ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

При широко распространенном у нас знании английского языка издание перевода новой книги всегда вызывает несколько вопросов: достойна ли внимания рассматриваемая в книге проблема, достаточно ли полно и всесторонне она освещена авторами и, наконец, найдется ли читатель, для которого книга предназначена.

В данном случае на все три вопроса следует ответить положительно. Попытаемся обосновать это.

В предлагаемой монографии рассматриваются свойства так называемого двумерного электронного газа, т.е. такой системы электронов, в которой движение частиц по одному из направлений в пространстве ограничено при выполнении условия d < X (d — характерный размер по этому направлению, X — дебройлевская длина волны электрона). При достаточно низкой температуре у частиц сохраняются лишь две поступательные степени свободы, и это приводит к ряду принципиальных физических следствий. По существу проблема двумерной электронной проводимости чрезвычайно проста и сводится к известной квантовомеханической задаче о движении частицы в одномерной потенциальной яме; в этом аспекте она рассматривалась еще в первых учебниках квантовой механики [7]. Приложение этой задачи к физике твердого тела, было, по-видимому, впервые осуществлено Фрелихом в 1937 г. в статье, посвященной теплоемкости мелких металлических частиц [2]. Это первое исследование не было, однако, продолжено, и историю изучения двумерного электронного газа отсчитывают обычно от фундаментальных работ И. М. Лифшица, А. М. Косевича и М. И. Каганова, выполненных в начале 50-х годов [5—6]; в то время исследования были ограничены лишь теоретическим анализом применительно к тонким металлическим пленкам.

В ранних экспериментальных работах [7—9] существование двумерной проводимости вблизи поверхности полупроводников предполагалось, но не было доказано.

Можно, по-видимому, считать, что систематические исследования двумерного электронного газа (или квантовых размерных эффектов) начались в 1966 г., когда почти одновременно были опубликованы статьи двух групп авторов — М. И. Елинсона, Д. Н. Корнеева, В. Н. Луцкого и Ю. Ф. Огрина [70, 77] (ИРЭ АН СССР) и американских ученых А. Фаулера, Ф. Фэнга, У. Говарда, П. Стайлса (фирма IBM) [12]. В работах советских авторов исследованы явления переноса в тонких пленках висмута в зависимости от толщины пленок и из осциллирующего характера зависимостей сделан вывод о квантовании движения электронов в направлении, перпендикулярном плоскости пленки. Американские физики сделали вывод о двумерном характере проводимости в инверсионном канале кремниевых МДП-транзисторов из анализа наблюдений эффекта Шубникова — де Гааза. В работах обеих групп было однозначно доказано существование двумерного электронного газа в различных объектах. Несколько

позже были обнаружены и исследованы иные двумерные структуры, например электронный газ над поверхностью жидкого гелия [73}, электроны на границе зёрен в германиевом бикристалле [74], на поверхности германия, полученной путем скалывания в жидком гелии [75], на границах раздела гетеропереходов с модулированным легированием [76] и другие. Однако наиболее популярным объектом исследования оказались полупроводниковые МДП-структуры, особенно кремниевые, поскольку в них — в отличие от других двумерных систем — легко управлять концентрацией носителей заряда в двумерном канале. Именно о кремниевых МДП- структурах наиболее подробно рассказано в данной монографии.

В последние годы интерес к исследованиям явлений переноса в электронных системах с пониженной размерностью (т.е. в двумерном и одномерном [77] электронном газе) необычайно возрос. Это обусловлено редким стечением нескольких обстоятельств.

Во-первых, необходимость более детального изучения и более глубокого понимания физических явлений, происходящих на поверхности и в приповерхностных слоях различных веществ, возникла в связи с созданием больших И сверхбольших интегральных схем, приборов с переносом заряда и других структур с большой плотностью компоновки элементов. Основные рабочие характеристики этих микроэлектронных приборов — быстродействие, надежность, потребление энергии на одно переключение — определяются именно процессами переноса вблизи поверхности, так что дальнейший прогресс микроэлектроники в значительной мере обусловлен развитием физических представлений о свойствах электронного газа с пониженной размерностью.

Второе немаловажное обстоятельство состоит в том, что развитие прецизионных способов (таких, как молекулярно-лучевая эпитаксия, электронно-лучевая литография и другие) реализации различных микроэлектронных систем сделало возможным изготовление с недоступной ранее точностью тонкопленочных структур типа металл—диэлектрик—полупроводник, различного рода гетеропереходов, сверхрешеток и других контактов, на которых разыгрываются явления двумерной проводимости; появилась возможность создавать специальные тестовые структуры, эти структуры сделались доступными для исследовательских лабораторий, что в свою очередь привело к получению новых, зачастую неожиданных физических результатов.

К числу таких новых физических результатов, которые вызвали особенно большой интерес, относятся явления слабой и андерсоновской локализации электронов, проявляющиеся в особенностях перехода Мотта [7S] и в отрицательном магнитосопротивлении [79], а также квантование холловской проводимости, обнаруженное на структурах с высокой подвижностью электронов в двумерном канале в экстремальных условиях эксперимента — при низких температурах и в сильных магнитных полях [20, 27]. Последнее явление, как теперь стало понятно, имеет фундаментальный характер и затрагивает глубинные основы физики.

Наконец, третье и, может быть, главное обстоятельство, привлекшее внимание к двумерным электронным системам, — это перспективность практического применения ряда новых явлений, в частности высокой подвижности в гетеропереходах с модулированным легированием [76] для создания сверхбыстродействующих полевых транзисторов, используемых в системах обработки больших объемов информации [22], а также квантования холловской проводимости для создания воспроизводимого эталона единицы сопротивления [23] и более точного определения постоянной тонкой структуры а [24].

Из сказанного следует, что отличительной чертой физики двумерных систем является, с одной стороны, наличие ряда принципиальных проблем, имеющих фундаментальное физическое значение, и, с другой стороны, возможности непосредственного практического выхода, например, в ряде задач метрологии и при создании приборов микроэлектроники. Следова-

тельно, проблема физики двумерного газа является одной из актуальных современных проблем, и издание посвященной ей книги, несомненно, целесообразно.

Предлагаемая читателям монография — первая в мировой литературе целиком посвященная проблемам физики двумерного злектроииого газа. Она представляет собой перевод большого обзора, опубликованного в апреле 1982 г. в журнале «Reviews of Modern Physics» (т. 54, № 2) Американского физического общества. Обзор этот подготовлен известными учеными, давно и активно работающими в данной области физики, — профессорами Т. Андо (Университет Цукуба, Япония), А. Фаулером и Ф. Стериом (фирма IBM, США). В обзоре впервые дается описание с единой точки зрения физических явлений в различных двумерных системах: поверхностных каналах структур типа металл—диэлектрик—полупроводник, гетеропереходах с модулированным легированием, системах электронов над поверхностью жидкого гелия и некоторых других. Авторы включили в обзор наиболее важные и интересные результаты, касающиеся электронных явлений вблизи поверхности и границ раздела конденсированных сред, полученные во всем мире к концу 1981 г. Список литературы содержит более 2000 названий и охватывает почти все аспекты физики двумерных систем. Многие теоретические и экспериментальные результаты получены авторами монографии, так что информация поступает к читателю из первых рук — от ведущих специалистов в этой области.

Итак, важная и актуальная проблема рассмотрена в книге с достаточной полнотой и освещена физически ясно, четко. Авторы выявляют те аспекты проблемы, которые пока еще не нашли удовлетворительного решения, и привлекают к ним внимание читателей.

Монография представляет интерес для широкого круга научных работников, аспирантов й студентов, специализирующихся в области физики поверхности твердого тела, физики полупроводников, полупроводниковой электроники и метрологии.

Структура книги такова, что ее можно использовать и как справочное пособие по физике двумерного электронного газа, что позволяет рекомендовать ее также инженерам, разрабатывающим современные микроэлектронные приборы, свойства которых существенно зависят от процессов переноса электронов вблизи поверхности: большие интегральные схемы, приборы с переносом заряда, различные другие устройства с МДП-структурами и гетеропереходами.

Перевод 1—3 гл. выполнил О. И. Лойко (ФИАН СССР, Москва), 4—9 гл. — А. Я. Шик (ФТИ АН СССР, Ленинград).

Дополнения и примечания *\ сделанные редактором и переводчиками, учитывают достижения последнего времени в изучении электронных свойств двумерных систем, такие, как наблюдение квантового эффекта Холла, попытки его интерпретации и некоторые аспекты его практического применения, исследование явлений переноса в гетеропереходах с модулированным легированием и несколько других проблем. Мы постарались также исправить опечатки и погрешности, замеченные нами в английском тексте обзора. Надеемся, что монография представит интерес для советских читателей и будет способствовать дальнейшему развитию этой актуальной области физики и электроники.

Ю. В. Шмарцев

° Ссылки иа работы, цитированные а примечаниях реяаггоре а иереводамкон (номера вьимяены

■сурсивом) приведены отдельным списком а конце tairi,}

ЛИТЕРАТУРА

Френкель Я. И. Волновая механика. Ч. I. — М.-Л.: Гостехтеориздат, 1934, с. 81

Frohlich Н. Die Spezifische Warme Kleiner Metallteilchen. — Physica, 1937, bd. 4, № 5, ss. 406—412.

Лифшиц И. M., Косевич А. М. К теории магнитной восприимчивости тонких слоев металлов при

низких температурах. — ДАН СССР, 1953, т. 91, № 4, с. 795—798.

Косевич А. М., Лифшиц И. М. Эффект де Гааза — ван Альфена в тонких слоях металлов.— ЖЭТФ, 1955. т. 29, вып. 6 (12), с. 743—747.

Лифшиц И. М., Косевич А. М. Об осцилляциях термодинамических величин для вырожденного ферми-газа при низких температурах. — Изв. АН СССР (серия физическая), 1955, т. 19, № 4, с. 395—403.

Лифшиц И. М., Каганов М. И. Некоторые вопросы электронной теории металлов. II. Статистическая механика и термодинамика электронов в металлах. — УФН, 1962, т. 72, вып. 3, с. 411—461.

Kobayashi A. et al. Impurity Conduction of Cleaned Germanium Surfaces at Low Temperatures. — J. Phys. Chern. Soc., 1960, v. 14, pp. 37—42.

Murphy N. S. J. Surface Mobility of Holes in Thermally Oxidized Silicon Measured by the Field Effect and the Hall Effect. — Surf. ScL, 1964, v. 2, pp. 86—92.

Handler P., Eisenhour S. Transport Properties of Light and Heavy Holes in the Space Charge Region of a Clean and Water Covered (111) Germanium Surfaces. — Surf. Sci., 1964, v. 2, pp. 64—74.

Огрин Ю. Ф., Луцкий В. H., Елинсон М. И. О наблюдении квантовых размерных эффектов в тонких пленках висмута. — Письма в .ЖЭТФ, 1966, т. 3, вып. 3, с. 114—118.

Луцкий В. Н., Корнеев Д. Н., Елинсон М. И. О наблюдении квантовых размерных эффектов в пленках висмута методом туннельной спектроскопии. — Письма в ЖЭТФ, 1966, т. 4, вып. 7, с. 267—270.

Fowler A., Fang Е, Howard W., Stiles P. Magneto-Oscillatory Conductance in Silicon Surfaces. — Phys. Rev. Lett., 1966, v. 16, № 20, pp. 901—903.

Эдельман В. С. Левитирующие электроны. — УФН, 1980, т. 130, вып. 4, с. 675—706.

Вул Б. М., Заварицкая Э. И. Осцилляции Шубникова — де Гааза в плоскости спайности бикристалла германия. — Письма в ЖЭТФ, 1978, т. 2 7, вып. 10, с. 5 80—583.

Вул Б. М., Заварицкая Э. И., Сокол Е. Г. Электронные явления на поверхности скола германия в жидком гелии. — ЖЭТФ, 1981, т. 80, вып. 4, с. 1639—1644.

Кальфа А. А., Тагер А. С. Гетероструктуры с селективным легированием и их применение в полевых транзисторах СВЧ. — Электронная техника (серия «Электроника СВЧ»), 1982, вып. 12 (348), с. 26—38.

Fowler А. В., HartsteinA., Webb R. A. Transition from 1-Dimensional to 2-Dimensional Hopping Conductivity in Silicon Accumulation Layers, Proc. 16th Intern. Conf. Semicond. Phys./Ed. by M. Aver- ous. — Physica, 1983, 117 B, 118 B, pp. 661—666.

Вул Б. M., Заварицкая Э. И., Заварицкий В- Н. Локализация электронов на поверхности скола германия в жидком гелии. — Письма в ЖЭТФ, 1981, т. 34, вып. 6, с. 371—774.

Зинчик Ю. С., Козырев С. В., Полянская Т. А. Отрицательное магнитосопротивление в двумерном электронном газе. — Письма в ЖЭТФ, 1981, т. 33, вып. 5, с. 278—281.

von Klitzing К., Dorda G., Pepper M. New Method for High-Accuracy Determination of the Fine- Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance. — Phys. Rev. Lett., 1980, v. 45, № 5, pp. 494-497.

Ebert G. et al. Magneto-Quantum Transport on GaAs—Al^Ga, _xAs Heterostructures at Very Low Temperatures. — Solid-State Comm., 1982, v. 44, pp. 95—97.

Волков В. А., Гродненский И. M. Двумерный электронный газ в гетеропереходе. Свойства и применение. — Микроэлектроника 11, 1982, вып. 3, с. 195—207.

Blick L. et al. Measurement of the Quantizied Hall Resistance h/T^ with a Reproducibility of 10“8 and Its Application for Novel Determination of the Ohm. — PTB Mitteilungen, 1983, bd. 93, № 1, ss. 21—28.

von Klitzing K. The Fine-Structure Constant. A Contribution of Semiconductor Physics to the Determination of a. — Festkdrperprobleme, 1981, bd. 21, ss. 1—23.

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ

Данная книга представляет собой обзор электронных свойств слоев пространственного заряда в полупроводниках; другие, так называемые динамически двумерные, системы рассматриваются менее подробно. Динамически двумерной мы называем систему электронов или дырок, движение которых свободно только в двух пространственных измерениях, а их движению в третьем измерении соответствует дискретный энергетический спектр. Таким об- разом, лишь две из трех компонент волнового вектора представляют собой хорошие квантовые числа. Следует подчеркнуть, что эти системы ие являются двумерными в прямом смысле, поскольку и волновые функции носителей зависят от трех координат, и электромагнитные поля распространяются в трехмерном пространстве. Поэтому, прежде чем сравнивать с экспериментальными данными предсказания теории, справедливые для идеально двумерных систем, их следует соответствующим образом видоизменить.

Мы будем обсуждать главным образом свойства таких систем, параметрами которых можно легко управлять, обычно изменяя напряженность приложенного к образцу электрического поля. Подобные системы образуются в объектах, которые в широком смысле слова можно назвать гетероструктурами. Наиболее известные примеры — это носители, заключенные в области вблизи гоаниц раздела различных полупроводников, полупроводника и диэлектрика, жидкого гелия и вакуума. В большинстве этих систем возможно контролируемое изменение концентрации носителей, что позволяет, исследуя один образец, получить большое количество экспериментальных данных. Все образцы имеют по крайней мере одну границу раздела, толщина которой не превышает 10 А. Некоторые из этих систем обсуждаются в гл. 8.

Двумерный характер проявляют и многие другие исследуемые системы, в том числе слоистые соединения, интеркалированный графит и тонкие пленки; очень кратко они рассмотрены также в гл. 8

Ниже приводится список обозначений и вводятся некоторые основные термины и представления, которые служат основой более подробного обсуждения электронных свойств двумерных систем в последующих главах.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

Двумерные векторы обычно обозначаются здесь буквами прямого полужирного шрифта. Если в тексте встречаются одновременно и двумерный вектор, и трехмерный, то двумерный вектор обозначается строчной буквой, а трехмерный — прописной, например к = (* У и К = (к, к^. Ниже приведены обозначения, наиболее часто встречающиеся в тексте.

Сдиэл ~ емкость слоя диэлектрика на единицу площади

^диэл — толщина диэлектрика

£>(£)— плотность состояний;

е—величина электрического заряда

Е—энергия; электрическое поле

EF—энергия Ферми

Еп—энергия дна л-й подзоны

En — энергия У-го уровня Ландау, равная ^У + ^ ^Йшс

Е F F

Г — электрическое поле; огибающая волновая функция

/(£)—функция распределения Ферми

8—g-фактор, (гиромагнитный) множитель Ланде

gs— кратность спинового вырождения

g„— кратность долинного вырождения

Н— напряженность магнитного поля

/—плотность поверхностного тока

кв— постоянная Больцмана

kF— волновой вектор Ферми

/— средняя длина свободного пробега; радиус циклотронной орбиты основ

ного состояния (радиус N-й циклотронной орбиты равен (2У + 1)У1/)

т— эффективная масса

т0— масса свободного электрона

т,— продольная эффективная массавобъемеполупроводника

т,— поперечная эффективная массавобъемеполупроводника

тг— эффективная масса для движения перпендикулярно границе раздела

т*— перенормированная масса, т.е. масса, вычисленная с учетом многочастич

ных взаимодействий

N — номер уровня Ландау (нижнему уровню соответствует N = 0)

NA — концентрация акцепторов в объеме полупроводника

Nd — концентрация доноров в объеме полупроводника

Уобедн—плотностьнеподвижного пространственного заряда в обедненномслое

Уок—плотностьзаряда на единицу площади в окисле, ие зависящая отКс;

предполагается, что заряд расположен на границе раздела Si — SiO2

Ns—плотностьзаряда в инверсионном или обогащенном слое

У„—плотностьбыстрых поверхностных состояний на единицу площади

—плотностьзаряда на единицу площади

бок^Уок

qs, qs — эффективный параметр экранирования

О»~eNss

К—сопротивление

Rh—постоянная Холла

Т—температура

VG—напряжение на затворе

^подл—напряжение на подложке

VT—пороговое напряжение на затворе

X—х-координата центра циклотронной орбиты

—расстояние от границы раздела

zcp — среднее удаление электронов от границы раздела

д

— толщина обедненного слоя

или гпп — среднее удаление электронов в л-подзоне от границы раздела

— среднеквадратичное значение высоты шероховатости границы раздела; спин-орбитальное расщепление; энергетическая щель в спектре элементарных возбуждений

е

— энергия

— огиоающая волновая функция электрона в «-подзоне в направлении, п пендикулярном границе раздела

л ^£циэл 5пп X

и #*В ^эфф ^FE

Р а ^min 7 Ф Ф$ Ш шс ШР

— корреляционная длина

— статическая диэлектрическая проницаемость диэлектрика

— статическая диэлектрическая проницаемость полупроводника

— арифметическое среднее значений лпп и хдиэл

— подвижность; химический потенциал

— магнетон Бора

— эффективная подвижность

— подвижность эффекта поля

— холловская подвижность

— удельное сопротивление; плотность вещества; плотность заряда

— проводимость; спиновый индекс

'' — минимальная металлическая проводимость

— время релаксации

— электростатический потенциал; фононное поле; азимутальный угол

— поверхностный потенциал

— угловая частота

— циклотронная частота

— плазменная частота

ЭФФЕКТ ПОЛЯ

Влияние изменения условий на поверхности иа проводимость полупроводников изучается давно. В экспериментах, которые обычно называют исследованиями эффекта поля, изменяется напряженность электрического поля, приложенного перпендикулярна» поверхности полупроводника. Один из способов изменения условий иа поверхности, а следовательно, и напряженности электрйческого поля на поверхности полупроводника заключается в управлении его газовым окружением. Известным примером является исследованное Браттейном и Бардином [210] влияние циклического изменения атмосферы, в которой находился образец германия, на поверхностный потенциал (разность потенциалов иа поверхности и в объеме): сначала поверхность образца подвергалась воздействию сухого кислорода, затем влажного кислорода или азота и снова сухого кислорода. Изменение газового окружения использовалось также для управления поверхностным зарядом в ZnO (см., например, обзор [1159]). Эффект поля, обусловленный изменением окружающей полупроводник газовой среды, лежит в основе действия чувствительных к газовому окружению приборов (см., например, работу [2012] и первый том нового журнала “Sensors and Actuators”). Недостаток ранних исследований эффекта поля заключался в том, что в экспериментах измерялась проводимость всего образца, а эффекты, связанные с существованием поверхности, оценивалась по зависимости проводимости от меняющегося газового окружения.

Вместе с экспериментальными исследованиями эффекта поля развивались и совершенствовались теории, объяснявшие зависимости подвижности носителей в приповерхностной об-

ласти от условий на поверхности. Большинство ранних работ основывалось на феноменологическом представлении о диффузном и зеркальном отражении носителей от поверхности, впервые использованном при изучении явлений переноса в металлических пленках [583].

Основные результаты исследований поверхности полупроводников, полученные к 1965 г., отражены в монографиях Фрэнкла [570] и Мэни, Голдстейна и Гровера [1160] и служат фундаментом тех квантовых моделей, которые будут рассмотрены ниже. Обзор классической теории явлений переноса в приповерхностной области полупроводника сделан Грином [660, 661, 663].

ПРИБОРЫ

В дальнейшем основное внимание будет уделено частному случаю гетероперехода полупроводник—диэлектрик — структуре металл—диэлектрик—полупроводник (МДП) или, более конкретно, структуре металл—окисел—полупроводник (МОП). Большинство исследований двумерных систем в МДП-структурах выполнено на технологически совершенных структурах металл—двуокись кремния—кремний, хотя возрастает и число работ, посвященных изучению свойств МДП-структур на основе других, главным образом сложных, полупроводников. Первый действующий кремниевый полевой транзистор, или МДП- транзистор, был описан в 1960 г*\ и стал с 1970 г. использоваться в усилительных и коммутирующих элементах интегральных схем (см., например, обзоры [680, 1734, 1319]). Он представляет собой плоский конденсатор; изменяя напряжение на одной из его обкладок, металлическом электроде, можно тем самым управлять проводимостью полупроводника — другой его обкладки. В настоящее время полевой транзистор является одним из основных элементов запоминающих и логических схем, используемых в вычислительных машинах. Первое предложение (патенты Лилиенфилда и Хейла) относится к 1930 г. В 1948 г. Шокли и Пирсон исследовали свойства МДП-структуры [1641], послужившей прототипом большой серии приборов, которые изготавливались обычно из слабоокисляемого полупроводника, изолированного от металлического электрода органической пленкой. С тех пор и до 1960 г. эти структуры использовались в многочисленных исследованиях электронных состояний на границе раздела и явлений переноса в приповерхностной области.

В родственной структуре, тонкопленочном транзисторе [1952], используются омические контакты с тонкой пленкой высокоомного поликристаллического полупроводника — CdSe, CdTe, CdS, Se или Те. Свойства этих структур не такие благоприятные, как структуры кремний — двуокись кремния, поэтому они не применяются столь широко в приборах и для фундаментальных исследований.

В полевом транзисторе на основе структуры металл — окисел — полупроводник (MOSFET — metal-oxide-semiconductor field-effect-transistor), или полевом транзисторе с изолированным затвором (IGFET — insulated-gate field-effect-transistor)2), используются выпрямляющие контакты с полупроводником, обычно кремнием. На рис. 1 показано поперечное сечение такого полевого транзистора с каналом л-типа. Между контактами, которые обычно называют истоком и стоком, ток протекает только при образовании вблизи границы раздела кремний — двуокись кремния электронного инверсионного слоя, для чего на металлический электрод, называемый затвором, следует подать некоторое положительное напряжение (в

б См. работу [744]. — Прим, перев..

z> Далее переводится «МОН-транзистор». — Прим, перев.

Исток

Металлическийзатзор

I. ...

SiOz

Si р-типа

Рис. 1. Поперечное сечение кремниевого МОП-транзистора с «-каналом. Контакты n-типа, называемые истоком и стоком, создаются на кремнии p-типа методом диффузии или ионной имплантации. При подаче на металлический электрод, называемый затвором, положительного напряжения Кс вблизи поверхности полупроводника может образоваться канал, или область индуцированного заряда. Меняя напряжение на затворе, можно управлять током /d между истоком и стоком. Омический контакт, нанесенный с тыльной стороны полупроводника иа подложку, позволяет прикладывать напряжение Кподл между подложкой и обычно заземленным истоком.

транзисторе с каналом p-типа на затвор подается отрицательное напряжение, при этом вблизи границы раздела образуется проводящий дырочный инверсионный слой). Полевой транзистор — четырехполюсный прибор. Электроны движутся от истока, который обычно заземлен, вдоль поверхности полупроводника к стоку по каналу «-типа, возникающему при положительном напряжении иа затворе. Четвертый контакт, омический, наносится с тыльной стороны кремниевой подложки p-типа. Напряжения на затворе, стоке и подложке (по отношению к заземленному истоку) обозначаются соответственно символами VG, VD и Иподл.

Слой двуокиси кремния, выращенный на кремнии методом термического окисления, удовлетворяет высоким требованиям, предъявляемым к диэлектрическим слоям в МДП- транзисторах. Он содержит относительно малое число центров захвата и формирует на поверхности кремния высокий потенциальный барьер и для электронов, и для дырок, так что лишь пренебрежимо малое число носителей заряда проникает в слой диэлектрика и захватывается там ловушками. Кроме того, SiO2 характеризуется большой величиной электрического поля пробоя (~ 107 В • см-1), что позволяет достигнуть значительной плотности заряда, индуцированного в приповерхностной области кремния. Индуцированный заряд намного превышает заряд на поверхностных состояниях, плотность которых на границе раздела кремний — двуокись кремния при соответствующей ее обработке относительно мала. Кроме того, слой двуокиси кремния, выращенный методом термического окисления, достаточно стабилен, если в процессе изготовления прибора обеспечивается отсутствие быстродиффунди- рующих ионов, в частности натрия. Значительные успехи в технологии получения высококачественных границ раздела кремний — двуокись кремния, достигнутые в процессе совершенствования полевых тоанзисторов, сделали эту систему доступной и интересной для фундаментальных научных исследований.

В течение многих лет исследовались свойства МДП-структур на основе других полупроводников, однако ни в одном случае не удалось получить таких же высококачественных границ раздела полупроводник — диэлектрик, как граница Si — SiO2. Сведения о недавних работах можно иайти, например, в статьях [1510, 1600] или в трудах конференций по физике границ раздела со сложными полупроводниками, публикуемых ежегодно в журнале Journal of Vacuum Science and Technology.

Есef-------ЕаЕ„аЕсef-------ЕаЕ„а

Ес

ef

-------Еа

Е„

а

Ес

ef

-------Еа

Е„

а

СЛОИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА

В основе теоретического описания структуры металл — диэлектрик — полупроводник лежит классическое решение одномерного (в направлении, перпендикулярном поверхности или границе раздела) уравнения Пуассона. На рис. 2 показаны диаграммы энергетических зои в приповерхностной области полупроводника p-типа. Диаграмма на рис. 2, а соответствует нулевому поверхностному электрическому полю, или так называемому условию плоских зон на поверхности. Если на затвор подано отрицательное напряжение (рис. 2, б), то вблизи поверхности полупроводника формируется область положительного пространственного заряда, которая в отсутствие донорных поверхностных состояний на границе раздела может возникнуть лишь в результате индукции положительных носителей заряда — дырок, т.е. образуется слой, обогащенный основными носителями заряда, или обогащенный слой. Если на затвор подано положительное напряжение, то зоны вблизи поверхности изгибаются вниз (рис. 2, в), индуцированный отрицательный заряд образуется в первую очередь за счет ухода дырок валентной зоны из приповерхностной области (или с нейтральных акцепторов вблизи границы раздела. если они деионизованы при температуре эксперимента), при этом возникает так называемый обедненный слой. При дальнейшем увеличении положительного напряжения на затворе число отрицательно заряженных неподвижных иоиов акцепторов и соответствующий изгиб зон возрастают, край зоны проводимости у границы раздела достигает уровня Ферми и в приповерхностной области полупроводника появляются электроны — неосновные носители заряда. Когда поверхностная плотность электронов оказывается равной концентрации дырок в объеме или превышает ее, говорят, что произошла инверсия поверхности (рис. 2, г). Образовавшийся слой электронов называют инверсионным, а область фиксированного отрицательного заряда, отделяющего этот слой от объема полупроводника р-типа — обедненным слоем. На поверхности полупроводника n-типа может образоваться дырочный инверсионный слой, отделенный от объема областью положительного фиксированного заряда.

Следуя работе [948], построим простую количественную теорию слоя пространственного заряда. Предполагается, что газ носителей, формирующих этот слой, подчиняется статистике Больцмана, объем полупроводника однородно легирован, а все примесные атомы в образце ионизованы, кроме того, пренебрегается существованием поверхностных состояний иа

Рис. 2. Энергетические зоны в приповерхиостнуй области полупроводника p-типа: а — в случае плоских зон, когда поверхностное поле равно нулю; б — при образовании обогащенного слоя, когда поверхность обогащена дырками; в — при образовании обедненного слоя, когда поверхность обеднена дырками или в приповерхностной области ионизованы нейтральные акцепторы; г — при образовании электронного инверсионного слоя, т. е. при достаточно сильном изгибе зон. Ес и Ev — соответственно края зоны проводимости и валентной зоны, EF — энергия Ферми, ЕА — энергия акцепторов. Величина изгиба зон характеризуется поверхностным потенциалом ф,. .

границе раздела. Тогда плотность заряда р в одномерном уравнении Пуассона’1

(1.1)(1-2)(1.1)(1-2)d20 _4тгр(г)

(1.1)

(1-2)

(1.1)

(1-2)

di 2 хпп

определяется выражением

_ ^>U) ефк)

Р^ = ekND - пА> + ерпе квт - еп# квт,

где ф<2) — электростатический потенциал, величина которого в объеме, т.е. при больших значениях z, предполагается равной нулю. Первое слагаемое в выражении (1.2) представляет собой суммарную плотность заряда доноров и акцепторов, второе слагаемое — концентрацию дырок, где р0 = N. — Nd для полупроводника p-типа, третье слагаемое — концентрацию электронов л0 = прр0, где п, концентрация собственных носителей в данном полупроводнике при температуре Т. Поскольку р зависит только от ф, а ие от z, то обе части уравнения (1.1) можно умножить на dф/dz и, проинтегрировав, получить выражение для Q — плотности пространственного заряда на единицу площади:

Знак Q противоположен знаку поверхностного потенциала ф, = Ф(0). При положительном ф$ зоны изогнуты вниз (диаграммы энергетических зои соответствуют электронной энергии, знак электростатической части которой — еф$ противоположен знаку потенциала ф) и вблизи поверхности полупроводника образуется область отрицательного заряда, тогда как при отрицательном ф$ зоны изогнуты вверх и вблизи поверхности образуется область положительного заряда.

Первое слагаемое в квадратных скобках в выражении (1.3) обусловлено фиксированным зарядом, тогда как второе и третье представляют собой вклад соответственно электронов и дырок. В случае плоских зои, когда ф$ = 0, первое слагаемое равно по величине и противоположно по знаку сумме второго и третьего. При отрицательном напряжении на затворе, т.е. при ф5 < 0, основной вклад дает второе слагаемое, происходит обогащение поверхности основными носителями заряда. При положительном напряжении на затворе ф5 > 0, второе слагаемое мало, слой пространственного заряда формирует главным образом фиксированный заряд, пропорциональный ф'^. При достаточно больших ф$ основной вклад дает третье слагаемое, происходит инверсия поверхности — образуется электронный инверсионный слой. На рис. 3 показана зависимость Q от ф5 в полупроводниках р- и и-типа, а также в собственном полупроводнике. Кривые смещены иа величину разности энергий Ферми в объеме полупроводника.

11 Мы будем пользоваться в основном системой единиц СГС, поскольку именно она примоипась в большинстве ранее опубликованных работ, особенно теоретических. Однако некоторые вяжны^y^fym- таты будут приведены в приложении как в единицах СГС, так н в единицах системы СИ.

Рис. 3. Зависимость плотности заряда от поверхностного потенциала. Плотность пространственного заряда как функция EF - Ею + еф5, где Ер - Ею — разность энергий Ферми в объеме легированного н собственного полупроводника, ф5 — поверхностный потенциал. Кривая 1 соответствует полупроводнику л-типа, 2 — собственному полупроводнику, 3 — полупроводнику p-типа. Величина заряда возрастает быстрее по мере приближения к краям зон. Параболическая зависимость обусловлена зарядом обедненного слоя. Производная этих функций определяет емкость слоя пространственного заряда.

При сильной инверсии или при очень низких температурах газ электронов или дырок не подчиняется статистике Больцмана и в выражение (1.3) следует внести соответствующие поправки. При описании обогащенных слоев при низких температурах необходимо учитывать энергию ионизации примесей.

ЕМКОСТЬ

Одной из характеристик отклика МДП-структуры на приложенное к затвору напряжение является ее емкость, точнее дифференциальная емкость на единицу площади '

(1.4)(1.4)dQdVG

(1.4)

(1.4)

где Q — плотность заряда (на единицу площади) в полупроводнике, VG — напряжение на затворе. В МДП-структуре напряжение падает на слое диэлектрика и на слое пространственного заряда, другими словами, ее можно рассматривать как два последовательно соединенных конденсатора. Следовательно, полная емкость на единицу площади определяется соотношением '

где

1

С

11

+

С с ДИЭЛпп

(1.5)

ДИЭЛ

хдиэл•

^т^диэл

(1.6)

Напряжение на затворе, В

Рис. 4. Емкость МДП-структуры на основе кремния p-типа в зависимости от напряжения на металлическом электроде. Результатам, полученным с учетом поверхностных состояний на границе раздела, соответствуют сплошные линии, без учета — точечные. Кривые с минимумами — результаты низкочастотных измерений. При высокочастотных измерениях определяется емкость только обедненного слоя, так как число электронов в инверсионном слое не может изменяться достаточно быстро, чтобы реагировать на быстро меняющееся напряжение. Толщина слоя окисла Одиэл = 50 нм, площадь конденсатора равна 5,2 • Ю-Зсм~2. (Рисунок выполнен 5. Lai.)

— емкость на единицу площадиС =ПП— емкость на единицу площади на границе раздела, и применит— емкость на единицу площадиС =ПП— емкость на единицу площади на границе раздела, и применитслоя диэлектрика толщиной ^диэл, а

— емкость на единицу площади

С =ПП

— емкость на единицу площади на границе раздела, и применит

— емкость на единицу площади

С =ПП

— емкость на единицу площади на границе раздела, и применит

(1.7)

полупроводника. Если пренебречь зарядом, локализованным ь использованные в предыдущем параграфе предположения,

то выражение для емкости полупроводника можно получить непосредственно из (1.3).

На рис. 4 приведена вольт-фарадная характеристика МДП-структуры на основе кремния p-типа. На рисунке выделены три режима, соответствующие сильному обогащению и сильному обеднению поверхности полупроводника, а также случаю плоских зон. Как при сильной инверсии, так и при сильном обогащении образуются очень тонкие слои пространственного заряда, емкость которых обычно намного превышает емкость слоя диэлектрика, которой можно или пренебречь, или рассматривать как малую поправку. Следовательно, в этих двух предельных случаях измеряемая емкость приближенно равна емкости слоя диэлектрика. В случае плоских зон выражение для емкости слоя пространственного заряда следует из соотношений (1.3) и (1.7):

(1.8)(1.8)С (плоские зоны) = Г— + ^е *"5

(1.8)

(1.8)

I. 4т*вГ

Вообще емкость слоя пространственного заряда в случае пло$да^^#адщ(^аикости слоя полупроводника, толщина которого равна длине экранирова^ЙРч-^л^р^вАой/о^Й^в.

Реальное условие плоских зон можно определит^^ая^рмбость диэлектрика,^рлучен- ную описанным выше способом, и вычисленную емксуть с^я пространственног<Хзаряж. Для

этого необходимо знать площадь конденсатора, поскольку все используемые величины получены для единицы площади, а также все возможные паразитные емкости.

При сильной инверсии, когда емкость МДП-структуры близка к емкости диэлектрика, почти весь заряд, индуцируемый при дальнейшем увеличении напряжения на затворе, сосредотачивается в инверсионном слое. Это справедливо, в частности, при низких температурах, в этом случае заряд обедненного слоя по существу не изменяется. Это позволяет записать очень полезное приближенное соотношение

(1.9)(1.9)6N$ = ^5!™5Kg ,

(1.9)

(1.9)

где Ns — концентрация электронов инверсионного слоя на единицу площади, VG — напряжение иа затворе. Аналогичное равенство справедливо и для инверсионных слоев р-типа.

Для измерения емкости поступают следующим образом: либо на затвор кроме постоянного напряжения подается небольшое переменное напряжение, либо напряжение на затворе медленно меняется (сканируется), при этом измеряют ток через конденсатор. Так как механизмом изменения концентрации неосновных носителей заряда (в нашем случае — электронов) является тепловая генерация, то они не могут откликаться на переменное напряжение высокой частоты. В этом случае, который иллюстрируют две кривые иа рис. 4, измеряемая емкость не имеет минимума. Установившаяся емкость наблюдается при использовании низкочастотного переменного напряжения, при медленном сканировании напряжения на затворе или при измерениях на полевом транзисторе, в котором неосновные носители поставляются контактами истока и стока. Эффекты, которые зависят от частоты, т.е. обусловленные конечной величиной времени, необходимого для изменения заряда инверсионного слоя, могут затруднить измерения емкости для поверхностных каналов, обладающих большим сопротивлением, даже при наличии контактов истока и стока (см., например, результаты измерений емкости в сильном магнитное поле [867, 1924]). Отмечалось [562], что для образования равновесного обогащенного или инверсионного слоя при низких температурах может понадобиться достаточно большое время.

Если на границе раздела существуют электронные состояния, то приведенное выше рассмотрение следует обобщить и учесть локализованный в этих состояниях заряд, добавив дополнительное слагаемое в соотношение, связывающее заряд в полупроводнике Q и поверхностный потенциал ф$. Если перезарядка состояний на границе раздела успевает происходить на частоте измерений, то зависимость емкости от напряжения будет следовать точечным кривым на рис. 4. Если заряд, локализованный в этих состояниях, не зависит от переменного напряжения, то такие состояния называют «медленными» в отличие от «быстрых» состояний. Изменение заполнения состояний на границе раздела приводит к гистерезисным явлениям, которые проявляются в том, что при увеличении и уменьшении напряжения на затворе одному и тому же значению напряжения будут соответствовать различные значения емкости.

Быстрые состояния имеют разную природу. Так, стоуктурное рассогласование кремния и его двуокиси на границе раздела может привести к появлению ооорванных связей, которые можно насытить при отжиге в водороде. Появление быстрых состояний может быть обусловлено существованием примесей в кремнии [1660], а также заряженными ионами или диполями, расположенными в слое двуокиси кремния вблизи границы раздела (см., например, работу [635], а также § 5 гл. 2 и § 3 гл. 5 настоящей книги), которые при измерении емкости ведут себя как локализованные поверхностные состояния, лежащие вблизи краев зон. Вероятно/ любой микроскопический дефект будет проявляться как поверхностное состояние, лежащее в запрещенной зоне или за ее пределами; макроскопические флуктуации заряда могут прояв-

пяться в виде неоднородностей. Обширная литература свидетельствует о том, что не всегда легко в каждом конкретном случае определить природу электронных состояний на границе раздела1'. ,

Одна из причин широкого практического использования полевых транзисторов на осно- йе структуры металл — окисел — полупроводник и интереса к ним с точки зрения фундаментальных исследований заключается в том, что при соответствующей обработке удается уменьшить число быстрых состояний на границе раздела до значений (< 1О1осм-2), малых по сравнению с реализуемой концентрацией свободных носителей заряда (от - 1010 см-2 до - 1013 см-2). При низких температурах носители в МОП-структурах обладают высокой подвижностью, поскольку находятся на большом расстоянии от компенсирующего положительного заряда на затворе. Так как расстояние между краями зон проводимости в кремнии и Двуокиси кремния велико (~ 3,15 эВ), то туннельный механизм захвата электронов на состояния в диэлектрике подавлен и свойства образцов стабильны. Основное преимущество МДП- структур, как и других структур с изолированным затвором, заключается в простоте управления концентрацией индуцируемых носителей с помощью изменения приложенного к затвору напряжения. Кроме того, в этих структурах можно менять напряженность электрического поля, действующего на электроны инверсионного слоя заданной плотности Ns, изменяя разность потенциалов Иподл между подложкой и истоком. Обратное смещение на подложке (^псдл < ° в рассматриваемом примере полупроводника p-типа) приводит к увеличению заряда обедненного слоя. Согласно закону Гаусса, полный пространственный заряд пропорционален напряженности электрического поля иа поверхности Fs, которое в МДП-структуре пропорционально напряжению иа затворе. Поэтому если обратное смещение вызывает увеличение заряда обедненного слоя, то для того, чтобы сохранить то же число электронов в инверсионном слое, следует увеличить напряжение иа затворе. Таким образом, плотность электронов N$ и поверхностное электрическое поле Fs можно изменять независимо.

КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ

Одна из причин, по которой возрос интерес к МДП-структурам, заключается в том, что образующийся слой носителей в полупроводнике проявляет свойства, характерные для двумерных систем. Как впервые отметил Шриффер [1588], инверсионный слой может оказаться настолько тонким, что систему формирующих его электронов нельзя рассматривать как классическую. Очевидно, если длина волны носителя сравнима с расстоянием от границы раздела до классической точки поворота (~ kBT/eFs в простейшем приближении), то движение носителя в направлении, перпендикулярном поверхности, квантуется. Если движение электрона вдоль поверхности свободно, то его энергия имеет следующий вид:

Е = Е + ^[кгх + ф, (1.10)

гДе кх и ку — компоненты волнового вектора электрона в направлении, параллельном поверхности, Еп — дискретные уровни энергии электрона в узкой потенциальной яме. Каждое значение Еп является дном двумерного континуума состояний, называемого подзоной. Шриффер высказал предположение, что из-за сильного рассеяния иа поверхности дискретные уров-

11 Проблемы физики поверхности полупроводников и влияния поверхности иа свойства полупроводниковых приборов достаточно подробно рассмотрены в монографиях [25 — 28[. — Прим. ред.

Рис. 5. Схематическое изображение изоэнергетических поверхностей в импульсном пространстве у дна зоны проводимости в кремнии, представляющих собой шесть эллипсоидов вращения, или долин, с большими осями в направлениях <100>. Минимумы зоны проводимости, которым соответствуют центры эллипсоидов, отстоят от центра зоны Бриллюэна на расстоянии, составляющем 85% расстояния до ее границы. Большая ось эллипсоида соответствует продольной эффективной массе электрона в кремнии те = О,916то, малая — поперечной эффективной массе т, = О,19Ото.

ни должны размываться и квантовые эффекты исчезать. Тем не менее многие авторы [696, 1264, 524, 525, 659, 781, 902, 904, 522] использовали квантовомеханический подход для объяснения аномальных результатов измерений эффекта поля. В последней из цитированных работ Фэнг и Ховард наблюдали на поверхности (100) кремния при Т = 4,2 К резко выраженное уменьшение подвижности электронов в сильном поверхностном поле. Они предположили, что квантование в приповерхностной потенциальной яме приводит к понижению кратности вырождения шести минимумов зоны проводимости кремния, расположенных вдоль осей < 100> в зоне Бриллюэна (см. рис. 5). Четыре долины характеризуются легкой эффективной массой mt в направлении квантования, им соответствуют ббльшие значения Еп в соотношении (1.10), чем двум долинам, которые характеризуются тяжелой эффективной массой т, в направлении квантования, перпендикулярном поверхности. Наблюдаемое с ростом концентрации уменьшение подвижности Фэнг и Ховард объяснили рассеянием электронов, принадлежащих этим двум различным совокупностям долин, которое становится энергетически возможным при заполнении вышележащей подзоны. Хотя в рамках такого подхода уменьшение подвижности было объяснено неправильно, тем не менее он дал основу для построения квантовых моделей поверхности многодолинных полупроводников и предсказания эффекта понижения долинного вырождения, который вскоре был подтвержден результатами измерения магнитопроводимости [565, 566], а также многими другими более поздними экспериментами. Квантовые эффекты ярко проявились и при исследовании пьезосопротивления [422].

Экспериментальные исследования стимулировали развитие теоретических работ, в которых рассчитывались уровни энергии электронов в поверхностном электрическом поле. Самосогласованные расчеты в одноэлектронном приближении Хартри для поверхностных каналов л-типа в Si были выполнены во многих работах, в том числе в [441, 1705, 1690]. Исследования туннельного эффекта [1806, 1809] стимулировали построение теории электронных обогащенных слоев на поверхности InAs [104, 129]. Пэлз [1383 — 1386] выполнил самосогласованные расчеты для объяснения собственных результатов измерения емкости.

МАГНИТОПРОВОДИМОСТЬ

Плотность состояний в двумерной зоне проводимости ие зависит от энергии и равна т/2тк2 (кратность долинного и спинового вырождения полагается равной единице), где т — изотропная эффективная масса. Если перпендикулярно поверхности приложено магнит-

ное поле Н, то двумерное движение свободных электронов квантуется и энергия электронов представляет собой набор дискретных уровней Ландау на расстоянии eHh/mc друг от друга. Число электронов на одном квантовом уровне определяется произведением плотности состояний на величину расщепления уровней Ландау и равно eH/hc. При Н = 100 кГс эта величина равна 2,4 ■ 10й см-2. Для электронов в нижней подзоне в инверсионном слое на поверхности (100) Si, если спиновое и долинное расщепление в условиях эксперимента не проявляются, эту величину следует умножить на кратность спинового вырождения и кратность долинного вырождения, каждая из которых равна двум.

Особенность исследования осцилляций магнитопроводимости инверсионного слоя состоит в том, что концентрацию формирующих его электронов можно изменять с помощью приложенного к затвору напряжения и вычислять, зная величину этого напряжения. Обычно в экспериментах Шубникова — де Гааза осцилляции магнитопроводимости наблюдают при изменении напряженности магнитного поля, но при постоянной концентрации носителей. На рис. 6 показана периодическая зависимость проводимости электронного инверсионного слоя от напряжения на затворе при постоянном магнитном поле. Именно постоянство величины периода было первым свидетельством двумерности системы, а измерение концентрации электронов [565, 566] показало, что кратность долинного вырождения с точностью - 5% совпадает со значением 2, предсказанным Фэнгом и Ховардом [522]. Кроме того, анализ температурной зависимости амплитуд осцилляций показал, что эффективная масса электрона, движущегося параллельно поверхности (100) Si, равна 0,21 /и0, что близко к ожидаемому значению — поперечной эффективной массе в объеме т( = 0,19 т0.

го 40го 4060801006080100Напряжение на затвореНапряжение на затвореРезультаты исследований магнитопроводимости указывают на необходимость использования двумерной модели для их интерпретации, по крайней мере при низких температурах. Многие вопросы, касающиеся эффектов экранирования и рассеяния в двумерных электронных системах, рассмотрены Стерном и Ховардом [1705]. В 1968 г. Фэнг и Фаулер опубликовали результаты обширных экспериментальных исследований явлений переноса в слоях пространственного заряда, впервые объяснив их в рамках квантовомеханической модели. К настоящему времени выполнено большое количество экспериментальных и теоретических работ, посвященных изучению подвижности и механизмов рассеяния носителей в слоях пространственного заряда; некоторые из них обсуждаются в гл. 4.

го 40

го 40

6080100

6080100

Напряжение на затворе

Напряжение на затворе

Рис. 6. Проводимость инверсионного и-слоя ^ на поверхности (100) Si в МОП-транзисторе 'ъ кольцевой геометрии (типа диска Корбиио) g в постоянном магнитном поле Н = 33 кГс, (5- направленном по нормали к границе раздела [565]. Наблюдаются осцилляции с постоянным периодом по напряжению на затворе. Спиновое и долинное расщепление в этом случае не обнаруживаются. Т = = 1,34 К.

Следующим важным шагом стало использование магнитных полей, направление которых не совпадает с нормалью к поверхности. В этом случае спиновый момент может следовать за полем, тогда как орбитальный момент электрона на уровне Ландау фиксирован относительно поверхности и зависит только от перпендикулярной поверхности компоненты поля. Фэнг и Стайлз [523] использовали эту разницу н экспериментально определили g-фактор электрона, который, как оказалось, зависит от концентрации электронов, достигая при низкой концентрации значения, превышающего 3. Этот результат вызвал замешательство, поскольку спин-орбитальное взаимодействие, обычно ответственное за отличие величины g-фактора от значения 2,0023 для свободного электрона, в кремнии очень слабо. Янак впервые отметил, что это отличие можно отнести за счет многочастичных эффектов, т.е. электрон-электронных взаимодействий [830]. Тщательные измерения амплитуды осцилляций магнитопроводимости [1657, 1658] показали, что эффективная масса также возрастает при уменьшении концентрации носителей, что качественно согласуется с теорией, развитой в работах [1081 — 1083, 1874, 1876, 54, 55, 1341, 1483]. Более подробно эти вопросы обсуждаются в § 6 гл. 2 и § 2 гл. 6.

Как показано в работе [77], пики проводимости в сильном магнитном поле являются приблизительно полуцелыми кратными величины е2/х2Й (см. также обсуждение в работе Андо и Уемуры [80]).

Фон Клитцинг, Дорда и Пеппер [1906] обнаружили, что холловская проводимость в областях, где проводимость минимальна, что соответствует положению уровня Ферми между соседними уровнями Ландау, не зависит от геометрии образца и является целой кратной величины е2/й с точностью, которая может позволить использовать этот эффект для уточнения значений фундаментальных констант и создания эталона сопротивления. Обзор этой быстро развивающейся области сделан фон Клитцингом [1905] и кратко обсуждается в разд. 1 § 2 гл. 6 настоящей книги.

Обзор явлений переноса в слабых магнитных полях содержится в работе [1728], в сильных магнитных полях — в работах [1059, 1849 — 1851].

ЛОКАЛИЗАЦИЯ И ПРИМЕСНЫЕ ЗОНЫ

Первые исследования явлений переноса [518] показали, что температурная зависимость проводимости инверсионного слоя при низких концентрациях носителей имеет активационный характер. Первоначально это объяснялось вымораживанием носителей на примесных уровнях, а в настоящее время этот эффект связывают с локализацией в хвостах плотности состояний. Кроме того, локализованные состояния проявляются в минимумах плотности состояний между уровнями Ландау в сильных магнитных полях. Особый интерес представляют исследования локализации в инверсионных слоях, так как простота управления концентрацией электронов предоставляет более широкие экспериментальные возможности по сравнению с изучением локализации в массивных полупроводниках.

Хотя никогда нельзя полностью избежать влияния кулоновских центров, расположенных вблизи электронного или дырочного слоя (яркое исключение — система электронов иа поверхности жидкого гелия), исследование примесных уровней в МОП-структурах упрощается, если примеси вводятся контролируемым образом. Для этой цели Хартстейн и Фаулер [704] (см. также [568]) использовали диффузию натрия через слой окисла к границе раздела кремний — двуокись кремния. Они показали, что, изучая проводимость вблизи порога подвижности, можно увидеть четко выраженную примесную зону, и исследовали энергию активации для движения как внутри зоны, так и для возбуждения в зону проводимости. Отметим так-

же, что возможность изменять концентрацию электронов независимо от концентрации примесей открывает перспективы проведения нового класса экспериментов.

Дальнейшее понижение температуры образцов с активационым характером проводимости приводит к тому, что зависимость логарифма проводимости от 1/Т отклоняется от прямой линии, что связывают с механизмом прыжковой проводимости с переменной длиной прыжка, впервые предложенным для двумерных систем Моттом [1248]. Другие указания иа существование эффектов локализации описаны Стерном 11603].

Совсем недавно при исследовании проводимости инверсионных слоев при низких температурах был обнаружен новый эффект. Как было впервые показано в работах [188, 1855], образцы с кажущимся металлическим поведением, т.е. со слабым увеличением сопротивления с ростом температуры, обнаруживают небольшое увеличение сопротивления с понижением температуры в области очень низких температур. Такое слабое увеличение, логарифмическое по температуре, было предсказано для двумерных систем в работе Абрахамса, Андерсона, Личчарделло и Рамакришнана [6] при рассмотрении локализации и в работе Альтшулера, Аронова и Ли [41] при рассмотрении электрон-электроииого взаимодействия. Экспериментально обнаруженное поведение отрицательного магнитосопротивления [889, 890, 1962] хорошо согласуется с предсказаниями теории ([748, 42] и др.)11. Эти эффекты слабой локализации следует отличать от обсуждавшихся выше эффектов сильной локализации, которые приводят к активационному характеру температурной зависимости проводимости. Отметим быстрое развитие исследований слабой локализации и родственных эффектов.

Локализация и эффекты, обусловленные существованием примесных зон, подробно рассмотрены в гл. 5.

ОПТИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Первые исследования инверсионных и обогащенных слоев в полупроводниках ограничивались изучением явлений переноса, и полученные результаты в общем находились в согласии с предсказаниями кваитомехаиической теории. Первые прямые оптические измерения расщепления энергетических уровней были выполнены авторами работ [855, 856]. Вскоре стало ясно, что величину расщепления нельзя объяснить на основе одноэлектронных моделей, а необходимо принимать во внимание многочастичные эффекты, как это уже делалось при объяснении результатов измерений эффективной массы и g-фактора. Так как многочастичиые эффекты в двумерных системах относительно велики, то инверсионные и обогащенные слои служат модельными системами для проверки предсказаний многочастичных теорий, тем более что в этих системах можно легко изменять концентрацию носителей.

Обзор оптических экспериментов сделан Кохом [964, 965]. Многочастичиая теория слоев пространственного заряда развита в работах [54, 55, 59, 61, 371, 839, 847, 848, 1270, 1341, 1342, 1876, 1877]. Результаты теоретического и экспериментального исследования структуры подзон и оптических переходов в слоях пространственного заряда обсуждаются в гл. 3.

Из-за уширения уровней энергии, связанного с рассеянием, измерения циклотронного резонанса в инверсионных и обогащенных слоях следует проводить в достаточно сильных маг-

б Само явление отрицательного магнитосопротивления (ОМС) впервые наблюдалось Ченцовым еще в 1948 г. на объемных образцах теллура [29], однако адекватное теоретическое описание ОМС как в двумерном, так и в трехмерном электронном газе было дано лишь в 80-е годы. Наряду с упомянутыми следует отметить теоретическую работу [30] и обзор [37]. — Прим. ред.

нитных полях, когда расщепление уровней Ландау сравнимо по величине с этим уширением или превышает его. В результате характерные энергии циклотронного резонанса сдвигаются в дальнюю инфракрасную область [11, 31]. В таких экспериментах более тонко проявляются многочастичиые эффекты; этому вопросу посвящены работы [54, 1779, 1780] и § 3 гл. 6.

Плазмоны, возникающие в двумерном электронном газе, были впервые обнаружены в системе электронов на поверхности жидкого гелия [671, 672], а затем в инверсионных слоях [34]. Плазменный сдвиг линии циклотронного резонанса (магнитоплазменный эффект) изучался как экспериментально [1756 — 1758], так и теоретически [775, 1079]. Свойства плазмонов в инверсионных слоях обсуждаются в обзоре [1755], а также в § 4 гл. 2 и в § 3 гл. 6 настоящей книги.

ПЛАН ДАЛЬНЕЙШЕГО ИЗЛОЖЕНИЯ

В последующих главах более подробно обсуждаются свойства слоев пространственного , заряда, а также родственных им двумерных и квазидвумерных систем. В гл. 2 рассмотрены некоторые свойства двумерных и квазидвумерных систем электронов. В гл. 3 обсуждается полученная в рамках реалистических моделей структура энергетических уровней электрона. Явления переноса, связанные с делокализованными состояниями, рассмотрены в гл. 4, а связанные с локализованными состояниями и примесными зонами — в гл. 5. В гл. 6 обсуждается главным образом влияние сильных магнитных полей на структуру энергетических уровней и явления переноса в слоях пространственного заряда. Гл. 7 посвящена некоторым более частным вопросам исследования динамически двумерных систем. Подробно рассмотрены следствия многодолинной структуры зоны проводимости кремния, включая долинное расщепление н деформационные эффекты, а также явления, связанные с отклонением поверхности Si от плоскости (100). В обидах чертах обсуждается как в нулевом, так и в отличном от нуля магнитном поле двумерный электронный кристалл, который впервые наблюдался в системе электронов на поверхности жидкого гелия.

Инверсионные и обогащенные слои, образующиеся вблизи границы раздела Si — SiO2, по упомянутым выше причинам являются наиболее широко исследуемыми системами. Большинство работ посвящено изучению свойств двумерных каналов п-, а не p-типа, так как, во- первых, электроны обладают более высокой подвижностью, а во-вторых, в кремнии структура зоны проводимости не так сложна, как структура валентной зоны, что позволяет сравнительно легко описывать свойства электронов теоретически. Именно поэтому первые семь глав посвящены более подробному обсуждению свойств именно электронных слоев пространственного заряда, главным образом инверсионных слоев на поверхности (100) Si. В гл. 8 рассмотрен ряд других систем, в том числе дырочные слои в кремнии, слои п- и p-типа в других полупроводниках, а также привлекающие все возрастающее внимание гетеропереходы, квантовые ямы и сверхрешетки. Кратко обсуждаются свойства некоторых других родственных систем, которым посвящено большое число исследований, иногда предшествовавших исследованиям поверхностных каналов в Si. К ним относятся тонкие пленки, магнитные поверхностные состояния в металлах, слоистые соединения и интеркалированный графит. В гл. 8 рассматриваются также свойства электронно-дырочных двумерных систем, которые привлекают внимание главным образом теоретиков, а не экспериментаторов. Кроме того, в гл. 8 обсуждаются некоторые наиболее важные свойства электронов на поверхности жидкого гелия. Эта система обладает некоторыми общими свойствами с другими рассматриваемыми ' двумерными электронными системами, но ей присущи и свои характерные особенности. Вследствие малой концентрации система электронов на поверхности жидкого гелия является

классической, т.е. кинетическая энергия превышает энергию межэлектронного взаимодействия, а отсутствие некоторых механизмов рассеяния приводит к значительно более высоким подвижностям при низких температурах и к более резкой структуре энергетического спектра электронов, чем в инверсионных и обогащенных слоях. Именно в системе электронов на поверхности жидкого гелия был впервые реализован электронный кристалл [673].

В приложениях приведены алгебраические выражения и численные значения некоторых часто используемых величин. При составлении библиографии была предпринята попытка наиболее полно охватить все работы, посвященные исследованию свойств инверсионных и обогащенных слоев в полупроводниках. Включены также некоторые основополагающие работы, в которых рассмотрены другие затрагиваемые вопросы. Некоторые из перечисленных в библиографии статей в тексте не цитируются. Мы приносим извинения авторам, чьи работы или по нашей невнимательности, или из-за недостатка времени и места не отражены в библиографии1*.

Этот обзор сдан в печать до начала IV Международной конференции по электронным свойствам двумерных систем, проходившей в Англии в августе 1981 г. О последних достижениях в этой области физики можно узнать, ознакомившись с трудами конференции, опубликованными в 113-м томе журнала Surface Science.

11 Переводчиками и редактором были предприняты меры как по восполнению этих пробелов, так и по включению исследований, выполненных после опубликования данного обзора (см. список дополнительной литературы). — Прим. ред.

ГЛАВА 2. СВОЙСТВА ДВУМЕРНОГО ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА

ВВЕДЕНИЕ

Двумерные электронные системы, свойства которых рассматриваются в данном обзоре, составляют лишь часть большого класса динамически двумерных систем, широко исследуемых в последнее время. Динамически двумерной мы называем систему, компоненты которой' свободно перемещаются в двух пространственных измерениях,, в третьем же измерении их движение ограничено. Мы будем рассматривать главным образом систему электронов в инверсионных и обогащенных слоях в полупроводнике. В гл. 8 кратко обсуждаются также свойства электронов в полупроводниковых гетероструктурах, квантовых ямах и сверхрешетках, а также иа поверхности жидкого гелия, в тонких пленках и в слоистых соединениях? Кроме упомянутых большое внимание привлекли некоторые другие двумерные системы, в том числе атомы и молекулы на поверхности графита и на других подложках [363, 1185] и двумерные магнитные системы [375, 1458, 1459].

В двумерных системах активно изучаются и теоретически, и экспериментально такие явления, как фазовые переходы (см., например, [131]) и дальний порядок [797] Ч Полезным введением в обширную литературу по этому вопросу служат труды конференции по упорядочению в двумерных системах [1653].

Подробно исследуются явления переноса и протекание в неупорядоченных двумерных системах (см., например, [1066, 949, 950, 1681, 506]). Теории протекания как таковые в данном обзоре не отражены, лишь в разд. 3 § 1 гл. 5 дано общее представление о самом явлении. Явлениям переноса посвящена гл. 5. В § 2 гл. 5 обсуждаются результаты недавних исследований слабой локализации и электрон-электронных взаимодействий в двумерных системах, которые привели к предсказанию исчезновения проводимости неупорядоченных двумерных систем при температуре абсолютного нуля.

Свойства двумерного кулоновского газа, т.е. системы электронов, взаимодействующих в строго двумерном пространстве, подробно исследованы теоретически (см., например, [161]). Электромагнитные поля в этом случае заключены в плоскость, и потенциал взаимодействия двух электронов в отличие от трехмерного пространства логарифмически зависит от расстояния между ними, а не обратно пропорционален ему. Несмотря на то что у двумерного кулоновского газа нет точных физических аналогов (см., однако, работы [418, 551, 716]’, в которых рассмотрено взаимодействие куперовской пары и вихря в тонких сверхпроводящих пленках), он является важной модельной системой для теоретического исследования. ■

Хороший обзор различных свойств двумерных систем, многие из которых не отражены в данной книге, сделан Костерлицем и Таулессом [1000]2\ Далее в этой главе рассматриваются некоторые формальные свойства двумерных электронных систем.

Ч См. также [745]. — Прим, перев.

у См. также обзор Булаевского [746]. —Прим. перев.

ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ

Прежде чем перейти к подробному обсуждению свойств двумерного электронного газа, вспомним некоторые основные результаты теории двумерных систем, в частности определим плотность состояний электронов. Так как плотность состояний в «-мерном пространстве волнового вектора равна (lx)-”, то искомая плотность состояний, т.е. число состояний в единичном интервале энергии и на единицу площади, определяется выражением

„ , dk

где gv — кратность долинного вырождения, равная числу эквивалентных энергетических зои; множитель 2 учитывает спиновое вырождение. Если спектр возбуждений электрона имеет вид

£ = £о(2-2)

2т

где т — эффективная масса1*, которая предполагается изотропной, то плотность состояний равна

g. т

D(E) = Е > Е^

(2.3)

£>(£■) = О, Е < Ео.

Отметим, что при энергии Ео плотность состояний скачком (если пренебрегать разупорядоче- иием или уширением уровня) возрастает до определенного значения и не изменяется при дальнейшем увеличении энергии. Если при Е > Ео существуют другие двумерные зоны, то в плотности состояний появляются дополнительные ступени, соответствующие ее увеличению. Если заполнена только ннжняя подзона, то число электронов на единицу площади при температуре абсолютного нуля равно g, т

NS = ^ <Ef - ^о).(2.4)

ТТЛ

где EF— энергия Ферми. Поверхность Ферми в двумерной электронной системе представляет собой кривую, которую также называют линией или контуром Ферми. В простейшем случае изотропной эффективной массы контур Ферми есть окружность, радиус которой — волновой вектор Ферми:

Выражения (Z.3) и (2.4) можно использовать и в случае эллиптических поверхностей Ферми с квадратичной зависимостью Е от к, для этого эффективную массу электрона следует заменить на эффективную массу плотности состояний md, которая определяется соотношением (3.6). Поверхность Ферми в системе электронов в непараболической зоне проводимости или в системе дырок в гофрированной, непараболической валентной зоне имеет более сложный внд, и в этом случае плотность состояний, как правило, следует находить численно.

11 Масса свободного электрона обозначается символом т0. ..^, {

ПОЛЯРИЗУЕМОСТЬ И ЭКРАНИРОВАНИЕ

В этом параграфе рассматривается наиболее важное свойство двумерного электронного газа — его отклик на электромагнитное поле. Простейшим примером такого рода является вычисление отклика электронного газа, лежащего в плоскости г = 0*\ на слабый статический потенциал, медленно изменяющийся в пространстве. Пусть плоскость помещена в однородную среду, статическая диэлектрическая проницаемость которой при г < 0 равна хдиэл, при Z > 0 - хпп.

Дополнительный электростатический потенциал, создаваемый внешним источником, связан с плотностью заряда р уравнением Пуассона

V • (хУф) = — 4хр,(2.6)

где р = рвнеш + риид — суммарная плотность внешнего и индуцированного заряда, х — статическая диэлектрическая проницаемость, величина которой может, вообще говоря, зависеть от координат. Если потенциал изменяется в пространстве достаточно медленно, то плотность индуцированного заряда в точке г на плоскости г = 0 является функцией только локального потенциала, действующего на электроны, подобно тому, что имеет место в трехмерном случае в приближении Томаса — Ферми. Итак,

РиндС) = - elNs^ - Ns(0)]5(z), (2.7)

где ф = ф(г, 0) — величина электростатического потенциала в точке г, усредненная по распределению электронов вдоль оси г, которое в рассматриваемом простейшем случае описывается S-функцией. Уравнение (2.7) представляет собой двумерный аналог приближения Томаса — Ферми.

Потенциал ф смещает энергетические уровни электронов на величину — еф и изменяет расстояние между уровнем Ферми EF и дном зоны проводимости на еф. Поскольку потенциал считается слабым, правую часть равенства (2.7) можно линеаризовать:

_ dN-г- dN,

(2.8)(2.9)(2.10)(2.И)(2.8)(2.9)(2.10)(2.И)РиндС) = -e0(r)—^S(z) = -е^П—^-Ь^у ифиЕр

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.И)

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.И)

Тогда уравнение (2.6) примет вид•

V • (хУф) - 2х^ф(г)й(г) = - 4хрвнеш, где q, — обратный радиус экранирования, определяемый соотношением

- 2хе2 dN,■

qs = -=

х dEF

а

_ ^ДИЭЛ^^ПП

'2

Сопоставим уравнение (2.9) с соответствующим уравнением, описывающим линейное экранирование в однородной трехмерной Системе:

.V20 - Q^ = - 4хрвнеш/х,(2.121

Ч Далее такую электронную систему будем называть строго двумерной. — Прим, перев.

где q — обратный радиус экранирования Томаса — Ферми, который часто обозначают символом qTF. Если внешний точечный заряд Ze расположен в начале координат, то решением уравнения (2.12) является обычный экранированный кулоновский потенциал ф = = (Ze/xR)exp(- Q^)-

Для того чтобы найти вид экранированного кулоновского потенциала в двумерном случае, воспользуемся разложением Фурье — Бесселя:

ф(г, г) = j qAqVzV0<q. r)dq,(2.13)

о

где Jo — функция Бесселя нулевого порядка, A^z) — коэффициент разложения, зависящий от q и z. Его величина, усредненная по распределению электронов, описываемому S-функцией, равна Aq = лд(0).

Если внешний заряд расположен в точке г = 0, z = z0 С 0, то уравнение (2.9) легко решается. Коэффициент разложения Фурье — Бесселя потенциала в плоскости z = О имеет вид

При больших значениях г, когда qj > 0, выражение для усредненного потенциала приобретает простой асимптотический вид [1685] *^:

ф^ _ (2.15)

Полученная степенная зависимость потенциала от расстояния значительно слабее экспоненциальной, характерной для трехмерных систем; в этом заключается одно из главных качественных отличий экранирования в двумерной электронной системе от экранирования в трехмерной.

В рассмотренном выше примере предполагалось, что все электроны лежат на плоскости. Далее обсуждается более реалистичная модель электронного газа, заполняющего слой, толщина которого отлична от нуля2*. Функцию поперечного распределения электронов простейшего вида впервые использовали Фэнг и Ховард [522] при описании инверсионного л-слоя на поверхности кремния:

8^ = —z^e-^. (2.16) 2

Функцией такого же вида описывается плотность заряда в слое электронов, заполняющих одну двумерную энергетическую зону (так называемую подзону), на поверхности жидкого гелия; его образование вблизи границы раздела с вакуумом обусловлено силами изображения, толщина границы раздела гелий — вакуум при этом предполагается равной нулю [322]. В следующей главе оосуждается обоснованность использования функции (2.16) для приближенного описания распределения заряда электронов, а также приведены выражения для параметра Ь. Приведенное в начале параграфа рассмотрение изменится незначительно: после замены в уравнении (2.9) 6-функции на g(z) получим выражение для усредненного потенциала, дейст-

Аналогичный результат похуаеде работе [52]. — Прим.WWW.

Далее такую электронную систему будем назымть кваз№Муее|е*—-Л6**. 'wfee;

вующего на электроны:

(2.17)(2.17)Ф(О = j £(?)Ф(г, z?)dz. о

(2.17)

(2.17)

Коэффициент разложения Фурье — Бесселя для него снова обозначим символом Aq.С помощью функции (2.16) легко решить уравнение (2.9) и найти точные выражения для коэффициентов разложения Фурье — Бесселя усредненного потенциала в инверсионном слоеКоэффициент разложения Фурье — Бесселя для него снова обозначим символом Aq.С помощью функции (2.16) легко решить уравнение (2.9) и найти точные выражения для коэффициентов разложения Фурье — Бесселя усредненного потенциала в инверсионном слое[1705]:Aq[1705]:AqХеX qХеX qAqAqХе*ппХе*пп+ «АР + «^оруч +го > 01q + «АР + «АА+ «АР + «^оруч +го > 01q + «АР + «АА(2.18а)(2.18а)(2.186)(2.186)где8.где8.хпп хдиэл _^пп ^диэлхпп хдиэл _^пп ^диэлхпп хдиэл2ххпп хдиэл2х(2.19)(2.19)

Коэффициент разложения Фурье — Бесселя для него снова обозначим символом Aq.

С помощью функции (2.16) легко решить уравнение (2.9) и найти точные выражения для коэффициентов разложения Фурье — Бесселя усредненного потенциала в инверсионном слое

Коэффициент разложения Фурье — Бесселя для него снова обозначим символом Aq.

С помощью функции (2.16) легко решить уравнение (2.9) и найти точные выражения для коэффициентов разложения Фурье — Бесселя усредненного потенциала в инверсионном слое

[1705]:

Aq

[1705]:

Aq

Хе

X q

Хе

X q

Aq

Aq

Хе

*пп

Хе

*пп

+ «АР + «^о

руч +го > 01

q + «АР + «АА

+ «АР + «^о

руч +го > 01

q + «АР + «АА

(2.18а)

(2.18а)

(2.186)

(2.186)

где

8.

где

8.

хпп хдиэл _

^пп ^диэл

хпп хдиэл _

^пп ^диэл

хпп хдиэл2х

хпп хдиэл2х

(2.19)

(2.19)

(2.20)(2.21)(2.22)(2.20)(2.21)(2.22)(2.23a)(2.236)(2.23a)(2.236)

(2.20)

(2.21)

(2.22)

(2.20)

(2.21)

(2.22)

(2.23a)

(2.236)

(2.23a)

(2.236)

2хе2 dN qs =-,

х™ dEF

Р = _ °(t> + q^ ’

_ 863 + 9b2q + 3bq2

Ср 8(61^’

P(z) = —= [е"»г - (а + вхг ^ a-^-^ q * 6,

(6 - qy

_ 2^(362 + q2)

° (b + q)3’

4bq(b - g) «1 5—»

(6 + qV

q^b - q)2 ■; ■

b + q

P^ = - [1 + 2bz + 2A2z2 + -b3z3\e-bz, q = b. 83

Отметим, что в пределе больших значений b толщина электронного слоя равна нулю и коэффициенты разложения (2.18а) и (2.14) совпадают.

Соотношения (2.18) можно использовать для вычисления в борновском приближении эффективного сечения рассеяния электронов на ионизованных примесных центрах, расположенных в окисле и полупроводнике. Эти вопросы рассмотрены в § 7 этой главы, а также в гл. 4. В недавно проведенных более тонких теоретических исследованиях рассеяния на ионизованных центрах принимались во внимание их экранирование электронами инверсионного слоя и воз-

можность образования связанного состояния [1878, 1737]. Эти результаты подробно обсуждаются в следующей главе и в § 3 гл. 4. Приведенные выше результаты аналогичны полученным Бруксом и Херрингом, описывающим рассеяние на ионизованных примесях в объеме полупроводника (см., например, [1659])._

Остановимся более подробно на параметрах экранирования qsH qs, которые определены соответственно соотношениями (2.20) и (2.10) и характеризуют экранирование точечного заряда соответственно в квазидвумерной и строго двумерной системах электронов в приближении Томаса — Ферми. Легко заметить, что

hre^N.

><Л = ^S =(З-24)

где величину

Ed =^(2.25)

d (dN^dE^

называют энергией диффузии, поскольку она входит в обобщенное соотношение Эйнштейна (см., например, [1673])

(2.26)(2.26)D = ^, е

(2.26)

(2.26)

связывающее коэффициент диффузии D и подвижность ^.

Воспользовавшись простым выражением для плотности состояний в двумерной системе (2.3), получаем [1705]

При низких температурах, когда ЕР - Ео ► квТ, энергия диффузии Ed * Ер - Ео и

4s = ^t/0’. а* =(2.28а)

(2.286)(2.286)те 2

(2.286)

(2.286)

4s = 2Va*> а* =2 ’

где а* и а* — эффективные боровские радиусы, выражения для которых содержат соответственно статическую диэлектрическую проницаемость полупроводника и среднее арифметическое значение статических диэлектрических проницаемостей полупроводника и диэлектцрка. При высоких температурах энергия диффузии Ed - квТ и

2xe27V

xds = xqs = (2.29)

Отметим, что при высоких температурах носители инверсионных и обогащенных слоев заполняют не только одну, нижнюю, подзону, и приведенные выражения следует обобщить на случай нескольких заполненных подзон, что было сделано в работе [1705] и более полно в работе [1643]. Полученные результаты были затем использованы в расчетах подвижности [1701, 1240]. Расчеты подвижности носителей в слоях пространственного заряда в полупроводниках обсуждаются в гл. 4.

До сих пор предполагалось, что экранируемый потенциал медленно изменяется в пространстве и не зависит от времени. Это приближение, однако, неприменимо при решении таких задач, как расчеты связанных состояний илн рассеяния носителей при более высоких температурах нли в случае нескольких заполненных подзон. Простейшим приближением, в рамках которого вычисляется отклик системы электронов на изменяющееся во времени и пространстве внешнее поле, является приближение хаотических фаз, или приближение самосогласованного поля, согласно которому на электрон действует не только внешнее поле, но и поле, созданное всеми электронами. Это приближение приводит к известным выражениям Линдхарда [1117] для зависящей от времени и волнового вектора диэлектрической проницаемости трехмерного электронного газа. Хотя в приближении хаотических фаз не учитываются динамические корреляционные эффекты и вычисление некоторых величин, таких, как парная корреляционная функция (см., например, [839]), приводит к ошибкам, это приближение широко применяется, поскольку дает простейший нетривиальный результат для линейного отклика двумерной системы на внешнее поле.

Общее выражение для поляризации, обусловленной действием полного внешнего и индуцированного электрического поля F(q, ш) = Foexp(z'q • г — /ш?) на электроны, лежащие в плоскости г = 0, можно записать в следующем виде:

P(q, «) = x(q, w)F(q, ш)6^\

где х — поляризуемость системы, определяемая формулой [476]:

_. е2 .. v /0№к) " /O^k + q)

X(q, о,) = -^ hm Y. Е~ - Ек -к» - iha

(2.31)

где /0 — функция распределения Ферми — Дирака, Ег — площадь, занимаемая системой; суммирование проводится по всем одноэлектронным состояниям с волновым вектором к и энергией Ек.

Выражение (2.31) для поляризуемости изотропного двумерного электронного газа с простейшим законом дисперсии Ек = кгкг/2т и волновым вектором Ферми kF при температуре абсолютного нуля можно записать в виде суммы двух слагаемых х = Xi + <Хг> каждое из которых имеет следующий вид [1685]:

-Гq _ г Г ( 4 - ^^^У Л1/2 _ г Г / q .

X1 *2M3 (*F_ L\2*f h ) J + L\2kF

_ 2me1Ns

Хг ~ й2^3

1

ткешд\г ~1/2')

—1-1! (2.32а)

h ) J )

уу]1 ^

mkpwq h

D^ = О,

С± = О,

9 ± ткрыд I > ^

2kF h I

= 1<7 ± тк^

*’ 2kF h

< 1.

(2.32в)

(2.32г)

Полученные результаты легко понять, рассмотрев некоторые частные случаи. Простейшим примером является статический медленно изменяющийся в пространстве потенциал, тогда ш = 0, 9 ~ 0, и мы находим

Ринд = _/Я р = -92х(9)Ф(г)5(з) = .

(2.33)(2.33)= _^>(r)6(z),

(2.33)

(2.33)

что согласуется с (2.8). В более общем случае 6(z) заменяется на g^Y

В рассматриваемых далее системах диэлектрическая проницаемость является, вообще говоря, нелокальной функцией [352, 473, 474]; ее, однако, можно выразить в простом виде, если предположить, что электроны инверсионного слоя расположены на плоскости z = О, помещенной в однородную среду со статистической дйэлектической проницаемостью х. Тогда диэлектрическая проницаемость для продольного возбуждения в плоскости электронов [1685] равна

(2.34)(2.34)x(q, ш) = х + 2тг)8х(Ч, ш),

(2.34)

(2.34)

где 9г = q1 — хи?/с1.

В работе [352] аналогичный результат получен в более общем виде.

Для статических полей соотношения (2.32) и (2.34) дают

(2.35)(2.35)

(2.35)

(2.35)

Использование выражения для диэлектрической проницаемости (2.35) в длинноволновом пределе, т.е. прн малых значениях q, приводит к результатам, уже полученным в этом параграфе другим методом. Необходимо подчеркнуть, что прн q > 2kF экранирование ослабевает значительно быстрее. Тем самым преодолевается затруднение, возннкаюшее при рассмотрении диэлектрической проницаемости строго двумерного электронного газа очень низкой плотности в длинноволновом пределе при Т — 0. Дело в том, что параметр экранирования (2.28) не зависит от концентрации электронов, что дает нефизическнй результат — электронный газ как низкой, так и высокой плотности экранирует точечный заряд одинаково эффективно. Анализ выражения (2.35) устраняет противоречие — при уменьшении плотности электронного газа уменьшается kF, тем самым сужается область значений волновых векторов 9 С 2k F, при которых экранирование наиболее эффективно. Кроме того, экранирование в реальных системах низкой плотности ограничивают эффекты, обусловленные образованием хвостов плотности состояний и отличием температуры от абсолютного нуля.

Более важным следствием обрезания экранирования при больших волновых векторах яв ляется сингулярность диэлектрической проницаемости при q = 2k F. Как и в трехмерном случае, эта сингулярность приводит к осцилляциям Фриделя в отклике системы на локальное возмущение. На больших расстояниях экранированный кулоновский потенциал точечного заряда Ze, лежащего в той же плоскости z = 0, что и электроны, имеет следующий вид [1685]:

(2.36)(2.36)ф(Г)^4$ *kr sin(2*Fr) х (УсР + 9$)2 (2*,у)2 '

(2.36)

(2.36)

2-34

Близкие результаты были получены при рассмотрении осуществляемого через электроны взаимодействия между магнитными моментами в полупроводнике с цилиндрическими энергетическими зонами [1525] и в двумерном металле [548], между атомами, адсорбированными на поверхность металла [1067], при описании экранирования точечных зарядов в металлах [605].

Зная значение статической поляризуемости при Т = 0, можно определить ее зависимость от температуры [1153]:

x(q, и ; Т, у) =x(q, и ; Т, у) =x(q, ш; 0, #i')x(q, ш; 0, #i')4*sTch4*sTchИ - р'2квТИ - р'2квТdp'.dp'.(2.37)(2.37)

x(q, и ; Т, у) =

x(q, и ; Т, у) =

x(q, ш; 0, #i')

x(q, ш; 0, #i')

4*sTch

4*sTch

И - р'2квТ

И - р'2квТ

dp'.

dp'.

(2.37)

(2.37)

где Т — абсолютная температура, ц — химический потенциал. В пределе высоких температур статическая диэлектрическая проницаемость имеет следующий вид [544]:

х(д, 0) = х fl +

У » /

X = / 2тй2 \1/2 у тквТ )

g W =Ф / у(2.38)

х\ 4 т Л/

Здесь„

Ф^=т-'лд» Idz— (2.39)

Jу - z

— действительная часть плазменной дисперсионной функции [545], определение которой отличается множителем — 1 от данного в работе [574]. Буква ^означает, что интеграл берется в смысле главного значения. Отметим, что ^(О) = 1, поэтому при малых q (2.38) переходит

Рис. 7. Зависимость от волнового вектора отношения эффективного параметра экранирования qs(q,T) к его величине 9, (0,0) при Г = 0 К в длинноволновом пределе при различных температурах [1704]. Кривые вычислены для инверсионного и-слоя на поверхности (001)81; концентрация носителей N„ = 2 • 1012см-2, соответствующий диаметр окружности Ферми 2kF = 5,01 ■ 106 см.

в (2.39). Кроме того, при высоких температурах соотношение (2.38) может дать неправильный результат, если не принять во внимание заполнение электронами нескольких подзон. На рис. 7 показана вычисленная Стерном [1704] зависимость эффективного параметра экранирования от волнового вектора при заполнении электронами одной подзоны при Т = 0 и при более высоких температурах.

Экранирующие свойства электронов в таких двумерных системах, как слоистые соединения илн интеркалированный графит, обсуждались в работах [1885, 543, 1429].

ПЛАЗМОНЫ

Далее рассматриваются некоторые динамические явления, обусловленные зависимостью диэлектрической проницаемости от частоты и волнового вектора (2.32). Простейшее из них — плазменные колебания — свободные продольные коллективные колебания электронов в целом, или плазмоны. Условие существования плазмонов с частотой ш определяется из дисперсионного уравнения

x(q, ш) = 0. (2.40)

В случае больших длин волн, когда тш ► hqkF, поляризуемость уменьшается до значения, соответствующего свободному электронному газу х = — Л/^/ты2, и решение уравнения (2.40), где диэлектрическая проницаемость определяется соотношением (2.34), имеет вид

г Х^ q - —г Х^ q - —' тхшг 2%^ 2' тхшг 2%^ 2(2.41)(2.41)

г Х^ q - —

г Х^ q - —

' тхшг 2%^ 2

' тхшг 2%^ 2

(2.41)

(2.41)

В пределе больших длин волн, когда q < IrN^/mc2, правая часть равенства (2.41) пренебрежимо мала и q — х'лш/с. Подобный результат получен для объемных и поверхностных плазмонов [529]. Отметим также, что диэлектрическая проницаемость и дисперсия плазмона изменятся, если диэлектрик будет заполнять не полупространство, а слой конечной толщины (см. § 5), причем эти изменения сказываются, как правило, прежде, чем начинают проявляться так называемые эффекты запаздывания.

Выражение для эффективной диэлектрической проницаемости (2.34) получено в предположении, что плоскость, которую занимает электронная система, помещена в однородную среду. В действительности картина более сложная. Электроны, образующие инверсионный слой в полупроводнике, лежат между слоем диэлектрика, граничащим с металлическим затвором, и слоем пространственного заряда, граничащим с объемом полупроводника. В непосредственной близости от системы электронов на поверхности жидкого гелия обычно тоже имеются металлические электроды. Существование проводящих границ изменяет дисперсионное соотношение для плазмона. Если пренебречь эффектами запаздывания, то плазменная частота определяется выражением [352]

(2.42)(2.42)4irNje2qm^nnC^q^nnДИЭЛ С^ ^ДИЭЛ

(2.42)

(2.42)

где ^диэл и ^пп — соответственно толщина диэлектрика и эффективная толщина полупроводника. При ш ~ шр объем полупроводника можно рассматривать или как металл, например в случае высокой объемной плотности свободных носителей, или как диэлектрик, например при низких температурах, когда свободные носители выморожены. В первом случае эффективная толщина полупроводника dnn равна толщине обедненного слоя zd; во втором случае

dnn равна или бесконечности, или толщине полупроводника, если с его тыльной стороны нанесен металлический контакт.

Если qzd г 1, то cth^zd * 1 и соотношение (2.42) приобретает известный более простой вид ([275 , 472], а также [1274]). Если qdnn < 1, то qd№3n < 1, так что гиперболический котангенс можно заменить величиной, обратной его аргументу, тогда

/ AnN^/m \

шр ~ q (1 .(2.43)

I ХПП | хдиэл I\ ^пп ^диэл /

В случае более коротких длин волн поправки, связанные с конечной толщиной слоя диэлектрика, становятся менее важными. Если этими поправками пренебречь и разложить поляризуемость в ряд по параметру q/ш, то из соотношений (2.32), (2.34) и (2.40) непосредственно следует

~ IlvN^ q + | q2Vp(2.44)

mx 4

Таким образом, энергия плазмона пропорциональна квадратному корню из волнового вектора, этот результат для двумерных систем был впервые получен в работах [1509, 529]. Незначительно отличающийся результат (численный коэффициент прн втором слагаемом равнялся ’/2, а не %) был получен в гидродинамическом приближении [542]. В работе [162] при вычислении дисперсии плазмона принимались во внимание как корреляционные эффекты, так и отличие от нуля толщины инверсионного слоя. Оказалось, что первое слагаемое в соотношении (2.44) не изменяется, тогда как второе претерпевает значительные изменения и в случае вырожденного электронного газа, и в случае невырожденного. В работе [1491], в которой найдены выражения для продольной и поперечной диэлектрической проницаемости двумерного электронного газа, были уточнены результаты предыдущей работы. Дисперсионные кривые плазмонов, вычисленные с учетом в различных приближениях многочастичных эффектов, сравнивались в обзоре Джонсона [839].

Предсказанное поведение дисперсии плазмона в случае больших длин волн было впервые экспериментально подтверждено в работах [671, 672], в которых определялись резонансы стоячей волны в диапазоне радиочастот в системе электронов на поверхности жидкого гелия. Несколько позже предсказанное поведение подтвердилось и для плазмонов в инверсионных слоях [34, 1757, 1758], в этих экспериментах измерялось пропускание возбуждающего плазмоны излучения в далекой инфракрасной области спектра. Также в инверсионных слоях впервые наблюдалась эмиссия плазмонов, возбуждавшихся при пропускании тока между истоком и стоком [1822]. Во всех этих экспериментах отбор плазмонов по волновому вектору осуществлялся с помощью диффракционной решетки с периодом а, расположенной вблизи электронного слоя; при этом плазмоны с компонентами волнового вектора вдоль поверхности qn = 2тт/а (л = 1, 2, 3, ...) взаимодействуют с ней и могут быть введены в систему или выведены из нее. Пока еще не удалось достичь больших значений q для проверки членов более высокого порядка в дисперсионном соотношении, так как это требует дальнейшего уменьшения периода решетки. Такие эксперименты, однако, могли бы быть очень интересными, поскольку, во-первых, члены более высокого порядка чувствительны к деталям взаимодействий в системе, а во-вторых, спектр плазмонов перекрывается со спектром одночастичных возбуждений системы при больших волновых векторах.

Если слой диэлектрика граничит со слоем другого полупроводника или полуметалла, то в дисперсии плазмона появляется другая интересная особенность. В этом случае на противо-

положных сторонах диэлектрика будут индуцированы противоположные заряды и возникнут две связанные ветви плазменных колебаний; эта проблема рассмотрена в работах [472, 234]. Дисперсионное соотношение упрощается, если слой диэлектрика разделяет полупроводники с одинаковыми статическими диэлектрическими проннцаемостямн хпп, если пренебречь конечной толщиной, обедненного слоя и если qd №ЭЛ < 1. Тогда две ветви плазменных колебаний при больших длинах волн определяются выражениями

„2 _ ^^Чкэл „2 _ ^N^4me + mh)q

(Ще 4- mA)xOT3n m<WTO,n

где те н mh — соответственно массы электронов и дырок, индуцированных на противоположных сторонах диэлектрика. Одну из связанных ветвей плазменных колебаний (они пока не наблюдались) можно назвать акустической, другую — оптической. Акустические плазмоны могут возникнуть и в одном слое пространственного заряда с одним типом носителей, если они заполняют более одной подзоны [1735]. Связанные ветви плазменных колебаний рассматривались также в работах [367, 369]. В работе [490] изучался плазменный резонанс в инверсионном слое на поверхности (100) Si, к которой прикладывалось механическое напряжение и определялись условия, при которых носители переходили из нижней подзоны в вышележащую подзону £0., характеризующуюся другой оптической эффективной массой в направлении, параллельном поверхности. В ряде работ исследовалось взаимодействие плазмонов и фононов [235, 619, 620, 284, 1748].

Плазменные колебания изучались также в слоистых электронных системах (см., напри- мер, работы [658, 543, 101, 1513, 1639, 1640]), в том числе в системах, помещенных в магнитное поле ([960]). Недавно сообщалось [1193] об экспериментальном исследовании плазмонов в интеркалированном графите. Много теоретических работ посвящено слоистым электроннодырочным системам, свойства которых обсуждаются в § 7 гл. 8.

Влияние магнитных полей на диэлектрические свойства двумерного электронного газа изучалось теоретически в работах [309, 774, 776, 1275, 1079, 1080, 771, 773] и экспериментально в работе [1756].

Плазмоны рассматривались также как возможная причина возникновения сверхпроводимости в инверсионных слоях [1743, 1735, 1736, 1739]. Сверхпроводимость в инверсионных слоях в Si кратко обсуждается в конце разд. 1 § 6 гл. 2, в InAs — в разд. 3 § 2 гл. 8.

Хороший обзор экспериментальных и теоретических исследований свойств плазмонов н магнетоплазмонов в инверсионных слоях сделан в работе [1755] (см. также [1119]). Дополнительное обсуждение затронутых вопросов содержится в разд. 3 § 3 гл. 6.

СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ

Хорошо известно, что локализованные состояния, создаваемые примесями и дефектами, существенным образом влияют на электрические и оптические свойства полупроводников. В этом параграфе рассматриваются некоторые эффекты, обусловленные существованием связанных состояний в двумерных системах, причем основное внимание будет уделено связан- иык^состоянням в системе электронов инверсионного слоя, создаваемым заряженными примесными центрами.

Простейшим примером связанных состояний в массивном полупроводнике служат состояния, локализованные вблизи однокоатно заниженного атома примеси, создающего кулоновский потенциал, которым в случае параболической зоны соответствует водородоподобный

спектр энергетических уровней.

Еп =Еп =п = 1, 2, ... ,п = 1, 2, ... ,(2.46)(2.46)

Еп =

Еп =

п = 1, 2, ... ,

п = 1, 2, ... ,

(2.46)

(2.46)

где т — изотропная эффективная масса носителей, хпп — статическая диэлектрическая проницаемость полупроводника. Энергия отсчитывается от края соответствующей зоны.

Потенциальная энергия электрона в поле однократно заряженного атома примеси, расположенного на поверхности полупроводника илн на границе между полупроводником и диэлектриком, равна — ег!хК. Если на границе раздела существует высокий потенциальный барьер, который не позволяет электронам приближаться к диэлектрику, то в первом приближении можно потребовать, чтобы огибающая волновая функция электрона на границе раздела равнялась нулю. Если к тому же пренебречь потенциалом изображения и изгибом зон вблизи границы раздела, то спектр энергетических уровней останется водородоподобным:

те42x5^те42x5^Ry* п1 ’Ry* п1 ’п = 2, 3,п = 2, 3,(2.47)(2.47)

те42x5^

те42x5^

Ry* п1 ’

Ry* п1 ’

п = 2, 3,

п = 2, 3,

(2.47)

(2.47)

где Ry* — эффективный ридберг, в выражение для которого входит арифметическое среднее статических диэлектрических проницаем остей полупроводника и диэлектрика. Граничное условие исключает s-состояния, поэтому нумерация уровней начинается с л = 2. Эта задача была впервые рассмотрена Левнном в 1965 г. [1101]. В более поздних расчетах примесных уровней учитывались поляризационные эффекты [1482], анизотропия масс [167], потенциал изображения [1422, 869], изгиб зон на поверхности полупроводника [868]. Качественно обсуждалось также влияние поверхностного диполя [870].

Если принять во внимание поверхностное электрическое поле, которое приводит к образованию электрических подзон, и предположить, что носители заполняют только нижнюю подзону, то задача сведется к двумерной. В строго двумерном пределе, когда кулоновские центры лежат в той же плоскости z = 0, что и электроны, спектр энергетических уровней имеет вид [559]

те4

Е„ = " / , хГ. » = 1, 2, ... .(2.48)

гхЧ1 (п — )

\2 /

Стерн и Ховард [1705] рассмотрели несколько более общий случай образования связанных состояний в поле заряженной примесн, расположенной в стороне от плоскости, занимаемой электронами, и учли экранирование прнмеси свободными электронами. Однако мы не останавливаемся на результатах этой работы, поскольку выбранная модель строго двумерного электронного газа не адекватна реальному слою пространственного заряда (см. [1167]), а также на результатах другого расчета [634], в котором не требовалось, чтобы огибающая волновая функция равнялась нулю на поверхности полупроводника, и основным считалось s- состоянне с и = 1 в выражении (2.47).

Более реалистичный подход к описанию примесных состояний вблизи границы раздела принадлежит Мартину и Уоллесу [1166, 1167]. Рассматривалась система электронов инверсионного слоя, заполняющих нижнюю подзону, на границе раздела Si — SiO2 во внешнем перпендикулярном поверхности электрическом поле; учитывался потенциал изображения. В вариационном приближении были вычислены энергии связи основного и первого возбужденного состояния примеси, расположенной на границе раздела, их зависимости от напряженности

Рис. 8. Энергия связи электрона в кремнии с положительным зарядом е, расположенным на расстоянии d от границы раздела Si — SiO2 в случае плоских зон [1118]. Энергия измеряется в эффективных ридбергах, Ry* - 43 мэВ, расстояние — в эффективных боровских радиусах, а* - 2,2 нм. Излом на кривой зависимости энергии связи, возникающий при пересечении зарядом границы раздела, обусловлен различием статических диэлектрических про- ницаемостей Si и SiO2.

электрического поля, а также величина матричного элемента оптического перехода этими состояниями. Если полагать, что напряженность электрического поля равна нулю, и, кроме того, пренебречь потенциалом изображения н анизотропией массы электрона, то энергетический спектр будет иметь вид (2.47), где основному состоянию соответствует л = 2, а первому возбужденному — п = 3. Если напряженность электрического поля оесконечно велика, то спектр энергетических уровней описывается соотношением (2.48), где основному состоянию соответствует л = 1, а первому возбужденному — л = 2. При увеличении напряженности электрического поля от нуля до очень больших значений энергии связи возрастают на порядок величины.

В работе Липари [1118] предполагалось, что кулоновские центры могут лежать как на границе раздела, так и в полупроводнике или в диэлектрике. По сравнению с расчетом Мартина и Уоллеса использовался набор более сложных базисных функций, соответствовавший симметрии задачи, — волновые функции разлагались по сферическим гармоникам, каждая из которых умножалась на радиальную функцию, представлявшую собой сумму экспонент. В суммах бралось достаточное число членов для обеспечения сходимости. Липари исследовал влияние потенциала изображений и анизотропии эффективной массы в нижней долине зоны проводимости на энергию связи основного состояния. Вычисленные значения энергии связи для кремния несколько превышают значения, полученные Мартином и Уоллесом. На рис. 8 показана зависимость энергии связи от удаления кулоновского центра от границы раздела, вычисленная Липари для случая плоских зон. В работе Винтера [1878] волновая функция связанного состояния разлагалась в ряд, каждый член которого представляет собой произведение функций от каждой из цилиндрических координат г, г и 0. Зависящие от г функции являлись решениями одномерного уравнения Шредингера, в котором потенциал примесей не учитывался, а радиальные функции определялись численно. Полученные Винтером значения энергии связи также несколько превышают значения, полученные Мартином и Уоллесом.

Как уже отмечалось, грубая оценка влияния на энергию связи экранирования заряженной примеси электронами инверсионного слоя принадлежит Стерну и Ховарду; более реалистичный, хотя и в некоторой степени эмпирический, расчет [751] показал, что учет экранирования действительно уменьшает энергию связи.

Результаты расчетов можно проверить экспериментально, исследуя свойства инверсионных слоев на границе раздела Si — SiO2, в окрестности которой локализованы ионы натрия Р06—709]. Вычисленная энергия связи соответствует (но, вероятно, не равна) измеряемой энергии £’| активации электрона из примесной зоны в область энергий выше порога подвижности. Для более правильной интерпретации экспериментальные результаты следует экстраполировать к нулевой концентрации ионов натрия и нулевой концентрации носителей инвер-

сионного слоя, так как в расчетах не учитывается ни образование примесной зоны, нн экранирование примеси свободными носителями. Эти вопросы подробно обсуждаются в § 3 гл. 5, экспериментальные и теоретические данные сравниваются на рис. 100.

Более сложная теория связанных примесных состояний, в которой принимается во внимание экранирование потенциала примеси свободными носителями, построена Винтером [1878]. Заполнение связанного состояния и экранирование потенциала примеси электронами инверсионного слоя рассматривались самосогласованно методом локального функционала плотности Кона и Шэма без учета спиновой поляризации и перераспределения электронов между долинами. Оказалось, что локальное состояние характеризуется очень малой энергией связи, на что указывали и предыдущие расчеты [1705, 1166], и является четырехкратно вырожденным, причем кратность вырождения не удалось понизить даже в рамках развитого Винтером метода функционала долинной плотности [1881]. Отмечалось также [188J], что к результатам расчетов связанных состояний при наличии свободных носителей следует относиться с большой осторожностью, так как при их получении пренебрегалось уширением уровня и перекрытием волновых функций электрона на соседних заряженных примесях. Связанные примесные состояния с учетом экранирования свободными носителями рассматривались также в работе Такады [1737], в которой оценивалось влияние заполнения связанных состояний на подвижность электронов инверсионного слоя. Более подробно этот вопрос обсуждается в § 3 гл. 4.

Крамер и Уоллес [1013] впервые исследовали связанные примесные состояния, приняв во внимание существование нескольких подзон. Авторы использовали довольно простые вариационные волновые функции и рассчитали связанные состояния, принадлежащие нижней и первым двум возбужденным подзонам, образованным парой нижних долин зоны проводимости на поверхности (100) Si. Оказалось, что энергия перехода между двумя связанными состояниями, принадлежащими двум нижним подзонам, превышает энергию перехода между подзонами в случае, когда примеси отсутствуют. Этот результат качественно согласуется с данными эксперимента [1175], согласно которым наличие ионов Na вблизи границы раздела Si — SiO2 обусловливает размытие линий межподзонных переходов и сдвигает их в сторону ббльших энергий. Отметим, однако, что экспериментально исследовалась система с большой концентрацией свободных носителей, тогда как в расчетах Крамера и Уоллеса экранирование примесей во внимание не принималось. Дополнительное обсуждение оптических измерений приведено в § 3 гл. 5.

Заканчивая параграф, приведем некоторые результаты, характерные для связанных состояний в двумерных системах. Отметим, что произвольно слабый притягивающий потенциал может создать связанное состояние, хотя для очень слабого потенциала энергия связи оказывается экспоненциально малой по сравнению с глубиной соответствующей потенциальной ямы ([1057], стр. 196). С другой стороны, в трехмерном случае потенциальная яма должна быть достаточно глубокой, чтобы могло образоваться связанное состояние (см., например, [133]). В двумерном случае Стерн и Ховард, используя результаты работы [133], показали [1705], что число П[ связанных состояний с / > 0, где / — азимутальное квантовое число, удовлетворяет неравенству

(2.49)(2.49)I R^tR^dR.

(2.49)

(2.49)

В качестве примера они рассмотрели модельный потенциал, совпадающий при любом значении q с вычисленным в приближении Томаса — Ферми потенциалом ф(г) кулоновского цент-

ра в системе электронов инверсионного слоя, заполняющих нижнюю подзону, коэффициенты разложения Фурье — Бесселя которого определены соотношениями (2J8). Оказалось, что модельный потенциал ф(г) не может создать связанное состояние с / > 0. Этот вывод можно было бы проверить на примере потенциала, более точно учитывающего экранирование (2.35) или менее эффективно экранируемого, что имеет место при высоких температурах или образовании хвостов в плотности состояний.

МНОГОЧАСТИЧНЫЕ ЭФФЕКТЫ

Квантовая электронная жидкость

В двумерной системе электронов, движение которых происходит в плоскости, находя- щейся-в вакууме, фурье-компонента И(^) потенциала электрон-электронного взаимодействия имеет вид lue^lq (в трехмерной электронной системе —■ 4тге2/9). Это выражение легко обобщить на более реалистичный случай. Рассмотрим слой электронов в полупроводнике вблизи границы раздела полупроводник — диэлектрик. Пусть полупроводник со статической диэлектрической проницаемостью хпп заполняет полупространство z > 0, а полупространство z < 0 — это непроводящая среда со статической диэлектрической проницаемостью хдизл, тогда потенциал кулоновского взаимодействия двух электронов, расположенных в точках (г, z) и (г', z'), который является решением уравнения Пуассона, определяется выражением

^(г - г'; z, z') = [(г - г')2 + (z — z')2]"'/2 +

хпп

+[(r - г')2 + (Z + Z')2]-'/2 =

^пп^пп + ^диэл)

= V^ ?^_ ^'A (r-r') /e-«lz-z'l + Хпп ~ *диэл c~glz+z'l\ (2 50) ^nn^\Хпп + ^диэл/

Первый член в выражении (2.50) описывает прямое кулоновское взаимодействие, второй член — взаимодействие одного электрона с изображением другого. Потенциал изображения изменится, если диэлектрик будет заполнять не полупространство, а слой конечной толщины, а в плоскости z = -^диэл будет расположена металлическая пластина. Ее влиянием, однако, можно пренебречь, поскольку обычно выполняется условие 9</диэл > 1. Если распределение плотности электронов в слое описывается функцией g(z), то фурье-компонента эффективного потенциала электрон-электронного взаимодействия имеет вид V^ = (2ire2/xq)F(q), где х = (х + х )/2 и

' ПП т ДИЭЛ'7 * и

^(9) = - [ dz [ dz'g(z)g(z') ГЛ + ^аи^Л e-q'z-z'' +

00.

+ (1 - ^дюд \ e-ek+z'lln

X Xnn /J

Если функция g(z) определена соотношеайм (2.16), TO форМ-фвХТОр Fty)ОПЯСЫвается следу-

ющим аналитическим выражением:2

F(q) = — Л + ^Л 6 + Г8 +* 3 1 1 +

(2.52)(2.52)\ *пп / \ b / L b \Ь / А

(2.52)

(2.52)

В пределе нулевой толщины электронного слоя (Z? — оо) форм-фактор F(q") — 1 и, если х = 1, кулоновский потенциал снова приобретает вид, характерный для строго двумерной системы.

Электрон-электронное взаимодействие может влиять на различные свойства двумерной электронной системы, для описания которой используется представление об элементарных возбуждениях — квазичастицах. Сначала большое внимание исследователей привлекли характеристики квазичастиц, которые непосредственно проявляются в эксперименте: эффективная масса и g-фактор. В 1968 г. Фэнг и Стайлз [523] впервые измерили g-фактор в инверсионном слое на поверхности (100) Si и обнаружили, что его величина заметно превышает объемное значение, близкое к двум. В 1972 г. Смит и Стайлз [1657] измерили эффективную массу в той же системе и показали, что она превышает эффективную массу электрона в зоне проводимости и уменьшается с ростом концентрации электронов. Различные вопросы, касающиеся этих экспериментов, более подробно обсуждаются в § 2 гл. 6.

Обычно свойства квазичастиц рассматриваются в рамках полуфеноменологической теории ферми-жидкости, развитой Ландау [1056], в которой центральное место занимает так называемая /-функция, или функция взаимодействия. Цель микроскопической теории заключается в определении из первых принципов /-функции зависимости от концентрации электронов. Наиболее общим является приближение хаотических фаз, его использование в теории трехмерных электронных систем обсуждалось в обзоре Райса [1508]. Энергия квазичастицы Е^к) со спином а в долине с индексом и, определяемая функциональной производной полной энергии по функции распределения Ферми л№(к), в приближении хаотических фаз выражается следующим образом:

Его(к) = с(к) - (G<^(k - q> е^ -(2ЛЗ>

J 2ят x(q, ш)q

через свободную функцию Грина

G(^(k, £) = ^5^+ L--^-?(2.54)

™Е - г(к) -i0 Е - е^к) + «0

и диэлектрическую проницаемость

х(я, ш) = 1 + К(9)П(9, ш),(2.55)

где е(к) = h2к1 /2т, а

П(9, «) = - V У GW(k, Е) G® (k + q, Е + Ш\(2.56)

Поляризационный оператор П(9, ш) связан с поляризуемостью xVq» ш) (2.31) соотношением Щу, ш) = (Я2/е2)х(Я, w). В свою очередь /-функция определяется функциональной производной энергии квазичастицы по по-и-(ку. Результат можно представить в виде суммы двух

членов:

U a’v'^ k') = /0*> И + Vvv'fe^ k').

Тогда

m - 1 _ т

(2.57)(2.58)(2.57)(2.58)L LJ^aV^osW,L LJ^aV^osW,— = 1 + 5 g*k^h?— = 1 + 5 g*k^h?дед^.дед^.(2.59)(2.59)"т* ~(2тй)2

(2.57)

(2.58)

(2.57)

(2.58)

L LJ^aV^osW,

L LJ^aV^osW,

— = 1 + 5 g*k^h?

— = 1 + 5 g*k^h?

дед^.

дед^.

(2.59)

(2.59)

где ДО) = /(к, к'), к = к’ = kF,4 ■ к' = ^со$9. Эффективная масса электрона т* и эффективный g-фактор g* в слабом магнитном поле Н определяются, как обычно, соотношени

ями

(2.60)

И

£<,„(*» = Е<кРЛ - ^ g*^, (2.61) где лл — магнетон Бора. Такой подход к описанию двумерных систем был впервые использован в работе Сузуки и Кавамото [1732] и позднее в работе Тинга и др. [1778].

При вычислении g* и т* использовались различные приближенные методы. Янак [830] был первым, кто отметил, что необычайно большой g-фактор, наблюдавшийся в инверсионном слое и-типа на поверхности (100) Si, мог быть связан с усилением обменного взаимодействия электронов. Энергия квазичастицы вычислялась в низшем порядке по статическому экранированному кулоновскому взаимодействию. Полученное выражение для g* отличается от приведенного выше (2.59) тем, что т* заменена на эффективную массу электрона т, кроме того, второе слагаемое ошибочно умножено на 2. Сузуки и Кавамото [1732] исправили ошибку в расчете Янака и получили значительно меньшее значение g*. Спорной, однако, является их оценка роли потенциала изображения. Кроме того, в работе [1732] вычислена эффективная масса квазичастицы в статическом приближении, в котором пренебрегается зависимостью диэлектрической проницаемости от частоты, т.е. x(q, ш) заменяется на х(д, 0). Это приближение, справедливое при вычислении g-фактора, неприемлимо при расчете эффективной массы квазичастицы. Дело в том, что g-фактор определяется, по существу, различием обменных взаимодействий электронов со спином вверх и со спином вниз в окрестности контура Ферми, тогда как эффективная масса определяется виртуальными возбуждениями электронно-дырочных пар и плазмонов в широком интервале энергий. Андо и Уемура [80, 81], исправив расчет Янака, оценили изменения, связанные с отличием толщины инверсионного слоя от нуля. Оказалось, что уменьшение Ag = g* - g составляет около 20% при N$ ~ 5 ■ 1012 см-2. Авторы работы [1778] в рамках динамического приближения хаотических Фаз учли увеличение эффективной массы и получили более резкую зависимость g-фактора от Ns> чем в работе Андо и Уемуры. Было показано, что g-фактор, вычисленный в приближении Хаббарда [789, 790], учитывающем влияние мелкомасштабных корреляций, возрастает при увеличении Ns в отличие от зависимости, предсказанной в приближении хаотических фаз и наблюдаемой экспериментально. Такое же поведение, обнаруженное и в трехмерных системах низкой плотности [55], думается, связано с неадекватностью приближения Хаббарда. Ре-

зультаты соответствующего расчета для квазидвумерной системы приведены в работе [1081]. Приближение Хаббарда использовалось также в работе [1341], в которой принималось во внимание существование нескольких вышележащих подзон, а также отличие толщины инверсионного слоя от нуля. Учет гибридизации подзон приводит, по-видимому, к незначительному увеличению эффективной массы.

В приближении, предложенном Райсом [1508], рассматривается уравнение (2.53), записанное в виде

Е(к) = е(£) + ^к, е(к))(2.62)

вместо точного уравнения Дайсона

Е(к) = е^к) + Цк, Е(к)),(2.63)

где собственно-энергетическая часть L(k, Е) вычислена в низшем порядке по динамическому экранированному кулоновскому взаимодействию, в выражениях для собственноэнергетической части и диэлектрической проницаемости полные функции Грина заменены свободными. Винтер [1874, 1876] использовал несколько другой приближенный подход. Вместо уравнения (2.62) он рассматривал точное уравнение Дайсона (2.63), упростив вычисление собственно-энергетической части. Выражение для экранированного потенциала взаимодействия разделялось на две части:

nq)x(q, ШрХ = И(9) + K(q) [x(q, шГ1 - 1].(2.64)

Вместо численного интегрирования уравнения (2.53) по q и ы второе слагаемое в формуле (2.64) выражалось через энергию плазмона toq и константу связи а,

Im[x(^, ш)-1 — 1] = «5(ы — ы^),(2.65)

которые можно определить, потребовав выполнения правила /-сумм,

(2.66)(2.66)dtoto\m\xt,q, ш^ 1 — 1] =ко>р,

(2.66)

(2.66)

где top — плазменная частота, равная (2tN^q/xm^, и соотношения Крамерса — Кронига для нулевой частоты:

I —1т[х(у, ш)-1 - 1] = — [x(q, О)-1 - 1].(2.67)

J ш2

0

Описанное приближение плазмонного полюса применялось для вычисления диэлектрической проницаемости трехмерного электронного газа [1135, 1136, 1380]. Вычисленная в этом приближении зависимость увеличения эффективной массы от Ns качественно не отличается от полученных в работе [1081] и других, хотя ее абсолютное значение оказалось меньше.

1 - —1 - —Вопрос о том, какое из уравнений, (2.62) или (2.63), следует использовать для расчета эффективной массы, обсуждался в работах [1082, 1083, 1483]. Взяв значения производных от (2.62) и (2.63) по к на контуре Ферми, получим

1 - —

1 - —

(2.68)

где Z — ренормализационная постоянная, равная [1 - ЭЕ(*, Е^ЭЕ^ 1 на ВОНТуре Ферми. Индекс D соответствует результату, полученному при решаомточиого уреяеения Дайсона

.63), индекс R — полученному в приближении Райса. В инверсионном л-канале на поверхности (100) Si Z изменяется от 0,3 до 0,8 в интервале концентраций электронов от 10й до 1013 см-2, так что разница между mJ и mJ существенна. В работах [1082, 1083] доказывалось, что метод Райса [1508] дает более точный результат, если собственно-энергетическая часть вычислена только в низшем порядке по эффективному экранированному взаимодействию. Причина этого заключается в частичной компенсации членов более высокого порядка в собственно-энергетической части и поправок к приближенному уравнению (2.62), входящих в точное уравнение Дайсона. В действительности в трехмерной системе электронов в пределе высокой плотности уравнение (2.63) не дает правильного разложения в отличие от уравнения (2.62) [1508]. Отметим, однако, что при типичных концентрациях электронов происходит неполная компенсация, и трудно сказать, какой из способов вычисления дает более точный результат.

Для вычисления эффективной массы и g-фактора использовался также метод функционала плотности [54, 55], рассмотренный в § 2 гл. 3. Вычисленные в различных приближениях зависимости эффективной массы от Ns на рис. 9 сравниваются с экспериментальными результатами Смита и Стайлза [1657] и Фэнга и др. [520].

Кроме уже упомянутых изучались также и другие свойства двумерной системы взаимодействующих электронов. В работе [2015] была вычислена корреляционная Энергия электронного газа в приближении высокой плотности, учитывались кольцевые диаграммы и обменная диаграмма второго порядка. Впоследствии в этом расчете были обнаружены и исправлены ошибки [1493, 813, 814]. Полная энергия, приходящаяся на один электрон и измеренная в ридбергах, имеет следующий вид:

11,2

e(ts) =0,38 - 0,172г51пг5 + O(rs),(2.69)

rsrs

Ns, 1О'г см~2

Puc. 9. Значения эффективных масс в инверсионном л-слое на поверхности (100)Si, полученные теоретически (сплошная линия — результаты Ли и др. [1081] (z0 = 19,5 А), штриховая — Андо [54, 55], штрих- пунктирная — Окавы и Уемуры [1341], точечная — Винтера [1874, 1876]) и экспериментально (треугольники — результаты Фэнга и др. [520], кружки — результаты Смита и Стайлза [1657]).

где параметр г$ определяется из соотношения N~l = яд^, а ав = h2/m^2 — боровский радиус. Подчеркнем, что рассматривается строго двумерная система электронов в вакууме без учета влияния среды через статическую диэлектрическую проницаемость и эффективную массу. Джонсон [839] сравнил корреляционные энергии и парные корреляционные функции системы электронов инверсионного слоя на поверхности (100) Si, вычисленные в приближении хаотических фаз и в приближении Хаббарда, а также методом, предложенным в работе Сингви и др. [1652]. Оказалось, что приближения хаотических фаз и Хаббарда описывают строго двумерные электронные системы не так хорошо, как трехмерные. Джонсон предположил, что в строго двумерных системах более важную роль играют мелкомасштабные корреляции, которые в этих приближениях должным образом не учитываются. К такому же выводу пришел Бозе [201]. Это предположение подтверждает тот факт, что приближения хаотических фаз и Хаббарда гораздо лучше описывают квазидвумерные системы, т.е. системы, толщина которых отлична от нуля, поскольку мелкомасштабные корреляции в этом случае ослаблены. Эти вопросы исследовались и некоторыми другими авторами [812, 816, 628, 572, 1796, 808, 809]. Аналогичные рассуждения были распространены на случай двумерного электронного газа во внешнем магнитном поле [815, 810] (см. также [807, 629]). В приближении хаотических фаз были вычислены диамагнитная и парамагнитная восприимчивости в слабых и промежуточных магнитных полях. Обсуждалась также орбитальная магнитная восприимчивость в слабом магнитном поле [1491].

Во всех упомянутых выше теоретических расчетах предполагалось, что в основном состоянии все парамагнитные состояния с различными ориентациями спина и принадлежащие разным долинам заполнены одинаково. Однако хорошо известно, что такое однородное распределение электронов неустойчиво относительно образования при достаточно низких концентрациях электронов вигнеровского кристалла (см. § 3 гл. 7). Кроме вигнеровской кристаллизации исследовались другие возможные неустойчивости. В работах Раджагопала и др. [1492, 1494, 1495] обсуждались ферромагнитные свойства строго двумерных систем. В приближении хаотических фаз была вычислена зависимость полной энергии от величины Г = (nt - — «!)/(«( + Л|), где Л; и л, — плотности электронов соответственно со спином вниз и со спином вверх. Обнаружен резкий переход строго двумерной системы электронов в насыщенное ферромагнитное состояние при rs = 5,4. В квазидвумерной системе переход происходит постепенно, причем критическая концентрация электронов значительно ниже. Парамагнитное состояние устойчиво при Ns г 5 • 1010 см-2, если No6em > 7,6 ■ 1010 см-2.

Кроме спинового вырождения следует учитывать также долинное вырождение, кратность которого для поверхности (100) Si равна двум. Если пренебречь слабым междолинным взаимодействием, подробно рассмотренным в § 1 гл. 7, то с точки зрения теории не будет разницы между ферромагнитным основным состоянием, в котором только одна долина заполнена электронами со спинами вверх и со спинами вниз. Возможность заполнения одной долины из двух на поверхности (100) Si исследовалась методом функционала плотности [195], и был предсказан резкий переход в это состояние при значительно более высокой концентрации (N, = 2,9 ■ 10й - -2 при ^обеди = 1 ’ ^Н см-2). Изучалось влияние различного заполнения долин на энергетические расстояния между электрическими подзонами [197]. Расчет вариационным методом Монте-Карло энергии основного состояния строго двумерного электронного газа показал, что состояние с поляризованными спинами устойчиво при достаточно низких концентрациях, когда. rs > 13. В работе Бергмана и Райса [175] была рассмотрена возможность образования волны зарядовой или спиновой плотности. В этих состояниях, существование которых в трехмерных электронных системах было предсказано Оверхаузером [1379], заполнение состояний с противоположными спинами или принадлежащих различным долинам

осциллирует в пространстве с характерным волновым вектором Q, величина которого |Q| - 2кР, хотя полная концентрация электронов остается постоянной. Бергман и Райс предполагали, что состояния с волной спиновой или долинной плотности в инверсионном п- слое на поверхности (100) Si при Ns s 8 ■ 10й см-2 могут быть энергетически более выгодными. Эта проблема обсуждалась также в рамках метода функционала плотности [850]. В работах [1153, 1154] было показано, что учет обменной поправки первого порядка к статической поляризуемости приводит к появлению резкого максимума при q = 1kF. Такое поведение весьма необычно, так как в трехмерном случае обменные поправки приводят просто к увеличению поляризуемости вблизи q = TkF, но не к появлению максимума. Хотя учет поправок более высокого порядка уменьшает величину пика, тем не менее его существование явно указывает на неустойчивость основного состояния двумерной системы электронов относительно образования волны зарядовой или спиновой плотности. Расчет методом функционала плотности [1568] показал, что критическая концентрация электронов для перехода в состояние с волной зарядовой плотности в строго двумерном случае соответствует г, — 17. Сато и Нагао- ка [1574], приняв во внимание существование двух подзон, вычислили статическую поляризуемость в направлении, перпендикулярном слою, и указали на возможную неустойчивость относительно образования волны поляризации в том случае, когда уровень Ферми лежит вблизи дна верхней подзоны. В этом случае волна поляризации с волновым вектором kF возникает спонтанно.

Недавно была исследована возможность возникновения сверхпроводимости в инверсионных слоях1*. Такада и Уемура [1743] рассмотрели различные механизмы, которые могут привести к сверхпроводимости в инверсионном слое на поверхности InAs, и показали, что существенную роль могут играть акустические плазмоны в системах, где электроны заполняют несколько подзон, характеризующихся различными эффективными массами (см. также разд. 3 § 2 гл. 8). Позднее Такада [1736] отметил, что плазмонный механизм сверхпроводимости возможен как в двумерной, так и в трехмерной электронной системе. В другой работе [1739] Такада вычислил температуру сверхпроводящего перехода в системе электронов инверсионного слоя на поверхности (100) Si, к которой приложено одноосное давление. Ханке и Келли [697, 698, 931] определили критическую температуру сверхпроводящего перехода в системе электронов на поверхности (111) Si, приняв во внимание кроме электрон-плазмонного также электрон-фононное взаимодействие и межподзонные переходы. Согласно их теории, Гкр возрастает до 10 мК при увеличении Ns до - 1013 см-2.

Классическая электронная жидкость

До сих пор обсуждались свойства двумерного электронного газа при низких температурах. Интерес к электронным состояниям, возникающим на поверхности жидкого гелия, стимулировал исследования классических двумерных систем. В классической электронной системе относительную величину кулоновского взаимодействия характеризует безразмерный параметр Г, который определяется отношением средней потенциальной энергии взаимодействую- чшх частиц e\itN^V1 к их средней кинетической энергии квТ. В разреженных системах при

высоких температурах параметр Г мал (Г < 1) и кулоновское взаимодействие не играет важной роли. При промежуточных плотностях (1 < Г < 100) движение электронов сильно скоррелировано и подобно движению жидкости. При высоких плотностях электронов и низких температурах (Г > 100) кулоновское взаимодействие играет определяющую роль и возможен фазовый переход в состояние, которое характеризуется периодическим пространственным распределением электронов. Такой электронный кристалл подробно обсуждается в § 3 гл. 7, а здесь мы ограничимся случаем относительно малых значений Г. В системе электронов на поверхности жидкого гелия параметр Г принимает значения от 1 до 95 в интервале концентраций Ns от 105 см-2 до 109 см-2 при Т = 1 К.

Рассмотрим сначала некоторые свойства двумерной классической плазмы в приближении хаотических фаз, которое эквивалентно приближению Дебая — Хюккеля и, как известно, применяется для описания трехмерной разреженной плазмы при высоких температурах (Г < 1). Диэлектрическая проницаемость двумерной классической плазмы имеет следующий

вид:вид:х(9, ы) = 1 +; ^ W qх(9, ы) = 1 +; ^ W qшqшqУ-Л^У-Л^

вид:

вид:

х(9, ы) = 1 +; ^ W q

х(9, ы) = 1 +; ^ W q

ш

q

ш

q

У-Л^

У-Л^

где qs — параметр экранирования Дебая, который в рассматриваемом двумерном случае определяется соотношением qs = 2ve2Ns/kBT, a ^(z) — производная плазменной дисперсионной функции

^(z) =^(z) =1(2^1(2^х exp (-х2/2) , dx.х - z - /ох exp (-х2/2) , dx.х - z - /о(2.71)(2.71)

^(z) =

^(z) =

1(2^

1(2^

х exp (-х2/2) , dx.

х - z - /о

х exp (-х2/2) , dx.

х - z - /о

(2.71)

(2.71)

$И - 1 - i$И - 1 - i(2Л2)(2Л2)(2.73)(2.73)Функция g(r) расходится энергия ес, приходящаяся теоремы вириала£с = 2 /_£квт \^ВТФункция g(r) расходится энергия ес, приходящаяся теоремы вириала£с = 2 /_£квт \^ВТвнавна11начале координат как g(r) - - (1/квТ)(е2/г). Корреляционная один электрон, и уравнение состояния выражаются с помощьюначале координат как g(r) - - (1/квТ)(е2/г). Корреляционная один электрон, и уравнение состояния выражаются с помощьюNСе2dr(g(r) - 1], 2квТ JгNСе2dr(g(r) - 1], 2квТ Jг(2.74)(2.74)

$И - 1 - i

$И - 1 - i

(2Л2)

(2Л2)

(2.73)

(2.73)

Функция g(r) расходится энергия ес, приходящаяся теоремы вириала

£с = 2 /_£квт \^ВТ

Функция g(r) расходится энергия ес, приходящаяся теоремы вириала

£с = 2 /_£квт \^ВТ

в

на

в

на

1

1

начале координат как g(r) - - (1/квТ)(е2/г). Корреляционная один электрон, и уравнение состояния выражаются с помощью

начале координат как g(r) - - (1/квТ)(е2/г). Корреляционная один электрон, и уравнение состояния выражаются с помощью

NСе2

dr(g(r) - 1], 2квТ Jг

NСе2

dr(g(r) - 1], 2квТ Jг

(2.74)

(2.74)

Действительная часть W-^z) равна Ф' (z/V2)/2, где Ф определена соотношением (2.39). Используя флуктуационно-диссипационную теорему, получим для статического форм-фактора выражение

5(9) — ( du Im[x(9, ш) 1 - 1] = —-—

N. I 2тг2ше2q + q.

Парная корреляционная функция связана с S(q) соотношением

1 ^2 Г X

[S(9) - Uexp(/q • г) =г j xо

где р — давление. С расходимостью gV^ в начале координат связана логарифмическая расходимость корреляционной энергии, что прямо свидетельствует о неадекватности приближения хаотических фаз. В трехмерном случае интеграл в правой части (2.74) не расходится, что приводит к хорошо известному результату Дебая — Хюккеля. Этот факт явно указывает на важную роль, которую играют мелкомасштабные корреляции в двумерных системах. Зная диэ-

лектрическую проницаемость классической двумерной электронной системы (2.70), можно получить выражения для плазменной частоты шр и затухания Ландау -yL при q « qs:

(2.75)(2.76)(2.75)(2.76)

(2.75)

(2.76)

(2.75)

(2.76)

= Г21п2Г2.= Г21п2Г2.Физический смысл расходимости в (2.74) состоит в том, что приближение линейного экранирования в подходе Дебая — Хюккеля несправедливо в окрестности электрона, где индуцированный заряд превышает плотность заряда фона. Для устранения расходимости вводится радиус обрезания гс; в частности, Феттер [544] полагал гс = Хр где Хг = = Qnrh27mkBTy/l — тепловая длина волны. В действительности гс определяется отношением ег/квТ, которое представляет собой грубую оценку классического расстояния между двумя ближайшими электронами с энергией квТ. Тогда в пределе малых Г можно записать

= Г21п2Г2.

= Г21п2Г2.

(2.77)

Эта формула справедлива в предельном случае разреженного газа. Разложение уравнения состояния по параметру Г получено в работах-[253, 1787, 1788, 1790]. Исследовалось влияние электрон-электронных столкновений на затухание плазменных колебаний; было показано, что в области, где плазменные колебания являются хорошо определенными коллективными модами, столкновительное затухание играет более важную роль, чем затухание Ландау [1788, 1367].

Недавно были предприняты попытки распространить исследования на область Г > 1 [1791, 1792, 1794, 1267]. Для определения уравнения состояния и парной корреляционной функции [756, 1789, 607, 818, 819], а также динамического форм-фактора и дисперсии плазмона [1793, 1795] проводились численные эксперименты на ЭВМ. Свойства двумерных электронных систем, которым соответствуют значения параметра Г > 100, подробно обсуждаются в § 3 гл. 7.

§ 7. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА В ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМАХ

Основной подход к обсуждению явлений переноса в двумерной электронной системе, рассмотрению которых на примере инверсионных и обогащенных слоев в кремнии посвящена гл. 4, такой же, как и в трехмерном случае, хотя есть некоторые различия в деталях. Так, например, эффективное сечение упругого рассеяния можно выразить через фазы 6, парциальных волн с орбитальным моментом / [1705]:

а^ = — тка^ = — ткe^^sini,,e^^sini,,22(2.78)(2.78)

а^ = — тк

а^ = — тк

e^^sini,,

e^^sini,,

2

2

(2.78)

(2.78)

где 9 — угол рассеяния, т.е. угол между волновыми векторами падающей и рассеаииой волны, который определен соотношением* _

S = Ik - k'l = 2£sirr— .(2.79)

Фазы 1), должны удовлетворять двумерному аналогу правила сумм Фриделя, которое при абсолютном нуле в случае одной заполненной подзоны имеет вид [1705]

2gp ^ t1i(Ef) = tZ,(2.80)

/= — оо■

где Z — заряд рассеивающего центра, и обеспечивает полное экранирование заряженного центра на больших расстояниях.

Анализируя фазы, можно оценить справедливость применения борновского приближения

»(6) =»(6) =оо22(2.81)(2.81)

»(6) =

»(6) =

о

о

2

2

(2.81)

(2.81)

для описания упругого рассеяния электронов на экранированном кулоновском потенциале в двумерной системе. Стерн и Ховард [1705] показали, что вычисленная в борновском приближении величина эффективного сечения занижена для рассеяния на притягивающем потенциале и завышена для рассеяния на отталкивающем потенциале. По мере удаления заряженного рассеивающего центра от плоскости, которую занимают электроны, точность борновского приближения возрастает. Поэтому оно обычно используется для описания рассеяния в инверсионных и обогащенных слоях в полупроводниках, представляющих собой квазидвумерные системы, т.е. системы, толщина которых отлична от нуля.

Рассмотрим поучительный пример рассеяния электронов на неэкранированном кулоновском потенциале И (г) = — Ze2/xr\ созданном точечным зарядом Ze, расположенным в электронной плоскости. Нерелятивистское уравнение Шредингера в этом случае решается точно, в результате эффективное сечение рассеяния имеет вид

, 0 2fcsinz— 2

где G = mZe2/xkh2 = Z/a*k. Рассмотрение в борновском приближении после подстановки формулы (2.14) в (2.81) при z0 = 0 и gs = 0 дает

TtZe^xhv)2

Ст(») = -2—,(2.83)

2*sin2 — 2

где и = hk/m для неэкранированиого кулоновского потенциала. Соответствующее классическое выражение для эффективного сечения рассеяния имеет вид [905]

IZIe2 .о(9) = —.(2.84)

2xmv2sin2 —

2

Условие применимости борновского приближения требует, чтобы рассеивающее поле рассматривалось как возмущение, в случае кулоновского потенциала необходимо Ze2fxr < h-j/r [1057], или G « 1. Условие классического рассеяния заключается в том, чтобы длина волны электрона (деленная на 2т), соответствующая энергии Е, была мала по сравнению с радиусом, соответствующим потенциальной энергии величины Е, т.е. Й/(2т£)‘/2 < Ze2/xE [1583], или G > '/г. Точное выражение (2.82) совпадает в предельных случаях с результатами, полученными в борновском приближении (2.83) и при классическом описании (2.84).

Этот пример тем более поучителен, поскольку для трехмерного электронного газа нельзя провести такого сравнения: выражения для эффективного сечения рассеяния в борновском приближении, при классическом рассмотрении и точная формула для а (6) совпадают друг с другом *\

11 См., напремер, [10S7], с. 597. — Прим, перев.

ГЛАВА 3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИИ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ

СТРУКТУРА ПОДЗОН

Приближение Хартри для электронов в слоях пространственного заряда в кремнии

Эта глава посвящена методам, используемым для расчета энергетических уровней и волновых функций электронов в инверсионных и обогащенных слоях в полупроводниках. Сначала в рамках простейшего приближения Хартри определяется вид самосогласованного одноэлектронного потенциала и записывается уравнение Шредингера для электрона вблизи границы раздела полупроводник — диэлектрик. Затем описываются более точные приближения, а вычисленные в рамках этих приближений энергетические уровни и волновые функции сравниваются с соответствующими результатами, полученными в приближении Хартри.

Электроны вблизи границы раздела полупроводник — диэлектрик движутся в поле довольно сложного потенциала. С одной стороны границы раздела на них действует поле периодического потенциала полупроводника, на которое накладывается относительно медленно изменяющееся электрическое поле, создаваемое приложенным напряжением, разностью работ выхода металла и полупроводника, а также неподвижными заряженными примесями. С другой стороны на электроны действует поле атомов диэлектрика, находящегося обычно в аморфном состоянии. На границе раздела формируется, как правило, высокий потенциальный барьер, что приводит к отталкиванию электронов от диэлектрика. Кроме того, на границе раздела может образоваться переходный слой, свойства которого отличаются от свойств полупроводника и диэлектрика.

Хотя полное описание системы электронов в слое пространственного заряда лежит вне рамок существующих теорий, тем не менее достигнут некоторый прогресс в понимании как электронной структуры границы раздела полупроводник — диэлектрик (см., например, [1069, 1070, 729]), так и ее микроскопической структуры, обсуждаемой ниже.

Чтобы определить уровни энергии электрона в слое пространственного заряда в полупроводнике, сделаем сначала все возможные упрощающие предположения, не искажающие физической сущности рассматриваемой системы, а затем оценим их влияние на получаемые результаты. Согласно простейшему приближению Хартри, каждый электрон движется в поле среднего потенциала, создаваемого всеми электронами; многочастичными взаимодействиями при этом пренебрегают. Кроме того, используется приближение эффективной массы, в рамках которого некоторым образом учитывается микроскопическая структура полупроводника. Предполагается также, что потенциальный барьер на границе раздела полупроводник — диэлектрик достаточно велик, поэтому в ее плоскости, выбираемой при z = 0, огибающую волновую функцию электрона можно считать равной нулю. Это приближение, хотя и не использовалось в первоначальном расчете Дьюка [441], лежит в основе большинства теоретических работ. Оно является вполне надежным для описания гранипы раздела Si — SiO2, /пт я неприменимо для некоторых других границ раздела, таких, как GaAs— Ga^Alj^As

Или поверхность жидкого гелия. Более подробно граничное условие, накладываемое на огибающую волновую функцию электрона, обсуждается §5 гл. 3.

Сначала ограничимся рассмотрением системы электронов; этот выбор обусловлен более простой структурой зоны проводимости и практической важностью исследования инверсионных и обогащенных «-каналов в кремнии.

Может возникнуть вопрос о применимости приближения эффективной массы для электрона, волновая функция которого в достаточно сильном электрическом поле в направлении, перпендикулярном поверхности, затухает на расстоянии порядка нескольких межатомных. Этот вопрос, обсуждавшийся в работах [1594, 1595], возникает при рассмотрении долинного расщепления (см. § 1 гл. 7), а также гетеропереходов и сверхрешеток (см.§ 4 гл. 8). Проверка с более высокой точностью невозможна, так как требует дополнительных данных о структуре границы раздела. Предполагается, однако, что использование приближения эффективной массы в меньшей степени ограничивает точность приводимых расчетов по сравнению с ненадежностью оценок многочастичных эффектов и недостатком информации о физических параметрах системы.

В простейшем варианте приближения эффективной массы рассматриваются электроны с массами, характеризующими минимум зоны проводимости, при этом непараболичность и взаимодействие с другими минимумами зоны не учитываются. Оператор кинетической энергии можно записать в виде

й2д2

Т=- — X w,,,(3.1)

2идх,дху

где Wjj -г элементы тензора обратной эффективной массы, соответствующей определенному минимуму зоны проводимости. Поскольку предполагается, что потенциальная энергия зависит только от z, волновую функцию можно представить в виде произведения функции Блоха, множителя, зависящего от z и плоской волны, описывающей свободное движение в плоскости ху. Простейшее преобразование, устраняющее в уравнении Шредингера первую производную, приводит к волновой функции следующего вида [1705]:

у, z) = f,(z)e'*'x+'^ х exp [ -i Г—kj + —l^a^)»(3.2)

I 1^33W33 J J

где «„(R) — функция Блоха для рассматриваемой долины зоны проводимости, содержащая как периодическую часть, так и множитель exp(/ka • г), где ka — волновой вектор, соответствующий минимуму энергии a-долины, а кх и к2 — волновые векторы в плоскости к^ , измеренные относйтельно проекции ka на эту плоскость. Огибающая волновая функция ^(z) удовлетворяет уравнению

Й2 </2h

^ d? + [£, - ^>№(3‘3)

где mz = м^1, при граничных условиях ^(z = 0) = 0, f,(z — со) = 0. (Такое разделение переменных в уравнении Шредингера, вообще говоря, несправедливо, если нарушено граничное условие ^(z = 0) = 0.) Функция ^(z) нормирована:

С ?^dz = 1.(3.4)

Таблица 1. Эффективные массы электрона для трех высокосимметричных ориентаций поверхности полупроводников с зонной структурой типа Si (поверхности постоянной энергии — шесть эллипсоидов вращения, расположенных на осях <100>) и типа Ge (поверхности постоянной энергии — четыре эллипсоида вращения, расположенные на осях (100)) [1705]. Эффективные массы электрона в инверсионном слое по главным направлениям (т$ — перпендикулярно поверхности, тх и ту — параллельно поверхности) выражены через т, и т, — поперечную и продольную массу электрона в объеме полупроводника, g„ — кратность вырождения каждой совокупности эллипсоидов.

Ориентация поверхности (100)

тх ту ”4 8„ т, m, т( 2 т, т( mt 4

(110)

т((mt + m,)/22mtml/(ml + т()4

т,mtmt2

(Ш)

т((т/ + 2m,)/33mlmj/(ml + 2m,)6

Ge

Ориентация поверхности (100) (НО)

тхтуmz8„

т,(т( + 2т,)/3Зт(тДт + 2т;)4

т,(mt + 2m,)/33m,m,/(m, + 2m,)2

m,m,m,2

(Ш)

m,m,m,1

m,(m, + 8m,)/99m,m/(m, + 8m,)3

Энергетические уровни определяются соотношением

ь2 ГЕ^кх, kJ =ь2 ГЕ^кх, kJ =' w2 \ w - 13 V2' w2 \ w - 13 V2+ 2 (Wj2 -+ 2 (Wj2 -^зз/"в^зУ к . /_ ^Хw33 /\ ^зз/^зз/"в^зУ к . /_ ^Хw33 /\ ^зз/(3.5)(3.5)

ь2 Г

Е^кх, kJ =

ь2 Г

Е^кх, kJ =

' w2 \ w - 13 V2

' w2 \ w - 13 V2

+ 2 (Wj2 -

+ 2 (Wj2 -

^зз/

"в^зУ к . /_ ^Х

w33 /\ ^зз/

^зз/

"в^зУ к . /_ ^Х

w33 /\ ^зз/

(3.5)

(3.5)

из которого видно, что линии постоянной энергии представляют собой параболы, лежащие выше уровня Eh который является дном /-подзоны. Главные значения эффективной массы т и ту зависят от ориентации эллипсоидов постоянной энергии в объеме полупроводника относительно поверхности. Приведенные в табл. 1 эффективные массы для трех высокосимметричных поверхностей полупроводников типа Si с эллипсоидами постоянной энергии, располо-

Таблица 2. Численные значения эффективной массы электрона в инверсионных слоях на высокосимметричных поверхностях кремния [1690].

Поверхность

(100)

(ПО)

(111)

Нижние долины 2

Верхние долины 4

Нижние долины 4

Верхние долины 2

Все долины 6

тг

0,916

0,190

0,315

0,190

0,258

тх

0,190

0,190

0,190

0,190

0,190

ту

0,190

0,916

0,553

0,916

0,674

топ

0,190

0,315

0,283

0,315

0,296

md

0,190

0,417

0,324

0,417

0,358

Все эффективные массы измеряются в единицах массы свободного электрона, ~ 0,190т0, т( = 0,916/и0 [725]. тх, ту и т^ — эффективные массы электрона по главным направлениям, топ = тхту/^тх + т^ — оптическая эффективная масса, т^ = thixmyVl — эффективная масса плотности состояний, gy — кратность долинного вырождения.

женными на осях < 100>, и типа Ge с эллипсоидами постоянной энергии, расположенными на осях < 111 >, выражены через продольную и поперечную эффективные массы электрона в объеме. В кремнии mt = O,19mo и ml = О,916то [725]; соответствующие значения главных эффективных масс для трех ориентаций поверхности приведены в табл. 2.

По аналогии с трехмерными эллипсоидальными энергетическими зонами можно ввести два других важных параметра размерности массы — эффективную массу плотности состояний

md = (тхт,)‘Л(3.6)

и «дрейфовую», или оптическую, эффективную массу

2

«ОП = р(3.7)

тх ту

которая входит в выражения, описывающие явления переноса [1695]. Значения этих масс для высокосимметричных поверхностей кремния также приведены в табл. 2.

Уровни энергии Е, для данного значения тг образуют последовательность минимумов подзон, называемую лестницей подзон. Различным ориентациям изоэнергетических поверхностей в объеме полупроводника относительно его поверхности соответствуют различные значения тг и, следовательно, различные лестницы подзон. Обычно уровни энергии, образующие нижиюю лестницу подзон, обозначаются числами 0, 1, 2, ... , следующую лестницу — О', 1', 2'третью — О', 1', 2", ... и т.д. Если все долины зоны проводимости одинаково ориентированы относительно поверхности, то образуется только одна лестница подзон. Поскольку член в уравнении Шредингера, описывающий кинетическую энергию, обратно пропорционален эффективной массе mz в направлении, перпендикулярном поверхности, то нижнюю лестницу подзон образуют долины с наибольшей эффективной массой тг Поправки к простейшему приближению эффективной массы, связанные с учетом взаимо-

действия между минимумами зоны проводимости, приводят к изменениям в этой простой картине, которые обсуждаются ниже.

(3.8)(3.8)Потенциальную энергию ^(z), которая входит в уравнение (3.3), можно представить в виде суммы трех слагаемых,

(3.8)

(3.8)

Hz) = Kd(z) + ^(z) + ^(z).

разделив тем самым вклады соответственно неподвижного пространственного заряда, индуцированных зарядов в слое пространственного заряда и изображений зарядов, обусловленных существованием границы раздела полупроводник — диэлектрик. Далее предполагается, что граница раздела резкая и на ней образуется бесконечно высокий потенциальный барьер, существование которого приводит к отталкиванию электронов от диэлектрика.

Если изгиб зон e0d на поверхности полупроводника p-типа, связанный с образованием обедненного слоя, достаточно велик, а концентрация заряженных акцепторов NA постоянна во всем обедненном слое, то потенциальная энергия электрона в обедненном слое с хорошей точностью описывается выражением

(3.9)(3.9)(3.10)(З.П)(3.10)(З.П)^(z) = 7”. обедн г Л _ А 0 Z < z„, ^пп \^d /

(3.9)

(3.9)

(3.10)

(З.П)

(3.10)

(З.П)

где

# ^dxtm5-ireN А# ^dxtm5-ireN А^обедн — ^A^d'

# ^dxtm

5-ireN А

# ^dxtm

5-ireN А

Ч =

^обедн — число неподвижных зарядов иа единицу площади в обедненном слое, z^ — толщина обедненного слоя. Если в полупроводнике есть компенсирующие доноры, то NA в соотношениях (З.Ю) и (З.Н) следует заменить на NA — Np. С увеличением изгиба зон ефа величины z^ и ^Обедн возрастают до тех пор, пока не начнется образование инверсионного слоя, с этого момента все три величины, особенно при низких температурах, стремятся к насыщению. После образования инверсионного слоя величина изгиба зон ефя в (З.Н) при низких температурах приближенно равна разности энергии дна зоны проводимости в объеме и энергии Ферми:

(3.12)(3.12)^d ~ ^ Ер,

(3.12)

(3.12)

Соотношение (3.12) можно уточнить. Наиболее важная поправка возникает в том случае, когда отлично от нуля смещение на подложке, т.е. между контактами истока или стока на поверхности и объемом полупроводника приложено напряжение Ип . Это дополнительное напряжение падает главным образом на толщине высокоомного обедненного слоя. Если на подложку подается отрицательный по отношению к стоку или истоку потенциал, Уподп < О, толщина обедненного слоя возрастает.

Другая поправка к фй связана с более точным учетом положения края зоны на поверхности относительно уровня Ферми, энергия которого и в объеме, и на поверхности одинакова, если смещение на подложке равно нулю. Этот случай иллюстрирует рис. 10.

Третья поправка к Фа возникает при учете непрерывности изменения потенциала на границе раздела между обедненным слоем и объемом полупроводника и равна — квТ/е (см., например, соотношение (1.3)). В случае очень низких температур эта поправка определяется уширением акцепторного уровня [1690].

Приняв во внимание эти три поправки, получим для изгиба зон ефу, который входит в соотношение (3.11), следующее выражение:

Рис. 10. Схематическое изображение изгиба зон вблизи границы раздела полупроводник — диэлектрик. Сплошная линия — край зоны проводимости, штриховая — соответствующий изгиб зон, обусловленный только неподвижными зарядами обедненного слоя. Схема а соответствует случаю, когда смещение на подложке равно нулю. При отрицательном смещении на подложке Кподл уровень Ферми и край зоны проводимости в объеме лежат выше по сравнению со своими положениями на поверхности. Структура энергетических зон в приповерхностной области полупроводника в увеличенном масштабе приведена на схеме б, где параметры соответствуют некоторым слагаемым, входящим в соотношение (3.13), описывающее изгиб зон в обедненном слое. В частности, V-, = AtN^z^/x^ — вклад электронов инверсионного слоя в потенциальную энергию при z = 0.

ефа = (Ес - Ef) + (EF - Ео) + Ео^Е + еИподл - квТ,(3.13)

где второе слагаемое в правой части представляет собой расстояние между уровнем Ферми и дном нижней подзоны на поверхности, определяемое из уравнения (3.3), N, — концентрация электронов в инверсионном слое, zcp — их среднее удаление от границы раздела полупроводник — диэлектрик. Четвертое слагаемое в правой части равенства (3.13) описывает изменение потенциала, связанное с зарядом инверсионного слоя. Отметим, что фа — величина, входящая в равенство (3.11), — отличается от поверхностного потенциала ф$; это хорошо видно на рис. 10.

Наконец, можно уточнить выражения для потенциала обедненного слоя, приняв во внимание отклонение распределения легирующих акцепторов от однородного. Такое отклонение возникает, например, из-за перераспределения примесей при окислении поверхности (см., например, [1163] и цитированную там литературу), но в теории инверсионных слоев этот эффект обычно не учитывается. Влиянием неоднородности легирования полупроводника в обедненном слое можно, вообще говоря, пренебречь, если значение NA, используемое в (3.10) и (3.11), дает ту же величину заряда обедненного слоя, которая следует из решения уравнения Пуассона для реального распределения легирующей примеси.

В большинстве интересующих нас случаев в кремнии обедненный слой намного толше инверсионного, поэтому квадратичным по z членом в равенстве (3.9) можно пренебречь. Однако в некоторых случаях — в сильно легированных полупроводниках, при положительных смещениях на подложке или в полупроводниках с малой эффективной массой mz и соответственно толстым инверсионным слоем — квадратичный по z член может играть важную роль. Если при численном решении учет квадратичного члена не создает дополнительных трудностей, то в некоторых случаях, допускающих аналитическое решение, удобно сохранять только линейный член. Аналитическое решение можно получить в приближении треугольного потенциала, или треугольной ямы, названном так потому, что потенциальную яму образуют вертикальный барьер, отталкивающий электроны от диэлектрика, с одной стороны, и линей-

но возрастающий потенциал, который описывается линейным членом в соотношении (3.9), — с другой. Более подробно приближение треугольного потенциала обсуждается в разд. 3 данного параграфа.

До сих пор рассматривался потенциал обедненного слоя в полупроводнике p-типа, когда на затвор подавалось положительное напряжение. При определенных условиях такой же подход применим и для описания обогащенных слоев, образующихся в полупроводниках «-типа, когда на затвор подается положительное напряжение. При достаточно низкой температуре концентрацией электронов в объеме можно пренебречь, тогда неподвижный заряд обусловлен акцепторными примесями [1696] и соответствующий ему потенциал описывается теми же соотношениями (3.9) — (3.11). В этом случае, однако, величина изгиба зон ефа порядка 45 мэВ, т.е. порядка энергии связи донора, тогда как эта величина для обедненного слоя в кремнии р- типа порядка 1,1 эВ, т.е. ширины запрещенной зоны.

Используемая модель неприменима для описания обогащенных слоев при более высоких температурах или при высоких концентрациях примеси в объеме полупроводника, когда энергия связи примеси стремится к нулю. Аппельбаум и Барафф [104] (см. также [129]), рассмотрев обогащенный слой и-типа на поверхности InAs, учли вклад объемных электронов. Результаты этой работы в данном обзоре не обсуждаются.

Второе слагаемое в соотношении (3.8), ^(z), описывает вклад электронов, образующих слой пространственного заряда, в потенциальную энергию и является решением уравнения Пуассона, в котором плотность заряда выражена через функции распределения электронов в каждой из заполненных подзон;

K(z) = — У NAz +- 7^'WV(3.14)

*nn LiJ

'о

где Nj — концентрация электронов в /-й подзоне, a f,(z) — соответствующая нормированная огибающая волновая функция. Произвольная постоянная интегрирования выбирается из условия К5(0) = 0. Если z - оо,

4№4 те 2'

W) N^ = N^(3.15,

х™ Li xm

где

z, = j z$z№(3.16)

о

— среднее удаление от границы раздела полупроводник — диэлектрик электронов, заполняющих /-подзону, a zcp — значение этой величины для всех электронов, образующих слой пространственного заряда.

Последнее слагаемое в соотношении (3.8) связано с действием сил изображения, т.е. с различием диэлектрических проницаемостей полупроводника и диэлектрика,

^(z) = *днэл -^- e(ЗЛ7)

^пп + ^диэл ^пп^ 4*ш/

Диэлектрическая проницаемость полупроводника во всех интересующих нас случаях имеет ббльшую величину, так что член (3.17) соответствует отталкиванию электрона в полупровод-

нике от границы раздела. Отметим, однако, что для системы электронов на поверхности жидкого гелия реализуется обратная ситуация, рассмотренная в§6гл.3и§8гл.8

Необходимо обсудить, какая из диэлектрических проницаемостей, оптическая или статическая, входит в соотношение (3.17). Если для кремния обе эти величины совпадают друг с другом, то для SiO2 они различаются и электроны взаимодействуют с оптическими фононами. Подобные поляронные эффекты исследовались в системе электронов, связанных силами изображения в полярных кристаллах [1555] (см. также [1152]) и при образовании экситонов в трехмерном случае [1454, 1455] (см. также [863]). В работе [744] обсуждалась роль фононов на границе раздела в явлениях переноса в инверсионных слоях.

В задаче о поверхностном поляроне возникают две характерные энергии. Одна из них — поверхностная энергия связи Еь другая — энергия поверхностного оптического фонона huv где ш5 является решением уравнения лпп(ш) + лгдиэл(ш) = 0 и имеет следующий вид:

(3.18)(3.18)2 Л0 + X,

(3.18)

(3.18)

где л0 и хж — статическая и оптическая диэлектрические проницаемости диэлектрика, а huT — энергия поперечного оптического фонона при больших длинах волн. В таких материалах, как SiO2, в которых существует более одной поперечной моды, появляется соответствующее число поверхностных мод. Это главным образом поверхностные оптические фононы, взаимодействующие с электронами инверсионного слоя в кремнии.

Рассматриваемая задача характеризуется также двумя параметрами размерности длины. Один из них — поляронная длина

другой — zh среднее удаление электронов, заполняющих /-ю подзону, от Гранины раздела. Взяв для SiO2 Кы5 — 60 мэВ, получим гпоп — 1 нм. Предполагается, что для слабосвязанных электронных состояний, когда Е, < hms и z, > гпол, соотношение (3.17) является достаточно хорошим приближением, если использовать статическую диэлектрическую проницаемость. Для более сильно связанных состояний эти неравенства, по-видимому, не удовлетворяются, и для получения поляронного эффекта требуются более тщательные расчеты. В этом случае локальный потенциал изображения определяется более сложным выражением. В данном обзоре количественное исследование этих вопросов для электронов в инверсионных слоях отсутствует. К счастью, потенциал изображения, как это будет видно в дальнейшем, слабо влияет на электронную структуру.

Самосогласованные вычисления и их результаты

Так как слагаемое ^.(z) в соотношении для эффективного одноэлектронного потенциала (3.8) выражается через волновые функции, то решение уравнения Шредингера является нелинейной задачей на собственные значения. Такие уравнения решаются, как правило, итерационными методами — решается уравнение с предполагаемым затравочным потенциалом и определяются волновые функции, с помощью которых, используя равенство (3.14), можно получить выражение для потенциала. Простейший метод заключается в использовании в качестве затравочного потенциала для решения уравнения Шредингера при (л + 1)-й итерации линейной комбинации затравочного потенциала для л-й итерации и потенциала, полученного

в результате п-й итерации:

(3-20)(3-20)П^’^) = И^ (z) + / х [^">х(^> - ^k)).

(3-20)

(3-20)

Полученный в результате п-й итерации потенциал нельзя использовать в качестве затравочного для (п + 1)-й итерации, этому варианту соответствует/ = i в (3.20), поскольку подобная процедура может оказаться расходящейся. Для решения этой проблемы существует много как эмпирических, так и систематических методов. Надежный, хотя и медленный, метод достижения сходимости итерационной процедуры заключается в использовании малых значений параметра / и большого числа итераций. Методы достижения более быстрой сходимости обсуждаются в работе Стерна [1687], посвященной слоям пространственного заряда в полупроводниках, и в работе Лэнга и Кона [1064], в которой рассмотрена поверхность металла в модели желе. Эти работы, а также цитированную в них литературу можно рекомендовать для более подробного ознакомления с данным вопросом.

Первые самосогласованные решения уравнения (3.3) были получены в работах Ховарда (не опубликовано), Стерна и Ховарда [1705], Дьюка [441] и Пэлза [1384], а затем и многими другими исследователями. Далее приводятся некоторые результаты самосогласованных численных расчетов, полученные Стерном [1690] для инверсионного слоя на поверхности (100) Si. Поскольку потенциал изображения и многочастичные эффекты во внимание не принимались, результаты дают только качественную картину.

На рис. 11 приведены зависимости энергий нескольких уровней в инверсионном и-канале на поверхности (100) Si при Т = 0 К от концентрации электронов. Необходимо остановиться на некоторых особенностях, характерных для интерпретации многих других экспериментальных результатов. Во-первых, отметим, что уровни энергии Ео, и Ех лежат очень близко друг к другу, причем их зависимости от концентрации пересекаются при ^/^обедн = 5,3. Этот эффект характерен именно для поверхности (100) Si, поскольку спектр энергетических уровней зависит от отношения поперечной и продольной эффективных масс, которое в каждом конкретном полупроводнике имеет определенную величину. Действительное взаимное положение двух этих уровней окончательно не установлено. Результаты оптических измерений [958] указывают на то, что ниже лежит уровень Ео>, тогда как анализ результатов исследования подвижности электронов, заполняющих две нижние подзоны, свидетельствует об обратном — уровень Ех лежит ниже или по крайней мере очень близко к Ео,. Этот вопрос обсуждается в § 3 этой главы и § 3 гл. 4.

Увеличение энергии уровней с ростом Ns обусловлено увеличением среднего электрического поля в инверсионном слое из-за возрастания плотности заряда обедненного и инверсионного слоев. Отметим, что при низких температурах при изменении плотности инверсионного слоя Л/Обедн является константой. При более высокой температуре, например комнатной, ^Обедн будет возрастать при увеличении Ns до тех пор, пока уровень Ферми не достигнет дна нижней подзоны.

На рис. 11 видна другая важная особенность — дно первой возбужденной подзоны как бы цепляется за уровень Ферми после их пересечения, что сопровождается нарушением непрерывности нх энергетической зависимости от Ns. Этот эффект (так называемый пиннинг) является простым следствием увеличения плотности состояний после начала заполнения второй подзоны. Увеличение скорости изменения энергий возбужденных подзон обусловлено намного большей пространственной протяженностью соответствующих им волновых функций. Среднее поле, действующее на электроны в возбужденной подзоне, возрастает гораздо быстрее при увеличении заполнения этой подзоны, чем при таком же увеличении заполнения ниж-

Рис, II. Энергии подзон и энергия Ферми прн Т = О К в инверсионном слое на поверхности (100) кремния р-типа [1690]. Все энергии измеряются относительно дна нижней подзоны. Эффективная концентрация акцепторов NA — ND = 1О14см~3, No6cnH = = 3,8 ■ 1010см-2.

Рис. 12. Среднее удаление электронов инверсионного слоя от поверхностей (100) н (111) кремния p-типа (рнс. а и б соответственно) как функция общей плотности заряда в инверсионном и обедненном слоях при различных температурах [1690]. Na — Nd = 1О55см-з.

ней подзоны, именно поэтому н происходит изменение наклона кривой зависимости после начала заполнения возбужденной подзоны. Из-за изменения плотности состояний изменяется также наклон зависимости энергии Ферми — после пересечения она с увеличением Ns возрас-

Рис. В. а — Температурная зависимость z0 и zcp — среднего удаления от поверхности (100)Si электронов инверсионного слоя, заполняющих соответственно только нижнюю подзону н все подзоны; б — температурная зависимость энергий семи нижних подзон [1690]. Концентрация электронов в инверсионном слое Ns = = 101гсм-г, NА —Nd= 1О|5см~3.

тает медленнее. Уширение уровней энергии, а также повышение температуры сглаживают все изменения наклона зависимостей энергий от концентрации электронов.

На рис. 12 приведены значения среднего удаления электронов, характеризующего их пространственное распределение, от поверхностей (100) и (111) кремния при температурах 2, 77 и 300 К. Уменьшение zcp с ростом плотности пространственного заряда указывает на то, что возрастание среднего поля приводит к притяжению электронон к поверхности и подавляет эффект увеличения zcp, который следовало бы ожидать при заполнении электронами вышележащих подзон.

На рис. 13 представлены температурные зависимости энергий подзон и zcp при постоянной плотности инверсионного слоя. Увеличение zcp и энергий подзон с ростом температуры связано с переходами электронов из нижней подзоны в вышележащие. Волновые функции электронов в вышележащих подзонах характеризуются большей пространственной протяженностью, что приводит к увеличению zcp, эффективного электрического поля, действующего на электроны в вышележащих подзонах, в результате чего энергия этих подзон возрастает.

Важную роль в свойствах слоен пространственного заряда играют квантовые эффекты, особенно при низких температурах и высоких концентрациях носителей. Функция распределения плотности заряда в инверсионном слое, рассчитанная квантовомеханически по мере приближения к границе раздела, на которой образуется высокий потенциальный барьер, стремится к нулю, а своего максимального значения достигает внутри полупроводника (рис. 14). Согласно классическому решению Томаса — Ферми, плотность заряда зависит только от локального расстояния между краем зоны и уровнем Ферми и максимальна на границе раздела.

Рис. 14. Распределение заряда в инверсионном слое на поверхности (100)Si при Т = 150 К: 1 — классический расчет; 2 — квантовомеханн- ческий [1962]. Пунктирной линией выделен вклад нижней подзоны в квантовомеханнческое распределение заряда. Концентрация электронов в инверсионном слое = 1О12см~2, Na = 1,5 ■ 1О16см-3.

Кроме того, среднее удаление электронов от границы раздела, вычисленное квантовомеханически, превышает соответствующее значение, полученное в приближении Томаса — Ферми. Квантовые эффекты, особенно при низких температурах, ответственны за отличие величин zcp для различных ориентаций поверхности, каждая из которых характеризуется определенной эффективной массой (см. рис. 12). Классическое решение не зависит от ориентации поверхности.

Другим критерием важности квантовых эффектов является распределение электронов по подзонам, принадлежащим различным; долинам зоны проводимости. Согласно классическому подходу, все шесть долин в кремнии заполнены одинаконо. С другой стороны, квантовая модель предсказывает, что при низких температурах и не слишком больших N$ все электроны заполняют подзоны, принадлежащие двум долинам, характеризующимся большой эффективной массой в направлении, перпендикулярном поверхности (100). Рис. 15 показывает, что доля электронов, заполняющих подзоны, принадлежащие двум этим долинам, равна единице при низких температурах и близка к классическому значению !6 при Т = 300 К и низкой концентрации электронов, которой соответствует слабое расщепление энергетических уровней.

Приведенные выше результаты численных расчетов могут оказаться недостаточно точными, поскольку при их получении не принимались во ннимание многочастичные эффекты. Эти эффекты, рассматриваемые в § 2, увеличивают расщепление нижней и вышележащих подзон, что указывает на возрастание роли квантовых эффектов.

Определение энергий расщепления подзон с помощью спектроскопии в дальней инфракрасной области обсуждается в § 3 этой главы. Другой метод заключается в наблюдении за

Рис. 15. Доля электронов, образующих инверсионный слой Hji поверхности (100)Si в ннжней подзоне (сплошные лнннн) и во всех подзонах, которые возникли из нижних долин и характеризуются тяжелой эффективной массой в перпендикулярном границе раздела направлении (пунктир) при различных температурах [1690]. Квантовыми эффектами можно пренебречь, если допя электронов в нижних двух долинах равна 1/3. Na — ND = 1О|5см~3

изменениями периода осцилляций Шубникова — де Гааза с ростом концентрации носителей при заполнении вышележащей подзоны при низких температурах; он обсуждается в § 3 этой главы.

Приближенные решения и их результаты

В этом разделе мы остановимся на приближенных методах решения уравнения Шредингера для электронов в слое пространственного заряда, которые полезны в тех случаях, когда при получении полного самосогласованного решения возникают осложнения или достаточно лишь качественной оценки свойств инверсионных слоев. Сначала рассмотрим приближение треугольного потенциала, в рамках которого можно найти точное решение, а затем — простейший вариационный метод.

Приближение треугольного потенциала

Если в соотношении (3.8) исключить потенциал изображения, то оставшиеся слагаемые будут описывать потенциал, который по мере удаления от границы раздела линейно нозрас- тает, а затем изгибается, приближаясь к постоянному значению. Вклад инверсионного слоя И5(з) становится постоянным уже на расстоянии, составляющем несколько значений zcp, среднего удаления электронов от границы раздела; вклад обедненного слоя Kd(z) — на расстоянии, превышающем z.d, толщину обедненного слоя. Поскольку zd обычно намного превышает zcp, кривизной потенциала обедненного слоя ^(z) (3.9) в большинстве случаев можно пренебречь, особенно если заряд обедненного слоя мал по сравнению с зарядом инверсионного слоя. Однако в области, занимаемой инверсионным слоем, вклад н потенциал инверсионного слоя ^(z) значительно изменяется, поэтому пренебречь им можно только в том случае, если Ns мало по сравнению с ^ОбедН или если ошибка, связанная с пренебрежением K$(z), находится в пределах требуемой точности.

В рамках приближения1^ треугольной ямы потенциальная энергия бесконечно велика при

Ч См. также задачу 2.15 в книге [37}. — Лркж. ред.

г < 0 и линейно возрастает

И(г) = eFz, при z > О, где

р = ^^((Уобед, + JN>

(3.21)(3.21)(3.22)(3.22)— эффективное электрическое поле, а / — численный коэффициент, который не связан с коэффициентом в формуле (3.20). Выбор / = 1 определяет поле на границе раздела, / = 0 — поле, создаваемое только обедненным слоем, / = ‘/г — среднее поле в инверсионном слое. Ураннение Шредингера решается с граничными условиями, согласно которым огибающая волновая функция равна нулю при z = 0 и на бесконечности. Решениями являются функции Эйри [9]

(3.21)

(3.21)

(3.22)

(3.22)

(3.23)

где собственные значения Et имеют следующий асимптотический вид при больших i:

(3.25)(3.25)

(3.25)

(3.25)

Точные собственные значения получатся, если н соотношении (3.24) заменить / + (%) при / = 0, 1, 2 соответственно числами 0,7587, 1,7540, 2,7575. Некоторые свойства функций Эйри приведены в работе Стерна [1690] н приложении В. Отметим в заключение, что средняя величина z в z-й подзоне равна 2Е/ЗеЕ, а средняя величина z2 равна Узг2.

Вариационная волновая функция для нижней подзоны

Использование простых аналитических волновых функций делает теоретические исследования свойств слоев пространственного заряда более удобными по сравнению с применением численных самосогласованных решений или громоздких аналитических выражений типа функций Эйри. Именно поэтому широко используются приближенные решения, простейшее из которых было предложено Фэнгом и Ховардом [522] для описания инверсионного слоя

Среднее удаление электронов инверсионного слоя от поверхности полупроводника в этом случае равно

(3.26)

Такая же волновая функция описывает систему электронов на поверхности жидкого гелия, заполняющих нижнюю подзону, если на границе раздела, которая считается резкой, образуется бесконечный потенциальный барьер [322].

Параметр b в соотношении (3.251 оппепеляется из условия минимума полной энергии, соответствующей определенным значениям плотности заряда инверсионного и обогащенного слоев. Простой вид волновой функции позволяет легко опеределить средние значения всех 3-34

Рис. 16. Зависимости отношений г0(вар.)/г0(самосогл.) (верхняя кривая) и £0(вар.)/£0(самосогл.) (нижняя кривая) от отношения плотности заряда в инверсионном слое к плотности заряда в обедненном слое, где г0(вар.) и г0(самосогл.), £0(вар.) и £0(самосогл.) — средние удаления электронов от границы раздела и энергии дна нижней подзоны, рассчитанные соответственно вариационным методом и самосогласованно [1690]. В расчете не учитывались ни силы изображения, нн многочастичные эффекты. Излом на кривых соответствует изменению масштаба при 7Vs/./Vo6cnll = 5.Рис. 16. Зависимости отношений г0(вар.)/г0(самосогл.) (верхняя кривая) и £0(вар.)/£0(самосогл.) (нижняя кривая) от отношения плотности заряда в инверсионном слое к плотности заряда в обедненном слое, где г0(вар.) и г0(самосогл.), £0(вар.) и £0(самосогл.) — средние удаления электронов от границы раздела и энергии дна нижней подзоны, рассчитанные соответственно вариационным методом и самосогласованно [1690]. В расчете не учитывались ни силы изображения, нн многочастичные эффекты. Излом на кривых соответствует изменению масштаба при 7Vs/./Vo6cnll = 5.

Рис. 16. Зависимости отношений г0(вар.)/г0(самосогл.) (верхняя кривая) и £0(вар.)/£0(самосогл.) (нижняя кривая) от отношения плотности заряда в инверсионном слое к плотности заряда в обедненном слое, где г0(вар.) и г0(самосогл.), £0(вар.) и £0(самосогл.) — средние удаления электронов от границы раздела и энергии дна нижней подзоны, рассчитанные соответственно вариационным методом и самосогласованно [1690]. В расчете не учитывались ни силы изображения, нн многочастичные эффекты. Излом на кривых соответствует изменению масштаба при 7Vs/./Vo6cnll = 5.

Рис. 16. Зависимости отношений г0(вар.)/г0(самосогл.) (верхняя кривая) и £0(вар.)/£0(самосогл.) (нижняя кривая) от отношения плотности заряда в инверсионном слое к плотности заряда в обедненном слое, где г0(вар.) и г0(самосогл.), £0(вар.) и £0(самосогл.) — средние удаления электронов от границы раздела и энергии дна нижней подзоны, рассчитанные соответственно вариационным методом и самосогласованно [1690]. В расчете не учитывались ни силы изображения, нн многочастичные эффекты. Излом на кривых соответствует изменению масштаба при 7Vs/./Vo6cnll = 5.

входящих в гамильтониан членов:

Злг/

<yd> = 12^Хбедн _ 24те^л>

^пп6хшЛ(3 27)

< и > - 33^,

<v,> =.

хтт * ^диэл ^пп ^пп

здесь записаны выражения соответственно для кинетической энергии электрона, потенциальной энергии электрона, взаимодействующего с зарядами в обедненном слое, потенциальной энергии электрона, взаимодействующего с другими электронами инверсионного слоя, и потенциала изображения. Энергия нижней подзоны определяется их суммой:

Ео = <Т> + <И„> + <У$> + <Гр.(3.28)

Однако полная энергия на электрон, т.е. величина, которую следует минимизировать, опре- Деляется выражением

(3-29)(3-29)E/N = <Т> + <Vd> + 1<Гр + <УГ>,

(3-29)

(3-29)

где множитель Уг компенсирует двукратный учет электрон-электронных взаимодействий.

Если пренебречь потенциалом изображения и вторым членом в <И^), то полная энергия

на один электрон минимальна при/4%тгт_е2М*\л

b = (£7— ) ,

X /

где

jV* =+ — N ;

обедн “ 32 s

(3.30)

(3.31)

этот результат был впервые получен Стерном и Ховардом [1705]. Как видно из рис. 16, значения Ео и z0, полученные с помощью вариационной волновой функции (3.25), превышают значения, которые дают самосогласованные расчеты в приближении Хартри без учета потенциала изображения, менее чем на 7 Vo [1690].

Если в выражении (3.29) оставить все члены, то минимизация может быть выполнена только численно, но достаточно просто. Кроме того, можно учесть обменную энергию электронов [273]; ее средняя величина, полученная с помощью вариационной волновой функции (3.251. имеет следующий вид:

Ех

4e2kF

3^пп

G' ( — ) + 6 G

( Ь\ \кр/

(3.32)

где kF — волновой вектор Ферми, 8^ — коэффициент, который возникает в выражении (3.17) для потенциала изображения, a G' и G" — функции, вычисленные Стерном [1695]. В этой же работе Стерн привел выражения, описывающие вклад обменной энергии в одноэлектронную энергию ннжней подзоны.

Рис. 17 показывает, насколько изменятся значения Ео и z0, если принять во внимание обменное взаимодействие или потенциал изображения. Силы изображения стремятся расши-

Рис. 17. Влияние обменного потенциала и потенциала сил изображения на вычисленные вариационным методом энергию дна нижней подзоны н среднее удаление электронов в инверсионном слое на поверхности (100)Si от границы раздела (Ф. Стерн, не опубликовано). Сплошные линии соответствуют результатам, полученным без учета обменного взаимодействия и сил изображения, а пунктирные, точечные и штрихпунктирные — результатам, полученным при учете соответственно только сил изображения, только обменного эффекта, сил изображения и обменного эффекта. Т = 0 К, Na = 7 ■ 10мсм-\ No6wH = 1,01 • Ю^см"2.

Рис. 18 Огибающие волновые фннкцин электрона в инверсионном слое на поверхности (100)Si при Т = = О К (Ф. Стерн, не опубликовано). Точечная линия соответствует результатам, полученным при использовании вариационной волновой функции Фэнга н Ховарда (3.25), параметр b которой определялся нз условия минимума полной энергии, вычисленной без учета потенциала снл изображения. Пунктирная и сплошная линнн — результаты самосогласованного расчета соответственно с учетом н без учета потенциала сил изображения. Обменные и корреляционные эффекты во внимание не принимались. NA = 1 ■ 1014см~3, Ns = 108см-2, хпп = 11,7, хднм = 3,9.

рить волновую функцию, тогда как обменное нзанмодействие — сузить. При нысоких концентрациях проще опустить оба члена, чем учитывать каждый из них в отдельности. Это скрадывает упущение Стерна и Ховарда [1705], которые не учитывали потенциал изображения при построении теории инверсионного слоя в приближении Хартри. При низких концентрациях следует принимать во внимание только потенциал изображения, так как обменный потенциал мал.

Отметим, что в выражении для многочастичной энергии наиболее простой нид имеет член, соотнетствующий обменной энергии. Более подробному обсуждению многочастичных эффектов посвящен § 2 гл. 3.

Как следует из рис. 18, нариационная волновая функция, полученная без учета потенциала изображения и обменной энергии, и волновые функции, вычисленные самосогласованно в приближении Хартри как с учетом, так и без учета потенциала изображения, значительно отличаются друг от друга.

Оценим точность определения волновой функции, а не энергии самой по себе, поскольку неправильные волновые функции могут тем не менее привести к правильным значениям энергии. На рис. 19 сравниваются нормированные средние значения некоторых степеней z, полученные с помощью вариационной нолновой функции (3.25) и волновых функций, вычисленных самосогласованно в приближении Хартри как с учетом, так и без учета потенциала изображения, как функции отношения зарядов инверсионного и обедненного слоев. Отметим, что, когда это отношение равно нулю, функция Эйри соответствует самосогласованному решению Хартри, полученному без учета потенциала изображения. Зависимости, приведенные на рис. 19, показывают, что вариационное решение является очень плохим приближением при малых значениях ЛуМобеДН> хотя ПРИ повышении Ns его точность возрастает.

Еще более яркий пример ошибки, к которой может привести использование вариационной волновой функции (3.25), указан Мацумото и Уемурой в работе [1174], в которой рассматривалось рассеяние на шероховатостях поверхности (более подробно оно обсуждается в разд. 2 § 3 гл. 4). В ранее опубликованной работе [1463] соответствующий матричный элемент был выражен через производную волновой функции на границе раздела. Мацумото и

Рис. 19. Нормированные средние различных степеней z(z — удаление электронов в инверсионном слое на поверхности (100)Si от границы раздела), вычисленные самосогласованно в приближении Хартри с учетом (пунктирные линии) и без учета (сплошные линии) потенциала сил изображения в зависимости от отношения плотностей заряда в инверсионном и обедненном слоях (Ф. Стерн, не опубликовано). Горизонтальные линии соответствуют результатам, полученным с помощью вариационной волновой функции (3.25). Семейства кривых: 1 — (z-'^p/Zcp-1,2 — (z — zcp)cp/zcp> 3 — (z — zcp)5p/z^p. Сравнение приведенных результатов показывает, что вариационная волновая функция является плохим приближением, особенно прн малых значениях Х5/№о6едн • Т = О К, Na = 7 • 1014СМ-3, ^обедн = 1,01 • 10псм-2, Хщ, 11,7, хднэл — 3,9.Рис. 19. Нормированные средние различных степеней z(z — удаление электронов в инверсионном слое на поверхности (100)Si от границы раздела), вычисленные самосогласованно в приближении Хартри с учетом (пунктирные линии) и без учета (сплошные линии) потенциала сил изображения в зависимости от отношения плотностей заряда в инверсионном и обедненном слоях (Ф. Стерн, не опубликовано). Горизонтальные линии соответствуют результатам, полученным с помощью вариационной волновой функции (3.25). Семейства кривых: 1 — (z-'^p/Zcp-1,2 — (z — zcp)cp/zcp> 3 — (z — zcp)5p/z^p. Сравнение приведенных результатов показывает, что вариационная волновая функция является плохим приближением, особенно прн малых значениях Х5/№о6едн • Т = О К, Na = 7 • 1014СМ-3, ^обедн = 1,01 • 10псм-2, Хщ, 11,7, хднэл — 3,9.

Рис. 19. Нормированные средние различных степеней z(z — удаление электронов в инверсионном слое на поверхности (100)Si от границы раздела), вычисленные самосогласованно в приближении Хартри с учетом (пунктирные линии) и без учета (сплошные линии) потенциала сил изображения в зависимости от отношения плотностей заряда в инверсионном и обедненном слоях (Ф. Стерн, не опубликовано). Горизонтальные линии соответствуют результатам, полученным с помощью вариационной волновой функции (3.25). Семейства кривых: 1 — (z-'^p/Zcp-1,2 — (z — zcp)cp/zcp> 3 — (z — zcp)5p/z^p. Сравнение приведенных результатов показывает, что вариационная волновая функция является плохим приближением, особенно прн малых значениях Х5/№о6едн • Т = О К, Na = 7 • 1014СМ-3, ^обедн = 1,01 • 10псм-2, Хщ, 11,7, хднэл — 3,9.

Рис. 19. Нормированные средние различных степеней z(z — удаление электронов в инверсионном слое на поверхности (100)Si от границы раздела), вычисленные самосогласованно в приближении Хартри с учетом (пунктирные линии) и без учета (сплошные линии) потенциала сил изображения в зависимости от отношения плотностей заряда в инверсионном и обедненном слоях (Ф. Стерн, не опубликовано). Горизонтальные линии соответствуют результатам, полученным с помощью вариационной волновой функции (3.25). Семейства кривых: 1 — (z-'^p/Zcp-1,2 — (z — zcp)cp/zcp> 3 — (z — zcp)5p/z^p. Сравнение приведенных результатов показывает, что вариационная волновая функция является плохим приближением, особенно прн малых значениях Х5/№о6едн • Т = О К, Na = 7 • 1014СМ-3, ^обедн = 1,01 • 10псм-2, Хщ, 11,7, хднэл — 3,9.

Уемура ныразили тот же матричный элемент через среднее значение градиента потенциала. Оба этих подхода эквивалентны, так как для точной волновой функции, умножив уравнение Шредингера (3.3) на d^/dz и проинтегрировав по нсем z, имеем

dzdz2z = 02z = 02m. h12m. h1^(z) ^dz.dz^(z) ^dz.dz(3.33)(3.33)00

dz

dz

2

z = 0

2

z = 0

2m. h1

2m. h1

^(z) ^dz.dz

^(z) ^dz.dz

(3.33)

(3.33)

0

0

В той же работе было показано, что в приближении треугольного потенциала получается результат, который не зависит от вида используемой волновой функции, тогда как для вариационной волновой функции подход авторов работы [14631 дает в 9 раз большее рассеяние на шероховатостях поверхности, потому что левая часть равенства (3.33) в три раза больше, чем

правая. Для больших значений Ns/NQ6enH погрешность будет меньше, тем не менее этот пример показывает, к каким серьезным ошибкам в некоторых случаях может привести использо

вание вариационной волновой функции.

Вариационная волновая функция вида (3.25), конечно, не является единственно возможной, ее широкое применение связано с относительно простым видом, хотя она, как мы виде

ли, может дать неправильный результат. Другую однопараметрическую нолноную функцию,

которая значительно ближе к самосогласованному решению, предложили Такада и Уемура [1744]:

Ш =Ш =- , ч 72— Ь31 M-VAXtay/i2)- , ч 72— Ь31 M-VAXtay/i2)(3.34)(3.34)

Ш =

Ш =

- , ч 72

— Ь31 M-VAXtay/i

2)

- , ч 72

— Ь31 M-VAXtay/i

2)

(3.34)

(3.34)

Использовались также многопараметрические волновые функции [1351, 1353].

Вышележащие подзоны

Вариационные функции используются также для определения приближенных волновых функций и энергий уровней вышележащих подзон [1744, 848, 366, 1013, 1240]. Такой подход к определению структуры подзон альтернативен самосогласованным численным расчетам. При определении энергий уровней в качестве нулевого приближения используются их приближенные значения, полученные при учете потенциала только обедненного слоя, а дополнительный потенциал инверсионного слоя рассматривается как возмущение [1690]. Это приближение достаточно надежно, если волновые функции электронов в вышележащих подзонах заметно отличны от нуля далеко за пределами области, в которой потенциал инверсионного слоя наиболее сильный. Подобные методы применимы при решении задач, не требующих высокой точности.

МНОГОЧАСТИЧНЫЕ ЭФФЕКТЫ

В предыдущем параграфе обсуждалась структура подзон, полученная в рамках приближения Хартри. Это приближение справедливо при достаточно высоких концентрациях электронов, когда их средняя кинетическая энергия значительно превышает среднюю энергию их взаимодействия. Это условие обычно записывается в виде rs < 1, где параметр rs в трехмерной системе определяется отношением радиуса сферы, окружающей один электрон, к эффективному боровскому радиусу а*, который определен соотношением (2.28а). Предполагается, что соответствующий вывод справедлив и для двумерных систем, поэтому использование приближения Хартри считается вполне обоснованным для описания двумерных систем в полупроводниках с узкой запрещенной зоной, таких, как InSb и InAs, характеризующихся малыми эффективными массами носителей и большими диэлектрическими проницаемостями. Типичные плотности заряда в этих полупроводниках (~ 1012 см-2) соответствуют условию rs < 1. Однако эффективная масса носителей в инверсионных слоях на поверхности кремния н несколько раз больше, поэтому типичные значения плотности соответствуют условию rs 1. В этом случае важную роль могут играть такие многочастичные эффекты, как обмен и корреляция.

Обменная энергия электронов инверсионного слоя впервые обсуждалась в работе Чапли- ка [273]. Точный расчет Стерна [1691, 1695] показал, что ее величина сравнима с энергетическими расстояниями между подзонами, вычисленными в приближении Хартри, или даже превышает их, что указывает на важную роль многочастнчных эффектов. Неудовлетворительность результатов, полученных в приближении Хартри, отмечалась также при их сравнении с экспериментальными данными, особенно по поглощению инфракрасного излучения, связанного с переходами электронов между подзонами. В этом параграфе исследуется влияние многочастичных эффектов на структуру подзон и-канала на поверхности (100) Si. Мы ограничимся моделью резкой границы раздела и случаем, когда электроны заполняют только основную подзону; предполагается также справедливость приближения эффективной массы.

Одним из способов теоретического исследования многочастичных эффектов является учет обменного и корреляционного взаимодействия методом теории возмущений, при этом в качестве невозмущенных используются состояния, полученные в приближении Хартри. Рассматриваемая система описывается гамильтонианом

^ = ^ [£. ++ | ^ ^ ^ VWW*^ Х

ikwijlm kk'q oa'uv'

* ^/kov^k* a'u' a mk' — q^'v' ^yk+qov •(3-35)

(3.36)(3.36)где я/к™ и a;kw — соответственно операторы рождения и уничтожения электрона с волновым вектором к и спином о в i-й подзоне и в долине и. Потенциал электрон-электронного взаимодействия имеет вид

(3.36)

(3.36)

^(уХ/т)^)рШ1т^«

где

ЛуХ/т)^ - ~ i ^Z I dz'ЛуХ/т)^ - ~ i ^Z I dz'] ^_ *диэл \ g-glz-z'l |] ^_ *диэл \ g-glz-z'l |

ЛуХ/т)^ - ~ i ^Z I dz'

ЛуХ/т)^ - ~ i ^Z I dz'

] ^_ *диэл \ g-glz-z'l |

] ^_ *диэл \ g-glz-z'l |

*диэл \ е -glz+z' I*диэл \ е -glz+z' Iх ^W^^WYх ^W^^WY(3.37)(3.37)

*диэл \ е -glz+z' I

*диэл \ е -glz+z' I

х ^W^^WY

х ^W^^WY

(3.37)

(3.37)

Форм-фактор F(q) в соотношении (2.51) соответствует f(00)(00)(у). Для простоты в гамильтониане не учитываются другие совокупности долин. Если в гамильтониане (3.35) отбросить члены, соответствующие электрон-электронному взаимодействию, то мы вернемся к результатам, полученным в приближении Хартри. Функция Грина имеет матричный вид относительно индексов подзон и удовлетворяет уравнению Дайсона

(3.38)(3.38)G^k, Е) = G^Hk, Е) + > G^Lj^k, E^G^k, EY

(3.38)

(3.38)

где ^ij^k, Е) — матричная собственно-энергетическая часть, а свободная функция Грина имеет вид

G^(k, Е) =G^(k, Е) =6 (к - kF)6 (к - kF)Е - £(&) - Ео + /ОЕ - £(&) - Ео + /О9(кр — к)Е - £(*) - Ео — io’9(кр — к)Е - £(*) - Ео — io’G^Hk, Е) =G^Hk, Е) =Е - f(£) * Ej + /О’Е - f(£) * Ej + /О’и,; * о),и,; * о),(3.39)(3.39)

G^(k, Е) =

G^(k, Е) =

6 (к - kF)

6 (к - kF)

Е - £(&) - Ео + /О

Е - £(&) - Ео + /О

9(кр — к)

Е - £(*) - Ео — io’

9(кр — к)

Е - £(*) - Ео — io’

G^Hk, Е) =

G^Hk, Е) =

Е - f(£) * Ej + /О’

Е - f(£) * Ej + /О’

и,; * о),

и,; * о),

(3.39)

(3.39)

где У(х) — ступенчатая функция, при х > 0 6(х) = 1, при х < 0 6(х) = 0. Энергия подзон определяется из уравнения

(3.40)(3.40)det[C№(*, Е^бу - L^k, Е)] = 0.

(3.40)

(3.40)

Для явного вычисления собственно-энергетической части следует ввести некоторые упрощения. Винтер [1875, 1877] пренебрег вкладом процессов рассеяния, при которых электрон переходит из одной подзоны в другую. В этом приближении матрица собственноэнергетической части диагонализуется. Винтер вычислил собственно-энергетическую часть в низшем приближении по динамическому экранированному кулоновскому взаимодействию, использовав приближение плазмонного полюса, обсуждавшееся в §6 гл. 2. Собственноэнергетическая часть имеет вид

qqP^Gg}(k + q,E + «)P^Gg}(k + q,E + «)x^q, ш)x^q, ш)(3.41)(3.41)

q

q

P^Gg}(k + q,E + «)

P^Gg}(k + q,E + «)

x^q, ш)

x^q, ш)

(3.41)

(3.41)

Ец(*, £)= - I —— Л (^(ИКЮ^М J 2тг/\/

- ^(11X00)^«МП^ X Gff(k + q, Е + <Д(3.42)

xvi.

где И(^) = ^(оохоо)(*?)- а xkfl, ^ и П(у, ш) определяются соответственно соотношениями (2.55) и (2.56). Хедин [717] предложил приближенный метод учета эффектов более высокого порядка, возникающих при использовании в выражении для собственно-энергетической части полных функций Грина вместо свободных. Согласно этому методу, появляющийся в собственно-энергетической части (3.41) сдвиг энергии предполагается постоянным. В уравнении Дайсона

Е^ = Ео + е(к) + L^k, ЕДО - #*,с)(3.43)

постоянный сдвиг полагается равным обменно-корреляциониой части химического потенциала цхс и выбирается в виде

^хс = ^oo(^F> ^о + £(^f))-(3.44)

По аналогии Винтер записал уравнение для возбужденной подзоны

Ех(к) = Et + г (к) + £„(*,£,(*) - д^).(3-45)

Уравнения (3.43) и (3.45) решались численно. Винтер показал, что энергия квазичастицы Е^*), полученная из уравнения (3.45), совершенно отличается от соответствующего результата решения уравнения, которое получается из (3.45) заменой в выражении для собственно-энергетической части Е^к1) - цхс на Ех + £(*). Зависимости сдвигов энергий основной и возбужденной подзон от волнового вектора к оказались слабыми и близкими. На рис. 20 показан пример вычисленных зависимостей сдвигов энергии подзон от концентрации электронов при к = kF и N^^ = 1011 см-2. Сдвиг основной подзоны сравним по величине с энергией ее дна, вычисленной в приближении Хартри. То же можно сказать и про сдвиг возбужденной подзоны. На рис. 21 сравниваются вычисленные Винтером зависимости энергетических расстояний между подзонами, усредненных по к, от концентрации электронов с соответствующими результатами, полученными Стерном в приближении Хартри. Видно, что в инверсионных n-каналах на поверхности (100) Si многочастичные эффекты играют очень важную роль.

