ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Чтобы понять сложное явление, надо прежде всего составить себе качественное представление о нем. Все, кто встречался с подобной задачей, знают, как это трудно. Дело в том, что эпитет «качественное» очень условен. Никакое качественное представление невозможно без количественного описания — пусть приблизительного. Книга Гроссе «Свободные электроны в твердых телах» посвящена описанию сложных явлений. Для их описания он выбрал простейшую качественную модель — уравнение Друде -— Лоренца, основанное на представлении об электронах проводимости как о свободных (между столкновениями!) частицах. Не без удивления читатель, даже искушенный, увидит, как много с помощью такой безыскусной модели можно описать, и тем самым убедится: главное, что необходимо для качественного понимания электро- и теплопроводности, гальваномагнитных, оптических и магнитооптических явлений,—это признать за электроном в твердом теле право на свободу передвижения. Конечно, множество явлений и подробностей остаются вне внимания автора, но и то, чему автор уделил внимание,— важная, а для многих специалистов единственно необходимая глава физики твердого тела.

Высокочастотные свойства полупроводников используются в технике шире, чем высокочастотные свойства металлов. Для специалиста по полупроводникам металл —《просто》полупроводник с аномально большим числом носителей. Автор придерживается именно такой точки зрения. Надо это иметь в виду, читая книгу.

В предисловии Гроссе пишет, что книга адресована главным образом студентам старших курсов. По нашим программам —третьему-четвертому курсам физических, радиофизических и физико-технических факультетов. Есть в книге черта, которая в каком-то смысле безотносительно к физическому смыслу рассмотренных явлений делает книгу полезным учебным пособием. Присмотритесь к рисункам и таблицам! Почти в каждом разделе автор демонстрирует, как сделать полученные результаты наглядными, как «вытащить» из выведенных формул всю содержащуюся в них информацию, причем простота принятой модели не лишает книгу чисто информативной ценности. Примеры и в тексте, и в задачах относятся к реальным

б Предисловие редактора перевода

проводникам, а не к выдуманным (для удобства расчета) объектам.

Эта книга не может заменить учебника по физике твердого тела (Гроссе в этом честно признается). Желая глубже проникнуть в физику описываемых явлений или изучить те из них, о которых автор умолчал, а главное, получить ответы на фундаментальные вопросы, без которых качественные представления заведомо неполны (в частности, почему существуют тела со свободными электронами — металлы и полупроводники?), читатель должен обратиться к другим учебникам и монографиям. По нашему мнению особое место среди них занимает «Физика твердого тела» Ашкрофта и Мермина (М.: Мир, 1980). Она обладает почти уникальной полнотой в описании свойств твердых тел и при этом начинается с тех представлений, из которых исходит Гроссе,— с теории Друде — Лоренца. Однако в ней исследуется область применимости этой теории и показано, где нужно выйти за рамки простейших представлений.

• Гроссе пользуется скупым, почти конспективным методом изложения, который было нелегко сохранить при переводе. При чтении оригинала обнаружилось несколько опечаток, которые мы, естественно, исправили.

М. 〃. Каганов

Посвящается Ильзе

ПРЕДИСЛОВИЕ

Основу предлагаемого учебника для высшей школы «Теория электронов в твердых телах» составили лекции, которые я читал в Вюрцбурге и Аахене студентам старших курсов. Поэтому книгу я адресую в основном этому кругу читателей. Однако я надеюсь, что она будет полезна и интересна также научным сотрудникам. Возможно, некоторым коллегам доставит удовольствие увидеть, как много явлений можно понять на основе простого, восьмидесятилетней давности уравнения Друде —— Лоренца.

Вероятно, кое-кто будет недоволен: как можно сегодня, с нашим большим опытом и знаниями, тратить столько времени на эту много раз обсуждавшуюся модель. Это неправильно. Здесь речь не идет о том, чтобы ввести в сегодняшнюю физику вчерашнюю идеологию, не имея возможности предложить ничего лучшего. Я хочу показать начинающему физику или неспециалисту, как много различных явлений, таких, как проводимость, поглощение света, диффузия, плазменный край, эффект Холла, эффект Фарадея, геликоидальные волны и т. д., можно понять на основе той простой идеи, что на заряженную частицу действуют силы, обусловленные электрическим и магнитным полями. Однако ограниченное время жизни носителей и процессы рассеяния снова приводят к стохастизации системы.

Сложные проблемы физики твердого тела, такие, как упорядоченная многочастичная система и статистика электронного газа, мы обходим, используя понятия эффективной массы, длины свободного пробега и времени между столкновениями, (время свободного пробега). Эти понятия благодаря своей наглядности очень полезны. Начинающему предлагается самостоятельно обдумывать конкретные модели. В награду за труды он сможет, прочитав книгу, ориентироваться в реальных моделях. Творческой работе исследователя наглядные представления и модели также еще никогда не вредили. Они являются полезным эвристическим приемом.

С другой стороны, не следует считать, что настоящий вводный курс может заменить изучение сложных учебников и ори* гинальных работ. Напротив, он должен помочь этому, поскольку по собственному опыту и опыту моих студентов я хорошо знаю, что непосредственное изучение оригинальных работ

зачастую обескураживает. Необходимо прорываться через жаргон и вникать в используемый формализм. Известно, насколько трудно бывает читателю, когда для описания каждого явления используется свой теоретический аппарат. Связь явлений полностью теряется.

Для чтения вузовского учебника необходимо лишь знание курса лекций. Однако более полного понимания можно достичь, если перед чтением или параллельно с ним изучить вводный курс физики твердого тела.

Большая часть данной книги посвящена оптическим и магнитооптическим исследованиям явлений переноса. Чтобы легче понять эти разделы, в приложении дополнительно изложены основные законы распространения электромагнитных волн в конденсированной среде.

Каждая глава заканчивается рядом задач. Для их решения необходимо использовать формулы и представлять себе реальные порядки величин. Решения не приводятся. В научной работе необходимо самому критически проверять полученные результаты, чтобы им можно было доверять. Но не подглядывать в книжечку, что там получится!

Мои студенты, сотрудники моего института и коллеги из Аахена внесли свой вклад в эту книгу своими критическими замечаниями, советами и вопросами. Я им за это благодарен. Особенно я благодарю Э. Герлаха за критическое чтение рукописи и дискуссии, которые мы вели с ним многие годы, обсуждая представленный здесь материал. Кроме того, я благодарю Г. Мютцениха за расчет многих графиков и помощь при чтении корректуры и редактировании, а также г-жу Дж. Аренц и А. Вейтмюллера за выполнение рисунков. Но самую большую помощь оказала мне моя секретарь Хэди Клее. Несмотря на огромную занятость в большом институте, она вместе со мной неустанно работала в течение всего времени создания этой книги. За это я ей сердечно благодарен.

Аахен, январь 1979 г.Аахен, январь 1979 г.Петер Гроссе

Аахен, январь 1979 г.

Аахен, январь 1979 г.

Когда мы говорим о свободных электронах в твердых телах, то этим подчеркивается их отличие от валентных электронов, обусловливающих химическую связь твердого тела. Валентные электроны локализованы между атомами и практически неподвижны. Подвижные электроны наоборот приводят к возникновению электрического тока при приложении к образцу постоянного напряжения. Только в этом смысле наши электроны являются свободными, поскольку при их движении на них действуют сильные, меняющиеся в пространстве силы, соз， даваемые электрическим полем атомов. Поэтому свободные электроны в твердом теле реагируют на приложенное к образцу напряжение совсем не так, как в вакууме. Чаще всего, однако, изменение характера движения электронов в поле атомов кристалла можно учесть, вводя эффективную массу, отрицательно заряженные электроны и положительно заряженные дырки. В точке, где находится квазисвободный электрон, на него действует не одно только внешнее приложенное поле, поскольку оно вызывает также смещения оболочек валентных электронов относительно положительно заряженного остова. Эти индуцированные поля также действуют на наш электрон. Изменение внешнего поля за счет индуцированной поляриза^ ции атомов описывается с помощью диэлектрической проницаемости, или более правильно диэлектрической функции. Определение эффективной массы, которая в общем случае не является постоянной величиной, и диэлектрической функции в идеальном и неидеальном кристаллах является важнейшей задачей современной физики твердого тела. Для правильного анализа и описания сложного взаимодействия многих частиц в твердом теле необходимы очень точные экспериментальные и теоретические методы. Мы здесь не будем вдаваться в подробности определения зонной структуры [1.1——1.3], а просто приведем в гл. 2 некоторые основные результаты этой области физики твердого тела. В гл. 3 на простейшем примере поляризующегося атома мы проиллюстрируем влияние на диэлектрическую функцию валентных электронов и электронов проводимости и тесную связь между ними, что очень характерно для полупроводников и металлов.

Наряду с основным воздействием на свободные электроны атомов твердого тела с их валентными электронами имеется еще влияние свободных электронов друг на друга. Электроны

создают дальнодействующие кулоновские поля, за счет которых они взаимодействуют друг с другом. Эти поля вызывают, например, возвращающую силу при изменении внешними воздействиями электронной плотности. Такое коллективное поведение электронов мы кратко поясним при рассмотрении плазменных колебаний (разд. 9.3) и экранирования (разд. 9.4). Если движение электронов вызывается полем электромагнитной волны, то ее фазовая скорость существенно меняется вследствие взаимодействия поля волны с электронами. Это имеет значение прежде всего, если одновременно существуют длинноволновые колебания решетки, при которых смещение атомов от положений равновесия приводит к образованию электрических диполей (полярные оптические фононы). Эти связанные возбуждения мы рассмотрим в главе, посвященной поляритонам [1.3].

Кроме того, взаимодействие электронов друг с другом приводит к связыванию двух электронов с противоположными спинами через кристаллическую решетку, что при высоких электронных плотностях обусловливает образование куперов- ской пары, т. е. возникновение сверхпроводимости [1.2, 1.3]. Это явление мы обсудим здесь лишь кратко (п. 11.6.3). При рассмотрении упомянутых выше эффектов, возникающих за счет плотной упаковки атомов, мы приходим к задачам, аналогичным задачам об электронах в вакууме или газовой плазме. Там за счет равной плотности положительных ионов и отрицательных электронов имеем, как и в твердом теле, в целом нейтральную среду. Поведение электронов в таких системах изучалось уже давно для объяснения проводимости в газовом разряде и при исследовании распространения электромагнитных волн [1.5, 1.6]. Огромную роль играют свободные электроны в ионосфере. Многие рассматриваемые в этой книге явления были ранее уже известны в более старой «физике плазмы》.

В ней исследовано также влияние статических магнитных полей, поскольку на больших расстояниях в атмосфере относительно слабое магнитное поле Земли все же оказывает замет。 ное влияние. Магнитное поле изменяет подвижность свободных электронов, поскольку за счет действия силы Лоренца электроны движутся по круговым орбитам, т. е. локализованы относительно центра этих орбит. Поэтому все свойства твердого тела, обусловленные свободными электронами, зависят от магнитного поля. Их анализ приводит к дальнейшему пониманию микроскопических структур. Этим объясняется современное интенсивное исследование поведения твердых тел в магнитных полях. В гл. 7 рассмотрены эффекты, возникающие под действием постоянных магнитных полей? а гл. 13 посвящена м@『

нитооптическим эффектам. Оптическим эффектам в веществах со свободными носителями уделено в этой книге довольно много внимания. Описывается поведение свободных электронов в переменном электрическом поле, поэтому мы говорим о динамической проводимости или о динамическом сопротивлении. Изучение динамических свойств при исследовании квазисвободных электронов очень важно, поскольку при этом получают информацию непосредственно о частотной зависимости. Напротив, статические измерения дают одно единственное значение (при данной температуре, магнитном поле и т. д.). Кроме того, свет вообще является наиболее удобным и доступным средством для исследования свойств твердого тела, а не только свободных электронов. Поскольку в полупроводниках и металлах всегда имеются свободные электроны, во всех результатах измерения оптических свойств присутствует вклад свободных электронов. Если его хотят отделить от других вкладов, необходимо хорошо знать их свойства. Однако развитие соответствующих теорий динамической проводимости шло довольно медленно.

Многие из рассматриваемых здесь явлений переноса можно качественно, а чаще всего и количественно понять, если описывать электроны с помощью некоторого усредненного электрона, т. е. рассматривать электронный газ определенной плотности, в котором имеется средняя тепловая скорость и среднее время свободного пробега. При этом мы экономим силы прежде всего при описании статистического распределения скоростей в электронном газе [1.2, 1.3, 1.7]. Но такое существенное упрощение приводит к ограничениям при описании неизотермических процессов (например, термо-э. д. с.). С другой стороны, мы достигаем ясности понимания различных явлений. Однако в более точных теориях необходимо использовать при рассмотрении каждого процесса в отдельности такие упрощения, что теряется связь между различными эффектами.

Чтобы установить связь между различными явлениями, теорией и экспериментом, в гл. 10 и приложении рассмотрено распространение электромагнитных волн. Исходя из моделей, мы рассчитываем динамическую проводимость и диэлектрическую функцию. В эксперименте, например, измеряют коэффициенты прохождения или отражения электромагнитных волн на образце. Зная свойства материала и граничные условия для электромагнитной волны на поверхности образца, их можно рассчитать. Наоборот, чтобы соответствующим образом планировать эксперименты и определять свойства материала из результатов измерений, необходимо хорошо знать законы распространения и проникновения электромагнитных волн с поверхности в глубь образца.

ДИЭЛЕКТРИКИ, ПОЛУПРОВОДНИКИ, МЕТАЛЛЫ

В этой главе мы проведем сравнение концентрации электронов в этих основных классах проводников, исходя из кристаллического строения и энергии возбуждения, необходимой для превращения валентных электронов в подвижные носители заряда. Поясним также вычисление вклада в проводимость от почти заполненных электронных зон с помощью положительно заряженных дырок. Вычислим плотность электронных состояний и их термическое заполнение согласно распределению Ферми. Проведем количественное сравнение концентрации и скорости электронов в полупроводниках и металлах.

Диэлектрик — полупроводник — металл

Прежде всего мы различаем металлы и диэлектрики феноменологически: металлы имеют чрезвычайно высокую проводимость, электрический ток течет во всем объеме. Проводимость диэлектриков очень мала, ток может протекать только по загрязненной или влажной поверхности, но не в объеме.

Микроскопически эти два предельных класса проводников различаются главным образом разной концентрацией свободных электронов. В металлах концентрация свободных электронов порядка атомной (например, для меди па а 8* 1022 см~з). в диэлектриках она примерно на десять порядков меньше.

Причина различия проводящих свойств заключена в основном в кристаллохимическом строении. Чтобы пояснить это, сравним относительное положение разрешенных уровней энергии для разных веществ, которые в твердых телах сливаются в зоны, разделенные запрещенными зонами. Мы разберем здесь это очень схематично, поскольку не будем вдаваться в подробности структуры зон! В каждой зоне содержится примерно 1022 см~3 состояний. Если зона заполнена полностью, то электроны на этих состояниях являются локализованными валентными электронами. На рис. 2.1 показана плотность валентных электронов для полупроводников элемента германия (Ge) и соединения ZnSe. Электроны заполненных зон не могут давать вклада в проводимость. Чтобы возбудить электрический ток, необходимо изменить их энергии на бесконечно малую величину, но при этом они попали бы либо в запрещенную зону, либо на занятые

состояния. Чтобы возбудить их на более высокие уровни энергии, необходимо передать электронам конечную энергию Wg, равную ширине запрещенной зоны (энергетической щели). Частично заполненные зоны мы называем зонами проводимости. В них можно бесконечно малым изменением энергии переместить электрон на более высокое или более низкое энергетическое состояние.

GeGeGeGe

Ge

Ge

Ge

Ge

Рис. 2.1. Плотность валентных электронов в германии и селениде цинка [2.1].

При этом состояния различаются по импульсу электрона р, точнее, по волновому вектору к соответствующей волны де Бройля (р =九к). Электроны на этих состояниях уже не локализованы. Они дают вклад в проводимость, так как их импульс или кине* тическая энергия могут изменяться.

Различные типы проводников различаются главным образом по ширине запрещенной зоны, или по величине перекрытия ра» решенных зон (рис. 2.2).

Диэлектрики — это главным образом ионные или молекулярные кристаллы. В ионных кристаллах валентный электрон находится не между соседними атомами, а полностью около аниона (например, у атома Se на рис. 2.1). Его энергия связи е анионом составляет примерно 3 эВ, а в NaCl, например, даже 8 эВ. Таким образом, вероятность перевести один из 1022 см~3 электронов, локализованных на анионах, в зону проводимости очень мала. Вероятность теплового возбуждения при комнатной температуре (kT = 0,026 эВ а 1/40 эВ) для NaCl можно грубо оценить с помощью фактора Больцмана ехр{—8 эВ/0,026 эВ} «

IO-133. Энергии видимого света (1,8—4 эВ) также недостаточно для возбуждения (внутренний фотоэффект, фотопроводимость). Поэтому для большинства диэлектриков с энергиями связи ITg > 4 эВ характерно, что они прозрачны для видимого света, а в чистом состоянии — вообще бесцветны.

№б люяс専 ионамиСбязь атомов 6 кристалле, какили бнутримолскулярнью “гитнШашб молекуле* ' сбязи„Коба^снтные сОхзи'имеют резкимпространстОе»^ ориентацию№б люяс専 ионамиСбязь атомов 6 кристалле, какили бнутримолскулярнью “гитнШашб молекуле* ' сбязи„Коба^снтные сОхзи'имеют резкимпространстОе»^ ориентациюАналогичные условия реализуются в молекулярных кристаллах. В этом случае валентные электроны локализованы внутри

№б люяс専 ионамиСбязь атомов 6 кристалле, как

или бнутримолскулярнью “гитнШашб молекуле* ' сбязи„Коба^снтные сОхзи'имеют резким

пространстОе»^ ориентацию

№б люяс専 ионамиСбязь атомов 6 кристалле, как

или бнутримолскулярнью “гитнШашб молекуле* ' сбязи„Коба^снтные сОхзи'имеют резким

пространстОе»^ ориентацию

Связь с помощью ваза свободных злектромоб

Г* прд deuanhueM：：

卜呼гиш,喉硯% примесей, дефектов ^

Примеры:г* 一

% №С1 Се, InSbBi, SnTeСи

Рис. 2.2. Сравнение энергетических зон для диэл ектрика, полупроводника и металла.

группы молекул. Рассмотрим для примера кристаллическую серу. Она образована кольцевыми молекулами Se. Внутри молекулы оболочки валентных электронов атомов серы перекрываются. Однако расстояние до атомов соседних колец намного больше расстояний между атомами внутри кольца, так что между кольцами имеется лишь слабое вандерваальсово взаимодействие. Энергия возбуждения валентного электрона в зону проводимости очень велика, т. е. чистые кристаллы серы также прозрачны. В молекулярных кристаллах зоны чаще всего очень узки. Это является следствием слабого взаимодействия между молекулами. Запрещенные зоны наоборот очень широки. Кроме того, малая кривизна узких зон в окрестности экстремумов означает большие эффективные массы, т. е. малоподвижные электроны (/п* ^ 1 — 100/п())・

В полупроводниках перекрываются валентные зоны не только регулярных атомных групп, как в молекулярных кристаллах, но и всех атомов. В этом смысле полупроводник представляет собой гигантскую ковалентную связанную «молекулу». За счет более сильного взаимодействия зоны становятся шире, а щели уже. Энергии возбуждения 必=0,1 — 1 эВ уже сравнимы с тепловой энергией. При Г = 300 К и ITg = 0,3 эВ получаем для фактора Больцмана ехр{—0,3 эВ/0,026 эВ} а 10~5, т. е. из примерно 1022 см-з валентных электронов мы можем около 1017 см~ электронов найти возбужденными в зоне проводимости г).

Как и в ковалентных молекулах, локализованные валентные электроны в полупроводниковых кристаллах образуют узко направленные связывающие орбитали (см. Ge на рис. 2.1). В не・ которых кристаллах оболочки из валентных электронов имеют одно или два измерения. В таком случае образуются цепочки или слоистые структуры. Они являются промежуточными между молекулярными кристаллами и пространственно неупорядоченными полупроводниками.

В некоторых веществах орбитали связаны между собой так сильно, что зоны перекрываются. В этом случае энергия возбуждения исчезает (говорят, что Wg становится равной нулю или отрицательной). В этих веществах уже при Т = 0 имеется конечная концентрация подвижных электронов проводимости. Поэтому такие вещества называют полуметаллами. Примером может служить висмут (Bi). Поскольку валентная зона по-прежнему целиком заполнена,、валентные электроны локализованы между атомами и образуют там пространственно направленные связи. Концентрация электронов в зоне проводимости, как и в полупроводниках, сильно зависит от температуры.

Наконец, в металлах зона заполнена примерно наполовину. Различие между валентной зоной и зоной проводимости теряет смысл, поскольку связывание положительных ионов металла в кристалл обусловлено газом свободных электронов. В идеальных металлах (например, щелочных, а также Си, Ag, Аи) приходится примерно один валентный электрон на каждый атом. Таким образом, в металле концентрация электронов « 1022 см~3, на несколько порядков больше, чем в полупроводниках! Поэтому она не зависит от температуры. Количество электронов, возбужденных с глубоко лежащих энергетических состояний в зону проводимости, пренебрежимо мало по сравнению с уже имеющимися там электронами. Связи уже не являются направленными. Чаще всего кристаллическая решетка металла представляет

собой простую сферическую упаковку (кубическую гранецентрированную, гексагональную, кубическую объемно-центрированную), поскольку ионы металла обычно сферически-сим- метричны.

Концепция эффективной массы и дырочной проводимости

В проводимость и другие электронные кинетические свойства полупроводников и полуметаллов, а чаще всего и металлов, дают в основном вклад электроны в окрестности экстремумов зон. В этом случае зону 呼(讨 можно приближенно описать с помощью параболы (параболическое приближение), что по аналогии с выражением для кинетической энергии электрона в вакууме приводит к определению эффективной массы /п*:

m优)=舞=嘉 (2.1) откуда

1 _ 1 ^ d^m* 一也2汆2 =如2 .

Если зона изогнута вниз, как валентная зона в полупроводнике на рис. 2.2, то эффективная масса отрицательна. Под действием внешней силы, например кулоновской силы 尸=——匈七，электрон меняет свой импульс:

^ = F=a —6()Е, (2.3)

т. е. у электрона, находящегося на нижнем краю зоны, направление импульса dp = m*dv так же, как и у электрона в вакууме, противоположно направлению поля, поскольку ап* > 0. Скорость электрона на верхнем краю зоны растет в направлении электрического поля, поскольку /п* V 0. Вклад в электрический ток —e°dv противоположен по направлению вкладу в ток электрона в вакууме.

Совсем иначе обстоит дело при почти полностью заполненной валентной зоне. Пусть в зоне не хватает только одного электрона, т. е. имеется дырка. Если бы зона была полностью заполнена, то она вообще не давала бы вклада в ток, поскольку все вклады компенсируются. Поскольку один электрон отсутствует, то вклады уже не компенсируются. Необходимо вычесть вклад отсутствующего электрона —e°dv. Таким образом, электрический ток равен —(—e°dv)= eodv. Но это вклад в ток от положительно заряженной частицы. В общем случае электроны не полностью заполненной изогнутой вниз зоны дают тот же вклад

в электрический ток, что и частицы с положительными зарядом и массой, концентрация которых равна концентрации отсутствующих электронов ([1.1], с. 40, [1.4], с. 214),

Плотность электронных состояний и их заполнение

Из статистической механики известно, что в шестимерном фазовом пространстве на каждое квантовое состояние приходится конечный объем, т. е.

(2.4)(2.4)dx dy dz dpx dp у dp2 = 8л3Й3.

(2.4)

(2.4)

Поскольку рассмотренные нами электроны являются фермионами, то, согласно принципу Паули, каждое состояние может

Рис. 2.3. Элемент объема в импульсном пространстве.Рис. 2.3. Элемент объема в импульсном пространстве.занимать только одна частица. Это правило статистики Ферми.

Рис. 2.3. Элемент объема в импульсном пространстве.

Рис. 2.3. Элемент объема в импульсном пространстве.

Для вычисления плотности состояний рассмотрим сначала в трехмерном импульсном пространстве все состояния с импульсами порядка р. Соответствующий элемент объема в импульсном пространстве представляет собой сферический слой (рис. 2.3):

d%Mn = 4jtp2 dp.(2.5)

в фазовом пространстве пов фазовом пространстве поПоскольку электроны в кристалле могут находиться только в пространственном объеме, равном объему кристалла, Упростр = =Икрист, то для элемента объема

в фазовом пространстве по

в фазовом пространстве по

лучаем

dVфаз = ^крнст * dVимп)

а для числа состояний

4%=你=*4 ⑵ 2dp.

В зависимости от того, характеризуются ли состояния импульсом р или кинетической энергией W = р2/2т, получаем выражения для плотности состояний:

(2.6)(2.6)0(行爲需；2)二爲祭09)=磊；D(W) = ^(2^W)\

(2.6)

(2.6)

В общем случае можно записать

(2.7)(2.7)0ОП =為(需[吸;

(2.7)

(2.7)

здесь / означает вероятность заполнения состояния в фазовом пространстве. Чаще всего / = 2, поскольку каждое состояние может быть заполнено двумя элек-

刀例刀例Рис. 2.4. Плотность состояний и их заполнение при Т == 0.Рис. 2.4. Плотность состояний и их заполнение при Т == 0.тронами с противоположно направленными спинами !).

刀例

刀例

Рис. 2.4. Плотность состояний и их заполнение при Т == 0.

Рис. 2.4. Плотность состояний и их заполнение при Т == 0.

Из плотности состояний с учетом функции распределения получаем плотность электронов п:

п=^ D(W)f(W)dW. (2.8) о

При Г = 0 из этого интеграла следует

п=，D(W)dW9 (2.9) о

поскольку ниже энергии Ферми Wf все состояния заполнены [f(W<WF) = 1], а выше —пустые [/(Г > WF)=0] (рис. 2.4). Из

/ / 2加2W?

У凉Е丿

(2.10)(2.П)(2.10)(2.П)(2.12)(2.12)получаем энергию Ферми

(2.10)

(2.П)

(2.10)

(2.П)

(2.12)

(2.12)

и скорость Ферми vf：

%=m*/2,

。戶=(6宓哈⑺七

а из p =力左一волновое число Ферми

麻=(6几2)% (书匕

Оно не зависит от массы электронов!

При температурах Т > 0 нельзя получить такие простые выражения. Интегралы (2.8), (2.9) следует вычислять с функ-

9 В сложных структурах / есть произведение числа заполнения на краткость долинного вырождения.

цией распределения Ферми

(2.13)(2.13)f(W) = [l+^^^\

(2.13)

(2.13)

В полупроводниках, как мы грубо оценивали на с. 15, занята лишь небольшая часть состояний, т. е. /(1Г)《1. В (2.13) должно выполняться неравенство exp (W — Wf) /йТ » 1. Здесь можно заменить функцию распределения больцмановской

(

呼一呼 、

万上)(2.14)

Далее будет видно, что рассматриваемые состояния по энергии 取 должны отстоять от Wf намного больше, чем hT, т. е. уровень Ферми не может находиться в разрешенной зоне!

Если зоны можно описывать в параболическом приближении (см. с. 16), то для концентрации получаем простые аналитические выражения [1.1, с. 57]: концентрация электронов

n = n0 exp (匕『?丿,(2.15)

где—

(喉广亭⑵16)

концентрация дырок

P = Pq exp (-上片N).⑵ 17)

где

"。 =金(爷7 空.(2.18)

Здесь Wn, Wp — энергии соответственно нижнего и верхнего краев рассматриваемых зон, шп и шр—массы вблизи экстремумов, По и ро означают эффективные плотности состояний, или концентрации вырождения,

В чистых полупроводниках свободные электроны возбуждаются всегда из валентной зоны, т. е. каждый электрон оставляет в валентной зоне дырку, м = р. В этом случае проводимость называется собственной.

При этом

п~р = (%оРо)% ехр (— Wg/2kT).(2.19)

Наоборот, если электроны (или дырки) появляются за счет кристаллических дефектов, например примесей, то говорят о примесной {несобственной) проводимости. В зависимости от того, каких носителей, электронов или дырок, больше, мы имеем

п- или р-проводимость. Всегда выполняется закон действующих масс, т. е. произведение п-р зависит только от температуры:

пр = поРо ехр (— Wg/kT).(2.20)

В больцмановском приближении и при параболическом поведении зон распределение электронов и дырок в зонах описывается функцией распределения Максвелла — Больцмана. Поэтому можно сразу определить среднюю тепловую кинетическую энергию

〈步〉=喷=啜=加(2.21)

Количественно© сравнение полупроводников и металлов

Сравним еще раз свойства полупроводников и металлов. Поскольку рассматриваемые нами электроны могут быть, как собственно электронами, так и дырками, то мы ниже всюду будем говорить о свободных носителях заряда.

Тип носителей заряда

В диэлектриках и полупроводниках электроны и дырки встречаются одновременно (тепловое возбуждение носителей, обусловливающих собственную проводимость). Энергия возбуж； дения Wg — расстояние между валентной зоной и зоной проводимости—в полупроводниках сравнима с kT, Если носители создаются дефектами кристалла, то в зависимости от типа дефекта становится больше электронов или дырок (примесная проводимость). Примеси, дающие электроны, называют донорами, а примеси, дающие дырки, — акцепторами.

В металлах носителями заряда обычно являются электроны, но встречаются и дырки (например, в Zn). Электроны становятся свободными сразу же при образовании кристалла, так что 吼=0. В полуметаллах электроны и дырки существуют одновременно. Валентная зона перекрывается с зоной проводимости, так что % V 0・

.2. Концентрация носителей заряда

Выберем для количественного сравнения в качестве примера Ge и Си1)- Предполагая, что каждый атом меди дает один свободный электрон, получим не зависящую от температуры концентрацию электронов

п = па = 8,4 • 1022 см~3.

Хотя Си имеет несколько более сложную зонную структуру, имеется лишь небольшое число экспериментов, где бы это было существенно.

В чистом полупроводнике концентрация носителей очень сильно зависит от температуры. Для Ge при комнатной температуре (7 = 300 К), считая, что эффективная плотность состояний в зоне проводимости ио в соответствии с (2.16) равна

и0 =1,0- 1019 см~з

(параметры: /Л = 8, тп = 0,22^0)!), и предполагая, что уровень Ферми лежит примерно в середине запрещенной зоны (Wn—WF^ а 吼/2 а 0,67 эВ/2), получаем концентрацию электронов

и = 2,4- 1013 см—, что согласуется с результатами измерений. Эта величина на десять порядков меньше, чем в металле! Такова же концентрация дырок!

При легировании донорами (например, As) можно повысить концентрацию электронов до 1019 см-3 (основные носители). В соответствии с законом действующих масс (2.20) концентрация дырок понизится до 107 см-§ (неосновные носители). При акцепторном легировании (например, Ga) получаем обратную ситуацию.

2.4.3. Средняя скорость носителей

До тех пор пока можно считать распределение электронов в полупроводнике максвелловским или больцмановским, средняя тепловая скорость итепп зависит только от температуры и не зависит от концентрации. В соответствии с (2.21) получаем для электронов в Ge при Г = 300 К (/и* = 0,1/По)

^тепл = №〉)% =(喇% = з,7 ・ 105 м/с.

При «гелиевой» температуре (Т = 4,2 К) скорость должна была бы составлять 4,4* 104 м/с. Приближение Максвелла — Больцмана справедливо лишь до тех пор, пока %《饱(невырожденный электронный газ)!

В металле «тепловая» скорость соответствует практически не зависящей от температуры скорости Ферми (2.11), поскольку в переносе заряда участвуют только электроны, скорость которых примерно равна фермиевской (ср. п. 5.3.2).

Для меди (параметры: m* = т^ 厶=2) с учетом ранее вычисленной концентрации носителей получаем

vF = (6冗2)" * (令)"=1,6 ・ 1()6 м/с.

Параметры для различных полупроводников имеются, например, в книге Гайста ([2.2], с. 6, 7 и 86), а также у Маделунга ([1.1], с. 147). 厶=8 следует из специальной структуры зоны проводимости в Ge, тп ——соответствующее среднее значение для определения плотности состояний.

kTF.kTF.Из сравнения найденной скорости вырожденного электронного газа со скоростью в приближении Максвелла — Больцмана определяется температура вырождения Т尸：

kTF.

kTF.

(2.22)

Для Си Гр = 8,1 • 104 К.

При этой температуре скорость теплового движения электронов в вакууме была бы сравнима со скоростью электронов в металле.

ЗадачиЗадачиОбычно скорости электронов в металлах существенно выше, чем в полупроводниках, особенно при низких температурах. Однако в полупроводниках, в которых эффективная масса носителей очень мала (например, в InSb /п* = 0,01 l/n。)，скорости также могут принимать большие значения (табл. 2.1).

Задачи

Задачи

см-8

%, см，

м/с

Возможный тип проводимости

Полупроводник Ge

(Т = 300 К) Металл

Си

4,4 ・ 1022

8,4 • 1022

1018 ... 1019

8,4. Ю2«

3,7 • 10б

1,6- 10б

П, р п

Таблица 2.1

Сравнение плотностей и скоростей носителей заряда в полупроводнике и металле

2.1. Вычислить плотность атомов в NaCI, Ge и Си (атомный вес: Anh яв 23, Aqj = 35, Aq^ ：== 73, Аси == 64; плотность: PNaCl==2」6 г/см^,' pGe ^ 5,36 г/см8, рси = 8,96 г/см3).

2.2. NaCl, Ge и Си образуют кубические решетки. Сколько атомов содержат элементарные ячейки (постоянные решетки: aNaC1 = 5,63А, aGe = б,6бА, @Си и 3,61 А).

2.3. Определить эффективную массу для зоны проводимости, описываем мод приближенно соотношением

旷(舟Н%一醬cos (诚)，

(昕1=*5 9B, q =a 4a).

Показать, что для газа свободных электронов, которые могут двигаться лишь в одном направлении, плотность состояний описывается соотношением

W圭(耦

(«одномерные кристаллы», электроны в магнитном поле, см. разд. 7.1).

Как определяется плотность состояний двумерного электронного газа (слоистые кристаллы, электроны в тонких пленках)?

Вычислить энергию Ферми при Т = 0 для полуметалла, в котором перекрываются параболические зона проводимости и валентная зона(/〃==/р= =2, m；*m；)・

Вычислить энергию Ферми, скорость Ферми и волновое число для Си. Сравнить длину волны Ферми 儿尸(々戶=2冗小尸)с постоянной решетки.

Вычислить тепловые скорости электронов (m* а О,1то) и дырок (m* Q O,3wo) в германии при 300 К・

3. ПОЛЯРИЗУЕМОСТЬ ОТДЕЛЬНОГО АТОМА И ОБРАЗОВАНИЕ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ ПРИ КОНДЕНСАЦИИ В ТВЕРДОЕ ТЕЛО

До сих пор мы использовали отдельные результаты электронной зонной структуры в твердых телах, не рассматривая эту область физики в целом. При этом на основании расположения энергетических зон и их заполнения мы могли определить, получится ли в результате химической связи атомов в твердое тело газ свободных электронов или локализованные валентные электроны. При таком рассмотрении полупроводники отличаются от диэлектриков малой энергией активации валентных электронов. Малую величину этой энергии мы объясняем более плотной упаковкой атомов в кристалле полупроводника, что приводит к более сильному взаимодействию валентных электронов. Поэтому разрешенные зоны должны становиться тем шире, чем уже запрещенные зоны. В полуметаллах взаимодействие становится столь сильным, что зоны перекрываются.

В этой главе на примере очень упрощенной, однако полезной модели мы хотим пояснить, что при более плотной упаковке связь валентных электронов становится слабее, пока совсем не исчезнет. Для этого мы будем характеризовать атомы поляризуемостью, которая показывает, как под действием электрического поля за счет смещения положительных и отрицательных зарядов из нейтрального атома образуется диполь. При плотной упаковке атомов образующиеся диполи ослабляют действие внешнего поля. При достаточно большой плотности упаковки этот процесс приводит к поляризационной катастрофе, образованию металла.

Поляризующиеся, сильно влияющие друг на друга атомы описываются законом Клаузиуса — Моссотти [3.1, 3.2]. Задача о самосогласованном воздействии такого коллективного поведения всех атомов пока еще не решена. Это важнейшая задача современной физики твердого тела,

Атомная поляризуемость

Если поместить атом (или молекулу) в электрическое поле, то внешние электроны смещаются по отношению к положительному остову, «оболочка валентных электронов деформируется». Возникает характеризующий атом дипольный момент р. Для малых полей отклик можно считать линейным, так что

атомная (молекулярная) поляризуемость а определяется соотношением

р —— &qCcE| (3・1)

где Е — напряженность электрического поля в точке нахождения атома. (Для молекул а может быть симметричным тензором второго ранга, поскольку р и Е не обязательно совпадают по направлению.)

Чтобы определить а, необходимо было бы вычислить собственные функции электрона в сферически-симметричном ядер- ном потенциале, на который накладывается наше внешнее поле. Эти собственные функции дают новое распределение электронных зарядов. Для атома водорода расчеты можно провести по теории возмущений. Для интересующих нас атомов с большими порядковыми номерами эта задача до сих пор не решена. Поэтому мы оценим атомную поляризуемость с помощью модели Томсона. .

32 Модель атома Томсона

Поскольку точное распределение электронов в атоме неизвестно, то в модели атома Томсона (рис. 3.1) будем рассматривать

положительное атомное ядро с глубинными электронами (ионный остов) как точечный заряд во с очень большой мае-положительное атомное ядро с глубинными электронами (ионный остов) как точечный заряд во с очень большой мае-Рис. 3.1. Модель атома Томсона и индуцированный дипольный момент.Рис. 3.1. Модель атома Томсона и индуцированный дипольный момент.

положительное атомное ядро с глубинными электронами (ионный остов) как точечный заряд во с очень большой мае-

положительное атомное ядро с глубинными электронами (ионный остов) как точечный заряд во с очень большой мае-

Рис. 3.1. Модель атома Томсона и индуцированный дипольный момент.

Рис. 3.1. Модель атома Томсона и индуцированный дипольный момент.

внешние электроны — оболочку как отрицательно заряжен* ную пространственно однородную сферу с зарядом —细 массой апо и радиусом а.

Тогда плотность заряда оболочки

РР-б。4Л炉/3-б。4Л炉/3(3⑵(3⑵

Р

Р

-б。

4Л炉/3

-б。

4Л炉/3

(3⑵

(3⑵

При смещении оболочки относительно остова на г возникает возвращающаяся сила

Здесь Q(r) — часть заряда электронного облака, расположен* ного внутри сферы радиуса г (см. рис. 3.1):

Q(r) = p-^~ = —e0~r-(3.3)

Заряды, расположенные вне этой сферы, не дают вклада в возвращающую силу, поскольку потенциал внутри заряженной сферы постоянен. Для силы получаем следующее выражение:

F(r) = -•^排.(3.4)

Если смещение электронной оболочки вызвано внешним электрическим полем Е, то условие равновесия имеет вид

爲§^ = 0.(3.5)

Для индуцированного дипольного момента получаем р =—绅: р = 4л8()а3Е.(3.6)

Отсюда, сравнивая с (3.1), можно определить поляризуемость нашего модельного атома:

а = 4 ла3 = ЗР(3.7)

(V —объем атома).

Вывод

Атомы с большим радиусом электронной оболочки (большие порядковые номера) легко поляризуются. Поляризуемость по порядку величины совпадает с объемом атома.

Динамическая поляризуемость

一恤「+ F (г) — е°Е = 0.一恤「+ F (г) — е°Е = 0.(3・8)(3・8)В предыдущем разделе мы оценили статическую поляризуемость. Поскольку возвращающая сила (3.4) описывается линейным по смещению законом, то в переменном электрическом поле Е = Ео ехр (—icof) возникает резонанс поляризуемости. Рассчитаем зависящую от частоты динамическую поляризуемость. В условие равновесия теперь необходимо включить член *-/ПоГ：

一恤「+ F (г) — е°Е = 0.

一恤「+ F (г) — е°Е = 0.

(3・8)

(3・8)

Возвращающая сила по-прежнему линейна:

вл

р W = — — Г.(3.9)

Для динамического дипольного момента р (со) = — еог = =ро ехр (— /<»/) из (3.8) и (3.9) получаем

вдГ Н— впГ =Е.и 1 тоеоа °加°

Обозначая 端=珞/%恤。，приходим к соотношению

—о2р + о2р = ^Е,(3.10)

откуда

Р = ^<Ь^Е^е°а(О)Е-(3・11)

Динамическая атомная поляризуемость равна (рис. 3.2)

a (s) = а (0)a (s) = а (0)®о®о(3.12)(3.12)

a (s) = а (0)

a (s) = а (0)

®о

®о

(3.12)

(3.12)

статическаястатическаяполя-поля-

статическая

статическая

поля-

поля-

а(0)а(0)(3.13)

а(0)

а(0)

%加0°)0

а'(0) — вычисленная в предыдущем разделе ризуемость, которую мы

CTOiy ©о.

При частотах (о«(оо возбуждаются сильные колебания электронной оболочки. Если подставить в а(0) боровский радиус и рассчитать поляризуемость атома водорода, то получим

Й(о0 = 27,2 эВ = 2 ридберг.

Это как раз величина потенциальной энергии электрона в атоме водорода,

или удвоенная энергия ионизации. В дальнейшем мы определяем ftoo как энергию ионизации атомов, не обращая внимания на множитель 2.

Вывод

Поляризуемость можно оценить из энергии ионизации. Атомы с меньшей энергией ионизации поляризуются легч§,

Примечание

Вообще говоря, вклад в статическую поляризуемость дают все атомные переходы, не только процессы ионизации. В таком случае для а(0) получаем

a ⑼=-2 4

(ft — силы осцилляторов).

Атомные поляризуемости известны очень плохо, поскольку непосредственно они измеряются только в редких случаях, теоретические же расчеты очень приближенны, а для больших атомов вообще отсутствуют. В табл. 3.1 представлены значения

Таблица 3.1

Агомные поляризуемости (JO""30 м""3)

IA

ПА

IB

IB

ШВ

3

IB

ИВ

皿в

intB

Н1

8,3

He 2 2,6

из 151

Be4 務

B5

ЕП),04

C6

Лз

N7 (42)

08

0-%

F9 (30.9)

F" 13,1

Ne10 5,0

Nall 320 Nd* 2,3

Т2

AU3 U6

АГ*@65

SiU 48 Si** 25,9

P15 45

S16

41 S"128

CL17. (73)

СГ 46,0

A18 20

К19 427 к* юл

Ca20 159 C『5,9

Cu29 .94

Zn30 73

Ga31 146

Ge32

57

As33

58

Se34 57 S&-132

Br35 (93) Br'59,9

Kr36 31 '

Rb37 520 R『17,6

Sr38 191 sr^iae

A紀

Cd 48 100

In49 95

Sn50

96

Sb51 77

le52 88 ЪП76

J 53 (125) Г 89,2

Xe54

50

Cs55 620 cs+30,4

Ba 56 276 B<f*19,5

Au 79

53

Hg80

TL81 69

РЬ82 83

Bi 83 100

Po84

At 85

Rn86

поляризуемостей важнейших элементов. Они определены разными способами. Однако видно, что внутри гомологических рядов имеет место рост поляризуемости с увеличением атомного номера. Особенно велика поляризуемость щелочных металлов, которая при ионизации атома щелочного металла резко уменьшается.

Поляризуемость конденсированного вещества

Если в электрическое поле Е поместить вещество с макроскопической поляризацией Р, то суммарный вклад внешнего поля и поля, создаваемого веществом, описывается электриче-

с/со近 индукцией

D = 80E + P.(3.14)

Если речь идет о поляризации, создаваемой внешним полем Е, то она определяется из линейных материальных уравнений

Р = 80%Е(3.15)

или

D = 80(l +х)Е = еоеЕ(3.16)

с характеристиками среды

% — диэлектрической восприимчивостью или е = 1 + ^ — относительной диэлектрической проницаемостью.

Макроскопическая поляризация Р создается атомными диполями

Р=®р(3.17)

(па — плотность диполей). В разреженном веществе, когда можно пренебречь диполь-дипольным взаимодействием поляризованных частиц, атомные диполи индуцируются только внешним полем:

Р = иар = па • еоаЕ.(3.18)

.Тогда для восприимчивости получим

%о = %а・(3.19)

В конденсированном веществе вклад в локальное поле, действующее на атом ЕЛОк, дают макроскопическое поле Еа и поляризованное окружение.

Поэтому следует различать макроскопическое и микроскопическое описание

Р = пар = [="凡 макроскопическое,

I е0паа£лок = воХо^лок микроскопическое.

Если бы не было поляризационного вклада окружения (собственной поляризации), то £Лок = ^а； при наличии собственной поляризации Елок > Еа. Расчет локальных полей относится к наиболее сложным задачам современной физики твердого тела. Мы определим локальные поля с помощью очень простой, однако не всегда применимой теории Клаузиуса — Моссотти [3.1, 3.2]. Для этого рассмотрим плоский конденсатор с постоянным напряжением на пластинах (рис. 3.3). В пустом конденсаторе между пластинами имеется поле Еа, плотность заряда на пластинах ео^а. Заполним конденсатор поляризующейся средой, тогда на пластинах появится дополнительный заряд, так что

Dkohr ^1 е°Еа + Р・(3.21)

Мы рассматриваем локальное поле ЕоТок в точке х среды. В 3TQ поле дают вклад

поле Оконд, создаваемое зарядами на пластинах конденсатора,

деполяризующее поле 厶Р, создаваемое индуцированными на поверхности образца поляризационными зарядами (厶一коэффициент деполяризации),

поле индуцированных диполей, лоренцево поле е0£Лоренц, войлок = Оконд — LP + во£* Лоренц»(3.22)

Для плоскопараллельной пластины, поляризованной перпендикулярно поверхности, L = 1. Для определения лоренцева поля рассмотрим в сфере сферу с центром в точке %. Диполи вне

%%г 世f j P+% EE耻*%%г 世f j P+% EE耻*

%%г 世f j P+% EE耻*

%%г 世f j P+% EE耻*

Рис. 3.3. Вклад собственной поляризуемости в локальное поле в диэлектрике.

сферы создают внутри нее поле Р/3, поскольку коэффициент деполяризации для шара равен 】/з・ Диполи внутри сферы создают поле, сильно меняющееся от точки к точке. В изотропной сфере в кубических структурах эти поля компенсируются точно в центре, так что в точке % имеем

Со^Лоренц и1 守 Р + 8。，^ ^диполь*(3.23)

Для локального поля получаем

войлок = %Еа + Р — Р+^Р + 0.

! р(3.24)

^МК = ^а+у —-

При этом мы можем макроскопическую поляризацию описывать микроскопически с помощью (3.20)

(3.25)(3.25)Р = е0%о^лок = SoXo^a + у %0^,

(3.25)

(3.25)

Справедливы следующие соотношения между макроскопическойСправедливы следующие соотношения между макроскопическойдостаточно плотно, то восприимчивость может принимать любое достаточно большое значение. В табл. 3.2 сравниваются %о = =па и восприимчивости отдельных элементов.достаточно плотно, то восприимчивость может принимать любое достаточно большое значение. В табл. 3.2 сравниваются %о = =па и восприимчивости отдельных элементов.

Справедливы следующие соотношения между макроскопической

Справедливы следующие соотношения между макроскопической

достаточно плотно, то восприимчивость может принимать любое достаточно большое значение. В табл. 3.2 сравниваются %о = =па и восприимчивости отдельных элементов.

достаточно плотно, то восприимчивость может принимать любое достаточно большое значение. В табл. 3.2 сравниваются %о = =па и восприимчивости отдельных элементов.

Результаты

хо《3, отсюда следует % Q %о, т. е. нет обратного воз, действия поляризации. Примерами являются диэлектрики, кри* сталлические инертные газы.

хо~>3, отсюда следует, что %->оо, наступает поляриза^ ционная катастрофа. В кристалл не проникает электрическое поле. Такое поведение характерно для металла. Оболочка валентных электронов легко смещается, электроны являются «свободными» (например, в К, Си, p-Sn).

Примеры значений Х0 = па и статической восприимчивости % [см. (3.26)]

%

Хеми

выч.

изм.

К

5,7

Са

3,7

Си

8,0

> Метал

л

Zn

48

Ga

7,5

А

0,5

0,6

0,5

Вг

L2

2,0

47

X。

X

стат

Выч.

изм.

С

1,8

4,3

4,7

Si

2乂

12,0

11,0

Ge

2,5

17,0

15,0

а

2,9

1 26

23

Sn.

В

3,6

Мета

Р

2,1

7,0

5,4

As

2,5

14,3

Sb

2,6

17,5

Bi

2,8

44

100

S

1,6

3,4

3,1

Se

2,1

7,0

8,7

Те

2,6

20

40

Таблица 3.2

%о&3, т. е. % очень велико. Примеры таких веществ приведены в табл. 3.2. Это полупроводники или полуметаллы (например, Ge, Bi, Те ...). В этих веществах валентный электрон связан слабо (Wg « kT), так что он легко покидает ионный остов 1).

Различие между описанными тремя случаями особенно наглядно видно в модели Томсона. Для нее справедливо а = ЗУаТом, Уатом — объем сферического атома, т. е. примерно ван- дерваальсов объем. по = 1/Укрист — характеризует объем, при- ходящийся на один атом в кристалле.

Справедливо соотношение

加=%* = 3(3.28)

у крист

Если объем, приходящийся на один атом в кристалле, меньше атомного объема, Крист 4 %том, то электронные оболочки пол* ностью перекрываются. Валентные электроны образуют элек* тронный газ в металле. Тогда %о 3.

Если объем, приходящийся на одйн атом в кристалле Vkphct* Лишь немного больше атомйого объема VaT0M, то имеем частич*

На это впервые указал Герцфельд [3.4].

ное перекрытие электронных оболочек: ковалентные связи в полупроводнике. В этом случае %oW3・

При еще менее плотной упаковке, так что Укрнст》％том, электронные оболочки не перекрываются, т. е. имеют место вандерваальсовы связи в молекулярных кристаллах. При этом Хо《3.

Из рассмотрения динамической поляризуемости конденсированного вещества в такой модели сразу следует, что атомная энергия ионизации 1Гнон =力со。уменьшается за счет обратного воздействия поляризации величины Wg =力(о&

Примечание

В этом случае Wg представляет собой не точно ширину запрещенной зоны, а является несколько большей величиной. Она равна примерно расстоянию между центрами разрешенных зон, поскольку на границе разрешенной зоны плотность состояний обращается в нуль.

Будем, кроме того, характеризовать энергию ионизации валентных электронов Wg =力cog частотой, при которой, согласно (3.26), наступает поляризационная катастрофа, т. е.

Хо =几°а(S&) = 3.

Отсюда и из (3.12) следует искомое соотношение для уменьшения частоты

”u%(1 一个")，(3.29)

или, полагая ©^ = п^/г^ и учитывая (3.13), получаем

% =%一冬.(3.30)

Вывод

За счет собственной поляризации атомов, плотность упаковки которых иа, энергия связи валентных электронов становится меньше энергии ионизации отдельного атома.

3.6. Вклад валентных электронов в диэлектрическую восприимчивость

Чтобы завершить обсуждение, рассчитаем зависящий от частоты вклад валентных электронов в диэлектрическую восприимчивость. Для этого подставим в (3.26) динамическую атомную поляризуемость (3.13)

3%а ®) —(0)碣

3 — %(х (со) ©Q — со2 —(0) Oq/З *

Из соотношения паа(0)cog«со^ и (3.30) следует

%(s) = X(0)謂岂展*；%(s) = X(0)謂岂展*；Х(0) =Х(0) =(3.31)(3.31)

%(s) = X(0)謂岂展*；

%(s) = X(0)謂岂展*；

Х(0) =

Х(0) =

(3.31)

(3.31)

Здесь при co。не наступает резонанса, поскольку имеется сдвиг частоты на (0g. На рис. 3.5 показано поведение диэлектрической функции, вычисленное по описанной модели и измеренное

Рир. 3.5. Вклад валентных электронов в диэлектрическую функцию, q — модельный расчет по формуле (3.31) (параметры:力(Og=®l эВу Й(0р = 6,6 эВ, Лу = 0,55 эВ); б — экспериментальные данные для висмута.Рир. 3.5. Вклад валентных электронов в диэлектрическую функцию, q — модельный расчет по формуле (3.31) (параметры:力(Og=®l эВу Й(0р = 6,6 эВ, Лу = 0,55 эВ); б — экспериментальные данные для висмута.

Рир. 3.5. Вклад валентных электронов в диэлектрическую функцию, q — модельный расчет по формуле (3.31) (параметры:力(Og=®l эВу Й(0р = 6,6 эВ, Лу = 0,55 эВ); б — экспериментальные данные для висмута.

Рир. 3.5. Вклад валентных электронов в диэлектрическую функцию, q — модельный расчет по формуле (3.31) (параметры:力(Og=®l эВу Й(0р = 6,6 эВ, Лу = 0,55 эВ); б — экспериментальные данные для висмута.

для Bi. Поскольку при больших амплитудах колебаний ((o«(og) энергия электрического поля переходит в энергию других микроскопических процессов, то в знаменатель выражения (3.31) следует добавить член, описывающий затухание, — /у(о. Тогда величина %((о) становится комплексной, а резонансная амплитуда принимает конечное значение

х(ф) = х(0)——• (3.32) — (0 — zyco

Для статического вклада в восприимчивость от валентных электронов Пенн [3.5] на основе совершенно других соображений получил тот же результат %(0)==叫/竺・ Здесь(ор — плазменная частота валентных электронов. В наше выражение для (0р входила величина па — плотность упаковки атомов. В выражении для плазменной частоты и означает плотность валентных электронов. Если положить п = иа, то это будет означать, что на атом приходится только один электрон. В ковалентных кристаллах правильнее учитывать все валентные электроны. Так, например, в Si и Ge и = 4па, поскольку в этих атомах имеются четыре направленные тетраэдрические связывающие орбитали. Масса, входящая в сор, — это масса свободного электрона, но ни в коем случае не эффективная масса!

Задачи

Определить кинетическую и потенциальную энергию электрона в атоме водорода, считая, что электрон вращается вокруг протона. Сравнить эти энергии с величиной too [для определения о)о см. (3.13)].

Найти действительную и мнимую части % (со) в (3.32). Определить частоты, соответствующие экстремумам Re{%} и Im{心，а также полуширину резонансной линии для Im{%} (приближение: у <С шР).

Как нужно выбрать параметры со^, ©^ и у, чтобы кривая для Bi на рис. 3.5,6 как можно лучше описывалась соотношением (3.32)?

4. МОДЕЛЬ ДРУДЕ-ЛОРЕНЦА

Чтобы при описании электронных явлений переноса не применять статистическую теорию переноса, воспользуемся достаточно старым, очень наглядным приближением, которое восходит еще к Друде и Лоренцу [4.1, 4.2]. При этом аргументация идет в обратном порядке: вместо того, чтобы рассматривать внешние силы, действующие на отдельную частицу, и затем усреднять результат по всем частицам, в модели описывается влияние внешних сил на некоторую среднюю частицу, характерную для всего ансамбля. Чтобы выяснить макроскопическое поведение, следует вклад от «средней частицы» умножить на число частиц, т. е. на их плотность. В этой главе будут рассмотрены силы, действующие на электрон, и пояснены возникающие при этом величины. Особое внимание мы уделим силе трения, которую будем описывать с помощью процессов релаксации, или процессов рассеяния.

Силы, действующие на электрон

'Составим сначала уравнение равновесия «внешних» и «внутренних» сил, действующих на частицу с массой т и зарядом q. «Внутренние» силы связаны со свойствами самой частицы и с ее взаимодействием с микроскопическим окружением, например, в кристалле. «Внешние» силы определяются созданными экспериментатором воздействиями или другими дальнодействующими полями.

Внутренние силы Внешние силы

/иг + *y г + Dr = F s (Е + г X В). (4.1)

Здесь mr — сила инерции, (т/т)г— сила трения; Dr — возвращающая сила для связанной частицы; F —внешние воздействия; дЕ — кулоновская сила; ^ • г X В — сила Лоренца. При этом мы предположили, что внешние воздействия вызваны только электромагнитными полями. Если речь идет о квазисвободной частице — электроне проводимости с g = —ео или дырке с д = = ео, — то следует положить D = 0, однако под т понимать эффективную массу и помнить, что частица не в вакууме,

а в среде с диэлектрической проницаемостью е，1. Для случая свободных носителей будем считать:

г — средний дрейф носителя заряда,

т — среднее время между двумя соударениями — время свободного пробега,

г = vd — дрейфовая скорость носителей заряда.

Смысл дрейфовой скорости особенно легко понять, если предположить, что все частицы получают добавку vd к тепловой скорости за счет действия внешних сил. Без внешних воздей* ствий векторная сумма импульсов р = mv была бы равна нулю,

Рис. 4.1. Изменение сферически-симметричного электронного распределения.

поскольку в импульсном пространстве распределение симметрично относительно р = 0 (рис. 4.1). Если V。 #= 0, то распределение сохраняет свою форму, но его центр смещается в импульсном пространстве на mvn. Таким образом, дрейфовая скорость определяется соотношением

i

В данной модели мы рассмотрим следующие вопросы:

случай отсутствия магнитного поля В = 0;

статическая и динамическая проводимость однородной среды. Влияние неоднородностей среды: действие тепловых градиентов, а также градиентов концентрации как в среде, так и на ее поверхности.

Случай статического магнитного поля В =/= 0;

гальваномагнитные эффекты, магнитооптические свойства свободных носителей.

Релаксация импульса и энергии

Уравнение Друде — Лоренца (4.1) для свободных носителей

mr + -^r = F(4.2)

можно записать в следующем более общем виде:

—一普(4.3)

Здесь

Др — отклонение импульса электронного газа от равновесного значения;

р — изменение импульса во времени, обусловленное

внешними силами 尸，一

столкновениями, при которых происходит потеря дополнительного импульса, полученного от внешних сил, и восстанавливается равновесное распределение (сто- хастизация импульсов);

тт — время релаксации импульса, описывающее отклик на столкновения в распределении импульсов.

Условие стационарности при не зависящих от времени силах имеет вид

р = 0; Др = F • тт.(4.4)

Отклонение Ар в распределении импульсов от невозмущенного состояния тем больше, чем медленнее релаксируют импульсы.

Следует отличать время релаксации импульса тт от времени релаксации энергии т^, которое определяется из следующего уравнения:

S = F・Vd —(4.5)

Здесь AIF ——изменение энергии электронного газа под действием внешних сил по сравнению с энергией в тепловом равновесии;

F ・ V。 —работа внешних силовых полей, совершаемая над электронным газом на пути дрейфа.

