в № S%.а — Температурная зависимость интегральной интенсивности АФМ нейтронографического рефлекса (1/2,, 0, 0); 6 ■ хвостовая часть рис. 〃 в крупном масштабе; в — форма АФМ рефлекса (1/2, 0, 0) при 4,3 К; г — то же самое при 5,0 К (164)Рис. 9.15. Фазовый Порядок - беспорядок в № S%.а — Температурная зависимость интегральной интенсивности АФМ нейтронографического рефлекса (1/2,, 0, 0); 6 ■ хвостовая часть рис. 〃 в крупном масштабе; в — форма АФМ рефлекса (1/2, 0, 0) при 4,3 К; г — то же самое при 5,0 К (164)

О

О

5000

5000

2r2 2/ ^0^ 草 令2 ^65.0

2r2 2/ ^0^ 草 令2 ^65.0

5000

5000

N3FO езмзрнзл.工上

N3FO езмзрнзл.工上

九彳〃 7%" 徵" %；" 7%，

九彳〃 7%" 徵" %；" 7%，

2 О .град

2 О .град

йООО

йООО

〃，自71,97 7另9715,97 16,97

〃，自71,97 7另9715,97 16,97

2д, град

2д, град

Рис. 9.15. Фазовый Порядок - беспорядок в № S%.

а — Температурная зависимость интегральной интенсивности АФМ нейтронографического рефлекса (1/2,, 0, 0); 6 ■ хвостовая часть рис. 〃 в крупном масштабе; в — форма АФМ рефлекса (1/2, 0, 0) при 4,3 К; г — то же самое при 5,0 К (164)

Рис. 9.15. Фазовый Порядок - беспорядок в № S%.

а — Температурная зависимость интегральной интенсивности АФМ нейтронографического рефлекса (1/2,, 0, 0); 6 ■ хвостовая часть рис. 〃 в крупном масштабе; в — форма АФМ рефлекса (1/2, 0, 0) при 4,3 К; г — то же самое при 5,0 К (164)

Проведенный в [164] анализ роли дефектов свидетельствует о том, что размазанность фазового перехода в NdSn3 не может быть вызвана дефектностью кристалла. Этот материал - одно из немногих соединений редких земель, в котором отсутствует тенденция к нестехиометричности, а примеси в используемом образце было очено мало. Поэтому число дефектов в нем было слишком мало, чтобы вызвать наблюденное размытие TN на 30%. Прекрасным подтверждением того, что описанные аномалии не обусловлены дефектами, служит тот факт, что точно такая же картина фазового пере-

хода наблюдалась и на другом образце с другой концентравдей дефектов и другими локальными несовершенствами.

Исходя из полученных ими результатов авторы [164] выдвинули идею, что отсутствие стабильной точки покоя может означать не только скачкообразность фазового перехода, но и любую другую его особенность, включая и аномальную растянутость.

Магнетики с модулированными структурами.

Согласно результатам флуктуационной теории (п. 5 г), фазовый переход в геликоидальное состояние обязательно должен быть первого рода, в случае же синусоидальной структуры тип перехода зависит от параметров модели. Возможность для сравнения теории с экспериментом дают родственные друг другу Tb, Dy и Но. Во всех экспериментальных исследованиях получается, что ТЬ и Dy, имеющие геликоидальное упорядочение, вопреки флуктуационной теории обнаруживают непрерывный фазовый переход. В частности, к такому заключению приводят сверхпрецизионные дилатометрические измерения на аппаратуре с разрешением 10~6 [298, 299]. Непрерывность фазового перехода в Dy подтверждают также исследования маг- нетокалорического эффекта [61]. Диспрозий после перехода в геликоидальное состояние при 177 К обнаруживает еще при 85 К переход первого рода в ФМ состояние. В магнитном поле, направленном в базисной плоскости, из линии равновесия геликоидальной фазы с намагниченной при 160 К, 11 кЭ имеется трикритическая точка. До нее фазовый переход из подмагниченного ПМ в геликоидальное состояние остается второго рода.

Вывод о непрерывности перехода в Dy сделан и в [2]. Подобно [298, 299], не обнаружено скачка длины образца, составляющей 3,5 мм, который превышал бы 2 • 10~7 см. О непрерывности перехода свидетельствуют и данные по электропроводности [1, 62]. Значения rN, полученные при нагревании и охлаждении, совпадают друг с другом с точностью выше 0,1 К. Поскольку образцы в [2] были очень высокой частоты, удалось обнаружить резкое различие во влиянии примеси на характер особенности теплоемкости выше и ниже точки Нееля, не находящее объяснения при скачкообразном фазовом переходе. Обнаружен также резкий рост критического показателя для теплоемкости а в самой близкой окрестности TN (I т I < 0,008). Согласно [177] а равен 0,24.

Согласно нейтронографическим исследованиям [5], при охлаждении Dy появлению геликоидального упорядочения предшествует появление какой-то другой фазы, существующей в интервале от 178,5 до 173,7 К. Однако при нагреве эта фаза не появляется.

Хотя Dy и ТЬ принадлежат к одному и тому же классу универсальности, критический показатель 0 у них разный: у Dy он равен 0,355 ± 0,010 по [215] и 0,39 по [2 58], а у ТЬ он равен 0,2 5 ± 0,01 по [135] и 0,3 2 по [258].

Но в отсутствие стабильной точки покоя критические индексы и не обязаны совпадать друг с другом. Таким образом, фактически наблюдается неуниверсальность фазовых переходов второго рода.

Относительно типа перехода в Но мнения расходятся. Хотя первоначально в [298] скачка длины образца не наблюдалось, повышение чув.ствитель-

ности метода привело к его обнаружению [299]. Но согласно [177] переход в Но все-таки непрерывный. Измерения теплоемкости привели к совпадающим значениям для TN при подходе к ней сверху и снизу: Т^ = Т^ = =132,245 ± 0,08 К. Совпадают и критические показатели для теплоемкости: а = 0,20 ± 0,03. Согласно [138], где переход тоже считался непрерывным, критический показатель 0 равен 0,39.

Вместе с тем обнаружены скачкообразные фазовые переходы в очень чистых образцах Сг [84] и Ей [144] с синусоидальным упорядочением.

Не универсальность свойств Dy, Tb, Но и NdSn3, если она не будет опровергнута последующими экспериментами, ставит перед флуктуационной теорией сложные проблемы. Если в дальнейшем ситуация не изменится, то из эксперимента можно сделать следующий вывод: отсутствие или недостижимость стабильной точки покоя должны означать любую неуниверсаль- ность фазовых переходов, включая не универсальные значения критических показателей. Естественно, к проявлениям неуниверсальности относится и скачкообразность переходов.

Переходы порядок - чужой беспорядок и близкие к ним .

Переход порядок - чужой беспорядок характеризуется несовпадением векторов дальнего Qzo и ближнего Q$o порядков ниже и выше Тс (п. За). Такие переходы возникают, когда билинейный обмен сравним с обменом высших порядков по спину и оба эти типа обмена конкурируют друг с другом в определении типа магнитного порядка, но температура смены одного порядка на другой слишком велика, чтобы при ней сохранился дальний порядок (п. 126). Существование таких переходов было теоретически предсказано в [30, 31, 56, 57]. Проведенный в этих работах анализ существовавших тогда экспериментальных данных показал, что такой переход осуществляется в EuSe. После этого существование переходов порядок —чужой беспорядок было подтверждено прямыми нейтронографическими исследованиями UAs и CeSb.

Магнитный полиморфизм EuSe описан в п. 246. Сам факт его существования и реализация в этом материале негейзенберговских структур, например четырехподрешеточной АФМ типа ССЮЮ, однозначно свидетельствует о сильном обмене высших степеней по спину (см. также п. 1е). Дальний порядок в EuSe исчезает скачком [48]. В ПМ состоянии справедлив закон Кюри — Вейсса, но, несмотря на АФМ упорядочение в кристалле и изотропность обменного взаимодействия, ПМ температура Кюри 0 у EuSe положительна, в то время как у изоморфного ему АФМ ЕиТеона отрицательна. Как следует из (6.10), положительность 0 может быть следствием ФМ ближнего порядка. Но ее можно также объяснить донорными дефектами, в окрестности которых из-за косвенного обмена через электрон донора возникает ФМ упорядочение (локализованный феррон [48]). Имея в виду такую возможность, приведем дополнительные свидетельства в пользу того, что ФМ ближний порядок в ПМ области обусловлен не дефектами, а есть свойство регулярного кристалла EuSe.

Во-первых, спектры эффекта Мёссбауэра показывают,- что ФМ ближний порядок существует только выше TN [255]. Если бы он был связан с локализованными ферронами, то он существовал бы и при всех температурах ниже Tn・ Во-вторых, в ПМ области при понижении температуры наблюдается очень сильный красный сдвиг края оптического поглощения, который 218

исчезает ниже 小(рис. 9.16 [308]). Такой сдвиг типичен для ФМ полупроводников: в них он происходит как выше, так и ниже Tq и обусловлен установлением ФМ порядка, сначала ближнего, а затем и дальнего [48]. В то же время в изотропных АФМ полупроводниках красный сдвиг отсутствует как выше, как и ниже TN. Наоборот, они обнаруживают слабый синий сдвиг. В частности, красного сдвига нет в АФМ ЕиТе, в то время как в ФМ аналогах EuSe, ЕиО и EuS он очень велик. О том, что красный сдвиг в EuSe выше TN связан с ФМ ближним порядком, свидетельствует также

следующий факт: магнитное поле, вает красный сдвиг (рис. 9.16).следующий факт: магнитное поле, вает красный сдвиг (рис. 9.16).устанавливающее ФМ порядок, усили-устанавливающее ФМ порядок, усили-

следующий факт: магнитное поле, вает красный сдвиг (рис. 9.16).

следующий факт: магнитное поле, вает красный сдвиг (рис. 9.16).