Окава [1341] распространил метод Райса, обсуждавшийся в гл. 2, на случай нескольких подзон. Матрица собственно-энергетической части имеет диагональный вид, сдвиг энергии подзоны определяется из уравнения

Е^ = Ej + е^к) + Е-^к, Е, + £(*)),(3.46)

где Е^к, Е^ вычисляется в низшем порядке по динамическому экранированному кулоновскому взаимодействию. Принимая во внимание гибридизацию трех нижних подзон (/ = 0, 1, 2), Окава вычислил сдвиги их энергий. Если сдвиг низшей подзоны очень близок к рассчитанному Винтером, то сдвиг первой возбужденной подзоны оказался на 25% меньше, чем в расчете Вин гера. Впоследствии подобный подход использовался для изучения влияния температуры и давления на структуру подзон [847, 848, 366].

Рис. 20. Собственно-энергетические части (в мэВ) для основной (Soof^r)) и первой возбужденной (Еп(^)) подзон прн волновом векторе, равном фермиевскому, в инверсионном л-слое на поверхности (100)Si в зависимости от концентрации электронов [1877]. No6eflH = 10псм-2.

Как уже отмечалось, сдвиг энергии слабо зависит от волнового вектора, поэтому сдвиг энергии основной подзоны в подходе Винтера — Z^kp, е(кр) + Е^)— такой же, как и в уравнении (3.46). Поэтому, видимо, хорошо согласуются друг с другом результаты Винтера и Окавы, полученные для основной подзоны. Несоответствие сдвигов энергий первой возбужденной подзоны связано главным образом с различием уравнений (3.45) и (3.46). В отли-

Рис. 21. Пример вычисленных энергетических расстояний между основной подв«„«п п „.-роки вили?ладейной, принадлежащей двукратно вырожденной совокупности подзон — f^, и между основной подзоной и нижней подзоной, принадлежащей четырехкратно вырожденной совокупности подзон—Ео.о [1877]. Ннжняя пара кривых соответствует разультатам, полученным в приближении Хартрн, верхняя пара — результатам, полученным с учетом обменного и корреляционного эффектов. Энергия Ферми EF измеряется относительно дна основной подзоны. Ns — концентрация электронов в инверсионном слое на поверхности (100)Si, Мо6сдн = 10псм-2, Na — Nd = 7 • 10i4cm"3.

чие от аналогичного уравнения (3.43) для основной подзоны, уравнение (3.45) ие имеет ясного Физического смысла и его вывод представляется несколько непоследовательным. Сдвиг энергии в аргументе собственно-энергетической части на постоянную величину, равную обменно- корреляпионной части химического потенциала, позволил приближенно учесть тем самым в Еоо эффекты более высокого порядка. Следуя этому же приближенному методу, следует ввести некоторый постоянный сдвиг энергии в собственно-энергетической части 2ц, отличный от дхс, поскольку ожидается, что для возбужденной подзоны величина сдвига энергии меньше. Винтер предполагал, что эта величина также равна дхс, что, по-видимому, и является главной причиной большего, чем в расчете Окавы, сдвига энергии первой возбужденной подзоны.

Недостаток метода теории возмущений заключается в том, что она неприменима в тех случаях, когда величина поправок к структуре подзон, связанных с учетом обменного и корреляционного взаимодействий, сравнима с характерными энергиями, полученными в приближении Хартри. Поэтому предполагается, что метод теории возмущений можно использовать для описания инверсионных слоев с такими значениями N^^, которым в приближении Хартри соответствуют большие энергетические расстояния между подзонами. Для описания обогащенных слоев или инверсионных слоев с крайне малыми No6e№ в которых расстояния между подзонами очень малы, этот метод неприменим. Распределение плотности электронов из-за гибридизации подзон по сравнению с вычисленным в приближении Хартри сужается. Это связано с тем, что в приближении Хартри завышается величина кулоновских сил отталкивания электронов. Далее будет видно, что даже в инверсионных слоях нельзя пренебречь сужением распределения плотности, которое через изменение самосогласованного потенциала может изменить полученные в приближении Хартри энергетические расстояния между подзонами. Пытаясь оценить этот эффект, Винтер использовал волновую функцию, вычисленную без учета потенциала изображения. Он предполагал, что изменения распределения плотности, связанные с учетом обменного и корреляционного взаимодействий, с одной стороны, и потенциала изображения — с другой, компенсируют друг друга. Как показано в § 1 гл. 3, компенсация возникает при использовании вариационной волновой функции, полученной в приближении Хартри — Фока [1695]. Далее, однако, будет видно, что полной компенсации не произойдет, если принять во внимание корреляционные эффекты. Во всяком случае тот факт, что изменением распределения плотности электронов, связанным с многочастичиыми эффектами, пренебречь нельзя, наводит на мысль, что недиагональные элементы собственноэнергетической части должны давать заметный сдвиг энергии. Хотя каждый недиагональный матричный элемент мал [1695], полный вклад многих подзон может оказаться значительным. Такада и Андо [1740] предложили метод, который позволяет учесть изменение распределения плотности при рассмотрении только одной подзоны. Более подробно этот метод обсуждается в S 2 гл. 7.

Другой способ изучения влияния обменного и корреляционного взаимодействия на структуру подзон заключается в использовании метода функционала плотности. Хоэнберг, Кон и Шэм [757, 985] показали, что распределение плотности взаимодействующего электронного газа во внешнем поле можно получить, решая одночастичное уравнение Шредингера, в котором к обычному самосогласованному потенциалу и к потенциалу внешнего поля добавлен обменно-корреляционный потенциал ихс. В свою очередь обменно-корреляционный потенциал определяется функциональной производной обменно-корреляционной части энергии основного состояния ЕхДп(К)А по плотности числа электронов «(R). Функционал £XC[«(R)] не известен и в обычном локальном приближении заменяется произведением n(R)exc[n(R)], где £хс(п) — обменно-корреляционная энергия однородного электронного газа плотности п, при-

ходящаяся на одну частицу. В этом приближении vxc(R) является обменно-корреляционной частью химического потенциала дхс однородного электронного газа. С успехом, причины которого все еще полностью не выяснены, метод функционала плотности применялся для исследования ряда различных проблем. Для описания слоев пространственного заряда этот метод впервые применил Андо [54, 55].

Одна из проблем выбора обменно-корреляционного потенциала ихс для рассматриваемой нами системы связана с анизотропией зоны проводимости в Si, т.е. для построения теории необходимо знать дхс анизотропного электронного газа. В своих расчетах Андо использовал цхс электронного газа, характеризующегося изотропной массой топ, которая определяется соотношением т~^ = (2т ~1 + тГ *)/3. Отметим, что пренебрежение анизотропией, по- видимому, требует обоснования [335, 223]. Другая проблема связана с влиянием сил изображения, т.е. с существованием слоя диэлектрика. Принимая во внимание характер локального приближения, Андо использовал цхс(п(гУ z) газа электронов, взаимодействующих по закону

2

Г(г, ?] - ?2; z) = — [г2 + (zj - z2)2]"'/2 + ^пп

+ е2^ - *диэл) [r2 + ( _ ^2 + д^-А,(3147)

^пп^пп "*" ^днэл)

где (Г,, zp и (r2, z2) — координаты электронов, а г = fj — г2.

Строго говоря, собственное значение энергии Е^к), полученное из уравнения Шредингера с добавленным потенциалом ихс, не обязательно представляет собой энергию квазичастицы. Шэм и Кон [1608] предложили использовать для вычисления энергий квазичастиц локальный обменно-корреляционный потенциал, который зависит от энергии. Предложенный vxc(E) полагается равным сдвигу энергии квазичастицы в однородном электронном газе Де(К), который определяется соотношением

Де(ЛГ) + —= Е — д + ——— + д,(3.48)

^оп2топ

где KF — волновой вектор Ферми однородного трехмерного электронного газа. Потенциал совпадает с vxc(«(z); z) при Е = ц, где д — химический потенциал. Используя такой зависящий от энергии потенциал, можно вычислить различные свойства двумерных квазичастиц, например эффективную массу квазичастицы

т*т,т*т,т*(п(хУ z) , . az«(z)monт*(п(хУ z) , . az«(z)mon(3.49)(3.49)

т*

т,

т*

т,

т*(п(хУ z) , . az«(z)

mon

т*(п(хУ z) , . az«(z)

mon

(3.49)

(3.49)

где m*(u(zy z) — эффективная масса в случае однородной трехмерной системы электронов. Если в теории дополнительно учесть взаимодействие спина электрона с магнитным полем [985], то* можно получить следующее выражение для g-фактора квазичастицы:

m*(n(zy z)g*(n(zy z) Т хm*(n(zy z)g*(n(zy z) Т х2mon2mon(3.50)(3.50)

m*(n(zy z)g*(n(zy z) Т х

m*(n(zy z)g*(n(zy z) Т х

2mon

2mon

(3.50)

(3.50)

где g*(n(xy, z) — эффективный g-фактор в трехмерном случае. Пример полученных результа-

Рис. 22. Распределение плотности электронов, самосогласованный потенциал и энергии подзон в инверсионном л-слое на поверхности (100)Si, вычисленные методом функционала плотности [54, 55]. Соответствующие результаты, полученные в приближении Хартри, показаны штриховыми линиями. Разность ^^(z) и V(z) дает обменно-корреляционный потенциал. Учет обменного н корреляционного эффектов приводит также к изменению электростатического потенциала. N$ = 1012см-2, Na = 1,65 • 1О15см-3.

Рис. 23. Энергии подзон н энергия Ферми, измеренные относительно дна основной подзоны, в инверсионном n-слое на поверхности (100)Si [55]. Результаты, полученные в приближении Хартри с учетом и без учета сил изображения, показаны соответственно штриховыми и точечными линиями. NA = 1,65 ■ 1015 см-3, No6em = 1,55 • 10псм-2.

тов приведен на рис. 9. Однако точный расчет потенциала уж(Е) указывает на слабую энергетическую зависимость, и с высокой точностью собственные значения энергии можно рассматривать как энергии подзон. В заключение отметим, что для электронов в подзонах, принадлежащих другой совокупности долин, следует использовать другой обменно-

Рис. 24. Распределение плотности электронов, самосогласованный потенциал и энергии подзон в обогащенном л-слое на поверхности (100)Si, вычисленные методом функционала плотности [55]. Соответствующие результаты, полученные в приближении Хартри, показаны штриховыми линиями. Разность ^эфф^) и V(z) дает обменно-корреляционный потенциал. Na = 1014см-3, Ns = 1012см-2.

Рис. 25. Энергии подзон и энергия Ферми, измеренные относительно дна основной подзоны в обогащенном л-слое на поверхности (100)Si [55]. Результаты, полученные в приближении Хартри с учетом и без учета сил изображения, показаны соответственно штриховыми и точечными линиями. МА = 1014см-5.

корреляционный потенциал. В рассматриваемом случае двукратного долинного вырождения обменно-корреляционные потенциалы были вычислены в приближении Хаббарда.

На рис. 22 сравниваются распределение плотности электронов и самосогласованный потенциал в инверсионном слое на поверхности (100) Si с соответствующими результатами, полученными в приближении Хартри (Ns = 1 • 1012см-2, Аобедн = 1,55 • 1011 см-2). Учет обменного и корреляционного взаимодействий значительно понижает энергии подзон. Изменяется также распределение плотности электронов, оно ответственно за сдвиг потенциала, вычисленного в приближении Хартри, при больших z. На рис. 23 показаны энергии подзон и энергия Ферми, измеренные относительно дна основной подзоны. На рис. 24 и 25 приведены

аналогичные результаты для обогащенного слоя на поверхности (100) Si (NA = 1 ■ 1014см-3, что соответствует инверсионному слою с Аобедн = 7,7 • 109 см'-2). В обогащенном слое учет многочастичных эффектов даже качественно изменяет структуру подзон. Согласно приближению Хартри, только основная подзона локализована вблизи границы раздела, все остальные подзоны лежат в области квазннепрерывных состояний. Если же во внимание принимаются обменный и корреляционный эффекты, то в приповерхностной области локализуется и первая возбужденная подзона. Этот результат согласуется с результатами исследования межпод- зонного оптического поглощения [855, 856, 957], согласно которым в спектре поглощения наблюдается такая же узкая линия, как и при изучении инверсионного слоя. В рамках приближения Хартри узкую форму линии объяснить нельзя.

В работе [849] предложен упрошенный метод расчета структуры подзон, который дает связь между методом теории возмущений и формализмом функционала плотности. Авторы цитируемой работы ввели эффективный одночастичный потенциал ^(z), подобный обменно-корреляционному потенциалу, используемому в формализме функционала плотности, и вычислили структуру подзон в приближении Хартри, рассматривая ^.(z) как внешний потенциал. Взяв за основу найденные уровни энергии и волновые функции, они учли по теории возмущений обменный и корреляционный потенциалы и — K*c(z) и вычислили сдвиги энергии в собственно-энергетической части. Эффективный потенциал ^(z) определяется из условия минимума сдвига энергии в собственно-энергетической части для основной подзоны. Результирующий ^(z) оказывается близким к обменно-корреляционному потенциалу в методе функционала плотности. Кроме того, вычисленные энергии подзон несколько лучше согласуются с результатами обсуждавшегося выше простого варианта теории возмущений [366].

Температурная зависимость многочастичных эффектов исследовалась двумя группами. Накамура и др. [1270, 1271] распространили метод теории возмущений на область высоких температур, где электроны подчиняются статистике Максвелла — Больцмана. Рассматривались семь подзон (от Ео до Е3 и от Ео. до Е2)> полученные Стерном в приближении Хартри, и определялись сдвиги энергий подзон при Т = 200 и 300 К. Было показано, что мнимая часть собственно-энергетической части столь велика, что превышает расстояние между подзонами. Действительная часть собственно-энергетической части, по-видимому, в значительной степени зависит от того, как рассматривается мнимая часть. Кроме того, такое короткое время жизни электрона, связанное с электрон-электронным взаимодействием, заставляет сомневаться в справедливости квазичастичного описания при высоких температурах. Однако нельзя привести примера наблюдаемого явления, в котором существенную роль играет мнимая часть собственно-энергетической части. Следует особо подчеркнуть, что она никак не влияет на двумерную проводимость и уширение линий межподзонных оптических переходов. С другой стороны, Калиа, Дас Сарма, Накаяма и Куинн [848, 849, 366] рассмотрели вариационным методом в приближении Хартри три подзоны (Ео, Ер Ео,) и вычислили действительную часть собственно-энергетической части в низшем порядке пр динамическому экранированному кулоновскому взаимодействию для 0 < Т < 200 К. Изменениями хартриевского потенциала, связанными с учетом обменного и корреляционного взаимодействия, полностью пренебрегалось. С ростом температуры сдвиг энергии Ей нижней подзоны монотонно уменьшается, тогда как энергии других подзон при увеличении температуры ведут себя сложным образом в зависимости от Ns и энергетического расстояния между лестницами подзон (принадлежащими различным долинам), которым можно управлять, деформируя образец. Главная особенность их результатов заключается в том, что энергетическое расстояние между подзонами при повышении температуры до Т — 200 К растет быстрее, чем предсказывает

приближение Хартри. В рамках приближения Хартри заполнение вышележащих подзон приводит к уширению функции распределения плотности электронов, в результате более крутым становится эффективный потенциал, что приводит к увеличению расстояния между подзонами. В отличие от вывода Накамуры и др. [1271, 1270] утверждалось, что мнимая часть собственно-энергетической части не играет важной роли. Недавний, более точный расчет Дас Сармы и Винтера [371] показал, что энергетические расстояния между подзонами £10 и £"] ,0, с ростом температуры увеличиваются.

МЕЖПОДЗОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ

Кроме спектроскопических измерений межподзонных оптических переходов существует и другой способ получения некоторой информации об энергетическом расстоянии между подзонами. Так, предпринимались попытки определить концентрацию электронов, при которой начинается заполнение вышележащей подзоны [1828, 782]. В принципе пороговую концентрацию электронов можно определить путем тщательного анализа периода осцилляций Шубникова — де Гааза в магнитном поле, направленном по нормали к границе раздела. Каждый период соответствует заполнению одного уровня Ландау в основной подзоне. Предполагается, что период изменится, если начнется заполнение вышележащей подзоны. Подобное изменение периода наблюдалось экспериментально, однако полученные результаты не согласуются друг с другом. Ховард и Фэнг [782] определили пороговые концентрации для нескольких образцов с различными ^ОбеДВ- ®ни получили, например, Ns = 7,6 • 1012см-2 при ^обедн ” 3 ' Ю11 см-2. Было установлено, что пороговое значение Ns уменьшается при уменьшении N^^, что согласуется с предсказаниями теории. Однако эти значения концентраций значительно превышают результаты, полученные в приближении Хартри, и существенно меньше значений, полученных с учетом обменного и корреляционного эффектов. С другой стороны, согласно данным работы [1822], для JVo6cflH = 1 • 1011 см""2 пороговое значение концентрации электронов Ns = 7,4 • 1012 см-2. Этот результат близок к теоретической оценке, но не согласуется с результатами Ховарда и Фэнга, интерполяция которых для той же величины N^gj, дает пороговую концентрацию 4,7 • 1012 см "2. Цуи и Камински [1828] обнаружили также, что под действием деформации порог снижается и что при пороговой концентрации Ео, лежит ниже, чем Ер Поскольку уровни энергии Ео. и Ех лежат очень близко друг к ДРУГУ, теория не дает однозначного ответа на вопрос, какой из них в действительности лежит ниже по энергии. Так, расчеты в приближении Хартри и методом функционала плотности предсказывают Ео, > Ех вблизи пороговой концентрации, тогда как результаты Винтера свидетельствуют об обратном: Ео. < Ех. Для объяснения отличия значений Ео.о в Ео, —Ео от полученных для идеальной модели рассматривались различные механизмы. Стерн [1700] показал, что к уменьшению Е0,0 может привести образование тонкого переходного слоя на границе раздела (см. § 5 этой главы). Шэм и Накаяма [1609, 1610, 1280] указали на возможность различных эффективных положений границы раздела для Ео. и Ех, что может изменить их относительные энергии (этот вопрос обсуждается в § 1 гл. 7). На относительное положение уровней Ео. и Ех могут влиять также внутренние напряжения различной природы на границе раздела. Более подробно эти вопросы рассмотрены в $ 2 гл. 4 (разд. 3) и в $ 2 гл. 7 (разд. 2). Некоторые экспериментальные исследования влияния деформации показывают, что Ео.о может отличаться от теоретического значения (см. § 2 гл. 7). Относительное положение Уровней Ео, и Ех влияет также на поведение подвижности, ограниченной шероховатостями границы раздела (см. разд. 2 § 3 гл. 4). Положение осложняется тем, что в реальных структурах трудно измерять и управлять локальными напряжениями на границе раздела Si —

SiO2. Выяснение этих вопросов требует более тщательных и систематических экспериментальных исследований.

Лучший метод изучения структуры подзон заключается в наблюдении межподзонных оптических переходов. Действительно, значительные успехи, достигнутые в этой области, связаны именно со спектроскопическими измерениями. Однако в этом случае приходится рассматривать различные эффекты, которые могут сдвигать резонансную энергию относительно соответствующего энергетического расстояния между подзонами. Эти дополнительные эффекты — эффект деполяризации и поправка на локальное поле к нему. На раннем этапе спектроскопических исследований важная роль этих эффектов недопонималась и просто считалось, что резонанс возникает в том случае, когда энергия инфракрасного излучения равна энергетическому расстоянию между подзонами.

(3-51)(3-51)Для иллюстрации эффекта деполяризации рассмотрим модель слоя, предложенную в работе [290]. Согласно этой модели, инверсионный слой представляет собой газ электронов, заполняющий тонкий слой толщиной с^ф, проводимость которого ^(ш) на единицу площади определяется выражением

(3-51)

(3-51)

т ш20 - ш2 - 2ш/7т*

(3.52)(3.52)где Йы10 = Ех — Ео, /1о — сила осциллятора, т — феноменологическое время релаксации. Межподзонные переходы происходят под действием внешнего поля Евиеше-1“',*направление которого совпадает с нормалью к плоскости слоя. Индуцированный ток на единицу площади

(3.52)

(3.52)

Jz = ^^

выражается через электрическое поле внутри слоя Е, которое связано с Еанеш соотношением

^внеш = Х^ш^Е,<3'53)

где

х^ш) = 1 + -^L-l—а^ш).(3.541

xnnto “эфф Следовательно,

JZ = ^тЛ^Е ’(3-55)

*«ВПСШV/

где

»«(") = i^x^uf1-(3.56)

Поглощение на единицу площади определяется выражением

ReJ,E* = 1 Ке5^Е2внеш..(3.57)

Резонансу соответствует полюс функции ^(ш), которая описывает отклик системы электронов на внешнее поле. Если подставить соотношение (3.51) в (3.54) И 0.56), получим

где

(3.59)(3.59)"10 ж "10 + "р.

(3.59)

(3.59)

Рис. 26. Диаграммное представление высокочастотной проводимости аы(ш), определяющей межподзон- ное оптическое поглощение в приближении Хартри (а) и с учетом обменного и корреляционного эффектов (б). Заштрихованные области представляют собой вершинные поправки; онн должны быть согласованы с приближением, в рамках которого вычисляется полная функция Грина.

а

-2 = IZ^kf^o.(3.60)

^пп^^эфф

Резонансная энергия сдвигается относительно энергетического расстояния между подзонами на величину, связанную с эффективной плазменной частотой шр. Для - 50 А и/|0 - 0,5 плазменная частота обычно велика и эффект деполяризации заметен. В реальных системах »и(ш) можно вычислить, решив систему двух уравнений [1277, 1278, 352]

J(z) = jdz'o^z, z'; a>)£(z')(3.61)

и

^внеш = E^ * — J^Y(3-62)

*паш

где a^Z, z'; ы) можно построить на основе известной структуры подзон, вычисленной в приближении Хартри. Ниже обсуждается альтернативный подход.

Строго говоря, задача сводится к определению дисперсионных соотношений для волн, распространяющихся вблизи границы раздела при различных экспериментально используемых конфигурациях. В работе [290] показано, что полюсы функции огг(ш) можно наблюдать при исследовании нарушенного полного отражения, когда сам кремний используется как призма нарушенного полного отражения. Накаяма [1277] вычислил дисперсию волны, которая распространяется по полосковому волноводу, реально используемому в экспериментах, и показал, что изменение в пропускании определяется главным образом величиной Кеаи(ш) в обычных экспериментальных условиях.

Физика эффекта деполяризации заключается в том, что на каждый электрон действует поле, которое отличается от внешнего на среднее хартриевское поле, создаваемое другими электронами, поляризованными внешним полем. Однако, как это уже неоднократно упоминалось, в приближении Хартри величина кулоновских сил отталкивания электронов завышается, а обменное и корреляционное взаимодействие значительно ослабляет эффективный отталкивающий потенциал. Поэтому мы полагаем, что влияние обмена и корреляции на эффект Деполяризации сводится к тому, что сдвиг резонансной энергии значительно уменьшается. Диаграммы для огг(ш) приведены на рис. 26. В приближении хаотических фаз azz(o>) определи-

ется суммой бесконечного ряда колец, каждое из которых соответствует значению <тиМ, вычисленному в приближении Хартри. Если в кольцах используются полные функции Грииа, то необходимо принять во внимание соответствующие вершинные поправки, как это показано на рис. 26. В этом смысле поправку на локальное поле к эффекту деполяризации часто называют эффектом зкситонного типа (excitonlike effect) или взаимодействием в конечном состоянии (final-state interaction). .

Правильный учет влияния обмена и корреляции на оптические переходы представляет собой сложную задачу. С большой осторожностью при расчете собственно-энергетической части и вершинных поправок следует пользоваться приближением хаотических фаз (эквивалентным приближению Хартри). Андо [59, 60] сделал довольно смелое предположение о том, что обменно^корреляционный потенциал yxf(n(z); z), введенный в § 2, можно использовать и в случае внешнего поля, зависящего от времени. Это предположение нельзя строго обосновать теоретически подобно тому, как это было сделано в случае статического поля [757], тем не менее оно дает, по-видимому, разумную величину эффекта локального поля. На диаграммном языке это приближение соответствует использованию такой же вершинной части для динамического отклика, обозначенной символом т на рис. 26. что и для статического. Как уже отмечалось в § 2, пренеорежение частотной зависимостью согласуется со слабостью энергетической зависимости обменно-корреляционного потенциала.

Пусть Дл(г)е-,“' описывает изменение распределения плотности электронов во внешнем электрическом поле EBHeule'itit. Эффективное возмущение тогда приобретает вид

^'е'™' = [еЕвнешг + ДГ/z) + A^tzHe-'*",(3.63)

AKs(z) = - ^ fr/z' [ A’An(z')(3.64)

0 о

— изменение хартриевского потенциала, а

A^Jz) =A„(Z)(3.65)

— изменение обменно-корреляциоиного потенциала. В выражении (3.63) AK^z) описывает эффект деполяризации, а ^Vxcvz) — поправку на локальное поле. Использование теории возмущений, дает

Дл(г) = - 2Дл(г) = - 2^"W”х ^^'"игм,>-^"W”х ^^'"игм,>-(3.66)(3.66)

Дл(г) = - 2

Дл(г) = - 2

^"W”х ^^'"игм,>-

^"W”х ^^'"игм,>-

(3.66)

(3.66)

(3.67)(3.67)где f„(z) выбирается действительной, Йшп0 = Еп0 = Еп — £0; предполагается также, что вначале электроны заполняют только основную подзону. Индуцированный ток можно получить из соотношения (3.66), воспользовавшись уравнением непрерывности

(3.67)

(3.67)

/(г) = - |dz'(-e)(-iw)A«(z');

о

тогда выражение для проводимости приобретает следующий вид:

^ = ^ш j d^о^ = ^ш j d^оВыражения (3.63) и (3.66) приводят к уравнению самосогласованнаВыражения (3.63) и (3.66) приводят к уравнению самосогласованна2/2т,\1/2> Илт - IM^nm^m = ( ^ Ашл0 ) ^лО-2/2т,\1/2> Илт - IM^nm^m = ( ^ Ашл0 ) ^лО-гдегде^пт = j ^Г„(г)гГт(г),О^пт = j ^Г„(г)гГт(г),ОАпт = (^Чш - Но^лл, * ^пт^тОАпт = (^Чш - Но^лл, * ^пт^тОИ/1т\х/г 1“”= (е£внеш)_1- (h^^'^’И/1т\х/г 1“”= (е£внеш)_1- (h^^'^’ОпределимОпределим'пт'птК\ AcU nпп •\ лО т(УК\ AcU nпп •\ лО т(У^пт^пт/ 11 \‘/гГ ,- 2NS ( — —) dz^^mkz^^о/ 11 \‘/гГ ,- 2NS ( — —) dz^^mkz^^о.2dvxc(n(z); z).2dvxc(n(z); z)dn(z)dn(z)(3.68)(3.69)(3.70)(3.71)(3.72).(3.73)(3.74)(3.68)(3.69)(3.70)(3.71)(3.72).(3.73)(3.74)

^ = ^ш j d^о

^ = ^ш j d^о

Выражения (3.63) и (3.66) приводят к уравнению самосогласованна

Выражения (3.63) и (3.66) приводят к уравнению самосогласованна

2/2т,\1/2

> Илт - IM^nm^m = ( ^ Ашл0 ) ^лО-

2/2т,\1/2

> Илт - IM^nm^m = ( ^ Ашл0 ) ^лО-

где

где

^пт = j ^Г„(г)гГт(г),О

^пт = j ^Г„(г)гГт(г),О

Апт = (^Чш - Но^лл, * ^пт^тО

Апт = (^Чш - Но^лл, * ^пт^тО

И

/1т\х/г 1

“”= (е£внеш)_1- (h^^'^’

И

/1т\х/г 1

“”= (е£внеш)_1- (h^^'^’

Определим

Определим

'пт

'пт

К\ AcU n

пп •\ лО т(У

К\ AcU n

пп •\ лО т(У

^пт

^пт

/ 11 \‘/гГ ,

- 2NS ( — —) dz^^mkz^^о

/ 11 \‘/гГ ,

- 2NS ( — —) dz^^mkz^^о

.2dvxc(n(z); z)

.2dvxc(n(z); z)

dn(z)

dn(z)

(3.68)

(3.69)

(3.70)

(3.71)

(3.72)

.(3.73)

(3.74)

(3.68)

(3.69)

(3.70)

(3.71)

(3.72)

.(3.73)

(3.74)

где тензор длины Snm, введенный Алленом, Цуи и Винтером [33], определяется соотношением

ооZ

S„m = ( ^?„(Z)№) f*' j dz4mU”)^Z”) =

оО о

11/ h1 \2 Г

= т—-— (s—)dzVrn<zH0(.z) - ?nU)^ [^(zWz) - rm(z)f6(z)].

Ашл0 кшт0 \ 2ml/ J

0

Вводя матрицу <7 так, чтобы матрица А = U-1AU была диагональной, получаем

- TVe2(-zo>)7и0

<7^(0,) = -^ \.(з.те

ml UJi шл0 “ w — 2/ш/т

л * О

где MnQ = Ипп\л и

ЛоЛо(3-77)(3-77)

Ло

Ло

(3-77)

(3-77)

Феноменологическое время релаксации т введено в выражении (3.76). Резонанс возникает при ш = шл0 и характеризуется силой осциллятора /п0.

Если и близко к шп0 и вкладами других подзон можно пренебречь, то

о-^ =о-^ =(3.78)(3.78)(3.79)(3.80)(3.79)(3.80)^s®^по-*ш

о-^ =

о-^ =

(3.78)

(3.78)

(3.79)

(3.80)

(3.79)

(3.80)

т1 “иО — <*>2 - 1Ли>/1

где

шп0 = шпо(1 + апп ~ 0лл)

н

, _ 2т( г

JnO - "^2 ПшпО^пО 1

В приближении Хартри (/Зии = 0) эффект деполяризации увеличивает резонансную энергию на величину аип. Сравнение с выражением (3.60) дает

(3.81)(3.81)hz 12mzSn йо>10

(3.81)

(3.81)

Если учитывается обменный и корреляционный эффекты №пп > 0), поправка на локальное поле приводит, как и предполагалось, к уменьшению резонансной энергии.

На рис. 27 приведен пример вычисленных резонансных энергий в инверсионном слое п- типа на поверхности (100) Si при No6eBH = 1 ■ 10й см-2. Сравниваются резонансные энергии перехода 0—1, полученные с учетом только эффекта деполяризации, только эффекта экси- тонного типа и обоих эффектов вместе, с энергией расщепления двух нижних подзон. При низких концентрациях электронов эффект экситонного типа более важен, чем эффект деполяризации, и резонансная энергия несколько меньше энергии расщепления. С ростом концентрации электронов эффект деполяризации усиливается и резонансная энергия становится больше, чем энергия расщепления подзон. На рис. 28 сравниваются формы резонансных линий, вычисленные в приближении Хартри и методом функционала плотности для инверсионного слоя (Ns = 1 • 1012см~2, Аобедн = 1 ■ Ю11 см-2 и h/т = 1 мэВ). В приближении Хартри важную роль играет взаимодействие между различными подзонами. Оно изменяет интенсивность переходов таким образом, что переходам с большими энергиями соответствуют большие силы осциллятора. Аналогичное поведение наблюдается в обычном однородном электронном газе, в котором плазменные оспилляцин имеют большую интенсивность, чем одночастичные возбуждения в динамическом структурном факторе, при больших длинах волн. Аллен, Цуи и Винтер [33J рассчитали форму линии резонанса, приняв во внимание только три нижние подзоны Ео, Ех и Е2, и показали, что переход 0 — 2 по сравнению с переходом 0 — 1 характеризуется гораздо большей интенсивностью. Обменный и корреляционный эффекты ослабляют взаимодействие между различными подзонами. Форма линии при наимень-

Рис. 27. Вычисленные резонансные энергии (сплошные линии) в зависимости от концентрации электронов Ns в инверсионном n-слое иа поверхности (100)Si [61]. Штриховые линии — соответствующие энергетические расстояния между подзонами. Штрихпунктирными линиями показаны зависимости резонансных энергий перехода 0—1, при расчете которых принимался во внимание или только эффект деполяризации (верхняя кривая) или экситонны# эффект (нижняя кривая). Точечная линия соответствует разонансной энергии перехода 0—1, вычисленной без учета гибридизации различных подзон. ^oбeдlI = 10й см-2.

слою, приведена на рис. 29 дляслою, приведена на рис. 29 дляшемN$ =шемN$ =значении 7V бедн, соответствующем обогащенному

слою, приведена на рис. 29 для

слою, приведена на рис. 29 для

шем

N$ =

шем

N$ =

1 • 1012 см . Как уже отмечалось в § 2 этой главы, согласно расчету в приближении

Хартри, только основная подзона локализуется в области вблизи границы раздела, тогда как уровни всех возбужденных подзон лежат вне потенциальной ямы. Следовательно, форма линии может оказаться настолько широкой, что возникнут трудности с идентификацией пиков. Резкий пик на рис. 29 соответствует переходу между основной и первой возбужденной подзоной, которая после учета обменного и корреляционного взаимодействий также локализуется

в приповерхностной области полупроводника. Широкая линия поглощения со стороны более высоких энергий соответствует переходам в состояния, образующие квазинепрерывный

Рис. 28. Вычисленная действительная часть высокочастотной проводимости <гы(ш) инверсионного и-слоя иа поверхности (100)Si [61]. Сплошная линия соответствует результату, полученному методом функционала плотности, штриховая — полученному в приближении Харгри. Ns = 10,2см~2, No6ea» = ЮНСМ~2, h/т = 1 МЭВ.

Рис. 29. Вычисленная действительная часть высокочастотной проводимости обогащенного n-слоя на поверхности (100)81 [61] при различных значениях h/т. Ns = = 1012см-2, Л/обсдн = 5 ■ Ю’см-2.

спектр. На рис. 30 приведены резонансные энергии перехода 0 — 1 для различных Мобепя. Кривая при наименьшем значении No6eaH фактически соответствует обогащенному слою. Показаны также результаты исследования поглощения в дальней инфракрасной области [855, 856, 957], которые превосходно согласуются с теоретическими кривыми. Как экспериментальные, так и теоретические результаты показывают, что относительно слабое влияние 7Vo6mh при низких концентрациях становится более сильным по мере увеличения концентрации. Влияние No6eaH на энергетические расстояния между подзонами наиболее заметно при низких концентрациях электронов, оно уменьшается при высоких концентрациях, когда самосогласованный потенциал определяется главным образом потенциалом самих электронов.

Винтер [1877] (см. также [1883]) при расчете резонансной энергии перехода 0 — 1 пренеб- оег вершинными поправками. Полученный в этой работе результат определяется по существу соотношением (3.59), где Ла>10 — энергетическое расстояние между подзонами, вычисленное с учетом обмена и корреляции в приближении, им же ранее развитом и обсуждавшемся в § 2. Это приближение, однако, не соответствует той важной роли, которую играют обменный и корреляционный эффекты в определении структуры подзон. Затем Винтер попытался рассчитать эффект экситонного типа в низшем порядке по статическому экранированному кулоновскому взаимодействию. Оказалось, что в интервале концентраций электронов от 1012 до 3 • 1012 см-2 энергия связи изменяется от 0,9 до 1,8 мэВ. Не вычисляя интенсивности переходов, он сделал предположение, что возможен переход и в «связанное экситонное» состояние, и в свободное состояние, что и приводит к двум пикам, обнаруженным в ранних измерениях фотопроводимости [1963]. Однако приведенное выше обсуждение показывает, что разрешен переход только в экситонное «связанное состояние», а другие переходы запрещены (см. также [61, 194]). Как будет показано ниже, наблюдавшаяся зависимость с двумя пиками имеет совершенно иную природу.

(3.82)(3.82)(3.83)(3.83)

(3.82)

(3.82)

(3.83)

(3.83)

Рис. 30. Вычисленная резонансная энергия перехода 0 — 1 в зависимости от концентрации электронов Ns в и-канале на поверхности (100)Si [61] при различных значениях ^овеа*: / — Ю'2; 2 — 3-10"; 3 — 10"; 4 — 3 ■ 10'°; 5 — 1010; б — 109см~2. Кривая с наименьшим значением А^обедн соответствует обогащенному слою. Приведены также экспериментальные данные, полученные в работах [855, 856, 957): кружки — результаты исследования обогащенного слоя, треугольники — инверсионного слоя Победи = Ю"см-2).

Теоретически исследовалось уширение линии межподзонных оптических переходов, связанное с упругим рассеянием [56, 65]. Выражение для динамической проводимости при и — о>10 перепишем в виде

Reof т‘ f(E)dE

КС ы( )2т, J 2,^К^ (hu, - Ло>]0)2 + Гоп(£)2’

где

Г (£) = 1+ JL\

оп гут^ тх^) *тхо(Е)

= Т £ <l(Ok'I^IOk) - (lk'l^llk)lW(*) - £(*' ))1£=г№)+£о + к'

+ г £ <l(Ok'l^llk)l2>5(£(Ar) - £(к-) + Е,о)1£=£(*)+ео.(3.84)

к'

где ^х — член в .гамильтониане, описывающий потенциал рассеивателей, а <...> обозначает Усреднение по всем конфигурациям рассеивателей. Уширение определяется не простым арифметическим средним уширений й/т0 и Мтх уровней двух подзон, а содержит дополнительный член — й/т10. Уширение исчезает в том случае, когда эффективный потенциал рассеивателей одинаков для обеих подзон и отсутствует гибридизация подзон. Андо [56] для модели рассея-

ния мелкомасштабными шероховатостями поверхности (см. § 3 гл. 4) получил неравенство

(3.85)(3.85)3 Л1 А

(3.85)

(3.85)

о ^ ГОП 5 —,

8 т02 т0

которое показывает, что уширение меньше полученного при исследовании подвижности. Вместе с тем равенство (3.84) показывает, что для реальных рассеивателей связь подвижности и уширения линий межподзонных переходов достаточно сложна. Экспериментально исследовалось влияние ионов Na +, расположенных вблизи границы раздела, на уширение линий межподзонных оптических переходов. В работе [1175] было ясно показано, что уширение возрастает при увеличении концентрации ионов Na + , хотя и остается меньше ширины, полученной из измерения соответствующей подвижности электронов. Этот вывод качественно согласуется с предсказаниями теории, сделанными на основе простой модели, обсуждавшейся выше. С другой стороны, в работе [259] для случая низкой концентрации ионов Na+ получен неожиданный результат: величина уширения уровня подзоны не зависит от концентрации ионов, тогда как подвижность изменяется значительно.

Влияние электрон-электронных столкновений на уширение линий оптических переходов исследовалось в работе [1776]. Вычислялась форма линии резонанса, причем авторы учитывали не только действительную, но и мнимую часть собственно-энергетической части для первой возбужденной подзоны. Было показано, что мнимая часть слабо влияет на положение резонанса, исключая область низких концентраций электронов, но дает вклад в уширение линии. Определение уширения лннин межподзонных переходов, обусловленного электрон- электронными столкновениями, представляет собой сложную задачу. Использование приближения, в рамках которого вычислялась форма линии циклотронного резонанса, приводит к неправильному выводу о том, что электрон-электронные взаимодействия вызывают уширение; это противоречит теореме Кона, согласно которой в трансляционно-инвариантных системах межэлектронное взаимодействие не влияет на форму линии циклотронного резонанса [983]. Кроме того, если подобное приближение применить при расчете межподзонных переходов в системе электронов на поверхности жидкого гелия, то получим экстремально большое уширение линии резонанса, которое экспериментально не наблюдалось. (Г. Лидо, неопубликованные результаты). Экспериментальные исследования инверсионных слоев указывают, по- видимому, на то, что уширение связано с теми же механизмами, которые ограничивают обычную подвижность [1299, 1175], а влияние электрон-электронных столкновений незначительно.

Для наблюдения межподзонных оптических переходов используются три различных метода: поглощение в дальней инфракрасной области спектра, излучение и фотопроводимость. На рис. 31 приведена схема экспериментального исследования поглощения [854 — 856, 957,

Рис. 31. Схема эксперимента по исследованию межподзонных оптических переходов [957]: 1 — излучение в далекой ИК-области спектра;

2 — светодиод; 3 — алюминиевый затвор.

Рис. 32. Сигналы межподзонного резонанса, наблюдаемые в производной поглощаемой энергии dP!dVG и в дифференциальном поглощении при двухпозициои- ной модуляции Vo [957]. Р — процент пропускаемой энергии при Ns = 0 в условиях эксперимента, схематически показанных иа рис. 31. Положительное напряжение иа затворе соответствует электронному инверсионному слою, отрицательное — дырочному обогащенному слою. Исследовалась поверхность (100)Si p-типа; Т = 4,2 К, йш = 10,45 мэВ, /ш = 0,04 мА.

964 — 966]. Источником излучения в дальней инфракрасной области спектра служит молекулярный газовый лазер. Расстояние между пластинами, ограничивающими пропускаемый пучок, равно толщине образца и составляет 0,2 — 0,35 мм. Поскольку эффективное расстояние оказывается порядка 10 длин волн, в образце вместо одной чистой поперечной электромагнитной моды распространяется много мод. Однако существование вблизи слоя пространственного заряда толстой проводящей пластины приводит к высокочастотному электрическому полю, направленному преимущественно перпендикулярно границе раздела Si — SiO2. В отличие от обычного полевого транзистора на ооразцах отсутствуют контакты стока и исю- ка, для генерации электронов в приграничной области используется светодиод. Проведенные эксперименты показали, что при низких температурах инверсионный слой и объем ведут себя как две почти изолированные электрические системы, так как их разделяет толстый обедненный слой, кроме того, соответствующие квазиуровни Ферми, как правило, совпадают. Таким образом, толщина обедненного слоя и величина N^^ могут быть меньше своих равновесных значений. Эти значения можно определить, зная вольт-фарадные характеристики. Поглощение лазерного излучения при фиксированной энергии Йш измеряется как функция напряжения на затворе VG. Пример приведен на рис. 32. Положительное напряжение на затворе соответствует электронному инверсионному слою, отрицательное — дырочному обогащенному. При исследовании инверсионного слоя наблюдается резкий одиночный резонанс. На рис. 33 изображены результаты, полученные при изучении обогащенного слоя. Резкий пик со

05100510

0510

0510

Рис. 33. Сигналы межподзонного резонанса в электронном обогащенном слое на поверхности (100)81 п- типа, наблюдавшиеся при исследовании различных образцов [9571. Лш = 10,45 мэВ.

стороны высоких напряжений на затворе соответствует переходу 0 — 1, а слабый и широкий пик со стороны низких напряжений на затворе, как предполагается, связан с переходами в вышележащие подзоны, которые по энергии лежат очень близко друг к другу. На рис. 30 показаны наблюдаемые резонансные энергии перехода 0 — 1. Исследовалось также влияние отрицательного смещения на подложке, т.е. поля в области обеднения, пропорционального ^обедн- в Работе [957] обнаружена линейная зависимость резонансной энергии от Мобедн для значений Ns в интервале от 4,6 • Ю11 до 6 ■ 10й см-*.

Межподзонные переходы наблюдаются также при изучении резонансной фотопроводимости [1963, 1964]. Уилер и Голдберг [1963] обнаружили отрицательную фотопроводимость в образце, который подвергался действию лазерного излучения в дальней инфракрасной области. Пример наблюдаемых изменений проводимости показан на рис. 34. Как резкий, так и размытый пики со стороны низких напряжений на затворе, обусловленные межподзонными оптическими переходами, при увеличении энергии лазера сдвигаются в сторону больших Ns. Соответствующие резонансные энергии, однако, отличаются от полученных при изучении поглощения, о которых шла речь выше. Концентрации электронов Ns, при которых возникают резонансы, примерно на 30% превышают значения Ns, найденные в работе [957], хотя плотность заряда обедненного слоя No6eaH, величина которой определяется легированием образцов, почти такая же. Более того, эффект фотопроводимости дает совершенно другую форму линии. С другой стороны, Горняк и Цуи [651] обнаружили инфракрасное излучение, обуслов-

ленное межподзонными переходами, при разогреве электронного газа. Разогрев электронов, который приводит к заполнению возбужденных подзон, происходит под действием электрического поля, приложенного параллельно поверхности. Полученные энергетические расстояния между подзонами согласуются с данными по фотопроводимости [1963] и противоречат результатам исследования поглощения инфракрасного излучения. Во всех трех перечисленных методиках использовались образцы различных типов, приготовленные в разных лабораториях. Сначала расхождение полученных данных связывалось с такими реальными эффектами, как неоднородность легирования или существование переходного слоя на границе раздела Si — SiO2. Более поздние исследования фотопроводимости и поглощения в одних и тех же образцах показали, что резонансы имеют одинаковые положения и сходные формы линии [1299, 857, 859, 785]. Выполненные эксперименты с временным разрешением [859] (см. также [857]) доказали, что положение резонанса зависит от того, насколько полно устанавливается электростатическое равновесие в кремниевой подложке. Действительно, осложнения, связанные с установлением реального электростатического равновесия, уже давно предвиделись (см., например, работу Фаулера [562] и цитированную там литературу). Именно отсутствие обедненного слоя в экспериментах Уилера и Голдберга [1963] и Горника и Цуи [651] считается главной причиной обнаруженного-расхождения в данных, и все последующие эксперименты подтвердили результаты, полученные пои изучении поглощения.

Механизм межподзонного резонансного фотоотклика по-прежнему не выяснен. В работах [1963, 785] отмечалось, что время отклика фотопроводимости очень велико (порядка 10-3 с) и амплитуда сигнала практически не зависит от температуры в интервале от 1,6 до 4,2 К, а авторы работы [1299] обнаружили сильную температурную зависимость. Уилер и Голдберг [1963] предположили, что электроны возбуждаются светом в вышележащую подзону, для которой характерна меньшая подвижность, что и приводит к уменьшению поверхностной про7 водимости, т.е. к отрицательному фотоотклику. Такая же модель использовалась ранее в работах [873, 874] для объяснения отрицательной фотопроводимости, обнаруженной на поверхности InSb. Согласно другой молели [406, 407], в которой важная роль отводится подзоне £0., электроны возбуждаются в подзону Ех и, рассеиваясь на примесях, переходят в подзону Eq,, принадлежащую другой совокупности долин. Эта модель позволяет объяснить большое время фотоотклика, хотя и не объясняет сильную температурную зависимость. Отмечалась

Рис. 34. Фотоотклик в зависимости от напряжения на затворе VG для двух длин волн: 1 — 118 мкм фи> = 10,45 мэВ); 2 — 78 мкм (Лы = 15,81 мэВ) [1963].

Рис. 35. Межподзонный резонанс в инверсионном w-слое на поверхности (100)Si при различных температурах. А'о6сл„ = 1,1 х х Ю’^м-2; йы = 15,81 мэВ [958]. На врезке показана зависимость амплитуды резонанса, соответствующего переходу 0 — 1, от температуры. При повышении температуры амплитуда этого резонанса уменьшается и появляется новый резонанс, обусловленный тепловым заполнением уровня 0'.

также возможность существования поверхностных ловушек с большим временем жизни. В работе [1300] предполагалось, что главной причиной фотоотклика является повышение при поглощении излучения температуры электронного газа по сравнению с температурой решетки, причем авторы не подтвердили ранее полученное большое время фотоотклика и показали, что его значение меньше 10-5 с. Авторы работы [1300] убедительно доказали, что для фотоотклика н для да/дТ характерна одинаковая зависимость от магнитного поля, направленного перпендикулярно поверхности полупроводника. Оказалось, однако, что механизм разогрева не позволяет объяснить все многообразие экспериментальных результатов, полученных при изучении образцов различных типов1*.

В работе [985] исследовалась температурная зависимость межподзонных оптических переходов в интервале от 4,2 до 130 К. Пример наблюдаемых форм линий соответствуюших

ЧВ работе [47] были исследованы спектры пропускания монокристаллических пленок теллурида кадмия толщиной от 100 до 250 А, полученных методом лазерного напыления. Наблюдались экситон- ные переходы между размерно-квантованными ветвями валентных зон. Из анализа экспериментальных данных определены объемные значения эффективных масс легких и тяжелых дырок. — Прим.ред.

резонансов приведен на рис. 35. С ростом температуры линии, связанные с подзоной £0, сдвигаются и амплитуда их уменьшается, что видно на графике, помещенном на врезке. Одновременно со стороны низкой концентрации электронов возникает малый дополнительный пик, амплитуда которого возрастает. Предполагается, что этот пик обусловлен переходами из нижней заполненной при достаточно высокой температуре подзоны, кратность долинного вырождения которой равна четырем и которой соответствует легкая масса в направлении, перпендикулярном поверхности полупроводника. Положение резонанса согласуется с теоретической оценкой величины £г—Ео,. Следует предположить, однако, что величина £0, — Еп намного меньше теоретически предсказываемого значения, чтобы объяснить наблюдаемую температурную зависимость относительной амплитуды резонансов поглощения. Этот вопрос обсуждается также в § 2 гл. 7 в связи с изучением влияния деформации. Исследовалась также температурная зависимость для поверхностей (111) и (ПО) Si [853]. По- прежнему нет объяснения ширины линии резонанса при высоких температурах. Экспериментальные данные говорят о том, что ширина линии с ростом температуры увеличивается незначительно, тогда как заметно уменьшается подвижность и уширяется линия циклотронного резонанса (см. § 3 гл. 4 и § 2 гл. 6). Таким образом, эксперименты несколько неожиданно показывают, что ни рассеяние на фононах, ни электрон-электронные столкновения не определяют уширение линий межподзонных оптических переходов. Совсем недавно были выполнены измерения даже при комнатной температуре [1582; 259]. Оказалось, что резонансная энергия значительно возрастает, что согласуется с предсказаниями теории, построенной в приближении Хартри (см. § 1 этой главы).

Все упомянутые выше измерения выполнялись на фиксированных частотах, а резонанс достигался при изменении напряжения на затворе, т.е. при изменении расстояния между подзонами. Подобному подходу присущи определенные недостатки. Так как и Ns, и самосогласованный потенциал зависят от напряжения на затворе, трудно определить форму линии и относительные интенсивности различных переходов. Только в последние несколько лет стало возможным исследование слоев пространственного заряда с помощью фурье-спектроскопии [1175 — 1177]. В работе [1176] показано, что для объяснения наблюдаемых относительных интенсивностей переходов 0 — 1, 0—2, 0—3 недостаточно приближения Хартри и что их величины полностью согласуются с результатами, полученными методом функционала плотности. Как уже отмечалось, расчет в приближении Хартри предсказывает большой эффект деполяризации, который резко изменяет относительные интенсивности резонансов таким образом, что переходы в более высокие подзоны имеют большие интенсивности. С другой стороны, ослабление эффекта деполяризации, связанное с учетом обмена и корреляции, делает наиболее интенсивным переход 0—1, что согласуется с экспериментальными данными. Авторы цитируемой работы, подробно исследовав структуру подзон, показали, что данные эксперимента и теории очень хорошо согласуются друг с другом в значительно более широком интервале значений Аобсдн и частот, чем показано на рис. 30. Межподзонная спектроскопия поверхностей (ПО) и (111) Si [1175, 327] может дать дополнительную информацию о долинном вырождении и природе основного состояния (см. § 2 гл. 7). Фурье-спектроскопия позволяет исследовать влияние ионов Na + , расположенных вблизи границы раздела; так, наблюдались переходы, обусловленные существованием связанных состояний ионов Na+. Этот вопрос уже затрагивался в §5 гл. 2 и более полно обсуждается в § 3 гл. 5.

Для наблюдения межподзонных переходов в слоях пространственного заряда в других полупроводниках использовались различные методы. Даже свет, падающий по нормали к поверхности, может возбудить переходы между подзонами в узкозонных полупроводниках, зонная структура которых отличается сильной иепараболичностью (см. § 2 гл. 8). Для исследо-

вания полупроводников А3 В5 можно использовать резонансное рассеяние света. Например, недавние наблюдения возбуждений с переворотом и без переворота спина в гетероструктурах GaAs — AlGaAs позволяют независимо определять расстояния между подзонами и соответствующие резонансные энергии; эти исследования кратко обсуждаются в § 4 гл. 8.

§ 4. ПОДЗОНЫ И ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ В МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ

Изучение влияния магнитного поля дает возможность получить дополнительную информацию о структуре подзон, об эффекте деполяризации и поправках на локальное поле к нему. Если магнитное поле направлено вдоль оси у параллельно поверхности, то на электроны, движущиеся в противоположных направлениях вдоль оси х, действуют различные силы Лоренца, и структура подзон видоизменяется. Обычно в инверсионном слое радиус циклотронной орбиты (81 А в поле 100 кГс) намного превышает толщину инверсионного слоя, и магнитное поле можно рассматривать как малое возмущение. Если направление магнитного поля не совпадает с нормалью к поверхности, то перпендикулярная компонента поля квантует движение электрона параллельно поверхности: возникают дискретные уровни Ландау. Хотя параллельная компонента магнитного поля обычно слабо влияет на двумерные свойства, она может значительно изменить спектр межподзонных оптических переходов.

Предположим, что система электронов в инверсионном слое на поверхности (100) Si находится в магнитном поле (0, Ну, Н^, направленном вдоль плоскости yz. В приближении Хартри система электронов описывается гамильтонианом

1 / е V1 ,

(3.86)(3.86)+ — ( Ру + —Нх ) 4- —pz 4- И(г), 2т, \ у сz /2т,

(3.86)

(3.86)

где выбрана калибровка А = (Hyz, Hzx, 0). В ннжнем порядке по Ну движение электронов в п-й подзоне параллельно поверхности описывается эффективным гамильтонианом [17051

^ = -—(рх + — Hzm\ 4- -—(ру * — НгЛ 4- Еп 4- -—-4[(z2)„„ - (z„„)2],. (3.87) 2щДс / 2тД с /2т,/„

где /^ = ch/eHy Последний член в выражении (3.87) описывает диамагнитный сдвиг энергии. Этот сдвиг впервые наблюдался при изучении туннелирования в обогащенных слоях в InAs [1808]. Если магнитное поле направлено строго параллельно поверхности (,HZ = 0), то дисперсия описывается параболой, минимум которой смещен в направлении кх на величину -z„„/7r Если Hz Ф 0, то выражение (3.87) определяет уровни Ландау

(3.88)(3.88)EnN = ^(n + zA 4- -^-з [(z2)„„ - (z„„)2] 4- Еп, \^ /^Ш^у

(3.88)

(3.88)

где шс = eHz/mtc выражается через перпендикулярную поверхности компоненту поля. Соответствующая волновая функция имеет вид

^nNx^* Z) = ^ехр^nNx^* Z) = ^ехр(3.89)(3.89)^ - /Х„(* - X^tn^

^nNx^* Z) = ^ехр

^nNx^* Z) = ^ехр

(3.89)

(3.89)

lz‘у /

где /2 = ch/eHz и XnW — обычная волновая функция электрона на уровне Ландау. Появление множителя ехр[- iznn(x — АЭ/Z2] связано со сдвигом центра циклотронной орбиты в к- пространстве.

Приведенные выше результаты справедливы в первом порядке по Ну. Для того чтобы построить теорию во втором порядке по Ну, в выражение (3.87) следует добавить член [1687]

V -^^-.(3.90)

mt т^у "^ ^п — ^т

В результате возрастает эффективная масса в основной подзоне в направлении х: "—.x-^v JtiL.<3.9»

т^Ну) m,ly Ет — Ео т*0

Это увеличение при Ns = \ • 1012 см""2, Л^обедн = 1 • 1011 см-2 в поле Ну = 100 кГс составляет только несколько процентов от эффективной массы. Таким образом, справедливость выражений (3.88) и (3.89), полученных в низшем приближении, ограничена областью не слишком сильных магнитных полей. Тот факт, что структура уровней Ландау определяется только перпендикулярной поверхности компонентой поля, экспериментально использовался для разных целей. Уемура и Мацумото [1852] (см. также [1850]) исследовали влияние Ну с помощью вариационной волновой функции (3.25). Они объяснили наблюдавшееся аномальное магнитосопротивление [1749] влиянием деформации волновых функций в параллельном магнитном поле. Экспериментальная сторона вопроса более подробно изложена в § 2 гл. 4. Подобный подход, основанный на теории возмущений, несправедлив при описании вышележащих

Рис. 36. Пример вычисленного дисперсионного соотношения для подзон, связывающего Е и кх> в обогащенном л-слое на поверхности (100)Si в магнитном поле, приложенном параллельно поверхности (в направлении у) [64]. Ns = 2 х х 1О'2см-2, н = 100 кГс.

^кр^пп ~ Mmt‘y^кр^пп ~ Mmt‘y

^кр^пп ~ Mmt‘y

^кр^пп ~ Mmt‘y

подзон, особенно в обогащенном слое, так как размеры области, в которой волновая функция заметно отлична от нуля, сравнимы с радиусом циклотронной орбиты или превышают его. Андо [531 выполнил самосогласованный расчет структуры подзон обогащенного слоя в сильных магнитных полях в приближении Хартри. Оказалось, что основная подзона по- прежнему описывается в низшем порядке теории возмущений, а возбужденные подзоны представляют собой магнитные поверхностные состояния, возмущенные слабым поверхностным потенциалом, таким образом, они полностью делокализованы и образуют почти непрерывный спектр. Расчет, в котором учитывалось обменное и корреляционное взаимодействия, выполнен методом функционала плотности [63, 64]. Пример полученных результатов приведен на рис. 36. Структура подзон представляет собой результат гибридизации электрических подзон и магнитных поверхностных состояний.

Поскольку оптические переходы являются прямыми (сохраняется к), то относительный сдвиг минимума энергии в к-пространстве и диамагнитный сдвиг энергии приводят к уширению и смещению спектра межподзонного поглощения в параллельном магнитном поле. В простейшем случае, когда можно пренебречь взаимодействием различных подзон, а магнитное поле считается слабым, имеем.

<^M = NA0~'^(3.92)

т1

где т„„ = («„„ - /3„„) характеризует величину эффекта деполяризации я поправок на локальное поле, Йшп0 = Еп - Ео и'

2^(0,) = ^ 1у (3<^

Ns L U мпО<кхГ - ш.

заполненные к.

где h^nOkkx^ = £„(k) - £0(к). При у„„ = 0 получаем полуэллиптический спектр вблизи кшп0(кх = — ?(х/ф, ширина которого

Рис. 37. Влияние параллельного поверхности магнитного поля на положение и форму линии межподзонного резонанса в обогащенном л-слое на поверхности (100)Si: 1 — Н = 0; 2 — Я = 41 кГс; 3 —Я = 88 кГс; йш = 15,81 мэВ.

пропорциональна Ну. Необходимо отметить, что резонансный пик при учете эффекта деполяризации уже не определяется выражением кы„о<кх = — ZctVl^ 1 d + Т„„)'/2. его сдвиг возрастает из-за деформации формы линии [60]. Уширение и сдвиг резонанса наблюдались экспериментально [855, 164]. Пример полученных для обогащенного слоя результатов показан на рис. 37. Сигнал сдвигается в сторону меньших значений напряжения на затворе, а ширина линии возрастает при увеличении магнитного поля. Более высоким концентрациям электронов соответствует больший сдвиг резонансного пика. Этот факт является прямым следствием деполяризации, его нельзя объяснить одним только диамагнитным сдвигом. Если эффектом деполяризации .пренебречь, то влияние магнитного поля должно ослабевать по мере увеличения концентрации электронов, поскольку они теснее прижимаются к поверхности. В действительности, однако, как эффект деполяризации, так и деформация формы линии увеличиваются с ростом Ns и, как следствие, возрастает сдвиг пика. Экспериментально исследовались и инверсионные слои [164], причем влияние магнитного поля оказалось очень слабым. На рис. 38 приведены примеры спектров поглощения обогащенного слоя, вычисленные методом функционала плотности [64], которые иллюстрируют уширение и сдвиг пика. Полная асимметрия формы линии согласуется с экспериментальными данными. Сдвиг пика ДЕ * 2.8 мэВ при Ns = 0,6 ■ 12 см-2 и ДЕ = 3,9 мэВ при Ns = 1 • 1012 см-2 в поле ТЕ = 100 кГс [164]. Согласно теоретическим оценкам, ДЕ * 2,3 мэВ при Ns * 0,6 ■ 1012 см- и ДЕ = 3,5 мэВ при Ns = 1 • 1012 см-2. Хотя теоретически полученные значения несколько меньше, тем не менее можно сказать, что они хорошо согласуются с экспериментальными результатами.

На рис. 39 схематически изображены структура подзон и уровни Ландау в наклонном магнитном поле, т.е. в поле, направление которого не совпадает с нормалью к поверхности. Из-за сдвига центра орбиты Ландау в ^^-пространстве кроме основного перехода становятся возможными комбинированные межподзонио-циклотронные переходы. Такой комбинированный резонанс был впервые обнаружен в системе электронов на поверхности жидкого гелия [2018]. Наблюдались два связанных пика, расположенных симметрично относительно линии, удаленной от основного межподзонного перехода на расстояние, равное энергии расщепления уровней Ландау. Эффект деполяризации в инверсионном и обогащенном слоях значительно усложняет спектр, однако именно наблюдение комбинированных резонансов дает важную информацию о величине этого эффекта [60].

Рис. 38. Вычисленная действительная часть высокочастотной проводимости оЙ<ш\ обогащенного п- слоя на поверхности (100)81 в различных магнитных полях: 7—0; 2 — 50; 3 — 100; 4 — 150; 5 — 200 кГс [64]. Ns = 1О12см-2, Л/т = 1 мэВ.

4-34

Рис. 39. Структура подзон и уровней Ландау в инверсионном слое в наклонном магнитном поле [69]. Вектор напряженности магнитного поля лежит в плоскости yz, ось Z направлена по нормали к поверхности. Обе параболы описывают структуру подзон в нулевом магнитном поле. Из-за сдвига центра орбиты Ландау в ^^-пространстве кроме основного перехода разрешены комбинированные межподзониые циклотронные переходы.

Сначала остановимся на обсуждавшемся выше простейшем случае системы электронов в магнитном поле, направленном параллельно поверхности. Высокочастотная проводимость в наклонном магнитном поле определяется выражением (3.92), где

£>)=^” У У /№on) [1 - №nN^\ х -(3.94)

\EnN. - £on) - (Mt»)1

N N* a

Дм™ —(3.95)

ly

•*NN' to — интеграл перекрытия волновых функций электрона в магнитном поле, центры которых смещены иа величину (znn — Zoo)//2 в ^^-пространстве:

/N-tV / х V N r /1 2\, 1 2\

(3.96)(3.96)JNN-W = J№N<-X> =LN- ”

(3.96)

(3.96)

где £д(х) — присоединенный полином Лаггера. Интенсивность перехода ON — nN' определяется величиной /^'(Дп0)2, как это следует из рис. 39. Если Дл0 < 1, то

W^no)2 = 1 - ^ + |) А«о = 1 ~ (* + 0 ^""^ ^(3-97)

^±1(Д„о)2 = | (^ + | ± j) 1^-^^-.(3.98)

Поскольку диамагнитным сдвигом энергии можно пренебречь, положение комбинированных

резонансов ДМ Ф 0 определяется, если амплитуда достаточно мала, выражением Е й + + ДМкшс, тогда как положение основного резонанса — равенством Епй = (1 + 7пп)”Еп0; Еп0 — это резонансная энергия в отсутствие магнитного поля. Таким образом, мы можем определить величину эффекта деполяризации по относительному сдвигу комбинированного и основного резонансов. С другой стороны, в противоположном пределе Ну ► Нг форма линии, как можно показать, близка к наблюдаемой в параллельном магнитном поле, если исключить квантовую структуру, связанную с отличием Нг от нуля.

Комбинированный резонанс наблюдался также в обогащенных слоях [166] (см. также [969]), хотя первая попытка и оказалась неудачной [164]. Пример экспериментальных результатов показан на рис. 40, где приведена зависимость производной поглощения dP/dNs от Ns при кш = 15,8 мэВ. Основной переход происходит при Ns * 1,2 ■ 1012 см-2 и Ну = 0 и сдвигается в сторону больших Ns с ростом Ну. При Ns * 1,05 • 10,2см~2 наблюдается комоинироваиный резонанс для ДМ = +1, который расщеплен на два пика при Ну г 50 кГс и при Ns = 1,7 ■ 1012 см-2 — слабый комбинированный резонанс для ДМ = — 1. Сдвиг основного резонанса относительно центра комбинированных резонансов ясно указывает на существование эффекта деполяризации (уи > 0). На ■рис. 41 сравниваются экспериментально найденные положения основного и комбинированных резонансов при Нг = 35 кГс и Hz = = 50 кГс и-достаточно слабых Ну и значения Е10, Ею ± кыс и Е10, где Е10 и Е10 соответственно энергетическое расстояние между подзонами и резонансная энергия, вычисленная методом функционала плотности. Теоретические значения резонансной энергии в нулевом магнитном поле примерно на lOVo превышают экспериментальные. Небольшое отличие абсолютных значений находится в пределах точности тех приближений, которые использовались в теоретических расчетах. Возможна ошибка и в экспериментальной оценке, которая связана с неточ-

Рис. 40. Результаты экспериментального исследования поглощения в обогащенном л-слое на поверхности (100)Si в наклонном магнитном поле. Нг = 35 кГс, значения Ну следующие: 1— 0; 2 — 19; 3 — 28; 4 — 5б; 5 — 43; 6 — 54; 7 — 61 кГс [69]. Приведена зависимость производной поглощения dP/dNs от Ns при Лы = 15,81 мэВ. Основной переход наблюдается при Ns - 1,2 • 10,2см~2. При М$ - 1,05 • 10,2см~2 можно ' наблюдать комбинированный резонанс для ДМ = +1, который расщепляется на два в полях Ну г 50 кГс. При^ ~ 1,7 • 10,2см-2 наблюдается слабый комбинированный резонанс для ДМ = - 1.

Рис. 41. Сравнение теоретически рассчитанных и экспериментально наблюдавшихся положений основного и комбинированных резонансов (Д^ = ± 1) в обогащенном л-слое на поверхности (100)Si в наклонном магнитном поле [69]. Сплошная линия соответствует вычисленной резонансной энергии, точечная — энергетическому расстоянию между основной и первой возбужденной подзонами в нулевом магнитном поле. Ожидаемые положения комбинированных резонансов показаны штриховыми (для Нг = 35 кГс) и штрихпунктириыми (для Нг = 50 кГс) линиями. Экспериментальные значения обозначены кружками для Н, = 0, светлыми треугольниками для Нг = 35 кГс и темными треугольниками для Н, = 50 кГс.

ностью определения величины Ns. Соответствия положений комбинированных резонансов относительно основного резонанса достаточно для вывода о том, что вычисленная величина эффекта деполяризации согласуется с экспериментальной.

Самосогласованный расчет оптического спектра инверсионного и обогащенного слоев в наклонном магнитном поле методом функционала плотности принадлежит Андо [67, 69, 72]. На рис. 42 приведен пример полученных результатов для обогащенного слоя n-типа на поверхности (100) Si при Ns = 1 ■ 1012 см-2. Слабый характерный пик при Йш = 12,7 мэВ соответствует комбинированному резонансу Д^ = — 1, вблизи Йш = 17 мэВ наблюдаются комбинированные резонансы kN = +1. При малых значениях Ну положение этих резонансов определяется выражением Е]о ± йшс, главному резонансу, как и ожидалось, соответствует Е№ Хотя теория и объясняет основные экспериментальные результаты, в том числе расщепление комбинированного резонанса AN = +1 в полях выше »50кГс, существуют некоторые расхождения, касающиеся, например, относительной величины комбинированных резонансов и основного резонанса. Согласно экспериментальным данным, комбинированные резонансы усиливаются при уменьшении Ну, это можно объяснить тем, что в действительности первая возбужденная подзона связана слабее, чем это предсказывает теория. Однако этот факт, невидимому, противоречит отсутствию в экспериментах диамагнитного сдвига энергии. Возможно, что при объяснении таких мелких деталей структуры подзон следует учитывать изменение обменного и корреляционного эффектов в магнитном поле.

1015 го 251015 го 25hcv, мэВhcv, мэВ

1015 го 25

1015 го 25

hcv, мэВ

hcv, мэВ

Рис. 42. Спектры оптического поглощения в обогащенном л-слое на поверхности (100)Si, вычисленные при различных значениях Ну: 1 — 20; 2 — 40; 3 — 60, 4 — 80; 5 — 100 кГс [69]. Нг = 3 5 кГс, N, = 10|2см-2, Л/т = 0,5 мэВ.

§ 5. ВЛИЯНИЕ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА

В большинстве расчетов инверсионного и обогащенного слоев предполагается, что граница раздела полупроводник — диэлектрик является резкой и на ней образуется бесконечный потенциальный барьер, что в результате приводит к отталкиванию электронов в полупроводнике от диэлектрика. Известно, однако, что расстояние между дном зоны проводимости в Si и дном зоны проводимости в SiO2 составляет от 3,1 до 3,2 эВ [1980], что допускает незначительное проникновение волновой функции в диэлектрик. Кроме того, при рассмотрении границы раздела в атомном масштабе понятие резкого барьера становится неприемлемым. Правильный путь решении этой проблемы заключается в рассмотрении точной микроскопической структуры границы раздела без использования приближения эффективной массы. Подобный прямой подход пока невозможен, так как структура границы раздела точно не известна. В любом случае это будет не просто, поскольку о границе раздела между кристаллом (полупроводник) и аморфным веществом (диэлектрик) можно говорить только приближенно.

Этот вопрос можно исследовать в рамках приближения эффективной массы, моделируя приграничную область таким образом, что атомная структура будет сглажена, и используя соответствующие эффективные массы для диэлектрика. В этом параграфе мы применим подобный подход для описания границы раздела Si — SiO2 и поверхности жидкого гелия. В случае меньшей высоты потенциального барьера (например, в полупроводниковых гетероструктурах) граница раздела играет главную роль в проблеме определения энергетических уровней. Этот случай кратко обсуждается в разд. 2 § 4 гл. 8.

Если волновая функция электрона проникает в диэлектрик, то использовать представление о резкой границе раздела нельзя из-за сингулярности в потенциале изображения (3.17),

Рис. 43. Схематическая картина перехода от кристаллического элемента А к кристаллическому соединению АВ3. Линия 66 является номинально границей раздела, хотя атомы А, лежащие на этой линии, имеют другие связи по сравнению с атомами А по обе стороны от нее. Переходный слой можно рассматривать как область, ограниченную линиями аа и сс, т. е. обладающую отличной от нуля толщиной даже в случае резкой кристаллографической границы раздела.

говорить о котором нет смысла, если волновая функция отлична от нуля. К счастью, размытие границы раздела снимает эту сингулярность.

Что касается границы раздела Si — SiO2, то появились экспериментальные основания для построения модели, согласно которой Si и SiO2 разделяют только один или два атомных слоя промежуточной стехиометрии. Первые исследования с помощью оже-спектроскопии и спектроскопии рассеяния ионов аргона (см., например, [834]) дают толщину переходной области на границе раздела от 2 до 3,5 нм, тогда как другие эксперименты, включая фотоэмиссию [396, 1489, 1490, 155, 156, 804, 809], обратное рассеяние ядер [1644, 526, 527, 825] и электронную микроскопию высокого разрешения [1021 — 1023], уменьшили эту величину до толщины одного или двух атомных слоев.

Как отмечалось в работах [1393, 1702], можно дать различные определения толщины границы раздела. Согласно одному из них, рассматривается атомная структура этой границы, что может привести к границе раздела нулевой толщины для структуры, изображенной на рис. 43, в которой два вещества разделены плоскостью. Согласно другому определению, рассматривается локальное окружение каждого атома и переходный слой определяется как область, в которой это окружение отличается от объемного. В случае, показанном на рис. 43, переходный слой включает по крайней мере два атомных слоя. В заключение остановимся на запрещенных зонах в системе, а также на ее диэлектрических свойствах, которые зависят от возбужденных состояний системы. В этом случае переходный слой может оказаться шире, чем дает второе определение, так как волновые функции возбужденных состояний, как можно предполагать, отличны от нуля и вне области изменения потенциала. Это последнее из определений, которое относится к нашему случаю, так как и высота барьера, и эффективная масса, и диэлектрическая проницаемость включают состояния зоны проводимости.

Построим теперь модель переходного слоя, вычислим в рамках этой модели потенциал изображения и решим уравнение Шредингера для огибающей волновой функции. Параметры,

которые меняются в переходном слое, — эффективная масса тг, высота барьера Ев и статическая диэлектрическая проницаемость х. Предполагается, что все эти величины описываются одной и той же переходной функцией S(z). Таким образом, предполагается, что

Х(?) — Хщ^д + (Хпп ~ ^диэл^^ )>

т^ = mz, ДИЭЛ + <тг, пи - mz, диэл)5^),(3.99)

W = Ев - EBSU\

где S = 0 в диэлектрике и S = 1 в полупроводнике.

Простейшей переходной функцией является линейная. Стерн [1702] показал, что такая зависимость в переходном слое приводит к нефизической логарифмической расходимости в потенциале изображения. Расходимость устраняется, если функция S(z) переходного слоя непрерывно выходит на свои постоянные значения в полупроводнике и диэлектрике [1702]. Потенциал изображения определяется из уравнения Пуассона

V • х^ф = -4rQ8(r)5(z - z7)(3.100)

и представляет собой потенциал, создаваемый точечным зарядом Q, минус потенциал Q

x(z')[(z - z')2 + rY’

Который создает тот же самый заряд в однородной среде, статическая диэлектрическая проницаемость которой равна локальному значению x(z'), умноженному на Уг, что исключает двойной учет межэлектронных взаимодействий. Соответствующая энергия получается умножением потенциала изображения на Q и не зависит от знака Q, она непрерывно изменяется при переходе через границу раздела и на расстоянии, превышающем толщину нескольких переходных слоев, приобретает обычный для потенциала изображения вид. Отметим, что обычный потенциал изображения притягивает заряд в среде с меньшей диэлектрической проницаемостью и отталкивает заряд в среде с большей диэлектрической проницаемостью.

Потенциальная энергия в уравнении Шредингера описывается выражением

(3.101)(3.101)Пг) = ЗД + W + W + W.

(3.101)

(3.101)

где У5(г) определяется решением уравнения Пуассона с пространственно-изменяющейся статической диэлектрической проницаемостью, т.е. далее нельзя использовать соотношение (3.14).

Если эффективная масса также зависит от пространственной координаты, уравнение Шредингера следует переписать в виде

Й2 d 1 d^2 dz mz(z) dzЙ2 d 1 d^2 dz mz(z) dz+ [K(z) - ЕД,(г) = 0;+ [K(z) - ЕД,(г) = 0;(3.102)(3.102)

Й2 d 1 d^

2 dz mz(z) dz

Й2 d 1 d^

2 dz mz(z) dz

+ [K(z) - ЕД,(г) = 0;

+ [K(z) - ЕД,(г) = 0;

(3.102)

(3.102)

при этом сохраняется поток вероятности через переходный слой [701, 170]'\

На поверхности (100) Si на границе раздела Si — SiO2 образуются две лестницы подзон: двукратно вырожденная нижняя лестница с mz = 0,916m и четырехкратно вырожденная лестница с mz = 0,19m. Для соответствующих масс в SiO2 получены различные значения даже

^Теоретический анализ проблемы согласования волновых функций в приближении эффективной массы на резкой гетерофазной границе выполнен недавно в [38]. — Прим.ред.

для энергий вблизи дна зоны проводимости, которое лежит, как предполагается, при к = 0. Туннельные измерения дают значения 0,42m [1089], 0,48m [1954], 0,65m [1010], 0,85m [1171] (см. также [1103]). Еще более сложно положение с четырехкратно вырожденными долинами, которые находятся в точках к * 0 и поэтому удалены от диа зоны проводимости в SiO2. Расчет зоны проводимости в кристаллической двуокиси кремния [236, 1585, 154] показал, что высота барьера составляет - 5 эВ для уровней энергии, образующих четырехкратно вырожденную лестницу подзон, т.е. на 2 эВ выше, чем для электронов, заполняющих двукратно вырожденную лестницу подзон, хотя туннельные измерения [1953] для поверхностей (100), (110), (111), по-видимому, не подтверждают столь большое значение.

Стерн [1700] предложил модель размытой границы раздела в качестве возможной альтернативы модели рассеяния на границе раздела. Он предполагал, что пройикновение волновой функции в переходный слой уменьшает подвижность пропорционально доли полной плотности заряда инверсионного слоя в переходном слое, что приближенно согласуется с экспериментальными данными. Дальнейшие исследования (Ф. Стерн, неопубликованные результаты) показали, что в рамках борновского приближения подвижность уменьшается пропорционально квадрату проникновения волновой функции в переходный слой на значительно меньшую величину. Недавние исследования ([1021 — 1023,' 1727, 690] и другие) дают величину шероховатости границы раздела, близкую к требуемой, так что этот альтернативный механизм не требует теоретического обоснования. Необходимо добавить, что значения сдвигов энергии получены Стерном [1700] для более простой модели, чем рассмотренная выше, и поэтому менее реалистической. Согласно Стерну, существование переходного слоя уменьшает энергию Eq,0, тогда как Накаяма [1280] получил для более точной модели обратный эффект. Экспериментальная сторона этого вопроса обсуждается в § 3 гл. 3 и в § 3 гл. 4.

Неопределенности, содержащиеся в модели, в частности существование многих материальных постоянных, характеризующих границу раздела Si — SiO2, не позволяют привести

Рис. 44. Влияние условия иа границе раздела полупроводник — диэлектрик иа энергии уровней в треугольной потенциальной яме [1690]. По оси абсцисс отложенр отношение значения огибающей волновой функции на границе раздела к ее производной, взятой также на границе раздела. Единица длины а = (A2/2mzeF)l/3, где F— электрическое поле в полупроводнике, единица энергии Е* = eFa. Энергии, при которых производная огибающей волновой функции равна нулю иа границе раздела, отмечены иа правой шкале.

значения сдвигов уровней энергии, связанных с переходным слоем на границе раздела. В расчетах [1069, 1070, 729, 730, 1594, 1280] граница раздела рассматривалась микроскопически. Кроме трудностей, связанных с описанием аморфного окисла, возникают осложнения, и в расчетах из первых принципов [1069, 1070, 729, 730], которые заключаются в том, что энергии подзон определяются с точностью — 1 мэВ, если точно воспроизводятся энергии расщепления подзон. Действительно, расщепление подзон в этом случае сравнимо с шириной запрещенной зоны — 1 эВ или превышает ее.

Оценить свойства, обусловленные существованием переходного слоя, можно, предположив, что на логарифмическую производную огибающей волновой функции на границе раздела накладывается определенное условие. Если к тому же ограничиться приближением треугольного потенциала, то можно воспользоваться решениями уравнения Эйри (см., например, [1690]); в этом случае-при достаточно малых значениях f(O)/f'(O) энергии всех подзон данной лестницы понижаются на некоторую величину относительно значений, полученных при граничном условии С(0) = 0, как это видно на рис. 44. Там же приведены численные решения уравнения (3.102). Поскольку каждой лестнице подзон соответствуют определенные значения тг и Ев, различные лестницы сдвигаются на разные энергии.

Электроны на поверхности жидкого гелия

Что касается системы электронов на поверхности жидкого гелия (краткий обзор свойств этой системы дан в § 8 гл. 8), то имеются как теоретические основания ([1088, 1144], см. также ранние работы, цитированные Стерном [1702]), так и причины, в основе которых лежат результаты экспериментального исследования отражения атомов 4Не от поверхности жидкого 4Не [457 , 458, 465 , 466], полагать, что на поверхности плотность изменяется постепенно. Толщина границы раздела по оценкам составляет от 0,3 до 0,8 нм. Следовательно, данная система должна быть хорошим кандидатом для предложенного выше анализа, при этом исключаются некоторые недостатки, ограничивающие его применение к границе раздела Si — SiO2. Стерн [1702] использовал описанный подход с одним произвольным параметром в функции S(z) переходного слоя. Если величина барьера Ев = 1 эВ, а эффективная масса электрона в жидком гелии тг = 1,1 т [1674], то достигается хорошее соответствие с энергией расщепления двух первых возбужденных подзон [676]. Соответствующая толщина границы раздела (от 10 до 90%) составляет 0,57 нм, т.е. лежит в области приведенных выше оценок. Эти параметры так же хорошо согласуются с недавними исследованиями в более сильных электрических полях [1055]. Вычисленные и экспериментальные результаты приведены в § 8 гл. 8.

Модель Стерна для поверхности жидкого гелия хорошо согласуется с экспериментальными данными, и это отнюдь не случайно. Например, модельный потенциал

V^ = -V^ = -х — 1 е2х — 1 е2, z > 0, х + 1 4(г + 0), z > 0, х + 1 4(г + 0)

V^ = -

V^ = -

х — 1 е2

х — 1 е2

, z > 0, х + 1 4(г + 0)

, z > 0, х + 1 4(г + 0)

(3.103)(3.103)

(3.103)

(3.103)

^(z) = ^0’ z < 0

также приводит к хорошему соответствию с экспериментальными данными при 0 = 0,108 нм (Zipfel, Simons, неопубликованные результаты) или при 8 = 0,101 нм [752]. В работе [1569] получены ана)Титические выражения для сдвигов уровней в нескольких случаях. Для сравнения со спектроскопическими данными необходимы результаты расчетов, выполненных в рамках более реалистических микроскопических моделей поверхности.

ГЛАВА 4. ПЕРЕНОС ПО ДЕЛОКАЛИЗОВАННЫМ СОСТОЯНИЯМ

ИЗМЕРЕНИЯ

В этом параграфе мы попытаемся дать читателю некоторое представление о характере описываемых измерений кинетических коэффициентов и об их точности. К числу простейших относятся измерения низкочастотных явлений переноса. Более сложно (как и в случае массивных полупроводниковых образцов) извлечь из этих измерений необходимую информацию. Задача заключается в определении фундаментальных характеристик — концентрации свободных носителей, подвижности, распределения ловушек, плотностей состояний и т.д. из измеряемых величин — проводимости, эффекта Холла, подвижности эффекта поля, магнитосо- противления, емкости и т.д.

Простейшей измеряемой величиной является удельная поверхностная проводимость

о = eN^ = g^/W,(4.1)

где е — заряд электрона, Ns — поверхностная плотность свободных носителей, ц — подвижность, gD — проводимость между истоком и стоком, L — длина МОП-структуры, изображенной иа рис. 1, a W — ее ширина. Даже при этих измерениях могут возникнуть трудности, связанные с неомичностью (между стоком и истоком приходится поддерживать поле напряженностью менее 1 В/см, а иногда при низких температурах — даже 10""3 В/см), со сравнимостью сопротивлений контактов и канала, с токами утечкн или неточным определением длины канала. Для исключения контактных эффектов измерения проводятся с использованием четырех зондов. Если проводимость однозначно измерена, то возникает задача независимого определения Ns и д. Для некоторых трехмерных полупроводников при малых концентрациях носителей эта задача решена с достаточной точностью путем комбинации результатов измерений проводимости, эффекта Холла, дрейфовой подвижности, циклотронного резонанса и других эффектов при различных температурах; все эти результаты тщательно сопоставляются и сравниваются с теорией (см., например, [1659]). Подробное и точное определение свойств проведено, вероятно, только для германия и кремния, и то лишь при малой концентрации носителей.

В инверсионных слоях нельзя провести измерения дрейфовой подвижности, зато по сравнению с объемными образцами здесь можно получить дополнительную информацию: по зависимости емкости и проводимости от напряжения на затворе может быть определена концентрация носителей.

Для характеристики МОП-транзистора вводится несколько различных определений подвижности. Эффективная подвижность

о

^ = Со^с - Кг)^

Рис. 45. Типичные зависимости проводимости gD (а) и поперечной дифференциальной проводимости gm (б) от напряжения на затворе. Из-за наличия хвостов при малых напряжениях пороговое напряжение VT определяется путем линейной экстраполяции одной или другой кривой (обычно кривой gm). При внимательном рассмотрении видно, что даже кривые gm имеют вблизи порога хвост, расширяющийся при повышении температуры или при наличии пограничных состояний.Рис. 45. Типичные зависимости проводимости gD (а) и поперечной дифференциальной проводимости gm (б) от напряжения на затворе. Из-за наличия хвостов при малых напряжениях пороговое напряжение VT определяется путем линейной экстраполяции одной или другой кривой (обычно кривой gm). При внимательном рассмотрении видно, что даже кривые gm имеют вблизи порога хвост, расширяющийся при повышении температуры или при наличии пограничных состояний.

Рис. 45. Типичные зависимости проводимости gD (а) и поперечной дифференциальной проводимости gm (б) от напряжения на затворе. Из-за наличия хвостов при малых напряжениях пороговое напряжение VT определяется путем линейной экстраполяции одной или другой кривой (обычно кривой gm). При внимательном рассмотрении видно, что даже кривые gm имеют вблизи порога хвост, расширяющийся при повышении температуры или при наличии пограничных состояний.

Рис. 45. Типичные зависимости проводимости gD (а) и поперечной дифференциальной проводимости gm (б) от напряжения на затворе. Из-за наличия хвостов при малых напряжениях пороговое напряжение VT определяется путем линейной экстраполяции одной или другой кривой (обычно кривой gm). При внимательном рассмотрении видно, что даже кривые gm имеют вблизи порога хвост, расширяющийся при повышении температуры или при наличии пограничных состояний.

(4.3)(4.3)(где а — малосигнальная проводимость, См — удельная емкость окисла, VG — напряжение на затворе, VT — пороговое напряжение) зависит от несколько произвольного выбора порогового напряжения, или напряжения включения. Часто VT. определяют как напряжение, при котором уровень Ферми находится на таком же расстоянии от края зоны проводимости (валентной зоны) на поверхности, как и от края валентной зоны (зоны проводимости) в объеме. Экспериментально VT обычно определяется как результат линейной экстраполяции к нулевой проводимости результатов измерений на включенном транзисторе при различных напряжениях на затворе (рис. 45 (а)). Тепловое уширение уровней и процессы захвата носителей вносят в эти методы некоторую неопределенность. Завышение величины VT приводит к слишком малым значениям Л^ и к большой по сравнению с д величине Ддфф. Эффективная подвижность может отличаться от у. также при наличии процессов захвата на поверхности. В простейшей модели

(4.3)

(4.3)

^эфф ^Р’

где / — доля индуцированных электронов, являющихся свободными (т.е. не ушедших на ловушки или в слой обеднения).

Подвижность эффекта поля ц^ определяется из поперечной дифференциальной проводимости

(4.4)(4.4)vDvDdID 8 = —

(4.4)

(4.4)

vD

vD

m dVG

Цу — ток стока, VD — напряжение исток — сток), нормированной соответствующими геометрическими множителями. Формула для цРЕ имеет вид [518]

(4.5)(4.5)»ге- -^г -♦ <уо- v^G^l ♦ jA: иок\ “KG aVG,

(4.5)

(4.5)

и иллюстрирует риск возможной ошибки при извлечении информации из подвижности эффекта поля. Поскольку gm стремится к нулю вблизи порога, ее можно использовать для определения VT, но опять же в силу эффектов уширения это будет ненамного лучше, чем из данных по проводимости (рис. 45,6). Большое количество обсуждаемых ниже данных по низкотемпературной эффективной подвижности было получено экстраполяцией измерений gm при 77 К и при использовании определенного из данных по проводимости. При измерениях gD и gm для борьбы с краевыми токами утечки часто используются замкнутые (обычно кольцевые) структуры. Если при измерениях gm на переменном токе напряжение стока поддерживается малым, емкостная связь через затвор может существенно увеличивать ток стока и приводить к серьезным ошибкам, в особенности при W $ L.

(4.6)(4.6)Холловская подвижность цн также может быть не равна ц. Ее можно записать в виде

(4.6)

(4.6)

цн= гц = RHca,

где RH — постоянная Холла, аг — так’называемый холл-фактор, обсуждаемый, например, в монографии [1659] и, вообще говоря, отличный от единицы. Равным единице он должен быть для круговых ферми-поверхностей при низких температурах. Измерения эффекта Холла, не подкрепленные соответствующей теорией рассеяния, не могут однозначно определить подвижность или концентрацию носителей. Таким образом, без достаточно аргументированных рассуждений эффекты захвата нельзя отделить от влияющих на холл-фактор эффектов рассеяния [518, 564, 1559]. Расчетов холл-фактора даже при низких температурах, когда запол- йена одна подзона, фактически не проводилось, за исключением работы [1728], основанной на весьма простых предположениях, хотя в работе [1559] утверждается, что при Т = 300 К г = 0,85. При температурах, превосходящих 40 К, расчеты должны вестись в многозонной теории. В отсутствие захвата носителей измеряемое значение концентрации

(4.7)(4.7)M1^

(4.7)

(4.7)

N„ = = —

eRHc r

вполне может быть использовано для определения порогового напряжения путем экстраполяции концентрации к нулю. Однако измерять эффект Холла труднее, чем проводимость, образцы требуются ббльших размеров, более сложной геометрии и (если не принимать специальных мер предосторожности) открытые с торцов. Как и обычно в холловских измерениях, следует должным образом учитывать геометрические эффекты. Сопротивление контактов, представляющее проблему в образцах, предназначенных для измерения сопротивления, здесь не играет роли, по крайней мере в схеме с разомкнутой холловской цепью. Бдльшие размеры образцов увеличивают вероятность макроскопических неоднородностей [518, 1760]. Откры-

тые края структур способствуют токам утечки по периферии, могущим исказить результаты при малых Ns> хотя можно изготовить образцы с охранными электродами.

При высоких температурах токи утечки, текущие через истоковый диод в подложку, могут привести к ошибкам, наиболее заметным при малых плотностях тока и в особенности при наличии смещения на подложке.

С — ^-характеристики, т.е. зависимости емкости от напряжения на затворе, могут использоваться для определения концентрации свободных и захваченных поверхностными ловушками носителей, а также ширины слоя обеднения вблизи порога, по крайней мере при достаточно высоких температурах, когда носители в объеме не выморожены. Прекрасный обзор этого вопроса имеется в книге Зи [1734]. Существует много методов обработки С — К-^ характеристик, но все они далеко не тривиальны и не бесспорны. За редкими исключениями j [1559], тщательные емкостные измерения не сопоставляются с данными по явлениям перено-1 са, подробно описанными в книге [1319].

Такая величина, как емкость, может служить характеристикой поверхности, поскольку в контакте кремний — диэлектрик индуцированный заряд сосредоточен в сравнительно толстом слое, а не на нескольких ангстремах от границы, как в контакте металл — диэлектрик. Быстрые пограничные состояния обычно считаются сосредоточенными на границе и являются действительно быстрыми, поскольку скорость их заполнения и опустошения превосходит измерительную частоту. Электроны инверсионного слоя индуцируются в зависимости от величины поля на расстояниях от единиц до сотен ангстрем от поверхности. В общем случае классический индуцированный заряд описывается выражением, уже частично рассматривавшимся в гл. 1 [948]:

«•«)«•«)е = * (^ [ад + „^ [«» (- ^) - i] + + "о^[»р(^) - i]])

«•«)

«•«)

(4.9)(4.9)где полный индуцированный заряд Q положителен, когда поверхностный потенциал ф$, т.е. разность потенциалов между объемом полупроводника и его поверхностью, отрицателен. МА — концентрация акцепторов, а р0 и п0 — концентрации соответственно дырок и электронов в объеме образца. Плотность заряда пограничных состояний 0,$(ф$) зависит от положения этих состояний в запрещенной зоне и от того, являются ли они донорами или акцепторами. На основании формулы (4.8) и выражения для потенциала

(4.9)

(4.9)

^ви ^ок^ок "*" Ф$*

применяя теорему Гаусса на границе раздела, можно получить выражение, связывающее индуцированный заряд с приложенным внешним напряжением Квн. Дифференцирование этого выражения дает формулу для емкости. Указанному вопросу посвящены сотни работ, результаты которых резюмированы в обзорных статьях и монографиях [635, 1319, 1597, 1734]. При этом работа [1319] особое внимание уделяет роли неоднородностей.

Описанная классическая модель позволяет получить зависимости емкости от напряжения, вид которых изображен на рис. 4, где показано также влияние пограничных состояний. Напряжение VFB, при котором объемный заряд равен нулю, можно определить, если известен уровень легирования подложки. Различие работ выхода кремния и металла затвора, а также наличие заряда в окисле или на пограничных состояних могут привести к появлению внутренней разности потенциалов, вызывающей отличие VFB от нуля. В режимах обогащения

Рис. 46. Веерная диаграмма пиков gm, связанных с осцилляциями магнитопроводимости [566]. Пороговое напряжение VT определяется экстраполяцией пиков для различных уровней Ландау. Из таких диаграмм можно также с большой точностью определять емкость окисла Сок, поскольку при заполнении л-го уровня Ландау nhwcD(E) = Ns = = Сок (Кс- Кг).

и инверсии индуцированный заряд сосредоточен вблизи поверхности и емкость структуры приблизительно равна емкости окисла, по крайней мере для толстого (г 500 А) окисла. В режиме обеднения емкость уменьшается, поскольку индуцированный заряд проникает глубоко в кремний. Вблизи минимума емкости увеличение приповерхностного поля начинает индуцировать электроны в инверсионном слое.

Понижение температуры делает более резким включение структуры, а также изменяет величину VFB, поскольку уровень Ферми в объеме сдвигается ближе к валентной зоне, что увеличивает разность работ выхода между затвором и кремнием и тем самым изменяет внутреннюю разность потенциалов.

Изложенные результаты должны измениться при учете квантовых эффектов, которые способствуют более глубокому проникновению электронов в кремний и становятся существенными при малой толщине окисла [1384, 1690, 1692]1\ Классические выражения, приведенные в книге Зи [1734], при толщинах окисла менее 300 А перестают быть справедливыми, но заменяющей их полной совокупности кривых, полученных путем самосогласованных квантовомеханических вычислений, в литературе не приводилось.

Другая методика определения концентрации свободных электронов при различных напряжениях на затворе основана на измерениях осцилляций магнитосбпротивления Шубникова — де Гааза при умеренных полях в зависимости от Ис и напряженности магнитного поля. Каждая осцилляция определяется числом электронов на уровне Ландау, к счастью не зависящим от эффективной массы [565, 566]. Экстраполяция к нулевому магнитному полю веерных диаграмм, показывающих положение уровней в зависимости от величины поля и напряжения на затворе, дает значение эффективного порогового напряжения, по крайней мере для случая, когда размытие краев зон несущественно. Иллюстрацией служит рис. 46, где по-

*> МДП-структуры с туннельно-тонким слоем диэлектрика представляют также определенный практический интерес; этот вопрос рассмотрен в обзоре [39]. — Прим.ред.

казаны положения пиков поперечной дифференциальной проводимости. Подобное определение порога путем экстраполяции может давать несколько различающиеся значения для различных уровней Ландау, если подвижность сильно зависит от концентрации носителей. Если средняя проводимость быстро возрастает при малых и уменьшается при больших напряжениях, то наблюдается смещение пиков, и являющееся причиной подобного разброса. Как правило, в экспериментах измеряется не обычная продольная, а поперечная дифференциальная проводимость, поскольку в ней осцилляции выражены более отчетливо, что позволяет проводить измерения в более слабых полях и сузить область экстраполяции. Расстояние между уровнями Ландау позволяет очень точно измерять Сок. В случае тонкого окисла это расстояние должно служить мерой изменения zcp.

Если важную роль играют эффекты захвата, наличие хвостов зон или заряд слоя обеднения (как это имеет место вблизи порога), то один эксперимент не может однозначно определить подвижность и концентрацию носителей. Большинство методик имеет точность порядка 5Vo или выше при концентрации носителей свыше 1012 см-2. Исключением могли бы быть измерения при температурах порядка или выше комнатной на образцах с высокой плотностью пограничных состояний [518, 1559]. При уменьшении концентрации носителей ниже 1012 см-2 интерпретация экспериментов становится все менее надежной [567]. Необходимыми становятся комплексные исследования эффекта Холла, проводимости, осцилляций Шубникова— де Гааза и С— ^-характеристик [1559]. Однако емкостные измерения вблизи порога при Т = 4,2 К весьма затруднительны и требуют использования образцов большого размера, а также могут испытывать отрицательное влияние неоднородностей [212, 213, 216, 217, 1325, 1760]. Трудности в интерпретации емкостных измерений при Т = 4,2 К связаны с тем, что ток неосновных носителей должен вытекать из истока и стока по цепи с распределенными ЯС-параметрами [1924], и с тем, что при вымораживании основных носителей заряд слоя обеднения устанавливается достаточно медленно. Использование инфракрасной подсветки для создания дополнительных подвижных носителей приводит к возникновению различных фотогальванических эффектов, таких, как поверхностная фото-ЭДС н эффект Дембера. Однако при высоких температурах комбинированные измерения комплексной проводимости позволяют точно определить подвижность и концентрацию носителей вплоть до значений последней порядка 109см-2 [289, 1636].

Измерение порогового напряжения или напряжения плоских зон VFB необходимо для определения заряда в окисле, а также заряда быстрых состояний (акцепторных — ниже уровня Ферми и донорных — выше его) в режиме плоских зон Q^. Под зарядом в окисле принято понимать величину эквивалентного заряда eN0K, сосредоточенного на границе

eN* окeN* ок= Оок = J- I №ок(г№,“ок= Оок = J- I №ок(г№,“ок(4.10)(4.10)

eN

* ок

eN

* ок

= Оок = J- I №ок(г№,“ок

= Оок = J- I №ок(г№,“ок

(4.10)

(4.10)

где </ок — толщина окисла, z — расстояние от затвора до точки в окисле, где измеренная вдали от границы концентрация заряда paerfa иок(?). Измерение распределения заряда, знание которого необходимо для расчета рассеяния, представляет значительные трудности [384].

Йапряжение плоских зон в общем случае зависит от заряда в окисле, работы выхода металла и работы выхода кремния (которая определяется уровнем легирования и температурой), так что

у _ К*пп "*" ^F ~ ^i) — хт] бок Qss ' М 1П

где хпп и \т — энергетические расстояния соответственно от валентной эоны кремния и уровня Фермн металла до зоны проводимости двуокиси кремния, а ЕР — Еи — энергия Ферми кремния, отсчитанная от его валентной зоны. Для кремния хпп = 4,2 ±0,1 эВ, а для алюминиевого затвора хт — 3,2 + 3,5 эВ в зависимости от технологии изготовления [1662]. Автор работы [747], обобщив результаты своих измерений н данные других авторов, пришел к выводу, что отжиг после металлизации может изменять хт ~ Хпп в пределах 0,15 эВ. Величина Хт для других металлов, определенная методом внутреннего, фотоэффекта, лежит в интервале от 2.2 по 4.2 эВ (см., например, [643]). . . -

Пороговое напряжение дается приближенным выражением -

VT = VpB * . (412>

гДе йобедн = (Хцп^л^й^2^72’ ^d — падение потенциала на слое обеднения в момент начала инверсии (см. также разд. 1 § 1 гл. 3), a NA — концентрация акцепторов в кремнии. Если исток замкнут на подложку, то, за исключением случаев патологической компенсации образцов, <^d при низкой температуре приблизительно равно ширине запрещенной зоны (1,15 эВ). Но можно и изменять Q^^, прикладывая к подложке смещение Кподл.

Если в структуре имеются пограничные состояния, заполняющиеся при обеднении поверхности, то их влияние описывается дополнительным слагаемым Q„/C0K. Если быстрые уровни в заполненном состоянии нейтральны (доноры), то их наличие изменит величину VFB, но не изменит VT при условии отсутствия состояний, лежащих при пороговом напряжении выше уровня Ферми на поверхности. Как можно видеть, получить на опыте информацию о кинетических свойствах проще в отсутствие быстрых состояний, концентрация которых должной обработкой может быть снижена до значений, меньших 10ю см-2. Как правило, различные экстраполяционные методы определения порогового напряжения — холловские и емкостные измерения, веерные диаграммы шубниковских осцилляций, экстраполяция данных по дифференциальной проводимости при азотных температурах — находятся в хорошем согласии для структур с малой плотностью быстрых пограничных состояний (~ 1010 см-2) и относительно большой толщиной окнела ( > 500 А). В образцах с большой плотностью пограничных состояний (например, содержащих натрий) такое согласие отсутствует. В этих случаях ошибка может быть значительно большей (10й носителей/см2) [567]. '

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Введение

Существует огромное (и неупорядоченное) количество данных по явлениям переноса в инверсионных слоях. Лишь в немногих работах [294 — 298, 300 — 303, 518, 987, 1543, 1635 — 1637] делались попытки охватить вопрос в целом. В большинстве случаев исследования проводились в ограниченной области температур и параметров образцов, в результате чего общая картина оставалась неясной. Мы сделаем попытку внести некоторую связность в экспериментальные результаты, для чего вначале сосредоточим внимание на электронной проводимости в безактивационном режиме, главным образом на поверхности (100) кремния. (Эффекты слабой локализации здесь не рассматриваются, им будет посвящен § 2 гл. 5.) Поверхность (100) является наиболее исследованной, поскольку из всех поверхностей кремния она характеризуется наибольшей подвижностью и наибольшим совершенством окисла. Кро-

Рис. 47. Холловская подвижность цн как функция l/ecRH = NH для двух образцов [Фаулер А., неопубликованные результаты]. Сплошные линии относятся к образцу с NOK = (6 ± 2) ■ 1010см-2, а штриховые — к образцу с NOK = (13,4 ± 4) ■ 1010 см-2. Приведены данные для температур 4,2 К (7), 28 К (2), 77,3 К (3) и 300 К (4). Перекрытие значительной части кривых для образца с малым зарядом в окисле при 77,3 К и образца с большим зарядом в окисле при 4,2 К является случайным. Все низкотемпературные кривые приблизительно совпадают при больших N$.

ме того, эта поверхность параллельна или перпендикулярна всем главным осям минимумов зоны проводимости, что также упрощает н теоретические расчеты. Дырочная проводимость изучена значительно менее детально и кратко будет обсуждаться в § 1 гл. 8.

При комнатной температуре подвижность электронов вблизи поверхности, как правило, меньше, чем в объеме, из-за наличия дополнительного рассеяния. При низких же температурах поверхностная подвижность больше, частично из-за того, что электроны находятся в нижией подзоне и имеют малую эффективную массу, соответствующую движению вдоль поверхности, а частично из-за их пространственного разделения с положительным компенсирующим зарядом на затворе, подавляющего кулоновское рассеяние.

Некоторые общие закономерности иллюстрирует рис. 47, где показаны зависимости холловской подвижности от N$ ■ (ecRHVA при Иподл = 0 для двух образцов иа подложках р- типа с удельным сопротивлением 2 Ом ■ см. Образец с большей подвижностью имел толщину окисла 990 А и после окисления отжигался при 1000 °C в атмосфере азота, образец с меньшей подвижностью имел толщину окисла 500 А и не подвергался высокотемпературному отжигу в азоте. Первый образец содержит в окисле заряд с плотностью (6 ± 2) х х 1010см~2, второй — (13,4 ± 4) ■ Ю10см-2.

Различие между образцами наиболее ярко при 4,2 К, хотя в общем они характеризуются сходными зависимостями подвижности от Ns и Т. При 4,2 К с ростом Ns происходит плавное увеличение подвижности с последующим ее спадом. При малых Ns максимальное значение подвижности в образце с меньшим зарядом в окисле равно 18000 см2 ■ В1 • с-1. Другой образец имеет максимальную подвижность лишь 4000 см2 • В -1 • с - *, причем при больших Nr С дальнейшим увеличением Ns значения подвижности в обоих образцах сближаются и уменьшаются приблизительно пропорционально N~2 до величины порядка 1000 см2 х х В-1 • с-1 при Ns = 1013 см-2. Такое поведение обычно можно связать с рассеянием на за-

Рис. 48. Типичные температурные зависимости эффективной подвижности ц^ для структуры с п- каналом на поверхности (100)Si [518]. Удельное сопротивление подложки 130 Ом ■ см, толщина окнсла 1100 А. Концентрация носителей Ns[cm-2] = 2 ■ 10й Kg [В], где значения Kg = (Кс— Кг) в вольтах указаны на каждой кривой. Плотность заряда в окисле NO1 = 2 ■ 10й см-2. Верхняя и нижняя серии кривых сдвинуты относительно друг друга и относятся к разным шкалам.

ряде в окисле, ослабевающим с ростом Ns, и с рассеянием на шероховатостях поверхности, усиливающимся с ростом Ns, хотя в меньшей степени на подвижности могут сказаться и другие механизмы рассеяния, в особенности вблизи порога.

Видно, что для малых Ns подвижность уменьшается при росте температуры от 4,2 до 77 К, а для больших Ns зависит от температуры относительно слабо. При малых концентрациях носителей температурная зависимость может сменить знак в зависимости от NOK. Кривая для 77 К обладает также некоторой структурой, которая будет обсуждаться ниже.

При Т = 300 К подвижность для большинства значений N$ меньше, чем при низких температурах, и значительно слабее зависит от Ns и NOK. Это область, где рассеяние на заряде в окисле, по-видимому, слабо, а на фононах — сильно, электроны в зоне проводимости не вырождены и в проводимость вносят вклад многие подзоны.

На рис. 48, взятом из статьи Фэнга и Фаулера [518], показаны характерные температурные зависимости подвижности при разных Ns для образцов с большими NOK (-2 • 10й см-2). В указанной работе, так же как и в работе [987], приведено еще большое количество сходных результатов, полученных на образцах с малой подвижностью. Обычно прн Ns < (2 + 10) ■ 10й см-2 /л^ф испытывает с увеличением температуры резкий рост, могущий носить активационный характер [518]. При больших N подвижность в образцах с большой N0K меняется слабо и сложным образом, за исключением области высоких темпера-

/11 \( 1 ” 2 ^О ’ ГДС ^ ~/11 \( 1 ” 2 ^О ’ ГДС ^ ~Рис. 49. Холловская подвижность рн в образце с большим зарядом в окисле (2 • 10й см-2) как функция (ес/?я)-> * Ns при 300 К [518]. Квадратики — образец с удельным сопротивлением р = 95 Ом - см, черные кружки — р = 18 Ом - см, крестики — р = 6 Ом ■ см, кружки с точками — р = 1 Ом • см. Отметим уменьшение рн при малых Ns.Рис. 49. Холловская подвижность рн в образце с большим зарядом в окисле (2 • 10й см-2) как функция (ес/?я)-> * Ns при 300 К [518]. Квадратики — образец с удельным сопротивлением р = 95 Ом - см, черные кружки — р = 18 Ом - см, крестики — р = 6 Ом ■ см, кружки с точками — р = 1 Ом • см. Отметим уменьшение рн при малых Ns.

/11 \

( 1 ” 2 ^О ’ ГДС ^ ~

/11 \

( 1 ” 2 ^О ’ ГДС ^ ~

Рис. 49. Холловская подвижность рн в образце с большим зарядом в окисле (2 • 10й см-2) как функция (ес/?я)-> * Ns при 300 К [518]. Квадратики — образец с удельным сопротивлением р = 95 Ом - см, черные кружки — р = 18 Ом - см, крестики — р = 6 Ом ■ см, кружки с точками — р = 1 Ом • см. Отметим уменьшение рн при малых Ns.

Рис. 49. Холловская подвижность рн в образце с большим зарядом в окисле (2 • 10й см-2) как функция (ес/?я)-> * Ns при 300 К [518]. Квадратики — образец с удельным сопротивлением р = 95 Ом - см, черные кружки — р = 18 Ом - см, крестики — р = 6 Ом ■ см, кружки с точками — р = 1 Ом • см. Отметим уменьшение рн при малых Ns.

тур, где она спадает по закону, близкому к Т-1,5. В образцах с высокой подвижностью температурная зависимость сопротивления может быть более сильной. Например, в работе [888] при Т < 10 К сопротивление было пропорционально Г4*5.

Далее мы обсудим эти и другие экспериментальные данные для электронов на поверхности (100) более детально, рассматривая отдельно области температур вблизи 300 и 4,2 К и в интервале 4,2 ч- 90 К. Некоторые другие случаи будут вкратце рассмотрены в разд. 5 данного параграфа.

Т « 300 К

Как видно из рис. 47, при комнатной температуре подвижность во всем диапазоне Ns остается постоянной нли же медленно убывав^-. Этот результат отличается от приведенных

на рис. 49 старых результатов Фэнга и Фаулера [518], наблюдавших начальный рост подвиж

ности с ростом А^. Образцы с такой зависимостью /х^ф (А^) характеризовались наличием в окисле заряда, равного или превосходящего 2 ■ 10й см-2.

В работах Брюса [212, 213. 216, 217] было рассмотрено влияние пространственных флук

туаций N$, связанных с флуктуациями Not, и показано, что д —

дисперсия поверхностного потенциала. Автор пришел к выводу, что для Аок < 3 • 1010 см-2 уменьшение N (по крайней мере до Ns = 3 ■ 109 см-2) не должно сопровождаться уменьшением подвижности, в то впемя как для Аок = 3 • 10й см-2 подвижность должна иметь максимум при Ns * 10й см-2. Это согласуется с рис. 49, где заряд в окисле имеет порядок 2 ■ 10й см-2, и с рис. 47, где этот заряд мал. Выводы Брюса подтверждаются также данными работ (289, 1636], хотя в последней из них предлагается несколько иное объяснение наблюдаемых зависимостей. В этой работе проводились измерения при малых значениях Ns, достигающих 108 см-2, и при Ns < 109 см-2 наблюдалось слабое уменьшение подвижности в образцах с Аок = 1,4 ■ 10й см-2. Однако в образцах с Nox = 1,17 ■ 1012 см*2 уменьшение подвижности было ненамного ббльшим, хотя в них мтах * 600 см2 В"1 с"1, а в образцах лучшего качества /хтах * 1000 см2 • В-1 • с-1.

В более широко изученных к настоящему времени образцах с Аок < 10й см""2 подвижность при 10ю см-2 < Аок < 2 • 10й см-2 слабо зависит от N$, достигая для лучших образцов значений, превосходящих 1000 см2 • В-1 • с~Ч Рис. 47 показывает, что заряд окисла даже при 300 К вносит вклад в рассеяние, и его изменение на 7,5 • 1010 см-2 уменьшает максимальную подвижность при ЗОЙ К приблизительно на 30Vo. Это отчетливо видно на рис. 50, взятом из работы [1543], где изображена зависимость подвижности от NOK. От ориентации кристалла подвижность не зависела. При увеличении N уменьшение подвижности было вначале слабым, но усиливалось при приближении Ns к области, где могло быть существенным рассеяние на шероховатостях поверхности. Зависимость ^ от Ns не описывалась простым степенным законом. При 1012 см < N$ < 5 • 1012 см-2 аппроксимация вида N^" по-прежнему была непригодна, но зависимость /z - (Ns + N^^-1/3 приблизительно соответствовала действительности. Расчет рассеяния в этой области очень сложен, поскольку в силу заполнения многих подзон имеют место и внутри- и межподзонные процессы, а эффективными рассеивателями являются как оптические, так и акустические фононы, а при больших N — также и шероховатости поверхности. По-видимому, наилучшее сравнение с теорией фононного рассеяния может быть проведено при IV = (2 + 5) • 1012 см-2 в наиболее чистых образцах.

Вблизи Т = 300 К подвижность меняется как Т-1,5 [518, 987, 1087], хотя рассеяние на акустических фононах при одной заполненной подзоне (что, однако, не имеет места при вы-

Рис. 50. Зависимость эффективной подвижности от полного заряда в окисле при 298 К и малой концентрации носителей [1543]. Уровень легирования подложки Na = 2,2 • 1014см-3. Треугольники — поверхность (111), квадратики — (110), кружки — (100). Отметим, что все они ложатся иа одну кривую. Ток всегда ориентирован по оси [ПО]. Со — неподвижный заряд в окисле, Q0T — медленные ловушки в окисле, Qss — быстрые пограничные состояния.

соких температурах) должно приводить к зависимости вида Т-1 [896]1*. В работе [1543] сообщалось о несколько более слабой температурной зависимости. Теоретически фононное рассеяние будет рассмотрено в § 4 данной главы.

Следует заметить, что в рассматриваемой области температур уровень Ферми обычно находится ниже края зоны проводимости, так что заполнение пограничных состояний может меняться при изменении приповерхностного поля и температуры [518, 1543, 1559]. Вклад пограничных состояний в рассеяние при этом будет изменяться в зависимости от температуры и оттого, являются ли состояния донорами или акцепторами.

Т 4,2 К

При 4,2 К для электронов обычно реализуется квантовый предел, когда в достаточно совершенном недеформированном образце они заполняют только низшие подзоны Ео, которые на поверхности (100) характеризуются спиновым и двукратным долинным вырождением. Кроме того, как хорошо известно, при 4,2 К для разделения различных механизмов рассеяния можно уверенно применять правило Матиссена. Как уже отмечалось, в литературе имеется большое количество экспериментальных данных для образцов с различными N0K. Однако, как указывалось в § 1, оценка величины Nqk при малых ее значениях и малой толщине окисла представляется затруднительной. Кроме того, местоположение заряда в окисле обычно неизвестно. Как правило, экспериментальные данные сравнивают с теорией, учитывающей различные механизмы рассеяния, суммированные должным образом. Другой подход к задаче разделения механизмов рассеяния состоит в методическом изменении заряда в окисле, что может быть сделано с помощью отжига [1543, 1817]. Даже если абсолютное значение величины N$ неизвестно, ее изменение может быть определено достаточно точно, хотя истинное положение этого заряда также остается неизвестным. Можно вырастить окислы с известной плотностью нейтральных ловушек для электронов и (или) дырок, которые можно затем заполнять путем инжекции [384]. Хотя положение и плотность этих зарядов могут быть определены, опытов по эффектам захвата носителей в окнсле еще не проводилось. Возможно также использование структур с двойным диэлектриком типа МНОП (металл — нитрид — окисел — полупроводник), но и в них распределение заряда точно ие известно. Другая возможность состоит в дрейфовом продвижении ионов натрия из металла к поверхности кремния [568, 705,706]. Было показано, что для ионов Na+ характерна локализация в непосредственной близости от той или иной границы окисла [384, 386]. Помимо введения фиксированного заряда в окисел натрий создает также акцепторные поверхностные состояния [567], которые являются нейтральными по начала образования инверсионного слоя. Такой подход систематически использовался для изучения зависимости подвижности от Ns, No6egH и N . На рис. 51 показано поведение подвижности при изменении Ns и NOK в случае Иподл = 0. При постоянной Ns результаты укладываются на зависимость

^ = с + aNM + ^20К. (4.13)

Первый член описывает рассеяние, не зависящее от NOK, и в первом порядке предполагается равным д^1, где nSR — подвижность, определяемая рассеянней иа шероховатостях поверхности. Это равносильно предположению об отсутствии взаимосвязи между рассеянием на

Ч Рассеяние иа акустических фоиоиах при произвольном числе заполненных подзон рассматривалось в работе [-#0]. — Прим.перев.

Рис. 51. Некоторые из многочисленных результатов, полученных на серии образцов, в которых плотность заряда в окисле NM изменялась с помощью дрейфа ионов Na+ через SiO2 [708]. Изображена зависимость эффективной подвижности Дэфф от концентрации носителей Ws. Цифры у кривых означают величину NOK в единицах 10й см-2. Измерения проводились при 4,2 К.

шероховатостях поверхности н на заряде в окисле. Значения д^1, определенные как величины отсечки на зависимостях Дэфф(^ок)> представлены на рис. 52 в виде функций (No6ew + + N^2 при различных смешениях на подложке. В этих координатах кривая спрямляется практически полностью, во всяком случае, значительно лучше, чем при использовании в качестве аргумента (АГобедн + JV/2)2. Сравнение этих результатов с теорией будет проведено в § 3 данной главы. В работе [1727] отмечается существенное возрастание поверхностного рассеяния на

Рис. 52. n$R-t, результат экстраполяции кривых Дэфф-1 (NOK) к NOK = 0 как функция (^обедн + Ns)1 [708]. Поскольку предполагалось, что при N№ = 0 рассеяние происходит главным образом на шероховатостях поверхности, сдвиг кривой относительно начала координат указывает на наличие дополнительного механизма рассеяния. Данные приведены для различных значений как напряжения иа подложке (т. е- ^Обсдн)- так и ^-

Рис. 53. Зависимость от Ns обратной величины линейного коэффициента а, определенной из сопоставления кривой f*^-1 = с + aNM + + ^ок2 с экспериментом при 4,2 и 80 К [7081- Данные взяты из рис. 51. Кружки — Т = 4,2 К, крестики — Т = 80 К.

СМСМповерхностях, обладающих значительными неровностями. Как в более старых [302], так и в недавних [975] исследованиях было обнаружено возрастание рассеяния на шероховатостях поверхности при обработке, создающей таковые, хотя авторы работы [975] и связывали роль обработки с увеличением числа нейтральных дефектов. Отметим, что сдвиг кривой рис. 52 относительно начала координат указывает на наличие дополнительного механизма рассеяния.

СМ

СМ

На рис. 53 изображена величина, обратная коэффициенту а в уравнении (4.13). Видно, что эта составляющая рассеяния с ростом N убывает. В § 3 данной главы этн результаты будут сопоставлены с теорией. Квадратичный член, по-видимоМу, связан с эффектами многократного рассеяния. Он велик только для малых значений Ns, когда кр 1 велико по сравнению с (^ок)-'/2. Этот член измерялся только при малых Ns и изображен на рис. 54 как функция температуры при различном смещении на подложке. Как можно видеть, с ростом температуры он быстро убывает. С другой стороны, как следует из рис. 55, температурная зависимость линейного члена а значительно слабее и определяется величиной Ns. При малых концентрациях носителей а растет с температурой. Неучет этого роста при анализе слабой температурной зависимости ^, связанной, например, с фононным рассеянием, может привести к ошибкам. Рассеяние на заряде в окисле будет сравниваться с теорией в разд. 1 § 3 настоящей главы.

При 4,2 К могут существовать и другие механизмы рассеяния, усложняющие описанную выше простую картину. При Т < 30 К сообщалось о наблюдении отрицательного магнитосопротивления [478, 889 — 892], первоначально связывавшегося с подавлением некоторого механизма рассеяния за счет магнитного поля. Этот эффект менялся как N~1 и зависел только от нормальной компоненты магнитного поля (в отличие от экспериментальных данных, полученных на InAs [904]). Аналогичный эффект наблюдался также в л-каналах на поверхности (111) и в приборах с p-каналом. Эффект квадратичен по полю в слабых магнитных полях и выходит на насыщение при 10 + 15 кГс. Изменение магнитопроводимости в насыщении имеет максимальное значение порядка 4Vo при 4,2 К, уменьшается с ростом температуры и

Г, КГ, КРис. 54. Коэффициент Ь при квадратичном члене, определенный так же, как и а иа рис. 53 [708]. Данные приведены для Ns = = 2 ■ 10|2см~2 при различных смещениях на подложке: квадратики — Кподл = - 15 В, треугольники — Кподл = - 3 В, крестики — ^подл = о В, кружки — КПОД1 = 0,5 В.Рис. 54. Коэффициент Ь при квадратичном члене, определенный так же, как и а иа рис. 53 [708]. Данные приведены для Ns = = 2 ■ 10|2см~2 при различных смещениях на подложке: квадратики — Кподл = - 15 В, треугольники — Кподл = - 3 В, крестики — ^подл = о В, кружки — КПОД1 = 0,5 В.исчезает при Та 30 К. Квадратичная полевая зависимость магнитопроводимостн отвечает закону Кюри — Вейса. Дорда обнаружил, что эффект уменьшается при высокой плотности поверхностных состояний. Попытки объяснения рассматриваемых явлений на языке спин- спинового рассеяния представляются тщетными нз-за наличия зависимости от направления

Г, К

Г, К

Рис. 54. Коэффициент Ь при квадратичном члене, определенный так же, как и а иа рис. 53 [708]. Данные приведены для Ns = = 2 ■ 10|2см~2 при различных смещениях на подложке: квадратики — Кподл = - 15 В, треугольники — Кподл = - 3 В, крестики — ^подл = о В, кружки — КПОД1 = 0,5 В.

Рис. 54. Коэффициент Ь при квадратичном члене, определенный так же, как и а иа рис. 53 [708]. Данные приведены для Ns = = 2 ■ 10|2см~2 при различных смещениях на подложке: квадратики — Кподл = - 15 В, треугольники — Кподл = - 3 В, крестики — ^подл = о В, кружки — КПОД1 = 0,5 В.

Рис. 55. Температурная зависимость 1/а, обратной величины линейного коэффициента, изображенной на рис. 53, для трех значений N, [708]. Кружки—Ns = 3 ■ 1012см-2, крестики — N5 = 7 ■ 1012см~2, треугольники — Ns = 1,2 • 10» см'2.

магнитного поля. Недавно была установлена связь отрицательного магнитосопротивления с эффектами локализации [748, 889], обсуждаемыми в § 2 гл. 5\

Невозможность согласовать экспериментальные результаты (в особенности при малых N$) с теориями основных механизмов рассеяния заставила постулировать наличие дополнительного короткодействующего механизма рассеяния [1174, 1737], иногда называемого рассеянием на нейтральных примесях. Нейтральные прнмесн, так же как и заряженные диполи [743], обнаружить достаточно сложно (например, с помощью эффектов захвата [384] или электронного спинового резонанса). Затруднительно и определить природу этих рассеивателей, хотя авторы работ [975, 1988, 1989] и связывают их с параметрами роста. Установлено, что уменьшение толщины окисла от 2700 до 910 А понижает максимальную подвижность от 104 до 7,5 • 103 см2 В-1 с-1. Однако образцы, полученные по другой технологии, могли иметь подвижность до 2 • 104 см2 ■ В-1 • с-1 при толщине окисла 990 А (см. рис. 47). Эти результаты можно соотнести и с результатами по созданию шероховатой поверхности [1727] и связать со скоростью заключительного окисления и с градиентом концентрации кислородных дефектов вблизи поверхности кремния.

Температурная зависимость подвижности вблизи 4,2 К была предметом интенсивных исследований и дискуссий. Как видно из рис. 48, при больших напряжениях на затворе или при концентрации носителей, превосходящей границу активационного режима, подвижность существенно зависит от температуры. В образцах с высокой подвижностью (или с малым зарядом в окисле) подвижность с ростом 7 убывает несколько слабее, в то время как в образцах с малой подвижностью (см. рис. 48) эффект уменьшается с ростом Ns. В работах [888, 893], а также [255] изучалась зависимость этих явлений от максимальной подвижности, являющейся мерой рассеяния носителей на заряде в окисле. Некоторые из упомянутых данных содержались уже в более ранних работах, таких, как [518] и [987], хотя там эти данные не приводились к вышеописанному виду и не подбирались с такой тщательностью в областях со слабой температурной зависимостью. В более поздних работах приводятся результаты, полученные путем экстраполяции обратной подвижности к 7 = 0 и вычитания экстраполированного значения 1/т из значения, соответствующего данной конечной температуре. Разность обозначается через 1/тг Не ясно, обладает ли эта процедура каким-либо простым физиче-

Рис. 56. Температурная зависимость удельного сопротивления р инверсионного слоя на поверхности (100)Si [888]. Параметром кривых является концентрация электронов Ns; 1 — 1,1; 2 — 1,8; 3 — 3,3; 4 — 4,2; 5 — 5,3 ■ 1012 см"2.

ским смыслом. Она может привести к ошибочным выводам, если существует несколько механизмов рассеяния, но весьма удобна, в особенности при малых изменениях подвижности с температурой. На рис. 56 представлены некоторые необработанные данные работы [888]. Авторы, кроме того, вносили поправку на эффект отрицательного магнитосопротивления, хотя остается неясным, насколько справедлива такая процедура или, по крайней мере, как она должна проводиться правильно. Экстраполяция к Г = 0 также является рискованной, в особенности в ситуации, когда существенную роль играют логарифмические эффекты, связанные со слабой локализацией (см. § 2 гл.5).

Авторы упомянутой работы [888] с помощью описанной процедуры обработки обнаружили очень сильную температурную зависимость 1/тг, которую они приписали фононному рассеянию, хотя отметили, что теория предсказывает для фононного рассеяния значительно меньшую величину. В работах [255, 893] наблюдалась гораздо более слабая температурная зависимость (типа тх,8*г^. В первой из них сделан вывод, что эффекты связаны главным образом с температурными зависимостями других механизмов рассеяния, таких, как рассеяние на заряде в окисле и на шероховатостях поверхности. Причиной этих зависимостей, в простом приближении рассчитанных Стерном [1704], в свою очередь является в основном температурная зависимость экранирования. Вычисления Стерна для температурной зависимости примесного рассеяния сравнивались также с результатами Хартстейна и Фаулера [708] (см. рис. 55) и при Ns = 3 • 10*1 см-2 показали хорошее согласие с ними. Все обсуждавшиеся выше эксперименты требовали предельной тщательности в измерениях, поскольку температурные изменения зачастую были малыми. Получение результатов в виде 1/тг носит не прямой характер, и их интерпретация требует по меньшей мере учета заряда в окисле, шероховатостей поверхности, фононов, а возможно, и других механизмов рассеяния, так что задача остается в некотором смысле нерешенной. Необходимо принимать во внимание и эффекты слабой локализации, обсуждаемые в § 2 гл. 5.

Изучение эффектов пьезосопротивления может оказать большую помощь в анализе явлений переноса при 4.2 К. Для их исследования использовались различные способы создания деформаций: изгиб стержня (наиболее распространенный и управляемый способ) [332, 420, 424, 427, 477, 480, 623], использование пленки кремния на сапфире [901], применение эпоксидных клеев [517]. Основной причиной этих эффектов является взаимное смещение долин, оси которых по-разному ориентированы относительно направления деформации. Для поверхности (100) сжимающее напряжение в направлении [010] понижает эти долины по отношению к долинам (100) и (001). Напряжение достаточной величины может опустить подзоны в долинах (010) и (или) (001), где эффективная масса, перпендикулярная поверхности, мала (штрихованные подзоны), ниже нештрихованных подзон в долинах (100), в особенности при малых А$ и Wo6eflH, когда поверхностное квантовое расщепление Ео — E(v мало. Анизотропия, вызванная такими деформациями, изучалась в работе [422]. Типичные результаты представлены на рис. 57. При перетекании электронов в штрихованные долины подвижность уменьшается. В работе [424] сделан вывод о возможном наличии в образцах внутренних напряжений порядка 80 Н ■ мм-2, другие аргументы [477] дают для среднего значения напряжений величину 10 -s- 50 Н ■ мм-2. Оптические измерения [1318] приводят к выводу о наличии напряжений порядка 30 Н ■ мм-2. Эти оценки относятся к средним макроскопическим напряжениям. Локальные их значения могут достигать большей величины. Как локальные, так и макроскопические напряжения могут меняться в зависимости от размера образца, толщины окисла и оттого, является ли образец свободным или же закрепленным на металлическом или керамическом основании. Дополнительные замечания по этому вопросу читатель может найти в § 2 гл. 7. -

Эффекты перетекания электронов можно продемонстрировать на зависимостях дифференциальной подвижности эффекта поля от Ns при различных деформациях [477, 623], пока-

Рис. 57. Относительное изменение проводимости Да/<т0 для поверхности (100) [424]. Ток и деформация направлены вдоль оси [010]. Т = 6,4 К. Положительные значения напряжения Р соответствуют растяжению, отрицательные — сжатию. Параметром кривых является концентрация электронов Ns: /—4 1011; 2 —8-Ю11; 3 — 3 • 1012; 4 — 5 • 10|2см~2.

Рис. 58. Подвижность эффекта поля nFE в л-канале на поверхности (100)Si как функция Ns при сжимающем напряжении Р [477). Ток и деформация направлены вдоль оси [010]. Т = 4,2 К. Параметром кривых является напряжение Р: 1 — 0; 2 — 110; 3 — 140, 4,— 190; 5 — 240; 6 — 375 Н/мм2.

занных на рис. 58 для случая, когда ток совпадает с направлением легкой массы в подзоне (001). Авторы считали первый максимум при наличии деформации следствием перехода электронов из подзон (001) в (100) в области, где полевое расщепление подзон, увеличивающееся с ростом N$, сравнивается с деформационным расщеплением. Минимумы на кривых, невидимому, соответствуют полному перетеканию электронов, а вторые максимумы связаны с обычным максимумом на зависимости подвижности от Ns для подзон одного типа. Из этих измерений было оценено расщепление подзон, оказавшееся в разумном согласии с теорией [477]. Попытки согласовать результаты с теорией эффектов переноса [1737], специально учи- тынающей экранирование, привели к хорошему согласию в отношении только формы кривых, но не абсолютных значений величин. Деформационные эффекты будут обсуждаться также в § 2 гл. 7.

Т = 4,2 т 90 К

Рис. 47 и 48 демонстрируют сложный характер зависимости подвижности от N в промежуточной области температур. При малых N$ (< 1012 см-2 в зависимости от N и условий изготовления образца) проводимость может резко возрастать с температурой и, вероятно, носит активационный характер [518] (см. § 1 гл. 5). Как указывалось выше, в образцах с большим зарядом в окисле рассеяние может усиливаться с ростом температуры. При более

высоких температурах из этого диапазона может начаться заполнение высших подзон [1690]. Была сделана попытка [708] разделить температурную зависимость различных механизмов рассеяния путем дрейфового введения ионов Na + для изменения заряда в окисле и возможности использования правила Матиссена, применимость которого при Г > 10 К сомнительна [1704]. При высоких температурах отмечалось небольшое возрастание компоненты, отождествленной авторами с рассеянием иа шероховатостях поверхности, что, однако, может объясняться и рассеянием на фононах. Температурная зависимость коэффициента примесного рассеяния 1/а показана на рис. 55. Обратная величина этого рассеяния линейно растет при малых и уменьшается при больших значениях Ns.

На рис. 47 видно также интересное свойство подвижности при температурах выше 4,2 К — перегиб вблизи Ns = 1012 см-2 на кривой ^(Ns), соответствующей Г = 77 К. Как отмечалось Фэнгом и Фаулером [518], этот эффект легче всего наблюдать на подвижности эффекта поля в образцах с малой мощностью слоя обеднения. Его зависимости от температуры и от смещения на подложке показаны соответственно на рис. 59 и 60. При 77 К вблизи порога виден резкий пик, быстро убывающий при понижении температуры. Это происходит в области N$, где проводимость имеет активационный характер, зачастую объясняемый локализацией Андерсона. Этот пик удивительно напоминает пики, наблюдавшиеся при давлении [477] (см. рис. 58), приложенном для получения £0. < Ео при малых N$. Как предполагалось

Рис. 59. Подвижность эффекта поля на поверхности (100) [518]. Удельное сопротивление образца 1,88 Ом ■ см, толщина окисла 1100 А. Параметром кривых является температура Г: 1 — 4,2; 2 — 24,4; 3 — 49; 4 — 75,6; 5 — 105; 6 — 297 К.

Рис. 60. Подвижность эффекта поля на поверхности (100) как функция Ns при различных напряжениях смещения на подложке ^подл I518]- Удельное сопротивление образца 2 Ом • см. Г = 77 К. По осн абсцисс отложено приповерхностное электрическое поле Fs, пропорциональное (7V$ + Победи). Кривые соответствуют (слева направо, считая по вертикальному участку) Иподл = 1; 0; - 2; - 5; - 10; - 20; - 30 В.

в работах [217, 623], пик на рис. 59 может быть связан с явлениями, аналогичными деформационным эффектам. При 77 К часть электронов может заполнять четырехкратно вырожденные подзоны, даже если они лежат не ниже двукратно вырожденных. Авторы работы [623] путем деформации смогли повлиять на вид кривых при 77 К. Пики могли увеличиваться при наличии на поверхности внутренних напряжений. Появление двух, а иногда и большего числа пиков может быть вызвано неоднородным напряжением или расщеплением подзон (010) и (001). Эти пики подавляются с помощью смещения на подложке или увеличения степени легирования, поскольку и то и другое увеличивает N^^, а следовательно, и Ео, — Ео. Наблюдалось и более сложное поведение, зависящее от свойств образца [987]. Авторы объяснили часть наблюдаемой структуры наличием связанных состояний на границе. Позднее такое же предположение было высказано в работе [1773]. Как было показано в работе [518], при наличии подобной структуры величина d(R^x)/dVG в этой области возрастает медленно и плавно, а холловская подвижность обладает той же самой структурой, что и эффективная подвижность. Захваченные электроны не могли бы дать высокого значения подвижности, наблюдаемого в первом пике. С другой стороны, эти данные могут быть в согласии с двухзонной моделью эффекта Холла.

При наличии магнитного поля, параллельного поверхности кремния, наблюдение упомянутых пиков сопровождается наличием аномального магнитосопротивления [1560, 1749]. Оно следует-закону kg/g = аН х I + ЗН2. Авторы работы [1852] связали квадратичный эффект с диамагнитным сдвигом в волновых функциях основного состояния, но изменение расщепления Ео, — Е0 не вычисляли. Знак члена, содержащего силу Лоренца, соответствует увеличению этого расщепления и, следовательно, переходу электронов в долины с малой эффективной массой.

Ясно, что поведение кинетических эффектов в рассматриваемой системе достаточно сложно. Для облегчения сравнения с теорией, вероятно, желательнее всего работать в условиях максимального расщепления долин, что соответствует большому No6e^.

n-каналы на других поверхностях

Мы сосредоточили свое внимание на поверхности (100), поскольку, несмотря на свою сложность, она все же является наиболее простой и изученной. Это не означает, что другие простейшие поверхности — (ИО) и (111) — не привлекали внимание и не обнаруживали многих интересных свойств. На самом деле наблюдаемые аномалии долинного вырождения вызывали очень большой интерес. Подвижности на поверхностях, отличных от (100), вообще говоря, меньше по величине и (исключая поверхность (111)) анизотропны. Было показано [109, 1543], что здесь имеется сильная корреляция с величиной заряда в окисле. Зависимость подвижности эффекта поля от ориентации показана иа рис. 61. Подвижность эффекта поля на плоскостях, вицинальных к плоскости (100), обычно имеет пик в области малых N$ при 77 К. Для плоскостей (111) и (ПО) этого ие наблюдается. Температурная зависимость gf£ на всех плоскостях аналогична наблюдаемой на плоскости (100) выше 77 К. С понижением температуры анизотропия возрастает [1542, 1561, 1576].

Шумы

Вопросу о шумах в структурах металл — диэлектрик — полупроводник посвящена обширная литература, лишь частично охваченная нами в библиографии [4, 98, 178, 180, 182, 225, 359, 558, 581, 831, 878, 951, 1333, 1394, 1575, 1859, 1925, 1926]. Многие авторы обнаруживали корреляцию между амплитудой 1//-шума и концентрацией поверхностных состояний, хотя общего мнения о деталях механизма шума и не существует. В настоящей работе никакие аспекты проблемы шума не затрагиваются. Читателю можно порекомендовать один из последних обзоров [770].

Рис. 61. Зависимость подвижности эффекта поля от ориентации поверхности и тока при 77 К (верхняя пара кривых), 208 К (средняя пара кривых) и 298 К (нижняя пара кривых) [1576]. N, * 3 ■ 1012см-2. Подвижность максимальна для поверхности (001), где заряд в окисле минимален.

МЕХАНИЗМЫ РАССЕЯНИЯ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ

Кулоновское рассеяние

Задача о рассеянии заряженными центрами в электрическом квантовом пределе была сформулирована Стерном и Ховардом [1705]. В настоящем разделе будет дай краткий обзор теории. Мы ограничимся случаем инверсионного л-слоя на поверхности (100) Si, где поверхность Ферми изотропна. Вначале вычислим потенциал заряженного центра, расположенного в точке (г., z,). Эта задача в приближении Томаса — Ферми рассматривалась в § 3 гл. 2. Здесь мы используем иной подход, легко допускающий обобщение на многоподзонный случай. Применяя обычный метод изображений, имеем

И^О", z) = —" [(Г - г)2 + (z - г,)2]-'л(4.14)

х

для Z, < О и

^(Г, Z) = ^^ [(г - Г])2 + (z — г^2Г'л +

(4.15)

+ (*пп ~ ^нэл)2^2 [(г _ г.)2 + (г + г.)2]-'/2

*ПП^ПП "*■ *ДИЭЛ^

для z, > 0. Здесь х = (хпп + хдиэл)/2, а 2м — заряд центра д-го типа. Эффективный потенциал для электронов инверсионного слоя в электрическом квантовом пределе равен

и^Ю = J dzX^zW^Ht, z).(4.16)

о

Результат можно записать в более изящном ваде с помощью двумерного фурье-преобразова- ния. Имеем

^(г) = £ v^k,) exp [/q • (г - г,)], q

, .ЪгХ^е2

Vq4z^ = —=F<q, Zj),

xq

где для z, < 0

(4.17)

(4.18)

F(q, z,) = eqz< j rfze-9Zlf0(z)l2, 0

(4.19)

а для z, > 0

F^, z^ = | j dz\?0(z)\2 Q

(1 + ^иэл\ e-i - '*nn /

If-^1 +

[ 1 — *диэл \ g-g(z + z,) \^nn /

(4.20)

Форм-фактор F^q, z^ в пределе малых q равен единице. Эффект экранирования в линейном

приближении можно учесть путем деления v^U,) на диэлектрическую постоянную xfo), равную-

2чге2’

xto) = 1 +F^jn^),(4.21)

xq

где П(<?) — оператор статической поляризации, определенный формулой (2.56), a F(q) — форм-фактор электрон-электронного взаимодействия, описываемый выражением (2.51).

Транспортное время релаксации в борновском приближении дается формулой

1 т (£(*))1 т (£(*))j ctoV^^z)! v^2k,(z)l2 (1 - СО8Укк,)6(£(*) - £(*')),j ctoV^^z)! v^2k,(z)l2 (1 - СО8Укк,)6(£(*) - £(*')),(4.22)(4.22)

1 т (£(*))

1 т (£(*))

j ctoV^^z)! v^2k,(z)l2 (1 - СО8Укк,)6(£(*) - £(*')),

j ctoV^^z)! v^2k,(z)l2 (1 - СО8Укк,)6(£(*) - £(*')),

(4.22)

(4.22)

где N^^dxdydz — концентрация Заряженных центров д-типа в объеме dxdydz, 0kk- — угол между векторами к н k', a е(£) = h1k1/lmt. Мы считаем, что заряженные центры распределены в плоскости, параллельной поверхности, случайным образом. Для подвижности имеем е

М = —<т>,(4.23)

где■

\£(*)т(£(^)) ( -

/л\де(к) /

<т) = ;(4.24)

/(£(*)) — фермиевская функция распределения. При достаточно низких температурах (т> = = т^Еу), где EF — энергия Ферми. Точное выражение для форм-фактора может быть получено в двух случаях. Простейший из них — это двумерный предел, определяемый следующим образом:.

I Г0<г)12 = 5(Z).(4.25)

При этом

F(q, z) = е-’1^1,(4.26)

что соответствует■

v^C) = —^Кг "" г/ + г/2Г‘/2-(4.27)

Если использовать обычную вариационную аолнош'ую функцию (3.25)» то форм-фактор при Z,- < 0 можно записать в виде

F^’ Z,) = P^i,(4.28)

а при Zj > 0 — в виде

F(q, г,) =( 1 + ^ааэд) Р^У + - ( 1 - ^Л Р^-^,(4.29)

2 \ ^пп/2 \■ ' Х1Ш/

где PQ и P(z) даются соответственно формулами (2.21) и (2.23).

5-34

Важной характерной длиной в экранировании является \/кр Как следует из уравнений (4.19) и (4.20), в рассеяние вносят вклад заряженные центры, удовлетворяющие условию IzJ < Y/kp (Если для z, > 0 <z> > Y/kp то допустимая область г, определяется не величиной \/кр а толщиной инверсионного слоя <z>. Однако, как правило, <z> < \/кР\ При Ns - 10*2см-2 типичная величина \/кр составляет 100 А. При малых концентрациях электронов в рассеянии может участвовать много заряженных центров, но при больших концентрациях число их невелико, в основном это центры, расположенные вблизи границы. Заряженные акцепторы в объеме кремния обычно играют незначительную роль в рассеянии, за исключением случая очень малых электронных концентраций. Например, при уровне легирования в объеме 10|6см~3 в приповерхностном слое толщиной 100 А находятся лишь - 1О1осм-2 акцепторов. Эта величина очень мала, и в большинстве образцов концентрация зарядов в окисле на границе и вблизи нее имеет существенно большее значение.

В приближении хаотических фаз [1685]

2ть2 IL \ »/ J J2ть2 IL \ »/ J J(4.30)(4.30)

2ть2 IL \ »/ J J

2ть2 IL \ »/ J J

(4.30)

(4.30)

где 0(x) — стандартная единичная функция (9(x) = l при x > 0 и 9(x) = 0 при x < 0), a gv — фактор долинного вырождения. При этом эффективный потенциал становится равным

^(Z,) =^(Z,) =(4.31)(4.31)IzZ^e1

^(Z,) =

^(Z,) =

(4.31)

(4.31)

—=^(<7, Z;)»

x<q + q^q))

где q — константа экранирования Томаса — Ферми, определяемая формулой qs = = 2те2П(0)/х = Igyme^xh2. Видно, что \/qs имеет порядок 5 А, т.е. значительно меньше, чем Wkp Следовательно, интенсивность рассеяния лимитируется в основном величиной экранирования, и отношение форм-факторов F^q, z)/F(q) определяет зависимость подвижности, ограниченной кулоновским рассеянием, от концентрации электронов. Поскольку для Z; < 0 F(q, z) убывает с ростом q значительно быстрее, чем F(fl), результирующая эффективная подвижность при низких температурах растет с ростом концентрации электронов. Кроме того, реальная подвижность чувствительна к расстоянию заряженных центров от поверхности и с его ростом достаточно быстро уменьшается. Возможное распределение заряженных центров по координате z приводит к дополнительной концентрационной зависимости.

Как уже говорилось в § 2, подвижность, ограниченная кулоновским рассеянием, подробно изучалась в работах [708, 709]. Авторы контролируемым образом изменяли заряд в окисле путем дрейфа ионов натрия к границе через слой окисла. Число ионов, предполагавшихся локализованными непосредствеио на границе (в слое толщиной несколько ангстрем вблизи нее), определялось по сдвигу порога проводимости. В этих опытах измерялась подвижность, значение которой зависело от концентрации ионов. Пример полученных результатов на рис. 62 наряду с теоретическими расчетами для двух различных значений N^ . Расчеты проводились в электрическом квантовом пределе, т.е. в предположении, что электроны заполняют лишь низшую электрическую подзону. Представлены также результаты вычислений Стерна [1701]. Он рассматривал эффекты плавной границы раздела, которая приводит к большему, чем на резкой границе, сдвигу электронов в сторону окисла и способствует более сильному рассеянию при больших концентрациях электронов. Согласие теории с экспериментом неплохое, за исключением случаев малых и предельно больших концентраций электронов.

Несмотря на такое хорошее согласие, в изложенной выше теории подвижности остается ряд проблем. Мы использовали для расчета интенсивности рассеяния борновское приближе-

Рис. 62. Подвижность в инверсионном и-канале на поверхности (100)Si, ограниченная рассеянием на заряженной границе Si — SiO2(Nol< = 1 • Ю12 см~2) н вычисленная в приближении линейного экранирования. Сплошные линии — результаты расчета с учетом обмена и корреляции по методу функционала плотности, пунктирные линии — результаты расчета в приближении хаотических фаз (Хартри), точечная линия — результат вычислений Стерна [1701], учитывающий наличие плавной границы. Показаны также экспериментальные результаты Хартстейна, Нинга и Фаулера [709]. Верхние сплошная и пунктирная кривые, точечная кривая и темные кружки отвечают No6e3H = 3,6 ■ 1011 см-2. Нижние кривые н светлые кружки — No6ens = 1,9- 1О|2см-2.

ние. Стерн и Ховард [1705] в простейшем двумерном пределе исследовали эффекты высших порядков с помощью метода фазовых сдвигов. Грубо говоря, можно утверждать, что в случае притягивающих рассеивателей члены высших порядков способствуют усилению рассеяния, поскольку вблизи заряженных центров амплитуда волновой функции увеличивается. При отталкивающих рассеивателях эффект противоположен. Для более реалистических потенциалов задача не рассматривалась, но можно ожидать, что в действительности оорновское приближение является весьма хорошей аппроксимацией, поскольку в реальных инверсионных слоях эффективный рассеивающий потенциал становится значительно слабее, чем в двумерном пределе.

Другой проблемой является влияние обмена и корреляции на экранирование. Как было показано в § 2 гл. 3, обменно-корреляционные эффекты заметно влияют на структуру подзон. Можно ожидать того же и в отношении экранирования. В работе [1153] изучалось влияние обменных эффектов на диэлектрическую проницаемость и было показано, что поляризационная часть не является константой, как в приближении хаотических фаз, а возрастает с ростом q и резко меняется вблизи q = 2кр В реальных системах подобная резкая структура исчезает из-за уширения уровней и корреляционных эффектов высших порядков, но вывод о возрастании поляризационной части и, следовательно, диэлектрической проницаемости остается в силе. Однако при выходе за рамки приближения хаотических фаз простая замена потенциала примеси на экранированный потенциал недостаточна, и становится необходимым

учет так называемых вершинных поправок. Результат расчета подвижности с помощью формализма функционала плотности [Андо Т., неопубликованные результаты] также представлен на рис. 62. При учете и обмена, и корреляции электроны не испытывают столь сильного взаимного отталкивания и потому лучше чувствуют потенциал примесей. При этом подвижность уменьшается и согласие с экспериментом, по-вцдимому, становится лучше.

Существует и более серьезная проблема, связанная с линейным приближением в теории экранирования. Известно, что в отличие от трехмерного случая любой притягивающий двумерный потенциал имеет связанное состояние (см. § 5 гл. 2). Следовательно, такое состояние может появиться в результате экранировки потенциала заряженного центра свободными электронами. В этом случае линейное экранирование может больше не иметь места, и необходимо вычислять полный потенциал самосогласованно, хотя при малой энергии связи можно ожидать, что разница в эффективных потенциалах и соответственно в величине подвижности будет не слишком велика. Такада [1737] вычислял энергию связи и эффективный потенциал, описывая связанный электрон вариационной волновой функцией и учитывая влияние других свободных электронов в рамках приближения линейного экранирования. Этот метод чрезмерно груб и обычно завышает эффект экранирования, поскольку полностью игнорирует взаимную ортогональность волновых функций свободных и связанных состояний. В силу этого он дает слишком высокие значения подвижности. В работах Винтера [1878, 1881] эта задача изучалась с помощью метода функционала плотности. Автор вычислял энергию для различного числа связанных электронов и показал, что существует единственное самосогласованное решение, отвечающее наличию четырех связанных электронов на одном уровне. Полученная энергия связи составляла величину, меньшую 1 мэВ, и слегка увеличивалась с ростом концентрации электронов. Получающаяся подвижность оказалась очень близка к показанному на рис. 62 результату соответствующего расчета в приближении линейного экранирования. Факт заполнения одного связанного состояния четырьмя электронами имеет следующее правдоподобное объяснение. Из-за сильного экранирования свободными электронами потенциал точечного заряда вблизи границы содержит короткодействующую притягивающую часть, а на больших расстояниях — дополнительную осциллирующую компоненту. Ввиду малости энергии связи волновая функция связанного состояния имеет большую длину локализации. Допустим, что в этом связанном состоянии находится один электрон. Тогда связанное состояние создает лишь медленно меняющийся отталкивающий потенциал, который остальные свободные электроны могут легко заэкранировать. Следовательно, результирующий потенциал по-прежнему имеет значительную короткодействующую притягивающую часть, которая может связать другой электрон, имеющий противоположный спин или принадлежащий другой долине. Это будет продолжаться до тех пор, пока в силу принципа Паули связанное состояние уже не сможет содержать большего числа электронов.

При меньших концентрациях электронов As, порядка 1012см-2, уширение h/т оказывается сравнимым с энергией Ферми. При этом становятся существенными эффекты многократного рассеяния и кинетическое уравнение Больцмана перестает быть справедливым. При анализе экспериментов [709] предполагалось, что связанное с Лок изменение обратной подвижности линейно по Аок. Последующий, более тщательный анализ [708] обнаружил отклонения от линейной зависимости при малых концентрациях электронов, когда \/kF сравнимо с расстоянием между заряженными центрами. При еще меньших концентрациях проводимость становится активационной, по-видимому, в результате локализации электронных состояний. Поэтому отклонение от изложенной выше простой теории ие вызывает удивления. Прн очень высоких концентрациях электронов порядка Ns > 1013 см-2 начинается заполнение высших электрических подзон, и мы приходим к задаче многоподзонного переноса, которая будет рассматриваться в разд. 3 данного параграфа.

Предпринимались разнообразные исследования температурной зависимости подвижности. Могут существовать две различные области температур с различным поведением подвижности. При достаточно высоких температурах, близких к комнатной, эффект экранирования уже мал и можно ожидать, что подвижность в отсутствие фононного рассеяния будет возрастать приблизительно пропорционально квТ в силу зависимости от q матричного элемента кулоновского рассеяния. Возможно также наличие дополнительной температурной зависимости за счет форм-фактора и распределения зарядов в окисле. При более низких температурах, близких к 77 К, эффект экранирования еще заметен и зависимость носит сложный характер. Увеличение кинетической энергии электронов приводит к уменьшению рассеяния, но в то же время и ослабляет эффект экранирования. Поэтому фактическая температурная зависимость определяется относительной ролью этих двух факторов. Первые эксперименты Фэнга и Фаулера [518] показали, что подвижность уменьшается с ростом температуры, за исключением случая малых концентраций электронов. При малых концентрациях подвижность с ростом температуры возрастает, но это связано, как полагают, с тепловым возбуждением электронов из локализованных в делокализованные состояния. Авторы работы [1543] считают, что наблюдаемое ими при малых концентрациях электронов возрастание подвижности может объясняться ослаблением кулоновского рассеяния с ростом температуры. Они, однако, не учитывали эффекта экранирования и возможности локализации электронов. В работе [987], напротив, наблюдалось уменьшение подвижности (за исключением случая очень малой концентрации электронов, характеризуемого весьма своеобразной температурной зависимостью). В последнее время вопросу о температурной зависимости подвижности при относительно низких температурах уделялось достаточно много внимания. В работе [888] (см. также [893]) часть наблюдавшейся температурной зависимости сопротивления была приписана рассеянию на акустических фононах (более подробное обсуждение см. в § 4 данной главы). Авторы работы [708] выделяли вклад от вводимых контролируемым образом ионов Na+ и показали, что при относительно малых концентрациях электронов подвижность, связанная с рассеянием на ионах, убывает с ростом температуры. Убывание подвижности отмечалось также в работе [254]. Расчеты подвижности, ограниченной кулоновским рассеянием, для Т = 4,2 К и Т = 77 К [1701] показали, что основную роль здесь играет уменьшение эффекта экранирования, приводящее к убыванию подвижности в интервале между указанными температурами. Последующие, более систематические вычисления [1704] показали, что обратная подвижность при Т < 80 К содержит член, приблизительно пропорциональный Т. Это согласуется с результатами большого числа измерений [255] на образцах с высокой плотностью пограничных состояний. Наблюдавшееся при этом значительное изменение подвижности с температурой в общих чертах объясняет большинство температурных зависимостей в работах [708 , 888], хотя в деталях температурных зависимостей остаются некоторые расхождения. Впоследствии Стерн показал, что сильная энергетическая зависимость времени релаксации делает невозможным при повышенных температурах простое разделение сопротивления на различные составляющие (рис. 63), как и в трехмерном случае1).

*) В работе [53] методом тока Холла была исследована температурная (4 — 60 К) зависимость подвижности и концентрации дырок в двумерных каналах на поверхности германия, полученной раскалыванием в жидком гелии с последующими «отжигами» при Т - 60 К. Было установлено, что подвижность двумерных дырок при рассеянии на кулововских центрах стремится с понижением температуры к некоторому предельному значению, величина которого не зависит от плотности рассеивающих центров. Такая зависимость подвижности от температуры характерна только для двумерного газа носителей. — Прим.ред.

Рис. 63. Температурная зависимость обратной подвижности в инверсионном слое на поверхности (OOl)Si [1704]. Ns = 2 ■ 1012 см-2. Все электроны считаются находящимися в низшей подзоне, а — длинноволновый предел зависящего от температуры параметра экранирования; б — учет полной зависимости от волнового вектора. Крестики — рассеяние только на заряде в окисле (док), светлые кружки — только на шероховатостях поверхности (д$д), темные кружки — учет обоих механизмов, штриховые линии — д^1 + ^^ . Различие двух последних кривых показывает отклонение от правила Матиссена. Подвижность, ограниченная рассеянием иа шероховатостях поверхности, вычислялась без учета Д И(г, z) (<м. разд. 2 данного параграфа).

Рассеяние на шероховатостях поверхности

Можно ожидать, что основной механизм рассеяния в слоях пространственного заряда (особенно при больших концентрациях электронов) связан с присущими этим слоям неровностями границы раздела Si — SiO2. Поскольку точная их природа еще не установлена, рассеяние на шероховатостях поверхности (также называемое рассеянием на шероховатостях границы раздела или просто на шероховатостях) изучалось теоретически на простой модели. В этой модели граница считается бесконечно высоким барьером, положение которого z = Д(г) может испытывать малые, медленно меняющиеся смещения. Если квантование движения электронов в направлении z несущественно, то классическое рассеяние на поверхности обычно описывают с помощью граничного условия для функции распределения электронов, как это было предложено в основополагающей работе Шриффера [1588], считавшего рассеяние на поверхности чисто диффузным. В более общем случае используется так называемый параметр Фукса р [583], феноменологически описывающий ситуации, промежуточные между чисто диффузным (р = 0) и зеркальным (р = 1) отражением. Он определяется с помощью граничного Условия для функции распределения электронов при z = 0, записываемого в виде

■W = pf^-vj, (4.32) где/j — неравновесная часть функции распределения, а и — перпендикулярная поверхности компонента скорости (см., например, обзоры Грина [660, 661, 663, 664]). Мы не будем обсуждать этот классический случай, а ограничимся рассмотрением инверсионных слоев при низкой температуре, когда движение электронов квантовано. Рассеяние электронов рассматриваемы-

ми .шероховатостями впервые изучалось Пранге и Ни [1463] в применении к задаче о магнитных поверхностных уровнях в металлах и рядом других авторов для случая тонких пленок. Позднее многие исследователи пытались приложить эту модель к задаче об инверсионном слое [294, 295, 297, 298, 300 — 302, 1174], но более полная теория даже для такой простой модели появилась лишь сравнительно недавно [62]. Ниже мы дадим краткий обзор этой теории, ограничиваясь, как и раньше, случаем инверсионного л-слоя на поверхности (100) Si.

Если энергетический зазор между различными подзонами достаточно велик и изменениями формы волновой функции можно пренебречь, то влияние поверхностных шероховатостей в низшем порядке описывается матричным элементом

^г = Иг ^“ ^«-'к г(Г^(г - Д(г)) [^ + ДИ(г, z)KnU - Д(г)) -

(4.33)(4.33)- ^W^A^L^e*'' =

(4.33)

(4.33)

dz [ Л£-,/2е-* г ( ^Д(Г) —,J\dz 2т, п

ЗУ\

+ Д(г) — ^ГЛ. + ^к)ДИ(г, zH„Am Е~'ле^\

где ^ — гамильтониан в отсутствие поверхностных шероховатостей, а ДИ(г, г) — связанное с ними изменение потенциальной энергии. Для матричного элемента между состояниями с одинаковой энергией получаем

ySR ’пкп'к'гдеySR ’пкп'к'гдеА2 д ^‘^2т( k k dz dzА2 д ^‘^2т( k k dz dzZ-0Z-0dre ,(kdre ,(kк'> ^(:)ДК(г, zKnAz),к'> ^(:)ДК(г, zKnAz),(4.34)(4.34)

ySR ’пкп'к'

где

ySR ’пкп'к'

где

А2 д ^‘^

2т( k k dz dz

А2 д ^‘^

2т( k k dz dz

Z-0

Z-0

dre ,(k

dre ,(k

к'> ^(:)ДК(г, zKnAz),

к'> ^(:)ДК(г, zKnAz),

(4.34)

(4.34)

(4.35)(4.35)4(0 = £ 4qe'4 r.q

(4.35)

(4.35)

Мы использовали тождество

2m, dz dz2m, dz dzz=0 J \ ” az " dz n'n dz)z=0 J \ ” az " dz n'n dz)(4.36)(4.36)

2m, dz dz

2m, dz dz

z=0 J \ ” az " dz n'n dz)

z=0 J \ ” az " dz n'n dz)

(4.36)

(4.36)

для доказательства которого следует взять матричный элемент от коммутатора

h_ дУ(г) i dz

(4.37)

Первый член в выражении (4.34) есть результат Пранге и Ни [1463]. В электрическом кванто

вом пределе [Matsumoto Y., неопубликованные результаты]

2т, k-k

dz

= дк-и- dzlC0(z)l2^- =

Jdz

о

(4.38)

(4.39)

“ ^k-k'

— 7V$ + ^обедн

(хпп ^диэл^

^пп^пп + ^диэл)

(4.40)

При использовании точной самосогласованной волновой функции выражения (4.38) и (4.39) полностью эквивалентны. При использовании же вариационных волновых функций следует брать формулу (4.39), а не (4.38), поскольку первая из них приводит к точному результату (4.40), а вторая — нет. Если, например, подставить в формулу (4.38) вариационную волновую функцию (3.25), то, как показано в работе [1174], неправильное значение производной при z = 0 приведет к неверным зависимостям от Ns и N^^

Далее рассмотрим потенциал ДИ(г, z). Вначале вычислим ДИ(г, г) в предположении, что Д(Г', z) > 0. Противоположный случай может быть рассмотрен аналогичным способом. Изменение распределения электронной плотности

л[г - Д(г)] - л(г) = -Д(г)^^dz

определяет потенциал в точке (г, z) (г > 0):

(4.41)

- — f dr* f dz' [(г - г')2 + (z - z')2] ,/2Д(г')-

*nn J Jdz '

- ^nn - *диэ^2 f_ Г)2 + (г + г')2]-'/=д(Г) 222 =

^nn^nn + *диэд) J Jdz'

(4.42)

q

2^2 д e/q r f ^'g-^lz-z'l ^(5) -

*nn? 4 J3z'

_ у 2H*nn - ^диэл^д „iq r f <fc.c-q^z^'\ ^nn^nn + *диэл)?Jdz'

q

Деформированная граница Si — SiO2 создает при z = 0 эффективный дипольный момент

(г.) = _ *nn - ^ДИЭЛ ^ / N$ + N \ ^r'W,(4.43)

4т *ДИЭЛ X/

1 свою очередь создающий потенциал

_J_ ( 1 _ ^ПП^диэД „ (r')z[(r - Г')2 + Z2r%. хпп \ хпп "*" хвт2

(4.44)

Таким образом, изменение потенциала имеет вид

^ ^25»^диэл) VN + N^ )Д е;Ч • ге - е#***»

L ^nn^nn + Хдиэл)Д 4

q

(4.45)

Потенциал изображения также видоизменяется. Электрет, находящийся в точке (Г, zXz > 0),

создает дополнительную поляризацию на деформированной границе. Дополнительный дипольный момент дается формулой

Р(г') =Р(г') =(4.46)(4.46)— ^^Д(г')Л'Г /';

Р(г') =

Р(г') =

(4.46)

(4.46)

2т хпп + хдиэлКГ - Г')2 + ?2И

z-я компонента дипольного момента pz(r') получается путем замены г — г' на z в формуле (4.46). Этот дипольный момент создает потенциал в точке (Г, z):

(4.47)(4.47)1 Р • (Г - Г) + Рг, + 1 хпп - хдаэл р • (г — г') — рДХпп Кг - Г')2 + z2r/2 Хпп хпп(хпп + хдиэл) кг - г')2 + г2Г/г j ■

(4.47)

(4.47)

Таким образом, изменение потенциальной энергии имеет вид

(ХШ1 хдиэл^(ХШ1 хдиэл^4ХПП (ХПП "*■ ХДИЭЛ'4ХПП (ХПП "*■ ХДИЭЛ'Г VqV (^^ - 1 ^^диэл к0^у\ ,\ 9Z 2 хпп + хдиэл / 9Г VqV (^^ - 1 ^^диэл к0^у\ ,\ 9Z 2 хпп + хдиэл / 9(4.48)(4.48)где Ко и Кх — модифицированные функции Бесселя. В формуле (4.48) введен множитель ‘/г, связанный с тем, что потенциал изображения является собственной энергией. Окончательное выражение для ДИ(г, z) может быть получено суммированием всех приведенных членов. В электрическом квантовом пределегде Ко и Кх — модифицированные функции Бесселя. В формуле (4.48) введен множитель ‘/г, связанный с тем, что потенциал изображения является собственной энергией. Окончательное выражение для ДИ(г, z) может быть получено суммированием всех приведенных членов. В электрическом квантовом пределе^- = ^ = Дк-к Г(1к - к'».^- = ^ = Дк-к Г(1к - к'».(4.49)(4.49)ЗдесьЗдесьг(9) = 7(9) + 7изобр(9).г(9) = 7(9) + 7изобр(9).(4.50)(4.50)где7*1 - ^G«. + *«^ + Т<?п+"7"1) "J1-((^v4-"V ^/ ^пп^пп "^ ^диэл' L У J>где7*1 - ^G«. + *«^ + Т<?п+"7"1) "J1-((^v4-"V ^/ ^пп^пп "^ ^диэл' L У J>— ^те ^пп ^диэл^ ^хпп(хпп + хдиэл) *— ^те ^пп ^диэл^ ^хпп(хпп + хдиэл) *+ Победи XI+ Победи XI^zlCoPe"^,^zlCoPe"^,аа7eo6p(9) =ХШ1(ХПП "^ хдидл>7eo6p(9) =ХШ1(ХПП "^ хдидл>оо»Хпп ^ДНЭЛ^^,)! 2 Хпп Хдиэл J(4.52)»Хпп ^ДНЭЛ^^,)! 2 Хпп Хдиэл J(4.52)При q — 04те2 /1'7(9) х~ \^^s ^°®едиПри q — 04те2 /1'7(9) х~ \^^s ^°®еди(4.53)(4.53)а при достаточно больших qа при достаточно больших q4те2/ 1 7(9) = ^—I -*ПП \24те2/ 1 7(9) = ^—I -*ПП \2^s "*" ^обеди) •^s "*" ^обеди) •(4.54)(4.54)

(ХШ1 хдиэл^

(ХШ1 хдиэл^

4ХПП (ХПП "*■ ХДИЭЛ'

4ХПП (ХПП "*■ ХДИЭЛ'

Г VqV (^^ - 1 ^^диэл к0^у\ ,

\ 9Z 2 хпп + хдиэл / 9

Г VqV (^^ - 1 ^^диэл к0^у\ ,

\ 9Z 2 хпп + хдиэл / 9

(4.48)

(4.48)

где Ко и Кх — модифицированные функции Бесселя. В формуле (4.48) введен множитель ‘/г, связанный с тем, что потенциал изображения является собственной энергией. Окончательное выражение для ДИ(г, z) может быть получено суммированием всех приведенных членов. В электрическом квантовом пределе

где Ко и Кх — модифицированные функции Бесселя. В формуле (4.48) введен множитель ‘/г, связанный с тем, что потенциал изображения является собственной энергией. Окончательное выражение для ДИ(г, z) может быть получено суммированием всех приведенных членов. В электрическом квантовом пределе

^- = ^ = Дк-к Г(1к - к'».

^- = ^ = Дк-к Г(1к - к'».

(4.49)

(4.49)

Здесь

Здесь

г(9) = 7(9) + 7изобр(9).

г(9) = 7(9) + 7изобр(9).

(4.50)

(4.50)

где

7*1 - ^G«. + *«^ + Т<?п+"7"1) "J1-((^v4-"

V ^/ ^пп^пп "^ ^диэл' L У J>

где

7*1 - ^G«. + *«^ + Т<?п+"7"1) "J1-((^v4-"

V ^/ ^пп^пп "^ ^диэл' L У J>

— ^те ^пп ^диэл^ ^хпп(хпп + хдиэл) *

— ^те ^пп ^диэл^ ^хпп(хпп + хдиэл) *

+ Победи XI

+ Победи XI

^zlCoPe"^,

^zlCoPe"^,

а

а

7eo6p(9) =

ХШ1(ХПП "^ хдидл>

7eo6p(9) =

ХШ1(ХПП "^ хдидл>

о

о

»Хпп ^ДНЭЛ^^,)! 2 Хпп Хдиэл J

(4.52)

»Хпп ^ДНЭЛ^^,)! 2 Хпп Хдиэл J

(4.52)

При q — 0

4те2 /1'

7(9) х~ \^^s ^°®еди

При q — 0

4те2 /1'

7(9) х~ \^^s ^°®еди

(4.53)

(4.53)

а при достаточно больших q

а при достаточно больших q

4те2/ 1 7(9) = ^—I -

*ПП \2

4те2/ 1 7(9) = ^—I -

*ПП \2

^s "*" ^обеди) •

^s "*" ^обеди) •

(4.54)

(4.54)

Рис. 64. Расчетное значение подвижности, определяемой рассеянием на шероховатостях поверхности, н экспериментальные результаты [709] для двух различных мощностей слоя обеднения [62]. Сплошная линия и темные кружки — ^обедн = 3,63 • 10й см-1. Пунктирная линия и светлые кружки — Победи = = 1,92- 1012см-2. Параметры шероховатостей приняты равными: Д = 4,3 А, Л = 15 А.

Множитель 1/2 у члена, содержащего Ns в выражениях (4.53) и (4.54), впервые полученный Мацумото и Уемурой [1174], имеет простой физический смысл. Этот член описывает эффективное электрическое поле, создаваемое положительным зарядом eNs на затворном электроде и отрицательным зарядом —eNs электронов в инверсионном слое. Среднее значение поля, созданного электронами, равно нулю, поскольку электрон-электронные взаимодействия есть внутренние силы в системе. Поэтому в эффективное поле вносят вклад лишь положительные заряды иа затворном электроде, что приводит к отличию на множитель 1/2 от члена, пропорционального Wo6eflH. Член, описывающий эффект изображения, исчезает при малых д, поскольку однородное смещение границы не приводит к изменению потенциала изображения, воздействующего на электроны.

Время релаксации дается выражением

?= ^ У <|Д. k,l2>^Y(l - cos6kk,)3(£(A:) - £(*')),(4.55) tsr№^ h Li\£(k ~ k V

k'

(Д(г)Д(г')) = Д2ехр(Д(г)Д(г')) = Д2ехр(г - гА2(г - гА2(4.56)(4.56)где эффект экранирования учтен в линейном приближении. При больших концентрациях электронов подвижность уменьшается пропорционально N~2, что объясняет обычное поведение экспериментально наблюдаемых подвижностей. Хотя на то и нет веских физических оснований, обычно корреляционную функцию поверхностных шероховатостей считают гауссовой:

(Д(г)Д(г')) = Д2ехр

(Д(г)Д(г')) = Д2ехр

(г - г

А2

(г - г

А2

(4.56)

(4.56)

где Д — среднее смещение границы, а А имеет порядок характерной длины его изменения в направлении, параллельном границе. При этом получаем

Для обычно используемых значений параметров тот факт, что корреляции имеют именно гауссову форму, несуществен до тех пор, пока Л не слишком велико. Важным параметром теории, определяющим величину подвижности, является произведение ЛД. Поскольку эффект изображения мал, зависимость т^ от Ns и Nyg^ определяется величиной (N$ + 2Л/обедн)2 и форм-фактором F(g) функции экранирования e<q\ Поскольку форм-фактор увеличивается с ростом величины Ns, влияние последней при учете эффекта экранирования становится слабее, чем это следует из формулы (Ns + ^обедн)2. На рис. 64 показан для примера результат вычисления подвижности, ограниченной рассеянием на шероховатостях поверхности, наряду с экспериментальными данными работы [709]. Для объяснения экспериментальных результатов необходимо предположить следующие значения параметров шероховатостей: Д = 4,3 А, Л = 15 А. Взять большие значения Л невозможно, поскольку при высоких концентрациях электронов рассеяние станет неэффективным и вычисленная зависимость подвижности от Ns отклонится от экспериментальной, когда Л станет сравнимой с V/kP Наличие поверхностных шероховатостей такого размера представляется вполне возможным. Хартстейн, Нинг и Фаулер [709] экспериментально вычитали вклад от рассеяния на заряженных центрах и показали, что зависимость подвижности от Ns и 7Vo6enH более близка к (Ws + Л,обедн)2, чем к (Ns + ^о^дд)2. Из-за эффекта экранирования теоретический результат действительно имеет более слабую зависимость от N^^ но при очень больших концентрациях электронов, превосходящих 7 • 1012см-2, отклоняется от экспериментальных зависимостей. При более высоких концентрациях электроны начинают заполнять высшие подзоны и приведенный простой результат не может быть непосредственно применим. Этот вопрос будет обсуждаться в разд. 3 данного параграфа.

Хотя обсуждавшаяся простая теоретическая модель, по-видимому, достаточно хорошо описывает экспериментальные результаты, некоторые проблемы теоретического плана все еще остаются. Одной из них, пока разрешенной не полностью, является вопрос о применимости разложения по Д. Первый член формулы (4.34) может быть получен более просто, если рассматривать несколько видоизмененный поверхностный барьер в качестве возмущения [62]. Будем считать, что на границе имеется барьер конечной высоты И^( —z + Д(0), а эффективная масса т, для простоты сохраняет свое значение и при z < 0. Тогда потенциалом возмущения будет ^(-z + Д(О) - ^(-z) = И0Д(г)3(г). При достаточно большом Ио волновая функция вблизи z = 0 имеет вид

(

ь2 \1/2Г /I/ \1/2 1

^(О)ехрф(4.58)

*/И IГ Q ^[_ X ^ / I

где Гп№ — производная волновой функции для случая бесконечного Уо. Отсюда получаем

У®.=--^ Ч-к-'(4.59)

лкл к 2m, dz dz г=0 к к

что совпадает с первым членом формулы (4.34). Если вычислять члены высших порядков, то можно видеть, что параметром разложения в этом формализме является (2т,К0/Л2)'лД. Следовательно, выражение (4.59) справделиво лишь при (2m, И0/Й2)'/гД < 1. Однако в действительности Д сравнимо с (Й2/2т,И0)и или даже превосходит его. Хотя этот вывод отличается от приведенного ранее и взаимосвязь между ними еще не ясна, указанный факт вызывает определенные сомнения относительно справедливости разложения по амплитуде неоднородностей. Полученные выше значения параметров поверхностных неоднородностей имеют, ве-

роятно, лишь качественней смысл. Чтобы прояснить проблему рассеяния на шероховатостях поверхности даже в рамках простой модели, необходимы дальнейшие теоретические исследования.

Все приведенные выше выражения были получены в предположении о плавности поверхностных шероховатостей, т.е. при Д < Л. Однако в действительности возможно наличие неоднородностей с меньшими размерами, вплоть до атомных. При больших концентрациях электронов их роль становится все более и более существенной. Подобные мелкомасштабные шероховатости можно связать с моделью плавной границы, изучавшейся Стерном [1700]. Он показал, что экспериментально наблюдавшееся поведение подвижности при больших концентрациях электронов можно также объяснить, предположив, что рассеяние, связанное с поверхностным градиентом или с центрами в окисле, пропорционально доле распределения электронной плотности, приходящейся на переходный слой и окисел. Дать этой картине адекватную микроскопическую формулировку пока не удалось.

Как уже говорилось в § 5 гл. 3, структура границы Si — SiO2 служила объектом разнообразных экспериментальных исследований. Из этих опытов можно уже получить предварительную информацию о природе шероховатостей границы. Например, эксперименты по просвечивающей электронной микроскопии высокого разрешения (—3 А) [1022, 1023] показали, что граница является достаточно гладкой, хотя и содержит крупномасштабную модуляцию высотой ~ 4 А с характерным периодом 200 — 500 А. Это не противоречит обсуждавшейся выше модели, поскольку микрофотографии, полученные в просвечивающем электронном микроскопе, показывают огибающую неровностей, спроектированных на плоскость, перпендикулярную границе. Мелкомасштабные шероховатости, определяющие подвижность электронов, при этом усредняются. В работе [1727] (см. также [1726]) использовалась обычная Просвечивающая микроскопия и были получены значения корреляционной длины и среднеквадратичной амплитуды поверхностных шероховатостей, согласующиеся с обсуждавшейся моделью.

При учете двух механизмов рассеяния — на заряженных центрах в окисле и на шероховатостях поверхности — можно полностью объяснить наблюдаемое поведение подвижности при низких температурах. С увеличением концентрации электронов подвижность вначале возрастает, достигает при Л^ — 1О12см-2 максимума и затем уменьшается. Однако наличие только этих двух механизмов не позволяет воспроизвести экспериментальные кривые, на что впервые указали Мацумото и Уемура [1174]. На рис. 65 результаты эксперимента сопоставляются с вычисленными, или теоретическими, кривыми для подвижности. Авторы предполагали однородное распределение заряженных центров в окисле и при расчете рассеяния на поверхностных шероховатостях пренебрегали ДИ(г, z). Два указанных механизма объясняют поведение подвижности при малых и больших концентрациях электронов, но недостаточны для такого объяснения вблизи концентрации, соответствующей максимуму подвижности. Если предположить, что заряженные центры сосредоточены только на границе, согласие становится хуже. Ситуация не меняется даже при учете поправочного члена с ДРЧг, z). Кривая 2 получена путем добавления механизма рассеяния с феноменологическим временем релаксации, не зависящим от Ns. Рисунок говорит о том, что существуют дополнительные механизмы рассеяния, играющие важную роль, в особенности вблизи Ns = 1012 см-2. Предполагается, что они носят короткодействующий характер (см. также обсуждение в § 2 гл. 6).

В связи с разнообразными экспериментальными результатами (см. § 2 данной главы) многими авторами предлагались и другие механизмы рассеяния. Предполагалось, например [1306 — 1308], что дислокации несоответствия могут образовывать сетку на границе раздела поверхности и давать вклад в рассеяние. В работе [1561] указывалось на важную роль, кото-

Рис. 65. Рассчитанная зависимость подвижности от концентрации электронов Ns [1174]. Кривая 1 получена комбинацией рассеяния на заряде, равномерно распределенном в окисле с объемной плотностью пс = 3,5 • 1017 см-3, и на шероховатостях поверхности с параметрами Л = 15 А, Д = 5,2 А. Кривая 2 отвечает параметрам пс = 3,4 • 1017 см-3, Л = 15 А, Д = 4;5 А и учитывает также третий процесс рассеяния с временем релаксации 5,6 • 10”12 с, не зависящим от концентрации электронов. Кружки соответствуют экспериментальным данным \Kawaji S., неопубликованные результаты], полученным при Т = 4,2 К.

рую могут играть дефекты с гигантскими поперечными сечениями (типа дырок в швейцарском сыре). Эта модель была ирелложена Фэнгом и Фаулером [518]. В работах [743, 1398] указывалось на наличие диполей (близко расположенных положительных и отрицательных зарядов) в окисле (см. также [870]), 'могущих служить короткодействующими рассеивателями. Обсуждалось также [479] рассеяние на поверхностных состояниях, расположенных выше края зоны проводимости, дополняющее рассеяние на заряженных поверхностных состояниях, образованных ненасыщенными связями [109]. В работе [1309] (см. также [1310, 1311, 1966, 1967]) предлагалась модель двухэлектронных локальных центров. В качестве возможных рассеивателей рассматривались также нейтральные центры, состоящие из приповерхностного заряда и связанного электрона в инверсионном слое [1737]. В работе [1991] делалась попытка объяснить сильную зависимость подвижности ниже максимума от Ns с помощью представления о кулоновском рассеянии, уменьшенном за счет размытия плотности состояний при малых энергиях. Однако при этом для объяснения экспериментально наблюдаемой зависимости от Ns приходится допускать предельно большое уширение уровней.

Многоподзонный перенос

До сих пор мы рассматривали задачи переноса в электрическом квантовом пределе, когда электроны заполняют только основную электрическую подзону. При больших концентрациях электронов или при ненулевых температурах могут быть заполнены и высшие подзоны, что приводит к задаче о многоподзонном переносе даже в инверсионных «-слоях на поверхно-

стях Si. Это также справедливо при наличии соответствующих одноосных напряжений, когда подзоны, связанные с другими долинами, могут иметь такую же или меньшую энергию и электроны перетекают из двух обычных долин в другие долины инверсионных л-слоев на поверхностях Si. В этом разделе мы кратко рассмотрим работы по такому многоподзонному переносу в инверсионном n-слое на поверхности (100) Si при достаточно низких температурах. Задача связана также со структурой подзон; можно ожидать, что результаты подобных исследований дадут дальнейшую информацию об этой структуре и механизмах рассеяния в рассматриваемой системе..

Заполнение высших подзон приводит к нескольких эффектам. Процессы переноса теперь содержат вклады от различных подзон, и необходимо учитывать процессы межподзонного рассеяния. Далее, усиливаются эффекты экранирования, поскольку в экранирование рассеивающего потенциала вносят вклад все подзоны. Может также быть существенной поляризация, вызванная виртуальными межподзонными переходами.

Формальное обобщение рассматривавшейся теории на случай более чем одной заполненной подзоны проводится непосредственно и описано в работе [1643]. Однако реальные вычисления очень громоздки и были выполнены лишь относительно недавно. В общем случае при наличии межподзонного рассеяния матрица плотности содержит недиагональные по номеру подзоны элементы. Если уширение уровней за счет межподзонного рассеяния достаточно мало по сравнению с энергетическим расстоянием между подзонами, то подобными недиагональными членами можно пренебрегать и использовать обычное кинетическое уравнение Больцмана, представляющее систему связанных уравнений для функций распределения в каждой из подзон при наличии межподзонных процессов рассеяния. Будем рассматривать случай, когда двумерная поверхность Ферми изотропна. Тогда

. j

-Ej - лк*))L/,(k') - /;(k)],(4.60)

где E — электрическое поле, /(k) — функция распределения в /-подзоне, т — эффективная масса для движения параллельно поверхности (w = mt для подзон £0, Ev ...), описывает потенциалы рассеивателей, а (...) означает усреднение по рассеивателям. Следует ожидать, что при низких температурах междолинное рассеяние будет достаточно слабым и может не учитываться. В этом случае электроны в различных долинах могут считаться независимыми и между их функциями распределения не будет никакой связи. Связанные уравнения Больцмана можно решить точно, вводя для каждой подзоны зависящие от энергии времена релаксации. При этом

’ /;(к) = ДЕ; + Е(к» - т^, + е(к^ ^ йк • Е ^i V^(4.61)

тде(*)

(/(Е) — функция распределения Ферми — Дирака) и уравнение Больцмана сводится к системе линейных уравнений для т^Еу.■ *'

Е;= У К;ДЕУ^,(4.62)

где

х 5(Е( + е(£) - Е^ЦЕ, + е(*') - E^k2 -

- <l(/kl^ljk')l2>«(£, + eVO - Е^б^ + £(*') - E)k • k ).

Величина тока вычисляется по формуле

J = (-e)2g„ ^

(4.63)

(4.64)

где gu — долинное вырождение. Подвижность в /-й подзоне при нулевой температуре равна

^ = (e/w)T|(EF),(4.65)

а эффективная подвижность

(4.66)

где Nj — концентрация электронов в /-подзоне.

Эффект экранирования в приближении хаотических фаз может быть учтен с помощью матричной диэлектрической функции

2тге2

•Чикт^ = Ч^г + — Ww-ДО-(4-67>

где форм-фактор определяется формулой (3.37), а поляризационная часть пкет вид

W = 2gv £W = 2gv £(4.68)(4.68)№j + £(*)) - KEj + e(k + ф)Et + e(£) - Е, - e(k + q)

W = 2gv £

W = 2gv £

(4.68)

(4.68)

Эффективный потенциал при этом равен

^\i= ^ ^№Г\гт(4-69)

где (1^еэкр)^ — двумерный фурье-образ матричного элемента неэкраннрованного рассеивающего потенциала, a eVqVx — матрица, обратная матричной диэлектрической функции.

До сих пор мы предполагали наличие лишь одной системы подзон, связанной с эквивалентными долинами. Обобщение описанного выше формализма на случай заполнения электронами подзон различных типов достаточно очевидно. В этом случае полный ток будет суммой вкладов от подзон различных долин, поскольку при низких температурах междолинное рассеяние должно быть слабым. Что касается экранирования, то здесь имеется взаимосвязь между вкладами различных долин [1701]. Поляризационная часть диагональна по индексу долины, но может зависеть от него. То же самое относится и к форм-фактору. В нем от-

сутствуют члены, соответствующие междолинному рассеянию, но взаимодействия электронов в различных долинах должны приниматься во внимание. Поэтому диэлектрическая функция также имеет матричную форму.

Первые реальные вычисления подвижности в многоподзонной системе были проделаны Нельсоном и Брауном [1296]. Они предполагали наличие короткодействующих рассеивателей, сосредоточенных вблизи границы и моделирующих шероховатости поверхности, а также распределенных однородно в объеме кремния и моделирующих объемные фононы. Авторы аппроксимировали приповерхностное электрическое поле треугольным потенциалом и вычислили подвижности при комнатной температуре. Несмотря на столь искусственные предположения, расчеты показали важную роль эффектов межподзонного рассеяния. Езава [509], опираясь на результаты, полученные в хартриевском приближении Стерном, вычислил подвижность при рассеянии на фононах.

При низких температурах в обычных условиях с ростом концентрации электронов возбужденные подзоны могут заполняться электронами двумя возможными способами. Расчеты Стерна в рамках приближения Хартри показывают, что при достаточно высоких концентрациях электронов Ео, > Ех и, следовательно, вначале будет заполняться электронами первая возбужденная подзона в двух обычных долинах. Как отмечалось в § 2 гл. 3, многочастичные эффекты (обмен и корреляция) могут изменить структуру подзон. Вычисления по методу функционала плотности [54, 55] дают результат, качественно согласующийся с приближением Хартри, в то время как расчеты с помощью теории возмущений [1877] показывают, что меньшей энергией должна обладать подзона Ео,. Эффекты размытия границы Si—SiO2 [1700], обсуждавшиеся в § 5 гл. 3, понижают Ео,. Шэм и Накаяма [1280, 1609, 1610] указали иа возможную разницу в эффективных положениях долин различных типов на границе, что может также сказаться на относительном положении подзон Ео, и Ev Эта теория будет рассматриваться в § 1 гл. 7. Таким образом, вопрос о заполнении высших подзон является достаточно тонкой проблемой и следует отдельно рассматривать оба возможных случая.

В работе Стерна [1701] изучался случай заполнения электронами подзон 0 и 0' в пренебрежении анизотропией ферми-поверхности в подзоне 0'. В этом случае межподзонное рассеяние отсутствует и задача несколько упрощается. Автор использовал подход, являющийся развитием подхода, описанного в § 3 гл. 2 в применении к эффекту экранирования, и учел размытие границы раздела. До тех пор пока толщина переходного слоя достаточно мала ( — 5 А), результаты качественно совпадают с полученными в рамках упомянутого выше формализма и иллюстрируются кривыми на рис. 66. Предполагалось, что заряженные центры сосредоточены на полупроводниковой стороне переходного слоя. Это предположение может оказаться неправдоподобным, если учесть тот факт (показанный несколько позже [1702]), что потенциал положительных Ионов Na+ имеет очень глубокий минимум со стороны окисла. Грубо говоря, изменение положения заряженных центров увеличивает или уменьшает абсолютное значение подвижности, но не меняет ее поведения качественно. С началом заполнения подзоны 0' подвижность резко возрастает. Когда возбужденная подзона заполнена, электроны имеют очень высокое значение подвижности, поскольку эффективные потенциалы для них в возбужденной подзоне становятся очень слабыми. Кроме того, сильнее становится сам эффект экранирования, поскольку в экранировании рассеивающего потенциала участвуют электроны обеих подзон. Эти два эффекта и приводят к резкому росту подвижности при заполнении подзоны О'. Заметим, что концентрация электронов, соответствующая началу заполнения возбужденной подзоны, превосходит значение, полученное в приближении Хартри, поскольку в работе Стерна возрастание межподзонного расстояния за счет многочастичных эффектов учитывалось феноменологически путем добавления энергетического члена, пропо-

Рис. 66. Измеренная и вычисленная подвижности, определяемые рассеянием на 1012 см-2 зарядах на полупроводниковой стороне переходного слоя между Si и SiO2, в зависимости от концентрации электронов в инверсионном слое Ns [1701]. Экспериментальные данные взяты из работы [709]. Плавная кривая — результат вычислений при заполнении лишь низшей подзоны. Верхняя ветвь — вычисления, учитывающие заполнение подзон Ео и Ео<.