Условие стационарности при не зависящей от времени силе теперь имеет вид

历=0, A/ = Fvd・Tm・(4.6)

Обычно xw > tm・ В следующих главах будет обоснована необходимость четкого различия этих двух времен релаксации!

мы сравним проводимостьмы сравним проводимостьРио. 8.1. Средняя дрейфовая скорость (а) и микроскопические процессы рассеяния (6) отдельного электрона в электрическом поле Е.Рио. 8.1. Средняя дрейфовая скорость (а) и микроскопические процессы рассеяния (6) отдельного электрона в электрическом поле Е.

мы сравним проводимость

мы сравним проводимость

Рио. 8.1. Средняя дрейфовая скорость (а) и микроскопические процессы рассеяния (6) отдельного электрона в электрическом поле Е.

Рио. 8.1. Средняя дрейфовая скорость (а) и микроскопические процессы рассеяния (6) отдельного электрона в электрическом поле Е.

б. СТАТИЧЕСКАЯ ПРОВОДИМОСТЬ В = 0

Будет рассмотрена сила торможения электронов за счет столкновений с примесными центрами, что при определенных условиях приводит к ограничению величины тока, т. е. к закону Ома. Наряду с понятием длины свободного пробега будет уста* новлена связь между временем свободного пробега и тепловой скоростью. Исходя из этих понятий, электронов в металлах и полупроводниках. Рассмотрение энергии газа дрейфующих электронов приведет нас к приближению равновесных носителей. Для этого случая указана величина диссипации энергии —джоулево тепло. Если работа внешних сил существенно больше тепловой энергии электронов, мы имеем предел горячих электронов.

Ограничение величины тока за счет столкновений

Если в (4.1) не учитывать силу трения, т. е. если бы столкновения были столь редкими, что т-> оо, то дрейфовая скорость электронов возрастала бы линейно со временем

ND = ^t = qEt, (5.1) а следовательно, росла бы и вила тока. Если, однако, за время т в

среднем происходит одно столкновение, то внешнее поле может ускорять электроны только в этот промежуток времени. Мы предполагаем, что столкновения являются случайными, т. е. что носители тока после столкновения в среднем не помнят о предпочтительном направлении движения за счет ускоряющего поля. При больших полях и низких температурах такое предположение может оказаться совершенно неверным! Однако с помощью этого предположения можно микроскопически описать поведение [см. (4.2)] носителей (рис. 5.1). После включения постоянного электрического поля Е дрейфовая скорость

носителей экспоненциально возрастает: vd = vo[l — ехр(—t/x)], при выключении она меняется по закону vd(/) = vo exp (―Z/т); Uo—стационарное значение дрейфовой скорости при ff 8, Vo = (〃АП)ЕоТ.

Для стационарного случая, т. е. постоянного тока, мы приходим к линейной связи между средней дрейфовой скоростью носителей и ускоряющим электрическим полем:

vd = Xet.(5.2)

Это приводит к определению подвижности

vd = hE, ц = ^т.(5.3)

Согласно нашему определению, подвижность может быть как положительной, так и отрицательной, поскольку в нее входит знак заряда д. В сложных структурах pi может быть также анизотропной.

Б.2. Закон Ома

Закон Ома связывает макроскопическую плотность тока j с величиной напряженности поля Е, действующего в этой точке. Он описывает линейный отклик свободных электронов.

В зависимости от того, идет ли речь о напряженности поля или о плотности тока, рассматривают j или Е как отклик. Соответствующими характеристиками среды являются проводимость о или удельное сопротивление р.

Отклик = Характеристика среды • Действие

JwoE, Е spj.(6.4)

Линейность означает, что аир сами не зависят от Е и j (сравните: линейный отклик связанных электронов на внешнее поле есть поляризация, соответствующая характеристика среды — восприимчивость Р = 8о%Е)・

Линейность, конечно, является лишь приближением. В этой главе мы рассмотрим предпосылки, приводящие к линейности.

Микроскопически плотность тока определяется через дрейфовую скорость носителей:

j н qnyD.(5.5)

Если vd линейно зависит от Е, то [см. (5.3)] мы приходим к закону Ома

j=»gwE・(6.6)

Для проводимости получаем выражение

(5.7)(5.7)<у = ^н=—т.

(5.7)

(5.7)

Проводимость не зависит от знака заряда носителей! Под напряженностью поля в (5.6) мы, как и в разд. 3.4, понимаем макроскопическое поле Еа, поскольку описываем электроны с помощью эффективной массы и тем самым уже учли периодический потенциал атомов решетки. Кроме того, дрейфовая скорость есть макроскопическая величина, которая определяется как среднее значение по всем электронам.

Проводимость и удельное сопротивление р = 1/а в общем случае являются тензорами второго ранга. Микроскопически это есть следствие возможной анизотропии эффективной массы 1 /т и т.

Время свободного пробега и кинетическая энергия электронов

В отсутствие внешних сил кинетическая энергия электронов имеет вид

吋号〈▼〉・

Под действием внешних сил скорость каждой частицы увеличивается на Vd. Тогда средняя кинетическая энергия равна

W(F) = ^ ((V + vD)2)=登 В〉+ -у〈吟〉+ m(v-vD). (5.8)

Перекрестный член <v-vd> в этом выражении исчезает, поскольку vd можно вынести за знак среднего, a <v> = 0.

Итак, остается

取(尸)= F0 + А取；\W = ^(吟〉.(5.9)

Мы рассматриваем приближение равновесных носителей, В этом приближении изменение，энергии электронов под действием внешних сил должно быть мало по сравнению со средней кинетической энергией, т. е. должно выполняться неравенство:

AIF<F0 или2,(5.10)

(WP

в зависимости от того, рассматривается ли электронный газ в полупроводнике (невырожденный) или в металле (вырожденный). Для скоростей в этом приближении имеем

(5.Н)

Средняя длина свободного пробега

Чтобы получить связь между т и итеп% в кинетической теории газа вводится длина свободного пробега / между случайными столкновениями (рис. 5.2)

『…，(5.12)

вениями завениями засоставляетсоставляетгде / и V — характеристики кристалла, т — время между столкновениями. Дрейфовый путь, пройденный между двумя столкно-

вениями за

вениями за

составляет

составляет

0d = ^=*時・(5.13)0d = ^=*時・(5.13)соответственно дрейфовая скорость

0d = ^=*時・(5.13)

0d = ^=*時・(5.13)

WG〉T。(5.14)WG〉T。(5.14)[ср. (5.3)] и длину свободного пробега[ср. (5.3)] и длину свободного пробегаУрредняя, получаем подвижность

WG〉T。(5.14)

WG〉T。(5.14)

[ср. (5.3)] и длину свободного пробега

[ср. (5.3)] и длину свободного пробега

Рис. 5.2. Длина свободного пробега и тепловая скорость электрона в уско ршощем поле.(5.15)

б«3.2. Зависимость времени свободного пробега от энергии

Если предположить, что длина свободного пробега / определяется свойствами кристалла, то при заданном / время свободного пробега зависит от тепловой скорости электронов соответственно от их энергии Wt

^l/v^l(m/2W)\

-и(5.16)

e(呼)~呼2

Сравним еще раз распределение электронов в металле и полупроводнике (рис. 5.3).

В полупроводнике с распределением Максвелла — Больцмана получаем выражение для тепловой скорости электронов

»тепл= (■^■)А,б")

В металле, наоборот, нас не интересует тепловая скорость, полученная из средней электронной энергии, но мы заменяем г^епл на скорость Ферми

Отепдни 尸。(5.18)

Поскольку только в непосредственной окрестности W7尸(比土2论Т) имеется достаточно свободных и занятых состояний, то кинетическая энергия при ускорении электронов внешними силами может меняться непрерывно.

4 i ввг4 i ввгРис. 5.3. Сравнение распределения электронов в вырожденном (IF尸=30 也7) и невырожденном газе (1Г尸==—2/гТ), плотность которого в 103 раз меньше. / — распределение Ферми, 2—приближение Максвелла — Больцмана.Рис. 5.3. Сравнение распределения электронов в вырожденном (IF尸=30 也7) и невырожденном газе (1Г尸==—2/гТ), плотность которого в 103 раз меньше. / — распределение Ферми, 2—приближение Максвелла — Больцмана.

4 i ввг

4 i ввг

Рис. 5.3. Сравнение распределения электронов в вырожденном (IF尸=30 也7) и невырожденном газе (1Г尸==—2/гТ), плотность которого в 103 раз меньше. / — распределение Ферми, 2—приближение Максвелла — Больцмана.

Рис. 5.3. Сравнение распределения электронов в вырожденном (IF尸=30 也7) и невырожденном газе (1Г尸==—2/гТ), плотность которого в 103 раз меньше. / — распределение Ферми, 2—приближение Максвелла — Больцмана.

Поэтому для среднего времени свободного пробега, или времени релаксации, мы получаем

т ^= “■ I == %еплт ^= “■ I == %еплв металле,в металле,в полупроводнике.в полупроводнике.(5.19)(5.19)

т ^= “■ I == %епл

т ^= “■ I == %епл

в металле,

в металле,

в полупроводнике.

в полупроводнике.

(5.19)

(5.19)

Из-за больших тепловых скоростей электронов в металлах вре* мена релаксации и тем самым подвижности в основном на 1—2 порядка меньше, чем в полупроводниках.

Поскольку при усреднении времени релаксации все направления тепловых скоростей входят одинаково независимо от направления приложенного поля или тока, то в приближении

равновесных носителей мы не можем ожидать появления анизотропии т. Анизотропия о н 卩 может быть вызвана лишь зависимостью от направления эффективных масс!〔).

Примечание

В гл. 6 мы покажем, что и само / может также зависеть от энергии электронов, например при резерфордовском рассеянии.

Диссипация энергии и джоулево тепло

Между двумя соударениями за счет работы внешнего электрического поля кинетическая энергия электрона в среднем увеличивается на

А 呼 кнн = Fr = gEv“(5.20)

Тогда средняя мощность равна

=^vdE,=^vdE,(5.21)(5.21)

=^vdE,

=^vdE,

(5.21)

(5.21)

Это и есть джоулево тепло, точнее, работа в единицу времени, совершаемая внешним полем над электронным газом при протекании тока. В стационарном случае электронный газ должен иметь возможность отдавать эту энергию, например, решетке за счет возбуждения решеточных колебаний. Время xw между столкновениями, при которых происходит диссипация энергии, не должно совпадать с тт, характеризующим время, за которое прекращается процесс ускорения электронов. При каждом соударении с потерей энергии электронный газ теряет энергию 厶吼 так что справедливо соотношение

I^ = Fv°I^ = Fv°厶步厶步

I^ = Fv°

I^ = Fv°

厶步

厶步

Из условия стационарности однородных полей 呼=0 получаем, что энергия отдельного электрона больше, чем в отсутствие действующих сил,

Анизотропия закона дисперсии носителей, несомненно, приводит к ани< зотропии рассеяния. Только в т-приближении при описании рассеяния одним скалярным параметром т анизотропия а и ц однозначно определяется анизотропией эффективных масс.——Прим. ред.

С учетом выражения для дрейфовой скорости (5.2), куда входит время релаксации импульса, получаем ^W^qE^Exw или

ДГ = -^ттт^Е2.(5.22)

Горячив электроны

Из приближения равновесных носителей A IF《Wq следует, что вследствие (5.22) в зависимости от величины времени релаксации электрическое поле должно быть достаточно мало.

Рис. 5.4. Временная зависимость изменений распределения импульса и энергии для электронного газа в сильном электрическом поле.

а — перед включением поля, Т^иТ; 6 —в поле возбуждена большая дрейфовая скорость и функция распределения деформирована, W > у kT\ в — через время «тт после выключения поля. Импульсы релаксировали, и = 0, энергия еще превышает начальную, Те > Т; а — через время 内雷犷 после выключения поля. Энергия также срелаксировала, Те = Т.

Это условие в эксперименте часто может нарушаться, особенно при низких температурах.

В этом случае говорят о теплых, или горячих электронах. Увеличение их энергии по сравнению с тепловой за счет работы внешнего поля описывается электронной температурой Те, которую мы определим следующим образом:

取⑼=^ 々Т,呼(£)= % + а呼曰^ kTet(5.23)

Если форма функции распределения не слишком меняется под действием приложенного поля, то имеет смысл описывать распределение энергии с помощью только одного параметра Те\

В приближении равновесных носителей электронный газ находится в тепловом равновесии с кристаллической решеткой, т. е.

Т©аТ, 0£)《％е11П・

Соответственно имеем приближение

теплые электроны: Те>Т vD « %enn,горячие электроны： Те》Т UD》UTenn・

На рис. 5.4 схематически показано изменение в распределении энергии и импульса электронного газа при приложении на короткое время очень сильного внешнего поля.

При рассмотрении процессов проводимости в приближении равновесных носителей говорят об упругом рассеянии электронов, поскольку средняя энергия электрона не меняется 1Гкнн = =3kT/2. Однако при этом в целом упругом рассеянии отдельное столкновение является неупругим, поскольку необходимо передать решетке среднюю энергию А呼=Fvdxw- Подробнее задача о горячих электронах рассматривается в [5.1, 5.2], а также в [1 力(с. 117).

Отклонения от закона Ома

Как было показано в п. 5.3.2, время релаксации импульса tm зависит от средней электронной энергии F, поскольку средняя скорость электронов и и, возможно, длина свободного пробега I есть функции энергии

rm = ^W) = l(W)/v(W).(5.24)

Поскольку во внешнем электрическом поле энергия электрона превышает тепловую энергию на А% то мы получаем зависимость времени релаксации импульса от поля Е

j(E)f (0) +箒 А%

и если выразить ^W через Е с помощью (5.22), то получим %п(Е)==Т/и ⑼ + 言巧n5r "3證严.(5.25)

Здесь tm(0) соответствует пределу слабых полей, т. е. приближению равновесных носителей. Для проводимости имеем фено-

менологическое соотношение

(5.26)

Теперь проводимость уже сама зависит от внешнего поля °(Е)=^[т„,(0) + ^ТщТМ普可.

В общем случае можно записать

0三%(1 +6严)，

氏砲^(5・27)

Зависимость а(Е) означает отклонение от закона Ома. Онофы- ражено тем ярче, чем больше время релаксации энергии.

〃S

Рис. 5.5. График зависимости / от £ с отклонением от закона Ома (а) и определение В из о (Е) (6)・

В зависимости от знака dxm/dW величина В либо положительна, либо отрицательна, т. е. проводимость либо возрастает, либо уменьшается (рис. 5.5). Экспериментально В определяют, откладывая отклонение а(Е) в зависимости от £2.

Примечание

При описании наблюдаемых отклонений от закона Ома В есть коэффициент разложения в первом порядке теории возмущений. Конечно, для интерпретации измерений могут потребоваться и разложения в более высоких порядках теории возмущений. Но при этом следует ожидать появления лишь четных степеней £, поскольку и должна быть симметричной функцией Е.

В заключение рассмотрим поведение проводимости для случая зависящей от энергии длины свободного пробега в пределе горячих электронов (vd 力 Утепл). Из соотношений vD = qEr/tn} т = l/ve

(Ue — скорость электронов), учитывая оценку для скорости электронов из кинетической энергии

吗=嗫^ +吟，(5・28)

получаем выражение для дрейфовой скорости

7 e (嗫+ 吟)% ,

Исследуем оба предельных случая

Равновесные носители Горячие электроны00《%6山，чg》итенл,

爲，и。4 (■£■£)"，629)

卩匸冬矗，卩=偿$)/‘・(5•30)

На рис. 5.6 показаны зависимости /(£) для двух различных

Рис. 5.6. График зависимости / от В для случая не зависящей от энергии и температуры длины свободного пробега.

значений температуры. В этом примере в пределе больших полей исчезает зависимость от температуры.

Задачи

Вычислить среднюю энергию вырожденного электронного газа при Т = 0.

В германии при Т =» 300 К наблюдается подвижность электронов 卩《= 4800 см2/В с. Каково время релаксации импульса (шп = 0,1/и0)? Какова дрейфовая скорость в поле Е = 1 В/см?

При какой напряженности поля добавка к энергии электрона одного порядка с тепловой энергией, если время релаксации импульса такое же, как Н в задаче 8.2; ёсли 弋犷亠 Ютш?

6 ХАРАКТЕРНОЕ ВРЕМЯ СТОЛКНОВЕНИЙ

В идеальном кристалле электроны как волны де Бройля распространяются без помех. Нарушение идеальной структуры из-за теплового движения атомов или из-за дефектов приводит к рассеянию электронов и, следовательно, к электрическому сопротивлению. Исходя из наглядного понятия эффективного сечения рассеяния, мы введем длину свободного пробега. Вычислим для некоторых специальных процессов рассеяния эффективные сечения рассеяния и время свободного пробега. В заключение обсудим суперпозицию нескольких процессов рассеяния и вклад различных типов носителей заряда.

Рассеяние волн в кристаллах

Если сначала представлять электроны как классические заряженные частицы, то удивительно, что их длина свободного пробега может быть больше атомных расстояний: ведь твердое тело состоит из плотно упакованных положительных и отрицательных зарядов.

Тем не менее в металлах и полупроводниках при низких температурах наблюдаются длины свободного пробега от 100 до 1000 атомных расстояний. Это объясняется волновым характером электронов. Если волна распространяется в пространственно-периодической среде (в нашем случае в кристаллической решетке) и имеется взаимодействие волны со средой, то возбуждаемые первичной волной отдельные узлы решетки излучают вторичные волны с хорошо определенной фазой, которые, интерферируя, складываются с первичной волной. В случае сильного взаимодействия это может привести к изменению фазовой скорости результирующей волны по сравнению со скоростью в вакууме, но не к изменению направления распространения. Такой процесс имеет место только в идеальной решетке, когда волновой вектор первичной волны по величине и направлению связан с периодичностью решетки таким образом, что волна может испытывать брэгговское отражение.

Если периодичность решетки каким-либо способом нарушается, то рассеянные на дефектах вторичные волны больше не складываются с первичной волной, так как теперь фазовые соотношения нарушаются. В результате первичная волна

отклоняется от первоначального направления. Это упругое рассеяние, поскольку меняется направление распространения, но не частота волны (рис. 6.1).

Наряду с этим могут происходить процессы неупругого рассеяния, если частота первичной волны является резонансной по

рассеяние

Рис. 6.1. а — волновой вектор первичной (ki) и вторичной (к2) волн при упругом и неупругом рассеянии.

6 ——распространение волны в периодической среде с дефектами для случая распространения вперед (0, 0, 0) и для брэгговского рефлекса (Л, kt Z).]

отношению к какому-либо процессу возбуждения среды, например если энергия электронной волны достаточна для переброса валентного электрона в зону проводимости или для ионизации дефекта.

Кроме того, имеются также процессы рассеяния, соответствующие классической теории эффекта Доплера. Если, например, узлы решетки, с которыми взаимодействует первичная волна, сами колеблются, то вторичные волны имеют другую частоту и другой волновой вектор (см. рис. 6.1).

Однако во всех случаях изменение волнового вектора Дк (соответственно импульса) и изменение частоты (соответственно энергии) вторичной волны по отношению к первичной обусловливаются взаимодействием с идеальной периодической ре・ щеткой.

Благодаря этой связи между рассеянием электронов проводимости и распространением волн в кристаллах мы рассматриваем только температурную зависимость интенсивностей рассеяния при брэгговском отражении рентгеновских лучей или волн де Бройля. По уменьшению интенсивности рассеяния вперед мы определим соответствующее сечение рассеяния. Из него можно затем по аналогии оценить рассеяние электронов проводимости.

Уменьшение интенсивности описывается фактором Дебая — Уоллера W.

При рассеянии вперед интенсивность брэгговского рефлекса (О, 0, 0) уменьшается с температурой по закону

J (Т) = / (0) ехр2 (―呼)“ / (0) (1 — 2步)(6.1)

при 取《1. Минимум между двумя рефлексами наоборот возрастает пропорционально 2M. При этом F определяется в основном отклонением узлов решетки от их идеального положения вследствие колебаний решетки (см. [1.4], с. 64):

取 4 (Аа/а)2(6.2)

(а — атомное расстояние, постоянная решетки).

Уменьшение амплитуды рассеяния вперед и вклад в рассеяние также определяются сечением рассеяния на колебаниях идеальной решетки. Это обстоятельство наводит на мысль заменить длину свободного пробега сечением рассеяния, которое вычисляется как для рассеяния частиц, так и для рассеяния волн.'

Сечение рассеяния и длина свободного пробега

Для определения сечения рассеяния рассмотрим элемент объема рассеивающей среды, в котором содержится ^ рассеивающих центров с некоторым сечением рассеяния S (рис. 6.2). В этом объеме через поперечное сечение Д проходит поток частиц или волна с интенсивностью /0. После прохождения ^ рассеивающих центров -интенсивность потока становится равной 八. Таким образом, потери на рассеяние равны

Л = /о — /【•(6.3)

сеянийсеянийIs /о i _ MS77=~~ = ~Is /о i _ MS77=~~ = ~(6.4)(6.4)Сечение рассеяния определим с помощью вероятности рас

сеяний

сеяний

Is /о i _ MS77=~~ = ~

Is /о i _ MS77=~~ = ~

(6.4)

(6.4)

После прохождения потоком расстояния, равного длине свободного пробега / или объема 4", вероятность рассеяния должна

быть равна 1. Число участвовавших в этом процессе рассеивающих центров определяется их заданной плотностью ns:

Итак, длина свободного пробега и сечение рассеяния связаны следующим образом:

Тем самым длина свободного пробега определяется плотностью и свойствами отдельного рассеивающего центра.

Рис. 6.2. Сечение рассеяния S и вероятность рассеяния А///。== A"S/5,△^ 8= nsALl,Рис. 6.2. Сечение рассеяния S и вероятность рассеяния А///。== A"S/5,△^ 8= nsALl,

Рис. 6.2. Сечение рассеяния S и вероятность рассеяния А///。== A"S/5,

△^ 8= nsALl,

Рис. 6.2. Сечение рассеяния S и вероятность рассеяния А///。== A"S/5,

△^ 8= nsALl,

В определение 1/т, обратного времени свободного пробега, входит еще скорость электронов:

(6.7)(6.7)*^ =争=и解А・

(6.7)

(6.7)

При рассмотрении определенных процессов рассеяния в следующих разделах мы будем всюду основываться на приближении равновесных носителей:

полупроводники, невырожденный электронный газ: ve = =“З^Т/т,

металлы, имеется вырождение: ve = (6 冗 2)"(力/加)(〃//*)% (Г*——qnc л о заполнения, ср. примечание на с. 18).

Рассеяние на нейтральных дефектах

Рассмотрим рассеивающий центр, сечение рассеяния кото； рого S = So не зависит от температуры и энергии рассеиваемого электрона. Таким образом определяется идеализированный рассеивающий центр. Термин «нейтральный» дефект означает, что заряд дефекта совпадает с зарядом атома регулярной решетки в отличие от «ионизованного» дефекта (см. разд. 6.5).

Итак, для длины свободного пробега имеем

/=1/%%,(6.8)

а для обратного времени свободного пробега

вполупроводнике: %〃£(好戶*(6.9)

вметалле: } = 〃sS()u尸〜Т°・(6.10)

С помощью аналогичного механизма рассеянияможноописать

остаточное сопротивление металлов с примесями (слабое легирование).

Рассеяние на фононах

В качестве простейшей модели рассмотрим для сечения рас* сеяния S = (Да)2 ^ 62 величину квадрата амплитуды колеба* ний идеальных узлов решетки (см. разд. 6.2).

Чтобы оценить 62, сделаем еще одно упрощение: заменим сложный фононный спектр набором осцилляторов, плотность которых равна плотности атомов иа, причем все осцилляторы имеют одну и ту же собственную частоту Q。 (модель Эйнштейна). Собственную частоту можно выразить также через дебаев* скую температуру 0:

弟三/Ш°・(6.11)

Такое приближение лучше всего описывает оптические фононы. Для акустических фононов это предположение приближенно правильно при высоких температурах Г > 0.

Степень теплового возбуждения этих осцилляторов описывается функцией Планка — Бозе — Эйнштейна ([1.4], с. 128):

Г = ―w~(6.12) exp (Шо/kT) — 1'/

Если мы не ограничиваемся оптическими фононами, то из-за нашего приближения мы можем рассматривать только предел высоких температур, Т》8:

呼=1 + 论 Ro/^T - 1 = 5(6.13)

Гармонический осциллятор с энергией возбуждения W совер шает колебания с амплитудой 6:

W = M^

(М — масса колеблющегося атома). При Г > 0 отсюда следует

一"尼夺.

(6.14)(6.14)(6.15)(6.15)сечение рассеяния и длину сво-

(6.14)

(6.14)

(6.15)

(6.15)

М够М够В этом приближении получаемВ этом приближении получаемРис. 6.3. Плотность состояний фононов в алюминии.Для сравнения приведена эйнштейновская линия, соответствующая 6 » 428 К, а также вклад d2 (Q) отдельных колебаний решетки в отклонения атомов при 300 К.Рис. 6.3. Плотность состояний фононов в алюминии.Для сравнения приведена эйнштейновская линия, соответствующая 6 » 428 К, а также вклад d2 (Q) отдельных колебаний решетки в отклонения атомов при 300 К.бодного пробега: ‘ = 7^；1

М够

М够

В этом приближении получаем

В этом приближении получаем

Рис. 6.3. Плотность состояний фононов в алюминии.

Для сравнения приведена эйнштейновская линия, соответствующая 6 » 428 К, а также вклад d2 (Q) отдельных колебаний решетки в отклонения атомов при 300 К.

Рис. 6.3. Плотность состояний фононов в алюминии.

Для сравнения приведена эйнштейновская линия, соответствующая 6 » 428 К, а также вклад d2 (Q) отдельных колебаний решетки в отклонения атомов при 300 К.

m加2m加2^ПаТ •(6.16)^ПаТ •(6.16)Для обратного времени столкновений получаем а) в полупроводнике:

m加2

m加2

^ПаТ •

(6.16)

^ПаТ •

(6.16)

〜严，

(6.17)

в металле:

i彌…・(б」8)

В этой простой модели не учитывается влияние колебаний решетки с частотой, меньшей Qo. Однако они дают существенный вклад в плотность состояний D(Q), как показано на рис. 6.3 на

примере алюминия. Вследствие малых характерных температур эти фононы возбуждаются гораздо больше, чем дает оценка в модели Эйнштейна. Отклонение 6 за счет колебаний решетки с частотой Q можно оценить из (6.12) и (6.14)

“⑼=1л^ ехр 伍Q/尼Т) -「*(6.19)

Однако ошибка в оценке вклада низкочастотных фононов (см. рис. 6.3) за счет высокотемпературного приближения (6.13) несколько компенсируется из-за малых волновых векторов фононов q (Озв — скорость звука):

а = Озв 仇 (6.20)

Они отклоняют отдельные электроны от их направления движения меньше, чем фононы с большими волновыми векторами (см. рис. 6.1,а), и тем самым слабо влияют на электронный ток.

Оценим теперь в рамках нашей модели проводимость полупроводника на примере полупроводника (германия) и металла (меди) и сравним с экспериментальными результатами. Для сечения рассеяния 3 = 62 из (6.16) при комнатной температуре (300 К) получаем

Soe = 0,бА2; Scu = 0,7A2,

а для длины свободного пробега

/ое = 46 А； /си = 1бА

(см. задачу 6.1).

С учетом тепловых скоростей (см. табл. 2.1) получаем из т = Z/Утепл время столкновений

TGe= 1,2 • 10~14 С； ТСц=1,0. 10~15 С.

Зная эффективные массы (тое = 0,1/По；团& =加0)и концентрации электронов 他,Ge= 1。7 см—； %% си = 〃а), получаем, наконец, проводимость (5.7):

*е(ЗООК) = 3,5(Ом • см)7; <гСи(300К) = 2,б • Ю4(Ом • см『・

Однако эксперименты дают более высокие значения проводимостей:

(TQe, эксп == 62 (Ом • СМ) ； UCu, эксп == 6,5 • 10^ (Ом • СМ) •

Это означает, что наша модель дает завышенное значение сечения рассеяния для германия в 18 и для меди в 2,6 раза.

В модели имелись две существенные ошибки: очень неточно учитывались фононный спектр и тепловое возбуждение фоно- нов, а для сечения рассеяния грубо полагалось 3 = 62.

Рассеяние на заряженных примесях

(ионное рассеяние, раосеяние Конуэлл—Вайскопфа)

Если в кристалле имеются атомы другой валентности, то они часто ионизуются уже при низких температурах, поскольку валентный электрон вследствие поляризации окружения связан слабее, чем в свободном атоме. За счет процессов ионизации примесные атомы могут иметь такое число электронов, что они легко займут место в узлах решетки основного кристалла, например для четырехвалентного Ge:

Ge"Asv ^ As+ + электрон (―) „донор",

Gam К Ga~ 十 дырка(+) „акцептора.

при низких температурах,при низких температурах,Рис. 6.4. а — рассеяние на потенциале 1/г (резерфордовское рассеяние), 6 — элементарный объем одного рассеивающего центра 1/п/.Рис. 6.4. а — рассеяние на потенциале 1/г (резерфордовское рассеяние), 6 — элементарный объем одного рассеивающего центра 1/п/.

при низких температурах,

при низких температурах,

Рис. 6.4. а — рассеяние на потенциале 1/г (резерфордовское рассеяние), 6 — элементарный объем одного рассеивающего центра 1/п/.

Рис. 6.4. а — рассеяние на потенциале 1/г (резерфордовское рассеяние), 6 — элементарный объем одного рассеивающего центра 1/п/.

Кроме заряженного узла решетки возникает еще свободный электрон или дырка.

Кулоновское поле примесного ионизованного атома в металлах полностью экранируется и не дает вклада в процесс рассеяния. В полупроводниках ионизованные атомы примеси, особенно даже в очень чистых кристаллах являются сильными рассеивающими центрами 】).

Для количественного описания воспользуемся аналогией с резер- фордовским рассеянием. В механике показано, что движущаяся точечная масса в потенциале 1/г рассеивается на гиперболическую траекторию. Асимптоты этой гиперболы, т. е. траектории до и после рассеяния, образуют угол рассеяния 0, который зависит от отношения потенциальной и кинетической энергии частицы (см., например, [6.1]):

(6.21)

Здесь %от(г)—максимальная потенциальная энергия, которую имела бы материальная точка, проходя мимо рассеивающего центра, не рассеиваясь; г ——так называемый параметр столкновения (рис. 6.4, а).

Мы рассматриваем только один электрон, рассеивающийся в кулоновском поле акцептора, находящегося в кристалле с диэлектрической проницаемостью е. Тогда для угла рассеяния 0 получаем

,G 12С,、

tg— =斤=—.(6.22)

22 4ле0ег mogг

Влияние этого отдельного рассеивающего центра распространяется достаточно далеко. Но в кристалле рассеивающие центры упакованы с плотностью %，. Припишем поэтому искус-

Хотя кулоновское поле примесных ионизованных атомов в металлах действительно экранируется, однако и в металлах при низких температурах примесные атомы являются главными центрами рассеяния. Экранировка проявляется, во-первых, в том, что сечение рассеяния на примесном атоме 0 а2, где а ——размер ячейки кристалла, а, во-вторых, в том, что доминирующая роль примесного рассеяния в чистых металлах проявляется при температурах в несколько градусов. — Прим, ред.

ственно каждому центру некоторый объем, в котором он оказывает влияние на движение электрона. Вне этого выделенного объема на электрон действуют соседние рассеивающие центры. Действительно, посредине между двумя рассеивающими центрами силы, действующие на электрон, уравновешены.

Каждый дефект находится в центре куба объемом 1 /и/ = =(2го)3. Цилиндрическая симметрия задачи о рассеянии поз-

Рис. 6.5. Вклад в плотность тока /1 в направлении вперед после процесса рассеяния.Рис. 6.5. Вклад в плотность тока /1 в направлении вперед после процесса рассеяния.

Рис. 6.5. Вклад в плотность тока /1 в направлении вперед после процесса рассеяния.

Рис. 6.5. Вклад в плотность тока /1 в направлении вперед после процесса рассеяния.

воляет выбрать в качестве элементарного объема цилиндр объемом 1/и/ (рис. 6.4,6)

春=几吟警=8疋春=几吟警=8疋(6.23)(6.23)

春=几吟警=8疋

春=几吟警=8疋

(6.23)

(6.23)

Сечение рассеяния определим через вероятность рассеяния, описываемую плотностями тока /:

(6.24)(6.24)/о —h = Sf

(6.24)

(6.24)

/о 一吟

Мы считаем все же, что не каждая частица исчезает после рассеяния. Более того, все отклонившиеся частицы, имеющие компоненту скорости, параллельную оси цилиндра, дают вклад в плотность тока 厶(рис. 6.5):

Рис. 6.6. Сравнение сечення рассеяния S/ ионизованных дефектов с сечением л*,Рис. 6.6. Сравнение сечення рассеяния S/ ионизованных дефектов с сечением л*,

Рис. 6.6. Сравнение сечення рассеяния S/ ионизованных дефектов с сечением л*,

Рис. 6.6. Сравнение сечення рассеяния S/ ионизованных дефектов с сечением л*,

а — невырожденный электронный газ: / — по формуле (6.29), 2 — учет экранирования по формуле Дебая — Хюккеля (пе = 〃/); 6 — вырожденный электронный г@з: / — по формуле (6.29), 2 — учет экранирования по формуле Томаса — Ферми.

Для вычисления интеграла выразим cos 0 через tg 0/2 в соответствии с (6.22)

ss 0 - 1 + tg 8/立产｝学•2.z0)

С учетом 2rdr = dr2 преобразуем интеграл к знакомому виду

/1 = /о(1-2^Е 修+1])・(6.27)

Из (6.27) и (6.24) получаем для эффективного сечения рассеяния на ионизованном дефекте

Sg =冗* • 2у1п« + 1);Sg =冗* • 2у1п« + 1);金=，丄喉（Г0）yг0 12叭нн丿金=，丄喉（Г0）yг0 12叭нн丿

Sg =冗* • 2у1п« + 1);

Sg =冗* • 2у1п« + 1);

金=，丄喉（Г0）yг0 12叭нн丿

金=，丄喉（Г0）yг0 12叭нн丿

6.6,6 для вырожденного6.6,6 для вырожденногоные на нескольконые на несколькопорядков, попорядков, пот,кf •Рис. 6.7. Температурная зависимость сечения рассеяния ионизованных дефектов./ — п^ = Ю12 см-3;2 — % ==* 1014 см-з； з — q = Ю16 см-3; сплошные кривые — уравнение (6.29), штриховые кривые — с учетом экранирования Дебая —Хюккеля.т,кf •Рис. 6.7. Температурная зависимость сечения рассеяния ионизованных дефектов./ — п^ = Ю12 см-3;2 — % ==* 1014 см-з； з — q = Ю16 см-3; сплошные кривые — уравнение (6.29), штриховые кривые — с учетом экранирования Дебая —Хюккеля.

6.6,6 для вырожденного

6.6,6 для вырожденного

ные на несколько

ные на несколько

порядков, по

порядков, по

т,кf •

Рис. 6.7. Температурная зависимость сечения рассеяния ионизованных дефектов.

/ — п^ = Ю12 см-3;2 — % =

=* 1014 см-з； з — q = Ю16 см-3; сплошные кривые — уравнение (6.29), штриховые кривые — с учетом экранирования Дебая —Хюккеля.

т,кf •

Рис. 6.7. Температурная зависимость сечения рассеяния ионизованных дефектов.

/ — п^ = Ю12 см-3;2 — % =

=* 1014 см-з； з — q = Ю16 см-3; сплошные кривые — уравнение (6.29), штриховые кривые — с учетом экранирования Дебая —Хюккеля.

Вводя постоянную Ридберга R^ = е；/4冗8°。0, сравним сечение рассеяния с атомным сечением ла§ (а0 — боровский радиус)

(6.29)(6.29)Si=冗心7^-m(T+ 1)■

(6.29)

(6.29)

® %кнн 、Y 丿

Эти сечения рассеяния приведены на рис. 6.6, а для невырожденного (呼кнн = з/2论7) и на рис. 「с ~

(Ц7КИН = WF) электронного газа. В широком интервале температур и концентраций Sf меньше лг§, так что произвол в обрезании сечения несуществен.

Более точные теории ([6.2], с. 185) учитывают экранирование кулоновского потенциала дефектов. Тем самым исключается дальнодействие и нет необходимости использовать радиус обрезания го. Для сравнения на рис. 6.6 показано влияние экранирования.

В сечение рассеяния (6.29) вместо функции у 〜/•丁2 входит аналогичный параметр у 〜厶一艾 В зависимости от того, вырожден электронный газ или нет, L есть длина экранирования Дебая — Хюккеля или Томаса —Ферми (см. разд. 9.4). Результаты нашей модели (6.29) достаточно хороши для предела низкой концентрации в случае невырожденного электронного газа (см. рис. 6.6, а). Для больших концентраций и в случае вырождения мы получаем результаты, завышен-

скольку радиус действия неэкрани-

рованного рассеивающего центра

намного больше, чем экранированного. Сечения рассеяния на ионизованном дефекте на много порядков больше, чем на фононах (5ф0Н^ Ю'1^?, разд. 6.4). Поскольку, однако, концентрация па дефектов на много порядков ниже концентрации колеблющихся основных атомов, то в целом рассеяние на ионизованных дефектах имеет значение только при низких температурах.

В невырожденном электронном газе сечение рассеяния не зависит от концентрации электронов 几近 Концентрация дефектов «/ входит только через функцию 1口(1/丫+1), которая слабо меняется от 2 до 10 (см. задачу 6.5). Это видно по слабой зависимости S? от концентрации на рис. 6.6, а. Поэтому приближенно считают сечение S, не зависящим от концентрации и пропорциональным 听設. Справедливость такого приближения видна из рис. 6.7.

В рамках этого приближения получаем для времени релаксации импульса

Из (6.29) и (5.17) имеем для подвижности " = дт//п:

'冗欣Rs 加*41n (1 + 1/y) *

Последний множитель порядка 1.

В разд. 6.4 для сечения рассеяния на колеблющемся атоме решетки Ge при 300 К мы получили See ^ 0,5 А2. Это намного меньше сечения рассеяния на ионизованном дефекте. Из рис. 6.6, а при концентрации дефектов 1016 см-3 при 300 К получаем Sf 5 • 103ла§ ^ 9 • 103SGe. Тем не менее при 300 К преобладает рассеяние на фононах, поскольку концентрация атомов основной решетки составляет 1022 см~3, а концентрация ионизованных дефектов—1016 см~3. При низких температурах, наоборот, преобладает рассеяние на ионизованных дефектах (см. также с. 59).

Рассеяние горячих электронов

В разд. 5.6 для описания отклонений от закона Ома вводился коэффициент § [см. (5.27) ]. Измерения нелинейных вольт-амперных характеристик позволяют определить доминирующий процесс рассеяния из зависимости импульсного времени релаксации от энергии.

Из (5.16) получаем для зависимости времени релаксации импульса от энергии

dxm _ d"(加/2К)%1 _ /亠(Jl

dW ——並丿，丿

При рассмотрении примеров рассеяния на нейтральных дефектах (6.9) и на фононах (6.17) получаем, что в невырожденном полупроводнике вследствие зависимости длины свободного пробега от энергии коэффициент В отрицателен»

в =—卄・(6.33)

6〜呼%.6〜呼%.При рассеянии на ионизованных дефектах наоборот: если справедливо приближение (6.30), то величина В положительна,

6〜呼%.

6〜呼%.

(6.34)

На рис. 6.8 представлены результаты измерений в и-германии с различным уровнем легирования. В слабо легированном образце (п = 4 -1014 см~3) происходит рассеяние на акустических

О 1002003004%-500600吃6%第2 О 1002003004%-500600吃6%第2 Рис. 6.8. Подвижность горячих электронов в германии.В слабо легированном образце (п = 4 • 1014 см-3) преобладает рассеяние на акустических фононах (/： 90 К, 2: 77 К), в сильно легированном (п = ==2 • 1016 см-3) — на ионизованных дефектах (3: 90 К, 4: 77 К) [6.3].Рис. 6.8. Подвижность горячих электронов в германии.В слабо легированном образце (п = 4 • 1014 см-3) преобладает рассеяние на акустических фононах (/： 90 К, 2: 77 К), в сильно легированном (п = ==2 • 1016 см-3) — на ионизованных дефектах (3: 90 К, 4: 77 К) [6.3].30 ^IS430 ^IS4

О 1002003004%-500600

吃6%第2

О 1002003004%-500600

吃6%第2

Рис. 6.8. Подвижность горячих электронов в германии.

В слабо легированном образце (п = 4 • 1014 см-3) преобладает рассеяние на акустических фононах (/： 90 К, 2: 77 К), в сильно легированном (п = ==2 • 1016 см-3) — на ионизованных дефектах (3: 90 К, 4: 77 К) [6.3].

Рис. 6.8. Подвижность горячих электронов в германии.

В слабо легированном образце (п = 4 • 1014 см-3) преобладает рассеяние на акустических фононах (/： 90 К, 2: 77 К), в сильно легированном (п = ==2 • 1016 см-3) — на ионизованных дефектах (3: 90 К, 4: 77 К) [6.3].

30 ^IS4

30 ^IS4

фононах, а в сильно легированном (п = 2-1016 см~3) преобладает рассеяние на ионизованных дефектах ([1.7], с. 122, [6.3]).

Комбинация процессов рассеяния

В общем случае возможны несколько процессов рассеяния, из которых не обязательно один доминирует. Если центры рассеивают свободные электроны независимо друг от друга, то полное сечение рассеяния S объема V является суммой отдельных сечений Sv (ср. с разд. 6.2):

^полн =不 Sy・(6.35)

Это — правило Маттиссена. Уже на примере ионизованных дефектов мы видели (разд. 6.5), что рассеивающие центры не всегда являются независимыми. В этом примере область действия лГд отдельного центра определялась расстоянием между соседними центрами.

Правило Маттиссена можно описать другим способом. Для длины свободного пробега имеем

}=九5 + n2s2 +・・・н，： + * +・・・・

С учетом того, что /v = verv, получаем отсюда аддитивность обратных времен релаксации 1/т:

；=書+ ；+・・・,(6.36)

"полн"2

или для ц = ^т/т:

—^― = —+ —+ ...(6.37)

М-полн м-1м-2 '''

и, наконец, аддитивность составляющих сопротивлений р = =(初卩)T

Рполн = Pl + Р2 +・(6.38)

Комбинацию различных процессов рассеяния можно описать также с помощью последовательно включенных сопротивлений (рис. 6.9).

Рис. 6.9. Правило Маттиссена: аддитивность процессов рассеяния.

На рис. 6.10 показан пример двух процессов рассеяния для полупроводника германия. При низких температурах преобладает рассеяние на ионизованных дефектах,卩〜Т”, при высоких—на акустических фононах,卩~

В качестве примера аддитивности сопротивлений в металлах рассмотрим остаточное сопротивление, рассеяние на нейтральных дефектах, например примесях или геометрических дефектах решетки, наряду с рассеянием на фононах.

Сечение рассеяния на фононах мы считали равным квадрату смещений узлов решетки. В модели Эйнштейна из (6.12) и (6.14) получаем

SgH =丽識戸•爲* (6.39)

Для длины свободного пробега /фон = 1/иа5фоа при Т》8 получаем линейную зависимость

嘖三3冷ZTiH

50 WO 200

aeQZWEJ

Рис. 6.10. Комбинация процессов рассеяния в германии.

При низких температурах преобладает рассеяние на ионизованных дефектах, при высоких — рассеяние на акустических фононах [6.4].

Рис. 6.11. Комбинация процессов рассеяния в металле.

Остаточное сопротивление различных образцов золота [6.6].

議eхр(一⑺.議eхр(一⑺.При низких температурах, наоборот, получаем асимптотическое исчезновение рассеяния

議eхр(一⑺.

議eхр(一⑺.

(6.40)

Примечание

Учет реальной фононной структуры (см., например, рис. 6.3) и угла рассеяния дает асимптотическое поведение 1//ф0Н ~ ~ Г6 (см., например [6.5], с. 197).

Фактически асимптотическое поведение определяется конечным «остаточным сопротивлением», которое зависит от чистоты кристалла и наличия в нем дефектов (рис. 6.11). Это можно описать с помощью процесса рассеяния, сечение которого не зависит от температуры, как уже было сделано для нейтральных дефектов (6.8). Тогда полное сопротивление имеет вид

РполнРполн0* + Рф。广裁&+±)・0* + Рф。广裁&+±)・(6.41)(6.41)

Рполн

Рполн

0* + Рф。广裁&+±)・

0* + Рф。广裁&+±)・

(6.41)

(6.41)

Одновременный учет вкладов от различных носителей заряда

Сложное взаимодействие совокупности электронов с атомами остова можно описывать с помощью понятия квазисвободных

электронов, если мы будем их характеризовать определенной Еэффективной массой и заря-

+а— дом (электроны и дырки).

Поэтому даже в твердых 匕 у 「 О г » R телах с чисто электронной Jпроводимостью необходимо

Рис. 6.12. Вклад в ток различных типов заряженных носителей.Рис. 6.12. Вклад в ток различных типов заряженных носителей.учитывать при рассмотрении явлений переноса различные типы носителей заряда, как в электролитах (анионы, катионы) или в газовой плазме (электроны и ионы). Различными носи

Рис. 6.12. Вклад в ток различных типов заряженных носителей.

Рис. 6.12. Вклад в ток различных типов заряженных носителей.

телями заряда при электронной проводимости являются либо электроны (—^о, frin, п) и дырки (е0, тр, р), либо электроны (соответственно дырки) с различной эффективной массой (—^0； ГПп1,九 1； 7nzi2,几2)・

В зависимости от знака заряда направление дрейфовой скорости в электрическом поле может быть разным, но составляю-

щие токи тем не менее направлены в одну сторону (рис. 6.12) v« = %Е = —Е; j〃 = 一 (％) nv小

；t(М2)

vp = gpE = —^- E;］产%叫.

Полная плотность тока равна сумме плотностей составляющих токов, например:

1полн = j〃 + jp = ?孤(^ + р ^ ) Е・ (6.43)

В общем случае отсюда следует аддитивность составляющих проводимостей

%"н = 5 + °2+ 一…(6.44)

Такое сложение вкладов от различных типов носителей можно схематично представить как параллельное включение проводников (рис. 6.13).

Реальное твердое тело с различными типами носителей за* ряда и разными процессами рассеяния описывается, таким об* разом, сложнойz схемой (рис. 6.14). • Поэтому при анализе

Рис. 6.13. Аддитивность вкладов в полный ток различных носителей заряда.Рис. 6.13. Аддитивность вкладов в полный ток различных носителей заряда.Рис. 6.14. Эквивалентная схема для слож* ного механизма проводимости.Рис. 6.14. Эквивалентная схема для слож* ного механизма проводимости.

Рис. 6.13. Аддитивность вкладов в полный ток различных носителей заряда.

Рис. 6.13. Аддитивность вкладов в полный ток различных носителей заряда.

Рис. 6.14. Эквивалентная схема для слож* ного механизма проводимости.

Рис. 6.14. Эквивалентная схема для слож* ного механизма проводимости.

отдельных процессов рассеяния экспериментатору рекомендуется выбирать образцы и интервалы температур, в которых прово* димость обусловлена каким-либо одним процессом.

Задачи

Вычислить абсолютное и относительное смещение атомов от положе* ния равновесия в модели Эйнштейна для германия и меди при 300 К・ Характерная температура фонойов 0Ge — 400 К, Оси = 315 К (другие необходимые параметры имеются в задачах 2.1, 2.2).

Найти плотность состояний 力(Q) фононов, для которых Q н g связаны между собой постоянной скоростью звука, при 0 V g W 冗/а (а ——постоянная решетки). Использовать для этого (2.4), где заменить р на 也仏

Каково должно быть время ускорения электрическим полем Е = 1 В/см электрона проводимости в германии, чтобы изменение его импульса соответствовало волновому вектору продольного акустического фонона с частотой 1 ТГц? (Скорость продольного звука 力^ = 4580 м/с.)

Вычислить изменение энергии электрона (m* = О,1то), ускоряемого электрическим полем, описанным в задаче 6.3. (В начальный момент времени электрическое поле перпендикулярно скорости электрона!) Какова по сравнению с ней величина энергии фонона, рассмотренного в задаче 6.3?

Вычислить функцию In (1/у + 1) для вырожденного и невырожденного электронного газа при ni = ne = 1012 ... 1018 см-3 и Т = 3 ... 300 К (модель германия: m* = O,lwo, е = 16).

Из рис. 6.10 для германия при низких температурах следует для подвижности 卩 ~ Т%. Вычислить, исходя из этих данных, с помощью упрощенной формулы (6.31) концентрацию дефектов.

Для германия при 90 К Ганн нашел нелинейный закон изменения проводимости с коэффициентом Р = —3 -10~5 см2/В2 (рис. 6.8). Каковы времена релаксации энергии и импульса, если считать, что длина свободного пробега, как мы оценивали в разд. 6.4, примерно равна 800 А?

7. СТАТИЧЕСКАЯ ПРОВОДИМОСТЬ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

В магнитном поле электроны под действием силы Лоренца движутся по круговым орбитам, орбитам Ландау. Таким образом, движение электронов остается свободным только в направлении магнитного поля, в перпендикулярной плоскости электроны локализованы. Если пренебречь рассеянием, то в скрещенных электрическом и магнитном полях существует дрейф электронов в направлении, перпендикулярном обоим полям. При наличии рассеяния наблюдаются эффект Холла и магнетосопротивление. Измерение эффекта Холла является одним из важнейших методов разделения зависимостей проводимости от подвижности носителей и их концентрации. Если в твердом теле существуют одновременно электроны и дырки, то в эффект Холла они дают вклады противоположного знака,

Циклотронное движение

Если имеется компонента поля В, перпендикулярная направлению скорости электрона, то магнитное поле за счет силы Лоренца создает радиальное ускорение электрона и

—m ((» X V)+ ?(V X В) = 0.(7.1)

Сила инерции Сила Лоренца*

Таким образом, электрон движется по круговой орбите с угловой скоростью

⑧r-营"В，(7.2)

Направление движения определяется знаком заряда (рис. 7.1). Частота вращения называется частотой циклотронного резонанса

s产話 В.(7.3)

Поскольку эта частота имеет фундаментальное значение, рассмотрим ее положение в спектре и сравним 负恤 с другими энергиями.丁

Рис. 7.1. Направление вращения и диамагнитный момент при циклотронном движении (орбита Ландау).а — левый винт, 6 — правый винт отно・ сительно В.Рис. 7.1. Направление вращения и диамагнитный момент при циклотронном движении (орбита Ландау).а — левый винт, 6 — правый винт отно・ сительно В.

Рис. 7.1. Направление вращения и диамагнитный момент при циклотронном движении (орбита Ландау).

а — левый винт, 6 — правый винт отно・ сительно В.

Рис. 7.1. Направление вращения и диамагнитный момент при циклотронном движении (орбита Ландау).

а — левый винт, 6 — правый винт отно・ сительно В.

Для свободного электрона (/п* = /По) в поле 1 Т имеем &= 1,76・ 10【％т, 力= 28,0 ГГц, X. ==1,07 см,

Й®＜； = 0,12 мэВ = ^・1,ЗК

(1Т 全 0,1 мэВ^1К^1 см-】合3・10〔° Гц).

В магнитном поле В = (0, 0, В) электрон в плоскости (ху) локализован на орбите Ландау, однако компонента скорости vg

остается без изменений.

Полная кинетическая энергия складывается из энергий вращения и поступательного движения:

^кин = ^врапх + -7^. (74)

Электрон остается свободным только в одном измерении.

Энергия и радиус орбиты

В отсутствие движения вдоль оси z полная кинетическая энергия есть энергия вращения

J = r2m — момент инерции электрона на орбите, L = J®c — соответствующий момент вращения.

Радиус орбиты зависит от кинетической энергии или от скорости движения по орбите:

(7.6)(7.6)г = u/生.

(7.6)

(7.6)

При квантовомеханическом рассмотрении движения электрона в магнитном поле (см. [1.3], т. 1, с. 29, [7.1], с. 214) оказывается, что разрешенными являются лишь дискретные значения анергии. Поскольку движение по окружности является гармо.

ническим, то эти значения по структуре совпадают с энергией гармонического осциллятора

%paui =力观(4* + 〃)；几=0, 1, 2... .(7.7)

Это и есть уровни Ландау. Им соответствует квантование момента вращения L =力(1 三 2n) ； n = 0, 1, 2 ... .

С учетом условия квантования из соотношения

получаем допустимые значения радиусов орбит

(7・8)(7・8)%П备(1 +2*

(7・8)

(7・8)

Удивительно, что гп зависит только от В, но не зависит от массы ml Для основного состояния (и = 0) получаем

В=1Т,го = 257А,

В = ЮТ,г。= 81 А,

В ®= 2 • 103Т, г。= а。= 0,53А.

Магнитный момент электрона на орбит© Ландау

Если рассматривать движение электрона по (Орбите Ландау как индуцированный круговой ток /, то соответствующий магнитный момент равен

Pm = М-о^^*(7・9)

Пусть период равен Гс, тогда для тока получаем / = е^Т0 = ==е0coe/2冗・ Вместе с выражением для площади орбиты Лд« = лт^ = (л%/е0В) (1 + 2%) это приводит к соотношению

PmH-^^oQ +2%)・

Здесь eQh/2tnQ •— магнетон Бора 卩5 = 9,3・10一24 Вт ・ с/Т. Для диамагнитного вклада электрона в кристалле, движущегося по орбите Ландау, получаем, что магнитный момент не зависит от магнитного поля и знака заряда (см. рис. 7.1) i

pm=出%*^ +2%).(7.10)

Величина парамагнитного вклада от спина электрона совпадает epmXne-O).

Время жизни электрона на орбите Ландау

Заметного влияния квантования Ландау на поведение электронного проводника в магнитном поле можно ожидать только в случае, когда электроны достаточно быстро вращаются по орбите, т. е. если

限t》1・(7.11)

Поэтому мы сравним сос (В=1Т) = 2・10“ с-1 с частотами столкновений в полупроводниках и металлах (рассеяние на фононах)

ПолупроводникМеталл

300К,105,10%т,

ЗК,10%т,Ю13^1,

т. е. в полупроводникепри 3 Кмежду двумя столкновениями

электрон успевает сделать около 20 оборотов на орбите. Поскольку (0с = еВ//и*, то квантование Ландау особенно хорошо наблюдается в сильных магнитных полях и для малых эффективных масс.

Условие (7.11) можно записать также, выделив подвижность 卩=e%/m:

卩B》l・(7.12)

Правда, средняя частота столкновений 1/т дрейфующего электрона, входящая в определение токовой подвижности 卩，не обязательно описывает время жизни электрона на орбите Ландау.

Свободный электрон в скрещенных постоянных электрическом и магнитном полях

Рассмотрим классический свободный электрон, движущийся без соударений (т-> оо) под действием постоянного электрического поля Е = (—Е, 0,0), перпендикулярно которому приложено магнитное поле В = (0, 0, В). В модели Друде — Лоренца (4.1) имеем.

mv = g(E +vXB),

или в компонентах

mvx = g (— Е + %В),

mvy = g (— vxB)t(7.13)

mbz = 0.

Поскольку движение вдоль оси z является свободным, будем считать vz = 0. Для электрона (д = —во) получаем

^ = ~^ —— Bvy или vx = oc^ — ^cvyi

% = ^в0% или % =叫0%.

Решение описывает дрейф электрона, перпендикулярный обоим полям. Сначала электрическое поле Е ускоряет электрон в направлении %. С ростом скорости под действием силы Лоренца

траектория движения электрона искривляется так, что элек、 трон начинает двигаться в противоположном Начальному на、 правлении и тормозится электрическим полем. Затем скорость его обращается в нуль и исчезает действие силы Лоренца. Элек*

трон останавливается и процесс начинается сначала (рис. 7.2).

Для решения неоднородной системы дифференциальных уравнений (7.14) подстановкой v^vy—vQi где и。三 Е/В, приводим систему к однородной:'

力=一吗%, % =吗%，

Рис. 7.2. Траектория движения электрона в скрещенных полях.Рис. 7.2. Траектория движения электрона в скрещенных полях.Дифференцируя, разделяем пере* менные:Дифференцируя, разделяем пере* менные:Общее комплексное решение имеет видОбщее комплексное решение имеет видб； = Зоехр/со/,限=瑞=%

Рис. 7.2. Траектория движения электрона в скрещенных полях.

Рис. 7.2. Траектория движения электрона в скрещенных полях.

Дифференцируя, разделяем пере* менные:

Дифференцируя, разделяем пере* менные:

Общее комплексное решение имеет вид

Общее комплексное решение имеет вид

т. е. получаем движение по окружности в плоскости и%, v*.

С учетом начального условия v (/ = 0) = (их0, и^о, 0) определим действительные скорости

и% 优)=—(%о — 5)sin (соJ) + vxQ cos (со/),(7.15)

匕⑺=5 + 9川—Vo) cos (co/) + %o sin (s/)・

Эти скорости соответствуют движению по циклоидам, т. е. на равномерное движение со скоростью Vo = Е/В вдоль оси у накладывается вращение в плоскости ху с угловой скоростью 9G и линейной скоростью

絞=(%-%0)2+ 嗫， (7.16)

Примечание

Траектории соответствуют движению точки по наружной поверхности кольца, вращающегося с угловой скоростью(dc на цилиндре (рис. 7.3).

Рис. 7.3. Движение электрона в скрещенных полях, механический аналог образования циклоид.

Траектории при разных начальных скоростях

Если и0 ^ 0, т. е. Е = 0 или 8 очень велико, получаем 々и。】). Скорость движения по орбите v = осга зависит только от начальных условий, т. е. не зависит от В: аналогично ведет себя и та (рис. 7.4,а).

Если и%о = О и VyQ = 0, то 「0 =厶・ В этом случае выполняется соотношение v — Vq = Е/В; трансляционная скорость равна скорости движения по окружности (рис. 7.4,6). Первоначально покоившийся электрон дрейфует в направлении, пер~ пендикулярном обоим полям.

Если и*о = О, VyQ = и0, то га = 0. Траектория движения — Прямая линия. Так ведет себя „средний44 дрейфующий элек* трон в эффекте Холла: Е = %В (см. п. 7.3.1).

Если и*о = 0, a VyQ * 0, то при vyQ < 0 или vyQ > 2ц) Имеем % > 门 и и > % соответственно; если 0 <vyQ< 2и0, то rd < Г/ и V <vQ (рис. 7.4, 6). Для vx0 #= 0 получаем топологи*

')Значение 门 указано на рис. 7.3. — Прим, ред.