устанавливающее ФМ порядок, усили-

устанавливающее ФМ порядок, усили-

Ед、ЗВЕд、ЗВ

Ед、ЗВ

Ед、ЗВ

Рис. 9.16. Температурная зависимость края оптического поглощения в EuSe [ 308]

В последнее время появились дополнительные экспериментальные данные, подтверждающие, что ФМ ближний порядок в ПМ области у EuSe — ферромагнитный. Как уже указывалось в п. 126, небольшие внешние воздействия могут превратить чужой ближний порядок в дальний, заменив тем самым переход порядок — чужой беспорядок парой переходов: порядок —порядок и порядок - свой порядок. Именно это и наблюдалось в EuSe [310]: при давлении 5,8 к бар между ПМ и АФМ фазами появляется ФМ фаза. Таким образом, хотя нейтронографические исследования EuSe вблизи Tn не были проведены, описанные выше экспериментальные данные подтверждают, что в этом материале реализуется переход порядок — чужой беспорядок. Его теоретическое описание дано в п. 15а.

Во флуктуационной теории тип перехода в материалах со структурой EuSe пока не исследован. В EuSe ниже 人 ФМ плоскости (1 1 1) чередуются в последовательности ССЮЮ. Ориентация их моментов не установлена, и потому размерность параметра порядка (8 или 16) неизвестна. Но при таком большом п скорее всего было бы ожидать перехода первого рода и по флуктуационной теории.

Первый материал, на котором прямыми нейтронографическими исследованиями было фактически установлено существование фазового перехода порядок - чужой беспорядок, - это UAs со структурой NaCl [287]. Ниже 7\ = 123,5 К в нем устанавливается двухподрешеточная структура, когда спины ФМ плоскостей (001) параллельны или антипараллельны оси [001]. При приближении к 力n со стороны высоких температур сначала

21921915*

219

219

резко возрастает интенсивность диффузного рассеяния нейтронов, соотрезко возрастает интенсивность диффузного рассеяния нейтронов, соответствующего вектору ближнего порядка Q^。ветствующего вектору ближнего порядка Q^。27r27r(0; 0; 0,7). Но ниже(0; 0; 0,7). Но ниже

резко возрастает интенсивность диффузного рассеяния нейтронов, соот

резко возрастает интенсивность диффузного рассеяния нейтронов, соот

ветствующего вектору ближнего порядка Q^。

ветствующего вектору ближнего порядка Q^。

27r

27r

(0; 0; 0,7). Но ниже

(0; 0; 0,7). Но ниже

Tn такое модулированное состояние тем не менее не реализуется. Вместо этого происходит скачкообразный переход к АФМ упорядочению с векто- 27r

ром дальнего порядка Qzo =(0,0,1). Сказанное очевидно из рис. 9.17,

Интенсивность рассеяния нейтронов в UAs вблизи TN [287]Интенсивность рассеяния нейтронов в UAs вблизи TN [287]

Интенсивность рассеяния нейтронов в UAs вблизи TN [287]

Интенсивность рассеяния нейтронов в UAs вблизи TN [287]

на котором представлена температурная зависимость интенсивности рассеяния нейтронов при указанных выше Qj0 и Qzo [287].

В UAs, как и в EuSe, тоже наблюдается расщепление перехода порядок —чужой беспорядок на пару переходов: порядок — порядок и порядок — свой беспорядок [117]. Но здесь изменение обменных констант происходит не под действием давления, а путем замены 3 % As на Se. Несо- 27r

измеримая фаза с вектором дальнего порядка Q =(0; 0; 0,65) возника-

а

ет с повышением температуры при 113 К на смену АМФ структуре с вектором 27r

порядка Q = (0; 0; 1), стабильной при более низких температурах.

При 122 К несоизмеримая фаза исчезает в результате фазового перехода второго рода порядок — свой беспорядок.

Согласно [277, 307] 0 у UAs положительна точно так же, как у АФМ USb и UP, в которых, в отличие от UAs, магнитного полиморфизма не наблюдается. Однако очень большое различие в значениях 0, найденных в этих двух работах, заставляет заключить, что положительность 0 хотя бы частично обусловлена дефектами в кристаллах. Она могла бы быть также вызвана резкой анизотропией обменного взаимодействия, из-за которой обмен между атомами в плоскостях (001) ферромагнитен [271]. Во всяком случае, из-за не слишком большой разницы между Q^o и Qzo маловероятно, чтобы в UAs знак 6 был связан с переходом порядок - чужой беспорядок.

В самой работе [287] полученные так результаты объяснены близостью системы к точке Лифшица, в которой сосуществуют АФМ, ПМ и модулированная фазы. Но, как было указано в [284], такое объяснение неудовлетворительно, так как вблизи точки Лифшица переход порядок - беспорядок должен быть второго рода. Очевидно, переход порядок - чужой беспоря- 220

док в UAs вызван теми же причинами, что и его магнитный полиморфизм (при понижении температуры в нем двухподрешеточная структура переходит в четырехподрешеточную, п. 24в).

Другой материал, в котором нейтронографические исследования обнаруживают фазовый переход порядок - чужой беспорядок, - это CeSb, уникальные свойства которого описаны в п. 24в. Число фазовых переходов порядок -порядок в нем так велико, что возникло подозрение о существовании в нем ^чертовой лестницы5* фазовых переходов. Переход порядок — чужой беспорядок — как бы последнее звено в этой лестнице. Согласно [158а] при приближении к 7"n = 16,4 К со стороны высоких температур быстрее всего нарастают флуктуации, соответствующие двухподрешеточ- ной АФМ структуре с ФМ плоскостями (100). Однако ниже 7\ устанавливается трехподрешеточная АФМ структура типа СЮО, где 0 — символ ПМ плоскости (рис. 9.18). Поле ниже 8 кЭ не меняет типа фазового перехода [206]. Однако переход порядок — чужой беспорядок расщепляется на переходы порядок — порядок и порядок — свой беспорядок второго рода) под действием одноосного напряжения 2 кбар, параллельного оси [0 01] [158 6].

Представляло бы значительный интерес детально исследовать K2NpO4, в котором наблюдался переход первого рода при 19,5 К. ПМ температура этого материала велика и отрицательна (—150 К), но есть указания на то, что этот материал ФМ [245]. Если это так, то был бы первый пример перехода ФМ дальний порядок — АФМ ближний порядок.

Хотя непосредственно переход порядок 一 чужой беспорядок в 3 Не не наблюдался, из имеющихся экспериментальных данных можно заключить, что в определенных условиях такой переход возможен. В этом материале

Рис. 9.18. Интенсивность рассеяния нейтронов Се Sb вблизи TN [ 158]

по существующим представлениям (п. 246) ниже 7\ устанавливается АФМ упорядочение ФМ плоскостей (1 00) по типу ССЮЮ. Согласно [93] для такой структуры флуктуационная теория приводит к переходу первого рода (п. 5г). С другой стороны, такая структура возможна только при сильном негейзенберговском обмене, который сам по себе приводит к переходу первого рода.

Экспериментально скачкообразность перехода обнаружена по температурной зависимости давления, энтропии и параметра порядка [253, 269].

221

Хотя у всех исследователей ПМ температура Кюри 0 получилась отрицательной [188], в [188] высокопрецизионными ЯМР измерениями было показано, что 0 очень быстро убывает по абсолютной величине, если увеличивать давление: при изменении молярного объема от 24,13 до 21,03 см3/моль она падает от — 1,48 мК до -0,11 мК, и при дальнейшем росте давления, в принципе, возможны положительные значения. Так как четырехспиновый обмен не дает вклада в 0 в ПСП (п. 12а), это свидетельствует о росте ФМ обмена с давлением.

Обменное взаимодействие в 3Не описывается гамильтонианом (1.17), получаемым из (1.15). Согласно [269] все параметры в (1.15) отрицательны, и с ростом давления уменьшается вклад двухчастичного обмена 乐％в суммарный гейзенберговский обмен. Поэтому ^ в (1.17) убывает по модулю с давлением, и аналогично ведет себя 0.

Если доминирующий вклад в ^ и ДГ2 дают трехчастичные перестановки, определяющие величину 3» то обе эти величины оказываются положительными. Отсюда следует, что в ПМ области установится ФМ ближний порядок, отражаемый положительностью 0, т.е. реализуется переход порядок - чужой беспорядок.

Согласно [165] вместе с | 8 | убывает с ростом давления и 7\，причем ее зависимость от молярного объема оказывается очень сильной: 7N ~ И16,5. При объеме, равном 24,14 см3/моль, Т^ равна 1 мК, а при объеме, равном 22,46 см3/моль, она падает до 0,29 мК.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Амитин £5.〃ФТТ. - 1982. - Т. 24. - С. 245-252.

Амитин Е.Б., Бессергенев В.Г., Ковалевская Ю.А.//ЖЭ1Ф. - 1983. - Т. 84.- С. 205 -215.

Андреев А.Ф., Грищук И.Л.//ЖЭТФ. - 1984. - Т. 87. - С. 467-478.

Барьяхтар В.Г., Ганн В.В., Яблонский Д.Л.//ФТТ. - 1975. - Т. 17. - С. 17441749.

Бессергенев В,Г., Гогава В.В., Ковалевская Ю.А. и др.//Письма в ЖЭТФ.- 1985. - Т. 42. - С. 412- 414.

Блинц 尸.，Жекш Б. Сегнетоэлектрики и антиссгнетоэлектрики. - М.: Мир, 1966. - 308 c.

Боголюбов Н.Н. Лекции по квантовой статистике. - Киев: Наукова думка, 1949. - 298 с.

Бразовский С.А., Дзялошинский И.^.//Письма в ЖЭТФ. - 1975. - Т. 21.- С. 360-363.

Бразовский С./., Дзялошинский И.Е., КухаренкоБ.Г.//ЖЭТФ. - 1976. - Т. 70.- С. 2256-2268.

Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. - М.: Мир, 1985. - 352 c.

И. Вакс ВТ., Ларкин А.И., Пикин С4〃ЖЗТФ. - 196 7. - Т. 5 3. - С. 2 81 -294; 1089-1101.

Вальков В.И., Галкина Е.Г., Завадский 3.4//ФТТ. - 1981. - Т. 32. - С. 22092215.

Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и е-разложение. - М.: Мир, 1975. - 256 с.

Вонсовский С.В. Магнетизм. - М.: Наука, 1971. 一 1032 с.

15а. Галкина Е.Г., Завадский 3.4, Каменев В.И. и др.//ФТТ. - 1983. 一 Т. 25.- С. 79—87.

Завадский 3.4, Вальков В.И. Магнитные фазовые переходы. - Киев: Наукова думка, 1980.

Гинзбург 5.Л.//ФТТ. - 196 0. - Т. 2. - С. 2031-203 7.