рционального (N$ + No6e№y/\ Такое же поведение было предсказано для подвижности, ограниченной рассеянием на шероховатостях поверхности, хотя различные поправки, обсуждавшиеся в разд. 2 данного параграфа, при этом не учитывались.

Мори и Андо [1240] изучали ситуацию, когда электроны заполняют подзоны 0 и 1. В этом случае необходимо правильным образом рассматривать межподзонное рассеяние. Пример расчета для рассеяния на шероховатостях поверхности представлен на рис. 67 вместе с экспериментальными результатами работы [709] для ?/обедн = 3,6 ' и *>9 ' Ю12 см-2. При No6eM = 3,6 • 1011 см-2 заполнение подзоны Ех начинается вблизи (1V$ + Аобедн)2 = = 0,6 • 1026 см-4. При этой концентрации подвижность скачком уменьшается н становится меньше, чем в пренебрежении заполнением возбужденной подзоны. Причина в том, что межподзонное рассеяние играет решающую роль и значительно уменьшает подвижность, в особенности в возбужденной подзоне1). При ее заполнении подвижность все в большей степени становится функцией (Ns + Л^обедн)2. Как видно из рис. 67, подвижность, ограниченная рассеянием на заряженных центрах, ведет себя таким же образом.

Мы видели, что поведение подвижности весьма различно в зависимости от того, какая подзона первой заполняется электронами. Сравнение с экспериментальными результатами говорит о том, что при высоких концентрациях электронов подзона 1 обычно лежит ниже, чем подзона 0' (в отсутствие механических напряжений). Это подтверждает результаты расчетов в приближении Хартри и по методу функционала плотности.

Ч Уменьшение подвижности в момент начала заполнения возбужденной подзоны обнаружено экспериментально на гетероструктуре GaAs — AljGa^xAs [54]. — Прим.перев.

Рис. 67. Расчетная и экспериментальная подвижности, ограниченные рассеянием на шероховатостях поверхности для двух различных значений N^^ [1240]. Параметры шероховатостей считаются равными: Д = 4,0 А, Л = 15 А. Сплошные линии — расчет с учетом двух подзон, Ео и Ev Точечная линия — расчет в предположении о заполнении лишь низшей подзоны. Штриховая линия — расчет в пренебрежении межподзонным рассеянием. Экспериментальные значения взяты из работы [709]. Светлее кружки и сплошная кривая, отмеченная крестиком, соответствуют Лебеди = L9 • 1012 см-2. Темн ие кружки и остальные кривые соответствуют No6cn)1 = 3,6 • 10й см-2.

Эффект резкого роста или спада эффективной подвижности при начале заполнения электронами высших подзон очень чувствителен к уширению уровней, которое в описанном выше формализме не принималось во внимание. Мори и Андо [1240] изучали этот эффект в простой модели рассеяния на шероховатостях поверхности для случая, когда электроны заполняют подзоны 0 и 1. Авторы показали, что плотность состояний в подзоне 1 имеет относительно большой низкоэнергетический хвост и резкое падение подвижности легко может быть размыто. Поэтому наблюдать экспериментально подобную особенность не представляется возможным. При заполнении подзоны О' наличие хвоста плотности состояний еще более существенно. Электронные состояния в хвосте с большой вероятностью локализованы, и при нахождении уровня Ферми в этой области результаты могут сильно, даже качественно, отличаться от описанных выше. Эти задачи пока еще остаются нерешенными.

Прикладывая соответствующее одноосное напряжение, мы можем сдвигать дно различных долин вниз по энергии и переводить электроны из двух обычных долин в другую их совокупность. Проведено много экспериментов по влиянию одноосных напряжений на различные свойства поверхностных каналов. Наличие максимума на подвижности наблюдалось [9011 в инверсионном слое на поверхности (100) кремния, выращенного на сапфире, где боль-

шое различие в коэффициентах теплового расширения создает большие сжимающие напряжения вдоль границы. Аналогичный вид кривых наблюдался на поверхности (100) Si при приложении одноосного напряжения [623] (см. также [517]). Можно полагать, что подобный ход подвижности имеет место при приближении уровня Ферми к дну подзоны 0, которая при достаточно сильных деформациях имеет энергию, бдльшую, чем подзона 0' при малых концентрациях электронов. Полученные до сих пор экспериментальные результаты говорят в пользутиго, что, несмотря на эффект перетекания электронов, долинное вырождение остается равным двум. Более детальному обсуждению этого вопроса будет посвящен § 2 гл. 7.

Такада [1737] вычислял подвижность в инверсионном л-слое на поверхности (100) Si при деформации. Он использовал описанный выше формализм и рассчитал подвижность, предполагая наличие двух механизмов рассеяния: заряженных центров в окисле и шероховатостей поверхности. Было показано, что в случае одновременного заполнения электронами подзон, принадлежащих различным долинам, подвижность возрастает более чем на порядок. Этот вывод полностью аналогичен результату Стерна [1701]. Экспериментально такой аномальный рост подвижности не наблюдался, что, по-видимому, указывает на важную роль иных механизмов рассеяния при относительно, малых концентрациях электронов, когда подвижность имеет максимум. Такада показал, что дополнительными рассеивателями могли бы быть нейтральные комплексы, состоящие из приповерхностных положительных зарядов в окисле и связанных электронов в инверсионном слое. Задача об экранировании положительного заряда рассматривалась Винтером [1878, 1881], использовавшим метод функционала плотности. Он исследовал различные возможные конфигурации чисел заполнения связанных состояний электронами и также вычислял подвижность. Как уже отмечалось в ра,зд. 1 данного параграфа, самосогласованная конфигурация электронов оказалась отличной от предполагавшейся в работе Такада.

ФОНОННОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ

Колебания решетки представляют собой неизбежный источник рассеяния, который при температурах вблизи комнатной может играть доминирующую роль. При таких температурах и концентрации электронов, лежащей в области Ns = (0,5 + 5) • 1012 см-2, подвижность д ведет себя, как известно, по закону типа д - 7У$-<1/6т '^Т-*^ 1,5) и имеет величину 200 4- 1000 см2 ■ В-1 • с-1 в зависимости от кристаллографической ориентации поверхности. Такое поведение подвижности обсуждалось в § 2 данной главы и, как правило, обусловлено фононным рассеянием. В настоящем разделе будет дан обзор теории фононного рассеяния в инверсионном слое.

Можно ожидать, что рассеяние на колебаниях решетки будет вызывать электронные переходы трех типов, т.е. переходы между состояниями внутри одной долины за счет акустических или оптических фононов (называемые соответственно внутридолинным акустическим и внутридолинным оптическим рассеянием) и переходы между различными долинами (называемые междолинным рассеянием). Внутридолинное акустическое рассеяние обусловлено фононами малых энергий и является почти упругим процессом. Внутридолинное оптическое рассеяние обусловлено оптическими фононами с малым импульсом и большой энергией и для кремния считается пренебрежимо малым. Междолинное рассеяние может происходить за счет испускания и поглощения фононов с большим импульсом и большой энергией как акустической, так и оптической природы. Следовательно, междолинное рассеяние может быть существенным лишь при достаточно высоких температурах, когда имеется значительное количество требуемых фононов, или же при наличии горячих электронов, способных испустить

фононы с большими энергиями. Эффекты горячих электронов будут обсуждаться в следующем параграфе.

В работе [896] была предложена модель двумерных фононов и рассчитана подвижность электронов, ограниченная рассеянием на акустических фононах. Анализ, использующий размерные соображения и опирающийся на теорию Бардина — Шокли для массивного образца [132], привел к формуле

-(4.70>

тк h рс^(;'> 2тгй2

где р — плотность вещества, с( — скорость продольного звука, ди — деформационный потенциал, W| — эффективная масса для движения параллельно поверхности и <z> — zcp — эффективная толщина инверсионного слоя. Это выражение качественно объясняет экспериментально наблюдаемое при высоких температурах поведение подвижности. Впоследствии рассеяние на акустических фононах интенсивно изучалось рядом японских Исследователей [509, 513, 898]. Последующее изложение мы начнем с более строгого вывода формулы (4.70).

Ограничимся рассмотрением основной подзоны в и-слое на поверхности (100) Si. Мы, как правило, будем считать кремний изотропной упругой средой, что, как известно, является хорошим приближением при рассмотрении рассеяния на акустических фононах в объеме. Будем обозначать через U = (и, мг) вектор смещения этой упругой среды. При этом имеем

^эл-фон = W- z),(4.71)

д

Ф(г, z) = DV • u(r, z) + — м (г, z),(4.72)

где D = 2rf/2u — отношение деформационных потенциалов для двух различных направлений. Известно, что 2и = 9 эВ и D = —0,67. В кремнии, однако, изоэнергетические поверхности анизотропны, и эти значения необходимо изменить так, чтобы привести в согласие с моделью изотропных фононов. В работе [512] бралось 2„ = 12 эВ и D = —0,67. При достаточно высоких температурах, порядка комнатной, типичная энергия фононов c,q, где q — ~ ^.т^вТ/кг)'л или q — l/<z>, значительно меньше типичной энергии электронов, имеющей порядок квТ, и может не учитываться. Это означает, что рассеяние рассматривается как упругий процесс. При этом транспортное время релаксации

= V V (1 “ co^kk)5^) * е(*'» х т(е(*)) h

к'

X jdz f dz'lC0(z)l2lf0(z')l2O(z, z'; Ik - k'l),(4.73)

о 0

где £>(z, z'; 9) — фононная корреляционная функция, определяемая следующим образом:

D(r, z; г'; z') =

X

exp[/q • (г - r')]D(z, z'; 9) =

(4-74)

q

= <ф(г, г)Ф(г', z')> =

Spexp( —0ЖфОН)ф(г, г)Ф(г', z')

4м —фононный гамильтониан, а 0 = \/квТ.

8рехр(-0^фон)

Для простоты будем пренебрегать наличием границы Si — SiO2 и считать фононный спектр таким же, как в массивном образце. Имеем

U(г, z) =U(г, z) =• г + iq^ + Э.С.].• г + iq^ + Э.С.].(4-75)(4-75)

U(г, z) =

U(г, z) =

• г + iq^ + Э.С.].

• г + iq^ + Э.С.].

(4-75)

(4-75)

Здесь индекс X нумерует фононные моды (X = 1,2 соответствует поперечным, X = 3 — продольной модам), Q = (q, q^, е^ — вектор поляризации, ш^ = cQ, где с = ct для X = 1 и 2 и с = С/ для X = 3, 6^ — фононный оператор уничтожения, э.с. означает эрмитово сопряженное выражение. При достаточно высоких температурах можно полагать

(4.76)(4.76)<ь^+ + ь^'.Ъ = aQQ.axx,<z>^+ + ь^> = Wxx-^v откуда получаем<ь^+ + ь^'.Ъ = aQQ.axx,<z>^+ + ь^> = Wxx-^v откуда получаем/ «1\ Q2/ «1\ Q2(4.77)(4.77)

(4.76)

(4.76)

<ь^+ + ь^'.Ъ = aQQ.axx,<z>^+ + ь^> = Wxx-^v откуда получаем

<ь^+ + ь^'.Ъ = aQQ.axx,<z>^+ + ь^> = Wxx-^v откуда получаем

/ «1

\ Q2

/ «1

\ Q2

(4.77)

(4.77)

Таким образом, окончательно

(4.78)(4.78)

(4.78)

(4.78)

Если использовать вариационное выражение (3.25), то интегрирование по q^ легко выполняется. Поскольку правая сторона формулы (4.78) — медленно меняющаяся функция е(к) и Ns, то основная зависимость подвижности от температуры и концентрации электронов заключена в тК, что подтверждает результат, без особых ухищрений полученный в работе [896]. Поскольку двумерная плотность состояний от энергии не зависит, то здесь, в противоположность известному результату для трехмерных систем, не возникает дополнительной зависимости подвижности от Т. Как видно из приведенного вывода, зависимость ^ — Т-1 отражает число фононов, возбужденных при температуре Т. В отличие от двумерной электронной системы фононная система является существенно трехмерной. Закон сохранения импульса накладывает жесткие ограничения только на параллельную поверхности компоненту импульса фонона fl, а что касается q^, то фононы с 1^1 £ 1/<?> участвуют в рассеянии равным образом. Это приводит в выражении для подвижности к множителю <z> - N~Y'

Наличие границы искажает фононные моды. Окисел характеризуется меньшей жесткостью, чем кремний, и меньшей скоростью звука1). Поэтому амплитуды фононов вблизи грани-

0 В работе [1184] измерялась скорость звука при комнатной температуре как в Si, так и в SiOj. В частности, для воли, распространяющихся вдоль направления < 110> в Si q = 9,13 • 105 см/с, q<n0> = = 4,67 • 105 см/с и q<00I> = 5,84 • 105 см/с. Для аморфного SiO2 было получено q = 5,97 • 105 см/с и с, = 4,76 • 105 см/с.

цы становятся больше, чем в объеме, что позволяет ожидать усиления электрон-фононного рассеяния. Для исследования этого эффекта авторы работ [510, 512, 513, 898] рассматривали предельный случай бесконечно мягкого окисла, когда границу раздела можно считать ненапряженной поверхностью. Полная ортонормированная система собственных фононных мод в изотропной упругой среде, занимающей полупространство, была получена Езавой [508], и моды эти названы им сурфонами. Например, волна Рэлея, локализованная вблизи поверхности, представляет собой один из сурфонов. Мы не углубляемся в задачу нахождения сурфон- ных мод, рекомендуя интересующимся читателям работу Езавы. Впоследствии им же вместе с соавторами [512] была вычислена фононная корреляционная функция (4.74) и подвижности в и-слоях на трех основных поверхностях: (100), (ПО) и (111). Эта работа эквивалентна известной работе Херринга и Фогта [731] для массивного образца. Очевидно, зависимость подвижности от температуры и концентрации электронов будет по существу такой же, как в объеме, и поверхностные эффекты могут изменить только ее абсолютное значение. Однако результаты расчетов несколько разочаровывают. Вычисленное значение подвижности оказалось лишь на 10 — 20% меньше, чем для рассеяния на объемных фононах, что говорит о малой роли поверхностных эффектов в определении интенсивности рассеяния. Кроме того, в действительности окисел не является бесконечно мягким и реальная ситуация скорее напоминает случай объемных фононов, чем случай ненапряженной границы. Таким образом, можно сделать вывод, что наличие границы для реальных инверсионных слоев не играет важной роли в электрон-фононном рассеянии, если не учитывать тот факт, что движение электронов является двумерным.

Езава с соавторами вычисляли подвижность электронов и устанонили, что она весьма чувствительна к параметру D. Авторы использовали значение D = —0,67, приблизительно отвечающее максимальному значению подвижности. В общем случае теоретические значения Подвижности оказались существенно большими, чем экспериментальные. Например, расчеты для поверхности (100) дают при Ns = 1013см-2 и Т = 300 К д = 3500 см2 • В-1 • с-1. С уменьшением концентрации электронов полученное значение возрастало приблизительно пропорционально N~v\ В противоречии с этим экспериментальные значения подвижности при Ns - 1013 см-2 лежат в интервале между 300 и 400 см2 • В-1 • с-1, т.е. оказываются на порядок меньше теоретически вычисленных. Это, однако, может быть связано и с тем, что для таких высоких концентраций электронов даже при комнатной температуре на подвижности все еще сказываются другие механизмы рассеяния.

До сих пор мы предполагали справедливость электрического квантового предела, когда электроны заполняют лишь основную подзону. В действительности при комнатной температуре это предположение может быть несправедливо. Самосогласованные вычисления Стерна [1690] показали, что при Ns = 1012 см-2 в основной подзоне на поверхности (100) находится лишь 20% электронов. С ростом Ns отношение заселенностей возрастает, но даже при Ns = = 1013 см-2 40% электронов все еще находится в возбужденных подзонах. Для других поверхностей типа (ПО) и (111) ситуация несколько лучше, но все же условие электрического квантового предела при комнатной температуре не выполняется. При заполнении возбужденных подзон межподзонное рассеяние становится очень важным и требует должного учета. Езава [509], используя полученные Стерном самосогласованные волновые функции, исследовал этот эффект для поверхности (100). Заполнение возбужденных подзон в двух долинах, расположенных в направлениях [100] и [100] (те же самых, где расположены и основные подзоны), уменьшает подвижность за счет сильного межподзонного рассеяния. Это полностью аналогично рассмотренному ранее случаю низких температур. Подвижность электронов в подзонах, связанных с четырьмя другими долинами, меньше, чем в первых двух долинах, по-

скольку ослабление рассеяния за счет большей величины <?> перекрывается увеличением эффективной массы для движения параллельно поверхности. Поэтому при учете заполнения высших подзон подвижность уменьшается. Езава показал, что эффект этот весьма существен и уменьшает подвижность вплоть до половины той величины, которую она имела бы прн N$ = 1013 см-2 в электрическом квантовом пределе. Легко понять, что температурная зависимость подвижности должна стать-более крутой, чем g - Г-1, предсказываемое для электрического квантового предела. Однако для зависимости от Ns согласие ухудшается. С уменьшением Ns наличие электронов в высших подзонах и, следовательно, уменьшение подвижности становятся все более и более существенными. В силу этого зависимость подвижности от концентрации электронов ослабляется. Реальные численные расчеты Езавы привели к значениям подвижности, почти не зависящим от Ns, в отличие от зависимости д - N”1/1 для электрического квантового предела.

Таким образом, состояние теории фононного рассеяния следует признать неудовлетворительным. Вычисленная подвижность, ограниченная фононным рассеянием, не только значительно превосходит экспериментальную величину, но и не отвечает зависимости д - N~1/1. Разногласие в абсолютных значениях легко устранить, предположив, что вблизи границы деформационный потенциал 2и имеет большее значение. Однако если учесть то обстоятельство, что по атомным масштабам электроны находятся далеко от границы, отличие деформационного потенциала от объемной величины становится маловероятным. Концентрационная зависимость подвижности может стать более резкой при учете влияния многочастичных эффектов на структуру подзон. Обмен и корреляция увеличивают энергетическое расстояние между подзонами и заселенность электронами основной подзоны. Кроме того, при понижении концентрации электронов этот эффект возрастает. Вычисления показали, что даже при комнатной температуре эффекты обмена и корреляции все еще являются существенными [371, 848, 849, 1270, 1271]. Это означает, что электрический квантовый предел может еще оставаться хорошим приближением и снижает роль межподзонного рассеяния. Поэтому зависимость подвижности от концентрации электронов становится более резкой, хотя ее абсолютное значение и приближается к результату для электрического квантового предела. Вычисления показали [1270, 1271], что квазичастичная энергия электрона при высокой температуре имеет большую мнимую часть, обусловленную электрон-электронным рассеянием. Предварительные исследования эффектов, связанных со столь малыми временами жизни [1272], позволяют предположить возрастание подвижности электронов в основной подзоне. Причина в том, что большая мнимая компонента собственно-энергетической части приводит к появлению низкоэиергетического хвоста в плотности состояний и потому уменьшает интенсивность рассеяния за счет понижения плотности конечных состояний.

Известно, что в массивных образцах для объяснения величины подвижности при комнатной температуре необходим учет междолинного рассеяния. В действительности междолинное рассеяние в массивном образце при Т = 300 К уменьшает подвижность в 3 раза по сравнению со значением, полученным при учете лишь рассеяния на акустических фононах [1120]. В инверсионных слоях этот механизм также важен и способен уменьшить указанное выше расхождение между теорией и экспериментом. Влияние междолинного фононного рассеяния исследовалось в нескольких работах [512, 530, 1528, 1543], но пока еще на качественном уровне. Это связано с недостатком необходимых знаний о структуре подзон, в особенности об относительных энергиях подзон, связанных с различными долинами.

Как уже говорилось в § 1 гл. 3, электроны в инверсионном слое взаимодействуют через границу с полярными оптическими фононами в SiO2 за счет приграничных электростатических полей этих фононов. Предполагается, что с такими сторонними оптическими фононами

связан эффективный механизм рассеяния, в особенности для энергетических потерь в неомическом режиме (при разогреве электронов) [744]. Однако, поскольку энергии оптических фоно- нов в SiO2 весьма велики (> 670 К), этот механизм рассеяния при комнатной температуре в омическом режиме неэффективен и не сказывается на подвижности [1233, 1234].

Проводились также эксперименты по изучению фононного рассеяния при более низких температурах. В работе [888] (см. также [893]) измерялась подвижность в интервале температур от 4,2 до 50 К. Предполагалось, что полное сопротивление состоит из трех членов: р = = Рфон + рг + ра, где рг — остаточное сопротивление, считающееся температурно-независимым, а р0 — «аномальный» член, логарифмически зависящий от температуры. Прилагая слабое магнитное поле, авторы подавляли аномальное сопротивление и определяли зависящее от температуры сопротивление РфОН, которое приписывалось рассеянию на фононах. Хотя результирующая температурная зависимость Рфон, по-видимому, согласуется с вычислениями [1633], его абсолютная величина оказывается значительно больше. Аналогичные, но более подробные измерения проводились при изменении концентрации ионов Na+ вблизи границы Si — SiO2 [708]. Часть сопротивления, не зависящая от концентрации этих ионов, объяснялась рассеянием на акустических фононах и температурно-независящим рассеянием на шероховатостях поверхности. Температурная зависимость подвижности изучалась также в работах [254, 255], на что указывалось в § 2 и в разд. 1 § 3 данной главы. Стерн [1704] учел температурную зависимость эффекта экранирования и вычислил подвижность, ограниченную рассеянием на заряженных центрах и на шероховатостях поверхности. Он показал, что одни эти механизмы могут приблизительно объяснить большую часть наблюдаемой температурной зависимости. Кроме того, при повышенных температурах неприменимо правило Матиссена, что делает сомнительным разделение вкладов от различных механизмов рассеяния при столь высоких температурах.

ЭФФЕКТЫ РАЗОГРЕВА ЭЛЕКТРОНОВ

Уже давно было обнаружено [518, 565], что проводимость электронов, в особенности при низких температурах, зависит от тянущего поля между истоком и стоком Fq. Подобное следствие электронного разогрева можно рассматривать и как недостаток, и как достоинство. В эксперименте оно увеличивает трудности измерения проводимости или подвижности. При очень низких температурах для определения проводимости зачастую требуется сложная аппаратура, поскольку с целью исключения значительного разогрева иногда приходится работать с малыми полями вплоть до 10“3 В/см (см., например, [188]). Однако обычно поля порядка 0,1 В/см уже достаточно слабы, чтобы избежать эффектов разогрева. Достоинством эффектов разогрева является то, что они позволяют более детально исследовать процессы фононного рассеяния, в особенности при низких температурах, когда в случае малых FD доминирует упругое рассеяние. При очень больших полях даже при 300 К основная часть энергии электронов передается решетке с помощью оптических фононов, в результате скорость электронов, так же как и в объеме образца, испытывает насыщение [318, 519]. Этот факт позволяет сделать практические выводы по созданию полупроводниковых приборов [358], ■& также создает возможность дальнейшего изучения междолинного и межподзонного рассеяния. Указанному вопросу посвящены обзорные статьи Хесса [734] и Ферри [536].

Эффекты горячих электронов естественным образом разделяются на два типа: в режиме малых и в режиме больших полей. Для понимания этих эффектов необходимо иметь представление о всех возможных механизмах рассеяния — на заряде в окисле, на шероховатостях поверхности, на оптических и акустических фононах — для внутриподзонных, межподзонных

Рис. 68. Полевая зависимость подвижности электронов при 4,2 К [519]. Параметром кривых является концентрация электронов Ns: 1 — 2,1; 2 — 3,35; 3 — 4,2; 4 — 5 • 10" см'2.

внутридолинных и междолинных переходов. Как уже говорилось в §§ 3 и 4 данной главы, первые два случая изучены уже достаточно подробно, чего нельзя сказать о фононном рассеянии, где обработка результатов носит в значительной степени эмпирический характер.

Существует два основных способа наблюдения электронного разогрева. Если подвижность зависит от температуры, то относительно просто измерить зависимость проводимости от Fd и связать ее с изменением электронной температуры, как это показано на рис. 68, 69 и 70. Однако при слабой температурной зависимости подвижности, как в случае Т = 4,2 К и Ns> 1012см-2, измерения достаточно сложны. В этом случае роль термометра для

Рис. 69. Температурная зависимость подвижности в нулевом поле для тех же самых образцов и плотностей электронов, что и на рис. 68 [519]. Эти результаты вместе с данными рис. 68 могут быть использованы для вывода зависимости электронной температуры от тянущего поля. Кривые соответствуют следующим значениям Ns: 1 — 3,76 • 10"; 2 —5,0 10"; 3 — 5,85 10"; 4 — 6,7 10"; 5 — 7,95 10"; 6— 1,0 • 1012; 7— 1,21 ■ 1012; 8 — 1,42 • 1012; 9 — 1,83 ■ 1012; /0—2,26 • 1012см-2.

Рис. 70. Рост электронной температуры в зависимости от величины тянущего поля, полученный на основании данных двух предыдущих рисунков [519]. Кружки—Ns = = 3,35 • 10й см-2, крестики —Ns = 4,2 ■ 10й см-2, треугольники— Ns = 5,0- 10й см-2. Прямая имеет наклон 3/2 и описывается формулой ДТ = 0,3 F^2. В области, соответствующей эксперименту, проводимость является активационной.

электронной температуры может играть температурная зависимость магнитоосцилляций. Результаты таких измерений, проведенных Фэнгом и Фаулером [519], показаны на рис. 71.

Если измерять проводимость как функцию VD при постоянной температуре решетки Т, то результаты при малых FD можно описать зависимостью

ц = м0(1 + /^-(4.79)

В первом приближении полевую зависимость подвижности можно связать с электронной температурой путем сравнения с температурной зависимостью подвижности в слабом поле при той же концентрации электронов. При FD — 0 понятие электронной температуры должно быть применимо достаточно хорошо. Было показано [741], что при возмущении электронного распределения электрическим полем в двумерном случае максвелловское распределение применимо лучше, чем в трехмерном.

Поскольку эффекты горячих электронов можно рассматривать на различных уровнях сложности (см. [337, 532, 536, 537]), мы будем следовать работе Х^сса и Са [741], использую-

Рис. 71. Рост электронной температуры в зависимости от напряженности электрического поля, полученный из зависимостей амплитуды магнитоосциляций от температуры и тянущего поля [519]. Н = 21 кГс. Верхняя совокупность результатов получена при температуре окружающей среды 3 К и относится к левой шкале, нижняя совокупность — при 2,4 К и относится к правой шкале. Темные кружки — Ns = 2 • 1012 см-2, светлые кружки — Ns = 6 ■ 1012 см-2. Концентрация электронов лежит вне области активационной проводимости ДТ = F^.

щей уравнение Больцмана. Прежде всего будем считать, что для рассеяния иа акустических и оптических фононах справедливы простейшие выражения

(4.80)(4.80)так* = ^ак^дИЩ^/)'7^ Зр *С/ 2<Z>*,

(4.80)

(4.80)

. у <vy^ + W(, _+. у <vy^ + W(, _+(4.81)(4.81)

. у <vy^ + W(, _+

. у <vy^ + W(, _+

(4.81)

(4.81)

где 2 — деформационный потенциал для соответствующей моды, р — поверхностная плотность в слое с эффективной толщиной <z>, с — соответствующая скорость звука, х = Е/квТ, xR = hwR/kRT, 9 — единичная ступенчатая функция, wR — частоты соответствующих фононных мод, a Nr — их числа заполнения. Эффективная толщина <z>, входящая в выражение для поверхностной плотности, не определена достаточно точно, но приблизительно равна zcp (см. также § 4 данной главы). Для случая теплых электронов при низкой температуре, когда существенно только акустическое и упругое рассеяние, Хесс и Са [741] показали, что функция распределения является приблизительно максвелловской. При больших значениях FD, когда электронная температура такова, что большое число электронов имеет энергию, превосходящую hwR, существует отклонение от максвелловского распределения при Е = hu>R. Среднее отклонение энергии от квТ равно

Д = <£ - квТ) = \, (4.82) \ dt /

(4.83)(4.83)где тЕ — энергетическое время релаксации, а (^) = e^D= eP(fD

(4.83)

(4.83)

(4.84)(4.84)Изменение подвижности описывается приведенной выше формулой (4.79). При этом приближенно

(4.84)

(4.84)

/3 = e(dn/dE}rE.

Данное соотношение должно выполняться в пределе FD — 0. Используя эти аргументы, Хесс и Са [741] получили, что для рассеяния на акустической моде

,4-85)

Таким образом, в пределе слабых тянущих полей разность (Ге — Г) должна меняться как F^ Для оптических мод

lhpcRlhpcR(4.86)(4.86)

lhpcR

lhpcR

(4.86)

(4.86)

Авторы нашли, что на поверхности (НО) для максвелловского случая 0 должно уменьшаться от значения, близкого к 10-8 см2/В2 при 50 К, до 10-9 см2/В2 при 230 К. Если существенно рассеяние на оптических модах, то 0 приблизительно постоянно и имеет порядок 10-7 см2/В2.

Фэнгом и Фаулером [519] были получены результаты, по-видимому, противоречащие изложенному выше. При 4,2 К и малых значениях W,(< 1012 см) они получили 0 = 10“2 см2/В2.

Однако эти данные относятся к области, где наблюдаются явления локализации (см. § 1 гл. 5), так что использованные выше аргументы здесь вряд ли уместны. Кроме того, прй всех исследованных значениях N$ авторы получили, что (Те — 7) пропорционально Fq (рис. 70 и 71). Здесь несомненно требуется дальнейшая экспериментальная и теоретическая работа.

Предполагая независимость /3 от VG, Хесс и Са [741] экспериментально обнаружили, что на поверхностях (110) 0 пропорционально подвижности ц, как и следовало ожидать из уравнения (4.84). Они получили, что при 77 К /?<100> = (5 ± 2) ■ 10~8 см2/В2 и /?<110> = (2 ± 0,6) х х 10-8 см2/В2, в то время как g<100> = 4000 см2В~ *с~ 1 и м<п0> = 2800 см2В-’с-1. Это находится в разумном согласии с изложенным выше. Как указали авторы, изменение заселенности высших подзон при этом не принималось во внимание. Для такого допущения следовало бы иметь нетривиальное основание, поскольку на самом деле задача должна решаться самосогласованно и энергетическое распределение может оказаться серьезно нарушенным. Авторы сделали грубую оценку эффектов изменения заселенности и заключили, что для исследовавшегося случая они малы. При использовании такого приближения необходимо знать температуру Дебая 6R = Йы^. Для рассеяния /-типа (две долины, ориентированные вдоль различных осей) Хесс и Са использовали значения 6] = 670 К и 62 = 190 К [1331]. Для констант деформационного потенциала считалось Н| = 17,6 эВ, 32 = 7,4 эВ, но здесь имеется некоторая неопределенность.

Фэнг и Фаулер [519] измеряли также скорости электронов в очень больших полях (вплоть до 5 ■ 105 В/см). Чтобы минимизировать изменение концентрации носителей вдоль канала, они использовали толстые пленки окисла и относительно малые расстояния между истоком и стоком. Для этой же цели другими авторами [318] использовался резистивный затвор, вдоль которого создавалось должным образом подобранное падение напряжения (эффекты изменения Аобедн при этом не исключаются). Полученные результаты весьма сходны с данными других работ [1577, 1728] (в первой из них исследуются свойства дырок) и демонст-

Рис. 72. Типичная полевая зависимость дрейфовой скорости электронов на поверхности (100) при 300 К [519]. Образец имеет удельное сопротивление 100 Ом ■ см, длину канала 10 мкм, толщину слоя подзатворного окисла 1 мкм и концентрацию носителей Ns = 6,6 • 1012 см-2. Две совокупности данных, различающиеся при больших полях, соответствуют нескорректированным результатам (кружки) и результатам, содержащим приближенные поправки на небольшое возрастание концентрации носителей вблизи стока при больших стоковых напряжениях (крестики).

Рис. 73. Сравнение теоретических предсказаний Хесса и Са (сплошные линии) для насыщения электронной скорости в двух направлениях на поверхности (100) с экспериментом (пунктир) [741, 742]. 1 —направление <110), 2— направление <010). По оси ординат отложено а/а0 или ^/д0- Экспериментальные результаты взяты нз работы Фэнга н Фаулера [519].

рируют насыщение скорости в очень больших полях. Типичные результаты [519] показаны на рис. 72. Они показывают поведение проводимости, усредненной по всем направлениям на поверхности (100). Однако между различными экспериментами существуют количественные

Рис. 74. Сравнение теоретических предсказаний Накамуры [1269] с экспериментальными данными \Nnmiki М., Kawaji S., неопубликованные результаты] для электронов на поверхности (100). Ns = 1012 см-2; а — Т = 77 К; б—Т = 300 К. Пунктирные линии — одноподзонное приближение, сплошные линии — расчет с учетом высших подзон.

Рис. 75. Зависимость дрейфовой скорости идр от тянушего поля для электронов в инверсионном и-слое [148]. Т = 300 К. Представлены расчетные кривые работ [741, 742] (/) и работы [148] (2), выполненной с помощью метода Монте-Карло, а также экспериментальные результаты работ [1577] (кривая 3 — для двух напряжений на затворе) и [519] (кривая 4).

расхождения. Недавние измерения Купера и Нельсона [338] дают более высокие значения для скорости насыщения (см. также [1261]). Причина различий еще не выяснена.

Хесс и Са [741], учитывая подзоны Ео и Ео-, а фононы только/-типа, с помощью изложенных выше аргументов смогли с определенным успехом объяснить результаты Фэнга и Фаулера [519] в сильных полях (рис. 73). Впоследствии [530] было проведено рассмотрение, учитывающее подзоны Ео, Ео. и Е{ и фононы шести типов. В работе [1269] выполнены несколько более сложные вычисления и сопоставлены с экспериментом [Namiki N., Kawaji S., неопубликованные результаты] (рис. 74). Проводились также расчеты по методу Монте- Карло [148]. Результат их сравнения с экспериментом показан на рис. 75. Видно, что экспериментальные кривые лежат ниже теоретических. Наилучшее согласие с экспериментальными результатами было получено в работе [530].

Скорость насыщения для поверхности (100) при 300 К имеет несколько меньшее значение (-6 • 106 см/с), чем в объеме образца (~ 107 см/с) [240]. На первый взгляд это может показаться удивительным, поскольку можно было бы ожидать, что электроны, имея вблизи об-

Рис. 76. Зависимость тока стока ID от напряжения на нем VD при 4,2 К [1728]* Канал ориентирован в направлении [ПО] на поверхности (100)51. Измерения проводятся спустя 70 нс после прохождения фрон'га импульса. Цифры у кривых указывают напряжение на затворе в вольтах.

ласти насыщения высокую температуру (-1000 К), ведут себя почти как объемные и находятся столь далеко от поверхности, что поверхностные эффекты минимальны. Тем не менее из-за изменения потенциала по нормали к поверхности усредненное по этому направлению распределение энергии электронов может оказаться иным, чем в случае постоянного потенциала.

Существует заманчивая возможность получения отрицательного дифференциального сопротивления, аналогичного наблюдаемому в массивном GaAs в,случае, когда электроны, нагретые в подзоне Ео, перетекают в подзону Ео,, имеющую большую эффективную массу и меньшую подвижность. Такой эффект впервые наблюдался в работе [877] и продолжал изучаться в дальнейшем [740, 1305, 1728]. В экспериментах к стоку прикладывалось импульсное напряжение и в определенное время измерялся ток стока для различных VD, как это, к примеру, показано на рис. 76. Примечательно, что эти (а также и все другие) опыты дают для времени релаксации, приписываемого межподзонным переходам, значение порядка 10 — 50 нс. Если такие переходы имеют место, следовало бы ожидать для них значительно меньших значений времени — порядка 10 пс и менее. Подобное интуитивное впечатление подтверждается и расчетами [360, 1235]. Авторы работы [1728] после обширной серии измерений пришли к выводу, что релаксация связана с разогревом решетки. Эффекты электронного перетекания могли бы быть обнаружены при СВЧ-измерениях теоретически предсказанных [541] эффектов электронного разогрева, но пока сведений об этом не имеется.

Интересное применение эффектам горячих электронов нашли Горник и Цуи [649 — 653, 1821]. Они наблюдали световое излучение, связанное с переходами электронов, заброшенных за счет разогрева в высшие подзоны или на высшие уровни Ландау, и с возбуждением плазмонов. Из-за слабости подобного излучения измерять его спектр с высоким разрешением затруднительно, но приблизительное соответствие с ожидаемыми энергиями переходов имеет место.

Таким образом, эффекты горячих электронов приближенно описываются простой теорией. Можно надеяться, что их исследование приведет к лучшему пониманию фононного рассе

яния.

ГЛАВА 5. АКТИВАЦИОННЫМ ПЕРЕНОС

АКТИВАЦИОННАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ВБЛИЗИ ПОРОГА

Введение

Исследование эффектов разупорядочения, хвостов плотности состояний и переходов металл — полупроводник в трехмерных системах уже давно вызывает интерес (см. монографии Мотта и Дэвиса [1249, 1255]). Мы рассмотрим аналогичные эффекты вблизи краев зон в инверсионных слоях. Как уже говорилось, достоинством этих объектов является возможность управления такими параметрами, как EF и N?

Известно, что в системе Si — SiO2 как в толще окисла, так и вблизи границы имеются «встроенные» заряды. Такие заряды могут создавать дискретные связанные состояния [518, 634, 1705] (см. § 5 гл. 2 и § 3 настоящей главы) или случайные флуктуации поверхностного потенциала, схематически показанные на рис. 77*\ Если флуктуации в основном являются крупномасштабными, то к по-прежнему может служить хорошим квантовым числом для электронов в минимуме потенциала. В этом случае можно ожидать, что при таких напряжениях, когда еще существуют изолированные «озера» или же целые сети из электронов, их поведение будет описываться классической теорией протекания. Если доминируют мелкомас-, штабные флуктуации, то электроны с наинизшими энергиями могут локализоваться в потен-=, циальных ямах, пока плотность электронов не превысит значений, отвечающих критерию Иоффе — Регеля kFl = 1/2тг(/— длина свободного пробега) [1249], после чего электронные волновые функции станут делокализованными. Во всяком случае, средняя по площади плотность состояний уже не испытывает резкого скачка до постоянного в двумерном случае значения gjn/vh1, где gv — кратность долинного вырождения. Вместо этого имеется хвост плотности состояний, изображенный на рис. 78. Мотт [1245] предположил, что электроны с энергией, меньшей некоторого значения Ес, названного краем подвижности, являются локализованными; выше Е они свободны или по крайней мере делокализованы.

В этом параграфе будут рассмотрены экспериментальные доказательства наличия сильной локализации. Проводимость в этой области связана с термической активацией. В § 2 обсуждается логарифмический режим слабой локализации. Следует отметить, что в области как слабой (логарифмической), так и сильной (активационной) локализации все еще остается много нерешенных вопросов.

Мотт [1248] и Стерн [1693, 1694] высказывали предположение, что наблюдавшаяся Фэн- гом и Фаулером [518] активационная проводимость связана с андерсеновской локализацией. Этому вопросу уже посвящен ряд обзоров [19, 1257, 1398, 1409, 1419], но большой объем экспериментальных работ еще предстоит выполнить. Исследованные образцы значительно от-

*> Теория флуктуационного потенциала, создаваемого зарядами в окисле и на границе полупроводник — окисел, развита в работе Гергеля и Суриса [613]. —Прим.перев.

-МаА^Н^Ы^1-.б-МаА^Н^Ы^1-.б

-МаА^Н^Ы^1-.б

-МаА^Н^Ы^1-.б

Рис. 77. Крупномасштабные (а) и мелкомасштабные (б) флуктуации краев энергетических зон. Показан уровень Ферми для случая, когда можно ожидать наличия электронной локализации.

личаются друг от друга, и нельзя выделить совокупность сходных образцов, на которых были бы выполнены все разнообразные эксперименты. Следовательно, не всегда можно уверенно говорить о взаимосвязи различных экспериментальных результатов.

Известны два типа поведения измеряемой проводимости, которые принято связывать с флуктуациями заряда в окисле вблизи границы Si — SiO2. Оба они характеризуются активационной температурной зависимостью тока при Ns £ 10|2см~2 и интервале температур от 2 — 4 до 50 К с энергией активации, уменьшающейся при увеличении N^ Первый случай (ниже иногда называемый «идеальным») в общем согласуется с моделью явлений переноса при переходе Андерсона, впервые предложенной Моттом и перенесенной Пеппером на двумерную систему в области термической активации [1257, 1418, 1419]. В этом случае

°=VW/kBT- (5.1)

где <7min приблизительно совпадает с предсказанным значением минимальной металлической проводимости, равным в двумерной системе 0,1е2/А. При увеличении Ns W уменьшается, но »min остается неизменной. В инверсионных слоях amin зачастую превосходит 0,1е2/й, но ни-

Еса

Рис. 78. Двумерная плотность состояний в неискаженной (а) и флуктуирующей (б) зоне. Через Ес обозначен край подвижности.

Рис. 79. Графическая иллюстрация двух типов активационной проводимости: а — «идеальная» локализация Андерсона с пересечением кривых при amin = О,1е2/Л; б — «неидеальный» случай, когда а0 возрастает с ростом N,. Точки пересечения оси ординат, как правило, соответствуют значениям, большим 0,1е2/Л.Рис. 79. Графическая иллюстрация двух типов активационной проводимости: а — «идеальная» локализация Андерсона с пересечением кривых при amin = О,1е2/Л; б — «неидеальный» случай, когда а0 возрастает с ростом N,. Точки пересечения оси ординат, как правило, соответствуют значениям, большим 0,1е2/Л.

Рис. 79. Графическая иллюстрация двух типов активационной проводимости: а — «идеальная» локализация Андерсона с пересечением кривых при amin = О,1е2/Л; б — «неидеальный» случай, когда а0 возрастает с ростом N,. Точки пересечения оси ординат, как правило, соответствуют значениям, большим 0,1е2/Л.

Рис. 79. Графическая иллюстрация двух типов активационной проводимости: а — «идеальная» локализация Андерсона с пересечением кривых при amin = О,1е2/Л; б — «неидеальный» случай, когда а0 возрастает с ростом N,. Точки пересечения оси ординат, как правило, соответствуют значениям, большим 0,1е2/Л.

когда не бывает значительно меньше этого значения. Такое идеализированное поведение показано на рис. 79,а. Второй случай (иногда называемый «неидеальным» за его несогласие с моделью Мотта — Пеппера) характеризуется тем, что с ростом Ns предэкспонента «0 растет, в то время как W так же, как и в первом случае, уменьшается. Такое поведение было приписано наличию крупномасштабных флуктуаций заряда в окисле [106, 107], благодаря которым проводимость осуществляется путем классического протекания по одно- или двумерным металлическим путям и (или) с помощью термической надбарьерной активации 'К

Ниже мы обсудим экспериментальные свидетельства в пользу мелко- или крупномасштабных флуктуаций (т.е. «идеальной» или «неидеальной» модели), затем влияние смещения на подложке, эффект Холла и различные другие вопросы. Совсем недавно роль крупно- и мелкомасштабных флуктуаций была проанализирована авторами работы [638]. Их теория в общем подтверждает идею о том, что рост пространственного масштаба флуктуаций уменьшает степень идеальности системы.

Переход Андерсона

В 1958 г. Андерсон доказал, что если в модели сильной связи с шириной зоны В ввести флуктуации ± Ид/2, то при превышении параметром Vo/B некоторого критического значения все электроны будут локализованы. В работах Мотта [1245, 1246] было показано, что элек-

•> В работах Вула и Заварицкой была исследована температурная зависимость электропроводности поверхности скола (111) германия л-типа [55] и слоя, примыкающего к плоскости (100) сращивания би- кристаллов германия с углами наклона от 9° до 25° [56]. В обоих случаях установлено, что у образцов с поверхностной электропроводностью о < amm = e2/h электропроводность активационным образом меняется с температурой, тогда как у образцов с а > amin зависимость электропроводности от температуры является более слабой (типа а - In Г), а при температурах ниже 100 мК в бикристаллах о = const. См. также более ранние работы авторов [1927 — 1930, 14, 15, 18, 57 — 60]. — Прим.ред.

троны вблизи краев зоны будут локализованы, даже если все электроны в зоне и не являются локализованными. Мотт ввел понятие о крае подвижности при энергии Ес, по которой проходит граница между локализованными электронами с волновыми функциями, спадающими по закону ехр( — аг), и электронами в делокализованных состояниях с малыми длинами свободного пробега. При энергиях, превосходящих Е , электроны движутся диффузионно, а при меньших энергиях их движение может осуществляться лишь путем термически активированного туннелирования на соседний узел [12041 или путем термического возбуждения в состояния над краем подвижности. Мотт предположил, что при пересечении уровнем Ферми EF края подвижности Ес проводимость при Т = 0 скачком падает до нуля. Происходит так называемый переход металл — полупроводник.

Пеппер [1257] модифицировал моттовский вывод для минимальной металлической проводимости на краю подвижности amin для двумерного случая и получил

(5.2)

.где г — число ближайших соседей. Таулесс [1762] показал, что на краю подвижности V^/B = 4/3, так что в этой относительно грубой модели amin приблизительно равно 0,07е2/й или 1,8 • 10~5 См. Машинное моделирование [1107 — 1109] дает amin = 0,12е2/й = 2,9 X X 10~5 См.

Мотт полагал [1247], что выражение (5.1) справедливо в промежуточной области температур ниже края подвижности. Если подходить к задаче, считая, что электроны имеют вблизи края подвижности некоторую фиксированную подвижность и плотность состояний D(Ec),

Рис. 80. Зависимость логарифма проводимости от 1/Т [1452]. Концентрация носителей^ (пропорциональная VG — VT) изменяется от 1010 до 10й см-2. Кривая 1 соответствует напряжению на затворе VG = 0,5 В и энергии активации W = Ес — EF = 16,0 мэВ; 2 — VG = 0,6 В, W = 3,97 мэВ; 3 — VG = 0,7 В, W = 1,80 мэВ; 4 — VG = 0,8 В. W = 1,10 мэВ; 5 — VG = 0,9 В, W = 0,64 мэВ; 6 — VG = 1,0 В, W = 0,30 мэВ; 7 — VG = 1,2 В.

Рис. 81. а — Построенная на основе рис. 80 зависимость плотности локализованных состояний D(E) от разности энергий между краем подвижности и уровнем Фермн Ес— Ер [1452]; б — логарифм D(E) как функция Ес — Ер.

то указанный вывод неочевиден. При этом

» - epminkBTD(Ec)expV№F - ЕсуквП. (5.3)

Вывод amin использует понятие о диффузии на краю подвижности и предполагает, по аналогии с металлами, постоянство коэффициента диффузии квТц, а следовательно, и независимость <7min от температуры. Это означает, что при (JEF — Ef) < 0 изменение числа носителей над краем подвижности носит активационный характер, а подвижность падает как Т-5. Мы еще вернемся к этому вопросу при обсуждении эффекта Холла. Точность существующих экспериментов недостаточна для определения какой-либо температурной зависимости amin.

На рис. 80 представлен один из многочисленных примеров подобного поведения проводимости [1452]. Аналогичные результаты были получены на п- и р- инверсионных слоях, в простых МОП-структурах и МНОП-приборах с памятью. Измеренные значения »mjn лежали в интервале от 1,5 до 5 • 10-5См. Это, безусловно, близко к ожидаемому значению, хотя универсальной константой amin и не оказалась.

Поскольку МОП-структура является конденсатором, то концентрация электронов в ней прямо связана с напряжением на затворе, так что величину Ns можно приближенно определять, а ее изменения измерять достаточно точно. Поэтому если плотность состояний и Ес не меняются при изменении Ns, то плотность состояний D(E) в хвосте зоны проводимости может быть получена из зависимости энергии активации (£с - EF) от Nv Такой подход, впервые предложенный в работе [23], был применен [1452] к представленным на рис. 81 данным, полученным на приборе с amin = 2 • 10-5См, содержащем 1,8 ■ 1011 см-2 локализованных электронов. Как и ожидалось [1769, 2020], плотность состояний в хвосте зоны спадает экспоненциально. D(EF) не превышает плотность состояний в невозмущенной зоне проводимости (1,6 • 1011 см-2мэВ-1.). Такой анализ, возможно, чересчур упрощен. О(£) может изменяться как из-за корреляционных эффектов [1816], так и из-за изменения флуктуаций потенциала при росте Ns, вызывающем уменьшение гср в образцах с малых N^^ В некоторых случаях величина D{E) существенно менялась на энергиях порядка квТ, хотя упомянутые эксперименты проводились при температурах ниже 10 К. Максимальная измеренная величина D(E) составляла от 50 до 75% от значения 1,6 • 1011 см-2 мэВ-1 до тех пор, пока измеряемая плотность локализованных состояний не превосходила 3 • Ю11 см-2 [23, 1419]. Однако в образцах с ббльшим числом локализованных состояний получаемая величина D(E) могла возрастать до значений, превосходящих в 20 раз 1,6 ■ 10й см-2 • мэВ [23, 1817]. В работе Цуи и

Аллена [1817]использовано понятие о корреляционных эффектах, но какой-либо модели здесь пока не существует. В известной работе Мотта с сотрудниками [1257] было высказано предположение, что захват электронов на узлы увеличивает беспорядок, т.е. возрастание случайного потенциала за счет локализованных электронов подавляет экранирование флуктуаций потенциала. Почему этот эффект должен иметь место, еще неясно. Если Аобедн мало, то рост Ns должен заглублять локализованные состояния так же, как это делает обратное смещение на подложке [1398] (см. также разд. 4 данного параграфа), поскольку при малых N^ величина zcp сильно зависит от Nr Однако корреляции этого эффекта с величиной No6em не было обнаружено.

Приводились различные соображения о плотности состояний D(EC) при переходе Андерсона. В более ранних исследованиях [1257] предполагалось, что D(EC) составляет примерно 1/5 от значения в отсутствие флуктуаций. В работе [1769] на модели белого шума было показано, что указанное отношение близко к .4/5, что лучше согласуется с измерениями, в которых максимальная величина указанного отношения в хороших образцах с малым числом локализованных электронов равнялась 0,7 [23].

Как при высоких, так и при низких температурах имеются отклонения от простой активационной зависимости. При высоких температурах это может быть связано с влиянием других подзон (см. разд. 4 § 2 гл. 4). При низких температурах, по-видимому, начинается прыжковый перенос с переменной длиной прыжка [1418, 1816]. Теория этого явления [45, 1247] опирается на теорию Миллера и Абрахамса [1204], описывающую прыжки на соседний узел внутри некоторой энергетической полосы. Миллер и Абрахамс показали, что такого рода перенос является простым активационным процессом с энергией активации, сравнимой с шириной полосы. В хвосте зоны эта ширина имеет порядок (£с — ЕР\ и потому следует ожидать, что активация до края подвижности всегда будет доминировать над прыжковым переносом через соседние узлы. Однако при достаточно низких температурах становятся выгодными прыжки на далекие расстояния с малой энергией активации и ожидаемая температурная зависимость проводимости будет представлять модификацию закона, полученного Моттом [1247] для трехмерного случая11. Она имеет вид [695, 1450]

Mo/hq) = -3av4itDyE^kBTVV1. (5.4)

Здесь »0 = — D^EF^VKaDt<E1^kBT\-V3v , D(EF) считается постоянной в интервале в несколько 4 р

квТ, а характеризует локализацию волновой функции: V- — ехр( —ar), a vp — характерная частота, определяемая электрон-фононным взаимодействием. Требование плавности изменения D(E) по сравнению с квТ в условиях рис. 81 нельзя считать сильно нарушенным [1257]. Тщательный анализ экспериментальных зависимостей для нескольких образцов [1452] (см. также [1257]) показал, чтоЧпа пропорционален — 0/т)О,32±о,о2 Типичные результаты представлены на рис. 82. При такой обработке результатов не учитывается, очевидно, никакая температурная зависимость предэкспоненциального множителя.

Если использовать значения £)(£), полученные ранее из анализа активационного режима, то по приведенным результатам можно определить величину а. Предполагалось, что она ведет себя следующим образом:

а - №с - ЕРу. (5.5)

*) Подробное изложение теории прыжковой проводимости можно найти в монографии [6/], — Прил1. перее.

Рис. 82. Зависимость логарифма проводимости от Т~х,г [1257]. Верхняя кривая — Ис = - 4,3 В, нижняя кривая — VG = - 4,6 В.

Первые эксперименты на поверхностях (111) показали, что существенно ниже края подвижности, характеризуемого резким возрастанием /?(£■), s = 0,73 ± 0,07 [1417]. Это было близко к значению s = 0,75, предсказанному в работе [8] для двумерной системы. Однако более тщательные измерения на образцах лучшего качества с меньшей концентрацией локализованных электронов [1452] показали, что s не является константой и меняется с (£с — EF) от 0,6 глубоко в хвосте зоны до величины, близкой к единице у края подвижности. Это, безусловно, означает, что зависимость а от разности энергий не является степенной. В работе Мотта [1253] утверждалось, что в двумерном случае при приближении Ер к Ес s = 1, поскольку значения 5 < 1 не согласуются с резким изменением а при Т = 0, отвечающим переходу металл — диэлектрик. Личчарделло и Таулесс [1108] получили еще ббльшие значения для s [1108], и в своей последующей работе [1111] оспаривали по крайней мере некоторые из аргументов Мотта. При больших значениях (Ес — Ер) можно ожидать, что s — 0,5 [23].

Многие из наблюдаемых особенностей в рассматриваемых образцах с «идеальной» локализацией, такие, как эффект Холла и влияние смещения на подложке, обсуждаются ниже. Проводились ли измерения на «идеальных» образцах для других, по общему мнению, аномальных эффектов, таких, как наблюдаемые ниже края подвижности магнитоосцилляции или циклотронный резонанс, пока неясно.

«Неидеальная» активационная проводимость

Как отмечалось в разд. 1, многие образцы далеко не столь «идеальны», как обсуждавшиеся выше, и их поведение не согласуется с представлениями Мотта и Пеппера о проводимости двумерных систем, испытывающих переход Андерсона. Некоторые данные по такого рода образцам, взятые из работы [32], представлены на рис. 83. Они аналогичны результатам многих других авторов [107, 329, 518, 562, 703, 1816]. Ниже будет показано, что приложение обратного смещения к подложке, приводящее к уменьшению zcp, может в ряде случаев изменить поведение образца от неидеального до почти идеального [1398].

Из рис. 83 можно видеть, что предэкспонента в активационной температурной зависи- .„„™, ^„^^ „ п^тлм м Ппя неилеального случая определить величину

Риа. 83. Зависимость логарифма проводимости от 1/7’ в неидеальном образце [32]. Кривая / соответствует Ns = = (1,8 ± 0,2) • 1011 см-2 и энергии активации НЕ = (6,9 ± ±0,7)К; 2 — Ns = (3,6 ± 0,2) • 10й см"2, ДЕ =(2,3 ± 0,5) К;

3 — Ns = (8,3 ± 0,2) • Ю11 см"2;

4 — Ns = (15,3 ±0,2) ■ 10исм-2.

«^min» значительно сложнее, поскольку само <г0 меняется с Ns. В качестве приближенной оценки берется наинизшее значение проводимости, еще не имеющее активационной температурной зависимости. Сообщалось о результатах, колеблющихся от значений, меньших 10“5 См до значений, близких к 10“3 См. Кроме того, обычно экспериментальные характеристики отклоняются от прямой, в ряде случаев напоминая зависимость, описывающую перенос с переменной длиной прыжка, но в области температур, где такой перенос вряд ли является доминирующим [703]. Именно в этих образцах наблюдались многие из аномальных эффектов, использовавшихся в качестве аргументов против гипотезы о переходе Андерсона. Здесь может работать другой механизм.

В работе Арнольда [107] подобное «неидеальное» поведение связывалось с наличием крупномасштабных (макроскопических) флуктуаций заряда в окисле и поверхностного потенциала. Автор пытался объяснить полученные результаты в терминах квазиклассической теории протекания, что неизбежно связано со многими предположениями и допущениями. Он полагал, что вблизи (и даже ниже) порога образуются озера носителей, вначале не связанные. При Г = 0 К они находятся ниже порога протекания и проводимость может осуществляться только путем туннельного или активационного преодоления промежуточных барьеров. (Автор предположил, что наличие структуры на кривых для подвижности эффекта, поля, наблюдавшейся в работах [781, 1387, 1774, 1892, 1925, 1926], может быть объяснено резонансным туннелированием.) Даже при больших средних значениях Ns, когда при Г = 0 К существуют пути протекания, термическое надбарьерное возбуждение при конечных температурах может создавать новые токовые пути. Арнольд (так же, как Брюс [212, 213, 216, 217] и Стерн [1693, 1694]) предположил, что распределение по поверхности заряда в окисле описывается формулой Пуассона, что приводит к наличию озер с размерами порядка сотен ангстрем и больше. Предположение является спорным, но проводимость при этом поддается вычислению. Арнольд показал, что если средняя проводимость в металлических областях равна gxVEF\ то

g^E К) =181^^ expt^F ~ И/квТ\, V > EF; (5 6)

F’ V < EF

Рис. 84. Логарифм эффективной подвижности д^ в единицах д0 = 400 см2 В*1 с~1 (значение д при Ns = 1,6- 10|2см~2) [107]. Ns имеет следующие значения: 7 — 4,8 • 10й; 2 — 6,7 ■ 10й; 3 — 8,4- 10й; 4—1,2 - 10,2см-2. Сплошные кривые — результаты теории эффективной среды.

(Г — локальная энергия края эоны), а проводимость в диэлектрических областях

8\/ °2Ef\ г ( EF, ° \

(5.7)(5.7)82\ Ы2^ + Т^) V V2o^квт) ’

(5.7)

(5.7)

где а — дисперсия потенциала, а е — доля пространства, занимаемая проводящими областями. Далее для определения температурной зависимости проводимости использовалась теория протекания [949]. При конечных температурах

(5.8)(5.8)8 = | (2р - 1)&, - g^ + R (^ “ 1)2^? ~ 822 + ^2)

(5.8)

(5.8)

где p(EF)— доля поверхности, занимаемая металлическими областями, обращающаяся при Г = 0 в константу. Эти выражения сравнивались с экспериментальными результатами для образца с плотностью заряда в окисле 6 • 10*1 см-2 (рис. 84) в предположении единой постоянной подвижности во всех проводящих областях. Следует заметить, что при этом получается разумное согласие и что зависимости во всей области имеют некоторую кривизну, так что при низких температурах энергия активации уменьшается. В работах [1655, 1656] при низких температурах (< 1 К) наблюдалось насыщение проводимости на уровне, уменьшающемся с ростом Ns. Это может соответствовать ситуации, когда проводимость за счет теплового преодоления барьеров уже не играет существенной роли, и означало бы, что порог протекания имеет место при Ns, существенно меньших, чем значения, достигаемые при наблюдаемой минимальной металлической проводимости. Однако пока еще нельзя утверждать, что это насы-

щение не является ложным экспериментальным эффектом, связанным с шумовым нагревом электронов. Наблюдаемый на опыте закон, отвечающий переносу с переменной длиной прыжка, не вытекает из теории Арнольда и, как отмечалось, согласие теории и эксперимента может быть случайным.

Описанная модель достаточно удачно объясняет результаты измерений проводимости в неидеальных образцах. Однако, как будет видно ниже, при сопоставлении модели с другими экспериментами возникают серьезные проблемы. Практически понятие о минимальной металлической проводимости в образцах рассматриваемого типа весьма расплывчато, поскольку зависимости 1па(7 ') не имеют общей точки пересечения, а квТ значительно превосходит энергию активации вблизи «края подвижности». Подобная неопределенность проявляется при сравнении значений «минимальной металлической проводимости», полученных в различных лабораториях на разных образцах [19] (см. рис. 85). Авторы работ [703, 704] на основании своих результатов сделали вывод, что amin - А^0,5, однако в работе [19] утверждается, что на самом деле показатель степени близок к —0,85. Там же показано, что для многих образцов <70 — Ng2. Пеппер доказал [1398], что этот результат получен лишь для случая, когда локализованный заряд превышает заряд в окисле. В общем случае рост заряда окисла в образцах этого типа ослабляет зависимость величины отсечки а0 от N^ Это означает, что образцы становятся более близкими к идеальным и <jmin приближается к 0,1е2/Й. Число локализованных состояний, т.е. Ns, при а = amin с ростом NOK имеет тенденцию к росту. Согласно данным работы [703], эта величина пропорциональна N1^..

Влияние смещения на подложке

Приложение смещения к подложке позволяет изменять поле на границе Si — SiO2, а следовательно, и величину гср независимо от Ns, поскольку напряженность поля есть функция как Аобедн, так и N^ При этом электроны могут двигаться ближе или дальше от зарядов в окисле, создающих флуктуации поверхностного потенциала. Для изучения их влияния в режиме активационной проводимости и было использовано смещение на подложке [562, 1051]. При этом неожиданно обнаружилось [562], что при более тесном прижатии электронов к поверхности происходит возрастание, а не уменьшение проводимости. Как отмечалось в гл. 4. прижимая электроны к поверхности, мы увеличиваем роль всех механизмов рассеяния, обычно существенных при Ер > Ес. Эти эффекты дополнительно изучались в работах [329] и в особенности [1398]. Было обнаружено [562], что в неидеальных образцах с ростом обратного смещения на подложке проводимость возрастает, выходя на насыщение. Исключение представляет лишь область малых АДс 10*1 см-2). Кроме того, при постоянном Ns энергия акти-

Рис. 85. Зависимость наблюдаемой минимальной металлической проводимости от полного числа положительных зарядов в окисле N0K [19]. Наклон кривой соответствует показателю степени — 0,85. Данные азяты из работ [19, 704, 1418, 1817].

Рис. 86. Зависимость эффективной подвижности электронов от их концентрации в инверсионном слое при 4,2 К [562]. Концентрация легирующей примеси Na = 1,36 х х 10*5 см-3, а концентрация зарядов в окисле 2V0K = 9,1 ■ IO’cm-2. Кривые, начиная с самой нижней, соответствуют напряжениям смещения на подложке Кподл = I, 0, -1, — 2, —4, —8, —16 и —32 В. При высокой концентрации все кривые совпадают.

вации уменьшалась с ростом обратного смешения. Эти результаты показаны на рис. 86. В работе [329] иа иеидеальных образцах были получены аналогичные результаты для электронов и несколько отличные — для дырок. Фаулер предположил [562], что описанный эффект может быть обусловлен хвостами плотности состояний высших подзон, сдвигающихся вверх с ростом обратного смещения.

В работе Пеппера [1398] было установлено, что некоторые исходно неидеальиые образцы при прижатии носителей к поверхности проявляли свойства, очень близкие к идеальным. И наоборот, идеальные образцы становились неидеальными при приложении к подложке прямого смешения, оттягивающего носители от поверхности, что показано для дырок на рис. 87, а для электроиов иа рис. 88. В последнем случае при оттягивании электронов от поверхности наблюдаемое число локализованных состояний, по-видимому, возрастает. При ^обедн “ 0 активационные кривые снова сходятся в точку, но уже соответствующую значению проводимости, существенно большему, чем 0,1е2/й. Влияние смещения на подложке оказалось наиболее сильным в образцах, ие обладающих радиационной стойкостью [1398, 1402]. Такие образцы содержат вблизи границы раздела большое число нейтральных ловушек, при облучении захватывающих положительный заряд. Были обнаружены аналогичные нейтральные ловушки и для электронов [2003]. Они создаются после такого же отжига, как и для образцов с малой радиационной стойкостью. Одни н те же центры могут быть как электронными, так и дырочными ловушкйми, хотя взаимосвязь между ними экспериментально не исследовалась. Помимо этого, исследования металлической проводимости (гл. 4) говорят о

Рис. 87. Влияние смещения на подложке на р-канальиый МОП-транзистор [1398]. NM = 10м см 2. Кривые различаются значениями концентрации носителей Ns [см-2] = 2 ■ 10м VG [В] и энергии активации W. а — Гподл = +20 В: 1 — Ns = 2 ■ 10|0см-2, W = 8,3 мэВ; 2 —Ns = 4 • Ю10см-2, W = 3,3 мэВ; 3 — Ns = 6 ■ 1010 см-2, W = 2,2 мэВ; б — Иподл = - 0,6 В: 1 —Ns = 2 • 1010 см-2, W = 4,45 мэВ; 2 —Ns = 6 • Ю10см-2, W = 3,3 мэВ; 3 —Ns = 10м см-2, W = 2,67 мэВ.

наличии в системе нейтральных рассеивателей малого радиуса. Пеппер предположил [1398], что речь идет о диполях, возможно обладающих короткодействующим потенциалом. Их число может на порядок величины превосходить суммарное количество положительных зарядов в окисле. Была высказана идея, что при нахождении электронов далеко от границы флуктуации создаются главным образом дальнодействующими потенциалами одиночных зарядов, а при приближении к границе доминирует вклад диполей. Подобная модель могла бы объяснить наличие крупномасштабных флуктуаций и неидеальное поведение системы при умеренных N0K, сменяющееся идеальным либо в случае, когда N0K значительно превосходит число нейтральных центров, либо когда NOK мало, но No6enH таково, что ббльшая часть флуктуаций обусловливается диполями. Для очень слабо легированных подложек такой переход может произойти при увеличении Ns, поскольку /Vo6eflH мало. Рассматриваемые нейтральные центры могут захватывать и дырки, и электроны [384], и было бы интересно исследовать влияние этого эффекта на процессы переноса. Одним из проявлений захвата дырок должно быть увеличение измеряемой на опыте плотности поверхностных состояний.

Было также обнаружено, что если при изготовлении образцов принять меры для уменьшения концентрации нейтральных центров (дырочных ловушек, диполей) на границе раздела, то обычно наблюдаемое аномальное влияние смещения на подложке не проявляется. Прижатие электронов к поверхности слегка уменьшает проводимость. Данных об изменении энергий активации, плотности состояний или параметров локализации не имеется.

Рис. 88. Влияние прямого смещения иа подложке на л-каиальиый МОП-транзистор [1398]. Na = 2 ■ 1015 см-3; N$ [см-2] = 7,5 • 10ю VG [В]; NOK = 1,7 • 10й см-2, а — Ипопл = 0; кривые, начиная с вижней, соответствуют концентрациям электронов N, = 0,9; 1,1; 1,3; 1,5; 1,8; 2,3; 2,7; 3,4 • 10й см-2 и энергии активации W = 6,7; 4,0; 3,3; 2,7; 2,0; 1,7; 1,3; 1,0 мэВ; б— Иподл = + 0,4 В; N, = 1,2; 1,6; 2,0; 2,3; 3,0; 3,7; 4,4; 5,0 • 10й см-2, Ж = 6,8; 4,3; 3,8; 2,5; 2,1; 1,8; 1,4; 1,05 мэВ; в — Гподл = + 0,8 В; ^ = 0,9; 1,7; 2,1; 3,2 • 10» см-2,W = 5,7; 3,6; 2,2; 2,1 мэВ;

г —= + 1,1 В; N. = 1,6; 2,0; 2,8; 3,2; 4,0; 4,8 ■ 10“ см-2, W = 6,7; 5,0; 3,0; 2,1; 1,7; 1,1 мэВ.

Рис. 89. Температурная зависимость холловской подвижности цн в структуре с р-каналом, демонстрирующая активационный характер цн в изучаемом неидеальном образце [106]. Кривые различаются значениями концентрации электронов Ns и энергии активации IF: 1—NS = 4,7 • 10й см-2, W = 1,23 мэВ; 2 — Ns = 6,5 • 10" см"2, W = 0,542 мэВ; 3 — Ns = 8,3 • 10й см"2, W = 0,245 мэВ; 4 — Ns = 1,2 • 1012см-2, W = 0,066 мэВ; 5 — Ns = 1,6 х х 1012 см*2, W = 0.

т, Кт, КСам обедненный слой также может быть источником флуктуаций (и, как говорит статистика, достаточно крупномасштабных). В согласии с работами [939, 940] можно ожидать, что пространственный масштаб этих флуктуаций возрастает с ростом Л^обедн, что не согласуется с результатами Пеппера. В качестве масштаба длины в работах [939, 940] бралась толщина слоя обеднения. Если бы более подходящей величиной была гср, то сделанный вывод существенно изменился бы.

т, К

т, К

Таким образом, нельзя утверждать, что результаты измерений со смещением на подложке всегда не укладываются в рамки развитых выше представлений о двух основных типах образцов с крупно- и мелкомасштабными флуктуациями. Обобщение теории Арнольда [107] на случай наличия смещения на подложке еще не проводилось. Недавние расчеты [638], в которых авторы учли пространственный масштаб флуктуаций с целью согласовать поведение «идеальных» и «неидеальных» образцов, также еще не сопоставлялись с данными по смещению. Было бы интересно убедиться, что размер флуктуаций действительно уменьшается при отрицательном смещении на подложке.

Эффект Хоппа

С тех пор как было показано [106], что активационной температурной зависимостью обладает не концентрация носителей (ecRH)”x, определяемая из эффекта Холла, а холловская подвижность (см. рис. 89), эффект Холла в активационном режиме считается аномальным.

Рис. 90. Зависимость холловской концентрации дырок NH = (ecRH)""' от эффективной концентрации N^ = = С0К(Гс- Иг) [111]; Т= 1,7 К.

Позднее было установлено [111], что в этих неидеальных образцах величина (ecR^-1 при уменьшении Ns испытывает аномальное возрастание, в чем-то похожее на переход в металлическое состояние (см. рис. 90). В этой области холловская подвижность стремится к нулю, но проводимость остается конечной. Сходный, но более слабый эффект наблюдался и в образцах, считавшихся идеальными [1453]. Аналогичным образом вели себя структуры, в которых за счет наличия ионов Na+ величина N0K была относительно велика (7 ■ 10п см-2) [1408, 1409]. В этом случае, как показано на рис. 91, указанное возрастание холловской концентрации исчезает, если за счет смещения на подложке электроны теснее прижимаются к поверхности, и поведение образца становится более близким к идеальному. Кроме того, при наличии обратного смещения tecR^-1 ведет себя именно так, как следует из интуитивных представлений о необходимости активации до края подвижности: (ecRH)-1 < Ns при а < <rmin и VecRHVX = Ns в области металлической проводимости. Сильная температурная зависимость подвижности при этом ослабляется, так что в активационном режиме основным источником температурной зависимости проводимости является, по-видимому, концентрация носителей. Таким образом, создается впечатление, что в предварительных опытах смещение на подложке устраняет аномалию эффекта Холла в идеальных образцах, хотя для надежных выводов требуется большее количество данных.

Случай крупномасштабных флуктуаций по-прежнему представляется аномальным. При Т = 0 К величина (ecRH}~ 1 должна принимать значение, характерное для металлических областей [843]. При повышенных температурах, когда проводимость определяется надбарьерной

активацией, по нашему мнению, теории эффекта Холла не существует вообще и тем более нет каких-либо расчетных результатов, близких к данным экспериментов1^.

Следует отметить, что в работах Эдкинса [19, 20] делаются существенно иные выводы.

Другие эксперименты

В работе [1816] было обнаружено, что эффект магнитоосцилляций сохраняется и в активационном режиме. При этом следует помнить, что эти эксперименты проводились на неидеальных образцах. Если бы они описывались моделью крупномасштабных флуктуаций Арнольда [107], существование циклотронных орбит в металлических электронных озерах не вызывало бы удивления. Однако следовало бы ожидать значительного размывания осцилляций, поскольку маловероятно, чтобы все озера характеризовались одной и той же величиной As. Сообщений об измерениях магнитоосцилляций при а < amin в идеальных образцах нам не известно.

В опытах по циклотронному резонансу ситуация аналогична. Явных доказательств наличия аномального явления — существования циклотронного резонанса в идеальных образцах — нет. В некоторых работах температурная зависимость проводимости не измерялась и только считалась активационной. Кроме того, в результатах различных авторов [13, 938, 1007, 1931 — 1933, 1935, 1936] все еще имеются разногласия. Приложение смещения к подложке в указанных экспериментах могло бы прояснить ситуацию.

В работе [32] были проведены очень поучительные и сложные измерения на образцах с удельным сопротивлением 25 Ом ■ см, проводимость которых представлена иа рис. 83. Опыты проведены на частотах от 0 до 1012 Гц. Результаты измерений показаны иа рис. 92. При больших Ns они хорошо описываются формулой Друде

а^ =а^ =ЛГе2т1 + <AVЛГе2т1 + <AVРис. 91. Зависимость NH = (ес/?я)-1 от Ns при 4,2 К для двух различных напряжений на подложке [1408]: а - Гподл = 0; б - Гподл = - 15 В. Стрелка соответствует проводимости 3 • 10”5 См

а^ =

а^ =

ЛГе2т

1 + <AV

ЛГе2т

1 + <AV

(0,12 e^/hY

11 В работе [1617] построена теория проводимости и эффекта Холла в поверхностных каналах с крупномасштабными флуктуациями и показано, что наблюдаемые аномалии могут быть связаны с различием эффективных концентраций, входящих впив RH. — Прим.ред. ,

Рис. 92. Частотная зависимость проводимости при 1,2 К [32]. Кривые соответствуют тем же самым условиям, что и на рис. 83, откуда взяты значения стационарной проводимости, обозначенные треугольниками. Светлые

кружки — данные, полученные с помощью инфракрасного спектрометра, темные кружки — из СВЧ-измерений. Сплошные кривые получены по формуле Друде, выведенной на основе стационарной проводимости, экстраполированной к Т~1 = 0 при указанных значениях N,. а — Ns = (15,3 ± 0,2) • 10м см-2, г = 4,8 ■ Ю"13 с; б — Ns = (8,3 ± 0,2) ■ 10й см"2, г = 4,5 ■ 10"13 с; в — Ns = (3,6 ± 0,2) • 10» см-2, т = 4- 10“13 с; г — Ns = (1,8 ± 0,2) ■ 10» см"2, г = 2,2 - 10"13c.

Значение времени релаксации т, используемое при сопоставлении кривых, может быть определено при ш = 0. При активационной проводимости в неидеальных образцах т определяется по отсечке кривых рис. 83 (т.е. при Т~х = 0 и ш = 0). За исключением вполне объяснимого разброса точек, экспериментальные данные согласуются с кривыми Друде при частотах, несколько больших, чем частоты, отвечающие соответствующим энергиям активации в проводимости на постоянном токе. При меньших частотах проводимость круто цадает к своему стационарному значению. Авторы считают, что эти результаты не находят объяснения в модели макроскопических флуктуаций из-за закорачивания барьеров при промежуточных частотах или же что неоднородности должны быть чрезмерно велики по сравнению с неоднородностями в других, меньших образцах, характеризующихся таким же поведением проводимости. Таким образом, обсуждаемые эксперименты, вероятно, противоречат всем ранее высказанным соображениям относительно неидеальных образцов.- Одним из возможных объяснений здесь является предположение о том, что образцы находятся существенно выше порога

протекания при 7" = 0, так же, как, возможно, и в работе [1655]. В этом случае основная часть образца будет проводящей и возможно существование больших металлических электронных озер. По-видимому, описанный эксперимент является пока единственным в своем роде, и потому важно продолжать исследования, опираясь на новые представления, возникшие уже после появления работы [32].

В работе [778] в модели микроскопической локализации была развита теория частотной дисперсии проводимости, приводящая к зависимостям, аналогичным изображенным на рис. 92. Одним из параметров теории является показатель степени s, определяющий поведение радиуса локализации (см. выражение (5.5)). Автор нашел, что наилучшее согласие достигается при s = 0,75, что коррелирует с ранними теоретическими [8] и экспериментальными [1417] исследованиями, но противоречит более поздним результатам работы [1452].

Следует заметить, что уже при очень слабых полях между истоком и стоком (вплоть до 10~3 В/см в активационном режиме) могут начинаться отклонения от закона Ома. В эксперименте этот эффект должен устраняться и (или) исследоваться. Обзор данной проблемы имеется в работе [1409].

Резюме

Если не упоминать результаты частотных измерений [32], то можно говорить о наличии в рассматриваемых неупорядоченных системах некоторого порядка. Все образцы можно разделить на два класса, названные нами идеальными и неидеальными, или же микроскопически и макроскопически неупорядоченными, или же просто I и II.

а = <7minexp^- (Ес - Ер)/квП, где amin * 0,1е2/й — случай идеальной двумерной локализации Андерсона при наличии мелкомасштабных флуктуаций

а = аоехр( — W/kBT), где а0 растет с ростом Ns— неидеальный, макроскопический случай классического протекания при наличии крупномаештабиых флуктуаций.

Однако, как отмечалось в начале параграфа, имеющиеся результаты лишь закладывают некоторые основы. Необходим еще большой объем экспериментальных исследований, в первую очередь в отношении эффекта Холла и а(ш). Было бы интересно попытаться применить теоретические результаты работы [638] к исследованиям по эффекту Холла, смещению на подложке и а(ш).

Кроме того, уже давно осознано то обстоятельство, что корреляционные энергии сравнимы по величине с глубиной хвостов зон и с энергиями связи электронов на ионах в окисле и что, безусловно, имеются свидетельства наличия сильно коррелированных состояний [19, 20, 1983]. Эти эффекты будут обсуждаться далее.

Во всех предыдущих рассуждениях предполагалось, что для электронов на поверхностях (100) заполнена лишь одна система подзон. При более высоких температурах (> 30 К) это может оказаться неверным. Если же Аобедн мало или же в образцах имеются значительные механические напряжения, то указанное предположение может нарушаться при малых N$ даже для Т = 0 К. При наличии двух типов долин, близких по энергии, можно ожидать особенностей активационной проводимости и эффекта Холла. Сведений об исследованиях деформационных эффектов в активационном режиме в литературе не имеется.

В недавней работе [872] были получены экспериментальные результаты, не противоречащие гипотезе Фаулера [562] о том, что хвосты более высоких зон могут играть определенную роль в активационных процессах.

В работе [1405] наблюдался переход от трехмерной к двумерной минимальной металли-

ческой проводимости по примесной зоне в GaAs при уменьшении толщины образца до нескольких сотен ангстрем. Этот случай более близок к опытам на тонких пленках аморфного германия [959], чем на инверсионных слоях. При наличии магнитного поля amin равнялась 2 • 10-6См, т.е. приблизительно в 10 раз меньше величины 0,1 e2/h, в качественном согласии с предположением [97] о том, что при нахождении Ес на уровне Ландау amin уменьшается. В отсутствие магнитного поля величина amin была близка к 0,1 e2/h.

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ

Экспериментальные результаты по температурной зависимости проводимости обычно эмпирически разделяют на область активационной проводимости, обсуждавшейся в предыдущем параграфе, и область безактивационной проводимости, описанной в гл. 4. В последние несколько лет стало появляться все больше как экспериментальных, так и теоретических доказательств того, что в образцах, считавшихся ранее безактивационными (квазиметалличе- скими), при очень низких температурах происходит рост сопротивления. Поскольку изменение сопротивления достаточно мало — порядка 10% —. и объясняется в большом числе теоретических работ процессами двумерной локализации в пределе слабого беспорядка, указанные эффекты иногда называют эффектами слабой локализации. В этом параграфе мы коротко обсудим теоретические и экспериментальные работы, заложившие основу этих новых концепций. При этом не будем давать окончательные оценки этой быстроразвивающейся области или углубляться в детали теории.

Эффекты локализации наиболее выражены в одномерных системах (см., например, [1058, 1258, 1770]), но определение эффективной размерности реальных образцов требует тщательного анализа характерных длин (см. [18, 1764] и ряд более поздних публикаций). Обзор локализационных эффектов в тонких нитях дан в работе [626]. Авторы работы [286] показали, что для объяснения наблюдаемой температурной зависимости сопротивления металлических нитей при низких температурах требуется, чтобы время неупругого рассеяния имело величину, на один-два порядка меньшую теоретической. При этом было, однако, установи ?- но, что анализ экспериментальных вольт-амперных характеристик сверхпроводящих нитей, учитывающий наличие центров, сбивающих фазу, приводит к значению времени неупругого рассеяния, приближенно согласующемуся с результатами теории скейлинга, и потому не позволяет сделать уверенного выбора между ней и теорией, основанной на электрон- электронных взаимодействиях. Одномерные системы, хотя и представляют большой интерес, здесь обсуждаться не будут. Оставшаяся часть параграфа в основном посвящается двумерным системам.

Исследования слабой локализации были в значительной степени стимулированы работой Абрахамса, Андерсона, Личчарделло и Рамакришнана [6], где был дан общий анализ эффектов локализации для одно-, двух- и трехмерных систем. В рассмотренной авторами модели учитывалась обычная сильная (экспоненциальная) локализация, не зависящая от размерности, для систем с сильной неупорядоченностью, но, кроме того, предполагалось, что двумерная система даже при слабой неупорядоченности будет испытывать слабое, логарифмическое уменьшение проводимости при увеличении размеров образца. Это означает, что в бесконечном двумерном образце не существует перехода диэлектрик — металл. В трехмерных системах, напротив, при уменьшении степени неупорядоченности будет происходить переход от активационной к металлической проводимости.

Указания на то, что двумерная система невзаимодействующих электронов должна при абсолютном нуле иметь нулевую проводимость на постоянном токе, содержались также в те-

еретических работах [655, 1951]. Расчеты высокочастотной проводимости с помощью диаграммной самосогласованной процедуры возмущений для диэлектрической проницаемости [1898, 1899] привели к результату Rea(a>) - ш2 при ш — 0. Аналогичная самосогласованная схема была использована в работе [884]. Для выяснения вопроса о применимости однопараметрической теории скейлинга были выполнены различные численные эксперименты, обсуждать которые мы не будем.

Неясно, существует ли какая-либо связь между описанными результатами и упомянутым в § 5 гл. 2 утверждением о том, что в двумерном случае сколь угодно слабый потенциал создает связанное состояние. В работе [30] проведена аналогия между локализацией и случайными блужданиями в одно-, двух- и трехмерном пространствах.

Теория скейлинга [6] предсказывает логарифмическую зависимость проводимости двумерного образца от его размера, но не рассматривает в явном виде ее температурную зависимость. Этот вопрос обсуждался в работах [48, 1764], где авторы отождествили характерную длину, входящую в теорию скейлинга, с длиной пробега относительно неупругих столкновений. Аналогичный вопрос рассмотрен также в работе [798]. В двумерном случае частота столкновений с акустическими фононами меняется как Тр, где р лежит в интервале от 2 до 4 и зависит от размерности фононов, доминирующих в рассеянии, и от отношения длины волны тепловых фононов к длине свободного пробега по отношению к упругим столкновениям / [48, 1764]. Если основным неупругим процессом являются электрон-электронные соударения*, то р = 2, но это значение может измениться при учете эффектов неупорядоченности. Вследствие вышеизложенного логарифмическая зависимость проводимости от размеров образца трансформируется в логарифмическое падение проводимости при понижении температуры при условии, что размеры образца превосходят расстояние, на которое диффундирует волновой пакет за время неупругих столкновений [1764]. Это расстояние имеет порядок среднего геометрического длин свободного пробега по отношению к упругому и неупругому рассеянию [48].

В работах Альтшулера, Аронова, Ли [41] и Фукуямы [590, 595] построена теория, альтернативная скейлинговой, учитывающая совместное влияние электрон-электронных взаимодействий и неупорядоченности и также предсказывающая в низкотемпературной области логарифмическое уменьшение проводимости при понижении температуры. Сходная задача решалась также в работе [1156]. Недавно были выполнены эксперименты в трехмерной системе (легированный Si), которые, по-видимому, подтверждают предсказание теории электрон- электронных взаимодействий о пропорциональном Т71 росте проводимости при низких температурах (см. [1523]).

Для двумерного электронного газа в квазиметаллической, безактивационной области теория предсказывает следующее поведение проводимости:

Се2

а = а0 + -^1п(Т/Го). (5.10)

В теории скейлинга

(5.И)(5.И)С = gvap/l.

(5.И)

(5.И)

где а = 1 для спиново-независимого рассеяния и а = 1/2 для рассеяния с переворотом спина [48] (см. также [748]); §и — долинное вырождение, равное двум для инверсионных слоев на

Рис. 93. Сопротивление кремниевого инверсионного слоя, экстраполированное к нулевому значению напряжения исток — сток, как функция температуры в логарифмическом масштабе [188]. Концентрация электронов равна 2,03 ■ 10,2см~2 для верхней кривой и 5,64 ■ 10|2см~2 для нижней.

поверхности (100) Si. В работе [592] показано, что при сильном междолинном рассеянии, превосходящем скорость неупругих процессов (в кремниевых инверсионных слоях при достаточно низких температурах это весьма вероятно), в формуле появляется дополнительный множитель 1/2, компенсирующий фактор g„ = 2 для поверхности (100). Для других поверхностей ситуация зависит от относительной величины различных времен междолинной релаксации. Теория электрон-электронных взаимодействий Альтшулера, Аронова и Ли [41] дает

C = -(l-f), (5.12) 2

где F зависит от отношения фермиевской длины волны к длине экранирования. При сильном экранировании F стремится к 1, а при слабом — к 0. В работах Фукуямы [590, 595] приводится несколько иной коэффициент, полученный при учете дополнительных процессов, не включенных в расчеты Альтшулера, Аронова и Ли. В их теории Тд = h/кдт, где время электронного рассеяния т при низких температурах определяется, как правило, упругими соударениями.

Первое экспериментальное подтверждение этих теорий было получено на тонких металлических пленках. В работе [414] в тонких пленках сплава золото — палладий был обнаружен логарифмический рост сопротивления с понижением температуры. Полное изменение сопротивления в этой области составляло - 10%. Соответствующие результаты для кремниевых инверсионных слоев получены в работах [188] (рис. 93) и [1855].

В экспериментальных значениях коэффициента С имеется существенный разброс. В пленках AuPd с толщинами 2 ч- 4 нм и сопротивлениями 1 ч- 5 кОм С менялось от 0,36 до 0,84 [414]. Для чистых пленок Си с сопротивлениями 10 4- 20 Ом получено значение порядка единицы, а для пленок с сопротивлениями свыше 100 Ом — С s 0,5 [1860]. В работе [1165] исследовались тонкие чистые пленки Pt с толщинами от 0,1 до 10 нм, нанесенные на чистые кремниевые подложки. Авторы получили С = 0,75 ± 0,15, причем в самых тонких монос- лойных пленках логарифмическая температурная зависимость прослеживалась вплоть до комнатной температуры. В кремниевых инверсионных слоях С = 0,51 ± 0,05 [188]. Наконец, в пленках 1п2О3 были получены значения С, лежащие в интервале от 0,75 до 1 [1378]. Менее

чем трехкратный разброс результатов для столь различных систем с концентрациями электронов и сопротивлениями, различающимися иа несколько порядков, говорит в пользу теорий, приводящих к формуле (5.10), хотя и не позволяет сделать выбор между теориями локализации и электрон-электронных взаимодействий.

Сопоставимость теории с экспериментом становится несколько сомнительной при попытках перейти от проводимости к сопротивлению, не зная величины То. Было предпринято несколько попыток анализа результатов, основанных на неявном предположении, что величина То, входящая в формулу (5.10), близка к температуре измерений. В теориях, по-видимому, имеется некоторая граница, выше которой логарифмическая зависимость уже несправедлива, но при обработке экспериментальных результатов об этом явно не говорилось.

В проводимости двумерных квазиметаллических систем был также обнаружен член, логарифмический по электрическому полю F при слабых полях и низких температурах. Предполагалось [48], что он связан с простым джоулевым разогревом электронов. В этом случае аналог выражения (5.10), в котором температура Т заменена электрическим полем F, имеет коэффициент С' = 2С/(р' + 2), где р’ — показатель степени в температурной зависимости скорости передачи энергии электронов решетке, которая не обязательно совпадает со скоростью неупругих столкновений. Если независимо измерять логарифмические по температуре и электрическому полю члены, то их сравнение в общем случае дает физически разумные значения р', хотя имеются и исключения [1855].

Еще до появления современных представлений о слабой локализации в инверсионных слоях на поверхности (111) Si при низких температурах наблюдалось отрицательное магнитосопротивление, зависящее только от нормальной компоненты магнитного поля и имеющее приблизительно логарифмическую температурную зависимость [891, 892]. Авторы связывали это явление с s—d-рассеянием (эффектом Кондо). Впервые же отрицательное магнитосопротивление в инверсионных слоях при низких температурах наблюдалось в работах [425, 478] и было приписано эффектам на границе раздела (см. также разд. 3 § 2 гл. 4).

Позднее были проведены детальные измерения магнитопроводимости электронов в кремниевых инверсионных слоях при низких температурах в слабых магнитных полях [889, 890, 1962] (см. рис. 94). Авторы сравнивали свои результаты с теорией слабой локализации [748], которая при упрощающих, но приближенно справедливых предположениях приводит к формуле

о(Я) - <70 *Г ^ f - vV- + 1 ,(5.13)

0 2тг2Й [ \ 2 та) \2 rina / J

где ^ — дигамма-функция [9], при больших значениях аргумента имеющая асимптотику Mz) - In? - (2z)-1 — .... т и rin — времена упругих и неупругих столкновений,

(5.14)(5.14)4DeH а = ,

(5.14)

(5.14)

he

D — коэффициент диффузии, а а0 = e^DD^Ep), где последний множитель есть плотность состояний на уровне Ферми. Если частота упругих столкновений значительно превышает частоту неупругих, что при низких температурах весьма вероятно, и та < 1, то выражение (5.13)

О Еще раньше ОМС наблюдалось на другом квазидвумерном объекте — размерно-квантованной пленке InSb [62]. —Прим.перев.

Рис. 94. Зависимость проводимости от магнитного

поля для инверсионного слоя на поверхности (100)Si с концентрацией электронов Ns = 1,9- 10|2см-2 [890]. Кривые различаются значениями температуры: 1— 1,9; 2— 4,3; 3 — 5,3; 4 — 7,4; 5 — 10,4 К. Экспериментальные точки ложатся на кривую, описываемую формулой (5.15) [748].

акЩ - а(0) =акЩ - а(0) =«е2 Г 1/12зг2й тта\ 2«е2 Г 1/12зг2й тта\ 2(5.15)(5.15)при постоянной температуре сводится к следующему:

акЩ - а(0) =

акЩ - а(0) =

«е2 Г 1/1

2зг2й тта\ 2

«е2 Г 1/1

2зг2й тта\ 2

(5.15)

(5.15)

В работе [748] рассматривались также рассеяние на магнитных центрах и спин-орбитальное взаимодействие, но мы не будем затрагивать здесь этих вопросов.

Авторы работы [889] нашли, что коэффициент а в формуле (5.13) имеет значение, лежащее между 0,5 и 0,7, и что для образца cNs = 5 ■ 1012 см-2 частота неупругих столкновений дается приближенным выражением т”1 = 2 • 10-11с-1 (Т/4 К)1,8. В последующей работе [890] они показали, что при Ns = 8 • 10й см-2 температурная зависимость ослабляется до Г1,3, что время неупругих столкновений растет с ростом Ns, как показано на рис. 95, и что коэффициент а уменьшается от 1 при Ns = 1012 см-2 до величины, близкой к 0,6 (меньшей, чем ожидаемое значение, равное единице), при Ns = 6 • 1012 см-2. Частота неупругих столкновений, полученная автором работы [1962] из своих экспериментов, менялась с температурой приблизительно линейно и уменьшалась с ростом Ns, достигая минимума вблизи Ns = 6 • 1012 см-2, когда начинается заполнение следующей подзоны. Автор нашел, что значение а = 1 в формуле (5.13) согласуется с данными его измерений.

Количественного анализа механизмов, ответственных за величину и температурную зависимость частоты неупругих столкновений в инверсионных слоях, определенной из эффектов слабой локализации, еще не проводились. Ожидается, что в чистых образцах частота неупругих столкновений 1/т:п должна меняться как Г3, если доминирует фононное рассеяние в объеме образца, и как Г2 при доминирующей роли электрон-электронных столкновений. Однако наличие частых упругих столкновений может, как и в массивных образцах [1584], изменить

Рис. 95. Температурная зависимость времени иеупру- гого рассеяния, получеииая путем подгонки теории [748] к экспериментальным результатам по магнитопроводимости [890]. Верхняя кривая — Ns = 1,9 х х 10|2см-2; нижняя кривая — Ns = 0,8 • 1012 см-2.

указанные результаты. В этих условиях частота электрон-электронных столкновений при низких температурах меняется линейно с температурой [5, 1856]. Если результирующее значение р = 1 подставить в формулу (5.11) наряду с указанной в работе [590] величиной gva = 1, то получим С = 1/2, что хорошо укладывается в упомянутую выше область экспериментально наблюдаемых значений этой величины.

Результаты измерений эффекта Холла опубликованы в работах [1855] (см. рис. 96) и [189]. Было установлено, что отношение s относительных изменений коэффициента Холла и сопротивления при изменении температуры зависит от величины сопротивления, меняясь от значения порядка двух при сопротивлениях порядка 1 кОм до значения, близкого к нулю, при бдльших сопротивлениях. Фукуяма [591, 593] показал, что в теории локализации, где логарифмические поправки связаны в основном с поведением подвижности, а не концентрации, это отношение должно равняться нулю. В работе Альтшулера, Хмельницкого, Ларкина и Ли [42] в модели электрон-электронных взаимодействий для этого отношения получено значение, равное двум. Таким образом, данные эффекта Холла указывают на проявление обоих упомянутых механизмов. В работе [880] высказывается согласие с авторами работы [1855], установившими, что лх экспериментальные результаты можно объяснить, предположив, что в достаточно сильных магнитных полях локализационные эффекты подавляются и тем самым доминирующими становятся электрон-электронные эффекты. Подобное подавление локализации подразумевается и в теории [748].

Вопрос о том, разрушает ли магнитное поле слабую локализацию, представляет интересную теоретическую проблему, до конца еще не решенную. Авторы работы [2002] (см. также [1366]) изучали этот вопрос путем обобщения развитой ранее [1898, 1899] самосогласованной диаграммной теории. Они показали, что магнитное поле ие разрушает локализацию, хо-

Ro, кОм

Рис. 96. Зависимость отношения изменения коэффициента Холла к изменению проводимости от сопротивления единицы площади кремниевого инверсионного слоя [1855]. Треугольники соответствуют магнитному полю Н = 4 кГс и концентрации электронов Ns = 3 • 1011 см-2, квадраты —Н = 13 кГс и Ns = (0,8 + 2) • 1012см-2. Черные символы соответствуют опытам при изменении напряжения исток — сток, белые символы — опытам при изменении температуры.

тя тенденция к увеличению радиуса локализации волновых функций и существует. Известно, что в сильных магнитных полях все состояния не могут быть локализованы (см. § 4 гл. 6).

Эксперименты в этой области весьма сложны, поскольку здесь требуются измерения при малых уровнях сигналов, что приводит к большой величине погрешности. Лучшие результаты получаются для эффектов электронного разогрева, в которых меняется не окружающая температура, а напряжение между стоком и истоком, что значительно проще выполнять с высокой точностью. Детальное определение зависимости холловского отношения s от параметров образца и от магнитного поля требует дополнительных измерений.

Крайне интересна связь между локализацией и сверхпроводимостью. Было установлено [379], что в гранулированных алюминиевых пленках в режиме слабой локализации с логарифмической температурной зависимостью сопротивления сверхпроводимость существует, а в пленках с активационной проводимостью при низких температурах сверхпроводимость отсутствует. (Обзор свойств гранулированных пленок имеется в работе [1].) Неясно, имеют ли эти результаты какое-либо отношение к кремниевым инверсионным слоям, сверхпроводимость в которых предсказывалась (см. § 4 гл. 2), но еще не наблюдалась.

Этот беглый обзор дает лишь общее представление о том большом интересе, который проявляется к описанным новым идеям в физике низкотемпературной проводимости квазиме- таллических двумерных систем. Помимо решения ряда экспериментальных задач, упоминавшихся выше, существует принципиальная необходимость развития теории, учитывающей как эффекты локализации, так и эффекты электрон-электронного взаимодействия. Работа [880] представляет один из возможных подходов к этой проблеме, основанный на предположении об аддитивности двух указанных эффектов. В последнее время появились и другие теоретические работы по данному вопросу. Обзор их имеется, например, в статье Фукуямы [586]. В ближайшем будущем здесь можно ожидать значительных успехов.

ДВУМЕРНЫЕ ПРИМЕСНЫЕ ЗОНЫ

Кремниевые инверсионные слои благодаря легкости изменения всех их основных параметров предоставляют уникальную возможность изучения примесных уровней и примесных зон. Теория связанных состояний, создаваемых зарядами вблизи границы Si — SiO2, обсуж-

далась в § 5 гл. 2. Примесные зоны могут быть созданы путем дрейфового переноса ионов натрия в окрестность границы Si — SiO2, где они создают связанные состояния в кремнии. При достаточно высоких концентрациях эти состояния перекрываются, образуя примесные зоны [704]. Практически концентрация натрия, создающего такие состояния, может меняться от значения порядка 1011 см-2 до 2 • 1012 см-2. Концентрацию электронов легко изменять с помощью напряжения на затворном электроде структуры металл — окисел — полупроводник (МОП). Потенциал, притягивающий электроны к ионам, может меняться независимо от концентрации электронов путем изменения потенциальной ямы, создаваемой слоем обеднения, за счет потенциала смешения между контактами на поверхности и объемом кремниевой подложки.

Предположение о наличии связанных состояний, созданных ионами в SiO2 вблизи границы Si — SiO2, было выдвинуто Стерном и Ховардом [1705] для объяснения пиков на кривых р.ЕЕ, наблюдавшихся Фэнгом и Фаулером [518] и обсуждавшихся в § 2 гл. 4. Впоследствии такое же объяснение предлагалось рядом других исследователей [987, 1002, 1773], также изучавших эти пики. В последней из цитированных работ предполагалось, что при увеличении Ns и энергии связи ионы испытывают «полевую деионизацию», приводящую к появлению минимума на кривых pFE. Вопрос о том, связаны наблюдавшиеся пики с примесными состояниями или с высшими подзонами (см. § 2 гл. 4), по-видимому, еще остается открытым. Мы не будем его обсуждать, а обратимся к более подробно описанным и идентифицированным особенностям на кривых, которые, как полагают, обусловлены примесными зонами, образованными из связанных электронных состояний на ионах натрия вблизи границы Si — SiO2.

Давно известно, что ионы натрия обладают высокой подвижностью в пленках SiO2 МОП-структур. (Из имеющейся обширной литературы можно назвать, например, работы [208, 746, 1871].) Они стремятся сконцентрироваться вблизи одной или другой границы [383, 385, 386], при комнатной или более высокой температуре легко сдвигаются в обе стороны электрическим полем в окисле, а при температурах, несколько меньших 300 К, их положение эффективно замораживается. Эти положительные ионы натрия могут создавать быстрые состояния, разнообразные ловушки в окисле [385], макроскопические флуктуации, ведущие к появлению хвостов плотности состояний [703], или же крупные неоднородности, во всяком случае при больших концентрациях порядка 1013 см-2 [203, 395, 397, 1982]. Результаты, полученные в работе [567], свидетельствуют о том, что по крайней мере при малой концентрации натрия большая его часть создает на границе Si — SiO2 быстрые пограничные состояния донорного типа, лежащие значительно ниже края зоны проводимости. Если бы уровни были акцепторами, они являлись бы основными рассеивающими объектами [708]. Если бы их энергия отстояла от края зоны проводимости менее чем на 40 мэВ, то обсуждаемые ниже особенности на кривых, снимаемых при изменении VG, сдвигались бы с температурой. Кроме указанных уровней существуют также состояния с энергиями, на 15 — 30 мэВ ниже края зоны проводимости, создаваемые электронами кремния, связанными с ионами Na+ в SiO2 в непосредственной близости от границы. Эти ионы, по-видимому, нельзя нейтрализовать путем переноса на них электронов из кремния из-за их энергетической недоступности. При наличии электронов, связанных на этих состояниях, их можно в некотором смысле считать нейтрализованными или, по крайней мере, экранированными, но, поскольку SiO2 представляет собой барьер для электронов, их волновая функция в основном сосредоточена в кремнии.

Если волновые функции подобных состояний перекрываются, между ними становится возможным туннелирование. При высоких температурах возможно также тепловое возбуждение до края подвижности. Связанные состояния могут располагаться по поверхности случайным образом. Их энергия также может быть случайной величиной как из-за флуктуаций

Рис. 97. а — Верхние кривые с ямами — потенциалы, созданные ионами Na + на границе Si — SiO2. Показаны также перекрывающиеся волновые функции, спадающие по закону ехр( — аг); б — Усредненная по поверхности плотность состояний. Показана примесная зона с полушириной на полувысоте, равной Г. В хвосте зоны показан край подвижности Ес.

поверхностного потенциала, так и из-за различного их расстояния от границы. На рис. 97,а показаны потенциальные ямы с волновыми функциями, спадающими как ехр(-аг). Ниже, на рис. 97,6 изображен ожидаемый вид усредненной по поверхности плотности состояний, содержащий примесную зону и хвост основной зоны, вызванный наличием иного рода флуктуаций.

Впервые натриевая примесная зона наблюдалась Фаулером и Хартстейном [568, 704 — 706] при изучении проводимости МОП-транзнсторов на поверхности (100). Типичные зависимости проводимости от напряжения на затворе показаны на рис. 98. Имеющийся на них пик наблюдался только в образцах, легированных натрием, и связан, вероятно, с примесной зоной. Как можно видеть, при росте напряжения на затворе, индуцирующего отрицательный заряд в слое, примесный пик появляется раньше, чем начинается проводимость по первой квазидвумерной подзоне. При достаточно больших концентрациях Na + пик размывается. Обратное смещение на подложке делает его более острым, но уменьшает по амплитуде.

Количество ионов натрия определялось различными методами, приводящими к различным результатам. Количество этих ионов и концентрация носителей в указанных опытах имели наибольшую неопределенность. В настоящее время считают, что их количество лучше всего находить по сдвигу порога (начала инверсии), определенного путем экстраполяции к нулевому магнитному полю осцилляций магнитопроводимости в области металлической проводимости [518, 567]. Такая процедура дает меньшие значеия концентрации ионов натрия, чем полученные ранее для некоторых из тех же самых образцов. Возможная ошибка в определении 7V0K все еще составляет примерно 0,5 ■ 1011 см-2.

Наблюдавшаяся температурная зависимость проводимости содержала три участка: два

Рис. 98. Типичные кривые проводимости вблизи порога для двух температур [568]. iVOK = = 3,5 • 1011 см-2; Кподл = 0. Предполагается, что максимум проводимости соответствует максимуму примесной зоны. Отметим независимость положения максимума от температуры.

VG, ВVG, Ва = а3ехра = а3ехрАЛ кВТ/АЛ кВТ/(5.16)(5.16)активационных участка в высокотемпературной области, соответствующие, как полагают, активации на край подвижности (Е^ и прыжкам на ближайшие узлы (£3), и низкотемпературный участок, соответствующий прыжковому переносу с переменной длиной прыжка [1248]. Более ранние работы Фаулера и Хартстейна [705, 706] содержат приближенные значения Ех и £3. В последней своей статье [568] авторы приводят значения, полученные по методу наименьших квадратов для подгоночной формулы

VG, В

VG, В

а = а3ехр

а = а3ехр

АЛ кВТ/

АЛ кВТ/

(5.16)

(5.16)

На рис. 99 представлены температурные зависимости проводимости, снятые по мере увеличения приповерхностного поля, а следовательно, и амплитуды связывающего потенциала, за счет отрицательного смешения на подложке И л. В этих экспериментах концентрация носителей поддерживалась вблизи максимума проводимости, по-видимому соответствующего максимуму плотности состояний, т.е. наполовину заполненной примесной зоне. Энергии активации полученных кривых многократно сопоставлялись [1118, 1166, 1167, 1878] с расчетами энергии связи, хотя считается, что Е, соответствует активации на край подвижности, вообще говоря не совпадающий с невозмущенным краем зоны проводимости. Эти. расчеты обсуждались в § 5 гл. 2. Как и ожидалось, увеличение приповерхностного поля теснее прижимало электроны к ионам в окисле и увеличивало как £р так и £3. На рис. 100 полученные результаты сопоставляются с теоретическими расчетами [1118, 1167]. (Заметим, что в обеих цитированных работах при определении экспериментальных значений электрического поля в элек-

Рис. 99. Температурная зависимость проводимости в максимуме для различных значений смещения на подложке [568]. Уровень легирования подложки Мд = = 8,9 • 1015 см"3. 1 — Уподл = О, Ех = 18,5 мэВ, Е3 = 3,3 мэВ; 2 — УПодл = ~ 3 В, Ех = 20,6 мэВ, Е3 = 4,5 мэВ; 3 — Кподл = -15 В, Ех = 25,5 мэВ, Е3 = 6,5 мэВ. Приведенные значения Ех и Е3 ие являются результатом подгонки по методу наименьших квадратов.

тростатических единицах допущена ошибка на порядок величины.) Указанные теории [118, 1167], так же как и работа [1878], приближенно согласующаяся с первой из них, различаются по степени сложности пробных волновых функций. Эффекты экранирования в них не учтены в отличие от ранней работы Стерна и Ховарда [1705], содержащей в простейшей форме такой учет для чисто двумерных электронов. В статье [751] экранирование было рассчитано, но сопоставление с результатами рис. 100 не позволяет выявить различие между эффектами экранирования и смещения ионов от поверхности. Все указанные теории дают для Ех значение, большее экспериментально наблюдаемого.

При существенной роли экранирования следует ожидать, что экстраполяция измеренных значений Ех к нулевой концентрации натрия, т.е. к Ns = 0, будет лучше сопоставима с теорией. Эти результаты приведены в табл. 3 и на рис. 101 для слоя обеднения с ^обедн = 3,63 • 1011 см-2. Видно, что спрямление кривой по методу наименьших квадратов

Таблица 3. Зависимость постоянных активационной проводимости от Уо>. Здесь NOK — заряд в окисле, а величины Ер др Е3 и а3 определены путем подгонки по формуле (5.16) методом наименьших квадратов

^ОК 10й см*2

Е,, мэВ

ар

10* 4 См

£з- мэВ

а3*

См

2,1

21,8

1,7

4,0

2,2- 10" 7

2,9

19,9

2,4

3,5

1,6- 10*6

4,2

17,1

1,8

1,9

4,4- 10* 6

4,9

16,6

1,9

1,6

4,8- 10"6

6,6

15,4

12,1

1,6

1,3- 10’5

Рис. 100. Сравнение значений Et из рис. 99 с теоретическими расчетами работ [1118] (верхняя кривая) и [1167] (нижняя кривая) [568]. iVOK = 2NS = 3,5 • 10н см-2. Уровень легирования подложки Мд = 8,9 • 1015 см-3. Теоретическая энергия связи и экспериментально определенная величина Ех сравниваются для различных значений приповерхностного поля F, соответствующих различным значениям Ипмл.

дает для Ех значение 24,1 ± 0,3 мэВ. Ошибка в определении 7V0K, по-видимому, изменит этот результат не более чем на 1 мэВ. Вычисленные значения энергии связи равны 28,1 мэВ [1166, 1167], 29,3 мэВ [1878] и 29,8 мэВ [1118], где во всех теориях ионы считались расположенными на поверхности. В согласии с работой [1118] при смешении ионов вглубь окисла приблизительно на 4 А энергия уменьшится до 24 мэВ (см. рис. 8). Теория рассеяния [1878] предполагает, что электроны находятся на границе раздела, но при смещении на 4 А заметных изменений не претерпевает. Весьма рискованная экстраполяция Ех на рис. 101 в область больших концентраций натрия говорит об обращении Ех в нуль при Л/ок = 1,7 • 1012 см-2. При этих концентрациях мы должны наблюдать слияние примесной зоны с хвостом основной.

Рис. 101. Энергии активации для возбуждения иа край подвижности (Е,) и для прыжкового переноса по ближайшим соседям (£3) при различных Л/ок [568]. Две группы данных соответствуют двум различным образцам. Линейная аппроксимация (сплошные линии) проводилась лишь для данных, изображенных кружками. Линии отвечают зависимостям Ех = (24,1 — 1,4 • Ю'11 NOit) МЭВ и £3 = = (5,1 — 7,3 • 10-12 WOT) мэВ.

Рис. 102. Зависимость от Л/~к1/2 логарифма отношения проводимости а„, полученной экстраполяцией 1/7" — 0 кривой прыжковой проводимости, к jV^2 [568]. Прямая линия — зависимость, следующая из работы [714].

Если флуктуации носят в основном микроскопический характер и значения, приведенные в табл. 3 для различных концентраций натрия, точны, то экстраполяция проводимости к бесконечным температурам в области активации на край подвижности должна дать значение минимальной металлической проводимости amin. Оно не содержит сильной зависимости от N0K и в среднем равно (2,0 ± 0,1) • 10-4 См, что заметно превосходит величину 0,12 е2/й = = 3 • 10“5 См. Это согласуется с наблюдаемой в хвосте зоны проводимости минимальной температурно-независимой проводимостью, которая не обязательно совпадает с минимальной металлической проводимостью (см. § 1 данной главы).

В табл. 3 и на рис. 101 показана также зависимость от N0K величины £3, связанной с шириной примесной зоны [1204]. При увеличении заряда в окисле ширина зоны резко падает. Следует помнить, что приведенные данные относятся к наполовину заполненной зоне, так что с ростом 7V0K увеличивается как плотность состояний, так и концентрация электронов. Можно ожидать, что при увеличении N0K должны усиливаться эффекты экранирования и за счет этого подавляться эффекты флуктуаций. Оценки эффектов экранирования имеются лишь в работах [751, 1697]. Стерн [1697] в своих рассуждениях предполагал, что источником случайного потенциала являются ионы натрия, создающие связанные состояния, и что экранирование пропорционально плотности состояний и описывается формулой для двумерного электронного газа 2тгегВ(Е)/х (см. (2.24)). Из итерационных результатов Стерна не следует наличие примесной зоны для значений NQK, при которых она на самом деле наблюдается, так что его подход, по-видимому, переоценивает уширение уровней. Использованное выражение для экранирования, справедливое в случае свободных электронов, здесь, возможно, не корректно. Однако лучшей теории экранирования не существует, поскольку поляризуемость связанных электронов в реализующемся здесь двумерном случае еще никем не вычислялась. В работе [1878] предложена несколько более адекватная теория, но применима она только к рассеянию в металлическом режиме. Экстраполяция на рис. 101 энергии Е^ к нулевому значению 7V0K дает величину, близкую к 5 мэВ. Эта величина может описывать либо флуктуации собственного потенциала в отсутствие как экранирования, так и ионов натрия, либо флуктуации смещения нонов натрия от поверхности.

Результаты по прыжковой проводимости между ближайшими узлами можно сравнивать с теорией двумерной прыжковой проводимости [714]. Она дает следующий результат:

/2,39а \/ W \

а3 = аоехр( -ехр,(5Л7)

\ ''ок /\/

при несколько бдльших мэВ. Прямая соответ- К в формуле о -при несколько бдльших мэВ. Прямая соответ- К в формуле о -

при несколько бдльших мэВ. Прямая соответ- К в формуле о -

при несколько бдльших мэВ. Прямая соответ- К в формуле о -

Рис. 103. Зависимость логарифма тока при наиболее низких температурах от Т~1/з [568].

Nol; = 3,5 • 1011 см-2 и, температурах, Е3 = 3,3 ствует То = 4,4 ■ 103 = А ехр [-(Т,/Г)1/3].

где величина а0 пропорциональна N^, а — параметр волновой функции связанного состояния в плоскости, параллельной поверхности: i/- = фоехр(—аг), a W— ширина зоны в модели постоянной плотности состояний. Результат экстраполяции ^ к Г = », обозначаемый через а^, должен быть пропорционален ^’ехр( —2,39а^“1/2). На рис. 102 показаны эти результаты в линеаризованном виде. Подгонка по методу наименьших квадратов дает а-* = (69 ± ± 2) А, что значительно превосходит более ранние результаты [706]. Следует помнить, что использованная процедура предполагает, что а в отличие от Ех не зависит от 7V0K.

В области более низких температур наблюдается прыжковая проводимость с переменной длиной прыжка. Лучшие результаты для этой области показаны на рис. 103. Хотя эти результаты недостаточно полны, они хорошо согласуются с зависимостью (5.4), ожидаемой для рассматриваемого механизма переноса, в которой

TQ = 27а2/ тгкдО^ЕрУ (5.18)

Здесь D(EF) — плотность состояний на уровне Ферми, ранее оцениваемая как N0K/E3 [706]. Позднее [568, 707] авторы предположили, что для гауссова распределения вида £>(Ё) = Dmax ехр(-Е2/2Г2) энергия активации Е3 = 2Г/3. Это было сделано по аналогии с результатом работы [714], где для постоянной плотности состояний с шириной Ж показано, что Е3 = = W/3. Совсем недавно авторы работы [38] иашли, что для гауссовой плотности состояний Е3 = 1,2Г. Максимальная плотность состояний связана с полным их числом 7Vnoj]H соотношением £>тах = Аполн/Р/2тг, a Nnoim считается равным Аок. Если в выражение (5.18) подставить Е3 = 2Г/3, то для обсуждавшихся выше результатов получим а~ 1 = 42 А. Если же использовать связь между Е3 и Г, полученную в работе [38], то а-1 = 56 А. Измерений проводимости с переменной длиной прыжка при изменении смещения на подложке или N0K не проводилось, так что характер влияния приповерхностного поля и Аок здесь, в отличие от областей с Ех и Е3, иеизвестеи.

Проводились отдельные измерения зависимости Ех и Е3 от Ns [568, 707]. Результаты, полученные при различных Аок, представлены на рис. 104. Зависимость Ех от Ns аппроксимировалась с помощью гауссова распределения плотности состояний с параметрами Аполн и Г.

Рис. 104. Зависимость Ех и Ег от Ns для разных значений NOK [707]: 1 — NOK = 3,6- 1011 см-2; 2— WOK = 5 • Ю“ см-2; 3 — NOK = 6 х х 1011 см-2. Более точное определение заряда в окисле дает соответственно WOK = 2,1; 3,4 и 4,5 ■ 10й см-2. Результаты для Ех сопоставлялись с теорией для случаев гауссовой [707] и постоянной [713] плотностей состояний.

Вычисленные значения Г, максимальной плотности состояний Dmax и полного числа состояний в гауссиане WnonH сведены в табл. 4. При расчетах предполагалось, что ширина зоны, энергия связи и край подвижности не зависят от числа электронов в зоне. Влияние движения уровня Ферми не рассматривалось. Подгонка по методу наименьших квадратов была относительно малочувствительна к параметрам. В таблице величина Г сопоставлена с 3£3/2 в максимуме проводимости. С точки зрения теории [38] следовало бы сравнивать Г с £3/1,2. Имеющиеся результаты не позволяют сделать уверенный выбор между двумя теориями.

Минимум на кривых £3 на рис. 104 может быть обусловлен двумя причинами. Как предполагалось в работе [707] и подтверждено в работе [713] для предложенной там модели, одна из причин связана со статистикой прыжковых процессов. В экспериментах поддерживается постоянной концентрация носителей, а не уровень Ферми. При сдвиге уровня Ферми вверх или вниз от центра зоны возникает разница в числе начальных и конечных состояний, приводящая к росту энергии активации, который и наблюдается в действительности. В работе [714] для модели постоянной плотности состояний (прямоугольная зона с конечной шириной

Таблица 4. Плотность состояний в примесных зонах. £>(£')тах — максимум плотности состояний при распределении ехр ( —£2/2Г2), а ^полн — их интегральное число. Г и О(Е)тах определяются из кривых E^N^ на рис. 104. Значения энергии активации Е3, входящей в последний столбец, представляют собой минимальные величины из данных рис. 104

NOK

10й см'2

О(£)шах 1013 см~2эВ-1

^ПОЯН 10й см-2

Г мэВ

3£з/2 мэВ

2,1

2,1

2,6

4,8

5,2

3,5

3,4

1,5

1,8

4,3

4,5

2,1

2,3

2,1

3,3

IF) было получено

(5.19)(5.20)(5.19)(5.20)p +y<w.

(5.19)

(5.20)

(5.19)

(5.20)

Е. = ( — + — | Ж, W < 6',

3\ W 6 /

где 6' = b'kBT, W = W/1kBT, а 6 — смещение уровня Ферми от центра зоны. Связав должным образом величину 6, входящую в эти формулы, с N„ автор смог получить разумное согласие в данными рис. 104 как для Еь так и для Е3. Наряду с этим эффектом возможно и реальное изменение ширины зоны, поскольку при изменении концентрации электронов и плотности состояний может меняться экранирование. Теория [714] не предсказывает явной зависимости параметра а^, (результата высокотемпературной экстраполяции в прыжковом переносе между ближайшими узлами) от концентрации электронов. Это может быть связано с предположением о постоянстве плотности состояний. На эксперименте величина а^ монотонно возрастала с ростом концентрации электронов, что видно из рис. 105. Это не согласуется с интуитивными представлениями, согласно которым a^ ~ N$(N0K — N$), и, возможно, объясняется уменьшением а, происходящим при росте Ns и уменьшении Ev

Предпринимались попытки обнаружить второй пик проводимости, соответствующий второй зоне Хаббарда, не имевшие, одиако, успеха. Проводилось увеличение концентрации натрия до уровня, позволяющего ожидать появление металлической проводимости в максимуме примесной зоны, но и этот опыт не дал положительного результата. Не привела к убедительным результатам попытка наблюдать анизотропию проводимости в примесной зоне на поверхности (100) [568]. Измерения в магнитном поле [568] обнаружили ожидаемое уменьшение проводимости, но полученных данных было недостаточно для определения изменений в активационных процессах. Проводились измерения шума в рассматриваемых примесных зонах [1925, 1926]. Для получения действительно точных значений NOK и N$ требуется проведе-

Рис. 105. о», результат экстраполяции к 1/Г = I прыжковой проводимости по ближайшим соседям как функция Ns [568].

ние высококачественных измерений эффекта Холла. Предварительные эксперименты такого рода проводились Пеппером [1404], но никаких результатов, за исключением факта размытия пиков, сообщено не было. Не проявились примесные зоны и в емкостных измерениях [567].

Даже на рассматриваемом предварительном этапе исследований Na + -МОП структуры в целом продемонстрировали много свойств, ожидавшихся для примесных зон. Эти зоны несколько отличались от зон в компенсированных трехмерных системах за счет того, что флуктуации в них были вызваны не компенсирующими ионами, а скорее разбросом в положениях ионов Na+ в плоскости границы и перпендикулярно к ией. Рассматривавшаяся система предоставляет уникальную возможность для изучения различных явлений в примесных зонах. Оказалось, что в исследованной области температур (> 1 К) для объяснения этих янлений не Требуется привлекать понятие о кулоновской щели или о многочастичных корреляциях в прыжковых процессах [1451].

Измерений высокочастотной проводимости с помощью описанной в работе [32] методики иа рассматриваемых образцах не проводилось. Однако влияние ионов натрия изучалось в опытах по инфракрасному поглощению при ориентации поля по нормали к поверхности [1175, 1177]. Хотя полученных результатов не слишком много, они все же показывают наличие пика поглощения, сдвинутого по отношению к энергии межподзонного перехода Ео — Ех (см. рис. 106). Поскольку следует ожидать, что для верхней подзоны энергия ионизации связанного состояния меньше, чем для нижней, то сдвиг энергии перехода должен иметь положительный знак. На опыте действительно виден положительный сдвиг примерно иа 5 мэВ. Теоретические расчеты [1013], дающие для сдвига величину порядка 10 мэВ, сопоставлены с экспериментом на рис. 107. В отличие от определения Ех по температурной зависимости проводимости, высокочастотные измерения должны приводить к результатам, не зависящим от положения края подвижности, ио могущим зависеть от концентрации иоиов натрия и электронов. Один из интересных результатов заключается в том, что переход из примесной зоны наблюдается при положении уровня Ферми ниже края зоны проводимости и сливается с меж- подзонным переходом при уходе уровня Ферми в зону проводимости. Как видно из рис. 107, разница между сдвинутой и несдвинутой линиями для NOK = 7,4 • 10й см “2 фактически исчезает при Ns = 2WOK. Это может означать, что при наличии большого числа свободных электронов примесная зона сливается с зоной проводимости.

Рис. 106. Спектры дифференциального пропускания АТ МОП-структур для двух значений Ns и трех значений NOK [1177]: а — N$ = 6,2 х х 10й см-2; 6 — Ns = 15,3 " Ю11 см-2. Сплошная линия— NOK = 1,6- 10й см-2; пунктир — /VOK = 7,4 ■ 10й см""2; штрих-пунктир — NOK = 16,1 ■ 10“ см"2.

В § 1 данной главы говорилось о скудности экспериментальных результатов для хвостов зон. В еще большей степени это относится к данным по примесным зонам. Здесь, безусловно, требуется еще большое количество экспериментов, в первую очередь по измерению зависимостей прыжковой проводимости с переменной длиной прыжка от N0K, Ns и И|юдл или ^обедн- необходимы более надежные результаты по EX(NS, NOK, Мобедн) и E3(NS, N0K, N^^. Необходимы холловские измерения. Кроме того, еще не исследованы деформированные поверхности, в которых подзоны Ео и EQ, могут меняться местами. Очевидно, что возможности, которыми обладает система с примесной зоной, содержащая столь большое число относительно легко варьируемых параметров, еше только начали изучаться.

Рис. 107. Отношение энергий переходов (сдвинутого за счет примесей и не сдвинутого) как функция Ns [1175]. Экспериментальные точки получены из сравнения энергий переходов при /VOK = 7>4 • Ю11 см-2 и при NOK - Ю10см-2. Сплошная линия — результат теоретического расчета [1013] для изолированных ионов в отсутствие экранирования.

ГЛАВА 6. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА

В СИЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ

Если перпендикулярно инверсионному слою приложить сильное магнитное поле, то энергетический спектр становится дискретным, поскольку из-за квантования орбитального движения не зависящая от энергии плотность состояний для движения параллельно поверхности преобразуется в набор уровней Ландау. Эта система является идеальным инструментом для изучения квантовых явлений переноса, в то время как характеристики обычных трехмерных систем не так просты из-за наличия свободного движения в направлении, параллельном магнитному полю. Уже имеется ряд теоретических и экспериментальных работ, посвященных изучению гальваномагнитных явлений, циклотронного резонанса и магиитоплазменного эффекта. Эффекты электрон-электронного взаимодействия, играющие важную роль при определении структуры подзон, и эффекты экранирования благодаря сингулярному характеру плотности состояний проявляются в различных свойствах системы. Дискретный вид плотности состояний может заметно сказаться и на эффектах локализации. В этой главе описываются исследования, посвященные квантовым процессам переноса, преимущественно в инверсионном л-канале на поверхности (100) кремния.

В § 1 дается краткий обзор теоретических расчетов уширения уровней Ландау, тензора проводимости и высокочастотных характеристик. В § 2 описываются явления переноса в реальных инверсионных слоях и их интерпретация. Циклотронному резонансу и родственным ему высокочастотным свойствам посвящен § 3. Различные эффекты, связанные с локализацией электронов, в общих чертах описываются в § 4.

ТЕОРИЯ КВАНТОВОГО ПЕРЕНОСА В ДВУМЕРНОЙ СИСТЕМЕ

Статический перенос

Рассмотрим изотропную двумерную систему, характеризуемую эффективной массой т. В отсутствие рассеивателей плотность состояний имеет 6-функционные пики, совпадающие с положениями всех уровней Ландау Е = Е№ где EN = (TV + 1/2) йыс, шс = еН/тс, а Н — напряженность магнитного поля, приложенного перпендикулярно слою. Каждый уровень вырожден с кратностью 1/2тг/2 на единицу площади, где / = (ch/eH)A — радиус циклотронной орбиты основного состояния. Например, для Н = 100 кГс / = 81 А и кратность вырождения равна 2,5 ■ 1011 см-2. При наличии рассеивателей все уровни Ландау уширяются. Для вычисления этого уширения и кинетических свойств к настоящему времени предложено много различных подходов. Среди них наиболее простым и обоснованным, свободным от различных трудностей с расходимостями, вызванными сингулярным видом плотности состояний, является так называемое самосогласованное борновскор приближение. В этом приОлижении эффекты рассеяния на каждом отдельном центре учитываются в низшем борновском приближении, тогда как эффекты уширения уровней рассматриваются самосогласованно в рамках фор-

мализма гриновских функций. Такой подход эквивалентен кинетической теории Больцмана в отсутствие магнитного поля в пределе слабого рассеяния и достаточен для иллюстрации характеристик квантового переноса в рассматриваемой системе. Ниже мы дадим краткий обзор теории и обобщим разнообразные результаты, полученные в работах [49— 51, 76 — 78, 80].

Гамильтониан системы имеет вид

^= ^ + yv(6.1)

где

1 /в \2

^сэ =( Р+ А) .(6.2)

2т \с/

^ = ^ ^ УМ(Г _ r., z.y(б.з)

Здесь и(д.>(Г — г,, z,) — эффективный двумерный потенциал рассеивателя ц-го типа, расположенного в точке (r(, z,). В симметричной калибровке А = ( — Ну/2, Их/2} собственные функции равны

,,1/ ХУ ХуХ

W) = ^ехр ( ' ^т * ' тт) ^(х ~ ^)(б-4)

XNW = (2^!^/)-1/2 exp ( - ^ HN Q ^ ,(6.5)

где HN(y) — полиномы Эрмита, а £2 — площадь системы. Гамильтониан может быть переписан в виде

=^о = ^ ENaNXaNX'(6-6)

NX

^ = £ £ £ E №lvw(r - x^iWX'^xa^x.,(6.7)

/ /X NX N’X'

где a^x и ^nx — соответственно операторы рождения и уничтожения. Введем функцию Грина

Gn^E^nn'^xx' = ((®'°nx№ — ^ *ам'х '0О’(6-8)

где 10) обозначает состояние вакуума, а <...> есть среднее по всем конфигурациям рассеивателей. Функция Грина диагональна по номеру уровня Ландау N и координате центра осциллятора Л" и не зависит от X. Плотность состояний D(E) равна

D(E( = - 1 ^ lmGN(E + Ю) = - ^ ^ lmGN(E + ,0)(6.9)

NXN

Функция Грина вычисляется итерационным способом с использованием соотношения

(6.10)(6.10)(Е - ^"* = (Е - ^о)'1 + (Е - ^"'^(Е - ^-*

(6.10)

(6.10)

Gn -Gn -Рис. 108. Диаграммное представление самосогласованного борновского приближения. Крестики соответствуют рассеивателям, а штриховые линии — взаимодействию с ними. Первый член в собственно- энергетической части представляет тривиальный сдвиг начала отсчета энергии и может быть опущен. На нижнем рисунке члены порядков выше первого не дают вклада в проводимость в сильных магнитных полях.Рис. 108. Диаграммное представление самосогласованного борновского приближения. Крестики соответствуют рассеивателям, а штриховые линии — взаимодействию с ними. Первый член в собственно- энергетической части представляет тривиальный сдвиг начала отсчета энергии и может быть опущен. На нижнем рисунке члены порядков выше первого не дают вклада в проводимость в сильных магнитных полях.

Gn -

Gn -

Рис. 108. Диаграммное представление самосогласованного борновского приближения. Крестики соответствуют рассеивателям, а штриховые линии — взаимодействию с ними. Первый член в собственно- энергетической части представляет тривиальный сдвиг начала отсчета энергии и может быть опущен. На нижнем рисунке члены порядков выше первого не дают вклада в проводимость в сильных магнитных полях.

Рис. 108. Диаграммное представление самосогласованного борновского приближения. Крестики соответствуют рассеивателям, а штриховые линии — взаимодействию с ними. Первый член в собственно- энергетической части представляет тривиальный сдвиг начала отсчета энергии и может быть опущен. На нижнем рисунке члены порядков выше первого не дают вклада в проводимость в сильных магнитных полях.

и обычно записывается через собственно-энергетическую часть Е^СЕ) в виде

Gn(E) = G^HE) + G®(E№N(E)GN(E),(6.11)

где С^ЧЕ) = (Е — En)~4

Самосогласованное борновское приближение учитывает вклады от дишрамм, изображенных на рис. 108, и приводит к результату

EN(E) = £ £ £ <qtX\u^4N'X-HN,X4v^4NXy)GN4E'),(6.12)

Я / N" X'

где

£ £ £ <(^|у<,1)1-^,-у')(ЛГ'Л"1у<,1,1Ау0> =

1 я X'

£ ^d^Ht^dr^dr^dr' £ Ф^П^Чг - г,. z,)x

х ^М'Х' VWn’X' (*Чи^Ч ^р ^ФмхЧ У —

= ы1= ы1JJ 2т/JJ 2т/XXJ 2т/\//\'/J 2т/\//\'/(6.13)(6.13)

= ы1

= ы1

JJ 2т/

JJ 2т/

X

X

J 2т/\//\'/

J 2т/\//\'/

(6.13)

(6.13)

Мы учли, что

X1 Г / 1г - Г' 1\/ Jr X гТ

(644)(644)'I'NxW'Nxty ) = ^TX1JNN (;|ехР ( '

(644)

(644)

X

JNN'W = V-\f-N'JNNW=£^^т^ехр^-уу (6.15) ■

где Ед(х) — присоединенные полиномы Лагерра. В достаточно сильных магнитных полях можно пренебрегать взаимодействием между различными уровнями Ландау. При Е ~ EN получаем

^N^ = - Г^/Е).(6.16)

4

где

Г^, = 8т/2 V [ dsN^) (^(r, z^Or', zWnn (, Г •(6.17)

JJ 2т/2 J 2т/2\ I /

S(E) = -L2т/2S(E) = -L2т/2При этом для плотности состояний получаем

S(E) = -L

2т/2

S(E) = -L

2т/2

(6.18)

Для каждого из уровней Ландау плотность состояний имеет полуэллиптическую форму с шириной rN.

Природа уширения уровней сильно зависит от радиуса действия d рассеивающего потенциала. В случае короткодействующих рассеивателей [d < 1/(2п + 1)1/2] можно заменить ^(г, г) на KM(z)6(r). При этом Гд, = Г, где

г=-4£г=-4£t/z/V^z)t/z/V^z)1^(2)!22т/21^(2)!22т/22 . h= — Йы —.т т.2 . h= — Йы —.т т.(6.19)(6.19)

г=-4£

г=-4£

t/z/V^z)

t/z/V^z)

1^(2)!22т/2

1^(2)!22т/2

2 . h

= — Йы —.

т т.

2 . h

= — Йы —.

т т.

(6.19)

(6.19)

Здесь ту — время релаксации при Н = 0, вычисленное для тех же самых рассеивающих центров. Таким образом, в данном случае речь идет о столкновительном уширении, не зависящем от номера уровня Ландау. Оно, однако, зависит от величины магнитного поля. С другой стороны, для рассеивателей с дальнодействующим потенциалом

Г^ « 8т/2 V f dzN^^z) (-^^(r, z)]2 (j2/1L_JL1\ =

JJ 2тг/J 2тп \ I /

d^Hz) driver, z)]2 = 4<(K(r) - <K(r)»2>,d^Hz) driver, z)]2 = 4<(K(r) - <K(r)»2>,(6.20)(6.20)

d^Hz) driver, z)]2 = 4<(K(r) - <K(r)»2>,

d^Hz) driver, z)]2 = 4<(K(r) - <K(r)»2>,

(6.20)

(6.20)

где K(r) — локальная потенциальная энергия. Здесь имеет место так называемое неоднородное уширение, определяемое флуктуациями К(г). Если радиус действия потенциала сравним с длиной волны электрона l/(2N + 1)1/2, то величина уширения зависит от N сложным образом. На рис. 109 представлен пример зависимости rN(d) для рассеивателей с гауссовым потенциалом

Vw(r, z) = —-^ехр( - "Чт) • (6.21) rd2 \ d2)

Ширина уровня не зависит от N как для предельно короткодействующего, так и для предель-

Рис. 109. Относительное уширение уровней ГЛ/Г0 как функция безразмерного радиуса действия а = d/1 гауссова потенциала рассеивателей [80].

но дальнодействующего потенциала, а в промежуточной области убывает с ростом N. Для уровней с большим N, где длина волны электрона мала, роль радиуса действия потенциала более существенна.

(6.22)(6.22)Диагональные компоненты проводимости а^ и ауу ( = ахх) наиболее просто вычислить в рамках представлений о миграции центра орбиты [1027]. При этом получаем

(6.22)

(6.22)

где/(Е) — функция распределения Ферми, а

X = —[^,= *ihhX = —[^,= *ihhEV V V ,д^Чг - ^ ^\ +

X = —[^,= *

ihh

X = —[^,= *

ihh

)2 I NX I — N X \aNXaNx..

Я i NX N-X'(6.23)

Можно также вычислить проводимость по теории возмущений. При этом следует суммировать вклады от таких же диаграмм, какие были учтены при вычислении собственно- энергетической части. В самосогласованном бориовском приближении это будут диаграммы, изображенные на рис. 108, что для случая достаточно сильных магнитных полей приводит к

результату

(6.24)

где N следует выбрать так, чтобы EN было максимально близко в Е, а

Г^У = 8т/2 V [ dzN^^ f -Лг х

Г dr' ди^Чг, z) Эи^Чг', z) 2 Z I г — г' !\

J 2т/2 Эу ду ™Д //

(6.25)

В случае короткодействующих рассеивателей, разложив JNN(x) по х, получаем

1/1 \->

(Г")2 = ( N 4-] Г2.

\2 /

Пиковое значение ахх при нулевой температуре равно

(^хх)пик 2j

(6.26)

(6.27)

Эта величина содержит только мировые константы и номер уровня Ландау. Она не зависит от магнитного поля и мощности рассеивающего потенциала. Для дальнодействующих рассеивателей Г^ определяется среднеквадратичным значением градиента локальной потенциальной энергии

(Г^)2 = <(/7И(г))2>.

(6.28)

Для предельно дальнодействующих рассеивателей проводимость равна нулю. На рис. ПО изображены пиковые значения ахх для рассеивателей с гауссовым потенциалом (6.21). С ростом радиуса действия потенциала эти значения уменьшаются пропорционально (//</)2.

Аналогично вычисляется холловская проводимость аху(, = — аух) [78]:

°ху — “ ц "*" ^°ХУ’

где Да^

У\ аЖ П _ (Е -

\ Гу 7J

В случае короткодействующих рассеивателей

что приводит к соотношению

Г

^ахрпик — ^“(^хх^пик-

(6.29)

(6.30)

(6.31)

(6.32)

в еЭ. ^N+4a)ez/jtzhв еЭ. ^N+4a)ez/jtzh

в еЭ. ^N+4a)ez/jtzh

в еЭ. ^N+4a)ez/jtzh

Рис. ПО. Пиковое значение проводимости (Г^“/Г^)2/^ + 1/2) как функция безразмерного радиуса действия а = d/l гауссова потенциала рассеивателей [80].

В случае дальнодействующих рассеивателей

О4 = 4^/V + |) <(/7Г(г))2)2,(6.33)

и в пределе d — <» стремится к нулю.

Полученные выше результаты могут быть физически истолкованы в терминах простого диффузионного переноса [1849, 1850]. В сильных магнитных полях проводимость осуществляется путем прыжков центров циклотронных орбит при рассеянии. В случае короткодействующих рассеивателей длина каждого прыжка имеет порядок радиуса циклотронной орбиты и коэффициент диффузии центра орбиты равен

(2N + I)/2

D* = ^(6.34)

т

где т — время жизни орбиты. Далее, в силу соотношения неопределенностей плотность состояний вблизи центра каждого уровня Ландау имеет вид

DtE^ =

2т12 А

При этом соотношение Эйнштейна дает

(^пик = eW^D* --(N*-y(6.36)

л у Z /

С точностью до численного множителя это выражение совпадает с формулой (6.27). Приведенные интуитивные рассуждения показывают, что независимость (<гху)пик от таких параметров системы, как ширина уровня и величина магнитного поля, есть следствие взаимной компенсации двух эффектов. Вероятность прыжка центра орбиты пропорциональна интенсивности рассеяния. Но если последняя велика, то возрастает и уширение уровня, что в свою очередь уменьшает вероятность прыжка за счет уменьшения плотности конечных состояний. Аналогичная аргументация применима и к случаю плавного потенциала рассеивателей [80]. Поскольку движение центра орбиты описывается уравнением

J^^O(6.37)

ft ду.

то коэффициент диффузии пропорционален флуктуации градиента локальной потенциальной энергии. Выражение (6.32) совпадает с выражением, связывающим классические феноменологические значения п^ и аху;.

= _с^ ='

т 1 + (ш^ту)2

1+(6.38)

Нuctj т 1 + (шсту)"шсТ/

Данная формула допускает простое истолкование. Если в направлении оси у приложено электрическое поле Еу) то центр циклотронной орбиты дрейфует вдоль оси х со скоростью их = сЕу/Н, что дает вклад в холловскую проводимость, равный — N^c/H. Эффекты рассеяния можно рассматривать как действующую на каждый электрон силу трения Ех = = —mvx/Tj = еЕу/истр Ток, создаваемый этой силой в направлении оси х, равен

(6.39)(6.39). F 1

(6.39)

(6.39)

^х — °XX (—е) ="^”7 "хх^у — ^ху^у

При произвольной величине магнитного поля становятся существенными процессы рассеяния с переходами между различными уровнями Ландау и задача существенно усложняется. Даже в простейшем самосогласованном борновском приближении получить явные выражения для компонент тензора проводимости весьма сложно, и к настоящему времени подробно исследован лишь случай короткодействующих рассеивателей [51]. Было показано, что пиковые значения у о^ уменьшаются, а у &аху возрастают достаточно плавно при уменьшении магнитного поля в области uctj > 1. Компоненты проводимости и плотность состояний для произволь-

Ч В работе [142] показано, что расчеты, приводящие к формулам (6.27), (6.29), и оценка (6.36) справедливы лишь при большой концентрации рассеивающих центров Nj. Если же 2tN{2 < 1, то rN = 0, °хх = 0, а аху имеет конечную величину. — Прим.перев.

ных значений uctj рассчитывались численно. При wctj < 1 осцилляции становятся синусоидальными и

N^t, 1 гт )2

°XX =. 1 - 2X

т 1 + (^Ту)21 + ^шсТУ

(6.40)(6.40)li^koT2т?кнТ 2тд

(6.40)

(6.40)

х ———cosech—cos х

huchuchuc

при условии, что зоны имеют простой параболический вид, уровни Ландау эквидистантны, а химический потенциал g значительно превосходит йшс. Данное выражение позволяет определить величину эффективной массы и время релаксации в нулевом поле ту из экспериментальных данных по температурной и полевой зависимостям амплитуды осцилляций. Подробно этот вопрос обсуждается в § 2. Следует отметить, что в отличие от трехмерного случая осциллирующая часть проводимости не содержит множителя (Ьыс/цУ/г. В трехмерных системах неосциллирующая часть плотности состояний растет с ростом энергии Е как ЕУг из-за наложения состояний, соответствующих более низким уровням Ландау и большим импульсам в направлении магнитного поля, что и приводит к появлению множителя (кыс/р,УУ1. В двумерных системах неосциллирующая часть плотности состояний не зависит от Е и подобный множитель отсутствует. Тем не менее ряд авторов [480, 481, 520, 1320] использовал для анализа экспериментальных результатов простую трехмерную формулу, содержащую указанный множитель, что однако, не сказывается на величине эффективной массы, определяемой только по температурной зависимости осцилляций.

Для исследования применимости самосогласованного борновского приближения было проведено суммирование всего бесконечного борновского ряда (так называемое одноузельное приближение) [49]. Полученный результат совпадает с результатом самосогласованного борновского приближения при высоких концентрациях слабых рассеивателей, т.е. в случае, когда электрон одновременно чувствует потенциалы многих рассеивателей. В других случаях необходим учет поправок более высокого порядка. В частном случае, когда концентрация центров невелика, а амплитуда рассеивающего потенциала столь мала, что можно пренебречь переходами между различными уровнями Ландау, плотность состояний вблизи каждого уровня имеет структуру, связанную с образованием так называемых примесных зон. Такие зоны образуются вблизи нижнего или верхнего края уровня Ландау в зависимости от того, является потенциал центра притягивающим или отталкивающим. Если потенциал притягивающий и притом достаточно сильный, примесная зона может образовываться только под самым нижним уровнем Ландау. В приближениях более высокого порядка можно вычислить и холловскую проводимость [78]. Было установлено, что в пределе сильного поля при полном заполнении уровней Ландау о^ при нулевой температуре равно своему классическому значению — N^/H даже в условиях существования локализованных примесных состояний. Эта проблема привлекает большое внимание и будет обсуждаться ниже, в § 2. Заметим, что ранее вопрос об уширении уровней и диссипативной проводимости уже рассматривался в работах [1356, 1357], где использовалась некоторая разновидность одноузельного приближения. Однако при этом пренебрегалось важным требованием самосогласованности.

Самосогласованное борновское приближение недостаточно при энергиях, близких к границам спектра, о чем явно свидетельствует наличие физически нереальных обрывов в плотно-

Рис. 111. Сплошная кривая — профиль плотности состояний на низшем уровне Ландау, полученный путем приближенного суммирования бесконечного ряда теории возмущений [50]. Штриховая н точечная кривые отвечают соответственно эллиптической и гауссовой форме линии.

сти состояний. Поэтому результаты, полученные в указанном приближении, непригодны для детального анализа тензора проводимости (формы линии), в особенности в сильных магнитных полях, когда плотность состояний в интервалах между уровнями Ландау равна нулю. Для получения разумных результатов вблизи границ спектра необходимо учитывать эффекты многократного рассеяния. Однако это нелегко, поскольку простая поправка на многократное рассеяние не дает физически разумных результатов из-за проблемы аналитичности [50]. В случае высокой концентрации слабых короткодействующих рассеивателей можно приближенно просуммировать весь бесконечный ряд. Члены каждого порядка следует заменять соот-* ветствующим простым выражением и суммировать получающееся асимптотическое разложение. Получаемый профиль плотности состояний, изображенный на рис. 111, представляет как бы среднее между эллиптической и гауссовой кривыми. С ростом номера уровня Ландау N он все более напоминает результат самосогласованного борновского расчета, хотя плотность состояний и имеет хвосты с обеих сторон линии, как это показано на рис. 112. Такая зависимость от N согласуется с тем обстоятельством, что с ростом кинетической энергии бор- новское приближение становится все более удовлетворительным. Аналогичные вычисления для проводимости весьма сложны и до сих пор еще не проведены.

В работах Герхардса [614 — 616] для вычисления плотности состояний использовался метод кумулянтного разложения (или метод интегралов по траекториям). Записав гриновскую функцию в виде

G^E') = j drexp(-z£0(Olo;v^X(?)a^lO), о

Рис. 112. Профиль плотности состояний для первых уровней Ландау, полученный путем приближенного суммирования бесконечного ряда теории возмущений [50]. С ростом номера уровня N он приближается к полуэллиптиче- ской кривой.

где KV) = <ехр

(6.42)

в представлении взаимодействия имеем

^(0 = К°УХ Техр^(0 = К°УХ ТехрЗдесь Т — оператор временного упорядочения,Здесь Т — оператор временного упорядочения,<^ехр<^ехрК°Щ = ехрК°Щ = ехр(6.43)(6.44)(6.45)(6.43)(6.44)(6.45)

^(0 = К°УХ Техр

^(0 = К°УХ Техр

Здесь Т — оператор временного упорядочения,

Здесь Т — оператор временного упорядочения,

<^ехр

<^ехр

К°Щ = ехр

К°Щ = ехр

(6.43)

(6.44)

(6.45)

(6.43)

(6.44)

(6.45)

Кумулянтное разложение времяупорядоченной экспоненты в (6.43) имеет вид

( Техр( Техрi~hi~hdT^(T)dT^(T)(6.46)(6.46)

( Техр

( Техр

i

~h

i

~h

dT^(T)

dT^(T)

(6.46)

(6.46)

Первый член разложения

С, = - — t^> h

тривиален и может быть опущен. Член второго порядка равен

(6.48)(6.48)— ) TlrfTldr' [< ^(т)^(т'-)> - <^>2]. h / J J

(6.48)

(6.48)

о о

Удерживая только низший ненулевой член, имеем к^п = (oia^a^io) =

(6.49)

(6.50)

В достаточно сильных магнитных полях

KN(O = exp

(6.51)

При этом плотность состояний имеет гауссову форму •

ЩЕ) =ЩЕ) =1ЪЙ11ЪЙ1(6.52)(6.52)

ЩЕ) =

ЩЕ) =

1

ЪЙ1

1

ЪЙ1

(6.52)

(6.52)

изображенную на рис. 111 пунктиром. Использованный подход, называемый кумулянтным приближением низшего порядка, может частично учитывать и эффекты более высокого порядка и не приводит к резким нефизическим обрывам в плотности состояний. Поэтому наряду с работой [50] он представляет теоретическую основу, оправдывающую использование гауссова вида плотности состояний для качественного анализа формы линии. Из рнс. 112 видно, что форма Ьинии, вычисленная в [50] с учетом членов высших порядков, для уровней Ландау с большими номерами имеет вид скорее эллиптический, нежели гауссов. В кумулянт- ном приближении для получения такого результата также необходимы члены высшего порядка. Вычислить в соответствующем приближении кинетические коэффициенты с помощью указанного метода крайне сложно, и в работах [614 — 616] были использованы упрощающие предположения. При этом для пикового значения диссипативной проводимости получено выражение, в т/2 раз большее, нежели дает формула (6.27). В предельном случае дальнодейст-

(6.53)(6.53)

(6.53)

(6.53)

Рис. 113. Зависимость проводимости инверсионного п- слоя на поверхности (ПО) кремния (т^,/тх = 2,9) от радиуса действия гауссова потенциала рассеивателей [57]. Сплошные кривые соответствуют ахх, штриховые-— ayv

вующих рассеивателей диссипативная проводимость остается конечной. Поскольку в рассматриваемом пределе роль потенциала несущественна, то этот результат физически нереален. Он, по-видимому, связан с противоречивостью приближений, сделанных при выводе формул для функции Грина и для проводимости.

Вышеупомянутая теория легко (в особенности в сильных магнитных полях) обобщается на анизотропный случай, когда закон дисперсии электронов характеризуется двумя различными эффективными массами [57]. Плотность состояний и компоненты тензора проводимости описываются выражениями, аналогичными (6.18), (6.24), (6.29) и (6.30), где оси х и у выбираются в направлении осей симметрии системы. Природа уширения уровней, как и следует ожидать, та же, что и в изотропной системе. Анизотропия диссипативной проводимости здесь будет максимальной в случае короткодействующих рассеивателей. При этом

т -т -

°ХХ ~" °ХХ’ °уу — °хх’

где тх и ту — эффективные массы в соответствующих направлениях, т = (,тхту)'А, а а^ — проводимость изотропной системы с эффективной массой т и тем же потенциалом рассеивателей. С ростом радиуса действия потенциала анизотропия уменьшается, и при d — со проводимость становится изотропной. Рис. 113 отчетливо демонстрирует зависимость анизотропии проводимости от радиуса действия потенциала, вычисленную для гауссова потенциала рассеивателей. Можно вычислить и холловскую проводимость анизотропной системы, однако на ней анизотропия сказывается значительно слабее. При уменьшении ма1нитного поля становятся существенными переходы между различными уровнями Ландау и задача значительно усложняется. Исключение составляет лишь случай короткодействующих рассеивателей, где выражения (6.53) остаются справедливыми для любой величины магнитного поля. Для рассеивателей же с конечным радиусом действия получить какой-либо определенный ответ не удается. Даже уравнение Больцмана в отсутствие магнитного поля при этом решается лишь приближенно или путем утомительных численных расчетов.

Высокочастотная проводимость

Высокочастотные свойства инверсионного слоя обычно изучаются путем измерения пропускания света из дальней инфракрасной области, падающего по нормали к поверхности. Можно также изучать излучение системы [649, 652, 653]. Как правило, длина волны света значительно превосходит толщину инверсионного слоя. При этом отклик системы на внешнее электрическое поле можно вычислить, рассматривая инверсионный слой как проводящую плоскость z = 0 с двумерным тензором проводимости ^(ш), определяемым из соотношения

JM5(z)exp(-»w0 = £ ^/w^^z^tzJexpt-Zwf),(6.54)

где E’p(z)exp( — iat) — электрическое поле. Используя формулу (6.54), нетрудно вычислить коэффициент пропускания [13, 52, 308, 936, 1915]. Если проводимость не слишком велика, то легко показать, что изменение пропускания для света, линейно-поляризованного вдоль оси х, пропорционально действительной части а^ш). Таким образом, задача сводится к вычислению высокочастотной проводимости а^шУ Заметим, что в экспериментах следует принимать меры для подавления многократного отражения в слое конечной толщины (как в резонаторе Фабри — Перо), вносящего различного рода искажения в форму линии [13, 308, 936, 1915]. Заметим также, что проводимость может стать достаточно большой и форма кривой пропускания уже не будет совпадать с действительной частью ^(ш), в особенности при высокой концентрации электронов. В этом случае для анализа формы линии следует использовать точное выражение для коэффициента пропускания.

Для расчета высокочастотной проводимости ^(ш) можно применить теорию, изложенную в предыдущем разделе [52, 83]. Приведем лишь некоторые из полученных результатов. Для случая короткодействующих рассеивателей разрешены оптические переходы между всеми состояниями соседних уровней Ландау, поскольку уширение уровней носит столкновительный характер. Следовательно, ширина резонанса непосредственно определяется уширением уровней. Для рассеивателей с дальнодействующим потенциалом разрешены переходы только между состояниями, отстоящими на почти одинаковое энергетическое расстояние от центра каждого из уширенцых уровней Ландау, поскольку в случае неоднородного уширения это соответствует близко расположенным центрам циклотронных орбит. Ширина резонанса Гск определяется флуктуациями градиента локального потенциала К(г), т.е.

(6.55)(6.55)<(/УГ(г))2>

(6.55)

(6.55)

<(Г(г) - < И(г)»2>'л ‘

Дать точное выражение для ширины линии циклотронного резонанса в общем случае весьма трудно. В работе [52] вычислялась дисперсия спектральной линии Д2(йш) для случая, когда в сильных магнитных полях уровень Ферми лежит посередине между двумя соседними уровнями Ландау:

,1 С 1 Г dx Г dx' Г / 1г - г' 1\

д (М = 2т/2 \ I dzN^^ I —I —J2nn ( -) +

J J 2т/ L Xv /

. /2“ г |\ _ 2J2/|Г “ ГЛzlyto/r'zl -

+II "NN+l I I ) и V» zly V ~

= £ jtf^U) £ [^(z^tWW - ^w+ito)]2.(6.5^

м<7

Рис. 114. Высокочастотная проводимость при нулевой температуре для гауссова потенциала рассеивателей [52]. rN — ширина N-ro уровня Ландау, а = d/l. Сплошная линия соответствует а = 0. Штриховая— а = 0,5, точечная —а = 1,0, штрихпунктирная — а = 1,5. а — уровень Ферми совпадает с центром N-ro уровня Ландау; б — уровень Ферми лежит посередине между N-м и (N + 1)-м уровнями. Заметим, что для наполовину заполненного уровня (случай а) пик сдвинут в сторону бблыпих энергий, в особенности при короткодействующем потенциале рассеивателей. Это приводит к квантовым осцилляциям формы линии циклотронного резонанса.

где

t-'^lr, z) = £ ^(zJexpOq • г).(6.57)

В случае короткодействующих рассеивателей имеем Д2(Лш) = Г2/2. В случае же дальнодействующих рассеивателей реальная ширина линии может быть меньше, чем дисперсия Д2(йш). Действительно, из формулы (6.56) следует

Д2(М ~ <(/2V2K(r))2>.(6.58)

С помощью неравенства Шварца можно показать, что эта величина превосходит Г^. На рис. 114 представлены результаты расчета ^(ш) в самосогласованном борновском приближении для рассеивателей с гауссовым потенциалом. При увеличении радиуса действия потенциала ширина линии становится меньше, чем размытие уровня. Это эффект частично той же самой природы, что и различие между временем жизни состояния и временем релаксации скорости в отсутствие магнитного поля. Форма линии существенно зависит от положения уровня Ферми, в особенности для случая короткодействующих рассеивателей. Это есть следствие принципа Паули и дискретного характера плотности состояний в двумерной системе. Следовательно, весьма трудно определить точную ширину линии, отвечающей переходу в такой системе при низких температурах. Эта сильная зависимость высокочастотной проводимости от положения уровня Ферми приводит при низких температурах к квантовым осцилляциям формы линии циклотронного резонанса. Обычно для наблюдения резонанса изменяют значение Н при фиксированном йш. При этом уровень Ферми последовательно пересекает различные уровни Ландау, что и является причиной осцилляций формы линии. Высокочастотная проводимость имеет провал при шс < ш и пик при шс > ш, если уровень Ферми лежит посередине между соседними уровнями Ландау. Период этих осцилляций, так же как и обычных осцилляций Шубникова — де Гааза в статической проводимости, определяется только концентрацией электронов Nr На рис. 115 представлены результаты численного расчета ^(ш) для инверсионного л-канала на поверхности (100) кремния в пределе короткодействующих рассеивателей. При Г < 10 К видны отчетливые квантовые осцилляции. Асимметричность формы линии связана с тем, что ширина уровня пропорциональна НУг. Вблизи Н = ЗОкГс и Н = 20 кГс имеется субгармоническая структура, также являющаяся прямым следствием дискретного вида плотности состояний в нашей системе. Из-за взаимодействия между различными уровнями Ландау за счет рассеяния профиль плотности состояний каждого уровня имеет небольшой пик в месте нахождения других уровней. Такой вид плотности со-

1 1

стояний приводит к субгармонической структуре при ш./ш = — , — , ... в двумерной системе. 2 3

В трехмерных системах подобная структура может иметься в профиле плотности состояний, но она недостаточно выражена, чтобы привести к появлению субгармонической структуры в форме линии, поскольку особенности плотности состояний здесь слабее, чем в двумерном случае. Таковы важнейшие черты формы линии циклотронного резонанса в двумерной системе.

В работах [1467 — 1470] (см. также [584, 1464, 1466]) ширина резонанса вычислялась по более простой схеме. В этих расчетах отправной точкой было самосогласованное борновское приближение, но для получения явного вида высокочастотной проводимости вводились дополнительные упрощения. Подобный подход не позволяет описать детали формы резонансной линии, такие, как квантовые осцилляции и субгармоническую структуру, хотя и весьма полезен для качественного анализа уширения. В цитированных работах выражение для ширины

Рис. 115. Зависимость высокочастотной проводимости от магнитного поля для инверсионного л-канала на поверхности (100)Si. Рассеиватели предполагаются короткодействующими. Штриховая линия — расчет по классической формуле с использованием лоренцевой формы линии, характеризуемой единственным временем релаксации ту. При вычислениях полагалось Аш = 3,68, мэВ, т = 0,195 mg, g* = 2 и пре- небрегалось долинным расщеплением [52]. а—Ns = 10" см-2, д = 5000 см2/В с; 6 — Ns = = 1012 см-2, ц = И 000 см2/В • с; в — Ns = 4 ■ I012 см"2, ц = 5 500 см2/В ■ с.

линии было таким же, как и для дисперсии (6.56). Аналогичный результат был получен с помощью иного подхода в работе [654]. Эффекты фононного рассеяния при более высоких температурах рассматривались в работах [1465, 1471]. Работа [777] также посвящена вопросам электрон-фононного взаимодействия. Имеется также целый ряд теоретических работ, посвященных эффектам электрон-электронного взаимодействия. Они будут обсуждаться в § 3.

§ 2. ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ИНВЕРСИОННЫХ СЛОЯХ НА КРЕМНИИ

Сильные магнитные поля

Как было показано в § 3 гл. 4, экранирование рассеивающего потенциала свободными носителями играет важную роль в проводимости и подвижности в инверсионных слоях. Поскольку радиус экранирования Томаса — Ферми определяется плотностью состояний на уров-

не Ферми при нулевой температуре, дискретный характер плотности состояний в сильных магнитных полях приводит к существенному изменению экранирования по сравнению со случаем отсутствия магнитного поля. Таким образом, приложение теории, изложенной в предыдущем параграфе, к реальным инверсионным слоям является непростой задачей. Диэлектрическая проницаемость в магнитном поле сильно зависит от уширения уровней Ландау, которое определяется амплитудой рассеяния и потому является функцией радиуса экранирования. В результате расчет уширения уровней и экранирования должен проводиться самосогласованно. Подобные вычисления проводились лишь в пределе сильных магнитных полей, т.е. для случая, когда взаимодействие между различными уровнями Ландау можно рассматривать как возмущение [62]. Предполагалось, что рассеяние происходит на заряженных центрах, практически однородно распределенных в окисле, и на неровностях поверхности. Результат расчетов для Н = 100 кГс представлен на рис. 116 и 117. На рис. 116 показаны подвижность в отсутствие магнитного поля, ширина уровней Г, вычисленная согласно формуле (6.19), ширина TV-го уровня Ландау, с которым совпадает уровень Ферми Г№ и дисперсия линии циклотронного резонанса. Приведены значения дисперсии линий, соответствующих переходам N — N + 1 и N — 1 — N. Следует ожидать, что реальная ширина линии является средним от этих двух величин, а в случае рассеивателей с дальнодействующим потенциалом может быть и меньше. Ширина ГN зависит от положения уровня Ферми Ер и становится очень большой, когда Ер попадает в область хвоста какого-либо из уровней Ландау. Дисперсия линии циклотронного резонанса не зависит от Ns столь сильно. Когда Ер лежит в области хвостов

Рис. 116. Различные типы уширений, рассчитанвых в самосогласованном борновском приближении для инверсионного л-канала на поверхности (100)Si при Н = 100 кГс [62]. Основными рассеивателями считаются заряженные центры в окисле (W, = 3 ■ 1О,7см-3) и иеровиости поверхности (Д = 3 А, Л = 25 А). Пунктиром изображены подвижности при Н = 0 (кривая с максимумом) и соответствующее ей значение Г (кривая с минимумом). Уширение уровня Г^ (сплошная линия) сильно зависит от положения уровня Ферми, а ширина циклотронного резонанса [Г™_ N + । (штрихпунктириая линия), г£Л_ । _ N (штриховая линия)] столь сильно не меняется.

Рис. 117. Пиковые значения ап и Даху в единицах ^/i^h для инверсионного п- слоя на поверхности (100)Si при Н = 100 кГс [62]. Сплошные линии — рассеяние на заряженных центрах в окисле и неровностях поверхности с теми же параметрами, что и на рис. 116. Точечная линия — рассеяние на короткодействующих центрах с 6-образиым потенциалом.

плотности состояний, эффекты экранирования ослабевают и рассеивающий потенциал становится дальнодействующим. Всюду, за исключением этих областей, величина Г является хорошей аппроксимацией как для Г№ так и для дисперсии. Этот достаточно удивительный результат справедлив в широкой области изменения параметров, соответствующей реальным значениям подвижности. На рис. 117 представлены пиковые значения а^ и Да^ и наряду с ними — результаты для случая короткодействующих рассеивателей, соответствующего той же самой подвижности в отсутствие магнитного поля. Эти значения становятся очень малыми, когда EF лежит в области хвостов плотности состояний, поскольку рассеивающие потенциалы при этом становятся дальнодействующими. Однако в других случаях модель короткодействующих рассеивателей является хорошим приближением. В более слабых магнитных полях модель становится менее пригодной и конечность радиуса действия рассеивателей начинает играть важную роль, в особенности при малых N^ Во всяком случае, можно утверждать, что модель короткодействующих рассеивателей, часто используемая ввиду своей простоты, достаточно хороша для описания качественных особенностей проводимости инверсионных слоев в сильных магнитных полях. Правда, в некоторых случаях эта простая модель неприменима.

В 1966 г. впервые наблюдались [565, 566] осцилляции Шубникова — де Гааза в инверсионном л-канале на поверхности (100) кремния. Некоторые из полученных результатов представлены на рис. 118. Хотя форма осцилляций была еще не столь идеальна, как в позднейших работах, в которых использовались более высококачественные образцы с меньшим зарядом в окисле и большей подвижностью, тем не менее все характерные особенности, о которых речь пойдет ниже, в эксперименте проявились. Из постоянства периода осцилляций по Ns и из температурной зависимости их амплитуды авторы сделали вывод о том, что рассматриваемая электронная система является двумерной и характеризуется эффективной массой, близкой к массе электронов в зоне проводимости Si. В сильных магнитных полях наблюдалось также спиновое и долинное расщепление. Как уже отмечалось в § 1 гл. 3, нижняя электрическая подзона в инверсионном л-канале на поверхности (100) Si образована из двух долин, расположенных вдоль осей [100] и [100]. В приближении эффективной массы долины вырождены, но вырождение может быть снято. Детально этот вопрос обсуждается в § 1 гл. 7.

го w во го tooго w во го toov6, вv6, в

го w во го too

го w во го too

v6, в

v6, в

Рис. 118. Наблюдавшаяся в работах [565, 566] магнитопроводимость при изменении магнитного поля от промежуточного до сильного [1707]: 1 — Н = 33 кГс; 2 — Н = 90 кГс; 3 — Н = = 143,66 кГс; 4 — Н = 165,2 кГс.

Подробные и систематические измерения ахх в образцах с высокой подвижностью были проведены в работах [77, 987] [см. также теоретические расчеты («т^пик [80], приведшие к формуле (6.27)]. Один из полученных результатов представлен на рис. 119. Четыре первых пика соответствуют основному уровню Ландау (N = 0), следующие четыре — уровню N = 1 и т.д. Двукратное расщепление пиков, соответствующих N = 2 и N = 3, есть зеемановское спиновое расщепление, а пики с N = 0 и N = 1 испытывают дополнительное долинное расщепление. На рис. 120 показана магнитопроводимость ахх при различных напряженностях Н. Отчетливо видно, что пиковые значения практически не зависят от Н, что объясняется доминирующей ролью короткодействующих рассеивателей. На рис. 121 представлена зависимость пиковых значений от номера уровня N. Если учесть экспериментально наблюдаемую крат-

Рис. 119. Осцилляции проводимости, наблюдавшиеся Кобаяши и Комацубарой [77, 987] в инверсионном л-слое иа поверхности (100)51 при Н = 95 кГс. Показаны также эффективная подвижность Дэ<м> (штриховая линия) и соответствующая ширина уровня Г(штрихпунктирная линия) [80].

vG, ВvG, ВРис. 120. Осцилляции магнитопроводимости, наблюдавшиеся Кобаяши и Комацубарой [77, 987] при различных значениях магнитного поля [76]: 1 — Н = = 50 кГс; 2 — Н = 60 кГс; 3 — Н = 80 кГс; 4 — Н = = 95,5 кГс.

vG, В

vG, В

ность расщепления, то можно заключить, что теоретически вычисленные в модели короткодействующих рассеивателей значения находятся в полуколичественном согласии с экспериментом.

Рис. 121. Зависимость пиковых значений проводимости от номера уровня Ландау [76]. Прямые линии соответствуют теоретическим значениям высоты пиков для: 1 — четырехкратно вырожденных уровней (без учета расщепления); 2 — двукратно вырожденных уровней (с учетом спинового расщепления); 3 — невырожденных уровней (с учетом спинового н долинного расщепления). Черные и белые кружки соответствуют экспериментальным результатам для двух различных образцов при 50 < Н < 95,5 кГс и Т = 1,4 К.

В работе [1052] также подробно исследовались пиковые значения а^, причем в более широком интервале магнитных полей и для различных смещений на подложке. При уменьшении Н эти значения убывали значительно быстрее, чем предсказывает теория для случая короткодействующих рассеивателей. Упомянутые выше результаты вычислений для более реалистичной модели рассеивателей дают лишь качественное объяснение эффекта. Количественно же рассчитанная зависимость от Н является более резкой, чем в эксперименте. Это может быть связано с добавочным неизвестным рассеянием в реальных инверсионных слоях. В обсуждаемой работе предполагалось, что существенную роль может играть междолинное рассеяние (более детальное обсуждение механизмов рассеяния в § 3 гл. 4). Исследовалась также зависимость пиковых значений а^ от напряженности электрического поля между истоком и стоком [897, 908].

Как было показано в § 1, уширение уровней можно определить из холловской проводимости аху. Первые измерения оху в сильных магнитных полях были проведены в работе [792]. Авторы использовали широкий прямоугольный образец (с отношением длины к ширине, равным 1/3) и определяли ахх и аху из измерений тока в канале и холловского напряжения. Полученные результаты изображены на рис. 122. Они находятся в качественном согласии с теорией. В частности, теория утверждает, что эффективная ширина Да^ как функции энергии Ферми должна быть меньше, нежели ширина а^. Это объясняет тот экспериментальный факт, что при N = 3 Да^ обнаруживает спиновое расщепление, а тн — нет. В другой работе [903] авторы анализировали форму полученных ими кривых, используя плотность состояний гауссова вида. Было учтено спиновое расщепление и его увеличение за счет обменных эффектов (см. разд. 3 § 2), но долинное расщепление не принималось во внимание. Рассчитанная форма кривых изображена на рис. 122 сплошными линиями. Наблюдается хорошее согласие с экспериментом для аи и менее удовлетворительное — для Да^, абсолютное значение которой значительно превосходит теоретически вычисленное. Различные поправки высших порядков к Даху были вычислены, но оказались слишком малыми, чтобы объяснить упомянутое расхождение [78]. В работе [1938] (см. также [897]) было показано, что наблюдаемые значения а^ и аху сильно зависят от геометрии образца и что простая процедура определения ахх и аху из измеряемых величин не дает точных значений компонент тензора проводимости. Для широких

Рис. 122. Компоненты проводимости <ти (кривые /) и оху (кривые 2), измеренные при Т = 1,6 К, Н = 98 кГс [792] (пунктир) и теоретически предсказанные для Т = 0 К на основе анализа формы линии [903] (сплошные линии). Прямая линия представляет график функции аху = — Nsec/H.

Л/’s, 1012 см

Рис. 123. Компоненты проводимости ахх (кривые 7) и аху (кривые 2), измеренные методом тока Холла при Т = 1,5 К, Н = 120 кГс и напряженности тянущего поля 2 В/см в МОП-структуре на поверхности (100)81 [1939, 1940] (точки). Сплошная линия для ахх — результат измерений в геометрии диска Корбино, дающих ахх в чистом виде. Сплошная линия для аху — результат расчета по формуле Ьяху = (Г/Ьшс)охх с использованием величины подвижности, измеренной в отсутствие магнитного поля [1940]. Прямая линия представляет график функции аху = —N^c/H.

образцов измеряемые значения ан близки к а^, полученным в геометрии диска Корбино, и к реальным значениям данной величины, а измеряемая холловская проводимость аху далека от реальной. Напротив, для длинных образцов получаются ошибочные значения для а^. Это связано со значительными искажениями электрического поля вблизи краев образца. Из-за указанных сложностей прямое сравнение теории холловской проводимости с экспериментом затруднительно. Для более успешного определения аху вместо обычных измерений холловского напряжения в широких образцах проводились измерения" тока Холла-[1939, 1940]. В этом методе искажения электрического поля несущественны. Полученные результаты представлены на рис. 123. аху, изображенная сплошной линией, получена из экспериментальных значений ахх с использованием формулы Доху ~ Го^йс^, где Г определено из экспериментальных значений подвижности с помощью формулы (6.19). Видно, что теория вполне удовлетворительно описывает экспериментально измеренные значения Даху.

Теория, описанная в § 1, предсказывает, что в достаточно сильных магнитных полях, когда уровень Ферми лежит посередине между TV-м и (N + 1)-м уровнями Ландау, axv = — N^c/H = №2/2?гЛ. В 1980 г. при измерениях axv на поверхности (100) кремния было обнаружено, что в областях, где величина ахх очень мала по сравнению со своими пиковыми

значениями, аху не зависит от Ns [211, 910, 1906]'^ Пример такой закономерности представлен на рис. 124. Было показано [1906], что значения аху на упомянутых плато являются с точностью до —1,5 • 10“5 целыми кратными величины е/2тгй, и предложено использовать эффект для точного определения мировой константы е2/Л. Такое применение квантового эффекта Холла наряду с возможностью его использования для создания эталона сопротивления вызвало большой интерес и стимулировало активные исследования в метрологических лабораториях различных стран [1753]. Указанному вопросу посвящен обзор [1905]. Квантовый эффект Холла был также обнаружен в гетероструктурах GaAs — AlxGa|_xAs [130, 1289, 1824]. В связи с этими интересными исследованиями возник фундаментальный вопрос о справедливости теоретических выводов, полученных в предыдущем параграфе в рамках достаточно простой модели [96, 1068, 1462]2\

Холловская проводимость а^ дается формулой (6.29). Поправка Лаху, связанная с рассеянием, может быть записана в виде [1027]

Ла = V——У [(alAl^ira) (al KIWIAla)],(6.59)

ху IL2 №а - Eg + Ю)2'’

a,б

где I а) обозначает собственные состояния, а Еа — соответствующие энергии. Если состояние la) локализовано, то

(al%l0) = — (al[%, ^10) = — (Ев - Е^(а\Х\^.(6.60)

ihih

25

20

15

10

5

Рис. 124. Зависимость холловского напряжения Uh (кривая 7) и напряжения между потенциальными зондами ирр (кривая 2) от напряжения на затворе при Т = 1,5 К, Н = 180 кГс [1906]. Показаны осцилляции вплоть до уровня Ландау с N = 2. Величины UH и Upp пропорциональны соответственно рху и рхх, где Рхх = "«/t»2»- + ^ху)- а Рху = - Оху^хх + °2ху)- На врезке — вид сверху на структуру, имеющую длину L = 400 мкм, ширину W = 50 мкм и расстояние между потенциальными зондами Lpp = 130 мкм: 1 — подложка р-типа; 2 — л + -области; 3 — исток; 4 — сток, 5 — поверхностный канал; 6 — затвор; 7 — потенциальные зонды; 8 — холловский зонд.

ЗУ дуЗУ дуа) + еЕу ,(6.61)а) + еЕу ,(6.61)

ЗУ ду

ЗУ ду

а) + еЕу ,(6.61)

а) + еЕу ,(6.61)

Учитывая, что [X, У] = z72, мы сразу видим, что вклад состояния 1а) в Aaxv равен ес/Н, что в точности компенсирует соответствующую величину в первом члене формулы (6.29). Это означает, что оху не зависит от Ns до тех пор, пока уровень Ферми лежит в области локализованных состояний. Такой вывод согласуется с интуитивным представлением о том, что локализованные состояния не дают вклада в ток, и объясняет экспериментальные результаты. Из выражения (6.59) сразу же следует, что Да^ = 0 для полностью заполненного уровня Ландау в пределе сильного поля, когда перемешивание состояний, принадлежащих различным уровням, несущественно. Поэтому имеет то же самое значение (целое кратное е2/2тй), что л в отсутствие рассеяния, даже если часть состояний локализована. Сделанное утверждение имеет простой физический смысл. Токух, создаваемый слабым электрическим полем Еу, может быть записан в виде

(6.62)(6.62)

(6.62)

(6.62)

где У (г) — локальная потенциальная энергия, а Iа') — собственная функция при наличии внешнего поля Е. В пределе сильного магнитного поля

^a'W ~ £ CNX^NX^

где <...> означает пространственное усреднение. При выводе формулы (6.63) использовалось свойство ортогональности caNX и выражение (6.14). Таким образом, в случае, когда все уровни Ландау полностью заполнены электронами, имеем Да^ = О1*. В электрическом поле волновые функции локализованных состояний деформируются так, чтобы эффективное поле рассеивателей (а' \ЭУ/ду 1а') в точности компенсировало внешнее поле Еу. С другой стороны, волновые функции некоторых делокализованных состояний деформируются противоположным образом, поскольку они должны оставаться ортогональными к функциям локализованных состояний. Благодаря этому электроны имеют дрейфовую скорость, превосходящую — сЕу/Н на величину, определяемую эффективным полем рассеивателей. Этот дополнительный холловский ток компенсирует потерю части носителей, ушедших на локализованные состояния.

В условиях реальных экспериментов нельзя полностью пренебречь перемешиванием состояний, связанных с различными уровнями Ландау, что может дать поправки к значениям аху. Эта интересная проблема еще недостаточно изучена, хотя есть некоторые указания на то, что эффекты более высоких порядков, связанные с перемешиванием состояний, несущественны [1462]. В работе [1068] приводятся аргументы в пользу того, что холловская проводимость является в точности целым кратным е2/2тгй в произвольном магнитном поле до тех пор, пока имеется щель подвижности и уровень Ферми лежит в области локализованных состояний. Эта проблема обсуждалась также в статье Таулесса [1768].

Были предприняты попытки определить ширину уровней Ландау путем измерений температурной зависимости минимальных значений о^, соответствующих расположению уровня Ферми посередине между соседними уровнями Ландау [491, 1315, 1316]. Если плотности состояний, соответствующие соседним уровням, не перекрываются, то определяется тепловым возбуждением электронов на уровни Ландау и должна иметь вид

, ,/ДЕ -2Г\

(^min -expI).(6.64)

\/

где ДЕ — расстояние между уровнями, а Г — их ширина. Авторы работ [491, 1315, 1316], используя собственные экспериментальные результаты и не учитывая долинного расщепления, определяли величину Г. Полученная таким образом ширина уровней оказалась существенно меньше значения, определенного из подвижности в нулевом поле, и не обнаруживала простой связи с ним. Это неудивительно. Как уже обсуждалось выше, процессы рассеяния в случае, когда уровень Ферми проходит через хвост уровня Ландау, и в отсутствие магнитного поля существенно различаются из-за различного характера экранирования. Далее, в § 4, мы увидим, что определение Г из формулы (6.64) тесно связано с проблемой локализации в сильном магнитном поле.

В работах [1847, 1848] теоретически изучались эффекты разогрева электронов в сильном магнитном поле. Авторы решали уравнение баланса энергии, где ее приход был связан с приложенным электрическим полем, а расход — с перекачкой в фононную подсистему, и вычис-

ляли возрастание электронной температуры. Это возрастание температуры, несмотря на дискретный характер плотности состояний, ие имело сингулярностей в зависимости от концентрации электронов, что связано со взаимной компенсацией функций плотности состояний, входящих в выражения для прихода и расхода энергии. Результаты расчетов сравнивались с неопубликованными экспериментальными данными Каваи и Вакабаяши, полученными путем сопоставления проводимости в сильном поле при низких температурах и в слабом поле — при повышенных. Рассчитанное увеличение температуры оказалось несколько меньше экспериментального.

Осцилляции Шубникове — де Гвазв в слабых мвгнитных полях

В более слабых магнитных полях проводимость испытывает синусоидальные осцилляции. В общем случае

°хх = \dE ( -^(Е)(6.65)

J \/

где в достаточно слабых полях

^(f) = Е^ЧЕ) - cos (^^А F^HEY(6.66)

\к«с/

Здесь F^F) и Е^ЧЕ) — медленно меняющиеся функции Е. Таким образом, при низких температурах

ахх = F№4ii) — cosech (— ) cos () Е'-'Чм-^(6.67)

h^c\/ Ч^с/

где ц — химический потенциал. Следовательно, можно определять шс или эффективную массу m (поскольку шс = еН/mc) из температурной зависимости амплитуды осцилляций а^, если Е^ и Е^ не зависят от температуры. Ранее [566] для эффективной массы было получено значение (0,21 ± О,О1)то при малых Ns. В работах [1657, 1658] (см. также [1706, 1707]) проведено систематическое исследование указанной температурной зависимости и определена эффективная масса как функция Nr Вблизи Ns = 1012 см-2 она превосходит эффективную массу электрона т( = 0,191 т0 приблизительно на 15 Vo и уменьшается с ростом N^ Подобная зависимость от Ns противоположна той, которую можно было бы ожидать от эффектов непарабо- личности и, по-видимому, связана с электрон-электронными взаимодействиями. Она инициировала целую серию теоретических изысканий. Как уже говорилось в § 6 гл. 2, теоретические расчеты возрастания эффективной массы за счет электрон-электронных взаимодействий достаточно хорошо согласуются с экспериментальными результатами. Такое возрастание оказалось к тому же в согласии с оценками, полученными из анализа так называемой субгармонической структуры линии циклотронного резонанса [13, 1006]. Как показано в работе [58], расположение этой субгармонической структуры определяется эффективной массой, увеличенной за счет многочастичных эффектов. Более детально этот вопрос будет обсуждаться в разд. 1 § 3.

Однако ряд более поздних экспериментов заставил усомниться в точности значений эффективных масс, полученных указанным способом. Аналогичные эксперименты в наклонных магнитных полях [1707] показали, что значения масс сильно зависят от величины спинового расщепления, хотя обнаруженная в работах [1657, 1658] тенденция к общему увеличению эффективной массы и к ее уменьшению с ростом Ns сохраняется. В работе [1047] при изучении

влияния смещения на подложке было обнаружено, что эффективная масса возрастает, когда электроны теснее прижимаются к поверхности. Однако значение массы, полученное в отсутствие смещения иа подложке, вело себя диаметрально противоположным, нежели в [1657, 1658], образом, возрастая с ростом■ Ns. Более систематическое исследование температурной зависимости осцилляций Шубникова — де Гааза проводилось в работах [520, 521]. Была определена эффективная масса при различных значениях магнитного поля, уровня легирования подложки и смещения на ней, а также при различной плотности заряда в окисле. Выводы авторов оказались малоутешительными: зависимости полученных значений массы от уровня легирования и от смещения иа подложке были взаимно противоречивыми. Если бы возрастание эффективной массы было связано с внутренними причинами, такими, как электрон- электронные взаимодействия, то для одного и того же Л'обедн должны были бы получаться одинаковые значения массы. Полученные же результаты заставляют думать, что значения эффективных масс, получаемые из анализа осцилляций Шубникова — де Гааза, зависят от природы рассеивателей в системе. Этот факт был продемонстрирован путем изменения заряда в окисле. Для малой плотности этого заряда поведение эффективной массы было аналогично наблюдавшемуся в работах [1657, 1658], в то время как в условиях заметного рассеяния на заряде в окисле зависимость массы от Ns имела обратный знак.

2ке2 Г= — dE2ке2 Г= — dEЕсть несколько причин, которые могли бы объяснить такое странное поведение температурной зависимости шубниковских осцилляций. В § 3 гл. 4 было показано, что экранирование свободными носителями рассеивающего потенциала в инверсионном слое оказывает значительное влияние на подвижность. Поэтому осциллирующий характер эффекта экранирования может привести к дополнительной температурной зависимости F^ и F**\ если амплитуда осцилляций не слишком мала. В действительности константа экранирования Томаса — Ферми (я — 0) дается выражением

2ке2 Г= — dE

2ке2 Г= — dE

(6.68)(6.68)д/\

(6.68)

(6.68)

— ) ЩЕ). дЕ )

Для короткодействующих рассеивателей qs осциллирует в слабых магнитных полях по закону

- 2тге2 т Г 2тг2квТ (2-к2квТ\ /2тгд\ / тг \

q = —у- 1 - 2— cosech ( — I cos I I exp I - 1,

xIhui.\ huc /\\ ш Tf )

(6.69)

где был использован полученный в работе [51] результат

D^E) =D^E) =(6.70)(6.70)

D^E) =

D^E) =

(6.70)

(6.70)

Для простоты здесь пренебрегается спиновым и долинным расщеплением. Теории экранирования в магнитном поле посвящен ряд работ [774, 776, 1080]. Однако получить явное выражение для диэлектрической проницаемости в случае ненулевых значений q весьма непросто, в особенности при наличии столкновительного уширения уровней. Кроме того, пока еще не имеется надежной теории осцилляций Шубникова — де Гааза для реалистической модели рассеивателей и нельзя исключить того, что рассмотренное измечение экранирования и ответственно за странное поведение эффективной массы. Возможная температурная зависимость спинового и долинного расщепления, влияя на многочастичные эффекты (см. разд. 3), также сказывается на температурной зависимости амплитуды осцилляций. Другое объяснение связано с сильным возмущением энергетического спектра за счет рассеивателей. Ввиду наличия

состояний, связанных на примесях, уровни низколежащих делокализованных состояний выталкиваются вверх за счет квантовомеханических взаимодействий. Следовательно, зазор между соседними уровнями Ландау уменьшается, приводя к увеличению эффективной массы [1381]. Эта модель предсказывает рост эффективной массы с ростом концентрации примесей, что, однако, противоречит полученным в работах [520, 521] результатам. Механизм изменения эффективной массы за счет примесного рассеяния был предложен также в работе [1601]. Нет сомнения, что значительная часть увеличения эффективной массы и ее сильная зависимость от концентрации электронов в образцах с высокой подвижностью связаны с злектрон- электронными взаимодействиями, обсуждавшимися в § 6 гл. 2. В настоящее время, однако, трудно отделить в эксперименте точный вклад электрон-электронных взаимодействий от эффектов другого рода. .

Из уравнения (6.40) видно, что при уменьшении Н амплитуда осцилляций экспоненциально падает. Этот так называемый фактор Дингла использовался для определения времени релаксации в рассматриваемой системе. Определенные в 1969 г.‘ Фаулером времена релаксации при больших N находились в разумном согласии со значениями, полученными из подвижности, но при малых Ns существенно превосходили их. Аналогичные эксперименты Нидерера [1320] привели к результатам, хорошо согласующимся с данными по подвижности при концентрации электронов, соответствующей максимуму подвижности, но уменьшающимся при больших Ns. С помощью этого же метода было показано [1047], что время релаксации уменьшается с ростом отрицательного смещения на подложке. Полученные Фэнгом, Фаулером и Хартстейном [520, 521, 702] результаты также хорошо согласуются с данными по подвижности. И хотя еще остаются некоторые расхождения между результатами различных экспериментов, все же можно заключить, что времена релаксации, определенные из амплитуды осцилляций и из подвижности в отсутствие магнитного поля, приблизительно равны. Этот факт вызывает некоторое удивление, поскольку нет априорных причин для равенства этих времен при произвольном типе рассеивателей. Его можно связать с тем, что модель короткодействующих рассеивателей весьма хорошо работает в сильных магнитных полях. В работе [702] исследовалась температура Дингла (kBTD = Й/2яту) при различной плотности заряженных центров в окисле. Было установлено, что зависимость TD от заряда в окисле хорошо согласуется с предсказаниями теории.

Спиновое и долинное расщепление

В предыдущих разделах было показано, что наблюдаемые значения а^ хорошо объясняются теорией. Остается объяснить форму кривой <тх<| в особенности наблюдаемую кратность расщепления различных уровней Ландау. На рис. 119 представлены измеренное значение подвижности и ширина уровня, вычисленная по формуле (6.19). Если положить g-фактор равным двум, то энергия спинового расщепления g^^ (ее типичное значение равно 1,16 мэВ при Н = 100 кГс) будет меньше, чем ширина уровня. При этом нельзя обнаружить ни спинового, ни долинного расщепления, которое для нижних уровней Ландау еще меньше, .чем спиновое (детальное обсуждение долинного расщепления проводится в § 1 гл. 7). Кроме того, ширина уровня сравнительно слабо зависит от Ns, и потому не следует ожидать значительного изменения расщепления при увеличении числа экспериментально наблюдаемых уровней Ландау.

В-1968 г. Фэнгом и Стайлзом был поставлен знаменитый эксперимент [523], идея которого состоит в следующем. Если направление магнитного поля отклонено от нормали к поверхности, то в квантовом пределе структура уровней Ландау определяется нормальной компонентой поля, а спиновое расщепление — его полной величиной (см. § 4 гл. 3). Таким образом, энергетические зазоры между уровнями Ландау и различными спиновыми состояниями можно изменять независимо. Образец осцилляций дифференциальной проводимости

Рис. 125. Осциллирующая зависимость дифференциальной проводимости Gm от поверхностной концентрации электронов при Н = 90 кГс для различных углов наклона 6 [523]. Стрелки указывают значения Ns, соответствующие одинаковым энергетическим зазорам.

do^/dN^ наблюдаемых в наклонном магнитном поле, представлен на рис. 125. Из характерного изменения формы кривых авторы определили угол наклона поля, при котором сравниваются расстояния между соседними уровнями: (N, 1) — (TV, I) и (TV, I) — (TV + 1, 1). Этот угол определяет соотношение между g-факторами g* и g£, соответствующими положению уровня Ферми посередине между уровнями (TV, 1) и (TV, I) и между уровнями (N, I) и (N + 1, 1):

gsPgH = —COS6 - g^sH. <6,71)

Полагая g£ = g^ и беря в качестве т значение mt = 0,191 m0, авторы определили g-фактор при различных значениях N$. Он оказался существенно большим, чем в массивном образце (-2), и резко возрастающим при уменьшении концентрации электронов. Заметим, однако, что абсолютное значение g-фактора, полученное таким образом, может оказаться неточным, если эффективная масса имеет величину иную, нежели в массивном образце.