начало координат ранее точкой траек-начало координат ранее точкой траек-Рис. 7.4. Циклоиды для движения электрона в скрещенных полях (Е JL В).а — очень сильное магнитное поле, и。4 0; 6 — первоначально покоящийся электрон, и。# = 0 и %у = 0; в — произвольное начальное значение скорости и > “・Рис. 7.4. Циклоиды для движения электрона в скрещенных полях (Е JL В).а — очень сильное магнитное поле, и。4 0; 6 — первоначально покоящийся электрон, и。# = 0 и %у = 0; в — произвольное начальное значение скорости и > “・чески аналогичные кривые, только теперь не совпадает с выбранной нами тории.

начало координат ранее точкой траек-

начало координат ранее точкой траек-

Рис. 7.4. Циклоиды для движения электрона в скрещенных полях (Е JL В).

а — очень сильное магнитное поле, и。4 0; 6 — первоначально покоящийся электрон, и。# = 0 и %у = 0; в — произвольное начальное значение скорости и > “・

Рис. 7.4. Циклоиды для движения электрона в скрещенных полях (Е JL В).

а — очень сильное магнитное поле, и。4 0; 6 — первоначально покоящийся электрон, и。# = 0 и %у = 0; в — произвольное начальное значение скорости и > “・

Независимо от начальной скорости электрон дрейфует со скоростью uq = Е]В перпендикулярно к Е и В.

Разогрев электронов электрическим полем при В耍0

Хотя мы не рассматриваем столкновений, в случае скрещенных полей электрическое поле может разогреть электронный газ только ограниченно, поскольку электроны на траекториях, искривленных магнитным полем, то ускоряются, то тормозятся.

Чтобы оценить ограничение роста кинетической энергии, рассмотрим квадрат дрейфовой скорости движения по траектории (7.15).

%pmФ =吸 + % =吧0 + (%О一 v0)2 +

+ % + 2% (и即一％) cos W + 2%%0 sin W. (7.17)

Тогда среднее значение равно

码=而引+ 2%(1 一鲁).(7.18)

Итак, первоначально покоившийся электрон [и (/ = 0) = 0] мо・ жет приобрести среднюю кинетическую энергию

解师=^%^ =m(40)(7.19)

По аналогии с ограничением разогрева в электрическом поле за счет столкновений определим в соответствии с (5.22)儿аа・ нитное бремя релаксации tc：

叭 НН=М^)=讐*

М ==(7・20)

& соответствует времени релаксации знергнн】).

Эффект Холла

Рассмотрим газ свободных электронов в кристалле, находящийся в магнитном поле В = (0, 0, В) и произвольно направленном электрическом поле Е = (Е%, Ед, Е0・ Запишем опять уравнение Друде — Лоренца (4.1)

mi + g V = q (Е + V X В), или в компонентах

mvx + ^vx = q (Е% + %8),

^у + Т % = g (斗 一 vxB)9

mvz + ^pz = qEz.(7.21)

4) Конечно, время тс = 1/сос' не описывает никакой релаксации: 2лгс есть период обращения электрона вокруг магнитного поля. Формула длд 犷&却 носит чисто иллюстративный характер. — Прим. ред.

Решение для длинных проводников

Рассмотрим сначала проводник с постоянным поперечным сечением, имеющий вдоль оси у произвольно большую длину

Рис. 7.5. К возникновению эффекта Холла.

(рис. 7.5). В таких условиях постоянный ток возможен только в направлении у 】)

Vq = (0, %, 0).(7.22)

Нас интересует вопрос, какова напряженность возникающего поля Е, если задана скорость v。，или плотность тока j = ^nvD:

0 = «(£% +%8); ?% = д旦；0 = qEz,(7.23)

Для поля получаем

Е = (-%В, %^, 0).(7.24)

Примечание

Ток будет направлен вдоль оси у, если электрическое поле Ех, перпендикулярное направлению дрейфа электронов, будет компенсировать силу Лоренца. Это поле создается пространственными зарядами. Оно называется полем Холла

Е* = — VyB = Ен.(7.25)

Величина поля Холла не зависит от типа носителей заряда (рис. 7.6).

Чтобы компенсировать влияние столкновений, т. е. чтобы vy постоянно была бы направлена вправо, необходимо в направлении тока приложить поле Еу. Тогда для скорости получаем выражение

% = * тЕу =卩斗・(7.26)

Когда по проводнику течет постоянный ток, $ m “ — Прим» ре0・

В это уравнение не входит магнитное поле, т. е. в данной модели магнетосопротивление отсутствуем

ВВРис. 7.6. Эффект Холла при примесной проводимости*Рис. 7.6. Эффект Холла при примесной проводимости*

В

В

Рис. 7.6. Эффект Холла при примесной проводимости*

Рис. 7.6. Эффект Холла при примесной проводимости*

Примечание

Как было показано в разд. 7.2, условие (7.25) vD = Ен]В справедливо независимо от начальной скорости отдельного электрона. Именно поэтому применима модель Друде — Лоренца, т. е. описание электронного ансамбля с помощью «среднего» электрона.

Угол Холла

Влияние магнитного поля мы оцениваем, сравнивая, поле Холла с тянущим полем. Определим угол Холла

tg§H0EJEy = ——-5 = — Н5 =—訂，(7.27)

где ©J = qB/tn (ср. ос = ^В//п, ^с = е^В1тХ).

Эффект Холла определяется свойствами «среднего» электрона, он не зависит от концентрации (ср. п. 7.3.3).

Макроскопически угол Холла описывает искривление силовых линий электрического поля (или эквипотенциальных поверхностей) под действием магнитного поля (рис. 7.7), микро-

скопически (tg ^я = — со* • т)— часть орбиты Ландау, которую

в среднем проходит электрон между двумя столкновениями.

Знак определяется знаком носителей заряда и позволяет таким образом различить электронную и дырочную проводимости.

Количественная оценка угла Холла: если В = 1 Т, /п* =恤, то о)с = 1,8-1011 с-1. При 300 К имеем

Полупроводник Металл1/тЮ1^-110%т

tg6“2 ・ КГ?2 ・ КГ，

При очень малых углах Холла, например в полупроводниках и металлах с низкой подвижностью, 'наблюдение малых отклонений эквипотенциалей очень затруднено.

Постоянная Холла

Поле Холла Ен возникает в магнитном поле из-за наличия у электронов дрейфовой скорости и。. Макроскопически, однако, измеряют ток, соответствующий плотности тока / = qnvD = 8= qn^Ey. Поэтому Е” определяют через / и вводят постоянную Холла

邑= tg§H・Ey = tg 中н •备’

%=一RhB ， j, Rh =(7.28)

Вследствие нормировки на плотность тока постоянная Холла зависит от концентрации, но не зависит от подвижности но* сителей!

Измеряя напряженность поля Е〃, плотность тока / и магнитное поле В, мы можем определить из эффекта Холла знак и концентрацию носителей

g • 〃 = —^-^ •(7.29)

Измеряя две напряженности Е〃，ED и магнитное поле В, можно определить заряд и подвижность носителей

Измерение эффекта Холла

Мы здесь не можем подробно обсуждать технику измерений эффекта Холла. Трудности заключаются в получении однородного тока, измерении малых напряжений, получении низкоомных

контактов, устранении термонапряжений и т. д. На эту тему имеется обширная литература (см., наприме)р, [7.2]).

Рис. 7.8. Геометрия при измерениях проводимости и эффекта Холла. I ——расстояние между контактами при измерении “.

Ниже мы только приведем формулы, связывающие измеряемые величины (/, UDj О”，В, /, d,九)со свойствами мате* риала (о, &, tg 6“)・ При этом будем предполагать, что ток однородный (рис. 7.8):

I = jdh; UD = ^ Еуdy = EDl; Uh = \ Exdx = EhH

tg ^я = £^* = 77^ * ~， tg% = —jxB,(7.31)

Rh = — Ен/JB = 一 UhWIB; Rh = 1/协，(7.32)

er = j/^D = 〃/。d d%, о = ^пц(7.33)

н oR =№(7.34)

Спектроскопически© параметры

Определение микроскопических величин т, п, д, т из измерений зависит от выбранной модели. Например, модели, более точные, чем модель Друде — Лоренца, дают дополнительные поправки, которые зависят от способа усреднения по электронному распределению. Более удобны поэтому 《спектроскопиче* ские параметры^, поскольку их можно измерять непосред* ственно. Имеется следующая связь между микроскопическими и спектроскопическими параметрами:

2№

п — концентрация f со； = -^*— плазменная частота,

т — время свободного пробега -> сот=1/т— частота столкновений, m — эффективная масса ->сос = -^ — циклотронная частота.

Если выразить макроскопические величины через спектроскопические параметры, то получим

Время свободного пробегат = 1/%,Удельное сопротивлениеР = %/%%,(7.35)УголВремя свободного пробегат = 1/%,Удельное сопротивлениеР = %/%%,(7.35)УголМагнитное время свободного пробега%=1但.(7.35：)Холловское сопротивление%、В = ®杷繕.(7.36)ХоллаМагнитное время свободного пробега%=1但.(7.35：)Холловское сопротивление%、В = ®杷繕.(7.36)Холла

Время свободного пробега

т = 1/%,

Удельное сопротивление

Р = %/%%,(7.35)

Угол

Время свободного пробега

т = 1/%,

Удельное сопротивление

Р = %/%%,(7.35)

Угол

Магнитное время свободного пробега

%=1但.(7.35：)

Холловское сопротивление

%、В = ®杷繕.(7.36)

Холла

Магнитное время свободного пробега

%=1但.(7.35：)

Холловское сопротивление

%、В = ®杷繕.(7.36)

Холла

(7.37)(7.37)tg % =一叫7。

(7.37)

(7.37)

Эффект Холла при примесной проводимости

Если в образце имеются носители заряда разного знака или с разной подвижностью, то условие vd = (0, Од, 0) (7.21) уже нельзя выразить через макроскопическое поле Холла 瓦，поскольку для каждого типа носителей / условие Ех/Еу = — co^/qj следует рассматривать отдельно. В предельном случае бесконечно длинного проводника можно рассмотреть более слабое условие j = (0, jyt 0). Это означает отсутствие тока поперек проводника. Если, например, имеются электроны и дырки, то из соотношения

!х 3 Чп^пх QpP^px== 0>(7.38)

поскольку % =—拆=细 сразу получаем

^nxNpx = р!^(7.39)

Таким образом, вдоль направления % имеется амбиполярный ток. Для проводников с одним типом носителей мы показали, что монополярный ток течет только при включении магнитного поля, чтобы за счет пространственного заряда возникло поле Холла, что, с другой стороны, обеспечивает выполнение условия jx = 0. Для проводника с двумя типами носителей электрический ток обращается в нуль, хотя ток отдельных частиц существует. Корректное описание эффекта Холла в этом случае должно учитывать* процессы рекомбинации, приводящие к исчезновению постоянно образующихся носителей обоих типов. Кроме того, концентрации носителей создают пространственные заряды, что приводит к появлению поля Холла и возникновению диффузионных токов, дающих вклад в 扭 Это более строгое

условие, конечно, было бы необходимо и в случае носителей одного типа!

Здесь мы рассмотрим предельный случай только поверхностной рекомбинации, так что концентрацию носителей в объеме можно считать постоянной. Если это условие не выполнено, то полученные результаты могут оказаться полностью неправильными (более точное описание имеется в [7.3], с. 135, [7.4]； с. 351, а также в [7.5]).

Для расчета угла Холла имеются два стационарных уравнения Друде — Лоренца

М 匕“ =qn,P(E + vntPX В).(7.40)

В нашей геометрии Е = (Ех, Еу, 0), В = (0, 0, В) с учетом %“ = 0%р%,р/т〃，р получаем

(7.41)скоро-(7.42)(7.41)скоро-(7.42)и〃* = % (Е% + и〃“В)； и рх н % (Е* + ируВ),и〃“ =卩沱(Еу — vnxByt vpy = % (Е“ 一 vpxB),

(7.41)

скоро-

(7.42)

(7.41)

скоро-

(7.42)

Учитывая условие Холла /% = 0, здесь можно заменить сти с помощью (7.39). Тогда для угла Холла имеем

eХ一 P吋(1 +成加)+碍式1 +卩押2)

еу— +叩p (1 +党屏)一九匕(1 +d屏)•

Плотность тока j = (0,厶，0) определим с помощью (6.43)

1у = 4小県 + qppvpy и получим

叫个愛+i.t粽)%(7砌

Для двух типов носителей магнетосопротивление возникает уже в модели Друде — Лоренца, поскольку направление дрейфа частиц не совпадает с направлением плотности тока.

Урав1нения (7.42) и (7.43) можно упростить для часто встре

чающегося экспериментально случая «слабых полей»

%в （Р芯一枕*）%в （Р芯一枕*）о (В = 0)о (В = 0)(7.44)(7.44)(7.45)(7.45)т. е. ц2В2« 1:

%в （Р芯一枕*）

%в （Р芯一枕*）

о (В = 0)

о (В = 0)

(7.44)

(7.44)

(7.45)

(7.45)

iy ^ (qpp快р + g九几卩九)Еу = и (в = о)Eg,

Для постоянной Холла в пределе слабых полей из Ех = —RhB^ и /у = аЕу с учетом qp = —qn =。0 имеем

R* =彳(；；；-〃；；)2 =。2(8°=0)(P% —砒)，(7 ・46)

Мы получили, что tg6>0 или R” V 0, если п^ > рц^ и наоборот, т. е. знак определяется основными, следовательно, более быстрыми носителями !). Изменение знака имеет место при выполнении условия

Р用=孔吟 (7.47)

Эффект Холла при собственной проводимости

、Для полупроводников, описываемых простой двухзонной моделью (одна зона проводимости и одна валентная зона), в со-

Рис. 7.9. Проводимость и константа Холла для различных легированных образцов теллура.

За счет анизотропной кристаллической структуры в различных направлениях поля и тока имеется различная проводимость.

ответствии с (2.19) для случая собственной проводимости выполняется соотношение п = р. Тогда в слабых магнитных полях имеем

tg0H = - B ("〃 + 卩")(7.48)

и

Rh = L 既土,(7.49)

Автор считает, что 《дырки》一результат легирования акцепторами (см. ниже). — Прим. реО.

Нз 火〃 н о сразу же получаем разность подвижностей

RhG = Np + %=1 因 I —I % I-(7.50)

Если подвижности одинаковы, то эффект Холла исчезает.

На рис. 7.9 показаны результаты измерений проводимости и постоянной Холла для кристаллов с различной степенью легирования, так что в данном интервале температур имелись образцы с собственной (п = р), смешанной (п < р) и примесной (п《р) проводимостью. Для образцов со смешанной проводи- мостью при нагревании меняется знак основных носителей, что объясняется ростом вклада электронов (7.47). Изменение знака при «500 К, наблюдаемое для образцов с собственной прово* димостью, можно объяснить, по-видимому, различной темпера* турной зависимостью подвижностей. В образцах с примесной проводимостью при высоких температурах преобладает дыроч* ный вклад. Изменение знака не наблюдается.

Магнетосопротивление

В модели Друде — Лоренца для проводников с одним типом носителей магнетосопротивление отсутствует, поскольку элек-

Рис. 7.10. Дрейф электронов в поперечном магнитном поле.

а — дрейфовый путь Е"В% при различных начальных скоростях (®т = ®с)；

6 — дрейфующий электрон с ©^ > %•

тронный газ описывается средним электроном со скоростью V = (0, ud,0), так что возникает поперечное электрическое поле £х, такое, что ud(B)= ud(0) = Ех/В.

тепловые было по- со скоро-тепловые было по- со скоро-Рис. 7.11. Уменьшение эффективного дрейфового пути за счет искривления траекторий в магнитном поле.Рис. 7.11. Уменьшение эффективного дрейфового пути за счет искривления траекторий в магнитном поле.。I。I

тепловые было по- со скоро-

тепловые было по- со скоро-

Рис. 7.11. Уменьшение эффективного дрейфового пути за счет искривления траекторий в магнитном поле.

Рис. 7.11. Уменьшение эффективного дрейфового пути за счет искривления траекторий в магнитном поле.

。I

。I

Однако в электронном газе, вообще говоря, имеются элеК二

троны с любыми начальными скоростями. Кроме того, скорости существенно больше и。. Тем не менее, как казано в разд. 7.2, все носители движутся в среднем

стями vy = £/В, совпадающими с направлением тока в отсутствие магнитного поля. Однако путь, который проходят частицы с V =# vd, все же больше дрейфового пути (рис. 7.10). В приближении «длины свободного пробега» они испытывают больше столкновений, чем в отсутствие магнитного поля. Если рассмотреть эту задачу более точно, то мы получим, что поперечное магнетосопротивление отлично от нуля.

Оценим величину эффекта для слабых полей ((ос <С(от), рассчитав «обратный путь» частиц, когда их траектории искривляются в магнитном поле (рис. 7.10,6, 7.11).

Между двумя соударениями частица проходит путь /о = иот. В магнит-

ном поле это часть окружности с уг*

лом раствора 力=8也・ Таким образом, смещение в направлении дрейфа равно

/ = г sin 6 = So/sJ sin 力・

Если разложить sin 6 ?« 6 —兴网，т0 получим

(7.51)

Плотность тока и проводимость (о 〜/) уменьшаются

о (В) — о (0)/ — Zo о"?

~а(0)=°6^*

Следовательно, магнетосопротивление есть величина порядка

午=%部丄-(*У -(m (7.62)

Таким образом, в слабых полях магнетосопротивление является квадратичным по полю эффектом.

Наряду с поперечным магнетосопротивлением (В 丄 j) в кри* сталлах с анизотропными эффективными массами имеется

также и продольное магнетосопротивление (B||j), которое мы в нашей модели, рассматривающей движение средней частицы, описать не можем (см., например, [1.1], с. 124).

Задачи

Определить плотность состояний D(W) электронов на уровнях Ландау с учетом движения вдоль оси z. Для этого в выражении для одномерной плотности состояний задачи 2.4 следует заменить энергию W трансляционной Энергией Wz 历一犷врат(九).

При каких Е для случая скрещенных полей достигается разогрев 渺кнн 内也Т (Т = 4К, В=1Т)?

Каков угол Холла для германия при 30 К в магнитном поле 3 Т?

Вывести выражение (7.42) для угла Холла в случае примесной проводимости, используя (7.39), (7.41)..

Вывести выражения (7.43) для плотности тока в эффекте Холла в случае примесной проводимости.

При выводе эффекта Холла мы определяем поле Е, которое обусловливает плотность тока j = (0, /?, 0). Как выражаются тензорные коэффициенты о〃 соответствующего векторного уравнения?

I j“丿 I Оух Оуу 丿 I Е?丿

В эксперименте мы возбуждаем j и измеряем Е. Как выражаются тензорные коэффициенты р〃 в уравнении Е = pj ? (Рассмотрите случай проводника с одним типом носителей и примесную п — р-проводимость в приближении слабых полей.)

Рассчитать подвижность и концентрацию дырок, исходя из результатов измерений проводимости и эффекта Холла для образца, легированного теллуром, а также разницу в подвижностях, зная результаты для собственной проводимости образца при Г V 500 К (рис. 7.9).

ТОКИ И ПОЛЯ, ВОЗНИКАЮЩИЕ

ПРИ ГРАДИЕНТАХ ТЕМПЕРАТУРЫ И КОНЦЕНТРАЦИИ

Наряду с электрическим и магнитным полями появление тока обусловливается также градиентами температуры и концентрации. Если из геометрических соображений эти токи течь не могут, то возникают соответствующие электрические поля. Потоки заряда сопровождаются переносом энергии. Мы рассмотрим следующие эффекты: эффект Зеебека (электрическое поле при градиенте температуры), эффект Пельтье (поток заряда сопровождается потоком тепла), теплопроводность и эффект Нернста (электрическое поле, перпендикулярное градиенту температуры в магнитном поле). В качестве примера возникновения тока при градиентах концентрации рассмотрим диффузию.

Длина свободного пробега при наличии градиентов температуры и концентрации

До сих пор мы рассматривали электрические токи, обусловленные электрическими полями.-Другие действующие силы, вызывающие появление тока, — это градиенты температуры и концентрации.

Чтобы можно было вновь применять концепцию Друде — Лоренца среднего свободного электрона, рассмотрим твердое тело с «геометрической трактовкой» длины свободного пробега. Это соответствует предположению о том, что за счет взаимо* действия с кристаллом электронный газ можно описывать локальной температурой или концентрацией (рис. 8.1). Таким способом мы получаем в точке градиенты температуры и концентрации

(Л一 А)=黑 /；九2 — ^ = ~l. (8.1)

Рассмотрим сначала случай Т2> Т\ и ni = пг = и. Можно ожидать возникновения потока частиц справа налево, поскольку частицы, приходящие из точки +〃2, имеют в среднем более высокую тепловую скорость, чем частицы, приходящие из —//2. Результирующая плотность потока частиц gn равна

gn = Sn^ S21 = ^ (^i -u2)= 一〃 雾人(8.2)

Чтобы не учитывать поправки к средним значениям, оценим разницу скоростей из средней кинетической энергии. Для невырожденного электронного газа имеемЧтобы не учитывать поправки к средним значениям, оценим разницу скоростей из средней кинетической энергии. Для невырожденного электронного газа имеемdv 1斤=mdv dT ,g 产—nF^l =dv 1斤=mdv dT ,g 产—nF^l =%%и • т,и • т,—п—п警手.(8.3)2m dx 4 丿警手.(8.3)2m dx 4 丿Для заряженных частиц t часто выражается через подвижность ц = =qx/m, тогдаДля заряженных частиц t часто выражается через подвижность ц = =qx/m, тогда3论 dT一几寸Н （8.4）3论 dT一几寸Н （8.4）ооРис. 8.1. Длина свободного пробега I электронов.В точках х= 士〃2 электроны в среднем имеют скорость, соответствующую температуре в этих точках, 2*Рис. 8.1. Длина свободного пробега I электронов.В точках х= 士〃2 электроны в среднем имеют скорость, соответствующую температуре в этих точках, 2*ке —//2 так, что ее : будет соответствовать как медленная частицаке —//2 так, что ее : будет соответствовать как медленная частицаПоток gn существует в любом поперечном сечении нашего кристалла. Это, однако, не означает, что отдельные частицы должны пробегать по всей длине кристалла. Чаще всего горячая частица может, например, испытать соударение в точ-Поток gn существует в любом поперечном сечении нашего кристалла. Это, однако, не означает, что отдельные частицы должны пробегать по всей длине кристалла. Чаще всего горячая частица может, например, испытать соударение в точ-кинетическая энергия после соударения температуре 7\ и вернуться затем уже I в точку +//2.кинетическая энергия после соударения температуре 7\ и вернуться затем уже I в точку +//2.

Чтобы не учитывать поправки к средним значениям, оценим разницу скоростей из средней кинетической энергии. Для невырожденного электронного газа имеем

Чтобы не учитывать поправки к средним значениям, оценим разницу скоростей из средней кинетической энергии. Для невырожденного электронного газа имеем

dv 1

斤=mdv dT ,g 产—nF^l =

dv 1

斤=mdv dT ,g 产—nF^l =

%

%

и • т,

и • т,

—п

—п

警手.(8.3)

2m dx 4 丿

警手.(8.3)

2m dx 4 丿

Для заряженных частиц t часто выражается через подвижность ц = =qx/m, тогда

Для заряженных частиц t часто выражается через подвижность ц = =qx/m, тогда

3论 dT

一几寸Н （8.4）

3论 dT

一几寸Н （8.4）

о

о

Рис. 8.1. Длина свободного пробега I электронов.

В точках х= 士〃2 электроны в среднем имеют скорость, соответствующую температуре в этих точках, 2*

Рис. 8.1. Длина свободного пробега I электронов.

В точках х= 士〃2 электроны в среднем имеют скорость, соответствующую температуре в этих точках, 2*

ке —//2 так, что ее : будет соответствовать как медленная частица

ке —//2 так, что ее : будет соответствовать как медленная частица

Поток gn существует в любом поперечном сечении нашего кристалла. Это, однако, не означает, что отдельные частицы должны пробегать по всей длине кристалла. Чаще всего горячая частица может, например, испытать соударение в точ-

Поток gn существует в любом поперечном сечении нашего кристалла. Это, однако, не означает, что отдельные частицы должны пробегать по всей длине кристалла. Чаще всего горячая частица может, например, испытать соударение в точ-

кинетическая энергия после соударения температуре 7\ и вернуться затем уже I в точку +//2.

кинетическая энергия после соударения температуре 7\ и вернуться затем уже I в точку +//2.

Термоэлектрические эффекты

Рассмотрим сначала случай dT/dx У= 0, dz/d% = 0, однако учтем, что могут существовать электрические поля. В зависимости от того, переносят ли наши частицы заряд q или энергию З^Т/2, мы получаем плотность потока заряда

/ =夕• g〃 =夕叩Е + qn (s l s) (8.5) или плотность потока энергии

W =^^kT • gn — ^ hTnpE + ^kTn (s — °2), (8.6) которые могут вызвать электрическое поле или градиент температуры. ,

Эффект Зеебека, дифференциальная тврмо-э.д.с.

Поток заряда (8.5) в проводнике с разомкнутыми концами не может существовать бесконечно, поскольку образуется пространственный заряд. Стационарные условия достигаются,

когда поле, создаваемое пространственными зарядами, компенсирует токи, вызванные градиентом температуры и / = 0. Из (8.5、)получаем соответствующее электрическое поле

Рис. 8.2. К определению знака эффекта Зеебека.Рис. 8.2. К определению знака эффекта Зеебека.二—н ：二—н ：п^ проМтп^ проМт

Рис. 8.2. К определению знака эффекта Зеебека.

Рис. 8.2. К определению знака эффекта Зеебека.

二—н ：

二—н ：

п^ проМт

п^ проМт

厂 3论 dT

(градиенты концентрации мы здесь не учитываем).

Величину Ех = —dU/dx называют дифференциальным термонапряжением. Соответствующей характеристикой материала является термо-э. д. с. или постоянная Зеебека S,

裏；尝二-S.(8.7)

В нашем упрощенном подходе мы получаем для S универсальное значение

S =発.(8.8)

От типа носителей заряда зависит только знак S (рис. 8.2). По порядку величины 尼/ео — 86 мкВ/К.

Примечание

К использовавшейся кинетической энергии следует добавить зависящие от температуры члены потенциальной энергии, например химические потенциалы, зависящие от материала. Они обычно того же порядка, что и кинетическая энергия (см. [6.5], [7.3], с. 89).

В металлах термо-э. д. с. существенно меньше, чем в полупроводниках: При нашем описании она вообще обращается в нуль, поскольку для вырожденного электронного газа мы полагали U1 = U2 = Vf.

Эффект Пельтье

Рассмотрим поток заряда / = qg. Согласно (8.6), он сопровождается потоком тепла

^ = |^-/^П./.(8.9)

Здесь П — постоянная Пельтье

(8.10)(8.10)7#=s「・

(8.10)

(8.10)

Она зависит от знака носителей заряда: поток тепла по направлению всегда совпадает с потоком частиц.

Поэтому, пропуская через р—n-переход электрический ток, можно получить источник тепла (рис. 8.3, а). В зависимости от

тепловые потоки электроновтепловые потоки электроновнаправления электрического тока

тепловые потоки электронов

тепловые потоки электронов

п-прободник HI р-лро8одникОтШимое теплоп-прободник HI р-лро8одникОтШимое теплои дырок направлены либо к р—n-переходу, либо от него. Этот эффект используется в холодильнике Пельтье (рис. 8.3,6).

п-прободник HI р-лро8одник

ОтШимое тепло

п-прободник HI р-лро8одник

ОтШимое тепло

Теплопроводность

Охлаждаемая тюберзжгльОхлаждаемая тюберзжгль+ у I -Отвод тепла、+ у I -Отвод тепла、Рис. 8.3. а — токовый р ——n-контакт как источник тепла. 6 — холодильник Пельтье (схема), рабочие параметры, например, AT r =—30 R при 2 В, 20 А.Рис. 8.3. а — токовый р ——n-контакт как источник тепла. 6 — холодильник Пельтье (схема), рабочие параметры, например, AT r =—30 R при 2 В, 20 А.Результирующий поток частиц (8.3) между точками +//2 определяет электронный вклад в теплопроводность. При Е = =0 для плотности теплового потока получаем w ^±kTn (s —s)= =一喉济財卷

Охлаждаемая тюберзжгль

Охлаждаемая тюберзжгль

+ у I -

Отвод тепла、

+ у I -

Отвод тепла、

Рис. 8.3. а — токовый р ——n-контакт как источник тепла. 6 — холодильник Пельтье (схема), рабочие параметры, например, AT r =—30 R при 2 В, 20 А.

Рис. 8.3. а — токовый р ——n-контакт как источник тепла. 6 — холодильник Пельтье (схема), рабочие параметры, например, AT r =—30 R при 2 В, 20 А.

(8.Н)

Из определения

步三一九黑(8・12)

для теплопроводности 九 имеем

= (4у)2^ •几•卩• ^ = (у у)2^-(8・13)

Кроме электронного вклада, в теплопроводность входят еще члены от решеточных колебаний. В неметаллах они дают существенный вклад в полную теплопроводность.

Закон Видемана — Франца и число Лоренца

Мы видели, что различные электронные коэффициенты переноса тесно связаны между собой. Соотношение (8.13) назы- ваетсн законом Видемана ——Франца. Связь между X, а и Т

с помощью числа Лоренца

£ =含(8.14)

справедлива и для более строгого рассмотрения. Она выполняется также для металлов.

Ферми-газ Газ Максвелла — Больцмана вырожденныйневырожденный

£ = Т-(^)2' 丄= 2(*у.(8.15)

(Из нашего упрощенного усреднения получаем L = 9/4(尼/е。)？, что тоже неплохо!)

Связь с кинетическим членом термо-э. д. с. или с постоян* ными Пельтье имеет вид

M=S2, * = 〃2 = ц2・(8.16)

Термомагнитные эффекты, эффект Нернста

Если приложить магнитное поле перпендикулярно обусловленному градиентом температуры потоку заряженных частиц, то на частицы будет действовать сила Лоренца. В приближении бесконечно длинного образца для градиента dT/dx и В = =(О, О, В) получаем j = (jx, 0, 0), где

；3& dT

可Rq・

Из условия jy —0 следует, что в направлении, перпендикуляр* ном току, должно существовать электрическое поле Е, аналогичное полю Холла (п. 7.3.1), 七，3论 dT

Возникновение такого поля называется эффектом Нернста, а соответствующий коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств среды, — постоянной Нернста Q:

Е 产 QB 黑,Q = ^№(8.17)

Наряду с термомагнитными и термоэлектрическими эффектами имеется много других (табл. 8.1), в том числе и такие, которые, как и магнетосопротивление, зависят от В в более высокой степени. Поскольку в этом случае имеется связь между векторами различных полей, то указанные эффекты носят сложный

Таблица 8」

Термоэлектрические эффекты в изотропной среде

Эффекты нулевого порядка по В, В=0

Эффекты первого порядка по В» 8 = (0, 0, %)

Ток

Эффект

Ток

Эффект

/х

□dU

dx

Омическое сопротивление

dT

Эффект Пельтье

拉

гdU

Е产一而

Эффект Холла

dT dy，у

Эффект Эттингаузена

9 о

侬“

dT dx Теплопроводность F _ dU 応Jx

Эффект Зеебека Термо-э. д. с.

侬“

dT

Эффект Ледюка — Риги

戶dU ;

Эффект Нернста

тензорный характер. Особенно это существенно для анизотроп* ных кристаллов. Хорошим введением в рассматриваемый круг вопросов служит монография Багавантама [8.1], а также ра* бота [8.2].

Диффузионные токи

В качестве единственного примера тока, вызванного гр а дней* том концентрации, рассмотрим случай dn/dx =# 0, но Е = О и dT/dx = 0. Для описания явлений переноса в полупроводниках такое приближение неприменимо, поскольку в них всегда образуются пространственные заряды (см. пп. 7.3.6 и 8.2.1) и следует учитывать одновременно все градиенты.

Результирующий поток частиц равен (см. рис. 8.1)

gn = %и —九2。= — и */♦(8.18)

Отсюда для коэффициента диффузии D получаем

g^三亠 D 黑; D — v-1 = v2t:= ^-тк (8.19)

Пропорциональность между плотностью диффузионного потока и градиентом концентрации есть первый закон Фика — «закон Ома» для диффузии.

Внутренняя связь между коэффициентом диффузии и коэффициентами переноса описывается соотношением Эйнштейна

С kT kT

° = —т =~^(8・20)

которое для невырожденного электронного газа следует и из более точных моделей.

Все описанные в гл. 8 эффекты тесно связаны между собой. Они обусловлены потоками тепла и имеют место в неизотермических системах. Подробно эти явления рассматриваются в неравновесной термодинамике [8.3].

Задачи \

Два стержня из р- и n-полупроводника образуют р —^-контакт. Место контакта охлаждается жидким азотом (77 К), свободные концы находятся при комнатной температуре. Каковы величина и знак термо-э. д. с. между свободными концами?

Каково должно быть минимальное напряжение, чтобы компенсировать теплопроводность в полупроводнике с помощью эффекта Пельтье, если разность температур между концами составляет 30 К? (Джоулевым теплом пренебречь.)

Какова температурная зависимость коэффициента диффузии свободных электронов в полупроводнике с учетом их рассеяния на фононах?

ДИНАМИЧЕСКАЯ ПРОВОДИМОСТЬ

В переменном электрическом поле движение электронов ограничивается не только процессами рассеяния, но также и их инерцией. Это приводит к зависимости комплексной проводимости от частоты. Динамическая проводимость обращается в нуль для очень больших частот. Диссипация энергии обусловливается только действительной частью проводимости. Мнимая часть приводит к появлению индукционных токов, направленных в полярных кристаллах противоположно токам смещения. Этот процесс описывается комплексной диэлектрической функцией. Ниже обсуждаются предельные случаи низких и высоких частот и рассматривается явление плазменного резонанса. Анализируются особенности поведения комплексной диэлектрической функции и поясняются на примерах. Дается также упрощенное описание поведения свободных электронов в полярном кристалле.

Свободные электроны в переменном электрическом поле

Уравнение Друде — Лоренца (4.1) имеет вид

_mv + ^v = ^E(/).(9.1)

Если мы ограничимся гармонической зависимостью внешнего поля E(f) от времени

Е (/) == Ео ехр(-岡)，(9・2)

то решения уравнения (9.1) будут иметь ту же зависимость от времени:

V (/) = Vo ехр(—画).(9.3)

Для амплитуды получаем линейное уравнение

—Zcomv + «^ v =» gE,(9.4)

решение которого имеет вид

v = *E』・(9・5)

Макроскопически v соответствует плотности тока

(9.6)(9.6)』"=陪『% e 三。(s) e,

(9.6)

(9.6)

，с помощью которой определяется динамическая проводимость

(9・7).(9・7).

(9・7).

(9・7).

Рис. 9.1. Плотность тока с учетом фазового сдвига при прямоугольных импульсах электрического поля различной частоты.Рис. 9.1. Плотность тока с учетом фазового сдвига при прямоугольных импульсах электрического поля различной частоты.

Рис. 9.1. Плотность тока с учетом фазового сдвига при прямоугольных импульсах электрического поля различной частоты.

Рис. 9.1. Плотность тока с учетом фазового сдвига при прямоугольных импульсах электрического поля различной частоты.

Примечание

Предположив, что Е^=Еоехр(+ i^t), где £0 — действительная величина, мы получили бы а = а0/(1 + /сот)!). Оба определения Е = Е()ехр (土 is?) эквивалентны, так как интересное с точки зрения физики действительное решение £ = 5= (Е + £*)/2 = £0 cos (±(о/) = Eq cos (о/) не зависит от знака показателя экспоненты. То же самое справедливо для / =(『+『)/2 =(病 + G*/)/2. Полагая 5 = | а |ехр(± /д), получим j = \d\ Eq cos (со/ —д), т. e. / опять-таки не зависит от знака показателя экспоненты.

Комплексная проводимость означает сдвиг фаз между током и напряжением / = (а^оcos^t — б). При синусоидальном по

ведении поля Е плотность тока / достигает максимума позже, чем Е

Для прямоугольных импульсов поля (рис. 9.1) можно наглядно представить поведение /: после включения Е дрейфовая скорость сначала растет по закону О = qE/m, а затем за счет силы тре・ ния экспоненциально приближается к насыщению и = qEx/m. После вьь ключения Е значение j падает экспоненциально, максимум на кривой /до-

стирается поз^е, чем на

кривой Е. С ростом частоты переключений плотность тока / вообще не достигает насыщения!

При выводе соотношения (9.7) мы ограничились синусоидальной зависимостью £(/) (гармонические решения). В общем

9 Вообще в дальнейшем а — комплексная величина, а* — соответствую- тая ей комплексно-сопряженная величина,-

случае, поскольку плотность тока / в момент времени t определяется всей предысторией Е(Х), выполняется соотношение

t

/(/)== \ 0(/,，)£(，)"・(9.8)

Если предположить, что G(t, f) описывает рассматриваемую систему и не зависит от возмущения Е (линейный отклик),

Рис. 9.2. Частотная зависимость проводимости о (со) и удельного сопроти* вления р (со) согласно модели Друде.

а — сплошная кривая — действительная часть, штриховая кривая — мнимая часть; б — динамическая проводимость описывается дебаевскими кривыми, экспоненциально спадающими для всех процессов релаксации. / — омический ток, 2 — реактивный ток.

а также что G(f,£) зависит от (/ —，)，то /(/) зависит только от разности / —匕 и из (9.8) получим

t

/(/)= \ G (/—，)£(，)〃•(9.9)

Такая ^временная инвариантность》означает, что все процессы, имевшие одинаковую предысторию, должны протекать одинаково. Исходя из свойств преобразования Фурье ([9.1],

с. 29 или [9.2], с. 91), получаем из (9.9) j (s) = о (s) Е (®,

(9.10)

где j(s), Е (со) — фурье-образы /(/) и Е(/), а а (со) — фурье-

образ G(/)・ В физических экспериментах часто проще измерять

не

G(f —，)，а а (со). Однако

обе функции полностью ха-

рактеризуют систему!

9.1.1. Динамическое сопротивление

и кривые р (о), а (со)

Если рассмотреть ние напряжения при

nane・ пере-

менном токе, то соответствующая материальная постоянная называется динамическим удельным сопротивлением

О ((d) = —г 产\丿 а ((о)

0?-

ос

(9.Н)

Подставляя значение о。 через микроскопические или спектроскопические параметры (п. 735)

P(s)= k

е0°>р

m

'К，⑵

приходим к выводу, что в действительную часть р‘ входят только процессы рассеяния, но она не зависит от

0,5

Ю

0,2仰

勿

%

勿

図

Рис. 9.3. Кривые а (со) и р (со) в комплексной плоскости согласно модели Друде.

_2

циональна со и описывает инерцию электронов.

частоты. Мнимая часть р〃 пропор

При разделении динамической проводимости на действительную (/ и мнимую 0〃 частиР空…小万口A cm "e心宀 口口.

ражения (рис. 9.2):

0‘=00 冲(%戸

получаем не столь простые вы-

°" = °о

s/st

1 +(8/仰)2 '

|а°|=а° vraw

(9.13)

Рис. 9.4. Эквивалентная схема сопротивлений, описывающая свободныеРис. 9.4. Эквивалентная схема сопротивлений, описывающая свободныеэлектроны в полярном кристалле.электроны в полярном кристалле.

Рис. 9.4. Эквивалентная схема сопротивлений, описывающая свободные

Рис. 9.4. Эквивалентная схема сопротивлений, описывающая свободные

электроны в полярном кристалле.

электроны в полярном кристалле.

В комплексной плоскости р кривая р((о) представляет собой полупрямую, в то время как а((о)—полуокружность (рис. 9.3). Соответствующее положение частоты на кривой легко определяется с помощью фазового угла б:

tg6p== А- = —^ ; tg 6а = ^г = — . (9.14)

Вихревые токи и комплексная диэлектрическая функция

Мнимая часть проводимости описывает вклад вихревых токов. Так называют токи, сдвинутые по фазе на 土冗/2 относи

тельно Е. В нее дает вклад также ток смещения Ь в первую

очередь для электронов в полярном кристалле, для которого диэлектрическая воспри^ «мчивость решетки %厶》0.

Поэтому часто в электродинамике не различают токи проводимости и токи смещения. С помощью первого уравнения Максвелла

VXH = b + j = ^ + P+j

(9.15) вводятся комплексные харак* теристики среды. Тогда Ри/ определяются линейными материальными уравнениями

P = %XlE; j = oE・ (9.16)

Из (9.15) для гармонических решений Е = Еоехр(— /со/), D = =—i(08e0E, получаем

V X Н = (— /®80 一 /(оео%£ + ^)£*=—私％ (1 + Xl + ^~*) E・

Определим соответственно комплексные характеристики среды 6((о) =(/ + 沁"三 о — £叫(1 + %L)(9.17)

и

貝s)=以+旷三1 +加+ /(9.18)

Подстановка в (9.15) поляризационных токов и токов проводимости соответствует параллельному включению вкладов ре・

шетки и газа свободных электронов (рис. 9.4). Если описывать вклад полярного кристалла емкостью

(9.19)(9.19)С = е0 (1 +xj,

(9.19)

(9.19)

а вклад электронов проводимости — последовательно включенными омическим сопротивлением и индуктивностью

R全丄=当；厶合T = = ,(9.20)

。0 80sp。0e0G>；R

то получаем ту же зависимость от частоты, что и в (9.17).

Динамическая электропроводность 1/R имеет вид

к = — jo)@ -|———RR TsL

Диссипация энергии в рассматриваемой системе (производство джоулева тепла) обусловливается величинами о7 и £〃. Тогда для плотности мощности потерь Р электрического поля пог лучаем

Р = (4^)(^^) = Т【病 + "声 2 + 传 + а*) ЕЕ^].

Поскольку первые два члена являются функциями, осциллируй* щими симметрично относительно нуля, то в среднее по времени значение дает вклад только третий член

〈Р%н扌山ЕР-=$叫『|ЕР・〈Р%н扌山ЕР-=$叫『|ЕР・(9.21)(9.21)

〈Р%н扌山ЕР-=$叫『|ЕР・

〈Р%н扌山ЕР-=$叫『|ЕР・

(9.21)

(9.21)

В «пассивных» системах, т. е. в системах без источников, должны выполняться неравенства У, е〃 > 0.

Из (9.21) следует, что при низких частотах ®《1/т) [ср. (9.13)] диссипация энергии растет с ростом % поскольку

(9.22)(9.22)(/ ^ ео(ОрТ,

(9.22)

(9.22)

в то время как при высоких частотах (со》1/т) она падает с ростом т, так как

(9.23)

Это можно понять из следующих соображений: за время между столкновениями при низких частотах электрон получает тем большую кинетическую энергию, чем дольше он ускоряется электрическим полем. При каждом столкновении эта энергия в среднем полностью передается решетке. При высоких частотах,

наоборот, из-за инерции электронов приобретаемая скорость определяется только периодом переменного поля. Таким образом, решетка получит тем больше энергии, чем чаще происходят столкновения.

Диэлектрическая функция проводящих кристаллов

Рассмотрим случай, когда электроны проводимости [о((о) = = Оо/(1 — ist)] находятся в кристалле, собственная поляризуемость решетки которого описывается действительной, не зависящей от частоты восприимчивостью %厶.Тогда такая система описывается комплексной диэлектрической функцией (9.18),которая разлагается на

ez = 1 + Xl —

00T1

Рис. 9.5. Диэлектрическая функция свободных электронов в полярном кристалле, определенная согласно (9.24).Частотная зависимость и кривые на плоскости (8‘，8〃). [Модельный Ge, табл. 11.1, 九=Ю1в см-з (/ — т=8, 2 — т = =3・ IO"? & 3-т= 10~13 с).]Рис. 9.5. Диэлектрическая функция свободных электронов в полярном кристалле, определенная согласно (9.24).Частотная зависимость и кривые на плоскости (8‘，8〃). [Модельный Ge, табл. 11.1, 九=Ю1в см-з (/ — т=8, 2 — т = =3・ IO"? & 3-т= 10~13 с).]е0 1 + 82T2i+XL硬码*，е0 1 + 82T2i+XL硬码*，%(0 ©2+(о2%(0 ©2+(о2・(9.24)・(9.24)Видно, что в (9.24) все частоты можно нормировать на(ot.

Рис. 9.5. Диэлектрическая функция свободных электронов в полярном кристалле, определенная согласно (9.24).

Частотная зависимость и кривые на плоскости (8‘，8〃). [Модельный Ge, табл. 11.1, 九=Ю1в см-з (/ — т=8, 2 — т = =3・ IO"? & 3-т= 10~13 с).]

Рис. 9.5. Диэлектрическая функция свободных электронов в полярном кристалле, определенная согласно (9.24).

Частотная зависимость и кривые на плоскости (8‘，8〃). [Модельный Ge, табл. 11.1, 九=Ю1в см-з (/ — т=8, 2 — т = =3・ IO"? & 3-т= 10~13 с).]

е0 1 + 82T2

i+XL硬码*，

е0 1 + 82T2

i+XL硬码*，

%(0 ©2+(о2

%(0 ©2+(о2

・(9.24)

・(9.24)

До сих пор мы имели дело с 研=1010—IS，「I. Эти частоты соответствуют электромагнитным волнам с длиной волны X = 20 см — 20 мкм, т. е. лежат в микроволновом, субмиллиметровом и инфракрасном диапазонах.

На рис. 9.5 показана зависимость диэлектрической функции от частоты для модельного германия при различных частотах столкновений, а также соответствующие кривые на комплексной плоскости (М, 8〃)，

Область низких частот

Для з《叫(9.24) переходит в 】)

е а е厶=eLс0

(9.25)

Мнимая часть зависит от частоты, но содержит ту же информацию, что и результаты измерений на постоянном токе, т. е. о。,

/ — чистый теллур; 2 — тот же образец после акцепторного легирования [9.3]./ — чистый теллур; 2 — тот же образец после акцепторного легирования [9.3].теллура прителлура приРис. 9.6.9 ГГц.Рис. 9.6.9 ГГц.

/ — чистый теллур; 2 — тот же образец после акцепторного легирования [9.3].

/ — чистый теллур; 2 — тот же образец после акцепторного легирования [9.3].

теллура при

теллура при

Рис. 9.6.

9 ГГц.

Рис. 9.6.

9 ГГц.

или комбинацию 绰/%• В действительную часть, наоборот, вхо* дит член £厶 от индуктивного вклада свободных электронов, который при s^/s： > £厶 может привести даже к е7 < 0. Если измерить разность диэлектрических проницаемостей Ае = £厶一ez и сравнить ее с результатами измерений проводимости при постоянном токе или еще лучше с результатами измерений е〃 на той же частоте, то получим частоту столкновений из условия, справедливого во всей области частот:

Этот метод в физике полупроводников впервые применили Бенедикт и Шокли в 1953 г. На рис. 9.6 показаны кривые £‘ для

Мы здесь просуммировали вклад от вакуума и собственно кристаллической решетки е£ = 1 + %£. Эта диэлектрическая проницаемость описывает только непроводящий кристалл. Из-за связи Q = еое^ для описания полной системы следовало бы пользоваться величиной е, а для составляющих процессов —соответствующими восприимчивостями. В диэлектрической функции они суммируются с вкладом вакуума следующим образом:

8 = 1 + %1 + %2 + ….

одного и того же образца Те до и после акцепторного легирования. Акцепторы поставляют свободные электроны, что приводит к уменьшению диэлектрической проницаемости в легированном образце по сравнению с чистым образцом. На рис. 9.7 представлены результаты измерений для германия. При охлаждении ниже 200 К £‘ падает, поскольку при этом растет т, а £〃 соответственно возрастает. При температуре меньше 30 К У снова рао тет, а е〃 падает, поскольку теперь начинается вымораживание свободных носителей и, следовательно, уменьшается (0р.

500200 100 50 ZQ W 5

Рис. 9.7. Температурная зависимость диэлектрической функции для германия при 37,4 ГГц.Вид кривых обусловлен влиянием температуры на концентрацию носителей и механизм рассеяния [9.4].Рис. 9.7. Температурная зависимость диэлектрической функции для германия при 37,4 ГГц.Вид кривых обусловлен влиянием температуры на концентрацию носителей и механизм рассеяния [9.4].Область высоких частот

Рис. 9.7. Температурная зависимость диэлектрической функции для германия при 37,4 ГГц.

Вид кривых обусловлен влиянием температуры на концентрацию носителей и механизм рассеяния [9.4].

Рис. 9.7. Температурная зависимость диэлектрической функции для германия при 37,4 ГГц.

Вид кривых обусловлен влиянием температуры на концентрацию носителей и механизм рассеяния [9.4].

Для со》сор соотношения (9.24) принимают вид

(9.27)(9.27)Из (9.26) можно опять определить (от. Однако, поскольку £〃 〜д-з, величина £〃 теперь мала, ее определяют из измерений поглощения, а не проводимости (см. ниже).

(9.27)

(9.27)

Уменьшение диэлектрическойУменьшение диэлектрическойпроницаемости решетки Де = от частоты. Однако оно

Уменьшение диэлектрической

Уменьшение диэлектрической

=еь — е‘ в этой области зависит=еь — е‘ в этой области зависитопределяется не процессами рассеяния, поскольку осцилляции электронов в электрическом поле при ①》(0厶 зависят только от инерции электронов, но не от процессов столкновений. Поэтому из дисперсии е^®) можно определить ①口，не зная механизмов рассеяния. На рис. 9.8 показаны результаты измерений диэлектрической проницаемости для теллура. Значения е7 приведены в зависимости от V = (2лс/(о)2. Из (9.27) получаем, что график представляет собой прямую линию, пересекающую ось ординат в точке е& а ось абсцисс дри значении длины волны, соответствующем частоте 8 = %/“％

=еь — е‘ в этой области зависит

=еь — е‘ в этой области зависит

Рис. 9.8. Уменьшение диэлектрической постоянной в присутствии свободных носителей в теллуре при 300 К (р 3 • 1018 см-3).

Экстраполяция при 入=0 дает значение 8厶=24; из условия 8’ = 0 следует /Ир = 0,38 т0 [9.5].

Рис. 9.9. Диэлектрическая функция для твердого (а) и жидкого (6) калия [9.6].

На рис. 9.9 приведены результаты измерений для калия, где вследствие большой концентрации носителей выполняется неравенство е‘ V 0. Сравнение экспериментальных результатов для твердого и жидкого калия показывает, что концентрация свободных носителей при переходе из одного состояния в другое не меняется. Этого следует ожидать также и для других металлов (разд. 2.1 и 3.5), поскольку в таких кристаллах в отличие от полупроводников отсутствуют ковалентные связи, рвущиеся при плавлении, в результате чего образуется много свободных электронов.

Если рассмотреть, наконец, сверхпроводник как кристалл, в котором исчезают процессы рассеяния ((от->О), то условие (о》(о« будет выполнено даже для очень низких частот. А именно, здесь р((о = 0) = 0, хотя в переменном поле имеется реактивное сопротивление, обусловленное инерцией носителей тока, которое возрастает с частотой р〃 =—心/仃吟

Плазменный резонанс

В отсутствие затухания диэлектрическая функция обращается в нуль на частоте ^/业匕 называемой обычно частотой плазменного резонанса.

Примечание

Поскольку ед, вообще говоря, зависит от частоты, не имеет смысла характеризовать вещество величиной 8口/“£厶，так как при этом смешиваются свойства самого кристалла и свободных электронов. Введенная нами частота м наоборот, определяется только свободными электронами. Если нуль диэлектрической функции лежит в области, где £丄 не зависит от частоты, то мы используем величину ®+ = ^PI^J^L • Неоднородное смещение свободных носителей по отношению к заряженному остову приводит к образованию пространственных зарядов р, связанных с j уравнением непрерывности

Vj = -C・(9.28)

Но пространственные заряды р в соответствии с уравнением Пуассона создают электрическое поле

VD = eLe0 VE = р.(9.29)

Оно оказывает обратное воздействие на движение электронов, описываемых уравнением Друде — Лоренца, которое с помощью соотношения j = nev приводится к виду

•1

:+彳j=吃产.(9.30)

Взяв дивергенцию от обеих частей с учетом (9.28) и (9.29), получим

•е 紛

Это уравнение описывает плазменные колебания

Р + 50 += 0・(9.31)

Добавка к плотности заряда осциллирует независимо от пространственного распределения с частотой

載=?一 卷-(9.32)

Осцилляции затухают с временем релаксации, равным 2т. [Предполагая, что решение имеет вид р = р0 ехр (—f(o/), получаем комплексные частоты

Мнимая часть описывает затухание, следовательно, неопределенность частоты.] В отсутствие затухания имеет место

国=%/"三嵋2,(9.33)

поэтому о+ называют частотой плазменного резонанса.

В схеме рис. 9.4 этот резонанс соответствует резонансу напряжений, сопротивление при переменном токе обращается в нуль для частоты(о2 = l/LC(R = 0)・ Ток течет по замкнутой цепи без потерь, так что для его поддержания не требуются внешние источники.—

В кристалле на частоте 喏==%/“％ токи смещения Ь = ^ — /®е£е0Е и проводимости j =/Go%/00)Е в точности равны и противоположны по знаку. С учетом Ь + j =0 из первого уравнения Максвелла

VXH=D+j=0

получаем, что эти токи не сопровождаются магнитным полем. Таким образом, на частоте ®+ в кристалле отсутствуют электромагнитные волны (см. приложение).

Экранирование кулоновских полей

Другим эффектом, обусловленным коллективным взаимодействием свободных носителей, является экранирование статических электрических полей. Мы не будем приводить здесь точное

описание этих эффектов, но поясним на простом геометрическом примере идею теории Дебая — Хюккеля.

Рассмотрим для этого (рис. 9.10) положительно заряженный плоский металлический электрод на поверхности полупровод-

+++++U++++++U+4040Рис. 9.10. Экранирование положительных поверхностных зарядов в полупроводнике по сравнению с диэлектриком.а — с учетом экранирования; 6 — без экранирования.Рис. 9.10. Экранирование положительных поверхностных зарядов в полупроводнике по сравнению с диэлектриком.а — с учетом экранирования; 6 — без экранирования.

+++++U+

+++++U+

40

40

Рис. 9.10. Экранирование положительных поверхностных зарядов в полупроводнике по сравнению с диэлектриком.

а — с учетом экранирования; 6 — без экранирования.

Рис. 9.10. Экранирование положительных поверхностных зарядов в полупроводнике по сравнению с диэлектриком.

а — с учетом экранирования; 6 — без экранирования.

ника при конечной температуре. За счет присутствия положительных зарядов на пластине число электронов вблизи поверхности полупроводника больше, чем в объеме. Тем самым электрическое поле, создаваемое электродом, постепенно уменьшается в глубь полупроводника. Распределение этого поля в объеме по-прежнему описывается уравнением Пуассона

VD = 2 厶 е()VE = р,VD = 2 厶 е()VE = р,(9.34)(9.34)

VD = 2 厶 е()VE = р,

VD = 2 厶 е()VE = р,

(9.34)

(9.34)

а распределение потенциала — уравнением

Е

Потенциальная энергия электрона в полупроводнике равна

=①.(9.35)

Эффективный пространственный заряд р складывается в (9.34) из заряда свободных электронов и положительного заряда кристаллического остова ионов

р(х) = %孔+ — %*(%)・(9.36)

Электроны, экранирующие поле поверхностного электрода, не могут собраться в произвольно тонком слое на поверхности, поскольку этому препятствует тепловое движение. Они образуют слой пространственного заряда заметной глубины. Это процесс, аналогичный распределению давления в газах, например в поле силы тяжести Земли, которое описывается изотермической барометрической формулой. Поскольку в объеме, где Ф = 0, концентрация электронов совпадает с постоянной по объему концентрацией ионов 〃+, то вблизи поверхности получаем

(х) = n+ ехр(— 1rllот/&Т)・(9 37)

Предполагая, что создаваемое электродом поле не меняет существенно свойств электронного газа, в частности, что по-прежнему справедливо неравенство 呼пот《kTf приближенно получаем 1)

九一 (%2 九+(1 一 等).(9.38)

Для распределения заряда из (9.36) имеем

p (%) = %孔+ ■^笋•

Одномерное уравнение Пуассона имеет вид

d21rГ пот

呢呪 = е()гг+，应丁“ ,(9.39)

а его решение

Это решение удовлетворяет условию, что в глубине кристалла (х->оо) потенциальная энергия равна нулю и что там отсутствуют электрические поля [(dW/dx)^ = 0]. Для потенциалаЭто решение удовлетворяет условию, что в глубине кристалла (х->оо) потенциальная энергия равна нулю и что там отсутствуют электрические поля [(dW/dx)^ = 0]. Для потенциала%°т (х)=旷(0) ехр (— x/L).(9.40)

Это решение удовлетворяет условию, что в глубине кристалла (х->оо) потенциальная энергия равна нулю и что там отсутствуют электрические поля [(dW/dx)^ = 0]. Для потенциала

Это решение удовлетворяет условию, что в глубине кристалла (х->оо) потенциальная энергия равна нулю и что там отсутствуют электрические поля [(dW/dx)^ = 0]. Для потенциала

(9.41)(9.41)и электрического поля соответственно имеем①(%)=①(0) ехр(— x/L),Е(х) = -^— = Е (О)ехр (—方).

(9.41)

(9.41)

Разогреть электроны может только электрическое поле* создающее электронный ток. — Прим. ред.

Возникающий при решении характерный параметр L называется длиной экранирования Дебая ——Хюккеля (ДХ). При пе = п+ = =п получаем

笈х•(9・42)

Длина экранирования Lдх описывает, насколько быстрее спадает кулоновский потенциал, если он экранируется свободными носителями заряда, по сравнению с вакуумом (е = 1) либо с поляризующейся средой с неподвижными зарядами (е > 1).

Эта величина характеризует также аналогично (9.41) экранирование трехмерных полей, например поля точечного заряда, потенциал которого в диэлектрической среде равен

①(г)=_(9.43)

В присутствии свободных носителей заряда потенциал спадает быстрее, и мы получаем

①(г) = - 1^/ехр (- т)-(944)

Потенциалы такого вида называются потенциалами Юкавы.

С помощью рассуждений, приведенных в разд. 9.3, мы можем наглядно пояснить образование длины экранирования, выражая длину экранирования L через (о^ = e^i^jn и то^епл/2 = =kT:

厶 ДХ == “Отепл/2sp.(9.45)

В соответствии с (9.32) отклонение плотности пространственного заряда осциллирует с периодом тр = 2л V8!^- Идеальное экранирование в произвольно тонком слое подавляется тепловым движением свободных электронов. При тепловой скорости итепл электроны могут отойти от тонкого экранирующего слоя на расстояние

厶 ^тепл * Тр・(9.46)

Затем они тормозятся электрическим полем (VE = p/el£。) других пространственных зарядов и возвращаются обратно.