Говор Г.Л.//ФТТ. - 1981. -Т. 23. - С. 2603-2610.

Головенчиц Е.И., Санина В.А., Шаплыгина ГЛ.//ЖЭТФ. - 1981. - Т. 18.- С. 1911-1923.

Гуфан Ю.М., Ларин ЕС〃Изв. АН СССР, сер. физ. - 1979. - Т. 43. - С. 1567-1571.

Делюков /./., Климуtueea F.B., Турчин Л.5.//Письма в ЖЭТФ. - 1986. - Т. 44. С. 255-257.

Дзялошинский〃.£.〃ЖЗТ①.-1964. - Т. 47. - С. 336—347.

Дзялошинский〃.瓦〃ЖЗТФ. — 1977. - Т. 72. - С. 1930-1942.

Дзялошинский И.Е., Кухаренко 5/.〃ЖЗТФ. - 1978. - Т. 75. - С. 2290- 2299.

ДзялошинскийИ.Е., Манько 5.И.//ЖЭТФ. - 1964. - Т. 46.—С・135 2—1362.

Иванченко Ю.М., Лисянский А.А., Филиппов 43.〃ЖЗТФ. -1984.-Т.87.-

С. 1019-1027.

Иванченко Ю.М., Лисянский А.А., Филиппов 43.〃ФТТ. - 1984. - Т. 26.- С. 2525-2530.

Изюмов Ю.А., Сыромятников В.Н. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. -М.: Наука, 1984. - 245 с.

Казей 3.4, Милль Б.В., Соколов В.Я.//Письма в ЖЭТФ. - 1980. - Т. 31.- С 338—340

Кашин В.А., Нагаев Э.Л.//ЖЭТФ. - 1974. - Т. 66. - С. 2105-2114.

Коваленко 44, Нагаев Э.Л.//Письма в ЖЭТФ. - 1982. - Т. 35. - С. 20-22.

Коваленко А.А., Нагаев 3.〃.〃ФТТ. - 1983. - Т. 25. - С. 2723-2730.

Коваленко В@., Нагаев Э.Л.//УФН. - 1986. - Т. 148. - С. 561-602.

Купель КМ., Хомский Д.И.ПУФ^ - 1982. - Т. 136. - С. 621-665.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика, ч. 1 - М.: Наука, 1976.- 583 с.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. - М.: Наука, 1982. - 620 с.

Ларкин А.И., Пикин СА.//ЖЭТФ. - 1969. - Т. 56. - С. 1664-1674.

Леванюк АЛ.I/ЖЭТФ. - 195 9. - Т. 36. - С. 810-820.

8. Люксютов И.Ф., Покровский В.Л.//Письмав ЖЭТФ. - 1975. - Т. 21. - С. 2 2-24.

Ма Ш. Современная теория критических явлений. - М.: Мир, 1980. - 298 с.

Маковецкий Г.И., Галлее А.И.ЦФТТ. - 1982. - Т. 24. - С. 2753-2760.

Матвеев В.М.//ЖЭТФ. - 1973. - Т. 63. - С. 16 26-1632.

Матвеев В.М.//ФТТ. - 1974. - Т. 16. - С. 1635-1642.

Матвеев В.М, Нагаев Э.Л.//ФТТ. - 1972. - Т. 14. - С. 492-501.

Матвеев В.М., Нагаев 3刀.〃ФТТ. - 1975. - Т. 17. - С. 2483-2500.

Маттис Д. Теория магнетизма - М.: Мир, 1967. - 407 с.

Медведев М.А〃Кзв. вузов, физика. - 1984. - № 10. - С. 3-10.

47а. Нагаев Э.Л.//ЖЭТФ. - 1969. - Т. 57. - С. 1274-1279.

Нагаев 3.〃・〃ФТТ. - 1971. - Т. 13. - С. 1321-1327; ФТТ. 一 1972. - Т. 14.- С. 773-780.

Нагаев Э.Л. Физика магнитных полупроводников. - М.: Наука, 1979. - 431 с.

Нагаев ЭЛ. //ФТТ. - 1983. - Т. 25. - С. 3617 - 3623.

Нагаев Э.Л. //УФН. - 1982. — Т. 136. - С. 61 - 101.

Нагаев ЭЛ. //Письма в ЖЭТФ. - 1984. - Т. 39. - С. 402 - 404.

Нагаев ЭЛ. //ЖЭТФ. - 1984. - Т. 87. - С. 960 - 970.

Нагаев Э.Л. //ФТТ. - 1985. - Т. 27. — С. 3270 - 3276.

54а. Нагаев Э.Л. //ЖЭТФ. - 1986. - Т. 90. - С. 65 2 - 66 2.

Нагаев Э.Л.//ФТТ. - 198 7. - Т. 29. - С. 3 85-39 2.

Нагаев Э.Л. //ЖЭТФ. - 1987. - Т. 92. - С. 569 - 579.

Нагаев Э.Л., Коваленко А А. //Письма в ЖЭТФ. - 1979. - Т. 29. - С. 540 - 542.

Нагаев ЭЛ., Коваленко А.А. //ЖЭТФ. - 1980. - Т. 79. - С. 907 - 910.

Нагаев Э.Л., Поделыциков А.И. //ФТТ. - 1982. - Т. 24. - С. 3434 - 3440.

Нагаев ЭЛ., Поделыциков А.И. //ЖЭТФ. - 1986. - Т. 90. - С. 1360 - 137 2; Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ. - 1981. -Т. 80.-С. 2346-2361.

Нагаев Э.Л., Поделыциков А.И. //ФТТ. - 1988. - Т. 30. - С. 187-194.

.Никитин С.А., Слободчиков С.С., Соломкин И.К. //ФММ. - 197 8. 一 Т.45. -С.44-54. Ы.Никитин СА., Андреенко А.С., Пронин ВЛ. //ФТТ. - 197 9. - Т. 21 - С. 2808 -2815.

Паташинский А.З., Покровский ВЛ. Флуктуационная теория фазовых переходов.- М.: Наука, 1982. - 381 с.

Покровский В.Л., Уймин Г.В. //ЖЭТФ. - 1982. - Т. 82. - С. 1640 - 1654.

Сачков И.Н., Кренцис РЛ„ Гельд П.В. //ФТТ. - 197 9. - Т. 21. - С. 607-613.

Смарт Дж. Эффективное поле в теории магнетизма. - М.: Мир, 1966 - 271 с.

Тябликов С.В. //ФММ. - 1963. -Т. 16. - С. 321 - 330.

Тябликов С.В. Методы квантовой теории магнетизма. - М.: Наука, 1965. 一 334 с.

Уймин Г.В. //Письма в ЖЭТФ. - 1982. - Т. 36. - С. 201 - 204.

Хмельницкий Д.Е. //ЖЭТФ. - 197 5. - Т. 6 8. - С. 1960 - 197 2.

ТХ.ШендерЕ.Ф. //ЖЭТФ. - 1974. - Т. 66 - С. 2198-2211.

Adachi R」IJ. Phys. Soc. Jap. - 1974. -V. 37. - P. 1170-1181.

3. Adler J., Oitmaa J.flJo^n. Phys. Ser. C. - 197 9. - V. 12. - P. 5 7 5 - 5 90.

74.Aleonard R. 〃S3. St. Comm. - 1975. -V. 17.- P. 599 - 604.

Aleonard 尸.，Morin 尸.，Rouchy J. //J. Mag. Mag. Mat. — 1984. — V. 46. — P. 233 — 238.

Aleonard R. //Journ . Phys. Ser. F. — 1984. — V. 14. — P. 2689 — 2703.

Aleonard R., Morin P. //Journ. Mag. Mag. Mat. - 1984. - V. 42. - P. 151 - 155.

IS.Als-Nielsen J., Kienis J., Buyers Ж etal. //Journ. Phys. Ser. C. -1977. - V. 10.- P. 267 3 - 2688.

Anderson Л // Sol. St. Phys. - 1965. - V. 14. - P. 99 - 203.

^0. Andres K., BucherE., Malta J. et al.IIPhys.^QN. Lett. - 197 2. - V. 2 8. - P. 165 2 - 165 5.

SI. Andres K., Bucher E. //J. Low Temp. Phys. - 1972. - V. 9. - P. 267-280.

AndersK., BucherE., Schmidtetal. //Phys. Rev. Ser. B. - 1973. -V. 11. - P. 4364-4372.

Andres K., Bucher E, Darack S. er a/. 〃Phys. Rev. Ser. B. - 1972. - V. 6. - P. 2716 - 2732.

Arrott A., Werner S. Kenrick M. //Phys. Rev. Lett. - 1965. - V. 14. - P. 1022 - 1025.

Aubry 5. //Solitonsend Condensed Matter Physics /Ed. by A. Bishop, J. Schneider.- Berlin: Springer, 1978.

^b. Aubry 5. //Journ. Phys. Ser. C. — 1982. — V. 16. — P. 2497 —2510.

^1. Avilov KK, Yordansky 5. К//J. Low Temp. Phys. - 1982. - V. 48. - P. 241 - 257.

^.Bachmann M. //J. AppL. Phys. - 1969. -V. 40. -P. 1131 - 1141.

89a. Bak 尸.〃Phys. Rev. Lett. - 1975. - V. 34. - P. 1230 - 1234.

89b. Houmann &, Chappelier M.f Mackintosh A. et al. // Phys. Rev. Lett. - 1975. - V. 34.- p 587—590

Bak P., Krinsky S., MukamelD. "Phys. Rev. Lett. - 1975.- V. 36. - P. 5 2- 5 5.

Bak P., Mukamel P. // Phys. Rev. Ser. B. - 1976. - V.13. -P. 5086-5101.

Bak P., Boehm von /.〃 Phys. Rev. Ser. B. - 1980. - V. 21. -P. 5 297- 5 311.

Bak P., Rasmussen F.H Phys. Rev. Ser. B. - 1981. - V.23. -P. 45 38-4552.

Barak Z.t Walker M. 11 Phys. Rev. Ser. B. - 1982. - V. 25. - P. 1969 - 1982.

Bean C, Rodbell D. 11 Phys. Rev. - 1962. - V. 126. - P. 104 -116.

Berlin Т.,КасМ.Ц Phys. Rev. Rev. - 195 2,- V. 86. - P. 821 - 8 32.