Возрастание g-фактора было объяснено обменным взаимодействием электронов на уровне Ландау. Допустим, что из-за зеемановского спинового расщепления число электронов со спином t большё, чем со спином I. При этом вторые испытывают более сильное отталкивающее воздействие, нежели первые, поскольку электроны с одинаковыми спинами ие могут из-за принципа Паули располагаться близко друг к другу, и более сильное отталкивание создается за счет электронов с противоположным направлением спина. Поэтому электрон- электронные взаимодействия увеличивают исходное расщепление. Как уже отмечалось в § 6 гл. 2, такое возрастание g-фактора было рассчитано рядом авторов для случая слабых маг-

Рис. 126. Теоретически рассчитанные осцилляции g-фактора в зависимости от концентрации электронов при различных напряженностях магнитного поля [81]. Сплошные и штриховые линии соответствуют g- фактору при ширине уровней rN = Г иГч = 0,8 Г соответственно.

нитных полей. Реальные же эксперименты выполняются в сильных полях, когда существенно квантование Ландау. Таким образом, предположение g^ — gj в действительности не слишком хорошо, поскольку в случаях, соответствующих g^ и gj, разница в числе электронов со спинами 1 и I неодинакова. В сильных магнитных полях плотность состояний становится дискретной, и указанная разница в числе электронов со спинами 1 и I (а именно ей пропорционально возрастание g-фактора) сильно зависит от положения уровня Ферми. Если уровень Ферми лежит посередине зазора между состояниями (N, 1) и (N, I), то разница максимальна и g-фактор принимает некоторое наибольшее значение (большее двух). Если же уровень Ферми лежит посередине между состояниями (TV, I) и (N + 1, 1), то g-фактор принимает наименьшее значение, близкое к двум. Таким образом, при изменении Ns g-фактор осциллирует.

Эти осцилляции g-фактора были вычислены в рамках так называемого экранированного приближения Хартри — Фока [81, 82] (см. также [1849, 1850]). Эффективный g-фактор определяется следующим образом:

8*Мд^ = №цН + Ем — Ем. (6.72)

Здесь

L e^' °)

^NN^QV^nX nNl)’

(6.73)

q

где nNa — фактор заполнения уровня Ландау (TV, а), равный единице, когда уровень заполнен электронами; К(^) — фурье-образ эффективного двумерного электрон-электрониого взаимодействия: V^ = Q.K^/xq't F(qy F^ — форм-фактор, определяемый формулой (2.51), a e(q, 0) — статическая диэлектрическая проницаемость. Последняя вычисляется в приближении хаотических фаз в сильном магнитном поле. Поскольку разность заселенностей nw — nNl и диэлектрическая проницаемость зависят от разности энергий уровней со спинами t и I, спиновое расщепление следует вычислять самосогласованно. Результат такого вычисления представлен на рис. 126: g-фактор осциллирует при изменении Ns, и его максимальные значения растут с ростом магнитного поля. На рис. 127 показано отношение g*nBH/rN при положении уровня Ферми посередине между уровнями со спинами I и I. Точки, соединенные штриховыми линиями, представляют значения, полученные в пренебрежении увеличением g-фактора. Точки, соединенные сплошными линиями, соответствуют увеличенному g-фактору (g*). Когда рассматриваемое отношение превосходит некоторое критическое значение ^‘цдН/Г^, на кривых ахх можно различить спиновое расщепление. Хотя это критическое значение зависит от реального вида энергетической зависимости ахх, разумно предположить, что (g'^gH/ Г^ — I. Таким образом, теория предсказывает, что спиновое расщепление должно быть заметно для уровней с N < 2, что согласуется с экспериментальными результатами. Осциллирующее поведение g* не дает возможности определить значение g* из уравнения (6.71) даже при известном угле наклона 9. В работе [962] был проведен эксперимент в наклонном магнитном поле, аналогичный опытам Фэнга и Стайлза [523], и получены верхняя и нижняя границы для действительного значения g*. Поскольку g$ > g^, мы можем получить gmax, полагая gL = 2, и gmin — полагая g*L = gg. Этн величины представлены на рис. 128 наряду с результатами Фэнга и Стайлза. Приведены также значения g*, рассчитанные на основании данных эксперимента в наклонном магнитном поле. Вычисленные значения g$ лежат между gmin и

Рис. 127. Отношение величины g*цдН, соответствующей положению уровня Ферми посередине между уровнями I и 1, х ширине уровня Г^ [81, 82]. Точки, соединенные штриховыми линиями, получены в пренебрежении увеличением g- фактора (g* = 2). Точки, соединенные сплошными линиями, получены на основании рнс. 126 при TN = 0,8Г. Цифры соответствуют номерам уровней Ландау.

Рис. 128. Осцилляции g-фактора в наклонном магнитном поле в зависимости от концентрации электронов Ns. Н = = 95 кГс. Значения Н L (компоненты поля, перпендикулярной поверхности) указаны в нижней части рисунка. Сплошные и штриховые линии соответствуют g-фактору при TN = Г и rN = 0.8Г. Изображены также верхняя (gmax) и нижняя (gmin) границы для g, полученные в работе [962], и значение g, взятое из работы [523] (сплошная линия между ними).

gmax- за исключением нижних уровней Ландау с N = 0 и N = 1, где резкий обрыв плотности состояний, рассчитанной в самосогласованнном борновском приближении, привел к наличию сингулярностей. Можно сделать вывод, что результаты экспериментов весьма хорошо объясняются увеличением g-фактора.

Продолжая увеличивать наклон магнитного поля, можно добиться совпадения уровней (N, I) и (А + 1, 1) и определить значение g-фактора. Из сказанного выше ясно, что g-фактор, определенный с помощью такого метода совпадения, может иметь значение, отличное от полученного Фэнгом и Стайлзом [523]. В работе [961] (см. также [987]) была получена величина, очень близкая к g-фактору в массивном образце, равному 2. Однако здесь, по-видимому, существует проблема определения угла наклона, при котором осуществляется указанное совпадение. Аналогичные эксперименты [1062], проведенные более тщательно, показали, что g- фактор, определенный методом совпадения, также является увеличенным. Тот же самый результат был получен недавно и в работе [484]. Теоретические же расчеты для столь больших углов наклона еще не проводились.

В работе [1048] был предложен метод определения gj путем измерения минимального значения ахх в промежутке между соседними уровнями. Авторы полагали, что все величины, кроме расстояния между уровнями, не меняются при изменении Н и что минимальные значения а^ зависят только от расстояния между двумя соседними уровнями. При постоянной величине полного магнитного поля они определили угол наклона, при котором среднее от минимальных значений охх, соответствующих положению уровня Ферми между (А, I) и (A, t) и между (А, I) н (А + 1, 1), совпадает с минимальным значением о^, соответствующим положению уровня Ферми между (А, 1) и (А, I) в перпендикулярном поверхности магнитном поле. Экспериментальные значения g^ при этом определялись из формулы (6.72), где полагалось g£ = 2. Хотя такой метод представляется хорошим способом определения g^ — максималь-

Гальваномагнитные явления в инверсионных слоях на кремнии 229 него значения осциллирующего g-фактора, исходное предположение не является корректным, поскольку уширение уровня зависит от нормальной компоненты приложенного магнитного поля и меняется с углом наклона.

В работе [491] был предложен остроумный способ независимого определения g£ и g$. Авторы измеряли минимальные значения аа для различных значений Н при фиксированном Нсо$в. В этом случае все величины типа энергий и ширин уровней Ландау, за исключением их спинового расщепления, не должны изменяться. Если плотности состояний соседних уровней не перекрываются, то отличная от нуля проводимость существует за счет теплового возбуждения электронов на соседние уровни. Поэтому зависимость минимального значения ап от магнитного поля дается выражением

(^min ~ ехР (6 74) X ^BT /

для случая, когда уровень Ферми лежит посередине между уровнями (A, t) и (А + 1, I). Для N = 1 и 2 авторы получили значение g£ = 2. В случае когда уровень Ферми лежит посередине между уровнями (А, t) и (А, I), следует ожидать, что

(^rnin ~ exp ( - ■ (6.75) X ^BT /

Для А = 1 авторами было получено значение g£ - 2,6. Таким образом, в работе [491] показано, что возрастание g-фактора действительно вызвано обменными эффектами, и впервые продемонстрирована его осциллирующая зависимость от N^ Однако из-за заметного перекрытия плотностей состояний соседних спиновых уровней полученные значения g$ недостаточно точны. Для получения более точных результатов необходимы более сильные магнитные поля.

В начальный период исследований существовали разногласия в том, является ли наблюдаемое возрастание спинового расщепления эффектом реальным или кажущимся, связанным с тем, что пропорциональной напряжению на затворе правильнее считать концентрацию электронов, а не энергию Ферми [987, 1284, 1285, 1320]. До сих пор еще идут споры о применимости метода совпадения для определения спинового расщепления. В работе [981] был поставлен вопрос о том, заметно ли сказывается долинное расщепление на экспериментальных результатах по спиновому расщеплению. Авторы работы [492] (см. также [484]) выступают против подобного утверждения.

До сих пор нами полностью игнорировалось наличие долинного расщепления, играющего важную роль при определении истинной формы а^. Как будет показано в § 1 гл. 7, вычисленное долинное расщепление приблизительно пропорционально Ns, что противоречит экспериментальным результатам, указывающим на уменьшение расщепления с ростом As. За счет обменных эффектов долиииое расщепление, так же как и спиновое, возрастает [81], но его возрастание оказывается значительно более существенным, чем в случае спинового расщепления. Подобное возрастание вычислялось в работах [1351, 1354] в рамках экранированного приближения Хартри — Фока с использованием полученного самими же авторами значения исходного долинного расщепления. При этом рассеиватели предполагались короткодействующими, плотность состояний — гауссовой и вычислялась форма а^. Результаты приведены на рис. 129. Особенности экспериментально наблюдаемого расщепления качественно воспроизводятся, если для ширины уровней взять значение, несколько меньшее, чем получается из (6.19) при использовании экспериментальных значений подвижности. Хотя предположение о корот-

Рис, 129. Зависимость магнитопроводимости от концентрации электронов N, для трех значений ширины уровней: / — Г^ = 0,69Г; 2 — TN = 0,78Г; 3 — Г^ = 0,87Г. Для нижних уровней Ландау видно спиновое и долинное расщепление. На кривых, соответствующих N = 4, наблюдаются изломы. При расчетах полагалось Н = 140 кГс, 472т/2 = 1,35 • 1012 см""2, NA — ND = 2 ■ 1014 см-3, цтах = 12 000 см2/В • с [1351, 1354].

кодействующем характере рассеивателей во всем диапазоне Ns и нереалистично, можно все же заключить, что теория весьма хорошо объясняет эксперимент. Для строгого анализа формы линии требуется помимо учета возрастания спинового и долинного расщепления самосогласованный расчет уширения и экранирования, а также надлежащее рассмотрение эффектов локализации. Подобный анализ крайне сложен, даже при точном знании природы рассеивателей в системе. Более подробное обсуждение долинного расщепления будет проведено в § 1 гл. 7.

ЦИКЛОТРОННЫЙ РЕЗОНАНС

В разд. 2 § 1 вкратце обсуждалась теория высокочастотной проводимости двумерной электрон-примесиой системы в сильном магнитном поле. В данном параграфе рассматриваются различные вопросы, относящиеся к циклотронному резонансу в реальных инверсионных слоях.

Характерные черты циклотронного резонанса

Впервые циклотронный резонанс в инверсионном канале л-типа на поверхности (100) Si наблюдался независимо в работах [11] и [31]. Предсказанные теоретически [52, 83] квантовые осцилляции впервые наблюдались в работе [13]. Полученные авторами результаты представ-

лены на рис. 130. Стрелками отмечены значения магнитного поля, при которых уровень Ферми совпадает с каким-либо уровнем Ландау. Видно, что при этих значениях в области магнитных полей, меньших 60 кГс, поглощение имеет всплеск, а в области больших полей — провал в согласии с теорией. Приведена также теоретически вычисленная форма кривой. Видно, что положения квантовых осцилляций на теоретической и экспериментальной кривых находятся в отличном согласии, но амплитуда осцилляций у теоретической кривой несколько больше. Это различие нельзя объяснить упомянутой в разд. 2 § 1 возможной разницей между вещественной частью ^(ш) и коэффициентом прозрачности. Есть много возможных причин такого расхождения. Самосогласованное борновское приближение, использованное в теоретических расчетах, представляет собой простейшую аппроксимацию. При учете эффектов более высокого порядка в плотности состояний появляются низко- и высокоэнергетические хвосты, где уширение следует считать неоднородным. Благодаря этому сужается область энергий, в которой применима наша простая аппроксимация, и соответственно уменьшается амплитуда квантовых осцилляций. Далее, модель короткодействующих рассеивателей не абсолютно точна, а увеличение радиуса действия рассеивающего потенциала уменьшает амплитуду квантовых осцилляций. Эта амплитуда может уменьшиться и за счет неоднородностей, если таковые существуют в образце. Во всяком случае, имеющееся согласие теории и эксперимента можно считать удовлетворительным.

Рис. 130. Кривые циклотронного резонанса в инверсионном л-слое на поверхности (100)51 прн Аш = 3,68 мэВ, Г = 5 К. Напряженности полей, при которых уровень Ферми совпадает с центром какого-либо уровня Ландау, отмечены стрелками с номером соответствующего уровня. Нижняя кривая соответствует напряжению на затворе VG = 30 В, а каждая последующая — на 10 В большему. Концентрация электронов пропорциональна VG н при ^с = Ю В равна приблизительно 0,9 ■ 1012 см-2 [13]. Точечная линия — теоретические предсказания работы [52].

Рис. 131. Сопоставление скоростей рассеяния в нулевом поле 1/ту (светлые кружки) и в условиях резонанса 1/труз (темные кружки) [13]. Штриховая линия на рис. а (~ 0,65) — результат расчета в самосогласованном бориовском приближении для случая короткодействующих рассеивателей.

Авторы работы [13] путем сравнения своих результатов с классической лоренцевой кривой определяли ширину линии циклотронного резонанса и сопоставляли ее с временем релаксации при Н = 0 (см. рис. 131). В согласии с теоретическими предсказаниями ширина резонанса оказывается больше, нежели уширение уровня й/ту при Н = 0. В верхней части рисунка показано отношение ширины линии циклотронного резонанса к корню квадратному из й/ту. Теоретически это отношение должно быть постоянным, и для случая короткодействующих рассеивателей, одинаковых как в отсутствие, так и при наличии магнитного поля, изображено штриховой линией на рис. 131. При высоких концентрациях (N$ > 1,5 ■ 1012 см-2) согласие теории с экспериментом вполне удовлетворительное. Вблизи концентраций, соответствующих максимуму времени релаксации, реальная ширина линии становится меньше, чем это следует из модели короткодействующих рассеивателей. Это позволяет думать, что в действительности рассеиватели не являются полностью короткодействующими. При очень низких концентрациях (N, < 0,5 ■ 1012см~2) ширина линии циклотронного резонанса существенно возрастает за счет неоднородного уширения. В работе [12] исследовалась частотная зависимость ширины линии. При больших Ns экспериментальные результаты согласуются с теоретически предсказанной зависимостью вида Н'л. При малых Ns ширина линии значительно отклоняется от указанной зависимости и почти не меняется с магнитным полем. Более тщательное изучение частотной зависимости в широком диапазоне частот [1933] (см. также [934]) показало, что закон HV1 имеет место при больших концентрациях (Ns > 10|2см~2) и сильных полях в согласии с выводами теории. При малых концентрациях электронов зависимость от магнитного поля по-прежнему была весьма слаба. Для детального объяснения полученных результатов требуются точное знание природы рассеивателей и расчеты истинной формы линии в соответствующей реалистической модели. Однако эта задача крайне сложна. Важные сведения относительно уширения могут дать результаты недавних экспериментов с контролируемой концентрацией рассеивателей типа ионов Na+ [258].

Другой интересной особенностью формы линии циклотроииого резонанса в двумерной системе является предсказанное теоретически [52] наличие субгармонической структуры. Экс-

Рис. 132. Субгармоническая структура дифференциального поглощения в инверсионном „-слое на поверхности (100)81 при различных напряжениях на затворе VG: 1 — VG = 6В, 2 — VG = SB; 3 — VG = 10В;

4 — VG = 12В; 5 — VG = 15В; 6 — VG = 20В; 7 — VG = 25В; 8 — VG = ЗОВ. Концентрация электронов приблизительно пропорциональна VG и при VG = 10В равна 1012 см-2; Аш = 3,68 мэВ, Г « 5 К; Положение субгармоиик сдвигается в сторону более сильных магнитных полей в соответствии с ростом эффективной массы при уменьшении концентрации электронов [13J.

периментально такая структура наблюдалась в работе [1006] (см. также [13]) и представлена на рис. 132, где изображена полевая зависимость производной коэффициента поглощения dP/dH. Субгармоническую структуру, хотя и очень слабую, можно видеть также на рис. 133.

Рис. 133. Теоретические и экспериментальная формы ли- иий циклотронного резонанса в инверсионном „-слое на поверхности (100)81 [58]. йы = 3,68 мэВ, и = ?=7000 см2/В • с, т = 0,197 т0. / — экспериментальная кривая при VG = 25 В, Т - 4,5 К; 2 — классическая фор- ма линии (штриховая линия) и теоретический расчет при 7V, = 2,6 ■ 1012 см-2 (сплошная линия) для т'/т = 1,08; 3 — то же для т'/т = 1,00. Стрелками отмечены магнитные поля, соответствующие ш = 2ш*с и ш = Зш*.

Действительное положение субгармоник сдвинуто в сторону больших магнитных полей, что было объяснено [58] увеличением эффективной массы за счет электрон-электронных взаимодействий.

В работе Кона [983] было показано, что в однородных системах электрон-электронные взаимодействия не изменяют положение циклотронного резонанса. Хотя данное доказательство относится лишь к короткодействующим взаимодействиям, на самом деле теорема Кона есть следствие того, что электрон-электронные взаимодействия являются внутренними силами в системе. К инверсионным слоям теорема в действительности неприменима, поскольку там наличие рассеивателей нарушает трансляционную инвариантность системы. Отсюда вытекает необходимость проведения расчета высокочастотной проводимости в рамках последовательных тщательно продуманных аппроксимаций, учитывающих электрон-электронные взаимодействия. При этом необходимо учитывать играющие важную роль так называемые вершинные поправки, которые в однородных системах полностью компенсируют эффект возрастания эффективной массы. Примером подобного подхода может служить теория ферми- жидкости Ландау, однако она непригодна для описания субгармонической структуры, являющейся прямым следствием полностью квантованного характера орбитального движения.

В работе [58] рассматривалась модельная двумерная система со слабым короткодействующим взаимодействием между электронами. В простейшем (по существу, хартри-фоковском) приближении можно последовательно рассчитать возрастание эффективной массы и высокочастотную проводимость. Последняя имеет вид

(6.76)(6.76)°±(ш) = а (ш)1 + /ш (1 ) а . (ш)

(6.76)

(6.76)

где знак +( —) обозначает лево (право) поляризованную волну, т и т* представляют собой соответственно затравочную и перенормированную электронную массу, а а± — проводимость невзаимодействующей системы, характеризуемой перенормироранной массой т*. Если в приведенную формулу подставить классическое лоренцево выражение для формы линии, то сразу же получим, что положение резонанса определяется затравочной массой т. Если же, однако, форма линии существенно отличается от лоренцевой, то ее положение может быть сдвинуто. На хвостах циклотронного резонанса величина а±(ш) мала, что позволяет пренебречь ею в знаменателе выражения (6.76). При этом субгармоническая структура определяется структурой а± (ш), то есть соответствует условию ш — лш* (л — целое число, большее двух) с ш* = еН/т*с. Подобная модель электрон-электронных взаимодействий слишком проста и не может быть непосредственно применена к реальным инверсионным слоям. Однако тот факт, что субгармоническая структура по существу определяется перенормированной массой т*, в реальных системах справедлив. Поскольку вершинные поправки в области хвостов несущественны, положение субгармоник определяется разницей энергий квазичастиц на соседних уровнях Ландау, то есть величиной т*. На рис. 133 сопоставляются форма линии, вычисленная в рассмотренной модели, и форма линии, измеренная в эксперименте [13]. Стрелками отмечены пики, соответствующие субгармоникам. Если допустить возрастание эффективной массы на 8%, то положение пиков сместится в сторону больших магнитных полей и придет в согласие с экспериментом. Возрастание такого порядка теоретически вполне допустимо. На рис. 134 сравниваются значения эффективных масс, определенные тремя различными методами. Масса, определенная по основному пику циклотронного резонанса, по существу не зависит от Ns, за исключением некоторых странностей при малых N,. В то же время исследования температурной зависимости осцилляций Шубникова — де Гааза в стати-

Рис. 134. Значения эффективных масс в инверсионном л-слое на поверхности (100)81, полученные различными методами: темные кружки — из положения субгармоник циклотронного резонанса при ш = 2ш* [13]; темные квадраты — из осцилляций Шубникова — де Гааза при Н = 25,9 кГс [1657]; светлые кружки — из положения основного пика циклотронного резонанса [13]. Рисунок взят из работы [58].

ческой проводимости и субгармонической структуры приводят к несколько большим, одинаково зависящим от Ns значениям т*. Таким образом, можно утверждать, что сдвиг положения субгармоник хорошо объясняется возрастанием эффективной массы за счет электрон- электронных взаимодействий.

В работе [1779] сдвиг положения субгармоник объяснялся аналогичным образом, но с использованием иного формализма. Высокочастотная проводимость может быть в общем случае записана в виде

а±И =,(6.77)

т(ш Т шс + Л/(ш))

где Л/(ш) носит название функции памяти [656]. Если разложить Л/(ш) в ряд по амплитуде рассеяния, то для случая примесного рассеяния в низшем порядке имеем

Л/(ш) = —?— V* fdz?/^^) V Ipw(z)I29^[£ *(?, ы) - e ’(9,0)].(6.78)

N^m Li J Li

q

Если подобное разложение имеет смысл, то в рассматриваемом низшем порядке это выражение является точным. Однако в нашей системе применимость такого разложения весьма сомнительна в силу отмеченной в § 1 необходимости самосогласованного подхода. Приведенное выражение можно использовать лишь для качественных суждений о поведении проводимости. Легко видеть, что мнимая часть Л/(ш) имеет максимумы вблизи лш*, связанные с магнитоплазменными модами [309] (см. также [774 — 776]). Благодаря дисперсии магнитоплазмонов реальная субгармоническая структура может быть сдвинута и уширена в зависимости от того, какие волновые векторы q играют основную роль в рассеянии. В случае короткодействующих рассеивателей в структуру вносит вклад широкая область значений q и положение субгармоник должно быть близко к иш*. Однако основанные на упомянутом методе позднейшие численные расчеты не смогли показать наличия определенной субгармонической структуры [1780].

Влияние миогочастичных эффектов на циклотронный резонанс в сильных магнитных полях изучалось также для случая высоких температур [597, 601].

Циклотронная эффективная масса

Вопрос о циклотронной массе тс, определяемой из положения основного пика циклотронного резонанса, является во многом противоречивым. В работе [1007] (см. также [13, 1003 — 1005]) в условиях освещения лазером с йш = 3,68 мэВ при малых Ns (Ns < 0,8 • 1012 см-2) наблюдался рост тс по мере уменьшения Ns (рис. 135). При еще меньших Ns (Ns < 0,4 ■ 1012 см-2)/пс резко падала, меняясь от образца к образцу. При больших Ns масса имела практически постоянное значение, близкое к тс = 0,198 т0. Это значение несколько больше, чем эффективная масса электронов в объеме полупроводника т( = 0,191 т0, но согласуется с величиной объемной циклотронной массы, определенной при той же самой частоте лазера [13]. В работе [12] изучалась частотная зависимость тс и при Ns > 0,4 • 1012см-2 не было обнаружено ее систематических изменений, выходящих за пределы экспериментальных погрешностей.

Причина возрастания тс при уменьшении Ns в области Ns < 0,8 • 1012 см-2 в целом неясна. Уменьшение тс при еще меньших Ns было объяснено возмущающим действием флуктуаций потенциала на циклотронный резонанс [1007]. При наличии плавных флуктуаций потенциала И(г) изменение частоты циклотронного движения определяется кривизной локального потенциала, то есть

5(^c) s 1(Г7)2И(г). (6.79)

При полном заполнении низшего уровня Ландау этот сдвиг исчезает, поскольку в среднем кривизна потенциала равна нулю. При малых концентрациях электронов они располагаются в локальных минимумах потенциала, где 6(йыс) > 0, что увеличивает эффективную цикло-

Рис. 135. Зависимость резонансного магнитного поля и циклотронной эффективной массы от концентрации электронов Ns для четырех различных кремниевых образцов при сравнительно низких концентрациях [13]< Ьш = 3,68 мэВ, Т = 5 К.

Рис. 136. Зависимость циклотронной эффективной массы и времени рассеяния т от концентрации электронов для четырех частот дальнего инфракрасного излучения [938]: треугольники — Аш = 1,38 мэВ, квадраты — hu = = 3,13 мэВ, кружки — Аш = 6,44 мэВ, крестики — Аш = = 7,56 мэВ. На верхнем рисунке точки, отвечающие одной и той же частоте излучения, для облегчения восприятия соединены между собой. Стрелкой иа оси ординат отмечено значение эффективной массы, соответствующее массивному образцу. На иижнем рисунке сплошная линия отвечает стационарному времени релаксации, определенному из эффективной подвижности при Т = 4,5 К и m = 0,19 m0.

тронную энергию, т.е. уменьшает тс. Подобный сдвиг должен быть заметным при концентрациях электронов, меньших, чем требуется для заполнения одного уровня Ландау, Такие простые соображения позволяют оценить значения Ns, начиная с которого идет быстрое уменьшение тс. Аналогичное смещение резонансного пика может иметь место даже для короткодействующих рассеивателей [52]. Теоретическое исследование этого эффекта для некоторой искусственной модели флуктуаций потенциала [1202] показало возможность объяснения экспериментально наблюдаемого резкого уменьшения тс в рамках указанного механизма. Измеренные позднее температурные зависимости [1008, 1026] эффекта также согласуются с предложенной моделью.

На рис. 136 представлены результаты других аналогичных экспериментов при низких концентрациях электронов [938] (см. также [1931 — 1933, 1935, 1936]). Здесь характерная зависимость циклотронной массы от Ns аналогична наблюдавшейся в работе [1007], но, в противоречии с данными других авторов [12], величина тс зависит от энергии квантов лазерного излучения. Как видно из рисунка, при Аш = 7,6 мэВ с уменьшением Ns резонансная линия сужается в противоположность тому, что наблюдается в более слабых магнитных полях. Авторы указывали на несовместимость этого факта с концепцией потенциальных возмущений циклотронного резонанса и пытались объяснить его некоторыми фазовыми превращениями в двумерном электронном газе. В работе [1983] циклотронный резонанс при низких концентрациях исследовался с помощью спектрометра дальнего инфракрасного излучения. Эта методика позволяет прямо измерять частотную зависимость проводимости при фиксированных магнитном поле и концентрации электронов, в то время как обычный способ, связанный с изменением магнитного поля при постоянной частоте, не дает адекватных результатов при исследовании эффектов, сильно зависящих от поля. На рис. 137 изображена резонансная кривая.

Волновое число, с/иВолновое число, с/и

Волновое число, с/и

Волновое число, с/и

Рис. 137. Циклотронный резонанс в ультракван- товом пределе [1983]. Н = 76,9 кГс, Ns = = 8,05 ■ 10,0см~2, Т = 1,2 К, фактор заполнения v = 0,43. Сплошная линия — иеобработаииая экспериментальная кривая, имеющаяся на ией структура связана с остаточными шумами. Штриховая линия — ожидаемая классическая форма линии. Точечная линия — теоретический расчет частотного отклика волны зарядовой плотности при I m т 0,21 т0 и частоте пиннинга 7 = * = 20,2 см-1, согласно работе [593].:

наблюдаемая при у = 0,43, где у = 2тг/2 Ns — фактор заполнения нижнего уровня Ландау. Штриховой линией изображена гипотетическая классическая форма кривой. Наблюдаемый пик сдвинут в сторону высоких частот и сужен по сравнению с тем, что можно было бы ожидать исходя из значения подвижности в нулевом поле. Авторы цитируемой работы обнаружили также наличие специфической зависимости формы линии от фактора заполнения. Для объяснения они предположили, что основное состояние системы является сильно коррелированным или даже кристаллическим. Действительно, модель закрепленной волны зарядовой плотности [599] приводит к зависимости, изображенной точечной линией на рис. 137 и хорошо согласующейся с экспериментом. Однако в отсутствие какой-либо надежной теории эффектов локализации в поле реальных рассеивателей и эффектов электронной кристаллизации в сильных магнитных полях нельзя быть полностью убежденным, что гипотеза о кристаллическом основном состоянии есть единственно возможное объяснение наблюдаемого поведения. Проблеме электронного кристалла будет посвящен § 3 гл. 7. Сходное с описанным выше сужение линии наблюдалось также при воздействии сжимающих напряжений [1003, 1004, 1677].

Измерения частотной зависимости тс [935, 937] (см. также [1933]) показали, что при не слишком низких концентрациях тс возрастает с уменьшением частоты. Было установлено, что тс есть функция параметра шт, и высказано предположение, что ее рост связан со вступлением в игру электрои-электронных взаимодействий за счет сильного рассеяния. Для объяснения такой аномальной частотной зависимости вычислялась высокочастотная проводимость (6.77) в пренебрежении наличием магнитного поля [1846]. Изменение эффективной массы определялось путем сравнения высокочастотных разложений феноменологического выражения

®(ш) =^^ (6.80)

т*(ш + /7т)

и формулы (6.77). Естественно, что вычисленное значение массы уменьшалось с ростом частоты , поскольку в пределе ш — оо подобная поправка должна исчезать. Аналогичные вычисления были проделаны также в работе [606]. Неясно, однако, связана ли эта возросшая масса

с истинным положением резонанса. В действительности нам необходимо знать высокочастотную проводимость при ш = шс, что в отсутствие магнитного поля соответствует ш = 0 в формуле (6.77), но не имеет отношения к изменению массы, вычисленному в высокочастотном пределе. В работе [1780] вычислялась высокочастотная проводимость с использованием функции £(у, ш), рассчитанной в приближении хаотических фаз при наличии магнитного поля. Поскольку, как уже упоминалось, в приближении низшего порядка имеется расходимость, авторы использовали для расчета е(^, ш) подход, аналогичный самосогласованному борцовскому приближению. На рис. 138 сравниваются экспериментально наблюдаемая и вычисленная формы линии. Обнаружено небольшое (порядка 2%) возрастание тс, почти ие зависящее от частоты. Теория еще не может сделать определенных заключений о влиянии электрон- электрониых взаимодействий на циклотронный резонанс в рассматриваемой системе. Эта крайне сложная теоретическая проблема требует дальнейшего изучения. Необходимы также дополнительные экспериментальные исследования для выяснения основных параметров, приводящих к столь заметному различию наблюдаемых эффектов.

Авторы работы [1309] предложили новую модель эффектов локализации, основанную на понятии о локализованных двухэлектронных состояниях, которые, по предположению, могут существовать в аморфном SiO2. Используя весьма упрощенный модельный гамильтониан, они заключают, что подобная модель способна объяснить возрастание тс с уменьшением Ns в области N$ < 0,8 ■ 1012см-2. Эта модель и ее аналоги изучались и впоследствии [1310, 1311, 1966, 1967].

Имеются сведения (Theis Т., 1978, неопубликованная работа) о том, что тщательные измерения циклотронного резонанса при больших Ns позволяют обнаружить возрастание тс с ростом Ns. Такое поведение согласуется с наличием непараболичности в зоне проводимости кремния. Эффекты непараболичности рассчитывались Фаликовым [515] в рамках тех же приближений, которые использовались в работе [514] для вычисления эффективной массы в кремниевых р-каналах. Рассчитывалась поверхность Ферми в объеме образца и затем обреза-

Рис. 138. Экспериментальная и вычисленная форма линии циклотронного резонанса при концентрации электронов Ns = 1,5 • Ю12 см-2 и энергии кванта hu = 3,15 мэВ [1780]. Точечная линия — экспериментальные данные из неопубликованной работы Кеннеди, Вагнера, Мак-Комба и Цуи; сплошная линия — теоретический расчет; штриховая — классическая форма линии.

лась при значении кг, соответствующем минимуму зоны проводимости. Хотя полученная зависимость тс от Ns качественно согласуется с экспериментом, известно, что в применении к p-каналам данный метод некорректен (см. § 1 гл. 8). Вообще исследование эффектов непара- боличности требует еще большой работы.

В работе [1026] (см. также [1008]) исследовалась температурная зависимость циклотронного резонанса. Авторы обнаружили удивительный факт значительного возрастания тс с ростом температуры. В экспериментах других авторов [933] подобной аномалии не наблюдалось. Исследования циклотронного резонанса в условиях одноосной деформации [1677] продемонстрировали возрастание тс, такое же, как при росте температуры. Подобное странное поведение объясняется наличием еще одной совокупности подзон в долинах, ориентированных по другим направлениям в зоне Бриллюэна кремния, и будет обсуждаться в § 2 гл. 7 наряду с более поздними экспериментальными результатами.

Плазменное и магнитоплазменное поглощение

До сих пор мы рассматривали отклик системы на однородные внешние поля (у = 0, где q — двумерный еолновой вектор в направлении, параллельном поверхности). Отклик на внешнее поле с q * 0 также доступен наблюдению. Впервые двумерный плазмон был обнаружен в системе электронов, удерживаемых потенциалом изображения на поверхности жидкого гелия [671, 672] (см. также [668]). Двумерный плазмон в инверсионном слое наблюдался в работе [34] (см. также [1819]). В этой работе на поверхность полупрозрачного затвора была нанесена решеточная структура, показанная на рис. 139. Если свет из дальней инфракрасной области спектра, поляризованный параллельно вектору трансляции решетки, например х, падает на поверхность по нормали, то он приобретает продольную модуляцию с волновыми векторами qn = 2тгл/а(л = 1, 2, ...),

Ех^х, г) = £ Ех(дп, z)exp(i<7„x - (ш/), (6.81) л = 0

где а — период решетки. Амплитуды всех компонент электрического поля легко вычисляются. Относительная амплитуда полей с большими п растет при уменьшении ширины полупрозрачной части затвора /, поскольку поле, грубо говоря, концентрируется в этой части, фактически равняясь нулю над хорошо проводящими участками. Такая модуляция поля существенна на расстояниях от затвора порядка периода решетки а.

Обычно длина волны модулированного таким образом дальнего инфракрасного излучения значительно превосходит толщину инверсионного слоя, и мы можем по-прежнему рассматривать этот слой как проводящую плоскость z = 0 с двумерным тензором проводимо-

Рис. 139. Схематическое изображение решетчатой структуры, используемой для наблюдения двумерных плазмонов в инверсионном слое [34]: / — решетка; 2 — тонкий затворный электрод; 3 — диэлектрик; 4 — инверсионный слой; 5 — полупроводник.

сти а^Дд, ш), определяемым из условия

J^to)6(z)exp(zq ■ г - iwO = £ о^д, у) Ь^ЕДд, z)exp(zq • г - i^t).(6.82)

Обычно емкостная проводимость решетки мала по сравнению со средней активной проводимостью металлизации, и отклик инверсионного слоя на рассматриваемое электрическое поле может вычисляться в приближении бесконечной проводимости затвора. Пренебрегая эффектами запаздывания (считая скорость света бесконечной) и решая уравнение Пуассона методом изображений, можно вычислить индуцированное электрическое поле, соответствующее индуцированному току в инверсионном слое. Для q = (<7, 0) имеем

ExH4g.^ = - — -- exp(-0lzl)Jx(9),(6.83)

ш ^ПП^ДИЭЛС^(^диэл)

где </диэл — толщина диэлектрика (SiO2). Отсюда получаем

Jx(.q')exp(igx - zy?)5(z) = а^д, w)Ex(q, z)5(z)exp(zgx - iuO,(6.84)

где а^д, ш) = а^д, ш)х-1(д, ш),(6.85)

ах(д, ш) = 1 + — -——— ахх(д, ш).(6.86)

Ш *ПП ^ДИЭЛС^(^ДИЭл)

Таким образом, поглощение описывается выражением

Р = | Rea^y)!^ = 0, z = 0)12,(6.87)

гДе<7эфф(ы)= £ а^^, у)5п,(6.88)

и = 0

'Ех(д„, z = 0)12 = 6„1Е,(? = 0, z = 0)12.(6.89)

Реально на опыте период решетки значительно превосходит характерные длины задачи и a^tq, у) можно заменить на ^(у). Далее, подставляя в формулы (6.85) и (6.86) выражение теории Друде а^ш) = iN^/тш, находим резонансное поглощение на частоте двумерного плазмона, '

т *пп + *aH3nCth(^№3n)

с д = дп. Более подробному обсуждению проблемы плазмонов был посвящен § 4 гл. 2.

На рис. 140 представлены результаты измерения поглощения, полученные в работе [34]. Видно отчетливое поглощение, связанное с возбуждением плазмона (л = 1), наложенное на друдевский фон, соответствующий поглощению пространственно немодулированной (л = 0) компоненты поля излучения. Авторы обрабатывали свои результаты с помощью простой формулы Друде для проводимости (6.80) и определяли эффективную массу. Было получено значение, близкое к 0,2 т0, почти не зависящее от Ns при больших Ns. В области малых Ns эффективная масса возрастала при уменьшении N$; аналогичная закономерность наблюдалась в опытах по циклотронному резонансу [938, 1007]. Авторы работ [1757, 1758] (см. также [1005, 1755]) наблюдали в дальней инфракрасной области резонансы, соответствующие и бо-

Рис. 140. Частотная зависимость относительного изменения коэффициента пропускания за счет электронов инверсионного слоя [34]. Т = 1,2 К. Разрешение равно 1 см-1. Сплошные линии — результаты расчета для следующих значений концентрации, эффективной массы и времени релаксации: а — Ns = 0,36 ■ 1012 см-2, m* = О,3то (стрелка указывает положение пика при т* = = О,2то), 1/т = 0,49 • 1012 с"1; б — Ns = 0,75 х х 10*2 см-2, т* = О,2то, 1/т = 0,58 ■ 10|2с_|; в —Ns = 1,55 • 1012см-2, т* - О,2то, 1/т = 0,74 х 1012 с- 1; г — Ns= 2,51 ■ 1Qi2cm"2, т' = O,2mo; 1/т = 1,1 ■ 1012 с—*. Нижняя кривая соответствует формуле Друде, верхняя учитывает поглощение плазмонами.

лее высоким значениям п. Анализ данных с использованием значения эффективной массы, близкого к 0,2 т0 и не зависящего от Ns, показал, что теоретическое дисперсионное соотношение (6.90) весьма хорошо объясняет полученные результаты. Плазмоны были обнаружены также и в экспериментах по излучению [649].

При наличии магнитного поля, перпендикулярного поверхности, плазменный резонанс превращается в магнитоплазменный, или гибридный циклотронный резонанс. Подставляя выражение ^(w) = iN^ш/т (ш2 - ш2) в формулы (6.85) и (6.86), получаем резонанс при

5,764,803,853,382,902,420,2150,2120,2060,2050,2010,1990,480,590,660,700,710,755,764,803,853,382,902,420,2150,2120,2060,2050,2010,1990,480,590,660,700,710,758 h 1,951,000,1960,1940,770,848 h 1,951,000,1960,1940,770,84

5,764,803,853,382,902,42

0,2150,2120,2060,2050,2010,199

0,480,590,660,700,710,75

5,764,803,853,382,902,42

0,2150,2120,2060,2050,2010,199

0,480,590,660,700,710,75

8 h 1,951,00

0,1960,194

0,770,84

8 h 1,951,00

0,1960,194

0,770,84

Рис. 141.

Ns> 10'2 см-2 т*/т0 т, 10"'2 с

Относительное поглощение Р как функция магнитного поля для указанных выше концентраций электронов в инверсионном л-слое на поверхности (100)Si [1756]. Аш = 3,68 мэВ, Т = 2 К. Треугольники указывают ожидаемое положение магниюплазмона. Штриховая линия — результат, полученный в предположении классической лоренцевой формы линии циклотронного резонанса. При Ns = = 2,42 • 10"10 см"2 вблизи Н - 35 кГс можно видеть взаимодействие магнитоплазмона с субгармонической структурой. Кривые сдвинуты по вертикали, и на оси ординат указаны начала отсчета для соответствующих кривых.

ш2 = ш2 + ш2. Такой резонанс наблюдался в работе [1756] (см. также [1755]). Полученные результаты представлена на рис. 141. Со стороны более слабых магнитных полей от обычного циклотронного резонанса виден гибридный, положение которого сдвигается в область меньших Н при увеличении N,. Авторы установили, что положение гибридного резонанса удовлетворительно согласуется с теоретическими представлениями, основанными на простой формуле Друде дйя проводимости. Они, однако, наблюдали и добавочные эффекты взаимодействия гибридного резонанса с субгармонической структурой при близости их друг к другу, то есть для Ns = 1,95; 2,42 и 2,90 • 1012 см-2 на рис. 141.

Соответствующие вычисления формы линии магнитоплазменного резонанса были выполнены в работе [66]. На рис. 142 приводятся результаты расчета для конкретных условий экс-

Рис. 142. Рассчитанная зависимость высокочастотной проводимости инверсионного л-слоя на поверхности (100)Si от магнитного поля, перпендикулярного поверхности [66]. Ns = 3 • 10|2см-2, йы = 3,68 мэВ, ц = 6200 см2/В • с, Т = 4,2 К. Сплошные линии — самосогласованное борцовское приближение, точечные — классическая теория. Кривые 1 описывают обычный циклотронный резонанс (Rea^), 2 — гибридный резонанс (Reo^/2), 3 — полное поглощение (Rea^). Положения гибридного резонанса и субгармонической структуры отмечены стрелками соответственно сверху и снизу. Остальные детали структуры, отмеченные треугольниками, представляют собой квантовые осцилляции.

перимента. Положения гибридного резонанса и субгармонической структуры отмечены стрелками, направленными соответственно вниз и вверх. При их близости друг к другу (как на рис. 142) они испытывают взаимное отталкивание, что приводит к появлению двух пиков в гибридном резонансе a^q, ш)> а следовательно, и в полном спектре поглощения. Если учесть отличие q от нуля (эффекты нелокальности), то высокочастотная проводимость a^q, ш) будет иметь резонансную структуру при ш = пшс (n > 1) из-за наличия магнитоплазменных мод [309]. Показано, что взаимодействие с этими модами в условиях эксперимента пренебрежимо мало.

Использование решеточного затвора дало возможность наблюдать двумерные плазмоны и магнитоплазмоны. Однако пока еще не возможно извлечь из этих опытов достаточно новой информации. Из сказанного выше ясно, что для объяснения экспериментальных результатов необходимо точное знание локальной двумерной проводимости a^tq = 0, ш), которая с таким же успехом может быть, например, определена из обычных измерений коэффициента пропускания в отсутствие решеточной структуры. Поэтому весьма желательно иметь методику, позволяющую получать существенно ббльшие значения волновых векторов. Если их величина будет сравнима с фермиевскими волновыми векторами или с обратной толщиной инверсионного слоя, станет возможным наблюдение разнообразных интересных физических эффектов, таких, как различные магнитоплазменные моды [309], влияние обмена и корреляции на дисперсию плазмонов [162, 1491] и смешанные плазмон-межподзонные резонансы [352, 473, 474]. Определенные шаги в этом направлении уже сделаны [1755], и в ближайшие несколько лет можно ожидать появления значительно большего числа работ, посвященных плазмонам в инверсионных слоях.

§ 4. ЛОКАЛИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ В СИЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ

Уже давно известно, что состояния вблизи краев нижних уровней Ландау в сильных магнитных полях являются локализованными. Это было отчетливо видно уже в первых экспериментах [565, 566], где наблюдалась очень малая проводимость в значительной области напряжений на затворе между пиками, соответствующими различным уровням, испытывающим спиновое и долинное расщепление. В течение длительного времени проблема оставалась нетронутой, но затем привлекла значительное внимание как теоретиков, так и экспериментаторов. Появились разнообразные экспериментальные результаты и соответствующие теоретические (порой достаточно умозрительные) модели.

В работе [908] (см. также [897]) была тщательно исследована диссипативная проводимость он в сильных магнитных полях и обнаружено ее исчезновение в нескольких конечных областях изменения Ns, что говорит о локализации электронов вблизи краев уровней Ландау. Было показано (см. рис. 143), ч^о концентрация локализованных электронов в хвосте У-го уровня Ландау приблизительно равна [(2N + Щт/2]"1. Это можно трактовать так, что волновые функции электронов становятся делокализованными, когда циклотронные орбиты покрывают всю площадь слоя. В качестве возможного объяснения авторы предложили наличие двумерного вигнеровского кристалла, удерживаемого случайными флуктуациями потенциала. В этой модели считается, что кристалл образуют только электроны на уровне Ландау, совпадающем с уровнем Ферми, а при концентрации этих электронов порядка [(2У + 1)2тг/2]-1 кристалл теряет устойчивость. Этот интересный экспериментальный результат стимулировал разнообразные теоретические изыскания.

Возможность двумерной вигнеровской кристаллизации в сильном магнитном поле и без него теоретически изучалась рядом авторов. В работах Цукады [1838, 1840, 1841] путем обобщения теории [1439], построенной для нулевого магнитного поля, исследовались свойства электронного кристалла в сильных магнитных полях. Автор показал, что зависимости концентрации локализованных электронов от N и от Н могут быть аналогичны наблюдаемым в упомянутых выше экспериментах [908]. Чтобы объяснить реальные экспериментальные величины (точнее говоря, только стабилизацию вигнеровского кристалла), ему пришлось предположить наличие больших флуктуаций потенциала. Однако при таких флуктуациях необходимо учитывать эффекты андерсоновской локализации. Как будет показано в § 3 гл. 7, существуют различные теоретические оценки критических концентраций для случая, когда электро-

Рис, 143. Зависимость концентрации локализованных электронов Алок от магнитного поля для различных уровней Ландау [908]. Прямые линии отвечают формуле NnoK = [2т/2 (2N + 1))~*, кружки —экспериментальные результаты.

ны заполняют только самый нижний уровень Ландау. Результаты, по существу, показывают, что критическая концентрация электронов увеличивается с ростом магнитного поля приблизительно пропорционально Н. Однако если учесть тот факт, что полученный в работе [1439] критерий для классических электронов в отсутствие магнитного поля примерно в 50 раз отличается от результатов различных более поздних численных экспериментов, станет ясно, что упомянутые оценки дают лишь качественные предсказания. В литературе также обсуждалась возможность того, что система в основном состоянии содержит волну зарядовой плотности, созданную кулоновскими взаимодействиями [588, 601, 602, 882, 1034, 1035, 1998 — 2001]. Более детальное обсуждение проблемы электронного кристалла в двумерной системе содержится в § 3 гл. 7.

Другое возможное объяснение наблюдаемой локализации связывает ее с таким же, как и в отсутствие магнитного поля, переходом Андерсона при наличии больших флуктуаций потенциала. В работе [1839] вычислялась плотность состояний в хвостах уровней Ландау для модели плавных флуктуаций потенциала. В модели плавных флуктуаций центр циклотронной орбиты движется согласно уравнению (6.73) и делокализация электронов связана с появлением протекания по замкнутым орбиталям, окружающим минимумы потенциала. Аппроксимируя их окружностями, автор получил условие локализации, весьма близкое к экспериментальному результату для низшего уровня Ландау. Однако для более высоких уровней подобные вычисления не дают наблюдаемой зависимости от N. В реальных инверсионных слоях применимость приближения плавного потенциала не очевидна, поскольку в рассеяние могут давать вклад центры различного вида и, как было показано в предыдущих разделах, неплохо работает модель короткодействующих рассеивателей.

На основании эвристических аргументов, опирающихся на критерий Иоффе — Регеля kFl ~ 1, где / — длина свободного пробега (см., например, [1255]), в работе [97] было предложено условие локализации. Аргументация авторов была не очень убедительна, но из нее следовало наличие минимальной металлической проводимости, не зависящей от номера уровня Ландау. Используя значение минимальной металлической проводимости и результаты расчета ахх в самосогласованном борцовском приближении, авторы получили выражение для концентрации локализованных электронов, близкое к экспериментально определенному. Численные расчеты эффектов локализации в сильных магнитных полях проводились в работах [92, 94]. Рассматривалась конечная система с короткодействующими случайными рассеивателями и вычислялись плотность состояний и волновые функции электронов для низшего уровня Ландау. Результаты доказали наличие локализованных состояний в хвосте уровня в согласии с простыми интуитивными представлениями. Вычислялась также высокочастотная проводимость, оказавшаяся много меньше, чем дает одноузельное приближение для случая, когда уровень Ферми проходит в районе хвоста [94]. Расчеты были проделаны и для уровня Ландау с А = 1. Они показали, что при этом полоса локализованных состояний более узка, чем для N = 0. Однако вычисления были не настолько точны, чтобы можно было заключить, согласуется ли этот факт с не зависящей от N минимальной металлической проводимостью, наличие которой предполагалось авторами работы [97].

Вигнеровская кристаллизация и андерсоновская локализация отвечают соответственно двум предельным случаям: сильного электрон-электрониого взаимодействия и больших флуктуаций потенциала. В реальных инверсионных слоях, по-видимому, важны и случайные флуктуации, и электрон-электронные взаимодействия. Взаимосвязь этих двух механизмов — одна из наиболее сложных теоретических проблем. В работах [93, 95] была предпринята попытка решить ее численно. Рассматривалась ограниченная система в виде квадрата и в приближении Хартри — Фока вычислялись электронные состояния при наличии как короткодействующих

рассеивателей, так и электрон-электронного взаимодействия. Вычисления показали, как в зависимости от относительной величины этих факторов происходит переход от электронных состояний вигнеровского кристалла к локализованным андерсоновским состояниям. В промежуточных случаях систему можно считать вигнеровским стеклом. Хотя полученные результаты выглядят весьма красиво, вряд ли можно утверждать, что мы понимаем эту сложную проблему, поскольку размер системы слишком мал и не позволяет пренебрегать важными краевыми эффектами.

В работе [909] (см. также [897]) исследовалась активационная температурная зависимость проводимости при положении уровня Ферми в нижней части низшего уровня Ландау. Было показано, что эта зависимость описывается суммой двух активационных членов и тем самым отличается от типичного поведения проводимости при локализации Андерсона:

/ В^Х

°хх = ’minCXP ( - — ) , (6.91) X кв* /

где W — расстояние от уровня Ферми до порога подвижности (см., например, [1255]). Авторы предположили, что наблюдаемую температурную зависимость можно объяснить квантовой диффузией дефектов Шоттки в вигнеровском кристалле. Было обнаружено [911], что вид температурной зависимости существенно различен в разных образцах. В структурах с малыми подвижностями результаты согласуются с формулой (6.91) и существует минимальная металлическая проводимость, слабо зависящая от магнитного поля.

В работе [1316] измерялась температурная зависимость минимальных значений а^ при различных Н. Авторы показали, что наличие порога подвижности и минимальной металлической проводимости объясняет результаты, получаемые при достаточно низких температурах. Наблюдаемое значение минимальной металлической проводимости для низшего уровня Ландау было приблизительно таким же, как в отсутствие магнитного поля, но для более высоких уровней было на порядок меньше. Аналогичные эксперименты в более сильных магнитных полях и на различных образцах дали значения минимальной металлической проводимости, сильно меняющиеся от образца к образцу [1315] (см. также [1312]). Причины подобного разброса, существующего и в отсутствие магнитного поля (см. § 1 гл. 5), еще недостаточно ясны. Высказывалось предположение [1315], что концентрация электронов, соответствующая порогу подвижности, не зависит существенно от магнитного поля в противоположность описанным выше результатам [908]. Это не согласуется с гипотезой вигнеровской кристаллизации, а скорее говорит в пользу андерсоновской локализации. Были проведены эксперименты при более низких температурах [1312, 1313]. Оказалось, что в области предельно низких температур зависимость ахх(Т) не согласуется с формулой (6.91), а имеет вид

/ В \

°ХХ - »оехР ( - ) . (6.92) соответствующий так называемой прыжковой проводимости с переменной длиной прыжка (см., например, [1255]).

Сходные эксперименты были выполнены Пеппером для низшего уровня Ландау [1404]. Результаты оказались аналогичны полученным им же в отсутствие магнитного поля. Одни образцы прекрасно демонстрировали типичное поведение, соответствующее минимальной металлической проводимости (6.91), другие — нет. Поведение образцов можно было менять, прикладывая смещение к подложке или изменяя условия на поверхности. Получающиеся значения минимальной металлической проводимости для низшего уровня Ландау были близки к полученным в других работах.

При измерениях магнитопроводимости в полях до 220 кГс [1814] была обнаружена новая тонкая структура, обусловленная электронами, локализованными при энергиях, превышающих энергию каждого уровня Ландау. Эта структура была очень чувствительна к величине электрического поля между стоком и истоком и исчезала при его увеличении.

При малых концентрациях электронов, в особенности при заполнении только низшего уровня Ландау, циклотронный резонанс должен проявлять специфические свойства, описанные в § 3. Сужение линии и сдвиг пика связаны с наличием у системы сильно коррелированного или кристаллического основного состояния.

Мы дали беглый обзор современных исследований эффектов локализации в сильных магнитных полях. Сегодняшние представления о проблеме, в особенности с точки зрения теории, еще весьма скудны, и чтобы достичь понимания, требуется еще очень много работы. Как говорилось в § 2, эксперименты показывают, что в областях, где ахх = 0, холловская проводимость не зависит от Ns и равна целому кратному е2/2тгА. Этот экспериментальный результат и последовавший теоретический анализ [96] показали, что в пределе сильного поля все состояния на уровне Ландау не могут быть локализована. Таким образом, теория Абрахамса, Андерсона, Личчарделло и Рамакришнана [6] (см. § 2 гл. 5) неприменима к двумерным системам в сильных магнитных полях.

ГЛАВА 7. ДРУГИЕ ВОПРОСЫ

ЭЛЕКТРОННОЙ СТРУКТУРЫ

ДОЛИННОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ — ЗА РАМКАМИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОЙ МАССЫ

Как уже неоднократно упоминалось, нижняя подзона в инверсионном л-каиале на поверхности (100) Si сформирована из состояний, принадлежащих двум долинам в зоне проводимости, расположенным вблизи Х-точек зоны Бриллюэна на противоположных направлениях оси < 100>. Давно известно и подтверждено экспериментами [565, 566], что это вырождение долин, предсказываемое теорией эффективной массы, в реальных инверсионных слоях снимается. Как отмечалось в § 2 гл. 6, обычно долинное расщепление наблюдается в осцилляциях Шубникова — де Гааза в сильных магнитных полях и при относительно низких концентрациях электронов. Лишь сравнительно недавно это интересное старое явление стало объектом интенсивных исследований. Долинное расщепление было также обнаружено на поверхности (111) [489] (см. также [1061]). Дальнейший интерес к долинному расщеплению был вызван наблюдениями запрещенных мини-зон в электронном спектре инверсионных слоев на поверхностях кремния, отклоненных от плоскости (100) на небольшой угол. Предполагалось, что возникновение мини-зон на таких поверхностях связано именно с долинным расщеплением. Однако ширина запрещенных мини-зон оказывается значительно большей, чем могли бы прямо дать механизмы, ответственные за расщепление на точной грани (100). Этот факт еще требует своего объяснения. В данном параграфе будут рассмотрены долинное расщепление и явления, с ним связанные. Вначале коротко обсуждаются различные теоретические модели и взаимосвязь между ними, затем описываются попытки экспериментального определения величины долинного расщепления и проводится сравнение получаемых при этом результатов с теоретическими расчетами. Рассматриваются также вопросы, связанные с мини-зонами на наклонных поверхностях.

Механизмы долинного расщепления

Теория Окавы—Уемуры — электрический пробой

После того как теория эффективной массы была сформулирована [1140] и успешно применена для расчета возбужденных состояний донорных центров в многодолинных полупроводниках типа Si или Ge [984], задача о долинном расщеплении этих уровней продолжала оставаться спорной и нерешенной. Было предпринято много попыток объяснить энергию связи расщепленных уровней, которые в теории эффективной массы являются изначально вырожденными, но ни одна из них не стала окончательной. Особенно широко использовались предложенная Тузом так называемая многодолинная теория эффективной массы (см. приложение в работе [580]) и ее аналоги, которые приводили к значениям долинного расщепления, находящимся, по-видимому, в разумном согласии с экспериментальными данными по донорным состояниям в Si и Ge. Однако в ряде независимых исследований (см., например,

Рис. 144. Энергетические зоны кремния в направлениях [111] и [100] к-про- странства, рассчитанные к ■ р-мето- дом [244].

работы [1345, 1392] и имеющуюся в них библиографию) была продемонстрирована и подвергнута критике противоречивость указанной теории. Строгое решение многодолинного уравнения эффективной массы должно давать расщепление, тождественно равное нулю. Поэтому все получаемые на его основе ненулевые значения долинного расщепления являются ошибочными. Первая попытка расчета долинного расщепления в инверсионном слое была сделана в работе [1286]. Использованный в ней метод, как и многодолинная теория эффективной массы, был непоследовательным и приводил к выражению, зависящему от выбора начала отсчета энергии. Авторы получили относительно большое значение расщепления, пропорциональное приложенному электрическому полю. Однако этот результат по-видимому, является следствием искусственно выбранной аномально большой величины потенциальной энергии на границе Si — SiO2.

Окава и Уемура [1351-1353] вычисляли долинное расщепление на поверхности (100) Si с помощью простого обобщения метода эффективной массы Латтинжера и Кона [1140]. Авторы сконструировали эффективный к • р-гамильтониан, описывающий нижнюю зону проводимости, соответствующую ^2 = А3 = ^’ где ^2 и *з — компоненты волнового вектора в направлениях [010] и [001]. Кардона и Поллак [244] вычисляли энергетический спектр для всей зоны Бриллюэна путем диагонализации к • р-гамильтониана 15 х 15. Использованные ими 15 состояний соответствуют состояниям свободных электронов с волновыми векторами в направлениях <000>, (111) и (200) в единицах lit/а, где а = 5,43 А —постоянная решетки кремния. Энергетические зоны кремния, рассчитанные для направлений (111) и (100), показаны на рис. 144. Три зоны с симметрией Др в том числе нижняя зона проводимости Д [С, вычислены с помощью матрицы 3x3

00/ £(Г^) + —к\— Tkv

0

0

(7.1)(7.1)2m02m0

(7.1)

(7.1)

A2 Tk. 2m0

A2 2

£(Г15) + 2^*

A-FA, 2m0

T’kv

2m0>

ЕСТ') + jL^ 2mn

где т0 — масса свободного электрона, кх — компонента волнового вектора в направлении [100], а Е(Г15), Е^") и Е^У) — энергии соответствующих зон в точке Г. Окава и Уемура, рассматривая Г, с помощью теории возмущений, свели выражение (7.1) к следующей матригде т0 — масса свободного электрона, кх — компонента волнового вектора в направлении [100], а Е(Г15), Е^") и Е^У) — энергии соответствующих зон в точке Г. Окава и Уемура, рассматривая Г, с помощью теории возмущений, свели выражение (7.1) к следующей матрице 2 х 2:Е(Г^) + ~ ^ 2т02V"Tkx Е(Г1$)2т0гдеS =12т0 Е(Г15) - Еф\Уце 2 х 2:Е(Г^) + ~ ^ 2т02V"Tkx Е(Г1$)2т0гдеS =12т0 Е(Г15) - Еф\УЙ22т0Й22т0(7.2)(7.2)(1 + s^ 2m0(1 + s^ 2m0(7.3)(7.3)

где т0 — масса свободного электрона, кх — компонента волнового вектора в направлении [100], а Е(Г15), Е^") и Е^У) — энергии соответствующих зон в точке Г. Окава и Уемура, рассматривая Г, с помощью теории возмущений, свели выражение (7.1) к следующей матри

где т0 — масса свободного электрона, кх — компонента волнового вектора в направлении [100], а Е(Г15), Е^") и Е^У) — энергии соответствующих зон в точке Г. Окава и Уемура, рассматривая Г, с помощью теории возмущений, свели выражение (7.1) к следующей матри

це 2 х 2:

Е(Г^) + ~ ^ 2т0

2

V"Tkx Е(Г1$)

2т0

где

S =1

2т0 Е(Г15) - Еф\У

це 2 х 2:

Е(Г^) + ~ ^ 2т0

2

V"Tkx Е(Г1$)

2т0

где

S =1

2т0 Е(Г15) - Еф\У

Й2

2т0

Й2

2т0

(7.2)

(7.2)

(1 + s^ 2m0

(1 + s^ 2m0

(7.3)

(7.3)

Если полагать Е(Г^) - Е(Г15) = 0,268Ry, Т = 1,080 атомных единиц (а.е.) и S = 0,041, то два минимума зоны проводимости будут соответствовать кх = ^к№ где к0 = 0,84 (2т/я), что очень близко к известному значению к0 = 0,85 (2т/я). Эффективная масса в минимумах получается равной т, = 1,035 т0, что отличается от известного значения 0,916 т0. Эти небольшие разногласия не приводят к серьезным ошибкам. В точке X на границе зоны Бриллюэна энергетические зоны имеют ненулевой наклон. Такое вырождение, иногда называемое «склеиванием» «sticking together»), характерно для веществ со структурой алмаза. Благодаря этому факту можно частично учесть влияние зоны Д2'> находящейся непосредственно над нижней зоной проводимости, путем распространения выражения (7.2) на вторую зону Бриллюэна, т.е. в область -4т/я < кх < 4т/я. Показано, что при наличии внешнего потенциала И (г) уравнение эффективной массы имеет вид

4 т/о

(7.4)(7.4)^z)A(kz) +( dk' E(kz - к'^к') = eA(*z),

(7.4)

(7.4)

ZlT J — 4ir/a

где A(kz)— двухкомпонентная огибающая волновая функция, a V(kz — к'^— фурье-образ внешнего потенциала И(г). Оно легко преобразуется в обычное уравнение эффективной массы в реальном координатном пространстве:

гдегдеF(z) + K(z)F(z) = eF(z),F(z) + K(z)F(z) = eF(z),F(z) = -1-2 irF(z) = -1-2 irdkzK tk^*^.dkzK tk^*^.(7.5)(7-6)(7.5)(7-6)

где

где

F(z) + K(z)F(z) = eF(z),

F(z) + K(z)F(z) = eF(z),

F(z) = -1-

2 ir

F(z) = -1-

2 ir

dkzK tk^*^.

dkzK tk^*^.

(7.5)

(7-6)

(7.5)

(7-6)

Окава и Уемура использовали для огибающей волновой функции разложение по присоединенным полиномам Лагерра Е“(х):

F(z) = V Г) zE2(te)exp(- bz * ik^),(7.7)

\ v у (л + 1)(л + 2)/2

гдегде,, 48irm,e2 о = V,, 48irm,e2 о = V4- Nт обедн4- Nт обедн(7.8)(7.8)Рис. 145. Вычисленная Окавой и Уемурой [1351, 1353] зависимость долинного расщепления от концентрации электронов в инверсионном слое. Штриховая линия — расчет для треугольного потенциала, сплошные — для потенциала, близкого к самосогласованному при двух различных уровнях легирования: 1) NA — ND = 2 • • 1014см-3;2) Na — Nd = 5- 1015 см~з [1353].

где

где

,, 48irm,e2 о = V

,, 48irm,e2 о = V

4- N

т обедн

4- N

т обедн

(7.8)

(7.8)

Член с л = О совпадает с обычной волновой функцией (3.25), используемой в вариационных расчетах. Вместо самосогласованного вычисления И(г) авторы использовали потенциал Хартри, соответствующий распределению электронной плотности, описываемому выражением (3.25). Долинное расщепление вычислялось вариационным методом путем численной диагонализации большой матрицы, получаемой в результате обрывания суммы по л в уравнении (7.7) на значении л = 9. Результирующее долинное расщепление изображено на рис. 145 и описывается приближенным выражением

N$ . ^обедн

(7.9)(7.9)ДЕ - 0,1575=—МЭВ.

(7.9)

(7.9)

u10’2 см-2

Поскольку это выражение пропорционально эффективному электрическому полю, действующему на электроны, указанный механизм был назван Окавой и Уемурой электрическим пробоем.

Аналитическое выражение для долинного расщепления было получено путем упрощенного анализа уравнения (7.5) [68]. Пробная волновая функция берется в виде

F^) =F^) =sinX± cosX±sinX± cosX±C(z)exp(± Д^).C(z)exp(± Д^).(7.10)(7.10)

F^) =

F^) =

sinX± cosX±

sinX± cosX±

C(z)exp(± Д^).

C(z)exp(± Д^).

(7.10)

(7.10)

Обычная вариационная процедура минимизации (±1^+ И1 ±) дает значения Х± и f(z). Получаем

(7.11)(7.11)й2 <72

(7.11)

(7.11)

--тт^) + K(z)№> = W).

2mz dr

где тг — 0,98 т0 слегка отличается от экспериментального значения Ш] = 0,916 т0. Поскольку интеграл перекрытия (± I т) предельно мал, долинное расщепление определяется недиагональным элементом (+ 1^ + V — е0 — Е01 —), где £0 — энергия диа зоны проводимости. В предельном случае, когда кц1 значительно меньше характерной длины изменеиня f(z), имеем В

Д£„ = ттзЕг'ГС0)! '(7.12)

4* о

где 3 — величина порядка единицы, сг = Е(Г“) — Е(Г15), a f' (0) — производная волновой функции при z = 0. С помощью равенства (3.33) полученное выражение преобразуется к виду

ДЕ» = Л ^У \,(7.13)

где

12т 1.

а =/3£* 7 ~ °’25 К<7Л4>

4П2Ц к0

Поскольку потенциал определяется самосогласованным образом, то в электрическом квантовом пределе, когда заполнена лишь одна низшая подзона, имеем

/(In + TV ) _ ^пп—^1/_L\(7.15)

\у \$ ооедн I\2 /

\ I лпп \z/ ч-¥пп1хпп т хдиэл; \ z /

Последний член описывает вклад от классических сил изображения и, как будет показано ниже, имеет относительно большую величину. Множитель 1/2 в члене, пропорциональном Ns, как уже говорилось в § 3.2 гл. 4, имеет важное значение и является результатом точного самосогласованного расчета величин f(z) и У(1У Выражение (7.13) на несколько процентов меньше численного результата Окавы и Уемуры (7.9). Эта разница частично связана с различием между массами т( = 1,035 т0 и тг = 0,98 т0 и с отсутствием самосогласованиости в расчетах Окавы и Уемуры. Однако подобное расхождение лежит, безусловно, в пределах точности использованной приближенной модели зоны проводимости.

Выражение (7.13) в своей существенной части может быть получено более просто. Если в формуле (7.2) пренебречь малой величиной S и изменить представление, то в низшем порядке по Ср имеем

/ Й2,1 X

/(* -+ Е0 - ЕГ \

2/и021

-21(7.16)

\ 7 Ер+ *q)2 + Е0 /

При ег — 0 гамильтониан (7.16) описывает две независимые подзоны. В низшем порядке по £г долинное расщепление равно

(7.17)(7.17)ДЕи ~ ег I die ^Ifolz)!2 J о

(7.17)

(7.17)

В пределе больших к0 интеграл перекрытия определяется областью наиболее быстрого про-

странствениого изменения f(z), т.е. участком вблизи z = 0, где сама волновая функция непрерывна, а ее производная имеет особенность при z = 0. При этом имеем

die ^oriftz)!2 = Emdie ^oriftz)!2 = Em5—+05—+02dte-^-6^2^'^2 = JCW2,(2z*o)32dte-^-6^2^'^2 = JCW2,(2z*o)3(7.18)(7.18)

die ^oriftz)!2 = Em

die ^oriftz)!2 = Em

5—+0

5—+0

2dte-^-6^2^'^2 = JCW2,(2z*o)3

2dte-^-6^2^'^2 = JCW2,(2z*o)3

(7.18)

(7.18)

откуда

(7.19)(7.19)AEV ~ -T^r^W2, 4*n

(7.19)

(7.19)

что близко к выражению (7.12). Формула (7.19) означает, что интеграл перекрытия, а следовательно, и междолинное взаимодействие определяются частью распределения электронной плотности, находящейся в приграничном слое толщиной порядка постоянной решетки (~2%/*0). Окава и Уемура, оценивая интеграл перекрытия (7.18) с использованием вариационной волновой функции (3.25), получили значения расщепления почти в три раза большие, чем следует из формулы (7.9). Их сложные численные расчеты в действительности необходимы лишь для нахождения точных значений производной волновой функции при z = 0.

В теории Окавы — Уемуры имеется ряд недостатков. В гамильтониане (7.2) зона Г] рассматривается как возмущение. Такой подход законен вблизи точки Г, но может оказаться несправедливым вблизи минимума зоны проводимости. В действительности энергетический зазор между зонами Д“ и Д]С становится меньше, чем зазор между Д“с и Д,с вблизи точки X. Аналитическое рассмотрение матричного гамильтониана 2x2 можно легко обобщить и на исходную матрицу 3x3 (7.1), что приводит к величине расщепления, приблизительно на 20% большей, чем следует из выражений (7.13) и (7.14) (Андо Т., неопубликованные резуль- таты}. Из сказанного выше ясно, что основным источником долинного расщепления в теории Окавы — Уемуры являются взаимодействие двух Д^-зон в точке Г и результирующий зазор ег. На рис. 144 показано, что зоны Д2., включенные в расширенную зонную схему, должны взаимодействовать в точке Г (или при кх = ±4т/а в расширенной зонной схеме). Связанное с этим междолинное взаимодействие совершенно не учитывалось, хотя оно может также внести существенный вклад в расщепление, поскольку расстояние от минимума зоны кх = 0,85 (2 %/с) до второго края кх = 4%/с сравнимо с расстоянием до точки Г (кх = 0). Здесь может существовать проблема граничного условия на поверхности. Считается, что высота барьера на границе Si — SiO2 близка к 3 эВ, в то время как расстояние между зонами Д]С и Д“с‘ в минимумах зоны проводимости имеет порядок 13 эВ. Таким образом, нулевые граничные условия при z = 0 для огибающих функций обеих указанных зон могут быть неприемлемы и следует использовать более реалистические условия. Впоследствии описанная теория была обобщена на случай конечной высоты барьеров [1345]. При этом в рамках двухзонной модели было показано, что абсолютное значение расщепления не зависит от высоты барьера до тех пор, пока эта величина существенно превосходит энергию подзон Ео. Однако иет уверенности в том, что в многозонной ситуации этот вывод останется в силе.

(7.20)(7.20)Роль конечности параллельных границе компонент волнового вектора также изучалась с помощью к • р-гамильтониана вблизи точки X [725]:

(7.20)

(7.20)

^Vkx, к„ к^ =

ь2ь2,2

/-—£*2*3 + ZE,^ ~ (к, + *')2 + —-(к2 + *2)

где *] отсчитывается от точки X, кд = O,15(2ir/a), Е' — константа деформационного потенциала, а е23 — относительная сдвиговая деформация. Окава и Уемура [1353] рассматривали недиагональную часть матрицы (7.20) как возмущение и для долинного расщепления N-ro уровня Ландау в сильном магнитном поле получили значение

"и^ху10 мэВ"и^ху10 мэВ'ЛмэВ.'ЛмэВ.(7.21)(7.21)32

"и^ху

10 мэВ

"и^ху

10 мэВ

'Л

мэВ.

'Л

мэВ.

(7.21)

(7.21)

Ns ц ^обедн

АЕВ = 0,15=—

°1012 см""2

Здесь параметр 7, пропорциональный £2, — безразмерная величина, бдльшая единицы. Впоследствии было показано [1344], что в формуле (7.21) второй член в фигурных скобках на самом деле отсутствует, и потому долинное расщепление должно практически не зависеть от номера уровня Ландау.

Теория Шэма—Накаямы — поверхностное рассеяние

Шэм и Накаяма разработали более изящную теорию долинного расщепления [1609, 1610], включающую теорию Окавы — Уемуры в качестве частного случая. В этой теории вначале решается задача о зонной структуре в полупространстве, а затем составляется уравнение эффективной массы, включающее плавный потенциал K(z), но уже не содержащее резкой границы. Рассмотрим области вблизи минимумов зоны проводимости кх = ±к0. При наличии границы волновая функция состояния с энергией £0 + h^k^/Im, записывается в виде

Ф1Х = е"*^ - «.Л0 - S2xe^_ko - £ TxlXx,(7.22а)

Ф2х = е"^.^ - Sx^kQ - Srf^_ko - £ ТХ2Хх,(7-226)

где ^±к() — блоховская волновая функция при кх = ± к0 и к2 = к^ = 0, х —‘ волновой вектор, отсчитанный от ±к0, х\ — затухающая волна, соответствующая данной энергии, а т( = 0,9-16 т0. Первый член в правой части (7.22а) представляет падающую волну с волновым вектором к0 — х, распространяющуюся к поверхности по нормали, а второй и третий члены есть рассеянные волны с А:о + ^ и — к0 + х соответственно. Величина Sy называется S- матрицей. Если вблизи края зоны проводимости отсутствуют собственные поверхностные состояния, то S-матрица для достаточно малых х имеет вид

(

1 - Tiajx — а*х \„ „

I ,(7.23)

ах 1 — Иа^ /

де а$ носит название длины рассеяния. В глубине полупроводника, где затухающая волна /же практически отсутствует, волновая функция имеет следующую асимптотику:

♦и = Ф\х ~ ^^гх ~

~ 2sin[x(z - а^Н^ ~ iaxcos[x(z - c^lV1-^.(7.24а)

*2* = ^2« + ^ а*КФ\х ~ 2sin[x(z - asW-kn + «*xcos[x(z - e)^.(7.246)

Для этих асимптотических функций эффективное положение границы определяется длиной рассеяния as. Полученные функции Ф1Х и Ф^ ПРИ положительных значениях х образуют базисную систему функций, используемую при рассмотрении связанных состояний, созданных внешним потенциалом.

2т2тПоскольку электроны находятся внутри инверсионного слоя, а внешний потенциал меняется достаточно плавно, волновую функцию можно представить в виде разложения

2т

2т

(7.25)

Мы для простоты выбрали начало отсчета z в точке z = as. Матричные элементы K(z) оцениваются в приближении плавно меняющегося потенциала и в пренебрежении междолинными членами типа (^t I И1^_^о). Для диагонального элемента получаем

(^'И*^) = V(x - х') - V(x 4- х'),(7.26)

VM = j dtVOz^-^,(7.27)

а для недиагонального —

^Хх'У^,) = W(x - x') - W(x 4-x’},(7.28)

где WOf) — фурье-образ функции W\z), определяемой следующим образом:

W(.z) = — —> 0;(7.29]

2/ dz

W^-z) = W(z).

Если ввести функцию

Г dx

Лу(г) = I —sinxz/l t0f),(7.Я

о

то для нее получаем систему связанных уравнений

/ Й2 d2idK(z) \

2m; dz22 dz I /Л,(?)\ _ /Л,(г)\

/ VWAAfrJ(731)

\ 2 dz .2m, dz2/

с граничными условиями Л^О) = Л2(0) = 0. Если сохранять только диагональные члены, то возвращаемся к однодолинному уравнению эффективной массы

h2 d2

(7.32)(7.32)- А " №) + И(г)№) = £0№)

(7.32)

(7.32)

2т, dz

с Л](х) = ДгЬ) = f(z)- Поправка первого порядка дает долинное расщепление

(7.33)

Таким образом, задача сводится к вычислению параметра а, т.е. недиагонального элемента S-матрицы. Описанная картина долинного расщепления получила название механизма поверхностного рассеяния.

Вопрос о том, являются ли электрический пробой Окавы — Уемуры и поверхностное рассеяние Шэма — Накаямы по существу эквивалентными или же полностью независимыми механизмами, служил предметом дискуссии [1281, 1343, 1345). Из вывода формулы (7.19) легко видеть, что наличие резкой границы играет важную роль даже в формализме электрического пробоя. Кроме того, уравнения (7.33) и (7.13) весьма сходны. Сходство выражений, полученных в обеих теориях, позволяет думать, что они не являются независимыми. Накаяма и Шэм [1281] вычисляли а в двухзонной модели (S = 0), рассмотренной Окавой и Уемурой, и получили

а = 2w0cr = 0 23 а (7.34)

М2г2

что согласуется с выражением (7.14) с точностью до малых поправок, происходящих от членов высшего порядка по 2т0£г/й2Т2. Таким образом, можно заключить, что теория Окавы — Уемуры входит в теорию Шэма — Накаямы в качестве частного случая и что механизм электрического пробоя по существу эквивалентен механизму поверхностного рассеяния.

€1(0 =$2(О =€1(0 =$2(О =1,2 {cos1,2 {cos/2ir X I —х] ус//2ir X I —х] ус/coscos/ 2 ir X\ а // 2 ir X\ а /coscossinsin£3(Г) = 2 f cos ( —x)cos У а /£3(Г) = 2 f cos ( —x)cos У а //2т XУ а //2т XУ а /sinsinШэм и Накаяма оценили величину а для кх = ку = 0, используя к • p-модель зонной структуры Кардоны и Поллака [244]. Они моделировали границу бесконечным барьером, находящимся на расстоянии z0 от атомной плоскости (100), и вычисляли а как функцию z0. Для фиксированной энергии непосредственно вблизи дна зоны проводимости матрица 3 х 3 (7.1), соответствующая симметрии зон Др описывает четыре блоховских состояния ±£0 ± х, лежащие вблизи минимумов. Матрица 5x5, соответствующая симметрии Д2-, описывает четыре затухающие волны с волновыми векторами ±0,095, а.е. и ±0,835/ а.е., если пренебречь членами порядка х2. Затухающие волны с симметрией, отличной от Д, и Д2-, не учитываются, поскольку они несовместимы с симметрией Г, в плоскости, параллельной поверхности £838]. Мы разложим эти блоховские и затухающие волны по плоским волнам с симметрией Г, в точке z = z0:

€1(0 =

$2(О =

€1(0 =

$2(О =

1,

2 {cos

1,

2 {cos

/2ir X I —х] ус/

/2ir X I —х] ус/

cos

cos

/ 2 ir X

\ а /

/ 2 ir X

\ а /

cos

cos

sin

sin

£3(Г) = 2 f cos ( —x)cos У а /

£3(Г) = 2 f cos ( —x)cos У а /

/2т X

У а /

/2т X

У а /

sin

sin

^С) =^С) =coscos+ cos+ cos

^С) =

^С) =

cos

cos

+ cos

+ cos

(4ir X

—У) ■a /

Для блоховской волны фк с симметрией Д, это разложение при z = z0 имеет вид 4

(7.36)(7.36)^(r, z = Zg) = £ С,(к)^хг),

(7.36)

(7.36)

Рис. 146. Коэффициент loci матрицы междолинного рассеяния для дна зоны проводимости иа поверхности (100)Si в зависимости от положения границы. При Zo = о она совпадает с кристаллической плоскостью, а при Zo = ±а/8 лежит посередине между двумя соседними плоскостями [1610].

а для затухающей волны Хх с симметрией Д2. — 4

(7.37)(7.37)Xx(r, Z = z0) = £ МДО,

(7.37)

(7.37)

где коэффициенты сДк") и Ьд могут быть определены из исходного к • р-гамильтониана и его базисных плоских волн. В частности, имеем с4(*) = 0. Для получения S-матрицы следует подставить выражения (7.36) и (7.37) в правую часть (7.22) и принять условие равенства нулю левой части. При этом получаем

2

с^к0 - X) - Snc,(k0 + х) - S21c,(-*0 + X) - ^ ТмЬ1г = 0,(7.38а)

Х=1

2

с^-к0 - х) - 8пс^к0 + х) - S22Ci(-k0 + х) - £ Tx2bix = 0(7.386)

Х=1

для ( = 1 -=- 4, что составляет систему восьми уравнений для определения восьми неизвестных Sy и Т^. На рис. 146 изображена зависимость результирующего значения lai от z0. Как правило, lai = 0,43 А, за исключением непосредственной окрестности точки z0 = 0,047я, где уровень поверхностных состояний в рассматриваемой модели пересекает минимум зоны проводимости и а расходится за счет резонансного рассеяния. Возможность подобного резонанса в системе Si — SiO2 можно игнорировать, поскольку собственные поверхностные состояния вблизи края зоны проводимости, если бы они существовали, сделали бы невозможным образование инверсионного слоя. Поэтому Шэм и Накаяма просто полагали lai = 0,43 А. Эта величина почти в два раза превосходит значение, вычисленное в двухзонной модели Окавы — Уемуры. Такое увеличение частично связано с неучитываемой в двухзонной модели дополнительной связью между двумя долинами, о чем говорилось выше, и с междолинными взаимодействиями через собственные поверхностные состояния.

В работах [1594, 1595] энергетические уровни системы, описываемой К • р-гамильто-

нианом Кардоны и Поллака, вычислялись непосредственно для случая постоянного внешнего электрического поля (приближение треугольного потенциала) и резкой границы, то есть в тех же предположениях, что и у Шэма — Накаямы. При этом постоянное поле заменялось ступенчатым потенциалом, и волновые функции для каждого малого интервала г разлагались по полученным Шэмом и Накаямой четырем блоховским и четырем затухающим волнам. На границе каждой ступеньки осуществлялось сшивание этих волновых функций. Результирующее долинное расщепление, или значение I а I, получается почти таким же, как у Шэма и Накаямы, что подтверждает применимость приближения эффективной массы для внешнего потенциала P(z). Зависимость а от кх и ку, изучавшаяся в этой же самой модели, приводит к очень малому искажению фермиевской границы [1596].

В рамках модели бесконечного потенциала на границе теория Шэма — Накаямы, безусловно, является более полной и дает точное значение долинного расщепления. Однако применимость модели к реальным инверсионным слоям весьма сомнительна, в особенности при ее буквальном обобщении на многозоннуе гамильтонианы. Свойства границы Si — SiO2 детально еще не ясны, хотя разнообразные экспериментальные исследования ее микроскопической структуры уже начались (см., например, работу [1391] и § 5 гл. 3). Граница, по- видимому, является резкой, но между Si и SiO2 (который, как установлено, является аморфным) предполагается наличие промежуточного слоя SiOx (0 < х < 2) толщиной в несколько ангстрем. Этот вопрос обсуждался в § 5 гл. 3. Волновая функция вблизи поверхности, определяющая междолинное взаимодействие, на самом деле весьма чувствительна к подобной микроскопической структуре. Поэтому вряд ли можно утверждать, что в реальных инверсионных слоях значение а, полученное Шэмом и Накаямой, предпочтительнее результата Ока- вы и Уемуры. Сегодня можно обсуждать только порядок величины долинного расщепления. Кроме того, как будет показано ниже, в реальных системах может к тому же возникать проблема разориентации поверхности.

В работе [1280] для расчета величины а использовался вариант теории Шэма — Накаямы, основанный на методе ИКАО (линейной комбинации атомных орбиталей). Для описания объема кремния автором использовалась полуэмпирическая модель ИКАО [1388], включающая 3s- и Зр-атомные орбитали с параметрами взаимодействия, выбранными из условий согласия с известными значениями энергий зон. Окисел и промежуточный слой описывались с помощью очень простой модели: в окисле диагональные атомные энергии предполагались бесконечно большими, а в промежуточном слое всем орбиталям атомов Si приписывается диагональный сдвиг Д. Величины lai и as вычислялись как функции Д. Было показано, что при изменении Д как lai, так и as изменяются сильно и ведут себя резонансным образом. Кроме того, абсолютные значения lai и as весьма чувствительны к выбору параметров ИКАО. Хотя описанная модель чрезмерно упрощена и ее связь с реальной системой Si — SiO2 не очевидна, результаты показывают, что долинное расщепление необычайно чувствительно к модели поверхности и его точное значение можно теоретически рассчитать только в том случае, когда структура поверхности ясна до деталей.

дг /дг /Помимо расчета lai имеются определенные проблемы и в определении Г^ =

дг /

дг /

Действительно, весьма чувствительно к виду потенциала изображения. Шэм и Накаяма [1610] оценивали F^^, беря этот потенциал в виде

КД?) =КД?) =(7.39)(7.39)е2^™ - *диэл)4^пп(^ПП + ^ДИЭлК^ + 6)

КД?) =

КД?) =

(7.39)

(7.39)

Рис. 147. Зависимость эффективной концентрации электронов N^, определенной согласно формуле Т^эфф = ^T^N^/Xnn, от концентрации Ns при Победи = 0- Различные кривые соответствуют разным значениям параметра 6, стоящего в знаменателе формулы для потенциала изображения: I — 6 = 0; 2 — 6 = а/4; 3 — 6 = а/2; 4 — 5 = о=. Для 6 = о= (отсутствие сил изображения) N^ = Ns [1610].

(б — параметр отсечки, имеющий порядок постоянной решетки) и используя более точную вариационную волновую функцию (3.34). На рис. 147 представлена зависимость от Ns при ^обедн = ° результирующей величины Л^ф, определяемой из формулы Еэфф = I^N^/хпп. Изменение потенциала изображения за счет наличия конечной величины б, имеющей порядок постоянной решетки а, весьма слабо сказывается на энергии уровней, но существенно изменяет величину F^. Это обстоятельство также может вносить неопределенность в точную теоретическую оценку величины долинного расщепления.

Как следует из выражений (7.24), для огибающей волновой функции эффективное положение границы соответствует z = as и может зависеть от граничных условий на поверхности. При наличии возмущающего потенциала Viz) подзоны в рамках приближения эффективной массы сдвигаются по энергии на

ДЕ = а$^1 (7.40) г=о

относительно положения, которое они занимали бы в случае обращения огибающей функции в нуль при z=0. Это не влияет на энергетический зазор между подзонами, связанными с двумя рассмотренными долинами, по предположению занятыми электронами. Однако относительные энергии подзон, связанных с различными группами долин, могут измениться. Имеем

^0-0 = ("s - °s) ’ (7-41) \ / 0'

где aj — длина рассеяния для четырех подзон с более легкой нормальной компонентой эффективной массы, а <дИ(г)/д2>0, —среднее поле для подзоны О'. Шэм и Накаяма показали [1610], что в их к • р — модели с бесконечным барьером а^ весьма чувствительно к положению границы z0. Накаяма, используя свою модель J1KAO, показал [1280], что увеличение Ео-о из-за наличия границы имеет порядок нескольких миллиэлектронвольт. Это противоречит результату работы Стерна [1700], где показано, что при плавной границе раздела величина Еоо меньше, чем при резкой (см. § 5 гл. 3). Относительное положение подзон Ео и Ео, может из-

меняться за счет наличия внутренних приграничных механических напряжений. Во всяком случае, энергетическая разность Ео-о весьма чувствительна к реальным условиям на границе. Поскольку SiO2 является аморфным, длина рассеяния as может меняться в пространстве. Эти флуктуации as могут быть еще одной причиной рассеяния электронов. Такой эффект аналогичен рассмотренному в § 3 гл. 4 эффекту шероховатой поверхности.

Теория Кюммеля — спин-орбитальное взаимодействие

В работе Кюммеля [1032] был предложен механизм долинного расщепления, совершенно иной, нежели два других, рассмотренных выше, — спин-орбитальное взаимодействие. При наличии внешнего потенциала волновую функцию можно записать в виде

(7.42)(7.42)С dk

(7.42)

(7.42)

^V, Z) = I г^^)^^’ z)’

где F(k ) — огибающая функция, а фк (г, z) — блоховская функция зоны проводимости при кх = ку = 0. Для потенциала K(z) = еРг огибающая функция удовлетворяет уравнению

eUQFUQeUQFUQ(7.43)(7.43)+ еРF(k^ = еРЦ^,

eUQFUQ

eUQFUQ

(7.43)

(7.43)

V Эк гV

где F, стоящее перед скобкой, обозначает электрическое поле, е(*) — закон дисперсии в зоне

проводимости, а

<1М><1М>^) = 1 f dRw^(R) А- ик(^

<1М>

<1М>

(О — объем элементарной ячейки, ик (R) — периодическая часть блоховской функции). Считая, что функция F(kz) отлична от нуля лишь вблизи минимумов ^к0, Кюммель получил две серии подзон с энергиями, сдвинутыми на еРХ^кц) относительно значений, даваемых обычным уравнением эффективной массы. В отсутствие спин-орбитального взаимодействия можно полагать ик чисто вещественным и Х^ку) = 0. При наличии такого взаимодействия Х(±*о) может* быть отлично от нуля и Х^к^ = — Х( — к^. Таким образом, спин- орбитальное взаимодействие может вызвать долинное расщепление

Д£у = 2IX(±*0)leF = 2IX(±*O)IД£у = 2IX(±*0)leF = 2IX(±*O)I/dK(z)\ \ dz //dK(z)\ \ dz /(7.45)(7.45)

Д£у = 2IX(±*0)leF = 2IX(±*O)I

Д£у = 2IX(±*0)leF = 2IX(±*O)I

/dK(z)\ \ dz /

/dK(z)\ \ dz /

(7.45)

(7.45)

Это и есть предложенный Кюммелем спин-орбитальный механизм. Поскольку вблизи дна зоны проводимости кремния спин-орбитальное взаимодействие малосущественно, нельзя быть уверенным, что в реальных инверсионных слоях этот механизм действительно вносит заметный вклад в долинное расщепление. Оценки Х^к^ требуют детального знания зонной структуры и пока еще отсутствуют. Сам Кюммель утверждает, что IX(±*O)I имеет ненулевую величину, на порядок меньшую, чем постоянная решетки. Вопрос о том, приведет ли отличное от нуля значение 1-¥(±£0)| в низшем порядке к расщеплению вида (7.45), являлся предметом дискуссии [239].

Долинное расщепление на поверхности (100) Si

Многочастичные эффекты

На рис. 148 показан типичный пример осцилляций проводимости Шубникова — де Гааза в сильных магнитных полях. Аналогичный рисунок приводился также в § 2 гл. 6. Пики, соответствующие двум нижним уровням Ландау (А = 0, 1), расщеплены четырехкратно. Более сильное расщепление — зеемановское спиновое, на которое накладывается дополнительное долинное расщепление. Уровень Ландау с N = 2 испытывает слабое долинное расщепление. Для А = 3 в магнитных полях менее 150 кГс наблюдается лишь спиновое расщепление, а при Н & 150 кГс появляется характерная структура, названная в работах [1351, 1354] зубцом (“cusp”) и отмеченная стрелкой на рис. 148. На более высоких уровнях Ландау расщепления не наблюдается. Таким образом, долинное расщепление исчезает при высокой концентрации носителей. С другой стороны, согласно описанным в § 1.1 расчетам, величина долинного расщепления крайне мала при малых А5 и растет приблизительно пропорционально Ns. Подобное характерное поведение формы кривых тесно связано с проблемой уширения уровней. Как отмечалось в § 2 гл. 6, опенки ширины уровней Ландау при Н - 100 кГс приводят к типичному значению 1,5 ч- 2 мэВ, что значительно превосходит теоретическую величину долинного расщепления. Кроме того, ширина уровней не растет с ростом Ns настолько быстро, чтобы объяснить быстрое изменение формы осцилляций Шубникова — де Гааза. Поэтому ясно, что простой учет неперенормированного долинного расщепления не может объяснить экспериментальные результаты и решающую роль здесь должно играть дополнительное возрастание расщепления, такое же, как и детально обсуждавшееся в § 2 гл. 6 возрастание спинового расщепления.

33М5, 10,гсм"гМ5, 10,гсм"гРис. 149 схематически иллюстрирует относительное движение уровней Ландау, соответствующих различным ориентациям спина и различным долинам. На нем ориентации спина обозначены знаками t и I, а различные долины — знаками + и — . Заполненные уровни испытывают энергический сдвиг, приблизительно пропорциональный степени заполнения и обратно пропорциональный степени экранирования в системе. Следовательно, возрастание расщепления является осциллирующей функцией степени заполнения уровней электронами. Окава и Уемура [1351, 1354] вычисляли энергетический сдвиг в экранированном приближении Хартри — Фока, ранее использовавшемся [81, 82] для объяснения спинового расщепления.

3

3

М5, 10,гсм"г

М5, 10,гсм"г

Рис. 148. Проводимость инверсионного п- слоя на поверхности (100)51 \Kawaji S., Wakabayashi J., Kusuda К., неопубликованные результаты]. Сплошная ливня — Н = 150 кГс, точечная — Н = 110 кГс. Стрелки указывают положение уровня Ландау с А = 3 [71].

МеталлМеталлДиэлектрикДиэлектрикРис. 149. Схематическая иллюстрация возрастания спинового и долинного расщепления. Заполненный уровень испытывает собственно-энергетический сдвиг, пропорциональный его заполнению и обратно пропорциональный степени экранирования в системе. Возрастание велико для случая диэлектрика и мало для металла [1354].

Металл

Металл

Диэлектрик

Диэлектрик

Авторы использовали полученное ими же значение исходного долинного расщепления и считали форму плотности состояний для каждого уровня гауссовой. Рассчитанный вид осцилляций Шубникова — де Гааза, изображенный на рис. 129, объясняет характерные черты экспериментальных зависимостей. Хотя некоторые задачи, связанные с формой осцилляций, остаются нерешенными (например, обсуждавшиеся в § 4 гл. 6 эффекты локализации), ясно видна важность учета обменных эффектов при объяснении экспериментальных данных.

В работах [1500 — 1502] расчеты Окавы и Уемуры обобщаются на случай ненулевых температур и вычисляется максимальное возрастание долинного расщепления для случая, когда уровень химического потенциала лежит посередине между уровнями различных долин (рис. 149,bj). Авторы показали, что с ростом температуры величина расщепления вначале практически не меняется, оставаясь равной своему значению при Г = 0, а при достижении температуры, имеющей порядок неперенормированного долинного расщепления, резко падает. При более высоких температурах долинное расщепление ненаблюдаемо. Это резкое изменение связано с наличием двойной положительной обратной связи: с ростом температуры уменьшается разница чисел заполнения двух долин и одновременно усиливается экранирование.

Экспериментальное определение долинного расщепления

Рассчитанную Окавой и Уемурой форму осцилляций Шубникова — де Гааза нельзя считать однозначным доказательством того, что полученная ими величина неперенормированного долинного расщепления согласуется с экспериментом. Причина в том, что согласно их же

Рис. 150. Верхняя и нижняя границы (черные точки со стрелками соответственно вниз и вверх) для долинного расщепления в инверсионном n-слое на поверхности (OOl)Si, определенные из анализа формы осцилляций магнитопроводимостн в сильных магнитных полях \Kawaji S., Wakabayashi J., Kusuda К., неопубликованные результаты]. Показаны также теоретические предсказания Окавы и Уемуры [1353] (нижняя кривая) и Шэма и Накаямы [1610] (верхняя кривая) для 3 = 0. Результат, полученный из анализа фазового сдвига осцилляций Шубникова — де Гааза в слабых магнитных полях, изображен кружком [71].

расчетам, в расщеплении на самом деле доминирует вклад многочастичных эффектов, в особенности при малых концентрациях электронов. Следует отметить, что возрастание расщепления за счет обменных эффектов остается заметным и не может игнорироваться даже при более высоких концентрациях, когда в осцилляциях Шубникова — де Гааза долинное расщепление не различается. Это делает экспериментальное определение долинного расщепления весьма трудным и неопределенным, хотя некоторую информацию о нем из эксперимента все же извлечь можно.

Вначале сосредоточим внимание на характерном изменении формы пика, соответствующего N = 3 и отмеченного стрелками на рис. 148. При Н = ПОкГс пик испытывает только спиновое расщепление. Это означает, что разница в энергиях уровней (3, I, +) и (3, 1, -) при положении уровня Ферми посередине между ними превосходит разницу между (3, 1, -) и (3, 1, +) также при соответствующем серединном положении уровня Ферми. Хотя речь идет об энергиях, перенормированных сильными многочастичными эффектами, можно с достаточной уверенностью считать, что подобное же соотношение между энергетическими зазорами справедливо и в отсутствие их возрастания за счет указанных эффектов. Следовательно, можно

заключить, что долинное расщепление меньше, чем половина спинового, при концентрациях электронов, соответствующих максимуму проводимости, то есть ДЕи < UgH, где дв — магнетон Бора. С другой стороны, при Н = 150 кГс форма кривой говорит о том, что долииное расщепление несколько превосходит половину спинового. Таким образом, путем анализа формы кривых при различных значениях магнитного поля возможно определить верхнюю и нижнюю границы (а иногда и точные значения) неперенормированного долинного расщепления. В случае наклонного магнитного поля точность может быть увеличена, поскольку спиновое расщепление определяется полной величиной поля. На рис. 150 представлены результаты анализа формы осцилляций наряду с теоретическими результатами Окавы и Уемуры [1351, 1353] и Шэма и Накаямы [1609, 1610], полученными без учета отсечки потенциала изображения (6 = 0). Если в формуле (7.39) положить 6 - а/4, то обе теоретические кривые пройдут приблизительно на 10% выше. Создается впечатление, что неперенормированное долинное расщепление для N = 3 лежит между указанными теоретическими кривыми. Заметим, однако, что теоретические результаты представлены на рисунке лишь для наглядности, а не с целью сравнения с экспериментом, поскольку результаты расчетов содержат различные неопределенности, зависящие от выбора модели границы раздела.

Самая простая возможность определения долинного расщепления должна реализовываться в более слабых магнитных полях, где расстояние между уровнями Ландау Йшс сравнимо с расщеплением [1709] (см. также [68]). На рис. 151 представлены структура уровней Ландау при Н = 25 кГс и схематический вид осцилляций Шубникова — де Гааза для проводимо-

Рис. 151. Схематический вид энергий уровней Ландау и осцилляций Шубникова-де Гааза при изменении концентрации электронов в инверсионном n-слое на поверхности (001)31 при Н = 25 кГс. Тонкие сплошные и штриховые линии отвечают связывающим и антисвязывающим состояниям соответственно. Диагональная штрихпунктирная линия — положение уровня Ферми в отсутствие магнитного поля. Вертикальная штрихпунктирная линия при Ns = = 3,8 ■ 10,2см~2 соответствует концентрации электронов, при которой долинное расщепление составляет половину расстояния между уровнями Ландау. В этой точке изменяется фаза осцилляций [68].

сти. Использовались результаты Шэма и Накаямы [1610] при 6 = 0, а многочастичные эффекты возрастания расщепления для простоты ие учитывались. Хотя разрешение и не позволяло увидеть малое долинное расщепление, осцилляции Шубникова — де Гааза должны испытывать характерный скачок фазы на т при такой концентрации электронов, когда долинное расщепление равно половине расстояния между уровнями Ландау (на рис. 151 это соответствует Ns = 3,8 • 1012 см-2). Такой скачок фазы до недавнего времени не вызывал заметного интереса, и экспериментальная ситуация пока еще не ясна, главным образом из-за сильного разброса имеющихся результатов. На одних образцах при большой концентрации электронов скачок фазы существует, а на других — нет. В работе [1709] проведен систематический анализ старых экспериментальных результатов по осцилляциям Шубникова — де Гааза в слабых магнитных полях для различных образцов. Скачок фазы наблюдался не во всех образцах, но у всех образцов из одной н той же пластины свойства были сходными. Автор также обнаружил в некоторых образцах наличие двух и более скачков фазы в определенном интервале магнитных полей, указывающее на осциллирующий характер зависимости долинного расщепления от Nr На рис. 150 имеется одна экспериментальная точка (Kawaji и др., неопубликованные результаты), свидетельствующая о том, что долинное расщепление в слабых магнитных полях значительно меньше, чем в сильных. Заметим, что расщепление, определенное таким образом, включает эффекты обменного возрастания, которыми нельзя пренебречь даже в слабых полях, и потому неперенормированное расщепление оказывается еще меньшим. Следовательно, как можно видеть, долинное расщепление достаточно сильно зависит от магнитного поля.

В действительности предпринималось и много других попыток определить величину долинного расщепления. В работах [978 — 980, 982] для этой цели использовались слегка видоизмененные соображения об изменениях фазы осцилляций Шубникова — де Гааза в наклонных магнитных полях. В работе [1904] анализировалась зависимость проводимости от энергии Ферми путем изменения наклона поля при сохранении неизменной его нормальной компоненты. С помощью такого анализа автор получил максимально допустимые значения (верхнюю границу) для долинного расщепления. При исследовании зависимости осцилляций в сильных магнитных полях от смещения на подложке [1313] был обнаружен сильный разброс от образца к образцу абсолютного значения расщепления и рост расщепления при увеличении ^обедн- Недавно в работе [1317] был проведен анализ формы осцилляций проводимости в сильных магнитных полях в духе описанного выше подхода путем изменения ^обедн и угла наклона поля. Авторы впервые показали, что долинное расщепление растет линейно с No6eM в согласии с теоретическими предсказаниями. Во всех перечисленных работах, однако, подробно не рассматривались многочастичные эффекты, играющие важную роль. Поэтому значения долинного расщепления нельзя непосредственно сопоставлять с результатами теории, хотя качественно их поведение, по-видимому, правильно. Мы не приводим детального описания экспериментов, поскольку для этого необходимо привлекать весьма сложные соображения о структуре энергетических уровней и о форме осцилляций проводимости.

Эффекты разориентации

В работе [67] было высказано предположение, что кристаллографическая разориентация поверхности может влиять на долинное расщепление. Поскольку это расщепление есть результат взаимодействия двух долин, расположенных вблизи противоположных концов зоны Бриллюэна, небольшое отклонение поверхности от плоскости (100) может привести к значительному изменению расщепления. Дойустим, что поверхность отклонена на угол 9. Проекции на плоскость границы (к., = 0) ферми-лииий двух долин отстоят друг от друга на рассто-

Рис. 152. Долинное расщепление, вычисленное для уровня Ландау, совпадающего при нулевой температуре с уровнем Ферми [68]: а — Н= 25 кГс, б— Н = 150 кГс. Цифры на кривых означают угол наклона 9 в градусах, ^обын = 0,1 ■ 10|2см~2.

яние 2E0sin9 в плоскости кх — ку. Поэтому в пренебрежении взаимодействием между различными уровнями Ландау двух долин получаем

ДЕ' - С^и^к^тв^, (7.46)

где ДЕу — долинное расщепление при 9 = 0, JNN(x) — интеграл перекрытия уровней Ландау, / = (ch/eH)V1 — радиус циклотронной орбиты основного состояния. Для достаточно больших N

JNN(2k0l sin9) = J0[(2N + l)'/22£(/sin0] = Jo[2ko/?csin9], (7.47)

где J0(x) — функция Бесселя нулевого порядка, Rc — классический циклотронный радиус. Поскольку кд 1 — 1 А, а типичное значение / имеет порядок 100 А, очень малая величина 9 (порядка 0,5°) уже может значительно изменить величину расщепления. Для уровней Ландау с большими номерами и слабых магнитных полей эффект еще увеличивается. Результаты численных расчетов, учитывающих также и взаимодействие между различными уровнями Ландау, представлены на рис. 152. Здесь изображена зависимость долинного расщепления уровня Ландау, совпадающего с уровнем Ферми, от Ns для Н = 25 кГс и Н = 150 кГс. Эффекты очень велики, в особенности в слабых магнитных полях, и даже, как можно видеть из выражения (7.47), приводят к осцилляциям расщепления. Возможно, именно таким образом и объясняются вышеупомянутые экспериментальные результаты работы [1709]. Дополнительное междолинное взаимодействие через точку X существует при ненулевых значениях кх и ку и в случае больших разорнентаций может стать существенным.

В реальных инверсионных слоях наличие ненулевых значений 9 может быть связано с различными причинами. Поскольку точность экспериментального определения кристаллографической ориентации обычно не превышает 0,5°, стандартные МОП-транзисторы, невидимому, характеризуются наличием разориентации такого же порядка. Реальные образцы содержат так называемые шероховатости поверхности, истинная природа которых еще не вполне выяснена (см. § 2,3 гл. 4). Они создают крупномасштабные (плавно меняющиеся) деформации поверхности, сходные с разориентацией. Такие деформации практически неконтролируемы и могут вызывать долинное расщепление, сильно меняющееся от образца к образцу, в особенности в слабых магнитных полях. Таким образом, эффекты разориентации спо-

Рис. 153. Экспериментальные зависимости проводимости каналов на поверхности (81 l)Si от концентрации электронов Ns [325]: 1,2 — ауу и пп в n-канале при низкой температуре; 3 — оуу при высокой температуре (77 К); 4 — проводимость р-канала.

собны объяснить различные странности в поведении экспериментально наблюдаемого расщепления. Однако приложение описанной выше бесхитростной теории к реальным системам сопряжено с определенными проблемами. Так, угол наклона 0,5° соответствует расстоянию между отдельными моноатомными ступеньками в несколько сотен ангстрем, что ставит под сомнение смысл использования самого понятия о таком малом угле наклона. Кроме того, на поверхности могут оказаться участки, более ровные, чем ожидается, и ориентированные точно в направлении (100), что ослабляет эффекты разориентации, особенно в сильных магнитных полях, где циклотронный радиус достаточно мал. При этом эффективный угол наклона может зависеть от напряженности поля через радиус циклотронной орбиты.

Запрещенные мини-зоны на вицинальных плоскостях (100) Si

В работе [325] (см. также [1711]) была обнаружена необычная структура зависимости проводимости инверсионного и-канала на поверхности (811) Si от концентрации электронов. Ожидалось, что структура подзон и кинетические свойства у поверхности (811) будут практически такими же, как и у отклоненной от нее всего на 10° поверхности (100). Экспериментально наблюдаемые значения проводимости изображены jia рис. 153. В дальнейшем будем считать, что в качестве осей х и ^ выбраны направления [288] и [011] соответственно, а в качестве оси z — направление [811]. Тогда графики проводимости для этих направлений, оп и ауу, имеют соответственно вид (Т-образной кривой с двумя провалами и кривой с одним максимумом. Такая структура на кривых исчезает при высоких температурах, а для p-каналов, по- видимому, вообще отсутствует. На рис. 154 изображены осцилляции Шубникова — де Гааза, наблюдаемые на зависимости ^-компоненты дифференциальной проводимости dayy/dNs от концентрации электронов N^ При N$ > 3,2 • 1012 см-2 в слабых магнитных полях появляются осцилляции с большой амплитудой. Они имеют больший период по Ns, чем обычные осцилляции, наблюдающиеся при меньших концентрациях (N$ < 2,5 • 1012 см-2). Из периода осцилляций и температурной зависимости их амплитуды авторы определили концентрацию и эффективную массу электронов, ответственных за осцилляции. Результаты приведены на рис. 155. Видно, что при больших концентрациях электронов их закон дисперсии существенно непараболичен. Для объяснения подобной аномалии авторы [325] предположили наличие в двумерном законе дисперсии запрещенной мини-зоны, связанной с наличием одномерного

Рис. 154. Дифференциальная проводимость Gm = dayy

на поверхности (811 )Si при Т = 1,5 К для раз- dN,

личных магнитных полей [325]: I — Н = (У, 2 — Н = = 3 кГс; 3 — Н = 8 кГс.

Рис. 155. Экспериментальные зависимости величины эффективной массы от концентрации электронов на поверхности (811)Si. Сплошная линия — измеренное значение концентрации в фермиевской «линзе» над щелью. Штриховые линии — ожидаемые зависимости для модели одномерной сверхрешетки [325].

сверхрешеточного потенциала^. Наличие такой щели с шириной порядка 4 мэВ при Ns = 3 х х 10 см-2 и линейно растущей с N, позволяет объяснить все наблюдаемые зависимости. Структура на графиках проводимости обусловлена изменениями плотности состояний и скоростей электронов вблизи щели. Электроны из фермиевской «линзы» над щелью вызывают осцилляции Шубникова — де Гааза с большими периодом и амплитудой. Концентрация электронов, соответствующая аномальному максимуму на а^, позволяет определить период сверхрешеточного потенциала, оказавшийся равным 104 А, что значительно отличается от ожидаемого значения 31,4 А для периода ступенек на границе Si — SiO2. Происхождение сверхрешеточного потенциала остается невыясненным. Исследованию подвергались и другие поверхности кремния [1045]. Поверхность (511) (угол наклона 16°), как и ожидалось, проявляла сходное поведение, в то время как свойства поверхности (23 2 2) (угол наклона ~ 7°) оказались неожиданно совсем другими.

Предлагалась и иная, альтернативная модель возникновения мини-щели [1607], связывающая ее наличие со снятием за счет междолинного взаимодействия вырождения долин в точках пересечения поверхностных подзон, полученных проектированием «объемного» закона дисперсии на плоскость, параллельную границе (*г = 0). Эта так называемая модель проекции долин предсказывает появление мини-щели при таких концентрациях электронов, когда фермиевский волновой вектор, отсчитанный от дна долины, достигает значения 0,15 (2tf/<z) sin У, где 9 — угол наклона понерхности. Такое значение концентрации объясняет положение щели, наблюдавшейся на поверхностях (811) и (911). Проведенное позже систематическое исследование зависимости эффекта от угла наклона [1837] подтвердило справедливость

модели проекции долин.

Хотя положение мини-шели правильно предсказывается теорией, наблюдаемая ширина ее значительно превосходит долинное расщепление на точной грани (100), что пока еще не нашло своего объяснения. Следует ожидать, что для углов наклона 9-10° междолинное взаимодействие через точку X играет важную роль. Используя подход, аналогичный ранее обсуждавшемуся, можно с помощью выражения (7.20) оценить значение мини-щели [1344, 1346, 1347, 1605]. Вычисления дают

— sin9 созУсозф cos Osin ф— sin9 созУсозф cos Osin ф(7.48)(7.48)0 cos 9

— sin9 созУсозф cos Osin ф

— sin9 созУсозф cos Osin ф

(7.48)

(7.48)

— sin9 sin9cos0

cos</> sin9cos0

где ф — азимутальный угол направления поверхности по отношению к направлению [010], а ось х выбрана в направлении наклона. В отсутствие сдвиговых деформаций е23 мини-щель при кх = ку = 0 в низшем порядке по L и 6 описывается формулой

d^oU^e '^-^ *2sin9sin20fo(z)e ‘^d^oU^e '^-^ *2sin9sin20fo(z)e ‘^= A^sin2eisin2ti/^\,4*0 wo\ dz /(7.49)= A^sin2eisin2ti/^\,4*0 wo\ dz /(7.49)

d^oU^e '^-^ *2sin9sin20fo(z)e ‘^

d^oU^e '^-^ *2sin9sin20fo(z)e ‘^

= A^sin2eisin2ti/^\,4*0 wo\ dz /

(7.49)

= A^sin2eisin2ti/^\,4*0 wo\ dz /

(7.49)

где <3F(z)/3z> определяется формулой (7.15). Полученное выражение сильно зависит от 9 и

Рис. 156. Частотные зависимости оптической проводимости на поверхности (911)Si [1607]. Ns = = 2,79 • 1012 см-2, т* = 0,2 т0, т = 0,83 • 10*12 с, L = ПО А, ^о = 3,4 мэВ, Т = 1,2 К. а — ауу\ б — о^. Сплошная и штриховая линии на рис. б — теоретические расчеты, основанные соответственно на модели сверхрешетки и модели проекции долин.

ф. В частности, для поверхности (911) при Ns ~ 3 • 1012 см-2, полагая в ~ 10° и ф = т/4, имеем Д£и = 0,6 мэВ. Эта иеличина существенно меньше значения, наблюдавшегося в работе [325]. Вычисления для ненулевых значений кх и ку показывают, что ширина щели достаточно сильно зависит от этих параметров.

Для определения ширины мини-щели были проведены различные эксперименты. В работе [1607] наблюдалось поглощение дальнего инфракрасного излучения, связанное с переходами через мини-щель на поверхности (811). На рис. 156 изображены наблюдаемые значения компонент высокочастотной проводимости ^(ш) и ^(ш) при положении уровня Ферми в центре мини-щели. Поведение ау близко к описываемому формулой Друде при наблюдаемой величине подвижности, в то время как в о^ ясно виден межзонный переход. Поскольку меж- долннное взаимодействие наиболее значительно при кх = 0, когда две долины вырождены, то основной вклад в оптический переход вносят области плоскости кх — ку вблизи точек, где в отсутствие мини-щели пересекаются две ферми-окружностн. Следовательно, можно ожидать, что такие оптические измерения дадут значение мини-щели в указанных точках, в то время как вид статической проводимости определяется мини-щелью при кх = ку = 0. Поглощение дальнего инфракрасного излучения наблюдалось также и другими авторами [323, 1602, 1819] (см. также [1005]) и было подробно исследовано на разных поверхностях с различными углами наклона [858, 1603]. Результаты показывают, что в качественном согласии с теоретическими вынодами, опирающимися на уравнение (7.20), ширина минн-щели растет с ростом угла наклона и концентрации носителей Ns. Однако ее абсолютное значение существенно превышает теоретически вычисленную величину. В дальнем инфракрасном диапазоне наблюдалось также излучение, связанное с радиационным распадом электронных возбуждений через

мини-щель [649, 652, 1821, 1823], позволившее исследовать зависимость щелн от Ns и в. В работе [1359] явным образом использовалось условие наступления магнитного пробоя в осцилляциях Шубникова — де Гааза ДЕ„ - ^ЫсЕрУ71 (см., например, [1437]). Можно ожидать, что мини-щель, определенная таким способом, будет приблизительно совпадать с оптической мини-щелью. Указанным методом нельзя определить абсолютное значение мнни-щелн, но можно описать ее качественное поведение, в частности зависимость от Ns и 0. Еще не полностью изучено влияние смешении на подложке. Было показано [325], что с ростом обедняющего поля мини-щель растет пропорционально No6eaH в согласии с теоретическим выражением (7.49). Однако в работе [649] на основании экспериментальных результатов по эмиссии инфракрасного излучения был сделан противоречащий формуле (7.49) вывод о том, что ширина мини-щели есть функция Ns + (Vo6eaH.

Все вышеупомянутые эксперименты свидетельствуют о наличии в выражении для мини- щели большого не зависящего от 0 члена. Возможной причиной его существования являются значительные деформации, могущие возникнуть от наклона поверхности. При наличии деформации недиагональный член iEa е23 уравнения (7.20) вызывает не зависящее от 0 долинное расщепление. Поскольку интеграл перекрытия волновых функций двух долин в основном определяется значениями z, близкими к поверхности, вполне достаточно деформаций, непосредственно локализованных в приповерхностной области. При этом, однако, такие локализованные деформации не могут описываться уравнением (7.20). Величина деформации может зависеть от угла наклона, и это является возможной причиной дополнительной зависимости мини-щели от 0. Другая возможная причина — это существование на наклонной поверхности пограничных состояний вблизи края зоны проводимости и связанное с ними резонансное взаимодействие двух долин, наличие которого на точной поверхности (100) было показано Шэ- мом и Накаямой в рамках к • p-модели с бесконечным барьером. Для выбора правильного объяснения требуются опыты по изучению мини-щели в образцах, полученных по различной технологии.

Выражение (7.49) указывает на возможность сильной зависимости долинного расщепления от азимутального угла ф. Экспериментально такая зависимость изучалась несколькими группами авторов, но результаты пока еще противоречивы. В работах [1602, 16ОЗ]_на основании измерений оптического поглощения и статической проводимости сделано заключение о малости мини-щели на понерхностях (и 10) (что соответствует ф = 0) по сравнению с плоскостями (nil) в согласии с содержащимся в формуле (7.49) множителем sin20. В работе [1709] ширины мини-щелей на поверхностях (пЮ) и (nil) оказались близкими, хотя структура в проводимости в первом случае была значительно слабее. При изучении условий магнитного пробоя был сделан вывод [Kusuda К., KawajiS., неопубликованные результаты] о том, что мини-щели на поверхностях (и 10) приблизительно в два раза меньше, чем на поверхностях (nil) при том же угле наклона. В настоящее время нельзя уверенно сказать, связана лн подобная противоречивость результатов с резкой зависимостью мини-щели от кх и ку или же с сильным влиянием условий на поверхности.

Модель проекции долин предсказывает возможность существования целого ряда других, вышележащих мини-щелей [1826, 1837]. На рис. 157 показана зависимость Е[кх[ для электронов инверсионного слоя на поверхности, отклоненной на угол 0 от плоскости (100). Если пренебречь мннн-щелями, то эта зависимость в расширенной зонной схеме состоит нз двух парабол с центрами при кх = ±*0 (*0 = 0,85 (2т/а)), относящихся к двум < 100) долинам. В модели предполагается, что проекция вектора обратной решетки (4т/а, 0, 0) на поверхность дает вектор поверхностной обратной решетки, ориентированный в направлении наклона Q = (2, 0), где Q = (4т/а)$шУ. Поэтому мини-щели в поверхностных зонах могут возникать при каж-

Е (к^Е (к^Рис. 157. Зависимость Е^к^ для электронов инверсионного слоя на поверхности, отклоненной от плоскости (100) на угол 9: а — в расширенной зонной схеме в отсутствие междолииных взаимодействий; б — в периодической зонной схеме с учетом снятия вырождения в точках пересечения зон. Q = (4%/a)sin 9 [1837].

Е (к^

Е (к^

дом пересечении этих зон в периодической зонной схеме (рис. 157). Минн-щели прн кх = 0, ±Q/2, ±2Q/2, ... возникают благодаря междолннным взаимодействиям, а взаимодействие между вырожденными состояниями в одной долине создает мнни-шели прн кх = ±(2тг/а — — A0)sin9. Поэтому с ростом концентрации электронов Ns можно ожидать появления минищелей при kF = (2тг/а — /c^sinS, /fosin9, (2Tr/a)sin0, (4/тга — /c^sinSгде kF = = (тг^)^2. На поверхностях (nil) с большими п в ожидаемых точках, соответствующих дополнительным высшим мннн-щелям Vkp = O,85(2Tr/a)sin9, (2т/п)$т0, l,15(2Tr/o)sin9], наблюдались аномалии во второй производной проводимости по Ns [1837]. Наблюдалось также оптическое поглощение, связанное с переходами через вторую минн-щель 0,85(2тг/б)$1п9 н указывающее на то, что по ширине она сравнима с первой минн-шелью прн том же самом Ns и угле наклона [858, 1837]. Некоторые из высшнх минн-щелей проявляются также в опытах по эмиссии дальнего инфракрасного излучения [649].

Если электроны локализованы в очень узкой приповерхностной области и нормальная к поверхности компонента импульса hk. не сохраняется н может принимать любое значение, то векторы двумерной обратной решетки G могут быть получены путем проекции соответствующих трехмерных, векторов обратной решетки на плоскость границы [1605, 1896, 1897]. Подобный способ может давать узлы двумерной обратной решетки, не совпадающие с узлами, полученными в простой модели проекции долин, обсуждавшейся выше. Можно показать, что на поверхности (nil) для четных п Gx = m(2T/a)sin0 и для нечетных п Gx = = m(4Tr/a)siny, где т — целое число. Двумерная зона Бриллюэна в направлении кх становится для четных п в 2 раза меньше, чем было получено ранее. Хотя это не сказывается на значении концентрации электронов, соответствующем низшей мини-щели, но может создавать дополнительные более высокие щели на понерхностях (nil) при четных п, пока еще, однако, не наблюдавшиеся в эксперименте. Для поверхности (23 2 2) аналогичные рассуждения дают

Рис. 158. Плотность состояний О(£) и проводимости ахх н ауу, вычисленные для модельной системы [70]. Д = 0,3; Го = 0,15; rrf = Го; Г„ = 0. Мини-щель лежит в интервале 0,7 < £ < 1,3.

Gx = m(-r/a)s"m6. При этом уже kF (илн концентрация электронов), соответствующая низшей минн-щели, может отличаться от значения, предсказываемого простой моделью проекции долин [1896]. Разумеется, подобные новые мини-щелн могут в принципе существовать, но нельзя с уверенностью утверждать, что именно с этим связаны некоторые аномалии, наблюдаемые на поверхности (23 2 2) [1045]. Если, однако, полагать, что для наличия мини-щелей необходимо взаимодействие между зонами, далеко разнесенными в пространстве импульссн, то может возникнуть сомнение, достаточно ли они велики, чтобы нх можно было наблюдать экспериментально.

Хотя наличие минн-щели на наклонных поверхностях н не вызывает сомнений, остается вопрос о том, объясняет ли мини-щель, снязанная с долинным расщеплением, детали экспериментально наблюдаемого аномального поведения явлений переноса. В действительности инверсионный слой на наклонной поверхности является идеальной системой для изучения влияния непараболнчности и щелей в энергетическом спектре на явлениях переноса. Эти явления в рассматриваемой системе изучались теоретически в работе [70] (см. также [71]). Для описания закона дисперсии вблизи ннжней мннн-щелн на наклонной поверхности предполагалось наличие щели, не зависящей от кх и ку, а основным механизмом, ограничивающим подвижность, считалось рассеяние на короткодействующих центрах. Как было показано н гл. 6, модель короткодействующих рассеивателей хорошо объясняет многие особенности кнанто- вых явлений переноса в инверсионных слоях. Вычислялись значения проводимостей ^(ш) и ауу^ в отсутствие и прн наличии магнитного поля как для ы = 0, так и для w 0. На рис. 158 представлены рассчитанные значения плотности состояний и статических проноди- мостей как функции энергии Фермн. Энергия отсчитывается от дна подзон в отсутстнне их взаимодействия и нормируется на энергию Ферми, соответствующую пересечению двух подзон. Интенсивность рассеяния задается величиной уширения уровня Го в отсутствие мнни- шелн. В рассматриваемом примере значение Го выбрано равным 0,15. Мини-щель лежит в интервале относительных энергий 0,7 4- 1,3. Плотность состояний имеет структуру вблизи

Рис. 159. Плотность состояний и проводимости, вычисленные для модельной системы с учетом слабого междолинного рассеяния [70]. А = 0,3; Го = 0,15; Г„ = О,75Го; Г„ = О,25Го.

ннжнего и верхнего краев щелн, отражающую соответственно логарифмическую расходн- мость и ступенчатый скачок. Уширение уровней смазывает эти резкие особенности. Прн пересечении мини-щели уровнем Ферми а имеет мало заметный, а ахх — более значительный пичок. Это существенно отличается от характеристических особенностей экспериментальных кривых (см. рис. 153). В эксперименте а имеет максимум, а ахх — ^'-образную форму. Сходное несоответствие наблюдается также в осцилляциях Шубникова — де Гааза и в высокочастотной проводимости, связанной с поглощением при переходах через мини-щель. Различные аномалии в кинетических коэффициентах, связанные с наличием мини-щели, весьма чувствительны к междолннному рассеянию, совершенно не учитывавшемуся в теоретических расчетах. Рис. 159 демонстрирует роль такого рассеяния для случая, когда оно составляет 25Vo от полного рассеяния: ауу при этом не меняется, зато а^ приобретает, как н в эксперименте, РК-образную структуру. Подобный учет междолинного рассеяния заметно меняет вид как осцилляций Шубникова — де Гааза, так и высокочастотной проводимости и приводит их в соответствие с экспериментальными закономерностями. Такйм образом, мы видим, что наличие мннн-щелей позволяет объяснить различные свойства явлений переноса лишь в предположении о существенной роли междолннного рассеяния при низких температурах. Это требует наличия в инверсионном слое короткодействующих рассеивателей с радиусом действия, имеющим атомные масштабы. Неясно, связано лн наличие таких рассеивателей с условиями на наклонных поверхностях, илн же онн существуют на любых понерхностях. Детальное экспериментальное исследование осцилляций Шубникова — де Гааза в рассматриваемой системе было выполнено в работе [1173].

ДОЛИННОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ И ДЕФОРМАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ

Долинное вырождение на поверхностях (111) и (110) Si

Как уже говорилось в гл. 3, благодаря многодолинной структуре зоны проводимости кремния факторы долинного вырождения gy на разных поверхностях могут быть различными. На рис. 5 схематично изображены эллипсоиды постоянной энергии в зоне проводимости

кремния. Следуя обозначениям Келли и Фаликова [924], будем обозначать шесть долин буквами а, Ь, с, d, е, /. Иногда мы будем называть долины а и d долинами 1, а долины b н/ долинами 2. Для поверхности (100) Si долины а и d (долины 1) ориентированы осью вращения, характеризуемой большой эффективной массой, по нормали к поверхности. Для остальных четырех долин ось вращения параллельна поверхности, а движение по нормали к ней характеризуется меньшей эффективной массой. Соответственно нижняя подзона на понерхностн (100) образуется из долин 1, что дает gu = 2. Все эксперименты подтверждают это значение (если не учитывать малого долинного расщепления, связанного с отклонениями от простого приближения эффективной массы). Аналогичные рассуждения для поверхностей (110) и (111) приводят к значениям gv = 4 и gv = 6 соответственно. Однако до недавнего времени ни один эксперимент на этих поверхностях не приводил к значению фактора долинного вырождения, отличному от gv = 2. Эта загадочная проблема долинного вырождения вызывала много споров.

Хотя экспериментальное исследование поверхностей (100), (НО) и (111) Si началось одновременно, низкая подвижность электронов на двух последних поверхностях долгое время препятствовала детальному изучению их свойств. Первые измерения эффекта Шубникова — де Гааза были проведены в 1975 г. [1049, 1302, 1303]. При этом для обеих поверхностей было получено значение gv = 2. Авторы вполне однозначно определили фактор вырождения gv, используя значение концентрации электронов, пропорциональной напряжению на затворе, и кратности орбитального вырождения уровней Ландау, равной 1/2тг/2, где /2 = ch/eH. Заполнения высших подзон не наблюдалось в широком интервале концентраций электронов. В работах [1302, 1303] с помощью обычного метода, апробированного на поверхности (100), определялись эффективная масса и эффективный g-фактор. Было показано, что с ростом концентрации электронов эти величины соответственно увеличиваются и уменьшаются. Подобные закономерности совпадают с наблюдавшимися на поверхности (100).

Как и в обычных массивных образцах, относительное энергетическое положение долин может быть смещено за счет деформаций. В МОП-структурах, создаваемых путем термического выращивания SiO2 на Si, при охлаждении до комнатной и более низких температур за счет разницы в коэффициентах термического расширения Si и SiO2 (а также металлического затвора) могут возникать внутренние поля напряжений. Однако, как известно, такие напряжения термической природы не превосходят 108 дн/см2 [336, 824, 828, 1965], что слишком мало для объяснения наблюдаемых значений долинного вырождения. Кроме того, любые напряжения в плоскости границы не могут снять вырождение gy = 4 на поверхности (110). Следовательно, подобный механизм макроскопических однородных напряжений не может объяснить снятия долинного вырождения.

Впоследствии на поверхности (111) изучалось влияние внешних одноосных напряжений [431, 1830]. Даже для напряжений вплоть до 2 • 109 дн/см2 не наблюдалось заселения других подзон. Подвижность, которая, несмотря на gv = 2, была изотропной, при деформации приобретала анизотропию, величина которой приблизительно соответствовала оценкам, опирающимся на анизотропию эффективной массы при заполнении лишь одного типа долин.

Высказывалось предположение [1830] о наличии вблизи поверхности неоднородных напряжений, связанных с различием в связях Si — Si в Si и Si — О — Si в SiO2. При этом поверхность разделена на небольшие одноосно-деформиронанные домены, ннутри каждого из которых одноосная деформация, действуя на шестикратно вырожденные подзоны, понижает энергию двух из них. В этой модели домены предполагаются ориентированными хаотически, что приводит к изотропной (в отсутствие внешних напряжений) подвижности. При приложении к образцу одноосного напряжения домены с соответствующими внутренними напряжениями разрастаются, что вызывает анизотропию подвижности.

Келли и Фаликов [923, 924] (см. также [516]) предположили, что сильное междолннное электрон-электронное взаимодействие через посредство фононов может вызывать понижение симметрии основного состояния, приводящее к меньшей кратности долинного вырождения, нежели в обычном парамагнитном состоянии с шести- и четырехкратным вырождением на поверхностях (111) и (ПО) соответственно. (Детальному обсуждению этой теории посвящен один из следующих разделов.) Утверждалось, что на поверхности (111) реализуется состояние с так называемой волной зарядовой плотности (CDW^), в котором спариваются две взаимно перпендикулярные долины, создавая две вырожденные подзоны te„ = 2). Поскольку имеются три возможности такого спаривания, это CDW^-состояние привело бы к доменной структуре.

Подробное изучение проблемы долинного вырождения проводили Дорда с соавторами [426, 431, 432, 477]. Они тщательно исследовали анизотропию подвижности и осцилляции Шубникова — де Гааза в условиях различных одноосных напряжений. В нх экспериментах долинное вырождение всегда равнялось двум. Однако анизотропия подвижности вела себя именно так, как должно быть при перетекании электронов из шести долин в соответствующую их группу по мере роста напряжения. Был сделан вывод, что объяснение, связанное с наличием внутренних напряжений, едва ли справедливо, поскольку для того, чтобы gy = 2, необходимо, чтобы эти напряжения значительно превосходили приложенные извне, в то время как поведение подвижности говорит о том, что нх величины сравнимы. Измерения температурной зависимости анизотропной подвижности показали наличие излома вблизи Т - 272 К для Ns = 5,4 • 1012 см-2 на поверхности (111). Авторы доказывают, что эта температура соответствует критической температуре фазового перехода первого рода из состояния с волной зарядовой плотности в обычное парамагнитное состояние. Однако найденное значение температуры почти не зависело от приложенного механического напряжения и значительно превышало предсказанное значение критической температуры, имеющее величину порядка энергии Ферми.

Некоторую информацию о природе основного состояния можно получить из межпод- зонного оптического поглощения. Для поверхностей (111) н (110) благодаря анизотропной и наклонной конфигурации долин движение электронов параллельно и перпендикулярно поверхности взаимосвязано. Поэтому межподзонные переходы могут быть вызваны параллельным поверхности электрическим полем. В такой простой геометрии «на просвет» деполяризационные и экситонные эффекты должны быть иными, нежели в обычной волноводной геометрии (см. рис. 31). В работе [75] было показано, что деполяризационные н часть экситонных эффектов исчезают в полностью симметричном состоянии, то есть при gv = 6 на поверхности (111) и gv = 4 на поверхности (НО). С другой стороны, если в условиях сильной деформации электроны занимают лишь две противоположные долины, спектр должен быть таким же, как в волноводной геометрии. Для возможных моделей основного состояния на поверхности (111), то есть для нормального состояния (gy = 6), сильно деформированного состояния (gv = 2) и состояния с волной зарядовой плотности при наличии или в отсутствие доменной структуры, были исследованы резонансные спектры в обеих геометриях [1279]. Было показано, что особенности спектра сложным образом зависят от симметрии основного состояния и размера доменов. Путем сравнения формы резонансных линий для различной геометрии опыта можно определить, какая из предложенных моделей основного состояния реализуется в действительности. В этом направлении уже имеются некоторые экспериментальные достижения ([327, 1175]; KamgarA., неопубликованные результаты), однако они носят предварительный характер и пока еще не позволяют сделать определенных выводов.

Деформационные эффекты на поверхности (100) Si °

При приложении сжимающего напряжения, например вдоль оси [010], расположенные в данном направлении долины 2 понижают свою энергию по отношению к долинам 1. Соответственно уменьшается энергетический зазор между £0 и £0-. Авторы работ [1828, 1829] обнаружили при больших концентрациях электронов изменение периода осцилляций в недефор- мнрованном образце и связали его с заполнением более высоких подзон. При наличии одноосного сжатия такое изменение периода происходило при меньших концентрациях, что наводит на мысль об одновременном заполнении подзон £0 и £0- за счет уменьшения энергетического зазора между ннмн, вызванного деформацией.

Перераспределение электронов при деформации представляет интересную теоретическую проблему, поскольку, как известно, электрон-электронные взаимодействия в рассматриваемой системе играют важную роль. В работе [1740] эта задача исследовалась для случая сжимающего напряжения в направлении [010]. При этом использовались вариационные волновые функции вида (3.34) с параметром Ьх для долин 1 н 62 Для долин 2. Для заданной величины деформации, характеризуемой величиной расщепления долин 1 и 2 в объеме образца, и при концентрации Ns вычислялась полная энергия Е как функция параметров bv b2> Nt и N2, где ^I и TV2 — концентрации электронов в соответствующих долинах (TV, + N2 = Ns\ Параметры Ь1 и Ь2 определялись путем минимизации Ефх, b2, Nv N^ при заданном ^1, а затем результирующая энергия минимизировалась по Np Такая процедура представляет собой естественное обобщение метода, описанного в § 1 гл. 3, где учитывалась лишь одна подзона. Используя этот метод и беря волновую функцию в виде (3.25), авторы работы [901] рассмотрели в приближении Хартри структуру подзон для кремния на поверхности сапфира. В работе [1740] этот метод был применен и в последующих приближениях, таких, как приближение Хартрн — Фока н приближение хаотических фаз. Достоинством указанного подхода является возможность описать изменение распределения электронной плотности, связанное с обменными н корреляционными эффектами, для учета которых в методе возмущений [1341, 1342, 1874, 1876] необходимо принимать во внимание межподзонное перемешнванне. И действительно, получаемое при этом распределение электронной плотности находится в хорошем согласии с результатами вычислений по методу функционала плотности [54, 55] для однопод- зонного случая.

На рис. 160 изображены результаты расчета «фазовой диаграммы», где по осям отложены величины механических напряжений2*, при которых начинается и заканчивается перетекание электронов, н электронная концентрация. Приближение Хартри (пунктирные линии) всегда приводит к плавному переходу и наличию широкого диапазона напряжений, в котором электроны располагаются как в долинах 1, так и в долинах 2. Это связано с пиннингом уровня Фермн, возникающим при начале заполнения более высокой подзоны, характеризующейся большей пространственной протяженностью (см. § 1 гл. 3). Приближение Хартри — Фока предсказывает резкий переход первого рода от одного типа заполненных долин к другому при концентрациях вплоть до Ns = 1012 см-2. Но и в области Ns а 1012 см-2 величины /V, и N2 испытывают скачки в точках, соответствующих началу и концу перетекания. Если учесть корреляции в рамках приближения хаотических фаз, то область резкого перехода сузится,

» Влиянию деформации на физические явления в полупроводниках посвящена монография [7/0].—Прим.ред.

2> В качестве меры механического напряжения, отложенного по оси ординат, авторами взята пропорциональная ему величина относительного энергетического сдвига долин. —' Прим.перев.

Рис. 160. Фазовая диаграмма инверсионного л-слоя на поверхности (100)51 при одноосном сжатии вдоль оси [001] в приближении Хартри (пунктирные линии), Хартри-Фока (точечные линии) и хаотических фаз (сплошные линии) [1740]. Мо6сдн = 2,23 ■ 1011 см"2. Область ниже нижней кривой каждого типа соответствует заполнению долин 1, область выше верхней кривой — долин 2, область между кривыми — смешанное состояние, где сосуществуют оба типа долин.

ограничиваясь значениями Ns S 2 • 1011 см-2, поскольку наличие корреляций значительно ослабляет обменные эффекты.

Рассматриваемая проблема изучалась также с помощью метода функционала плотности [1880]. Автор обобщил аппроксимационную схему Андо [54, 55] на случай заполнения электронами как долин 1, так и долин 2. Обменно-корреляционные потенциалы для долин 1 и 2 могут различаться. Они выбирались так, чтобы равняться обменно-корреляционным поправкам к величине химического потенциала однородного электронного газа с концентрацией, равной локальной плотности электронов wt (г) нли пг (z). Эта процедура аналогична формализму функционала спиновой плотности в системе с поляризованными спинами [686, 1903]. Полученный ответ оказался в разумном согласии с результатами работы [1740], полученными иным методом. Для вычисления структуры подзон в работе [1754] было применено существенно упрощенное приближение.

Экспериментальное исследование пьезосопротивления началось уже давно в работах Дорда с сотрудниками [419 — 421, 424, 427, 428, 430] (см. также [422]) и впоследствии бь!ло ими же продолжено. Для приложения деформирующих напряжений к МОП-транзисторам использовались два метода. В одном нз них свободный конец узкой пластинки со смонтированным на другой ее стороне одним рядом приборов изгибался вверх или вниз, создавая на поверхности одноосное сжатие нли растяжение. Этот метод позволял получать напряжения до IPI = 3,2 • 109дн ■ см-2 в направлении [010]. Большие механические давления (IPI = 5 X х 109 дн • см-2) получались путем непосредственного сжатия. Используя объемные значения

констант деформационного потенциала, можно получить, что Д/Р = 8,4- 10-9 мэВ- дн-1 х х см2, где Д — зазор между долинами 1 и 2.

Измерения эффективной массы с помощью обычного анализа амплитуды осцилляций Шубникова — де Гааза показали значительное возрастание массы с ростом сжимающего напряжения в направлении [010] [480, 481]. Более позднне систематические исследования показали, что при достаточно малой концентрации электронов (А5 < 1012 см-2) масса резко растет с напряжением с 0,2 т0 до 0,45 т0 [483]. Последняя величина (0,45 /п0) близка к теоретическому значению 0,42 т0 для долин 2. Это, по-вндимому, указывает на наличие полного перетекания электронов прн деформации. Эксперимент не дает отчетливого указания на одновременное заполнение четырех долин, хотя амплитуда осцилляций вблизи напряжений, соответствующих пересечению долин, становится крайне малой.

Эффект Шубникова — де Гааза изучался также в работе [488]. Вновь было обнаружено, что долинное вырождение сохраняет значение gv = 2 вплоть до напряжений Р = 3,3 х х 109 дн • см-2, хотя уже при умеренных напряжениях и концентрациях электронов наблюдалось некоторое изменение фазы. Но даже прн больших концентрациях анторы не обнаружили изменения периода, аналогичного наблюдавшемуся в работе [1828]. Вместо этого происходил фазовый сдвиг осцилляций проводимости на тг по сравнению с фазой в недеформированном образце Это было приписано упомянутому выше возрастанию массы с 0,2 т0 до 0,45 т0, что делает расстояние между уровнями Ландау меньшим удвоенного спинового расщепления и может вызвать фазовый сдвиг, как уже отмечалось в § 3 гл. 6 при рассмотрении эффектов в наклонном магнитном поле.

Исследовались также подвижности н времена релаксации в деформированных образцах [426, 482, 623]. Мы не будем здесь подробно обсуждать этот вопрос, рекомендуя читателю обратиться к обзорной работе [477]. Упомянем только о результатах измерений подвижности 1 да

в эффекте поля цЕЕ =[623] при различных одноосных сжимающих напряжениях в на-

е dNs

правлении [010]. В отсутствие напряжений дЕЕ, как правило, с ростом Ns быстро нозрастает, а затем плавно уменьшается. С ростом напряжений максимум на кривой цЕЕ^5) смещается в сторону ббльшнх Ns, а затем на кривой появляется второй максимум. Такое поведение связывалось с эффектом перетекания электронов. Полагая, что вблизи провала на кривой Ео = = Eq,, авторы работы [623] оценили величину Ео,о в отсутствие деформации и показали, что полученное значение совпадает с результатами теоретических расчетов Андо [55].

В работе [1737] подвижность в условиях деформации изучалась теоретически с учетом одновременного заполнения подзон Ео и Ео,. Было показано, что подвижность электронов в подзонах Ео,, ограничиваемая рассеянием на шероховатостях поверхности н на заряженных центрах в окнсле, значительно (более чем в 10 раз) возрастает при заполнении электронами обеих подзон. Автор сделал предположение о важной роли других типов рассеивателей, в первую очередь нейтральных примесей. Полученные результаты качественно согласуются с поведением экспериментальных зависимостей. Более подробное обсуждение сходных вопросов можно найтн в разд. 3 § 3 гл. 4.

Расчеты, проведенные в работах [1740, 1880], показали, что, как только электроны появляются в обеих подзонах, уровень Ферми фактически «привязывается» к подзоне Ео, и концентрацию электронов в ней практически всегда можно считать постоянной, в особенности прн относительно невысокой полной концентрации. Таким образом, только электроны, попавшие в подзону Ео , приводят к осцилляциям Шубникова — де Гааза при изменении напряжения на затворе. Это обстоятельство может объяснить, почему зависимость от Ns характе-

§ 2. Долинное вырождение и деформационные эффекты 281 ризуется наличием единственного периода, почему при достаточно больших деформациях наблюдалось изменение фазы осцилляций с ростом концентрации электронов [488] и почему из температурной зависимости амплитуды осцилляций можно определить массу, соответствующую только подзоне Ео, или же только подзоне Ео. В случае же изменения магнитного поля при постоянной Ns можно ожидать появления двух периодов по \/Н или по крайней мере деформационной зависимости периода, соответствующего одной из систем подзон, вызванной изменением заселенности этой системы. В эксперименте, однако, этого не наблюдалось [477, 481].

Большие сжимающие напряжения можно создать также в МОП-транзисторах, изготовленных из кремния на сапфире. Большая разница в коэффициентах термического расширения создает значительные поперечные (анизотропные) напряжения в кремниевых пленках при охлаждении их от температуры роста. Разнообразные свойства данных структур, такие, как анизотропия подвижности, пьезо- и магнитосопротивление, были исследованы и объяснены на языке анизотропного двумерного закона дисперсии, соответствующего двум долинам с эффективной массой плотности состояний md = 0,42 /и0, которые при деформации смещаются вниз по энергии.

В работе [901] наблюдался максимум на зависимости электронной подвижности от напряжения на затворе в л-каналах кремния, выращенного на поверхности (1012) А12О3. Максимум был объяснен заполнением электронами обычной подзоны £0 при увеличении Ns. Исследовался также эффект Шубникова — де Гааза [711] (см. также [897]). Учитывая, что hyc = 2р.вН, авторы предположили отсутствие спинового вырождения в каждом пике и сделали вывод, что низшая подзона сформирована из четырехкратно вырожденных долин 2 и 3. Однако более поздние эксперименты в наклонных магнитных полях [487, 711, 1909] показали, что в каждый пик вносят электроны двух уровней Ландау с противоположными спинами (т.е. gu = 2). Высказывалось предположение, что это связано с возрастанием g-фактора за счет обменных эффектов. Возрастание g-фактора, как и в случае отсутствия деформаций, приводит к соотношению g*nBH = Ьшс, указывающему на то, что каждый пик состоит из уровней (N, I) и (А + 1, 1) и что полная кратность вырождения у низшего уровня Ландау в два раза меньше, чем у остальных. Тщательное исследование периода осцилляций [1937] показало, однако, что низший уровень имеет ту же кратность вырождения, что и остальные. Это позволило авторам избрать иную модель, в которой g*p.gH = 2йа>с. Такая модель приводит к очень большим значениям g-фактора. При концентрациях электронов, соответствующих максимуму подвижности, амплитуда осцилляций становится крайне малой. Отчетливого изменения периода осцилляций снова не было обнаружено.

Более информативными являются эксперименты по циклотронному резонансу. Прежде чем обсуждать деформационные эффекты, рассмотрим циклотронный резонанс в отсутствие деформаций, но при высоких температурах. Поскольку рост температуры также увеличивает заполнение электронами подзоны Ео,, можно ожидать, что он приведет к тем же эффектам, что и сжатие образца. Однако измерения температурной зависимости циклотронного резонанса в отсутствие деформаций [1026] (см. также [1008]) привели к неожиданным результатам, представленным на рис. 161. С ростом температуры резко возрастали циклотронная масса, определенная из положения пика, и ширина линии. Влияние температуры было очень велико при малой концентрации электронов и ослаблялось при ее увеличении. Например, для N$ = 1012 см-2 при изменении температуры от 4,2 до 65 К эффективная масса возрастала на 30%. При исследовании межподзонных оптических переходов в аналогичных условиях был обнаружен новый переход, свидетельствующий о наличии электронов в подзоне Ео, [958]. На первый взгляд при этом можно было бы ожидать наличия двух пиков циклотронного резо-

Рис. 161. Циклотронный резонанс в инверсионном n-слое на поверхности (100)Si при различных температурах [1026]. Ns = 5 ■ 10й см-2,/ = 890,7 ГГц, VG = +4 В. Номера кривых соответствуют температурам: / — 7,8; 2 — 25,5; 3 — 41,5; 4 — 56; 5 — 65 К. Точки — результат аппроксимации классической формулой для формы линии. В порядке роста номера кривых получены следующие значения: тс/т0 — 0,210; 0,217; 0,232; 0,252; 0,272; «Тре, — 6; 3,2; 2,5; 2; 1,8. Соответствующие значения резонансного магнитного поля отмечены стрелками.

нанса, соответствующих тс = 0,2 mQ и 0,42 т0. Однако в эксперименте наблюдается лишь один пик, сдвигающийся при повышении температуры в сторону больших магнитных полей.

Циклотронный резонанс в условиях деформации исследовался в работе [1677]. Авторы также не наблюдали двух пиков, даже при максимальных сжимающих напряжениях. Имелся единственный пик, свидетельствующий о возрастании циклотронной массы при уменьшении концентрации электронов, как при высоких температурах. При достаточно малых концентрациях масса достигала значения 0,42 т0, равного величине эффективной массы в подзоне Ео,. Под влиянием деформации наблюдалось также своеобразное сужение линии при малых концентрациях электронов.

Для системы, содержащей два типа электронов с различными массами, теорема Кона уже неверна и электрон-электронные взаимодействия могут непосредственно изменить положение циклотронного резонанса. В работе [1740] вычислялась высокочастотная проводимость (ш) в модели ферми-жидкости Ландау и исследовались подобные эффекты. Влиянием электрон-электронных соударений на времена релаксации пренебрегалось. Было показано, что резонансные пики для обоих типов электронов сдвигаются в сторону более высоких маг-

нитных полей (эффективные массы возрастают). Кроме того, пик, соответствующий легким электронам, сдвигается значительно слабее, чем пик, соответствующий тяжелым электронам, а интенсивности резонансов модифицируются за счет взаимодействий, следствием чего является заметное возрастание интенсивности резонанса легких электронов. В пределе сильного взаимодействия остается по существу лишь один пик, положение которого представляет собой некоторое среднее от положений двух исходных пиков. Это результат корреляции между движениями электронов обоих типов при достаточно сильном взаимодействии. Используя параметры ферми-жидкости, вычисленные с учетом ранее обсуждавшейся структуры подзон, авторы рассчитали форму линии резонанса при наличии деформаций. Было показано, что при достаточно сильном уширении (шт = 2) она может вести себя так, как будто содержит лишь один пик, сдвигающийся с ростом Ns от положения, соответствующего долинам 2, к положению, соответствующему долинам 1. Такое поведение качественно объясняет экспериментальные закономерности циклотронного резонанса в деформированных образцах, но для их полного описания требуется, чтобы электрон-электронные взаимодействия количественно были более сильными.

Была предложена и альтернативная модель влияния электрон-электронного рассеяния на циклотронный резонанс [102]. Авторы вычисляли высокочастотную проводимость с помощью кинетических уравнений для полных токов J] и У2> связанных соответственно с электронами долин 1 и 2. К обычному столкновительному члену —J/т (i = 1, 2), описывающему примесное рассеяние, добавлялся член, содержащий время электрон-электронных столкновений те. Этот новый столкновительный член, описывающий стремление всех носителей прийти в состояние с единой общей скоростью, был впервые предложен в работе [1029]. Его наличие связано с тем, что при столкновении электронов с различными массами полная скорость не сохраняется. Было показано, что наличие те сближает резонансные пики для двух типов электронов и в пределе малых те приводит к их слиянию в единый пик, поскольку рассеяние уменьшает относительные скорости их циклотронных вращений. Частота столкновений 1/т при низких температурах и малых частотах внешнего поля ш пропорциональна (^5Г)2 + (йш/2т)2 вследствие наличия резких ферми-поверхностей. Поэтому указанный эффект и эффект, исследованный в работе [1740] (см. выше), являются независимыми, так как последний не исчезает в пределе малых Г и ш. Грубая оценка те, опирающаяся на формулы для трехмерной системы, позволила авторам работы [102] утверждать, что как влияние температуры [1026], так и влияние деформации при низких температурах требуют для своего объяснения сходного распределения электронов по долинам 1 и 2.

В работе [1738] в рамках теории ферми-жидкости были учтены оба вышеупомянутых эффекта и выяснена относительная роль каждого из них. Было показано, что более точные вычисления 1/те приводят к значениям, иа порядок меньшим, чем оценка, полученная в работе [102], и не играющим роли при низких температурах, меньших 10 К. Эффект может оказаться важным при высоких температурах, например порядка 77 К. Как хорошо известно, теория ферми-жидкости справедлива лишь при йш < EF и квТ ■« EF, где EF — типичное значение энергии Ферми. Однако в эксперименте эти условия зачастую не выполняются. В работе [1775] путем обобщения метода функционала памяти [606] на систему с двумя сортами носителей была вычислена высокочастотная проводимость в низшем порядке по кулоновскому взаимодействию электронов из различных долин. Хотя применимость такого подхода и не очевидна, автор получил по существу те же выводы, что и в работе [1738]. Вычисления проводимости в пределе высоких частот в отсутствие магнитного поля [1845] показали, что влияние электронных соударений может быть описано с помощью зависящего от частоты времени релаксации. Затем эти результаты с помощью феноменологических аргументов были экс-

транслированы в область меньших частот. Результирующее выражение было аналогично полученному в работе [1775], если в последнем положить магнитное поле равным нулю. Все вышеупомянутые работы рассматривали магнитное поле квазиклассически или же вообще не учитывали его. Квантование орбитального движения, таким образом, не принималось во внимание. Возможно, что в реальных экспериментальных условиях влияние сильного магнитного поля может оказаться решающим, поскольку циклотронная энергия становится сравнимой с типичной энергией Ферми.

Теория Келли — Фаликова

Чтобы объяснить обсуждавшееся выше уменьшение фактора долинного вырождения gy на поверхностях Si (111) и (ПО), Келли и Фаликов предположили [923, 924], что основное состояние системы представляет волну зарядовой плотности (CDW) — charge-density wave), возникающую из-за сильного междолинного обменного взаимодействия электронов, идущего через посредство фононов. Для иллюстрации рассмотрим модельный гамильтониан для двухдолинной системы [1396]:

Е [£fl(k)ak>ko + s^jXi + ka

+ T ^ Е (^ka^k—qa ^ko^k-qo^ ^ак'о'ак' +qo' ^kV^k'+q») +

.2 kk'qaa

+ ^ E «kA-+qo^k-o-ak-qo -(7.50)

kk'qaa'

Здесь а^о и b£a — операторы рождения электронов в долинах а и Ь, а волновой вектор к в каждой долине отсчитывается от ее минимума. Второй член, пропорциональный V, описывает обычное кулоновское отталкивание, а последний член — междолинное взаимодействие Келли — Фаликова. Для кулоновских взаимодействий этот член обычно крайне мал, поскольку связан с большой передачей импульса. Келли и Фаликов предположили, что, в согласии с гипотезой Коэна [319], U определяется процессами с участием фононов и принимает большое отрицательное значение.

Рассмотрим устойчивость волны зарядовой плотности в обобщенном приближении Хартри — Фока (unrestricted Hartree — Fock approximation). Состояние с волной зарядовой плотности характеризуется ненулевым средним значением произведения aktr£ko и б^а^. В приближении Хартри — Фока

Е [£«<k)ako»k, + ^(WAJ - к” £+ Ь^) + 2Д2.К*,(7.51)

коко

Д = Е ^Ькоако^’(7-52)

к

где И* = И — 21/. Мы пренебрегли несущественными членами, содержащими обычное ^ка^ка> или ^ка^ка^’ и допустили, что величина △ вещественна. Далее для простоты будем считать, что ь2

ея(к) = с6(к) = — к2 = еЩ(7.53)

Термин «волна зарядовой плотности» возник из-за того, что в состоянии с ненулевым значением А электронная плотность пространственно изменяется с волновым вектором, определяемым разностью положений двух долин в двумерном k-пространстве. Используя обычные связывающие и' антисвязывающие комбинации

(7-54)(7-54)(7.55)(7.55)_ (akg + ^kg). □_ (gkg ^kg)

(7-54)

(7-54)

(7.55)

(7.55)

kg^• Pkg^

имеем

^= X m - ДГ]а^ь + £ Mk) + ArV^ + 2Д2К*. коко

где

Д = 1 ^ [<«,>,,> - «зк+А,».(7156)

Если ввести энергию Ферми EF, соответствующую Д = О, т.е. Ns = 2(2,т/2тЬ2')Ер» то полная энергия системы

Е = — Ге2 - fl - —Д2У21 , (ДИ* < Ef);

тй2 |_\ mV* ) J

,(7.57]

„ т Г /mV* \ 2тй2 /mV*\ 1

Е = —I I 2 — I Ер +I AV*у Er I I , (ДУ > тй2 L \2тй2 / F mV* \2тй2 V JF

Это дает Д = 0 для 5 < 1 и Д = кт/ТтЬ^Ер для 5 > 1, где 6 = mV*/2тй2 — безразмерная константа взаимодействия. Таким образом, видно, что при 6 = (т/2тЙ2)(И — 2(7) = 1 происходит переход первого рода из обычного парамагнитного основного состояния в состояние с волной зарядовой плотности. В состоянии с волной зарядовой плотности в силу условия 2ДИ* > ТЕр заполненным является лишь связывающее состояние (а), что приводит к уменьшению кратности долинного вырождения. Напротив, при конечных температурах происходящий переход оказывается переходом второго рода. Уравнение для щели (7.56) принимает вид

(7-58)(7-58)5 . _,1 + ехр [(ДИ* + рУквТ\

(7-58)

(7-58)

— Л» Г In,

21 + ехр [( — ДИ* + р.уквТ\

квТс = -МпквТс = -Мпгде р — химический потенциал. Критическая температура Те определяется из условия отсутствия ненулевых решений для Д уравнения (7.58), что дает

квТс = -Мп

квТс = -Мп

(7.59)

Видно, что рсюду, за исключением окрестности точки 6=1, критическая температура имеет порядок энергии Ферми.

В реальных инверсионных слоях на поверхности (111) задача несколько усложняется. Модельный гамильтониан здесь имеет вид

^= £ [ee(kA>kg +-.]+ £ ^ H^^k-qg + - 1 ^k^k +qg- + - 1 + “qkk'oo'

5^ ^[“^k' + qg^k'g ^k-qg' + -]+ L ^^kA'+qg^k'g^k-qg' + ... ], (7.60) qkk*ас'qkk'ao'

где первый член есть кинетическая энергия электронов в шести долинах (a, b, с, d, е и /), второй член — обычное внутрндолинное (главным образом кулоновское) отталкивание, третий член описывает обменное взаимодействие между долинами, расположенными на одной оси, а последний — между долинами, расположенными под прямым углом друг к другу. Предполагается, что два последних члена соответствуют притягивающему взаимодействию за счет обмена фононами (С/а, У^ < 0). В гамильтониане не учтены четырехдолинные члены типа a^bd^e и т.д., которые по порядку величины считаются равными членам а* bb* а.

Келли и Фаликов исследовали полную энергию различных не слишком экзотических состояний гамильтониана (7.60) в обобщенном приближении Хартри — Фока. Для полноты картины рассматривались как положительные, так и отрицательные I/. Была показана возможность существования двух типов волн зарядовой плотности, возникающих из-за взаимо-

Рис. 162. Фазовая диаграмма основного состояния инверсионного слоя на поверхности (100)Si [924]. а — Ua/U3 = 0; б — Ua/Us = 0,5; в — Ua/U6 = 1. Единицей измерения по обеим осям служит 10”14 эВ • см"2. Цифры означают: /—ферромагнитную фазу;

2— парамагнитную фазу, 3—CDWa, 4— CDW3, 5 — SDWa, 6 — SDWg (SOW — волна спиновой плотности).

действий Ua и U0i Решение типа CDWa соответствует спариванию электронов из двух противолежащих долин, опускающему одну из них под уровень Ферми, в то время как остальные четыре долины не взаимодействуют и остаются незаполненными. Описываемое решение характеризуется отличными от нуля корреляторами Дд</( = ±ДЯ(/) = Ns/4 и числами заполнения Аа = Da = Ns/4, где

^ado = £ <акАЛ Л= £ <ак>к„>ит.д. (7.61) к к

Фактор долинного вырождения становится равным единице. В состоянии CDW^ попарно взаимодействуют четыре долины, две из которых при этом опускаются под уровень Ферми. Оставшиеся две невзаимодействующие долины являются незаполненными. Такое состояние имеет кратность заполнения, равную двум, и характеризуется параметрами

^ = ^ = А«| = ±^. Ва = С, = Е„ = Fa = Ns/8. (7.62)

На рис. 162 изображены фазовые диаграммы в осях Ug — V для некоторых фиксированных значений Ua/Ug. Вид фазовой диаграммы сильно зависит от отношения Ua/Ug. Согласно Коэну [319], для фононного механизма электрон-электронных взаимодействий U меняется как (“дк)2’ где “дк — частота фонона с междолинным волновым вектором к. Используя правила отбора Лэкса и Хопфилда [1072] и фононный спектр, полученный в работе [1168], Келли и Фаликов оценили величину Ua/Ug, оказавшуюся несколько меньше единицы. Учитывая, что в эксперименте gv = 2, авторы предположили, что образцы с реально достижимыми значениями Ns находятся в состоянии CDW^.

В CDW^-фазе симметрия С3и поверхности (111) понижена до простой зеркальной симметрии. В силу этого должны возникать домены с различными СО\Уд-фазами, характеризуемыми тремя возможными векторами q. При случайном расположении подобных доменов кинетические свойства системы будут изотропны. Одноосная деформация делает предпочтительным наличие доменов с одним типом волн зарядовой плотности, что приведет к анизотропии. Таким образом, существование CDW^-состояния может объяснить экспериментальные закономерности для поверхности (111).

Наличие CDW^-фазы является причиной также ряда других эффектов. Спаривание электронов из двух долин с различными эффективными массами искажает фермиевскую границу и увеличивает эффективную массу плотности состояний на уровне Ферми. Кроме того, благодаря этому искажению оказываются разрешенными оптические переходы между связывающими и антисвязывающими состояниями в параллельном поверхности электрическом поле [925]. Высказывалось также предположение [435] о появлении гармоник циклотронного резонанса при ш = (2л + 1)шс (л-целое число).

На поверхности (110)Si для четырех долин с большими значениями нормальной компоненты эффективной массы двумерные тензоры эффективной массы идентичны. Поэтому возможное наличие волны зарядовой плотности, изменяя заселенности долин, не меняет эффективную массу. Отличные от нуля междолинные корреляторы, например Да6, лишь строго порознь расщепляют зоны. К этой поверхности оказывается применимой рассмотренная ранее простая модель. При значениях 1/а и Ug, которые в случае поверхности (111) соответствовали бы CDW^-фазе, здесь оказывается стабильной фаза с парамагнитным заполнением двух долин (gv = 2). Это объясняет значение gv = 2, наблюдаемое на поверхности (ПО). Аналогичная модель может быть применена для описания различных поверхностей Ge и GaP, где минимумы зоны проводимости характеризуются иной симметрией [926].

На поверхности (100) Si из подобных аргументов следует наличие обычного основного состояния с gy = 2 [923, 924]. Если при одноосном сжатии в направлении [010] энергии долин 1 и 2 становятся близкими, то электроны двух долин (к примеру, а и Ь) могут образовывать связывающие и антнсвязывающие комбинации, что делает предпочтительным образование основного состояния с волной зарядовой плотности при достаточно сильном междолинном взаимодействии Ug. Келли и Фаликов [927, 928, 930] привлекали понятие о такой деформационно-индуцированной волне зарядовой плотности для объяснения различных ано-

малий в описывающихся выше экспериментах. Рассмотренная теория может быть для этого непосредственно применена. Единственная разница состоит в том, что здесь приходится иметь дело со спариванием электронов из двух долин, имеющих по нормали к поверхности различные эффективные массы, что требует учета изменения волновых функций, описывающих движение электронов по нормали к поверхности (ось z). Келли и Фаликов предположили, что для обоих типов долин огибающие волновые функции имеют один и тот же вид, даваемый формулой (3.25), и минимизировали по вариационному параметру полную энергию, вычисленную в обобщенном приближении Хартри — Фока.

Келли и Фаликов полагали, что V имеет очень большую величину (У = 54 х х 10-12 см2 ■ мэВ). Прн этом между состояниями с заполненными долинами 1 и 2 всегда, даже при исчезающе малых I/, существует переход первого рода. Их результаты показывают, чхо при достаточно больших Ua и U^ (сравнимых с И) по мере измерения деформации происходит переход первого рода из состояния с парамагнитным заполнением долин 1 в состояние с волной зарядовой плотности и переход второго рода из состояния с волной зарядовой плотности в состояние с парамагнитным заполнением долин 2. Соответственно эффективная масса меняется скачком от —0,2 w0 до некоторого промежуточного значения, а затем непрерывно до большой величины - 0,42 w0. Если рассматривать эффективную массу как функцию концентрации электронов при наличии деформации, то она будет оставаться равной -0,42 т0 вплоть до некоторой концентрации, зависящей от величины деформации, затем начнет плавно уменьшаться и, наконец, скачком упадет до -0,2 w0. В процессе этих переходов фактор вырождения заполненных долин остается равным двум. Аналогичные фазовые превращения должны происходить также при изменении температуры [928, 930]. С ростом температуры при постоянной деформации и концентрации электронов начинают заполняться долины 2, даже если при нулевой температуре электроны находились только в долинах 1. При достаточно высоких температурах, благодаря различию в эффективных массах долин, электронов в долинах 2 может стать значительно больше, чем в долинах 1. Было показано, что для определенных значений деформации и концентрации электронов при изменении температуры могут происходить последовательные переходы, аналогичные тем, что имеют место при изменении деформации. Думается, что эти результаты объясняют, по крайней мере качественно, экспериментальные данные по температурным и деформационным зависимостям циклотронного резонанса [1026, 1677]. Было также исследовано влияние сильных магнитных полей и показано, что оно слегка деформирует фазовые границы на диаграмме [929].

Впоследствии были проведены дополнительные исследования свойств состояний с волной зарядовой плотности. В работе [1279] рассматривалась возможность того, что основным состоянием на поверхности (111) Si является так называемая тройная волна зарядовой плотности, характеризующаяся ненулевыми корреляторами Даса = Дсео = Деа|7 и ДМо = Д^ = = Д^о. Келли и Фаликов [924] вкратце рассматривали это состояние и утверждали, что оно неустойчиво по отношению к переходу в CDWa- и (или) CDW^-состояние. Однако в действительности оно может оказаться наинизшим по энергии. Заметим, что рассматриваемое состояние также имеет gy = 2. Поскольку тригональная симметрия поверхности здесь сохраняется, для объяснения наблюдаемой изотропии проводимости уже не требуется предполагать наличия доменной структуры. С другой стороны, утверждалось [921], что состояние с тройной волной зарядовой плотности легко преобразуется в состояние CDW^ при наличии малых внутренних напряжений. В работах [921, 1484] изучалось влияние четырехдолинных членов, опущенных в гамильтониане (7.60). Было показано (в особенности в работе [1484]), что учет этих членов приводит к большей устойчивости состояний с CDW^-фазой и (или) тройной волной зарядовой плотности по отношению к CDWa-фaзe. В работе [1365] в рамках простой двухдолинной модели рассчитывались низколежащие коллективные возбуждения в состоянии

с волной зарядовой плотности и были обнаружены моды акустического типа, связанные с осцилляциями фазы волны зарядовой плотности и флуктуациями разности заселенностей двух долин.

Мы видели, что теория Келли — Фаликова может, по-видимому, объяснить качественно различные аномальные и необъясненные явления на поверхностях (Ш) и (НО) и иа поверхности (100) в условиях деформации. Однако наряду с этими достижениями имеется серьезная проблема, связанная с абсолютными величинами параметров модельного гамильтониана. Келли и Фаликов [923, 924] пытались оценить величину И, используя трехмерный экранированный кулоновский потенциал, в котором роль подгоночного параметра играет радиус экранирования. Такая процедура, безусловно, неудовлетворительна. Возможны другие способы оценки V на основе более сложных методов учета электрон-электронных кулоновских взаимодействий, рассмотренных в § 6 гл. 2. Один из таких способов опирается на выражение для эффективного g-фактора, которое может быть получено из гамильтониана (7.50) в приближении Хартри — Фока. При U = 0 оно имеет вид

g* = ^G--^v\ ' <7-63>

[927, 928] для объяснения деформационных эффектов на поверхности (100). Для Ua Ф 0 иа поверхности (100) в отсутствие напряжений[927, 928] для объяснения деформационных эффектов на поверхности (100). Для Ua Ф 0 иа поверхности (100) в отсутствие напряженийСравнение этого выражения с результатами § 6 гл. 2 приводит к выводу, что при концентрациях электронов 1 • 1012см-2 < Ns < 5 • 1012см-2 на поверхности (100) Si отношение тИ/2тй2 лежит в интервале от 0,3 до 0,4. Отсюда получаем 5 • 10~12 см2 • мэВ < V < 8 х х 10“12 см2 ■ мэВ, что на порядок меньше значения, использованного Келли и Фаликовым

[927, 928] для объяснения деформационных эффектов на поверхности (100). Для Ua Ф 0 иа поверхности (100) в отсутствие напряжений

[927, 928] для объяснения деформационных эффектов на поверхности (100). Для Ua Ф 0 иа поверхности (100) в отсутствие напряжений

Следовательно, при отрицательном I/ эффект возрастания g-фактора подавляется. Поскольку наблюдаемый g-фактор в действительности увеличен и хорошо объясняется обычной теорией, необходимо полагать, что П/а1 существенно меньше, чем 5 • 10^12 см2 • мэВ. Келли [922] в приближении сильной связи сделал оценки для параметров Ua и Ug объемного междолинного взаимодействия за счет обмена фононами. Прн этом были получены значения Ua = * -0,11 ■ 10~12 см2 - мэВ и 1/д - -0,25 • 10~12 см2 - мэВ, что почти на два порядка меньше значений, необходимых для образования основного состояния с волной зарядовой плотности. Автор, однако, предположил, что вблизи границы Si — SiO2 фононные правила отбора могут ослабляться и связанные с фононами взаимодействия будут усилены по сравнению со значениями в объеме образца. Недавно были выполнены детальные расчеты фононного механизма электрон-электронных взаимодействий и его усиления вблизи границы Si — SiO2 [932]. Авторы обнаружили, что эффект сам по себе слишком слаб, чтобы привести к возникновению волн зарядовой плотности, предсказанных Келли и Фаликовым.

В работе [172] утверждалось, что в Si все междолинные обменные взаимодействия малы по сравнению с прямыми кулоновскими взаимодействиями. Утверждение базировалось на том, что величина энергии связи электронно-дырочной жидкости в массивном Si может быть полностью объяснена без учета междолинного обмена. Сравнивая энергии состояний с gv = 6 и gv = 2 на поверхности (111) Si, авторы показали, что при обычно достижимых концентрациях электронов состояние с gv = 6 характеризуется меньшей энергией.

Хотя гипотеза об основном состоянии с волной зарядовой плотности в силу малости па-

раметров представляется маловероятной, окончательное слово здесь все же может сказать лишь эксперимент. Лучшим способом проверки существования такого основного состояния с пониженной симметрией являлось бы наблюдение характерных эффектов, существующих лишь в состоянии с волной зарядовой плотности и отсутствующих в обычной фазе. Такими эффектами могли бы, например, быть оптические переходы между связывающими н антисвя- зываюшими состояниями или же гармоники циклотронного резонанса.

Дополнительные исследования • ' ■

В последние несколько лет были получены разнообразные экспериментальные результаты, по-видимому противоречащие более старым наблюдениям и не согласующиеся с теорией Келли — Фаликова. Были проведены исследования осцилляций Шубникова — де Гааза для большого числа МОП-транзисторов, изготовленных различными способами на поверхности (111) Si [1831, 1832]. Авторы наблюдали ожидавшееся шестикратное долинное вырождение в образцах, полученных по иной технологии, нежели образцы с gv = 2. Также исследовалось влияние одноосной деформации и было обнаружено ожидавшееся изменение долинного вырождения. Был сделан вывод, что наблюдавшееся ранее значение gv = 2 не является собственным свойством системы, обусловленным наличием электрои-электронных взаимодействий, а скорее связано с условиями на границе раздела в конкретном приборе. Остается, однако, неясным, как изменяется граница Si — SiO2 при различных условиях окисления и как эти изменения связаны с долинным вырождением электронных состояний инверсионного слоя. На границе (НО) также наблюдалось ожидавшееся четырехкратное вырождение [1710]. В работе [1521| утверждалось, что при gu = 2 нельзя объяснить осцилляции Шубникова — де Гааза, наблюдаемые на поверхностях (НО) и (111) в наклонных магнитных полях.

В работе Фэнга [517] была предпринята попытка приложить к поверхности (100) внешнее двуосное напряжение с целью равномерно опустить все четыре долины с тяжелыми электронами и при благоприятных условиях наблюдать ожидаемое четырехкратное вырождение и смешанные шестикратно вырожденные зоны. Требуемое изотропное двуосное напряжение создавалось за счет различия в коэффициентах расширения кремния и соответствующей эпоксидной смолы. Ситуация весьма близка к той, что реализуется в случае кремния на поверхности сапфира, с тем отличием, что поперечные напряжения на сапфире анизотропны. К сожалению, Фэнг ие увидел четырехкратного вырождения, вероятно, из-за некоторой анизотропии напряжения. Однако в сильно сжатом образце он мог в деталях изучать зону, содержащую тяжелые электроны. При некоторой концентрации электронов, зависящей от температуры, наблюдался переворот фазы осцилляций Шубникова — де Гааза. Это было объяснено зависимостью от Ns и температуры g-фактора, увеличенного за счет обменных взаимодействий. Как уже говорилось ранее в связи с экспериментальными результатами работы [488], при малых концентрациях электронов спиновое расщепление превосходит половину расстояния между уровнями Ландау. При больших концентрациях из-за уменьшения эффективного g- фактора соотношение становится обратным. В умеренно деформированном образце осцилляции Шубникова — де Гааза указывают на наличие переходов при двух различных концентрациях электронов. Переход при меньшей концентрации (А$ = 1,9 • 1012 см-2) сопровождается малым фазовым сдвигом. Период осцилляций при этом сохраняется неизменным. Переход при большей концентрации (А$ * 4 ■ 1012см~2) также сопровождается малым фазовым сдвигом, но период после перехода увеличивается примерно на 15 Vo. Последний переход аналогичен ранее наблюдавшемуся в работе [1828], а первый напоминает переход, о котором сообщалось в работе [483]. Изменения как фазы, так и периода не подтверждают гипотезу об основном состоянии, содержащем волну зарядовой плотности. ■ . -

Циклотронный резонанс при повышенных температурах исследовался также в работе [938]. В противоречии с данными других авторов [1026] здесь не наблюдалось заметной температурной зависимости циклотронной массы. В работе [1678] изучалась зависимость циклотронной массы от толщины обедненного слоя при высоких температурах. В первоначальных экспериментах по температурным [1026] и деформационным [1677] зависимостям образцы постоянно освещались межзонным светом н квазнуровень Ферми на поверхности находился значительно выше, чем в объеме (квазиобогашенный слой). Было показано, что температурная зависимость положения резонанса ослабляется с ростом No6eaH и в пределе большого ^обедн исчезает. Эти эксперименты определенно указывают на то, что температурная зависимость циклотронной массы связана с заполнением подзоны тяжелых электронов Ео.. Хотя описанные эксперименты не противоречат существованию основного состояния с волной зарядовой плотности, экспериментально наблюдаемая температурная зависимость спектра межподзонного оптического поглощения не может найти простого объяснения в рамках теории Келлн — Фаликова. Было обнаружено [958], что с ростом температуры в спектре появляется новый пик, а резонансные линии, связанные с подзоной £0, сдвигаются и уменьшаются по амплитуде. Такое поведение объяснялось заполнением подзоны Ео,. Наличие двух различных резонансных линий указывает по меньшей мере на наличие при высоких температурах двух различных типов электронов, в противоречии с предсказаниями Келли и Фаликова.

В результате повторного исследования деформационной зависимости циклотронного резонанса на поверхности (100) Si были впервые обнаружены два различных резонансных пика при не слишком малых концентрациях носителей и не слишком высоких температурах [15, 1676]. Показано, что приведенная в более ранней работе [1677] величина сжатия была завышена в 3 раза. Значения циклотронных масс, определенные из резонансных пиков, для подзоны Ео хорошо согласуются с ожидаемыми значениями, а дЛя подзоны Ео. превосходят их более чем на 10%. Зависимость от толщины обедненного слоя также изучалась и оказалась в согласии с ожидавшейся возрастающей зависимостью Ео,о от Аобедн. Из деформационной зависимости относительной заселенности долин авторы заключили, что в отсутствие деформации разность Ео, — Ef = 6 мэВ и может приближенно считаться не зависящей от Nr Полученное значение меньше предсказанного теоретически для слоя обогащения [55], Которое, однако, согласуется со спектром межподзонного оптического поглощения при высоких температурах [958]. Как указывалось в § 1 гл. 6, концентрацию электронов в данной подзоне можно определить из периода квантовых осцилляций циклотронного резонанса. Было установлено, что с ростом деформации увеличивается период квантовых осцилляций циклотронного резонанса для подзоны Ео (уменьшается концентрация электронов). Такое изменение заселенности подзоны согласуется с оценкой изменения заселенности по относительной амплитуде двух пиков. Однако при больших деформациях наблюдается нсчезновенне квантовых осцилляций, возможно в силу наличия некоторой неоднородности деформации, и подобное сопоставление в широком диапазоне деформаций невозможно.

Описанные выше новые данные хорошо укладываются в обычные теоретические представления и полностью противоречат теории КеллИ — Фаликова. Определенная из эксперимента относительная заселенность долин 1 н 2 объясняется теорией, изложенной в работах [1740, 1880], хотя для этого и надо предположить, что Ео.о имеет при данной величине деформации несколько меньшую величину. Сдвиги пиков при заполнении обоих типов долин объясняются обычным электрон-электронным взаимодействием [1738, 1740], а высокотемпературные свойства согласуются с предсказаниями Аппеля н Оверхаузера [102]. Таким образом, поведение циклотронного резонанса при деформации хорошо объясняется без привлечения понятия об основном состоянии с волной зарядовой плотности. Но проблема долинного

вырождения все еще остается нерешенной. В работе [621] на том же самом образце, что использовался для исследования циклотронного резонанса, в идентичных условиях измерялись осцилляции Шубникова — де Гааза и было установлено, что период осцилляций всегда приводил к кратности долинного вырождения, равной двум. С целью примирить два взаимно противоречащих экспериментальных результата авторы предложили доменную модель, в которой размеры доменов превосходят радиус циклотронной орбиты и каждый домен содержит только одну заполненную подзону. Такая модель, однако, весьма сомнительна, если учесть, что различные свойства циклотронного резонанса объясняются описанным выше образом. Высказывалось предположение [1882] о возможности объяснения парадокса долинного вырождения дискретностью плотности состояний в двумерном случае. При полностью дискретном энергетическом спектре уровень Ферми всегда «привязан» к некоторому уровню Ландау и осцилляции плотности состояний определяются лишь вырождением уровней Ландау с одинаковой энергией. Поэтому уже небольшое расщепление уровней Ландау, связанное с существованием долин различных типов, может привести к ^ = 2 вместо gv = 6 на поверхности (111) Si. Такая аргументация, однако, недостаточно убедительна, поскольку для объяснения экспериментальных результатов необходимо предположить существование предельно узких уровней Ландау. Таким образом, вопрос о деформационных эффектах и о долинном вырождении все еще остается открытым.

ЭЛЕКТРОННАЯ РЕШЕТКА

Введение

Как было впервые отмечено Вигнером [1974, 1975], система электронов будет образовывать конфигурацию с наименьшей потенциальной энергией, кристаллизуясь в решетку, если потенциальная энергия превосходит кинетическую. В вигнеровской решетке (кристалле, твердом теле и т.д.) все электроны локализованы вблизи узлов. Для двумерного электронного газа с поверхностной плотностью Ns = (ттг^)-1 средняя потенциальная энергия на один электрон равна

<И> = — = еги'л^г.(7.65)

'о

При нулевой температуре (нлн, как говорят, в квантовом режиме) кинетическая энергия <^> = TN^/lm. Поэтому кристаллизация будет осуществляться при достаточно малых концентрациях. При высоких температурах (в классическом режиме) кинетическая энергия равна квТ и кристаллизация будет осуществляться при больших концентрациях. Обычно инверсионный слой при достаточно малых концентрациях электронов соответствует квантовому режиму. Напротив, система электронов на поверхности жидкого гелия соответствует классическому режиму.

Для получения качественного представления о форме и природе фазовой диаграммы мы можем считать, что отношение средней потенциальной энергии к средней кинетической

вдоль кривой плавления равно постоянной величине Гт. Полученная таким образом фазовая диаграмма [1439] изображена на рис. 163. При высоких температурах, когда <К) = квТ, кривая плавления имеет вид

(7.67)(7.67)Ns = (Г^дТ/^е2)2,

(7.67)

(7.67)

Рис. 163. Параметризованная фазовая диаграмма двумерной системы [1439]. Заштрихованная область соответствует кристаллической фазе. Nc = 4/тав2Г2 х х квТс = 2^т/Ь2Г2. Цифры на кривой показывают величину параметра z = ехр(—ц/квТ) Qi — химический потенциал).

Т/ТсТ/Тса при нулевой температуре плавление происходит при Ns = Nc, где _ 4w2g4 _ 4 1

Т/Тс

Т/Тс

(ag = й2//пе2). Если, как обычно, ввести параметр г$ = Гд/ад, то в = (^4)'/гГт.

(7.68)точке плавления rs =(7.68)точке плавления rs =Для трехмерной системы считается, что вигнеровский кристалл должен представлять объемноцентрированную кубическую решетку, поскольку из нескольких возможных решеток она обладает наименьшей статической энергией [582]. Имеется целый ряд различных оценок критической величины г,, обозначаемой rsc и соответствующей «вигнеровскому переходу» при нулевой температуре. Эти оценки варьируются в широкой области, например от 5 до 700 (более детальное обсуждение этого вопроса для трехмерного случая читатель может найти в обзорной статье [245]). Вигнер приписывал каждому электрону фиксированную потенциальную энергию — ег/г0 и энергию нулевых колебаний ЗАш/2, где <у2 =■ ^/mr^ и сравнивал их сумму с вычисленной в низшем приближении энергией жидкой фазы, что дало 6 ^ rJC С Ю. В работе [246] вычислялась энергия решеточного состояния и из поведения низшей ангармонической поправки было получено rsc = 5. С другой стороны, Мотт [1244], используя в качестве энергии нулевых колебаний энергию частицы в сферической яме радиуса г0, получил rsc = 20. Наиболее употребительный метод оценки rsc состоит в использовании критерия Линдемана, утверждающего, что плавление произойдет тогда, когда средний квадрат смещения электрона <м2>ср составит определенную долю 6 квадрата межузельного расстояния г,). Расчет <м2>ср в предположении наличия лишь продольных колебаний с частотой шр, где шр = ^тпе^/т, при использовании известного эмпирического значения 6 = 1/4 дает rsc = 20 [1334]. Однако, как показано в работе [320], этот метод весьма чувствителен к выбору величины 5. На самом деле из теории [1334] следует rsc = 6-4/12, что дает rsc = 20 при 8 = 1/4 и rsc = 1 при 5 = 1/2. Кроме того, ответ сильно зависит от способа вычисления (и2)^. При использовании гармонических частот, полученных в работе [246], имеем rsc = 66 “4, откуда rsc = 1536 при 6 = 1/4 и rsc = 96 при 6 = 1/2. В работе [1028] при расчете частоты поперечных фононов в перенормированном (самосогласованном) гармоническом приближении получено значение rsc = 21,9. Указанное приближение широко используется при расчете фононного спектра инертных газов (см., например, [972, 973, I960]). Далее автор [1028] попытался оценить эффекты ангармоничности, не учитываемые самосогласованным гармоническим приближением, и обнаружил, что

(7.68)

точке плавления rs =

(7.68)

точке плавления rs =

отклонения от гармонического результата могут стать существенными в области значительно больших rs, т.е. вблизи rs = 700. Использование критерия наличия связанных состояний для электрона в одночастичной потенциальной яме дает для rsc оценку, лежащую между 47 и 100 [381]. Проведенный впоследствии повторный анализ этого критерия дал гж = 27 [1862]. Интерполяция основного состояния с помощью аппроксимаций Падэ [806] привела к значению г5С = 14,4. Наконец, относительно недавние вычисления [1642], использующие метод функционала плотности, дали результат rsc = 26, полученный из условия устойчивости неоднородного электронного распределения в сфере Вигнера — Зейтца. Столь большой разброс предсказываемых критических значений rs отражает сложность проблемы, и вопрос о критической плотности, соответствующей переходу, остается в определенной степени открытым.

В двумерной системе задача усложняется, поскольку еще не достаточно осознано само понятие двумерного кристалла. Еще Пайерлсом было показано [1397], что термическое возбуждение длинноволновых фононов будет разрушать дальний порядок в двумерном кристалле в том смысле, что среднеквадратичное смещение атома из равновесия логарифмически растет с размером системы и брегговские пики на дифракционной картине из узких становятся широкими. Отсутствие дальнего порядка в обычном смысле было доказано [1199] с помощью строгих неравенств Боголюбова. При этом автор, однако, предположил, что тепловое движение может не разрушать корреляцию в ориентации кристаллических осей на больших расстояниях.

В работе [999] предполагалось, что плавление связано с переходом от упругости к текучести в отклике на малое внешнее сдвиговое напряжение, т.е. что в твердой фазе возможно существование длинноволновых поперечных фононов, а в жидкой — нет. В качестве критерия такого фазового перехода твердое тело — жидкость авторы предложили смену знака свободной энергии дислокации. В твердом теле в равновесии свободные дислокации отсутствуют, а выше температуры плавления имеется некоторая концентрация дислокаций, которые могут свободно двигаться под действием сколь угодно малого сдвигового напряжения.

В работах [691, 692, 694, 1297, 1298] была разработана дислокационная теория плавления и показано, что с ростом температуры плавление должно идти в два этапа. При температурах чуть выше точки плавления фазовое состояние системы представляет не изотропную жидкость, а новый тип жидкого кристалла, названный гексатической фазой, в которой существует квазндальний порядок в ориентации связей между соседними атомами. С ростом температуры гексатическая фаза теряет устойчивость по отношению к образованию свободных дисклинаций и происходит переход в изотропную фазу.

Возможность непосредственного приложения описанной общей теории двумерного перехода твердое тело — жидкость к электронному кристаллу с дальне действующими кулоновскими силами неочевидна. В действительности кулоновский потенциал не удовлетворяет условию, предполагавшемуся в работе [1199].

Обзор различных аспектов задачи о двумерном электронном кристалле был дан в работе [588].

Двумерный электронный кристалл

Крэндалл и Вильямс [351] впервые предположили, что потенциальная энергия электронов на поверхности жидкого гелия может минимизироваться при их упорядочении в двумерный электронный кристалл. Независимо Чаплнком [275] обсуждалась возможность кристаллизации носителей в инверсионных слоях малой плотности. Впоследствии свойства двумерного вигнеровского кристалла исследовались рядом авторов, предполагавших, что он существует.

Почти нет сомнений в том, что двумерный вигнероаекий кристалл образует гексагональную решетку. Для такой решетки расчеты статической потенциальной энергии основного состояния Ео, определяемой формулой

(7.69)

(N — число электронов, г® — равновесное положение i-ro электрона), привели к значению Ео = = — 2,21/r^Ry [1192]. Были выполнены расчеты Ео для пяти двумерных решеток Бравэ [199, 200], показавшие, что гексагональная решетка обладает наименьшей энергией. Строго говоря, к Ео необходимо добавлять энергию нулевых колебаний решетки и сравнивать уже полные энергии. Это может оказаться особенно важным при сравнении гексагональной и квадратной решеток, для которых статические энергии очень близки. Однако, как будет показано ниже, квадратная решетка оказывается неустойчивой по отношению к длинноволновым сдвиговым волнам.