Из этих рассуждений для проводника с вырожденным электронным газом можно получить модифицированную по сравнению с формулой Дебая ——Хюккеля длину экранирования, если заменить %епл на ?尸：

Более точные рассуждения дают величину на 30% меньшую, а именно длину экранирования Томаса — Ферми (ТФ) для вырожденного электронного газа

(9.47)

Для германия (£丄=16) с концентрацией электронов п = =1016 см~3 при 300 К получаем длину экранирования

£дх = 480A.

Для металла типа меди (8 = 1, т* = то) находим £тф = 0,бА,

т. е. в этом случае поле экранируется уже на атомных расстояниях!

Примечание

Эффекты экранирования важны, только если длина экранирования велика по сравнению с длинами волн соответствующих свободных электронов. Электронный газ не может образовывать пространственные структуры с масштабом, меньшим, чем соответствующая ему минимальная длина волны, так же как и свет из-за дифракции на границе не дает профилей более четких, чем минимальная длина волны.

В вырожденном электронном газе минимальная длина волны соответствует электронам с энергией Ферми WF = й2^^./2тГ Тогда введенное условие о большой длине экранирования имеет вид

厶тф •々尸》1.(9.48)

Если выразить Z/гф и kF через микроскопические константы и мировые постоянные, то получим

Здесь а* ——эффективный боровский радиус

а 三 а。 ;的=у-(9.49)

/п*//по/По

и rs = п~,/з — среднее расстояние между свободными электронами, если считать их точечными зарядами. Тогда условие (9.48) принимает вид

а 》％・(9.50)

Это эквивалентно тому, что кинетическая энергия свободных электронов должна быть намного больше потенциальной энергии кулоновского отталкивания (предел высокой плотности). Интересно, что в полупроводниках это условие достигается быстрее, чем в металлах. В полупроводниках концентрации электронов намного меньше и тем самым rs много больше, чем в металлах. Однако и эффективный боровский радиус а* обычно намного больше, чем в металлах, из-за большой собственной поляризуемости решетки £丄 и чаще всего малой эффективной массы электронов (ср. задачу 9.7)!

Задачи

Рассчитать зависимость плотности тока от времени • в периодическом электрическом поле, имеющем форму прямоугольных импульсов 1:1с периодом 2т, 8т (рис. 9.1).

Показать аналитически, что преобразование луча 0 W(о V 8 на плоскость о®) есть полуокружность.

Примечание

При дробно-линейных преобразованиях zf = (az + b)/(cz + d) с комплексными а, Ь, с, d и ad — Вс 耍 0 окружности и прямые на плоскости z переходят в окружности и прямые на плоскости 2‘. Тем самым, зная образы z‘ в трех точках окружности, имеем полную кривую на плоскости z. Постройте примеры!

Из измеренных значений е‘, £〃 (рис. 9.7) рассчитать величины ①丿 Ор, п при температурах 100, 50 и 20 К. Поскольку измерения проводились на частоте 37,4 ГГц, то условие со《сор больше не выполняется, так что следует использовать (9.24)!

Вычислить концентрацию свободных электронов в калии, исходя из экспериментальных данных, представленных на рис. 9.9 (т* = mo, 8l = 1). Сравнить с плотностью атомов в твердом калии (атомное число 儿=33丄 плотность рк = 0,862 г/см8).

Мнимая час1ь е〃 диэлектрической функции некоторого полупроводника при охлаждении на определенной частоте дважды принимает одно и то же значение, хотя концентрация носителей остается неизменной. Какой вывод следует отсюда для частот столкновений?

Какое расстояние могут пройти свободные электроны за счет тепло, вой скорости за % периода плазменных колебаний (рассеянием пренебречь): а) в полупроводнике (% = 16, /п* = 0,1/п0, 〃 = 2 • 10心 см-з, Т = 300К)・ б) в металле (eL= 1, /п* = m^ п = 1022 см-3)?

Вычислить длину экранирования в электронном газе для вырожденного полупроводника с концентрацией электронов 〃= 1014 см~3, соответственно 〃=1018 см-3 (например, Ge:匕=16; т* = 0,1/п0 и InSb: eL= 17,9; т* = ==0,01/по). Сравнить для этих случаев эффективный боровский радиус а* со средним расстоянием между электронами г$. Каковы эти значения по сравнению с соответствующими значениями для меди (е = 1, /п* = т^ п «8,4 • 1022 см-3)?

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В КОНДЕНСИРОВАННОЙ СРЕДЕ

Исследование свойств твердых тел с помощью электромагнитных волн обычно производится при столь высоких частотах, что уже невозможно провести простые измерения на переменном токе. Из-за малых длин волн (часто существенно меньших, чем размер образца) соответствующие электромагнитные поля необходимо рассматривать как распространяющиеся электромагнитные волны и на этой основе получать интересующие нас характеристики среды.

Поэтому мы выведем из уравнений Максвелла и материальных уравнений волновое уравнение, описывающее связь между соседними участками в твердом теле. Самосогласованное описание микроскопических возбуждений и сопровождающих их полей приводит к понятию поляритонов.

Формулы для коэффициентов отражения и поглощения в случае полупространства и плоскопараллельной пластины выведены в приложении (с. 218).

Дальнодействие и уравнения Максвелла, поляритоны

Для твердых тел особенности спектров (резонансные линии, края поглощения, края отражения и т. д.) обычно лежат при высоких частотах. Поэтому они исследуются с помощью микроволновой или оптической техники при наблюдении распространения электромагнитной волны.

При таких высоких частотах амплитуда и временное запаздывание отклика среды на изменение поля в точке определяются также пространственной структурой возбуждения. Вследствие конечной скорости распространения полей изменение поля в разных точках в одно и то же время оказывается различным. Такой эффект в электродинамике называют запаздыванием.

Простое временное запаздывание приводит к зависимости комплексных кинетических коэффициентов от частоты (со = = 2л/Т), которую описывают в соответствии с (9.8) локальной теорией последействия. Пространственное запаздывание приводит к зависимости характеристик вещества от волнового числа (尼= 2п/九).Это требует описания с помощью нелокальной теории дальнодействия.

Мы рассмотрим здесь простейший случай электромагнитной теории дальнодействия, предполагая, что отклик среды опреде* ляется только электромагнитными полями в данной точке и что запаздывающая реакция в окрестности рассматриваемой точки приводит только к запаздыванию электромагнитного поля в этой окрестности, но не к каким-либо другим связям в рассматриваемой среде. Соответствующая теория дальнодействия в этом случае приводит к волновому уравнению, в котором следует определить фазовую скорость через «локальные» свойства материала. Частоту(о и волновое число k теперь нельзя считать независимыми. Для определения связи(о и ft следует найти из материального уравнения фазовую скорость с. Тогда из волнового уравнения связь определится как 91c = k.

Волновое уравнение мы выводим из уравнений Макс

велла I)」)：

击VXB = %£ + P+j + VXM,(10.1)

VXE = ~ В,(10.2)

eoVE = р — VP,(10.3)

▽ B = 0.(10.4)

Теория Максвелла — теория дальнодействия. Она использует дифференциальные уравнения, связывающие временные и пространственные (rot, div) производные. Зная поле в каком-то одном месте (граничные условия), можно найти возбуждение в других местах.

Поясним на примере немагнитных сред (М = 0), какую задачу следует решить.

Согласно (10.2), источниками электрических полей в точке г являются переменные во времени магнитные поля в окрестно* сти /. Источниками для магнитных полей служат переменные электрическое поле Е и поляризация Р, а также плотность тока j (10.1).

Величины Р и / в свою очередь зависят от электрического поля в данной точке. Эта зависимость определяется линейными локальными материальными уравнениями

Р = еохеЕ,(10.5)

j = oE・(10.6)

* j

Мы пользуемся при записи оператором набла:

V X as rot a; Vamdiva; Va 三 grad а.

Более принято первые из уравнений Максвелла записывать не через М, а через Н == В— М. — /7рам ред.

Электрическое поле с помощью (10.2) определяется магнитным полем. Итак, круг замкнулся!

Таким образом, мы должны искать самосогласованное решение, удовлетворяющее и уравнениям Максвелла, и материальным уравнениям среды (рис. 10.1).

При этом Р и / не обязательно определяются только внешними электрическими полями. Они могут быть, например, обусловлены тепловыми флуктуациями (тепловое излучение). Кроме

Рис. 10.1. Образование поляритонов при взаимодействии электромагнитных полей с веществом (среда немагнитная, М = 0).

того, дополнительное электрическое поле может создаваться экспериментатором. Вклады такого рода на рис. 10.1 обозначены индексом《внеш》.

Коэффициенты %е и о, называемые обычно восприимчиво- стями, следует определять из эксперимента или связывать с теорией при помощи микроскопических моделей.

Если задача 10.1 решена, то известны разрешенные (①,尼)・ пары для возможных микроскопических возбуждений среды, сопровождаемых макроскопическими электромагнитными полями. Такие возбуждения называются поляритонами.

Волновое уравнение для электромагнитных полей

Мы ограничимся рассмотрением плоских волн

2 = 2o exp U (кг —(о/)]-(10.7)

Здесь 2 ——какая-либо из полевых величин; Е, В, Р и т. д. Знак минус в аргументе означает, что берется волна, бегущая «вправо»: например, положение нулевой фазы Q = kx — a)t дви^ 率ется с фазовой скоростью с =вдоль % = ct.

Используя предположение (10.7), мы выбираем гармонические решения. Эти решения можно получить так же, как пространственно-временные фурье-компоненты произвольного волнового поля [ср. с разд. 9.1, формулы (9.9) и (9.10)].

При таком предположении уравнения Максвелла становятся линейными 1)

±ikXB = — is(eoE + P) + j + ikXM, (10.8)

kXE = sB,(10.9)

/еок・Е = р —ik・P,(10.10)

к - В = 0.(10.11)

Исключая В из (10.8) и (10.9), получаем

к X (к X Е) = — со2Ио(еоЕ + Р) — 词闯 + SRok X М. (10.12)

До сих пор мы не накладывали ограничений на взаимную ориентацию Е, В, ... и направление распространения волны к. Разложим теперь все векторы на продольную (L) и поперечную (Т) составляющие

E = Et + El； к • Ег ^ 0; к X EL ^ 0;

P = P「+ Pl и т д.(10.13)

При таком разложении с учетом соотношения aX(b X с)= х= Ь(ас)——c(ab) для левой части (10.12) получаем

к X (к X Е) = к (кЕт + kEJ - k2ET 一 fe2EL. (10•⑷

Итак, справа в (10.12) продольные составляющие полностью компенсируются. Таким образом, уравнения можно записать независимо для двух составляющих, продольной

O = co(eoEL+PL) + /jL(10.15)

и поперечной

々2е「=(о2ц0 (е0Ег + Р?) + is卩ojr — s^ok X M.(10.16)

Оба этих уравнения справедливы и для анизотропных сред!

Продольные волны

Выясним теперь, каким условиям должны удовлетворять восприимчивости, чтобы могли существовать продольные Е-волны.

*) Такую форму записи называют также «фурье-преобразованными урав、 нениями Максвелла»,

Из (10.15) следует, что в случае продольных волн токи смещения е0Ё + Pl и проводимости 红 должны компенсировать друг друга. Такое условие требовалось также для существования плазменных колебаний (разд. 9.3). Плазменные колебания представляют собой пример процесса, сопровождаемого продольными £-волнами.

Подставляя в (10.15) Р и j из материальных уравнений (10.5) и (10.6), получаем

О^Ед + хеЕг + ^Ед.(10.17)

Для изотропного случая, когда %е и о — скаляры, комплексная диэлектрическая функция должна иметь нуль на частоте ①丄：

е=1+Хе + /^ = 0.(10.18)

Поскольку на частоте, соответствующей обращению в нуль диэлектрической функции, токи смещения и проводимости компенсируются, то соответствующая волна, согласно (10.1), распространяется, не сопровождаясь магнитным полем. Тем самым электромагнитное дальнодействие выключается. Каждой такой частоте(о могут соответствовать произвольные значения д.

На диаграмме (со, q) (см., например, рис. 13.4) продольным колебаниям соответствует горизонтальная линия】).

Поперечные волны

Рассмотрим аналогично условия для существования поперечных волн. Намагниченность в (10.1) может быть обусловлена как магнитными, так и электрическими полями (например, при оптической активности), однако, с другой стороны, эти магнитные взаимодействия электромагнитных волн со средой часто малы, так что мы снова рассмотрим случай М = 0.

Вводя обозначение k^ = ®2ц0е0 = ^/(^ (/^0 — волновое число электромагнитной волны с частотой (о, распространяющейся в вакууме) и комплексный показатель преломления (см. разд. 10.5)

五=禱=江，(10.19)

связывающий волновые числа 尼，々о, соответственно фазовые скорости с, & волны в среде и вакууме, получим из (10.16)

呜=Е「+ 夫 + i ±・(Ю.20)

')Такой результат возникает потому, что в материальных уравнениях (10.5) и (10.6) мы считали связь локальной. При этом мы не учитывал^ каких-либо взаимодействий не электромагнитной природы!

С учетом материальных уравнений — сначала снова для изотропного случая ——имеем дисперсионное соотношение для рао пространения поперечных Е-волн:

尼2 =半泳；й2 = е==1 +Xe + i—- (10.21)

При частотах, когда могут распространяться продольные Е-волны, для которых е = 0, поперечные волны вырождаются в колебания. Поскольку из п2 = е = 0 следует, что 论=0, с->8, то колебания однородны.

Комплексный показатель преломления

Комплексный показатель преломления п разлагается на действительный показатель преломления п и коэффициент пo^ глощения х:

п = п+/х.(10.22)

При этом нашу плоскую волну можно представить в виде

Е = Ео exp [/ (кг —砌]=Ео exp [/ (nkor — о/)] exp [— хког]. (10,23)

Эта волна распространяется с фазовой скоростью cQ/n и затухает в пространстве экспоненциально. 〜

Поскольку для немагнитных сред п2 = е, то для действие тельной и мнимой частей показателя преломления получаем

/ =几2 — 乂2, е〃 = 2пх.(10.24)

Это два важнейших уравнения для сравнения теории с экспериментом. Они позволяют определить восприимчивости, исследуя распространение электромагнитных волн.

Выражения для коэффициентов отражения и поглощения поперечных волн для полупространства и плоскопараллельной пластины приводятся в приложении. Там же рассматривается распространение волн в общем случае, включающем также и магнитные среды (М #= 0).

Задачи к гл. 10 приводятся в конце приложения (с. 250).

ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОВОДНИКОВ

С помощью диэлектрической функции, введенной для проводников в гл. 9, мы рассчитаем отражение и прохождение электромагнитных волн для полупространства и плоскопараллельной пластины. При этом мы будем различать металлы и полупроводники. В металлах диэлектрические свойства определяются только электронами проводимости. В полупроводниках при высоких частотах вклад от поляризуемости остова превышает вклад от свободных носителей.

Наряду с общим спектральным поведением мы обсудим характерные свойства, такие, как плазменный край и отражение Хагена — Рубенса, а также приведем приближенные формулы для некоторых спектральных областей. Будет показано, что исследование поглощения методом Друде является наиболее удобным для оценки зависимости времени столкновений от частоты, т. е. энергии. В металлах мы, кроме того, рассмотрим проникновение световой волны, так называемый скин-эффект.

Общие оптические свойства полупроводника

Мы рассматриваем полупроводник в спектральной области частот, меньших частоты резонанса валентных электронов (разд. 3.6) (такие резонансы называют часто межзонным или фундаментальным поглощением). В этом случае вклад валентных электронов в диэлектрическую функцию можно описывать не зависящей от частоты восприимчивостью %вэ・ Мнимой частью восприимчивости можно пренебречь. Обычно суммируется вклад вакуума и валентных электронов

%=1+%в夕 (11・1)

Поскольку резонансы валентных электронов в полупроводнике начинаются с «электронного края зоны», которая для полупроводников лежит где-то между 0,3 ... 2 эВ, то мы находимся в инфракрасной области спектра и при еще более низких частотах (V < 2000 ... 15 000 см— f <7-1013—5-Ю14 Гц, Х>4 ... ...0,2 мкм). Предположение о чисто действительной восприимчивости валентных электронов соответствует тому, что оболочка валентных электронов под действием света колеблется по отношению костову с той же частотой («виртуальные возбуждения»),

но, с другой стороны, частоты, т. е. энергии фотонов еще достаточно малы, так что электроны из валентной зоны не могут перейти в зону проводимости (нет возбуждения «реальных состояний»).

Далее мы предположим, что колебания решетки не дают вклада в поляризуемость. Это довольно реальное предположение, если рассматривать полупроводник в области частот, существенно больших резонансных для тяжелых атомов решетки. Тогда они не успевают следить за быстрыми колебаниями све」 товой волны. Или же мы рассматриваем кристаллы, имеющие не более двух атомов на элементарную ячейку (например, алмаз, Si, Ge или As, Sb, Bi). В таких веществах из условий симметрии длинноволновые искажения решетки не дают вклада в поляризацию. Влияние колебаний решетки на оптические свойства проводников более точно мы рассмотрим в гл. 13.

При таких предположениях вклад в восприимчивость от ионной решетки, относительно которой мы рассматриваем свободные носители, можно представить, в виде не зависящей от частоты действительной диэлектрической проницаемости 8丄= = £8=1+ %ВЭ.

Действительную не зависящую от частоты диэлектрическую проницаемость получают также для частот, много меньших резонансных (оптических) колебаний решетки, так что атомы колеблются в фазе со световой волной и энергия не диссипирует («виртуальные возбуждения»). В таком случае вклад колебаний решетки в диэлектрическую проницаемость описывается ВОСПРИИМЧИВОСТЬЮ %фон：

立= 1+%вэ + %фон・ (11.2)

Это значение часто называют также £s — «статической» диэлектрической проницаемостью диэлектрика.

Для дальнейшего обсуждения рассмотрим действительную и мнимую части диэлектрической функции (9.24) и нормируем все частоты на сот:

2i一磋而7 = 5口2田'⑴3

%8 8： + GJ? R 1 + Q?%8 8： + GJ? R 1 + Q?(И.4)(И.4)

%8 8： + GJ? R 1 + Q?

%8 8： + GJ? R 1 + Q?

(И.4)

(И.4)

где П s ®р/сот, Qms/a\・

Сильно рассеивающие образцы с высокой концентрацией (П2 〜п) при высоких частотах ведут себя аналогично образцам с низкой концентрацией дефектов, слабо рассеивающих при низких частотах.

Таким образом, можно получить для модельного германия кривые, изображенные на рис. 11.1 для е, а также Я и р), если выбрать концентрацию примесей и время столкновений так, чтобы получить соответствующее значение параметра П (см. табл. 11.1) (er = 16, ли* = 0,1/ио).

Рис. 11.1. Кривые 瓦亢 н 0 для полупроводника с различной концентрацией носителей и с разным рассеянием (модельный германий, табл. 11.1).-

Из графиков для показателя преломления п и коэффициента отражения р видно, что в зависимости от того, меняет ли е; знак (кривые 3, 4, 5) или нет (кривые 1, 2), кривые 亢 проходят либо выше, либо ниже прямой п = 乂.

На рис. 11.2 показаны соответствующие спектры отражения. При малом рассеянии (кривая 4) имеется резкий край отражения, с ростом рассеяния он размывается (кривая 2).

На рис. 11.3 приведены спектры прохождения для плоскопараллельных пластин,вычисленные по формулам (П.89), (П.90).

Рис. 11.2. Коэффициент отражения для полупроводника («= 1018 см~3) в окрестности плазменного края (модельный германий, табл. 11.1).

Рис. 11.3. Прохождение и отражение для плоскопараллельной полупроводниковой пластины (модельный германий, табл. 11.1, п = 10^ См~3, d = 100 мкм).

Минимумы в спектрах соответствуют резонансам Фабри — Перо. Для примера дополнительные к ним спектры отражения (П. 85) для плоскопараллельной пластины также приведены на рис. 11.3.

Таблица 11.1

Модельный германий (см рисунки в гл. 9—12, е^ = 16,0, ш* = О,1то; чистому Ge соответствует п = 0)

Кривая

1

2

3

4

5

S

Концентра-' ция 九,см—"

Время столкновений •

г. С

1014

10二：

1°-：

КГ ：

10-：

10-9

ОО

106

]0-：

10」：

1。-：

10一 ：

ю~10

ОО

1018

10—3

ю-12

10~11

ОО

П =(0р/©т

0,18

1,8

18

180

1800

ОО

В следующих разделах мы займемся более подробно отдельными участками спектра.

Плазменный край

На спектрах рис. 11.2 имеется более или менее резко выраженный край отражения. Существование его понятно для идеального нерассеивающего образца: в самом деле,ez = eL — (о^/ш2 есть монотонная возрастающая кривая, которая при

Ор2 = */е,

меняет знак. Из е‘=几？ — 乂2 и &〃 = 2〃乂 = 0 (табл. П. 2) следует, что при со》崂 показатель преломления является действительным, т. е. р лежит на действительной прямой (см. рис. П.5); наоборот, при s<% показатель преломления чисто мнимый, т. е. р лежит на единичной окружности |р| = 1, образец все отражает. Поскольку полное отражение впервые возникает на частоте плазменного резонанса ®+ (разд. 9.3), то этот предел изменения характера отражения называют плазменным краем. Но следует иметь в виду, что в нашем примере нормального падения поперечной световой волны плазменные колебания не возбуждаются. Они являются объемными, чисто продольными колебаниями (VD = р).

Спектральное поведение плазменного края различно для полупроводников и металлов. В полупроводниках только часть электронов освобождается в зону проводимости, т. е. остается заметная поляризуемость от валентных электронов %вз・ В предельном случае диэлектрическая функция принимает значение gl= 1 + %вэ. Поэтому сразу же выше частоты ®+, где меняется знак, f достигает значения 1 и отражение исчезает.

Поэтому для полупроводников плазменный край очень узок по частоте и быстро достигается минимум отражения. В идеальных металлах, наоборот, все «валентные» электроны являются свободными, так что газ свободных электронов обеспечивает когерентность. Отсутствует исходная поляризация решетки, так

Рис. 11.4. Плазменный край в спектре отражения (а) полупроводника (модель табл. 11.1) и (6) металла(Ор/сот ^ 50; / — 8‘, R без рассеяния; 2 — е〃, R с учетом рассеяния.

что sl ^ 1. Отражение асимптотически спадает до нуля, плазменный край сильно размазан.

Такое поведение показано на рис. 11.4. Если учитывать поглощение (е〃 « 0), то показатель преломления становится комплексным, т. е. и и х могут быть одновременно отличны от нуля. Поэтому полное отражение уменьшается (см. также рис. П.В). Кроме того, возрастает значение коэффициента отражения в минимуме при п = 1, поскольку теперь остается конечное значение R = 乂?/(2 + х2).

Поскольку причиной существования плазменного края является смена знака е\ то его можно наблюдать только в сильно легированных образцах, т. е. при слабом рассеянии, а именно если выполнено условие 1Р = %/吗 ＞电(рис. 11.1, 11.2).

На рис. 11.5 показан хорошо выраженный край поглощения цля полуметалла висмута [И.1]. ”

В металлах, несмотря на сильное рассеяние ((ot до 1016 с-1), условие s^》«2 всегда выполняется из-за высокой концентрации носителей (п « 8 -1022 см~3). Плазменный край обычно лежит в ультрафиолетовой области ((ор « 1,6- Ю16 с", Хр = =0,1 мкм, Й(ор = 11 эВ). Таким образом, в длинноволновой

Рис. 11.5. Плазменный край в спектре отражения висмута [11.1].

С ростом температуры минимум становится более широким за счет роста рассеяния и сдвигается из-за изменения эффективной массы.

видимой части спектра металлы полностью отражают, что обусловливает существование характерного блеска металлов.

Примечание

Блеск многих полупроводников (например, Si, Ge, Те, Feg) в видимой области спектра обусловливается большими значениями п и х за счет возбуждения валентных электронов (разд. 3.6)!

Из поведения отражения в области плазменного края можно определить спектральные параметры(ор)он и ед, соответственно микроскопические величины п//п* и т.

Если край очень резкий, то его положение определяет приближенно величину(о+ (например, точка перегиба S-образной кривой отражения).

Положение и глубина минимума отражения позволяют определить о)+ и 8T. Тем не менее для этих величин отсутствуют какие-либо приближенные формулы, поскольку в окрестности

плазменного края действительная и мнимая части е, соответственно 亢，одного порядка. Поэтому обычно стараются выбором параметров 唠 и % получить расчетную кривую как можно ближе к экспериментальным значениям R (подгонка параметров).

Выше плазменного края часто е‘ 》е〃・ В таком случае отражение определяется практически только n = Ve， [см. (П. 49)]. Вычисляют коэффициенты отражения из ez = eL — со^/со2 и наносят их на график как функцию 1/(о2 (см. рис. 9.8). Экстраполяция при £‘= 0, или (о-> 8, дает £丄 и ①口. В сильно отражающей области, где х » п или даже 乂》п, результаты отражения можно истолковать, только зная фазовый угол коэффициента отражения.

В металлах, для которых из-за 乂》п п)ри перпендикулярном падении R 方 1, фазовый угол определяют методами эллипсометрии. Для этого измеряют отражение при двух различных, не равных 90° углах падения для волн, поляризованных перпендикулярно и параллельно плоскости падения. Отсюда можно определить независимо п и х. На рис. 9.9 показано поведение е‘, определенное описанным способом для калия [9.6].

В полупроводниках обычно значение R ^ 1 никогда не достигается. Ниже плазменного края коэффициент отражения также имеет сложный вид. Если известен коэффициент отражения R для всех частот, то из соотношения Крамерса — Кронига (СКК) можно найти фазовый угол 6 [11.2]:

6(吁疔о

Поскольку отражение можно измерить только в ограниченном интервале частот, то необходимо использовать модельную экстраполяцию при сот0 и (о->8. Применение СКК позволяет получить пригодные результаты только в том случае, если отражение заметно меняется с частотой.

Другую возможность для измерения амплитуды и фазы отражения дает интерференционная спектроскопия, асимметричная фурье-спектроскопия [11.3].

Ультрафиолетовая прозрачность металлов

В металлах действительная часть диэлектрической функции решетки близка к единице, поскольку в них в отличие от полупроводников нет легко поляризующихся оболочек валентных электронов. Возбуждения глубоко лежащих электронов, например d-электронов (межзонные переходы), дают вклад в погло-

щение, но не могут существенно изменить е'・ Если не рассматривать этот вклад, то металлы при со >(0р становятся необычно прозрачными. Отражение очень быстро падает, поскольку показатель преломления стремится к единице (рис. 11.6). Уже при

Рис. 11.6. Оптические постоянные и, х в окрестности плазменного края для металла (%/% 4 50).

(о « 1,5(ор отражение составляет примерно 2% (рис. 11.4,6). Поэтому для прохождения через слой имеем (П. 90)

То = (1 一 R2)exp (— Kd» exp (— Kd). (11.15)

Полагая ^r « ©p^J®3 и n « 1, получаем коэффициент поглощения (П.81)

В нашем примере на рис. 11.4 было принято(от « 3-1014 с", откуда Со/сот ^ 1 мкм. Таким образом, слой толщиной d= 1/К имеет прозрачность 1/е = 37%; в нашем примере, когда ^ 2 мкм, такая прозрачность достигается при частоте (о ^ 。1,5(0р, т. е. при 九(о = 16 эВ, X = 77 нм. Такая прозрачность

Таблица 11,2

Плазменная частота и плотность упаковки для щелочных металлов

НМ

эВ

1 % Li 丿

%，Li

Li

155

8.01

1

1

Na

210

5,91

0,55

0,55

К

315

3,94

0,24

0,29

Rb

340

3,65

0,21

0,23

Cs

—

—

0,18

металлов существует вплоть до появления других оптических возбуждений. Особенно ярко это выражено в щелочных металлах, поскольку они имеют наиболее простую электронную структуру. Единственный валентный электрон в атоме при образовании твердого тела становится свободным электроном в металле. Все другие электроны образуют полностью заполненные оболочки инертных газов, т. е. очень сильно связаны.

Сравнение определенных оптически значений ①口 в ряду щелочных металлов показывает, что различие их хорошо объясняется плотностью упаковки (табл. 11.2). Это означает, что эффективные массы и число электронов проводимости на атом металла одинаковы для этих элементов (см. [1.4], с. 291 и [9.6]).

Прозрачные ,,тепловые зеркала11

Для различных применений необходимы фильтры, прозрачные в видимой области спектра, но хорошо отражающие в инфракрасной. Именно такими свойствами обладают слои легированных полупроводников SnO2 и 1п2О3. Для этих веществ возбуждения валентных электронов лежат в ультрафиолетовой области (>2,5 эВ). Поэтому слои прозрачны в видимой части спектра. Поскольку эти вещества хорошо легируются (в SnO? атомы Sb, а в 1п2О3 атомы Sn являются донорами), то плазменный край можно сдвинуть вплоть до красной границы видимого света. Например, в 1п2О3 с концентрацией электронов порядка 1021 см-4 длина волны, соответствующая плазменному краю, Хр = 1 мкм. Для (Op/(ot е 40 края отражения также достаточно резки.

Для применений эти полупроводниковые слои наносятся на стеклянную подложку. Разберем некоторые примеры [11.4].

В используемой для освещения лампе газового разряда с парами натрия для достижения необходимого давления паров температура внутри газоразрядной трубки должна составлять около 540 К. Чтобы уменьшить тепловые потери во внешнюю среду, трубку окружают защитным слоем, препятствующим теплопроводности и конвекции. Остаются только потери на излучение в инфракрасной области спектра, максимум которых, соответствующий 540 К, лежит при Хмакс = 5,4 мкм. Нанося на изолирующий слой пленку, пропускающую видимый свет, излучаемый лампой, а именно XNa_D = 0,59 мкм, и отражающую инфракрасные волны, можно уменьшить тепловые потери. Такими свойствами обладают пленки рассмотренных полупровод。 ников (рис. 11.7, а)】).

Рис. 11.7. Прозрачные тепловые зеркала из слоев 1п2О3 [11.4].

а ——теплозащитная оболочка для натриевой лампы; сравнение коэффициентов отражения оболочки с положением в спектре линии излучения Na (Na — D) и теплового излучения разряда (Р). 6 — оболочка коллектора солнечного света； отражение R и прохождение D через оболочку по сравнению со спектром солнечного излучения (S) и тепловым излучением нагретого коллектора (Р). в — теплозащитное оконное стекло; отражение (R) и прохождение (D) через стекло по сравнению со спектральной восприимчивостью глаза (V) и тепловым излучением жилой комнаты (Р).

При других применениях бывает необходимо поглощение видимого света, с тем чтобы уменьшить тепловое излучение в исследуемом месте. Это необходимо для коллекторов солнечного света и оконных стекол. Максимум излучения солнечного спектра лежит при Хмакс = 0,5 мкм. В коллекторе солнечного света излучение нагревает поглощающий элемент примерно до 400 К. Оконное стекло пропускает свет в комнату, температура которой примерно 300 К. В обоих случаях потери на тепловое излучение за счет разности температур комнаты и окружающей среды (по меньшей мере зимой) имеют максимум на длине волны Хмакс = 6—8 мкм. И в этом случае можно уменьшить потери с помощью полупроводниковых фильтров (фиг. 11.7, б, в). Нанося полупроводниковый слой на двойные стекла, можно уменьшить потери более чем вдвое по сравнению с обычными двойными стеклами!

Предел Хагена—Рубенса

При низких частотах со《硏 диэлектрическую функцию можно приближенно записать (9.25)

У 电一学； /。州/7s =00/瞰.

Поскольку здесь d постоянна, a e〃 〜1/s, то для достаточно малых частот е〃》I е‘ I, откуда п « х « “е〃/2 (см. табл. П. 2). Это предел Хагена — Рубенса, при котором оптические свойства определяются только статической проводимостью:

м « х « Vа0/2е0®.(11.7)

Поскольку е〃》|е'|, то п, 乂》1. Отсюда для коэффициента отражения получаем приближенное значение

п (м — 1)2 + 乂？2几2 —- 2几 几一112

Z(〃 + 1)2 + 乂22n2 + 2nn+ 1丄〃 •

Отклонение от полного отражения определяется формулой Хагена —Рубенса

(1L8)

Таким образом, проводники, особенно металлы, отражают тем хуже, чем хуже их проводимость. Для примера рассчитаем отражение германиевого и медного зеркал для волн 九о = 1 см, зная проводимость (разд. 6.4):

ГерманийМедь

00 = 62 (Ом • см)〕％ = 6,5 • Ю4(Ом • см)~1,1-R = 4,6%, l-R = 0,14%・

Хаген и Рубенс исследовали эти малые отклонения от полного отражения для различных металлов с помощью спектров излучения и получили зависимость от проводимости и частоты в согласии с формулой (11.8) [11.5]. Согласно закону Кирхгофа, коэффициент поглощения Л любого тела равен его излучательной способности Е.

Учитывая, что R + 4+T=l, для непрозрачных образцов (Г = 0) получаем

1 —R = 4 = E(11.9)

В эксперименте сравнивается излучение чистых металлов с излучением абсолютно черного тела (Е = 1).

Рис. 11.8. Отражательная способность полупроводника (модельный Qe, табл. 11.1; т = 10~12 с).

Пунктирные кривые — приближение Хагена — Рубенса для низких частот.

Благодаря такому соотношению на много порядков улучшилась точность измерений и резко уменьшились требования к точности эксперимента: в то время как в экспериментах по отражению необходима точность порядка одной тысячной, в экспериментах по излучению требуется иметь чувствительность, достаточную для измерения слабых сигналов излучения металлов.

Предел Хагена — Рубенса характеризуется преобладанием в диэлектрической функции мнимой части е〃. Поскольку 1 — —R Vе0, то кривая отражения является вогнутой (Q2R/d①？> > 0). Большое отражение в области плазменного края определяется условием ех < 0. В этой области кривая отражения выпуклая ((PR/d(^ < 0). Экстраполяция спектров отражения в область малых частот, согласно (11.8), возможна только в том случае, если спектральные кривые являются вогнутыми (рис. 11.8).

В пределе Хагена — Рубенса, согласно (11.7), глубина проникновения dp = 1/%尼0 (П. 46) определяется только статической проводимостью:

dp=*=“ 爲.(11・1°)

В наших примерах при 九о = 1 см получаем Германий Медь dp = 37 мкм, dp = 1,1 мкм.

Поскольку в металлах при 300 К частота столкновений ①^ порядка 1015 с-1, то приближение Хагена — Рубенса справедливо вплоть до близкой инфракрасной области!

Слой Вольтеродорфа

В спектральных областях, где применимо приближение Хагена ——Рубенса, оптические свойства тонких металлических слоев не зависят от частоты. Для тонкого сильно взаимодействующего слоя из (П. 105) —(П. 107) при e”od =。。“帥分= =ZoGo* получаем выражение, не зависящее от частоты. Наконец, при е，2 N с"? получаем

R =

，ZoOod 、2

1 Nodod + 2 丿，

(11.11)

Т ==

(—2-y

\ zQaQd + 2

(11.12)

4 =

42oQo^

(11.13)

(z^.d + 2)2 •

В то время как R и Т являются монотонными функциями d (рис. 11.9), поглощение достигает максимума (А = 0,5) при толщине Волътерсдорфа [11.6]

加=工=生电=邑哭， (11.14) 飞。0 。0 ®n

Кроме того, при этом R = Т = 0,25. Металлические слои такой толщины являются хорошими поглотителями в инфракрасных и субмиллиметровых детекторах, поскольку при малом отражении они обладают сравнительно большим, не зависящим от частоты поглощением.

Используя измеренные проводимости (разд. 11.3), получаем Германий Медь

d犷= 0,8 мкм, dw = 8k.

Фактически толщина Вольтерсдорфа в металлах оказывается существенно больше вычисленной из объемной проводимости, поскольку в этом случае длина свободного пробега становится сравнимой с dw (разд. 6.4). Кроме того, структура

Рис. 11.9. Коэффициенты отражения (R), прохождения (Т) и поглощения (Л) для тонкого металлического слоя. dw — толщина Вольтерсдорфа (11.14).Рис. 11.9. Коэффициенты отражения (R), прохождения (Т) и поглощения (Л) для тонкого металлического слоя. dw — толщина Вольтерсдорфа (11.14).

Рис. 11.9. Коэффициенты отражения (R), прохождения (Т) и поглощения (Л) для тонкого металлического слоя. dw — толщина Вольтерсдорфа (11.14).

Рис. 11.9. Коэффициенты отражения (R), прохождения (Т) и поглощения (Л) для тонкого металлического слоя. dw — толщина Вольтерсдорфа (11.14).

тонких слоев уже неоднородна и поэтому проводимость уменьшается по сравнению с объемной. Поэтому, сравнивая объемную статическую проводимость с результатами оптических измерений для тонких слоев, можно исследовать даполнительное рассеяние на поверхностях.

Поглощение Друде в проводниках

Для коэффициента поглощения (П. 81) К = se〃/с()п в проводнике, где поглощение полностью обусловлено свободными носителями, учитывая (9.24), получаем выражение

(11.15)(11.15)

(11.15)

(11.15)

При высоких частотах (со》、，％) е〃《ez и ez 4 eL. В области частот, где отсутствует дисперсия (n = VsL ), имеем К 〜М&：

(11.16)(11.16)

(11.16)

(11.16)

Это и есть формула Друде для коэффициента поглощения электронами проводимости К ~ %? [4.1].

До тех пор пока материалы описываются соотношением (11.16),можно,измеряя поглощение (например,в инфракрасной

области) и сравнивая с результатами измерений статической проводимости а0, определить частоты столкновений или времена релаксации импульса т = 1/(от, поскольку Ко содержит явно (от и а0. Если графически представить зависимость 1пК

Рис. 11.10. Поглощение Друде свободными носителями в полупроводнике (модельный германий, табл. 11.1, п» 1016 см~3).

от со/(от, то результаты измерений при высоких частотах экстраполируются в область низких частот с помощью прямой, пересекающей горизонтальную прямую Ко 三 z^^/n при ①=①工 (рис. 11.10).

При малых частотах (ю《(от) коэффициент поглощения уменьшается с частотой. В этой области можно экстраполировать К = 2 乂尼 о с помощью приближения Хагена ——Рубенса (Н.7)

К 4 77 V ? £ = VSHo^o®-(11・17)

Таким образом, здесь К 〜s%・

При другом рассмотрении(от также делит шкалу частот на две области: при со《/ получаем К 〜唯％, т. е. поглощение уменьшается с ростом рассеяния, при(о》соъ наоборот, К ~ ①工 (см. разд. 9.1).

На рис. 11.11 показан пример классического поведения К ~ X2. Обычно наблюдакхт иные спектры поглощения. В основном это происходит потому, что времена свободного пробега и времена релаксации импульса зависят от энергии электронов

Рис. 11.11. Поглощение свободными носителями в теллуре при различном уровне легирования (р = 6 • 1016 ... 3 • 1018 см~3). Показано ^сечение поглощения для дырок» К/p- Для слабо легированного образца (/) на коротких волнах наблюдаются существенные отклонения от закона Л2, поскольку не выделено поглощение на краю зоны [11.7].

(см. гл. 6). Но именно поэтому измерение поглощения и динамической проводимости проводников является одним из наиболее успешных методов исследования процессов рассеяния в полупроводниках, как мы это покажем на примерах в следующем разделе.'

Примечание *

При высоких температурах наблюдаются отклонения от закона (11.16). При 应Т 九① поглощается не только энергия падающей электромагнитной волны, но и волн, возникающих в результате многократных процессов индуцированного излучения. Это объясняется тем, что теперь достаточное количество электронов возбуждено термически до энергии W》 》九(о. Слой толщиной dz поглощает dl^n = IKdz и одновременно излучает d/изл = IK ехр (——力①/归7) dz. Если определить коэффициент поглощения, сравнивая интенсивности падающей и прошедшей волн, то получим меньшее значение для эффективного коэффициента поглощения Кэфф =. ==К[1 —ехр(—九со/ЕТ)] [11.8].

Поглощение и динамическая проводимость при различных процессах рассеяния

Измерение динамической проводимости

Поскольку в оптическом эксперименте все процессы, связанные с полем электромагнитной волны, дают вклад в макроскопические свойства, необходимо найти способ выделения вклада свободных носителей.

Сначала из экспериментов по отражению и прохождению определяют значения п и х (см. приложение). Из них с помощью соотношений ех = п2 — х2 и £〃 = 2几乂 находят диэлектрическую функцию, которая складывается из восприимчиво- стей различных процессов:

g = ех + /8,Л = 1 + хвэ +хфон +%сн+・・・・(11・18) валентные полярные свободные электроны фононы носители

В спектральных областях, достаточно далеких от резонансов %вэ и %фон， эти вклады действительны и не зависят от частоты, т. е. их можно включить в восприимчивость исходного кристалла £丄《= 1 + %вэ + Хфон-

Но если хотят проводить измерения в окрестности резонанса Хсн, то во многих случаях необходимо выделить %сн, для чего сравнивается проводимость диэлектрика и хорошо проводящего образца. Поскольку %сн~" ~ & то, учитывая, что в первом порядке хвэ и %фон не зависят от концентрации п свободных носителей заряда, получаем

%СН = °пров — ®диэлв(11.19)

Если удалось выделить %сн, то следует рассмотреть динамическое удельное сопротивление (см. разд. 9.1 и п. 9.1.2)

о ®)=-电軟сн； Р(S)=誌Г =不%" • (1L2°) В частности, построение р((о) сразу дает отклонения от модели Друде, поскольку в этой модели р((о) распадается на два члена, один из которых не зависит от частоты и определяется рассеянием, а другой не зависит от рассеяния — инерционный член

р (s) = ~^Z ~2~ •(11.21)

80sp 80spчлен, связанный инерционныйс рассеянием член

Часто графически представляют также величину е0®2р (ш), 口。・ скольку эта комбинация имеет наглядный смысл частоты столкновений.

Обычно отклонения от модели Друде описываются зависящим от частоты комплексным удельным сопротивлением р [6.2]:

р ®) == 0’ + 力0"三 р (®) + i -—j-,(11.22)

поскольку нам известно, что 仰 зависит от энергии электронов (гл. 6).

Величины о((о) и р((о) связаны между собой следующим образом:

⑴・23)

При низких частотах ((о《(Ор) обычно р〃《pl

『2春以表；0"4 0.(11.24)

При высоких частотах (®》啕 чаще всего 认 0"《s/%,唯 от

куда следуеткуда следует『4^(* ；『4^(* ；(11.25)(11.25)

куда следует

куда следует

『4^(* ；

『4^(* ；

(11.25)

(11.25)

Рис. 11.12. «Разогрев» свободных электронов за счет поглощения фотонов с 方со》kT.Рис. 11.12. «Разогрев» свободных электронов за счет поглощения фотонов с 方со》kT.

Рис. 11.12. «Разогрев» свободных электронов за счет поглощения фотонов с 方со》kT.

Рис. 11.12. «Разогрев» свободных электронов за счет поглощения фотонов с 方со》kT.

т. е. в этом случае У пропорциональна р'・ Кроме того, отсюда видно, что о/ при высоких частотах стремится к нулю (предпо

лагается, что р‘ меняется медленнее, чем (о2). Но, поскольку действует закон сумм, это всегда выполняется (ср. задачу 11.5).

Динамическая проводимость при различных температурах

При поглощении одного фотона энергия электронного газа сначала увеличивается на Й(о. При низких частотах, соответственно высоких температурах,九(о《ЕТ, распределение электронов не меняется существенно под действием света. Электромагнитное излучение можно описывать переменным полем. Свойства вещества при этом опре-

деляются средним значением ча

стоты столкновений(от, как и проводимость или сопротивление

при измерениях на постоянном токе.

При высоких частотах (力(о》kT) при поглощении фотонов происходит разогрев электронов до энергий, которые много

выше термически заполненных состояний (рис. 11.12). Поэтому для (От нельзя ожидать того же значения, что и в статике, определяемого только усреднением по электронам с энергиями We ^ kT. Напротив, при высоких частотах используется значение т, определяемое из результатов измерений времени столкновений для электронов с энергиями We = Й(о. Поэтому отклонения от закона Друде сразу дают энергетическую зависимость т.

Таким образом, частота o)f s kT/И делит ось частот на две характерные области: при(о《①力 среднее значение т совпадает с результатами статических измерений. В этой области частот необходимо дополнительно учитывать индуцированное излучение {). При со》со» непосредственно получают зависимость т от энергии фотона, индуцированным излучением можно пренебречь.

Динамическая проводимость при высоких частотах для различных механизмов рассеяния

При высоких частотах, когда энергия рассматриваемых электронов одного порядка с энергией поглощаемого фотона Й(о, зависимость динамической проводимости от частоты или динамического сопротивления можно описать степенными законами, если соответствующие сечения рассеяния S, как и в гл. 6, также имеют степенную зависимость от энергии электронов. Если энергия фотона hs》Wf, то в этом случае нет больше разницы между вырожденным и невырожденным электронным газом.

Зависимость от температуры может появиться только в том случае, если сечение рассеяния само непосредственно зависит от температуры, как, например, при рассеянии на фононах, но не через энергию электронов.

Наконец, для частот s》①^ исчезают также эффекты экранирования, которые мы рассматривали при рассеянии на ионизованных дефектах (разд. 6.5 и 9.4), поскольку экранирующие облака пространственного заряда осциллируют с частотой плазменного резонанса sj [см. (9.32)]. Но если наш электронный газ совершает колебания около ионизованных дефектов с частотой ① 3 噂，то экранирующие облака уже не могут под него подстроиться.

С учетом We = Й(о и Ое = (2九(о//и)%, а также степенного закона для сечения рассеяния '

S〜嗯 (11.26)

получаем следующие зависимости:

0\ = % • % • S 〜0^+^^

0'®) =0'®) =дП+0,6,дП+0,6,(/((0)=里器^ 〜G)nT6,(/((0)=里器^ 〜G)nT6,(11.27)(11.27)^ («)=—^ («)=—〜tt)n-L5.〜tt)n-L5.

0'®) =

0'®) =

дП+0,6,

дП+0,6,

(/((0)=里器^ 〜G)nT6,

(/((0)=里器^ 〜G)nT6,

(11.27)

(11.27)

^ («)=—

^ («)=—

〜tt)n-L5.

〜tt)n-L5.

В табл. 11.3 представлены степенные законы для процессов рассеяния, рассмотренных в гл. 6 и некоторых других.

Таблица 11.3

Степенные законы для динамического сопротивления, проводимости и коэффициента поглощения при очень высоких частотах (сечение рассеяния S = S*W：)

Рассеяние на

Уравнение

п

%, О'

нейтральных дефектах

(6.8)

0

〜(0%

акустических фононах

(6.16)

0

〜&h

~ (0一%

заряженных дефектах

(6.29)

-2

пьезоэлектрических фононах

—

-1

полярных оптических фононах

—

-1

〜①一%

заряженных линиях

—

—

~ (0-4

Если в рассеянии участвует одновременно несколько процессов, то в динамическом сопротивлении члены от различных процессов рассеяния складываются

0(s) = 01(8) + 02®)+ ••-

до тех пор, пока выполняется правило Маттиссена аналогично сопротивлению постоянному току (разд. 6.7). Появления степенного закона следует ожидать, только если преобладает какой-нибудь один процесс. На рис. 11.13 представлены результаты измерений для теллура, для которого в исследуемой спектральной области при низких температурах преобладает рассеяние на ионизованных дефектах (о 〜"％ а при высоких температурах — на оптических фононах (ст 〜①一‘厶).Строгая теория одновременного описания обеих этих динамических величин развита Герлахом. В частности, в ней полностью учтены

процессы экранирования, а также переходная область между низкочастотным приближением Друде и высокочастотными степенными законами. Степенные законы, представленные в

Рис. 11.13. Динамическая проводимость теллура ([6.2], с. 172).

табл. 11.3, следуют из теории Герлаха в пределе(о->оо. Более точные аналитические выражения и предельные случаи ®->0 н сотоо имеются в [6.2].

Рис. 11.14. Динамическая проводимость (/) при рассеянии на ионизованных дефектах, (2) — поведение согласно модели Друде.

На рис. 11.14 показаны теоретическая и экспериментальная проводимости при рассеянии на ионизованных дефектах. Для сравнения приведена проводимость Друде, экстраполированная из области низких частот.

Рис. 11.15. Рассеяние на акустических фононах в германии (п = 101в см—)・ Для сравнения показаны положения v = kT/hco при Г =® 100, 300, 600 К, а также прямые (штрихпунктирные), соответствующие степеннбму закону K~L・

Рис. 11.16. Сечение поглощения КЦп + р) фотоиндуцированных электроннодырочных пар в кремнии (относительные величины) [11.9].

На рис. 11.15 показан член р((о), вычисленный для рассеяний на акустических фононах. До тех пор пока р описывается горизонтальной прямой, выполняется закон Друде. Примерно при 夕(0 4々7 кррвые отклоняются от прямой и при 九со 笈弘Т асимптотически приближаются к степенному закону р 〜s%, что соответствует часто наблюдаемой при этом зависимости коэффициента поглощения от частоты К 〜8』(рис. 11.16).

Скин-эффект

В сильно поглощающие или отражающие среды электромагнитное поле практически не проникает. Поле существует лишь в тонком слое на глубине проникновения (П.46)

d尸岀.(11.28)

Это явление называют скин-эффектом.

При расчете глубины проникновения мы рассматриваем среды без магнитных потерь (p/'dO). Тогда из (П. 47) Я = =九 + 2% = “巨口 для случая %》1, когда глубина проникновения особенно мала, приближенно следует (см. также табл. П.2); а) сильно поглощающая среда, е〃2》е":

気'UL29)

сильно отражающая среда, V 0; е/，2 С е，2:

3(11.30)

В случае сильного отражения, поскольку £‘》1, в образец проникает только слабое электромагнитное поле, однако глубина проникновения не мала.

Скин-эффект в металлах

Особенно ярко скин-эффект выражен в металлах вследствие их высокой проводимости. Если рассматривать металлы достаточно далеко от плазменного края, в области, где применимо приближение Хагена ——Рубенса, то из (11.10), учитывая магнитные свойства в соответствии с (11.28), получаем

%=小三⑴.31)

На рис. 11.17 показана глубина проникновения для меди [по(ЗОО К) = 6,5-104 Ом-4• см-」.В диапазоне мегагерц глубина

проникновения составляет всего лишь около 100 мкм. Таким образом, хорошие проводники очень сильно экранируют внешнее электромагнитное поле. Фактически низкочастотное поле также хорошо экранируется, поскольку и в этой области коэффициент отражения, согласно (11.8), близок к единице. Хорошее отражение обусловливает узел электрического поля на поверхности (см. разд. П. 10), магнитное поле, наоборот, имеет на поверхности пучность. Внутри проводника оно спадает на глубине проникновения (11.31). Поэтому, несмотря на высокую

Рис; 11.17. Глубина проникновения для меди при 300 К (модель, т = 2,8 • 10~15с)

отражательную способность свободных электронов, низкочастотные магнитные поля не экранируются.

В этом случае для экранирования используются магнитные материалы, поскольку ферромагнетики именно при низких частотах имеют очень большую восприимчивость ц с^ 103——105 (например, чистое железо, муметалл).

Аномальный скин-эффект

При вычислении глубины проникновения мы использовали динамическую проводимость из модели Друде. В этой модели в фазовом пространстве (координатно-импульсное пространство) статистически распределенные электроны заменялись некоторым средним электроном и подставлялась не зависящая от координат плотность (гл. 4). Результаты такой модели имеют смысл только в том случае, когда характерные величины (длина волны, глубина проникновения и т. д.), описывающие пространственные изменения электромагнитного поля, велики по сравнению с микроскопическими (атомные расстояния, длина

свободного пробега и т. д.), поскольку уравнение Друде (4.1) описывает локальное взаимодействие. Однако электрон, ускоряемый, например, в какой-то точке электрическим полем, несет информацию об этом на длине свободного пробега. Если такими процессами нельзя пренебречь при усреднении по микроскопическим структурам, то для описания используют теорию дальнодействия. В этом случае нельзя получить уравнения (4.1) или (П. 8) и (П. 9). Характеристики среды в таком случае зависят от координаты, а их фурье-образы ——от k.

Это имеет место прежде всего в металлах при скин-эффекте, если рассчитанная глубина проникновения dp сравнима с длиной свободного пробега /. Для меди при 300 К мы оценивали (разд. 6.4 и 11.3):

Длина свободного пробега Глубина проникновения при X = 1см /= 1бА dp = 1,1 мкм.

Учитывая приближение (6.16) /〜1/Т, находим, что при 3 К уже / > 办：/а 1600 А,办 а 1100 А. Для субмиллиметровых волн неравенство / > dp тем более выполняется 】).

При формальном расчете dp из (11.31) мы получаем для металлов столь малые значения за счет большого числа свободных носителей. Поскольку электроны переносят полученную от электромагнитного поля информацию на расстояние порядка длины свободного пробега /, мы получаем большее значение эффективной глубины проникновения d* > dp. Влияние поля простирается глубже. Это и есть аномальный скин-эффект.

Оценим глубину проникновения при аномальном скин-эффекте, согласно Пиппарду), основываясь на предположении, что только электроны, скорость которых V параллельна поверхности, дают вклад в экранирование. Электроны, движущиеся в основном перпендикулярно поверхности, наоборот, увеличивают глубину проникновения поля, т. е. препятствуют экранированию. Только .часть электронов '

%ФФ=4"九 (П.32)

не уходит после столкновений на глубину, ббльшую d, т. е. экранирует поле (см. задачу 11.8)..

Для глубины проникновения из (11.31) в общем случае получаем

Отсюда, если заменить концентрацию п на эффективную концентрацию (11.32), получаем аномальную глубину проникновения

2 J d*2 =」(О2 J d*2 =」(О80т* '2吟 80m*/啦ффТS в0 nd Т80т* '2吟 80m*/啦ффТS в0 nd Т(11.33)(11.33)

2 J d*2 =」

(О

2 J d*2 =」

(О

80т* '2吟 80m*/

啦ффТS в0 nd Т

80т* '2吟 80m*/

啦ффТS в0 nd Т

(11.33)

(11.33)

Для вырожденного электронного газа в металлах отсюда с учетом т = 1/vf получаем

(11.34)

Таким образом, аномальная глубина проникновения не зависит от /, поскольку большие значения / соответствуют не только слабому рассеянию, но и одновременно уменьшению эффективной плотности электронов. При очень высоких частотах слой становится столь тонким, что основную роль начинают играть процессы рассеяния электронов на поверхности, а не на рассеивающих центрах в объеме. Тогда глубина проникновения снова уменьшается, особенно если рассеяние электронов на поверхности является не диффузным, а зеркальным.

Аномальный скин-эффект исследовался на многих металлах [Mg, Al, Си, Ag, Zn, Cd, Cr, Mo, W, Bi]. Для измерений из этих материалов изготавливались полые резонаторы и измерялась их добротность. Потери измерялись калориметрическими методами.

Аномальный скин-эффект проявляется также и в отражении. В приближении Хагена — Рубенса мы полагали Rdl—2/х. С учетом к= l/d*^o получаем

1 一 R == 2fe0d* = (・ (11.35) \ %% /

Таким образом, отклонение от полного отражения при наличии аномального скин-эффекта сильнее, чем в классическом случае,

а именно в приближении Пиппарда на множитель (〃d°) 3. По эффективной глубине проникновения d* можно определить скорость Ферми Vf 1)!

Скин-эффект в сверхпроводниках

В рамках модели Друде мы описываем сверхпроводник как кристалл, в котором отсутствует рассеяние носителей заряда (от->0). Поэтому токи не сопровождаются джоулевыми потерями, так что при о > 0 имеем е〃 = 0. Поскольку е' = %2 —— ％2= =1 — s^/s2 и е〃 = 2пх = 0, то при ^ <^р существует конечная глубина проникновения dp = 1 /х^0 = 1/^о д/— е\ При малых частотах (со《о)р) это приводит к не зависящей от частоты лондоновской глубине проникновения электромагнитного поля в сверхпроводник:

盡=計・(u.36)

Если предположить, что вклад в сверхпроводимость дают все электроны (п с- 8* 1022 см-3), то получим di ^ 200 А.

Примечание

(11.37)(11.37)Фактически сверхпроводник (первого рода) вытесняет статическое магнитное поле вплоть до глубины проникновения di, если его охлаждают от нормального состояния до температуры ниже температуры перехода. Вытеснение магнитного поля называют эффектом Мейснера. Найденная нами глубина проникновения также справедлива в пределе сот0, что соответствует эффекту Мейснера. Наши уравнения получены из уравнений Максвелла для распространения волны, т. е. для зависящих от времени полей. Создаваемые токами статические поля "о не учитывались. Для «движущихся без трения» сверхпроводящих электронов аналогично модели Друде получаем

(11.37)

(11.37)

mv = &Е, j = &%v,

矶%г

==

dt tn

Это первое уравнение Лондонов.

Ток создает магнитное поле VX В/|л0 = j. Если электрическое поле само создается меняющимися во времени маг-

Так как 時 〜nlm 〜诡/乙 то 1 — R 〜(确)".Таким образом, по эффективной глубине проникновения можно определить фермиевский импульс р「，а в строгой теории — усредненную кривизну поверхности Ферми. — Прим, ред.

нитными полями, то выполняется соотношение VX Е = —В. Из этих трех уравнений с учетом равенства VX(VX а)= =V(Va)—Va и уравнения VB = 0 следует

А『专及 (11.38)

описывающее пространственное проникновение медленно меняющегося во времени магнитного поля в сверхпроводник. Пространственное интегрирование уравнений приводит к решениям типа В = Во ехр (——％/d", т. е. не может проникать только меняющееся во времени поле. Чтобы получить эффект Мейснера, необходимо распространить эти уравнения также и на случай статических магнитных полей:

—АВ = HoV X j = — ^- В.

В таком случае статические магнитные поля также описываются решением вида В = Во ехр (——x/db). Вводя для описания магнитного поля вектор-потенциал VX А йв Н, получаем второе уравнение Лондонов !):

А. (11.39)

Поведение сверхпроводника [ez = 1 — %/* е〃 = 0, что с п = 0, 乂 = ®р2 приводит к идеальному полному отражению] меняется при высоких частотах, если энергия фотонов достаточ-на, чтобы разрушить куперовскую пару (пара электронов с противоположными спинами, обусловливающая сверхпроводимость) (рис. 11.18),

力①> Wg = 3,5论Тс

(Wg — энергия связи двух электронов в куперовскую пару, Тс ——температура перехода нормальный металл — сверхпроводник).

Поскольку сверхпроводники хорошо отражают и миллиметровые волны, т. е. и при о > Sg, то определение поглощения очень затруднено. Ричардс и Тинкхэм [11.11] использовали для этого многократные отражения от сверхпроводящей полости. Болометр помещался так, что он регистрировал излучение только после многократного отражения (см. рис. 11.18).