Bhide V., Rajoria D., Reddy У. et. al. 11 Phys. Rev. Ser. B. - 1973. — V. 8. - P. 5 02 8 - 5043.

8加de K, Rajoria D, Rao C et al. //Phys. Rev. Ser. B. - 1975. - V.12.-P. 2832 - 2850.

Bingham П, Morgan П, Cashion Z//Sol. St. Comm. - 1982. - V. 44. - P. 517-525.

Bleaney B.//Proc. Roy. Soc. Ser. A - 1963. - V. 276. - P. 19-35.

Blankstein P., Aharony 4〃Phys. Rev. Lett. - 1981. - V. 47. - P. 439-443; Phys. Rev. Ser. B. - 1983.- V. 28. - P. 386-403.

Bloch П, Maury R., Vettier C. et 〃.〃Phys. Lett. Ser. A. - 1974. - V. 49. - P. 354359.

Bloch 0., Hermann-Ronzaud П, Vettier C etcZ.//Phys. Rev. Lett. - 1975 - V. 35.- P. 963-966.

Blume MJ/Phys. Rev. - 1966.-V. 141. - P. 517-531.

105a. Blume M.t Hsieh Y.〃J. Appl. Phys. - 1969,- V. 40. - P. 1249-1258.

Blume M.f Emery V., Griffiths /?.//Phys. Rev. Ser. A. - 1971. - V. 4,-P. 1071-1075.

Boehm von Z, Bak P.//Phys. Rev. Lett. - 1979.-V. 42. - P. 122-125.

Bolton H., Lee A, Millar J.HS. Phys. Ser. C. - 1972. -V. 5. - P. 1178-1189.

Bouchard J./1 J. Appl. Phys. - 1966. - V. 37. — P. 971-983.

Breseman Л., Baylin MJ/Phys. Rev. - 1967.-V. 154. - P. 471-484.

Brezin E., Le Guillou J., Zinn-Justin /.〃Phys. Rev. Ser. B. - 1974. - V. 10. - P. 892903.

Illa. Brown Я./ZPhys. Rev. Ser. B. - 1971.-V. 11.-P. 4725-4744.

Lee M., Banerjee 5.//Physica, Ser. B. - 1981.-V. 107. - P. 81-97.

Bruinsma R, Aeppli GJ/Phys. Rev. Ser. B. - 1984,- V. 29. - P. 2644-265 8.

Brun Г, Kouvel Z, Lander G〃Phys. Rev. Ser. B. - 1976.- V. 13.- P. 5007-5021.

Bruno Z, SakJ.HYhys. Rev. Ser. B. - 1980. - V. 22. - P. 3302-3318.

Bucher £, Andres K., di Salvo 尸.era/.〃Phys.Rev. Ser. B. - 1975. -V. 11.-P.500- 518.

116a. Burlet P.//J. de Physique. - 197 9. - V. 40. - P. 47-5 7.

Burlet 尸.，Rossat-Mignod Z, Troc R.〃Sol. St. Comm. - 1982. - V. 43. - P. 479-485.

Burlet P. etal."S3. St. Comm. - 1985. -V. 55. - P. 1057-1062, 1063-1068.

Buyer W., Holden Г, Perrault 4〃Phys. Rev. Ser. B. - 1975. - V. 11.- P. 266-282.

Cable Z, Koehler W.〃AJPConf. Proc. - 1972. - V. 5. - P. 1381-1395.

Callen 〃.〃Phys. Rev. - 1963.- V. 130. - P. 890-901.

121a. Chakrabarti B., Bhattaharya TV., Sinkha S.〃Joum. Phys. Ser. C. - 1982. - V. 15.- P. L777-L782.

Chattopadhyay Г, Barlet P., Rossat-MignodJ. et 〃/.〃J. Mag. Mag. Mat. - 1986.- V. 54-57. - P. 503-510.

Chen 〃.，Levy 尸.〃Phys. Rev. Lett. - 1971. - V. 24. - P. 2611-2615.

3. Chen H., Levy 尸.〃Phys. Rev. Ser. B. - 197 3.-V. 7. - P. 4267-4273.

Chen R., Chen 儿 Hsue C//Physica, Ser. A. - 1978. - V. 93. - P. 56-66.

Chen Tu/U，Appl. Phys. - 1974. - V.45. - P. 235 8-2364.

Chenovas Z, Joubert J.//Sol. St. Comm. - 1971. - V. 9. - P. 1057-1062.

Chin-Tsao Г, Levy P., Paulson C〃Phys. Rev. Ser. B.- 1975. - V. 12. - P. 1819-1830.

Geplak M.〃J. Phys. Ser. C. - 1979. - V. 12. - P. 667-685.

Birgeneau R., Ais-Nielsen J., Bucher £〃Phys. Rev. Ser. B. - 1972. - V. 6. - P. 27242741.

aement S.//J. Phys. Ser. C. - 1979. - V. 12.- P. L6 3 3-L6 37.

Cooper В.Ц]. Mag. Mag. Mat. - 1982. - V. 29. - P. 230-238.

2. Coqblin R, Schrieffer J.11 Phys. Rev. - 1969.- V. 185. - P. 847-860.

3. Cross M//Physica, SeY. B. - 1982.- V. 109-110. - P. 1796-1807..

Date M, Sakaribara 工，Sugiyama L. et 〃/.〃High Field Magnetism/Ed. by M. Date.- Amsterdam: North-Holland, 1983.

Dietrich O., Als-Nielsen Z//Phys. Rev. - 1967. - V. 162. - P. 315-331.

Domany £, Mukamel P., Fisher M・〃Phys. Rev. Ser. B. - 1977. - V. 15. - P. 54325449..

Dwight R.IIJ. Appl. Phys. - 1962. - V. 33. - P. 1341-1355.

Eckert J„ Shirane G.//S0I. St. Comm. - 1976. -V. 19. - P. 911-916.

Effantin £, Rossat-MignodP.,BurletP.//J. Mag. Mag. Mat. - 1985. - V. 47-48.- P. 45-52.

Elliott R., Wedgewood F//Proc. Phys. Soc. - 1963. - V. 81. - P. 846-857; 1964.- V. 84.-P. 63-75.

Elliot R, ThorpeM.HJ. Appl. Phys. - 1968.- V. 39. - P. 802-810.

Everett G., Jones R〃Phys. Rev. Ser. B. - 1971. - V. 4. - P. 1561-1580.

Faber J., Lander G〃Phys. Rev. Ser. B. - 1976. -V. 14. - P. 1151-1161.

Fenton £, Leavens R.〃J. Phys. Ser. F. - 1977. - V. 7. - P. 1705-1715.

Fruchart D.//J. de Physique. - 1971. - V. 32. - P. Cl-855-866.

146a. Fischer PJ/J. Phys. Ser. C. - 197 8,- V. 11. - P. 345-35 6.

Fischer 尸.，Haig W., Kaldis 氏〃J. Mag. Mag. Mat. - 1979. - V. 14. -P. 301-306.

Fujii H., Okamoto Г, Shigeoka T、et cZ.//Sol. St. Comm. - 1985. - V. 53. - P. 715720.

Fishman £, Aharony 4〃Phys. Rev. Ser. B. - 1979. - V. 19. - P. 3776-3793.

Frazer B., Shirane G., Cox 力.er 〃/.〃Phys. Rev. Ser. A. - 1965. - V. 140. - P. 14481465.

Frazer B., Shirane G, Cox 0. et 〃/.〃Phys. Rev. Ser. A. - 1972. - V. 52. - P. 323340.

Gehring C, Gehring K.〃Rept. Progr. Phys. - 1975. - V. 38. - P. 1-120.

De Gennes P.//Phys. Rev. - 1960.-V. 118. - P. 141-155.

3. Gignoux 0., Gomez-Sal /., Paccard P.//S0I. St. Comm. - 198 2. - V. 44. - P. 695702.

Gradmann U., Bergholz R.〃Phys. Rev. Lett. - 1984. - V. 52. - P. 771-774.

5. Grover В.I/Phys. Rev. Ser. A. - 1965. - V. 140. - P. 1944-195 9.

Guertin R, Crow /., Missell F. et 〃/.〃Phys. Rev. Ser. B. - 1978. - V. 17. - P. 21832196.

Guertin R., Foner 5.//Phys. Lett. Ser. A. - 1978. - V. 68. - P. 116-122.

8a. /&k B//J. Phys. Ser. C.- 1981. - V. 14. - P. L961-L967..

HalgB., Furrer A.t Vogt O.〃Phys. Rev. Lett. - 1986. - V. 57. - P. 2745-2748.

9. Harris A., Lubensky r//Phys. Rev. Lett. - 1974. - V. 3 3. - P. 1540-1545.

Harris A.HL Phys. Ser. C. - 1974. - V. 7. - P. 1671-1684. <

Harris E., Owen Z//Phys. Rev. Lett. - 1963. - V. 11. - P. 9-14.

HaseJJ/J. Phys. Soc. Jap. - 1981.- V. 50. - P. 747-786.

Hastings J., Corliss £.//Phys. Rev. Ser. B. - 1976. - V. 14. - P. 1995-2011.

Hastings R., Corliss 丄.，Kunnmann W. ef。/.〃Phys. Rev. Ser. B. - 1980. - V. 22.- P. 1327-1340.

Hata r//Phys. Rev. Lett. - 1983.- V. 51. - P. 1573-1577.

Hirakawa Z//J. Phys. Soc. Jap. - 1960. - V. 15. - P. 2063-2071.

Hiraoka K.〃Sol. St. Comm. - 1984. - V. 5 2. - P. 47 9-485.

Нотта S., Okada K., Matsuda y.〃Prog. Theor. Phys. - 1966. - V. 36. - P. 1310- 1325; ibidem. - 1967. - V. 38. - P. 767-781.

Huberman B., Streifer W.〃Phys. Rev. Ser. B. - 1975. - V. 12. - P. 2741-2754.

Hulliger F., Natterer B.//Sol. St. Comm. - 1973. - V. 13. - P. 221-228.

Hulliger E, Stucki W.〃Z. Phys. Ser. B. - 1978.- Bd. 31. - S. 391-405.

Hulliger E, Siegrist T〃Z. Phys. Ser. B. - 1979.- Bd. 35. - S. 81-96.