В гармоническом приближении спектр решеточных колебаний определяется гамильтонианом

(7.70)

iij a,B = xj

Здесь и, = г - г® — вектор смещения относительно узла решетки Г®, a ♦„^(v) — вых постоянных:Здесь и, = г - г® — вектор смещения относительно узла решетки Г®, a ♦„^(v) — вых постоянных:1 д д1 д дт 6га дг8т 6га дг8v(r) :*г=гОv(r) :*г=гОтензор сило-(7.71)тензор сило-(7.71)VB = <VB = <11ттa a ( I дга дг0 *Г-Гр7a a ( I дга дг0 *Г-Гр7У.У.

Здесь и, = г - г® — вектор смещения относительно узла решетки Г®, a ♦„^(v) — вых постоянных:

Здесь и, = г - г® — вектор смещения относительно узла решетки Г®, a ♦„^(v) — вых постоянных:

1 д д

1 д д

т 6га дг8

т 6га дг8

v(r) :

*г=гО

v(r) :

*г=гО

тензор сило-

(7.71)

тензор сило-

(7.71)

VB = <

VB = <

1

1

т

т

a a ( I дга дг0 *Г-Гр7

a a ( I дга дг0 *Г-Гр7

У.

У.

где и (г) = ег/г и г® = г® - г®. Два собственных значения фурье-преобразования фа0<к> = £ ф^07)ехр(-/к " ф(7.72)

j

определяют квадраты частот колебаний-

"L = ’ 1ф-(к> + *Мк) * 1(фхх(к) - ^(Ю)2 + 4Ф^(к)]'/2],(7.73)

где верхний и нижний знаки описывают соответственно частоты продольных и поперечных фононов в длинноволновом пределе. Введя вектор поляризации е(кХ), удовлетворяющий уравнению

£ Ф„9(к)ей(кХ) = <^(к)еа(кХ),(7.74)

можно записать выражение для частот в виде

^(к) = -1 У У еа(кХ)^(кХ)[1 - exp(ik •.(7.75)

т L4ог« 0Гв

Для рассмотрения длинноволнового предела можно использовать разложение по векторам обратной решетки

фа@(к) = -фа@(к) = -G*0G*0(* + оул + С^ _ GaG@Ik + GlIGI(* + оул + С^ _ GaG@Ik + GlIGI(7.76)(7.76)

фа@(к) = -

фа@(к) = -

G*0

G*0

(* + оул + С^ _ GaG@

Ik + GlIGI

(* + оул + С^ _ GaG@

Ik + GlIGI

(7.76)

(7.76)

В случае длинных волн частота продольного фонона определяется первым членом разложения (7.76) и равна

(7.77)

Это выражение не зависит от типа решетки и совпадает с плазменной частотой двумерного электронного газа (нли жидкости). Напротив, для поперечного фонона член, содержащий суммирование по ненулевым векторам обратной решетки, играет важную роль и спектр становится линейным, т.е. ш^к) = с^к.

Работа [346] посвящена расчету фононного спектра квадратной решетки, но содержит ошибки в вычислениях. Грубые оценки для гексагональной решетки сделаны в работе [1439]. Позднейшие, более точные расчеты [199, 200, 1192] показали, что поперечная ветвь в направлении < 10) в квадратной решетке является мнимой. Следовательно, решетка неустойчива относительно сдвиговых усилий в этом направлении. Аналогичная неустойчивость была обнаружена для решетки типа «пчелиных сот» [1191]. В гексагональной решетке, напротив, частота положительна во всей зоне Бриллюэна н поперечная мода в длинноволновом пределе, как н ожидалось, становится изотропной. Для гексагональной решетки была также вычислена энергия нулевых колебаний [199, 200, 1192].

Предпринимались попытки определить критическую температуру или концентрацию электронов, при которой происходит плавление двумерного внгнеровского кристалла. В работе [1439] для этого использовалось самосогласованное гармоническое приближение, ранее [1028] предложенное для трехмерной системы. В этом приближении для частот нормальных колебаний имеем уравнение

"х(к) =- У У I1 - ехР('к ' г“)ка(кХ)^(кК)/--^--^-ц(г,у)У(7.78)

где (...) означает усреднение по распределению фононов при температуре Т, а г(у = г( — гу. Это уравнение определяет шх(к) самосогласованно. Оно было решено в предположении, что продольная плазменная мода описывается формулой (7.77), а изотропная поперечная имеет скорость Сф (т.е. ы,(к) = Сф(к), определяющуюся самосогласованным образом: Плавление кристалла соответствует исчезновению этого самосогласованного решения. Полученный авторами ответ характеризуется весьма примечательным свойством: частота фононов растет с ростом флуктуаций, т.е. наличие флуктуаций увеличивает жесткость кристалла. Скорость поперечных фононов вблизи точки плавления даже больше, чем при нулевой температуре (речь идет о значении, вычисленном в гармоническом приближении). Причина в том, что взаимодействие между уширенными двумерными распределениями заряда при достаточно малом уширении сильнее, чем взаимодействие между точечными зарядами. Было показано [1439], что при высоких температурах (классический режим) Гт = 2,8, а при нулевой температуре rs = 4,5 (Гт = 3). Эти значения крайне малы, и весьма сомнительно, чтобы при таких условиях система на самом деле кристаллизовалась.

Таулесс [1765] для выяснения вопроса о плавлении двумерного электронного кристалла использовал дислокационную теорию плавления [999]. В этой теории предполагается отсутствие изолированных дислокаций при низких температурах, а точка плавления определяется сменой знака у свободной энергии дислокации, Энергия изолированной дислокации с вектором Бюргерса, равным b (постоянная решетки), имеет вид

(7.79)

где Сф — скорость поперечного фонона, р — поверхностная плотность (масса единицы площади), a L2 — площадь системы. Поскольку имеется приблизительно L2/b2 возможных положений дислокации, энтропия равна

/2

S = *81п^. (7.80) Ь1

Следовательно, для температуры плавления Тт имеем

кВТт = Сф™. (7.81)

Используя значение Сф, вычисленное для нулевой температуры в работе [200], Таулесс получил в классическом режиме Гт = 79. Это число значительно превосходит упомянутый выше результат работы [1439]. Следует ожидать, что на самом деле значение Гт еще больше, поскольку при приближении снизу к точке плавления появляются связанные пары дислокаций, что уменьшает модуль сдвига по сравнению с его значением при нулевой температуре (результат, обратный получаемому в самосогласованном гармоническом приближении [1439]).

Модельное рассмотрение задачи о температурной зависимости модуля сдвига в рамках метода молекулярной динамики [1239] показало, что низкочастотный модуль сдвига медленно уменьшается с ростом температурь! вплоть до Т = 0,9 Тт, а затем резко падает при приближении к Тт за счет нелинейных фононных взаимодействий. Температура плавления вычислялась из уравнений метода ренормгруппы [691, 692, 694, 1297, 1298] с использованием вышеупомянутого модуля сдвига и энергии ядра дислокации [553], что привело к ответу Гт= 128.

Авторами работы [756] с помощью метода молекулярной динамики был выполнен машинный эксперимент на системе 104 классических точечных зарядов, могущих двигаться в плоскости. Обсуждалась полученная аномалия электронной теплоемкости типа Х-точкн при Г = 95, которую авторы связали с переходом нз жидкой в полнкрнсталлнческую фазу. Все другие вычисленные свойства (внутренняя энергия, функция парных корреляций и структурный фактор) вблизи перехода меняются плавно. Позднейшие численные эксперименты не подтвердили наличия аномалии теплоемкости и обнаружили фазовый переход при больших значениях Г. Было высказано предположение, что в первом машинном эксперименте [756] система не имела достаточно времени для достижения термического равновесия [607, 1239]. Вычисления по методу Монте-Карло [607] показали, что точка плавления лежит в интервале 100 С Гт С 140. Экспериментальные наблюдения гибридного плазмон-рнпплонного резонанса на поверхности жидкого гелия дали значение Гт * 135 [673, 674].

Дислокационная теория плавления двумерного электронного кристалла в классическом режиме является, по-виднмому, достаточно адекватной. С другой стороны, оценка для Гт, полученная в самосогласованном гармоническом приближении [1439], почти на два порядка

меньше истинной величины. Поскольку это приближение в применении к фононам предполагает, что колебания решетки близки к гармоническим, оно не может правильно описывать эффекты локального разупорядочения типа дислокаций, играющие важную роль при плавлении решетки. Дислокационная теория, являясь существенно классической, в квантовом режиме неприменима. Отдельные попытки учесть квантовомеханнческие эффекты в литературе имеются [589, 603], но надежной теории квантового режима пока не существует.

Электронные кристаллы в магнитных полях

В литературе описано достаточно много исследований по влиянию магнитного поля на двумерный электронный кристалл. Рассмотрим вначале в гармоническом приближении спектр колебаний кристалла. Учет магнитного поля, перпендикулярного плоскости слоя, может быть проведен квазнклассическн путем замены в уравнении (7.70) р, на р, + еА(г;)/с, где А (г) — векторный потенциал. При этом

У = ^ У [ Р- + f ^j 2 Ч У *M,W)%V(7.82)

Введя фононную функцию Грина

DnAU; ю„) = | j dre^^^T^^yUj^,(7.83)

-s

где 3 = (kBTy~\ ш„ = 2vnkBT, Тт — оператор временнбго упорядочения, ал- целое число, имеем_ч

/ a = xj-

где еху = 4, еух = -1, а остальные е^, = 0. Переходя к фурье-преобразованиям, получаем /"и + ф^(к)шпшс + флу(кА

D-1(k) = m II(7.85)

+ Мк) “2 + фуу(к) /

Собственные частоты фононов ш±(к) определяются из условия detD-1 (к) = 0 и имеют вид

Ш1 = ^ 1"/ +“/ + "? ± К"? + ш? + ш?)2 - 4ш^?],/2],(7.86)

где ш, н ш, — частоты продольных н поперечных фононов в отсутствие магнитного поля, а ыс = еН/mc. Впервые данное выражение было получено Чапликом [275].

В длинноволновом пределе

«Ч ~ шс’(7.87)

X / 2r/V^\ '/2 и *

«су т 1•(7.88)

Видно, что в согласии с теоремой Кона [983] циклотронная частота, равная и+(Л = 0), не меняется даже в кристаллической фазе. Благодаря взаимодействию с циклотронным движением поперечная фононная ветвь становится более мягкой н пропорциональной ку\

Полученный спектр был использован Чапликом [275], а впоследствии Фукуямой и МакКлюром [600] для расчета орбитальной намагниченности. Изучались также качественное поведение высокочастотной проводимости, эффекты пиннинга примесями [586] и спектр фоно- нов в магнитном поле [1189, 1190].

Неоднократно обсуждалась возможность стабилизации электронного кристалла магнитным полем. Лозовнк н Юдсон [1125] предположили, что твердая фаза при наличии магнитного поля становится более устойчивой. Они использовали простую эйнштейновскую модель фононов с частотой ш0 - ыр(к - т/d) в отсутствие поля и сделали вывод, что в магнитном поле уменьшается амплитуда нулевых колебаний кристалла <и2)ср = h/тш и соответственно делается более предпочтительным его существование, поскольку частота ш при этом равна (too + ш2)'/2. Они, однако, не принимали во внимание наличие ш_ моды, которая в длинноволновом пределе пропорциональна ку\ Если использовать обычное выражение для среднеквадратичного смещения в отсутствие магнитного поля

у 1 V V 1 /1 \

mN La La шх(к) \2 /

(7.89)(7.89)то можно ожидать, что в магнитном поле температура плавления будет понижаться из-за смягчения а>_ моды. В выражении (7.89) N— полное число электронов, а пКк— бозевское число заполнения для фононов с частотой шх(к). В действительности на базе сказанного выше приводились аргументы в пользу того, что электронный кристалл будет плавиться в сильном магнитном поле [277, 278, 585].

(7.89)

(7.89)

Однако формула (7.89) в магнитном поле несправедлива. Правильное выражение выглядит следующим образом:

<«2>ср = квТ

1

mN

В длинноволновом пределе (* — 0) второй член в квадратных скобках становится равным

(7.91)

Это означает, что влияние магнитного поля способствует скорее стабилизации, чем дестабилизации твердой фазы. Расчет (м2>ср при нулевой температуре, где выражение не расходится, показал, что приложение магнитного поля усиливает локализацию электронов несмотря на смягчение фононного спектра [587]. Аналогичный вывод получен и в работе [1123].

Авторы работы [840] распространили самосогласованное гармоническое приближение [1439] на случай наличия магнитного поля. Они показали, что магнитное поле стремится кристаллизовать электроны и монотонно увеличивает температуру плавления. Подобное же заключение было сделано из сравнения свободных энергий жидкой и твердой фаз. Эффекты, связанные с магнитным полем, обсуждали также Лернер и Лозовик [1093].

До сих пор мы рассматривали магнитное поле квазиклассически, не учитывая явным образом квантование орбитального движения и дискретность энергетического спектра двумерных систем. В действительности возможна ситуация, когда электроны с каждого уровня Ландау при достаточно малой их концентрации образуют нечто вроде кристалла, хотя все электроны в целом вигнеровского кристалла и не создают. Такая возможность теоретически рассматривалась Цукадой [1838, 1840, 1841]. Если пренебрегать взаимодействиями между различными уровнями Ландау, то гамильтониан можно выразить через координаты центров циклотронных орбит. Полагая, что координаты центров образуют гексагональную решетку, Цукада определил частоты колебаний в самосогласованном гармоническом приближении и показал, что электроны в инверсионном и-слое на поверхности (100) Si могут образовывать решетку, если относительное заполнение каждого уровня Ландау v = 2itP'Ns> где /2 = ch/eH, достаточно мало (у = 0,3 н 0,17 для основного и первого возбужденного уровня соответственно). Эти числа слишком малы, чтобы объяснить экспериментальные результаты, полученные на инверсионных слоях в Si [908]. Цукада рассматривал также влияние примесей, полагая, что они могли бы способствовать стабилизации кристалла.

В магнитном поле х- и /-компоненты координаты центра циклотронной орбиты, обозначаемые через X и У, не коммутируют друг с другом, т.е. [X, У] = XY - YX = //2, что делает систему отличной от простой классической системы. В пределе сильного поля, когда выполняется условие у < 1, эта некоммутативность несущественна и система становится классической. Следовательно, температура плавления электронной решетки дается выражением (7.81), полученным из теории [999]. В работе [604] в рамках гармонического приближения оценено влияние квантовых эффектов, т.е. некоммутативностн X и У на модуль сдвига. Было показано, что квантовые эффекты понижают температуру плавления и не могут игнорироваться уже вблизи у = 0,1. Электронные кристаллы в сильных полях рассматривались также в работах [241, 415].

Фукуяма, Плацман и Андерсон [601, 602] вычисляли свободную энергию в приближении Хартри — Фока и полагали, что обычная фаза с однородно распределенной электронной плотностью становится неустойчивой относительно образования волн зарядовой плотности при температурах значительно выше точки плавления электронной решетки. Эта неустойчивость может быть получена следующим образом. Диэлектрическая функция, описывающая отклик системы, записывается в виде

£fo) = 1 + — П(9).(7.92)

q

Если рассматривать только низший (N = 0) уровень Ландау, то в приближении Хартрн (приближении хаотических фаз)

(

ц2/2\1 Г //Е -- hw \

-) \dE(-—\5(-,(7.93)

2 / 2т/2 J \дЕ)\2/

где ДЕ) — функция распределения Ферми. При достаточно высотах температурах написан-

ное выражение сводится к следующему:

(7.94)

В приближении Хартри — Фока учет обмена может быть произведен путем замены П(д) на П(у)/[1 - 2т/2(е2//)7(9)П(9)], где

(7.95)

а /0(х) — модифицированная функция Бесселя. Диэлектрическая функция обращается в нуль при Т = Тс (Тс = 0,557р(1 — р)е2//) вблизи q = q0 (flo = 1,568//), что соответствует неустойчивости относительно образования волны зарядовой плотности. Длина этой волны не зависит от концентрации электронов и определяется обменным матричным элементом Ия). Ожидалось, что при понижении температуры период и гармонический состав волны зарядовой плотности будут меняться, приближая систему к ангармоническому электронному кристаллу.

Электронные свойства основного состояния с волной зарядовой плотности исследовались в приближении Хартри — Фока [882, 1034, 1035, 1998, 1999, 2001]. Авторы работ [882, 1034, 1035] сделали вывод, что состояние с волной зарядовой плотности напоминает бесщеле- вой полупроводник, т.е. не содержит энергетической щели вблизи уровня Ферми при v = 1/2 (наполовину заполненный уровень Ландау). Однако более поздние расчеты [1998 — 2000] показали, что состояние с волной зарядовой плотности является, по сути дела, электронной решеткой с большой щелью вблизи уровня Ферми. Исследовались динамические свойства примесного пиннинга фазонов волны зарядовой плотности [599]. В работе [883] обсуждалось влияние флуктуаций волны зарядовой плотности на проводимость.

Все обсуждение неустойчивости волн зарядовой плотности проводилось в рамках приближения Хартри — Фока, напоминающего метод среднего поля. Однако нельзя быть уверенным в том, что полученные результаты описывают реальные свойства реальных двумерных систем. В особенности это относится к неустойчивости при высокой температуре Тс = = 0,557 р(1 — р)е2//, которая может быть весьма критична к существу сделанных приближений. Как легко видеть, образование волны зарядовой плостности с q * q0 при Тс связано исключительно с обменным взаимодействием, роль которого теория Хартри — Фока, как известно, переоценивает. Фукуяма, Плацман и Андерсон предположили [602], что Тс представляет не истинную температуру плавления волны зарядовой плотности, а скорее нечто вроде температуры перехода между фазой существенно газового типа и фазой с волной зарядовой плотности, но без дальнего порядка. В работе [1983] была предпринята попытка объяснить недавние эксперименты по циклотронному резонансу в кремниевом инверсионном слое с малой концентрацией с помощью наличия подобного ближнего порядка у волн зарядовой плотности. Более подробное обсуждение циклотронного резонанса было проведено в § 3 гл. 6.

ГЛАВА 8. СИСТЕМЫ, ОТЛИЧНЫЕ ОТ л-КАНАЛОВ ■ НА КРЕМНИИ

р-КАНАЛЫ НА КРЕМНИИ

Серьезное исследование инверсионных p-каналов на кремнии началось даже раньше, чем исследование n-каналов. В основном в середине 1960-х годов многие полупроводниковые фирмы сосредоточили свои усилия на исследовании p-каналов, й литература, посвященная этим объектам, была обширнее, чем литература по л-каналам. Соответствующую информацию можно найти в работах [298, 332, 687, 739, 1087, 1264, 1265, 1275, 1575] и других. Наблюдать двумерные эффекты в p-канале труднее, чем в л-канале, главным образом из-за того, что эффективная масса здесь больше, а подвижность меньше. Кроме того, теория для p-канала более сложна из-за сложного гофрированного вида валентной зоны.

Такие мощные экспериментальные методы, дающие прямую информацию об электрических подзонах, как эффект Шубникова — де Гааза и инфракрасная спектроскопия, были применены исследователями лишь недавно. Поверхностные квантовые осцилляции в инверсионных p-каналах изучались на поверхностях (110), (Ш) и (100) в оаботах [1911—1913] и на поверхностях (111) и (100) в работе [1053]. Из температурной зависимости амплитуды осцилляций Шубникова — де Гааза обе исследовательские группы определяли зависимость эффективной массы от концентрации дырок. Они показали, что с ростом Ns эффективная масса заметно возрастает. Между результатами двух этих групп имеется существенное различие. Величины масс, найденные в работе [1053], приблизительно в два раза превосходят значения, полученные авторами работ [1911—1913]. Ниже будут обсуждаться различные предлагавшиеся теории, согласующиеся как с одной, так и с другой совокупностью экспериментальных результатов и являвшиеся предметом дискуссии. На поверхности (ПО) наблюдалась также вторая совокупность осцилляций, вызванная заполнением вышележащей первой возбужденной подзоны при Ns > 3,2- 1012 см-2 [1911].

Циклотронный резонанс дырок наблюдался на поверхностях (100), (ПО) и (111) [1009]. Совмещая классическую форму линии с результатами эксперимента, авторы определили эффективную массу. Массы, полученные из циклотронного резонанса, оказались в согласии с данными по осцилляциям Шубникова — де Гааза, опубликованными в работах [1911 —1913]. Причины, по которым авторы работы [1053] получили в два раза большие значения масс, еще не ясны и, возможно, связаны с плохим качеством использованных ими образцов.

Межподзонные оптические переходы в инверсионных и обогащенных слоях исследовались на поверхностях (100) [957], (ПО) и (111) [852]. Резонансные линии были более широкими по сравнению со случаем n-каналов. Особенно широки были линии в обогащенных слоях. Вкратце изучалась также температурная зависимость [852].

Как известно, структура валентной зоны вблизи точки Г описывается матричным гамильтонианом 6x6 [1140]

где ^. р представляет собой матрицу

k Рk Ра^ = -уа^ = -у+ £А: + Mf^ + А:2) к2 .МкхкгNkxk3К 2zn0+1i000-1— Z1000i0011— i00011— i000ii10- 1-i0001+ £А: + Mf^ + А:2) к2 .МкхкгNkxk3К 2zn0+1i000-1— Z1000i0011— i00011— i000ii10- 1-i0001Л2 2К2 2т0Л2 2К2 2т0Здесь К = (Агр кг, к^) и К = IKI. ЭтотЗдесь К = (Агр кг, к^) и К = IKI. ЭтотNkxkTNktk3Lk2 + М(*2 + к2)Nk2k3,NkA3— К2 + Lk2 + МЦс\ + А:2)2 32«0J(8.2)NkxkTNktk3Lk2 + М(*2 + к2)Nk2k3,NkA3— К2 + Lk2 + МЦс\ + А:2)2 32«0J(8.2)(8.3)(8.3)гамильтониан был получен методом к ■ р-гамильтониан был получен методом к ■ р-возмущений для волновых функций типа атомных p-функций в точке Г. В приближении довозмущений для волновых функций типа атомных p-функций в точке Г. В приближении достаточно большого спин-орбитального расщепления уровней р3/2 и р1/2 получаются приблистаточно большого спин-орбитального расщепления уровней р3/2 и р1/2 получаются прибли

k Р

k Р

а^ = -у

а^ = -у

+ £А: + Mf^ + А:2) к2 .

Мкхкг

Nkxk3

К 2zn0

+

1

i

0

0

0

-1

— Z

1

0

0

0

i

0

0

1

1

— i

0

0

0

1

1

— i

0

0

0

i

i

1

0

- 1

-i

0

0

0

1

+ £А: + Mf^ + А:2) к2 .

Мкхкг

Nkxk3

К 2zn0

+

1

i

0

0

0

-1

— Z

1

0

0

0

i

0

0

1

1

— i

0

0

0

1

1

— i

0

0

0

i

i

1

0

- 1

-i

0

0

0

1

Л2 2

К2 2т0

Л2 2

К2 2т0

Здесь К = (Агр кг, к^) и К = IKI. Этот

Здесь К = (Агр кг, к^) и К = IKI. Этот

NkxkTNktk3

Lk2 + М(*2 + к2)Nk2k3,

NkA3— К2 + Lk2 + МЦс\ + А:2)

2 32«0

J

(8.2)

NkxkTNktk3

Lk2 + М(*2 + к2)Nk2k3,

NkA3— К2 + Lk2 + МЦс\ + А:2)

2 32«0

J

(8.2)

(8.3)

(8.3)

гамильтониан был получен методом к ■ р-

гамильтониан был получен методом к ■ р-

возмущений для волновых функций типа атомных p-функций в точке Г. В приближении до

возмущений для волновых функций типа атомных p-функций в точке Г. В приближении до

статочно большого спин-орбитального расщепления уровней р3/2 и р1/2 получаются прибли

статочно большого спин-орбитального расщепления уровней р3/2 и р1/2 получаются прибли

женные выражения для закона дисперсии в зонах тяжелых и легких дырок:

(8.4)(8.4)Е(К) = АК2 ± [В2К4 + С\к2Ц + ЦЦ + * j*f)],/2

(8.4)

(8.4)

и в зоне, отщепленной за счет спин-орбитального взаимодействия:

Е(К) = -△ + АК2,(8.5)

где 1А

А = - (£ + 2Л/) + ,

32w0

В =^L - MV

(8.6)(8.6)С2 = — \N2 - (L - M)2V

(8.6)

(8.6)

3

Параметры зонной структуры L, М, N и.Д определялись из микроволнового циклотронного резонанса и эффектов одноосной деформации [382, 433, 724]. Из-за наличия вырождения при Arj = А:2 = А:3 = 0 закон дисперсии нельзя записать с помощью обычного тензора эффективной массы для легких и тяжелых дырок. Видно, что зоны являются существенно непарабо- личными и анизотропными. Из-за наличия центра инверсии в каждой зоне имеется крамер- совское вырождение.

В принципе расчеты структуры подзон л-канала можно непосредственно перенести на р- канал. Как обычно,,выберем в качестве оси г направление нормали к поверхности. Структура подзон может быть получена из решения уравнения эффективной массы

лять самосогласованно в приближении Хартри. Однако реальные численные расчеты весьма громоздки, и потому были испробованы различные упрощения.

Простейший подход, предложенный рядом авторов [332, 1575], состоит в обрезании трехмерной изоэиергетической поверхности тяжелых дырок в объеме Е<кх, ку, к^ при кг = ±к0, где к0 = <2т\ Ео\/Нг)'л, т — соответствующая эффективная масса, а Ео — энергия дна нижней подзоны, вычисленная в приближении треугольного потенциала. Это дает зависимость Е от двумерного вектора к. Подобная простая оценка использовалась для качественного объяснения анизотропии подвижности при комнатной температуре.

Фаликов и Гарсиа [514] несколько усовершенствовали описанный подход. Вместо подстановки кг = ± к0 в объемный закон дисперсии тяжелых дырок они определяли зависимость EQO путем минимизации выражения

(8.8)(8.8)Е0(кх, к0 = ^Е(кх,ку, к^ Ле’^г1«г)12 + <k r(z)lftz)l2,

(8.8)

(8.8)

где f(z) — вариационная волновая функция обычного вида (3.25). Зная площадь А^Е), ограниченную кривой Е = Е(к) на плоскости кх — ку, авторы вычисляли классическую циклотронную массу

Рассчитанные значения массы совпадали с экспериментальными результатами, полученными в работе [1053] на поверхностях (111) и (100), но приблизительно в два раза превосходили более точные данные работ [1009, 1911—1913].

Нетрудно видеть, что подобная простая процедура к p-каналам неприменима. Это связано с наличием вырождения в точке Г и большой величиной недиагональных элементов в матричном гамильтониане [(8.1) и (8.2)]. В упомянутых выше теориях кг, входящее в недиагональные элементы, заменялось на некоторое эффективное к0, после чего матрица диагонали- зовалась. Однако, как было предположено в работе [1063], при образовании инверсионного слоя линейные по кг члены должны значительно уменьшаться. Это легко видеть, учитывая, что для связанного состояния <kz) = 0. Следовательно, подобные теории переоценивают роль недиагональных элементов и завышают значения эффективных масс.

Делались попытки [608—610] рассчитать структуру подзон с помощью однозонного уравнения эффективной массы, содержащего соответствующую изотропную массу, определяемую по простейшей теории. Однако по указанным выше причинам точность этих расчетов весьма сомнительна.

Более строгие расчеты структуры подзон были выполнены независимо двумя группами авторов: [126, 127] и [1350] (см. также [1059, 1851]), решавшими матричное 6x6 уравнение эффективной массы (8.7) при нулевой температуре в отсутствие магнитного поля. В работах [126, 127] функция £jk к представлялась в виде линейной комбинации шести функций Эйри, и матричный гамильтониан диагонализовался для различных совокупностей точек плоскости кх — ку. Самосогласованность достигалась методом итераций, с использованием рассчитанной электронной плотности в качестве начального распределения при каждом последующем шаге. Эффективная масса определялась квазиклассически с помощью уравнения (8.9). В работе [1350] использовался аналогичный метод, отличающийся лишь более сложной совокупностью пробных функций. ■ . . • • ,

Рис. 164. Ферми-поверхности для основной подзоны в инверсионных p-слоях на поверхностях Si: а — (100), б — (ПО), в — (111) [1350]. Сплошные и пунктирные линии отвечают расщепленным по спину уровням. Цифры иа кривых указывают величину Ns в единицах 1012 см-2. Nd — NA = 1О15см~3.

Вычисления подтвердили, что нижнюю подзону можно приближенно считать сформированной из тяжелых дырок, первую возбужденную подзону — из легких дырок, а вторую возбужденную считать возбужденным состоянием тяжелых дырок. На рис. 164 изображены

Рис. 165. Зависимость циклотронной эффективной массы т* от концентрации носителей Ns в инверсионных p-слоях на поверхностях Si: а — (100), б — (ПО), в — (111) [1009]. ha = 3,68 мэВ, Т = 10 К. Показаны типичные абсолютные ошибки для значений т*, определенных из циклотронного резонанса (черные кружки) [1009]. Данные осцилляций Шубникова — де Гааза показаны светлыми кружками [1053] и треугольниками [1911 — 1913]. Показаны также теоретические расчеты различных авторов: сплошные линии [1350], пунктирные [126] и точечные [514].

ферми-границы нижней подзоны на трех основных поверхностях, рассчитанные в работе [1350]. Закон дисперсии существенно непараболичен. Кроме того, даже в отсутствие магнитного поля всюду, кроме точки кх = ку = 0, спиновое вырождение снято. Предполагается, что это связано со спин-орбитальным взаимодействием и нарушением симметрии по отношению к инверсии. Для возбужденных подзон эффект более значителен. Однако экспериментально подобное расщепление не наблюдалось.

Для поверхности (ПО) расчеты, проведенные без учета потенциала изображения в работах [126] и [1350], предсказывают, что для No6eflH = 1,3- 10й см-2 первая возбужденная подзона начинает заполняться соответственно при Ns = 4- 1012 см-2 [126] и Ns = 2,8 ■ 1012 см-2 [1350]. Различие в ответах частично связано с небольшими различиями в параметрах зон, использованных авторами этих двух работ. Другой возможной причиной может быть недостаточное число базисных волновых функций. Экспериментальное значение Ns, найденное в работе [1911], равно 3,2- 1012 см-2.

На рис. 165 сравниваются значения эффективных масс, вычисленные для трех основных поверхностей, т.е. (100), (110) и (111), и определенные экспериментально из данных по осцилляциям Шубникова — де Гааза [1911—1913] и по циклотронному резонансу [1009]. Показаны также экспериментальные результаты работы [1053] и теоретические — работы [514]. Хотя между различными теоретическими и различными экспериментальными результатами имеются небольшие расхождения, общая картина говорит о наличии разумного согласия теории и эксперимента.

Влияние обменных и корреляционных эффектов на структуру подзон рассматривалось в весьма грубом приближении [1342]. Автор не учитывал непараболичность и вычислял

собственно-энергетический сдвиг подзон тяжелых дырок, используя параболический закон дисперсии на поверхности (100). Как и ожидалось, многочастичная поправка к энергии подзоны оказалась столь же важна, как и для л-канала, а изменение эффективной массы было мало. Хотя вычислений для подзоны легких дырок никогда не проводилось, можно ожидать, что сдвиг этой подзоны также будет заметным. Таким образом, согласие между теорией и экспериментом в вопросе о концентрации, соответствующей началу заполнения дырками первой возбужденной подзоны на поверхности (ПО), следует считать случайным.

Межподзонные оптические переходы из низшей во вторую возбужденную подзону (подзоны тяжелых дырок) характеризуются максимальной силой осциллятора. Переходы в первую возбужденную подзону, строго говоря, не запрещены, но, как показал Окава [1342], являются слабыми. Разность энергий низшей и второй возбужденной подзон, вычисленная Ока- вой с приближенным учетом многочастичного сдвига, совпадает с результатами измерений энергии резонанса на поверхности (100) [957]. Однако следует ожидать наличия дополнительных поправок, связанных, например, с деполяризацией и локальным эффектом поля, которые, по-видимому, столь же важны, как и в л-каналах. Дать надежную теоретическую оценку для этих поправок весьма сложно,"и потому нельзя сказать, является ли в данном случае совпадение теории и эксперимента случайным или закономерным.

СОЕДИНЕНИЯ А3В5 И ИХ АНАЛОГИ

Исследования слоев пространственного заряда в узкозонных полупроводниках группы А3 В5 также начались в середине 60-х годов [266, 899, 900, 902, 904]. Однако прогресс в этих исследованиях долго сдерживался трудностями в создании высококачественных образцов. Мы вначале суммируем результаты теоретических исследований структуры энергетического спектра, а затем обсудим экспериментальные данные для наиболее широко исследованных материалов.

ергетический спектр

В узкозонных полупроводниках А3 В5 со структурой цинковой обманки дно зоны проводимости и вершина валентной зоны расположены в точке Г зоны Бриллюэна. Схематический вид зонной диаграммы изображен на рис. 166. Структура зон вблизи точки Г хорошо описывается упрощенным вариантом [209] к • р-гамильтониана Кейна [862], содержащего в качестве базисных волновых функций одну функцию s-типа и три функции р-типа:

/ Й2К2/2/п0

_Рк±/<2

±P*±/V6 y±p*±/V3

Рк^/^^Pk^/Vb.ьРк^/^З\

-ес + h2K2/2m000]

0— eG + h2K2/2m001

00— Д - eg + кгКг/2т0 /

У о0 ^Рк^-Рк3/4з\(8.11)

•V£>

। _t/L ।

1 'ЛарЦ00о’(8Л2)

\ -Рк3/<3000/

(8.10)

где Аг± = kv ± ik2 и К1 = к^ + к^ + Ц. Входящие сюда параметры зон определяются еле-

Рис. 166. Схематический вид зонной структуры полупроводников А3 В5 вблизи точки Г: Г6 — зона проводимости; Г8 — зоны тяжелых и легких дырок; Г7 — зона, отщепленная спин- орбнтальным взаимодействием.

(8.13)(8.13)дующим образом:

(8.13)

(8.13)

Р = — <zSI» IZ> то

Л • ЗА △ = I—Ат^с1Л • ЗА △ = I—Ат^с1(^Х(^ХЭУ— Р дх •ЭУ— Р дх •(8.14)(8.14)

Л • ЗА △ = I—

Ат^с1

Л • ЗА △ = I—

Ат^с1

(^Х

(^Х

ЭУ

— Р дх •

ЭУ

— Р дх •

(8.14)

(8.14)

где у — периодический кристаллический потенциал. Базисными функциями в рассматриваемом порядке являются здесь следующие функции: lzSf>, .

г-^Чх + ;у)1>,i/2

6~'/21(Х - |У)1> + j IZI),

З-^кХ - 1У)1) - usd, 2-уЧ(Х - iY)D, -б'^КА" + |У)1> + г| ) lzt>. -3-'/21(А + (У)1> - 3~yi\ZD.

На самом деле приведенное выражение для гамильтониана относится к полупроводникам со структурой алмаза, а для структуры цинковой обманки отсутствие центра инверсии приводит к наличию дополнительных членов. Одиако эти поправки, как правило, малы и могут не учи-

тываться. При рассмотрении структуры валентной зоны, как и в задаче о р-канале в кремнии, необходимо учитывать дополнительные члены, имеющие второй порядок по к - р. Для описания зоны проводимости написанного выше гамильтониана оказывается вполне достаточно. При наличии магнитного поля в формулы добавляется член с зеемановской энергией спина и делается замена kj — к; + еА^/с, где Н = rot А. Исключая обычным образом недиагональные элементы, приходим к выражению, содержащему эффективную массу:

(8.15)(8.15)(8.16)(8.17)(8.16)(8.17)1 е(К) = —--• gnBHa,

(8.15)

(8.15)

(8.16)

(8.17)

(8.16)

(8.17)

2т 2

где

1 _ 1 2 p41£G + ^) т т0 3 h2EG(eG + Д) „4 т^Рг

g = 2 ■—.

.3 h2eG<£G + Д)

В частности, для InSb eg = 238 мэВ, Д = 900 мэВ, т = О,О13/ио и g = —51.

В отличие от задачи о p-канале в кремнии, где зонная структура также описывается сложным матричным гамильтонианом, в задаче о структуре подзон в узкозонных полупроводниках хорошо разработанных методов решения не имеется. Еще не установлено, как наличие поверхности или границы раздела сказывается на зонной структуре и какого вида граничные условия следует налагать на огибающую волновой функции. Изменение распределения зарядовой плотности при образовании инверсионного слоя не обязательно вызывается только избыточными электронами слоя. Важную роль может играть также деформация волновых функций валентных зон, которая в широкозонных полупроводниках обычно учитывается с помощью диэлектрической проницаемости хпп. Помимо таких фундаментальных вопросов существуют также чисто практические вычислительные трудности. Обычный вариационный принцип, пригодный для расчета p-каналов в Si, здесь неприменим, поскольку в рассматриваемой системе энергетический спектр простирается до бесконечности как вверх, так и вниз. Но, несмотря на эти трудности, был предпринят целый ряд попыток рассчитать структуру подзон.'

Окава и Уемура [1348, 1349] пытались решать уравнение эффективной массы

(8.18)(8.18)£ [^ + У^^Дк, z) exp.(z'k • г) = е^<Л, z) exp (zk ■ г)

(8.18)

(8.18)

для заданного приповерхностного потенциала У(г). Они пренебрегали кинетической энергией, соответствующей свободному электрону, и исключали компоненты волновой функции, оставив лишь те, которые связаны с зоной проводимости Г6, т.е. fj и f5. Результирующее уравнение для fj и f5 имеет вид

—— - ^±(к, z) ф±(?) = 0,(8.19)

I 2тI

где' .

(8.20)(8.20)Ф^^к, z) = Y (-ес + V - е^1 Г, т Г5\

(8.20)

(8.20)

Для простоты авторы рассматривали случай Д — оо и получили

h2k2 „, ч (K(z) - О2

—— - К(г)

ЗЙ2(д K/dz)2ЗЙ2(д K/dz)2еб

ЗЙ2(д K/dz)2

ЗЙ2(д K/dz)2

(8.21)(8.21)Л2(Э2Г/д?2)й2(ЭК/Эг)

(8.21)

(8.21)

4m(-ec + V - е) 4m(-sG + V - е)

Написанное выше уравнение решалось методом ВКБ:

*0*0dZ ^2Х^<к.^dZ ^2Х^<к.^(8.22)(8.22)

*0

*0

dZ ^2Х^<к.^

dZ ^2Х^<к.^

(8.22)

(8.22)

где z0 — точка поворота для Х± (к, z), и результаты использовались для анализа экспериментальных данных, полученных на образцах Hg0 7gCd0 21 Те [91].

На основании выражения (8.21) Окава и Уемура сделали важный вывод о том, что спиновое расщепление, связанное с отсутствием инверсионной симметрии у приложенного электрического поля, дается выражением кР2<дУ/дг)/eg [1348, 1349, 1849]. Если полагать <dK/dz> - ^эфф, где ^ф — соответствующим образом усредненное эффективное электрическое поле, действующее на электроны, то спиновое расщепление будет велико и может являться причиной изменения порядка следования уровней Ландау в соединении Hg] _xCdxTe. Однако впоследствии Андо подверг этот вывод критике [356]. Простейшая аргументация заключается в следующем. Потенциал И(г), входящий в формулу (8.21), содержит также потенциал приповерхностного барьера. Хотя амплитуда волновых функций вблизи поверхности очень мала, среднее значение производной потенциала остается отличным от нуля и компенсирует член, связанный с электрическим полем при z > 0. Следовательно, в приведенном выражении следует полагать <dV/dz> = 0. В противном случае электроны ускорялись бы в направлении отрицательных значений z и не могли бы оставаться в инверсионном слое. Таким образом, видно, что спиновое расщепление в низшем порядке отсутствует и появляется только в третьем порядке по последнему члену формулы (8.21). Если высота барьера превосходит ширину запрещенной зоны, то подобная аргументация неприменима. Однако можно легко показать, что, потребовав выполнения граничных условий ^(О) = f5(0) = 0, мы придем к тому же самому заключению. Для исключения других компонент волновой функции в уравнении (8.19) необходимо брать производную от потенциала. Оценка подобных производных требует большой тщательности, поскольку здесь может оказаться решающим сингулярный характер поверхностного потенциального барьера.

В неопубликованной работе Араи (Arai К.) было использовано следующее разложение функций:

^k.z) = £ аУЧк^°Ч?\(8-23)

/ = о

Й2 d 5 + K(z)Im* dz2Й2 d 5 + K(z)Im* dz2где ^(z) удовлетворяет уравнению

Й2 d 5 + K(z)

Im* dz2

Й2 d 5 + K(z)

Im* dz2

d0>U) = E^U',(8.24)

с граничными условиями ^0>(0) = ^0)(°°) = 0- Здесь т' — соответствующим образом определенная эффективная масса для данной концентрации электронов. Автор использовал в ка-

честве базиса I = 06.Следовательно, здесь возникает необходимость диагонализации

матрицы 56 х 56 для различных значений к. В предположении, что 14 «наивысших» по энергии уровней соответствуют зоне проводимости, самосогласованно вычислялись плотность электронов и потенциал K(z). Рассчитанная таким образом структура подзон инверсионного л-канала в InSb оказалась в отличном согласии с такими экспериментально определенными параметрами, как энергетическое расстояние между подзонами и эффективная масса. Араи также оценил вероятность туннелирования из состояний инверсионного слоя в валентную зону в объеме полупроводника и показал, что для InSb она пренебрежимо мала. Спиновое расщепление, как и ожидалось, оказалось значительно меньше результата, получившегося в расчетах Окавы и Уемуры. Но даже и при столь тщательных вычислениях остается ряд проблем. Нет причин a priori отбирать из получающихся 56 уровней 14 с наибольшими энергиями, поскольку обычный вариационный принцип здесь уже непригоден. Выбранные базисные волновые функции представляются разумными для зоны проводимости, но не могут описывать состояния, соответствующие валентной зоне. Поэтому весьма сомнительно, чтобы указанные расчеты описывали изменение межзонных взаимодействий за счет поверхностного потенциала, которое в p-каналах на Si играло решающую роль.

Такада и Уемура [1744] использовали простое приближение, аналогичное применявшемуся в работе [514] для расчетов p-канала на Si. Закон дисперсии в объеме аппроксимировался выражением

е(К) = eg 1

(8.25)(8.25)и структура подзон определялась вариационным методом с использованием волновой функции вида (3.34) для основной подзоны и ортогональной ей пробной функции для первой возбужденной подзоны. Влияние высших подзон учитывалось весьма приближенно. Несмотря на грубость использованного допущения, ответ оказался в разумном согласии с результатами Араи для InSb, в особенности при малых концентрациях электронов, когда заполнение высших возбужденных подзон весьма мало. Еще ие ясно, почему такое упрощение оказалось приемлемым для зоны проводимости в узкозониых полупроводниках и неприемлемым для валентной зоны в Si. Одной из возможных причин являются перекрытие в p-каналах Si волновых функций легких и тяжелых дырок и важная роль их взаимного перемешивания за счет поверхностного потенциала. В л-каналах узкозонных полупроводников, напротив, состояния, связанные с зоной проводимости и валентной зоной, пространственно разделены и их перемешивание несущественно до тех пор, пока не играют заметной роли эффекты туннелирования. Такада и Уемура исследовали также возможность заполнения подзон, связанных с долинами тяжелых электронов в зоне проводимости. Наиболее низко подобные долины расположены в точке L в InAs, InSb и GaAs (см. например [115, 1424]). Авторы показали, что подзоны в долинах тяжелых электронов при достаточно большой концентрации могут быть заселены, поскольку в них кинетическая энергия, связанная с движением вдоль оси z, благодаря большой эффективной массе ие возрастает столь сильно. Ситуация здесь аналогична той, что имеет место в л-канале на поверхности (100) Si при большой одноосной деформации. Описанная аппроксимационная схема была заметно усовершенствована в работах [1741, 1742], где вычислялась структура подзон, оказавшаяся в хорошем согласии с экспериментом, а также оптические спектры для параллельной и перпендикулярной поляризаций электрического поля.

(8.25)

(8.25)

InSb

Свойства л-каналов в приповерхностных слоях пространственного заряда в InSb исследовались весьма интенсивно. Как отмечалось в предыдущем разделе, зона проводимости InSb характеризуется малой эффективной массой и значительной непараболичностью. Первые исследования низкотемпературной поверхностной проводимости InSb относятся к 60-м годам [266, 899, 902, 986]. Авторам работы [1001] удалось наблюдать осцилляции Шубникова — де Гааза в тщательно изготовленных МОП-транзисторах с SiO2 в качестве подзатворного диэлектрика. Сложная картина осцилляций указывала на заполнение более чем одной подзоны и анализировалась в модели двух подзон в треугольной потенциальной яме. Однако сложный характер зонной структуры узкозонных материалов на этом этапе не принимался во внимание.

Впоследствии тщательное исследование квантовых осцилляций было проведено в работах [354, 355]. Авторы наблюдали прекрасные осцилляции Шубникова — де Гааза и определяли концентрации носителей в подзонах. Их результаты, а также результаты теоретических расчетов Араи представлены на рис. 167. При концентрациях вплоть до Ns — 1012 см-2 частично заполнены три подзоны. Хорошее согласие теории и эксперимента свидетельствует о том, что при таких концентрациях электронов межзонные эффекты все еще несущественны.

Также проводились (хотя результаты еще не полностью опубликованы) измерения циклотронного резонанса [354, 357]. При этом каждая подзона давала отдельную резонансную линию, поскольку из-за сильной непараболичности эффективные массы в подзонах различались. Найденные из резонансных значений поля величины эффективных масс находились в разумном согласии с теорией, в особенности при слабых магнитных полях. Помимо этого амплитуды резонансов хорошо соответствовали заполнению подзон, определенному из осцилляций Шубникова — де Гааза.

При отклонении магнитного поля от направления нормали к поверхности на крыле резонансной кривой, обращенном в сторону больших полей, наблюдался слабый, но различимый пик [356]. Он был приписан спиновому резонансу, поскольку его положение определялось полной величиной наклонного поля и было близко к значению, соответствующему g- фактору в объеме вещества. Амплитуда пика сильно зависела от угла наклона и обращалась в нуль при направлении поля точно перпендикулярно поверхности. Однако природа пика и его угловая зависимость полного объяснения еще не получили. В узкозонном полупроводнике с сильным спин-орбитальным взаимодействием и значительной непараболичностью спиновый резонанс может вызываться обычными электрическими дипольными переходами. Такой «электрический дипольный спиновый резонанс» впервые наблюдался в массивных образцах Hg^^Cd^Te [168] и InSb [1178]. Соответствующий матричный элемент вычислен в работе Шеки [1611] и равен

V_ = Vv — IV„ *к. y rns гV_ = Vv — IV„ *к. y rns г(8.26)(8.26)2eg + Д heH£G<£g + д) msc

V_ = Vv — IV„ *к. y rns г

V_ = Vv — IV„ *к. y rns г

(8.26)

(8.26)

где m5 = 2m/lg* I, а магнитное поле H считается параллельным оси г. Очевидно, такой матричный элемент для инверсионного слоя равен нулю в силу условия < кг > = 0. Обсуждавшийся в предыдущем разделе линейный по к член мог бы привести к большой величине матричного элемента, определяющего спиновый резонанс, даже при нормальной ориентации магнитного поля, если полагать <dK/dz> = Но экспериментальные результаты также говорят о необходимости считать <дК/дг> « 0, в силу чего подобное линейное по к спиновое расщепление не имеет места. В наклонных магнитных полях, где существенны эффекты «перемешивания» различных подзон и уровней Ландау, спиновый резонанс, по-видимому,

Рис. 167. Заселенности подзон Nsi (а) и циклотронные эффективные массы в i-й подзоне тс* (6) инверсионного n-слоя в InSb при различных полных концентрациях электронов [355, 1742]. NA — ND = 1О13см-3. Цифры и знаки при них означают номер подзоны и ориентацию спина. Верхняя кривая на рис. а — полная концентрация Ns. Приведены также результаты теоретических расчетов Араи [Лгш К., неопубликованные результаты] для Nsi и Такады [1742] для т^.

будет усиливаться, но считать рассматриваемый механизм твердо установленным еще нельзя ввиду большой сложности всей задачи.

Прямое межподзонное оптическое поглощение наблюдалось авторами работы [165] при падении инфракрасного света по нормали к поверхности. В силу непараболичности движение электронов параллельно и перпендикулярно поверхности оказывается взаимосвязанным, что приводит к межподзонным переходам даже в указанной геометрии [163]. Суммарная поляризация электронов в направлении нормали к поверхности равна нулю, и на резонанс не оказывают влияния эффекты деполяризации, существенные для инверсионных слоев на Si (см. § 3 гл. 3). Наблюдаемые энергии резонансов Е10, Е2о и ^21 на первый взгляд хорошо согласуются

с теорией. Одиако последующие эксперименты [1973] показали, что наблюдаемые резонансные линии на самом деле являются дублетами. Исследовалась также температурная зависимость резонанса. Было показано, что его положение сдвигается в сторону меньших энергий, в противоречии с описанными в § 1 гл. 3 расчетами для кремниевых инверсионных слоев в простом приближении Хартри. Причиной такой аномальной температурной зависимости может быть наличие индуцированных свободных электронов и дырок. Упомянутые проблемы еще ждут своего объяснения.

InAs

Из аномального поведения коэффициента Холла в р-InAs было известно, что на поверхности этого вещества может существовать природный инверсионный слой л-типа. Исследования инверсионных слоев на InAs начались уже давно. Выполнялись измерения проводимости инверсионного слоя на поверхностях, подвергнутых травлению, как в отсутствие, так и при наличии магнитного поля [900, 904]. Управление концентрацией электронов осуществлялось с помощью затвора, изолированного майларовой пленкой. Было установлено, что подвижность растет с ростом концентрации носителей в согласии с теорией примесного рассеяния в квантованном поверхностном канале. Поверхностное магнитосопротивление изменялось периодически, что, скорее всего, было проявлением квантовых осцилляций.

Впоследствии были также исследованы поверхности, сколотые на воздухе, где поверхностные заряды создавали сильный изгиб зон и инверсионный канал с очень высокой концентрацией электронов Ns ~ 1013 см-2 [895, 905]. При температурах ниже 4 К сопротивление и магнитосопротивление менялись аномальным образом. Было обнаружено, что сопротивление резко падает вблизи 3 К и ниже 2 К становится крайне мало. В магнитном поле такое изменение сопротивления пропадает. Указанная аномалия первоначально анализировалась на языке рассеяния на локализованных спинах, но в дальнейшем была приписана флуктуационным эффектам в двумерном проводнике [906]. Оценка критической температуры дала значение, равное 2,7 К. Однако другие исследовательские группы сверхпроводимости не наблюдали.

Такада и Уемура [1743] анализировали различные возможные механизмы, вызывающие сверхпроводимость в инверсионном слое. В силу малой плотности состояний вблизи уровня Ферми чисто фононного механизма недостаточно для создания сверхпроводимости. В качестве наиболее вероятного авторы предположили механизм сверхпроводимости, связанный с акустическими плазмонами, существующими в многокомпонентной системе носителей типа слоев объемного заряда в полупроводниковых соединениях А3 В5. Высказывалось предположение, что для случая сверхпроводимости в подзонах с большой концентрацией электронов плазмоны играют такую же роль, как акустические фононы в металлах. Такада и Уемура оценили константу взаимодействия, входящую в ядро интегрального уравнения для энергетической щели, и показали, что при большой концентрации электронов сверхпроводимость возможна, если наряду с фононным механизмом существует также механизм, связанный с акустическими плазмонами. Позднее свойства акустических плазмонов были изучены для различных случаев [1735]. В недавних работах [1736, 1739] Такада численно решал уравнение для щели с учетом электрон-электронных взаимодействий в приближении хаотических фаз и установил, что плазмоны и сами по себе могут привести к сверхпроводимости, если концентрация электронов не слишком мала и не слишком велика. Он предположил, что высокое значение Тс, наблюдаемое в эксперименте, может быть объяснено, если считать эффективную массу достаточно большой, а диэлектрическую проницаемость — малой. Вопрос все еще остается открытым, поскольку вычисления содержат различные приближения и неизвестные пара-

V, уиВ

Рис. 168. Зависимость нормированной дифференциальной проводимости от напряжения для туннельного перехода n-lnAs — окисел — РЬ [1809]. Объемная концентрация носителей равна 2,2 ■ 1016 см-3. Проводимость имеет особенности при пересечении уровнем Ферми в РЬ краев подзон (Ео при V = 180 мэВ и Ех при V = 50 мэВ). Структура вблизи V = 20 мзВ соответствует пересечению уровнем Ферми края зоны проводимости в объеме InAs.

метры, описывающие структуру подзон при столь больших концентрациях, как 1013 см-2. Нельзя быть уверенным в том, может ли чисто плазмонный механизм в принципе привести к сверхпроводимости (в разд. 1 § 6 гл. 2 уже приводились ссылки на теоретические работы [697, 698, 931], посвященные родственной проблеме сверхпроводимости в кремнии).

В работах Цуи [1805—1807, 1809—1813] интенсивно исследовались обогащенные слои п- типа на поверхности вырожденного InAs (2,2- 1016 см-3 < ND — NA < 1,6- 1018 см-3), в которых наряду со связанными существуют и свободные заряды. Для определения .энергий связанных состояний автор использовал эффект туннелирования электронов через барьер на границе раздела. На производной туннельной проводимости по приложенному напряжению имеются провалы при напряжениях, соответствующих совпадению дна подзон с уровнем Ферми в металлическом затворе. При малых концентрациях носителей в объеме были определены энергии двух связанных состояний, в то время как при больших концентрациях был обнаружен лишь один уровень *\ Наблюдаемый ход проводимости представлен на рис. 168. В перпендикулярном поверхности магнитном поле проводимость испытывает квантовые осцилляции, вызываемые уровнями Ландау связанных состояний. Из этих осцилляций можно непосредственно определять циклотронную массу носителей в подзонах. Было установлено, что эта масса растет с ростом магнитного поля, отражая непараболичность зоны проводимости. В этих туннельных экспериментах впервые наблюдался диамагнитный сдвиг уровней энергий [1808], вызванный магнитным полем, параллельный поверхности, и обсуждавшийся в § 4 гл. 3.

Вопрос об экранировании внешнего электрического поля свободными носителями вблизи поверхности вырожденного полупроводника рассмотрен достаточно детально в рамках раз-

личных приближений [103—105] (см. также [129]) *\ Самосогласованные расчеты на основе приближения Хартри показывают*-,• что при достаточно большой концентрации электронов связанные поверхностные состояния могут существовать даже в отсутствие внешнего электрического поля. Такие состояния есть следствие приповерхностного дефицита отрицательного заряда, связанного с наличием большого потенциального барьера на поверхности. Описанные самосогласованные вычисления приводят к результатам, согласующимся, во всяком случае качественно, с экспериментами Цуи. Наличие значительной непараболичности зон в реальных обогащенных слоях InAs не позволяет проводить количественные сопоставления. Также исследовалось влияние магнитного поля, перпендикулярного поверхности, на энергию связанных состояний. Было показано и подтверждено экспериментами Цуи [1810], что основной причиной квантовых осцилляций энергии связанных состояний является квантование Ландау поверхностных носителей, а не квантование носителей в объеме.

В последнее время InAs снова стал объектом активных экспериментальных исследований. Слой поверхностного заряда с доступной изменению величиной М$ был создан в эпитаксиальных пленках /i-типа, выращенных на подложках из GaAs [1934, 1944. 1945]. В этих экспериментах уровень объемного легирования был значительно меньше (,ND — NA — 2 • 1015 см-3), чем в образцах Цуи, и наличие свободных носителей не играло столь важной роли. Из анализа квантовых осцилляций поверхностной проводимости было определено заполнение подзон и показано, что при концентрации электронов до Ns * 2,5 • I012 см-2 заполненными являются три подзоны. Сообщалось об опытах по резонансному комбинационному рассеянию, в которых наблюдались продольные оптические фононы, связанные с межподзонными возбуждениями [307]. Межподзонные переходы наблюдались также в опытах по поглощению и отражению света [1505]. Результаты измерений в магнитных полях, параллельных поверхности [403], отчетливо свидетельствуют о наличии смешанных магнитио-электрических подзон (см. также § 4 гл. 3). Сравнение экспериментальных данных по подвижности электронов в инверсионных слоях InAs [124, 904] с теоретическими оценками [1234] указывает на важную роль рассеяния на шероховатостях поверхности в широком интервале концентраций Ns, приблизительно от 10 см-2 до 2-1012 см-2 [125].

InP

С целью создания больших интегральных схем для обработки объемов информации, исчисляемых многими гигабитами, предпринимался ряд попыток получения высококачественных МДП-структур на GaAs. Однако из-за высокой плотности поверхностных состояний в этом веществе все они оказались безуспешными. Напротив, другое соединение класса А3В5 — 1пР — оказалось содержащим малую плотность поверхностных состояний, и на материалах p-типа были успешно созданы инверсионные слои. Явления переноса в них изучались при комнатной температуре главным образом в плане исследования характеристик МДП-приборов (см., например, [125, 912, 1114, 1187, 1511, 1512]). Обзор работ, посвященных выбору материалов для полевых транзисторов на основе полупроводниковых соединений, можно найти в статьях [1971, 1972].

Низкотемпературные эксперименты на данном веществе только начинаются. Имеются лишь некоторые предварительные результаты по таким эффектам, как осцилляции Шубникова — де Гааза [1907, 1908] и циклотронный резонанс [292].

Hg1—xCdxTe

Как HgTe, так и CdTe обладают структурой цинковой обманки и имеют экстремумы зоны проводимости и валентной зоны в точке Г. В HgTe глубокая потенциальная яма, создаваемая тяжелым ионом Hg, понижает энергию s-состояиия, характеризуемого наличием высокой электронной плотности вблизи сердцевины иоиа. Соответственно HgTe обладает так называемой инверсной зонной структурой, т.е. зона Г6, обладающая волновыми функциями s- типа, лежит ниже зоны Г8 с функциями p-типа. Энергетическая щель между ними при низких температурах близка к 0,28 эВ. С другой стороны, CdTe имеет структуру зон, аналогичную InSb и InAs, с шириной запрещенной зоны порядка 1,6 эВ. Поэтому в твердых растворах Hg1_xCdxTe при низких температурах вблизи х = 0,146 происходит пересечение зон. При х > 0,146 вещество можно рассматривать как узкозонный полупроводник, а при х < 0,146 — как полуметалл. Такие материалы представляются идеальными объектами для изучения проблемы перемешивания состояний различных зон.

В работе [911 наблюдалось осциллирующее магнитосопротивление в естественном инверсионном слое на поверхности Hg1_xCdxTe (х = 0,21), имеющего при Т = 4,2 К ширину запрещенной зоны eg = 68 мэВ и массу в экстремуме зон m = 0,06-ш0. Было обнаружено несколько серий осцилляций и по их периодам определены концентрации электронов. В различных образцах поверхностная плотность электроиов была различна и менялась от 1 • 10 до 7- 1011 см-2. Эффективная масса, определенная из температурной зависимости амплитуды осцилляций, менялась от образца к образцу в согласии с изменением концентрации. Полученные результаты анализировались с использованием структуры подзон, вычисленной по методу ВКБ для треугольной потенциальной ямы и объемного закона дисперсии, аппроксимированного зависимостью h2K2/2m = е(1 + e/eg\ Из анализа следовало наличие лишь одной заполненной подзоны, что привело авторов к выводу о том, что различные наборы квантовых осцилляций в одном и том же образце связаны с разными участками поверхности, имеющими различную концентрацию электронов. Впоследствии более подробный анализ [1348, 1349] показал возможность заполнения электронами по крайней мере двух подзон. Авторы вычислили эффективную массу, используя параметризованный соответствующим образом потенциал, и получили разумное согласие с экспериментом.

В работах [1038, 1287, 1288] сообщалось о создании на Hg]_xCdxTe (х = 0,165, 0,180 и 0,185) МДП-структур, содержащих в качестве диэлектрика тонкую майларовую пленку. Поверхностная концентрация в них могла меняться от нуля до,8- 1011 см-2. В этих структурах наблюдался поверхностный циклотронный резонанс на электронах различных подзон. Используя нерезонансное СВЧ-поглощение, авторы исследовали также осцилляции Шубникова — де Гааза Ч Им удалось определить циклотронные массы и относительные концентрации электронов в различных подзонах. Полученные результаты сравнивались с расчетами Такады и Уемуры (Takada У., Uemura У., неопубликованные результаты), распространившими на Hg] _xCdxTe свой метод [1744], разработанный для полупроводников AJB5. Такое сопоставление выявило расхождение между теорией и экспериментом, для ликвидации которого следовало бы предположить, что в действительности поверхностная плотность заряда при данном напряжении на затворе составляет примерно половину от экспериментально наблюдаемой величины.

Авторы работы [1772] проводили емкостные измерения в магнитном поле и определяли

318 Глава 8. Системы, отличные от л-каналов на кремнии концентрации электронов в различных подзонах. Результаты оказались в согласии с расчетами Такады и Уемуры. Причина подобного противоречия Между различными экспериментами пока еще неясна.

СЛОИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА В ДРУГИХ МАТЕРИАЛАХ

Ge

Наличие превосходного естественного изолирующего окисла и высокое качество границы в Si предопределило выбор его в качестве материала для МОП-транзисторов. Поэтому исследованию физических свойств квантованных электронных состояний на поверхности Si посвящено большое количество работ. Явления переноса на поверхности и вблизи границ раздела в Ge также были предметом физических исследований. Однако плотность поверхностных состояний в Ge велика, а естественный окисел на нем нестабилен, что весьма затрудняет утонченные исследования, аналогичные тем, что проводились на поверхности Si. Несмотря на эти трудности , на поверхности Ge были все же выполнены различные эксперименты.

Германий имеет в зоне проводимости четыре резко анизотропных минимума в направлениях < 111>, характеризуемые продольной и поперечной эффективными массами т, = 1,6т0 и mt = O,O8mo. Долина с осью, перпендикулярной поверхности, создает одну серию подзои, обозначаемых 0, 1, 2, .... а другие три долины — другую, лежащую выше серию подзон 0', Г, 2', . . .. Хотя ситуация весьма похожа на ту, что реализуется на поверхности (100) Si, она обладает двумя отличительными чертами. Во-первых, нормальная к поверхности компонента эффективной массы в нештрихованных подзонах больше, чем у Si, а плотность состояний значительно меньше из-за малой поперечной массы и отсутствия долинного вырождения. Это означает, что энергия Ферми растет с ростом концентрации электронов значительно быстрее, так что электроны сравнительно быстро заполняют несколько возбужденных подзон. Во-вторых, резкая анизотропия эффективных масс и потому малая нормальная компонента массы для подзоны О' приводят к выталкиванию ее достаточно высоко по энергии. Действительно, расчеты по методу функционала плотности [1879] показали, что подзона Е, начинает заполняться при концентрациях N$, меньших 3- 1011 см-2, ЕТ — при Ns, меньших 1 х х 1012 см*2, а Ео. очень близка к Е3 в отличне от поверхности Si (100), где Ео, близка к Ev

Авторы работы [1950] изготавливали МДП-структуры на поверхности (111) p-Ge, используя в качестве диэлектрика майларовую пленку. Поскольку стоковые и истоковые контакты на образцах отсутствовали, поверхностная проводимость определялась путем измерения СВЧ-поглощения. Авторы наблюдали отчетливые осцилляции Шубникова — де Гааза и циклотронные резонансы, связанные с электронами в поверхностных подзонах. Вплоть до Ns = 6,2- 1012 см*2 наблюдался единственный период квантовых осцилляций, что указывало на заполнение лишь одной подзоны и давало для концентрации в ней величину, составляющую лишь - 20% от всей Ns. Было предположено, что остальные - 80% индуцированных зарядов заполняют связанные состояния на поверхности.

Образцы лучшего качества были получены при покрытии поверхности Ge изолирующим слоем лака [186, 187]. Авторы наблюдали дополнительные осцилляции Шубникова — де Гааза, связанные, вероятно, с электронами в основной подзоне. На рнс. 169 представлено несколько спектров магнитоосцилляций на поверхности Ge (111), где через So и S] обозначены серии пиков, связанных соответственно с основной и первой возбужденной подзонами. В предыдущих экспериментах [1950] наблюдалась только серия 5р а 50 не проявлялась. Причина, вероятно, в том, что электроны в основной подзоне локализованы на меньшем расстоя-

Рис. 169. Магнитопроводнмость инверсионного л-слоя на поверхности (111)Се [1861- Значения Ns равны: 7 — 1,8 ■ 1012; 2 — 2,1 ■ 10'2; 3 — 2,3 - 10|2см-2. Т = 1,9 К. 50 и S, — серии пиков связанных с основной и первой возбужденной подзоной.

Рис. 170. Сравнение рассчитанных [1879] и наблюдаемых [186] заселенностей подзон в инверсионном п- слое на поверхности (lll)Ge при различных полных концентрациях электронов. Цифры означают номера подзон. Штриховая линия — результаты более ранней экспериментальной работы [1950].Рис. 170. Сравнение рассчитанных [1879] и наблюдаемых [186] заселенностей подзон в инверсионном п- слое на поверхности (lll)Ge при различных полных концентрациях электронов. Цифры означают номера подзон. Штриховая линия — результаты более ранней экспериментальной работы [1950].нии от поверхности, в силу чего возрастает рассеяние на поверхностных зарядах и дефектах и уменьшается подвижность. На рис. 170 изображены концентрации электронов в подзонах, определенные из периода осцилляций, а также результаты теоретического расчета [1879].

Рис. 170. Сравнение рассчитанных [1879] и наблюдаемых [186] заселенностей подзон в инверсионном п- слое на поверхности (lll)Ge при различных полных концентрациях электронов. Цифры означают номера подзон. Штриховая линия — результаты более ранней экспериментальной работы [1950].

Рис. 170. Сравнение рассчитанных [1879] и наблюдаемых [186] заселенностей подзон в инверсионном п- слое на поверхности (lll)Ge при различных полных концентрациях электронов. Цифры означают номера подзон. Штриховая линия — результаты более ранней экспериментальной работы [1950].

Наблюдение 50, безусловно, в основном объясняет «пропажу» электронов в предшествующих опытах [1950]. Однако по-прежнему имеется некоторое количество электронов, не дающих вклада в осцилляции Шубникова — де Гааза. Кроме того, согласие теории с экспериментом не является абсолютным. Высказывалось предположение, что в силу каких-либо причин подзона 0' может иметь энергию значительно меньше предсказанной. При этом уровень Ферми должен «привязаться» к Ео. в силу большой плотности состояний в этой подзоне. В Ge наблюдалось также межподзонное оптическое поглощение, и результирующие резонансные энергии переходов 0—1 и 0 — 2 оказались в разумном согласии с теоретическими оценками [1587].

Те

Другим элементарным полупроводником, в котором интенсивно изучались поверхностные подзоны, является теллур. Кристаллы Те обладают характерной цепочечной структурой с большой анизотропией и отсутствием центра инверсии. Установлено, что максимумы валентной зоны и минимумы зоны проводимости находятся вблизи угла (называемого точкой Н) гексагональной зоны Бриллюэна. Чистые кристаллы Те представляют вырожденный полупроводник p-типа с концентрацией дырок, редко имеющей величину, меньшую 1014 см-3. Синтезировать вещество л-типа не удается. Соответственно основным объектом весьма интенсивных исследований была структура валентной зоны. Было установлено, что благодаря наличию в законе дисперсии большого линейного по к члена, связанного с отсутствием симметрии по отношению к инверсии, валентная зона имеет двугорбый вид, а поверхность Ферми — гантелеобразную форму. Зона проводимости столь подробно не изучалась ввиду отсутствия объемных образцов л-типа. Отсюда видна особая важность изучения инверсионного слоя, представляющего собой отличный объект для исследования электронов в зоне проводимости.

Изучение поверхностных свойств теллура началось достаточно давно. Из экспериментов по эффекту поля [1647] было установлено, что обычно на поверхности чистых монокристаллов Те существует слой обогащения. Химическая обработка может столь усилить это обогащение, что носители, заключенные в поверхностных подзонах, могут проявляться в квантовых осцилляциях объемного сопротивления образца в магнитном поле [1910]. Позже были проведены подробные исследования как обогащенных, так и инверсионных слоев на поверхностях (0001) и (1100) [1645, 1646, 1648]. В этих исследованиях использовались МДП- структуры, в которых диэлектрическая майларовая пленка свободно накладывалась на химически полированную поверхность. Такая методика дает возможность менять поверхностную, концентрацию дырок в широких пределах, а также создавать электронные инверсионные слои. При анализе поверхностных квантовых осцилляций на поверхностях (0001) было идентифицировано до четырех периодов осцилляций, связанных с дырками. Из величин периодов определялось распределение носителей по подзонам. Из температурной зависимости амплитуды осцилляций определялись также эффективные массы дырок. Сигналы же, связанные с электронами, обнаруживались лишь с трудом. На поверхности (1100) как для электронов, так и для дырок наблюдалось много различных периодов. В обоих случаях был получен результат gugs = 2, где gv и gs соответственно факторы долинного и спинового вырождения. Однако сведения о полной плотности заряда говорят о том, что приблизительно 1О°7о от всего заряда, определяемого напряжением на затворе, куда-то пропадает. Для инверсионных слоев на

Рис. 171. Спектры циклотронного резонанса на поверхности (0001)Те для излучения с длинами воли X = 311 мкм (кривые 7) и X = 337 мкм (кривые 2) [1919]. По оси ординат отложено изменение коэффициента пропускания. Верхняя часть рисунка получена при VG = [777 + (666/2) sin«7]B и отвечает электронам; нижняя часть — при VG = [-555 + (666/2) sin ы/]В и отвечает дыркам. Резкие провалы, создающие известный эффект псевдорасщепления, связаны с циклотронным резонансом дырок в объеме.

обеих упомянутых поверхностях проводились дополнительные исследования [204—207], по- зволиишие идентифицироиать два периода в киантоиых осцилляциях

Для слоя обогащения на поверхности (0001) проводился простейший самосогласованный расчет поверхностных подзон [844]. Согласно расчету, экспериментально достижимым значениям концентрации дырок соответствует заполнение шести электрических подзон. Предполагалось, что две подзоны весьма близки к уроиню Ферми и не вносят иклада и осцилляции Шубникова — де Гааза. Рассчитанное распределение заряда по четырем оставшимся подзонам отлично согласуется с экспериментальными результатами. Теория, однако, не может полностью объяснить увеличение эффективных масс по сравнению с их значениями в объеме образца. Проводились также расчеты для инверсионных слоеи на поверхностях (0001) и (1100) в магнитном поле, нормальном к поверхности [845]. Было показано, что линейный по к член, имеющий большую величину, приводит к снятию спиноиого вырождения. Рассчитанные значения заселенностей подзон и эффективных масс приблизительно объясняют экспериментальные результаты по осцилляциям Шубникова — де Гааза и-циклотронному резонансу.

*’ При исследовании квантовых осцилляций проводимости двумерного дырочного газа в размерноквантованном обогащенном слое на поверхности (0001) теллура были обнаружены осцилляции холловского напряжения. Показано, что в качественном согласии с формулами (6.38) и (6.40) в области шт s 1 амплитуда осцилляций аху для каждой из подзон превышает амплитуду осцилляций охх. Для количественного объяснения наблюдаемого превышения а°™- над а °™- оказалось необходимым учесть межзонное рассеяние дырок в условиях квантования Ландау спектра двумерных подзон [714, 115]. — Прим. ред.

Циклотронный резонанс наблюдался как в обогащенных, так и в инверсионных слоях [1918, 1919]. На рис. 171 представлены спектры циклотронного резонанса электронов и дырок на поверхности (0001) для двух длин волн. Резонансная линия испытывает известное псевдорасщепление, связанное с поглощением дырками в объеме, что резко усложняет анализ ее формы. Циклотронная масса заметно растет с ростом концентрации дырок в случае обогащения и почти не зависит от концентрации электронов в случае инверсии. Исследования частотной зависимости циклотронного резонанса обнаружили аномальное возрастание эффективной массы при низких частотах как в обогащенных, так и в инверсионных слоях на поверхностях (0001) и (ПОО) [1916, 1921]. Такое аномальное поведение нельзя объяснить непара- боличностью, и причина его остается невыясненной.

РЬТе

РЬТе — соединение из группы А4В6 с кристаллической структурой типа NaCl. Его зона проводимости имеет множественные минимумы в точках L зоны Бриллюэна гранецентрированной кубической решетки. Вследствие узости прямой запрещенной зоны в точке L (ес = 0,19 эВ при Т = 4,2 К) зона проводимости существенно непараболична. Легирование образцов происходит за счет отклонения от стехиометрии и вымерзания носителей ни при какой температуре не наблюдается. Поверхность Ферми электронов состоит из четырех вытянутых эллипсоидов с главными осями вдоль направлений <111>. Поперечная и продольная массы в минимуме зон равны, соответственно mr = O,O2mo и mt = O,2mo. Статическая диэлектрическая проницаемость РЬТе крайне велика, хпп ~ 1000. Это следствие необычных свойств решетки солей свинца, приводящих к заметному отличию этих веществ от других узкозонных полупроводников типа InSb или HgCdTe.

Слой обогащения на поверхности (100) и — РЬТе изучался методами туннельной спектроскопии в структурах РЬТе — окисел — РЬ [1813, 1833]. В РЬТе с объемной концентрацией электронов 1,2- 1018 см-3 наблюдался естественный слой обогащения с фиксированной концентрацией порядка 2- 1013 см-2. По провалам на кривой туннельного тока было установлено наличие трех квантовых уровней. Была также определена глубина приповерхностной потенциальной ямы. Перпендикулярное магнитное поле вызывало осцилляции туннельного тока, дающие информацию о структуре уровней Ландау в слое обогащения. Было показано, что между уровнями Ландау различных подзон имеется сильное взаимодействие, возможно, из-за значительной непараболичности. При исследовании поверхностей, подвергнутых ионной бомбардировке [1834], наблюдались четыре заполненные электронные подзоны как в структурах РЬТе — окисел — РЬ, так и в структурах РЬТе — окисел — Sn. Исследовались также туннельные явления в барьерах Шоттки РЬТе — Au.

Эффекты непараболичности рассматривались в двухзонной к • p-модели с использованием параметризованного поверхностного потенциала [1115]. Автор вычислял энергии подзон с помощью ВКБ-метода, используя по существу ту же самую схему расчетов, что ранее была предложена Окавой и Уемурой [1348, 1349] для соединений А3В5. Однако сравнение с экспериментом требует полностью самосогласованных расчетов.

Инверсионный слой создавался на поверхности (111) эпитаксиального p-РЬТе с объемной концентрацией дырок 7- 1.016 см-3 [1581]. Поверхностной плотностью электронов можно было управлять с помощью затворного электрода, изолированного майларовой пленкой. Наблюдались отчетливые осцилляции Шубникова — де Гааза. Однако число носителей, вносящих вклад в осцилляции, составляло при заданном напряжении на затворе лишь приблизительно 5% от общего ожидаемого их числа. Позднее в этой системе наблюдался и циклотронный ре-

Рис. 172. Дифференциальное магнитоотражение инверсионного и-слоя на поверхности (lll)PbTe. X = = 119 мкм, Т = 4,2 К, 7V, = 2 ■ 1012 см-2. Глубокий провал вблизи Н = 23 кГс связан с циклотронным резонансом электронов в долине а. Слабый минимум циклотронного резонанса электронов из долин b расщепляется на три при наклоне магнитного поля, что указывает на трехмерный характер изучаемой системы. На врезке показана ориентация вектора Н.

зонанс [1579, 1580]. Измеряемой величиной был коэффициент отражения, поскольку использованная частота излучения попадала в полосу остаточных лучей РЬТе. Кроме того, чтобы отличить резонанс поверхностных электронов от резонанса объемных дырок, использовался циркулярно-поляризованный свет. На рис. 172 представлены наблюдавшиеся спектры для электронно-активной моды. График изображает зависимость разности коэффициентов отражения при Ис = VT и при VG = Vq^N^ от напряженности магнитного поля. Большой провал вблизи Н = 23 кГс соответствует циклотронному резонансу электронов в долине а, имеющей главную ось в направлении нормали к поверхности, а слабая структура вблизи Н = 50 кГс связана с электронами в трех долинах Ь, главные оси которых образуют с нормалью к поверхности угол в 70,53°. Анализ формы линии показал наличие нескольких заполненных электронами подзон в долине а и меньшего их числа — в долинах Ь. Этот факт согласуется с расчетами в модели треугольной потенциальной ямы. Эффективные массы, определенные из положения резонанса, оказались более близкими к циклотронной массе в объеме, нежели к массе, вычисленной в двумерной модели. Помимо этого резонанс, связанный с долинами Ь, расщепляется при наклоне магнитного поля (см. рис. 172). Это говорит о том, что в силу большой величины диэлектрической проницаемости приповерхностное поле столь слабо, что ширина области локализации превосходит циклотронный радиус, и движение электронов является трехмерным. Заполнение долин b объясняет упоминавшийся выше эффект «исчезновения» электронов.

ZnO

ZnO является единственным веществом группы А2 В6, в котором серьезно изучались явления поверхностного переноса. Для создания обогащенного n-слоя на кристаллах ZnO использовались различные методы (см., например, обзорные статьи [645, 1159]). Проводимость и коэффициент Холла измерялись на полярных Zn- и О-поверхностях и на неполярной по-

верхности, полученных путем скола в вакууме с последующим отжигом в атмосфере атомарного водорода и кислорода [719, 976, 977]. Путем приложения импульсного напряжения в электролите были получены слои очень сильного обогащения (N$ - 1014 см-2), в которых измерялась зависимость плотности индуцированного заряда от высоты барьера на поверхности [469—471]. Соответствующие теоретические расчеты структуры подзон приводят к результатам, неплохо согласующимся с экспериментом. Слои предельно сильного обогащения получались также при освещении кристаллов ZnO в вакууме межзонным светом и облучении термализованными ионами Не+. Измерялась зависимость холловской подвижности и подвижности эффекта поля от концентрации электронов. Исследовательская группа из Аахена [976, 977, 1236, 1872] сообщала о наблюдении при малой концентрации носителей осциллирующей зависимости подвижности от As, причины которой еще недостаточно ясны. При больших концентрациях электронов наблюдалась плавная зависимость [641, 677, 1328]. Подвижности имели величину порядка 100 см2 - В-1 • с-1 при комнатной температуре, что более чем в два раза меньше расчетного значения при рассеянии на полярных фононах [1526]. При температурах ниже 100 К подвижности превосходят 1000 см2 - В-1 • с-1. При максимальных значениях ^, порядка 1014 см-2 и выше, доминирует, по-видимому, рассеяние на шероховатостях поверхности и подвижности уменьшаются ниже 100 см2 - В-1 • с-1.

В образцах ZnO было обнаружено большое отрицательное магнитосопротивление [639, 640], меняющееся как (Н/Т? в значительном интервале магнитных полей и температур и достигающее значений свыше 2% при Н/Т — 1 кГс- К-1. Высказывалось предположение, что основными рассеивателями з таких системах могут быть положительные поверхностные заряды, группирующиеся в большие кластеры с большими магнитными моментами. Был также исследован и объяснен на языке двумерных плазмонов спектр энергетических потерь медленных электронов [642, 1161].

§ 4. ГЕТЕРОПЕРЕХОДЫ, КВАНТОВЫЕ ЯМЫ И СВЕРХРЕШЕТКИ

Структуры

Сверхрешетка возникает при наложении на систему периодической пространственной - модуляции, понижающей ее эффективную размерность. Простейшим примером, относящимся к кругу обсуждаемых нами вопросов, является изначально однородная трехмерная система, на которую наложен периодический потенциал, созданный звуковой волной [918], модуляцией состава [502] или концентрации легирующей примеси [404, 405]. Возможно создание сверхрешеток и в двумерных системах [153, 540, 625, 1421, 1708].

Успехи в развитии эпитаксиальной технологии, в частности молекулярно-лучевой эпитаксии [310, 498] и газовой эпитаксии из металлоорганических соединений [445], сделали возможным выращивание полупроводниковых структур с прецизионно контролируемым профилем состава и легирования. Первая искусственная полупроводниковая сверхрешетка была выращена методом газовой эпитаксии в системе GaAS]_xPx [190] *\ Геотероструктуры, характеризующиеся наличием двумерных электронных эффектов, выращивались также методом жидкостной эпитаксии [1835]. В этом параграфе мы коротко расскажем о некоторых таких структурах, созданных в последний десяток лет, и рассмотрим ряд их свойств, акцентируя

11 В СССР были одновременно созданы аналогичные сверхрешетки, на которых наблюдались особенности вольт-амперных характеристик н наличие фоточувствительности при энергиях фотонов, соответствующих переходам из первой во вторую мини-зону [7/6]. —Прим, перев.

Рис. 173. Схематический ход края зоны проводимости в гетеропереходах GaAs — Ga06Al04As с резкой границей (7) и с переходным слоем толщиной 100 А (2) и 200 А (3) [1864]. Горизонтальные линии показывают положение низшего квантового уровня во всех трех случаях.

внимание на двумерных явлениях и квантовых эффектах. К созданию и совершенствованию подобных структур было привлечено большое количество исследователей, лишь вскользь упоминаемых нами, и это сыграло ключевую роль в том прогрессе, который достигнут в области изучения электронных свойств рассматриваемых систем и их приборных применениях.

На рис. 173 изображена зонная диаграмма гетероперехода GaAs — Ga^^Al^As с разрывом энергетических зон, связанным с наличием резкого изменения состава. Квазитреугольная потенциальная яма ограничивает движение электронов (см., например, [1864]) и может явиться причиной квантовых эффектов, аналогичных наблюдаемым в инверсионных слоях. Комбинация двух гетеропереходов, например тонкий слой GaAs между слоями Ga] _xAlxAs, образует квантовую яму. Такие структуры, но со средним слоем, слишком толстым для проявления квантовых эффектов, уже много лет используются в гетеролазерах [248, 1019] с целью накопления неравновесных носителей и получения волноводного эффекта. Если же толщину среднего слоя сделать сравнимой с фермиевской длиной волны 2тг/kF, то квантовые эффекты заметно модифицируют энергетический спектр системы. Регулярным повторением подобных ям, чередующихся с потенциальными барьерами, может быть создана сверхрешетка.

Выбор материалов для создания гетеропереходов — а следовательно, и квантовых ям или сверхрешеток — ограничен такими требованиями, как хорошее согласование параметров решетки и отсутствие высокой плотности пограничных состояний *\ Возможно создание сверхрешеток, содержащих более двух различных материалов [501]. Проблеме сверхрешеток посвящен целый ряд обзоров [262, 387, 388, 411, 1544, 1545, 1616] \

В работах [404, 405 , 409, 411] рассмотрены сверхрешетки, не содержащие гетеропереходов. Это так называемые п/р(-структуры, созданные путем поочередного легирования донорами и акцепторами. Поскольку здесь модуляция зон вызвана наличием пространственного заряда, то период подобных структур, как правило, больше, а барьеры менее круты, нежели

Рис. 174. Вольт-амперная характеристика двухбарьерной GaAs — Ga^Al^ As-структуры, показанной на врезке, при приложении напряжения перпендикулярво слоям [265]. Г = 77 К. Особенности при V = —0,11 Ви К = 0,19 В связаны с совпадением края зоны проводимости в соседнем массивном слое п-GaAs с первым квантовым уровнем в центральной пленке GaAs, происходящим при падении напряжения 0,08 В на каждом Gao3 Alo 7 As барьере. Особенности при V = -0,53 В и V = 0,79 В аналогично объясняются резонансом со вторым квантовым уровнем.Рис. 174. Вольт-амперная характеристика двухбарьерной GaAs — Ga^Al^ As-структуры, показанной на врезке, при приложении напряжения перпендикулярво слоям [265]. Г = 77 К. Особенности при V = —0,11 Ви К = 0,19 В связаны с совпадением края зоны проводимости в соседнем массивном слое п-GaAs с первым квантовым уровнем в центральной пленке GaAs, происходящим при падении напряжения 0,08 В на каждом Gao3 Alo 7 As барьере. Особенности при V = -0,53 В и V = 0,79 В аналогично объясняются резонансом со вторым квантовым уровнем.

Рис. 174. Вольт-амперная характеристика двухбарьерной GaAs — Ga^Al^ As-структуры, показанной на врезке, при приложении напряжения перпендикулярво слоям [265]. Г = 77 К. Особенности при V = —0,11 Ви К = 0,19 В связаны с совпадением края зоны проводимости в соседнем массивном слое п-GaAs с первым квантовым уровнем в центральной пленке GaAs, происходящим при падении напряжения 0,08 В на каждом Gao3 Alo 7 As барьере. Особенности при V = -0,53 В и V = 0,79 В аналогично объясняются резонансом со вторым квантовым уровнем.

Рис. 174. Вольт-амперная характеристика двухбарьерной GaAs — Ga^Al^ As-структуры, показанной на врезке, при приложении напряжения перпендикулярво слоям [265]. Г = 77 К. Особенности при V = —0,11 Ви К = 0,19 В связаны с совпадением края зоны проводимости в соседнем массивном слое п-GaAs с первым квантовым уровнем в центральной пленке GaAs, происходящим при падении напряжения 0,08 В на каждом Gao3 Alo 7 As барьере. Особенности при V = -0,53 В и V = 0,79 В аналогично объясняются резонансом со вторым квантовым уровнем.

в сверхрешетках на основе гетеропереходов. Изготовление таких структур и исследование возможностей их применения начато в последнее время [412, 1033, 1444, 1445]. В них существует интересная возможность создавать контакты отдельно к л- и отдельно к p-слоям и приложением напряжения изменять амплитуду потенциала и эффективную оптическую ширину запрещенной зоны.

Энергетические уровни

Энергетические уровни проще всего рассчитать для квантовой ямы — или тонкой пленки, — если предположить наличие резкой границы и бесконечно высокого барьера на ней. Тогда энергетический спектр в приближении эффективной массы имеет вид

„ h2 т2 , h2k2

(8.27)(8.27)Е == л2 +

(8.27)

(8.27)

2mz d2 Im

где d — ширина ямы, тг — эффективная масса для движения перпендикулярно стенкам, а к и т — соответственно волновой вектор и эффективная масса, описывающие движение параллельно стенкам. Этот спектр характеризуется возрастанием расстояния между уровнями с

Рис. 175. а — расчетные значения краев основной (EJ и первой возбужденной (Е2) мини-зон в сверхрешетке GaAs — GaogAlo^As со слоями одинаковой толщины. Высота барьера взята равной 0,21 эВ (стрелка на рис.), а эффективная масса электронов в обоих слоях — 0,07 т0. б — дисперсионная зависимость энергии дна основной (сплошные линии) и первой возбужденной (пунктирные линии) мини-зон от нормированного волнового вектора в направлении оси сверхрешетки. Случаи А, В, С и D отвечают </, = </2 = 30, 50, 70 и 90 А соответственно [Chang L., неопубликованные результаты].,

ростом их квантового числа п, что противоположно поведению уровней в треугольной яме [см. (3.24)].

Если высота барьера конечна, а носители в барьерном слое и в яме не слишком сильно отличаются по свойствам (например, принадлежат одному и тому же экстремуму зон), то огибающую волновую функцию можно по-прежнему вычислять в приближении эффективной массы, если использовать соответствующие условия сшивания [701] (см. также [1476]) на границах барьера. Более сложные случаи вкратце рассматривались в § 5 гл. 3.

Структура энергетических уровней в квантовой яме подтверждена целым рядом экспериментов, в том числе обсуждаемыми ниже данными по оптическому поглощению и туннельными измерениями (например, представленными на рис. 174 результатами работы [265]).

Если образовать периодическую последовательность многих квантовых ям, то энергетический спектр, связанный с движением вдоль оси z, модифицируется за счет перекрытия волновых функций соседних ям. Периодичность сверхрешетки создает новую, меньшую зону Бриллюэна в направлении к^. Дискретные квантовые уровни отдельных ям превращаются в энергетические зоны, обычно называемые мини-зонами. Их ширина возрастает с уменьшением высоты и ширины барьеров. На рис. 175 представлен пример зависимости параметров мини-зонного спектре сверхрешетки от толщины слоев (без учета движения в плоскости слоев).

Если квантовая яма или сверхрешетка созданы на основе материалов, столь различных, что в них носители с одной и той же энергией принадлежат различным экстремумам зон, то упомянутый выше простой расчет огибающей волновой функции уже невозможен. Здесь волновая функция должна являться суперпозицией нескольких блоховских функций и условия сшивания на гетерогранице следует рассматривать на микроскопическом уровне. Такая ситуация реализуется, например, в системе InAs — GaSb, впервые рассмотренной в работе [1550]. Для этой пары разница в электронном сродстве компонент столь велика, что часть состояний валентной зоны одного из веществ лежит выше по энергии, чем край зоны проводимости

Рис. 176. Энергетическая диаграмма сверхрешетки In, _ xGaxAs — GaSb, _ ^As^, [1546]. Заштрихованные области отвечают запрещенным зонам в соответствующих слоях, Es — величина их перекрытия. Рассчитанные энергии мини-зон электронов (£), тяжелых дырок (№/) и легких дырок (LH) показаны справа для параметров, соответствующих полупроводниковому состоянию сверхрешетки с шириной запрещенной зоны Egs.

другого (см. рис. 176). Рассматриваемая система должна быть полуметаллической при большой толщине слоев, составляющих сверхрешетку, и полупроводниковой — при малой их толщине, когда квантовые эффекты снимают перекрытие зон. Подобные соображения нашли свое подтверждение в эксперименте [267]. Обзор свойств системы In As — GaSb можно найти в работах [262, 410].

В работах [145, 1970] показано, как следует обобщить метод эффективной массы для рассмотрения эффектов перекрытия зон, аналогичных имеющимся в системе InAs — GaSb. Рядом авторов [247, 794, 820, 1148, 1259, 1547, 1589—1591, 1594, 1595] проводились также расчеты энергетического спектра, выходящие за рамки метода эффективной массы. При наличии изгибов зон за счет заряда примесей вычисление энергий уровней должно вестись самосогласованно, как это делается, например, в работе [79] (см. также [1241]).

Оптические свойства

Наиболее прямым методом изучения структуры энергетических уровней в гетеропереходах, квантовых яма:-; и сверхрешетках являются оптические измерения. Проведенные в работе [393] измерения коэффициента пропускания в системе GaAs — Ga, _xAlxAs выявили основную структуру, связанную с квантовыми уровнями электронов, и дополнительное расщепление за счет квантовых уровней дырок (рис. 177). Пики, соответствующие электронным уровням с квантовыми числами вплоть до 7, были объяснены с помощью модели [388], хотя анализ дырочных уровней, не публиковавшийся в деталях, возможно, требует дополнительной работы в связи со сложной структурой валентной зоны *\

” Уровни размерного квантования для сложной валентной зоны (а также для бесщелевых полупроводников) рассчитывались в работе VH9Y — Прим, персе.

hcu, эВ

Рис. 177. Коэффициент оптического поглощения Р слоев GaAs толщиной: 1— 140 А, 2— 210 А, 3 — 4000 А, заключенных между прослойками Ga08Al02As [393]. Видны максимумы, соответствующие квантовым уровням электронов. Расщепление первого пика в самом тонком слое связано с различием квантовых уровней легких и тяжелых дырок.

Поскольку в квантовых ямах и сверхрешетках на основе GaAs — Ga] „^Al^As электроны и дырки локализованы в одном и том же слое, в них можно ожидать проявления весьма значительных экситонных эффектов. Эти эффекты могут оказаться более существенными, чем в трехмерных системах, поскольку «двумерный атом водорода» имеет большую энергию связи, чем трехмерный (см. § 5 гл. 2). Такие экситонные эффекты были обнаружены Динглом и др. [393] и количественно изучены Келдышем [920]. В сверхрешетках типа InAs — GaSb, где электронь! и дырки локализованы в различных слоях, экситонные эффекты должны быть слабее. Оптическое поглощение в таких структурах изучалось в работе [270]. Рядом авторов (см. [113, 144, 919]) исследовалось также влияние конечной ширины ям или слоев сверхрешетки на связанные состояния, созданные заряженными примесями.

Эффекты квантования в узких потенциальных ямах могут существенно сказываться на свойствах лазерных структур (см., например, [760, 1861]). Предполагалось, что двумерность энергетического спектра в квантовой яме является причиной более медленного, чем в лазерах с толстым активным слоем, роста порогового тока с температурой [306, 745]. В работе [761] сообщается о наблюдении лазерной генерации в области фононного повторения электронного перехода внутри квантовой ямы гетероструктуры на основе GaAs, однако в работе [1957]

приводятся противоречащие этому результаты. Возможности образования кластеров в тройных твердых растворах, их зависимость от условий выращивания и влияние на энергетические уровни и оптические переходы также являются объектом активного изучения [762—764, 1210, 1212]. Люминесценция и лазерное излучение широко используются для исследования электронных состояний в квантовых ямах (см., например, [760, 1207—1209, 1889, 1891, 1955, 1956]), однако эти проблемы далее обсуждаться не будут. Некоторые из основополагающих теоретических вопросов были рассмотрены в работе [1578].

Комбинационное рассеяние света в сверхрешетке было впервые исследовано в работе [1158]. Авторы связали энергетическую зависимость сечения резонансного комбинационного рассеяния на продольных оптических (LO) фононах со структурой электронного спектра сверхрешетки. В сверхрешетке GaAs — Gao75AlO25As пик комбинационного рассеяния вблизи энергии LO-фононов в GaAs [1548, 1549) был объяснен процессами переброса, связанными с уменьшением зоны Бриллюэна в сверхрешетке. Предполагалось, что в исследованных образцах с периодами в 120 и 200 А эффект дробления зоны для фононов не играет роли. Другое

Рис. 178. Резонансное комбинационное рассеяние света с Аш = 1,92 эВ в гетероструктуре GaAs — Gao.gAlo^ As при Г = 2 К [14]. Верхняя кривая (с) отвечает параллельной поляризации падающего и рассеянного света (конфигурация z(yy)z). Пики на ней соответствуют фононам в легированном слое GaAs, примыкающем к гетеропереходу (£+ и £_), в барьере Шоттки иа поверхности GaAs (LO) н в нелегированной подложке GaAIAs (LOt и ЬОг). Серия кривых (б) отвечает перпендикулярной поляризации падающего и рассеянного света (конфигурация z(xy)z). Она содержит пик свободных электронов, имеющий отсечку сверху при qvF (q — волновой вектор обратного рассеяния, uF — скорость Фермн в слое GaAs), резкий пик LO-фононов в GaAs, связанный с барьером Шоттки, и пик, приписываемый межподзонному возбуждению электронов в гетеропереходе (стрелка без надписи). Кривые (б) соответствуют последовательному увеличению обратного смещения на барьере Шоттки от Vb = 0 В (верхняя кривая) до Vb = 8 В (нижняя кривая). Рост Vb увеличивает ширину барьера и уменьшает концентрацию носителей вначале в слое GaAs, а затем в приграничном слое обогащения.

1111111Г

£у,=2/,7

I I IIII11

10 15 го 25 30 35 40 45 50

Энергетический сдвиг, мэВ

Рис. 179. Резонансное комбинационное рассеяние света с hu = 1,935 эВ в сверхрешетке с модулированным легированием и слоями по 200 А каждый [1433]. Ns = 4,2 ■ 10й см-2. Г = 2 К. Верхняя кривая отвечает параллельной поляризации падающего и рассеянного света (конфигурация z(xx) z). Она содержит два пика коллективных гибридных мод, представляющих колебания электронной плотности при межподзонных переходах, взаимодействующие с £О-фононом в GaAs, а также пики LO-фононов в слоях GaAs и GaAlAs. Нижняя кривая, отвечающая перпендикулярной поляризациии падающего и рассеянного света (конфигурация zlyxlz) содержит пик, связанный с одночастичными переходами 0 — 1 с переворотом спина. На врезке показаны рассчитанные энергии нижних мини-зон и величина изгиба зон, выраженные в миллиэлектронвольтах.

объяснение упомянутого дополнительного пика [1197, 1198] связывает его с анизотропией фононного спектра, приводящей к различию энергий продольных фононов, движущихся параллельно и перпендикулярно слоям. Чтобы эта модель могла объяснить наблюдаемые результаты, необходимо нарушение правил отбора за счет рассеяния на дефектах. Для проверки двух описанных альтернативных объяснений требуются дополнительные исследования. Наблюдавшаяся в работах [134, 1201] тонкая структура была приписана [1197, 1198] эффектам комбинационного рассеяния в воздухе вблизи поверхности образца и отсутствовала, когда измерения проводились в вакууме.

Наиболее отчетливо выраженными в предыдущих экспериментах были эффекты комбинационного рассеянии вблизи энергий LO-фононов в материалах, составляющих сверхрешетку, т.е. между 280 и 400 см-1 для систем на основе GaAs и AlAs. Кроме того, в сверхрешетке

с элементарной ячейкой, содержащей слой GaAs толщиной 13,6 А и слой AlAs толщиной 11,4 А, наблюдались [333] два резких пика при 63 и 67 см-1, приписанные эффектам дробления зоны Бриллюэна. Было обнаружено, что сверхрешетки обладают селективным поглощением для фононов с длиной волны, равной удвоенному периоду сверхрешетки [1283].

Резонансное комбинационное рассеяние на электронах является мощным методом, использованным для изучения квантовых уровней в гетеропереходах [14] (рис. 178), кнантовых ямах [1433] (рис. 179) и в сверхрешетках с периодическим легированием [412]. Измерения, в которых исследуется рассеянный свет с той же поляризацией, что и падающий, чувствительны к коллективным возбуждениям в системе, а измерения в перпендикулярной поляризации дают информацию об одночастичных возбуждениях. Теоретические проблемы, связанные с резонансным усилением и относительной ролью переходов с переворотом и без переворота спина, обсуждались в работах [229, 230]. Интересной особенностью комбинационного рассеяния является то, что эффекты деполяризации, влияющие на оптическое поглощение и обсуждавшиеся в § 3 гл. 3, сказываются при поляризации рассеинного света, параллельной падающему, и отсутствуют при перпендикулярной поляризации, что позволяет экспериментально изучать эти эффекты. Дополнительную информацию по этому вопросу, а также по вопросу взаимодействия плазмонов и межподзонных возбуждений можно почерпнуть в работах [16, 1433—1435].

В работе [1211] было показано, что в квантовых ямах в системе GaAs — Gaj _xAlxAs электроны, возбужденные циркулярно-поляризованным светом, приобретают большую спиновую поляризацию, чем в массивном GaAs. Это свизано со снятием вырождения в вершине валентной зоны за счет потенциала ямы. Авторы изучали зависящую от спина рекомбинацию и спиновую поляризацию, но не могли количественно объяснить все полученные результаты. Недавно было показано [44], что сверхрешетка с поверхностью, обладающей отрицательным электронным сродством, может быть источником спин-поляризованных электронов.

Явления переноса

В первой работе, посвященной сверхрешеткам [502], предполагалось, что при движении носителей поперек слоев сверхрешетки будет реализовываться идея блоковского осциллятора, т.е. системы, в которой носители, двигаясь через периодический потенциал с периодом d под влиинием электрического поля F, периодически, с частотой vB = edF/h, пересекают границы зоны (в нашем случае мини-зоны) Бриллюэна (см., например, [1943]); явное выражение для блоковской частоты vB впервые, по-видимому, было написано Зинером [2014]. Для реализации такого периодического движения необкодимо выполнение условия vbt > 1, где т — время столкновений. В работак [502, 1073] было показано, что рассматриваемая система обладает отрицательной дифференциальной проводимостью (см. также [1801]). Прайс [1477] обнаружил, что вблизи блоковской частоты этот эффект пропадает, т.е. дифференциальная подвижность является положительной и фактически приближается к максимуму. В работак [263, 500] сообщалось о наблюдении слабой отрицательной дифференциальной проводимости в сверхрешетках на основе GaAs — Ga( _xAlxAs, но это еще не свидетельствует о создании блоковского осциллятора, продолжающего оставаться манящей идеей. Некоторые теоретические соображения по данному вопросу высказываются в работе [316].

Процессы переноса носителей в сверхрешетках контролируются отчасти теми же механизмами, которые ограничивают подвижность электронов в инверсионных слоях иа кремнии.

30000020000010000050000го ооо10000500030000020000010000050000го ооо1000050002510 2050 100 200 4002510 2050 100 200 400т, кт, к

300000

200000

100000

50000

го ооо

10000

5000

300000

200000

100000

50000

го ооо

10000

5000

2510 2050 100 200 400

2510 2050 100 200 400

т, к

т, к

Рис. 180. Подвижность электронов в гетероструктуре GaAs— Gao^gAlg 31 As с модулированным легированием [1717]. На приведенной на врезке схеме слоев буквы в скобках означают легирующую примесь, черта — нелегированный материал. Легированный слой GaALAs отделен от электронов в нелегирован- иом GaAs слоем нелегированного материала толщиной = 100 А. Нижняя кривая (As = 3,6 • 10й см-2) соответствует неосвещенному образцу, верхняя кривая — образцу с повышенной концентрацией (А5 = 6,5 х х 10й см-2) созданных светом долгоживущих электронов. Стрелка отмечает температуру жидкого азота.

Одно из важных отличий связано с полярным характером большинства материалов, используемых в сверхрешетках, что усиливает рассеяние на фононах. Расчеты механизмов рассеяния в сверхрешетках и аналогичных нм двумерных электронных структурах выполнялись рядом авторов [151, 152/538, 539, 736, 1241, 1242, 1479, 1481] 1). Формальные выражения для подвижности при фононном рассеянии иные, чем в трехмерных системах, но, согласно Прайсу (Price Р. J., неопубликованные результаты), численные значении подвижности и ее температурная зависимость для сиерхрешеток или гетеропереходов на основе GaAs с типичными параметрами слоев при Т - 100 К сравнимы с характеристиками массивного GaAs. если концентрация носителей достаточно мала, чтобы не сказывались эффекты экранирования.

Кулоновское рассеяние на примесях в сверхрешетках можно подавить, добившись того, чтобы примеси были сосредоточены в широкозонных слоях, а носители заключены в узкозонных. Подобное пространственное разделение носителей и примесей, приводящее к возрастанию подвижности по сравнению со случаем однородного легирования, достигается с по-

** См. также (121—123(. —Прим. ред.

334 Глава 8. Системы, отличные от n-каналов на кремнии мощью техники так называемого модулированного легирования. Идея этого метода была высказана Есаки и Цу (Esaki L., Tsu R.') в неопубликованном отчете 1969 г., а впервые опубликована и реализована в сверхрешетке на основе GaAs в работе Дингла и др. [391]. Еще более высоких подвижностей можно достичь, разделяя носители и ионы дополнительной нелегированной прослойкой. Как видно из рис. 180, таким образом могут быть получены значения низкотемпературной подвижности, значительно бблыиие, чем в кремниевых инверсионных слоях. Частично это увеличение подвижности можно связать с меньшим значением эффективной массы электрона в GaAs (O,O7wo) по сравнению с массой в инверсионном канале на поверхности Si (001) (0,19wo).

Возможности улучшения характеристик полупроводниковых приборов (см., например [1214—1216]) ** стимулировали активную деятельность по выращиванию гетероструктур на основе GaAs и исследованию явлений переноса в них. Сообщалось о проведении подобных исследований в США (фирма «Белл телефон» [391, 1712—1718, 1825]; Корнеллский университет [842, 1941]; Иллинойский университет [436—440, 1984, 1985]; фирма «Рокуэлл» [331]), Франции [376, 377] и Японии [753—755, 1289, 1290]. Этот длинный перечень — безусловно, неполный — свидетельствует о том, что указанная проблема вызывает большой интерес и является полем конкуренции. По мере накопления результатов можно ожидать более детального и систематического сравнения эксперимента с теориями рассеяния в рассматриваемых системах. Уже проведенные сравнения (см., например, [440]) имели главной целью исследование влияния модуляции легирования и наличия нелегированной прослойки и показали, что в структурах с наибольшими подвижностями вплоть до температур, несколько меньших 77 К, доминирует фононное рассеяние, а при гелиевых температурах — кулоновское рассеяние. Выгоды от наличия очень высокой подвижности при низких температурах ослабляются тем, что уже в небольших тянущих полях подвижность при таких температурах резко падает (см., например, [436, 1243]) 2).

В большинстве работ по сверхрешеткам, гетеропереходам и квантовым ямам исследовался перенос электронов, однако в работе [1719] сообщается об исследовании свойств дырок на гетерогранице GaAs — Ga, _zAlzAs.

Явления переноса в магнитном поле

Магнитное поле, перпендикулярное двумерному слою, квантует движение в плоскости слоя и приводит к характерным осцилляциям Шубникова — де Гааза в магнитопроводимости. Подобные эксперименты часто используются в качестве тестов на двумерность носителей в сверхрешетках. Заметим, однако, что управлять концентрацией носителей с помощью

11 См. также [76, 221. — Прим, перев.

21 В недавно опубликованных работах (124—126) изучалась зависимость подвижности в гетеропереходах с модулированным легированием от состава широкозонного слоя, концентрации легирующих примесей и толщины иелегированиой прослойки; были получены рекордные значения подвижности на уровне 105 см2/В ■ с тфи 77 К, 3 • 105 см2/В • с при 4,2 К. Некоторые аспекты практического применения гетероструктур с высокой подвижностью двумерного электронного газа рассматривались в [727—1291. — Прим. ред.

Одним из наиболее интересных эффектов в подобных структурах является наличие падающего TV- образного участка на вольт-амперной характеристике, возникающего за счет заброса горячих носителей в широкозонный слой с малой подвижностью. Подобный пространственный аналог эффекта Ганиа был предсказан еще в 1972 г. [1301, а наблюден экспериментально почти 10 годами позже [737]. — Прим, перев.

О 30 60 90 120 150 180

Н, кГс

Рис. 181. о — осцилляции магиитосопротивления электронов в сверхрешетке со слоями InSb и GaSb по 90 А каждый [1557]. Т = 4,2 К. Цифры справа указывают угол наклона магнитного поля ф. 6 — веерная диаграмма для экстремумов осцилляций. На врезке — приближенный вид плотности состояний р, где р измеряется в единицах 1010 см-2 мэВ~1, Е— в электронвольтах, в — угловая зависимость Н~1, подтверждающая зависимость типа sin0, ожидаемую для двумерного электронного газа. На врезке — качественный вид поверхности Ферми в плоскости fc| — к,. '

напряжения на затворе в сверхрешетке не так просто, как в инверсионном или обогащенном слое, поэтому изучение осцилляционных эффектов проводилось преимущественно путем изменения магнитного поля, а не концентрации носителей. Одним из ключевых тестов на двумерность является поведение осцилляций при отклонении поля от нормали к плоскости слоя. В истинно двумерной системе осцилляции определяются нормальной компонентой поля. Высказанные соображения определяли направление экспериментальных работ по магнитопроводимости [271, 389, 1557], результаты одной из которых представлены на рис. 181. В ходе исследований было, в частности, обнаружено, что при определенных условиях магнитный пробой может вызывать переходы между различными подзонами [271].

Магнитофононный эффект, возникающий, когда энергия LO-фонона кратна энергии Ландау hwc или содержится в ней целое число раз, наблюдался на второй производной сопротивления по магнитному полю (при Н = 50 ч- 180 кГс) в электронном газе на границе разде-

ла GaAs — Ga, _xAlxAs и в сверхрешетках [1820]. Теоретически двумерные магнитофононные эффекты исследовались в работах [368, 997].

Замечательным эффектом, вызываемым магнитным полем, является переход полуметалл—полупроводник в сверхрешетке InAs — GaSb, происходящий при пересечении уровня Ферми уровнями Ландау [894].

Циклотронный резонанс двумерных электронов наблюдался в гетеропереходе GaAs — Ga, _xAlxAs [1714] и в сверхрешетке InAs — GaSb [198]. В обоих случаях были получены значения эффективных масс, с точностью до 10% совпадающие со значениями, ожидаемыми на основании простой модели. Измерения оптического поглощения в магнитном поле в сверхрешетке InAs — GaSb [684, 1143] обнаружили как циклотронный резонанс, так и осциллирующее межзонное магнитопоглощение и позволили определить параметры зонной структуры, оказавшиеся в хорошем согласии с предсказаниями теории.

На работы в области сверхрешеток оказали влияние также соображения о кристаллизации электронов и о волнах зарядовой плотности в двумерных системах. В работе [1836] при низких температурах в сильных магнитных полях наблюдалось поведение проводимости, не укладывающееся в рамкн одноэлектронных представлений и приписанное авторами коррелированному состоянию электронной системы. Однако, как и в случае инверсионного слоя, наличие такого состояния еще нельзя считать полностью доказанным.

Развитие работ в области гетеропереходов, квантовых ям и сверхрешеток идет быстры- - ми темпами, и многие результаты могут вскоре устареть. Интерес к рассматриваемой проблеме частично связан с возможностями приборных применений, а частично — с быстрым развитием молекулярио-лучевой эпитаксии и других методов выращивания структур.

ТОНКИЕ ПЛЕНКИ

Квантовые эффекты в тонких пленках известны уже давно, как в связи с магнитным квантованием (см., например, [496]), возникающим в образцах с толщиной порядка диаметра орбиты Ландау, так и в связи с «электрическим» квантованием, возникающим в образцах с толщиной порядка типичной длины волны электрона. Для последнего случая структура энергетических уровней в низшем приближении описывается формулой (8.27). Эффекты на границах раздела и детальный учет зонной структуры материала несколько видоизменяют ее. Теория размерного квантования в тонких пленках активно изучалась в работах [184, 185, 339—345, 1893—1895, 2004—2010] и многих других *\ Обзор ранних экспериментальных работ имеется, например, в статье Луцкого [1137].

Квантовые размерные эффекты были обнаружены в оптических свойствах ряда материалов, в том числе InSb [546, 547] и РЬТе [1566]. Они наблюдались и в туннельных спектрах, например в тонких пленках Bi [992].

Квантовые размерные эффекты сказываются и на кинетических свойстиах пленок. В толстых пленках движение электронов искажается"поверхностным рассеянием. Хорошее описание этого эффекта имеется, например, в обзорах Грина [660, 661]. В тонких пленках, где движение по нормали к пленке квантуется, формальное рассмотрение задачи существенно иное и

11 В 60-х годах теория квантовых размерных эффектов активно развивалась в работах советских авторов. Соответствующие ссылки можно найти в обзорах [1137, 1752]. —Прим, перев.

близко к теории инверсионного слоя *\ Исследования кинетических эффектов в тонких пленках, частично предвосхищавшие соответствующие исследования в инверсионных слоях, проводились рядом авторов, в том числе в работах [140, 281, 378], и описаны в обзоре [1752].

Весьма примечательным тонкопленочным материалом является Bi8Te7S5, обладающий свойством расщепляться на слои с толщиной, кратной пяти атомным плоскостям. Его электрические и оптические свойства активно изучались в работах [1665—1667] (там же имеются ссылки на более ранние исследования). При этом, в частности, получены результаты, указывающие на наличие минимальной металлической проводимости [1668], которая для случая инверсионных слоев обсуждалась в гл. 5. Исследовались также гальваномагнитные явления [1669, 1854] и эффекты локализации [1670].

СЛОИСТЫЕ СОЕДИНЕНИЯ И ИНТЕРКАЛИРОВАННЫЙ ГРАФИТ

В этом параграфе будет коротко упомянуто еще о двух нажных классах веществ, также в некотором смысле имеющих двумерную электронную структуру. Первый из них — это большая группа слоистых соединений, включающих, в частности, GaSe и его аналоги и TaSe2 и его аналоги. Обзор многочисленных свойств слоистых соединений можно найти в серии книг [1237], в том числе в книгах под редакцией Леви [1102] и Ли [1074] (см. также труды конференций [1327, 1858]). В слоистых соединениях легче, чем в инверсионных слоях или сверхрешетках, обнаружить волны зарядовой плотности, поскольку здесь они создают вполне измеримую деформацию решетки.

Обычный и интеркалированный графит составляют другое большое семейство материалов с квазидвумерными электронными свойствами. Эффекты интеркаляции широко изучаются также и в слоистых соединениях. Этим вопросам посвящены, в частности, работы [1327, 1858, 1888] и обзор [434].

Два типа материалов, упомянутые выше, являлись объектом многочисленных публикаций и исследований, большей частью проводившихся независимо от исследований других двумерных систем, описанных в настоящем обзоре. Их существенное отличие заключается в наличии электронной плотности порядка 1015 см-2 на слой, что значительно превосходит электронную плотность в инверсионных слоях, сверхрешетках или на поверхности жидкого гелия. Поэтому масштабы энергий и используемые приближения здесь существенно иные.

Плазменные колебания в сверхрешетках, слоистых соединениях и интеркалированном графите могут сильно модифицироваться за счет межслоевого электромагнитного взаимодействия. В § 4 гл. 2 коротко упоминалось о теоретических аспектах этой задачи. Экспериментальное исследование дисперсии плазмонов в слоистой системе было проведено на интеркалированном графите [1193].

ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНАЯ СИСТЕМА

Система, состоящая из пространственно разделенных двумерных электронов и дырок, в течение некоторого времени являлась объектом теоретических исследований. Подобная

11 Квантовые размерные эффекты приводят к осциллирующей зависимости кинетических коэффициентов от толщины пленок. Впервые этот эффект наблюдался в 1966 г. на пленках висмута [70]. Вопросы практического применения квантовых размерных эффектов рассматривались в работах [733, 142, 143]. — Прим, перев.

структура может быть, например, реализована в виде сэндвича из р-полупроводника, тонкого диэлектрика и «-полупроводника. Другая возможность — это полупроводниковые гетероструктуры, выращенные методом молекулярно-лучевой эпитаксии (см. § 4 данной главы). Хотя об экспериментах в этой области еще не сообщалось, теоретические изыскания были связаны с поисками нового механизма сверхпроводимости. В этом параграфе дается краткое описание исследований таких двумерных электронно-дырочных систем.

Как хорошо известно, спаривающее взаимодействие между электронами и дырками в электронно-дырочной системе может привести к переходу в так называемую «экситонную фазу» (см., например, [693]). В случае обычного полуметалла или узкозонного полупроводника спаривание приводит только к перестройке зонной схемы, т.е. к переходу в фазу экситон- ного диэлектрика. Сверхпроводимость в экситонном диэлектрике в действительности невозможна в силу его локальной электронейтральности. Более того, наличие межзонных переходов спаривающихся квазичастиц снимает вырождение системы по фазе параметра порядка, что делает невозможной и сверхтекучесть. Однако если спариваются пространственно разделенные электроны и дырки, то туннельные процессы между спаренными квазичастицами могут быть пренебрежимо слабыми и система может переходить в экситонное сверхтекучее состояние. Сверхтекучее движение пар из пространственно разделенных электронов и дырок соответствует незатухающим токам, текущим в различных участках системы в противоположных направлениях. Этот новый механизм сверхпроводимости был впервые предложен Лозо- виком и Юдсоном [1126—1128] и несколько позже, независимо — Шевченко [1613].

Электронные свойства экситонной фазы изучались в приближении Хартри — Фока для пространственно разделенных электронно-дырочных систем с ферми-границами в виде окружностей [1126—1129, 1131, 1613, 1614]. Было показано, что такая система обладает большинством свойств сверхпроводника, за исключением эффекта Мейснера. Ее критическая температура, по порядку величины равная ширине щели Д на уровне Ферми, при оптимальном подборе таких параметров, как толщина диэлектрика, диэлектрические проницаемости и эффективные массы, может достигать значений порядка 100 К. Лозовик и Юдсон предположили, что возможными экспериментальными следствиями электронно-дырочной сверхпроводимости могут быть наличие энергетической щели 2Д в двумерной высокочастотной проводимости и антипараллельные сверхпроводящие токи в неконтактируюших коаксиальных тонкопленочных цилиндрах.

Рассматриваемая система и ее аналоги изучались и во многих других работах. Исследовались, в частности, влияние слабых электронно-дырочных туннельных процессов [955, 956, 1122, 1132], обобщение на случай периодических слоистых структур с пространственно разделенными электронами и дырками [1031, 1614, 1615] и роль сильных магнитных полей, перпендикулярных к слою [1036]. Также обсуждалась возможность существования как в отсутствие, так и при наличии магнитного поля дипольной твердой фазы, в которой диполи, состоящие из спаренных электронов и дырок, образуют гексагональную решетку [1997].

Двумерные электронно-дырочные системы могут быть созданы, к примеру, в размерноквантованных полуметаллических или полупроводниковых пленках и слоистых полупроводниках с неравновесными электронами и дырками. Хотя сверхтекучесть в таких системах невозможна, в них, как и в трехмерных электронно-дырочных системах, возможны различные типы фазовых переходов. Объектами исследований служили, в частности, энергия основного состояния электронно-дырочной жидкости [85, 88, 1037], экситонный переход [89, 954, 1128] и эффекты в сильных магнитных полях [1090, 1091, 1094—1098].

ЭЛЕКТРОНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОГО ГЕЛИЯ

Электроны на поверхности жидкого гелия составляют особый класс квазидвумерных слоев пространственного заряда, обладающий некоторыми общими чертами с рассматривавшимися электронными системами, но в остальном отличающийся от них. Как мы увидим, данная система характеризуется меньшими масштабами целого ряда величин — в первую очередь энергетических расстояний и достижимых плотностей электронов. Но эта малость на самом деле является достоинством, поскольку подвижности электронов очень велики, что позволяет изучать спектры с большей точностью, чем в полупроводниковых слоях пространственного заряда.

Мы лишь вкратце обсудим свойства электронов на поверхности жидкого гелия с целью подчеркнуть связь этой системы с основным объектом нашего рассмотрения — полупроводниковыми слоями пространственного заряда. Читатель, интересующийся подробностями, может найти их в целом ряде хороших обзоров [322, 350, 463, 668, 1622, 1631, 1976].

Наиболее заметным достижением в данной области является обнаружение кристаллизации электронов на поверхности жидкого гелия при низких температурах [673]. Этот результат обсуждался в § 3 гл. 7 в рамках более общей проблемы электронного кристалла. Некоторые детали также будут приведены ниже. Целью данного параграфа является краткое описание некоторых основных свойств электронов на поверхности жидкого гелия и других сходных поверхностях и некоторых экспериментальных и теоретических подходов, используемых для их изучения.

На электрон, находящийся вне среды с диэлектрической проницаемостью х, занимающей полупространство z < О, действует притягивающий потенциал сил изображения

Г(2) =Г(2) =х - 1 е2х + 1 4zх - 1 е2х + 1 4z(8.28)(8.28)

Г(2) =

Г(2) =

х - 1 е2

х + 1 4z

х - 1 е2

х + 1 4z

(8.28)

(8.28)

В случае жидкого гелия, имеющего при 7" = 1 К проницаемость, равную 1,0572 [256], силы изображения очень малы. Имеется также потенциальная ступенька поридка 1 эВ [224, 1586], не допускающая электроны внутрь жидкого гелия. Во многих экспериментах потенциал изображения дополняют электрическим полем F, иногда называемым прижимающим или удерживающим полем, которое прикладывают к двум плоским электродам, помещенным выше и ниже поверхности. Если сделать обычное для теории инверсионного слоя предположение о том, что граница раздела является резкой, а барьер на ней — бесконечно высоким, то задача определения связанных состояний сведется к решению уравнения Шредингера

(8.29)(8.29)Й2 d2^

(8.29)

(8.29)

— —? + 1^) + eFzW„U) = Е„фп

2т dz

с граничными условиями V-(O) = >Д(оо) = 0. Для описания подзон необходимо к собственным значениям энергии Еп добавить кинетическую энергию свободного движения h2k2/2m.

Для потенциала изображения (8.28) уравнение Шредингера (8.29) при F = 0 сводится к уравнению для атома водорода, и энергии связанных состояний имеют вид

те4 132/12 п2 ’те4 132/12 п2 ’и = 1, 2, 3и = 1, 2, 3(8.30)(8.30)

те4 1

32/12 п2 ’

те4 1

32/12 п2 ’

и = 1, 2, 3

и = 1, 2, 3

(8.30)

(8.30)

При наличии члена с электрическим полем уравнение Шредингера решалось вариационным методом [676] и аналитически [752]. Некоторые математические аспекты этой задачи обсуждались в работах [1337, 1497]. Для электронов на поверхности гелия переходы между уровня-

и, ви, вРис. 182. Зависимость дифференциальной СВЧ-мощности от разности потенциалов U на ячейке, содержащей слой электронов на поверхности жидкого гелия [2018]. / = 220 ГГц. Высота ячейки — 0,32 см, температура термостата — 1,2 К.

и, в

и, в

ми (8.30) соответствуют частотам, лежащим в СВЧ-диапазоне. Впервые такие переходы наблюдались Граймсом и Брауном [675]. Иллюстрацией служит рис. 182, взятый из работы [2018]. Расстояния между энергетическими уровнями для нулевого электрического поля приблизительно на 5 Vo превосходят значения, даваемые формулой (8.30). Это различие связывают с поверхностными эффектами, обсуждавшимися в § 5 гл. 3. Некоторые модельные расчеты, хорошо согласующиеся с результатами, полученными в работе [676], вкратце обсуждаются в настоящем параграфе.

Рис. 183. Зависимость энергетических зазоров в спектре электронов на поверхности жидкого гелия от прижимающего поля F [1055]. Квадратики — экспериментальные значения, сплошные линии — расчет в модели резкой границы жидкость — газ с бесконечно высоким потенциальным барьером.

Недавно Ламбертом и Ричардсом [1055] были проведены СВЧ-измерения при более высоких прижимающих полях. Авторы сравнивали измеряемые значения расщепления, экстраполированные к нулевой величине поверхностного заряда, с вычислениями Стерна, частично опубликованными в работе [1702], и обнаружили согласие с точностью до 1 ГГц. Эти результаты представлены на рис. 183, 184. Ламберт и Ричардс отметили также влияние межэлектронных корреляций в слое на измеряемую величину расщепления и определили один из моментов,

К = 0,70656N“3/2 j gW-2 dr,(8.31)

о

радиальной функции распределения g(r), оказавшийся приблизительно на 10% большим, чем для случая гексагональной решетки. Такой вывод согласуется с теоретическими оценками для плотностей электронов, соответствующих условиям эксперимента. Как отмечалось в работе [823], корреляции также оказывают влияние на скорость вылета электронов с поверхности.

В системе электронов на поверхности жидкого гелия впервые наблюдались двумерные плазмоны [671, 672]. Зависимость плазменной частоты от волнового вектора совпадает с ожидаемой дисперсионной кривой, учитывающей граничные эффекты, связанные со стенками резонатора. Более детально вопрос о дисперсии плазмонов обсуждался в § 4 гл. 2 и в разд. 3 § 3 гл. 6.

Богатые возможности предоставляет исследователям циклотронный резонанс электронов на поверхности жидкого гелия, интенсивно изучаемый как теоретически, так и экспериментально. Взаимодействие электронов друг с другом и с поверхностью гелия сказывается как на ширине, так и на положении линии циклотронного резонанса. Обширный экспериментальный материал по этому вопросу был опубликован Эдельманом [462]. Мы не будем описывать его здесь, рекомендуя читателю хороший обзор Монархи и Шикина [1229]. Влияние электронного упорядочения на циклотронный резонанс также являлось предметом рассмотрения [449, 450].

Подвижность электронов на поверхности жидкого гелия измерялась непосредственно (см., например, [222]), а также определялась из ширины линий циклотронного резонанса [227] и плазменных мод [671, 672]. При высокой плотности паров подвижность определяется рассе-

Рис. 184. Разность между измеренными и рассчитанными значениями энергетических зазоров иа рис. 183 (точки) и расчет такой разности в модели плавной границы [1702] (сплошные линии) [1055]. Кружки — энергия переходов между уровнями 1 и 2, треугольники — 1 и 3, квадратики — 1 и 4.

N. ат/см3N. ат/см3Т, КТ, КРис. 185. Зависимость подвижности электронов вдоль поверхности гелия от температуры Т и плотности N паров гелия [668]. Сплошная линия — расчет для рассеяния только иа атомах газа [227], пунктир — иа атомах газа и иа риппло- иах [1551]. Экспериментальные результаты взяты из следующих работ: [1551] — темные кружки; [227] — светлые квадратики; [672] — крестики; [1534] — светлые кружки.

N. ат/см3

N. ат/см3

Т, К

Т, К

янием на атомах гелия в газовой фазе, а при низкой плотности — рассеянием на рипплоиах, гидродинамических модах поверхности гелия. При температурах, меньших 0,7 К, доминирует последний механизм. Как видно из рис. 185, наблюдаемые значения подвижности достигают 107 см2 ■ В~ 1 ■ с~ *.

Плотность электронов на поверхности жидкого гелия ограничена сверху значениями Ns = 2- 109 см-2. При больших Ns возникают неустойчивости [646] (см. также [1981]), приводящие к уходу электронов на нижний электрод или за пределы пленки (см., например, [944, 1902]). Допустимый интервал плотностей включает в себя область, где изложенные в § 3 гл. 7 теоретические соображения предсказывают наличие электронной кристаллизации.

Электроны на тонкой пленке жидкого гелия притягиваются не только за счет потенциала изображения гелия, но и за счет более сильного потенциала изображения подложки. При этом энергии связи могут быть существенно больше, чем для толстого слоя гелия, но при достаточно малой толщине пленки электроны могут туннелировать к подложке. Такая система теоретически изучалась в работах [321, 826, 1567, 1631]. Володиным, Хайкиным и Эдельманом [1901] было установлено, что в данном случае максимально достижимая плотность электронов больше, чем в случае толстого слоя гелия.

В работе Граймса и Адамса [673] гипотеза электронного кристалла получила экспериментальное подтверждение. Авторы наблюдали резонансные частоты, предсказанные для гексагональной (иногда неточно называемой треугольной) решетки электронов, взаимодействующих с поверхностными модами жидкого гелия [554]. Эти осцилляции исчезают выше температуры перехода, зависящей-от плотности электронов и соответствующей Гт = 137 ± 15, где Г — отношение потенциальной энергии к кинетической, определяемое формулой (7.66). В статье [552] приводится со ссылкой на более позднюю работу Граймса и Адамса значение Гт = 131 ± 7, а также коротко обсуждается тип фазового перехода. Вычисления по методу молекулярной динамики указывают на наличие перехода первого рода, но существование такого перехода значительной величины, по-видимому, противоречит эксперименту. На рис. 186 приведены результаты опытов Граймса и Адамса [673]. В работе [1186] предсказывалось, что ширина линии фононных резонансов в рассматриваемой системе должна уменьшаться в

момент кристаллизации, а затем снова возрастать при понижении температуры ниже точки кристаллизации.

Свидетельство в пользу наличия кристаллизации было получено при наблюдении оптических мод электронов, связанных с деформациями поверхности жидкого гелия [380] (см. также [1169]). Авторы обнаружили переход при /V, - г1-8*0-2, в то время как из ВЫражения (7.67) следует зависимость А$ - Г2, подтвержденная Граймсом и Адамсом. Если полученные результаты укладывать на зависимость А, - Т2, то приходим к значению Гт = 118 ± 10.

Предметом активного обсуждения служили эффекты разогрева электронов на поверхности жидкого гелия. Теоретические статьи [1230, 1553] могут служить хорошим введением как в теоретический, так и в экспериментальный аспекты проблемы. Одним из следствий такого разогрева являются резкие изменения в системе при малом увеличении приложенной мощности, наблюдаемые, например, в циклотронном резонансе [460] или в резонансе со стоячей плазменной волной [668]. Эти эффекты связываются с возбуждением электронов в высшие подзоны, где они имеют иное пространственное распределение и иную частоту столкновений, чем в нижней подзоне. Другим предсказанием теории горячих электронов [1223] является различие в зависимостях подвижности от прижимающего поля для электронов в жидкой и упо-

Рис. 186. а — экспериментальные кривые, демонстрирующие резкое появление при понижении температуры комбинированного плазмои-рипплониого резонанса, связанного с гексагональной решеткой электронов иа поверхности жидкого гелия [673]. Буквы указывают типы мод в соответствии с обозначениями работы [554]. 6 — участок фазовой границы жидкость-твердое тело для классического двумерного слоя электронов [673]. Экспериментальные точки соответствуют температурам плавления, определенным при различных значениях плотности электронов Ns. Сплошная линия соответствует Гт = 137, где Г — отношение потенциальной и кинетической энергий.

рядоченной фазах. Подобное различие действительно наблюдалось [1533] и находилось в хорошем согласии с параметрами кристаллизации, определенными Граймсом и Адамсом.

В большинстве работ по жидкому гелию использовался 4Не. Проводились, однако, и исследования электронов, связанных на поверхности жидкого 3Не [461, 462], у которого диэлектрическая проницаемость при Т = 1 К равна лишь 1,0425 [947], что приводит к более слабому потенциалу изображения и к более мелким связанным состояниям с большим радиусом, которые легче деформируются внешним полем. В работе Володина и Эдельмана [1900] измерялось энергетическое расстояние между основной и первыми двумя возбужденными подзонами. Было обнаружено отличие на 3—4% от водородного спектра (8.30), которое приписывалось наличию границы жидкость—пар, такой же, как у 4Не, или несколько более широкой. При измерениях температурной зависимости подвижности электронов на поверхности 3Не [821] было установлено, что вплоть до Т = 0,5 К подвижность ограничивается рассеянием на атомах газа. Были обнаружены также связанные состояния электронов на поверхности жидкого водорода и кристаллических водорода и неона [1798, 1799].

Взаимодействие между электронами и поверхностью жидкого гепия может создать состояние, в котором электроны, собираясь в скопления, образуют ямки на гелиевой поверхности [1981]. Приложение прижимающего поля может смягчить связанные электрон- рипплонные моды и вызвать неустойчивость, приводящую к образованию гексагональной ре- шеткй ямок, каждая из которых удерживает - 107 электронов [795, 1085, 1194, 1628]. В работе [456] изучалось развитие такой неустойчивости в масштабе времен порядка секунд при различных плотностях электронов. Другие типы нелинейных деформаций поверхности описаны в недавней работе [624]. Смягчение мод и кристаллы из ямок возникают также в системе ионов, захваченных на границу между жидкими 3Не и 4Не [1084, 1086, 1942]. Другими системами массивных частиц являются системы из электронов и окружающих их пузырьков, которые образуются в объеме жидкого гелия и могут быть прижаты к поверхности электрическим полем (см., например, [322, 1977]). Электроны могут также выстраиваться на поверхности пузырька в жидком гелии [1623].

МАГНИТНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ УРОВНИ В МЕТАЛЛАХ

Поверхностные уровни Ландау могут возникать в металле при наложении магнитного поля, параллельного поверхности. Они проявляются в осцилляционной зависимости импеданса образца в СВЧ-диапазоне от магнитного поля. Параллельная поверхности компонента фермиевской скорости электронов в скин-слое вызывает направленную по нормали эффективную силу, которая в свою очередь создает квантовые уровни, весьма похожие на уровни в инверсионных слоях. В силу малости эквивалентного электрического поля расстояние между уровнями отвечает частотам порядка 10й Гц при Н ~ 100 Гс и меняется с полем как Hv\ Магнитные поверхностные уровни активно исследовались в конце 60-х и начале 70-х годов [119, 402, 942, 1294] и в нескольких работах последнего времени (см., например, [1649]). Рассеяние электронов магнитных поверхностных уровней в металлах [970, 1200, 1461, 1463] определяется механизмами, в значительной степени аналогичными тем, что действуют в-инверсионных и обогащенных слоях полупроводников.

На поверхности сверхпроводников первого рода были также обнаружены уровни, аналогичные описанным выше магнитным поверхностным уровням нормального металла (см., например, [971, 1157]) ,).

'* Магнитные поверхностные уровни в полупроводниках теоретически изучались в работе Чаплина [276] и недавно были обнаружены в эксперименте [112]. —Прим, перев.

ГЛАВА 9. ИТОГИ И ПЕРСПЕКТИВЫ

Содержание данного обзора и приведенная библиография свидетельствуют о том расцвете, который в последнее десятилетие испытывает изучение электронных свойств двумерных систем. Широкие возможности, вытекающие из легкости изменения концентрации носителей и других параметров системы, используются весьма активно. При этом отчетливо установлена важная роль многочастичных эффектов в рассматриваемых системах. Электроны вблизи границы Si — SiO2, на поверхности жидкого гелия и в активно изучаемых последние годы структурах с гетеропереходами представляют почти идеальные варианты реализации двумерного электронного газа. Однако (за исключением электронов на поверхности гелия) такие факторы, как примеси, механические напряжения, неровности границы и другие источники неоднородностей, затрудняют понимание, а в ряде случаев и ухудшают воспроизводимость некоторых наблюдаемых эффектов. Многие из затронутых в обзоре вопросов не могут еще считаться полностью понятыми и ожидают новых идей или более тщательных исследований.

Перед исследователями раскрываются новые перспективы. Создание гетероструктур с очень высокими подвижностями, а следовательно, с большими длинами свободного пробега носителей, наряду с успехами в области микроминиатюризации полупроводниковых структур позволяют рассчитывать на дальнейшее понижение размерности, т.е. на переход к структурам, одномерным по ряду физических свойств *\ Приток новых исследователей и возрастающая изощренность работ в данной области вызывают постоянное появление новшеств как в теории, так и в эксперименте. Все еще сохраняются возможности открытия новых эффектов, новых методик, новых структур и новых областей их применения. Мы надеемся на то, что и в ближайшие годы исследования в данной области останутся столь же плодотворными.

БЛАГОДАРНОСТИ

Мы благодарим многочисленных коллег, помогавших нам в процессе подготовки данного обзора обсуждениями, полезной информацией и предоставлением препринтов и рисунков. Тем, кто из-за нас, возможно, отложил написание собственных обзоров, мы приносим извинения за слишком додгую работу над рукописью. Мы признательны всем, кто внес в эту работу свой полезный вклад. Это Л. Л. Чанг, М. Ино, С. Лаи, Б. Д. Мак-Комб, М. Пеппер, П. Дж. Прайс, П. Дж. Стайлз, а также Марианн Пьюлис, отпечатавшая части глав 1, 4 и 5.

11 Экспериментальные исследования одномерной проводимости, опубликованы в работах [/7, 134—337]. — Прим. ред. .

ПРИЛОЖЕНИЕ.

ХАРАКТЕРНЫЕ МАСШТАБЫ ВЕЛИЧИН

В этом разделе приводятся численные значения ряда характерных длин, энергий и других величин, фигурирующих в задачах об электронных свойствах приповерхностных полупроводниковых слоев. Хотя во всем тексте обзора использовалась система единиц СГС, здесь все выражения приводятся как в системе СГС, так и в международной системе СИ. Для перехода от единиц СИ к единицам СГС следует заменить £0 на 1/4тг. Обозначения, не определенные ниже, следует отыскивать в списке обозначений, открывающем обзор.

Ряд приведенных формул справедлив лишь при выполнении определенных условий. Необходимые критерии можно найти в соответствующих главах текста.

Большинство численных значений параметров нормировано на соответствующие характеристики электронов в инверсионном слое на поверхности (100) кремния при низких температурах, когда заполнена лишь одна подзона. Использованы следующие характеристики материала:

хпп = статическая диэлектрическая проницаемость кремния = 11,5 [183];

хдиэл = статическая диэлектрическая проницаемость окисла = 3,9 [680];-

т = эффективная масса для движения вдоль поверхности = 0,19- т0 [725];

тг = эффективная масса для движения по нормали к поверхности = 0,916-w0 [725].

В ходе предыдущего изложения и в цитированных работах могли использоваться несколько иные значения характеристик.

1. Заряд и величины, с ним связанные

Сдиэл, емкость диэлектрика.

Сдиэл =

= _51«л (СГС) 4тс/диэл

с -

ДИЭЛ "

= ^Диэл (СИ)> ^диэл

Ns, поверхностная плотность слоя пространственного заряда, — C^^Vq — 1^)/е.

^[см“2] = 2,155- 10**1 VG -^[см“2] = 2,155- 10**1 VG -

^[см“2] = 2,155- 10**1 VG -

^[см“2] = 2,155- 10**1 VG -

где VG и VT — соответственно напряжение на затворе и пороговое напряжение. Написанное соотношение является приближенным и справедливо лишь в случаях сильного обогащения или сильной инверсии.

^обеди’ поверхностная плотность слоя обеднения.

^обедн I2те )

у*обедн II

\в/

Победи [СМ*] = U27- 10*.

yiU СМ у у11,эу

где Фа — изгиб зон в слое обеднения, включающий смещение на подложке Фподд, если таковое существует [см. (3.9)—(3.13)].

^диэл" электрическое поле в диэлектрике.

\Р№ЭЛ\ = ±£^±^обун) (СГС)> ^диэл

[^диэл' =(СИ),

£0^диэл

'V [В/см] = 4,640-loV'V^^

X IV СМ у Х^диэл

если отсутствует заряд в диэлектрике или на границе полупроводник—диэлектрик. Поскольку максимальное поле пробоя SiO2 имеет порядок 107 В/см, значение Ns + No6eM в Si не может превосходить 2- 1013 см-2.

Fs, электрическое поле у поверхности полупроводника.

IFJ = ^ALt2/o6ew) (СГС), х™

IF I = ^ + ^обеД»2 (СИ), £0*пл

^d =^d =хппФа2тге(Л/л - NDyхппФа2тге(Л/л - NDy'/2(СГС),'/2(СГС),I F I [В/см] = 1,574 • 105 (^_±J^o6yuA / 1Ь£ V 10 2 см-2 )\хПП

^d =

^d =

хппФа

2тге(Л/л - NDy

хппФа

2тге(Л/л - NDy

'/2

(СГС),

'/2

(СГС),

^d^d(„^Vo^d \V(^ - ndV(„^Vo^d \V(^ - ndV'/2(СИ),'/2(СИ),Zd [мкм] = l,127^d[B])'/2Zd [мкм] = l,127^d[B])'/2/1015 см-3\/1015 см-3\где ф^ — изгиб зон в слое обеднения, включающий смещение на подложке Фподл, если таковое существует [см. (3.9)—(3.13)]. Типичные значения zd составляют от 0,1 до 10 мкм.где ф^ — изгиб зон в слое обеднения, включающий смещение на подложке Фподл, если таковое существует [см. (3.9)—(3.13)]. Типичные значения zd составляют от 0,1 до 10 мкм.?о — гоо> среднее расстояние электронов от поверхности при одной заполненной подзоне.?о — гоо> среднее расстояние электронов от поверхности при одной заполненной подзоне.z0 =z0 =z0 =z0 =9*ППА2\6хт e2N9Voa2' 4mze2N* ,9*ППА2\6хт e2N9Voa2' 4mze2N* ,z0 [нм] = 2,283z0 [нм] = 2,283/ 1012 см 2\ / хПП \ Л /O,916mo\ '/зX N* / \KJ/ \ mz / ’/ 1012 см 2\ / хПП \ Л /O,916mo\ '/зX N* / \KJ/ \ mz / ’

^d

^d

(„^Vo^d \

V(^ - ndV

(„^Vo^d \

V(^ - ndV

'/2

(СИ),

'/2

(СИ),

Zd [мкм] = l,127^d[B])'/2

Zd [мкм] = l,127^d[B])'/2

/1015 см-3\

/1015 см-3\

где ф^ — изгиб зон в слое обеднения, включающий смещение на подложке Фподл, если таковое существует [см. (3.9)—(3.13)]. Типичные значения zd составляют от 0,1 до 10 мкм.

где ф^ — изгиб зон в слое обеднения, включающий смещение на подложке Фподл, если таковое существует [см. (3.9)—(3.13)]. Типичные значения zd составляют от 0,1 до 10 мкм.

?о — гоо> среднее расстояние электронов от поверхности при одной заполненной подзоне.

?о — гоо> среднее расстояние электронов от поверхности при одной заполненной подзоне.

z0 =

z0 =

z0 =

z0 =

9*ППА2

\6хт e2N

9Voa2' 4mze2N* ,

9*ППА2

\6хт e2N

9Voa2' 4mze2N* ,

z0 [нм] = 2,283

z0 [нм] = 2,283

/ 1012 см 2\ / хПП \ Л /O,916mo\ '/з

X N* / \KJ/ \ mz / ’

/ 1012 см 2\ / хПП \ Л /O,916mo\ '/з

X N* / \KJ/ \ mz / ’

где N* = ^обедн + — Ns- Типичные значения z0 составляют от 1 до 10 нм и более. См. также рис. 12.

kF = {litNs/gv), фермиевский волновой вектор.

kFkF[см-1] = 1,772- 106[см-1] = 1,772- 106/ Ns V/2Y \1012см~/ \8и)/ Ns V/2Y \1012см~/ \8и)

kF

kF

[см-1] = 1,772- 106

[см-1] = 1,772- 106

/ Ns V/2Y \1012см~/ \8и)

/ Ns V/2Y \1012см~/ \8и)

Хр = 1-к/кр, фермиевская длина волны.Хр = 1-к/кр, фермиевская длина волны.[нм] = 35,45[нм] = 35,45/ 1012 см 2\ w /gy\ /гV Ns / U// 1012 см 2\ w /gy\ /гV Ns / U/Up = hkp/m, фермиевская скорость.Up = hkp/m, фермиевская скорость.

Хр = 1-к/кр, фермиевская длина волны.

Хр = 1-к/кр, фермиевская длина волны.

[нм] = 35,45

[нм] = 35,45

/ 1012 см 2\ w /gy\ /г

V Ns / U/

/ 1012 см 2\ w /gy\ /г

V Ns / U/

Up = hkp/m, фермиевская скорость.

Up = hkp/m, фермиевская скорость.

UpUp[см/с] = 1,080- 107[см/с] = 1,080- 107/ n^ \ 72Y \1012cm~2/ Xg^// n^ \ 72Y \1012cm~2/ Xg^/О,19тиоmО,19тиоm

Up

Up

[см/с] = 1,080- 107

[см/с] = 1,080- 107

/ n^ \ 72Y \1012cm~2/ Xg^/

/ n^ \ 72Y \1012cm~2/ Xg^/

О,19тиоm

О,19тиоm

a*, эффективный боровский радиус с диэлектрической проницаемостью полупроводни

ка.

а* = (СГС), те

а» =(СИ),

те2.

в*, эффективный боровский радиус со средней диэлектрической проницаемостью полупроводника и диэлектрика.

а*- = (СГС), те

-. _ 4,=,»»= (СИ)

qs = lgv/a* , волновой вектор экранирования (длинноволновый предел, низкие температуры, одна заполненная подзона) с диэлектрической проницаемостью полупроводника [см. (2.24) и (2.28)].

qs = lgy/а*, волновой вектор экранирования (длинноволновый предел, низкие температуры, одна заполненная подзона) со средней диэлектрической проницаемостью полупроводника и диэлектрика [см. (2.24) и (2.28)].

qs [см"1 ] = 1,865 ■ 107.

rs = (nNS)-V1, радиус Вигнера — Зейтца.

Безразмерное отношение rs/a* (или rs/a*) часто обозначается просто rs. Для типичных значений концентрации носителей в кремниевых инверсионных слоях оно меняется от 1 до 10 и более.

3. Энергия и величины, с ней связанные

D(E) = gLm/ith\ плотность состояний в низшей подзоне.

D(E) [см-2эВ-‘] =D(E) [см-2эВ-‘] =

D(E) [см-2эВ-‘] =

D(E) [см-2эВ-‘] =

где предполагается спиновое вырождение gs = 2.

EF = NS/D(E), энергия Ферми при абсолютном нуле температуры и одной заполненной подзоне.

Ер [мэВ] = 6,300Ер [мэВ] = 6,300

Ер [мэВ] = 6,300

Ер [мэВ] = 6,300

Е,, квантовые уровни в постоянном электрическом поле Fs [си. (3.24)Y

Ej [мэВ] = 61,15Ej [мэВ] = 61,15/0,916т0\/з\ ”4 //0,916т0\/з\ ”4 /

Ej [мэВ] = 61,15

Ej [мэВ] = 61,15

/0,916т0\/з

\ ”4 /

/0,916т0\/з

\ ”4 /

где полагалось Fs = ^обедн/хпп£0. Для трех низших уровней имеем Ео = 50,9 мэВ, Ех = 88,9 мэВ, Е2 = 120,1 мэВ при равенстве единице трех последних сомножителей.

Ry*, эффективный ридберг с диэлектрической проницаемостью полупроводника.

Ry*Ry*4 те^24 те^2(СГС),(СГС),Ry*Ry*Ry*Ry*те4З2,гвд;^те4З2,гвд;^(СИ),(СИ),

Ry*

Ry*

4 те

^2

4 те

^2

(СГС),

(СГС),

Ry*

Ry*

Ry*

Ry*

те4

З2,гвд;^

те4

З2,гвд;^

(СИ),

(СИ),

Ry*, эффективный ридберг со средней диэлектрической проницаемостью полупроводника и дйэлектрика.

Ry*Ry*те4те4(СТС),(СТС),Ry*Ry*Ry*Ry*_ те4Зг-к^ецх^й1[мэВ] = 43,60_ те4Зг-к^ецх^й1[мэВ] = 43,60

Ry*

Ry*

те4

те4

(СТС),

(СТС),

Ry*

Ry*

Ry*

Ry*

_ те4

Зг-к^ецх^й1

[мэВ] = 43,60

_ те4

Зг-к^ецх^й1

[мэВ] = 43,60

haip, энергия двумерного плазмона с волновым вектором q в пределе толстого ди

электрика [см. (2.42)].

Шр =Шр =(СГС),(СГС),/ Nse2q р \ 2хе0т/ Nse2q р \ 2хе0т'/2(СИ),'/2(СИ),

Шр =

Шр =

(СГС),

(СГС),

/ Nse2q р \ 2хе0т

/ Nse2q р \ 2хе0т

'/2

(СИ),

'/2

(СИ),

кшр, энергия двумерного плазмона с волновым вектором q в пределе тонкого диэлектрика [см. (.2.43^.

Предполагается, что слой обеднения существенно толще, чем окисел.Предполагается, что слой обеднения существенно толще, чем окисел.

Предполагается, что слой обеднения существенно толще, чем окисел.

Предполагается, что слой обеднения существенно толще, чем окисел.

йш,.

'™. «то.

тс

hmc

eBh

т

(СИ),

hwc1 Тhwc1 Т[мэВ] = 0,6093В[Т] f

hwc

1 Т

hwc

1 Т

X т = 10 Гс.

gp.BB, спиновое расщепление.

g^B [мэВ] = О,1158В[Т]| ,

где /гу(СГС) = eh/2moc, ^У(СИ) = eh/2m0.

eB/h, кратность вырождения уровня Ландау с учетом спинового и долинного расщепления*

еВ

— [см-2] = 2,418- Ю10В [Т].

h

/, магнитная длина {размер основной циклотронной орбиты).

/ й X '/2

/ = ( —) (СИ), \eS /

/ [нм] = 25,66 (У[Т]Г'/г.

5. Подвижность и величины, с ней связанные

т = тр./е, время релаксации.т = тр./е, время релаксации.

т = тр./е, время релаксации.

т = тр./е, время релаксации.

I = vft = hkpu/e, длина пробега при низких температурах.

Гт = А/2т, уширение уровня.Гт = А/2т, уширение уровня.Гт [мэВ] = 0,3347Гт [мэВ] = 0,3347

Гт = А/2т, уширение уровня.

Гт = А/2т, уширение уровня.

Гт [мэВ] = 0,3347

Гт [мэВ] = 0,3347

kFl, произведение фермиевского волнового вектора на длину пробега = Ер/ГТ.

шст = /х^В-'с"] В[Т] = 10_8/4смВ-1с_1] Я[Гс].

Зависимость удельного сопротивления при комнатной температуре р некомпенсированного р-кремния от концентрации акцепторов МА (согласно [1734]).

р[Омсм] N4[cm~]

0,15•1017

ЛИТЕРАТУРА

' Приводимая библиография отражает работы по электронным свойствам инверсионных и обогащенных слоев у границы полупроводник—диэлектрик и недавние исследования свойств электронов на поверхности жидкого гелия. Включены также некоторые работы по родственным структурам: тонким пленкам, гетеропереходам, квантовым ямам и сверхрешеткам и по отдельным общим проблемам теории двумерных систем. Исключена большая часть работ, посвященных приборам, влиянию радиации и пограничным состояниям. Часть приводимой литературы в тексте не цитировалась.

Abeles, В., Р. Sheng, М. D. Coutts, and Y. Arie, 1975, “Structure and electrical properties of granular metal films,” Adv. Phys. 24, 407 -461.

* Abessonova, L. N., V. N. DobrovoTskii, and Yu. S. Zharkikh, 1975, “Scattering of holes appearing near cleaved germanium surfaces under energy quantizing conditions,” Fiz. Tekh. Po- luprovodn. 9, 957-960 [Sov. Phys.—Semicond. 9, 626—627 (1975)].

* Abessonova, L. N., V. N. Dobrovol’skii, Yu. S. Zharkikh, G.

K. Ninidze, and O. S. Frolov, 1976, “Anomalous behavior of the carrier mobility in inversion channels on the surface of oxidized silicon,” Fiz. Tekh. Poluprovodn. 10, 665 - 668 [Sov. Phys.—Semicond. 10, 397-399 (1976)].

Abowitz, G., E. Arnold, and E. A. Leventhal, 1967, “Surface states and 1// noise in MOS transistors,” IEEE Trans. Electron Devices ED-14, 775 — 777.

Abrahams, E., P. W. Anderson, P. A. Lee, and T. V. Ramakrishnan, 1981, “Quasiparticle lifetime in disordered twodimensional metals,” Phys. Rev. В 24, 6783 — 6789.

Abrahams, E., P. W. Anderson, D. C. Licciardello, and T. V. Ramakrishnan, 1979, “Scaling theory of localizations: Absence of quantum diffusion in two dimensions,” Phys. Rev. Lett. 42, 673-676.

Abrahams, E., P. W. Anderson, and T. V. Ramakrishnan, 1980, “Non-Ohmic effects of Anderson localization,” Philos. Mag. В 42, 827-833.

Abram, R. A., 1973, “Localized states in inverted silicon- 8 silicon dioxide interfaces,” J. Phys. C 6, L379—L381.

Abramowitz, M., and I. A. Stegun, eds., 1964, Handbook of 9** Mathematical Functions (National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, No. 55) (U.S. Government Printing Office, Washington)

Abstreiter, G., 1980, “Electronic properties of the two- 10 dimensional system at GaAs/AlxGaj_xAs interfaces,” Surf.

Sci. 98, 117-125.

Abstreiter, G., P. Kneschaurek, J. P. Kotthaus, and J. F. 11 Koch, 1974, “Cyclotron resonance of electrons in an inversion layer on Si," Phys. Rev. Lett. 32, 104—107

Abstreiter, G., J. F. Koch, P. Goy, and Y. Courier, 1976a, 12 “Frequency dependence of surface cyclotron resonance in Si," Phys. Rev. В 14, 2494-2497.

Abstreiter, G., J. P. Kotthaus, J. F. Koch, and G. Dorda, 13 1976b, “Cyclotron resonance of electrons in surface spacecharge layers on silicon,” Phys. Rev. В 14, 2480—2493.

Abstreiter, G., and K. Ploog, 1979, “Inelastic light scattering 14 from a quasi-two-dimensional electron system in GaAs-AlxGa|_xAs heterojunctions,” Phys. Rev. Lett. 42, 1308-1311.

Abstreiter, G., P. Stallhofer, and J. P. Kotthaus, 1980, “Effects 15 of uniaxial stress on the cyclotron resonance in inversion layers on Si(100),“ Surf. Sci. 98, 413 — 415.

Abstreiter, G., Ch. Zeller, and K. Ploog, 1981, “Study of 16

GaAs —AlxGa|_xAs multilayer systems by resonant inelastic light scattering techniques/* in Gallium Arsenide and Related Compounds, 1980, edited by H. W. Thim (Institute of Physics, Bristol), pp. 741 — 749.

Adachi, T., and C. R. Helms, 1979, “Electron energy loss spectroscopy studies of the Si-SiOi interface/* Appl. Phys. Lett. 35, 199-201.

Adkins, C. J., 1977, “Maximum metallic resistance,” Philos. Mag. 36, 1285-1289.

Adkins, C J., 1978a, ‘Threshold conduction in inversion layers,” J. Phys, 011, 851-883.

Adkins, C. J. 1978b, “The Hall effect in inversion layers/* Philos. Mag. В 38, 535-548.

Adkins, C. J., 1979a, “Effective medium theory of conductivity and Hall effect in two dimensions/* J. Phys. C 12, 3389-3393.

Adkins, C. J., 1979b, “Application of effective medium theory to inversion layers/* J. Phys. C 12, 3395-3400.

23 Adkins, C. J., S. Pollitt, and M. Pepper, 1976, “ The Anderson transition in silicon inversion layers/* J. Phys. (Paris) 37, Col- loques, C4-343—C4-347.

24 Agarwal, G. K., J. S. Thakur, and K. N. Pathak, 1981, “Sum rules for the current correlation functions of a two- dimensional classical electron liquid/* Phys. Lett. A 84, 213-215.

25* Agranovich, V. M., and В. P. Antonyuk, 1974, “Excitons and instability of the dielectric state in quasi-one^dimensional and quasi-two-dimensional structures/* Zh. Eksp. Teor. Fiz. 67, 2352-2356 [Sov. Phys—JETP 40, 1167-1169 (1975)].

26* Agranovich, V. M., В. P. Antonyuk, and A. G. MaTshukov, 1976, “New mechanism of exciton self-localization in quasi- one-dimensional and quasi-two-dimensional semiconductors,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis'ma Red. 23, 492 — 495 [JETP Lett. 23, 448-450(1976)].

2711 Agranovich, V. M., В. P. Antonyuk, E. P. Ivanova, and A. G. Mal’shukov, 1977, “Self-localization of excitons in quasi-one- dimensional and quasi-two-dimensional semiconductors/' Zh. Eksp. Teor. Fiz. 72, 614 — 624 [Sov. Phys.—JETP 45, 322-327 (1977)].

28 Alferieff, M. E. and С. B. Duke, 1968, “Energy and lifetime of space-charge-induced localized states/* Phys. Rev. 168, 832-842.

29 Alig, R. C., 1976, “Optical properties of a dense two- dimensional electron gas,” RCA Rev. 37, 206—219.

Allen, P. B., 1980, “Electron localisation in a random potential: A random walk analogue,” J. Phys. C 13, L667 —L669.

Allen, S. J., Jr., D. C. Tsui, and J. V. Dalton, 1974, “Far infrared cyclotron resonance in the inversion layer of Si,” Phys. Rev. Lett. 32, 107-110.

Allen, S. J., Jr., D. C. Tsui, and F. DeRosa, 1975, “Frequency dependence of the electron conductivity in the silicon inversion layer in the metallic and localized regimes,” Phys. Rev. Lett. 35, 1359-1362.

Allen, S. J., Jr., D. C. Tsui, and B. Vinter, 1976, “On the absorption of infrared radiation by electrons in semiconductor inversion layers,” Solid State Commun. 20, 425 — 428.

Allen, S. J., Jr, D. C. Tsui, and R. A. Logan, 1977, “Observation of the two-dimensional plasmon in silicon inversion layers,” Phys. Rev. Lett. 38, 980-983.

Allgaier, R. S., and J. B. Restorff, 1979, “Improved weak-field

magnetoresistance analysis for (OOl)-oriented thin films and surface layers with cubic or tetragonal symmetry,” J. Appl Phys. 50, 402-405.

Allgaier, R. S., J. B. Restorff, and B. Houston, 1979a, “Unified 36 weak-field magnetoresistance phenomenology for cubic and noncubic {001 ]-and {111 {-oriented epitaxial films and surface layers,” Appl. Phys. Lett. 34, 158—159.

Allgaier, R. S., J. B. Restorff, and B. Houston, 1979b, “Unified 37 weak-field magnetoresistance phenomenology for (111)- oriented thin films and surface layers with cubic, trigonal, and hexagonal symmetries/* Phys. Rev. В 19, 6155-6163.

Al-Sadee, S. R., P. N. Butcher, and K. J. Hayden, 198L 38 “Dependence of the hopping conductivity exponent on band shape for two-dimensional impurity bands,” Philos. Mag. В 43, 173-175.

Altshuler, B. L., and A. G. Aronov, 1978, “Influence of 39* electron-electron correlation on the resistivity of dirty metals,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 27, 700- 702 [JETP Lett. 27, 662 - 664 (1978)].

Altshuler, B. L., and A. G. Aronov, 1981, “Electron density of 40 states and energy relaxation time in magnetic field,” Solid State Commun. 38, 11 — 15.

Altshuler, B. L., A. G. Aronov, and P. A. Lee, 1980a, “In- 41 teraction effects in disordered Fermi systems in two dimensions," Phys. Rev. Lett. 44, 1288-1291.

Altshuler, B. L.. D. Khmel’nitzkn, A. I. Larkin, and P. A. 42 Lee, 1980b, “Magnetoresistance and Hall effect in a disordered two-dimensional electron gas,” Phys. Rev. В 22, 5142-5153.

Altwein, M., and H. Finkenrath, 1975, “Quantum size effect in 43 SnTe observed by tunnel experiments,” Phys. Status Solidi В 72, 413-419.

Alvarado, S. F., F. Ciccacci, and M. Campagna, 1981, 44 “GaAs —AlxGa)_xAs superlattices as sources of polarized photoelectrons/' Appl. Phys. Lett. 39, 615 — 617.

Ambegaokar, V., В. 1. Halperin, and J. S. Langer, 1971, “Hop- 45 ping conductivity in disordered systems,” Phys. Rev. В 4, 2612-2620.

Anderson, P. W., 1958, “Absence of diffusion in certain ran- 46 dom lattices,” Phys. Rev. 109, 1492—1505.

Anderson, P. W., 1981, “New method for scaling theory of Io- 47 calization. II. Multichannel theory of a ‘wire* and possible extension to higher dimensionality/* Phys. Rev. В 23, 4828-4836.

Anderson, P. W., E. Abrahams, and T. V. Ramakrishnan, 48 1979, “Possible explanation of nonlinear conductivity in thin- film metal wires," Phys. Rev. Lett. 43, 718 — 720.

Ando, T., 1974a, “Theory of quantum transport in a two- 49 dimensional electron system under magnetic fields. II. Single-site approximation under strong fields,” J. Phys. Soc.

Japan 36, 1521- 1529.

Ando, T., 1974b, “Theory of quantum transport in a two- 50 dimensional electron system under magnetic fields. III. Many-site approximation," J. Phys. Soc. Japan 37, 622 — 630.

Ando, T., 1974c, “Theory of quantugi transport in a two- 51 dimensional electron system under magnetic fields. IV. Oscillatory conductivity," J. Phys. Soc. Japan 37, 1233— 1237.

Ando, T., 1975a, “Theory of cyclotron resonance lineshape in a 52 two-dimensional electron system," J. Phys. Soc. Japan 38 989-997.

53 Ando, Т., 1975b, “Subband structure of an accumulation layer under strong magnetic fields,” J. Phys. Soc. Japan 39, 411-417.

54 Ando, T., 1976a, “Density-functional calculation of subband structure on semiconductor surfaces,” Surf. Sci. 58, 128— 134.

55 Ando, T, 1976b, “Density-functional calculation of sub-band structure in accumulation and inversion layers,” Phys. Rev. В 13, 3468-3477.

56 Ando, T., 1976c, “Lineshape of inter-subband optical transitions in space charge layers,” Z. Phys. В 24, 33 — 39.

57 Ando, T., 1976d, “Quantum transport in an anisotropic two- dimensional system under strong magnetic fields,” Z. "Phys. В 24, 219-226.

58 Ando, T., 1976e, “Mass enhancement and subharmonic structure of cyclotron resonance in an interacting two-dimensional electron gas," Phys. Rev. Lett. 36, 1383 — 1385.

59 Ando, T., 1977a, “Inter-subband optical transitions in a surface space-charge layer," Solid State Commun. 21. 133—136.

60 Ando, T., 1977b, “Inter-subband optical absorption in an inversion layer on a semiconductor surface in magnetic fields,” Solid State Commun. 21, 801 — 804.

61 Ando, T., 1977c, “Inter-subband optical absorption in spacecharge layers on semiconductor surfaces," Z. Phys. В 26, 263-272.

62 Ando, T, 1977d, “Screening effect and quantum transport in a silicon inversion layer in strong magnetic fields,” J. Phys. Soc. Japan 43, 1616—1626.

63 Ando, T., 1978a, “Electron-electron interaction and electronic properties of space charge layers on semiconductor surfaces,”

Surf. Sci. 73, 1-18.

64 Ando, T., 1978b, “Subband structure and inter-subband ab- • sorption in an accumulation layer in strong magnetic fields," J. Phys. Soc. Japan 44, 475 — 481.

65 Ando, T., 1978c, “Broadening of inter-subband transitions in image-potential-induced surface states outside liquid helium,” J. Phys. Soc. Japan 44, 765-773.

66 Ando, T., 1978d, “Theory of magnetoplasmon resonance lineshape in the silicon inversion layer,” Solid State Commun. 27, 895-899.

67 Ando, T.. 1979a, “Theory of intersubband-cyclotron combined resonance in the silicon accumulation layer,” in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1219—1222.

68 Ando, T., 1979b, “Valley splitting in the silicon inversion layer: Misorientation effect,” Phys. Rev. В 19, 3089 — 309 5.

69 Ando, T., 1979c, “Theory of intersubband cyclotron combined resonances in the silicon space-charge layer," Phys. Rev. В 19, 2106-2116.

70 Ando, T., 1979d, “Minigap and transport in a two-dimensional electron system," J. Phys. Soc. Japan 47, 1595— 1605.

71 Ando, T., 1980a, “Valley splitting and related phenomena in Si inversion layers," Surf. Sci. 98, 327 — 349.

72 Ando, T., 1980b, “Many-body effects in the space charge layers,” in Proceedings of the 15th International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 49, Suppl. A, 929-936 (1980)].

73 Ando, T. 1981a, “Magnetic quantization and transport in a semiconductor superlattice," in Physics in High Magnetic Fields, edited by S. Chikazumi and M. Miura (Springer, Ber- \ tin), pp. 301-304.

Ando, T., 1981b, “Electronic properties of a semiconductor su- 74 perlattice. III. Energy levels and transport in magnetic fields," J. Phys. Soc. Japan 50, 297 8-2984.

Ando, T., T. Eda, and M. Nakayama, 1977, “Optical absorp- 75 tion in surface space-charge layers of anisotropic and tilted valley systems,” Solid State Commun. 23, 751 — 754.

Ando, T., Y. Matsumoto, and Y. Uemura, 1972a, “Theory of 76 quantum galvanomagnetic effects in the inversion layer of semiconductors,” in Proceedings of the 11th International Conference on the Physics of Semiconductors, Warsaw (PWN —Polish Scientific, Warsaw), Vol. I, pp. 294—305.

Ando, T., Y. Matsumoto, Y. Uemura, Mineo Kobayashi, and 77 K. F. Komatsubara, 1972b, “Transverse magnetoconductivity of a two-dimensional electron gas,” J. Phys. Soc.

Japan 32, 859.

Ando, T., Y. Matsumoto, and Y. Uemura, 1975, “Theory of 78 Hall effect in a two-dimensional electron system," J. Phys.

Soc. Japan 39, 279-288.

Ando, T., and S. Mori, 1979 “Electronic properties of a sem- 79 iconductor superlattice. I. Self-consistent calculation of subband structure and optical spectra,” J. Phys. Soc. Japan 47, 1518- 1527.

Ando, T., and Y. Uemura, 1974a. “Theory of quantum trans- 80 port in a two-dimensional electron system under magnetic fields. 1. Characteristics of level broadening and transport under strong fields,” J. Phys. Soc. Japan 36, 959-967.

Ando, T., and Y. Uemura, 1974b, “Theory of oscillatory g fac- 81 tor in an MOS inversion layer under strong magnetic fields,” J. Phys. Soc. Japan 37, 1044- 1052.

Ando, T., and Y. Uemura, 1974c, “Oscillation of effective g 82 factor in MOS inversion layers under strong magnetic fields," in Proceedings of the Second International Conference on .^ Solid Surfaces, Kyoto [Jpn. J. Appl. Phys., Suppl. 2, Pt. 2, 329-332 (1974)].

Ando, T., and Y. Uemura, 1974d, “Theory of cyclotron reso- S3 nance line shape in MOS inversion layers,” in Proceedings of the 12th International Conference on the Physics of Semiconductors, Stuttgart, edited by M. H. Pilkuhn (Teubner, Stuttgart), pp. 724 — 728.

Andreev, A. F., 1971, “Interaction of conduction electrons 84 with a metal surface," Usp. Fiz. Nauk 105, 113 — 124 [Sov. Phys.—Usp. 14, 609-615 (1972)].

Andryushin, E. A., 1976, “Ground-state energy of a layered 85 electron-hole liquid,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 18, 2493-2498 [Sov. Phys.—Solid State 18, 1457-1460 (1976)].

Andryushin, E. A., L, V. Keldysh, A. A. Sanina, and A. P. Si- 86 tin, 1980, “Electron-hole liquid in thin semiconductor films," Zh. Eksp. Teor. Fiz. 79, 1509-1517 [Sov. Phys.—JETP 52, 761-765 (1980)].

Andryushin, E. A., and A. P. Silin, 1976a, “On the theory of 87 the collective phenomena in quasi-two-dimensional semiconductors," Solid State Commun. 20, 453—456.

Andryushin, E. A., and A. P. Silin, 1976b, “Two-dimensional 88 electron-hole liquid," Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 18, 2130-2132 [Sov. Phys.—Solid State 18, 1243-1244(1976)].

Andryushin, E. A., and A. P. Silin, 1979, “Phase diagram of a 89 two-dimensional electron-hole system," Fiz. Tverd. Teh (Leningrad) 21, 219-222 [Sov. Phys.—Solid State 21, 129-130 (1979)].

90* Andryushin, Е. A., and А. Р- Silin, 1980, “Excitons in thin semiconductor films,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 22, 2676-2680 [Sov. Phys.—Solid State 22, 1562-1564 (1980)].

91 Antcliffe, G. A., R. T. Bate, and R. A. Reynolds, 1971, “Oscillatory magnetoresistance from an n-type inversion layer with nonparabolic bands,” in The Physics of Semimetals and Narrow Gap Semiconductors, edited by D. L. Carter and R. T. Bate (Pergamon, Oxford); 3. Phys. Chern. Solids 32, Suppl. 1, 499-510.

92 Aoki, H., 1977 “Computer simulation of two-dimensional disordered electron systems in strong magnetic fields,” J. Phys. C 10, 2583-2593.

93 Aoki, H., 1978a, “Numerical study of two-dimensional Wigner glass in strong magnetic fields,” Surf. Sci. 73, 281—290.

94 Aoki, H., 1978b, “Transport properties of two-dimensional disordered electron systems in strong magnetic fields,” J. Phys. C 11, 3823-3834.

95 Aoki, H., 1979, “Effect of coexistence of random potential and electron-electron interaction in two-dimensional systems: Wigner glass,” J. Phys. C 12, 633 — 645.

96 Aoki, H., and T. Ando, 1981, “Effect of localization on the Hall conductivity in the two-dimensional system in strong magnetic fields," Solid State Commun. 38, 1079 — 1082.

97 Aoki, H., and H. Kamimura, 1977, “Anderson localization in a two-dimensional electron system under strong magnetic fields,” Solid State Commun. 21, 45 — 47.

98 Aoki, M., H. Katto, and E. Yamada, 1977, “Low-frequency 1//noise in MOSFET’s at low current levels,” J. Appl. Phys. 48, 5135-5140.

99 Aoki, T., and M. Saitoh, 1979, “Theory of hot electrons on the liquid 4He surface II," J. Phys. Soc. Japan 46, 423 — 431.

Aoki, T., and M. Saitoh, 1980, “Theory of cyclotron resonance of hot electrons on the liquid 4He,” J. Phys. Soc. Japan 48, 1929-1936.

Apostol, M., 1975, “Plasma frequency of the electron gas in layered structures,” Z. Phys. В 22, 13—19.

Appel, J., and A. W. Overhauser 1978, “Cyclotron resonance in two interacting electron systems with application to Si inversion layers," Phys. Rev. В 18, 758-767.

Appelbaum, J. A., and G. A. Baraff, 1971a, “Effect of magnetic field on the energy of surface bound states,” Phys. Rev. В 4, 1235-1245.

Appelbaum, J. A., and G. A. Baraff, 1971b, “Parametric approach to surface screening of a weak external electric field,” Phys. Rev. В 4, 1246-1250.

Appelbaum, J. A., and G. A. Baraff, 1971c, “Self-induced deficiency state in degenerate semiconductors," Phys. Rev. Lett. 26, 1432-1435.

Arnold, E., 1974, “Disorder-induced carrier localization in silicon surface inversion layers," Appl. Phys. Lett. 25, 705-707.

Arnold, E., 1976, “Conduction mechanism in bandtails at the Si-SiO2 interface," Surf. Sci. 58, 60—70.

Arnold, E., 1978, “Comment on the frequency dependence of electron conductivity in the silicon inversion layer in the metallic and localized regimes,” Phys. Rev. В 17, 4111 — 4113.

Arnold, E., and G. A. Abowitz, 1966, “Effect of surface states on electron mobility in Si surface inversion layers,” Appl. Phys. Lett. 9, 344-346.

Arnold, E., and H. Schauer, 1978, “Measurement of interface 110 state density in MNOS structures,” Appl. Phys. Lett. 32, 333-335.

Arnold, E., and J. M. Shannon, 1976, “Anomalous Hall effect Ш and carrier transport in bandtails at the Si-SiO2 interface," Solid State Commun. 18, 1153—1156.

Arora, V. K., and F. G. Awad, 1981, “Quantum size effect in 112 semiconductor transport," Phys. Rev. В 23, 5570 — 5575.

Arutyunyan, G. M., and Kh. V. Nerkararyan, 1981, “Special 113* features of the Coulomb interaction in periodic semiconductor structures,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 23, 225 — 228 [Sov.

Phys.—Solid State 23, 127-129 (1981)].

Asche, M., and O. G. Sarbei, 1981, "Electron-phonon interac- 114 tion in n-Si,” Phys. Status Solidi В 103, 11 — 50.

Aspnes, D. E., 1976, “GaAs lower conduction-band minima. 115 Ordering and properties," Phys. Rev. В 14, 5331 — 5343

Aspnes, D. E., and J. B. Theeten, 1979, “Optical properties of 116 the interface- between Si and its thermally grown oxide," Phys. Rev. L^tt. 43, 1046-1050.

Aymeloglu, S., and J. N. Zemel, 1976a, “Field effect studies on 117 «-channel (100) MOSFET’s at 4.2 to 77 K," Surf. Sci. 58, 98-103.

Aymeloglu, S., and J. N. Zemel, 1976b, “Freeze-out effects on 118 n-channel MOSFETs," IEEE Trans. Electron Devices ED-23, 466-470.

Azbel, M. Ya., 1969, “Problems of the electron theory of met- 119* als. IV. Thermodynamic and kinetic properties of metals in a .magnetic field,” Usp. Fiz. Nauk 98, 601—651 [Sov. Phys.— Usp. 12, 507-533 (1970)].

Azbel, M. Ya., 1981, “Localization in thin wires," Phys. Rev. 120 Lett. 46,675-678.

Babichenko, V. S., L. V. Keldysh, and A. P. Silin, 1980, 121* “Coulomb interaction in thin semiconductor and semimetal filaments," Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 22, 12 3 8— 1240 [Sov.

Phys.—Solid State 22, 723-724 (1980)].

Baccarani, G., A. M. Mazzone, and C. Morandi, 1974, “The 122 diffuse scattering model of effective mobility in the strongly inverted layer of MOS transistors," Solid-State Electron. 17, 785-789.

Baccarani, G., and A. M. Mazzone, 1975, “The influence of an 123 energy-dependent relaxation time on the specular and diffuse scattering models of surface conduction in MOS structures,” Solid-State Electron. 18,718 — 720.

Baglee, D. A., D. K. Ferry, C. W. Wilmsen, and H. H. 124 Wieder, 1980, "Inversion layer transport and properties of oxides on InAs,” J. Vac. Sci. Technol. 17, 1032— 1036.

Baglee, D. A., D. H. Laughlin, В T. Морге, B. L. Eastep, D. 125 K. Ferry, and C. W. Wilmsen, 1981, “Inversion layer transport and insulator properties of the indium-based III-V’s,” in Gallium Arsenide and Related Compounds, 1980, edited by H.

W. Thim (Institute of Physics, Bristol), pp. 259 —265.

Bangert, E., K. von Klitzing, and G. Landwehr, 1974, “Self 126 consistent calculations of electric subbands in p-type silicon inversion layers,” in Proceedings of the 12th International Conference on the Physics of Semiconductors, Stuttgart, edited by M. H. Pilkuhn (Teubner, Stuttgart), pp. 714—718.

Bangert, E., and G. Landwehr, 1976, "Self-consistent calcula- 127 tions of electric subbands in p-type silicon inversion layers,” Surf. Sci. 58, 138-140.

128 Banvilk, М., A. Caille, and М. J. Zuckerman, 1980, “Interaction of interface plasmons and longitudinal optical phonons in multilayer structures in the presence of transverse conductivity," Phys. Rev. В 21, 355-363.

Baraff, G. A., and J. A. Appelbaum, 1972, “Effect of electric and magnetic fields on the self-consistent potential at the surface of a degenerate semiconductor," Phys. Rev. В 5, 475-497.

Baraff, G. A., and D. C. Tsui, 1981, “Explanation of quantized-Hall-resistance plateaus in heterojunction inversion layers,” Phys. Rev. В 24, 2274-2277.

Barber, M. N., 1980, “Phase transitions in two dimensions," Phys. Rep. 59,37 5-409.

Bardeen, J., and W. Shockley, 1950, “Deformation potentials and mobilities in non-polar crystals," Phys. Rev. 80, 72 — 80.

Bargmann, V., 1952, “On the number of bound states in a central field of force,” Proc. Natl. Acad. Sci. (U.S.) 38, 961 —966.

Barker, A. S., J. L. Merz, and A. C. Gossard, 1978, “Study of zone-folding effects on phonons in alternating monolayers of GaAs-AlAs," Phys. Rev. В 17, 3181-3196.

Bartelink, D. J., 1980, “Surface depletion and inversion in semiconductors with arbitrary dopant profiles,” Appl. Phys. Lett. 37, 220-223.

Bartkowski, M., M. JaJochowski, Z. Korczak, M. Subotowicz, and M. ZaZuzny, 1979, “Quantum size effect in PbTe," in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 745 — 748.

Baru, V. G., and E. V. Grekov, 1980, “Gas-liquid phase transition in quasi-two-dimensional electron gas in magnetic semiconductors,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 22, 802 — 806 [Sov. Phys.—Solid State 22, 467 - 470 (1980)].

138 Baru, V. G., and E. V. Grekov, 1981, “Van der Waals theory of the phase transition of quasi-two-dimensional electron gas in magnetic semiconductors," Phys. Status Solidi В 105, * 369—376.

139*Basktn, E. M., A. V. Chaplik, and M. V. Entin, 1972, “Localized electron states in thin layers due to geometric defects of the surface," Zh. Eksp. Teor. Fiz. 63, 1077—1082 [Sov. Phys.-JETP 36, 566-569 (1973)].

140* Baskin, E. M., and M. V. Entin, 1969, “Electron scattering and the conductivity of a film with surface defects," Zh. Eksp. Teor. Fiz. 57, 460 - 468 [Sov. Phys.-JETP 30, 252-256 (1970)].

141* Baskin, E. M., and M. V. Entin, 1974, “Transport effects in the vicinity of a semiconductor surface under strong bandbending conditions," Fiz. Tekh. Poluprovodn. 8, 64 — 73 [Sov. Phys.—Semicond. 8, 37 — 42(1974)].

142* Baskin, E. M., L. N. Magarill, aud M. V. Entin, 1978, ‘Two- dimensional electron-impurity system in a strong magnetic field," Zh. Eksp. Tedr. Fiz. 75, 723-734 [Sov. Phys.-JETP 48, 365-370].

143* Bass, F. G., V. V. Zorchenko, and V. 1. Shashora, 1980, “Stark-cyclotron resonance in semiconductors with a superlattice," Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 31, 345 — 347 [JETP Lett. 31, 314^317 (1980)].

Bastard, G., 1981a, “Hydrogenic impurity states in a quantum well; A simple model." Phys. Rev. В 24, 4714 — 4722.

Bastard, G., 1981b, "Superlattice band structure in the envelope-function approximation," Phys. Rev. В 24, 5693-5697.

Basu, P. K., 1976, "On the validity of Matthiessen’s Rule in 146 the calculation of surface carrier mobility," Indian J. Pure Appl. Phys. 14, 767-768.

Basu, P. K., 1977, “High-field drift velocity of silicon inversion 147 layers—A Monte Carlo calculation," J. Appl. Phys. 48, 350-353.

Basu, P. K. 1978a, “Monte Carlo calculation of the drift velo- 148 city of electrons and holes in high electric fields in silicon MOSFETs," Surf. Sci. 73, 156-159.

Basu, P. K., 1978b, “Monte Carlo calculation of hot electron 149 drift velocity in silicon (lOO)-inversion layer by including three subbands," Solid State Commun. 27, 657 — 660.

Basu, P. K., 1979, “Correct form of energy-balance equation 150 for intervalley and intersubband scattering in semiconductors," Phys. Rev.-B 19, 4100— 4106.

Basu, P. K., and B. R. Nag, 1980, “Lattice scattering mobility 151 of a two-dimensional electron gas in GaAs," Phys. Rev. В 22, 4849-48 52.

Basu, P. K., and B. R. Nag, 1981, “Piezoelectric scattering in 152 quantized surface layers in semiconductors,” J. Phys. C 14, 1519-1522.

Bate, R. T„ 1977, “Electrically controllable superlattice," Bull. 153 Am. Phys. Soc. 22, 407.

Batra, I. P., 1978, “Electronic structure investigations of two 154 allotropic forms of SiO2: a-quartz and ^-cristobalite,” in The Physics of SiO2 and its Interfaces, edited by S. T. Pantelides (Pergamon, New York), pp. 65 — 69.

Bauer, R. S., J. C. McMenamin, R. Z. Bachrach, A. Bianconi, 155 L. Johansson, and H. Petersen, 1979, “Bonding at the Si(lll)-SiO2 interface: Stoichiometry and kinetics probed with synchrotron radiation photoemission spectroscopies," in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 797 — 800.

Bauer, R. S., J. C. McMenamin, H. Petersen, and A. Bianconi, 156 1978, “Initial stages of SiO2 formation on Si(lll)," in The Physics of SiO2 and its Interfaces, edited by S. T. Pantelides (Pergamon, New York), pp. 401 —406.

Baus, M., 1978, “Collective modes and dynamic structure fac- 157 tor of a two-dimensional electron solid," J. Stat. Phys. 19, 163-176.

Baus, M., 1980a, “Absence of long-range order with long-range 158 potentials," J. Stat. Phys. 22, 111 — 119.

Baus, M., 1980b, “Theoretical evidence for the existence of the 159 self-diflusion constant of two-dimensional electron liquids," J.

Phys. C 13, L41 —L43.

Baus, M., and J. Bosse, 1980, “Comments on self-diffiision in 160 two-dimensional electron liquids," Phys. Rev. A 22, 2284-2285.

Baus, M., and J.-P. Hansen, 1980, “Statistical mechanics of 161 simple Coulomb systems," Phys. Rep. 59, 1—94.

Beck, D. E., and P. Kumar, 1976, “Plasma oscillation of a 162 charge layer at an insulator surface," Phys. Rev. В 13, 2859-2864; 14, 5127(E).

Beinvogl, W., H. D. Drew, and F. Koch, 1978, “On the 163 resonant excitation of electron subbands on the surface of InSb,” in Physics of Narrow Gap Semiconductors, edited by J. Rau/uszkiewicz, M. Gorska, and E. Kaczmarek (PWN —Polish Scientific, Warsaw), pp. 411—416.

Beinvogl, W., A. Kamgar, and J. F. Koch, 1976, “Influence of 164

a magnetic field on electron subbands in a surface space- charge layer," Phys. Rev. В 14, 4274 — 4280.

Beinvogl, W., and J. F. Koch, 1977, “Spectroscopy of electron subband levels in an inversion layer on InSb,” Solid State Commun. 24, 687 - 690; Surf. Sci. 73, 547-548 (extended abstract) (1978).

Beinvogl, W., and J. F. Koch, 1978, "Intersubband-cyclotron combined resonance in a surface space charge layer," Phys. Rev. Lett. 40, 1736-1739.

Bell, R. 3., W. T. Housman, Jr., G. M. Goldman, and D. G. Rathbun, 1967, "Surface and bulk impurity eigenvalues in the shallow donor impurity theory,” Surf. Sci. 7, 293 — 301.

Bell, R. L., 1962, "Electric dipole spin transition in InSb," Phys. Rev. Lett. 9, 52 —54.

169* Beiyavskii, V. I., 1978, "Optical absorption by impurities in a semiconductor with a superlattice," Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 20, 2821 — 2822 [Sov. Phys.—Solid State 20, 1630-1631 (1978)1-

BenDaniel, D. J., and С. B. Duke, 1966, “Space-charge effects on electron tunneling," Phys. Rev. 152, 683 — 692.

Bendow, B., 1971, "Theory of the effect of finite crystal size on the frequencies and intensities of impurity absorption lines in semiconductors." Phys. Rev. В 3, 1999 — 2003.

Beni, G., and T. M. Rice, 1979, "Stability of the six-valley state of the Sid i 1) n-type inversion layer,” Phys. Rev. В 20, 5390-5393.

Berezinskii, V. L., 1970, “Destruction of long-range order in one-dimensional and two-dimensional systems having a continuous symmetry group. I. Classical systems,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 59, 907-920 -(Sov. Phys.—JETP 32, 493-500 (1971)].

174*Berezinskii, V. L., 1971, "Destruction of long-range order in one-dimensional and two-dimensional systems possessing a continuous symmetry group. II. Quantum systems,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 61, 1144—1156 [Sov. Phys.—JETP 34, 610-616(1972)].

Bergman, D. J., and T. M. Rice, 1977, “Possibility of a spindensity-wave or a valley-density-wave in the ground state of a two-dimensional electron fluid,” Solid State Commun. 23, 59-62.

Bergman, D. J., T. M. Rice, and P. A. Lee, 1977, “Fluctuations, Coulomb effects, and long-range order in incommensurate charge-density-wave structures," Phys. Rev. В 15, 1706-1718.

Bers, A., J. H. Cafarella, and В. E. Burke, 1973, “Surface mobility measurement using acoustic surface waves,” Appl. Phys. Lett. 22, 399-401.

Berz, F., 1970a, "Theory of low frequency noise in Si MOST's,” Solid-State Electron, 13, 631 —647.

Berz, F., 1970b» “Ionized impurity scattering in silicon surface channels,” Solid-State Electron, 13, 903 — 906.

Berz, F., 1975a, Comment on “Measurements and interpretation of low frequency noise in FETs," IEEE Trans. Electron Devices ED-22, 293-294.

. 181 Berz, F., 1975b, “The surface space charge layer,” in Surface Physics of Phosphors and Semiconductors, edited by C. G. Scott and С. E. Reed (Academic, New York), pp. 143 — 220.

182 Berz, F., and C. G. Prior, 1970, “Test of McWhorter's model of low-frequency noise in Si M.O.S.T.S,” Electron. Lett. 6, ; 595-597.

Bethin, J., T. G. Castner, and N. K. Lee, 1974, “Polarizabili- 183 ties of shallow donors in silicon," Solid State Commun. 14, 1321-1324.

Bezak, V., 1966a, “The degenerate semiconductor thin films. 184 I—The Fermi energy," J. Phys. Chern. Solids 27, 815 — 820.

Bezak, V., 1966b, “The degenerate semiconductor thin films. 185 II—The longitudinal electric conductivity," J. Phys. Chem. Solids 27, 821-834.

Binder, J., K. Germanova, A. Huber, and F. Koch, 1979a, 186 “Space-charge layers on Ge surfaces. I. de Conductivity and Shubnikov — de Haas effect,” Phys. Rev. В 20, 2382 — 2390.

Binder, J., A. Huber, K. Germanova, and F. Koch, 1979b, 187 "Space-charge layers on Ge surfaces. II. High-frequency conductivity and cyclotron resonance," Phys. Rev. В 20, 2391-2394.

Bishop, D. J., D. C. Tsui, and R. C. Dynes, 1980, “Nonmetal- 188 lie conduction in electron inversion layers at low temperatures,” Phys. Rev. Lett. 44, 1153—1156.