Кроме того, чувствительность повышалась применением дифференциальной техники. При приложении достаточ«о сильного

Существуют сверхпроводники (так называемые сверхпроводники II рода), в которых эффект Мейснера не наблюдается. Естественно, к ним не отйосятся приведенные здесь формулы. — Прим. ped.

магнитного поля сверхпроводимость разрушается. Поэтому сравнивались сигналы в магнитном поле и без него. Мощность, поступающая на болометр, зависит от того, находится металл стенок в нормальном (N) или сверхпроводящем (S) состоянии. Если при энергии фотона 力s > We стенки перестают быть

Рис. 11.18. Измерение потерь за счет поглощения в сверхпроводнике в еуб- миллиметровом диапазоне [11.11]..Рис. 11.18. Измерение потерь за счет поглощения в сверхпроводнике в еуб- миллиметровом диапазоне [11.11]..

Рис. 11.18. Измерение потерь за счет поглощения в сверхпроводнике в еуб- миллиметровом диапазоне [11.11]..

Рис. 11.18. Измерение потерь за счет поглощения в сверхпроводнике в еуб- миллиметровом диапазоне [11.11]..

сверхпроводящими, то PsfPz. На рис. 11.18 представлены экспериментальные результаты (Ps — Р“)/Рм Учитывая, что мощность, поступающая на болометр, равна

Рболометр =® Ps, N = РoRs, М

коэффициент отражения /? = 1 — 2/% и всего имело место v отражений, получаем

上二3 =雪』2Pn R% I *N上二3 =雪』2Pn R% I *N(11.40)(11.40)

上二3 =雪』2

Pn R% I *N

上二3 =雪』2

Pn R% I *N

(11.40)

(11.40)

Эффект малой разности показателей поглощения за счет многократного отражения усиливается примерно в 100 раз (v = 100).

Задачи .

Вычислить плазменную частоту ор для щелочных металлов, полагая пе = ма,俏* =俏0・ Сравнить полученные значения с экспериментальными результатами табл. 11.2 (Li: р = 0,53 г • см-3, А = 6,94; Na: р = 0,97 г • см~3, А = 23,0; К： р = 0,86 г • см-3, Л = 39,1; Rb: р = 1,53 г • см~\ Л = 85,5; Cs: р = 1,88 г • см-3, А = 133).

Сравнить коэффициенты отражения, вычисленные в модели Друде и в приближении Хагена ——Рубенса, для германиевого и медного зеркал. Источник света HCN-лазер, частота 9 ГГц в микроволновом диапазоне и 890 ГГц в субмиллиметровом. (Модельные параметры: германий 8^= 16, /п* = 0,1 moi n= 1018 см~3» т = 5* 10~13с; медь 8^= 1, /п* = т0, п = 8,4 • 1022 см"3, К = 3 • 10一 15 с )

1L3. Найти отражение и прохождение для слоя 1п2О3 толщиной 0,3 мкм при А = 0,5 мкм я 九=10 мкм. (Параметры: з厶=4, m* = m0, n = 1021 см-3, т = 2,5 • 10 M с.)

Какова мощность излучения гладкой медной пластины при 600 К? Для полного излучения использовать приближенно спектральную излучательную способность меди в максимуме теплового излучения при 600 К. [т(600 К) Q 1,5-10-15 с, все остальные параметры как в задаче 11.2.]

Процессы проводимости обычно подчиняются правилу сумм

^af dm =^ С * п.

о

При этом постоянная С не зависит от конкретного механизма рассеяния. Показать, что в модели Друде выполняется правило сумм. Какова величина С?

Как затухает электрическое или магнитное поле, частота которого 12, 50 Гц и 1 МГц, при прохождении через медную пластину толщиной 1 мм (300 К)? Как изменяется отражение, глубина проникновения и прохождение, если пластину охладить до 77 К, до 4,2 К?

Вычислить глубину проникновения в пластину муметалла при 12 и 50 Гц (р, = 104; по = 2,5-104 Ом-1-см-1). Какова должна быть толщина пластины, чтобы электромагнитное поле при прохождении через нее ослаблялось на 0,1%?

Какая часть электронов проводимости в металле после столкновения с поверхностью уходит вглубь не более чем на толщину d? Предположить, что рассеяние поверхностью в объем является полностью изотропным.

Построить графически путь луча от входа до болометра в резонаторе (рис. 11.18). Сколько отражений испытывает луч на своем пути?

12. МАГНИТООПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОВОДНИКОВ

Вычислим диэлектрическую функцию проводящих материалов, находящихся в постоянном магнитном поле. Уже для изотропных веществ диэлектрическая функция является тензором, поскольку приложенное магнитное поле выделяет направление. Поэтому в зависимости от того, распространяется волна параллельно или перпендикулярно магнитному полю, различаются конфигурации Фарадея и Фойхта.

Будут рассмотрены такие эффекты, как циклотронный резонанс, фарадеевское вращение и эффект Фойхта, и их применение для исследований в физике твердого тела.

Наконец, в качестве примера магнитоплазменных эффектов рассматриваются геликоидальные и альфвеновские волны.

Динамический тензор магнитопроводимости

Мы описываем газ свободных электронов уравнением Друде —Лоренца (4.1):

mv + ?v = g(E + vXB)(12.1)

для случая, когда В = (О, О, В) — постоянное магнитное поле. Для Е мы по-прежнему ограничимся гармоническими возмущениями Е(/)=Е()ехр(—isf). Тогда решения стационарны и их период совпадает с периодом возмущений. Если бы мы рассматривали периодическое поле В, то за счет члена v>< В уравнение было бы для периодических составляющих нелинейным.

Ограничение статическими полями В имеет смысл, если можно пренебречь силой Лоренца в поле В электромагнитной волны по сравнению с кулоновской силой поля Е. Поскольку, согласно (П. 24), между этими полями в волне имеется связь:

то для обеих сил получаем

尸 Кулон =死；^Лоренц = /В = ^ qE.(12.2)

Итак, сила Лоренца, действующая на свободный электрон, в (с/и) раз меньше. Для скоростей, рассматривавшихся

Медь и"% = 5,3 • 10~3-Медь и"% = 5,3 • 10~3-в п. 2.4.3, это означает:

Медь и"% = 5,3 • 10~3-

Медь и"% = 5,3 • 10~3-

Германий (300К)утепл/со = 1,2 • 10 3,

В этом случае приближение справедливо. Однако в некоторых полупроводниках с очень малыми эффективными массами и чрезвычайно высокими поляризуемостями (т. е. большими коэффициентами преломления) множитель v/c может достигать нескольких процентов («узкозонный» полупроводник)!

Предполагая v = Vo exp(—isf), получим линейное уравнение — ismv + ^v = g(E + vXB),(12.3)

в котором мы заменим дрейфовую скорость v на плотность тока j = qnv. Вводя спектроскопические параметры ①^,①工 и S = qBM (см. п. 7.3.5), приходим к трем уравнениям для компонент:

(-必+%)乙=%%区+叫

(一施 + ") 4 = %纬4,-S工，(12.4)

(一m+ %)厶=%%邑.

(12.5)(12.6)(12.7)(12.5)(12.6)(12.7)Обозначая о〜динамическую проводимость при 8 = 0 и вводя Ф:

(12.5)

(12.6)

(12.7)

(12.5)

(12.6)

(12.7)

получаем динамический тензор магнитопроводимости Ji = В/ (8) Е/

в виде

1 Фо )，

{。订10卜

(00 1 +o2J

или, возвращаясь к прежним обозначениям,

%吟但一心）

{g"(8)}=

Обсудим некс

(% — i<0)2 + (о/(% — 心)2 + (о/

一 ％ 崎 s：%崎®-is) 0

(% —心 J + (О*2® —心 J + (О*2

00^t

% — zs

)торые простые свойства этого тензора.

・(12.8)

Прежде всего установим, что z-компонента Ozz = o〜не зависит от внешнего поля В. В рамках модели Друде — Лоренца для В，0 мы получаем то же поведение, что и в гл. 9 при В = 0.

Случай В —0 при сос = О и ①=0 сводится к простой динамической проводимости {az/} = a^.

Зависимость диагональных членов в (12.7) от магнитного поля за счет знаменателя 1 + Ф2 не означает существования магнетосопротивления (см. разд. 7.4). Если мы построим тензор магнетосопротивления (обратный а-тензору) в соответствии cEi=pijjj：

от магнитногоот магнитного{pz/(B)}{az/(B)}^l,

от магнитного

от магнитного

то получим, что диагональные члены не зависят поля

1 ①、01 ①、0-Ф10-Ф100]0L0]0L(12.9)(12.9)

1 ①

、0

1 ①

、0

-Ф

1

0

-Ф

1

0

0]

0

L

0]

0

L

(12.9)

(12.9)

Недиагональные члены для случая постоянного тока со = 0 описывают эффект Холла: из j = (0, /(,, 0) следует Ех/Еу = =—Ф = tg^w [см. (7.37)]. В динамическом случае (0总0 не- диагояальные члены обусловливают фарадеевское вращение (см. разд. 12.6). Поэтому эффект Фарадея для свободных носителей называют также динамическим эффектом Холла.

Тензор р имеет более простую структуру, чем п-тензор (12.7). Он непосредственно измеряется в статических экспериментах: пропускают электрический ток и измеряют сопутствующие поля. В оптических экспериментах, наоборот, образец помещается в электрическое поле волны, а наблюдаются возникающие поляризационные токи и токи проводимости, т. е. измеряется проводимость и диэлектрическая функция. Она также является тензором.

Диэлектрическая функция проводящих кристаллов в магнитном поле

Рассмотрим, как и в разд. 11.1, полупроводник, в котором свободные носители созданы полярным кристаллом. Его можно описать с помощью диэлектрической постоянной решетки £厶・

Величина £厶 не должна зависеть ни от частоты, ни от магнитного поля. Последнее требование выполняется в немагнитных средах (ц = 1) и вдали от резонансов ех.

Диэлектрическая функция по-прежнему определяется вкла-

дом решетки и свободных носителей заряда:

(12.10)(12.10)& (со, В)} = {呢} + — 3/ (Ч В)}.

(12.10)

(12.10)

В среде с изотропной поляризуемостью

广电0广电0ОО

广电0

广电0

О

О

{ед} = < 0 貶 0 卜，

ЮЮОО〃丿〃丿

Ю

Ю

О

О

〃丿

〃丿

рассматриваемой здесь для простоты, получаем

М В)}=

电+ i电+ i(%—jS)2+%2s；(%—jS)2+%2s；(О (% —心)2 + (О*2(О (% —心)2 + (О*2ОО(% —心 J + (О*2(% —心 J + (О*2吃+'~~ (0吃+'~~ (0(%—心户+唠(%—心户+唠ООооООВ нашем метр ию:В нашем метр ию:(12.11)случае В = (О, О, В) тензор имеет следующую сим-(12.11)случае В = (О, О, В) тензор имеет следующую сим-*}*}оо8Х^8ХХо8Х^8ХХоОООО(12 •⑵(12 •⑵

电+ i

电+ i

(%—jS)2+%2s；

(%—jS)2+%2s；

(О (% —心)2 + (О*2

(О (% —心)2 + (О*2

О

О

(% —心 J + (О*2

(% —心 J + (О*2

吃+'~~ (0

吃+'~~ (0

(%—心户+唠

(%—心户+唠

О

О

о

о

О

О

В нашем метр ию:

В нашем метр ию:

(12.11)

случае В = (О, О, В) тензор имеет следующую сим-

(12.11)

случае В = (О, О, В) тензор имеет следующую сим-

*}

*}

о

о

8Х^8ХХо

8Х^8ХХо

О

О

О

О

(12 •⑵

(12 •⑵

Электрическое поле Е, направленное вдоль оси г, создает поляризационный ток и ток проводимости ТОЛЬКО ВДОЛЬ ОСИ Z. Для поля £, лежащего в плоскости (%,у), индуцированные токи уже не параллельны направлению поля!

Распространение электромагнитных волн в присутствии статического магнитного поля

Рассмотрим теперь распространение волн в среде, описываемой тензором (12.11), (12.12)1). Этот случай разобран в п. П. 2.2. Мы различаем два выделенных по симметрии случая:

Конфигурация Фарадея Конфигурация Фойхтак = (0, 0, AJ И В,к==(瓦，ky, 0) ± В.

Конфигурация Фарадея

Если к || В, то из (П. 18) получаем для показателя преломления

理=%士%•(12.13)

Собственными модами являются две волны, поляризованные по кругу

Е± = Е°(1, 土Z, 0)(12.14)

[см. (П.20) и рис. П.2]. С помощью элементов тензора (12.11) показатель преломления можно записать в виде

历；=e厶+ »历；=e厶+ »(% — /о) 土 Z®*(% — 砌 2 + s；2(% — /о) 土 Z®*(% — 砌 2 + s；2亢:=Е厶亢:=Е厶時 1® (D 土就 +，％時 1® (D 土就 +，％(12.15)(12.15)

历；=e厶+ »

历；=e厶+ »

(% — /о) 土 Z®*

(% — 砌 2 + s；2

(% — /о) 土 Z®*

(% — 砌 2 + s；2

亢:=Е厶

亢:=Е厶

時 1

® (D 土就 +，％

時 1

® (D 土就 +，％

(12.15)

(12.15)

Показатели преломления для волн с круговой поляризацией отличаются членом, зависящим от магнитного поля, 上(о^・ Поскольку tt^ = gg/m* , зависит от направления магнитного поля, то, меняя направление поля В на противоположное, можно сменить поведение обеих мод в среде. Поскольку параметр ①^ зависит от знака заряда 仇 то по экспериментам с круговыми модами можно определить знак свободных носителей заряда (см. задачу 12.3).

Вследствие вращательного характера полей круговых мод, а значит, и движения носителей заряда необходимо обратить внимание на следующее (рис. 12.1).

Если магнитное поле создается проволочной петлей, то плотность тока / (но не скорость электронов в металле) в проволоке совпадает по направлению с направлением вращения электрона на индуцированной орбите Ландау 觴=—еоВ//л*< < 0). В том же направлении вращается в выделенной точке г вектор электрического поля в круговой моде Е+ = Ео(1, +/, 0)Х X ехр 1/(^2 —(о/)] и противоположно — в моде Е_ = =Ео(1, —i, 0)exp [i(—kz — cd/)].

В зависимости от знака заряда электрическое поле круговой моды вращается как и носители, или наоборот. Если описывать взаимодействие носителей с полем не через 亢土， а через соответствующую проводимость

° (В)± =± ^=…相土吗)，

то видно, что это выражение соответствует полученному из (12.5) для В = 0, если заменить со на со士со] Таким образом, на электроны в зависимости от того, совпадает направление их

Рис. 12.1. Поляризация круговой моды Е = Во (1, Z, 0) exp [i (kz — ©0] по сравнению с направлением движения электрона на орбите Ландау.

Рис. 12.2. Кривые динамической магнитопроводимости электронов для конфигурации Фарадея.

движения по орбите Ландау с направлением вращения электрического поля или нет, действует одно и то же состояние поля чаще и соответственно реже, чем это определяет частота внешнего приложенного поля (рис. 12.2). В частности, для со ± ®с = =0, т. е. при со = воВ/АП*, носители заряда остаются в фазе с электрическим полем. Это и есть явление циклотронного резонанса; носители заряда постоянно ускоряются электрическим

полем на орбите Ландау. Соответствующая мода, при которой наступает циклотронный резонанс, называется циклотронно-резонансной активной модой (ЦРА) — для электронов из-за 6*^0

Рис. 12.3. Полупроводник, конфигурация Фарадея (модельный германий, табл. 11.1, л d Ю1® см-3, т « оо, В ==3 Т)・

а — показатель преломления [/ — л2 (В == 0)]; 6 — центростремительная сила по сравнению с кулоновской и лоренцевой силами; в — радиус орбиты.

это £+-мода, для дырок — В--мода; дополнительная мода называется циклотронно-резонансной неактивной (ЦРН).

Чтобы можно было различать основные структуры в случае конфигурации Фарадея, сравним сначала показатели прелом・

ления й± с й (В = 0), пренебрегая затуханием ((от = 0). Для электронов (со* = -— шс = -— воб/ги*) получаем (рис. 12.3):

Активная мода (ЦРА) Неактивная мода (ЦРН)

fp, = 8 г + ——,й = в, —— —.(12.16)

Наиболее поразительное отличие состоит в том, что для s V о), значения 亢:остаются положительными вплоть до самых низких частот. Отсюда следует % > к, т. е. ЦРА-мода может проникать в образец и распространяться как волна. Очевидно, электроны, вращающиеся в магнитном поле, не могут теперь полностью экранировать поле электромагнитной волны, 亢土 принимает отрицательные значения, что приводит к полному отражению, как и в отсутствие магнитного поля.

Под действием электрического поля с круговой поляризацией электроны должны двигаться по окружностям с угловыми скоростями в общем случае со =/=(ос!), а для ЦРН-моды — даже в направлении, противоположном движению электрона по орбите Ландау. В зависимости от этого сила Лоренца, будучи центростремительной силой (см. разд. 7.1), увеличивается, уменьшается или компенсируется. Такое поведение обусловлено кулоновской силой, которая при со #= о)с постоянно перпендикулярна траектории электрона (задача 12.4)2):

(尸丄)土 =尸Ki + Лоренц =尸К^Т = ± 尸〃許• В。17) При со = Sc вызывает в случае ЦРА-моды Fc чистое ускорение на орбите. В Л； имеется резонанс. Если не пренебрегать трением, то 尸с не может быть строго перпендикулярной траектории электрона. Она должна постоянно ускорять электрон вдоль траектории, чтобы противодействовать трению! .

Положительные значения для 五 11PA в области 0 V s V Ос имеют при (0с/2 минимум Re 亢2 =电 斗 4%/吟.На этой частоте волна с круговой поляризацией особенно хорошо проникает в образец (см. разд. 12.8k

Плазменный край 五' = 0, который при В = 0 лежит на частоте 筑=%〔业口 в магнитном поле для обеих мод имеет разные частоты со土. Из уравнения

1= 8 гг = 0士 (о со ± а)с

следуют равенства叫=一亍+следуют равенства叫=一亍++ 増(12.18)+ 増(12.18)

следуют равенства

叫=一亍+

следуют равенства

叫=一亍+

+ 増(12.18)

+ 増(12.18)

и соотношение

Волны могут распространяться только при 0 < п < оо. При 亢2 V 0 распространение волн невозможно. В недиссипативном случае можно, следуя Палику и Фурдине [12.1], представить

相相Рис. 12.4. Диаграмма распространения волн в полупроводнике для конфигурации Фарадея./ —— 亢2 = 8, 2 —— 元2 = о, з 一 сечение, соответствующее изменению магнитного поля [магнитная спектроскопия (МС)] и изменению частоты [дисперсионная спектроскопия (ДС)].Рис. 12.4. Диаграмма распространения волн в полупроводнике для конфигурации Фарадея./ —— 亢2 = 8, 2 —— 元2 = о, з 一 сечение, соответствующее изменению магнитного поля [магнитная спектроскопия (МС)] и изменению частоты [дисперсионная спектроскопия (ДС)].

相

相

Рис. 12.4. Диаграмма распространения волн в полупроводнике для конфигурации Фарадея.

/ —— 亢2 = 8, 2 —— 元2 = о, з 一 сечение, соответствующее изменению магнитного поля [магнитная спектроскопия (МС)] и изменению частоты [дисперсионная спектроскопия (ДС)].

Рис. 12.4. Диаграмма распространения волн в полупроводнике для конфигурации Фарадея.

/ —— 亢2 = 8, 2 —— 元2 = о, з 一 сечение, соответствующее изменению магнитного поля [магнитная спектроскопия (МС)] и изменению частоты [дисперсионная спектроскопия (ДС)].

очень наглядно на диаграмме распространения области частот и магнитных полей, при которых имеет место распространение волн и соответственно полное отражение. На рис. 12.4 ясно видно, что запрещенные области частот для обеих мод в магнитном поле намного уже, чем при В = 0.

В полупроводниках со смешанной проводимостью, где имеются одновременно электроны и дырки, резонанс наблюдается для обеих круговых мод. Большее число резонансов может встречаться в полупроводниках с анизотропными эффективными массами или в случае, если одновременно имеются носители одного заряда, но с различными массами】).

Конфигурация Фойхта

При к ± В в зависимости от того, параллельно или перпендикулярно поле Е статическому магнитному полю, имеются две различные моды [рассматривается геометрия В = (О, О, В), к = =(財 0, 0)]..

Для моды Е||В из (П.21) получаем показатель преломления

猫= %2 = %-*ТГ*・ (12・19)

Это чисто поперечная мода. Показатель преломления здесь в рамках модели Друде — Лоренца совпадает со случаем В = 0 и не зависит от В. Поэтому такую моду называют неактивной модой для конфигурации Фойхта (ЦРН). Более точные модели, в которых в отличие от модели Друде — Лоренца возникает магнетосопротивление (см. разд. 7.4), приводят к зависящей от В частоте столкновений(от(В). Тем самым п^ также будет зависеть от В, что может привести даже к резонансам (например, магнитофононный резонанс).

Для другой моды, активной для конфигурации Фойхта (ЦРА) при Е L В, из (П. 22) для показателя преломления следует

亢1=% +昙・ (12.20)

При Пц У= п丄 среда является в магнитном поле двоякопрелом- ляющей. Согласно (П. 23), это мода смешанной поляризации

• Е = Е()(—%〃％*, 1, 0). (12.21)

Продольная компонента Ех определяется недиагональным элементом гХу, индуцированным магнитным полем. Тем не менее продольная компонента /)-волны обращается в нуль, как это непосредственно следует из D =80еЕ. Токи смещения и поляризации компенсируются током проводимости !).

Хотя коэффициенты тензора магнитопроводимости (12.8) обнаруживают при о2 = о*2 резонансное поведение, подобная зависимость 亢丄 в эффекте Фойхта не обнаруживается непосредственно. Это происходит прежде всего потому, что вклад недиагонального элемента % (соответственно гху) за счет примешивания продольной компоненты, пропорциональной е^/ехх, квадратичен (см. ниже).

В условиях электронейтральности, когда добавка к электронной плотности за счет электромагнитного поля равна нулю, векторы D и j всегда поперечны. В анизотропных случаях поэтому удобно решать уравнения для компонент D и j, а не Е. — Прим. ред.

Мы рассмотрим сначала недиссипативный случай, чтобы получить характерные зависимости. Из (12.19) и (12.20) при (от = 0 получаем

猫=% = % (1 — ®р7®2)-(12.22)

Для 五j прежде всего вычислим

eй(1-就砂)

И

%* 0 L s2 3，一唠,—8?—才2).

Первый член имеет резонанс при 壮二①黑，а ВТОрой, однако, и при (о = О, и при со2 = ®*2 + ®+2, последний резонанс обусловлен обращением в нуль е%%・ Но вклады от обоих полюсов компенсируются при со2«= со*2, поскольку при (Of со；:

- 8L？唠，崂И上f+ " 2喈*2 •

Оба члена сокращаются при подстановке в выражение для /?；:

+ 訂=% (1 - Э~ а：雷鹫・2) ) •(12・23)

На рис. 12.5 показано поведение 五；и /?；・ Обсудим существенные особенности.

При малых частотах для обеих мод п2-> оо. Зависящий от магнитного поля резонанс лежит при

^ = ^ + ^+\(12.24)

Лишь при малых имеет место при с носителей зарядаконцентрациях или в больших полях резонанс )^(ос. Его существование не зависит от знака или направления поля В. Запрещенные по-Лишь при малых имеет место при с носителей зарядаконцентрациях или в больших полях резонанс )^(ос. Его существование не зависит от знака или направления поля В. Запрещенные по-лосы ограничены резонансами( выражением (12.24), а такжеЛЯМИ Пу：@2 _(о+И亢j：•2所,2-噌1/ 士» = U и частотой, определяемой частотами, определяемыми ну-2、(12.25)\/孚+ 嚟呼 2.(12.26)лосы ограничены резонансами( выражением (12.24), а такжеЛЯМИ Пу：@2 _(о+И亢j：•2所,2-噌1/ 士» = U и частотой, определяемой частотами, определяемыми ну-2、(12.25)\/孚+ 嚟呼 2.(12.26)

Лишь при малых имеет место при с носителей заряда

концентрациях или в больших полях резонанс )^(ос. Его существование не зависит от знака или направления поля В. Запрещенные по-

Лишь при малых имеет место при с носителей заряда

концентрациях или в больших полях резонанс )^(ос. Его существование не зависит от знака или направления поля В. Запрещенные по-

лосы ограничены резонансами( выражением (12.24), а также

ЛЯМИ Пу：

@2 _(о+

И亢j：

•2

所,2-噌1/ 士

» = U и частотой, определяемой частотами, определяемыми ну-

2、(12.25)

\/孚+ 嚟呼 2.(12.26)

лосы ограничены резонансами( выражением (12.24), а также

ЛЯМИ Пу：

@2 _(о+

И亢j：

•2

所,2-噌1/ 士

» = U и частотой, определяемой частотами, определяемыми ну-

2、(12.25)

\/孚+ 嚟呼 2.(12.26)

Рис. 12.5. Показатель преломления для полупроводника при конфигурации Фойхта (модельный германий, табл. 11.1, n = 1016 см~3, т = оо, В = 3 Т). /-/ij,HPA； 2-片 н 亢2(в = о).

Рис. 12.6. Диаграмма распространения для волн в полупроводнике при конфигурации Фойхта (обозначения см. рис» 12.4).

Последняя формула описывает гиперболу, асимптоты которой при большом поле В((ос->оо) удовлетворяют условиям

明=2吋2+%2；%=0.

При со = со+ различные вклады в 五；компенсируются. В этом случае получаем поляризуемость основной решетки й^ = в£.

На рис. 12.6 показана диаграмма распространения для конфигурации Фойхта.

Циклотронный резонанс

Показатель преломления проводящих кристаллов в магнитном поле имеет резонанс (п2-> оо) при(о =(ос для конфигурации Фарадея и при со2 = со^ + ^2 для конфигурации Фойхта.

Характерное оптическое поведение твердотельных образцов в спектральной области этих резонансных частот называют эффектами циклотронного резонанса. Их исследование позволяет определить спектроскопические параметры о*,(от, (ор, соответственно микроскопические параметры т*, п, т и, например, их зависимость от температуры и концентрации. Поэтому магнитооптические измерения очень полезны при исследованиях в физике твердого тела.

Для этих целей используют методы дисперсионной спектроскопии, т. е. при постоянном поле В изменяют частоту электромагнитного излучения. Таким образом, на диаграмме распространения (рис. 12.4, 12.6) смещаются по вертикали (ДС). Кроме того, используется магнитная спектроскопия, т. е. при постоянной частоте меняется величина В, магнитного поля. На диаграмме распространения это соответствует движению по горизонтали (МС).

В то время как при дисперсионной спектроскопии поведение при любом поле В в принципе одинаково, в магнитной спектроскопии имеется принципиальная разница: если рабочая частота измерения s V о+, то в спектральной кривой имеется только один край отражения, поскольку при В = 0 измерение начинают в запрещенной полосе. Поэтому для наблюдения резонанса необходимо выполнение условия

со>со+.(12.27)

Магнитная спектроскопия применяется очень часто, поскольку приборы для нее проще: магнитное поле можно легко и удобно варьировать; кроме того, можно ограничиться доступными хорошими монохроматическими источниками света (микроволновые генераторы, лазеры субмиллиметрового диапазона). В дисперсионной спектроскопии, наоборот, используются непрерывные источники света и спектральные приборы!

При дальнейшем обсуждении реальных эффектов циклотронного резонанса мы можем в отличие от предыдущих разделов больше не пренебрегать рассеянием. В частности, для обеих конфигураций исчезает резонансная структура, если частота(от очень велика. Это непосредственно видно из диэлектрической функции (12.11).

A万

Рис. 12.7. Структура циклотронного резонанса для конфигурации Фарадея, а — дисперсионная спектроскопия (ДС); 6 — магнитная спектроскопия (МС). Пунктиром показаны кривые экстремумов Im {п2}. Значения по оси ординат нормированы на (©р/(ос)2.

Чтобы пояснить влияние (от на структуру спектра, на рис. 12.7 показаны действительная и мнимая части йцРА для конфигураций Фарадея и Фойхта, полученные методами дисперсионной и магнитной спектроскопии. Формально на МС мнимая часть всегда имеет максимум, который уже при оь/со = 1 полностью размыт. На ДС при * > 吒/3 вообще отсутствует максимум (см. задачу 12.8). Чтобы наблюдать резонансную структуру, необходимо выполнение условия

ос > сот.(12.28)

Это означает, что электроны должны до столкновения пройти значительную часть орбиты Ландау.

В следующем разделе мы приведем приближенные формулы для случая, когда выполняются условия (12.27) и (12.28).

Циклотронный резонанс

при малой концентрации — конфигурация Фарадея

В полупроводниках с малой концентрацией носителей часто хорошо выполняются условия

①》咕 s》％•

Чтобы выполнялось условие со》(от, необходимо вести исследования в основном при очень низких температурах, чтобы максимально уменьшить рассеяние на фононах (см. разд. 6.4). В таком случае вклад свободных носителей в (12.15) будет гораздо меньше &厶；действительная часть показателя преломления определяется главным образом поляризуемостью основной решетки. Тогда резонансная кривая лежит в узкой области вокруг(Ос・ Поэтому можно разложить (12.15) в окрестности резонанса(ос по б:

со = ос 4~ 6.(12.29)

В зависимости от спектроскопического метода 6 означает разность между измеряемой и резонансной частотами (ДС) или между измеряемым магнитным полем и резонансным полем (МС).

Поскольку мы уже обсудили значение направления магнитного поля и типа носителей для магнитооптических эффектов, то будем различать моды индексами ЦРА и ЦРН. Из (12.15) получаем

ЦРА ЦРН

Re｛再=5享金，Re悌｝="一二(2宾訪胃Im ｛亢ХМ缶，Im ｛亢A j■涵二,+破.

(12.30)

В точке резонанса(о = cdc получаем для ЦРА-моды

Re ｛亢2｝=电，Im ｛亢2｝=叁，(12.31)

а для ЦРН-моды

Re｛fl2｝ = e£__^；】m ｛亢2｝二^^^^.(12.32)

Показатель преломления для ЦРН-моды в окрестности резонанса практически не зависит от частоты. Напротив, ЦРА-мода обнаруживает в окрестности со ^ о)с типичное резонансное по-

ведение, т. е. имеют место Z-образная кривая для действительной части (дисперсионная кривая) и колоколообразная кривая

Рис. 12.8. Резонансная структура комплексного показателя преломления для конфигураций Фарадея и Фойхта.

для мнимой части (кривая поглощения). При рассмотрении ширины кривых выберем в качестве переменной Ат (со —(ос) /(от. Тогда получим (рис. 12.8)

Re {普}=电一^^; Im {部} = -^ тур- • (12.33)

Эти выражения строго справедливы для МС. Для ДС они выполняются в приближении(о ^(ос, поскольку множитель 心卩］心 в (12.30) больше не остается постоянным.

Для Z-образной кривой Re {п2} из условия d (Re {亢2})Д/А = 0 получаем для экстремумов Д1>2 = ± Ь т. е.

ДС: <оь 2 = ®с i ^т и М.С:曳1,2 =①干 &•(12.34)

Разница между максимумом и минимумом равна

(Re {^})макс ~(Re{/l2})MHH = ^L.(12.35)

Для колоколообразной кривой Im {п2} из условия

1т{й2(Л1,2)}=у1т{й2(0)}

получаем те же значения Д1>2 = ± 1 для полуширины, что и для экстремумов Re {й2}, соответственно для частот

До = g)2 — S[ = 2g)t・(12.86)

Таким образом, шяри.на линии является непосредственной мерой частоты столкновений. Произведение высоты колокола наТаким образом, шяри.на линии является непосредственной мерой частоты столкновений. Произведение высоты колокола наширину дает концентрацию носителей, обусловливающих форму линии

Таким образом, шяри.на линии является непосредственной мерой частоты столкновений. Произведение высоты колокола на

Таким образом, шяри.на линии является непосредственной мерой частоты столкновений. Произведение высоты колокола на

1т{й2(0)} As= 2 詣=2詣械 '(12.37)

Если наблюдать в МС не только край поглощения, но и пр- лосу отражения [ср. (12.27)], то из требования Re{n2} > О при учете рассеяния приходим к условию,

噂2«d +吗.(12.38)

Но поскольку одновременно должно выполняться условие (от《со, чтобы иметь возмож^ ность наблюдать резонансные кривые, то условие (12.38) является более слабым, чем прежнее 吟 < со.

Рис. 12.9. Схема установки для маг

нитооптических измерений прохожде- 12.4.2. Поглощение при

ния субмиллйметровых волн (Л == 311 циклотронном резонансе

и 337 мкм) для конфигурации Фа

радея.В очень чистых полупро

водниках наряду с условием

(о, (0с》о)т для узкой резонансной линии может выполняться условие

сос®тсос®т(12.39)

сос®т

сос®т

В таком случае можно пренебречь вкладом Z-образной кривой Re {唱ра} по сравнению с £厶・ Для показателя преломления получаем 亢;^ eL. Влияние магнитного поля проявляется тогда только через коэффициент поглощения

©ez, со Im= — а——

/ 九“ «电

(12.40)(12.40)но не через коэффициент отражения R 弋[(Vед — 1)/(“£厶 + 1)]2'

(12.40)

(12.40)

Спектры прохождения в таком случае интерпретируются особенно легко.

Если выразить К через спектроскопические параметры

土 Со «汇①(<d ± CO*)2 + ©2 *

то видно, что множитель l/(o в Итак, К не различается больше для ДС и МС.

В окрестности резонанса

Кцра = ® + ①J + 磋

Кцрн (° — шс)2 + 吟

^1+4步.(12.42)

До тех пор пока сос》①力 активная мода поглощается гораздо сильнее! Если сравнить со случаем отсутствия магнит

(12.41)(12.41)Рис. 12.10. Поглощение при циклотронном резонансе в теллуре для ЦРА- и ЦРН-мод при конфигурации Фарадея.Изменение характера моды производилось изменением направления поля В на противоположное или поворотом Л/4-пластинки по отношению к линейному поляризатору на 90° [12.3].Рис. 12.10. Поглощение при циклотронном резонансе в теллуре для ЦРА- и ЦРН-мод при конфигурации Фарадея.Изменение характера моды производилось изменением направления поля В на противоположное или поворотом Л/4-пластинки по отношению к линейному поляризатору на 90° [12.3].ного поля, то разница окажется несколько меньше

(12.41)

(12.41)

Рис. 12.10. Поглощение при циклотронном резонансе в теллуре для ЦРА- и ЦРН-мод при конфигурации Фарадея.

Изменение характера моды производилось изменением направления поля В на противоположное или поворотом Л/4-пластинки по отношению к линейному поляризатору на 90° [12.3].

Рис. 12.10. Поглощение при циклотронном резонансе в теллуре для ЦРА- и ЦРН-мод при конфигурации Фарадея.

Изменение характера моды производилось изменением направления поля В на противоположное или поворотом Л/4-пластинки по отношению к линейному поляризатору на 90° [12.3].

кира 〜①2+峻〜[丄竺

Nd)十硬，

Облучение образца линейно-поляризованным светом эк-

Бивалентно облучению волнами с правой и левой круговой поляризацией 9- Пренебрегая интерференцией, получим из П.9.1 полный коэффициент прохождения

Г + Г 1

^линейн =~^2~二=万(1 — RF [ехр (— K+砌 + exp (— ^_d)].

Если выбрать для эксперимента по прохождению образец толщиной 4 так что Кцра^ в 1, то из неравенства Кцрн《Кцра

следует

^линейн = (1 — R)2 (^ — 4^^ + №( jupM))・(12.43)

С учетом потерь на отражение за счет неактивной моды через образец проходит примерно 50% излучения.

')Если не интересоваться положением плоскости поляризации^ то этот случай соответствует также облучению неполяризованным светом!

Чтобы улучшить динамику измерений прохождения, рекомендуется применять свет с круговой поляризацией. Для получения света с круговой поляризацией используются линейный и круговой поляризаторы, например X/4-пластинка (рис. 12.9). При вращении X/4-пластинки относительно линейного поляри-

Рис. 12.11. Поглощение при циклотронном резонансе в теллуре. Константы поглощения вычислены из спектров прохождения (МС).Рис. 12.11. Поглощение при циклотронном резонансе в теллуре. Константы поглощения вычислены из спектров прохождения (МС).затора поляризация изменяется от левой круговой через линейную к правой круговой [12.2], активная мода переходит в неактивную. Активность моды можно изменить также при изменении направления магнитного поля на противоположное. На рис. 12.9 представлена схема измерений прохождения при различ* ных углах а между осями X/4-пластинки и линейного поляризатора и для обоих направлений поля. Если действует неактивная мода, то влияния магнитного поля на прохождение не наблюдается, т. е. Тцрн^Т{8 = 0), В случае активной моды прохождение падает при включении магнитного поля примерно на 20%. На рис. 12.11 показаны спектры поглощения, измеренные в геометрии рис. 12.9. Источ

Рис. 12.11. Поглощение при циклотронном резонансе в теллуре. Константы поглощения вычислены из спектров прохождения (МС).

Рис. 12.11. Поглощение при циклотронном резонансе в теллуре. Константы поглощения вычислены из спектров прохождения (МС).

ником излучения служил HCN-лазер (九= 311 мкм и 337 мкм). При расчете коэффициента поглощения К по спектрам учитывалась интерференция в соответствии с (П. 89) и (П. 90) (ср. задачу 12.9).

Эффекты циклотронного резонанса при малой концентрации — конфигурация Фойхта

Вследствие сложной структуры формулы (12.20)

мы выведем простую приближенную форму, справедливую, если выполняются условия

吗》崂Н Q》小

В этом случае резонансная частота (12.24) лежит в окрестности (ос. Вблизи резонанса со ^ 仇 коэффициенты тензора (12.11) можно записать приближенно

%W _(：7心尸 %宀w一(：3・%)2・

Если концентрация носителей настолько мала, что выполняется дополнительно условие(ор V ①口 то показатель преломления для со о)с определяется только величиной е^:

亢仆(12.44)

Запишем знаменатель, полагая со 三 孤 + 6, в виде %一(①+而J q - 2% (6 +的)

Тем самым с точностью до множителя，2 действительная и мнимая части совпадают с соответствующими выражениями для конфигурации Фарадея (12.13). Полагая А 三(со — сос)/(от, получаем 1)

Re 佬｝=%Т JXi：m

；(12.45)

Im佬｝ 月盜金^•

Полуширина линии и интенсивность резонансной кривой ведут себя так же, как и в случае конфигурации Фарадея (рис. 12.8).

Для описания поглощения при циклотронном резонансе получим в рамках того же приближения коэффициент поглощения

% “京 2co д/^7 (° -曳У + 磅

В общем случае условия нашего приближения не всегда выполнены. Тогда для конфигурации Фойхта не остается ничего другого, как численно вычислять точные формулы, т. е. определять по 亢2 величины п, х и с их помощью рассчитывать коэффициенты отражения и прохождения (см. разд. 12.5).

Циклотронный резонанс при высоких концентрациях — резонанс Азбеля — Канера

В металлах концентрации электронов и частоты столкновений столь велики, что, казалось бы, вообще не следует ожидать существования циклотронного резонанса. Для электронных масс

Сравнивая формулы (12.23) и (12.16) при со«©с > ©^, сог легко понять происхождение множителя 1/2 в формулах (12.45). — Прим, ре。、

ап* = гл。в максимально возможных статических полях порядка 20Т получаем циклотронную частоту сос = 3,5-1012 сТ Для меди [(Ор = 1,6-1016 с—,(от(30 К) « 3,6-1013 с^1] получаем из критических условий

%/% 2 • 10"4, (oj% 力 10"1,

что резонанс существовать не может.

Однако в п. 11.6.2 мы показали, что в области аномального скин-эффекта глубина проникновения электромагнитных волн больше, чем можно было бы ожидать согласно континуальной

Рис. 12.12. Ускорение поверхностных электронов при малой глубине проникновения dp переменным полем с частотой(0 = 4%.

теории, поскольку ускоренные полем электроны в соответствии с длиной свободного пробега глубоко проникают в образец. В магнитооптике характерной длиной для отдельного электрона является диаметр орбит Ландау, для которого из (7.6) при В = 20 Т и Vf = 1,6-106 м/с (см. п. 2.4.3) находим

r = vF/^c = 0t5 мкм,

т. е. много больше классической глубины проникновения!

Поэтому для конфигурации Фойхта имеем (рис. 12.12) следующее. На электрон, близкий к поверхности, поле Е-волны, падающей перпендикулярно поверхности, действует лишь на малой части своей орбиты. Тем не менее поле Е может резонансно возбудить электрон, находящийся на орбите Ландау, если его частота кратна циклотронной частоте:

о — mg)cj м — 1, 2,・.・・ (12.47)

В этих условиях наступает резонансное поглощение, которое наблюдается по нарушению отражения. Такое явление называют резонансом Азбеля — Канера [12.4].

При ДС резонансы существуют при частотах

при МС — в полях Вппри МС — в полях Вп(12.48)

при МС — в полях Вп

при МС — в полях Вп

(12.49)

Поэтому при МС-измерениях обычно наносят зависимость обратного резонансного поля 1/В от номера п. На рис. 12.13 показаны результаты измерений для меди. Для улучшения точности

Рив. 12.13. Резонанс Азбеля — Канера при отражении, наблюдавшийся для меди при 24 ГГц.Рив. 12.13. Резонанс Азбеля — Канера при отражении, наблюдавшийся для меди при 24 ГГц.

Рив. 12.13. Резонанс Азбеля — Канера при отражении, наблюдавшийся для меди при 24 ГГц.

Рив. 12.13. Резонанс Азбеля — Канера при отражении, наблюдавшийся для меди при 24 ГГц.

измеряют не коэффициент отражения, R(B)力 1, а производную dR/dB. Для этого на растущее с постоянной скорооть!р магнитное поле накладывают слабое низкочастотное поле (метод Уобла). В этом случае низкочастотные колебания отраженного сигнала пропорциональны dR/dB (см. задачу 12.10).

Модельные примеры магнитооптических спвнтров

До сих пор мы рассматривали магнитооптические эффекты в предельных случаях исчезающего рассеяния и резонансов в образцах с малой концентрацией носителей. Чтобы получить некоторое представление об оптических спектрах в общем случае, рассмотрим теперь дисперсионную (ДС) и магнитную (МС) спектроскопию отражения и прохождения для модельного полупроводника при конфигурациях Фарадея и Фойхта. Связь прохождения и отражения с диэлектрической функцией (12.10) через комплексный показатель преломления далеко не очевидна (см. приложение). Точно ее можно получить только численно. Аналитических выражений, применимых в широкой области спектра, нет.

Для проведения магнитооптических измерений экспериментаторы располагают в настоящее время статическими магнит： ными полями примерно до 20 Т, импульсными полями до 100 Т («область мегагауссов»). Однако импульсные магнитные поля применимы только для плохо проводящих образцов, поскольку в металлах за счет скин-эффекта поле проникает в образец неоднородно.

Рис. 12.14. Зависимость частоты циклотронного резонанса от магнитного поля для различных эффективных масо.

Минимальные частоты столкновений в чистых полупроводниках с малым количеством дефектов порядка сот Q 10 с-1 (например, в n-InSb с ц = 500 000 см2/В-с при 4 К). В нормальных металлах при m* 内 m0 минимальные значения существенно больше сот «> Ю13 с" из-за высоких фермиевских скоростей 1).

Эффективные массы лежат обычно в интервале т* = 0,01 ... ...Im。 (например, для InSb: mn = 0,0lm0, Ge: mn = 0,1 mo, K： mn = mo). В кристаллах co сложной зонной структурой часто для определенных направлений магнитного поля эффективные массы оказываются много меньше, чем это следует из экспериментов по проводимости. В таких веществах эффективная масса очень сильно зависит от направления (ферми-поверхность, т. е. поверхность постоянной энергии в импульсном, или

Рис. 12.15. Спектры отражения для конфигураций Фарадея и Фойхта (ДС).

/ — В = 3 Т, 2 —8 = 15 Т (модельный германий, табл. 11.1, п == 1017 см~3, т=Ю-12с).

Рис. 12.16. Спектры отражения те же, что и на рис. 12.15, но полученные с помощью МС.

/ — » = 30 см-1, 2 — V = 150 см-1.(V =(о/с).

Р耳а. 12.17. Поглощение при циклотронном резонансе для конфигураций Фарадея и Фойхта, определенное с помощью ДС.

В = 8 Т, спектры прохождения с интерференциями Фабри — Перо, d = 150 мкм (модельный германий, табл. 11.1,九=10：： см~8, х^ 10~н с).

耳7aДгА

Рис. 12.18. Поглощение при циклотронном резонансе для конфигураций Фарадея и Фойхта, определенное с помощью МС, +==30 см".

Рис. 12.19. Поглощение при циклотронном резонансе без учета многократных отражений и интерференции, полученное с помощью ДС.

Параметры те же, что и на рис. 12.17.

Рис. 12.20. Поглощение при циклотронном резонансе без учета многократных отражений и интерференции, полученное с помощью МС.

^-пространстве, далека от сферической). На рис. 12.14 показаны значения сос для таких случаев.

В качестве примера спектра отражения рассмотрим модель, соответствующую германию при низких температурах (параметры: 8l = 16, /п* = 0,1m。，м = Ю17 см-3, (от = 1012 с-1). Выберем магнитные поля (ДС: рис. 12.15), соответственно частоты монохроматических источников света (МС: рис. 12.16) так, чтобы имелся один резонанс ниже и один выше 嘴.

В качестве примера поглощения при циклотронном резонансе рассмотрим тот же модельный полупроводник, но с меньшей концентрацией носителей п = 1014 см-3. При В = 3 Т и ц)2/соссот = 0,6 < eL достигаются условия возникновения класси-^ ческого резонанса. Поскольку в спектре прохождения (рис. 12.17) плоскопараллельной пластинки толщиной d = = 0,15 мм период интерференционных полос Фабри — Перо составляет Av = 1 /2п£б/ = 8 см" [см. (П.89)], то спектры вычислены согласно (П.91), рис. 12.19, 12.20:

T = (l—R)2exp(—Kd)・

Пренебрежение интерференцией соответствует измерению с узким спектральным разрешением. Для очень низких частот, поскольку Rf 1, получаем, что прохождения нет. Это не соответствует действительности (см. задачу 12.11) I

Эффекты Фарадея и Керра

В случае конфигурации Фарадея собственные моды волн с круговой поляризацией имеют разные фазовые скорости (亢+ 总亢_). Поэтому если облучать поверхность образца линейно-поляризованным светом, то прошедшая и отраженная волны в общем случае будут иметь эллиптическую поляризацию (см. разд. П. 7). При этом вращение плоскости поляризации существенно определяется разностью хода круговых мод, с помощью которых представляется линейно-поляризованная волна, а эллиптичность — различным затуханием этих мод. Вращение плоскости поляризации и появление эллиптической поляризации волны за счет внешнего магнитного поля называют при наблюдении прохождения света эффектом Фарадея, а при наблюдении отражения ——магнитооптическим эффектом Керра.

Распространение волн с круговой поляризацией

Рассмотрим линейно-поляризованную волну, вектор Е в которой совершает колебания вдоль оси х. Эту волну можно представить в виде суммы двух волн с круговой поляризацией (П.66):

Е± = Ео(1, 士厶 0)ехр[/(^±г~®/)]. (12.50)

В ниркулярно・@〃％ро〃〃ескоМ или циркулярно-дисперсионной среде (九+ #= п_) имеем

k± = n±kQ,亢士三上士丁•.k± = n±kQ,亢士三上士丁•.(12.51)(12.51)

k± = n±kQ,亢士三上士丁•.

k± = n±kQ,亢士三上士丁•.

(12.51)

(12.51)

Для специального случая конфигурации Фарадея отсюда получаем

財一尢上=- n｝，2亢 A/?=及九"，

“(12.52)

А用=办.

Если обе моды проходят в среде путь z, то из

Е± = Ео(1, 土 i, 0) exp [/(n^oz — s/)]exp [/ (士粤々。之)]

для комплексной разности фаз между обеими модами следует ехр[《±^°* =

=&± ехр(± i9) = exp (士 亭 瓦z) exp J (士铝 耳z)].

Согласно (П. 67), это означает поворот плоскости поляризации на угол

А〃 п. — п о

е = —^ = -^2^--^.(12.53)

(12.54)(12.55)(12.54)(12.55)и, согласно (П. 68), эллиптичность

(12.54)

(12.55)

(12.54)

(12.55)

Для малых аргументов, разлагая tg и th, получаем

比 一 %, Cd

2 Co

Для больших значений аргумента, учитывая, что th меняется от —1 до +1, получаем, что существует только одна мода, а другая полностью поглощается.

При отражении амплитуды обеих мод определяются комплексным показателем отражения

р± = р±ехр(г6±).

Отсюда для угла поворота плоскости поляризации и эллиптичности отраженной волны получаем для магнитооптического эффекта Керра

8 = (12・56)

Если выразить 6 и р через комплексное волновое сопротивление, а для немагнитной среды — через показатель преломления, то из (П. 78) и (П. 88) получим

% = "；：： +，義;tg6±= 1 二(£沁‘ (12.57)

т. е. в отличие от чистого эффекта Фарадея [см. (12.53) и (12.54)] в эффекте Керра угол поворота плоскости поляризации и эллиптичность определяются одновременно и действительной, и мнимой частями п. .

Наконец, при рассмотрении эффектов Керра и Фарадея для плоскопараллельной пластины, если учитывать интерференцию Фабри — Перо, соответствующие уравнения (П. 58) и (П. 59) необходимо применять отдельно для каждой моды. За счет многократного отражения в прошедшем и отраженном сигналах смешиваются эффекты Керра и Фарадея.

Эффект Фарадея при высоких частотах

В слабых магнитных полях и соответственно при высоких частотах (со》сос) показатели преломления расщепляются магнитным полем симметрично

% + п_ 0 2亢比 2力(В = 0);

кроме того, справедливо следующее приближенное выражение:

.吗 s； 〜. 喚:(磋-峭 + 2心% 践？ ％(0 但—心)2 + W % ①3" co2)2

Если также выполнено условие со》①匕 то, разделяя действительную и мнимую части, из Дй = Uxyln получаем

.9 •м п(в = оУ (О3，.9 •м п(в = оУ (О3，1磷(о； 2(о,1磷(о； 2(о,

.9 •

м п(в = оУ (О3，

.9 •

м п(в = оУ (О3，

1磷(о； 2(о,

1磷(о； 2(о,

При не слишком больших концентрациях свободных носителей можно вследствие соотношения со » сор в действительной части показателя преломления п (В = 0) = (eL ——^а^^ пренебречь вкладом носителей по сравнению с £厶,т. е. п(В = 0) ^ е^2. Таким образом, линейно-поляризованная волна после однократ-

ного прохождения через слой толщиной d становится эллиптически поляризованной; угол поворота плоскости поляризации

эллиптичностьэллиптичностьпп笈0a (03(0笈0a (03(0(12.58)(12.58)(12.39)(12.39)

эллиптичность

эллиптичность

п

п

笈0a (03(0

笈0a (03(0

(12.58)

(12.58)

(12.39)

(12.39)

Рис. 12.21. Определение дисперсии из измерений эффекта Фарадея для п-полупроводника.Рис. 12.21. Определение дисперсии из измерений эффекта Фарадея для п-полупроводника.

Рис. 12.21. Определение дисперсии из измерений эффекта Фарадея для п-полупроводника.

Рис. 12.21. Определение дисперсии из измерений эффекта Фарадея для п-полупроводника.

В этой спектральной области эллиптичность существенно

меньше вращения.

Вращение плоскости поляризации пропорционально толщине слоя d и через ©J также и В. В таких случаях определяют константу Верде Y = 9/d・B・ Вращение и эллиптичность зависят через сое от знака носителей заряда. имеются одновременно элем'роны и дырки, то вклады частично компенсируются，

Измеряя фарадеевское вращение, можно определить дисперсию (рис. 12.21), поскольку из п+ —= о* (dn/dco) с

учетом п2 (В = 0) = % — (со2/ш2) аледует

"(В = 0) *

Измерение фарадеевского вращения позволяет в этой спектральной власти отделить слабый частотно-зависимый вклад

в показатель преломления, обусловленный свободными носителями, от большой величины, связанной с поляризацией “羡.

Эффект Фарадея ^определяется в основном недиагональными членами диэлектрической функции 五：—— 亢上==2毘％夕 что соответствует определению эффекта Холла через недиагональные члены о糞 р%у магнитотранспортного тензора, поэтому часто эффект Фарадея называют динамическим эффектом Холла (см. разд. 12.1). Измерение эффекта Фарадея в инфракрасной области спектра имеет в физике твердого тела особое значение, поскольку с его помощью из %со； можно определить эффективные массы при высоких температурах, не зная механизма рассеяния.

Для фарадеевского вращения на свободных носителях в рассматриваемой области спектра справедливо соотношение 9 〜 ~ со-?〜%2 пример показан на рис. 12.22,

Рис. 12.22. Фарадеевское вращение в теллуре (р = 5,9・ IO" см-3).а — спектральное поведение константы Верде; 6 — зависимость от поля константы Верде (8/d) для 17 мкм [12.6].•Рис. 12.22. Фарадеевское вращение в теллуре (р = 5,9・ IO" см-3).а — спектральное поведение константы Верде; 6 — зависимость от поля константы Верде (8/d) для 17 мкм [12.6].•

Рис. 12.22. Фарадеевское вращение в теллуре (р = 5,9・ IO" см-3).

а — спектральное поведение константы Верде; 6 — зависимость от поля константы Верде (8/d) для 17 мкм [12.6].•

Рис. 12.22. Фарадеевское вращение в теллуре (р = 5,9・ IO" см-3).

а — спектральное поведение константы Верде; 6 — зависимость от поля константы Верде (8/d) для 17 мкм [12.6].•

Для нашего модельного германия (eL= 16, m* = O,lmo, n= 1016 см"3) получаем в среднем инфракрасном диапазоне при ^= 1000 см"1, соответственно Л = 10 мкм константу Верде

,1 如 1V = 0/d • В = 7=- • Jq" . "-22co V既咿？ s,1 如 1V = 0/d • В = 7=- • Jq" . "-22co V既咿？ s展一2,E・mTL・(12.60)展一2,E・mTL・(12.60)

,1 如 1

V = 0/d • В = 7=- • Jq" . "-2

2co V既咿？ s

,1 如 1

V = 0/d • В = 7=- • Jq" . "-2

2co V既咿？ s

展一2,E・mTL・

(12.60)

展一2,E・mTL・

(12.60)

При В = бТ и d = 1 мм угол поворота составляет примерно 2°. Для времени столкновений т ^ 10~12 с эллиптичность была бы в 10"2 раз меньше; при т~ 10~14 с, поскольку сог^ 1,9 • 1014с"1, используемое приближение s》％ более неприменимо.

Эффект Керра при высоких частотах

Расчет эффекта Керра еще менее нагляден, чем расчет эффекта Фарадея, поскольку из диэлектрической функции в магнитном поле необходимо не только найти п и х, но и с помощью этих величин определить также коэффициент отражения. Чтобы иметь возможность оценить поворот плоскости поляризации и эллиптичность для плоскополяризованной волны после отражения, мы еще раз оговорим приближения, использовавшиеся в высокочастотном эффекте Фарадея:

乃 4 д/电；| Дп | <С п.

Отражательную способность обеих круговых мод мы описываем амплитудой р± и фазой 8土，как это приближенно следует из (12.57). Вводя обозначение р^ м (亢——l)/(n + 1), получим

р土= " :北洋р土= " :北洋2 An(A/l)2 + Y*Т^т+ (元—1)22 Ап(Дп)2 + X：TFT + (五+1)22 An(A/l)2 + Y*Т^т+ (元—1)22 Ап(Дп)2 + X：TFT + (五+1)2

р土= " :北洋

р土= " :北洋

2 An(A/l)2 + Y*

Т^т+ (元—1)2

2 Ап(Дп)2 + X：

TFT + (五+1)2

2 An(A/l)2 + Y*

Т^т+ (元—1)2

2 Ап(Дп)2 + X：

TFT + (五+1)2

и, разлагая при An, 乂±《1, имеем

(12.61)(12.61)八 I 2 An \

(12.61)

(12.61)

Отсюда для эллиптичности приближенно следует

(电T)吟 F・(电T)吟 F・(12.62)(12.62)2 An^ 4

(电T)吟 F・

(电T)吟 F・

(12.62)

(12.62)

电一1

Из приближения для фазового угла

tg 6 . =7—2~~7~"рг 4 —~"-(12.63)

±］一(吸+ 暧)

получаем для угла поворота плоскости поляризации 9 = = (6+-6_)/2:*

0 44 п——4^ •—« — — .(12.64

2 % — 1(8l — 1)(o3 (o 2 (o

Если сравнить этот результат с соответствующим результатом для эффекта Фарадея (0 =厶〃拓・之/2, q ^—Дх^/2), то видно, что разность показателей преломления приводит при эффекте Керра к эллиптичности, а различие в поглощении — к вращению плоскости поляризации, т. е. эффект Керра является дополнительным к эффекту Фарадея!

Для модельного германия (п. 12.6.2) при В = 3 Т получаем эллиптичность г) = 4,8-10"4°; соответственно для времени

столкновений т~ 10"12 с угол поворота плоскости поляризации 9 = 2,5 • 10-6°. Таким образом, в этой области частот эффект Керра существенно слабее эффекта Фарадея. Поэтому в подобных

ааРис. 12.23. Угол поворота плоскости поляризации 0 и эллиптичность т] в эффектах Фарадея (а) и Керра (б) для полупроводника (модельный германий, табл. 11.1,九=10】бсм-з, т = Ю~12 с, В = 3 Т, толщина фарадеевского слоя 1 мм).Рис. 12.23. Угол поворота плоскости поляризации 0 и эллиптичность т] в эффектах Фарадея (а) и Керра (б) для полупроводника (модельный германий, табл. 11.1,九=10】бсм-з, т = Ю~12 с, В = 3 Т, толщина фарадеевского слоя 1 мм).

а

а

Рис. 12.23. Угол поворота плоскости поляризации 0 и эллиптичность т] в эффектах Фарадея (а) и Керра (б) для полупроводника (модельный германий, табл. 11.1,九=10】бсм-з, т = Ю~12 с, В = 3 Т, толщина фарадеевского слоя 1 мм).

Рис. 12.23. Угол поворота плоскости поляризации 0 и эллиптичность т] в эффектах Фарадея (а) и Керра (б) для полупроводника (модельный германий, табл. 11.1,九=10】бсм-з, т = Ю~12 с, В = 3 Т, толщина фарадеевского слоя 1 мм).

обстоятельствах при использовании фарадеевских измерений, в частности, при учете интерференции им можно пренебречь.