3. Ito T., Ito K., Oka M.//Jap. J. Appl. Phys. - 1978.- V. 17. - P. 371-380.

Ivashita Z, Uryu M〃Phys. Ser. C. - 1979.- V. 12.- P. 4007-4019.

Iwahashi R., Miwa У., Masuda Y.〃J. Phys. Soc. Jap. - 1984. - V. 5 3. - P. 3088-3108.

6. Jarrett //.〃0hys. Rev. Ser. A. - 1964. - V. 134. - P. 942-95 3.

\11 .Jayasuriya K., Campbell S., Steward A. 〃 Phys. Rev. Ser. B. - 19 85. - V. 31. - P. 603 2- 6048.

JernbergP., Bjarman £, Wappling R 〃 J. Magn. Magn. Mat. - 1984. - V. 46. - P. 178- 184.

\19. Inagaki S. 〃 J. Phys. Soc. Jap. - 1975.-V. 3 9. - P. 5 96-604.

Kadanoff £., Wegner F. // Phys. Rev. Ser. B. - 1971. - V. 4. - P. 3989-4005.

Kadomatsi M, Kurisu M., Fujiwara M. // J. Phys. Soc. Jap. - 1984. - V. 53. - P. 1819- 1831.

Kasai N, Nishihara Y., Ogawa S. 〃 J. Phys. Soc. Jap. - 1982. - V. 51. - P. 45 2-464.

Kawarazaki S., Kunitomi TV., Morii Y. et al. 〃 Sol. St. Comm. - 1984. - V. 49.- P. 1147-1152.

Kennedy 7：, Sung Ho, Seidel P. // Phys. Rev. Ser. B. - 1977. - V. 16. - P. 1771-1786.

Kern £ 〃 Sol. St. Comm. - 1984. - V.49. 一 P. 295-301.

Kerszberg M, Mukamel D. // Phys. Rev. Ser. B. - 1981. - V. 23. - P. 3943-395 2, 3 95 3-400 2.

Kim P.,Levy 尸.〃 J. Magn. Magn. Mat. - 1982. - V. 25. - P. 257-268.

Ki泳 W. 〃 Phys. Rev. Lett. - 1983. - V. 51. - P. 2128-2133.

Kitano У., Trammel G. 〃Phys. Rev. Lett. - 1966. - V. 16. - P. 572-574.

{90.Kittel C. //Phys. Rev. - 1960. - V. 120. - P. 335-347.

191a.Kleemann W., Schafer E, Tannhauser D. // J. Mag. Mag. Mat. - 1980. - V. 15-18.- P. 415-422.

\^\6.Kleemann W., Shafer F. // J. Magn. Magn. Mat. - 1982. - V. 25. - P. 317-321.

Klein M.t HertzPhys. Rev. Ser. B. - 1976.- V. 14. - P. 3024-3041.

Knak Jensen S., Mouritsen。，Kjaersgaard Hansen E. et al. // Phys. Rev. Ser. B.- 1979.- V. 19.- P. 5886-5902.

Knorr R., Loide A., Vettier C. // Phys. Rev. Ser. B. - 1983. - V. 27. - P. 1769-1786.

KGnig £., Ritter G., Kannellakopulos Я // J. Phys. Ser. C. - 1974. - V. 4. - P. 2681- •2694.a

Konstantinovic Л, Babic B. 〃 Sol. St. Comm. - 19 76. - V. 18, - P. 701-705.

197a. Kotzler J. // Z. Phys. Ser. B. - 1979. - Bd. 35. - S. 125-140.

X^.Kotzler 丄〃 Zeitschr. Phys. Ser. B. - 1984.- Bd. 55. - S. 119-130.

Kovalenko A., Nagaev E. 〃 Sol. St. Comm. 一 1981. - V. 38. - P.1121-1129;ibidem.- 1983.-V. 45.-P. 243-250.

Kouvel J・，Brun T.,Korty F. // Physica Ser. B. - 1977.- V. 86-88. - P. 1043-1063.

Krinsky S.t Furman P. // Phys. Rev. Ser. B. - 1975.- V. 11.- P. 2602-2620.

Kubota M, Folle Я., Buchal C et al. // Phys. Rev. Lett. - 1980. - V. 45. - P. 1812- 1815.

Kurita S., Toyokawa K., Tsushima K. et al. // Sol. St. Comm. - 1980. - V. 3 8.- P. 235-242.

Kummer R., Adams E., Kirk W. et al. // Phys. Rev. Lett. - 1975. - V. 34. - P. 517- 521.

Kuznia C.Kneer G. 〃 Phys. Lett. Ser. A. - 196 8. - V. 27. - P. 664-669.

Lea K.JeaskM., WolfW. //J. Phys. Chem. Sol. - 196 2. -V. 23. - P. 27 24-2741.

Lebech B., Clausen K, Vogt O. //J. Phys. Ser. C. - 19 80.- V. 13. - P. 17 25-1740.

Lacroix С. // J. Phys. Ser. C. - 1980. - V. 13.-P. 5125-513 7.

Landau D., Binder K. //Phys. Rev. Ser. B. - 1985.- V. 35. - P. 5946-5954.

Lander L.,Lam 0. 〃 Phys. Rev. Ser. B. - 1976. - V. 14. - P. 4064-4081.

Lecifewiecz，，Chelmicki L., Zygmunt A. // Sol. St. Comm. - 1982. - V. 41.- P. 167-173.

Levy F. //Phys. Kond. Mat. - 1969. - Bd. 10. - S. 85-98.

Levy P.,Chen //.〃 Phys. Rev. Lett. - 1971.- V. 27. - P. 13 85-13 88.

Lewis A. //Phys. Rev. Lett. - 1979. - V.42.- P. 907-911.

Lieb E. // Lectures in Theoretical Physics. - V. 11. D. - Boulder: Univ. Colorado Press, 1969.

Loh E., Chien C, Walker 丄〃 Phys. Lett. Ser. A. - 1974. - V. 49. - P. 357-362.

Lubensky T. //Phys. Rev. Ser. B. - 1975.- V. 11.- P. 3573-3587.

LuttingerJ., Tisza £.//Phys. Rev. - 1946. - V. 70. - P. 954-971.

Mandelbrot B. Fractals, Form, Chance and Dimension. - San Franc., 1977.

MatsudairaN.ilJ. Phys. Soc. Jap. - 196 8. - V. 25. - P. 1225-1236.

Matveev KM, Nagaev £厶〃Phys. Lett. Ser. A. - 197 2. - V. 42. - P. 88-94.

22\. Mazzaferr о J., Ceva //., Alascio B〃Phys. Rev. Ser. B. - 1980. - V. 22. - P. 353-370.

22 2. Me Guire 7：//J. Appl. Phys. - 1969. - V. 40. - P. 1009-1018.

Me Kenna 4〃Phys. Rev. Ser. A - 1981. - V. 84. - P. 445-45 8.

Meier G.〃J. Phys. Ser. C. - 1978. - V. 11. - P. 1173-1 189.

Michalski /?.//Phys. Lett. Ser. A. - 1982. - V. 92. - P. 422-427.

Monachesi P., Weling 尸.〃Phys. Rev. Ser. B. - 1983. - V. 28. - P. 270 -287.

Morin P., Rouchy J., Schmitt D.//Phys. Rev. Ser. B. - 1978. - V. 17. - P. 3684-3697.

Morin P., Pierre /., Schmitt 0. er 〃/.〃Phys. Lett. Ser. A. - 1978. - V. 65. - P. 156161.

Morin R, SchmittD.〃Phys.Rev.Ser. B. - 1982.-V.26.-P. 3891-3904.

Morin 尸.，SchmittD.〃Phys.Rev.Ser. B. - 1983.- V.27.-P. 4412-4423.

Morin 尸.，Schmitt0.〃Phys.Rev.Ser. B. - 1983.- V.27.-P. 4424-4428.

2. Morin 尸.，SchmittП, Vettier C.〃J. Magn. Mag.Mat.- 1984. - V. 40. - P. 287-295.

Mouritsen。，Knak Jensen S., Bak 尸.〃Phys. Rev. Lett. - 1977. -V. 39. - P. 629-633.

Mouritsen。，Knak Jensen S., Frank 区〃Phys. Rev. Ser. B. - 1981. - V. 24.- P. 347-366.

Mouritsen O., Frank B., Mukamel P.//Phys. Rev. Ser. B. - 1983. - V. 27. - P. 30183028.

Mukamel P.//Phys. Rev. Lett. - 1975. - V. 34. - P. 481-484.

Mukamel D., Krinsky £〃Phys. Rev. Ser. B. - 1976. - V. 13. - P. 5065-5078, 5078-5091.

Mukamel D., Wallas DJ/J. Phys. Ser. C. - 1979. -V. 13. - P. L851-856.

23 9. Mullen MJ/Phys. Rev. Ser. B. 一 1974. - V. 10. - P. 186-203.

Nagele W., Hohlwein D., Domann G.//Z. Phys. Ser. B. - 19 80. - V. 3 9. - P. 3 05-315.

Nattermann 工〃J. Phys. Ser. C. - 1976. - V. 9. - P. 3337-3350.

Nauciel-Bloch 应，Sam ma K, Castets 4.//Phys. Rev. Ser. B. - 1972. - V. 5.- P. 4603-4620.

Nagotevic У., Konstantinovic Z//SoL St. Comm. - 1973. - V. 13. - P. 249-254.

Nereson N., Arnold G.〃J. Appl. Phys. - 1971. - V.4 2. - P. 16 25-1640.

Netoux £, Love J., Cousson A. et 〃/.〃J. Gal. - 1981. - V. 24. 一 P. LI 13-L118.

Ramesh £, Zhang Q., Tozzo G. " al.I/Phys. Rev. Lett. - 19 84. - V. 5 2. - P. 2 3 7 52378.

Ohnishi S, Sugano C//Journ. Phys. Ser. C. - 1981. - V. 14. - P. 39-54.

Ogawa £, Waki £, Teranishi Z〃J. Magn. Magn. Mat. - 1974. - V. 5. - P. 349-354.

9. Oitmaa Z, Barber В.ЦJ. Phys. Ser. C. - 19 71. - V. 4. - P. 1 17 8-1187.

Oitmaa J., Plischke M. I Ik Phys. Ser. C. - 1976. - V. 9. — P. 2093-2112.