Bishop, D. J., D. C. Tsui, and R. C. Dynes, 1981, “Observa- 189 tion of a non-Ohmic Hall resistivity at low temperatures in a two-dimensional*electron gas," Phys. Rev. Lett. 46, 360—363.

Blakeslee, A. E. and C. F. Aliotta, 1970, “Man-made superlat- 190 tice crystals," IBM J. Res. Dev. 14, 686 — 688.

Blanc, J., C. J. Buiocchi, M, S. Abrahams, and W. E. Ham, 191 1977, "The Si/SiO2 interface examined by cross-sectional transmission electron microscopy," Appl. Phys. Lett. 30, 120-122.

Blanc, J., 1978, "A revised model for the oxidation of Si by ox- 192 ygen,” Appl. Phys. Lett. 33, 424 — 426.

Bliek, L. M., 1974, "The influence of Landau level broadening 193 on the Shubnikov—de Haas effect in two-dimensional conductors,” in Proceedings of the 12th International Conference on the Physics of Semiconductors, Stuttgart, edited by M. H. Pil- kuhn (Teubner, Stuttgart), pp. 729—733.

Bloss, W. L., and L. J. Sham, 1979, “Exciton effect in silicon 194 inversion layer,” Bull. Am. Phys. Soc. 24, 437.

Bloss, W. L., L. J. Sham, and B. Vinter, 1979, “Interaction- 195 induced transition at low densities in silicon inversion layer," Phys. Rev. Utt. 43, 1529-1532; Surf. Sci. 98, 250-255 (1980).

Bloss, W. L., S. C. Ying, and J. J. Quinn, 1981, “Exchange- 196 correlation effects in silicon (111) inversion layers: Strain- enhanced valley-occupancy phase transitions," Phys. Rev. В 23, 1839-1842.

Bloss, W. L., S. C. Ying, J. J. Quinn, T. Cole, and B. D. 197 McCombe, 1980, “Exchange-correlation effects in silicon inversion layers.- Valley occupancy phase transitions," in Proceedings of the 15th International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 49, Suppl.

A, 963 -966(1980)].

Bluyssen, H., 3. C. Maan, P. Wyder, L. L. Chang, and L. 198 Esaki, 1979, "Cyclotron resonance in an InAs-GaSb superlattice,” Solid State Commun. 31, 35 — 38.

Bonsall, L., and A. A. Maradudin, 1976, “Some dynamical 199 properties of a two-dimensional Wigner crystal," Surf. Sci. 58, 312-319.

Bonsall, L., and A. A. Maradudin, 1977, “Some static and 200 dynamical properties of a two-dimensional Wigner crystal,” Phys. Rev. В 15, 1959-1973.

Bose, S. M., 1976, “Electron correlations in a two-dimensional 201

Broomall, J. R., and D. G. Onn, 1975, “Surface electron bar- 224 , riers for hehum-3 and helium-4: Experimental study of density dependence,” in Proceedings of the 14th International Conference on Low Temperature Physics, edited by M.Krusius and M. Vuorio (North-Holland, Amsterdam), Vol. 1. pp. 439 — 442-Broux, G., R. Van Overstraeten, and G. Declerck, 1975, “Ex- 225 perimental results on fast surface states and 1// noise in M.O.S. transistors," Electron. Lett. 11, 97 — 98.Brown, E., 1969, “Effect of a tangential magnetic field on sur- 226 face inversion layer states,” IBM Research Report RC 2629 (unpublished).Brown, T. R., and С. C. Grimes, 1972, “Observation of cyclo- 227 iron resonance in surface-bound electrons on liquid helium," Phys. Rev. Lett. 29, 1233— 1236.Brown, T. R., and R. W. Hockney, 1976, “A phase transition 228 in a classical electron film," Surf. Sci. 58, 295 — 296.Burstein, E., A. Pinczuk, and S. Buchner, 1979, “Resonance 229 inelastic light scattering by charge carriers at semiconductor surfaces," in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L.H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1231 — 1234.Burstein, E., A. Pinczuk, and D. L. Mills, 1980, “Inelastic 230 light scattering by charge carrier excitations in two- dimensional plasmas: Theoretical considerations," Surf. Sci.98, 451-468.Butcher, P. N., 1980, “Calculation of hopping transport coeffi- 231 cients,” Philos. Mag, В 42, 799 — 824.Butcher, P. N., and K. J. Hayden, 1977, “Analytical formulae 232 for d.c. hopping conductivity. Degenerate hopping in wide bands," Philos. Mag. 36, 657 — 676.Butcher, P. N., K. J. Hayden, and J. A. McInnes, 1977. 233 “Analytical formulae for d.c. hopping conductivity,” Philos.Mag. 36, 19-32.Cadle, A., and M. Banville, 1976, “The interaction of the two- 234 dimensional plasmon with the surface plasmons in an MOS structure,” Solid State Commun. 19, 951 —954.Caille, A., M. Banville. and M. J. Zuckermann, 1977, “Interac- 235 tion of interface-plasmons and longitudinal optical phonons in a multilayer structure,” Solid State Commun. 24, 805 — 808.Calabrese, E., and W. B. Fowler, 1978, “Electronic energy- 236 band structure of a quartz," Phys. Rev. В 18, 2888 — 2896.Calinon, R„ Ph. Choquard, E. Jamin, and M. Navet, 1980, 237 "On the equation of state of the 2-D Wigner model," in Ordering in Two Dimensions, edited by S. K. Sinha (Elsevier —North-Holland, New York), pp. 317 — 320.Campo, A., and R. Kummel, 1981, “Valley splitting in (001), 238 (Oil) and (111) Si MOSFETs," Solid State Commun. 37, 433-435.Campo, A., R. Kummel, and H. Rauh, 1978, “Spin-orbit in- 239 teraction and many-body effects in surface states of silicon MOSFETs," Surf. Sci. 73,342-349.Canali, C., G. Manni, R. Minder, and G. Ottaviani, 1975. 240 “Electron and hole drift velocity measurements in silicon and their empirical relation to electric field and temperature,” IEEE Trans. Electron Devices ED-22, 1045-1047.Canel, E., 1978, “On the two-dimensional Wigner lattice in a 241Broomall, J. R., and D. G. Onn, 1975, “Surface electron bar- 224 , riers for hehum-3 and helium-4: Experimental study of density dependence,” in Proceedings of the 14th International Conference on Low Temperature Physics, edited by M.Krusius and M. Vuorio (North-Holland, Amsterdam), Vol. 1. pp. 439 — 442-Broux, G., R. Van Overstraeten, and G. Declerck, 1975, “Ex- 225 perimental results on fast surface states and 1// noise in M.O.S. transistors," Electron. Lett. 11, 97 — 98.Brown, E., 1969, “Effect of a tangential magnetic field on sur- 226 face inversion layer states,” IBM Research Report RC 2629 (unpublished).Brown, T. R., and С. C. Grimes, 1972, “Observation of cyclo- 227 iron resonance in surface-bound electrons on liquid helium," Phys. Rev. Lett. 29, 1233— 1236.Brown, T. R., and R. W. Hockney, 1976, “A phase transition 228 in a classical electron film," Surf. Sci. 58, 295 — 296.Burstein, E., A. Pinczuk, and S. Buchner, 1979, “Resonance 229 inelastic light scattering by charge carriers at semiconductor surfaces," in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L.H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1231 — 1234.Burstein, E., A. Pinczuk, and D. L. Mills, 1980, “Inelastic 230 light scattering by charge carrier excitations in two- dimensional plasmas: Theoretical considerations," Surf. Sci.98, 451-468.Butcher, P. N., 1980, “Calculation of hopping transport coeffi- 231 cients,” Philos. Mag, В 42, 799 — 824.Butcher, P. N., and K. J. Hayden, 1977, “Analytical formulae 232 for d.c. hopping conductivity. Degenerate hopping in wide bands," Philos. Mag. 36, 657 — 676.Butcher, P. N., K. J. Hayden, and J. A. McInnes, 1977. 233 “Analytical formulae for d.c. hopping conductivity,” Philos.Mag. 36, 19-32.Cadle, A., and M. Banville, 1976, “The interaction of the two- 234 dimensional plasmon with the surface plasmons in an MOS structure,” Solid State Commun. 19, 951 —954.Caille, A., M. Banville. and M. J. Zuckermann, 1977, “Interac- 235 tion of interface-plasmons and longitudinal optical phonons in a multilayer structure,” Solid State Commun. 24, 805 — 808.Calabrese, E., and W. B. Fowler, 1978, “Electronic energy- 236 band structure of a quartz," Phys. Rev. В 18, 2888 — 2896.Calinon, R„ Ph. Choquard, E. Jamin, and M. Navet, 1980, 237 "On the equation of state of the 2-D Wigner model," in Ordering in Two Dimensions, edited by S. K. Sinha (Elsevier —North-Holland, New York), pp. 317 — 320.Campo, A., and R. Kummel, 1981, “Valley splitting in (001), 238 (Oil) and (111) Si MOSFETs," Solid State Commun. 37, 433-435.Campo, A., R. Kummel, and H. Rauh, 1978, “Spin-orbit in- 239 teraction and many-body effects in surface states of silicon MOSFETs," Surf. Sci. 73,342-349.Canali, C., G. Manni, R. Minder, and G. Ottaviani, 1975. 240 “Electron and hole drift velocity measurements in silicon and their empirical relation to electric field and temperature,” IEEE Trans. Electron Devices ED-22, 1045-1047.Canel, E., 1978, “On the two-dimensional Wigner lattice in a 241magnetic field,” Surf. Sci. 73, 350 — 356.Canel, E., M. P. Matthews, and R. К. P. Zia, 1972, “Screening 242 in very thin films,” Phys. Kondens. Materie 15, 191—200.223 Brinkman, W F., and T. M. Rice, 1973, "Electron-hole liquids Caplan, P. J., E. H. Poindexter, В. E. Deal, and R. R. Razouk, 243 in semiconductors,” Phys. Rev. В 7, 1508— 1523.1980, “EPR defects and interface states on oxidized (1111 andmagnetic field,” Surf. Sci. 73, 350 — 356.Canel, E., M. P. Matthews, and R. К. P. Zia, 1972, “Screening 242 in very thin films,” Phys. Kondens. Materie 15, 191—200.223 Brinkman, W F., and T. M. Rice, 1973, "Electron-hole liquids Caplan, P. J., E. H. Poindexter, В. E. Deal, and R. R. Razouk, 243 in semiconductors,” Phys. Rev. В 7, 1508— 1523.1980, “EPR defects and interface states on oxidized (1111 and

Broomall, J. R., and D. G. Onn, 1975, “Surface electron bar- 224 , riers for hehum-3 and helium-4: Experimental study of density dependence,” in Proceedings of the 14th International Conference on Low Temperature Physics, edited by M.

Krusius and M. Vuorio (North-Holland, Amsterdam), Vol. 1. pp. 439 — 442-

Broux, G., R. Van Overstraeten, and G. Declerck, 1975, “Ex- 225 perimental results on fast surface states and 1// noise in M.O.S. transistors," Electron. Lett. 11, 97 — 98.

Brown, E., 1969, “Effect of a tangential magnetic field on sur- 226 face inversion layer states,” IBM Research Report RC 2629 (unpublished).

Brown, T. R., and С. C. Grimes, 1972, “Observation of cyclo- 227 iron resonance in surface-bound electrons on liquid helium," Phys. Rev. Lett. 29, 1233— 1236.

Brown, T. R., and R. W. Hockney, 1976, “A phase transition 228 in a classical electron film," Surf. Sci. 58, 295 — 296.

Burstein, E., A. Pinczuk, and S. Buchner, 1979, “Resonance 229 inelastic light scattering by charge carriers at semiconductor surfaces," in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L.

H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1231 — 1234.

Burstein, E., A. Pinczuk, and D. L. Mills, 1980, “Inelastic 230 light scattering by charge carrier excitations in two- dimensional plasmas: Theoretical considerations," Surf. Sci.

98, 451-468.

Butcher, P. N., 1980, “Calculation of hopping transport coeffi- 231 cients,” Philos. Mag, В 42, 799 — 824.

Butcher, P. N., and K. J. Hayden, 1977, “Analytical formulae 232 for d.c. hopping conductivity. Degenerate hopping in wide bands," Philos. Mag. 36, 657 — 676.

Butcher, P. N., K. J. Hayden, and J. A. McInnes, 1977. 233 “Analytical formulae for d.c. hopping conductivity,” Philos.

Mag. 36, 19-32.

Cadle, A., and M. Banville, 1976, “The interaction of the two- 234 dimensional plasmon with the surface plasmons in an MOS structure,” Solid State Commun. 19, 951 —954.

Caille, A., M. Banville. and M. J. Zuckermann, 1977, “Interac- 235 tion of interface-plasmons and longitudinal optical phonons in a multilayer structure,” Solid State Commun. 24, 805 — 808.

Calabrese, E., and W. B. Fowler, 1978, “Electronic energy- 236 band structure of a quartz," Phys. Rev. В 18, 2888 — 2896.

Calinon, R„ Ph. Choquard, E. Jamin, and M. Navet, 1980, 237 "On the equation of state of the 2-D Wigner model," in Ordering in Two Dimensions, edited by S. K. Sinha (Elsevier —North-Holland, New York), pp. 317 — 320.

Campo, A., and R. Kummel, 1981, “Valley splitting in (001), 238 (Oil) and (111) Si MOSFETs," Solid State Commun. 37, 433-435.

Campo, A., R. Kummel, and H. Rauh, 1978, “Spin-orbit in- 239 teraction and many-body effects in surface states of silicon MOSFETs," Surf. Sci. 73,342-349.

Canali, C., G. Manni, R. Minder, and G. Ottaviani, 1975. 240 “Electron and hole drift velocity measurements in silicon and their empirical relation to electric field and temperature,” IEEE Trans. Electron Devices ED-22, 1045-1047.

Canel, E., 1978, “On the two-dimensional Wigner lattice in a 241

Broomall, J. R., and D. G. Onn, 1975, “Surface electron bar- 224 , riers for hehum-3 and helium-4: Experimental study of density dependence,” in Proceedings of the 14th International Conference on Low Temperature Physics, edited by M.

Krusius and M. Vuorio (North-Holland, Amsterdam), Vol. 1. pp. 439 — 442-

Broux, G., R. Van Overstraeten, and G. Declerck, 1975, “Ex- 225 perimental results on fast surface states and 1// noise in M.O.S. transistors," Electron. Lett. 11, 97 — 98.

Brown, E., 1969, “Effect of a tangential magnetic field on sur- 226 face inversion layer states,” IBM Research Report RC 2629 (unpublished).

Brown, T. R., and С. C. Grimes, 1972, “Observation of cyclo- 227 iron resonance in surface-bound electrons on liquid helium," Phys. Rev. Lett. 29, 1233— 1236.

Brown, T. R., and R. W. Hockney, 1976, “A phase transition 228 in a classical electron film," Surf. Sci. 58, 295 — 296.

Burstein, E., A. Pinczuk, and S. Buchner, 1979, “Resonance 229 inelastic light scattering by charge carriers at semiconductor surfaces," in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L.

H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1231 — 1234.

Burstein, E., A. Pinczuk, and D. L. Mills, 1980, “Inelastic 230 light scattering by charge carrier excitations in two- dimensional plasmas: Theoretical considerations," Surf. Sci.

98, 451-468.

Butcher, P. N., 1980, “Calculation of hopping transport coeffi- 231 cients,” Philos. Mag, В 42, 799 — 824.

Butcher, P. N., and K. J. Hayden, 1977, “Analytical formulae 232 for d.c. hopping conductivity. Degenerate hopping in wide bands," Philos. Mag. 36, 657 — 676.

Butcher, P. N., K. J. Hayden, and J. A. McInnes, 1977. 233 “Analytical formulae for d.c. hopping conductivity,” Philos.

Mag. 36, 19-32.

Cadle, A., and M. Banville, 1976, “The interaction of the two- 234 dimensional plasmon with the surface plasmons in an MOS structure,” Solid State Commun. 19, 951 —954.

Caille, A., M. Banville. and M. J. Zuckermann, 1977, “Interac- 235 tion of interface-plasmons and longitudinal optical phonons in a multilayer structure,” Solid State Commun. 24, 805 — 808.

Calabrese, E., and W. B. Fowler, 1978, “Electronic energy- 236 band structure of a quartz," Phys. Rev. В 18, 2888 — 2896.

Calinon, R„ Ph. Choquard, E. Jamin, and M. Navet, 1980, 237 "On the equation of state of the 2-D Wigner model," in Ordering in Two Dimensions, edited by S. K. Sinha (Elsevier —North-Holland, New York), pp. 317 — 320.

Campo, A., and R. Kummel, 1981, “Valley splitting in (001), 238 (Oil) and (111) Si MOSFETs," Solid State Commun. 37, 433-435.

Campo, A., R. Kummel, and H. Rauh, 1978, “Spin-orbit in- 239 teraction and many-body effects in surface states of silicon MOSFETs," Surf. Sci. 73,342-349.

Canali, C., G. Manni, R. Minder, and G. Ottaviani, 1975. 240 “Electron and hole drift velocity measurements in silicon and their empirical relation to electric field and temperature,” IEEE Trans. Electron Devices ED-22, 1045-1047.

Canel, E., 1978, “On the two-dimensional Wigner lattice in a 241

magnetic field,” Surf. Sci. 73, 350 — 356.

Canel, E., M. P. Matthews, and R. К. P. Zia, 1972, “Screening 242 in very thin films,” Phys. Kondens. Materie 15, 191—200.

223 Brinkman, W F., and T. M. Rice, 1973, "Electron-hole liquids Caplan, P. J., E. H. Poindexter, В. E. Deal, and R. R. Razouk, 243 in semiconductors,” Phys. Rev. В 7, 1508— 1523.1980, “EPR defects and interface states on oxidized (1111 and

magnetic field,” Surf. Sci. 73, 350 — 356.

Canel, E., M. P. Matthews, and R. К. P. Zia, 1972, “Screening 242 in very thin films,” Phys. Kondens. Materie 15, 191—200.

223 Brinkman, W F., and T. M. Rice, 1973, "Electron-hole liquids Caplan, P. J., E. H. Poindexter, В. E. Deal, and R. R. Razouk, 243 in semiconductors,” Phys. Rev. В 7, 1508— 1523.1980, “EPR defects and interface states on oxidized (1111 and

electron gas,” Phys. Rev. В 13, 4192 — 4195.

202 Bottka, N., and M. E. Hills, 1978, “Internal electroabsorption in inverted heterostructures: An optical method for proting epitaxial layers,” Appl. Phys. Lett. 3 3, 765 — 767.

203 Bottoms, W. R., and D. Guterman, 1974, “Electron beam probe studies of semiconductor-insulator interfaces,” J. Vac. Sci. Technol- 11, 965-971.

204 Bouat, J., and J. C. Thuillier, 1974, “Surface quantum transport in MOS structure on tellurium,” in Proceedings of the Sth Conference on Solid State Devices, Tokyo, 1973 [J. Japan Soc. Appl. Phys. 43, Suppl., 327 — 331].

205 Bouat, J., and J. C. Thuillier, 1977, “Surface quantum oscillations in tellurium inversion layers,” Phys. Lett. A 62, 523-525.

206 Bouat, J., and J. C. Thuillier, 1978a, “Surface quantum transport in tellurium inversion layers,” Surf. Sci. 73, 528 — 536.

207 Bouat, J., and J. C. Thuillier, 1978b, “Calculation of surface quantum levels in tellurium inversion layers,” J. Phys. (Paris) 39, 1193-1197.

208 Boudry, M. R., and J. P. Stagg, 1979, “The kinetic behavior of mobile ions in the Al-SiOj-Si system,” J. Appl. Phys. 50, 942-950.

209 Bowers, R., and Y. Yafet, 1959, “Magnetic susceptibility of InSb,” Phys Rev. 115, 1165-1172.

210**Brattain, W. H., and J. Bardeen, 1953, “Surface properties of germanium,” Bell Syst. Tech. J. 32, 1—41.

211 Braun, E., E. Staben, and K. von Klitzing, 1980, “Experimental determination of h/e2 by the quantized Hall resistance in MOSFETs,” PTB-Mitteilungen 90, 350-351.

212 Brews, J. R., 1972a, "Surface potential fluctuations generated by interface charge inhomogeneities in MOS devices,” J. Appl. Phys. 43, 2306-2313.

213 Brews, J. R., 1972b, “Admittance of an MOS device with interface charge inhomogeneities,” J. Appl. Phys. 43, 3451-3455.

214 Brews, J. R., 1973a, “Limitations on photoinjection studies of charge distributions close to interfaces in MOS capacitors," J. Appl. Phys. 44,3 79-3 84.

215 Brews, J. R., 1973b, “Correcting interface-state errors in MOS doping profile determinations,” J. Appl. Phys. 44, 3228-3231.

216 Brews, J. R., 1975a, “Theory of the carrier-density fluctuations in an IGFET near threshold," J. Appl. Phys. 46, 2181—2192.

217 Brews, J. R., 1975b, “Carrier density fluctuations and the IGFET mobility near threshold," 3. Appl. Phys. 46, 2193 — 2203.

218 Brews, J. R., 1977, Comments on “A new approach to the theory and modeling of IGFET’s" IEEE Trans. Electron Devices ED-24, 1369-1370.

219 Brews, J. R., 1978, “A charge-sheet model of the MOSFET,” Solid-State Electron. 21, 345 — 355.

220 Brews, J. R., 1981, “Physics of the MOS transistor," in Silicon Integrated Circuits, edited by D. Kahng (Suppl. 2 of Applied Solid State Science, edited by R. Wolfe) (Academic, New York), Part A, pp. I — 120.

221 Brews, J. R., and A. D. Lopez, 1973, “A test for lateral nonuniformities in MOS devices using only capacitance curves,” Solid-State Electron. 16, 1267 — 1277.

222 Bridges, F., and J. F. McGill, 1977, “Mobility of electrons on the surface of liquid helium,” Phys. Rev. В 15, 1324—1339.

silicon,” in The Physics of MOS Insulators, edited by G. Lucovsky, S. T. Pantelides, and F. L. Galeener (Pergamon, New York), pp. 306-310.

244 Cardona, M., and F. H. Pollak, 1966, “Energy-band structure of germanium and silicon: The k p method.'' Phys. Rev. 142. 530-543.

245 Саге. С. M., and N. H. March, 1975, “Electron crystalliza

tion,’* Adv. Phys. 24, 101 — 116.

246 Carr, W. J., Jr., 1961, “Energy, specific heat, and magnetic properties of the low-density electron gas,” Phys. Rev. 122, 1437-1446.

247 Caruthers, E., and P. J. Lin-Chung, 1978, "Pseudopotential calculations for ultrathin layer heterostructures,” J. Vac. Sci. Technol. 15, 1459-1464.

248**Casey, H. C„ Jr., and M. B. Panish, 1978, Heterostructure Lasers (Academic, New York).

Castner, T. G., N. K. Lee, G. S. Cieloszyk, and G. L. Salinger, 1975, “Dielectric anomaly and the metal-insulator transition in n-type Si,” Phys. Rev. Lett. 34, 1627— 1630.

Ceperley, D., 1978, "Ground state of the fermion one- component plasma: A Monte Carlo study in two and three dimensions,” Phys. Rev. В 18, 3126 — 3138.

Chakravarti, A. N., A. K. Chowdhury, К. P. Ghatak, and D. R. Choudhury, 1980, "On the modification of the Einstein relation for inversion layers on narrow gap semiconductors in a strong electric field," Phys. Status Solidi A 59, K211 — K215.

Chakravarty, S., and C. Dasgupta, 1980, “Absence of crystalline order in two dimensions,” Phys. Rev. В 22, 369 — 372.

Chalupa, J., 1975, “Equation of state of a classical electron layer,** Phys. Rev. В 12, 4 — 9.

254 Cham, К. M., and R. G. Wheeler, 1980a, “Electron-phonon interactions in и-type silicon inversion layers at low temperatures," Surf. Sci. 98, 210 (abstract).

255 Cham, К. M., and R. G. Wheeler, 1980b, “Temperaturedependent resistivities in silicon inversion layers at low temperatures,” Phys. Rev. Lett. 44, 1472— 1475.

Chan, M., M. Ryschkewitsch, and H. Meyer, 1977, “The dielectric constant in liquid and solid 4He,” J. Low Temp. Phys. 26, 211-228.

Chang, C.-A., A. Segmiiller, L. L. Chang, and L. Esaki, 1981, “Ge-GaAs superlattices by molecular beam epitaxy,” Appl. Phys. Lett. 38, 912-914.

Chang, H. R., and F. Koch, 1981, “Cyclotron resonance at Na+-doped Si-SiO2 interfaces,” Solid State Commun. 38. 1189-1192.

Chang, H. R., H. Reisinger, F. Schaffler, J. Scholz, K. Wies- inger, and F. Koch, 1980, “Developments in subband spectroscopy,” in Proceedings of the 15th International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 49, Suppl. A, 955-958].

Chang, L. L., 1978, “Sub-band dimensionality in semiconductor superlattices," Surf. Sci. 73, 226-228.-

Chang, L. L., 1980, “Semiconductor-semimetal transitions in InAs-GaSb superlattices," in Proceedings of the 15th International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto,” [J. Phys. Soc. Japan 49, Suppl. A, 997 — 1004].

Chang, L. L., and L. Esaki, 1980, "Electronic properties of InAs-GaSb superlattices,” Surf. Sci. 98, 70 — 89.

Chang, L. L., L. Esaki, W. E. Howard, R. Ludeke, and G. Schul, 1973, "Structures grown by molecular beam epitaxy,” J. Vac. Sci. Technol. 10,655-662.

Chang, L. L., L. Esaki, A. Segmiiller, and R. Tsu, 1974a, 264 “Resonant electron tunneling in semiconductor barrier structures,” in Proceedings of the 12ih International Conference on the Physics of Semiconductors, Stuttgart, edited by M. H. Pil- kuhn (Teubner, Stuttgart), pp. 688 — 692.

Chang, L. L., L. Esaki, and R. Tsu, 1974b, “Resonant tunnel- 265 ing in semiconductor double barriers," Appl. Phys. Lett. 24, 593-595.

Chang, L. L., and W. E. Howard, 1965, “Surface inversion 266 and accumulation of anodized InSb,” Appl. Phys. Lett. 7,

210-212.

Chang, L. L., N. Kawai, G. A. Sai-Halasz, R. Ludeke, and L. 267 Esaki, 1979, "Observation of semiconductor-semimetal transitions in InAs-GaSb superlattices,” Appl. Phys. Lett. 35, 939-942.

Chang, L. L., N. J. Kawai, E. E. Mendez, C.-A. Chang, and 268 L. Esaki, 1981, "Semimetallic InAs-GaSb superlattices to the heterojunction limit," Appl. Phys. Lett. 38, 30 — 32.

Chang, L. L., and R. Ludeke, 1975, “Molecular-beam epi- 269 taxy," in Epitaxial Growth, Part A, edited by J. W. Matthews (Academic, New York), pp. 37 — 72.

Chang, L. L., G. A. Sai-Halasz, L. Esaki, and R. L. Aggarwal, 270 1981, “Spatial separation of carriers in InAs-GaSb superlattices,” L Vac. Sci. Technol. 19, 589 — 591.

Chang, L. L., H. Sakaki, C. A. Chang, and L. Esaki, 1977, 271 "Shubnikov — de Haas oscillations in a semiconductor super- lattice,** Phys. Rev. Lett. 38, 1489—1493.

Chaplik, A. V., 1970, “Impurity scattering of electrons in thin 272 films,'* Zh. Eksp. Teor. Fiz. 59, 2110—2115 [Sov. Phys.— JETP 32, 1143-1145 (1971)].

Chaplik, A. V., 1971a, “Energy spectrum and electron scatter- 273 ing processes in inversion layers," Zh. Eksp. Teor. Fiz. 60, 1845- 1852 [Sov. Phys—JETP 33, 997-1000 (1971)].

Chaplik, A. V., 1971b, “Some features of the temperature 274* dependence of the conductivity of thin films,1* Fiz. Tekh. Po- luprovodn. 5, 1900—1903 [Sov. Phys.—Semicond. 5, 1651-1653 (1972)].

Chaplik, A. V., 1972a, "Possible crystallization of charge car- 275* riers in low-density inversion layers,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 62, 746-753 [Sov. Phys—JETP 35, 395-398 (1972)].

Chaplik, A. V., 1972b, “Magnetic surface levels in semiconduc- 276* tors,” Fiz. Tekh. Poluprovodn. 6, 1760—1764 [Sov. Phys.— Semicond. 6,1516-1519 (1973)].

Chaplik, A. V., 1977a, “Phase diagram of a two-dimensional Til* Wigner crystal in a magnetic field,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 72, 1946-1952 [Sov. Phys—JETP 45, 1023-1026 (197 7)].

Chaplik, A. V., 1977b, “Phase diagram of the two-dimensional 278 (TD) electron crystal in a magnetic field,” in Proceedings of the Seventh International Vacuum Congress and the Third International Conference on Solid Surfaces, Vienna, edited by R. Dobrozemsky, F. Riidenauer, F. P. Viehbock, and A. Breth (Berger, Horn, Austria), Vol. I, pp. 399 — 401.

Chaplik, A. V., 1978, “Two-dimensional plasmons on the sur- 279 face of piezocrystal," Solid State Commun. 27, 1297-1300.

Chaplik, A. V., 1980, “Amplification of two-dimensional plas- 280' ma waves in superlattices," Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red 32, 529-532 [JETP Lett. 32, 509-512].

Chaplik, A. V., and M. V. Entin, 1968, “Energy spectrum and 281* electron motility in a thin film with non-ideal boundary,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 55, 990-998 [Sov. Phys—JETP 28, 514-517 (1969)].

"Absorption of light Cheng, Y. C, and E. A. Sullivan, 1974,"Absorption of light Cheng, Y. C, and E. A. Sullivan, 1974,“Effect of Coulomb 303 scattering on silicon surface mobility," J. Appl. Phys. 45, 187-192.Chernikova, D. M., 1976, “Charged helium surface in a capa- 304* citor,” Fiz. Nizk. Temp. 2, 1374-1378 [Sov. J. Low Temp.Phys. 2, 669-671 (1976)].Cheung, N. W., L. C. Feldman, P. J. Silverman, and I. 305 Stensgaard, 1979, “Studies of the Si-SiO2 interface by MeV ion channeling," Appl. Phys. Lett. 35, 859-861..Chin, R„ N. Holonyak, Jr., B. A. Vojak, K. Hess, R. D. Du- 306 puis, and P. D. Dapkus, 1980, "Temperature dependence of threshold current for quantum-well Al^Ga^As-GaAs heterostructure laser diodes," Appl. Phys. Lett. 36, 19 — 21.Ching, L. Y., E. Burstein, S. Buchner, and H. H. Wieder, 307 1980, “Resonant Raman scattering at InAs surfaces in MOS junctions,” in Proceedings of the 15th International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc.Japan 49, Suppl. A, 951—954].Chiu, K. W., T. K. Lee, and J. J. Quinn, 1976, "Infrared 308 magneto-transmittance of a two-dimensional electron gas,” Surf. Sci. 58, 182-184.Chiu, K. W., and J. J. Quinn, 1974, "Plasma oscillations of a 309 two-dimensional electron gas in a strong magnetic field,” Phys. Rev. В 9, 4724-4732.Cho, A. Y., and J. R. Arthur, 1976, “Molecular beam epi- 310 taxy," in Progress in Solid State Chemistry, edited by J. O. McCaldin and G. Somorjai (Pergamon, Oxford), Vol. 10, pp. 157-191.Choudhuri, D. Ray, and D. Chattopadhyay, 1979, “First order 311 intervalley scattering in silicon inversion layers,” Solid State Commun. 32, 105 3—1054.Choudhury, D. R., P. K. Basu, and A. N. Chakravarti, 1976a, 312 "Effect of the surface electric field on the specific heat of semiconductor inversion layers,” Phys. Status Solidi A 36, K65 - K69.Choudhury, D. R., P. K. Basu, and A. N. Chakravarti, 1976b, 313 "On the modification of the Einstein relation for semiconductor inversion layers,” Phys. Status Solidi A 38, K85 —K88.Choudhury, D. R., A. K. Choudhury, and A. N. Chakravarti, 314 1980, “Effect of a quantizing magnetic field on the capacitance of MOS structures of small-gap semiconductors,” Appl. Phys. 22, 145—148..Chroboczek, J., D. I. Aladashvili, and L. Sosnowski, 1974, 315 “Magnetically controlled surface conduction in p-type InSb at liquid helium temperatures,” in Proceedings of the 12th International Conference on the Physics of Semiconductors, Stuttgart, edited by M. H. Pilkuhn (Teubner, Stuttgart), pp. 698-702.Churchill, J. N., and F. E. Holmstrom, 1981, “Comments on 316 the existence of Bloch oscillations," Phys. Lett. A 85, 453-456.Clark, T. D„ 1974, “Quantum size effect in the electrical con- 317 ductivity of BigTe7S5," J. Phys. Chern. Solids 35, 9—13.Coen, R. W., and R. S. Muller, 1980, "Velocity of surface car- 318 riers in inversion layers on silicon,** Solid-State Electron. 23, 35-40.Cohen, M. L., 1964, “Superconductivity in many-valley sem- 319 iconductors and in semimetals,” Phys. Rev. 134, A511-A521.Coldwell-Horsfall, R. A., and A. A. Maradudin, 1960, “Zero- 320“Effect of Coulomb 303 scattering on silicon surface mobility," J. Appl. Phys. 45, 187-192.Chernikova, D. M., 1976, “Charged helium surface in a capa- 304* citor,” Fiz. Nizk. Temp. 2, 1374-1378 [Sov. J. Low Temp.Phys. 2, 669-671 (1976)].Cheung, N. W., L. C. Feldman, P. J. Silverman, and I. 305 Stensgaard, 1979, “Studies of the Si-SiO2 interface by MeV ion channeling," Appl. Phys. Lett. 35, 859-861..Chin, R„ N. Holonyak, Jr., B. A. Vojak, K. Hess, R. D. Du- 306 puis, and P. D. Dapkus, 1980, "Temperature dependence of threshold current for quantum-well Al^Ga^As-GaAs heterostructure laser diodes," Appl. Phys. Lett. 36, 19 — 21.Ching, L. Y., E. Burstein, S. Buchner, and H. H. Wieder, 307 1980, “Resonant Raman scattering at InAs surfaces in MOS junctions,” in Proceedings of the 15th International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc.Japan 49, Suppl. A, 951—954].Chiu, K. W., T. K. Lee, and J. J. Quinn, 1976, "Infrared 308 magneto-transmittance of a two-dimensional electron gas,” Surf. Sci. 58, 182-184.Chiu, K. W., and J. J. Quinn, 1974, "Plasma oscillations of a 309 two-dimensional electron gas in a strong magnetic field,” Phys. Rev. В 9, 4724-4732.Cho, A. Y., and J. R. Arthur, 1976, “Molecular beam epi- 310 taxy," in Progress in Solid State Chemistry, edited by J. O. McCaldin and G. Somorjai (Pergamon, Oxford), Vol. 10, pp. 157-191.Choudhuri, D. Ray, and D. Chattopadhyay, 1979, “First order 311 intervalley scattering in silicon inversion layers,” Solid State Commun. 32, 105 3—1054.Choudhury, D. R., P. K. Basu, and A. N. Chakravarti, 1976a, 312 "Effect of the surface electric field on the specific heat of semiconductor inversion layers,” Phys. Status Solidi A 36, K65 - K69.Choudhury, D. R., P. K. Basu, and A. N. Chakravarti, 1976b, 313 "On the modification of the Einstein relation for semiconductor inversion layers,” Phys. Status Solidi A 38, K85 —K88.Choudhury, D. R., A. K. Choudhury, and A. N. Chakravarti, 314 1980, “Effect of a quantizing magnetic field on the capacitance of MOS structures of small-gap semiconductors,” Appl. Phys. 22, 145—148..Chroboczek, J., D. I. Aladashvili, and L. Sosnowski, 1974, 315 “Magnetically controlled surface conduction in p-type InSb at liquid helium temperatures,” in Proceedings of the 12th International Conference on the Physics of Semiconductors, Stuttgart, edited by M. H. Pilkuhn (Teubner, Stuttgart), pp. 698-702.Churchill, J. N., and F. E. Holmstrom, 1981, “Comments on 316 the existence of Bloch oscillations," Phys. Lett. A 85, 453-456.Clark, T. D„ 1974, “Quantum size effect in the electrical con- 317 ductivity of BigTe7S5," J. Phys. Chern. Solids 35, 9—13.Coen, R. W., and R. S. Muller, 1980, "Velocity of surface car- 318 riers in inversion layers on silicon,** Solid-State Electron. 23, 35-40.Cohen, M. L., 1964, “Superconductivity in many-valley sem- 319 iconductors and in semimetals,” Phys. Rev. 134, A511-A521.Coldwell-Horsfall, R. A., and A. A. Maradudin, 1960, “Zero- 320

"Absorption of light Cheng, Y. C, and E. A. Sullivan, 1974,

"Absorption of light Cheng, Y. C, and E. A. Sullivan, 1974,

“Effect of Coulomb 303 scattering on silicon surface mobility," J. Appl. Phys. 45, 187-192.

Chernikova, D. M., 1976, “Charged helium surface in a capa- 304* citor,” Fiz. Nizk. Temp. 2, 1374-1378 [Sov. J. Low Temp.

Phys. 2, 669-671 (1976)].

Cheung, N. W., L. C. Feldman, P. J. Silverman, and I. 305 Stensgaard, 1979, “Studies of the Si-SiO2 interface by MeV ion channeling," Appl. Phys. Lett. 35, 859-861..

Chin, R„ N. Holonyak, Jr., B. A. Vojak, K. Hess, R. D. Du- 306 puis, and P. D. Dapkus, 1980, "Temperature dependence of threshold current for quantum-well Al^Ga^As-GaAs heterostructure laser diodes," Appl. Phys. Lett. 36, 19 — 21.

Ching, L. Y., E. Burstein, S. Buchner, and H. H. Wieder, 307 1980, “Resonant Raman scattering at InAs surfaces in MOS junctions,” in Proceedings of the 15th International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc.

Japan 49, Suppl. A, 951—954].

Chiu, K. W., T. K. Lee, and J. J. Quinn, 1976, "Infrared 308 magneto-transmittance of a two-dimensional electron gas,” Surf. Sci. 58, 182-184.

Chiu, K. W., and J. J. Quinn, 1974, "Plasma oscillations of a 309 two-dimensional electron gas in a strong magnetic field,” Phys. Rev. В 9, 4724-4732.

Cho, A. Y., and J. R. Arthur, 1976, “Molecular beam epi- 310 taxy," in Progress in Solid State Chemistry, edited by J. O. McCaldin and G. Somorjai (Pergamon, Oxford), Vol. 10, pp. 157-191.

Choudhuri, D. Ray, and D. Chattopadhyay, 1979, “First order 311 intervalley scattering in silicon inversion layers,” Solid State Commun. 32, 105 3—1054.

Choudhury, D. R., P. K. Basu, and A. N. Chakravarti, 1976a, 312 "Effect of the surface electric field on the specific heat of semiconductor inversion layers,” Phys. Status Solidi A 36, K65 - K69.

Choudhury, D. R., P. K. Basu, and A. N. Chakravarti, 1976b, 313 "On the modification of the Einstein relation for semiconductor inversion layers,” Phys. Status Solidi A 38, K85 —K88.

Choudhury, D. R., A. K. Choudhury, and A. N. Chakravarti, 314 1980, “Effect of a quantizing magnetic field on the capacitance of MOS structures of small-gap semiconductors,” Appl. Phys. 22, 145—148..

Chroboczek, J., D. I. Aladashvili, and L. Sosnowski, 1974, 315 “Magnetically controlled surface conduction in p-type InSb at liquid helium temperatures,” in Proceedings of the 12th International Conference on the Physics of Semiconductors, Stuttgart, edited by M. H. Pilkuhn (Teubner, Stuttgart), pp. 698-702.

Churchill, J. N., and F. E. Holmstrom, 1981, “Comments on 316 the existence of Bloch oscillations," Phys. Lett. A 85, 453-456.

Clark, T. D„ 1974, “Quantum size effect in the electrical con- 317 ductivity of BigTe7S5," J. Phys. Chern. Solids 35, 9—13.

Coen, R. W., and R. S. Muller, 1980, "Velocity of surface car- 318 riers in inversion layers on silicon,** Solid-State Electron. 23, 35-40.

Cohen, M. L., 1964, “Superconductivity in many-valley sem- 319 iconductors and in semimetals,” Phys. Rev. 134, A511-A521.

Coldwell-Horsfall, R. A., and A. A. Maradudin, 1960, “Zero- 320

“Effect of Coulomb 303 scattering on silicon surface mobility," J. Appl. Phys. 45, 187-192.

Chernikova, D. M., 1976, “Charged helium surface in a capa- 304* citor,” Fiz. Nizk. Temp. 2, 1374-1378 [Sov. J. Low Temp.

Phys. 2, 669-671 (1976)].

Cheung, N. W., L. C. Feldman, P. J. Silverman, and I. 305 Stensgaard, 1979, “Studies of the Si-SiO2 interface by MeV ion channeling," Appl. Phys. Lett. 35, 859-861..

Chin, R„ N. Holonyak, Jr., B. A. Vojak, K. Hess, R. D. Du- 306 puis, and P. D. Dapkus, 1980, "Temperature dependence of threshold current for quantum-well Al^Ga^As-GaAs heterostructure laser diodes," Appl. Phys. Lett. 36, 19 — 21.

Ching, L. Y., E. Burstein, S. Buchner, and H. H. Wieder, 307 1980, “Resonant Raman scattering at InAs surfaces in MOS junctions,” in Proceedings of the 15th International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc.

Japan 49, Suppl. A, 951—954].

Chiu, K. W., T. K. Lee, and J. J. Quinn, 1976, "Infrared 308 magneto-transmittance of a two-dimensional electron gas,” Surf. Sci. 58, 182-184.

Chiu, K. W., and J. J. Quinn, 1974, "Plasma oscillations of a 309 two-dimensional electron gas in a strong magnetic field,” Phys. Rev. В 9, 4724-4732.

Cho, A. Y., and J. R. Arthur, 1976, “Molecular beam epi- 310 taxy," in Progress in Solid State Chemistry, edited by J. O. McCaldin and G. Somorjai (Pergamon, Oxford), Vol. 10, pp. 157-191.

Choudhuri, D. Ray, and D. Chattopadhyay, 1979, “First order 311 intervalley scattering in silicon inversion layers,” Solid State Commun. 32, 105 3—1054.

Choudhury, D. R., P. K. Basu, and A. N. Chakravarti, 1976a, 312 "Effect of the surface electric field on the specific heat of semiconductor inversion layers,” Phys. Status Solidi A 36, K65 - K69.

Choudhury, D. R., P. K. Basu, and A. N. Chakravarti, 1976b, 313 "On the modification of the Einstein relation for semiconductor inversion layers,” Phys. Status Solidi A 38, K85 —K88.

Choudhury, D. R., A. K. Choudhury, and A. N. Chakravarti, 314 1980, “Effect of a quantizing magnetic field on the capacitance of MOS structures of small-gap semiconductors,” Appl. Phys. 22, 145—148..

Chroboczek, J., D. I. Aladashvili, and L. Sosnowski, 1974, 315 “Magnetically controlled surface conduction in p-type InSb at liquid helium temperatures,” in Proceedings of the 12th International Conference on the Physics of Semiconductors, Stuttgart, edited by M. H. Pilkuhn (Teubner, Stuttgart), pp. 698-702.

Churchill, J. N., and F. E. Holmstrom, 1981, “Comments on 316 the existence of Bloch oscillations," Phys. Lett. A 85, 453-456.

Clark, T. D„ 1974, “Quantum size effect in the electrical con- 317 ductivity of BigTe7S5," J. Phys. Chern. Solids 35, 9—13.

Coen, R. W., and R. S. Muller, 1980, "Velocity of surface car- 318 riers in inversion layers on silicon,** Solid-State Electron. 23, 35-40.

Cohen, M. L., 1964, “Superconductivity in many-valley sem- 319 iconductors and in semimetals,” Phys. Rev. 134, A511-A521.

Coldwell-Horsfall, R. A., and A. A. Maradudin, 1960, “Zero- 320

282* Chaplik, А. V., and М. V. Entin, 1970, by free carriers in a thin film with non-ideal surface,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 59, 857-864 [Sov. Phys—JETP 3 2, 468-471 (1971)].

283* Chaplik, A. V., and M. V. Entin, 1971, “Charged impurities in very thin layers,** Zh. Eksp. Teor. Fiz. 61, 2496 — 2503 [Sov. Phys—JETP 34, 1335-1339 (1972)].

284 Chaplik, A. V., and M. V. Krasheninnikov, 1980, “Twodimensional plasmons (2DP) and acoustic waves in crystals,” Surf. Sci. 98, 533-552.

285* Chaplik, A. V., and L. D. Shvartsman, 1979, “Magnetic surface levels in Schottky barriers,’* Fiz. Tekh. Poluprovodn. 13, 169-170 [Sov. Phys.—Semicond. 13, 96-97 (1979)].

286 Chaudhari, P., A. N. Broers, С. C. Chi, R. Laibowitz, E. Spiller, and J. Viggiano, 1980, “Phase-slip and localization diffusion lengths in amorphous W-Re alloys,” Phys. Rev. Lett. 45, 930—932.

287 Chaudhari, P„ and H.-U. Habermeier, 1980a, “Quantum localization in amorphous W-Re alloys,” Phys. Rev. Lett. 44, 40-43.

288 Chaudhari, P., and H.-U. Habermeier, 1980b, “Onedimensional quantum localization in amorphous W-Re films," Solid State Commun. 34, 687 — 689.

289 Chen, J. T. C, and R. S. Muller, 1974, “Carrier mobilities at weakly inverted Si surfaces,” J. Appl. Phys. 45, 828 — 834.

290 Chen, W. P., Y. J. Chen, and E- Burstein, 1976, "The interface EM modes of a ‘surface quantized* plasma layer on a semiconductor surface," Surf. Sci. 58, 263 — 265.

291 Cheng, A., and P. M. Platzman, 1978, “Shift in cyclotron resonance of electrons on liquid helium surfaces,” Solid State Commun. 25, 813 — 815.

292 Cheng, H. C, and F. Koch, 1981, “Magnetoconductance studies on InP surfaces,’’ Solid State Commun. 37, 911 —913.

293 Cheng, Y. C-, 1969, “On the temperature dependence of MOS threshold,” Phys. Lett. A 29, 444 — 445.

294 Cheng, Y. C., 1971, “On the scattering of electrons in magnetic and electric surface states by surface roughness,” Surf. Sci. 27, 663 -666.

295 Cheng, Y. C„ 1972, “Electron mobility in an MOS inversion layer," in Proceedings of the 3rd Conference on Solid State Devices, Tokyo, 1971 [J. Japan Soc. Appl. Phys. 41, Suppl., 173-180].

296 Cheng, Y. C., 1973a, "Effect of charge inhomogeneities on silicon surface mobility,” J. Appl. Phys. 44, 2425 — 2427.

297 Cheng, Y. C., 1973b, “A proposed experiment to measure surface roughness in Si/SiO2 system,” Surf. Sci. 40, 433 — 438.

298 Cheng, Y. C, 1974, “The influence of surface on hole mobility in metal-oxide-silicon structure,” in Proceedings of the Second International Conference on Solid Surfaces, Kyoto [Jpn. J. Appl. Phys. Suppl. 2, Pt. 2, 363 — 366].

299 Cheng, Y. C., 1977, “Electronic states at the silicon-silicon' dioxide interface,” Prog. Surf. Sci. 8, 181 — 218.

300 Cheng, Y. C, and E. A. Sullivan, 1973a, "Scattering of charge carriers in Si surface layers,** J. Appl. Phys. 44, 923 — 925.

301 Cheng, Y. C., and E. A. Sullivan, 1973b, “Relative importance of phonon scattering to carrier mobility in Si surface layer at room temperature,” J. Appl. Phys. 44, 3619—3625.

302 Cheng, Y. C, and E. A. Sullivan, 1973c, "On the role of ■ scattering by surface roughness in silicon inversion layers,” Surf. Sci. 34, 717-731.

point energy of an electron lattice,” J. Math. Phys. 1, 395-404.

321 Сок, M. W., 1971, “Electronic surface states of a dielectric film on a metal substrate,” Phys. Rev. В 3, 4418 — 4422.

322 Cole, M. W.t 1974, "Electronic surface states of liquid helium," Rev. Mod. Phys. 46, 451—464.

323 Cole, T, J. P. Kotthaus, T. N. Theis, and P. J. Stiles, 1978, “High frequency conductivity of two-dimensional electrons in a superlattice," Surf. Sd. 73, 238 — 239.

324 Cole, T., A. A. Lakhani, and P. J. Stiles, 1976, "Fine structure in the field effect mobility of MOS transistors," Surf. Sci. 58, 56-59.

325 Сок, T, A. A. Lakhani, and P. J. Stiles, 1977, "Influence of a one-dimensional superlattice on a two-dimensional electron gas," Phys. Rev. Lett. 38, 722-725.

326 Cole, T, A. A. Lakhani, and P. J. Stiles, 1981, "Effect of reverse substrate bias on the minigap in Si inversion layers,” Solid State Commun. 39, 127—132.

327 Cole, T., and В D. McCombe, 1980, "Valley degeneracy and intersubband spectroscopy in (111) and (110) Si inversion layers," in Proceedings of the 15th international Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto (J. Phys. Soc. Japan 49, Suppl. A, 959-962].

328 Cole, T., B. D. McCombe, J. J. Quinn, and R. K. Katia, 1981, "Evidence for a valley-occupancy transition in Si inversion layers at low electron densities,” Phys. Rev. Lett. 46, 1096-1099.

329 Cote, T„ M. E. Sjostrand, and P. J. Stiles, 1976, “Activated channel conductivity in silicon inversion layers at high temperatures,*’ Surf. Sci. 58, 91—97.

330 Coleman, J. J., P. D. Dapkus, W. D. Laidig, B. A. Vqjak, and N. Holonyak, Jr., 1981a, "High-barrier cluster-free AlxGa)_xAs-AlAs-GaAs quantum-well heterostructure laser,” Appl. Phys. Lett. 38, 63 — 65.

331 Coleman, J. J., P. D. Dapkus, and J. J. J- Yang, 1981b, “Single-interface enhanced mobility structures by metalorganic chemical vapour deposition,” Electron. Lett. 17, 606— 608.

332 Colman, D„ R. T. Bate, and J. P. Mile, 1968, “Mobility anisotropy and piezoresistance in silicon p-type inversion layers,” J. Appl. Phys. 39, 1923-1931.

333 Colvard, C, R Merlin, M. V. Klein, and A. C. Gossard, 1980, “Observation of folded acoustic phonons in a semiconductor superlattice," Phys. Rev. Lett. 45, 298 — 301.

334 Combescot, M., and C. Benoit a la Guillaume, 1981, ‘Two- dimensional electrons-holes droplets in superlattices," Solid State Commun. 39, 651 —654.

3 3 5 Combescot, M., and P. Nozieres, 1972, "Condensation of excitons in germanium and silicon,” J. Phys. C 5, 2369 — 2392.

ЗЗбСопга, H. W., 1976, "Measuring small-area Si/SiO2 interface ww stress with SEM,” J Appl. Phys. 47, 2079-2081.

337**Conwell, E. M., 1967, High Field Transport in Semiconductors (Academic, New York).

338 Cooper, J. A„ Jr., and D. F. Nelson, 1981, "Measurement of the high-field drift velocity of electrons in inversion layers on silicon,” IEEE Electron Device Lett. EDL-2, 171 — 173.

339 Cottey, A. A. 1970, "Intraband transitions in the quantum size effect,” J. Phys. C 3, L167-L169.

340 Cottey, A. A., 1972, “Band theory of quantum size effect,” J. Phys. C 5, 2591—2598.

Cottey, A. A., 1973, “Quantum size effect with arbitrary sur- 341 face potential,” J. Phys. C 6, 2446 — 2458.

Cottey, A. A., 1975, "Theory of infrared spectrum of size- 342 quantized films,” J. Phys. C 8, 4135 — 4146.

Cottey, A. A., 1976, "Jntraband dipole matrix elements of a 343 sized-quantrzed film," J. Phys. C 9, 2365 — 2373.

Cottey, A. A., 1978, "Band theory of size-quantized electron 344 states in thin crystalline films," Phys. Status Solidi В 88, 207-219.

Cottey, A. A., 1980, "Theory of tunneling into size-quantized 345 films with application to lead,” Phys. Status Solidi В 102, 577-583.

Crandall, R. S,, 1973, "Collective modes of a two-dimensional 346 Wigner crystal," Phys. Rev. A 8, 2136-2142.

Crandall, R. S., 1974a, "Lifetime of surface state electrons on 347 liquid 4He. I. Free electron," Phys. Rev. A 9, 1297—1304.

Crandall, R. S., 1974b, "Lifetime of surface state electrons on 348 liquid 4He. II. Electron lattice," Phys. Rev. A 10, 1370- 1379.

Crandall, R. S., 1975, “Hot electrons on liquid helium,” Phys. 349 Rev. В 12, 119-124.

Crandall, R. S., 1976, “Properties of surface state electrons on 350 liquid helium,” Surf. Sci. 58, 266-282.

Crandall, R. S., and R. Williams, 1971, "Crystallization of 351 electrons on the surface of liquid helium," Phys. Lett. A 34, 404-405.

Dahl, D. A., and L. J. Sham, 1977, “Electrodynamics of 352 quasi-two-dimensional electrons," Phys. Rev. В 16, 651-661.

Dandekar, N. V., A. Madhukar, and D. N. Lowy, 1980, 353 “Study of the electronic structure of model (110) surfaces and interfaces of semi-infinite III-V compound semiconductors: The GaSb-InAs system," Phys. Rev. В 21, 5687 — 5/05.

Darr, A., A. Huber, and J. P. Kotthaus, 1978, "Magnetocon- 354 ductivity and cyclotron resonance in inversion layers on p- InSb," in Physics of Narrow Gap Semiconductors, edited by J. Rauhiszkiewicz, M. Gorska, and E. Kaczmarek (PWN— Polish Scientific, Warsaw), pp. 417—422.

Darr, A., and J. P. Kotthaus, 1978, “Magnetotransport in an 355 inversion layer on р-InSb,” Surf. Sci. 73, 549-552.

Darr, A., J. P. Kotthaus, and T. Ando, 1976, “Electron spin 356 resonance in an inversion layer on InSb," in Proceedings of the 13th International Conference on the Physics of Semiconductors, Rome, edited by F. G. Fumi (North-Holland, Amsterdam), pp. 774 — 777.

Darr, A., J. P. Kotthaus, and J. F. Koch, 1975, “Surface cy- 357 clotron resonance in InSb." Solid State Commun. 17, 455-458.

Das, M. B., 1969, “Physical limitations of MOS structures," 358 Solid-State Electron. 12, 305 —336.*

Das, M. B., aod J. M. Moore, 1974, "Measurements and inter- 359 pretation of low-frequency noise in FETs,” IEEE Trans. Electron Devices ED-21, 247-257.

Das, P„ D. K. Ferry, and A. H. Barr, 1978, “The transient 360 response of quasi-two-dimensional semiconductors under hot electron conditions," Surf. Sci. 73, 147-155.

Dasgupta; В. B., 1980, "Effects of a perpendicular electric field 361 on a quasi-two-dimensional system: Hydrogenic model," J.

Phys. Chern. Solids 41, 89-93.

Dasgupta, В. B„ and R. S. Sorbello, 1980, "Electromigration 362

in a quasi-two-dimensional electron gas: Theory of driving force," Phys. Rev. В 21, 4196-4201.

363 Dash, J. G., 1975, Films on Solid Surfaces (Academic, New York).

364 Das Sarma, S., 1980, "Self-consistent theory of screening in a two-dimensional electron gas under strong magnetic field," Solid State Common. 36, 357 — 360.

365 Das Sarma, S., 1981, "Two-dimensional level broadening in the extreme quantum limit," Phys. Rev. В 23, 4592 — 4596.

366 Das Sarma, S., R. K. Kalia, M. Nakayama, and 1 J. Quinn, 1979, "Stress and temperature dependence of subband structure in silicon inversion layers,” Phys. Rev. В 19, 6397-6406.

367 Das Sarma, S., and A. Madhukar, 1980a, "Formation of an anomalous acoustic plasmon in spatially separated plasmas," Surf. Sci. 98, 563-570.

368 Das Sarma, S., and A. Madhukar, 1980b, "Study of electronphonon interaction and magneto-optical anomalies in two- dimensionally confined systems," Phys. Rev. В 22, 2823-2836.

369 Das Sarma, S., and A. Madhukar, 1981a, "Collective modes of spatially separated, two-component, two-dimensional plasma in solids," Phys. Rev. В 23, 805 — 815.

370 Das Sarma, S., and A. Madhukar, 1981b, "Ideal vacancy induced band gap levels in lattice matched thin superlattices: The GaAs-AlAs(lOO) and GaSb-InAs(lOO) systems," J. Vac. Sci. Technol. 19, 447 — 452.

371 Das Sarma, S., and B. Vinter, 1981a, "Temperature-dependent many-body effects on the electronic properties of space-charge layers," Phys. Rev. В 23, 6832-6835.

372 Das Sarma, S., and B. Vinter, 1981b. "Effect of impurity scattering on the distribution function in two-dimensional Fermi systems,” Phys. Rev. В 24, 549 — 5 53.

373 Davies, R. A., M. J. Uren, and M. Pepper, 1981, "Magnetic separation of localisation and interaction effects in a twodimensional electron gas at low temperatures,” J. Phys. C 14, L531-L537.

374 Declerck, G., R. Van Overstraeten, and G. Broux, 1974, “Discussion of the surface-potential fluctuations caused by oxide charge fluctuations," J. Appl. Phys. 45, 2593 — 2595.

375 de Jongh, L. J., and A. R. Miedema, 1974, "Experiments on simple magnetic model systems,” Adv. Phys. 23, 1 —260.

376 Delagebeaudeuf, D., P. Delescluse, P. Etienne, M. Laviron, J. Chaplart, and N. T. Linh, 1980, “Two-dimensional electron gas M.E.S.F.E.T. structure," Electron. Lett. 16, 667 — 668.

377 Delescluse, P., M. Laviron, J. Chaplart, D. Delagebeandeuf, and N. T. Linh, 1981, “Transport properties in GaAs- AlxGai_xAs heterostructures and MESFET application,” Electron. Lett. 17, 342—^44.

378*Demikhovskii, V. Ya., and B. A. Tavger, 1964, "Electron scattering by acoustic vibrations in thin semiconductor films," Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 6, 960— 962 (Sov. Phys.—Solid State 6, 743 - 744(1964)].

- 379 Deutscher, G., B. Bandyopadhyay, T. Chui, P. Lindenfeld, W. L. McLean, and T. Worthington, 1980, ‘Transition to localization in granular aluminum films,” Phys. Rev. Lett. 44, 1150-1153.*

380 Deville, G., F. Gallet, D. Marty. J. Poitrenaud, A. Valdes, and F. 1. B. Williams, 1980, "Detection of ordering of electrons on liquid helium,” in Ordering in 7Uo Dimensions, edited by S.

K. Sinha (Elsevier—North-Holland, New York), pp. 309-312.

de Wette, F. W„ 1964, “Note on the electron lattice," Phys. 381 Rev. 135, A287-A294.

Dexter, R. N., H. J. Zeiger, and B. Lax, 1956, “Cyclotron res- 382 onance experiments in silicon and germanium," Phys. Rev. 104, 637 - 644.

DiMaria, D. J., 1977, "Room-temperature conductivity and lo- 383 cation of mobile sodium ions in the thermal silicon dioxide layer of a metal-silicon dioxide-silicon structure,” J. Appl.

Phys. 48, 5149-5151.

DiMaria, D. J., 1978, “The properties of electron and hole 384 traps in thermal silicon dioxide layers grown on silicon,” in The Physics of SiOi and its Interfaces, edited by S. T. Pan- telides (Pergamon, New York), pp. 160—178.

DiMaria, D. J., 1981, "Capture and release of electrons on 385 Na+-related trapping sites in the SiO2 layer of metal-oxide- semiconductor structures at temperature between 77’K and 296 6K” J. Appl. Phys. 52, 7251-7260.

DiMaria, D. J., J. M. Aitken, and D. R. Young, 1976, “Cap- 386 ture of electrons into Na+-related trapping sites in the SiO2 layer of MOS structures at 77 eK," J. Appl. Phys. 47, 2740-2743.

Dingle, R., 1975a, "Optical and electronic properties of thin 387 AlxGai_xAs/GaAs heterostructures,” Crit. Rev. Solid State Sci. 5, 585-590.'

Dingle, R., 1975b, "Confined carrier quantum states in ul- 388 trathin semiconductor heterostructures," in Festkor- perprobleme (Advances in Solid State Physics), edited by H. J. Queisser (Pergamon-Vieweg, Braunschweig), Vol. XV, pp. 21-48.

Dingle, R., 1978, "Magnetic field induced carrier dimensionali- 389 ty change in a semiconductor superlattice,” Surf. Sci. 73, 229 — 231.

Dingle, R., A. C. Gossard, and W. Wiegmann, 1975, "Direct 390 observation of superlattice formation in a semiconductor heterostructure," Phys. Rev. Lett. 34, 1327—13 30.

Dingle, R., H. L. Stdrmer, A. C. Gossard, and W. Wiegmann, 391 1978, “Electron mobilities in modulation-doped semiconductor heterojunction superlattices,” Appl. Phys. Lett. 33, 665-667.

Dingle, R., H. L. Stormer, A. C. Gossard, and W. Wiegmann, 392 1980, “Electronic properties of the GaAs-AlGaAs interface with applications to multi-interface heterojunction superlattices,” Surf. Sci. 98, 90— 100.

Dingle, R., W. Wiegmann, and С. H. Henry, 1974, "Quantum 393 states of confined carriers in very thin AlxGat_xAs-GaAs- AIxGat_,As heterostructures," Phys. Rev. Lett. 33, 827-830.

DiSalvo, F. J., 1976, "Charge density waves in layered com- 394 pounds," Surf. Sci. 58, 297 —311.'

DiStefano, T. H„ 1971, “Barrier inhomogeneities on a Si-SiO2 395 interface by scanning internal photoemission,” Appl. Phys.

Lett. 19, 280-282.

DiStefano, T. H., 1976. “Field dependent internal photoemis- 396 sion probe of the electronic structure of the Si-SiO2 interface,” J. Vac. Sci. Technol. 13, 856-859.

DeStefano, T. H., and J. E. Lewis, 1974, “The influence of 397 sodium on the Si-SiO2 interface,” J. Vac. Sci. Technol. IL 1020-1027.

398 Pjurik, Z„ Z. Spasojevic, and D. Tjapkin, 1976, “Electron ground state in the semiconductor inversion layer and low frequency MIS capacitance," Solid-State Electron. 19, 931—934.

399 Dobrovol’skii, V. N., and Yu. S. Zharkikh, 1970, uScattering of holes of a two-dimensional gas near cleaved germanium surface,” Phys. Status Solidi 42, K33 — K35.

400 Dobrovol’skii,'V, N., and Yu. S. Zharkikh, 1971, “Scattering of holes of a two-dimensional gas near germanium surfaces cleaved in liquid nitrogen," Phys. Status Solidi A 6, 655-663.

401* Dobrovol’skii, V. N., Yu. S. Zharkikh, and L. N. Abessonova, 1971, “Scattering of carriers in inversion channels in metal- oxide-silicon structures," Fiz. Tekh. Poluprovodn. 5, 723-729 [Sov. Phys.—Semicond. 5, 633-63 8 (1971)].

402 Doezema, R. E, and J. F. Koch, 1972, “Magnetic surface levels in Cu—Observation and analysis of microwave resonances and determination of Fermi velocities,” Phys. Rev. В 5, 3866-3882.

403 Doezema, R. E, M. Nealon, and S. Whitmore, 1980, “Hybrid quantum oscillations in a surface space-charge layer,” Phys. Rev. Lett. 45, 1593-1596.

404 Dohler, G. H., 1972a, “Electron states in crystals with ‘nipi- superstructure'," Phys. Status Solidi В 52, 79 — 92.

405 Dohler, G. H., 1972b, “Electrical and optical properties of crystals with ‘nipi-superstructure’," Phys. Status Solidi В 52, 533-545.

406 Dohler, G. H., 1976a, “Influence of intervalley transitions on the photoconductivity in л-type Si <100) inversion layers,” Solid State Commun. 18, 633 — 636.

407 Dohler, G. H„ 1976b, “Intervalley transitions in inversion layers," J. Vac. Sci. Technol. 13, 903 — 907.

408 Dohler, G. H., 1978, "Ultrathin doping layers as a model for 2D systems,” Surf. Sci. 73, 97—105.

409 Dohler, G. H., 1979, “Doping superlattices,” J- Vac. Sci. Technol. 16,851-856.

410 Dohler, G. H., 1980, “Electron-hole subbands at the GaSb- InAs interface," Surf. Sci. 98, 108— 116.

411 Dohler, G. H., 1981, “Semiconductor superlattices—A new material for research and applications," Physica Scripts 24, 430-439.

412 Dohler, G. H., H. Kunzel, D. Olego, K. Ploog, P. Ruden, H. J. Stolz, and G. Abstreiter, 1981, “Observation of tunable band gap and two-dimensional subbands in a novel GaAs superlattice," Phys. Rev. Lett. 47, 864 — 867.

413 Dohler, G. H., R. Tsu, and L. Esaki, 1975, "A new mechanism for negative differential conductivity in superlattices," ' Solid State Commun. 17, 317 — 320.

414 Dolan, G. J., and D. D. Osheroff, 1979, “Nonmetallic conduction in thin metal films at low temperatures," Phys. Rev. Lett. 43, 721-724; 43, 1690(E).

415 Doman, B. G. S., 1979, “The two-dimensional Wigner crystal in a magnetic field,” J. Phys. C 12, 3757—3760.

416 Domany, E., and S. Sarker, 1979, “Renormalization-group study of Anderson localization," Phys. Rev. В 20, 4726-4729.

417* Don, K. Z., I. G. Neizvestnyi, V. N. Ovsyuk, and Yu. A. Rzhanov, 1979, “The anomalous Hall factor in electron inversion channels in germamum,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 30, 189-192 [JETP Lett. 30, 174-176 (1979)].

418 Doniach, S., and B. A. Huberman, 1979, “Topological excita

tions in two-dimensional superconductors,” Phys. Rev. Lett. 42, 1169-1172.

Dorda, G., 1970, “Effective mass change of electrons in silicon 419 inversion layers observed by piezoresistance,” Appl. Phys.

Lett. 17, 406-408.

Dorda, G., 1971a, “Piezoresistance in quantized conduction 420 bands in silicon inversion layers," J. Appl. Phys. 42, 205 3-2060.

Dorda, G., 1971b, “The band splitting in silicon inversion 421 layers,” in Proceedings of the International Conference on the Physics and Chemistry of Semiconductor Heterojunctions and Layer Structures, edited by G. Szigeti, Z. Bodo, G. Gergely, G. Pataki, J. Pocza, J. Schanda, I. Szep, and Mrs. A. Valko (Akademiai Kiado, Budapest), Vol. V, pp. 83 — 90.

Dorda, G., 1973, “Surface quantization in semiconductors," in 422 Festkorperprobleme (Advances in Solid State Physics), edited by H. J. Queisser (Pergamon-Vieweg, Braunschweig), Vol.

XIII, pp. 215-239.

Dorda, G., 1974, “Transport properties of semiconductor sur- 423 face layers," Electron. Fisc. Apli. 17, 203 — 208.

Dorda, G., and I. Eisele, 1973, “Piezoresistance in л-type sil- 424 icon inversion layers at low temperatures," Phys. Status Solidi A 20, 263-273.

Dorda, G., and I. Eisele, 1974, “Negative and positive magne- 425 toresistance related to surface states in silicon inversion layers,” in Proceedings of the 12th International Conference on the Physics of Semiconductors, Stuttgart, edited by M. H. Pilkuhn (Teubner, Stuttgart), pp. 704 — 708.

Dorda, G., I. Eisele, and H. Gesch, 1978, “Many-valley in- 426 teractions in silicon inversion layers,” Phys. Rev. В 17, 1785-1798.

Dorda, G., I. Eisele, and E. Preuss, 1972a, “Energy level 427 differences in surface quantization measured by piezoresistance effect," Solid State Commun. II, 1625— 1628.

Dorda, G., I. Eisele, and E. Preuss, 1972b, “Surface quantize- 428 tion observed by piezoresistance and Hall effect measurements in p-type silicon inversion layers," in Proceedings of the 11th International Conference on the Physics of Semiconductors, Warsaw (PWN—Polish Scientific, Warsaw), Vol. 2, pp. 1468-1473.

Dorda, G., I. Eisele, E. Soutschek, E. Vass, and K. Hess, 1977, 429 “Electron transport at the Si-SiO2 interface," in Proceedings of the Seventh International Vacuum Congress and the Third International Conference on Solid Surfaces, Vienna, edited by R. Dobrozemsky, F. Riidenauer, F. P. Viehbock, and A.

Breth (Berger, Horn, Austria), Vol. I, pp. 563 — 565.

Dorda, G„ H. Friedrich, and E Preuss, 1972, “Band structure 430 investigation on p-type silicon inversion layers by piezoresistance and mobility measurements," J. Vac. Sci. Technol 9 759-761.

Dorda, G., H. Gesch, and I. Eisele, 1976, "Valley degeneracy 431 and mobility anisotropy under mechanical stress on (111) silicon inversion layers," Solid State Commun. 20, 429—43 2.

Dorda, G., H. Gesch, and I. Eisele, 1980, “Anomalous 432 behaviour of the electron transport on (110) and (111) silicon surfaces," Surf. Sci. 98,407 —412.

Dresselhaus, G., A. F. Kip, and C. Kittel, 1955, “Cyclotron 433** resonance of electrons and holes in silicon and germanium crystals,” Phys. Rev. 98, 368-384.

Dresselhaus, M. S., and G. Dresselhaus, 1981, “Intercalation 434

compounds of graphite,” Adv. Phys. 30, 139 — 326.

435 Drew, H. D., 1978, “Charge-density wave induced cyclotron resonance harmonics on Sid 11) inversion layers,” Surf. Sci. 73, 498-499.

436 Drummond, T. J., M. Keever, W. Kopp, H. Morko^, K. Hess, B. G. Streetman, and A. Y. Cho, 1981a, “Field dependence of mobility in AlojGaoeAs/GaAs heterojunctions at very low fields,” Electron. Lett. 17, 545 — 547.

437 Drummond, T. J., W. Kopp, and H. Morkoc, 1981b, “Three period (Al,Ga)As/GaAs heterostructures with extremely high mobilities,” Electron. Lett. 17, 442 — 444.

43 8 Drummond, T. J., W. Kopp, H. Morko^, K. Hess, A. Y. Cho, and B. G. Streetman, 1981c, “Effect of background doping on the electron mobility of (Al,Ga)As/GaAs heterostructures,” J. Appl. Phys. 52, 5689-5690.

439 Drummond, T. J., H. Morkoy, and A. Y. Cho, I981d, “Dependence of electron mobility on spatial separation of electrons and donors in AlxGai_,As/GaAs heterostructures,” J. Appl. Phys. 52, 1380-1386.

440 Drummond, T. J., H. Morkoc;, K. Hess, and A. Y. Cho, 1981e, “Experimental and theoretical electron mobility of modulation doped AlxGai_xAs/GaAs heterostructures grown by molecular beam epitaxy,” J. Appl. Phys. 52, 5231 — 5234.

441 Duke, C. B„ 1967a, “Optical absorption due to space-charge- induced localized states," Phys. Rev. 159, 632 — 644; 164, 1214(E) (1967); 177, 1394(E) (1969).

442 Duke, С. B., 1967b, “Continuously-variable infrared line absorption due to narrow space-charge channels," Phys. Lett. A 24, 461-463.

443 Duke, С. B., 1968, “Quantum theory of transport in narrow channels," Phys. Rev. 168, 816—831.

444* Duke, С. B., and С. E. Swenberg, 1968, “Quantum effects in narrow channels at semiconductor surfaces,” in Proceedings of the Ninth International Conference on the Physics of Semiconductors, Moscow (Nauka, Leningrad), Vol. 2, pp. 745 — 749.

445 Dupuis, R. D., and P. D. Dapkus, 1979, “Preparation and properties of Gal_xAlxAs-GaAs heterostructure lasers grown by metalorganic chemical vapor deposition,” IEEE J. Quant. Electron. QE-15, 128-135.

446* D’yakonov , M. I., and A. V. Khaetskii, 1981, “Surface states in a gapless semiconductor,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 33, 115-118 [JETP Lett. 33, 110-113 (1981)].

447 Dykman, M. I., 1976, “Theory of nondegenerate two- dimensional electrons interacting with phonons in quantizing magnetic fields,” Phys. Status Solidi В 74, 547—559.

448 Dykman, M. L, 1978, “Theory of cyclotron resonance of two- dimensional electrons interacting with surface and volume phonons," Phys. Status Solidi В 88, 463 — 475.

449* Dykman, M. I., 1980a, “Toward the theory of cyclotron resonance of two-dimensional electrons on a liquid helium surface," Fiz. Nizk. Temp. 6, 560—566 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 268-271 (1980)].

450 Dykman, M. 1., 1980b, “Cyclotron resonance of two- dimensional electrons forming Wigner crystal,” Solid State Commun. 35, 753 — 757.

451 Dynes, R. C., J. P. Gamo, and J. M. Rowell, 1978, “Two- dimensional electrical conductivity in quench-condensed metal films,” Phys. Rev. Lett. 40, 479 — 482.

452 Eagles, D. M., 1967, “Predicted transition temperature of very thin films and whiskers of superconducting semiconductors— Application to SrTiO3,” Phys. Rev. 164, 489 — 497.

Eagles, D. M., 1969, “Possible pairing without superconduc- 453 tivity at low carrier concentrations in bulk and thin-film superconducting semiconductors,” Phys. Rev. 186, 456 — 463.

Eagles, D. M., 1971, “Tunneling results on In-SrTiO3 barriers 454 interpreted as confirmation of the theory of transitions from large to nearly small polarons,” Phys. Status Solidi В 48, 407-417.

Eaves, L„ R. A. Hoult, R. A. Stradling, R. J. Tidey, J. C. Por- 455 tai,-and S. Askenazy, 1975, “Fourier analysis of magnetophonon and two-dimensional Shubnikov—de Haas magnetoresistance stricture,” J. Phys. C 8, 1034— 1053.

Ebner, W., and P. Leiderer, 1980, “Development of the dimple 456 instability on liquid *He," Phys. Lett. A 80, 277 — 280.

Echenique, P. ML, and J. B. Pendry, 1976a, “Scattering of 4He 457 atoms from the surface of liquid 4He at 30 mK,” J. Phys. C 9, 3183-3191.

Echenique, P. M„ and J. B. Pendry, 1976b, “Reflectivity of 458 liquid 4He surfaces to 4He atoms," Phys. Rev. Lett. 37, 561-563.

EdeFman, V. S., 1976, “Effective mass of electrons localized 459’ over the surface of liquid helium,” Zh. Eksp. Teor. Fiz.

Pis’ma Red. 24, 510-513 [JETP Lett. 24, 468-471 (1976)].

EdeFman, V. S., 1977a, “Nonlinear cyclotron resonance of 460< electrons localized over the surface of liquid helium," Zh.

Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 25, 422-425 [JETP Lett. 25, 394—397 (1977)].

EdeFman, V. S., 1977b, “Observation of electrons localized 461* over the surface of liquid 3He," Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 26, 647 - 650 [JETP Lett. 26, 493-495 (1977)].

EdeFman, V. S., 1979, “Investigation of the resonance proper- 462 ties of electrons localized above liquid 3He and 4He,” Zh.

Eksp. Teor. Fiz. 77, 673-691 [Sov. Phys—JETP 50, 338-348 (1979)].

Edel’man, V. S., 1980, “Levitated electrons,” Usp. Fiz. Nauk. 4631 130, 675-706 [Sov. Phys.—Usp. 23, 227-244 (1980)].

Edel’shtein, V. ML, 1980, “Conductivity of a two-dimensional 464 electron gas,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 31, 60—62 [JETP Lett. 31,55-58 (1980)].

Edwards, D. O., and P. P. Fatouros, 1978, “Theory of atomic 4^5 scattering at the free surface of liquid 4He," Phys. Rev. В 17, -2147-2159.

Edwards, D. O., and W. F. Saam, 1978, "The free surface of 466 liquid helium," in Progress in Low Temperature Physics, edited by D. F. Brewer (North-Holland, Amsterdam), Vol. VIIA, pp. 283-369.

Edwards, J. T., and D. J. Thouless, 1972, “Numerical studies 467 of localization in disordered systems," J. Phys. C 5, 807-820.

Edwards, S. F., M. B. Green, and G. Srinivasan, 1977, “The 468 density [of] states of electrons in a disordered material," Phi

Mag. 35, 1421-1424.

Eger, D., and Y. Goldstein, 1979, “Quantization effects in 469 ZnO accumulation layers in contact with an electrolyte," Phys. Rev. В 19, 1089-1097.

Eger, D., A. Many, and Y. Goldstein, 1975, “Very strong ac- 470 cumulation layers on ZnO surfaces," Phys. Lett. A 55, 197-198.

Eger, D., A. Many, and Y. Goldstein, 1976, “Quantum proper- 471 ties of strong accumulation layers on ZnO surfaces,” Surf.

Sci. 58 18-24.

Eguiluz, A., T. K. Lee, J. J. Quinn, and K. W. Chiu, 1975, 472

“Interface excitations in metal-insulator-semiconductor structures," Phys. Rev. В И, 4989 — 4993.

473 Eguiluz, A., and A. A. Maradudin, 1978a, “Electromagnetic modes of an inversion layer," Surf. Sci. 73, 437 — 445.

474 Eguiluz, A., and A. A. Maradudin, 1978b, “Electromagnetic modes of an inversion layer on a semiconductor surface," Ann. Phys. (N.Y.) 113, 29-78.

475 Eguiluz, A- G., A. A. Maradudin, and R. J. Elliott, 1981, “Vibration modes of a two-dimensional Wigner lattice coupled to rippions on a liquid-helium surface,” Phys. Rev. В 24, 197-217.

476 Ehrenreich, H., and M. H. Cohen, 1959, "Self-consistent field approach to the many-electron problem," Phys. Rev. 115, 786-790.

477 Eisele, I., 1978, “Stress and intersubband correlation in the silicon inversion layer,” Surf. Sci. 73, 315 — 337.

478 Eisele, 1., and G. Dorda, 1974a, “Negative magnetoresistance in n-channel (100) sihcon inversion layers," Phys. Rev. Lett. 32, 1360-1363.

479 Eisele, I., and G. Dorda, 1974b, “Surface states in the conduction band region of Si," Solid State Commun. 15, 1391-1394.

480 Eisele, I., H. Gesch, and G. Dorda, 1976a, “Mechanical stress influence on effective masses in Si inversion layers,” Surf. Sci. 58, 169-177.

481 Eisele, I., H. Gesch, and G. Dorda, 1976b, “Surface quantum oscillations in (100) inversion layers under uniaxial stress," Solid State Commun. 18, 743 — 746.

482 Eisele, L, H. Gesch, and G. Dorda, 1976c, "Evidence for mobility domains in (100) silicon inversion layers," Solid State Commun. 20, 677—680.

483 Eisele, I., H. Gesch, and G. Dorda, 1977, “Effective masses in (100) silicon inversion layers," Solid State Commun. 22, 185-188.

484 Englert, Th., 1981, “Electron transport in silicon inversion layers at high magnetic fields," in Physics in High Magnetic fields, edited by S. Chikazumi and M. Miura (Springer, Berlin), pp. 274-283.

485 Englert, Th., G. Abstreiter, and J. Pontcharra, 1980, “Determination of existing stress in silicon films on sapphire substrate using Raman spectroscopy,” Solid-State Electron. 23, 31-33.

486 Englert, Th., and G. Landwehr, 1976, “Magneto-transport properties of silicon inversion layers at low carrier densities,” Surf. Sci. 58, 217-226.

487 Englert, Th., G. Landwehr, J. Pontcharra, and G. Dorda, 1980, “Inversion layers in silicon on insulating substrates,” Surf. Sci. 9g, 427-436.

488 Englert, Th., G. Landwehr, K. von Klitzing, G. Dorda, and H. Gesch, 1978, “Surface quantum oscillations in silicon (100) inversion layers under uniaxial pressure," Phys. Rev. В 18, 794-802; Surf. Sci. 73, 338-339.

489 Englert, Th., D. C. Tsui, and G. Landwehr, 1980, “Observation of valley splitting in (111) я-type silicon inversion layers," Solid State Commun. 33, 1167— 1169.

490 Englert, Th., D. C. Tsui, and R. A. Logan, 1981, “A plasma resonance study of valley transfer in (001) Si inversion layers," Solid State Commun. 39, 483 — 486.

491 Englert, Th., and K. von Klitzing, 1978, “Analysis of p,, minima in surface quantum oscillations on (100) л-type silicon inversion layers,” Surf. Sci. 73, 70—80.

Englert, Th., K. von Klitzing, R. J. Nicholas, G. Landwehr, 492 G. Dorda, and M. Pepper, 1980, "On the electronic g-factor in n-type silicon inversion layers," Phys. Status Solidi В 99, 237-242.

Engstrom, L., and K.-F. Berggren, 1980, “Quantisation of elec- 493 tron states in a two-dimensional GaAs impurity band at low carrier concentrations," J. Phys. C 13, 6477 — 6481.

Entin, M. V., 1969, “Surface mobility of electrons with quan- 494* tizing band bending," Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 11, 958-961 [Sov. Phys.—Solid State 11, 781-783 (1969)].

Epshtein, E. M., 1979, “Plasma oscillations in a superlattice 495* subjected to a strong electric field,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 21, 1719-1722 [Sov. Phys.—Solid State 21, 986-987 (1979)].

Erukhimov, M. Sh., and B. A. Tavger, 1967, “Quantum longi- 496 4 tudinal galvanomagnetic phenomena in thin semiconductor and semimetal films,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 53, 926—935 [Sov. Phys—JETP 26, 560-565 (1968)].

Esaki, L. and L. L. Chang, 1974, “New transport phenomenon 497 in a semiconductor ‘superlattice’," Phys. Rev. Lett. 33, 495-498.

Esaki, L., and L. L. Chang, 1976, “Semiconductor superfine 498 structures by computer-controlled molecular beam epitaxy," Thin Solid Films 36, 285-298.

Esaki, L. and L. L. Chang, 1979, "Semiconductor superlattices 499 in high magnetic fields," J. Magn. Magn. Mater. 11, 208-215.

Esaki, L., L. L. Chang, W. E. Howard, and V. L. Rideout, 500 1972, "Transport properties of GaAs-GaAlAs superlattice,” in Proceedings of the llth International Conference on the Physics of Semiconductors, Warsaw (PWN —Polish Scientific, Warsaw), Vol. 1, pp. 431 — 437.

Esaki, L., L. L. Chang, and E. E. Mendez, 1981, “Polytype su- 501 perlattices and multi-heterojunctions," Jpn. J. Appl. Phys. 20, L529-L532.

Esaki, L., and R. Tsu, 1970, “Superlattice and negative dif- 5Q2 ferential conductivity in semiconductors," IBM J. Res. Dev. 14, 61-65.

Esel’so'n, B. N., A. S. Rybalko, and Yu. Z. Kovdrya, 1979, 503* “Investigation of the mobility and current-voltage characteristics of surface electrons in helium,” Fiz. Nizk. Temp. 5, 1354- 1358 [Sov. J. Low Temp. Phys. 5, 641-643 (1980)].

Esel’son, B. N., A. S. Rybalko, and S. S. Sokolov, 1980a, “In- 504* vestigation of the surface electron mobility in liquid He4 and weak solutions of He3 in He4," Fiz. Nizk. Temp. 6, 1120-1129 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 544-548 (1980)].

Esel’son, B. N., A. S. Rybalko, and S. S. Sokolov, 1980b, “In- 505* vestigation of the liquid crystal phase transition in a system of electrons localized on the surface of liquid helium,” Fiz.

Nizk. Temp. 6, 1130—1136 [Sov, J. Low Temp. Phys. 6, 549-551 (1980)].

Essam, J. W., 1980, "Percolation theory," Rep. Prog. Phys. 43, 506 833-912.

Evans, E., and D. L. Mills, 1973, “Interaction of slow electrons 507 with the surface of a model dielectric: Theory of surface polarons," Phys. Rev. В 8, 4004— 4018.

Ezawa, H., 1971, “Phonons in a half space," Ann. Phys. 508 (N.Y.) 67, 438 - 460.

Ezawa, H., 1976, "Inversion layer mobility with intersubband 509 scattering,” Surf. Sci. 58, 25-32.

Ezawa, H., S. Kawaji, T. Kurnda, and K. Nakamura, 1971a, 510

“Electron mobility in a semiconductor inversion layer: Possible contribution from bulk phonons,” Surf Sei. 24, 659—662.

511 Ezawa, H., S. Kawaji, and K. Nakamura, 1971b, “Surfons and the electron mobility in a semiconductor inversion layer,” Surf. Sci. 27, 218-220.

512 Ezawa, H., S. Kawaji, and K. Nakamura, 1974, “Surfons and the electron mobility in silicon inversion layers,” Jpn. J. Appl. Phys. 13, 126-155; 14, 921-922(E) (1975).

513 Ezawa, H., T. Kuroda, and K. Nakamura, 1971, “Electrons and ‘surfons’ in a semiconductor inversion layer,'* Surf. Sci. 24, 654-65 8.

514 Falicov, L. M., and N. Garcia, 1975, “Hole cyclotron masses in silicon MOS devices,” Solid State Commun. 17, 473 — 476.

515 Falicov, L. M., 1976, “Non-parabolicity and transverse mass of electron carriers in silicon,” Solid State Commun. 18, 669-671.

516 Falicov, L. M., 1979, “Density waves in one, two and three dimensions,” in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 53 — 62.

517 Fang, F. F„ 1980, “Effect of biaxial stress on Si(100) inversion layers,” Surf. Sci. 98, 416—426.

518 Fang, F. F., and A. B. Fowler, 1968, “Transport properties of electrons in inverted silicon surface,” Phys. Rev. 169, 619-631.

519 Fang, F. F., and A. B. Fowler, 1970, “Hot electron effects and saturation velocities in silicon inversion layers,” J. Appl. Phys. 41, 1825-1831.

520 Fang, F. F., A. B. Fowler, and A. Hartstein, 1977, “Effective mass and collision time of (100) Si surface electrons,” Phys. Rev. В 16, 4446- 4454.

521 Fang, F. F., A. B. Fowler, and A. Hartstein, 1978, 'On the effective mass and collision time of (100) Si surface electrons,” Surf. Sci. 73,269-271.

522 Fang, F. F„ and W. E. Howard, 1966, “Negative field-effect mobility on (100) Si surfaces,” Phys. Rev. Lett. 16, 797 — 799.

523 Fang, F. F., and P. J. Stiles, 1968, “Effects of a tilted magnetic field on a two-dimensional electron gas,” Phys. Rev. 174, 823-828.

524 Fang, F. F„ and S. Triebwasser, 1964a, “Carrier* surface scattering in silicon inversion layers,” Appl. Phys. Lett. 4, 145-147.

525 Fang, F. F., and S. Triebwasser, 1964b, “Carrier surface scattering in silicon inversion layers,” IBM J. Res. Dev. 8, 410-415.

526 Feldman, L. С, P. J. Silverman, J. S. Williams, T. E. Jackman, and I. Stensgaard, 1978a, “Use of thin Si crystals in backscattering—Channeling studies of the Si-SiO; interface,” Phys. Rev. Lett. 41, 1396-1399.

527 Feldman, L. С, I. Stensgaard, P. J. Silverman, and T. E. Jackman, 1978b, “Studies of the Si-SiO2 interface by MeV ion scattering,” in The Physics of SiO^ and its Interfaces, edited by S. T. Pantelides (Pergamon, New York), pp. 344 — 350.

528 Fell, B., J. T. Chen, J. Hardy, M. Prasad, and S. Fujita, 1978, “Theory of the mobility of electrons limited by charged impurities in two dimensions,” J. Phys. Chern. Solids 39, 221-224.

529 Ferrell, R. A., 1958, “Predicted radiation of plasma oscillations in metal films,” Phys. Rev. Ill, 1214—1222.

530 Ferry, D. K., 1976a, “Optical and intervalley scattering in quantized inversion layers in semiconductors,” Surf. Sci. 57, 218-228.

Ferry, D. K., 1976b, “First-order optical and intervalley 531 scattering in semiconductors,” Phys. Rev. В 14, 1605— 1609.

Ferry, D. K., 1976c, “Hot-electron effects in silicon quantized 532 inversion layers,” Phys. Rev. В 14, 5364—5371.

Ferry, D. K., 1976d, “Electron transport in silicon inversion 533 layers,” in Proceedings of the I3th International Conference on the Physics of Semiconductors, Rome, edited by F. G.

Fumi (North-Holland, Amsterdam), pp. 758—761.

Ferry, D. K., 1977a, “Energy relaxation to acoustic phonons in 534 quasi-two-dimensional semiconductors,” Solid State Commun. 22, 127-128.

Ferry, D. K., 1977b, “Critical concentration of hot carriers in 535 a quasi-two-dimensional semiconductor,” Phys. Lett. A 60, 243-244.

Ferry, D. K., 1978a, ‘Transport of hot carriers in semiconduc- 536 tor quantized inversion layers,” Solid-State Electron. 21, 115-121.

Ferry, D. K., 1978b, “Warm electrons in degenerate quasi- 537 two-dimensional semiconductors,” Surf. Sci. 73, 136—146.

Ferry, D. K., 1978c, “Scattering by polar-optical phonons in a 538 quasi-two-dimensional semiconductor,” Surf. Sci. 75, 86—91.

Ferry, D. K. 1979, “The transport of electrons in quantized in- 539 version and accumulation layers in Ш-V componnds,” Thin Solid Films 56,243-252.

Ferry, D. K., 1981, “Charge instabilities in lateral super- 540 lattices under conditions of population inversion,” Phys.

Status Solidi В 106, 63 — 71.

Ferry, D. K., and P. Das, 1977, “Microwave hot electron ef- 541 fects in semiconductor quantized inversion layers,” Solid-State Electron. 20, 355 — 359.

Fetter, A. L„ 1973, “Electrodynamics of a layered electron gas. 542 I. Single layer,” Ann. Phys. (N.Y.) 81, 367-393.

Fetter, A. L., 1974a, “Electrodynamics of a layered electron 543 gas. II. Periodic array," Ann. Phys. (N.Y.) 88, 1 — 25.

Fetter, A. L., 1974b, “Electrodynamics and thermodynamics of 544 a classical electron surface layer,” Phys. Rev. В 10, 3739-3745.

Fetter, A. L., and J. D. Walecka, 1971, Quantum Theory of 545 Many-Particle Systems (McGraw-Hill, New York).

Filatov, O. N., and I. A. Karpovich, 1969a, “Dependence of 546* the width of the forbidden band of indium antimonide films on the thickness,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 11, 805 — 806 [Sov. Phys.—Solid State 11, 65 5 - 656 (1969)].

Filatov, O. N., and I. A. Karpovich, 1969b, “Structure of the 547* absorption band edge of thin indium antimonide films,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 11, 1637-1640 [Sov. Phys.—Solid State 11, 1328-1330(1969)].

Fischer, B., and M. W. Klein, 1975, “Magnetic and nonmag- 548 netic impurities in two-dimensional metals,” Phys. Rev. В 11, 2025-2029.

Fischer, G., and H. Hoffmann, 1980, "Oscillations of the elec- 549 trical conductivity with film thickness in very thin platinum films,” Solid State Commun. 35, 793 — 796.

Fischer, W., E. P. Jacobs, I. Eisele, and G. Dorda, 1978, 550 “Electron mobility in Si-MOSFETs with an additional implanted channel,” Chern. Eng. Science 33, 689—692; Solid- State Electron. 22, 225-228 (1979).

Fisher, D. S., 1980a, “Flux-lattice melting in thin-film super- 551 conductors/* Phys. Rev. В 22, 1190— 1199.

Fisher, D. S., 1980b, ‘Two dimensional Wigner crystallization 552 and electrons on helium,” in Ordering in Two Dimensions,

553553554554555* Fisher, D. S., and V. B. Shikin, 1980, “Spectrum of electron-555* Fisher, D. S., and V. B. Shikin, 1980, “Spectrum of electron-55655655755755855855955910,10,detdet560* Fomin, N. V.» 1967, “Quantum theory of space charge capaci-560* Fomin, N. V.» 1967, “Quantum theory of space charge capaci-56156156256256356356456456556556656656756756856856956957057057Г57Г572572Frenzel, Н., and Р. Balk, 1980, “Interface width and structure 573Frenzel, Н., and Р. Balk, 1980, “Interface width and structure 573574574575575576576577577578578579579580580581581582582583583584584585585586586587587588588589589590590591591593593

553

553

554

554

555* Fisher, D. S., and V. B. Shikin, 1980, “Spectrum of electron-

555* Fisher, D. S., and V. B. Shikin, 1980, “Spectrum of electron-

556

556

557

557

558

558

559

559

10,

10,

det

det

560* Fomin, N. V.» 1967, “Quantum theory of space charge capaci-

560* Fomin, N. V.» 1967, “Quantum theory of space charge capaci-

561

561

562

562

563

563

564

564

565

565

566

566

567

567

568

568

569

569

570

570

57Г

57Г

572

572

Frenzel, Н., and Р. Balk, 1980, “Interface width and structure 573

Frenzel, Н., and Р. Balk, 1980, “Interface width and structure 573

574

574

575

575

576

576

577

577

578

578

579

579

580

580

581

581

582

582

583

583

584

584

585

585

586

586

587

587

588

588

589

589

590

590

591

591

593

593

edited by S. K. Sinha (North-Holland, New York), pp. 189-192.

Fisher, D. S., В. I. Halperin, and R. Morf, 1979a, “Defects in the two-dimensional electron solid and implications for melting,” Phys. Rev. В 20, 4692 - 4712.

Fisher, D. S., В. I, Halperin, and P. ML Platzman, 1979b, “Phonon-ripplon coupling and the two-dimensional electron solid on a hquid-helium surface,” Phys. Rev. Lett. 42, 798 - 801.

npplon system on the surface of liquid helium in the presence of a magnetic field normal to this surface,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red, 31, 228-230 [JETP Lett- 31, 208-210 (1980)].

Fleishman, L., and P. W. Anderson, 1980, “Interactions and the Anderson transition," Phys. Rev. В 21, 2366—2377,

Fleishman, L., D, C. Licciardello, and P. W. Anderson, 1978, “Elementary excitations in the Fermi glass," Phys. Rev. Lett. 40, 1340-1343.

Flinn, L, G. Bew, and F. Berz, 1967, “Low frequency noise in

MOS field effect transistors,” Solid-State Electron. 833-845.

tance," Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 9, 616—623 [Sov. Phys.—Solid State 9; 474-479 (1967)].Fonash, S. J., 1973, “Effects of stress on metal-oxide- semiconductor structures," J. Appl. Phys. 44, 4607 — 4615.Fowler, A. B., 1975, “Substrate bias effects on electron mobility in silicon inversion layers at low temperatures,” Phys. Rev. Lett. 34, 15-17.Fowler, A. B., 1982, “Transport in inversion layers," in Band Theory and Transport Properties, edited by William Paul (Vol. 1 of Handbook on Semiconductors, edited by T. S. Moss) (North-Holland, Amsterdam), pp. 599—616.Fowler, A. B., F. F. Fang, and F. Hochberg, 1964, “Hall measurements on silicon field effect transistor structures," IBM J. Res. Dev. 8, 427-429.Fowler, A. B., F. F. Fang, W. E. Howard, and P. J. Stiles, 1966a, “Magneto-oscillatory conductance in silicon surfaces," Phys. Rev. Lett. 16,901-903.Fowler, A. B., F. F. Fang, W. E. Howard, and P. J. Stiles, 1966b, “Oscillatory magneto-conductance in Si surfaces,” in Proceedings of the International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 21, Suppl., 331-335].Fowler, A. B., and A. Hartstein, 1980a, "Techniques for determining threshold," Surf. Sci. 98, 169—172.Fowler, A. B., and A. Hartstein, 1980b, “Impurity bands in inversion layers," Philos. Mag. В 42, 949 —959.Fowler, W. В., P. M. Schneider, and E. Calabrese, 1978, “Band structures and electronic properties of SiO2,” in The Physics of SiOi and its Interfaces, edited by S. T. Pantelides (Pergamon, New York), pp. 70— 74.Frankl, D. R., 1967, Electrical Properties of Semiconductor Surfaces (Pergamon, New York).1 Frankl, D. R., 1974, “Surface states," Crit. Rev. Solid State Sci. 4, 455-475.Freedman, R., 1978, “Some properties of a charged two- dimensional Fermi liquid," Phys. Rev. В 18, 2482 — 2483.tance," Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 9, 616—623 [Sov. Phys.—Solid State 9; 474-479 (1967)].Fonash, S. J., 1973, “Effects of stress on metal-oxide- semiconductor structures," J. Appl. Phys. 44, 4607 — 4615.Fowler, A. B., 1975, “Substrate bias effects on electron mobility in silicon inversion layers at low temperatures,” Phys. Rev. Lett. 34, 15-17.Fowler, A. B., 1982, “Transport in inversion layers," in Band Theory and Transport Properties, edited by William Paul (Vol. 1 of Handbook on Semiconductors, edited by T. S. Moss) (North-Holland, Amsterdam), pp. 599—616.Fowler, A. B., F. F. Fang, and F. Hochberg, 1964, “Hall measurements on silicon field effect transistor structures," IBM J. Res. Dev. 8, 427-429.Fowler, A. B., F. F. Fang, W. E. Howard, and P. J. Stiles, 1966a, “Magneto-oscillatory conductance in silicon surfaces," Phys. Rev. Lett. 16,901-903.Fowler, A. B., F. F. Fang, W. E. Howard, and P. J. Stiles, 1966b, “Oscillatory magneto-conductance in Si surfaces,” in Proceedings of the International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 21, Suppl., 331-335].Fowler, A. B., and A. Hartstein, 1980a, "Techniques for determining threshold," Surf. Sci. 98, 169—172.Fowler, A. B., and A. Hartstein, 1980b, “Impurity bands in inversion layers," Philos. Mag. В 42, 949 —959.Fowler, W. В., P. M. Schneider, and E. Calabrese, 1978, “Band structures and electronic properties of SiO2,” in The Physics of SiOi and its Interfaces, edited by S. T. Pantelides (Pergamon, New York), pp. 70— 74.Frankl, D. R., 1967, Electrical Properties of Semiconductor Surfaces (Pergamon, New York).1 Frankl, D. R., 1974, “Surface states," Crit. Rev. Solid State Sci. 4, 455-475.Freedman, R., 1978, “Some properties of a charged two- dimensional Fermi liquid," Phys. Rev. В 18, 2482 — 2483.Fliigge, S., and H. Marschall, 1952, Rechenmethoden Quantentheorie, 2nd ed. (Springer, Berlin), Problem 24.

tance," Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 9, 616—623 [Sov. Phys.—Solid State 9; 474-479 (1967)].

Fonash, S. J., 1973, “Effects of stress on metal-oxide- semiconductor structures," J. Appl. Phys. 44, 4607 — 4615.

Fowler, A. B., 1975, “Substrate bias effects on electron mobility in silicon inversion layers at low temperatures,” Phys. Rev. Lett. 34, 15-17.

Fowler, A. B., 1982, “Transport in inversion layers," in Band Theory and Transport Properties, edited by William Paul (Vol. 1 of Handbook on Semiconductors, edited by T. S. Moss) (North-Holland, Amsterdam), pp. 599—616.

Fowler, A. B., F. F. Fang, and F. Hochberg, 1964, “Hall measurements on silicon field effect transistor structures," IBM J. Res. Dev. 8, 427-429.

Fowler, A. B., F. F. Fang, W. E. Howard, and P. J. Stiles, 1966a, “Magneto-oscillatory conductance in silicon surfaces," Phys. Rev. Lett. 16,901-903.

Fowler, A. B., F. F. Fang, W. E. Howard, and P. J. Stiles, 1966b, “Oscillatory magneto-conductance in Si surfaces,” in Proceedings of the International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 21, Suppl., 331-335].

Fowler, A. B., and A. Hartstein, 1980a, "Techniques for determining threshold," Surf. Sci. 98, 169—172.

Fowler, A. B., and A. Hartstein, 1980b, “Impurity bands in inversion layers," Philos. Mag. В 42, 949 —959.

Fowler, W. В., P. M. Schneider, and E. Calabrese, 1978, “Band structures and electronic properties of SiO2,” in The Physics of SiOi and its Interfaces, edited by S. T. Pantelides (Pergamon, New York), pp. 70— 74.

Frankl, D. R., 1967, Electrical Properties of Semiconductor Surfaces (Pergamon, New York).

1 Frankl, D. R., 1974, “Surface states," Crit. Rev. Solid State Sci. 4, 455-475.

Freedman, R., 1978, “Some properties of a charged two- dimensional Fermi liquid," Phys. Rev. В 18, 2482 — 2483.

tance," Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 9, 616—623 [Sov. Phys.—Solid State 9; 474-479 (1967)].

Fonash, S. J., 1973, “Effects of stress on metal-oxide- semiconductor structures," J. Appl. Phys. 44, 4607 — 4615.

Fowler, A. B., 1975, “Substrate bias effects on electron mobility in silicon inversion layers at low temperatures,” Phys. Rev. Lett. 34, 15-17.

Fowler, A. B., 1982, “Transport in inversion layers," in Band Theory and Transport Properties, edited by William Paul (Vol. 1 of Handbook on Semiconductors, edited by T. S. Moss) (North-Holland, Amsterdam), pp. 599—616.

Fowler, A. B., F. F. Fang, and F. Hochberg, 1964, “Hall measurements on silicon field effect transistor structures," IBM J. Res. Dev. 8, 427-429.

Fowler, A. B., F. F. Fang, W. E. Howard, and P. J. Stiles, 1966a, “Magneto-oscillatory conductance in silicon surfaces," Phys. Rev. Lett. 16,901-903.

Fowler, A. B., F. F. Fang, W. E. Howard, and P. J. Stiles, 1966b, “Oscillatory magneto-conductance in Si surfaces,” in Proceedings of the International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 21, Suppl., 331-335].

Fowler, A. B., and A. Hartstein, 1980a, "Techniques for determining threshold," Surf. Sci. 98, 169—172.

Fowler, A. B., and A. Hartstein, 1980b, “Impurity bands in inversion layers," Philos. Mag. В 42, 949 —959.

Fowler, W. В., P. M. Schneider, and E. Calabrese, 1978, “Band structures and electronic properties of SiO2,” in The Physics of SiOi and its Interfaces, edited by S. T. Pantelides (Pergamon, New York), pp. 70— 74.

Frankl, D. R., 1967, Electrical Properties of Semiconductor Surfaces (Pergamon, New York).

1 Frankl, D. R., 1974, “Surface states," Crit. Rev. Solid State Sci. 4, 455-475.

Freedman, R., 1978, “Some properties of a charged two- dimensional Fermi liquid," Phys. Rev. В 18, 2482 — 2483.

of the Si-SiO2 layer on oxidized Si," in The Physics of MOS Insulators, edited by G. Lucovsky, S. T. Pantelides, and F. L. Galeener (Pergamon, New York), pp. 246—249.

Fried, B. D., and S. D. Conte, 1961, The Plasma Dispersion Function (Academic, New York).

Friedman, L., 1978, “The Hall effect in ordered and disordered systems,” Philos. Mag. В 38, 467-476.

Friedman, L., and M. Pollak, 1978, “Hall mobility due to hopping-type conduction in disordered systems," Philos. Mag. В 38, 173-189.

Friedrich, H., and J. Stillger, 1970, "Die Beweglichkeit von Ladungstragern in Stromkanal von MOS-Transistoren," Solid-State Electron, 13, 1049—1053.

Friend, R. H„ and D. Jerome, 1979, “Periodic lattice distortions and charge density waves in one- and two-dimensional metals," J. Phys. C 12, 1441 - 1477.

Fritzsche, D., 1980, “interface studies on InP MIS inversion FET’s with SiO2 gate insulation,” in- Insulating Films on Semiconductors, 1979, edited by G. G. Roberts and M. J. Morant (Institute of Physics, Bristol), pp. 258 — 265.

Fritzsche, H., 1962, "Effect of stress on the donor wave functions in germanium," Phys. Rev. 125, 1560—1567.

Fu, H.-S., and С. T. Sah, 1972, “Theory and experiments on surface 1// noise,’1 IEEE Trans. Electron Devices ED-19, 273-285.

Fuchs, K„ 1935, “A quantum mechanical investigation of the cohesive forces of metallic copper,” Proc. R. Soc. London 151, 585-602.

Fuchs, K., 1938, “The conductivity of thin metallic films according to the electron theory of metals," Proc. Cambridge Phil. Soc. 34, 100-108.

Fujita, S., and M. Prasad, 1977, “Theory of cyclotron resonance lineshape for an electron-impurity system in two dimensions," J. Phys. Chern. Solids 38, 1351 - 1353.

Fukuyama, H., 1975, “Two-dimensional Wigner crystal under magnetic field," Solid State Commun. 17, 1323—1326.

Fukuyama, H., 1976a, “Two-dimensional Wigner crystal in magnetic fields," Surf. Sei. 58, 320-324.

Fukuyama, H., 1976b, “Two-dimensional Wigner crystallization caused by magnetic field," Solid State Commun. 19, 551-554.

Fukuyama, H., 1979, “Wigner solid in two-dimension," in Physics of Law-Dimensional Systems (Proceedings of Kyoto Summer Institute, 1979), edited by Y. Nagaoka and S. Hikami (Publication Office, Progress of Theoretical Physics, Kyoto), pp. 145-175.

Fukuyama, H., 1980a, “Quantum effects on melting temperature of two-dimensional Wigner solid," J. Phys. Soc. Japan 48, 1841-1852.

Fukuyama, H., 1980b, “Effects of interactions on non-metallic behaviors in two-dimensional disordered systems," J. Phys. Soc. Japan 48, 2169 - 2170.

Fukuyama, H., 1980c, “Hall effect in two-dimensional disordered systems," J. Phys. Soc. Japan 49, 644— 648.

Fukuyama, H., 1980d, “Effects of intervalley impurity scattering on the non-metallic behavior in two-dimensional systems," J. Phys. Soc. Japan 49, 649 — 651.

Fukuyama, H., 1980e, “Conductivity and Hall effect in two- dimensional disordered systems,” in Proceedings of the. I Sth

stages of the oxidation of Si,” Phys. Rev. В 19, 3944-3956.Gaydon, B. G., 1973, "The low temperature strain sensitivity 612 of MOS transistors,” Solid-State Electron. 16, 147—154.Gergel*, V. A., and R. A. Suris, 1978, “Fluctuation of the sur- 613* face potential in metal-insulator-conductor structures," Zh.Eksp. Teor. Fiz. 75, 191-203 [Sov. Phys.—JETP 48, 95-101 (1978)].Gerhardts, R. R., 1975a, "Path-integral approach to the two- 614 dimensional magneto-conductivity problem. 1. General formulation of the approach," Z. Phys. В 21, 275 — 283.Gerhardts, R. R., 1975b, “Path-integral approach to the two- 615 dimensional magneto-conductivity problem. II. Application to л-type (lOO)-surface inversion layers of p-silicon,” Z. Phys.В 21, 285-294.Gerhardts, R. R., 1976, "Cumulant approach to the two- 616 dimensional magneto-conductivity problem,” Surf. Sci. 58, 227-234.Gerhardts, R. R., 1981a, “Transition to an anharmonic 617 charge-density wave of a two-dimensional electron gas in a strong magnetic field," Phys. Rev. В 24, 1339— 1349.Gerhardts, R. R., 1981b, “Wigner transition temperature of a 618 two-dimensional electron gas in a strong magnetic field," Phys. Rev. В 24, 4068 - 4071.Gersten, J. I., 1980a, “Theory of surface plasmarons,” Surf. 619 Sci. 92, 579-592.Gersten, J. I., 1980b, “Theory of surface plasmarons. II. The 620 effect of a finite thickness of the accumulation layer,” Surf.Sci. 97, 206-218.Gesch, H., G. Dorda, P. Stallhofcr, and J. P. Kotthaus. 1979, 621 "Comparison of Shubnikov—de Haas effect and cyclotron resonance on Si(100) MOS transistors under uniaxial stress,” Solid State Commun. 32, 543 — 546.Gesch, H., 1. Eisele, and G. Dorda, 1977, “p-Type inversion 622 layers under mechanical stress,” in Proceedings of the Seventh International Vacuum Congress and the Third International Conference on Solid Surfaces, Vienna, edited by R. Dobrozemsky, F. Rndenauer, F. P. Viehbock, and A. Breth (Berger, Horn, Austria), Vol. I, pp. 559 — 562.Gesch, H-, I. Eisele, and G. Dorda, 1978, "Pressure depen- 623 dence of structure in the mobility of (100) silicon inversion layers," Surf. Sci. 73, 81—89.Giannetta, R. W., and H. Ikezi, 1981, “Nonlinear deformation 624 of the electron-charged surface of liquid *He,” Phys. Rev.Lett. 47, 849-8 52.Ginzburg, VI. L., and Yu. P. Monarkha, 1978, "Surface elec- 625* Irons in helium over macroscopic periodic structures,” Fiz. Nizk. Temp. 4, 1236—1239 [Sov. J. Low Temp. Phys. 4, 580-582 (1978)].Giordano, N., 1980, “Experimental study of localization in 626 thin wires,” Phys. Rev. В 22, 5635 — 5654.Giordano, N., W. Gilson, and D. E. Prober, 1979, “Experi- 627 mental study of Anderson localization in thin wires,” Phys.Rev. Lett. 43, 725-728.Glasser, M. L., 1977, “Pair correlation function for a two- 628 dimensional electron gas,” J. Phys. C 10, L121 —L123.Glasser, M. L., 1980, “Two-dimensional electron gas in a mag- 629 netic field: Polarizability," Phys. Rev. В 22, 472 — 473.Glasser, M. L., 1981, “Specific heat of electron gas of arbitrary 630 dimensionality," Phys. Lett. A 81, 295 — 296.Glew, R. W., and M. Halberstadt, 1981, “Modulation doped 631stages of the oxidation of Si,” Phys. Rev. В 19, 3944-3956.Gaydon, B. G., 1973, "The low temperature strain sensitivity 612 of MOS transistors,” Solid-State Electron. 16, 147—154.Gergel*, V. A., and R. A. Suris, 1978, “Fluctuation of the sur- 613* face potential in metal-insulator-conductor structures," Zh.Eksp. Teor. Fiz. 75, 191-203 [Sov. Phys.—JETP 48, 95-101 (1978)].Gerhardts, R. R., 1975a, "Path-integral approach to the two- 614 dimensional magneto-conductivity problem. 1. General formulation of the approach," Z. Phys. В 21, 275 — 283.Gerhardts, R. R., 1975b, “Path-integral approach to the two- 615 dimensional magneto-conductivity problem. II. Application to л-type (lOO)-surface inversion layers of p-silicon,” Z. Phys.В 21, 285-294.Gerhardts, R. R., 1976, "Cumulant approach to the two- 616 dimensional magneto-conductivity problem,” Surf. Sci. 58, 227-234.Gerhardts, R. R., 1981a, “Transition to an anharmonic 617 charge-density wave of a two-dimensional electron gas in a strong magnetic field," Phys. Rev. В 24, 1339— 1349.Gerhardts, R. R., 1981b, “Wigner transition temperature of a 618 two-dimensional electron gas in a strong magnetic field," Phys. Rev. В 24, 4068 - 4071.Gersten, J. I., 1980a, “Theory of surface plasmarons,” Surf. 619 Sci. 92, 579-592.Gersten, J. I., 1980b, “Theory of surface plasmarons. II. The 620 effect of a finite thickness of the accumulation layer,” Surf.Sci. 97, 206-218.Gesch, H., G. Dorda, P. Stallhofcr, and J. P. Kotthaus. 1979, 621 "Comparison of Shubnikov—de Haas effect and cyclotron resonance on Si(100) MOS transistors under uniaxial stress,” Solid State Commun. 32, 543 — 546.Gesch, H., 1. Eisele, and G. Dorda, 1977, “p-Type inversion 622 layers under mechanical stress,” in Proceedings of the Seventh International Vacuum Congress and the Third International Conference on Solid Surfaces, Vienna, edited by R. Dobrozemsky, F. Rndenauer, F. P. Viehbock, and A. Breth (Berger, Horn, Austria), Vol. I, pp. 559 — 562.Gesch, H-, I. Eisele, and G. Dorda, 1978, "Pressure depen- 623 dence of structure in the mobility of (100) silicon inversion layers," Surf. Sci. 73, 81—89.Giannetta, R. W., and H. Ikezi, 1981, “Nonlinear deformation 624 of the electron-charged surface of liquid *He,” Phys. Rev.Lett. 47, 849-8 52.Ginzburg, VI. L., and Yu. P. Monarkha, 1978, "Surface elec- 625* Irons in helium over macroscopic periodic structures,” Fiz. Nizk. Temp. 4, 1236—1239 [Sov. J. Low Temp. Phys. 4, 580-582 (1978)].Giordano, N., 1980, “Experimental study of localization in 626 thin wires,” Phys. Rev. В 22, 5635 — 5654.Giordano, N., W. Gilson, and D. E. Prober, 1979, “Experi- 627 mental study of Anderson localization in thin wires,” Phys.Rev. Lett. 43, 725-728.Glasser, M. L., 1977, “Pair correlation function for a two- 628 dimensional electron gas,” J. Phys. C 10, L121 —L123.Glasser, M. L., 1980, “Two-dimensional electron gas in a mag- 629 netic field: Polarizability," Phys. Rev. В 22, 472 — 473.Glasser, M. L., 1981, “Specific heat of electron gas of arbitrary 630 dimensionality," Phys. Lett. A 81, 295 — 296.Glew, R. W., and M. Halberstadt, 1981, “Modulation doped 631

stages of the oxidation of Si,” Phys. Rev. В 19, 3944-3956.

Gaydon, B. G., 1973, "The low temperature strain sensitivity 612 of MOS transistors,” Solid-State Electron. 16, 147—154.

Gergel*, V. A., and R. A. Suris, 1978, “Fluctuation of the sur- 613* face potential in metal-insulator-conductor structures," Zh.

Eksp. Teor. Fiz. 75, 191-203 [Sov. Phys.—JETP 48, 95-101 (1978)].

Gerhardts, R. R., 1975a, "Path-integral approach to the two- 614 dimensional magneto-conductivity problem. 1. General formulation of the approach," Z. Phys. В 21, 275 — 283.

Gerhardts, R. R., 1975b, “Path-integral approach to the two- 615 dimensional magneto-conductivity problem. II. Application to л-type (lOO)-surface inversion layers of p-silicon,” Z. Phys.

В 21, 285-294.

Gerhardts, R. R., 1976, "Cumulant approach to the two- 616 dimensional magneto-conductivity problem,” Surf. Sci. 58, 227-234.

Gerhardts, R. R., 1981a, “Transition to an anharmonic 617 charge-density wave of a two-dimensional electron gas in a strong magnetic field," Phys. Rev. В 24, 1339— 1349.

Gerhardts, R. R., 1981b, “Wigner transition temperature of a 618 two-dimensional electron gas in a strong magnetic field," Phys. Rev. В 24, 4068 - 4071.

Gersten, J. I., 1980a, “Theory of surface plasmarons,” Surf. 619 Sci. 92, 579-592.

Gersten, J. I., 1980b, “Theory of surface plasmarons. II. The 620 effect of a finite thickness of the accumulation layer,” Surf.

Sci. 97, 206-218.

Gesch, H., G. Dorda, P. Stallhofcr, and J. P. Kotthaus. 1979, 621 "Comparison of Shubnikov—de Haas effect and cyclotron resonance on Si(100) MOS transistors under uniaxial stress,” Solid State Commun. 32, 543 — 546.

Gesch, H., 1. Eisele, and G. Dorda, 1977, “p-Type inversion 622 layers under mechanical stress,” in Proceedings of the Seventh International Vacuum Congress and the Third International Conference on Solid Surfaces, Vienna, edited by R. Dobrozemsky, F. Rndenauer, F. P. Viehbock, and A. Breth (Berger, Horn, Austria), Vol. I, pp. 559 — 562.

Gesch, H-, I. Eisele, and G. Dorda, 1978, "Pressure depen- 623 dence of structure in the mobility of (100) silicon inversion layers," Surf. Sci. 73, 81—89.

Giannetta, R. W., and H. Ikezi, 1981, “Nonlinear deformation 624 of the electron-charged surface of liquid *He,” Phys. Rev.

Lett. 47, 849-8 52.

Ginzburg, VI. L., and Yu. P. Monarkha, 1978, "Surface elec- 625* Irons in helium over macroscopic periodic structures,” Fiz. Nizk. Temp. 4, 1236—1239 [Sov. J. Low Temp. Phys. 4, 580-582 (1978)].

Giordano, N., 1980, “Experimental study of localization in 626 thin wires,” Phys. Rev. В 22, 5635 — 5654.

Giordano, N., W. Gilson, and D. E. Prober, 1979, “Experi- 627 mental study of Anderson localization in thin wires,” Phys.

Rev. Lett. 43, 725-728.

Glasser, M. L., 1977, “Pair correlation function for a two- 628 dimensional electron gas,” J. Phys. C 10, L121 —L123.

Glasser, M. L., 1980, “Two-dimensional electron gas in a mag- 629 netic field: Polarizability," Phys. Rev. В 22, 472 — 473.

Glasser, M. L., 1981, “Specific heat of electron gas of arbitrary 630 dimensionality," Phys. Lett. A 81, 295 — 296.

Glew, R. W., and M. Halberstadt, 1981, “Modulation doped 631

stages of the oxidation of Si,” Phys. Rev. В 19, 3944-3956.

Gaydon, B. G., 1973, "The low temperature strain sensitivity 612 of MOS transistors,” Solid-State Electron. 16, 147—154.

Gergel*, V. A., and R. A. Suris, 1978, “Fluctuation of the sur- 613* face potential in metal-insulator-conductor structures," Zh.

Eksp. Teor. Fiz. 75, 191-203 [Sov. Phys.—JETP 48, 95-101 (1978)].

Gerhardts, R. R., 1975a, "Path-integral approach to the two- 614 dimensional magneto-conductivity problem. 1. General formulation of the approach," Z. Phys. В 21, 275 — 283.

Gerhardts, R. R., 1975b, “Path-integral approach to the two- 615 dimensional magneto-conductivity problem. II. Application to л-type (lOO)-surface inversion layers of p-silicon,” Z. Phys.

В 21, 285-294.

Gerhardts, R. R., 1976, "Cumulant approach to the two- 616 dimensional magneto-conductivity problem,” Surf. Sci. 58, 227-234.

Gerhardts, R. R., 1981a, “Transition to an anharmonic 617 charge-density wave of a two-dimensional electron gas in a strong magnetic field," Phys. Rev. В 24, 1339— 1349.

Gerhardts, R. R., 1981b, “Wigner transition temperature of a 618 two-dimensional electron gas in a strong magnetic field," Phys. Rev. В 24, 4068 - 4071.

Gersten, J. I., 1980a, “Theory of surface plasmarons,” Surf. 619 Sci. 92, 579-592.

Gersten, J. I., 1980b, “Theory of surface plasmarons. II. The 620 effect of a finite thickness of the accumulation layer,” Surf.

Sci. 97, 206-218.

Gesch, H., G. Dorda, P. Stallhofcr, and J. P. Kotthaus. 1979, 621 "Comparison of Shubnikov—de Haas effect and cyclotron resonance on Si(100) MOS transistors under uniaxial stress,” Solid State Commun. 32, 543 — 546.

Gesch, H., 1. Eisele, and G. Dorda, 1977, “p-Type inversion 622 layers under mechanical stress,” in Proceedings of the Seventh International Vacuum Congress and the Third International Conference on Solid Surfaces, Vienna, edited by R. Dobrozemsky, F. Rndenauer, F. P. Viehbock, and A. Breth (Berger, Horn, Austria), Vol. I, pp. 559 — 562.

Gesch, H-, I. Eisele, and G. Dorda, 1978, "Pressure depen- 623 dence of structure in the mobility of (100) silicon inversion layers," Surf. Sci. 73, 81—89.

Giannetta, R. W., and H. Ikezi, 1981, “Nonlinear deformation 624 of the electron-charged surface of liquid *He,” Phys. Rev.

Lett. 47, 849-8 52.

Ginzburg, VI. L., and Yu. P. Monarkha, 1978, "Surface elec- 625* Irons in helium over macroscopic periodic structures,” Fiz. Nizk. Temp. 4, 1236—1239 [Sov. J. Low Temp. Phys. 4, 580-582 (1978)].

Giordano, N., 1980, “Experimental study of localization in 626 thin wires,” Phys. Rev. В 22, 5635 — 5654.

Giordano, N., W. Gilson, and D. E. Prober, 1979, “Experi- 627 mental study of Anderson localization in thin wires,” Phys.

Rev. Lett. 43, 725-728.

Glasser, M. L., 1977, “Pair correlation function for a two- 628 dimensional electron gas,” J. Phys. C 10, L121 —L123.

Glasser, M. L., 1980, “Two-dimensional electron gas in a mag- 629 netic field: Polarizability," Phys. Rev. В 22, 472 — 473.

Glasser, M. L., 1981, “Specific heat of electron gas of arbitrary 630 dimensionality," Phys. Lett. A 81, 295 — 296.

Glew, R. W., and M. Halberstadt, 1981, “Modulation doped 631

International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 49, Suppl. A, 987 — 990].

594 Fukuyama, H., 1980f, “Non-metallic behaviors of two- dimensional metals and effect of intervalley impurity scattering,” Prog. Theor. Phys. Suppl. 69, 220 — 231.

595 Fukuyama, H., 1981, “Effects of mutual interactions in weakly localized regime of disordered two-dimensional systems. I. Magnetoresistance and spin-susceptibility,” J. Phys. Soc. Japan 50, 3407 — 3414.

596 Fukuyama, H., 1982, “Theory of weakly localized regime of the Anderson localization in two dimensions,” Surf. Sci. 113, 489-504.

597 Fukuyama, H., Y. Kuramoto, and P. M. Platzman, 1978, “Coulomb interaction effects on cyclotron resonance in 2D systems," Surf. Sci. 73, 491—493.

598 Fukuyama, H., Y. Kuramoto, and P. M. Platzman, 1979, “Many-body effect on level broadening and cyclotron resonance in two-dimensional systems under strong magnetic field,” Phys. Rev. В 19, 4980-4985.

599 Fukuyama, H., and P. A. Lee, 1978, “Pinning and conductivity of two-dimensional charge-density waves in magnetic fields,” Phys. Rev. В 18, 6245 — 6252.

600 Fukuyama, H., and J. W. McClure, 1975, “Orbital magnetic moment of two-dimensional Wigner crystal," Solid State Commun. 17, 1327-1330.

601 Fukuyama, H., P. M. Platzman, and P. W. Anderson, 1978, “The two-dimensional electron gas in a strong magnetic field," Surf. Sci. 73, 374-378.

602 Fukuyama, H., P. M. Platzman, and P. W. Anderson, 1979, “Two-dimensional electron gas in a strong magnetic field," Phys. Rev. B. 19, 5211-5217.

603 Fukuyama, H., and D. Yoshioka, 1980a, “Quantum effects on melting temperature of two-dimensional Wigner solid,” Surf. Sci. 98, 11-16.

604 Fukuyama, H., and D. Yoshioka, 1980b, "Quantum effects on melting temperature of two-dimensional Wigner solid in strong magnetic fields," J. Phys. Soc. Japan 48, 185 3 — 1860.

605*Gabovich, A. M., L. G. Il’chenko, E. A. Pashitskii, and Yu. A. Romanov, 1978, “Screening of charges and Friedel oscillations of the electron density in metals having differently shaped Fermi surfaces,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 75, 249 — 264 [Sov. Phys —JETP 48, 124-131 (1978)].

606 Ganguly, A. K., and C. S. Ting, 1977, “Temperature dependence of dynamic conductivity of electrons in the surface inversion layer of semiconducting silicon,” Phys. Rev. В 16, 3 541-3 545.

607 Gann, R. C, S. Chakravarty,# and G. V. Chester, 1979, “Monte Carlo simulation of the classical two-dimensional one-component plasma,” Phys. Rev. В 20, 326 — 344.

608 Garcia, N., 1976, “Self-consistent numerical solution ofp-type inversion layers in silicon MOS devices," Solid State Commun. 18, 1021-1024.

609 Garcia, N., and L. M. Faficov, 1975a, "Localized states of p- type inversion layers in semiconductor field-effect transistors,” Phys. Rev. В 11, 728-731.

610 Garcia, N., and L. M. Falicov, 1975b, "Variation with Fermi level of the hole cyclotron masses in silicon and germanium," Solid State Commun. 16, 891 — 894.

611 Garner, С. M., I. Lindau, C. Y. Su, P. Pianetta, and W. E. Spicer, 1979, “Electron-spectroscopic studies of the early

GaAs-GaALAs multilayer structures,” in Gallium Arsenide and Related Compounds, I960, edited by H. W. Thim (Institute of Physics, Bristol), pp. 731 — 740.632 Gnadinger, A. P., and H. E. Talley, 1970, “Quantum mechani-GaAs-GaALAs multilayer structures,” in Gallium Arsenide and Related Compounds, I960, edited by H. W. Thim (Institute of Physics, Bristol), pp. 731 — 740.632 Gnadinger, A. P., and H. E. Talley, 1970, “Quantum mechani-633633634634635635636636637637638638639639640640641641642642643643644644645645646*646*647* Gor’kov, L. P., and D. M. Chernikova, 1976, “Mode of stability loss of charged helium surface," Dokl. Akad. Nauk SSSR 228, 829-832 [Sov. Phys—Dokt. 21, 328-330 (1976)].648* Gor’kov, L. P., A. I. Larkin, and D. E. Khmel’nitskii, 1979, “Particle conductivity in a two-dimensional random potential,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 30, 248-252 [JETP Lett. 30, 228-232(1979)].649 Gomik, E., R. Schawarz, G. Lindemann, and D. G Tsui,647* Gor’kov, L. P., and D. M. Chernikova, 1976, “Mode of stability loss of charged helium surface," Dokl. Akad. Nauk SSSR 228, 829-832 [Sov. Phys—Dokt. 21, 328-330 (1976)].648* Gor’kov, L. P., A. I. Larkin, and D. E. Khmel’nitskii, 1979, “Particle conductivity in a two-dimensional random potential,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 30, 248-252 [JETP Lett. 30, 228-232(1979)].649 Gomik, E., R. Schawarz, G. Lindemann, and D. G Tsui,1980a, “Emission spectroscopy on two-dimensional systems,” Surf. Sci. 98, 493 - 504.Gomik, E., R. Schawarz, D. C. Tsui, A. C. Gossard, and W. Wiegmann, 1980b, “Far infrared emission from 2D electrons at the GaAs-Al#Ga/_,As interface/* Solid State Commun. 38, 541 —545; in Proceedings of the 15th International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 49, Suppl. A, 1029-1032].Gomik, E., and D. C. Tsui, 1976, “Voltage-tunable far- infrared emission from Si inversion layers," Phys. Rev. Lett. 37, 1425-1428.Gomik, E., and D. C. Tsui, 1978a, “Far infrared emission from hot electrons in Si-inversion layers,” Solid-State Electron. 21, 139-142.Gomik, E., and D. C. Tsui, 1978b, “Cyclotron and subband emission from Si inversion layers," Surf. Sci. 73, 217 —221.Gotze, W., and J. Hajdu, 1979, “On the theory of the transverse dynamic magneto-conductivity in two-dimensional diectron-impurity systems," Solid State Commun. 29, 89—92.Gotze, W., P. Prelovsek, and P. Wolfle, 1979, “Localization of particles in a two-dimensional random potential," Solid State Commun. 30, 369 — 373.Gotze, W., and P. Wolfle, 1972, “Homogeneous dynamical conductivity of simple metals,” Phys. Rev. В 6, 1226— 1238.Grebenshchikov, Yu. B., and V. V. Korneev, 1977, “Mott Exciton spectrum in a thin semiconductor in a magnetic field,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 19, 2143 — 2149 [Sov. Phys.— Solid State 19, 1255- 1258 (1977)].Grecu, D., 1973, “Plasma frequency of the electron gas in layered structures,” Phys. Rev. В 8, 1958—1961.1980a, “Emission spectroscopy on two-dimensional systems,” Surf. Sci. 98, 493 - 504.Gomik, E., R. Schawarz, D. C. Tsui, A. C. Gossard, and W. Wiegmann, 1980b, “Far infrared emission from 2D electrons at the GaAs-Al#Ga/_,As interface/* Solid State Commun. 38, 541 —545; in Proceedings of the 15th International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 49, Suppl. A, 1029-1032].Gomik, E., and D. C. Tsui, 1976, “Voltage-tunable far- infrared emission from Si inversion layers," Phys. Rev. Lett. 37, 1425-1428.Gomik, E., and D. C. Tsui, 1978a, “Far infrared emission from hot electrons in Si-inversion layers,” Solid-State Electron. 21, 139-142.Gomik, E., and D. C. Tsui, 1978b, “Cyclotron and subband emission from Si inversion layers," Surf. Sci. 73, 217 —221.Gotze, W., and J. Hajdu, 1979, “On the theory of the transverse dynamic magneto-conductivity in two-dimensional diectron-impurity systems," Solid State Commun. 29, 89—92.Gotze, W., P. Prelovsek, and P. Wolfle, 1979, “Localization of particles in a two-dimensional random potential," Solid State Commun. 30, 369 — 373.Gotze, W., and P. Wolfle, 1972, “Homogeneous dynamical conductivity of simple metals,” Phys. Rev. В 6, 1226— 1238.Grebenshchikov, Yu. B., and V. V. Korneev, 1977, “Mott Exciton spectrum in a thin semiconductor in a magnetic field,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 19, 2143 — 2149 [Sov. Phys.— Solid State 19, 1255- 1258 (1977)].Grecu, D., 1973, “Plasma frequency of the electron gas in layered structures,” Phys. Rev. В 8, 1958—1961.650650651651652652653653654654655655656656657*657*658658664664665665666666667667669669

GaAs-GaALAs multilayer structures,” in Gallium Arsenide and Related Compounds, I960, edited by H. W. Thim (Institute of Physics, Bristol), pp. 731 — 740.

632 Gnadinger, A. P., and H. E. Talley, 1970, “Quantum mechani-

GaAs-GaALAs multilayer structures,” in Gallium Arsenide and Related Compounds, I960, edited by H. W. Thim (Institute of Physics, Bristol), pp. 731 — 740.

632 Gnadinger, A. P., and H. E. Talley, 1970, “Quantum mechani-

633

633

634

634

635

635

636

636

637

637

638

638

639

639

640

640

641

641

642

642

643

643

644

644

645

645

646*

646*

647* Gor’kov, L. P., and D. M. Chernikova, 1976, “Mode of stability loss of charged helium surface," Dokl. Akad. Nauk SSSR 228, 829-832 [Sov. Phys—Dokt. 21, 328-330 (1976)].

648* Gor’kov, L. P., A. I. Larkin, and D. E. Khmel’nitskii, 1979, “Particle conductivity in a two-dimensional random potential,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 30, 248-252 [JETP Lett. 30, 228-232(1979)].

649 Gomik, E., R. Schawarz, G. Lindemann, and D. G Tsui,

647* Gor’kov, L. P., and D. M. Chernikova, 1976, “Mode of stability loss of charged helium surface," Dokl. Akad. Nauk SSSR 228, 829-832 [Sov. Phys—Dokt. 21, 328-330 (1976)].

648* Gor’kov, L. P., A. I. Larkin, and D. E. Khmel’nitskii, 1979, “Particle conductivity in a two-dimensional random potential,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 30, 248-252 [JETP Lett. 30, 228-232(1979)].

649 Gomik, E., R. Schawarz, G. Lindemann, and D. G Tsui,

1980a, “Emission spectroscopy on two-dimensional systems,” Surf. Sci. 98, 493 - 504.

Gomik, E., R. Schawarz, D. C. Tsui, A. C. Gossard, and W. Wiegmann, 1980b, “Far infrared emission from 2D electrons at the GaAs-Al#Ga/_,As interface/* Solid State Commun. 38, 541 —545; in Proceedings of the 15th International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 49, Suppl. A, 1029-1032].

Gomik, E., and D. C. Tsui, 1976, “Voltage-tunable far- infrared emission from Si inversion layers," Phys. Rev. Lett. 37, 1425-1428.

Gomik, E., and D. C. Tsui, 1978a, “Far infrared emission from hot electrons in Si-inversion layers,” Solid-State Electron. 21, 139-142.

Gomik, E., and D. C. Tsui, 1978b, “Cyclotron and subband emission from Si inversion layers," Surf. Sci. 73, 217 —221.

Gotze, W., and J. Hajdu, 1979, “On the theory of the transverse dynamic magneto-conductivity in two-dimensional diectron-impurity systems," Solid State Commun. 29, 89—92.

Gotze, W., P. Prelovsek, and P. Wolfle, 1979, “Localization of particles in a two-dimensional random potential," Solid State Commun. 30, 369 — 373.

Gotze, W., and P. Wolfle, 1972, “Homogeneous dynamical conductivity of simple metals,” Phys. Rev. В 6, 1226— 1238.

Grebenshchikov, Yu. B., and V. V. Korneev, 1977, “Mott Exciton spectrum in a thin semiconductor in a magnetic field,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 19, 2143 — 2149 [Sov. Phys.— Solid State 19, 1255- 1258 (1977)].

Grecu, D., 1973, “Plasma frequency of the electron gas in layered structures,” Phys. Rev. В 8, 1958—1961.

1980a, “Emission spectroscopy on two-dimensional systems,” Surf. Sci. 98, 493 - 504.

Gomik, E., R. Schawarz, D. C. Tsui, A. C. Gossard, and W. Wiegmann, 1980b, “Far infrared emission from 2D electrons at the GaAs-Al#Ga/_,As interface/* Solid State Commun. 38, 541 —545; in Proceedings of the 15th International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 49, Suppl. A, 1029-1032].

Gomik, E., and D. C. Tsui, 1976, “Voltage-tunable far- infrared emission from Si inversion layers," Phys. Rev. Lett. 37, 1425-1428.

Gomik, E., and D. C. Tsui, 1978a, “Far infrared emission from hot electrons in Si-inversion layers,” Solid-State Electron. 21, 139-142.

Gomik, E., and D. C. Tsui, 1978b, “Cyclotron and subband emission from Si inversion layers," Surf. Sci. 73, 217 —221.

Gotze, W., and J. Hajdu, 1979, “On the theory of the transverse dynamic magneto-conductivity in two-dimensional diectron-impurity systems," Solid State Commun. 29, 89—92.

Gotze, W., P. Prelovsek, and P. Wolfle, 1979, “Localization of particles in a two-dimensional random potential," Solid State Commun. 30, 369 — 373.

Gotze, W., and P. Wolfle, 1972, “Homogeneous dynamical conductivity of simple metals,” Phys. Rev. В 6, 1226— 1238.

Grebenshchikov, Yu. B., and V. V. Korneev, 1977, “Mott Exciton spectrum in a thin semiconductor in a magnetic field,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 19, 2143 — 2149 [Sov. Phys.— Solid State 19, 1255- 1258 (1977)].

Grecu, D., 1973, “Plasma frequency of the electron gas in layered structures,” Phys. Rev. В 8, 1958—1961.

650

650

651

651

652

652

653

653

654

654

655

655

656

656

657*

657*

658

658

664

664

665

665

666

666

667

667

669

669

cdcalculation of the carrier distribution and the thickness of the inversion layer of a MOS field-effect transistor,” Solid- State Electron. 13, 1301-1309.

Goetzberger, A., 1967, “Behavior of MOS inversion layers at low temperature," IEEE Trans. Electron Devices ED-14, 787-789.

Goetzberger, A., V. Heine, and E. H. Nicolhan, 1968, ‘^Surface states in silicon from charges in the oxide coating,” Appl. Phys. Lett. 12, 95-97.

Goetzberger, A., E. Klausmann, and M. J. Schulz, 19%, "Interface states on semiconductor/insulator surfaces," Crit. Rev. Solid State Sci. 6, 1 -43.

Goetzberger, A., and M. Schulz, 1973, “Fundamentals of MOS technology,” in Festkorperprobleme (Advances in Solid State Physics), edited by H. J. Queisser (Pergamon-Vieweg, Braunschweig), Vol. XIII, pp. 309—336.

Goetzberger, A., and S. M. Sze, 1969, “Metal-insulator- semiconductor (MIS) physics,” in Applied Solid State Science, edited by R. Wolfe and L. J. Kriessman (Academic, New York), Vol. l,pp. 153-238.

Gold, A., and W. Gotze, 1981, “The conductivity of strongly disordered two-dimensional systems,” J. Phys. C 14, 4049-4066.

Goldstein, Y„ and Y. Grinshpan, 1977, “Negative magnetoresistance in very strong accumulation layers on ZnO surfaces," Phys. Rev, Lett. 39, 953-956.

Goldstein, Y., Y. Grinshpan, and A. Many, 1979, "Negative magnetoresistance in quantized accumulation layers on ZnO surfaces," Phys. Rev. B 19, 2256-2265.

Goldstein, Y., A. Many, D. Eger, Y. Grinshpan, G. Yaron, and M. Nitzan, 1977, “Extreme accumulation layers on ZnO surfaces due to He+ ions,” Phys. Lett. A 62, 57—58.

Goldstein, Y., A. Many, I. Wagner, and J. Gersten, 1980, “ELS studies of quantized accumulation layers on ZnO surfaces,” Surf. Sci. 98, 599 — 612.

Goodman, A. M., and J. J. O'Neill, Jr., 1966, “Photoemission of electrons from metals into silicon dioxide,” J. Appl. Phys. 37, 3580-3583.

Goodman, B., and W. M. Polansky, 1976, “Local mass of (110) Ge surface inversion layer electrons,” Bull. Am. Phys. Soc. 21, 342.

Gopel. W„ and U. Lampe, 1980, “Influence of defects on the electronic structure of zinc oxide surfaces,” Phys. Rev. В 22, 6447 - 6462.

► Gor’kov, L. P„ and D. M. Chernikova, 1973, “Concerning the structure of a charged surface of liquid helium," Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 18, 119-122 [JETP Lett. 18, 68-70 (1973)].

Greene, R. F., 1964, “Surface transport,” Surf. Sci. 2,' 659 101-113.

Greene, R. F„ 1969a, “Electron transport and scattering near ^q crystal surfaces,” in Molecular Processes on Solid Surfaces, edited by E. Drauglis, R. D. Gretz and R. J. Jaffee (McGraw-Hill, New York), pp. 239-263.

Greene, R. F., 1969b, “Transport and scattering near crystal 661** surfaces,” in Solid State Surface Science, edited by M. Green (M. Dekker, New York), Vol. I, pp. 87-132.

Greene, R. F., 1972, “The connection between the thermo- 662 dynamics of chemisorption on semiconductor surfaces and surface scattering of carriers,” Thin Solid Films 13, 179—183.

Greene, R. F., 1974, “Surface electron transport,” Crit. Rev. 663**

Solid State Sci. 4, 477-497.

Greene, R. F., 1975, “Carrier scattering at elemental and compound semiconductor interfeces,” Crit. Rev. Solid State Sci. 5, 345-351.

Greene, R. F., D. Bixler, and R. N. Lee, 1971, “Semiconductor surface electrostatics,” J. Vac. Sci. Technol. 8, 75 — 79.

Greene, R. F., and J. Malamas, 1973, “Scattering of carriers in semiconductors by screened surface charges,” Phys. Rev. В 7, 1384-1392.

Greene, R. F., and R, W. O’Donnell, 1966, “Scattering of conduction electrons by localized surface charges," Phys. Rev. 147, 599-602.

Grimes, С. C., J978a, “Electrons in surface states on liquid helium," Surf. Sci. 73, 379-395.

Grimes, С. C., 1978b, “Structure of the electron gas at the surface of liquid helium," J. Phys. (Paris) 39, Colloques, C6- 1352—C6-1357.

689690691692693694695696697698699700701702703704705706707689690691692693694695696697698699700701702703704705706707

689

690

691

692

693

694

695

696

697

698

699

700

701

702

703

704

705

706

707

689

690

691

692

693

694

695

696

697

698

699

700

701

702

703

704

705

706

707

670 Grimes, С. С., 1979, “Cyclotron resonance in a two- • dimensional electron gas on helium surfaces," J. Magn. Magn.

Mater. 11, 32-38.

671 Grimes, С. C., and G. Adams, 1976a, “Plasmons in a sheet of electrons on liquid helium," Surf. Sci. 58, 292—294.

672 Grimes, С. C., and G. Adams, 1976b, “Observation of two* dimensional plasmons and electron-ripplon scattering in a sheet of electrons on liquid helium," Phys. Rev. Lett. 36, 145-148.

673 Grimes, С. C., and G. Adams, 1979, "Evidence for a liquid- to-crystal phase transition in a classical, two-dimensional sheet of electrons," Phys. Rev. Lett. 42, 795 — 798.

674 Grimes, С. C., and G. Adams, 1980, “Crystallization of electrons on the surface of liquid helium," Surf. Sci. 98, 1 — 7.

675 Grimes, С. C., and T. R. Brown, 1974, “Direct spectroscopic observation of electrons in image-potential states outside liquid helium," Phys. Rev. Lett. 32, 280 — 283.

676 Grimes, С. С., T. R. Brown, M. L. Burns, and C. L. Zipfel, 1976, "Spectroscopy of electrons in image-potential-induced surface states outside liquid helium," Phys. Rev. В 13, 140-147.

677 Grinshpan, Y., M. Nitzan, and Y. Goldstein, 1979, “Hall mobility of electrons in quantized accumulation layers on ZnO surfaces," Phys. Rev. В 19, 1098—1107.

678 Grosvalet, J., 1968, “Phenomenes de transport en surface dans les semi-conducteurs," J. Phys. (Paris) 29, Colloques, C2- 59-C2-64.

679 Grosvalet, J., C. Jund, C. Motsch, and R. Poirier, 1966, “Experimental study of semiconductor surface conductivity," Surf. Sci. 5, 49-80.

680 Grove, A. S., 1967, Physics and Technology of Semiconductor Devices (Wiley, New York).

681 Grunthaner, F. J., P. J. Grunthaner, R. P. Vasquez, B. F. Lewis, J. Maseijian, and A. Madhukar, 1979, “High- resolution x-ray photoelectron spectroscopy as a probe of local atomic structure: Application to amorphous SiO2 and the Si- SiO2 interface," Phys. Rev. Lett. 43, 168 3 — 1686.

682 Grunthaner, F. J., and J. Maseijian, 1978, “Chemical structure of the transitional region of the SiO2/Si interface," in The Physics of SiO} and its Interfaces, edited by S. T. Pantelides (Pergamon, New York), pp. 389 — 395.

683* Gryukanov, M. F., and V. V. Korneev, 1978, “Plasma surface states of electrons in a semiconductor subjected to a quantizing magnetic field," Fiz. Tekh. Poluprovodn. 12, 861 — 865 [Sov. Phys.—Semicond. 12, 508-510 (1978)].

684 Guldner, Y., J. P. Vieren, P. Voisin, M. Voos, L. L. Chang, and L. Esaki, 1980, “Cyclotron resonance and far-infrared magneto-absorption experiments in semimetallic InAs-GaSb superlattices," Phys. Rev. Lett. 45, 1719—1722.

685 Gulyaev, Yu. V., and R. A. Gusparian, 1980, “Acoustoelectronic phenomena m the systems with quantum size effects," Surf. Sci. 98, 553-562.

686 Gunnarson, O., and В. 1. Lundqvist, 1976, “Exchange and correlation in atoms, molecules, and solids by the spin-density functional formalism," Phys. Rev. В 13, 4274 — 4298.

687 Guzev, A. A., V. A. Gurtov, A. V. Rzhanov, and A. A. Frantsuzov, 1979, “Hole mobility in inversion layers of MOS structures with superthin gate dielectric," Phys. Status Solidi A 56,61-73.

688* Guzev, A. A., G. L Kuryshev, and S. P. Sinitsa, 1970a, “Mobility of holes in silicon inversion layers in metal-dielectric-

semiconductor structures," Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 4, 2043 — 2047 [Sov. Phys.—Semicond. 4, 1755—1759 (1971)].

Guzev, A. A., G. L. Kuryshev, and S. P. Sinitsa, 1970b, “Scattering mechanisms in inversion channels of MIS structures on silicon," Phys. Status Solidi A 14, 41-50.

Hahn, P. O., and M. Henzler, 1981, “Influence of oxidation parameters on atomic roughness at the Si-SiO2 interface," J. Appl. Phys. 52,4122-4127.

Halperin, В. I., 1979, “Superfluidity, melting, and liquidcrystal phases in two dimensions," in Physics of LowDimensional Systems (Proceedings of Kyoto Summer Institute, 1979), edited by Y. Nagaoka and S. Hikami (Publication Office, Progress of Theoretical Physics, Kyoto), pp. 53—124.

Halperin, В. 1., 1980, “Theory of melting in two dimensions," Surf. Sci. 98,8-10.

Halperin, В. I., and T. M. Rice, 1968, “The excitonic state at the semiconductor-semimetal transition," Solid State Phys. 21, 115-192.

Halperin, В. I., and D. R. Nelson, 1978, "Theory of twodimensional melting," Phys. Rev. Lett. 41, 121 — 124; 519(E).

Hamilton, E. M., 1972, “Variable range hopping in a nonuniform density of states,” Philos. Mag. 26, 1043— 1045.

Handler, P., and S. Eisenhour, 1964, “Transport properties of light and heavy holes in the space charge region of a clean and water covered (111) germanium surface," Surf. Sci. 2, 64-74.

Hanke, W., and M. J. Kelly, 1980a, “Surface superconductivity and the metal-oxide-semiconductor system," Phys. Rev. Lett. 45, 1203-1206.

Hanke, W., and M. J. Kelly, 1980b, “Mechanisms of superconductivity at semiconductor interfaces,” in Proceedings of the I5th International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 49, Suppl. A, 991 —994].

Hanni, R. S., and J. M. J. Madey, 1978, “Shielding by an electron surface layer,” Phys. Rev. В 17, 1976—1983.

Hansen, J. P., D. Levesque, and J. J. Weis, 1979, “Selfdiffusion in the two-dimensional classical electron gas,” Phys. Rev. Lett. 43, 979-982.

Harrison, W. A., 1961, “Tunneling from an independentparticle point of view,” Phys. Rev. 123, 85 — 89.

Hartstein, A., and F. F. Fang, 1978, "Variation of the Shubnikov—de Haas amplitudes with ionic scattering in silicon inversion layers,” Phys. Rev. В 18, 5502—5505.

Hartstein, A., and A. B. Fowler, 1975a, “High temperature ‘variable range hopping’ conductivity in silicon inversion layers," J. Phys. C 8, L249 —L253.

Hartstein, A., and A. B. Fowler, 1975b, “Oxide-charge-induced impurity level in silicon invenion layers,” Phys. Rev. Lett. 34, 1435-1437.

Hartstein, A., and A. B. Fowler, 1976, “Conductivity in a two-dimensional impurity band," in Proceedings of the 13th International Conference on the Physics of Semiconductors, Rome, edited by F. G. Fumi (North-Holland, Amsterdam), pp. 741-745.

Hartstein, A., and A. B. Fowler, 1978, “Impurity bands in inversion layers," Surf. Sci. 73, 19 — 30.

Hartstein, А.» A. B. Fowler, and M. Albert, 1979, “Variation of the ‘conductivity in a 2-D impurity band with Fermi level position," in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1001 — 1004.

Hartstein, A., A. B. Fowler, and M. Albert, 1980, “Tempera-

711711712712713713714714715715716716717717718 Heiland, G., E. Mollwo, and F. Stockmann, 1959, “Electronicprocesses in zinc oxide,” Solid State Phys. 8, 191 — 323.719 Heiland, G., and P. Kunstmann, 1969, “Polar surfaces of zinc oxide crystals,” Surf. Sci. 13, 72—84.718 Heiland, G., E. Mollwo, and F. Stockmann, 1959, “Electronicprocesses in zinc oxide,” Solid State Phys. 8, 191 — 323.719 Heiland, G., and P. Kunstmann, 1969, “Polar surfaces of zinc oxide crystals,” Surf. Sci. 13, 72—84.720 Heinrichs, J., 1978, “Density-of-states tails, fluctuation states, Hess, K., Th. Englert, T. Neugebauer, G. Landwehr, and G.720 Heinrichs, J., 1978, “Density-of-states tails, fluctuation states, Hess, K., Th. Englert, T. Neugebauer, G. Landwehr, and G.and mobility edges in systems with randomly distributed impurities," Phys. Rev. В 17, 3051 — 3062.721 Helms, C. R., 1979, “Morphology and electronic structure of St-SiO2 interfaces and Si surfaces,” J. Vac. Sci. Technol. 16, 608-614.722 Helms, C. R., N. M. Johnson, S. A. Schwarz, and W. E. Spicer, 1978a, “Auger sputter profiling studies of the Si-SiO2 interface,” in The Physics of SiO2 and its Interfaces, edited by S. T. Pantelides (Pergamon, New York), pp. 366—372.723 Helms, C. R., Y. E. Strausser, and W. E. Spicer, 1978b, “Observation of an intermediate chemical state of silicon in theand mobility edges in systems with randomly distributed impurities," Phys. Rev. В 17, 3051 — 3062.721 Helms, C. R., 1979, “Morphology and electronic structure of St-SiO2 interfaces and Si surfaces,” J. Vac. Sci. Technol. 16, 608-614.722 Helms, C. R., N. M. Johnson, S. A. Schwarz, and W. E. Spicer, 1978a, “Auger sputter profiling studies of the Si-SiO2 interface,” in The Physics of SiO2 and its Interfaces, edited by S. T. Pantelides (Pergamon, New York), pp. 366—372.723 Helms, C. R., Y. E. Strausser, and W. E. Spicer, 1978b, “Observation of an intermediate chemical state of silicon in theLett. 33, 767-769.Lett. 33, 767-769.129, 1041-1062.129, 1041-1062.Si/SiO2 interface by Auger sputter profiling,” Appl. Phys. Hess, K., and С. T. Sah, 1974a, “Warm and hot carriers in sil-Si/SiO2 interface by Auger sputter profiling,” Appl. Phys. Hess, K., and С. T. Sah, 1974a, “Warm and hot carriers in sil-724 Hensel, J. C, and G. Feher, 1963, “Cyclotron resonance exper- Hess, K., and С. T. Sah, 1974b, “Hot carriers in silicon surface iments in uniaxially stressed silicon: Valence band inverse inversion layers,” J. Appl. Phys. 45, 1254—1257.mass parameters and deformation potentials,” Phys. Rev. Hess, K., and С. T. Sah, 1975, “Dipole scattering at the Si-724 Hensel, J. C, and G. Feher, 1963, “Cyclotron resonance exper- Hess, K., and С. T. Sah, 1974b, “Hot carriers in silicon surface iments in uniaxially stressed silicon: Valence band inverse inversion layers,” J. Appl. Phys. 45, 1254—1257.mass parameters and deformation potentials,” Phys. Rev. Hess, K., and С. T. Sah, 1975, “Dipole scattering at the Si-725 Hensel, J. С., H. Hasegawa, and M. Nakayama, 1965, "Cyclo- Hess, K., and P. Vogl, 1979, “Remote polar phonon scattering tron resonance in uniaxially stressed silicon. II. Nature of in silicon inversion layers," Solid State Cotnrtiun. 30, the covalent bond," Phys. Rev. 138, A225 —A238.807 — 809.726 Henzler, M., 1975, “Electronic transport at surfaces,” in Sur- Hess, К., B. A. Vojak, N. Holonyak, Jr., R. Chin, and P. D. face Physics of Materials, edited by J. M. Blakely (Academic, Dapkus, 1980, “Temperature dependence of threshold current725 Hensel, J. С., H. Hasegawa, and M. Nakayama, 1965, "Cyclo- Hess, K., and P. Vogl, 1979, “Remote polar phonon scattering tron resonance in uniaxially stressed silicon. II. Nature of in silicon inversion layers," Solid State Cotnrtiun. 30, the covalent bond," Phys. Rev. 138, A225 —A238.807 — 809.726 Henzler, M., 1975, “Electronic transport at surfaces,” in Sur- Hess, К., B. A. Vojak, N. Holonyak, Jr., R. Chin, and P. D. face Physics of Materials, edited by J. M. Blakely (Academic, Dapkus, 1980, “Temperature dependence of threshold current728729730731732733734735736737738739740741742743744728729730731732733734735736737738739740741742743744

711

711

712

712

713

713

714

714

715

715

716

716

717

717

718 Heiland, G., E. Mollwo, and F. Stockmann, 1959, “Electronicprocesses in zinc oxide,” Solid State Phys. 8, 191 — 323.

719 Heiland, G., and P. Kunstmann, 1969, “Polar surfaces of zinc oxide crystals,” Surf. Sci. 13, 72—84.

718 Heiland, G., E. Mollwo, and F. Stockmann, 1959, “Electronicprocesses in zinc oxide,” Solid State Phys. 8, 191 — 323.

719 Heiland, G., and P. Kunstmann, 1969, “Polar surfaces of zinc oxide crystals,” Surf. Sci. 13, 72—84.

720 Heinrichs, J., 1978, “Density-of-states tails, fluctuation states, Hess, K., Th. Englert, T. Neugebauer, G. Landwehr, and G.

720 Heinrichs, J., 1978, “Density-of-states tails, fluctuation states, Hess, K., Th. Englert, T. Neugebauer, G. Landwehr, and G.

and mobility edges in systems with randomly distributed impurities," Phys. Rev. В 17, 3051 — 3062.

721 Helms, C. R., 1979, “Morphology and electronic structure of St-SiO2 interfaces and Si surfaces,” J. Vac. Sci. Technol. 16, 608-614.

722 Helms, C. R., N. M. Johnson, S. A. Schwarz, and W. E. Spicer, 1978a, “Auger sputter profiling studies of the Si-SiO2 interface,” in The Physics of SiO2 and its Interfaces, edited by S. T. Pantelides (Pergamon, New York), pp. 366—372.

723 Helms, C. R., Y. E. Strausser, and W. E. Spicer, 1978b, “Observation of an intermediate chemical state of silicon in the

and mobility edges in systems with randomly distributed impurities," Phys. Rev. В 17, 3051 — 3062.

721 Helms, C. R., 1979, “Morphology and electronic structure of St-SiO2 interfaces and Si surfaces,” J. Vac. Sci. Technol. 16, 608-614.

722 Helms, C. R., N. M. Johnson, S. A. Schwarz, and W. E. Spicer, 1978a, “Auger sputter profiling studies of the Si-SiO2 interface,” in The Physics of SiO2 and its Interfaces, edited by S. T. Pantelides (Pergamon, New York), pp. 366—372.

723 Helms, C. R., Y. E. Strausser, and W. E. Spicer, 1978b, “Observation of an intermediate chemical state of silicon in the

Lett. 33, 767-769.

Lett. 33, 767-769.

129, 1041-1062.

129, 1041-1062.

Si/SiO2 interface by Auger sputter profiling,” Appl. Phys. Hess, K., and С. T. Sah, 1974a, “Warm and hot carriers in sil-

Si/SiO2 interface by Auger sputter profiling,” Appl. Phys. Hess, K., and С. T. Sah, 1974a, “Warm and hot carriers in sil-

724 Hensel, J. C, and G. Feher, 1963, “Cyclotron resonance exper- Hess, K., and С. T. Sah, 1974b, “Hot carriers in silicon surface iments in uniaxially stressed silicon: Valence band inverse inversion layers,” J. Appl. Phys. 45, 1254—1257.

mass parameters and deformation potentials,” Phys. Rev. Hess, K., and С. T. Sah, 1975, “Dipole scattering at the Si-

724 Hensel, J. C, and G. Feher, 1963, “Cyclotron resonance exper- Hess, K., and С. T. Sah, 1974b, “Hot carriers in silicon surface iments in uniaxially stressed silicon: Valence band inverse inversion layers,” J. Appl. Phys. 45, 1254—1257.

mass parameters and deformation potentials,” Phys. Rev. Hess, K., and С. T. Sah, 1975, “Dipole scattering at the Si-

725 Hensel, J. С., H. Hasegawa, and M. Nakayama, 1965, "Cyclo- Hess, K., and P. Vogl, 1979, “Remote polar phonon scattering tron resonance in uniaxially stressed silicon. II. Nature of in silicon inversion layers," Solid State Cotnrtiun. 30, the covalent bond," Phys. Rev. 138, A225 —A238.807 — 809.

726 Henzler, M., 1975, “Electronic transport at surfaces,” in Sur- Hess, К., B. A. Vojak, N. Holonyak, Jr., R. Chin, and P. D. face Physics of Materials, edited by J. M. Blakely (Academic, Dapkus, 1980, “Temperature dependence of threshold current

725 Hensel, J. С., H. Hasegawa, and M. Nakayama, 1965, "Cyclo- Hess, K., and P. Vogl, 1979, “Remote polar phonon scattering tron resonance in uniaxially stressed silicon. II. Nature of in silicon inversion layers," Solid State Cotnrtiun. 30, the covalent bond," Phys. Rev. 138, A225 —A238.807 — 809.

726 Henzler, M., 1975, “Electronic transport at surfaces,” in Sur- Hess, К., B. A. Vojak, N. Holonyak, Jr., R. Chin, and P. D. face Physics of Materials, edited by J. M. Blakely (Academic, Dapkus, 1980, “Temperature dependence of threshold current

728

729

730

731

732

733

734

735

736

737

738

739

740

741

742

743

744

728

729

730

731

732

733

734

735

736

737

738

739

740

741

742

743

744

ture dependence of scattering in the inversion layer,” Surf. Sci. 98, 181-190.

709 Hartstein, A., T. H. Ning, and A. B. Fowler, 1976, "Electron scattering in silicon inversion layers by oxide [charge] and surface roughness,” Surf. Sci. 58, 178—181.

710 Hasegawa, H., and T. Sawada, 1980, "On the distribution and

properties of interface states at compound semiconductor-insulator interfaces,” Surf. Sci. 98, 597 — 598.

Hatanaka, K., S. Onga, Y. Yasuda, and S. Kawaji, 1978, "Magnetoconductivity oscillations and inversion layer subbands in silicon on sapphire,” Surf. Sci. 73, 170— 178.

Hattori, T., and T. Nishina, 1978, “Studies of Si/SiO2 interfaces and SiO2 by XPS,” in The Physics of SiO2 and its Interfaces, edited by S. T. Pantelides (Pergamon, New York), pp. 379-383.

Hayden, K. J., 1980, "Carrier-density dependence of the activation energies associated with hopping in two-dimensional impurity bands,” Philos. Mag. В 41, 619 — 624.

Hayden, K. J., and P. N. Butcher, 1979, “Analysis of hopping conduction in impurity bands in inversion layers,” Philos. Mag. В 38, 603-617.

Haydock, R., 1981, “The electronic structure of weak, random, two- and three-dimensional potentials,” Philos. Mag. В 43 203-218.

Hebard, A. F., and A. T. Fiory, 1980, “Recent experimental results on vortex processes in thin-film superconductors,” in Ordering in Two Dimensions, edited by S. K. Sinha (Elsevier —North-Holland, New York), pp. 181 — 187.

Hedin, L., 1965, “New method for calculating the one-particle Green’s function with application to the electron-gas problem," Phys. Rev. 139, A796—A823.

727 Henzler, M., 1978, “Quantitative evaluation of random distri- tron. 23, 585 — 589.727 Henzler, M., 1978, “Quantitative evaluation of random distri- tron. 23, 585 — 589.New York), Vol. 1, pp. 241 -278.

727 Henzler, M., 1978, “Quantitative evaluation of random distri- tron. 23, 585 — 589.

727 Henzler, M., 1978, “Quantitative evaluation of random distri- tron. 23, 585 — 589.

buted steps at interfaces and surfaces,” Surf. Sci. 73, 240-251.

Henzler, M., and F. W. Wulfert, 1976, “Determination of atomic steps at the interface Si-SiO2,” in Proceedings of the 13th International Conference on the Physics of Semiconductors, Rome, edited by F. G. Fumi (North-Holland, Amsterdam), pp. 669 — 672.

Herman, F., 1. P. Batra, and R. V. Kasowski, 1978, “Electronic structure of a model Si-SiO2 interface,” in The Physics of SiOj and its Interfaces, edited by S. T. Pantelides (Pergamon, New York), pp. 333-338.

Herman, F., D. J. Henderson, and R. V. Kasowski, 1980, “Electronic structure of vacancies and interstitials in SiO2,” in The Physics of MOS Insulators, edited by G. Lucovsky, S. T. Pantelides, and F. L. Galeener (Pergamon, New York), pp. 107-110.

Herring, C., and E. Vogt, 1956, “Transport and deformationpotential theory for many-valley semiconductors with anisotropic scattering,” Phys. Rev. 101, 944 - 961.

Hess, K., 1975, “Anisotropic impurity scattering in electrically quantized inversion layers," Solid State Commun. 17, 157-159.

Hess, K., 1976, “Magnetoresistance of «-silicon inversion layers in the Ohmic and in the hot-electron range,” Surf. Sci. 58, 235-237.

Hess, K., 1978a, “Review of experimental aspects of hot electron transport in MOS structures,” Solid-State Electron. 21, 123-132.

Hess, K., 1978b, “Energy relaxation to acoustic phonons in surface inversion layers,” Solid State Commun. 25, 191 — 192.

Hess, K., 1979, “Impurity and phonon scattering in layered structures," Appl. Phys. Lett. 35, 484 — 486.

Hess, K., G. Dorda, and С. T. Sah, 1976a, “The currentvoltage characteristics of field-effect transistors with short channels,” Solid State Commun. 19, 471 — 473.■

Dorda, 1976b, “Non-Ohmic effects in p-type silicon inversion layers,” in Proceedings of the 13th International Conference on the Physics of Semiconductors, Rome, edited by F. G. Fumi (North-Holland, Amsterdam), pp. 746 — 749.

Hess, К., T. Englert, T. Neugebauer, G. Landwehr, and G. Dorda, 1977, “Hot-carrier effects in high magnetic fields in silicon inversion layers at low temperatures: p-channel,” Phys. Rev. В 16, 3652-3659.

Hess, K., A. Neugroschel, С. C. Shiue, and С. T. Sah, 1975, “Non-Ohmic electron conduction in silicon surface inversion layers at low temperatures,” J. Appl. Phys. 46, 1721 — 1727.

icon surface-inversion layers,” Phys. Rev. В 10, 3375 — 3386.

SiO2 interface,” Surf. Sci. 47, 650 — 654.

for a quantum-well heterostructure laser,” Solid-State Elec-

765766767768769770771772773774775776777778779780781782765766767768769770771772773774775776777778779780781782

765

766

767

768

769

770

771

772

773

774

775

776

777

778

779

780

781

782

765

766

767

768

769

770

771

772

773

774

775

776

777

778

779

780

781

782

746 Hickmott, Т. W., 1975, “Thermally stimulated ionic conductivity of sodium in thermal SiO;,” J- Appl. Phys. 46, 2583-2598.

747 Hickmott, T. W., 1980, “Dipole layers at the metal-SiO2 interface,” J. Appl. Phys. 51, 4269 - 4281.

748 Hikami, S., A. 1. Larkin, and Y. Nagaoka, 1980, “Spin-orbit interaction and magnetoresistance in the two dimensional random system,” Prog. Theor. Phys. 63, 707 — 710.

749 Hines, D. F., and N. E. Frankel, 1979, “Charged Bose gas in two dimensions. Zero magnetic field,” Phys. Rev. В 20, 972-983.

750 Hipolito, O., 1979, “Ground-state energy of strongly bound charged particles on surfaces,” J. Phys. C 12, 4667 — 4672.

751 Hipolito, O., and V. B. Campos, 1979, “Screening effects in fl- type Si inversion layers,” Phys. Rev. В 19, 3083 — 3088.

752 Hipohto, O., J. R. D. de Felicio, and G. A. Farias, 1978, “Electron bound states on liquid helium,” Solid State Com- mun. 28, 365 — 368.

753 Hiyamizu, S., T. Mimura, T. Fujii, and K. Nanbu, 1980, “High mobility of two-dimensional electrons at the GaAs/n- AlGaAs heterojunction interface,” Appl. Phys. Lett. 37, 805-807.

754 Hiyamizu, S., T. Mimura, T. Fujii, K. Nanbu, and H. Hashimoto, 1981a, “Extnmely high mobilities of two-dimensional electron gas in selectively doped GaAs/JV-AlGaAs heterojunction structures grown by MBE,” Jpn. J. Appl. Phys. 20, L245-L248.

755 Hiyamizu, S., K. Nanbu, T. Mimura, T. Fujii, and H. Hashimoto, 1981b, “Room-temperature mobility of two-dimensional electron gas in selectively doped GaAs/W-AlGaAs heterojunction structures,” Jpn. J. Appl. Phys. 20, L378 — L38O.

756 Hockney, R. W., and T. R. Brown, 1975, "A lambda transition in a classical electron film,” J. Phys. C 8, 1813 — 1822.

757 Hohenberg, P., and W. Kohn, 1964, “Inhomogeneous electron gas," Phys. Rev. 136, B864-B871.

758 Holm-Kennedy, J. W„ 1974, “New effect in insulated-gate field-effect transistors: Transverse voltage anisotropy at the inverted silicon surface?’ Phys. Rev. Lett. 32, 111-114.

759 Holonyak, N., Jr., R. M Kolbas, W. D. Laidig, M. Altarelli, R. D. Dupuis, and P. D. Dapkus, 1979, “Phonon-sideband MO-CVD quantum-well AlxGaj_xAs-GaAs heterostructure laser,” Appl. Phys. Lett. 34, 502 — 505.

760 Holonyak, N., Jr., R. M. Kolbas, R. D. Dupuis, and P. D Dapkus, 1980a, “Quantum-well heterostructure lasers," IEEE J. Quant. Electron. QE-16, 170—185.

761 Holonyak, N., Jr., R. M. Kolbas, W. D. Laidig, B. A. Vojak, K. Hess, R. D. Dupuis, and P. D. Dapkus, 198O>, “Phonon- assisted recombination and stimulated emission in quantumwell AlxGai_xAs-GaAs heterostructures,” J. Appl. Phys. 51, 1328- 1337.

762 Holonyak, N., Jr., W. D. Laidig, B. A. Vojak, K. Hess, J. J. Coleman, P. D. Dapkus, and J. Bardeen, 1980c, “Alloy clustering in AlxGai_xAs-GaAs quantum-well heterostructures,” Phys. Rev. Lett. 45, 1703-1706.

763 Holonyak, N., Jr., W. D. Laidig, M. D. Camras, H. Morko^, T. J. Drummond, and K. Hess, 1981a, “Clustering and phonon effects in Al,Gai_xAs-GaAs quantum-well heterostructure lasers grown by molecular beam epitaxy," Solid State Commun. 40, 71 —74.

764 Holonyak, N., Jr., W. D. Laidig, K. Hess, J. J. Coleman, and

P. D. Dapkus, 1981b, “Alloy clustering in AlxGa|_xAs,” Phys. Rev. Lett. 46, 1043.

Holyavko, V. N., V. P. Dragunov, В. V. Morozov, E. M. Skok, and N. B. Velchev, 1976, “Study of the size quantization in p-type silicon invenion layers by means of magnetoresistance,” Phys. Status Solidi В 75, 423—432.

Holz, A., 1980a, "Dislocation formalism in crystals with long- range interactions," Phys. Rev. В 22, 3678 — 3691.

Holz, A., 198O>, “Defect states and phase transition in the two-dimensional Wigner crystal,” Phys. Rev. В 22, 3692—3705; and in Ordering in Two Dimensions, edited by S. K. Sinha (Elsevier —North-Holland, New York}, pp. 313-316.

Holz, A., and J. T. N. Medeiros, 1978, “Melting transition of two-dimensional crystals," Phys. Rev. В 17, 1161 — 1174.

Honlein, W., K. von Klitzing, and G. Landwehr, 1980, “Influence of the MOS surface channel on a channel-to-source contact diode characteristic,” Surf. Sci. 98, 167—168; and in Insulating Films on Semiconductors, 1979, edited by G. G. Roberts and M. J. Morant (Institute of Physics, Bristol), pp. 133-139.

Hooge, F. N., T. G. M. Kleinpenning, and L. K. J. Van- damme, 1981, “Experimental studies on 1// noise,” Rep. Prog. Phys. 44, 479-532.

Horing, N. J. M„ E. Kamen, and M. Orman, 1981, “2D plasma layer conductivity tensor in high magnetic field,” Physica 105B, 115-119.

Horing, N. J. M., and J. J. LaBonney, 1979, “DHVA oscillations in the correlation energy of a two-dimensional quantum plasma,” J. Magn. Magn. Mater. 11, 73 — 75.

Horing, N. J. M., M. Orman, E. Kamen, and M. L. Glasser, 1981, “Analysis of the two-dimensional quantum plasma conductivity tensor," Phys. Lett. A 85, 378 — 382.

Horing, N. J. M., M. Orman, and M. Yildiz, 1974, “Magnetoconductivity tensor of a two-dimensional plasma in a quantizing magnetic field,” Phys. Lett. A 48, 7 — 8.

Horing, N. J. M., and M. Yildiz, 1973, “Magnetic field effects on slab surface plasmons in the local limit,” Phys. Lett. A 44, 386-388.

Horing, N. J. M., and M. Yildiz, 1976, “Quantum theory of longitudinal dielectric response properties of a two dimensional plasma in a magnetic field," Ann. Phys. (N.Y.) 97, 216-241.

Horovitz, B., and A. Madhukar, 1979, “Electron-phonon interaction and cyclotron respnance in two-dimensional electron gas,” Solid State Commun. 32, 695 — 698.

Hoshino, K., 1976, “Optical conductivity of two-dimensional disordered system,” J. Phys. Soc. Japan 41, 1453—1458.

Hoshino, K., and M. Watabe, 1976, “Density of states and conductivity for two-dimensional Anderson model,” Solid State Commun. 18, 1111 — 1113.

Houghton, A., A. Jevicki, R. D. Kenway, and A. M. M. Pruisken, 1980, "Noncompact a models and the existence of a mobility edge in disordered electronic systems near two dimensions," Phys. Rev. Lett. 45, 394 — 397.

Howard, W. E., and F. F. Fang, 1965, "Low temperature effects in Si FETs," Solid-State Electron. 8, 82 — 83.

Howard, W. E., and F. F. Fang, 1976, “The effects of higher sub-band occupation in (100) Si inversion layers,” Phys. Rev. В 13, 2519-2523.

Hsing, С. J., D. P. Kennedy, A. D. Sutherland, and К. M. van Vliet, 1979, “Quantum mechanical determination of the potential and carrier distribute is in the inversion layer of metal-oxide-semiconductor aevices," Phys. Status Solidi A 56, 129-141.

Hsing, C. J., D. P. Kennedy, К. M. van Vliet, and A. D. Sutherland, 1980, “Inversion layer carrier mobility in metal- oxide-semiconductor devices,” Phys. Status Solidi A 57, 683 - 690.

Hu, C. C„ J. Pearse, К. M. Cham, and R. G. Wheeler, 1978, “Photoconductivity measurements related to intersubband transitions in silicon MOSFET structures," Surf. Sci. 73, 207-216.

786 Hu, G., and W. C. Johnson, 1980, “Relationship between trapped holes and interface states in MOS capacitors,” Appl. Phys. Lett. 36, 590-592.

787 Huang, H.-М., Y. M. Shih, and C.-W. Woo, 1974, “Electronic surface states on liquid helium,” J. Low Temp. Phys. 14, 413-418.

788 Huang, W., J. Rudnick and A. J. Dahm, 1977, “Sound modes of a two-dimensional electron gas bound to a helium film,” J. Low Temp. Phys. 28, 21 —27.

789 Hubbard, J., 1957, “The description of collective motions in terms of many-body perturbation theory,” Proc. R. Soc. London Ser. A 240, 539 — 560.

790 Hubbard, J., 1958, “The description of collective motions in terms of many-body perturbation theory II. The correlation energy of a free-electron gas," Proc. R. Soc. London Ser. A 243, 336-352.

791 Huybrechts, W. J., 1978, “Ground-state energy and effective mass of a polaron in a two-dimensional surface layer," Solid State Commun. 28, 95 — 97.

792 Igarashi, T., J. Wakabayashi, and S. Kawaji, 1975, “Hall effect in silicon inversion layers under strong magnetic fields,” J. Phys. Soc. Japan 38, 1549.

793 Ignatov, A. A., 1980, “Dielectric nature of high-frequency properties of thin semiconductor films,” Fiz. Tekh. Polupro- vodn. 14, 1582-1586 [Sov. Phys.—Semicond. 14, 937-939 (1980)1-

794 Ihm, J., P. K. Lam, and M. L. Cohen, 1979, “Electronic structure of the [0011 InAs-GaSb superlattice," Phys. Rev. В 20, 4120-4125.

795 Ikezi, H., 1979, “Macroscopic electron lattice on the surface of liquid helium,” Phys. Rev. Lett. 42, 1688—1690; 43, 238(E).

796 Ikezi, H., and P. M. Platzman, 1981, “Stability of helium films charged with electrons," Phys. Rev. В 23, 1145— 1148.

797 Imry, Y., 1979, “Long range order in two dimensions,” Crit. Rev. Solid State Mater. Sci. 8, 157— 174.

798 Imry, Y., 1981, “Comments on the scaling theory of localization and conduction in disordered systems,” Phys. Rev. В 24, 1107-1110.

799 Imry, Y., and L. Gunther, 1971, “Fluctuations and physical properties of the two-dimensional crystal lattice,” Phys. Rev. В 3, 3939-3945.

800 Inkson, J. C., and К. B. Ma, 1979, “Effect of electron-electron scattering on electrical conduction in invenion layers,” J. Phys. C 12, 3941-3949.

801 loriatti, L., and A. Isihara, 1980, “A logarithmic singularity in the specific heat of a two-dimensional electron gas,” Phys. Status Solidi В 97, K65 - K69.

Ipri, A. C., 1973, “Accumulation- and inversion-layer Hall 802 mobilities in silicon films on sapphire,” Appl. Phys. Lett. 22, 16-18.

Ishibashi, T., Y. Suzuki, and H. Okamoto, 1981, “Photo- 803 luminescence of an AlAs/GaAs superlattice grown by MBE in the 0.7 —0.8 pm wavelength region,” Jpn. J. Appl. Phys.

, L623-L626.

Ishizaka, A., S. Iwata, and Y. Kamigaki, 1979, “Si-SiO2 inter- 804 face characterization by ESCA,” Surf. Sci. 84, 355 — 374.

Ishizaka, A., and S. Iwata, 1980, “Si-SiOj interface characteri- 805 zation from angular dependence of x-ray photoelectron spectra," Appl. Phys. Lett. 36, 71 — 73.

Isihara, A., 1972, “Crystallization of an electron gas,” Phys. 806 Kondens. Mater. 15, 225 — 229.

Isihara, A., 1980, ‘Thermal and magnetic properties of two- 807 dimensional electrons,” Surf. Sci. 98, 31—40.

Isihara, A., and L. loriatti, 1980a, “Exact evaluation of the 808 second-order exchange energy of two-dimensional electron fluid,” Phys. Rev. В 22, 214-219.

Isihara, A., and L. C. loriatti, Jr., 1980b, “Application of a 809 dielectric function to the exchange energy and specific heat of a two-dimensional electron gas,” Physica 103A, 621 — 629.

Isihara, A., and D. Y. Kojima, 1979, “Study of two- 810 dimensional electrons in a magnetic field. IL Intermediate field,” Phys. Rev. В 19, 846—855.

Isihara, A., and M. Mukai, 1981, “Cyclotron resonance of Si 811 (001) inversion layers," Phys. Rev. В 24, 7408 — 7411.

Isihara, A., and T. Toyoda, 1976, “Spatial correlations of a 812 two-dimensional electron gas,” Z. Phys. В 23, 389 — 394.

Isihara, A., and T. Toyoda, 1977a, "Correlation energy of 2-D 813 electrons," Ann. Phys. (N.Y.) 106, 394-406; 114, 497(E) (1978).

Isihara, A., and T. Toyoda, 1977b, “The ground state energy 814 of a 2-D electron gas (Addendum)," Z. Phys. В 26, 216; 29, 70(E) (1978).

Isihara, A., and T. Toyoda, 1979, “Study of a two-dimensional 815 electron gas in a magnetic field. I. Weak field," Phys. Rev.

В 19, 831-845.

Isihara, A., and T. Toyoda, 1980, ‘Two-dimensional electron 816 gas at finite temperature,” Phys. Rev. В 21, 3358 — 3365.

Ito, R., 1972, “Quantum-limit piezoresistance of я-type inver- 817 sion layers of silicon and germanium,” J. Appl. Phys. 43, 735-737.

Itoh, N., and S. Ichimaru, 1980, “Harmonic lattice model for 818 the internal energy of the classical two-dimensional, one- component plasma fluid,” Phys. Rev. В 22, 1459— 1460.

Itoh, N., S. Ichimaru, and S. Nagano, 1978, “Lattice model for 819 the two-dimensional electron liquid," Phys. Rev. В 17, 2862-2865.

Ivanov, L, and J. Pollmann, 1980, "Microscopic approach to 820 the quantum size effect in superlattices," Solid State Commun. 32, 869-872.

lye, Y., 1980, “Mobility of electrons in the surface state of 821 liquid helium," J. Low Temp. Phys. 40, 441—451.

lye, Y., K. Kono, K. Kajita, and W. Sasaki, 1979, “Escape 822 rate of two-dimensional electrons on a liquid helium surface around 1 K,” J. Low Temp. Phys. 34, 539—550.

lye, Y., K. Kono, K. Kajita, and W. Sasaki, 1980, “Electron 823 escape from the image-potential-induced surface states on liquid helium,” J. Low Temp. Phys. 38, 293 — 310.

841842843844845846847848849850851852853854855856857858841842843844845846847848849850851852853854855856857858

841

842

843

844

845

846

847

848

849

850

851

852

853

854

855

856

857

858

841

842

843

844

845

846

847

848

849

850

851

852

853

854

855

856

857

858

824 Jaccodine, R. J., and W. A. Schlegel, 1966, “Measurement of strains at Si-SiO2 interface," J. Appl. Phys. 37, 2429 — 2434.

825 Jackman, T. E., J. R. MacDonald, L. C. Feldman, P. J. Silverman, and I. Stensgaard, 1980, “(100) and (110) Si-SiO2 interface studies by MeV ion backscattering," Surf. Sci. 100, 35-42.

826 Jackson, S. A., and P. M. Platzman, 1981, “Polaronic aspects of two-dimensional electrons on films of liquid He," Phys. Rev. В 24, 499-502.

827 Jacoboni, С, C. Canali, G. Ottaviani, and A. Alberigi Quaran- ta, 1977, “A review of some charge transport properties of silicon,” Solid-State Electron. 20, 77 — 89.

828 Jacobs, E. P., and G. Dorda, 1978, "Mechanical stress at the (111 )Si surface covered by SiO2 and Al-SiO2 layers," Surf. Sci. 73, 357-364.

829 Jaklevic, R. C, and J. Lambe, 1975, “Experimental study of quantum size effects in thin metal films by electron tunneling," Phys. Rev. В 12, 4146-4160.

830 Janak, J. F., 1969, “g Factor of the two-dimensional interacting electron gas," Phys. Rev. 178, 1416—1418.

831 Jindal, R. P„ and A. van der Ziel, 1978, “Carrier fluctuation noise in a MOSFET channel due to traps in the oxide," Solid-State Electron. 21, 901 —903.

832 Joannopoulos, J. D., and R. B. Laughlin, 1977, "Interface phonon states in amorphous Si-SiO2," in Amorphous and Liquid Semiconductors, edited by W. E. Spear (Centre for Industrial Consultancy and Liaison, University of Edinburgh), pp. 487-489.

833 Johannessen, J. S., and T. A. Fjeldly, 1977, “The effect of as- grown oxide thickness and oxidation temperature on the electronic properties of Si-SiO2 structures," in Proceedings of the Seventh international Vaccum Congress and the Third International Conference on Solid Surfaces, Vienna, edited by R. Dobrozemsky, F. Riidenauer, F. P. Viehbock, and A. Breth (Berger, Horn, Austria), Vol. 1, pp. 579 — 582.

834 Johannessen, J S., W. E. Spicer, and Y. E. Strausser, 1976, “An Auger analysis of the Si-SiO2 interface." J. Appl. Phys. 47, 3028-3037.

835 Johnson, N. M., D. J. Bartelink, and J. P. McVittie, 1979, “Measurement of interface defect states at oxidized silicon surfaces by constant capacitance DLTS," J. Vac. Sci. Tech- nol. 16, 1407-1411.

836 Johnson, N. M., D. K. Biegelsen, and M. D. Moyer, 1980, "Characteristic defects at the Si-SiO2 interface," in The Physics of MOS Insulators, edited by G. Lucovsky, S. T. Pan- telides, and F. L. Galeener (Pergamon, New York), pp. 311-315.

837 Johnson, P. N., and H. H. Soonpaa, 1971, “Contact potential change accompanying size effect semimetal to semiconductor transition,” in The Physics of Semimetals and Narrow Gap Semiconductors, edited by D. L. Carter and R. T. Bate (Pergamon, Oxford): J. Phys. Chem. Solids 32, Suppl. 1, 121-123.

83§ Jones, R. О., |9бб, "Surface representations and complex band structure of a diamond-type semiconductor," Proc. Phys. Soc. London 89, 443 — 451.

839 Jonson, M., 1976, "Electron correlations in inversion layers," J. Phys. C 9, 3055-3071.

840 Jonson, M., and G. Srinivasan, 1977, “Magnetic field induced Wigner transition in invenion layers," Solid State Commun. 24, 61-64.

Jonson, M., and G. Srinivasan, 1978, "The MOSFET inversion layer: The conductivity of a localized highly correlated phase," Phys. Scr. 18, 476 — 480.

Judaprawira, S., W. I. Wang, P. C. Chao, С. E. C. Wood, D. W. Woodard, and L. F. Eastman, 1981,-"Modulation-doped MBE GaAs/n-AlJ[Gal_,As MESFETs,” IEEE Electron Device Lett. EDL-2, 14— 15..

Juretschke, H. S., R. Landauer, and J. A. Swanson, 1956, “Hall effect and conductivity in porous media," J. Appl. Phys. 27, 838-839.'

Kaczmarek, E., and E. Bangert, 1977, “Calculation of surface states in accumulation layer of tellurium," Solid State Commun. 22, 165— 168.

Kaczmarek, E., and E. Bangert, 1980, “Inversion layers of tellurium in magnetic fields,” J. Phys. C 13, 695 — 704.

Kajita, K., Y. lye, К. Кбпо, and W. Sasaki, 1978, “Escape rate of two-dimensional electrons on liquid helium surface,” Solid State Commun. 27,1379—1383.

Kalia, R. K., S. Das Sarma, M. Nakayama, and J. J. Quinn, 1978, “Temperature dependence of many-body effects in inversion layers," Phys. Rev. В 18, 5564 — 5566.

Kalia, R. K., S. Das Sarma, M. Nakayama, and J. J. Quinn, 1978, “Temperature dependence of the subband energies in semiconducting surface inversion layers: Exchange and correlation effects,” in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1247-1250.

Kalia, R. K., G. Kawamoto, J. J. Quinn, and S. C. Ying, 1980, “A simplified treatment of exchange and correlation in semiconducting surface inversion layers," Solid State Commun. 34, 42 3 -426.

Kalia, R. K., and J. J. Quinn, 1978, "Exchange instabilities in an n-type silicon inversion layer," Phys. Rev. В 17, 1383-1387.

Kalia, R. К., P. Vashishta, and S. W. de Leeuw, 1981, "Melting of a two-dimensional electron lattice," Phys. Rev. В 23, 4794 - 4797.