На рис. 12.23 показана величина обоих эффектов в нашей модели для широкой спектральной области. При этом эффект Фарадея рассчитывался для однократного прохождения через слой толщиной 1 мм, а эффект Керра ——для полупространства.

Эффект Фарадея при низких частотах

Для волн с частотой 30 ГГц и менее в общем случае имеет место (о《сот. Рассмотрим сначала случай очень слабых полей (o)c《s)・ Это условие, однако, нарушается уже в полях

Рис. 12.24. Измерение фарадеевского вращения и эллиптичности в для волн с частотой 33 ГГц (р = 9 • 10" см-з, Г = 80 К, толщина 1 мм) [12.7].Рис. 12.24. Измерение фарадеевского вращения и эллиптичности в для волн с частотой 33 ГГц (р = 9 • 10" см-з, Г = 80 К, толщина 1 мм) [12.7].теллуре образца

Рис. 12.24. Измерение фарадеевского вращения и эллиптичности в для волн с частотой 33 ГГц (р = 9 • 10" см-з, Г = 80 К, толщина 1 мм) [12.7].

Рис. 12.24. Измерение фарадеевского вращения и эллиптичности в для волн с частотой 33 ГГц (р = 9 • 10" см-з, Г = 80 К, толщина 1 мм) [12.7].

Ва 0,01 Т (см. рис. 12.14)! Расщепление снова становится симметричным. Для малых концентраций носителей (ор《(о) средний показатель преломления опять определяется только исходной решеткой 亢 4“£丄・ В этом приближении для угла поворота плоскости поляризации находим

0=(12.65)

2co Ve£ 纥

ППd崂 s； со2%、Т^©2 %d崂 s； со2%、Т^©2 %(12.66)(12.66)а для эллиптичности

П

П

d崂 s； со

2%、Т^©2 %

d崂 s； со

2%、Т^©2 %

(12.66)

(12.66)

Таким образом, измерение вращения плоскости поляризации дает ту же информацию, что и измерения статической проводимости и эффекта Холла, а именно комбинации 師“％ и 咽久・ Отдельно o)i можно было бы определить, измеряя эллиптичность.

Для очень сильных магнитных полей (сос》①^ > со) можно приближенно записать

Х"~ СО(%—心)2 + &2

При малой концентрации носителей заряДа отсюда следует

0=—7=- • —(12.67)

2%%

В этом приближении эллиптичность исчезает. В то время как в слабых полях угол поворота растет с циклотронной частотой, здесь он убывает как ①” Максимум угла поворота плоскости поляризации лежит при сос =(от (рис. 12.24). Однако эту величину проще получить из угла Холла (7.37). Для нашего модельного германия при В = 1 Т и d = 1 мм получаем для микроволнового диапазона угол поворота 0 = 479°! В приближении слабых полей при таЮ"? с Из (12.65) получаем удельные угол поворота 0/В = 1480°/Т и эллиптичность 刀/B = 280°/Т. Таким образом, эффекты в этом случае значительно сильнее, чем для коротких волн!

Магнитооптические эффекты, которые имеют место в полу* проводниках и металлах при очень высокой концентрации носителей в конфигурации Фарадея, мы обсудим в разделе магнитоплазменных эффектов (разд. 12.8, 12.9).

Эффект Фойхта

При рассмотрении распространения электромагнитной волны в конфигурации Фойхта [В = (0, 0, Вг), к = (^х, 0, 0)] оказывается, что одна собственная мода представляет собой чисто поперечную волну, вектор электрической поляризации которой Ец = (0, 0, Е^. Другая мода поляризована перпендикулярно этой, но тем не менее имеет продольную составляющую Е丄=(Е%, Еу, 6)・

Если вначале обе моды возбуждены одинаково, например если мы рассматриваем линейно-поляризованную под углом 45° волну [Е = Ео(0,1,1)], то на длине % обе моды затухают по- разному и между ними возникает сдвиг фаз

"丄=e。eXр (-々，丄耳尤)• exp [Z (%，丄耳% -w)].

Для отношения амплитуд Е^Е^ получаем

tga=普需黑=exp [-(々一Y丄)V]>(12・68)

а для разности фаз

8 =(勺—П^ kQX.(12.69)

Характерные углы а, « связаны с результирующим вращением О и эллиптичностью п，согласно (П.62) и (П.63),

tg 20 = tg 2а • cos 农

sin 2y)= ± sin 2a • sin 农

Чтобы оценить a и «, ограничимся снова случаем малой концентрации носителей со* / со. Тогда в приближении 亢口 +亢丄二 4 2 “％ можно заменить разность квадратов

后一历i)4 (% -亢丄)2 "砧・

(12.70)(12.70)exx*exx*Кроме того, I %у I《I 8ХХ I, так что 亢一亢~邑二互j

(12.70)

(12.70)

exx*

exx*

Для высоких частот (®》％) разложим также егг и 党со 統©2 + о2

W — a)2 十 Z @ (说— 0)2)2，

.%丄/8統

откуда для разности комплексных показателей преломления

получаем

случаи слабых и сильных магнитныхслучаи слабых и сильных магнитныхA _1 吟 竣

случаи слабых и сильных магнитных

случаи слабых и сильных магнитных

Рассмотрим предельные полей:

8》久，8》久，Ап 4Ап 48》%J S 謎.8》%J S 謎.®с>со>сот®с>со>сот2 д/噌(О4，2 д/噌(О4，Ап 4Ап 4,1со 孤^Ay 4==- 「2co,1со 孤^Ay 4==- 「2co3stсо3stсо1一2“吩 °2 *(12.71)2"红 сд2 01一2“吩 °2 *(12.71)2"红 сд2 0

8》久，

8》久，

Ап 4

Ап 4

8》%

J S 謎.

8》%

J S 謎.

®с>со>сот

®с>со>сот

2 д/噌(О4，

2 д/噌(О4，

Ап 4

Ап 4

,1со 孤^

Ay 4==- 「

2co

,1со 孤^

Ay 4==- 「

2co

3st

со

3st

со

1一

2“吩 °2 *(12.71)

2"红 сд2 0

1一

2“吩 °2 *(12.71)

2"红 сд2 0

При резонансе со =(0с нельзя пренебрегать членами порядка s『

Для очень малых расщеплений (Дп, х) kQx《1 в уравнениях для 0 и Y)разделяются а и 力.Поскольку tg 20 ^ tg 2а, то из (12.68) получаем положение эллипса поляризации

tg8 а 1 ——Ах ・ kQx.

В отсутствие магнитного поля tg 0 = 1. Отсюда для вращения, индуцируемого магнитным полем Д0 = 0(B)—0(0), с учетом условия

(需)M・© = tg® ⑻ Tg*。)

приходим к соотношению

А8= —导岛"(12.72)

Поскольку sin 2а u 1, то для индуцированной магнитным полем эллиптичности получаем

*П 4 ±^ = ± 票々0尤・(12.73)

Как и в случае магнитооптического эффекта Керра, получаем, что разница в затухании приводит к вращению плоскости поляризации, а различие в фазовых скоростях — к эллиптичности!

Вместо термина «эффект Фойхта» для магнитоиндуцированного линейного двулучепреломления (дихроизма) используется также термин эффект Коттона — Мутона. Последнее название, однако, чаще употребляется в случае двулучепреломления в магнитном поле, обусловленного ориентацией свободных молекул, имеющие спонтанный или индуцированный магнитный момент.

В заключение оценим с помощью приближенных формул (12.71) — (12.73) эффект Фойхта для германия (% = 16, /п* = =0,1 mo, п = 1016 см-3, т = 10~12 с); рассматривается слой толщиной 1 мм в среднем инфракрасном диапазоне (v = 1000 см-1)- Поскольку Vc/B = 9,3 см-1/Т, то мы имеем случай малых полей (о》(ос. Вращение и эллиптичность квадратичны по В, так что определение константы Верде не имеет смьтсла; разделим поэтому угол поворота на В2:

Д0/В2 = 2,8 • lOf/T% 刀/炉=1,8 - 10~3°/Т2.

Таким образом, эффект Фойхта для коротковолновой части инфракрасного диапазона очень мал.'

Как и для конфигурации Фарадея, для конфигурации Фойхта также наблюдается магнитооптический эффект Керра. Кроме того, при эллипсометрических измерениях на плоскопараллельной пластине, особенно в области длинных волн, в данном случае необходимо учитывать многократную интерференцию.

Оценить величину эффектов Фарадея и Фойхта в широкой спектральной области можно по интенсивности отражения и прохождения электромагнитных волн, показанной на моделях рис. 12.15 —12.20.

Геликоидальные волны

Для конфигурации Фарадея имеются вне зависимости от магнитного поля широкие полосы частот, в которых может распространяться только одна из двух волн с круговой поляризацией (рис. 12.4). При низких частотах 0 V s V о)с может распространяться только ЦРА-мода, для ЦРН-моды показатель

Рис. 12.25. Дисперсия геликоидальных волн для двух значений магнитного поля (曳=2喈 н 久=Об 時)•/ — ЦРА-мода; 2 — ЦРН-мода, запрещенные зоны заштрихованы.Рис. 12.25. Дисперсия геликоидальных волн для двух значений магнитного поля (曳=2喈 н 久=Об 時)•/ — ЦРА-мода; 2 — ЦРН-мода, запрещенные зоны заштрихованы.

Рис. 12.25. Дисперсия геликоидальных волн для двух значений магнитного поля (曳=2喈 н 久=Об 時)•

/ — ЦРА-мода; 2 — ЦРН-мода, запрещенные зоны заштрихованы.

Рис. 12.25. Дисперсия геликоидальных волн для двух значений магнитного поля (曳=2喈 н 久=Об 時)•

/ — ЦРА-мода; 2 — ЦРН-мода, запрещенные зоны заштрихованы.

преломления мнимый. Из-за поляризации ЦРА-моду называют геликоидальной волной. Геликоидальная волна отличается необычным для электромагнитных волн параболическим законом дисперсии при малых частотах.

Для исследования ее свойств рассмотрим прежде всего показатель преломления (12.15) для электронов (сос = — сос), пренебрегая рассеянием = 0):

© s ±(о； + g© s ±(о； + g(12.74)(12.74)

© s ±(о； + g

© s ±(о； + g

(12.74)

(12.74)

ЦРА-мода с

崎 1

может распространяться при частотах О V со V (Ос, выше а)с для ЦРА-моды лежит запрещенная полоса. Для магнитных полей с ®с < Ор/д/2 имеется полоса частот, в которой не может распространяться ни одна из мод. При со = со^/“2 имеем 亢_ = 0 и 亢+ = 8, при больших частотах может распространяться ЦРН-мода, при меньших — ЦРА-мода.

На рис. 12.25 представлены дисперсионные кривые ш(^) для электромагнитных волн при произвольном магнитном поле ниже и выше tt>c = s^/“2. Из определения показателя преломления получают дисперсионные кривые

亢2(8)= /=•(12.75)

Это приводит к уравнению третьей степени по ш:

①з 干 ^с® —(①产 Н—^"^) ® ±®c = 0,(12.76)

соответственно к квадратному уравнению для 尼：

火=牛①(12.77)

Верхние края запрещенных полос находятся из условия 左？ = Qi

e紋%e紋%ЦРАЦРН

e紋%

e紋%

ласти следует ожидать сильного взаимодействия с акустическими фононами. Характерная частота, при которой обе скорости равны, определяется из условия с = изв：

(12.81)

Выразим 崂 и о)с через микроскопические величины и получим

(О =3 • ■ I .

%80В

Это выражение не зависит от /п*. Для металла с п = 8-1022 см~3 и изв = 5000 м/с при В = 10 Т получаем частоту 6 ГГц. В общем случае из-за вырождения электронного газа при таких высоких концентрациях частота столкновений очень велика.

Но, чтобы вообще могло существовать распространяющееся волновое поле, необходимо выполнение условия 〃 》乂 (при п = х dp = %/2л), т. е. Re｛力2｝》Im｛力2｝. Для проверки разложим (12.74) для ЦРА-моды на действительную и мнимую части:

Re ｛普｝ = eL + — •Re ｛普｝ = eL + — •(0Im ｛fl2｝ = — •Cd(0Im ｛fl2｝ = — •Cd(曳一8)2 + sf '(曳一8)2 + sf '，(12.82)，(12.82)(% — S)+(% — S)+

Re ｛普｝ = eL + — •

Re ｛普｝ = eL + — •

(0

Im ｛fl2｝ = — •Cd

(0

Im ｛fl2｝ = — •Cd

(曳一8)2 + sf '

(曳一8)2 + sf '

，(12.82)

，(12.82)

(% — S)+

(% — S)+

Если пренебречь вкладом решетки &厶,то получаем условие о)с V o)i + со, которое выполняется только в сильных магнитных полях. На рис. 12.26 показаны количественные зависимости для модели металла в предположении сравнительно большого времени столкновений т = 10~12 с. Из-за комплексного показателя преломления при возбуждении волны определенной частоты со получаем комплексное волновое число й = ^7 + 義〃= =(n + fx)(o/co- Это затухающая волна, которую нельзя описать заданным значением' k. Размытие характеризуется 左〃，что на рис. 12.26 обозначено штриховкой.

Если звуковые волны связаны с геликоидальными, то в окрестности точки пересечения дисперсионных кривых должно быть расщепление, как это схематически показано на рис. 12.26. Такие взаимодействия наблюдаются экспериментально в калии [12.8, 12.9].

Сильную зависимость показателя преломления от магнит^ кого поля при низких частотах (12.74) можно наблюдать по резонансам Фабри — Перо в спектрах прохождения

(см. разд. П.9.1). Согласно (П.90), эти экстремумы возникают в спектрах прохождения, если выполнено условие

2n(B)vd = 0, 土 1, 土 2,・・・・(12.83)

При этом мы не учитываем сдвига частоты вследствие изменения фазы при отражении. Результаты измерений резонансов Фабри — Перо для InSb показаны на рис. 12.27.

Рис. 12.26. Связь между геликоидальными и звуковыми волнами в металле. Модельные параметры: п = 8 • 1022 см~3, т = 10~12 с, /л* = /п°, 8^ = 1, и$ = = 5000 м/с, В=10Т.

Другой возможностью является наблюдение резонансов Рэлея. Образец помещается ? одно плечо двухлучевого интерферометра, второе остается пустым. При наложении обоих волновых полей в зависимости от сдвига фаз между ними наблюдается либо усиливающая, либо ослабляющая интерференция. При этом фаза меняется также за счет влияния магнитного поля на показатель преломления м(В). На рис. 12.27 показаны результаты таких измерений для InSb, на рис. 12.28 ——для Na.

В очень сильных магнитных полях (со, » со, сот) можно в области существования геликоидальных волн приближенно записать

蹂К吃干(12.84)

Чем больше магнитное поле, тем слабее вклад свободных носителей. Показатель преломления теперь определяется в основном исходной решеткой. Свободные носители так сильно свя-

0246 J 勿0246 J 勿47 >•47 >•Рис. 12.28. Геликоидальные волны в Na.Рис. 12.28. Геликоидальные волны в Na.д г ад г аРис. 12.27. Геликоидальные волны в InSb.Интерференции Рэлея (/) и Фабри — Перо (2) в магнитном поле [12.1, 12.10].Рис. 12.27. Геликоидальные волны в InSb.Интерференции Рэлея (/) и Фабри — Перо (2) в магнитном поле [12.1, 12.10].Интерференции Рэлея [12.8].Интерференции Рэлея [12.8].Рис. 12.29. Дисперсия геликоидальных волн в магнитном поле. Определение исходной поляризуемости 8^ для Pbo,9iSno,o9Te при 47,9 ГГц с помощью экстраполяции В -> оо [12.11].Рис. 12.29. Дисперсия геликоидальных волн в магнитном поле. Определение исходной поляризуемости 8^ для Pbo,9iSno,o9Te при 47,9 ГГц с помощью экстраполяции В -> оо [12.11].

0246 J 勿

0246 J 勿

47 >•

47 >•

Рис. 12.28. Геликоидальные волны в Na.

Рис. 12.28. Геликоидальные волны в Na.

д г а

д г а

Рис. 12.27. Геликоидальные волны в InSb.

Интерференции Рэлея (/) и Фабри — Перо (2) в магнитном поле [12.1, 12.10].

Рис. 12.27. Геликоидальные волны в InSb.

Интерференции Рэлея (/) и Фабри — Перо (2) в магнитном поле [12.1, 12.10].

Интерференции Рэлея [12.8].

Интерференции Рэлея [12.8].

Рис. 12.29. Дисперсия геликоидальных волн в магнитном поле. Определение исходной поляризуемости 8^ для Pbo,9iSno,o9Te при 47,9 ГГц с помощью экстраполяции В -> оо [12.11].

Рис. 12.29. Дисперсия геликоидальных волн в магнитном поле. Определение исходной поляризуемости 8^ для Pbo,9iSno,o9Te при 47,9 ГГц с помощью экстраполяции В -> оо [12.11].

заны на орбитах Ландау, что они едва ли могут взаимодействовать с электромагнитным полем, частота которого(о #=(ос. При этом исчезает характерное для свободных носителей экранирование электромагнитных волн, «металлическое отражение».

Примером использования такого поведения является измерение исходной поляризуемости е「в высокопроводящих образцах

соединений IV—VI групп (РЬТе, ... PbSnTe ... SnTe). На рис. 12.29 показана зависимость квадрата порядкового номера m интерфенренции Фабри — Перо от 1/В. Согласно (12.84), при 1/В->0 эти значения экстраполируются линейно к £厶(см. задачу 12.12).

Магнитоплазменные эффекты. Альфвеновские волны

Под плазмой понимают систему движущихся положительных и отрицательных носителей заряда, которая в целом остается нейтральной. Принято называть плазмой также систему жестких положительных ионов металла вместе с подвижными электронами. В этом смысле эффекты, которые мы обсуждали ранее, являются именно плазменными, точнее, магнитоплазменными эффектами. Но в этом разделе мы ограничимся системами, в которых имеется одинаково много положительных и отрицательных зарядов со сравнимой подвижностью, например в полупроводнике с собственной проводимостью. До тех пор пока можно описывать силы, действующие на свободные носители, линейным уравнением, как уравнение Друде — Лоренца (12.1, 12.3), связь носителей между собой осуществляется только через электромагнитные поля, и можно в диэлектрическую функцию аддитивно подставлять отдельные восприимчивости.

Для конфигурации Фарадея это приводит к новым эффектам, поскольку оба сорта носителей могут активно взаимодействовать только с одной из двух круговых мод.

Если различать параметры обоих типов носителей индексами 《е》(электрон) и «Л» (дырка), то для показателя преломления получим

魄=电-£ (诉烈7帀+ 3 ±籌％ ) • (1285)

Для упрощения опять пренебрежем рассеянием (оте, h = 0. В очень сильных магнитных полях (о)с》со) вклады отдельных типов носителей компенсируются

理=电-^(千諳士号)，

поскольку при собственной проводимости с п = р члены со2усос= 二^//%^ более не содержат специфических свойств носителей. В этом случае распространение волн характеризуется толь* ко поляризуемостью исходной решетки:

n^ = eL. (12.86)

Фазовые скорости обеих круговых мод одинаковы. Таким образом, линейно-поляризованная волна распространяется без изменения характера поляризации.

Чтобы различить влияние обоих типов носителей, ослабим условие(0с》со и разложим (12.85) по(о/(ос:

経= % + ^(士 + 器)，(12.87)経= % + ^(士 + 器)，(12.87)Тогда получим

経= % + ^(士 + 器)，(12.87)

経= % + ^(士 + 器)，(12.87)

где

吗/% =%/8% = %/%・

Обе моды имеют одинаковые фазовые скорости и не обнаруживают дисперсии. Вплоть до самых низких частот не возникает запрещенной полосы, поскольку всегда 亢;> 0. Волны, которые

могут распространяться под действием магнитного поля также при низких частотах, называют альфвеновскими волнами 1).

На рис. 12.30 показана диаграмма распространения для собственного полупроводника в магнитном поле. При В = 0 за счет присутствия носителей двух типов запрещенная полоса несколько расширяется, поскольку из (12.85) и условия 亢Т》0 при (Ос = 0 для верхнего края запрещенной полосы получаем

屮》唯2 + 8排 (12.88)

Рис. 12.30. Диаграмма распространения волн в собственном полупроводнике для конфигурации Фарадея./ —亢2 = 8： 2 —亢2 = 0.Рис. 12.30. Диаграмма распространения волн в собственном полупроводнике для конфигурации Фарадея./ —亢2 = 8： 2 —亢2 = 0.В отсутствие магнитного поля вклады различных носителей суммируются, разные знаки носителей не сказываются, как в присутствии поля.

Рис. 12.30. Диаграмма распространения волн в собственном полупроводнике для конфигурации Фарадея.

/ —亢2 = 8： 2 —亢2 = 0.

Рис. 12.30. Диаграмма распространения волн в собственном полупроводнике для конфигурации Фарадея.

/ —亢2 = 8： 2 —亢2 = 0.

Кроме этого простейшего примера магнитооптических эффектов в электронно-дырочной плазме, имеется целый ряд интересных явлений для конфигурации Фойхта. О них можно прочесть в специальной литературе (см., например, [12.1, 12.13]).

1) Альфвен [12.12] рассматривал распространение таких волн в ионосферной плазме под действием земного магнитного поля.

Задачи

Вычислить компоненты тензора магнетосопротивления {р(/}, который^ получается из тензора магнитопроводимости обращением уравнения j = сгЕ в Е = pj.

Определить направление вращения электрического поля в круговой моде Е± =月° (1, 士 i, 0) ехр [Z (kz — sf)] в данной точке и ориентацию поля в пространстве в данный момент времени (ср. разд. 12.1 и П.2).

Показать, что в конфигурации Фарадея для показателя преломления справедливы следующие соотношения симметрии:

亢式0 ®*) =锋 3 - s；)，

а при 仰=0

п± (со)=咚(—со).

Каков смысл этих соотношений симметрии при изменении знака заряда, направления магнитного поля и смене направления вращения круговой моды?

С помощью тензора магнитопроводимости (12.8) найти траектории электронов, находящихся во внешнем магнитном поле и вращающемся электрическом поле Е± = £0 (1, ±2, 0) ехр (— /со/) (сот = 0). Как ориентировано Е при со > о)с, соответственно со <(ос по отношению к траектории электрона? Показать, что центростремительная сила определяется выражением (12.17).

Показать, что в конфигурации Фойхта продольную составляющую в волне имеет поле Ё, но не D, В, Н.

В конфигурации Фойхта компоненты тока ЦРА-моды имеют вид /х = (^ху — ^хх&ху/^хх) Ео； 1у = 9%% + ^ху^ху/ъхх) Ео・

Как выражаются компоненты скорости vx, vy нашего среднего электрона через спектроскопические параметры? Найти формулу траектории.

Начертить диаграмму распространения электромагнитной волны ((0т= 0) в конфигурации Фойхта с осями со2/©^2 и 圖時?•

Возникновение спектральных пиков для ЦРА-моды в конфигурации Фарадея можно характеризовать экстремумами функции Я2. Найти уравнения, определяющие кривые % (со),①電(W)，на которых расположены экстремумы функций Re {п2} и Im {п2} при ДС и соответственно МС.

Из спектров поглощения рис. 12.11 определить эффективную массу, частоту столкновений и концентрацию свободных носителей, обусловливающих это поглощение ⑸=29). Какова величина КцРА ? Насколько хорошо выполняются неравенства (12.27), (12.28)?

Для улучшения динамики измерений резонанса Азбеля — Канера применяют метод Уобла. Выберем для зависимости коэффициента отражения R от магнитного поля упрощенное выражение

R (В) = По — 6 cos (2jt/n*s/eo8),6《&•

Магнитное поле меняется по закону

В (t) = Ct+ b sin (s2戶.).

Показать, что периодические изменения коэффициента отражения с частотой 6nf пропорциональны dR/dB и зависимость периода от 8 та же, что я у R.

Вычислить коэффициент прохождения через пластинку полупроводника в магнитном поле в соответствии с рис. 12.19, учитывая интерференцию, в предельном случае очень низких частот (<от 0).

На рис. 12.29 показана зависимость порядка интерференции Фабри —Перо в образцах Pb/SnTe от магнитного поля. Интерференционная картина образована на пластине толщиной 0,9 мм волнами с частотой 47,9 ГГц. Какова величина поляризуемости исходной решетки && если экстраполяция В-> оо приводят”к ш2 « 140? Какова концентрация носителей, если экстра* полиция для /п2fo приводит к значению 1/8 = 0,195 Т~7

13. ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

До сих пор взаимодействие свободных носителей заряда с колебаниями решетки рассматривалось лишь при обсуждении рассеяния. Кроме того, при исследовании диэлектрической функции свободных носителей в поляризующейся исходной решетке исходную поляризацию £厶 считали не зависящей от частоты. Это означает, что мы рассматривали области частот, лежащие достаточно далеко снизу или сверху от резонансных частот оптических полярных колебаний решетки. После краткого рассмотрения длинноволновых фононов мы займемся более точно такими колебаниями решетки, при которых искажения решетки связаны с диэлектрической, поляризацией. Эта поляризация обусловливает появление электрического поля, за счет чего возникает связь с полем электромагнитной волны. Поэтому распространение таких колебаний решетки следует описывать как поляритоны. Если такие колебания рассматривать не в диэлектрике, а в проводнике, то имеется связь поляризационного поля также и со свободными носителями. Это тоже оказывает значительное влияние на распространение упругих волн. Поэтому новые связанные возбуждения называют плазмон-фонон-поля- ритонами.

Длинноволновые колебания решетки

Упругие волны, которые могут распространяться в кристалле, классифицируются по волновым векторам q, принадлежащим первой зоне Бриллюэна обратной решетки. Таким образом, их значения лежат между 0 и л/а (а — постоянная решетки). В простых трехмерных решетках каждому значению q соответствуют три упругие волны с различной частотой. Две из них являются поперечными и одна — продольной волной. Их называют также акустическими ветвями, поскольку длинноволновая часть этих ветвей соответствует макроскопическим звуковым волнам. В простых решетках две поперечные ветви соответствуют волнам смещения, а продольная — волнам сжатия. Дисперсия таких волн описывается звуковой скоростью изв：

9 = %в • 9・

Групповая скорость ds/dq таких волн совпадает с фазовой скоростью ®]q. Частота со =# 0, с которой узлы решетки совершают колебания относительно положений равновесия, соответствует ^ =# 0. Это означает, что искажения решетки меняются при переходе от одной элементарной ячейки к другой;夕=0 означает, что длина волны становится бесконечной, т. е. искажения одинаковы для всех элементарных ячеек. Но это уже макроскопическое смещение кристалла. Возвращающие силы не возникают, отсюда следует, что со = 0. Акустические ветви существуют и в более сложных решетках, т. е. таких, где элементарная ячейка содержит не один атом, а несколько, называемых базисом, или базисной молекулой (например, NaCl, Ge2, Hgl2 и т. д.). В предельном случае длинных волн базисная молекула колеблется без искажений. В этом случае расположение базисных молекул при переходе от одной ячейки к другой уже не имеет периода а, а модулировано в соответствии с q, обратным периодом звуковой волны. Такие акустические волны нельзя возбудить в объеме непосредственно электромагнитными волнами; поскольку изв《Со, то при данной частоте со нет звуковой волны с тем же пространственным периодом, что и электромагнитная волна. Возбуждение с помощью электромагнитных волн возможно лишь в особых условиях, например через поверхность пьезоэлектрических кристаллов [13.1] или в случае, если дисперсия электромагнитных волн за счет связи с возбуждениями существенно отличается от дисперсии в вакууме, как это, например, имеет место для геликоидальных волн (см. рис. 12.26).

В сложных решетках, кроме акустических, имеются и такие колебания, которые в длинноволновом предельном случае q =() имеют конечную частоту. Это «собственные колебания» базисных молекул. При q = Ь и ①=# 0 фазовая скорость становится бесконечно большой — все элементарные ячейки колеблются синфазно.

Если представить себе, что сложная решетка, например NaCl, состоит из нескольких сдвинутых относительно друг друга простых решеток (в нашем примере это простые решетки из атомов Na и С1), то оптические колебания решетки q = 0 соответствуют динамическому смещению неискаженных подрешеток относительно друг друга. Следовательно, они обусловлены силами взаимодействия между подрешетками, например между атомами Na и С1, но не внутри подрешеток, т. е. между атомами Na — Na или Cl ——Cl. Такие силы приводят к колебаниям с ^ =# 0, как и для длинноволновых акустических мод. Оптические колебания решетки могут непосредственно взаимодействовать с электромагнитными волнами. В предельном случае больших длин волн интересующие нас свойства описываются очень

простой моделью (см. разд. 13.2). По вопросам, связанным с общими свойствами колебаний решетки, фононов, следует обратиться к специальной литературе [1.2, 1.4, 13.2—13.4].

Оптические фононы

Если рассматривать простую двухатомную решетку АВ с высокой симметрией (например, решетку NaCl), то в ней имеется только один тип длинноволновых оптических фононов, а именно уже упомянутые колебания неискаженной подрешетки атомов А относительно неискаженной подрешетки атомов В〔).

Рис. 13.1. Неискаженная линейная цепочка из атомов Л и В и ее оптические собственные колебания при д«=0.

В этом случае колебания решетки можно описывать «линейной цепочкой» периодически смещенных атомов А п В (рис. 13.1). При этом каждый атом Д и В принадлежит перпендикулярной к цепочке атомной плоскости А или В. Для сил, действующих на атомы подрешеток Л и В, можно записать следующие уравнения:

此1；4 + 0(〃 — Гв) = 0, “3 [) "в^в + Q (「в — Га)=。・

Здесь Ма, в — массы атомов А п Bt г — смещения атомов относительно положений равновесия. Возвращающая сила в этом случае возникает, если имеется смещение подрешетки А относительно В, т. е. если Гд ——гв =# 0. Соответствующая этой возвращающей силе «упругая постоянная» описывает коротковолновые силы химической связи, т. е. ионные, ковалентные или металлические связи вместе с малой сжимаемостью атомной сферы. Поскольку силы линейны, их изображают пружинками.

Когда ячейка кристалла содержит два атома (или иона), то имеются три оптических колебания. В пренебрежении анизотропией они описываются одним векторным уравнением (13.4). — Прим. ред.

Но это лишь отражает тот факт, что атомы неискаженной решетки находятся в потенциальной яме. Для малых колебаний ее всегда можно аппроксимировать параболой, что соответствует линейным по смещениям силам. В (13.1) мы приняли D одинаковым в обоих случаях; это следует из симметрии нашей модели на рис. 13.1, поскольку связь между атомами А ——В такая же, как и между атомами В — А.

Вводя относительную координату

u S гл — гв(13.2)

и приведенную массу

诉=可+不写，(13.3)

можно переписать (13.1) в виде простого однородного уравнения колебаний

M*u + Du = 0(13.4)

или

и + 0細==0, где Qo 0 D/M*.

На рис. 13.1 показаны колебания типа сжатия ——разрежения. Если рассмотреть более точно деформации пружинок в трехмерной решетке NaCl, то видно, что в этом примере колебания типа смещений обусловлены теми же пружинками, что и колебания типа сжатия — разрежения. Поэтому обоим типам колебаний соответствует одна и та же собственная частота. В менее симметричных решетках этого уже быть не должно.

Кроме того, в решетках, элементарная ячейка которых содержит более двух атомов, возможны собственные колебания, которые нельзя описать с помощью одной только относительной координаты. Но в этом случае произвольное колебание базисной молекулы можно представить как линейную комбинацию соответствующих собственных колебаний. Для каждого из этих собственных колебаний можно записать уравнение типа (13.4) (см., например, [13.6]). Базисной молекуле из N атомов соответствуют в трехмерном случае 3N собственных колебаний. Три из них — простые смещения жесткой молекулы, соответствующие акустическим колебаниям решетки с q = 0. Итак, остаются 3(N——1) оптические ветви. В случае нашего модельного кристалла N = 2. Соответствующие три оптических колебания имеют одну и ту же собственную частоту {вырождение, обусловленное симметрией).

Если рассмотреть случай, когда возможна малая разность фаз при переходе от одной ячейки к другой, т. е. теперь ^ « 0, то соответствующая собственная частота будет относительно мало отличаться от С。== Q (д = 0), поскольку искажения пружинок внутри подрешеток А или В намного меньше полей,

возникающих между обеими подрешетками. Для акустических ветвей это небольшая поправка. Однако при q = 0 спектр начинается с QaK = 0 и зависимость собственной частоты от q в этом случае существенна!

Рис. 13.2. Дисперсионные кривые для фононов в неполярном германии и полярном арсениде галлия [13.6].

Если рассматривать колебание с ^ =# 0, то может иметь значение также направление распространения волны в решетке, поскольку q — вектор. В простых решетках, где искажения, как и в (13.2), описываются одним вектором и, можно определить для волн в решетке динамическую решеточную поляризацию. Тогда различают

продольные фононы при u||q и

поперечные фононы при и 丄 q.

На рис. 13.2 представлены дисперсионные кривые для германия и GaAs, простой двухатомной решетки； направление распространения волны параллельно ребру кубической решетки

[100] и пространственной диагонали [111]. Обсуждавшемуся предельному случаю больших длин волн соответствуют ветви g d 0.

.2.1. Полярные оптические фононы

В рассмотренном нами примере решетки поваренной соли подрешетки образованы ионами с противоположными зарядами: катион Na+ и анион С1- с зарядами ±е0. В неискаженной решетке эти различные заряды не создавали макроскопической поляризации, поскольку вклады дипольных моментов базисной молекулы АВ вследствие кубической симметрии компенсировались. В искаженной решетке атомы Л уже не центрированы относительно атомов В, и наоборот. В результате получаем дипольный момент на одну элементарную ячейку

Р = еои.Р = еои.(13.5)

Р = еои.

Р = еои.

Дипольные моменты уже не компенсируются из соображений симметрии, а, наоборот, приводят к макроскопической поляризации

Р —九 р === ме()11； (13.6)

здесь п—плотность базисных молекул АВ.

Приложенное электрическое поле Е может исказить решетку, поскольку кулоновская сила, действующая между атомами подрешеток А или В, направлена противоположно упругой силе. В электрическом поле уравнение для действующих сил (13.4) становится неоднородным

(13.7)(13.7)M*u + Du = e0E.

(13.7)

(13.7)

В гармоническом электрическом поле Е = E0exp(Z(of), отсюда получаем дипольный момент на элементарную ячейку, связанный с индуцированным искажением и:

考 р = %и =考 р = %и =*0)2匸。*0)2匸。

考 р = %и =

考 р = %и =

*0)2匸。

*0)2匸。

Если описывать полную поляризацию восприимчивостью уо, то из

Р 三 ео%)Е

для восприимчивости получаем

Однако этим выражением для восприимчивости %。пользоваться нельзя, поскольку поле Е——не усредненное макроскопическое поле, а микроскопическое поле, сильно меняющееся от иона к иону. В локальное поле Елок входит [см. рис. 3.3 и (3.24)] не только макроскопическое поле Е% но также и вклад соседних диполей, который учитывается макроскопической поляризацией: '

Елок = Еа +4"g (13.9)

Только при очень малой плотности диполей могло бы быть Елок Еа, но это имеет место только в газах или для очень слабых диполей. Поскольку мы, кроме того, учитываем динамическое искажение [поляризацию (о =#0)], необходимо иметь в виду, что изменяющаяся во времени поляризация в точке г создает в соответствии с уравнениями Максвелла электрическое поле в точке г'. Учет такого ^запаздывания^ приводит к поляритонам (ср. разд. 10.1). Это вызванные электрическими полями упругие колебания кристалла, связанные с электромагнитными колебаниями. Первые описываются уравнением (13.7), последние ——уравнениями Максвелла или волновым уравнением (10.12) (см. рис. 10.1).

При учете как локального поля, так и запаздывания необходимо рассматривать макроскопическую поляризацию. Но в гл. 3 мы показали, что в нее могут давать существенный вклад валентные электроны. В нашем примере NaCl это означает, что ионы не являются жесткими монополями, но под влиянием электрического поля электронная оболочка может заметно смещаться относительно ядра, образуя диполь. За счет такой поляризуемости валентных электронов электронные и решеточные (фононные) свойства оказываются сильно зависящими друг от друга.

В следующей главе мы обсудим три аспекта этого влияния. Но прежде укажем на то, что нашу модель линейной цепочки ионов или решетки NaCl можно существенно обобщить. Пусть сначала решетка состоит из нейтральных атомов. Уже малая асимметрия плотности валентных электронов в ковалентных связях приводит к возникновению дипольного момента при искажении (например, в GaAs). Если элементарная ячейка со стоит более чем из двух атомов, то даже в монокристалле может существовать поляризация, вызванная искажениями [13.7]. Только в двухатомном базисе асимметрия распределения заряда при искажении не приводит к образованию дипольного момента (например, Ge, рис. 2.1). Впервые поляризация монокристалла за счет колебаний решетки наблюдалась в теллуре [13.8]. Его элементарная ячейка состоит из трех атомов. Вклад в поляризацию оказывается больше, чем для ионных кристаллов!

Все оптические колебания решетки, связанные с дипольным моментом, называют полярными оптическими фононами независимо от того, идет ли речь о гетерополярных или гомополяр- ных кристаллах. Количественно их описывают с помощью эффективного заряда Q*:

p = Q*u. (13.10)

Если элементарная ячейка содержит более двух атомов, то и — не просто координата относительного смещения, а некоторая характерная для данного собственного колебания комбинация координат смещений всех N атомов элементарной ячейки. Таким образом, как уже говорилось ранее, собственный вектор и имеет размерность ЗМ Кроме того, каждому собственному колебанию соответствует свой эффективный заряд V*. Поскольку теперь направление р не связано непосредственно с вектором смещений, то для полярных фононов следует различать динамическую решеточную поляризацию (с. 195) и электрическую поляризацию. В общем случае имеются два собственных состояния с разными поляризациями .

продольные поляритоны при p||q и

поперечные поляритоны при р 丄 q.

В кристаллах с низкой симметрией поляритоны часто имеют смешанную поляризацию.

При обобщении модели ионного кристалла на произвольные кристаллы становится очевидным, что картина локального поля является довольно спорной, поскольку она возникает при идеализированном описании ионов точечными монополями. Но на рис. 2.1 показано, что в действительности элементарная ячейка плотно заполнена валентными электронами. Поэтому если мы рассчитываем локальное поле по формуле Лоренца (3.24), то предполагаем, что смещенные в элементарной ячейке атомы создают в соседних элементарных ячейках только дипольное поле. Это для плотноупакованных ячеек, вообще говоря, проблематично.

Введенный в (13.10) эффективный заряд Q* вместе с величиной искажений и определяет дипольный момент элементарной ячейки. Если при колебаниях решетки поляризации не возникает, как, например, в Ge, то для такого колебания Q* = 0.

Примечание

Хотя Q* имеет размерность заряда, однако лишь для очень простых решеток его можно представить, в самом деле, как монопольные заряды. В общем случае заряд Q* дает только в комбинации с и физически наглядную величину, а именно

дипольный момент. Поэтому часто употребляемое определение для Q* «динамический заряд» кажется нам неверным!

Появляющийся в выражении для локального поля (3.24) множитель i/з справедлив только для кубических кристаллов и изотропной среды (жидкости, газы). Для менее симметричных кристаллов возникают другие геометрические факторы. Но для нашего рассмотрения это несущественно.

Фонон-поляритоны

Рассмотрим теперь распространение электромагнитных волн в кристалле, где могут возникать полярные оптические фононы. Аналогично (13.7) имеем

M*u + Du = Q%0K.(13.11)

Но при этом мы будем различать локальное и макроскопическое электрические поля (13.9):

1 р

Елок = Еа+у —.•

Здесь Р ——полная поляризация, в которую дают вклад искажения решетки, пропорциональные и, и смещение оболочек валентных электронов:

р = nQ*u + П80«Елок.(13•⑵

искажениесмещение оболочки

решеткивалентных электронов

полная „фонон наяи„электронная**

поляризацияполяризация

Здесь а ——поляризуемость базисных молекул или элементарных ячеек, резонансы которых лежат при очень высоких частотах (см. гл. 3). В (13.11) и (13.12) параметры /), Q* и а характеризуют электронные свойства. D соответствует химической связи, образуемой валентными электронами, а ——поляризуемость валентных электронов без учета атомного остова, Q* — вклад валентных электронов, обусловленный смещением остова. Если в ионном кристалле валентный электрон полностью перешел от катиона к аниону, то Q* а 细

Полную поляризацию (13.12) мы выражаем через макроскопическое поле Еа с помощью электрической восприимчивости

Р = вохЕа,(13.13)

откуда, учитывая (13.9), получаем для локального поля

Е"ок = © +》)*・(13.14)

Наконец, введем в уравнение (13.11) дополнительную «силу трения» M*Qxu. Она учитывает, что колебания решетки вследствие дипольного излучения осциллирующих молекул элементарной ячейки являются затухающими. Кроме того, этот член учитывает то, что кристалл не является строго «гармоническим», но возбужденное собственное колебание за счет нелинейных сил, действующих между атомами решетки, возбуждает также другие собственные колебания и таким образом затухает. Для гармонических возбуждений уравнение (13.11) принимает следующий вид:.

(-со2 一 isQi + 就)и — 备 Елок = 0.(13.15)

Вместе с (13.12) и (13.14) это дает систему однородных линейных уравнений относительно и, Елок и Р. Эти уравнения называют уравнениями Хуанга ——Зигети для фонон-поляритонов. Из условия обращения в нуль детерминанта

(一①?一z&Qt + Q肌 1 —妆("^ + 4")] — Q^(^- + T)=。’

где Q2 = nQ*2/s0M*9 получаем восприимчивость

(- d -而％ +叁)3初+ 3④

Отсюда в соответствии с (10.18) и (10.21) получаем дисперсию фонон-поляритонов. В частности, продольные поляритоны возникают при частоте QL, для которой при любом q имеет место

1+x(Ql) = 0.(13.17)

Для поперечных поляритонов получаем дисперсионное соотношение

炉=母亢2 =牛口+%(砌.(13.18)

Прежде чем обсуждать закон дисперсии, преобразуем (13.16) к более удобной форме, аналогичной (13.8). При очень высоких

частотах (со -> оо) из (13.16) получаем

(13.19)(13.19)_3〃а

(13.19)

(13.19)

^°°= 3 —па *

Это вклад валентных электронов (3.26) или (11.1) в восприимчивость, который мы более точно исследовали в гл. 3. Показатель преломления высокочастотных поляритонов

содержит параметр а, но не Q*. Таким образом, поляризация этих волн обусловлена только смещениями оболочки валентных электронов по отношению к положительному остову.

Рис. 13.3. Электрическая восприимчивость полярного кристалла (GaAs) в области оптических решеточных колебаний поляризующейся оболочки валентных электронов (%8 = 10) и для идеализированного случая «неподвижных ионов» (%оо = 0).Рис. 13.3. Электрическая восприимчивость полярного кристалла (GaAs) в области оптических решеточных колебаний поляризующейся оболочки валентных электронов (%8 = 10) и для идеализированного случая «неподвижных ионов» (%оо = 0).

Рис. 13.3. Электрическая восприимчивость полярного кристалла (GaAs) в области оптических решеточных колебаний поляризующейся оболочки валентных электронов (%8 = 10) и для идеализированного случая «неподвижных ионов» (%оо = 0).

Рис. 13.3. Электрическая восприимчивость полярного кристалла (GaAs) в области оптических решеточных колебаний поляризующейся оболочки валентных электронов (%8 = 10) и для идеализированного случая «неподвижных ионов» (%оо = 0).

Вводя обозначение

(13.21)(13.21)_党

(13.21)

(13.21)

” Qq Qq —(о2 — /coQT

в видев видесоответствующее восприимчивости в пренебрежении поляризационным воздействием, как и в (13.8), можно записать (13.16)

в виде

в виде

(13.22)(13.22)3 (па + %о)'3 — (па + %о)

(13.22)

(13.22)

Если теперь представить восприимчивость в виде суммы

У 13 %ВЗ + Уфон'

где %вз=%8 — вклад валентных электронов и хфон — колебаний решетки, то получим

Хфон н 9%о/(3 — 〃а — ％о) (3 — па).

Отсюда видно, что вклад колебаний решетки определяется в основном смещением валентных электронов па, но не искажением

Рис. 13.4. Дисперсия фонон-поляритонов в GaAs (модель: Qt«0).Рис. 13.4. Дисперсия фонон-поляритонов в GaAs (модель: Qt«0).

Рис. 13.4. Дисперсия фонон-поляритонов в GaAs (модель: Qt«0).

Рис. 13.4. Дисперсия фонон-поляритонов в GaAs (модель: Qt«0).

решетки, которое входит в у。через Q*. Из равенства 3 — па = 9/(3 + %оо) и характерных величин

爲2三端（写二）\廟nQo — g稣.整1爲2三端（写二）\廟nQo — g稣.整1(13.23)(13.24)(13.23)(13.24)

爲2三端（写二）\廟nQo — g稣.整1

爲2三端（写二）\廟nQo — g稣.整1

(13.23)

(13.24)

(13.23)

(13.24)

получим вклад колебаний решетки в другом виде:

増 q2碑 Q^ —(о2 — Z(oQt増 q2碑 Q^ —(о2 — Z(oQt(13.25)(13.25)

増 q2

碑 Q^ —(о2 — Z(oQt

増 q2

碑 Q^ —(о2 — Z(oQt

(13.25)

(13.25)

Формально это выражение совпадает с результатом для «классических осцилляторов с дисперсией» (13.8). В этом случае резонансная частота 6丁 за счет поляризационных вкладов х^ и Qg

становится существенно меньше Qo- На рис. 13.3 показаны действительная и мнимая части % для кристалла с поляризующимися атомами, что примерно соответствует условиям в GaAs(%oo = 10), и для того же кристалла, но в предположении жестко закрепленных ионов (%оо = 0).

Дисперсия s(q) представлена, согласно (13.18), для случая отсутствия диссипации (QT = 0) на рис. 13.4. Продольную поляритонную частоту можно найти из (13.17) из условия обращения в нуль диэлектрической функции

е (QJ = 1 +х (。厶)=0

в отсутствие затухания

X竹譚^(13・26)

или

Ql = Qo + |Qp-••紀昌•(13.27)

За счет поляризационных вкладов %оо и Qp частоты продольных поляритонов лежат выше Qo!

В интервале частот между Ст и Ql показатель преломления п = д/1 + X Для поперечных поляритонов является мнимым, т. е. имеется запрещенная полоса.

Поскольку влияние валентных электронов на динамические решеточные свойства оптических фононов не является очевидным, в следующих разделах мы еще раз поясним важнейшие результаты.

Соотношение Лиддана—Сакса—Теллера

Для статического предельного случая %s = %(0) из (13.22)

получаем

(13.28)(13.28)3 (九а + Q^/Q^)

(13.28)

(13.28)

3 - (па + 解/儘)

Сюда в соответствии с (13.25) входит решеточный вклад

Хфон (0) = Q；2/Qt.(13.29)

Статическое предельное значение диэлектрической функции е§ имеет вид.

1 + %вз + хфон (о)= 1 + Хоо + а；?/嚼.(13.30)

Отсюда сразу же получаем показатель преломления для низко^ частотных поляритонов согласно й2 = es. С учетом (13.27) для

частоты продольных поляритонов приходим к соотношению Лиддана — Сакса — Теллера

8s/8oo = Ql/Qf.(13.31)

Из него следует, что скачок диэлектрической функции за счет вклада полярных оптических фононов связан с появлением широкой запрещенной полосы для распространения поперечных поляритонов, ограниченной сверху Q厶 и снизу Ст. Ширину этой зоны называют также《LO — ГО-расщеплением^.

Из соотношения Лиддана ——Сакса ——Теллера видно, что большая величина статической диэлектрической проницаемости в основном связана с большим расстоянием между частотами ◎厶 и R「, особенно с малым значением Q?.

Заряд Зигети

Вклад полярных оптических фононов в восприимчивость (13.25)

Хфон (。)=== Q。/^т

определяется в окрестности резонансной частоты Ст величиной 写,соответствующей на языке квантовой механики силе осциллятора. Согласно (13.23), частота Q； связана с эффективным зарядом Q* 9 соотношением

叫叫中戶需(中)2.

Поскольку микроскопические величины 〃 и М* являются характерными свойствами рассматриваемой решетки, то мы интерпретируем влияние валентных электронов на Q； только как увеличение эффективного заряда

Q** = Q* 2оо+±(13.32)

Определенный из %фОн усредненный эффективный заряд Q** содержит часть Q*, обусловленную только искажением решетки, которую мы и называем зарядом Зигети [13.9]. За счет поляризации оболочки валентных электронов в него входит дополнительный множитель (%оо + 3) /3. В случае «жестких ионов» Q** = Q*.

Если рассмотреть в качестве примера GaAs, кристалл со слабо полярными оптическими фононами, но легко поляризующейся оболочкой валентных электронов, то из измерений получаем Q** = 2,3e(). Однако на заряд Зигети приходится лишь Qh= 0,52е。 (см. задачу 13.2).

')В квантовой механике Q*2 соответствует квадрату матричного элемента дипольного перехода.

Смягчение поперечной оптической моды решеточных колебаний

За счет влияния поляризации (£“ок 耍 Еа) даже в случае жестко закрепленных ионов (х^ = 6) из (13.24) и (13.27) получаем увеличение жесткости продольной и смягчение низкочастотной поперечной мод:

£2^ =就+告犷，Qr = Qo - 4■鉱.(13.33)

Поля поляризации в зависимости от обстоятельств действуют

либо вдоль, либо против сил. Это влияние показано на рис. 13.5. В предельном случае Qp = \ 3Q0 решетка становится неустойчивой относительно сдвига. Следовало бы ожидать фазового перехода, поскольку атомы должны были бы найти себе новые устойчивые позиции. В этом предельном случае продольная мода должна была бы достигнуть максимальной жесткости Ql = V^Qo・

В решетках из легко поляризующихся атомов (%8 2 0) (согласно результатам гл. 3, это прежде всего элементы, об-

короткодействующих возвращающихкороткодействующих возвращающихРис. 13.5. Смягчение поперечной поляритонной моды Q? и увеличение жесткости продольной моды Q^ за счет обратного воздействия поляризации согласно (13.34)./ — 〃а = 0, «жесткие ионы», 2 — па =/= 0.Рис. 13.5. Смягчение поперечной поляритонной моды Q? и увеличение жесткости продольной моды Q^ за счет обратного воздействия поляризации согласно (13.34)./ — 〃а = 0, «жесткие ионы», 2 — па =/= 0.僦Qg 3 + 2〃а僦Qg 3 + 2〃а僦僦К ”34)К ”34)разующие полупроводники и полуметаллы) замораживание продольной моды не так велико, как в случае неподвижных ионов. Поперечные моды, наоборот, смягчаются существенно быстрее. На рис. 13.5 показан простой графический способ отыскания влияния валентных электронов. Для этого необходимо выразить (13.24) и (13.27) через па = 3%оо/(3 + Х«>):

короткодействующих возвращающих

короткодействующих возвращающих

Рис. 13.5. Смягчение поперечной поляритонной моды Q? и увеличение жесткости продольной моды Q^ за счет обратного воздействия поляризации согласно (13.34).

/ — 〃а = 0, «жесткие ионы», 2 — па =/= 0.

Рис. 13.5. Смягчение поперечной поляритонной моды Q? и увеличение жесткости продольной моды Q^ за счет обратного воздействия поляризации согласно (13.34).

/ — 〃а = 0, «жесткие ионы», 2 — па =/= 0.

僦Qg 3 + 2〃а

僦Qg 3 + 2〃а

僦

僦

К ”34)

К ”34)

На рис. 13.6 представлены возможные значения QL, г, отнесенные к Qo, в зависимости от величины вклада поляризации за счет искажений решетки (nQ*) или за счет смещений оболочки валентных электронов (па). В предельном случае ионных кристаллов (например, NaCl) имеются сильная поляризация

решетки и слабая поляризация валентных электронов.

В другом пределе для ковалентных кристаллов (InSb, Те и др.) наблюдается обратное поведение. В кристаллах элементов с

PbS

Рис. 13.6. Смягчение поперечной поляритонной моды 口丁 и увеличение жесткости продольной моды 口厶 в полярных кристаллах в зависимости от вклада в поляризацию искажений решетки (Qp/Q0) и собственного искажения оболочки валентных электронов (па).

двумя атомами на элементарную ячейку (например, Qe) по соображениям симметрии вообще отсутствует вклад от решетки. Таким образом, фонон-поляритоны в них отсутствуют и Ql = =г Ст == ^о«

Особенно интересны халькогениды свинца [13.10]. На диаграмме рис. 13.6 они расположены вблизи области неустойчи-

вости, поскольку для них выполняется соотношение па + £2р/йо а «3 [ср. знаменатель в (13.28)]. Малые изменения микроскопических параметров могут привести к резким изменениям динамических свойств решетки. Особенно увеличиваются оба члена па и 焉/溢〜/г с ростом плотности п при охлаждении за

Рис. 13.7. Смягчение поперечной поляритонной моды R『в РЬТе вследствие зависимости от температуры микроскопических параметров./ — р в 4. [СР см-8； 2 — р = 6,2 • 1Ф см-8 [13.10].Рис. 13.7. Смягчение поперечной поляритонной моды R『в РЬТе вследствие зависимости от температуры микроскопических параметров./ — р в 4. [СР см-8； 2 — р = 6,2 • 1Ф см-8 [13.10].

Рис. 13.7. Смягчение поперечной поляритонной моды R『в РЬТе вследствие зависимости от температуры микроскопических параметров.

/ — р в 4. [СР см-8； 2 — р = 6,2 • 1Ф см-8 [13.10].

Рис. 13.7. Смягчение поперечной поляритонной моды R『в РЬТе вследствие зависимости от температуры микроскопических параметров.

/ — р в 4. [СР см-8； 2 — р = 6,2 • 1Ф см-8 [13.10].

счет коэффициентов теплового расширения. На рис. 13.7 показан пример сильного смягчения частоты ◎「в случае РЬТе при дхлаждении. С таким смягчением моды, согласно соотношению Лиддана ——Сакса — Теллера, связан рост статической диэлектрической проницаемости от es(300 К) ^ 400 до e$(4K)Q 1400.

Поляризация и искажение решетки

(13.35)(13.35)В кристаллах с полярными оптическими фононами макроскопическое электрическое поле создает поляризацию, которая частично обусловливается механическим искажением и. Рассмотрим, насколько велики эти искажения. В (13.12) общая поляризация разложена на фононную и электронную части:

(13.35)

(13.35)

Р == Рфон + Рвэ ==枕Q “ + 九е()аЕп0к・

С помощью (13.13), (13.14) и (13.19) отсюда сразу получаем относительные вклады

Рфон %фон 3*ВЗ %83 + %

・ Р = X --3+77; — = —-^+17-(13・36)

Видно, что при высоких частотах полная поляризация в основном создается валентными электронами, Р = Рвэ, поскольку

Рис. 13.8. Относительная поляризация в сильно (NaCl) и слабо (GaAs) полярном кристалле для обеих поперечных поляритонных ветвей (о < □「, о > R^).

'—%он； 2 一 *в»

%фон ^ 0, или у а Хоо. Однако в статическом предельном случае (со ^ 0) получаем значительное искажение решетки, индуцированное электрическим полем, “ ~ Рфон：

(■^1=0 = (%注°：)(；4勞. (13.37)

Для слабо полярного GaAs (в5= 12,9, 8^ = 10,9) вклад статических искажений составляет примерно 4%, для более полярного РЬТе (при 300 К： % = 380, е^ = 35) — 7%, а для ионного кристалла NaCl (% = 5,9, % = 2,3) — даже 51 %.

На рис. 13.8 показаны относительные поляризационные вклады для полярных кристаллов. В то время как в (13.36) мы

полагали их не зависящими от частоты, на рис. 13.8 показаны зависимости от q, пересчитанные через показатель преломления. Поляритонные моды о)(д), для которых вклад от искажений Афон/力 >50%, называют часто фононоподобными, а моды с существенно меньшим вкладом от искажений ——фотоноподобными. Последнее определение, однако, не слишком удачно, поскольку электромагнитные волны при низких и при высоких частотах распространяются не так, как в вакууме, но существенно изменяются под действием среды, что описывается показателем преломления n= V8s и n = V8oo-

В неполярных кристаллах, например в кристаллах элементов, содержащих два атома в элементарной ячейке, фонон-поляри- тонов нет. Длинноволновые оптические фононы (夕 в 0) распространяются с частотой С。. Расщепление продольной и поперечной оптических мод также отсутствует (пример: Ge на рис. 13.2). Для сравнения следует иметь в виду, что в полярных кристаллах длинноволновые возмущения решетки не могут распространяться ни с частотой Со, ни с йг. При частоте Ql с q = 0 начинается ветвь и продольных, и поперечных поляритонов.

Затухающие фонон-поляритоны

Вводя параметр QT, мы учитывали затухание. Оно отчасти обусловлено электромагнитным излучением движущихся диполей. Но большая его часть вызывается распадом поляритонной моды на другие решеточные волны за счет ангармонизма решеточных сил. Поэтому восприимчивость становится комплексной. Таким образом, условие 1 -}- х = 0 может выполняться только для комплексной частоты возникновения продольных поляритонов. Показатель преломления для поперечных поляритонов также становится комплексным. Это означает, что действительной частоте соответствуют комплексные q, а действительным q — комплексные о. Комплексная величина(о означает, что состояние имеет конечное время жизни, или что его частотный спектр имеет конечную ширину (преобразование Фурье затухающей волны). Мнимая часть частоты соответствует размытию частоты, Асо, или обратному времени жизни 1/т.

Из условия 1 + х = 0 с помощью (13.26) получаем комплексную частоту продольных поляритонов

Ql = "丽一@/2)2 - /Qx/2.(13.38)

Только при QT V 2c厶 у частоты имеется действительная часть!

Для поперечных поляритонов эксперименты проводятся в инфракрасной области спектра, где измеряются отражение и

прохождение. Электромагнитная волна определенной частоты возбуждается через поверхность образца. При этом в кристалле образуются поляритоны. Они распространяются в зависимости от частоты возбуждения с тем или иным затуханием, волновое

Рис. 13.9. Неопределенность волнового числа Ад поперечных поляритонов и частоты До продольных поляритонов за счет затухания 1/QX = 3 • 10~13 с.

Модельные параметры те же, что и на рис. 13.10.