Okuda Z, Date MJЦ. Phys. Soc. Jap. - 1970. - V. 28. — P. 308-312.

25 2. Oliveira N., Foner 5., Shapira У. er 山.〃Phys. Rev. Ser. B. - 197 2. - V. 5. - P. 26342648.

OsheroffD.//Physic^ Ser. B. - 1982 - V. 109-110. - P. 1461-1475.

Ott Я, Kjems Z, Hulliger E〃Phys. Rev. Lett. - 1979. - V. 42. - P. 1378-1394.

Petrich G., Kasuya 7：//Sol. St. Comm. - 1970. - V. 8. - P. 1625-1633.

256aPfeuty 尸.，Elliott R.〃J. Phys. Ser. C. - 1971. -V. 4. - P. 2370-2380.

2566.257.258.259.260.261.262.263.264a. 2646. 265.266.267.268.269.270.271.272.273.274.275.276.277.278.279.280.281a.2816.282.283.2566.257.258.259.260.261.262.263.264a. 2646. 265.266.267.268.269.270.271.272.273.274.275.276.277.278.279.280.281a.2816.282.283.4 5 6 78 8 8 82 2 2 24 5 6 78 8 8 82 2 2 28 9 0 12 3 4 5 6789012345 8 8 9 9 9 9 9 9 9999000000 2222222 2 22223333338 9 0 12 3 4 5 6789012345 8 8 9 9 9 9 9 9 9999000000 2222222 2 2222333333

2566.

257.

258.

259.

260.

261.

262.

263.

264a. 2646. 265.

266.

267.

268.

269.

270.

271.

272.

273.

274.

275.

276.

277.

278.

279.

280.

281a.

2816.

282.

283.

2566.

257.

258.

259.

260.

261.

262.

263.

264a. 2646. 265.

266.

267.

268.

269.

270.

271.

272.

273.

274.

275.

276.

277.

278.

279.

280.

281a.

2816.

282.

283.

4 5 6 7

8 8 8 8

2 2 2 2

4 5 6 7

8 8 8 8

2 2 2 2

8 9 0 12 3 4 5 6789012345 8 8 9 9 9 9 9 9 9999000000 2222222 2 2222333333

8 9 0 12 3 4 5 6789012345 8 8 9 9 9 9 9 9 9999000000 2222222 2 2222333333

Pierre J., Galera R, Bouillot J.//J. Magn. Magn. Mat. — 1984. — V. 42. — P. 139—145. Phani M., Lebowitz J., Kalos M.//Phys. Rev. Ser. B. — 1980. — V. 21. — P. 4027—403 7. De К 4〃 Plessis//к Mag. Mag. Mat. — 1983. - V. 40. - P. 91-99.

Plumier Z?.//SoL St. Comm. — 197 2. - V. 10. - P. 671-677.

Prinz G, Lewis Z//J. Mag. Mag. Mat. - 1983. - V. 39. - P. 285-290.

Rain ford Я, Houmann j.//Phys. Rev. Lett. - 1971. - V. 27. - P. 16 30-16 34.

Rasmussen £, Knak Jensen 左〃Phys. Rev. Ser. B. — 1981. — V. 24. — P. 2744—27 5 6. Rauchwarger R., Jafarey S., Wang Y.〃Phys. Rev. Ser. B. - 1979. - V. 19. - P. 2712- 2724.

Ray D., Sivardiere J.//Phys. Rev. Ser. B. - 1978. - V. 18. - P. 1401-1415.

Read N., New ns D., Doniach S.〃Phys. Rev. Ser. B. - 1984. - V. 30. - P. 3841-3857.

Reich W., Cofta H., Michalsky K.〃Phys. Lett. Ser. A. - 1979. - V. 74. - P. 119-124.

Rickayzen G〃Proc. Rog. Soc. - 195 7. - V. A241. - P. 480-489.

Roberts Я//Phys. Rev. - 195 6. - V. 104. - P. 607-619.

Ross J., Lam P.//J. Appl. Phys. - 196 7. - V. 3 8. — P. 1451-146 3.

Roger M, Hetherington /, Delneu J.//Rev. Mod. Phys. - 1983. - V. 55. - P. 1-90. Rossat-Mignod J.//Phys. Rev. Ser. B. - 197 7. - V. 16. - P. 440-45 5.

Rossat-Mi^nod J. et ^/.//Physica, Ser. B. - 1980. - V. 102. - P. 237-250.

Roger M.〃Phys. Rev. Ser. B. - 1984. - V. 30. - P. 6432-6448.

Rudnick J.//Phys. Rev. Ser. B. - 1978. - V. 18. - P. 1406-1415.一

SablickNL, Wang G.〃Phys. Rev. Ser. B. - 1979. - V. 19. - P. 2729-2783.

Sak J.//Phys. Rev. Ser. B. - 1974. - V. 10. - P. 3957-3971.

Schafer W., Will G., Buschow K.〃J. Mag. Mag. Mat. - 1977. - V. 4. — P. 28—35.

Schoenes J.//Phys. Rept. - 1980. - V. 66. - P. 18 7-197.

SchrieftcrJ., Wo/疗尸.〃Phys. Rev. - 1966. - V. 149. - P. 491-514.

Schrodinger £.//Proc. Roy. Irish. Acad. Ser. A. - 1941. - P. 39-63.

Seino D.//J. Mag. Mag. Mat. - 1982. - V. 28. - P. 55-60.

Seike W, Fischer MJ/Phys. Rev. Ser. B. - 1979. - V. 20. - P. 257-271.

Fischer Л/., Seike W.〃Phys. Rev. Lett. - 1980. 一 V. 44. - P. 1502-1505.

Seike W.〃J. Phys. Ser. C. - 1981. - V. 14. - P. L17-L20.

Shapira У., Foner S, Oliveira 2〃Phys. Rev. Ser. B. - 1974. - V. 10. - P. 4765- 4785.

Shapira У., Oliveira N., Becerra C//Phys. Rev. Ser. B. - 1981. - V. 24. - P. 2780- 2795.

Sietnann R, Cooper Я//Phys. Rev. Ser. B. - 1979. - V. 20. - P. 2869-2882. Siemann R., Cooper Я//Phys. Rev. Lett. - 1980. - V. 44. - P. 1015-1019.

Sinha £, Lander G, Shapiro S., Vogt O.//Phys. Rev. Lett. - 1980. - V. 45.- P. 1028-1032; Phys. Rev. Ser. B. - 1981. - V. 23. - P. 4556-4571.

Sorai M., SekiSJI]. Phys. Soc. Jap. - 1972. - V. 33. - P. 575-585.

Srinivasan G., Seehra M//Phys. Rev. Ser. B. - 1983. - V. 28. - P. 6542-6553.

Stanley Я./ZPhys. Rev. - 196 8. - V. 17 6. - P. 718-7 3 2.

Stutius W.//Phys. Kond. Mat. - 1969. - Bd. 9. - S. 341-3 5 3.

Suzuki MJ/Phys. Lett. Ser. A. - 1971. - V. 34. - P. 94-98.

Suzuki M, Nakajima 工〃J. Phys. Soc. Jap. - 1979. - V. 47. - P. 1441-1454.

Suzuki H., Miyamota M., Masuda Y.//J. Low Temp. Phys. - 1982. - V. 48.- P. 297-308.

Szytula A., Bazela W., Leeiejewieez J.//Sol. St. Comm. - 1983. - V. 48. - P. 105 3- 1059.,

Takahashi K., Tanaka M〃J. Phys. Soc. Jap. - 1980. - V. 48. - P. 1423-1442. Takano F., Uchinami M//J. Phys. Soc. Jap. - 1976. - V. 40. - P. 1305-1315. Tindall П, Steinitz M, Plumer M//J. Phys. Ser. F. - 197 9. - V. 7. - P. L26 3-L26 7. Tindall D., Steinitz MJ/J. Phys. Ser. F. - 1979. - V. 13. - P. L71-L76.

Trammell G.//Phys. Rev. - 196 3. - V. 131. - P. 9 3 2-95 0.

Van der Heidell\. Phys. Ser. C. - 198 3. - V. 15. - P. 85 5-86 9.

匕z〃 Doorn C, Q〃 Plessis P.//Phys. Lett. Ser. A. - 1978. - V. 66. - P. 141-146. Villain J., Gordon М.Ц]. Phys. Ser. C. - 1980. - V. 13. - P. 3117-3130.

Vitins J., Wachter P.//Sol. St. Comm. - 197 3. - V. 13. - P. 127 3-1280.

Vitins J., WachterP. //Труды Международной конференции по магнетизму (МКМ-73).-'1974.-Т. 1(2).-С. 140-143.

Vitins J., Wachter R//Phys. Rev. Ser. B. - 1975. - V. 12. - P. 3829-3843.

Vogt O.〃Physica, Ser. B. - 1980. - V. 102. - P. 206-214.

Wachter R//C.R.C. Crit. Rev. - 1971. - V. 9. - P. 2219-2290.

Wan Li Lui, Kurisu M, Kadoma tsu Я et 〃厶〃 J. Phys. Soc. Jap.'- 1986. - V. 55.- P. 33-42.

Westerholt K., Eiling A., Bach Z/.〃J. Magn. Magn. Mat. - 1982. - V. 28. - P. 214220.

Will G.〃J. Phys. Chem. Sol. - 1963. - V. 24. - P. 1679-1687.

Wollan E, Koehler W.〃Phys. Rev. - 1955. - V. 100. - P. 545-562.

Yosida K.,Miwa “〃J. Appl. Phys. - 1961. - V. 32. - Suppl. 3. - P. 8S-26S.

Yoshimori A., Fukuda Z/.〃J. Phys. Soc. Jap. - 1979. - V. 46. - P. 1663-1673.

Youngblood R., Aeppli G, Axe /., et 〃厶〃Phys. Rev. Lett. - 1982. - V. 49.- P. 1724-1727.

Zieba A., Shapira У., Foner £〃Phys. Lett. Ser. A. - 19 8 2. - V. 91. - P. 243-247.