Kamgar, A., 1977, "Inter-subband spectroscopy in hole space charge layers on (110) and, (111) Si surfaces," Solid State Commun. 21, 823 — 826.

Kamgar, A., 1979, “Temperature dependence of many-body effects in Si accumulation layers: An experimental observation," Solid State Commun. 29, 719 — 722.

Kamgar, A., and P. Kneschaurek, 1976, "Spectroscopy of surface charge layers on p-type Si," Surf. Sci. 58, 135- 137.

Kamgar, A., P. Kneschaurek, W. Beinvogl, and J. F. Koch, 1974a, "Spectroscopy of space charge layers on и-type Si," in Proceedings of the I2th International Conference on the Physics of Semiconductors, Stuttgart, edited by M. H. Pilkuhn (Teubner, Stutigart), pp. 709 — 713.

Kamgar, A.. P. Kneschaurek, G. Dorda, and J. F. Koch, 1974b, “Resonance spectroscopy of electron levels in a surface accumulation layer," Phys. Rev. Lett. 32. 1251 — 1254.

Kamgar, A., M. D. Sturge, and D. C. Tsui, 1978, "Photoconductivity and absorption measurements on (100) and (911) Si MOSFETs." Surf. Sci. 73, 166-169.

Kamgar, A.. M. D. Sturge, and D. C. Tsui. 1980. “Optical measurements of the minigaps in electron inversion layers on vicinal planes of Si(001)," Phys. Rev. В 22, 841-847.

Kamgar, A., D. C. Tsui, and M. D. Sturge, 1977, "On the discrepancies between absorption and photoconductivity mea-

sqrements in silicon inversion layers,” Solid State Commun. 24, 47 - 50.

860 Kamieniecki, E., 1979, “lon-electron (configurational) interface states in MOS structures,” Appl. Phys. Lett. 35, 807 — 809.

861 Kamins, T. L, and N. C. MacDonald, 1968, “Measurements of the scattering of conduction electrons by surface charges,” Phys. Rev. 167, 754-758.

862 Kane, E. O., 1957, “Band structure of indium antimonide,” J. Phys. Chem. Solids 1, 249 — 261.

863 Kane, E. O., 1978, “Pollmann-Buttner variational method for excitonic polarons,” Phys. Rev. В 18, 6849 — 6855.

864 Kaplan, J. I., and M. L. Glasser, 1969, “g Factors for an interacting electron gas,” Phys. Rev. 186, 958.

865 Kaplan, R., 1979, “Periodic stepped structure on vicinal planes, of (100) silicon,” in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1351-1354.

866 Kaplan, R., 1980, “LEED study of the stepped surface of vicinal Si(100),” Surf. Sci. 93, 145-158.

867 Kaplit, M., and J. N. Zemel, 1968, “Capacitance observations of Landau levels in surface quantization,” Phys. Rev. Lett. 21, 212-215.

868 Karpushin, A. A., 1968, “Theory of shallow surface states," Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 10, 3515 — 3518 [Sov. Phys.— Solid State 10, 2793-2795 (1969)1-

869 Karpushin, A. A., 1969, "Theory of surface donor states in silicon and germanium,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 11, 2163-2166 [Sov. Phys.—Solid State 11, 1748-1750 (1970)1- 870* Karpushin, A. A., and A. V. Chaplik, 1967, “Interaction of carriers with surface defects having a dipole moment," Fiz. Tekh. Poluprovodn. 1, 1043—1046 [Sov. Phys.—Semicond. 1, 870-872 (1968)1-

871 Kassabov, J., N. Velchev, and V. Gancheva, 1974, “On the effect of gate oxide thickness upon the Hall mobility and other magneto-electrical characteristics in MOST structures,” Solid-State Electron. 17, 41—45.

872 Kastalsky, A., and F. F. Fang, 1982, “Effect of subband splitting on Si inversion layers," Surf. Sci. 113, 153— 160.

873 Katayama, Y., N. Kotera, and K. F. Komatsubara, 1970, ",‘Oscillatory magnetoconductance and negative photoconductivity of quantized electrons in surface inversion layer of InSb,” in Proceedings of the Tenth International Conference on the Phy- L sics of Semiconductors, Cambridge, Massachusetts, edited by S. P. Keller, J. C. Hensel, and F. Stern (U. S. Atomic Energy Commission, Oak Ridge, Tennessee), pp. 464—468.

874 Katayama, Y., N. Kotera, and K. F. Komatsubara, 1971, “Tunable infrared detector using photoconductivity of the quantized surface inversion layer of MOS transistor,” in Proceedings of the 2nd Conference on Solid State Devices, Tokyo, 1970 [J. Japan Soc. Appl. Phys. 40, Suppl., 214 — 218].

Katayama, Y., K. Narita, Y. Shiraki, M. Aoki, and K. F. Komatsubara, 1977, "Conductance anomalies and electronic states in silicon inversion layers near threshold at low temperatures," J. Phys. Soc. Japan 42, 163 2-1639.

Katayama, Y., K. Narita, Y. Shiraki, T. Shimada, and K. F. Komatsubara, 1976, “Conductance enhancement of inversion layer electrons near threshold at low temperatures,” in Proceedings of the 13th International Conference on the Physics of Semiconductors, Rome, edited by F. G. Fumi (North- Holland, Amsterdam), pp. 750—753.

Katayama, Y., I. Yoshida, N. Kotera, and K. F. Komatsu- 877 bare, 1972, “Differential negative resistance of и-type inversion layer in silicon MOS field-effect transistor,” Appl. Phys.

Lett. 20, 31-33.

Katto, H., M. Aoki, and E. Yamada, 1977, “Low-frequency 878 noise in MOSFEPs at low current levels," in Proceedings of the Symposium on \/f Fluctuations, Tokyo (Institute of Electrical Engineers of Japan, Tokyo), pp. 148— 155.

Kaveh, M., and N. F. Mott, 1981a, “Diffusion and logarithmic 879 corrections to the conductivity of a disordered non-interacting 2D electron gas: Power law localisation,” J. Phys. C 14, L177-L182.

Kaveh, M., and N. F. Mott, 1981b, “Electron correlations and 880 logarithmic singularities in density of states and conductivity of disordered two-dimensional systems," J. Phys. C 14, L183 —L190.

Kaveh, M., M. J. Uren, R. A. Davies, and M. Pepper, 1981, 881 “Localization in disordered two dimensional systems and the universal dependence on diffusion length," J. Phys. C 14, 413-419.

Kawabata, A., 1978, “Hartree-Fock solution of CDW of two- 882 dimensional electron gas in magnetic field," Solid State Commun. 28, 547-550.

Kawabata, A., 1980, “Many-body effects on the transverse 883 conductivity of two-dimensional electron systems in strong magnetic fields," Surf. Sci. 98, 276—282.

Kawabata, A., 1981a, “A self-consistent treatment of Anderson 884 localization," Solid State Commun. 38, 823 — 825.

Kawabata, A., 1981b, “Positive magnetoresistance induced by 885 Zeeman splitting in two-dimensional systems,” J. Phys. Soc. Japan 50, 2461-2462.

Kawaguchi, Y., H. Kato, and S. Kawaji, 1974, “Electrical 886 properties of Cs covered real Si surfaces,” in Proceedings of the Second International Conference on Solid Surfaces, Kyoto," [Jpn. J. Appl. Phys., Suppl. 2, Pt. 2, 429-432].

Kawaguchi, Y., and S. Kawaji, 1976, "Impurity band conduc- 887 tion in cesium adsorbed «-channel Si inversion layers," Surf. Sci. 58, 33-41.

Kawaguchi, Y., and S. Kawaji, 1980a, "Lattice scattering mo- 888 bility of «-inversion layers in Si(100) at low temperatures," Surf. Sci. 98,211-217.

Kawaguchi, Y., and S. Kawaji, 1980b, "Negative magne- 889 toresistance in silicon (100) MOS inversion layers," J. Phys.

Soc. Japan 48, 699 — 700.

Kawaguchi, Y., and S. Kawaji, 1980c, “Negative magnetoresis- 890 tance in a two-dimensional random system of Si-MOS inversion layers," in Proceedings of the 15th International Conference on the Physics of Semiconductors. Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 49, Suppl. A, 983-986].

Kawaguchi, Y., H. Kitahara, and S. Kawaji, 1978a, "Negative 891 magnetoresistance in a two-dimensional impurity band in cesiated p-Si(lll) surface inversion layers," Surf. Sci. 73, 520-527.

Kawaguchi, Y., H. Kitahara, and S. Kawaji, 1978b, “Angular 892 dependent negative magnetoresistance in Si-MOS (111) inversion layers," Solid State Commun. 26, 701 —703.

Kawaguchi, Y., T. Suzuki, and S. Kawaji, 1980, “Carrier con- 893 centration dependence and temperature dependence of mobility in silicon (100) «-channel inversion layers at low temperatures," Solid State Commun. 36, 257 — 259.

Ings of the Ninth International Conference on the Physics of Kawamoto, G. H., J. J. Quinn, and W. L. Bloss, 1981, “Sub- 914Ings of the Ninth International Conference on the Physics of Kawamoto, G. H., J. J. Quinn, and W. L. Bloss, 1981, “Sub- 914897897898898899899900900901901902902903903904904905905906906907907908908909909910910911911912912inversion-mode M.I.S.F.E.T.s using sulphur-diflused source and drain,” Electron. Lett. 15, 502 — 504.Kawamoto, G., R. Kalia, and J. J. Quinn, 1980, "Effect of the 913 electron-phonon interaction cm the subband structure of inversion layers in compound semiconductors,** Surf. Sci. 98, 589 - 596.inversion-mode M.I.S.F.E.T.s using sulphur-diflused source and drain,” Electron. Lett. 15, 502 — 504.Kawamoto, G., R. Kalia, and J. J. Quinn, 1980, "Effect of the 913 electron-phonon interaction cm the subband structure of inversion layers in compound semiconductors,** Surf. Sci. 98, 589 - 596.915915band structure of л-channel inversion layers on polar semiconductors," Phys. Rev. В 23, 1875—1886.Kazarinov, R. F., and Yu. V. Shmartsev, 1971, “Optical phenomena due to the carriers in a semiconductor with a superlattice," Fiz. Tekh. Poluprovodn. 5, 800 — 802 [Sov. Phys.—Semicond. 5, 710-711 (1971)].Kazarinov, R. F., and R. A. Suris, 1971, “Possibility of the amplification of electromagnetic waves in a semiconductor with a superlattice,’* Fiz. Tekh. Poluprovodn. 5, 797 — 800 [Sov. Phys.—Semicond. 5, 707-709 (1971)].Kazarinov, R. F., and R. A. Suris, 1972, “Electric and electromagnetic properties of semiconductors with a superlattice,"band structure of л-channel inversion layers on polar semiconductors," Phys. Rev. В 23, 1875—1886.Kazarinov, R. F., and Yu. V. Shmartsev, 1971, “Optical phenomena due to the carriers in a semiconductor with a superlattice," Fiz. Tekh. Poluprovodn. 5, 800 — 802 [Sov. Phys.—Semicond. 5, 710-711 (1971)].Kazarinov, R. F., and R. A. Suris, 1971, “Possibility of the amplification of electromagnetic waves in a semiconductor with a superlattice,’* Fiz. Tekh. Poluprovodn. 5, 797 — 800 [Sov. Phys.—Semicond. 5, 707-709 (1971)].Kazarinov, R. F., and R. A. Suris, 1972, “Electric and electromagnetic properties of semiconductors with a superlattice,"[Sov. Phys.—[Sov. Phys.—916 ’916 ’917917918918on the electron(Leningrad) 4,on the electron(Leningrad) 4,919919920’920’921921922922923923924924925925926926927927928928929929930930

Ings of the Ninth International Conference on the Physics of Kawamoto, G. H., J. J. Quinn, and W. L. Bloss, 1981, “Sub- 914

Ings of the Ninth International Conference on the Physics of Kawamoto, G. H., J. J. Quinn, and W. L. Bloss, 1981, “Sub- 914

897

897

898

898

899

899

900

900

901

901

902

902

903

903

904

904

905

905

906

906

907

907

908

908

909

909

910

910

911

911

912

912

inversion-mode M.I.S.F.E.T.s using sulphur-diflused source and drain,” Electron. Lett. 15, 502 — 504.

Kawamoto, G., R. Kalia, and J. J. Quinn, 1980, "Effect of the 913 electron-phonon interaction cm the subband structure of inversion layers in compound semiconductors,** Surf. Sci. 98, 589 - 596.

inversion-mode M.I.S.F.E.T.s using sulphur-diflused source and drain,” Electron. Lett. 15, 502 — 504.

Kawamoto, G., R. Kalia, and J. J. Quinn, 1980, "Effect of the 913 electron-phonon interaction cm the subband structure of inversion layers in compound semiconductors,** Surf. Sci. 98, 589 - 596.

915

915

band structure of л-channel inversion layers on polar semiconductors," Phys. Rev. В 23, 1875—1886.

Kazarinov, R. F., and Yu. V. Shmartsev, 1971, “Optical phenomena due to the carriers in a semiconductor with a superlattice," Fiz. Tekh. Poluprovodn. 5, 800 — 802 [Sov. Phys.—Semicond. 5, 710-711 (1971)].

Kazarinov, R. F., and R. A. Suris, 1971, “Possibility of the amplification of electromagnetic waves in a semiconductor with a superlattice,’* Fiz. Tekh. Poluprovodn. 5, 797 — 800 [Sov. Phys.—Semicond. 5, 707-709 (1971)].

Kazarinov, R. F., and R. A. Suris, 1972, “Electric and electromagnetic properties of semiconductors with a superlattice,"

band structure of л-channel inversion layers on polar semiconductors," Phys. Rev. В 23, 1875—1886.

Kazarinov, R. F., and Yu. V. Shmartsev, 1971, “Optical phenomena due to the carriers in a semiconductor with a superlattice," Fiz. Tekh. Poluprovodn. 5, 800 — 802 [Sov. Phys.—Semicond. 5, 710-711 (1971)].

Kazarinov, R. F., and R. A. Suris, 1971, “Possibility of the amplification of electromagnetic waves in a semiconductor with a superlattice,’* Fiz. Tekh. Poluprovodn. 5, 797 — 800 [Sov. Phys.—Semicond. 5, 707-709 (1971)].

Kazarinov, R. F., and R. A. Suris, 1972, “Electric and electromagnetic properties of semiconductors with a superlattice,"

[Sov. Phys.—

[Sov. Phys.—

916 ’

916 ’

917

917

918

918

on the electron(Leningrad) 4,

on the electron(Leningrad) 4,

919

919

920’

920’

921

921

922

922

923

923

924

924

925

925

926

926

927

927

928

928

929

929

930

930

894 Kawai, N. J., L. L. Chang, G. A. Sai-Halasz, C.-A. Chang, and L. Esaki, 1980, “Magnetic field-induced semimetal-to- semiconductor transition in InAs-GaSb superlattice," Appl.

* Phys. Lett. 36, 369-371.

895 Kawaji, S., 1968, “Anomalous resistance and magnetoresistance in two dimensional transport in InAs,” in Proceed-

Semiconductors, Moscow (Nauka, Leningrad), Vol. 2, pp. 730-734.

896 Kawaji, S., 1969, ‘The two-dimensional lattice scattering mo-

bilhy in a semiconductor inversion layer," J. Phys. Soc. Japan 27, 906- 908.

Kawaji, S., 1978, “Quantum galvanomagnetic experiments ni silicon inversion layers under strong magnetic fie'-is,' Surf. Sci. 73, 46-69.

Kawaji, S., H. Ezawa, and K. Nakamura, 1972, “Semiconductor inversion layers and phonons in half-space," J. Vac. Sci. Technol. 9, 762 — 768.

Kawaji, S., and H. C. Gatos, 1967a, “The role of surface treatment in the field effect anomaly of л-type InSb at high magnetic fields," Surf. Sci. 6, 362 — 368.

Kawaji, S., and H. C. Gatos, 1967b, “Electric field effect on the magnetoresistance of indium arsenide surfaces in high magnetic fields," Surf. Sci. 7, 215 — 228.

Kawaji, S., K. Hatanaka, K. Nakamura, and S. Onga, 1976, “Mobility hump and inversion layer subbands in Si on sapphire," J. Phys. Soc. Japan 41, 1073— 1074.

Kawaji, S., H. Huff, and H. C. Gatos, 1965, “Field effect on magnetoresistance in л-type indium antimonide,” Surf. Sci. 3, 234-242.

Kawaji, S., T. Igarashi, and J. Wakabayashi, 1975, “Quantum galvanomagnetic effect in л-channel silicon inversion layers under strong magnetic fields,” Prog. Theor. Phys. Suppl. 57, 176-186.

Kawaji, S., and Y. Kawaguchi, 1966, “Galvanomagnetic properties of surface layers in indium arsenide," in Proceedings of the International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 21, Suppl., 336 — 340].

Kawaji, S., and Y. Kawaguchi, 1968, “A new type of anomalous magnetoresistance in two dimensional transport in InAs,” J. Phys. Soc. Japan 24, 963.

Kawaji, S., S. Miki, and T. Kinoshita, 1975, “Superconductivity in InAs surfaces," J. Phys. Soc. Japan 39, 1631 —1632.

Kawaji, S., M. Namiki, and N. Hoshi, 1980, “Anderson localization in silicon MOS inversion layers at low densities," J. Phys. Soc. Japan 49, 1637—1638.

Kawaji, S., and J. Wakabayashi, 1976, “Quantum galvanomagnetic properties of л-type inversion layers on Si (100) MOSFET," Surf. Sci. 58, 238-245.

Kawaji, S., and J. Wakabayashi, 1977, “Temperature dependence of the magnetoconductivity in the ground Landau level in silicon inversion layers," Solid State Commun. 22, 87 — 91.

Kawaji, S., and J. Wakabayashi, 1981. ‘Temperature dependence of transverse and Hall conductivities of silicon MOS inversion layers under strong magnetic fields," in Physics in High Magnetic Fields, edited by S. Chikazumi and M. Miura (Springer, Berlin), pp. 284 — 287.

Kawaji, S., J. Wakabayashi, M. Namiki, and K. Kusuda, 1978, "Electron localization in silicon inversion layers under strong magnetic fields,” Surf. ScT 73, 121 — 128.

Kawakami, T., and M. Okamura, 1979, “InP/AljOj л-channel

Fiz. Tekh. Poluprovodn. 6, 148—162 Semicond. 6, 120-131 (1972)].

Keldysh, L. V., 1962, “Effect of ultrasonics spectrum of crystals," Fiz. Tverd. Tela

2265-2267 [Sov. Phys.—Solid State 4, 1658- 1659 (1962)].

Keldysh, L. V., 1979a, “Coulomb interaction in thin semiconductor and semimetal films," Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 29, 716-719 [JETP Lett. 29, 658-661 (1979)].

Keldysh, L. V., 1979b, “Polaritons in thin semiconducting films,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 30, 244-249 [JETP Lett. 30,224—227 (1979)].

Kelly, M. J., 1978a, “Broken symmetry states in л-type silicon inversion layers," J. Phys. C 11, 4239 — 4250.

Kelly, M. J., 1978b, “The phonon-mediated intervalley electron-electron interaction in silicon,” Solid State Commun. 27, 717-719.

Kelly, M. J., and L. M. Falicov, 1976, “Electronic structure of inversion layers in many-valley semiconductors," Phys. Rev. Lett. 37, 1021-1024.

Kelly, M. J., and L. M. Falicov, 1977a, “Electronic ground state of inversion layers in many-valley semiconductors,” Phys. Rev. В 15, 1974-1982.

Kelly, M. J., and L. M. Falicov, 1977b, “Optical properties of charge-density-wave ground states for inversion layers in many-valley semiconductors,” Phys. Rev. В 15, 1983 — 1987.

Kelly, M. J., and L. M. Falicov, 1977c, “Broken-symmetry ground states in л-type inversion layers of Ge and GaP,” J. Phys. C 10, 1203-1209.

Kelly, M. J., and L. M. Falicov, 1977d, “Applied stresses, cyclotron masses and charge-density waves in silicon inversion layers," Solid State Commun. 22, 447 — 450.

Kelly, M. J., and L. M. Falicov, 1977e, “Stress and temperature dependence of the electronic properties of л-type silicon inversion layers," J. Phys. C 10, 4735 — 4752.

Kelly, M. J„ and L. M. Falicov, 1977f, “Magnetic fields and the stability of charge-density-wave ground-states in silicon inversion layers," Solid State Commun. 24, 535 — 537.

Kelly, M. J., and L. M. Falicov, 1978, “The dependence of the electronic ground state of л-type silicon invenion layers on stress, temperature, magnetic field and gate voltage," Surf. Sci. 73, 303-314.

Kelly, M. J., and W. Hanke, 1981a, “Surface superconductivity

Klaassen, F. M„ 1971, “Characterization of low 1// noise in MOS transistors,” IEEE Trans. Electron Devices ED-18, 887-891.Kleppmann, W. G., 1976, “Influence of electron-electron interactions on the localization of surface states,” J. Phys. C 9, L207-L210.Kleppmann, W. G., and R. J. Elliott, 1975, "The Wigner transition in a magnetic field,” J. Phys. C 8, 2729 — 2736.Klyuchnik, A. V., and Yu. E. Loze 1978a, “Twodimensional dielectric electron-hole liquid,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 20, 625 — 627 [Sov. Phys.—Solid State 20, 364 (1978)].Klyuchnik, A. V., and Yu. E. Lozovik, 1978b, "Interband transitions and currents in systems with e-h pairing,” J. Phys.. C 11, L483-L487.Klyuchnik, A. V., and Yu. E. Lozovik, 1979, “Effect of interband transitions on the current states in systems with electron-hole pairing,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 76, 670 — 686 [Sov. Phys.—JETP 49, 335-343 (1979)].Kneschaurek, P„ A. Kamgar, and J. F. Koch, 1976, “Electronic levels in surface space charge layers cm Si(100),” Phys. Rev. В 14, 1610-1622.Kneschaurek, P., and J. F. Koch, 1977, “Temperature dependence of the electron intersubband resonance on (100) Si surfaces,” Phys. Rev. В 16, 1590-1596.Knotek, M. L., 1975, "Temperature and thickness dependence of low temperature transport in amorphous silicon films: A comparison to amorphous germanium," Solid State Commun. 17, 1431-1433.Kobayashi, Michisuke, J. Mizuno, and 1. Yokota, 1975, “Magnetoplasma oscillation of a layered electron gas,” J. Phys. Soc. Japan 39, 18 — 21.Kobayashi, Mineo, and K. F. Komatsubara, 1973, “Determination of g-factor of electrons in л-type Si surface inversion layers,” Solid State Commun. 13,293—296.-Kobayashi, Mineo, and K. F. Komatsubara, 1974, "On the experimental g factor of conduction electrons in л-type inversion layer on silicon (100) surface,” in Proceedings of the Second International Conference on Solid Surfaces, Kyoto [Jpn. J. Appl. Phys. Suppl. 2, Pt. 2, 343-346].Kobayashi, S., F. Komori, Y. Ootuka. and W. Sasaki, 1980, “InT dependence of resistivity in two-dimensionally coupled fine particles of Cu," J. Phys. Soc. Japan 49, 1635— 1636.Koch, J. F., 1975, “The dynamics of conduction electrons in surface space charge layers,” in Festkbrperprobleme (Advances in Solid State Physics), edited by H. J. Queisser (Pergamon- Vieweg, Braunschweig), Vol. XV, pp. 79—112.Koch, J. F., 1976a, “Spectroscopy of surface space charge layers,” Surf. Sci. 58, 104—127.Koch, J. F., 1976b, “Spectroscopy of surface space charge layers," J. Vac. Sci. Technol. 13, 897 — 898.Koch, F.,1979, “Electronic properties of insulatorsemiconductor interfaces,” Surf. Sci. 80, 110—124.Koch, F., 1980, "Those other space-charge layers," Surf. Sci. 98, 571-588.Koch, F„ 1981, “Electric subbands in a magnetic field,” in Physics in High Magnetic Fields, edited by S. Chikazumi and M. Miura (Springer, Berlin), pp. 262—273.Koch, J. F., and T- E. Murray, 1969, “Electron scattering at a rough surface,” Phys. Rev. 186, 722—727.Klaassen, F. M„ 1971, “Characterization of low 1// noise in MOS transistors,” IEEE Trans. Electron Devices ED-18, 887-891.Kleppmann, W. G., 1976, “Influence of electron-electron interactions on the localization of surface states,” J. Phys. C 9, L207-L210.Kleppmann, W. G., and R. J. Elliott, 1975, "The Wigner transition in a magnetic field,” J. Phys. C 8, 2729 — 2736.Klyuchnik, A. V., and Yu. E. Loze 1978a, “Twodimensional dielectric electron-hole liquid,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 20, 625 — 627 [Sov. Phys.—Solid State 20, 364 (1978)].Klyuchnik, A. V., and Yu. E. Lozovik, 1978b, "Interband transitions and currents in systems with e-h pairing,” J. Phys.. C 11, L483-L487.Klyuchnik, A. V., and Yu. E. Lozovik, 1979, “Effect of interband transitions on the current states in systems with electron-hole pairing,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 76, 670 — 686 [Sov. Phys.—JETP 49, 335-343 (1979)].Kneschaurek, P„ A. Kamgar, and J. F. Koch, 1976, “Electronic levels in surface space charge layers cm Si(100),” Phys. Rev. В 14, 1610-1622.Kneschaurek, P., and J. F. Koch, 1977, “Temperature dependence of the electron intersubband resonance on (100) Si surfaces,” Phys. Rev. В 16, 1590-1596.Knotek, M. L., 1975, "Temperature and thickness dependence of low temperature transport in amorphous silicon films: A comparison to amorphous germanium," Solid State Commun. 17, 1431-1433.Kobayashi, Michisuke, J. Mizuno, and 1. Yokota, 1975, “Magnetoplasma oscillation of a layered electron gas,” J. Phys. Soc. Japan 39, 18 — 21.Kobayashi, Mineo, and K. F. Komatsubara, 1973, “Determination of g-factor of electrons in л-type Si surface inversion layers,” Solid State Commun. 13,293—296.-Kobayashi, Mineo, and K. F. Komatsubara, 1974, "On the experimental g factor of conduction electrons in л-type inversion layer on silicon (100) surface,” in Proceedings of the Second International Conference on Solid Surfaces, Kyoto [Jpn. J. Appl. Phys. Suppl. 2, Pt. 2, 343-346].Kobayashi, S., F. Komori, Y. Ootuka. and W. Sasaki, 1980, “InT dependence of resistivity in two-dimensionally coupled fine particles of Cu," J. Phys. Soc. Japan 49, 1635— 1636.Koch, J. F., 1975, “The dynamics of conduction electrons in surface space charge layers,” in Festkbrperprobleme (Advances in Solid State Physics), edited by H. J. Queisser (Pergamon- Vieweg, Braunschweig), Vol. XV, pp. 79—112.Koch, J. F., 1976a, “Spectroscopy of surface space charge layers,” Surf. Sci. 58, 104—127.Koch, J. F., 1976b, “Spectroscopy of surface space charge layers," J. Vac. Sci. Technol. 13, 897 — 898.Koch, F.,1979, “Electronic properties of insulatorsemiconductor interfaces,” Surf. Sci. 80, 110—124.Koch, F., 1980, "Those other space-charge layers," Surf. Sci. 98, 571-588.Koch, F„ 1981, “Electric subbands in a magnetic field,” in Physics in High Magnetic Fields, edited by S. Chikazumi and M. Miura (Springer, Berlin), pp. 262—273.Koch, J. F., and T- E. Murray, 1969, “Electron scattering at a rough surface,” Phys. Rev. 186, 722—727.951952953954 ’955956*957958959960961962963964965966967968969970951952953954 ’955956*957958959960961962963964965966967968969970

Klaassen, F. M„ 1971, “Characterization of low 1// noise in MOS transistors,” IEEE Trans. Electron Devices ED-18, 887-891.

Kleppmann, W. G., 1976, “Influence of electron-electron interactions on the localization of surface states,” J. Phys. C 9, L207-L210.

Kleppmann, W. G., and R. J. Elliott, 1975, "The Wigner transition in a magnetic field,” J. Phys. C 8, 2729 — 2736.

Klyuchnik, A. V., and Yu. E. Loze 1978a, “Twodimensional dielectric electron-hole liquid,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 20, 625 — 627 [Sov. Phys.—Solid State 20, 364 (1978)].

Klyuchnik, A. V., and Yu. E. Lozovik, 1978b, "Interband transitions and currents in systems with e-h pairing,” J. Phys.

. C 11, L483-L487.

Klyuchnik, A. V., and Yu. E. Lozovik, 1979, “Effect of interband transitions on the current states in systems with electron-hole pairing,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 76, 670 — 686 [Sov. Phys.—JETP 49, 335-343 (1979)].

Kneschaurek, P„ A. Kamgar, and J. F. Koch, 1976, “Electronic levels in surface space charge layers cm Si(100),” Phys. Rev. В 14, 1610-1622.

Kneschaurek, P., and J. F. Koch, 1977, “Temperature dependence of the electron intersubband resonance on (100) Si surfaces,” Phys. Rev. В 16, 1590-1596.

Knotek, M. L., 1975, "Temperature and thickness dependence of low temperature transport in amorphous silicon films: A comparison to amorphous germanium," Solid State Commun. 17, 1431-1433.

Kobayashi, Michisuke, J. Mizuno, and 1. Yokota, 1975, “Magnetoplasma oscillation of a layered electron gas,” J. Phys. Soc. Japan 39, 18 — 21.

Kobayashi, Mineo, and K. F. Komatsubara, 1973, “Determination of g-factor of electrons in л-type Si surface inversion layers,” Solid State Commun. 13,293—296.-

Kobayashi, Mineo, and K. F. Komatsubara, 1974, "On the experimental g factor of conduction electrons in л-type inversion layer on silicon (100) surface,” in Proceedings of the Second International Conference on Solid Surfaces, Kyoto [Jpn. J. Appl. Phys. Suppl. 2, Pt. 2, 343-346].

Kobayashi, S., F. Komori, Y. Ootuka. and W. Sasaki, 1980, “InT dependence of resistivity in two-dimensionally coupled fine particles of Cu," J. Phys. Soc. Japan 49, 1635— 1636.

Koch, J. F., 1975, “The dynamics of conduction electrons in surface space charge layers,” in Festkbrperprobleme (Advances in Solid State Physics), edited by H. J. Queisser (Pergamon- Vieweg, Braunschweig), Vol. XV, pp. 79—112.

Koch, J. F., 1976a, “Spectroscopy of surface space charge layers,” Surf. Sci. 58, 104—127.

Koch, J. F., 1976b, “Spectroscopy of surface space charge layers," J. Vac. Sci. Technol. 13, 897 — 898.

Koch, F.,1979, “Electronic properties of insulator

semiconductor interfaces,” Surf. Sci. 80, 110—124.

Koch, F., 1980, "Those other space-charge layers," Surf. Sci. 98, 571-588.

Koch, F„ 1981, “Electric subbands in a magnetic field,” in Physics in High Magnetic Fields, edited by S. Chikazumi and M. Miura (Springer, Berlin), pp. 262—273.

Koch, J. F., and T- E. Murray, 1969, “Electron scattering at a rough surface,” Phys. Rev. 186, 722—727.

Klaassen, F. M„ 1971, “Characterization of low 1// noise in MOS transistors,” IEEE Trans. Electron Devices ED-18, 887-891.

Kleppmann, W. G., 1976, “Influence of electron-electron interactions on the localization of surface states,” J. Phys. C 9, L207-L210.

Kleppmann, W. G., and R. J. Elliott, 1975, "The Wigner transition in a magnetic field,” J. Phys. C 8, 2729 — 2736.

Klyuchnik, A. V., and Yu. E. Loze 1978a, “Twodimensional dielectric electron-hole liquid,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 20, 625 — 627 [Sov. Phys.—Solid State 20, 364 (1978)].

Klyuchnik, A. V., and Yu. E. Lozovik, 1978b, "Interband transitions and currents in systems with e-h pairing,” J. Phys.

. C 11, L483-L487.

Klyuchnik, A. V., and Yu. E. Lozovik, 1979, “Effect of interband transitions on the current states in systems with electron-hole pairing,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 76, 670 — 686 [Sov. Phys.—JETP 49, 335-343 (1979)].

Kneschaurek, P„ A. Kamgar, and J. F. Koch, 1976, “Electronic levels in surface space charge layers cm Si(100),” Phys. Rev. В 14, 1610-1622.

Kneschaurek, P., and J. F. Koch, 1977, “Temperature dependence of the electron intersubband resonance on (100) Si surfaces,” Phys. Rev. В 16, 1590-1596.

Knotek, M. L., 1975, "Temperature and thickness dependence of low temperature transport in amorphous silicon films: A comparison to amorphous germanium," Solid State Commun. 17, 1431-1433.

Kobayashi, Michisuke, J. Mizuno, and 1. Yokota, 1975, “Magnetoplasma oscillation of a layered electron gas,” J. Phys. Soc. Japan 39, 18 — 21.

Kobayashi, Mineo, and K. F. Komatsubara, 1973, “Determination of g-factor of electrons in л-type Si surface inversion layers,” Solid State Commun. 13,293—296.-

Kobayashi, Mineo, and K. F. Komatsubara, 1974, "On the experimental g factor of conduction electrons in л-type inversion layer on silicon (100) surface,” in Proceedings of the Second International Conference on Solid Surfaces, Kyoto [Jpn. J. Appl. Phys. Suppl. 2, Pt. 2, 343-346].

Kobayashi, S., F. Komori, Y. Ootuka. and W. Sasaki, 1980, “InT dependence of resistivity in two-dimensionally coupled fine particles of Cu," J. Phys. Soc. Japan 49, 1635— 1636.

Koch, J. F., 1975, “The dynamics of conduction electrons in surface space charge layers,” in Festkbrperprobleme (Advances in Solid State Physics), edited by H. J. Queisser (Pergamon- Vieweg, Braunschweig), Vol. XV, pp. 79—112.

Koch, J. F., 1976a, “Spectroscopy of surface space charge layers,” Surf. Sci. 58, 104—127.

Koch, J. F., 1976b, “Spectroscopy of surface space charge layers," J. Vac. Sci. Technol. 13, 897 — 898.

Koch, F.,1979, “Electronic properties of insulator

semiconductor interfaces,” Surf. Sci. 80, 110—124.

Koch, F., 1980, "Those other space-charge layers," Surf. Sci. 98, 571-588.

Koch, F„ 1981, “Electric subbands in a magnetic field,” in Physics in High Magnetic Fields, edited by S. Chikazumi and M. Miura (Springer, Berlin), pp. 262—273.

Koch, J. F., and T- E. Murray, 1969, “Electron scattering at a rough surface,” Phys. Rev. 186, 722—727.

951

952

953

954 ’

955

956*

957

958

959

960

961

962

963

964

965

966

967

968

969

970

951

952

953

954 ’

955

956*

957

958

959

960

961

962

963

964

965

966

967

968

969

970

and the MOS system,” Phys. Rev. В 23, 112—123.

932 Kelly, M. J., and W. Hanke, 1981b, “Electron-phonon interaction at a silicon surface," Phys. Rev. В 23, 924 — 927.

933 Kennedy, T. A., B. D. McCombe, D. C. Tsui, and R. J. Wagner, 1978, ‘Temperature and band-gap-light dependence of far IR resonant magnetotransmission in Si inversion layers," Surf Sci. 73, 500 — 502.

934 Kennedy, T. A., R. J. Wagner, B. D. McCombe, and D. C. Tsui, 1975a, "Frequency dependence of cyclotron resonance in

' Si inversion layers,” Crit. Rev. Solid State Sci. 5, * * — 395.

935 Kennedy, T. A., R. J. Wagner, B. D. McCombe, and D. C. Tsui, 1975b, “Frequency-dependent cyclotron effective masses in Si inversion layers,” Phys. Rev. Lett. 35, 1031 —1034.

936 Kennedy, T. A., R. J. Wagner, B. D. McCombe, and J. J. Quinn, 1976a, “Lineshape distortions in FIR cyclotron resonance of MOS structures,” Solid State Commun. 18, 275-278.

937 Kennedy, T. A., R. J. Wagner, B. D. McCombe, and D. C. Tsui, 1976b, “Frequency dependent effective masses in Si inversion layers at metallic densities,” Surf. Sci. 58, 185— 186.

938 Kennedy, T. A., R. J. Wagner, B. D. McCombe, and D. C. Tsui, 1977, “Far infrared resonant magnetoabsorption in low density Si inversion layers," Solid State Commun. 22, 459-462.

939 Keyes, R. W., 1975a, “Effect of randomness in the distribution of impurity ions on FET thresholds in integrated electronics,” IEEE J. Solid-State Circuits SC-10, 245 — 257.

940 Keyes, R. W., 1975b, “The effect of randomness in the distribution of impurity ions on FET thresholds,” Арр]. Phys. 8, 251-259.

941 Кеуеь R. W., 1976, “Accumulation and inversion layers on semiconductor surfaces,” Comments Solid State Phys. 7, 53-58.

942* Khaikin, M. S., 1968, "Magnetic surface levels," Usp. Fiz. Nauk. 96, 409 -440 [Sov. Phys.—Usp. 11, 785-801 (1968)];

* Adv. Phys. 18, 1-40 (1969).

943 Khaikin, M. S., 1978a, “Stationary levels of the electron in the field of a polarized neutral particle,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 27, 706-709 [JETP Lett. 27, 668-670 (1978)].

944 Khaikin, M. S., 1978b, “Cinematographic investigation of bub- blons in superfluid helium,” J. Phys. (Paris) 39, Colloques, C6-1295—C6-1297.

945 Khaikin, M. S., A. M. Trojanovsky, and A. P. Volodin, 1980, “Levels of charges at surface of dielectrics,” Surf. Sci. 98, 66 - 67.

946 Khor, К. E., and P. V. Smith, 1971, “Localization of electron states in two-dimensional disordered potential arrays,” J. Phys. C 4, 2029 - 2040.

947 Kierstead, H. A., 1976, “Dielectric constant and molar volume of saturated liquid 3He and 4He,” J. Low Temp. Phys. 23, ^ 791-805.

948 Kingston, R. H., and S. F. Neustadter, 1955, “Calculation of the space charge, electric field, and free carrier concentration at the surface of a semiconductor,” J. Appl. Phys. 26, 718-720.

949**Kirkpatrick, S., 1973, "Percolation and conduction,” Rev. Mod. Phys. 45, 574-588.

950 Kirkpatrick, S., 1979, “Models of disordered materials,” in /// Condensed Matter, edited by R. Balian, R. Maynard, and G. Toulouse (North-Holland, Amsterdam), pp. 323—403.

971 Koch, J. F„ and P. A. Pincus, 1967, “Microwave absorption l98°- “Electron escape from the image-potential-induced sur- by magnetic-field-induced surface states in superconductors," face states on liquid helium, Surf. Sci. 98, 17—21.

Phys. Rev. Lett. 19, 1041 1046.Konstantinov, О. V., and A. Ya. Shik, 1970, “Plasma surface 991*

972 Koehler, T. R., 1966, “Exact matrix elements of a crystal sutes in semiconductors,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 58,

Hamiltonian between harmonic-oscillator wave functions,” 1662—1674 [Sov. Phys.—JETP 31, 891— 897 (1970)].

Phys. Rev. 144, 789 — 798.Korneev, O. N., V. N. Lutskii, and M. I. Elinson, 1970, “In- 992*

973 Koehler, T. R., 1968, "New theory of lattice dynamics at vestigation of the electron energy spectrum in bismuth films

OX," Phys. Rev. 165, 942 — 950.using *he tunnel effect," Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 12,

974*Kogan, V. G., and V. z. Kresin. 1969, “Light absorption in a 1333—1335 [Sov. Phys. Solid State 12, 1049—1050(1970)].

thin film in the presence of a quantum size effect,” Fiz. Korneev, V. V., 1977, “Transverse conductivity of thin sem- 993* Tverd. Tela (Leningrad) 11, 3230-3235 [Sov. Phys.—Solid iconductor films due to the scattering by acoustic phonons in State 11, 2618 - 2622(1969)].quantizing magnetic fields," Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 19,

975 Kohl, D.' C. Becker, G. Heiland, U. Niggebriigge, and P. Balk, 357-363 [Sov. Phys.—Solid State 19, 205 - 209 (1977)].

1981, “Hall measurements on MOSFET devices prepared by Korneev, V. V., 1978, “Thermomagnetic coefficients in a size- 994*

TCE oxidation,” J. Phys. C 14, 553-558.TCE oxidation,” J. Phys. C 14, 553-558.quantized semiconducting film,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 74,

TCE oxidation,” J. Phys. C 14, 553-558.

TCE oxidation,” J. Phys. C 14, 553-558.

976 Kohl, D., and G. Heiland, 1977, “Anomalous behaviour of 1477—1482 [Sov. Phys.—JETP 47, 773 —776 (1978)).

electron mobility in space charge layers,” Surf. Sci. 63, Korneev, V. V., F. R. Ulinich, and N. A. Usov, 1978, “Screen- 995*

96-103.96-103.ing of an electric field and of the Coulomb interaction in

96-103.

96-103.

977 Kohl, D., H. Moorman, and G. Heiland, 1978, “Correlated quantized films located in strong magnetic fields,” Fiz. Tverd. behavior of Hall mobility and work function in the case of ac- Tela (Leningrad) 20, 2448 — 2452 [Sov. Phys.—Solid State 20, cumulation layers on ZnO crystals.” Surf. Sci. 73, 160—162.1413—1415 (1978)].*

MOSFET surfaces,” Surf. Sci. 98, 378-389.MOSFET surfaces,” Surf. Sci. 98, 378-389.978 Kohler, H., 1980, “Valley splitting in л-type inverted silicon Korotkikh, V. L„ A. L. Musatov, and V. D. Shadrin, 1978, 996

MOSFET surfaces,” Surf. Sci. 98, 378-389.

MOSFET surfaces,” Surf. Sci. 98, 378-389.

“Influence of size-effect quantization of energy levels in sem-

979 Kohler, H., and M. Roos, 1979a, “Quantitative determination iconductors on the photoelectric emission,” Zh. Eksp. Teor. of the valley splitting in л-type inverted silicon (100) MOS- Fiz. Pis’ma Red. 27, 652-655 [JETP Lett. 27, 616-619 FET surfaces,” Phys. Status Solidi В 91 233-241.(1978)].

980 Kohler, H., and M. Roos, 1979b, “The influence of the valley Korovin, L. I., S. T. Pavlov, and В. E. Eshpulatov, 1980, “Ef- 997* splitting and lineshape in the density of states on the quan- feet of optical phonons on magnetooptic absorption by a two- tum oscillations of л-type (100) inverted silicon MOSFET sur- dimensional electron gas,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 22, feces,” Phys. Status Solidi В 92, 489-494.130-134 [Sov. Phys.—Solid State 22, 74-77 (1980)].

981 Kohler, H., and M. Roos, 1979c, “Evidence for a Lande-fector Koshkin, V. M., and K. A. Katrunov, 1979, “Superlattice and 998* g=2 in л-type inverted silicon MOSFET surfaces,” Phys, quantum-size effect (QSE) in the intercalated crystals,” Zh. Status Solidi В 95, 107-115.Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 29, 205 - 209 [JETP Lett. 29,

982 Kaier, H., M. Roos, and G. Landwehr, 1978, “Magnetic field 183 — 186 (1979)].

dependence of the valley splitting in л-type inverted silicon Kosterlitz, J. M., and D. J. Thouless, 1973, “Ordering, metas- 999 MOSFET surfaces,” Solid State Commun. 27, 955 — 959.lability and phase transitions in two-dimensional systems,” J.

983 Kohn, W., 1961, “Cyclotron resonance and de Haas-van Al- phys. C 6, 1181-1203.

phen oscillations of an interacting electron gas,” Phys. Rev. Kosterlitz, J. M., and D. J. Thouless, 1978, “Two-dimensional 1000 123, 1242—1244.physics,” in Progress in Low Temperature Physics (North-

984** Kohn, W., and J. M. Luttinger, 1955, “Theory of donor states Holland, Amsterdam), Vol. VIIB, pp. 371-433.

in silicon,” Phys. Rev. 98, 915 —922,Kotera, N., Y, Katayama, and K. F. Komatsubara, 1972a, 1001

985 Kohn, W., and L. J. Sham, 1965, “Self-consistent equations in- “Magnetoconductance oscillations of я-type inversion layers eluding exchange and correlation effects,” Phys. Rev. 140, jn InSb surfaces,” Phys. Rev. В 5, 3065 — 3078.

Al 133 —Al 138.Kotera, N., Y. Katayama, I. Yoshida, and K. F. Komatsu- 1002

986 Komatsubara, K. F., H. Kamioka, and Y. Katayama, 1969, bara, 1972b, “Two-dimensional impurity states in an л-type “Electrical conductivity in an л-type surface inversion layer of inversion layer of silicon,” J. Vac. Sci. Technol. 9, 754-757.

InSb at low temperature," J. Appl. Phys. 40, 2940— 2944. Kotthaus, J. P., 1978, "High frequency magnetoconductivity in 1003

987 Komatsubara, K. F., K. Narita, Y. Katayama, N. Kotera, and space charge layers on semiconductors,” Surf. Sci. 73, Mineo Kobayashi, 1974, “Transport properties of conduction 472-490.

electrons in л-type inversion layers in (100) surfaces of sil- Kotthaus, J. P., 1979, “Spectroscopy of semiconductor inver- 1004 icon,” J. Phys. Chern. Solids 35, 723 — 740.sion layers in high magnetic fields,” J. Magn. Magn. Mater.

988 Komiyama, S., H. Eyferth, and J. P. Kotthaus, 1980, 11,20—25.

“Phonon-induced intersubband resonance in an inversion Kotthaus, J. P„ 1980, “Spectroscopy of quasi-two-dimensional 1005 layer,” in Proceedings of the I5th International Conference on space charge layers,” in Proceedings of the 15th International the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 49, Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys.

Suppl. A, 687 — 690].Soc. Japan 49, Suppl. A, 937 — 945].

989 Komori, F., S. Kobayashi, Y. Ootuka, and W. Sasaki, 1981, Kotthaus, J. P., G. Abstreiter, and J. F. Koch, 1974a, 1006 “Experimental study of electron localization in a two- “Subharmonic structure of cyclotron resonance in an inverdimensional metal,” J. Phys. Soc. Japan 50, 1051 -1052. sion layer on Si,” Solid State Commun. 15, 517-519.

990 KOno, K., Y. lye, K. Kajita, S. Kobayashi, and W. Sasaki, Kotthaus, J. P., G. Abstreiter, J. F. Koch, and R. Ranvaud, 1007

1974b, “Cyclotron resonance of localized electrons on a Si surface/* Phys. Rev. Lett. 34, 151 — 154.

1008 Kotthaus, J. P., and H. Kublbeck, 1976, “Temperature dependence of the cyclotron resonance in electron inversion layers on Si,” Surf. Sci. 58,199-201.

1009 Kotthaus, J. P., and R. Ranvaud, 1977, “Cyclotron resonance of holes in surface space charge layers on Si,'* Phys. Rev. В * 15,5758-5762.

1010* Kovchavtsev, A. P., 1979, “Tunnel currents in the Au-SiO;-Si system with the oxide film 16 — 36 A thick,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 21, 3055-3060 [Sov. Phys.—Solid State 21, 1758-1762(1979)1.

1011 Krafcsik, I., and D. Marton. 1979, “Experimental study of the charge model of interface states,” Phys. Lett, A 71, 245 — 248.

1012 Kramer, B., A. MacKinnon, and D. Weaire, 1981, “Numerical study of conductivity for the Anderson model in two and three dimensions,” Phys. Rev. В 23, 6357 — 6370.

1013 Kramer, G. M., and R. F. Wallis, 1979, “Theory of impurity- shifted intersubband transitions in л-type inversion layers on (100) silicon,** in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp.

* 1243-1246.

1014* Krasheninnikov, M. V., and A. V. Chaplik, 1978, “Plasmaacoustic waves on the surface of a piezoelectric crystal,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 75, 1907-1918 [Sov. Phys.—JETP 48, 960-966 (1978)].

1015* Krasheninnikov, M. V., and A. V. Chaplik, 1979, "Resonance excitation of hypersound by two-dimensional plasmons,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 76, 1812-1815 [Sov. Phys—JETP 49, 921-923 (1979)].

1016* Krasheninnikov, M. V., and A. V. Chaplik, 1980, “Instabilities of two-dimensional plasma waves,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 79, 555-560 [Sov. Phys.—JETP 52, 279-282 (1980)].

1017* Krasheninnikov, M. V., and A. V. Chaplik, 1981, “Twodimensional plasma waves in superlattices,” Fiz. Tekh. Polu- provodn. 15, 32 — 39 [Sov. Phys.—Semicond. 15, 19 — 23 (1981)].

1018* Krasheninnikov, M. V., M. B. Sultanov, and A. V. Chaplik, 1979, “Interaction between two-dimensional plasmons and acoustic waves caused by the deformation potential,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 77, 1636-1642 [Sov. Phys—JETP 50, 821-824 (1979)].

1019 Kressel, H., and J. K. Butler, 1977, Semiconductor Lasers and Heterojunction LEDs (Academic, New York).

1020 Kress-Rogers, E., R. J. Nicholas, Th. Englert, and M. Pepper, 1981, “Two-dimensional conductivity in the contact regions of silicon MOSFETs/* J. Phys. C 13, L619-L622.

1021 Krivanek, O. L. and J. H. Mazur, 1980, “The structure of ultrathin oxide cm silicon,” Appl. Phys. Lett. 37, 392—394.

1022 Krivanek, O. L., T. T. Sheng, and D. C. Tsui, 1978a, “A high-resolution electron microscopy study of the Si-SiOi interface," Appl. Phys. Lett. 32, 437 — 439.

1023 Krivanek, O. L., D. C. Tsui, T. T. Sheng, and A. Kamgar, 1978b, “A high-resolution electron microscopy study of the Si-SiO2 interface," in The Physics of SiOi and its Interfaces, edited by S. T. Pantelides (Pergamon, New York),, pp. 356-361.'

Ю24 Krowne, С. M., and J. W. Holm-Kennedy, 1974a, “Energy relaxation of electrons in the (100) л-channel of a Si-MOSFET. I. Bulk phonon treatment/* Surf. Sci. 46, 197 — 231.

Krowne, С. M., and J. W. Holm-Kennedy, 1974b, “Energy re- 1025 laxation of electrons in the (100) и-channel of a Si-MOSFET.

Surface phonon treatment,” Surf. Sci. 46, 232 — 250.

Kublbeck, H., and J. P. Kotthaus, 1975, “Temperature- 1026 dependent cyclotron mass of inversion-layer electrons in Si,” Phys. Rev. Lett. 35, 1019- 1022.

Kubo, R., S. J. Miyake, and N. Hashitsume, 1965, “Quantum 1027’ theory of galvanomagnetic effect at extremely strong magnetic fields,** Solid State Phys. 17, 269-364.

Kugler, A. A., 1969, “Anharmonic contributions to vibrational 1028 properties of the Wigner electron lattice,” Ann. Phys. (N.Y.) 53, 133- 173.'

Kukkonnen, C. A., and P. M. Maidague, 1976, “Electron-hole 1029 scattering and the electrical resistivity of the semimetal TiSj,” Phys. Rev. Lett. 37, 7 82-785.

Kukushkin, L. S\ 1980, “Optical analogy in the problem of 1030 galvanomagnetic properties of a quasi-two-dimensional conductor," Zh. Eksp. Teor. Fiz. 78, 1020- 1029 [Sov. Phys — JETP 51, 515-519 (1980)].

Kulik, I. O., and S. 1. Shevchenko, 1977, “Excitonic ‘super- 1031 fluidity* in low-dimensional crystals,” Solid State Commun. 21, 409-411.

Kummel, R., 1975, “Theory of valley-splitting in surface quan- 1032 turn states of silicon MOSFETs,” Z. Phys. В 22, 223-230.

Kunzel, H., G. H. Dohler, A. Fischer, and K. Ploog, 1981, 1033 “Modulation of two-dimensional conductivity in a molecular beam epitaxially grown GaAs bulk space-charge system,” Appl. Phys. Lett. 38, 171-174.

Kuramoto, Y., 1978a, “Charge density waves of two- 1034 dimensional electrons in strong magnetic fields/* J. Phys. Soc.

Japan 44, 1035-1036.

Kuramoto, Y„ 1978b, “Classical and quantum two- 1035 dimensional Wigner crystal in strong magnetic fields,” J.

Phys. Soc. Japan 45, 390—396.

Kuramoto, Y., and C. Horie, 1978, “Two-dimensional exciton- 1036 ic phase in strong magnetic fields,” Solid State Commun. 25, 713-716.

Kuramoto, Y., and H. Kamimura, 1974, “Theory of two- 1037 dimensional electron-hole liquids—Application to layer-type semiconductors,” J. Phys. Soc. Japan 37, 716—723.

Kuroda, T., and S. Narita, 1976, “Cyclotron resonance in an 1038 л-type inversion layer on Hgj_,CdxTe alloy,” J. Phys. Soc.

Japan 41,709-710.

Kurosawa, T., and S. Nagahashi, 1978, “On Gunn instability 1039 in two-dimensional semiconductors,” J. Phys. Soc. Japan 45, 707-708.

Kvon, Z. D., I. G. Neizvestnyi, V. N. Ovsyuk, and G. A. 1040 Yagunova, 1980, “Charge-carrier transport anisotropy in the inversion channels on high-index silicon surfaces,” Zh. Eksp.

Teor. Fiz. Pis’ma Red. 32, 370-373 [JETP Lett. 32, 346 - 348 (1980)].

LaBonney, J. J., Jr., and N. J. M. HoriiTg, 1977, “Exchange en- 1041 ergy of a two dimensional quantum plasma in a magnetic field,” Surf. Sci. 64, 437 - 456.

Lado, F., 1978, “Hypernetted-chain solutions for the two- 1042 dimensional classical electron gas,” Phys. Rev. В 17, 2827-2832.

Lai, W. Y., L. Y. Liou, and C. S. Ting, 1981, "Effect of inter- 1043 valley electron-electron interaction on the resistivity of electrons in Si surface inversion layers/* Phys. Rev. В 24, 935-942.

1044 Laidig, W. D., N. Hoionyak, Jr., M. D. Camras, B. A. Vojak, K. Hess, J. J. Coleman, and P. D. Dapkus, 1981, “Quenching of stimulated phonon emission in AlxGa|_xAs-GaAs quantum-well heterostructures,” Solid State Common. 38, 301-304.

1045 Lakhani, A. A., T. Cole, and P. J. Stiles, 1978, “Superlattice and a two-dimensional electron gas," Surf. Sci. 73, 223 — 225.

1046 Lakhani, A. A., T. Cole, and P. J. Stiles, 1981, "Substrate bias effects on subband separation and interband scattering in Si (110) ^-channel MOSFETs,’’ Solid State Commun. 39, . 569-572.

1047 Lakhani, A. A., T. K. Lee, and J. J. Quinn, 1976, "Dependence on substrate bias of the effective mass and Dingle temperature of electrons in the surface inversion layer of silicon,” Surf. Sci. 58, 213-216.

1048 Lakhani, A. A., and P. J. Stiles, 1973, “Experimental study of oscillatory values of g* of a two-dimensional electron gas,” Phys. Rev, Lett. 31,25 — 28.

1049 Lakhani, A. A„ and P. J. Stiles, 1975a, “Shubnikov — de Haas oscillations in и-type inversion layers on (110) and (111) surfaces of Si," Phys. Lett. A 51, 117-118.

1050 Lakhani, A. A., and P. J. Stiles, 1975b, "Modification of the magnetoconductance of a two-dimensional electron gas by altering the boundary conditions in the third dimension,” Solid State Commun. 16, 993 — 996.

1051 Lakhani, A. A., and P. J. Stiles, 1976a, "Effect of substrate bias on the mobility and scattering time of electrons in Si inversion layers," Surf. Sci. 58, 193— 198.

1052 Lakhani, A. A., and P. J. Stiles, 1976b, "Critical tests of the theory of magnetoconductance in two dimensions,” Phys. Rev. В 13, 5386-5391.

1053 Lakhani, A. A., P. J. Stiles, and Y. C. Cheng, 1974, "Oscillatory magnetoconductance of p-type inversion layers in Si surfaces," Phys. Rev. Lett. 32, 1003—1006.

1054 Lambert, D. K., and P. L. Richards, 1980, "Measurement of local disorder in a two-dimensional electron fluid,” Phys. Rev.

. Lett. 44, 1427-1429.

1055 Lambert, D. K., and P. L. Richards, 1981, "Far-infrared and capacitance measurements of electrons on liquid helium,” Phys. Rev. В 23, 3282-3290.

1056*Landau, L. D., 1956, “The theory of a Fermi liquid," Zh. Eksp. Teor. Fiz. 30, 1058-1064 [Sov. Phys—JETP 3, 920-925 (1957)].

1057*Landau, L. D., and E. Jd. Lifshitz, 1977, Quantum Mechanics 3rd ed. (Pergamon, Oxford).

1058 Landauer, R., 1970, "Electrical resistance of disordered onedimensional lattices," Philos. Mag. 21, 863 — 867.

1059 Landwehr, G., 1975, "Quantum transport in silicon inversion layers,” in Festkorperprobleme (Advances in Solid State Physics), edited by H. J. Queisser (Pergamon-Vieweg, Braunschweig), Vol. XV, pp. 49 — 77.

1060 Landwehr, G., 1977, "Semiconductor cyclotron resonance: Transport and surface phenomena," J. Opt. Soc. Am. 67, 922-928.

1061 Landwehr, G., 1980, "Recent results of high magnetic field experiments on MOSFETs in Grenoble," Surf. Sci. 98, 321-326.

1062 Landwehr, G., E Bangert, and K. von Klitzing, 1975, “Surface quantum oscillations in silicon," in Physique sous Champs Magnetiques Intenses, Grenoble, 1974 (Collogues In-

ternationaux No. 242, Editions du Centre National de la Recherche Scientifique, Paris), pp. 177 — 185.

Landwehr, G., E. Bangert, K. von Klitzing, Th. Englert, and 1063 G. Dorda, 1976, “Comments on the hole mass in silicon inversion layers," Solid State Commun. 19, 1031 — 1035.

Lang, N. D., and W. Kohn, 1970, "Theory of metal surfaces: 1064

Charge density and surface energy,” Phys. Rev. В 1, 4555-4568.

Larkin, A. 1., 1980, “Reluctance of two-dimensional systems," 1065* Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 31, 239 -243 [JETP Lett. 31, 219-223 (1980)].

Last, B. J., and D. J. Thouless, 1971, "Percolation theory and 1066 electrical conductivity," Phys. Rev. Lett. 27, 1719 — 1721.

Lau, К. H., and W. Kohn, 1978, "Indirect long-range oscilla- 1067 tory interaction between adsorbed atoms,” Surf. Sci. 75, 69-85.

Laughlin, R. B., 1981, “Quantized Hall conductivity in two 1068 dimensions," Phys. Rev. В 23, 5632 — 5633.

Laughlin, R. B„ J. D. Joannopoulos, and D. J. Chadi, 1978, 1069 “Electronic states of Si-SiO2 interfaces," in The Physics of SiOi and its Interfaces, edited by S. T. Pantelides, (Pergamon, New York), pp. 321-327.

Laughlin, R. B., J. D. Joannopoulos, and D. J. Chadi, 1980, Ю70 "Theory of the electronic structure of the Si-SiO2 interface," Phys. Rev. 8 21,5733-5744.

Laur, J., and T. S. Jayadevaiah, 1973, “Carrier concentration 1071 in the inversion layer of an MOS field effect transistor," Solid-State Electron. 16, 644 — 646.

Lax, M., and J. J. Hopfield, 1961, "Selection rules connecting 1072** different points in the Brillouin zone," Phys. Rev. 124, 115-123.

Lebwohl, P. A., and R. Tsu, 1970, “Electrical transport prop- 1073 erties in a superlattice," J. Appl. Phys. 41, 2664 — 2667.

Lee, P. A. (editor), 1976, Optical and Electrical Properties (Vol. 1074 4 of Physics and Chemistry of Materials with Layered Structures, edited by E. Mooser) (Reidel, Dordrecht).

Lee, P. A., 1979, "Real-space scaling studies of localization," 1075 Phys. Rev. Lett. 42, 1492-1494.

Lee, P. A., 1980, "Scaling studies of localization," J. Non- 1076 cryst. Solids 35—36, 21 — 28.

Lee, P. A., and D. S. Fisher, 1981, "Anderson localization in 1077 two dimensions,” Phys. Rev. Lett. 47, 882 — 885.

Lee, P. A., and T. M. Rice, 1979, "Electric field depinning of 1078 charge density waves," Phys. Rev. В 19, 3970—3980.

Lee, T. K., and J. J. Quinn, 1975, “Fermi liquid theory of two 1079 dimensional electron liquid: Magnetoplasma waves," Phys.

Rev. В 11, 2144-2147.

Lee, T. K., and J. J. Quinn, 1976, "Quantum oscillations in 1080 screening in a two-dimensional electron gas," Surf. Sci. 58, 148-152.

Lee, T. К., C. S. Ting, and J. J. Quinn» 1975a, "Electron- 1081 electron interactions in the surface inversion layer of a semiconductor," Solid State Commun. 16, 1309—1312.

Lee, T. К., C. S. Ting, and J. J. Quinn, 1975b, “Landau in- 1082 teraction function for electrons in the surface inversion layer of a semiconductor: A test of many-body theory," Phys. Rev.

Lett. 35, 1048-1050.

Lee, T. К., C- S. Ting, and J. J. Quinn, 1976, "Microscopic 1083 calculation of the Fermi liquid interaction constants for electrons in the surface inversion layer of a semiconductor," Surf.

Levy, F. (editor), 1976, Crystallography and Crystal Chemistry Ц02 of Materials with Layered Structures (Vol. 2 of Physics and Chemistry of Materials with Layered Structures, edited by E. Mooser) (Reidel, Dordrecht).Lewicki, G-, and J. Maserjian, 1975, “Oscillations in MOS tun- 1103 neling," J Appl. Phys. 46, 3032 - 3039.Licari, J. J., 1979, "Polaron self-energy in a dielectric slab," 1104 Solid State Commun. 29, 625 — 628.Licciardello, D. C., 1977, “Is 30,000 ohms the maximum two- 1105 dimensional resistance?” Comments Solid State Phys. 8, 61-66.Licciardello, D. G, and H. H. Soonpaa, 1980, “Variable range 1106 hopping in a thin crystal,” Surf. Sci. 98, 225 — 226.Licciardello, D. C., and D. J. Thouless, 1975a, “Constancy of 1107 minimum metallic conductivity in two dimensions,” Phys.Rev. Lett. 35, 1475-1478.Licciardello, D. C., and D. J. Thouless, 1975b, “Conductivity 1108 and mobility edges for two-dimensional disordered systems,” J. Phys. C 8, 4157-4170.Licciardello, D. C., and D. J. Thouless, 1976a, “Universality 1109 and transport in two-dimensional disordered systems," Surf.Sci. 58, 89-90.Licciardello, D. C., and D. J. Thouless, 1976b, "On the extent ЦЮ of the localized wavefunction," J. Phys. C 9, L417 — L419.Licciardello, D. C., and D. J. Thouless, 1977, “Fluctuations of till the localized wave function," Commun. Phys. 2, 7 — 8.Licciardello, D. C. and D. J. Thouless, 1978, “Conductivity 1112 and mobility edges in disordered systems 11. Further calculations for the square and diamond lattices," J. Phys. C 11, 925-936.Lieneweg, U., 1980, “Frequency response of charge transfer in Ц13 MOS inversion layers," Solid-State Electron. 23, 577 — 583.Lile, D. L., D. A. Collins, L. G. Meiners, and L. Messik, 1978, П14 "n-channel inversion-mode InP M.I.S.F.E.T.,” Electron. Lett.14, 657-659.Lin-Chung, P. J., 1979, "Quantized surface states in an accu- 1115 mulation layer of и-РЬТе,” in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1223-1226.Lindemann, G., E. Gornik, R. Schawarz, and D. C. Tsui, 1116 1981, "Cyclotron emission from GaAs and InP,” in Gallium Arsenide and Related Compounds, 1980, edited by H. W.Thim (Institute of Physics, Bristol), pp. 631—638.Lindhard, J., 1954, “On the properties of a gas of charge parti- 1117 ties," K. Dan. Vidensk. Selsk. Mat.-Fys. Medd. 28 (8), 1 — 57.Lipari, N. O., 1978, “Electronic states of impurities localized 1118 at or near semiconductor-insulator interfaces," J. Vac. Sci.Technol. 15, 1412-1416.Litovchenko, V. G., 1978, “Characteristics of quasi-two- 1119 dimensional excitons and plasmons at various concentrations, ” Surf. Sci. 73, 446—471.Long, D., 1960, “Scattering of conduction electrons by lattice 1120 vibrations in silicon,” Phys. Rev. 120, 2024 — 203 2.Lozovik, Yu. E., S. M. Apenko, and A. V. Klyuehnik, 1980, 1121 “Two-dimensional electron crystal in magnetic field. Topological phase transitions and stability region,” Solid State Commun. 36, 485—492.Lozovik, Yu. E., and A. V. Klyuehnik, 1980, “Current states 1122 and domains in systems with electron-hole pairing.” J. Low Temp. Phys. 38, 761-775.Levy, F. (editor), 1976, Crystallography and Crystal Chemistry Ц02 of Materials with Layered Structures (Vol. 2 of Physics and Chemistry of Materials with Layered Structures, edited by E. Mooser) (Reidel, Dordrecht).Lewicki, G-, and J. Maserjian, 1975, “Oscillations in MOS tun- 1103 neling," J Appl. Phys. 46, 3032 - 3039.Licari, J. J., 1979, "Polaron self-energy in a dielectric slab," 1104 Solid State Commun. 29, 625 — 628.Licciardello, D. C., 1977, “Is 30,000 ohms the maximum two- 1105 dimensional resistance?” Comments Solid State Phys. 8, 61-66.Licciardello, D. G, and H. H. Soonpaa, 1980, “Variable range 1106 hopping in a thin crystal,” Surf. Sci. 98, 225 — 226.Licciardello, D. C., and D. J. Thouless, 1975a, “Constancy of 1107 minimum metallic conductivity in two dimensions,” Phys.Rev. Lett. 35, 1475-1478.Licciardello, D. C., and D. J. Thouless, 1975b, “Conductivity 1108 and mobility edges for two-dimensional disordered systems,” J. Phys. C 8, 4157-4170.Licciardello, D. C., and D. J. Thouless, 1976a, “Universality 1109 and transport in two-dimensional disordered systems," Surf.Sci. 58, 89-90.Licciardello, D. C., and D. J. Thouless, 1976b, "On the extent ЦЮ of the localized wavefunction," J. Phys. C 9, L417 — L419.Licciardello, D. C., and D. J. Thouless, 1977, “Fluctuations of till the localized wave function," Commun. Phys. 2, 7 — 8.Licciardello, D. C. and D. J. Thouless, 1978, “Conductivity 1112 and mobility edges in disordered systems 11. Further calculations for the square and diamond lattices," J. Phys. C 11, 925-936.Lieneweg, U., 1980, “Frequency response of charge transfer in Ц13 MOS inversion layers," Solid-State Electron. 23, 577 — 583.Lile, D. L., D. A. Collins, L. G. Meiners, and L. Messik, 1978, П14 "n-channel inversion-mode InP M.I.S.F.E.T.,” Electron. Lett.14, 657-659.Lin-Chung, P. J., 1979, "Quantized surface states in an accu- 1115 mulation layer of и-РЬТе,” in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1223-1226.Lindemann, G., E. Gornik, R. Schawarz, and D. C. Tsui, 1116 1981, "Cyclotron emission from GaAs and InP,” in Gallium Arsenide and Related Compounds, 1980, edited by H. W.Thim (Institute of Physics, Bristol), pp. 631—638.Lindhard, J., 1954, “On the properties of a gas of charge parti- 1117 ties," K. Dan. Vidensk. Selsk. Mat.-Fys. Medd. 28 (8), 1 — 57.Lipari, N. O., 1978, “Electronic states of impurities localized 1118 at or near semiconductor-insulator interfaces," J. Vac. Sci.Technol. 15, 1412-1416.Litovchenko, V. G., 1978, “Characteristics of quasi-two- 1119 dimensional excitons and plasmons at various concentrations, ” Surf. Sci. 73, 446—471.Long, D., 1960, “Scattering of conduction electrons by lattice 1120 vibrations in silicon,” Phys. Rev. 120, 2024 — 203 2.Lozovik, Yu. E., S. M. Apenko, and A. V. Klyuehnik, 1980, 1121 “Two-dimensional electron crystal in magnetic field. Topological phase transitions and stability region,” Solid State Commun. 36, 485—492.Lozovik, Yu. E., and A. V. Klyuehnik, 1980, “Current states 1122 and domains in systems with electron-hole pairing.” J. Low Temp. Phys. 38, 761-775.

Levy, F. (editor), 1976, Crystallography and Crystal Chemistry Ц02 of Materials with Layered Structures (Vol. 2 of Physics and Chemistry of Materials with Layered Structures, edited by E. Mooser) (Reidel, Dordrecht).

Lewicki, G-, and J. Maserjian, 1975, “Oscillations in MOS tun- 1103 neling," J Appl. Phys. 46, 3032 - 3039.

Licari, J. J., 1979, "Polaron self-energy in a dielectric slab," 1104 Solid State Commun. 29, 625 — 628.

Licciardello, D. C., 1977, “Is 30,000 ohms the maximum two- 1105 dimensional resistance?” Comments Solid State Phys. 8, 61-66.

Licciardello, D. G, and H. H. Soonpaa, 1980, “Variable range 1106 hopping in a thin crystal,” Surf. Sci. 98, 225 — 226.

Licciardello, D. C., and D. J. Thouless, 1975a, “Constancy of 1107 minimum metallic conductivity in two dimensions,” Phys.

Rev. Lett. 35, 1475-1478.

Licciardello, D. C., and D. J. Thouless, 1975b, “Conductivity 1108 and mobility edges for two-dimensional disordered systems,” J. Phys. C 8, 4157-4170.

Licciardello, D. C., and D. J. Thouless, 1976a, “Universality 1109 and transport in two-dimensional disordered systems," Surf.

Sci. 58, 89-90.

Licciardello, D. C., and D. J. Thouless, 1976b, "On the extent ЦЮ of the localized wavefunction," J. Phys. C 9, L417 — L419.

Licciardello, D. C., and D. J. Thouless, 1977, “Fluctuations of till the localized wave function," Commun. Phys. 2, 7 — 8.

Licciardello, D. C. and D. J. Thouless, 1978, “Conductivity 1112 and mobility edges in disordered systems 11. Further calculations for the square and diamond lattices," J. Phys. C 11, 925-936.

Lieneweg, U., 1980, “Frequency response of charge transfer in Ц13 MOS inversion layers," Solid-State Electron. 23, 577 — 583.

Lile, D. L., D. A. Collins, L. G. Meiners, and L. Messik, 1978, П14 "n-channel inversion-mode InP M.I.S.F.E.T.,” Electron. Lett.

14, 657-659.

Lin-Chung, P. J., 1979, "Quantized surface states in an accu- 1115 mulation layer of и-РЬТе,” in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1223-1226.

Lindemann, G., E. Gornik, R. Schawarz, and D. C. Tsui, 1116 1981, "Cyclotron emission from GaAs and InP,” in Gallium Arsenide and Related Compounds, 1980, edited by H. W.

Thim (Institute of Physics, Bristol), pp. 631—638.

Lindhard, J., 1954, “On the properties of a gas of charge parti- 1117 ties," K. Dan. Vidensk. Selsk. Mat.-Fys. Medd. 28 (8), 1 — 57.

Lipari, N. O., 1978, “Electronic states of impurities localized 1118 at or near semiconductor-insulator interfaces," J. Vac. Sci.

Technol. 15, 1412-1416.

Litovchenko, V. G., 1978, “Characteristics of quasi-two- 1119 dimensional excitons and plasmons at various concentrations, ” Surf. Sci. 73, 446—471.

Long, D., 1960, “Scattering of conduction electrons by lattice 1120 vibrations in silicon,” Phys. Rev. 120, 2024 — 203 2.

Lozovik, Yu. E., S. M. Apenko, and A. V. Klyuehnik, 1980, 1121 “Two-dimensional electron crystal in magnetic field. Topological phase transitions and stability region,” Solid State Commun. 36, 485—492.

Lozovik, Yu. E., and A. V. Klyuehnik, 1980, “Current states 1122 and domains in systems with electron-hole pairing.” J. Low Temp. Phys. 38, 761-775.

Levy, F. (editor), 1976, Crystallography and Crystal Chemistry Ц02 of Materials with Layered Structures (Vol. 2 of Physics and Chemistry of Materials with Layered Structures, edited by E. Mooser) (Reidel, Dordrecht).

Lewicki, G-, and J. Maserjian, 1975, “Oscillations in MOS tun- 1103 neling," J Appl. Phys. 46, 3032 - 3039.

Licari, J. J., 1979, "Polaron self-energy in a dielectric slab," 1104 Solid State Commun. 29, 625 — 628.

Licciardello, D. C., 1977, “Is 30,000 ohms the maximum two- 1105 dimensional resistance?” Comments Solid State Phys. 8, 61-66.

Licciardello, D. G, and H. H. Soonpaa, 1980, “Variable range 1106 hopping in a thin crystal,” Surf. Sci. 98, 225 — 226.

Licciardello, D. C., and D. J. Thouless, 1975a, “Constancy of 1107 minimum metallic conductivity in two dimensions,” Phys.

Rev. Lett. 35, 1475-1478.

Licciardello, D. C., and D. J. Thouless, 1975b, “Conductivity 1108 and mobility edges for two-dimensional disordered systems,” J. Phys. C 8, 4157-4170.

Licciardello, D. C., and D. J. Thouless, 1976a, “Universality 1109 and transport in two-dimensional disordered systems," Surf.

Sci. 58, 89-90.

Licciardello, D. C., and D. J. Thouless, 1976b, "On the extent ЦЮ of the localized wavefunction," J. Phys. C 9, L417 — L419.

Licciardello, D. C., and D. J. Thouless, 1977, “Fluctuations of till the localized wave function," Commun. Phys. 2, 7 — 8.

Licciardello, D. C. and D. J. Thouless, 1978, “Conductivity 1112 and mobility edges in disordered systems 11. Further calculations for the square and diamond lattices," J. Phys. C 11, 925-936.

Lieneweg, U., 1980, “Frequency response of charge transfer in Ц13 MOS inversion layers," Solid-State Electron. 23, 577 — 583.

Lile, D. L., D. A. Collins, L. G. Meiners, and L. Messik, 1978, П14 "n-channel inversion-mode InP M.I.S.F.E.T.,” Electron. Lett.

14, 657-659.

Lin-Chung, P. J., 1979, "Quantized surface states in an accu- 1115 mulation layer of и-РЬТе,” in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1223-1226.

Lindemann, G., E. Gornik, R. Schawarz, and D. C. Tsui, 1116 1981, "Cyclotron emission from GaAs and InP,” in Gallium Arsenide and Related Compounds, 1980, edited by H. W.

Thim (Institute of Physics, Bristol), pp. 631—638.

Lindhard, J., 1954, “On the properties of a gas of charge parti- 1117 ties," K. Dan. Vidensk. Selsk. Mat.-Fys. Medd. 28 (8), 1 — 57.

Lipari, N. O., 1978, “Electronic states of impurities localized 1118 at or near semiconductor-insulator interfaces," J. Vac. Sci.

Technol. 15, 1412-1416.

Litovchenko, V. G., 1978, “Characteristics of quasi-two- 1119 dimensional excitons and plasmons at various concentrations, ” Surf. Sci. 73, 446—471.

Long, D., 1960, “Scattering of conduction electrons by lattice 1120 vibrations in silicon,” Phys. Rev. 120, 2024 — 203 2.

Lozovik, Yu. E., S. M. Apenko, and A. V. Klyuehnik, 1980, 1121 “Two-dimensional electron crystal in magnetic field. Topological phase transitions and stability region,” Solid State Commun. 36, 485—492.

Lozovik, Yu. E., and A. V. Klyuehnik, 1980, “Current states 1122 and domains in systems with electron-hole pairing.” J. Low Temp. Phys. 38, 761-775.

Sei. 58, 246 - 251.

1Q84 Leiderer, P., 1979, “Charged interface of 3He-*He mixtures. Softening of interfacial waves,” Phys. Rev. В 20, 4511—4517.

1085 Leiderer, P., and M. Wanner, 1979, “Structure of the dimple lattice on liquid *He/' Phys. Lett. A 73, 189 — 192.

1086 Leiderer, P., M. Wanner, and W. Schoepe, 1978, “Ions at the critical interface of 3He-*He mixtures,” J. Phys. (Paris) 39, C6-1328 —C6-1333.

1087 Leistiko, O., Jr., A. S. Grove, and С. T. Sah, 1965, "Electron and hole mobilities in inversion layers on thermally oxidized silicon surfaces,” IEEE Trans. Electron Devices ED-12, 248-254.

1088 Lekner, J., and J. R. Henderson, 1978, “The surface of liquid 4He, based on the idea that П(<;/(гу) describes a droplet,” J. Low Temp. Phys. 31, 763 — 784.

1089 Lenzlinger, M. and E. H. Snow, 1969, “Fowler-Nordheim tunneling into thermally grown SiOj,” J. Appl. Phys. 40, 278-283.

1090 Lerner, 1. V., and Yu. E. Lozovik, 1977, “Two-dimensional electron-hole liquid in (he strong magnetic field,” Solid State Commun. 23, 453—458.'

1091* Lerner, I. V., and Yu. E. Lozovik, 1978a, “Quasi two- dimensional electron-hole liquid in strong magnetic fields,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 74, 274 — 287 [Sov. Phys.—JETP 47, 140-147(1978)].

1092* Lerner, 1. V., and Yu. E. Lozovik, 1978b, “Interaction of quasiparticles near the interface of two media,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 20, 2241—224 5 [Sov. Phys.—Solid State 20, 1293-1295 (1978)].

1093 Lerner, L V., and Yu. E. Lozovik, 1978c, “On the crystallization of two-dimensional electron system in strong magnetic field," Solid State Commun. 25, 205 — 208.

1094* Lerner, I. V., and Yu. E. Lozovik, 1978d, “Phase diagram of quasi-zero-dimensional electron-hole system,” Zh. Eksp. Teor.

Fiz. Pis’ma Red. 27, 497-499 [JETP Lett. 27, 467-470 (1978)].

1095 Lerner, I. V., and Yu. E. Lozovik, 1979a, “Thermodynamics of electrons in a quantized semimetal film in high magnetic field,” Zh. Ebp. Teor. Fiz. 76, 1136-1150 [Sov. Phys— JETP 49, 576-583 (1979)].

1096 Lerner, L V., and Yu. E. Lozovik, 1979b, “Electron-hole rearrangements in two-dimensional semimetals in high magnetic fields,” J. Phys. C 12, L5O1-L5O5.

1097 Lerner, 1. V., and Yu. E. Lozovik, 1980a, “Phase transitions in two-dimensional electron-hole systems in high magnetic fields," J. Low Temp. Phys. 38, 333 — 352.

1098*Lerner, 1. V., and Yu. E. Lozovik, 1980b, “Mott exciton in a quasi-two-dimensional semiconductor in a strong magnetic field," Zh. Eksp. Teor. Fiz. 78, 1167-1175 [Sov. Phys.— JETP 51, 588-592 (1980)].

1099 Lerner, I. V., and Yu. E. Lozovik, 1980c, "Correlation energy

4 and excitation spectra of two-dimensional electron-hole systems in high magnetic fields,” Solid State Commun. 36, 7-13.

1100 Lerner, 1. V., Yu. E. Lozovik, and D. R. Musin, 1981, “Spatially separated electron-hole system in high magnetic fields," J. Phys. C 14, L311-L315.

1101 Leyine, J. D., 1965, "Nodal hydrogenic wave functions of donors on semiconductor surfaces,” Phys. Rev. 140, A586-A589.

1123* Lozovik, Yu. E., D. R. Musin, and V. 1. Yudson, 1979, “Range of existence of a two-dimensional electron crystal in a strong magnetic field,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 21, 1974-1977 [Sov. Phys.—Solid State 21, 1132-1134 (1979)].

1124* Lozovik, Yu. E., and V. N. Nishanov, 1976, “Wannier-Mott excitons in layer structures and near an interface of two media,’* Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) IB, 3267 — 3272 [Sov. Phys—Solid State 18, 1905-1908 (1976)].

1125* Lozovik, Yu. £., and V. I. Yudson, 1975a, “Crystallization of two-dimensional electron gas in a magnetic field,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 22, 26-28 [JETP Lett. 22, 11-12 (1975)].

1126* Lozovik, Yu. E., and V. 1. Yudson, 1975b, “Feasibility of superfluidity of paired spatially separated electrons and holes; a new superconductivity mechanism,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 22, 556-559 [JETP Lett. 22, 274-276 (1975)].

1127 Lozovik, Yu. E., and V. 1. Yudson, 1976a, “Superconductivity at dielectric pairing of spatially separated quasiparticles,” Solid State Commun. 19,391 — 393.

1128* Lozovik, Yu. E., and V. 1. Yudson, 1976b, “A new mechanism for superconductivity: Pairing between spatially separated electrons and holes,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 71, 738 — 753 [Sov. Phys—JETP 44, 389-397 (1976)].

1129* Lozovik, Yu. E., and V. I. Yudson, 1976c, “Electron-hole superconductor in electromagnetic fields,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 18, 1962—1966 [Sov. Phys.—Solid State IB, 1142-1144 (1976)].

1130 Lozovik, Yu. E., and V. I. Yudson, 1976d, “Excitonic insulator transition in thin films,” Phys. Lett. A 56. 39 3 — 394.

1131 Lozovik, Yu. E., and V. 1. Yudson, 1977a, “Electron-hole superconductivity. Influence of structure defects,” Solid State Commun. 21, 211 —215.

1132 Lozovik, Yu. E., and V. 1. Yudson, 1977b, “The phase fixation in the systems with e-h pairing; Collective modes and current states,” Solid State Commun. 22, 117- 122.

1133 Lucovsky, G., and D. J. Chadi, 1980, “A microscopic model for the Cb defect at the Si/StO^ interface,” in The Physics of MOS Insulators, edited by G. Lucovsky, S. T. Pantelides, and F. L. Galeener (Pergamon, New York), pp. 301 — 305.

1134 Lucovsky, G., S. T. Pantelides, and F. L. Galeener, eds., 1980, The Physics of MOS Insulators (Pergamon, New York).

1135 Lundqvist, B. L, 1967a, “Single-particle spectrum of the degenerate electron gas I. The structure of the spectral weight function," Phys. Kondens. Mater. 6, 193 — 205.

1136 Lundqvist, B. L, 1967b, “Single-particle spectrum of the degenerate electron gas II. Numerica] results for electrons coupled to plasmons,” Phys. Kondens. Mater. 6, 206—217.

1137 Lutskii, V. N., 1970, "Quantum size effect—Present state and perspectives of experimental investigations,” Phys. Status

Solidi A 1, 199-220.

1138*Lutskii, V. N., and E. P. Fesenko, 1968, “Some possibilities for investigating the structure of electronic spectra using the quantum-size effect,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 10. 3661 -3663 [Sov. Phys.—Solid State 10, 2902-2904 (196B)].

1139 Lutskii, V. N., and T. N. Pinsker, 1980, “Quantum size effect in films and new method for investigating the band structure of solids," Thin Solid Films 66, 55 — 69.

1140**Luttinger, J. M., and W. Kohn, 1955, “Motion of electrons and holes in perturbed periodic fields," Phys. Rev. 97, 869 — 883.

1141 Ma, К. B., and J. C. Inkson, 1978, "Possible-re-evaporation of

two-dimensional Wigner erystals at extremely low densities,” J. Phys. С II, L411 —L415.

Ma, T. P., and R. C. Barker, 1974, “Surface-state spectra from 1142 thick-oxide MOS tunnel junctions,” Solid-State Electron. 17, 913-929.

Mean, J. C, Y. Guldner, J. P. Vieren, P. Voisin, M. Voos, L. 1143 L. Chang, and L. Esaki, 1981, “Three dimensional character of semimetallic InAs-GaSb superlattices,” Solid State Commun. 39, 683 — 686.

Mackie, F. D., and C.-W. Woo, 1978, “Surface structure of 1144 liquid *He,” Phys. Rev. В 18, 529 — 535.

Madhukar, A., 1977, “Coupled electron-phonon system in two 1145 dimensions and its implications for inversion layers,” Solid State Commun. 24, 11 — 14.

Madhukar, A., N. V. Dandekar, and R. N. Nucho, 1979, 1146 “Two-dimensional effects and effective masses in InAs/GaSb (100) superlattices,” J. Vac. Sci. Technol. 16, 1507 — 1511.

Madhukar, A., and S. Das Sarma, 1980, “Electron-phonon 1147 coupling and resonant magneto-phonon effect in optical behavior of two-dimensionally confined charge carriers,” Surf.

Sci. 98, 135-142.

Madhukar, A., and R. N. Nucho, 1979, “The electronic struc- 1148 ture of InAs/GaSb (001) superlattices — two dimensional effects," Solid State Commun. 32, 331 — 336.

Maeda, H., 1970, “Negative mass effect and the energy disper- 1149 sion of carriers in MOS inversion layers: Possibility of a novel solid state oscillator,” in Proceedings of the 1st Conference on Solid State Devices, Tokyo, 1969 [J. Japan Soc. Appl Phys. 39 Suppl., 185-191].

Maeda, H., 1972, “Electron conductivity-mass anisotropy in 1150 silicon MOS inversion layers,” J. Phys. Soc. Japan 32, 575.

Maekawa, S., and H. Fukuyama, 1981, “Magnetoresistance in 1151 two-dimensional disordered systems: Effects of Zeeman splitting and spin-orbit scattering,” J. Phys. Soc. Japan 50, 2516-2524.

Mahan, G. D., 1974, “Electron interaction with surface 1152 modes,” in Elementary Excitations in Solids, Molecules, and Atoms, edited by J. T. Devreese, A. B. Kunz, and T. C. Collins (Plenum, London), Part B, pp. 93 — 130.

Maidague, P. F., 1978a, “Many-body corrections to the polari- 1153 zability of the two-dimensional electron gas,” Surf. Sci. 73, 296-302.

Maidague, P, F., 1978b, "Effect of exchange on charge density 1154 waves in layered compounds,” Solid State Commun. 26, 133-135.

Maidague, P. F., and D. M. Nicholson, 1980, “A variational 1155 approach to the ground state of the two-dimensional electron gas," Physica 99B, 250 - 254.

Maidague, P. F., 1981, “Quantum diffusion and divergent flue- 1156 tuations in disordered metals," Phys. Rev. В 23, 1719—1728.

Maldonado, J. R., and J. F. Koch, 1970, “Surface states in su- 1157 perconducting indium," Phys. Rev. В 1, 1031 — 1039.

Manuel, P., G. A. Sai-Halasz, L. L. Chang, C.-A. Chang, and 1158

L. Esaki, 1976, “Resonant Raman scattering in a semiconductor superlattice,” Phys. Rev. Lett. 37, 1701 -1704.

Many, A., 1974, “Relation between physical and chemical 1159** processes on semiconductor surfaces,” Crit. Rev. Solid State Sci. 4,515-539*.

Many, A., Y. Goldstein, and N. B. Grover, 1965, Semiconduc- 1160 tar Surfaces (North-Holland, Amsterdam).’

1173117311741174117511751176117611771177perlattices,” in Proceedings of the 15th International Confer-McCombe, B. D., and D. E. Schafer, 1979, ‘Effects of Na+ ence on ^e physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. ions on far IR optical spectroscopy of Si inversion layers,” in japan 49, Suppl. A, 1009-1012].Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson Mendez, E. E„ L. L. Chang, G. Landgren, R. Ludeke, L.(Institute of Physics, Bristol), pp. 1227-1230.^ and F н Pollak 1981 ..observation of superlatticeMcCombe, B. D., and R. 3. Wagner, 1971, “Electric-dipole ex- effects on the electronic bands of multilayer heterostructures,”perlattices,” in Proceedings of the 15th International Confer-McCombe, B. D., and D. E. Schafer, 1979, ‘Effects of Na+ ence on ^e physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. ions on far IR optical spectroscopy of Si inversion layers,” in japan 49, Suppl. A, 1009-1012].Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson Mendez, E. E„ L. L. Chang, G. Landgren, R. Ludeke, L.(Institute of Physics, Bristol), pp. 1227-1230.^ and F н Pollak 1981 ..observation of superlatticeMcCombe, B. D., and R. 3. Wagner, 1971, “Electric-dipole ex- effects on the electronic bands of multilayer heterostructures,”1196119611781178cited electron spin resonance in InSb," Phys. Rev. В 4, Phys. Rev. Lett. 46, 1230—1234.1285-1288.Merlin, R., C. Colvard, M. V. Klein, H. Morko?, A. Y. Cho, Ц97cited electron spin resonance in InSb," Phys. Rev. В 4, Phys. Rev. Lett. 46, 1230—1234.1285-1288.Merlin, R., C. Colvard, M. V. Klein, H. Morko?, A. Y. Cho, Ц9711791179118011801181118111821182McNutt, М. J., and С. T. Sah, 1978, “Experimental MOS C-V Ц83McNutt, М. J., and С. T. Sah, 1978, “Experimental MOS C-V Ц83118411841185118511861186118711871188118811891189119011901191119111921192119311931194’1194’11951195

1173

1173

1174

1174

1175

1175

1176

1176

1177

1177

perlattices,” in Proceedings of the 15th International Confer-

McCombe, B. D., and D. E. Schafer, 1979, ‘Effects of Na+ ence on ^e physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. ions on far IR optical spectroscopy of Si inversion layers,” in japan 49, Suppl. A, 1009-1012].

Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson Mendez, E. E„ L. L. Chang, G. Landgren, R. Ludeke, L.

(Institute of Physics, Bristol), pp. 1227-1230.^ and F н Pollak 1981 ..observation of superlattice

McCombe, B. D., and R. 3. Wagner, 1971, “Electric-dipole ex- effects on the electronic bands of multilayer heterostructures,”

perlattices,” in Proceedings of the 15th International Confer-

McCombe, B. D., and D. E. Schafer, 1979, ‘Effects of Na+ ence on ^e physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. ions on far IR optical spectroscopy of Si inversion layers,” in japan 49, Suppl. A, 1009-1012].

Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson Mendez, E. E„ L. L. Chang, G. Landgren, R. Ludeke, L.

(Institute of Physics, Bristol), pp. 1227-1230.^ and F н Pollak 1981 ..observation of superlattice

McCombe, B. D., and R. 3. Wagner, 1971, “Electric-dipole ex- effects on the electronic bands of multilayer heterostructures,”

1196

1196

1178

1178

cited electron spin resonance in InSb," Phys. Rev. В 4, Phys. Rev. Lett. 46, 1230—1234.

1285-1288.Merlin, R., C. Colvard, M. V. Klein, H. Morko?, A. Y. Cho, Ц97

cited electron spin resonance in InSb," Phys. Rev. В 4, Phys. Rev. Lett. 46, 1230—1234.

1285-1288.Merlin, R., C. Colvard, M. V. Klein, H. Morko?, A. Y. Cho, Ц97

1179

1179

1180

1180

1181

1181

1182

1182

McNutt, М. J., and С. T. Sah, 1978, “Experimental MOS C-V Ц83

McNutt, М. J., and С. T. Sah, 1978, “Experimental MOS C-V Ц83

1184

1184

1185

1185

1186

1186

1187

1187

1188

1188

1189

1189

1190

1190

1191

1191

1192

1192

1193

1193

1194’

1194’

1195

1195

1161 Many, A., 1. Wagner, A. Rosenthal, J. I. Gersten, and Y. Goldstein, 1981, “Plasmas on quantized accumulation layers on ZnO surfaces,” Phys. Rev. Lett. 46, 1648 — 1651.

1162 Marchand, A., and N. Lumbroso, 1960, “Magnetic susceptibility of a two-dimensional electron gas with an energy proportional to k*,” in Proceedings of the Fourth Conference on Carbon, (Pergamon, Oxford), pp. 189— 195.

1163 Margalit, S., A. Neugroachel, and A. Bar-Lev, 1972, “Redistribution of boron and phosphorous in silicon after two oxidation steps used in MOST fabrication,” IEEE Trans. Electron Devices ED-19, 861-868.

1164 Margoninsky, Y., and D. Eger, 1979, “The influence of ion bombardment and annealing on the conductivity of the polar ZnO (OOOT) surface,” Surf. Sci. 80, 579-5 8 5.

1165 Markiewicz, R. S., and L. A. Harris, 1981, ‘‘Two-dimensional resistivity of ultrathin metal films,” Phys. Rev. Lett. 46, 1149-1153.

1166 Martin, B. G., and R. F. Wallis, 1976, “Theory of bound states associated with n-type inversion layers on silicon (001) surfaces," in Proceedings of the 13th International Conference on the Physics of Semiconductors, Rome, edited by F. G. Fumi (North-Holland, Amsterdam), pp. 792 — 795.

1167 Martin, B. G., and R. F. Wallis, 1978, “Theory of bound states associated with n-type inversion layers on silicon,” Phys. Rev. В 18, 5644-5648.

1168 Martin, R. M., 1969, “Dielectric screening model for Lattice vibrations of diamond-structure crystals,” Phys. Rev. 186, 871-884.

1169 .Marty, D., J. Poitrenaud, and F. 1. B. Williams, 1980, “Observation of liquid-to-crystal transition in a two-dimensional electronic system,” J. Phys. (Paris) Lett. 41, L311 —L314.

1170 Maschke, К., H. Overhof, and P. Thomas, 1974, "On variable range hopping near the Fermi energy. Two-dimensional systems," Phys. Status Solidi В 62, 113 — 122.

1171 Maserjian, J., 1974, “Tunneling in thm MOS structures,” J. Vac. Sci. Technol. 11, 996- 1003.

1172 Matheson, T. G., and F. J. Higgins, 1980, “Magnetic break-

down in the tipped Si ‘superlattice’,’’ in Proceedings of the 15th International Conference on the Physics of Semiconductors Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 49, Suppl. A, 967 — 970].

Matheson, T. G., and R. J, Higgins, 1982, “Tunneling in tilted Si inversion layers,” Phys. Rev. В 25, 2633 — 2644.

Matsumoto, Y., and Y. Uemura, 1974, “Scattering mechanism and low temperature mobility of MOS inversion layers,” in Proceedings of the Second International Conference on Solid Surfaces, Kyoto [Jpn. J. Appl. Phys. Suppl. 2, Pt. 2, 367-370].

McCombe, B. D., and T. Cole, 1980, “Intersubband spectroscopy of inversion layers in the principal surfaces of silicon: Many-body and ‘impurity’ effects,” Surf. Sci. 98, 469—480.

McCombe, B. D., R. T. Holm, and D. E. Schafer, 1979, “Frequency domain studies of intersubband optical transitions in Si inversion layers,” Solid State Commun. 32, 603 — 608.

McNutt, M. 3., and С. T. Sah, 1974a, “High frequency space charge layer capacitance of strongly inverted semiconductor surfaces,” Solid-State Electron. 17, 377—385.

McNutt, M. J., and С. T. Sah, 1974b, “Effects of spatially inhomogeneous oxide charge distribution on the MOS capacitance-voltage characteristics,” J. Appl. Phys. 45, 3916-3921.

McNutt, M. 3., and С. T. Sah, 1975, “Experimental observations of the effects of oxide charge inhomogeneity on fast surface state density from high-frequency MOS capacitancevoltage characteristics,” Appl. Phys. Lett. 26, 378 — 380.

McNutt, M. J., and С. T. Sah, 1976, “Exact capacitance of a lossless MOS capacitor,” Solid-State Electron. 19, 255 — 257.

data in strong inversion," IEEE Trans. Electron Devices ED- 25, 847-848.

McSkimin, H. J., 1953, “Measurement of elastic constants at low temperatures by means of ultrasonic waves — Data for silicon and germanium single crystals, and for fused silica,” J. Appl. Phys. 24, 988-997.

McTague, J. P., M. Nielsen, and L. Passell, 1980, “Structure and phase transitions in physisorbed monolayers,” in Ordering in Strongly Fluctuating Condensed Matter Systems, edited by T. Riste (Plenum, New York), pp. 195 — 220.

Mehrotra, R., and A. J. Dahm, 1979, “Linewidths of resonances in a two-dimensional Wigner lattice on a liquid-helium surface,” Phys. Rev. Lett. 43, 467—470.

Meiners, L. G., D. L. Lile, and D. A. Collins, 1979, “Inversion layers on InP,” J. Vac. Sci. Technol. 16, 1458 — 1461.

Meissner, G., 1970, “Crystallization instabilities in highly anharmonic crystals,” Phys. Rev. В 1, 1822 — 1830.

Meissner, G., 1976, “Magnetic field dependence of vibrational excitations in a two-dimensional triangular Wigner crystal,” Z Phys. В 23, 173-176.

Meissner, G., 1978, “Collective excitations and electrodynamic behavior of electrons in a three-layer structure,” Surf. Sci. 73, 411-418.

Meissner, G., and A. Flammang, 1976, “Dynamical instability of two-dimensional honeycomb Wigner crystal,” Phys. Lett. A 57, 277-278.

Meissner, G., H. Namaizawa, and M. Voss, 1976, “Stability and image-potential-induced screening of electron vibrational excitations in a three-layer structure,” Phys. Rev. В 13, 1370-1376.

Mele, E. J., and J. J. Ritsko, 1980, “Dielectric response and intraband plasmon dispersion in stage-1 FeCl.t intercalated graphite,” Solid State Commuri. 33, 937 — 940.

Mel’nikov, V. I., and S. V. Meshkov, 1981, “Instability of a charged surface of liquid helium,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 33, 222-226 [JETP Lett. 33, 211-214 (1981)].

Mendez, E. E., C.-A. Chang, L. L. Chang, L. Esaki, and F. H. Pollak, 1980, “Electroreflectance study of semiconductor su-

GaAs/n-AlxGa[_xAs heterojunctions/' Jpn. J. Appl. Phys. 19, L225-L227.Mimura, T., K. Joshin, S. Hiyamizu, K. Hikosaka, and M. Abe, 1981, “High electron mobility transistor logic,” Jpn. J. Appl. Phys. 20, L598-L6OO.Missman, R., and P. Handler, 1959, “Hall mobility of a cleaned germanium surface,” J. Phys. Chern. Solids 8, 109-111.Miyazaki, T., 1. Yoshida, Y. Katayama, and N. Kotera, 1971, “Surface electron mobility of silicon with various gate insulator structures,” in Proceedings of the 2nd Conference on Solid State Devices, Tokyo, 1970 [J. Japan Soc Appl. Phys. 40 Suppl., 199 - 204].Mochan, L., and R. G. Barrera, 1981, “Optical properties of qyasi.two-dimensional systems: Nonlocal effects,” Phys. Rev. В 23, 5707-5718.GaAs/n-AlxGa[_xAs heterojunctions/' Jpn. J. Appl. Phys. 19, L225-L227.Mimura, T., K. Joshin, S. Hiyamizu, K. Hikosaka, and M. Abe, 1981, “High electron mobility transistor logic,” Jpn. J. Appl. Phys. 20, L598-L6OO.Missman, R., and P. Handler, 1959, “Hall mobility of a cleaned germanium surface,” J. Phys. Chern. Solids 8, 109-111.Miyazaki, T., 1. Yoshida, Y. Katayama, and N. Kotera, 1971, “Surface electron mobility of silicon with various gate insulator structures,” in Proceedings of the 2nd Conference on Solid State Devices, Tokyo, 1970 [J. Japan Soc Appl. Phys. 40 Suppl., 199 - 204].Mochan, L., and R. G. Barrera, 1981, “Optical properties of qyasi.two-dimensional systems: Nonlocal effects,” Phys. Rev. В 23, 5707-5718.12161216121712171199119912001200120112011202120212031203Mikeska, Н. J., and H. Schmidt, 1975, "Cyclotron resonance of Mon, К. K„ K. Hess, and J. D. Dow, 1981, "Deformation po-Mikeska, Н. J., and H. Schmidt, 1975, "Cyclotron resonance of Mon, К. K„ K. Hess, and J. D. Dow, 1981, "Deformation po-121812181219121912201220tentials of superlattices and interfaces," J. Vac. Sci. Technol. 19, 564-566.Monarkha, Yu. P., 1978, “Influence of shortwave surface excitations of liquid helium on damping effects in a two- dimensional electron gas," Fiz. Nizk. Temp. 4, 1093-1104 [Sov. J. Low Temp. Phys. 4,515-520(1978)].Monarkha, Yu. P., 1979a, “Conductivity of a two-dimensional Wigner crystal of surface electrons in helium in a rapidly alternating electrical field," Fiz. Nizk. Temp. 5, 950-952 [Sov.tentials of superlattices and interfaces," J. Vac. Sci. Technol. 19, 564-566.Monarkha, Yu. P., 1978, “Influence of shortwave surface excitations of liquid helium on damping effects in a two- dimensional electron gas," Fiz. Nizk. Temp. 4, 1093-1104 [Sov. J. Low Temp. Phys. 4,515-520(1978)].Monarkha, Yu. P., 1979a, “Conductivity of a two-dimensional Wigner crystal of surface electrons in helium in a rapidly alternating electrical field," Fiz. Nizk. Temp. 5, 950-952 [Sov.12041204120512051206120612071207121112111213121312141214120812081209120912101210121212121215121512 2Г12 2Г12221222J. Low Temp. Phys. 5, 451 —452 (1979)].Monarkha, Yu. P., 1979b, “The possibility of studying the 1223J. Low Temp. Phys. 5, 451 —452 (1979)].Monarkha, Yu. P., 1979b, “The possibility of studying the 1223new field-effect transistor with selectively doped 605 — 609 (1979)].new field-effect transistor with selectively doped 605 — 609 (1979)].spectrum of short-wave surface excitations of liquid helium using nonlinear current-voltage characteristics of the two- dimensional electron gas," Fiz. Nizk. Temp. 5 , 994—1004 [Sov. J. Low Temp. Phys. 5, 470 - 474 (1979)].Monarkha, Yu. P., 1980a, “On the theory of electron-ripplon resonances in a two-dimensional Wigner crystal on a liquid- helium surface," Fiz. Nizk. Temp. 6, 685 — 697 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 331 — 337 (1980)].Monarkha, Yu. P., 1980b, “Dynamic properties of a two- dimensional electronic crystal on a helium surface in a strong magnetic field," Fiz. Nizk. Temp. 6, 852 — 857 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 413-415 (1980)].Monarkha, Yu. P., 1980c, "Coupling of the phonons of a two- dimensional Wigner crystal with the second surface sound in helium and surface waves of a solid substrate," Fiz. Nizk. Temp. 6, 949 — 952 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 462 — 463 (1980)].Monarkha, Yu. P., 1980d, “Influence of a magnetic field on the stability of the charged surface of a liquid dielectric,” Fiz. Nizk. Temp. 6, 1352— 1355 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 660 - 661 (1980)].Monarkha, Yu. P„ and V. B. Shikin, 1975, "Theory of a two- dimensional Wigner crystal of surface electrons in helium,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 68, 1423-1433 [Sov. Phys. — JETP 41, 710-714 (1975)].Monarkha, Yu. P., and V. B. Shikin, 1980, “Cyclotron resonance for electrons in surface states on liquid helium,” Surf. Sci. 98, 41-60.Monarkha, Yu. P., and S. S. Sokolov, 1979, “A theory of current instabilities of a charged liquid helium surface," Fiz. Nizk. Temp. 5, 1283—1291 (Sov. J. Low Temp. Phys. 5,spectrum of short-wave surface excitations of liquid helium using nonlinear current-voltage characteristics of the two- dimensional electron gas," Fiz. Nizk. Temp. 5 , 994—1004 [Sov. J. Low Temp. Phys. 5, 470 - 474 (1979)].Monarkha, Yu. P., 1980a, “On the theory of electron-ripplon resonances in a two-dimensional Wigner crystal on a liquid- helium surface," Fiz. Nizk. Temp. 6, 685 — 697 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 331 — 337 (1980)].Monarkha, Yu. P., 1980b, “Dynamic properties of a two- dimensional electronic crystal on a helium surface in a strong magnetic field," Fiz. Nizk. Temp. 6, 852 — 857 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 413-415 (1980)].Monarkha, Yu. P., 1980c, "Coupling of the phonons of a two- dimensional Wigner crystal with the second surface sound in helium and surface waves of a solid substrate," Fiz. Nizk. Temp. 6, 949 — 952 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 462 — 463 (1980)].Monarkha, Yu. P., 1980d, “Influence of a magnetic field on the stability of the charged surface of a liquid dielectric,” Fiz. Nizk. Temp. 6, 1352— 1355 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 660 - 661 (1980)].Monarkha, Yu. P„ and V. B. Shikin, 1975, "Theory of a two- dimensional Wigner crystal of surface electrons in helium,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 68, 1423-1433 [Sov. Phys. — JETP 41, 710-714 (1975)].Monarkha, Yu. P., and V. B. Shikin, 1980, “Cyclotron resonance for electrons in surface states on liquid helium,” Surf. Sci. 98, 41-60.Monarkha, Yu. P., and S. S. Sokolov, 1979, “A theory of current instabilities of a charged liquid helium surface," Fiz. Nizk. Temp. 5, 1283—1291 (Sov. J. Low Temp. Phys. 5,1224'1224'122512251226'1226'1227'1227'122812281229122912301230

GaAs/n-AlxGa[_xAs heterojunctions/' Jpn. J. Appl. Phys. 19, L225-L227.

Mimura, T., K. Joshin, S. Hiyamizu, K. Hikosaka, and M. Abe, 1981, “High electron mobility transistor logic,” Jpn. J. Appl. Phys. 20, L598-L6OO.

Missman, R., and P. Handler, 1959, “Hall mobility of a cleaned germanium surface,” J. Phys. Chern. Solids 8, 109-111.

Miyazaki, T., 1. Yoshida, Y. Katayama, and N. Kotera, 1971, “Surface electron mobility of silicon with various gate insulator structures,” in Proceedings of the 2nd Conference on Solid State Devices, Tokyo, 1970 [J. Japan Soc Appl. Phys. 40 Suppl., 199 - 204].

Mochan, L., and R. G. Barrera, 1981, “Optical properties of qyasi.two-dimensional systems: Nonlocal effects,” Phys. Rev. В 23, 5707-5718.

GaAs/n-AlxGa[_xAs heterojunctions/' Jpn. J. Appl. Phys. 19, L225-L227.

Mimura, T., K. Joshin, S. Hiyamizu, K. Hikosaka, and M. Abe, 1981, “High electron mobility transistor logic,” Jpn. J. Appl. Phys. 20, L598-L6OO.

Missman, R., and P. Handler, 1959, “Hall mobility of a cleaned germanium surface,” J. Phys. Chern. Solids 8, 109-111.

Miyazaki, T., 1. Yoshida, Y. Katayama, and N. Kotera, 1971, “Surface electron mobility of silicon with various gate insulator structures,” in Proceedings of the 2nd Conference on Solid State Devices, Tokyo, 1970 [J. Japan Soc Appl. Phys. 40 Suppl., 199 - 204].

Mochan, L., and R. G. Barrera, 1981, “Optical properties of qyasi.two-dimensional systems: Nonlocal effects,” Phys. Rev. В 23, 5707-5718.

1216

1216

1217

1217

1199

1199

1200

1200

1201

1201

1202

1202

1203

1203

Mikeska, Н. J., and H. Schmidt, 1975, "Cyclotron resonance of Mon, К. K„ K. Hess, and J. D. Dow, 1981, "Deformation po-

Mikeska, Н. J., and H. Schmidt, 1975, "Cyclotron resonance of Mon, К. K„ K. Hess, and J. D. Dow, 1981, "Deformation po-

1218

1218

1219

1219

1220

1220

tentials of superlattices and interfaces," J. Vac. Sci. Technol. 19, 564-566.

Monarkha, Yu. P., 1978, “Influence of shortwave surface excitations of liquid helium on damping effects in a two- dimensional electron gas," Fiz. Nizk. Temp. 4, 1093-1104 [Sov. J. Low Temp. Phys. 4,515-520(1978)].

Monarkha, Yu. P., 1979a, “Conductivity of a two-dimensional Wigner crystal of surface electrons in helium in a rapidly alternating electrical field," Fiz. Nizk. Temp. 5, 950-952 [Sov.

tentials of superlattices and interfaces," J. Vac. Sci. Technol. 19, 564-566.

Monarkha, Yu. P., 1978, “Influence of shortwave surface excitations of liquid helium on damping effects in a two- dimensional electron gas," Fiz. Nizk. Temp. 4, 1093-1104 [Sov. J. Low Temp. Phys. 4,515-520(1978)].

Monarkha, Yu. P., 1979a, “Conductivity of a two-dimensional Wigner crystal of surface electrons in helium in a rapidly alternating electrical field," Fiz. Nizk. Temp. 5, 950-952 [Sov.

1204

1204

1205

1205

1206

1206

1207

1207

1211

1211

1213

1213

1214

1214

1208

1208

1209

1209

1210

1210

1212

1212

1215

1215

12 2Г

12 2Г

1222

1222

J. Low Temp. Phys. 5, 451 —452 (1979)].

Monarkha, Yu. P., 1979b, “The possibility of studying the 1223

J. Low Temp. Phys. 5, 451 —452 (1979)].

Monarkha, Yu. P., 1979b, “The possibility of studying the 1223

new field-effect transistor with selectively doped 605 — 609 (1979)].

new field-effect transistor with selectively doped 605 — 609 (1979)].

spectrum of short-wave surface excitations of liquid helium using nonlinear current-voltage characteristics of the two- dimensional electron gas," Fiz. Nizk. Temp. 5 , 994—1004 [Sov. J. Low Temp. Phys. 5, 470 - 474 (1979)].

Monarkha, Yu. P., 1980a, “On the theory of electron-ripplon resonances in a two-dimensional Wigner crystal on a liquid- helium surface," Fiz. Nizk. Temp. 6, 685 — 697 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 331 — 337 (1980)].

Monarkha, Yu. P., 1980b, “Dynamic properties of a two- dimensional electronic crystal on a helium surface in a strong magnetic field," Fiz. Nizk. Temp. 6, 852 — 857 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 413-415 (1980)].

Monarkha, Yu. P., 1980c, "Coupling of the phonons of a two- dimensional Wigner crystal with the second surface sound in helium and surface waves of a solid substrate," Fiz. Nizk. Temp. 6, 949 — 952 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 462 — 463 (1980)].

Monarkha, Yu. P., 1980d, “Influence of a magnetic field on the stability of the charged surface of a liquid dielectric,” Fiz. Nizk. Temp. 6, 1352— 1355 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 660 - 661 (1980)].

Monarkha, Yu. P„ and V. B. Shikin, 1975, "Theory of a two- dimensional Wigner crystal of surface electrons in helium,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 68, 1423-1433 [Sov. Phys. — JETP 41, 710-714 (1975)].

Monarkha, Yu. P., and V. B. Shikin, 1980, “Cyclotron resonance for electrons in surface states on liquid helium,” Surf. Sci. 98, 41-60.

Monarkha, Yu. P., and S. S. Sokolov, 1979, “A theory of current instabilities of a charged liquid helium surface," Fiz. Nizk. Temp. 5, 1283—1291 (Sov. J. Low Temp. Phys. 5,

spectrum of short-wave surface excitations of liquid helium using nonlinear current-voltage characteristics of the two- dimensional electron gas," Fiz. Nizk. Temp. 5 , 994—1004 [Sov. J. Low Temp. Phys. 5, 470 - 474 (1979)].

Monarkha, Yu. P., 1980a, “On the theory of electron-ripplon resonances in a two-dimensional Wigner crystal on a liquid- helium surface," Fiz. Nizk. Temp. 6, 685 — 697 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 331 — 337 (1980)].

Monarkha, Yu. P., 1980b, “Dynamic properties of a two- dimensional electronic crystal on a helium surface in a strong magnetic field," Fiz. Nizk. Temp. 6, 852 — 857 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 413-415 (1980)].

Monarkha, Yu. P., 1980c, "Coupling of the phonons of a two- dimensional Wigner crystal with the second surface sound in helium and surface waves of a solid substrate," Fiz. Nizk. Temp. 6, 949 — 952 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 462 — 463 (1980)].

Monarkha, Yu. P., 1980d, “Influence of a magnetic field on the stability of the charged surface of a liquid dielectric,” Fiz. Nizk. Temp. 6, 1352— 1355 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 660 - 661 (1980)].

Monarkha, Yu. P„ and V. B. Shikin, 1975, "Theory of a two- dimensional Wigner crystal of surface electrons in helium,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 68, 1423-1433 [Sov. Phys. — JETP 41, 710-714 (1975)].

Monarkha, Yu. P., and V. B. Shikin, 1980, “Cyclotron resonance for electrons in surface states on liquid helium,” Surf. Sci. 98, 41-60.

Monarkha, Yu. P., and S. S. Sokolov, 1979, “A theory of current instabilities of a charged liquid helium surface," Fiz. Nizk. Temp. 5, 1283—1291 (Sov. J. Low Temp. Phys. 5,

1224'

1224'

1225

1225

1226'

1226'

1227'

1227'

1228

1228

1229

1229

1230

1230

and A. C. Gossard, 1980a, “Raman scattering in superlattices: Anisotropy of polar phonons," Appl. Phys. Lett. 36, 43-45.

1198 Merlin, R., C. Colvard, M. V. Klein, H. Morko^, A. C. Gos- sard, and A. Y. Cho, 1980b, “Phonon folding and anisotropy in GaAs-AlAs superlattices,” in Proceedings of the 15th International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto * [J. Phys. Soo. Japan 49, Suppl. A, 1021 -1023].

Mermin, N. D„ 1968, “Crystalline order in two dimensions," Phys. Rev. 176, 250 - 254; Phys. Rev. В 20, 4762(E) (1979).

Mertsching, J., and H. J. Fischbeck, 1970, “Surface scattering of electrons in magnetic surface states,” Phys. Status Solid) 41,45-56.

Merz, J. L., A. S. Barker, Jr., and A. C. Gossard, 1977, “Raman scattering and zone-folding effects for alternating mono- layers of GaAs-AlAs,” Appl. Phys. Lett. 31, 117—119.

electrons in localized surface states,” Z. Phys. В 20, 43—48.

Millea, M. F., and A. H. Silver, 1978, “Influence of the free surface on the electrical behavior of metal contacts to p- InAs," J. Vac. Sci. Technol. 15, 1362- 1369.

Miller, A., and E. Abrahams, 1960, “Impurity conduction at low concentrations,” Phys. Rev. 120, 745 — 755.

Miller, R. C., R. Dingle, A. C. Gossard, R. A. Logan, W. A. Nordland, Jr., and W. Wiegmann, 1976, “Laser oscillation with optically pumped very thin GaAs-AlxGat_xAs multilayer structures and conventional double heterostructures,” J. Appl. Phys. 47, 4509-4517.

Miller, R. C., D. A. Kleinman, and A. C. Gossard, 1979, “Electron spin orientation in optically pumped GaAs- AlxGaj_xAs multilayer structures,” in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1043-1046.

Miller, R. C., D. A. Kleinman, O. Munteanu, and W. T. Tsang, 1981a, “New transitions in the photoluminescence of GaAs quantum wells,” Appl. Phys. Lett. 39, 1 — 3.

Miller, R. C., D. A. Kleinman, W. A. Nordland, Jr., and A. C. Gossard, 1981b, “Luminescence studies of optically pumped quantum wells in GaAs-AlxGaj_xAs multilayer structures,” Phys. Rev. В 22, 863-871.

Miller, R. C., D. A. Kleinman, W. T. Tsang, and A. C. Gossard, 1981c, “Observation of the excited level of excitons in GaAs quantum wells,” Phys. Rev. В 24, 1134—1136.

Miller, R. C., and W. T. Tsang, 1981, “Al-Ga disorder in AlxGa[_xAs alloys grown by molecular beam epitaxy,” Appl. Phys. Lett. 39, 334-335.

Miller, R. C., W. T. Tsang, and W. A. Nordland, Jr., 1980, “Spin-dependent recombination in GaAs,” Phys. Rev. В 21, 1569-1575.

Miller, R. С., C. Weisbuch, and A. C. Gossard, 1981, “Alloy clustering in AlxGat_xAs,” Phys. Rev. Lett. 46, 1042 (Comment).

Mima, K„ and H. Ikezi, 1978, “Propagation of nonlinear waves on an electron-charged surface of liquid helium,” Phys. Rev. В 17, 3567-3575.

Mimura, T., and M. Fukuta, 1980, “Status of the GaAs metal-oxide-semiconductor technology,” IEEE Trans. Electron Devices ED-27, 1147-1155.

Mimura, T., S. Hiyamizu, T. Fujii, and K. Nanbu, 1980,

123412341235123512361236123712371238123812391239124012401241124112421242124312431244124412451245layer electrons by oxide polar mode generated interface pho- Mott, N. F., M. Pepper. S. Pollitt, R. H. Wallis, and C. J. Ad-layer electrons by oxide polar mode generated interface pho- Mott, N. F., M. Pepper. S. Pollitt, R. H. Wallis, and C. J. Ad-Device Lett. EDL —2,Device Lett. EDL —2,to the metallic state,” Phi-to the metallic state,” Phi-properties of liquid mercu-properties of liquid mercu-Francis, London).Mott, N. F., 1974b, ‘‘Conduction in non-crystalline systems X. Mobility and percolation edges,” Philos. Mag. 29, 613 — 639.Mott, N. F., 1975, “Coulomb gap and low-temperature conductivity of disordered systems,” J. Phys. C 8, L239 — L240.Mott, N. F., 1976a, “The metal-insulator transition in an impurity band,” J. Phys. (Paris) 37, Colloques, C4-301 — C4-3O6.Francis, London).Mott, N. F., 1974b, ‘‘Conduction in non-crystalline systems X. Mobility and percolation edges,” Philos. Mag. 29, 613 — 639.Mott, N. F., 1975, “Coulomb gap and low-temperature conductivity of disordered systems,” J. Phys. C 8, L239 — L240.Mott, N. F., 1976a, “The metal-insulator transition in an impurity band,” J. Phys. (Paris) 37, Colloques, C4-301 — C4-3O6.125012501251125112521252Mott, N. F., 1976b, “Some properties of the mobility edge in disordered systems,” Commun. Phys. 1, 203 — 206.Mott, N. F., 1978, “Some comments and suggestions on the Hall effect in non-crystalline systems,” Philos. Mag. В 38, 549-553.Mott, N. F., and E. A. Davis, 1979, Electronic Processes in Non-Crystalline Materials, 2nd ed. (Clarendon, Oxford).Mott, N. F., and M. Kaveh. 1981, “The conductivity of disordered systems and the scaling theory,” J. Phys. C 14, L659-L664.Mott, N. F., 1976b, “Some properties of the mobility edge in disordered systems,” Commun. Phys. 1, 203 — 206.Mott, N. F., 1978, “Some comments and suggestions on the Hall effect in non-crystalline systems,” Philos. Mag. В 38, 549-553.Mott, N. F., and E. A. Davis, 1979, Electronic Processes in Non-Crystalline Materials, 2nd ed. (Clarendon, Oxford).Mott, N. F., and M. Kaveh. 1981, “The conductivity of disordered systems and the scaling theory,” J. Phys. C 14, L659-L664.1253125312541254125512551256125612571257125812581259125912601260126112611262126212631263126412641265126512661266126712671268126812691269127012701271127112721272

1234

1234

1235

1235

1236

1236

1237

1237

1238

1238

1239

1239

1240

1240

1241

1241

1242

1242

1243

1243

1244

1244

1245

1245

layer electrons by oxide polar mode generated interface pho- Mott, N. F., M. Pepper. S. Pollitt, R. H. Wallis, and C. J. Ad-

layer electrons by oxide polar mode generated interface pho- Mott, N. F., M. Pepper. S. Pollitt, R. H. Wallis, and C. J. Ad-

Device Lett. EDL —2,

Device Lett. EDL —2,

to the metallic state,” Phi-

to the metallic state,” Phi-

properties of liquid mercu-

properties of liquid mercu-

Francis, London).

Mott, N. F., 1974b, ‘‘Conduction in non-crystalline systems X. Mobility and percolation edges,” Philos. Mag. 29, 613 — 639.

Mott, N. F., 1975, “Coulomb gap and low-temperature conductivity of disordered systems,” J. Phys. C 8, L239 — L240.

Mott, N. F., 1976a, “The metal-insulator transition in an impurity band,” J. Phys. (Paris) 37, Colloques, C4-301 — C4-3O6.

Francis, London).

Mott, N. F., 1974b, ‘‘Conduction in non-crystalline systems X. Mobility and percolation edges,” Philos. Mag. 29, 613 — 639.

Mott, N. F., 1975, “Coulomb gap and low-temperature conductivity of disordered systems,” J. Phys. C 8, L239 — L240.

Mott, N. F., 1976a, “The metal-insulator transition in an impurity band,” J. Phys. (Paris) 37, Colloques, C4-301 — C4-3O6.

1250

1250

1251

1251

1252

1252

Mott, N. F., 1976b, “Some properties of the mobility edge in disordered systems,” Commun. Phys. 1, 203 — 206.

Mott, N. F., 1978, “Some comments and suggestions on the Hall effect in non-crystalline systems,” Philos. Mag. В 38, 549-553.

Mott, N. F., and E. A. Davis, 1979, Electronic Processes in Non-Crystalline Materials, 2nd ed. (Clarendon, Oxford).

Mott, N. F., and M. Kaveh. 1981, “The conductivity of disordered systems and the scaling theory,” J. Phys. C 14, L659-L664.

Mott, N. F., 1976b, “Some properties of the mobility edge in disordered systems,” Commun. Phys. 1, 203 — 206.

Mott, N. F., 1978, “Some comments and suggestions on the Hall effect in non-crystalline systems,” Philos. Mag. В 38, 549-553.

Mott, N. F., and E. A. Davis, 1979, Electronic Processes in Non-Crystalline Materials, 2nd ed. (Clarendon, Oxford).

Mott, N. F., and M. Kaveh. 1981, “The conductivity of disordered systems and the scaling theory,” J. Phys. C 14, L659-L664.

1253

1253

1254

1254

1255

1255

1256

1256

1257

1257

1258

1258

1259

1259

1260

1260

1261

1261

1262

1262

1263

1263

1264

1264

1265

1265

1266

1266

1267

1267

1268

1268

1269

1269

1270

1270

1271

1271

1272

1272

1231 Monarkha, Yu. P., S. S. Sokolov, and V. B. Shikin, 1981, “Effective mass of surface electrons in helium under nonequilibrium conditions," Solid State Commun. 38, 611 — 614.

1232 Moore, B. T„ and D. K. Ferry, 1980a, “Hall measurements on trap states in n-channel Si MOSFETs at 77 K,” Solid State Commun. 33, 509 — 511.

1233 Moore, В. T., and D. K. Ferry, 1980b, "Remote polar phonon

scattering in Si inversion layers,” J. Appl. Phys. 51, 2603-2605.

Moore, В. T., and D. K. Ferry, 1980c, “Scattering of inversion

irons,” J. Vac. Sci. Technol. 17, 1037 — 1040.

Moore, J. S., and P. Das, 1979, “The transient response of hot electrons in quasi-two-dimensional semiconductors,” J. Appl. Phys. 50, 8082 - 8086.

Moormann, H., D. Kohl, and G. Hetland, 1980, “Variations of work functions and surface conductivity on clean cleaved zinc oxide surfaces by annealing and by hydrogen adsorption,” Surf. Sci. 100, 302-314.

Mooser, E. (managing editor), 1976-, Physics and Chemistry of Materials with Layered Structures (Reidel, Dordrecht) (see also Lee, 1976; Levy, 1976).

More, R. M., 1975, “Surface roughness scattering of electrons in semiconductors and semimetals,”- J. Phys. C 8, 3810-3816.

Morf, R. H., 1979, “Temperature dependence of the shear modulus and melting of the two-dimensional electron solid,” Phys. Rev. Lett. 43, 931-935.

Mori, S., and T. Ando, 1979, “Intersubband scattering effect on the mobility of a Si (100) inversion layer at low temperatures,” Phys. Rev. В 19, 6433 — 6441.

Mori, S., and T. Ando, 1980a, “Electronic properties of a heavily-doped n-type GaAs-Ga1_JAlxAs superlattice,” Surf. Sci. 98, 101-107.

Mori, S., and T. Ando, 1980b, “Electronic properties of a semiconductor superlattice 11. Low temperature mobility perpendicular to the superlattice,” J. Phys. Soc. Japan 48, 865-873.

Morkoy, H., 1981, “Current transport in modulation doped (Al,Ga)As/GaAs heterostructures. Applications to high

speed FETs,” IEEE Electron 260-262.

Mott, N. F., 1961, “The transition los. Mag. 6,287-309.

Mott, N. F., 1966, ‘The electrical ry,” Philos. Mag. 13, 989-1014.

1246**Mott, N. F., 1967, “Electrons in disordered structures,” Adv. Phys. 16, 49-144.

1247 Mott, N. F., 1968, “Conduction in glasses containing transition metal ions,” J. Non-cryst. Solids 1, 1 — 17.

1248 Mott, N. F., 1973, “Conduction in amorphous materials,” Electronics & Power 19, 321 —324.

124^*’Mott, N. F., 1974a, Metal-Insulator Transitions (Taylor and

kins, 1975, “The Anderson transition,” Proc. R. Soc. London Ser. A 345, 169-205.

Mott, N. F., and W. D. Twose, 1961, “The theory of impurity conduction,” Adv. Phys. 10, 107- 163.

Mukherji, D., and B. R. Nag, 1975, “Miniband parameters of semiconductor superlattices,” Solid-State Electron. 18 1107-1109.

Mukherji, D., and B. R. Nag, 1980, “Transverse electron effective mass in a semiconductor superlattice,” Phys. Rev. В 21, 5857-5859.

Muller, W., and 1. Eisele, 1980, “Velocity saturation in short channel field effect transistors,” Solid State Commun. 34, 447 - 449.

Muis, P. A., G. J. Declerck, and R. J. Van Overstraeten, 1978, “Characteristics of the MOSFET operating in weak inversion,” in Advances in Electronics and Electron Physics, edited by L. MartonJAcademic, New York), Vol. 47, pp. 197 — 266.

Murayama, Y., Y. Kamigaki, and E. Yamada, 1972, “Differential negative resistance (DNR) in n-channel MOSFETs of silicon," in Proceedings of the 3rd Conference on Solid State Devices, Tokyo, 1971 [J. Japan Soc. Appl. Phys. 41 Suppl., 133-140].

Murphy, N. St. J., 1964, “Surface mobility of holes in thermally oxidized silicon measured by the field effect and the Hall effect,” Surf. Sci. 2,86-92.

Murphy, N. St. J., F. Berz, and 1. Flinn, 1969, “Carrier mobility in silicon MOST's,” Solid-State Electron. 12, 775 — 786.

Nagai. T., and A. Onuki, 1978, “Melting of the two- dimensional electron solid,” J. Phys. C 11, L681 —L684.

Nagano, S., S. Ichimaru, and N. Itoh, 1980, “Correlational properties of two-dimensional electron systems in the surface states on liquid helium,” Surf. Sci. 98, 22 — 29.

Nagano, S., S. Ichimaru, H. Totsuji, and N. Itoh, 1979, “Lifetime of surface-state electrons on liquid helium: Relation with the chemical potential of the electron liquid,” Phys. Rev. В 19, 2449-2456.

Nakamura, K., 1976, “Hot electrons in Si inversion layer,” Surf. Sci. 58, 48-55.

Nakamura, К., H. Ezawa, and K. Watanabe, 1980a, “Manybody effects in the Si metal-oxide-semiconductor inversion layer: Subband structure," Phys. Rev. В 22 189 2— 1904.

Nakamura, К., K. Watanabe, and H. Ezawa, 1978, “Manybody effects in the subband structure of Si-MOS inversion layer,” Surf Sci. 73, 258—265.

Nakamura, К., K. Watanabe, and H. Ezawa, 1980b, “Manybody effects and the electron mobility in Si inversion layers at room temperature,” Surf. Sci. 98, 202 — 209.

Nakao, K., 1979, “Electronic band structure of superlattices in magnetic fields," J. Phys. Soc. Japan 46, 1669— 1670.

1274 Nakayama, М., 1974а, “Theory of surface waves coupled to Nash, J. G„ and J. W. Holm-Kennedy, 1974, “Determination1274 Nakayama, М., 1974а, “Theory of surface waves coupled to Nash, J. G„ and J. W. Holm-Kennedy, 1974, “Determinationof intervalley electron-phonon deformation potential constants in n-silicon by analysis of high electric field transport properties," Appl. Phys. Lett. 25, 507 — 509.Nedorezov, S. S., 1966, “Oscillations of the electronic thermodynamic characteristics of a metal film at high pressures,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 51, 1575-1586 [Sov. Phys. — JETP 24, 1061 — 1067(1967)].Nedorezov, S. S., 1970, “Space quantization in semiconductor films,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 12, 2269 — 2276 [Sov. Phys. — Solid State 12, 1814-1819 (1970)].Nee, T. W., J. F. Koch, and R. E. Prange, 1968, “Surface quantum states and impedance oscillations in a weak magnetic field — Numerical aspects,” Phys. Rev. 174, 758 — 766.Nelson, A. R., 1974, “Anisotropic relaxation time in quantized (110) silicon inversion layers,” J. Appl. Phys. 45, 2935 — 2937.Nelson, A. R., and E. Brown, 1974, “Conduction in quantized silicon inversion layers with many occupied subbands,” Phys. Rev. В 9, 1664-1668.Nelson, D. R., 1978, “Study of melting in two dimensions,” Phys. Rev. В IB, 2318-2338.Nelson, D. R., and В. I. Halperin, 1979, “Dislocation-mediated melting in two dimensions/’ Phys. Rev. В 19, 2457 — 2484.Neppl, F-, J. P. Kotthaus, J. F. Koch, and Y. Shiraki, 1977, “Intersubband spectroscopy by photoconductivity and absorption in inversion layers on p-Si(lOO)," Phys. Rev. В 16, 1519-1524.Neppl, F., J. P. Kotthaus, and J. F. Koch, 1979, “Mechanism of intersubband resonant photoresponse,” Phys. Rev. В 19, 5240-5 250.Nerou, J. P., A. Filion, and P.-E. Girard, 1976, “Low temperature surface conductivity of GaSb,” J. Phys. C 9, 479 — 489.Neugebauer, T., K. von Klitzing, G. Landwehr, and G. Dorda, 1975, “Surface quantum oscillations in (110) and (111) n-type silicon inversion layers," Solid State Commun. 17, 295 — 300.Neugebauer, T., K. von Klitzing, G. Landwehr, and G. Dorda, 1976, “Quantum oscillations in (110) and (111) n-channel MOSFETs,” Surf. Sci. 58, 261-262.Neugebauer, T., and G. Landwehr, 1980, “Determination of the phonon modes involved in the carrier-phonon interaction in silicon inversion layers at low temperatures by nonohmic transport measurements,” Phys. Rev. В 21, 702 - 708.Neugebauer, T., G. Landwehr, and K. Hess, 1978, “Negative differential resistance in (100) n-channel silicon inversion layers," Solid-State Electron. 21, 143 — 146; Surf. Sci. 73, 163— 165 (extended abstract).Neumark, G. F., 1968, “New model for interface chargecarrier mobility: The role of misfit dislocations,” Phys. Rev. Lett. 21, 1252-1256.Neumark, G. F., 1969, “Misfit dislocations and interface mobility," in International Conference on Properties and use of M.I.S. Structures, Grenoble, edited by J. Borel (Centre d’Etudes Nucleaires, Grenoble), pp. 337 — 350.Neumark, G. F., 1970, “Theory of the influence of misfit dislocations on interfacial mobility and Hall effect," Phys. Rev. В I, 2613-2622.Ngai, K. L., and T. L. Reinecke, 1976, “Contributions to localization in the silicon inversion layer from states in the gap in SiO„" Phys. Rev. Lett. 37, 1418-1422.Ngai, K. L., and С. T. White, 1978, “Critical comparisons be-of intervalley electron-phonon deformation potential constants in n-silicon by analysis of high electric field transport properties," Appl. Phys. Lett. 25, 507 — 509.Nedorezov, S. S., 1966, “Oscillations of the electronic thermodynamic characteristics of a metal film at high pressures,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 51, 1575-1586 [Sov. Phys. — JETP 24, 1061 — 1067(1967)].Nedorezov, S. S., 1970, “Space quantization in semiconductor films,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 12, 2269 — 2276 [Sov. Phys. — Solid State 12, 1814-1819 (1970)].Nee, T. W., J. F. Koch, and R. E. Prange, 1968, “Surface quantum states and impedance oscillations in a weak magnetic field — Numerical aspects,” Phys. Rev. 174, 758 — 766.Nelson, A. R., 1974, “Anisotropic relaxation time in quantized (110) silicon inversion layers,” J. Appl. Phys. 45, 2935 — 2937.Nelson, A. R., and E. Brown, 1974, “Conduction in quantized silicon inversion layers with many occupied subbands,” Phys. Rev. В 9, 1664-1668.Nelson, D. R., 1978, “Study of melting in two dimensions,” Phys. Rev. В IB, 2318-2338.Nelson, D. R., and В. I. Halperin, 1979, “Dislocation-mediated melting in two dimensions/’ Phys. Rev. В 19, 2457 — 2484.Neppl, F-, J. P. Kotthaus, J. F. Koch, and Y. Shiraki, 1977, “Intersubband spectroscopy by photoconductivity and absorption in inversion layers on p-Si(lOO)," Phys. Rev. В 16, 1519-1524.Neppl, F., J. P. Kotthaus, and J. F. Koch, 1979, “Mechanism of intersubband resonant photoresponse,” Phys. Rev. В 19, 5240-5 250.Nerou, J. P., A. Filion, and P.-E. Girard, 1976, “Low temperature surface conductivity of GaSb,” J. Phys. C 9, 479 — 489.Neugebauer, T., K. von Klitzing, G. Landwehr, and G. Dorda, 1975, “Surface quantum oscillations in (110) and (111) n-type silicon inversion layers," Solid State Commun. 17, 295 — 300.Neugebauer, T., K. von Klitzing, G. Landwehr, and G. Dorda, 1976, “Quantum oscillations in (110) and (111) n-channel MOSFETs,” Surf. Sci. 58, 261-262.Neugebauer, T., and G. Landwehr, 1980, “Determination of the phonon modes involved in the carrier-phonon interaction in silicon inversion layers at low temperatures by nonohmic transport measurements,” Phys. Rev. В 21, 702 - 708.Neugebauer, T., G. Landwehr, and K. Hess, 1978, “Negative differential resistance in (100) n-channel silicon inversion layers," Solid-State Electron. 21, 143 — 146; Surf. Sci. 73, 163— 165 (extended abstract).Neumark, G. F., 1968, “New model for interface chargecarrier mobility: The role of misfit dislocations,” Phys. Rev. Lett. 21, 1252-1256.Neumark, G. F., 1969, “Misfit dislocations and interface mobility," in International Conference on Properties and use of M.I.S. Structures, Grenoble, edited by J. Borel (Centre d’Etudes Nucleaires, Grenoble), pp. 337 — 350.Neumark, G. F., 1970, “Theory of the influence of misfit dislocations on interfacial mobility and Hall effect," Phys. Rev. В I, 2613-2622.Ngai, K. L., and T. L. Reinecke, 1976, “Contributions to localization in the silicon inversion layer from states in the gap in SiO„" Phys. Rev. Lett. 37, 1418-1422.Ngai, K. L., and С. T. White, 1978, “Critical comparisons be-12911292*1293*129412951296129712981299130013011302130313041305130613071308130912911292*1293*1294129512961297129812991300130113021303130413051306130713081309

1274 Nakayama, М., 1974а, “Theory of surface waves coupled to Nash, J. G„ and J. W. Holm-Kennedy, 1974, “Determination

1274 Nakayama, М., 1974а, “Theory of surface waves coupled to Nash, J. G„ and J. W. Holm-Kennedy, 1974, “Determination

of intervalley electron-phonon deformation potential constants in n-silicon by analysis of high electric field transport properties," Appl. Phys. Lett. 25, 507 — 509.

Nedorezov, S. S., 1966, “Oscillations of the electronic thermodynamic characteristics of a metal film at high pressures,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 51, 1575-1586 [Sov. Phys. — JETP 24, 1061 — 1067(1967)].

Nedorezov, S. S., 1970, “Space quantization in semiconductor films,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 12, 2269 — 2276 [Sov. Phys. — Solid State 12, 1814-1819 (1970)].

Nee, T. W., J. F. Koch, and R. E. Prange, 1968, “Surface quantum states and impedance oscillations in a weak magnetic field — Numerical aspects,” Phys. Rev. 174, 758 — 766.

Nelson, A. R., 1974, “Anisotropic relaxation time in quantized (110) silicon inversion layers,” J. Appl. Phys. 45, 2935 — 2937.

Nelson, A. R., and E. Brown, 1974, “Conduction in quantized silicon inversion layers with many occupied subbands,” Phys. Rev. В 9, 1664-1668.

Nelson, D. R., 1978, “Study of melting in two dimensions,” Phys. Rev. В IB, 2318-2338.

Nelson, D. R., and В. I. Halperin, 1979, “Dislocation-mediated melting in two dimensions/’ Phys. Rev. В 19, 2457 — 2484.

Neppl, F-, J. P. Kotthaus, J. F. Koch, and Y. Shiraki, 1977, “Intersubband spectroscopy by photoconductivity and absorption in inversion layers on p-Si(lOO)," Phys. Rev. В 16, 1519-1524.

Neppl, F., J. P. Kotthaus, and J. F. Koch, 1979, “Mechanism of intersubband resonant photoresponse,” Phys. Rev. В 19, 5240-5 250.

Nerou, J. P., A. Filion, and P.-E. Girard, 1976, “Low temperature surface conductivity of GaSb,” J. Phys. C 9, 479 — 489.

Neugebauer, T., K. von Klitzing, G. Landwehr, and G. Dorda, 1975, “Surface quantum oscillations in (110) and (111) n-type silicon inversion layers," Solid State Commun. 17, 295 — 300.

Neugebauer, T., K. von Klitzing, G. Landwehr, and G. Dorda, 1976, “Quantum oscillations in (110) and (111) n-channel MOSFETs,” Surf. Sci. 58, 261-262.

Neugebauer, T., and G. Landwehr, 1980, “Determination of the phonon modes involved in the carrier-phonon interaction in silicon inversion layers at low temperatures by nonohmic transport measurements,” Phys. Rev. В 21, 702 - 708.

Neugebauer, T., G. Landwehr, and K. Hess, 1978, “Negative differential resistance in (100) n-channel silicon inversion layers," Solid-State Electron. 21, 143 — 146; Surf. Sci. 73, 163— 165 (extended abstract).

Neumark, G. F., 1968, “New model for interface chargecarrier mobility: The role of misfit dislocations,” Phys. Rev. Lett. 21, 1252-1256.

Neumark, G. F., 1969, “Misfit dislocations and interface mobility," in International Conference on Properties and use of M.I.S. Structures, Grenoble, edited by J. Borel (Centre d’Etudes Nucleaires, Grenoble), pp. 337 — 350.

Neumark, G. F., 1970, “Theory of the influence of misfit dislocations on interfacial mobility and Hall effect," Phys. Rev. В I, 2613-2622.

Ngai, K. L., and T. L. Reinecke, 1976, “Contributions to localization in the silicon inversion layer from states in the gap in SiO„" Phys. Rev. Lett. 37, 1418-1422.

Ngai, K. L., and С. T. White, 1978, “Critical comparisons be-

of intervalley electron-phonon deformation potential constants in n-silicon by analysis of high electric field transport properties," Appl. Phys. Lett. 25, 507 — 509.

Nedorezov, S. S., 1966, “Oscillations of the electronic thermodynamic characteristics of a metal film at high pressures,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 51, 1575-1586 [Sov. Phys. — JETP 24, 1061 — 1067(1967)].

Nedorezov, S. S., 1970, “Space quantization in semiconductor films,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 12, 2269 — 2276 [Sov. Phys. — Solid State 12, 1814-1819 (1970)].

Nee, T. W., J. F. Koch, and R. E. Prange, 1968, “Surface quantum states and impedance oscillations in a weak magnetic field — Numerical aspects,” Phys. Rev. 174, 758 — 766.

Nelson, A. R., 1974, “Anisotropic relaxation time in quantized (110) silicon inversion layers,” J. Appl. Phys. 45, 2935 — 2937.

Nelson, A. R., and E. Brown, 1974, “Conduction in quantized silicon inversion layers with many occupied subbands,” Phys. Rev. В 9, 1664-1668.

Nelson, D. R., 1978, “Study of melting in two dimensions,” Phys. Rev. В IB, 2318-2338.

Nelson, D. R., and В. I. Halperin, 1979, “Dislocation-mediated melting in two dimensions/’ Phys. Rev. В 19, 2457 — 2484.

Neppl, F-, J. P. Kotthaus, J. F. Koch, and Y. Shiraki, 1977, “Intersubband spectroscopy by photoconductivity and absorption in inversion layers on p-Si(lOO)," Phys. Rev. В 16, 1519-1524.

Neppl, F., J. P. Kotthaus, and J. F. Koch, 1979, “Mechanism of intersubband resonant photoresponse,” Phys. Rev. В 19, 5240-5 250.

Nerou, J. P., A. Filion, and P.-E. Girard, 1976, “Low temperature surface conductivity of GaSb,” J. Phys. C 9, 479 — 489.

Neugebauer, T., K. von Klitzing, G. Landwehr, and G. Dorda, 1975, “Surface quantum oscillations in (110) and (111) n-type silicon inversion layers," Solid State Commun. 17, 295 — 300.

Neugebauer, T., K. von Klitzing, G. Landwehr, and G. Dorda, 1976, “Quantum oscillations in (110) and (111) n-channel MOSFETs,” Surf. Sci. 58, 261-262.

Neugebauer, T., and G. Landwehr, 1980, “Determination of the phonon modes involved in the carrier-phonon interaction in silicon inversion layers at low temperatures by nonohmic transport measurements,” Phys. Rev. В 21, 702 - 708.

Neugebauer, T., G. Landwehr, and K. Hess, 1978, “Negative differential resistance in (100) n-channel silicon inversion layers," Solid-State Electron. 21, 143 — 146; Surf. Sci. 73, 163— 165 (extended abstract).

Neumark, G. F., 1968, “New model for interface chargecarrier mobility: The role of misfit dislocations,” Phys. Rev. Lett. 21, 1252-1256.

Neumark, G. F., 1969, “Misfit dislocations and interface mobility," in International Conference on Properties and use of M.I.S. Structures, Grenoble, edited by J. Borel (Centre d’Etudes Nucleaires, Grenoble), pp. 337 — 350.

Neumark, G. F., 1970, “Theory of the influence of misfit dislocations on interfacial mobility and Hall effect," Phys. Rev. В I, 2613-2622.

Ngai, K. L., and T. L. Reinecke, 1976, “Contributions to localization in the silicon inversion layer from states in the gap in SiO„" Phys. Rev. Lett. 37, 1418-1422.

Ngai, K. L., and С. T. White, 1978, “Critical comparisons be-

1291

1292*

1293*

1294

1295

1296

1297

1298

1299

1300

1301

1302

1303

1304

1305

1306

1307

1308

1309

1291

1292*

1293*

1294

1295

1296

1297

1298

1299

1300

1301

1302

1303

1304

1305

1306

1307

1308

1309

surface carriers,” J. Phys. Soc. Japan 36, 393 — 398.

1275 Nakayama, M., 1974b, “Theory of magnetoplasma surface waves coupled to surface carriers,” in Proceedings of the Second International Conference on Solid Surfaces, Kyoto [Jpn. J. Appl. Phys., Suppl. 2, Pt. 2, 901-904].

1276 Nakayama, M., 1975, “Theory of electromagnetic response of solid surfaces,” J. Phys. Soc. Japan 39, 265 — 274.

1277 Nakayama, M„ 1977a, “On the strip transmission line spectroscopy of the inter-subband transition of MOS charge layer,” Solid State Commun. 21, 587—589.

1278 Nakayama, M., 1977b, “Electromagnetic response of surface states,” in Proceedings of the Seventh International Vacuum Congress and the Third International Conference on Solid Surfaces, Vienna, edited by R. Dobrozemsky, F. Riidenauer, F. P. Viehbock, and A. Breth (Berger, Horn, Austria), Vol. 1, pp. 395-398.

1279 Nakayama, M., 1978, “Optical spectrum of inter-subband transition in n-Si (111) MOS charge layer,” Surf. Sci. 73, 510-517.

1280 Nakayama, M., 1980, “Effect of the interface on electronic structure of n-Si MOS charge layer,” Surf. Sci. 98, 358 — 365.

1281 Nakayama, M., and L. J. Sham, 1978, “Surface-induced valley splitting in n-channel (001) silicon-MOS charge layer,” Solid State Commun. 28, 393 — 396.

1282 Namatzawa, H., 1980, “Self-consistent Debye-Waller factors of the electron solid on liquid helium,” Solid State Commun. 34, 607-610.

1283 Narayanamurti, V., H. L. Stormer, M. A. Chin, A. C. Gossard, and W. Wiegmann, 1979, “Selective transmission of high-frequency phonons by a superlattice: The ‘dielectric* phonon filter." Phys. Rev. Lett. 43, 2012 — 2016.

1284 Narita, K., and K. F. Komatsubara, 1974, “On the g factor for electrons in n-type silicon surface inversion layers,*' in Proceedings of the Second International Conference on Solid Surfaces, Kyoto [Jpn. J. Appl. Phys. Suppl. 2, Pt. 2, 347-350].

1285 Narita, K., S. Takaoka, and K. F. Komatsubara, 1973, “On the g-factor for electrons in n-type Si surface inversion layers,” Solid State Commun. 12, 1221 — 1224.

1286 Narita, K., and E. Yamada, 1974,- “Valley-orbit splitting of the states in surface inversion layers,*' in Proceedings of the 12th International Conference on the Physics of Semiconductors. Stuttgart, edited by M. H. Pilkuhn (Teubner, Stuttgart), pp. 719-723.

1287 Narita, S., and T. Kuroda, 1^77, “Far-infra-red cyclotron resonance in the inversion layer on />-Hg|_,Cd,Te,” ^Nucvo Cimento В 39, 834 — 839.

1288 Narita, S., T. Kuroda, and Y. Nisida, 1979, “Study of n- surface inversion layers of Hgt_xCd,Te alloys,” in Physics of Semiconductors. 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1235— 1238.

1289 Narita, S-, S. Takeyama, W. B. Luo, S. Hiyamizu, K. Nanbu, and H. Hashimoto, 1981a, “Galvanomagnetic study of 2- dimensional electron gas in Al,Ga) _xAs/GaAs heterojunction FET,” Jpn. J. Appl. Phys. 20, L443-L446.

1290 Narita, S., S. Takeyama, W. B. Luo, S. Hiyamizu, K. Nanbu, and H. Hashimoto, 1981b, “Magnetoconductance investigations of AlxGa[_,As/GaAs heterojunction FET in strong magnetic fields," Jpn. J. Appl. Phys. 20, L447 —L45O.

Nishina, Y., S. Tanuma, and H. W. Myron, eds., 1981, 1327 Proceedings of the Yamada Conference IV on Physics and Chemistry of Layered Materials, Sendai, 1980 [Physica 1O5B, 1-503].

Nitzan, M„ Y. Grinshpan, and Y. Goldstein, 1979, “Field- 1328 effect mobility in quantized accumulation layers on ZnO surfaces," Phys. Rev. В 19, 4107-4115.

Niu, H., and M. Takai, 1978, “Lateral photovoltaic effect in 1329 MOS structures,** Jpn. J. Appl. Phys. 17, 1873—1874.

Nkoma, J. S., 1981, "Effect of impurities on the two- 1330 dimensional electron gas polarisability,” J. Phys. C 14, 1685-1691.

Norton, P., T. Braggins, and H. Levinstein, 1973, “Impurity 1331 and lattice scattering parameters as determined from Hall and mobility analysis in n-type silicon,” Phys. Rev. В 8, 5632-5653.

Noti, G., 1972 “Normalization of wave functions in an MIS 1332 structure," Solid-State Electron. 15, 723 — 725.

Nougier, J. P., D. Sodini, M. Rolland, D. Gasquet, and G. 1333 Lecoy, 1978, “Noise of hot carriers in the channel of n silicon junction gate field effect transistors," Solid-State Electron. 21, 133-138.

Nozieres, P., and D. Pines, 1958, “Correlation energy of a free 1334 electron gas,” Phys. Rev. Ill, 442-454.

Oakley, R E., and M. Pepper, 1972, “The influence of dielec- 1335 trie charge on the hole field-effect mobility in silicon inversion layers," Phys. Lett. A 41, 87 — 88.

O’Connell, R. F.. 1977, “One-dimensional hydrogenic atom in 1336 an electric field with solid-state applications,” Phys. Lett. A 60,481-482.

O’Connell, R. F., 1978, “Rydberg states in strong electric and 1337 magnetic fields,” Phys. Rev. A 17, 1984—1987.

O’Connell, R. F., 1981, “Intersubband-cyclotron combined res- 1338 onance in a surface space-charge layer,” Physica 103B, 348 - 350.

O’Connell, R. F., and G. L. Wallace, 1981a, "Null Faraday 1339 rotation—A clean method for determination of relaxation times and effective masses in MIS and other systems,” Solid State Commun. 38, 429 — 432.

O’Connell, R. F., and G. L. Wallace, 1981b, “Faraday rotation 1340 in the Appel-Overhauser model for inversion-layer electrons in Si,” Phys. Rev. В 24, 2267-2269.

Ohkawa, F. J., 1976a, “Quasi-particle properties in surface 1341 quantized states of silicon,” Surf. Sci. 58, 326 — 332.

Ohkawa, F. J., 1976b, “The electronic structure of p-channel 1342 inversion layers of silicon (100) M.O.S.: Many-body effects on the subbands,” J. Phys. Soc. Japan 41, 122—129.

Ohkawa, F. J., 1978a, “Electric breakthrough in an inversion 1343 layer. Exactly solvable model,” Solid State Commun. 26, 69-71.

Ohkawa, F. J., 1978b, “Electric break through in л-channel Si 1344 inversion layer tilted from (100) surface,” J. Phys. Soc. Japan 45, 1427-1428.

Ohkawa, F. J., 1979a, “Multi-valley effective mass theory,” J. 1345 Phys. Soc. Japan 46, 736—743.

Ohkawa, F. J., 1979b, “Interference effects of Г and X 1346 electric-break-throughs in inversion layers of Si," J. Phys.

Soc. Japan 46, 85 5 — 860.

Ohkawa, F. J., 1980, “Electric break-throughs in vicinal planes 1347 of (001) Si inversion layers," Surf. Sci. 98, 350 — 3 5 7.

tween experiment end the predictions of the random pair attractive interaction model of carrier localization in Si inversion layers,” Surf. Sci. 73, 31—39.1311 Ngai, K. L., and С. T. White, 1981, “A model of interface states and charges at the Si-SiO2 interface: Its predictions and comparisons with experiments,” J. A ppi. Phys. 52, 320—337.1312 Nicholas, R. J., 1979, “Shubnikov-de Haas oscillations in n- channel silicon (100) MOSFETs in magnetic fields up to 35 T,” Solid State Commun. 31, 437 — 441.1313 Nicholas, R. J., E. Kress-Rogers, F. Kuchar, M. Pepper, J. C. Portal, and R. A. Stradling, 1980, “Electron transport in silicon inversion layers at high magnetic fields and the influence of substrate bias,** Surf. Sci. 98, 283 — 298.1314 Nicholas, R. J., and R. A. Stradling, 1976, “A time-dependent anomalous threshold in silicon MOS devices fabricated on high-resistivity subtrates," J. Phys. D 9, L109 —L113.1315 Nicholas, R. J., R. A. Stradling, S. Askenazy, P. Perrier, and J. C. Portal, 1978, “The analysis of thermal activation of two-dimensional Shubnikov —de Haas conductivity minima and maxima,” Surf. Sci. 73, 106 — 115.1316 Nicholas, R. J-, R. A. Stradling, ami R. J. Tidey, 1977, “Evi- dence for Anderson localisation in Landau level tails from the analysis of two-dimensional Shubnikov —de Haas conductivity minima,” Solid State Commun. 23, 341—345.1317 Nicholas, R. J„ K. von Klitzing, and Th. Englert, 1980, “An investigation of the valley-splitting in n-channe) silicon ( 100) inversion layers,” Solid State Commun. 34, 51 — 55.1318 Nicholas, R. J., K. von Klitzing, and R. A. Stradling, 1976, “An observation by photoconductivity of strain splitting of shallow bulk donors located near to the surface in silicon MOS devices,” Solid State Commun. 20, 77—80.1319 Nicollian, E. H., and J. R. Brews, 1982, MOS Physics and Technology (Wiley, New York).1320 Niederer, H. H. J. M., 1974, “Magneto oscillatory conductance in л-type inverted silicon surfaces,** in Proceedings of the Secdhd International Conference on Solid Surfaces, Kyoto [Jpn. J. Appl. Phys. Suppl. 2, Pt. 2, 339 — 342].1321 Niederer, H. H., J. M., A. P. M. Matthey, and M. J. Sparnaay, 1981a, “Temperature dependent metallic conductance above the motility edge of a silicon inversion layer,” J. Phys. C 14, 4167-4175.1322 Niederer, H. H. J. M., A. P. M. Matthey, and M. J. Sparnaay, 1981b, ‘Thermally activated conductance of a silicon inversion layer by electrons excited above the mobility edge,’* J. Phys. C 14,4177-4184.1323 Nimtz, G., B. Schlicht, E. Tyssen, R. Dornhaus, and L. D. Haas, 1979, “A magneto-transport anomaly in semiconductors at low carrier densities, a Wigner condensation?** Solid State Commun. 32, 669 — 671.1324 Ning, T. H., and С. T. Sah, 1972, “Theory of scattering of electrons in a nondegenerate-semiconductor-surface inversion layer by surface-oxide charges,” Phys. Rev. В 6, 4605 — 4613.1325 Ning, T. H., and С. T. Sah, 1974, “Effects of imhomogeneities of surface-oxide charges on the electron energy levels in a semiconductor surface-inversion layer,” Phys. Rev. В 9, 527-535.1326 Nishi, Y., and H. Hara, 1978, “Physics and device technology of silicon on sapphire," in Proceedings of the 9th Conference on Solid State Deoices, Tokyo, 1977 [Jpn. J. Appl. Phys. 17, Suppl. 17-1, 27-35].tween experiment end the predictions of the random pair attractive interaction model of carrier localization in Si inversion layers,” Surf. Sci. 73, 31—39.1311 Ngai, K. L., and С. T. White, 1981, “A model of interface states and charges at the Si-SiO2 interface: Its predictions and comparisons with experiments,” J. A ppi. Phys. 52, 320—337.1312 Nicholas, R. J., 1979, “Shubnikov-de Haas oscillations in n- channel silicon (100) MOSFETs in magnetic fields up to 35 T,” Solid State Commun. 31, 437 — 441.1313 Nicholas, R. J., E. Kress-Rogers, F. Kuchar, M. Pepper, J. C. Portal, and R. A. Stradling, 1980, “Electron transport in silicon inversion layers at high magnetic fields and the influence of substrate bias,** Surf. Sci. 98, 283 — 298.1314 Nicholas, R. J., and R. A. Stradling, 1976, “A time-dependent anomalous threshold in silicon MOS devices fabricated on high-resistivity subtrates," J. Phys. D 9, L109 —L113.1315 Nicholas, R. J., R. A. Stradling, S. Askenazy, P. Perrier, and J. C. Portal, 1978, “The analysis of thermal activation of two-dimensional Shubnikov —de Haas conductivity minima and maxima,” Surf. Sci. 73, 106 — 115.1316 Nicholas, R. J-, R. A. Stradling, ami R. J. Tidey, 1977, “Evi- dence for Anderson localisation in Landau level tails from the analysis of two-dimensional Shubnikov —de Haas conductivity minima,” Solid State Commun. 23, 341—345.1317 Nicholas, R. J„ K. von Klitzing, and Th. Englert, 1980, “An investigation of the valley-splitting in n-channe) silicon ( 100) inversion layers,” Solid State Commun. 34, 51 — 55.1318 Nicholas, R. J., K. von Klitzing, and R. A. Stradling, 1976, “An observation by photoconductivity of strain splitting of shallow bulk donors located near to the surface in silicon MOS devices,” Solid State Commun. 20, 77—80.1319 Nicollian, E. H., and J. R. Brews, 1982, MOS Physics and Technology (Wiley, New York).1320 Niederer, H. H. J. M., 1974, “Magneto oscillatory conductance in л-type inverted silicon surfaces,** in Proceedings of the Secdhd International Conference on Solid Surfaces, Kyoto [Jpn. J. Appl. Phys. Suppl. 2, Pt. 2, 339 — 342].1321 Niederer, H. H., J. M., A. P. M. Matthey, and M. J. Sparnaay, 1981a, “Temperature dependent metallic conductance above the motility edge of a silicon inversion layer,” J. Phys. C 14, 4167-4175.1322 Niederer, H. H. J. M., A. P. M. Matthey, and M. J. Sparnaay, 1981b, ‘Thermally activated conductance of a silicon inversion layer by electrons excited above the mobility edge,’* J. Phys. C 14,4177-4184.1323 Nimtz, G., B. Schlicht, E. Tyssen, R. Dornhaus, and L. D. Haas, 1979, “A magneto-transport anomaly in semiconductors at low carrier densities, a Wigner condensation?** Solid State Commun. 32, 669 — 671.1324 Ning, T. H., and С. T. Sah, 1972, “Theory of scattering of electrons in a nondegenerate-semiconductor-surface inversion layer by surface-oxide charges,” Phys. Rev. В 6, 4605 — 4613.1325 Ning, T. H., and С. T. Sah, 1974, “Effects of imhomogeneities of surface-oxide charges on the electron energy levels in a semiconductor surface-inversion layer,” Phys. Rev. В 9, 527-535.1326 Nishi, Y., and H. Hara, 1978, “Physics and device technology of silicon on sapphire," in Proceedings of the 9th Conference on Solid State Deoices, Tokyo, 1977 [Jpn. J. Appl. Phys. 17, Suppl. 17-1, 27-35].Ohkawa. F. J., and Y. Uemura, 1974a, “Quantized surface 1348

tween experiment end the predictions of the random pair attractive interaction model of carrier localization in Si inversion layers,” Surf. Sci. 73, 31—39.

1311 Ngai, K. L., and С. T. White, 1981, “A model of interface states and charges at the Si-SiO2 interface: Its predictions and comparisons with experiments,” J. A ppi. Phys. 52, 320—337.

1312 Nicholas, R. J., 1979, “Shubnikov-de Haas oscillations in n- channel silicon (100) MOSFETs in magnetic fields up to 35 T,” Solid State Commun. 31, 437 — 441.

1313 Nicholas, R. J., E. Kress-Rogers, F. Kuchar, M. Pepper, J. C. Portal, and R. A. Stradling, 1980, “Electron transport in silicon inversion layers at high magnetic fields and the influence of substrate bias,** Surf. Sci. 98, 283 — 298.

1314 Nicholas, R. J., and R. A. Stradling, 1976, “A time-dependent anomalous threshold in silicon MOS devices fabricated on high-resistivity subtrates," J. Phys. D 9, L109 —L113.

1315 Nicholas, R. J., R. A. Stradling, S. Askenazy, P. Perrier, and J. C. Portal, 1978, “The analysis of thermal activation of two-dimensional Shubnikov —de Haas conductivity minima and maxima,” Surf. Sci. 73, 106 — 115.

1316 Nicholas, R. J-, R. A. Stradling, ami R. J. Tidey, 1977, “Evi- dence for Anderson localisation in Landau level tails from the analysis of two-dimensional Shubnikov —de Haas conductivity minima,” Solid State Commun. 23, 341—345.

1317 Nicholas, R. J„ K. von Klitzing, and Th. Englert, 1980, “An investigation of the valley-splitting in n-channe) silicon ( 100) inversion layers,” Solid State Commun. 34, 51 — 55.

1318 Nicholas, R. J., K. von Klitzing, and R. A. Stradling, 1976, “An observation by photoconductivity of strain splitting of shallow bulk donors located near to the surface in silicon MOS devices,” Solid State Commun. 20, 77—80.

1319 Nicollian, E. H., and J. R. Brews, 1982, MOS Physics and Technology (Wiley, New York).

1320 Niederer, H. H. J. M., 1974, “Magneto oscillatory conductance in л-type inverted silicon surfaces,** in Proceedings of the Secdhd International Conference on Solid Surfaces, Kyoto [Jpn. J. Appl. Phys. Suppl. 2, Pt. 2, 339 — 342].

1321 Niederer, H. H., J. M., A. P. M. Matthey, and M. J. Sparnaay, 1981a, “Temperature dependent metallic conductance above the motility edge of a silicon inversion layer,” J. Phys. C 14, 4167-4175.

1322 Niederer, H. H. J. M., A. P. M. Matthey, and M. J. Sparnaay, 1981b, ‘Thermally activated conductance of a silicon inversion layer by electrons excited above the mobility edge,’* J. Phys. C 14,4177-4184.

1323 Nimtz, G., B. Schlicht, E. Tyssen, R. Dornhaus, and L. D. Haas, 1979, “A magneto-transport anomaly in semiconductors at low carrier densities, a Wigner condensation?** Solid State Commun. 32, 669 — 671.

1324 Ning, T. H., and С. T. Sah, 1972, “Theory of scattering of electrons in a nondegenerate-semiconductor-surface inversion layer by surface-oxide charges,” Phys. Rev. В 6, 4605 — 4613.

1325 Ning, T. H., and С. T. Sah, 1974, “Effects of imhomogeneities of surface-oxide charges on the electron energy levels in a semiconductor surface-inversion layer,” Phys. Rev. В 9, 527-535.

1326 Nishi, Y., and H. Hara, 1978, “Physics and device technology of silicon on sapphire," in Proceedings of the 9th Conference on Solid State Deoices, Tokyo, 1977 [Jpn. J. Appl. Phys. 17, Suppl. 17-1, 27-35].

tween experiment end the predictions of the random pair attractive interaction model of carrier localization in Si inversion layers,” Surf. Sci. 73, 31—39.

1311 Ngai, K. L., and С. T. White, 1981, “A model of interface states and charges at the Si-SiO2 interface: Its predictions and comparisons with experiments,” J. A ppi. Phys. 52, 320—337.

1312 Nicholas, R. J., 1979, “Shubnikov-de Haas oscillations in n- channel silicon (100) MOSFETs in magnetic fields up to 35 T,” Solid State Commun. 31, 437 — 441.

1313 Nicholas, R. J., E. Kress-Rogers, F. Kuchar, M. Pepper, J. C. Portal, and R. A. Stradling, 1980, “Electron transport in silicon inversion layers at high magnetic fields and the influence of substrate bias,** Surf. Sci. 98, 283 — 298.

1314 Nicholas, R. J., and R. A. Stradling, 1976, “A time-dependent anomalous threshold in silicon MOS devices fabricated on high-resistivity subtrates," J. Phys. D 9, L109 —L113.

1315 Nicholas, R. J., R. A. Stradling, S. Askenazy, P. Perrier, and J. C. Portal, 1978, “The analysis of thermal activation of two-dimensional Shubnikov —de Haas conductivity minima and maxima,” Surf. Sci. 73, 106 — 115.

1316 Nicholas, R. J-, R. A. Stradling, ami R. J. Tidey, 1977, “Evi- dence for Anderson localisation in Landau level tails from the analysis of two-dimensional Shubnikov —de Haas conductivity minima,” Solid State Commun. 23, 341—345.

1317 Nicholas, R. J„ K. von Klitzing, and Th. Englert, 1980, “An investigation of the valley-splitting in n-channe) silicon ( 100) inversion layers,” Solid State Commun. 34, 51 — 55.

1318 Nicholas, R. J., K. von Klitzing, and R. A. Stradling, 1976, “An observation by photoconductivity of strain splitting of shallow bulk donors located near to the surface in silicon MOS devices,” Solid State Commun. 20, 77—80.

1319 Nicollian, E. H., and J. R. Brews, 1982, MOS Physics and Technology (Wiley, New York).

1320 Niederer, H. H. J. M., 1974, “Magneto oscillatory conductance in л-type inverted silicon surfaces,** in Proceedings of the Secdhd International Conference on Solid Surfaces, Kyoto [Jpn. J. Appl. Phys. Suppl. 2, Pt. 2, 339 — 342].

1321 Niederer, H. H., J. M., A. P. M. Matthey, and M. J. Sparnaay, 1981a, “Temperature dependent metallic conductance above the motility edge of a silicon inversion layer,” J. Phys. C 14, 4167-4175.

1322 Niederer, H. H. J. M., A. P. M. Matthey, and M. J. Sparnaay, 1981b, ‘Thermally activated conductance of a silicon inversion layer by electrons excited above the mobility edge,’* J. Phys. C 14,4177-4184.

1323 Nimtz, G., B. Schlicht, E. Tyssen, R. Dornhaus, and L. D. Haas, 1979, “A magneto-transport anomaly in semiconductors at low carrier densities, a Wigner condensation?** Solid State Commun. 32, 669 — 671.

1324 Ning, T. H., and С. T. Sah, 1972, “Theory of scattering of electrons in a nondegenerate-semiconductor-surface inversion layer by surface-oxide charges,” Phys. Rev. В 6, 4605 — 4613.

1325 Ning, T. H., and С. T. Sah, 1974, “Effects of imhomogeneities of surface-oxide charges on the electron energy levels in a semiconductor surface-inversion layer,” Phys. Rev. В 9, 527-535.

1326 Nishi, Y., and H. Hara, 1978, “Physics and device technology of silicon on sapphire," in Proceedings of the 9th Conference on Solid State Deoices, Tokyo, 1977 [Jpn. J. Appl. Phys. 17, Suppl. 17-1, 27-35].

states of a narrow gap semiconductor," in Proceedings of the Second International Conference on Solid Surfaces, Kyoto [Jpn. J. Appl. Phys. Suppl. 2, Pt. 2, 355-3581-

1349 Ohkawa, F. J., and Y. Uemura, 1974b, “Quantized surface states of a narrow-gap semiconductor,” J. Phys. Soc. Japan 37, 1325-1333.

1350 Ohkawa, F. J,, and Y. Uemura, 1975, “Hartree approximation for the electronic structure of a ^-channel inversion layer of silicon M.O.S.," Prog. Theor. Phys. Suppl. 57, 164—175.

1351 Ohkawa, F. J., and Y. Uemura, 1976, “Valley splitting in an n-channel (100) inversion layer on p-type silicon," Surf. Sci. 58, 2 54-260.

1352 Ohkawa, F. J., and Y. Uemura, 1977a, “Theory of valley splitting in an n-channel (100) inversion layer of Si. I. Formulation by extended zone effective mass theory," J. Phys. Soc. Japan 43, 907-916.

1353 Ohkawa, F. J., and Y. Uemura, 1977b, “Theory of valley splitting in an n-channel (100) inversion layer of Si. IL Electric break through,” J. Phys. Soc. Japan 43, 917 — 924.

1354 Ohkawa, F. J., and Y. Uemura, 1977c, “Theory of valley splitting in an n-channel (100) inversion layer of Si. Ш. Enhancement of splittings by many-body effects," J. Phys. Soc. Japan 43, 925-932.

1355 Ohmura, Y., 1979, “Galvanomagnetic effect for holes and the valence band in (001) silicon on sapphire," J. Phys. Soc. Japan 47, 145-152.

1356 Ohta, K., 1971a. “Broadening of Landau levels in two- dimensional electron gas: Its effect on surface capacitance,” Jpn. J. Appl. Phys. 10, 85O--863.

1357 Ohta, K., 1971b, “Broadening of Landau levels in two- dimensional electron gas. II. Transverse magnetoconductance,** J. Phys. Soc. Japan 31, 1627—1638.

1358 Ohwada, A., H. Maeda, and K. Tanaka, 1969, “Effect of the crystal orientation upon electron motility at the Si-SiO2 interface," Jpn. J. Appl. Phys. 8, 629 — 630.

1359 Okamoto, H., K. Muro, S. Narita, and S. Kawaji, 1980, "Far- infrared investigation of high index surfaces on silicon,” Surf. Sci. 98, 505-512.

1360*Orshan«skii, B. Z., and A. V. Rzhanov, 1980, “One-dimensional periodic structure on high-index silicon surfaces,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 32, 337-340 [JETP Lett. 32, 313-315 (1980)].

1361 Onga, S., K. Hatanaka, S. Kawaji, Y. Nishi, and Y. Yasuda, 1978, “Effect of residual stress on hole motility of SOS MOS devices,” Jpn. J. Appl. Phys. 17, 1587—1592.

1362 Onga, S., K. Hatanaka, S. Kawaji, and Y. Yasuda, 1977, “Influence of crystalline defects and residual stress on the electrical characteristics of SOS MOS devices," Jpn. J. Appl. Phys. 17, 413-422.

1363 Onga, S., W. H. Ko, K. Hatanaka, and S. Kawaji, 1980, "Electrical characteristics of depletion-type SOS MOS devices," Jpn. J. Appl. Phys. 19, 1675 — 1682.

1364 Onga, S., T. Yoshii, K. Hatanaka, and Y. Yasuda, 1976, “Effect of cystaDine defects on electrical properties in silicon films on sapphire," in Proceedings of the 7th Conference on Solid State Devices, Tokyo, 1975 [Jpn. J. Appl. Phys. 15, Suppl. 15-1, 225-231].

semiconductors,” Z. Phys. В 34, 11 — 15.Ono, Y„ D. Yoshioka, and H. Fukuyama, 1981, "Magne- 1366 toresistance of two-dimensional Anderson localized system in self-consistent treatment/* J. Phys. Soc. Japan 50, 2143-2144.Onuki, A., 1977, “Collective modes of a two-dimensional elec- 1367 tron fluid,” J. Phys. Soc. Japan 43, 396 — 405.Oppermann, R., and F. Wegner, 1979, “Disordered systems 1368 with n orbitals per site: 1/n expansion," Z. Phys. В 34, 327-348.Orlov, L. K., and Yu. A. Romanov, 1976, “Two-photon ab- 1369 sorption in semiconductors with a superlattice," Fiz. Tekh. Poluprovodn. 10, 1052—1057 [Sov. Phys. — Semicond. 10, 625-628(1976)].Orman, M., and N. J. M. Horing, 1974, “Inversion layer plas- 1370 ma waves in quantizing magnetic field,". Solid State Com- mun. 15, 1381- 1385.Orman, M., N. J. M. Horing, and M. L. Glasser, 1977, "Two 1371 dimensional magnetoplasma waves for adjoining media of different dielectric properties,” in Proceedings of the Seventh International Vacuum Congress and the Third International Conference on Solid Surfaces, Vienna, edited by R. Dobrozemsky, F. Rudenauer, F. P. Viehbock, and A. Breth (Berger, Horn, Austria), Vol. I, pp. 545 — 548.Osaka, Y., 1977, “Interface states induced by amorphous SiO2 1372 in MOS structures,” J. Phys. Soc. Japan 42, 533 — 541.Osaka, Y., 1980, “Effects of long range components of random 1373 potentials on conductivity in two dimensions,” Surf. Sci. 98, 244-249.Osbourn, G. C„ 1980, “Tunneling transmission coefficients for 1374 electrons through (100) GaAs-Ga^, AlxAs-GaAs heterostructures," J. Vac. Sci. Technol. 17, 1104—1107.Osbourn, G. C, 1981, “Electron transmission probabilities 1375 through GaAs/strained GaAsP/GaAs(100) heterostructures,” J. Vac. Sci. Technol. 19, 592-595.Osipov, E. B., 1978, “Changes in the electron spectrum of a 1376 semiconductor film in a quantizing magnetic field due to the interaction with optical phonons," Fiz. Tekh. Poluprovodn.12, 2060 - 2062 [Sov. Phys. — Semicond. 12, 1228 (1978)].Otto, A., 1967, “Theory of plasmon excitation in thin films by 1377 electrons of non-normal incidence," Phys. Status Solidi 22, 401-406.Ovadyahu, Z., and Y Imry, 1981, “Magnetoconductive effects 1378 in an effectively two-dimensional system. Weak Anderson localization,” Phys. Rev. В 24, 7439 — 7442.Overhauser, A. W., 1962, “Spin density waves in an electron 1379 gas," Phys. Rev. 128, 1437—1452.Overhauser, A. W., 1971, "Simplified theory of electron cone- 1380 lations in metals," Phys. Rev. В 3, 1888 — 1898.Overhauser, A. W., 1978, “Effective-mass variation in silicon 1381 inversion layers,” Phys. Rev- В 18, 2884 — 2887.Ovsyuk, N. N., and M. P. Sinyukov, 1980, “Effect of quantiza- 1382 tion on electrical reflection spectra in the surface region of a semiconductor,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 32, 366-370 [JETP Lett. 32, 342-345 (1980)].Pals. J. A., 1972a, “A general solution of the quantization in a 1383 semiconductor surface inversion layer in the electric quantum limit,” Phys. Lett. A 39, 101 — 102.Pals, J. A., 1972b, ‘‘Experimental verification of the surface 1384semiconductors,” Z. Phys. В 34, 11 — 15.Ono, Y„ D. Yoshioka, and H. Fukuyama, 1981, "Magne- 1366 toresistance of two-dimensional Anderson localized system in self-consistent treatment/* J. Phys. Soc. Japan 50, 2143-2144.Onuki, A., 1977, “Collective modes of a two-dimensional elec- 1367 tron fluid,” J. Phys. Soc. Japan 43, 396 — 405.Oppermann, R., and F. Wegner, 1979, “Disordered systems 1368 with n orbitals per site: 1/n expansion," Z. Phys. В 34, 327-348.Orlov, L. K., and Yu. A. Romanov, 1976, “Two-photon ab- 1369 sorption in semiconductors with a superlattice," Fiz. Tekh. Poluprovodn. 10, 1052—1057 [Sov. Phys. — Semicond. 10, 625-628(1976)].Orman, M., and N. J. M. Horing, 1974, “Inversion layer plas- 1370 ma waves in quantizing magnetic field,". Solid State Com- mun. 15, 1381- 1385.Orman, M., N. J. M. Horing, and M. L. Glasser, 1977, "Two 1371 dimensional magnetoplasma waves for adjoining media of different dielectric properties,” in Proceedings of the Seventh International Vacuum Congress and the Third International Conference on Solid Surfaces, Vienna, edited by R. Dobrozemsky, F. Rudenauer, F. P. Viehbock, and A. Breth (Berger, Horn, Austria), Vol. I, pp. 545 — 548.Osaka, Y., 1977, “Interface states induced by amorphous SiO2 1372 in MOS structures,” J. Phys. Soc. Japan 42, 533 — 541.Osaka, Y., 1980, “Effects of long range components of random 1373 potentials on conductivity in two dimensions,” Surf. Sci. 98, 244-249.Osbourn, G. C„ 1980, “Tunneling transmission coefficients for 1374 electrons through (100) GaAs-Ga^, AlxAs-GaAs heterostructures," J. Vac. Sci. Technol. 17, 1104—1107.Osbourn, G. C, 1981, “Electron transmission probabilities 1375 through GaAs/strained GaAsP/GaAs(100) heterostructures,” J. Vac. Sci. Technol. 19, 592-595.Osipov, E. B., 1978, “Changes in the electron spectrum of a 1376 semiconductor film in a quantizing magnetic field due to the interaction with optical phonons," Fiz. Tekh. Poluprovodn.12, 2060 - 2062 [Sov. Phys. — Semicond. 12, 1228 (1978)].Otto, A., 1967, “Theory of plasmon excitation in thin films by 1377 electrons of non-normal incidence," Phys. Status Solidi 22, 401-406.Ovadyahu, Z., and Y Imry, 1981, “Magnetoconductive effects 1378 in an effectively two-dimensional system. Weak Anderson localization,” Phys. Rev. В 24, 7439 — 7442.Overhauser, A. W., 1962, “Spin density waves in an electron 1379 gas," Phys. Rev. 128, 1437—1452.Overhauser, A. W., 1971, "Simplified theory of electron cone- 1380 lations in metals," Phys. Rev. В 3, 1888 — 1898.Overhauser, A. W., 1978, “Effective-mass variation in silicon 1381 inversion layers,” Phys. Rev- В 18, 2884 — 2887.Ovsyuk, N. N., and M. P. Sinyukov, 1980, “Effect of quantiza- 1382 tion on electrical reflection spectra in the surface region of a semiconductor,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 32, 366-370 [JETP Lett. 32, 342-345 (1980)].Pals. J. A., 1972a, “A general solution of the quantization in a 1383 semiconductor surface inversion layer in the electric quantum limit,” Phys. Lett. A 39, 101 — 102.Pals, J. A., 1972b, ‘‘Experimental verification of the surface 13841365 Ono, Y., and U. Paulus, 1979, “Low-lying collective modes in the charge density wave state in n-type inversion layers of

semiconductors,” Z. Phys. В 34, 11 — 15.

Ono, Y„ D. Yoshioka, and H. Fukuyama, 1981, "Magne- 1366 toresistance of two-dimensional Anderson localized system in self-consistent treatment/* J. Phys. Soc. Japan 50, 2143-2144.

Onuki, A., 1977, “Collective modes of a two-dimensional elec- 1367 tron fluid,” J. Phys. Soc. Japan 43, 396 — 405.

Oppermann, R., and F. Wegner, 1979, “Disordered systems 1368 with n orbitals per site: 1/n expansion," Z. Phys. В 34, 327-348.

Orlov, L. K., and Yu. A. Romanov, 1976, “Two-photon ab- 1369 sorption in semiconductors with a superlattice," Fiz. Tekh. Poluprovodn. 10, 1052—1057 [Sov. Phys. — Semicond. 10, 625-628(1976)].

Orman, M., and N. J. M. Horing, 1974, “Inversion layer plas- 1370 ma waves in quantizing magnetic field,". Solid State Com- mun. 15, 1381- 1385.

Orman, M., N. J. M. Horing, and M. L. Glasser, 1977, "Two 1371 dimensional magnetoplasma waves for adjoining media of different dielectric properties,” in Proceedings of the Seventh International Vacuum Congress and the Third International Conference on Solid Surfaces, Vienna, edited by R. Dobrozemsky, F. Rudenauer, F. P. Viehbock, and A. Breth (Berger, Horn, Austria), Vol. I, pp. 545 — 548.

Osaka, Y., 1977, “Interface states induced by amorphous SiO2 1372 in MOS structures,” J. Phys. Soc. Japan 42, 533 — 541.

Osaka, Y., 1980, “Effects of long range components of random 1373 potentials on conductivity in two dimensions,” Surf. Sci. 98, 244-249.

Osbourn, G. C„ 1980, “Tunneling transmission coefficients for 1374 electrons through (100) GaAs-Ga^, AlxAs-GaAs heterostructures," J. Vac. Sci. Technol. 17, 1104—1107.

Osbourn, G. C, 1981, “Electron transmission probabilities 1375 through GaAs/strained GaAsP/GaAs(100) heterostructures,” J. Vac. Sci. Technol. 19, 592-595.

Osipov, E. B., 1978, “Changes in the electron spectrum of a 1376 semiconductor film in a quantizing magnetic field due to the interaction with optical phonons," Fiz. Tekh. Poluprovodn.

12, 2060 - 2062 [Sov. Phys. — Semicond. 12, 1228 (1978)].

Otto, A., 1967, “Theory of plasmon excitation in thin films by 1377 electrons of non-normal incidence," Phys. Status Solidi 22, 401-406.

Ovadyahu, Z., and Y Imry, 1981, “Magnetoconductive effects 1378 in an effectively two-dimensional system. Weak Anderson localization,” Phys. Rev. В 24, 7439 — 7442.

Overhauser, A. W., 1962, “Spin density waves in an electron 1379 gas," Phys. Rev. 128, 1437—1452.

Overhauser, A. W., 1971, "Simplified theory of electron cone- 1380 lations in metals," Phys. Rev. В 3, 1888 — 1898.

Overhauser, A. W., 1978, “Effective-mass variation in silicon 1381 inversion layers,” Phys. Rev- В 18, 2884 — 2887.

Ovsyuk, N. N., and M. P. Sinyukov, 1980, “Effect of quantiza- 1382 tion on electrical reflection spectra in the surface region of a semiconductor,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 32, 366-370 [JETP Lett. 32, 342-345 (1980)].

Pals. J. A., 1972a, “A general solution of the quantization in a 1383 semiconductor surface inversion layer in the electric quantum limit,” Phys. Lett. A 39, 101 — 102.

Pals, J. A., 1972b, ‘‘Experimental verification of the surface 1384

semiconductors,” Z. Phys. В 34, 11 — 15.

Ono, Y„ D. Yoshioka, and H. Fukuyama, 1981, "Magne- 1366 toresistance of two-dimensional Anderson localized system in self-consistent treatment/* J. Phys. Soc. Japan 50, 2143-2144.

Onuki, A., 1977, “Collective modes of a two-dimensional elec- 1367 tron fluid,” J. Phys. Soc. Japan 43, 396 — 405.

Oppermann, R., and F. Wegner, 1979, “Disordered systems 1368 with n orbitals per site: 1/n expansion," Z. Phys. В 34, 327-348.

Orlov, L. K., and Yu. A. Romanov, 1976, “Two-photon ab- 1369 sorption in semiconductors with a superlattice," Fiz. Tekh. Poluprovodn. 10, 1052—1057 [Sov. Phys. — Semicond. 10, 625-628(1976)].

Orman, M., and N. J. M. Horing, 1974, “Inversion layer plas- 1370 ma waves in quantizing magnetic field,". Solid State Com- mun. 15, 1381- 1385.

Orman, M., N. J. M. Horing, and M. L. Glasser, 1977, "Two 1371 dimensional magnetoplasma waves for adjoining media of different dielectric properties,” in Proceedings of the Seventh International Vacuum Congress and the Third International Conference on Solid Surfaces, Vienna, edited by R. Dobrozemsky, F. Rudenauer, F. P. Viehbock, and A. Breth (Berger, Horn, Austria), Vol. I, pp. 545 — 548.

Osaka, Y., 1977, “Interface states induced by amorphous SiO2 1372 in MOS structures,” J. Phys. Soc. Japan 42, 533 — 541.

Osaka, Y., 1980, “Effects of long range components of random 1373 potentials on conductivity in two dimensions,” Surf. Sci. 98, 244-249.

Osbourn, G. C„ 1980, “Tunneling transmission coefficients for 1374 electrons through (100) GaAs-Ga^, AlxAs-GaAs heterostructures," J. Vac. Sci. Technol. 17, 1104—1107.

Osbourn, G. C, 1981, “Electron transmission probabilities 1375 through GaAs/strained GaAsP/GaAs(100) heterostructures,” J. Vac. Sci. Technol. 19, 592-595.

Osipov, E. B., 1978, “Changes in the electron spectrum of a 1376 semiconductor film in a quantizing magnetic field due to the interaction with optical phonons," Fiz. Tekh. Poluprovodn.

12, 2060 - 2062 [Sov. Phys. — Semicond. 12, 1228 (1978)].

Otto, A., 1967, “Theory of plasmon excitation in thin films by 1377 electrons of non-normal incidence," Phys. Status Solidi 22, 401-406.

Ovadyahu, Z., and Y Imry, 1981, “Magnetoconductive effects 1378 in an effectively two-dimensional system. Weak Anderson localization,” Phys. Rev. В 24, 7439 — 7442.

Overhauser, A. W., 1962, “Spin density waves in an electron 1379 gas," Phys. Rev. 128, 1437—1452.

Overhauser, A. W., 1971, "Simplified theory of electron cone- 1380 lations in metals," Phys. Rev. В 3, 1888 — 1898.

Overhauser, A. W., 1978, “Effective-mass variation in silicon 1381 inversion layers,” Phys. Rev- В 18, 2884 — 2887.

Ovsyuk, N. N., and M. P. Sinyukov, 1980, “Effect of quantiza- 1382 tion on electrical reflection spectra in the surface region of a semiconductor,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 32, 366-370 [JETP Lett. 32, 342-345 (1980)].