число q является комплексным. С помощью комплексного показателя преломления получаем

§ = / + 力〃 = (п + 汉)Wc.(13.39)

При х > п волна распространяться практически не может, поскольку при д〃 > д' длина затухания короче длины волны. Таким образом, д〃 соответствует размытию волнового числа. Поэтому на рис. 13.9 показана дисперсия поляритонов с учетом реального затухания — размытия Ао)=(о〃, или Ад = д〃・

13.4. Плазмон-фонон-поляритоны

В гл. 3 мы показали, что резонансы валентных электронов лежат в видимой и ультрафиолетовой частях спектра. Поэтому при обсуждении оптических свойств свободных электронов мы

Рис. 13.10. Вклады от восприимчивостей в диэлектрическую функцию модельного полупроводника.,Рис. 13.10. Вклады от восприимчивостей в диэлектрическую функцию модельного полупроводника.,Модельные параметры:力^вэ = 1 ^В; хвэ = 13,8; hQT = Ю~2 эВ; Хфон = 22,5;Модельные параметры:力^вэ = 1 ^В; хвэ = 13,8; hQT = Ю~2 эВ; Хфон = 22,5;1/% = 3 • Ю*13 с, /п* = 0,1 т0；九=1017 см-3; т == 10一" с.1/% = 3 • Ю*13 с, /п* = 0,1 т0；九=1017 см-3; т == 10一" с.

Рис. 13.10. Вклады от восприимчивостей в диэлектрическую функцию модельного полупроводника.,

Рис. 13.10. Вклады от восприимчивостей в диэлектрическую функцию модельного полупроводника.,

Модельные параметры:力^вэ = 1 ^В; хвэ = 13,8; hQT = Ю~2 эВ; Хфон = 22,5;

Модельные параметры:力^вэ = 1 ^В; хвэ = 13,8; hQT = Ю~2 эВ; Хфон = 22,5;

1/% = 3 • Ю*13 с, /п* = 0,1 т0；九=1017 см-3; т == 10一" с.

1/% = 3 • Ю*13 с, /п* = 0,1 т0；九=1017 см-3; т == 10一" с.

считали исходную поляризуемость основной решетки постоянной, т. е. не зависящей от частоты eL = 1 + X вэ. При этом мы предполагали, что находимся в длинноволновой части спектра, достаточно далеко от резонансов валентных электронов.

В предыдущем разделе, однако, показано, что за счет полярных фононов и в этой длинноволновой части спектра могут существовать резонансы. Поскольку при этом колеблются тя、 желые атомы, то можно ожидать, что резонансы будут лежать на частотах, меньшихг чем- для валентных электронов, в

(/Иат/g』)％ Q 300 раз. Таким образом, если резонансы валентных электронов лежат на частотах v = 104 ... 105 см-1, то для решеточных резонансов можно ожидать v = 30 ... 300 см-1, т. е. как раз в той области, где мы в гл. 9—12 рассматривали эффекты, обусловленные свободными носителями. Поэтому в общем случае нельзя считать решеточный вклад £丄 не зависящим от частоты. Необходимо провести все рассуждения предыдущих глав, подставляя более реалистичную диэлектрическую функ* цию, которая состоит из следующих частей:

Е =1+ Хвэ (s) + ХФон (®) + i(13.40)

Вклад . валентныхфононов свободных

электроновносителей

Вклад хвэ + Хфон мы обсуждали в предыдущих разделах этой главы, вклад о(①)一в гл. 9, а в присутствии статического магнитного поля ——в гл. 12. Обозначим /а(о))/е0со через %сн (свободные носители).

На рис. 13.10 показаны все три вклада от восприимчивостей в диэлектрическую функцию для модельного полупроводника.

В кристаллах, описываемых (13.40), электромагнитные волны взаимодействуют не только со связанными валентными элек・ тронами и фононами, но и со свободными носителями. Поэтому в таком случае говорят о плазмон-фонон-поляритонах. Термин «плазмон» означает, что в образовании поляритона участвуют свободные носители. Для частоты ①丄 продольных поляритонов, согласно (10.18), теперь получаем

е (g)l) = 1 + Хвэ + Хфон + Хен = 0,(13.41)

а для дисперсии поперечных поляритонов

炉=、亢2 = *(1 + Хвэ + Хфон + Хсн). (13.42) Со %

Продольные плазмон-фонон-поляритоны

В неполярном полупроводнике мы нашли частоту продольных поляритонов ①^ = ^р/д/е^ (разд. 9.3). Для непроводящего полярного кристалла была найдена частота Ql [см. (13.26)]. Для полярного полупроводника мы находим две частоты ①厶, аналогичные частотам ®+ и QL. Для их определения ограничимся сначала случаем отсутствия затухания (сот = 0, QT = 0). Из условия (13.41) следует квадратное уравнение относительно 吟

隘一8L 0£

которое с помощью величин % 雜 и 喏2 = %/% запишем в виде

叫一(雜一暇)艘+睛翳=0・

Решения этого уравнения имеют вид

啾=生产 ± 4代空+若守一4吋2%(13.43)

При заданных свойствах кристалла (Ql, Q% eoo) положение часПри заданных свойствах кристалла (Ql, Q% eoo) положение частоты продольных поляритонов зависит через s^ только от контоты продольных поляритонов зависит через s^ только от концентрации свободных но-центрации свободных но-сителей.Разлагая корень в (13.43), получаем частоты для двух предельных случаев:а) низкая проводимосгь 噌 < 维叫=暇破呜2 =m；(13.44)сителей.Разлагая корень в (13.43), получаем частоты для двух предельных случаев:а) низкая проводимосгь 噌 < 维叫=暇破呜2 =m；(13.44)(012 соответствует чисто-(012 соответствует чисто-муму勿勿фонон-поляритону,фонон-поляритону,сои — частота плазменного резонанса для носителей заряда в среде с поляризуемостью Es；сои — частота плазменного резонанса для носителей заряда в среде с поляризуемостью Es；б) вы-сокая 峭2》Q2.% = Qy.;б) вы-сокая 峭2》Q2.% = Qy.;проводимостьпроводимость%=喂(13.45)%=喂(13.45)多多Рис. 13.11. Собственные частоты прополь* ных поляритонов в полярном полупроводнике при различном уровне легирования, Случай М соответствует модельному полу* проводнику на рис. 13.10. Штриховкой по, казана неопределенность частоты As.Рис. 13.11. Собственные частоты прополь* ных поляритонов в полярном полупроводнике при различном уровне легирования, Случай М соответствует модельному полу* проводнику на рис. 13.10. Штриховкой по, казана неопределенность частоты As.

При заданных свойствах кристалла (Ql, Q% eoo) положение час

При заданных свойствах кристалла (Ql, Q% eoo) положение час

тоты продольных поляритонов зависит через s^ только от кон

тоты продольных поляритонов зависит через s^ только от кон

центрации свободных но-

центрации свободных но-

сителей.

Разлагая корень в (13.43), получаем частоты для двух предельных случаев:

а) низкая проводимосгь 噌 < 维

叫=暇破

呜2 =m；(13.44)

сителей.

Разлагая корень в (13.43), получаем частоты для двух предельных случаев:

а) низкая проводимосгь 噌 < 维

叫=暇破

呜2 =m；(13.44)

(012 соответствует чисто-

(012 соответствует чисто-

му

му

勿

勿

фонон-поляритону,

фонон-поляритону,

сои — частота плазменного резонанса для носителей заряда в среде с поляризуемостью Es；

сои — частота плазменного резонанса для носителей заряда в среде с поляризуемостью Es；

б) вы-сокая 峭2》Q2.

% = Qy.;

б) вы-сокая 峭2》Q2.

% = Qy.;

проводимость

проводимость

%=喂

(13.45)

%=喂

(13.45)

多

多

Рис. 13.11. Собственные частоты прополь* ных поляритонов в полярном полупроводнике при различном уровне легирования, Случай М соответствует модельному полу* проводнику на рис. 13.10. Штриховкой по, казана неопределенность частоты As.

Рис. 13.11. Собственные частоты прополь* ных поляритонов в полярном полупроводнике при различном уровне легирования, Случай М соответствует модельному полу* проводнику на рис. 13.10. Штриховкой по, казана неопределенность частоты As.

Здесь ①厶2 ——частота плазменного резонанса носителей в среде с диэлектрической проницаемостью еоо. Другая частота а)ц, обусловленная низкочастотным плазменным резонансом при 闺％ смещается с ростом концентрации в область более высоких частот. Однако отрицательный вклад %сн здесь не может компенсироваться положительным хфон, поскольку за счет Q「он способен как угодно возрастать. На рис. 13.11 показана зависимость частоты продольных поляритонов от концентрации сво- бодных носителей..

<，… q q—a<，… q q—aРис. 13.12. Дисперсия плаз- мон-фонон-поляритонов в полярном полупроводнике (справа) по сравнению с соответствующей для диэлектрика (слева).Рис. 13.12. Дисперсия плаз- мон-фонон-поляритонов в полярном полупроводнике (справа) по сравнению с соответствующей для диэлектрика (слева).

<，… q q—a

<，… q q—a

Рис. 13.12. Дисперсия плаз- мон-фонон-поляритонов в полярном полупроводнике (справа) по сравнению с соответствующей для диэлектрика (слева).

Рис. 13.12. Дисперсия плаз- мон-фонон-поляритонов в полярном полупроводнике (справа) по сравнению с соответствующей для диэлектрика (слева).

Если учесть затухание, то вместо биквадратного уравнения (13.43) получим полное уравнение четвертой степени с комплексными решениями (рис. 13.11). Мнимая часть по-прежнему показана штриховкой, изображающей размытие частоты.

Поперечные плазмон-фонон-поляритоны

В (13.42) входит показатель .преломления для поперечных поляритонов. На дисперсионных кривых (рис. 13.12) имеется дополнительная запрещенная полоса для частот ниже соц.

Кроме того, верхний край запрещенной полосы между QT и Qt смещается до более высокой частоты(оь2- На рис. 13.13 показаны дисперсионные кривые при учете затухания. Влияние затухания снова показано штриховкой интервала значений q.

Надежным способом исследования поперечных плазмон-фонон-полярито- нов является измерение отражения ряда образцов одного и того же кристалла, но с разной концентрацией носителей.

В отсутствие свободных носителей (сор = 0) получают классическое выражение для отражения от кристалла с полярными оптическими фононами (рис. 13.14), которое, согласно Рубенсу, называют краем остаточного излучениях).

В случае отсутствия затухания это можно сразу понять: там, где диэлектрическая функция е = 1, отражение исчезает; при е < 0(п = 0, х #： 0) в запрещенной полосе между Qr и QL имеем полное отражение.

С ростом числа свободных носителей в кристалле, т. е. с ростом уровня легирования, возникает вторая запрещенная полоса, т. е. полное отражение между 0 и ①厶，а верхняя запрещенная полоса расширяется. При этом минимум отражения е = 1

Рубенс использовал высокую отражательную способность в окрестности резонанса для узкозонного фильтра, в котором излучение непрерывного источника света многократно отражалось от поверхностей пластин, одинаково поляризующих. Тем самым увеличивалось отражение. Остаточное излучение, которое проходило через многократно отражающий фильтр, обусловливалось в таком случае узкой областью вблизи резонанса»

Рис. 13.13. Дисперсия плазмон-фонон-поляритонов в модельном полупроводнике с учетом и без учета затухания.

Параметры модели те же, что и на рис. 13.10.

Рис. 13.14. Коэффициент отражения для полярного полупроводника в области края остаточного излучения в зависимости от частоты и степени легирования [13.11].

смещается в область более высоких частот. На рис. 13.14 показан пример модельного расчета при наличии затухания. На рис. 13.15

Рис. 13.15. Коэффициент отражения для теллура.

Концентрация дырок, отнесенная к 1018 см~3 (/ — 0,22; 2 — 0,55; 3 — 1,2 4- 1,6; 5-2,2; 6 — 2,6).

приведены результаты соответствующих измерений для теллура [13.11, 6.2].

Магнито-плазмон-фонон-поляритоны

На величину вклада свободных носителей %сн могут оказать большое влияние статические магнитные поля, как это было

Рис. 13.16. Диаграмма распространения электромагнитной волны в полярном полупроводнике для конфигурации Фарадея.

подробно рассмотрено в гл. 12. В частности, при ①=电 имеет место цш<лотронный резонанс. При слабом затухании этот ре*

зонанс связан с резонансом восприимчивости, т. е. с нулями диэлектрической функции. На рис. 13.16 приведена лишь диаграмма распространения в отсутствие затухания. В магнитных полях, при которых(0с Q Йг, имеется очень сильное взаимодействие между колебаниями решетки и электронами, находящимися на орбитах Ландау. Циклотронная частота смещает вверх частоту продольных поляритонов.

Но в области этих магнитофононных резонансных эффектов наша простая модель уже неприменима. В частности, необходимо учитывать поляризационное облако, создаваемое свобод

ным электроном, поскольку он своим кулоновским полем поляризует решетку. Такое подвижное коллективное возбуждение электрона проводимости вместе с поляризованной решеткой называют поляроном. Но если электрон осциллирует в переменном поле относительно положения равновесия или вращается по орбите Ландау с частотой более QL, то он сбрасывает поляризационное облако: электрон движется как свободный, а решетка еще некоторое время совершает колебания с собственной частотой Qi，По вопросам, касающимся всех этих эффектов, мы отсылаем читателя к специальной литературе [12.1, 13.12].

Задачи

Рассчитать полную восприимчивость полярных фононов без учета обратного воздействия поляризации (Елок = Ej, но учитывая тем не менее поляризуемость валентных электронов. Каковы значения хвэ и %ф°н? Изобразить дисперсионные кривые для поляритонов (в случае отсутствия зату* хания).

Вычислить для непроводящего GaAs, пренебрегая затуханием, диэлектрическую функцию, если es = 12,9, % = 10,9, % = 273 см-1. Какова величина й£? Определить эффективный заряд Q**, заряд Зигети и собственную резонансную частоту решетки Qo (4Ga = 69,7 4As = 74,9; Р = 5,31 г/см3).

Германий является неполярным полупроводником. Каковы термически возбужденные искажения решетки для оптических фононов при комнатной температуре 〃(户фон = 300 см-1) ? Считать, что упругое искажение пропорционально потенциальной энергии. Для тепловой энергии отсюда следует

О〃2/2 = M*Q 誑 2/2 ° 论 г/〉

Изоэлектронный германию полупроводник GaAs легко поляризуется. Каково должно быть макроскопическое электрическое поле Е электромагнитной волны, частота которой со = Qr/2, чтобы создать такое же искажение решетки и, что и тепловое в германии? (Параметры приведены в задаче 13.2.)

Какое магнитное поле должно действовать на электроны, чтобы в GaAs выполнялось условие s = £2「, % == ^д (/и* = 0,07/71°)?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Распространение электромагнитных волн в конденсированной среде

П.1. Уравнения Максвелла и распространение электромагнитных волн

Для описывающих электромагнитное поле величин Е, В, D, ",/, имеющих форму плоских волн \|)= -ф0 exp [i(кг —(of)], уравнения Максвелла записываются в виде

(п(п(п(п(п(п(п(п⑴⑵^⑷⑴⑵^⑷ikXH = -i(oD + L kXE =(oB,-

(п(п(п(п

(п(п(п(п

⑴⑵^⑷

⑴⑵^⑷

kD = p, kB = 0・

К ним необходимо добавить материальные уравнения

D = eoE + P,(П.5)

B = N°(H + M),(П.6)

определяющие свойства материала с помощью обобщенных восприимчивостей

Р = ВоХеЕ, D = 880Е,(П.7)

МнутН, В 5= hhqH,(П.8)

а также

j = оЕ・(П.9)

Однородное волновое уравнение

для плоской монохроматической волны принимает вид

硝)-*" = 0・(П.10)

Исключим из (П.1), (П.2), (П.8) величины, описывающие магнитное поле, В и Н, и заменим D и j с помощью материальных уравнений (П.7), (П.8). Мы не будем далее различать токи смещения и токи проводимости и введем комплексную диэлектрическую функцию

。=1+%« +(П」1)

Вводя вакуумное волновое число 论о и скорость света с0> запишем

炉卩0% =炉/备=卷

В результате для электрического поля Е получаем однородное уравнение

k(kXE)=-^i@E・(П.12)

Для простоты мы рассматриваем магнитно-изотропную среду, так что ц является скаляром. Однако 8 может быть тензором !)! В общем случае мы должны были бы записать

kXg"I(kXE) + ^eE = 0.

Учитывая равенство

k(kXE) = k(kE)-^E,(ПЛЗ)

получаем из волнового уравнения

-k(kE) + 炉 Е =妳屁 Е(П.14)

линейную однородную систему уравнений для Е.

Считая к произвольным, из условия разрешимости системы (П.14) можно, зная тензорные материальные постоянные 卩0, определить со и поляризацию волны.

Уравнение (П.14) становится более наглядным, если использовать комплексный показатель преломления п 三 k/kQ и единичный вектор е 三 к/足

к(кЕ) = (кк)Е = ^2(ее)Е,

где <ее> — дуальное произведение

(

е*е% %% е%& \ е^Ву %4 I.

嘎分 егеу егег /

Из (П.14) получаем уравнение для определения показателя преломления и тем самым фазовых скоростей и поляризации волны, если задано направление распространения волны

(-n2(ee) + n2Z -蔬)Е = 0,(П.15)

/—единичный тензор второго ранга.

9 Далее автор не учитывает этого в обозначениях. Следует помнить, что 8 — тензор! — Прим. ред.

П.2. Примеры электрических волн

В этом разделе мы рассмотрим распространение электрических волн, учитывая только свойства симметрии тензора pi, в трех наиболее важных случаях.

П.2.1. Волны, распространяющиеся вдоль оси г в изотропной среде

Волна, распространяющаяся в изотропной среде

(

а 0 0、

0 а 0 )

0 0 а丿

(например, в стекле, кремнии, поваренной соли, меди и т. д.) в направлении е = (0,0,1), согласно уравнениям (П.15), описывается тремя эквивалентными уравнениями

(亢 2-а)Е% + 0+0 = 0,

0 + (й2-а)Е^ + 0 = 0,

0 + 0— ctEz = 0.

Отсюда следует:

Продольные волны Е = (0, 0, Ez) существуют только для частот, при которых а = це= 0, поэтому 万 н 々 произвольны.

Поперечные волны Е = (Е%, Е^, 0) распространяются с г коэффициентом преломления п2 = а =卩®. Вследствие изотропии цв это самый общий случай, поскольку выбор е = (0, 0, 1) произволен. Независимо от поляризации волна имеет одну и ту же фазовую скорость.

П.2.2. Пример анизотропной среды

Для анизотропной среды имеем:

(

а с 0、

±с а О](П.16)

0 0 &/

(с = 0, «оптически одноосный кристалл», ZnO, теллур, сурьма, висмут, кварц, если недиагональные члены имеют вид & -^с, то это специальный случай моноклинной кристаллической системы. Случай с, —с описывает изотропные материалы во внешнем статическом магнитном поле: эффекты Фарадея и Фойхта).

П.2.3. Волны, распространяющиеся вдоль оси z, е = (6,0,1)

Уравнения (П.15) принимают вид

(п2 - а)Ех - с Еу+ 0 =0t

± сЕх + (п2 -а)Еу+ 0 =0,

О + О -Ь邑=0・

Отсюда следует:

Продольные волны с Е = (О, О, £z) возможны только при & = цёгг = 0.

Поперечные волны. Показатель преломления определяется из условия обращения в нуль детерминанта

(亢2 — а)2 千 02 = 0.

В симметричном случае {\tEXy = ge^x) имеем

п^ = а±с = ц (%* 土 ％ J(口•⑺

а в антисимметричном (“" = —吃初)

Я2 = а ± /с = ц(8ХХ ± ieXy).(П.18)

Поляризация волны определяется подстановкой показателя преломления в систему уравнений

Антисимметричный случай 土 icEx — сЕу = 0 ± сЕх ± icEy = 0 .Е% =干 IE уЕ = Ео(1，士 Z, 0)(П.20)Антисимметричный случай 土 icEx — сЕу = 0 ± сЕх ± icEy = 0 .Е% =干 IE уЕ = Ео(1，士 Z, 0)(П.20)Симметричный случай 土 сЕх — сЕу = 0 干 сЕх ± сЕу = 0 Е % =干 Еу

Антисимметричный случай 土 icEx — сЕу = 0 ± сЕх ± icEy = 0 .

Е% =干 IE у

Е = Ео(1，士 Z, 0)(П.20)

Антисимметричный случай 土 icEx — сЕу = 0 ± сЕх ± icEy = 0 .

Е% =干 IE у

Е = Ео(1，士 Z, 0)(П.20)

亢2 = А (е%% ± %?)，亢2 = А (е%% ± %?)，Е = Ео(1, ±1,0) (ГМ9) Рис. П.1 соответствуют: (е%* е ку ° % %% 0 00 %

亢2 = А (е%% ± %?)，

亢2 = А (е%% ± %?)，

Е = Ео(1, 士 1, 0)exp[/(nfe0^ — sf)] — мгновенное значение поля

Собственными модами в симметричном случае являются две волны, распространяющиеся с разной фазовой скоростью. Они

линейно поляризованы и плоскости поляризации взаимно перпендикулярны (рис. П.1).

Рис. П. 1. Собственные моды среды с симметричной диэлектрической проницаемостью.

Рис. П. 2. Собственные моды среды с антисимметричной диэлектрической проницаемостью

/£%%8%?0 \

亢2 =卩（8%% 土 旭%g）,亢2 =卩（8%% 土 旭%g）,健==a卩(一8ху8%%0 卜

亢2 =卩（8%% 土 旭%g）,

亢2 =卩（8%% 土 旭%g）,

\00822 /

E« Bo (L 士 ％ 0) exp H (nkQz — sf)] — мгновенные значения мод.

В антисимметричном случае собственные моды ——две поляризованные по кругу волны, распространяющиеся с разной скоростью (рис. П.2)1).

9 Определение направления вращения волны с круговой поляризацией не является однозначным, поскольку одни смотрят вдоль направления распространения волны, а другие ——в противоположном направлении. Поэтому мы будем разпичать моды знаком Е = Ео(1, 士i, 0).

П.2.4. Волны, распространяющиеся вдоль оси %,

е = (1»0,0)

Уравнения (П.15) принимают вид

—аЕх—с£? +0 = 0,

干 сЕх + (п2 - а) Еу+0 = 0,

0 +0 + (部一ь)邑=0.

Отсюда следует:

Поперечные волны, поляризованные вдоль оси г, распространяются с показателем преломления

^2 = Ь = |л%・(П.21)

Другие возможные волны имеют смешанную поляризацию. Соответствующий показатель преломления определяется из

условия равенства нулю детерминанта

(П.22)(П.22)п2 в си- антисим-п2 в си- антисим-亢2 = а千§ =卩(％%干％/% J

(П.22)

(П.22)

п2 в си- антисим-

п2 в си- антисим-

Поляризацию по-прежнему определяют, подставляя стему уравнений. Для обоих случаев, симметричного и метричного, имеются две одинаковые поляризации

аЕх + сЕу = 0, сек + 号斗=0,аЕх + сЕу = 0, сек + 号斗=0,(П.23)(П.23)

аЕх + сЕу = 0, сек + 号斗=0,

аЕх + сЕу = 0, сек + 号斗=0,

(П.23)

(П.23)

Речь идет о смешанной моде, продольная компонента которой определяется величиной недиагонального члена е%д.

П.З. Магнитные волновые поля

Вследствие линейности уравнений Максвелла и материальных уравнений все электромагнитное поле распространяется с одинаковой фазовой скоростью. Таким образом, остается только определить амплитуду и поляризацию.

Мы рассматриваем сопровождающие нашу волну поля В и Н. Здесь и в следующих разделах ограничимся случаем волны, распространяющейся вдоль оси z к = (0,0»), чтобы использовать при обсуждении простые разложения на компоненты

Поле В определяется из (П.2):

B =登旦=卷(一马，e，,0);

продольные компоненты не возникают, поскольку В образуется с помощью операции《ротор», т. е. в данном случае векторного произведения к ХЕ. Это следует также и из (П.4)).

Таким образом, поле В является чисто поперечным и повернуто относительно поля Е на 90° (рис. П.З). Отношение Е

к В дает фазовую скорость

可=-瓦=e = t・(口・24)

Рис. П. 3. Ориентация полей в электромагнитной волне.Рис. П. 3. Ориентация полей в электромагнитной волне.Соответствующее условие для поля W следует из (П.8):

Рис. П. 3. Ориентация полей в электромагнитной волне.

Рис. П. 3. Ориентация полей в электромагнитной волне.

叫Н =(— Ey, EXi 0)/c・ (П.25)

Рассмотрим опять магнитно-изотропную

среду, тогда

Ех/Ну = — £〃"％ =卩固。м z. (П.26)

Zq = 7Но/®о — 377 Ом.Zq = 7Но/®о — 377 Ом.(П.27)(П.27)Это отношение называется волновым сопротивлением г. Для вакуума г принимает значение

Zq = 7Но/®о — 377 Ом.

Zq = 7Но/®о — 377 Ом.

(П.27)

(П.27)

(П.28)(П.28)(П.29)(П.29)

(П.28)

(П.28)

(П.29)

(П.29)

Аналогично показателю преломления п = с()/с определим относительное волновое сопротивление

г 三 г0/г.

В случаях когда с2 = (|л|л0ее0)"1, мы сравниваем

By сНу z ”

п = уёй， z = д/^-

Примечание

Только для немагнитных сред (ц = 1) выполняется соотношение п = 2! Поскольку 亢 и 2 описывают распространение волны и ее отражение (разд. П.5), мы их называем оптическими характеристиками среды.

П.4. Граничные условия для электромагнитных волновых полей на границе раздела двух полупространств

До сих пор мы рассматривали бесконечную однородную среду. Поэтому можно было описывать поля плоскими волнами. Это оказывается возможным и при рассмотрении волн на плоской границе раздела двух полупространств 《1》и 《2》, отличающихся друг от друга оптическими постоянными. Решениями являются такие волновые поля, которые должны быть непрерывны на границе. 'Отсюда следует, что частота колебаний волн по обе стороны от границы должна быть одна и та же, чтобы существовал непрерывный переход в любой момент времени. Кроме того, возбуждения, создаваемые по обе стороны границы волновыми полями, должны иметь одинаковый пространственный период, т. е. тангенциальные составляющие волновых векторов полей на границе должны совпадать.

Волновые поля Е, В, D, Н и индуцированные ими возбуждения среды Р, j, М не могут одновременно быть непрерывными. Поскольку две среды имеют разные диэлектрические проницаемости, это означает, что при одном и том же Е существуют разные D.

В электродинамике условия непрерывности выводятся из уравнений Максвелла. При этом из VB = 0 следует непрерывность нормальной компоненты В (магнитные монополи не наблюдаются) :

% —3" = 0,(П.30)

так же как из соотношения V X Е = —В следует непрерывность тангенциальной компоненты Е:

4-以=0・(П.31)

Нормальная компонента Е вследствие VE = (р — VP)/е0, наоборот, не является непрерывной. Более того, имеет место

旦"一Eg = (о@ + сгр)/е0,

где Пи, и ар —заряды, локализованные на границе. При этом индекс w относится к свободным подвижным зарядам, а индекс р — к связанным поляризационным зарядам. Если объединить поляризацию Р и Е в величину D = в0Е + Р, то из уравнения VD = р можно получить условие непрерывности для нормальной компоненты D:

"2" 一01九=g@/80,(n.32)

т. е. компонента Dn непрерывна, если на границе раздела двух сред отсутствуют истинные заряды.

Непрерывность тангенциальных компонент магнитного поля вытекает из уравнений Максвелла

HJ-iVXB = 80E+ P + j + VXM,

откуда следует

% — % =卩 о (g° + gg + / — Mt) (П.ЗЗ) или, более точно в нашей геометрии,

% х — * х = ^0 (g°, ? + gg, у + ”2, у — "1, %)'b2.厂"广以0 (- g。, % - g@ % + m2,厂 % J

Здесь gp и gw — соответственно токи поляризации и свободных носителей, текущие по поверхности границы раздела. Можно показать, что они возникают только в том случае, если граница раздела описывается собственной проводимостью и восприимчивостью. Если это не так, то скачок Bt определяется разностью намагниченностей в обоих полупространствах, которые осциллируют с частотой электромагнитной волны. Если объединить намагниченность М и поле В в величину Н = В/цо — М, то получим непрерывность тангенциальной компоненты Н:

H2t-Hlt = 0.(П.34)

В общем случае на границе имеется по меньшей мере одна проходящая и одна отраженная волны, если существует падающая на границу волна. Кроме того, в отдельных случаях может возбуждаться также и поверхностная волна.

П.б. Отражение от полупространства

При рассмотрении отражения на границе раздела двух сред мы ограничимся простым примером перпендикулярного падения волны. Кроме того, предположим, что нет особых граничных, поверхностных эффектов, которые необходимо было бы описывать с помощью собственной поверхностной проводимости или поляризуемости.

Для решения задачи рассмотрим, можно ли согласовать граничные условия разд. П.4 для падающей и отраженной волн с возбуждением дополнительной волны (рис. П.4).

Для этого рассмотрим волну, падающую нормально к поверхности, с волновым вектором к = (0, 0,山)и поляризованное вдоль оси х электрическое поле Е = (£, 0,0). Поскольку тан-

На поверхности раздела выполняются условия непрерывности (П.31) и (П.34) тангенциальныхНа поверхности раздела выполняются условия непрерывности (П.31) и (П.34) тангенциальныхEjEp 叫 HjHp=H/EjEp 叫 HjHp=H/Рис. П. 4. Отражение и прохождение электромагнитной волны на границе раздела двух полупространств / и 2.Рис. П. 4. Отражение и прохождение электромагнитной волны на границе раздела двух полупространств / и 2.

На поверхности раздела выполняются условия непрерывности (П.31) и (П.34) тангенциальных

На поверхности раздела выполняются условия непрерывности (П.31) и (П.34) тангенциальных

EjEp 叫 HjHp=H/

EjEp 叫 HjHp=H/

Рис. П. 4. Отражение и прохождение электромагнитной волны на границе раздела двух полупространств / и 2.

Рис. П. 4. Отражение и прохождение электромагнитной волны на границе раздела двух полупространств / и 2.

генциальные компоненты отсутствуют, то три волны должны иметь следующие волновые векторы:

ке = (0, 0, п^о) падающая волна,

кр = (О, 0,——亢也о) отраженная волна, (П.35) 比=(0, 0,亢2々о) прошедшая волна.

компонент

Ee + Ep = Ef； Не + Нр=Н,・(П.36)

На поверхности раздела г = (х, у, 0) поля имеют следующие компоненты:

Ее = (£е, 0, 0)ехр(— /СО/),

Не = (0, "е, о)ехр(—i硝， Ер = (£р, 0, 0)ехр(—2Z), Нр = (0, %, 0)ехр(-庙Z), Ef = (£\, 0, 0)ехр(— /ю/), Н『(0, Нь 0)ехр (—心/),

т. е. имеется шесть неизвестных. Со гласно (П.26), электрическое поле Е и магнитное поле Н связаны друг с другом через волновое сопротивление

Ee/He = z^ £р/〃р = — *［；

Et/Ht = z2.(П.37)

Поскольку мы считаем, что волновое сопротивление известно, то число неизвестных уменьшается до трех.

Но поскольку уравнения Максвелла и материальные уравнения являются линейными, то амплитуды прошедшей и отраженной волн должны быть пропорциональны амплитуде падающей волны. Таким образом, число неизвестных можно еще уменьшить, если нормировать амплитуды на амплитуду падающей волны. Остается определить коэффициенты отражения и прохождения (амплитудные):

Ер = 0Ее，Е^м/Ее.

(П.38)

Тогда условия непрерывности (П.36) переходят в два неоднородных уравнения для ри Z:

откуда, обозначаяоткуда, обозначая(П.39)(П.39)

откуда, обозначая

откуда, обозначая

(П.39)

(П.39)

получаем искомые амплитудные коэффициенты отражения

и прохожденияи прохождения212 — 1 — 221 — 1方2 +1221 + 1212 — 1 — 221 — 1方2 +1221 + 122I + Zl2I + Zl21 + 2211 + 221(П.40)(П.41)(П.40)(П.41)

и прохождения

и прохождения

212 — 1 — 221 — 1

方2 +1221 + 1

212 — 1 — 221 — 1

方2 +1221 + 1

2

2

I + Zl2

I + Zl2

1 + 221

1 + 221

(П.40)

(П.41)

(П.40)

(П.41)

Уравнения (П.40) и (П.41) являются комплексными дробно-линейными преобразованиями типа У = (az + b)/(cz + d) с ad ——

Рис. П. 5. Отражение и прохождение электромагнитной волны на границе раздела двух сред 呑 и г2.Штриховкой показано топологическое соответствие областей комплексной г-плоскости при преобразовании на комплексные t~ и р-плоскости.а — амплитудный коэффициент прохождения, t = 2/(1 + 之】2)； 6 — волновое сопротивление,之12=之1/之2； в — амплитудный коэффициент отражения, 0 = e 一(212 - 1)/(Z12 + 1)■Рис. П. 5. Отражение и прохождение электромагнитной волны на границе раздела двух сред 呑 и г2.Штриховкой показано топологическое соответствие областей комплексной г-плоскости при преобразовании на комплексные t~ и р-плоскости.а — амплитудный коэффициент прохождения, t = 2/(1 + 之】2)； 6 — волновое сопротивление,之12=之1/之2； в — амплитудный коэффициент отражения, 0 = e 一(212 - 1)/(Z12 + 1)■

Рис. П. 5. Отражение и прохождение электромагнитной волны на границе раздела двух сред 呑 и г2.

Штриховкой показано топологическое соответствие областей комплексной г-плоскости при преобразовании на комплексные t~ и р-плоскости.

а — амплитудный коэффициент прохождения, t = 2/(1 + 之】2)； 6 — волновое сопротивление,之12=之1/之2； в — амплитудный коэффициент отражения, 0 = e 一(212 - 1)/(Z12 + 1)■

Рис. П. 5. Отражение и прохождение электромагнитной волны на границе раздела двух сред 呑 и г2.

Штриховкой показано топологическое соответствие областей комплексной г-плоскости при преобразовании на комплексные t~ и р-плоскости.

а — амплитудный коэффициент прохождения, t = 2/(1 + 之】2)； 6 — волновое сопротивление,之12=之1/之2； в — амплитудный коэффициент отражения, 0 = e 一(212 - 1)/(Z12 + 1)■

—be，0 (см. задачу 9.2). Преобразование комплексной плоскости 212 на плоскость амплитудных коэффициентов отражения и прохождения показано на рис. П.5 (см. также задачи П.3, П.4).

В следующих разделах мы рассмотрим некоторые характерные соотношения, возникающие при отражении.

П.б.1. Исчезновение отражения

Из (П.40) или рис. П.5 при р= 0 сразу следует условие

&i=l,為=窃・(П.42)

Поскольку обычно, за исключением сильно анизотропных случаев,

2 = "卩卩 о/E%

то отражение исчезает, если

5他=卩介2.(n.43)

При р = 0 диэлектрические функции одинаковы только для немагнитных сред (固=因=1)!

В этом случае коэффициент прохождения равен единице.

П.5.2. Полное отражение

Под полным отражением мы понимаем случай, когда амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей волны, т. е. |р| = 1. Для случая нормального падения из этого условия, согласно рис. П.5 и (П.39), получаем

Re{Ni2} = ° или I г12 |->оо,(П.44)

поскольку этим значениям 之恵 соответствуют точки окружности единичного радиуса на плоскости р. Соответствующие волновые сопротивления на плоскости 引2 лежат на мнимой оси.

Однако коэффициент прохождения при этом не равен 0, более того, выполняется неравенство 0 < |?| ^ 2. Это не противоречит закону сохранения энергии, поскольку мы рассматриваем только амплитуды прошедшей волны, но не потоки энергии, сопровождающие волны (см. разд. П.7). Условие 7*0 означает, что электромагнитное поле должно проникнуть в среду, чтобы поляризация и намагниченность вызвали отраженную волну в противоположном направлении.

П.5.3. Глубина проникновения электромагнитной волны

Проникающая в среду《2》(рис. П.4) волна с относительной амплитудой ? распространяется с показателем преломления "2 —血 + [乂2：

Ef(r, /) = ?Е0 exp [/ (nkQz — co/)]=

=?E0 exp(— 乂瓦之)exp [Z (nk^z — co/)]. (П.45)

To же самое справедливо для других полей. Таким образом, на расстоянии 1/хй0 поля затухают в е раз. Это расстояние называют глубиной проникновения dp：

%=费，(口・46)

Однако это затухание волны в среде 《2》не имеет ничего об* щего с поглощением, г. е. диссипацией энергии, как это может показаться из названия 乂 «коэффициент поглощения».

Из п2 = (п + 配У = 口巨=(J + 阻〃)(е‘ + ie〃)следует

九2 一 "2 =卩，j -卩"j,

2九" =卩/8"十卩"公.(n.47)

Рассмотрим достаточно реальный пример — среду с 8^ » 0, 卩"м 0 (рис. 11.1). Из соотношений 出一乂2 =卩生[2〃乂 = 6 следует, что имеют место всего два различных случая:

а) |/ > 0, е‘ > 0, или |/ < 0, е‘ V 0, причем п > 0, 乂 = 0, б)卩‘ > 0, е‘ V 0, или |/ < 0, е‘ > 0, причем п = 0, х > 0.

В случае《а》незатухающая волна распространяется с фазовой скоростью с/п, где 九=〃£‘卩'・ В случае 《6》фазовая скорость волны бесконечно велика〔). В среде имеются колебания с частотой со, причем амплитуда волны, проникающей в образец, уменьшается, глубина проникновения равна dp= 1/(V~ Н^ ^о)- Таким образом, мы показали, что в непоглощающей среде (е" = 0,卩〃 =0) при определенных условиях волна может проникать только на конечную глубину. Вопрос о диссипации энергии рассмотрен в разд. П.8, П.9.

П.б.4. Отражение от немагнитного полупространства

Особую важность представляет случай отражения от среды, взаимодействующей только с электрическим полем падающей волны. Тогда для характеристик среды имеем %е*0, а =/= 0, Хт = 0, |i = 1. Многие вещества хорошо описываются приближением 卩。1 при очень высоких частотах электромагнитных волн (видимый свет, ультрафиолетовое излучение). Однако нет никаких аргументов в пользу того, что это должно быть справедливо в общем случае [П.1]. Ни в коем случае это не имеет места в субмиллиметровом или микроволновом диапазоне.

Для немагнитных сред из (П.29) следует (см. табл. П.2)

n = 2= V®» или 8Z = п2 — х2, е" = 2%х.(П.48)

Если рассмотреть случай, когда наша среда граничит с вакуумом (*1 = 2о), то из (П.39) получим Zi2 = 2 = V^. Таким о6ра・ зом, отражение в таких средах определяется только диэлектрической функцией, поскольку из (П.40) следует

-д/Т-1 亢一1

У Ve +1 亢 + 1

9 Это, конечно, формальное утверждение. Волна никуда не «бежит» с бесконечной скоростью. Случай 《6》аналогичен полному внутреннему отра* жению при нормальном падении. — Прим. ред.

аб

Рис. П. 6. Отражение электромагнитной волны от границы раздела вакуум — диэлектрическое полупространство.

Штриховкой показано топологическое соответствие при преобразовании с одной комплексной плоскости на другую.

q — диэлектрическая функция, © = е‘ + ie"; 6 — показатель преломления, п = №； в ——амплитудный коэффициент отражения, р == — (“0 — 1)/(VT+ 1).

Рис. П. 7. Значения диэлектрической функции и показателя преломления для немагнитных сред, отражение от которых происходит с постоянной фазой Или постоянным коэффициентом отражения.

В общем случае диэлектрическая функция определена в верхней комплексной полуплоскости (—8VM V 8, 0Ve〃V8)・ При преобразовании на плоскость показателя преломления, согласно равенству n = Vs , точки концентрируются в первом квадранте (0 < п < оо, 0 < х < оо). Если же перейти на плоскость коэффициента отражения р, согласно (П.49), то полная комплексная плоскость е преобразуется в полукруг (рис. П.6). Поэтому очень удобно определять диэлектрическую функцию по измерениям отражения. Это особенно пригодно для больших значений £(|司》1), поскольку в этом случае точки при преобразовании лежат в непосредственной окрестности =—1. На рис. П. 7 эта связь показана количественно с помощью номограммы.

^WhWEtРис. П. 8. Отражение и прохождение для плоскопараллельной пластины 《2》, находящейся между средами 《1》и 《3》.Условия непрерывности на границах 2 = 0,^WhWEtРис. П. 8. Отражение и прохождение для плоскопараллельной пластины 《2》, находящейся между средами 《1》и 《3》.Условия непрерывности на границах 2 = 0,П.6. Оптические свойства плоскопараллельной пластины

^WhWEt

Рис. П. 8. Отражение и прохождение для плоскопараллельной пластины 《2》, находящейся между средами 《1》и 《3》.

Условия непрерывности на границах 2 = 0,

^WhWEt

Рис. П. 8. Отражение и прохождение для плоскопараллельной пластины 《2》, находящейся между средами 《1》и 《3》.

Условия непрерывности на границах 2 = 0,

Рассмотрим отражение и прохождение для плоскопараллельной пластины толщиной d《2》, граничащей со средами 《1》и《3》. При этом мы

используем результаты разд. П.5. Однако теперь нам необходимо рассматривать уже семь волновых полей с относительными амплитудами 1, рр, ?р, d, р, удовлетворяющих четырем условиям на границе z = 0 и трем на границе z = d. При этом волны на границе z = d отличаются от соответствующих значений на границе z = 0 множителем(D = exp(/d).

Четыре условия непрерывности показаны на рис. П.8. Условия для волновых векторов, поведение £- и "-компонент и фазовые функции Ф приведены в табл. П.1. '

Учитывая условия непрерывности и относительные волновые сопротивления

212 Mzi 三引偿2， 之32 三 23 Mzз/&,(П.50)

Таблица П.1

Оптические свойства плоскопараллельной пластины. Определение использованных обозначений

Среда

Относительная амплитуда

Волновой вектор

E/H

Фазовые функции 2=0z»d

«1»

0产云

% == (0, 0,m近0)

kp = (0, 0,—亢田0)

ее多

瓦

综

・SSK —•勺［

〃p1

1

1

《2》

-Еа 3石

~ Er

k" = (0, 0,亢2如)

к(з = (0, 0,—亢2论о)

/X

"а

万-0 - N2

1

1

Фа = exp (inzkod)

Фр = exp (— ih^d)

«3》

勺=(0, О,/歸

1

Ф/ = exp (in3k0d)

из четырех условий непрерывности получаем систему уравнений для четырех относительных амплитуд 0小 а,瓦 办：

e(2=0): & + 6一反 + 0=1,

〃(2 = о): 2向 一 2|6 + % + о = 1, Е、 —q(П .51)

E(z = d):①謳+ 0)訥 + 0 一①4 = 0,、'

"(2 =办 ①мз五一①/зВ + 0 —①/"=о.

Решения этой системы имеют вид

五=二吗一23),(П.52)

В = ^Ц^"，(П.53)

₽р =军(士m一3)尸(一1)(宀3) ,(口.54)

彳隐=一色咨，(П.55)

где

N 三 Q (1 -勺)(1 一 2з) - <I)B (1 + NJ (1 + W・ (П.56)

Таблица 〃岁

Формулы для расчета показателя преломления п с помощью диэлектрической функции г в немагнитных средах (ц = 1)

© = У + 氾〃 =П2 == (и + 次)28,=几2 — %2© = У + 氾〃 =П2 == (и + 次)28,=几2 — %2у д /勺 + ^ Ve，2 + е Приближенные формулы8‘>0иу д /勺 + ^ Ve，2 + е Приближенные формулы8‘>0и+ ^лД'2+『5+ ^лД'2+『58〃 + У—2—8〃 + У—2—X8〃2 «УV^X8〃2 «УV^8’ V0 п2 Vz^8’ V0 п2 Vz^,К,КV^F V-V^F V-8〃 一 28〃 一 2

© = У + 氾〃 =П2 == (и + 次)2

8,=几2 — %2

© = У + 氾〃 =П2 == (и + 次)2

8,=几2 — %2

у д /勺 + ^ Ve，2 + е Приближенные формулы

8‘>0

и

у д /勺 + ^ Ve，2 + е Приближенные формулы

8‘>0

и

+ ^лД'2+『5

+ ^лД'2+『5

8〃 + У

—2—

8〃 + У

—2—

X

8〃

2 «УV^

X

8〃

2 «УV^

8’ V0 п

2 Vz^

8’ V0 п

2 Vz^

,К

,К

V^F V-

V^F V-

8〃 一 2

8〃 一 2

Таким образом, все величины выражаются через фазовые функции, толщину пластины d и характеристики среды 亢& з, определяющие фазовую скорость волн и их затухание.

Волновые сопротивления гЬз одновременно с этим опредег ляют отражение на границах 1-2 и 3-2 соответственно при df оо [отражение от полупространства (П.40)]. Поэтому мы можем выразить 之口 через эти коэффициенты отражения

Pi2sPi = — 7^4； 032 = Оз = — ^^4 (П.57)

и тем самым переписать (П.54) и (П.55) в виде

〜=0鼻-03①a

Рр ①в — Р1Рзфа *

e拦一(1+勺)"飞)①6-OR% •

(П.58)

(П.59)

Эти результаты мы подробно обсудим, когда получим из них коэффициенты отражения R = рр* и прохождения Т = tt (разд. П.9).

П.7. Распространение волн различной поляризации в анизотропных средах

Рассматривается распространение электромагнитных волн в анизотропных средах, описываемых характеристиками среды с тензорной структурой це [см., например, (П.16)]. Если возбудить на поверхности среды линейно-поляризованную волну,

то в среде, вообще говоря, возбуждаются обе собственные моды, т. е. в случае (П.21) и (П.22) две поперечные, взаимно перпендикулярные линейно-поляризованные волны, а в случае (П.18)—— две волны с круговой поляризацией. Если фазовые скорости обеих волн не совпадают, то говорят о линейном, соответственно циркулярном, двойном преломлении при различном затухании——о линейном дихроизме, соответственно вращательном 0〃・ хроизме. Прошедшие или отраженные от таких сред волны имеют поляризацию, отличную от поляризации падающей волны.

Рис. П. 9. Образование эллиптически поляризованных волн при суперпозиции двух взаимно перпендикулярных линейно-поляризованных волн.

В общем случае после прохождения через среду волна имеег эллиптическую поляризацию, поскольку обе моды складываются с вакуумной волной, имея различную амплитуду и фазу.

Чтобы описать эллиптическую поляризацию, рассмотрим су・ перпозицию двух взаимно перпендикулярных линейно-поляризованных волн, имеющих разную амплитуду и сдвинутых по фазе относительно друг друга на угол >.

Для упрощения запишем обе волны сразу в действительном виде (рис. П.9)

Ец = cos а • £0 cos (kz — sf),

E丄=sin a • Eo ccs (kz 一(o/ + 力).(口.60)

Чтобы получить кривые, описывающие распределение поля Е во времени на произвольной плоскости г = const, исключим из (П.60) фазовый угол Ф = (kz — со/) следующим образом.

Разлагая фазовую функцию cos (ф + ^>) = cos Ф cos ^ —

—sin ① sin 夕 и подставляя

С08ф = —, sin Ф= а/1 —cos ау \ cos а /

с учетом £||/£о = 〃 и £丄/Ео = и получим 〃2 ・ sin2 а + у2 • cos2 а — 2〃и • cos # • sin а • cos а —

—sin2^ • sin2a • cos2а = 0. (П.61)

Это уравнение описывает эллипс, отношение осей которого tgq. Оси эллипса повернуты относительно оси и на угол 9 (рис. П.9). Для эллиптичности г] и угла поворота 0 получаем соотношения

tg 20 = tg 2a cos 3,(П.62)

sin 2r] =т皙孤=士 sin 2a sin ^>.(П.63)

Эти уравнения получают, сравнивая коэффициенты уравнения (П.61) с коэффициентами уравнения эллипса, повернутого на угол 0 (см. задачу П.5).

Особый случай, когда в результате суперпозиции линейно- поляризованных волн Е|| и Е± опять получается линейно-поляризованная волна, соответствует эллиптичности

tg" = O, 士 8.

При этом эллипс вырождается в одну из главных осей. Уравнение (П.63) в таком случае принимает вид

sin 2a sin 3 = 0.(П.64)

Таким образом, линейно-поляризованные волны получаем, если sin 2a = 0 или sin 力=0. Первый случай является тривиальным, когда одна из волн £ц или Е丄 отсутствует. Второй случай означает, что сдвиг фаз между обеими волнами « равен нулю или 士冗.

Другой особый случай, когда в результате получается волна с круговой поляризацией, соответствует эллиптичности

tgr)= ± 1・

В этом случае главные оси эллипса имеют одинаковую длину, эллипс вырождается в круг. Уравнение (П.63) принимает вид

sin 2a sin ^> = ± 1.(П.65)

Таким образом,для получения волны, поляризованной по кругу, необходимо выполнение условий sin 2a = ±1 и sin 0 = ±1. Амплитуды линейных волн должны быть равны, а сдвиг фаз между ними 力=土冗/2, то есть на 】/《длины волны (《九/4》).

Наоборот, суперпозиция двух дополнительных волн с круговой поляризацией, равной амплитуды, дает снова линейно- поляризованную волну [см. (П.20)]:

Е± = ®(1, 土厶 0); Е+ + Е_ = 6о(2, 0, 0).(П.66)

В общем случае суперпозиция двух волн с круговой поляризацией различной амплитуды и фазы дает снова эллиптически поляризованную волну. Это сразу видно, если правильно найти векторную сумму Е+ и Е_ обеих волн. На плоскости (〃，и) волновым полям соответствуют" вращающиеся векторы,

Рис. П. 10. Образование эллиптически-поляризованных волн при суперпозиции двух волн, поляризованных по кругу.

концы которых описывают окружности (рис. П.10). Будем они- сывать обе волны, относительные амплитуды которых q土，а фазовый сдвиг 20, действительными выражениями

Е+ = а+£0 (cos (Ф — 0), — sin (①一0), 0),

E_ = a^0(cos (Ф + 0), sin(①+ 8),0).

Результирующий вектор поля Е++Е_ принимает экстремальные значения при Ф = 0, 士п ... и ①=土п/2, 土Зп/2 ... . Поляризация, возникающая в результате сложения двух противоположно вращающихся векторов, описывается эллипсом, отно* шение осей которого (эллиптичность)

(口.68)

и углом поворота плоскости поляризации 0. В отличие от суперпозиции двух линейно-поляризованных волн [см. (П.62) и (П.63)] при суперпозиции волн с круговой поляризацией эллиптичность результирующей волны определяется только соотношением между амплитудами, а угол поворота плоскости поляризации—только разностью фаз.

Если необходимо определить влияние анизотропной среды на поляризацию прошедшей и отраженной волн, то сначала надо представить падающую волну в виде двух собственных мод, характерных для среды. Затем нужно определить изменение

амплитуды и фазы собственных мод с помощью комплексных показателей прохождения или отражения (П.40) соответственно (П.58) и (П.59) и получить результирующее волновое поле, складывая собственные моды. Собственные моды отличаются от всех других возможных волновых мод тем, что они н е меняют поляризации при отражении и прохождении че- рез среду.

П.8. Плотность энергии и мощности потерь электромагнитного волнового ПОЛЯ

П.8.1. Вектор Пойнтинга

До сих пор мы рассматривали амплитуды электромагнитных полей, т. е. Е, В, D n Н. Здесь мы вычислим энергию, перено- симую волной, а также энергию, диссипируемую в среде.

Для этого рассмотрим сначала плотность энергии w электрического и магнитного полей (величины Е, В, О, ", / действительны!)

we = DE/2; gm = BH/2, (П.6Э)

а также плотность мощности потерь (джоулево тепло)

p = jE・(П.70)

При этом предположим сначала, что диссипация энергии связана только с проводимостью.

Для определения плотности потока энергии («интенсивности») волнового поля необходимо знать временное изменениё we и wm плотностей энергии. Выражения для потока можно получить, умножая уравнения Максвелла на Е и Н:

V X Е = — В I • Н приводит к Н (V X Е)=—⑷悔

и

VXH = D+ jl*E приводит к Е (V X Н) = g + р.

Складывая уравнения, получим

H(VXE) —E(VXH)EV(EXH) = -E(g + ^) — "・

Подкачка энергии за счет электро- магнитной волныПодкачка энергии за счет электро- магнитной волныЭто уравнение можно рассматривать как уравнение непрерывности для поля потока, описываемого вектором S 三 Е X Н:

Подкачка энергии за счет электро- магнитной волны

Подкачка энергии за счет электро- магнитной волны

Изменение плотности энергии электромагнитного поляИзменение плотности энергии электромагнитного поляДиссипация энергии электромагнитного поля (превращение в тепло)

Изменение плотности энергии электромагнитного поля

Изменение плотности энергии электромагнитного поля

(П.71)(П.71)ОПИСЬЮ его ди*ОПИСЬЮ его ди*弟(g +5加)+ p

(П.71)

(П.71)

ОПИСЬЮ его ди*

ОПИСЬЮ его ди*

Вектор S = Е X Н, называемый вектором Пойнтинга, вает плотность потока энергии электромагнитного поля, вергенция описывает прирост энергии поля и потери.

П.8.2. Вектор Пойнтинга плоской электромагнитной волны

Рассмотрим теперь интенсивность плоской волны. При этом мы будем предполагать, что потери обусловлены не только проводимостью, но будем считать, что диэлектрическая и магнитная проницаемости являются комплексными. В таком случае уравнение (П.69) дает вклад в плотность мощности потерь, а (П.70) — в плотность энергии.

Вектор Пойнтинга является действительной величиной. Поскольку он зависит от поля нелинейно, вычислим его, подставляя действительные значения полей:

с (Е + Е*) (Н + Н*)

〉一2 X 2*

Для плоской волны с к = (0, 0, kz) и

Е(2)= (Ео, 0, 0)ехр [i(kzz — со/)], НСг) = (О, "о, O)exp[i (財N —W)]

вектор Пойнтинга имеет только г-компоненту, т. е. поток энергии параллелен вектору распространения волны к:

Sz = } {(成力十成典)+ (Ex/+ E1HN. периодический член член, не зависящий от времени за счет множителя ехр 卩2 (k2z-(at^

Первый член описывает перенос энергии между пучностями и узлами волны. Второй член представляет собой среднее по времени значение, соответствующее интенсивности. Получаем

0〉=i (&/+&/)=^ (孥+半).

Итак, интенсивность электромагнитной волны, амплитуда электрического поля в которой £0, равна /

〈S，三/ = ^Re{!}|Eo|2.(П.72)

Для немагнитной среды (卩=1), поскольку 1/之=“е%/卩卩° = =со^о V® = с“о(п + '乂)， имеем

0〉曰/ = ^|EoF・(П.73)

Примечание

Поскольку /〜九£^, то волны одинаковой амплитуды в средах с различным п или z будут иметь разную интенсивность!

Затухание волны, например за счет поглощения, описывается средним по времени значением дивергенции вектора Пойнтинга:

VS = V(EXH)^H(VXE)-E(VXH),

которое после подстановки действительных полей вместе с уравнениями Максвелла принимает вид

vs=у t (中)]-中[4 (中)]，

vs = -~[f (HB — H*B*)±i(ED — E*D*) + периодический член

+ j (Н*В — НВ*) + *E*D -ED*)]・

член, не зависящий от времени

Поскольку i(G* ——М) * 21m {а}, то для среднего значения падения интенсивности получаем

〈VS〉= (Im {НВ*} + Im {ED*}) cd/2.

Наконец, подставляя комплексные магнитную и диэлектрича- скую проницаемости 口 =卩‘ + 巾〃，© = J + 讫〃，приходим к выражению

〈VS〉= 一(阿卩〃 I % F + 80е" IЕо Р) со/2.(П.74)

Для магнитно-недиссипативной среды (卩〃 =0) получаем

(VS) = ~8oe,,|£ol2®/2.(П.75)

Таким образом, диссипация энергии пропорциональна |//о|2, соответственно | £*0|2! Если выразить е〃 через действительную часть проводимости в соответствии с (9.18) е〃 =『/刖①，то получим выражение, совпадающее с (9.21):

〈VS〉= -“£o|2/2・

Г1.83 Интенсивность отраженной волны

В экспериментах по оптическому отражению обычно определяют не амплитуду отраженной волны, а переносимую ею энергию. Эта энергия пропорциональна интенсивности. Поскольку падающая и отраженная волны распространяются в одной среде, то для сравнения достаточно знать величины Е・Е* = =闾2. Определим поэтому коэффициент отражения R следующим образом:

R = £ = ^ = 0"(п-76)

Отсюда, согласно (П.40), получаем

R е爾=R е爾=(X- 1)2 + zZ，2 ① + 1)2 + Z〃2(X- 1)2 + zZ，2 ① + 1)2 + Z〃2или, поскольку Z = 2’ + iz〃,

R е爾=

R е爾=

(X- 1)2 + zZ，2 ① + 1)2 + Z〃2

(X- 1)2 + zZ，2 ① + 1)2 + Z〃2

(П.77)(П.77)Таким образом, коэффициент отражения не зависит от того, отражается ли волна от среды «2» в среду 《1》или наоборот!

(П.77)

(П.77)

A一 （九一 1）2+ 炉К一（九+1产+乂厂A一 （九一 1）2+ 炉К一（九+1产+乂厂(П.78)(П.78)Для коэффициента отражения от немагнитного полупространства в вакуум (разд. П.5.4) получаем (z = гг + Zx)

A一 （九一 1）2+ 炉

К一（九+1产+乂厂

A一 （九一 1）2+ 炉

К一（九+1产+乂厂

(П.78)

(П.78)

口.8・4「Коэффициент поглощения

Если плоские волны произвольной природы распространяются в поглощающей среде, то интенсивность потерь dl при прохождении слоя толщиной dz в общем случае пропорциональна интенсивности волны /. Это закон Ламберта — Вера, с помощью которого определяется коэффициент поглощения К:

与三一К・/・(П.79)

Для плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси z, подставим в (П.79) интенсивности через вектор Пойнтинга / 三 <SZ> и dl/dz = <VS>, тогда для коэффициента поглощения К получим

* _3〉一 8"0r I 〃о |2 + G)8o8，，I Ео |2

Re{l/z}|E(J2 •

Таким образом, коэффициент поглощения равен отношению энергии, диссипируемой в элементе объема, к потоку энергии, проходящему через поперечное сечение этого элемента объема.

Для немагнитных сред получаем

К = ■—— = ――—,(П .81)

Со 九 с^п''

£〃 = а7(ео°>)«'

Другие удобные выражения для К можно получить, подставляя =々° = 2лДо и е〃 = 2пх,

K = 瓦 号 = 2岛比=学 乂.(П.82)

Эти выражения неприменимы для сред без потерь (е〃 = 0)| В них вообще не входит средний поток энергии, но из х #= 0 следует 九=0 при е" = 0 и тогда〈S〉= 01

Интегрируя закон Ламберта — Бера, получаем поглощение слоем толщиной d:

/(d) = /oexp(- Kd).(П.83)

Величину

lg(/o//) = Kdlge

называют логарифмическим декрементом затухания

П.9. Отражение и прохождение волн в случае плоскопараллельной пластины

Интенсивность отраженной и прошедшей волн в случае плоскопараллельной пластины получают с помощью соответствую*

(I-%) к / (^^exp^x^d)

Рис. П. И. Поток энергии через плоскопараллельную пластину 2, находящуюся между двумя средами «1》и «3》при «простом» прохождении Интерференция и многократные отражения отсутствуют.