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ФМ-ферромагнитныйАФМ-антиферромагнитныйНКАФМ-неколлинеарная антиферромагнитнаяПМ-парамагнитныйФМ-ферромагнитныйАФМ-антиферромагнитныйНКАФМ-неколлинеарная антиферромагнитнаяПМ-парамагнитныйФИМ-ферримагнитныйПСП-приближение самосогласованного поляАФМР-антиферромагнитный резонансФИМ-ферримагнитныйПСП-приближение самосогласованного поляАФМР-антиферромагнитный резонанс

ФМ-ферромагнитный

АФМ-антиферромагнитный

НКАФМ-неколлинеарная антиферро

магнитная

ПМ-парамагнитный

ФМ-ферромагнитный

АФМ-антиферромагнитный

НКАФМ-неколлинеарная антиферро

магнитная

ПМ-парамагнитный

ФИМ-ферримагнитный

ПСП-приближение самосогласо

ванного поля

АФМР-антиферромагнитный резо

нанс

ФИМ-ферримагнитный

ПСП-приближение самосогласо

ванного поля

АФМР-антиферромагнитный резо

нанс

СПИСОК НЕКОТОРЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Н- гамильтониан

h- магнитное поле

Д(к, 0) - символ сохранения квазиимпульса

Sg-спин атома g

Sq-Фурье компонента спина

Д一вектор, соединяющий ближай

ших соседей

。一средняя дипольная намагни

ченность

m - параметр дипольного порядка в гамильтониане Ландау 一 Гинзбурга - Вильсона

Q- вектор дальнего или ближнего

порядка

«- квадрупольная намагничен

ность

(g), % - обменный интеграл и его фурье-компонента

1g - оператор полного момента

Э.л. НАГАЕВ

МАГНЕТИКИ

СО СЛОЖНЫМИ

ОБМЕННЫМИ

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ

МОСКВА “НАУКА”

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1988

ББК 22.334 Н16

УДК 537.61

Нагаев Э.Л. Магнетики со сложными обменными взаимодействиями. —М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 232 с. ISBN 5-02-013823-1

Описаны: 1) гейзенберговские и изийговские магнетики с конкурирующими взаимодействиями между различными по дальности соседями, 2) проводящие и изолирующие магнетики с обменом высших степеней по спину, 3) синглетные и экситонные магнетики, 4) магнетики с деформируемой решеткой (включая ян-теллеровские). Особое внимание уделено нестандартным магнитным структурам (скошенным, многоподрешеточным и т.д.), разовым переходам первого рода по температуре и магнитному полю и их каскадам.

Книга предназначена для физиков, занимающихся магнитными явлениями и фазовыми переходами.

Табл. 2. Ил. 68. Библиогр. 316 назв.

Рецензент

доктор физико-математических наук МВ Медведев

1704020000-04 7053(02)-881704020000-04 7053(02)-88108-88108-88ISBN 5-02-013823-1ISBN 5-02-013823-1© Издательство "Наука".Главная редакция физико-математической литературы. 1988© Издательство "Наука".Главная редакция физико-математической литературы. 1988

1704020000-04 7053(02)-88

1704020000-04 7053(02)-88

108-88

108-88

ISBN 5-02-013823-1

ISBN 5-02-013823-1

© Издательство "Наука".

Главная редакция физико-математической литературы. 1988

© Издательство "Наука".

Главная редакция физико-математической литературы. 1988

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 7

Глава I

ГАМИЛЬТОНИАНЫ С ОБМЕНОМ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ ПО СПИНУ Ц

Изоляторы 11

а. Общие соображения (11). б. Негейзенберговский обмен в системах со спином 1/2 (13). в. Негейзенберговский сверхобмен при произвольном спине (17). г. Ионы с сильным спин-орбитальным взаимодействием в кристаллическом поле (19). д. Магнетики с деформируемыми решетками (21). е. Примеры материалов с сильным обменом высших степеней по спину (23).

Проводники 25

а. Металлы, описываемые s - /-моделью (25). б. Вырожденные магнитные полупроводники (27). в. Системы с s - /-гибридизацией (32).

Глава II

СОВРЕМЕННАЯ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ 34

Общие сведения о магнитных фазовых переходах 34

а. Дальний, ближний и квадрупольный порядок (34). б. Гипотеза универсальности и ее применимость (37).

Флуктуационная теория фазовых переходов 39

а. Основы метода ренормгруппы (39). б. Флуктуационные фазовые, переходы первого рода (42),

Флуктуационные фазовые переходы первого рода в конкретных структурах45

а. Двухкомпонентный и трехкомпонентный параметры порядка (45). б. Коллинеарные магнетики с восьми- и четырех компонентными параметрами порядка (47). в. Магнетики с шестикомпонентным параметром порядка (49). г. Магнетики с модулированными структурами (52)., д. Изменение типа фазового перехода под действием внешних полей, понижающих симметрию (54).

Глава III

СФЕРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КАК НУЛЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ МОДЕЛИ ГЕЙЗЕНБЕРГА：

Термодинамика сферической модели

а. Статистическая сумма (59) • б. Намагниченность и корреляторы (61). в. Фазовые переходы (64).

Использование результатов сферической модели для гейзенберговских магнетиков

а. Сравнение с результатами, полученными другими методами (65). б. Улучшенное приближение самосогласованного поля (69). в. Переход от двумерного к трехмерному поведению (74).

Глава IV

МАГНЕТИКИ С КОНКУРИРУЮЩИМИ БИЛИНЕЙНЫМИ ОБМЕННЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ

Гейзенберговские магнетики

а. Магнитные структуры и квантовые флуктуации спинов вблизи границы фаз (76). б. Фазовые переходы порядок - беспорядок в магнетиках с классическими спинами (80). в. Квантовые фазовые переходы первого рода и метамагнетизм (82). г. Фазовые переходы порядок - беспорядок и порядок - порядок в геликоидальных структурах (85).

Каскады фазовых переходов порядок - порядок в модели Изинга.

АНННИ модель и ''чертова лестницам фазовых переходов (87).

Фазовая диаграмма АНННИ модели (89). в. Солитонная теория модулированной фазы (91). г. Низкотемпературные и высокотемпературные разложения (95).

Глава V

МАГНЕТИКИ С ДЕФОРМИРУЕМОЙ РЕШЕТКОЙ

Влияние магнитострикции на фазовые переходы

а. Фазовые переходы первого рода порядок - беспорядок при сильной магнитострикции (99). б. Фазовые переходы первого рода, близкие ко второму (103). в. Фазовые переходы порядок - порядок, вызванные термическим расширением решетки (105).

§ И. Ян-теллеровские магнетики

а. Ян-теллеровские ионы в кристаллах (107). б. Взаимодействие орбиталей с решеткой (109). в. Магнетики с двукратно орбитально вырожденными ионами (111). г. Магнетики с сильным спин-орби- тальным взаимодействием (112). д. Температурная зависимость обменных интегралов, фазовые переходы и метамагнетизм (116).

Глава VI

МАГНЕТИКИ С ОБМЕНОМ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ ПО СПИНУ

Коллинеарные системы с чисто дипольным упорядочением

а. Фазовые переходы порядок - свой беспорядок (120). б. Фазо-

59

59

65

76

76

87

99

99

107

120

120

вые переходы порядок - порядок и порядок - чужой беспорядок (124). в. Фазовый переход порядок - тот же порядок (128).

Коллинеарные системы с дипольным и квадрупольным упорядочениями а. Статистическое квадрупольное упорядочение (130). б. Квантовое квадрупольное упорядочение и квадруплоны (133). в. Сильно анизотропные системы с квадрупольным упорядочением (138).

Неколлинеарный антиферромагаетизм и метамагнетизм изотропных магнетиков а. Основное состояние и магнонный спектр неколлинеарных анги- ферромагнетиков. Метамагнетизм (139). б. Неколлинеарные антиферромагнетики при конечных температурах (143). в. Системы с неколлинеарными дипольным и квадрупольным упорядочениями (144).

Негейзенберговские многоподрешеточные структуры и каскады фазовых переходов а. Коллинеарные структуры (146). б. Неколлинеарные многоподрешеточные структуры (150).

Глава VII

ВЛИЯНИЕ КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ПОЛЯ НА МАГНИТНОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ

Синглетные магнетики

а. Общие свойства и модели (153). б. Температура Кюри и намагниченность (155). в. Фазовые переходы под давлением и элементарные возбужден* я (159). г. Ядерный магнетизм синглетных магнетиков (161).

Системы с расщепленными /-уровнями и обменом высших порядков по спину

Фазовые переходы в системах с магнитными экситонами

а. Изменение мул ьтиплети ости магнитных ионов (166). б. Изменение типа магнитного упорядочения при возбуждении экситонов светом (168).

Глава VIII

ОСОБЕННОСТИ СВОЙСТВ ПРОВОДЯЩИХ МАГНЕТИКОВ

Негейзенберговские структуры в проводящих магнетиках а. Многоподрешеточные коллинеарные антиферромагнитные структуры (172). б. Двухподрешеточная не колл ине арная антиферромагнитная структура в вырожденных полупроводниках (177). в. Неколлинеарная антиферромагнитная структура в металлах (180).

Ферро-антиферромагнитное состояние однородных вырожденных полупроводников

Фотоиндуцированные фазовые переходы порядок - беспорядок ...

Глава IX

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ ПО НЕГЕЙЗЕНБЕРГОВСКОМУ УПОРЯ ДОЧЕНИЮ И ФАЗОВЫМ ПЕРЕХОДАМ ПЕРВОГО РОДА

Неколлинеарные антиферромагнитные структуры нерелятивистского происхождения а. Структура с отличной от нуля намагниченностью (192). б. Нена- магниченные структуры (196).

Ферро-антиферромагнитное состояние однородных вырожденных полупроводников (эксперимент)

Фазовые переходы порядок - порядок и многоподрешеточные коллинеарные структуры а. Фазовые переходы порядок - порядок в магнетиках с гейзенберговскими структурами (201). б. Многоподрешеточные коллинеарные структуры и каскады фазовых переходов в изоляторах (202). в. Многоподрешеточные коллинеарные структуры и каскады фазовых переходов в металлах (205).

Дипольные и квадрупольные фазовые переходы и деформация решетки а. Магнитные и структурные фазовые переходы, не совпадающие друг с другом (208). б. Магнитные фазовые переходы первого рода с сильной деформацией решетки (210).