Pals. J. A., 1972a, “A general solution of the quantization in a 1383 semiconductor surface inversion layer in the electric quantum limit,” Phys. Lett. A 39, 101 — 102.

Pals, J. A., 1972b, ‘‘Experimental verification of the surface 1384

quantization of an n-type inversion layer of silicon at 300 and 77 K,” Phys. Rev. В 5, 4208-4210.

1385 Pals, J. A., 1972c, “Quantization effects in semiconductor in- verston and accumulation layers/' Philips Research Reports Suppl. 7, pp. 1 —84.

1386 Pals, J. A., 1973, "Measurements of the surface quantization in silicon n- and p-type inversion layers at temperatures above 25 K,” Phys. Rev. В 7, 754-760.

1387 Pals, J. A., and W. J. J. A. van Heck, 1973, “Peaked structure in field-effect mobility of silicon MOS transistors at very low temperatures/* Appl. Phys. Lett. 23, 550—552.

1388 Pandey, К. C., and J. C. Phillips, 1976, “Atomic densities of states near Si (111) surfaces,” Phys. Rev. В 13, 750—760.

1389 Pantelides, S. T., 1977, “Recent advances in the theory of electronic structure of SiO2,” Comments Solid State Phys. 8, 55-60.

1390 Pantelides, S. T., 1978a, “The electronic structure of impurities and other point defects in semiconductors,” Rev. Mod. Phys. 50, 797-858.

1391 Pantelides, S. T., ed., 1978b, The Physics ofSiO} and its Interfaces (Pergamon, New York). •

1392 Pantelides, S. T., 1979, “Multiband and multivalley effectivemass theory for impurities in semiconductors," Solid State Commun. 30, 65 — 70.

1393 Pantelides, S. T., and M. Long, 1978, "Continuous-randomnetwork models for the Si-SiO2 interface,” in Hie Physics of SiO2 and its Interfaces, edited by S. T. Pantelides (Pergamon, New York), pp. 339-343.

1394 Park, H. S., A. van der Ziel, R. J. J. Zijlstra, and S. T. Liu, 1981, “Discrimination between two noise models in metal- oxide-semiconductor field-effect transistors," J. Appl. Phys. 52, 296-299.

1395 Parrinello, M., and N. H. March, 1976, “Thermodynamics of Wigner crystallization,” J. Phys. C 9, L147 — L150.

1396 Paulus, U., 1978, "Two-valley model for studying the low temperature phases in n-type inversion layers of semiconductors,” Z. Phys. В 30, 165-166.

1397 Peierls, R. E., 1935, “Quelques proprietes typiques des corps ' solides,” Ann. Inst. Henri Poincare 5, 177 — 222.

1398 Pepper, M., 1977a, “The Anderson transition in silicon inversion layers: The origin of the random field and the effect of substrate bias,” Proc. R. Soc. London Ser. A 353, 225 — 246.

1399 Pepper, M., 1977b, “An introduction to silicon inversion layers,” Contemp. Phys. 18, 423 — 454.

1400 Pepper. M., 1977c, “A metal-insulator transition in the impurity band of n-type GaAs induced by loss of dimension,” J. Phys. C 10, L173-L177.

1401 Pepper, M., 1977d, "Electron and hole localization at the Si- SiO2 interface," in Amorphous and Liquid Semiconductors, edited by W. E. Spear (Centre for Industrial Consultancy and Liaison, University of Edinburgh), pp. 477 — 486.

1402 Pepper, M., 1977e, “The radiation hardness of the Si-SiO2 interface and carrier localization in the inversion layer,” J. Phys. C 10, L445 —L45O.

1403 Pepper, M., 1978a, “Some aspects of localization in twodimensional systems,” Surf. Sci. 73, 40—45.

1404 Pepper, M., 1978b, "Magnetic localization in silicon inversion layers,” Philos. Mag. В 37, 83 — 95.

1405 Pepper, M., 1978c, “The metal-insulator transition in the impurity band of n-type GaAs induced by a magnetic field and

loss of dimension/* Philos. Mag. В 37, 187- 198.

Pepper, M., 1978d, “Inversion layer transport and the radia- 1406 tion hardness of the Si-SiO2 interface,” IEEE Trans. Nucl.

Sci. NS-25, 1283-1287.

Pepper, M„ 1978e, “The Si-SiO2 interface and localization in 1407 the inversion layer,” in The Physics of SiO2 and its Interfaces, edited by S. T. Pantelides (Pergamon, New York), pp. 407 - 411.

Pepper, M., 1978f, “The Hall effect in impurity bands and in- 1408 version layers,” Philos. Mag. В 38, 515-526.

Pepper, M., 1978g, "The metal non-metal transition in two- 1409 dimensional systems,” in The Metal Non-metal Transition in Disordered Systems, edited by L. R. Friedman and D. P. Tunstall (Scottish Universities Summer School in Physics, Edinburgh), pp. 285 — 311.

Pepper, M., 1979a, "Two dimensional impurity bands in Si and 1410 GaAs,” in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. , H. Wilson llnstitute of Physics, Bristol), pp. 997—1000.

Pepper, M., 1979b, “Metal-insulator transitions induced by a 1411 magnetic field," J. Non-Cryst. Solids 32, 161-185.

Pepper, M„ 1979c, "Conductance oscillations in a two- 1412 dimensional impurity band,” J. Phys. C 12, L617-L625.

Pepper, M., 1980a, “Conductance oscillations in two- 1413 dimensional transport,” Surf. Sci. 98, 218-219.

Pepper, M., 1980b, “Ballistic injection of electrons in metal- 1414 semiconductor junctions: III. Phonon and sub-band spectroscopy ofsipcon inversion layers,”" J. Phys. C 13, L721 —L723.

Pepper, M., and N. F. Mott, 1976, “The Si-SiO2 interface and 1415

Anderson localization in the inversion layer,” in Proceedings of the 13th International Conference on the Physics of Semiconductors, Rome, edited by F. G. Fumi (North-Holland, Amsterdam), pp. 762 — 765.

Pepper, M., S. Pollitt, and C. J. Adkins, 1974a, “Anderson lo- 1416 cassation of holes in a Si inversion layer,** Phys. Lett. A 48, 113-114.

Pepper, M., S. Pollitt, and C. J. Adkins, 1974b, “The spatial 1417 extent of localized state wavefunctions in silicon inversion layers," J. Phys. C 7, L273-L277.

Pepper, M„ S. Pollitt, C. J. Adkins, and R. E. Oakley, 1974c, 1418 “Variable-range hopping in a silicon inversion layer,” Phys.

Lett. A 47, 71-72.

Pepper, M., S. Pollitt, C. J. Adkins, and R. A. Stradling, 1975, 1419 "Anderson localization in silicon inversion layers,” Crit. Rev. Solid State Sci. 5, 375-384.

Pepper, M., M. J. Uren, and R. E. Oakley, 1979, "Conduc- 1420 tance oscillations and source-drain-limited conduction in Si MOSFET’s," L Phys. C 12, L897-L900.

Petrov, V. A., 1978, “Possibility of formation of one- and two- 1421* dimensional periodic superstructures in thin films and on semiconductor surfaces,” Fiz. Tekh. Poluprovodn. 12, 380-382 [Sov. Phys. — Semicond. 12, 219-220 (1978)].

Petukhov. В. V., V. L. Pokrovskii, and A. V. Chaplik, 1967, 1422 “States of electrons localized at surface charges,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 9, 70 — 74 [Sov. Phys. — Solid State 9, 51-54 (1967)].

Philipp, H. R., 1979, “The infrared optical properties of SiO2 1423 aad SW? layers on silicon,” J. Appl. Phys. 50, 105 3— 1057.

Riillips, J. C., 1973, Bonds and Bands in Semiconductors 1424 (Academic, New York).

Pichard, J. L., and G. Sarma, 1981a, “Finite size scaling 1425

tems,” Surf. Sci. 58, 289 — 291.Platzman, P. M., and N. Tzoar, 1976b, “Oscillations of a two- dimensional classical plasma,” Phys. Rev. В 13, 3197 — 3199.Ploog, K., A. Fischer, G. H. Dohler, and H. Kunzel, 1981a, “Novel periodic doping structures in GaAs grown by molecular beam epitaxy,” in Gallium Arsenide and Related Compounds, 1980, edited by H. W. Thim (Institute of Physics, Bristol), pp. 721 — 730.Ploog, К., H. Kunzel, J. Knecht, A. Fischer, and G. H. Dohler, 1981b, “Simultaneous modulation of electron and hole conductivity in a new periodic GaAs doping multilayer structure,” Appl. Phys. Lett. 38, 870—872.Pogrebinskii, M. B„ 1977, “Mutual drag of carriers in a semiconductor-insulator-semiconductor system,” Fiz. Tekh. Poluprovodn. 11, 637 — 644 (Sov. Phys. — Semicond. 11, 372-376(1977)).Poindexter, E. H., P. J. Caplan, В. E. Deal, and R. R. Razouk, 1981, “Interface states and electron spin resonance centers in thermally oxidized (111) and (100) silicon wafers,” J. Appl. Phys. 52, 879-884.Poirier, R., 1966, “Mobilite electronique dans une couche d’inversion a la surface d’un semi-conducteur,” C. R. Acad. Sci. Ser. В 262, 281-284.Poirier, R., 1968, “Magnetoresistance dans une couche electronique d’inversion sur une surface (100) d’un cristal de silicium a 77 *K," J. Phys. (Paris) 29, Colloques, C2-65 —C2- 68.Pollak, M., 1972, “A percolation treatment of de hopping conduction,” J. Non-Cryst. Solids 11, 1 — 24.Pollak, M., 1980, “Effect of electron-electron interactions on hopping and on delocalization,” Philos. Mag. В 42, 781 —798.Pollitt, S., 1976, “Further investigations of the spatial extent of localized-state wave functions,” Commun. Phys. 1, 207 — 212.Pollitt, S., M. Pepper, and C. J. Adkins, 1976, “The Anderson transition in silicon inversion layers,” Surf. Sci. 58, 79 — 88.Pollmann, J., and H. Biittner, 1975, “Upper bounds for the ground-state energy of the exciton-phonon system,” Solid State Commun. 17, 1171 — 1174.Pollmann, J., and H. Biittner, 1977, “Effective Hamiltonians and binding energies of Wannier excitons in polar semiconductors,” Phys. Rev. В 16, 4480 —4490.Polyanovskii, V. M., 1980a, “Quantum oscillations in semiconductors with a superlattice in magnetic fields,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 22, 1529 — 1531 [Sov. Phys. — Solid State 22, 894 - 895(1980)).Polyanovskii, V. M., 1980b, “Quantum theory of galvanomagnetic effects in superlattice semiconductors,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 22, 1975-19-79 [Sov. Phys. — Solid State 22, 1151-1154(1980)).Pomerantz, M., 1978, “Experimental evidence for magnetic ordering in a literally two-dimensional magnet,” Solid State Commun, 27, 1413 — 1416.Pomerantz, M., 1980, “Studies of literally two-dimensional magnets of manganese stearate,” in Phase Transitions in Surface Films, edited by J. G. Dash and J. Ruvalds (Plenum, New York), pp. 337 — 346.Portal, J. C, R. J. Nicholas, E. Kress-Roger, A. Chevy, J. Besson, J. Galibert, and P. Perrier, 1980, “Two-dimensional behaviour of electrons in bulk InSe from Shubnikov—de Haas oscillations and cyclotron resonance,” in Proceedings of thetems,” Surf. Sci. 58, 289 — 291.Platzman, P. M., and N. Tzoar, 1976b, “Oscillations of a two- dimensional classical plasma,” Phys. Rev. В 13, 3197 — 3199.Ploog, K., A. Fischer, G. H. Dohler, and H. Kunzel, 1981a, “Novel periodic doping structures in GaAs grown by molecular beam epitaxy,” in Gallium Arsenide and Related Compounds, 1980, edited by H. W. Thim (Institute of Physics, Bristol), pp. 721 — 730.Ploog, К., H. Kunzel, J. Knecht, A. Fischer, and G. H. Dohler, 1981b, “Simultaneous modulation of electron and hole conductivity in a new periodic GaAs doping multilayer structure,” Appl. Phys. Lett. 38, 870—872.Pogrebinskii, M. B„ 1977, “Mutual drag of carriers in a semiconductor-insulator-semiconductor system,” Fiz. Tekh. Poluprovodn. 11, 637 — 644 (Sov. Phys. — Semicond. 11, 372-376(1977)).Poindexter, E. H., P. J. Caplan, В. E. Deal, and R. R. Razouk, 1981, “Interface states and electron spin resonance centers in thermally oxidized (111) and (100) silicon wafers,” J. Appl. Phys. 52, 879-884.Poirier, R., 1966, “Mobilite electronique dans une couche d’inversion a la surface d’un semi-conducteur,” C. R. Acad. Sci. Ser. В 262, 281-284.Poirier, R., 1968, “Magnetoresistance dans une couche electronique d’inversion sur une surface (100) d’un cristal de silicium a 77 *K," J. Phys. (Paris) 29, Colloques, C2-65 —C2- 68.Pollak, M., 1972, “A percolation treatment of de hopping conduction,” J. Non-Cryst. Solids 11, 1 — 24.Pollak, M., 1980, “Effect of electron-electron interactions on hopping and on delocalization,” Philos. Mag. В 42, 781 —798.Pollitt, S., 1976, “Further investigations of the spatial extent of localized-state wave functions,” Commun. Phys. 1, 207 — 212.Pollitt, S., M. Pepper, and C. J. Adkins, 1976, “The Anderson transition in silicon inversion layers,” Surf. Sci. 58, 79 — 88.Pollmann, J., and H. Biittner, 1975, “Upper bounds for the ground-state energy of the exciton-phonon system,” Solid State Commun. 17, 1171 — 1174.Pollmann, J., and H. Biittner, 1977, “Effective Hamiltonians and binding energies of Wannier excitons in polar semiconductors,” Phys. Rev. В 16, 4480 —4490.Polyanovskii, V. M., 1980a, “Quantum oscillations in semiconductors with a superlattice in magnetic fields,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 22, 1529 — 1531 [Sov. Phys. — Solid State 22, 894 - 895(1980)).Polyanovskii, V. M., 1980b, “Quantum theory of galvanomagnetic effects in superlattice semiconductors,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 22, 1975-19-79 [Sov. Phys. — Solid State 22, 1151-1154(1980)).Pomerantz, M., 1978, “Experimental evidence for magnetic ordering in a literally two-dimensional magnet,” Solid State Commun, 27, 1413 — 1416.Pomerantz, M., 1980, “Studies of literally two-dimensional magnets of manganese stearate,” in Phase Transitions in Surface Films, edited by J. G. Dash and J. Ruvalds (Plenum, New York), pp. 337 — 346.Portal, J. C, R. J. Nicholas, E. Kress-Roger, A. Chevy, J. Besson, J. Galibert, and P. Perrier, 1980, “Two-dimensional behaviour of electrons in bulk InSe from Shubnikov—de Haas oscillations and cyclotron resonance,” in Proceedings of the14431444144514461447144814491450145114521453145414551456*1457*14581459146014431444144514461447144814491450145114521453145414551456*1457*145814591460

tems,” Surf. Sci. 58, 289 — 291.

Platzman, P. M., and N. Tzoar, 1976b, “Oscillations of a two- dimensional classical plasma,” Phys. Rev. В 13, 3197 — 3199.

Ploog, K., A. Fischer, G. H. Dohler, and H. Kunzel, 1981a, “Novel periodic doping structures in GaAs grown by molecular beam epitaxy,” in Gallium Arsenide and Related Compounds, 1980, edited by H. W. Thim (Institute of Physics, Bristol), pp. 721 — 730.

Ploog, К., H. Kunzel, J. Knecht, A. Fischer, and G. H. Dohler, 1981b, “Simultaneous modulation of electron and hole conductivity in a new periodic GaAs doping multilayer structure,” Appl. Phys. Lett. 38, 870—872.

Pogrebinskii, M. B„ 1977, “Mutual drag of carriers in a semiconductor-insulator-semiconductor system,” Fiz. Tekh. Poluprovodn. 11, 637 — 644 (Sov. Phys. — Semicond. 11, 372-376(1977)).

Poindexter, E. H., P. J. Caplan, В. E. Deal, and R. R. Razouk, 1981, “Interface states and electron spin resonance centers in thermally oxidized (111) and (100) silicon wafers,” J. Appl. Phys. 52, 879-884.

Poirier, R., 1966, “Mobilite electronique dans une couche d’inversion a la surface d’un semi-conducteur,” C. R. Acad. Sci. Ser. В 262, 281-284.

Poirier, R., 1968, “Magnetoresistance dans une couche electronique d’inversion sur une surface (100) d’un cristal de silicium a 77 *K," J. Phys. (Paris) 29, Colloques, C2-65 —C2- 68.

Pollak, M., 1972, “A percolation treatment of de hopping conduction,” J. Non-Cryst. Solids 11, 1 — 24.

Pollak, M., 1980, “Effect of electron-electron interactions on hopping and on delocalization,” Philos. Mag. В 42, 781 —798.

Pollitt, S., 1976, “Further investigations of the spatial extent of localized-state wave functions,” Commun. Phys. 1, 207 — 212.

Pollitt, S., M. Pepper, and C. J. Adkins, 1976, “The Anderson transition in silicon inversion layers,” Surf. Sci. 58, 79 — 88.

Pollmann, J., and H. Biittner, 1975, “Upper bounds for the ground-state energy of the exciton-phonon system,” Solid State Commun. 17, 1171 — 1174.

Pollmann, J., and H. Biittner, 1977, “Effective Hamiltonians and binding energies of Wannier excitons in polar semiconductors,” Phys. Rev. В 16, 4480 —4490.

Polyanovskii, V. M., 1980a, “Quantum oscillations in semiconductors with a superlattice in magnetic fields,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 22, 1529 — 1531 [Sov. Phys. — Solid State 22, 894 - 895(1980)).

Polyanovskii, V. M., 1980b, “Quantum theory of galvanomagnetic effects in superlattice semiconductors,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 22, 1975-19-79 [Sov. Phys. — Solid State 22, 1151-1154(1980)).

Pomerantz, M., 1978, “Experimental evidence for magnetic ordering in a literally two-dimensional magnet,” Solid State Commun, 27, 1413 — 1416.

Pomerantz, M., 1980, “Studies of literally two-dimensional magnets of manganese stearate,” in Phase Transitions in Surface Films, edited by J. G. Dash and J. Ruvalds (Plenum, New York), pp. 337 — 346.

Portal, J. C, R. J. Nicholas, E. Kress-Roger, A. Chevy, J. Besson, J. Galibert, and P. Perrier, 1980, “Two-dimensional behaviour of electrons in bulk InSe from Shubnikov—de Haas oscillations and cyclotron resonance,” in Proceedings of the

tems,” Surf. Sci. 58, 289 — 291.

Platzman, P. M., and N. Tzoar, 1976b, “Oscillations of a two- dimensional classical plasma,” Phys. Rev. В 13, 3197 — 3199.

Ploog, K., A. Fischer, G. H. Dohler, and H. Kunzel, 1981a, “Novel periodic doping structures in GaAs grown by molecular beam epitaxy,” in Gallium Arsenide and Related Compounds, 1980, edited by H. W. Thim (Institute of Physics, Bristol), pp. 721 — 730.

Ploog, К., H. Kunzel, J. Knecht, A. Fischer, and G. H. Dohler, 1981b, “Simultaneous modulation of electron and hole conductivity in a new periodic GaAs doping multilayer structure,” Appl. Phys. Lett. 38, 870—872.

Pogrebinskii, M. B„ 1977, “Mutual drag of carriers in a semiconductor-insulator-semiconductor system,” Fiz. Tekh. Poluprovodn. 11, 637 — 644 (Sov. Phys. — Semicond. 11, 372-376(1977)).

Poindexter, E. H., P. J. Caplan, В. E. Deal, and R. R. Razouk, 1981, “Interface states and electron spin resonance centers in thermally oxidized (111) and (100) silicon wafers,” J. Appl. Phys. 52, 879-884.

Poirier, R., 1966, “Mobilite electronique dans une couche d’inversion a la surface d’un semi-conducteur,” C. R. Acad. Sci. Ser. В 262, 281-284.

Poirier, R., 1968, “Magnetoresistance dans une couche electronique d’inversion sur une surface (100) d’un cristal de silicium a 77 *K," J. Phys. (Paris) 29, Colloques, C2-65 —C2- 68.

Pollak, M., 1972, “A percolation treatment of de hopping conduction,” J. Non-Cryst. Solids 11, 1 — 24.

Pollak, M., 1980, “Effect of electron-electron interactions on hopping and on delocalization,” Philos. Mag. В 42, 781 —798.

Pollitt, S., 1976, “Further investigations of the spatial extent of localized-state wave functions,” Commun. Phys. 1, 207 — 212.

Pollitt, S., M. Pepper, and C. J. Adkins, 1976, “The Anderson transition in silicon inversion layers,” Surf. Sci. 58, 79 — 88.

Pollmann, J., and H. Biittner, 1975, “Upper bounds for the ground-state energy of the exciton-phonon system,” Solid State Commun. 17, 1171 — 1174.

Pollmann, J., and H. Biittner, 1977, “Effective Hamiltonians and binding energies of Wannier excitons in polar semiconductors,” Phys. Rev. В 16, 4480 —4490.

Polyanovskii, V. M., 1980a, “Quantum oscillations in semiconductors with a superlattice in magnetic fields,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 22, 1529 — 1531 [Sov. Phys. — Solid State 22, 894 - 895(1980)).

Polyanovskii, V. M., 1980b, “Quantum theory of galvanomagnetic effects in superlattice semiconductors,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 22, 1975-19-79 [Sov. Phys. — Solid State 22, 1151-1154(1980)).

Pomerantz, M., 1978, “Experimental evidence for magnetic ordering in a literally two-dimensional magnet,” Solid State Commun, 27, 1413 — 1416.

Pomerantz, M., 1980, “Studies of literally two-dimensional magnets of manganese stearate,” in Phase Transitions in Surface Films, edited by J. G. Dash and J. Ruvalds (Plenum, New York), pp. 337 — 346.

Portal, J. C, R. J. Nicholas, E. Kress-Roger, A. Chevy, J. Besson, J. Galibert, and P. Perrier, 1980, “Two-dimensional behaviour of electrons in bulk InSe from Shubnikov—de Haas oscillations and cyclotron resonance,” in Proceedings of the

1443

1444

1445

1446

1447

1448

1449

1450

1451

1452

1453

1454

1455

1456*

1457*

1458

1459

1460

1443

1444

1445

1446

1447

1448

1449

1450

1451

1452

1453

1454

1455

1456*

1457*

1458

1459

1460

approach to Anderson localisation,” J. Phys. C 14, L127-L132.

1426 Pichard, J. L., and G. Sarma, 1981b, “Finite size scaling approach to Anderson localisation: II. Quantitative analysis and new results,” J. Phys. C 14, L617 —L625.

1427 Pierret, R. F-, and С. T. Sah, 1968, “An MOS-oriented investigation of effective mobility theory,” Solid-State Electron. 11, 279-290.

1428 Pietronero, L., and S. Strassler, 1981, “Mechanism of electronphonon scattering and resistivity in graphite intercalation compounds.” Phys. Rev. В 23, 6793 — 6796.

1429 Pietronero, L-, S. Strassler, and H. R. Zellef, 1979, “Nonlinear screening in layered semimetals,” Solid State Commun. 30, 399-401.

1430 Piller, H., 1979, “Far infrared Faraday rotation in a two- dimensional electron gas,” J. Vac. Sci. Technol. 16, 2096 — 2300.

1431 Pinczuk, A., H. L. Stormer, R. Dingle, J. M^ Worlock, W. Wiegmann, and A. C. Gossard, 1979, “Observation of intersubband excitations in a multilayer two dimensional electron gas,” Solid State Commun. 32, 1001 — 1003.

1432 Pinczuk, A., J. M. Worlock, H. L. Stormer, R. Dingle, W. Wiegmann, and A. C. Gossard, 1980a, “Inelastic light scattering spectroscopy of a multilayer two dimensional electron gas,” Surf. Sci. 98, 126—133.

1433 Pinczuk, A., J. M. Worlock, H. L- Stormer, R. Dingle, W. Wiegmann, and A. C Gossard, 1980b, “Intersubband spectroscopy of two-dimensional electron gases: Coulomb interactions,” Solid State Commun. 36, 43 —46.

1434 Pinczuk, A., J. M. Worlock, H. L. Stormer, R. Dingle, W. Wiegmann, and A. C. Gossard, 1980c, “Light scattering spectroscopy of two dimensional electron gas in semiconductors,” Proceedings of the 15th International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 49, Suppl. A, 1025-1028).

1435 Pinczuk, A., J. Shah, A. C. Gossard, and W. Wiegmann, 1981a, “Light scattering by photoexcited two-dimensional electron plasma in GaAs-(AlGa)As heterostructures,” Phys. Rev. Lett. 46, 1341-1344.

1436 Pinczuk, A., J. M. Worlock, H. L. Stormer, A. C. Gossard, and W. Wiegmann, 1981b, “Light scattering spectroscopy of electrons in GaAs-(AlGa)As heterostructures: Correlation with transport properties,” J. Vac. Sci. Technol. 19, 561-563.

1437 Pippard, A. B., 1962, “Quantization of coupled orbits in mu- als,” Proc. R. Soc. London Ser. A 270, 1-13.

1438 Platzman, P. M., and G. Beni, 1976, “Comment on plasmon linewidth experiments for electrons on a helium surface,” Phys. Rev. Lett. 36, 626-628; 1350(E).

1439 Platzman, P. M.. and H. Fukuyama, 1974, “Phase diagram of the two-dimensional electron liquid,” Phys. Rev. В 10, 3150-3158.

1440 Platzman, P. M., and В. 1. Halperin, 1978, “The effect of parallel magnetic field on interband transitions in two- dimensional systems,” Phys. Rev. В 18, 226 — 232.

1441 Platzman, P. M., A. L. Simons, and N. Tzoar, 1977, “High- frequency conductivity of electrons on a helium surface,” Phys. Rev. В 16, 2023-2026.

1442 Platzman, P. M., and N. Tzoar, 1976a, “Many-body effects in the absorption spectrum of electrons in two-dimensional sys

15th International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 49, Suppl. A, 879 — 882).

1461 Prange, R. E, 1969, "Electron-Rayleigh-wave interaction,” Phys. Rev. 187,804-808.

1462 Prange, R. E., 1981, ‘’Quantized Hall resistance and the measurement of the fine-structure constant,” Phys. Rev. В 23, 4802-4805.

1463 Prange, R. E., and T. -W. Nee, 1968, "Quantum spectroscopy of the low-field oscillations in the surface impedance,” Phys. Rev. 168, 779-786.

1464 Prasad, M., 1978, "On the magnetic field dependence of resonance line width in the inversion layer,” Solid State Commun. 26, 85-86.

1465 Prasad, M., 1979, “Quantum theory of the cyclotron resonance lineshape for a two-dimensional electron-phonon system,” Phys. Lett A 70, 127-130.

1466 Prasad, M., 1980, "Generalized transport method and applications." J. Phys. C 13, 3239-3251.

1467 Prasad, M., and S. Fujita, 1977a, "On the cyclotron resonance width of an electron impurity system in two dimensions,” Solid State Commun. 21,1105 — 1106.

1468 Prasad, M., and S. Fujita, 1977b, “Comparison between the two theories of cyclotron resonance lineshape for a two- dimensional electron-impurity system,” Solid State Commun. 23, 551-553.

1469 Prasad, M., and S. Fujita, 1977c, "Matthiessen’s rule and its variation for cyclotron resonance width in two and three dimensions," Phys. Lett. A 63, 147— 148.

1470 Prasad, M., and S. Fujita, 1978, “Quantum theofy of cyclotron resonance lineshape for an electron-impurity system in two dimensions,” Physica 91 A, 1 — 16.

1471 Prasad, M., T. K. Srinivas, and S. Fujita, 1977, "On the temperature dependent cyclotron resonance lineshape of inversion

- layer electrons in Si," Solid State Commun, 24, 439—441; Surf. Sci. 73, 505-508 (197 8).

1472 Prelovsek, P., 1978a, "Numerical study of the conductivity in the vicinity of mobility edges.” Phys. Rev. Lett. 40, 1596-1599.

1473 Prelovsek, P., 1978b, “Diffusion in the Anderson model of a disordered system: A numerical study," Phys. Rev. В 18, 3657 - 3664.

1474 Prelovsek, P., 1981, "Conductor-insulator transition in the Anderson model of a disordered solid,” Phys, Rev. В 23, 1304- 1319.

1475 Preuss, E., 1971, "Field-effect of indium antimonide in a magnetic field,” Surf. Sci. 24, 515- 534.

1476 Price, P. J., 1962, “Transmission of Bloch waves through crystal interfaces," in Proceedings of the 6th International Conference on the Physics of Semiconductors, Exeter (Institute of Physics, London), pp. 99— 103.

1477 Price, P. J., 1973, “Transport properties of the semiconductor superlattice," IBM J. Res. Dev. 37, 39-46.

1478 Price, P. J., 1980, “Dielectric function of superlattice materials,” in Basic Optical Properties of Materials, Summaries of Papers, edited by A. Feldman (U.S. Government Printing Office, Washington), NBS Special Publication 574, pp. 164-166.

1479 Price, P. J., 1981a, “Two-dimensional electron transport in semiconductor layers. I. Phonon scattering," Ann. PW. (N.Y.) 333, 237-239.

Price, P. J., 1983b, “Mesostructure electronics," IEEE Trans. 1480 Electron Devices ED-28, 911-914.

Price, P. J„ 1981c, “Two-dimensional electron transport in 1481 semiconductor layers. II. Screening,” J. Vac. Sci. Technol.

599-603.

Prokop’ev, E. P., 1966, "Localized electron states cm a 1482* nonideal surface of a semiconductor,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 8, 2770-2772 [Sov. Phys.—Solid State 8, 2209-2210(1967)].

Quinn, J. J., 1976, “Transport studies in inversion layers,” in 1483

Proceedings of the 13th International Conference on the Physics of Semiconductors, Rome, edited by F. G. Fumi (North- Holland, Amsterdam), pp. 733 — 740.

Quinn, J. J., and G. Kawamoto, 1978, "Charge density waves 1484 in silicon inversion layers; Effect of four valley interaction terms,” Solid State Commun. 28, 797-801.

Quinn, J. J., G. Kawamoto, and B. D. McCombe, 1978, “Sub- 1485 bend spectroscopy by surface channel tunneling,” Surf. Sci.

190-196.

Rahman, T. S., and A. A. Maradudin, 1980, “Effect of surface 1486 roughness on th* image potential,” Phys. Rev. В 21, 504-521.

Rahman, T. S., and D. L. Mills, 1980, “Electron-phonon 1487 coupling in image-potential bound states,” Phys. Rev. В 23, 1432-1444.

Rahman, T. S., D. L. Mills, and P. S. Riseborough, 1981, 1488 "Electron-phonon interactions and electron inversion layers on polar semiconductors,” Phys. Rev. В 23, 4081-4088.

Raider, S. L, and R. Flitsch, 1976, "Stoichiometry of SiOj/Si 1489 interfacial regions. I. Ultrathin oxide films,” J. Vac. Sci.

Technol. 33, 58 (abstract).

Raider, S. 1., and R. Flitsch, 1978, "X-ray photoelectron spec- 1490 troscopy of SiO2-Si interfacial regions,” in The Physics of SiOT and its Interfaces, edited by S. T. Pantelides (Pergamon, New York), pp. 384 — 388.

Rajagopal, A. K., 1977a, “Longitudinal and transverse didec- 1491 trie functions of a two-dimensional electron system: Inclusion of exchange correlations," Phys. Rev. В 3 5, 4264 — 4269.

Rajagopal, A. K., 1977b, "Itinerant electron ferromagnetism of 1492 a two-dimensional system,” Solid State Commun. 21, 483-486.

Rajagopal, A. K., and J. C. Kimball, 1977, “Correlations in 1493 a two-dimensional electron system," Phys. Rev. В 35, 2819-2825.

Rajagopal, A. K., S. P. Singhal, M. Banerjee, and J. C. Kim- 1494 bell, 1978a, "Ferromganetism of two-dimensional electron systems,” Surf. Sci. 73, 365 — 373.

Rajagopal, A. K., S. P. Singhal, M. Banerjee, and J. C. Kim- 1495 bell, 1978b. “Correlations in two-dimensional electron systems. Magnetic properties,” Phys. Rev. В 37, 2262 — 2268.

Rakhmanov, S. Ya., 1979, “The Wigner crystal in a semicon- 1496 ductor film in a high magnetic field,” Solid State Commun.

779-782.

Rau, A. R. P., 1977, “Phenomena exhibiting strong field mix- 1497 ing,” Phys. Rev. A 16, 613 — 617.

Rau, A. R. P., 1979, “Rydberg states in electric and magnetic 1498 fields: Ntficro energy resonances,” J. Phys. В 32, 14W=tl98.

Rau, A. R. P„ 1980, “Two-dimensional electron layers: A sys- 1499

tem for studying strong field mixing effects/’ Surf. Sci. 98, 513-514.1500 Rauh, H„ and R. Kummel, 1980a, “Theory of the temperature dependence of the enhanced valley splitting in surface states of silicon MOSFETs,” Surf. Sci. 98, 370—377.1501 Rauh, H., and R. Kummel, 1980b, “Critical temperatures for the observation of valley-splitting in Si-MOSFETs,” Solid State Commun. 35, 731—733.1502 Rauh, H., and R. Kummel, 1980c, “Many-body enhancement of the valley splitting in Si-MOSFETs at finite temperatures: Reexamination of the 2-dimensionality of the system and critical temperatures for the valley splitting,” in Proceedings of the I5th International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 49, Suppl. A, 971 — 974].1503 Rauh, H., and R. Kummel, 1980d, “On the two-dimensionality of many-body effects in surface quantum states of Si- MOSFETs," Z. Phys. В 39, 219-226.1504 Redin, R. D., H. A. Undem, and H. H. Soonpaa, 1977, “Effects of adsorption on the electrical conductivity of thin crystals of bismuth tellurium sulfide,” Surf. Sci. 69, 702 — 707.1505 Reisinger, H., and F. Koch, 1981, “Spectroscopy of InAs sub- bands,” Solid State Commun. 37, 429—431.1506 Rendell, R. W., and S. M. Girvin, 1981, “Hall voltage dependence on inversion-layer geometry in the quantum Hall-effect regime/* Phys. Rev. В 23, 6610—6614.1507 Ribeiro, C. A., and J. C. Pfister, 1972, “Hall effect measurements of hole mobility in an inversion layer of a MOS structure at low temperatures/’ Solid State Commun. 10, 63 — 69.1508 Rice, T. M., 1965, “The effects of electron-electron interaction on the properties of metals,” Ann. Phys. (N.Y.) 31, 100— 129.1509 Ritchie, R. H,, 1957, “Plasma losses by fast electrons in thin films,” Phys. Rev. 106, 874—881.1510 Roberts, G. G., and M. J. Morant, eds., 1980, Insulating Films on Semiconductors, 1979 (Institute of Physics, Bristol).1511 Roberts, G. G., К. P. Pande, and W. A. Barlow, 1977, “InP- Langmuir-film M.l.S. structures,” Electron. Lett. 13, 581-583.1512 Roberts, G. G., К. P. Pande, and W. A. Barlow, 1978, “InP/Langmuir-film M.I.S.F.E.T.,” IEE J. Solid State Electron Devices 2, 169 — 175.1513 Roberts, O. D., 1975, “Reflectance of an array of charge conducting layers,” Z. Phys. В 22, 21 — 30.1514*Romanov, О. V., V. Ya. Uritskii, and B. F. Gruzinov, 1969, “Carrier mobility in the inversion layers on the surface of silicon,” Fiz. Tekh. Poluprovodn. 3. 1414—1416 [Sov. Phys.— Semicond. 3, 1183-1184(1970)].1515*Romanov, О. V., V Ya. Uritskii, and A. M. Yaiyasov, 1976, “Influence of ion implantation on surface transport of carriers in silicon,” Fiz. Tekh. Poluprovodn. 10, 332-337 [Sov. Phys. — Semicond. 10, 198 — 201 (1976)].1516* Romanov, О. V., A. M. Yaiyasov, and V. Ya. Uritskii, 1979, “Influence of various factors on surface charge transport in the valence band of silicon,” Fiz. Tekh. Poluprovodn. 13, 2100-2105 [Sov. Phys—Semicond. 13, 1228- 1231].1517 Romanov, Yu. A., 1979, “Plasma oscillations in a superlattice subjected to a strong high-frequency electric field," Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 21, 877-882 [Sov. Phys.—Solid State 21, 513-516 (1979)].1518*Romanov, Yu. A., and E. V. Demidov, 1980, “Nonlinear conductivity of thin semiconductor films,” Fiz. Tekh. Poluprotem for studying strong field mixing effects/’ Surf. Sci. 98, 513-514.1500 Rauh, H„ and R. Kummel, 1980a, “Theory of the temperature dependence of the enhanced valley splitting in surface states of silicon MOSFETs,” Surf. Sci. 98, 370—377.1501 Rauh, H., and R. Kummel, 1980b, “Critical temperatures for the observation of valley-splitting in Si-MOSFETs,” Solid State Commun. 35, 731—733.1502 Rauh, H., and R. Kummel, 1980c, “Many-body enhancement of the valley splitting in Si-MOSFETs at finite temperatures: Reexamination of the 2-dimensionality of the system and critical temperatures for the valley splitting,” in Proceedings of the I5th International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 49, Suppl. A, 971 — 974].1503 Rauh, H., and R. Kummel, 1980d, “On the two-dimensionality of many-body effects in surface quantum states of Si- MOSFETs," Z. Phys. В 39, 219-226.1504 Redin, R. D., H. A. Undem, and H. H. Soonpaa, 1977, “Effects of adsorption on the electrical conductivity of thin crystals of bismuth tellurium sulfide,” Surf. Sci. 69, 702 — 707.1505 Reisinger, H., and F. Koch, 1981, “Spectroscopy of InAs sub- bands,” Solid State Commun. 37, 429—431.1506 Rendell, R. W., and S. M. Girvin, 1981, “Hall voltage dependence on inversion-layer geometry in the quantum Hall-effect regime/* Phys. Rev. В 23, 6610—6614.1507 Ribeiro, C. A., and J. C. Pfister, 1972, “Hall effect measurements of hole mobility in an inversion layer of a MOS structure at low temperatures/’ Solid State Commun. 10, 63 — 69.1508 Rice, T. M., 1965, “The effects of electron-electron interaction on the properties of metals,” Ann. Phys. (N.Y.) 31, 100— 129.1509 Ritchie, R. H,, 1957, “Plasma losses by fast electrons in thin films,” Phys. Rev. 106, 874—881.1510 Roberts, G. G., and M. J. Morant, eds., 1980, Insulating Films on Semiconductors, 1979 (Institute of Physics, Bristol).1511 Roberts, G. G., К. P. Pande, and W. A. Barlow, 1977, “InP- Langmuir-film M.l.S. structures,” Electron. Lett. 13, 581-583.1512 Roberts, G. G., К. P. Pande, and W. A. Barlow, 1978, “InP/Langmuir-film M.I.S.F.E.T.,” IEE J. Solid State Electron Devices 2, 169 — 175.1513 Roberts, O. D., 1975, “Reflectance of an array of charge conducting layers,” Z. Phys. В 22, 21 — 30.1514*Romanov, О. V., V. Ya. Uritskii, and B. F. Gruzinov, 1969, “Carrier mobility in the inversion layers on the surface of silicon,” Fiz. Tekh. Poluprovodn. 3. 1414—1416 [Sov. Phys.— Semicond. 3, 1183-1184(1970)].1515*Romanov, О. V., V Ya. Uritskii, and A. M. Yaiyasov, 1976, “Influence of ion implantation on surface transport of carriers in silicon,” Fiz. Tekh. Poluprovodn. 10, 332-337 [Sov. Phys. — Semicond. 10, 198 — 201 (1976)].1516* Romanov, О. V., A. M. Yaiyasov, and V. Ya. Uritskii, 1979, “Influence of various factors on surface charge transport in the valence band of silicon,” Fiz. Tekh. Poluprovodn. 13, 2100-2105 [Sov. Phys—Semicond. 13, 1228- 1231].1517 Romanov, Yu. A., 1979, “Plasma oscillations in a superlattice subjected to a strong high-frequency electric field," Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 21, 877-882 [Sov. Phys.—Solid State 21, 513-516 (1979)].1518*Romanov, Yu. A., and E. V. Demidov, 1980, “Nonlinear conductivity of thin semiconductor films,” Fiz. Tekh. Polupro

tem for studying strong field mixing effects/’ Surf. Sci. 98, 513-514.

1500 Rauh, H„ and R. Kummel, 1980a, “Theory of the temperature dependence of the enhanced valley splitting in surface states of silicon MOSFETs,” Surf. Sci. 98, 370—377.

1501 Rauh, H., and R. Kummel, 1980b, “Critical temperatures for the observation of valley-splitting in Si-MOSFETs,” Solid State Commun. 35, 731—733.

1502 Rauh, H., and R. Kummel, 1980c, “Many-body enhancement of the valley splitting in Si-MOSFETs at finite temperatures: Reexamination of the 2-dimensionality of the system and critical temperatures for the valley splitting,” in Proceedings of the I5th International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 49, Suppl. A, 971 — 974].

1503 Rauh, H., and R. Kummel, 1980d, “On the two-dimensionality of many-body effects in surface quantum states of Si- MOSFETs," Z. Phys. В 39, 219-226.

1504 Redin, R. D., H. A. Undem, and H. H. Soonpaa, 1977, “Effects of adsorption on the electrical conductivity of thin crystals of bismuth tellurium sulfide,” Surf. Sci. 69, 702 — 707.

1505 Reisinger, H., and F. Koch, 1981, “Spectroscopy of InAs sub- bands,” Solid State Commun. 37, 429—431.

1506 Rendell, R. W., and S. M. Girvin, 1981, “Hall voltage dependence on inversion-layer geometry in the quantum Hall-effect regime/* Phys. Rev. В 23, 6610—6614.

1507 Ribeiro, C. A., and J. C. Pfister, 1972, “Hall effect measurements of hole mobility in an inversion layer of a MOS structure at low temperatures/’ Solid State Commun. 10, 63 — 69.

1508 Rice, T. M., 1965, “The effects of electron-electron interaction on the properties of metals,” Ann. Phys. (N.Y.) 31, 100— 129.

1509 Ritchie, R. H,, 1957, “Plasma losses by fast electrons in thin films,” Phys. Rev. 106, 874—881.

1510 Roberts, G. G., and M. J. Morant, eds., 1980, Insulating Films on Semiconductors, 1979 (Institute of Physics, Bristol).

1511 Roberts, G. G., К. P. Pande, and W. A. Barlow, 1977, “InP- Langmuir-film M.l.S. structures,” Electron. Lett. 13, 581-583.

1512 Roberts, G. G., К. P. Pande, and W. A. Barlow, 1978, “InP/Langmuir-film M.I.S.F.E.T.,” IEE J. Solid State Electron Devices 2, 169 — 175.

1513 Roberts, O. D., 1975, “Reflectance of an array of charge conducting layers,” Z. Phys. В 22, 21 — 30.

1514*Romanov, О. V., V. Ya. Uritskii, and B. F. Gruzinov, 1969, “Carrier mobility in the inversion layers on the surface of silicon,” Fiz. Tekh. Poluprovodn. 3. 1414—1416 [Sov. Phys.— Semicond. 3, 1183-1184(1970)].

1515*Romanov, О. V., V Ya. Uritskii, and A. M. Yaiyasov, 1976, “Influence of ion implantation on surface transport of carriers in silicon,” Fiz. Tekh. Poluprovodn. 10, 332-337 [Sov. Phys. — Semicond. 10, 198 — 201 (1976)].

1516* Romanov, О. V., A. M. Yaiyasov, and V. Ya. Uritskii, 1979, “Influence of various factors on surface charge transport in the valence band of silicon,” Fiz. Tekh. Poluprovodn. 13, 2100-2105 [Sov. Phys—Semicond. 13, 1228- 1231].

1517 Romanov, Yu. A., 1979, “Plasma oscillations in a superlattice subjected to a strong high-frequency electric field," Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 21, 877-882 [Sov. Phys.—Solid State 21, 513-516 (1979)].

1518*Romanov, Yu. A., and E. V. Demidov, 1980, “Nonlinear conductivity of thin semiconductor films,” Fiz. Tekh. Polupro

tem for studying strong field mixing effects/’ Surf. Sci. 98, 513-514.

1500 Rauh, H„ and R. Kummel, 1980a, “Theory of the temperature dependence of the enhanced valley splitting in surface states of silicon MOSFETs,” Surf. Sci. 98, 370—377.

1501 Rauh, H., and R. Kummel, 1980b, “Critical temperatures for the observation of valley-splitting in Si-MOSFETs,” Solid State Commun. 35, 731—733.

1502 Rauh, H., and R. Kummel, 1980c, “Many-body enhancement of the valley splitting in Si-MOSFETs at finite temperatures: Reexamination of the 2-dimensionality of the system and critical temperatures for the valley splitting,” in Proceedings of the I5th International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 49, Suppl. A, 971 — 974].

1503 Rauh, H., and R. Kummel, 1980d, “On the two-dimensionality of many-body effects in surface quantum states of Si- MOSFETs," Z. Phys. В 39, 219-226.

1504 Redin, R. D., H. A. Undem, and H. H. Soonpaa, 1977, “Effects of adsorption on the electrical conductivity of thin crystals of bismuth tellurium sulfide,” Surf. Sci. 69, 702 — 707.

1505 Reisinger, H., and F. Koch, 1981, “Spectroscopy of InAs sub- bands,” Solid State Commun. 37, 429—431.

1506 Rendell, R. W., and S. M. Girvin, 1981, “Hall voltage dependence on inversion-layer geometry in the quantum Hall-effect regime/* Phys. Rev. В 23, 6610—6614.

1507 Ribeiro, C. A., and J. C. Pfister, 1972, “Hall effect measurements of hole mobility in an inversion layer of a MOS structure at low temperatures/’ Solid State Commun. 10, 63 — 69.

1508 Rice, T. M., 1965, “The effects of electron-electron interaction on the properties of metals,” Ann. Phys. (N.Y.) 31, 100— 129.

1509 Ritchie, R. H,, 1957, “Plasma losses by fast electrons in thin films,” Phys. Rev. 106, 874—881.

1510 Roberts, G. G., and M. J. Morant, eds., 1980, Insulating Films on Semiconductors, 1979 (Institute of Physics, Bristol).

1511 Roberts, G. G., К. P. Pande, and W. A. Barlow, 1977, “InP- Langmuir-film M.l.S. structures,” Electron. Lett. 13, 581-583.

1512 Roberts, G. G., К. P. Pande, and W. A. Barlow, 1978, “InP/Langmuir-film M.I.S.F.E.T.,” IEE J. Solid State Electron Devices 2, 169 — 175.

1513 Roberts, O. D., 1975, “Reflectance of an array of charge conducting layers,” Z. Phys. В 22, 21 — 30.

1514*Romanov, О. V., V. Ya. Uritskii, and B. F. Gruzinov, 1969, “Carrier mobility in the inversion layers on the surface of silicon,” Fiz. Tekh. Poluprovodn. 3. 1414—1416 [Sov. Phys.— Semicond. 3, 1183-1184(1970)].

1515*Romanov, О. V., V Ya. Uritskii, and A. M. Yaiyasov, 1976, “Influence of ion implantation on surface transport of carriers in silicon,” Fiz. Tekh. Poluprovodn. 10, 332-337 [Sov. Phys. — Semicond. 10, 198 — 201 (1976)].

1516* Romanov, О. V., A. M. Yaiyasov, and V. Ya. Uritskii, 1979, “Influence of various factors on surface charge transport in the valence band of silicon,” Fiz. Tekh. Poluprovodn. 13, 2100-2105 [Sov. Phys—Semicond. 13, 1228- 1231].

1517 Romanov, Yu. A., 1979, “Plasma oscillations in a superlattice subjected to a strong high-frequency electric field," Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 21, 877-882 [Sov. Phys.—Solid State 21, 513-516 (1979)].

1518*Romanov, Yu. A., and E. V. Demidov, 1980, “Nonlinear conductivity of thin semiconductor films,” Fiz. Tekh. Polupro

vodn. 14, 1526—1531 [Sov. Phys. — Semicond. 14, 906 — 908 (1980)].

Rona, M., and A. Eryelebi, 1979, “Polaron model for localiza- 1519 tion in Si inversion layers," in Physics of Semiconductors.

1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1239-1242.

Roos, M., and H. Kohler, 1979, “Investigation of the reprodu- 1520 cibility of electronic properties in л-type inverted silicon MOSFET surfaces," Phys. Status Solidi В 94, 469 — 475.

Roos, M., and H. Kohler, 1980, “Valley splitting and valley 1521 degeneracy factor in л-type silicon (110) and (111) inversion layers,” in Proceedings of the 15th International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 49, Suppl. A, 975-978].

Roos, M., and G. Landwehr, 1978, “Shubnikov—de Haas os- 1522 dilations caused by a two-dimensional leakage channel on silicon MOSFETs induced by electron irradiation,” IEEE Trans. Nucl. Sci. NS-25, 1246-1250.

Rosenbaum, T. F., K. Andres, G. A. Thomas, and P. A. Lee, 1523 1981, “Conductivity cusp in a disordered metal," Phys. Rev.

Lett. 46, 568-571.

Rosthal, R. A., and R. E. Prange, 1976, “Effects of finite 1524 thickness on the interacting electron gas in a surface inversion layer," Surf. Sci. 58, 325 (abstract).

Roth, L. M., H. J. Zeiger, and T. A. Kaplan, 1966, “Generali- 1525 zation of the Ruderman-Kittel-Kasuya-Yosida interaction for nonspherical Fermi surfaces,” Phys. Rev. 149, 519 — 525.

Roy, J. В., P. K. Basu, and B. R. Nag, 1980, “Mobility of elec- 1526 irons in a quantized accumulation layer on ZnO limited by phonon scattering," Phys. Status Solidi В 102, K125—K128.

Roychoudhury, D., and P. K. Basu, 1977, “Density-of-states 1527 mass for quantized accumulation layers measured from C-V characteristics," Solid-State Electron. 20, 1023- 1024.

Roychoudhury, D., and P. K. Basu, 1980, “Mobility of elec- 1528 trons in a quantized silicon inversion layer due to phonon scattering," Phys. Rev. В 22, 6325 — 6329.

Rozhkov, S. S„ and P. M. Tomchuk, 1977, “Current fluctua- 1529’ tions in semiconductors in the presence of a quantizing elec- tnc field,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 72, 248 — 256 [Sov. Phys. — JETP 45, 130-134 (1977)].

Rundgren, J., and G. Malmstrom, 1977, “Transmission and re- 1530 flection of low-energy electrons at the surface barrier of a metal," J. Phys. C 10, 4671 —4687.

Rutledge, J. L., and W. E. Armstrong, 1972, “Effective surface 1531 mobility theory,” Solid-State Electron. 15, 215 — 219.

Rybalko, A. S., 1980, “Interaction of helium surface electrons 1532 with electromagnetic radiation," Fiz. Nizk. Temp. 6, 141 —146 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 67 — 69 (1980)].

Rybalko, A. S., B. N. Esel’son, and Yu. Z. Kovdrya, 1979, 15 3 3 “Liquid-crystal phase transition in a system of surface electrons at temperatures below 0.3 K,” Fiz. Nizk. Temp. 5, 947 — 949 [Sov. J. Low Temp. Phys. 5, 450-451].

Rybalko, A. S., Yu. Z. Kovdrya, and B. N. Esel'son, 1975, 1534 “Electron mobility near the surface of liquid helium at temperatures down to 0.5’K,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red.

569-572 [JETP Lett. 22, 280-281 (1976)].

Rytova, N. S., 1966, “Resonance absorption of electromagnetic 1535 waves in a thin film," Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 8, 2672-2678 [Sov. Phys. — Solid State 8, 2136-2140 (1967)].

Ryzhii, V. L, 1968, “Quantum oscillations of electrical conduc- 1536

3981-3986.Sakaki, H., 1980, “Scattering suppression and high-mobility effect of size-quantized electrons in ultrafine semiconductor wire structures,” Jpn. J. Appl. Phys. 19, L735 —L738.Sakaki, H„ L. L. Chang, G. A. Sai-Halasz, C. A. Chang, and L. Esaki, 1978, "Two-dimensional electronic structure in InAs-GaSb superlattices,” Solid State Commun. 26, 589-592.Sakaki, H., L. L. Chang, and L. Esaki, 1979, “Subbandstructure related anisotropy in negative magnetoresistivity of semiconductor superlattices," in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 737-740.Sakaki, H., K. Hoh, and T. Sugano, 1970, “Determination of interface-state density and mobility ratio in silicon surface inversion layers,” IEEE Trans. Electron Devices ED-17, 892-896.Sakaki, H., and T. Sugano, 1971, "Galvanomagnetic effects in silicon surface inversion layers,” Jpn. J. Appl. Phys. 10, 1036-1027.Sakaki, H., and Sugano, T., 1972a, "Anisotropic channel conductivity of a MOS transistor on the (110) surface of silicon,” in Proceedings of the 3rd Conference en Solid State Devices, Tokyo, 1971 [J. Japan Soc. Appl. Phys. 41 Suppl., 141— 149].Sakaki, H., and Sugano, T., 1972b, "Nonlinear transport and negative differential mobility of hot electrons in silicon surface inversion layers,” Ann. Rep. Eng. Res, Inst. Univ. Tokyo 31, 121-125.Sakaki, H., and T. Sugano, 1974, "Negative differential resistance and thermal effect in silicon MOS field-effect transistors,” in Proceedings of the Sth Conference on Solid State Devices, Tokyo, 1973 [J. Japan Soc. Appl. Phys. 43 Suppl., 314-322].Sakaki, H., K. Wagatsuma, J. Hamasaki, and S. Saito, 1976, “Velocity-field characteristics of size-quantized electrons in thin semiconductor films having corrugated surfaces,” Seisan-Kenkyu 28, 78 — 80.Sakurai, T., and T. Sugano, 1980, “Gap states of crystalline silicon and amorphous SiO2 system,” in The Physics of MOS Insulators, edited by G. Lucovsky, S. T. Pantelides, and F. L. Galeener (Pergamon, New York), pp. 241 — 245.Salashchenko, V. N., B. N. Zvonkov, O. N. Filatov, and 1. A. Karpovich, 1975, “Quantum size effect in thin films of lead telluride,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 17, 3641 — 3643 [Sov. Phys. — Solid State 17, 2367-2368 (1975)].Sander, L. M., 1975, “Electron localization at a liquid helium surface,” Phys. Rev. В 11,4350—4354.Sander, L. M., J. H. Rose, and H. B. Shore, 1980, “Charge density waves in two- and three-dimensional jellium,” Phys. Rev. В 21, 2739 - 2744.Sanders, T. M., Jr., and G. Weinreich, 1976, "Energies of external electron surface states on liquid helium,” Phys. Rev. В 13, 4810-4834.Sandomirskii, V. B., 1967, "Quantum size effect in a semimetal film,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 52, 158 — 166 [Sov. Phys. — JETP 25, 101-306 (1967)].Sardaryan, V. S., and M. M. Arakelyan, 1978, "Bound states of electrons and optical phonons under conditions of one- dimensional quantizing,” Phys. Status Solidi В 85, 459 — 463.Saris, F. W., W. K. Chu, C.-A. Chang, R. Ludeke, and L.Esaki, 1980, "Ion backscattering and channeling study of3981-3986.Sakaki, H., 1980, “Scattering suppression and high-mobility effect of size-quantized electrons in ultrafine semiconductor wire structures,” Jpn. J. Appl. Phys. 19, L735 —L738.Sakaki, H„ L. L. Chang, G. A. Sai-Halasz, C. A. Chang, and L. Esaki, 1978, "Two-dimensional electronic structure in InAs-GaSb superlattices,” Solid State Commun. 26, 589-592.Sakaki, H., L. L. Chang, and L. Esaki, 1979, “Subbandstructure related anisotropy in negative magnetoresistivity of semiconductor superlattices," in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 737-740.Sakaki, H., K. Hoh, and T. Sugano, 1970, “Determination of interface-state density and mobility ratio in silicon surface inversion layers,” IEEE Trans. Electron Devices ED-17, 892-896.Sakaki, H., and T. Sugano, 1971, "Galvanomagnetic effects in silicon surface inversion layers,” Jpn. J. Appl. Phys. 10, 1036-1027.Sakaki, H., and Sugano, T., 1972a, "Anisotropic channel conductivity of a MOS transistor on the (110) surface of silicon,” in Proceedings of the 3rd Conference en Solid State Devices, Tokyo, 1971 [J. Japan Soc. Appl. Phys. 41 Suppl., 141— 149].Sakaki, H., and Sugano, T., 1972b, "Nonlinear transport and negative differential mobility of hot electrons in silicon surface inversion layers,” Ann. Rep. Eng. Res, Inst. Univ. Tokyo 31, 121-125.Sakaki, H., and T. Sugano, 1974, "Negative differential resistance and thermal effect in silicon MOS field-effect transistors,” in Proceedings of the Sth Conference on Solid State Devices, Tokyo, 1973 [J. Japan Soc. Appl. Phys. 43 Suppl., 314-322].Sakaki, H., K. Wagatsuma, J. Hamasaki, and S. Saito, 1976, “Velocity-field characteristics of size-quantized electrons in thin semiconductor films having corrugated surfaces,” Seisan-Kenkyu 28, 78 — 80.Sakurai, T., and T. Sugano, 1980, “Gap states of crystalline silicon and amorphous SiO2 system,” in The Physics of MOS Insulators, edited by G. Lucovsky, S. T. Pantelides, and F. L. Galeener (Pergamon, New York), pp. 241 — 245.Salashchenko, V. N., B. N. Zvonkov, O. N. Filatov, and 1. A. Karpovich, 1975, “Quantum size effect in thin films of lead telluride,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 17, 3641 — 3643 [Sov. Phys. — Solid State 17, 2367-2368 (1975)].Sander, L. M., 1975, “Electron localization at a liquid helium surface,” Phys. Rev. В 11,4350—4354.Sander, L. M., J. H. Rose, and H. B. Shore, 1980, “Charge density waves in two- and three-dimensional jellium,” Phys. Rev. В 21, 2739 - 2744.Sanders, T. M., Jr., and G. Weinreich, 1976, "Energies of external electron surface states on liquid helium,” Phys. Rev. В 13, 4810-4834.Sandomirskii, V. B., 1967, "Quantum size effect in a semimetal film,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 52, 158 — 166 [Sov. Phys. — JETP 25, 101-306 (1967)].Sardaryan, V. S., and M. M. Arakelyan, 1978, "Bound states of electrons and optical phonons under conditions of one- dimensional quantizing,” Phys. Status Solidi В 85, 459 — 463.Saris, F. W., W. K. Chu, C.-A. Chang, R. Ludeke, and L.Esaki, 1980, "Ion backscattering and channeling study of1556155715581559156015611562156315641565156615671568156915701571157215561557155815591560156115621563156415651566156715681569157015711572

3981-3986.

Sakaki, H., 1980, “Scattering suppression and high-mobility effect of size-quantized electrons in ultrafine semiconductor wire structures,” Jpn. J. Appl. Phys. 19, L735 —L738.

Sakaki, H„ L. L. Chang, G. A. Sai-Halasz, C. A. Chang, and L. Esaki, 1978, "Two-dimensional electronic structure in InAs-GaSb superlattices,” Solid State Commun. 26, 589-592.

Sakaki, H., L. L. Chang, and L. Esaki, 1979, “Subbandstructure related anisotropy in negative magnetoresistivity of semiconductor superlattices," in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 737-740.

Sakaki, H., K. Hoh, and T. Sugano, 1970, “Determination of interface-state density and mobility ratio in silicon surface inversion layers,” IEEE Trans. Electron Devices ED-17, 892-896.

Sakaki, H., and T. Sugano, 1971, "Galvanomagnetic effects in silicon surface inversion layers,” Jpn. J. Appl. Phys. 10, 1036-1027.

Sakaki, H., and Sugano, T., 1972a, "Anisotropic channel conductivity of a MOS transistor on the (110) surface of silicon,” in Proceedings of the 3rd Conference en Solid State Devices, Tokyo, 1971 [J. Japan Soc. Appl. Phys. 41 Suppl., 141— 149].

Sakaki, H., and Sugano, T., 1972b, "Nonlinear transport and negative differential mobility of hot electrons in silicon surface inversion layers,” Ann. Rep. Eng. Res, Inst. Univ. Tokyo 31, 121-125.

Sakaki, H., and T. Sugano, 1974, "Negative differential resistance and thermal effect in silicon MOS field-effect transistors,” in Proceedings of the Sth Conference on Solid State Devices, Tokyo, 1973 [J. Japan Soc. Appl. Phys. 43 Suppl., 314-322].

Sakaki, H., K. Wagatsuma, J. Hamasaki, and S. Saito, 1976, “Velocity-field characteristics of size-quantized electrons in thin semiconductor films having corrugated surfaces,” Seisan-Kenkyu 28, 78 — 80.

Sakurai, T., and T. Sugano, 1980, “Gap states of crystalline silicon and amorphous SiO2 system,” in The Physics of MOS Insulators, edited by G. Lucovsky, S. T. Pantelides, and F. L. Galeener (Pergamon, New York), pp. 241 — 245.

Salashchenko, V. N., B. N. Zvonkov, O. N. Filatov, and 1. A. Karpovich, 1975, “Quantum size effect in thin films of lead telluride,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 17, 3641 — 3643 [Sov. Phys. — Solid State 17, 2367-2368 (1975)].

Sander, L. M., 1975, “Electron localization at a liquid helium surface,” Phys. Rev. В 11,4350—4354.

Sander, L. M., J. H. Rose, and H. B. Shore, 1980, “Charge density waves in two- and three-dimensional jellium,” Phys. Rev. В 21, 2739 - 2744.

Sanders, T. M., Jr., and G. Weinreich, 1976, "Energies of external electron surface states on liquid helium,” Phys. Rev. В 13, 4810-4834.

Sandomirskii, V. B., 1967, "Quantum size effect in a semimetal film,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 52, 158 — 166 [Sov. Phys. — JETP 25, 101-306 (1967)].

Sardaryan, V. S., and M. M. Arakelyan, 1978, "Bound states of electrons and optical phonons under conditions of one- dimensional quantizing,” Phys. Status Solidi В 85, 459 — 463.

Saris, F. W., W. K. Chu, C.-A. Chang, R. Ludeke, and L.

Esaki, 1980, "Ion backscattering and channeling study of

3981-3986.

Sakaki, H., 1980, “Scattering suppression and high-mobility effect of size-quantized electrons in ultrafine semiconductor wire structures,” Jpn. J. Appl. Phys. 19, L735 —L738.

Sakaki, H„ L. L. Chang, G. A. Sai-Halasz, C. A. Chang, and L. Esaki, 1978, "Two-dimensional electronic structure in InAs-GaSb superlattices,” Solid State Commun. 26, 589-592.

Sakaki, H., L. L. Chang, and L. Esaki, 1979, “Subbandstructure related anisotropy in negative magnetoresistivity of semiconductor superlattices," in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 737-740.

Sakaki, H., K. Hoh, and T. Sugano, 1970, “Determination of interface-state density and mobility ratio in silicon surface inversion layers,” IEEE Trans. Electron Devices ED-17, 892-896.

Sakaki, H., and T. Sugano, 1971, "Galvanomagnetic effects in silicon surface inversion layers,” Jpn. J. Appl. Phys. 10, 1036-1027.

Sakaki, H., and Sugano, T., 1972a, "Anisotropic channel conductivity of a MOS transistor on the (110) surface of silicon,” in Proceedings of the 3rd Conference en Solid State Devices, Tokyo, 1971 [J. Japan Soc. Appl. Phys. 41 Suppl., 141— 149].

Sakaki, H., and Sugano, T., 1972b, "Nonlinear transport and negative differential mobility of hot electrons in silicon surface inversion layers,” Ann. Rep. Eng. Res, Inst. Univ. Tokyo 31, 121-125.

Sakaki, H., and T. Sugano, 1974, "Negative differential resistance and thermal effect in silicon MOS field-effect transistors,” in Proceedings of the Sth Conference on Solid State Devices, Tokyo, 1973 [J. Japan Soc. Appl. Phys. 43 Suppl., 314-322].

Sakaki, H., K. Wagatsuma, J. Hamasaki, and S. Saito, 1976, “Velocity-field characteristics of size-quantized electrons in thin semiconductor films having corrugated surfaces,” Seisan-Kenkyu 28, 78 — 80.

Sakurai, T., and T. Sugano, 1980, “Gap states of crystalline silicon and amorphous SiO2 system,” in The Physics of MOS Insulators, edited by G. Lucovsky, S. T. Pantelides, and F. L. Galeener (Pergamon, New York), pp. 241 — 245.

Salashchenko, V. N., B. N. Zvonkov, O. N. Filatov, and 1. A. Karpovich, 1975, “Quantum size effect in thin films of lead telluride,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) 17, 3641 — 3643 [Sov. Phys. — Solid State 17, 2367-2368 (1975)].

Sander, L. M., 1975, “Electron localization at a liquid helium surface,” Phys. Rev. В 11,4350—4354.

Sander, L. M., J. H. Rose, and H. B. Shore, 1980, “Charge density waves in two- and three-dimensional jellium,” Phys. Rev. В 21, 2739 - 2744.

Sanders, T. M., Jr., and G. Weinreich, 1976, "Energies of external electron surface states on liquid helium,” Phys. Rev. В 13, 4810-4834.

Sandomirskii, V. B., 1967, "Quantum size effect in a semimetal film,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 52, 158 — 166 [Sov. Phys. — JETP 25, 101-306 (1967)].

Sardaryan, V. S., and M. M. Arakelyan, 1978, "Bound states of electrons and optical phonons under conditions of one- dimensional quantizing,” Phys. Status Solidi В 85, 459 — 463.

Saris, F. W., W. K. Chu, C.-A. Chang, R. Ludeke, and L.

Esaki, 1980, "Ion backscattering and channeling study of

1556

1557

1558

1559

1560

1561

1562

1563

1564

1565

1566

1567

1568

1569

1570

1571

1572

1556

1557

1558

1559

1560

1561

1562

1563

1564

1565

1566

1567

1568

1569

1570

1571

1572

tivity of thin films in a magnetic field,” Fiz. Tverd. Tela (Leningrad) ID, 2887 — 2889 [Sov. Phys. — Solid State 10, 2286-2287 (1969)].

1537*Ryzhii, V. 1., 1969, “Quantum theory of the electrical conductivity of thin semiconducting films in a strong magnetic field,” Fiz. Tekh. Poluprovodn. 3, 1704 — 1706 [Sov. Phys. — Semicond. 3, 1432-1433 (1970)].

1538*Ryzhii, V. 1., 1971, “New type of conductivity oscillation in a semiconductor surface layer in a transverse quantizing magnetic field,” Fiz. Tverd. Teh (Leningrad) 13, 3139 — 3141 [Sov. Phys. — Solid State 13, 2644-2645 (1972)].

1539 Sabnis, A. G., and J. T. Clemens, 1979, “Characterization of the electron mobility in the inverted (100) Si surface,” in /979 International Electron Devices Meeting Technical Digest (IEEE, Piscataway, NJ.), pp. 18 — 21.

1540 Sah, С. T., 1976a, "Bulk and interface imperfections in semiconductors,” Solid-State Electron. 19, 975—990.

1541 Sah, С. T., 1976b, “The origin of interface states and interface charges generated by ionizing radiation,” IEEE Trans. Nucl. Sci. NS-23, 1563-1568.

1542 Sah, С. T., J. R. Edwards, and T. H. Ning, 3972a, "Observation of mobility anisotropy of electrons on (110) silicon surfaces at low temperatures,” Phys. Status Solidi A 10, 153- 160.

1543 Sah, С. T., T. H. Ning, and L. L. Tschopp, 1972b, “The scattering of electrons by surface oxide charges and by lattice vibrations at the silicon-silicon dioxide interface,” Surf. Sci. 32, 561-575.

1544 Sai-Halasz, G. A., 1979, “Semiconductor superlattices,” in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 21 — 30.

1545 Sai-Halasz, G. A., 1980, “Man-made semiconductor superlattices,” in New Developments in Semiconductor Physics, edited by F. Beleznay, G. Ferenczi, and J. Giber (Lecture Notes in Physics, Vol. 122; Springer, Berlin), pp. 215 — 225.

1546 Sai-Halasz, G. A., L. L. Chang, J.-M. Welter, C.-A. Chang, and L. Esaki, 1978a, ‘‘Optical absorption of In^Ga^As- GaSb]_,As, superlattices," Solid State Commun. 27, 935-937.

1547 Sai-Halasz, G. A., L. Esaki, and W. A. Harrison, 3978b, “InAs-GaSb superlattice energy structure and its semiconductor-semimetal transition,” Phys. Rev. В 38, 2812-2818.

1548 Sai-Halasz, G. A., A. Pinczuk, P. Y. Yu, and L. Esaki, 1978c, “Superlattice umklapp processes in resonant Raman scattering,” Surf. Sci. 73, 232-237.

1549 Sai-Halasz, G. A„ A. Pinczuk, P. Y. Yu, and L. Esaki, 1978d, “Resonance enhanced umklapp Raman processes in1 GaAs-Ga)_xAl,As superlattices,” Solid State Commun. 25, 381-384.

1550 Sai-Halasz, G. A., R. Tsu, and L. Esaki, 1977, “A new semiconductor superlattice,” Appl. Phys. Lett. 30, 651—653.

1551 Saitoh, M., 1977, “Warm electrons on the liquid 4He surface," J. Phys. Soc. Japan 42, 201 — 209.

1552 Saitoh, M., and T. Aoki, 3978a, “Theory of hot electrons on the surface of *He,” Surf. Sci. 73, 291 — 295.

1553 Saitoh, M., and T. Aoki, 1978b, “Theory of hex electrons on the liquid 4He surface,” J. Phys. Soc. Japan 44, 71 —79.

1554 Saitoh, M., and T. Aoki, 1980, “Cyclotron resonance of hot electrons on the surface of 4He,” Surf. Sci. 98, 61 —65.

1555 Sak, J., 1972, “Theory of surface polarons,” Phys. Rev. В 6,

InAs-GaSb superlattices,” Appl. Phys. Lett. 37, 931—933.

1573 Sarker, S., and E. Domany, 1981, “Scaling theory of Anderson localization: A renormalization-group approach/’ Phys. Rev. В 23, 6018-6036.

1574 Sato, K., and Y. Nagaoka, 1978, “Polarization-wave instability in quasi-two-dimensional system of electrons,” Solid State Commun. 26, 299 — 301.

1575 Sato, T., Y. Takeishi, and H. Hara, 1969, “Effects of crystallographic orientation on mobility, surface state density, and noise in p-type inversion layers on oxidized silicon surfaces,’* Jpn. J. Appl. Phys. 8, 588—598.

1576 Sato, T., Y. Takeishi, H. Hara, and Y. Okamoto, 1971a, “Mobility anisotropy of electrons in inversion layers on oxidized silicon surfaces,” Phys. Rev. В 4, 1950—1960.

1577 Sato, T, Y. Takeishi, H. Tango, H. Ohnuma, and Y. Okamoto, 1971b, “Drift-velocity saturation of holes in Si inversion layers/’ J. Phys. Soc. Japan 31, 1846.

1578 Satpathy, S., and M. Altarelli, 1981, “Model calculation of the optical properties of semiconductor quantum wells,” Phys. Rev. В 23, 2977-2982.

1579 Schaber, H., and R. E. Doezema, 1979, “Magnetoreflectivity of the inversion layer on p-PbTe in the far infrared,” Phys. Rev. В 20, 5257-5266.

1580 Schaber, H., R. E. Doezema, J. F. Koch, and A. Lopez-Otero, 1978, “Magnetoreflectance of surface space charge layers on PbTe,” Solid State Commun. 26, 7—10; Surf. Sci. 73, 503 — 504 (extended abstract).

1581 Schaber, H., R. E. Doezema, P. J. Stiles, and A. Lopez-Otero, 1977, “Quantum oscillations in an inversion layer on p- PbTe,” Solid State Commun. 23, 405 — 408.

1582 Schaffter. F. and F. Koch, 1981, “Subband spectroscopy at room temperature,” Solid State Commun. 37, 365 — 368.

1583**Schiff, L- L, 1955, Quantum Mechanics, 2nd ed. (McGraw- Hill, New York), p. 120.

1584 Schmid, A., 1974, “On the dynamics of electrons in an impure metal," Z. Phys. 271, 251-256.

1585 Schneider, P. M., and W. B. Fowler, 1978, “One-electron energy bands of silicon dioxide in the ideal ^-cristobalite structure,” Phys. Rev. В 18, 7122-7133.

1586 Schoepe, W., and G. W. Rayfield, 1973, “Tunneling from electronic bubble states in liquid helium through the liquid-vapor interface,” Phys. Rev. A 7, 2131 — 2121.

1587 Scholz, J., and F. Koch, 1980, “Spectroscopy of electron subbands on Ge-(lll)," Solid State Commun. 34, 249 — 251.

1588 Schrieffer, J. R., 1957, “Mobility in inversion layers: Theory and experiment,” in Semiconductor Surface Physics, edited by R. H. Kingston (University of Pennsylvania Press, Philadelphia), pp. 55 — 69.

1589 Schulman, J. N., and T. C. McGill, 1977, "Band structure of AlAs-GaAs(100) superlattices," Phys. Rev. Lett. 39, 1680- 1683; 40, 483(E) (1978).

1590 Schulman, J. N., and T. C. McGill, 1979a, “Electronic properties of AlAs-GaAs (001) interface and superlattice," Phys. Rev. В 19, 6341-6349.

1591 Schulman, J. N„ and T. C. McGill, 1979b, “Ideal CdTe/HgTe superlattices," J. Vac. Sci. Technol. 16, 1513 — 1516.

1592 Schulman, J. N., and T. C. McGill, 1981, “Complex band structure and superlattice electronic states," Phys. Rev. В 23, 4149-4155.

size-quantized metal films," Phys. Status Solidi В 79, 149-153.Schulte, F. K., 1979, “Theory of valley-splitting without 1594 effective-mass approximation,” Solid State Commun. 32, 483-485.Schulte, F. K., 1980a, “Electron energies in n-inversion layers 1595 of Si/SiO2 calculated without effective-mass approximation,” Surf. Sci. 98, 366-369.Schulte, F. K., 1980b, “Кц-dependence of subband energies for 1596 Si(001) я-inversion layers," Solid State Commun. 35, 65 — 67.Schulz, M., 1980, “MOS interface states," in Insulating Films 1597 on Semiconductors, 1979, edited by G. G. Roberts and M. J.Morant (Institute of Physics, Bristol), pp. 87 — 96.Schulz, M., and N. M. Johnson, 1978, “Evidence for multipho- 1598 non emission from interface states in MOS structures,” Solid State Commun. 25, 481—484.Schulz, M., E. Klausmann, and A. Hurrle, 1975, “Correlation 1599 of surface states with impurities/* Crit. Rev. Solid State Sci. 5, 319-325.Schulz, M., and G. Pensi, eds„ 1981, Insulating Films on Sem- 1600 iconductors (Springer, Berlin).Sernelius, В. E-, and K.-F. Berggren, 1980, “Variation of the 1601 electron effective mass with ionic scattering in siticon inversion layers," Surf Sci. 98, 191 — 196.Sesselmann, W„ T. Cole, J. P. Kotthaus, R. Kdleftr, H. 160- Gesch, I. Eisele, G. Dorda, and P. Goy, 1979, “Investigation of the band structure in inversion layers on vicinal planes of (300)-Si," in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L.H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1343—1346.Sesselmann, W., and J. P. Kotthaus, 1979, “Spectroscopic 1603 determination of the energy gaps in the inversion layer bandstructure on vicinal planes of Si(OOl)/’ Solid State Commun. 31, 193 — 196.Severson, К. E., and H. H. Soonpaa, 1977, “Peaked structure 1604 in a single-crystal film," Thin Solid Films 42, 61 — 67.Sham, L. J., 1979a, "Theory of inversion layers on high-index 1605 surface of silicon," in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1339—3342.Sham, L. J., 1979b, "Quasi-two dimensional electron system at 1606 the semiconductor interface," in Physics of Low-Dimensional Systems (Proceedings of Kyoto Summer Institute, 1979), edited by Y. Nagaoka and S. Hikami (Publication Office, Progress of Theoretical Physics, Kyoto), pp. 195 — 230.Sham, L. J., S. J. Allen, Jr., A. Kamgar, and D. C. Tsui, 1978, 1607 “Valley-valley splitting in inversion layers on a high index surface of silicon," Phys. Rev. Lett. 40, 472 — 475.Sham, L. J., and W. Kohn, 1966, “One-particle properties of 160? an inhomogeneous interacting electron gas," Phys. Rev. 145, 561-567.Sham, L. J., and M. Nakayama, 1978, “Effect of interface on 160€ the effective mass approximation," Surf. Sci. 73, 272 — 280.Sham, L. J., and M. Nakayama, 1979, “Effective-mass approx- 161( imation in the presence of an interface,” Phys. Rev. В 20, 734-747.Sheka, V. L, 1964, “Electron combination resonance intensity 1611 in semiconductors with a narrow forbidden band," Fiz.Tverd. Tela (Leningrad) 6, 3099 - 3106 [Sov. Phys. — Solid State 6, 2470-2475 (1965)).Sherman, A. V., 1981, “Dependence of the polaron binding en- 1612size-quantized metal films," Phys. Status Solidi В 79, 149-153.Schulte, F. K., 1979, “Theory of valley-splitting without 1594 effective-mass approximation,” Solid State Commun. 32, 483-485.Schulte, F. K., 1980a, “Electron energies in n-inversion layers 1595 of Si/SiO2 calculated without effective-mass approximation,” Surf. Sci. 98, 366-369.Schulte, F. K., 1980b, “Кц-dependence of subband energies for 1596 Si(001) я-inversion layers," Solid State Commun. 35, 65 — 67.Schulz, M., 1980, “MOS interface states," in Insulating Films 1597 on Semiconductors, 1979, edited by G. G. Roberts and M. J.Morant (Institute of Physics, Bristol), pp. 87 — 96.Schulz, M., and N. M. Johnson, 1978, “Evidence for multipho- 1598 non emission from interface states in MOS structures,” Solid State Commun. 25, 481—484.Schulz, M., E. Klausmann, and A. Hurrle, 1975, “Correlation 1599 of surface states with impurities/* Crit. Rev. Solid State Sci. 5, 319-325.Schulz, M., and G. Pensi, eds„ 1981, Insulating Films on Sem- 1600 iconductors (Springer, Berlin).Sernelius, В. E-, and K.-F. Berggren, 1980, “Variation of the 1601 electron effective mass with ionic scattering in siticon inversion layers," Surf Sci. 98, 191 — 196.Sesselmann, W„ T. Cole, J. P. Kotthaus, R. Kdleftr, H. 160- Gesch, I. Eisele, G. Dorda, and P. Goy, 1979, “Investigation of the band structure in inversion layers on vicinal planes of (300)-Si," in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L.H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1343—1346.Sesselmann, W., and J. P. Kotthaus, 1979, “Spectroscopic 1603 determination of the energy gaps in the inversion layer bandstructure on vicinal planes of Si(OOl)/’ Solid State Commun. 31, 193 — 196.Severson, К. E., and H. H. Soonpaa, 1977, “Peaked structure 1604 in a single-crystal film," Thin Solid Films 42, 61 — 67.Sham, L. J., 1979a, "Theory of inversion layers on high-index 1605 surface of silicon," in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1339—3342.Sham, L. J., 1979b, "Quasi-two dimensional electron system at 1606 the semiconductor interface," in Physics of Low-Dimensional Systems (Proceedings of Kyoto Summer Institute, 1979), edited by Y. Nagaoka and S. Hikami (Publication Office, Progress of Theoretical Physics, Kyoto), pp. 195 — 230.Sham, L. J., S. J. Allen, Jr., A. Kamgar, and D. C. Tsui, 1978, 1607 “Valley-valley splitting in inversion layers on a high index surface of silicon," Phys. Rev. Lett. 40, 472 — 475.Sham, L. J., and W. Kohn, 1966, “One-particle properties of 160? an inhomogeneous interacting electron gas," Phys. Rev. 145, 561-567.Sham, L. J., and M. Nakayama, 1978, “Effect of interface on 160€ the effective mass approximation," Surf. Sci. 73, 272 — 280.Sham, L. J., and M. Nakayama, 1979, “Effective-mass approx- 161( imation in the presence of an interface,” Phys. Rev. В 20, 734-747.Sheka, V. L, 1964, “Electron combination resonance intensity 1611 in semiconductors with a narrow forbidden band," Fiz.Tverd. Tela (Leningrad) 6, 3099 - 3106 [Sov. Phys. — Solid State 6, 2470-2475 (1965)).Sherman, A. V., 1981, “Dependence of the polaron binding en- 16121593 Schulte, F. K., 1977, “Energies and Fermi levels of electrons in

size-quantized metal films," Phys. Status Solidi В 79, 149-153.

Schulte, F. K., 1979, “Theory of valley-splitting without 1594 effective-mass approximation,” Solid State Commun. 32, 483-485.

Schulte, F. K., 1980a, “Electron energies in n-inversion layers 1595 of Si/SiO2 calculated without effective-mass approximation,” Surf. Sci. 98, 366-369.

Schulte, F. K., 1980b, “Кц-dependence of subband energies for 1596 Si(001) я-inversion layers," Solid State Commun. 35, 65 — 67.

Schulz, M., 1980, “MOS interface states," in Insulating Films 1597 on Semiconductors, 1979, edited by G. G. Roberts and M. J.

Morant (Institute of Physics, Bristol), pp. 87 — 96.

Schulz, M., and N. M. Johnson, 1978, “Evidence for multipho- 1598 non emission from interface states in MOS structures,” Solid State Commun. 25, 481—484.

Schulz, M., E. Klausmann, and A. Hurrle, 1975, “Correlation 1599 of surface states with impurities/* Crit. Rev. Solid State Sci. 5, 319-325.

Schulz, M., and G. Pensi, eds„ 1981, Insulating Films on Sem- 1600 iconductors (Springer, Berlin).

Sernelius, В. E-, and K.-F. Berggren, 1980, “Variation of the 1601 electron effective mass with ionic scattering in siticon inversion layers," Surf Sci. 98, 191 — 196.

Sesselmann, W„ T. Cole, J. P. Kotthaus, R. Kdleftr, H. 160- Gesch, I. Eisele, G. Dorda, and P. Goy, 1979, “Investigation of the band structure in inversion layers on vicinal planes of (300)-Si," in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L.

H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1343—1346.

Sesselmann, W., and J. P. Kotthaus, 1979, “Spectroscopic 1603 determination of the energy gaps in the inversion layer bandstructure on vicinal planes of Si(OOl)/’ Solid State Commun. 31, 193 — 196.

Severson, К. E., and H. H. Soonpaa, 1977, “Peaked structure 1604 in a single-crystal film," Thin Solid Films 42, 61 — 67.

Sham, L. J., 1979a, "Theory of inversion layers on high-index 1605 surface of silicon," in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1339—3342.

Sham, L. J., 1979b, "Quasi-two dimensional electron system at 1606 the semiconductor interface," in Physics of Low-Dimensional Systems (Proceedings of Kyoto Summer Institute, 1979), edited by Y. Nagaoka and S. Hikami (Publication Office, Progress of Theoretical Physics, Kyoto), pp. 195 — 230.

Sham, L. J., S. J. Allen, Jr., A. Kamgar, and D. C. Tsui, 1978, 1607 “Valley-valley splitting in inversion layers on a high index surface of silicon," Phys. Rev. Lett. 40, 472 — 475.

Sham, L. J., and W. Kohn, 1966, “One-particle properties of 160? an inhomogeneous interacting electron gas," Phys. Rev. 145, 561-567.

Sham, L. J., and M. Nakayama, 1978, “Effect of interface on 160€ the effective mass approximation," Surf. Sci. 73, 272 — 280.

Sham, L. J., and M. Nakayama, 1979, “Effective-mass approx- 161( imation in the presence of an interface,” Phys. Rev. В 20, 734-747.

Sheka, V. L, 1964, “Electron combination resonance intensity 1611 in semiconductors with a narrow forbidden band," Fiz.

Tverd. Tela (Leningrad) 6, 3099 - 3106 [Sov. Phys. — Solid State 6, 2470-2475 (1965)).

Sherman, A. V., 1981, “Dependence of the polaron binding en- 1612

size-quantized metal films," Phys. Status Solidi В 79, 149-153.

Schulte, F. K., 1979, “Theory of valley-splitting without 1594 effective-mass approximation,” Solid State Commun. 32, 483-485.

Schulte, F. K., 1980a, “Electron energies in n-inversion layers 1595 of Si/SiO2 calculated without effective-mass approximation,” Surf. Sci. 98, 366-369.

Schulte, F. K., 1980b, “Кц-dependence of subband energies for 1596 Si(001) я-inversion layers," Solid State Commun. 35, 65 — 67.

Schulz, M., 1980, “MOS interface states," in Insulating Films 1597 on Semiconductors, 1979, edited by G. G. Roberts and M. J.

Morant (Institute of Physics, Bristol), pp. 87 — 96.

Schulz, M., and N. M. Johnson, 1978, “Evidence for multipho- 1598 non emission from interface states in MOS structures,” Solid State Commun. 25, 481—484.

Schulz, M., E. Klausmann, and A. Hurrle, 1975, “Correlation 1599 of surface states with impurities/* Crit. Rev. Solid State Sci. 5, 319-325.

Schulz, M., and G. Pensi, eds„ 1981, Insulating Films on Sem- 1600 iconductors (Springer, Berlin).

Sernelius, В. E-, and K.-F. Berggren, 1980, “Variation of the 1601 electron effective mass with ionic scattering in siticon inversion layers," Surf Sci. 98, 191 — 196.

Sesselmann, W„ T. Cole, J. P. Kotthaus, R. Kdleftr, H. 160- Gesch, I. Eisele, G. Dorda, and P. Goy, 1979, “Investigation of the band structure in inversion layers on vicinal planes of (300)-Si," in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L.

H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1343—1346.

Sesselmann, W., and J. P. Kotthaus, 1979, “Spectroscopic 1603 determination of the energy gaps in the inversion layer bandstructure on vicinal planes of Si(OOl)/’ Solid State Commun. 31, 193 — 196.

Severson, К. E., and H. H. Soonpaa, 1977, “Peaked structure 1604 in a single-crystal film," Thin Solid Films 42, 61 — 67.

Sham, L. J., 1979a, "Theory of inversion layers on high-index 1605 surface of silicon," in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1339—3342.

Sham, L. J., 1979b, "Quasi-two dimensional electron system at 1606 the semiconductor interface," in Physics of Low-Dimensional Systems (Proceedings of Kyoto Summer Institute, 1979), edited by Y. Nagaoka and S. Hikami (Publication Office, Progress of Theoretical Physics, Kyoto), pp. 195 — 230.

Sham, L. J., S. J. Allen, Jr., A. Kamgar, and D. C. Tsui, 1978, 1607 “Valley-valley splitting in inversion layers on a high index surface of silicon," Phys. Rev. Lett. 40, 472 — 475.

Sham, L. J., and W. Kohn, 1966, “One-particle properties of 160? an inhomogeneous interacting electron gas," Phys. Rev. 145, 561-567.

Sham, L. J., and M. Nakayama, 1978, “Effect of interface on 160€ the effective mass approximation," Surf. Sci. 73, 272 — 280.

Sham, L. J., and M. Nakayama, 1979, “Effective-mass approx- 161( imation in the presence of an interface,” Phys. Rev. В 20, 734-747.

Sheka, V. L, 1964, “Electron combination resonance intensity 1611 in semiconductors with a narrow forbidden band," Fiz.

Tverd. Tela (Leningrad) 6, 3099 - 3106 [Sov. Phys. — Solid State 6, 2470-2475 (1965)).

Sherman, A. V., 1981, “Dependence of the polaron binding en- 1612

373-377 (1974)].1630Shikin, V. B., and Yu. P. Monarkha, 1974, “On the interaction of surface electrons in liquid helium with oscillations of the vapor-liquid interface," J. Low Temp. Phys. 16, 193 — 208.1631*Shikin, V. B., and Yu. P. Monarkha, 1975, “Surface charges in helium (a survey),” Fiz. Nizk. Temp. 1, 957 — 983 [Sov. J. Low Temp. Phys. I, 459-472 (1975)].1632Shikin, V. B., and F. 1. B. Williams, 1981, “Electrons on a dielectric liquid-vapor interface. Stability in presence of normal magnetic field," J. Low Temp. Phys. 43, 1— 15.1633Shinba, Y., and K. Nakamura, 1981, “Phonon-limited electron mobility in Sit 100) inversion layer at low temperatures," J.Phys. Soc. Japan 50, 114— 120.1634Shiraki, Y., 1977, “Photoconductivity of silicon inversion layers," J. Phys. C 10, 4539-4544.1635Shiue, С. C., and С. T. Sah, 1976, “Studies of electron screening effects on the electron mobility in silicon surface inversion layers," Surf. Sci. 58, 153— 161.1636Shiue, С. C, and С. T. Sah, 1979, “New mobilitymeasurement technique on inverted semiconductor surfaces near the conduction threshold," Phys. Rev. В 19, 2149—2162. 1637Shiue, С. C., and С. T. Sah, 1980, “Theory and experiment of electron mobility on silicon surface in weak inversion," Surf.Sci. 98, 173.1638*Shklovskii, В. 1., 1977, “Critical behavior of the Hall coefficient near the percolation threshold," Zh. Eksp. Teor. Fiz. 72, 288-295 [Sov. Phys. — JETP 45, 152-156 (1977)].16 39Shmelev, G. M , 1. A. Chaikovskii, V. V. Pavlovich, and Ё. M.373-377 (1974)].1630Shikin, V. B., and Yu. P. Monarkha, 1974, “On the interaction of surface electrons in liquid helium with oscillations of the vapor-liquid interface," J. Low Temp. Phys. 16, 193 — 208.1631*Shikin, V. B., and Yu. P. Monarkha, 1975, “Surface charges in helium (a survey),” Fiz. Nizk. Temp. 1, 957 — 983 [Sov. J. Low Temp. Phys. I, 459-472 (1975)].1632Shikin, V. B., and F. 1. B. Williams, 1981, “Electrons on a dielectric liquid-vapor interface. Stability in presence of normal magnetic field," J. Low Temp. Phys. 43, 1— 15.1633Shinba, Y., and K. Nakamura, 1981, “Phonon-limited electron mobility in Sit 100) inversion layer at low temperatures," J.Phys. Soc. Japan 50, 114— 120.1634Shiraki, Y., 1977, “Photoconductivity of silicon inversion layers," J. Phys. C 10, 4539-4544.1635Shiue, С. C., and С. T. Sah, 1976, “Studies of electron screening effects on the electron mobility in silicon surface inversion layers," Surf. Sci. 58, 153— 161.1636Shiue, С. C, and С. T. Sah, 1979, “New mobilitymeasurement technique on inverted semiconductor surfaces near the conduction threshold," Phys. Rev. В 19, 2149—2162. 1637Shiue, С. C., and С. T. Sah, 1980, “Theory and experiment of electron mobility on silicon surface in weak inversion," Surf.Sci. 98, 173.1638*Shklovskii, В. 1., 1977, “Critical behavior of the Hall coefficient near the percolation threshold," Zh. Eksp. Teor. Fiz. 72, 288-295 [Sov. Phys. — JETP 45, 152-156 (1977)].16 39Shmelev, G. M , 1. A. Chaikovskii, V. V. Pavlovich, and Ё. M.

373-377 (1974)].1630

Shikin, V. B., and Yu. P. Monarkha, 1974, “On the interaction of surface electrons in liquid helium with oscillations of the vapor-liquid interface," J. Low Temp. Phys. 16, 193 — 208.1631*

Shikin, V. B., and Yu. P. Monarkha, 1975, “Surface charges in helium (a survey),” Fiz. Nizk. Temp. 1, 957 — 983 [Sov. J. Low Temp. Phys. I, 459-472 (1975)].1632

Shikin, V. B., and F. 1. B. Williams, 1981, “Electrons on a dielectric liquid-vapor interface. Stability in presence of normal magnetic field," J. Low Temp. Phys. 43, 1— 15.1633

Shinba, Y., and K. Nakamura, 1981, “Phonon-limited electron mobility in Sit 100) inversion layer at low temperatures," J.

Phys. Soc. Japan 50, 114— 120.1634

Shiraki, Y., 1977, “Photoconductivity of silicon inversion layers," J. Phys. C 10, 4539-4544.1635

Shiue, С. C., and С. T. Sah, 1976, “Studies of electron screening effects on the electron mobility in silicon surface inversion layers," Surf. Sci. 58, 153— 161.1636

Shiue, С. C, and С. T. Sah, 1979, “New mobilitymeasurement technique on inverted semiconductor surfaces near the conduction threshold," Phys. Rev. В 19, 2149—2162. 1637

Shiue, С. C., and С. T. Sah, 1980, “Theory and experiment of electron mobility on silicon surface in weak inversion," Surf.

Sci. 98, 173.1638*

Shklovskii, В. 1., 1977, “Critical behavior of the Hall coefficient near the percolation threshold," Zh. Eksp. Teor. Fiz. 72, 288-295 [Sov. Phys. — JETP 45, 152-156 (1977)].16 39

Shmelev, G. M , 1. A. Chaikovskii, V. V. Pavlovich, and Ё. M.

373-377 (1974)].1630

Shikin, V. B., and Yu. P. Monarkha, 1974, “On the interaction of surface electrons in liquid helium with oscillations of the vapor-liquid interface," J. Low Temp. Phys. 16, 193 — 208.1631*

Shikin, V. B., and Yu. P. Monarkha, 1975, “Surface charges in helium (a survey),” Fiz. Nizk. Temp. 1, 957 — 983 [Sov. J. Low Temp. Phys. I, 459-472 (1975)].1632

Shikin, V. B., and F. 1. B. Williams, 1981, “Electrons on a dielectric liquid-vapor interface. Stability in presence of normal magnetic field," J. Low Temp. Phys. 43, 1— 15.1633

Shinba, Y., and K. Nakamura, 1981, “Phonon-limited electron mobility in Sit 100) inversion layer at low temperatures," J.

Phys. Soc. Japan 50, 114— 120.1634

Shiraki, Y., 1977, “Photoconductivity of silicon inversion layers," J. Phys. C 10, 4539-4544.1635

Shiue, С. C., and С. T. Sah, 1976, “Studies of electron screening effects on the electron mobility in silicon surface inversion layers," Surf. Sci. 58, 153— 161.1636

Shiue, С. C, and С. T. Sah, 1979, “New mobilitymeasurement technique on inverted semiconductor surfaces near the conduction threshold," Phys. Rev. В 19, 2149—2162. 1637

Shiue, С. C., and С. T. Sah, 1980, “Theory and experiment of electron mobility on silicon surface in weak inversion," Surf.

Sci. 98, 173.1638*

Shklovskii, В. 1., 1977, “Critical behavior of the Hall coefficient near the percolation threshold," Zh. Eksp. Teor. Fiz. 72, 288-295 [Sov. Phys. — JETP 45, 152-156 (1977)].16 39

Shmelev, G. M , 1. A. Chaikovskii, V. V. Pavlovich, and Ё. M.

ergy and effective mass in a crystal layer on its thickness,”" Solid State Commun. 39, 273 — 277.

1613* Shevchenko, S. 1., 1976, “Theory of superconductivity of systems with pairing of spatially separated electrons and holes,” Fiz. Nizk. Temp. 2, 505-516 [Sov. J. Low Temp. Phys. 2, 251-257 (1976)].

1614* Shevchenko, S. 1., 1977,“Ginzburg-Landau equations and quantum coherent phenomena in systems with electron-hole pairing," Fiz. Nizk. Temp. 3, 605 — 622 [Sov. J. Low Temp.

- Phys. 3,293-302 (1977)].

1615* Shevchenko, S. I., and I. O. Kulik, 1976, “Electrodynamics of electron pairing in low-dimensionality crystals without inversion centers," Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 23, 171 — 173 [JETP Lett. 23, 150-153 (1976)].

1616*Shik, A. Ya., 1974, “Superlattices — periodic semiconductor structures (review)," Fiz. Tekh. Poluprovodn. 8, 1841 — 1864 [Sov. Phys. — Semicond. 8, 1195-1209 (1974)].

1617* Shik, A. Ya-, 1976, “Conductivity of inhomogeneous surface channels,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 70, 2211 — 2217 [Sov. Phys. — JETP 43, 1154-1157 (1976)].

1618* Shikin, V. B., 1974, “Excitation of capillary waves in helium by a Wigner lattice of surface electrons,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 19, 647 - 650 [JETP Lett. 19, 335-336 (1974)].

1619 * Shikin, V. B., 1975, “Collective modes of a system of electrons on a helium surface," Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 22, 328-331 [JETP Lett. 22, 154-155 (1975)].

1620*Shikin, V. B., 1977a, “The collective-excitation spectrum of the Wigner electron crystal on a liquid-helium surface," Zh. Eksp. Teor. Fiz. 72, 1619-1629 [Sov. Phys. — JETP 45, 850-856 (1977)].

1621* Shikin, V. B., 1977b, "Cyclotron resonance with surfece electrons in liquid helium,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 25, 425-428 [JETP Lett. 25, 397 - 400 (1977)].

1622 Shikin, V. B., 1978a, “Theory of localized electron states on the liquid helium surface,” Surf. Sci. 73, 396 — 410.*

1623* Shikin, V. B., 1978b, “Multielectron bubbles in liquid helium," Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 27, 44-47 [JETP Lett. 27, 39-41 (1978)].

1624 Shikin, V. B., 1978c, “Parametric excitation of electrons at the liquid helium surface in a magnetic field,” J. Phys. (Paris) 39, Colloques, C6-336 — C6-337.

1625*Shikin, V. B., 1979a, “Parametric excitation of electrons on the surface of liquid helium in a magnetic field,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 76, 199 - 211 [Sov. Phys. — JETP 49, 102-108 (1979)].

1626*Shikin, V. B., 1979b, “The cyclotron frequency shift for electrons localized at the surface of liquid helium," Zh. Eksp. Teor. Fiz. П, 717-732 [Sov. Phys. — JETP 50, 361-369 (1979)].

1627 Shikin, V. B., 1979c, “Some properties of two-dimensional Wigner crystal on the liquid helium surface," in Physics of Low-Dimensional Systems (Proceedings of Kyoto Summer Institute, 1979), edited by Y. Nagaoka and S. Hikami (Publication Office, Progress of Theoretical Physics, Kyoto), pp. 177-193.

1628*Shikin, V. B., and P. Leiderer, 1980, “Many-electron holes on the surface of liquid helium," Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 32, 439 - 442 [JETP Lett. 32, 416-418 (1980)].

1629*Shikin, V. B., and Yu. P. Monarkha, 1973, “Free electrons on the surface of liquid helium in the presence of external fields,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 65, 751-761 [Sov. Phys. — JETP 38,

Epshtein, 1977a, “Electron-phonon interaction in a superlattice,” Phys. Status Solidi В 80, 697 — 710.

Shmelev, G. M., 1. A. Chaikovskii, V. V. Pavlovich, and Ё. M. 1640 Epshtein, 1977b, “Plasma oscillations in a superlattice," Phys.

Status Solidi В 82, 391-395.

Shockley, W., and G. L. Pearson, 1948, “Modulation of con- 1641 ductance of thin films of semi-conductors by surface charges," Phys. Rev. 74, 232-233.

Shore, H. В., E. Zaremba, J. H. Rose, and L. Sander, 1979, 1642 “Density-functional theory of Wigner crystallization," Phys, ^ev. В 18, 6506-6509.

Siggia, E. D., and P. C. Kwok, 1970, "Properties of electrons 1643 in semiconductor inversion layers with many occupied electric subbands. I. Screening and impurity scattering." Phys. Rev.

В 2, 1024-1036.

Sigmon, T. W., W. K. Chu, E. Lugujjo, and J. W. Mayer, 1644 1974, “Stoichiometry of thin silicon oxide layers on silicon," Appl. Phys. Lett. 24, 105-107.

Silbermann, R , and G. Landwehr, 1975, “Surface quantum os- 1645 cillations in accumulation and inversion layers on tellurium," Solid State Commun. 16,1055—1058.

Silbermann, R., and G. Landwehr, 1976, "Quantized electrons 1646 and holes in tellurium surfaces,” Surf. Sci. 58, 252 — 253.

Silbermann, R., G. Landwehr, and H. Kohler, 1971. “Field ef- 1647 feet in tellurium,” Solid.State Commun. 9, 949—951.

Silbermann, R., G. Landwehr, J. C. Thuillier, and J. Bouat, 1648 1974, “Influence of external electric fields on surface quantum oscillations in tellurium,” in Proceedings of the Second International Conference on Solid Surfaces, Kyoto [Jpn. J. Appl.

Phys. Suppl. 2, Pt. 2, 359-362].

Silin, V. P., and О. M. Tolkachev, 1979, “Cyclotron resonance 1649* of skipping electrons and determination of the electronelectron interaction in bismuth," Fiz. Tverd. Tela (Leningrad)

1650

1651

1652

1653

1654

1655

1656

1657

1658

1659*

1660

1661 .

1662

1663

1664

1665 1666

1667

1668

1669

1670

1671

21, 1300-1306 [Sov. Phys. — Solid State 21, 753-757 (1979)].'

Silversmith, D. J., 1972, “Nonuniform lateral ionic impurity distributions at Si-SiO2 interfaces,” J. Electrochem. Soc. 119, 1589-1593.‘

Singh, J., and A. Madhukar, 1981, “The origin and nature of silicon band-gap states at the Si/SiO2 interface,” Appl. Phys. Lett. 38, 884-886.

Singwi, K. S., M. P. Tosi, R. H. Land, and A. Sjolander, 1968, “Electron correlations at metallic densities,” Phys. Rev. 176, 589-599.

Sinha, S. K., ed., 1980, Ordering in Таю Dimensions (Elsevier —North-Holland, New York).

Sjogren, L., 1980, “Collective properties of a two-dimensional classical electron liquid,” J. Phys. C 13, L841 — L846.

Sjostrand, M. E., T. Cole, and P. J. Stiles, 1976, “Low temperature saturation of the channel conductivity in silicon inversion layers,” Surf. Sci. 58, 72 — 78.

Sjostrand, M. E., and P. J. Stiles, 1975, “The channel conductivity in л-type Si inversion layers at very low electron densities,” Solid State Commun. 16, 903 — 907.

Smith, J. L., and P. J. Stiles, 1972, “Electron-electron interactions continuously variable in the range 2.1 > r, >0.9," Phys Rev. Lett. 29, 102-104.

Smith, J. L., and P. J. Stiles, 1974, “The dependence of the electron-electron enhancement of the effective mass on magnetic field," in Low Temperature Physics-LT 13, edited by K. D. Timmerhaus, W. J. O’Sullivan, and E. F. Hammel (Plenum, New York), Vol. 4, pp. 32 — 36.

Smith, R. A., 1978, Semiconductors, 2nd ed. (Cambridge University Press, London).

Snel, J., 1981, “The doped Si/SiO2 interface,” Solid-State Electron. 24, 135-139.

Solomon, P. M., 1977, “On the establishment of an inversion layer in p- and л-type silicon substrates under conditions of high oxide fields,” Appl. Phys. Lett. 30, 597 — 598.

Solomon, P. M., and D. J. DiMaria, 1981, “Effect of forming gas anneal on Al-SiO2 internal photoemission characteristics,” J. Appl. Phys. 52, 5867-5869.

Sommer, W. T., and D. J. Tanner, 1971, “Mobility of electrons mi the surface of liquid 4He,” Phys. Rev. Lett. 27, 1345-1349.

Soonpaa, H. H., 1975, “An unusual C-V effect,” Crit. Rev. Solid State Sci. 5, 341-343.

Soonpaa, H. H., 1976a, “Electrical conductivity in a conductor 5 atoms thick," Surf. Sci. 58, 42 — 47.

Soonpaa, H. H., 1976b, “A size effect semiconductor,” in Proceedings of the 13th International Conference on the Physics of Semiconductors, Rome, edited by F. G. Fumi (North- Holland, Amsterdam), pp. 364— 367.

Soonpaa, H. H., 1978a, “Thin crystal as a 2D system," Surf Sci. 73, 90-95.

Soonpaa, H. H., 1978b, “Minimum metallic conductivity in a thin crystal,” Solid State Commun. 27, 877 — 879.

Soonpaa, H. H., 1979, “Low field magnetoconductivity in thin crystals," Solid State Commun. 31, 493—496.

Soonpaa, H. H., 1980, “Experimental observations mi thin crystals of Bi2(Tei_xS,)3 in the localization region,” Surf. Sci. 98, 220-224.

Soukoulis, С. M., and E. N. Economou, 1980, “Localization in

disordered two-dimensional systems,” Phys. Rev. Lett. 45, 1590-1593.

Spasojevic, Z., V. Milanovic, and D. Tjapkin, 1980, “The cal- 1672 culation of the carrier concentration in a symmetrical MISIM structure inversion layer," Solid State Commun. 34, 489-492.

Spenke, E., 1955, Elektronische Halbleiter (Springer, Berlin), p. 1673 282.

Springett, В. E., M. H. Cohen, and J. Jortner, 1967, “Proper- 1674 ties of an excess electron in liquid helium: The effect of pressure on the properties of the negative ion,” Phys. Rev. 159, 183 — 390.

Srinivasan, G., and M. Jonson, 1975, “Dielectric screening in 1675 inversion layers," J. Phys. C 8, L37 —L40.

Stallhofer, P., J. P. Kotthaus, and G. Abstreiter, 3979, “Effects 1676 of uniaxial stress on the cyclotron resonance in inversion layers mi Si(lOO)," Solid State Commun. 32, 655 — 658.

Stallhofer, P., J. P. Kotthaus, and J. F. Koch, 1976, "Surface 1677 cyclotron resonance in Si under uniaxial stress," Solid State Commun. 20, 519 — 522.

Stallhofer, P., H. Miosga, and J. P. Kotthaus, 1978, “The ef- 1678 feet of temperature and stress on the surface cyclotron resonance in (100)Si," Surf. Sci. 73, 340—341.

Stannard, J. E., T. A. Kennedy, and B. D. McCombe, 1976, 1679 “Properties of surface carriers at GaAs-native oxide interfaces," J. Vac. Sci. Technol. 13, 869—872.

Stark, D., and P. Zwicknagl, 1980, “Experimental study of 1680 quantum size effects in very thin metal films,” Appl. Phys. 21, 397-406.

Stauffer, D., 1979, “Scaling theory of percolation clusters," 1681 Phys. Rep. 54, 1—74.

Stein, J., and U. Krey, 1979, “Numerical stndies on the Ander- 1682 son localization problem. 1. Localization edges and critical exponents," Z. Phys. В 34, 287 — 296.

Stein, J., and U. Krey, 1980a, “Numerical studies mi the An- 1683 derson localization problem. II. Conductivity,” Z. Phys. В 37, 13-22.

Stein, J., and U. Krey, 1980b, “On the size-dependence of the 1684 electrical conductivity for strongly disordered two-dimensional systems,” Solid State Commun. 36, 951—955.

Stern, F., 1967, “Polarizability of a two-dimensional electron 1685 gas," Phys. Rev. Lett. 18, 546-548.

Stern, F., 3968, “Transverse Hall effect in the electric quantum 1686 limit," Phys. Rev. Lett. 21, 1687—1690.

Stern, F., 1970a, “Iteration methods for calculating self- 1687 consistent fields in semiconductor inversion layers,” J. Com- put. Phys. 6, 56—67.

Stern, F., 3970b, “Quantum and continuum results for inver- 1688 sion layers," in Proceedings of the Tenth International Conference on the Physics of Semiconductors, Combridge, Massachusetts, edited by S. P. Keller, J. C. Hensel, and F. Stern (U. S. Atomic Energy Commission, Oak Ridge, Tennessee), pp. 451-458.

Stern F., 1972a, “Surface quantization and surface transport in 1689 . semiconductor inversion and accumulation layers," J. Vac.

Sci. Technol. 9, 752-753.

Stern, F., 3972b, “Self-consistent results for л-type Si inversion 1690 layers," Phys. Rev. В 5, 4891-4899.

Stern, F., 1973, “Electron exchange energy in Si inversion 1691 layers," Phys. Rev. Lett. 30, 278 - 280.

1692** Stern, F., 1974a, "Quantum properties of surface space-charge layers,” Crit. Rev. ScHid State Sci. 4, 499—514.

1693 Stern, F., 1974b, “Evidence for a mobility edge in inversion layers," Phys. Rev. В 9, 2762-2765.

1694 Stem, F., 1974c, “Evidence for a mobility edge in inversion layers. Il,” J. Vac. Sci. Technol. 11, 962 — 964.

1695 Stern, F., 1974d, “Exchange energy in inversion layers: Thickness effects,” in Proceedings of the Second International Conference on Solid Surfaces, Kyoto [Jpn. J. Appl. Phys. Suppl. 2, Pt. 2, 323-3281.

1696 Stern, F., 1974e, “Calculated energy levels and optical absorption in n-type Si accumulation layers at low temperature,” Phys. Rev. Lett. 33, 960-963.

1697 Stern, F., 1976av “Screening and level broadening in inversion layers with random fixed charges,” Surf. Sci. 58, 162—168.

1698 Stern, F., 1976b, “Recent progress in electronic properties of quasi-two-dimensional systems,” Surf. Sci. 58, 333 — 340.

1699 Stern, F., 1976c, “Image and exchange effects on inversion layer wave functions,” Bull Am. Phys. Soc. 21, 343.

1700 Stern, F., 1977, “Effect of a thin transition layer at a Si-SiO2 interface on electron mobility and energy levels,” Solid State Commun. 21, 163 — 166.

1701 Stem, F., 1978a, “Two-subband screening and transport in (001) silicon inversion layers,” Surf. Sci. 73, 197 — 206.

1702 Stern, F., 1978b, “Image potential near a gradual interface between two dielectrics," Phys. Rev. В 17, 5009 — 5015.

1703 Stem, F., 1980a, “Conference Summary [Yamada Conference II on Electronic Properties of Two-Dimensional Systems (Third International Conference)],’* Surf. Sci. 98, 613—616.

1704 Stem, F., 1980b, “Calculated temperature dependence of mobility in silicon inversion layers,” Phys. Rev. Lett. 44, 1469-1472.

1705 Stem, F., and W. E. Howard, 1967, “Properties of semiconductor surface inversion layers in the electric quantum limit,” Phys. Rev. 163, 816-835.

1706 Stiles, P. L, 1974a, “Properties of carriers at the Si-SiO: interface in MOSFET structures,” J. Vac. Sci. Technol. 11, 958-961.

1707 Stiles, P. J., 1974b, “Electronic properties of interface carriers at low temperatures,” in Proceedings of the Second International Conference on Solid Surfaces, Kyoto [Jpn. J. Appl. Phys. Suppl. 2, Pt. 2, 333-338].

1708 Stiles, P. J., 1978, “The artificial superlattice in a two- dimensional system,” Surf. Sci. 73, 252 — 257.

1709 Stiles, P. J., 1979, “Transport in quasi-two-dimensional space charge layers,” in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 41 — 52.

1710 Stiles, P. J., 1980, “Quasi-two-dimensional electron systems in semiconductor space charge layers,” Surf. Sci. 98, 143— 144.

1711 Stiles, P. J., T. Cole, and A. A. Lakhani, 1977, “Evidence for a superlattice at Si-SiO* interface,” J. Vac. Sci. Technol. 14, 969-971.

1712 Stormer, H. L., 1980, “Modulation doping of semiconductor superlattices and interfaces," in Proceedings of the 15th International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 49, Suppl. A, 1013 — 1020].

Physics, Bristol), pp. 557 — 560.Stormer, H. L„ R. Dingle, A. C. Gossard, W. Wiegmann, and 1714M. D. Sturge, 1979b, “Two-dimensional electron gas at a semiconductor-semiconductor interface,” Solid State Commun. 29, 705-709.Stormer, H. L., R. Dingle, A. C Gossard, W. Wiegmann, and 1715 M. D. Sturge, 1979c, “Two-dimensional electron gas at differentially doped GaAs-Al,Gat_,As heterojunction interface," J. Vac. Sci Technol. 16, 1517-1519.Stormer, H. L., A. C. Gossard, and W. Wiegmann, 1981a, 1716 “Backside-gated modulation-doped GaAs-(AlGa)As heterojunction interface,” Appl. Phys. Lett. 39, 493 — 495.Stormer, H. L., A. C. Gossard, W. Wiegmann, and K. 1717Baldwin, 1981b, “Dependence of electron mobility in modulation-doped GaAs-(AlGa)As heterojunction interfaces on electron density and Al concentration," Appl. Phys. Lett. 39, 912-914.Stormer, H. L., A. Pinczuk, A. C. Gossard, and W. Wieg- 1718 mann, 1981c, “Influence of undoped (AlGa)As spacer on mobility enhancement in GaAs-(AlGa)As superlattices,” Appl.Phys. Lett. 38, 691 —693.Stormer, H. L., and W. -T. Tsang, 1980, “Two-dimensional 1719 hole gas at a semiconductor heterojunction interface,” Appl.Phys. Lett. 35,685-687.Stradling, R. A., 1980, “The physics of space charge layers," 1720 in insulating Films on Semiconductors, 1979, edited by G. G. Roberts and M. J. Morant (Institute of Physics, Bristol), pp. 1-11.Stradling, R. A., and R. J. Tidey, 1975, “Peaked structure ap- 1721 pearing in the field effect mobility of silicon MOS devices at temperatures above 20 K," Crit. Rev. Solid State Sci. 5, 359-368.Studart, N., and O. Hipolito, 1979, “Correlations and plasma 1722 oscillations of a two-dimensional classical electron system," Phys. Rev. A 19, 1790-1795.Studart, N., and O. Hipolito, 1980, “Electrodynamical proper- 1723 ties of two-dimensional classical electron systems,” Phys. Rev.A 22, 2860-2865.Sturge, M. D., A. Kamgar. and D. C. Tsui, 1978, “Time- 1724 resolved photoconductivity measurements in Si MOSFETs," Bull. Am. Phys. Soc. 23, 326.Sugano, T., 1974, “Electron transport in silicon surface inver- 1725 sion layer,” in Proceedings of the 5th Conference on Solid State Devices, Tokyo, 1973 [J. Japan Soc. Appl. Phys. 43 Suppl., 309-313].Sugano, T., 1980, "Physical and chemical properties of Si-SiO2 1726 transition regions,” Surf. Sci. 98, 145—153.Sugano, T., J. J. Chen, and T. Hamano, 1980, “Morphology of 1727 Si-SiO; interface.” Surf. Sci. 98, 154—166.Sugano, T., K. Hoh, H. Sakaki, T. Iizuka, K. Hirai, K. 1728 Kuroiwa, and K. Kakemoto, 1973. “Quantum state and electron transport of silicon-silicon dioxide interface and MIS device technology,” J. Faculty Engineering, Univ. Tokyo (B) XXXII, 155-371.Sugano, T., H. Sakaki, and K. Hoh, 1968, “Hall mobility of 1729 electrons in silicon surface inversion layers,” Jpn. J. Appl.Phys. 7, 1131.Sugano, T„ H. Sakaki, and K. Hoh, 3970, “Effect of heat 17 30 treatment on interface mobility of carriers in MOS structures," in Proceedings of the 1st Conference on Solid State De-Physics, Bristol), pp. 557 — 560.Stormer, H. L„ R. Dingle, A. C. Gossard, W. Wiegmann, and 1714M. D. Sturge, 1979b, “Two-dimensional electron gas at a semiconductor-semiconductor interface,” Solid State Commun. 29, 705-709.Stormer, H. L., R. Dingle, A. C Gossard, W. Wiegmann, and 1715 M. D. Sturge, 1979c, “Two-dimensional electron gas at differentially doped GaAs-Al,Gat_,As heterojunction interface," J. Vac. Sci Technol. 16, 1517-1519.Stormer, H. L., A. C. Gossard, and W. Wiegmann, 1981a, 1716 “Backside-gated modulation-doped GaAs-(AlGa)As heterojunction interface,” Appl. Phys. Lett. 39, 493 — 495.Stormer, H. L., A. C. Gossard, W. Wiegmann, and K. 1717Baldwin, 1981b, “Dependence of electron mobility in modulation-doped GaAs-(AlGa)As heterojunction interfaces on electron density and Al concentration," Appl. Phys. Lett. 39, 912-914.Stormer, H. L., A. Pinczuk, A. C. Gossard, and W. Wieg- 1718 mann, 1981c, “Influence of undoped (AlGa)As spacer on mobility enhancement in GaAs-(AlGa)As superlattices,” Appl.Phys. Lett. 38, 691 —693.Stormer, H. L., and W. -T. Tsang, 1980, “Two-dimensional 1719 hole gas at a semiconductor heterojunction interface,” Appl.Phys. Lett. 35,685-687.Stradling, R. A., 1980, “The physics of space charge layers," 1720 in insulating Films on Semiconductors, 1979, edited by G. G. Roberts and M. J. Morant (Institute of Physics, Bristol), pp. 1-11.Stradling, R. A., and R. J. Tidey, 1975, “Peaked structure ap- 1721 pearing in the field effect mobility of silicon MOS devices at temperatures above 20 K," Crit. Rev. Solid State Sci. 5, 359-368.Studart, N., and O. Hipolito, 1979, “Correlations and plasma 1722 oscillations of a two-dimensional classical electron system," Phys. Rev. A 19, 1790-1795.Studart, N., and O. Hipolito, 1980, “Electrodynamical proper- 1723 ties of two-dimensional classical electron systems,” Phys. Rev.A 22, 2860-2865.Sturge, M. D., A. Kamgar. and D. C. Tsui, 1978, “Time- 1724 resolved photoconductivity measurements in Si MOSFETs," Bull. Am. Phys. Soc. 23, 326.Sugano, T., 1974, “Electron transport in silicon surface inver- 1725 sion layer,” in Proceedings of the 5th Conference on Solid State Devices, Tokyo, 1973 [J. Japan Soc. Appl. Phys. 43 Suppl., 309-313].Sugano, T., 1980, "Physical and chemical properties of Si-SiO2 1726 transition regions,” Surf. Sci. 98, 145—153.Sugano, T., J. J. Chen, and T. Hamano, 1980, “Morphology of 1727 Si-SiO; interface.” Surf. Sci. 98, 154—166.Sugano, T., K. Hoh, H. Sakaki, T. Iizuka, K. Hirai, K. 1728 Kuroiwa, and K. Kakemoto, 1973. “Quantum state and electron transport of silicon-silicon dioxide interface and MIS device technology,” J. Faculty Engineering, Univ. Tokyo (B) XXXII, 155-371.Sugano, T., H. Sakaki, and K. Hoh, 1968, “Hall mobility of 1729 electrons in silicon surface inversion layers,” Jpn. J. Appl.Phys. 7, 1131.Sugano, T„ H. Sakaki, and K. Hoh, 3970, “Effect of heat 17 30 treatment on interface mobility of carriers in MOS structures," in Proceedings of the 1st Conference on Solid State De-1713 Stormer, H. L., R. Dingle, A. C. Gossard, W. Wiegmann, and R. A. Logan, 1979a, “Electronic properties of modulation- doped GaAs-AlxGaj_xAs superlattices," in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of

Physics, Bristol), pp. 557 — 560.

Stormer, H. L„ R. Dingle, A. C. Gossard, W. Wiegmann, and 1714

M. D. Sturge, 1979b, “Two-dimensional electron gas at a semiconductor-semiconductor interface,” Solid State Commun. 29, 705-709.

Stormer, H. L., R. Dingle, A. C Gossard, W. Wiegmann, and 1715 M. D. Sturge, 1979c, “Two-dimensional electron gas at differentially doped GaAs-Al,Gat_,As heterojunction interface," J. Vac. Sci Technol. 16, 1517-1519.

Stormer, H. L., A. C. Gossard, and W. Wiegmann, 1981a, 1716 “Backside-gated modulation-doped GaAs-(AlGa)As heterojunction interface,” Appl. Phys. Lett. 39, 493 — 495.

Stormer, H. L., A. C. Gossard, W. Wiegmann, and K. 1717

Baldwin, 1981b, “Dependence of electron mobility in modulation-doped GaAs-(AlGa)As heterojunction interfaces on electron density and Al concentration," Appl. Phys. Lett. 39, 912-914.

Stormer, H. L., A. Pinczuk, A. C. Gossard, and W. Wieg- 1718 mann, 1981c, “Influence of undoped (AlGa)As spacer on mobility enhancement in GaAs-(AlGa)As superlattices,” Appl.

Phys. Lett. 38, 691 —693.

Stormer, H. L., and W. -T. Tsang, 1980, “Two-dimensional 1719 hole gas at a semiconductor heterojunction interface,” Appl.

Phys. Lett. 35,685-687.

Stradling, R. A., 1980, “The physics of space charge layers," 1720 in insulating Films on Semiconductors, 1979, edited by G. G. Roberts and M. J. Morant (Institute of Physics, Bristol), pp. 1-11.

Stradling, R. A., and R. J. Tidey, 1975, “Peaked structure ap- 1721 pearing in the field effect mobility of silicon MOS devices at temperatures above 20 K," Crit. Rev. Solid State Sci. 5, 359-368.

Studart, N., and O. Hipolito, 1979, “Correlations and plasma 1722 oscillations of a two-dimensional classical electron system," Phys. Rev. A 19, 1790-1795.

Studart, N., and O. Hipolito, 1980, “Electrodynamical proper- 1723 ties of two-dimensional classical electron systems,” Phys. Rev.

A 22, 2860-2865.

Sturge, M. D., A. Kamgar. and D. C. Tsui, 1978, “Time- 1724 resolved photoconductivity measurements in Si MOSFETs," Bull. Am. Phys. Soc. 23, 326.

Sugano, T., 1974, “Electron transport in silicon surface inver- 1725 sion layer,” in Proceedings of the 5th Conference on Solid State Devices, Tokyo, 1973 [J. Japan Soc. Appl. Phys. 43 Suppl., 309-313].

Sugano, T., 1980, "Physical and chemical properties of Si-SiO2 1726 transition regions,” Surf. Sci. 98, 145—153.

Sugano, T., J. J. Chen, and T. Hamano, 1980, “Morphology of 1727 Si-SiO; interface.” Surf. Sci. 98, 154—166.

Sugano, T., K. Hoh, H. Sakaki, T. Iizuka, K. Hirai, K. 1728 Kuroiwa, and K. Kakemoto, 1973. “Quantum state and electron transport of silicon-silicon dioxide interface and MIS device technology,” J. Faculty Engineering, Univ. Tokyo (B) XXXII, 155-371.

Sugano, T., H. Sakaki, and K. Hoh, 1968, “Hall mobility of 1729 electrons in silicon surface inversion layers,” Jpn. J. Appl.

Phys. 7, 1131.

Sugano, T„ H. Sakaki, and K. Hoh, 3970, “Effect of heat 17 30 treatment on interface mobility of carriers in MOS structures," in Proceedings of the 1st Conference on Solid State De-

Physics, Bristol), pp. 557 — 560.

Stormer, H. L„ R. Dingle, A. C. Gossard, W. Wiegmann, and 1714

M. D. Sturge, 1979b, “Two-dimensional electron gas at a semiconductor-semiconductor interface,” Solid State Commun. 29, 705-709.

Stormer, H. L., R. Dingle, A. C Gossard, W. Wiegmann, and 1715 M. D. Sturge, 1979c, “Two-dimensional electron gas at differentially doped GaAs-Al,Gat_,As heterojunction interface," J. Vac. Sci Technol. 16, 1517-1519.

Stormer, H. L., A. C. Gossard, and W. Wiegmann, 1981a, 1716 “Backside-gated modulation-doped GaAs-(AlGa)As heterojunction interface,” Appl. Phys. Lett. 39, 493 — 495.

Stormer, H. L., A. C. Gossard, W. Wiegmann, and K. 1717

Baldwin, 1981b, “Dependence of electron mobility in modulation-doped GaAs-(AlGa)As heterojunction interfaces on electron density and Al concentration," Appl. Phys. Lett. 39, 912-914.

Stormer, H. L., A. Pinczuk, A. C. Gossard, and W. Wieg- 1718 mann, 1981c, “Influence of undoped (AlGa)As spacer on mobility enhancement in GaAs-(AlGa)As superlattices,” Appl.

Phys. Lett. 38, 691 —693.

Stormer, H. L., and W. -T. Tsang, 1980, “Two-dimensional 1719 hole gas at a semiconductor heterojunction interface,” Appl.

Phys. Lett. 35,685-687.

Stradling, R. A., 1980, “The physics of space charge layers," 1720 in insulating Films on Semiconductors, 1979, edited by G. G. Roberts and M. J. Morant (Institute of Physics, Bristol), pp. 1-11.

Stradling, R. A., and R. J. Tidey, 1975, “Peaked structure ap- 1721 pearing in the field effect mobility of silicon MOS devices at temperatures above 20 K," Crit. Rev. Solid State Sci. 5, 359-368.

Studart, N., and O. Hipolito, 1979, “Correlations and plasma 1722 oscillations of a two-dimensional classical electron system," Phys. Rev. A 19, 1790-1795.

Studart, N., and O. Hipolito, 1980, “Electrodynamical proper- 1723 ties of two-dimensional classical electron systems,” Phys. Rev.

A 22, 2860-2865.

Sturge, M. D., A. Kamgar. and D. C. Tsui, 1978, “Time- 1724 resolved photoconductivity measurements in Si MOSFETs," Bull. Am. Phys. Soc. 23, 326.

Sugano, T., 1974, “Electron transport in silicon surface inver- 1725 sion layer,” in Proceedings of the 5th Conference on Solid State Devices, Tokyo, 1973 [J. Japan Soc. Appl. Phys. 43 Suppl., 309-313].

Sugano, T., 1980, "Physical and chemical properties of Si-SiO2 1726 transition regions,” Surf. Sci. 98, 145—153.

Sugano, T., J. J. Chen, and T. Hamano, 1980, “Morphology of 1727 Si-SiO; interface.” Surf. Sci. 98, 154—166.

Sugano, T., K. Hoh, H. Sakaki, T. Iizuka, K. Hirai, K. 1728 Kuroiwa, and K. Kakemoto, 1973. “Quantum state and electron transport of silicon-silicon dioxide interface and MIS device technology,” J. Faculty Engineering, Univ. Tokyo (B) XXXII, 155-371.

Sugano, T., H. Sakaki, and K. Hoh, 1968, “Hall mobility of 1729 electrons in silicon surface inversion layers,” Jpn. J. Appl.

Phys. 7, 1131.

Sugano, T„ H. Sakaki, and K. Hoh, 3970, “Effect of heat 17 30 treatment on interface mobility of carriers in MOS structures," in Proceedings of the 1st Conference on Solid State De-

surface phonon interaction for ionic semiconductors,” Phys.Status Solidi В 97, K77 - K80.1749Tansal, S., A. B. Fowler, and R. F. Cotellessa, 1969, “Anomalous magnetoconductance in silicon surfaces,” Phys.Rev. 178. 1326-1327.1750surface phonon interaction for ionic semiconductors,” Phys.Status Solidi В 97, K77 - K80.1749Tansal, S., A. B. Fowler, and R. F. Cotellessa, 1969, “Anomalous magnetoconductance in silicon surfaces,” Phys.Rev. 178. 1326-1327.1750vices, Tokyo, 1969 [J. Japan Soc. AppL Phys. 39 Suppl., 192-202].

surface phonon interaction for ionic semiconductors,” Phys.

Status Solidi В 97, K77 - K80.1749

Tansal, S., A. B. Fowler, and R. F. Cotellessa, 1969, “Anomalous magnetoconductance in silicon surfaces,” Phys.

Rev. 178. 1326-1327.1750

surface phonon interaction for ionic semiconductors,” Phys.

Status Solidi В 97, K77 - K80.1749

Tansal, S., A. B. Fowler, and R. F. Cotellessa, 1969, “Anomalous magnetoconductance in silicon surfaces,” Phys.

Rev. 178. 1326-1327.1750

1731 Suh, Y. B., 1978, “Surface magnetic properties of Bloch electron gas in opposing electric and magnetic fields at Г = 0 K,” Phys. Lett. A 66, 337 — 340.

1732 Suzuki, K„ and -Y. Kawamoto, 1973, "The g-factors of itinerant electrons in silicon inversion layers,” J. Phys. Soc. Japan 35, 1456-1459.

1733 Svensson, C. M„ 1978, "The defect structure of the Si-SO2 interface, a model based on trivalent silicon and its hydrogen ‘compounds’,” in The Physics of SiO^ and its Interfaces, edited by S. T. Pantelides (Pergamon, New York), pp. 328 — 332.

1734* Sze, S. M., 1969, Physics of Semiconductor Devices (Witey, New York) (or 2nd ed„ 1981).

1735 Takada, Y., 1977, “Acoustic plasmons in MOS inversion layers,” J. Phys. Soc. Japan 43, 1627 — 1636.

1736 Takada, Y., 1978, “Plasmon mechanism of superconductivity in two- and three-dimensional electron systems,” J. Phys. Soc. Japan 45, 786 — 794.

1737 Takada, Y„ 1979, “Effects of screening and neutral impurity on mobility in silicon inversion layers under uniaxial stress,” J. Phys. Soc. Japan 46, 114 — 122.

1738 Takada, Y., 1980a, “Theory of cyclotron resonance in SJ(lOO) inversion layers under (001) uniaxial stress,” Surf. Sci. 98, 442 - 450.

1739 Takada, Y., 1980b, "First-principle calculation of superconductivity transition temperature of MOS inversion layers,” J. Phys. See. Japan 49, 1713-1721.

1740 Takada, Y., and T. Ando, 1978, “Stress effects on electronic properties of silicon inversion layers,” J. Phys. Soc. Japan 44, 905-913.

1741 Takada, Y., K. Arai, N. Uchimura, and Y. Uemura, 1980a, “Theory of the electronic properties of «-channel inversion layers on narrow-gap semiconductors. I. Subband structure of InSb,” J. Phys. Soc. Japan 49, 1851-1858.

1742 Takada, Y., K. Arai, N. Uchimura, and Y. Uemura, 1980b, “Theory of the electronic properties of «-channel inversion layers on narrow-gap semiconductors,” in Proceedings of the I Sth International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto [J. Phys. Soc. Japan 49, Suppl. A, 947 — 950].

1743 Takada, Y., and Y. Uemura, 1976, "Acoustic plasmon and possibility of superconductivity in MOS structures,^ in Proceedings of the Bth International Conference on the Physics of Semiconductors, Rome, edited by F. G. Fumi (North-

•Holland» Amsterdam), pp. 754 — 757.

1744 Takada, Y., and Y. Uemura, 1977, “Subband structures of n- channel inversion layers on II1-V compounds — A possibility of the gate controlled Gunn effect,” J. Phys. Soc. Japan 43, * 139-150.

1745 Takahashi, T., 1972, "The quantization of elastic waves in Si- 8102 system,” M. S. thesis, Department of Physics, Faculty of Science, Gakushuin University, Tokyo (unpublished).

1746 Takeishi, Y., T. Sato, H. Maeda, and K, Hirabayashi, 1972, “Effects of surface orientatiorf on transport properties of electrons and holes on oxidized silicon surfaces,” J. Vac. Sci.

1747 TechnoL 9, 769 (abstract).

Tangena, A- G., N. F. de Rooij, and J. Middelhoek, 1978, "Sensitivity of MOS structures for contamination with H+, 1748 Na+, and K+ ions,” J. Appl. Phys. 49, 5576-5583.

Tasch, A. F., Jr., D. D. Buss, R. T. Bate, and В. H. Breazeale, 1970, “Landau Levels in the inversion layer cm p-type Hg>_xCdxTe,” in Proceedings of the Tenth International Conference on the Physics of Semiconductors, Cambridge, Massachusetts, edited by S. P. Keller, J. C. Hensel, and F. Stem (U. S. Atomic Energy Commission, Oak Ridge, Tennes- see). pp. 458 —463.Tatarskii, V. V., and V. B. Shikin, 1980, “Cyclotron resonance 1751* linewidth of electrons above the surface of liquid helium,” Fiz. Nizk. Temp. 6, 1365 — 1370 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 665-667 (3980)].Tavger, B. A., and Demikhovskii, V. Ya., 1968, “Quantum 1752* size effects in semiconducting and semimetallic films,” Usp.Fiz. Nauk 96, 61 — 86 [Sov. Phys.—Usp. 11, 644 — 658 (1969)].Taylor, B. N., and W. D. Phillips, eds., 1982, Proceedings of 1753 the Second International Conference on Precision Measurement and Fundamental Constants, Gaithersburg, 1981 (Special Publication 617, National Bureau of Standards, Washington).Tews, H-, 1978, “Hartree calculations for «-inversion layers, on 1754 stressed silicon surfaces,” Solid State Commun. 26, 349 — 352.Theis, T. N., 1980, “Plasmons in inversion layers,” Surf. Sci. 1755 98, 515-532.Theis, T. N„ J. P. Kotthaus, and P. J. Stiles, 1977, "Two- 1756 dimensional magnetoplasmon in the silicon inversion layer,” Solid State Commun. 24, 273 — 277.Theis, T. N., J. P. Kotthaus and P. J. Stiles, 1978a, “Genera- 1757 tion of 2D plasmon resonances at multiple wave-vectors; a test of the dispersion relation,” Snrf. Sci. 73, 434-436.Theis, T. N., J. P. Kotthaus, and P. J. Stiles, 3978b, 1758 “Wavevector dependence of the two-dimensional plasmon dispersion relationship in the (100) silicon inversion layer,” Solid State Commun. 26, 603 — 606.Thompson, J. P., 1978a, "Hall effect measurements on silicon 1759 inversion layers,” Phys. Lett. A 66, 65 — 66.Thompson, J. P., 1978b, "Is the Hall effect in silicon inversion 1760 layers consistent with macroscopic inhomogeneities?” Philos.Mag. В 38, 527-533.Thorstensen, В., T. A. Fjeldly, and J. S. Johannessen, 1977, 1761 "Field effect in Si-SiO2 structures induced by adsorption of polar gas molecules,” in Proceedings of the Seventh International Vacuum Congress and the Third International Conference on Solid Surfaces, Vienna, edited by R. Dobrozemsky, F. ' Rudenauer, F. P. Viehbock, and A. Breth (Berger, Horn, Austria), Vol. I, pp. 575-578.Thouless, D. J., 1974, “Electrons in disordered systems and the 1762 theory of localization,” Phys. Rep. 13, 93—142.Thouless, D. J., 1976, “Localization by correlation and by dis- 1763 order,” J. Phys. (Paris) 37, Colloques, C4-349 —C4-352.Thouless, D. J., 1977, “Maximum metallic resistance in thin 1764 wires,” Phys. Rev. Lett. 39, 1167—1169.Thouless, D. J., 1978, “Melting of the two-dimensional Wigner 1765 lattice,” J. Phys. C 11, L189-L190.Thouless, D. J., 1979, “Percolation and localization,” in 111- 1766 Condensed Matter, edited by R. Balian, R. Maynard, and G.Tasch, A. F., Jr., D. D. Buss, R. T. Bate, and В. H. Breazeale, 1970, “Landau Levels in the inversion layer cm p-type Hg>_xCdxTe,” in Proceedings of the Tenth International Conference on the Physics of Semiconductors, Cambridge, Massachusetts, edited by S. P. Keller, J. C. Hensel, and F. Stem (U. S. Atomic Energy Commission, Oak Ridge, Tennes- see). pp. 458 —463.Tatarskii, V. V., and V. B. Shikin, 1980, “Cyclotron resonance 1751* linewidth of electrons above the surface of liquid helium,” Fiz. Nizk. Temp. 6, 1365 — 1370 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 665-667 (3980)].Tavger, B. A., and Demikhovskii, V. Ya., 1968, “Quantum 1752* size effects in semiconducting and semimetallic films,” Usp.Fiz. Nauk 96, 61 — 86 [Sov. Phys.—Usp. 11, 644 — 658 (1969)].Taylor, B. N., and W. D. Phillips, eds., 1982, Proceedings of 1753 the Second International Conference on Precision Measurement and Fundamental Constants, Gaithersburg, 1981 (Special Publication 617, National Bureau of Standards, Washington).Tews, H-, 1978, “Hartree calculations for «-inversion layers, on 1754 stressed silicon surfaces,” Solid State Commun. 26, 349 — 352.Theis, T. N., 1980, “Plasmons in inversion layers,” Surf. Sci. 1755 98, 515-532.Theis, T. N„ J. P. Kotthaus, and P. J. Stiles, 1977, "Two- 1756 dimensional magnetoplasmon in the silicon inversion layer,” Solid State Commun. 24, 273 — 277.Theis, T. N., J. P. Kotthaus and P. J. Stiles, 1978a, “Genera- 1757 tion of 2D plasmon resonances at multiple wave-vectors; a test of the dispersion relation,” Snrf. Sci. 73, 434-436.Theis, T. N., J. P. Kotthaus, and P. J. Stiles, 3978b, 1758 “Wavevector dependence of the two-dimensional plasmon dispersion relationship in the (100) silicon inversion layer,” Solid State Commun. 26, 603 — 606.Thompson, J. P., 1978a, "Hall effect measurements on silicon 1759 inversion layers,” Phys. Lett. A 66, 65 — 66.Thompson, J. P., 1978b, "Is the Hall effect in silicon inversion 1760 layers consistent with macroscopic inhomogeneities?” Philos.Mag. В 38, 527-533.Thorstensen, В., T. A. Fjeldly, and J. S. Johannessen, 1977, 1761 "Field effect in Si-SiO2 structures induced by adsorption of polar gas molecules,” in Proceedings of the Seventh International Vacuum Congress and the Third International Conference on Solid Surfaces, Vienna, edited by R. Dobrozemsky, F. ' Rudenauer, F. P. Viehbock, and A. Breth (Berger, Horn, Austria), Vol. I, pp. 575-578.Thouless, D. J., 1974, “Electrons in disordered systems and the 1762 theory of localization,” Phys. Rep. 13, 93—142.Thouless, D. J., 1976, “Localization by correlation and by dis- 1763 order,” J. Phys. (Paris) 37, Colloques, C4-349 —C4-352.Thouless, D. J., 1977, “Maximum metallic resistance in thin 1764 wires,” Phys. Rev. Lett. 39, 1167—1169.Thouless, D. J., 1978, “Melting of the two-dimensional Wigner 1765 lattice,” J. Phys. C 11, L189-L190.Thouless, D. J., 1979, “Percolation and localization,” in 111- 1766 Condensed Matter, edited by R. Balian, R. Maynard, and G.Tannous, C., and A. Cailk, 1980, “Two-dimensional plasmon

Tasch, A. F., Jr., D. D. Buss, R. T. Bate, and В. H. Breazeale, 1970, “Landau Levels in the inversion layer cm p-type Hg>_xCdxTe,” in Proceedings of the Tenth International Conference on the Physics of Semiconductors, Cambridge, Massachusetts, edited by S. P. Keller, J. C. Hensel, and F. Stem (U. S. Atomic Energy Commission, Oak Ridge, Tennes- see). pp. 458 —463.

Tatarskii, V. V., and V. B. Shikin, 1980, “Cyclotron resonance 1751* linewidth of electrons above the surface of liquid helium,” Fiz. Nizk. Temp. 6, 1365 — 1370 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 665-667 (3980)].

Tavger, B. A., and Demikhovskii, V. Ya., 1968, “Quantum 1752* size effects in semiconducting and semimetallic films,” Usp.

Fiz. Nauk 96, 61 — 86 [Sov. Phys.—Usp. 11, 644 — 658 (1969)].

Taylor, B. N., and W. D. Phillips, eds., 1982, Proceedings of 1753 the Second International Conference on Precision Measurement and Fundamental Constants, Gaithersburg, 1981 (Special Publication 617, National Bureau of Standards, Washington).

Tews, H-, 1978, “Hartree calculations for «-inversion layers, on 1754 stressed silicon surfaces,” Solid State Commun. 26, 349 — 352.

Theis, T. N., 1980, “Plasmons in inversion layers,” Surf. Sci. 1755 98, 515-532.

Theis, T. N„ J. P. Kotthaus, and P. J. Stiles, 1977, "Two- 1756 dimensional magnetoplasmon in the silicon inversion layer,” Solid State Commun. 24, 273 — 277.

Theis, T. N., J. P. Kotthaus and P. J. Stiles, 1978a, “Genera- 1757 tion of 2D plasmon resonances at multiple wave-vectors; a test of the dispersion relation,” Snrf. Sci. 73, 434-436.

Theis, T. N., J. P. Kotthaus, and P. J. Stiles, 3978b, 1758 “Wavevector dependence of the two-dimensional plasmon dispersion relationship in the (100) silicon inversion layer,” Solid State Commun. 26, 603 — 606.

Thompson, J. P., 1978a, "Hall effect measurements on silicon 1759 inversion layers,” Phys. Lett. A 66, 65 — 66.

Thompson, J. P., 1978b, "Is the Hall effect in silicon inversion 1760 layers consistent with macroscopic inhomogeneities?” Philos.

Mag. В 38, 527-533.

Thorstensen, В., T. A. Fjeldly, and J. S. Johannessen, 1977, 1761 "Field effect in Si-SiO2 structures induced by adsorption of polar gas molecules,” in Proceedings of the Seventh International Vacuum Congress and the Third International Conference on Solid Surfaces, Vienna, edited by R. Dobrozemsky, F. ' Rudenauer, F. P. Viehbock, and A. Breth (Berger, Horn, Austria), Vol. I, pp. 575-578.

Thouless, D. J., 1974, “Electrons in disordered systems and the 1762 theory of localization,” Phys. Rep. 13, 93—142.

Thouless, D. J., 1976, “Localization by correlation and by dis- 1763 order,” J. Phys. (Paris) 37, Colloques, C4-349 —C4-352.

Thouless, D. J., 1977, “Maximum metallic resistance in thin 1764 wires,” Phys. Rev. Lett. 39, 1167—1169.

Thouless, D. J., 1978, “Melting of the two-dimensional Wigner 1765 lattice,” J. Phys. C 11, L189-L190.

Thouless, D. J., 1979, “Percolation and localization,” in 111- 1766 Condensed Matter, edited by R. Balian, R. Maynard, and G.

Tasch, A. F., Jr., D. D. Buss, R. T. Bate, and В. H. Breazeale, 1970, “Landau Levels in the inversion layer cm p-type Hg>_xCdxTe,” in Proceedings of the Tenth International Conference on the Physics of Semiconductors, Cambridge, Massachusetts, edited by S. P. Keller, J. C. Hensel, and F. Stem (U. S. Atomic Energy Commission, Oak Ridge, Tennes- see). pp. 458 —463.

Tatarskii, V. V., and V. B. Shikin, 1980, “Cyclotron resonance 1751* linewidth of electrons above the surface of liquid helium,” Fiz. Nizk. Temp. 6, 1365 — 1370 [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 665-667 (3980)].

Tavger, B. A., and Demikhovskii, V. Ya., 1968, “Quantum 1752* size effects in semiconducting and semimetallic films,” Usp.

Fiz. Nauk 96, 61 — 86 [Sov. Phys.—Usp. 11, 644 — 658 (1969)].

Taylor, B. N., and W. D. Phillips, eds., 1982, Proceedings of 1753 the Second International Conference on Precision Measurement and Fundamental Constants, Gaithersburg, 1981 (Special Publication 617, National Bureau of Standards, Washington).

Tews, H-, 1978, “Hartree calculations for «-inversion layers, on 1754 stressed silicon surfaces,” Solid State Commun. 26, 349 — 352.

Theis, T. N., 1980, “Plasmons in inversion layers,” Surf. Sci. 1755 98, 515-532.

Theis, T. N„ J. P. Kotthaus, and P. J. Stiles, 1977, "Two- 1756 dimensional magnetoplasmon in the silicon inversion layer,” Solid State Commun. 24, 273 — 277.

Theis, T. N., J. P. Kotthaus and P. J. Stiles, 1978a, “Genera- 1757 tion of 2D plasmon resonances at multiple wave-vectors; a test of the dispersion relation,” Snrf. Sci. 73, 434-436.

Theis, T. N., J. P. Kotthaus, and P. J. Stiles, 3978b, 1758 “Wavevector dependence of the two-dimensional plasmon dispersion relationship in the (100) silicon inversion layer,” Solid State Commun. 26, 603 — 606.

Thompson, J. P., 1978a, "Hall effect measurements on silicon 1759 inversion layers,” Phys. Lett. A 66, 65 — 66.

Thompson, J. P., 1978b, "Is the Hall effect in silicon inversion 1760 layers consistent with macroscopic inhomogeneities?” Philos.

Mag. В 38, 527-533.

Thorstensen, В., T. A. Fjeldly, and J. S. Johannessen, 1977, 1761 "Field effect in Si-SiO2 structures induced by adsorption of polar gas molecules,” in Proceedings of the Seventh International Vacuum Congress and the Third International Conference on Solid Surfaces, Vienna, edited by R. Dobrozemsky, F. ' Rudenauer, F. P. Viehbock, and A. Breth (Berger, Horn, Austria), Vol. I, pp. 575-578.

Thouless, D. J., 1974, “Electrons in disordered systems and the 1762 theory of localization,” Phys. Rep. 13, 93—142.

Thouless, D. J., 1976, “Localization by correlation and by dis- 1763 order,” J. Phys. (Paris) 37, Colloques, C4-349 —C4-352.

Thouless, D. J., 1977, “Maximum metallic resistance in thin 1764 wires,” Phys. Rev. Lett. 39, 1167—1169.

Thouless, D. J., 1978, “Melting of the two-dimensional Wigner 1765 lattice,” J. Phys. C 11, L189-L190.

Thouless, D. J., 1979, “Percolation and localization,” in 111- 1766 Condensed Matter, edited by R. Balian, R. Maynard, and G.

interface,” Phys. Status Solidi A 5, 209 — 258.Totsuji, H., 1975, “Thermodynamic properties of surface layer of classical electrons,” J. Phys. Soc. Japan 39, 253 — 254.Totsuji, H., 1976, “Theory of two-dimensional classical electron plasma,” J. Phys. Soc. Japan 40, 857 — 862.Totsuji, H., 1978, “Numerical experiment on two-dimensional electron liquids. Thermodynamic properties and onset of short-range order,” Phys. Rev. A 17, 399 — 406.Totsuji, H., 1979a, “Cluster expansion for two-dimensional liquids,” Phys. Rev. A 19, 889—893.Totsuji, H., 1979b, “Lower bounds for thermodynamic quantities of two- and three-dimensional one-component plasmas,” Phys. Rev. A 19, 1712-1716.Totsuji, H., 1979c, “Lower bounds for thermodynamic quantities of d-dimensional classical one-component plasmas with d-dimensional Coulomb interactions (d = l, 2, and 3 ),** Phys. Rev. A 19, 2433-2439.Totsuji, H., 1980, ‘’Effect of electron correlation on the high- frequency conductivity of electron liquids on a liquid helium surface," Phys. Rev. В 22, 187— 190.Totsuji, H., and H. Kakeya, 5979, “Longitudinal properties of two-dimensional classical electron liquids," Phys. Lett. A 73, 23-25.Totsuji, H., and H. Kakeya, 1980, “Dynamical properties of two-dimensional classical electron liquids," Phys. Rev. A 22, 1220-1228.Toyoda, T., D. Y. Kojima, and A. Isihara, 1978, “Correlations . in a 2D electron gas,'* Surf. Sci. 73, 266 — 268.Tremblay, A.-M., and V. Ambegaokar, 1979, “Eigenmodes of the coupled two-dimensional Wigner-crystal—liquid-surface system and instability of a charged liquid surface,” Phys. Rev. В 20, 2190-2195.Troyanovskii, A. M., A. P. Volodin, and M. S. Khaikin, 1979a, “Electron localization over a liquid hydrogen surface," Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 29, 65 — 68 [JETP Lett. 29, 59-62 (1979)].Troyanovskii, A. M., A. P. Volodin, and M. S. Khaikin, 1979b, “Electron localization over the surface of crystalline hydrogen and neem,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 29, 421 -425 [JETP Lett. 29, 382-385 (1979)].Trylski, J., 5976, “Theoretical re-examination of the effective masses as obtained from Shubnikov—de Haas oscillations,” in Proceedings of the 13th International Conference on the Physics of Semiconductors, Rome, edited by F. G. Fumi (North- Holland, Amsterdam), p. 1153 (abstract).Tsu, R., and G. Dohler, 1975, “Hopping conductivity in a ‘superlattice*,** Phys. Rev. В 12, 680—686.Tsu, R., and L. Esaki, 1973, “Tunneling in a finite superlattice,” Appl. Phys. Lett. 22, 562 — 564.Tsu, R., and J. Janak, 1974, “Magnetic quantization in a superlattice," Phys. Rev. В 9, 404— 408.Tsu, R., A. Koma, and L. Esaki, 1975, “Optical properties of semiconductor superlattice," J. Appl. Phys. 46, 842 — 845.Tsui, D. C., 1970a, “Observation of Landau levels in InAs by electron tunneling,” Solid State Commun. 8, 113—116Tsui, D. C, 1970b, “Observation of surface bound state and two-dimensional energy band by electron tunneling,” Phys. Rev. Lett. 24, 303 - 306.Tsui. D. C., 1970c, “Some recent developments in semiconductor tunneling,” in Proceedings of the Tenth Internationalinterface,” Phys. Status Solidi A 5, 209 — 258.Totsuji, H., 1975, “Thermodynamic properties of surface layer of classical electrons,” J. Phys. Soc. Japan 39, 253 — 254.Totsuji, H., 1976, “Theory of two-dimensional classical electron plasma,” J. Phys. Soc. Japan 40, 857 — 862.Totsuji, H., 1978, “Numerical experiment on two-dimensional electron liquids. Thermodynamic properties and onset of short-range order,” Phys. Rev. A 17, 399 — 406.Totsuji, H., 1979a, “Cluster expansion for two-dimensional liquids,” Phys. Rev. A 19, 889—893.Totsuji, H., 1979b, “Lower bounds for thermodynamic quantities of two- and three-dimensional one-component plasmas,” Phys. Rev. A 19, 1712-1716.Totsuji, H., 1979c, “Lower bounds for thermodynamic quantities of d-dimensional classical one-component plasmas with d-dimensional Coulomb interactions (d = l, 2, and 3 ),** Phys. Rev. A 19, 2433-2439.Totsuji, H., 1980, ‘’Effect of electron correlation on the high- frequency conductivity of electron liquids on a liquid helium surface," Phys. Rev. В 22, 187— 190.Totsuji, H., and H. Kakeya, 5979, “Longitudinal properties of two-dimensional classical electron liquids," Phys. Lett. A 73, 23-25.Totsuji, H., and H. Kakeya, 1980, “Dynamical properties of two-dimensional classical electron liquids," Phys. Rev. A 22, 1220-1228.Toyoda, T., D. Y. Kojima, and A. Isihara, 1978, “Correlations . in a 2D electron gas,'* Surf. Sci. 73, 266 — 268.Tremblay, A.-M., and V. Ambegaokar, 1979, “Eigenmodes of the coupled two-dimensional Wigner-crystal—liquid-surface system and instability of a charged liquid surface,” Phys. Rev. В 20, 2190-2195.Troyanovskii, A. M., A. P. Volodin, and M. S. Khaikin, 1979a, “Electron localization over a liquid hydrogen surface," Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 29, 65 — 68 [JETP Lett. 29, 59-62 (1979)].Troyanovskii, A. M., A. P. Volodin, and M. S. Khaikin, 1979b, “Electron localization over the surface of crystalline hydrogen and neem,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 29, 421 -425 [JETP Lett. 29, 382-385 (1979)].Trylski, J., 5976, “Theoretical re-examination of the effective masses as obtained from Shubnikov—de Haas oscillations,” in Proceedings of the 13th International Conference on the Physics of Semiconductors, Rome, edited by F. G. Fumi (North- Holland, Amsterdam), p. 1153 (abstract).Tsu, R., and G. Dohler, 1975, “Hopping conductivity in a ‘superlattice*,** Phys. Rev. В 12, 680—686.Tsu, R., and L. Esaki, 1973, “Tunneling in a finite superlattice,” Appl. Phys. Lett. 22, 562 — 564.Tsu, R., and J. Janak, 1974, “Magnetic quantization in a superlattice," Phys. Rev. В 9, 404— 408.Tsu, R., A. Koma, and L. Esaki, 1975, “Optical properties of semiconductor superlattice," J. Appl. Phys. 46, 842 — 845.Tsui, D. C., 1970a, “Observation of Landau levels in InAs by electron tunneling,” Solid State Commun. 8, 113—116Tsui, D. C, 1970b, “Observation of surface bound state and two-dimensional energy band by electron tunneling,” Phys. Rev. Lett. 24, 303 - 306.Tsui. D. C., 1970c, “Some recent developments in semiconductor tunneling,” in Proceedings of the Tenth International178717881789179017911792179317941795179617971798*1799*18001801180218031804180518061807178717881789179017911792179317941795179617971798*1799*18001801180218031804180518061807

interface,” Phys. Status Solidi A 5, 209 — 258.

Totsuji, H., 1975, “Thermodynamic properties of surface layer of classical electrons,” J. Phys. Soc. Japan 39, 253 — 254.

Totsuji, H., 1976, “Theory of two-dimensional classical electron plasma,” J. Phys. Soc. Japan 40, 857 — 862.

Totsuji, H., 1978, “Numerical experiment on two-dimensional electron liquids. Thermodynamic properties and onset of short-range order,” Phys. Rev. A 17, 399 — 406.

Totsuji, H., 1979a, “Cluster expansion for two-dimensional liquids,” Phys. Rev. A 19, 889—893.

Totsuji, H., 1979b, “Lower bounds for thermodynamic quantities of two- and three-dimensional one-component plasmas,” Phys. Rev. A 19, 1712-1716.

Totsuji, H., 1979c, “Lower bounds for thermodynamic quantities of d-dimensional classical one-component plasmas with d-dimensional Coulomb interactions (d = l, 2, and 3 ),** Phys. Rev. A 19, 2433-2439.

Totsuji, H., 1980, ‘’Effect of electron correlation on the high- frequency conductivity of electron liquids on a liquid helium surface," Phys. Rev. В 22, 187— 190.

Totsuji, H., and H. Kakeya, 5979, “Longitudinal properties of two-dimensional classical electron liquids," Phys. Lett. A 73, 23-25.

Totsuji, H., and H. Kakeya, 1980, “Dynamical properties of two-dimensional classical electron liquids," Phys. Rev. A 22, 1220-1228.

Toyoda, T., D. Y. Kojima, and A. Isihara, 1978, “Correlations . in a 2D electron gas,'* Surf. Sci. 73, 266 — 268.

Tremblay, A.-M., and V. Ambegaokar, 1979, “Eigenmodes of the coupled two-dimensional Wigner-crystal—liquid-surface system and instability of a charged liquid surface,” Phys. Rev. В 20, 2190-2195.

Troyanovskii, A. M., A. P. Volodin, and M. S. Khaikin, 1979a, “Electron localization over a liquid hydrogen surface," Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 29, 65 — 68 [JETP Lett. 29, 59-62 (1979)].

Troyanovskii, A. M., A. P. Volodin, and M. S. Khaikin, 1979b, “Electron localization over the surface of crystalline hydrogen and neem,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 29, 421 -425 [JETP Lett. 29, 382-385 (1979)].

Trylski, J., 5976, “Theoretical re-examination of the effective masses as obtained from Shubnikov—de Haas oscillations,” in Proceedings of the 13th International Conference on the Physics of Semiconductors, Rome, edited by F. G. Fumi (North- Holland, Amsterdam), p. 1153 (abstract).

Tsu, R., and G. Dohler, 1975, “Hopping conductivity in a ‘superlattice*,** Phys. Rev. В 12, 680—686.

Tsu, R., and L. Esaki, 1973, “Tunneling in a finite superlattice,” Appl. Phys. Lett. 22, 562 — 564.

Tsu, R., and J. Janak, 1974, “Magnetic quantization in a superlattice," Phys. Rev. В 9, 404— 408.

Tsu, R., A. Koma, and L. Esaki, 1975, “Optical properties of semiconductor superlattice," J. Appl. Phys. 46, 842 — 845.

Tsui, D. C., 1970a, “Observation of Landau levels in InAs by electron tunneling,” Solid State Commun. 8, 113—116

Tsui, D. C, 1970b, “Observation of surface bound state and two-dimensional energy band by electron tunneling,” Phys. Rev. Lett. 24, 303 - 306.

Tsui. D. C., 1970c, “Some recent developments in semiconductor tunneling,” in Proceedings of the Tenth International

interface,” Phys. Status Solidi A 5, 209 — 258.

Totsuji, H., 1975, “Thermodynamic properties of surface layer of classical electrons,” J. Phys. Soc. Japan 39, 253 — 254.

Totsuji, H., 1976, “Theory of two-dimensional classical electron plasma,” J. Phys. Soc. Japan 40, 857 — 862.

Totsuji, H., 1978, “Numerical experiment on two-dimensional electron liquids. Thermodynamic properties and onset of short-range order,” Phys. Rev. A 17, 399 — 406.

Totsuji, H., 1979a, “Cluster expansion for two-dimensional liquids,” Phys. Rev. A 19, 889—893.

Totsuji, H., 1979b, “Lower bounds for thermodynamic quantities of two- and three-dimensional one-component plasmas,” Phys. Rev. A 19, 1712-1716.

Totsuji, H., 1979c, “Lower bounds for thermodynamic quantities of d-dimensional classical one-component plasmas with d-dimensional Coulomb interactions (d = l, 2, and 3 ),** Phys. Rev. A 19, 2433-2439.

Totsuji, H., 1980, ‘’Effect of electron correlation on the high- frequency conductivity of electron liquids on a liquid helium surface," Phys. Rev. В 22, 187— 190.

Totsuji, H., and H. Kakeya, 5979, “Longitudinal properties of two-dimensional classical electron liquids," Phys. Lett. A 73, 23-25.

Totsuji, H., and H. Kakeya, 1980, “Dynamical properties of two-dimensional classical electron liquids," Phys. Rev. A 22, 1220-1228.

Toyoda, T., D. Y. Kojima, and A. Isihara, 1978, “Correlations . in a 2D electron gas,'* Surf. Sci. 73, 266 — 268.

Tremblay, A.-M., and V. Ambegaokar, 1979, “Eigenmodes of the coupled two-dimensional Wigner-crystal—liquid-surface system and instability of a charged liquid surface,” Phys. Rev. В 20, 2190-2195.

Troyanovskii, A. M., A. P. Volodin, and M. S. Khaikin, 1979a, “Electron localization over a liquid hydrogen surface," Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 29, 65 — 68 [JETP Lett. 29, 59-62 (1979)].

Troyanovskii, A. M., A. P. Volodin, and M. S. Khaikin, 1979b, “Electron localization over the surface of crystalline hydrogen and neem,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma Red. 29, 421 -425 [JETP Lett. 29, 382-385 (1979)].

Trylski, J., 5976, “Theoretical re-examination of the effective masses as obtained from Shubnikov—de Haas oscillations,” in Proceedings of the 13th International Conference on the Physics of Semiconductors, Rome, edited by F. G. Fumi (North- Holland, Amsterdam), p. 1153 (abstract).

Tsu, R., and G. Dohler, 1975, “Hopping conductivity in a ‘superlattice*,** Phys. Rev. В 12, 680—686.

Tsu, R., and L. Esaki, 1973, “Tunneling in a finite superlattice,” Appl. Phys. Lett. 22, 562 — 564.

Tsu, R., and J. Janak, 1974, “Magnetic quantization in a superlattice," Phys. Rev. В 9, 404— 408.

Tsu, R., A. Koma, and L. Esaki, 1975, “Optical properties of semiconductor superlattice," J. Appl. Phys. 46, 842 — 845.

Tsui, D. C., 1970a, “Observation of Landau levels in InAs by electron tunneling,” Solid State Commun. 8, 113—116

Tsui, D. C, 1970b, “Observation of surface bound state and two-dimensional energy band by electron tunneling,” Phys. Rev. Lett. 24, 303 - 306.

Tsui. D. C., 1970c, “Some recent developments in semiconductor tunneling,” in Proceedings of the Tenth International

1787

1788

1789

1790

1791

1792

1793

1794

1795

1796

1797

1798*

1799*

1800

1801

1802

1803

1804

1805

1806

1807

1787

1788

1789

1790

1791

1792

1793

1794

1795

1796

1797

1798*

1799*

1800

1801

1802

1803

1804

1805

1806

1807

Toulouse (North-Holland, Amsterdam), pp. 1 — 62.

1767 Thouless, D. J., 1980, “The effect of inelastic electron scattering on the conductivity of very thin wires,** Solid State Com- mun. 34, 683-685.

1768 Thouless, D. J., 1981, “Localisation and the two-dimensional Hall effect,** J. Phys. C 14, 3475-3480.

1769 Thouless, D. J., and M. E. Elzain, 1978, “The two-dimensional white noise problem and localisation in an inversion layer,** J. Phys. C 11, 3425-3438.

1770 Thouless, D. J., and S- Kirkpatrick, 1981, “Conductivity of the disordered linear chain,” J. Phys. C 14, 235 — 245.

1771 Thuillier, J. C, 1975, “Surface quantization in tellurium,** in Physique sous Champs Magnetiques Intenses, Grenoble, 1974 (Colloques Intemationaux No. 242, Editions du Centre National de la Recherche Scientifique, Paris), pp. 189— 193,

1772 Thuillier, J. C, and F. Bazenet, 1979, “Properties of oxide- Hgi_xCd,Te interfaces,” J. Vac. Sci. TechnoL 16, 1417 (abstract).

1773Tidey, R. J., and R. A. Stradling, 1974, “Peaked structure appearing in the field effect mobility of silicon MOS devices at temperatures above 20 K," J. Phys. C 7, L356 — L361.

1774 Tidey, R. J., R. A. Stradling, and- M. Pepper, 1974, “Peaked structure appearing in the field effect mobility of silicon MOS devices at liquid helium temperatures,’* J. Phys. C 7, L353-L355.

1775 Ting, C. S., 1980, “Effect of intervalley electron-electron coupling on the cyclotron resonance line shape for electrons in the Si surface inversion layers,” Surf. Sci. 98, 437 — 441.

1776 Ting, C. S., and A. K. Ganguly, 1979, “Effect of the Augerlike transition on the intersubband optical absorption in Si surface inversion layers,” Phys. Rev. В 20, 4244—4250.

1777 Ting, C. S., A. K. Ganguly, and W. Y. Lai, 1985, “Theopy of cyclotron resonance for electrons in a Si surface inversion layer under a uniaxial stress,” Phys. Rev. В 24, 3375 — 3379.

1778 Ting, C. S., T. K. Lee, and J. J. Quinn, 1975, “Effective mass and g factor of interacting electrons in the surface inversion layer of silicon,” Phys. Rev. Lett. 34, 870—874.

1779 Ting^C. S., S. C. Ying, and J. J. Quinn, 1976, “Infrared cyclotron resonance in semiconducting surface inversion layers,” Phys. Rev. Lett. 37, 215-218.

1780 Ting, C. S., S. C. Ying, and J. L Quinn, 1977, "Theory of cyclotron resonance of interacting electrons in a semiconducting surface inversion layer,” Phys. Rev. В 16, 5394 — 5404.

1781 Tjapkin, D., V. Milanovic, and Z. Spasojevic. 1981, “The Einstein relation for two-dimensional strongly inverted layers,” Phys. Status Solidi A 63, 737 — 742.

1782 Tobey, M. C, Jr., and N. Gordon, 1974, “Concerning the onset of heavy inversion in MIS devices,” IEEE Trans. Electron Devices ED-21, 649-650.

1783 Toda, M., 1969, “Propagation of surface charge waves in n- InSb MOS structure in a magnetic field,” J. Phys. Soc. Japan 27, 428-436.

1784 Toda, M., 1970, “Nonlinear effects of surface charge waves in a n-lnSb MOS structure in a transverse magnetic field,” Jpn. J. Appl. Phys. 9, 49-57.

1785 Tokuda, A. R., and P. O. Lauritzen, 1974, “MOSFET thresholds at 4.2 К induced by cooling bias,” IEEE Trans. Electron Devices ED-21, 606-607.

1786 Toscano-Rico, A., and J. C. Pfister, 1971, “Hall effect measurements of hole mobility in an inversion layer at the Si-SiOj

1808180818091809181018101811181118121812181318131814181418161816181718171818181818191819182018201815 Tsui, D. C., 1978, “Conference summary [Second International1815 Tsui, D. C., 1978, “Conference summary [Second International18211821Si MOSFETs on high index surfaces,” Appl. Phys. Lett. 32, Tsukada, M., 1977a, “Twodimensional crystallization of theSi MOSFETs on high index surfaces,” Appl. Phys. Lett. 32, Tsukada, M., 1977a, “Twodimensional crystallization of the365-367.365-367.1822 Tsui, D. С., E. Gornik, and R. A. Logan, 1980, “Far infrared field,” J. Phys. Soc. Japan 42, 391 — 398.emission from plasma oscillations of Si inversion layers," Tsukada, M., 1977b, “Two-dimensional Wigner crystal in1822 Tsui, D. С., E. Gornik, and R. A. Logan, 1980, “Far infrared field,” J. Phys. Soc. Japan 42, 391 — 398.emission from plasma oscillations of Si inversion layers," Tsukada, M., 1977b, “Two-dimensional Wigner crystal in18231823182418241825182518261826Tsui, D. C„ and A. C. Gossard, 1981, "Resistance standard Tsuzuki, T., 1981, “Electric field dependence of non-metallic using quantization of the Hall resistance of GaAs- conduction in a two-dimensional random system,” Solid State AlxGat_xAs heterostructures,” Appl. Phys. Lett. 38, Commun. 38,915 —917.550 — 552.Tzoar, N., 1979a, “High-frequency conductivity of a two-Tsui, D. С., A. C. Gossard, G. Kaminsky, and W. Wiegmann, dimensional electron gas interacting with optical phonons," 19 81, “Transport properties of GaAs-AI,Gai_,As heterojunc- Phys. Rev. В 20, 1306—1309.lion field-effect transistors," Appl. Phys. Utt. 39, 712 — 714. Tzoar, N., 1979b, ‘The interaction of polar-optical phonons Tsui, D. C., A. Kamgar, and M. D. Sturge, 1979, “New mini- with a two-dimensional electron gas," Surf. Sci. 84, 440—448.Tsui, D. C„ and A. C. Gossard, 1981, "Resistance standard Tsuzuki, T., 1981, “Electric field dependence of non-metallic using quantization of the Hall resistance of GaAs- conduction in a two-dimensional random system,” Solid State AlxGat_xAs heterostructures,” Appl. Phys. Lett. 38, Commun. 38,915 —917.550 — 552.Tzoar, N., 1979a, “High-frequency conductivity of a two-Tsui, D. С., A. C. Gossard, G. Kaminsky, and W. Wiegmann, dimensional electron gas interacting with optical phonons," 19 81, “Transport properties of GaAs-AI,Gai_,As heterojunc- Phys. Rev. В 20, 1306—1309.lion field-effect transistors," Appl. Phys. Utt. 39, 712 — 714. Tzoar, N., 1979b, ‘The interaction of polar-optical phonons Tsui, D. C., A. Kamgar, and M. D. Sturge, 1979, “New mini- with a two-dimensional electron gas," Surf. Sci. 84, 440—448.182718271828182818291829Tsui, D. C., and G. Kaminsky, 1976b, “Valley degeneracy of 1830Tsui, D. C., and G. Kaminsky, 1976b, “Valley degeneracy of 18301831183118321832183318331834183418351835183618361837183718381838183918391840184018411841184218421843184318441844

1808

1808

1809

1809

1810

1810

1811

1811

1812

1812

1813

1813

1814

1814

1816

1816

1817

1817

1818

1818

1819

1819

1820

1820

1815 Tsui, D. C., 1978, “Conference summary [Second International

1815 Tsui, D. C., 1978, “Conference summary [Second International

1821

1821

Si MOSFETs on high index surfaces,” Appl. Phys. Lett. 32, Tsukada, M., 1977a, “Twodimensional crystallization of the

Si MOSFETs on high index surfaces,” Appl. Phys. Lett. 32, Tsukada, M., 1977a, “Twodimensional crystallization of the

365-367.

365-367.

1822 Tsui, D. С., E. Gornik, and R. A. Logan, 1980, “Far infrared field,” J. Phys. Soc. Japan 42, 391 — 398.

emission from plasma oscillations of Si inversion layers," Tsukada, M., 1977b, “Two-dimensional Wigner crystal in

1822 Tsui, D. С., E. Gornik, and R. A. Logan, 1980, “Far infrared field,” J. Phys. Soc. Japan 42, 391 — 398.

emission from plasma oscillations of Si inversion layers," Tsukada, M., 1977b, “Two-dimensional Wigner crystal in

1823

1823

1824

1824

1825

1825

1826

1826

Tsui, D. C„ and A. C. Gossard, 1981, "Resistance standard Tsuzuki, T., 1981, “Electric field dependence of non-metallic using quantization of the Hall resistance of GaAs- conduction in a two-dimensional random system,” Solid State AlxGat_xAs heterostructures,” Appl. Phys. Lett. 38, Commun. 38,915 —917.

550 — 552.Tzoar, N., 1979a, “High-frequency conductivity of a two-

Tsui, D. С., A. C. Gossard, G. Kaminsky, and W. Wiegmann, dimensional electron gas interacting with optical phonons," 19 81, “Transport properties of GaAs-AI,Gai_,As heterojunc- Phys. Rev. В 20, 1306—1309.

lion field-effect transistors," Appl. Phys. Utt. 39, 712 — 714. Tzoar, N., 1979b, ‘The interaction of polar-optical phonons Tsui, D. C., A. Kamgar, and M. D. Sturge, 1979, “New mini- with a two-dimensional electron gas," Surf. Sci. 84, 440—448.

Tsui, D. C„ and A. C. Gossard, 1981, "Resistance standard Tsuzuki, T., 1981, “Electric field dependence of non-metallic using quantization of the Hall resistance of GaAs- conduction in a two-dimensional random system,” Solid State AlxGat_xAs heterostructures,” Appl. Phys. Lett. 38, Commun. 38,915 —917.

550 — 552.Tzoar, N., 1979a, “High-frequency conductivity of a two-

Tsui, D. С., A. C. Gossard, G. Kaminsky, and W. Wiegmann, dimensional electron gas interacting with optical phonons," 19 81, “Transport properties of GaAs-AI,Gai_,As heterojunc- Phys. Rev. В 20, 1306—1309.

lion field-effect transistors," Appl. Phys. Utt. 39, 712 — 714. Tzoar, N., 1979b, ‘The interaction of polar-optical phonons Tsui, D. C., A. Kamgar, and M. D. Sturge, 1979, “New mini- with a two-dimensional electron gas," Surf. Sci. 84, 440—448.

1827

1827

1828

1828

1829

1829

Tsui, D. C., and G. Kaminsky, 1976b, “Valley degeneracy of 1830

Tsui, D. C., and G. Kaminsky, 1976b, “Valley degeneracy of 1830

1831

1831

1832

1832

1833

1833

1834

1834

1835

1835

1836

1836

1837

1837

1838

1838

1839

1839

1840

1840

1841

1841

1842

1842

1843

1843

1844

1844

Conference on the Physics of Semiconductors, Cambridge, Massachusetts, edited by S. P. Keller, J. C. Hensel, and F. Stern (U. S. Atomic Energy Commission, Oak Ridge, Tennessee), pp. 468-477.

Tsui, D. C., 1971a, “Effect of a parallel magnetic field on surface quantization,” Solid State Commun. 9, 1789 — 1792.

Tsui, D. C., 1971b, “Electron-tunneling studies of a quantized surface accumulation layer,” Phys. Rev. В 4, 4438 — 4449.

Tsui, D. C., 1972, “Quantum effects in a semiconductor surface layer,” in Proceedings of the 11th International Conference on the Physics of Semiconductors, Warsaw (PWN —Polish Scientific, Warsaw), Vol. 1, pp. 109—125.

Tsui, D. C., 1973, “Electron tunneling and capacitance studies of a quantized surface accumulation layer,” Phys. Rev. В 8, 2657-2669.

Tsui, D. C., 1975a, “Landau-level spectra of conduction electrons at an InAs surface," Phys. Rev. В 12, 5739 — 5748.

Tsui, D. C., 1975b, “Tunneling and some electronic properties of compound semiconductors,” Crit. Rev. Solid State Sci. 5, 353-357.

Tsui, D. C., 1977, “High field magnetoconductivity of Si inversion layers,” Solid State Commun. 21, 675 — 678.

Conference on the Electronic Properties of Two-Dimensional Systems, Berchtesgaden, 1977]," Surf. Sci. 73, 560—564.

Tsui, D. C., and S. J. Allen, Jr., 1974, “Mott-Anderson localization in the two-dimensional band tail of Si inversion layers,” Phys. Rev. Utt. 32, 1200—1203.

Tsui, D. C., and S. J. Allen, Jr., 1975, “Localization and the minimum metallic conductivity in Si inversion layers,” Phys. Rev. Utt. 34, 1293-1295.

Tsui, D. C., and S. J. Allen, Jr., 1981, “Localization and the quantized Hall resistance in the two-dimensional electron gas," Phys. Rev. В 24, 4082.

Tsui, D. C., S. J. Allen, Jr., R. A. Logan, A. Kamgar, and S. N. Coppersmith, 1978, “High frequency conductivity in silicon inversion layers: Drude relaxation, 2D plasmons and minigaps in a surface superlattice," Surf. Sci. 73, 419—433.

Tsui, D. C., Th. Englert, A. Y. Cho, and A. C. Gossard, 1980, “Observation of magnetophonon resonances in a twodimensional electronic system,” Phys. Rev. Lett. 44, 341 - 344.

Tsui, D. C., and E. Gornik, 1978, “Far infrared emission from

Solid State Commun. 35, 875 — 877.

Tsui, D. С., E. Gornik, and W. Muller, 1979, “Voltage tunable emission from Si-inversion layers,” in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1347—1350.

gaps ip electron inversion layers on vicinal planes of (100) Si,” in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 1335— 1338.

Tsui, D. C. and G. Kaminsky, 1975a, “Seebeck effect in Si inversion layers,” Bull. Am. Phys. Soc. 20, 555.

Tsui, D. C, and G. Kaminsky, J 975b, “Observation of higher sub-band in «-type (100) Si inversion layers,” Phys. Rev. Lett. 35, 1468-1471.

Tsui, D. C., and G. Kaminsky, 1976a, “Influence of uniaxial stress on quantum effects in Si inversion layers,” Surf. Sci. 58, 187-192.

electrons in accumulation and inversion layers on Si (111) surfaces,” Solid State Commun. 20, 93 — 95.

Tsui, D. C., and G. Kaminsky, 1979, “Observation of sixfold valley degeneracy in electron inversion layers on Si (111),” Phys. Rev. Utt. 42, 595-597.

Tsui, D. C., and G. Kaminsky, 1980, “Si inversion layers with a six-fold valley degeneracy/* Surf. Sci. 98, 400—406.

Tsui, D. C., G. Kaminsky, and P. H. Schmidt, 1974, “Tunneling study of surface quantization in л-РЬТе,” Phys. Rev. В 9, 3524-3531.

Tsui, D. C., G. Kaminsky, and P. H. Schmidt, 1978, “Tunneling spectroscopy of PbTe surfaces,” in Physics of Narrow Gap Semiconductors, edited by J. Raufuszkiewicz, M. Gorska, and E. Kaczmarek (PWN —Polish Scientific, Warsaw), pp. 405-410.

Tsui, D. C., and R. A. Logan, 1979, “Observation of twodimensional electrons in LPE-grown GaAs-Al,Gai_,As heterojunctions,” Appl. Phys. Utt. 35, 99 — 101.

Tsui, D. С., H. L. Stormer, A. C. Gossard, and W. Wieg- mann, 1980, “Two-dimensional electrical transport in GaAs- ALGa^As multilayers at high magnetic fields," Phys. Rev. В 21, 1589-1595.

Tsui, D. С, M. D. Sturge, A. Kamgar, and S. J. Allen, Jr., 1978, “Surface band structure of electron inversion layers on vicinal planes of Si (100),” Phys. Rev. Utt. 40, 1667 — 1670.

Tsukada, M., 1976a, “Wigner lattice in MOS inversion layers under strong magnetic field," J. Phys. Soc. Japan 40. 1515-1517.

Tsukada, M., 1976b, "On the tail states of the Landau subbands in MOS structures under strong magnetic field,” J. Phys. Soc. Japan 41, 1466— 1472.

electrons in MOS structures induced by strong magnetic

MOS structures under strong magnetic fields,” in Proceedings of the Seventh International Vacuum Congress and the Third International Conference on Solid Surfaces, Vienna, edited by R. Dobrozemsky, F. Rudenauer, F. P. Viehbock, and A. Breth (Berger, Horn, Austria), Vol. I, pp. 403—406.

1845 Tzoar, N., and P. M. Platzman, 1979, “High-frequency conductivity of a two-dimensional two-component electron gas," Phys. Rev. В 20, 4189-4193.

1846 Tzoar, N., P. M. Platzman, and A. Simons, 1976, “High- frequency conductivity of electrons in two-dimensional inversion layers," Phys. Rev. Lett. 36, 1200—1203.

1847 Uchimura, N., and Y. Uemura, 1979a, “Hot electron effects in Landau levels of MOS inversion layers,” in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 331 — 334.

1848 Uchimura, N., and Y. Uemura, 1979b, “Hot electron effects in Landau levels off MOS inversion layers," J. Phys. Soc. Japan 47, 1417-1425.

1849 Uemura, Y., 1974a, “Landau levels and electronic properties of semiconductor interface," in Proceedings of the Second International Conference on Solid Surfaces, Kyoto [Jpn. J. App). Phys., Supp). 2, Pt. 2, 17-24].

1850 Uemura, Y., 1974b, “Quantum galvano-magnetic phenomena in M.O.S. inversion layers,” in Proceedings of the

national Conference on the Physics of Semiconductors, Stuttgart, edited by M. H. Pilkuhn (Teubner, Stuttgart), pp. 665 - 674.

1851 Uemura, Y., 1976, “Theoretical considerations on quantization for carriers in MOS structures," Surf. Sci. 58, 1 — 16.

1852 Uemura, Y., and Y. Matsumoto, 1971, “An analysis for anomalous galvano-magnetic effects in surface inversion layer of semiconductors,” in Proceedings of the 2nd Conference on Solid State Devices, Tokyo, 1970 [J. Japan Soc. Appl. Phys. 40, Suppl., 205-213].

1853* Ulinich, F. R., and N. A. Usov, 1979, “Phase diagram of a two-dimensional Wigner crystal in a magnetic field," Zh. Eksp. Teor. Fiz. 76, 288 — 294 [Sov. Phys.—JETP 49, 147-150(1979)].

1854 Undem, H. А., К. E. Severson, and H. H. Soonpaa, 1977, *7-K and magnetoconductivity measurements on a quasi-two- dimensional crystal,” Solid State Commun. 23, 695 — 697.

1855 Uren, M. J., R. A. Davies, and M. Pepper, 1980, “The observation of interaction and localisation effects in a two dimensional electron gas at low temperatures,” J. Phys. C 13, L985-L993.

1856 Uren, M. J., R. A. Davies, M. Kaveh, and M. Pepper, 1981, “Magnetic delocalisation of a two dimensional electron gas and the quantum law of electron-electron scattering," J. Phys. C 14, L395-L402.

1857 Ury, L, and J. W. Holm-Kennedy, 1978, “Two-dimensional subbanding in junction field effect structures," Surf. Sci. 73, 179-189.

1858 van Bruggen, C. F., C. Haas, and H. W. Myron, eds., 1980, Proceedings of the International Conference on Layered Materials and Intercalates, Nijmegen, 1979 [Physica 99B, 1-550].

1859 Vandamme, L. K. J., 1980, “Model for 1// noise in MOS transistors biased in the linear region," Solid-State Electron. 23, 317-323.

1860 Van den dries, L., C. Van Haesendonck, Y. Bruynseraede, and G. Deutscher, 1981, “Two-dimensional localization in thin copper films,” Phys. Rev. Lett. 46, 565—568.

1861 ven der Ziel, J. P., R. Dingle, R. C. Miller, W. Wiegmann, and W. A. Nordland, Jr., 1975, “Laser oscillation from quantum states in very thin GaAs-Al0.2Ga0.sAs multilayer struc

tures,” App). Phys. Lett. 26, 463—465.

Van Horn, H. M., 1967, “Instability and melting of the electron solid," Phys. Rev. 157, 342- 349.

Van Overstraeten, R. J., G. Declerck, and G. L. Broux, 1973, “The influence of surface potential fluctuations on the operation of the MOS transistor in weak inversion," IEEE Trans. Electron Devices ED-20, 1154—1)58.

van Ruyven, L. J., H. J. A. Bluyssen, and F. Williams, 1979, “Effective band edges at a heterojunction interface due to quantum and grading effects,” in Physics of Semiconductors, 1978, edited by B. L. H. Wilson (Institute of Physics, Bristol), pp. 769-772.

Varley, R. L.. and J. E. Tigner, 1979, “Velocity autocorrelation function in a strongly coupled, magnetized pure electron plasma," Phys. Rev. Lett. 43, 1113 — 1116.

Vas’ko, F. T., 1979, “Spin splitting in the spectrum of twodimensional electrons due to the surface potential,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’m» Red. 30, 574 — 57 7 [JETP Lett. 30,

12th Inter- ; 541-544(1979)].12th Inter- ; 541-544(1979)].Vas’ko, F. T., and N. A. Prima, 1979, “Spin splitting of the spectrum of two-dimensional electrons," Fiz. Tverd. Tela (Leningrad)* 21, 1734—1738 [Sov. Phys.—Solid State 21, 994-996(1979)].'

12th Inter- ; 541-544(1979)].

12th Inter- ; 541-544(1979)].

Vass, E., and K. Hess, 1976, “Energy loss of warm and hot carriers in surface inversion layers of polar semiconductors,” Z Phys. В 25, 3 23-32 5.

Velchev, N, В., V. N. Holiavko, В. V. Morozov, and E. M. Skok, 1976, “Galvanomagnetic properties of p diffusion, accumulation and inversion layers at the Si-SiOz interface in the low temperature range,” Thin Solid Films 35, 305 — 319.

Velchev, N. B., and 1. S. Nachev, 1980, “Self-consistent results for «-channel silicon MOST at high magnetic fields,” Surf. Sci. 98, 308-320.

Verwey. J. F., 1980, “Mobility and trapping of ions in SiO2,” in Insulating Films on Semiconductors, 1979, edited by G. G. Roberts and M. J. Morant (Institute of Physics, Bristol), pp. 62-74.

Veuhoff, E., and D. Kohl, 1981, “Hall effect measurements on ZnO accumulation layers,” J. Phys. C 14, 2395 — 2407.

Vincett, P. S., and G. G. Roberts, 1980, “Electrical and photoelectric transport properties of Langmuir-Blodgett films and a discussion of possible device applications,” Thin Solid Films 68, 135-171.

Vinter, B., 1975a, “Correlation energy and effective mass of electrons in an inversion layer,” Phys. Rev. Lett. 35, 1044-1047.

Vinter, B., 1975b, “Effect of the electron-electron interaction on the excitation energies of an «-inversion layer on Si,” Phys. Rev. Lett. 35, 598-601.

Vinter, B., 1976, “Many-body effects in я-type Si inversion layers. I. Effects in the lowest subband,” Phys. Rev. В 13, 4447 - 4456.

Vinter, B., 1977, “Many-body effects in я-type Si inversion layers. П. Excitations to higher subbands," Phys. Rev. В 15, 3947-3958.

Vinter, B., 1978, “Self-consistent calculation of impurity scattering in inversion layers,” Solid State Commun. 28, 861-863.

18621863186418651866*1867*18681869187018711872187318741875187618771878187918621863186418651866*1867*186818691870187118721873187418751876187718781879Vinter, B., 1979a, “Subband energies in «-channel inversion layers on <111)-Ge” Phys. Rev. В 20, 2395-2397.

1862

1863

1864

1865

1866*

1867*

1868

1869

1870

1871

1872

1873

1874

1875

1876

1877