щих амплитудных коэффициентов отражения и прохождения (П.58) и (П.59)

凡=0曾;；T. = ）；■

Результат имеет следующий вид (громоздкие, но простые расчеты мы здесь не приводим, см. задачу П.6):.

Rp=R*Rp=R*1 + 穿 exp (- 4优2々0砌-2、^^^ exp (一2x2々0公• cos (2九2论od+8-5)

Rp=R*

Rp=R*

1 + &% exp (— 4乂2瓦d) — 2 “ARl exp (—2ха/г0^) cos (2na/s0d+d3+di)'

(П.84)

ХоХо(+)"信力(+)"信力exp (2x3fe0d)exp (2x3fe0d)1gз,3 = 7一(/:工⑸，1gз,3 = 7一(/:工⑸，(П.88)(П.88)

Хо

Хо

(+)"信力

(+)"信力

exp (2x3fe0d)

exp (2x3fe0d)

1gз,3 = 7一(/:工⑸，

1gз,3 = 7一(/:工⑸，

(П.88)

(П.88)

1 + RR exp (― 4乂2尼od)—2 “R3R1 exp (— 2H2k0d) cos (2м2^о^ + бз+ 5)

(П.85)

При этом мы использовали очевидные обозначения R】,/?з и 7°, описывающие отражение и прохождение для пластины без учета фазовых сдвигов, т. е. при «простом» прохождении (рис. П.11)

То = (1 -Ri)(l -Кз)ехр(-2>^(//), (П.86)

а также см. (П.57)

0 = 0#；； ^з = РзРз-(П.87)

Кроме того, в выражения (П.84), (П.85) входят соответствующие фазы для амплитудных коэффициентов отражения от полупространства

Р1,з = 1 Pi. з |ехр 価 1, з)； tg М, 3 =関招，

П.9.1. Плоскопараллельная пластина в вакууме

Мы обсудим формулы (П.84), (П.85) только для простого случая, когда пластина 《2》толщиной d находится в вакууме. Полагая z\= zz = z и поэтому р] = р3 = р, а также n3 = 1, получим упрощенные формулы 】)

:_大①厂①a

PkP不=両Т

Q41

(1 + 2产 бв-^Оа •

Отсюда для коэффициентов отражения и прохождения находим

П _ П 1 + ехр (- 2Kd) — 2 exp (— Kd) cos (2几瓦d)/口 只川

1 + R2 exp (— 2Kd) - 2R exp (- Kd) cos (2叫d + 26)，Ц1*6^

Tp = Tq 1 + R2 exp (- 2Kd)-盛!x j J Kd) cos (2叫d + 26)，⑴ §。) где

To = (l —R)2exp(—Kd)・(П.91)

Эти формулы описывают зависимость коэффициентов отражения и прохождения от волнового числа. В частности, за счет

См. (П.58), (П.59).^ Прим. ред.

членов с cos(2»od) коэффициенты Др и Тр имеют периодическую структуру. Эту зависимость называют резонансами Фа・ 6р北——Перо, а также интерференцией для плоскопараллельной пластины. Их период определяется из условия 2nkQd = v2n, где V = 0, ±1, ±2, .... При 6 = 0, п находим экстремальное н среднее значения, полагая в числителе и знаменателе косинус равным ±1 или 0:

Rp、экстр = R ( тRp、экстр = R ( т1 士 exp (- Kd) 士 R exp (— Kd)1 士 exp (- Kd) 士 R exp (— Kd)广广‘5 MP = [1 士 Rexp (- Kd)y，(П.92)‘5 MP = [1 士 Rexp (- Kd)y，(П.92)

Rp、экстр = R ( т

Rp、экстр = R ( т

1 士 exp (- Kd) 士 R exp (— Kd)

1 士 exp (- Kd) 士 R exp (— Kd)

广

广

‘5 MP = [1 士 Rexp (- Kd)y，

(П.92)

‘5 MP = [1 士 Rexp (- Kd)y，

(П.92)

Rp, макс

4R

Т—/"КУ

(1 + R)2 '

丄…Н —+ R丿，

Rp, мин

=0,

Тр, макс = 1，

(П.93)

Rp, средн

2R

7 一（上一飘

1 + R2 '

丄 р, средн[ J.•

n —厶 1 + exp (— 2Kd) ”，средн — A 1 +R2exp (- 2Kd)'

7?j

卩 средн _ ] + R2 exp (— 2Kd).

Для образца без потерь Kd = 0 получаем

Исследование резонансов Фабри — Перо является важным ме・ тодом в оптике твердого тела для определения оптических постоянных. Спектральное расстояние между резонансами сразу позволяет определить действительную часть показателя преломления

(々о, v+i —々о, V)d

Амплитуда резонансов отражения и прохождения служит мерой коэффициента поглощения, особенно при слабом поглощении.

При сильном поглощении Kd》1 резонансы Фабри — Перо исчезают, а спектры прохождения приближаются к виду (П.91)

To = (l-R)2exp(-Kd),

в общем случае описываемому формулой (П.86). Такой случай называют случаем отсутствия многократных отражений (рис. П.11). При этом имеют в виду, что интерференция возникает за счет суперпозиции волн, отраженных от обеих поверхностей пластины. Если при однократном прохождении через пластину они поглощаются, то в таком случае эти волны не дают вклада в интерференцию.

В действительности имеет место некоторая промежуточная ситуация, т. е. нечто среднее между «простым» прохождением без интерференции (П.91) и идеальной структурой Фабри — Перо (П.92), Поскольку для экспериментов по прохождению

необходимо иметь достаточно хороший сигнал от прошедшей через образец волны, то это означает, что Kd не должно быть слишком велико. Иначе говоря, аргумент косинуса 2пй0^ в (П.89) и (П.90), обусловливающий периодическую структуру резонансов Фабри — Перо, не должен быть слишком большим. Часто используется немонохроматическое излучение, т. е. % принадлежит некоторому спектральному интервалу 々о 土 А左. Образец не является идеально плоскопараллельным, а может быть шероховатым, т. е. его толщина меняется в интервале d 土 Ad. И наконец, используемые измерительные приборы имеют конечный угол раствора, так что нельзя описать весь пучок лучей k-z просто с помощью величины kQd.

Эти эффекты в первую очередь искажают структуру резонансов Фабри ——Перо, если k^d » 1, поскольку при этом расплывание kod захватывает многие периоды. Для таких случаев рассмотрим третий предельный математически идеализируемый случай, а именно случай многократных отражений, но без интерференции. Мы его получим, если усреднить (П.90) по периоду 2л

3三击，Tpg,(п.95)

о

где 巾曰2nh()d + 26. Обозначая 4 三 Rexp(—Kd) V 1, запишем Го в виде

7 — Т。

Р— 1 + 屋一24 cos 0 •

Интерференцию следует ожидать только в случае z〃《/ Интеграл в (П.95) имеет вид [П.2]

(arctg 口^)

J a + ft cos x —核 &〈 a + b /

при I a I > I & |. Отсюда для Tp получаем

月产差各arctg (任务tg与)e=自.(П.96)

Для прохождения через пластинку без интерференции отсюда следует

7 — (1 一 R)2 ехр (- Kd)m

- R2exp(-2Kd) •

В пределе исчезающего поглощения Kd《1 приходим к

3 = (1 — R)/(1+R)・

Для отражения получаем соответствующие выражения (табл. П.З).

Таблица 〃・3

Оптическое поведение диэлектрической пластины, помещенной в вакуум (среда немагнитная：卩=1)

Средаez« п2 — х2

Полупространство, отражение

(九+1)2一x2

"(九+1)2 + x2

4 Л2х

tg6=步 + 炉一]

Плоскопараллельная пластина, коэффициент отражения

+ ехр (- 2Kd) — 2 exp (一 Kd) cos (2nk0d) %« 1 + № exp (一 2Kd) - 2R exp (- Kd) cos (2叫d + 26)

Плоскопараллельная пластина, коэффициент прохождения (отражения)

1 + (х/九)2 Р 。1 + R2 exp (— 2Kd) — 2R exp (— Kd) cos (2九瓦d + 26)

без интерференции, но с учетом многократного отражения

f

Р —]—审 ехр (— 2Kd)，

万 一 * 1 + [1 — 2R cos (26)] exp (— 2Kd)

一 R2 exp (- 2Kd)без интерференции и многократного отраженияТо = (1 — R)2exp (— Rd)

Коэффициент поглощения

л ==== 2月y -7~

。0九 Совд/l /ICo Aq

Спектральное расстояние между v-м и (v + 1)-м резонансами Фабри — Перо

(^о, v+i — ^о, v)九d =冗

П.9.2. Тонки© пленки

Как в спектроскопии твердого тела, так и при создании оптических элементов большую роль играют тонкие пленки. Оптические свойства как свободных пленок, так и нанесенных на подложки можно описать с помощью формул из предыдущих разделов. Поскольку эти формулы достаточно сложны и ненаглядны, мы здесь выведем приближенные выражения в пределе бесконечно тонких пленок. Такие пленки характеризуются условием

т. е. должны выполняться неравенства d《1/п^0 и d《dp = =1/乂々0. В этом случае периодические фазовые функции (см. табл. П.1) можно заменить монотонными выражениями 屮⑷ в» 4 1 土 i亢2》od. В этом приближении из (П.58) и (П.59) получаем

К 一 (21 —23)+ 历2Ad (1 - 21禽)/T-г QQ、

Pp — -(2l + 23)+ i/i2^d(l+Zi23)( 丿

И

/① 4_(п.100)

。一(21 + 之3)+ Z/12^od (1 + 2[2з)

Эти выражения можно упростить, если пленка находится в ва・ кууме; тогда имеет место соотношение

21 =23 = V62/口2.

П.9.3. Тонкая пленка в случае сильного взаимодействия с электрическим полем

Рассмотрим более строго отражение и прохождение для тонкой пленки, которая особенно сильно взаимодействует с электрическим полем, т. е. |б2|》1・ В этом случае (П.99) и (П.100) можно упростить, поскольку

I 2任3 1= I (现/卩2)"卩1闯2出3 I》L

Кроме того, мы ограничимся практически наиболее интересным случаем, когда пленка, с одной стороны, граничит с вакуумом (б =卩1 = 1), а с другой имеется среда 《3》，отражение на границе которой с вакуумом в отсутствие тонкой пленки описывается волновым сопротивлением г13= д/8з/Из- Из (П.99) с учетом n2 = Vе2Н2 в приближении (1 士 之匐=± 之晶 получаем

(213 一1)一阳近2(213 + 1)一隔虑2

213 — 1213 + 1213 — 1213 + 1РРБез пленки амплитудный коэффициент отражения подложки 《3》，согласно (П.40), равен

213 — 1

213 + 1

213 — 1

213 + 1

Р

Р

Из этих двух формул видно, что подложка с нанесенной на нее пленкой отражает так же, как полупространство, но с другим относительным волновым сопротивлением £:

夕=2；з + 或岛 d; 2"三爲 一 ^d. (П.102)

Мнимая часть е〃， ответственная за поглощение, таким образом, увеличивает действительную часть волнового сопротивления. Наоборот, мнимую часть волнового сопротивления можно уменьшить, нанося пленки с е‘ > 01

Для свободных пленок, взаимодействующих с электрическим полем волны, полагая %1з=1, получим амплитудные коэффициенты отражения и прохождения

—【々о de

(П.103)(П.104)(П.103)(П.104)Рpа一匚爲爾，'科=2 二面）d® -

(П.103)

(П.104)

(П.103)

(П.104)

Отсюда для коэффициентов отражения и поглощения имеем

= Р₽Р₽ = 4 + 4/4"(/2+产)礙,(n，105)

Тр = '/I①血=4 + 4/%^ +(：'2 + е〃2)&# .(口・ Юб)

Для коэффициента поглощения в пленке Др, поскольку Rp +

•^- Тр + Ар = 1, получаем

(П.107)(П.107)л _4g”od

(П.107)

(П.107)

° — 4 + 48〃/М + (『2+е〃2)^/・

П.10. Стоячая волна при отражении от полупространства

Вблизи плоской поверхности полупространства падающая и отраженная волны образуют стоячую волну.

Исследуя стационарное волновое поле, находят характеристики отражающего полупространства или среды перед ним (метод стоячих волн).

Поэтому мы сейчас рассмотрим падающую и отраженную волны для случая нормального падения (рис. П.4)

Ее = (£о, 0, 0) exp [/ (kz —碗)], Ер = (0瓦，0, 0) exp U (— kz — ©/)].

Полное электрическое волновое поле слева от границы раздела можно записать в комплексном виде следующим образом:

Ех = (Ее + Ер% = Еоехр (— to/) [exp (ikz) + p exp(— ikz)]. (П.108)

Для соответствующего магнитного поля из уравнения V X Е = =/о)В получаем

Ви = -~- ехр (— Ш)п [exp (ikz) — р ехр (— ikz)]. (П.109)

Оба волновых поля можно разложить на бегущую и стоячую волны

Е* = (1 - 0) Еоехр [/ (Ь - 3)] + 2р cos (疽)£0ехр(-而/), (П.110)

8у = (1 — р)п^ ехр [Z (kz — о/)] + /2р sin (々гО^^ехр (— /со/).

〃°(П.111)

Стоячая волна отличается тем, что в ней координатная зависимость описывается действительными функциями cos(^z), sin(^z). В отличие от бегущей в стоячей волне электрическое

Рис. П. 12. Поле стоячей волны для полупространства с коэффициентом отражения р = 0,5 ехр (— j 竽) (кривая /). Кривая 2 — случай р = — 1 («короткое замыкание»).Рис. П. 12. Поле стоячей волны для полупространства с коэффициентом отражения р = 0,5 ехр (— j 竽) (кривая /). Кривая 2 — случай р = — 1 («короткое замыкание»).

Рис. П. 12. Поле стоячей волны для полупространства с коэффициентом отражения р = 0,5 ехр (— j 竽) (кривая /). Кривая 2 — случай р = — 1 («короткое замыкание»).

Рис. П. 12. Поле стоячей волны для полупространства с коэффициентом отражения р = 0,5 ехр (— j 竽) (кривая /). Кривая 2 — случай р = — 1 («короткое замыкание»).

и магнитное поля по фазе не совпадают, а сдвинуты на л/2. Среднее значение вектора Пойнтинга равно нулю, энергия не переносится вдоль волны, а переходит из пучнбсти магнитного в пучность электрического поля и наоборот.

Для измерения волнового поля около отражающего полупространства имеются детекторы (болометры, диоды), сигнал на выходе которых пропорционален ]Е]2. в области z V 0, полагая 0 = «R exp «6), имеем

1E?=応良=e狂1 + /? + 2板85 2(々2 — 6)] (П.112)

(рис. П.12). Положения экстремумов определяются из условия

1^1эКсТр = ^0± V^)2-1^1эКсТр = ^0± V^)2-(П.113)(П.113)

1^1эКсТр = ^0± V^)2-

1^1эКсТр = ^0± V^)2-

(П.113)

(П.113)

Таким образом, комплексный коэффициент отражения определяется структурой стоячей волны:

(П.114) 匕макс十七мнн

а положение минимума — положением узла поля гМин：

2^гмин — б = V . л, где v=± 1, ±3, ±5 .... (П.115) При измерениях сравниваются структура стоячей волны и положения узлов в волне, измеренные для хорошо проводящей металлической пластины (р0 = —1, «короткое замыкание») и для образца с 0】=«R ехр 卩(л + 2“)] (табл. П.4).

Таблица ПА

Короткое замыкание

Образец

Экстремумы сигналов детектора

1 1макс 4^о

1 1мин =。

1引禽№ =邮(1+仮)2

I^Imhh^^oO-W

Положение узлов 々Zmhh = 0, —л, —2л

左Zmhh==% —几 + n，— 2r)+ n ...

Смещение положения узлов поля п определяет фазовый угол 6 =冗 + 2刀；по структуре стоячей волны находят коэффициент отражения

^1макс + 1^1мин- 1 + R.

В микроволновой измерительной технике структура стоячей волны исследуется с помощью волновода. При этом в качестве волнового числа k следует подставлять значение k для волновода, поскольку фазовая скорость волн в волноводе за счет ограничивающих стенок становится больше, чем в свободном пространстве.

Задачи

П. 1. Исследовать распространение волны вдоль оси у [е = (0, 1, 0)] в анизотропной среде так же, как это сделано в разд. П. 2.3, П. 2.4 для волн、 распространяющихся вдоль осей % н 2.

П. 2. В среде со смешанными восприимчивостями %师，％“

Р = 8оХеЕ + ^В; М = ^Е +普 В,

где %ет = —%те, распространяются электромагнитные волны. Показать, что собственные моды волн с круговой поляризацией имеют разные фазовые скорости (оптическая активность; примеры: теллур, кварц, сахар) [П. 3]. (Предположить, ЧТО Хе, Ует — СКЗЛЯрЫ,左„ = О, О = 0.)

П. 3. Определить амплитудные коэффициенты отражения и прохождения для полупространства, заполненного средой, волновое сопротивление которой на плоскости г^ описывается прямой, параллельной действительной, соответственно мнимой оси (при |p|W 1 возникающее семейство кривых называют диаграммой Смита). Найти простой геометрический способ проведения такого преобразования.

П.4. Определить граничные кривые ри? для сред с относительными волновыми сопротивлениями | I > Ю.

П. 5. Привести к нормальной форме в системе координат (“，v) эллипсы

Система (〃'，吟 получена из системы (〃，и) поворотом на угол 9 (рис. П.9). Показать, что между четырьмя углами г), 9 и а, Ф имеется связь (П.62) и (П.63).

П. 6. Вычислить коэффициенты отражения и прохождения в случае плоскопараллельной пластины (П. 84), (П. 85), зная соответствующие коэффициенты % tр (П.58), (П.59).

П. 7. Найти высоту максимума и расстояние между резонансами Фабри —Перо в спектре прохождения и отражения для непоглощающей кремниевой пластины (е‘ = 12, е〃4 0, ц = 1; d = 100 мкм).

П. 8. Вычислить диэлектрическую проницаемость отражающего полупространства (ц = 1), зная поле стоячей волны (рис. П. 12).

П.9. Найти распределение поля в стоячей волне и сдвиг узлов поля при отражении волн (9ГГц) для модельного полупроводника (е£ = 16, ш* =О,1/по； 九=10怖 см~з), если время свободного пробега: а) т = 5 • 10~13 с и б) т = I。-" с.

ЛИТЕРАТУРА

Madelung О., Grundlagen der Halbleiterphysik, Heidelberger Tb Bd. 71 (Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1970).

Madelung 0., Introduction to Solid-State Theory, Springer Series in Solid-State Sciences, vol. 2 (Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1978).

Madelung 0., Festkorpertheorie I, II, III, Heidelberger Tb. Bd. 104, 109,126 (Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1978). [Имеется перевод чч. I, II: Маделунг О. Теория твердого тела. — М.: Наука, 1980.]

Kittel С., Introduction to Solid-State Physics, 5th ed. (Willey, New York, 1976). [Имеется перевод 4-го изд.: Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. — М.: Мир, 1978.].

Dieminger 呼.，Die lonosphare und ihr Einfluss auf die Ausbreitung elektrischer Wellen, in Ergebn. der exakten Naturwissenschaften, Bd. 17 (Springer, Berlin, 1938), S. 282.

Becker K.-D, Ausbreitung der elektromagnetischer Wellen (Springer,

Berlin, Heidelberg, New York 1974).

Seeger K・，Semiconductor Physics (Springer, Wien, New York, 1973).

(Имеется перевод: Зеегер К. Физика полупроводников. — М.: Мир, 977.]

Walter 丄 Р., Cohen М L., Phys. Rev., В4, 1877 (1971).

Geist D, Halbleiterphysik I, Eigenschaften homogcner Halbleiter (Vie- weg, Braunschweig, 1969).

Mossotti 0.尸.，Mem. di math, e fisica di Modena, 24, 2, 49 (I860).

Clausius R., Die mechanische Warmetheorie, Bd. 2 (Die mechanische

Behandlung der Elekrizitat) (Vieweg, Braunschweig, 1879), S. 62.

Frohlich 〃.，Theory of Dielectrics 2nd. ed. (Clarendon Press, Oxford, 1958). [Имеется перевод: Фрелих Г. Теория диэлектриков.——М.: ИЛ, 1960.1

Herzfeld К.尸.，Phys. Rev., 29, 701 (1927).

Репп D., Phys. Rev., 128, 2093 (1962).

Renucci /. 8., Richter IF., Cardona M, Schonherr E, Phys. Stat. Sol. (b), 60, 299 (1973).

Drude P., Physik Z., 1, 161 (1900).

Lorentz H. A., The Theory of Electrons (Teubner, Leipzig, 1909). [Имеется перевод 3-го изд.: Лоренц Г. А. Теория электронов и ее применение к явлениям света и теплового излучения. — М.: Гостехиздат, 1956.]

Conwell Е М., High Field Transport in Semiconductors, Solid State Physics Supplement 9 (Academic Press, New York, London, 1967). [Имеется перевод: Конуэлл Э. Кинетические свойства полупроводников в сильных электрических полях. — М.: Мир, 1970.]

Bauer G., Determination of Electron Temperatures and of Hot Electron Distribution Functions in Semiconductors, in Springer Tracts in Modern Physics, vol. 74 (Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1974，p. 1.

Macke 步.，Quanten 3. Auflg. (Akadem. Verlagsges., Leipzig 1965), S. 12.

Gerlach Е, Grosse R, Scattering of Free Electrons and Dynamical Conductivity, tn Festkorperprobleme Bd. 17, hrsg. v. J. Treusch (Vieweg, Braunschweig 1977), S. 157.

Gunn G. 8., Progress in Semiconductors, vol. 2, eds. A. F. Gibson, R. E. Burgess (Temple Press, London, 1957), p. 213.

Tyler W.步.，Woodbury ". "., Phys. Rev., 102, 647 (1956).

Sommerfeld 4, Bethe "., Elektronentheorie der Metalle, in Handbuch der Physik 2. Auflg. Bd 24/2, hrsg. v. H. Geiger, K. Scheel (Springer, Berlin, 1933) S. 333. [Имеется перевод: Бете Л, Зоммерфельд А. Электронная теория металлов. — М. — Л.: ГОНТИ, 1938.]

de Gass W. /., de Boer /., van den Berg G. /., Physica, 1, 1115 (1933).

Hund 尸.，Theorie des Aufbaues der Materie (Teubner, Stuttgart, 1961).

Putley E. "., The Hall-Effect and Related Phenomena (Butterworths,

London, I960).

Madelung 0., Halbleiter, in Handbuch der Physik Bd. 20, hrsg. v. S. Fliigge (Springer, Berlin, Gottingen, Heidelberg, 1957).

Sauter 尸.，Elektrodynamik der Materie, in R. Becker Theorie der Elek- trizitat Bd. 3 (Teubner, Stuttgart, 1969).

Klassman 取.，Z. Physik, 218, 237 (1969).

Bhagavantam S., Crystall Summetry and Physical Properties (Academic Press, London, New York, 1966).

Kleber 呪，Meyer K, Schoeaborn 取.，Einfiinhrung in die Kristallphysik (Akademieverlag, Berlin, 1968).

de Groot S. R., Thermodynamik irreversibler Prozesse (Bibliographisches Institut, Mahnheim, I960.) [Имеется перевод: Де Гроот С. Термодинамика необратимых процессов. — М.: Гостехиздат, 1956.]

de Groot S. R., Nlasur P., Anwendung der Thermodynamik irreversibler Prozesse (Bibliographisches Institut, Mahnheim, 1974).

Liike H. D., Signaliibertragung 2. Aufl. (Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1979).

Champeney D. C., Fourier Transforms and their Physical Applications (Academic Press, London, New York, 1973).

Grosse P., Khahl-Urban 8., Phys. Stat Sol., 27, K149 (1968).

Gerstenhauer E, Vits P., in Microwave Diagnostics of Semiconductors, ed. R. Paananen, Svenska Tekniska Vetenskapsakademien i Finland, Report 31 (Helsinki, 1977) pp. 160—181.

Lutz M, Diplomarbeit, Universitat zu Koln, 1967.

Meyer 〃.，El Naby M. 〃.，Z. Phys., 174, 280 (1963).

Gerlach E, Orosse P., Rautenberg M., Senkse 取.，Phys. Stat Sol. (b), 75, 553 (1976)..

Stern 尸.，Elementary Theory of the Optical Properties of Solids, in Solid State Physics, vol. 15, eds. F. Seitz, D. Turnbull (Academic Press, New York, London, 1963) p. 299.

Gast /., Genzel L., Optics Commun., 8, 26 (1973).

Frank G., Kauer E, kostlin "., Phys. BL, 34, 106 (1978).

Hagen £., Rubens "., Ann. Physik, 11, 873 (1903).

Woltersdorff 步.，Z. Phys., 91, 230 (1934).

Grosse P., Z. Phys., 193, 318 (1966).

Planh” K. G., Kauer E, Z. Angew. Phys., 12, 425 (I960).

Kessler E R., J. Phys. Chem. Sol., 8, 276 (1959).

Reuter G.七.//., Sondheimer E. "., Proc. R. Soc., A195, 336 (1948).

Richards P. L, Tinkham M, Phys. Rev., 119, 575 (I960).

Palik E D, Furdyna /. K, Rep. Prog. Phys., 33, 1193 (1970).

Hecht E, Zajac A., Optics (Addision-Wesley, Reading, MA 1974), p. 219;

4 Nussbaum, R. A. Phillips, Contemporary Optics for Scientists and Engineers (Pientice-Hall, Englewood Cliffs, NJ 197, 1976) p. 341.

Gerstenhauer E, Bauer G., Grosse P., Phys. Stat. Sol. (a), 64, K103 (1974).

Азбель M. Я., Канер Э. 4. — ЖЭТФ, 1956, т. 32, с. 896; J. Phys. Chem.

Sol., 6, 113 (1958).

Kip A.尸.，in The FFRMI Surface, eds. W. A. Harrison, M. B. Webb (Willey, New York, London, I960) p. 146.

Lutz M., Stolze 〃.，Grosse P., Phys. Stat. Sol. (b), 62, 665 (1974).

Baumgart H. D, Der Mikrowellen-Faraday-Effekt freier Ladungstrager im Halbleiter Tellur., Dissertation, Universitat zu Koln, 1972.

Bok /., Plasma Effects in Solids, in Plenarvortrage Physikertagung, Dusseldorf 1964, hrsg. v. K. Hecht (Deutsche Physikalische Gesellschaft, Koln, 1964)..

Grimmes С. С.» Buchsbaum S. G., Phys. Rev. Lett., 12, 367 (1964).

Furdyna /. K., Appl. Opt., 6, 675 (1967).

Kawamura "., Takano S., Hotta S., Nishi S., Kato У., Kobayashi K. t. /., Komatsubara K. F・，Proc. 12th Intern. Conf, on the Physics of Semiconductors., ed. M. H. Pilkuhn (Teubner, Stuttgart 1974), p. 551.

Alfven "., Cosmical Electrodynamics (Oxford Univ. Press Clarendon, London, New York 1950).

Ancker-Johnson fi., Plasmas in Semiconductors, and Semimetals, in Semiconductors and Semimetals, vol. 1, eds. R. K.Willardson, A. C. Beer (Academic Press, New York, London, 1966), p. 379.

Grill 步.，Weiss 0., Phys. Rev. Lett., 35, 588 (1975).

Born AL, Huang K・，Dynamical Theory of Cristal Lattices (Clarendon Press, Oxford, 1968). [Имеется перевод 1-го изд.: Борн М., Хуан Ку&ь. Динамическая теория кристаллических решеток. — М.: ИЛ, 1958.]

Claus R., Merten L, Brandmuller /., Light Scattering by Phonon-Polaritons, Springer Tracts in Modern Physics, vol. 75 (Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1975).

Brillouin L, Wave Propagation in Periodical Structures (Dover Publications, New York, 1953). [Имеется перевод: Бриллюэн Л. Распространение волн в периодических структурах. — М.: ИЛ, 1959.]

Mitra S. S., Vibration Spectra of Solids, in Solid State Physics, vol. 13, eds F. Seitz> D.^Turnbull (Academic Press, New York, London, 1962), p. 1.'

Geick R., Phys. Rev., 138, A1495 (1965).

Zallen R., Phys Rev., 173, 824 (1968).

Wagner，.，Z. Phys., 193, 218 (1966).

Grosse P., Lutz M.t Richter 呪，Solid State Commun., 5, 99 (1967).

Burstein £., Interaction of Phonons with Photons, in Phonons and Photons Interaction, ed. T. A. Bak (Benjamin, New York, Amsterdam, 1964) p. 276.

Grosse P., Submillimeter Spectroscopy on Epitaxial Lead Telluride Crystals, in Physics of narrow Gap Semiconductors, eds J. Rauluszkiewicz,

М. Gorska, Е. Kaczmarek (PWN Polish Scientific Publishers, Warszawa, 1978), p. 41.

Rautenberg M., Optische Untersuchungen der Elektron-Phonon Wechsel- wirkung ih Tellur., Dissertation, RWTH Aachen, 1977.

Harper P. G., Hodby J. W.t Stradling R. A., Rep. Prog. Phys., 36, 1 (1973).

П. 1. Breuer W., Jaumann /., Z. Phys., 173, 117 (1963).

П. 2. Bonenberger R., Die optischen Konstanten des magnetischen Halbleiters Europiumsulfid in sichtbaren und nahen Infrarot, Dissertation, RWTH Aachen 1978.

П. 3. Handbook of Chemistry and Physics, 56th Ed., ed. R. C. Weast (CRC- Press, Cleveland 1975) p. A 139, Nr. 341.

П. 4. Schlagheck U.t Z. Phys., 258, 223 (1973).

ОБОЗНАЧЕНИЯ

а — постоянная решетки «о — боровский радиус а* ——эффективный боровский радиус А — поверхность, сечение Л — атомное число

Л — коэффициент поглощения

В — магнитная индукция с — фазовая скорость с。一 скорость света в вакууме С — константа

С — емкость d — толщина слоя dp — глубина проникновения D— жесткость пружины D ——электрическая индукция 0(р)——плотность состояний плотность состояний

D — коэффициент диффузии е — единичный вектор 句——элементарный заряд, заряд позитрона Е — напряженность электрического поля Еа — макроскопическое поле

Елок — локальное поле 巨一коэффициент испускания f — частота

f(w) ■— функция распределения

F — сила

g — плотность тока частиц

g — поверхностная проводимость (7(/, Г)——функция переноса 方=力/2n—— постоянная Планка

Н — напряженность магнитного поля

/ 一 “一 1

/— плотность потока энергии, интенсивност / ——электрический ток / — момент инерции j — плотность потока заряда к ——волновой вектор

財一 фермиевское волновое число

k —— постоянная Больцмана

К — коэффициент поглощения

/, Г — произведение числа заполнения на долинное вырождение в зоне Бриллюэна

/ — длина свободного пробега

L— момент вращения

L — коэффициент деполяризации

厶一индуктивность

£ — число Лоренца

£дх——длина экранирования Дебая — Хюккеля

厶тф——длина экранирования Томаса — Ферми т — масса.

"“ 一масса покоя электрона

W — масса покоя протона

т* ——эффективная инерционная масса

тп ■— эффективная масса электрона

/Ир — эффективная масса дырки

М— атомная масса

АГ — приведенная масса

М— намагниченность-

п — концентрация, плотность частиц

п9 п— показатель преломления

N — число частиц

р — импульс

р— концентрация дырок

р — электрический дипольный момент

pm —— диамагнитный момент

Р ——электрическая поляризация

Р— плотность мощности

Q— заряд

g ——волновой вектор возбуждений в кристалле (фоно-

,нн, поляритоны)

Q* ——эффективный заряд

Q——постоянная Нернста

г — радиус-вектор

R— электрическое сопротивление

Rh — постоянная Холла

Л — коэффициент отражения

S — вектор Пойнтинга

S — сечение рассеяния

S — постоянная Зеебека

/ — время

Е — коэффициент прохождения (амплитудный)

Г — температура

8 -"一8 -"一eо一 tgn-0 - 0 一" = Im ｛亢｝—X - 入一 从一eо一 tgn-0 - 0 一" = Im ｛亢｝—X - 入一 从一электронная температура температура вырождения временной период коэффициент прохождения координаты смещений напряжение напряжение Холла скорость дрейфовая скорость скорость электронов скорость Ферми тепловая скорость скорость звука объем постоянная Верде плотность потока тепла плотность энергии . энергия энергия Ферми запрещенная зона между валентной зоной и зоной проводимости фактор Дебая — Уоллера пространственная координата пространственная координата пространственная координата волновое сопротивление волновое сопротивление вакуума относительное волновое сопротивление угол атомная, молекулярная поляризуемость постоянная затухания тепловое отклонение атомов решетки фазовый угол разность (относительная) диэлектрическая функция решеточный вклад в 8 статическое предельное значение е для диэлектрика диэлектрическая проницаемость вакуума эллиптичность

8 -

"一

8 -

"一

eо一 tgn-

0 - 0 一

" = Im ｛亢｝—

X - 入一 从一

eо一 tgn-

0 - 0 一

" = Im ｛亢｝—

X - 入一 从一

угол поворота плоскости поляризации температура Дебая коэффициент поглощения длина волны теплопроводность подвижность

ц— относительная магнитная проницаемость

No — магнитная проницаемость вакуума

闻一магнетон Бора

V — частота

V — волновое число, пространственная частота

П — константа Пельтье

р — плотность вещества

р — плотность пространственного заряда

р — удельное сопротивление

6(s)— динамическое удельное сопротивление

р — амплитудный коэффициент отражения

и — плотность поверхностных зарядов

и — проводимость

5)— статическая проводимость

о_ ——динамическая проводимость при В = О

т — время свободного пробега, время релаксации

吃и — импульсное время релаксации

% — время релаксации энергии

Тс —— магнитное время столкновений

— угол

力日一угол Холла

— фазовый угол волны

扌一потенциал

% — восприимчивость

Хе — электрическая восприимчивость

%т — магнитная восприимчивость Ует— смешанная восприимчивость Уте — смешанная восприимчивость Хоо= ХВэ ~ поляризуемость валентных электронов %s— статическая поляризуемость 龜—амплитудная функция волны © — угловая скорость со — круговая частота

5=%3/加一частота циклотронного резонанса ш* = qB/m — угловая скорость на орбите Ландау 8р ——плазменная частота электронов

а)+=сор/^/е -• частота плазменного резонанса % = 1/т — частота столкновений

Qo ~ резонансная частота оптических колебаний решетки при g = О

QT — резонансная частота поперечных поляритонов й£ — резонансная частота продольных поляритонов Qp — ионная плазменная частота Q? — частота затухания фононов

—боровский радиус—скорость света в вакууме—заряд позитрона——постоянная Планка—постоянная Больцмана—масса покоя электрона—масса покоя протона—число Авогадро—волновое сопротивление вакуума——диэлектрическая проницаемость ва—боровский радиус—скорость света в вакууме—заряд позитрона——постоянная Планка—постоянная Больцмана—масса покоя электрона—масса покоя протона—число Авогадро—волновое сопротивление вакуума——диэлектрическая проницаемость ва

—боровский радиус

—скорость света в вакууме

—заряд позитрона

——постоянная Планка

—постоянная Больцмана

—масса покоя электрона

—масса покоя протона

—число Авогадро

—волновое сопротивление вакуума

——диэлектрическая проницаемость ва

—боровский радиус

—скорость света в вакууме

—заряд позитрона

——постоянная Планка

—постоянная Больцмана

—масса покоя электрона

—масса покоя протона

—число Авогадро

—волновое сопротивление вакуума

——диэлектрическая проницаемость ва

Универсальные постоянные

а0 = 5,292 • 10-11 м

% = 2,998 • 108 м/с

ео=1,6О2*1О"19 А-с

Л =力/2 冗=1,054 ・ КГ34 Вт- с26=1,381 ・ ЮН Вт-с-К'1

恤=0,911 • IO-?。кг

/пр = 1,673 • 10~27 кг

^ = 6,023- 1023

20 = 3,766 - 102 В・А-】

80 = 8,859- 10"12 А-с-В"1-

куума

ц0= 1,257 • Ю"6 В • с • A~i • м"1 — магнитная проницаемость вакуума

Ун = 9,273 • 10""24 Вт • с • Т~1— магнетон Бора.

Альфвен (Alfen) 189Аренц (Arenz) 8Альфвен (Alfen) 189Аренц (Arenz) 8Багавантам (Bhagavantam) 90Бенедикт (Benedict) 99Багавантам (Bhagavantam) 90Бенедикт (Benedict) 99Вейтмюллер (Weitmiiller) 8Вейтмюллер (Weitmiiller) 8Гайст (Geist) 21Ганн (Gunn) 66Герлах (Gerlach) 8, 135Герцфельд (Herzfeld) 32Гайст (Geist) 21Ганн (Gunn) 66Герлах (Gerlach) 8, 135Герцфельд (Herzfeld) 32Ричардс (Richards) 143Рубенс (Rubens) 127, 214Ричардс (Richards) 143Рубенс (Rubens) 127, 214Тинкхэм (Tinkham) 143Тинкхэм (Tinkham) 143Друде (Drude) 36Друде (Drude) 36Фурдина (Furdyna) 149, 154Фурдина (Furdyna) 149, 154Кауэр (Kauer) 124Клее (Klee) 8Кауэр (Kauer) 124Клее (Klee) 8Хаген (Hagen) 127Хаген (Hagen) 127Шокли (Shockley) 99Шокли (Shockley) 99

Альфвен (Alfen) 189

Аренц (Arenz) 8

Альфвен (Alfen) 189

Аренц (Arenz) 8

Багавантам (Bhagavantam) 90

Бенедикт (Benedict) 99

Багавантам (Bhagavantam) 90

Бенедикт (Benedict) 99

Вейтмюллер (Weitmiiller) 8

Вейтмюллер (Weitmiiller) 8

Гайст (Geist) 21

Ганн (Gunn) 66

Герлах (Gerlach) 8, 135

Герцфельд (Herzfeld) 32

Гайст (Geist) 21

Ганн (Gunn) 66

Герлах (Gerlach) 8, 135

Герцфельд (Herzfeld) 32

Ричардс (Richards) 143

Рубенс (Rubens) 127, 214

Ричардс (Richards) 143

Рубенс (Rubens) 127, 214

Тинкхэм (Tinkham) 143

Тинкхэм (Tinkham) 143

Друде (Drude) 36

Друде (Drude) 36

Фурдина (Furdyna) 149, 154

Фурдина (Furdyna) 149, 154

Кауэр (Kauer) 124

Клее (Klee) 8

Кауэр (Kauer) 124

Клее (Klee) 8

Хаген (Hagen) 127

Хаген (Hagen) 127

Шокли (Shockley) 99

Шокли (Shockley) 99

Маделунг (Madelung) 21

Мютцених (Mutzenich) 8

Па лик (Palik) 149, 154

Пенн (Репп) 35

Пиппард (Pippard) 140

Лоренц (Lorentz) 36

УКАЗАТЕЛЬ ХИМИЧЕСКИХ СОЕДИНЕНИЙ

15, 141

К

141

Mg

21, 116

Mo

15, 63

Na

22, 192

32, 34, 116, 121, 141

Na+

141

NaCl

13, 22, 192-194, 197, 205, 208

22, 192

Pb

196

PbTe

141

s8

15, 20, 22, 31, 55, 65, 126, 141

Sb

116, 124

FeS?

121

Si

35, 116, 121

21

Sn

GaAs

195, 201-203, 217

SnO2

15, 20-22, 32, 35, 48, 55, 60,

SnTe

61, 63, 116, 121, 197

Те

32, 121, 81, 99

Ge?

192

W

Hgl2

In2O3

192

124, 125, 145

Zn ZnSe

20, 141

InSb

186, 187、

Аддитивность составляющих проводимостей 65

сопротивлений 62

токов 65

Азбеля — Канера резонанс 165

Акцепторы 20, 55

Анизотропные среды 234

Атомное ядро 25

Базис 192

Бора магнетон 69

Боровский радиус эффективный 27, 107

Бриллюэна зона 191

Верде константа 175, 176

Видемана — Франца закон 88

Виртуальные возбуждения 115

Вихревые токи 96

Волновое сопротивление 224

вакуума 224

относительное 224

—уравнение 110

для электромагнитных полей

111

Волны альфвеновские 188, 189

—геликоидальные 183, 186, 192

—плоские 111

—поляризованные по кругу 222

—поперечные 113

—продольные 112

—сжатия 191

—смещения 19L

—стоячие 248

—электрические 220

в анизотропной среде 220

———изотропной среде 220

—электром агнитные 109, 220

распространение 109, 220

в анизотропной среде 234

конденсированной среде

109, 218 присутствии статического

магнитного поля 149

глубина проникновения 229

диаграмма 154

для конфигурации Фарадея 154

Фойхта 157

энергия 238

Вольтерсдорфа слой 128

Восприимчивость диэлектрическая 29, 218

вклад валентных электронов 33'

—магнитная 221 .

—обобщенная 218

Вращательный дихроизм 235

Вращение плоскости поляризации 172, 236

Временная инвариантность 95

Время релаксации импульса 38

энергии 38

—свободного пробега 37, 41

зависимость от энергии 42

характерное 49

Вырождение, обусловленное симметрией 194

Вырождения концентрация 19

—температура 22

Герлаха теория 135, 136

Глубина проникновения 128, 138, 229

лондоновская 142

Градиент концентрации 85

— температуры 85

Дальнодействия теория 109, 140

Двулучепреломление (дихроизм) 182

—вращательное 235

—линейное 182, 235

Деполяризующее поле 30

Дефект нейтральный 53

Джоулево тепло 39, 44, 97, 238

Диффузии коэффициент 90

Диэлектрик 12

Диэлектрическая проницаемость 29, 37

относительная 29

статическая 204

—функция комплексная 96

проводящих кристаллов 98

в магнитном поле 148

области высоких частот 100

низких частот 99

Длина свободного пробега 42, 51

при наличии градиентов температуры и концентрации 85

—экранирования 59

——Дебая — Хюккеля 59, 106

Томаса — Ферми 59, 107

Доноры 20, 55

Дрейфовый путь 37, 42

Друде — Лоренца модель 36, 85, 146

Друде поглощение 129

Дырка 16, 64

Запаздывание 109, 197

Зеебека постоянная 87

—эффект 86

Зигети заряд 204

Излучение индуцированное 131

Излучения спектры 127

Импульсное пространство 17

Интерференция 244

—для плоскопараллельной пластины

244

Керра эффект 172

магнитооптический 172

при высоких частотах 177

Кирхгофа закон 127

Клаузиуса — Моссотти формула 24, 29, 31

Коллектор солнечного света 126

Комбинация процессов рассеяния 61

Концентрация дырок 19

—электронов 19

Конуэлл ——Вайскопфа рассеяние 55

Коттона — Мутона эффект 182

Крамерса — Кронига соотношения 122

Кристаллы ионные 13

—молекулярные 13, 14

Ландау квантование 70

—орбита 68, 159, 166, 187

время жизни электрона 70

радиус 68, 166

—уровень 69

Ледюка — Риги эффект 90

Лиддана — Сакса — Теллера соотношение 204

Логарифмический декремент затухания 242

Локальное поле 29

Лондонов уравнения 142, 143

Лоренца сила 36, 67, 71, 89, 146, 153

—число 89

Магнетосопротивление 80, 82, 83, 148, 155

Магнитные волновые поля 233

Магнитоплазменные эффекты 146, 188

Магнито-плазмон-фонон-поляритоны 216

Магнитопроводимость 146

—динамический тензор 146, 147

Максвелла — Больцмана приближение 20, 21, 43

Максвелла уравнения 96, 109, 218

Матеральные уравнения 29, 96, 111, 218

линейные 29

Маттиссена правило 61, 135

Мейснера эффект 142

Металлы 15, 121

—блеск 121

—тонкие слои 128

—ультрафиолетовая прозрачность 122

—щелочные 123, 124

Многократные отражения 245

Направление вращения 222

Натриевая лампа 124, 125

Нернста постоянная 89

—эффект 89

Носители заряда 20

концентрация 20

неосновные 21

основные 21

равновесные 41

средняя скорость 21

Ламберта — Бера закон 241

Ома закон 40

——отклонения 46

Оптические ветви 194

—фононы 193

полярные 198

—характеристики 224

Остаточного излучения край 214

Отклик 24, 40, 109

—линейный 24, 94

Относительная координата 194

Отражение в случае плоскопараллельной пластины 242

— от полупространства 226

немагнитного 230

—полное 154, 229

Отражения исчезновение 229

—коэффициент 227, 240

Отраженной волны интенсивность 240

Параболическое приближение 16

Пельтье постоянная 88

—эффект 87

Плазменные колебания 103

Плазменный край 119

—резонанс 109, 119

частота 103, 119

Плазмон-фонон-поляритоны 212

Планка — Бозе — Эйнштейна функция 53

X/4-пластинка 164

Плоскопараллельная пластина 232, 233

в вакууме 243, 246

оптические свойства 232, 233

тонкая 246

Плотность состояний 17

эффективная 19

Поглотители 128

Поглощение межзонное 114

—фундаментальное 114

Поглощения коэффициент 129, 241

Подвижность 40, 42

Пойнтинга вектор 238, 239

Показатель преломления 219

комплексный 114, 219

Полуметаллы 15, 32, 205

Полупроводники 12, 32, 33, 205

— полярные 212

Поляризационная катастрофа 24, 31

Поляризация 28, 207

—динамическая решеточная 195, 198

—собственная 29, 31

—электрическая 198

Поляризуемость 24

—атомная 24, 25

—динамическая 26

—конденсированного вещества 28

Поляритоны 109, 111, 198, 216

—время жизни 209

—поперечные 198

—продольные 198

Полярон 217

Последействия локальная теория 109

Поток тепла 88

Предел высокой плотности 108

Приведенная масса 194

Примесный атом 56

Проводимости зона 13

Проводимость 40

—динамическая 92, 147

измерение 132

при высоких частотах 134

—— дырочная 16, 19

—несобственная 19

—примесная 19, 20, 82

—смешанная 82

—собственная 19, 20, 81

—статическая 39, 128

в магнитном поле 67

—м-типа 20

—р-типа 20

Проводников свойства магнитооптические 146 оптические 115

Прохождения коэффициент 227

Пуассона уравнение 104, 105

Равновесных носителей лриближение 41, 44

Размытие частоты 209

Рассеивающие центры 51

Рассеяние волн в кристаллах 49

—горячих электронов 60

—ионное 44, 45

—Конуэлл — Вайскопфа 55

—на заряженных примесях 55

нейтральных дефектах 53

поверхностях 129

фононах 53

—резерфордовское 56

—упругое 46

Рассеяния сечение 51

полное 61

LO — ТО-расщепление 204

Релаксации время магнитное 74

Решетка простая 191

—сложная 192

Решетки искажение 207

—колебания акустические 191, 192

длинноволновые 191

оптические 193

полярные 196

смягчение поперечной моды 205

Рэлея резонансы 186

Сверхпроводник 102, 142

Свет с круговой поляризацией 164

распространение 172

Связывающие орбитали 15

Скин-эффект 138

—аномальный 139, 140

—в металлах 138

сверхпроводниках 142

Скорость групповая 192

—дрейфовая 37, 40, 77, 147

—звуковая 65, 191

—средняя носителей заряда 21

—фазовая 110

—электронов 21, 22

Слоистые структуры 15

Смещение положения узлов поля 250

Смягчение моды 205

Собственные колебания 194, 221, 222

Собственный вектор 198

Сопротивление волновое 224

вакуума 224

относительное 224

—динамическое удельное 95

—остаточное 53, 62

—удельное 40

Спектроскопические параметры 78

Спектроскопия дисперсионная (ДС)

158

—магнитная (МС) 158

Столкновения случайные 39

Сферическая упаковка 16

Фабри — Перо резонансы 118, 186, 244

Фарадея конфигурация 149, 160

при высоких частотах 174

низких частотах 179

Ферми волновое число 16

—статистика 17, 43

—энергия 19

Фермион 17

Фика закон 91

Фойхта конфигурация 149, 164

продольная компонента 155

—эффект 155, 180

Фононоподобные моды 209

Фонон-поляритоны 199, 209

—затухающие 209

— Хуанга — Зигети уравнение 200

Фононы оптические 193, 194, 207

полярные 196, 207

— поперечные 195

—продольные 195

Фотопроводимость 14

Фотоэффект внутренний 14

Фурье-спектроскопия асимметричная

122

Хагена — Рубенса предел 126, 141

Холла поле 75

измерение 77

—постоянная 77

—угол 76

—эффект 74

динамический 148, 175

при примесной проводимости 79

собственной проводимости 81

Тепловые зеркала прозрачные 124

Теплопроводность 88

Термомагнитные эффекты 89

Термонапряжение дифференциальное 86

Термо-э. д. с. дифференциальная 86

Термоэлектрические эффекты 86, 89, 90

Ток амбиполярный 79

—монополярный 79

Тока ограничение 39

—плотность 40

Томсона модель атома 25

Тонкие пленки 246

в случае сильного взаимодействия с электрическим полем 246

Цепочки 15

Циклоида 71

Циклотронное движение 67

Циклотронно-резонансная активная

мода (ЦРА) 152, 155

—неактивная мода (ЦРН) 152, 155

Циклотронный резонанс 151, 158

——при высоких концентрациях 165

малой концентрации 160,164

структура 159

частота 67

эффекты 158

Эйнштейна соотношение 91

Экранирование 6, 59, 103

Электрическая индукция 29

Электронная оболочка 25, 26

Электронные состояния 17

Электронный газ вырожденный 22,

41

невырожденный 41

Электрон-фононное взаимодействие

191

Электроны 12

—валентные 12, 32, 35、

—глубинные 25

—горячие 45

—квазисвободные 64

—концентрация 19

—магнитный момент 69

— проводимости 129

—разогрев 73

—свободные 24, 31

в переменном электрическом поле 92

скрещенных полях 70

—связанные 40

—спин 69

—теплые 45, 46

—энергия кинетическая 41

Элементарная ячейка 206

Эллипсометрия 122

Эллиптичность 172, 236

Энергетические зоны 12

—уровни 12

—щели 13

Энергии диссипация 44

—релаксация 38

время 38

Эттингаузена эффект 90

Эффективная масса 16, 64

отрицательная 16

Эффективный заряд полярных колебаний решетки 198

Юкавы потенциал 106

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода 5

Предисловие 7

Введение 9

Диэлектрики, полупроводники, металлы 12

Диэлектрик — полупроводник — металл12

Концепция эффективной массы и дырочной проводимости . . . 16

Плотность электронных состояний и их заполнение17

Количественное сравнение полупроводников и металлов . ... 20

Задачи22

Поляризуемость отдельного атома и образование свободных электронов при конденсации в твердое тело .24

Атомная поляризуемость

Модель атома Томсона

Динамическая поляризуемость

Поляризуемость конденсированного вещества

Собственная поляризация и электронные свойства

Вклад валентных электронов в диэлектрическую восприимчивость Задачи

4・ Модель Друде — Лоренца 36

Силы, действующие на электрон36

Релаксация импульса и энергии38

3939Статическая проводимость В = 0

39

39

Ограничение величины тока за счет столкновений

Закон Ома

Время свободного пробега и кинетическая энергия электронов

Диссипация энергии и джоулево тепло

Горячие электроны

Отклонения от закона Ома

6・ Характерное время столкновений 49

Рассеяниеволн в кристаллах49

Сечение рассеяния и длинасвободного пробега 51

Рассеяниена нейтральныхдефектах53

Рассеяниена фононах53

Рассеяние на заряженных примесях (ионное рассеяние, рассеяние Конуэлл — Вайскопфа) . . 55

Рассеяние горячих электронов60

Комбинация процессов рассеяния61

Одновременный учет вкладов от различных носителей заряда . 64

Задачи65

Статическая проводимость в магнитномполе. 67

Циклотронное движение67

Свободный электрон в скрещенных постоянных электрическом и магнитном полях70

Эффект Холла74

Магнетосопротивление82

Задачи84

Токи и поля, возникающие при градиентах температуры и концентрации 85

Длина свободного пробега при наличии градиентов температуры

и концентрации85

Термоэлектрическиеэффекты86

Термомагнитные эффекты,эффект Нернста89

Диффузионные токи90

Задачи91

Динамическая проводимость .92

Свободные электроны в переменном электрическом поле . ... 92

Диэлектрическая функцияпроводящих кристаллов98

Плазменный резонанс 102

Экранирование кулоновскихполей103

Задачи108

Распространение электромагнитных волн в конденсированной среде 109

Дальнодействие и уравнения Максвелла,поляритоны . . . . 109

Волновое уравнение дляэлектромагнитныхполей111

Продольные волны112

Поперечные волны113

Комплексный показательпреломления114

Оптические свойства проводников 118

Общие оптические свойстваполупроводникаИЗ

Плазменный край119

Предел Хагена — Рубенса126

Поглощение Друде в проводниках129

Поглощение и динамическая проводимость при различных про

цессах рассеяния132

Скин-эффект138

Задачи145

Магнитооптические свойства проводников146

Динамический тензор магнитопроводимости146

Диэлектрическая функция проводящих кристаллов в магнитном поле148

Распространение электромагнитных волн в присутствии статического магнитного поля149

58677280838890 1* 1* 1* 1* 1* 1* и58677280838890 1* 1* 1* 1* 1* 1* иЦиклотронный резонанс

58677280838890 1* 1* 1* 1* 1* 1* и

58677280838890 1* 1* 1* 1* 1* 1* и

Модельные примеры магнитооптических спектров •

Эффекты Фарадея и Керра

Эффект Фойхта

Геликоидальные волны

Магнитоплазменные эффекты. Альфвеновские волны Задачи

Электрон-фононноевзаимодействие .191

Длинноволновые колебания решетки191

Оптические фононы193

Фонон-поляритоны 199

Плазмон-фонон-поляритоны211

Задачи 217

Приложение. Распространение электромагнитных волн в конденсированной

среде 218

П. 1.Уравнения Максвелла и распространениеэлектромагнитных

волн218

П 2.Примеры электрических волн220

П. 3.Магнитные волновые поля223

П. 4. Граничные условия для электромагнитных волновых полей на границе раздела двух полупространств225

П. 5.Отражение от полупространства226

П. 6.Оптические свойства плоскопараллельнойпластины....232

П.7. Распространение волн различной поляризации в анизотропных средах234

П.8. Плотность энергии и мощности потерь электромагнитного волнового поля238

П. 9. Отражение и прохождение волн в случае плоскопараллельной пластины242

П. 10. Стоячая волнаприотражении от полупространства .... 248

Задачи250

Литература252

Обозначения255

Именной указатель261

Указатель химических соединений262

Предметный указатель263

Петер Гроссе

Свободные электроны в твердых телах

Научн. редактор В. И. Самсонова Мл. научн. редактор В. Н. Цлаф Художник П. В. Высоцкий Художественный редактор Л. Е. Везрученков Технический редактор Н. И. Борисова Корректор С. А. Денисова

ИБ № 2741

Сдано в набор 30.12.81.

Поцписано к печати 04.08.82.

Формат 60Х90%б.

Бумага типографская № 2.

Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 8,50 бум. л.

Усл. печ. л. 17,00. Усл. кр.-отт. 17,00.

Уч.-изд. л. 14,42. Изд. № 2/1334.

Тираж 6000 экз. Зак. 56. Цена 2 руб.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР> 129820, Москва, И-110, ГСП I-Рижский пер., 2.

Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.

1) Это рассмотрение не вполне корректно, поскольку состояния распре

делены по всей ширине энергетической зоны. Более точные оценки для опре

I) Ри、\нкн бы ги любезно предоставлены мне проф. Кауэром, Аахен.

I) Границы нормального скин-эффекта (близкодействия) для металлов можно установить из неравенства | 6 | > | /1 или (1 +(о2т2)3/7®т > (/о/6о)2>

Видно, нто при /о V 6о ~ 10-5 аномальный слин-эффект вообще отсутствует. При /о > до он имеет место в ограниченном с двух сторон частотном интервале. —Прим. род.

I) Очень подробно различные магнитооптические эффекты для свободных

носителей рассмотрены Паликом и Фурдиной [12.1].

I) Мы рассматриваем электрон как классическую частицу. Поэтому здесь нет индексов, соответствующих квантовому орбитальному моменту! (ср. [7.7]).

1) См. также [12.1]. Там приведены диаграммы распространения для полупроводников со сложной структурой и других магнитооптических кон

1) В исследуемых при лабораторных условиях образцах металлов длина

Дисперсию ЦРА-моды при очент> низких частотах мы получаем, если пренебречь в (12.76) членами порядка со3 и ш2:

(12.79)

Это выражение не зависит от ег. При низких частотах(о 〜й2. Это означает, что фазовая скорость

(12.80)

линейна по 抬 тем самым она может быть как угодно мала, даже сравнима со скоростью звука. Поэтому в указанной об-

пгроссЕ Свободныеэлектроныв твердыхтелах

Перевод с немецкогоканд. физ.-мат. наук Н. Н. Кировойпод редакциейд-ра физ.-мат. наук проф. М. И. Каганова

МОСКВА«МНР》1982

P. GROSSE

FreieElektronenin Festkorpern

SPRINGER-VERLAG

BERLIN, HEIDELBERG, NEW YORK 1979

УДК 539.2

Гроссе П.

Свободные электроны в твердых телах: Пер. с нем. — Мл Мир, 1982. — 270 с., ил.

В книге известного западногерманского ученого и педагога П. Гроссе на основе простейшей качественной модели Друде-Лоренца единым образом рассмотрены такие явления, как проводимость, поглощение света, диффузия, эффекты Холла, Фарадея, геликоидальные волны и т. д.

Простота и наглядность изложения, большое число рисунков, таблиц, примеров, относящихся к реальным проводникам, а не выдуманным для удобства расчета модельным объектам делают книгу весьма полезной как для физиков и инженеров, так и для преподавателей и студентов физических, радиофизических и физико-технических факультетов при изучении курса физики твердого тела.

Редакция литературы по физике

© by Springer — Verlag Berlin Heidelberg 1979

Printed in Germany All Rights Reserved Authorized translation from

1704060000—063Г ~041(01)—821704060000—063Г ~041(01)—8254-82, ч. 154-82, ч. 1German language edition publihed by Springer — VerlagBerlin — Heidelberg —»

1704060000—063

Г ~041(01)—82

1704060000—063

Г ~041(01)—82

54-82, ч. 1

54-82, ч. 1

New York

© Перевод на русский язык, «Мир>, 1982