Скачкообразные и неуниверсальные переходы порядок - беспорядок в слабо деформируемых решетках а. Переходы порядок - свой беспорядок (212). б. Переходы порядок 一 чужой беспорядок и близкие к ним (218).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

СПИСОК НЕКОТОРЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

Микроскопическая теория магнетизма, начавшись с модели Гейзенберга, долгое время имела своей основной целью получение максимально точных решений для этой модели. Несмотря на кажущуюся простоту модели Гейзенберга, в области фазового перехода порядок - беспорядок эту задачу удалось выполнить лишь в двух пределах: очень малого и бесконечно большого радиусов обменного взаимодействия. В обоих этих пределах фазовый переход - второго рода, и с большой точностью удается найти и точку Кюри Тс，и критические показатели, описывающие особенности физических величин вблизи Тс •

Эти два типа обменного взаимодействия - простейшие из возможных. Нет никакой гарантии того, что при произвольной зависимости обменного интеграла от расстояния гейзенберговские магнетики имеют аналогичные свойства. Нельзя даже заранее утверждать, что в них переход порядок 亠 беспорядок всегда второго рода. Теории, развитые в последнее десятилетие, приводят к возможности фазовых переходов первого рода в гейзенберговских системах. Между тем модель Гейзенберга — это наиболее простая модель изотропного магнетика. Очевидао, еще более сложные модели должны характеризоваться и еще более необычными свойствами.

Эта книга как раз и посвящена пространственно-периодическим магнетикам с обменными взаимодействиями, более сложными, чем гейзенберговское предельно большого или предельно малого радиусов. В категорию магнетиков со сложными обменными взаимодействиями входит весьма широкий класс магнитных систем: гейзенберговские и изинговские магнетики с произвольной зависимостью обменного интеграла от расстояния, магнетики с деформируемой кристаллической решеткой, синглетные и экситонные магнетики, металлы со сложной формой поверхности Ферми электронов, о суще ств ляющих косвенный обмен между локализованными моментами. К числу наиболее интересных систем этого класса принадлежат магнетики, в гамильтониане которых обмен высших порядков по спину сравним с билинейным гейзенберговским обменом.

Такие магнитные системы исследуются уже в течение очень долгого времени, и количество публикаций по ним чрезвычайно велико. Но, как ни странно, полученные в них результаты до сих пор не собраны в монографии. Между тем потребность в систематизированном изложении этих вопросов велика. Лучшее тому подтверждение — то, что в статьях, написанных в

80-е годы, все еще достаточно часто цитируются обзоры, написанные еще на заре физики магнетиков со сложным обменом — в 60-е годы.

В предлагаемой книге предпринята попытка восполнить этот пробел и изложить с единой точки зрения существующие теоретические представления и экспериментальные факты по магнетикам со сложным обменом. Часть результатов, опубликованных в этой книге, была ранее кратко изложена в обзоре [50]. Что касается теории, в основном будет использован микроскопический подход. Однако, поскольку во многих из рассматриваемых магнетиков, осуществляются фазовые переходы первого рода порядок —беспорядок, будут детально изложены и результаты флуктуационной теории фазовых переходов первого рода, получаемые из феноменологического подхода. Эти результаты также не вошли пока в монографии (лишь бегло упоминаются в [63]). Иными словами, практически все, что в этой книге изложено, в других книгах не публиковалось.

Разумеется, книга не может претендовать на энциклoneдичность: некоторые свойства магнетиков со сложным обменом остались в ней не отраженными. В частности, дополнительную информацию о магнитных фазовых переходах можно найти в [156].

Остановимся подробнее на наиболее интересных физических явлениях, о которых пойдет речь в этой книге. Прежде всего, в магнетиках с регулярной кристаллической решеткой были обнаружены магнитные структуры, принципиально невозможные в модели Гейзенберга. К их числу относится, например, скошенная двухподрешеточная структура. Она отличается от обычной антиферромагнитной тем, что моменты двух эквивалентных подрешеток не противоположны, а направлены под произвольным углом друг к другу. В принципе, такая структура возможна в кристаллах со специальной симметрией из-за релятивистских взаимодействий между спинами, но скос там очень мал. Однако эксперимент обнаруживает скошенные структуры и в кристаллах, симметрия которых не допускает скоса релятивистского происхождения, например Gd Mg. К тому же этот скос оказывается гигантским по сравнению с эффектами релятивистской природы. Естественное и единственное его объяснение состоит в том, что в таких кристаллах обменное взаимодействие высших порядков по спину сравнимо с билинейным гейзенберговским *).

Взаимодействие высших порядков по спину приводит к появлению и таких необычных многоподрешеточных структур, как ССЮЮ и др., где С - север и Ю - юг, означают направления момента в соответствующей подрешетке. В гейзенберговских магнетиках они запрещены. Правда, они разрешены в модели Изинга, но наблюдаются не только в сильно анизотропных магнетиках (Се Bi и др.), но и в магнетиках с ничтожной магнитной анизотропией (3Не, Eu Se).

Другое интересное свойство сложных магнетиков — их магнитный полиморфизм. Наибольшее число фаз, 14, наблюдалось в Се Bi. Ранее фазовые переходы порядок — порядок было принято объяснять обменной инверсией Киттеля (изменением знака обменного интеграла при тепловом расширении решетки). Однако эта теория заведомо не годится для низкотемпера-

♦) В неупорядоченных магнетиках такая структура возможна и цри гейзенберговском обмене.

8

турных переходов и уж никак не может объяснить целый каскад таких переходов. Зато все переходы порядок - порядок прекрасно объясняются чисто магнитными причинами. В изотропных магнетиках они могут быть обусловлены обменом высших порядков по спину. В пользу такого механизма говорит тот факт, что чаще всего переходы порядок - порядок и наблюдаются в материалах с негейзенберговскими структурами.

В магнетиках с большой анизотропией для появления переходов порядок —порядок достаточно конкуренции между билинейными взаимодействиями, связывающими различных по дальности соседей. В варианте модели Изинга с такими взаимодействиями, получившем название АНННИ модели (см. с. 87), удается получить каскад фазовых переходов, напоминающий "чертову лестницу". В принципе, при конкурирующих взаимодействиях переходы порядок - порядок возможны и в модели Гейзенберга. Причиной их являются квантовые флуктуации спинов.

Взаимодействия высших порядков по спину приводят и к скачкообразности фазовых переходов порядок — беспорядок, причем становятся возможными такие переходы, когда дальний порядок ниже точки Кюри и ближний порядок выше ее - различных типов (проявлением этого могла бы, например, быть отрицательная парамагнитная температура Кюри у ферромагнетика) .Такие переходы порядок - чужой беспорядок наблюдались в EuSe, CeSb, UAs. Флуктуационная теория допускает фазовые переходы первого рода и при чисто билинейном обменном взаимодействии, но пока не ясно, в какой мере эта теория подтверждается экспериментом. Микроскопическое рассмотрение, в котором, в отличие от флуктуационной теории, учитываются не критические, а квантовые флуктуации, указьшает на возможность скачкообразных переходов порядок - чужой беспорядок вблизи границы фаз.

Новыми для физики магнитных явлений являются фотоиндуцированные магнитные фазовые переходы, когда свет, например, поднимает температуру Кюри ферромагнетика. Их специфика состоит в том, что они происходят в термодинамически неравновесных условиях, и потому нельзя говорить об особенностях производных термодинамического потенциала в точке перехода. Вместо этого можно говорить об особенностях производных от скорости генерации энтропии. Возможны и фотоиндуцированные переходы порядок - порядок. Например, в экситонном магнетике Ей Сг Оз свет меняет тип магнитного упорядочения. Такие переходы 一 примеры самоорганизации в открытых системах.

В числе других необычных свойств, к которым может приводить обмен высших порядков по спину, укажем на метамагнетизм изотропных антиферромагнетиков .Ранее скачкообразный рост намагниченности в поле связывался с сильной анизотропией кристалла. Но он наблюдается и в изотропном магнетике Eu Se. Тот же эффект может реализоваться и в ян-теллеров- ских магнетиках. Под ними принято понимать системы с орбитальным вырождением состояния магнитных ионов. Можно ожидать, что из-за взаимодействия между двумя подсистемами - спиновой и орбитальной - такие магнетики должны обладать и другими необычными свойствами.

Спецификой проводящих магнетиков является возможность возникновения в них пространственно-неоднородных состояний, представляющих собой в простейшем случае суперпозицию волн плотности спина и заряда.

9

Как и скошенное антиферромагнитное, неоднородное состояние может быть промежуточным между ферро- и антиферромагнитным состояниями. В книге описано пространственно-неоднородное состояние вырожденных антиферромагнитных полупроводников, когда кристалл разбивается на ферро- и антиферромагнитные области и все электроны проводимости оказьшаются сосредоточенные в первых из них (коллективная гетерофазная автолокализация носителей тока). В таких кристаллах, как Eu Se, Ей Те, неоднородное состояние оказьшается энергетически выгоднее скошенного.

Все явления, о которых выше шла речь, уже обнаружены экспериментально. Цо некоторые интересные результаты теории негейзенберговских магнетиков еще ждут своего экспериментального подтверждения. К их числу относится квантовое квадрупольное состояние, когда в основном состоянии кристалла все средние проекции спинов равны нулю, а упорядочены только квадрупольные моменты (спины свободно прецессируют в плоскости, перпендикулярной к оси квантования). Свойства таких систем во многом напоминают свойства магнетиков с дипольным антиферромагнитным упорядочением. С другой стороны, квантовое квадрупольное состояние напоминает состояние синглетных магнетиков, в которых дипольное упорядочение отсутствует из-за сильного влияния кристаллического поля. Проблема синглетных магнетиков тоже относится к числу основных вопросов, рассмотренных в этой книге. Кстати, в определенных случаях влияние кристаллического поля автоматически сводится к обмену высших порядков по спину, и то же самое относится к конечной сжимаемости решетки.

Из сказанного ясно, что в книге рассмотрен очень широкий круг физически интересных явлений. Число публикаций по ним чрезвычайно велико, и автор был вынужден резко сократить первоначальный список литературы, чтобы сделать его приемлемых размеров. Те, кто интересуется историей развития этого направления в магнетизме, могут найти ссылки на предыдущие работы в последних публикациях и обзорных статьях, указанных в списке литературы.

В книге принята система единиц, в которой h = 1. Температура в формулах выражена в энергетических единицах. Там, где это целесообразно, в качестве единицы длины используется постоянная решетки.

Автор глубоко признателен А.А. Коваленко за прочтение рукописи книги и ценные советы и замечания.